UNIDAD N° 1 - 2024

PROFESORADO DE EDUCACIÓN
SECUNDARIA EN MATEMÁTICA
MODELIZACIÓN MATEMÁTICA
Profesores:
Docentes Responsables: Marchetti, Luis Francisco
Bravo, Verónica
Ayudante de Trabajo Práctico: Jiménez, Isabel
1° Año
I.E.S. N° 8 “Ángela C. de Reto” Santiago del Estero MODELIZACIÓN MATEMÁTICA Unidad N° 1
UNIDAD N° 1 LA MODELIZACIÓN EN MATEMÁTICA
Introducción
El Plan de Estudios 2017 de la Carrera de Profesorado en Matemática tiene la
Unidad Curricular “Modelización Matemática”, con la modalidad de Taller.
El sentido principal de esta Unidad es la modelización de situaciones que pueden
ser tratadas en términos matemáticos. Es decir, se trata de comprender al proceso
de modelización como la relación entre algunas ideas matemáticas y un problema,
definido a partir de una situación del mundo real.
Así, por ejemplo, la curva de la imagen es una catenaria, que es la que se forma
cuando se tiene un cable homogéneo e inextensible que cuelga suspendido de sus
dos extremos bajo su propio peso. Por ejemplo, los cables de conducción de
electricidad suspendidos entre dos postes, un tendedero de ropa suspendido, o la
forma adoptada por una cadena suspendida entre dos puntos y colgando
libremente.
El nombre catenaria, viene del latín catenarius que significa perteneciente o relativo
a la cadena (catena).
La catenaria es la gráfica de una función que se escribe en términos de dos
funciones exponenciales, por lo que constituye un modelo matemático de la vida
real.
Bravo V; Marchetti, L; Jiménez, I.
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Los docentes de este espacio pretendemos la construcción y transferencia de los
lenguajes de la aritmética, del álgebra, de la geometría a problemáticas reales.
Por este motivo invitamos a los estudiantes a trabajar en Matemática,
concretamente en esta Unidad, pero de una manera distinta, transformando el aula
en un taller, en la búsqueda de un trabajo responsable, creativo y cooperativo.
En búsqueda de lograr este objetivo, te solicitamos que te integres a un grupo de 4
personas y lo mantengas para el desarrollo de este espacio curricular.
Modelización Matemática
La noción de modelo no es propia de la matemática: se trata de una relación entre
un fenómeno, material o no y un concepto, estructura o procedimiento matemático.
Es por ello que en general, se asume que la modelización vincula la matemática y
el mundo real.
La situación cotidiana “Descuento del 10 % en todas las compras del súper,
abonando con la tarjeta XXX y devolución del 5 % del IVA”, expresa el vínculo entre
el concepto matemático y su aplicación.
El ejemplo anterior se puede simular a través de conceptos matemáticos. Cuando
se utilizan dispositivos más o menos conocidos y se trabaja sobre ellos buscando
regularidades, propiedades, características que luego se trasladarán a la situación
inicial que les dio origen, se está trabajando con modelos.
De acuerdo a Blum (2003), la denominación “aplicaciones y modelización” ha sido
usada para “denotar todo tipo de relación entre el mundo real y la matemática”
donde “mundo real” es “todo lo que tiene que ver con la naturaleza, la sociedad o la
cultura, incluyendo la vida cotidiana así como las materias de la escuela o la
universidad o disciplinas científicas diferentes de la matemática”.
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Según Bassanezi (2002), “la modelización consiste esencialmente en el arte de
transformar situaciones reales en problemas matemáticos cuyas soluciones tienen
que ser interpretadas en el lenguaje usual” (p. 24).
Sadovsky (2005) expresa que “un proceso de modelización supone en primer lugar
recortar una determinada problemática de una realidad generalmente compleja en
la que intervienen muchos elementos, identificar un conjunto de variables sobre
dicha problemática y sus relaciones y transformar esas relaciones utilizando algún
sistema teórico-matemático, con el objetivo de producir conocimiento nuevo”.
