XXVI CONCURSO ESTATAL DE APARATOS Y EXPERIMENTOS DE FÍSICA Título del Proyecto Mecha Plot: Sumas de Riemann Integrantes Jackeline Stefania Flores Ramos Karla Verónica Pizeno Méndez Jesús Salvador Fonseca Martínez Asesores M. en C. Leonardo Nuñez Magos Mtro. Samuel Camarillo Carlos Doc. Ana María Llamas Guerrero Mtra. Emilia Llamas Guerrero Escuela: Preparatoria San José del Valle de Tlajomulco de Zúñiga Fecha del Evento: 10 de Junio 2021 Nombre del Proyecto: Mecha Plot: Sumas de Riemann Modalidad: Aparato Didáctico Objetivo General: Acercar y familiarizar al estudiante con los siguientes conceptos: gráfica de una función de valor real, aproximación discreta de una función continua y sumas de Riemann; mediante una herramienta didáctica diseñada para potenciar el aprendizaje kinestésico. Objetivos específicos: ● Diseñar el aparato didáctico, contemplando materiales y técnicas de fabricación de fácil acceso, manipulación simple, resistentes y que no impliquen costos elevados. ● Fabricar y ensamblar el aparato didáctico. ● Proponer y planificar prácticas didácticas específicas basadas en el aprovechamiento de las características del aparato. ● Mostrar la ejecución de las prácticas y el funcionamiento del aparato, mediante un registro audiovisual. Justificación del Proyecto: El lector estaría en su justo derecho de hacer la siguiente observación sensata: ¿Cómo se relaciona nuestro proyecto con algún campo de la Física? Lo cual nos brinda la enriquecedora oportunidad de repasar algunas de las aplicaciones para las que históricamente ha resultado de gran utilidad la operación matemática llamada Integración Definida. Esta es una operación cuyo origen, si bien yace en el corazón de la matemática pura, mas no se puede entender sin tomar en cuenta su valiosísima trascendencia y aportación a diversas ramas de la Ciencia en general, pero cuando se estudia Física en particular se tiene la oportunidad de descubrir que esta operación del Cálculo surge de manera natural para obtener un vasto y muy diverso conjunto de resultados operacionales y experimentalmente comprobables, en usos tan dispares y versátiles como pueden ser: - - - En Cinemática, el desplazamiento se obtiene como la integral de la velocidad entre dos instantes dados de tiempo, mientras que el cambio de la velocidad será el resultado de integrar a la aceleración sobre algún intervalo de tiempo. En Dinámica: la Integral nos sirve para calcular el trabajo realizado por una fuerza variable, a lo largo de una trayectoria. En Electricidad y Magnetismo, se utiliza para conocer el potencial eléctrico (voltaje) entre dos puntos del espacio, a partir del campo eléctrico que lo inunda. En Gravitación, Newton integró (aunque de manera velada e indirecta) sobre todo el volumen que encierra la masa de un planeta, para obtener su famoso resultado de que la fuerza de gravedad se ejerce como si toda la masa estuviese concentrada en el centro de cada esfera planetaria Incluso hasta en Física Cuántica, integrar es una manera de conocer la probabilidad que se tiene de encontrar a una partícula subatómica “viviendo” entre los límites de una región bien definida en el espacio. Y no debemos olvidar que, históricamente la Integración Definida, es una solución que proviene de las grandes mentes de los desarrolladores del Cálculo, para un problema Geométrico, incluso en palabras del propio A. Einstein: a la Geometría ampliada, con el concepto de distancia, hay que contemplarla como una rama de la Física, sobre la que cabe preguntarse acerca de la “verdad” de sus teoremas, porque es posible cuestionar si son válidos o no para los objetos reales a los que se les han asignado sus respectivos conceptos geométricos; entonces, haciendo un justo reconocimiento del valor de esta herramienta, ¿Quién podría poner en duda que, cuando estudiamos a la integral, aunque sea de una manera disimulada, también terminamos haciendo Física? Ahora bien, para introducir y familiarizar a nuestros hoy compañeros de bachillerato y mañana futuros colegas científicos, técnicos o ingenieros; con el concepto, las propiedades y las aplicaciones de esta herramienta del cálculo, nos hemos propuesto diseñar