UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y CC. CALCULO AVANZADO: SERIES DE FOURIER: Ejercicios resueltos y propuestos. Prof. Jorge Inostroza L. 1.- Hallar el período de la función: f ( x) Sen( 2 ba )x . Solución: Si Sen( 2 ba Sen( ) x Sen u Sen u Sen(u 2 ) Si T es el período 2 ba ) x Sen( 2 ba 2 ba T 2 Por ejemplo si f ( x) Sen( ( x T )) Sen( 2 ba x 2 ba T ) Sen(u 2 ) a bien T (b a) el período buscado. 3 10 2 ) x y como f ( x) Sen el período será . 10 5 3 3 2.- Probar que si f ( x) ,,ttiene período p p;; f ( x) tiene período p . Solución: f ( x) f ( ( x T )) f (x p) T p ó T p . x 1 Del mismo modo entonces f ( ) tendrá período T p (Basta cambiar por el período de Sen 2 ba x será T 2 ba 2 ).Entonces o sea b-a. 1 x Y el período de Cos 2 será l 2l . l 3.- Pruebe que la función : f ( x) Sen x 1 Sen 3x 3 1 Sen 5 x , es de período 6 5 Solución. Sen x , tiene periodo 2k1 2k 2 Sen 3x “ “ 3 2k 3 haciendo k1 3 k 2 9 y k 3 15 cada una será de período 6 . Sen 5 x “ “ 5 Y por lo tanto la función dada. 4.- Pruebe la ortogonalidad de la base: 1; Cosx; Senx;.....................Coskx; Senkx............... Solución: 1 Coskx Coskxdx 0 1 Senkx Senkxdx 0 Cosnx Sen mxdx ........ 0 Cos nx Sen mx Cos nx Cos mxdx ....... 0 Cos nx Cos mx Sen nx Sen mxdx ........ 0 . Sen nx Sen mx 5.- Si la fun función ción : f (t ) Cos t Cos t es de periodo “p”.Demostrar que existen m,n enteros tal : m n Solución. 2 Cos t Cos (t p) p 2m Cos t Cos (t p) p 2n . Luego el cuociente m n . 6.- Pruebe que la función f (t ) Cos (10t ) Cos (10 )t , no es periódica. Solución. m 10 10 n esto no es posible pues pues el primer miembro es un entero . 10(m n) Del ejemplo anterior Si fuera periódica tendríamos: 2 2 7.- Pruebe que la función : f (t ) 10 Cos t , es de período . Solución. f (t ) 10 2 ( 1 Cos 2t ) = 50(1 Cos 2t ) , Como Cos 2t tiene período 1 2 , la función lo es. 2 2 8.- Encontrar el período de la función: f (t ) Cos t 3 t Cos . 4 Solución. Cos Cos t 3 t 4 es de período 6 es de período 8 , luego ambas lo son de período 24 9.- Determinar los coeficientes de Fourier, de la función: 0 f ( x) / 2 0 x 0 0 x /2 /2 x 3 Solución. 1 /2 Los coeficientes serán: a 0 f ( x)dx = dx =……….= . 4 2 1 1 1 /2 a k f ( x)Coskxdx Coskxdx .......... Senk = 0 2 2k 2 1 1 2k ........k impar 1 1 1 /2 1 bk f ( x ) Senkxdx Senkxdx .......... (1 Cosk ) = ......k 2,6,10,14... 2k 2 k 0 2 0 .......k 4,8,12,16 x...... x 0 10.- Encontrar la Serie de Fourier de la función: f ( x) x..............0 x Solución. Como lo muestra el gráfico es una función par luego su Serie será : a0 2 1 0 a k Coskx , con a 0 2 xdx 0........k par a k xCoskxdx ........ 2 (Cosk 1) 2 0 k k 2 ....k impar 2 1 La S de F será: 2 Cos (2k 1) x 1 (2k 1) 2 2 11.