SITUACIÓN-ACTIVIDAD 1: Situación de Aula: En una clase de geometría sobre circunferencias circunscritas a triángulos un alumno preguntó ¿Se puede circunscribir una circunferencia a un polígono cualquiera Elemento Matemático 1 Todo triángulo es cíclico El centro de la circunferencia circunscrita es el circuncentro del triángulo Elemento Matemático 1* Congruencia de triángulos. Criterios Elemento Matemático 1** Mediatriz de un segmento (documento adjunto) Recta perpendicular en el punto medio del segmento Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento. Elemento Matemático 2 Un cuadrilátero convexo en un plano es cíclico si y sólo sí, sus ángulos opuestos son suplementarios Un polígono convexo es aquel que verifica que el segmento de extremos dos puntos cualesquiera A y B interiores, está totalmente contenido en el polígono. Observación: , se necesitará probar que y que para probar esta última, usaremos el contrarecíproco de la misma, es decir, se probará que Elemento Matemático 2*: Ángulos y medida de ángulos en una circunferencia. 1. Ángulo Inscrito: Proposición: La medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco. Dem. Caso particular: uno de los lados es un diámetro. Ángulo semiinscrito Ángulo interior Ángulo exterior Ángulo exinscrito Elemento Matemático 3: Un cuadrilátero cóncavo no puede ser cíclico. En general, una figura de cuatro lados con vértices “no secuenciales” es cíclica si y solo si sus ángulos opuestos son congruentes Elemento Matemático 3*: Un polígono convexo es aquel que verifica que el segmento de extremos dos puntos cualesquiera A y B interiores, está totalmente contenido en el polígono. Como consecuencia, cada uno de sus ángulos interiores mide a lo sumo 180º. Los polígonos cóncavos son aquello que no son convexos Se demuestra la primera parte, por el contrarrecíproco, suponiendo que el siguiente polígono es cíclico se llega a una contradicción. Los cuadriláteros no secuenciales son las figuras de cuatro lados que sus lados se auto-intersectan. Estos se pueden inscribir en una circunferencia si sus ángulos opuestos son congruentes. Hay que demostrar las dos implicaciones. Elemento Matemático 4 Todo polígono regular es cíclico. Sin embargo, el recíproco es falso (no todo polígono cíclico es regular) Elemento Matemático 4*:Podemos añadir que un polígono es cíclico si y sólo si las mediatrices sus lados concurren, es decir, se intersectan en un único punto (dicho punto sería el centro de la circunferencia que pasa por todos los vértices del polígono)
