GUIA DE
EJERCICIOS
CÁLCULO DE
VARIAS
VARIABLES
UNIVERSIDAD DON BOSCO
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES (CVV501)
UNIDAD 1. GEOMETRÍA ANALÍTICA Y SUPERFICIES EN EL ESPACIO
----- SECCIÓN TEORICA ----
1. Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, no olvide
justificar su respuesta con procedimientos ó conclusiones escritas.
a) La esfera: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 8𝑥 + 2𝑦 + 6𝑧 + 1 = 0 es tangente al plano “xz” ___________
b) El plano: 𝑥 + 14𝑦 + 11𝑧 + 12 = 0 es paralelo a la recta:
𝑥−3
5
=
𝑦+1
2
𝑧
= −3
____________
c) El vector director de una recta de intersección entre dos planos es perpendicular a
los vectores normales de dichos planos
_____________
d) Dada la ecuación general de un plano es imposible crear un vector paralelo a dicho
plano
_____________
e) La recta {𝑥 = 1 + 2𝑡, 𝑦 = 2 + 𝑡, 𝑧 = 0} está contenida en el plano 2𝑥 − 𝑦 + 𝑚𝑧 = 3,
para cualquier valor de m.
f) Sean P1 y P2 dos planos paralelos. L1 y L2 dos rectas contenidas una en cada plano,
respectivamente. Entonces L1 y L2 entonces deben ser paralelas.
______________
g) El punto P(2,6,-3) y el punto Q(-1,3,3) se encuentran simétricamente en medio del
plano: x+y-2z-5=0
________________
h) No es posible hallar el punto de corte entre la recta:
2𝑦+3
2
𝑥−1
2
𝑧
=
2𝑦−1
−6
=
2𝑧−3
6
con:
𝑥−3
−2
=
_______________
=4
i) Una esfera que pasa por el punto (−2,3,4) y por (2, −3, −4), necesariamente tiene
como centro el punto medio entre ellos, es decir (0,0,0).
_______________
j) Una esfera definida por su ecuación general 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 𝐸𝑦 + 𝐹𝑧 + 𝐺 = 0
siempre tendrá su centro sobre el plano 𝑦𝑧.
_______________
k) La distancia del centro de la esfera definida de esta forma 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 +
𝐹𝑧 = 0 al origen es igual al radio de dicha esfera.
7
_______________
9
8 81
l) El punto 𝑃 que se encuentra a 10 del camino entre 𝐴(−3, −4,3) y 𝐵 (7 , − 7 , 7 )
pertenece al plano 𝑥𝑧.
_______________
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2. Razone y conteste brevemente las siguientes aseveraciones. Justifique sus
planteamientos.
a) Para el plano 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0. Si 𝑎 = 0, ¿Qué podemos asegurar del plano?
_______________________________________________________________________________________________
b) Para el plano 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0. Si 𝑏 = 0, 𝑐 = 0 ¿Qué podemos asegurar del
plano? ______________________________________________________________________________________
c) Se tiene un punto P de la recta L1. ¿Cuántas rectas perpendiculares a L1 y que pasan
por P pueden encontrarse? ________________________________________________________________
d) Describa un método que utilizaría para determinar si cuatro puntos (P, Q, R y S)
están en un mismo plano, si no conoce de antemano la ecuación general del plano:
_______________________________________________________________________________________________
e) ¿Qué
podemos
decir
de
la
recta
{𝑥 = −2, 𝑧 =
0?____________________________________________________________________________________________
f) Explique qué condición deben cumplir “a”, “b”, “c” para que la recta {𝑥 = 1 + 𝑎𝑡,
𝑦 = 2 + 𝑏𝑡, 𝑧 = −3 + 𝑐𝑡 sea:
i.
ii.
iii.
iv.
Paralela al plano XZ
Perpendicular al plano XY
Paralela al eje X
Pase por el punto (2,3,-2)
g) Qué valor debe de tomar la constante 𝑘 para que la esfera 𝐸: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 8𝑥 +
𝑘𝑦 − 10𝑧 + 34 = 0 sea tangente al plano 𝑥𝑦, y además, el centro se encuentre en el
cuarto octante. _____________________________________________________________________________
h) ¿Cuál debe de ser el mayor radio que puede tener una esfera con centro en
(−2, −3,4) para que la esfera no se salga del tercer octante? ___________________________
i) Determine el valor de 𝐾 para que la esfera de ecuaciones 25𝑥 2 + 25𝑦 2 + 25𝑧 2 +
200𝑥 − 240𝑦 − 260𝑧 + 𝐾 = 0 sea la más grande posible en el octante donde se
encuentra su centro. _______________________________________________________________________
j) Seleccione la curva de intersección ubicada en el plano 𝑥𝑧 de la esfera que pasa por
los puntos 𝑃(−4, 3, −5) y 𝑄(8,7, −7) que son diametralmente opuestos.
i.
ii.
iii.
iv.
𝑦 2 + 𝑧 2 − 10𝑦 + 12𝑧 + 24 = 0
𝑥 2 + 𝑧 2 + 4𝑥 + 12𝑧 − 24 = 0
𝑧 2 + 𝑥 2 − 4𝑥 + 12𝑧 + 24 = 0
𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 10𝑦 + 24 = 0
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------ SECCIÓN DE EJERCICIOS –----CONTENIDO: CONCEPTOS BASICOS TRIDIMENSIONALES Y ESFERAS.
3. Se sabe que el paralelepípedo de bases ABCD y EFGH
tiene vértices A(1, 0, 0), B(2, 3, 0), C(4, 0, 5) y E(7, 6, 3).