- Si f(x) = Cos ( x ), ; una constante no entera. Probar que a partir de su Serie de Fourier. Sen 2 ( 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 32 ............) 4 Solución. Se trata de una función par ,luego bk 0 y a 0 1 Cos xdx ak ak ak ak 2 2 Sen 1 Cos x Cos kxdx = 0 Cos( k ) x Cos( k ) x dx 0 1 Sen( k ) x k 1 Sen Cosk k 2 1k k 1 Sen( k ) Sen( k ) k 0 k Sen( k ) x Sen Cosk k = 1k Sen 1 1 k k Sen . 2 k 2 Luego la representación quedará: Cos x Sen 2 (1) k Sen Sen 1 (1) k Coskx 2 ; si x = 0 2 2 ( 2 k 2 ) ( k ) 1 1 (1) k . 2 2 2 2 Sen 2 ( ) k 12.- Determinar la representación en Serie de Fourier para la función función f ( x) 0 x x 0 0 x Graficar la extensión periódica que que ella representa y probar que: 2 8 1 1 (2k 1) 2 . Solución. Fig. 5 a0 La serie debe ser de la forma: a0 1 2 a k Coskx bk Senkx ; donde : 1 0..............k ..... par a k xCoskxdx (Cosk 1) 2 2 0 k k 2 ...........k ....impar 1 xdx 2 0 1 bk 1 xSenkxdx 1 (1) k 1 . Luego la representación será: k 0 f ( x) 2 Cos (2k 1) x 4 (2k 1) 2 (1) k + Senkx . 2k En x = 0 la serie converge al valor de la función, por ser continua 0 4 2 1 1 (2k 1) 2 Sin embargo en 2 8 1 1 (2k 1) 2 . converge al valor promedio de los limites laterales o sea a resultado es el mismo. y el 2 Fig 13.- Hallar la Serie de Fourier parta la función f ( x) x x / 2 x / 2 . / 2 x 3 / 2 Solución. Fig. Aquí el intervalo es ( / 2,3 / 2) por lo que la serie debe tener la fórmula más general aunque (b-a) = 2 , luego será de la forma. 6 a0 a k Coskx bk Senkx , siendo a0 2 ak 1 /2 3 / 2 3 / 2 / 2 /2 /2 1 / 2 / 2 3 / 2 /2 xdx ( x)dx = 0 ( xCoskxdx Coskxdx xCoskxdx ) = 0 /2 3 / 2 3 / 2 bk 1 ( xSenkxdx Senkxdx xSenkxdx ) / 2 /2 /2 = 3 (1) k 1 ........k impar 1 0................k impar = 2 2k (1)k .........k par k 0................k par Luego la serie de Fourier para esta función queda: 3(1) k (1) k (2k 1) 2 Sen(2k 1) x 4k Sen2kx. Observación. Nótese que al trasladar el gráfico gráfico de la función dada hacia hacia la izquierda en / 2 se transforma en una función par cuya serie no es la misma. 14.- Encontrar la Serie de Fourier y su Serie de Cosenos para la función: 1 / 2 x................0 x 1 x 3 / 2...............1 x 2 f ( x) Fig. Solución. a) a0 2 Como el intervalo es de dimensión 2 la Serie tomará la forma: a k Cos kx bki Senk x , 7 2 1 2 con a 0 f ( x)dx (1 / 2 x)dx ( x 3 / 2)dx 0 0 0 1 0...........k par a k (1 / 2 x)Coskx dx ( x 3 / 2)Cos kx dx =……… 4 0 1 k 2 2 ....k impar 1 2 0...........k par bk (1 / 2 x) Sen kx dx ( x 3 / 2) Sen kx dx =……….. 3 0 1 k ......k impar 1 2 Así la S de F quedará: 4 Cos(2k 1)kx 2 (2k 1) 2 3 Sen(2k 1)kx (2k 1) b) La extensión par de la función hace que la Serie sea : a20 a k Cos k2 x con (b-a) = 4 k 12 12 Donde a 0 2 f ( x)dx 0 y a k 2 f ( x)Cos xdx 20 2 20 1 1 2 1 32 k k k k a k Cos x dx xCos x dx xCos xdx Cos xdx = 2 2 2 21 2 0 2 0 1 16 …………………….