ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL CURSO: RESISTENCIA DE MATERIALES I TEMA: Diagrama de fuerzas cortantes y momentos flexionantes SEMANA N.º 09 DOCENTE: RAUL TERRAZAS RAMOS ¿Qué se puede apreciar en la imagen? • Para que un elemento estructural no falle (se rompa o desplome) debido a las fuerzas y los momentos que actúan sobre él, el ingeniero proyectista debe conocer no sólo las cargas y reacciones externas, sino también las fuerzas y los momentos que actúan dentro del elemento. Utilidad ¿Cuál es la utilidad de este tema? Reconocer el tipo de viga y construir el diagrama de fuerza cortante y momento flexionante, conociendo los puntos donde ocurre los máximos valores útil en el diseño de vigas. TEMAS: • • • • Tipos de vigas y las fuerzas actuantes Diagrama de fuerza cortantey momento flexionante Aplicaciones Conclusiones 1 Viga. Se llama viga a una barra estructural sometida a pares y fuerzas situados en un plano perpendicular a su eje. Las vigas se clasifican en: 1. Vigas estáticamente determinadas. (Fig. 1.1a) 2. Vigas estáticamente indeterminadas. (Fig. 1.1b) a) Vigas Estáticamente determinadas. b) Vigas Estáticamente Indeterminadas Fig. 1 Clasificación de las Vigas. 1.1 Vigas Estáticamente Determinadas: Isostáticas. Se dice que una viga es estáticamente determinadas, cuando el número de reacciones que se ejercen sobre la viga es igual al número de ecuaciones de equilibrio. Se clasifican de acuerdo con sus condiciones de apoyo. 1. Vigas en Voladizo. La viga esta sujeta solamente en un extremo, de tal manera que su eje no puede girar en ese punto. a) Viga en Voladizo. 2. Vigas simplemente Apoyadas. 3. Vigas con Voladizos. Se llama así cuando la Se llama así cuando viga está apoyada la viga tiene uno o los libremente en sus dos dos extremos libres de extremos. apoyo b) Viga SimplementeApoyada. c) Viga con voladizos. Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flector. 1.1.2 Vigas Estáticamente Indeterminadas: Hiperestáticas. Se dice que una viga es estáticamente indeterminada, cuando el número de reacciones que se ejercen sobre la viga excede al número de ecuaciones de equilibrio. Se clasifican de acuerdo con sus condiciones de apoyo. 1. Viga en Voladizo con apoyo en su extremo libre. 2. Vigas empotrada en sus extremos. La viga esta empotrada en un extremo y apoyada en el otro extremo. Se llama así cuando la Se llama así cuando la viga está empotrada en sus viga está apoyada en tres o dos extremos. mas apoyos. a) Viga en Voladizo y apoyada. b) Viga empotrada en sus extremos. Fig. 1.3 Clasificación de las Vigas. 3. Vigas con tres o mas apoyos. c) Viga con tres apoyos. Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flector. 1.2 Fuerza cortante y momento flexionante. Consideremos la viga mostrada en la figura 1.4, esta viga se puede cotar en cualquier sección, y trazar un DCL de cualquier parte. El DCL de la porción izquierda se muestra en la figura 1.4 (b), se mantiene el equilibrio por medio de un sistema equivalente que consta de una fuerza V que actúe en un punto dado y un par M. La componente V de la fuerza normal al eje de la viga se denomina Fuerza Cortante, y el par M se denomina Momento Flector. La figura 7.5 ilustra la convención de signos que se usa al trazar los valores positivos y negativos en las gráficas de fuerza cortante y momento flexionante. Fig. 1.4 Cargas en una viga. Fig. 1.5 Convención de signos. Un elemento estructural que esta diseñado para soportar cargas que están aplicadas en varios puntos a lo largo del mismo se conoce como una viga. En la mayoría de los casos, las cargas son perpendiculares al eje de la viga y solo ocasionaran corte y flexión sobre esta. Cuando las cargas no forman un ángulo recto con la viga, también producirá fuerzas axiales en ella.. Concepto de fuerzas internas • Considere la viga sometida a fuerzas a externas y a las reacciones de soporte. • Para determinar las cargas internas que actúan en la sección transversal en el punto C, se pasa por la viga una sección imaginaria, cortándola en dos segmentos. • Al hacer esto, podemos representar las fuerzas y el momento internos con un sistema equivalente que consiste en dos componentes de fuerza y un par. • La componente paralela al eje de la viga se llama fuerza axial (Nc). • La componente normal al eje de la viga se llama fuerza cortante (Vc), • Y el par M se llama momento flector (Mc). La otra parte posee fuerzas y par de sentidos opuestos. 