MATEMATICA II
MANUAL DE PRÁCTICAS PARA INGENIERÍA
Ing. Flor de María Figueroa
Ing. Roberto Carlos Campos Mito
EL MANUAL DE PRACTICAS DE MATEMATICA II PARA INGENIERÍA,ES UNA OBRA
DISEÑADA A Y CREADA EN LA UNIVERSIDAD PEDAGOGICA DE EL SALVADOR “DR.
LUIS ALONSO APARICIO”.
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA DE EL SALVADOR, “DR. Luis Alonso Aparicio”
ÍN D IC E
Contenido
Página
Introducción
2
Reglamento General de las prácticas de laboratorio
4
Introducción al uso de GeoGebra: Herramientas y funciones
5
Recursos y GeoGebra
5
Práctica de laboratorio
8
1 Graficando en GeoGebra
8
2 Integrales Indefinidas en GeoGebra
11
3 Integrales definidas y Cálculo de áreas
13
4 Sólidos de Revolución
19
Bibliografía
MATEMÁTICA II PARA INGENIERÍA
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1
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA DE EL SALVADOR, “DR. Luis Alonso Aparicio”
IN T R OD UC C IÓN
La Matemática II es una asignatura contemplada en los planes de estudio de la mayoría de
las carreras que se imparten en la Universidad Pedagógica y para la Ingeniería es
fundamental para el desarrollo de los conocimientos y competencias que exige esta
disciplina.
Las prácticas contenidas en este manual han sido diseñadas para que el estudiante de
Ingeniería de la Universidad Pedagógica y futuro profesional domine distintas herramientas
que le permitan analizar e interpretar las situaciones con las que se enfrente y le ayuden a la
toma de mejores decisiones.
La implementación de prácticas de Matemática con un enfoque informático a través de
GeoGebra es una estrategia que contribuye, al logro del aprendizaje de las asignaturas.
En este manual se desarrollarán prácticas de matemática usando GeoGebra, el cual es un
software interactivo de matemática diseñado para la enseñanza de las matemáticas en todo
nivel educativo. El software reúne la geometría, álgebra, estadística y cálculo en registros
gráficos, análisis y organización en hojas de cálculo. Con el uso de GeoGebra se busca
dinamizar el estudio y el interés de los alumnos para aprender las matemáticas de una mejor
manera.
Muchos de los beneficios de utilizar GeoGebra son:
GeoGebra es una práctica herramienta para aprender Matemática, basado en la
TIC´s.
Reúne gráfica y dinámicamente álgebra y geometría, análisis y hojas de cálculo
Es una herramienta útil que pone en acción una interfaz intuitiva y ágil.
Es un software de código abierto.
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GeoGebra es un software que ofrece tres perspectivas diferentes para visualizar cada objeto
matemático; una vista gráfica que define el objeto mediante el uso de puntos o funciones,
Una Vista Algebraica que define el objeto mediante coordenadas de puntos y ecuaciones y
una Vista de Hoja de Cálculo mediante el uso de celdas en la hoja de cálculo. Esta
multiplicidad permite observar al objeto matemático en tres representaciones diferentes.
Cada representación del mismo objeto se vincula dinámicamente en una adaptación
automática y recíproca que asimila los cambios producidos en cada una de ellas, más allá,
de la vista en la que fue creado el objeto originalmente. Con GeoGebra puede construirse
objetos mediante puntos, rectas, semi rectas, segmentos, vectores, con la finalidad de dibujar
polígonos y conocer sus áreas, ángulos entre otros.
GeoGebra busca relacionar lo experimental y lo conceptual para experimentar una
organización didáctica y de disciplina, que involucra la matemática, las ciencias, la Ingeniería
y la tecnología, que es lo que se conoce como STEM, por sus siglas: Science, Technology
Engineering & Mathematics.
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REG L AMENT O G ENERAL DE L AS PRÁCT I CAS DE L A BOR AT O RI O
1. Para tener derecho a las prácticas de laboratorio de Matemática todo estudiante
deberá haber cancelado el arancel correspondiente.
2. Todo estudiante deberá presentarse con su Manual de Prácticas de Matemática a
cada una de las prácticas programadas.