Teniendo en cuenta lo expresado por Blum, como se trata de tomar situaciones del
mundo real y crear modelos en los que se utilice la matemática, podemos encontrar
distintos tipos de modelos, no necesariamente excluyentes unos de otros. Hallamos
modelos aritméticos, modelos algebraicos, modelos geométricos, entre otros, que
en la mayoría de los casos interactúan y se combinan para dar solución a distintas
situaciones.
Después de la lectura, realiza las siguientes actividades.
ACTIVIDAD 1: Enuncia con tus palabras el concepto de modelización matemática.
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
ACTIVIDAD 2: Identifica los aspectos esenciales del proceso de modelización.
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………..….
ACTIVIDAD 3: Enumera algunas aplicaciones de la matemática en el mundo real.
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
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ACTIVIDAD 4:
a. ¿Qué modelo se puede utilizar para calcular el porcentaje de aumento o
descuento de un producto? …………………………………………………..
b. ¿Qué modelo utilizan los medios de comunicación para darnos resultados de
una encuesta de opinión? ………………………………………………..
c. ¿Qué modelo utiliza un niño de 6 años para sumar 12 + 19? ……………...
d. ¿Qué modelo utiliza usted para sumar 12 + 19? ……………………….
Tradicionalmente se cree que en la aritmética se utilizan sólo números y sus
operaciones y, a partir de la aparición de las primeras ecuaciones con una incógnita,
(la temible letra “x”) comienza el trabajo algebraico. Sin embargo, también en
aritmética se usan letras, para designar, por ejemplo, magnitudes en una fórmula, o
bien para nombrar unidades en un sistema de medida.
Por otra parte, siempre dentro de las escrituras simbólicas, el uso del (mismo) signo
para la relación de igualdad, utilizado en aritmética y en álgebra, no muestra la
diferencia sustancial de su significado en cada uno de estos dominios. Así, en
aritmética el signo “=” es usado para designar el resultado de una operación (por
1 1 2
ejemplo en + = ), mientras que el mismo signo es usado en álgebra para
3 3 3
designar la equivalencia entre dos expresiones (por ejemplo a + b = b + a).
Estos criterios afectan de modo importante la identificación de los problemas y
procedimientos de resolución de cada dominio.
En efecto, existen problemas para los que la aritmética resulta suficiente y
problemas que requieren del álgebra, en el sentido de que involucran complejas
relaciones entre variables. La diferencia reside en que, en este último caso, el
planteo de una ecuación como modelo de un problema y su resolución requiere la
identificación en el enunciado de diferentes objetos y sus relaciones, el uso
coherente de letras para designarlos, el establecimiento de las relaciones en
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términos algebraicos, y el conocimiento de las reglas sintácticas y de transformación
propias del álgebra.
ACTIVIDAD 5: Plantea y resuelve los siguientes problemas. Luego ubícalo en
algunos de los modelos anteriores.
Problema 1:
El sábado, la Sra. Juárez fue a la feria social del barrio y gastó $ 3600 en la compra
de ropa y zapatos. Gastó una cuarta parte en zapatos. Con el resto compró un
pantalón a $ 850, una campera a $ 1200 y un saco de lana. ¿Cuánto pagó por el
saco? Observamos que es un problema aritmético.
Problema 2: Sea ABCD un cuadrilátero cualquiera y E, F, G, H los puntos medios
de cada uno de sus lados. ¿Qué clase de cuadrilátero es EFGH?
Es un clásico problema geométrico, resoluble con la construcción de modelos
geométricos.
Problema 3: El cuadrado grande tiene 72 cm de perímetro. Los cuadrados pequeños
tienen lado igual a la mitad del lado del cuadrado grande. ¿Cuál es el perímetro de
la figura?
Podemos comprobar que se trata de un problema geométrico que se puede resolver
con un modelo aritmético.