= 2 2 si .k 2,6,10..........(4k 2) . k La Serie: (4k 2) x .(¿) 16 Cos 2 2 2 ( 4 k 2) 15.- Sea la función f ( x) Senx a) determine el período. b) Pruebe que es par c) encuentre la S de F. en / 2, / 2. Fig. 8 Solución. Sen ( x ) SenxCos CosxSen Senx Senx , período , que el gráfico también confirma. b) Sen( x) Senx Senx par. c) La S de F. será : a0 2 a0 2 a k Cos 2kx ; pues el in intervalo tervalo es de magnitud ,donde 2 /2 1 0 Sen xdx ak 1 /2 0 Senx Cos 2kxdx 2k (4k 1). quedando . 1 2 kCos2kx . Como la serie pedida. 2 (4k 1) 16.- Sea la función y = f(x) seccionalmente continua, par y de período 4l e impar respecto a la recta x l .Deter .Determinar minar que ssuu Seri Seriee de Fouri Fourier er pa para ra f( f(x) x) es está tá da dada da po por: r: (2n 1) 1 a2n1Cos 2l x con a 2 n 1 2l l 0 f ( x)Cos (2n 1) x 2l Fig. Solución. bn 0 2l 2l l 1 2l 1 2l a0 f ( x)dx f ( x)dx . Pero f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx l 0 2l 2l l 0 0 l l 0 0 = f ( x)dx f ( x )dx 0 9 an 1 2l l 0 f ( x )Cos n 2l 1l n 1l n 1 l n 1l n x 1l 2l n x Si x 2l u . x f ( x )Cos f ( x )Cos l l 0 2l 2 l n 0 n (u )(du ) a n f ( x)Cos x f (u )Cos 2l 2l l 0 l 0 a l f ( x)Cos 2l x f (2l x)Cos 2l (2l x)( dx) ; f (2l x) f ( x) 0 l n n n n n n dx f ( x) Cos 2lCos x Sen 2lSen x dx a n f ( x)Cos 2l 2l 2l 2l 2l l 0 0 l n x dx + (1) n 1 f ( x)Cos x dx a n f ( x)Cos 2l l 0 2l 0 0 an = 2 l n ( ) f x Cos dx 0 2l l 17.- Sea a0 2 l si n par si n impar a 2 n1 2l f ( x)Cos l 0 (2n 1) dx 2l (a k Coskx bk Senkx) , la Serie de Fourier de f(x).Si g ( x) f ( x ) , 1 mostrar que la Serie de Fourier de g(x) es a0 2 (1) k (a k Coskx bk Senkx) Solución. Fig Nótese que el gráfico de g(x) g(x) se obtiene desplazand desplazandoo el de f(x) a la derecha en ,entonces: Si g ( x) A0 Ak Coskx Bk Senkx 2 donde 0<x< 2 pues x 10 A0 A0 1 2 1 2 hacemos u= g ( x)dx 0 f ( x )dx , si hacemos 0 1 f (u )du a0 Ak 1 2 1 2 g ( x)Coskxdx 0 f ( x )Coskxdx 0 1 f (u )Cos(u )du Ak Ak Ak u , luego 1 1 1 f (u )Cos(u)Cos Sen uSen du f (u )Cos (u )Cos du = (1) f (u )Cos (u )du (1) a . k k k Igualmente para Bk . 18.- Sea t R y f ( x) Cos (tSenx). a) Probar que f(x) es par y de período b) Escrib Escribaa los coeficientes y la Serie de Fourier si x 0, c) Probar que para a0 (t ) se tiene : ta0 ' ' a 0 'ta 0 0 . Solución. x ; a) f ( x) par sii f ( x) f ( x) f ( x) Cos (tSen( x) Cos (tSen( x)) Cos (tSenx) luego es par. ¿ f ( x) f ( x ) ? f ( x ) Cos(tSen( x )) Cos (t ( Senx)) Cos(tSenx) Cos (tSenx) f ( x). b) a0 2 2 Cos(tSenx)dx a 0 Cos(tSenx)Cos2kxdx 0 k 2 bk 0 Cos(tSenx) Sen2kxdx. 11 c) Si a0 (t ) 2 2 Cos(tSenx)dx a'0 (t ) 0 (Sen(tSenx)) Senxdx 0 a ' ' 0 (t ) 2 Cos (tSenx ) Sen xdx. 0 2 Luego: 2 tCos (tSenx) Sen x Sen(tSenx) Senx tCos (tSenx) dx . ta ' ' 0 a ' 0 ta 0 2 0 Pero como: Si u Sen(tSenx) du Cos(tSenx) tCosxdx dv Senxdx v Cosx Entonces: 0 Sen(tSenx) Senxdx Sen(tSenx) Cosx 0 tCos(tSenx ) Cos xdx 0 tCos (tSenx) Cos xdx 2 2 Reemplazando se cumple. 