y crear un aparato didáctico que sea de fácil uso, que ofrezca y explote facilidades del aprendizaje kinestésico y visual, permitiendo tocar, mover, desplazar, ensamblar y observar para lograr el objetivo del docente de últimos semestres de bachillerato: conseguir la enseñanza sin atemorizar, quitando el velo de un falso misticismo que suele envolver a estos temas. Nuestro público objetivo serían pues, todos aquellos que como nosotros, han descubierto tener una orientación vocacional dirigida a las Ciencias Exactas y a las Ingenierías, desde las etapas finales en su formación de bachillerato. Fundamentación Teórica La Suma de Riemann es un método introducido por el matemático Bernhard Riemann, para calcular de manera aproximada el área bajo una curva, la cual consiste en dividir esta área en un número finito de rectángulos, el detalle con este método es que al ser solo una aproximación se obtiene siempre algún margen de error, con respecto al valor “real” buscado. Investigando más a fondo sobre los antecedentes de este método podemos observar cómo el problema para calcular áreas de figuras irregulares ha resultado perenne en la historia humana. Sin embargo, no fue hasta el siglo XVI que empezaron los adelantos significativos sobre el método de exhaución; que consiste en un procedimiento geométrico propuesto ya desde los antiguos griegos mediante el cual podemos aproximarnos al perímetro o al área de figuras curvas, utilizando polígonos regulares idénticos de fórmula conocida, como por ejemplo: dividir la superficie de un círculo, en un número cada vez mayor de triángulos, lo que viene a incrementar la precisión del cálculo mejorando la aproximación conforme aumenta la cantidad de triángulos empleados. El ejemplo quizá más conocido del método de exhaución es el ideado por Arquímedes y recogido en su libro Método, el cual consistía en ir inscribiendo y circunscribiendo figuras regulares dentro y fuera de un círculo y mientras más lados tenía la figura más se aproximaban el perímetro y el área de los polígonos, a sus correspondientes de la circunferencia. Esto terminó desembocando en que, en el siglo XVII Newton y Leibniz desarrollaron el Cálculo Diferencial e Integral, cada uno por su cuenta. Posterior a esto, dicha rama de la Matemática adquirió una posición más firme gracias a la incorporación del concepto de límite y, su definición formal, que en la primera mitad del siglo XIX, fue fundamentada adecuadamente por parte del genial Cauchy. Más adelante, la integración fue rigurosamente formalizada por primera vez por Bernhard Riemann, empleando precisamente el límite de una suma, cuando sus términos aumentan infinitamente por una parte, mientras que sus contribuciones van reduciéndose, respectivamente. Es decir, una suma de términos infinitos, cada vez más pequeños. Así pues, un punto magistral aportado por Riemann, al Cálculo Integral, fue aplicar la herramienta teórica de los límites a una suma parcial, convirtiéndola en una serie infinita, conforme la longitud máxima, o también llamada “la norma” de la partición”, tiende a cero. Esto es, considerar una segmentación cada vez más refinada dentro de un intervalo de números reales [a, b], sobre el que se está haciendo la integración. Cuando la cosa se hace bien, esto tiende a implicar como consecuencia, que la cantidad de sub-divisiones en que se termina fragmentado el intervalo, comúnmente tienda al infinito.(Math 93, 2015) Descripción del Aparato Consiste en una estructura modular de fácil ensamblado, en la cual, todas sus partes móviles se sostienen aprovechando la presión ejercida por un juego de pares de discos magnéticos de Neodimio, acomodados según sus polos. La totalidad de las piezas componentes se han fabricado mediante la técnica de corte láser por CNC. Se considera CNC a todo dispositivo capaz de dirigir el posicionamiento de un órgano mecánico móvil mediante órdenes elaboradas de forma totalmente automática a partir de informaciones numéricas en tiempo real. Se usa como como material de fabricación al polimetilmetacrilato (PMMA), también conocido como acrílico, en colores blanco, negro y transparente, y con grosor de 3mm. Este se eligió