33.- Ángulos en la circunferencia y teoremas

UNIDAD: GEOMETRÍA
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Y TEOREMAS
DEFINICIONES
CIRCUNFERENCIA:
RADIO:
Dado un punto O y una distancia r, se
llama circunferencia de centro O
y
radio r al conjunto de todos los puntos del
plano que están a la distancia r del
punto O.
0: Centro
r: Radio
r
O
1
C(O,r) =
(O,r)
Trazo cuyos extremos son el centro de la
D
circunferencia y un punto de ésta ( OA ).
CUERDA:
Trazo cuyos extremos son dos puntos de
una circunferencia ( DE ).
DIÁMETRO:
 (O,r)
cuerda
E
arco
diámetro
B
O
secante
P
Cuerda que contiene al centro de la
radio
T
C
A
Q
M
tangente
circunferencia ( BC ). Es la cuerda de
mayor longitud.
SECANTE:
Recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia (PQ)
TANGENTE:
Recta que intersecta a la circunferencia en un sólo punto (TM). T punto de
tangencia.
ARCO:
Es una parte de la circunferencia determinada por dos puntos distintos de
 ).
ella ( CE
ÁNGULO DEL CENTRO: Es todo ángulo interior cuyo vértice es el centro de la circunferencia y sus
rayos son radios de la misma (EOD).
EJEMPLOS
1.
¿Cuál de las siguientes opciones es FALSA?
A)
B)
C)
D)
El diámetro de una circunferencia es el doble de su radio
La mayor cuerda de una circunferencia es el diámetro
En circunferencias congruentes los radios son congruentes
Al intersectarse dos cuerdas en el centro de la circunferencia forman ángulos del
centro.
E) Por tres puntos cualesquiera siempre pasa una circunferencia
1
2.
¿Cuál de las siguientes opciones es verdadera?
A)
B)
C)
D)
E)
3.
En la circunferencia de centro O (fig. 1) de diámetro AB , el ángulo AOC mide 54o.
¿Cuál es la medida del ángulo BCO?
A)
B)
C)
D)
E)
4.
Una cuerda no puede pertenecer a una secante
Una cuerda puede pertenecer a una tangente
La tangente intersecta en más de un punto a la circunferencia
Los rayos de un ángulo del centro son cuerdas
El diámetro es una cuerda
C
17º
24º
27º
32º
No se puede determinar
B
fig. 1
O
A
Según los datos de la circunferencia de centro en O (fig. 2),  +  es
A) 198º
B) 168º
C) 144º
D) 132º
E) 126º
fig. 2
A 39
o
O
 48o
C

B
5.
En la circunferencia de la figura 3, OD y OC son radios. ¿Cuál(es) de las siguientes
relaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
A)
B)
C)
D)
E)
ODC = OCD
II)
AE  OE
III)
DE  CE
D
O
A
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y III
I, II y III
fig. 3
E
C
2
B
MEDIDA ANGULAR DE UN ARCO
En toda circunferencia la medida angular de un arco es igual a la medida del ángulo del centro que
subtiende dicho arco.
D
 = EOD = 
DE
 O
E
ÁNGULO INSCRITO:
H
Es todo ángulo cuyo vértice es un punto
de la circunferencia y parte de sus rayos
son cuerdas de ésta (FHG).
G
F
TEOREMA
Todo ángulo inscrito en una circunferencia tiene como
mismo arco.
medida la mitad del arco que subtiende el
C
D

1
=

2

O

A
O

O

B
A
A
B

E
B
O: centro de la circunferencia
EJEMPLOS
1.
En la circunferencia de centro O (fig. 1), se cumple que el arco BA es igual al arco DC y
el arco AED más el arco CB es igual a 3 veces el arco BA. Entonces, la medida del x
es
C
B
A)
B)
C)
D)
E)
2.
x
45º
60º
72º
84º
90º
A
D
O
fig. 1
E
AC y BE son diámetros de la circunferencia de centro O (fig. 2). Si BOA = 2COB,
entonces el CDB mide
D
C
E
A) 30º
B) 35º
C) 45º
D) 60º
E) 120º
fig. 2
A
3
O
B
3.
Según los datos entregados en la circunferencia de centro O de la figura 3, ¿cuánto
mide el ángulo ?
x
A) 35º
B) 40º
C) 70º
D) 120º
E) 150º
4.
O

fig. 3
x + 50°
En la circunferencia de centro O de la figura 4,  +  = 90º. Entonces, la medida de 
es
A)
B)
C)
D)
E)
5.
2x + 30°
15º
30º
45º
60º
75º

O

fig. 4
En la circunferencia de centro O (fig. 5), AC es diámetro. Entonces, la medida de  es
A) 10º
B) 20º
C) 40º
D) 80º
E) 140º
C
O

A
20º
fig. 5
B
6.
En la circunferencia de centro O y diámetro BC de la figura 6, ¿cuánto mide el BCA?
A)
B)
C)
D)
E)
C
22º
34º
36º
44º
68º
fig. 6
O
68º
A
7.
B
En la circunferencia de centro O de la figura 7, BOA = 70º y COB = 40º. ¿Cuánto
mide el ángulo ABC?
A)
B)
C)
D)
E)
140º
125º
120º
110º
95º
fig. 7
O
C
A
B
4
TEOREMA
Todos los ángulos inscritos en una circunferencia que subtienden un mismo arco tienen igual medida.


