MATEMÁTICA 3 MATEMÁTICA 3 Laura Covelo María Eugenia Covelo MATEMÁTICA 3 Laura Covelo; María Eugenia Covelo 1ª edición, febrero de 2020 ISBN: 978-987-8321-10-3 Arte de tapa: Ernesto Bertani, Enredado, acrílico, lienzo y madera, 35 x 50 x 5 cm, 2011 Diseño de tapa y diagramación: Mariana Cravenna Corrección: Vanesa García Covelo, Laura Matemática 3 / Laur Lauraa Covelo ; María Eugenia Covelo. - 1a ed. - Ituzaingó Ituzaingó : Maipue, 2020. 192 p. ; 27 x 19 cm. ISBN 978-987-8321-10-3 1. Matemát Matemática. ica. I. Co Covelo, velo, María Eug Eugenia enia II. Título CDD 510 © Editorial Maipue, 2020 Tel/Fax: 54 (011) 4624-9370 / 4458-0259 / 4623-6226 Zufriategui 1153 (1714) – Ituzaingó Pcia. de Buenos Aires – República Argentina Contacto: [email protected] / [email protected] [email protected] www.maipue.com.ar Queda hecho el depósito que establece la Ley 11.723 Libro de edición argentina. 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Índice CAPÍTULO 1 NÚMEROS ENTEROS ............................................................................................................................................8 RECORDANDO LO APRENDIDO ................................................................................................................................... 9 La negatividad de la matemática ........................................................................................................................... 9 ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ ............................ ...... 11 MÚLTIPLOS Y DIVISORES EN ENTEROS ...................... ................... ............................................ ............................................ ............................................ ............................ ...... 12 POTENCIAS Y RADICACIÓN EN ENTEROS ......................................... Inverso de un número ..................... ........................................... ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ ............................ ...... 12 .......................................... ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ .......................... 14 USAMOS LA CALC CALCULADORA ULADORA .................... ......................................... ............................................ ............................................ ............................................ .......................................... .................... 16 ACTIVIDADES ADES INTEGRADORAS ................... ACTIVID CAPÍTULO 2 NÚMEROS RACIONALES ................................................................................................................................. 18 .......................................... ............................................ ............................................ ............................................ ........................................... ..................... 19 RECORDANDO LO APRENDIDO .................... .......................................... ............................................ ............................................ ............................................ ................................ .......... 21 FRACCIONESS CON LA CALC FRACCIONE CALCULADORA ULADORA .................... PROPIEDADES EN RACIONALES ............................................................................................................................... 23 Propiedades de la radicación ...................... ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ ....................................... ................. 23 Propiedades de la potencia .................... .......................................... ............................................ ............................................ ............................................ ........................................... ..................... 23 Sucesor de un número ..................... ........................................... ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ ............................ ...... 24 ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ ....................................... ................. 25 ESTADÍSTICA CON RACIONALES ...................... ......................................... ............................................ ............................................ ............................................ .......................................... .................... 30 ACTIVIDADES ADES INTEGRADORAS ................... ACTIVID CAPÍTULO 3 NÚMEROS IRRACIONALES ..................... ........................................... ............................................ ............................................ ............................................ ....................................... ................. 34 .......................................... ............................................ ............................................ ............................................ ........................................... ..................... 35 RECORDANDO LO APRENDIDO .................... ...................... ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ ........................................... ..................... 37 IRRACIONALES ............................................ El racional racional de Pitágoras se hace irr irracional acional ................... ......................................... ............................................ ............................................ ........................................... ..................... 37 Irracionales en la recta.......................................... .................... ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ ............................ ...... 40 Operaciones con irracionales ...................... ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ ....................................... ................. 42 APROXIMACIÓN ...................................................................................................................................................... 50 NOTACIÓN CIENTÍFICA ............................................................................................................................................ 52 ACTIVID ACTIVIDADES ADES INTEGRADORAS ................... ......................................... ............................................ ............................................ ............................................ .......................................... .................... 58 CAPÍTULO 4 EXPRESIONES ALGEBRAICAS ......................................................................................................................... 60 RECORDANDO LO APRENDIDO ................................................................................................................................ 61 Álgebra vs. aritmética aritmética ........................................................................................................................................ 61 Circuito de potencias ................... ......................................... ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ ................................ .......... 62 CLASIFICACIÓN Y ELEMENTOS DE LAS L AS EXPRESIONES ALGEBRAICAS ..................................................................... 62 Expresiones completas y ordenadas ............................................ ...................... ............................................ ............................................ ............................................ ............................ ...... 63 Valor numérico de una expresión expresión algebraica.................... .......................................... ............................................ ............................................ ....................................... ................. 63 SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS .................................................................................................... 65 Suma de polinomios .................... .......................................... ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ ............................... ......... 66 MULTIPLICACIÓN CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS .................... .......................................... ............................................ ............................................ ............................... ......... 69 PRODUCTOS NOTABLES ........................................................................................................................................... 71 Producto de binomios conjugados ......................... ............................................... ............................................ ............................................ ........................................... ........................... ...... 72 Producto de binomios iguales o cuadrado de un binomio .......................... ................................................ ............................................ ................................... ............. 73 ECUACIONES ............................................................................................................................................................ 76 ................... ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ .......................... 80 INECUACIONES ......................................... .......................................... ............................................ ............................................ ............................................ ......................................... ................... 83 ACTIVIDADES ADES INTEGRADORAS .................... ACTIVID CAPÍTULO 5 FUNCIONES .......................................... .................... ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ .......................... 86 RECORDANDO LO APRENDIDO ................................................................................................................................ 87 El lenguaje de los gráficos ...................... ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ .......................................... .................... 87 CONCEPTO DE FUNCIÓN .......................................................................................................................................... 90 ANÁLISIS DE GRÁFICOS ........................................................................................................................................... 93 ......................................... ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ ......................................... ................... 99 FUNCIÓN LINEAL ................... ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ .............................. ........ 10 1077 SISTEMAS DE FUNCIONES LINEALES ...................... Gráfico................................................................................................................................................................. 110 Analíticos ............................................................... ......................................... ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ ........................... ..... 110 .......................................... ............................................ ............................................ ............................................ ......................................... ................... 115 ACTIVID ACTIVIDADES ADES INTEGRADORAS .................... CAPÍTULO 6 GEOMETRÍA Y MAGNITUDES .......................................................................................................................... 118 ........................................... ............................................ ............................................ ............................................ ......................................... ................... 119 RECORDANDO LO APRENDIDO ..................... .......................................... ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ ........................ 122 RAZONES Y PROPORCIONES .................... PROPORCIONALIDAD DIRECTA ..................... ........................................... ............................................ ............................................ ............................................ ......................................... ................... 125 .......................................... ............................................ ............................................ ............................................ ......................................... ................... 126 PROPORCIONALIDAD INVERSA .................... Para resumir ........................................................................................................................................................ 127 ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ ......................................... ................... 135 SEMEJANZA Y CONGRUENCIA...................... .......................................... ............................................ ............................................ ...................................... ................ 136 SEMEJANZA Y CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS .................... Congruencia de triángulos................... triángulos......................................... ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ ........................ 136 .......................................... ............................................ ............................................ ............................................ ......................................... ................... 141 ACTIVIDADES ADES INTEGRADORAS .................... ACTIVID CAPÍTULO 7 TRIGONOMETRÍA .......................................... .................... ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ .................................. ............ 143 .......................................... ............................................ ............................................ ............................................ ......................................... ................... 144 RECORDANDO LO APRENDIDO .................... ¿Cómo usar la la calculadora científica y el sistema sexagesimal?..................... ........................................... ............................................ .............................. ........ 144 .......................................... ............................................ ............................................ ............................................ ......................................... ................... 146 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS .................... ¿Cómo usamos la la calculadora? calculadora? .................... .......................................... ............................................ ............................................ ............................................ ..................................... ............... 148 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ........................................................................................................ 151 Cálculo de â ............................................ ...................... ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ ......................................... ................... 151 Cálculo de A ............................................ ...................... ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ ......................................... ................... 152 Cálculo de I ......................................... ................... ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ ........................ 152 PENSEMOS JUNTOS UN PROBLEMA ...................... ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ ............................... ......... 153 TRANSFORMACIONES TRANSFOR MACIONES EN EL PLANO ............................................ ...................... ............................................ ............................................ ............................................ ............................... ......... 154 Simetría axial ............................................ ...................... ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ ...................................... ................ 155 Simetría central ................... ......................................... ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ ...................................... ................ 157 Traslación .......................................... .................... ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ .......................... 159 Rotación ................... ......................................... ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ ........................... ..... 161 ......................................... ............................................ ............................................ ............................................ .......................................... .................... 164 ACTIVIDADES ADES INTEGRADORAS ................... ACTIVID CAPÍTULO 8 ..................... .......................................... .................... 166 PROBABILIDAD, CÁLCULO COMBINATORIO Y ESTADÍSTICA ........................................... RECORDANDO LO APRENDIDO ................... ......................................... ............................................ ............................................ ............................................ .......................................... .................... 167 PROBABILIDAD ............................................ ...................... ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ .......................................... .................... 167 CÁLCULO CÁLCUL O COMBINATORIO COMBINATORIO ............................................ ...................... ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ ........................... ..... 170 Principio fundamental de conteo ........................................................................................................................ 171 Factorial ............................................................................................................................................................. 171 ............................................ ........................................... ........................................... ............................................ ............................................ ............................................ .......................... 173 ESTADÍSTICA ...................... Desviación estándar ................... ......................................... ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ ............................... ......... 173 ......................................... ............................................ ............................................ ............................................ .......................................... .................... 175 ACTIVID ACTIVIDADES ADES INTEGRADORAS ................... ANEXO ................................................................................................................................................................... 177 BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................................................................... 191 Capítulo 1 Números enter enteros os Números enteros Recordando lo aprendido La negatividad de la matemática En la Antigüedad, los más grandes matemáticos europeos se han negado a aceptar a los números negativos, los llamaban números absurdos. Sin embargo, tanto en China como en India, desde tiempos muy remotos, los matemáticos trabajaron con estos números. Los usaban para representar cantidades de cosas concretas, distancias entre objetos y leyes universales que regían al mundo material y espiritual. Para los chinos, Para ch inos, el mundo era un movimiento constante en busca del equilibrio entre fenómenos opuestos: el bien y el mal, el día y la noche, el hombre y la mujer, la alegría y la tristeza, etc. Esta forma de ver la vida les permitía ver con mayor naturalidad que para cada número debía haber su opuesto, es decir, aquel que al añadírselo diera como resultado el equilibrio absoluto, lo que no es ni positivo ni negativo: el cero. Ni los matemáticos egipcios ni los griegos pudieron imaginar un símbolo que representara la nada, los romanos tampoco lo hicieron. Poco a poco el sistema de numeración hindú fue siendo aceptado en toda Europa, pero los números absurdos (negativos) tardaron un poco más en ser reconocidos. Esto ocurrió cuando el comercio les dio el significado de “deuda” y permitieron llevar un registro de los movimientos de dinero. La necesidad de solucionar un problema es el principal motor del surgimiento de nuevas ideas. Actividad 1. Expliquen la frase anterior destacada en color y exprésenla en lenguaje simbólic simbólico. o. 2. Completen: a. El conjunto de los números enteros está formado por los números ……….. , ……….. y el ……….. b. El valor absoluto de un número es la distancia de dicho número al ……….. c. El ……….. de un número es aquel que se encuentra a la misma distancia del cero. 3. Expresen en lenguaje matemático los siguientes conceptos. • Módulo de un número |a| = |-a| = • Opuesto de un número Opuesto de a = Opuesto de -a = 9 Ca Capítulo pítulo 1 • Regla de signos +.+= -.-= Si los signos son iguales, el resultado será ……….. +.-= Si los signos son distintos, el resultado será ……….. -.+= • Supresión de paréntesis -(+a) = -(-a) = +(-a) = +(+a) = • Propiedades de la potencia an . as = a... an : as = a... ( an)s = a... 4. Completen: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Horizontales 1. 4 . (-5) + 5 = 6. 1 - 7 . (1 - 3) = 10. 14 - (-6) + (-3) = 15. - 12 . (-2) + 3 = 2. 7 . 9 - (-30 + 62) = 7. 11. -(7)2 + (-3)2 = 16. -300 + 2 . 180 = 3. (-2)3 . (-2)5 : (-2)4 = 8. (3 - 9)2 = 13. (-1)17 . (-21) = 4. 2 - 6 . (1 - 5) = 9. -2 + 23 . 32 = 14. -12 . (-12) - 102 + 1 = Verticales Verticales 10 1. -42 = 8. - 3√-1000 + 27 = 2. (-6)2 = 9. (80 + 6 + 15 . 2 - 2) . 2 = 3. 3 . (-3) + 33 = 10. El doble de 5 aumentado en 3 unidades. 4. √25 - 3√-27 +17 = 11. La raíz cuadrada del opuesto de -100 disminuido en 51 unidades. 5. 10 . 5√32 . 4 + 8 = 12. La diferencia entre el doble de 20 y cinco. 6. [3 - (-3)] . 2 + 4 = 13. -(-3)3 7. (-4)2 - 6 = 14. La mitad del opuesto de 28 aumentado en 54 unidades. Números enteros Múltiplos Múltipl os y divisores en enteros En una multiplicación, cada uno de los elementos que la forman recibe el nombre de factores. a.b=c a y b son los factor factores es En la división, cada uno de los elementos recibe un nombre especial. a:b=c a = dividendo b = divisor 1. Analicen por qué será que en la multiplicación los dos reciben el mismo nombre y en la división no. 2. Indiquen cómo se llaman los elementos que forman la suma y resta, luego analicen y compartan sus respuestas. 3. Completen: a. La multiplicación y la ……….. cumplen la propiedad ……….. b. La ……….. y la resta no cumplen la propiedad ……….. 4. Los siguientes son los divisores de 10 = 1, 2, 5, 10. ¿Estos son los únicos divisores de 10? Cuando pensamos en divisores de un número, muchas veces acotamos nuestras respuestas al conjunto de los números naturales, pero… -1, -2, -5 y -10 también son divisores de 10, ya que al efectuar la división dan resto cero. Por lo tanto, a menos que se indique que hay que trabajar en el conjunto de los naturales, los divisores pueden ser negativos. ¡A PENSAR! 1. Den los divisores de: a. 42 = b. -123 = c. -66 = d. 100 = e. -8 = ff.. -55 = 2. ¿Y los múltiplos? a. Enumeren los múltiplos de 10 comprendidos entre -50 y 40. menores a 25 y mayores a -30. b. Den todos los múltiplos de 4, menores ¿Cuántos múltiplos de 21 hay mayores a -50 y menores a 100? c. ¿Cuántos 3. Expresen los siguientes números como como producto de otros dos distintos de 1, cuando sea posible. a. 124 = b. 12 = c. 23 = d. 32 = 4. Completen los siguientes productos produc tos con números enteros para que las igualdade igualdadess sean correctas. a. 16 = 2 . ... b. 26 = 2 . ... c. 33 = 2 . ... d. 40 = 2 . ... • ¿Siempre fue posible completar el producto? • ¿Cómo debe ser el número para poder expresarlo como un producto de otros dos? 11 Ca Capítulo pítulo 1 En lenguaje simbólico, la expresión 2 . n se refiere a un número par, para hacer referencia a un número impar se emplea 2 . n + 1. 5. Completen: n 3 2 2.n 2.3=6 2.n+1 2.3+1=7 -1 -5 4 -4 0 6. Expresen los siguientes números de la forma 2 . n + 1. a. 45 = b. 11 = c. 121 = d. 77 = 7. Sabemos que el 1 es un número impar, exprésenlo exprésenlo de la forma 2 . n + 1. Potencias y radicación en enteros 1. Resuelvan: a. (-1)0 = b. 10 = c. 02 = d. 19 = e. 00 = f.f. 5-1 = Inverso de un número Las potencias también pueden ser números enteros. Al elevar un número entero a una potencia negativa, ¿obtenemos un número que pertenece a este conjunto numérico? numérico? En otras palabras, ¿se cumple la ley de cierre? El inverso de un número es aquel que, al realizar el producto con él, da como resultado 1. La potencia negativa no modifica el signo del número, sino “que lo pone de cabeza”, es decir, lo invierte. El signo del resultado depende de si la potencia es un número par o impar impar.. Por ejemplo: Como vieron en los ejemplos, el inverso de un número natural no pertenece a este conjunto, si no al de los racionales; por lo tanto, no cumple la ley de cierre. a . a-1 = 1 12 Números enteros 1. Completen: Número Inverso 4 -9 1 -1 2. Indiquen el signo del resultado. a. (-2)-3 c. -3-2 e. (-7)-1 g. -(-8)-3 b. (-5)-2 d. 4-3 f.f. -5-3 h. -(-6)-2 Las potencias pares siempre dan por resultado un número positivo. a2 . n = + Si la potencia es impar impar,, dependerá del signo de la base. a < 0 El resultado será negativo. a2 . n + 1 a > 0 El resultado será positivo. 3. Mateo resolvió los siguientes ejercicios, verifiquen la resolución e indiquen si los hizo bien. a. 3 + (-2)2 - √121 = b. -5 + 3 . (-2) - 3√-125 = c. √-25 + 3 . (-2) + (-3)2 = 3 + 4 - 11 = -4 -2 . (-2) - 5 = 4-5= -1 5-6+9= -1+9= 8 La radicación es otra de las operaciones que en números enteros no cumple la ley de cierre. 2.n +=+ 2.n -=? 2.n+1 +=+ 2.n+1 -=- El índice de la raíz puede ser un número par o impar y, a su vez, el radicando, un número positivo o negativo. En el caso de que el índice sea par y el radicando negativo, negativo, el resultado es un número que no pertenece al conjunto conjunto de los reales, ya que no hay ningún número que multiplicado por sí mismo una cantidad par de veces, de por resultado negativo. 4 √-16 = ? -2 . (-2) . (-2) . (-2) = 16 2 . 2 . 2 . 2 = 16 13 Ca Capítulo pítulo 1 4. Maylén dice que la raíz cuadrada de 25 es 5, pero Nehuén, su hermano, le dijo que también puede ser -5 . Conversen con sus compañeros si es correcto lo que plantea Nehuén. Al resolver raíces con un índice par par,, debemos recordar que tienen dos resultados posibles. Por ejemplo: √9 = ±3 porque -3 . (-3) = 9 y 3.3=9 Podrán encontrarlo encontrarlo expresado de la siguiente manera: √9 = x |x| = 3 Recuerden que el módulo de un d icho número al cero. En este caso, los u n número es la distancia de dicho números que tienen una distancia al cero de 3 son el +3 y -3. 5. Unan cada ejercicio con la respuesta correcta. a. √1 No tiene solución en enteros. b. 3√1 ±1 c. 3√-1 -1 d. √-1 1 Usamos la calculadora ¡La calculadora es una gran herramienta… herramienta… si la usamos bien! Cada tecla de la calculadora cumple varias funciones, por ejemplo, si miran con atención verán verán que arriba de cada tecla ha hayy escrito en amarillo y rosa. Cuando usamos las teclas en forma directa, la orden que damos es la que está escrita sobre la tecla, por ejemplo: 4 Si queremos hacer 3 , debemos apretar 3 ^ 4 Hay algunos modelos de calculadora donde para hacer potencias superiores a 2 se usa la tecla xy , en estos casos, el procedimiento sería 3 xy 4 . Si queremos dar la orden que está en amarillo, debemos apretar antes la tecla Shif , por ejemplo: Si queremos hacer 5√32, debemos tocar las teclas 5 Shif xy 32 . Al igual que con las potencias podemos encontrar encontrar calculadoras con la tecla x√ 3 2 . sería 5 x√ , el procedimiento procedimiento Si deseamos resolver (-3)2, debemos ser muy cuidadosos de no olvidarnos de poner los paréntesis. ¿Qué pasaría si no los ponemos? 