Indeterminación Dinámica en Ingeniería Estructural

Indeterminación dinámica
La indeterminación dinámica se refiere al número de incógnitas adicionales que deben resolverse cuando
una estructura es sometida a cargas dinámicas, y no pueden determinarse únicamente mediante las
ecuaciones del equilibrio estático.
En otras palabras, es el exceso de reacciones o fuerzas internas respecto al número de ecuaciones
dinámicas independientes disponibles. A diferencia de la indeterminación estática, que se basa en
ecuaciones de equilibrio, la indeterminación dinámica también considera las leyes de movimiento de
Newton y la respuesta inercial de la estructura. (Chopra, 2017)
La dinámica estructural considera los efectos de:

Masa (inercia): La resistencia de una estructura a cambiar su estado de movimiento.

Rigidez: Relación entre la carga aplicada y la deformación.

Amortiguamiento: Capacidad de disipar energía a través del tiempo.
La ecuación fundamental del movimiento dinámico en una estructura es:
𝑴ü + 𝑪ů + 𝑲𝒖(𝒕) = 𝑭(𝒕)
Donde:
M = matriz de masa
C = matriz de amortiguamiento
K = matriz de rigidez
u(t) = vector de desplazamientos en el tiempo
F(t) = vector de fuerzas aplicadas
𝒖̇ (𝒕), 𝒖̈ (𝒕) = velocidad y aceleración
Esta ecuación permite modelar la respuesta dinámica del sistema estructural ante cargas variables.
1Tipos de Indeterminación Dinámica
1.1 Indeterminación Dinámica en el Espacio
Este tipo de indeterminación se presenta cuando una estructura tiene más grados de libertad (GDL) de
los que pueden resolverse con las ecuaciones dinámicas independientes de equilibrio disponibles.
Cada grado de libertad representa una posible dirección independiente de movimiento (por ejemplo,
desplazamientos horizontales, verticales o rotaciones).
Ejemplo:

Un marco bidimensional con múltiples nodos y elementos tiene más de un GDL por nodo.

En un sismo, cada punto puede desplazarse en diferentes direcciones, y deben considerarse todas
las interacciones entre ellos.
Características:

Las ecuaciones dinámicas forman un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas.

Se necesita aplicar técnicas de reducción como el análisis modal o el análisis matricial.

Aumenta la complejidad del análisis conforme se agregan elementos estructurales.
Soluciones comunes:

Matriz de rigidez global y de masa para estructuras complejas.

Métodos computacionales como el Método de Elementos Finitos (MEF).
1.2 Indeterminación Dinámica en el Tiempo
Este tipo está relacionado con el comportamiento transitorio de la estructura bajo cargas dinámicas que
cambian con el tiempo.
No basta con un análisis estático, porque las fuerzas, aceleraciones y desplazamientos no son constantes
y deben determinarse como funciones del tiempo.
Características:

Se requiere resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden en el tiempo.

Considera el efecto inercial y el amortiguamiento.

Se introduce el concepto de respuesta libre (sin carga externa) y respuesta forzada (con carga
variable).
Ejemplo de ecuación:
𝑴ü + 𝑪ů + 𝑲𝒖(𝒕) = 𝑭(𝒕)
Esta ecuación representa el movimiento vibratorio de la estructura, donde la respuesta u(t) depende del
tiempo y de la magnitud de la fuerza aplicada.
Métodos comunes para su análisis:

Método de Newmark-beta

Wilson-θ

Runge-Kutta

Análisis paso a paso en el dominio del tiempo
1.3 Indeterminación Modal
Este tipo de indeterminación surge cuando una estructura tiene múltiples modos de vibración y es
necesario determinar cuántos de estos modos deben incluirse para obtener una respuesta precisa ante
una excitación dinámica.
Concepto clave: Cada estructura tiene frecuencias naturales y modos propios asociados. Bajo ciertas
cargas (como un sismo), diferentes modos pueden excitarse en mayor o menor medida.
Ejemplo:

Una torre alta puede vibrar en el primer modo (como un péndulo), segundo modo (con un nodo
intermedio), etc.

Ignorar modos significativos puede llevar a subestimar la respuesta estructural, como
deformaciones o aceleraciones.
Características:

A mayor número de grados de libertad, mayor cantidad de modos propios.

No todos los modos contribuyen de igual manera; algunos pueden despreciarse según su
participación modal.
Métodos de análisis:

Análisis modal espectral

Superposición modal (combinación de los modos significativos)

Criterios de truncamiento modal (se usa un porcentaje de masa modal acumulada, como el 90%,
para decidir cuántos modos considerar)
Importancia:

Fundamental en el análisis sísmico usando espectros de respuesta.

