Ogatta

Pares de transformada de Laplace
Escalón unitario l(t)
7
-at
(n-l)!
p-l
(n = 1,2,3,. . .)
e
(s + ay
1
(s + a)(s + b)
8
,1, (e-a’ - e-bt)
9
; 1 + ;h (be-“‘- ae-b’)
[
10
sen wt
6J
s2 + cLl2
ll
cos
s
s2 + w2
12
ecaz sen wt
13
epat cos ot
14
e-@nt sen w,W t
%
s2 + 24%J,s + co;
sen (w, w t - 4)
y?
4 = tan
5
s2 + 25WJ + 0;
1
ot
1
s(s + a>(s + b)
(s + a; + cO2
s+a
(s + ay + w2
2
&
- &e-@n’
1.5
S
e-@nf sen (0, m t + qb)
16
2
0,
s(s2 + 25WnS + w;>
Propiedades de la transformada de Laplace
k=l
3
4
[f 1
Of(t) dt = FO
s
5
ce
6
f(t) dt = ‘@. F(s)
si
Ce [emat f(t)] = F(s + a)
7
8
Ce If(t - a)l(t - a)] = e-aF(s)
9
ce [tf (t)] = - d!y
aZ0
10
ll
-F(s)ds
12
13
14
15
n = 1,2,3,. . .
55 [Pf (t)] = (-1)” g F(s)
22
1
si lííq 7 f(t) existe
=aF(us)
1
- t)fz( t) d t = F&)F;?(s)
~[fMt)l = &s::p F(p)G(s -P)&
Ingeniería de control
moderna
Ingeniería de control
moderna
Tercera edición
Katsuhiko Ogata
University of Minnesota
TRADUCCIÓN:
Miguel Ángel Martínez Sarmiento
Traductor profesional
REVISIÓN TÉCNICA:
Ing. Francisco José Rodríguez Ramírez
Ingeniero Mecánico Electricista
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional Autónoma de México
M6XICO ARGENTINA BRASIL
ESPAÑA
GUATEMALA
PERÚ
l
l
l
l
l
l
COLOMBIA COSTA RICA CHILE
PUERTO
RICO
VBNBZ~LA
l
l
l
EDICIÓN EN ESPMOL:
SUPERVISOR DE TRADUCCIÓN:
SUPERVISOR DE PRODUCCIÓN:
CARLOS TALANCÓN ESPINOSA
MAGDIEL GÓMEZ MARINA
EDICIÓN EN INGLÉS:
Publisher: Tom Robbins
Associate editor: Alice Dworkin
Production editor: Ann Marie Longobardo
Cover Designer: Bruce Kenselaar
Manufacturing Buyer: Donna Sullivan
OGATA: INGENIERÍA DE CONTROL MODERNA, 3a. Ed.
Traducido del inglés de la obra: MODERN CONTROL ENGINEERING, Third Edition
Al1 rights reserved. Authorized translation from English language edition published by Prentice-Hall, Inc.
A Simon & Schuster Company.
Todos los derechos reservados. Traducción autorizada de la edición en inglés publicada por Prentice-Hall, Inc.
A Simon & Schuster Company.
All rights reserved. No part of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means,
electronic or mechanical, including photocopying, recording or by any information storage and retrieval
system, without permission in writing from tbe publisher.
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio o método sin autorización
por escrito del editor.
Derechos reservados 0 1998 respecto a la tercera edición en español publicada por:
PRENTICE-HALL HISPANOAMERICANA, S.A.
Calle 4 No. 25 - 2” piso, Fracc. Industrial Alce Blanco
53370 Naucalpan de Juárez, Edo. de México
ISBN 970-17-0048-1
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial, Reg. Núm. 1524.
Original English Language Edition Published by Prentice-Hall, Inc.
A Simon & Schuster Company
Copyright 0 MCMXCVII
Al1 rights reserved
EMPRESA CERTIFICADA POR EL
INSTITUTO MEXICANO DE NORMMIZACl6N
Y CERTlFICACl6NA.C.. SAJO LA NORMA
ISOIMM: WWNMXGC~: 1995
CON EL No. DE REGISTRO R?&W
mo
cl
ISBN 0-13-227307-1
IMPRESO EN MÉXICO / PlUNTED
PROGRAMAS EWCATIVOS. S. A. DE C.V.
CAU. CHABACANO
lb. 65, LOCAL A
COL. AST”RYS.DELEG. CUAUHTEMOC.
C.P. 06850,
MEXICO. D.F.
IN MEXICO
Prefacio
Capitulo 1 Introducción a los sistemas de control
...
XI11
1
l-l Introducción 1
1-2 Ejemplos de sistemas de control 3
1-3 Control en lazo cerrado en comparación con el control
en lazo abierto 6
1-4 Diseño de los sistemas de control 8
1-5 Panorama del libro 9
Ejemplo de problemas y soluciones 10
Problemas ll
Capítulo 2 La transformada de Laplace
2-1
2-2
2-3
2-4
2-5
2-6
13
Introducción 13
Panorama de las variables complejas y las funciones
complejas 14
Transformada de Laplace 17
Teoremas de la transformada de Laplace 27
Transformada inversa de Laplace 35
Expansión en fracciones parciales con MATLAB 41
vii
2-7
Solución de ecuaciones diferenciales lineales e invariantes con el
tiempo 44
Ejemplo de problemas y soluciones 46
Problemas 55
Capítulo 3 Modelo matemático de sistemas lineales
57
3-1 Introducción 57
3-2 Función de transferencia y de respuesta impulso 60
3-3 Diagramas de bloque 63
3-4 Modelado en el espacio de estados 70
3-5 Representación en el espacio de estados de sistemas dinámicos 76
3-6 Sistemas mecánicos 81
3-7 Sistemas eléctricos 87
3-8 Sistema del nivel de líquido 92
3-9 Sistemas térmicos 96
3-10 Linealización de modelos matemáticos no lineales 100
Ejemplo de problemas y soluciones 105
Problemas 129
Capítulo 4 Análisis de la respuesta transitoria
4-1
4-2
4-3
4-4
4-5
Introducción 134
Sistemas de primer orden 136
Sistemas de segundo orden 141
Análisis de respuesta transitoria con MATLAB 160
Un problema de ejemplo resuelto con MATLAB 178
Ejemplo de problemas y soluciones 187
Problemas 207
Capítulo 5 Acciones básicas de control y respuesta de sistemas
de control
5-1
5-2
5-3
5-4
5-5
5-6
5-7
5-8
...
VI11
134
Introducción 211
Acciones básicas de control 212
Efectos de las aciones de control integral y derivativa sobre
el desempeño de un sistema 219
Sistemas de orden superior 228
Criterio de estabilidad de Routh 232
Controladores neumáticos 238
Controladores hidráulicos 255
Controladores electrónicos 262
Contenido
211
5-9 Adelanta de fase y atraso de fase en una respuesta senoidal
5-10 Errores en estado estable en los sistemas de control
de realimentación unitaria 274
Ejemplo de problemas y soluciones !282
Problemas 309
269
Capítulo 6 Análisis del lugar geométrico de las raíces
6-1
6-2
6-3
6-4
6-5
6-6
6-7
6-8
Introducción 317
Gráficas del lugar geométrico de las raíces 319
Resumen de las reglas generales para construir los lugares
geométricos de las raíces 330
Gráficas del lugar geométrico de las raíces con MATLAB 338
Casos especiales 348
Análisis de sistemas de control mediante el lugar geométrico
de las raíces 357
Lugares geométricos de las raíces para sistemas con retardo
de transporte 360
Gráficas de contornos de las raíces 364
Ejemplo de problemas y soluciones 368
Problemas 400
Capítulo 7 Diseño de sistemas de control mediante el método del lugar
geométrico de las raíces
7-1
7-2
7-3
7-4
7-5
317
404
Introducción 404
Consideraciones preliminares de diseño 407
Compensación de adelanto 409
Compensación de atraso 418
Compensación de atraso-adelanto 427
Ejemplo de problemas y soluciones 439
Problemas 467
Capítulo 8 Análisis de la respuesta en frecuencia
471
8-1 Introducción 471
8-2 Trazas de Bode 473
8-3 Graficación de trazas de Bode con MATLAB 492
8-4 Trazas polares 504
’
8-5 Obtención de trazas de Nyquist con MATLAB 512
8-6 Trazas de magnitud logarítmica contra la fase 519
Contenido
ix
8-7 Criterio de estabilidad de Nyquist 521
8-8 Análisis de estabilidad 532
8-9 Estabilidad relativa 542
8-10 Respuesta en frecuencia en lazo cerrado 556
8-11 Determinación experimental de funciones de transferencia
Ejemplo de problemas y soluciones 573
Problemas 605
567
Capitulo 9 Diseño de sistemas de control mediante la respuesta
en frecuencia
9-1 Introducción 609
9-2 Compensación de adelanto 612
9-3 Compensación de atraso 621
9-4 Compensación de atraso-adelanto 630
9-5 Comentarios finales 636
Ejemplo de problemas y soluciones 639
Problemas 667
Capímlo
10 Controles PID e introducción al control robusto
609
669
10-1 Introducción 669
10-2 Reglas de sintonización para controladores PID 670
10-3 Modificaciones de los esquemas de control PID 679
10-4 Control de dos grados de libertad 683
10-5 Consideraciones de diseño para el control robusto 685
Ejemplo de problemas y soluciones 690
Problemas 703
Capítulo ll Análisis de sistemas de control en el espacio de estados
ll-l Introducción 710
11-2 Representaciones en el espacio de estados de los sistemas basados
en la función de transferencia 711
ll-3 Transformación de modelos de sistemas con MATLAB 718
ll-4 Solución de la ecuación de estado lineal e invariante
con el tiempo 722
ll-5 Algunos resultados útiles en el análisis matricial 729
ll-6 Controlabilidad 737
ll-7 Observabilidad 743
Ejemplo de problemas y soluciones 749
Problemas 783
X
Contenido
710
Capítulo 12 Diseño de sistemas de control en el espacio de estados
786
12-1 Introducción 786
12-2 Ubicación de polos 787
12-3 Solución de problemas de ubicación de polos con MATLAB 798
12-4 Diseño de sistemas del tipo regulador mediante la ubicación
de polos 803
12-5 Observadores de estado 813
12-6 Diseño de observadores de estado con MATLAB 837
12-7 Diseño de sistemas de seguimiento 843
12-8 Ejemplo del diseño de un sistema de control con MATLAB 852
Ejemplo de problemas y soluciones 864
Problemas 893
Capítulo 13 Análisis de estabilidad de Liapunov y control óptimo
cuadrático
896
13-1 Introducción 896
13-2 Análisis de estabilidad de Liapunov 897
13-3 Análisis de la estabilidad de Liapunov de los sistemas lineales
e invariantes con el tiempo 907
13-4 Sistemas de control con modelo de referencia 912
13-5 Control óptimo cuadrático 915
13-6 Solución de problemas de control óptimo cuadrático
con MATLAB 925
Ejemplo de problemas y soluciones 935
Problemas 958
Apéndice Antecedentes necesarios para el uso efectivo de MATLAB
A-l Introducción 960
A-2 Graficación de curvas de respuesta 965
A-3 Cálculo de funciones matriciales 967
A-4 Modelos matemáticos de sistemas lineales
960
977
Bibliografía
983
Índice
987
Contenido
Este libro se escribió para estudiantes del ultimo grado de licenciatura en ingeniería, con
la intención de que se use como texto para un primer curso de sistemas de control. Presenta
un tratamiento completo del análisis y el diseño de sistemas de control en tiempo continuo.
Supone que el lector ha tomado cursos introductorios de ecuaciones diferenciales, análisis
vectorial y matricial, análisis de circuitos y mecánica.
En esta tercera edición se integra MATLAB@ al texto. Todos los problemas de cálculo
se resuelven con MATLAB. Asimismo, se han mejorado los aspectos de dkeño, y se han
agregado nuevos temas, ejemplos y problemas.
El texto está dividido en 13 capítulos y un apéndice. Su contenido a grandes rasgos es
el siguiente: el capítulo 1 presenta el material introductorio sobre sistemas de control. El
capítulo 2 ofrece la transformada de Laplace para funciones del tiempo y los teoremas básicos de la transformada de Laplace que suelen encontrarse. (Si los estudiantes tienen un
conocimiento adecuado acerca de la transformada de Laplace, este capítulo puede pasarse
por alto.) El capítulo 3 trata el modelado matemático de los sistemas dinámicos y desarrolla modelos mediante la función de transferencia’ y el espacio de estados. El capítulo 4
proporciona el análisis de respuesta transitoria de los sistemas de primer y segundo 6rdenes. Este capítulo incluye un análisis de cálculo de la respuesta transitoria mediante el
uso de MATLAB. El capítulo 5 presenta las acciones básicas de control de los controladores industriales automáticos y analiza los de tipo neumático, hidráulico y electrónico.
Este capítulo estudia también la respuesta de los sistemas de orden superior y el criterio de
estabilidad de Routh.
El capítulo 6 aborda el análisis mediante el lugar geométrico de las raíces. En él se presenta el enfoque de MATLAB para graficar los lugares geométricos de las raíces. El capítulo 7 presenta el diseño de compensadores de avance, atraso y avance-atraso mediante el
método del lugar geométrico de las raíces. El capítulo 8 se enfrenta con el análisis de la respuesta en frecuencia de los sistemas de control. Analiza las trazas de Bode, las trazas polares, el criterio de estabilidad de Nyquist y la respuesta en frecuencia en lazo cerrado, que
.. .
XI11
incluye el enfoque de MATLAB para obtener gráficas de la respuesta en frecuencia. El
capítulo 9 cubre las técnicas de diseño y compensación mediante métodos de la respuesta
en frecuencia. Específicamente, en este capítulo se analiza el enfoque de las trazas de Bode
para el diseño de compensadores de adelanto, atraso y adelanto-atraso. El capítulo 10
aborda los controles PID básicos y modificados. Proporciona un análisis de los controles de
dos grados de libertad y consideraciones de diseño para el control robusto.
El capítulo ll presenta un análisis básico de los sistemas de control en el espacio de estados. En él se ofrecen conceptos de controlabilidad y observabilidad. El capítulo incluye
la transformación de los modelos de sistemas (de la función de transferencia al espacio de
estados y viceversa) mediante el uso de MATLAB. El capítulo 12 trata el diseño de los sistemas de control en el espacio de estados. Este capítulo empieza con los problemas de diseño en la ubicación de polos y el diseño de observadores de estados. Se presenta el diseño
de un sistema de seguimiento de tipo 1 con base en el enfoque de ubicación de polos, que
incluye una solución con MATLAB. El capítulo 13 empieza con el análisis de estabilidad
de Liapunov, seguido por el diseño de un sistema de control con modelo de referencia, en
el que primero se formulan las condiciones para la estabilidad de Liapunov y después se
diseña el sistema dentro de estas limitaciones. A continuación, se tratan los problemas de
control cuadrático óptimo. Aquí se usa la ecuación de estabilidad de Liapunov para llegar
a la teoría de control cuadrático óptimo. También se presenta una solución de MATLAB
para el problema del control cuadrático óptimo.
Este libro no supone un conocimiento previo de MATLAB. Si el lector todavía no
conoce MATLAB, se le recomienda que primero lea el apéndice y después estudie MATLAB tal como se presenta en el texto.
En todo el libro se ha tenido el cuidado de resaltar los conceptos básicos implícitos y de
evitar los argumentos extremadamente matemáticos al momento de presentar el material.
Se ofrecen comprobaciones matemáticas cuando contribuyen a la comprensión de los
temas presentados. Todo el material se ha organizado en función de un desarrollo gradual
de la teoría de control.
Los ejemplos aparecen en puntos estratégicos en todo el libro para que el lector
obtenga una mejor comprensión de la materia que se analiza. Además, se ofrecen varios
problemas resueltos (problemas A) al final de cada capítulo. Estos problemas constituyen
una parte integral del texto. Se sugiere al lector que estudie con cuidado todos estos problemas para obtener una comprensión más profunda de los temas analizados. Además, se proporcionan muchos problemas sin resolver (problemas B), para que el alumno resuelva en
casa como parte de un examen.
Gran parte del material presentado en este libro se ha probado en las clases de sistemas
de control de los últimos años de licenciatura y los primeros de maestría en la Universidad de
Minnesota.
Si el libro se usa como texto para un curso trimestral de cuatro horas semanales (40 horas de clase) o un curso semestral de tres horas semanales (42 horas de clase), puede
cubrirse gran parte del material de los primeros diez capítulos. (Estas secciones cubren todo
el material básico que se requiere por lo general en un curso inicial sobre sistemas de control.) Si el libro se usa como texto para un curso semestral de cuatro horas semanales (52
horas de clase), es posible cubrir gran parte de su contenido con flexibilidad, omitiendo
ciertos temas. En un curso secuencial de dos trimestres (60 horas de clase o más) es posible cubrir todo el libro. El texto también sirve para aquellos ingenieros practicantes que desean estudiar por su cuenta el material básico de la teoría de control.
Quiero expresar mi sincero agradecimiento al profesor Suhada Jayasuriya, de la Universidad de Texas A & M, quien revisó el manuscrito final y aportó muchos comentarios
xiv
Prefacio
constructivos.También debo reconocer el entusiasmo de Linda Ratts Engelman en la publicación de la tercera edición; a los revisores anónimos, que hicieron valiosas sugerencias en
las etapas iniciales del proceso de revisión; y a mis alumnos, quienes resolvieron muchos de
los problemas de tipo A y B incluidos en este libro.
Katsuhiko Ogata
Prefacio
xv
l-l INTRODUCCIÓN
El control automático ha desempeñado una función vital en el avance de la ingenierfa y la
ciencia. Ademas de su extrema importancia en los sistemas de vehfculos espaciales, de
guiado de misiles, robóticos y similares; el,control automático se ha vuelto una parte importante e integral de los procesos modernos industriales y de manufactura. Por ejemplo,
el control automático es esencial en el control numérico de las máquinas-herramienta de
las industrias de manufactura, en el diseño de sistemas de pilotos automáticos en la industria aeroespacial, y en el diseño de automóviles y camiones en la industria automotriz. También es esencial en las operaciones industriales como el control de presión, temperatura,
humedad, viscosidad y flujo en las industrias de proceso.
Debido a que los avances en la teoría y la práctica del control automático aportan los
medios para obtener un desempeño óptimo de lossistemas dinámicos, mejorar la productividad, aligerar la carga de muchas operaciones manuales repetitivas y rutinarias, así como
de otras actividades, casi todos los ingenieros y científicos deben tener un buen conocimiento de este campo.
Panorama histbrico.
El primer trabajo significativo en control automático fue el regulador de velocidad centrifugo de James Watt para el control de la velocidad de una máquina
de vapor, en el siglo XVIII. Minorsky, Hazen y Nyquist, entre muchos otros, aportaron trabajos importantes en las etapas iniciales del desarrollo de la teoría de control. En 1922, Minorsky trabajó en los controladores automáticos para dirigir embarcaciones, y mostr6 que
la estabilidad puede determinarse a partir de las ecuaciones diferenciales que describen el
sistema. En 1932, Nyquist diseñó un procedimiento relativamente simple para determinar
la estabilidad de sistemas en lazo cerrado, con base en la respuesta en lazo abierto en estado
1
estable cuando la entrada aplicada es una senoidal. En 1934, Hazen, quien introdujo el término servomecanismos para los sistemas de control de posición, analizó el diseño de los servomecanismos con relevadores, capaces de seguir con precisión una entrada cambiante.
Durante la decada de los cuarenta, los métodos de la respuesta en frecuencia hicieron
posible que los ‘ingenieros diseñaran sistemas de control lineales en lazo cerrado que
cumplieran con los requerimientos de desempeño. A finales de los años cuarenta y principios de los cincuenta, ‘se desarrolló por completo el método del lugar geométrico de las
raíces propuesto por Evans.
Los métodos de respuesta en frecuencia y del lugar geométrico de las raíces, que forman el núcleo de la teorfa de control clásica, conducen a sistemas estables que satisfacen
un conjunto más o menos arbitrario de requerimientos de desempeño. En general, estos sistemas son aceptables pero no óptimos en forma significativa. Desde el final de la década
de los cincuenta, el énfasis en los problemas de diseño de control se ha movido del diseño de
uno de muchos sistemas que trabajen apropiadamente al diseño de un sistema óptimo
de algún modo significativo.
Conforme las plantas modernas con muchas entradas y salidas se vuelven más y más complejas, la descripción de un sistema de control moderno requiere de una gran cantidad de
ecuaciones. La teoría del control clásica, que trata de los sistemas con una entrada y una salida, pierde su solidez ante sistemas con entradas y salidas múltiples Desde alrededor de 1960,
debido a que la disponibilidad de las computadoras digitales hizo posible el análisis en el dominio del tiempo de sistemas complejos, la teoría de control moderna, basada en el análisis
en el dominio del tiempo y la síntesis a partir de variables de estados, se ha desarrollado para
enfrentar la creciente complejidad de las plantas modernas y los requerimientos limitativos
respecto de la precisión, el peso y el costo en aplicaciones militares, espaciales e industriales.
Durante los años comprendidos entre 1960 y 1980,se investigaron a fondo el control optimo tanto de sistemas determinfsticos como estocásticos, y el control adaptable, mediante
el aprendizaje de sistemas complejos. De 1980 a la fecha, los descubrimientos en la teoría
de control moderna se centraron en el control robusto, el control de H, y temas asociados.
Ahora que las computadoras digitales se han vuelto más baratas y más compactas, se
usan como parte integral de los sistemas de control. Las aplicaciones recientes de la teoría
de control moderna incluyen sistemas ajenos a la ingeniería, como los biológicos, biomédicos, económicos y socioeconómicos.
Definiciones.
minos básicos.
Antes de analizar los sistemas de control, deben definirse ciertos tér-
Variable controlada y variable manipulada La variable controlada es la cantidad o
condición que se mide y controla. La, variable manipulada es la cantidad o condición que
el controlador modifica para afectar el valor de la variable controlada. Por lo común, la variable controlada es la salida (el resultado) del sistema. Controlar significa medir el valor
de la variable controlada del sistema y aplicar la variable manipulada al sistema para corregir o limitar una desviación del valor medido a partir de un valor deseado.
En el estudio de la ingenierfa de control, necesitamos definir términos adicionales que
resultan necesarios para describir los sistemas de control.‘
Plantas.
Una planta puede ser una parte de un equipo, tal vez un conjunto de las partes
de una máquina que funcionan juntas, el propósito de la cual es ejecutar una operación particular. Eneste libro, llamaremos planta a cualquier objeto físico que se va a controlar (tal como
un dispositivo mecánico, un horno de calefacción, un reactor qufmico o una nave espacial).
Capítulo 1
/ Introducción a los sistemas de control
Procesos. El Diccionario Merriam-Webster define un proceso como una operación o
un desarrollo natural progresivamente continuo, marcado por una serie de cambios graduales que se suceden uno al otro en una forma relativamente fija y que conducen a un resultado o propósito determinados; o una operación artificial o voluntaria progresiva que
consiste en una serie de acciones o movimientos contrólados, sistemáticamente dirigidos
hacia un resultado o propósito determinados. En este libro llamaremos proceso a cualquier
operación que se va a controlar. Algunos ejemplos son los procesos qufmicos, económicos
y biológicos.
Sistemas. Un sistema es una combinación de componentes que actúan juntos y realizan un objetivo determinado. Un sistema no necesariamente es físico. El concepto de sistema se aplica a fenómenos abstractos y dinámicos, tales como los que se encuentran en la
economía. Por tanto, la palabra sistema debe interpretarse como una implicación de sistemas físicos, biológicos, económicos y similares.
Perturbaciones.
Una perturbación es una señal que tiende a afectar negativamente el
valor de la salida de un sistema. Si la perturbación se genera dentro del sistema se denomina interna, en tanto que una perturbación externa se produce fuera del sistema y es una
entrada.
Control
realimentado. El control realimentado se refiere a una operación que, en
presencia de perturbaciones, tiende a reducir la diferencia entre la salida de un sistema y
alguna entrada de referencia y lo continúa haciendo con base en esta diferencia. Aquí ~610
se especifican con este término las perturbaciones impredecibles, dado que las perturbaciones predecibles o conocidas siempre pueden compensarse dentro del sistema.
1-2 EJEMPLOS DE SISTEMAS DE CONTROL
En esta sección presentaremos varios ejemplos de sistemas de control.
Sistema de control de velocidad. El principio básico del regulador de velocidad de
Watt para una máquina se ilustra en el diagrama esquemático de la figura l-l. La cantidad
Aceite
a presión
Combustible +
tcïgural-1
q
Válvula
A.. ,.-..r--,
Sección 1-2 / Ejemplos de sistemas de control
3
de combustible que se admite para la máquina se ajusta de acuerdo con la diferencia entre
la velocidad de la máquina que se pretende y la velocidad real.
La secuencia de acciones puede describirse del modo siguiente: el regulador de velocidad se ajusta de modo que, a la velocidad deseada, no fluya aceite a presión en ningún lado
del cilindro de potencia. Si la velocidad real cae abajo del valor deseado debido a una perturbación, la disminución de la fuerza centrífuga del regulador de velocidad provoca que la
válvula de control se mueva hacia abajo, aportando más combustible y la velocidad del motor aumenta hasta alcanzar el valor deseado. En cambio, si la velocidad del motor aumenta
sobre el valor deseado, el incremento en la fuerza centrífuga del controlador provoca que
la válvula de control se mueva hacia arriba. Esto disminuye la provisión de combustible y la
velocidad del motor se reduce hasta alcanzar el valor deseado.
En-este sistema de control de velocidad, la planta (el sistema controlado) es la máquina
y la variable controlada es la velocidad de la misma. La diferencia entre la velocidad deseada y ía velocidad real es la señal de error. La señal de control (la cantidad de combustible) que se va a aplicar a la planta (la máquina) es la señal de actuación. La entrada
externa que se aplica para afectar la variable controlada es la perturbación. Un cambio inesperado en la carga es una perturbación.
Sistema de control de un robot. Los robots industriales se usan con frecuencia en la industria para mejorar la productividad. Un robot puede realizar tareas monótonas y complejas
sin errores en la operación. Asimismo, puede trabajar en un ambiente intolerable para operadores humanos. Por ejemplo, puede funcionar en temperaturas extremas (tanto altas como
bajas), en un ambiente de presión alta o baja, bajo el agua o en el espacio. Hay robots especiales
para la extinción de incendios, las exploraciones submarinas y espaciales, entre muchos otros
El robot industrial debe manejar partes mecánicas que tengan una forma y un peso determinados. Por tanto, debe tener al menos un brazo, una muñeca y una mano. Debe tener
la fuerza suficiente para realizar la tarea y la capacidad para al menos una movilidad limitada. De hecho, algunos robots actuales son capaces de moverse libremente por sí mismos
en un espacio limitado en una fábrica.
El robot industrial debe tener algunos dispositivos sensores. A los robots de nivel bajo,
se les instalan microinterruptores en los brazos como dispositivos sensores. El robot toca
primero un objeto y despues, mediante los microinterruptores, confirma la existencia dd,
objeto en el espacio y avanza al paso siguiente para asirlo.
En un robot de nivel alto se usa un medio óptico (como un sistema de televisión) para
rastrear el fondo del objeto. El robot reconoce el patrón y determina la presencia y orientación del objeto. Se requiere de una computadora para procesar las señales del proceso
de reconocimiento de patrones (véase figura 1-2). En algunas aplicaciones, el robot computarizado reconoce la presencia y orientación de cada parte mecánica mediante un proceso de reconocimiento de patrones que consiste en la lectura de los ,n$meros de código
que se fijan a cada parte. A continuación, el robot levanta la parte-y’ia mueve a un lugar
conveniente para su ensamble, y despues ensambla varias partes para formar un componente. Una computadora digital bien programada funciona como controlador.
Sistema de control de temperatura. La figura 1-3 muestra un diagrama esquemático del control de temperatura de un horno eléctrico. La temperatura del horno eléctrico se mide mediante un termómetro, que es un dispositivo analógico. La temperatura
analógica se convierte a una temperatura digital mediante un convertidor A/D. La temperatura digital se introduce a un controlador mediante una interfase. Esta temperatura digital
se compara con una temperatura que se ingresa mediante un programa y si hay una dis4
Capítulo 1 / Introducción a los sistemas de control
Señal de realimentación
0
Cámara
..
%,\.
de televisión \ ‘\._
m
Figural-2
Robot que
usa un proceso de
reconocimiento
de patrones.
Actuador
Fuente
+ de corriente
I
crepancia (error) el controlador envía una señal al calefactor, a través de una interfase, un
amplificador y un relevador, para hacer que la temperatura del horno adquiera el valor deseado.
Control de temperatura del compartimiento del pasqjero de un automóvil. La
figura 14 muestra un diagrama funcional del control de temperatura del compartimiento del
pasajero de un automóvil. La temperatura deseada, convertida a ,un voltaje, es la entrada
del controlador. La temperatura real del compartimiento del pasajero se convierte a un voltaje
mediante un sensor y se alimenta al controlador para que éste la compare con la entrada. La
temperatura ambiente y la transferencia térmica por,radiación del Sol, que no son constantes
conforme se conduce el automóvil, funcionau como perturbaciones. Este sistema emplea
tanto un control realimentado como uno de prealimentación. (El control prealimentado establece una acción correctiva antes de que las perturbaciones afecten el resultado.)
La temperatura del compa,rtimiento del pasajero de un automóvil difiere considerablemente dependiendo del lugar en donde se mida. En lugar de usar sensores múltiples
para medir la temperatura y promediar los valores, es económico instalar un pequeño ventilador de succión en el lugar en donde los pasajeros normalmente detectan la temperatura.
La temperatura del aire del aspirador es una indicación de la temperatura del compartimiento del pasajero y se considera la salida del sistema.
Termómetro
/
Entrada
programada
Calefactor -
1
Sistema de control de temperatura.
Sección 1-2 / Ejemplos de sistemas de control
5
._:
Sol
Temperatura
ambiente
Sensor térmico _
de radiación 1
T
T _
Temperatura ’
deseada
Calefactor 0
Compartimiento
: - Controlador - aire acondi- - del pasajero
(Entrada)
cionado
Figura14
Temperatura
del compartimiento
del pasajero
F
(Salida)
1
- Control de temperatura del compartimiento del pasajero
de un automóvil.
El controlador recibe la señal de entrada, la señal de salida y las señales de los sensores
de las fuentes de perturbación. El controlador envfa una señal de control óptima al aire
acondicionado o al calefactor para controlar la cantidad de aire frío o caliente a fin de que
la temperatura del compartimiento del pasajero se mantenga al valor deseado.
Sistemas
empresariales. Un sistema empresarial está formado por muchos grupos.
Cada tarea asignada a un grupo representará un elemento dinknico del sistema. Para la correcta operación de tal sistema deben establecerse métodos de realimentación para reportar
los logros de cada grupo. El acoplamiento cruzado entre los grupos funcionales debe reducirse a un mínimo para evitar retardos de tiempo inconvenientes en el sistema. Entre más
pequeño sea dicho acoplamiento, más regular será el flujo de señales y materiales de trabajo.
Un sistema empresarial es un sistema en lazo cerrado. Un buen diseño del mismo reducirá el control administrativo requerido. Observe que las perturbaciones en este sistema
son la falta de personal o de materiales, la interrupción de las comunicaciones, los errores
humanos, etcétera.
El establecimiento de un sistema bien fundado para obtener estimados, basado en estadísticas, es imprescindible para una administración adecuada. (Observe que es un hecho
bien conocido que el desempeño de tal sistema mejora mediante el tiempo de previsión o
anticipación.)
Con el propósito de aplicar la teoría de control para mejorar el desempeño de tal sistema, debemos representar la característica dinámica de los grupos componentes del sistema
mediante un conjunto de ecuaciones relativamente simples.
Aunque es ciertamente una dificultad obtener representaciones matemáticas de los
grupos de componentes, la aplicación de técnicas de optimización a los sistemas empresariales mejora significativamente el desempeño de tales sistemas.
1-3 CONTROL EN LAZO CERRADO EN COMPARACIÓN
CON EL CONTROL EN LAZO ABIERTO
Sistemas de control realimentados. Un sistema que mantiene una relación prescrita entre la salida y la entrada de referencia, comparándolas y usando la diferencia como
6
Capítulo 1 / Introducción a los sistemas de control
medio de control, se denomina sistema de control realimentado. Un ejemplo sería el sis-‘*
tema de control de temperatura de una habitación. Midiendo la temperatura real y comparándola con la temperatura de referencia (la temperatura deseada), el termostato activa
o desactiva el equipo de calefacción o de enfriamiento para asegurar que la temperatura
de la habitación se conserve en un nivel.cómodo sin considerar las condiciones externas
Los sistemas de control realimentados no se limitan a la ingeniería, sino que también se
encuentran en diversos campos ajenos a ella. Por ejemplo, el cuerpo humano es un sistema
de control realimentado muy avanzado.Tanto la temperatura corporal como la presión sanguínea se conservan constantes mediante una realimentación fisiológica. De hecho, la realimentación realiza una función vital: vuelve el cuerpo humano relativamente insensible
a las perturbaciones externas, por lo cual lo habilita para funcionar en forma adecuada en
un ambiente cambiante.
Sistemas de control en lazo cerrado. Los sistemas de control realimentados se denominan también sistemas de control en lazo cerrado. En la práctica, los términos control realimentado y control en lazo cerrado se usan indistintamente. En un sistema de control en
lazo cerrado, se alimenta al controlador la señal de error de actuación, que es la diferencia
entre la señal de entrada y la señal de realimentación (que puede ser la señal de salida misma
o una función de la señal de salida y sus derivadas y/o integrales), a fin de reducir el error y
llevar la salida del sistema a un valor conveniente. El término control en lazo cerrado siempre implica el uso de una acción de control realimentado para reducir el error del sistema.
Sistemas de control en lazo abierto. Los sistemas en los cuales la salida no afecta
la acción de control se denominan sistemas de control en lazo abierto. En otras palabras, en
un sistema de control en lazo abierto no se mide la salida ni se realimenta para compararla con la entrada. Un ejemplo practico es una lavadora. El remojo, el lavado y el enjuague
en la lavadora operan con una base de tiempo. La máquina no mide la señal de salida, que
es la limpieza de la ropa.
En cualquier sistema de control en lazo abierto, la salida no se compara con la entrada
de referencia. Por tanto, a cada entrada de referencia le corresponde una condición operativa fija; como resultado, la precisión del sistema depende de la calibración. Ante la presencia de perturbaciones, un sistema de control en lazo abierto no realiza la tarea deseada.
En ia práctica, el control en lazo abierto sólo se usa si se conoce la relación entre la entrada
y la salida y si no hay perturbaciones internas ni externas. Es evidente que estos sistemas
no son de control realimentado. Observe que cualquier sistema de control que opere con
una base de tiempo es en lazo abierto. Por ejemplo, el control del tránsito mediante señales
operadas con una base de tiempo es otro ejemplo de control en lazo abierto.
Sistemas de control en lazo cerrado en comparación con los sistemas en lazo
abierto. Una ventaja del sistema de control en lazo cerrado es que el uso de la realimentación vuelve la respuesta del sistema relativamente insensible a las perturbaciones externas y a las variaciones internas en los parámetros del sistema. Por tanto, es posible usar
componentes relativamente precisos y baratos para obtener el control adecuado de una planta
determinada, en tanto que hacer eso es imposible en el caso de un sistema en lazo abierto.
Desde el punto de vista de la estabilidad, el sistema de control en lazo abierto es más
fácil de desarrollar, porque la estabilidad del sistema no es un problema importante. Por
otra parte, la estabilidad es una función principal en el sistema de control en lazo cerrado,
lo cual puede conducir a corregir en exceso errores que producen oscilaciones de amplitud
constante o cambiante.
Sección 1-3 / Control en lazo cerrado en comparación con el control en lazo abierto
7
ir ,“?i
,*’
,l* ’
,
’
Debe señalarse que, para los sistemas en los que se conocen con anticipación las entradas y en los cuales no hay perturbaciones, es aconsejable emplear un control en lazo
abierto. Los sistemas de control en lazo cerrado sólo tienen ventajas cuando se presentan
perturbaciones impredecibles y/o variaciones impredecibles en los componentes del sistema. Observe que la valoración de la energía de salida determina en forma parcial el
costo, el peso y el tamaño de un sistema de control. La cantidad de componentes usados
en un sistema de control en lazo cerrado es mayor que la que se emplea para un sistema
de control equivalente en lazo abierto. Por tanto, el sistema de control en lazo cerrado
suele tener costos y potencias más grandes. Para disminuir la energía requerida de un sistema, se emplea un control en lazo abierto cuando puede aplicarse. Por lo general, una
combinación adecuada de controles en lazo abierto y en lazo cerrado es menos costosa y
ofrecerá un desempeño satisfactorio del sistema general.
1-4 DISEÑO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL
Los sistemas de control actuales son, por lo general, no lineales. Sin embargo, si es posible
aproximarlos mediante modelos matemáticos lineales, podemos usar uno o más métodos
de diseño bien desarrollados. En un sentido práctico, las especificaciones de desempeño determinadas para el sistema particular sugieren cuál método usar. Si se presentan las especificaciones de desempeño en términos de las características de respuesta transitoria y/o
las medidas de desempeño en el dominio de la frecuencia, no tenemos otra opción que usar
un enfoque convencional basado en los métodos del lugar geométrico de las raíces y/o la
respuesta en frecuencia. (Estos métodos se presentan en los capítulos 6 al 9.) Si las especificaciones de desempeño se presentan como índices de desempeño en términos de las variables de estado, deben usarse los enfoques de control moderno. (Estos enfoques se
presentan en los capítulos ll al 13.)
En tanto que el diseño de un sistema de control mediante los enfoques del lugar geométrico de las raíces y de la respuesta en frecuencia es una tarea de la ingenierfa, el diseño del sistema en el contexto de la teoría de control moderna (métodos en el espacio de
estados) emplea formulaciones matemáticas del problema y aplica la teoría matemática
para diseñar los problemas en los que el sistema puede tener entradas y salidas múltiples y
ser variantes con el tiempo. Aplicando la teoría de control moderna, el diseñador puede iniciar a partir de un índice de desempeño, junto con las restricciones impuestas en el sistema,
y avanzar para disefíar un sistema estable mediante un procedimiento completamente
analítico. La ventaja del diseño basado en la teoría de control moderna es que permite al
diseñador producir un sistema de control óptimo en relación con el índice de desempeño
considerado.
Los sistemas que pueden diseñarse mediante un enfoque convencional están por lo general limitados a una entrada y una salida, y son lineales e invariantes con el tiempo. El diseñador busca satisfacer todas las especificaciones de desempeño mediante la repetición
estudiada de prueba y error. Después de diseñar un sistema, el diseñador verifica si satisface todas las especificaciones de desempeño. Si no las cumple, repite el proceso de diseño
ajustando los parámetros o modificando la configuración del sistema hasta que se cumplan
las especificaciones determinadas.Aunque el diseño se basa en un procedimiento de prueba
y error, el ingenio y los conocimientos del diseñador cumplen una función importante en
un diseño exitoso. Un diseñador experimentado será capaz de diseñar un sistema aceptable
sin realizar muchas pruebas.
8
Capítulo 1 / Introducción a los sistemas de control
Por lo general, es conveniente que el sistema diseñado exhiba la menor cantidad posible de errores, en respuesta a la señal de entrada. A este respecto, debe ser razonable el
amortiguamiento del sistema. La dinámica del sistema debe ser relativamente insensible a
variaciones pequeñas en sus parámetros. Las perturbaciones no deseadas deben estar bien
atenuadas. [En general, la parte de alta frecuencia debe atenuarse rápido para que puedan
atenuarse los ruidos de alta frecuencia (como ruidos de los sensores). Si se conoce el ruido
o las frecuencias de perturbación, pueden usarse filtros de ranura para atenuar estas frecuencias específicas.] Si el diseño del sistema se reduce a unos cuantos candidatos, puede
hacerse una elección óptima entre ellos a partir de consideraciones como el desempeño
general proyectado, el costo, el espacio y el peso.
,’
1-5 PANORAMA DEL LIBRO
A continuación presentaremos brevemente el orden y el contenido del libro.
El capítulo 1 contiene el material introductorio sobre los sistemas de control. El capítulo 2 presenta la teoría de la transformada de Laplace, necesaria para el entendimiento de
la teoría de control que se presenta en el libro. El capítulo 3 aborda el modelado
matemático de sistemas dinámicos mediante funciones de transferencia y ecuaciones en el
espacio de estados. Este capítulo incluye el análisis de linealización de sistemas no lineales.
El capítulo 4 trata los análisis de respuesta transitoria de sistemas de primer y segundo orden. Este capítulo también proporciona detalles de los análisis de respuesta transitoria con
MATLAB. El capítulo 5 presenta, primero, las acciones básicas de control y, después, analiza los controladores neumáticos, hidráulicos y electrónicos. Asimismo, este capítulo se refiere al criterio de estabilidad de Routh.
El capítulo 6 aporta un análisis del lugar eométrico de las raíces de los sistemas de control. Se presentan las reglas generales para d sarrollar los lugares geométricos de las raíces.
Se incluyen análisis detallados para grafica x lugares geométricos de las raíces con MATLAB. El capítulo 7 aborda el diseño de los sistemas de control mediante el método del lugar geométrico de las raíces. Específicamente, se analizan en detalle los enfoques del lugar
geométrico de las raíces para el diseño de compensadores de adelanto, de atraso y de adelanto-atraso. El capítulo 8 ofrece el análisis de la respuesta en frecuencia de los sistemas de
control. Se revisan las trazas de Bode, las trazas polares, el criterio de estabilidad de Nyquist
y la respuesta en frecuencia en lazo cerrado. El capítulo 9 se dedica al diseño de sistemas
de control mediante el enfoque de la respuesta en frecuencia. Aquí se usan las trazas de
Bode para diseñar compensadores de adelanto, de atraso y de adelanto-atraso. El capítulo
10 trata los controles PID básicos y modificados. Los temas que se incluyen son las reglas
para sintonizar los controladores PID, las modificaciones de esquemas de control PID, el
control con dos grados de libertad y consideraciones de diseño para el control robusto.
El capítulo ll presenta el material básico para el análisis en el espacio de estados de
sistemas de control. Se deriva la solución de las ecuaciones de estado invariantes con el
tiempo y se analizan conceptos de controlabilidad y observabilidad. El capítulo 12 trata
el diseño de sistemas de control en el espacio de estados. Este capftulo empieza con problemas de ubicación de polos, seguidos por el diseño de observadores de estados y concluye
con el diseño de sistemas de seguimiento de tipo 1. Se utiliza MATLAB para resolver los
problemas de ubicación de polos, el diseño de observadores de estados y el diseño de sistemas de seguimiento. El capítulo 13, que es el último, presenta el análisis de estabilidad
de Liapunov y el control cuadrático óptimo. Este capítulo empieza con el análisis de estabilidad de Liapunov. A continuación, se usa el enfoque de estabilidad de Liapunov para
Sección 1-5 / Panorama del libro
9
diseñar sistemas de control con modelo de referencia. Por último, se analizan en detalle
problemas de control cuadrático óptimo. Aquí se emplea el enfoque de estabilidad de Liapunov para derivar la ecuación de Riccati para un control cuadrático óptimo. Se incluyen
soluciones de MATLAB para los problemas de control cuadrático óptimo.
El apéndice resume los fundamentos necesarios para el uso efectivo de MATLAB. Este
apéndice se presenta específicamente para aquellos lectores que todavía no están fami-
liarizados con MATLAB.
EJEMPLO DE PROBLEMAS Y SOLUCIONES
A-l-l.
Haga una lista de las ventajas y desventajas principales de los sistemas de control en lazo abierto.
Solución. Las ventajas de los sistemas de control en lazo abierto son las siguientes:
1.
Una construcción sencilla y un mantenimiento fácil.
2. Son menos costosos que un sistema equivalente en lazo cerrado.
3. No existe el problema de estabilidad.
4. Son convenientes cuando es difícil medir la salida o no son factibles en el aspecto económico.
(Por ejemplo, en el sistema de una lavadora, sería muy costoso ofrecer un dispositivo para
medir la calidad de la salida -la limpieza de la ropa- de la lavadora.)
Las desventajas de los sistemas de control en lazo abierto son las siguientes:
1. Las perturbaciones y los cambios en la calibración provocan errores y la salida puede ser diferente de lo que se busca.
2. Para conservar la calidad requerida en la salida, es necesaria una recalibración de vez en
cuando.
A-1-2.
La figura l-5(a) es un diagrama esquemático de un sistema de control de nivel de líquido. Aquí
el controlador automático mantiene el nivel de líquido comparando el nivel real con un nivel
deseado y corrigiendo cualquier error mediante un ajuste de la apertura de la válvula
neumática. La figura l-5(b) es un diagrama de bloques del sistema de control. Dibuje el diagrama de bloques correspondiente para un sistema de control de nivel de líquido operado por
personas.
VLlvula
neumática
Nivel
deseado
:
Flujo de
entrada
-
Con&olador
A
_- -- -- -- -- -- - -- -- -- -- _- -- -- -- -- -- - -- -- -- -- _----------_ -- -- -- -- -- - -- -- -- -- - - - - - - - - - -
-
+
V’vula +
neumática
.
Flujo
de salida
(4
Flotador - :
(b)
Figura14
(a) Sistema de control de nivel de líquido; (b) diagrama de bloques.
10
Capítulo 1 / Introducción a los sistemas de control
Tmque
de agua
Nivel
real
e
Figura1-6
Diagrama de bloques de un sistema
de control de nivel
de líquido operado
por personas.
Solución. En el sistema operado por personas, los ojos, el cerebro y los músculos corresponden
al sensor, el controlador y la válvula neumática, respectivamente. La figura 1-6 muestra un diagrama de bloques.
A-1-3.
Un sistema de ingeniería organizacional está formado por los grupos principales, como son la administración, la investigación y el desarrollo, el diseño preliminar, los experimentos, el diseño y boceto de los productos, la fabricación y el ensamble y las pruebas. Estos grupos se conectan entre sí
para formar la operación completa.
Para analizar el sistema, se reduce al conjunto de componentes más elemental, necesario para
ofrecer el detalle analítico, y se representan las características dinámicas de cada componente mediante un grupo de ecuaciones simples. (El desempeño dinámico de tal sistema se determina de
la relación entre el logro progresivo y el tiempo.)
Dibuje un diagrama de bloques funcional que muestre un sistema de ingenierfa
organizacionai.
Solución. Un diagrama de bloques funcional se dibuja mediante los bloques para representar las actividades funcionales y conectando lineas de señales para representar la salida de información o de
productos de la operación del sistema. Un diagrama de bloques posible se muestra en la figura 1-7.
Fmebas
Reducto
-
Figural-7
Diagrama de bloques de un sistema de ingeniería organizacional.
PROBLEMAS
B-l-l. En los hogares se encuentran muchos sistemas de
control en lazo cerrado y en lazo abierto. Dé varios ejemplos y describalos.
B-1-2. Proporcione dos ejemplos de sistemas de control realimentados en los cuales una persona actúe como controlador.
B-1-3. La figura l-g muestra un sistema de control de tensión. Explique la secuencia de las acciones de control
Problemas
cuando la velocidad de alimentación se modifica repentinamente durante un periodo breve.
B-1-4. Muchas máauinas. como los tornos. las fresadoras v
las esmeriladoras, cuentan con guías para reproducir el contorno de las plantillas. La figura 1-9 muestra un diagrama
esquemático de un sistema guía en el cual la herramienta
duplica la forma de la plantilla sobre la parte de trabajo. Explique la operación de este sistema.
11
Elemento
de medición
ajuste
Figure143
Sistema de control
de tensión.
Entrada
comandos
Figurel-9
Diagrama esquemitico
de un sistema guía.
12
ervovtor de cd del eje X
Servomotor de cd del eje Y
Capítulo 1 / Introducción a los sistemas de control
2-1 INTRODUCCIÓN
El método de la transformada de Laplace es un metodo operativo que aporta muchas ventajas cuando se usa para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Mediante el uso de la
transformada de Laplace, es posible convertir muchas funciones comunes, tales como las
funciones senoidales, las funciones senoidales amortiguadas y las funciones exponenciales,
en funciones algebraicas de una variable s compleja. Las operaciones tales como la diferenciación y la integración se sustituyen mediante operaciones algebraicas en el plano complejo. Por tanto, en una ecuación algebraica, una ecuación diferencial lineal se transforma
en una variable compleja s. Si se resuelve la ecuación algebraica en s para la variable dependiente, la solución de la ecuación diferencial (la transformada inversa de Laplace de la
variable dependiente) se encuentra mediante una tabla de transformadas de Laplace o una
técnica de expansión en fracciones parciales, que se presenta en la sección 2-5.
Una ventaja del método de la transformada de Laplace es que permite el uso de técnicas gráficas para predecir el desempeño del sistema, sin tener que resolver las ecuaciones
diferenciales del sistema. Otra ventaja del método de la transformada de Laplace es que,
cuando se resuelve la ecuación diferencial, es posible obtemsimultáneamente tanto el
componente transitorio como el componente de estado estable de la solución.
Panorama del capítulo. La sección 2-1 presenta información introductoria. La sección 2-2 reseña brevemente las variables y funciones complejas. ¿a sección 2-3 deriva la
transformada de Laplace de las funciones del tiempo que se usancon frecuencia en la in*Este capitulo puede pasarse por alto si el estudiante ya está familiarizado con la transformada de Laplace.
13
geniería de control. La sección 24 presenta teoremas útiles de la transformada de Laplace
y la sección 2-5 trata la transformada inversa de Laplace. La sección 2-6 presenta el enfoque
de MATLAB para obtener una expansión en fracciones parciales de B(s)/A(s), donde A(s)
y B(s) son polinpmios en s. Por último, la sección 2-7 aborda las soluciones de ecuaciones
diferenciales invariantes con el tiempo, mediante el enfoque de la transformada de Laplace.
2-2 PANORAMA DE LAS VARIABLES COMPLEJAS
Y LAS FUNCIONES COMPLE&&
Antes de presentar la transformada de Laplace, revisaremos la variable compleja y la función compleja. También repasaremos el teorema de Euler, que relaciona las funciones
senoidales con las funciones exponenciales.
Un número complejo tiene una parte real y una parte imagiVariable compleJa.
naria, ambas son constantes. Si la parte real y/o la parte imaginaria son variables, el número
complejo se denomina variable compleja. En la transformada de Laplace, usamos la notación s como una variable compleja; esto es,
s=o+jw
donde (T es la parte real y w es la parte imaginaria.
Función compleja. Una función compleja F(s), una función des, tiene una parte real
y una parte imaginaria, o bien,
F(s) = F, + jFy
donde F, y Fy son cantidades reales. La magnitud de F(S) es m, y el ángulo 8 de
F(s) es tan-l(F,lF,). El hngulo se mide en sentido opuesto al movimiento de las manecillas
del reloj, a partir del eje real positivo. El complejo conjugado de F(S ) es F(s) = F, - jFy
Las funciones complejas que por lo general se encuentran en el análisis de sistemas de
control lineales son funciones univaluadas de s y se determinan en forma única para un determinado valor de s.
