Funciones Probabilísticas y Distribuciones Discretas

FUNCIÓN PROBABILÍSTICA
La función de probabilidad de
una variable aleatoria discreta es
la aplicación que asocia a cada
valor 𝒙𝒊 , de la variable su
probabilidad
𝒑𝒊 .
La
representamos por 𝒇 𝒙
y
tenemos:
𝒇 𝒙 =𝑷 𝑿=𝒙
Por ejemplo, la probabilidad de
sacar cualquier número al lanzar
un dado es de 1/6 (un dado tiene
seis caras), por lo tanto, la
función de probabilidad asociada
a este espacio muestral será igual
a 1/6 para cualquier valor.
PROPIEDADES
 Las probabilidades no pueden ser negativas, por lo que la
función de probabilidad es nula o positiva para cualquier
valor de x.
𝑓 𝑥 ≥0
 Asimismo, la probabilidad máxima es la unidad, y significa
que el evento sucederá siempre. En consecuencia, el valor
máximo de la función de probabilidad es igual a 1.
𝑓 𝑥 ≤1
 Finalmente, la suma de todos los valores de una función
de probabilidad da como resultado 1, pues es la suma de
todas las probabilidades del espacio muestral.
+∞
+∞
𝑓 𝑥𝑖 =
𝑖=1
𝑝𝑖 = 1
𝑖=1
Ejemplo de función de probabilidad
1)Calcula las probabilidades de sacar cara 0, 1, 2, 3 y 4 veces haciendo cuatro lanzamientos de monedas
independientes. Luego gráfica la función de probabilidad hallada.
En primer lugar, tenemos que calcular las probabilidades de obtener cara, para ello, se deben dividir los casos
posibles entre el número total de casos. Puedes ver el cálculo de todas las probabilidades en la siguiente
tabla:
Y una vez hemos calculado todas las probabilidades, podemos representar los valores
de la función de probabilidad en una gráfica:
Como puedes comprobar, la función probabilística del ejercicio cumple todas las propiedades
de las funciones de probabilidades, ya que todos sus valores están entre 0 y 1 y, además, la
suma de todos sus valores es equivalente a 1.
DISTRIBUCIONES TEÓRICAS DE PROBABILIDAD
Una distribución de probabilidad es una función que asigna una probabilidad a cada valor posible de una variable aleatoria. Las distribuciones
de probabilidad se pueden clasificar en discretas y continuas, dependiendo de la naturaleza de la variable aleatoria.
Variable aleatoria discreta
•Solo puede tomar valores enteros y un número finito de ellos
•Ejemplos: número de alumnos aprobados en un curso, número de caras al lanzar 6 veces una moneda
•Modelos de probabilidad aplicados: Bernoulli, binomial, Poisson, exponencial y geométrica
Variable aleatoria continua
•Puede tomar valores enteros y fraccionarios y un número infinito de ellos dentro de un mismo intervalo
•Ejemplos: concentración en gramos de oro de algunas muestras de mineral, peso de estudiantes
•de un salón
•Distribuciones de probabilidad continuas más comunes: uniforme, la exponencial y la normal
Características de las distribuciones de probabilidad
•La probabilidad de un resultado específico está entre cero y uno
•La suma de las probabilidades de todos los resultados mutuamente excluyentes es 1
•Se suelen representar como una tabla o un histograma .
•Esperanza Matemática
•El valor esperado de una variable aleatoria x es el promedio ponderado de todos los valore posibles
PARÁMETROS DE UNA VARIABLE DISCRETA
Ejemplo:
DISTRIBUCIONES DISCRETAS
Como se mencionó las distribuciones discretas es la distribución de
una variable aleatoria discreta, es decir , aquella que casi siempre
asume solamente un conjunto finito de valores.
DISTRIBUCIONES
DISCRETAS
BINOMIAL
POISSON
HIPERGEOMÉTRICA
MULTINOMIAL
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL
La distribución de probabilidad binomial es una distribución de
probabilidad que tiene muchas aplicaciones. Está relacionada con
un experimento de pasos múltiples al que se le llama experimento
binomial.