10/ Notas del ponente 2024-10-23 18:19:02 -------------------------------------------Observe que esas cargas deben seriguales en magnitud y opuestas en dirección en cada uno de los segmentos (Tercera ley de Newton) . Así, al unir ambos fragmentos estas fuerzas y par se deben anular. Fuerza cortante y momento flector interno • Si consideramos una viga ante la acción de cargas perpendiculares a ellas, se tiene que internamente el material del cual está compuesto la viga, estará sometido a efecto de fuerza vertical y momento que tienden a flectarla. P1:La viga como un todo es un cuerpo rígido, si se secciona una segmento de ella, también debe considerarse como un cuerpo rígido. Se procede a calcular las reacciones, a partir de las ecuaciones de la estática, ΣF=0 y ΣM=0. Al cortar la viga, cada segmento generado debe permanecer en equilibrio. Es así como surgen reacciones de momento y de fuerzas, las cuales tienden a flector y cortar la viga respectivamente. Fuerza cortante y momento flector interno Si consideramos que el corte de la viga fue realizado a una distancia X, se tiene para su condición de equilibrio. A partir de lo anterior, se ha podido definir a partir del cálculo de la fuerza que tiende a cortar la viga (V), y el momento que se genera que la viga se flecte (M). Notas del ponente 2024-10-23 18:19:03 -------------------------------------------A la fuerza axial se la conoce tambiéncomo fuerza Normal. En tres dimensiones la fuerza cortante, la fuerza axial y el momento flector tienes 2 componentes cada una, y ademas aparece un momento axial o normal llamado momento torsor. 10/ Determinación del diagrama de fuerza cortante y momento flector • Si se analiza el corte anterior efectuado en la viga, se aprecia que el largo del corte se definió en función de una distancia X. • Apreciando la expresión del momento “M”, se aprecia claramente que el valor de este momento depende del largo del corte de la viga. Por lo tanto se deberá de definir una función tanto para “V” como para “M”, en función de la posición en la viga donde se desee analizar la fuerza cortante y momento flector. Análisis de vigas, caso 1 Para analizar la influencia del efecto de la fuerza cortante y momento flector, se deben establecer criterios de discontinuidad de carga, por lo que se efectuaran dos corte según los siguientes intervalos. Tramo I: 0 ≤ x < 0,5L Tramo II: 0,5L < x ≤ L Notas del ponente 2024-10-23 18:19:03 -------------------------------------------ARMADURAS Y SU EFICIENCIA ESTRUCTURAL. LAS ARMADURAS Y SU EFICIENCIA ESTRUCTURAL Dr. Ing. Alexis Negrín Hernández y Msc. Ing. Alejandro Chávez Zelaya email: [email protected] y [email protected] INTRODUCCIí“N Una armadura es un sistema estructuralreticular de barras rectas interconectadas en nudos articulados formando triángulos. Los elementos conforman, comúnmente, uno o varios triángulos en un solo plano y se disponen de forma tal que las cargas externas se aplican a los nudos, por lo que en teoría, sólo causan efectos de tensión o de compresión. En la realidad, algunos esfuerzos de flexión pueden ocurrir como resultado de la fricción en las uniones y de cargas distribuidas aplicadas a los miembros entre las juntas(como el peso propio, por ejemplo); generalmente, estos esfuerzos son menores comparados con las fuerzas axiales y, por lo común, se ignoran para propósitos analíticos. Una armadura se puede considerar como la sumatoria de una o varias veces el sistema estructural cinemáticamente invariable (estable) más sencillo: el triángulo. Este es el criterio usado como método analítico para hacer el análisis cinemático de sistemas reticulares: a partir Tramo I: 0 ≤ x < 0,5L Tramo II: 0,5L < x ≤ L Graficando el comportamiento de la fuerza cortante y el momento flector Notas del ponente 2024-10-23 18:19:04 -------------------------------------------Los diagramas de fuerza cortante y de momento f1ector son simplemente las gráficas de V y M, respectivamente, en función de x (Fig. 9.12), Ynos permiten ver los cambios en la fuerza cortante y en el momento flector a lo largo de la viga, así como sus valores máximo (menor cota de la fuerza o el momento) y mínimo (mayor cota inferior). Se puede determinar las distribuciones de las fuerzas y del momento internos en una viga considerando un plano a una distancia arbitraria x del extremo y estableciendo P, V y M como funciones de x. Según la complejidad de la carga, deberán dibujarse varios diagramas de cuerpo libre para determinar las distribuciones sobre la longitud total. Los diagramas de fuerza cortante y de momento f1ector son simplemente las gráficas de V y M, respectivamente, en función de x Por lo tanto, el momento flector máximo se ubica en el centro de la viga y posee una magnitud de 0,25 PL. Para la viga y las cargas que se muestran en la figura, a) dibuje los diagramas de cortante y de momento flector, b) determine las ecuaciones de las curvas de cortante y de momento flector. Para la viga y las cargas que se muestran en la figura, a) dibuje los diagramas de cortante y de momento flector, b) determine las ecuaciones de las curvas de cortante y de momento flector. Para la viga y las cargas que se muestran en la figura, a) dibuje los diagramas de cortante y de momento flector, b) determine las ecuaciones de las curvas de cortante y de momento flector. Dibuje los diagramas de cortante y de momento flector para la viga y las cargas que se muestran en la figura, y determine el máximo valor absoluto a) del esfuerzo cortante, b) del momento flector. Dibuje los diagramas de cortante y de momento flector para la viga