Se dice que una función compleja G(s) es unaliticu en una región si G(s) y todas sus derivadas existen en tal región. La derivada de la función analítica G(s) se obtiene mediante
$ G(s) = lím ‘3s + As> - G(s) = líp AG
As
AS+0
hs+~ As
Dado de As = Aa+ jAw, As puede tender a cero a lo largo de una cantidad infinita de
trayectorias diferentes. Es posible demostrar, pero aquí se plantea sin una comprobación,
que si son iguales las derivadas que se toman a lo largo de dos trayectorias determinadas,
esto es, As = Ao y As = jhw, la derivada es única para cualquier otra trayectoria As = Aa +
jAo y, poy tanto, la derivada existe.
Para una trayectoria determinada As = Aa (lo que significa que la trayectoria está sobre el eje real),
Ad(~+j~)=f$Y+~5$
2 G(s) = lím
14
Capítulo 2 / La transformada de Laplace
Para otra trayectoria determinada As = jAo (lo que significa que la trayectoria está sobre
el eje imaginario),
= -jz+z
f G(s) = jAdt$+j$)
lím
Si estos dos valores de la derivada son iguales,
\
o si se satisfacen las dos condiciones siguientes,
ac, ac,
G=TG
y
=y- - =xTiG- au
la derivada dG(s)lds se determina en forma única. Estas dos condiciones se conocen como
las condiciones de Cauchy-Riemann. Si se cumplen estas condiciones, la función G(s) es
analítica.
Como ejemplo, considere la siguiente G(s):
Por tanto,
G(a + jw) =
1
= G, + jG,
a+jo+l
en donde
G, =
o+l
(a + 1)2 + o2
Y
Gy = (a +-1; + co2
Es posible apreciar que, excepto en s = -1 (esto es, o = -1, w = 0), G(s) satisface las condiciones de Cauchy-Riemann:
aG, - _ - co2- ao
ao
ac,- aGx.aa
- au
(CT+
1)2
[(o + 1)” + 01~1~
240 + 1)
- [(Cr + 1)2 + 02]2
Por tanto, G(s) = l/(s + 1) es analítica en el plano s completo, excepto en s = -1. Se encuentra que la derivada dG(s)l& excepto en s = 1, es:
=-
1
1 = (a + jw + 1)2
(s + 1)2
Observe que la derivada de una función analítica se obtiene simplemente diferenciando
G(s) con respecto a s. En este ejemplo,
Sección 2-2 / Panorama de las variables complqjas
y las funciones compleJas
15
1
Los puntos en el plano s en los cuales la función G(s) es analítica se denominan puntos
ordinarios, en tanto que los puntos en el planos en los cuales la función G(s) no es analítica
se denominan puntos singulares. Los puntos singulares en los cuales la función G(s) o sus
derivadas tienden a infinito se denominan polos. En el ejemplo anterior,s = -1 es un punto
singular y es un polo de la función G(s).
Si G(s) tiende a infinito conforme s se aproxima a -p y si la función:
W(s + P):
paran = 1,2,3, . . .
tiene un valor finito diferente de cero en s = -p, entonces s = -p se denomina polo de orden n. Si n = 1, el polo se designa polo simple. Si n = 2,3, . . . , el polo se clasifica como polo
de segundo orden, polo de tercer orden, etc. Los puntos en los cuales la función G(s) es igual
a cero se denominan ceros.’
Como ejemplo, considere la función compleja
G(s) =
K(s + 2)(s + 10)
s(s + l)(s + 5)(s + 15)2
G(s) tiene ceros en s = -2, s = -10, polos simples en s = 0, s = -1, s = -5, y un polo doble
(polo múltiple del orden 2) en s = -15. Observe que G(s) se vuelve cero en s = ~0. Dado
/
que, para valores grandes de s,
G(s) posee un cero triple (un cero múltiple de orden 3) en s = w Si se incluyen puntos en
infinito, G(s) tiene la misma cantidad de polos que de ceros. En resumen, G(s) tiene cinco
ceros (s = -2,s = -10,s = m,s = 03,s = m) ycincopolos (s = 0,s = -1,s = -5,s = -15,s = -15).
El teorema de Euler.
pectivamente,
Las expansiones en series de potencias de cos 8 y sen 0 son, res-
02
4
6
cose=l-~+~-+- +*. *
e3
t+
e7
sení3=0-gr+F-?I
+..e-
Y, por tanto,
GeI2 ce)” ce)”
cose+jsene =i+(je)+ 21+3r+4r+-..
Dado que
ix2
x3
ex=l+x+-+-+**s
2!
3!
vemos que
cos8+jsen8
16
Capítulo 2 /
La transformada de Laplace
=ejs
(2-1)
Esto se conoce como el teorema de Euler.
Con el teorema de Euler podemos expresar el seno y el coseno en términos de una función exponencial. Tomando en cuenta que e-jo es el complejo conjugado de tie, y que,
eie=cos8+ jsen8
eYe=cos8-jsen6
encontramos, después de sudar y restar estas dos ecuaciones, que
(2-2)
.
sene=I(eje-e-je)
I__. 3
(2-3)
,
2-3 TRANSFORMADA DE LAPLACE
Primero presenkemos una definición de la transformada de Laplace y un breve análisis
de la condici6n para la existencia de ésta y después ofreceremos ejemplos de la derivación de
las transformadas de Laplace en varias funciones,comunes.
Definamos _
,’
f(t) = una funci6n del tiempo 1 tal que f(t) = 0 para t < 0
s = una variable compleja
3 = un simbolo operativo que indica que la cantidad a la que antecede se va a
transformar mediante la integral de Laplace J; e-s’ dt
F(s) = transformada de Laplace de f(t)
A continuación, la transformada de Laplace
de f(t) se obtiene mediante
Ce[f(t)] = F(S) = [ ewSfdt[flt)]
= Qf(r)e’” dt
.El proceso inverso de encontrar la función del tiempo flt) a partir de la transformada de
Laplace F(s) se denomina transformada inversa de Laplace. La notación para la transformada inversa de Laplace es Ce-l, se encuentra a partir de F(s) mediante la siguiente integral de inversión:
T1 [F(S )] = f(t) = & /c~~~mF(s)esr ds,
para t > 0
(2-4)
en donde c, la abscisa de convergencia, es una constante real y se eligió más grande que las
partes reales para todos los puntos singulares de F(S). Por tanto, la trayectoria de integración es paralela al eje jo y se desplaza una cantidad c a partir de él. Esta trayectoria de
integración va hacia la derecha de todos los puntos singulares.
Parece complicado evaluar la integral de inversión. En la práctica, rara vez se emplea
esta integral para encontrar f(t). Hay métodos más sencillos para obtener f(t). Analizaremos tales métodos más simples en la sección 2-5.
Sección 2-3 / Transformada de Laplace
17
,.
”
~i
’
Se debe señalar que en este libro siempre se supone que la función de tiempo f(t) es
cero para valores.negativos; esto es,
f(f) = 0,
para t < 0
La transformada de Laplace de una
Existencia de la transformada de Laplace.
función At) existe si la integral de Laplace converge. La integral convergirá si At) es seccionalmente continua en cada intervalo finito en el rango t > 0 y si es de un orden exponencial conforme t tiende a infinito. Se dice que una función f(t) es de orden exponencial si
existe una constante o real positiva tal que la función
tiende a cero conforme t tiende a infinito. Si el límite de la funcibn e-“lf(t)l tiende a cero
para o mayor que oC y el lfmite tiende a infinito para CJ menor que oC, et valor de u, se denomina abscisa de convergencia.
‘., . 5/
Para la función f(t) = Ae-at
’.
lím e-otlAe-“l
,-=
tiende a 0 si o > -a. <En este caso, la abscisa de convergencia es aC = -a. La integral J-r
f(t)e-af dt ~610 converge si o, la parte real de s, es mayor que fa abscisa de convergencia aC.
Por tanto, debe elegirse el operador s como una constante tal’que esta integral converja.
En términos de los polos de ia función F(s), la abscisa de convergencia oC corresponde
a la parte real del polo que se ubica en la parte más alejada a la derecha del plano s. Por
ejemplo, para la función siguiente F(s),
K(s + 3)
loN = (s + l)(s + 2)
la abscisa de convergencia o, es igual a -1. Puede apreciarse que, para funciones tales como
t, sen ot, y 1 sen of, la abscisa de convergencia es igual a cero. Para funciones como e-c\ fe-c:
e-c’ sen of, etc., la abscisa de convergencia es igual a -c. Sin embargo, para funciones que
crecen más rápido que la función exponencial, es imposible encontrar valores convenientes
de la abscisa de convergencia. Por tanto, funciones tales como ez y te* no poseen transformadas de Laplace.
Debe advertirse al lector que, aunque,@’ (para 0 I t I m) no posee una transformada
de Laplace, la función del tiempo definida mediante
f(t) = e”,
=” 0,
para Ostl T<m
para t<O, T<t
sí posee una transformada de. Laplace, dado que f(t) = et2 sólo para un intervalo de tiempo
limitado 0 5 t 5 T y no para 0 -< mi, 5 03. Tal señal debe generarse físicamente. Observe que
las señales que podemos generar ffsicamente siempre tienen transformadas de Laplace correspondientes.
~
’
Si una funciónf(t) tiene transformada de Laplace, entonces la transformada de Laplace
de Af(t), en donde A es una constante, se obtiene mediante
18
Capítulo 2 / La transformada de Laplace
Esto es obvio a partir de la definición de la transformada de Laplace. Asimismo, si las funciones fr(t) yf2(2) tienen transformadas de Laplace, la transformada de Laplace de la funciónfi(t) + fi(t) se obtiene mediante
wflw + m1 = afl(Ol + af2(01
Una vez más, la prueba de esta relación es evidente a partir de la definición de la transformada de Laplace.
A continuación, derivaremos las transformadas de Laplace de algunas funciones que se
encuentran con frecuencia.
Función
exponencial.
Considere la función exponencial
f(t) = 0,
para t < 0
= Ae<‘,
para t 2 0
en donde A y a son constantes. La transformada de Laplace de esta función exponencial se
obtiene del modo siguiente:
Ce[AeP] =
Ae-Cite+
dt = A
,-(U+S)r & = A
s+a
Se aprecia que la función exponencial produce un polo en el plano complejo.
Al obtener la transformada de Laplace de f(t) = Ae-af, fue necesario que la parte real de
s fuera mayor que -CL (la abscisa de convergencia). Puede surgir de inmediato la pregunta
de si la transformada de Laplace obtenida de esta forma es válida o no, en el rango en que
o < -a en el plano s. Para contestar esta pregunta, debemos recurrir a la teoría de la variable compleja. En la teoría de la variable compleja, existe un teorema conocido como teorema de extensión analítica. Éste plantea que, si dos funciones analíticas son iguales para
una longitud finita a lo largo de cualquier arco en una región en la cual ambas son analíticas, entonces son iguales en cualquier parte de la región. El arco de igualdad es por lo general el eje real o una parte de él. Si se usa este teorema, prevalece la forma de F(s)
determinada mediante una integración en la cual se permite que s tenga cualquier valor
positivo real mayor que la abscisa de convergencia para todos los valores complejos de s en
los cuales F(s) es analítica. Por tanto, aunque requerimos que la parte real de s sea mayor
que la abscisa de convergencia, para hacer la &’ flt)e-st dt absolutamente convergente, una
vez obtenida la transformada de Laplace F(s), esta última se considera válida en todo el
plano s, excepto en los polos de F(s).
Función
escalón.
Considere la función escalón
f(t) = 0,
para t < 0
= A,
para t < 0
en donde A es una constante. Observe que éste es un caso especial de la función exponencial Ae-af, en donde a = 0. La función escalón no está definida en t = 0. Su transformada
de Laplace se obtiene mediante
Ce[A] =
Ae-sf dt = 4
S
Al efectuar esta integración, supusimos que la parte real de s era mayor que cero (la abscisa de convergencia) y, por tanto, que lím,+, e -Sf era cero. Como se plante6 antes, la
Sección 2-3 / Transformada de Laplace
19
transformada de Laplace obtenida de tal modo es válida en todo el plano s, excepto en el
polo S = 0.
La función escalón cuya altura es la unidad se denomina función escalón unitario. La función escalón unitario que ocurre en t = to se escribe con frecuencia como l(t - to). La
función escalón de altura A que ocurre en t = 0 puede escribirse entonces como F(t) =
Al(t). La transformada de Laplace de la función escalón unitario, que se define mediante:
l(t) = 0,
para t < 0
= 1,
para t> 0
es lh, o bien,
ce[l(t)] = 5
Físicamente, una función escalón que ocurre en t = 0 corresponde a una señal constante
aplicada repentinamente al sistema en el tiempo t igual a cero.
Función
rampa.
Considere la función rampa
m = 0,
para t < 0
= At,
para t 2 0
en donde A es una constante. La transformada de Laplace de esta función rampa se obtiene
como
Ce[At] =
m
f0
A m e-St dt = $
=s f0
Función
senoidal.
La transformada de Laplace
fo> = 0,
de la función senoidal:
para t< 0
= Asen&, para t 2 0
en donde A y o son constantes, se obtiene del modo siguiente. Remitiéndonos a la ecuación
(2-3), sen wt se puede escribir como
sen “t
=
1
y (ej”’
- e-jet)
21
Por tanto
(e[A sen ot] = -$-
m (e”‘- e-jwt)e7’ dt
A
l
A
l
ACO
--==--2js -jo
2js+jo
s2+m2
Asimismo, la transformada de Laplace de A cos ot se deriva del modo siguiente:
Ce[A cos ot] = -&
20
Capítulo 2 / La transformada de Laplace
”
i 5
/. :
* ‘*
LI
Comentarios.
La transformada de Laplace de cualquier función flt) se encuentra si
i ”
se multiplicaflt) por e-sr y despu& se integra el producto de 1= 0 a t = ~4. Sin embargq, una
vez que conocemos el método para obtener la transformada de Laplace, no es necesario . ;
obtener cada vez la transformada de Laplaceflt). Es posible usar 1aS tablas de transformadas
de Laplace en forma conveniente para encontrar la transformada de una función f(t) determinada. La tabla 2-1 muestra las transformadas de Laplace de las funciones de tiempo
,’
que aparecerán con frecuencia en los análisis de sistemas de control lineales.
En el análisis siguiente presentamos transformadas de Laplace de funciones, al igual
que teoremas acerca de la transformada de Laplace,útiles para estudiar los sistemas de control lineales.
Funciones desplazadas en el tiempo. Obtengamos la transformada de Laplace de
la función desplazada en el tiempo flt - a)l(t - a), en donde a 10. Esta función es cero
para T < a. Las funcionesf(t)l(t) y f(t - a)l(t - a) aparecen en la figura 2-1.
Por definición, la transformada de Laplace de flt - a)l(t - a) es
S?elf(t - a)l(t - a)] = j+flI - a)l(t - a)e-“dt
0
Si cambiamos la variable independiente de t a z, en donde z = t - a, obtenemos
,flt - a)l(t - a)e” dt = Im flz)l(z)eC(t+a) dz
f
-Cr
Dado que en este libro siempre suponemos que At) = 0 para t < O,flt)l(z) = 0 para t < 0.
Por tanto, podemos cambiar el límite inferior de la integración de -a a 0. Así
m flz)l(t)e-4”“)
f-a
dz = omflr)l(r)e~S(r~a~
f
dz
en donde
Yen tal caso
2lf(t - a)l(t - a)] = eemF(s),
para a 2 0
f(t) 10)
f(t - a) l(t - a)
c
A
Figura 2-1
Funcihf(t)l(t) y función
desplazada en el tiempo
f(t - a)l(t - a).
Sección 2-3 / Transformada de Laplace
21
Tabla 2-1 Pares de transformadas de Laplace
fo)
F(s)
S(t)
1
Impulso unitario
2
Escalón unitario l(t)
3
t
22
(n - l)!
5
t”
1
S
ii
f-l
.4
1’
(n = 1,2,3,...)
1
S”
(n = 1,2,3, . . .)
6
e-ar
7
te-“’
8
~ P-levar
(n ! l)!
9
t”e@
n!
s”+1
1
s+a
(s J a)’
(n = 1, &3, . . .)
(n = 1,2,3,. . .)
( s ta)
(s +nli,,,
10
sen wt
ll
cos íd
s
s2 +,/i12
12
senh ot
w
s2 - IB2
13
cosh.ot
14
i (1 - eeaf>
15
& (ewa’ - eeb’)
16
& (bemb’ - ae-“‘)
17
& (be-“’ -
Capítulo 2 / L.a transformada de Laplace
P+ww2
S
s2 - oI=
1
s(s + a)
(s + af(s + b)
S
(s + a)(s + b)
1
s(s + a)(s t b)
Tabla 2-1 (Continuación)
8
f (1 - eea* - ute-“)
1
s(s + a)Z
9
-$ (at - 1 + e?)
1
?(s + a)
0
(s + u)2 + oJ2
s+u
(s + u)2 + cO2
4
s2 + 25w,s + ían
s
s2 + 2509 + co;
14
24
s(s2 + 25w#s + co;)
25
1 - coscot
26
ót - sen wt
2
7
28
2w3
(2 + W2)2
1
2w t sen”t
(s2 + co2)2
cos wt
s2 - cl?
(2 + w2)2
t
-& (cos o,t - cos w2t)
2
cu3
s”(s2 + 02)
sen ot - ot cos cot
::
29
30
02
s(s2 + w2)
S
(4 2- 4)
1
(s2 + c&s2 + oI;>
S2
31
-& (sen
wt +
wt cos
Sección 2-3 / Transformada de Laplace
wt)
(9 + cl?)2
23
Esta última ecuación plantea que el desplazamiento en el tiempo de la función de tiempo
f(t)l(t) mediante a (en donde a 2 0) corresponde a la multiplicación de la transformada
F(s) por e-ar.
Función
pulso.
Considere la función pulso
f(t) =-g, para 0 < t < t.
= 0,
para t < 0, toe t
en donde A y to son constantes.
Esta función pulso puede considerarse una función escalón de altura Alto que empieza
en t = 0 y que está sobreimpuesta mediante una función escalón negativo de altura Alto que
empieza en t = to; esto es,
f(t) = % l(t) - % r(t - to)
En’ial caso, la tránsformada de Laplace de f(t) se obtiene como
ie[xo1=s[%l~t)l-~[~l~t-t~~
A _ -e-so
A
= tos
tos
= j$ (1 - ev%)
(2-5)
Función impulso. La función impulso es un caso limitado especial de la función
pulso.
Considere la función impulso
-,
g(t) = lfm _A
qJ+o to ’
para 0 < t < t.
= 0,
para t < 0, t0-C t
,
Dado que la altura de la función impulso es Alto y la duración es to, el área bajo el impulso
es igual a A. Conforme la duración to tiende a cero, la altura Alto tiende a infinito, pero el
área bajo el impulso sigue siendo igual a A. Observe que la magnitud del impulso se mide
por su Brea.
Remitiéndonos a la ecuación (2-5), se aprecia que la transformada de Laplace de esta
función impulso es
%dtN = toã[j$U
lí
-e-)l
$ EAO - e-“h>l As
=]ím O
=- = A
fo-0
Por tanto, la transformada de Laplace de la función impulso es igual al área bajo el impulso.
24
Capítulo 2 / La transformada de Laplace
La función impulso cuya área es igual a una unidad se denomina fincibn impulso
uni-
turio o funcibn delta de Dirac. La función impulso unitario que ocurre en t = ro por lo gene- ,
ral se representa mediante s(t - to). s(t - ro) satisface lo siguiente:
m
f-00
d(t - ro) = 0,
para r # ro
s(r-ro) = m,
para r = ro
f3(r - ro)dr = 1
Debe mencionarse que un impulso que tiene una magnitud infinita y una duración de
cero es una ficción matemática y no ocurre en los sistemas físicos. Sin embargo, si la magnitud del pulso de entrada a un sistema y su duración es muy corta en comparación con las
constantes de tiempo del sistema es muy grande, podemos aproximar la entrada pulso mediante una función impulso. Por ejemplo, si se aplica una entrada de fuerza o de par f(r) a
un sistema durante un tiempo muy breve, 0 < r < ro, en donde la magnitud de f(r) es suficientemente grande para que la integral Jo f(r) dr no sea insignificante, esta entrada se considera una entrada impulso. (Obserwque, cuando describimos la entrada impulso, el área
o magnitud del impulso es lo más importante, pero la forma exacta del impulso por lo general es insustancial.) La entrada impulso proporciona energía suficiente al sistema en un
tiempo infinitesimal.
El concepto de la función impulso es muy útil para diferenciar funciones discontinuas.
La función impulso unitario s(r - to) se considera la derivada de la función escalón unitario
l(r-ro) en el punto de discontinuidad r = ro o
s(r - ro) = i l(r - ro)
Por el contrario, si se integra la función impulso unitario ¿j(r - ro), el resultado es la función
escalón unitario l(r - ro). Con el concepto de la función impulso podemos diferenciar una
función que contenga discontinuidades, proporcionando los impulsos cuyas magnitudes
son iguales a la magnitud de cada discontinuidad correspondiente.
Multiplicación de fft) por e-a’ Si f(r) puede transformarse por el método de
Laplace, y su transformada de Laplace es F(s), la transformada de Laplace de e-uf f(r) se
obtiene como
%[e4flr)] = Iw eatflr)eea
0
dr = F(s + a)
(2-6)
Observamos que la multiplicación de f(r) por e -0f tiene el efecto de sustituir s por (s +
a) en la transformada de Laplace. Por el contrario, cambiar s a (s + a) es equivalente a multiplicar f(r) por e- Q’. (Observe que Q puede ser real o compleja.)
La relación proporcionada por la ecuación (2-6) es btil para obtener las transformadas
de Laplace de funciones tales como e--al sen or y e-a’ cos wr. Por ejemplo, dado que
(e[sen wr] = * =“F(s),
(e[cw w] = -& = G(s)
se infiere que, a partir de la ecuación (2-6), las transformadas de Laplace de e-m sen wr y
e-a? cos wr se obtienen, respectivamente, mediante
Sección 2-3 / Transformada de Laplace
25
g[e*‘sen wt] = F(s + a) =
Ce[e”cos wt] = G(s + a) =
0
(s+a)2fc02
s+a
(s+a)‘+w’
Cambio de la escala de tiempo. Al analizar sistemas ffsicos, es, en ocasiones, conveniente modificar la escala de tiempo o normalizar una función del tiempo determinada.
El resultado obtenido en términos del tiempo normalizado es útil debido a que se aplica directamente a sistemas diferentes que tienen ecuaciones matemáticas similares.
Si t se cambia a tla, en donde a es una ‘constante positiva, la función f(t) se transforma
en fltla). Si denotamos la transformada de Laplace de f(t) mediante F(s), la transformada
de Laplace de f(t/a) se obtiene del modo siguiente:
Suponiendo que tla = tl y que ás = SI, obtenemos
[01 1
C;e f $ =
mf(tl)e-slti
d(at,)
0
= a om fltlpt~ dtl
f
= aF(s,)
o bien
[( 1
Z!f$’ =aF(m)
Como ejemplo, considere f(t) = e-t y f(h) = e ya*‘. Obtenemos
ce[f(t)] = qe-q = F(s) = &
Por tanto,
NI = Ce[e-0.2’] =P(G) =$-y
(ef;
Este resultado se comprueba con facilidad tomando la transformada de Laplace
directamente,como
sigue:
cJ[e-0.2t]
de e-a2t
5 I
= 1 =s + 0.2 5s + 1
Comentarios acerca del límite inferior de la integral de Laplace.
En algunos ca-
sos&) posee una función impulso en t = 0. Por tanto, debe especificarse con claridad si el
límite inferior de la integral de Laplace es 0- o 0+, dado que las transformadas de Laplace
26
Capítulo 2 / La transformada ae Laplace
’
de f(t) difieren para estos dos límites inferiores. Si es necesaria tal distinción del límite in- G,
I
ferior de la integral de Laplace, usamos las notaciones
L!!+[flt)]
= Jw f(t)e-sf dt
0+
Z[f(t)] = $ f(t)e+ dt = Ce+[f(t)l +, l,o f(t)e-“‘dt
Si f(t)implica
una función impulso en t = 0, entonces
dado que,
u_’ f(t)e+ dt # 0
f
para tal caso. Obviamente, si f(t) no posee una función impulso en t = 0 (esto es, si la función que se va a transformar es finita entre t = 0- y t = O+), entonces
~+[ml = z-m1
2-4 TEOREMAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Esta sección presenta varios teoremas de la transformada de Laplace
genierfa de control.
Teorema de diferenciación real.
función flt) se obtiene mediante
importantes en la in-
La transformada de Laplace de la derivada de una
[1
-ce $ f(t) = sF(s) - f(O)
(2-7)
en donde f(O) es el valor inicial de f(t) evaluado en t = 0.
Para una función f(t) determinada, los valores de flO+) y RO-) pueden ser iguales
o diferentes, tal como se ilustra en la figura 2-2. La diferencia entre flO+) y f(O-) es importante cuando f(t) tiene una discontinuidad en t = 0, debido a que, en tal caso, dflt)/dt
implicará una función impulso en t = 0. Sif(O+) # f(O-), la ecuación (2-7) debe modificarse a
ce, $ f(t) = sF(s) - f(O+)
[ 1
Para comprobar el teorema de diferenciación real de la ecuación (2-7), procedemos
del modo siguiente. Si se hace la integral de Laplace por partes, obtenemos
dt = f(t) q
e-s’ jDm - [[-$fC+$‘t
Sección 24 / Teoremas de la transformada de Laplace
27
Figura 2 2
Función escalón y
ti&n seno con los
valores iniciales en
t=O-yt=o+.
Por tanto.
F(s) =f(o)+b
s
s
con lo que se concluye que
[1
JQt)
dt
ce $f(t) = S(s) -f(O)
I
1
[-$1= s*F(s) - sf(0) - f(O)
Del mismo modo, obtenemos la relación siguiente para la segunda derivada de f(t):
(ed
f(t)
en donde fi0) es el valor de dflt)/dt evaluada en r = 0. Para derivar esta ecuacibn, definimos
A
continuación,
De la misma manera, para la n-ésima derivada de f(t), obtenemos
[1
(n-2)
(n-l)
ce -$flt) = s”F(s) - SqyO) - s”-*f(o) - . * * - sf(0) - f(O)
(n - 1)
en donde f(O), &O), . . . , f(O) representa los valores de f(t), dflt)ldt, . . . , dn-lf(t)ldP-l,
respectivamente, evaluadas en t = 0. Si es necesaria la diferencia entre Ce+ y Ce-, sustituimos t = 0+ o t = 0- enflt), dflt)/dt, . . . , dn-ljft)/dtn-1, dependiendo de si tomamos Ce+ o Ce-.
Observe que, para que existan las transformadas de Laplace de las derivadas de f(t),
d”f(t)ldt” (n = 1,2,3,. . .) d e b e ser transformable mediante el método de Laplace.
También observe que si todos los valores iniciales de f(t) y sus derivadas son iguales a
cero, la transformada de Laplace de la n-ésima derivada de f(t) se obtiene mediante snF(s).
28
Capítulo 2 / La transformada de Laplace
EJEMPLO
2-1
Considere
la
función
coseno.
g(t) = 0,
= cos wt,
para t < 0
para t 5 0
La transformada de Laplace
de esta función coseno se obtiene directamente como en el caso de
la función senoidal considerada antes. Sin embargo, el uso del teorema de diferenciación real se
comprobará aquí derivando la transformada de Laplace de la función coseno a partir de la transformada de Laplace de la función seno. Si definimos
f(t) = 0,
= sen wt,
para t < 0
para t 2 0
entonces
Ce [sen ot] = F(s) = *
La transformada de Laplace
de la función coseno se obtiene como
Teorema del valor final. El teorema del valor final relaciona el comportamiento en
estado estable def(t) con el comportamiento de sF(s) en la vecindad de s = 0. Sin embargo,
este teorema se aplica si y sólo si existe lím+mf(t) [lo que significa que f(t) se asienta en un
valor definido para t + ~1. Si todos los polos de sF(s) se encuentran en el semiplano
izquierdo del plano s, existe lím t-rmflt). Pero si sF(s) tiene polos en el eje imaginario 0 en el
semiplano derecho del plano s, f(t) contendrá funciones de tiempo oscilantes o exponencialmente crecientes, respectivamente, y límr,,fl t ) no existirá. El teorema de valor fina1 no
se aplica en tales casos. Por ejemplo, si f(t) es la función senoidal sen wt, sF(s) tiene polos
en s = %jw y lím,,,f(t) no existe. Por tanto, este teorema no es aplicable a tal función.
El teorema de valor final se plantea del modo siguiente. Sif(t) y dflt)ldt se pueden transformar por el método de Laplace, si F(s) es la transformada de Laplace de f(t), y si existe
\
límr+flt), entonces
lím f(t) = yyo sF(s)
t-tPara comprobar el teorema, suponemos que s tiende a cero en la ecuación para la transformada de Laplace de la derivada de f(t), o bien,
Dado que lím,-.+o e+ = 1, obtenemos
Sección 2-4 / Teoremas de la transformada de Laplace
29
a partir de lo cual
f(m) = gl f(f) = lhh S(s)
El teorema de valor final plantea que el comportamiento en estado estable de f(t) es
igual que el comportamiento de S(s) alrededor de s = 0. Por tanto, es posible obtener f(t)
en t = CO directamente de F(s).
EJEMPLO 2-2
Dado
¿cuál es lím,+, f(t)?
Debido a que el polo de S(s) = l/(s + 1) se encuentra en el semiplano izquierdo del plano s,
existe límt+f(t). Por tanto, en este caso es aplicable el teorema de valor final.
s
lím f(t) = f(m) = lííO S(s) = lím ~ =b-yo*= 1
t-+=
s-t0 s(s + 1)
De hecho, este resultado se verifica con facilidad, dado que
f(t) = l- e-t
para t Z 0
Teorema de valor inicial. El teorema de valor inicial es la contraparte del teorema
de valor final. Este teorema nos permite encontrar el valor de f(t) en t = 0+ directamente,
a partir de la transformada de Laplace de f(t). El teorema de valor inicial no proporciona
el valor de f(t) en exactamente t = 0, sino en un tiempo ligeramente mayor que cero.
El teorema de valor inicial se plantea del modo siguiente: si f(t) y df(t)/dt se pueden
transformar por el método de Laplace y si existe lím++F(s), entonces,
f(O+) = lím sF(s)
S-P
Para comprobar este teorema, usamos la ecuación para la transformada Ce+ de df(t)/dt:
[1
ce, -$f(f) = S(s) - f(0+)
Para el intervalo de tiempo 0 + zs t I 03, conforme s se aproxima a infinito, e-s’ se aproxima
a cero. (Observe que debemos usar Ce+ en lugar de Ce- para esta condición.) Y, por tanto,
emS’ dt = líím [sF(s) - f(O+)] = 0
o bien,
f(O+) = lím sF(s)
s-m
Al aplicar el teorema de valor inicial, no estamos limitados a las posiciones de los polos de S(s). Por tanto, el teorema de valor inicial es válido para la función senoidal.
Debe señalarse que el teorema de valor inicial y el teorema de valor final proporcionan
una verificación conveniente en la solución, dado que nos permiten predecir el comportamiento del sistema en el dominio de tiempo sin transformar en realidad las funciones en
s de regreso a las funciones de tiempo.
30
Capítulo 2 / La transformada de Laplace
s
l1
Teorema de integración real. Sif(t) e s d e orden exponencial, existe la transformada
de Laplace de J f(t)& y se obtiene mediante
CJ
At) dt = F(s) + f-‘(o)
S
G-f9
en donde F(s) = %lf(t)] y f-l(O) = J f(t) dt, evaluados en t = 0.
Observe que si f(t) implica una función impulso en t = 0, entonces f-l(O+) # f-‘(O-).
Por tanto, sif(t) implica una función impulso en t = 0, debemos modificar la ecuación (2-8)
del modo siguieqte:
El teorema de integración real ofrecido en la ecuación (2-8) se demuestra del modo
siguiente. La integración por partes lleva a
./
Z[@) dt] = $ [/At) dt]Pdt
= [\f(t)dt]f 1; - [f(t)sdt
_ f-w I I;(s)
s
S
y el teorema se comprueba.
Vemos que la integración en el dominio del tiempo se convierte en una división en el
dominio s. Si el valor iniCia1 de la integral es cero, la transformada de Laplace de la integral
de f(t) se obtiene mediante F(s)/s.
El teorema de integración real anterior presentado en la ecuación (2-8) se modifica
ligeramente para obtener la integral definida de f(t). Si f(t) es de orden exponencial, la
transformada de Laplace de la integfal definida $f(t) dt se obtiene mediante
(2-9)
en donde F(s) = Celf(t)]. hsto tambitn se denomina teorema de integración real. Observe
que si f(t) implica una función impulso en t = 0, entonces Ji+ f(t)dt # Ji- flt)dt, y debe observarse la siguiente distinción:
'[fo+f(t)1dt = i!+l
Sección 24 / Teoremas de la transformada de Laplace
31
Para comprobar la ecuación (2-9), primero observe que
[At)dt = j-f(t)dt -f-l(O)
en donde f-l(O) es igual a J flt)dt evaluada en 1= 0 y es una constante. Por tanto,
jjh dt] = $Ixr) dt] - W-l@)l
Considerando que f’(O) es una constante, de modo que
y[f-l(0)]
= f-lo
s
obtenemos
Teorema de diferenciación compleja. Si f(t) se puede transformar mediante el
método de Laplace, entonces, excepto en los polos de F(s),
am1 = -$ w
en donde F(s) = Celf(t)]. Esto se conoce como teorema de diferenciación compleja.
Asimismo,
En general,
paran = 1,2,3,...
Para comprobar el teorema de diferenciación compleja, procedemos del modo siguiente:
Z[tf(t)] = Ie tf(t)e-“’ dt = -[f(t) $ te-“) dt
0
0
De aquí el teorema. Asimismo, definiendo tflt) = g(t), el resultado es
z[t’f(t)] = %[tg(t)] = -i G(s) = -$ -$ F(s)
L
1
= (-1)2$
F(s) = $ F(s)
Si repetimos el mismo proceso, obtenemos
32
Capítulo 2 / La transformada de Laplace
~VXQI = (-1)
Integral de convolución.
paran = 1,2,3,...
Considere la transformada de Laplace
de
Con frecuencia, esta integral se escribe como
La operación matemática fi(t)*fi(t)
z = 5, entonces
s e d enomina convolución. Observe que si ponemos t -
l’fi(t - r)f&) dr = --Io fi(S)fi(t - 5) dE
t
= otfA~)fAt - 4 dr
f
Por tanto,
fdt)*f2(t) = I’f1(t - 9f2(3 dr
0
= fotfdr)fAt - 4 dr
= fz(t)*fAt)
Si fl(t) y fz(t) ocupan posiciones continuas y son de orden exponencial, la transformada
de Laplace de
f0
’ fi(t - +fi(4 dr
se obtiene del modo siguiente:
1
en donde
= %%(4
(2-10)
F,(s) = m fi(t)P dt = Celfl(t)]
f0
F,(s) = m f,(t)P dt = Celfi(t)]
f0
Para comprobar la ecuación (2-10) observe que fi(t - z)l(t - z) = 0 para r > t. Por
tanto,
l-t
l-m
0
0
J fi(t - rIfi dr = j fi(t - Wt - r)fi(9 dr
Seccih 2-4 / Teoremas de la transformada de Laplace
33
Así,
=
- z)l(t - z)f2(r) dz dt
1
Si sustituimos t - z = h en esta última ecuación y modificamos el orden de integración, que
en este caso es válido debido a que fi(t) y ji(t) se transforman mediante el sistema de
Laplace, obtenemos:
11
= Ufi(t - z)l(t - r)emS’dt
f
mf2(r) dz
0
Esta última ecuación obtiene la transformada de Laplace de la integral de convolución. A
la inversa,si la transformada de Laplace de una función se determina mediante un producto
de dos funciones de transformadas de Laplace, Fl(s)A(s), la función de tiempo correspondiente (la transformada inversa de Laplace) se obtiene mediante la integral de convoluciónfi(t)*fi(t).
La transformada de Laplace del producto de dos funciones del tiempo. La
transformada de Laplace del producto de dos funciones que se pueden transformar mediante el método de Laplace f(t) y g(t) se obtiene mediante
~[.f(t>S(t)l
= $j j-Tm F(p)G(s - p) dp
(2-11)
C Jm
Para demostrar esto, procedemos del modo siguiente: La transformada de Laplace
producto de f(t) y g(t) se escribe como
del
(2-12)
Observe que la integral de inversión es
f(t) = & j-;,+j’(s)e” d s ,
para t > 0
en donde c es la abscisa de convergencia para F(s). Por tanto,
~[f(t)g(t)] = & lrnf+‘^ F(p)@ dp g(t)e-“‘dt
C-j”
Capítulo 2 / La transformada de Laplace
Debido a la convergencia uniforme de las integrales consideradas, es posible invertir el orden de integración:
Ce[f(f)g(f)] = & /yrn F(p) dp Im g(t)e&f’)’ dt
0
c J-
Si observamos que
g(f)eb-J’)’ dt = G(s - p)
obtenemos
~[.f(&d~)l = & /yrn F(p)G(s - p) dp
C
(2-13)
Jm
Resumen.
La tabla 2-2 fesume las propiedades y teoremas de la transformada de
Laplace. Casi todas ellas se han derivado o comprobado en esta sección.
2-5 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
Como se señalo antes, la transformada inversa de Laplace se obtiene mediante la integral
de inversión ofrecida en la ecuación (2-4). Sin embargo, la integral de inversión es complicada y, por tanto, no se recomienda su uso para encontrar transformadas inversas de
Laplace de funciones que se encuentran con regularidad en la ingenierfa de control.
Un método conveniente de obtener las transformadas de Laplace es usar una tabla de
transformadas de Laplace. En este caso, la transformada de Laplace debe tener una forma
que se reconozca de inmediato en tal tabla. Con mucha frecuencia, es posible que la función en cuestión no aparezca en las tablas de transformadas de Laplace que posee el ingeniero. Si una transformada específica F(s) no se encuentra en la tabla, puede expandirse
en fracciones parciales y escribirse en términos de funciones simples de s para las cuales
ya se conocen las transformadas inversas de Laplace.
Observe que estos métodos más sencillos para encontrar las transformadas inversas de
Laplace se basan en que en la correspondencia única de una función de tiempo y su transformada inversa de Laplace prevalecen para cualquier función continua del tiempo.
Método de expansión en fracciones parciales para encontrar las transformadas
inversas de Laplace. Para problemas de análisis de sistemas de control, F(s), la transformada de Laplace de f(t) ocurre con frecuencia en la forma:
en donde A(s) y B(s) son polinomios en s. En la expansión de F(s) = B(s)/A(s) en fracciones parciales, es importante que la potencia más alta de s en A(s) sea mayor que la potencia más alta de s en B(s). Si tal no es el caso, el numerador B(s) debe dividirse entre el
denominador A(s) para producir un polinomio en s además de un residuo (una cociente de
polinomios en s, cuyo numerador sea de un grado menor que el denominador).
Sección 2-5 / Transformada inversa de Laplace
35
Tabla 2-2 Propiedades de la transformada de Laplace
4
5
6
7
8
9
si l@(t) dt existe
10
(e[ePtflt)] = F(s + a)
ll
Z[f(t - a)l(t - a)] = e-“‘F(s)
a?O
12
13
ce[Pf(f)] = $F(s)
14
Y[t”f(t)] = (-1)” 5 F(s) n = 1,2,3,.
15
de + f(t) =jj’(s) ds
[1
16
17
18
36
Capítulo 2 / La transformada de Laplace
. .
1
si Fz 7f(t) existe
Si F(s) se separa en componentes,
g.
F(s) = F,(s) + F*(s) + * * *+ F,(s)
y si se pueden obtener con facilidad transformadas inversas de Laplace de K(s), &(s), . . . ,
F,(s), entonces
z-l[F(s)] = P[F,(s)] + ce-‘[r’,(s)] + *. . + ce-y&(s)]
= fl@> + fa) + . . . + f,(f)
en donde fi(r),fi(t>, . . . , &(t) son las transformadas inversas de Laplace de K(s), &(s), . . . ,
F&), respectivamente. La transformada inversa de Laplace de F(s) obtenida de tal modo
es única, excepto, tal vez, en los puntos en los que es discontinua la función de tiempo.
Cuando la función del tiempo es continua, la función del tiempo f(t) y su transformada de
Laplace F(s) tienen una correspondencia uno a uno.
La ventaja del enfoque de expansión en fracciones parciales es que los términos individuales de F(s), provenientes de la expansión en una forma de fracciones parciales, son
funciones muy simples de s; en consecuencia, no es necesario consultar una tabla de transformadas de Laplace si memorizarnos varios pares simples de transformadas de Laplace.
Sin embargo, debe señalarse que, al aplicar la técnica de expansión en fracciones parciales
en la búsqueda de la transformada inversa de Laplace de F(s) = B(s)/A(s), deben obtenerse con anticipación las raíces del polinomio del denominador A(s). Es decir, este método
no se aplica hasta que se ha factorizado el polinomio del denominador.
Expansión en fracciones parciales cuando F(s) sólo involucra polos distintos.
Considere F(s) escrita en la forma factorizada
B(s) K(s + Zl)(S + zz) . . * (s + z,)
F(s) = - =
A(s)
(s + PI>@ + PZ) . . . (s + 14 ’
para m < n
en donde pl,pz, . . ., ,pn y ZI, 22, . . . , z,,, son cantidades reales o complejas, pero para cada pi
o zi complejo se te,ndrá el complejo conjugado de pi o zi, respectivamente. Si F(S) sólo involucra polos distintos, puede expandirse en una suma de fracciones parciales simples del
modo siguiente:
B(s)=
%) = A(s)
al
s +Pl
+a,+...+a,
s +t2
s + Pn
(2-14)
en donde ak (k = 1,2,. . . , n) son constantes. El coeficiente ak se denomina residuo del polo en
s = -pk. El valor de Uk se encuentra multiplicando ambos miembros de la ecuación (2-14)
por (s + pk) y suponiendo que s = -pk, esto nos lleva a
1s +Pk)~]s=epk=
[&b fPk) + &(s +Pk)
+ . . . + $ (8 + Pk) + * . . + * (s + p/J
n
1 S=-p,
Observamos que todos los términos expandidos se cancelan con excepción de ak. Por tanto,
el residuo Uk se encuentra a partir de
Sección 2-5 / Transformada inversa de Laplace
37
’ d
(2-15)
Observe que, debido a quef(t) es una función real del tiempo, sipl ypz son complejos conjugados, en tal caso los residuos al y a2 también son complejos conjugados. Sólo necesita
evaluarse uno de los conjugados, al o ~12, porque el otro se conoce automáticamente.
Debido a que,
f(t) se obtiene como
f(t) = Ce-’ [F(s)] = ule-plr
EJEIVIPLO
2-3
+ uze-p*’
Encuentre la transformada inversa de Laplace
+ . . . + une+
para t 2 0
de
La expansión en fracciones parciales de F(s) es
Fb) = (s +“1;s3+ 2)
a2
al
=-+-
S+l
s+2
en donde al y uz k?ncuentran mediante la ecuación (2-15):
a1 = @ + l) (s +1;,‘+ 2 )1, =_ 1=[~],=-1=2
[
a2 = @ + 2, (s +sl;s3+ 2)1. =_ 2= [f3].=-2=
[
-1
Por tanto,
f(t) = P[F(s)]
I
= z-f&] + P[&]
= 2e-’ - e-‘,
1EJEMPLO 2-4
Obtenga la transformada inversa de Laplace
G(s) =
para t Z 0
de
s3 + 5s2 + 9s + 7
(s + l)(s + 2)
Aquí, dado que el grado del polinomio del numerador es mayor que el polinomio del denominador, debemos dividir el numerador entre el denominador.
G(s) = s + 2 + (s +sl;s3+ 2)
Observe que la transformada de Laplace de la función impulso unitario S(t) es 1 y que la transformada de Laplace de dd(t)ldt es s. El tercer término del segundo miembro de esta última
ecuación es F(s) en el ejemplo 2-3. Por tanto, la transformada inversa de Laplace de G(s) se obtiene como
38
Capítulo 2 / La transformada de Laplace
g(f) = $ S(t) + 26(t) + 26-e”‘,
EJEMPLO 2-5
Encuentre la transformada inversa de Laplace
F(s) =
parafrO-
de
29 + 12
s2+2s+5
Observe que el polinomio del denominador se factoriza como
s2 + 2s + 5 = (s + 1 + j2)(s + 1 - j2)
Si la función F(s) contiene un par de polos complejos conjugados, es conveniente no expandir
F(s) en las fracciones parciales acostumbradas, sino expandirlas en la suma de una función seno
amortiguada y una función coseno amortiguada.
Si observamos que s2 + 2r + 5 = (s + 1)2 + 22 y nos remitimos a las transformadas de Laplace
de e-a’ sen wt y e-a’ cos coí, rescritas por tanto,
%[e”‘sen
Ce [edrcos
wt]
W
=
(s + CC)” + ci
s+cz
ot] =
(s+a)2+w2
la F(s) dada se escribe como una suma de una función seno amortiguada y una función coseno
amortiguada.
F(s) =
2s + 12
10 + 2(s + 1)
s2 + 2s + 5 = (s + 1)2 + 22
= 5 (s + 1;2 + 22 + 2 (s =,;2: 22
De aquí se sigue que
f(t) = ~-l[F(s)l
= Se-‘sen 2t + 2e”cos 2t,
para t 2 0
Expansión en fracciones parciales cuando F(s) involucra polos múltiples. En
lugar de analizar el caso general, usaremos un ejemplo para mostrar cómo obtener la expansión en fracciones parciales de F(s). (Véase también el problema A-2-16.)
Considere la siguiente F(s):
s2+2s+3
Jw = @ + 1)3
La expansión en fracciones parciales de esta F(s) involucra tres términos,
b2
b3
jp) = B(s)
- = bl- ~
~
A(s)
s + 1 + (s + 1)’ + (s + 1)3
Sección 2-5 / Transformada inversa de Laplace
en donde bs, bz y bl se determinan del modo siguiente. Si multiplicamos ambos miembros
de esta última ecuación por (s + 1)3, tenemos que
3 B(s)
- = b,(s + 1)” + b,(s + 1) + b,
(’ + ‘) A(s)
(2-16)
Por tanto, suponiendo que s = -1, la ecuación (2-16) produce
Asimismo, la diferenciación de ambos miembros de la ecuación (2-16) con respecto a s
produce
-$s+ 1)3y
= b, + 2b,(s + 1)
(2-17)
Si suponemos que s = - 1 en la ecuación (2- 17), entonces,
Diferenciando ambos miembros de la ecuación (2-17) con respecto a s, el resultado es
A partir del análisis precedente, se observa que los valores de b3, b2 y bl se encuentran sistemáticamente del modo siguiente:
b2 = [$ + 1,3$#=-1
= 5 (2 + 2s + 3)
I
1 s=-1
= (2s + 2),=-,
b, 1 i{$[b + l)3gj}s=wl
1
ZZ;, $ (s2 + 2s + 3)
s=-1
*[
= i(2) = 1
40
Capítulo 2 / La transformada de Laplace
Por tanto, obtenemos
= e-' + 0 + t'e-'
= (1 + t2)e+,
para t 2 0
Comentarios.
Para funciones complicadas con denominadores que involucran polinomios de orden superior, una expansión en fracciones parciales puede tomarnos mucho
tiempo. En tal caso, se recomienda el uso de MATLAB. (Véase sección 2-6.)
2-6 EXPANSIbN
EN FRACCIONES PARCIALES CON MATLAB
MATLAB tiene un comando para obtener la expansión en fracciones parciales de
B(s)/A(s).
Considere la función de transferencia
B(s) num
-=
A(s) den =
b 0 s” + b s”-l + . . . + b,
s” + u,:-l + ***+ a,
en donde algunos de los ai y bi pueden ser cero. En MATLAB, los vectores renglón num y
den especifican los coeficientes del numerador y del denominador en la función de transferencia. Es decir,
num = [bo bl . . . bJ
den = [l
al . . . a,l
El comando
[r,p,k] = residue(num,den)
encuentra los residuos, los polos y los términos directamente de una expansión en fracciones parciales del cociente de dos polinomios B(s) y A(s).
La expansión en fracciones parciales de B(s)/A(s) se obtiene mediante
Ns)
41)
42)
r(n)
A(s) = s - p(l) + s - p(2) + ***+ s - p(n) + k(s)
(2-18)
Comparando las ecuaciones (2-14) y (2-18), observamos quep(1) = -p1,p(2) = -p2,. . . ,
r(l) = UI, r(2) = u2, 1.. >r(n) = u,. [k(s) es un término directo.]
p(n) = -pn;
EJEMPLO 2-6
Considere
la
siguiente
función
de
transferencia:
B(s) 2s3 + Ss2 + 3s + 6
-=
s3 + 6s’ + 11s + 6
4s)
Sección 2-6 / Expansión en fracciones parciales con MATLAB
41
Para esta función,
num = [2 5 3 61
den = [l 6 ll 61
El comando
[r,p,k] = residue(num,den)
Proporciona
el
resultado
siguiente:
[r,p,kl = residue(num,den)
r =
-6.0000
-4.0000
3.0000
P=
-3.0000
-2.0000
- 1 .oooo
k=
(Observe que los residuos que se regresan en el vector columna r, las posiciones de polos en el
vector columna p y el término directo en el vector renglón k.) Ésta es la representación en MATLAB
de la siguiente expansión en fracciones parciales de B(s)/A(s);
B(s) 2s3 + 5s2 f 3s + 6
-=
4s) s3 + 6s2 + 11s + 6
=-6+ --4+ 3 +2
s+3
SC2
s+l
El comando
[num,den]
42
Capítulo 2 / La transformada de Laplace
= residue(r,p,k)
en donde r, p y k, están como se obtienen en el resultado de MATLAB anterior, convierte la expansión en fracciones parciales de regreso a la razón de polinomio B(s)/A(s) del modo siguiente:
[num,den]
= residue(r,p,k)
num =
2.0000
5.0000
3.0000
6.0000
6.0000
Il
.oooo
6.0000
den =
1
.oooo
Observe que sipo’) = pG + 1) = . . . = p(j + m - l)[esto es,pj = pj+l = . . . = Pj+m-11, el polo
~0’) es un polo de multiplicidad m. En este caso, la expansión incluye términos en la forma
r(i)
r(j + m - 1)
r(i + 1)
s - di> + b - di)12 + ” ’ + b - dj)lm
Consulte los detalles en el ejemplo 2-7.