UN EXPERIMENTO BINOMIAL:
Un experimento binomial cuenta con las siguientes propiedades:
1. El experimento consiste en una serie de " n" ensayos idénticos.
2. En cada ensayo hay dos resultados posibles. A uno de estos
resultados se le llama
éxito y al otro se le llama fracaso.
3. La probabilidad de éxito, que se denota" p", no cambia de un
ensayo a otro. Por ende,
la probabilidad de fracaso, que se denota "1 p", tampoco cambia de
un ensayo a
otro.
4. Los ensayos son independientes.
𝒏 𝒙
𝑷 𝑿=𝒙 =
𝒑 𝟏 − 𝒒 𝒏−𝒙
𝒙
𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑠𝑎𝑦𝑜𝑠
𝑝 = 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 é𝑥𝑖𝑡𝑜
𝑞 = 1 − 𝑝 = 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑎𝑠𝑜
𝑥 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎
Estadígrafos de la Distribución Binomial:
•
•
•
Esperanza Matemática: 𝝁 = 𝒏𝒑
Varianza:𝝈 = 𝒏𝒑 𝟏 − 𝒑
Desviación: 𝝈
Ejemplo de Distribución Binomial:
1)La probabilidad de repetir un alumno de 1° bachillerato es de 0.3 . Elegimos 20 alumnos al
azar. ?Cuál es la probabilidad que haya exactamente 4 alumnos?
Solución:
1)Datos:
𝒑 = 𝟎, 𝟑
𝒒 = 𝟏 − 𝟎, 𝟑 = 𝟎, 𝟕
𝒏 = 𝟐𝟎
𝒙=𝟒
𝑷 𝑿 = 𝟒 =?
2)Fórmula:
𝒏 𝒙
𝑷 𝑿=𝒙 =
𝒑 𝟏 − 𝒒 𝒏−𝒙
𝒙
3)Reemplazar los datos:
𝟐𝟎!
𝟐𝟎
𝟒
𝟏𝟔
𝑷 𝑿=𝟒 =
𝟎. 𝟑 𝟎. 𝟕
=
𝟎, 𝟑𝟒 ∙ 𝟎, 𝟕𝟏𝟔 = 𝟎, 𝟏𝟑 = 𝟏𝟑%
𝟒
𝟒! 𝟏𝟔!
4)Respuesta: La probabilidad que haya exactamente 4 alumnos es de 0,13 o 13%
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE POISSON:
• En esta sección estudiará una variable
aleatoria discreta que se suele usar para
estimar el número de veces que sucede
un hecho determinado (ocurrencias) en
un intervalo de tiempo o de espacio
• PROPIEDADES DE UN EXPERIMENTO DE
POISSON:
• 1. La probabilidad de ocurrencia es la
misma para cualesquiera dos intervalos
de la misma magnitud.
• 2. La ocurrencia o no-ocurrencia en
cualquier intervalo es independiente de
la ocurrencia o no ocurrencia en
cualquier otro intervalo.
Ejemplos de la distribución de Poisson incluyen:
Probabilidad y Estadística+1
•El número de personas que entran en una tienda en una hora.
•El número de vehículos que pasan la frontera entre dos países durante un
mes.
•El número de usuarios que entran en una página web durante un día.
•El número de piezas defectuosas producidas por una fábrica durante un
día.
•El número de llamadas que recibe una central telefónica por minuto.
Ejercicio resuelto de la distribución de Poisson
•El número de productos vendidos por una marca sigue una distribución de Poisson de 5 unidades/día. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día
haya vendido justo 7 unidades? ¿Y la probabilidad de que en un día haya vendido 3 unidades o menos?
Solución:
1)Datos:
𝜇=5
𝑎)𝑥 = 7
𝑏)𝑥 ≤ 3
2)Fórmula:
𝜇 𝑥 𝑒 −𝜇
𝑃 𝑋=𝑥 =
𝑥!
3)Reemplazar:
57 𝑒 −5
𝑎)𝑃 𝑋 = 7 =
= 0,1044 = 10.44%
7!
𝑏)𝑃 𝑋 ≤ 3 = 𝑃 𝑋 = 0 + 𝑃 𝑋 = 0 + 𝑃 𝑋 = 0 + 𝑃 𝑋 = 0
Aplicamos la formula para cada caso
50 𝑒 −5 51 𝑒 −5 52 𝑒 −5 53 𝑒 −5
𝑃 𝑋≤3 =
+
+
+
0!