19.- Si f ( x) e x 0 x 2 . Obtener la Serie de Fourier de g(x) ,función par de período 8 tal que g(x) = f(x) f(x) en 0 x 2. Solución. Fig. Hacemos g(x) como la extensión par de la fu función nción f(x) extendida al 0 x 4 e x f e ( x) 0 0x2 2 x4 Así g(x) es la extensión par de f e ( x) , por lo tanto: g ( x) a0 2 a k Cos k 4 x bk Sen k 4 x; 12 12 x 1 14 Con a0 f ( x)dx e dx (e 2 1) 20 2 20 (1) k 1 8e 1 k a k e x Cos xdx ........... 2 2 20 4 16 k (1) k 1 k 4 2 k par 2 k impar 20.- Probar la relación de Parseval: 1 p a0 2 (a b ) . f ( x)dx 2 p 2 2 k 2 k p Solución. Si f ( x) SC p; p y f ( x) p f ( x) f ( x) f 2 ( x)dx p a0 2 a0 2 a k Cos f p (1 f ) a k (Cos p Pero 1 f f ( x)dx pa0 k Cos p k p x bk Sen k x pa k p x k p x f ) bk ( Sen f Sen k k p p x f) x pbk a 0 2 2 2 p f ( x)dx p 2 ak bk p 2 21.- Hallar la Serie de Fourier de solo cosenos para la función: f(x)= x en 0,2 y mediante la relación de Parseval, probar que : 2 96 1 1 (2k 1) 4 . Solución. Haciendo la extensión par de f(x) a 2;2 13 k par 0 12 k a k xCos xdx 8 20 2 2 2 k impar 2 a0 0 xdx 2 k 2 p 16 1 8 Aplicando Parseval: x dx f 2 ( x)dx y 3 3 2 a0 2 2 2 ak 2 p p4 4 64 1 4 4 2 96 (2k 1) (2k 1) 4 22.- Si a k y bk son los coeficien coeficientes tes de Fourier para f(x) .Enton .Entonces: ces: lim a k lim bk 0 k k Solución. Siendo: 1 p a f ( x)dx 0 (a b ) y que la serie es convergente, enton entonces ces su 2 p 2 2 k 2 k p termino general tiende a cero o sea lim (a k 2 bk 2 ) 0 a k 0 bk 0. k Ejercicios propuestos. 1.- Escribir la Serie de Fourier de las funciones: b) f ( x) Senx 0 x 1 x x x 0 Graficar la extensión periódica d) f ( x) e x c) f ( x) x 0 x a) f ( x) e x 0 e) f ( x) / 2 0 0 f) f ( x) x -1<x<1 x 0 0 x /2 /2 x x 0 0 x Graficar su extensión periódica y evaluar en x = 0 14 2.- Si f ( x) 1 x serie numérica: 1 1 x 1 ,hallar su Serie de Fourier y deducir la convergencia de la 1 (2k 1) 2 3.- Determinar la Serie de Fourier para la función f ( x) x 4 x 4 con ello deducir la convergencia numérica del ejercicio anterior. 4.- Desarrollar en serie de cosenos la función f(x)= Sen x y analizar su convergencia convergencia para x = 0. 5.- Desarrollar Desarrollar en Serie de Fourier f(x) = x 2 2 16 0 x 2 , y con ello pruebe que 1 k2 1 6.- Dada la función de impulso unitario: f ( x) 1 1 x 0 0 x 2 2 x ¿Cuál es el valor valor de la ser serie ie si a) x k b) x= (2k 1) , k Z ? 2 15 CALCULO AVANZADO: INTEGRAL DE FOURIE FOURIER. R. Ejercicios resueltos y propuestos. 