Instituto Tecnológico Superior de Zacapoaxtla Ingenierı́a Mecatrónica Mecánica de materiales Tercer semestre ”B” Transmisión de potencia ALUMNOS: Zaire Viviana Viveros Rodrı́guez Yahir Valderrabano Valera Jordy Yael Urrea Carrillo DOCENTE: Ing. Carlos Cortés Martı́nez Zacapoaxtla, Puebla 11 de octubre de 2024 Introducción El diseño adecuado de los componentes mecánicos, como ejes, engranajes y correas, es crucial para que los sistemas que transmiten energı́a funcionen de manera eficiente y segura. La transmisión de potencia, que puede entenderse como la cantidad de trabajo realizado por unidad de tiempo, se refiere al proceso mediante el cual la energı́a generada por una fuente, como un motor, se transfiere a una máquina para realizar una tarea especı́fica. Este flujo de energı́a es esencial en muchas aplicaciones industriales y automotrices, donde es vital que la potencia llegue de forma efectiva a las partes móviles. Elegir y dimensionar correctamente los elementos que conectan un motor con los mecanismos que deben moverse, como el eje, es clave para garantizar que el sistema soporte las tensiones propias de su operación. El eje, en particular, tiene la responsabilidad de llevar esa potencia desde el motor hasta donde se necesita, enfrentando fuerzas que podrı́an comprometer su integridad si no se selecciona adecuadamente. Uno de los grandes retos en estos sistemas es asegurarse de que el eje tenga las dimensiones adecuadas para transmitir la potencia sin riesgos de fallos mecánicos. Si el diseño no tiene en cuenta factores como la cantidad de potencia que se necesita transferir y la velocidad de rotación (en revoluciones por minuto o rpm), se corre el riesgo de que el eje falle, lo cual podrı́a afectar todo el funcionamiento del sistema. El propósito de este reporte es identificar el tipo de diámetro que debe tener un eje de acero para transmitir de manera segura la potencia de un motor, considerando los caballos de fuerza (HP) generados y las revoluciones por minuto (rpm) a las que opera el motor. Para ello, se comprenderán y aplicarán fórmulas relacionadas con la potencia mecánica, la torsión, el esfuerzo cortante, la velocidad angular y las propiedades del material, teniendo en cuenta las condiciones de operación. Al final, se comparará el diámetro calculado con el diámetro real del eje para evaluar la precisión del diseño y verificar si cumple con los requisitos necesarios para su correcto funcionamiento. Desarrollo Para poder obtener el diámetro que necesita tener un eje para soportar una cierta cantidad de caballos de fuerza, considerando las revoluciones que genera el motor por minuto, se necesita considerar diversas fórmulas y conceptos. La potencia instantánea es el trabajo realizado por unidad de tiempo, que a su vez el trabajo transmitido por un eje giratorio es igual al par aplicado por el ángulo de rotación. Por lo que si durante un instante de tiempo dt un par de torsión T aplicado hace que el eje gire un ángulo dθ. Dicho de otra manera, también se puede definir como la rapidez con la que hace dicho trabajo. Por lo que matemáticamente se expresarı́a como: P = T dθ dt 1 (1) Donde P es la potencia instantánea, T es el par de torsión, dθ es el diferencial de ángulo y dt es el diferencial de tiempo. Por su parte, la velocidad angular describe qué tan rápido está girando un objeto alrededor de un eje. Por lo que se expresa como: ω= dθ dt (2) Por lo tanto, la potencia también se puede expresar como: P = Tω (3) A su vez, es importante