1!
2!
3!
𝑃 𝑋 ≤ 3 = 0,0673 + 0,0337 + 0,0842 + 0,1404
𝑃 𝑋 ≤ 3 = 0,2650 = 26,5%
4)Respuesta: a)La probabilidad de que un día haya vendido justo 7 unidades es de 0,10044 o 10,44%
b)La probabilidad de que un día haya vendido 3 unidades o menos es de 0,26504 o 26,5%
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD HIPERGEOMÉTRICA:
• La
distribución
de
probabilidad hipergeométrica es un
modelo estadístico utilizado cuando se
extrae una muestra sin reemplazo de una
población finita. Se utiliza para calcular la
probabilidad de obtener un número
específico de éxitos en la muestra,
teniendo en cuenta el tamaño de la
población u la cantidad de éxitos en ella.
• Está estrechamente relacionada con la
distribución binomial. Pero difieren en dos
puntos:
en
la
distribución hipergeométrica los ensayos
no son independientes y la probabilidad
de éxito varía de ensayo a ensayo.
•
𝒓
𝒙
𝑵−𝒓
𝒏−𝒙
𝑷 𝑿=𝒙 =
𝑵
𝒏
𝑁 = 𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑚
𝑛 = 𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎
𝑟 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 é𝑥𝑖𝑡𝑜𝑠
𝑥 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎
Estadígrafos de la Distribución Hp:
• Esperanza Matemática: 𝝁 = 𝒏𝒑
𝑵−𝒏
• Varianza:𝝈 = 𝒏𝒑 𝟏 − 𝒑
𝑵−𝟏
• Desviación: 𝝈
EJEMPLO1):10 refrigeradores de cierto tipo han sido devueltos al distribuidor por un daño. Supongamos que 4 de éstos 10
refrigeradores tienen compresor defectuoso y los otros 6 no tienen problemas. Si se examinan al azar 3 de estos 10 refrigeradores
sin reposición.
a)Qué probabilidad hay que 2 sean defectuosos?
b)Cual es la probabilidad de que sean menos de 2 defectuosos?
c)Determine la distribución de probabilidad para el experimento.
d)Determine las estadígrafos mas importantes de la distribución
SOLUCIÓN:
1)DATOS:
𝑵 𝒕𝒂𝒎𝒂ñ𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊ó𝒏 = 𝟏𝟎
𝒓 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 é𝒙𝒊𝒕𝒐𝒔 = 𝟒
𝒏(𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂) = 𝟑
𝒙 = 𝟐 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂
2)FÓRMULA:𝑷 𝑿 = 𝒙 =
3)REEMPLAZAR:
𝟒
𝒂)𝑷 𝑿 = 𝟐 = 𝟐
𝒓 𝑵−𝒓
𝒙 𝒏−𝒙
𝑵
𝒏
𝒃)𝑷 𝑿 < 𝟐 = 𝑃 𝑋 = 0 + 𝑃 𝑋 = 1
𝟒 𝟏𝟎 − 𝟒
𝟒 𝟏𝟎 − 𝟒
𝟒 𝟔
𝟒 𝟔
𝑷 𝑿<𝟐 = 𝟎 𝟑−𝟎 + 𝟏 𝟑−𝟏 = 𝟎 𝟑 + 𝟏 𝟐
𝟏𝟎
𝟏𝟎
𝟏𝟎
𝟏𝟎
𝟑
𝟑
𝟑
𝟑
𝑷 𝑿 < 𝟐 = 𝟎, 𝟏𝟔𝟔𝟔𝟕 + 𝟎, 𝟓 = 𝟎, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟕
𝟏𝟎 − 𝟒
𝟒 𝟔
𝟑 − 𝟐 = 𝟐 𝟏 = 𝟎, 𝟑 = 𝟑𝟎%
𝟏𝟎
𝟏𝟎
𝟑
𝟑
c)Distribución de probabilidad
De los datos obtenidos :