14 Números enteros 1. Indiquen qué teclas deben d eben presionar para resolver las siguientes operaciones. a. √16 = c. 3√-8 = e. 4√16 = g. 33 = b. 43 = d. 26 = f. 32 = h. (-5)3 = 2. Resuelvan con la calculadora las siguientes potencias, pero sin utilizar las teclas 6 y 4. a. 62 = b. 56 = c. 64 = d. 36 : 34 = 3. En las siguientes igualdades, se aplicaron propiedades y, en algunas, hay errores, encuéntrenlos y expliquen cómo debería haber sido resuelto de forma correcta. Verifiquen con la calculadora. a. 3√64 = 6√64 c. 4√81 = √81 + √81 e. 3√8 . 27 = 3√8 .3√27 b. 3√a = 5√a d. 3√125 = 3√53 = 5 f. √32 +72 = 3 + 7 = 2 4. Resuelvan mentalmente mentalmente y verifiquen con la calculadora. a. 3 + (-3) = c. 105 - 105 = e. -5 + 5 = b. -27 - (-27) = d. -9 + (+9) = ff.. -1 + 1 = La suma entre un número y su ………. siempre dan por resultado ………. Por esta razón, no es necesario hacer la cuenta. 5. Calculen mentalment mentalmentee el resultado. a. -5 + 5 + 8 . - 1450 + 5 = b. (10 - 6) : 2 - 1 = c. 10 . 10 - 1 - (45 . 12 + 65 - 878 : 878) . 0 = INTEGRANDO LAS TIC Escaneen el QR para acceder a un tutorial sobre el uso de la calculadora. d. (11 + 11) . 22 - 1 + (-45) . 0 = e. (4 + 6) . 50 - (-10) - 102 = ff.. 7 - (4 + 3) + 8 . (-2) - 3 = 6. a. Escriban un ejemplo para cada una de las propiedades enunciadas. Propiedad Ejemplo a √ b . c = a√ b . a√ c (a . b)c = ac . bc En grupos, analicen la validez de las propiedades anteriores en la suma, resta y división. 15 Ca Capítulo pítulo 1 ACTIVID ACTIVIDADES ADES INTEGRADORAS 1. Sabiendo que a es el anterior de b y -4 es el posterior de a, calculen: a. a . b = c. 2 . (a + b) = e. El sucesor de (b . a) = b. El sucesor de b . a = d. a2 - b3 = f.f. El anterior de b – a = PARA SABER MÁS 2. Indiquen cuáles de las siguientes respuestas son correctas: Si z es un número entero distinto de cero, el resultado de -3. z es: El sucesor o siguiente de un número entero es aquel se obtiene al sumar 1. 1. Un número positivo si z es negativo. negativo. El sucesor de 5 es 6 ya que 5 + 1 = 6 2. Un número positivo si z es positivo. 3. Un número negativo negativo si z es positivo. El sucesor de -8 es -7 porque -8 + 1 = -7 Sucesor de a = a + 1 4. Ninguna de las anteriores. El antecesor o anterior de un número lo obtendrán al restar 1. 3. Completen con el número correspondiente El antecesor de 0 es -1 porque 0 - 1 = -1 El antecesor de 10 es 9 dado que 10 - 1 = 9 en cada caso. a. Si el dividendo es -43 y el divisor 5, entonces Antecesor a = a - 1 el cociente es ………. y el resto ………. b. Al multiplicar -8 por el opuesto de -7, obtenemos ……….. c. La mitad del ante anterior rior de -15 es ………. 4. Resuelvan los siguientes cálculos y luego, verifíquenlos con la calculadora. a. -5 . (4 + 2 . 8) - (-5) : (-1) = c. (-2)3 - 3√-8 + [-(-2) . (-4)] = e. [6 + (-4 - 5 . 2)] : (-4) = b. 3√64 + [(-2)3]3 : (-2)4 . (-2)2 = d. 25 : (-5) - (-32) + 3√-27 = f.f. 125 - 4 . (-6) - [(5)6]0 + 24 = 5. Coloquen los números en las intersecciones de forma tal, que el producto de todos ellos, den lo indicado en cada círculo. +900 +1200 -3 -1 4 +720 16 -320 5 6 +2 +1 8 -5 Números enteros 6. Analicen la siguiente frase y el ejemplo dado, y busquen su explicación desde los conceptos matemáticos que conocen. • La doble negatividad equivale a una afirmación. • No es cierto que no llueva = Es verdad que llueve. 7. Reemplacen las letras por el valor indicado y luego resuelvan resuelvan.. x = -2 a. 5 m3 - 6x + m2 = m=3 b. 15 - m + 5x3 = c. 18 m - (-x) d erecha, de tal forma que todas las líneas sumen 3. 8. Completen los casilleros con los números de la derecha, 2 -1 0 4 3 5 -2 1 -3 9. A partir de todo lo trabajado en el capítulo, realicen una red conceptual. Compártanla, con sus compañeros. 10. Matías faltó a clase y justo se explicó cómo resolver las potencias y raíces con números enteros con la calculadora. Realicen un tutorial para Matías explicándoselo. 17 Capítulo 2 Números racionales Números racionales Recordando lo aprendido Se cree que el origen de los números racionales está vinculado con el pan. En el Antiguo Egipto, necesitaban repartirlo entre la gente, pero como había más personas que panes, recurrieron a las fracciones fracciones del tipo , con con n, un núm número ero natural. natural. Para Para ellos, fue muy muy complicado complicado trabajar con fracciones con numerador diferente de 1. Esto se puede ver en un papiro escrito por el sacerdote Ahmes en 1900 a. C., en donde podemos observar cómo las representaban representaban.. Sin embargo, le debemos a los hindúes y árabes (Leonardo de Pisa o más conocido como Fibonacci) la forma en la que representamos las fracciones en la actualidad. 19 Ca Capítulo pítulo 2 Actividad 1. Investiguen, cómo hacían los egipcios para representar una fracción con numerador diferente de 1. Por ejemplo, 2. Indiquen entre qué números enteros se encuentran los siguientes racionales: … … … … … … … … … … … … … … … … 3. FFelipe elipe cobró cobró su primer sueldo y decidió gastar gastar la tercera tercera parte en ropa, ropa, en cargar la tarjeta tarjeta Sube, y el resto para comidas y diversión. Si su sueldo fue de $27.000: a. ¿En qué gastó la mayor parte de su sueldo? b. ¿Cuánto dinero usó para cargar la tarjeta Sube? c. Tenía pensado comprarse dos camisas de $600 cada una, un pantalón de $1200 y un par de zapatos de $2100, ¿le alcanzó? En el caso de que le sobrara, ¿qué parte del sueldo representa? representa? 4. Resuelvan las siguientes raíces y potencias: a. c. e. g. i. b. d. f.f. h. j. 5. Calculen las siguientes operaciones: a. b. c. d. e. f. e. f. 6. Expresen en forma decimal las siguientes fracciones: a. b. c. d. 7. Indiquen la expresión fraccionaria de los siguientes números decimales exactos. a. 0,3 = b. 1,3 = c. 5,24 = d. 6,021 = e. 0,002 = f.f. 31,8 = 8. Completen: Número Opuesto Inverso PARA SABER MÁS La suma entre un número y su opuesto siempre dará cero a + (-a) = 0 -0,5 8 20 El producto entre un número y su inverso dará uno a . a-1 = 1 Números racionales Fracciones con la calculadora Al igual que en el capítulo anterior, anterior, pueden usar la calculadora para trabajar con fracciones y números decimales. Es importante conoc conocer er algunos secretos para no cometer cometer errores. En la calculadora, encontrarán una tecla que dice ab/c , ella les permite hacer la línea de fracción. Por ejemplo: para introducir el número , debemos usar las siguientes teclas 5 ab/c 2 . Si luego de introducir este número aprietan la tecla igual = , en el visor, verán 2˩1˩2. Esto se debe a que la calculadora nos presenta diferentes escrituras, el , lo pasó a fracción mixta como . Si a continuación tocan nuevamente la tecla ab/c encontraran que pasó la fracción a número decimal 2,5. Si desean nuevamente ver la fracción 5˩2, cinco medios, deberán hacer shif ab/c . En el visor de algunos modelos de calculadora, aparece la fracción escrita de la forma clásica __ y deberán completar completar el numerador y denominador con el cursor. cursor. 1. Abril resolvió la tarea con la calculadora. Al corregirla en clase, se dio cuenta que estaba mal. Expliquen cuál fue el error que cometió al usar la calculadora. a b. 2. Justifiquen la siguiente afirmación: “Al resolver potencias y raíces con la calculadora, siempre se deben poner paréntesis”. ¡A JUGAR! Cada alumno deberá decir sin repetir una fracción que esté comprendida entre el 3 y el 4 (pueden usar la calculadora), Uno de los integrantes del grupo deberá llevar un registro de los números dichos, perderá el participante que no encuentre un número para decir decir.. a. ¿Cuántos ganadores puede haber? b. Encuentren algún método para para hallar números en un intervalo. 3. Completen: El conjunto de los números ………………………… es denso. Esto quiere decir que entre dos racionales hay ………………………………………………………… fraccioness y El conjunto de los números racionales está formado por los naturales, los enteros, las fraccione decimales. Con todos estos números, podemos trabajar con la calculadora, vimos que allí se pueden pasar los decimales a fracción y viceversa. Hay un grupo de decimales que no podemos ingresar en la calculadora. Este es el caso de los números periódicos, periódicos, ya que tienen infinitas cifras que se repiten. repiten. Por ejemplo, en el número 4,3 4,3, el 3 se repite infinitamente. Sería imposible ingresar este número en la calculadora. 21 Ca Capítulo pítulo 2 Las expresiones periódicas deben expresarse como fracción para luego sí, operar con la calculadora. Ejemplo: 0,2 = 1,3 = 1,423 = 4. Expresen como fracción: a. 12,5 = c. 0,425 = e. 45,231 = g. 4,028 = b. 0,23 = d. 1,402 = f.f. 0,023 = h. 120,3 = 5. Analicen si la siguiente igualdad es correcta. Justifiquen su respuesta. 0,9 = 1 6. Resuelvan: a. c. e. b. d. f. 7. Indiquen Verdadero (V) o Falso (F). Justifiquen sus respuestas respuestas:: a. b. c. d. 8. En el cine, se estrena una nueva película a la que asisten 666 espectadores, de los cuales la tercera parte son adultos y de los menores las dos terceras partes son niñas. a. Calculen cuántos adultos y niños asistieron. b. La tercera parte de los adultos eran varones, ¿cuántas mujeres había? c. ¿Cuánto dinero dinero se recaudó, si el precio de la entrada para adultos es de $200 y los menores pagan dos quintos del precio del adulto? 9. Matías dice que los siguientes ejercicios dan todos el mismo resultado. Indiquen si tiene razón, justifiquen su respuesta. respuesta. a. El doble de la diferencia entre dos séptimos y 4,1 b. La diferencia del doble de dos séptimos y 4,1 c. La diferencia entre dos séptimos y el doble de 4,1 22 Números racionales Propiedades Pro piedades en racionales Una fracción representa una razón entre dos números y la línea de fracción indica una división entre ellos. Por ejemplo: Propiedades de la radicación PARA SABER MÁS Un contraejemplo nos permite demostrar la falsedad de una proposición. Cuando analizamos propiedades, si encontramos un ejemplo que no la cumpla, es suficiente para decir que esa propiedad no es válida para el conjunto numérico que estamos trabajando. (a + b)2 ≠ a2 + b2 (3 + 2)2 ≠ 32 + 22 1. Para cada una de las propiedades anteriores, encuentren un ejemplo que las verifique. contraejemplo. mplo. 2. ¿Se podría aplicar la propiedad distributiva en la suma o resta? Den un contraeje Propiedades de la potencia Recordar las propiedades, les va a permitir resolver los cálculos con mayor facilidad. A Bianca le pidieron que resolviera resolviera este cálculo: Dijo que era imposible resolver una potencia 10, ya que el número que daría sería muy grande. Su hermano, Federico, que ya había estudiado las propiedades, le explicó: Camila también estaba haciendo ejercicios y se encontró con lo siguiente: Dijo que el resultado de esas raíces no era un número exacto y que no podía pod ía resolverlas. Matías, su hermano mayor, le recordó recordó que en la multiplicación y división podía aplicar la propiedad distributiva y también, su inversa. 23 Ca Capítulo pítulo 2 Sucesor Suces or de un número Como vieron en el capítulo anterior, anterior, en el conjunto de los números naturales y enteros, el sucesor se obtiene sumando 1 al número, ya que es el número que se encuentra inmediatamente a la derecha. Por ejemplo: El sucesor de 4 es 5 = 4 + 1 El sucesor de -10 es -9 = -10 + 1 Pero… ¿en los racionales? ¿Qué número se encuentra a la derecha de ? Mailén dijo que , como era 2,5 en números decimales el sucesor era 2,6, pero su prima Abril le dijo que podría ser 2,56. ¿Es correcto lo que dicen Mailén y Abril? ¿Por qué? YYaa vieron que el conjunto de los racionales racionales es denso; por lo tanto, entre dos de ellos, hay infinitos infinitos números. Como consecuencia de esto, los números racionales no tienen sucesor. sucesor. ¡A PENSAR! 1. Planteen y resuelvan: a. El doble de tres quintos aumentado en tres unidades b. La raíz cuadrada de un noveno c. El cuadrado de la suma entre dos tercios y un cuarto d. La diferencia entre la mitad de seis séptimos y dos quintos cuadrada de tres medios y la raíz cuadrada de un sexto e. El producto entre la raíz cuadrada 2. Se sabe que una persona consume 40 cm 3 de oxígeno aproximadamente en un minuto y gene3 3 ra 30 cmdede anhídrido carbónico ¿Cuántos cm de oxígeno consumirán siete personas en tres cuartos hora? 3. En la huerta de la escuela, una planta de 24 cm de altura creció: semana; en la semana próxima, de su altura en la primera de su su n nueva ueva altura y, en la última última semana, creció 1,5 cm. a. ¿Cuál es la altura de la planta al finalizar la tercera semana? b. ¿Cuántos centímetros creció en la segunda semana? c. ¿A qué fracción fracción de la altura final corresponde la altura inicial? 4. Cami Camila la y Abril quieren llenar juntas un álbum de figuritas. figuritas. Camila logró conseguir del total y Abril, la mitad de las restantes. Si aún les faltan 45 figuritas para completar el álbum, calculen: a. ¿Cuant ¿Cuantas as figuritas juntó cada una? b. ¿Cuánt ¿Cuántas as figuritas tiene el álbum en total? c. ¿Quién juntó más? 24 Números racionales 5. Resuelvan: a. b. c. d. 6. Dada la siguiente secuencia de números, encuentren los tres siguientes. Expliquen la regla de formación. a. b. c. 7. Indiquen Verdadero (V) o Falso (F). Expliquen el error de las falsas. 5 b. — 3 = 2 3 a. — 8= ff.. 4 25 5 —= — 9 3 3 -2 9 -— d. — 2 = 4 1 c. — 9= g. a + b = a + b h. 3 d. 3 — 4 -1 4 j. 5— = — -2 i. -2 -27 7 ——= 1 3 e. 4 —= 3 4 25 completen y expresen en lenguaje simbólico las siguientes oraciones: 8. Analicen, completen a. La resta entre un número y su opuesto da por resultado … b. La división entre un número y su inverso inverso es … c. El opuesto del opuesto de un número es … d. El cuadrado del producto entre dos números es igual al producto de …… 9. Indiquen cuando sea posible el sucesor de los siguientes números, en caso de no poder hallarlo, explicar la causa. a. b. c. d. e. f. Estadística con racional racionales es Se consultó a los 32 alumnos de 3° año de Cantidad de alumnos Red social secundaria, sobre la red social que utilizan con mayor frecuencia y el tiempo diario que están usándolas. Se obtuvieron los siguientes resultados: 21 4 6 1 WhatsApp Facebook Twitter Messenger Al preguntar cuánto tiempo lo usaban se registró: 1 hora - 1/2 hora - 1,30 horas - 2 horas - 1 hora - 50 minutos - 3 horas - 2,20 horas - 40 minutos - 1,15 horas - 4 horas - 2 horas - 3,30 horas - 2,25 horas - 4 horas - 3,20 horas - 40 minutos - 2 horas - 2,30 horas - 30 minutos - 1,20 horas - 2,30 horas - 4 horas - 3,30 horas - 25 minutos - 1,30 horas - 2 horas - 3 horas - 1,30 horas - 3 horas - 4 horas - 3,30 horas En una investigación estadística, se necesita recolectar información, que podemos obtener al consultar a todos los individuos o a un grupo de ellos. 25 Ca Capítulo pítulo 2 La población es el total de los individuos que forman el universo a investigar. La muestra es una porción de esa población. En nuestro caso, todos los alumnos de la escuela secundaria serían la población, pero un grupo de ellos, los alumnos de tercer año, son una muestra. Se llama variable estadística a un característica o cualidad que puede tomar diferentes valores y ser medida. En nuestro problema, las variables son: • Red social usada • Tiempo de uso en la red social Las variables pueden clasificarse en cuantitativas (cuánto) o cualitativas (cualidad). En nuestro caso: • El uso de la red social es una variable cualitativa, ya que la respuesta será una palabra (no, una cantidad). • El tiempo empleado en la red social es cuantitativa ya que responder responderáá a un número. También, es importante reconocer que las variables cuantitativas pueden ser continuas (números racionales) o discretas (números enteros). • El tiempo empleado en la red social es continua. Podemos enc encontrar ontrar alumnos que están conectados 1 hora y otros que tal vez estén 1,5 horas o 3,50 horas, etcé etcétera. tera. En cambio, si la variable fuera “Cantidad de alumnos”, alumnos”, esta sería discreta. No podríamos decir 1,5 alumnos, ya que necesitamos necesitamos números enteros para poder contarlos. Es muy importante poder organiz organizar ar y clasificar la información obtenida. Para ello, podemos hacer una tabla: 26 hi = Red social que usan Fi = frecuencia absoluta Fi = frecuencia acumulada WhatsApp 21 21 65,625 Facebook 4 25 0,125 Twitter 6 31 0,1875 Messenger 1 32 0,03125 Total 32 frecuencia frecuencia relativa Porcentaje (%) = hi . 100 100 Números racionales Frecuencia absoluta (Fi): cantidad de veces que se reitera determ determinado inado valor de una variable. Frecuencia acumulada (Fi): suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores e iguales al considerado. considerado. Frecuencia relativa (hi): fracción del total que representa cada valor de la variable. Porcentaje: producto de la frecuencia relativa por 100. Amplitud de clase: clase: diferencia entre el límite superior e inferior del intervalo tomado. Marca de clase Xn: punto medio de cada intervalo. Por supuesto que, al mirar la tabla, es sencillo identificar que la moda (Mo) es WhatsApp, ya que es la variable que más se repite. Para hacer una tabla con los tiempos en los que están conectados los alumnos, podemos usar intervalos de clase. Estos son muy útiles cuando la variable toma un número muy grande de datos y es continua. PARA SABER MÁS Cuando queremos hacer referencia a un conjunto de números consecutivos, no es necesario nombrarlos a todos, es suficiente con indicar los extremos. Por ejemplo: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 podemos expresar expresar el intervalo [4; 13], En este caso estamos hablando de los números mayores o iguales a 4 y menores o iguales a 13. En el intervalo [a; b], donde a < b, tenemos todos los números mayores o iguales que a y menores o iguales que b. A los números a y b los llamamos extremos del intervalo. Los corchetes corchetes indican que a y b están incluidos en el intervalo. Paraa excluir alguno de los extremos, se usa paréntesis, por ejemplo: Par (4; 13], en este caso, el cuatro no forma parte del intervalo, pero si lo serán los números comprendidos entre él y el 13. Este es el caso del d el 4,2 o el 4,9. La amplitud de un intervalo está dada por la diferencia entre el extremo superior y el inferior. Amplitud [a; b] = c c=b-a Por ejemplo: Amplitud [4; 13] = 9 27 Ca Capítulo pítulo 2 Para Para ello, vamos a agrupar los valores en intervalos que posean la misma amplitud, a estos intervalos los denominamos clase y a cada una de estas clases se le asigna su frecuencia, que corresponderá a la cantidad de valores que están incluidos en él. En nuestro caso, tomamos el menor valor de tiempo que es 30 minutos y el mayor que es 4 horas. Los restamos y obtenemos 3 horas con 30 minutos. Buscamos el número entero mayor 4 y lo dividimos por la cantidad de intervalos que queremos hacer (vamos a hacer 4 intervalos) 4 : 4 = 1. La amplitud de los intervalos será de 1 hora. Intervalos Marca de clase (Xn) Frecuencia absoluta (fi) [0; 1) 6 [1; 2) 7 [2; 3) 8 [3; 4] 11 Total - Frecuencia relativa (hi) 32 1 En el intervalo [0; 1), contaremos todos los tiempos mayores o iguales que 0 y menores que 1 (el 1 no está incluido). 1. En una empresa, se realizó una encuesta a sus 20 empleados. Las preguntas y respuestas dadas fueron las siguientes: • ¿Cuántos hijos tiene? 00145110202331014221 • ¿Cuál es su antigüedad en la empresa? 2 años -11 años - 3 años - 4 años y 6 meses - 10 meses - 3 años - 2 años - 5 años - 6 años y 3 meses - 5 años - 3 años y 1 mes - 8 años - 4 años y 2 meses - 6 años - 2 años - 4 años y 10 meses - 5 años 2 años - 3 años y 6 meses - 8 años a. Indiquen cuáles son las variables y clasifíquenlas. paraa la primera pregunta. b. Construyan una tabla de frecuencias y porcentaje par c. Según sus respuestas en la pregunta sobre la antigüedad, armen intervalos de clase, indiquen su amplitud y confeccionen confeccionen una tabla con la marca de clase, frecuencia absoluta y relativa. 2. Las siguientes son las alturas de los jugadores de un equipo de básquet. 1, 78; 1,98; 1,86; 2,05; 2,01; 2,13; 1,96; 1,89; 2,09; 1,98 a. Clasifiquen la variable. b. Realicen Realicen una tabla de frecuencias absolutas, relativas, absoluta acumulada, agrupando los datos en intervalos. 28 Números racionales 3. Un pediatra registró las edades en la que sus pacientes comenzaron comenzaron a caminar: Meses Niños 9 10 11 12 13 14 15 1 4 9 16 11 8 1 a. Clasifiquen la variable. b. Completen la tabla con la frecuencia acumulada y relativa. PARA SABER MÁS La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta y se representa como MO. Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas. Si hay dos puntuaciones consecutivas con la misma frecuencia, la moda será el promedio entre ellas. Ejemplo: 0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8 Mo = 4 Cuando los datos están agrupados por intervalos de clases, la moda se obtiene con la siguiente fórmula: Li es el límite inferior de la clase modal. fi es la frecuencia absoluta de la clase modal. fi - 1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inmediatamente inferior a la clase modal. fi + 1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inmediatamente posterior a la clase modal. ai es la amplitud de la clase. 4. La siguiente tabla corresponde a las edades de los pacientes atendidos en la guardia de una clínica. a. Completen: • Clase modal: Edades fi • Límite inferior: [ 60; 63) [ 63; 66) [ 66; 69) 5 18 42 • Frecuencia absoluta de la clase modal: [ 69; 72) [ 72; 75) 27 8 100 • Amplitud de la clase: • Frecuencia absoluta de la clase superior: • Frecuencia absoluta de la clase inferior: • Calculen la moda: 29 Ca Capítulo pítulo 2 5. Indiquen la respuesta correcta: Tenemos estas edades: 16, 18, 20, 21, 19, 19, 20, 18, 17, 18, 21, 16 Se puede decir que es... Unimodal Bimodal No tiene moda Trimodal Trimodal 6. Dado los siguientes valores que corresponden a las edades de las personas que ingresan a una pileta un domingo, encuentren la moda.construyan una tabla de frecuencia, agrupando por intervalos de clase y 5 - 25 - 4 - 11 - 35 - 30 - 5 - 28 - 45 - 22 - 47 - 56 - 4 - 85 - 16 - 14 - 16 - 21 - 35 - 62 - 45 - 14 - 7 - 9 - 10 - 11 45 - 21 - 51 - 44 - 12 - 5 - 1 - 25 - 35 - 5 - 4 - 8 - 7 - 14 - 5 - 14 - 15 - 14 - 9 - 35 - 65 - 4 7. Dado el siguiente conjunto de datos, den una distribución de la frecuencia representativa, representativa, consigan la marca de clases correspondientes, correspondientes, calculen las frecuencias y la moda. 254 299 300 200 214 200 145 223 129 154 104 321 215 205 258 321 142 333 124 287 287 147 199 198 268 214 256 Realicen n la encuesta que figura en el Anexo y luego para cada pregunta: 8. Realice a. ¿Qué nombre le pondrían a la encuesta? b. Construyan una tabla de frecuencias. c. Clasifiquen la variable. d. Encuentren la moda. e. A partir de las respuestas obtenidas, analicen en grupo cuáles son las problemáticas que se presentaron y qué acciones podrían llevar adelante para mejorarlas. ACTIVID ACTIVIDADES ADES INTEGRADORAS 1. Completen: a b a-1 0,21 1 ,2 -b 3 1 8 (a . b)-1 (a + b)2 30 Números racionales 2. Unan con flechas cada enunciado con su expresión matemática correspondiente. a. • El cuadrado de la suma entre tres medios y un quinto • La suma entre el cuadrado de tres medios y un quinto • La suma entre los cuadrados de tres medios y un quinto b. • La tercera parte de la diferencia entre seis y tres cuartos • La diferencia entre la tercera parte de seis y tres cuartos • La diferencia entre las terceras partes de seis y tres cuartos c. • El producto entre la raíz cuadrada de nueve cuartos y el inverso de cinco • El producto entre el inverso de la raíz cuadra de nueve cuartos y cinco • El inverso del producto entre la raíz cuadrada de nueve cuartos y cinco • El producto entre los inversos de la raíz cuadrada de nueve cuartos y cinco Luego de realizar los puntos anteriores, respondan: ¿Hay algún caso en el que los resultados sean iguales? ¿Por qué? Expliquen qué propiedades se cumplen y cuáles no. 3. Encuentren el valor numérico de cada expresión: a. c. b. d. 31 Capítulo pítulo 2 Ca 4. Resuelvan aplicando propiedades cuando sea posible. a. c. b. d. 5. Unan las expresiones equivalentes cuando sea posible. a. PARA SABER MÁS b. ¿Quién es π? π es un número con infinitas cifras decimales y, además, es el resultado de hacer el cociente entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. c. d. e. ff.. ¿Pudieron unir todas las expresiones? ¿Por qué? 6. Respondan y den ejemplos: a. ¿En qué casos al sumar o restar dos racionales obtenemos un número entero? ¿La potencia de un número racional puede b. dar por resultado un número entero? c. ¿Qué operaciones entre enteros dan por resultado un racional? Número π = 3,1415926535897932384626433 8327950288419716939937510582097494459 2307816406286208998628034825342117067 9821480865132823066470938446095505822 3172535940812848111745028410270193852 1105559644622948954930381964428810975 6659334461284756482337867831652712019 0914564856692346034861045432664821339 3607260249141273724587006606315588174 8815209209628292540917153643678925903 6001133053054882046652138414695194151 1609433057270365759591953092186117381 9326117931051185480744623799627495673 5188575272489122793818301194912… y podríamos seguir. 7. Analicen en grupo y luego, escriban sus conclusiones con respect respecto o a la siguiente afirmación. “Si los números racionales son aquellos que se pueden expresar como fracción, entonces π no es un número racional”. 8. En una tabla de frecuencias con intervalos de clase, organicen organicen los siguientes datos: -5 -3 0 3 -1 5 2 4 32 Números racionales 9. Lean el siguiente artículo: LECTURA Las olas de calor en las zonas urbanas podrían ser más tolerables con la presencia de árboles. Además de purificar el aire, estudios internacionales demuestran que estas especies ayudan a disminuir la temperatura temperatura The Nature Conservancy y autor de la investigación ambiente hasta en °C. Rob que McDonald, investigador Planting Healthy Air8, explica los árboles ayudan ade enfriar el ambiente de dos maneras. La primera es a través de la sombra que proveen al pavimento. Esto es importante –dice– ya que se evita que la energía del Sol, que es almacenada en estas superficies, después sea liberada y ocasione más calor. La segunda forma es la evapotranspiración. evapotranspiración. En este proceso, el árbol libera agua por sus hojas y ayuda a enfriar el ambiente. En su estudio, McDonald y su equipo proponen que un gasto de USD 4 por habitante en programas de siembra de árboles contribuiría a tener un aire más limpio y calles más frías. Bangladesh, India y Pakistán son los tres países que más se beneficiarían al aumentar la cantidad de plantas en sus ciudades. Según el estudio, estos lugares tienen poblaciones más densas, la calidad del aire no es buena y el costo de plantar árboles es relativamente bajo en comparación con Estados Unidos o Europa. En Planting Healthy Air, se plantea que una inversión global de USD 100 millones, destinada a tener más árboles y ayudaría a que aproximadamente 77 millones de personas vivan en ciudades menos calientes. McDonald sostiene que el calor en las áreas urbanas se ha convertido en una de las amenazas ambientales más graves y su impacto solo continuará en aumento, mientras avanza el cambio climático. Fuente: Alarcón, I. “Árboles reducen el calor en la urbe”, en El comercio, 25/6/2017. Disponible: <https://www.elcomercio. com/tendencias/arboles-zonasurbanas-ciudades-temperatura-cambioclimatico.html> Respondan: a. En un día de verano en Buenos Aires, puede llegar a hacer una temperatura de 36 °C, ¿con la ayuda de los árboles en cuánto podría disminuir? ¿Qué fracción fracción representa? b. Averigüen la cantidad de habitantes de su ciudad y calculen qué inversión se debería hacer ppara ara sembrar árboles. c. Según el dinero dinero que plantea destinar destinar Planting Healthy Air, ¿cuál es la inversión por persona? d. Una empresa decide aportar dinero para esta causa. Propone donar la sexta parte de sus ventas. Si en 2018 facturó 3,5 millones de pesos, ¿cuánta plata resulta la donación? ¿¿A A cuántos habitantes corresponde? ¿Qué ¿Qué parte de la inversión global representa? 10. Realicen un relevamiento de la cantidad de árboles que hay a tres cuadras a la redonda de la escuela. a. ¿Cuántas cuadras fueron relevadas? b. ¿Cuántos ¿Cuántos árboles hay? ¿cuántos árboles hay por cuadra? cuadra? c. En promedio, ¿cuántos d. Si aproximadamente cada cuadra tiene 100 metros, ¿cada cuántos metros hay un árbol? e. ¿Hay una o más cuadras cuad ras que tengan hasta tres árboles? ¿Q ¿Qué ué fracción del total de cuadras representan? f.f. ¿Qué fracción fracción representan representan la cantidad total de árboles con respecto al total de cuadras rrelevadas? elevadas? g. Según las investigaciones, sería ideal que cada 100 metros hubiera al menos 10 árboles. ¿Se cumple está relación? ¿Cuántos árboles se deberían plantar para que esto ocurra? 