1.- Encontrar la integral de Fourier para la función: f ( x) 0 x0 1/ 2 x0 e x x0 Solución. Si la integral converge, escribimos: f ( x) 1 A(w)Coswx B( w)Senwxdw donde : 0 A( w) f (v)Cos(wv)dv B( w) e v (Coswv wSenwv ) v A( w) e Cos( wv)dv 0 0 f (v) Sen(wv)dv v B ( w) e Sen( wv)dv 1 w e v ( Senwv wCoswv ) 1 w 2 1 0 = 1 w2 2 0 w 1 w2 Luego: 1 Coswx wSenwx 1 f ( x) dw Si x = 0 dw 2 2 0 1 w2 0 1 w 1 / 2 Coswxdw 1 / 4 w 0 Senw 1 2.- Demostrar que : 0 0 x 1 x 1 x 1 Solución. La integral corresponde a una función par puesto que B( w) 0 , luego consideremos la 1 / 2 0 x 1 x 1 función extendida par: f ( x) ! / 4 0 x 1 Así A( w) 2 1 / 2Coswvdv 0 Senw w f ( x) 1 senw w Coswxdw 0 16 3.- Demostrar que: 1 / 2Senx 1 Senw Senwxdw 0 1 w 2 0 x x . Solución. La integral representa a una función impar, pues A( w) 0 y B( w) Senw2 , luego debemos 1 w x 1 / 2Senx considerar la extensión impar : f i ( x) x 0 De ese modo A( w) 0 y B ( w) f (v) Senwvdv 1 / 2SenvSenwvdv 1 B ( w) SenvSenwvdv Cos (1 w)v Cos (1 w)v dv 20 0 B ( w) B( w) Así 1 1 1 Sen(1 w)v Sen(1 w)v 0 1 w 2 1 w 1 2 2(1 w ) (1 w) Sen(1 w) (1 w) Sen(1 w) 1 Senw Senwxdw f i ( x) 0 1 w2 Senw 1 w2 y corresponde con f(x) si x (0, ) 4.- Representar mediante una integral de Fourier del tipo 1 A(w)Coswxdx a la función: 0 0 x 1 x f ( x) 2 x 1 x 2 0 x2 Solución . Lo que se pide es representar a una función par por lo que hacemos la respectiva extensión de la función dada. Así 2 1 A( w) 2 f (v)Cos ( wv)dv 2 vCos( wv)dv (2 v)Cos( wv)dv usando tablas. 0 0 1 17 2Cosw Cos 2w 1 y por lo tanto: w2 A( w) 2 f ( x) 2 2Cosw Cos 2w 1 0 w2 Coswxdw 5.- Si f(x) es una función par con su integral f ( x) 1 A( w)Coswxdw .Demostrar 0 que: 1 A * ( w)Cos (wx)dw 2 x f ( x) donde A * ( w) 0 d 2 A( w) dw 2 Solución. 2 Como x f ( x) f ( x) dA dw 1 A * (w)Cos(wx)dw pues es una función par y como 0 1 Cos(wx)dw 0 con 0 A( w) 2 f (v)Cos ( wv )dv d2A 2 vf (v) Sen( wv )dv dw 0 2 2 v 2 f (v)Cos ( wv)dv , comparando con 0 0 Entonces 2 A * ( w) 2 v f (v)Cos ( wv )dv A * ( w) d 2 A( w) dw 2 . Observación: x 2 Para representar la función: f ( x) 0 f ( x) 1 0 6.- Sea f ( x ) 0 xa xa Consideramos la extensión par de 0 x a y aplicamos lo anterior en que A( w) 2Senwa xa w 1 B( w)Sen(wx)dw . Hallar la integral de Fourier de la función 0 g ( x) f ( x) Senx . Solución. 18 Como f(x) es una función impar, g(x) es par ,luego: I g 1 A(w)Cos( wx)dw donde 0 0 0 0 f (v)Sen(1 w)v Sen(1 w)vdv A( w) 2 g (v)Cos ( wv )dv 2 f (v ) SenvCos ( wv )dv 0 f (v)Sen(1 w)vdv 0 f (v)Sen(1 w)vdv 12 B(w 1) B(w 1) .Luego A( w) bastaría con conocer el coeficiente coeficiente B( w). 7.