y las cargas mostradas en la figura, y determine el máximo valor absoluto a) del esfuerzo cortante, b) del momento flector. Dibuje los diagramas de cortante y de momento flector para la viga y las cargas que se muestran en la figura, y determine el máximo valor absoluto a) del esfuerzo cortante, b) del momento flector. Si se supone que la reacción del suelo está uniformemente distribuida, dibuje los diagramas de cortante y de momento flector para la viga AB y determine el máximo valor absoluto a) del esfuerzo cortante, b) del momento flector. Conclusiones • Para hacer el diagrama de fuerza cortante se requiere el diagrama de cuerpo libre. • Trazado el diagrama de fuerza cortante podemos trazar el diagrama de momento flexionante. • De los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante se obtienen las variaciones que ocurren a lo largo de la longitud del elemento estructural. • De los diagramas se obtienen valores máximos que es necesario en la toma de decisiones para elegir los materiales usados. ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL CURSO: RESISTENCIA DE MATERIALES I TEMA: Diagrama de fuerzas cortantes y momentos flexionantes-METODOAREAS SEMANA N.º 11 DOCENTE: RAUL TERRAZAS RAMOS ¿Qué se puede apreciar en la imagen? • Para que un elemento estructural no falle (se rompa o desplome) debido a las fuerzas y los momentos que actúan sobre él, el ingeniero proyectista debe conocer no sólo las cargas y reacciones externas, sino también las fuerzas y los momentos que actúan dentro del elemento. ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL CURSO: RESISTENCIA DE MATERIALES I TEMA: TORSION SEMANA N.º 11 DOCENTE: RAUL TERRAZAS RAMOS ¿Qué se puede apreciarenla imagen? TEMAS • DEFINICIONES • Esfuerzos cortantes en barras circulares debido a torsión • Relación entre torsor, potencia y velocidad angular • Ecuaciones empleadas en barras no circulares • Resumen de ecuaciones Torsión Torsión Par de torsión es aquel momento que tiende a torcer un elemento sobre su eje longitudinal, este par es importante en las consideraciones de diseño de ejes o árboles de transmisión que son utilizados en diversos equipos y maquinarias 1 INTRODUCCION En este capítulo se revisarán y se estudiarán los esfuerzos y deformaciones en elementos de sección transversal circular sometidos a pares de torsión. Estos pares tienen una magnitud igual a T y sentidos opuestos. Son cantidades vectoriales que pueden representarse mediante flechas curvas, como en la figura a o por vectores de par como en la figura b. Los elementos sometidos a torsion se encuentran en muchas situaciones de ingeniería. La aplicación mas común la representan los ejes de transmisión, que se emplean para transmitir potencia de u punto a otro 1 INTRODUCCION Considere el sistema que se presenta en la figura a, que consiste en una turbina de vapor A y un generador B conectados por un eje de transmisión AB. En la figura b separamos el sistema en sus tres partes componentes, puede verse que la turbina ejerce un par de torsion o momento torsor T sobre el eje y que el eje ejerce un par igual sobre el generador. El generador reacciona ejerciendo un par de torsion igual y opuesto T’ sobre el eje, y el eje ejerce la torsion T’ sobre la turbina. 2 ANÁLISIS PRELIMINAR DE LOS ESFUERZOS EN UN EJE Considerando un eje AB sometido en A y en B a pares de torsión T y T’ iguales y opuestos, se efectúa un corte perpendicular al eje de la flecha en algún punto arbitrario C. El diagrama de cuerpo libre de la porción BC del eje debe incluir las fuerzas cortantes elementales dF, perpendiculares al radio del eje, que la porción AC ejerce sobre BC al torcerse el eje. 2 ANÁLISIS PRELIMINAR DE LOS ESFUERZOS EN UN EJE Las condiciones de equilibrio para BC requieren que el sistema de estas fuerzas elementales sea equivalente a un par de torsión interno T, igual y opuesto a T’. Denotando con ρ la distancia perpendicular desde la fuerza dF al eje de la flecha, y expresando que la suma de momentos de las fuerzas cortantes dF alrededor del eje es igual en magnitud al par T, se escribe: Ya que dF = ƬdA, donde Ƭ es el esfuerzo cortante en el elemento de área dA La distribución real de esfuerzos bajo una carga dada es estáticamente indeterminada, es decir, que esta distribución no puede determinarse por los métodos de la estática. 2 ANÁLISIS PRELIMINAR DE LOS ESFUERZOS EN UN EJE El cortante no puede tener lugar únicamente en un plano. Considere el pequeño elemento de eje mostrado en la figura: Se sabe que el par de torsión aplicado al eje produce esfuerzos cortantes en las caras perpendiculares al eje de la flecha. Pero las condiciones de equilibrio requieren de la existencia de esfuerzos iguales en las caras formadas por los dos planos que contienen al eje de la flecha. Tales esfuerzos cortantes ocurren en realidad en la torsión considerando un “eje” elaborado de duelas separadas sujetas con pasadores en ambos extremos a discos, como se muestra en la figura a. Si se pintan marcas en dos duelas adyacentes, se observa que las duelas se deslizan una con respecto a la otra cuando se aplican pares iguales y opuestos a los extremos del “eje” (figura b). Aunque no ocurrirá deslizamiento en un eje de un material homogéneo y cohesivo, la tendencia al deslizamiento existirá, lo cual muestra que ocurren esfuerzos en planos longitudinales así como en los planos perpendiculares al eje de la flecha. 