EJEMPLO 2-7
Expanda la B(s)/A(s)
siguiente en fracciones parciales con MATLAB.
s2+2s+3 =
s2+2s+3
B(s)
-=
(s + 1)3
s3 + 3s2 + 3s + 1
44
Para esta función, tenemos
num = [O
den= [l
1
3
2
31
3
11
El comando
[r,p,k] = residue(num,den)
proporciona el resultado que aparece en la página siguiente. Es la representación en MATLAB
de la expansión en fracciones parciales siguiente de B(s)/A(s):
B(s)
1
-=4s) s + 1 + (s : 1)2 + (s * 1)s
Observe que el término k directo es cero.
Sección 2-6 / Expansión en fracciones parciales con MATLAB
43
num = [O 1 2 31;
den = [l 3 3 ll;
[r,p,kl = residue(num,den)
r =
1 .oooo
0.0000
2.0000
P=
- 1 .oooo
- 1 .oooo
- 1 .oooo
k =
2-7
SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
E INVARIANTES CON EL TIEMPO
LINEALES
En esta sección nos concentraremos en el uso del método de transformada de Laplace para
solucionar ecuaciones diferenciales lineales e invariantes con el tiempo.
El método de la transformada de Laplace produce la solución completa (la solución
complementaria y la solución particular) de las ecuaciones diferenciales lineales e invariantes con el tiempo. Los métodos clásicos para encontrar la solución completa de una
ecuación diferencial requieren de la evaluación de las constantes de integración a partir
de las condiciones iniciales. Sin embargo, en el caso del métorlo de la transformada de
Laplace, no existe este requerimiento, porque las condiciones iniciales se incluyen automáticamente en la transformada de Laplace de la ecuación diferencial.
Si todas las condiciones iniciales son cero, entonces la transformada de Laplace de la
ecuación diferencial se obtiene simplemente sustituyendo dldt por s, dVdt2 por 9, y así sucesivamente.
La solución a las ecuaciones diferenciales lineales e invariantes con el tiempo mediante
el método de transformada de Laplace implica dos pasos.
1. Se toma la transformada de Laplace de cada término de la ecuación diferencial determinada, se convierte la ecuación diferencial en una ecuación algebraica en s y se obtiene
44
Capítulo 2 / La transformada de Laplace
la expresión para la transformada de Laplace de la variable dependiente reordenando la
,
ecuación algebraica.
2. La solución en el tiempo de la ecuación diferencial se obtiene encontrando la transformada inversa de Laplace de la variable dependiente.
En el análisis siguiente, se usan dos ejemplos para comprobar la solución a ecuaciones
diferenciales lineales e invariantes con el tiempo mediante el método de transformada de
Laplace.
EJEMPLO 2-8
Encuentre la solución x(t) de la ecuación diferencial
x+3i+2x=o,
x(O) = a,
en donde a y b son constantes.
Escribiendo la transformada de Laplace
X(O) = b
de x(t) como X(s), o bien,
WOI = X(s)
obtenemos
Lqi] = sX(s) - x(O)
qi] = s2X(s) - sx(0) - X(O)
Y, por tanto, la ecuación diferencial determinada se convierte en
[$X(s) - xx(O) - i(O)] + 3[sX(s) - x(O)] + 2X(s) = 0
Sustituyendo las condiciones iniciales dadas en esta última ecuación, obtenemos
[s”X(s) - as - b] + 3[sX(s) - a] + 2X(s) = 0
o bien
(s” + 3s + 2)X(s) = as + b + 3a
Despejando para X(s), tenemos que,
X(s) =
as + b + 3a =--2a+b a + b
as + b + 3a
s2 + 3s + 2 = (s + l)(s + 2)
s+2
s+l
La transformada inversa de Laplace
de X(s) nos da
x(t) = ce-‘[x(s>] = ce-l[S] - P[q
= (2~2 + b)e-‘- (a + b)e-2t,
para t 2 0
lo cual es la solución de la ecuación diferencial determinada. Observe que las condiciones iniciales a y b aparecen en la solución. Por tanto, x(t) no tiene constantes indeterminadas.
EJEMPLO 2-9
Encuentre la solución x(t) de la ecuación diferencial
i+2i+5x=3,
x(O) = 0,
X(O) = 0
Si observamos que (e[3] = 3/s, i(O) = 0, y que X(O) = 0, la transformada de Laplace
ecuación diferencial se convierte en
de la
s2X(s) + 2sX(s) + 5X(s) = :
Sección 2-7 / Solución de ecuaciones diferenciales lineales e invariantes con el tiempo
45
Despejando para X(S) obtenemos
X(s) =
3
31
3 s+2
s(s2+2s+5)=5s-5s2+2s+5
31
3
2
3
s+l
=---5s
10 (s + 1)2 + 22 - J (s + 1)2 + 22
De ahí que la transformada inversa de Laplace
se convierta en
x(t) = P[X(s)]
=~~-~[~]-3-~[(s+;*+22]-~~-~[(s~;~+22]
=-53 - 10
3 e-‘sen 2 t - 3
5 e-*cos 2t>
para t 2 0
lo cual es la solución a la ecuación diferencial determinada.
EJEMPLO
A-2-1.
DE
PROBLEMAS
Y
SOLUCIONES
Encuentre los polos de la siguiente F(s):
1
F(s) = 1 - e-’
Solución. Los polos se encuentran a partir de
e” = 1
o bien
e-@+j”) = ewa(cos w -j sen w) = 1
A partir de esto se concluye que u = 0, UI = ? 2nn(n = 0, 1,2,. . .).Por tanto, los polos se localizan en
s = ? j2n3c
A-2-2.
(n = 0, 1,2,. . .)
Encuentre la transformada de Laplace de f(t) definida mediante
f(t) = 0 >
= te”’>
Solución.
para t < 0
para tz 0
Dado que,
(e[t]
= G(s) = $
remitiéndonos a la ecuación (2-6) obtenemos
F(s) = Ce[te-3’1
A-2-3.
¿Cuál
es la transformada de Laplace
= G(s + 3) = (s + 3)2
de
f(t) = 9
= sen (wt+O),
en donde 8 es una constante?
46
Capítulo 2 / La transformada de Laplace
para t < 0
para t 2 0
Solución. Si observamos que
sen (ot + 0) = sen 0.H cos 0 + cos wt sen 8
obtenemos
Ce [sen (wt + O)] = cos 8 Ce [sen or] + sen 8 Ce [cos ot]
w
s
= COS 8 - + sen 8 2
s +w
s +w
= 0 COS 8 + s sen 8
S2+ UI2
A-2-4.
Encuentre la transformada de Laplace F(s) de la función f(t) que se muestra en la figura 2-3.
También encuentre el límite de F(s) conforme a tiende a cero.
Solución. La función f(t)
se puede escribir como:
f(t) = f l(t) - 5 l(t - a) + $ l(t - 2a)
Por tanto,
w = wc01
= f ce[l@)] - $Z[l(f - a)] + -$?[l(r - 2a)]
ll _ -we-”
21
= -+ -.-m
11 e -20s
a2s
a2
s
a2 s
= -& (1 - 2e-” + e-‘“)
Conforme a tiende a cero, obtenemos
d (1 - 2e-” + e-2rrr)
lím F(s) = lh 1 - 2e-” + ew2#-*O
0+0
a2s
= mm be-" - 2see2"
0-10
2as
d (e-as - e-2”)
= lím da
P-t0
$64
= lím da
a+O
2 ta24
e-a.s _ e-2as
= lím
0+0
a
- seew + 2see2”
a-ì0
1
= lím
= -s+2s=s
A-2-5.
Encuentre el valor inicial de dflt)/dt cuando la transformada de Laplace
mediante
de f(r) se obtiene
Solución. Usando el teorema de valor inicial,
Ejemplo
de problemas y soluciones
47
0
-- a2 -
a
II
2a
+
t
u
Figura 2-3
Función f(t).
lím f(t) = flO+) = lím S(s) = p-í “+ d:i = 2
r-Fo+
s-+m
Dado que la transformada Ce+ de dflt)ldt =
g(t) se obtiene mediante
~+k(Ol = sw - m+>
= 42 + 1) _ 2 =
sZ+s+l
-s - 2
s2+s+1
el valor inicial de dflt)/dt se obtiene como
lílí T = g(O+) = l&[sF(s) - fl0+)]
-s2 - 2.9 =
= lím
-1
s-Ps2+s+1
A-2-6.
La derivada de la función impulso unitario h(t) se denomina función doblete unitario. (Por tanto,
la integral de la función doblete unitario es la función impulso unitario.) Matemáticamente, es
posible obtener un ejemplo de la función doblete unitario, que por lo general se representa mediante uz(t), mediante
u*(t) = lím
l(t) - 2[l(t - co)] + l(t - 2to)
t,+0
tii
Obtenga la transformada de Laplace de w(t).
Soiución. La transformada de Laplace de uz(t) se obtiene mediante
t2s2
4t2s2
ayO& 1 - 2 l-tg+%+... + 1 - 2tos + - + . . .
) i
i
i
0
0 [
= ffn;lo -$- [ @+ (términos de orden superior en tos )] = s
0
A-2-7.
Encuentre la transformada de Laplace
de f(t) definida mediante
f(t) = 9
para t < 0
= IZsenot, para tz 0
48
Capítulo 2 / La transformada de Laplace
1
Solución. Dado que
Y[sen wt] = w
s2 + Iu2
Si aplicamos a este problema el teorema de diferenciación compleja
obtenemos
d2
w
[1
Ce cf(t)] = Ce[t2 sen 021 = 2 - =
s2 + w2
A-2-8.
-2w3 + 6ws2
(s2 + w2)3
Demuestre que si f(t) es de orden exponencial y que si existe Jr f(t) dt [lo que significa que si
f(t) dt supone un valor definido], entonces,
en donde F(S) = T[f(t)].
Solución. Observe que
I0
mflt) dt = lím ‘f(t) dt
*+m I0
Remitiéndonos a la ecuación (2-9),
Ce
‘f(t)dt
Ll0
=%
1
S
Dado que Jo f(t) dt existe, aplicando el teorema de valor final a este caso,
o bien
mf(f) dt = líí F(s)
I0
A-2-9.
Determine la transformada de Laplace
fl(t)*f2(r)
de la integral de convolución:
= 1’ z[l - e-@-ti] dz = f (t - r)(l - eP) dz
0
0
en donde
f&) = fi(4 0,
fl(4 = 4
para t < 0
para t Z 0
ti(t) = 1 - e-‘,
para t 2 0
Solución. Observe que
Ejemplo de problemas y soluciones
49
ce[t] = F,(s) = $
(e[l - e-‘1 = F2(s) = i - &
La transformada de Laplace
ción,
de la integral de convolución se obtiene mediante
Para verificar que ésta es en realidad la transformada de Laplace de la integral de convoluprimero se hace la integral de convolución y después tomemos la transformada de Laplace.
fl(t)*f2(t)
= 1’ z[l - ed-@] dz = ,f’ (t - r)(l - e-‘) dt
0
0
t2
=-t + 1 - e-’
2
s
1
Y, por tanto,
++l-e-’ =.p+‘--1
s+l
[
A-2-10.
Demuestre que si f(t) es una función periódica con un periodo T, entonces,
Solución.
Ce[flt)] = (O flt)e” dt = n$o Jn’r”” f(t)e-” dt
Si cambiamos la variable independiente de t a r, en donde r = t -nT, tenemos que
Ce[f(t)] = i emnTs ITf(r)emn
0
n=O
dt
Considerando que,
1 + e-Ts +
= 1 + e-Ts(l
e-2T*
+ . . .
+ e-Ts
+ e-2Ts
obtenemos
5 e-nTs
n=O
50
Capítulo 2 / La transformada de Laplace
= 1
1 - e-Ts
+ . . .>
De aquí se concluye que
T
I
~[f(t)l = O1 _ e-Ts
f(t)e-“’ dt
A-2-11.
iCuál es la transformada de Laplace
de la función periódica que aparece en la figura 2-4?
Solución. Observe que
T
(- l)e-” dt
=
,-WW
e-Ts _ ,-(l/Z)Ts
- 1
+
-s
s
= ; [e-” - 2e-W)T~ + 11
= ; [l - ,-(Ws]Z
Remitiéndonos
al
problema
A-2-10,
tenemos
que
(l/s)[l
_ e-(l~~)~sl~
= l - e-(ln)Ts = ita&?
s[l + e-(ln)Ts] s
A-2-3.2.
Encuentre la transformada inversa de Laplace
de F(s), en donde
F(s)
=
l
s(sz + 2s + 2)
Solución. Dado que
s* + 2s + 2 = (s + 1 + jl)(s + 1 - jl)
f(t)
l
t
-
-
TT
2T
L-l
-
0
f
T
-l-
-
Figura 2-4
Función periódica (onda cuadrada).
Ejemplo de problemas y soluciones
51
observamos que F(s)
F(s) a la forma:
involucra un par de polos complejos conjugados y, por tanto, se expande
% + a,s + a3
=
'
s(? + 2s + 2) = s s2 + 2s + 2
F(s)
en donde al, a2 y u3 se determinan a partir de
1 = al(sz + 2s + 2) + (U$ + aJs
Si comparamos los coefientes de ~2, s y so, términos de ambos miembros de esta última ecuación,
obtenemos
a, + u2 = 0,
2a, + u3 = 0,
2a, = 1
a partir de lo cual
1
al =-)
2
1
a2= --,
2
cI3 = -1
Por tanto,
F(s) = ; i - ; s2 ; ;"+ 2
ll
1
1
1
s+l
=---2s
2 (s + l)Z + l2 - ti- (s + 1)2 + l2
La transformada inversa de Laplace
de F(s) resulta
f(t) =- 1 --e-‘sent--e’cost,
2
2
2
A-2-13.
Obtenga la transformada inversa de Laplace
11-
para t 2 0
de
F(s) =
5(s + 2)
s’(s + l)(s + 3)
Solución.
F(s) =
qs + 2)
%
a2
=4+!2+?(s + l)(s + 3)
s
s2 s + 1 + s+3
en donde
5(s + 2)
a, = ~
= 5
s2(s + 3) s=-l 2
qs + 2)
5
=a, = ~
s2(s + 1) s=-3 18
= 5(s + l)(s + 3) - 5(s + 2)(2s + 4)
= - 2 5(s + 1)2(s + 3)2
9
s=o
52
Capítulo 2 / La transformada de Laplace
Por tanto,
La transformada inversa de Laplace
A-2-14.
de F(s)
es
Encuentre la transformada inversa de Laplace
F(s) =
de
s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 5
s(s + 1)
Solución. Dado que el polinomio del numerador es de un grado mayor que el polinomio del denominador, dividiendo el numerador entre el denominador, hasta que el residuo es una fracción,
obtenemos
2s+5
F(s) = s2 + s + 2 + s(s + 1)
en donde,
2s+5
a, = 5
s + 1 s=o =
LIS+5
a =2
S
=
-3
s=-1
con lo que se concluye que
3
F(s) = s2 + s + 2 + 5 - S
s+l
La transformada inversa de Laplace
de F(s) es
f(t) = 3 -l [F(s)] = $ d(t) + $ S(t) + 2d(t) + 5 - 3e4,
A-2-15.
Obtenga la transformada inversa de Laplace
F(s)
para t 2 O-
de
= ’
s(s2 + w2)
Solución.
F(s) =
1
ll
1
s
=----s(s2 + 02)
cO2 s ca2 s2 + cO2
Por tanto, la transformada inversa de Laplace
de F(s) se obtiene como
f(t) = Ce-’ [F(s)]
A-2-16.
= -mi- (1 - cos wt), para t 2 0
cO2
Obtenga la transformada inversa de Laplace
de la F(s) siguiente:
B(s)
F(s) = m
A(s) = (s + P&S + P,+& + P,+J . . . (s + P,>
en donde el grado de la B(s) polinomial es menor que la A(s) polinomial.
Ejemplo de problemas y soluciones
53
Solución. La expansión en fracciones parciales de F(s)
es:
b Fl
b
bz
r
+ (s
~
+ PIY + . - * + (s + pl)r-l + (s + pl)’
%+1
+ -+
s + Pr+1
ar+2
-+...+
%l
s+pr+z
(2-19)
s + Pn
en donde b,, b,-1,. . . , 61 se obtienen mediante:
Las relaciones anteriores para las b se obtienen del modo siguiente. Si multiplicamos ambos
miembros de la ecuación (2-19) por (s + ~1)’ y suponemos que s tiende a -pi, obtenemos
Si multiplicamos ambos miembros de la ecuación (2- 19) por (s + ~1)’ y después diferenciamos
con respecto a s,
[ 1
+ . . . + a d (s + PI)
n ds s +P”
El primer término del segundo miembro de esta ecuación desaparece. El segundo término se convierte en b,-1. Cada uno de los otros términos contiene alguna potencia de (s + pi) como factor,
con el resultado de que se eliminan estos términos cuando se hace que s tienda a -PI. Por tanto,
Del mismo modo, mediante diferenciaciones sucesivas con respecto as, y suponiendo que s tienda
a -pl, obtenemos ecuaciones para la b,-i, en donde j = 2,3,. . . , r - 1.
54
Capítulo 2 / La transformada de Laplace
f
P
1
=
(nl
)
ce-l [ (s +lpl)
1 !e-P”
Observe que la transformada inversa de Laplace
Las constantes a,+l, a,+z,
de l/(s + ~1)” se obtiene mediante
. . . , a, en la ecuación (2-19) se determinan a partir de
parak=r+l,r+2 ,..., n
A continuación se obtiene la transformada inversa
de Laplace
de F(s)
del modo siguiente:
1
f(t) = P[F(s)] = b, + b,t + . . . + b,, P + (-1>’
br t’-’ eepl‘
(r - 2)!
r
.
[
+ a,+le-Pr+lt
A-2-17.
Encuentre la transformada de Laplace
+ arcZe-Pr+zf
+ . . . + ane-P.f
,
para t 2 0
de la ecuación diferencial siguiente:
X + 3i + 6x = 0,
Si tomamos la transformada inversa de Laplace
Solución. La transformada de Laplace
X(O) = 3
x(O) = 0,
de X(s), obtenemos la solución del tiempo
x(t).
de la ecuación diferencial es
s’X(s) - sx(0) - X(O) + 3sX(s)
- 3x(O) + 6X(s) = 0
Si sustituimos las condiciones iniciales y despejamos X(s),
vi3
X(s)
2ti
= 3
sz+3s+6=iz-
La transformada inversa de Laplace
de X(s) es
2x4 e-1.5t
44
~*
=
ui3
sen
-
ti
(
2
t
i
PROBLEMAS
B-2-1. Encuentre las transformadas de Laplace
ciones
(4
para t < 0
fa) = 0,
= e4.4t cos 12t,
(b)
de las fun-
siguientes:
f2W =
para t Z 0
(4
para t < 0
fl(t) = 0,
= 3 sen (9 + 45”)
(b)
para t < 0
fX4 = 0,
= 0.03(1- cos 2t)
para t < 0
0,
= sen 4 +
para t 2 0
(
“13
B-2-2. Encuentre las transformadas de Laplace
de las funciones
siguientes:
Problemas
para t 2 0
para t 2 0
B-2-3. Obtenga la transformada de Laplace de la función
definida mediante
f(t) = 0,
= t2eat
para t < 0
para t 2_ 0
55
B-2-4. Obtenga la transformada de Laplace de la función
definida mediante
para t < 0
f(t) = 0,
= cos 2wt cos 3wt, para t 2 0
B-2-5. ¿Cuál es la transformada de Laplace de la función
B-2-7. Encuentre la transformada de Laplace
de la función
f(t) que aparece en la figura 2-7. Asimismo, encuentre el
límite de (ecf(t)] conforme a tiende a cero.
B-2-8. Aplicando el teorema de valor final, encuentre el
valor final de f(r) cuya transformada de Laplace se obtiene
mediante
f(t) que se muestra en la figura 2-5?
B-2-6. Obtenga la transformada de Laplace de la función
f(t) que se muestra en la figura 2-6.
F(s) = 10
s(s + 1)
Verifique este resultado tomando la transformada inversa
de Laplace de F(s) y suponiendo que t + m.
B-2-9. Dado
F(s) = (s +l 2)2
b
determine los valores def(O+) y ño+). (Use el teorema de
valor inicial.)
FiguraZS
0
a
a+b
B-2-10. Encuentre la transformada inversa de Laplace
7 Función At).
F(s) =
de:
s+l
s(s2 + s + 1)
B-2-11. Encuentre las transformadas inversas de Laplace
de las funciones siguientes:
_
F2(s) = (s +“s>; “,
Figura26
.q2
t Función f(t).
B-2-12.
Encuentre la transformada inversa de Laplace
F(s) =
de
1
s2(2 + w2)
B-2-13. ¿Cuál es la solución de la siguiente ecuación diferencial?
2x+7i+3x=o,
x(O) = 3,
X(O) = 0
B-2-14. Resuelva la ecuación diferencial
x + 2x = S(t),
B-2-15.
Resuelva
la
x(O-) = 0
siguiente
x+ 25w,x + w$x = 0,
ecuación
x(O) = a,
diferencial:
X(O) = b
en donde a y b son constantes.
a2
Figura27
Función f(t).
B-2-16. Obtenga la solución de la ecuación diferencial
X + ax = A sen ot,
56
Capítulo 2 / La transformada de Laplace
x (0) = b
3-1 INTRODUCCIÓN
Al estudiar los sistemas de control, el lector debe ser capaz de modelar sistemas dinámicos
y analizar las características dinámicas. Un modelo matemático de un sistema dinámico se
define como un conjunto de ecuaciones que representan la dinámica del sistema con precisión o, al menos, bastante bien. Tenga presente que un modelo matemático no es único
para un sistema determinado. Un sistema puede representarse en muchas formas diferentes,
por lo que puede tener muchos modelos matemáticos, dependiendo de cada perspectiva.
La dinámica de muchos sistemas, ya sean mecánicos, eléctricos, térmicos, económicos,
biológicos, etc., se describe en términos de ecuaciones diferenciales. Dichas ecuaciones
diferenciales se obtienen a partir de leyes físicas que gobiernan un sistema determinado,
como las leyes de Newton para sistemas mecánicos y las leyes de Kirchhoff para sistemas
electrices. Debemos siempre recordar que obtener un modelo matemático razonable es la
parte más importante de todo el análisis.
Modelos
matemáticos. Los modelos matemáticos pueden adoptar muchas formas
distintas. Dependiendo del sistema del que se trate y de las circunstancias específicas, un
modelo matemático puede ser más conveniente que otros. Por ejemplo, en problemas de
control óptimo, es provechoso usar representaciones en el espacio de estados. En cambio,
para los análisis de la respuesta transitoria o de la respuesta en frecuencia de sistemas lineales con una entrada y una salida invariantes con el tiempo, la representación mediante la
función de transferencia puede ser más conveniente que cualquier otra. Una vez obtenido
un modelo matemático de un sistema, se usan diversos recursos analíticos, así como computadoras, para estudiarlo y sintetizarlo.
57
Simplicidad contra precisión. Es posible mejorar la precisión de un modelo matemático si se aumenta su complejidad. En algunos casos, se utilizan cientos de ecuaciones
para describir un sistema completo. Sin embargo, en la obtención de un modelo
matemático, debemos establecer un equilibrio entre la simplicidad del mismo y la precisión
de los resultados del análisis. No obstante, si no se necesita una precisión extrema, es
preferible obtener solo un modelo razonablemente simplificado. De hecho, por lo general
basta con obtener un modelo matemático adecuado para el problema que se considera.
Al obtener un modelo matemático razonablemente simplificado, a menudo resulta
necesario ignorar ciertas propiedades físicas inherentes al sistema. En particular, si se pretende obtener un modelo matemático de parámetros concentrados lineal (es decir, uno en
que se empleen ecuaciones diferenciales), siempre es necesario ignorar ciertas no linealidades y parámetros distribuidos (aquellos que producen ecuaciones en derivadas parciales) que pueden estar presentes en el sistema dinámico. Si los efectos que estas
propiedades ignoradas tienen sobre la respuesta son pequeños, se obtendrá un buen
acuerdo entre los resultados del análisis de un modelo matemático y los resultados del estudio experimental del sistema físico.
En general, cuando se soluciona un problema nuevo, es conveniente desarrollar
primero un modelo simplificado para obtener una idea general de la solución. A continuación se desarrolla un modelo matemático más completo y se usa para un análisis con más
pormenores.
Debemos estar conscientes de que un modelo de parámetros concentrados lineal que
puede ser válido si opera en baja frecuencia, tal vez no sea válido en frecuencias suficientemente altas, debido a que la propiedad no considerada de los parámetros distribuidos
puede convertirse en un factor importante en el comportamiento dinámico del sistema. Por
ejemplo, la masa de un resorte puede pasarse por alto en operación en baja frecuencia,pero
se convierte en una propiedad importante del sistema en altas frecuencias.
Sistemas lineales. Un sistema se denomina lineal si se aplica el principio de superposición. Este principio establece que la respuesta producida por la aplicación simultánea
de dos funciones de entradas diferentes es la suma de las dos respuestas individuales. Por
tanto, para el sistema lineal, la respuesta a varias entradas se calcula tratando una entrada
a la vez y sumando los resultados. Este principio permite desarrollar soluciones complicadas para la ecuación diferencial lineal a partir de soluciones simples.
Si en una investigación experimental de un sistema dinámico son proporcionales la
causa y el efecto, lo cual implica que se aplica el principio de superposición, el sistema se
considera lineal.
Sistemas lineales invariantes y variantes con el tiempo. Una ecuación diferencial es lineal si sus coeficientes son constantes o son funciones ~610 de la variable independiente. Los sistemas dinámicos formados por componentes de parámetros concentrados
lineales invariantes con el tiempo se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales
invariantes con el tiempo (de coeficientes constantes). Tales sistemas se denominan si.+
temas lineales invariantes con el tiempo (o lineales de coeficientes constantes). Los sistemas
que se representan mediante ecuaciones diferenciales cuyos coeficientes son funciones
del tiempo, se denominan sistemas lineales variantes con el tiempo. Un ejemplo de un sistema de control variantes con el tiempo es un sistema de control de naves espaciales. (La
masa de una nave espacial cambia debido al consumo de combustible.)
58
Capítulo 3 / Modelado matemático de sistemas dinámicos
Sistemas no lineales. Un sistema es no lineal si no se aplica el principio de superposición. Por tanto, para un sistema no lineal la respuesta a dos entradas no puede calcularse tratando cada una a la vez y sumando los resultados. Los siguientes son ejemplos de
ecuaciones diferenciales no lineales
&X
dt2
+ (x2
-l)$Cx=O
&x
dx
dtz+;+x+x3=o
Aunque muchas relaciones físicas se representan a menudo mediante ecuaciones lineales, en la mayor parte de los casos las relaciones reales no son verdaderamente lineales.
De hecho, un estudio cuidadoso de los sistemas físicos revela que incluso los llamados “sistemas lineales” sólo lo son en rangos de operación limitados. En la práctica, muchos
sistemas electromecánicos, hidráulicos, neumáticos, etc., involucran relaciones no lineales
entre las variables. Por ejemplo, la salida de un componente puede saturarse para señales
de entrada grandes. Puede haber una zona muerta que afecte las señales pequeñas. (La zona
muerta de un componente es un rango pequeño de variaciones de entrada ante las cuales
el componente es insensible.) Puede ocurrir una no linealidad de la ley cuadrática en algunos componentes. Por ejemplo, los amortiguadores que se utilizan en los sistemas físicos
pueden ser lineales para operaciones a baja velocidad, pero pueden volverse no lineales a
altas velocidades, y la fuerza de amortiguamiento puede hacerse proporcional al cuadrado
de la velocidad de operación. Algunos ejemplos de las curvas características para estas no
linealidades aparecen en la figura 3 -1.
Observe que algunos sistemas de control importantes son no lineales para señales de
cualquier tamaño. Por ejemplo, en los sistemas de control de encendido y apagado, la acción de control está activada o no activada, y no hay una relación lineal entre la entrada y
la salida del controlador.
En general, los procedimientos para encontrar las soluciones a problemas que involucran
tales sistemas no lineales son muy complicados. Debido a la dificultad matemática aunada a
los sistemas no lineales, resulta necesario introducir los sistemas lineales “equivalentes” en
lugar de los no lineales. Tales sistemas lineales equivalentes sólo son válidos para un rango
limitado de operación. Una vez que se aproxima un sistema no lineal mediante un modelo
matemático lineal, pueden aplicarse varias herramientas lineales para análisis y diseño.
Figura 3-1
Curvas características para diversas no
linealidades.
No linealidad
de saturación
Sección 3-1 / Introducción
No linealidad
de zona muerta
No linealidad
de ley cuadrática
59
Linealización de sistemas no lineales. En la ingeniería de control, una operación
normal del sistema puede ocurrir alrededor de un punto de equilibrio, y las señales pueden
considerarse señales pequeñas alrededor del equilibrio. (Debe señalarse que hay muchas
excepciones a tal caso.) Sin embargo, si el sistema opera alrededor de un punto de equilibrio y si las señales involucradas son pequeñas, es posible aproximar el sistema no lineal mediante un sistema lineal. Tal sistema lineal es equivalente al sistema no lineal, considerado
dentro de un rango de operación limitado. Tal modelo linealizado (lineal e invariante con
el tiempo) es muy importante en la ingeniería de control. Analizaremos una técnica de linealización en la sección 3-10.
Panorama del capítulo. La sección 3-1 presentó una introducción al modelado
matemático de sistemas dinámicos, que incluyó un análisis de sistemas lineales y no lineales.
La sección 3-2 presenta la función de transferencia y la respuesta-impulso. La sección 3-3
introduce los diagramas de bloques y la sección 3-4 analiza conceptos del modelado en el
espacio de estadosLa sección 3-5 presenta una representación en el espacio de estados de
sistemas dinámicos. La sección 3-6 trata el modelado matemático de sistemas mecánicos;
se analiza el enfoque de Newton para modelar sistemas mecánicos. La sección 3-7 aborda
el modelado matemático de circuitos eléctricos.‘La sección 3-8 trata los sistemas de nivel
de líquido y la sección 3-9 presenta el modelado matemático de sistemas térmicos. Por último, la sección 3-10 analiza la linealización de modelos matemáticos no lineales. (El modelado matemático de otros tipos de sistemas se trata en los capítulos restantes del libro.)
3-2 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
Y DE RESPUESTA-IMPULSO
En la teoría de control, a menudo se usan las funciones de transferencia para caracterizar
las relaciones de entrada-salida de componentes o de sistemas que se describen mediante
ecuaciones diferenciales lineales invariantes con el tiempo. Empezaremos por definir la
función de transferencia y proseguiremos con una derivación de la función de transferencia de un sistema mecánico. A continuaciõn se analiza la función de respuesta-impulso.
Función de transferencia. La funci&z de transferencia de un sistema descrito mediante una ecuación diferencial lineal e invariante con el tiempo se define como el cociente
entre la transformada de Laplace de la salida (función de respuesta) y la transformada de
Laplace de la entrada (función de excitación) bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero.
Considere el sistema lineal e invariante con el tiempo descrito mediante la siguiente
ecuación diferencial:
en donde y es la salida del sistema y x es la entrada. La función de transferencia de este sistema se obtiene tomando la transformada de Laplace de ambos miembros de la ecuación
(3-l), bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero, o bien,
60
Capítulo 3 / Modelado matemático de sistemas dinAmicos
Función de transferencia = G(s) =
_
Ce [salida]
Ce [entrada]
Y(s) _ blp
X(s)
U@Y”
condiciones
iniciales
cero
+ bp-1 + . . . +
bm-1s + 6,
+ als”-’
un-1s +
+ . . . +
un
(3-2)
A partir del concepto de función de transferencia, es posible representar la dinámica de un
sistema mediante ecuaciones algebraicas en s. Si la potencia más alta de s en el denominador
de la función de transferencia es igual a >t, el sistema se denomina sistema de n-ésimo orden.
Comentarios acerca de la función de transferencia. La aplicación del concepto
de función de transferencia está limitada a los sistemas descritos mediante ecuaciones
diferenciales lineales invariantes con el tiempo. Sin embargo, el enfoque de la función de
transferencia se usa extensamente en el análisis y diseño de dichos sistemas. A continuación
se presentan algunos comentarios importantes relacionados con la función de transferencia. (Observe que, en la lista, los sistemas a los que se hace referencia son aquellos que se
describen mediante una ecuación diferencial lineal e invariante con el tiempo.)
1. La función de transferencia de un sistema es un modelo matemático porque es un
método operacional para expresar la ecuación diferencial que relaciona la variable de
salida con la variable de entrada.
2. La función de transferencia es una propiedad de un sistema, independiente de la magnitud y naturaleza de la entrada o función de excitación.
3. La función de transferencia incluye las unidades necesarias para relacionar la entrada
con la salida; sin embargo, no proporciona información acerca de la estructura física del
sistema. (Las funciones de transferencia de muchos sistemas físicamente diferentes
pueden ser idénticas.)
4. Si se conoce la función de transferencia de un sistema, se estudia la salida o respuesta
para varias formas de entrada, con la intención de comprender la naturaleza del sistema.
5. Si se desconoce la función de transferencia de un sistema, puede establecerse experimentalmente introduciendo entradas conocidas y estudiando la salida del sistema. Una
vez establecida una función de transferencia, proporciona una descripción completa de
las características dinámicas del sistema, a diferencia de su descripción física.
Sistema mecánico. Considere el sistema de control de posición del satélite de la
figura 3-2. El diagrama sólo muestra el control del ángulo de elevación 0. (En el sistema
real existen controles alrededor de tres ejes.) Unos propulsores pequeños aplican fuerzas de
reacción para hacer girar el cuerpo del satélite hasta la posición deseada. Los dos propulsores inclinados, simétricamente colocados representados por A o B funcionan en pareja.
Suponga que el empuje de cada reactor es F/2 y que se aplica al sistema un par T = Fl. Los
propulsores se aplican por un cierto periodo y, por tanto, el par se escribe como T(t). El
momento de inercia alrededor del eje de rotación en el centro de la masa es J.
Obtengamos la función de transferencia de este sistema suponiendo que el par T(t) ,gs
la entrada y que el desplazamiento angular e(t) del satélite es la salida. (Consideraremos
el movimiento sólo en el plano de la página.)
Sección 3-2 / Función de transferencia y de respuesta-impulso
61
Figura 3-2
Referencia
Diagrama esquemático de un sistema
de control de posición de un satelite.
Para obtener la función de transferencia, procedemos de acuerdo con los pasos siguientes:
1. Escriba la ecuación diferencial para el sistema.
2. Tome la transformada de Laplace de la ecuación diferencial, suponiendo que todas las
condiciones iniciales son cero.
3. Tome el cociente entre la salida O(s) y la entrada T(s). Este cociente es la función de
transferencia.
Si aplicamos la segunda ley de Newton a este sistema y observamos que no hay fricción
en el ambiente del satélite, se obtiene:
tomando la transformada de Laplace de ambos miembros de esta última ecuación y
suponemos que todas las condiciones iniciales son cero, llegamos a
Js20(s) = T(s)
en donde O(s) = Z[e(t)] y T(s) = %[T(t)]. Por tanto, la función de transferencia del sistema se obtiene como
O(s)
1
Función de transferencia = - = T(s)
Js2
Integral de convolución.
Para un sistema lineal e invariante con el tiempo, la fun-
ción de transferencia G(s) es
YN
G(s) = -w
’
en donde X(s) es la transformada de Laplace de la entrada y Y(s) es la transformada de
Laplace de la salida, y suponemos que todas las’condiciones iniciales involucradas son cero.
De aquí se obtiene que la salida Y(s) se escribe como el producto de G(s) y X(s), o bien,
Y(s) = G(s)X(s)
(3-3)
Observe que la multiplicación en el dominio complejo es equivalente a la convolución en
el dominio del tiempo, por lo que la transformada inversa de Laplace de la ecuación (3-3)
se obtiene mediante la siguiente integral de convolución:
62
Capítulo 3 / Modelado matemático de sistemas dinámicos
y(t) =
I0
:(r)g(t - z) dz
=
(3-4)
en donde g(t) = 0 y x(t) = 0 para t < 0.
.
Respuesta-impulso.
Considere la salida (respuesta) de un sistema para una entrada
impulso unitario cuando las condiciones iniciales son cero. Debido a que la transformada
de Laplace de la función impulso unitario es la unidad, la transformada de Laplace de la
salida del sistema es
Y(s) = G(s)
La transformada inversa de Laplace de la salida obtenida mediante la ecuación (3-5) proporciona la respuesta-impulso del sistema. La transformada inversa de Laplace de G(s),0 bien
~-l[Wl = sN
se denomina respuesta-impulso. Esta respuesta g(t) también se denomina función de ponderación del sistema.
Por tanto, la respuesta-impulso g(t) es la respuesta de un sistema lineal a una entrada impulso unitario cuando las condiciones iniciales son cero. La transformada de Laplace de esta
función proporciona la función de transferencia. Por tanto, la función de transferencia y la
respuesta-impulso de un sistema lineal e invariante con el tiempo contienen la misma información acerca de la dinámica del sistema. De esta manera, si se excita el sistema con una entrada impulso y se mide la respuesta, es posible obtener una información completa acerca de
sus caracterfsticas
dinámicas. (En la práctica, una entrada pulso con una duración muy corta
comparada con las constantes de tiempo significativas del sistema se considera un impulso.)
3-3 DIAGRAMAS DE BLOQUES
Un sistema de control puede tener varios componentes. Para mostrar las funciones que
lleva a cabo cada componente en la ingeniería de control, por lo general se usa una representación denominada diagrama de bloques. Esta sección explica qué es un diagrama de
bloques, presenta un método para obtener los diagramas de bloques de sistemas físicos y,
por último, analiza técnicas para simplificar tales diagramas.
Diagramas de bloques. Un diagrama de bloques de un sistema es una representación gráfica de las funciones que lleva a cabo cada componente y el flujo de señales.
Tal diagrama muestra las relaciones existentes entre los diversos componentes. A diferencia de una representación matemática puramente abstracta, un diagrama de bloques tiene
la ventaja de indicar en forma más realista el flujo de las señales del sistema real.
En un diagrama de bloques se enlazan una con otra todas las variables del sistema, mediante bloques funcionales. El bloque funcional o simplemente bloque es un símbolo para
representar la operación matemática que sobre la señal de entrada hace el bloque para producir la salida. Las funciones de transferencia de los componentes por lo general se introducen en los bloques correspondientes, que se conectan mediante flechas para indicar la
Sección 3-3 / Diagramas de bloques
63
-1 de t.E2Z$&t k Figura 3
3
Elemento de un diagrama de bloques.
dirección del flujo de señales. Observe que la señal sólo puede pasar en la dirección de las
flechas. Por tanto, un diagrama de bloques de un sistema de control muestra explícitamente
una propiedad unilateral.
La figura 3-3 muestra un elemento del diagrama de bloques. La punta de flecha que
señala el bloque indica la entrada, y la punta de flecha que se aleja del bloque representa
la salida. Tales flechas se conocen como señales.
Observe que las dimensiones de la señal de salida del bloque son las dimensiones de la
señal de entrada multiplicadas por las dimensiones de la función de transferencia en el
bloque.
Las ventajas de la representación mediante diagramas de bloques de un sistema estriban en que es fácil formar el diagrama de bloques general de todo el sistema con sólo
conectar los bloques de los componentes de acuerdo con el flujo de señales y en que es posible evaluar la contribución de cada componente al desempeño general del sistema.
En general, la operación funcional del sistema se aprecia con más facilidad si se examina el diagrama de bloques que si se revisa el sistema físico mismo. Un diagrama de bloques
contiene información relacionada con el comportamiento dinámico, pero no incluye información de la construcción física del sistema. En consecuencia, muchos sistemas diferentes
y no relacionados pueden representarse mediante el mismo diagrama de bloques.
Debe señalarse que, en un diagrama de bloques, la principal fuente de energía no se
muestra explícitamente y que el diagrama de bloques de un sistema determinado no es
único. Es posible dibujar varios diagramas de bloques diferentes para uu sistema, dependiendo del punto de vista del análisis.
Ll
+
a-b
Tb
Figura 3-4
Punto suma.
Punto suma. Remitiéndonos a la figura 3-4, un círculo con una cruz es el símbolo
que indica una operación de suma. El signo de más o de menos en cada punta de flecha indica si la señal debe sumarse o restarse. Es importante que las cantidades que se sumen o
resten tengan las mismas dimensiones y las mismas unidades.
Punto de ramificación. Un punto de ramificación es aquel a partir del cual la señal
de un bloque va de modo concurrente a otros bloques o puntos suma.
Diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado. La figura 3-5 muestra un
ejemplo de un diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado. La salida C(S) se realimenta al punto suma, en donde se compara con la entrada de referencia R(s). La naturaleza
en lazo cerrado del sistema se indica con claridad en la figura. La salida del bloque, C(s) en
este caso, se obtiene multiplicando la función de transferencia G(s) por la entrada al
bloque, E(s). Cualquier sistema de control lineal puede representarse mediante un diagrama de bloques formado por puntos suma, bloques y puntos de ramificación.
Cuando la salida se realimenta al punto suma para compararse con la entrada, es necesario convertir la forma de la señal de salida en la de la señal de entrada. Por ejemplo, en
un sistema de control de temperatura, por lo general la señal de salida es la temperatura
controlada. La señal de salida, que tiene la dimensión de la temperatura, debe convertirse
Capítulo 3 / Modelado matemático de sistemas dinámicos
Punto
suma
Punto
de ramificación
de un sistema
a una fuerza, posición o voltaje antes de que pueda compararse con la señal de entrada. Esta
conversión se consigue mediante el elemento de realimentación, cuya función de transferencia es H(s) como se aprecia en la figura 3-6. La función del elemento de realimentación
es modificar la salida antes de compararla con la entrada. (En la mayor parte de los casos, el
elemento de realimentación ed un sensor que mide la salida de la planta. La salida del sensor se compara con la entrada y se genera la señal de error.) En este ejemplo, la señal de realimentación que retorna al punto suma para compararse con la entrada es B(s) = H(s)C(s).
Función de transferencia en lazo abierto y función de transferencia de la trayectoria directa. Remitámonos a la figura 3-6, en la que el cociente de la señal de reali-
mentación B(s) entre la señal de error E(s) se denomina función de trmsferencia
abierto. Es decir,
en Zuzo
B(s)
Función de transferencia en lazo abierto = E(s) = GWW
El cociente entre la salida C(s) y la señal de error E(s) se denomina función de trunsferencia de la trayectoria directa, por lo que,
Función de transferencia de la trayectoria directa = - = G(s)
E(s)
Si la función de transferencia de la trayectoria de realimentación H(s) es la unidad, la función de transferencia en lazo abierto y la función de transferencia de la trayectoria directa
son iguales.
Función de transferencia en lazo cerrado. Para el sistema que aparece en la figura
3-6, la salida C(s) y la entrada R(s) se relacionan del modo siguiente:
C(s) = G(s)E(s)
E(s) = R(s) - B(s)
= R(s) - H(s)C(s)
Sistema en lazo cerrado.
Sección 3-3 / Diagramas de bloques
65
Si eliminamos E(s) de estas ecuaciones, obtenemos
C(s) = G(sWW - fWC@)l
o bien,
C(s)
-=
G(s)
R ( s ) 1 + G(s)H(s)
(34)
La función de transferencia que relaciona C(s) con R(s) se denomina función de transferencia en lazo cerrado. Esta función de transferencia relaciona la dinámica del sistema en lazo
cerrado con la dinámica de los elementos de las trayectorias directa y de realimentación.
A partir de la ecuación (3-6), C(s) se obtiene mediante
C(s) =
G(s)
1 + G(s)H(s) R(s)
Por tanto, la salida del sistema en lazo cerrado depende claramente tanto de la función de
transferencia en lazo cerrado como de la naturaleza de la entrada.
Un sistema en lazo cerrado sqjeto a una perturbación. La figura 3-7 muestra un
sistema en lazo cerrado sujeto a una perturbación. Cuando se presentan dos entradas (la
entrada de referencia y la perturbación) en un sistema lineal, cada una de ellas puede
tratarse en forma independiente; y las salidas correspondientes a cada entrada pueden
sumarse para obtener la salida completa. La forma en que se introduce cada entrada en el
sistema se muestra en el punto suma mediante un signo de más o de menos.
Considere el sistema que se muestra en la figura 3-7. Al examinar el efecto de la perturbación D(s), podemos suponer que el sistema está inicialmente relajado, con un error
cero; después podemos calcular la respuesta CD(S) ~610 para la perturbación. Esta respuesta
se encuentra a partir de
_CD(S)
D(s)
G,(s)
1 + G,(s)G,(s)Ws)
Por otra parte, si consideramos la respuesta a la entrada de referencia R(s), podemos
suponer que la perturbación es cero. Entonces, la respuesta CR(S) a la entrada de referencia R(s) se obtiene a partir de
s= ‘%(s)Gz(s)
Ns) 1 + G,WW)Ns)
Figura 3-7
Sistema en lazo
cerrado sujeto a una
perturbación.
66
Capítulo 3 / Modelado matemático de sistemas dinclmicos
La respuesta a la aplicación simultánea de la entrada de referencia y la perturbación se obtiene sumando las dos respuestas individuales. En otras palabras, la respuesta C(s) producida por la aplicación simultánea de la entrada de referencia R(s) y la perturbación D(s)
se obtiene mediante
C(s) = CR(S) + CD(S)
G,(s)
= 1 + Gl(s)G,(s)H(s)
[G,(s)R(s) + %)l
Considere ahora el caso en el que IGr(s)H(s)/ % 1 y IGr(s)Gz(s)H(s)l % 1. En este caso,
la función de transferencia en lazo cerrado Co(s)lD(s) se hace casi cero, y se suprime el
efecto de la perturbación. Ésta es una ventaja del sistema en lazo cerrado.
Por otra parte, la función de transferencia en lazo cerrado CR(S)IR(S)
se aproxima a
l/H(s) conforme aumenta la ganancia de Gr(s)Gz(s)H(s). Esto significa que si
la función de transferencia en lazo cerrado CR(S)IR(S) se
IGI(s)Gz(s)H(s)I + 1 en, onces
t
vuelve independiente de Gr(s) y G*(s) y se hace inversamente proporcional a H(s), por lo
que las variaciones de Gr(s) y G2 (s )no afectan la función de transferencia en lazo cerrado
Ca(s)/R(s). Ésta es otra ventaja del sistema en lazo cerrado. Es fácil observar que cualquier
sistema en lazo cerrado con una realimentación unitaria, H(s) = 1, tiende a hacer iguales
la entrada y la salida.
Procedimientos para dibqjar un diagrama de bloques. Para dibujar el diagrama
de bloques de un sistema, primero escriba las ecuaciones que describen el comportamiento
dinámico de cada componente. A continuación tome las transformadas de Laplace de estas ecuaciones, suponiendo que las condiciones iniciales son cero, y represente individualmente en forma de bloques cada ecuación transformada por el método de Laplace. Por
último, integre los elementos en un diagrama de bloques completo.
Como ejemplo, considere el circuito RC de la figura 3-g(a). Las ecuaciones para el circuito son
e. - e
i = -.L.--s
Figura 3-8
(a) Circuito RC, (b)
diagrama de bloques
que representa la
ecuación (3-9); (c)
diagrama de bloques
que representa la
ecuación (3-10); (d)
diagrama de bloques
del circuito RC.
R
(3-7)
I i dt
e 0 =C
(3-8)
(b)
w+--p
(cl
(4
Sección 3-3 / Diagramas de bloques
67
La transformada de Laplace de las ecuaciones (3-7) y (3-S), con condiciones iniciales
iguales a cero, se vuelven
z(s) = w - -%(s)
(3-9)
R
Z(s)
J%(s) = cs
La ecuación (3-9) representa una operación de suma y el diagrama correspondiente
aparece en la figura 3-8(b). La ecuación (3-10) representa el bloque de la figura 3-8(c). Si
se integran estos dos elementos se obtiene el diagrama de bloques general para el sistema,
tal como aparece en la figura 3-8(d).
Reducción de un diagrama de bloques. Es importante señalar que los bloques
pueden conectarse en serie, sólo si la entrada de un bloque no se ve afectada por el bloque
siguiente. Si hay efectos de carga entre los componentes, es necesario combinarlos en un
bloque único.
Cualquier cantidad de bloques en cascada que representen componentes sin carga
puede sustituirse con un solo bloque, cuya función de transferencia sea simplemente el producto de las funciones de transferencia individuales.
Un diagrama de bloques complicado que contenga muchos lazos de realimentación
se simplifica mediante un reordenamiento paso a paso mediante las reglas del álgebra de
los diagramas de bloques. Algunas de estas reglas importantes aparecen en la tabla 3-1 y
Tabla 3-1 Reglas del álgebra de los diagramas de bloques
I
l Diaeramas de bloaues orkinales
Capítulo 3 / Modelado matematico
I Diagramas
de sistemas dinámicos
de
bloques
equivalentes
se obtienen escribiendo la misma ecuación en formas distintas. La simplificación de un diagrama de bloques mediante reordenamientos y sustituciones reduce de manera considerable la labor necesaria para el análisis matemático subsecuente. Sin embargo, debe señalarse
que, conforme se simplifica el diagrama de bloques, las funciones de transferencia de los bloq u e s nuevos se vuelven más complejas, debido a que se generan polos y ceros nuevos.
Al simplificar un diagrama de bloques, recuerde lo siguiente:
1. El producto de las funciones de transferencia en la dirección de la trayectoria directa
debe ser el mismo.
2. El producto de las funciones de transferencia alrededor del lazo debe ser el mismo.
EJEMPLO 3-1
Considere el sistema que aparece en la figura 3-g(a). Simplifique este diagrama.
Si se mueve el punto suma del lazo de realimentación negativa que contiene Hz hacia afuera
del lazo de realimentación positiva que contiene HI, obtenemos la figura 3-g(b). Si eliminamos
G3
Cc)
Figura 3-9
(a) Sistema de lazos
múltiples; (b)-(e)
reducciones sucesivas
del diagrama de
bloques mostrado
en (a).
R
Ce)
GW%
l- GIG2H1+G2G3H~+G,GzG3
Sección 3-3 / Diagramas de bloques
c
w
el lazo de realimentación positiva obtenemos la figura 3-9(c). La eliminación del lazo que contiene Z&/Gr produce la figura 3-9(d). Por último, la eliminación del lazo de realimentación conduce
ala figura 3-9(e).
Observe que el numerador de la función de transferencia en lazo cerrado C(s)lR(s) es el producto de las funciones de transferencia de la trayectoria directa. El denominador de C(s)lR(s) es
igual a
1 - c (producto de las funciones de transferencia alrededor de cada lazo)
= 1 - (GIGZHl - G,G,H, - GIG,G,)
= 1 - G,G,H, + G,G,H, + G,G,G,
(El lazo de realimentación positiva produce un término negativo en el denominador.)
3-4 MODELADO EN EL ESPACIO DE ESTADOS
En esta sección presentaremos el material introductorio al análisis en el espacio de estados
de los sistemas de control.