Hallar las coordenadas de los restantes vértices del
paralelepípedo. (Sugerencia: use igualación de vectores
o punto medio)
4. Un cubo contiene exactamente 8 esferas de igual
diámetro y tangentes entre sí. El cubo tiene sus caras
paralelas a los planos coordenados. La esfera que se
encuentra en la esquina inferior, posterior y a la
izquierda, siempre dentro del paralelepípedo es:
2𝑥 2 + 2𝑦 2 + 2𝑧 2 − 2𝑥 + 2𝑦 + 6𝑧 + 𝐷 = 0. La curva de
intersección de la esfera con el plano xy es un punto.
Encuentre:
a) El valor de D.
b) Las ecuaciones canónicas de las 8 esferas que caben
dentro del paralelepípedo.
c) Los vértices del paralelepípedo.
d) Tome la esfera de la esquina frontal, superior, derecha. Y encuentre el punto
11
de tangencia con la esfera 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 𝑥 + 3𝑦 − 7𝑧 − 2 = 0.
(Sugerencia: piense la relación entre la esfera y su curva de intersección, cuando tenga el
centro desplace puntos para obtener todos los centros de las esferas restantes y el
paralelepípedo)
5. Los vértices opuestos de un paralelepípedo con sus caras paralelas a los planos
coordenados son: A (4,6,3) y E (-1,-4,13)
Hallar:
a) La ecuación general de 4 esferas contenidas exactamente en el paralelepípedo.
b) Investigue si es posible que exista una esfera que pase por los puntos ABCD, de
ser así, encuéntrela.
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(Sugerencia: Encuentre los vértices restantes y calcule las dimensiones del paralelepípedo.
¿Qué radio debe tener la esfera? Encuentre las cuatro esferas a partir del movimiento de
los vértices. Use la ecuación general para demostrar sí una esfera pasa por cuatro puntos).
6. Investigue si es posible encontrar la ecuación general de una esfera que tiene su
centro a 2/3 del camino de P a Q y pasa por el punto R
•
•
•
El punto P se encuentra en el eje x positivo a √21 unidades del punto (0,4,1)
El punto Q está ubicado en el plano xy, 3 unidades detrás del plano yz, una
unidad a la izquierda del plano xz.
R es el punto medio entre los puntos (3,2,1) (-1,-2,-3)
(Sugerencia: Encuentre los puntos P, Q y R cada uno por separado, usando propiedades y
fórmulas de distancias entre puntos. Luego encuentre el centro de la esfera, y por último
el radio).
7. Una esfera encierra exactamente a otras dos, las tres esferas son de diferente
diámetro. Dos de ellas son: 2𝑥 2 + 2𝑦 2 + 2𝑧 2 − 8𝑥 − 12𝑦 − 4𝑧 + 10 = 0; 𝑥 2 + 𝑦 2 +
𝑧 2 + 12𝑥 + 10𝑦 − 10𝑧 − 139 = 0. Hallar la ecuación general de la tercera esfera.
Encuentre también los vértices de un cubo que encierre a la esfera más grande,
hallar la curva de intersección de la esfera más pequeña con los planos coordenados.
(Sugerencia: Investigue la posición relativa entre las esferas, luego realice un bosquejo
que le permita entender el problema, encuentra la esfera faltante por medio del diámetro
y el centro).
8. Hallar la ecuación general de una esfera que encierre completamente a las esferas:
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 6𝑥 − 8𝑦 − 12𝑧 + 52 = 0; 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 6𝑥 − 20𝑦 − 6𝑧 + 37 = 0.
Investigue si las esferas son tangentes o no y encuentre el punto de tangencia, si existe.
Además, encuentre los vértices de un paralelepípedo con sus caras paralelas a los
planos coordenados que encierre exactamente a la esfera encontrada.
(Sugerencia: igual que el ejercicio anterior, en este caso, encuentre de último el cubo).
9. Para las esferas E1 y E2
E1:
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 6𝑥 − 4𝑦 − 10𝑧 + 29 = 0
E2:
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 2𝑥 + 𝐵𝑦 − 6𝑧 + 𝐷 = 0
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Conociendo que las esferas E1 y E2 tienen el mismo diámetro y son tangentes en un
punto que se encuentra en el plano xz. Hallar el valor de B y D.
(Sugerencia: encuentre el centro y radio de ambas esferas, aunque algunas queden
expresadas con incógnitas, ahora utilice la información del punto de tangencia en xz para
hallar lo pedido).
10. Encuentre la ecuación general de la esfera que tiene área superficial 𝟏𝟎𝟎𝝅, la curva
de intersección con el plano 𝒚𝒛 pasa por los puntos: 𝑸(𝟎, −𝟔, −𝟒), 𝑹(𝟎, 𝟎, −𝟒) y 𝑷
que está ubicado en el tercer cuadrante separado 1 unidad del 𝒆𝒋𝒆 𝒚, 3 unidades del
𝒆𝒋𝒆 𝒛. El centro de la esfera se encuentra en el octante 𝑽𝑰𝑰𝑰.
Determine:
a) La ecuación general de la esfera mencionada anteriormente.
b) La curva de intersección con los planos coordenados.
11. Se sabe que 𝑨, 𝑩(𝒙𝟏 , −𝟑, 𝒛𝟏 ) y 𝑪(−𝟑, −𝟐, 𝟒) son vértice de un triángulo equilátero, 𝑷 y
𝑸 son los puntos medios de los lados ̅̅̅̅
𝑨𝑩 y ̅̅̅̅
𝑩𝑪 respectivamente.
𝟒𝟑
𝟏𝟏
El punto 𝑩 se encuentra a 𝟓𝟕 del camino de 𝑹 ( 𝟐 , − 𝟐 , −𝟏𝟕) a 𝑪.
Las coordenadas del punto 𝑷 se encuentran una unidad delante del plano 𝒚𝒛, media
unidad a la derecha del plano 𝒙𝒛 y el más alejado del plano 𝒙𝒚.