considerar la frecuencia de un eje giratorio, es decir, el número de revoluciones o ciclos que realiza el eje cada segundo, expresado en hertz (1Hz = 1 ciclo/s). Un ciclo es equivalente a 2π rad, por lo que la velocidad angular se expresarı́a como ω = 2πf . Por lo que la ecuación de la potencia se reescribirı́a de la siguiente manera: P = 2πf T (4) Conociendo estos conceptos y fórmulas, se puede llevar a la práctica en diversos cálculos. Por lo que se requiere conocer el diámetro de un eje utilizando las propiedades del acero, considerando que el esfuerzo cortante permitido es de 14.5 ksi y que el motor gira a 175 rpm. Este cálculo se realizará para diversas situaciones, donde la potencia del motor tomará los valores de 1/3, 1/2, 1, 5 y 10 HP. De esta forma, se podrá obtener el diámetro óptimo del eje para cada caso y evaluar su comportamiento bajo diferentes condiciones de potencia. Cálculos del diámetro para soportar la transmisión de potencia de 1/3 HP: Para poder calcular el diámetro del eje, se debe realizar la conversión de unidades de potencia, t t , ya que 1HP = 550 lb·f : de HP a lb·f s s lb · f t 550 lb · f t 1 P = HP = 183.33 3 s · HP s Posteriormente, se necesita calcular la velocidad angular, tomando en cuenta las revoluciones por minuto, por lo que de igual manera se necesita realizar otra conversión: rev 2π rad 1 min rad = 18.33 ω = 175 min 1 rev 60 s s En esta parte se tomó en cuenta la definición de la velocidad angular de acuerdo a la ecuación (4), tomándola como ω = 2πf . Esto se hace porque rad son la unidad estándar en las fórmulas s que involucran la velocidad angular en el Sistema Internacional (SI). Ahora es necesario encontrar el par de torsión, que al despejar la ecuación (3), se obtiene: P ω Esto se realiza ya que P y ω son los valores que ya se tienen, por lo que ahora se tiene que sustituir los valores de acuerdo a lo que ya se obtuvo. T = 2 T = t 183.33 lb·f s ≈ 10.001 lb · f t 18.33 rad s A partir de este punto, también se necesitará el concepto de esfuerzo cortante máximo, el cual es la máxima tensión cortante que puede soportar un material en una sección transversal antes de que ocurra la falla o la deformación permanente, la cual se define matemáticamente como: Tc (5) τ= J Esto es necesario ya que el esfuerzo cortante máximo del acero ya se tiene, por lo que es necesario despejar el par de torsión, obteniendo: τ ·J c T = (6) Finalmente, para encontrar el diámetro del eje, se partirá de la ecuación (4), sustituyendo T , de acuerdo a la ecuación (6), quedando como: τ ·J P = 2πf c De igual manera, se necesita sustituir J, tomándolo como un momento polar de inercia sólida π 4 J = 2 c , entonces: ! 4 τ · πc2 P = 2πf c Utilizando la regla del sándwich, queda como: P = 2πf πc4 τ 2c Simplificando la ecuación: P =ω πc3 τ 2 Ya que, como antes se mencionó, ω = 2πf . De acuerdo a esta última ecuación, se debe despejar c, ya que c en la ecuación (5) es el radio del tubo. Lo cual se obtiene: 2P ωπτ Para sustituir aún más la ecuación, se puede sustituir P de acuerdo a la ecuación (3), donde ω se harı́a uno, ya que quedarı́a como ωω , entonces quedarı́a como: c3 = c3 = 3 2T πτ Para encontrar finalmente la ecuación para calcular el radio del tubo, se debe eliminar la potencia. Esto se logra aplicando raı́z cúbica de ambos lados, quedando la ecuación final como: r 3 2T c= (7) πτ Antes de sustituir los valores en la ecuación final para encontrar el radio, se deben hacer ciertas conversiones, ya que el esfuerzo cortante máximo se encuentra en ksi y se debe convertir a lb ; por lo tanto, la potencia igual se debe convertir a lb · in ya que se encuentra en lb · f t. in2 Conversión del esfuerzo cortante de ksi a inlb2 : ! 