𝒙𝒊
0
𝒑𝒊
𝒑𝒊𝒂
𝟎, 𝟏𝟔𝟔𝟔𝟕 𝟎, 𝟏𝟔𝟔𝟔𝟕
1
𝟎, 𝟓
𝟎, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟕
2
𝟎, 𝟑
𝟎, 𝟗𝟔𝟔𝟔𝟕
3
𝟎, 𝟎𝟑𝟑𝟑
1
d)Estadígrafos:
Esperanza matemática
𝝁 = 𝒏𝒑 = 𝟑 𝟎. 𝟒 = 𝟎, 𝟏𝟐
𝟒
𝒏=𝟑 𝑷=
= 𝟎. 𝟒
𝟏𝟎
Varianza
𝑵−𝒏
𝝈 = 𝒏𝒑 𝟏 − 𝒑
𝑵−𝟏
𝟏𝟎 − 𝟑
𝝈 = 𝟑 𝟎, 𝟒 𝟏 − 𝟎, 𝟒
= 𝟎, 𝟓𝟔
𝟏𝟎 − 𝟏
Desviación
𝝈 = 𝟎, 𝟓𝟔 = 𝟎, 𝟕𝟒𝟖𝟑
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD MULTINOMIAL
• La distribución multinomial (o distribución
multinómica) es una distribución de
probabilidad que describe la probabilidad de
que varios eventos excluyentes ocurran un
número determinado de veces tras realizar
varios ensayos.
• Es decir, si un experimento aleatorio puede
dar como resultado tres o más eventos
excluyentes y se conocen la probabilidad de
que ocurra cada evento por separado, la
distribución multinomial sirve para calcular la
probabilidad de que al realizar varios
experimentos
suceda
un
número
determinado de veces cada evento.
𝑛!
𝑥𝑘
𝑥1
𝑃 𝑋=𝑥 =
∙ 𝑝1 … . 𝑝𝑘
𝑥1 ! … . . 𝑥𝑘 !
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒:
𝒏 = 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅 𝒆𝒏𝒔𝒂𝒚𝒐𝒔
𝒙𝒊 = 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒐𝒄𝒖𝒓𝒓𝒆 𝒆𝒍 𝒆𝒗𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒊
𝒑𝒊 = 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒐𝒄𝒖𝒓𝒓𝒂 𝒆𝒍 𝒆𝒗𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒊
Estadígrafos de la Distribución Multinomial:
•
Esperanza Matemática: 𝝁 = 𝒏𝒑
•
Varianza:𝝈𝟐 = 𝒏𝒑 𝟏 − 𝒑
•
Desviación: 𝝈
EJEMPLO 1)Una tienda vende tres productos diferentes. Cuando un cliente hace una compra, la
probabilidad de que sea el producto A, el producto B o el producto C es del 30%, 15% y 55%
respectivamente. Calcula la probabilidad de que cuando la tienda haya vendido 8 unidades, 2 sean
del producto A, 1 del producto B y 5 del producto C.
SOLUCIÓN:
1)DATOS:
Tres productos : A, B y C
𝑝1 = 0,3 , 𝑝2 = 0,15 , 𝑝3 = 0,55
𝑛 = 8 , 𝑥1 = 2(𝐴) , 𝑥2 = 1 𝐵 , 𝑥3 = 5 𝐶
2)FÓRMULA:
𝑛!
𝑥
𝑥
𝑃 𝑋=𝑥 =
∙ 𝑝1 1 … . 𝑝𝑘 𝑘
𝑥1 ! … . . 𝑥𝑘 !
3)REEMPLAZAR
8!
𝑃 𝑋=𝑥 =
∙ 0,3 1 0,15 1 0,55 5 = 0,114 = 11,4%
2! × 1! × 5!
4)RESPUESTA:
La probabilidad de la tienda haya vendido 8 unidades de diferentes productos es de 0,114 o 11,4%
DISTRIBUCIONES CONTINUAS
Las distribuciones continuas es la distribución de una variable aleatoria continua, es decir , aquella que casi siempre asume valores enteros
y fraccionarios y un número infinito de ellos dentro de un mismo intervalo.