3. Los estudiantes para un mayor aprovechamiento deberán presentarse en el Centro
de Cómputo asignado a la hora programada para el desarrollo de la práctica de
Laboratorio.
4. Después de 15 minutos de iniciada la sesión, es responsabilidad del Docente o
Instructor encargado permitir el ingreso del estudiante.
5. Cada grupo será atendido por el Docente o Instructor de la asignatura. Ellos serán los
responsables del buen desarrollo de las prácticas y del uso adecuado del equipo del
Centro de Cómputo.
6. No se debe ingerir alimentos y/o bebidas dentro del Centro de Cómputo durante el
desarrollo de las Prácticas de Laboratorio.
7. Durante la práctica programada, los estudiantes podrán ingresar al Centro de
Cómputo sólo en presencia del Docente o Instructor.
8. Al inicio de las prácticas, se deberá revisar y reportar al Docente cualquier mal
funcionamiento del equipo.
9. Los equipos del Centro de Cómputo serán utilizados para fines exclusivos de la
práctica.
10. Los estudiantes no deben abandonar el Centro de Cómputo mientras dure la práctica
de informática, excepto por causa justificada del conocimiento y aprobación del
Docente o Instructor responsable.
11. Al finalizar la práctica, cada estudiante se encargará de apagar el equipo que ha
utilizado y dejar limpio el espacio físico donde trabajó.
12. El Docente y el Instructor responsable están autorizados para suspender de manera
parcial o definitiva a cualquier estudiante que diere al equipo un uso diferente al
correspondiente a la práctica que se desarrolla y/o se encuentre alterando el orden
del trabajo académico.
13. Todo reporte de equipo defectuoso el Docente o Instructor deberá presentarlo al
encargado del Centro de Cómputo.
14. Todo estudiante que no asista a una Práctica de Laboratorio se le asignará la nota
mínima establecida en el reglamento de la Universidad y en ningún caso se realizarán
Prácticas diferidas.
15. Los estudiantes deberán respetar las normas de convivencia que sean presentadas
y aceptadas mediante acuerdo con el Docente o Instructor responsable.
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I NT RODU CCI ÓN AL U SO DE G EOG EBRA : HER RAMI ENT AS Y
FU NCI ONES
OBJET I VOS
Objetivo General: Contribuir con la enseñanza y el aprendizaje de los distintos
contenidos del cálculo integral en una variable, a partir del uso del software
GeoGebra.
Objetivos Específicos:
Analizar las gráficas de diversas funciones que se obtiene al utilizar el software
GeoGebra, su validez y los comandos que permiten construirlas.
Discutir los comandos de suma superior e inferior y su representación gráfica,
como recurso para aproximar el valor de la integral definida.
Analizar los diversos comandos que ofrece el software para resolver integrales,
así como la interpretación de la respuesta obtenida.
Interpretar de forma correcta el área entre curvas a partir de su representación
gráfica y la integral correspondiente.
RECU RSOS Y G EOG EB RA
En el Centro de Cómputo de la Universidad Pedagógica los alumnos podrán realizar
las prácticas de laboratorio o en su defecto mediante el uso de computadoras
personales.
Se utilizará el software GeoGebra Clásico 5 versión para
escritorio el cual puede ser descargado de forma gratuita
https://www.geogebra.org/download, aunque se puede
utilizar GeoGebra online accesando a la dirección electrónica
(https://www.geogebra.org/?lang=es).
Una vez seleccionado el instalador correspondiente a su sistema operativo, debe
esperar que termine la descarga. Luego de instalar el programa este se ejecutará
automáticamente, de igual forma aparecerá un icono en su escritorio y un enlace en
el menú de inicio. Al abrir el programa aparece una ventana similar a la mostrada en
la Figura 1.
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Figura 1. Pantalla inicial de GeoGebra
Las zonas de trabajo disponibles son:
1. Barra de herramientas: para seleccionar el objeto con el que se quiere trabajar.
Contiene las herramientas de construcción.
2. Zona gráfica: para construir la figura con la ayuda del ratón, con actualización
dinámica en la ventana de álgebra.
3. Zona o ventana de álgebra: en ella se muestran las coordenadas o ecuaciones
correspondientes. Es importante saber que un objeto creado en la zona gráfica
tiene su representación correspondiente en la Ventana de álgebra.
