Solucionario Trigonometría y Geometría Analítica

cursos matemáticos
Calle Madrid, Edificio La Trinidad, Piso 2,
Las Mercedes – frente a la Embajada de Francia–
Telfs.: (0212) 993 71 72 – 993 23 05
www. cursosmatematicos. com
1.
X
La gráfica sería:
Al aplicar la fórmula de la distancia entre dos puntos,
obtenemos:
Y
( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2
d(A,B) =
B(-1, -2)
( −1 + 2) 2 + ( −2 + 5) 2 = 1 + 9 = 10
=
A(-2,-5)
2.
Se tiene los puntos A(4,-4) y B(-3,1)
B(-3,1)
( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2
se sabe que d(A,B) =
de donde d(A,B) = (−3 − 4) 2 + (1 + 4) 2
= ( −7) + (5)
Luego, el área será igual a 74.
2
2
=
74
A (4, -4)
3. Aplicando la fórmula:
 − 2 + (−1) − 5 + (−2)   3 7 
,

 =  − ,− 
2
2

  2 2
4. Al aplicar la fórmula del punto medio obtenemos:
 x + x 2 y1 + y 2 
PMKL =  1
,

2
2 

1 4 7
 2
− +2 3+  

3
2

 =  3 , 2  =  2 , 7 
,
=
 2
2   2 2  3 4

 


 

5.
m = −2 −(+2) = −1
1−(−3)
Tg α = −1
6.
m = 5 − (+3) = 1
3 − (+1)
Tg α = 1
7.
m=
8.
m=
( )
− 2− − 2
=0
2 − (+ 4 )
6 − (+2)
−3 − (−3)
; no existe
→
Tg α = 0
→
→
→
α = Arc Tg(−1) = 135º
α = Arc Tg(1) = 45º
α = Arc tg 0 = 0º
α = 90º , es decir, se trata de un segmento VERTICAL.
9. Desarrollando los productos notables y agrupando términos semejantes, se obtiene: 4x + 5y − 36 = 0
Esta ecuación representa una recta que no pasa por el origen, puesto que C ≠ 0 .
Se observa también que no es horizontal ni vertical.
………………………. Respuesta C
10.
La ecuación de la recta será: -X + 3Y + 3 = 0
Los coeficientes A,B y C, como se observa,
corresponden a −1, 3 y 3.
En este problema, ayuda mucho graficar la recta:




| | | | | |
| | | | | | |





Sustituyendo en las expresiones que permiten calcular los
puntos de intersección con los ejes, se obtendrá (0, −1) y
(3, 0)
La pendiente de la recta será m = 1 / 3
Y tratándose de un triángulo rectángulo, el área es fácil de
hallar. Considerando los valores de los lados del triángulo
como 3 y 1, dicha área será S∆ = 3 x 1 = 1
2
2
11.
Aplicando la fórmula para dos puntos:
y − y1 y 2 − y1
=
x − x1
x 2 − x1
y−2 0−2
=
x − 11 1 − 11
se obtiene
de donde podemos concluir:
y la ecuación de la recta será:
Al sustituir las coordenadas del punto P, se obtiene (6) − 5(1) − 1 = 0
pertenece a dicha recta.
→
− 2x + 22 = −10y + 20
x − 5y − 1 = 0
, igualdad que sí se cumple, y por tanto, el punto
12.
Aplicando la fórmula para dos puntos:
y − y1 y 2 − y1
y −2
−3 − 2
se obtiene
=
=
x − x1
x 2 − x1
x − (− 4 ) 5 − (− 4 )
de donde conseguimos 5x + 9y +2 = 0 , que es la ecuación de dicha recta.
Al sustituir las coordenadas del punto M, se genera un absurdo: 5(-8) + 9( 5) + 2 = 0
lo cual indica que este punto es exterior a esta recta, es decir, no pertenece a ella.
13.
Aplicando la fórmula a partir de un punto y la pendiente:
obtenemos:
efectuando las operaciones e igualando a cero,
resulta la ecuación general de la recta:
y − y1 = m ( x − x1)
y + 5 = −4 ( x − 2 )
4x+y−3=0
14.
Aplicando la fórmula:
y − y1 = m ( x − x1)
1
obtenemos
y− 2 =
( x + 3)
2
de donde la ecuación será x − √2 y + 5 = 0
→
y − 2 x − 11
=
−2
− 10
2y −2 = x+3
…………………. Respuesta A
…………..Respuesta
15.
Sustituyendo los valores dados, en la ecuación particular se obtiene:
Y la ecuación canónica será:
x2 + y2 = 9
( x + 1 ) 2 + ( y − 3 )2 = 9
16.
Desarrollando las diversas alternativas, observamos que la alternativa “D” ofrece el radio de mayor tamaño, por tanto, dicha
circunferencia es la más grande.
17.
Determinamos primero la ecuación particular: ( x −
1 2
2
) + ( y + ) 2 = 32
2
3
1
4
4
1 + y2 +
y+
y=9
4
3
9
36x2 − 36x + 9 + 36y2 + 48y + 16 = 324
Efectuando los productos notables y eliminando denominadores: x2 − x +
Agrupando términos semejantes e igualando a cero,
obtenemos la ecuación solicitada:
36 x2 + 36y2 − 36x + 48y − 947 = 0
Nótese que los coeficientes de x2 e y2 son iguales (circunferencia)
Vale la pena observar que cuando el radio es cero, la ecuación corresponde simplemente a un punto.
18.
Para transformar en la ecuación particular, utilizamos el procedimiento de completar cuadrados. Para ello, escribimos la ecuación
en la forma siguiente:
(x2 − 6x + ) + ( y2 + 10y + ) + 30 = 0
en el espacio en blanco sumaremos el cuadrado de la mitad del coeficiente del término central y para no alterar la igualdad,
restaremos la misma cantidad que hemos agregado. Es decir:
( x2 − 6x + 9 ) −9 + ( y2 + 10y + 25) − 25 + 30 = 0
de donde se obtiene:
( x − 3 )2 + ( y + 5 ) 2 = 4
Ecuación que representa una circunferencia de centro ( 3 , − 5 ) y radio 2.
1. Organizando un triángulo a conveniencia (según los datos)
Por el teorema de Pitágoras hallamos X = 3
α
4
5
Luego, definimos al valor de cada función a partir de esas medidas:
Sen α = 3 / 5
Cos α = 4 / 5
Tag α = 3 / 4
Csc α = 5 / 3
Sec α = 5 / 4
Ctg α = 4 / 3
3
Mayor función = Csc α = 5 / 4
Luego, la diferencia pedida será: 5 / 3 − 3/ 5 = 16 / 15 ..............Respuesta
Menor función = Sen α = 3 / 5
2.
Este problema lo podemos resolver en forma análoga al anterior, o aplicar las fórmulas conocidas:
Así:
Sen2 α = 1 – Cos2 α
2
4
Sen2 α = 9 / 25
Sen2 α = 1 –  
5
Como el ángulo está en el tercer cuadrante, sen = − 3 / 5
sen = ± ( 3 / 5 )
Volviendo al dibujo, y recordando que el ángulo está en el tercer cuadrante,
podemos determinar que Tg α = + 3 / 4
2 Tg α = ( 2 )( 3 / 4 ) = 3 / 2
Y reemplazando: Sen2α – 2Tag α. = (– 3 / 5 ) – ( 3 / 2 ) = – 21 / 10 ........ Respuesta
3.
Por el teorema del seno (Ley de senos) se tiene
c
a
=
de esta ecuación se puede despejar c:
sen(γ ) sen(α )
sen(γ )
c = a⋅
al sustituir los valores numéricos
sen(α )
1
 