33 Capítulo 3 Números irracionales Números irracionales Recordando lo aprendido Para recorrer este capítulo, debemos tener presente a un gran matemático y filósofo que estudió Para la relación existente entre los lados de los triángulos rectángulos. ¿De quién estamos hablando? .................... En su teorema, él planteaba que: C La suma de los cuadrados de los catetos es igual al …………………… A A2 + B2 = C2 B Este teorema nos permite: • Averiguar la longitud de un lado del triángulo rectángulo con conociendo ociendo los otros dos. • Verificar si un triángulo es rectángulo. Actividad Anexo. 1. Recorten del Anexo Hay un triángulo y tres cuadrados (uno de 6 cm de lado, otro de 8 cm de lado y otro de 10 cm) que se construyeron a partir de los lados del triángulo dado. a. Calculen cuántos cuadraditos tiene cada uno de los cuadrados dados b. Cuadrado de 6 cm de lado = ………. cuadraditos = c. Cuadrado de 8 cm de lado = ……… cuadraditos = d. Cuadrado de 10 cm de lado = ……….. cuadraditos = e. Verifiquen que la siguiente siguiente igualdad sea verdader verdadera. a. Par Paraa ello, recorten y peguen los cuadrados de 6 y 8 cm de d e lado sobre el de 10 cm . Así, podrán comprobar si la suma de las áreas menores es igual al área del cuadrado mayor mayor.. 62 + 82 = 10 102 2. En cada uno de los siguientes triángulos, pinten ccon on verde los catetos y con rojo la hipotenusa. 35 Ca Capítulo pítulo 3 3. Completen: En todo triángulo rectángulo, el lado mayor es la ………………….. 4. Estas ternas consisten en conjuntos de tres números enteros que se corresponden con los tres lados de un triángulo. Verifiquen si pueden ser los lados de triángulos rectángulos. a. 5, 12, 13 c. 7, 15, 16 e. 6, 8, 10 b. 7, 24, 25 d. 2, 3, 5 ff.. 12, 16, 20 ¡A JUGAR! Teorema de Pitágoras Anexo o, encontrarán un tablero y un dado para construir. En el Anex En parejas, cada jugador tira el dado, comienza el que obtiene el menor valor. valor. Avanza tantos lugares como indica el dado, luego deberá resolver el triángulo o hacer lo que indique la posición en la que cayó. Si resuelve correctamente el triángulo, tira nuevamente el dado, si no pasa el turno a su compañero. Ganará aquel que llegue a completar todo el recorrido en primer lugar. lugar. Utilicen la calculadora, para agilizar los cálculos. 5. Expresen los siguientes números como producto de sus factores primos. a. 320 b. 400 c. 338 6. Indiquen si las siguientes igualdades son correctas. En caso contrario, corregirlas. a. 35 = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 c. 25 = (23)2 b. 310 = (35)2 d. 75 = 72 . 72 . 70 e. 57 = 52 . 52 . 52 . 5 7. Completen las siguientes oraciones oraciones con los ejemplos correspondientes sobre las propiedades de la radicación. a. La radicación es distributiva con respecto a la …………… y ……………… b. Por ejemplo: = √ 4 . 9 = √ . √ c. √ . = √36 . √ 4 d. En la ………………… y ……………… no se puede aplicar la propiedad distributiva, ni en la radicación ni la …………………… e. √ a + b ≠ √ a + √ b (a + b)c ≠ ac + bc ff.. Expresen ahora en lenguaje simbólico la resta, con respecto a la radicación y potenciación. 36 Números irracionales Irracionales El racional de Pitágoras se hace irracional En el siglo VI a. C., Pitágoras se establece establece en Crotona, Italia y funda la “Hermandad Pitagórica” Pitagórica”,, una escuela de matemática y filosofía, en la que él, era el gran maestro. Trataban de explicar la vida mediante números, de ahí que el principio básico de la hermandad era “todo es número”. Se reconocían mediante un símbolo que llevaban dibujado en la palma de la mano: la estrella de cinco puntas, que se obtiene trazando las diagonales de un pentágono regular. L Uno de los misterios de esta estrella, es que no importa el tamaño que tenga, si se divide el valor de la diagonal, por la longitud del lado del pentágono, siempre se obtiene el mismo número 1,61803… al cual llamaron “número de oro” y nosotros conoce- D D mos como Phi (φ). Algo de este número los preocupó. — L = Phi Hasta ese momento, todos los números conocidos podían expresarse como el cociente entre dos números conocidos, pero… el número de oro no. Esto atentaba contra su propia concepción del mundo, fue por ello que ocultaron el descubrimiento de un nuevo tipo de números a toda la sociedad. Estos números no pertenecen a ninguno de los conjuntos trabajados. A pesar de ser conjuntos con infinitos elementos, sigue habiendo números que no pertenecen a ninguno de ellos. 1. Calculen la longitud de la escalera en la siguiente imagen: x a. ¿A qué conjunto numérico pertenece? b. ¿Se puede expresar el resultado como fracción? ¿Por qué? s o rt e m 3 2 metros Nos encontramos aquí con que el valor de x es 2√13, si calculamos esta raíz con una computador computadoraa no nos alcanzarían las páginas de este libro para expresar todas sus cifras decimales: 3,6055512754... Una particularidad de sus cifras es que no son periódicas. ¿Podemos decir que 2√13 pertenece al conjunto de los racionales? 37 Ca Capítulo pítulo 3 Los números con infinitas cifras decimales, no periódicas, no se pueden expresar como fracción, en consecuencia, no pertenecen al conjunto de los racionales. Los irracionales son aquellos números que no se pueden expresar como fracción por poseer infinitas cifras decimales no periódicas. Muchos irracionales surgen al resolver raíces; para trabajar con mayor exactitud, se dejan expresadas y no se resuelven. Por ejemplo: x2 = 2 x = √2 se deja así expresado y no se resuelve ya que necesitaríamos una calculador calculadoraa y para escribirlo, tendríamos que cortarlo (recuerden que tiene infinitas cifras decimales). INTEGRANDO LAS TIC Escaneen los siguientes QR para conocer mucho más sobre otros números irracionales famosos y su historia. correcta. a. 1. Resuelvan e indiquen la respuesta correct La diagonal de un rectángulo cuyos lados son a. de 2 y 3 cm mide... de un rectángulo de lados 2 cm b. La y 4diagonal cm mide... • 5 cm • √20 cm • 10 cm • √5 cm • 2√5 cm • Ambas respuestas • 2√10 cm • Ninguna de las anteriores • Ninguna de las anteriores 2. Calculen la hipotenusa del triángulo rectángulo rectángulo cuyos lados miden √2 y √3 . 3. Inventen cinco números irracionales, explicando la regla de formación de las cifras decimales. Ejemplo: 4,1357911131517192123… Sucesión de los números impares 38 Números irracionales 4. Completen indicando entre qué números enteros se encuentran los siguientes irracionales: a. ……2√7 …… c. …… √28 …… e. ……3√15 …… g. …… -2√2 …… b. …… -2√105 …… d. …… √105 …… ff.. …… 3√100 …… h. …… -2√200 …… 5. Indiquen Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda, justifiquen sus respuestas. a. √5 + 9 = √5 + √9 b. 3√8 = 3√23 c. 4√29 = 25 d. 3√27 = 3√23 . 23 . 2 e. √5 . 8 = √5 . √8 ff.. 3√3 + 3√6 = 3√9 6. Investiguen qué otros números irracionales famosos hay y cómo se obtienen. 7. Marquen con una “X”, según al conjunto numérico al que pertenezcan. Número 0,4 0,4 √7 + √2 2√10 √2 + √23 π 3 √8 3 √4 √3 . √3 √2 + 23 √9 . √4 Q I 39 Ca Capítulo pítulo 3 Irracionales en la recta Como todos los números, los irracionales también tienen un lugar en la recta. Pero, ¿cómo ¿cómo hacemos si tienen infinitas cifras decimales? Sabemos que √5 va a estar entre el 2 y el 3, pero no podemos con exactitud determinar dónde, si más cerca del 2 o del 3 o justo en el medio. Sin embargo, con la ayuda del teorema de Pitágoras, no es difícil representar geométricamente muchos números irracionales como √2, √3, √7, √10, etcétera. 1° paso: construimos, sobre la recta numérica, un triángulo rectángulo cuyos catetos sean de 1 cm y llamamos x a la hipotenusa. 2° paso: x2 = 12 + 12 x2 = 2 x= 2 3° paso: ya sabemos que el valor de la hipotenusa tiene como valor √2, luego con la ayuda de un compás podemos representar en la recta el valor de √2 de la siguiente manera. Con un compás, tomen la dimensión de la hipotenusa, que en este caso es √2, y hagan centro en el 0 (pinchen con la punta del compás en el 0). Luego, trac tracen en un arco de circunferencia con la medida tomada (√2 ). El punto de corte con la recta numérica será el valor de (longitud desde el punto cero al punto P). B 1 X 1 P 0 1 2 2 Este procedimiento nos permite ubicar los irracionales que surgen de resolver raíces cuadradas, no así los que se originan a partir de raíces de otro índice. 1. Ubiquen los siguientes números en la recta. -3; √5; 5 ; 0,5 ; √13; -√2 2. En una misma recta, ubiquen los siguientes pares de números. a. √5 y √20 b. √18 y √8 c. -√10 y √10 d. √13 y 2√13 e. √29 y √29 40 Números irracionales 3. Indiquen los números que se representaron con la siguiente recta. -5 d-4 -3 c -1 -2 0 1 2 a 3b 4 5 4. Federico debía representar en la recta el número √6. Pensó y pensó, pero no pudo encontrar un triángulo rectángulo cuya hipotenusa fuera ese número. Su profesora le preguntó: • ¿Los catetos catetos del triángulo triángulo que estás estás pensando tienen tienen que ser números naturales naturales siempre? • ¿Se puede repres representar entar un irracional a partir de otro irracional? Les toca a ustedes ayudar ayu dar a Federico. Expliquen cómo representar el número dado. 5. Completen con > o <, según corresponda: PARA SABER MÁS a. √15 …….. 3√2 Extraer factores de una raíz, nos permite encontrar encontr ar expresiones equivalentes. b. 5√7 …….√200 Vimos que √8 se puede expresar expresar como 2√2. c. 2√3 …….. 3√2 De esta manera, logramos encontrar formas más sencillas, por ejemplo: d. 7√2 ……. √110 3 √3000 6. Completen los pasos faltantes en cada caso. a. √8 = √2 = √2 . 2 = √22 . √ = 1° Factoreamos el 3000. √2 3 b. √50 = √2 = √ .√ = 5.√ c. √32 = √ = √ . . = √ .√ .√ = √2 3 √3000 = 3√23 . 53 . 3 7. Extraigan factores, factores, siempre que sea posible. a. 3√24 b. 2√80 c. 7 .3√32 d. 5√192 3° Al ser una multiplicación, podemos aplicar la propiedad distributiva 3 √3000 = 3√23 . 3√53 . 3√3 4° Simplificamos la raíz raíz con el exponente exponente cuando sea posible 3 e. 3 √100 3 3000 = 2 . 5 . 3 2° Expresamos la raíz como producto de sus factores primos. 3 √3000 = 2 . 5 . √3 3 √3000 = 10. 3√3 41 Ca Capítulo pítulo 3 8. Verifiquen con con la calculadora e indiquen cuáles de las siguientes igual igualdades dades son correctas. correctas. a. √128 = 11,3137085… c. 3√245 = 6,25 b. √301 = 7,444351424… d. e. 5√1042 = 4,013964653… 7 √21 = 4,119620427… Operaciones con irracionales Suma y resta con irracionales ¿Cómo se suman los números que tienen infinitas cifras? Antes de comenzar piensen las siguientes sumas. 3 + 2 = ? De la misma forma que no podemos sumar gatos con corazones, tampoc tampoco o podemos sumar raíces distintas. Por ejemplo, √2 + √3 , queda expresado de esta manera , ya que al tener infinitas cifras, sería imposible expresarlas todas y si usáramos la calculadora, también deberíamos truncar (cortar el número); por lo tanto, no estaríamos siendo exactos en el resultado. Pero si tenemos + = 2 Podemos decir que tenemos dos corazones y lo mismo ocurre con raíces semejantes: semejantes: √3 + √3 = 2 .√3 Recuerden que la multiplicación es una suma abreviada. En conclusión, para sumar o restar irracionales, debemos asociar los términos semejantes, esto quiere decir que deben ser raíces de igual radicando e índice. índice. Ejemplos: a. √2 + √5 + √7 - 3√2 + 2 √5 = Reconocemos Reconoc emos los términos semejantes. √2 + √5 + √7 - 3√2 + 2 √5 = Asociamos estos términos. (√2 - 3√2 ) + √7 + (√5 + 2 √5 ) = Operamos, recuerden que √2 es equivalente a 1√2 y 3√2 = √2 + √2 + √2 -2√2 + √7 + 3√5 b. √10 + √5 - 3√10 = En este caso, los tres términos son distintos, no se pueden asociar ya que difieren en el radicando o el índice. 42 Números irracionales 1. Marquen con el mismo color los términos semejantes. 3 √5 √5 3√2 3 -2√5 3 √40 √16 √20 -3√5 √2 3 -2√5 √2 2. Calculen el perímetro de un rectángulo rectángulo cuya base mide 3 √7 y su altura es 5√7. 3. Resuelvan: a. √6 + 5√6 = d. -3√13 + 4√13 = g. 3√3 + 6 3√3 - 43√3 = b. 10√5 + 4√5 - 14√5 = e. √7 + 5√2 + 3√7 + 2√2 = h. √5 + √3 - (4√5 - 3√3 ) = c. 3√7 + 3√7 - f.f. √12 + 8 √27 + √75 = i. 3 √7 = √8 + 3 √2 = 4. Completen: a b c √3 -2 √3 √27 3 √16 3 √7 √ 28 -√7 √44 -√11 11√3 -5 3√2 a+b+c b - (a + c) √4 5. Calculen el perímetro de cada una de las siguientes figuras. 2 2 3 2 2 5 2 3 5 3 75 3 2 2 3 5 3 PARA SABER MÁS 6. Escaneen el QR y corrijan los ejercicios que se proponen. 2 La expresión: • 5√3 es equivalente a tener 2 √3 Recuerden que la división se puede expresar como fracción. 3 • √2 es igual a 7 • -√3 = -1√3 -1√3 3 √2 43 Ca Capítulo pítulo 3 7. Encuentren el error en las siguientes operaciones y expliquen cómo sería la forma correcta de resolverlas. a. √2 +3√6 = 5√8 c. 6√3 - 5√2 + 4√2 = 6√3 - √4 b. √5 + 3√5 = 4√25 d. -3 3√6 + 8 3√2 + 3√6 = 3 √6 + 3√16 8. Algunos cálculos más. a. √45 - √27 - √20 = b. 3√54 - 3√24 - 3√16 = e. √175 + √243 - √63 - 2√75 = c. √75 - √147 + √675 - √12 = d. √80 - 2√252 + 3√405 - 3√500 = ff.. √147 - √700 + √28 + √2187 = 9. Analicen las preguntas y respondan: a. ¿La suma de dos irracionales siempre da como resultado otro irracional? b. ¿Por qué √2 + √2 no da como como resultado √4 √4 ? Multiplicación con irracionales La multiplicación de un número racional por un irracional, quedará expresada de la siguiente manera. a . √b = a √b siempre entre un número número y una raíz hay un producto 5. 3√6 = 5 3√6 3 . (√2 + √5) = 3√2 + 3√5 En este conjunto numérico, también es válida la propiedad distributiva con respecto a la suma y resta. • Radicales de igual índice Paraa resolver estas multiplicaciones, deben recordar las propiedades de la radicación. Par Han visto que las igualdades se pueden leer en ambas direcciones √a .b = √a . √b, esto quiere decir que si se puede distribuir, también se puede hacer su inversa. Por lo tanto, si las raíces poseen el mismo índice, se puede aplicar la propiedad inversa de la distributiva. √3 .√5 = √3 .5 = √15 Puede ocurrir que en la multiplicación nos encontremos con una combinación de números racionales e irracionales. a. 3√5 . 2√7 = 3 . 2 . √5 .√7 = 6√5 .7 = 6√35 En este caso, podemos aplicar la propiedad conmutativ conmutativaa y luego asociativa Inversa de la distributiva. 44 Números irracionales b. √6 .(-4√3 ) = Conmutamos y asociamos. .(-4).√6 . √3 = Aplicamos regla de los signos e inversa de la distributiva. - .√6 .3 = - .√18 = - .√9 . 2 = - .√9 . √2 = - . 3 . √2 = Podemos ahora extraer factores. . √2 • Radicales con diferente índice Cuando nos encontramos con radicales de diferente índice, no podemos aplicar la propiedad inversa de la distributiva. 3 √5 . 4√3 = ? En estos casos, debemos unificar los índices. Para eso, recordemos cómo se simplifican raíces y potencias: • 10√32 = 5√3 • 9√26 = 3√22 Si el índice y la potencia tienen un divisor común, se pueden simplificar dividiendo ambos por ese número. De la misma forma en que se puede simplificar, pueden amplificar, esto sería multiplicando índice y exponente por el mismo número. • 3√25 = 3 . 2√25 . 2 = 6√210 • √7 = 2 . 3√71 . 3 = 6√73 Piensen ahora nuevamente como resolverían 3√5 . 4√3 , teniendo en cuenta lo que vimos. • ¿Cuál puede ser un índice común a ambas raíces? Entre 3 y 4, un múltiplo común puede ser el 12. 3.4 √5 1 . 4 . 4. 3√3 1 . 3 = 12 √5 4 . 12√3 3 = • Ahora pueden resolver el producto, aplicando la inversa de la distributiva, de la forma que ya aprendieron 12 √5 4 . 3 3 45 Ca Capítulo pítulo 3 Otro ejemplo: √8 .3√2 = Recuerden que el 8 lo pueden expresar como 2 . 2 . 2. √23 .3√2 = Entre 2 y 3, podemos usar 6 como múltiplo común. 2.3 √ 23 . 3 . 3 . 2√ 21. 2 = 6 √29 .6√22 = 6 √29 . 22 = En este ejemplo, podemos aplicar propiedad de las potencias de igual base y luego, si es posible, extraer factores. 6 √211 = 6 √26 . 25 = 6 √26 . 6√25 = 2 . 6√25 1. Calculen el perímetro y área de las siguientes figuras. 3 5 3 3 5 6 3 — 4 2 3 1 — 2 5 3 5 2 3 2 2. Resuelvan: a. 3√3 . 3√5 = f.f. √5 . √7 . √2 = k. 2 √3 . √5 = b. 3 3√2 . 5 3√2 = g. 11 . 2√7 = l. -5 . 3√5 . c. 4. (√3 + √6 ) = h. 3 . (-2√3 - 5√11 ) = m. √7 . (√2 + 3√7 ) = d. 11 3√2 . (2 3√5 + 3√2 ) = i. (√2 + √3 ) . (√2 - √3 ) = n. (5 + √7 ) . (2 - 3 . √2 ) = e. 3√8 . √6 = j. 3√2 . (√3 + 5√3 ) = o. √3 + 5√3 = . 3√25 = 2 46 Números irracionales 3. Solo resolviendo bien los cálculos podrán salir del laberinto. 4 10 5 5 4 160 500 50 0 54 125 2 3 6 5 5 4 3 44 48 147 1 1 2 1 3 3 2 7 2 SALIDA 10 7 2 14 5 96 6 4 9 3 LLEGADA 99 28 27 5 6 3 5 2 0 1 3 2 52 2 13 600 60 0 5 8 75 5 3 20 4. Completen con Siempre, Siempre, A veces o Nunca según corresponda. a. El producto de dos irracionales ……………….. ……………….. da como resultado otro irracional. b. Los irracionales con índice distintos ……………………………. se pueden multiplicar. c. Si dos irracionales tienen igual índice, pero diferente rradical adical …………….. se pueden multiplicar multiplicar.. 5. Se quieren asfaltar las rutas que unen los tres pueblos, pueblo s, se sabe que la distancia entre el pu pueblo eblo A y B es de 35 km y, entre B y C, hay 47 km. Calculen la distancia entre el pueblo A y C. Si el kilómetro de asfalto para la ruta tiene un costo de $ 15.000 ¿Cuál es el costo para cubrir las tres rutas? Pueblo A Pueblo B Pueblo C 6. En el ángulo superior de una habitación de 4 metros por 3,5 metros, se colocó un sensor de movimiento, que tiene un alcance de 4,5 metros a la redonda. ¿Queda cubierta toda la habitación? Expliquen su respuesta. 47 Capítulo Ca pítulo 3 7. Unan cada cálculo con su respuesta correcta. a. 4√3 . 4√27 = 6 b. 3 3√2 . 3√4 = -5 c. 5 √3 .√2 = -25 PARA SABER MÁS Las raíces también se pueden expresar como potencias _c a c √b = b a Por ejemplo: 2_ 5 5 d. √5 . (-5 √5 ) = e. √2 . √75 = √72 = 7 Este recurso es muy útil si se quieren multiplicar raíces con igual radicando. 3 5 . √6 f.f. -3√25 . 3√5 = 5 √3 . 3√32 . 2√33 = 8. Completen con Verdadero (V) o Falso (F). En las falsas, expliquen el error cometido y den la respuesta correcta. a. 3√25 = 2 3 5_ 3 3 5 _1 5 3 . 3 . 3 3 30 √371 = 2_ 5 30 √330 . 330 . 311 Se extraen factores. ff.. 3 = 3√310 30 5_ 3 g. 5 . 5 = 9√510 h. 1 _2 . = Nuevamente, expresan la potencia como raíz. 10 _ 3 2_ 3 1_ 2_ 3_ + + 5 3 2 3 d. 5√2 . √23 = 20 . 5√32 = 3_ 2 Ahora se pueden aplicar las propiedades de las potencias de igual base. 2 b. √2 = 23. √2 _ 3 2 c. √2 = 2 2 e. 2_ 3 5 _6 = √330 . 30√330 . 30√311 = 30 4 3_ 30 11 11 3 . 3 . √3 = 9 . √3 5 √3 . 3√32 . 2√33 = 9 . 30√311 9. Resuelvan y expresen el resultado como raíz, extrayendo factores cuando sea posible. 5_ 2 a. √3 . 3 .√5 = b. 7√25 . √2 = c. 3 . _1 2 .6 5 = d. √20 . 2 . √125 = 10. Analicen las siguientes igualdades y luego respondan. a. (3√5 )2 = 32 . √52 = 9 . 5 = 45 • ¿Qué propiedad se aplicó? e. 3 . (-4√5 ) . √5 = 2_ 7 3_ 2 ff.. 4 . 4 . 3√42 = 48 Números irracionales • Resuelvan este ejercicio ejercicio aplicando aplicando la definición de potencia. potencia. (5.√6 )2 = ............. . ............. = b. (5.√6 )2 ≠ 5 . √62 • ¿Por qué llaa anterior anterior no es una igualdad? 5 . √62 5 . ............. ............. = = 11. Resuelvan: a. (2 . √45 - . √125 - √180 ) . 3 = e. (-2 √12) . (-3 √18) √18) + 5√6 - (√5 + 3.√45) 3.√45) = b. (√27 + 2√3 )2 = f.f. c. √8 . (-2 . √2 + √5 ) - 2√10 = .3√9 + 3√9 . ( 3√3 - 2 . 3√2 ) = g. 5 1_ 2 √5 + 3 + (-3 √5 )2 = d. (-3√4 )3 + (4 . √3 )0 = 12. Calculen el volumen y la longitud de la suma de las aristas de: a. Un cubo cuya arista mide 2 . 3√7 . Volumen del cubo = arista3 b. Una pirámide de base rectangular como la que verán a continuación. 5 3 5 2 5 Recuerden: Volumen de la pirámide = (Superficie de la base . altura) : 3 ¡A JUGAR! Dominó irracional Recorten del Anexo las fichas y, en parejas, jueguen al dominó. Se reparten siete fichas para cada jugador, las restantes quedan boca abajo sobre la mesa. 49 Capítulo Ca pítulo 3 Comienza el jugador que tenga la ficha doble, en el caso que ninguno la posea, deberán ir levantando de a uno hasta que la encuentren. En cada mano, deberán ir colocando una ficha sobre la mesa de tal forma que sea una expresión equivalente a algunas de las que están en juego. De no tener tener,, deberá levantar una y pasar el turno a su compañero. Ganará el jugador que se descarte primero de todas las fichas. Aproximación Aproximación Felipe es paisajista y le pidieron que creara unas plazas circulares como las de la imagen, con un diámetro de 6 metros. Solo le falta encargar los panes de césped para cubrirlas. Él sabe que para calcular el área del círculo debe hacer π . r2, pero recordó que π es un número irracional que tiene infinitas cifras. Buscó y encontró que, por lo general, para calcular áreas, se usan solo dos decimales. π = 3,14 Hay muchas ocasiones en las que es necesario hacer aproximaciones, esto hace que nuestro resultado pierda exactitud, pero nos da una noción bastante cercana cercana al resultado real. Apro Aproxima ximarr Truncamiento: implica cortar el número en la cifra indicada, sin tener en cuenta las cifras siguientes. Redondeo: se corta el número en la cifra indicada, pero según la siguiente se deberá o no sumar un número. PARA SABER MÁS Cada cifra según el lugar que ocupa recibe un nombre: 3,128754315… Enteros Décimos Centésimos Milésimos Ejemplo π = 3,141592653…………… Entero Décimos Centésimos Milésimos Truncado 3 3 ,1 3,14 3,141 Redondeado 3 3 ,1 3,14 3,142 Para debemos ver launo. cifraSisiguiente, si redondear, es 5 o mayor se le agrega es 4 o menor,, queda igual. menor 50 Números irracionales 1. Completen: N° Truncado a Truncado a Truncado a los Redondear a Redondear a Redondear a los enteros los décimos centésimos los enteros los décimos los centésimos √3 2,9 2,2519 0,4910 1,2189 √7 2. Indiquen, en cada caso, qué redondeo se aplicó. a. 3,25721 = 3,25 ……………………………………… ……………..……………………… b. 0,14592 = 0,146 ……………..……………………… c. 4,62458 = 5 ….......................................................… 3. Dos alumnos decidieron aproximar de diferentes formas el número 11,381. Matías redondeó a los décimos y Felipe truncó a los décimos. ¿Cuál de los dos trabajó con mayor exactitud? PARA SABER MÁS Al aproximar y no trabajar con el número real, siempre cometemos un error. Es importante controlar el error que estamos dispuestos a cometer con una aproximación. La diferencia entre un error y otro es que el segundo tiene en cuenta el tamaño del número en cuestión. No es lo mismo cometer un error de centímetros para un valor expresado en kilómetros que para un valor expresado en metros. 4. Calculen el error absoluto que cometieron Matías y Felipe en el ejercicio 3. 5. Hallen lo pedido en cada caso: a. El valor exacto, sabiendo que el error cometido es de 0,01 y el valor aproximado de 239. b. El valor exacto, si el error relativo es de 0,000635 y el absoluto de 0,002. exacto es 52,236 y el error relativo de 0,0000122. c. El error absoluto si el valor exacto d. El valor aproximado, si el valor exacto es de 2,2787 y el error absoluto de 0,0002. 51 Capítulo Ca pítulo 3 6. Completen la tabla con las masas atómicas (número debajo del nombre) redondeadas a los enteros Elemento Masa atómica Plata Bromo Mercurio Bario Potasio Cromo 7. Desafío “Machete” Realicen un “machete” con toda la información necesaria sobre aproximaciones. Luego, compárRealicen tanlo con sus compañeros. 8. Enumeren situaciones de la vida cotidiana en la que realizan aproximaciones. aproximaciones. 9. ¿Cómo podríamos aproximar el número 5.215.421? a. ¿Sería correcto correcto decir que 5 millones es la aproximación más exacta? ¿Por qué? b. Si fuera 58.215.999, en este caso, ¿cuál sería? Notación científica LECTURA «Miles y miles de millones» ¿Por qué resulta tan pegadizo eso de «miles y miles de millones»? Antes, la expresión más corriente para referirse a un número grande era «millones»: los enormemente ricos eran millonarios; la población de la Tierra en tiempos de Jesús sumaba quizás unos 250 millones de personas; había casi cuatro millones de estadounidenses en la época de la Convención Constitucional de 1787 –al comenzar la Segunda Guerra Mundial eran 132 millones–; hay 150 millones de kilómetros de la Tierra al Sol; unos 40 millones de personas hallaron la muerte en la Primera Guerra Mundial y 60 millones en la Segunda; un año tiene 31,7 millones de segundos (como puede comprobarse fácilmente); y a fines de la década del 80, los arsenales nucleares globales contenían un poder explosivo suficiente para destruir un millón de ciudades como Hiroshima. A casi todos los efectos, y durante largo tiempo, «millón» fue la quintaesencia de un número grande. No obstante, los tiempos han cambiado. Ahora hay muchas fortunas que ascienden a miles de millones, y no solo por culpa de la se inflación; que la edad de la Tierra es de 4600 millones de años; la población humana acerca aestá los bien 6000determinado millones. 52 Números irracionales Asimismo, cuatro bombarderos bombarderos B-2 cuestan mil millones de dólares (algunos dicen que dos mil o incluso cuatro mil millones); el presupuesto de defensa de Estados Unidos, teniendo en cuenta los fondos reservados, supera los 300.000 millones de dólares al año; unos pocos centímetr centímetros os representan mil millones de átomos hombro con hombro; hombro; y ahí están todos esos miles y miles de millones de estrellas y galaxias. Aunque la popularidad de la expresión «miles y miles de millones» no se ha extinguido por completo, esos números parecen haberse empequeñecido, y comienzan a estar obsoletos. Ahora se vislumbra en el horizonte, o quizá no tan lejos, un número más a la moda: el billón se cierne sobre nosotros. Todas las plantas de la Tierra pesan un billón de toneladas. Estrellas y billones poseen una afinidad natural: la distancia desde nuestro sistema solar a la estrella más cercana, Alfa Centauri, es de unos 40 billones de kilómetros. Tal vez sea preciso que dedique un momento a establecer algunas distinciones. Un millón es un millar de millares, o un uno seguido de seis ceros; un billón es un millón de millones, o un uno seguido de 12 ceros, y un trillón, un millón de billones, o un uno seguido de 18 ceros. En Europa, el número «mil millones» recibe otras denominaciones, como milliard, millardo, etc. Coleccionista de sellos desde la niñez, poseo uno sin marcar, emitido en el momento álgido de la inflación alemana de 1923, cuyo valor era de «50 milliarden». Hacían falta 50.000 millones de marcos para franquear una carta (en aquel tiempo, se necesitaba necesitaba una carretilla cargada de billetes para ir a la panadería o a la tienda de comestibles). Una manera segura de saber de qué número estamos hablando consiste sencillamente en contar cuántos ceros siguen al uno. Sin embargo, cuando los ceros son muchos la tarea puede resultar un tanto tediosa, por eso, los agrupamos en tríadas separadas por puntos. Así, un trillón es 1.000.000.000.000.000.000. Para números mayores que este, basta con contar tríadas de ceros. Pero todo sería mucho más fácil si, al denotar un número grande, indicásemos directamente cuántos ceros hay después del uno. Esto es lo que han hecho los científicos y los matemáticos, que son personas prácticas. Es lo que se llama «notación exponencial». Uno escribe el número 10 y luego, a la derecha y arriba, un número pequeño que indica cuántos ceros hay después del uno. Así, 106 = 1.000.000, 109 = 1.000.000.000, 1012 = 1.000.000.000.000, etc. Esos superíndices reciben el nombre de exponentes o potencias; por ejemplo, 109 es «10 elevado a 9» (a excepción excepció n de 102 y 103 que reciben respectivamente los nombres de «10 al cuadrado» y «10 al cubo»). Además de su claridad, la notación exponencial posee otro aspecto maravillosamente beneficioso: permite multiplicar números cualesquiera sumando los exponentes adecuados. 1000típica por 1.000.000.000 es 103 por 109 dos = 1012. Incluso se pueden multiplicar números mayores: si en unaAsí, galaxia hay 1011 estrellas y, en el cosmos, hay 1011 galaxias; entonces, hay 1022 estrellas en el Cosmos. En la siguiente tabla, figuran los primeros números grandes que tienen nombre propio. Cada uno es mil veces mayor que el precedente. Por encima del trillón, casi nunca se emplean los nombres. Números grandes Nombre Uno Mil Millón Mil millones Número 1 1 .0 0 0 1.000.000 1.000.000.000 Notación científica 100 103 106 109 Tiempo que llevaría contar desde cero hasta el número (a razón de una cifra por segundo, día y noche) 1 segundo 17 minutos 12 días 32 años 53 Capítulo pítulo 3 Ca Billón 1.000.000.000.000 1012 Mil billones 1.000.000.000.000.000 1015 18 Trillón 1.000.000.000.000.000.000 10 32.000 años (tiempo superior al de la existencia de civilización en la Tierra) 32 millones de años (tiempo superior al de la presencia de seres humanos en la Tierra) 32.000 millones de años (más que la edad del Universo) Los números mayores reciben los nombres de cuatrillón (10 24), quintillón (1030), sesentón (1036), septillón (1042), octillón (1048), nonillón (1054) y decillón (1060). La Tierra tiene una masa de 6 cuatrillones de gramos. Contando día y noche un número cada segundo, necesitaríamos necesitaríamos más de una semana para pasar de uno a un millón. Contar mil millones nos llevaría media vida. No podríamos llegar a un trillón aun cuando dispusiéramos de toda la edad del universo. Una vez dominada la notación exponencial, podemos operar fácilmente con cifras inmensas, como el número aproximado de microbios en una cucharadita de tierra (108), el de granos de arena en todas las playas (quizá 1020), el de seres vivos en la Tierra (1029), el de átomos en toda la biosfera (1041), el de núcleos atómicos en el Sol (1057), o el de partículas elementales (electrones, protones, neutron neutrones) es) en todo el cosmos (10 80). Fuente: Barros, P.; Bravo, A. “Miles de millones. Pensamientos de vida y muerte”, en Libros Maravillosos. Disponible: <http://www.librosmaravillosos.com/milesdemillones/index.html> Actividad 1. En uno de los párrafos del texto, se indica cómo multiplicar un número en notación científica. Expliquen qué propiedades se utilizan para hacerlo. 