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4. Zona de entradas o Campo de texto: para introducir directamente
coordenadas, ecuaciones, comandos y funciones. En este caso los objetos o
gráficas correspondientes aparecen en la Zona gráfica al pulsar Intro. Las listas
de comandos disponibles se visualizan, haciendo clic en la flecha junto al texto
comando a la derecha de la zona de entradas.
5. Existe aún una zona llamada de Hoja de cálculo. En esta zona o vista cada
celda se identifica por su fila y columna. Por ejemplo: A1 es la celda situada en
la fila 1 columna A. Este nombre puede utilizarse en expresiones u órdenes
haciendo referencia a su contenido. En las celdas se pueden incluir números,
coordenadas de puntos, funciones, etc y si tienen correspondencia gráfica se
verá en la zona gráfica.
Tipos de objetos:
En la zona de álgebra vemos que hay dos tipos de objetos matemáticos:
Objetos libres: un objeto es libre cuando ha sido creado sin utilizar ninguno de
los ya existentes.
Objetos dependientes: un objeto es dependiente cuando ha sido creado
utilizando objetos ya existentes.
Tipos de construcciones
1. A partir de puntos: para la construcción de rectas, vectores, semirectas,
circunferencias, arcos, etc.
2. Construcciones relativas a otros objetos: generan objetos dependientes, como
rectas paralelas, perpendiculares, mediatrices, bisectrices.
3. Construcciones que requieren valores: dibujar una circunferencia dado su centro
y su radio, dibujar un segmento de una longitud determinada, rotación de un
punto dado su ángulo de giro y centro de rotación.
El uso de este software podría contribuir con la comprensión de ciertos conceptos
matemáticos. En este manual se empleará para reforzar, a partir de actividades,
algunos de los contenidos desarrollados en cálculo Integral en una variable.
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PRÁCT I CA DE L ABO RAT O RI O No . 1:
G RAFI CANDO EN G EOG EB RA
OBJETIVOS:
Aprender a graficar funciones en GeoGebra.
Definir funciones seccionadas.
MARCO TEÓRICO.
Para conocer el entorno de GeoGebra, se utilizará la entrada para graficar funciones
para cualquier intervalo acotado y graficar funciones seccionadas.
EJEMPL O 1.
Para comenzar se graficará una función polinómica. En el ejemplo, aparece la función
𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 2 − 1. En la barra de entrada debe escribirse la función: x2-1.
Figura 2. Gráfica de una función en el intervalo de todos los números reales.
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EJERCI CI OS
Graficar las funciones siguientes:
1. 𝑦 = 2𝑥 3 − 5𝑥 2 + 4𝑥 + 2
3
1
2. 𝑦 = 𝑥 2 − 𝑥 2
3. 𝑦 =
𝑥 2 +5
𝑥+3
EJEMPL O 2.
Graficar la función siguiente, en el intervalo señalado.
𝑦 = −𝑥, 𝑒𝑛 𝑥 < 0.
Figura 3. Gráfica de una función en un intervalo acotado
En la barra de entrada, se coloca la función separada por una coma y entre paréntesis
se coloca el intervalo para el cual está definida la función.
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Si se quiere representar gráficamente una función por partes o seccionada, se escribe
cada parte de la función, junto con el intervalo en la cual está definida.
Figura 4. Representación gráfica de una función por partes.
O también se puede usar el comando Si( <Condición>, <Entonces> ) separando con coma
cada condición: Si(x < 0, -x, x ≥ 0, x)
EJERCI CI OS
Graficar las siguientes funciones en los intervalos especificados.
1. 𝑦 = 2𝑥 3 − 𝑥 2 + 3𝑥 − 5, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > −1.
|𝑥 − 1|, 𝑠𝑖 𝑥 < 1
2. 𝑦 = { 𝑥−5
, 𝑠𝑖 𝑥 > 1
𝑥−1
𝑥 2 + 1, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < −2
3. 𝑓(𝑥) = {𝑥 − 3, 𝑝𝑎𝑟𝑎 − 2 < 𝑥 < 2
𝑥 3 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 2
Estas gráficas deben ser entregadas por el estudiante.
