Vectores en el Plano: Apuntes de Clase

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN MARTÍN
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y ARQUITECTURA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE INGENIERÍA CIVIL Y ARQUITECTURA
ÁREA DE MATEMÁTICA
VECTORES EN EL PLANO
SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES O CARTESIANAS.
Y
y
0
Eje de coordenadas: X, Y
x: abscisa
y: ordenada
P=(x,y)
x
X
0: origen de coordenadas
Distancia entre dos puntos.
Dados los puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2), se define la distancia d[P1,P2] entre P1 y P2 como:
d[P1, P2] = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2
Propiedades:
a) d[P1, P2]  0
b) d[P1, P2] = d[P2, P1]
(Comutatividad)
c) d[P1,P3]  d[P1,P2] + d[P2,P3] (desigualdad triangular)
d) d[P1,P2] = 0  P1 = P2
EL ÁLGEBRA VECTORIAL BIDIMENSIONAL.
El álgebra de vectores hace referencia a la operación entre vectores, es decir, suma y producto de un
escalar con un vector.
Igualdad de Vectores: Dados los vectores 𝑎̅ = (a1, a2) y 𝑏̅ = (b1, b2)  𝑎̅ = 𝑏̅  a1 = b1  a2 = b2
Suma de Vectores: Dados los vectores 𝑎̅ = (a1, a2) y 𝑏̅ = (b1, b2)  𝑎̅ + 𝑏̅ = (a1 + b1, a2 + b2)
Multiplicación de un escalar (número real) por un vector.
Dados el vector 𝑎̅ = (a1, a2) y r  ℝ  r. 𝑎̅ = (r.a1, r.a2)
ESPACIO VECTORIAL BIDIMENSIONAL
Es el producto cartesiano ℝ x ℝ junto con las dos operaciones mencionadas previamente, y a sus
elementos 𝑎̅ = (a1, a2) se les llama vectores.
Propiedades.
Sean 𝑎̅ = (a1, a2), 𝑏̅ = (b1, b2), 𝑐̅ = (c1, c2) vectores de ℝ2 y sean  y  números reales, entonces se
cumplen las siguientes propiedades:
A1: 𝑎̅ + 𝑏̅  IR2
(Clausura)
A2: 𝑎̅ + 𝑏̅ = 𝑏̅ + 𝑎̅
(Conmutativa)
A3: (𝑎̅ + 𝑏̅) + 𝑐̅ = 𝑎̅ + (𝑏̅ + 𝑐̅)
(Asociativa)
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! elemento 0̅ = (0,0)  ℝ2 llamado el origen o elemento cero (ó nulo) de IR2 tal que:
𝑎̅ + 0̅ = 0̅ + 𝑎̅ = 𝑎̅
A este elemento también se le llama vector nulo.
A5:  vector 𝑎̅ = (a1, a2) de ℝ2, ! vector denotado por -𝑎̅ en ℝ2 tal que: 𝑎̅ + (-𝑎̅) = (-𝑎̅) + 𝑎̅ = 0̅,
donde -𝑎̅ = (-a1, -a2) es llamado el opuesto de 𝑎̅ ó también el inverso aditivo de 𝑎̅.
M1: .𝑎̅  ℝ2
M2: 1. 𝑎̅ = 𝑎̅, 1 es el número real uno.
D1: ( + ).𝑎̅ = .𝑎̅ + .𝑎̅
D2: (𝑎̅ + 𝑏̅) = .𝑎̅ + .𝑏̅
D3: .(.𝑎̅) = (.).𝑎̅
A4:
Resta de Vectores: Dados los vectores 𝑎̅ = (a1, a2) y 𝑏̅ = (b1, b2)  𝑎̅ – 𝑏̅ = (a1 – b1, a2 – b2)
Ejercicios:
1. Si 𝑎̅ = (2, -3), 𝑏̅ = (5, 4), 𝑐̅ = (3, 1), 𝑃0 = (1, -1) y 𝑃1 = (4, 3), halle:
a) 𝑎̅ + 𝑏̅
b) 𝑎̅ - 𝑏̅
c) 3𝑎̅ + 4𝑐̅
d) 𝑥̅ , si 4𝑥̅ + 𝑎̅ = 3𝑏̅
e) 𝑃0 + 2(𝑃1 - 𝑃0 )
f) (𝑃1 + 𝑃0 ) / 2
g) 𝑃0 + t𝑎̅, para t = 0, 1, 2, 3.