Teoría de control moderna. La tendencia moderna en los sistemas de ingeniería es
hacia una mayor complejidad, debido principalmente a los requerimientos de las tareas
complejas y la elevada precisión. Los sistemas complejos pueden tener entradas y salidas
múltiples y pueden variar en el tiempo. Debido a la necesidad de alcanzar los requerimientos cada vez más restrictivos en el desempeño de los sistemas de control, al aumento en
la complejidad del sistema y a un acceso fácil a las computadoras de gran escala, aproximadamente desde 1960 se ha desarrollado la teoría de control moderna, que es un nuevo
enfoque del análisis y diseño de sistemas de control complejos. Este enfoque nuevo se basa
en el concepto de estado. El concepto de estado por sí mismo no es nuevo, dado que ha existido durante largo tiempo en el campo de la dinámica clásica y en otros medios.
La teoría de control moderna contra la teoría de control convencional. La teoría
de control moderna contrasta con la teoría de control convencional en que la primera se
aplica a sistemas con entradas y salidas múltiples, que pueden ser lineales o no lineales, en
tanto que la segunda sólo se aplica a sistemas lineales con una entrada y una salida e invariantes con el tiempo. Asimismo, la teoría del control moderna es esencialmente un enfoque en el dominio del tiempo, en tanto que la teoría de control convencional es un
enfoque complejo en el dominio de la frecuencia. Antes de continuar, debemos definir estado, variables de estado, vector de estado y espacio de estados.
Estado. El estado de un sistema dinámico es el conjunto más pequeño de variables
(denominadas variables de estado) de modo que el conocimiento de estas variables en t =
to, junto con el conocimiento de la entrada para t 2 ta, determina por completo el comportamiento del sistema para cualquier tiempo t 2 to.
Observe que el concepto de estado de ningún modo está limitado a los sistemas físicos.
Se puede aplicar a sistemas biológicos, económicos, sociales y otros.
Variables de estado. Las variables de estado de un sistema dinámico son las que forman el conjunto más pequeño de variables que determinan el estado del sistema dinámico.
70
Capítulo 3 / Modelado matemático de sistemas dinámicos
Si se necesitan al menos ~t variables ~1, ~2, . . . , x,, para describir por completo el comportamiento de un sistema dinámico (por lo cual una vez que se proporciona la entrada para t
2 fo y se especifica el estado inicial en t = to, el estado futuro del sistema se determina por
completo), tales n variables son un conjunto de variables de estado.
Observe que las variables de estado no necesitan ser cantidades medibles u observables físicamente. Las variables que no representan cantidades físicas y aquellas que no
son medibles ni observables pueden seleccionarse como variables de estado. Tal libertad
al elegir las variables de estado es una ventaja de los métodos de espacio de estados. Sin
embargo, en la práctica es conveniente elegir cantidades que se midan con facilidad para
las variables de estado, si es posible, debido a que las leyes del control óptimo requerirán
la realimentación de todas las variables de estado con una ponderación conveniente.
Vector de estado. Si se necesitan n variables de estado para describir por completo el
comportamiento de un sistema determinado, estas II variables de estado se consideran los ~t
componentes de un vector x. Tal vector se denomina vector de estado. Por tanto un vector de
estado es aquel que determina de manera única el estado del sistema x(t) para cualquier tiempo
t 2 fo, una vez que se obtiene el estado en t = to y se especifica la entrada u(t) para t 2 to.
Espacio de estados. El espacio de n dimensiones cuyos ejes de coordenadas están
formados por el eje XI, el eje ~2,. . . , el eje x,, se denomina espacio de estados. Cualquier estado puede representarse mediante un punto en el espacio de estados.
Ecuaciones en el espacio de estados. En el análisis en el espacio de estados, nos
concentramos en tres tipos de variables involucrados en el modelado de sistemas dinámicos: variables de entrada, variables de salida y variables de estado. Como veremos en la
sección 3-5, no es única la representación en el espacio de estados para un sistema determinado, excepto en que la cantidad de variables de estado es igual para cualquiera de las
diferentes representaciones en el espacio de estados del mismo sistema.
El sistema dinámico debe incorporar elementos que memoricen los valores de la entrada para t 2 tl. Dado que los integradores de un sistema de control en tiempo continuo
funcionan como dispositivos de memoria, las salidas de tales integradores se consideran las
variables que definen el estado interno del sistema dinámico. Por tanto, las salidas de los integradores funcionan como variables de estado. La cantidad de variables de estado necesarias para definir completamente la dinámica del sistema es igual a la cantidad de
integradores que contiene el sistema.
Suponga que un sistema de entradas y salidas múltiples contiene ~t integradores. También suponga que existen r entradas UI, w.(t), . . . , uï(t) y m salidas y~(t), y*(t), . . . , ym(t). Definan salidas de los integradores como variables de estado:xl(t),x2(t), , . . ,x,(t).A continuación
el sistema se describe mediante
(3-11)
i,(t) = fn(q, x2, . . . , xn; Ul, u2, . . . 9u,; t)
Sección 3-4 / Msdelado
en el espacio de estados
71
Las salidas yI( yz(t), . . . , ym(f)
del sistema se obtienen mediante
(3-12)
Si definimos
Xl(O
x2N
x(1) = . >
YN
=
fi(x,, $9* . . > xn; Ul> u2> * * * > u,; 0
f2(x1>x2,...,x,;ul>u2,...>u,;~)
f(x, u, t) =
Tl(f)
fn(xl, x2, . . . > x,;‘u,, u2, . . . > u,; t)
YlO)
Y20)
g,(x,, 3, * * * >x,; Ul> u2, * . * 9 u,; 4
&(Xl> x2, . . . , xn; Ul> u2> . * . Pur; d
-
Y??&>
3
g(x, UV t) =
UlO>
u20>
lp
g,(xl,x~>...,x,;ul,u2>...~u,~~)
i
u(t) =
u,(O
las ecuaciones (3-11) y (3-12) se convierten en
X(t) = f(x, u, t)
(3-13)
(3-14)
YO) = g(x9 4 d
en donde la ecuación (3-13) es la ecuación de estado y la ecuación (3-14) es la ecuación de
la salida. Si las funciones vectoriales f y/o g involucran explícitamente el tiempo t, el sistema
se denomina sistema variante con el tiempo.
Si se linealizan las ecuaciones (3-13) y (3-14) alrededor del estado de operación, tenemos las siguientes ecuaciones de estado y de salida linealizadas:
%(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)
(3-15)
(3-16)
yO> = C(W) + D(OuW
en donde A(t) se denomina matriz de estado, B(t) matriz de entrada, C(t) matriz de salida
y D(t) matriz de transmisión directa. (Los detalles de la linealización de sistemas no lineales
alrededor del estado de operación se analizan en la sección 3-10.) Un diagrama de bloques
que representa las ecuaciones (3-15) y (3-16) aparece en la figura 3-10.
Si las funciones vectoriales f y g no involucran el tiempo t explícitamente, el sistema se
denomina sistema invariante con el tiempo. En este caso, las ecuaciones (3-15) y (3-16)
se simplifican a
i(t) = Ax(t) + Bu(t)
(3-17)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
(3-18)
Capítulo 3 / Modelado matemático de sistemas dinámicos
Figura3-10
Diagrama de bloques
del sistema de
control lineal en
tiempo continuo
representado en el
espacio de estados.
l
NO
La ecuación (3-17) es la ecuación de estado del sistema lineal e invariante con el tiempo. La
ecuación (3-18) es la ecuación de salida para el mismo sistema. En este libro nos concentraremos en los sistemas descritos mediante las ecuaciones (3-17) y (3-18).
A continuación presentaremos un ejemplo para obtener una ecuación de estado y una
ecuación de salida.
EJEMPLO 3-2
Considere el sistema mecánico que aparece en la figura 3-11. Suponemos que el sistema es lineal. La fuerza externa u(t) es la entrada para el sistema, y el desplazamiento y(t) de la masa es
la salida. El desplazamiento y(t) se mide a partir de la posición de equilibrio en ausencia de una
fuerza externa. Este sistema tiene una sola entrada y una sola salida.
A partir del diagrama, la ecuación del sistema es
mji + bj + ky = u
(3-19)
Este sistema es de segundo orden, lo cual significa que el sistema contiene‘dos integradores. Definamos las variables de estado xi(t) y xz(t) como
Xl@) = YO)
x2w = LO)
A continuación obtenemos
x, = x,
Figura3-11
&=;(-ky-bj)+;u
Sistema mecánico.
o bien
(3-20)
(3-21)
La ecuación de salida es
Y = Xl
(3-22)
En una forma matricial, las ecuaciones (3-20) y (3-21) se escriben como
[: ] = [:; :J:] + [;]u
Sección 34 / Modelado en el espacio de estados
(3-23)
73
La ecuación de salida, representada por la ecuación (3-22), se escribe como
Y =
Ll
(3-24)
[l 01 Jz:
La ecuación (3-23) es una ecuación de estado y la ecuación (3-24) es una ecuación de salida para
el sistema. Las ecuaciones (3-23) y (3-24) están en la forma estándar:
i=Ax+Bu
y = cx + Du
en donde
A=[;;
;;],
B=[i],
C=[l
01,
D=O
La figura 3-12 es un diagrama de bloques para el sistema. Observe que las salidas de los integradores son variables de estado.
Correlación entre funciones de transferencia y ecuaciones en el espacio de estados. A continuación mostraremos cómo obtener la función de transferencia de un sistema con una sola entrada y una sola salida a partir de las ecuaciones en el espacio de
estados.
Consideremos el sistema cuya función de transferencia se obtiene mediante
Y(s) = G(s)
U(s)
(3-25)
Este sistema se representa en el espacio de estados mediante las ecuaciones siguientes:
X = Ax + Bu
(3-26)
y = cx + Du
(3-27)
en donde x es el vector de estado, u es la entrada, y y es la salida. La transformada de
Laplace de las ecuaciones (3-26) y (3-27) se obtienen mediante
sX(s) - x(O) = AX(s) + BU(s)
Y(s) = CX(s) + DU(s)
Figura 3-12
Diagrama de bloques
del sistema mecánico
que aparece en la
figura 3-11.
74
Capítulo 3 / Modelado matemático de sistemas dinámicos
(3-28)
(3-29)
Dado que la función de transferencia se definió antes como el cociente entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada, cuando las condiciones iniciales son cero, suponemos que x(O) en la ecuación (3-28) es cero. Por tanto,
tenemos que
sX(s) - AX(s) = BU(s)
o bien
(SI - A)X(s) = BU(s)
Premultiplicando por (SI - A)-1 en ambos miembros de esta última ecuación, obtenemos
(3-30)
X(s) = (SI - A)-‘BU(s)
Sustituyendo la ecuación (3-30) en la ecuación (3-29), llegamos a
Y(s) = [C(sI - A)-lB + D]U(s)
(3-31)
Después de comparar la ecuación (3-31) con la ecuación (3-25) vemos que
(3-32)
G(s) = C(s1 - A)-lB + D
Ésta es la expresión de la función de transferencia en términos de A, B, C y D.
Observe que el segundo miembro de la ecuación (3-32) contiene (SI - A)-1. Por tanto,
G(s) se escribe como
Q(s)
G(s) = IsI - Al
en donde Q(s) es un polinomio en s. Por tanto, IsI - Al es igual al polinomio característico
de G(s). En otras palabras, los valores específicos de A son idénticos a los polos de G(s).
EJEMPLO 3-3
Vuelva a considerar el sistema mecánico que aparece en la figura 3-11. Las ecuaciones en el espacio de estados para el sistema se obtienen mediante las ecuaciones (3-23) y (3-24). Obtendremos la función de transferencia para este sistema a partir de las ecuaciones en el espacio de
estados.
Sustituyendo A, B, C y D en la ecuación (3-32), obtenemos
G(s) = C(s1 - A)-‘B + D
Dado que
s
k
m
b
s+;
-1 b -1 = 1
k
b
k
s+m
- 1 s2+-s+m
m
m
Sección 3-4 / Modelado en el espacio de estados
1
s
75
tenemos que
b
sf-
G(s) = 11
01
;
km
s*+-s+- k - m
m
m
1
s
0
[.
-1
m
ms* + bs + k
que es la función de transferencia del sistema. La misma función de transferencia se obtiene de
la ecuación (3-19).
Matriz de transferencia. A continuación, considere un sistema con entradas y salidas múltiples. Suponga que hay r entradas ur, 2.42, . . . , ur y m salidas yr, yz, . . . , y,. Definamos
Yl
Y2
y=
-9
Ul
u2
u=
Y??l
*
4
La matriz de transferencia G(s) relaciona la salida Y(s) con la entrada U(s), o bien
Y(s) = qs)u(s)
(3-33)
Dado que el vector de entrada u es de dimensión r y el vector de salida y es de dimensión
m, la matriz de transferencia es una matriz de m X r.
3-5 REPRESENTACIÓN EN EL ESPACIO DE ESTADOS
DE SISTEMAS DINÁMICOS
Un sistema dinámico formado por una cantidad finita de elementos de parámetros concentrados se describe mediante una serie de ecuaciones diferenciales, en las cuales el
tiempo es la variable independiente. Con la notación matricial, puede expresarse una
ecuación diferencial de n-ésimo orden mediante una ecuación diferencial matricial de
primer orden. Si rz elementos del vector son un conjunto de variables de estado, la ecuación
diferencial matricial es una ecuación de estado. En esta sección presentaremos métodos
para obtener representaciones en el espacio de estados de sistemas en tiempo continuo.
Representación en el espacio de estados de sistemas de n-ésimo orden representados mediante ecuaciones diferenciales lineales en las cuales no contiene derivadas de la función de excitación. Considere el siguiente sistema de n-ésimo orden:
(n)
(n-l)
y + a,y + -. * + a,-ly + a,y = u
(3-34)
Si consideramos que el conocimiento de y(O), y(O), . ?$O), junto con la entrada u(t) para t
2 0, determina totalmente el comportamiento futuro del sistema, podemos tomar y(t),
j(t), . . . ,“j$) como un conjunto de n variables de estado. (Matemáticamente, tal elección
76
Capítulo 3 / Modelado matemático de sistemas dinámicos
de variables de estado es muy conveniente. Sin embargo, en la práctica, debido a que los
términos que contienen las derivadas de orden superior no son exactos, por los efectos de
ruido inherentes en cualesquiera situaciones prácticas, tal elección de las variables de estado puede no ser conveniente.)
Definamos
Xl = Y
x2 = y
(n-l)
x,= Y
A continuación, la ecuación (3-34) se escribe como
X, = -a,x, - . fe - a,x, + u
o bien
X = Ax + Bu
(3-35)
en donde
0
0
Xl
1
0
0
1
...
**.
0
0
D
0
x2
x =
>
A =
xn
B=
0
-an
0
-
a,-,
0
...
1
-une2 * .. -al
0
1
La salida se obtiene mediante
Xl
x2
Y = El
0
...
01
*
Tl
o bien
y = cx
Sección 3-5 / Representación en el espacio de estados de sistemas dinámicos
(3-36)
77
en donde
c = [l 0 ***
O]
[Observe que D en la ecuación (3-27) es cero.] La ecuación diferencial de primer orden
(3-35) es la ecuación de estado, y la ecuación algebraica (3-36) es la ecuación de salida. La
figura 3-13 contiene una representación en diagrama de bloques de la ecuación de estado y
de la ecuación de salida obtenidas a partir de las ecuaciones (3-35) y (3-36),respectivamente.
Observe que la representación en el espacio de estados para la función de transferencia del sistema
1
Y(s) =
U(s)
s” + upn-l + . * *+ an-,s + a,
también se obtiene mediante las ecuaciones (3-35) y (3-36).
Representación en el espacio de estados de sistemas de n-ésimo orden representadas mediante ecuaciones diferenciales lineales en las cuales contiene derivadas de la función de excitación. Si la ecuación diferencial del sistema involucra
derivadas de la función de excitación, tales como
(n)
y + a:;l) + . . . + anelj + u,y = bJ? + $;u” + . . . + b,J¿ + b,u
(3-37)
(n-l)
entonces el conjunto de IZ variables y, y, jj, . . . , y no califica como un conjunto de variables de estado y no puede usarse el método directo que se empleó antes. Esto se debe a que
n ecuaciones diferenciales de primer orden
(n)
(n-l)
x, = -u,x, - une1x2 - . . * - u,x, + b,u + b,u + * * *+ b,u
en donde XI = y, pueden no conducir a una solución única.
El problema principal al definir las variables de estado para este caso estriba en los términos que están derivados del segundo miembro de la última de las 12 ecuaciones precedentes. Las variables de estado deben ser de tal modo que eliminen las derivadas de u en
la ecuación de estado.
Una forma de obtener una ecuación de estado y una ecuación de salida es definir las
siguientes IZ variables como un conjunto de n variables de estado:
Figura 3-13
Representación en diagrama
de bloques de una ecuación de
estado y una ecuación de
salida obtenidas mediante las
ecuaciones (3-35)
y (3-36), respectivamente.
78
al
a2
Capítulo 3 / Modelado matemático de sistemas dinámicos
4-1
an
Y - Pou
Xl =
x2 = j - p,u - &l = x, - &u
xg = jJ - &ü - p,u - &u = x, - pp
.
*
x,
=
(n-l) (n-l)
y - &u
cn-/3p
-
*** -
(3-38)
#44.i - p,-g.4 = .q-1 - /Lu
en donde Po, BI, B2, . . . , P,, , se determinan a partir de
Po = bo
BI = b, - al80
P2 = b2 - alA - aLPo
(3-39)
& = b, - Ud2 - a2B1 - %PO
/3, = b, - a,/$-l - . . . - an-1/?1 - aJ0
Con esta elección de variables de estado está garantizada la existencia y unicidad de la solución de la ecuación de estado. (Observe que ésta no es la única elección de un conjunto de
variables de estado.) Con la elección actual de variables de estado, obtenemos
x, = x2 + p1u
i2 = xg + p2z4
(3-40)
%Z-1 = x, + #&-,u
in = -a,x, - anmíx2 - . . . - a,x, + /?,u
[Para obtener la ecuación (3-40), véase el problema A-3-3.1 En términos d e las ecuaciones
matriciales, la ecuación (3-40) y la ecuación de salida se escriben como
0
0
Xl
x2
1
0
0
1
***o
. ..o
=
L l
4l
B:
Xl
x2
+
0
-%
0
-un-,
y = [l 0 ***
0
.**l
-unp2 . . . -aI
O]
u
Tl-1
Pn
. + &u
-Tl
ll
Sección 3-5 / Representación en el espacio de estados de sistemas dinámicos
79
o bien
#=Ax+Bu
(3-41)
y = cx + Du
(3-42)
en donde
x =
A
=
0
0
1
0
0
1
.
.
.
***o
***o
0
0
0
ea.1
-a,-,
-ane2
*
*. -aI
-4
c = [l 0 ... 01,
D = p. = b,
La condición inicial x(O) puede determinarse a partir de la ecuación (3-38).
En esta representación en el espacio de estados, las matrices Ay C son exactamente las
mismas que para el sistema de la ecuación (3-34). Las derivadas del segundo miembro de
la ecuación (3-37) ~610 afectan los elementos de la matriz B.
Observe que la representación en el espacio de estados para la función de transferencia
Y(s)
bes” + bp + * * *+ b,-1s + b,
-=
s” + a,F1 + . * * + a,-,s + a,
w
Figura 3-14
Representación en diagrama de bloques de la ecuación de estado y la ecuación de salida
obtenidas mediante las ecuaciones (3-41) y (3-42), respectivamente.
80
Capítulo 3 / Modelado matemático de sistemas dinámicos
(3-43)
se obtiene también a partir de las ecuaciones (341) y (3-42). La figura 3-14 es una representación en diagrama de bloques de la ecuación de estado y de la ecuación de salida
obtenidas mediante las ecuaciones (3-41) y (3-42) respectivamente.
Existen muchas formas de obtener representaciones en el espacio de estados de los sistemas. Algunas de ellas se presentan en los problemas A-3-4 a A-3-7. El capítulo ll presenta métodos para obtener representaciones canónicas de sistemas en el espacio del
estado (tales como una forma canónica controlable, una forma canónica observable, una
forma canónrca diagonal y una forma canónica de Jordan).
3-6 SISTEMAS MECÁNICOS
En esta sección analizaremos el modelado matemático de los sistemas mecánicos. La ley
fundamental que controla los sistemas mecánicos es la segunda ley de Newton, que se
aplica a cualquier sistema mecánico. En esta sección, obtendremos modelos matemáticos
de dos sistemas mecánicos. (En los capítulos restantes obtendremos y analizaremos modelos matemáticos de sistemas mecánicos adicionales.) Antes de analizar los sistemas mecánicos, repasemos las definiciones de masa, fuerza y sistemas de unidades.
Masa. La masa de un cuerpo es la cantidad de materia que contiene, misma que se
supone constante. Físicamente, la masa es la propiedad de un cuerpo que le da inercia, es
decir, resistencia a moverse o detenerse. Un cuerpo es atraído por la Tierra y la magnitud
de la fuerza que ejerce la Tierra sobre él se denomina peso.
En situaciones prácticas, conocemos el peso w de un cuerpo pero no su masa m. Calculamos la masa m a partir de
en donde g es la constante de aceleración gravitacional. El valor de g varía ligeramente de
un punto a otro de la superficie terrestre. Como resultado, el peso de un cuerpo varía ligeramente en diferentes puntos de la superficie de la Tierra, pero su masa permanece constante. Para propósitos de ingeniería, g se considera como
g = 9.81 m/s2 = 981 cmIs = 32.2 piesls2 = 386 plg/s2
En el espacio exterior, un cuerpo pierde su peso; no obstante, su masa permanece constante
y por tal razón el cuerpo posee inercia.
Las unidades para la masa son los kg, los g, las Ib, los kg+/m y el slug, como se aprecia
en la tabla 3-2. Si la masa se expresa en kilogramos (o libras), la llamamos kilogramos masa (o
libras masa) para distinguirla de la unidad de fuerza, que se denomina kilogramo fuerza (o libras fuerza). En este libro, se usa kg para representar kilogramos masa y kgr para kilogramos fuerza. Asimismo, Ib representa libras masa y lbf libras fuerza.
Un slug es una unidad de masa tal que, cuando se le aplica una fuerza de una libra, una
masa de un slug se acelera a 1 pie/s2 (slug = 1bps’Vpie). En otras palabras, si se aplica una masa
de un slug mediante una fuerza de 32.2 libras, acelera a 32.2 pies/s2( = g). Por tanto, la masa de
un cuerpo que pesa 32.2 lbf en la superficie de la Tierra es de 1 slug o
32.2 lbf _
- 1 slug
m = 7 = 32.2 pie&
W
Sección 3-6 / Sistemas mecánicos
81
Tabla 3-2 Sistemas de unidades
Sistemas
absolutos
Sistemas gravitacionales
Métrico
Métrico de
ingeniería
Británico de
ingeniería
SI
mks
ClY
Longitud
m
m
cm
m
pie
Masa
kg
kg
g
ka-s2
m
slug
lbf -s2
=pie
Tiempo
S
S
S
S
S
Fuerza
N
kg-m
=-
N
kg-m
=-
din
g-cm
=-
kgf
lbf
S2
S2
S2
Energía
J
= N-m
= J-m
ergio
= din-cm
kgf-m
lp?
Corriente
eléctrica
W
N-m
=-
W
N-m
=-
din-cm
-
kgf-m
-
pie-lbf
s
ohp
S
S
S
S
Fuerza. La fuerza se define como la causa que tiende a producir un cambio en el
movimiento de un cuerpo al cual se aplica. Para mover un cuerpo, debe aplicarse una fuerza
sobre él. Dos tipos de fuerza pueden actuar sobre un cuerpo: las fuerzas de contacto y las
fuerzas de campo. Las fuerzas de contacto son aquellas que tienen un contacto directo con
el cuerpo, en tanto que las fuerzas de campo, tales como la fuerza gravitacional y la fuerza
magnética, actúan sobre el cuerpo sin entrar en contacto con él.
Las unidades para la fuerza son el newton (N), la dina (din), el kgf y la lbf. En unidades
del SI (sistema internacional) y del sistema mks (un sistema métrico absoluto) la unidad de
fuerza es el newton. El newton es la fuerza que le dará a una masa de un kilogramo una
aceleración de 1 rn/sz o
1 N = 1 kg-m/s2
Esto significa que 9.81 newtons le darán a una masa de un kilogramo una aceleración de
9.81 m/s2. Dado que la aceleración gravitacional es g = 9.81 mls2 (como se mencionó antes,
para cálculos en ingeniería el valor de g se considera como de 9.81 m/s* o 32.2 pies/@, una
masa de un kilogramo producirá una fuerza en su base de 9.81 newtons.
La unidad para la fuerza en el sistema cgs (un sistema métrico absoluto) es la dina, que
le dará a una masa de un gramo una aceleración de 1 cm/s* o
1 dina = 1 g-cm/s*
La unidad para la fuerza en el sistema métrico de ingeniería (gravitacional) es el kgf, que
es una dimensión primaria en el sistema. Asimismo, en el sistema británico de ingeniería,
la unidad de fuerza es la lbf. También es una dimensión primaria en este sistema de
unidades.
82
Capítulo 3 / Modelado matemático de sistemas dinámicos
Comentarios. Las unidades del SI para la fuerza, la masa y la longitud son el newton
(N), el kilogramo masa (kg) y el metro (m). Las unidades del mks para la fuerza, la masa y
la longitud son iguales a las del SI. Asimismo, las unidades cgs para la fuerza, la masa y la
longitud son la dina (din), el gramo (g) y el centímetro (cm) y las del sistema británico son
la libra fuerza (lbf), el slug y el pie. Cada uno de los sistemas de unidades es consistente en
que la unidad de fuerza acelera la unidad de masa una unidad de longitud por segundo.
En los sistemas de unidades que aparecen en la tabla 3-2, se usa una “s” para el segundo.
Sin embargo, en los documentos y libros sobre ingeniería, por lo general se utiliza “seg”.
Por tanto, en este libro usaremos “seg” y no “s”, para el segundo.
Sistema mecánico. Considere el sistema masa-resorte-amortiguador montado en
un carro sin masa, que aparece en la figura 3-1.5. Un amortiguador es un dispositivo que
proporciona fricción viscosa o amortiguamiento. Está formado por un pistón y un cilindro
lleno de aceite. El aceite resiste cualquier movimiento relativo entre la varilla del pistón y
el cilindro, debido a que el aceite debe fluir alrededor del pistón (o a través de orificios en el
pistón) de un lado del pistón al otro. El amortiguador esencialmente absorbe energía. Esta
energía absorbida se disipa como calor y el amortiguador no almacena energía cinética ni
potencial.
Obtengamos un modelo matemático de este sistema de masa-resorte-amortiguador
montado en un carro, suponiendo que éste está inmóvil durante un t < 0. En este sistema,
u(t) es el desplazamiento del carro y la entrada para el sistema. En t = 0, el carro se mueve
a una velocidad constante, o bien z¿ = constante. El desplazamiento y(t) de la masa es la salida. (El desplazamiento en relación con el piso.) En este sistema, m representa la masa, b
denota el coeficiente de fricción viscosa y k es la constante del resorte. Suponemos que la
fuerza de fricción del amortiguador es proporcional a $- zi y que el resorte es lineal; es decir, la fuerza del resorte es proporcional a y - u.
Para sistemas traslacionales, la segunda ley de Newton establece que
mu = CF
en donde m es una masa, a es la aceleración de la masa y XF es la suma de las fuerzas que
actúan sobre la masa. Aplicando la segunda ley de Newton al sistema presente y considerando que el carro no tiene masa, obtenemos
r
u
r
Y
Carro sin masa
Figura 3-15
Sistema masaresorte-amortiguador
montado en un carro.
Sección 3-6 / Sistemas mecánicos
83
o bien
mdZY+b4! iky=b%+ku
dt2
(3-44)
dt
La ecuación (3-44) proporciona un modelo matemático del sistema considerado.
Un modelo mediante la función de transferencia es otra forma de representar un modelo matemático de un sistema lineal e invariante con el tiempo. Para el sistema mecánico presente, el modelo mediante función de transferencia se obtiene del modo siguiente. Tomar
la transformada de Laplace de cada término de la ecuación (3-44) produce
Ce m 2 = m[s*Y(s)
I
I1
[1
- sy(0) - j(O)]
1
ce b” =
ce[ky]
b[sY(s) - y ( O ) ]
= kY(s)
Ce b % = b[sU(s)
- u(O)]
Lqku] = kU(s)
Si establecemos las condiciones iniciales iguales a cero, o establecemos y(O) = 0, j(O) = 0
y u(O) = 0, la transformada de Laplace de la ecuación (3-44) se escribe como
(ms* + bs + k)Y(s) = (bs + k)U(s)
Tomando el cociente entre Y(s) y U(s), encontramos que la función de transferencia del sistema es
bs + k
Función de transferencia = G(s) = - =
ms*
+ bs + k
U(s)
Tal representación mediante la función de transferencia de un modelo matemático se usa
con mucha frecuencia en la ingeniería de control. Sin embargo, debe señalarse que los modelos mediante la función de transferencia sólo se aplican a sistemas lineales e invariantes con
el tiempo, dado que las funciones de transferencia ~610 están definidas para tales sistemas.
A continuación obtendremos un modelo en el espacio de estados de este sistema.
Primero compararemos la ecuación diferencial para este sistema
con la forma estándar
y + a,j + a,y = b,ü + b,M + b,u
e identificaremos al, az, bo, bl y b2 del modo siguiente:
b
LZ,=--,
m
84
k
a2=-,
m
b, = 0,
b, = b
m’
Capítulo 3 / Modelado matemático de sistemas dimimícos
b, = k
m
Remitiéndonos a la ecuación (3-39), tenemos que
& = b, = 0
,& = b, - aI&, = b
m
p2 = b, - a& - az/30 = k - ’ ’
m
m
0
Por tanto, remitiéndonos a la ecuación (3-38), definimos
x1 = y - &u = y
x2 = x, - plu = x, - bu
m
A partir de la ecuación (340), tenemos que
b
x, = x2 + p+ = x2 + - u
m
X, = -a2x1 - a,x, + /3=u = y la ecuación de salida se convierte en
Y = Xl
o bien,
0
- km
-1
b
m
Y
y = [l
k
m
Ll
O] x1
(3-45)
(3-46)
x2
Las ecuaciones (345) y (346) dan una representación en el espacio de estados del sistema.
(Observe que ésta no es la única representación en el espacio de estados. Hay infinitamente
más representaciones en el espacio de estados para el sistema.)
EJEMPLO 3-4
Un péndulo invertido montado en un carro manejado por un motor aparece en la figura 3-16(a).
Éste es un modelo del control de posición de un propulsor primario espacial para despegues. (El
objetivo del problema del control de posición es conservar el propulsor primario espacial en una
posición vertical.) El péndulo invertido es inestable porque puede girar en cualquier momento y
en cualquier dirección, a menos que se le aplique una fuerza de control conveniente. Aquí consideramos sólo un problema en dos dimensiones, en el cual el péndulo sólo se mueve en el plano
de la página. Se aplica al carro la fuerza de control u. Suponga que el centro de gravedad de la
barra del péndulo está en su centro geométrico. Obtenga un modelo matemático para este sistema. Suponga que la masa m de la barra del péndulo es de 0.1 kg, la masa M del carro es de 2 kg
y la longitud 21 de la barra del péndulo es de 1 m, o bien,
Sección 3-6 / Sistemas mecánicos
85
(4
(b)
Figura 3-16
(a) Sistema del péndulo invertido; (b) diagrama de cuerpo libre.
m = 0.1 kg,
M = 2 kg,
2l=lm
Defina el ángulo de la barra respecto de la línea vertical como 0. Defina también las coordenadas (x, y) del centro de gravedad de la barra del péndulo como (Xo, yo). De este modo
xG=x +lsenO
y~=lcose
Para obtener las ecuaciones de movimiento para el sistema, considere el diagrama de cuerpo libre que aparece en la figura 3-16(b). El movimiento rotacional de la barra del péndulo alrededor de su centro de gravedad se describe mediante
IB’= VI sen t3-HI cose
(3-47)
en donde I es el momento de inercia de la barra alrededor de su centro de gravedad.
El movimiento horizontal del centro de gravedad de la barra del péndulo se obtiene mediante
d2
mz(x+lsen
t3)=H
(3-48)
El movimiento vertical del centro de gravedad de la barra del péndulo es
d2
mz(l cos 0) = V - mg
(3-49)
El movimiento horizontal del carro se describe mediante
MdZy =*-H
dt2
Capítulo 3 / Modelado matemático de sistemas dinámicos
(3-50)
Las ecuaciones (3-47) a (3-50) describen el movimiento del sistema del péndulo invertido en el
carro. Debido a que estas ecuaciones contienen sen 19 y cos 0, son no lineales.
Si suponemos que el ángulo 8 es pequeño, las ecuaciones (347) a (3-50) se linealizan del
modo siguiente:
Iti = VlO - Hl
(3-51)
m(i + 18) = H
(3-52)
O=V-mg
(3-53)
Mi=u-H
(3-54)
A partir de las ecuaciones (3-52) y (3-54) obtenemos
(M + m).i + ~118 = u
(3-55)
A partir de las ecuaciones (3-51) y (3-53) obtenemos
I8 = mg10 - HI
= mg10 - l(mX + ml8)
o bien
(Z + m12)8’ + mli = mg10
(3-56)
Las ecuaciones (3-55) y (3-56) describen el movimiento del sistema del péndulo invertido en el
carro. Constituyen un modelo matemático del sistema. (Más adelante, en los capítulos 12 y 13, diseñaremos controladores para conservar el péndulo vertical en presencia de perturbaciones.)
3-7 SISTEMAS ELÉCTRICOS
En esta sección abordaremos los circuitos eléctricos que involucran los resistores, los capacitores y los inductores.
Las leyes fundamentales que gobiernan los circuitos eléctricos son las leyes de corrientes y voltajes de Kirchhoff. La ley de corrientes de Kirchhoff (la ley de nodos) plantea que
la suma algebraica de todas las corrientes que entran y salen de un nodo es cero. (Esta ley
también puede plantearse del modo siguiente: la suma de las corrientes que entran a un
nodo es igual a la suma de las corrientes que salen del mismo.) La ley de voltajes de Kirchhoff (la ley de mallas) establece que en cualquier instante determinado la suma algebraica
de los voltajes alrededor de cualquier malla en un circuito eléctrico es cero. (Esta ley también se plantea del modo siguiente: la suma de las caídas de voltaje es igual a la suma de las
elevaciones de voltaje alrededor de un malla.) Un modelo matemático de un circuito eléctrico se obtiene aplicando una o ambas leyes de Kirchhoff.
Esta sección trata de los circuitos eléctricos sencillos. El modelado matemático de sistemas con amplificadores operacionales se presenta en el capítulo 5.
Circuito LRC. Considere el circuito eléctrico que aparece en la figura 3-17. El circuito está formado por una inductancia L (henry), una resistencia R (ohm), y una capacitancia C (farad). Aplicando la ley de voltaje de Kirchhoff al sistema, obtenemos las
ecuaciones siguientes:
Sección 3-7 / Sistemas eléctricos
87
Figura3-17
0 Circuito eléctrico.
1
1
z
i dt = e,
Las ecuaciones (3-57) y (3-58) dan un modelo matemático del circuito.
Un modelo mediante la función de transferencia del circuito también se obtiene del
modo siguiente. Se toma la transformada de Laplace de las ecuaciones (3-57) y (3-58) y se
suponen condiciones iniciales iguales a cero, para obtener
LsZ(s) + RZ(s) + ; i Z(s) = E,(s)
f 3 Z(s) = E,(s)
Si se supone que ei es la entrada y eO la salida, la función de transferencia de este sistema
resulta ser
E,(s) _
1
Ei
LCs2 + RCs + 1
(3-59)
Impedancias compleJas. En las funciones de transferencia para circuitos elkctricos,
a menudo encontramos conveniente escribir las ecuaciones transformadas directamente
mediante el método de Laplace, sin escribir las ecuaciones diferenciales. Considere el sistema que aparece en la figura 3-18(a). En este sistema, ZI y ZZ representan impedancias
complejas. La impedancia compleja Z(s) de un circuito de dos terminales es el cociente entre E(s), la transformada de Laplace del voltaje a través de las terminales, e Z(s), la transformada de Laplace de la corriente a través del elemento, bajo la suposición de que las
condiciones iniciales son cero; por tanto, Z(s) = E(s) Si los elementos de dos terminales son una resistencia R, una capacitancia C, o una inductancia L, la impedancia compleja se obtiene mediante R, l/Cs, o LS , respectivamente. Si se conectan impedancias
complejas en serie, la impedancia total es la suma de las impedancias complejas individuales.
Zl
0
-J-w
-
Figura3-18
Circuitos
eléctricos.
88
*
I_
Zl
el
L
z2
Q
e2
e
w
ei
-5
-%-
*
(al
Capítulo 3 / Modelado matemático de sistemas dinámicos
eo
(b)
Recuerde que el enfoque de impedancias sólo es válido si todas las condiciones iniciales
involucradas son cero. Dado que las funciones de transferencia requieren de condiciones
iniciales cero, el enfoque de impedancias se aplica para obtener la función de transferencia
del circuito eléctrico. Este enfoque simplifica mucho la obtención de funciones de transferencia de circuitos eléctricos.
Considere el circuito que aparece en la figura 3-M(b). Suponga que los voltajes ei y e,
son la entrada y la salida del circuito, respectivamente. Por tanto, la función de transferencia de este circuito es
Z,(s)
Eo(
Ei Z,(s) + Z,(s)
Para el sistema que aparece en la figura 3-17,
Z, = LS + R,
Por tanto, la función de transferencia
z, = &
E,(s)IE( I s )se encuentra del modo siguiente:
1
-
cs
E,(s) _
Ei
Ls+R+&
1
= LCs2 + RCs + 1
que es, por supuesto, idéntica a la ecuación (3-59).
Representación en el espacio de estados. Un modelo en el espacio de estados del
sistema, como el que aparece en la figura 3-17, se obtiene del modo siguiente. Primero, observe que la ecuación diferencial para el sistema se obtiene a partir de la ecuación (3-59) como
1
R
ë. + ¿ e, + -e, = J- ei
LC
LC
Después, definiendo las variables de estado mediante
x1 = e,
x2 = e,
y las variables de entrada y salida mediante
u = e,
y = e, = x1
obtenemos
[: ] = [-i -l!$:] + [i]u
Y
Estas dos ecuaciones dan un modelo matemático del sistema en el espacio de estados.
Sección 3-7 / Sistemas eléctricos
89
Funciones de transferencia de elementos en cascada. Muchos sistemas realimentados tienen componentes que se cargan uno a otro. Considere el sistema de la figura
3-19. Suponga que ei es la entrada y que e0 es la salida. En este sistema, la segunda etapa
del circuito (la parte &Cz) produce un efecto de carga en la primera etapa (la parte de
RrCr). Las ecuaciones para este sistema son
$ J (il - i2) dt + R,i, = e,
(3-60)
1
Y
t 1 (i, - iJ dt + R-j2 + $1 i, dt = 0
2
1
c2
(3-61)
i2 dt = e,
Si consideramos la transformada de Laplace de las ecuaciones (3-60) a (3-62 y suponemos
condiciones iniciales de cero, obtenemos
& [Z2(4 - Z,(s)1 + R2Z2W + & 4(4 = 0
1
2
(3-64)
Eliminando Zr(s) de las ecuaciones (3-63) y (3-64) y escribiendo Ei en términos de ZZ(S),
encontramos que la función de transferencia entre E&) y E@) es
J%(s) _
1
Ei
(R,C,s + l)(R,C,s + 1) -t R,C,s
1
= R,C,R2C2s2 + (R,C, + R2C2 + R,C,)s + 1
(3-66)
El término RlG,s en el denominador de la función de transferencia representa la interacción de dos circuitos RC sencillos. Dado que (RICI + R2C2 + RICZ)~ > ~R~CIRZCZ, las dos
raíces del denominador de la ecuación (3-66) son reales.
El análisis presente muestra que, si se conectan dos circuitos RC en cascada, de modo
que la salida del primer circuito es la entrada del segundo, la función de transferencia gene-
&
1
90
JCAf
Jc2f
:
fignra3-19
Sistema eléctrico
Capítulo 3 / Modelado matemático de sistemas dinámicos
ral no es el producto de lI(RrCrs + 1) y lI(&C2s + 1). Esto se debe a que, cuando obtenemos la función de transferencia para un circuito aislado, suponemos implícitamente que
la salida no está cargada. En otras palabras, se supone que la impedancia de carga es infinita, lo cual significa que no se entrega potencia en la salida. Sin embargo, cuando se
conecta el segundo circuito a la salida del primero, se entrega cierta cantidad de potencia
y, por tanto, se viola la suposición de que no hay carga. A su vez, si la función de transferencia de este sistema se obtiene bajo la suposición de que no hay carga, la suposición no
es válida. El grado del efecto de carga determina la cantidad de modificación de la función
de transferencia.
Funciones de transferencia de elementos en cascada sin carga. La función de
transferencia de un sistema formado por elementos en cascada sin carga se obtiene eliminando la entrada y la salida intermedias. Por ejemplo, considere el sistema que aparece en
la figura 3-20(a). Las funciones de transferencia de los elementos son
G,(s) = $j
y
X,(s)
G(S) = x,o
1
Si la impedancia de entrada del segundo elemento es infinita, la salida del primer elemento
no se modifica si se conecta al segundo. En este caso, la función de transferencia del sistema
completo se convierte en
Por tanto, la función de transferencia del sistema completo es el producto de las funciones
de transferencia de los elementos individuales. Esto se aprecia en la figura 3-20(b).
Como ejemplo, considere el sistema que aparece en la figura 3-21. La inserción de un
amplificador de aislamiento entre los circuitos para obtener características sin carga se
usa a menudo cuando se combinan circuitos. Dado que los amplificadores tienen impendancias de entrada muy altas, un amplificador de aislamiento insertado entre los dos circuitos justifica la suposición de que no hay carga.
Los dos circuitos RC sencillos, aislados mediante un amplificador como el que aparece
en la figura 3-21, tienen efectos de carga insignificantes y la función de transferencia de
todo el circuito es igual al producto de las funciones de transferencia individuales. Por tanto,
en este caso,
%f= (ROL:, + I)(K)(R2C2t + 1)
K
= (R,C,s + l)(R,C,s + 1)
X,(s)
X,(s)
+ G(s)
X,(s)
- - G(s)
X,(s)
X,(s)
e
(4
Figura 3-20
(a) Sistema formado por dos elementos en cascada sin carga; (b) un sistema equivalente.
Sección 3-7 / Sistemas eléctricos
91
RI
-T
ei
Cl
4mplificador
de
aislamiento
-L
3-8 SISTEMA DEL NIVEL DE LíQUIDO
Al analizar sistemas que implican el flujo de líquidos, resulta necesario dividir los
regímenes de flujo en laminar y turbulento, de acuerdo con la magnitud del número de
Reynolds. Si el número de Reynolds es mayor que entre 3000 y 4000, el flujo es turbulento.
El flujo es laminar si el número de Reynolds es menor que unos 2000. En el caso laminar,
tiene lugar un flujo estable en las corrientes, sin turbulencia. Los sistemas que contienen un
flujo turbulento a menudo deben representarse mediante ecuaciones diferenciales no lineales, en tanto que los sistemas con un flujo laminar pueden representarse mediante ecuaciones diferenciales lineales. (Con frecuencia los procesos industriales implican un flujo de
líquidos a través de tubos y tanques conectados. El flujo en tales procesos resulta a menudo
turbulento y no laminar.)
En esta sección obtendremos modelos matemáticos de sistemas del nivel de líquido. Si
se introduce el concepto de resistencia y capacitancia para tales sistemas del nivel de líquido,
es posible describir en formas simples las características dinámicas de tales sistemas.
Resistencia y capacitancia de sistemas del nivel de líquido. Considere el flujo a
través de un tubo corto que conecta dos tanques. La resistencia R para el flujo de líquido
en tal tubo se define como el cambio en la diferencia de nivel (la diferencia entre el nivel
de líquido en los dos tanques) necesaria para producir un cambio de una unidad en la velocidad del flujo; es decir,
R=
cambio en la diferencia de nivel, m
cambio en la velocidad de flujo, m3/seg
Dado que la relación entre la velocidad del flujo y la diferencia de nivel es distinta para el
flujo laminar y el flujo turbulento, en lo sucesivo consideraremos ambos casos.
Considere el sistema del nivel de líquidos que aparece en la figura 3-22(a). En este sistema el líquido sale a chorros a través de la válvula de carga a un lado del tanque. Si el flujo
a través de esta restricción es laminar, la relación entre la velocidad del flujo en estado estable y la altura en estado estable en el nivel de la restricción se obtiene mediante
Q = KH
en donde Q = velocidad del flujo del líquido en estado estable, m3/seg
K = coeficiente, m%eg
H = altura en estado estable, m
Observe que la ley que controla el flujo laminar es análoga a la ley de Coulomb, que plantea
que la corriente es directamente proporcional a la diferencia potencial.
92
Capítulo 3 / Modelado matemhtíco de sistemas dinámicos
Válvula de control
Válvula de carga
Figura 3-22
Resistekia
R
Capacitanha
c
(a) Sistema del nivel
de líquido; (b) curva
de la altura en contra
del flujo.
Ca)
(b)
Para el flujo laminar, la resistencia RI se obtiene como
R =dH=H
’
dQ Q
La resistencia del flujo laminar es constante y análoga a la resistencia eléctrica.
Si el flujo es turbulento a través de la restricción, la velocidad del flujo en estado estable
se obtiene mediante
Q=K<H
(347)
en donde Q = velocidad de flujo del líquido en estado estable, m%eg
K = coeficiente, m%.eg
H = altura en estado estable, m
La resistencia Rt para el flujo turbulento se obtiene a partir de
Debido a que de la ecuación (3-67) obtenemos
dQ = K dH
2VÍ!i
tenemos que
dH
2<H 2qH TH 2
-=-=
Q
dQ
K
=------H
Q
Por tanto,
R, = F
(343)
El valor de la resistencia de flujo turbulento RI depende del flujo y la altura. Sin embargo,
el valor de Rt se considera constante si los cambios en la altura y en el flujo son pequeños.
Sección 3-8 / Sistema del nivel de liquido
93
Usando la resistencia de flujo turbulento, la relación entre Q y H se obtiene mediante
Tal linealización es válida, siempre y cuando los cambios en la altura y el flujo, a partir de
sus valores respectivos en estado estable, sean pequeños.
En muchos casos prácticos, se desconoce el valor del coeficiente K de la ecuación
(3-67) que depende del coeficiente de flujo y del área de restricción. En tales casos, la resistencia se determina mediante una gráfica de la curva de la altura contra el flujo, basada
en datos experimentales y midiendo la pendiente de la curva en la condición de operación.
Un ejemplo de tal gráfica aparece en la figura 3-22(b). En la figura, el punto P es el punto
de operación en estado estable. La línea tangente a la curva en el punto P interseca
- - la ordenada en el punto (-@ 0). Por tanto, la pendiente de esta línea tangente
es
2H/Q.
Dado
- que la resistencia Rr en el punto de operación P se obtiene mediante 2H/Q, la resistencia R,
es la pendiente de la curva en el punto de operación.
Considere la condición de operación en la vecindad del punto P. Defina como h una
desviación pequeña de la altura a partir del valor en estado estable y como q el pequeño
cambio correspondiente del flujo. A continuación, la pendiente de la curva en el punto P se
obtiene mediante
Pendiente de la curva en el punto P = 5 = g = R,
La aproximación lineal se basa en el hecho de que la curva real no difiere mucho de su línea
tangente si la condición de operación no varía mucho.
La capacitancia C de un tanque se define como el cambio necesario en la cantidad de
líquido almacenado, para producir un cambio de una unidad en el potencial (altura). (El
potencial es la cantidad que indica el nivel de energía del sistema.)
C =
cambio en el líquido almacenado, m3
cambio en la altura, m
Debe señalarse que la capacidad (ms) y la capacitancia (mz) son diferentes. La capacitancia del tanque es igual a su área transversal. Si ésta es constante, la capacitancia es constante
para cualquier altura.
Sistemas del nivel de líquido. Considere el sistema que aparece en la figura 3-22(a).
Las variables se definen del modo siguiente:
Q = velocidad de flujo en estado estable (antes de que haya ocurrido cualquier cambio), m%eg
qi = desviación pequeña de la velocidad de entrada de su valor en estado estable, ms/seg
q. = desviación pequeña de la velocidad de salida de su valor en estado estable, m%eg
H = altura en estado estable (antes de que haya ocurrido un cambio), m
h = desviación pequeña de la altura a partir de su valor en estado estable, m
Como se señaló antes, un sistema se considera lineal si el flujo es laminar. Aunque el
flujo sea turbulento, el sistema puede linealizarse si los cambios en las variables se mantienen pequeños. A partir de la suposición de que el sistema es lineal o linealizado, la
ecuación diferencial de este sistema se obtiene del modo siguiente. Dado que el flujo de en-
94
Capítulo 3 / Modelado matemático de sistemas dinámicos
trada menos el flujo de salida durante el pequeño intervalo de tiempo dt es igual a la cantidad adicional almacenada en el tanque, observamos que
Cdh = (qi - qJ dt
A partir de la definición de resistencia, la relación entre q. y h se obtiene mediante
9, = ;
La ecuación diferencial para este sistema para un valor constante de R se convierte en
RC$+h=Rqi
Observe que RC es la constante de tiempo del sistema. Si tomamos la transformada de
Laplace en ambos miembros de la ecuación (3-69) y suponemos la condición inicial
de cero, obtenemos
(RCs + l)H(s) = RQi(s)
en donde
Q¡(s) = z[qi]
H(s) = %[hl
Y
Si qi se considera la entrada y h la salida, la función de transferencia del sistema es
fe)
R
-=
. Q,(s) RCs + 1
Si, no obstante, q. se toma como la salida, y la entrada es la misma, la función de transferencia es
1Q,(s) _
Q,(s) RCs
+ 1
en donde hemos usado la relación
Q,(s) = ; H(s)
Sistemas del nivel de liquido con interacción. Considere el sistema que aparece en
la figura 3-23. En este sistema interactúan los dos tanques. Por tanto, la función de transferencia del sistema no es el producto de las dos funciones de transferencia de primer orden.
En lo sucesivo, sólo supondremos variaciones pequeñas de las variables a partir de los
valores en estado estable. Usando los símbolos definidos en la figura 3-23, obtenemos las
ecuaciones siguientes para este sistema:
CI% = q - q1
h
2 = q*
R?.
(3-73)
Sección 3-8 / Sistema del nivel de liquido
95
Tanque 2
Tanque 1
tva2 + h2
Cl
Figura 3-23
Sistema del nivel de
líquido con interacción.
Q+ql
e : velocidad de flujo en estado estable
& : nivel de líquido en estado estable del tanque 1
Hz: nivel de líquido en estado estable del tanque 2
Si q se considera la entrada y q2 la salida, la función de transferencia del sistema es
_Qz(s)
1
Q(s)
R,C,R,C,s2 + (R,C, + R,C, + R,C,)s + 1
(3-74)
Es instructivo obtener la ecuación (3-74), función de transferencia de los sistemas que
interactúan, mediante una reducción del diagrama de bloques. A partir de las ecuaciones
(3-70) a (3-73), obtenemos los elementos del diagrama de bloques, tal como aparece en la
figura 3-24(a). Si conectamos las señales de manera adecuada, podemos construir un diagrama de bloques, como el de la figura 3-24(b). Es posible simplificar este diagrama de bloques, tal como aparece en la figura 3-24(c). Simplificaciones adicionales producen las
figuras 3-24(d) y (e). La figura 3-24(e) es equivalente a la ecuación (3-74).