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PRÁCT I CA DE L ABO RAT O RI O No . 2:
I NT EG RAL ES I NDEFI NI DAS EN G EOG EBRA
OBJETIVOS:
Resolver integrales indefinidas con GeoGebra.
Comparar los resultados de las integrales obtenidas usando las técnicas de
integración con los resultados obtenidos a través de la aplicación.
MARCO TEÓRICO
La integral es una suma de elementos infinitesimales, por lo que se vuelve una suma
continua y tiene muchas aplicaciones en ingeniería. El signo de representación de
una integral es una especie de “S” alargada, seguida por la función a integrar y la
variable con respecto a la cual se llevará a cabo la integración. La aplicación de
GeoGebra utiliza el código “Integral” para evaluar la integral indefinida de una función
de la siguiente manera:
EJEMPL OS:
1. Calcular ∫(𝑥 2 − 5𝑥) 𝑑𝑥
Introducir el comando Integral (x2-5*x) en la barra de entrada de GeoGebra.
2. Calcular ∫
6𝑥+2
3𝑥 2+2𝑥
𝑑𝑥
Introducir el comando Integral ((6*x+2)/(3*x2+2*x)) en la barra de entrada de
GeoGebra.
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𝑠𝑒𝑛 𝑥
3. Calcular ∫
1+(𝑐𝑜𝑠𝑥)2
𝑑𝑥
Introducir el comando Integral (sinx)/(1+(cos x)2) en la barra de entrada
de GeoGebra.
También se puede realizar el cálculo desde la ventana de CAS (Calculo
algebraico y simbólico)
EJERCI CI OS
Calcule las siguientes integrales:
a) ∫
3𝑥
4+𝑥 2
𝑑𝑥
b) ∫ 6𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥
2
c) ∫ 𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥
d) ∫
e) ∫
2𝑥 3 +2𝑥 2 +16
𝑥(𝑥 2 +4)2
1
𝑥 2 √4+𝑥 2
𝑑𝑥
𝑑𝑥
f) ∫ ln 𝑥 (𝑥 3 − 9𝑥)𝑑𝑥
El estudiante puede verificar los resultados de algunas de estas integrales si ya
estudió todas las técnicas de integración.
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PRÁCT I CA DE L ABO RAT O RI O No . 3:
I NT EG RAL ES DEFI NI DAS Y CÁ L CU L O DE ÁREAS
OBJETIVOS
Aplicar las sumas de Riemman para calcular integrales definidas.
Calcular integrales definidas a través de Geogebra.
MARCO TEÓRICO
En matemáticas, la suma de Riemann sirve para calcular el valor de una integral
definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es
posible utilizar el Teorema fundamental del cálculo. Estas sumas toman su nombre
del matemático alemán Bernhard Riemann.
La suma de Riemann consiste en trazar un número finito de rectángulos dentro de un
área irregular, calcular el área de cada uno de ellos y sumarlos. El problema de este
método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de
error muy grande, pero al aumentar el número de particiones del rectángulo este error
disminuye considerablemente.
MATEMÁTICA II PARA INGENIERÍA
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Figura 5. Área bajo una curva usando las
sumas de Riemann.
PROCEDIMIENTO
En la entrada debe escribirse la función a analizar. Para el ejemplo se utilizará la
función y=2x2+3. Escribir la función en Entrada, luego hay que crear dos puntos A y
B para los cuales se calculará el área, es decir, que estos puntos definirán el intervalo
a integrar. Para esto, debe darle clic al botón Punto
y ubicarse en el
eje x sobre los puntos que servirán como límites de integración. Posteriormente, se
aplicará el comando Integral de la siguiente manera:
Forma de expresar el comando: Integral(f, x(A), x(B)) esto nos proporciona el valor
exacto del área bajo la curva.
Ahora para calcular el área bajo la curva aplicando sumas de Riemann utilizamos los
comandos
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SumaInferior( <Función>, <Extremo inferior del intervalo>, <Extremo superior del
intervalo>, <Número de rectángulos> )
SumaSuperior( <Función>, <Extremo inferior del intervalo>, <Extremo superior del
intervalo>, <Número de rectángulos> )
Para ello, se pondrá un deslizador
. Al presionar este botón,
aparecerá el siguiente cuadro:
.