Problema 4: Sobre dos rectas paralelas L1 y L2, se graficaron dos triángulos como
se indica en la figura, el ABC es equilátero y el BDE es isósceles de base BD.
¿Cuánto mide el ángulo ?
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Problema 5: Si el lado de un cuadrado aumenta 5 cm, su área se multiplica por 4.
¿Cuál era el lado inicial del cuadrado?
Problema 6: En un rectángulo ABCD se tiene que BC = 12 cm, se han dibujado el
AEF equilátero. AE = EB = 7 cm, además un rectángulo de ancho igual a la tercera
parte de BC, con largo la mitad de AB. ¿Cuál es el perímetro del área sombreada?
Problema 7: Luis dibujó dos triángulos isósceles, ambos con lados desiguales de 30
cm y tales que:
-La razón de los perímetros es 2
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-La razón entre los otros lados es 11/4
Con esos dos triángulos Luis armó un romboide haciendo coincidir los lados de 30
cm.
¿Cuál es el perímetro de este romboide?
Problema 8: Un rectángulo ABCD tiene 96 cm de perímetro y AB = 3 BC. En cada
vértice se recortó, como muestra la figura, un triángulo rectángulo isósceles de 2 cm
d cateto. ¿Cuál es el área de la figura?
Problema 9: Con tres rectángulos iguales se formó un rectángulo más grande, como
el que se muestra en la figura. Si la longitud BC = 2, ¿Cuál es la longitud de AB?
Problema 10: El triángulo CDE y el rectángulo ABCE tienen igual altura. El Área del
polígono ABCDE es 72 cm2. Si AB= 9,6 cm. ¿Cuál es la longitud de la altura del
triángulo?
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Concepto de Ecuación
Una ecuación es una igualdad algebraica que se verifica sólo para algunos valores
que deben tomar las incógnitas para que se cumpla la igualdad. Si una igualdad se
satisface para cualquier valor asignado a sus variables, se llama identidad.
Ejemplo de ecuación:
x − 4 = 2 x − 11
7 − 4 = 2.7 − 11
3 = 14 − 11
3=3
La igualdad sólo se verifica cuando x = 3
Ejemplo de identidad:
( x + y ) 2 = x 2 + 2 xy + y 2
(3 + 7) 2 = 3 2 + 2.3.7 + 7 2
100 = 9 + 42 + 49
100 = 100
Se verifica para cualquier valor de x e y.
Es posible clasificar las ecuaciones en enteras, fraccionarias e irracionales.
a) Una ecuación es entera cuando las operaciones que se realizan entre las
variables o incógnitas son la suma, resta y producto. Ejemplo: 2 x + 4 = 3x − 7
b) Una ecuación es fraccionaria cuando sus incógnitas, o por lo menos una de ellas
se halla en el denominador. Ejemplo:
2x − 1
= 4x − 7
3x
c) Una ecuación es irracional cuando al menos una incógnita figura bajo el signo
radical. Ejemplo: 1 − 2 x = 4 x − 7
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Además una ecuación puede tener:
❖ una solución
ejemplo: 2 x − 6 = 0
solución: x = 3
❖ infinitas soluciones
ejemplo: 2 x − 6 = 2( x − 3)
algunas soluciones:
x = 3, x = 6, x = −7,...
❖ ninguna solución
ejemplo: 2 x − 6 = 2( x − 4)
Ecuaciones polinómicas.
Una ecuación polinómica en la variable x tiene la forma P( x) = 0
Para resolver una ecuación polinómica es necesario encontrar el valor de sus
raíces, es decir, los valores que anulen o verifiquen el polinomio.
Una ecuación polinómica tiene tantas raíces no necesariamente distintas, como
grado tenga el polinomio; es decir si el polinomio es de grado n, la ecuación
polinómica tiene n raíces.
En especial una ecuación polinómica de grado 1 (o de primer grado) tiene una sola
raíz y una ecuación polinómica de grado 2 (o de segundo grado) tiene 2 raíces.