Mejora la precisión del diseño estructural frente a excitaciones de distinta frecuencia.
Se relaciona con...
Tipo de
Ejemplo
Método típico de
Indeterminación
análisis
Número de GDL en la Estructura
Espacial
estructura
tridimensional Matriz de rigidez y
con muchos nodos
masa global
Comportamiento en el Carga sísmica que varía a lo Newmark, Wilson-θ
Temporal
tiempo
largo del tiempo
Cantidad de modos de Edificio que responde a Superposición modal,
Modal
vibración
varios modos durante un análisis espectral
sismo
2. Comparación entre Indeterminación Estática y Dinámica
Característica
Indeterminación Estática
Indeterminación Dinámica
Ecuaciones
Equilibrio estático
Movimiento (2da ley de Newton)
No relevante
Esencial
Instantánea, sin variación
Función del tiempo
utilizadas
Influencia de la
masa
Respuesta
temporal
Métodos de solución
Métodos matriciales,
Métodos numéricos, integración
compatibilidad
temporal
3. Métodos de Análisis de la Indeterminación Dinámica
3.1 Método de Modos Normales (Análisis Modal)
Este método permite descomponer la respuesta dinámica total de una estructura en una serie de modos
de vibración independientes. Cada uno de estos modos es una forma característica en que la estructura
puede vibrar, y está asociado a una frecuencia natural específica.
“El análisis modal transforma el sistema dinámico en un conjunto de ecuaciones uncopladas, lo que
facilita
(Chopra, 2017)
el
cálculo
de
la
respuesta
estructural”
Este método es útil principalmente en estructuras lineales y con amortiguamiento proporcional. Se
requiere calcular los vectores propios y valores propios del sistema masa-rigidez.
3.2 Método de Superposición Modal
Después de realizar el análisis modal, se calcula la respuesta dinámica de cada modo ante una
excitación externa, y se superponen para obtener la respuesta total.
“El método de superposición modal se basa en la hipótesis de que los modos de vibración son
ortogonales
y
que
la
respuesta
total
es
la
suma
de
las
respuestas
individuales”
(Penzien & Clough , 2003)
Este método es eficiente si se incluyen los modos con mayor participación modal, generalmente hasta
cubrir entre el 90% y 95% de la masa total de la estructura.
3.3 Métodos Numéricos (Integración Paso a Paso)
Cuando las cargas dinámicas son complejas o no periódicas, o cuando hay no linealidad estructural,
se emplean métodos de integración directa para resolver las ecuaciones diferenciales del movimiento
estructural en función del tiempo.
a) Método de Newmark-beta
Este es uno de los más usados en dinámica estructural. Utiliza fórmulas implícitas de integración para
calcular desplazamientos y velocidades a intervalos de tiempo definidos.
“El método de Newmark proporciona un procedimiento estable y eficiente para integrar las ecuaciones
de
movimiento
incluso
en
sistemas
no
lineales”
(Paz & Leigh, 2004)
b) Método de Wilson-θ
Es una extensión del método de Newmark. Introduce un parámetro θ\thetaθ para mejorar la precisión y
estabilidad del análisis.
“El método de Wilson-θ resulta particularmente útil en estructuras con alta respuesta transitoria o
amortiguamiento
considerable”
(Chopra, 2017)
(Diana et, 2009)4. Método de Elementos Finitos (MEF)
El MEF es una herramienta numérica que discretiza la estructura en elementos pequeños, en los cuales
se aplican las ecuaciones del movimiento. La respuesta dinámica se calcula globalmente integrando las
ecuaciones de cada elemento.
“El método de elementos finitos permite resolver problemas dinámicos complejos al modelar la
distribución
de
masa,
rigidez
y
amortiguamiento
con
precisión”
(Cook, 2001)
Es ideal para estructuras con geometría complicada, materiales no homogéneos, o acoplamientos físicos
(como interacción suelo-estructura).
4. Aplicaciones Prácticas de la Indeterminación Dinámica
La indeterminación dinámica no solo es un concepto teórico, sino que tiene aplicaciones fundamentales
en la ingeniería estructural moderna. Comprender cómo las estructuras responden ante acciones
dinámicas permite diseñarlas para que sean seguras, funcionales y duraderas frente a eventos como
terremotos, cargas móviles o efectos del viento.
4.1 Diseño Sismorresistente de Edificaciones
Una de las aplicaciones más importantes de la indeterminación dinámica es en el diseño de estructuras
capaces de resistir sismos. Durante un terremoto, las fuerzas que actúan sobre un edificio varían
rápidamente en el tiempo y generan respuestas estructurales complejas.
“El análisis dinámico es esencial para evaluar la capacidad de una edificación de disipar energía y evitar
colapsos
durante
un
sismo”
(Chopra, 2017)
Se deben considerar múltiples grados de libertad, múltiples modos de vibración y comportamiento
no lineal de los materiales estructurales. Por ello, los códigos modernos de diseño estructural (como el
ACI, Eurocode, E030 en Perú) exigen el uso de métodos dinámicos, como el análisis espectral o el
análisis tiempo-historia.
“La respuesta sísmica de una estructura depende no solo de la intensidad del sismo, sino también de su
interacción
dinámica
con
la
estructura
misma”
(Paz & Leigh, 2004)
4.2 Análisis de Puentes Bajo Tráfico Dinámico
Los puentes están constantemente expuestos a cargas móviles, como vehículos, trenes o maquinaria
pesada. Estas cargas inducen vibraciones que varían en el tiempo, provocando resonancia o fatiga
estructural si no se analizan correctamente.
“La interacción dinámica entre un vehículo y la superestructura del puente puede amplificar las
respuestas estructurales significativamente”(Diana et, 2009)
El análisis dinámico en puentes permite:

Evaluar desplazamientos instantáneos y fuerzas internas.

Diseñar juntas y apoyos con amortiguamiento adecuado.

Estimar la vida útil de la estructura bajo acciones repetitivas.
Además, en puentes de gran luz o modernos, se aplican sensores estructurales y análisis dinámico en
tiempo real para monitorear su comportamiento.
4.3 Modelado de Estructuras Altas Frente a Cargas de Viento
Los edificios de gran altura están expuestos a cargas de viento que varían constantemente, generando
efectos dinámicos significativos como:

Vibraciones oscilatorias en el eje horizontal.

Incomodidad para los ocupantes (especialmente en los últimos pisos).

Riesgo de resonancia estructural en condiciones de viento extremo.
“Las cargas de viento inducen respuestas dinámicas especialmente relevantes en estructuras altas y
esbeltas,
donde
los
modos
superiores
deben
ser
considerados”
(Cook, 2001)
En estos casos, se emplea análisis de:

Vibración forzada armónica.

Flujo turbulento de viento mediante ensayos en túneles de viento.

Análisis modal con acoplamiento aerodinámico.
El uso de dispositivos de control estructural, como amortiguadores de masa sintonizada (TMD), es
una respuesta directa a los efectos dinámicos del viento en rascacielos.
Ejemplo: Análisis de una viga indeterminada dinámicamente bajo carga sísmica
Se tiene una viga empotrada en ambos extremos, sometida a una fuerza dinámica 𝐹(𝑡) = 𝐹0 . 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)
en el centro del claro.

Determinar si la estructura es estáticamente indeterminada.

Evaluar el comportamiento dinámico modal: hallar la frecuencia natural del primer modo
y verificar si hay resonancia.
Datos:

Longitud de la viga L=6 m

Masa distribuida m=200 kg/m

Rigidez a flexión EI=2.5×107 N\cdotp 𝑚2

Amortiguamiento despreciable

Frecuencia de carga ω=15 rad/s

Amplitud 𝐹0 =1000 N
Paso 1: Indeterminación estática
Una viga empotrada en ambos extremos tiene: 3 reacciones por extremo (momento, fuerza horizontal
y vertical). Total = 6 reacciones
Ecuaciones de equilibrio en 2D = 3
Entonces:
𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑎 = 6 − 3 = 3
La estructura es estáticamente indeterminada de tercer grado.
Paso 2: Análisis modal – primer modo
Para una viga empotrada en ambos extremos, la frecuencia natural del primer modo está dada por la
fórmula:

β1=4.730 (valor para el primer modo en viga empotrada-empotrada)

μ=m=200 kg/m
Sustituyendo:
Paso 3: Comparación con la carga dinámica

Carga dinámica: ω=15 rad/s

Frecuencia natural del sistema: 𝜔1 =219.5 rad/s
No hay resonancia, porque la frecuencia de carga está muy por debajo de la frecuencia natural del
sistema.
Grado de traslacionalidad
El grado de traslacionalidad indica cuántos movimientos libres puede realizar una estructura sin
deformarse, exclusivamente desplazándose en el espacio (traslación o rotación como cuerpo rígido). En
otras palabras, es el número de movimientos posibles de la estructura sin que se generen esfuerzos
internos (Beer & Johnston, 2014).
Matemáticamente, puede expresarse como:
𝑇 = 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎𝑑 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 − 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
Donde:

Los grados de libertad (GDL) son los movimientos independientes posibles por nodo (en 2D:
desplazamientos en X, Y y rotación).