2. Resolver para el valor de la incógnita 𝑥̅ :
a) 2(0, 3) + 8𝑥̅ = (1, -6)
b) -3(1, 3) + 2𝑥̅ = 5(0, -2) + 4𝑥̅
c) 3[𝑥̅ - (8, -2)] = 6(7, 0)
3. Halle los pares de número reales r y s tales que:
a) r(3, -2) + s(6, 4) = 0̅
b) r(3, -2) + s(6, -4) = 0̅
c) r(8, -2) + s(-12, 3) = 0̅
d) r(5, 1) + s(3, 5) = (5, 5)
e) r(4, 3) + s(-2, 6) = (4, -57)
f) r(3, -1) + s(-6, 2) = (2, 2)
Compruebe si los siguientes triángulos son isósceles y/o rectángulos, siendo sus vértices:
4. A(-3, 4), B(4, 3) y C(0, 0)
5. P(-4, -2), (-3, 5) y C(0, 1)
6. Hallar en el eje de ordenadas un punto equidistante del origen de coordenadas y de A(3, -5)
Representación geométrica de los vectores
Todo vector 𝑎̅ = (a1, a2) puede ser representado geométricamente por una flecha, de la siguiente manera:
 Si elige un punto Po a partir del cual se traza la flecha hasta P1 que será representada por 𝑎̅ (𝑎̅ = ̅̅̅̅̅̅
𝑃0 𝑃1
= P1 – P0), donde Po es punto inicial y P1 es punto final.
 Cada vector puede ser representado por muchas flechas dependiendo del punto de partida, por eso
también se les llama vectores libres.
 Si el vector parte del origen se le denomina radio vector.
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Y
P1
a2
Po
a1
a2
0
X
a1
Suma de vectores: La operación de suma entre vectores se explicará a través de un ejemplo.
A partir de los vectores 𝑎̅, 𝑏̅ y 𝑐̅, encuentre la resultante de la siguiente suma de vectores:
𝑎̅ + 𝑏̅ + 𝑐̅ = 𝑅̅
Multiplicación de un escalar por un vector:
Y
r>0
r.
r<0
-
r.
X
0
Resta de vectores: A partir de los vectores 𝑎̅, 𝑏̅ y 𝑐̅, encuentre la resultante de la siguiente resta de
vectores:
𝑎̅ - 𝑏̅ - 𝑐̅ = 𝑅̅
Ejercicios:
̅̅̅̅ + ̅̅̅̅
1. Demuestre que si A, B, C, D  ℝ2 entonces ̅̅̅̅
𝐴𝐵 + 𝐵𝐶
𝐶𝐷 = ̅̅̅̅
𝐴𝐷
Muestre analíticamente y gráficamente que existen números r y s que satisfacen la relación 𝑐̅ = r𝑎̅ + s𝑏̅,
donde:
2. 𝑎̅ = (5, 1), 𝑏̅ = (3, 5) y 𝑐̅ = (5, 4)
3. 𝑎̅ = (2, -1), 𝑏̅ = (3, 2) y 𝑐̅ = (5, 2)
4. Del punto A = (0, -1) se traza un segmento a punto B = (-4, 3). ¿Hasta qué punto es necesario
prolongarlo en la misma dirección para que se triplique su longitud?
Paralelismo de vectores.
Dos vectores 𝑎̅ y 𝑏̅ son paralelos (y se denota 𝑎̅ // 𝑏̅) si uno de ellos es el múltiplo real del otro, es decir:
𝑎̅ // 𝑏̅  𝑎̅ = r.𝑏̅ ó 𝑏̅ = t.𝑎̅, para algún s, t  ℝ
Y
r>0
r.
0
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r<0
r.