3 DEFORMACIONES EN UN EJE CIRCULAR Considere un eje circular unido a un soporte fijo en uno de sus extremos (figura a). Si se aplica un par de torsión T al otro extremo, el eje se torcerá al girar su extremo libre a través de un ángulo Ø llamado ángulo de giro (figura b). Esto significa que el ángulo de giro Ø es proporcional a T. También muestra que Ø es proporcional a la longitud L del eje. En otras palabras, el ángulo de giro para un eje del mismo material y con la misma sección transversal, pero del doble de longitud, se duplicará bajo el mismo par de torsión T. Un propósito de este análisis será encontrar la relación específica que existe entre Ø, L y T; otro propósito será determinar la distribución de esfuerzos cortantes en el eje. 3 DEFORMACIONES EN UN EJE CIRCULAR Cuando un eje circular se somete a torsión, todas sus secciones transversales permanecen planas y sin distorsión. Aunque las distintas secciones transversales a lo largo del eje giran diferentes cantidades, cada sección transversal gira como una placa sólida rígida. La figura a muestra las deformaciones en un modelo de caucho sometido a torsión. Esta propiedad es característica de ejes circulares, sólidos o huecos, y no la comparten los elementos con sección transversal no circular. Por ejemplo, cuando una barra con sección transversal cuadrada se sujeta a torsión, sus distintas secciones transversales se tuercen y no permanecen planas como se puede ver en la figura b. Las secciones transversales de un eje circular permanecen planas y sin distorsión debido a que un eje circular es axisimetrico, es decir, su apariencia es la misma cuando se ve desde una posición fija y se gira alrededor de su eje por un ángulo arbitrario. (Las barras cuadradas, por otro lado, conservan la misma apariencia sólo si se les gira 90 o 180 grados.) 3 DEFORMACIONES EN UN EJE CIRCULAR Considere los puntos C y D localizados en la circunferencia de una sección transversal del eje, y sean C’ y D’ las posiciones que ocupan después de que el eje ha sido torcido (figura a). La simetría axial del eje y de la carga requiere que la rotación que hubiera causado que D llegara a D’ ahora debe llevar a que C llegue a C’. Por lo tanto C’ y D’ deben estar en la circunferencia de un círculo, y el arco C’D’ debe ser igual al arco CD (figura b). 3 DEFORMACIONES EN UN EJE CIRCULAR Cualquier diámetro de una sección transversal dada permanece recto y, por lo tanto, cualquier sección transversal dada de un eje circular permanece plana y sin distorsión. Si todas las secciones del eje, desde un extremo hasta el otro, deben permanecer planas y sin distorsión, es necesario asegurarse de que los pares se aplican de tal manera que los extremos mismos del eje permanezcan planos y sin distorsión cuando la carga se aplique y que las deformaciones resultantes ocurrirán de manera uniforme a lo largo de todo el eje. Esto puede lograrse aplicando los pares T y T’ a placas rígidas, que se encuentren sólidamente unidas a los extremos del eje (figura a). Todos los círculos igualmente espaciados, que se muestran en la figura a, girarán en la misma cantidad en relación con sus vecinos, y cada una de las líneas rectas se convertirá en una curva (hélice) que interseca los distintos círculos con el mismo ángulo (figura b). 3 DEFORMACIONES EN UN EJE CIRCULAR Distribución de las deformaciones a cortante: (figura a): Eje circular de longitud L y radio c que ha sido girado en un ángulo Ø. (figura b): Desprendiendo del eje un cilindro de radio ρ, considere el pequeño cuadrado formado por dos círculos adyacentes y dos líneas rectas adyacentes trazadas en la superficie del cilindro antes de que se aplique carga alguna. (figura c): Al someterse el eje a una carga de torsión, el elemento se deforma para convertirse en un rombo deformación unitaria cortante γ: Se mide por el cambio en los ángulos formados por los lados de dicho elemento. La deformación cortante γ debe ser igual al ángulo entre las líneas AB y A’B. (γ debe expresarse en radianes.) la deformación unitaria a corte en una flecha circular varia linealmente con la distancia desde el eje de la flecha Deformación a cortante γ a una distancia ρ del eje de la flecha: 4 ESFUERZOS EN EL RANGO ELÁSTICO Consideremos ahora un eje sometido a un par T tal que todos los esfuerzos a lo largo del eje circular permanecen en la zona elástica del material, es decir, que no rebasan el valor de τy. Esto significa que no ocurren deformaciones plásticas y en condiciones de aplicar la ley de Hooke para el esfuerzo y la deformación a cortante, la cual nos dice: 𝑟 = 𝐺𝛾𝛾 Donde G es el módulo de rigidez o módulo de corte del material. Por lo tanto, si multiplicamos ϒ por G, obtenemos la siguiente relación: Lo cual nos muestra que el esfuerzo cortante en la flecha varia linealmente con la distancia ρ desde el eje de la flecha, como se muestra en la figura. Distribución de esfuerzos en un eje circular de radio c Distribución de esfuerzos en un eje circular hueco de radio interior c1 y radio exterior c2. 