Determinar
a) Las esferas con centro el punto 𝐵 y 𝐶, y que son tangentes en el punto 𝑄
b) Determinar una esfera con centro en el punto 𝐴 y que pase por el punto 𝑄
12. Se sabe que el paralelepípedo tiene coordenadas
𝐴(1,2,3), 𝐶(4,1,3), 𝐷(3,4,1)𝑦 𝐺(6,1, −1). Determinar:
a) Los vértices restantes del paralelepípedo
b) Las esferas 𝐸1 , 𝐸2 𝑦 𝐸3 que tiene como centro los
puntos 𝐻, 𝐼, 𝐺, respectivamente, además la esfera 𝐸1 es
tangente a 𝐸2 y tienen el mismo diámetro, 𝐸1 es
tangente a 𝐸3 . También, determine los puntos de
tangencia.
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13. Se tiene un prisma triangular con base 𝐴𝐵𝐶. Se sabe
que
•
El punto 𝐴 pertenece al plano 𝑥𝑧, se encuentra
en el segundo cuadrante a cuatro unidades
del 𝑒𝑗𝑒 𝑥 y tres unidades del 𝑒𝑗𝑒 𝑧.
•
El punto 𝐶 se encuentra a 2 del camino de
5
7 13
8
𝑃(5,1, −4) a 𝑄 (5 , 5 , − 5)
•
𝐵 es el centro de la esfera de ecuación 9𝑥 2 +
9𝑦 2 + 9𝑧 2 − 36𝑥 − 54𝑦 − 18𝑧 = 18
a) Determinar los vértices del prisma, si
𝐷(−1.5, −7,7)
b) Determinar la ecuación general de la esfera 𝐸1 ,
que tiene como centro el punto medio de 𝐸 y 𝐷, y
pasa por el punto 𝐹.
14. Un paralelepípedo contiene exactamente seis esferas de igual diámetro y tangente
entre sí, tiene 3 a lo largo, una a lo ancho y dos a lo alto. El paralelepípedo tiene sus
caras paralelas a los planos coordenados.
La esfera 𝐸1 que se encuentra en la esquina superior izquierda tiene radio 7 y su centro
se encuentra en el sexto octante, además su curva de intersección con el plano "𝒙𝒛" es
4𝑥 2 + 4𝑧 2 + 24𝑥 + 20𝑧 = 119.
a) Determinar la ecuación general de las seis esferas
b) Determinar los vértices del paralelepípedo que encierra a las seis esferas.
15. Para las esferas 𝐸1 y 𝐸2
𝐸1: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 2𝑥 + 𝐸𝑦 − 4𝑧 + 𝐺 = 0
𝐸2: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 6𝑥 − 8𝑦 + 4𝑧 + 4 = 0
Determinar el valor de 𝐸 𝑦 𝐺 para que las esferas sean tangentes exteriores, si se sabe
que la curva de intersección de 𝐸1 con el plano 𝑥𝑧 tiene un diámetro de 2√7.
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CONTENIDO: RECTAS EN EL ESPACIO.
16. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta L4 que corta a L1 y L2 y es paralela
a L3. Dónde:
𝐿1 {𝑥 = 2 + 𝑡, 𝑦 = −3 − 𝑡, 𝑧 = 6 + 𝑡
𝐿2 {𝑥 = 3, 𝑦 = 𝑟, 𝑧 = −9 − 𝑟
𝐿3 {𝑥 = 8 − 𝑠, 𝑦 = 5 + 𝑠, 𝑧 = −6 + 2𝑠
(Sugerencia: Investigue la posición relativa entre las tres rectas, ya que L3 es paralela a
la recta L4 entonces tendrá el vector director buscado, necesita además que L4 corte a L1
y L2 a la vez, use igualdad de vectores).
17. Hallar las rectas que pasan por el punto (3,4,0) y cortan al eje Z, sabiendo que la
distancia de esas rectas al origen es de 4 unidades.
(Sugerencia: encuentre la ecuación desconocida usando el punto (3,4,0) y el punto del eje
z (0,0, z). Luego, ocupe la fórmula de distancia de un punto (0,0,0) a una recta conociendo
que esa distancia es 4 y despeje los posibles valores de z, habrá dos respuestas).
18. Un triángulo se forma en el espacio según se muestra en la figura:
Donde 𝐴 (1,2,3), 𝐵 (1,1,1) 𝑦 𝐶 (2,3,4) son los puntos medios de cada lado.
Hallar:
a) El ángulo entre las rectas L1 y L2.
b) Las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta L4 que corta al eje z, pasa
por el punto (-1,-2,-3) y es ortogonal a la recta L3.
c) Los puntos de la recta L4 que se encuentran a una distancia de 4 unidades del
punto (1,-2,-1)
d) El área usando la fórmula A= b*h/2
19. Se dibuja una recta que pasa por el punto (6,4,2) y es perpendicular al plano yz.
Obtenga las coordenadas de los puntos de la recta que se encuentran a una distancia
de 10 unidades del punto (0,4,0).
(Sugerencia: formule la ecuación de la recta observando cual o cuales de las
componentes del vector director son cero.)
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20. Dadas las rectas:
L1{𝑥 = 14 + 4𝑡, 𝑦 = 25 + 7𝑡, 𝑧 = −3 − 3𝑡
L2{𝑥 = 6 + 2𝑟, 𝑦 = −6 − 5𝑟, 𝑧 = −12 − 9𝑟
Hallar la ecuación general de la esfera que pasa por el punto de corte entre las rectas L1
y L2, pasa también por el punto ubicado 3 unidades arriba del plano xy, 3 unidades a la
derecha del plano xz y 6 unidades delante del plano yz. La esfera tiene centro en el eje
y.
21. Hallar las ecuaciones de la recta que corta perpendicularmente a L1 y L2.
𝐿1: {𝑥 = −3 + 𝑡, 𝑦 = −2 + 5𝑡, 𝑧 = 0
𝐿2: {𝑥 = 3, 𝑦 = −6 + 4𝑟, 𝑧 = 2 + 𝑟
(Sugerencia: Investigue la posición relativa entre las rectas y mediante un diagrama,
piense en la forma posible que se cumpla la condición).