-
X
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Ejemplos:
Hallar el valor de m, si existe, para el vector (1; m) sea paralelo a:
1. (2, 6)
2. (3, -2)
3. (4, 6)
4. (0, 2)
5. Si 𝑎̅ = (a1, a2) y 𝑏̅ = ( 2 ,  4 ) tienen direcciones opuestas y si a12 + a22 = 25, hallar a2 – a1.
3
3
̅̅̅̅ + BD
̅̅̅̅. Si DS
̅̅̅̅ // AB
̅̅̅̅, indicar cuáles de las siguientes
̅̅̅̅ = 1 AC
6. Sea el triángulo ABC tal que AB
3
afirmaciones son ciertas:
̅̅̅̅ = 1 CB
̅̅̅̅ + BA
̅̅̅̅ – 1 CA
̅̅̅̅
I) SD
3
B
S
3
̅̅̅̅ = 1 AB
̅̅̅̅
II) DS
3
̅̅̅̅ – 2 DS
̅̅̅̅
̅̅̅̅ = 1 AC
III) BD
3
3
A
C
D
Longitud o norma de un vector.
Dado el vector 𝑎̅ = (a1, a2) se define la Longitud del vector 𝑎̅ y se denota ||𝑎̅|| al número:
Y
|
|
||𝑎̅|| =
a2
(a 1 ) 2  (a 2 ) 2
a1
0
X
Propiedades:
1. ||𝑎̅||  0
2. ||𝑎̅|| = 0  𝑎̅ = 0̅
3. ||.𝑎̅|| = ||.||𝑎̅||, ||-𝑎̅|| = ||𝑎̅||
4. ||𝑎̅ + 𝑏̅||  ||𝑎̅|| + ||𝑏̅||
Vectores unitarios.
Un vector 𝑎̅ es unitario si ||𝑎̅|| = 1
𝑎̅
Si 𝑎̅  0̅, el vector unitario 𝑢̅ que tiene la misma dirección que el vector 𝑎̅ tiene la forma: 𝑢̅ =
||𝑎̅||
y el
̅
𝑎
vector unitario 𝑣̅ con dirección opuesta al vector 𝑎̅ tiene la forma: 𝑣̅ = − ||𝑎̅ ||
Angulo de inclinación de un vector en un plano.
Dado el vector 𝑢̅ = (u1, u2) y  el ángulo formado por 𝑢̅ y el eje X positivo, donde  se mide a partir del
semieje positivo y en sentido anti horario.
Del gráfico se tiene:
Y
u1 = cos
u2 = sen
1
u2
Entonces:

𝑢̅ = (cos; sen)
0
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u1
X
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Además, todo vector 𝑎̅  0̅ se puede representar como:
𝑎̅ = ||𝑎̅||.
𝑎̅
||𝑎̅||
= ||𝑎̅||.𝑢̅ = ||𝑎̅ ||.(cos, sen)
donde  es el ángulo de inclinación del vector no nulo 𝑎̅.
Ejemplos:
a1
= 4. Hallar 𝑎̅. (dos soluciones)
a2
1.
Si 𝑎̅ = (a1, a2), ||𝑎̅|| = 2,
2.
Hallar los vértices de un triángulo, sabiendo que los puntos medios de sus lados son M = (-1, 7)/2,
N = (-3, -4)/2, P = (4, 3)/2.
El segmento cuyos extremos son A = (-2, 3) y B = (4, -1) está dividido en tres partes iguales. Halle
los puntos de trisección.
Si 𝑎̅ = (m, 2m), 𝑏̅ // 𝑎̅, 𝑎̅ – 𝑏̅ = (2m, p) y ||𝑎̅ – 𝑏̅||= 20, calcular ||𝑏̅|| donde m ≠ 0
Se tiene los vectores 𝑎̅ = r 𝑝̅ , 𝑏̅ = t 𝑞̅, 𝑐̅ = (-3, 2√3), calcular ||𝑏̅|| si 𝑐̅ = r 𝑝̅ + t 𝑞̅
3.
4.
5.
Y
60°
0
6.
7.
8.
X
Encontrar el coseno y el seno del ángulo de inclinación de los vectores:
a) (-2, 3)
f) (3, -4)
b) (1, 1)
g) (0, -3)
c) (1, 6)
h) (4, 2)
d) 4, 1)
i) (-15, -8)
e) (-8, 6)
Hallar la longitud de la suma de los vectores unitarios 𝑢̅ y 𝑣̅ si 𝑢̅ tiene la misma dirección que 𝑎̅ =
(4, -3) y 𝑣̅ tiene la dirección opuesta a la de (-5, 0)
Encontrar el valor mínimo de ||𝑎̅|| si 𝑎̅= (3s –1, s –2) donde s  ℝ.