Trabajaremos ahora con las Ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Consideremos el polinomio de primer grado con una incógnita P( x) = ax + b .
La expresión P( x) = ax + b = 0 o simplemente ax + b = 0 se denomina ecuación
polinómica de primer grado con una incógnita o ecuación lineal.
Ejemplo:
2 x + 5 = 0 (1)
Si x = −
5
 5
entonces 2. −  + 5 = 0
2
 2
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Por lo que −
5
es raíz de la ecuación (1).
2
El conjunto de raíces de la ecuación P( x) = 0 se llama Conjunto Solución.
 5
En este ejemplo S = −  .
 2
Para calcular las raíces de una ecuación, se aplican las propiedades de las
operaciones de los distintos conjuntos numéricos.
En el ejemplo (1):
2x + 5 = 0
2 x + 5 + (−5) = 0 + (−5) ley cancelativa, existencia de elemento opuesto
2 x + 0 = −5
2 x = −5
existencia de elemento neutro de la adición
1
1
2 x = .(−5)
2
2
existencia de inverso multiplicativo
x=−
5
2
ley cancelativa
Pueden observar que la resolución de las ecuaciones, es a través de la aplicación
reiterada de propiedades y cómo futuros docentes tendrán la tarea de enseñar a
sus alumnos correctamente, desterrando el mal uso del lenguaje “pasa al otro lado
con la operación inversa”.
Decimos que dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto
solución.
Ejemplo:
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9 x + 3 = 12
y
9 x − 9 = 0 tienen el mismo conjunto solución S = 1 , por lo tanto
son equivalentes.
ACTIVIDAD 6: Resuelve los siguientes problemas:
Problema 11: Esta semana Andrea, Exequiel y Carolina compraron chupetines. El
lunes, Andrea comió la cuarta parte de lo que habían comprado. El martes, Exequiel
comió un tercio de lo que quedaba y, el miércoles, Carolina comió la cuarta parte de
lo que quedaba. El jueves quedaba una docena de chupetines. ¿Cuántos
chupetines habían comprado los chicos?
Problema 12: En un club que tiene 5.200 socios sólo el 40% está en condiciones de
votar. Hay tres listas: Blanca, Verde y Celeste. El 25% de los electores vota la lista
Blanca, el número de electores que vota la lista Verde es el doble de los que votan
la Blanca y el resto de los electores vota la lista Celeste. ¿Cuántas personas votaron
la lista Celeste?
Problema 13: Un cuadrado está inscripto en un círculo de 7 cm de radio
¿Cuál es el área del cuadrado? ¿Cuál es el área de la zona sombreada?
Problema 14: Una hormiga recorre cada hora una distancia igual a dos tercios de lo
que recorrió la hora anterior. Si en tres horas recorrió 76 cm, ¿Cuánto cm recorrió
durante la primera hora?
Problema 15: La suma de las áreas de los cuadrados A, B y C es 9.
Si el área de A es igual al área de C y el área de A es 4 veces la de B, encuentre el
perímetro del cuadrado MNPQ.
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P
N
A
B
C
M
Q
Problema 16: LA VIDA DE DIOFANTO.
Matemático griego. Sus escritos contribuyeron de forma
notable al perfeccionamiento de la notación algebraica y al
desarrollo de la solución de ecuaciones algebraicas. No se
conoce con exactitud su fecha de nacimiento, situándose
aproximadamente en el año 200 d.C. y su muerte alrededor
del 284 d.C.. En su sepulcro figura la siguiente dedicatoria:
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EN LA LENGUA VERNÁCULA
EN EL IDIOMA
DEL
ÁLGEBRA
¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los
números pueden mostrar, ¡oh milagro!, cuán larga fue su vida,
cuya sexta parte constituyó su infancia.
Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando
de vello cubrióse su barbilla.
Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio
estéril.
Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su
precioso primogénito,
que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, que duró tan sólo la
mitad de la de su padre a la tierra.