4 ESFUERZOS EN EL RANGO ELÁSTICO Ahora, recordemos que la suma de todas las fuerzas elementales en cualquier sección transversal de la flecha es igual a la magnitud T del par ejercido sobre el eje. 𝑇 = (𝑟𝑚á𝑥 𝐽)/ 𝑐 FORMULAS DE TORSION ELASTICA Donde J es el momento polar de inercia con respecto a su centro O. Si sustituimos c por ρ, obtendremos el esfuerzo cortante a cualquier distancia ρ del eje de la flecha. Cabe mencionar que J para un circulo de radio c es igual a 1/2 𝜋𝑐^4 y para un eje un eje circular hueco de radio interior c1 y radio exterior c2 es igual a: 4 ESFUERZOS EN EL RANGO ELÁSTICO Las fórmulas de torsión también pueden utilizarse para un eje con sección transversal variable o para un eje sujeto a pares de torsión en lugares distintos de sus extremos (Figura a). El valor de T se obtiene dibujando el diagrama de cuerpo libre de la porción de eje localizada de un lado del corte (figura b) y escribiendo que la suma de los pares aplicados a esta porción, incluyendo el par interno T, es cero. 4 ESFUERZOS EN EL RANGO ELÁSTICO Considere los dos elementos a y b localizados en la superficie de un eje circular sometido a torsión. Como las caras del elemento a son respectivamente paralelas y perpendiculares al eje de la flecha, los únicos esfuerzos en el elemento serán los esfuerzos de corte definidos por 𝑟𝑚á𝑥=Tc/J. Por otro lado, las caras del elemento b, que forman ángulos arbitrarios con el eje de la flecha, estarán sujetas a una combinación de esfuerzos normales y cortantes. Considere los esfuerzos y fuerzas resultantes sobre las caras que se encuentran a 45°al eje de la flecha. Para determinar los esfuerzos en las caras de este elemento, se consideran los dos elementos triangulares y se dibujas sus diagramas de cuerpo libre. 4 ESFUERZOS EN EL RANGO ELÁSTICO Los materiales dúctiles generalmente fallan a cortante. Por lo tanto, cuando está sujeta a torsión, una probeta J hecha de un material dúctil se rompe a lo largo de un plano perpendicular a su eje longitudinal (fotografía a). Los materiales frágiles son más débiles a tensión que a corte. Cuando se somete a torsión, una probeta de un material frágil tiende a fracturarse a lo largo de superficies perpendiculares a la dirección en que la tensión es máxima, esto es, a lo largo de superficies que forman un ángulo de 45°con el eje del espécimen (fotografía b). 5 ÁNGULO DE GIRO EN EL RANGO ELÁSTICO Se deducirá una relación entre el ángulo de giro Ø de un eje circular y el par de torsión T ejercido sobre el eje. Se supondrá que la totalidad del eje permanece elástica. Considerando primero el caso de un eje de longitud L y sección transversal uniforme de radio c sujeto a un par de torsión T en su extremo libre, Pero en el rango elástico, el esfuerzo de cedencia no se excede en ninguna parte del eje, se aplica la ley de Hooke y se tiene que: Radianes La relación obtenida muestra que, dentro del rango elástico, el ángulo de giro Ø es proporcional al par de torsión T aplicado al eje. La fórmula anterior para el ángulo de giro únicamente puede utilizarse si el eje es homogéneo (G constante), si tiene una sección transversal uniforme y sólo si está cargado en sus extremos. Si el eje es sometido a par de torsión en lugares distintos de los extremos, o si consta de varias porciones con secciones transversales distintas y posiblemente distintos materiales, debe dividirse en partes componentes que satisfagan individualmente las condiciones requeridas para la aplicación de la fórmula 5 ÁNGULO DE GIRO EN EL RANGO ELÁSTICO En el caso del eje AB de la figura, por ejemplo, deben considerarse cuatro partes diferentes: AC, CD, DE y EB. El ángulo total de giro del eje, esto es, el ángulo que gira el extremo A con respecto al extremo B, se obtiene sumando algebraicamente los ángulos de giro de cada parte componente. Denotando respectivamente con Ti, Li, Ji y Gi el par de torsión interno, longitud, momento polar de inercia de la sección transversal y módulo de rigidez correspondiente a la i-ésima parte, el ángulo total de giro del eje se expresa como El par de torsión interno Ti en cualquier parte dada del eje se obtiene haciendo un corte a través de esa parte y dibujando el diagrama de cuerpo libre de la porción del eje situada a un lado de la sección. 