ORTOGONALIDAD Y PRODUCTO ESCALAR.
Dos vectores 𝑎̅ y 𝑏̅ son ortogonales entre sí, si:
||𝑎̅ + 𝑏̅|| = ||𝑎̅ - 𝑏̅||
Notación: 𝑎̅  𝑏̅
Producto Escalar: El producto escalar: 𝑎̅.𝑏̅ de dos vectores 𝑎̅ = (a1, a2) y 𝑏̅ = (b1, b2) se define como:
𝑎̅.𝑏̅ = a1.b1 + a2.b2
Teorema:
Dos vectores 𝑎̅ y 𝑏̅ son ortogonales si y solo si 𝑎̅. 𝑏̅ = 0
Propiedades del Producto Escalar:
1. 𝑎
̅. 𝑏̅ = 𝑏̅.𝑎̅
2. (r𝑎
̅). 𝑏̅ = r. 𝑎̅. 𝑏̅
3. 𝑎
̅.( 𝑏̅ + 𝑐̅) = 𝑎̅. 𝑏̅ + 𝑎̅. 𝑐̅
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4.
5.
6.
𝑎̅. 𝑎̅ = ||𝑎̅||2
𝑎̅. 𝑎̅ = 0  𝑎̅ = 0̅
||𝑎̅  𝑏̅||2 = ||𝑎̅||2  2𝑎̅. 𝑏̅ + ||𝑏̅||2
El vector 𝑎̅:
Dado el vector 𝑎̅ = (a1, a2) se construye el vector 𝑎̅ = (-a2, a1) el cual es ortogonal a 𝑎̅.
Y
a1
a2

a1
-a2
X
Desigualdad de Cauchy - Schwarz.
Sean 𝑎̅ y 𝑏̅ vectores en ℝ2, entonces se cumple:
i) |𝑎̅. 𝑏̅ | < ||𝑎̅||.||𝑏̅||
ii) |𝑎̅. 𝑏̅ |  ||𝑎̅||.||𝑏̅||  𝑎̅ // 𝑏̅
Ejemplos:
1. Si 𝑎̅, 𝑏̅ y 𝑐̅ son vectores tales que: 𝑎̅ + 𝑏̅ + 𝑐̅ = 0 , ||𝑎̅|| = 3, ||𝑏̅|| = 1, ||𝑐̅|| = 4, calcular el valor de 𝑎̅. 𝑏̅ +
𝑏̅. 𝑐̅ + 𝑐̅. 𝑎̅
2. En la figura, ABCD es un trapecio, el triángulo ABD es equilátero, y el triángulo BCD es rectángulo
en D y tiene la hipotenusa BC de longitud 10 2 unidades. Si el ángulo BCD mide 37°, B = (-2, 4) y
D(4, -2), hallar el vector AC y el vector AM, donde M es el punto medio de la hipotenusa.
3.
Si 𝑎̅ + 𝑏̅ + 𝑐̅ = 0 y ||𝑎̅|| = 2, ||𝑏̅|| = 5, ||𝑐̅|| = 6, calcular 𝑎̅.𝑏̅
4.
Si 𝑎̅ // ( 3 , 1), ||𝑎̅|| = m, 𝑏̅ = 1 𝑎̅ y 𝑎̅ +
5.
6.
Si 𝑎̅ + 𝑏̅ + 𝑐̅ + 𝑑̅ = 0̅, calcular 2𝑐̅. 𝑑̅ sabiendo que 𝑎̅ + 𝑏̅ = 6, ||𝑐̅|| = 3, ||𝑑̅ || = 4
Encontrar todos los valores reales x tales que el vector dado por (x4 – 5x3 + 5x2 – x – 3, 8x – 4) sea
paralelo al vector (-3, 4)
Si 𝑎̅ es un vector unitario de ℝ2, la suma de los componentes de 𝑏̅ es 31 y el máximo valor de 𝑎̅.𝑏̅ es
41. Hallar los vectores 𝑎̅ y 𝑏̅.
7.