2. ¿Qué ciencias piensan que son las que en forma más habitual emplean la notación científica (notación exponencial)? 3. Calculen cuántas horas han vivido hasta el día de hoy. 4. ¿Cuán ¿Cuántos tos segundos hay en 10 años? Tr Trabajar abajar con estos números no es fácil y la calculadora no suele tener un display que aadmita dmita tantos números. Por esta razón, se utiliza el siguiente método: se multiplica por una potencia de base 10 con exponente positivo o negativo negativo a un número mayor a uno y menor a 10. Ejemplo: 6020000000000000000000000 = 6,02 . 1023 60200000000000000000000 0,000000000000000000000602 0,0000000000000000000006 02 = 6,02 . 10-23 La forma general de un número en notación científica es: a . 10n donde n es un entero entero y 1 < a < 10 54 Números irracionales Partiendo del número expresado en notación científica, si el exponente es negativo, la coma se mueve hacia la izquierda (de esta forma, el número disminuye); y si el exponente es positivo, la coma se mueve hacia la derecha (ya que el número aumenta). 0,000000001 = 1 . 10 -9 9 lugares 15000000000 = 1,5 . 1010 10 lugares 1 . 10-9 = 1. = 1. Al ser la potencia negativa, en realidad, estamos dividiendo por una potencia de 10. Por ello, el número disminuye su valor. El exponente coincide con la cantidad de lugares que se desplaza la coma. 1. Expresen, en notación científica, los números que aparecen en las siguientes situaciones. a. Se estima que el peso del sol es de 2.000.000.000.000.000.000.000.000.000 2.000.000.000.000.000.000.000.000.000 toneladas. b. El diámetro de un glóbulo rojo es de 0,007 mm. c. Un electrón mide 0,000000000000000004 km. d. El diámetro de nuestro planeta es de 12.700.000.000 mm. 30.000.000.000.000.000.000 m3 e. El volumen de la luna es de 30.000.000.000.000.000.000 2. Ordenen de menor a mayor y expliquen el criterio que usaron para hacerlo. 4,1 . 10-3 6,3 . 10-4 3,2 . 108 4,2 . 104 3. Expresen, en notación científica, los siguientes números. c. 0,000000017 a. 0,00000038 e. 0,0000008 b. 38000000 ff.. 80000000 d. 1700000000 4. Un byte es la unidad de información que se emplea en programación y equivale a 8 bits. • 1 byte equivale a una letra. bytes son necesarios para escribir un unaa historia corta. • 1000 bytes bytes contienen contienen una novela novela de unas 100 páginas. • 1.000.000 bytes • 1.000.000.000.000.000 bytes son los datos que maneja Google por hora. para guardar la información de este libro. a. Calculen cuántos bytes serían necesarios para b. ¿Cuántos ¿Cuántos bits son necesarios para escribir el nombre de todos los alumnos de tu curso? 55 Capítulo Ca pítulo 3 PARA SABER MÁS Notación cientíica en la calculadora Se puede operar con la calculadora utilizando notación científica. En algunas calculadoras, encontrarán la tecla EXP en otras x10x Para resolver 5.103 x2.10-5 Deberán introducir 5 EXP 3 X 2 EXP(-)5 o 5x10x3 x 2x10x(-)5 = 0.1 Es importante que recuerden que tanto la tecla EXP y x10 x, no llevan la multiplicación, un error muy común es: 5x 104, introducirlo en la calculadora como 5x EXP 4 o 5x x10 x4. No se debe colocar el signo de multiplicación. 5. El mol es una unidad que mide la cantidad de sustancia, se utiliza habitualmente en el área de la física y la química. 1 mol = 6,02 . 1023 partículas En la tabla periódica, el número que está debajo de cada elemento corresponde a su masa atómica, pero NO de un átomo, sino de un u n mol de átomos. Por ejemplo, debajo del oxígeno, encontramos el número 16, esto quiere decir que, un mol de oxígeno tiene una masa de 16 gramos. En consecuencia, 6,02 . 1023 átomos de oxígeno oxígeno tienen una masa de 16 gramos. Calculen mirando los elementos de la tabla periódica: p eriódica: a. La masa de 1 mol de aluminio. b. La masa de 3 moles de cloro. c. La masa de un átomo de oro. oro. d. ¿Cuán ¿Cuántos tos moles representan 75,5 . 103 átomos? e. ¿Cuántos moles representan 50 gramos de oxígeno? sodio, sabiendo que un mol mol de átomos tienen una masa de 23 gramos. gramos. ff.. La masa de 1 átomo de sodio, g. La masa de un mol de átomos de plata, si uno solo tiene una masa de 1,79 . 10-22. 56 Números irracionales 6. Indiquen en cada caso la respuesta correcta: a. El número 34,72 se puede escribir en notación científica como… 3472 . 10-1 3472 . 10-2 3,472 . 101 b. El número 0,000000008 se puede escribir en notación científica como… 8 . 10-9 8 . 109 0,8 . 10-9 c. El número 3 . 104 se puede expresar como… 3000 0,003 30000 d. La población mundial se estima en alrededor de 6.800.000.000 personas. ¿Qué respuesta expresa este número en notación científica? 7 . 109 0,68 . 1010 6,8 . 109 68 . 108 7. Completen en cada paso de las siguientes operaciones con la explicación y la propiedad empleada. a. 950000000 : 5000000 = .................................... e. 9,5 . 108 : 5 . 106 = ............................................... b. 9,5 : 5 . 108 : 106 = .............................................. ff.. 1,9 . 102 = ........................................................... -6 -4 c. 0,000003 . 0,00012 = ........................................ g. 3 . 10 . 1,2 . 10 = .............................................. d. 3 . 1,2 . 10-6 . = ................................................... h. 3,6 . 10-10 = .......................................................... 8. Expresen, en notación científica, y resuelvan: a. 1400000000 . 20000000 = d. 700000 . 2500000 . 32100000 = b. 45000000 : 500000000 = e. 14000000000 : 2200000 = c. f. g. 57 Capítulo Ca pítulo 3 ACTIVID ACTIVIDADES ADES INTEGRADORAS 1. Ubiquen en la recta los siguie siguientes ntes números irr irracionales: acionales: a. √17 b. √10 2. En un triángulo rectángulo e isósceles, la hipotenusa mide √7. Calculen la medida de cada uno de sus lados. Expresen el resultado como irracional y redondeando a los centésimos. 3. Ordenen de menor a mayor los siguientes números. √7 3 . √2 -√5 . 3√12 √8 -3 2 4. Calculen el error absoluto y relativo que se comete al: a. Redondear a los centésimos el número 41,45668. b. Truncar Truncar a los enteros el número 14,458. c. Redondear a los milésimos el número 0,154224. 5. Analicen y justifiquen la veracidad de las siguientes afirmaciones. a. La suma de dos irracionales irracionales da como resul resultado tado otro irracional. irracional. b. Al restar dos irracionales podemos obtener un número entero. irracional acional es siempre otro irr irracional. acional. c. El inverso de un número irr 6. Expresen las siguientes raíces de una forma más sencilla (extraigan factores). factores). a. √363 b. 3 . 3√189 c. . 5√192 d. √600 7. Calculen el perímetro de las fichas del Tangram que se obtiene a partir de un cuadrado de 10 cm de lado. 10 cm m c 5 m c 0 1 5 cm 58 Números irracionales 8. Expresen, en notación científica, y resuelvan. a. e. 12000000 .200000 : 4500000 = b. 12000000 : 0,00000002 . 0,000045 = ff.. c. 0,000000087:0,0000022= g. 1400000000 . 0,0000012 = d. 9. Resuelvan: a. 3√5 + 6√5 + 4√3 = f. √7- 5√11 + 4√7 - √11 = j. √5 . (3√6 + 2√5 = b. -4√13 . (2√2 - √3 ) + √26 ) = g. 2√45 - 4√125 + 6√180 = k. √12 - √18 + √48 + √72 = c. 6√147 - 5√700 5√700 + 10√28 = h. 2√108 + 5√300 - 3√3 . (2√5 )2 = l. (3√2 + √(8)2 = d. 3√5 + 3√625 3 = i. 3 √3 3 - 5 3√3 = m. √3 . 3√32 . 5√33 = e. 5√8 . √2 : 4√32 = 10. Completen con el número faltante, para que la igualdad sea verdadera. a. √... .√2 = 2 e. 3√5 + 4 ...√5 = ... . 3√5 b. ... (5√3 - √5 ) = 10√15 -10 ff.. 4.√5 - 3√11 + √44 =… .√11 + ...√5 c. (6√7 )2 = ... g. (√… + √7 ) . (√… - √7 ) = 1 d. 3√(-2)5 = (-2) h. 5 . 5 = ...√5... 59 Capítulo 4 Expresiones algebraicas algebraicas aicas Expresiones algebr Recordando lo aprendido Álgebraa vs. aritmética Álgebr aritmética Cuando manejamos solamente números, estamos trabajando con aritmética y los signos de las operaciones indican una acción, cuyo resultado siempre será un número. Por ejemplo, 7 + 4 = 11. En cambio, cuando introducimos las letras, entramos en el campo del álgebra. Estas operaciones no siempre tienen que realizarse y suelen quedar expresadas. Por ejemplo, x + 5. Mientras que en aritmética, por lo general, se llega a un resultado único; en álgebra, puede haber infinitos resultados según el valor que tome la letra o variable. Sabemos que la aritmética tiene origen, en la necesidad de hombre de desarrollar el comercio, llevar registro de sus pertenencias, etc., pero ¿el álgebra? En el período babilónico y hasta el año 250 d. C., C ., las operaciones se relataban, dada la carencia de símbolos que permitieran a los matemáticos expresar sus trabajos de manera más simple. Un ejemplo de esto es el papiro de Rhind (1650 a. C.), donde d onde se puede leer un problema que dice: “Un montón y un séptimo del mismo es igual a veinticuatro”. En esta época, es cuando se comienzan a incorporar letras y símbolos al hacer matemática y se abren las puertas del álgebra. Actividad 1. Expresen, en lenguaje lenguaj e simbólico, la parte del texto resaltada en color. 2. ¿Cuántos ¿Cuántos años pasaron desde que se escribió el papiro de Rhind hasta el año 250 d. C.? Traduzcan aduzcan al lenguaje coloquial, como hacían en la antigüedad antes del desarrollo de los sím3. Tr bolos, los siguientes enunciados. a. 2 . x b. 3 . x + 5y c. - 2z b. 10 -5 d. 3√x + 1 e. 2√x + 5 ff.. (x + 1)2 4. Resuelvan: a. 5 +3 = = c. -7 = d. 4 +5 = 5. Expliquen por qué x . x da un resultado distinto que x + x. 6. Indiquen cuántos términos tiene cada uno de los siguientes cálculos: a. 45 + 8 . 5 – 2 b. 11 - √ 5 + 20 . 3 + 8 - 5 : 3 c. 8 . 3 + 2 : 2 . 5 7. Apliquen la propiedad distributiva en cada caso caso:: a. 5 . (3 + 2 - 5) d. (5 + 1) . 11 b. (-2 + 3 - 4) . (-2) e. -5 . (7 + 1 + 3 + 8) c. 7 . (-2 + 4 - 12) ff.. (7 + 11 - 3 - 8) . 2 d. 5 . 6 . 3 : 2 61 Capítulo pítulo 4 Ca ¡A JUGAR! Circuito de potencias Busquen el tablero en el Anex Anexo o y miren este video sobre potencias <https://bit.ly/2u2U7YG> antes de comenzar. comenzar. Partan de la casilla de salida, en sentido antihorario. Comienza el jugador de la derecha tirando el Partan dado y resolviendo la potencia correspondiente. Si lo hace correctamente gana el lugar y le pasa el turno a su compañero de la derecha, sino debe regresar a la casilla anterior en la que estaba y pasar el turno. El jugador que complete el tablero será el ganador. Clasificación y elementos de las expresiones algebraicas algebraicas Una expresión algebraica es una combinación de letras y números unidos por operaciones matemáticas. Las letras suelen representar una cantidad desconocida y frecuentemente no tienen un valor fijo; por ello, reciben el nombre de variables. Los números al tener un valor fijo se denominan constantes. Según la cantidad de términos que formen la expresión, se clasifican en: • Monomios: un solo término 5x • Binomios: dos términos 5x + 3 • Trinomios: Trinomios: tres términos 5x + 2y - 3 • Polinomios: Polinomios: más de tres términos Exponente 2 8y Coeficiente Literal Grado de una expresión algebraica: mayor potencia que aparezca en una variable. Ejemplo: . x2 + 2x5 - 2x + 4 Grado = 5, ya que es la mayor potencia. Término independiente: aquel que no tiene variable (letra). Ejemplo: 3x4 + 7 - x Término independiente independ iente = 7 62 algebraicas aicas Expresiones algebr Coeiciente Coeicient e principal: número que acompaña a la variable de mayor grado. Ejemplo: 4x2 - - 2x7 + x3 Coeficiente principal = -2 Expresiones completas y ordenadas Ordenar implica escribir en forma decreciente los términos, según el grado de su potencia. 3x2 + x5 + 4 - 2x al ordenarlo quedaría x5 + 3x2 - 2x + 4 Completar consiste en agregar los términos faltantes, teniendo en cuenta de no modificar la expresión. Aquí es donde recurrimos a dos propiedades conocidas que son la de elemento neutro en la suma (sumar cero, no modifica el cálculo) y la del elemento absorbente en la multiplicación (todo número multiplicado por cero, da cero). x5 + 3x2 - 2x + 4 Al completarlo completarlo obtenemos x5 + 0x4 + 0x3 + 3x2 - 2x + 4 Valor numérico de una expresión algebraica Cuando le asignamos un valor a la variable y resolvemos el cálculo, obtenemos el valor numérico. Cada expresión puede tomar diferentes valores numéricos, según el valor que le demos a la variable. 3 . x2 + x + 4 Para x = 2 3 . 22 + . 2 + 4 Valor numérico = 17 Para x = 0 3 . 02 + . 0 + 4 Valor numérico = 4 Para x = -2 Valor numérico = 15 3 . (-2)2 + . (-2) + 4 1. Completen: Exp. algebraica 3 . x2 + 5x - 1 8 + 3x3 - x4 + 2x6 x3 - 2x2 + 3x 3x3 - x7 + 3x + 8 x2 + 7x3 - 4 2x Grado Coeficiente principal Término independiente Nombre según cantidad de términos 63 Capítulo pítulo 4 Ca 2. En los siguientes casos, escriban una expresión algebraica algebraica que cumpla las condiciones pedidas. ¿Fueron únicas las respuestas? ¿Por qué? a. Tres términos, grado 5, coeficiente principal -5 y término independiente 9 b. Grado 2, coeficiente principal , término independiente cero c. Coeficiente principal 7, ttérmino érmino independiente -3, binomio binomio ordenen: 3. Completen y ordenen: a. 5x3 + 2 b. -3x2 + 5 - 7x6 c. d. 7 - x + x4 x2 - 3x + x5 4. Calculen: Exp. algebraica x = -2 x=3 x=0 3 + x + 2x3 x2 + 2 - 3x -3 + x - x4 5. Unan con flechas según correspon corresponda: da: 5 3 3 x + 2x - 2 + 6x + 5 Grado 2 7x2 + - 5x2 Trinomio 5 + x - 6 + 8x Binomio x2 + 3 - Grado 1 x2 - 3 2x Grado 3 3x2 Monomio 6. Calculen el valor numérico y luego respondan: a. 3x4 + 2x2 - 1 x = -1 y x=1 b. x6 + x2 • ¿Cómo son los resultados en cada ítem? ¿Por ¿Por qué? perímetro del siguiente rect rectángulo. ángulo. 7. Calculen la expresión del perímetro 5x + 2 2x + 1 x = -2 y x=2 64 Expresiones algebr algebraicas aicas 8. Con los datos dados, completen el cuadro con las expresiones algebr algebraicas aicas correspondientes: correspondientes: • Juan cobra x pesos por mes. • El director cobra el doble de JJuan. uan. • El encargado encargado 300 pesos menos que el director director.. • Un administrativo administrativo gana 500 pesos más que el encargado. encargado. • Al personal de limpieza limpieza le faltan 100 pesos para para ganar las tres cuart cuartas as partes de lo que cobra cobra Juan. Empleado Juan Director Encargado Administrativo Limpieza Sueldo PARA SABER MÁS xpresiones Suma y resta de eexpresiones algebraicas En las expresiones algebraicas, podemos encontrar términos semejantes. Estos son los que po- En la panadería de d e los hermanos “Campa” “ Campa”,, son todos muy matemáticos y llevan un registro de la mercadería que tienen al abrir cada mañana y de las ventas realizadas cada día. El registro del martes indicaba: seen la misma variable con la misma potencia. Por ejemplo: Los términos marcados con color son semejantes. Estos términos se pueden sumar o restar, ya que representan el mismo número. • 36 churros x3 - 4x3 + 2x + 2 • 36 medialunas x3 + 2x + 2 • 50 berlinesas Podrán ver que lo que inicialmente parecía ser un cuatrinomio, en realidad era un trinomio. • 18 donas V Venta enta Churros Churr os Medialun Medi alunas as 1° 5 3 2° 3° x3 + 2x - 4x3 + 2 10 12 Berlinesas Berlin esas Donass Dona 4 12 15 10 Felipe, el hermano mayor, mayor, consultó cuál fue la venta total y cuánto sobró de cada tipo de factura. Paraa poder contestarle, Par contestarle, Mateo y Abril tienen un sistema: a cada tipo de factura la representan con una letra: Churros = C Medialunas = M Berlinesas = B Donas = D 65 Capítulo pítulo 4 Ca Y llevan un cuadro como el siguiente: siguiente: Información Expresión Mercadería al abrir el local Primera venta Segunda venta Tercera venta 36C + 36M + 50B + 18D 5C + 3M + 4D 10M + 12B 12C + 15B + 10D Para responder a la primera pregunta es suficiente con sumar las tres ventas, teniendo en cuenta Para de sumar cada tipo de factura por separado: (5C + 3M + 4D) + (10M + 12B) + (12C + 15B + 10D) = 17C + 13M + 14D + 27B Se vendieron 17 churros, 13 medialunas, 14 donas y 27 berlinesas. b erlinesas. Para responder cuánto sobró de cada tipo de factura, podemos restar lo vendido a lo que había al Para comienzo del día: (36C + 36M + 50B + 18D) - (17C + 13M + 14D + 27B) = 19C + 23M + 23B + 4D Verán que que al sumarrestar o restar se tiene cuent cuentaa que los términos representen eell mismo tipo de facfactura, no podemos churros conen medialunas. Cuando trabajemos con expresiones algebraicas, al sumar y restar sucede lo mismo, solo puedo operar con términos semejantes. Suma de polinomios Los polinomios se suelen representar con una letra y, entre paréntesis, la variable. Por ejemplo: P(x) = 4x + 2 S(x) = x3 + 3x - 1 T(x) = x2 - x + 7 P(x) + S(x) = (4x + 2) + (x3 + 3x - 1) T(x) - P(x) = x2 - x + 7 - (4x + 2) Para realizar estas operaciones, hay dos estrategias a seguir: Suprimir paréntesis (4x + 2) + (x3 + 3x -1) = 4x + 2 + x3 + 3x - 1 = 4x + 3x + x3 + 2 - 1 = 7x + x3 + 1 Alinear términos semejantes + 4x + 2 x3 + 0x2 + 3x - 1 ______________ x3 + 0x2 + 7x + 1 Este método recuerda las sumas tradicionales • Al suprimir paréntesis, hay que recordar recordar que el signo positivo (+) no modific modificaa la expresión expresión posterior,, a diferencia del negativo (-), que invierte todos los signos. terior • Al alinear alinear los términos términos semejantes hay que ordenar y completar completar las expresiones. expresiones. 66 algebraicas aicas Expresiones algebr El signo negativo de una expresión indica su opuesto. Z(x) = -3x3 + 2x - 3 -Z(x) = 3x3 - 2x + 3 Por lo tanto, al hacer una resta deben pensar en realizar la sumar d del el opuesto. T(x) - P(x) x2 - x + 7 - (4x + 2) x2 - x + 7 4x + 2 ______________ x2 - x + 7 - 4x - 2 x2 - 5x + 5 x2 - 5x + 5 1. Completen: T(x) -T(x) 6x - 2 3x5 + 3 x2 - 5 4 -x + 12x - 5x x2 + 5 - 6x 2. A partir de las siguientes expresiones, realicen realicen los cálculos pedidos. S(x) = 2x3 - 5x + 3 T(x) = x2 - 3x + x2 a. S(x) + M(x) b. M(x) - S(x) c. T(x) + S(x) d. T(x) - M(x) e. M(x) + S(x) + T(x) ff.. S(x) - T(x) M(x) = x + 8 3. Completen los casilleros para que la igualdad sea verdadera. a. (11x2 + 3x - 1) + (… - 3x + ...) = 6x 2 + ... - 8 b. (… x3 + 2 - x2) - (6x3 - ... + 6) = 5 - 7x2 c. -(-5 + 3x - x3) + (…x3 - ... + ...) = x3 + 2x - 3 4. Las ganancias de una empresa se obtienen restando a los ingresos, los costos. Encuentren la expresión de las ganancias sabiendo que: Costos C(x) = 8000 - 100X Ingresos I(x) = 3x2 - 10x Ganancias G(x) = 5. Indiquen Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda. Para las respuestas falsas, escriban el resultado correcto. a. 3x - 4x = -x d. (3x2 + 5x - 3) + (2x + 3 - 2x 2) = 7x + x2 b. -3x - (-4x) = -7x e. 5x5 + x2 - (-3x5 + x3 - x2) + 12 = 8x5 + x2 + x3 + 12 -7x c. -3x + (-4x) = -7x ff.. x + 2x + 10x - 3x = 10 x2 67 Capítulo pítulo 4 Ca 6. Calculen el perímetro de las siguientes figuras: x 2x 5x 3x-1 3x x + 3 x 2x 5x 10x 7. Analicen, den un ejemplo ejemplo y respondan. a. ¿Qué característica debe tener una expresión algebraica, para que su valor numérico sea cero? b. ¿Cuál es el resultado de sumar una expresión algebraica algebraica con su opuesta? c. Al sumar o restar expresiones algebraicas, ¿cuál es el elemento neutro? d. ¿Qué propiedad se aplicó?, ¿se cumple? P(x) + D(x) = D(x) + P(x) e. Expresen en lenguaje coloquial, coloquial, la propiedad empleada. A(x) - S(x) = A(x) + (-S(x)) 8. Federico y Bianca tienen un kiosco. El día lunes realizan un control de stock y tienen: 15 cajas de chicles, 3 cajas jugos, 6 cajas de alfajores y 5 helados. a. Encuentren una expresión que represente la mercadería que tienen el día lunes. compran mercadería y obtienen el doble de la que tenían el lunes? b. ¿Cuál sería la expresión si compran c. El stock del sábado indica que quedan 10 cajas de chicles, 1 de jugos, 1 de helados y ninguna de alfajores. ¿Cuánto se vendió? Realicen una operación con expresiones algebraicas que represente la situación. d. Escriban qué representa la siguiente operación: (15c + 3j + 6a + 5h) + (2c + 5j + 2a + 10h) - (19c + 6j + 8a + 11h) 9. Siendo P(x) = 4 + 6x2 + 3x - x3, expresen la operación de otra ot ra forma equivalente y resuelvan: a. P(x) + P(x) = b. P(x) + P(x) + P(x) = 68 algebraicas aicas Expresiones algebr Multiplicación Multiplic ación con expresiones e xpresiones algebraicas Los lados del siguiente terreno están expresados en función de x. ¿Cómo se puede calcular su área? 5x 6x Está formado por ……… cuadrados cuyos lados miden ……. El área de un cuadrado cualquiera se calcula haciendo …………………, el área de cada uno de estos cuadrados es ………………. Por lo tanto, el área del rectángulo es la suma de todas las áreas de los cuadrados que la forman: ………… Al multiplicar expresiones algebraicas, algebraicas, hay que tener en cuenta tres cosas: 1. Los signos 2. Las potencias de las variables 3. Los coeficientes coeficientes Por ejemplo: 6x .5x a. El signo será será positivo: (+) .(+) = + b. x . x = x2 En la multiplicación de bases iguales, se suman los exponentes. c. 6 . 5 = 30 El resultado será = + 30 x2 Otros casos: Por un número real Multiplicar un número real por una expresión algebraica implica que cada uno de los términos que la forman sean multiplicados por él. 5 . (3x + 8 - 2x3) = 5 . 3x + 5 . 8 + 5 . (-2x3) = Aplicando la propiedad distributiva se multiplica cada término. 15x + 40 - 10x3 = Como los términos no son semejantes, no se puede reducir. 69 Capítulo pítulo 4 Ca Por un monomio En este caso, es necesario aplicar la propiedad distributiva, no olvidando las propiedades de las potencias. Propiedad distributiva. distributiva. Se multiplican los números y se aplica la propiedad de las potencias de bases iguales. iguales . 5x2 . (3x + 8 - 2x3) = 2 2 2 3 5x . 3x + 5x . 8 + 5x . (-2x ) = 15 . x3 + 40 x2 - 10 x5 = Por un binomio o más términos Cuando haya que multiplicar una expresión algebraica por un binomio o más términos, también se aplicará la propiedad distributiva, teniendo la precaución de no saltearse ningún término. (5x2 + 7x) . (3x + 8 - 2x3) = Reducir la expresión, operando 5x2 . 3x + 5x2 . 8 + 5x2 . (-2x3) + 7x . 3x + 7x . 8 + 7x .(-2x 3) = 3 2 2 5 los términos semejantes. 4 15x + 40x - 10x + 21x + 56x - 14x = 15x3 + 61x2 - 10x5 - 14x4 En todos los casos anteriores, las variables eran iguales, pero ¿qué pasa si hay más de una variable? Por ejemplo: 5 x3 y5 . 2x2 y 5 . 2 = 10 x3 . x2 = x5 y5 . y = y6 La propiedad de las potencias solo la podemos aplicar si las bases son iguales; por lo tanto, quedará expresado en función de las diferentes variables. variables. 3 5 2 5 6 5x y . 2x y = 10x . y 1. Calculen el área de los siguientes rectángulos: rectángulos: a. b. 2b + a 2a 5a + 6b 3b + 3a 2. A partir de los polinomios dados, resuelvan los cálculos pedidos: P(x) = 6x + 3 a. -3 . P(x) = b. 4x3 . Q(x) = Q(x) = 5x3 - x + 4 c. P(x) . R(x) = R(x) = -2x2 + 5x - 1 d. –P(x) . 2Q(x) = e. 4x2 . Q(x) = 70 algebraicas aicas Expresiones algebr 3. Encuentren el error en las siguientes operaciones. operaciones. Justifiquen sus respuestas. a. x . x = 2x c. 5x + 6x3 = 11x4 b. 2x 3 = 8x d. -5x3 . 8x2 = 40x5 e. (-3x + 2) . 5x3 = -15x4 + 10x3 = -5x 4. Expliquen por qué la siguiente igualdad es verdadera. 3 2 3 2 -(x + 5x + 5 - 3x) = -1 . (x + 5x + 5 - 3x) 5. Desarrollen los siguientes productos con racionales e irracionales. a. (5x + 3x3) . (-2x2 + 3x) e. b. x5 . 3x - ff.. (√5 x3 - √50 x) . (5x + √5 x2 - 2√5 x3) x3 + c. 3√16 x2 . (23√2x + 3√54 x3) g. x2 - x . + x4 - 4x . 4√3 x . 4√3 x5 + 4 √3 x - 5 d. (2x + √2 ) . (5x - √8 ) 6. Unan cada producto con la respuesta correcta. correcta. a. 5x . (6x2 + x3 - 2) 3x5 + 14x3 - 5x b. (x3 + 5x - 6) . - 2x2 30x3 + 5x4 - 10x c. x2 - -2x5 - 10x3 + 12x2 d. x2 . (-2x3 - 10 + 12x) 15x3 + 5x4 - 10x2 e. (3x2 - 1) . (x3 + 5x) -2x5 - 10x2 + 12x3 x2 . 10x + 7. Realice Realicen n un paso a paso que explique cómo realizar una multiplicación entre expresion expresiones es algebraicas. confeccionen cionen una lámina con los errores más comunes que pueden sur8. Junto a un compañero confec gir al realizar realizar multiplicaciones con expresiones algebraicas. Productos notables 1. Realicen Realicen las siguientes multiplicaciones: multiplicaciones: a. (x + 5) . (x - 5) = d. (2x2 - 1) . (2x2 + 1) = b. (3x - 2) . (3x + 2) = e. x + x3 . x - x3 = c.(x3 + 2x) . (x3 - 2x) = 2. Respondan a partir del punto anterior: a. ¿Qué características características tienen las multiplicaciones? multiplicaciones? b. ¿Cuántos ¿Cuántos términos tiene el resultado de hacer los productos pedidos? c. El resultado, ¿es una suma o una diferencia? 71 Capítulo pítulo 4 Ca Producto de binomios conjugados Si dos binomios solo difieren en el signo de uno de sus términos, decimos que son binomios conjugados. (a + b) y ( a - b) (a + b) y (-a + b) 1. Completen: Binomio Conjugado 3x + 2 x2 + 6 5 x2 - 3x + 2x 5-x -1 + 3x x3 - x El producto de binomios conjugados da por resultado una diferencia de cuadrados. Esto quiere decir que obtenemos dos términos unidos por una resta y ambos son cuadrados perfectos. (a + b) . (a - b) = a . a + a . (-b) + b . a + b . (-b) = a2 - ab + ba - b2 = Aplicamos la propiedad distributiva, resolvemos cada término aplicando la regla de los signos. Propiedad conmutativa de la multiplicación a2 - ab + ab - b2 = Propiedad cancelativa cancelativa a2 - ab + ab - b 2 = Diferencia de cuadrados a2 - b2 = (a + b) . (a - b) = a 2 - b2 Ejemplo: (3x + 2) . (3x - 2) = 3x . 3x + 3x . (-2) + 2 . 3x + 2 . (-2) 9x2 - 6x + 6x - 4 = (3x + 2) . (3x - 2) = (3x) 2 - 22 = 9x2 - 4 9x2 - 4 Aplicando propiedad distributiva o directamente de la definición se llega al mismo resultado. resultado. 72 algebraicas aicas Expresiones algebr Producto de binomios iguales o cuadrado de un binomio Multiplicar dos expresiones iguales entre sí es lo mismo que elevarlas al cuadrado. Como resultado de la multiplicación de dos binomios iguales, se obtiene un trinomio formado por el cuadrado de sus términos más el doble producto de los mismos términos. Dicho trinomio se denomina cuadrado perfecto. (a + b) . (a + b) = (a + b)2 Aplicamos la propiedad distributiva (a + b) . (a + b) = Resolvemos cada término y aplicamos ap licamos propiedad conmutativa a .a + a .b + b .a + b .b = Sumamos términos semejantes a2 + a .b + a . b + b 2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 En el caso de que el binomio sea una resta, el resultado también es un trinomio constituido por el cuadrado de cada término menos el doble producto de ellos sin elevar elevar.. (a - b) . (a - b) = (a - b)2 a .a + a . (-b) + (-b) . a + (-b) . (-b) a2 - ab - ba + b2 = a2 - ab - ab + b2 = a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 Ejemplo: (3x + 5) . (3x + 5) = 3x . 3x + 3x . 5 + 5 . 3x + 5 . 5 = 9x2 + 15x + 15x + 25 = Aplicando la propiedad distributiva o la definición, se llega al mismo resultado 9x2 + 30x + 25 (3x + 2)2 = (3x)2 + 2 .3x .5 + 5 2 = 3x2 + 30x + 25 siguientes productos y cuadrados de binomios: binomios: 1. Desarrollen los siguientes a. (7x - 2) . (7x + 2) = d. (x3 + 2) . (x3 - 2) = g. ( x - 1) . ( b. (7x - 2)2 = e. (x3 + 2)2 = h. ( x - 1)2 = c. (7x + 2)2 = f.f. (x3 - 2)2 = i. ( x + 1)2 = x + 1) = 73 Capítulo pítulo 4 Ca 2. Calculen el área de las siguientes figuras: a. b. a a-b b a b a b 3. Completen los espacios en blanco, blanco, para que la igualdad sea verdadera. a. (… + 2) . (… - 2) = 4x2 - 4 INTEGRANDO LAS TIC b. (x3 - …) . (x3 + 5) =… - 25 c. (x3 + ...) . (… - …) = x6 - 9x2 d. (… - ...) . (… + ...) = Escaneen los QR para aprender un poco más sobre operaciones con expresiones algebraicas. algebraicas. x2 - 1 e. (… + 6)2 = x2 + 12x + 36 f.f. (2x + ...)2 = ... + 12x + 9 g. (3x2 -…)2 = ... - 24x2 + ... h. (8x … x2) . (8x … x2) = ...- ... i. (8x … x2) . (8x…x2) = ... + ... + ... j. (8x … x2) . (8x … x2 ) = ... - … + ... 