22. Para las ecuaciones de las rectas que se le presentan a continuación:
𝐿1: {𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 3 = 0, 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 1 = 0
𝐿2: {2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 2 = 0, 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 − 4 = 0
𝐿3: {10𝑥 − 20𝑦 + 20 = 0, 30𝑦 + 10𝑧 − 50 = 0
𝐿4 ∶
𝑥 − 17 𝑦 + 15 𝑧 + 17
=
=
−4
−2
6
a) Transforme todas las rectas a su forma paramétrica
b) Determine si las rectas son idénticas, paralelas, perpendiculares, si se cortan
o se cruzan. L1 con L2, L1 con L3, L1 con L4, L2 con L4.
23. Hallar la ecuación simétrica de la recta que pasa por el punto (2,0,-1) y corta a las
rectas
𝑥−2
𝑥+𝑦+4= 0
𝑆1 :
= −𝑦 + 2 = 𝑧 + 1 ;
𝑆2 : {
𝑦 − 3𝑧 + 3 = 0
2
(Sugerencia: debería usar vectores entre los puntos de corte y el punto conocido)
24. Hallar el valor de a y b para que las rectas sean paralelas.
𝐿1: 4𝑥 = 2𝑦 + 6 = 𝑧
𝐿2: {2𝑥 + 𝑎𝑦 − 𝑧 = 1, 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑏𝑧 = 3
(Sugerencia: transforme a paramétricas e iguale vectores múltiplos)
25. Encuentre el valor de la coordenada desconocida de tal manera que la distancia
𝑥−3
𝑧+1
entre el punto Q (0, y, 3) y la recta 𝐿1 ∶
=𝑦−1=
sea de 5 unidades. Halle
2
2
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también el punto de corte entre la recta L1 y la recta L2. (La recta L2 pasa por el
punto Q y corta perpendicularmente a L1)
26. Dadas las rectas:
L1{𝑥 = 14 + 4𝑡, 𝑦 = 25 + 7𝑡, 𝑧 = −3 + 𝑐𝑡
𝐿2{𝑥 = −2 + 2𝑟, 𝑦 = 𝑏 − 5𝑟, 𝑧 = 24 − 9𝑟
a) Hallar los valores de b y c para que las rectas se corten perpendicularmente.
Hallar también el punto de corte.
b) Hallar el punto A que se encuentra en el eje y, ubicado a una distancia de 7
unidades del punto hallado en el literal anterior.
c) ¿Qué valor debería tener c, para que la recta L1 corte el eje y?
27. Dadas las rectas:
𝐿1{(1 + 𝑎)𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0, 𝑥 + 𝑧 = 0
L2 {𝑥 = 𝑏 + 𝑡, 𝑦 = −2 + √2𝑡, 𝑧 = 𝑐 − 𝑡
Hallar el valor de a b y c para que las rectas se corten en el origen y formen un ángulo
de 45° entre sí.
28. Para las rectas: L1:
𝑥−1
2
𝑦−9
= 6−𝑚 =
𝑧−4
L2:
1
𝑥+3
2
𝑦−5
= 𝑚+2 =
𝑧−2
1
Investigue si existe un valor de m para que las rectas:
a) sean idénticas
b) se corten
c) se crucen
d) sean perpendiculares
e) sean paralelas
29. Encuentre qué valores deben tener c y d para que la distancia entre las rectas
paralelas sea de
2√6
3
unidades. {𝑥 = 1 + 𝑡, 𝑦 = 𝑡, 𝑧 = −1 + 𝑐𝑡 {𝑥 − 𝑦 + 𝑑 = 0, 𝑥 −
𝑧=0
30. Un cuadrado tiene uno de sus lados sobre la recta r y otro lado sobre s encontrar
los vértices del cuadrado si uno de ellos es (0,0,0)
𝑟:
𝑥=𝑘
𝑥−3
= 𝑦 = 𝑧 − 1 ; 𝑠: {𝑦 = −𝑘
2
𝑧 = −𝑘
31. Un triángulo tiene vértices A, B, C. Se sabe que:
•
•
1
1
1
El punto A es el centro de la esfera 2 𝑥 2 + 2 𝑦 2 + 2 𝑧 2 − 2𝑥 − 3𝑦 + 5𝑧 + 17 = 0
La longitud del lado AC es 7 y es paralela a la recta:
𝑥+2 𝑦−7
=
= −𝑧 − 3
2
−2
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•
El punto B, se encuentra 6 unidades debajo del plano xy, 5 unidades delante del
plano yz, 5 unidades a la derecha del plano xz.
Hallar:
a) El perímetro del triángulo.
b) Las ecuaciones simétricas de cada recta que forman los segmentos de los
triángulos.
c) El área del triángulo indicado.
d) Encuentre los ángulos del triangulo empleando ángulos entre rectas.
CONTENIDO: RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO.
32. Encuentre el valor de “a” para que las rectas estén contenidas en un plano y hallar
la ecuación general de ese plano. Sin usar producto cruz.
𝐿1{𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0, 𝑎𝑥 − 3𝑧 + 3 = 0 𝐿2 {𝑥 − 2𝑎𝑦 = 1 − 4𝑎, 2𝑦 − 𝑧 − 4 = 0
33. Encontrar la ecuación general del plano que pasa por el punto donde las rectas L1
y L2 se cortan, y es paralelo al plano que pasa por los puntos (2,0,-2) (1,-3,-4) (5,4,6). Sin usar producto cruz.