La función de distribución de una variable aleatoria continua que toma valores en el intervalo 𝑎, 𝑏 está definida por:
𝒙
𝑭 𝒙 =𝑷 𝑿≤𝒙 =
𝒇 𝒕 𝒅𝒕
𝒂
PARÁMETROS DE UNA VARIABLE ALEATOTIA CONTINUA
Para una distribución de una variable aleatoria continua que recorre los valores del intervalo 𝑎, 𝑏 , tenemos:
1.Media o esperanza matemática:
𝑏
𝜇=
𝑥 ∙ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
2.Varianza:
𝑏
𝑉 = 𝜎2 =
𝑏
𝑥 − 𝜇 2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎
3.Desviación típica:
𝜎= 𝑉
𝑥 2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑢2
𝑎
𝑡 2 −1
=
con x ∈
36
Ejemplo 1)Sea 𝑓 𝑡
2,5 una función densidad .Calcula a)la función
distribución y 𝑃 3 ≤ 𝑥 ≤ 4 b) la media, varianza y la desviación típica de la variable aleatoria continua.
Solución:
𝒙
a)
𝑭 𝒙 = 𝒂 𝒇 𝒕 𝒅𝒕
𝑥
𝒙 2
𝑡 −1
1 𝑥 2
1 𝑡3
1 𝑥3
23
𝑭 𝒙 =
𝑑𝑡 =
𝑡 − 1 𝑑𝑡 =
−𝑡 =
−𝑥−
−2
36
36 2
36 3
36
3
3
𝒂
2
𝐏 𝟑≤𝒙≤𝟒 =𝐹 4 −𝐹 3 =
1
108
43 − 3 4 − 2 − 33 − 3 3 − 2
1 𝑥3
8
1
=
−𝑥− −2 =
𝑥 3 − 3𝑥 − 2
36 3
3
108
= 0,31 = 31%
b)
𝑏
• Esperanza matemática:𝜇 = 𝑎 𝑥 ∙ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
5
5
5
1
1
1 𝑥 5 3𝑥 3 2𝑥 2
1 55
25
3
4
2
3
2
𝜇=
𝑥 ∙ 𝑥 − 3𝑥 − 2 𝑑𝑥 =
𝑥 − 3𝑥 − 2𝑥 𝑑𝑥 =
−
−
=
−5 −5 −
− 23 − 22
108 2
108 2
108 5
3
2 2 108 5
5
𝑏
• Varianza: 𝜎 2 = 𝑎 𝑥 2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑢2
• 𝜎
2
• =
5 2
1
=
𝑥 ∙
108 2
3
𝑥 − 3𝑥 − 2 𝑑𝑥 − 4,45
1 56
3.54
2∙53
26
3.24
2∙23
−
−
−
−
−
108 6
4
3
6
4
3
• Desviación típica: 𝜎 = 19,03 = 4,36
2
5 5
1
=
𝑥 − 3𝑥 3 − 2𝑥 2 𝑑𝑥 −
108 2
− 4,66 2 = 19,05 −
4,66
2
5
1 𝑥6
3𝑥 4
2𝑥 3
=
−
−
−
108 6
4
3 2
4,66 2
= 4,45
TIPOS DE DISTRIBUCIONES CONTINUAS
Las distribuciones continuas se dividen en:
DISTRIBUCIONES
CONTINUAS
NORMAL
T.STUDENT
CHI-CUADRADO
F. DE FISHER
EXPONENCIAL
DISTRIBUCIÓN NORMAL
La distribución normal es una distribución de
probabilidad continua cuya gráfica tiene forma de
campana y es simétrica respecto a su media. En
estadística, la distribución normal sirve para
modelizar fenómenos de características muy
diferentes, por eso es tan importante esta
distribución.
• Ejemplos de la distribución de normal:
• La estatura de los alumnos de un curso.
• El coeficiente
intelectual de
los
trabajadores de una empresa.
• El número de piezas defectuosas
producidas en una fábrica durante un día.
• Las notas obtenidas en un examen por los
alumnos de un curso.
• La rentabilidad de las acciones de las
empresas que cotizan en bolsa
La distribución normal recibe muchos nombres
diferentes, entre ellos destacan distribución de
Gauss, distribución gaussiana y distribución de
Laplace-Gauss.