Figura 6. Cuadro de diálogo del deslizador.
Figura 7. Deslizador.
El deslizador tiene la función de colocar n cantidad de rectángulos dentro del área
bajo la curva de la función, deslizándose sobre la línea. Puede colocar cualquier
nombre al valor que aparecerá (área bajo la curva). En los cuadros de Mín se colocará
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1 y en Máx el número de rectángulos que se quieran visualizar; para este ejemplo se
colocará 100, por lo que habrá un máximo de 100 rectángulos dentro del área a
analizar. El incremento será de 1, aunque puede colocarse otro valor arbitrario como
0.5 o 0.1. El deslizador permite variar el número de rectángulos y visualizar el área
obtenida con 12, 50 0 100 rectángulos; a mayor cantidad de rectángulos, el área se
aproximará más al valor real obtenida con la integral.
La forma de expresar los comandos es:
SumaInferior(f, x(A), x(B), n) o SumaSuperior(f, x(A), x(B), n)
Figura 8. Área bajo la curva utilizando la suma de Riemann.
Cabe aclarar que las sumas de Riemann siempre tendrán un margen de error, dado
que los rectángulos no coinciden exactamente con el límite definido por la gráfica de
la función, lo cual puede visualizarse en la figura 8, en donde queda un espacio entre
cada rectángulo y la curva trazada.
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ÁREA ENTRE CURVAS
Para explicar este procedimiento, se utilizarán las funciones f(x)=2x2+3 y g(x)=x+8.
Primero, deben definirse los puntos que encierran el área a calcular, por lo que se da
clic al botón Punto, después Intersección lo que definirá los puntos de intersección
de ambas gráficas. De nuevo, estos puntos definirán los límites de integración.
En la barra de Entrada, se escribirá el comando IntegralEntre, cuyo formato es:
En primer lugar, se escribirá la función que se encuentra en la parte superior del
parea delimitada y posteriormente la función inferior, según se muestra en la figura
9.
Figura 9. Área definida por las funciones f(x) y g(x).
La función g(x) está por encima de f(x) en el área encerrada, por lo que el comando
será escrito como: IntegralEntre(g,f,x(A),x(B)). El área encerrada por ambas gráficas
para este ejemplo es de 10.94 unidades de área.
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EJERCI CI OS
El estudiante calculará las siguientes áreas, utilizando GeoGebra, aplicando
integrales y las sumas de Riemann. El estudiante puede elegir el número de
rectángulos.
1.
Calcular el área comprendida entre la parábola y=x2-3x+6, el eje de las
abscisas y entre las rectas x=2 y x=7. Represente gráficamente esta área.
2.
Calcular y dibujar el área comprendida entre las funciones f(x)=sen x y
g(x)=cos x en el intervalo de 0 a 2π.
3.
Hallar el área encerrada la parábola f(x)=9-x2 y la recta g(x)= -x. Represente
gráficamente.
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PRÁCT I CA DE L ABO RAT O RI O No . 4:
SÓL I DOS DE REVOL U CI ÓN
OBJETIVOS:
Dibujar un sólido de revolución en GeoGebra.
Calcular el volumen del sólido de revolución, a partir de una integral.
MARCO TEÓRICO
Un sólido de revolución es un cuerpo que puede obtenerse mediante una operación
geométrica de rotación de una superficie plana alrededor de una recta que esté
contenida en su mismo plano. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar
un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos; Una esfera al girar un semicírculo
por su lado recto; el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus
lados, como se ilustra en la siguiente figura:
Figura 10. Sólidos de
revolución generados por
formas planas sencillas.
MATEMÁTICA II PARA INGENIERÍA
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Existen distintos métodos para el cálculo del volumen de sólidos de revolución, entre
ellos están:
Método del disco. Consiste en hacer girar una figura plana, definida por una función
alrededor de un eje de rotación.
Método de las arandelas. Consiste en hacer girar una región o área delimitada por
dos funciones alrededor de un eje de rotación.
Método de los casquillos cilíndricos.
PROCEDIMIENTO
Para realizar este ejemplo, debe visualizarse el espacio tridimensional. Se da clic al
menú Vista y se elige Vista Gráfica 3D, añadiendo un espacio en donde quedan
representados los 3 ejes (x, y, z).