4. Analicen el siguiente producto y completen: (a + b) . (a + b) . (a + b) = (a + b) … (a + b)... . (a + b) (a2 + 2 . ab + b 2) . (… + ...) a2 . a + a2 . ... + 2ab . ... + 2ab . b + ... . a + ... . b … + a2 . b + 2a2 b + 2ab2 + b2 . a + ... a3 + 3 … + 3 … + b3 = (a + b)3 5. Completen cada casilla con el producto de las dos que forman su intersección. Multiplicación x-5 3x + 1 2-x x3 - x+5 3x - 1 x3 + 2-x 74 Expresiones algebr algebraicas aicas 6. Desarrollen las siguientes potencias y productos (¡cuidado con el signo!). a. -(x + 5)2 = b. -(x + 7) . (x - 7) = c. -(2x + 1) . (2x + 1) = producto oducto las siguiente siguientess expresiones: 7. Expresar como pr a. x2 + 10x + 25 = ( ... + ... ) 2 g. x6 - 1 = ( ... + ... ) . ( ... - ... ) b. 9x2 - 18x + 9 = ( ... - ... ) 2 h. 25x2 - 16/9 = ( ... - ... ) . ( ... + ... ) c. 121 + x2 + 22x = ( ... + ... ) 2 i. 5x + 10x3 + 25x4 = ... . ( ... + ... + ... ) d. 10x2 + 25 + x4 = ( ... + ... )2 j. 6x3 - 12x2 + 18x4 = ... ( ... - ... + ... ) e. 1 - 2x + x2 = ( ... - ... )2 k. 11x − 22x3 - 121 = ... ( ... - ... - ... ) ff.. 4 - 16x2 = ( ... + ... ) . ( ... - ... ) PARA SABER MÁS 8. Unan cada expresión con su equivalente a. (x + 3) -3x + 2 b. -3 . (5x - 1) -15x - 3 Factorizar es expresar una expresión matemática como producto y en función de sus factores. c. -1 (3x2 + 2) -15x + 3 Por ejemplo: d. -1(-2 + 3x2) -3 + x 8=4.2 e. -3 (-5x + 1) -1(-x - 3) 6 + 10 = 2 . (3 + 5) f.f. -3 . (1 + 5x) -3x2 - 2 g. -(3 - x) 15x - 3 Aplicando la inversa de la distributiva, una suma se transformó en un producto. 2 9. ¿Por ¿ Por qué no es correcta correcta la siguiente expresión? expresió n? (3 + x)2 = 32 + x2 10. Con los siguientes monomios, armen un polinomio que corresponda al desarrollo de los cuadrados de los binomios: 2x x2 4 4x4 1 4x 2 4x Cuando hay una expresión algebraica, para factorizar, se deben encontrar otras tales que al ser multiplicadas entre sí den por resultado la expresión de partida. Se deberá pensar de manera inversa a la propiedad distributiva. Por ejemplo: Nuevamente, aplicamos la inversa de la distributiva. a. (x + 1)2 = x2 + x = x . (x + 1) b. (2x - 1)2 = La diferencia de cuadrados, se obtiene del producto de binomios b inomios conjugados. c. (2x2 + 1)2 = d. (x - 2) = 2 x2 - 4 = (x - 2) . (x + 2) El trinomio cuadrado perfecto es el producto de dos binomios iguales. x2 + 2x + 1 = (x + 1) 2 = (x + 1) . (x + 1) 75 Capítulo pítulo 4 Ca Ecuaciones Una ecuación es una igualdad donde hay al menos un valor desconocido. Resolverla implica encontrar todos los valores posibles de la incógnita que hagan la igualdad verdadera. Dada la expresión algebraica 3x+2, si su valor numérico es 23, ¿cuál fue el valor que se le asignó a la x? 3x + 2 = 23 3x + 2 - 2 = 23 - 2 3x + 2 2 = 21 3x = 21 3x : 3 = 21 : 3 x= 7 Cuando la x toma valor 7, la expresión expresión algebraic algebraicaa tiene tiene valor numérico 23. Piensen la siguiente igualdad: 3x2 + 5 = -22 ¿Cuál es el valor de x? 3x2 = -22 - 5 3x2 = -27 x2 = -27 : 3 x2 = -9 x = 2√√-99 Esta ecuación no tiene solución en los conjuntos conjuntos numéricos numéricos que conocen, conocen, esto quiere quiere decir que no hay un valor de x que haga que el valor numérico de la expresión sea -22. ¿Cuántas ¿Cuánt as soluciones puede tener una ecuación? 3.x+2=8 x2 + 7 = 32 3.x=8-2 x2 = 32 - 7 3.x=6 x2 = 25 x=6:3 x = √25 x=2 x = 5 y x = -5 S = {2} S = {5; -5} 3.x+2-x-2.x=5 3.x-x-2.x=5-2 0.x=3 5.x+3-5.x=3 5.x-5.x=3-3 0.x=0 0=0 0 = 3 esto es un absur- En este caso, la ecuaEn este caso, obtene- En este caso, obtene- do, ocurre en las ecua- ción tiene infinitas somos una única solu- mos dos soluciones ciones que no tiene luciones. Esto implica ción, esto quiere decir ya que tanto el 5 como solución. No hay nin- que cualquier valor que gún número que veri- le demos a la incógnita que solo el 2 verifica la el -5 verifican la igual- fique la igualdad. verifica la igualdad. igualdad. dad. S=Ø S=ℝ 76 algebraicas aicas Expresiones algebr n √xn = x si n es impar n √xn = |x| si n es par Ejemplo: x2 = 49 x3 = 27 3 2 √x = √49 |x| = 7 porque 72 = 49 y (-7)2 = 49 3 3 √x = √27 x = 3 porque 33 = 27 Las ecuaciones que poseen la misma solución reciben el nombre de ecuaciones equivalentes. Por ejemplo: 5x - 1 = 9 3x + 8 = x + 12 5x = 9 + 1 3x - x = 12 - 8 5x = 10 2x = 4 x = 10 : 5 x=4:2 x=2 x=2 Estas dos ecuaciones son equivalentes ya que poseen la misma solución siguientes ecuaciones, clasifiquen según la cantidad de soluciones que poseen e 1. Resuelvan las siguientes indiquen si hay algunas que sean equivalentes. a. 2 . (2x - 3) = 6 + x h. 5 = b. 4 . (x - 10) = -6 . (2 - x) - 6x i. (x + 4)2 = 144 c. j. x2 + 4 = 30 - 50 =5 k. 5x + 2 = d. √x + 3 = 3 e. 2(x + 1) - 3(x - 2) = x +6 l. 4 - 3x = 3 + ff.. 2√x - 10 = -1 . 22 m. 6x2 + 10 = -14 + 10x - 7x g. 4 + x = 2. Expresen, en lenguaje simbólico, los siguientes enunciados y resuelvan: a. Calculen un número, sabiendo que la suma entre él y su mitad es 39. b. ¿Cuáles ¿Cuáles son las dimensiones de un campo de juego, sabiendo que el ancho es el doble del largo y que su perímetro es de 294 metros? c. La suma de dos números enteros consecutivos es 27. ¿Cuáles son esos números? d. Mateo tiene el doble de dinero que su primo Federico. Si entre los dos tienen 1500 pesos, ¿cuánto tiene cada uno? 77 Capítulo pítulo 4 Ca e. En una granja, hay 17 gallinas más que los gallos. Si en total hay 1087 animales, ¿cuántas gallinas y gallos hay? f.f. Indiquen tres números pares consecutivos que sumados den 42. g. El triple del anterior de un número es igual a 18. ¿Cuál es el número? h. El opuesto de un número aumentado en 5 unidades da por resultado cero. ¿De qué número se trata? i. El doble de la diferencia entre el doble de un númer número o y tres es seis. ¿Qué número número es? j. La diferencia entre entre el triple de un número número y cuatro es igual a dicho n número úmero aumentado en seis unidades. ¿De qué número se trata? 3. En cada enunciado, falta una coma. Escríbanla en el lugar correcto para que la afirmación sea verdadera. a. El triple de 10 más 4 es igual a 34. b. El triple de 10 más 4 es igual a 42. c. La cuarta parte de 16 aumentado en 8 da por resultado 12. d. La cuarta parte de 16 aumentado en 8 da por resultado 6. 4. El orden en el que decimos las cosas también modifica el resultado. Planteen los siguientes enunciados y resuelvan: a. La raíz cuadrada de la suma entre un número y 5 es igual a 2. b. La suma entre la raíz cuadrada de un número y 5 es igual a 2. entree el doble de un número y 3 da por resultado 12. c. El cuadrado de la diferencia entr d. La diferencia entre el doble del cuadrado de un número y 3, da por resultado 6. e. La diferencia entre el cuadrado cuadrado del doble de un número y 3 da por resultado 33. ff.. El siguiente del doble de un número es igual a 21. g. El doble del siguiente de un número es igual a 22. 5. Unan cada ecuación con la solución correspondiente: a. x=1 b. x= - c. x=0 d. x=6 x= e. 78 algebraicas aicas Expresiones algebr 6. Algunas con irracionales: irracionales: a. √3 + x = √27 c. 3x2 + 6 = 2x2 + 18 e. 2 3√50 - 3/4 x - √2 . (5 - √2 ) = -5 b. 5x - 3√2 = 2x + √8 d. 3√27 + 5x = (3√2 )2 ff.. 3 3√11 + 2/3 3√44 + 11x = 3 . ( 3√11 - 3) 7. Resuelvan llos os acertijos y planteen planteen las ecuaciones. a. Bianca es 12 años menor que Nehuén, y dentro de 7 años Nehuén tendrá el doble de años que Bianca. ¿Cuál es la edad de cada uno? b. Encuentren un número de tres cifras, en la cual la primera cifra es el doble de la segunda, la terceraa el triple de la segunda y la suma de las tres es 12. tercer c. Se tiene el mismo número de cajones de naranjas naranjas y peras. Cada caja de naranjas trae 17 unidades y las de peras 13 unidades. Si en total hay 180 frutas, ¿cuántas cajas hay de cada tipo? d. Matías recorrió la tercera parte de una maratón, si aún le quedan 15 kilómetros, ¿cuál es la distancia total del recorrido? 8. En un romboide, la diagonal menor es la tercera parte que la mayor y su área es de 37,5 cm2. Calculen las longitudes de sus diagonales Área = 9. Cuando una rueda de una bicicleta da una vuelta recorre 125,6 cm., ¿cuál es la longitud de los rayos? Redondeen Redondeen a los centésimos. centésimos. Long. de la circunferencia = 2 . π . r 10. El siguiente cuadro muestra la cantidad de materias que deberán rendir en diciembre los 34 alumnos de tercer año, pero algunos de esos datos Canti tiddad de alu alumn mnos os Canti tida dadd de ma mater eria iass 15 5 A 5 1 0 1 2 3 B faltan. Calculen los datos faltantes de A y B sabiendo que x = 1,18 (valor redondeado a los centésimos). x es la división entre la suma de todos los registros (cantidad de materias por cantidad de alumnos) y la cantidad de alumnos 11. Dada la siguiente fórmula, en cada caso, reemplacen por los datos y calculen el faltante. Vf = Vi + A . T Vf = velocidad final A = aceleración aceleración Datos a. Vf = 30 m/s A = 5 m/s2 T = 60 s b. V f = 25 m/s Vi = 7 m/s T=3m 2 Vi = velocidad inicial T = tiempo c. Vf = 0 m/s Vi = 50 km/h A = -7 m/s 79 Capítulo Ca pítulo 4 PARA SABER MÁS En la expresión el 3 está dividiendo, es equivalente a (5x + 2) : 3. Recordar que la división con respecto a la suma o resta es distributiva, solo si el divisor está a la derecha. Se lee de izquierda a derecha. (5x + 2) : 3 5x : 3 + 2 : 3 Distribuimos La división se puede expresar como fracción x+ Por lo tanto, cuando hay una expresión del tipo , se puede expresar como Inecuaciones Una inecuación es una desigualdad entre dos miembros, donde hay por lo menos una incógnita. Por resultado, obtenemos un conjunto de números, el cual lo podemos representar en la recta como un intervalo de números. Lenguaje coloquial Todos los números menores que a Inecuación (-∞; a) x<a a x≤a Todos los números mayores que a x>a Todos los números mayores que a y menores o iguales a b Intervalo ) Todos los números menores o iguales que a Todos los números mayores o iguales que a Recta numérica ] (-∞; a] a ( a (a; +∞) [ [a; +∞) x≥a a ( ] a b a<x≤b (a; b] Los intervalos serán cerrados, abiertos o semiabiertos , según incluyan ambos, ninguno o alguno de los extremos respectivamente. respectivamente. Las inecuaciones en las cuales la incógnita está afectada por sumas y restas, se resuelven igual que las ecuaciones, siguiendo las mismas propiedades. 80 algebraicas aicas Expresiones algebr Por ejemplo: En un ascensor, la carga máxima es de 200 kg. Si suben tres amigos, uno de ellos pesa 78 kg y el otro 60 kg. ¿Cuál puede ser el peso del tercer pasajero para para no superar la capacidad del ascensor? 78 kg + 60 kg + x kg ≤ 200 kg x ≤ 200 - 78 - 60 x ≤ 62 El peso del tercer amigo debe ser igual o menor a 62 kg y como hablamos de personas deberá ser mayor a cero. Las inecuaciones en las cuales la incógnita está multiplicada o dividida por un número negativo, se resuelven teniendo en cuenta que se invertirá el signo de la desigualdad al multiplicar o dividir ambos miembros por dicho número. -2x + 10 < 30 Por ejemplo: -2x < 30 - 10 -2x < 20 El intervalo corresponde a todos los números mayores a -10. -2x : (-2) > 20 : (-2) x > -10 Las inecuaciones al igual que las ecuaciones se pueden verificar, reemplazando la incógnita por alguno de los valores del conjunto solución. En el ejemplo anterior, obtuvimos que los números deben ser mayores a -10. Entonces, podemos tomar del -9 en adelante. -2x + 10 < 30 Se cumple la desigualdad ya que 28 es menor a 30. -2 . (-9 (-9)) + 10 < 30 18 + 10 < 30 28 < 30 Tomemos un valor que no pertenezca a la solución, por ejemplo, -11 -2 . (-11) + 10 < 30 22 + 10 < 30 32 < 30 Esto es un absurdo ya que 32 no es menor a 30. El -11 no verifica la inecuación ya que no pertenece al conjunto solución. Falso (F), según corresponda. corresponda. 1. Indiquen Verdadero (V) o Falso a. -6 ɛ (-6,0) c. 1 ɛ (-1,5) e. -6 ɛ [-6,0] g. b. 7 ɛ [6,7] d. 7 ɛ [6,7) f.f. 0 ɛ [-1,1] ɛ (1,3] 81 Capítulo pítulo 4 Ca 2. ¿Cuántos ¿Cuántos litros de pintura de 350 $/litro debemos mezclar con seis litros de otra pintura de 500 $/litro, para que el precio de la mezcla sea inferior a 400 $/litro? 3. Expresen en lenguaje algebraico y resuelvan: a. La mitad de un número disminuido en 10 unidades es menor a 7. número y 2 es mayor o igual a la suma entre su b. La diferencia entre las tres cuartas partes de un número mitad y 5. c. El perímetro de un rect rectángulo ángulo cuya base es 3 cm mayor que su altura, es me menor nor a 50 cm. d. El doble de un número aumentado en tres unidades es mayor a la diferencia entre 10 y dicho número. e. La suma de tres números pares consecutivos consecutivos es menor o igual a 132. 4. Resuelvan las siguientes inecuaciones, expresando la solución como intervalo y en la recta numérica. a. -5x + 3 > 4x + 3 f.f. b. -x - 8 ≤ -3x + 2 c. 2 . (x + 1) – 3 . (x - 2) < x + 6 g. h. x - √2 ≥ 0 d. i. 2 - x .(-3) + 4 . - x + e. √(x - 1) ≥ 5 j. + >0 -x+2<0 5. Justifiquen cada uno de los pasos que se realizaron para resolver la siguient siguientee inecuación. ≤8 .x≤8.x 6≤8.x .6≤ .8 ≤1 ≤1 6. ¿Cuáles son los números enteros múltiplos de 4 que satisfacen la siguiente inecuación? x + 2 < 3x + 1 7. Una camioneta de carga tiene un peso de 875 kg. La diferencia entre el peso de la camioneta con carga y el peso de la camionet camionetaa vacía no debe ser superior a 415 kg. Si hay que carg cargar ar cuatro cajas iguales, ¿cuánto debe deb e pesar, como máximo, cada una de ellas para poder llevar llevarlas las en la camioneta? 82 Expresiones algebr algebraicas aicas 8. Expliquen cuáles son las principales diferencias entre una ecuación y una inecuación. 9. Camila dice que la solución a la siguiente inecuación es el intervalo (10; ∞). ¿Es correcto lo que indica Camila? ¿Cómo pueden darse cuenta sin resolver la inecuación? x + 3 > 5x - 1 10. Planteen el siguiente enunciado y luego respondan. La suma entre el doble de un número y el triple de otro es mayor a 10. a. Den un par de d e números que verifiquen la inecuación. ¿Cuántas soluciones hay? b. ¿Cuántas c. ¿Se pueden representar las soluciones en la recta numérica? ACTIVIDADES ACTIVID ADES INTEGRADORAS algebraicas, realicen realicen las operaciones pedidas: 1. Dadas las siguientes expresiones algebraicas, P(x) = 5x3 + 2x - S(x) = x3 + 2 T(x) = -8x2 + 2x a. P(x) + S(x) c. (P(x) - T(x)) . 5 + S(x) e. –P(x) + S(x) . b. 3 . P(x) + 2 . T(x) d. S(x) . T(x) ff.. T(x) . P(x) + 40x5 2. Desarrollen los siguientes siguientes productos y potencias: 2 g. 2x + d. 5x - x2 a. (3x + 4)2 b. x+2 2 c. (2x3 - 5)2 e. (x + 3)3 g. 2 . x2 . S(x) + P(x) - (-T(x)) i. . 2x - h. (x3 - x2 ) . (x3 + x2) x2 + 1 . x2 - 1 j. (√3 - 2)2 ff.. (2x2 - 1)3 3. Expresen como producto (factoreen) las siguientes expresiones: a. 25 x2 - 4 = c. 6x3 + 3x2 + 9x = e. x6 - 1 b. x2 + x + 1 = d. x4 + 6x2 + 9 = ff.. x+ x3 - x6 = 4. Resuelvan las siguientes situaciones: a. Un tanque de agua se vacía en 15 horas con los dos desagotes abiertos. Uno de los desagotes tarda el doble que el otro. Calculen el tiempo que tarda cada desagote d esagote en vaciar el tanque. 83 Capítulo pítulo 4 Ca b. Si se aumentan dos centímetros, la longitud de las aristas de un cubo, el volumen del mismo aumenta 218 cm3. Calculen la medida de las aristas. c. En un triángulo rectángulo rectángulo,, el cateto menor mide 3 cm y la hipotenusa, 3 cm más que el cateto mayor.. Calculen la longitud de cada uno de los lados del triángulo. mayor d. En un negocio de ropa, venden un pantalón y una camisa ambos al mismo precio, pero sobre el pantalón aplican un 30 de descuento y sobre la camisa, un 10. Calculen el precio original de las prendas, si en total por ambas se pagó $1600. 5. Hallen el valor de x: a. b. e. (x + 2)2 = 4 + (x - 1)2 - 3x = . 5- + 6 = 3x - 2 c. 1,2 x - 3 . (0,1 - x) = d. ff.. 7 + 2√5x - 2 = 9 g. 2(x + 1) - 3(x - 1) . (x + 1) = -3 . (x - 1)2 x h. 8 = 2x = siguiente ecuación corresponde a la fórmula de aaceler celeración, ación, reemplacen por los datos dados 6. yLacalculen la incógnita. incógnita. Datos a. a = 5m/s2 Vf = 15 m/s Vi = 0 m/s Ti = 0s b. a = -3m/s2 Vi = 25 m/s Tf = 8 s Ti = 2s c. a = 10m/s2 Vf = 8 m/s Tf = 5 s Ti = 0s d. Vf = 20m/s Vi = 0 m/s Tf = 10 s Ti = 3s 7. El lado de un rombo es de 5 cm. Si sus diagonales miden lo mismo, ¿cuál es su longitud? 8. Resuelvan y expresen la solución en la recta y como intervalo. a. 2 - -2 . (x + 1) - ≤ b. (x + 2) . (x - 2) > x2 + 5 c. (2x - 3)2 + 5 ≥ 3x - 1 + 4x2 d. 3,22 . x - 1) < 2√0,1 x e. √7 - x ≤ 2x + √28 ff.. -3x2 + 12 > 21 - + 3x 84 algebraicas aicas Expresiones algebr 9. Unan con flechas cada inecuación con su conjunto solución. a. 3x - 1 ≥ 5 b. -3x - 1 > 5 c. 3x + 1 ≤ -5 d. -3x + 1 ≤ -5 e. 3x - 1 ≤ 5 (-∞; -2] [2; ∞) (-∞; -2) Ninguna de las anteriores 10. Resuelvan los siguientes problemas: a. Mailén tiene 20 años menos que Patricia. Si las edades de ambas suman menos de 86 años, ¿cuál es la mayor edad que podría tener Mailén? b. Bianca va al cine con sus primos y tiene t iene $2000 para las entradas. Si compra entradas par paraa el cine 2D a $200 cada una le sobra dinero, pero si compra para 3D de $350 le falta. ¿Cuántos primos tiene Bianca? c. ¿Par ¿Paraa qué valores de x, el perímetro del triángulo de lado x es mayor al perímetro del rectángulo de base x y altura 4 cm? d. Matías está buscando trabajo y le ofrecieron, un sueldo básico de $5000 y $100 por cada artículo vendido. ¿Cuántos artículos debe vender como mínimo para obtener un sueldo superior a $10.000? 85 Capítulo 5 Funciones Funciones Recordando lo aprendido El lenguaje de los gráficos Los gráficos permiten poner de manifiesto visualmente las relaciones que hay entre distintos datos obtenidos. Podemos ver su comportamiento a lo largo del tiempo o su variación según se modifiquen las condiciones. Se pueden encontrar gráficos para comprender los procesos económicos, situaciones relacionadas con la medicina y la geografía, entre otros. Poder leerlos, comprender su lenguaje y extraer conclusiones es una gran herramienta. ACTIVIDAD 1. El siguiente gráfico muestra la velocidad de un auto de competición durante un tramo de la carrera. Velocidad Velocidad en km/h 200 150 100 50 0 10 15 20 50 Respondan: a. ¿Cuándo llega el auto a 100 km/h? b. ¿En qué momento alcanzó la velocidad máxima? 60 70 90 110 minutos d el circuito? c. ¿Cuánto tardó el auto en recorrer esta parte del 87 Capítulo pítulo 5 Ca 2. El siguiente gráfico muestra la distancia recorrida por un u n caracol a medida que transcurre el tiempo. Distancia en metros 600 500 400 300 200 100 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Respondan: a. ¿Qué distancia recorrió en las primeras dos horas de marcha? b. ¿Durante cuánto tiempo estuvo detenido? c. ¿Cuánto tardó en recorrer 300 m? d. ¿Qué distancia recorrió entre las dos paradas? ¿Cuántos metros recorrió durante las tres últimas horas? e. ¿Cuántos 3. Den las coordenadas de los siguientes barcos: y 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 1 -1 -2 -3 -4 2 3 4 5 x horas 88 Funciones 4. Dibujen los barcos según las coordenadas dadas: a. (0; 3), (1; 3), (2; 3) b. (-4; -2), (-3; -2), (-2; -2) c. (5; -3), (5; -4), (5; -5) d. (1; 1), (1; 0), (1; -1) y 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 2 3 4 5 6 7 -1 x -2 -3 -4 5. Completen las tablas y grafiquen a partir de las fórmulas dadas: a. y = 3 . x - 3 x b. y = x2 + x - 6 x y 1 -1 2 -2 0 3 x y 1 -1 2 -2 0 -3 y 3 3 3 2 2 2 1 1 1 -1 1 -1 2 3 x -3 -2 -1 1 -1 y -1 1 -3 3 0 -4 y y -2 c. y = -2 . x 2 x -4 -3 -2 -1 1 -1 -2 -2 -2 -3 -3 -3 2 3 x 89 Capítulo pítulo 5 Ca 5. En los siguientes ejes cartesianos, hay errores, identifíquenlos. x -3 -2 y -4 4 -3 3 -2 2 -1 1 -1 1 2 3 4 -1 y -6 -5 -2 -3 -2 1 3 4 5 -1 -2 -2 -3 -3 y -4 -1 x y 4 4 3 5 2 6 1 7 -1 2 -1 4 6 8 x -6 -5 -4 1 0 -2 -1 -3 -2 2 3 x 6. Completen: El eje de las x recibe el nombre de eje de las ………………….. y, en él, se colocan los valores de la variable ………………….. En el eje de las y, colocamos los valores valores de la variable …………………... y recibe el nombre de eje de las ………………….. Concepto de función La matemática nos permite interpretar fenómenos naturales y creados por el hombre, en los que se relacionan distintas magnitudes entre sí (peso, tamaño, espacio, tiempo, velocidad), y analizar cómo varían. Mediante fórmulas sus gráficos, las entre funciones nos permiten plasmarPara esasque relaciones, pero escumplir importante recordar que yno toda relación variables es una función. lo sean deben que a cada uno de los valores de la variable independiente le corresponda uno y solo un valor de la variable dependiente. dependiente. 90 Funciones Paraa que esto sea así, se debe cumplir con la condición de unicidad y existencia. Par La existencia significa que, a cada valor de la variable independiente (x), le debe corresponder al menos uno en la variable dependiente (y). y E f (x0) = x0 x La unicidad significa que, para cada valor de la variable independiente, debe haber un único valor de la variable dependiente. y y2 f (x0) = y1 y1 f (x0) = y2 x0 x Por lo tanto los dos gráficos anteriores no son funciones, ya que no cumplen cu mplen al menos con una de las condiciones dadas. 1. Indiquen cuáles de los siguientes gráficos representan funciones definidas de ℝ → ℝ. Justifiquen sus respuestas. a. b. 5 -5 -4 -3 -2 -1 4 4 3 3 2 2 1 1 0 -1 -2 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 1 2 3 4 5 -3 -3 91 Capítulo pítulo 5 Ca c. d. 4 4 3 3 2 2 1 1 0 -4 -3 -2 -1 0 -1 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 2 3 4 5 -2 -2 -3 -3 e. 1 -1 f.f. y 3,5 3 2,5 2 1,5 x 1 0,5 -2 g. 0 2 4 6 2 4 6 h. 4 1,5 3 1 2 0,5 1 -2 -2 0 2 4 6 -1 0 -1 -2 -2 -3 2. Dadas las siguientes tablas y gráficos de conjuntos, indiquen sin graficar cuáles corresponden a funciones. Justifiquen. a. b. c. x y x y x y 1 0 -1 2 3 2 1 1 -1 2 3 4 -1 0 1 0 2 4 2 -2 3 5 4 0 0 2 -2 -2 4 0 4 5 6 -1 -2 0 92 Funciones d. x y 1 e. x y 5 2 1 -6 2 7 3 0 4 5 -6 3 7 4 0 3 3. Analicen las siguientes relaciones e indiquen cuáles son funciones. Justifiquen sus respuestas. a. La cantidad de autos que pasan por un peaje a lo largo de un día b. Nombre de las mascotas de los alumnos de segundo año c. Deporte que practican las mujeres de seg segundo undo año d. Tiempo que cada alumno le dedica al estudio Análisis isis de de gráfic gráficos os Anál Paraa analizar un gráfico, Par gráfico, se tienen t ienen en cuenta los siguientes elementos: Dominio (Dom(f)): conjunto de todos los valores de la variable independiente que se relacionan en la función. Imagen o (Img(f)): conjunto de todos los valores de la variable dependiente que se relacionan en la función. 93 Capítulo pítulo 5 Ca Conjunto de positividad (C+): intervalos reales de los valores de x, que determinan que la función sea positiva. Conjunto de negatividad (C-): intervalos reales de los valores de x, que determinan que la función sea negativa. Conjunto de crecimiento (C↑): intervalos reales de los valores de x, que cuando aumentan, también lo hacen los de y. Conjunto de decrecimiento (C↓): intervalos reales de los valores de x, que cuando aumentan, los de y disminuyen. Raíces o ceros C0: puntos en los cuales la gráfica corta al eje x. f(x) = 0 Ordenada al origen: punto de intersección con el eje y. f (0) = y c recimiento. Máximos y mínimos: puntos en donde la gráfica modifica su crecimiento. 94 Funciones y Ordenadas MÁX 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 0 -1 Mínimo relativo 1 2 3 4 5 -1 6 x Abscisas -2 -3 -4 Dominio: [-3; 6] C- = (4; 6) Imagen: [-3; 5] C↑ = (-2; 2) Raíces = (-2; 0),(4; 0) C↓ = (-3; -2) U (2; 6) Ordenada al origen: (0; 4) Máximo: (2; 5) C+ = (-3; -2) U (2; 4) Mínimo: (-2; 0) 1. Analicen los siguientes gráficos, teniendo en cuenta los ítems del ejemplo anterior. a. b. y y 4 4 3 2 2 1 -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x -4 -2 0 -2 -1 -2 -3 -4 2 4 x 95 Capítulo Ca pítulo 5 c. d. y y 4 4 3 2 2 1 -6 -4 -2 2 4 4 6 6 -2 x -6 -4 -2 -1 -2 2 x -3 -4 -4 2. Observen el grafico y respondan Verdadero (V) o Falso (F). Expresen de forma correcta las falsas. a. El gráfico corresponde a una función. y b. No tiene raíces. 8 c. Su ordenada al origen eess el punto (-4; 0). 4 6 2 d. Dominio = (-7; 8) e. Imagen = (-4; 8) -6 -5 -4 -3 -2 -2 1 2 3 4 5 6 x -4 f.f. C+ (-4; 9) -6 -8 g. C- (-7; -4) h. Es decreciente en todo su dominio. 3. Hagan un gráfico que cumpla las condiciones pedidas: C+ = (-2; 3) U (3; ∞) Ordenada = (0; 2) Raíz = (3; 0) PARA SABER MÁS Todos los puntos del plano están definidos por un par ordenado (x; y). Decimos que es un par, porque está representado por dos valores; y ordenado porque siempre el primero corresponde al valor de x, el segundo el valor de y. Intervalo creciente = (3; ∞) Si un gráfico corresponde a una función podemos expresar las coordenadas de un punto de la siguiente manera: Intervalo decreciente = (-2; 3) (4; -2) Para poder hacer el gráfico y que todos hicieran el mismo, ¿era necesaria toda la información que se dio?: ¿por qué?, ¿cuál podría evitarse? Se puede decir que: Mínimo = (3; 0) f (4) = -2 • La imagen de 4 es -2. • La preimagen de -2 es 4. • Lable función toma valor independiente esde 4. -2, cuando la varia- 96 Funciones 4. Observen la gráfica y completen: a. y Dom f = C↑ = Im f = C↓ = Raíces = f(4) = Ordenada = f(x) = 5 C+ = C- = Dom f = f(x) = -3 3 Im f = f(-3) = 2 Raíces = Ordenada = C+ = C- = 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x -2 -3 -4 b. y 5 4 1 -4 -3 -2 -1 0 -1 1 2 3 4 5 6 x -2 -3 -4 5. Completen la tabla a partir del gráfico: y 6 5 x 4 3 2 -1 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -2 -3 -4 y 1 2 3 4 5 6 x 3 0 -2 97 Capítulo pítulo 5 Ca 6. Observen el gráfico y respondan Verdadero (V) o Falso (F). a. El punto (2; 6) pertenece a la gráfica. gráfica. y 7 b. f(-1) = 5 6 5 c. El punto (-1; 9) no pertenece a la función. 4 3 d. La imagen de 4 es -3. e. La preimagen de 7 es 1. 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 3 1 2 4 5 6 x ff.. f(0) = 5 -2 g. f(-2) = 0 -3 -4 h. La raíz es (-2; 0). 7. Resuelvan: y 5 a. ¿Cuáles son las raíces? 4 b. ¿Cuál es la imagen de -5? 3 c. ¿Y cuál es la de 0? 2 d. ¿Cuál es la preimagen de 4? 1 - 10 -5 0 -1 5 10 x -2 e. ¿Y cuál la de -3? f.f. ¿En qué valores valores de x la función vale 3? g. Den tres valores de x con la misma imagen. -3 8. A partir del gráfico, completen con >, < o = según corresponda. y a. f(-2) … f(3) 6 5 b. f(0) … f(2) 4 c. f(-1) … f(-2) 3 2 d. f(5) … f(4) 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 5 6 1 2 3 -2 e. f(6) … f(-6) x f.f. f(-3) … f(-4) -3 9. Analicen las siguientes afirmaciones y justifiquen su veracidad. (Recuerden hacer una figura de análisis). a. Par Paraa que una relación sea función debe tener una sola raíz. b. Una función puede no tener raíces. raíces. c. Si hay más de una ordenada, la gráfica no es función. 98 Funciones Función lineal Las funciones pueden describirse por medio de fórmulas que relacionan las variables. Con ellas, se logra encontrar encontrar una forma general para cualquier valor de las variables. Por ejemplo: •y=2.x+6 y 10 9 Esta fórmula nos indica que para obtener los valores de “y” debemos multiplicar por 2 los valores de la variable independiente “x” y luego sumarles 6. 8 7 6 5 Otra forma de expresarlo: f(x) = 2 . x + 6 4 3 x y -1 0 1 2 . (-1) + 6 = 4 2.0+6=6 2.1+6=8 2 2 . 2 + 6 = 10 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -2 -3 f(-1) = 4 f(0) = 6 f(1) = … f(…)= 10 •y= Los valores de “y” se obtienen dividiendo a 10 por los valores de “x” f(x) = x y y 10 1 9 8 7 2 6 5 4 2,5 3 2 1 5 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x f(…) = 2 f(10) = … -2 -3 10 f(1) = 10 f(2) = 5 f(…) = 4 x 99 Capítulo pítulo 5 Ca Al conjunto de funciones cuya gráfica es una recta, se las denomina funciones lineales. La fórmula tiene una estructura particular que las diferencia de las demás funciones. y=a.x+b La ordenada al origen es el valor donde la función corta al eje y. La pendiente es la inclinación de la recta respecto del eje x. “a” y “b” pueden ser números reales, esto quiere decir que pueden ser fracciones, números positivos, negativos, etc. • La raíz es donde corta al eje x (la variable y toma el valor de cero). y=ax+b 0=ax+b -b = a x • La ordenada es el punto donde corta al eje y (la variable x toma el valor de cero). y=a.x+b y=a.0+b y=0+b y=b • La pendiente nos indica la inclinación de la recta, por lo tanto, si: y=a.x+b a > 0 (toma un valor positivo) será creciente a = 0 será constante y y y x a < 0 (toma valor negativo) será decreciente x x 100 Funciones 1. Completen: Función ¿Es lineal? Indicar el Indicar el Creciente/Decreciente/Constante Sí/No valor de “a” valor de “b” y=3.x+1 y = -2 . x2 + 3 y= .x-6 y = -x + y=4–7.x y = 11x y= +3 y=4 2. Indiquen la pendiente, ordenada y raíz para cada fórmula. Luego, realicen una tabla y grafiquen (ayuda: escriban la función de la forma y = a . x + b ). a. y = 3 . x + 6 b. x + y = 3 c. 3y - 2x = 8 d. y = 8 3. Completen las tablas, grafiquen las siguientes funciones y luego contesten lo pedido. y a. y = 2 . x – 3 x y 3 2 1 -3 -2 -1 Raíz = 1 2 3 4 x -1 Ordenada = -2 -3 y b. y = - . x + 1 x 3 2 y 1 -3 -2 -1 Raíz = 1 -1 -2 2 3 4 x Ordenada = 3 101 Capítulo Ca pítulo 5 c. y = -x + 2 x y y 3 2 1 -3 -2 -1 Raíz = 1 2 3 Ordenada = x 4 -1 -2 -3 PARA SABER MÁS • Se puede graficar una función lineal con tabla de valores Tabla de valor x y=2-x x+y=2 1 1 4 3 2 y=2-x 2 0 3 -1 1 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 -2 • Con la pendiente y ordenada x+y=2 y=2- 3 x 2 1 1 Pendiente -1 Ordenada 0 1 2 3 -1 -2 Se ubica la ordenada en el eje y y, desde allí, el denominador de la pendiente corre tantos lugares a la derecha y el numerador sube o baja dependiendo del signo: 2 1 -6 -4 -2 0 2 4 -1 -2 -3 -4 -5 5 3 6 102 Funciones • Con raíz y ordenada y 12 Se calculan estos dos puntos y se traza la recta que pasa por ellos, ya que para definir una recta son suficientes dos puntos. 