5 ÁNGULO DE GIRO EN EL RANGO ELÁSTICO En el caso de un eje con sección transversal circular variable, como se muestra en la figura, la fórmula puede aplicarse a un disco con grosor dx. El ángulo por el que una cara del disco gira con respecto a la otra. 5 ÁNGULO DE GIRO EN EL RANGO ELÁSTICO Cuando ambos extremos de un eje giran, sin embargo, el ángulo de giro del eje es igual al ángulo a través del que un extremo del eje gira con respecto al otro. Considere, por ejemplo, el ensamble de la figura a, compuesto por dos ejes elásticos AD y BE, cada uno de longitud L, radio c y módulo de rigidez G, unidos a engranes que se juntan en C. Si un par de torsión T se aplica en E (figura b), ambos ejes se torcerán. Puesto que el extremo D del eje AD es fijo, el ángulo de giro AD se mide por el ángulo de rotación ØA del extremo A. Por otra parte, ya que ambos extremos del eje BE giran, el ángulo de giro de BE es igual a la diferencia entre los ángulos de rotación ØB y ØE, es decir, el ángulo de giro es igual al ángulo a través del cual el extremo E gira con respecto al extremo B. Denotando este ángulo relativo de rotación ØE/B, se escribe: 6 EJES ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS Hay situaciones, donde los pares internos no pueden determinarse únicamente por medio de la estática. De hecho, en tales casos los pares externos mismos, es decir, los pares ejercidos sobre el eje por los apoyos y conexiones, no pueden determinarse a partir del diagrama de cuerpo libre del eje completo. Las ecuaciones de equilibrio deben complementarse con relaciones que involucren las deformaciones del eje y que se obtengan considerando la geometría del problema. Debido a que la estática no es suficiente para determinar los pares internos y externos, se dice que los ejes son estáticamente indeterminados. 7 DISEÑO DE EJES DE TRANSMISIÓN Las especificaciones principales que deben cumplirse en el diseño de un eje de transmisión son la potencia que debe transmitirse y la rapidez de rotación del eje. La función del diseñador es seleccionar el material y las dimensiones de la sección transversal del eje, para que el esfuerzo cortante máximo permisible del material no sea excedido cuando el eje transmite la potencia requerida a la rapidez especificada. Par de torsión ejercido sobre el eje: Después de haber determinado el par T que se aplicará al eje y habiendo seleccionado el material que será utilizado, el diseñador lleva los valores de T y del esfuerzo máximo permisible a la fórmula de torsión elástica. Despejando J/c, se tiene De esta manera se obtiene el valor mínimo permisible para el parámetro J/c. En el caso de un eje circular hueco, el parámetro crítico es J/c2, donde c2 es el radio exterior del eje. 8 CONCENTRACIONES DE ESFUERZO EN EJES CIRCULARES En la práctica, los pares de torsión comúnmente se aplican al eje mediante acoplamientos de brida (figura a) o por medio de engranes conectados al eje por cuñas que caben dentro de cuñeros (figura b). En ambos casos se esperaría que la distribución de esfuerzos, en la sección donde se aplican los pares, o cerca de ella sea diferente de la que es dada por la fórmula de torsión. Ocurrirán, por ejemplo, altas concentraciones de esfuerzos en la cercanía del cuñero mostrado en la figura b. La determinación de estos esfuerzos localizados puede llevarse a cabo por métodos de análisis experimental de esfuerzos o, en algunos casos, gracias al uso de la teoría matemática de la elasticidad. 3.9 DEFORMACIONES PLÁSTICAS EN EJES CIRCULARES El propósito de esta sección es desarrollar un método más general, que pueda utilizarse cuando no se aplique la ley de Hooke, para determinar la distribución de esfuerzos en un eje sólido circular, y para calcular el par de torsión requerido para producir un ángulo de giro dado. Hay que tener en cuenta que no se supuso ninguna relación específica de esfuerzo deformación cuando se probó que la deformación a corte γ varía linealmente con la distancia ρ desde el eje de la flecha. Así, esta propiedad aún puede utilizarse en el análisis y escribirse: Donde C es el radio del eje 9 DEFORMACIONES PLÁSTICAS EN EJES CIRCULARES Suponiendo que el valor máximo 𝑟𝑚á𝑥 del esfuerzo cortante 𝑟 se ha especificado, la gráfica de 𝑟 contra ρ puede obtenerse como sigue: Esfuerzo cortante máximo correspondiente RT: El esfuerzo ficticio RT se denomina modulo de ruptura a torsión del material dado. En algunos casos, puede desearse determinar la distribución de esfuerzos y el par T correspondientes a un ángulo de giro dado Ø. Esto puede hacerse para la deformación cortante γ en términos de Ø, ρ y la longitud L del eje: 10 EJES CIRCULARES HECHOS DE UN MATERIAL ELASTOPLÁSTICO Se obtiene un panorama más amplio del comportamiento plástico de un eje sometido a torsión si se considera el caso idealizado de un eje circular solido hecho de un material elastoplastico. El diagrama esfuerzo-deformación a cortante de tal material se muestra en la figura. Utilizando este diagrama, puede procederse y encontrarse la distribución de esfuerzos en una sección del eje para cualquier valor del par T. 10 EJES CIRCULARES HECHOS DE UN MATERIAL ELASTOPLÁSTICO (figura a), Mientras el esfuerzo cortante 𝑟 no exceda la resistencia de cedencia 𝑟Y, se aplica la ley de Hooke, y la distribución de esfuerzos a través de la sección es lineal. 