Figura 11. Menú Vista.
MATEMÁTICA II PARA INGENIERÍA
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Figura 12. Ventana de GeoGebra con la vista gráfica en 3 dimensiones.
MÉTODO DEL DISCO
En este ejemplo se utilizará la función y=|x|. Se escribe esta función en la barra de
Entrada de Geogebra (abs(x)).
Se
da
clic
al
gráfico
tridimensional,
luego
al
botón
Rotación
Axial
. Hay que darle clic a la gráfica en la Vista3D y
después se da un clic al eje de rotación (se utilizará el eje verde, que representa al
eje y), y a la gráfica. Se despliega una ventana que dice Rotación Axial, en donde por
defecto aparece 45°, y en lugar de esto se coloca α. Aparece otro cuadro de diálogo
que pregunta si se necesita crear un deslizador. Al crearlo, se despliega otra ventana
en donde se colocan los parámetros. Puede crearse automáticamente, o cambiar los
parámetros de ángulo de rotación de 0° a 360° con un incremento de 1° o según
convenga. En la gráfica 3D, dar clic derecho a la gráfica de la función y Activar el
Rastro.
MATEMÁTICA II PARA INGENIERÍA
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Al Deslizador, hay que darle clic a Animación y comenzará a generar el sólido de
revolución.
Figura 13. Generación del sólido de revolución para la función y=|x|.
Para calcular el volumen, se escribirá en la barra de Entrada Integral(pi*f,-5,5).
MÉTODO DE LAS ARANDELAS.
En el mismo entorno, se graficarán dos funciones: f(x)=6x-x2 y g(x)=x. Luego se
escribe la función Interseca(f,g) en la barra de Entrada. Los puntos de intersección
son (0,0) y (5,5), por lo que los límites de integración serán estos (0≤x≤5), para ello
puede crearse un intervalo que servirá para definir los límites de integración (se
escribirá en la barra de Entrada 0<=x<=5, por defecto Geogebra asigna la letra “a” a
este intervalo).
Se definen nuevamente las funciones con el comando Si( <Condición>, <Entonces>
de la siguiente forma: Si(a,f) y si(a,g).
MATEMÁTICA II PARA INGENIERÍA
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Se crea un Deslizador de 0° a 360°, con los incrementos definidos de manera
arbitraria y aplicando la animación al deslizador.
Luego, se utiliza el comando Rota( <Objeto>, <Ángulo>, <Eje de rotación> ) para
crear las funciones Rota(h, α, EjeX) y Rota(p, α, EjeY) y les aplicamos el rastro.
Para calcular el volumen del sólido de revolución se escribirá en la barra de Entrada,
π*integral(f^2-g^2, 0, 5).
MATEMÁTICA II PARA INGENIERÍA
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UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA DE EL SALVADOR, “DR. Luis Alonso Aparicio”
Figuras 14 y 15. Representación gráfica en 2 y 3 dimensiones de las funciones y el sólido
de revolución generado al rotar alrededor de un eje.
EJERCI CI OS
1. Hallar el volumen generado por el área bajo la curva generada por el segmento
de recta 𝑦 = 1 − 𝑥/3 , en el intervalo de [0,12] que gira en torno al eje x.
2. Representar gráficamente la región comprendida por la función
𝑓(𝑥) = (𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥)2 y la recta 𝑥 = 2𝜋 y hallar el volumen generado en la rotación
alrededor del eje x de la región anterior.
3. Hallar el volumen generado en la rotación alrededor del eje y del área delimitada
por la parábola 𝑦 2 = 4𝑥 y la recta 𝑦 = 𝑥.
MATEMÁTICA II PARA INGENIERÍA
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UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA DE EL SALVADOR, “DR. Luis Alonso Aparicio”
BI BL I OG RAFI A
Hohenwarter, M. H. (2008). Teaching and learning calculus with free dynamic
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Obtenido
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Carrillo, A. ((s.f.)). Uso del Geogebra en la enseñanza del cálculo artículos de
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Purcell, E. J., Rigdon, S. y Varberg, D. (2007) Cálculo México D.F. Pearson.
MATEMÁTICA II PARA INGENIERÍA
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