1000 inlb2 lb = 14500 2 14.5 ksi 1 ksi in Conversión del par de torsión de lb · f t a lb · in: 12 in (10.001 lb · f t) = 120.012 lb · in ft Teniendo los valores finales, finalmente se puede sustituir en la ecuación de acuerdo a los datos finales obtenidos: s 2 · 120.012 lb · in ≈ 0.17′′ c= 3 lb π · 14500 in2 Por lo que, para obtener el diámetro total, se debe multiplicar el valor del radio por 2; por lo que el valor del diámetro calculado es 0.34′′ y, al comparar el valor con la tabla de fracciones de pulgada, el valor comercial serı́a de 3/8′′ . A partir de este punto, calcular los diámetros restantes será más sencillo, ya que los valores de la velocidad angular y el esfuerzo cortante se mantendrán constantes para todos los casos. Bastará con seguir el procedimiento detallado en el primer ejercicio, permitiendo realizar los cálculos de forma directa en los ejercicios subsecuentes. Cálculo del diámetro para la transmisión de 1/2 HP: t : 1.- Conversión de la potencia de HP a lb·f s 1 550lb · f t/s lb · f t P = HP ( ) ≈ 275 2 1HP s 2.- Velocidad angular: rad s 3.- Cálculo del torque (T ) utilizando la ecuación (6): ω ≈ 18.33 t 275 lb·f s T = ≈ 15.002lb · f t 18.33 rad s 4 4.-Esfuerzo cortante del material: τ ≈ 14500 lb in2 5.-Conversión del torque de lb · f t a lb · in: T = 15.002lb · f t( 12in ) ≈ 180.024lb · in 1f t 6.-Cálculo del radio utilizando la ecuación (7) sustituyendo con los resultados obtenidos: s 2 · 180.024lb · in c= 3 ≈ 0.199′′ π · 14500 inlb2 Por lo tanto, el diámetro final calculado es de aproximadamente 0.398′′ , pero el diámetro comercial más cercano es de 1/2′′ . Cálculo del diámetro para la transmisión de 1 HP: t 1.- Conversión de la potencia de HP a lb·f : s P = 1HP ( 550lb · f t/s lb · f t ) ≈ 550 1HP s 2.- Velocidad angular: rad s 3.- Cálculo del torque (T ) utilizando la ecuación (6): ω ≈ 18.33 t 550 lb·f s ≈ 30.005lb · f t T = 18.33 rad s 4.-Esfuerzo cortante del material: τ ≈ 14500 lb in2 5.-Conversión del torque de lb · f t a lb · in: T = 30.005lb · f t( 12in ) ≈ 360.06lb · in 1f t 6.-Cálculo del radio utilizando la ecuación (7) sustituyendo con los resultados obtenidos: s 2 · 360.06lb · in c= 3 ≈ 0.251′′ π · 14500 inlb2 Por lo tanto, el diámetro final calculado es de aproximadamente 0.502′′ , pero el diámetro comercial más cercano es de 1/2′′ . 5 Cálculo del diámetro para la transmisión de 5 HP: t 1.- Conversión de la potencia de HP a lb·f : s P = 5HP ( 550lb · f t/s lb · f t ) ≈ 2750 1HP s 2.- Velocidad angular: rad s 3.- Cálculo del torque (T ) utilizando la ecuación (6): ω ≈ 18.33 T = t 2750 lb·f s ≈ 150.1lb · f t 18.33 rad s 4.-Esfuerzo cortante del material: τ ≈ 14500 lb in2 5.-Conversión del torque de lb · f t a lb · in: T = 150.1lb · f t( 12in ) ≈ 1801.2lb · in 1f t 6.-Cálculo del radio utilizando la ecuación (7) sustituyendo con los resultados obtenidos: s 2 · 1801.2lb · in c= 3 ≈ 0.429′′ π · 14500 inlb2 Por lo tanto, el diámetro final calculado es de aproximadamente 0.858′′ , pero el diámetro comercial más cercano es de 7/8′′ . Cálculo del diámetro para la transmisión de 10 HP: t : 1.- Conversión de la potencia de HP a lb·f s P = 10HP ( 550lb · f t/s lb · f t ) ≈ 5500 1HP s 2.- Velocidad angular: rad s 3.- Cálculo del torque (T ) utilizando la ecuación (6): ω ≈ 18.33 t 5500 lb·f s T = ≈ 300.054lb · f t 18.33 rad s 4.