Y con profunda pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido
cuatro años al deceso de su hijo.
Problema 17: La base y la altura de un rectángulo miden 4x – 1 cm y 2x + 3 cm,
respectivamente. Si el perímetro es 52 cm, ¿Cuánto mide el área del rectángulo?
Problema 18: Una señora gasta la cuarta parte del dinero que lleva, en la
peluquería, y luego dos quintos del resto en la perfumería. Si le quedan aún $ 1.350,
¿Cuánto dinero tenía antes de salir?
Sistemas de ecuaciones lineales
Llamamos sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas a un conjunto de
igualdades algebraicas, que se representa:
 a1 x + b1 y = k1

a2 x + b2 y = k 2
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Estos sistemas se denominan cuadrados y se pueden presentar los siguientes
casos:
•
Que el sistema tenga solución única. Se denomina compatible determinado.
•
Que el sistema tenga varias soluciones posibles. Se llama compatible
indeterminado.
•
Si no tiene solución, se denomina incompatible.
Si el sistema es compatible determinado pueden aplicarse los métodos de
igualación, sustitución, reducción por suma o resta o determinantes, con la finalidad
de encontrar el conjunto solución del sistema.
Se llaman equivalentes dos sistemas de ecuaciones lineales que tienen las mismas
soluciones.
ACTIVIDAD 7: Utilice distintos métodos para resolver los siguientes sistemas de
ecuaciones lineales y clasifíquelos:
2 p = q
a) 
4 p − 2q = 2
x + y = 5
b) 
x − y = 5
x + y + 1 = 0
d) 
y + 1 = x
s = t
e) 
2s − 2t = 0
2(q − t ) = −10
g) 
2,5(q − 2) = t
x − y = 2x
c) 
y − x = 2y
3m + 2r = 8
f)
− 2 m + r − 7 = 0
0,7 f − 0,4 g = 0,1
h) 
 f + g = 4,5
encuentre a para que
 y = 0,75 x
i) 
 y = ax + 500 (4000;3000) sea solución
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ACTIVIDAD 8: Teniendo en cuenta los conceptos anteriores, plantee y resuelve los
siguientes problemas:
Problema 19: Un trapecio isósceles tiene 35 cm2 de superficie. Una de sus bases
mide las tres cuartas partes de la otra y su altura mide 5 cm. Calcula el perímetro del
trapecio.
Problema 20: La superficie de un triángulo es 25 cm2, siendo la altura del mismo el
doble de la base. ¿Cuánto mide la base del triángulo?
Problema 21: Un padre tiene 24 años más que su hijo y su edad es el cuádruple que
la de éste. ¿Qué edad tiene cada uno?
Problema 22: La razón entre dos números es 2/3, considerando el numerador mayor
que el denominador. Si se añaden 20 unidades al más pequeño y 5 al más grande
la razón se invierte. ¿De qué números se trata?
Problema 23: La suma de dos números es 106 y el mayor excede al menor en 8.
Hallar los números.
Problema 24: El promedio entre dos números es igual a 18, y la suma entre el triplo
del primero y el segundo da como resultado 6. ¿De qué números se trata?
Problema 25: Una empresa de viajes y turismo cuenta con colectivos que trasladan
48 pasajeros sentados y varias combis con capacidad para 12 pasajeros. La última
vez que las 8 unidades viajaron completas, trasladaron 204 pasajeros. ¿Con
cuántos colectivos y combis cuenta la empresa?
Problema 26: invente un problema que pueda resolverse con cada uno de los
siguientes sistemas, resuélvanlos
3x + 2 y = 22
a) 
x + y = 9
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2 y = x + 11
b) 
 x − y = −2
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Ecuaciones de 2º grado
Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación que tiene
la forma de una suma de términos cuyo grado máximo es dos. Es decir, una
ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo grado o
polinomio cuadrático. La expresión polinómica de una ecuación cuadrática es:
ax 2 + bx + c = 0 con a  0
donde x representa la variable, a , b y c son constantes. El primer término se
denomina término cuadrático, el segundo es el término lineal y el tercero el término
independiente.