El símbolo de la distribución normal es la letra mayúscula N. Así pues, para
indicar que una variable sigue una distribución normal se indica con la letra N y
se añade entre paréntesis los valores de su media aritmética y su desviación
estándar. :
𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎
La función densidad de una distribución normal es :
𝑃 𝑋=𝑥 =
1
𝜎 2𝜋
1 𝑋−𝜇 2
−
𝑒 2 𝜎
La función tipificada es:
𝑃 𝑋=𝑥 =
1
1
−2𝑧 2
𝑒
2𝜋
En este caso se dice que z se distribuye normalmente con media cero 𝜇 = 0 y varianza uno 𝜎 2 = 1
GRÁFICA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
Al tener forma de campana centrada en la media aritmética, si una variable tiene una distribución normal significa que el valor
más repetido es la media y que los valores alrededor de la media se repiten con más frecuencia que los valores de los
extremos. Asimismo, cuanto mayor sea la desviación típica de la distribución normal, más aplastada es la forma de su
representación gráfica.
DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR
Para obtener probabilidades para un cierto intervalo de
valores, es necesario conocer la distribución
probabilística,
especialmente
la
distribución
probabilística acumulada de la variable aleatoria. Sin
embargo , hay tantas variables normales que resulta poco
práctico desarrollar una distribución probabilística distinta
para cada variable. Afortunadamente existe la
distribución probabilística que puede aplicarse a cada una
de las posibles variables aleatorias normales: LA
DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR Z, la cual se define
como:
𝑿−𝝁
𝒛=
𝝈
Donde:
𝜇 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎
𝑋 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎
𝜎 = 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑡í𝑝𝑖𝑐𝑎
La distribución normal estándar o normal tipificada , que
representamos por 𝑵 𝟎, 𝟏 , es una distribución normal
de media 𝝁 = 𝟎 , y desviación típica 𝝈 = 𝟏
USO DE TABLAS
En una distribución Normal estándar se pueden presentar
diferentes casos:
𝒂)𝑷 𝒁 ≤ 𝒌 = Área bajo la curva
𝒃)𝑷 𝒁 ≥ 𝒌 = 𝟏 − 𝑷 𝒁 ≥ 𝒌 = Área bajo la curva
𝒄)𝑷 𝒁 ≤ −𝒌 = 𝟏 − 𝑷 𝒁 ≤ +𝒌 = Área bajo la curva
𝒅)𝑷 𝒌𝟏 ≤ 𝒛 ≤ 𝒌𝟐 = 𝑷 𝒛 ≤ 𝒌𝟐 − 𝑷 𝒛 ≤ 𝒌𝟏
= Área bajo la curva
Ejemplo 1)La media de los pesos de 500 habitantes de un conjunto residencial es de 70Kg , y las
desviación estándar es de 4kg. Suponiendo que los valores se distribuyen normalmente , hallar
cuántos habitantes pesan: a)Menos de 75kg ,b)Menos de 62 kg ,c)Más de 79kg.
Solución:
1)Datos:
N = 500 ℎ𝑎𝑏, 𝜇 = 70𝑘𝑔 , 𝜎 = 4𝑘𝑔 , 𝑎)𝑋 < 75 𝑘𝑔 , 𝑏)𝑋 < 62𝑘𝑔 , c)𝑋 > 79 𝑘𝑔
𝑋 − 𝜇 75 − 70
𝑎)𝑍 =
=
= 1,25
𝜎
4
Se busca dicho valor en la tabla dando un valor de : 0,8944
El área bajo la curva es : 𝑃 𝑋 < 75 = 𝑃 𝑍 < 1,25 = 0,9878
Luego 500 × 0,8944 = 447,2 ≈ 447
R=447 habitantes pesan menos de 75 kg
𝑋 − 𝜇 62 − 70
𝐛)𝑍 =
=
= −2
𝜎
4
Se busca el valor absoluto en la tabla dando un valor de : 0,9772
El área bajo la curva es 𝑃 𝑋 < 62 = 𝑃 𝑍 < −2 = 1 − 𝑃 𝑍 < +2 = 1 − 0,9772 = 0,0228
Luego : 500 × 0,0228 = 11,4 ≈ 11
R=11 habitantes pesan menos de 62 kg
• https://youtu.be/PKgk6wmM2FI
𝑋−𝜇
79−70
c)𝑍 = 𝜎 = 4 = 2,25
Se busca el valor en la tabla dando un valor de : 0,9878
El área bajo la curva es : 𝑃 𝑍 > 79 = 𝑃 𝑍 > 2,25 = 1 − 0,9878 = 0,0122
Luego : 500 × 0,0122 = 6,1 ≈ 6
R=6 habitantes pesan mas de 79 kg
TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE
• TEOREMA: Si una población tiene una media 𝝁 y una desviación estándar 𝝈 y
tomamos un número de muestras suficientemente grande (𝒏 ≥ 𝟑𝟎), el conjunto de
las medias de las muestras 𝑋 se puede aproximar a una distribución normal de
media 𝜇 y desviación estándar 𝜎/√𝑛..