Observe la similitud y la diferencia entre la función de transferencia obtenida mediante
la ecuación (3-74) y la que se obtuvo con la ecuación (3-66). El término RZCIS que aparece
en el denominador de la ecuación (3-74) ejemplifica la interacción entre los dos tanques.
Asimismo, el término RICZS en el denominador de la ecuación (3-66) representa la interacción entre los dos circuitos RC de la figura 3-19.
3-9
SISTEMASTÉRMICOS
Los sistemas térmicos son aquellos que involucran la transferencia de calor de una sustancia a otra. Estos sistemas se analizan en términos de resistencia y capacitancia, aunque la
capacitancia térmica y la resistencia térmica tal vez no se representen con precisión como
elementos de parámetros concentrados, dado que, por lo general, están distribuidas en todas las sustancias. Para lograr análisis precisos, deben usarse modelos de parámetros distribuidos. Sin embargo, para simplificar el análisis, aquí supondremos que un sistema
térmico se representa mediante un modelo de parámetros concentrados, que las sustancias
que se caracterizan mediante una resistencia al flujo de calor tienen una capacitancia térmica insignificante y que las sustancias que se caracterizan por una capacitancia térmica
tienen una resistencia insignificante al flujo de calor.
El calor fluye de una sustancia a otra de tres formas diferentes: por conducción, por convección y por radiación. Aquí sólo consideraremos la conducción y la convección. (La transferencia de calor por radiación sólo se aprecia si la temperatura del emisor es muy alta en
comparación con la del receptor. La mayor parte de los procesos térmicos en los sistemas
de control de procesos no involucran transferencia de calor por radiación.)
96
Capítulo 3 / Modelado matemático de sistemas dinámicos
H2W
Ql<s>
QzW
(4
(b)
Figura 3-24
(a) Elementos
del diagrama de
bloques del sistema
que aparece en
la figura 3-23; (b)
diagrama de bloques
del sistema; (c)-(e)
reducciones sucesivas
del diagrama de
bloques.
(4
Q(s)
1
R1C,R2C2s2
+ (R,CI
Q2W
+ R2C2 + R2C1)s
+1
(-9
Sección 3-9 / Sistemas térmicos
97
Para la transferencia de calor por conducción o convección,
q=KAO
en donde q = flujo de calor, kcal/seg
A8 = diferencia de temperatura, “C
K = coeficiente, kcal/seg “C
el coeficiente K se obtiene mediante
K=Z
AX’
= HA,
por conducción
por
convección
en donde k = conductividad térmica, kcal/m seg “C
A = área normal para flujo de calor, m2
AX = espesor del conductor, m
H = coeficiente de convección, kcal/mz seg “C
Resistencia y capacitancia térmicas. La resistencia térmica R para la transferencia de calor entre dos sustancias se define del modo siguiente:
R=
cambio en la diferencia de temperatura, “C
cambio en el flujo de calor, kcal/seg
La resistencia térmica para una transferencia de calor por conducción o por convección se
obtiene mediante
R =-=dW) 1
dq
K
Dado que los coeficientes de conductividad y convección térmica son casi constantes, la resistencia térmica para la conducción o la convección es constante.
La capacitancia térmica C se define mediante
c =
cambio en el calor almacenado, kcal
cambio en la temperatura, “C
o bien
C = mc
en donde m = masa de la sustancia considerada, kg
c = calor específico de la sustancia, kcallkg “C
Sistemas térmicos. Considere el sistema que aparece en la figura 3-25(a). Se supone
que el tanque está aislado para eliminar las pérdidas de calor hacia el aire circundante. También se supone que no hay almacenamiento de calor en el aislamiento y que el lfquido del
tanque está perfectamente mezclado, por lo que tiene una temperatura estable. De este modo,
se usa una sola temperatura para describir la del líquido en el tanque y la del lfquido que sale.
98
Capítulo 3 / Modelado matemático de sistemas díndmicos
@MS)
Figura 3-25
(a) Sistema térmico; (b) diagrama de bloques del sistema.
Definamos:
6i = temperatura en estado estable del líquido que entra, “C
6, = temperatura en estado estable del líquido que sale, “C
G = velocidad de flujo del líquido en estado estable, kgheg
M = masa del líquido en el tanque, kg
c = calor específico del líquido, kcal/kg “C
R = resistencia térmica, “C seg/kcal
C = capacitancia térmica, kcal/“C
fi = entrada del flujo de calor en estado estable, kcal/seg
Suponga que la temperatura del líquido que entra se mantiene constante y que el flujo
de calor de entrada al sistema (el calor que proporciona el calefactor), cambia repentinamente de Ha H+ hi, en donde hi representa un cambio pequeño en el flujo de calor de entrada. El flujo de calor de salida cambiará, entonces, en forma gradual, de Z? a l? + h,. La
temperatura del líquido que sale también cambiará de 6, a 6, + 19. Para este caso, h,, C y
R se obtienen, respectivamente, como
h, = Gc6J
C = Mc
R2p&
0
La ecuación diferencial para este sistema es
c-=h.-h
dt
’
o
que puede reescribirse como
Sección 3-9 / Sistemas térmicos
99
Observe que la constante de tiempo del sistema es igual a RC o MIG en segundos. La función de transferencia que relaciona 8 con hi se obtiene mediante
O(s) =
Hi(s)
R
RCs + 1
en donde O(s) = T[e(t)] y&(s) = .Z[hi(t)].
En la práctica, la temperatura del líquido que entra puede fluctuar y actuar como una
perturbación de carga. (Si se pretende mantener una temperatura de salida constante,
puede instalarse un controlador automático que ajuste el flujo de calor de entrada, con el
propósito de compensar las fluctuaciones en la temperatura del líquido que entra.) Si la
temperatura del líquido que entra cambia repentinamente de õi a 6i + Bi, en tanto que el
flujo de calor de entrada H y el flujo de líquido G se conservan constantes, el flujo de calor
de salida cambiará de Ra H+ h,, y la temperatura del líquido que sale cambiará de 6, a
6, + 0. La ecuación diferencial para este caso es
C$=Gct$-h,
que puede reescribirse como
Rc@+e=e.
dt
’
La función de transferencia que relaciona 8 y 8i se obtiene mediante
@(s)
-=
@its)
1
RCs + 1
en donde O(s) = 9?[f3(t)] y @i(s) = Ce[&(t)].
Si este sistema térmico está sujeto a cambios en la temperatura del líquido que entra
y en el flujo de calor de entrada, en tanto que el flujo del líquido se conserva constante,
el cambio 8 en la temperatura del líquido que sale se obtiene mediante la ecuación siguiente:
RC- + 8 = 8. + Rh.
dt
’
’
La figura 3-25 (b) muestra un diagrama de bloques que corresponde a este caso. Observe
que el sistema contiene dos salidas.
3-10 LINEALIZACIÓN
NO LINEALES
DE MODELOS MATEMÁTICOS
En esta sección presentaremos una técnica de linealización aplicable a muchos sistemas no
lineales. El proceso de linealizar sistemas no lineales es importante, porque linealizar ecuaciones no lineales permite aplicar numerosos métodos de análisis lineal que proporcionen
información acerca del comportamiento de los sistemas no lineales. El procedimiento de
linealización que se presenta aquí se basa en la expansión de la función no lineal en series
de Taylor alrededor del punto de operación y la retención solo del término lineal. Debido
100
Capítulo 3 / Modelado matemático de sistemas dinámicos
::
a que no consideramos los términos de orden superior de la expansión en series de Taylor,
estos términos no considerados deben ser suficientemente pequeños; es decir, las variables
sólo se desvían ligeramente de la condición de operación.
A continuación presentaremos primero los aspectos matemáticos de la técnica de linealización y después aplicaremos la técnica a un sistema hidráulico de seguimiento a fin de
obtener un modelo lineal para el sistema.
Aproximación lineal de modelos matemáticos no lineales. A fin de obtener un
modelo matemático lineal para un sistema no lineal, suponemos que las variables solo se
desvían ligeramente de alguna condición de operación. Considere un sistema cuya entrada
es x(t) y cuya salida es y(t). La relación entre y(t) y x(t) se obtiene mediante
Y = fc4
(3-75)
Si la condición de operación normal corresponde a X, jj, la ecuación (3-75) se expande en
series de Taylor alrededor de este punto, del modo siguiente:
Y =fb>
(3-76)
en donde las derivadas dfldx, d2fldx2, . . . se evalúan en x - f. Si la variación x - X es pequeña, es posible no considerar los términos de orden superior en x - X. A continuación,
la ecuación (3-76) se escribe como
y = y + K(x - X)
(3-77)
en donde
Y = fW
La ecuación (3-77) puede reescribirse como
y - y = K(x - x)
(3-78)
lo cual indica que y - y es proporcional a x - X. La ecuación (3-78) da un modelo
matemático lineal para el sistema no lineal obtenido mediante la ecuación (3-75) cerca del
punto de operación x = 2, y = jj.
A continuación, considere un sistema no lineal cuya salida y es una función de dos entradas XI y ~2, de modo que
Y = fh 3)
(3-79)
A fin de obtener una aproximación lineal para este sistema no lineal, es posible expandir
la ecuación (3-79) en series de Taylor alrededor del punto de operación normal XI,&. Después, la ecuación (3-79) se convierte en
Seccih 3-10 / Linealizacih
de modelos matemáticos no lineales
101
1
Y = fc% 322) + ff (Xl - 2,) + -$ (x2 - 2,)
2
I 1
1 IPf
+ y 2 (Xl - fl12 + 2 & (Xl - Mx2 - f2>
*L 1
1
+ a2f
--$ (x* - x2)2 + * * *
2
en donde las derivadas parciales se evalúan para XI = XI, x2 = 22. Cerca del punto de operación normal, es posible no considerar los términos de orden superior. A continuación, el
modelo matemático lineal de este sistema no lineal alrededor de la condición de operación
normal se obtiene mediante
y - J = K,(x, - 2,) + K2(x2 - x2)
en donde
La técnica de linealización presentada aquí es válida alrededor de la condición de operación. Sin embargo, si las condiciones de operación varían ampliamente, tales ecuaciones
linealizadas no son adecuadas y deben manejarse ecuaciones no lineales. Es importante
recordar que un modelo matemático determinado, que se use en el análisis y el diseño,
puede representar con precisión la dinámica de un sistema real para ciertas condiciones de
operación, pero puede no ser preciso para otras.
Linealización de un sistema hidráulico de seguimiento. La figura 3-26(a) muestra
un servomotor hidráulico. Es esencialmente un amplificador de potencia hidráulico controlado por una válvula piloto y un actuador. La válvula piloto es balanceada, en el sentido de
que las fuerzas de presión que actúan sobre ella están balanceadas. Una salida de potencia
muy grande se controla mediante una válvula piloto, que se posiciona con muy poca potencia.
En la práctica, los puertos que aparecen en la figura 3-26(a) suelen fabricarse más anchos que las válvulas correspondientes. En este caso, siempre hay un escape a través de las
válvulas. Tal escape mejora tanto la sensibilidad como la linealidad del servomotor
hidráulico. En el análisis siguiente haremos la suposición de que los puertos se han hecho
más anchos que las válvulas, es decir, que las válvulas están subajustadas. [Observe que, en
ocasiones, una señal intermitente, señal de alta frecuencia de amplitud muy pequeña (con
respecto al desplazamiento máximo de la válvula), está sobreimpuesta al movimiento de la
válvula piloto. Esto también mejora la sensibilidad y la linealidad. Asimismo, en este caso
hay un escape a través de la válvula.]
Aplicaremos la técnica de linealización que se acaba de presentar para obtener un modelo matemático linealizado del servomotor hidráulico. Suponemos que la válvula está subajustada, que es simétrica y que admite un fluido hidráulico sometido a una presión alta
dentro de un cilindro de potencia que contiene un pistón grande, a fin de que se establezca
102
Capítulo 3 / Modelado matemático de sistemas dinámicos
PS
t F t
-Ji4++
J 24 o
4zys
LI-5
1
XO
-+n
XO
2
/----2
n
f
I
\
;
0
-_-_
:
0
_-_-
J
‘!-LP
-Y
L
x
Ca)
(b)
Figura 3-26
(a) Sistema hidráulico de seguimiento; (b) diagrama ampliado del área del orificio de la válvula.
una fuerza hidráulica grande con el propósito de mover una carga. Suponemos que la inercia y la fricción de la carga son pequeñas en comparación con la fuerza hidráulica grande.
En este análisis, se supone que el fluido hidráulico es incomprimible y que la fuerza de inercia del pistón de energía es insignificante. También suponemos que, como suele ocurrir, el
área del orificio (el ancho de la ranura en la manga de la válvula) de cada puerto es proporcional al desplazamiento x de la válvula.
En la figura 3-26(b) tenemos un diagrama ampliado del área del orificio de la válvula.
Definamos las áreas de los orificios de la válvula en los puertos 1,2,3,4, como AI,Az, A3,A4,
respectivamente. Asimismo, definamos los flujos a través de los puertos 1,2,3,4, como 41,
qz, q3, q4, respectivamente. Observe que, dado que la válvula es simétrica, Al = A3 y A2 = A4.
Suponiendo que el desplazamiento x es pequeño, obtenemos
A,=A,=k ?+x
i
1
en donde k es una constante.
Además, supondremos que la presión de retorno po en la línea de retorno es pequeña
y, por tanto, que puede ignorarse. Después, remitiéndonos a la figura 3-X(a), los flujos a
través de los orificios de la válvula son
Sección 3-10 / Linealización de modelos matemáticos no lineales
103
en donde Ci = clkA@& y C;! = czklh&, y y es el peso específico, que se obtiene mediante y = eg, en donde Q es la densidad de la masa y g es la aceleración de la gravedad.
El flujo q para el lado izquierdo del pistón de potencia es
q=ql-q4=c1G (2
xo+x )-c26(+)
(3-80)
El flujo del lado derecho del pistón de potencia al drenaje es igual a esta q y se obtiene mediante
4 = q3
- 92 = CV1 P2
-c,G
3+x
2
(
+
i
1
1
Observe que el fluido es incomprimible y que la válvula es simétrica. Por tanto, tenemos
que ql = q3 y q2 = q4. Igualando ql y q3, obtenemos
PS - PI = P2
o bien
PS = PI + P2
Si definimos la diferencia de presión a través del pistón de potencia como Ap o
AP = PI - ~2
entonces
PI =
PS + AP
2
’
P2 =
PS - AP
2
Para la válvula simétrica de la figura 3-26(a), la presión en cada lado del pistón de potencia es %p, cuando no se aplica una carga, o Ap = 0. Conforme la válvula de carrete se desplaza, la presión en una línea aumenta, conforme la presión en la otra línea disminuye en
la misma cantidad.
En términos de pS y Ap, volvemos a escribir el flujo q obtenida mediante la ecuación
(3-SO), como
9 = 41 - 94 = CI
~~(I+X)-c2fy=-$!-x)
Considerando que la presión de suministro pS es constante, el flujo q se vuelve a escribir
como una función del desplazamiento de la válvula x y la diferencia de presión Ap, o bien
Aplicando la técnica de linealización para este caso, presentada antes en esta sección,
la ecuación linealizada alrededor del punto x = X, Ap = Ap, q = tj es
q - 4 = a(x - X) + b(Ap - Ap)
en donde
4 = f(-f, 49
a=---af
ax &, Ap = AP
104
Capítulo 3 / Modelado matemático de sistemas dinámicos
(3-81)
b = g 1x =-x, App=A-P = -
Los coeficientes a y b se denominan coeficientes de válvula. La ecuación (3-81) es un modelo matemático linealizado de la válvula de carrete cerca de un punto de operación x = X,
Ap = Ap, 4 = 4. Los valores de los coeficientes de válvula a y b varían con el punto de operación. Observe que af/aAp
es negativo y, por tanto, b es negativo.
Dado que el punto de operación normal es aquel en el que x = 0, Ap = 0, 4 = 0, cerca
del punto de operación normal, la ecuación (3-81) se convierte en
(3-82)
q=K,x-K,Ap
en donde
K, = (Cl + C,)
K, = (C, + C,)
”
42/2*
> 0
La ecuación (3-82) es un modelo matemático linealizado de la válvula de carrete cerca del
origen (X = 0, dp = 0,4 = 0). Observe que, en este tipo de sistema, es más importante la
región cercana al origen porque la operación del sistema, por lo general, ocurre cerca de
este punto. (Para obtener un modelo matemático de un sistema hidráulico de seguimiento
cuando no son insignificantes las fuerzas reactivas de carga, véase el problema A-3-20.)
EJEMPLO DE PROBLEMAS Y SOLUCIONES
A-3-1.
Simplifique el diagrama de bloques de la figura 3-27.
Solución. Primero, mueva el punto de ramificación de la trayectoria que contiene HI fuera del
lazo que contiene Hz, como se aprecia en la figura 3-28(a). Luego, eliminar dos lazos produce la
figura 3-28(b). Al combinar dos bloques en uno se obtiene la figura 3-28(c).
Figura 3-27
Diagrama de bloques de un sistema.
Ejemplo de problemas y soluciones
105
(4
(b)
Figura 3-28
Diagramas de bloques
simplificados para
el sistema que aparece
en la figura 3-27.
A-3-2.
C(s)
G
1+GH2
(cl
Simplifique el diagrama de bloques de la figura 3-29. Obtenga la función de transferencia que
relaciona C(S) con R(s).
Solución. El diagrama de bloques de la figura 3-29 se modifica para obtener el que se muestra
en la figura 3-30(a). Eliminando la trayectoria directa menor, obtenemos la figura 3-30(b), que
se simplifica a la que se muestra en la figura 3-3O(c). Así, la función de transferencia C(s)lR(s)- se
consigue mediante
-=GG
+ G +l
R(s)
*
2
2
También se obtiene el mismo resultado procediendo del modo siguiente. Dado que la séñal
X(S) es la suma de dos señales G&(s) y R(s), tenemos que
X(s) = G,R(s) + R(s)
La señal de salida C(S) es la suma de Gfi(~) y R(s). Por tanto
C(s) = G2X(s) + R(s) = G,[G,R(s) + R(s)] + R(s)
Así obtenemos el mismo resultado que antes:
%=GG + G
R(s)
1
2
2
+1
Figura 3-29
Diagrama de bloques
de un sistema.
106
Capítulo 3 / Modelado matemático de sistemas dinámicos
R(S)
G2
(4
R(s)
w Gl+l + G2
I
Figura 3-30
Reducción del diagrama
de bloques que aparece
en la figura 3-29.
A-3-3.
Demuestre que, para el sistema descrito por la ecuación diferencial
y + qj + u2j + a,y = b,i + b,ii + b,U + b,u
(3-83)
las ecuaciones de estado y de salida se obtienen, respectivamente, mediante
(3-84)
Y
(3-85)
en donde las variables de estado se definen mediante
Y
Ejemplo de problemas y soluciones
107
Solución. A partir de la definición de las variables de estado x2 y 12, tenemos
x, = x2 + /3$A
(3-86)
x, = xg + &
(3-87)
A fin de obtener la ecuación para k3, primero consideramos, de la ecuación (3-83), que
...
y = - alj - a*j - a,y + b,ii + b,ii + b,zi + b,u
Dado que
x3 = j - &)ii - /!?,li - &4
tenemos que
~3=y-pOU’-&~-~2~
= (-a,j - a2j - a,y) + b& + b,ü + b,zi + b,u - &ii - &ü - &i
= -al(j - /!?&i - p,u - &U) - a,p,ü - a,/?,i - u&12Ll
-a*(3 - PC4 - BlU> - a,B$ - azP1u - a,(y - Po4 - as&
+ b,ii + b,ii + b,i + b,u - ,f3$i - ,t+i - ,Qi
= -v3 - a2xz - u,x, + (b, - &)ii + (b, - BI - ul&)ü
+ (4 - Bz - ad$ - a,&)~ + @3 - 42 - aA - asP&
= -v3 - azxz - a3-q + (b3 - 42 - G4 - asA&
= -v3 -a2x2 - a3x1 + 83u
Por tanto, obtenemos
i, = -a,x, - u2x2 - a1xg + &4
(3-88)
Combinando las ecuaciones (3-86), (3-87) y (3-88) en una ecuación diferencial matricial, obtenemos la ecuación (3-84). Asimismo, a partir de la definición de la variable de estado XI, obtenemos
la ecuación de salida producida por la ecuación (3-85).
A-3-4.
Obtenga el modelo en el espacio de estados del sistema que aparece en la figura 3-31.
Solución. El sistema contiene un integrador y dos con retraso. La salida de cada integrador o con
retraso puede ser una variable de estado. Definamos la salida de la planta como XI, la salida del
controlador como x2 y la salida del sensor como xg. Asf, obtenemos
10
s+5
Controlador
Figura331
Sistema de control.
108
Planta
1
s+l
4
Sensor
Capítulo 3 / Modelado matemático de sistemas dinámicos
Y(s)
*
XlW
- = 10
X,(s) s+.5
X,(s)
1
U(s) - X,(s) = s
X,(s) 1
-=Xl(4 s+l
ye> = X,(s)
que puede reescribirse como
sX,(s) = -SX*(s)
sX,(s)
+ lOX,(s)
= -X,(s) + U(s)
sX,(s) = X,(s) - X,(s)
Y(s) = X,(s)
Tomando la transformada inversa de Laplace
de las cuatro ecuaciones precedentes, obtenemos
.il = -5x, + 10x2
i, = -xg + z4
x, = XI - x3
Y = Xl
Por tanto, un modelo en el espacio de estados del sistema en la forma estándar se obtiene mediante
lx3.J
Es importante observar que ésta no es la única representación en el espacio de estados del sistema. Son posibles muchas otras representaciones en el espacio de estados. Sin embargo, la cantidad de variables de estado es igual en cualquier representación en el espacio de estados del
mismo sistema. En este sistema, las variables de estado son tres, sin considerar cuáles se elijan
como variables de estado.
A-3-5.
Obtenga un modelo en el espacio de estados para el sistema que aparece en la figura 3-32(a).
Solución. Primero, considere que (as + b)ls2 involucra una derivada.Tal derivada se evita si modifieamos (as + b)/s2 como
Usando esta modificación, el diagrama de bloques de la figura 3-32(a) se convierte en el que se
muestra la figura 3-32(b).
Ejemplo de problemas y soluciones
109
(al
Figura 3-32
(a) Sistema de control;
(b) diagrama de bloques
modificado.
(b)
Defina las salidas de los integradores como variables de estado, tal como se aprecia en la
figura 3-32(b). Después, a partir de la figura 3-32(b) obtenemos
X,(s)
X,(s) + @J(s) - X,(s)] = :
X,(s)
b
U(s) - X,(s) = ;
Y(s) = X,(s)
que puede modificarse como
~XlW = X,(s) + 4w - -w)l
sX2(s) = - bX,(s) + bu(s)
Y(s) = X,(s)
Tomando la transformada inversa de Laplace
de las tres ecuaciones anteriores, obtenemos
x, = -ux1 + x2 + au
X, = -bx, + bu
Y = XI
‘Si reescribimos las ecuaciones de estado y de salida en la forma matricial estándar, obtenemos
[j=[-b $:]+[#
Y = Ll
Ll
O] x1
x2
110
Capítulo 3 / Modelado matemático de sistemas dinámicos
<:.
A-M.
Obtenga una representación en el espacio de estados del sistema que aparece en la figura 3-33(a).
Solución. En este problema, primero expanda
(S + z)/(s + p) en fracciones parciales.
s+z
-=l+Z
S+P
A continuación, convierta K/[s(s + a)] en el producto de Kls y l/(s + a). Después, vuelva a dibujar el diagrama de bloques como aparece en la figura 3-33(b). Definiendo un conjunto de variables de estado, según se aprecia en la figura 3-33(b), obtenemos las ecuaciones siguientes:
x, = -ux, + x2
i, = -Kx, + Kx, + Ku
x, = - ( z
- p)x,
- px, + ( z
- p>u
Y = Xl
Reescribiendo la ecuación, nos da
[::]=[-(2p)
A
!$]+[,!ju
Observe que la salida del integrador y la salida de los integradores con retraso de primer orden [l/(s + a) y (z -p)l(s + p)] se eligen como variables de estado. Es importante recordar que
la salida del bloque (s + z,)/(s + p) de la figura 3-33(a) no puede ser una variable de estado,
porque este bloque contiene una derivada, s + z.
A-3-7.
Por lo regular se emplean giroscopios para detectar el movimiento angular en sistemas de guiado
inercial, autodirigidos y similares. La figura 3-34(a) muestra un giroscopio de un solo grado de
ta)
K
Figura 3-33
s
(a) sistema de control;
(b) diagrama de
bloques que define
las variables de estado
para el sistema.
Ejemplo de problemas y soluciones
n2
1
s+a
Y
Xl
I
*
111
Amortiguamiento
Resorte
”
Cuerpo
Soporte
(4
(b)
Figura 3-34
(a) Diagrama esquemático de un giroscopio de un solo grado de libertad; (b) diagrama funcional de un giroscopio mostrado en la parte (a).
libertad. El volante giratorio se monta en un soporte móvil que, a su vez, se monta en el cuerpo
del giroscopio. El soporte tiene libertad para moverse en relación con el cuerpo alrededor del eje
de salida OB. Observe que el eje de salida es perpendicular al eje del volante giratorio. El eje de
entrada alrededor del cual se mide una tasa de cambio, o ángulo, es perpendicular tanto al eje
de salida como al eje de giro. La información de la señal de la entrada (la razón de cambio o ángulo alrededor del eje de entrada) se obtiene del movimiento resultante del soporte en relación
con el eje de salida, respecto del cuerpo.
La figura 3-34(b) muestra un diagrama funcional del sistema de giroscopio. La ecuación de
movimiento respecto del eje de salida se obtiene igualando la razón de cambio del momento angular con la suma de los pares externos.
El cambio en el momento angular con respecto al eje OB tiene dos partes: Ie, cambio debido
a la aceleración del soporte alrededor del eje OB, y -Hw cos 0, cambio debido al giro del vector
del momento angular del volante alrededor del eje OA. El par externo está formado por -bd, el par
de amortiguamiento, y -ke, el par del resorte. Por tanto, la ecuación del sistema del giroscopio es
Id-Hwcosf3=-bd-k@
o bien
Ië+bi+ke=Hwcost’
(3-89)
En la práctica, 8 es un ángulo muy pequeño, por lo general no mayor que k2.5 grados.
Obtenga una representación en el espacio de estado del sistema del giroscopio.
Solución. En este sistema, 0 and 4 se eligen como variables de estado. La variable de entrada es
c1 El
w y la variable de salida es 8. Definamos
X= Xl = 88. > u=w,
x2
A continuación, la ecuación (3-89).se
112
y=e
escribe del modo siguiente:
Capítulo 3 / Modelado matemático de sistemas dinhmicos
o bien
Es evidente que fz(x, u) involucra un término no lineal en XI y u. Expandiendo cos XI en su
representación en series,
1
cosx,=1-2n~+~~~
y considerando que XI es un ángulo muy pequeño, aproximamos cos x1 a uno para obtener la siguiente ecuación de estado linealizada:
La ecuación de salida es
A-3-8.
y = [l O] x1
x2
H
Considere un sistema definido por las siguientes ecuaciones en el espacio de estados:
1[
2
+5
U
Obtenga la función de transferencia G(s) del sistema.
Solución. Remititndonos a la ecuación (3-32), la función de transferencia del sistema se obtiene
del modo siguiente (observe que en este caso D = 0 ):
G(s) = C(s1 - A)-‘B
21
=[l
1,_;5
= P 21
1
1 Ll
2
5
l-l
s+l
-1
(s + 2)(s + 4) (s + 2)(s + 4) 2
3
s+5
5
.[
(s + 2)(s + 4) (s + 2)(s + 4)
1
128 + 59
= (s + 2)(s + 4)
A-3-9.
La figura 3-35(a) muestra un diagrama esquemático de un sistema de suspensión de un automóvil. Conforme el automóvil avanza por un camino, los desplazamientos verticales de las llantas funcionhn
como una excitación de movimiento para el sistema de suspensión del automóvil.
El movimiento de este sistema consiste en un desplazamiento traslacional del centro de la masa
y un desplazamiento de rotación alrededor del centro de la masa. El modelado matemático del
sistema completo es muy complicado.
F,jemplo de problemas y soluciones
113
Centro de masa
\
. Cuerpo del automóvil
Figura 335
(a) Sistema de suspensión de un automóvil;
(b) sistema de suspensión simplificado.
(b)
Una versión muy simplificada dei sistema de suspensión aparece en la figura 3-35(b).
Suponiendo que el movimiento xi en el punto P es la entrada al sistema y el movimiento vertical
x0 del cuerpo es la salida, obtenga la función de transferencia X&)/Xi(s). (Considere el
movimiento del cuerpo sólo en la dirección vertical.) El desplazamiento x0 se mide a partir de la
posición de equilibrio en ausencia de la entrada xi.
Solución. La ecuación de movimiento para el sistema de la figura 3-35(b) es
miO + b(i, - ii) + k(x, - Xi) = 0
o bien
mi, + bi, + kx, = bi, + kxi
Tomando la transformada de Laplace
de cero, obtenemos
de esta última ecuación, y suponiendo condiciones iniciales
(ms2 + bs + k)X,(s) = (bs + k)Xi(s)
Por tanto, la función de transferencia Xo(S)/Xi(s)
-TAS>
-=
X,(S)
A-3-10.
se obtiene mediante
bs + k
ms2 + bs + k
Obtenga la función de transferencia Y(s)/U(s) del sistema de la figura 3-36. (Al igual que el sistema del problema A-3-9, ésta es una versión simplificada de un sistema de suspensión de un automóvil 0 una motocicleta.)
Solución. Aplicando la segunda ley de Newton al sistema, obtenemos
m,i = k,(y - x) + b(j - X) + k,(u - x)
m,j = -k,(y - x) - b(j - i)
Por tanto, tenemos que
114
Capítulo 3 / Modelado matemático de sistemas dinámicos
kl $
m,X + bi + (k, + k,)x = bj + kg + k,u
mzj + bj + k2y = bX + k,x
Tomando la transformada de Laplace
de cero, obtenemos
de estas dos ecuaciones y suponiendo condiciones iniciales
[mIs + bs + (k, + k,)]X(s) = (bs + kJY(s) + k,U(s)
[m2s2 + bs -t k,]Y(s) = (bs + k,)X(s)
Eliminando X(S) de las dos últimas ecuaciones, tenemos
(mIs + bs + k, + k,)
m2s2 + bs + k,
Y(s) = (bs + k,)Y(s) + k,U(s)
bs + k,
lo cual produce
Y(s)
-=
U(S)
A-3-11.
Ws + kz>
mlm2s4 + (ml + m2)bs3 + [k,m, + (m, + m2)k2]s2 + k,bs + klk2
Considere el circuito eléctrico que aparece en la figura 3-37. Obtenga la función de transferencia E,(s)lE~(s) usando el enfoque de diagrama de bloques.
Solución. Las ecuaciones para los circuitos son
-$ j- (il - i2) dt + R,i, = ei
(3-90)
1
-$
(i2 - il) dt + R,i, + $1 i2 dt = 0
(3-91)
2
1
(3-92)
RI
R2
w
1
ei
\cl
il J
i
1
ic2s
i2J
1
0
Ejemplo de problemas y soluciones
0
eo
Figura 3-37
0 Circuito eléctrico.
115
La transformada de Laplace
de cero, producen
de las ecuaciones (3-90), (3-91) y (3-92), con condiciones iniciales
La ecuación (3-93) se puede reescribir como
c,4Ei(~) - WI(~)1 = MS) - Us)
(3-96)
La ecuación (3-96) da el diagrama de bloques que aparece en la figura 3-38(a). La ecuación
(3-94) se modifica a
Z2(4
= Qf+
l & [ZlW - Z2(41
(3-97)
La ecuación (3-97) da el diagrama de bloques que se muestra en la figura 3-38(b). Asimismo, la
ecuación (3-95) nos da el diagrama de bloques que se muestra en la figura 3-38(c). Combinando
los diagramas de bloques de las figuras 3-38(a), (b) y (c), obtenemos la figura 3-39(a). Este diagrama de bloques se modifica sucesivamente tal como se aprecia en las figuras de la 3-39(b) a (f).
Por tanto, obtuvimos la función de transferencia E,(s)lE&) del sistema. [Ésta es igual a la que se
obtuvo antes para el mismo circuito eléctrico. Véase ecuación (3-66).]
A-3-12.
Obtenga la función de transferencia del sistema mecánico que aparece en la figura 3-4O(a). Asimismo,
calcule la funci6n de transferencia del circuito eléctrico de la figura W(b). Demuestre que las funciones de transferencia de los dos sistemas tienen una forma idéntica y, por tanto, son sistemas antiogos
Solución. Las ecuaciones de movimiento para el sistema mecánico de la figura 3dO(a) son
b,(Xi - i,) + k,(.q - xo) = b,(i, - j)
b,(k - Y> = k,y
Ei(s)
Il(S) -MS)
ClS
64
b(s) - 12w
1
r
Cls
c2s
- R2C2s+l
MS)
-
(b)
Figura 338
Diagrama de bloque:
(a) correspondiente a la ecuación (3-96);
(b) correspondiente a la ecuación (3-97);
(c) correspondiente a la ecuación (3-95).
116
Capítulo 3 / Modelado matemático de sistemas dinhmicos
(4
RICls+ 1
R2C2s+
1
Figura 3-39
Diagramas de bloques
para el sistema de la
figura 3-37. Las secciones
(a) a (e) muestran las
simplificaciones sucesivas
de los diagramas de
bloques.
Cd)
Ei(S)
R,C,R2C2s2
Ejemplo de problemas y soluciones
1
+ (R,C1 + R2C2 + R1C2)s + 1
(4
117
R2
Figura 3-40
(a) Sistema mecánico;
(b) sistema eléctrico
análogo.
(b)
(4
Tomando la transformada de Laplace
de cero, tenemos
de estas dos ecuaciones y suponiendo condiciones iniciales
b,bUs) - &,(dl + WW - &,(41 = bzWo(4 - sY
b2[sXo(s)
- sY( = k,Y(s)
Si eliminamos Y(s) de las dos últimas ecuaciones, obtenemos
b,[sXi(s)
- sX,(s)] + k,[Xi(s)
- X,(s)] = b,sX,,(s) - b,s H
2
2
o bien
(bp + k,)Xi(s)
= b,s + k, + b,s - b,s& X,,(s)
2
Por tanto, la función de transferencia X&)/X&)
2
se obtiene como
Para el sistema eléctrico de la figura 3-40(b), la función de transferencia E,,(s)lE@) resulta ser
RI +&
E,(s) =
Ei
1
1
(1iR2)l+
C,s + R1 + c,s
(R,C,s + l)(R,C,s + 1)
= (R,C,s + l)(R,C,s + 1) + R,C,s
Una comparación de las funciones de transferencia demuestra que los sistemas de la figura
3-40(a) y (b) son análogos.
118
Capítulo 3 / Modelado matemático de sistemas dinámicos
A-3-13.
En el sistema del nivel de líquido de la figura 3-41, suponga que el flujo de salida Q m%eg
de la válvula de salida se relaciona con la altura H m mediante
a través
Q = Kb+i = 0.01 k%
También suponga que cuando el flujo de entrada Qi es 0.015 ms/seg, la altura permanece constante. En t = 0, la válvula de entrada se cierra y, por tanto, no hay entrada para t 2 0. Encuentre
el tiempo necesario para vaciar el tanque a la mitad de la altura original. La capacitancia C del
tanque es 2 m2.
Solución. Cuando la altura es estacionaria, el flujo de entrada es igual a la de salida. Por tanto, la
altura H, en t = 0 se obtiene a partir de
0.015 = 0.01 <
o bien
H, = 2.25 m
La ecuación para el sistema en t > 0 es
-CdH = Qdt
o bien
-0.01 V%
dH
Q
-c----z
dt
C
2
Por tanto,
FH = -0.005 dt
Suponga que, en t = tl, H = 1.125 m. Integrando ambos miembros de esta ultima ecuación, obtenemos
(-0.005) dt = -0.009,
De aquí se sigue que
2%%
1.125
= 2m - 22/2.25 = -0.003,
2.25
o bien
t, = 175.7
Por tanto, la altura se vuelve la mitad del valor original (2.25 m). En 175.7 seg.
L
Figura 3-41
T
Ejemplo de problemas y soluciones
+Q
Sistema del nivel de líquido.
119
A-3-14.
Considere el sistema del nivel de líquido de la figura 342. En estado estable, los flujos de entrada
y salida son e y el flujo entre los tanques es cero. Las alturas de los tanques 1 y 2 son I?. En t =
0, el flujo de entrada cambia de 0 a 0 + q, en donde q es un cambio pequeño en el flujo de entrada. Se supone que los cambios resultantes en las alturas (hl y h2) y los flujos (41 y qz) son pequeños . Las capacitancias de los tanques 1 y 2 son CI y C2, respectivamente. La resistencia de la
válvula que está entre los tanques es RI y la de la válvula de salida es Rz.
Obtenga modelos matemáticos para el sistema, cuando (a) q es la entrada y hz la salida, (b) q
es la entrada y q2 la salida y (c) q es la entrada y hl la salida.
Solución. (a) para el tanque 1, tenemos que
C, dh, = q1 dt
en donde
41
h, - 4
=7
1
En consecuencia,
R,C, 9 + h, = h,
(3-98)
Para el tanque 2, tenemos que
G dh, = (4 - 41 - 4 dt
en donde
41 =
h, - 4
RI
q2 =
’
h2
R
2
lo cual produce
R2C2~+~h2+h2=R2q+h,
1
(3-99)
1
Eliminando hl de las ecuaciones (3-98) y (3-99), tenemos
R,ClR2C2
ff$ + (R,C, + R2C2 + R,C,) % + h, = R,R,C, 2 + R,q
En términos de la función de transferencia, tenemos
HZ(~)
-
Q(s)
R,UW,s
=
R1C,R2C2?
+ 1)
+ (R,C, + R,C, + R,C,)s
s+q-+
Tanque
1
+ 1
,
Tanque 2
--4
- t
H+h2
i+h,
Figura
#
/
3-42
Sistema del nivel de líquido.
120
+
+ 0+42
-
R2
c2
41
Capítulo 3 / Modelado matemático de sistemas dinámicos
(3400)
Éste es el modelo matemático deseado, en el cual q se considera la entrada y hz la salida. (b) La
sustitución de h2 = R2q2 en la ecuación (3-100) nos da
R,C,R,C, 2 + (RJ, + R,C, + R,C,) % + q2 = R,C, $ + q
Esta ecuación es un modelo matemático del sistema cuando q se considera la entrada y q2 es la
salida. En términos de la función de transferencia, obtenemos
QzW _
Q(s)
R,C,s + 1
R,C,R,C2s2
+ (R,C, + R,C, + R,C,)s + 1
(c) La eliminación de h2 de las ecuaciones (3-98) y (3-99) nos da
R,C,R,C, $$ + (R,C, + R,C, + R,C,) 2 + h, = R,q
que es un modelo matem&co del sistema en el que q se considera la entrada y hl es la salida. En
términos de la función de transferencia, obtenemos:
HI(S)
-=
Q(s)
A-3-15.
R2
R,C,R,C,s2 + (R,C, + R,C, + R,C,)s + 1
Considere el sistema del nivel de líquido de la figura 3-43. En el sistema, QI y 02 son flujos de
entrada en estado estable y I?I y Hz son las alturas en estado estable. Las cantidades qil, qsz, hl, h2,
q1 y q,, se consideran pequeñas. Obtenga una representación en el espacio de estados para el sistema cuando hl y hz son la salidas y qil y q,z son las entradas.
Solución. Las ecuaciones para el sistema son
C,dh, = (qil - 41) dt
(3-101)
Wh, = (41 + qiz - q,) dt
(3-103)
La eliminación de q1 de la ecuación (3-lOl), usando la ecuación (3-102), da como resultado
(3405)
D2 + 4i2
Ql + 4il-
-
-
Ql+Qz+qo
Figura 3-43
Sistema del nivel d e líquido.
Ejemplo de problemas y soluciones
e1+s1
121
La eliminación de q1 y q. de la ecuación (3-103), usando las ecuaciones (3-102) y (3-104), nos lleva a
(3-106)
-=-
Defina las variables de estado XI y x2 mediante
x1 = h,
x2 = h,
las variables de entrada ~1 y ~2, mediante
Ul
= 4il
u2 =
qi2
y las variables de salida yl y y2 mediante
y1 = h, = x1
y, = h, = x,
A continuación, las ecuaciones (3-105) y (3-106) se escriben como
1
1
1
X,=-Rl~ln,+Rl~lX2+C,U’
En la forma de la representación matricial estándar, tenemos
1
I I
[i:]=[Z e(R;clRlp]+ - Ll
r
1
1
1
Cl
1 2
2 2
que es la ecuación de estado, y
O
O
4
1
u2
F
2
que es la ecuación de salida.
A-3-16.
Considerando desviaciones pequeñas de la operación de estado estable, dibuje un diagrama de
bloques del sistema de calefacción de aire de la figura 3-44. Suponga que las pérdidas de calor en
el medio ambiente y la capacitancia de calor de las partes de metal del calefactor son insignificantes.
ii+h
t
Figura 3-44
Sistema de calefacción de aire.
122
Si + e,
.l
- 1
Calefactor
Capítulo 3 / Modelado matemático de sistemas dinámicos
I’
T
3, + e,
Solución. Definamos
&i = temperatura en estado estable del aire de entrada, “C
@, = temperatura en estado estable del aire de salida, “C
G = flujo de la masa del aire a través de la cámara de calefacción, kg/seg
M = masa del aire que contiene la cámara de calefacción, kg
c = calor específico del aire, kcal/kg
“C
R = resistencia térmica, “C seg/kcal
C = capacitancia térmica del aire que contiene la cámara de calefacción = Mc, kcall”C
I? = flujo de calor de entrada en estado estable, kcallseg
Supongamos que el flujo de calor de entrada cambia repentinamente de I? a I?+ h y que la
temperatura del aire de entrada cambia repentinamente de õi a & + &. En este caso, la temperatura del aire de salida cambiará de & a & + 8,.
La ecuación que describe el comportamiento del sistema es
CdO, = [h + Gc(ei - e,)] dt
o bien
Cm=h+Gc(e¡-B,)
Considerando que
Gc = f
obtenemos
c%=h+i(ei-8,)
o bien
Tomando las transformadas de Laplace de ambos miembros de esta última ecuación y sustituyendo la condición inicial de que e,(O) = 0, obtenemos
@o(s)
= & H(s) + & @iCs)
El diagrama de bloques del sistema que corresponde a esta ecuación aparece en la figura 3-4.5.
A-3-17.
Considere el sistema del termómetro delgado de mercurio con paredes de vidrio de la figura 3-46.
Suponga que el termómetro está a una temperatura estable 6 OC (temperatura ambiente) y que
en t = 0 se sumerge en un baño a una temperatura 0 + &,“C, en donde ob es la temperatura del
baño (que puede ser constante o cambiante), medida a partir de la temperatura ambiente 6. Defina la temperatura instantánea del termómetro mediante 6 + 8”C, de modo que sea el cambio
en la temperatura del termómetro que satisfaga la condición de que e(O) = 0. Obtenga un modelo matemático para el sistema. Asimismo, determine un sistema eléctrico análogo del sistema del
termómetro.
Ejemplo de problemas y soluciones
123
bloques del sistema de
calefacción de aire de la figura 344.
Term6metro
Baño
Figura 3-46
Sistema de termómetro delgado de
mercurio con paredes de vidrio.
Solución. Se obtiene un modelo matemático para el sistema, considerando el balance del calor
del modo siguiente: el calor que entra al termómetro durante dt seg es q dt, en donde q es el flujo
de calor hacia el termómetro. Este calor se almacena en la capacitancia termita C del termómetro,
por lo cual su temperatura se eleva mediante de. Por tanto, la ecuación de balance de calor es
(3-107)
Cd0 = qdt
Dado que la resistencia térmica R se escribe como
,=!!%.49=*
dq
q
El flujo de calor q se obtiene, en términos de la resistencia térmica R, como
q = (6 + 6,) - (6 + 0) _ eb - ’
R
R
en donde 6 + & es la temperatura del baño y @ + 8 es la temperatura del termómetro. Por tanto,
la ecuación (3-107) puede reescribirse como
&ezebme
dt
R
o bien
Rc$+e=e,
(3-108)
La ecuación (3-108) es un modelo matemático del sistema del termómetro.
Remitiéndonos a la ecuación (3-108), un sistema eléctrico análogo para el sistema del termómetro se escribe como
R&.+e
dt
ce.
o
’
Un circuito eléctrico representado mediante esta última ecuación aparece en la figura 3-47.
124
Capítulo 3 / Modelado matemático de sistemas dinámicos
análogo del sistema del
termómetro que aparece en la figura 3-46.
A-3-18.
Linealice la ecuación no lineal
z = xy
en la región 5 I x 5 7,10 5 y 5 12. Encuentre el error si se usa la ecuación linealizada para calcular el valor de z cuando x = 5, y = 10.
Solución. Dado que la región considerada se obtiene mediante 5 5 x I 7, 10 5 y 5 12, seleccione X = 6, y = ll. Por tanto, Z = XY = 66. Obtengamos una ecuación linealizada para la
ecuación no lineal cerca de un punto 2 = 6, y = ll.
Expandiendo la ecuación no lineal en series de Taylor alrededor del punto x = X, y = J sin
considerar los tkrminos de orden superior, tenemos que
z - z = a(x - x) + b(y - y)
en donde
aby)
a=-
ax
.K=.f,y=j’
b _ aC4
aY
=jj=ll
=x=(j
.X=i,y=j
Por tanto, la ecuación linealizada es
z - 66 = ll(x - 6) + 6(y - ll)
o bien
z = llx + 6y - 66
Cuando x = 5, y = 10, el valor de z que proporcionó la ecuación linealizada es
z = llx + 6y - 66 = 55 + 60 - 66 = 49
El valor exacto de z es z = xy = 50. Por tanto, el error es 50 - 49 = 1. En términos de porcentaje,
el error es de 2%.
A-3-19.
Considere el sistema del nivel de líquido de la figura 348. En estado estable, el flujo de entrada
es Qi = a, el flujo de salida es Q,, = 0,~ la altura es H = Z?. Si el flujo es turbulento, tenemos que
Figura 3-48
Sistema del nivel de líquido.
FJemplo
de problemas y soluciones
125
Suponga que en t = 0, el flujo de entrada cambia de Q; = 0 a Qi = 0 + qi. Este cambio provoca
que la altura cambie de H = I? a H = H+ h, y ésta, a su vez, provoca que el flujo de salida cambie de Q0 = 0 a Q0 = 0 + qo. Para este sistema, tenemos que
&f=Qi-e,=Qi-K<H
en donde C es la capacitancia del tanque. Definamos
KV%
5 = f(H, Qi) = h Qi - -y-
(3-109)
Observe que la condición de operación en estado estable es (fi, 0)- y- H = I?+ h, Qi = e + qi.
Dado que la operación en estado estable dHldt = 0, tenemos que f(H,
- - Q) = 0.
Linealice la ecuación (3-109) cerca del punto de operación (H, Q).
Solución. Usando la técnica de linealización que se presentó en la sección 3-10, una ecuación linealizada para la ecuación (3-109) se obtiene del modo siguiente:
$-f(&@=$H-fi)+-$(Qi-e>
I
(3-110)
en donde
fe, Q) = 0
af
aH &fi,
Q,=é
=
K
--=
2cfl
e
1
---=
vz 2wE
e = - 1-_
2CH
RC
en la cual usamos la resistencia R definida mediante
R$Asimismo,
1
af
aQi f&Q,=Q = ?
De este modo, la ecuación (3-110) se escribe como
dH
-=-R;(H-H)+$(Qi-@
dt
Dado que H - I? = h y que Qi - 0 = qi, la ecuación (3-111) se escribe como
d-zz
h
-$h+hqi
dt
o bien
RC$+h=Rqi
126
Capítulo 3 / Modelado matemático de sistemas dinámicos
(3-111)
que es la ecuación linealizada para el sistema del nivel de líquido, y es igual ala ecuación (3-69) que
obtuvimos en la sección 3-8.
A-3-20.
Considere el sistema hidráulico de seguimiento de la figura 3-49. Suponiendo que las fuerzas de
reacción de carga no son insignificantes, obtenga un modelo matemático del sistema. Suponga
también que la masa del pistón de potencia se incluye en la masa de carga m.
Solución. Al obtener un modelo matemático del sistema cuando las fuerzas reactivas de carga
no son insignificantes, deben considerarse efectos tales como la presión que cae por el orificio, el
escurrimiento de aceite alrededor de la válvula y del pistón, así como la compresibilidad del
aceite.
La caída de presión a través del orificio es una función de la presión de suministrops
y la diferencia de presión Ap = pl - ~2. Por tanto, el flujo q es una función no lineal del desplazamiento
x de la válvula y la diferencia de presión Ap o bien
Linealizando esta ecuación no lineal alrededor del origen (X = 0, p = 0, q = 0), obtenemos, remitiéndonos a la ecuación (3-82),
q = K,x - K2Ap
(3-112)
Se puede considerar que el flujo q tiene tres partes
4 = 90 + qL + 4c
(3-113)
en donde qo = flujo útil hacia el cilindro de potencia que provoca que se mueva el pistón de potencia, kglseg
qL = el flujo de escurrimiento, kglseg
qc = el flujo de compresibilidad equivalente, kg/seg
Obtengamos expresiones específicas para qo, qL y qc. El flujo qo dt hacia el lado derecho del pistón
de potencia provoca que el pistón se mueva a la derecha mediante dy. Por tanto, tenemos que
Aedy = qOdt
en donde A(m2) es el área del pistón de potencia, Q (kg/ms) la densidad del aceite y dy (m) el desplazamiento del pistón de potencia. Por tanto,
X-O
4
\
4
@JJ@msa
_
m
-
m
m
0
-Y
Figura 3-49
Sistema hidráulico
de seguimiento.
Y-o
Ejemplo de problemas y soluciones
m
127
40=4,
(3-114)
El componente de escurrimiento qL se escribe como
(3-115)
q.c=L&
en donde L es el coeficiente de escurrimiento del sistema.
El flujo de compresibilidad equivalente qc se expresa en términos del módulo de aceite global
efectivo K (incluyendo los efectos del aire atrapado, la expansión de los tubos, etc.), en donde
K=
(Aquí dV es negativo y, por tanto,-dV
dAp
-dVIV
es positivo.) Volver a escribir esta última ecuación produce
-dV=;dAp
o bien
- d V - eVdApe - - y = K dt
Considerando que qc = e( -dV)ldt, encontramos que
en donde Ves el volumen efectivo de aceite bajo compresión (es decir, aproximadamente la mitad del volumen total del cilindro de potencia).