9 6 3 y=3.x-9 Raíz: y = 0 0=3.x-9 0+9=3.x 9:3=x 3=x (3; 0) Ordenada: x = 0 y=3.0-9 y=0-9 y = -9 -12 -9 -6 3 -3 6 9 12 15 x -6 -9 -12 (0; -9) 4. Escriban la ecuación de las rectas graficadas teniendo en cuenta su ordenada y pendiente. y a. y b. 5 8 4 6 3 4 2 -6 2 1 -4 -2 0 -1 2 x 4 -6 -4 -2 -2 0 -2 2 4 x -4 c. 1,5 1 0,5 -2 -1 0 -0,5 1 2 3 -1 -1,5 -2 5. Grafiquen cada grupo de rectas en un mismo sistema de ejes cartesianos, cada una con un color diferente. Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 f(x) = 3 . x - 2 f(x) = 2 . x + 3 f(x) = -2 . x + 2 f(x) = - g(x) = 3 . x + 3 g(h) = - . x + 4 g(x) = -3 . x + 3 g(x) = 4 . x - 1 .x-2 h(x) = 3 . x h(x) = - .x+2 103 Capítulo Ca pítulo 5 Respondan: a. ¿Qué similitudes y diferencias encuentran entre las rectas del grupo 1? b. Comparen las rectas del grupo 1 y grupo 3. ¿Qué conclusiones pueden extraer? c. ¿Qué pparticularidad articularidad tienen las rectas del grupo 2 y 4? PARA SABER MÁS Vimos que que la pendiente pendiente es la la inclinación inclinación que que una recta recta ten tendrá drá con con respecto respecto al eje eje x. Si dos rectas rectas poseen la misma pendiente, entonces tendrán la misma inclinación, por lo tanto, al graficarlas quedarán paralelas. y 6 Ejemplo: y = 5 . x + 10 10 8 y=5.x-5 6 4 2 -5 -4 -3 -2 -2 1 2 3 4 5 6 x -4 y = x 5 + -6 0 1 -8 - y = 5-10 x -12 5 -14 En el caso de que las pendientes sean opuestas (diferente signo) e inversas, al graficarlas quedarán perpendiculares (se cortan determinando ángulos de 90°). Ejemplo: y = -3 . x + 6 y y= x+3 7 6 5 3 1 — x+ 3 y= 4 3 2 1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 5 y = 3 x + 6 x 104 Funciones 6. Dada la función función y = . x + 3 indiquen Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda. Justifiquen sus respuestas (de ser necesario realicen el gráfico). a. Es una función lineal. e. Su raíz es -4. b. Su ordenada al origen es 4. f.f. y = . x + 2 es paralela a la dada. función creciente. creciente. c. Es una función g. Su pendiente es 3. d. Corta al eje “y” en 3. 7. Unan cada función con el gráfico correspondiente. a. y = -5 . x + 2 b. y = 5 . x + 2 c. y = -5 . x - 2 y y 7 y 4 6 3 5 4 2 1 d. y = 5 . x - 2 y 4 7 3 6 2 1 3 5 4 2 -2 -1 1 2 x 3 -3 -2 -1 -2 1 -2 -3 -2 -1 -4 -2 -3 -5 1 2 1 2 3 x 2 1 -3 x -4 -3 -2 -1 -5 -6 -4 1 2 3 x -2 -3 -7 -4 8. Sin graficar, graficar, indiquen cuáles de las siguientes fórmulas corresponden a rectas paralelas y cuáles a perpendiculares: a. y = .x+6 b. y = 3 . x - 1 c. y = -3 . x - 1 d. y = 3 . x + e. y = - • f(0) = … • f(-2) = … • f(x) = 0 • f(x) = 12 Ordenada = …… Pendiente = …… 9. Dada la función y = -4 . x + 16: a. Calculen: • f(2) = … b. Grafiquen. c. Completen: Raíz = …… d. Den la fórmula de una función lineal paralela a la dada cuya ordenada sea -8. perpendicular, que pase por el origen de coordenadas. e. Den la fórmula de una función perpendicular, .x-6 105 Capítulo Ca pítulo 5 10. Encuentren la función que a cada número real le hace corresponder el siguiente de su doble. Grafiquen. 11. Dada la función f(x) = -4: PARA SABER MÁS a. Grafiquen. b. Respondan Verdadero (V) o Falso (F) y justifiquen sus respuestas. • Es una función decreciente. • Posee ordenada al origen en y = -4 -4.. • No posee raíz. • Su pendiente es nula. 12. En las siguientes funciones lineales “desordenadas”, encuentren la pendiente y ordenada al origen: a. 4.x+2.y=6 b. 2 – y = . x c. Las funciones lineales se pueden expresar de diferentes formas: Explícita: si viene dada como y = f(x), es decir, la variable dependiente y está despejada. Ejemplo: y = -3 . x + 10 Implícita: si viene dada de la forma f(x, y) = 0, es decir, si la función se expone como una expresión algebraica igualada a 0. Ejemplo: 3 . x + 2 . y = 0 Canónica o segmentaria: expresión de la recta en función de los puntos de intersección con los ejes de coordenadas. .y-x=8 a es la raíz de la función y b, la ordenada al origen, a y b diferentes de 0. 13. Completen: Función Explícita Implícita Canónica o segmentaria 2.x+y=6 -2y + 3 = 2x 5x – y = 10 -7x - 3y = 1 14. Respondan: a. ¿Cuál es la mejor forma de expresar una función lineal si tenemos que graficarla? ¿Por qué? b. Par Paraa identificar si es creciente o decreciente, ¿qué forma es la más apropiada? 106 Funciones Sistemas de func funciones iones lineales 1. Remplacen cada letra por un valor, de manera que se cumplan las operaciones. Los números que pueden utilizar son: 0; 1; 2; 4; 6; 7. El 8 ya está colocado y es el único que hay. M P R P A S R E P S + E= M + = E+ E= S + = P + R= 8 + = 8 2. Grafiquen los siguientes pares de funciones en un mismo sistema de ejes e indiquen el punto en el que se cortan. a. y = 3 . x - 3 ; y = .x-3 b. y = - . x + 12 ; y = 2 . x + 1 c. y = -x + 6 ; y = x - 4 3. Dos autos viajan a una velocidad de 50 km/h, uno sale desde Buenos aires (km 0) y el otro desde Luján (km 60), ambos con destino a La Pampa. Las ecuaciones que representan la posición en función del tiempo son: Yb = 50 km/h . t yL = 60 km + 50 km/h . t a. Las ecuaciones anteriores ¿corresponden a funciones lineales? Justifiquen su respuesta. b. ¿Se cruzan estos autos en la ruta? ¿Por qué? c. Realicen un gráfico gráfico con ambas funciones. funciones. a utos salen con destino a La Pampa, Pampa, uno desde Buenos Aires (km 0) con una velocidad 4. Otros dos autos de 80 km/h y otro desde d esde Luján (km 60) a 50 km/h. a. Den la fórmula para cada auto que permita calcular la posición de cada uno en función del tiempo. gráfico de ambas funciones en un mismo sistema de ejes cartesianos. b. Realicen el gráfico ¿Cuándo? ¿A qué distancia de Buenos Aires? c. ¿Se cruzan en la ruta? ¿Cuándo? 5. ¿Siempre que grafiquemos dos funciones lineales en un mismo sistema de ejes cartesianos las rectas se cruzarán? Expliquen su respuesta y de ser necesario realicen un gráfico que lo demuestre. Resolver un sistema de dos funciones, consiste en calcular los valores de x e y que verifican ambas funciones en simultáneo. simultáneo. El valor de x que al ser reemplazado en las dos funciones, permite obte- Gráficamente, es el punto de intersección de las funciones. ner el mismo valor de y. Gráficamente, 107 Capítulo pítulo 5 Ca Por ejemplo: y y = 5 . x – 10 6 5 4 3 2 1 y=2.x-1 x 0 -1 y = 5 . x - 10 -10 -15 x 0 -1 2.x-1 -1 -3 2 3 0 5 2 3 3 5 Para x = 3 y=5 Esto significa que el punto (3; 5) es común a las dos funciones. -5 -4 -3 -2 -1 -2 -3 -4 -5 y = 2 x - 1 -6 -7 -8 -9 -10 (3,5) 1 2 3 4 5 6 y = x 5 - x 0 Los sistemas se suelen escribir con una llave. y = 5 . x - 10 Solución = (3; 5) y=2.x-1 Según la solución que se obtenga, los sistemas se pueden clasificar en: Sistemas Compatibles Incompatibles Indeterminadas Determinadas Se cortan en infinitos puntos. Se cortan en un punto. Solución = ∞ Solución = (x; y) Las rectas son coincidentes. coincidentes. Las rectas no se cortan (son paralelas, para lelas, ambas funciones lineales tienen la misma pendiente). Solución = ø 108 Funciones Compatible indeterminado Compatible determinado y = 3x - 3 y=3.x-3 y=3.x-3 y=x-6 y=3.x-6 y= .x-3 Incompatible y y y 6 x 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 y = x 3 - 3 ; -3 1 2 3 4 5 x 3 4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 x -4 -3 -2 -1 x 3 y 1 2 3 4 5 -3 -3 -4 -4 -5 -5 -5 -6 -6 -6 -7 -8 -9 -7 -8 -9 -7 -8 -9 y = x -6 -3 -4 Las rectas se cortan en un solo punto. Deben tener diferente pendiente. Las rectas no se cortan. Deben tener igual pendiente, pero diferente ordenada. Dado un sistema, para encontrar su solución, podemos recurrir a diferentes métodos. Métodos Gráficos x -2 -2 Deben tener igual pendiente y ordenada. y 2 1 -2 Ambas rectas son coincidentes en todos sus puntos. Por eso, hay infinitas soluciones. 3 = 3 y 2 1 x - 4 = 3 = 5 3 6 3x 6 6 5 1 —3 = y - Analíticos Igualación Sustitución Suma y resta Determinante 109 Capítulo pítulo 5 Ca Gráfico Este método consiste en graficar las dos funciones en un u n mismo sistema de ejes cartesianos y encontrar el punto donde se cortan. No es un método muy exacto, ya que, si alguno de los componentes es una fracción, es difícil de ubicar. ubicar. Pero nos da una aproximación al resultado. y=2.x+6 y=- .x+3 Cálculo de la raíz Cálculo de la ordenada y=2.x+6 y=- .x+3 y=2.x+6 y=- .x+3 y=2.0+6 y=- .0+3 0=2.x+6 0=- .x+3 y=6 y=3 0–6=2.x 0-3=- .x (0; 6) (0; 3) -6 : 2 = x -3: - =x -3 = x 6=x (-3; 0) (6; 0) y 6 5 (-1; 4) 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 y = x 2 + 6 - —1 2 .x+ 3 1 2 3 4 5 6 x -2 -3 -4 Solución = (-1; 4) -5 Analítico Analíticoss Estos métodos darán con exactitud el punto que tienen en común ambas funciones, aquí trabajaremos con el de sustitución e igualación. Igualación 3.x-y=6 2y – 8 = 4x 110 Funciones 1° paso: expresamos ambas funciones en forma explícita. 3.x-y=6 2y - 8 = 4x -y = 6 - 3x 2y = 4x + 8 y = (6 - 3x) : (-1) y = (4x + 8) : 2 y = -6 + 3x y = 2x + 4 2° paso: como estamos buscando el valor de x, que hace que ambas funciones tomen el mismo valor de y, debemos igualar ambas expresiones. y=y -6 + 3x = 2x + 4 -6 - 4 = 2x - 3x -10 = -1x -10 : (-1) = x 10 = x Encontramos que cuando la x, tome valor de 10 las funciones alcanzarán el mismo valor valor.. 3° paso: calculen el valor de y en ambas funciones. y = -6 + 3x y = 2x + 4 y = -6 + 3 . 10 y = 2 . 10 + 4 y = -6 + 30 y = 20 + 4 y = 24 y = 24 Ambos resultados dan igual, ya que partimos de la premisa que y = y Solución = (10; 24) Sustitución 3.x-y=6 2y - 8 = 4x Tomaremos el mismo sistema, ya que usemos el método que usemos, el resultado deberá ser el mismo. 1° paso: expresamos en forma explícita una sola de las funciones. 3.x-y=6 -y = 6 - 3x y = (6 - 3x) : (-1) y = -6 + 3x 111 Capítulo pítulo 5 Ca 2° paso: sustituimos el valor de y lo hallado en el paso 1 en la otra función. 2y - 8 = 4x 2 . (-6 + 3x) - 8 = 4x -12 + 6x - 8 = 4x -12 - 8 = 4x - 6x -20 = -2x -20 : (-2) = x 10 = x 3° paso: con el valor de x hallado, calculamos y. y = -6 + 3 . 10 y = -6 + 30 y = 24 Solución = (10; 24) ¡A PENSAR! 1. Dados los siguientes gráficos, indiquen el punto de intersección de las rectas y, luego, clasifiquen el sistema. -3 -2 y y 4 4 3 3 2 2 1 1 -1 1 2 3 -1 x -3 -2 -1 1 2 3 x 1 2 3 x -1 -2 -2 y y 3 2 2 1 1 -3 -2 -1 -1 -3 -2 -1 1 -1 -2 2 3 x -2 -3 112 Funciones 2. Resuelvan los siguientes problemas, planteando un sistema de funciones lineales, utilizando el método más conveniente. conveniente. a. En un edifico, hay 50 departamentos, algunos son de dos y otros de tres ambientes. Si en total hay 140 ambientes, ¿cuántos departamentos de cada tipo hay? b. En el estacionamiento, hay lugar para que 350 entre autos y motos. Si se cuentan las ruedas, hay1100. ¿Cuántas motos y autos hay? c. Mateo tiene $1800 ahorrados, entre billetes de $100 y $200. Si en total tiene 13 billetes, ¿cuántos tiene de cada tipo? d. La edad de Camila y su abuelo hoy suman 99 años. Si la edad del abuelo es 10 veces la de Camila, ¿qué edad tienen cada uno? e. Bianca pagó $50 por 3 kilos de mandarinas y 5 paquetes de acelga. Mailén, por 5 kilos de mandarinas y 7 paquetes de acelga, pagó $74. ¿Cuál es el precio de cada cosa? oferta de aerosoles. Los de ccolor olor salen $150 y el blanco, blanco, $100. Con ff.. Matías quiere aprovechar una oferta $1800, compró 14 aerosoles. ¿Cuántos blancos compró? g. Encuentren dos números tales que su suma sea 40 y su diferencia, 14. h. En un rectángulo, la base es el doble de su altura. Si su perímetro es de 30 cm, ¿cuál es la dimensión del rectángulo? 3. Unan cada sistema con el gráfico correspondiente: 2x + y = 5 x - 3y = -3 4x - 5y = 5 -5x + 5y = 20 2x - 6y = 6 -12x + 15y = -15 y y 3 2 2 1 1 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -3 x -1 -2 -2 -1 -2 y 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 1 -1 -1 1 -1 2 3 x 2 3 4 x -2 113 Capítulo pítulo 5 Ca 4. Indiquen un valor de “a” para que el sistema cumpla lo pedido. Justifiquen el valor dado. a. a.x+5=y Sistema incompatible 5x + 3 = y b. 4x + a = y Sistema compatible indeterminado 4x - y = a c. y+ x=6 Sistema compatible determinado 2y + ax = 3 5. Planteen las ecuaciones necesarias para averiguar el valor de la incógnita. La suma de dos vértices consecutivos es igual al valor indicado en el lado. 6x 6 4x y 10 5y 14 ? 2x ? 4y 22 5y 3 5y ? 1 6. Resuelvan por el método pedido. Por sustitución: Por igualación: Por método gráfico: a. a. a. x + 4y = 13 6x - 2y = -26 b. x - 6y = 17 -5x - 4y = -2 b. x + 6y = 18 x + 3y = 17 c. x + 5y = -25 -x - 2y = 10 3x - 3y = -6 x + 4y = 3 -6x - 3y = -39 b. x + 3y = -3 5x - 3y = -2 2x - 6y = -14 -4x - 4y = 16 c. x - y = -5 c. x + 3y = -7 -6x + y = 61 3x 114 Funciones 7. Comprueben si x = -2 e y = 5 es solución de los siguientes sistemas: x+y=3 2x + y = 1 2x + y = 2 -2x + 3y = 19 8. Encuentren las coordenadas de los vértices del triángulo que queda determinado por la intersección de las siguientes rectas: y=- x+2 y= x-2 y=5 9. Dos amigos caminan juntos mientras llevan llevan unas cajas. Uno de ellos se queja del peso y el otro le dice: “¿De “¿De qué te quejas? Si yo cargara con una de tus cajas, en total llevaría el doble que vos. En cambio, si vos cargaras con una de las mías, recién estarías llevando el mismo peso que yo”. ¿Cuántas cajas lleva cada uno? 10. Completen los valores de “a” y “b” para que el sistema tenga la solución dada. ax + 3 = y S = (1; 5) bx + 7 = y ACTIVIDADES ACTIVID ADES INTEGRADORAS 1. El siguiente gráfico representa representa la altura que alcanza un caracol en función del tiempo. mts y 8 6 4 2 5 -3 -2 -1 1 2 3 6 4 -2 7 x hs -4 -6 Respondan: 1. ¿Tiene sentido dibujar el segundo y tercer cuadrante? cuadrante? ¿Por qué? a. ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por el caracol? b. ¿Cuál es el intervalo de crecimiento? En términos del problema, ¿qué significa? c. ¿Qué representa representa F(5) = 0 en términos del problema? d. ¿En qué intervalos de tiempo descendió el caracol? 115 Capítulo pítulo 5 Ca e. Entre las horas 5 y 7, ¿qué piensan que le pudo pasar al caracol caracol?? f.f. A las 7 horas, horas, ¿cuántos metros metros recorrió? recorrió? 2. Realic Realicen en un gráfico que cumpla la condición de existencia, pero no la de u unicidad. nicidad. ¿Es una función? 3. Den la ecuación de la recta de una función lineal que cumpla en cada caso lo pedido: a. Pendiente decreciente y ordenada nula b. Ordenada -5 y pendiente 3 c. Pendiente 5 y que pase por el punto (0; -1) d. Paralela a la función y = 2x - 1 e. Una función constante constante que corte al eje y en -3 ff.. Ordenada 5 y perpendicular a y = 3 - 7x 4. Den la ecuación de la recta del siguiente gráfic gráfico: o: y 3 2 1 -3 -2 -1 1 2 3 x -1 -2 -3 5. Resuelvan: a. Por igualación: b. Por sustitución: x + 3y = -7 x - 3y = -8 x - 3y = 0 -6x + y = 61 -2x - 4y = -4 -6x - 2y = -20 c. Por método gráfico: 6. Respondan Verdadero (V) o Falso (F). Justifiquen sus respuestas. a. Una función puede tener más de una raíz. b. Una función puede tener más de una ordenada. c. Una función line lineal al puede tener más de una rraíz. aíz. d. Una función lineal creciente con ordenada positiva tiene raíz también positiva. e. Una función lineal creciente con ordenada negativa tiene raíz positiva. coordenadas tiene raíz en x = 0 y ordenada en y = 0. ff.. Una función lineal que pasa por el origen de coordenadas 116 Funciones 7. Den el valor de a y b para que se cumpla lo pedido. ax + y = b 4x + 2y = 8 a. Sea un sistema incompatible. indeterminado. b. Sea un sistema compatible indeterminado. c. Sea un sis sistema tema compatible. compatible. d. Para cada uno de los casos anteriores, ¿cuántas posibles respuestas hay? ¿Por qué? 8. Realicen un análisis del siguiente gráfico teniendo en cuenta los ítems dados e inventen una situación que pueda ajustarse a él. a. Dominio b. Imagen y 4 c. Raíces 3 d. Ordenada e. Intervalos creciente 1 ff.. Intervalos decrecientes 2 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 x 1 2 3 4 5 6 7 x -2 -3 g. Intervalos positivos h. Intervalos negativos y 9. El siguiente dibujo está hecho a partir de funciones lineales: Den las ecuaciones de las rectas con el dominio correspondiente a cada una, para que quede determinado el dibujo. 7 6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -2 -3 10. En un examen, las preguntas correctas suman un punto y las incorrectas restan medio punto. En total, hay 100 preguntas p reguntas y no se admiten respuestas en blanco (Hay que contestar todas). Si la nota de un alumno es de 80,5 sobre 100. Calculen el número de respuestas que contestó de forma correcta e incorrecta. 117 Capítulo 6 Geometría y magnitudes Geometría y magnitudes Recordando lo aprendido 1. Expresen las siguientes fracciones fracciones como número decimal: a. = b. = c. d. = e. = f. = 2. Unan con flechas las fracciones que representan el mismo número decimal: 3. Expresen en lenguaje algebraico y resuelvan las expresiones cuando sea posible: a. El cociente entre 10 y 7 b. La suma entre el doble de tres y 8 entree 40 y 5 c. La diferencia entr d. La mitad de la suma entre 17 y 9 e. El producto entre 8 y el opuesto de 12 4. ¿Cuáles de los siguientes triángulos son rectángulos? 60° 20° 45° 65° 25° 45° 5. Completen: • En todo triángulo, triángulo, la suma de los ángulos ángulos interiores interiores es de ……… ……… grados. grados. • Todo triángulo rectángulo posee un ángulo de ……… grados. grados. • En un triángulo triángulo rectángulo, rectángulo, el lado opuesto al ángulo ángulo recto rrecibe ecibe el nombre nombre de ……… = • Los lados que forman el ángulo recto de un triángulo rectángulo se llaman ……… ……… 119 Capítulo Ca pítulo 6 6. Hallen el valor de x en las siguientes ecuaciones: a. b. c. 7. Completen las siguientes siguientes tablas según las fórmulas dadas, luego grafiquen: y a. y = x + 2 x 3 y 2 2 1 0 -1 -2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 4 6 8 x -1 -2 -3 y b. y = 12 10 x y 1 0 2 3 4 6 8 6 4 2 -10 -8 -6 -4 -2 2 10 12 x -2 -4 -6 12 LECTURA Da Vinci y el hombre de Vitrubio Vitrubio fue un arquitecto arquitecto del siglo siglo I a. C., en uno de sus trabajos trabajos hace mención mención a las proporciones proporciones que debe respetar el cuerpo humano según los cánones de belleza dSe la época. Da Vinci fue el encargado de dibujar la tapa del libro que contenía algunas de las obras. El artista eligió trabajar con las proporciones que plantea Vitrubio en su libro. Lo siguiente es un extracto de lo planteado por el autor en su obra: 120 Geometría y magnitudes Primera parte: proporciones del cuerpo humano La naturaleza distribuye las medidas del cuerpo humano como sigue: que cuatro dedos hacen una palma, cuatro palmas hacen un pie, seis palmas hacen un codo, cuatro codos hacen la altura del hombre, cuatro codos hacen un paso y 24 palmas hacen un hombre. Desde el nacimiento del pelo hasta la punta del mentón, es la décima parte de la altura de un hombre; desde la punta del mentón a la parte superior de la cabeza, es un octavo de su estatura; desde la parte superior del pecho al extremo de su cabeza, será un sexto de un hombre. Desde la parte superior del pecho al nacimiento del pelo, será la séptima parte del hombre completo. Desde los pezones a la parte de arriba de la cabeza, será la cuarta parte del hombre. La anchura mayor de los hombros contiene en sí misma la cuarta parte de un hombre. Desde el codo a la punta de la mano, será la quinta parte del hombre; y desde el codo al ángulo de la axila, será la octava parte del hombre. La mano completa será la décima parte del hombre; el comienzo de los genitales marca la mitad del hombre. El pie es la séptima parte del hombre. Desde la planta del pie hasta debajo de la rodilla, será la cuarta parte del hombre. Desde debajo de la rodilla al comienzo de los genitales, será la cuarta parte del hombre. La desde parte inferior mentón la narizparte y desde nacimiento del pelo a las cejas es,distancia en cada caso, lalamisma, y, comodel la oreja, unaa tercera delelrostro”. Segunda parte: el cuadrado La longitud de los brazos extendidos de un hombre es igual a su altura. Tercera parte: el círculo Si separan las piernas lo suficiente como para que su altura disminuya 1/14 y, estiran y suben los hombros hasta que los dedos corazón estén al nivel del borde superior de su cabeza, deben saber que el centro geométrico de sus extremidades separadas, estará situado en su ombligo y que el espacio entre las piernas será un triángulo equilátero. Fuente: “El hombre de Vitrubio”. Disponible: <https://bit.ly/37Mnil1> Actividad Luego de la lectura, escriban, a través de expresiones matemáticas, las relaciones que se explican en ella. Por ejemplo: Distancia del pelo al mentón = . altura D = dedos P = palma 4D = P 121 Capítulo pítulo 6 Ca Razones y proporciones La razón es el cociente entre dos números, que permite compararlos y se expresa como fracción. Por ejemplo: Si los números a compar comparar ar son a y b, la razón entre ellos se escribe y se lee “a es a b” En el aula de 3° año, hay 10 mujeres y 15 varones. ¿Qué relación numérica hay entre el número de mujeres y varones? La relación numérica es “10 es a 15” o “10 de 15” o a — b Antecedente Antecedent e Consecuente b≠0 El resultado de la división del antecedente y consecuente es el valor de la razón. Dos razones son iguales, si al realiz realizar ar el cociente se obtiene el mismo número. Una proporción es una igualdad entre dos razones. a c —= — b d con b y d ≠ 0 Se lee: “a es a b, como c es a d” undamentall de las proporciones: el producto de los extremos es igual al producto de Propiedad undamenta los medios. a.d=b.c En el ejemplo anterior 122 Geometría y magnitudes Si los medios son iguales, la proporción es continua. razón entre a y b: 1. Calculen, cuando sea posible, la razón Es lo mismo hacer la razón a b 3 -6 -2 1 -4 -3 0 2 3 0 que Razón , ¿por qué? 2. Indiquen = o ≠; proporcional o no proporcional, según corresponda. a. c. e. b. d. ff.. 3. Sabiendo que las siguientes igualdades son propor- PARA SABER MÁS ciones, calculen el valor de x e indiquen cuáles son Propiedades de las proporciones Dada se verifica que: continuas. a. e. i. ± a±b c d —------- = —------b d b. ff.. j. ± ± + + a b c d —------- = —------a c c. g. k. d. h. l. a b c d —------- = —------a-b c-d Para tener en cuenta, en lenguaje matemático, el símbolo Ʌ representa la conjunción “y”. 123 Capítulo Ca pítulo 6 4. Apliquen las propiedades vistas para calcular los números desconocidos. a. La razón entre dos números es un tercio y la suma es 20. b. La diferencia entre dos números es 12 y su razón es c. La suma entre dos números es 42 y la razón es . . d. La razón entre dos números es 125 y su diferencia es 1. e. La suma entre dos números es 10,5 y su razón es es 1,1. f.f. = -3 Ʌ x+y= g. = 0,5 Ʌ x-y= h. La diferencia entre dos números es el opuesto de 5 y la razón es 0,583. i. María tiene $500 más que Alejandra, Alejandra, si la cantidad cantidad de dinero de María es a la de Alej Alejandra andra como 8 es a 6, ¿cuánto dinero tiene cada uno? 5. El perímetro de un rectángulo es de 128 cm y la razón entre las medidas de sus lados es 5 : 3. ¿Cuál es el área del rectángulo? 6. Si hay 33 vehículos entre autos y camionetas y la razón entre ellos 4 : 7, ¿cuántos autos hay? 7. Al taller de guitarra guitarra asisten 30 estudiantes. Si por cada 8 niños hay 7 niñas, ¿¿cuántos cuántos niños asisten al taller? 8. En un examen de 70 preguntas, se han contestado bien 45, ¿Qué porcentaje porcentaje se respondió correctamente? 9. ¿Qué medida tendría en la realidad una distancia de 3 cm en un mapa cuya escala es 1:50? 10. ¿Cuántos ¿Cuántos cm sobre un mapa con escala 1 : 10.000 representan representan 35 cm? PARA SABER MÁS Una escala es la relación que existe entre un objeto real y la representación que del mismo se hace. Existen escalas numéricas y gráficas. Las numéricas se expresan mediante una fracción que indica la relación entre la distancia entre dos lugares y su correspondiente correspondiente en el terreno. Por ejemplo, si vemos en un mapa 1: 50.000, esto quiere decir que 1 cm en el mapa corresponde a 50.000 cm o 500 m en la realidad. Estas escalas también las pueden encontrar en los autos de colección e indican cuánto más pequeño es el auto con respecto a uno real. 124 Geometría y magnitudes Proporcionalidad directa Abril y Camila quieren preparar una torta para el cumpleaños de su prima Bianca y saben que por cada 300 gramos de harina deben usar dos huevos. ¿Cuántos huevos son necesarios para 600 gramos de harina? ¿Y ¿Y para 900 gramos? Si se arman las razones dividiendo la cantidad de harina y huevos se obtiene: El cociente en todos los casos es 150, ya que la razón entre los gramos de harina y cantidad de huevos es constante. constante. En esta situación, intervienen dos magnitudes: • Gramos de harina • Cantidad de huevos Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando el cociente entre las cantidades que corresponden permanece constante. Este valor se llama constante de proporcionalidad y se representa con la letra K. Las situaciones de proporcionalidad directa se reconocen porque sus variables aumentan o disminuyen en la misma proporción. Si las variables se ordenan en una tabla y luego se grafican, se obtiene una función lineal que pasa por el origen de coordenadas. En el ejemplo dado: + Harina Huevos 300 600 900 150 0 2 4 6 1 0 + Huevos 8 7 6 5 4 3 2 1 100 200 300 4 00 5 00 600 700 800 900 1000 Harina 125 Capítulo pítulo 6 Ca ¿Cuantos ¿Cuant os huevos serían necesarios para 750 gramos de harina? Al ser una magnitud directamente proporcion proporcional, al, se puede plantear una proporción: Y aplicar la propiedad fundamental fundamental de las proporciones: 300 g . x huevos = 2 huevos . 750 g 300 g . x huevos = 1500 huevos . g x huevos = x huevos = 5 huevos De esta forma, conociendo tres de los cuatros valores, podemos plantear una ecuación y hallar el faltante. La fórmula que define la situación es y = 150 . x siendo x e y las magnitudes Proporcionalidad Proporcionalidad inversa Hay situaciones donde las variables se comportan de diferentes maner maneras: as: si una aumenta, la otra disminuye en la misma proporción. La constante de proporcionalidad se obtiene multiplicando las magnitudes. Matías y Felipe viajan desde Buenos Aires a San Luis a una velocidad constante de 100 km/h y tardan 10 horas en llegar. ¿Cuánto hubieran tardado si viajaban a 50 km/h y a 120 km/h? ¿¿YY si tardan 15 horas a qué velocidad viajaron? Veloc elocidad idad Tiemp Tiempoo V Si se analizan las variables, se observa que, si la velocidad disminuye, el tiempo de viaje aumenta y en el caso inverso si aumenta la velocidad se llegará más rápido a destino. 120 km/h 100 km/h 10 hs 50 km/h 15 hs En la situación en la que se viaja a 50 km/h, el tiempo de viaje será el doble, 20 horas. Al no ser magnitudes directamente proporcionales, no se pueden plantear las proporciones y aplicar la ley fundamental. Se debe trabajar con la constante: K = al producto de las magnitudes K = 100 . 10 …………………… K = 1000 K = 50 . 20 …………………… K = 1000 K = 120 . tiempo K = velocidad . 15 126 Geometría y magnitudes Si conocemos la constante podemos averiguar el valor faltante: 1000 = 120 . tiempo 1000 = velocidad . 15 1000 : 120 = tiempo 1000 : 15 = velocidad 8,3 = tiempo 66,6 velocidad Si se vuelcan los valores obtenidos ena un de ejes cartesianos, se tiene una curva cur va que recibe el nombre de hipérbola y corresponde unapar función racional. La fórmula que define esta situación es y = siendo x e y las magnitudes. Para resumir Proporcionalidad Directa Inversa • Función lineal • Función racional • Fórmula y = K . x • Fórmula y = • K = cociente entre magnitudes • K = producto entre magnitudes •K= •K=x.y • Gráfico = recta • Gráfic Gráfico o = hipérbola 1. Analicen los siguientes enunciados enunciados e indiquen si corresponden a situaciones de proporcionalidad directa, inversa o no son proporcionales. a. El número de objetos que se compran y el precio a pagar. b. La capacidad de un envase y la cantidad de envases necesarios para envasar 50 litros de aceite. c. La edad de una persona y la ccantidad antidad de hijos que tiene. d. Cantidad de carne vendida y la recaudación obtenida. transcurridas. curridas. e. Cantidad de autos que pasan por un peaje y horas trans ff.. El tiempo transcurrido de un partido de fútbol y los goles realizados. g. El número de obreros y el tiempo que se tarda para terminar un trabajo. h. La inversión que pone cada socio y la ganancia que se llevará. objeto. i. La masa y el peso de un objeto. emplean para llenar una pile pileta ta y el tiempo de llenado. j. Cantidad de mangueras que se emplean k. Medida del lado de un cuadrado y su perímetro. l. La hora del día y la temperatura. temperatura. 