=
TEOREMA
Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
C
BCA = 90º
A
B
O
O: centro de la circunferencia
TEOREMA
En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios.
D
 +  = 180º
 +  = 180º



C

A
B
TEOREMA
La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia.
O
QP tangente en P  QP  OP
Q
r
P
EJEMPLOS
1.
En la figura 1, TPQ = 140º y QRP = 15º. ¿Cuánto mide el PQT?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
T
15º
20º
25º
30º
35º
R
fig. 1
P
Q
Si en la circunferencia de la figura 2,  +  +  = 90°, entonces la medida de  es
A)
B)
C)
D)
E)
15º
30º
45º
60º
90º



P
5
Q
fig. 2
3.
En la figura 3, el cuadrilátero ABCD está inscrito en la circunferencia. Entonces, x =
D
A)
30º
B)
65º
C) 115º
D) 130º
E) 230º
4.
C
30º
fig. 3
x
35º
A
B
En la figura 4, AC es diámetro de la circunferencia de centro O. ¿Cuánto mide el ángulo BCA?
A)
B)
C)
D)
E)
15º
25º
35º
55º
70º
O
A 55º
C
fig. 4
B
5.
En la figura 5, PT es tangente a la circunferencia de centro O, en T. ¿Cuánto mide el OPT?
T
A)
B)
C)
D)
E)
10º
20º
30º
40º
50º
P
40º
O
fig. 5
6.
En la circunferencia de centro O de la figura 6, PA y PB
respectivamente. ¿Cuánto mide el ángulo BCA?
son tangentes en A y B,
B
A)
25º
B)
50º
C)
65º
D) 100º
E) 130º
C
O
O
50º
fig. 6
A
7.
En la figura 7, el cuadrilátero ABCD está inscrito en la circunferencia. Si  = 145°
entonces  es igual a
D
A)
B)
C)
D)
E)
P
y
 =  – ,

35º
45º
55º
60º
70º
fig. 7
A 


B
6
C
ANGULO INTERIOR EN LA CIRCUNFERENCIA
El ángulo interior de la circunferencia es aquel que se forma al intersectarse
interiormente dos cuerdas, como se muestra en la figura 1, y su medida corresponde a la
semisuma de los arcos que subtiende.
A B
=
 + CD

BA
2

fig. 1
C
D
ANGULO EXTERIOR EN LA CIRCUNFERENCIA
El ángulo exterior es aquel que tiene su vértice en un punto exterior de la
circunferencia, pudiendo ser sus rayos, tangentes o secantes a la misma ,como se muestra
en la figura 2, y su medida corresponde a la semidiferencia de los arcos que subtiende.
  AB

DC
=
2
C
A
fig. 2

P
B
D
ANGULO SEMI INSCRITO
El ángulo semi-inscrito es aquel cuyo vértice está
sobre la circunferencia, sus rayos lo
forman una cuerda AC y una recta L tangente en A , como se muestra en la figura 3, su
medida corresponde a la mitad del arco que subtiende.
C
fig. 3

AC
=
2

A
L
EJEMPLO
1.
En la circunferencia de la figura 4, la recta L es tangente en B, el ángulo DBC mide 50º
y el arco EB mide 140º, entonces el valor de x + y es
E
D
A) 70º
B) 80º
C) 90º
D) 100º
E) 120º
x
C
y
B
L
7
fig. 4
2.
AD y BC son cuerdas que se intersectan en E (fig. 5). Si el arco BA mide 60º y el arco
CD mide 100º, ¿cuánto mide el ángulo ?
A
A) 20º
B) 60º
C) 80º
D) 100º
E) 160º
3.
B
E

C
fig. 5
D
La recta L tangente a la circunferencia en el punto A (fig. 6). Si el triángulo ABC es
isósceles de base AB, entonces el ángulo DAC mide
B
A)
B)
C)
D)
E)
20º
25º
35º
40º
70º
40º
C
L
fig. 6
A
D
4.
En la circunferencia de la figura 7, ángulo CPA mide 40º, si el arco AC es el triple del
arco DB, entonces ¿cuánto suman los arcos CD y BA?
A
B
A) 40º
B) 80º
C) 120º
D) 160º
E) 200º
P
D
C
8
fig. 7
RESPUESTAS
Ejemplos
1
2
3
4
5
1y2
E
E
C
B
A
3y4
C
A
D
D
5y6
C
B
C
C
Págs.
7y8
B
C
E
E
6
7
C
A
B
A
C
E