sen(30º )
2
2
al racionalizar la raíz en el denominador
c = 12cm ⋅
= 12cm ⋅   = 12cm ⋅
sen(120º )
 3
2⋅ 3


 2 


c = 12cm ⋅
2
2⋅ 3
⋅
3
3
= 12cm ⋅
3
= 4 ⋅ 3cm ……………….. Respuesta B.
3
4.
β
a
Aplicando la ley de senos:
a
senα
θ
= c
senθ
pero al ser α = 2θ, entonces:
c
α
b
a
=
c
sen2θ
senθ
pero sen2θ = 2 senθ cosθ
a
= c
2 senθ cosθ
sen θ
→
a = 2 cosθ
c
…………………. Respuesta A
5.
A
Por la ley de los cosenos, con
a = 5,
b = 3, c = 6
6
3
a2 = b2 + c2 – 2bc cosA
25 = 9 + 36 – 36 cosA
cos A = 5 / 9 ………………. Respuesta A
5
B
C
6.
aplicando teorema del coseno se tiene:
c = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos γ
al sustituir valores se obtiene:
 7
c = 102 + 102 − 2 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅  
 8
resolviendo
de donde finalmente
c = 100 + 100 − 175 = 25 = 5
c=5
…………………….Respuesta C
7.
b•h
donde b = AC y h = altura relativa a esa base
2
Y “x” e “y” segmentos de PQ. Por relaciones trigonométricas tenemos que
P
h
sen 30º = → h = 4 sen 30º → h = 4 ( 1 / 2 ) → h = 2 ….(1)
4
x
ctg 45º =
→ x = 2 ctg 45º → x = 2 (1) = 2 …………..(2)
h
Aplicando Pitágoras:
El área S de un triángulo es: S =
y2 = 42 + h2 → y =
3
θ
45º
2
45º
2
Aplicando fórmula de suma de ángulos:
TgA ± TgB
tgα + tg45º
5
Tg ( A ± B )=
→ Tg (α + 45º) =
=
1 m TgA TgB
1 − ( tgα)( tg45º ) 2
……………… Respuesta B
9. Graficando encontramos las relaciones entre elementos:
M
B
10
30º
A
√3
30º
R
x
y
( x + y) h ( 2 + 2 3 ) 2
=
= 2 + 2 3 ……………Respuesta C
2
2
8. El triángulo inferior formado, además de rectángulo es ISÓSCELES.
Podemos organizar la figura con datos inferidos:
tgα + 1 5
=
1 − tgα 2
7 tgα = 3
tg α = 3 / 7
45º
16 − 4 = 12 = 2 3 ……………. (3)
Sustituyendo (1), (2) y (3) en la fórmula del área del triángulo: S=
De donde
h
45º
P
X
C
X
En el ∆ PMC (isorectángulo) , MC = PC = X
x
1
x
En el ∆ABC: cos 30º =
→ =
2
3+x
3+x
Entonces, MC = PC = x = 4 3
→ x= 4 3
…………. Respuesta D
B
10. Organizando una figura con los datos
En el ∆ ACB: Ctg α = 20 / H → 2 = 20 / H → H = 10
α
Luego, en el ∆ ECB: Ctg α = H / x → 2 = 10 / x → x = 5 mts
H
α
Entonces, la distancia que hay que acercarse es:
20 – 5 = 15 mts. ……… Respuesta E
A
90 – α
E
20
X
C