127 Capítulo pítulo 6 Ca 2. Dadas las siguientes tablas, indiquen si corr corresponden esponden a situaciones de proporcionalidad, den la constante, constant e, la fórmula y grafiquen. y a. 1 x y 0 ,2 5 0 ,8 1 ,2 5 2 0 ,5 1 1 0,75 0,50 0,25 -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 -0,25 K = ... Fórmula = ... 0,2 0,4 0,6 0,8 x 1 -0,50 -0,75 -1 b. y x y 6 5 10 20 1 4 8 16 0 ,8 4 2 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 x 5 10 15 20 x -2 -4 K = ... Fórmula = ... -6 y c. 15 x 5 10 20 40 y 4 10 20 0 10 5 -20 -15 -10 -5 -5 -10 K = ... Fórmula = ... -15 3. Nehuén ha respondido un examen de 39 preguntas, obteniendo obteniendo un 3,3 sobre 10. ¿Cuántas preguntas respondió correctamen correctamente? te? 4. Una empresa de gaseosas posee tres máquinas para envasar diariamente un total de 2400 botellas. En verano, el pedido asciende a 5600 botellas. ¿Cuántas máquinas necesitará poner en funcionamiento funcionamient o para cubrir la demanda? 128 Geometría y magnitudes 5. ¿Cuánto se pagará por una campera que cuesta $2100 si se hace un descuento del 60%? ¿Cuánto o tardarán si se suman tres cam6. Dos campesinos tardan 10 días en preparar un campo. ¿Cuánt pesinos más? 7. Un orfebre está diseñando un trofeo que se hará con una aleación aleación de oro de tres partes de oro, tres de plata y dos de cobre. Si el premio tendrá un peso de 5 kg, ¿cuánto necesitará de cada material? PARA SABER MÁS Repartición proporcional La repartición proporcional consiste en la distribución de una cantidad en partes proporcionales. Por ejemplo: Tres primos deciden hacer una inversión para para abrir un local de ropa. Matías aporta $3000, Felipe $4000 y Mateo $2000. Luego del primer mes, quieren repartir en forma proporcional a su inversión una ganancia de $12.000. Cada uno de los primos p rimos recibe una ganancia acorde a su inversión. 129 Capítulo Ca pítulo 6 8. Una empresa repartirá un premio a dos vendedores, de manera directamente proporcional a sus sueldos. Si el premio es de $5000 y el sueldo de los vendedores es de $35.000 y $45.000. ¿Cuánto le corresponde a cada uno? 9. Luego de una fuerte tormenta, dos bombas tardan seis horas en desagotar un garaje inundado. ¿Cuánto ¿Cuán to tiempo habrían tardado tres bombas? 10. Dadas las siguientes formulas, indiquen cuáles corresponden a funciones de proporcionalidad directa, inversa o no proporcional. Grafíquenlas y den su constante. constante. a. y = 5x b. y = x+2 c. y = d. y = e. y = LECTURA Teorema de Thales Thales fue un filósofo, matemático, geómetra, geómetra, físico y legislador griego, que nació en el siglo 624 a. C. en Mileto y falleció en el 546 a. C. Fue considerado uno de los siete sabios de Grecia. Cuenta la leyenda que en uno de sus viajes via jes a Egipto, un faraón le preguntó cuál sería la altura de una de las pirámides. Él le dijo que con paciencia y un bastón podrían averiguarlo. El faraón sorprendido observó cómo Thales tomó el bastón y lo clavó en el centro de una circunferencia, cuyo radio era igual a la longitud del bastón. Esperó hasta que el sol hiciera que el bastón generara una sombra que tocara un punto de la circunferencia. En ese instante, Thales midió la sombra de la pirámide. Luego de todo esto, el matemático se acercó al faraón y le indicó la altura de la pirámide. Al ver su sorpresa, le explicó: —Cuando la sombra del bastón coincida con su altura, la sombra de la pirámide, también coincidirá con su altura. El faraón quedó maravillado al ver la sencillez del método utilizado. Actividad 1. Investiguen quiénes ffueron ueron los otros seis sabios de Gre Grecia. cia. dejócomentar un legado pensamientos que son de gran actualidad. Busquen y elijan alguno de 2. Thales ellos para ende grupos su importancia. 3. Armen una proporción a partir de lo hecho por Thales. 4. Aplicando este método, midan la altura de algún punto de la escuela, como por ejemplo el mástil. 130 Geometría y magnitudes Teorema de Thales Cuando tres o más rectas paralelas son cortadas por dos rectas transversales, los segmentos determinados en una de ellas, son proporcionales a sus correspondientes correspondien tes en la otra. A // B // C A c c' R S transversales V B b b' C a a' S ab a'b' —----- = —----bc b'c' R Como conclusión de este teorema si los segmentos son proporcionales, podemos asegurar que las rectas son paralelas. ¡A PENSAR! 1. Con la siguiente figura, completen completen las proporciones. C // D // E // F d c e F E f b A B transversales V D g a C h A a. B b. c. d. 131 Capítulo pítulo 6 Ca 2. Armen las proporciones y calculen el valor de x en cada caso sabiendo que A//B// A//B//C: C: a. ab = 1,2 cm b. ab = 4 cm bc = 2,5 cm ef = 3 cm de = x bc = 6 cm de = 9 cm ef = x A A c d c x B d B b e b e C x C a f a f P N S c. ab = x de = 8,4 cm Q bc = 7 cm d. ab = 2,5 cm ef = 9,8 cm bc = 7,5 cm be = x db = 1,4 cm Q S c b d c a b a d e e f N P A B A B C C e. ab = x - 6 cm bc = x - 2 cm de = x + 1 cm ef = x + 7 cm ff.. ac = 28 cm ae = 5x + 3 cm bc = 7 cm ad = 8x C N c b b a O f e a d e C B d A 132 Geometría y magnitudes 3. Indiquen cuáles de las siguientes rectas son paralelas y cuáles no. Justifiquen sus respuestas. m m 6c PARA SABER MÁS A partir del teorema de Thales, se puede dividir un segmento en tres o más partes iguales. Procedimiento: m 4c m 2c 1. Se quiere dividir el segmento ab en tres partes iguales. m 5c e 0 cm auxiliar d 5 cm 7 cm 8 cm c R b a 4. Calculen ef, fg, gh sabiendo que eh = 28 cm 2. tres Se traza un segmento sobre ella segmentos igualesauxiliar con un ycompás d c 3. Se une el extremo del segmento auxiliar, con el extremo del segmento que queremos dividir. m 2c b cm 3,5 a cm 1,5 4. Se trazan rectas paralelas a la hecha en el punto c que pase por los puntos c, d y e. e f 5. Como conclusión af = fg = gb g h e A B C d D c 5. Dividan el segmento segmento ab en siete partes partes iguales, utilizando el teorema de Thales. a a b 6. Sergio y Cristian se toman una foto. En ella, la altura de Sergio es de 4,5 cm y la de Cristian, 4,25. Si la altura real de Cristian es de 1,7 metros, ¿cuánto mide Sergio? f g b El segmento ab quedó dividido en tres partes iguales y cada una de esas partes son proporcionales a las partes de la semirrecta, aquí es donde se cumple el teorema de Thales. No fue necesario conocer la longitud del segmento para dividirlo, ni es necesario el uso de una regla numerada. 133 Capítulo pítulo 6 Ca 7. Calculen la altura altura del edificio: edificio: 4m 12 m Sombra del árbol 24 m Sombra del edificio 8. Una montaña tiene una altura de 500 metros sobre el nivel del mar y su ladera mide 650 metros. ¿A qué altura se encuentra un atleta que ya recorrió 350 m por la ladera? 9. Camila está parada junto a un poste de alumbrado. Si la sombra que proyecta la columna es de 1,2 m y la de ella es medio metro, ¿cuál es la altura de la columna, si Camila mide 1,55 metros? Tres terrenos contiguos están delimitados por dos rutas, como muestra la imagen: 10. Tres AB T RU O3 EN R R TE 2 NO E RR TE 1 NO E RR TE 40 m 30 m 20 m RUTA A Calculen cuántos metros de frente tienen los terrenos sobre la ruta B, si el terreno 1 tiene 85 metros. 134 Geometría y magnitudes Semejanza y congruencia Si miran las imágenes anteriores, ¿podemos decir que son iguales? Diríamos que son iguales si al superponer todos sus puntos, ellos coinciden. Las imágenes son semejantes, conservan la forma, pero varían en el tamaño, están a diferente escala. Esto ocurre cuando sus lados correspondientes son proporcionales, pero no modifican su ángulo. Las personas serían iguales, es decir, congruentes, si sus lados tuvieran la misma longitud y sus ángulos la misma amplitud. 1. Calquen una de las figuras y superpónganla con la otra, luego completen completen las igualdades. b b' c c' a' a d d' ab = â= cd = = b′ = b′c′ ĉ= = a′d′ =d Como los cuatro lados y ángulos miden lo mismo, podemos decir que: ~ a′b′c′d′ abcd = El símbolo = corresponde a congruencia. Par Paraa que dos polígonos sean congruentes congruentes deben tener n - 1 lados y n - 2 ángulos respectivamente congruentes. 2. En la definición anterior anterior,, ¿qué representa n - 1 y n - 2? 135 Capítulo pítulo 6 Ca c b b' d c' d' a' a 3. ¿Son congruentes estas figuras? ¿Por qué? Claramente, la longitud de sus lados no es la misma; por lo tanto, no podemos decir que sean congruentes. razones: es: 4. Midan cada lado y completen las razon Como todos los lados tienen la misma razón, sus lados son proporcionales y, al tener sus ángulos con la misma amplitud, las figuras son semejantes. abcd ~ a′b′c′d′ El símbolo corresponde a semejanza. Semejanza y congruencia de triángulos Congruencia de triángulos En los triángulos, no siempre es necesario analizar si todos sus lados o ángulos son iguales para asegurar que son congruentes. Los siguientes criterios son los aspectos mínimos que deben cumplir para serlo. Criterio de congruencia • LLL: tienen tres lados respectivamente respectivamente congruentes. b bc = nm n ab = no o a c m ac = mo No es necesario tener información con respecto a la medida de sus ángulos. 136 Geometría y magnitudes • LAL: tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente respectivamente congruentes. b • ALA: tienen un lado y los dos ángulos adyacentes a él, respectivamente respectivamente congruentes. n n b o a a c ab = no o m m c â=ô â=ô ac = mo ac = mo c=m • LLA: poseen dos lados y el ángulo opuesto al lado mayor respectivamente congruente. ab = no n b a o c m bc = nm c=m Con respecto a la semejanza de triángulo, tampoco es necesario analizar todos sus ángulos y lados, con los siguientes criterios es suficiente para afirmar que lo son. Criterios de semejanza c • LLL: sus tres lados son respectivamente proporcionales. Si se arman proporciones con los lados correspondientes, correspondien tes, sus razones son iguales. b a A // B e d B A n c • AA: tienen dos ángulos respectivamente congruentes. â=m b=ô a • LAL: poseen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es congruente. α=β b m d o e A // B α β A c a B b 137 Capítulo pítulo 6 Ca 1. Respondan Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda: a. Todos los polígonos semejantes son congruentes. b. Todos los polígonos congruentes son semejantes. c. Los cuadrados siempre son semejantes. d. Los triángulos rectángulos siempre son semejantes. e. Dos figuras con razón razón de proporcionalidad 1, son congruentes. 2. Indiquen si los siguientes pares de figuras son semejantes. Justifiquen sus respuestas. a. abc b. b â = b = 80° ac = 35 cm n ab = 25 cm m c 6 9 p = 20° mnp m c 3 mp = np = 5 cm m a c. 18 cm d. b c b c' b' b' 70° 40° 40° 80° a' c' a c c a' a 3. Construyan en cada caso: Figura congruente b c a b a c b a c d c d p 6 cm Figura semejante b e a 138 Geometría y magnitudes 4. Indiquen si los siguientes pares de triángulos son semejantes, congruentes o ninguna de las dos clasificaciones. Justifiquen con los criterios vistos. d a. b 8 cm d e b b. 10 m c 6 cm a c. f c 8 cm a b abcd romboide a d. c e e b ab // ed c c a d b e. n 7 cm 6 cm a 4 cm c m 2 cm n ff.. 3,5 cm o d b 12 cm 12 cm a c m 30 cm 82,5 cm Perímetro mno = 148,5 cm Perímetro mno = 8,5 cm 5. Unan con una flecha azul a zul los triángulos semejantes y con rojo los congruentes. congruentes. 3 cm m c 2 7 cm 50° m c 3 m c 3 7cm 40° 20 7c m m c 6 45° 6 cm o 6 cm 7c m m c 70° 4 139 Capítulo pítulo 6 Ca 6. Calculen el valor de x e y, sabiendo que los triángulos son semejantes. ac = 2x + 5 cm c bc = x + 4 cm e ab = 18 cm ef = 5 cm ed = 3 cm a b f d fd = 2y + 5 cm 7. El siguiente es el plano de dos terrenos vecinos. Sus paredes laterale lateraless son paralelas. Calculen la longitud del frente de cada terreno. 22 m 18 m 4x + 5 m 6x Frente 8. Observen la siguiente figura de un romboide, donde los triángulos rju y hjt son congruentes. Aplicando los criterios vistos, calculen cuánto miden los ángulos h y r . r u 142° j 21° h t 9. Calculen la altura de una palmera que proyecta una sombra de 9 metros si un hombre de 2 metros que está parado a 7,5 metros de la palmera, proyecta una sombra de 1,5 metros (realicen un gráfico de análisis). 10. ¿Pueden ser semejantes dos triángulos, si el primero de ellos tiene un ángulo de 88° y el segundo, un ángulo de 75°? 140 Geometría y magnitudes ACTIVID ACTIVIDADES ADES INTEGRADORAS 1. Para calcular el ancho de un río, dos ingenieros obtuvieron las siguientes medidas. Indiquen cuál es la longitud del ancho del río. a. 38,8 metros X b. 64,1metros c. 46 metros 18 m d. 82 metros E B C 50 m 14 m D a 2. Calculen el perímetro y el área del triángulo e abc sabiendo que es semejante con def. 10 m c 6 m c 5 , 4 cm d f c b c 3. En el triángulo triángulo abc de la figura, figura, ab = 20 cm, d ac = 12 cm, bc = 16 cm y ad es bisectriz del ángulo bac. Calculen la medida de cd. a b 4. Una fotografía tiene un tamaño de 6,5 cm por 2,5 cm. Se quiere hacer una aplicación tal, que el lado mayor mida 26 cm. ¿Cuánto deberá medir el otro lado para no deformar la imagen? 5. Hallen el valor de x e y: a. b. a x c. 9 4,5 cm 1,5 cm b 3 cm c x 7 cm 3 cm cm 9 cm 6 cm x 5 cm 15 cm 2 cm y y b c y 6. Aplicando el teorema de Thales, dividan un segmento de 7,5 cm en tres partes iguales. 141 Capítulo pítulo 6 Ca 7. Dadas las siguientes gráficas, gráficas, completen las tablas, indiquen indiquen qué tipo de proporcionalidad representan, den sus fórmulas y piensen una situación problemática que se ajuste a cada una. a. b. y y 200 250 175 200 150 150 125 100 100 50 75 1 2 3 4 5 6 50 x 25 1 2 3 4 5 6 7 8 x 8. En el último superclásico de fútbol, se recaudaron $3.500.000 y se repartirán en forma proporcional a los goles cometidos, si uno de los clubes hizo cuatro goles y el otro uno. ¿Cuánto dinero se lleva cada uno? 9. Resuelvan: a. c. e. b. d. ff.. . 10. Respondan: a. ¿Qué porcentaje de descuento obtengo en cada unidad de gaseosas cuando hacen la promoción 3x2? b. En el supermercado, me realizan un descuento del 70% en la segunda unidad de jugos en polvo. Si cada uno sale $12, ¿cuánto pagaré si compro 18 unidades? c. Por pagar en contado en un local, me hacen un descuento de 21% sobre un producto de $1800; en otro, el mismo producto sale $1500 y no tienen promociones. ¿Dónde conviene compr comprarlo? arlo? 30 cm d. Hallen la superficie real de un departamento cuyo plano tiene una escala de . m c 8 Coci cin na Co med medo or Baño Ba ño Dormitorio Dorm Do rmit itor orio io Dormitorio 142 Capítulo 7 Trigonometría Capítulo pítulo 7 Ca Recordando lo aprendido 1. Clasifiquen los siguient siguientes es triángulos según sus lados y ángulos: a. b. c. e. d. f. 2. En todo triángulo rectángulo, se cumple que: …2 = …2 + …2 3. Unan con flechas las razones iguales: a. b. c. d. e. ¿Cómoo usar la calcul ¿Cóm calculadora adora científica científica y el sistema sistema sexage sexagesimal? simal? Paraa introducir 30° 15′ 12″, sigan los siguientes pasos: Par 30 ° ′ ″ 15 ° ′ ″ 12 ° ′ ″ Si quisieran escribir 30° 12″, no olviden los minutos 30° 0′ 12″. Probemos 30° 12′ 15″ + 45° 12″ = 75° 12′ 27″ ¿Les dio igual? Si no, consulten con su profesor 144 Trigonometría 1. Completen: a. En todo triángulo, la suma de ángulos interiores es ……… b. En todo triángulo rectángulo, la suma de los dos ángulos agudos es …….. c. En un triángulo rectángulo rectángulo,, el ángulo opuesto a la hipotenusa mide …….. d. Un triángulo rectángulo ………. puede ser equilátero. e. La ………… siempre es mayor a los catetos. catetos. f.f. En todo triángulo al mayor mayor lado, se le opone el …………. mayor mayor.. 2. Resuelvan: a. 180° - 40° 20′ 30″ = c. 28° 25′ 18″ + 43° 110′ 0′ 6″ = b. 90° - 35° 15″ = d. 25° 15′ 43″ : 2 = e. 4° 58″ . 3 = 3. Indiquen cuáles de los siguientes triángulos son semejantes: a. c. 10 cm 25 cm e. y 7 cm 5 cm 17,5 cm 6 cm 6 cm 10 cm b. d. ff.. 10 cm 3 cm 3 cm 5 cm 7 cm 2,5 cm 3,5 cm 4 cm 4 cm realicen en una figura de análisis de ejemplo: 4. Para cada criterio de semejanza, realic a. Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales. b. Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales. 5. Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual. 6. Dadas las siguientes figuras, indiquen qué ángulos son congruentes. Justifiquen su respuesta. C α α π ϓ π θ β A // B A B β Ԑ θ 145 Capítulo pítulo 7 Ca 7. Para Para cada una de las siguientes situaciones, realicen realicen una figura de análisis colocando en ella la información dada. a. Un avión vuela a 3000 m de altura y arroja un paquete que toca tierra a 1200 m del punto de lanzamiento. b. Una escalera de 2 m está apoyada en una pared. Su base se encuentra a 50 cm de la misma. metros. tros. c. Un árbol de 3 m proyecta una sombra de 1,5 me d. Un río tiene un ancho de 300 m, sobre una de d e las márgenes hay construidas dos casas separadas separadas por 100 metros. e. Camila le lanza las llaves desde el balcón de su departamento que está a 10 m de altura a su primo Mateo. Las llaves recorren 15 m hasta llegar a sus manos. Razones trigonométricas 1. Coloreen los triángulos rectángul rectángulos os y completen: En todo triángulo …………, el lado opuesto al ángulo recto es la ……………... Los otros lados son …………. o t e t a C 90° Hi po te nu sa Cateto 2. Cuando sea posible, señalen con rojo la hipotenusa en cada triángulo y, con azul, los catetos. ¿Hubo algún triángulo donde no pudieron hacer lo pedido? ¿Por qué? 146 Trigonometría 3. Completen: Todo triángulo rectángulo tiene ………… ángulo recto y dos ………. Si elegimos uno de los ángulos agudos, el cateto que forma parte de él se denomina adyacente y el otro opuesto. Para el caso del ángulo α: o t s e u p o o t e t a C e t n e c a y d a o t e t a C Hi po te nu sa α α Cateto adyacente Hi po te nu sa Cateto opuesto 4. En cada triángulo, marquen el cateto adyacen adyacente te al ángulo α. α α α α 5. Del Anex Anexo o, recorten los tres triángulos y péguenlos en sus carpetas. a. Tomen sus medidas, verifiquen con el teorema de Pitágoras la longitud de la hipotenusa y completen el siguiente cuadro (redondeen los valores a los décimos). b. ¿Son semejantes estos triángulos? ¿Por qué? A B C Triángulo 1 Triángulo 2 Triángulo 3 c. ¿Cómo son los rresultados esultados de la última columna? columna? En todo triángulo rectángulo, la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa de un ángulo recibe el nombre de seno del ángulo. 147 Capítulo pítulo 7 Ca 6. Observen la siguiente figura y respondan: a. ¿Cuántos triángulos hay? 15 10 b. Registren la longitud del cateto adyacente al ángulo que los tres triángulos tienen en común, la hipotenusa de cada uno y completen la tabla (redondeen los resultados a los décimos). Cateto ad adyacente 5 10 6 3 Hipotenusa Triángulo 1 Triángulo 2 Triángulo 3 c. ¿Cómo son los result resultados ados obtenidos en la última columna? coseno En todo triángulo rectángulo, el hipotenusa. de un ángulo es la razón entre el cateto adyacente y la ¿Cómoo usamos la ¿Cóm la calculadora? calculadora? Con su calculadora, podrán obtener el resultado de todas las razones trigonométricas. trigonométricas. Encontrarán tres teclas, sin que les permitirá permitirá calcular el seno de un ángulo, cos cos que les dará el coseno y tan que corresponde a la tangente de un ángulo. La razón entre el cateto opuesto y el adyacente recibe el nombre de tangente del ángulo. 7. En sus carpetas, construyan construyan un cuadro como el de la actividad 6, para encontrar encontrar el valor de la tangentee del ángulo α. tangent 8. El ángulo que los tres triángulos tienen en común es de 30°. Corroboren, con la calculadora, los resultados de las actividades 5, 6 y 7. 9. Comparen los resultados con sus compañeros. Es probable que sean diferentes, esto se debe a que la calculadora tiene varios modos diferentes de usar cada tecla. Consulten con su profesor si la de ustedes está programada de la forma correcta (DEG). 148 Trigonometría ¡A PENSAR! 1. Graben un audio explicando explicando a un compañero qué es el seno de un ángulo ángulo.. 2. En casa, comenten lo aprendido en los puntos anteriores, pregunten si conocen alguna regla nemotécnica para recordar recordar las razones trigonométricas. trigonométricas. Comparen las respuestas con la de sus compañeros. 3. Utilicen la calculadora y unan seno 50° coseno 30° 20′ 15″ tangente 26° 30″ seno 30° 25′ con flechas según corresponda (redondeen los resultados a los milésimos). 0,488 0,506 0,766 0,863 4. Indiquen en cada caso la respuesta correcta: correcta: a. b. c. d. 12 10 α α 5 3 10 3 8 9 109 α α 4 6 3 10 Coseno α = — Tang nge ent nte eα = — 10 3 3 Coseno α = — 5 Tang ngen entte α = — 3 Seno α = — 4 Seno α = — 10 6 10 √109 Coseno α = — 3 3 Seno α = — 5 8 6 5 Seno α = ——— 15 4 Tang nge ent nte eα = — 3 10 Tang ngen entte α = — 8 4 Coseno α = — 5 5. Completen el siguiente cuadro (redondeen los resultados a los centésimos). Luego, respondan: 0° 90° 180° 270° 30° 45° 60° Seno Coseno Tangente a. ¿En qué intervalos numéricos se encuentran los resultados del seno y del coseno? ¿Por qué? b. ¿Ocurre lo mismo con la tangente? ¿Por qué? rectángulo? ángulo? c. 0°, 180° y 270°, ¿pueden ser ángulos de un triángulo rect 149 Capítulo Ca pítulo 7 6. Encuentren el error que cometió Felipe al resolver la tarea: a. b. c. 70° 4 cm 3 10 20° α 15° 5 sen α = tan 70° = tan 15° = cos α = sen 20° = cos 15° = caso la incógnit incógnita. a. 7. Calculen en cada caso a. sen α = 0,23 c. cos 25° = b. cos 30° = d. tan 45° = e. tan α = 3 cm 8. Dado el siguiente triángulo, calculen las razones trigonométricas, seno, coseno y tangente de ambos ángulos agudos. Expresen el resultado como un número racional. 8 cm 30° PARA SABER MÁS ¿Cómo usamos la calculadora? calcula dora? Calcular la amplitud del ángulo conociendo el valor de la razón trigonométrica, implica resolver una ecuación. sen δ = 0,36 debemos despejar δ δ = ar arcs csen en 0, 0,36 36 la fu func nció ión n inv inver ersa sa se ex expr pres esaa com como o ““ar arcs csen en””, per pero o en en alg algun unos os ca caso sos, s, la pueden encontrar como sin-1 ☐ δ = 21,100 Lo q qu ue eesstamos av averiguando es es un un áán ngulo; po por lo lo ta tanto, ha hay qu que expresarlo en sistema sexagesimal. Para ello, deben apretar la tecla ° ′ ″ δ = 21° 6′ 0″ En la calculadora, deberán utilizar las siguientes teclas: Shif sin 0.36 esto que dará como resultado 21,100, luego y obtendrán 21 6 0.71 Este procedimiento se aplica de igual manera para el coseno y la tangente. 150 Trigonometría 9. Conociendo el valor de la razón, hallen la amplitud del ángulo. sen α = 0,36 cos β = -0,15 tan γ = -0,796 α= β= γ= En lo sucesivo en las medidas angulares, los segundos los redondearemos a las unidades. 10. A partir de la información dada, calculen la faltante: a. ∢ = 45° 20′ Cateto opuesto = 5 cm Cateto adyacente = b. ∢ = 100° Cateto opuesto = 5 cm Hipotenusa = c. ∢ = 28° 15′ 30″ Cateto adyacente = 7 cm Cateto opuesto = d. ∢ = Cateto opuesto = 10 cm Hipotenusa = 15 cm e. ∢ = Cateto opuesto = 10 cm Cateto adyacente = 12 cm f.f. ∢ = 18° Cateto adyacente = 20 cm Hipotenusa = Resolución de triángulos rectángulos Resolver un triángulo rectángulo es calcular el valor de los lados y ángulos faltantes. Para Para hacerlo, aplicaremos todo lo aprendido. a E 12 I cm 40° e A i Cálculo de â â + î + ê = 180° â + 40° + 90° = 180° â + 130° = 180° â = 180° – 130° â = 50° Por propiedad de los ángulos interiores de triángulos 151 Capítulo pítulo 7 Ca Cálculo de A î = 40° E es la hipotenusa y A es el catet cateto o adyacente a î. cos î = cos 40° = 0,766 = 0,766 . 12 cm = A 9,192 cm = A Cálculo de I Podríamos usar el teorema de Pitágoras para calcular el cateto faltante, pero si llegamos a cometer un error en el paso anterior lo arrastraríamos en todo el ejercicio. Por esto, siempre que se pueda utilicen los datos dados para calcular todas las incógnitas. î = 40° I es el cateto cateto opuesto y E es la hipotenusa. hipotenusa. sin î = sin 40° = 0,643 = 0,643 . 12 cm = I 7,716 cm = I 1. Calculen los lados y ángulos faltantes: a. b. b c. b 25 , 6 cm m c 2 1 20° a 3 cm b 32°10’ c a c a 5 cm c 2. Hallen la altura de un mástil que está sostenido por un cable tensor de 15 metros de longitud, sabiendo que forma con el piso un ángulo de 25°. d ar a la pe3. Un jugador de fútbol debe patear un penal. ¿Cuál es el ángulo máximo que le puede dar lota para que entre en el arco, si la altura del arco es de 2,44 m y la distancia al punto del penal, de 11 m? 152 Trigonometría 4. Una niña de 1,5 m levanta su cabeza 50° para ver un avión, ¿A qué altura se encuentra, sabiendo que si ella camina 3 m, el avión estaría justo sobre su cabeza? 5. Un niño está parado a 18 m de un edificio y mira el extremo superior del mismo con un ángulo de 30°. Calculen la altura del edificio, si el niño mide 1,70 m. 6. Una escalera de 2 m se apoya en una pared, formando un ángulo de 25° con ella. d e la pared está el pie de la escalera. a. Calculen a qué distancia del pie de b. Si un pintor de 1,7 m se para en el último peldaño, ¿a qué altura de la pared llega? llega? 7. Salimos del aula para calcular la altura del mástil de la escuela u otro objeto que deseen. Necesitamos una cinta métrica para medir la distancia a la que nos encontramos encontramos del objeto a medir y una herramienta que nos permita encontrar el ángulo con el que miramos el extremo superior. superior. a. Con la aplicación Smart Protractor, pueden medir ángulos o pendientes de un objeto. O escaneen el QR para construirlo a partir de las indicaciones. • Hagan una una figura de análisis y registren registren en ella los datos. • Realicen Realicen los cálculos necesarios necesarios para para obtener obtener la altura buscada. buscada. • ¿Los resultados resultados obtenidos serán los los mismos utilizando la aplicación y la construcción? ¿Por qué? 8. En grupos, investiguen sobre la ley N° 24.314 (Accesibil (Accesibilidad idad de personas p ersonas con movilidad reducida). Luego: a. Debatan sobre su cumplimiento en su barrio. b. Elijan un lugar y elaboren un proyecto de construcción de una rampa de accesibilidad. accesibilidad. Pensemos juntos un problema Rubén quiere armar una rampa para saltar con su bicicleta, tiene una madera de 1 m y la apoyará ap oyará sobre un cantero de 30 cm. de altura. ¿Cuál es el ángulo que formará la madera con el piso? a. Hacemos una figura de análisis: Madera Cantero Piso 153 Capítulo pítulo 7 Ca b. Ponemos los datos e incógnitas, con cuidado de verificar que todas las magnitudes estén expresadas en la misma unidad. 1m 0,3 m ? b C c. Nuestro problema se transformó en un triángulo rectángulo, donde debemos calcular uno de sus ángulos. 1m α c m A ,3 0 ? B a Piensen y completen: Respecto de α, A es el cateto cateto …………… C es ………………… d. ¿Qué razón trigonométrica trigonométrica aprendida relaciona al lado A y C? Con los datos de nuestro problema, quedaría: sen α = Aplicando lo aprendido: sen α = 0,3 α = Arcsen 0,3 α = 17° 27′ 27″ e. Como el problema hacía una pregunta, hay que responderla: el ángulo que formará la madera con el piso será de 17° 27′ 27″. Transformaciones en el plano Al modificar la posición o el tamaño de una figura, sin cambiar su forma, decimos que se ha h a realizado una transormación, llamada también, movimiento en el plano. Como resultado de una transformación, obtenemos una figura semejante o congruente a la dada. dada . En esta oportunidad, estudiaremos todos aquellos movimientos que por resultado dan una figura congruente: • Simetría axial • Simetría central • Traslación • Rotación 154 Trigonometría Simetría axial axial Una simetría axial se da cuando los puntos de una figura coinciden con los de otra, al tomar como referencia una línea que recibe el nombre de eje de simetría. En la simetría axial, ocurre lo mismo que en las imágenes reflejadas en los espejos. a S Eje de simetría a' Decimos que el punto a y a′ son simétricos respecto de la recta S, si se cumple que la recta S es mediatriz del segmento aa′. Paraa hallar el simétrico de un punto respecto de un eje, deben seguir los siguientes pasos: Par 1. Realicen Realicen una recta perpendicular al eje, que pase pase por el punto (p) al que desean hacerle su simétrico. 2. Con centro en el punto determinado por el eje de simetría y la recta perpendicular, toman la distancia al punto p′. Tracen Tracen un arco y el punto donde corte a la perpendicular será p′. Decimos: SE(p) = p' Simetría Eje Punto simétrico ' Punto Si quieren hallar el simétrico de una figura, se repite el mismo procedimiento con cada uno de los vértices de la figura y luego, se unen los puntos hallados. Una figura es simétrica si hay al menos un eje que la atraviesa y hace que sus vértices sean simétricos con respecto a él. b b' a a' c Lado A c' Lado B Eje de simetría 155 Capítulo pítulo 7 Ca 1. En revistas o internet, busquen imágenes que contengan ejes de simetría, péguenlos en sus carpetas y resalten con color el eje. 2. Marquen el o los ejes de simetría de las vocales, cuando sea posible: A E I O U 3. ¿Tiene eje de simetría un cuadrado?, ¿cuántos? Construyan uno y márquenlos. 