19−𝑥
2𝑦+50
L1 {3𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0, 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0
L2: 3 = 6 ; 𝑧 = −4
34. Para la pirámide cuadrada de la figura, conociendo que A (0 ,0, m), B (3, b, 4),
C (3,3, c) D (0,3,-5)
a) Hallar los valores de m, b, c y d de tal forma que todos los puntos del cuadrado
estén contenidos en el plano – 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 𝑑.
b) Encuentre el vértice E conociendo que pertenece al plano 2𝑥 − 4𝑦 − 2𝑧 = 4,
recuerde que el vértice E se encuentra a la mitad de la
pirámide.
c) Hallar el ángulo entre la recta CE y la recta DC.
d) Hallar el perímetro del cuadrado A B C D.
35. Encontrar la ecuación general del plano que contiene a la
recta L1 y es paralelo a la recta L2.
• L1: es la recta que pasa por el punto de corte de la recta de intersección de los
planos {3𝑥 − 6𝑦 − 2𝑧 = 15, 2𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 2 con el plano – 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 − 5 = 0
y paralela al eje z.
• L2: es la recta que pasa por el punto (1,1,-1), corta al eje x, y es paralela al plano
7𝑥 − 3𝑧 = 10
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36. L1 es la recta de intersección de los planos: 𝒂𝒙 + 𝟗𝒚 – 𝟑𝒛 = 𝟖, 𝒙 + 𝒂𝒚 – 𝒛 = 𝟎.
Determina el valor de “a” para que:
a) Los dos planos sean paralelos.
b) Los dos planos sean perpendiculares.
c) La recta L1 corte al plano XY en un punto cuya distancia al origen de
coordenadas sea √2
37. Halla la ecuación de la recta paralela al plano determinado por los puntos (0, 0, 0),
𝑥 + 2𝑦 = 1
(1, 4, 1), (–1, –1, 1), que pasa por el punto (1, 1, 1) y corta a la recta 𝐿: {
.
𝑥 − 3𝑦 = 5
38. Calcular el valor de m para que los puntos A (m, 0, 1), B (0, 1, 2), C (1, 2, 3) y
D (7, 2, 1) estén en un mismo plano. ¿Cuál es la ecuación general de ese plano? Sin usar
producto cruz.
39. Hallar p para que las rectas sean perpendiculares y encuentre la ecuación de un
plano que las contenga sin usar producto vectorial.
𝑥 𝑦−1 𝑧
𝐿1 : { =
= ;
4
−2
2
𝐿2 : {𝑥 − 1 =
𝑦−𝑝 𝑧−3
=
𝑝−1
3
40. Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto
(1,0,2) y es paralela al plano dado por 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 5, y es ortogonal a la recta 𝑥 =
𝑡, 𝑦 = 1 + 𝑡, 𝑧 = 1 − 𝑡.
41. Hallar la ecuación simétrica de una recta que pasa por el punto (1,2,3) y es
perpendicular al plano que pasa por el origen y por los puntos B (1,1,1) C (1,2,1).
Sin usar ni producto punto ni producto cruz.
42. Dada la recta 𝐿1: {𝑥 − 2𝑧 + 3 = 0, 𝑦 − 𝑧 − 4 = 0 , además el plano 𝑥 + 2𝑦 +
3𝑧 – 1 = 0, hallar la ecuación de una recta L2 contenida en el plano que pase por
el punto P (2, 1, –1) y sea ortogonal a L1.
43. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A (1, 3, 2) y B (–2, 5, 0) y es
paralelo a la recta {𝑥 = 3 − 𝑡, 𝑦 = 2 + 𝑡, 𝑧 = −2 − 3𝑡. Sin usar producto vectorial.
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44. El diagrama es una representación de seis puntos en el espacio, los
cuales forman dos cuadrados iguales de lado tres.
•
•
7
9
El centro del cuadrado superior es (2 , −2, 2).
El vértice 𝐶 es el centro de la esfera 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 6𝑥 + 𝑁𝑦 −
8𝑧 + 25 = 0, se sabe que la esfera es tangente al pano 𝑥𝑦
2𝑥 + 𝑦 = 11
• La recta 𝐿1 : {
es paralela a los cuadrados.
4𝑥 + 2𝑧 = 29
a) Hallar el valor de 𝑁, las coordenadas de 𝐶 𝑦 𝐵.
b) La ecuación canónica de una esfera que sea tangente a la
recta 𝐿1 y pase por el punto 𝐵.
c) Los puntos 𝐷, 𝐴, 𝐹, 𝐸.
CONTENIDO: COMBINACIÓN DE ESFERAS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO.
45. Observe la figura. Se tiene una recta {𝑥 − 2𝑦 = 1, 2𝑦 − 𝑧 = 3
mientras la esfera 8𝑦 + 12𝑧 − 2𝑥 2 − 2𝑦 2 − 2𝑧 2 − 8 = 0.
Encuentre los puntos que se muestran en la figura. ¿Es
posible hallar un plano que pase por esos puntos y sea
paralelo a la recta? Si es posible, encuéntrelo.
46. Observe la figura. Se tiene una recta {𝑥 − 2𝑦 = 1, 2𝑦 − 𝑧 = 3
mientras la esfera 8𝑦 + 12𝑧 − 2𝑥 2 − 2𝑦 2 − 2𝑧 2 − 8 = 0.
Encuentre las ecuaciones generales de los planos que se
muestran en la figura. La recta y los planos son paralelos.
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47. El plano de la izquierda es tangente a la esfera en el punto (2,1,1). La ecuación de la esfera es 8𝑦 + 12𝑧 − 2𝑥 2 − 2𝑦 2 −
2𝑧 2 − 8 = 0. El punto más cercano entre la esfera y la recta
es (11/5, 8/5, 1). La distancia del centro de la esfera a la recta
es 5. Encuentre la ecuación general de los dos planos y la
recta paramétrica. (Los planos son perpendiculares a la recta)
48. Observe el dibujo:
Se sabe que la distancia del punto A a la recta L1 es la misma distancia que de la
𝑥−3
𝑧+1
recta al plano. Si el punto A es (0,2,3), la recta L1 es 2 = 𝑦 − 1 = 2 . Hallar la
ecuación general del plano.