Usando las ecuaciones (3-112) a (3-116),
o bien
(3-117)
La fuerza desarrollada por el pistón de potencia es A Ap, y esta fuerza se aplica a los elementos
de carga. Por tanto
P
m%b%ky=AA
dt2
dt
(3-118)
Eliminar Ap de las ecuaciones (3-117) y (3-118) produce
+ (L +
K2)k y = K,x
A
Éste es un modelo matemático del sistema que relaciona el desplazamiento del carrete de la
válvula x con el desplazamiento del pistón de potencia y cuando no son insignificantes las fuerzas
reactivas de carga.
128
Capítulo 3 / Modelado matemático de sistemas dinámicos
PROBLEMAS
B-3-1. Simplifique el diagrama de bloques que aparece en
la figura 3-50 y obtenga la función de transferencia en lazo
cerrado C(s)/R(s).
B-3-2. Simplifique el diagrama de bloques de la figura 3-51
y obtenga la función de transferencia C(s)/R(s).
B-3-3. Simplifique el diagrama de bloques de la figura 3-52
y obtenga la función de transferencia en lazo cerrado
C(s)lR(s).
B-3-4. Obtenga una representación en el espacio de estados del sistema de la figura 3-53.
B-3-5.
Considere
el
sistema
descrito
mediante
Obtenga una representación en el espacio de estado del sistema.
J
Figura 360
Diagrama de bloques de un sistema.
Figura 3-51 Diagrama de bloques de un sistema.
Figura
Problemas
3-52 Diagrama de bloques de un sistema.
129
Obtenga la función de transferencia del sistema.
Figura 333
B-3-6.
Considere
el
Sistema de control.
sistema
descrito
mediante
B-3-7. Obtenga la función de transferencia XO(s)/X@) de
cada uno de los tres sistemas mecánicos de la figura 3-54.
En los diagramas, xi representa el desplazamiento de entrada y x0 denota el desplazamiento de salida. (Cada desplazamiento se mide a partir de su posición de equilibrio.)
B-3-8. Obtenga modelos matemáticos de los sistemas
mecánicos de las figuras 3-55(a) y (b).
B-3-9. Obtenga una representación en el espacio de estado
del sistema mecánico de la figura 3-56, en donde UI y u2 son
entradas y yl y y2 son salidas.
W
(b)
(b)
Figura ,3-54 Sistemas mecánicos.
- x (Salida)
Sin fricción
(al
- x (Salida)
Sin fricción
(b)
Figura 3-55 Sistemas mecánicos.
130
Capítulo 3 / Modelado matemático de sistemas dinámicos
k2
Yl
I
m2
1
Figura 3-58 Sistema del péndulo invertido.
Figura 3-56
Sistema mecánico.
B-3-10. Considere el sistema del péndulo con carga de resorte de la figura 3-57. Suponga que la fuerza de resorte que
funciona sobre el péndulo es cero cuando el péndulo está
vertical 0’0 = 0. También suponga que la fricción involucrada es insignificante y que el ángulo de oscilación 0 es pequeño. Obtenga un modelo matemático del sistema.
B-3-11. Remitiéndonos al ejemplo 34, considere el sistema del péndulo invertido de la figura 3-58. Suponga que
la masa del péndulo invertido es m y que está distribuida
equitativamente a lo largo de la longitud de la barra. (El
centro de gravedad del péndulo se ubica en el centro de la
barra.) Suponiendo que 0 es pequeña, obtenga modelos
matemáticos para el sistema en forma de ecuaciones diferenciales, funciones de transferencia y ecuaciones en el espacio de estado.
B-3-12. Obtenga la función de transferencia del sistema
eléctrico de la figura 3-59. Dibuje un diagrama esquemático
de un sistema mecánico análogo.
Figura 3-59 Sistema eléctrico.
B-3-13. Considere el sistema del nivel de líquido de la
figura 3-60. Suponiendo que I?= 3 m, é= 0.02 mYseg, y
que el área transversal del tanque es igual a 5 m2, obtenga
la constante del tiempo del sistema en el punto de operación (a 0). Suponga que el flujo a través de la válvula es
turbulento.
B-3-14. Considere el sistema del tanque de agua cónico de
la figura 3-61. El flujo a través de la válvula es turbulento y
se relaciona con la altura H mediante
Q = O.OOSvÉi
en donde Q es el flujo medido en m%eg y H está en metros.
CapacitaA
C
Figura 357 Sistema del péndulo con carga
de resorte.
Problemas
Figura 3-60
Resiskncia
R
Sistema del nivel de líquido.
131
Figura 361 Sistema del tanque de
agua
cónico.
Suponga que la altura es 2 m en t = 0. ¿Cuál será la altura en t = 60 seg?
B-3-15. Considere el sistema del nivel de líquido de la
figura 3-62. En estado estable, el flujo de entrada es 0 y el
flujo de salida es también Q. Suponga que en t = 0, el flujo
de entrada cambia de & a & + qi, en donde qi es una cantidad pequeña. La entrada de perturbación es qd, también
una cantidad pequeña. Dibuje un diagrama de bloques del
sistema y simplifíquelo para obtener Hz(s) como una función de Q¡(s) y Qd(s), e n d o n d e Hz(s) = <e[hz(t)],
Q¡(s) = y[qi(t)] y Qd(s) = z[qd(f)]. Las capacitancias de los
tanques 1 y 2 son Cl y CZ, respectivamente.
B-3-16. Un termopar tiene una constante de tiempo de
2 seg. Un termopozo tiene un tiempo constante de 30 seg.
Cuando el termopar se inserta en el termopozo, este dispositivo de medición de temperatura se considera un sistema de
dos
capacitancias.
Determine las constantes de tiempo del sistema combinado termopar-termopozo. Suponga que el peso del termopar es de 8 g y que el peso del termopozo es de 40 g.
También suponga que son iguales los calores específicos del
termopar y el termopozo.
B-3-17. Suponga que el flujo Q y la altura H en un sistema
de nivel de líquido se relacionan mediante
Q = 0.002 d?
Obtenga un modelo matemático linealizado que relacione el flujo y la altura cerca del punto de operación en estado estable (G e), en donde a = 2.25 m y &= 0.003
mVseg.
B-3-18. Encuentre una ecuación linealizada para
y = 0.2x3
alrededor de un punto x = 2.
G+,-G+
Tanque 1
+6=-‘d
ií,+h,
l---F-l
t 4
I
Cl
Figura 3-62
132
RI
-r
l---T-i
1( Tanque 2
&+h2
+
b
-CT+42
c2
Sistema del nivel de líquido.
Capítulo 3 / Modelado matemático de sistemas dinámicos
Aceite
bajo
Drenaje presión Drenaje
Y
Cilindro de potencia
Figura 3-63 Diagrama esquemático de un servomotor hidráulico.
B-3-19. Linealice la ecuación no lineal
z = .x? + 4xy + 6y2
en la región definida por 8 5 x 5 10,2 I y I 4.
Problemas
B-3-20. Considere el servomotor hidráulico de la figura
3-63. Obtenga la función de transferencia Y(s)/X(s).
Suponga que la fuerza de inercia debida a la masa del pistón
de potencia y el eje en comparación es insignificante si se
compara con la fuerza de inercia debida a la masa de carga
m y a la fuerza de fricción viscosa bj.
133
4-1 INTRODUCCIÓN
En el capítulo 3 se planteó que el primer paso para analizar un sistema de control era
obtener un modelo matemático del mismo. Una vez obtenido tal modelo, existen varios
métodos para el análisis del desempeño del sistema.
En la práctica, la señal de entrada para un sistema de control no se conoce con anticipación, pero es de naturaleza aleatoria, y la entrada instantánea no puede expresarse en
forma analítica. Sólo en algunos casos especiales se conoce con anticipación la señal de entrada y se puede expresar en forma analítica o mediante curvas; tal es el caso del control
automático de herramientas de corte.
En el análisis y diseño de sistemas de control, debemos tener una base de comparación
del desempeño de diversos sistemas de control. Esta base se configura especificando las
señales de entrada de prueba particulares y comparando las respuestas de varios sistemas
a estas señales de entrada.
Muchos criterios de diseño se basan en tales señales o en la respuesta del sistema a los
cambios en las condiciones iniciales (sin señales de prueba). El uso de señales de prueba
se justifica porque existe una correlación entre las características de respuesta de un sistema para una señal de entrada de prueba común y la capacidad del sistema de manejar
las señales de entrada reales.
Señales de prueba típicas. Las señales de prueba que se usan regularmente son
funciones escalón, rampa, parábola, impulso, senoidales, etc. Con estas señales de prueba,
es posible realizar con facilidad análisis matemáticos y experimentales de sistemas de control, dado que las señales son funciones del tiempo muy simples.
134
La forma de la entrada a la que el sistema estará sujeto con mayor frecuencia bajo una
operación normal determina cuál de las señales de entrada típicas se debe usar para analizar las
características del sistema. Si las entradas para un sistema de control son funciones del tiempo
que cambian en forma gradual, una función rampa sería una buena señal de prueba. Asimismo,
si un sistema está sujeto a perturbaciones repentinasuna función escalón sería una buena señal
de prueba; y para un sistema sujeto a entradas de choque, una función impulso sería la mejor.
Una vez diseñado un sistema de control con base en las señales de prueba, por lo general el desempeño del sistema en respuesta a las entradas reales es satisfactorio. El uso de tales señales
de prueba permite comparar el desempeño de todos los sistemas sobre la misma base.
Respuesta transitoria y respuesta en estado estable. La respuesta en el tiempo
de un sistema de control consta de dos partes: la respuesta transitoria y la respuesta en estado estable. Por respuesta transitoria nos referimos a la que va del estado inicial al estado
final. Por respuesta en estado estable, nos referimos a la manera en la cual se comporta la
salida del sistema conforme t tiende a infinito.
Estabilidad absoluta, estabilidad relativa y error en estado estable. Al diseñar
un sistema de control, debemos ser capaces de predecir su comportamiento dinámico a partir del conocimiento de los componentes. La característica más importante del comportamiento dinámico de un sistema de control es la estabilidad absoluta, es decir, si el sistema
es estable o inestable. Un sistema de control está en equilibrio si, en ausencia de cualquier
perturbación o entrada, la salida permanece en el mismo estado. Un sistema de control lineal
e invariante con el tiempo es estable si la salida termina por regresar a su estado de equilibrio cuando el sistema está sujeto a una condición inicial. Un sistema de control lineal e
invariante con el tiempo es críticamente estable si las oscilaciones de la salida continúan
para siempre. Es inestable si la salida diverge sin límite a partir de su estado de equilibrio
cuando el sistema está sujeto a una condición inicial. En realidad, la salida de un sistema
físico puede aumentar hasta un cierto grado, pero puede estar limitada por “detenciones”
mecánicas o el sistema puede colapsarse o volverse no lineal después de que la salida excede cierta magnitud, por lo cual ya no se aplican las ecuaciones diferenciales lineales.
Entre los comportamientos importantes del sistema (aparte de la estabilidad absoluta)
que deben recibir una cuidadosa consideración están la estabilidad relativa y el error en estado estable. Dado que un sistema de control físico implica un almacenamiento de energía, la
salida del sistema, cuando éste está sujeto a una entrada, no sucede a la entrada de inmediato,
sino que exhibe una respuesta transitoria antes de alcanzar un estado estable. La respuesta
transitoria de un sistema de control práctico con frecuencia exhibe oscilaciones amortiguadas
antes de alcanzar un estado estable. Si la salida de un sistema en estado estable no coincide
exactamente con la entrada, se dice que el sistema tiene un error en estado estable. Este error
indica la precisión del sistema. Al analizar un sistema de control, debemos examinar el comportamiento de la respuesta transitoria y el comportamiento en estado estable.
Panorama del capitulo. Este capítulo se relaciona con las respuestas de los sistemas
a las señales aperiódicas (tales como las funciones, escalón, rampa, parábola e impulso).
El capítulo incluye lo siguiente: la sección 4-1 presentó el material introductorio. La sección 4-2 trata la respuesta de los sistemas de primer orden ante entradas aperiódicas. La
sección 4-3 aborda la respuesta transitoria de los sistemas de segundo orden. Se presentan análisis detallados de la respuesta escalón, rampa e impulso de los sistemas de segundo
orden. (El análisis de respuesta transitoria de los sistemas de orden superior se analiza en
el capítulo 5.) La sección 4-4 ofrece una introducción al enfoque de MATLAB para la
Sección 4-1 / Introducción
135
solución de respuesta transitoria. La sección 4-5 presenta un ejemplo de un problema de
respuesta transitoria solucionado con MATLAB.
4-2 SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
Considere el sistema de primer orden de la figura 4-l(a). Físicamente, este sistema representa un circuito RC, un sistema térmico o algo similar. La figura 4-l(b) presenta un diagrama de bloques simplificado. La relación entrada-salida se obtiene mediante
(4-1)
En lo sucesivo, analizaremos las respuestas del sistema a entradas tales como la función escalón
unitario, rampa unitaria e impulso unitario. Se supone que las condiciones iniciales son cero.
Observe que todos los sistemas que tienen la misma función de transferencia exhibirán
la misma salida en respuesta a la misma entrada. Para cualquier sistema físico dado, la respuesta matemática recibe una interpretación física.
Respuesta escalón unitario de sistemas de primer orden. Dado que la transformada de Laplace de la función escalón unitario es l/s, sustituyendo R(s) = l/s en la ecuación
(4-l), obtenemos
1 1
C(s) = -Ts+ls
Expandir C(s) en fracciones parciales produce
(4-2)
Si tomamos la transformada inversa de Laplace
c(t) = 1 - eet’T,
de la ecuación (4-2) obtenemos
para t 2 0
(4-3)
La ecuación (4-3) plantea que la salida c(t) es inicialmente cero y al final se vuelve unitaria.
Una característica importante de tal curva de respuesta exponencial c(t) es que, para t = T,
el valor de c(t) es 0.632, o que la respuesta c(t) alcanzó 63.2% de su cambio total. Esto se
aprecia con facilidad sustituyendo t = T en c(t). Es decir,
c(T) = 1 - ee1 = 0.632
Observe que, conforme más pequeña es la constante de tiempo T, más rápida es la respuesta
del sistema. Otra caracterfstica importante de la curva de respuesta exponencial es que la
pendiente de la línea de tangente en t = 0 es UT, dado que
Figura 4-1
(a) Diagrama de bloques
de un sistema de primer
orden; (b) diagrama de
bloques simplificado.
136
Capítulo 4 / Análisis de la respuesta transitoria
dtT
;i
1
dc
’
-tlT
-z--e
t=o =T
(4-4)
La respuesta alcanzaría el valor final en t = T si mantuviera su velocidad de respuesta inicial. A partir de la ecuación (4-4) vemos que la pendiente de la curva de respuesta c(t) disminuye en forma monotónica de UT en t = 0 a cero en t = m.
La curva de respuesta exponencial c(t) obtenida mediante la ecuación (4-3) aparece en
la figura 4-2. En una constante de tiempo, la curva de respuesta exponencial ha ido de 0 a
63.2% del valor final. En dos constantes de tiempo, la respuesta alcanza 86.5% del valor final. En t = 3T, 4T y 5T, la respuesta alcanza 95,98.2 y 99.3%, respectivamente, del valor final.
Por tanto, para t 2 4T, la respuesta permanece dentro del 2% del valor final. Como se observa en la ecuación (4-3), el estado estable se alcanza matemáticamente sólo después de
un tiempo infinito. Sin embargo, en la práctica, una estimación razonable del tiempo de respuesta es la longitud de tiempo que necesita la curva de respuesta para alcanzar la línea de
2% del valor final, o cuatro constantes de tiempo.
Considere el sistema de la figura 4-3. Para determinar experimentalmente si el sistema
es o no de primer orden, grafique la curva logarítmica Ic - c(w)/, en donde c(t) es la salida del sistema, como una función de t. Si la curva se convierte en una línea recta, el sistema
es de primer orden. La constante de tiempo T se lee de la gráfica como el tiempo T que
satisface la ecuación siguiente:
c(T) - c(m) = 0.368 [c(O) - c(m)]
Observe que, en lugar de graficar log [c(t) - c(m)1 contra t, es conveniente graficar jc(t)
- 4~M49 -c (m II contra t en papel semilogarítmico, como se aprecia en la figura 4-4.
Respuesta rampa unitaria de sistemas de primer orden. Dado que la transformada de Laplace de la función rampa unitaria es l/s*, obtenemos la salida del sistema de la
figura 4-l(a), como
1 1
C(s) = ~TS + 1 s2
0.632
Figura 4-2
0
r(t)
T
2T
- Sistema
3T
4T
40 +
Sección 4-2 / Sistemas de primer orden
5T
t
Curva de respuesta exponencial.
Figura43
Un sistema general.
137
Figura 4-4
Gráfica de
‘unlr,T”~“-$$garítmico.
Si expandirnos C(s) en fracciones parciales, obtenemos
T2
C(s) = $ - ; + Ts + 1
(4-5)
Tomando la transformada inversa de Laplace de la ecuación (4-3, obtenemos
c(t) = t - T + Te-f’T,
para t 2 0
De este modo, la señal de error e(t) es
e(t) = r(t) - c(t)
= T(1 - e-t”)
Conforme t tiende a infinito, e-t/T se aproxima a cero y, por tanto, la señal de error e(t) se
aproxima a T o
e(w) = T
La entrada rampa unitaria y la salida del sistema se muestran en la figura 4-5. El error después de la entrada rampa unitaria es igual a T para una t suficientemente grande. Entre más
pequeña es la constante de tiempo T, más pequeño es el error en estado estable después de
la entrada rampa.
Respuesta impulso unitario de sistemas de primer orden. Para la entrada impulso unitario, R(s) = 1 y la salida del sistema de la figura 4-l(a) pueden obtenerse como:
138
Capítulo 4 / Análisis de la respuesta transitoria
Error en estado
estable
4T -
2T -
Figura 4-5
0
2T
I
I
4T
I
I
+
6T
t
Respuesta rampa unitaria del sistema de la figura 4-l(a).
o bien
c(t) = f ceT,
para t 2 0
(4-6)
La curva de respuesta obtenida mediante la ecuación (4-6) aparece en la figura 4-6.
Una propiedad importante de los sistemas lineales e invariantes con el tiempo.
En el análisis anterior, se demostró que, para la entrada rampa unitaria, la salida c(t) es
c(t) = t - T + Te-t’T,
para t 2 0
Para la entrada escalón unitario, que es la derivada de la entrada rampa unitaria, la salida
c(t) es
c(t) = 1 - e-“T,
para t 2 0
Por último, para la entrada impulso unitario, que es la derivada de la entrada escalón unitario, la salida c(t) es
1
c(t) = y e-t’T,
para t 2 0
Figura 4-6
0
T
2T
3T
I
4T
r
Sección 4-2 / Sistemas de primer orden
Respuesta impulso unitario del sistema de la figura 4-l(a).
139
Una comparación de las respuestas del sistema para estas tres entradas indica con claridad
que la respuesta ala derivada de una señal de entrada se obtiene diferenciando la respuesta
del sistema para la señal original. También se observa que la respuesta para la integral de
la señal original se obtiene integrando la respuesta del sistema para la señal original y determinando las constantes de integración a partir de la condición inicial de salida cero. Ésta
es una propiedad de los sistemas lineales e invariantes con el tiempo. Los sistemas lineales
y variantes con el tiempo y los sistemas no lineales no poseen esta propiedad.
EJEMPLO 4-1
Considere el sistema de control de nivel de líquido de la figura 4-7(a). (Se supone que el controlador es proporcional; es decir, la salida del controlador es proporcional a la entrada del mismo.)
Suponemos -que todas
las variables, r, qi, h y q. se miden a partir de sus valores en estado estable
respectivos R,Q, H y e. También suponemos que las magnitudes de las variables r, qi, h y q. son suficientemente pequeñas para que el sistema se aproxime mediante un modelo matemático lineal.
Remitiéndonos a la sección 3-8, obtenemos la función de transferencia del sistema de nivel
de líquido como
H(s)
R
-=~
ej(s) RCs + 1
Dado que el controlador es proporcional, al flujo de entrada qi es proporcional al error e, por lo
que qi = K,K,e, en donde K,, es el aumento del controlador y KV es la ganancia de la válvula de
control. En términos de cantidades transformadas mediante el método de Laplace,
La figura 4-7(b) contiene un diagrama de bloques de este sistema. La figura 4-7(c) muestra un
diagrama de bloques simplificado, en donde X(s) = (l/Kb)R(s), K = K,K,RKb y T = RC.
0+4i
-
ii+h
C
P+qo
-
1
Entrada x ( t )
J
R
(4
+
Desplazamiento
t
I
0
Cc)
l
I
I
4T1
2T1
I
I
6Tl
I ~
1
(4
Figura 4-7
(a) Sistema de control de nivel de líquido; (b) diagrama de bloques; (c) diagrama de bloques
simplificado; (d) curva h(t) contra r.
140
Capítulo 4 / Análisis de la respuesta transitoria
A continuación investigaremos la respuesta h(t) para un cambio en la entrada de referencia.
Supondremos un cambio escalón unitario en n(t), en donde x(t) = (l/Kb)r(t). La función de transferencia en lazo cerrado entre H(s) y X(s) se obtiene mediante
K
H(s) zz
Ts+l+K
X(s)
Dado que la transformada de Laplace
la ecuación (4-7) nos lleva a:
(4-7)
de la función escalón unitario es lls, sustituir X(s) = l/s en
H(s)
=
K
’
Ts+l+K;
Expandiendo H(s) en fracciones parciales, obtenemos
K
1
H(s) 7 & ; - l+Ks+(l+K)IT
Tomando la transformada inversa de Laplace
nemos la siguiente solución de tiempo h(t):
de ambos miembros de esta última ecuación, obte-
h(t) = $$ (1 - e-“rl),
en donde
para t 2 0
(4-8)
T
TI = l+K
La curva de respuesta h(t) se grafica en la figura 4-7(d). A partir de la ecuación (4-8) observamos que la constante de tiempo Tl del sistema en lazo cerrado es diferente de la constante de
tiempo T del bloque de la trayectoria directa.
A partir de la ecuación (44) vemos que, conforme I tiende a infinito, el valor de h(t) tiende a
Kl(1 + K), o bien
Dado que x(m) = 1, hay un error en estado estable de l/(l + K).Tal error se denomina desplazamiento
(offset). El valor del desplazamiento se vuelve más pequeño conforme el aumento K se vuelve mayor.
El desplazamiento es una característica del control proporcional de una planta cuya función
de transferencia no posee un elemento de integración. (En este caso, necesitamos un error diferente de cero para ofrecer una salida diferente de cero.) Para eliminar tal desplazamiento, debemos agregar una acción de control integral. (Consulte la sección 5-3.)
4-3 SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
En esta sección, obtendremos la respuesta de un sistema de control típico de segundo orden
para una entrada escalón, rampa e impulso.Aquí consideraremos un servomotor de cd como
ejemplo de un sistema de segundo orden. Los motores de cd convencionales usan escobillas
mecánicas y conmutadores que requieren mantenimiento regular. Sin embargo, debido a los
mejoramientos efectuados en las escobillas y en los conmutadores, muchos motores de cd
que se usan en sistemas de seguimiento operan casi sin mantenimiento.Algunos motores de
cd usan conmutación electrónica. Se denominan motores de cd sin escobillas.
Sección 4-3 / Sistemas de segundo orden
141
Servomotores de cd. En la industria se usan muchos tipos de motores de cd. Los
motores de cd que se usan en los sistemas de seguimiento se denominan servomotores. En
los servomotores de cd, la inercia del rotor se ha hecho muy pequeña, por lo que existen en
el mercado motores con razones muy altas entre el par y la inercia. Algunos servomotores
de cd tienen constantes de tiempo muy pequeñas. Los servomotores de cd con rangos de
corriente muy pequeños se usan en instrumentos y equipo relacionados con computadoras,
tales como unidades de disco, unidades de cinta, impresoras y procesadores de texto. Los
servomotores de cd, con razones de corriente mediana y grande, se usan en sistemas robóticos, en máquinas de fresado controladas numéricamente, etcétera.
En los servomotores de cd, las bobinas de campo se conectan en serie con la armadura o
la bobina de campo se separa de la armadura. (Es decir, el campo magnético se produce mediante un circuito independiente.) En este ultimo caso, en el que el campo se excita en forma
independiente, el flujo magnético es independiente de la corriente de la armadura. En algunos
servomotores de cd, el campo magnético se produce mediante un imán permanente y, por
tanto, el flujo magnético es constante. Tales servomotores de cd se denominan servomotores
de cd con imán permanente. Los servomotores de cd con campos excitados en forma independiente, al igual que los servomotores de cd con imán permanente se controlan mediante la
corriente de la armadura.Tal esquema para controlar la salida del servomotor de cd mediante
la corriente de la armadura se denomina control de la armadura de servomotores de cd.
En el caso en el que la corriente de la armadura se mantiene constante y la velocidad
se controla por medio de un voltaje de campo, el motor de cd se denomina motor de cd controlado por campo. (Algunos sistemas de control de velocidad usan motores de cd controlados por campo.) Sin embargo, el requerimiento de una corriente de armadura constante
es una desventaja importante. (Proporcionar una fuente de corriente constante es mucho
más difícil que incorporar una fuente de voltaje constante.) Por lo general, las constantes
de tiempo del motor de cd controlado por campo son grandes, en comparación con las constantes de tiempo de un motor de cd controlado por armadura equivalente.
Un servomotor de cd también es manejado por un controlador de movimiento electrónico,
con frecuencia denominado servomanejador, como una combinación motor-manejador. El servomanejador determ@a
el movimiento de un servomotor de cd y opera en diversos modos Algunas
de las características son el posicionamiento de punto a punto, el perfilado programable de velocidad y aceleración. El uso de un manejador de movimiento electrónico mediante un manejador de
modulación por ancho de pulso para controlar un servomotor de cd se observa con frecuencia en
los sistemas de control de robots, de control numérico y otros de posición y/o velocidad.
A continuación analizaremos el control de la armadura de servomotores de cd.
Un sistema de seguimiento. Considere el sistema de seguimiento de la figura
443(a). El objetivo de este sistema es controlar la posición de la carga mecánica de acuerdo
con la posición de referencia. La operación de este sistema es la siguiente: un par de potenciómetros funciona como un dispositivo de medición de error. Convierten las posiciones
de entrada y salida en señales eléctricas proporcionales. La señal de entrada de comando
determina la posición angular r del cursor del potenciómetro de entrada. La posición angular r es la entrada de referencia para el sistema y el potencial eléctrico del cursor es proporcional a la posición angular del cursor. La posición del eje de salida determina la
posición angular c del cursor del potenciómetro de salida. La diferencia entre la posición
angular de entrada r y la posición angular de salida c es la señal de error e, o bien,
e = r - c
142
Capítulo 4 / Análisis de la respuesta transitoria
Entrada de referencia Potenciómetro de entrada
&~.J-----,
I
I
i mi
--D-t
I I y!
Dispositivo
i----.i
Dispositivo de medición de errores Amplificador
Motor
Tren de
engranes
Carga
64
Ev(s)
KO +
KA
s(L,s + R,) (J,,s + b,) + K2K3s
(cl
Figura 4-8
(a) Diagrama esquemático de un sistema de seguimiento; (b) diagrama de bloques para el sistema; (c) diagrama de bloques simplificado.
La diferencia potencial e, - e, = e, es el voltaje de error, en donde e, es proporcional a r y
ef es proporcional a c; es decir, e, = Kor y ec = KN, en donde KO es una constante de proporcionalidad. El amplificador aumenta el voltaje de error que aparece en las terminales
del potenciómetro y su constante de ganancia es Kl. El voltaje de salida de este amplificador se aplica al circuito de la armadura del motor de cd. (El amplificador debe tener una
impedancia de entrada muy alta, debido a que los potenciómetros son esencialmente circuitos de alta impedancia y no toleran una variación de corriente. Al mismo tiempo, el amplificador debe tener una impedancia de salida baja, dado que se alimenta en el circuito de
la armadura del motor.) Se aplica un voltaje fijo a la bobina de campo. Si existe un error, el
motor desarrolla un par para rotar la &ga de salida de tal forma que el error se reduzca a
cero. Para una corriente de campo constante,/ el par que desarrolla el motor es
f= K,i,
en donde KZ es la constante de par del motor e i, es la corriente de la armadura.
Observe que si se invierte el signo de la corriente i,, el signo del par T se invierte, y esto
provocará que la dirección de giro del rotor se invierta.
Cuando la armadura gira, se induce en ella un voltaje proporcional al producto del flujo
y la velocidad angular. Para un flujo constante, el voltaje inducido eb es directamente proporcional a la velocidad angular deldt, o bien
de
eb = KS-dt
(4-9)
en donde eb es la fuerza contraelectromotriz, K3 es la constante de la fuerza contraelectromotriz del motor y 8 es el desplazamiento angular de la flecha del motor.
Sección 4-3 / Sistemas de segundo orden
143
La velocidad del servomotor controlado por armadura está determinada por el voltaje
de la armadura ea. (El voltaje de la armadura e, = &e, es la salida del amplificador.) La
ecuación diferencial para el circuito de la armadura es
L, 2 + R,i, + eb = e,
o bien
(4-10)
La ecuación para el equilibrio de pares es
.log + bo$f = T = ZQ,
en donde JO es la inercia de la combinación del motor, de la carga y el tren de engranes
referida a la flecha del motor, y bo es el coeficiente de fricción viscosa de la combinación
del motor, la carga y el tren de engranes referida a la flecha del motor. La función de transferencia entre el desplazamiento angular de la flecha del motor y el voltaje de error se obtiene de las ecuaciones (4-10) y (4-ll), del modo siguiente:
_@(s)
E,(s)
KlK2
s(L,s + R,)(Jos + b,) + K2K3s
(4-12)
en donde e(s) = Z[e(t)] y E,(s) = (e[ev(t)]. S uponemos que la relación de engranes del
tren de engranes es tal que la flecha de salida gira n veces por cada revolución de la flecha
del motor. Por tanto,
C(s) = n@(s)
(4-13)
en donde C(S) = Ce[c(t)] y c(f) es el desplazamiento angular de la flecha de salida. La
relación entre I&(S), R(s) y C(s) es
E,(s) = Ko[W - WI = ,KoW
(4-14)
en donde R(s) = Y[r(t)]. El diagrama de bloques de este sistema se construye a partir de
las ecuaciones (4-12), (4-13) y (4-14), que aparecen en la figura 4-8(b). La función de transferencia en la trayectoria directa de este sistema es
C(s) @(s) E,(s)
G(s) = o(s) E,(s) E(s) = s[@as
~cF1~2n
+ J'MJ,~ + bol + K2K31
Dado que L, es, por lo general, pequeña, puede pasarse por alto, y la función de transferencia G(s) en la trayectoria directa se convierte en
G(s) =
144
ww2n
a& + bo) + K2K31
Capítulo 4 / Análisis de la respuesta transitoria
El término [ba + (K&/RI )]s indica que la fuerza contraelectromotriz del motor aumenta
efectivamente la fricción viscosa del sistema. La inercia JO y el coeficiente de fricción viscosa bo + (K&IRa) referida a la flecha del motor. Cuando JO y bo + (KzKdR,) se multiplican por llnz, la inercia y el coeficiente de fricción viscosa se expresan en términos de la
flecha de salida. Introduciendo parámetros nuevos definidos mediante
J = Joln2 = momento de inercia referida a la flecha de salida
B = [bo + (K&IR,J]In2 = coeficiente de fricción viscosa referida a la flecha de salida
K = KoK~KzlrtR,
la función de transferencia G(s) obtenida mediante la ecuación (4-15) se simplifica, produciendo
G(s) =
K
Js2 + Bs
G(s) =
Km
o bien
(4-16)
s(T,s + 1)
en donde
Km=$,
RlZJO
T,,J,
B
Rabo +
K,K,
El diagrama de bloques del sistema de la figura 4-8(b) se simplifica como se muestra en la
figura 4+c).
A continuación, investigaremos las respuestas dinámicas de este sistema ante las entradas escalón unitario, rampa unitaria e impulso unitario.
A partir de las ecuaciones (4-15) y (4-16) se observa que las funciones de transferencia contienen el término l/s. Por tanto, este sistema posee una propiedad de integración. En
la ecuación (4-16), observe que la constante de tiempo del motor es más pequeña para una
R, y una JO más pequeñas. Con una JO pequeña, conforme se reduce la resistencia R,, la constante de tiempo del motor se aproxima a cero y el motor actúa como un integrador ideal.
Efecto de una carga en la dinámica de un servomotor. Una de las características
más importantes del servomotor es la aceleración máxima que puede obtenerse. Para un
par disponible determinado, el momento de inercia del rotor debe ser mínimo. Dado que
el servomotor opera bajo condiciones continuamente variables, ocurren de vez en cuando
una aceleración y una desaceleración del rotor. El servomotor debe ser capaz de absorber
la energía mecánica al igual que generarla. Debe ser satisfactorio el desempeño del rotor
de mando cuando se usa como freno.
Supongamos que J,,, y b, son, respectivamente, el momento de inercia y el coeficiente de
fricción viscosa del rotor, y supongamos que JL y bL son, respectivamente, el momento de inercia y el coeficiente de fricción viscosa de la carga en la flecha de salida. Supóngase también
que el momento de inercia y el coeficiente de fricción viscosa del tren de engranes son insignificantes o se incluyen en JL y bL, respectivamente. Por tanto, el momento de inercia equivalente J,, referido a la flecha del motor y el coeficiente de fricción viscosa equivalente be,
referida a la flecha del motor se escriben como (observe los detalles en el problema A-4-4):
Secci6n 4-3 / Sistemas de segundo orden
145
Jes = J, + n2JL
b,, = b, + n2fL
en donde n(n < 1) es la relación de engranes entre el motor y la carga. Si la relación de engranes n es pequeña y J, % n2J~, el momento de inercia de la carga referido a la flecha del
motor es insignificante con respecto al momento de inercia del rotor. Se aplica un argumento similar a la fricción de carga. En general, cuando la relación de engranes n es pequeña, la función de transferencia del servomotor eléctrico se obtiene, sin considerar el
momento de inercia de la carga y la fricción. Sin embargo, si ni J,,, ni SJL son insignificantes
comparados uno con el otro, debe usarse el momento de inercia equivalente a Jes para evaluar la función de transferencia de la combinación motor-carga.
Respuesta escalón de sistemas de segundo orden.
en lazo cerrado del sistema de la figura 4--8(c) es:
K
C(s)
-=
R(s)
Js2 + Bs + K
La función de transferencia
(4-17)
que puede reescribirse como
(4-18)
Los polos en lazo cerrado son complejos si B2 - 4JK < 0, y son reales si B2 - 4JK 2 0. En
el análisis de la respuesta transitoria, es conveniente escribir
K
- = (32ny
J
B
J = 253, = 2a
en donde u se denomina atenuación; w,,, frecuencia natural no amortiguada y 5 factor de
amortiguamiento relativo del sistema. El factor de amortiguamiento relativo 5 es el cociente
entre amortiguamiento real B y el amortiguamiento crítico B, = 2-, o bien
En términos de 5 y w,,, el sistema de la figura 4-8(c) se convierte en el que aparece en la figura 4-9, y la función de transferencia en lazo cerrado C(s)/R(s) obtenida mediante la ecuación (4-18) se escribe como
C(s)
co;
R(s) = s2 + 25w,s + al;
146
Capítulo 4 / Análisis de la respuesta transitoria
(4-19)
El comportamiento dinámico del sistema de segundo orden se describe a continuación
en términos de dos parámetros 5 y an. Si 0 < 5 < 1, los polos en lazo cerrado son complejos conjugados y se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s. El sistema, entonces se denomina subamortiguado y la respuesta transitoria es oscilatoria. Si 5 = 1, el
sistema se denomina críticamente amortiguado. Los sistemas sobreamortiguados corresponden a 5 > 1. La respuesta transitoria de los sistemas críticamente amortiguados y sobreamortiguados no oscila. Si 5 = 0, la respuesta transitoria no se amortigua.
Ahora obtendremos la respuesta del sistema que aparece en la figura 4-9 para una entrada escalón unitario. Consideraremos tres casos diferentes: el subamortiguado (0 < 5 <
l), el críticamente amortiguado (g = 1) y el sobreamortiguado (5; > 1).
(1) Caso subamortiguado (0 < 5 < 1): en este caso, C(s)lR(s) se escribe como
en donde #d = w,,m La frecuencia Wd se denomina frecuencia natural amortiguada.
Para una entrada escalón unitario, C(s) se escribe como
C(s) =
4
(s2 + 25w,s + 0;)s
La transformada inversa de Laplace de la ecuación (4-20) se obtiene con facilidad si C(s)
se escribe en la forma siguiente:
C(s) = f -
s + 250,
s2 + 250,s + íiI”,
1
s + 5%
5%
=-s
(s + &qJ2 + cu; - (s + &J2 + o$
En el capítulo 2, se demostró que
Por tanto, la transformada inversa de Laplace de la ecuación (4-20) se obtiene como
JP[C(s)} = c(t)
,
para
t?
0
(4-21)
Este resultado se obtiene directamente usando una tabla de transformadas de Laplace.
A partir de la ecuación (4-21) se observa que la frecuencia de oscilación transitoria es la frecuencia natural amortiguada Wd y que, por tanto, varía con el factor de amortiguamiento relativo 5. La señal de error para este sistema es la diferencia entre la entrada y la salida, y es
Sección 4-3 / Sistemas de segundo orden
147
e(t) = r(t) - c(t)
= eecwnt cos mdt +
sen wdt ,
para t2 0
Esta señal de error presenta una oscilación senoidal amortiguada. En estado estable, o en
t = 00, no existe un error entre la entrada y la salida.
Si el factor de amortiguamiento relativo 5 es igual a cero, la respuesta se vuelve no amortiguada y las oscilaciones continúan indefinidamente. La respuesta c(t) para el caso del
amortiguamiento cero se obtiene sustituyendo 1; = 0 en la ecuación (4-21), lo cual produce
c(t) = 1 - cos WJ,
para t 2 0
(4-22)
Por tanto, a partir de la ecuación (4-22), establecemos que wn representa la frecuencia natural no amortiguada del sistema. Es decir, UJ,, es la frecuencia a la cual el sistema oscilaría
si el amortiguamiento disminuyera a cero. Si el sistema lineal tiene cualquier cantidad de
amortiguamiento, no se puede observar experimentalmente la frecuencia natural no amortiguada. La frecuencia que se observa es la frecuencia natural amortiguada Wd, que es igual
a o,m Esta frecuencia siempre es menor que la frecuencia natural no amortiguada.
Un aumento en 5 reduciría la frecuencia natural amortiguada Wd. Si 5 aumenta más allá de
la unidad, la respuesta se vuelve sobreamortiguada y no oscilará.
(2) Caso críticamente amortiguado (5 = 1): si los dos polos de C(s)/R(s) son casi iguales, el
sistema se aproxima mediante uno críticamente amortiguado.
Para una entrada escalón unitario, R(s) = l/s y C(s) se escribe como
La transformada inversa de Laplace
de la ecuación (4-23) se encuentra como
c(t) = 1- e-O”“(l + ant),
para t 2 0
(4-24)
Este resultado se obtiene suponiendo que 5 se aproxima a la unidad en la ecuación (4-21)
y usando el límite siguiente:
(3) Caso sobreamortiguado (5 > 1): en este caso, los dos polos de C(s)/R(s) son reales negativos y diferentes. Para una entrada escalón unitario, R(s) = l/s y C(s) se escriben como
(4-25)
La transformada inversa de Laplace
148
de la ecuación (4-25) es:
Capítulo 4 / Análisis de la respuesta transitoria
(4-26)
paratr0(T-$),
=1+ 22/>-1
en donde SI = (5 + A@?@, y s2 = (5 - @F¡)Q. Por tanto, la respuesta c(t) incluye
dos términos exponenciales que decaen.
Cuando 5 es apreciablemente mayor que la unidad, uno de los dos exponenciales que
decaen disminuye mucho más rápido que el otro, por lo que el término exponencial que decae más rápido puede pasarse por alto (corresponde a una constante de tiempo más pequeña). Es decir, si -s2 se localiza mucho más cerca del eje jo que -SI (lo cual significa que
[s&]sr[), para una solución aproximada podemos no considerar -SI. Esto se permite debido
a que el efecto de -SI en la respuesta es mucho más pequeño que el de -SZ, dado que el término que incluye SI en la ecuación (4-26) se descompone mucho más rápido que el término
que tiene a ~2. Una vez desaparecido el término exponencial que decae más rápido, la respuesta es similar a la de un sistema de primer orden, y C(s)lR(s) se aproxima mediante:
5% - %M
C(s)
-=
R(s)
s + @J” - w,dp-?
_ s2
s + s2
Esta forma aproximada es una consecuencia directa de que a los valores iniciales y los valores finales tanto del C(s)/R(s) original como del aproximado coincidan.
Con la función de transferencia aproximada C(s)/Z?(s), 1 a respuesta escalón unitario se
obtiene como:
5% - %e=T
c(s) = (s + &o, - w,lp-?)s
La respuesta del tiempo c(t) es, entonces
c(t) = 1 - e-wfF%Jnf
para t Z 0
Esto proporciona una respuesta escalón unitario aproximada, cuando uno de los polos de
C(s)lR(s) puede pasarse por alto.
La figura 4-10 contiene una familia de curvas c(t) con diversos valores de 5, en donde
la abscisa es la variable adimensional w,t. Las curvas solo son funciones de 5 y se obtienen
2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
c(t) 1.0
0.8
0.6
0.4
Figura4-10
Curvas de respuesta escalón unitario del sistema
de la figura 4-9.
0.2
1
2
3
4
Sección 4-3 / Sistemas de segundo orden
5
6
%lt
7
8
9
10
ll
12
149
a partir de las ecuaciones (4-21), (4-24) y (4-26). El sistema descrito mediante estas ecuaciones estaba inicialmente en reposo.
Observe que los dos sistema de segundo orden que tienen el mismo 5 pero diferente w,,
rebasarán en la misma medida el límite máximo y mostrarán el mismo patrón oscilatorio.
Se dice que tales sistemas tienen la misma estabilidad relativa.
Es importante observar que, para los sistemas de segundo orden, cuyas funciones de
transferencia en lazo cerrado son diferentes de las obtenidas mediante la ecuación (4-19)
las curvas de respuesta escalón se ven muy distintas de las que aparecen en la figura 4-10.
En la figura 4-10 observamos que un sistema subamortiguado con 5 entre 0.5 y 0.8 se
acerca al valor final con mayor rapidez que un sistema críticamente amortiguado o sobreamortiguado. Entre los sistemas que responden sin oscilación, un sistema críticamente
amortiguado presenta la respuesta más rápida. Un sistema sobreamortiguado siempre es
lento para responder a las entradas.
Definiciones de las especificaciones de respuesta transitoria. En muchos casos
prácticos, las características de desempeño deseadas del sistema de control se especifican
en términos de cantidades en el dominio del tiempo. Los sistemas que pueden almacenar
energía no responden instantáneamente y exhiben respuestas transitorias cada vez que están sujetos a entradas o perturbaciones.
Con frecuencia, las características de desempeño de un sistema de control se especifican en términos de la respuesta transitoria para una entrada escalón unitario, dado que ésta
es fácil de generar y es suficientemente drástica. (Si se conoce la respuesta a una entrada
escalón, es matemáticamente posible calcular la respuesta para cualquier entrada.)
La respuesta transitoria de un sistema para una entrada escalón unitario depende de las
condiciones iniciales. Por conveniencia al comparar respuestas transitorias de varios sistemas, es una práctica común usar la condición inicial estándar de que el sistema está en reposo al inicio, por lo cual la salida y todas las derivadas con respecto al tiempo son cero. De
este modo, las características de respuesta se comparan con facilidad.
La respuesta transitoria de un sistema de control práctico exhibe con frecuencia oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el estado estable. Al especificar las características de la respuesta transitoria de un sistema de control para una entrada escalón unitario,
es común especificar lo siguiente:
1. Tiempo de retardo, td
2. Tiempo de levantamiento, t,
3. Tiempo pico, tp
4. Sobrepaso máximo, Mp
5. Tiempo de asentamiento, ts
Estas especificaciones se definen enseguida y aparecen en forma gráfica en la figura 4-11.
1. Tiempo de retardo, td: el tiempo de retardo es el tiempo requerido para que la respuesta
alcance la primera vez la mitad del valor final.
2 . Tiempo de levantamiento, tr: el tiempo de levantamiento es el tiempo requerido para que la
respuesta pase del 10 al 90%, del 5 al 95% o del 0 al 100% de su valor final. Para sistemas subamortiguados de segundo orden, por lo común se usa el tiempo de levantamiento de 0 a 100%.
Para sistemas sobreamortiguados, suele usarse el tiempo de levantamiento de 10 a 90%.
150
Capítulo 4 / AnCllísis de la respuesta transitoria
Tolerancia permisible
Figura 4-11
Curva de respuesta escalón unitario en la que se
IUUeStraU
td, t,, tp,
Mp y t,.
3. Tiempo pico, tp: el tiempo pico es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el
primer pico del sobrepaso.
4 . Sobrepaso máximo (porcentaje), Mg el sobrepaso maximo es el valor pico máximo de la curva
de respuesta, medido a partir de la unidad. Si el valor final en estado estable de la respuesta es
diferente de la unidad, es común usar el porcentaje de sobrepaso máximo. Se define mediante
Porcentaje de sobrepaso máximo = &J - 4O3> x looo/ 0
cCa)
La cantidad de sobrepaso máximo (en porcentaje) indica de manera directa la estabilidad relativa del sistema.
5. Tiempo de asentamiento, ts: el tiempo de asentamiento es el tiempo que se requiere
para que la curva de respuesta alcance un rango alrededor del valor final del tamaño
especificado por el porcentaje absoluto del valor final (por lo general, de 2 a 5%) y permanezca dentro de él. El tiempo de asentamiento se relaciona con la mayor constante
de tiempo del sistema de control. Los objetivos del diseño del sistema en cuestión determinan cuál criterio de error en porcentaje usar.
Las especificaciones en el dominio del tiempo que se proporcionaron son muy importantes, dado que casi todos los sistemas de control son sistemas en el dominio del tiempo;
es decir, deben presentar respuestas de tiempo aceptables. (Esto significa que el sistema de
control debe modificarse hasta que la respuesta transitoria sea satisfactoria.) Observe que,
si especificamos los valores de td, t,, tp, ts y Mp, la forma de la curva de respuesta queda prácticamente determinada. Esto se aprecia con claridad en la figura 4-12.
Observe que todas estas especificaciones no necesariamente se aplican a cualquier caso
determinado. Por ejemplo, para un sistema sobreamortiguado no se aplican los términos
tiempo pico y sobrepaso máximo. (En los sistemas que producen errores en estado estable
para entradas escalón, este error debe conservarse dentro de un nivel de porcentaje especificado. En la sección 5-10 se incluyen análisis detallados de los errores en estado estable.)
Algunos comentarios sobre las especificaciones de la respuesta transitoria.
Excepto para ciertas aplicaciones en las que no se pueden tolerar oscilaciones, es conve-
Sección 4-3 / Sistemas de segundo orden
151
Para t > t, , la respuesta
Figura 4- 12
Especificaciones de
la respuesta transitoria.
-t
0
Figura 4-13
Definición del ángulo p.
niente que la respuesta transitoria sea suficientemente rápida y amortiguada. Por tanto,
para una respuesta transitoria conveniente de un sistema de segundo orden, el factor de
amortiguamiento relativo debe estar entre 0.4 y 0.8. Valores pequeños de ((5 < 0.4) producen un valor de sobrepaso excesivo en la respuesta transitoria, y un sistema con un valor
grande de c(S; > 0.8) responden con lentitud.
Más adelante veremos el conflicto entre el sobrepaso máximo y el tiempo de levantamiento. En otras palabras, tanto el sobrepaso máximo como el tiempo de levantamiento
no pueden hacerse más pequeños en forma simultánea. Si uno de ellos se reduce, el otro
necesariamente aumenta.
Sistemas de segundo orden y especificaciones de la respuesta transitoria.
A
continuación, obtendremos el tiempo de levantamiento, el tiempo pico, el sobrepaso mAximo y
el tiempo de asentamiento del sistema de segundo orden obtenido mediante la ecuación (4-19).
Estos valores se obtendrán en términos de E; y 0,. Se supone que el sistema está subamortiguado.
Tiempo de levantamiento t,: remitikndonos a la ecuación (4-21), obtenemos el tiempo de
levantamiento tl, suponiendo que c(&) = 1, o que
C(t,) = 1 = 1 - eeContr cos odtr +
Dado que e-@n*r
sen mdtr
(4-27)
# 0, obtenemos la ecuación siguiente a partir de la ecuación (4-27):
o bien
tanOdtr=
- 5” = -22
0
Por tanto, el tiempo de levantamiento tr es
(4-28)
en donde j3 se define en la figura 4-13. Es evidente que para un valor pequeño de tr, Wd debe ser grande.
Tiempo pico tp: remitiéndonos a la ecuación (4-21), obtenemos el tiempo pico diferenciando c(t) con respecto al tiempo y suponiendo que esta derivada es igual a cero. Por tanto,
152
Capítulo 4 / Análisis de la respuesta transitoria
Los términos de coseno de esta última ecuación se cancelan uno al otro y cdldt, evaluada
en t = tp, se simplifica a
Esta última ecuación da lugar a la ecuación siguiente:
o bien,
cO& = 0, n, 2n, 3Jd, . . .
Dado que el tiempo pico corresponde al primer pico sobrepaso máximo, w& = z Por tanto,
El tiempo pico tp corresponde a medio ciclo de la frecuencia de oscilación amortiguada.
Sobrepaso máximo Mp: el sobrepaso se presenta en el tiempo pico 0 en t = tp = Ithd. Por
tanto, a partir de la ecuación (4-21), Mp se obtiene como
Mp = c(t,) - 1
= em50n(n’md)
cos 7c + d& sen 7c
(
= e-(ohd)n = e-(5/m))n
(4-30)
El porcentaje de sobrepaso máximo es e-(“‘od)x X 100%.
Tiempo de asentamiento ts: para un sistema subamortiguado de segundo orden, la respuesta
transitoria se obtiene a partir de la ecuación (4-21),
c(t) = 1 - & sen mdt +
tan-’ v-i-q
I; ,
para t 2 0
Las curvas 1 +- (e-Cm,o,t/fl), son las curvas envolventes de la respuesta transitoria para
una entrada escalón unitario. La curva de respuesta c(t) siempre permanece dentro de un
par de curvas envolventes, como se aprecia en la figura 4-14. La constante de tiempo de estas curvas envolventes es l/&fh.