3
3 𝑏̅ = 2(1,
3 ), calcular m4 + m2.
COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES.
Dados dos vectores no nulos y no paralelos 𝑎̅ y 𝑏̅ , se dice que el vector 𝑐̅ es una combinación lineal de 𝑎̅
y 𝑏̅ si es que existen dos números reales r y s tales que: 𝑐̅ = r. 𝑎̅ + s. 𝑏̅
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INDEPENDENCIA LINEAL DE UN CONJUNTO DE VECTORES.
Teorema:
Dados dos vectores no nulos 𝑎̅ y 𝑏̅. Si estos vectores no son paralelos, entonces: r.𝑎̅ + s.𝑏̅ = 0̅  r = 0 y s
=0
Definición:
Cuando dos vectores satisfacen el teorema anterior, se dice que 𝑎̅ y 𝑏̅ son vectores linealmente
independientes entre sí.
En caso contrario, se dice que 𝑎̅ y 𝑏̅ son linealmente dependientes.
Propiedades de los vectores unitarios.
a) ||x𝑢̅ + y𝑢̅|| =
x 2  y2
b) ||x𝑢̅ - y𝑢̅|| =
x 2  y2
Definición: Si dos vectores 𝑎̅ y 𝑏̅ son unitarios y ortogonales entre sí, reciben el nombre de vectores
ortonormales.
Ejemplo:
Dados 𝑎̅ = (1, -1), 𝑏̅ = (1, 2) encontrar r y s de tal manera que 𝑐̅ = r𝑎̅ + s𝑏̅, siendo 𝑐̅ el vector:
1. (2, 3)
2. (10, -9)
3. (3, -6)
4. (0, 0)
5.
Sea 𝑐̅ = r𝑎̅ + s𝑏̅, hallar el valor de s si 𝑐̅  (𝑎̅ + 𝑏̅) donde 𝑎̅ = (3, 5) y 𝑏̅ = (2, 2)
6.
Dados los puntos P(1, 2), Q(2, 5), R(5, 8) y S(9, 10), que forman un trapecio, encontrar dos puntos M
t
y N sobre las diagonales , si se sabe que MN = 1 ( PS – QR ), tal como la figura.
3
R
Q
M
N
P
7.
S
En el triángulo ABC se tiene 3 EC = AE ; hallar s y t si EB = s BA + t BC
B
A
8.
E
C
En el triángulo PQR se tiene que MC // PR y que los segmentos AR y BQ son medianas. Hallar s
y t si se sabe que RM = s MC + t PQ .
Q
A
M
P
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B
C
R
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9.
En el paralelogramo ABCD, M y N son puntos medios, A = (1, 1), B = (3, 5) y C(7, 7), hallar P y Q
PQ .
si es que CD = -2
N
B
C
Q
M
P
A
D
10. En el trapecio ABCD, A = (0,1), B = (3,5), C = (8,7). Si AD = 2 BC y M es punto medio de CD ,
hallar P, Q y R, si AM = 4 PQ .
C
B
R
P
Q
M
D
A
11. En el cuadrilátero ABCD, ̅̅̅̅
𝐴𝐸 = ̅̅̅̅
𝐴𝐵 /3, F y G son puntos de trisección de CD, y M es punto medio de
̅̅̅̅ = 5 𝐷𝐶
̅̅̅̅ , y 𝐴𝑀
̅̅̅̅̅ = r𝐴𝐵
̅̅̅̅ + s𝐴𝐶
̅̅̅̅ + t𝐶𝐷
̅̅̅̅, calcule: 5r – 4t + 2s.
EF. Si 𝐴𝐵
4
B
C
F
M
M
E
G
A
D
12. En la figura adyacente es un octógono regular ABCDEFGH. Si A = (√2, 4√2), B = (5√2, 4√2), halle
los demás vértices y el centro Q del octógono.