- Si f(x) es una función par con integral: f ( x) 1 A(w)Cos(wx)dw. Entonces 0 1 dA xf ( x) Sen( wx )dw . dw 0 Solución 1 Para xf ( x) 0 B * ( w) Sen( wx )dw donde B * ( w) 20 vf (v) Sen( wv )dv .Pero como dA dw 2 vf (v)( Senwvdv pues A( w) 2 f (v)Cos ( wv)dv B * ( w) 0 0 8.- Probar que si f ( x) 1 dA dw . 1 A(w)Cos( wx) B(w)Sen(wx)dw . Entonces se cumple: 0 f ( x)dx 0 A (w) B (w)dw. 2 2 2 Solución. f f 1 f ( x)dx 0 A(w)Cos(wx) f B(w)Sen( wx) f dw 2 1 A ( w) B ( w) dw . 0 2 2 9.- Aplicando lo anterior probar que: 2 Senw(2aw) dw a . 19 Solución. Si tomamos: f ( x) a x a , función par a entonces: A( w) 2 Cos ( wv )dv 2 w 0 a Sen( wv ) a 0 = 2 w 2 Sen( wa) A ( w) 4 2 w 2 2 Sen ( wa) a Por otra parte: f ( x )dx 2 dx 2a 2 2 a Luego: 2a 2 a a 1 0 A 2 ( w)dw 1 4 2 Sen 2 ( wa ) w2 0 dw a 2 2 Sen ( wa ) 0 w2 dw o bién 2 Sen ( wa) w 2 dw 10.- Probar que : x 2 Sen( w ) Cos ( w ) 0 w2 w Sen( wx )dw 0 x Solución. x Como se puede apreciar se trata de una función impar o sea f ( x) 0 f ( x) x x 1 B(w)Sen(wx)dw donde 0 0 B ( w) 2 vSen( wv )dv 2 w Cos ( w ) 2 w 2 Sen( w ) ) Cos ( w ) f ( x) x 2 Sen( wx )dw Sen( w 2 w 0 w 11.- Utilizar la función: f ( x) xe x x 0 , para deducir que 2w 1 w 0 (1 w 2 ) 2 Cos (wx)dw 0 (1 w 2 ) 2 Sen(wx)dw . Usar además además eesta sta igu igualdad aldad y la conv convergen ergencia cia para deduc deducir ir que: dw w 2 dw 0 (1 w 2 ) 2 0 (1 w 2 ) 2 .- 20 Solución. a) Considerando la extensión par de la función dada: f p ( x) 1 A(w)Cos (wx)dw 0 (1 w 2 ) con: A( w) 2 f p (v)Cos ( wv )dv 2 ve Cos ( wv )dv ............ 2 2 ( 1 ) w 0 0 v 2 f p ( x) 1 (1 w2 )2 Cos ( wx)dw . 0 (1 w ) b) Considerando la extensión impar de la función dada. f i ( x) donde B ( w) 2 ve v Sen( wv)dv ............. 0 f i ( x) 1 2w (1 w 2 ) 2 1 B(w)Sen( wx)dw 0 luego 2w Sen( wx )dw 0 (1 w 2 ) 2 Entonces ambas funciones coinciden en x>0 o sea son iguales las integrales. (1 w 2 ) 2w 0 (1 w 2 ) 2 Cos (wx)dw 0 (1 w 2 ) 2 Sen(wx)dw dw w 2 dw 1 (1 w 2 ) dw 0 En a) si x = 0 2 2 2 2 0 (1 w 2 ) 2 0 (1 w ) 0 (1 w ) 21 Ejercicios propuestos. x 1.- Sea: f ( x ) 1 2.- Sea f ( x) 0 y que 0 2Senw w B( w) (1 w 2 ) 2 Verifique que B( w) 0 A( w) . Pruebe que: A( w) 0 xe x 1 x 1 Cos ( wx)dw 4w 2 Senw w converge a ½ si x =1 ó x = -1. 3.- Represente la función como una In Integral tegral de Fourier y discuta su convergencia en cada punto. x a) f ( x) 0 x x k b) f ( x) 0 1 / 2 c) f ( x) 1 0 5 x 1 1 x 5 d) f ( x) xe x x 10 x 10 x 5 4.- Haciendo la extensión adecuad adecuadaa encontrar la Integ Integral ral de Fourier de Senos y de Cosenos para: x 2 a) f ( x) 0 0 x 10 x 10 kx; 5.- Para f ( x) e 6.-Si f ( x) e x Cosx de Cosenos. Cosh( x) b) f ( x) 0 0x5 x5 x S enos y de Cosenos. 0 , Hallar las Integrales de Senos x 0 Hallar la integral de Fourier, además la de Senos y la 22
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