-Esfuerzo cortante del material: τ ≈ 14500 6 lb in2 5.-Conversión del torque de lb · f t a lb · in: T = 300.054 · f t( 12in ) ≈ 3600.65lb · in 1f t 6.-Cálculo del radio utilizando la ecuación (7) sustituyendo con los resultados obtenidos: s 2 · 3600.65lb · in c= 3 ≈ 0.541′′ lb π · 14500 in2 Por lo tanto, el diámetro final calculado es de aproximadamente 1.08′′ , pero el diámetro comercial más cercano es de 1′′ . A continuacion, se realizara la comparacion del diametro calculado y el diametro real, de cada caso mediante una tabla comparativa. POTENCIA (HP) 1/3 1/2 1 5 10 T (Ksi) f (rpm) 14.5 175 14.5 175 14.5 175 14.5 175 14.5 175 Diámetro calculado 3/8′′ 1/2′′ 1/2′′ 7/8′′ 1′′ Diámetro real 5/8′′ 1/2′′ ′′ 1 18 ′′ 1 18 ′′ 1 38 Cuadro 1: Diámetro calculado y real en función de la potencia. Conclusión En este reporte, se realizó el cálculo del diámetro de un eje de acero necesario para la transmisión de potencia, considerando diversas potencias y utilizando las ecuaciones de torsión, esfuerzo cortante y potencia mecánica. Los cálculos se basaron en valores de potencia que oscilan entre 13 HP y 10 HP, con una velocidad de rotación constante de 175 rpm y un esfuerzo cortante de 14.5 ksi. Los resultados obtenidos muestran una diferencia clara entre los diámetros calculados y los valores comerciales medidos. En el caso de 31 HP, el diámetro calculado fue de 3/8′′ , mientras que el valor comercial medido fue de 5/8′′ . Para 12 HP, el diámetro calculado y el comercial coinciden en 1/2′′ . En potencias mayores, como 1 HP, 5 HP y 10 HP, aunque los diámetros calculados fueron 1/2′′ , 7/8′′ y 1′′ respectivamente, los valores comerciales medidos fueron ′′ ′′ ligeramente superiores, alcanzando 1 81 y 1 41 , lo que demuestra la necesidad de ajustar el diseño a los estándares comerciales disponibles. Este ejercicio evidencia la importancia de considerar los valores comerciales al diseñar componentes mecánicos, ya que los estándares disponibles en el mercado pueden diferir ligeramente de los resultados teóricos, lo cual es crucial para asegurar la viabilidad y funcionalidad del diseño. A través de esta comparación, se garantiza que los ejes diseñados sean tanto seguros como prácticos para su implementación, adaptándose a los requerimientos operativos sin 7 comprometer la integridad del sistema. Finalmente, los cálculos realizados permiten un diseño eficaz del eje, y la comparación con los valores comerciales asegura que las diferencias mı́nimas entre los diámetros calculados y los reales no comprometen la funcionalidad del sistema. Este análisis es aplicable a diversos sistemas de transmisión de potencia, ofreciendo una base sólida para el diseño. Anexos Figura 1: Demostración de la medición de un motor de 1/3 HP Figura 2: Demostración de la medición de un motor de 1/2 HP 8 Figura 3: Demostración de la medición de un motor de 1 HP Figura 4: Demostración de la medición de un motor de 5 HP Figura 5: Demostración de la medición de un motor de 10 HP Figura 6: Colaboradores en el proyecto de mecánica de materiales 9 Bibliografı́a [1] Beer, F. P., & Johnston, E. R. (2013). Mecánica de materiales (7.ª ed.). McGraw-Hill. [2] Gere, J. M., & Timoshenko, S. P. (2006). Mecánica de materiales. Cengage Learning. [3] Hibbeler, R. C. (2014). Mecánica de materiales. Pearson. [4] SISA. (n.d.). Tabla de fracciones de pulgada, decimales de pulgada y milı́metros. Recuperado de https://sisa1.com.mx/wp-content/uploads/ Aceros-SISA-Tabla-de-Fracciones-Pulgada-Decimales-de-Pulgada-Milimetros. pdf 10