A
B
C
H
Q
G
D
F
E
ÁNGULO ENTRE VECTORES:
s
Cos  =

a.b
|| a || . || b ||

r
Ejercicios:
Calcular el ángulo  entre los vectores:
1. a = (4, 2) y b = (1, 5)
2. a = (-3, 1) y b = (3, -1)
3. Los vectores 𝑎̅ = (r,s), 𝑏̅ = (na + r, na + s) y 𝑐̅ = (-mb + r, ma + s) son no nulos y mn ≠ 0. Calcular el
ángulo que forman los vectores 𝑏̅ – 𝑎̅ y 𝑐̅ – 𝑎̅.
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PROYECCIÓN ORTOGONAL.
a.b
.b
|| b ||2
Pr oyb a =
s

r
Propiedades:
1. Pr oyc (a  b) = Pr oyc a + Pr oyc b
2. Pr oyc (t.a) = t. Pr oyc a
Componentes ortogonales.
Es la longitud dirigida de: s b = Comp b a = a.b
|| b ||
Propiedades:
1. Comp c (a  b) = Comp c a + Comp c b
2. Compc (t.a) = t. Comp c a
Área de un Paralelogramo
A = | a . b |
Área de un Triángulo
A = 1 | a . b |
a
2
b
Ejercicios:
Hallar Pr oyb a y Comp b a para cada par de vectores:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
a = (4, 2) y b = (1, -2)
a = (-1,2) y b = (-4, -2)
a = (3, 12) y b = (6, -5)
Dados 𝑎̅ = (8, 6) y 𝑏̅ = (-2, 6), hallar los vectores 𝑝̅ y 𝑞̅ tales que 𝑝̅  𝑏̅, 𝑞̅ // 𝑏̅ y 𝑎̅ = 𝑝̅ + 𝑞̅ .
Los lados de un triángulo son los vectores 𝑎̅, 𝑏̅ y 𝑎̅ + 𝑏̅. Si ||𝑎̅|| = 4, ||𝑏̅|| = 6 y Comp b a = 2, hallar ||𝑎̅
+ 𝑏̅||
En el triángulo equilátero ABC de la fig. M y N trisecan al segmento BC . Si P = AM , Q = AN +
AB , calcular Comp AB P y Comp AC Q
B
M
N
A
7.
8
C
En el hexágono regular de lado 8 unidades de la figura, hallar la proyección ortogonal de:
B
C
a) BD sobre AC
b) ND sobre AM
M
N
c) MN sobre ( MB + BD )
A
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D
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d) ( AC + BD – CN ) sobre MB
8.
9.
Hallar el centro de un hexágono regular si A = (2, 0) y B = (5, 3 3 ) son dos de sus vértices
adyacente.
En el trapecio PQRS, || RQ || = || SP ||, S = (-4, 2), Q = (10, 4), PS . PR = 0, Pr oyQP PR = (8, 8).
Hallar los puntos A, P, R y el vector PR .
R
A
Q
S
P
10. En el octógono regular de la figura, Q es el centro, A = (√2, 4√2), B = (5√2, 4√2), encuentre:
A
B
a) 𝑃𝑟𝑜𝑦𝐴𝐷
𝐺𝐶
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
b) 𝑃𝑟𝑜𝑦𝐹𝐵
𝐸𝐺
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
C
H
c) 𝐶𝑜𝑚𝑝𝐻𝐴
𝐴𝐷
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅
Q
d) 𝑃𝑟𝑜𝑦̅̅̅̅
𝐴𝐷 𝐹𝐻
G
D
e) r, s, m y n tales que:
̅̅̅̅
̅̅̅̅ + s𝐴𝐷
̅̅̅̅
𝐺𝐶 = r𝐺𝐵
F
E
̅̅̅̅
̅̅̅̅ + n𝐴𝐷
̅̅̅̅
𝑄𝐷 = m𝑄𝐶
11. Si 𝑎̅ = (5,-2), Comp a b = -58, || b || = 29, hallar Comp b a
12. Un avión vuela en sentido del vector a y la velocidad del ciento es 100 km/h en el sentido del vector
v . Calcular el triple de la componente de la velocidad del viento en la dirección del aeroplano.