Las restricciones se imponen por los apoyos o vínculos estructurales (Hibbeler, 2016).
Si 𝑇 > 0 , la estructura puede moverse libremente, y por lo tanto es inestable. Si 𝑇 = 0 , está estable, y
si 𝑇 < 0 , tiene restricciones redundantes.
1. Importancia del análisis de traslacionalidad
Determinar el grado de traslacionalidad permite:

Verificar la estabilidad global de la estructura y asegurar que no existan desplazamientos
globales no deseados.

Prevenir mecanismos de colapso no previsto, sobre todo en estructuras articuladas o pórticos,
donde la falta de una restricción adecuada puede generar desplazamientos como un sólido rígido
sin generar deformación interna (Timoshenko & Goodier, 2015).

Optimizar el uso de materiales, evitando vínculos o apoyos innecesarios que incrementen el
costo o la complejidad del diseño estructural.

Cumplir con los requisitos de estabilidad estructural exigidos por normativas internacionales
como el ASCE 7, y por normas locales como el Reglamento Nacional de Edificaciones –
Perú, que establecen criterios estrictos para garantizar la funcionalidad y seguridad de las
construcciones.
"Una estructura con traslacionalidad diferente de cero presenta desplazamientos globales sin
deformación,
comprometiendo
(Chopra, 2017)
2. Ejemplo práctico
la
estabilidad
aún
sin
cargas
aplicadas."
Consideremos una cercha plana con 3 nodos y 3 barras, y dos apoyos:

Nodo A: fijo → 2 restricciones (horizontal y vertical)

Nodo B: rodillo horizontal → 1 restricción (vertical)

Nodo C: sin apoyo
Grados de libertad:

Cada nodo en 2D tiene 2 GDL → 3𝑋2 = 6 𝐺𝐷𝐿

Total de restricciones: 2+1= 3
Cálculo de traslacionalidad:
𝑇 = 6−3=3
La estructura tiene 3 grados de traslacionalidad puede trasladarse y rotar como un cuerpo rígido, lo
cual la hace inestable.
3. Aplicaciones prácticas
a) En estructuras sísmicas
El análisis de traslacionalidad es fundamental en zonas sísmicas. Las estructuras deben tener restricción
suficiente para evitar desplazamientos laterales que puedan amplificarse con la vibración del terreno
(Chopra, 2017).
b) En análisis computacional
Software como SAP2000, ETABS o STAAD.Pro detectan automáticamente estructuras con
traslacionalidad. Si una estructura es inestable, los programas muestran errores o advertencias y no
permiten continuar con el análisis dinámico o estático (Russell C. Hibbeler, 2016).
c) En diseño de puentes o cerchas
La traslacionalidad también es crítica en el diseño de puentes o estructuras articuladas, donde se
deben prever los movimientos esperados y permitir solo los necesarios. Estructuras con grados de
traslacionalidad no controlados pueden fallar bajo cargas móviles o térmicas (Timoshenko & Goodier,
2015).
Bibliografía
Beer, F., & Johnston, E. (2014). Mecánica de materiales (6.ª edición). McGraw-Hill Education.
Chopra, A. K. (2017). Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering.
Hoboken, New Jersey, Estados Unidos: Pearson Education, Inc.
Cook, R. D. (2001). Concepts and Applications of Finite Element Analysis. Hoboken, New Jersey,
Estados Unidos: John Wiley & Sons, Inc.
Diana et, G. (2009). Bridge Aeroelasticity: Sensitivity and Design Criteria. Viena, Austria: SpringerVerlag Wien.
Paz , M., & Leigh, W. (2004). Dinámica estructural: Teoría y cálculo computacional. Dordrecht,
Países Bajos: Springer.
Penzien, J., & Clough , R. (2003). Dinámica de estructuras. Berkeley, California, Estados Unidos:
Computers & Structures, Inc.
Russell C. Hibbeler. (2016). Mecánica de materiales (10.ª edición). Pearson Educación.
Timoshenko, S., & Goodier, J. (2015). Teoría de la elasticidad (3.ª edición). McGraw-Hill
Interamericana.