La velocidad de decaimiento de la respuesta transitoria depende del valor de la constante de tiempo l/<w,. Para un w,, determinado, el tiempo de asentamiento ts es una función del factor de amortiguamiento relativo 5. A partir de la figura 4-10, observamos que,
para el mismo wn y para un rango de 5 entre 0 y 1, el tiempo de asentamiento ts para un sistema ligeramente amortiguado es más grande que para un sistema amortiguado de manera
moderada. Para un sistema sobreamortiguado, el tiempo de asentamiento ts se vuelve más
grande debido al inicio lento de la respuesta.
Sección 4-3 / Sistemas de segundo orden
153
Figura4-14
Par de curvas envolventes para la curva de
I
T
respuesta escalón unitario del sistema que
aparece en la figura 4-9.
I
I
"
2T 2T
I
3T
I
4T
t
<; - cos- l)
El tiempo de asentamiento que corresponde a una banda de tolerancia de f 2 o f 5 % se mide
en términos de la constante de tiempo T = l/&on a partir de las curvas de la figura 4-10 para
diferentes valores de 5. Los resultados se muestran en la figura 4-15. Para 0 < 5 < 0.9, si se usa
el criterio del 2%, ts es aproximadamente cuatro veces la constante de tiempo del sistema. Si se
usa el criterio del 5%, ts es aproximadamente tres veces la constante de tiempo. observe que el
tiempo de asentamiento alcanza un valor mínimo alrededor de 5 = 0.76 (para el criterio del 2%)
o de c = 0.68 (para el criterio del 5%) y después aumenta casi linealmente para valores grandes
de 5. Las discontinuidades en las curvas de la figura 4-15 surgen debido a que un cambio infinitesimal en el valor de 5 puede provocar un cambio finito en el tiempo de asentamiento.
Por conveniencia, cuando se comparan las respuestas de los sistemas, por lo general
definimos el tiempo de asentamiento ts como
,=4T=4=4
(5 5%
(criterio del 2%)
(4-31)
(criterio del 5%)
(4-32)
o bien
Observe que el tiempo de asentamiento es inversamente proporcional al producto del
factor de amortiguamiento relativo y la frecuencia natural no amortiguada del sistema.
Dado que el valor de 5 se determina, por lo general, a partir de los requerimientos del sobrepaso máximo permisible, el tiempo de asentamiento se determina principalmente mediante la frecuencia natural no amortiguada w,,. Esto significa que la duración del
transitorio puede variarse, sin modificar el sobrepaso máximo, ajustando la frecuencia natural no amortiguada an.
154
Capítulo 4 / Análisis de la respuesta transitoria
“(“i
5T . _. / [ ,., . . . . . . .; . ,. ._.,. . . . i i
j
B&da d; tole&& &12% j /
1
/Banda de tokranc~a del 5% )
0.3
I
0.4
I
0.5
I
0.6
I
0.7
l
0.8
I
0.9
0
5
Figura4-15
Curvas de tiempo de asentamiento t,
contra 5.
A pati$r del análisis anterior, es evidente que, para una respuesta rápida, un debe ser
grande. Para limitar el sobrepaso máximo Mp, y para reducir el tiempo de asentamiento,
el factor de amortiguamiento relativo 5 no debe ser demasiado pequeño. La relación entre el sobrepaso en porcentaje Mp y el factor de amortiguamiento relativo 5 se presenta
en la figura 4-16. Observe que, si el factor de amortiguamiento relativo está entre 0.4 y 0.8,
el porcentaje de sobrepaso máximo para la respuesta escalón está entre 25 y 2.5%.
Figura4-16
Curva de Mp contra 5.
Sección 4-3 / Sistemas de segundo orden
155
EJEMPLO 4-2
Considere el sistema de la figura 4-9, en el que 5 = 0.6 y wn = 5 radkeg. Obtengamos el tiempo
de levantamiento tr, el tiempo pico tp, el sobrepaso máximo Mp y el tiempo de asentamiento t,
cuando el sistema está sujeto a una entrada escalón unitario.
A partir de los valores dados de c y IB,,, obtenemos Wd = o,, fl= 4 y o = cw,, = 3.
Tiempo de levantamiento t,: el tiempo de levantamiento es
t _ Jd - B _ 3.14 - B
I
4
wd
en donde /3 se obtiene mediante
B = tan-’ T = tan-’ 4 =, 0.93 rad
Por tanto, el tiempo de levantamiento t, es
tr =
3.14 - 0.93
4
= 0.55 seg
Tiempo pico tp: el tiempo pico es
tp =
-
=
3.14
4
md
=
0 785
seg
.
Sobrepaso máximo Mp: el sobrepaso máximo es
j$ = e-k’/%h
= &3/4)x3.14
= 0.095
Por tanto, el porcentaje de sobrepaso máximo es 9.5%.
Tiempo de asentamiento t,: para el criterio del 2%, el tiempo de asentamiento es
ts = + = + = 1.33 seg
Para el criterio del 5%,
,=3=3-- 1 seg
0
3
Sistema de seguimiento con realimentación de velocidad. La derivada de la
señal de salida se usa para mejorar el desempeño del sistema. Al obtener la derivada de
la señal de posición de salida es conveniente usar un tacómetro en lugar de diferenciar
físicamente la señal de salida. (Observe que la diferenciación amplifica los efectos del
ruido. De hecho, si existen ruidos discontinuos, la diferenciación amplifica éstos más que
la señal útil. Por ejemplo, la salida de un potenciómetro es una señal de voltaje discontinua porque, conforme el cursor del potenciómetro se mueve sobre la bobina, se inducen
voltajes en las vueltas de intercambio y, por tanto, se generan transitorios. Por tal razón,
a la salida del potenciómetro no debe seguirle un elemento de diferenciación.)
Considere el sistema de seguimiento de la figura 4-17(a). En este aparato se realimenta
la señal de velocidad a la entrada, junto con la señal de posición, para producir una señal
de error. En cualquier sistema de seguimiento, tal señal de velocidad se genera con facili-
156
Capítulo 4 / Análisis de la respuesta transitoria
(a)
Figura 4-17
(a) Diagrama de bloques
de un sistema de
seguimiento; (b) diagrama
de bloques simplificado.
(b)
dad mediante un tacómetro. El diagrama de bloques de la figura 4-17(a) se simplifica, tal
como se aprecia en la figura 4-17 (b), y se obtiene
K
C(s) =
R(s) Js2 + (B + KK,)s + K
(4-33)
Comparando la ecuación (4-33) con la ecuación (4-17), observamos que la realimentación
de velocidad tiene el efecto de aumentar el amortiguamiento. El factor de amortiguamiento
relativo c se convierte en
+ KK,,
c= B22/KJ
(4-34)
IA frecuencia natural no amortiguada un = V?%no se ve afectada por la realimentación de velocidad. Considerando que el sobrepaso máximo para una entrada escalón unitario se controla
manejando el valor del factor de amortiguamiento relativo 5, reducimos el sobrepaso máximo
ajustando la constante de realimentación de velocidad Kh para que 5 esté entre 0.4 y 0.7.
Recuerde que la realimentación de velocidad tiene el efecto de aumentar el factor de
amortiguamiento relativo sin afectar la frecuencia natural no amortiguada del sistema.
1 EJEMPLO 4-3
Para el sistema de la figura 4-17(a), determine los valores de la ganancia K y la constante de realimentación de velocidad Kh para que el sobrepaso máximo en la respuesta escalón unitario sea
0.2 y el tiempo pico sea 1 seg. Con estos valores de K y &,, obtenga el tiempo de levantamiento
y el tiempo de asentamiento. Suponga que J = 1 kg-m2 y que B = 1 N-mlradlseg.
Determinación de los valores de K y &: el sobrepaso máximo Mp
(4-30) como
se obtiene mediante la ecuación
Mp = ,-@-b
Este valor debe ser 0.2. Por tanto,
e-GwR3~ = 0.2
Sección 4-3 / Sistemas de segundo orden
157
0 bien
*= 1.61
lo cual nos lleva a
[ = 0.456
El tiempo pico tp se especifica como 1 seg; por tanto, a partir de la ecuación (4-29),
fp=L,
wd
0 bien
Wd = 3.14
Dado que 5 es 0.456, wn es
wn=*,,
= 3.53
Dado que la frecuencia natural un es igual a m,
K = Jcoi = OJ: = 12.5 N-m
por tanto, a partir de la ecuación (4--34), & es
K =2flc-B
h
K
=2fl<-l
K
= 0.178seg
Tiempo de levantamiento t,: a partir de la ecuación (4-28), el tiempo de levantamiento t, es
en donde
j3 = tan-l - = tan-’ 1.95 = 1.10
u
Por tanto, t, es
t,= 0.65 seg
Tiempo de asentamiento t,: para el criterio del 2%,
4
ts = 3 = 2.48 seg
Para el criterio del 5 % ,
3
ts = ; = 1.86 seg
Respuesta impulso de sistemas de segundo orden. Para una entrada impulso
unitario r(t), la transformada de Laplace correspondiente es la unidad, o R(s) = 1. La respuesta impulso unitario C(S) del sistema de segundo orden de la figura 4-9 es
158
Capítulo 4 / Análisis de la respuesta transitoria
La transformada inversa de Laplace de esta ecuación da la solución en el tiempo para la respuesta c(t), del modo siguiente:
Para 0 5 5 < 1,
c(t) = q+2 e 4od sen wn m t,
para t 2 0
(4-35)
para g = 1,
C(t) = w$e+n’,
para t I 0
(4-36)
para 5 > 1,
e-(5-x@Z)o”t 3
on
c(t) = 2+Te -(C- x@i)o.t _ 2m
para t 2 0
(4-37)
Observe que, sin tomar la transformada inversa de Laplace de C(s), también se obtiene
el tiempo de respuesta c(t) diferenciando la respuesta escalón unitario correspondiente,
dado que la función impulso unitario es la derivada con respecto al tiempo de la función de
escalón unitario. En la figura 4-18 aparece una familia de curvas de respuesta impulso unitario obtenida mediante las ecuaciones (4-35) y (4-36) con diversos valores de c. Las curvas c(t)/@, se grafican contra la variable adimensional o,t y, por tanto, ~610 son funciones
de 5. Para los casos críticamente amortiguado y sobreamortiguado, la respuesta impulso
unitario siempre es positiva o cero; es decir, c(t) 2 0. Esto se aprecia en las ecuaciones
(4-36) y (4-37). Para el caso subamortiguado, la respuesta impulso unitario c(t) oscila
alrededor de cero y toma valores tanto positivos como negativos.
A partir del análisis anterior, concluimos que si la respuesta impulso c(t) no cambia de
signo, el sistema es críticamente amortiguado o sobreamortiguado, en cuyo caso la res-
~~~
;
/
j
:
/
/
j
/
i
/
I
/ ._,._ ._,.
+.&....j _.<, .,<
t .<.,. . .<. , /............. f t.. . . . . . ].< .<
j.. . . . . . k
:
?
-0.6
Figura&18
Curvas de respuesta impulso unitario del sistema
de la figura 4-9.
4.8
-I.”
0
2
4
Secci6n 4-3 / Sistemas de segundo orden
6
%lt
8
10
12
159
Figura 4-19
Curva de respuesta impulso unitario del sistema de la figura 4-9.
puesta escalón correspondiente no se sobrepasa pero aumenta o disminuye en forma
monotónica y tiende a un valor constante.
El sobrepaso máximo para la respuesta impulso unitario del sistema subamortiguado
ocurre en
t=
4
,,Vl-r;”
’
donde 0 < 5 < 1
y el sobrepaso máximo es:
c(Qmax = o,exp -
9
donde 0 < 5 < 1
Dado que la respuesta impulso unitario es la derivada con respecto al tiempo de la función de respuesta escalón unitario, el sobrepaso máximo MP para la respuesta escalón unitario se encuentra a partir de la respuesta impulso unitario correspondiente. Es decir, el área
bajo la curva de respuesta impulso unitario desde t = 0 hasta el tiempo del primer cero, tal
como aparece en la figura 4-19, es 1 + MP, en donde Mp es el sobrepaso máximo (para la
respuesta escalón unitario) obtenido mediante la ecuación (4-30). El tiempo pico tP (para
la respuesta escalón unitario) obtenido mediante la ecuación (4-29) corresponde al tiempo en que la respuesta impulso unitario cruza primero el eje de tiempo.
4-4 ANÁLISIS DE IA RESPUESTA TRANSITORIA CON MATLAB
Introducción. En esta sección presentaremos el enfoque computacional para el
análisis de la respuesta transitoria con MATLAB. Los lectores que no estén familiarizados
con MATLAB deben leer el apéndice antes de estudiar esta sección.
Como se mencionó antes en este capítulo, con frecuencia se usan respuestas transitorias (tales como las escalón, impulso y rampa) para investigar lascaracterísticas en el dominio del tiempo de los sistemas de control.
Representación de sistemas lineales en MATLAB. La función de transferencia de
un sistema se representa mediante dos arreglos de números. Considere el sistema
25
C(s)
-=
R(s) s2 + 4s + 25
160
Capítulo 4 / Análisis de la respuesta transitoria
(4-38)
Este sistema se representa como dos arreglos, cada uno de los cuales contiene los coeficientes de los polinomios en potencias decrecientes de s del modo siguiente:
num = [O 0 251
den = [l 4 251
Observe que, donde es necesario, se rellena con ceros.
Si se conocen num y den (el numerador y el denominador de la función de transferencia en lazo cerrado), los comandos tales como
step(num,den),
step(num,den,t)
generarán gráficas de respuestas escalón unitario. (En el comando step, t es el tiempo especificado por el usuario.)
Para un sistema de control definido en el espacio de estados, en donde se conocen la
matriz de estado A, la matriz de control B, la matriz de salida C, y la matriz de transmisión
directa D de las ecuaciones en el espacio de estados, el comando
generará gráficas de respuestas escalón unitario. El vector de tiempo queda determinado
automáticamente cuando no se incluye de manera explícita en los comandos step.
Observe que, cuando los comandos step tienen argumentos en el lado izquierdo, como en
[y,x,tl = step(num,den,t)
[y,x,tl = step(A,B,C,D,iu)
[y,x,tl = step(A,B,C,D,iu,t)
(4-39)
no aparece una gráfica en la pantalla. Por tanto, es necesario usar un comando plot
(graficar) para ver las curvas de respuesta. Las matrices y y x contienen la salida y la respuesta del estado del sistema, respectivamente, evaluadas en los puntos de tiempo de cálculo t. (y tiene tantas columnas como salidas y un renglón para cada elemento en t. x tiene
tantas columnas como estados y un renglón para cada elemento en t.)
Observe, en la ecuación (4-39), que la iu escalar es un índice dentro de las entradas del
sistema y especifica cuál entrada se va a usar para la respuesta y t es el tiempo especificado
por el usuario. Si el sistema contiene múltiples entradas y salidas, el comando step tal como
aparece en la ecuación (4-39), produce una serie de gráficas de respuestas escalón, una para
cada combinación de entrada y salida de
,
X = Ax + Bu
y = Cx + Du
(Véanse los detalles en el ejemplo 44.)
Obtención de la respuesta escalón unitario del sistema de función de transferencia. Consideremos la respuesta escalh unitario del sistema obtenido mediante la ecuación
(4-38). El programa MATLAB 4-1 producirá una gráfica de la respuesta escalón unitario de este
sistema. La figura 4-20 muestra una gráfica de la curva de respuesta escal6n unitario.
Sección 4-4 / Análisis de la respuesta transitoria con MATLAB
161
1.4 ,
Respuesta escalón unitario G(s) = 25/(sA2+4s+25)
I
Figura 4-20
Curva de respuesta
escalón
unitario.
1EZJEMPLO 4 - 4
"0
0.5
1.5
2
Tiempo (seg)
1
2.5
3
Considere el sistema siguiente:
-1
-1
6.5
0
Obtenga las curvas de respuesta escalón unitario.
Aunque no es necesario obtener la expresión de la función de transferencia para el sistema,
a fin de conseguir las curvas de respuesta escalón unitario con MATLAB, obtendremos tal expresión como referencia. Para el sistema definido mediante
162
Capítulo 4 / Análisis de la respuesta transitoria
i = Ax + Bu
y = Cx + Du
la matriz de transferencia G(s) es aquella que relaciona Y(s) y U(s) del modo siguiente:
Y(s) = G(s)U(s)
Tomando la transformada de Laplace
de las ecuaciones en el espacio de estados, obtenemos
sX(s) - x(O) = AX(s) + BU(s)
(4-40)
Y(s) = CX(s) + DU(s)
(4-41)
Al obtener la matriz de transferencia suponemos que x(O) = 0. Después, a partir de la ecuación
(4-40), obtenemos
(4-42)
X(s) = (SI - A)-‘BU(s)
Sustituyendo la ecuación (4-42) en la ecuación (Ml),
obtenemos
Y(s) = [C(sI - A)-lB + D]U(s)
Por tanto, la matriz de transferencia G(s) se obtiene mediante
G(s) = C(s1 - A)-‘B + D
La matriz de transferencia G(s) para el sistema determinado se convierte en
G(s) = C(sI - A)-‘B
=
[u
11
[Yi:
11’[:
u]
=,,,,,[, 21][: u]
=,+6+6.5[:+:5 6q
Por tanto,
S--l
s
s2 + s + 6.5
s + 7.5
s2 + s + 6.5
s2 + s + 6.5
6.5
s2 + s + 6.5
U,[ 1(s)
U,(s)
Dado que el sistema contiene dos entradas y dos salidas, se definen cuatro funciones de
transferencia, dependiendo de cuáles señales se consideran como entrada y cuáles como salida.
Observe que, cuando se considera la señal ~1 como la entrada, suponemos que la señal u2 es
cero, y viceversa. Las cuatro funciones de transferencia son
Y,(s) =
w>
K(s) =
U2(4
s - l
s2 + s + 6.5 ’
S
s2 + s + 6.5 ’
s + 7.5
Y,(s)
q(s) = s2 + s + 6.5
6.5
W)
U,(s) = s2 + s + 6.5
Las cuatro curvas de respuesta escalón individuales se grafican
mediante el comando
stepb%B,C,D)
Sección 4-4 / Análisis de la respuesta transitoria con MATLAB
163
El programa MATLAB 4-2 produce cuatro curvas de respuesta escalón. Las curvas se muestran
en la figura 4-21.
Para graficar dos curvas de respuesta escalón para la entrada ~1 en un diagrama, y dos curvas
de respuesta escalón para la entrada ~2 en otro diagrama, usamos los comandos
step(A, B,C, D, 1)
step(A,B,C,D,2)
respectivamente. El programa MATLAB 4-3 es un programa para graficar dos curvas de respuesta escalón para la entrada u1 en un diagrama y dos curvas de respuesta escalón para la entrada u2 en otro diagrama. La figura 4-22 muestra los dos diagramas, cada uno formado por dos
curvas de respuesta escalón.
Entrada 1 Salida 2
Entrada 1 Salida 1
0.4
0.2
3
5
8
0
-0.2
-0.4
b-5
0.5
-J
10
0 “-;10
0
5
Tiempo (seg)
Tiempo (seg)
Entrada 2 Salida 1
Entrada 2 Salida 2
0.3
27
0.2
2 0.1
s
O
-0.1
Figura 4-21
Curvas de respuestas
escalón
unitario.
164
KF.7
I
-0.2 1
0
5
10
Xempo (seg)
Capítulo 4 / Análisis de la respuesta transitoria
5
Tiempo (seg)
Escritura de texto en la pantalla de las gráficas. Para escribir texto en la pantalla
de las gráficas, introduzca por ejemplo, los enunciados siguientes:
text(3.4, -0.06,‘Y 1’)
Y
text(3.4,1.4,‘Y2’)
El primer enunciado le indica a la computadora que escriba ‘Yl’, empezando en las coordenadas x = 3.4, y = -0.06. De modo similar, el segundo enunciado le indica a la Eomputadora que escriba ‘Y2’, empezando en las coordenadas x = 3.4,~. = 1.4. [Véanse el programa MATLAB 4-3 y la figura 4-22(a).]
Sección 4-4 / Análisis de la respuesta transitoria con MATLAB
165
Gráficas de respuestas escalón: entrada = ul (~2 = 0)
_._
0
1
2
3
4
5
6
Tiempo (seg)
7
8
9
10
(4
Gráficas de respuesta escalón: entrada = u2 (~1 = 0)
Figura 4-22
Curvas de respuesta escalón unitario; (a) UI eS la
entrada (~2 = 0); (b) ~2 es
la entrada (UI = 0).
0
1
2
3
4
5
6
Tiempo (seg)
7
8
9
10
(b)
Respuesta impulso. La respuesta impulso unitario de un sistema de control se obtiene mediante alguno de los siguientes comandos de MATLAB:
impulse(num,den)
impulse(A,B,C,D)
Iy,x,tl = impulse (num,den)
[y,x,tl = impulse(num,den,t)
166
Capítulo 4 / Análisis de la respuesta transitoria
(4-43)
[y,x,tl = impuise(A,B,C,D)
&,x,tl = im&e(A,B,C,D,iu)
Iy,x,tl = impulse(A,B,C,D,iu,t)
(4-44)
(4-45)
El comando “impulse(num,den)”
grafica la respuesta impulso unitario en la pantalla. El comando “impulse(A,B,C,D)” produce una serie de gráficas de respuesta impulso unitario,una
para cada combinación de entrada y salida del sistema
X = Ax + Bu
y = Cx + Du
con el vector de tiempo determinado automáticamente. Observe que, en las ecuaciones
(4-44) y (4-45), la iu escalar es un índice dentro de las entradas del sistema y especifica cuál
entrada se va a usar para la respuesta impulso.
También observe que, en las ecuaciones (4-43) y (4-45), t es el vector de tiempo proporcionado por el usuario. El vector t especifica los tiempos en los cuales se va a calcular
la respuesta impulso.
Si se invoca MATLAB con el argumento en el lado izquierdo [y,x,t], como en el caso de
[y,x,t] = impulse(A,B,C,D),
el comando retorna las respuestas de salida y del estado del sistema y el vector de tiempo t. No se dibuja una gráfica en la pantalla. Las matrices y y x contienen las respuestas de salida y del estado del sistema evaluadas en los puntos de tiempo
t. (y tiene tantas columnas como salidas y un renglón para cada elemento en t. x tiene tantas columnas como variables de estado y un renglón para cada elemento en t.)
EJEMPLO 4-5
Obtenga la respuesta impulso unitario del sistema siguiente:
[i:]=[-I -:][::]+[;]u
y = [l
Ll
O] x1 + [O]u
x2
El programa MATLAB 4-4 es una de las posibilidades. La curva de respuesta resultante aparece
en la figura 4-23.
Sección 4-4 / Análisis de la respuesta transitoria con MATLAB
167
Figura 4-23
Curva de respuesta
impulso unitario.
( EJEMPLO 4-6
-.-
0
1
2
3
4
5
6
lIemp0 (seg)
7
8
9
10
Obtenga la respuesta impulso unitario del sistema siguiente:
cO
= G(s) = s2 + o1a + 1
R(s)
El programa MATLAB 4-5 producirá la respuesta impulso unitario. La gráfica resultante
aparece en la figura 4-24.
Enfoque alternativo para obtener la respuesta impulso. Observe que, cuando las
condiciones iniciales son cero, la respuesta impulso unitario de G(s) es igual a la respuesta
escalón unitario de sG(s).
Considere la respuesta impulso unitario del sistema del ejemplo 4-6. Dado que R(s) =
1 para la entrada impulso unitario, tenemos que
C(s)
-=
C(s) = G(s) = $2 + olb + 1
R(s)
=
1
s
s2 + 0.2% + 1 s
Por tanto, convertimos la respuesta impulso unitario de G(s) en la respuesta impulso unitario de SC(S).
168
Capítulo 4 / Análísis de la respuesta transitoria
118
Respuesta impulso unitario de G(s) = ll(s*2+0.2~+1)
;m
;1
:I
;I : ‘I : ‘I
;I : .I!
0.8
0.6
0.4
-0.2
-0.4
-0.6
Figura 4-24
Curva de respuesta
impulso unitario.
-0.8
0
5
10
15
20 2.5 30
Tiempo (seg)
35
40
45
50
Si introducimos los siguientes num y den en MATLAB,
num = [O 1 01
den = [l 0.2 11
y usamos el comando de respuesta unitaria, como se incluye en el programa MATLAB 4-6,
obtenemos una gráfica de la respuesta impulso unitario del sistema que aparece en la figura 4-25.
Observe en la figura 4-25 (y en muchas otras) que las etiquetas del eje x y el eje y se determinan automáticamente. Si pretende etiquetar en forma distinta los ejes x y y, es necesario modificar el comando step. Por ejemplo, si se pretende etiquetar el eje x como ‘t seg’
y el eje y como ‘Entrada y Salida’, use los comandos de respuesta escalón con argumentos
del lado izquierdo, tal como
c = step(num,den,t)
0, en forma más general,
[y,x,tl = step(num,den,t)
Véase el programa MATLAB 4-7.
Sección 4-4 / Análisis de la respuesta transitoria con MATLAB
169
Resuuesta
escalón unitario de sG(s) = s/(~~2+0.2s+1)
1
Figura 4-25
Curva de respuesta
impulso unitario
obtenida como la respuesta impulso unitario de sG(s) = sl(s2
+ 0.23 + 1).
170
0
5
10
15
20 2 5
30
Tiempo (seg)
Capitulo 4 / Análisis de la respuesta transitoria
35
40
45
50
Respuesta rampa. No hay un comando rampa de MATLAB. Por tanto, necesitamos
usar el comando step para obtener la respuesta rampa. Específicamente,para obtener la respuesta rampa del sistema con función de transferencia G(s), divida G(s) entre s y use el comando de respuesta escalón. Por ejemplo, considere el sistema en lazo cerrado
1
C(s) =
s*+s+1
R(s)
Para una entrada rampa unitaria, R(s) = l/(s*); por tanto,
C(s) =
1
1
1
s2+s+1s2=(s*+s+1)ss
1
Para obtener la respuesta rampa unitaria de este sistema, introduzca el numerador y denominador siguientes en el programa MATLAB,
num=IO 0 0 ll;
den = 11 1 1 01;
y use el comando de respuesta escalón. Véase el programa MATLAB 4-7. La gráfica
obtenida mediante este programa aparece en la figura 4-26.
Respuesta rampa unitaria de un sistema definido en el espacio de estados. A
continuación, trataremos la respuesta rampa unitaria del sistema en el espacio de estados.
Considere el sistema descrito mediante
X=Ax+Bu
y = Cx + Du
A continuación, consideraremos un ejemplo sencillo para explicar el método. Supongamos que
Curva de respuesta rampa unitaria
para el sistema G(s) = ll(s”2+s+l)
6
Figura 4-26
Curva de respuesta
rampa unitaria.
- 0
1
2
3
4
5
6
7
t seg
Sección 4-4 / Análisis de la respuesta transitoria con MATLAB
171
D = [0]
c = [l 01,
Cuando las condiciones iniciales son cero, la respuesta rampa unitaria es la integral de la
respuesta escalón unitario. Por tanto, la respuesta rampa unitaria se obtiene mediante
f
(4-46)
Z=
Y dt
I0
A partir de la ecuación (4-46), obtenemos
(4-47)
i=y=x,
Definamos
z = X3
Entonces, la ecuación (4-47) se convierte en
(4-48)
x, = XI
Combinando la ecuación (4-48) con la ecuación original en el espacio de estados, obtenemos
[;z] = [- y -i k$] + [;lu
z =[O [lXl
0
11%
x3
que se escribe como
X=AAx+BBu
z = CCx + DDu
en donde
r
BB = Ll1 = [l$,
CC = [O
0 11,
DD = [0]
0
Observe que x3 es el tercer elemento de x. Una gráfica de la curva de respuesta rampa
unitaria z(t) se obtiene introduciendo el programa MATLAB 4-8 a la computadora. Una
172
Capítulo 4 / Análisis de la respuesta transitoria
gráfica de la curva de respuesta rampa unitaria obtenida de este programa MAT L AB
aparece en la figura 4-27.
Respuesta a condiciones iniciales (enfoque de la función de transferencia). Ac:ontinuación presentaremos, mediante un ejemplo, un método para obtener la respl les1 :a a
condiciones iniciales.
Sección 4-4 / Análisis de la respuesta transitoria con MATLAB
173
Respuesta rampa unitaria
Figura 4-27
Curva de respuesta
rampa unitaria.
EJEMPLO 4-7
-0
1
2
3
4
5
t seg
6
7
8
9
10
En este ejemplo consideraremos un sistema sujeto sólo a condiciones iniciales.
Considere el sistema mecánico de la figura 4-28, en el que m = 1 kg, b = 3 N-seg/m y k = 2
N/m. Suponga que en t = 0 la masa m se jala hacia abajo, de modo que x(O) = 0.1 m y que X(O)
= 0.05 mlseg. Obtenga el movimiento de la masa sujeto a las condiciones iniciales. (Suponga que
no existe una función de excitación externa.)
La ecuación del sistema es
mi+bi+kx=O
k
f
con las condiciones iniciales x(O) = 0.1 m y k(O) = 0.05 m/seg. La transformada de Laplace de la
ecuación del sistema da
m[s”X(s) - CC(O) - X(O)] + b[sX(s) - x(O)] + kX(s) = 0
o bien
(ms’ + bs + k)X(s) = mx(O)s + mi(O) + bx(0)
Figura 4-28
Sistema mecánico.
Despejando X(s) de esta ultima ecuación y sustituyendo los valores numéricos determinados,
obtenemos
X(s) =
mx(O)s + mi(O) + bx(0)
ms2 + bs + k
= 0.1s + 0.35
s2 i- 3s + 2
Esta ecuación se escribe como
X(s) =
o.1s2 + 0.35s 1
s2 + 3s + 2 s
Por tanto, el movimiento de la masa m se obtiene como la respuesta escalón unitario del sistema
siguiente:
G(s) =
174
0.1s2 + 0135s
s2 + 3s + 2
Capítulo 4 / Análisis de la respuesta transitoria
El programa MATLAB 4-9 proporciona una gráfica del movimiento de la masa. La gráfica
aparece en la figura 4-29.
Respuesta a condiciones iniciaIes (enfoque en el espacio de estados, caso 1).
Considere el sistema definido mediante
X = Ax,
(4-49)
40) = x,
Obtengamos la respuesta x(t) cuando se especifica la condición inicial x(O). (Ninguna función
de entrada externa actúa sobre este sistema.) Suponga que x es un vector de dimensión n.
Respuesta
del sistema masa-resorte-amortiguador
a condiciones iniciales
T
.i
Figura 4-29
Respuesta del sistema mecánico considerado en el
ejemplo 47.
ll
-0
:
I
I
0.5
1
1.5
2.5
3
Tiempo
2
(seg)
3.5
Sección 4-4 / Análisis de la respuesta transitoria con MATLAB
4
4.5
5
175
Primero, tome las transformadas de Laplace
de ambos miembros de la ecuación (4-49).
sX(s) - x(O) = AX(s)
Esta ecuación puede reescribirse como
sX(s) = Ax(s) + x(O)
Tomando la transformada inversa de Laplace
(4-50)
de la ecuación (4-50) obtenemos
X = Ax + x(O)6(t)
(4-51)
(Observe que, tomando la transformada de Laplace de una ecuación diferencial y después
la transformada inversa de Laplace de la ecuación transformada mediante el sistema de
Laplace generamos una ecuación diferencial que contiene condiciones iniciales.)
Ahora definimos
i=x
(4-52)
A continuación, la ecuación (4-51) se escribe como
Z = Ai + x(O)6(t)
(4-53)
Integrando la ecuación (4-53) con respecto a t, obtenemos
íi = AZ + x(O)l(t) = AZ + Bu
(4-54)
en donde
B = x(O),
u = l(t)
Remitiéndonos a la ecuación (4-52), el estado x(t) se obtiene mediante i(t). Por tanto,
x=i=Az+Bu
(4-55)
La ecuación (4-55) proporciona la respuesta a las condiciones iniciales.
Resumiendq,la respuesta de la ecuación (4-49) para la condición inicial x(O) se obtiene
despejando las siguientes ecuaciones en el espacio de estados:
i=Az+Bu
x= AZ + Bu
en donde
B = x(O),
u = l(t)
A continuación se presentan los comandos de MATLAB para obtener las curvas de respuesta en un solo par de ejes.
[x,z,tl = step(A,B,A,B);
xl = [l 0 0. . . o]*x’;
x2 = [O 1 0 . . . ol*x’;
xn=[O
0 O...l]*x’;
plot(t,xl,t,x2, . . . ,t,xn)
176
Capítulo 4 / Análisis de la respuesta transitoria
Respuesta a condiciones iniciales (enfoque en el espacio de estados, caso 2).
Considere el sistema definido mediante
H=AX,
x(O) = %
y = cx
(4-56)
(4-57)
(Suponga que x es un vector de dimensión IZ y que y es un vector de dimensión m.)
Igual que en el caso 1, si definimos
i=X
obtenemos la ecuación siguiente:
i = AZ + x(O)l(t) = AZ + Bu
(4-58)
en donde
B = x(O),
u = l(t)
Considerando que x = i, la ecuación (4-57) puede escribirse
y = ci
(4-59)
Sustituyendo la ecuación (4-58) en la ecuación (4-59), obtenemos
y = C(Az + Bu) = CAZ + CBu
(4-60)
La solución de las ecuaciones (4-58) y (4-60) proporciona la respuesta del sistema para
condiciones iniciales determinadas. A continuación aparecen los comandos de MATLAB
para obtener las curvas de respuesta (curvas de salida yl contra t, y2 contra t, . . . , ym
contra t).
[y,z,tl = step(A,B,C*A,C*B)
yl = [l 0 0 . . . ol*y’;
y2 = [O 1 0 . . . o]*y’;
ym = [O 0 0.. . l]*y’;
pWt,yl Ay2 . . . ,t,ym)
EJEMPLO 4-8
Obtenga la respuesta del sistema sujeto a las condiciones iniciales determinadas
o bien
i = Ax,
40) = x,
Obtener la respuesta del sistema a las condiciones iniciales determinadas se convierte en despejar la respuesta escalón unitario del sistema siguiente:
i=Az-!=Bu
x = AZ + Bu
Sección 4-4 / Análisis de la respuesta transitoria con MATLAB
177
en donde,
B = x(O),
u = l(t)
Por tanto, el programa MATLAB 4-10 sirve para obtener la respuesta. Las curvas de respuesta
resultantes se muestran en la figura 4-30.
Resuuesta a condiciones iniciales
3
2
1
Q 0
x
-1
-2
Figura 4-30
Respuesta del sistema
del ejemplo 4-8 a
condiciones
iniciales.
-3
0
0.5
1
1.5
t seg
2
2.5
3
4-5 UN PROBLEMA DE EJEMPLO RESUELTO CON MATJAB
El propósito de esta sección es presentar la solución con MATLAB a la respuesta de un
sistema vibratorio mecánico. Primero se desarrolla el modelo matemático del sistema, después se simula el sistema usando MATLAB para el enfoque en tiempo continuo y en
tiempo discreto y luego se generan curvas de respuesta para cada enfoque.
Sistema vibratorio mecánico.
Considere el sistema vibratorio mecánico de la
figura 4-31(a). Una rueda tiene un sistema masa-resorte-amortiguador que cuelga de ella.
La rueda está sobre una pista que consta de una parte plana (horizontal), un plano inclinado
178
Capítulo 4 / Análisis de la respuesta transitoria
Y
Cd
0.6
Y
0.8
Figura4-31
(a) Rueda con un sistema de
masa-resorte-amortiguador
colgante; (b) respuesta
dinámica del sistema.
1.4
0
0.5
t seg
1
1.5
(b)
(45” hacia abajo) y otra parte plana (horizontal). Empezamos el movimiento del sistema
empujando la rueda desde la orilla de la rampa. Conforme la rueda cae por la rampa, un
total de 0.707 m (medidos verticalmente), la masa m cuelga del resorte y el amortiguador
cae con ella, y la masa adquiere un momentum que se disipa en forma gradual. En este
problema se supone que la rueda se desliza sin fricción en el plano inclinado de la pista. En
la segunda porción plana de la pista, la rueda se desliza y gira. La rueda sigue moviéndose
en la parte plana de la pista hasta que se detiene por medios externos.
Suponga los siguientes valores numéricos para m, b y k:
m = 4kg,
m = 40 N-seg/m,
k=4OON/m
También suponga que la masa m, de la rueda es insignificante en comparación con la masa
m. Obtenga x(t), el movimiento vertical de la rueda. Después obtenga Y(s), la transformada
de Laplace de y(t), que representa el movimiento hacia arriba y hacia abajo de la masa m.
La coordenada y se une al sistema de masa-resorte-amortiguador de la figura 4-31 y se
Sección 4-5 / Un problema de ejemplo resuelto con MATL+B
179
mide a partir de la posición de equilibrio del sistema. Las condiciones iniciales son que y(O)
= 0 y j(O) = 0. Observe que en este problema sólo nos interesan los movimientos verticales del sistema de masa-resorte-amortiguador. También observe que el sistema no tiene
fricción, excepto la del amortiguador, que se basa en la viscosidad para su operación.
Conforme el componente masa-resorte-amortiguador se desliza por la rampa,recibirá una
aceleración producida por la fuerza de gravedad. Cuando el sistema masa-resorte-amortiguador alcanza la región nivelada en la parte inferior de la rampa, se imprimirá de inmediato un choque sobre el componente masa-resorte-amortiguador. Sin embargo, terminara por
llegar a un estado de equilibrio después del impacto, debido a los efectos estabilizadores del
amortiguador y el resorte. La respuesta dinámica de este sistema aparece en la figura 4-31(b).
Determinación &x(t). El sistema empieza con una velocidad inicial de cero y sigue por
la pista. La entrada para el sistema es la posición vertical x a lo largo de la pista, y la salida es la
posición vertical y de la masa. Dado que suponemos que no hay una fricción por deslizamiento, remitiéndonos a la figura 4-32(a), tenemos, en la dirección z, la ecuación siguiente:
m.f = mg sen 45”
o bien
2 = 9.81 X 0.707 = 6.9357
64
Figura 4-32
(a) Una rueda con masa m se
desliza por el plano inclinado;
(b) curva x(f) contra t.
180
(b)
Capítulo 4 / Análisis de la respuesta transitoria
Definamos el tiempo que se necesita para que la rueda se mueva de z = 0 a z = 1 m como
tl. Después
t2
z = 6.9357 2 = 1
2
lo cual nos lleva a
tl = 0.537 seg
Por tanto, x(t) se obtiene del modo siguiente:
x(t) = 0.7072 = 0.707 X 3.4678 t2 = 2.452 t2,
= 0.707,
para 0 I t I 0.537
para 0.537 < t
De aquí se tiene que, de t = 0.537 seg a t = 03 se aplica una entrada definida por una constante de 0.707. La posición x al final de la rampa es 0.707 y se requieren aproximadamente
0.537 seg para llegar ahí. La figura 4-32(b) muestra una curva x(t) contra t. Observe que la
dirección positiva de x(t) es la vertical hacia abajo.
Para tener una mejor imagen de los eventos que ocurren en el sistema, necesitamos observar la entrada, que aparece en la figura 4-32(b). Los efectos de la gravedad no nos permiten modelar el comportamiento del sistema con una rampa ordinaria, sino, más bien, con
una función parábola, a la cual le sigue una entrada constante.
A continuación obtendremos,
Determinación de hfwtcih de tmn.s$mcia Y(s)/X(s).
primero, la ecuación del movimiento para el sistema y después la función de transferencia
Y(s)/X(s). Dado que y se mide a partir de su posición de equilibrio, la ecuación del sistema
se convierte en
my + b(jJ - i) + k(y - x) = 0
o bien
rny + bj + ky = bi + kx
en donde x es la entrada para el sistema y y es la salida. Sustituyendo los valores numéricos proporcionados para m, b y k, obtenemos
4j + 4ojJ + 400y = 4ox + 4OOX
o bien
y + 109 + 1ooy = 1ox + 1OOX
(4-61)
Ahora, la función de transferencia para el sistema se obtiene mediante
10s + 100
Y(s)
-=
X(s)
s2 + 10s + 100
(4-62)
en donde la entrada x(t) se obtiene mediante
x(t) = 2.452 t2,
= 0.707,
0 5 t 5 0.537
0.537 -=c t
Sección 4-5 / Un problema de demplo resuelto con MATLAB
(4-63)
181
Aquí, el problema es usar MATLAB para encontrar la transformada inversa de Laplace de
Y(S ) obtenida mediante la ecuación (4-62). A continuación consideramos dos enfoques.
Uno es trabajar en el dominio del tiempo continuo usando el comando step. El otro es trabajar en el dominio del tiempo discreto usando el comando filter. Primero presentaremos
un enfoque en tiempo continuo y después en tiempo discreto.
Simulación en la computadora (enfoque en tiempo continuo). En el enfoque en
tiempo continuo separamos la región de tiempo en dos partes; 0 5 t 5 0.537 y 0.537 < t.
Para 0 5 t 5 0.537:
XI(t) = 2.45212
Por tanto
2.452 x 2 4.904
s3
=
s3
X,(s)
=
La salida Y(s) se obtiene mediante
Y(s) =
=
1 0 s + 1 0 0 4;904
S2+10S+100-z49.04s + 490.4 1
s4 + lOs3 + lOOs s
(4-64)
Para 0.537 < t:
x2(t) = 0.707
Dado que
Y2(4
-=
x2w
10s + 100
s2 + 10s + 100
la ecuación diferencial cokespondiente se convierte en
j2 + 1oy2 + lOOy, = lOX, + lOOx,
La transformada de Laplace de esta última ecuación se convierte en
b2W) - SY2Ko
- jl2Wl + w%(~)
- Y2Wl + 1OOY,(s)
= lO[sX,(s) - x2(0)] + 100X2(s)
o bien
(s2 + 10s + lOO)Y,(s) = (10s + 100)X2(s) + sy,
+ jl,(O> + lOY,
182
Capítulo 4 / Análisis de la respuesta transitoria
- 1Ox2(0)
Por tanto
Y26) = s2 :“1; yoo X,(s)
+ SY + Y,(O) + lOY, - 1Ox2@)
s2 + 10s + 100
Las condiciones iniciales se encuentran a partir de yz(O) = yl(O.537) y j~z(O) = jl(O.537).
Por tanto,
10s + 1 0 0 0 . 7 0 7
S
Y,(s) = s2 + 10s + 100
+ &J,(O.537)] + bl(O.537) + lOy,(O.537) - 10(0.707)]s 1
s
s2 + 10s + 100
o bien
Y26)
10s + 100 0.707
= s2 + 10s + 100 s
+ s2[y1(537)] + [ yldot(537) + lOyl(537)
s2 + 10s + 100
- 7.071s 1s
(4-65)
en donde
yl(537) = y1(0.537),
yldot(537) = yl(O.537)
El programa MATLAB 4-11 sirve para obtener la respuesta y(t) con base en el enfoque en
tiempo continuo. La curva de respuesta resultante y(t) contra t, al igual que la entrada x(t)
contra t, se muestran en la figura 4-33.
Sección 4-5 / Un problema de ejemplo resuelto con MATLAB
183
0
Respuesta del sistema (enfoque en tiempo continuo)
-0.1 .-.--.._
-0.2
. _..
.-.. _ ..__.. . _.__.--; ~..~......._.._.._.._.
rb
. . . .._.___.__.
Figura 4-33
Entrada x(t) y salida
y(t) obtenidas mediante el enfoque en
tiempo continuo.
184
0.5
1
t seg
Capítulo 4 / Análisis de la respuesta transitoria
Se observa que cuando se grafican curvas múltiples en un solo par de ejes, es posible
usar el comando “hold” (retener). Si introducimos el comando “hold” en la computadora,
la pantalla mostrará
I:,n,,,,,,,,
Para liberar la gráfica retenida, introduzca otra vez el comando “hold”. La gráfica actual se
liberará tal como se muestra a continuación.
hold
Current plot held
hold
Current plot released
Simulación de computadora (enfoque en tiempo discreto). La función de transferencia en tiempo continuo se convierte en una función de transferencia pulso (función de
transferencia en tiempo discreto) mediante fórmulas generales. El método más simple es
convertir la función de transferencia en tiempo continuo a una función de transferencia
pulso mediante comandos de MATLAB. El primer paso es convertir la función de transferencia en tiempo continuo aun conjunto de ecuaciones en el espacio de estados en tiempo
continuo usando el comando de MATLAB [A,B,C,D] = tf2ss(num,den).
Después, las ecuaciones en el espacio de estados se convierten de tiempo continuo a tiempo discreto mediante el comando [G,H] = cZd(A,B,T), en donde T es el paso de tiempo deseado (periodo de
muestreo). Las ecuaciones en el espacio de estados en tiempo discreto se convierten en una
función de transferencia pulso con el comando [numz,denz] = ssZtf(G,H,C,D).
En el caso presente, elegimos T = 0.001 seg. Primero debe separarse la función de entrada x(t). Se determinó que la función de entrada en tiempo continuo era
x(t) = 2.452 8,
para 0 I t 5 0.537
x(t) = 0.707,
para 0.537 < t
Observe que definimos x como un arreglo de puntos en MATLAB. Este arreglo inicialmente sigue a x(t) = 2.452 rr y, después de t = 0.537 seg, sigue a x(t) = 0.707. Suponemos
que la región de tiempo es 0 zz t 5 1.5.
La entrada parábola en la primera parte se escribe como
kl = 0:537;
xl = [2.452*(0.001 *kl).“21
en donde kl representa una cuenta de tiempo y xl es la primera parte de la función de entrada completa. (Hay 538 puntos de cálculo desde la posición inicial hasta que la entrada
Seccih 4-5 / Un problema de qjemplo
resuelto con MATLAB
185
alcanza 0.707 m). Para la segunda parte de la entrada, necesitamos una función escalón con
una magnitud de 0.707. Después del tiempo 0.537 seg,
k2 = 538:1500;
x2 = [0.707*ones(size(k2))]
(Hay 963 puntos de 0.538 seg a 1.5 seg, inclusive.) El paso siguiente es transformar ambas
entradas en una entrada completa:
x = 1x1
x21;
(Las dos ecuaciones de entrada se transforman en un solo vector para que parezcan una
sola entrada en el argumento de comando filter.)
Ahora podemos usar el comando filter (filtro) asignando una variable y,
y = filter(numz,denz,x);
y graficar la respuesta y(t) al igual que la respuesta original misma, x(t), considerando los intervalos de tiempo mediante t:
t = 0:1500;
p10t(t/1000, - y,‘.‘,t/l 000, -x,‘-‘)
(Dividimos t entre 1000 debido a que el paso de tiempo es de 0.001 seg.) También observe
que las funciones de entrada y salida graficadas se vuelven negativas. (De lo contrario, tendrfamos una entrada y una respuesta parábola positivas, lo cual sería incorrecto.)
El programa MATLAB 4-12 usa el enfoque en tiempo discreto. Las curvas de respuesta
resultantes x(t) contra t y y(t) contra t aparecen en la figura 4-34.
186
Capítulo 4 / Analisís
de la
respuesta transitoria
Respuesta del sistema (enfoque en tiempo discreto)
Figura 4-34
Entrada x(t) y salida
y(t) obtenidas mediante el enfoque en
tiempo discreto.
1
EJEMPLO
A-4-1.
1.5
t seg
DE
PROBLEMAS
Y
SOLUCIONES
En el sistema de la figura 4-35, x(t) es el desplazamiento de entrada y e(t) es el desplazamiento
angular de salida. Suponga que las masas involucradas son tan pequeñas que pueden no considerarse y que todos los movimientos tienen la restricción de ser pequeños; por tanto, el sistema
se considera lineal. Las condiciones iniciales para x y 8 son cero, o ~(0 -)= 0 y 0(0 -) = 0. Demuestre que este sistema es un diferenciador.
Después, obtenga la respuesta e(t) cuando x(t) es
una entrada escalón unitario.
Solución. La ecuación para el sistema es
E,jemplo de problemas y soluciones
187
Figura 435
Sistema mecánico.
b(i - ti) = kL9
o bien
la transformada de Laplace
Y, por tanto
de esta última ecuación, con condiciones iniciales cero, nos da
i
1
LS + $ L O(s) = sX(s)
s@(s) _ I
X(s) L s + (klb)
En este caso, se trata de un sistema diferenciador.
Para la entrada escalón unitario X(s) = lh, la salida O(s) se convierte en
1
1
@(‘) = ¿s + (klb)
La transformada inversa de Laplace de O(s) produce
Observe que, si el valor de klb es grande, la respuesta e(t) se aproxima a una señal pulso como se
aprecia en la figura 4-36.
A-42.
Considere el sistema mecánico de la figura 4-37. Suponga que el sistema está inicialmente en reposo [x(O) = 0, X(O) = 0] y que t = 0 se pone en movimiento mediante una fuerza impulso unitario. Obtenga un modelo matemático para el sistema. Después, encuentre el movimiento del
sistema.
Solución. El sistema se excita mediante ha entrada impulso unitario. Por tanto,
188
Capítulo 4 / Análisis de la respuesta transitoria
W)
L1
i
0
Fuerza
Impulsiva
W)
Figura 4-36
Entrada escalón unitario y respuesta
del sistema mecánico de la figura
t
4-35.
x
m
\
k
\
\
Figura 437
Sistema mecánico.
rn? + kx = d(t)
Éste es un modelo matemático para el sistema.
Tomar la transformada de Laplace de ambos miembros de esta última ecuación produce
m[s*X(s) - n(O) - X(O)] + kX(s) = 1
Sustituyendo las condiciones iniciales x(O) = 0 y k(O) = 0 en esta última ecuación y despejando
X(s) obtenemos
1
X(s) = ~
ms* + k
La transformada inversa de Laplace de X(s) se vuelve
X(t) = & sen kt
m
$
La oscilación es un movimiento armónico simple. La amplitud de la oscilación es llm.
A-4-3.
Obtenga la función de transferencia en lazo cerrado para el sistema de control de posición de la
figura 4-38. Suponga que la entrada y la salida del sistema son la posición de la flecha de entrada
y la posición de la flecha de salida, respectivamente. Suponga los siguientes valores numéricos
para las constantes del sistema:
r = desplazamiento angular de la flecha de entrada de referencia, en radianes
c = desplazamiento angular de la flecha de salida, en radianes
8 = desplazamiento angular de la flecha del motor, en radianes
KO = ganancia del detector de error potenciométrico = 24lnVlrad
aemplo de problemas y soluciones
189
Figura 4-38
Sistema de control
de posición.