𝑟máx es dado por: (figura b). Al aumentar el par, 𝑟máx finalmente alcanza el valor 𝑟Y Sustituyendo este valor en la ecuación anterior y despejando el valor correspondiente de T, se obtiene el valor TY del par al inicio de la cedencia: (figura c). Al incrementarse el par aún más, se desarrolla una región plástica en el eje, alrededor de un núcleo elástico de radio ρY. En la región plástica el esfuerzo es uniformemente igual a 𝑟Y, mientras que en el núcleo elástico el esfuerzo varía linealmente con ρ y puede expresarse como: 10 EJES CIRCULARES HECHOS DE UN MATERIAL ELASTOPLÁSTICO (figura d). Al aumentar T, la región plástica se expande hasta que, en el límite, la deformación es completamente plástica. Valor del par T correspondiente a un radio dado ρY del núcleo elástico. 11 ESFUERZOS RESIDUALES EN EJES CIRCULARES Una región plástica se desarrollará en un eje sometido a un par de torsión suficientemente grande, y que el esfuerzo cortante t en cualquier punto dado de la región plástica puede obtenerse del diagrama de esfuerzo-deformación a cortante. Si se retira el par, la reducción de esfuerzo y de deformación unitaria en el punto considerado tendrá lugar a lo largo de una línea recta (figura). Como se verá posteriormente, el valor final del esfuerzo no será, en general, cero, ya que habrá un esfuerzo residual en la mayoría de los puntos, que podrá ser positivo o negativo. 11 ESFUERZOS RESIDUALES EN EJES CIRCULARES Los esfuerzos residuales en un material elastoplástico se obtienen al aplicar el principio de superposición para la carga axial. Considere, por una parte, los esfuerzos debidos a la aplicación del par dado T y, por otra, los esfuerzos debidos al par igual y opuesto que se aplica para descargar el eje. El primer grupo de esfuerzos refleja el comportamiento elastoplástico del material durante la fase de carga (figura a), y el segundo grupo el comportamiento lineal del mismo material durante la fase de descarga (figura b). Sumando los dos grupos de esfuerzos, se obtiene la distribución de esfuerzos residuales en el eje (figura c). En la figura c se observa que algunos de los esfuerzos residuales tienen el mismo sentido que los esfuerzos originales, mientras que otros tienen el sentido opuesto. Esto era de esperarse ya que, la relación Debe verificarse después de que se retira el par. 12 TORSIÓN DE ELEMENTOS NO CIRCULARES Una barra cuadrada mantiene su misma apariencia sólo si se gira 90°o 180°. Podría mostrarse que las diagonales de la sección transversal cuadrada de la barra y las líneas que unen los puntos medios de los lados de dicha sección permanecen rectas. Sin embargo, debido a la falta de simetría axial de la barra, cualquier otra línea dibujada en su sección transversal se deformará cuando la barra se tuerza, y la sección transversal misma se torcerá fuera de su plano original. Sería erróneo suponer que el esfuerzo cortante en la sección transversal de una barra cuadrada varía linealmente con la distancia desde el eje de la barra y que es, por lo tanto, mayor en las esquinas de la sección transversal. El esfuerzo cortante en realidad es cero en estos puntos. 12 TORSIÓN DE ELEMENTOS NO CIRCULARES Considere un pequeño elemento cúbico ubicado en una esquina de la sección transversal de una barra cuadrada en torsión y seleccione los ejes coordenados paralelos a los bordes del elemento (figura a). Como la cara del elemento perpendicular al eje y es parte de la superficie libre de la barra, todos los esfuerzos en esta cara deben ser cero. Con referencia a la figura b, se escribe: Ambas componentes del esfuerzo cortante en la cara del elemento perpendicular al eje de la barra son cero. Se concluye que no hay esfuerzo cortante en las esquinas de la sección transversal de la barra. 12 TORSIÓN DE ELEMENTOS NO CIRCULARES Torciendo un modelo de caucho de una barra cuadrada, se verifica fácilmente que no ocurren deformaciones — y, por lo tanto, tampoco esfuerzos— a lo largo de los bordes de la barra, mientras que las deformaciones máximas —y, por lo tanto, los esfuerzos máximos— ocurren a lo largo de la línea central de cada una de las caras de la barra. La determinación de los esfuerzos en elementos no circulares sujetos a carga torsional está más allá del alcance de este libro. No obstante, los resultados obtenidos de la teoría matemática de la elasticidad para barras rectas con sección transversal rectangular uniforme se indicarán aquí por conveniencia.