Y
120°
0
45°
X
13. Si a = (4,-2), Pr oy  a = (-3,3), Comp  a > 0, hallar Comp b a
b
b
14. Los lados de un triángulo son a a , b y a – b . Si || a || = 6, || b || = 2 y || b – a || = 5, calcular Comp b a
– Comp a b
15. ABCD es un rectángulo tal que E, F = (x + 2; x), G = (3 + x; -x), y H = (6 – x; 2 – x) son los puntos
medios de AB, BC, CD y DA respectivamente; además P = (3x – 11; x – 4) es el punto de
intersección de las diagonales del cuadrilátero EFGH. Halle los puntos A, B, C, D y E.
16. Sean A, B y C los vértices de un triángulo rectángulo isósceles recto en A. El punto medio de la
̅̅̅̅
hipotenusa y el baricentro del  ABC son respectivamente D y (-4/3; 29/3). Además 𝑃𝑟𝑜𝑦̅̅̅̅
𝐴𝐵 𝐴𝐷 = (4;
3), y la abscisa de A es mayor que la abscisa de C. Halle A, B y C.
17. Si 𝑎̅ = (2x – 5; 2 – x), 𝑏̅ = (x – 5; 4 – x), y ||𝑎̅ - 𝑏̅|| = √10, encuentre el valor de ||2𝑎̅ + 𝑏̅ – (𝑎̅ +
3𝑏̅)||
18. Sea ABCDE el pentágono irregular de la figura. Si A = (1, 1), B = (2, 6), C = (c, 6), c > 2, E = (7, y),
̅̅̅̅
̂
̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̂
̅̅̅̅
𝑃𝑟𝑜𝑦̅̅̅̅
𝐴𝐸 𝐵𝐶 = (9, -6), ABC = BCD, ||𝐴𝐵 || = ||𝐶𝐷 ||, ||𝐴𝐸 || = ||𝐷𝐸 ||, halle:
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a) El área del triángulo ABE
b) El área del triángulo BCD
Y
C
B
D
A
X
O
E
19. Dados los vectores 𝑎̅ = (k + 2; 2k) y 𝑏̅ = (-3; k + 1), determine los valores de k para que 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑏̅ 𝑎̅ y 𝑏̅
tengan direcciones opuestas.
20. Sea ABCDE un polígono regular, Hallar B y C si A = (2, -2), E = (4, 4), D = (x, 6), x > 0, el área del
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
polígono mide 50 u2. 𝑃𝑟𝑜𝑦̅̅̅̅
𝐴𝐵 𝐴𝐸 // (10, 2), 𝑃𝑟𝑜𝑦̅̅̅̅
𝐵𝐸 𝐵𝐴  (-10, -6), 𝑃𝑟𝑜𝑦̅̅̅̅
𝐵𝐶 𝐵𝐸 // (1, 1), y 𝑃𝑟𝑜𝑦̅̅̅̅
𝐸𝐶 𝐸𝐵
// (14, -2)
21. Sea ABC un triángulo. Si M = (1,9) y N = (6,2) son los puntos medios de los lados AB y BC
respectivamente, AB // (1,1) y Pr oy AN AB = 8 (3,-1). Hallar los vértices del triángulo.
5
22. M = ( 11 , 7 ), N = (8,6), P = ( 9 , 13 ) y Q = (2,4) son los puntos medios de los lados en el trapecio
2 2
2 2
ABCD y || DC || = 10 , hallar A, B, C y D
P
B
C
Q
N
A
D
M
2
̅̅̅̅ = (-5, 7). Si el
23. En el cuadrilátero ABCD: 𝑃𝑟𝑜𝑦𝐴𝐶
𝐴𝐷 = (2, 2), 𝑃𝑟𝑜𝑦𝐴𝐵
𝐴𝐷) = (3, -1) y 𝐵𝐶
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ (𝑃𝑟𝑜𝑦𝐴𝐶
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
5
área del cuadrilátero es de 28 u , y M = (17/2, -1/2) es punto medio de AB, halle los puntos A, B, C y
D.
2
D
C
A
B
24. Sean 𝑢̅ y 𝑣̅ dos vectores no nulos. Si 𝑤
̅ = k𝑣̅ + h𝑢̅, y el ángulo entre 𝑢̅ y 𝑤
̅ es 15°, hallar el ángulo
entre 𝑢̅ y 𝑣̅ sabiendo que k = ||𝑢̅|| y h = ||𝑣̅ ||
FIC. 2023-0
Lic. Enrrique Guzmán Anticona