Samuel Olvera Flores
10-03-25
Ejercicios
10.1 – 10. 𝒓(𝑡) es la posición de una partícula en el espacio en el instante t.
Determine los vectores velocidad y aceleración de la partícula. Luego obtenga la
rapidez y la dirección de movimiento de la partícula en el valor dado de t. Escriba la
velocidad de la partícula en ese instante como el producto de su rapidez y dirección.
𝑡2
𝑡3
𝒓(𝑡) = (1 + 𝑡)𝒊 +
𝒋 + 𝒌,
3
√2
𝑡=1
Para encontrar velocidad derivamos, 𝒓(𝑡).
3𝑡 2
𝒗=
= 𝒊+
𝒋+
𝒌
𝒅𝒕
3
√2
2
𝒗 = 𝒊+
𝒕 𝒋 + 𝑡 2𝒌
√2
2𝑡
𝒅𝒓
Para encontrar aceleración realizamos la segunda derivada de, 𝒓(𝑡).
𝒂=
𝒅´𝒓
𝒅𝒕´
=+
2
√2
𝒋 + 2𝑡 𝒌
Para encontrar rapidez y dirección obtenemos el módulo de la velocidad en 𝑡 = 1.
𝒗( 𝟏 ) = 𝒊 +
𝒗(𝟏) = 𝒊 +
𝑟𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 = |𝑣 | = √(𝒊)2 + (
2
√2
2
√2
(𝟏)𝒋 + (1)2 𝒌
𝒋+𝒌
2
4
𝒋) + (𝒌)2 = √1 + + 1 = √1 + 2 + 1 = √4 = 2
2
√2
2
𝑟𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 = 2
𝒗
𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 =
=
|𝑣 |
𝒊+
2
𝒋+𝒌
𝒊
2
𝑲 𝒊
𝒋
𝑲
√2
= +
𝒋+ = +
+
2
2 2√2
𝟐 2 √2 𝟐
𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 =
𝒊
𝒋
𝑲
+
+
2 √2 𝟐
13.2 – 13. Resuelva el problema con valores iniciales para 𝒓 como una función
vectorial de 𝑡.
𝑑𝒓
3
1
Ecuación diferencial: 𝑑𝑡 = 2 (𝑡 + 1)1⁄2𝒊 + 𝑒 −𝑡 𝒋 + 𝑡+1 𝒌
Condición inicial: 𝒓(0) = 𝒌
Primero integramos ambos lados de la ecuación diferencial.
3
1
∫ 𝑑𝑟 = ∫ 2 (𝑡 + 1)1⁄2 𝑑𝑡 𝒊 + ∫ 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 𝒋 + ∫ 𝑡+1 𝑑𝑡 𝒌
3
∫(𝑢)1⁄2 𝑑𝑢 𝒊 − 𝑒 −𝑡 𝒋 + ln|𝑡 + 1| 𝒌
2
𝑢 =𝑡+1
𝑑𝑢 = 𝑑𝑡
3 2
𝒓 = ( 𝑢3⁄2 ) 𝒊 − 𝑒 −𝑡 𝒋 + ln|𝑡 + 1| 𝒌 + 𝐶
2 3
𝒓=
𝒓 = 𝑢3⁄2 𝒊 − 𝑒 −𝑡 𝒋 + ln|𝑡 + 1| 𝒌 + 𝐶
𝒓 = (𝑡 + 1)3⁄2 𝒊 − 𝑒 −𝑡 𝒋 + ln|𝑡 + 1| 𝒌 + 𝐶
Evaluamos 𝒓(𝑡) en 𝑡 = 0.
𝒓(0) = (0 + 1)3⁄2 𝒊 − 𝑒 −0 𝒋 + ln|0 + 1| 𝒌 + 𝐶 = 𝑘
𝒓(0) = (1)3⁄2 𝒊 − 𝒋 + ln|1| 𝒌 + 𝐶 = 𝑘
𝒓(0) = 𝒊 − 𝒋 + 𝐶 = 𝑘
Despejamos C para saber su valor.
−𝐶 = 𝑖 − 𝑗 + 𝑘
𝐶 = −𝑖 + 𝑗 + 𝑘
Sustituimos en 𝒓.