Además, determine la recta simétrica de 𝐿1 respecto al plano 𝑃1
49. Se tienen 3 planos paralelos. Una esfera es tangente al plano de en medio y al plano
inferior, como se muestra en la figura. Los planos se encuentran a la misma distancia
de separación. La ecuación general del plano de abajo es 2𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 − 5 = 0. La
ecuación general de la esfera es 9𝑥 2 + 9𝑦 2 + 9𝑧 2 − 26𝑥 − 44𝑦 − 86𝑧 + 274 = 0.
Encuentre la ecuación general del plano de arriba.
50. Determina la ecuación de un plano paralelo al plano 𝑥 – 2𝑦 + 3𝑧 + 6 = 0 y que
dista 12 unidades del origen.
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51. Hallar el valor de m para que el plano: 𝑚𝑥 + 𝑦 + 𝑧 – (𝑚 + 1) = 0 se encuentre
a una distancia de 1 del origen.
52. Demostrar que el plano 2𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 = 4 es paralelo a la recta {𝑥 = −2 + 2𝑡, 𝑦 =
−1 + 4𝑡, 𝑧 = 4 y hallar la distancia entre ambos.
53. Hallar la ecuación general del plano que contiene todos los puntos equidistantes de
los puntos dados P (-5,1,-3) Q (2,-1,6).
𝜋
54. Hallar la ecuación del plano que contiene al 𝑒𝑗𝑒 𝑦 y forma un ángulo de 6 con el
𝑒𝑗𝑒 𝑥 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜.
55. Los puntos P (a, 0, 0), Q (0, b, 0), R (0, 0, c) forman un plano. Hallar la distancia del
plano al origen. Los números a, b y c son positivos.
56. Sin usar producto cruz encontrar:
a) Hallar las ecuaciones de los planos paralelos que contienen a las rectas:
𝐿1: 𝑥 = −𝑦 + 2 = −𝑧 + 2
𝐿2: 𝑥 − 2 = −𝑦 + 1 = 𝑧 + 1
b) Hallar la distancia entre los planos.
c) Encontrar la ecuación general de una esfera que sea tangente a las rectas y
tangente a los planos al mismo tiempo.
57. Para los planos:
P1 2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 + 12 = 0
P2 −2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 + 20 = 0
a) Hallar las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta de intersección
entre los planos.
b) Hallar la ecuación general de la esfera con centro en (4,2, z) y tangente a los
dos planos. Hallar también el valor de z.
c) Hallar el ángulo mayor entre la recta encontrada en a) y el plano 5𝑥 − 11𝑦 +
4𝑧 − 12 = 0.
d) Hallar los puntos del eje y que se encuentran a cinco unidades del plano P1.
58. Determine el valor de 𝒂 para que las rectas se contengan en un mismo plano y
encontrar la ecuación del plano sin usar ni producto punto ni producto cruz.
𝐿1 : {𝑥 = 𝑦 − 𝑎, 𝑧 = 0;
𝑥 =1+𝑡
𝐿2 : { 𝑦 = 1 − 𝑡
𝑧 = −1 + 𝑡
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1
59. Hallar los puntos de la recta {𝑥 + 𝑦 = 0, 𝑥 − 𝑧 = 0 que tienen una distancia de 3 del
plano 2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 + 1 = 0.
60. Calcule el valor de m para que la distancia del punto P (20,6,0) se encuentre a igual
𝑥−6
𝑦
𝑧−2
separación del plano 5𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 = 𝑚 que de la recta 2 = 2 = 3
61. Para la recta {𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −1, 6𝑥 − 3𝑦 + 10𝑧 = 6
a) Encuentre que puntos de la recta se encuentran a una distancia de 5 unidades del
origen.
b) Investigue si es posible encontrar algún valor de b y d para que la recta y el plano
se contengan: 𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑧 + 𝑑 = 0
c) ¿Qué valor debería tener d en el plano 3x-3y+3z+d=0 para que la distancia entre
la recta y el plano sea de 1 unidad?
62. Se tienen dos planos 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0, 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 2.
a) Hallar la recta que pasa por A (1,2,3) y no corta a ninguno de los planos.
b) Determinar los puntos que equidistan de A y B (2,1,0) y pertenecen a la recta de
intersección de los planos
63. Dadas las rectas:
𝑦−1
= −𝑧 − 3
3
𝐿2 {𝑥 = −2 − 𝑡, 𝑦 = 1 + 4𝑡, 𝑧 = −3 − 2𝑡
a) Encuentre la ecuación general de un plano P1 que las contenga.
b) Encuentre la ecuación general de una esfera que pasa por (0,0,0) y es tangente
al plano P1.
c) Qué valor debería tener a en el plano ax+6y-7z+12=0 para que la recta de
22
intersección entre el plano P1 y el plano anterior, sea {𝑥 = −4 + 63𝑡, 𝑦 = − +
𝐿1: 𝑥 + 2 =
3
70𝑡, 𝑧 = −12𝑡
d) Encuentre la ecuación paramétrica de una recta que pase por el punto donde el
plano P1 corta al eje z, y además corta perpendicularmente a la recta L1.
64. Hallar la ecuación general del plano que contiene a la recta {𝑥 = 3𝑡, 𝑦 = −𝑡, 𝑧 = 4𝑡
y que cumpla además cada una de las siguientes condiciones: (para cada literal tiene
respuestas distintas)
√14
a) La distancia del plano al punto P (1,1,1) es 3
√3
b) Forma un ángulo cuyo seno vale 3 con el eje x positivo
c)Es perpendicular al plano 3𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 − 1 = 0
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65. Hallar la ecuación del plano perpendicular al plano yz, contiene al punto (2,1,1) y
2
forma un ángulo de 3 𝑟𝑎𝑑 con el plano 2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 − 3 = 0.