† Denotando con L la longitud de la barra, con a y b, respectivamente, el lado más ancho y el más angosto de su sección transversal y con T la magnitud de los pares de torsión aplicados a la barra, se encuentra que el máximo esfuerzo cortante ocurre a lo largo de la línea central de la cara mas ancha de la barra y el ángulo de giro es igual a: 12 TORSIÓN DE ELEMENTOS NO CIRCULARES Los coeficientes c1 y c2 dependen sólo de la razón a/b y se dan en la tabla 3.1 para una cantidad de valores de dicha razón. Note que las ecuaciones anteriores son válidas sólo dentro del rango elástico. Se observa de la tabla 3.1 que para a/b ≥ 5, los coeficientes c1 y c2 son iguales. Puede demostrarse que para tales valores de a/b se tiene que Resumen de ecuaciones Ley de Hooke para torsión: G G : Esfuerzo cortante G: Módulo de Rigidez : Deformación angular unitaria E: Módulo de elasticidad del material : Relación de Poisson del material E 2(1) Esfuerzo cortante en barras de sección circular debido a momento torsor T J : Esfuerzo cortante en el punto de interés de la sección transversal : distancia medida desde el centro hasta el punto de interés=r J: Momento polar de inercia de la sección transversal = IP Ángulo de giro en barras circulares sometidas a momento torsor T LAB B / A J G : Ángulo de giro de una sección “B” respecto a una sección “A” T: Par torsor al que está sometido la barra circular J: Momento polar de inercia de la sección transversal G: Módulo de rigidez del material LAB: Longitud de la barra entre las secciones “A” y “B” Relaciones entre par torsor, potencia y velocidad angular P T Tconducido conductor m conducido Tconductor : velocidad angular (radianes por unidad de tiempo) T: Par torsor al que está sometido la barra circular P: Potencia m: relación de transmisión EJERCICIOS 1𝑘𝑘 𝑝. 𝑘 𝑘 𝑛 = 112.98 𝑁𝑚 = 1016.86 0.02 = 89𝑀𝑃𝑎 228329𝑥10−12 𝜋 𝐽= 𝑇𝐷 = 𝜋 2 15𝑥10−3 3 5660.37 2 𝜌𝐷 4 = 7.95𝑥10 = 0.03𝑁𝑚 −8 𝑚 4 𝑇𝜌𝐷 30𝑥10−3 𝑥(15𝑥10−3) 𝑟𝐷 = = 𝐽 7.95𝑥10−8 = 5660.37 𝑃𝑎 0.03 𝑇𝐷 𝑥100𝑥 = 100 𝑇 3𝑥103 𝑥 = 0.001𝑥 = 2.8274𝑥10−3𝑚2 Ejemplo: Si se aplica un momento torsor de 10000 kg.cm sobre un árbol de 45 mm de diámetro, ¿ cual es el esfuerzo cortante máximo producido?. Cual es el ángulo de giro en una longitud de árbol de 1,20 m ?. El material es acero para el cual G=8,4x105 kg/cm². Solución: El esfuerzo cortante máximo se origina en el límite externo del material y se determina mediante la relación: max Tr j Donde: j D4 32 j 32 (4,5cm)4 40,2cm4 Reemplazando los datos del problema: max 10000kg.cm(2, 25cm) 40, 2cm 4 max 560kg / cm 2 El ángulo de giro en una longitud de 1,20 m es: 10000kg.cm(120cm) TL Con los datos del problema (8,4x10 5 kg / cm 2 )(40,2cm 4 ) Gj 0,355rad ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL CURSO: RESISTENCIA DE MATERIALES I TEMA: Esfuerzo cortante transversal. SEMANA N.º 13 DOCENTE: RAUL TERRAZAS RAMOS Elasticidad y resistencia de materiales Ingeniería civil ¿Qué se puede apreciar en la imagen? Utilidad ¿Cuál es la utilidad de este tema? Aplicar el esfuerzo cortante en unaviga en el análisis y diseño de ingeniería TEMAS: • Esfuerzocortantetransversal. • Aplicaciones • Conclusiones Esfuerzocortantetransversal RECORDAR QUE EN LA CORTANTE EL MAXIMO ESFUERZO SE PRODUCE MAS CERCANO AL EJE NEUTRO, A DIFERENCIA DE LA FLEXION QUE SE PRODUCE EN LOS EXTREMOS , ES POR ELLO QUE EN LA PARTE b SE PUEDE TOMAR CUALQUIERA DE LAS OS AREAS TANTO POR ENCIMA O POR DEBAJO DEL EJE..Y SE COMPRUEBA QUE EL VALOR DE “Q” SALDRA LO MISMO Una viga cuadrada tipo caja se hace con dos tablas de 20 X 80 mm y dos tablas de 20 X 120 mm, las cuales están clavadas como se muestra en la figura. Si se sabe que el espaciamiento entre los clavos es de s 50 mm y que la fuerza cortante permisible en cada clavo es de 300 N, determine a) el máximo corte vertical permisible en la viga, b) el esfuerzo cortante máximo correspondiente en la viga. Una viga cuadrada tipo caja se hace con dos tablas de 20 x 80 mm y dos tablas de 20 x 120 mm, las cuáles están clavadas como se muestra en la figura. Si se sabe que el espaciamiento entre los clavos es de s = 30 mm y que el corte vertical en la viga es V = 1200 N, determine a) la fuerza cortante en cada clavo, b) el esfuerzo cortante máximo en la viga. Tres tablas, cada una de 2 in. de espesor, se clavan para formar una viga sometida a un cortante vertical. Si la fuerza cortante permisible en cada clavo es de 150 lb, determine el cortante permisible si el espaciamiento s entre los clavos es de 3 in. Tres tablas, cada una de 2 in. de espesor, se clavan para formar una viga sometida a un cortante vertical de 300 lb. Si se sabe que la fuerza cortante permisible en cada clavo es de 100 lb, determine el máximo espaciamiento longitudinal s que puede usarse entre los clavos. Para la viga y las cargas que se muestran en la figura, considere la sección n-n y determine a) el máximo esfuerzo cortante en dicha sección, b) el esfuerzo cortante en el punto a. Para la viga y las cargas que se muestran en la figura, considere la sección n-n y determine a) el máximo esfuerzo cortante en dicha sección, b) el esfuerzo cortante en el punto a. Para la viga y las cargas que se muestran en la figura, considere la sección n-n y determine a) el máximo esfuerzo cortante en dicha sección, b) el esfuerzo cortante en el punto a. Conclusiones • Es necesario conocer el centroide para ubicar el denominado eje neutro y el momento estático. • El momento de inercia de la sección transversal de la viga debe determinarse. • El esfuerzo cortante máximo se localiza en el eje neutro. • En vigas debe determinarse la fuerza cortante también se puede determinar por método gráfico.