𝒓 = [(𝑡 + 1)3⁄2 − 1] 𝒊 + (𝟏 − 𝑒 −𝑡 )𝒋 + [𝟏 + ln|𝑡 + 1|] 𝒌
14.1 – 13. Obtenga y bosqueje las curvas de nivel 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐 sobre el mismo
conjunto de ejes coordenados para los valores dados de 𝑐. Nos referimos a estas
curvas de nivel como un mapa de contorno.
ƒ(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 − 1,
𝑐 = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
Sabemos que 𝑦 = ƒ(𝑥, 𝑦) 𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐 por lo tanto.
𝑥+𝑦−1=𝑐
Calculamos para cada valor.
𝑥 + 𝑦 − 1 = −3
𝑥 + 𝑦 − 1 = −2
𝑥 + 𝑦 − 1 = −1
𝑥+𝑦−1= 0
𝑥+𝑦−1= 1
𝑥+𝑦−1= 2
𝑥+𝑦−1= 3
Y graficamos.
𝑦 = −𝑥 + 1 − 3 = −𝑥 − 2 Color: negro
𝑦 = −𝑥 + 1 − 2 = −𝑥 − 1 Color: rojo
𝑦 = −𝑥 + 1 − 1 = −𝑥 − 0 Color: verde
𝑦 = −𝑥 + 1 − 0 = −𝑥 + 1 Color: azul obscuro
𝑦 = −𝑥 + 1 + 1 = −𝑥 + 2 Color: morado
𝑦 = −𝑥 + 1 + 2 = −𝑥 + 3 Color: rosa
𝑦 = −𝑥 + 1 + 3 = −𝑥 + 4 Color: azul claro
14.5 – 39. Calcule la derivada parcial de la función con respecto a cada variable.
Trabajo realizado por el corazón,
𝑉𝛿𝑣 2
𝑊 (𝑃, 𝑉, 𝛿, 𝑣, 𝑔) = 𝑃𝑉 +
2𝑔
Derivamos parcialmente 𝑊 con cada variable.
𝜕𝑊
𝜕𝑃
= 1∙𝑉+0∙𝑃+0 = 𝑉
𝜕𝑊
𝜕𝑊
2
2
1 𝑔 𝜕𝑉 𝑉𝛿𝑣 − 𝑉𝛿𝑣 𝜕𝑉 𝑔
1 𝑔𝛿𝑣 2 − 0
𝛿𝑣 2
= 0∙𝑉+𝑃∙1+ ∙
=𝑃+ ∙
=𝑃+
𝜕𝑉
2
𝑔2
2
𝑔2
2𝑔
𝜕𝑊
𝜕𝑊
𝜕𝑊
𝜕𝑊
𝜕𝑊
𝜕𝑊
𝜕𝑊
2
2
1 𝑔 𝜕𝛿 𝑉𝛿𝑣 − 𝑉𝛿𝑣 𝜕𝛿 𝑔 1 𝑔𝑉𝑣 2 − 0 𝑉𝑣 2
=0+ ∙
= ∙
=
𝜕𝛿
2
𝑔2
2
𝑔2
2𝑔
𝜕𝑊
2
2
1 𝑔 𝜕𝑣 𝑉𝛿𝑣 − 𝑉𝛿𝑣 𝜕𝑣 𝑔 1 𝑔𝑉𝛿2𝑣 − 0 2𝑉𝛿𝑣 𝑉𝛿𝑣
=0+ ∙
= ∙
=
=
𝜕𝑣
2
𝑔2
2
𝑔2
2𝑔
𝑔
𝜕𝑊
2
2
1 𝑔 𝜕𝑔 𝑉𝛿𝑣 − 𝑉𝛿𝑣 𝜕𝑔 𝑔 1 𝑔 ∙ 0 − 𝑉𝛿𝑣 2 1 −𝑉𝛿𝑣 2
𝑉𝛿𝑣 2
=0+ ∙
=
∙
=
∙
=
−
𝜕𝑔
2
𝑔2
2
𝑔2
2
𝑔2
2𝑔2
𝜕𝑊
0