66. Para el tetraedro de la figura:
Conociendo que los puntos A (3,0,0) B (0,2,0) C (0,0,6) D(α,3,1)
a) Encuentre la ecuación general de un plano que pasa por los puntos A, B y C.
b) El valor de α para que la recta que pasa por AD sea perpendicular al plano
c) La ecuación general de un plano ubicado a 2 unidades de distancia del plano que
pasa por ABC
67. El punto 𝐵(0,2,3) y la recta
𝑥−3
2
=𝑦−1=
𝑧+1
2
se muestran en la figura.
a) Encuentre los vértices 𝐴, 𝐶, 𝐷 del cuadrado.
b) Encuentre la ecuación general de la esfera conociendo que pasa por el punto D
y su centro es el punto E.
c) La ecuación general del plano que contiene los puntos 𝐴, 𝐵, 𝐶 𝑦 𝐷.
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𝑥 = 1+𝑡
𝑥−𝑦+𝑧 =3
68. Las rectas: 𝐿1 {𝑦 = −1 − 𝑡 𝑦 𝐿2 {
se contienen en un plano.
6𝑥 + 2𝑧 = 2
𝑧 =𝑏+𝑡
a) Hallar el valor de b para que las rectas forman un plano.
b) Investigue si es posible encontrar la ecuación general de una esfera con centro
un punto de 𝐿2 , pasa por el origen y pasa por el punto ubicado en el plano 𝑦𝑧, 2
unidades arriba del plano 𝑥𝑦 y 1 unidad a la izquierda del plano 𝑥𝑧.
𝑥 = 1 + 3𝑘
69. Sea 𝐿1 : { 𝑦 = 2 − 𝑘 una recta que pasa por los centros de las esferas 𝐸1 , 𝐸2 y 𝐸3 . El
𝑧 = 1+𝑘
2
radio de la esfera 𝐸2 es 3 del radio de la esfera 𝐸1 , el radio de la esfera 𝐸3 es la mitad
del radio de la esfera 𝐸2 . Si 𝐸1 : 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 4𝑥 + 𝑁𝑦 − 3 = 0 y las esferas son
tangentes entre sí. Determinar
a) El valor de 𝑁
b) Las ecuaciones de las esferas 𝐸2 y 𝐸3
c) Determine los vértices de un cubo que tiene sus caras paralelas a los planos
coordenados y encierra a la esfera 𝐸1 .
d) Determine el plano paralelo a la recta 𝐿1 , tangente a la esfera 𝐸1 y que pasa por
el punto de corte de la esfera 𝐸1 con el eje 𝑦 (el más alejado del origen)
70. Dos planos P1 y P2 son paralelos.
𝑃1: 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 4
𝑃2: − 2𝑥 + 4𝑦 − 6𝑧 = 7
Dos rectas, L1 y L2 son paralelas. L1 está contenida en P1. L2 está contenida en P2.
𝑥 + 3𝑧 = 0
𝐿1 {
𝑦 = −2
Dos cuadrados se forman entre las rectas paralelas. Uno de los vértices centrales es el
punto de corte de L1 con el eje y. Encuentre los cinco vértices restantes posibles de los
cuadrados. (Trabaje todo el problema con 2 decimales).
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71. Tres planos paralelos tienen 2 esferas de igual diámetro entre sus espacios. El
diámetro de las esferas es de 5 unidades. Dos rectas se cortan y forman el plano de
2𝑥 + 𝑧 = 𝑎
−𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 5
en medio. Las rectas son: {
𝑦 {
. Las esferas son
𝑦=1
𝑥+𝑦 =𝑎
tangentes en el punto donde las rectas se cortan.
a) Encuentre la ecuación general de los tres planos.
b) La ecuación canónica de las esferas
72. Para las rectas
𝑥 − 𝐵 3𝑦 − 44
3𝑧 − 10
𝐿1 : {𝑡 =
=
=
;
3
6
3(𝐵 − 1)
𝑥 = 1 + (𝐶 + 1)𝑘
𝐿2 : { 𝑦 = 𝐶 + 10𝑘
𝑧 = 3 + 5𝑘
Determine
a) Si existe valores de 𝐵 𝑦 𝐶 para que las recta sean paralelas
b) La ecuación general de la esfera 𝐸1 que tiene como centro el punto 𝑄 que
pertenece a la recta 𝐿2 y es tangente a la esfera 𝐸2 : 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 12𝑥 − 16𝑦 −
20𝑧 + 151 = 0. El punto 𝑄 es la proyección ortogonal de 𝑅(3,1,4) sobre la recta
𝐿2 (Considere el valor de 𝐶 encontrado en el literal anterior)
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CONTENIDO: GRAFICAS DE PLANOS, SUPERFICIES CILINDRICAS Y CUÁDRICAS.
73. Grafique los siguientes planos en los octantes indicados dejando indicadas trazas e
intercepto: Complete la tabla para cada plano.
Intercepto con los ejes coordenados
Trazas
Eje x
Plano 𝑥𝑦
Eje y
Plano 𝑦𝑧
Eje x
Plano 𝑥𝑧
a) x − 2y + z = 0 (I octante)
b) 2x − y + z = 3 (IV octante)
c) y = 3 (V octante)
d) −25x − 20y − 10z = −5 (I octante)
e) 6x + 5y − 4z − 60 = 0 (I octante)
f) 3y + 2z = 0
g) 3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 12 = 0 (𝐼𝐼𝐼 𝑂𝑐𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒)
h) −4𝑦 − 2𝑥 + 3𝑧 = −12 (𝑉 𝑂𝑐𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒)
i) 𝑧 = −3 (𝑉 𝑦 𝑉𝐼 𝑜𝑐𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒)
j) 2𝑧 − 3𝑦 = −𝑥 (𝐼 𝑂𝑐𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒)
k) 4𝑥 − 6𝑦 + 8𝑧 = 24
l) 8𝑧 − 4𝑦 + 2𝑥 = 0
74. Grafique las siguientes superficies cilíndricas, dejando indicado, directriz y
generatriz en la gráfica.