4. ¿Cuán ¿Cuántos tos ejes de simetría tiene un rectángulo? incorrectas: 5. En la siguiente afirmación, tachen la o las palabras incorrectas: Al aplicarle una simetría axial a una figura, obtenemos otra que será semejante/congruente/ dierente a la dada. 6. Hallen el simétrico respecto del eje indicado. b a. a b. c. b c E c a c E SE (abc) = a b E Sac (abc) = SE (abc) = 7. Completen: Figura Simétrica No simétrica regular Cantidad de vértices Cantidad de lados nombre 156 Trigonometría 8. Construyan un eje cartesiano: a. Marquen en él los siguientes puntos: a = (1; 1) b = (3; 1) c = (2; 5) d = (5; 5) e = (1; 5) Tracen acen una recta que pase por los puntos (6; 2) y (8; 6) y realicen la simetría de la figura dada con b. Tr respecto a ella. 9. Dados los siguientes puntos, realicen una simetría con respecto al eje y de la figura que se forma al unirlos. a = (3; 2) b = (4; 6) c = (5; 2) d = (7; 6) ¿Cómo son las coordenadas de los puntos que se obtienen al realizar la simetría? 10. Construyan el triángulo cuyos vértices son (-2; -1), (-3; -3) y (-5; -1) y realicen una simetría con respecto al eje de las abscisas. Indiquen qué características tienen los puntos de la figura hallada. Simetría centr al central Una simetría central, con centro en o es un movimiento con el que a cada punto p del plano, le hace corresponder otro p′, siendo o el punto medio del segmento pp′. Para hallar el simétrico con respecto a un punto, se debe: Trazar azar una recta que, desde el punto dado, pase por el centro de simetría. 1. Tr 2. Con el compás, se toma la distancia del punto al centro de simetría. 3. Se transporta esa distancia sobre la recta trazada, haciendo centro en el centro de simetría. B p' p o i So(p) = p' Punto simétrico Punto Centro Simetría 157 Capítulo pítulo 7 Ca Si es una figura a la cual hay que aplicarle una simetría central, se repetirá para cada vértice la operación anterior y luego, se unirán los puntos obtenidos. b c a o a' c' b' 11. Apliquen las simetrías pedidas en cada cada caso: a. c. b e. b b a o a a o c c So (ab) b. d. b g f a o a So (abc) b o e c Sc (abc) So (abc) c d So (abc de fg) 12. En un eje cartesiano: a. Dibujen el polígono determinado por los siguientes puntos: a = (1; 1) b = (3; 4) c = (5; 4) d = (7; 1) Realicen en una simetría respecto del punto (0; 0). b. Realic c. Escriban las coordenadas de los vértices de la figura simétrica, analícenlos y extraigan conclusiones. 158 Trigonometría 13. Completen: a. Como resultado de una simetría central, central, se obtiene una imagen …………… a la dada. b. El centro de simetría es el punto ……………….. del segmento que queda determinado entre dos puntos simétricos. simétricos. el centro de simetría: 14. En las siguientes imágenes, encuentren a. b. c. 15. Escaneen el QR y miren el video “La ciencia de la visión” visión”.. a. Según lo visto sobre simetrías centrales, centrales, expliquen qué ocurre con las imágenes dentro del ojo y qué pasa con el centro de simetría cuando hay algún problema de visión. b. ¿Por qué la imagen dentro del ojo es más pequeña que en la realidad? Traslación Para hacer la traslación de una figura, se necesita un vector, que es un segmento orientado, que indique la dirección, sentido y distancia a trasladar trasladar.. Módulo o magnitud Dirección P Punto de aplicación Sentido Dirección: la da la recta que contiene al vector. Hay infinitas direcciones. Sentido: está indicado por la flecha. Hay dos posibilidades. Módulo: longitud del vector. Por medio de una regla y escuadra, se trazar trazarán án rectas paralelas al segmento (vector) que pasen por los puntos (vértices) de la figura que se desea trasladar. 159 Capítulo pítulo 7 Ca Con ayuda del compás, se toma la longitud del vector. Haciendo centro en el punto, se marca esa amplitud sobre el segmento paralelo al vector. Donde el compás intersecta a la recta es el lugar donde quedará trasladado el punto. b b' a a' c c' v Para poder realizar un segmento paralelo a uno dado, podemos utilizar una regla y una escuadra. Para Colocamos la escuadra sobre el segmento dado y la regla será la guía que permita desplazar la escuadra hasta el lugar deseado. De esta manera, podemos desplazar el vector dado hasta los vértices de nuestra figura. Tv (abc) = a' b' c' 16. Tr Trasladen asladen el siguiente cuadrilátero, cu adrilátero, según el vector da dado: do: a b v Tv (abcd) d c 17.. Tr Trasladen asladen y luego, analicen qué diferen diferencias cias hay en los resultados obtenidos en cada ítem: 17 b a. Tab (abc) b. Tbc (abc) c. Tac (abc) a c 160 Trigonometría 18. Realicen las siguientes traslaciones: e d a. Tde (abcdef) f b. Tef (abcdef) c a b 19. Busquen imágenes en la naturaleza o la construcción en la que se halla realiza una traslación de algún objeto o patrón. 20.. Construyan un eje cartesiano y marquen los siguientes puntos. Luego, realicen la traslación 20 respecto al vector de origen (0; 0) y fin (2; -3). a = (-1; 3) b = (3; -2) c = (0; 5) Rotación Rotar una figura implica hacerla girar con respecto a un punto y un ángulo dado. Si se realiza en sentido horario (como las agujas del reloj) se considera negativa y será positiva en sentido antihorario. Rotación de un punto Rotación de una figura Se deberá rotar cada vértice, obteniendo una figura congruente a la dada. p 40° o p' b b' a' R (0; -40°) p = a c' c o R (o; -30°) (abc) 161 Capítulo Ca pítulo 7 21. Realicen las siguientes rotaciones: a. b b. b a c c d a e R(a; -40°) (abc) = R (a; -45°) abc f R(a; 60°) abcdef = R (a; 60) abcdef 22. La siguiente figura tiene centro de simetría. ¿Cuál es el menor ángulo que ha de girar para que la figura resulte invariante (obtener nuevamente la imagen original, en el mismo lugar)? 23. ¿De cuántos grados debe ser un giro para que el resultado sea el mismo de una simetría central? 24. ¿Cuál es el resultado de un giro de 360°? 25. Dada la figura determinada por los siguientes puntos, indiquen de cuántos grados como mínimo debe ser el giro con centro en el centro de coordenadas para que su trasformado esté en el 4° cuadrante. a = (1; 5) b = (2; 3) c = (3; 4) PARA SABER MÁS GeoGebra es un programa de matemática que les permite realizar construcciones construccion es geométricas como las que han aprendido. Escaneen el QR para aprender algunas de sus funciones. 162 Trigonometría PARA SABER MÁS Composición Movimientos pedidos Por ejemplo: Se lee traslación según S O T (abc) = a″b″c″ e v el vector del triángulo Símbolo de composición abc compuesta con una simetría central según el punto e La transformación se hace de derecha a izquierda en nuestro caso, primero la traslación y luego, al resultado de ella la simetría. b v a c b' a' c' e c" a" b" 163 Capítulo Ca pítulo 7 ACTIVID ACTIVIDADES ADES INTEGRADORAS 1. Resuelvan el siguiente triángulo: c B=8m b a C=6m 2. Una escalera de 3 m de longitud se apoya en una pared, con un ángulo de 20° con respecto al piso. a. Calculen a qué altura en la pared llega la escalera. b. Si queremos que llegue a 1,5 m de altura, ¿qué ángulo tendría que formar con el piso? c. ¿A qué distancia tendría que estar separada de la pared, si el ángulo que forma con la misma es de 30°? 3. Elaboren un resumen con todo lo trabajado en la unidad y vuélquenlo en una lámina, PowerPoint o Prezi. 4. La entrada de un edificio tiene cinco escalones los cuales alcanzan alcanzan una altura total de 70 cm. Se quiere construir una rampa de acceso, teniendo en cuenta que el ángulo de elevación no puede superar los 18°, ¿a qué distancia de la puerta de entrada ha habría bría que comenzar a construirla? 5. Una cinta trasportadora de 2 m de longitud asciende 1,5 m. Las normas de seguridad indican que el ángulo que la cinta forma con el piso debe ser inferior a 50°. Indiquen si esta cumple con las normas estipuladas. 6. Cuando un pueblo o grupo de personas queda aislado por alguna razón, por ejemplo, una catástrofe climática, los organismos de ayuda le envían provisiones en aviones, los cuales al no poder aterrizar deben dejar caer la mercadería. Los pilotos deben tener en cuenta muchas variables, altura, viento, velocidad, etcétera. Un avión que vuela a 2000 m de altura quiere dejar caer una carga de medicamentos en un pueblo aislado por las inundaciones. Si el ángulo de desvío del viento es de 30° aproximadamente, ¿cuántos metros antes de pasar por sobre el pueblo debe lanzar la carga para que la misma caiga sobre la población? 7. Indiquen en cada caso qué transformación transformación se realiz realizó: ó: a. b. c. OSO d. AMA AMA 164 Trigonometría 8. Realicen las siguientes transformaciones: transformaciones: a. TE (abc) c. SE (abc) b a E E a c b. Se (abcd) b d. R (s; 50°) abcd c a c b b a d c e s d composiciones:: 9. Desarrollen las siguientes composiciones a. Tv O Tm (abcd) = b. SE O Ra (90°; abc) = b c. Td O Sa (abcde) = b c a d c E b a e c m d a d v 10. Analic Analicen en y justifiquen sus respuestas (si es necesario, realicen un gráfico de análisis). a. La composición de dos traslaciones tiene como resultado otra traslación. b. La composición de dos giros con el mismo centro tiene como resultado otro giro, que posee el mismo centro y cuya amplitud será la suma de las amplitudes dadas. c. El resultado de hacer dos veces la misma simetría axial es la figura original. d. La composición de dos simetrías axiales con ejes paralelos es una traslación. 165 Capítulo 8 Probabilidad, cálculo combinatorio y estadística Probabilidad, abilidad, cálculo combinatorio y estadística Prob Recordando lo aprendido 1. Expresen los siguientes números cómo cómo fracciones: a. 0,25 b. 0,5 c. 1,3 d. 2,32 e. 1,25 ff.. 0,8 2. ¿Cómo debe ser el numerador y denominador de una fracción para que represente un número decimal que pertenezca al intervalo [0; 1]? 3. Dividan por cuatro, 10 números consecutivos y anoten las respuestas obtenidas. ¿Qué parte decimal tienen? Comparen sus respuestas con las de sus compañeros. compañeros. 4. Los mismos números del punto anterior divídanlos diví danlos por tres e indiquen cómo es su parte dec decimal. imal. 5. A partir de las actividades 3 y 4, extraig extraigan an conclusiones. Escríbanlas en sus carpet carpetas. as. 6. ¿Qué números se pueden obtener al tirar un dado? 7. Si se tiran dos dados, ¿cuáles son los posibles resultados que se pueden alcanzar al sumar lo obtenido? ¿Y al multiplicar? 8. Den cinco números que pertenezcan al intervalo (2; 6]. 9. Expresen como porcentaje las siguientes fracciones: a. b. c. d. e. f. 10. Calculen x: a. b. c. d. e. Probabilidad La teoría de la probabilidad es la rama de la matemática que estudia los fenómenos o experimentos aleatorios. Decimos que un experimento es aleatorio si al repetirlo bajo las mismas condiciones iniciales, no siempre obtenemos el mismo resultado. resultado. Un ejemplo de esto es lanzar un dado o una moneda. Se cree que el estudio de la probabilidad surgió al intentar resolver un problema en un juego de apuestas entre dos personas. Dos jugadores eligen un número del 1 al 6, diferente del otro y apuestan 32 monedas de oro, a que el número elegido por ellos, sale tres veces antes que el número del contrario, contrario, al lanzar un dado. En un momento del juego, uno de ellos había logrado que saliera su número una vez y el número del otro jugador dos veces. En ese instante, el juego se suspendió. ¿Cómo debían dividirse el dinero de la apuesta? 167 Capítulo pítulo 8 Ca Uno de los jugadores consulta a un matemático amigo llamado Blaise Pascal, quien a su vez le plantea el problema a Pierre de Fermat, otro matemático. Entre ellos, se inicia un intercambio de cartas, donde a lo largo de mucho tiempo discutieron y pensaron posibles soluciones. Si bien no se sabe con certeza cómo resolvieron el problema, permitió que a partir de ellos, y luego con el aporte de otros matemáticos, se plantearan las bases para el estudio de la probabilidad. ¡Cabe destacar que esto ocurrió en 1654, imaginen si hubieran tenido WhatsApp! Analicemos nosotros el problema: si bien no sabemos con certeza cuál hubiera sido el número que salía si se seguían lanzando el dado, lo que si podemos saber es cuáles eran los posibles resultados. Sabemos que al tirar el dado podría haber salido un 1, 2, 3, 4, 5 o 6. A este conjunto de todos los posibles resultados, lo llamaron espacio muestral. Un suceso es el resultado que efectivamente se obtiene al realizar un experimento aleatorio, debe pertenecer al espacio muestral. En el caso de los apostadores del problema, a ellos solo les era favorable un suceso, el que coincidía con el número que habían elegido. De los seis posibles resultados, solo uno les era favorable. Pensemos ahora otra situación. Camila tiene una bolsa con 10 caramelos de chocolate y dos de naranja, introduce la mano y saca uno sin mirar. ¿Qué gusto saldrá? Intuitivamente, podemos decir que hay más probabilidad de que Camila saque un caramelo de chocolate ya que de los 12 (espacio muestral) 10 son de chocolate y solo dos de naranja. ¿Podría sacar uno de menta? La probabilidad de que un suceso ocurra se puede calcular aplicando la ley de Laplace, que fue otro matemático que investigó sobre el tema. Probabilidad de sacar un caramelo de chocolate = taje 83,3 % = 0,83 que se puede expresar como porcen- Probabilidad de sacar un caramelo de naranja = = 0,16 expresado en porcentaje sería 16,6 %. Probabilidad de sacar uno de menta = = 0 expresado en porcentaje es 0% Si la probabilidad de que un suceso ocurra es del 100%, quiere decir que los casos favorables y posibles son iguales. Por ejemplo: Abril tiene una bolsa con ocho bolitas rojas, ¿qué probabilidad hay de que saque una roja? Probabilidad de sacar una bolita roja = = 1 que representa el 100% La probabilidad de que un suceso ocurra es un número que pertenece al intervalo [0;1], donde 0 representaa un suceso imposible y 1 la certeza de que ocurrirá. represent 168 Probabilidad, abilidad, cálculo combinatorio y estadística Prob 1. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un botón rojo, de una bolsa en donde hay dos rojos y cuatro azules? 2. Para cada una de las siguientes situaciones, indiquen el espacio muestral y la probabilidad pedida: a. Se elige al azar un número natural menor que 30. ¿Cuál es la probabilidad de que el número elegido sea múltiplo de 5?, ¿y de 4? b. Se divide un número natural por 3. ¿Cuál es la probabilidad de que la parte decimal sea 25 centésimos?, ¿tres periódicos?, ¿exacto? 3. En una bolsa, hay 10 pelotas numeradas del 21 al 30, algunas son amarillas y otras blancas. a. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un número compuesto? b. Si se sabe que la probabilidad de sacar una pelota amarilla es , ¿cuántas hay de cada color? 4. Dentro de una caja, hay una carta negra, una roja, una verde y una blanca, escriban el espacio muestral en cada caso: a. Se sacan dos cartas y, antes de sacar la segunda, la primera se regresa a la caja. b. Se sacan dos cartas y, antes de sacar la segunda, la primera no se regresa a la caja. 5. En una reunión, hay 15 mujeres y 13 hombres. ¿Cuál es la probabilidad de que, al concluir, la primera persona que atraviese la puerta para retirarse sea un hombre? 6. En un armario, hay cinco camisas blancas, seis camisas negras, siete camisas amarillas. Se saca una de ellas sin mirar, mirar, ¿cuál es la probabilidad de que: a. Sea blanca? b. Sea amarilla? c. No sea negra? d. Sea blanca o negra? resultados obtenidos. Calculen: 7. Se lanzan dos dados al aire y se anotan los resultados a. La probabilidad de que sumen 7. b. La probabilidad de que sumen par. c. La probabilidad de que sea un múltiplo de tres. t res. 8. Hallen la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire salgan las dos caras. 9. ¿Cuál es la probabilidad que tiene Mateo de ganar una rifa si compró ocho números de los 100 que estaban a la venta? 10. ¿Cuál es la probabilidad que, de un mazo de 40 cartas españolas, al dar vuelta una, sea de copa?, ¿que sea un 5?, ¿que sea un u n 8? 11. Una empresa que fabrica televisores sabe que cada 500 televisores uno de ellos puede tener un defecto. ¿Cuál es la probabilidad de comprar uno defectuoso? 169 Capítulo pítulo 8 Ca Cálculo combinatorio Abril y Maylén salieron a comer y pidieron la carta, ambas eligieron comer una ensalada. El mozo les dijo muy orgulloso que con los cinco ingredientes que tenían podían preparar 60 ensaladas diferentes de tres gustos. Las chicas se miraron sorprendidas yy,, a la vez, desconfiadas. Hicieron su pedido, pero se pusieron a verificar lo que el mozo les dijo en una hoja. Abril realizó el siguiente análisis: Los ingredientes eran: • Papa • Tomate • Huevo • Lechuga • Zanahoria HUEVO TOMATE LECHUGA ZANAHORIA LECHUGA PAPA HUEVO LECHUGA ZANAHORIA ZANAHORIA LECHUGA TOMATE HUEVO HUEVO LECHUGA ZANAHORIA ZANAHORIA A partir de este gráfico, Abril pudo demostrarle al mozo que no era correcta la información que daba, solo se podían armar nueve ensaladas distintas. El gráfico anterior recibe el nombre de diagrama de árbol, dado que se abre como las ramas de un árbol. Al realizar estos conteos de casos, es importante ver cuando el orden de las cosas modifica o no nuestro resultado. Una ensalada de papa, huevo y zanahoria es exactamente lo mismo que una de zanahoria, huevo y papa o una de huevo, papa y zanahoria. Pero si pensamos en la combinación de un candado, ¿qué pasa? ¿La clave 123 sería la misma que 321 o 213? En la ensalada, no importa impo rta el orden en el que se pongan los ingredientes, pero een n el caso del candado sí, ya que obtenemos diferentes claves. 170 Probabilidad, abilidad, cálculo combinatorio y estadística Prob Como verán existen diferentes formas de ordenar o combinar resultados. Las permutaciones son agrupaciones en las que importa el orden de los objetos, como en el caso de la clave del candado. En las combinaciones , no importa el orden de los elementos, como en el ejemplo de la ensalada. Por ejemplo: 2 3 4 5 3 4 5 4 5 5 4 5 3 3 5 3 4 4 3 1. ¿Cuántos números distintos de 4 cifras se pueden armar con el 2, 3, 4 y 5,qué sin es repetir los números? En lugar, lugar, hayelque identificar una permutación, ya primer que al cambiar orden obtenemos un número distinto. Completen el diagrama de árbol. Si contamos todas las opciones vemos que se pueden armar 24 números distintos. 2. Cinco primos juegan una carrera, ¿de cuántas maneras diferentes pueden cruzar la meta? Construyan un diagrama de árbol para esta situación. 3. En su fiesta de 15 años, Abril bailará el vals con 10 amigos, ¿de cuántas maneras distintas puede armar la lista para llamarlos? Podrían hacer un diagrama de árbol, pero sería realmente muy extenso, por eso podemos recurrir al: Principio fundamental de conteo Los posibles resultados de una situación, se pueden obtener multiplicando el número de formas que puede ocurrir cada evento. En nuestro caso para armar la lista, Abril tiene 10 posibles amigos para bailar en primer lugar; para hacerlo en segundo lugar, solo le quedan 9 porque con uno ya bailó; para el tercer lugar, le quedan 8 y así sucesivamente. 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 3.628.800 ormas dierentes de armar la lista Este cálculo se puede escribir en forma matemática con la función: Factorial En la calculadora, encontrarán una tecla que como segunda función dice x! El factorial de un número es el producto de él, por todos los anteriores hasta el uno. 2! = 2 . 1 3! = 3 . 2 . 1 4! = 4 . 3 . 2 . 1 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 0! = 1 por definición n! = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) … 1 171 Capítulo pítulo 8 Ca 1. ¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar Camila, Abril, Maylén y Bianca en cuatro asientos consecutivos del cine? 2. Indiquen Verdadero (V) o Falso (F), justifiquen sus respuestas. a. 6! = 6 . 5 . 4! c. 0! = 0 e. 0 = 4! + 5! - 9! d. 10! = 11! - 1! b. 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 . 0 ¿Cuántos ana3. Un anagrama es una agrupación de letras, aunque su orden no sea una palabra. ¿Cuántos gramas se pueden formar con las letras de la palabra CIELO?, ¿y con MATEMÁTICA? 4. Simplifiquen las siguientes expresiones y resuelvan: a. b. c. d. 5. Considerando los números impares del intervalo (0; 10): a. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar? b. ¿Y de 5? c. ¿Y si las cifras del número formado se pueden repetir? 6. Con los dígitos 2 y 5: a. ¿Cuántos números de tres cifras pueden formarse? b. ¿Cuántos son pares? c. ¿Cuán ¿Cuántos tos son mayores a 100? d. ¿Mayores que 1000? 7. Actualmente, se pueden ver autos con patentes formadas por tres letras + tres números (sistema anterior) y otros que poseen dos letras + tres números + dos letras (nuevo sistema). patentes de autos se pudieron hacer con tres letras y tres a. ¿Cuántas patentes números? b. ¿Y con el nuevo sistema? 8. En el restaurante de Felipe, hay una carta con tres entradas, cinco platos diferentes y seis postres. ¿Cuántos menús diferentes se pueden hacer? 9. ¿Cuántos códigos de ocho letras distintas se pueden armar con las primeras ocho letras del abecedario? 10. Con las 23 letras del abecedario, ¿cuántos códigos de ocho letras distintas se pueden hacer? bandera nacional y ser escoltas. ¿De cuán 11. Matías, Felipe y Mateo fueron elegidos para portar la bandera tas maneras distintas pueden ocupar su lugar? 12. Tres Tres amigos fueron elegidos para ser delegados del curso. ¿De cuántas formas distintas pueden ocupar ese cargo? ¿En qué se diferencia este ejercicio del anterior? 172 Probabilidad, abilidad, cálculo combinatorio y estadística Prob Estadística Desviación estándar La desviación estándar mide la dispersión de una distribución de datos. Cuando más dispersa está, más grande será su desviación. Los siguientes gráficos gráficos muestran el tiempo que permanecen los autos en una estación de servicio. La línea punteada indica el tiempo promedio (media). A. B. Cantidad de autos Cantidad de autos 5 10 15 20 Tiempo 5 10 15 20 Tiempo La imagen B a diferencia de la A muestra que los datos están más concentr concentrados ados en una zona de la gráfica. La desviación estándar del gráfico A es aproximadamente de 8, esto quiere decir que el tiempo que los autos permanecen en la estación de servicio se aleja de la media en ocho minutos. En el grafico B, el desvío es de 3, el tiempo de permanencia de los autos varía en tres minutos respecto de la media. La desviación será menor, cuanto más cercano estén los datos a la media. Una desviación de 0 indicaría que todos los datos da tos coinciden con la media. Las siguientes son las notas de ocho alumnos: 3, 4, 4, 5, 5, 7, 8, 10 La nota promedio es de Al graficar los datos: Cantidad 4 3 2 1 3 4 5 6 7 8 Notas 10 10 10 173 Capítulo pítulo 8 Ca Vean ahora ahora la siguiente situación situación de otros ocho alumnos alumnos y sus notas: 3, 3, 2, 1, 9, 10, 10, 10 La nota promedio también es de 6 = =6 Al graficar los datos: Cantidad 4 3 2 1 Notas 3 6 9 10 ¿Qué se pueden decir al compar comparar ar las dos situaciones? 1. Indiquen cuál de los gráficos posee menor desvío. a. Cantidad Cantidad Media Media Tiempo b. c. Tiempo dia Me y dia Me y Media Media x x 174 Probabilidad, Prob abilidad, cálculo combinatorio y estadística 2. Camila midió el crecimiento (en mm) de las plantas de su huerta y obtuvo los siguientes resultados: a. Calculen la media b. Realicen un gráfico. c. ¿Qué pueden decir con respecto a la dispersión de los datos? Tomate Lechuga Ají Acelga Zanahoria 150 mm 100 mm 200 mm 180 mm 90 mm Ajo Papas Apio 50 mm 200 mm 100 mm 3. Las siguientes afirmaciones corresponden a la propiedad del desvío estándar. Coméntenlas y justifíquenlas. a. La desviación estándar será siempre un número positivo. b. Si la desviación es 0, es porque todos los datos de la muestra son iguales. c. Cuanto más pequeña sea la desviación estándar, mayor será la concen concentración tración de datos alrededor de la media. 4. El gerente de una empresa le pide a un empleado que tome al azar 10 paquetes de fideos y los pese. Luego de hacerlo, le informa que, cada uno debería pesar 500 gramos, pero encontró que el peso medio era de 509 gramos con un desvío de 12. ¿Qué conclusiones conclusiones puede sacar el gerente con estos datos? 5. Piensen una situación en la cual el análisis del desvío permita tomar una decisión y desarróllenla. Inventen una muestra de datos y grafíquenlos. ACTIVID ACTIVIDADES ADES INTEGRADORAS 1. ¿Cuál es la probabilidad de ganar la lotería, si se juega a las tres cifras? 2. Si la probabilidad de salir electo en un sorteo es de 0,04, ¿cuántas personas participaron del sorteo? ¿Cuántos os números compró Matías en una rifa, si se vendieron 500 números y él tiene una proba3. ¿Cuánt bilidad de ganarlo de 0,02? 4. ¿De cuántas formas distintas pueden asignarse seis puestos de ttrabajo rabajo a seis empleados? 5. Hay cinco puestos para asignar entre ocho empleados. ¿Cuántas opciones distintas hay de hacerlo? Cuántas opciones distintas hay de armar 6. En un curso de 30 alumnos, se arman grupos de cinco. ¿¿Cuántas esos grupos? 175 Capítulo pítulo 8 Ca 7. Mateo se olvidó de estudiar para la lección lección de geografía: compañeros?? a. ¿Qué posibilidad tiene de que lo llamen a él de entre sus 30 compañeros b. Si la profesora ya llamó a cinco compañeros, ¿qué probabilidad hay de que le toque a él ser el próximo? 8. Una muestra de 10 autos que pasaron por la autopista, registraron las siguientes velocidades expresadas en km/h: 90, 95, 80, 110, 100, 80, 90, 100, 60, 80 a. Hagan un cuadro de frecuencias y calculen la media. b. Grafiquen y marquen con color la media. c. ¿Qué pueden inferir del desvío? 9. Un empleado de control de tránsito informó que los autos están estacionados un tiempo promedio de tres horas, con un desvío de 30 minutos. ¿Qué quiere decir? 10. ¿Cuál ¿Cuál es el desvío d esvío de una muestra, si todos los datos tomados son iguales? 176 Anexoo Anex Anexo Capítulo 2 Estadística con racional racionales es Página 30 Pregunta 1. ¿Han hecho un comentario ofensivo o negativo a otra persona en las redes sociales? 2. ¿Alguna vez les generaron dolor los comentarios de los demás? 3. ¿Alguna vez se sintieron solos en la escuela? 4. ¿Les pasó quedarse afuera de un grupo por no querer hacer algo que les parecía estaba mal y luego los cargaron o molestaron por eso? 5. ¿Respetan las decisiones de sus amigos, cuando no quieren hacer algo? 6. ¿Piensan que deben pedirle perdón a una persona por alguna acción suya? Alguna vez Muchas veces Nunca 179 Anexo Capítulo 3 Recordando lo aprendido Página 35 181 Anexo Capítulo 3 ¡A JUGAR! Página 36 6 2 ? ? 2 1 ? 6 1 0 3 5 0 1 E D E S E R C A O G R U T L E R 3 O E N D R R U E I T P L E ? S A E Z R N A A G V U A L 3 ? 3 1 1 4 4 1 7 1 E S D E E R C A O G R U T L E R 5 2 1 1 ? 8 4 3 7 5 6 9 3 6 3 ? ? ? ? 7 9 1 4 A D A G E L L 0 2 ? 1 4 0 0 1 4 3 6 1 0 8 ? ? O E N D R R U E I T P L E 1 5 5 4 ? 9 2 ? 2 1 9 7 3 2 1 A A D S IL E A R S G E A R L A 7 3 2 1 ? A D ? O E N D 5 1 5 2 S A E Z R ? A A D S IL E IL A S 4 3 R U R E I T P L E ? 4 2 7 1 ? N A A G V U A L 2 1 0 6 R A S G E A R L A 183 Anexo Capítulo 4 ¡A JUGAR! Página 62 S 4(C7.C7) (-3x)3 -4 C3.C5 8x9 (3x2. x-3)0 2x-2 (-3C)3 4(C — ——— —— —— — ———2— ——— C15 C x8 x-4 9C C0 . C2 ——3— C (r2)7 ——13 —— r M3 . M-3 ——-2 — M x5. x-4 -1.x2 ——— 2.x 2. x-3 50 - 2 3M2 —— M-1 4x20. x7 ——— — x23 3 (-x2)2 (-x 9 2 (x ) 5x-2 —— x-3 x-1 —— x-3 (-3M)3 2 (-x) 3M2.M-3 ——— — M6 -M3 —— M 8C0 (-2x4)2 ———7— 2x 2 -1 C .C M20. M-11 2x4 —— 6x10 (-2x)2 M20. M-7 (-g)2 . g-1 5x0 (-x 1 2 (x ) ———— —— —— 3x2 —— x3 x M18 x9 x-2 187 Anexo Capítulo 7 Razones trigonométricas Página 147 C B B C A A B C 189 Bibliografía Bibliografía Bertoa, W.; Ferré, M. (1997) La revuelta Matemática, inquietantes actividades para aprender a resolver, El Hacedor, p. 144. Diseño curricular Matemática, 1° a 5°, Nueva Escuela Secundaria de la Ciudad de Buenos Aires, Ministerio de Educación, Buenos Aires, p. 32. Diseño curricular para la educación secundaria resolución N° 2495/07, Dirección General General de Cultura y Educación, Gobierno de la provincia de Buenos Aires. Goñi Zabala, J. (2009) El desarrollo de la competencia matemática , Barcelona [Ideas claves], p. 235. Jesé, C. (2007) Geometría… ¡Sin Dudas!, Buenos Aires: Nuevas Propuestas, p. 147. Pimm, D. El lenguaje matemático en el aula, Madrid: Ediciones Morata, 2002, p. 305. QR Capítulo 1 Uso de la calculadora. <https://m.youtube.com/watch?v=WA4RY <https://m.youtube.com/watch?v=WA4RY6UxIdM>. 6UxIdM>. Capítulo 3 Números irracionales. <https://youtu.be/Z5czpA-fyMU>; <https://youtu.be/NOQilqu76XU>. <https://youtu.be/Grm1DXPV9is>; Suma y resta con irracionales. <https://bit.ly/31aN5ii>. Capítulo 4 Potencias. <https://youtu.be/A55XWvZVWGY>. <https://youtu.be/A55XWvZVWGY>. Operaciones con expresiones algebraicas. <https://bit.ly/2RxiSWw>; <https://bit.ly/2U3aT5O>. Capítulo 7 Explorable. <https://explorable.com/ <https://explorable.com/es/con es/construye-un-astrolabio>. struye-un-astrolabio>. La ciencia de la visión. <https://bit.ly/2OVDrw3>. <https://bit .ly/2OVDrw3>. GeoGebra. <https://bit.ly/2DzU6zH>. 191