por su robustez, durabilidad y ligereza, así como por la versatilidad con que este polímero se ha venido utilizando en el mercado. Nuestro aparato no cuenta con tornillos, remaches, tuercas ni broches de ningún tipo, toda la sujeción mecánica es, como ya se mencionó, debido a fuerzas de origen magnético. A continuación se procede a enlistar las partes que constituyen la totalidad del aparato didáctico “Mecha-Plot: Sumas de Riemann”: a) Una placa rectangular como respaldo de fondo en acrílico negro b) 1a barra de soporte (vertical) en acrílico transparente, con 3 perforaciones para insertar discos magnéticos de Neodimio c) 2a barra de soporte (horizontal) en acrílico transparente, con 3 perforaciones para insertar discos magnéticos de Neodimio d) 60 varillas delgadas rectangulares en acrílico blanco, de 250mm de largo y 5mm de ancho. e) 3a barra de soporte (vertical) en acrílico transparente, con 2 perforaciones para insertar discos magnéticos de Neodimio. f) Una placa de confinamiento frontal (pantalla) en acrílico transparente, de las mismas dimensiones que la mencionada en (a) g) Plantillas con perfiles que reproducen a escala las curvas de 5 funciones analíticas famosas, todas en acrílico transparente de 3mm de grosor. Funcionamiento del Aparato Nuestro aparato didáctico funciona de una manera muy sencilla e intuitiva. Pues primeramente es necesario armar nuestro aparato, el cual está conformado por múltiples piezas de acrílico e imanes de neodimio para sujetar unas piezas con otras. Primero se coloca una placa rectangular en acrílico negro de fondo. Después colocamos la primera barra de sujeción (vertical) en acrílico transparente. Y así después colocamos y alineamos las 60 varillas delgadas de forma rectangular. Luego colocamos los imanes en las perforaciones de la barra de sujeción vertical. Para de igual manera colocar la segunda y tercera barra de sujeción, tanto horizontal como verticalmente y sus imanes correspondientes. Para terminar su ensamblado colocamos una pantalla en acrílico transparente sobre las 60 varillas. Posteriormente en cuanto a su funcionamiento y utilización: Se selecciona una de las funciones creadas en acrílico. Y después se introduce por la parte superior de nuestro aparato desplazando las varillas delgadas creando o formando así de una manera visual y didáctica el área aproximada mediante suma de Riemann con un número finito de rectángulos. Lo cual puede ser observable en el material suplementario anexado en la sección de referencias. Conclusiones En conclusión, nuestro aparato didáctico cumple con su función, pues gracias a su fácil manejo es posible explicar de una manera más sencilla y entendible el concepto de área bajo la curva a jóvenes que busquen introducirse a este tipo de temas. Pues el aparato didáctico representa de manera visual el área bajo la curva a través de sumas de áreas de pequeños rectángulos conocido como suma de Riemann. Además nuestro aparato didáctico cuenta con una gran ventaja ya que está construido en su totalidad con materiales de fácil acceso y a un precio considerablemente bajo, comparado con otros recursos audiovisuales que dependen de la electrónica en su funcionamiento. Al ser de construcción robusta y rústica, nuestro aparato didáctico es inmune a fallas digitales o informáticas. Referencias Bibliográficas 1.- Sobre la teoría de la relatividad especial y general, Einstein, Albert. Biblioteca de los grandes pensadores, 2002. Página 4 2.- Larson, R., Hostetler, R., & Edwards, B. (2010). Cálculo esencial (3.a ed., Vol. 1). Cengage Learning. Página 9-16, 466 3.- Swokowski, E., & Cole, J. A. (2011). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica (13.a ed., Vol. 1). Cengage Learning. Página 125-195 4.-Diseño y construcción de una máquina de control numérico por corte CO2 láser de 40 Watts para acrílico de hasta 4mm. Proyecto previo a la obtención del título de Ingeniero en Mecatrónica. Francisco Javier Hurtado Ramón.Universidad Internacional del Ecuador; Escuela de Ciencias Exactas y Tecnologías Aplicadas. Página 4 5.- Material Suplementario: https://drive.google.com/drive/folders/18Xa96uXhp_KfOp8qWfZhMWWQYaxZQC?usp=sharing