Decimos que la ecuación es completa si contiene los tres términos.
De una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos, existen siempre
dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser
reales o complejas (no consideraremos el caso de los números complejos).
Denominamos fórmula cuadrática a la ecuación que proporciona las raíces de la
ecuación cuadrática:
El símbolo ± indica los valores que son las dos soluciones.
y
En la fórmula anterior, la expresión dentro de la raíz cuadrada recibe el nombre
de discriminante de la ecuación cuadrática. Suele representarse con la letra D o
bien con el símbolo Δ (delta):
La ecuación cuadrática tiene solución en el conjunto de los números reales siempre
que   0 .Si   0 las dos raíces reales son distintas. Si  = 0 las dos raíces son
iguales.
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Si conocemos las raíces x1 y x 2 podemos obtener la ecuación x 2 − Qx + R = 0
haciendo Q = x1 + x 2
y R = x1.x 2
ACTIVIDAD 9: Teniendo en cuenta los conceptos anteriores, resuelve las siguientes
ecuaciones:
5
a) 0 = 2x2 + 4x - 2
b) 3x2 -12x + 12 = 0
c) x(3x – 2) = x2 – 5x
d) (3x – 1)(x – 5)= 0
e) 4 – 3x – x2 = (3x – 2)2
f) x(x + 2) = 2x ( x – 1)
g) Escribe una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean x = - 1 , x = 4
ACTIVIDAD 10: Resuelve los siguientes problemas:
Problema 27: Calcular un número tal que la suma entre dicho número y la mitad de
su cuadrado es igual a 60.
Problema 28: Un rectángulo de 84 cm 2 de área tiene de lados x + 7 cm y el otro de
2x – 3 cm. Calcule el perímetro y la medida de sus lados.
Problema 29: Un rectángulo tiene la base igual al lado de un triángulo equilátero, y
la altura mide 2 cm menos que la base. ¿Cuánto miden los lados del rectángulo si
su área es 1 cm 2 mayor que la del triángulo? Toma 1,73 para
3 . Redondea el
resultado con dos decimales.
Problema 30: Se desea construir una caja que mide 5 cm de altura. De ancho 5 cm
más que de largo. Su volumen es 1500 cm 3 . Calcular la longitud y el ancho.
ACTIVIDAD 11: Resuelve analítica y gráficamente cada uno de los siguientes
sistemas de ecuaciones:
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𝑦 = 3𝑥 + 1
𝑦 = −𝑥 2 + 2𝑥 + 7
a) {
𝑦−𝑥 2 =4
b) {4𝑥+𝑦=0
𝑦 − 2 = 𝑥2
𝑦 = 3𝑥 − 2
c) {
𝑦 = 4𝑥 − 𝑥 2 + 8
𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥
d) {
ACTIVIDAD 12: Lee atentamente el siguiente problema, luego del planteo
resuélvalo para responder:
Una librería mayorista ha comprobado que la ganancia (en miles de pesos) por “x
cientos” de cajas de lápices está dada por la función G(x) = – x2 + 7x – 8, y la
ganancia (también en miles de pesos) por “x cientos” de cajas de cuadernos viene
dada por C(x) = 2x – 4
a. Calcule el número de cajas de ambos útiles para el cual se obtiene la misma
ganancia;
b. Responda, ¿cuándo comienza a dar pérdidas la venta de lápices? y ¿la de
los cuadernos?;
c. Realice un gráfico aproximado de la situación.
Teniendo en cuenta los problemas anteriores, podemos observar que la ecuación
de segundo grado es un modelo que se puede aplicar para la solución de numerosos
problemas, entre ellos algebraicos, geométricos o de la vida cotidiana.
El siguiente material adjunto, te puede ser de utilidad
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¿Cómo se grafica una ecuación de la forma y = ax + b?
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