−2𝑧 − 4
b) 𝑦 = { √9 − 𝑧 2
𝑠𝑒𝑛(2𝑧)
a) 𝑦 = 2√3𝑧 − 6
(𝑥 − 2)2 − 1
c) 𝑧 = {
𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
3
15
2
2
− 𝑥+
e) 𝑧 = {
(𝑦 + 1)3 ;
7 − |𝑦 − 3|;
; −2 < 𝑥 < 0
;0 ≤ 𝑥 ≤ 4
;5 < 𝑥 ≤ 7
−2 ≤ 𝑦 ≤ 1
1<𝑦≤4
; −6 ≤ 𝑧 < 3
, −3 < 𝑧 ≤ 2
;3 ≤ 𝑧 ≤ 5
𝜋𝑥
3 cos ( 2 ) − 3 ; −2 ≤ 𝑥 < 2
d) 𝑧 = { 2|𝑥 − 4|
;2 ≤ 𝑥 ≤ 6
2 + √𝑥 − 2
; 6 < 𝑥 ≤ 11
2
√
; −3 ≤ 𝑧 ≤ 3
𝑥 = {− 9−𝑧
2 ln(𝑧 − 2)
,3 < 𝑧 ≤ 5
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|−𝑧 − 4|
f) 𝑦 = { 𝑒 −𝑧/2
√𝑧 − 3
; −6 ≤ 𝑧 < 3
; −3 < 𝑧 ≤ 2
;3 ≤ 𝑧 ≤ 7
|𝑥 2 − 4| + 1
h) 𝑦 = {
−5
cos (2𝑥)
; −3 ≤ 𝑥 ≤ 3
;3 < 𝑥 < 5
; 5 ≤ 𝑥 < 10
ln(−𝑥 ) + 2
g) 𝑧 = { −𝑥 3
𝑥−2
; −6 ≤ 𝑥 ≤ −1
; −1 < 𝑥 ≤ 1
;1 ≤ 𝑥 < 6
1 − 𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥);
3 − 𝑥;
−1 ≤ 𝑥 ≤ 2
2<𝑥≤7
i) 𝑦 = {
𝑒 −𝑥
; 𝑥 < −1
(
)
−2
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
𝑥
;
−1
<𝑥<1
j) 𝑦 = {
4
;𝑥 < 1
𝑥
75. Grafique la siguiente superficie cuádrica, dejando claramente las partes vistas y no
vistas, el sistema original, y además complete la información del recuadro.
Ecuación canónica
Nombre de la superficie
Centro/vértice
Eje (si existe)
Trazas en los planos coordenados del sistema trasladado (𝑥 ′ 𝑦 ′ 𝑧′)
Plano 𝑥𝑦
Plano 𝑦𝑧
Plano 𝑥𝑧
a) 4𝑥 2 + 4𝑦 2 − 𝑧 = 9
b) 9𝑥 2 − 4𝑦 2 + 36𝑧 2 = 36
c) 5𝑥 2 + 2𝑧 2 = 3𝑦, quitar el primer octante
d) 9𝑥 2 − 4𝑦 2 − 36𝑧 2 = 36
𝑦2
𝑥2
𝑧
𝑦2
𝑧2
e) 16 − 4 = 9
f) 𝑥 = −
4
9
g) 16𝑥 2 + 36𝑦 2 + 36𝑧 2 + 96𝑥 − 144𝑦 + 288𝑧 + 288 = 0
h) −144𝑥 2 + 9𝑦 2 + 16𝑧 2 + 36𝑦 − 192𝑧 + 468 = 0
i) 16𝑥 2 − 4𝑦 2 − 𝑧 2 − 32𝑥 + 10𝑧 − 13 = 0
j) 𝑧 2 − 𝑦 2 − 4𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 + 4 = 0
k) 9𝑥 2 − 4𝑦 2 − 36𝑧 − 54𝑥 − 24𝑦 + 117 = 0
l) 9𝑥 2 + 4𝑦 2 − 24𝑦 + 9𝑧 + 18 = 0
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m) 36𝑥 2 − 4𝑦 2 + 9𝑧 2 + 32𝑦 = 64, quitar los octantes inferiores
n) 9𝑥 2 − 4𝑦 2 − 36𝑧 2 + 54𝑥 + 16𝑦 + 144𝑧 − 115 = 0
o) −144𝑧 2 + 9𝑦 2 + 16𝑥 2 + 36𝑦 − 192𝑥 + 468 = 0
p) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 + 6𝑦 − 4𝑧 + 26 = 0
q) −9𝑥 2 + 4𝑦 2 + 54𝑥 + 24𝑦 − 36𝑧 + 27 = 0
r) 𝑥 2 − 𝑦 2 − 2𝑥 − 2𝑦 − 4𝑧 − 8 = 0
s) 36𝑥 2 + 9𝑦 2 + 4𝑧 2 + 18𝑦 − 44𝑧 + 130 = 0
t) −9𝑥 2 + 16𝑦 2 + 9𝑧 2 + 128𝑦 − 54𝑧 + 193 = 0
u) 18𝑥 2 + 9𝑦 2 + 8𝑧 2 + 36𝑦 − 160𝑧 + 764 = 0
v) −4𝑧 2 − 16𝑦 2 + 9𝑥 2 + 60𝑧 − 261 = 0
w) 4𝑧 − 𝑦 2 + 4𝑥 2 = 0
x) 36𝑧 2 − 64𝑥 2 + 9𝑦 2 + 36𝑧 + 128𝑥 + 18𝑦 − 190 = 0
y) 9𝑧 2 + 4𝑦 2 + 36𝑥 2 + 108𝑧 + 8𝑦 − 72𝑥 + 328 = 0