𝜎
𝑁 𝜇,
𝑛
• De acuerdo a esto, al determinar las probabilidades relativas a 𝑿 , el valor normal
estándar de 𝒁 se expresa de la siguiente forma:
𝑋−𝜇
𝑍= 𝜎
𝑛
EJEMPLO 1) Una empresa comercializa unas piezas que sirven de recambio para algunos
componentes de los juguetes, una pieza de estas tiene de media un peso de 300 g y una
desviación estándar de 50 g. Si un cliente ha pedido un lote de 100 piezas, ¿cuál es la
probabilidad de que la media de los pesos de las piezas del lote sea mayor que 305 g? ¿Y cuál
es la probabilidad de que un lote de 100 piezas pese menos de 2.85 kg?
SOLUCIÓN:
1)Datos:
𝜇 = 300 g , σ = 50 𝑔 , 𝑛 = 100 𝑝𝑖𝑒𝑧𝑎𝑠 𝑎) 𝑋 > 305 𝑔 , 𝑏)𝑋 < 2.85 𝑘𝑔
𝑎)𝑋 > 305
𝑋 − 𝜇 305 − 300 5
𝑍= 𝜎 =
= =1
50
5
𝑛
100
El área bajo la curva es : 𝑃 𝑋 > 305 = 𝑃 𝑍 > 1 = 1 − 𝑃 𝑍 > 1 = 1 − 0,8413 = 0,1587
𝑏)𝑋 < 2.85kg → 𝑋 < 285g
𝑋 − 𝜇 285 − 300 −15
𝑍= 𝜎 =
=
= −3
50
5
𝑛
100
𝑃 𝑋 < 285g = 𝑃 𝑍 < −3 = 1 − 𝑃 𝑍 < 3 = 1 − 0,9987 = 0,003
DISTRIBUCIÓN T. STUDENT
• La distribución t de Student es una
distribución de probabilidad muy utilizada en
estadística. En concreto, la distribución t de
Student se usa en la prueba t de Student para
determinar la diferencia entre dos medias
muestrales y para hacer intervalos de
confianza.
• La distribución t de Student fue desarrollada
por el estadístico William Sealy Gosset en el
año 1908 bajo el pseudónimo «Student».
• La distribución t de Student queda definida
con su número de grados de libertad, que se
obtiene restando una unidad al número total
de observaciones. Por lo tanto, la fórmula
para determinar los grados de libertad de una
distribución t de Student es ν=n-1.
De la gráfica de la distribución t de Student se pueden deducir las siguientes
propiedades:
•La distribución t de Student es simétrica centrada en el 0 y tiene forma de
campana.
•La distribución t de Student es más dispersa que la distribución normal, es
decir, la curva de la distribución t de Student es más ancha.
•Cuantos más grados de libertad tiene la distribución t de Student, menor es su
dispersión.
DISTRIBUCIÓN T. STUDENT
• Ejercicios Resueltos de Distribucion T-Student | PDF | Prueba de
hipótesis estadísticas | Inferencia estadística
• ESTADISTICA APLICADA: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
DISCRETA
• ▷ Distribución Normal
• ▷ Tipos de Distribuciones de Probabilidad
https://youtu.be/T7_ktqfVseU
https://www.slideserve.com/tommy/distribuciones-deprobabilidad-la-distribuci-n-binomial-la-distribuci-n-normal