Kl = ganancia del amplificador = 10 VN
e, = voltaje de armadura, V
eb = contra fem,V
R, = resistencia de armadura = 0.2 52
L, = inductancia de armadura = insignificante
i, = corriente de armadura, A
K3 = constante de contra fem = 5.5 X lWV-seglrad
Kz = constante de par de motor = 6 X 10-5 N-m/A
J, = momento de inercia del motor referido a la flecha del motor = 1 X lo-5 kg-m2
b, = coeficiente de fricción viscosa del motor referido a la flecha del motor = insignificante
JL = momento de inercia de la carga referido a la flecha de salida = 4.4 X 1tF kg-m2.
bL = coeficiente de fricción viscosa de la carga referido a la flecha de salida = 4 X 1W2 N-m/rad/seg
n = relación de engranes NrIN = &
Solución. El momento de inercia equivalente JO y el coeficiente de fricción viscosa equivalente
bo referidos a la flecha del motor son, respectivamente,
Jo = J, + n”&
= 1 x 10-5 + 4.4 x 10-5 = 5.4 x 10-5
b, = b, + n2bL
= 4 x 10-4
Remitiéndonos a la ecuación (4-16) obtenemos
c(s)
L
-=
Jw QJ + 1)
en donde
K
m
Tm
=
KoWGn
7.64 x 10 X 6 X 1O-5 X 0.1
Rabo f KJG = (0.2)(4 x 10-4) + (6 x lo-‘)(5.5 x lo-‘) = sS
(0.2)(5.4 x lo-‘)
= RaJo
=
(0.2)(4
x
10-4)
+ (6 X lo-7(5.5 X 10-2) = OJ3
Rabo f WG
Por tanto,
(4-66)
Usando la ecuación (4-66), es posible dibujar el diagrama de bloques del sistema tal como
aparece en la figura 4-39. La función de transferencia en lazo cerrado del sistema es
190
Capítulo 4 / Análisis de la respuesta transitoria
Figura 4-39
Diagrama de bloques del sistema
de la figura 4-38.
42.3
5.5
C(s)
-=
0.13s’
+
s
+
5.5
=
s2
+
7.69s
+ 42.3
R(s)
A-4-4.
Con frecuencia se usan trenes de engranes en sistemas de seguimiento para reducir la velocidad,
aumentar el par u obtener la transferencia de potencia más eficiente, haciendo coincidir el miembro de manejo con la carga determinada.
Considere el sistema de tren de engranes de la figura 4-40. En este sistema, un motor maneja
una carga mediante un tren de engranes Suponiendo que la rigidez de las flechas del tren de engranes es infinita (no existe juego o bamboleo ni deformación elástica) y que el número de dientes
en cada engrane es proporcional al radio del mismo, obtenga el momento de inercia equivalente y el
coeficiente de fricción viscosa equivalente referido a la flecha del motor y con la flecha de la carga.
En la figura 4-40, el número de dientes en los engranes 1,2,3 y 4 es NI, Nz, N3 y Nd, respectivamente. Los desplazamientos angulares de las flechas 1,2 y 3 son &,& y 03, respectivamente.
Por tanto, 132/& = NJN2 y 83l62 = N31Na. El momento de inercia y el coeficiente de fricción viscosa de cada componente del tren de engranes se representan mediante JI, 61; Jz, b2; y J3, b3,
respectivamente. (J3 y b3 incluyen el momento de inercia y la fricción de la carga.)
Solución. Para este sistema de tren de engranes, obtenemos las tres ecuaciones siguientes: para
la flecha 1,
J1ël + b@, + Tl = Tm
(4-67)
en donde Tm es el par desarrollado por el motor y Tl es el par de carga en el engrane 1 debido al
reposo del tren de carga. Para la flecha 2,
J,ii, + b2d2 + T3 = T2
(4-68)
en donde Tz es el par transmitido al engrane 2 y T3 es el par de carga en el engrane tres debido al reposo del tren de engranes Dado que el trabajo realizado por el engrane 1 es igual al del engrane 2,
Tl& = Tzt’z
0
T2 = TI $
W
Flecha 1
entrada
del motor
Par de
-
-.-.-.
.-.-.-.-.-
Engrane 2 -+ EJ x
kd - - -
Flecha 3
N2
Figura 4-40
Sistema de tren de engranes.
Ejemplo de problemas y soluciones
carga
TL (0
191
Si NrIN < 1, la relación de engranes reduce la velocidad, al igual que aumenta el par. Para la tercera flecha,
J3ij3 + b$3 + TL = T4
(4-69)
en donde TL es el par de carga y T4 es el par trasmitido al engrane 4. T3 y T4 se relacionan mediante
T, = T3 2
3
y 93 y 81 se relacionan mediante
La eliminación de TI, T2, T3 y T4 de las ecuaciones (4-67), (4-68) y (4-69) produce
JIi+ + b,d, + ;
N1 (J2ë2 + b2&IZ) + $$ (J3ë3 + b,d, + TL) = Tm
2
2
4
Eliminando 02 y 03 de esta última ecuación, y escribiendo la ecuación resultante en términos de
81 y sus derivadas con respecto al tiempo, obtenemos
+~,+~)lb2+($(~)1b3]8,+($($TL=Tm
(4-70)
Por tanto, el momento de inercia equivalente y el coeficiente de fricción del tren de engranes
referido a la flecha 1, se obtienen, respectivamente, mediante
Asimismo, el momento de inercia y el coeficiente de fricción viscosa equivalentes del tren de engranes, referido a la flecha de carga (eje 3), se obtienen, respectivamente, mediante
Por tanto, la relación entre JIS, y J3q es
J
y aquella entre bl, y b3eq es
b
El efecto de J2 y J3 en un momento de inercia equivalente se determina mediante las relaciones
de engranes NrIN y NsIN4. Para los trenes de engranes que reducen la velocidad, por lo general
las relaciones NrIN y N3lN4 son menores que la unidad. Si NrIN 4 1 y N3/N4 a 1, el efecto de JZ
192
Capítulo 4 / Análisis de la respuesta transitoria
y J3 en el momento de inercia equivalente Jles es insignificante. Para el coeficiente de fricción viscosa equivalente bleq del tren de engranes se aplican comentarios similares. En ttrminos del momento de inercia equivalente Jleq y el coeficiente de fricción viscosa equivalente blcq, la ecuación
(4-70) se simplifica para dar
J& + b,,@, + nT, = Tm
en donde
NI N3
n=-Nz N.a
A-M.
Demuestre que las razones entre el par y la inercia referidos a la flecha del motor y la flecha de
la carga difieren una de otra en un factor de n. Demuestre, asimismo, que las razones entre el par
cuadrático y la inercia, referido a la flecha del motor y la flecha de la carga son iguales.
Solución. Suponga que Tmti es el par máximo que se produce en la flecha de motor. Por tanto, la
razón entre el par y la inercia, referido a la flecha de motor es
T mti
J,,, + n2JL
en donde J,,, = momento de inercia del rotor
JL = momento de inercia de la carga
n = relación de engranes
La razón entre el par y la inercia referida a la flecha de la carga es:
T mb.
nT,ti
n
J
L
+ k J, + n2JL
n2
Es evidente que ambas son diferentes en un factor de n. Por tanto, al comparar las razones entre
el par y la inercia de los motores, resulta necesario especificar cuál flecha es la referencia.
Observe que la razón entre el par cuadrático y la inercia, referida a la flecha del motor, es
TL
J,,, + n2JL
y que referido a la flecha de carga es
T’,&X
TL
n
J
L
+&
J,,,+
n2J~
n2
Evidentemente estas dos razones son iguales.
A-4-6.
Cuando el sistema de la figura 4-41(a) está sujeto a una entrada escalón unitario, la salida del sistema responde como se aprecia en la figura @Il(b). Determine los valores de K y Ta partir de
la curva de respuesta.
Solución. El sobrepaso máximo de 25.4% corresponde a 5 = 0.4. A partir de la curva de respuesta, tenemos que
tp = 3
En consecuencia,
Ejemplo de problemas y soluciones
193
(4
t
(b)
Jt
Figura 4-41
(a) Sistema en lazo cerrado; (b) curva
de respuesta escalón unitario.
ñ
7c
t~=w,=w”G-p=w”vFGP=
3
de aquí se deduce que
w, = 1.14
A partir dei diagrama de bloques, tenemos que .
K
C(s)
-=
Ts2
+
s+K
R(s)
de lo cual
Por tanto, los valores de T y K se determinan como
TL-=
a%l
1
= 1.09
2 x 0.4 x 1.14
K = w;T = 1.142 x 1.09 = 1.42
A-4-1.
Determine los valores de K y k del sistema en lazo cerrado de la figura 4-42 para que el sobrepaso
máximo de la respuesta escalón unitario sea de 25% y el tiempo pico sea de 2 seg. Suponga que
J = 1 kg-m2.
Solución. La función de transferencia en lazo cerrado es
K
C(s)
-=
R(s)
Js2 + Kks + K
Sustituyendo J = 1 kg-m2 en esta última ecuación &emos que
K
C(s)
-=
s2 + Kks + K
R(s)
194
Capítulo 4 / Análisis de la respuesta transitoria
Figura 4-42
Sistema en lazo cerrado.
Observe que
w, = G,
El sobrepaso máximo Mp
2501, = Kk
es
MP = e-5nlm
que se especifica como 25 % . Por tanto
,-w-P = 0.25
de lo cual
o bien
5 = 0.404
El tiempo pico tp se especifica como 2 seg. Y, por tanto
o bien
Wd = 1.57
En este caso la frecuencia natural no amortiguada o,, es
1.57
= 1.72
VQ - 0.4042
Por tanto, obtenemos
K = con = 1.72’ = 2.95 N-m
z3J”
K
k=-=
A-4-8.
2xO.404x1.72
2.95
= 0.471 seg
iCuál es la respuesta escalón unitario del sistema de la figura 4-43?
Solución. La función de transferencia en lazo cerrado es
10s + 10
C(s)
-=
s2 + 10s + 10
R(s)
Para la entrada escalón unitario [R(s) = l/s],
Ejemplo de problemas y soluciones
tenemos
195
Figura 4-43
I
I
C(s) =
Sistema en lazo cerrado.
10s + 10 1
s*+10S+loS
10s + 10
= (s + 5 + ví3)(s + 5 - VE),
1
-4-ViS
1
-4+lm
1
= 3+fl s+5+l/is+ 3-fl s+5-vis+;
La transformada inversa de Laplace
de C(s) da
4 + m -(s+yfs)f
4Q = -3 e
+ 4 - m ,-(5-vi3)f + 1
-3 + vi3
= -l.l455e+‘” + 0.1455e-‘,13* + 1
Es evidente que la salida no presentará ninguna oscilación. La curva de respuesta tiende exponencialmente al valor final c(m) = 1.
A-4-9.
La figura 4-44(a) muestra un sistema vibratorio mecánico. Cuando se aplica al sistema una fuerza
de 2 Ib (entrada escalón), la masa oscila como se aprecia en la figura 4-44(b). Determine m, b y
k del sistema a partir de esta curva de respuesta. El desplazamiento n se mide a partir de la posición de equilibrio.
Solución. La función de transferencia de este sistema es
xls)=
1
P(s)
in.r2 + bs + k
Dado que
P(s) = 3
de 2-lb)
x(t)
t
0.1
ft
Figura 4-44
(a) Sistema vibratorio
mecánico; (b) curva
de respuesta escalón.
196
L7Yrtx
0.0095 pie
0
6)
Capítulo 4 / Análisis de la respuesta transitoria
1
2
3
(b)
4
5
I
obtenemos
X(s) =
2
s(ms* + bs + k)
de lo cual se deduce que el valor en estado estable de x es
x(m) = límsX(s) = + = 0.1 pie
Fo
Por tanto
k = 20 lbf/ pie
Observe que Mp = 9.5% corresponde a 5 = 0.6. El tiempo pico t,, se obtiene mediante
$2=
x
76
@d
La curva experimental muestra que tp = 2 seg. Por tanto
3.14
2 x 0.8
co, = ~ = 1.96 radlseg
Dado que WJ = klm = 2Olm, obtenemos
20
20
m = z= 1.962 = 5.2 slugs = 166 Ib
(Observe que 1 slug = 1 lbf-seg*/pie.)
Después b se determina a partir de
o bien
b = 2cw,,m = 2 X 0.6 X 1.96 X 5.2 = 12.2 lbf/pie/seg
A-4-10.
Suponiendo que el sistema mecánico de la figura 4-45 está en reposo antes de que se proporcione
la fuerza de excitación P sen wt, obtenga la solución completa x(t) y la solución en estado estable
x,,(t). El desplazamiento x se mide a partir de la posición de equilibrio. Suponga que el sistema
es subamortiguado.
Solución. La ecuación del movimiento para el sistema es
m.?+bx+kx=Psen
cut
Considerando que x(O) = 0 y que $0) = 0, la transformada de Laplace
de esta ecuación es
(ms’ + bs + k)X(s) = P&
o bien
b
X(s)
1
= pw
(s” + w”) (ms” + bs + k)
Dado que el sistema es subamortiguado, X(s)
Figura 4-45
Sistema mecánico.
se escribe del modo siguiente:
donde 0 < 5 < 1
Ejemplo de problemas y soluciones
197
en donde wn = m y 5 = bl(22/mk).
X(s) se expande como
-as + d
s2 + 25w,s + w; 1
Mediante cálculos sencillos se encuentra que
a=
- X%
c=
<w; - w2)2 + 45%+2 ’
Por tanto
X(s) = e
m (CU:
1
- w2)2 + 452w$i?
[
+ 25W”(S
La transformada inversa de Laplace
x(t) =
Pw
m[(wi - w*)’ + 452w,2w2]
+ 2<w,ed”~’
[
d =
(w; - w2)
<w; - w2)2 + 452w;o2 ’
452w; - (wi - w2)
<w; - w2y + 45%&¿?
- 25w,s + <w; - w2)
s2 + w2
+ Cw,) + 252w; - (wi - w2)
s2 + 250,s + w;
de X(s) da
wn- w2
- 25wn cos wt + ~ sen wt
w
2c2w,2- (wn” - w”)
cos w, m +
e+*’ sen 0, mt
w,Vl- p
1
En estado estable (t + ~0) los términos que contienen e-cw tienden a cero. Por tanto, en estado estable
x(t) =
Pw
m[(wi - w2)’ + 452w~w2]
Pw
= (k- mw”)” + b2w2
P
=
v(k- mw’)” + b2w2
A-4-11.
- 25w,cos wt + * sen wt
-bcos wt + k-sen wt
w
sen wt- tan-’
i
bw
k-
Considere la respuesta escalón unitario del sistema de segundo orden
w;’
C(s)
-=
s2 + 25w,s + w;
R(s)
La amplitud de la senoide exponencialmente amortiguada cambia como una serie geométrica.
En ei tiempo t = tp = zhd, la amplitud es igual a e-c dad)n. Después de una oscilación, o en
t = fp + h//wd = 3zhd, la amplitud es igual a e-(d:d)3”; después de otro ciclo de oscilación, la amplitud es e-c”lwdjsn. El logaritmo de la razón de amplitudes sucesivas se denomina decremento logarítmico. Determine el decremento logarítmico para este sistema de segundo orden. Describa un
método para la determinación experimental del factor de amortiguamiento relativo a partir de la
tasa de decaimiento de la oscilación.
Solución. Definamos la amplitud de la oscilación de salida en t = ti como x,, en donde ti =
tp + (i - l)T (T = periodo de oscilación). La razón de amplitud por un periodo de oscilación
amortiguada es
-(doJd)n
EL-_ f?
= &dJJ&
x2
198
e-(o/w,)îx
Capítulo 4 / Análisis de la respuesta transitoria
= e251di=y
Por tanto, el decremento logarítmico 6 es
Es una función sólo del factor de amortiguamiento relativo 5. Por tanto, el factor de amortiguamiento relativo 5 se determina mediante el decremento logarítmico.
En la determinación experimental del factor de amortiguamiento relativo 5 a partir de la tasa
de decaimiento de la oscilación, medimos la amplitud XI en t = tp y la amplitud x,, en t = tp + (n 1)T. Observe que es necesario elegir un n suficientemente grande para que la razón xh, no esté
cerca de la unidad. Por tanto
Xl
- -_ e (n-l)z.cm
o bien
Por lo anterior
A-4-12.
En el sistema de la figura 4-46, los v,$ores numhicos de m, b, y k se proporcionan como m = 1
kg, b = 2N-seg/m, y k = 100 Nlm. La masa se desplaza 0.05 m y se libera sin velocidad inicial. Encuentre la frecuencia observada en la vibración. Además, encuentre la amplitud cuatro ciclos después. El desplazamiento x se mide a partir de la posición de equilibrio.
Solución. La ecuación de movimi+o
para el sistema es
mi + bi + kx = 0
Sustituir los valores numéricos para m, b y k en esta ecuación produce
x + 2x + 1oox = 0
t
x
Figura 4-46
Sistema de masaresorte-amortiguador.
en donde las condiciones iniciales son x(O) = 0.05 y X(O) = 0. A partir de esta última ecuación, la
frecuencia natural no amortiguada w,, y el factor de amortiguamiento relativo 5 resultan
0, =
10,
5 = 0.1
La frecuencia observada en realidad en la vibración es la frecuencia natural amortiguada Ud.
ííh = o,, m = 10 m = 9.95 radlseg
En el análisis actual, i(O) se obtiene como cero. Por tanto, la solución x(t) se escribe como
x(t) = x(o) ee50”r cos wdt + ,,,& sen mdt
de lo que se deduce que, en t = nT en donde T = 2dod,
x(nT) = x(0)e-50-nr
Qemplo
de problemas y soluciones
199
En consecuencia, la amplitud cuatro ciclos después se convierte en
x(4T) = x(())e-5%4T = x(0)e-(0.1)(10)(4)(0.6315)
= 0.05e-2.526 = 0.05 X 0.07998 = 0.004 m
A-4-W.
Considere un sistema cuyos polos y cero en lazo cerrado y se localizan en el plano s sobre una
línea paralela al ejeiw, como se aprecia en la figura 4-47. Demuestre que la respuesta impulso de
tal sistema es una función coseno amortiguada.
t
Cr
Figura 4-47
Configuración de polo y ceros en
lazo cerrado del sistema cuya respuesta impulso es una función
coseno amortiguada.
x ------ -_
Solución. La función de transferencia en lazo cerrado es
K(s + c7)
C(s)
-=
R(s)
(s + u + jod)(s + u - jod)
Para una entrada impulso unitario, R(s) = 1 y
K(s + u)
c(s) = (s + uy + 0;
La transformada inversa de Laplace
de C(s) es
C(t) = Ke-“COS
mdt
para t 2 0
que es una función coseno amortiguada.
A-4-14.
Considere el sistema de control de nivel de líquido de la figura 4-48. El controlador es de tipo
proporcional. El punto de ajuste del controlador está fijo.
Dibuje un diagrama de bloques del sistema, suponiendo que los cambios en las variables son
pequeños. Obtenga la función de transferencia entre el nivel del segundo tanque y la entrada de
perturbación qd. Obtenga el error en estado estable cuando la perturbación qd sea una función
escalón
unitario.
Solución. La figura 4-49(a) es un diagrama de bloques de este sistema cuando los cambios en las
variables son pequeños. Dado que el punto de ajuste del controlador está fijo, r = 0. (Observe
que r es el cambio en el punto de ajuste.)
Para investigar la respuesta del nivel del segundo tanque sujeto a una perturbación escalón
unitario qd, encontramos conveniente modificar el diagrama de bloques de la figura 4-49(a) al
que aparece en la figura 4-49(b).
La función de transferencia entre Z&(s) y Qd(S) se obtiene como
200
Capítulo 4 / Análisis de la respuesta transitoria
Figura 4-48
Sistema de control
de nivel de líquido.
4i
1
,
K+R1Cp + 1
(al
(b)
Figura 4-49
(a) Diagrama de bloques del sistema de la figura 4-48; (b) diagrama de bloques modificado.
H,(s)
~,vwl~ + 1)
-=
Q,(s) (R,C,s + W,C,s + 1) + KR,
A partir de esta ecuación, se encuentra la respuesta HZ(S) para la perturbación Q&). El efecto
del controlador se observa por la presencia de K en el denominador de esta última ecuación.
Para la perturbación escalón unitario Qd(S), obtenemos
h,(m) = R,
1+ KR,
o bien
R2
Error en estado estable = - l+KR,
El sistema exhibe un desplazamiento (oftsef) en la respuesta para una perturbación escalón unitario.
Observe que las ecuaciones características para la entrada de perturbación y para la entrada
de referencia son iguales. La ecuación característica para este sistema es
(R,C,s + l)(R,C,s + 1) + KR, = 0
Ejemplo de problemas y soluciones
201
que se modifica a
La frecuencia natural no amortiguada w,, y el factor de amortiguamiento relativo 5 se obtienen mediante
Tanto la frecuencia natural no amortiguada como el factor de amortiguamiento relativo dependen del valor de la ganancia K. Esta ganancia debe ajustarse para que las respuestas transitorias
de la entrada de referencia y de la entrada de perturbación muestren un amortiguamiento y una
velocidad razonables.
A-4-15.
Considere el sistema de control de nivel de líquido de la figura 4-50. Un controlador integral
hidráulico maneja la válvula de entrada. Suponga-que el flujo de entrada en estado estable es Qy
que el flujo de salida en estado estable también es Q, que la altura en estado estable es H, que el desplazamiento de la valvula piloto en estado estable es %! = 0, y que la posición de la válvula en estado estable es p. Suponemos que el punto de ajuste R corresponde ala altura en estado estable I?.
El punto de ajuste está fijo. Suponga también que el flujo de entrada de perturbación qd, que es una
cantidad pequeña, se aplica al tanque del agua en t = 0. Esta perturbación provoca que la altura cambie de H a fi + h. Este cambio provoca un cambio en el flujo de salida mediante qo. A través del
controlador hidráulico, el cambio en la altura provoca una modificación en el flujo de entrada de Q
a Q + qi. (El controlador integral tiende a conservar la altura lo más constante posible en presencia de perturbaciones.) Suponemos que todos los cambios son de cantidades pequeñas
Suponiendo los siguientes valores numéricos para el sistema,
C=2m2,
R = 0.5 seg/m2,
k, = 1 m2/seg
a = 0.25 m,
b = 0.75 m,
kl = 4 seg-’
u
t
C
(Capacitancia)
H+h
Figura 4-50
Sistema de control
de nivel de líquido.
202
c
Q+so
R
(Resistencia)
Capítulo 4 / Análisis de la respuesta transitoria
obtenga la respuesta h(t) cuando la entrada de perturbación qd
tario. Asimismo obtenga esta respuesta h(t) con MATLAB.
es una función de escalón uni-
Solución. Dado que el aumento de agua en el tanque durante dt segundos es igual al flujo de entrada neto hacia el tanque durante los mismos dt segundos, tenemos que
C dh = (qi - q, + qd) dt
(4-71)
en donde
Para el mecanismo de la palanca de realimentación, tenemos que
x=ah
a+b
(4-73)
Suponemos que la velocidad del pistón de potencia (la válvula) es proporcional al desplazamiento de la válvula piloto x, o bien,
(4-74)
en donde K1 es una constante positiva.También suponemos que el cambio en el flujo de entrada
qi es negativamente proporcional al cambio en la apertura de la válvula y, o bien,
qi = -K,Y
(4-75)
en donde KV es una constante positiva.
Ahora determinamos las ecuaciones para el sistema del modo siguiente. A partir de las ecuaciones (4-71), (4-72) y (4-7.5) obtenemos
C f = -K,,y -; + qd
(4-76)
A partir de las ecuaciones (4-73) y (4-74), tenemos que
(4-77)
Sustituyendo los valores numéricos determinados en las ecuaciones (4-76) y (4-77)
obtenemos
2dh - -y - 2h + qd
z&
-=h
dt
Si tomamos la transformada de Laplace
ciones iniciales de cero, obtenemos
de las dos ecuaciones anteriores y suponemos condi-
2sH(s) = -Y(s) - 2H(s) + Q,(s)
SU(S) = H(s)
Ejemplo eje problemas y soluciones
203
Eliminando Y(s) de las dos últimas ecuaciones y considerando que la entrada de perturbación es
una función escalón unitario o que @(s) = Us, obtenemos
1
0.5
H(s) = 2.3 +“z, + 1s = (s + osy + 0.52
La transformada inversa de Laplace
de H(s)
da la respuesta en el tiempo h(t).
h(t) = 1 - fYO.” sen 0.5t
Observe que la entrada de perturbación escalón unitario qd provocó un error transitorio en la altura, mismo que se convierte en cero en estado estable. Por tanto, el controlador integral eliminó
el error provocado por la entrada de perturbación qd.
Graficación de la curva de respuesta h(t) con MATLAB.
se obtiene mediante
H(s)
=
Dado que la respuesta H(s)
1
s
2S2+2S+1s
se usa el programa MATLAB 4-13 para obtener la respuesta a la entrada de perturbación
escalón unitario. La curva de respuesta resultante aparece en la figura 4-51.
A-4-16.
Considere la respuesta impulso del sistema estándar de segundo orden definido mediante
C(s)
-=
R(s)
4
2 + 25w,,s + co;
Para una entrada impulso unitario, R(s) = 1. Por tanto
C(s) =
4
s2 + 25W$
+ OJi
=
42
-1
s2 + 2&p + w ; s
Considere el sistema normalizado en donde o,, = 1. En tal caso
C(s) s2 =+ 25ss + 1sl
204
Capítulo 4 / Anhlísis de la respuesta transitoria
Respuesta escalón unitario
0.25
Figura4-51
Respuesta a la entrada
de perturbación escalón
unitario.
0
2
4
6
8
Tiempo (seg)
Considere cinco valores diferentes de zeta: 5 = 0.1,0.3,0.5,0.7
puesta impulso unitario para cada zeta con MATLAB.
10
12
14
y 1.0. Obtenga las curvas de res-
Solución. El programa MATLAB 4-14 contiene una forma de graficar las cinco curvas de respuesta impulso unitario en un mismo par de ejes. La gráfica resultante aparece en la figura 4-52.
Ejemplo de problemas y soluciones
205
A partir de las curvas de respuesta impulso unitario para diferentes valores de zeta, concluimos que, si la respuesta impulso c(t) no cambia de signo, el sistema es críticamente amortiguado o sobreamortiguado, en cuyo caso la respuesta escalón correspondiente no tiene
sobrepaso pero aumenta o decrementa
en forma monotónica y tiende a un valor constante.
206
Capítulo 4 / Análisis de la respuesta transitoria
Curvas de respuesta impulso
para G(s) = ll[sA2+2(zeta)s+l]
Figura 4-52
Curvas de respuesta
impulso unitario.
0
1
2
3
4
5
6
Tiempo (seg)
7
8
9
10
PROBLEMAS
B-4-1. Un termómetro requiere de un minuto para alcanzar el 98% del valor final de la respuesta a una entrada escalón. Suponiendo que el termómetro es un sistema de
primer orden, encuentre la constante de tiempo.
Si el termómetro se coloca en un baño, cuya temperatura cambia en forma lineal a una velocidad de lO’/min,
Lcuánto error muestra el termómetro?
B-4-2. Considere el sistema de la figura 4-53. Un servomotor de cd controlado por armadura, maneja una carga
formada por el momento de inercia JL. El par que desarrolla el motor es T. El desplazamiento angular del rotor
del motor y del elemento de carga son 8, y 8, respectivamente. La relación de engranes es n = kW&. Obtenga la
función de transferencia O(s)lE
B-4-3. Considere el sistema de la figura 4-54(a). El factor
de amortiguamiento relativo de este sistema es 0.158 y la
frecuencia natural no amortiguada es de 3.16 radlseg. Para
mejorar la estabilidad relativa, se emplea una feali-
mentación
de tacómetro. La figura 4-54(b) muestra tal sistema de realimentación de tacómetro.
Determine el valor de Kt, para que el factor de amortiguamiento relativo del sistema sea 0.5. Dibuje curvas de
respuesta escalón unitario tanto del sistema original como
del sistema de realimentación de tacómetro. También
dibuje las curvas de error contra el tiempo para la respuesta
rampa unitaria de ambos sistemas.
B-4-4. Obtenga la respuesta escalón unitario de un sistema
realimentado unitariamente, cuya función de transferencia
en lazo abierto es
G(s) = --?-s(s + 5)
B-4-5. Considere la respuesta escalón unitario de un sistema de control realimentado unitariamente cuya función
de transferencia en lazo abierto es
Figura 4-53
Sistema servomotor
de cd controlado
por armadura.
Problemas
207
figura 4-54
(a) Sistema de control;
(b) sistema de control con
realimentación de
tacómetro.
OJ)
G(s) = ---!--s(s + 1)
Obtenga el tiempo de levantamiento, el tiempo pico, el sobrepaso máximo y el tiempo de asentamiento.
B-4-6. Considere el sistema en laxo cerrado obtenido mediante
CM
4
-=
s2 + 25W$ + w;
R(s)
Determine los valores de 5 y un para que el sistema responda a una entrada escalón con un sobrepaso de aproximadamente 5% y con un tiempo de asentamiento de 2 seg.
(Use el criterio del 2% .)
B-4-7. La figura 4-55 es un diagrama de bloques de un sistema de control de posici6n de un vehículo espacial.
Suponiendo que la constante de tiempo T del controlador
es de 3 seg y que la razón entre el par y la inercia KIJ es de
8 radVseg2, encuentre el factor de amortiguamiento relativo
del sistema.
B-4-8. Considere el sistema de la figura 4-56. Inicialmente el
sistema está en reposo. Suponga que el carro se pone en movimiento mediante una fuerza de impulso unitario. $uede
detenerse mediante otra fuerza de impulso equivalente?
B-4-9. Obtenga la respuesta impulso unitario y la respuesta
escalón unitario de un sistema realimentado unitariamente
cuya función de transferencia en laxo abierto sea
G(s) = v
B-4-10. Considere el sistema de la figura 4-57. Demuestre
que la función de transferencia Y(s)/X(s)
tiene un cero en
Vehículo
Figura 4-55
Sistema de control de la posición de un vehículo espacial.
espacial
-.X
Fuerza
Impulsiva
m -
m
Figura
4-56
: Sistema mecánico.
208
Capítulo 4 / Análisis de la respuesta transitoria
-
6
s+2
‘w
Y(s)
4
es +l
el semiplano derecho del plano s. A continuación obtenga
y(t) cuando x(t) sea escalón unitario. Grafique y(t) contra t.
B-4-11. Se sabe que un sistema oscilatorio tiene la siguiente función de transferencia:
G(s) =
co;
s2 + 25w,s + c.0;
Suponga que existe un registro de una oscilación amortiguada, tal como aparece en la figura 4-58. Determine el
factor de amortiguamiento relativo 5 del sistema a partir de
la gráfica.
B-4-12. Remitiéndonos al sistema de la figura 4-59, determine los valores de K y k tales que el sistema tenga un factor de amortiguamiento relativo 5 de 0.7 y una frecuencia
t
T+-
Figura 4-57
Sistema con un cero en el simiplano
derecho del plano s.
natural no amortiguada un de 4 radkeg.
B-4-13. Considere el sistema de la figura 4-60. Determine
el valor de k de modo que el factor de amortiguamiento relativo 5 sea 0.5. Después obtenga el tiempo de levantamiento
tr, el tiempo pico tp, el sobrepaso máximo ¡Ef, y el tiempo de
asentamiento ts, en la respuesta escalón unitario.
B-4-14. Use MATLAB para obtener la respuesta escalón
unitario, la respuesta rampa unitaria y la respuesta impulso unitario del sistema siguiente:
10
C(s)
-=
R(s)
s2 + 2s + 10
en donde R(s) y C(s) son transformadas de Laplace
entrada R(t) y la salida c(t), respectivamente.
de la
Figura 4-58
Oscilación amortiguada.
Figura 4-59
Sistema en lazo cerrado.
Figura 4-60
Diagrama de bloques
de un sistema.
Problemas
209
B-4-15. Con MATLAB, obtenga la respuesta escalón unitario, rampa unitaria e impulso unitario del sistema siguiente:
Y = 11
O]
en donde u es la entrada y y es la salida.
B-4-16. Considere el mismo problema analizado en el ejercicio A416. Se pretende usar marcas distintas para curvas
diferentes (tales como ‘o’, ‘X’, ‘--‘, ‘-‘, ‘:‘). Modifique el programa MATLAB 4-14 para este propósito.
[1
x1
x2
210
Capítulo 4 / Análisis de la respuesta transitoria
5-1 INTRODUCCIÓN
Un controlador automático compara el valor real de la salida de una planta con la entrada
de referencia (el valor deseado), determina la desviación y produce una señal de control
que reducirá la desviación a cero o a un valor pequeño. La manera en la cual el controlador
automático produce la señal de control se denomina acción de control.
En este capítulo analizaremos primero las acciones de control básicas que se usan en los
sistemas de control industriales. Después revisaremos los efectos de las acciones de control
integral y derivativa en la respuesta del sistema. A continuación consideraremos la respuesta
de sistemas de orden superior. Cualquier sistema físico se volverá inestable si alguno de los
polos en lazo cerrado se encuentra en el semiplano derecho del plano S. Para verificar la existencia o inexistencia de tales polos en el semiplano derecho del plano, es útil el criterio de
estabilidad de Routh. En este capítulo incluiremos un análisis de este criterio de estabilidad.
Muchos controladores automáticos industriales son electrónicos, hidráulicos, neumáticos o alguna combinación de éstos. En este capítulo presentamos los principios de los controladores neumáticos, hidráulicos y electrónicos.
El panorama del capítulo es el siguiente: la sección 5-1 presentó el material de introducción. La sección 5-2 ofrece las acciones básicas de control que suelen usar los controladores
automáticos industriales. La sección 5-3 analiza los efectos de las acciones de control integral y derivativa sobre el desempeño de un sistema. La sección 54 aborda los sistemas de orden superior y la sección 5-5 trata el criterio de estabilidad de Routh. Las secciones 5-6 y 5-7
analizan los controladores neumáticos e hidráulicos, respectivamente. En ellas se presenta el
principio de la operación de los controladores neumáticos e hidráulicos y los métodos para
generar diversas acciones de control. La sección 5-8 trata los controladores electrónicos que
211
usan los amplificadores operacionales. La sección 5-9 analiza el adelanto de fase y el atraso
de fase en la respuesta senoidal. Se obtiene la función de transferencia senoidal y se muestra el adelanto de fase y el atraso de fase que pueden ocurrir en la respuesta senoidal. Por último, en la sección 5-10 tratamos los errores en estado estable en las respuestas de un sistema.
5-2 ACCIONES BÁSICAS DE CONTROL
En esta sección analizaremos los detalles de las acciones básicas de control que utilizan los
controladores analógicos industriales. Empezaremos con una clasificación de los controladores analógicos industriales.
Clasificación de los controladores industriales. Los controladores industriales se
clasifican, de acuerdo con sus acciones de control, como:
1. De dos posiciones o de encendido y apagado (on/ofB
2 . Proporcionales
3 . Integrales
4 . Proporcionales-integrales
5 . Proporcionales-derivativos
6 . Proporcionales-integrales-derivativos
Casi todos los controladores industriales emplean como fuente de energía la electricidad
o un fluido presurizado, tal como el aceite o el aire. Los controladores también pueden clasificarse, de acuerdo con el tipo de energía que utilizan en su operaciión, como neumáticos,
hidráulicos o electrónicos. El tipo de controlador que se use debe decidirse con base en la naturaleza de la planta y las condiciones operacionales, incluyendo consideraciones tales como seguridad, costo, disponibilidad, confiabilidad, precisión, peso y tamaño.
Controlador automático, actuador y sensor (elemento de medición). La figura
5-1 es un diagrama de bloques de un sistema de control industrial que consiste en un controlador
automático, un actuador, una planta y un sensor (elemento de medición). El controlador detecta
la señal de error, que por lo general, está en un nivel de potencia muy bajo, y la amplifica a un
nivel lo suficientemente alto. La salida de un controlador automático se alimenta a un actuador,
tal como un motor 0 una vGula neumáticos, un motor hidráulico, 0 un motor elktrico. (El acControlador automático
,------------------------Il
II
II
I
Detector de errores
I
I
I
,
4
Figura 5-1
Diagrama de bloques
de un sistema de control
industrial, formado por
un controlador
automático, un actuador,
una planta y un sensor
(elemento de medición).
212
b Planta ’
j * Actuador~
,I
II
de error
I
r~~~~~~-~~---~~~~~~~_____J
- Sensor - ;
Capítulo 5 / Acciones bhsicas
de control y respuesta de sistemas de control
salida
+
tuador es un dispositivo de potencia que produce la entrada para la planta de acuerdo con la
señal de control, a fin de que la señal de salida se aproxime a la señal de entrada de referencia.)
El sensor, o elemento de medición, es un dispositivo que convierte la variable de salida
en otra variable manejable, tal como un desplazamiento, una presión, o un voltaje, que
pueda usarse para comparar la salida con la señal de entrada de referencia. Este elemento
está en la trayectoria de realimentación del sistema en lazo cerrado. El punto de ajuste del
controlador debe convertirse en una entrada de referencia con las mismas unidades que la
señal de realimentación del sensor o del elemento de medición.
Controladores autooperados. En la mayor parte de los controladores automáticos
industriales, se usan unidades separadas para el elemento de medición y el actuador. Sin embargo, en algunos muy sencillos, como los controladores autooperados, estos elementos se
integran en una unidad. Los controladores autooperados utilizan la potencia desarrollada
por el elemento de medición, son muy sencillos y poco costosos. Un ejemplo de un controlador autooperado aparece en la figura 5-2. El punto de ajuste lo determina la modificación
de la fuerza del resorte. El diafragma mide la presión controlada. La señal de error es la
fuerza neta que actúa sobre el diafragma. Su posición determina la apertura de la válvula.
La operaci6n del controlador autooperado es la siguiente: suponga que la presión de
salida es más baja que la presión de referencia, determinada por el punto de ajuste. Por
tanto, la fuerza de tensión hacia abajo es mayor que la fuerza de presión hacia arriba, lo
cual produce un movimiento hacia abajo del diafragma. Esto aumenta la velocidad de flujo
y eleva la presión de salida. Cuando la fuerza de presión hacia arriba es igual a la fuerza de
tensión hacia abajo, el vástago de la válvula permanece estacionario y el de flujo es constante. Por el contrario, si la presión de salida es más alta que la presión de referencia, la
apertura de la válvula se hace más pequeña y reduce el flujo que pasa a través de ella. Los
controladores autooperados se usan mucho en el control de la presión del agua y el gas.
Acción de control de dos posiciones o de encendido y apagado (on/off). En
un sistema de control de dos posiciones, el elemento de actuación ~610 tiene dos posiciones
fijas que, en muchos casos, son simplemente encendido y apagado. El control de dos posiciones o de encendido y apagado es relativamente simple y barato, razón por la cual su uso
es extendido en sistemas de control tanto industriales como domésticos.
Supongamos que la señal de salida del controlador es u(t) y que la señal de error
es e(t). En el control de dos posiciones, la señal u(t) permanece en un valor ya sea máximo o mínimo, dependiendo de si la señal de error es positiva o negativa. De-este modo,
J Punto de ajuste
Figura 5-2
Vástigo de la v&lvula
Sección 5-2 / Acciones básicas de control
Controlador
autooperado.
213
U(l)
= Ul,
para e(t) > 0
=
para e(t) < 0
u2,
en donde UI y UZ son constantes. Por lo general, el valor mínimo de 172 es cero o -UI. Es
común que los controladores de dos posiciones sean dispositivos eléctricos, en cuyo caso se
usa extensamente una válvula eléctrica operada por solenoides. Los controladores
neumáticos proporcionales con ganancias muy altas funcionan como controladores de dos
posiciones y, en ocasiones, se denominan controladores neumáticos de dos posiciones.
Las figuras 5-3(a) y (b) muestran los diagramas de bloques para dos controladores de
dos posiciones. El rango en el que debe moverse la señal de error antes de que ocurra la
conmutación se denomina brecha diferencial. En la figura 5-3(b) se señala una brecha diferencial. Tal brecha provoca que la salida del controlador u(t) conserve su valor presente
hasta que la señal de error se haya desplazado ligeramente más allá de cero. En algunos casos, la brecha diferencial es el resultado de una fricción no intencionada y de un movimiento
perdido; sin embargo, con frecuencia se provoca de manera intencional para evitar una operación demasiado frecuente del mecanismo de encendido y apagado.
Considere el sistema de control del nivel de líquido de la figura 5-4(a), en donde se usa
la válvula electromagnética de la figura W(b) para controlar el flujo de entrada. Esta
válvula está abierta o cerrada. Con este control de dos posiciones, el flujo de entrada del
agua es una constante positiva o cero. Como se aprecia en la figura 5-5, la señal de salida
se mueve continuamente entre los dos límites requeridos y provoca que el elemento de ac-
Brecha diferencial
Figura 53
(a) Diagrama de bloques
de un controlador de
encendido y apagado;
(b) diagrama de bloques
de un controlador de
encendido y apagado con
una brecha diferencial.
\
IYE
Ul
u
rr,
,
Ca)
(b)
acero
+- Alambre n
4i
-
-
Ca)
Figura 5-4
(a) Sistema del control del nivel de líquido; (b) válvula electromagnética.
214
Capítulo 5 / Acciones básicas de control y respuesta de sistemas de control
W
\
AAAA/
Brecha
/ diferencial
f
Figura 5-5
N&l h(t) contra t para el sistema
de la figura 54(a).
tuación se mueva de una posición fija a la otra. Observe que la curva de salida sigue una de
las dos curvas exponenciales, una de las cuales corresponde a la curva de llenado y la otra
a la curva de vaciado.Tal oscilación de salida entre dos límites es una respuesta común característica de un sistema bajo un control de dos posiciones.
En la figura 5-5 observamos que, para reducir la amplitud de la oscilación de salida,
debe disminuirse la brecha diferencial. Sin embargo, la reducción de la brecha diferencial
aumenta la cantidad de conmutaciones de encendido y apagado por minuto y reduce la vida
útil del componente. La magnitud de la brecha diferencial debe determinarse a partir de
consideraciones tales como la precisión requerida y la vida del componente.
Acción de control proporcional. Para un controlador con acción de control proporcional, la relación entre la salida del controlador u(t) y la señal de error e(t) es:
u(t) = K,e(t)
o bien, en cantidades transformadas por el método de Laplace,
en donde Kp se considera la ganancia proporcional.
Cualquiera que sea el mecanismo real y la forma de la potencia de operación, el controlador proporcional es, en esencia, un amplificador con una ganancia ajustable. En la
figura 5-6 se presenta un diagrama de bloques de tal controlador.
Acción de control integral. En un controlador con acción de control integral, el
valor de la salida del controlador u(t) se cambia a una razón proporcional a la señal de error
e(t). Es decir,
WO = K,e(t)
dt
Sección 5-2 / Acciones básicas de control
215
o bien
u(t) = Ki
I
t
0
e(t) dt
en donde Ki es una constante ajustable. La función de transferencia del controlador integral es
U(S)
K
-=E(s)
s
Si se duplica el valor de e(t), el valor de u(t) varía dos veces más rápido. Para un error de
cero, el valor de u(t) permanece estacionario. En ocasiones, la acción de control integral se
denomina control de reajuste (reset). La figura 5-7 muestra un diagrama de bloques de tal
controlador.
Acción de control proporcional-integral. La acción de control de un controlador
proporcional-integral (PI) se define mediante
u(t) = K,e(t) +
o la función de transferencia del controlador es
u(s>
E(s)
en donde K,, es la ganancia proporcional y Ti se denomina tiempo integral. Tanto KP como
Ti son ajustables. El tiempo integral ajusta la acción de control integral, mientras que tin
cambio en el valor de KP afecta las partes integral y proporcional de la acción de control.
El inverso del tiempo integral Ti se denomina velocidad de reajuste. La velocidad de reajuste es la cantidad de veces por minuto que se duplica la parte proporcional de la acción
de control. La velocidad de reajuste se mide en términos de las repeticiones por minuto. La
figura 5-8(a) muestra un diagrama de bloques de un controlador proporcional más integral. Si la señal de error e(t) es una función escalón unitario, como se aprecia en la figura
5-8(b), la salida del controlador u(t) se convierte en lo que se muestra en la figura 54~).
Acción de control proporcional-derivativa. La acción de control de un controlador
proporcional-derivativa (PD) se define mediante
de(t)
u(t) = K,e(t) + K,T,dt
y la función de transferencia es
U(s) = K,(l + Q)
E(s)
216
Capítulo 5 / Acciones bdsicas
de control y respuesta de sistemas de control
e(t:t ~
Esc(6n
unitario
(Sólo
0
Ca)
Figura 5-8
(a) Diagrama de bloques de un controlador proporcional-integra1;
calón unitario y la salida del controlador.
proporcional)
tt
t
(cl
(b)
(b) y (c) diagramas que muestran una entrada es-
en donde Kp es la ganancia proporcional y Td es una constante denominada tiempo derivativo. Tanto KP como Td son ajustables. La acción de control derivativa, en ocasiones denominada control de velocidad, ocurre donde la magnitud de la salida del controlador es
proporcional a la velocidad de cambio de la señal de error. El tiempo derivativo Td es el intervalo de tiempo durante el cual la acción de la velocidad hace avanzar el efecto de la acción de control proporcional. La figura 5-9(a) muestra un diagrama de bloques de un
controlador proporcional-derivativo. Si la señal de error e(t) es una función rampa unitaria
como se aprecia en la figura 5-9(b), la salida del controlador u(t) se convierte en la que se
muestra en la figura 5-9(c). La acción de control derivativa tiene un carácter de previsión.
Sin embargo, es obvio que una acción de control derivativa nunca prevé una acción que
nunca ha ocurrido.
Aunque la acción de control derivativa tiene la ventaja de ser de previsión, tiene las
desventajas de que amplifica las señales de ruido y puede provocar un efecto de saturación
en el actuador.
Observe que la acción de control derivativa no se usa nunca sola, debido a que ~610 es
eficaz durante periodos transitorios.
Acción de control proporcional-integral-derivativa. La combinación de una acción de control proporcional, una acción de control integral y una acción de c6ntrol derivativa se denomina acción de control proporcional-integral-derivativa (PID). Esta acción
/,
,/
(Sc510
proporcional)
0
(al
(b)
t
Cc)
Figura 5-9
(a) Diagrama de bloques de un controlador proporcional-derivativo; (b) y (c) d’ tag ramas que muestran una entrada rampa
unitaria y la salida del controlador.
Sección 5-2 / Acciones básicas de control
217
combinada tiene las ventajas de cada una de las tres acciones de control individuales. La
ecuación de un controlador con esta acción combinada se obtiene mediante
de(t)
e(t) dt + K,T, dt
o la función de transferencia es
en donde Kp es la ganancia proporcional, Ti es el tiempo integral y Td es el tiempo derivativo. El diagrama de bloques de un controlador proporcional-integral-derivativo aparece
en la figura 5-lo(a). Si e(t) es una función rampa unitaria, como la que se observa en la
figura 5-lo(b), la salida del controlador u(t) se convierte en la de la figura 5-lo(c).
Efectos del sensor (elemento de medición) sobre el desempeño del sistema.
Dado que las características dinámica y estática del sensor o del elemento de medición
afecta la indicación del valor real de la variable de salida, el sensor cumple una función
importante para determinar el desempeño general del sistema de control. Por lo general,
el sensor determina la función de transferencia en la trayectoria de realimentación. Si las
constantes de tiempo de un sensor son insignificantes en comparación con otras constantes de tiempo del sistema de control, la función de transferencia del sensor simplemente se convierte en una constante. Las figuras 5-ll(a), (b) y (c) muestran diagramas de
bloques de controladores automáticos con un sensor de primer orden, un sensor de segundo orden sobreamortiguado y un sensor de segundo orden subamortiguado, respectivamente. Con frecuencia la respuesta de un sensor térmico es del tipo de segundo orden
sobreamortiguado.
Ca)
u(t)
Figura 5-10
(a) Diagrama de
bloques de un controlador proporcionalintegral-derivativo;
(b) y (c) diagramas que
muestran una entrada
rampa unitaria y la
salida del controlador.
218
Capítulo 5
Acción de
+ control PID
/ Acciones básicas de control y respuesta de sistemas de control
, /
,
Figura511
Diagramas de bloques
de controladores
automáticos con:
(a) un sensor de
primer orden;
(b) un sensor
de segundo orden
sobreamortiguado;
(c) un sensor de
segundo orden
subamortiguado.
(b)
5-3 EFECTOS DE LAS ACCIONES DE CONTROL INTEGRAL
Y DERIVATIVO SOBRE EL DESEMPEÑO DE UN SISTEMA
En esta sección investigaremos los efectos de las acciones de control integral y derivativa
sobre el desempeño de un sistema. Aquí sólo consideraremos los sistemas simples, para
apreciar con claridad los efectos de las acciones de control integral y derivativa sobre el
desempeño de un sistema.
Acción de control integral. En el control proporcional de una planta, cuya función
de transferencia no posee un integrador l/s, hay un error en estado estable, o desplazamiento (offset), en la respuesta para una entrada escalón. Tal offset se elimina si se incluye
la acción de control integral en el controlador.
En el control integral de una planta, la señal de control, que es la señal de salida a partir del controlador, es, en todo momento el área bajo la curva de la señal de error hasta tal
momento. La señal de control u(t) tiene un valor diferente de cero cuando la señal de error
e(t) es cero, como se aprecia en la figura 5-12(a). Esto es imposible en el caso del controlador proporcional, dado que una señal de control diferente de cero requiere de una
señal de error diferente de cero. (Una señal de error diferente de cero en estado estable
significa que hay una equivalencia.) La figura 5-12(b) muestra la curva e(t) contra t y la
curva u(t) correspondiente contra t cuando el controlador es de tipo proporcional.
Observe que la acción de control integral, aunque elimina el offset o el error en estado
estable, puede conducir a una respuesta oscilatoria de amplitud decreciente lenta o, incluso,
de amplitud creciente, y ambos casos, por lo general, se consideran inconvenientes.
Control integral de los sistemas de control del nivel de liquido. En la sección 4-2
encontramos que el control proporcional de un sistema del nivel de líquido provoca un error
en estado estable con una entrada escalón. Ahora mostraremos que tal error se elimina si
se incluye en el controlador una acción de control integral.
Sección 5-3
/
Efectos de las acciones de control integral y derivativa . . .
219
F i g u r a 5-12
(a) Gráficas de las curvas
e(t) y u(t) que muestran
una señal de control
diferente de cero cuando
la señal de error es cero
(contra1
integral);
(b) gráficas de las curvas
e(f) y u(t) que muestran
una señal de control de
cero cuando’la señal
de error es cero (control
proporcional).
e(r) IL-7
u(r) k
0
(al
1
e(r) h
u(t) h
(b)
La figura 5-13(a) muestra un sistema del control del nivel de líquido. Suponemos que el
controlador es integral. También suponemos que las variables n, qi, h y qo, que se miden a
partir de sus valores en estado estable respectivos x á Ry e, son cantidades pequeñas, por
lo que el sistema se considera lineal. Bajo estas suposiciones, el diagrama de bloques del sistema se obtiene como el de la figura 5-13(b). A partir de la figura 5-13(b), la función de
transferencia en lazo cerrado entre H(s) y X(s) es
KR
fw
-=
RCs2+s+KR
X(s)
Por tanto
w X(s) - H(s)
-=
X(s)
X(s)
RCs2 + s
=RCs2+s+KR
Dado que el sistema es estable, el error en estado estable para la respuesta escalón unitario
se obtiene aplicando el teorema de valor final, del modo siguiente:
m
K
4
CJ)
Figlua5-13
(a) Sistema de control del nivel
220
MS)
- RO+1 -
T
’ (a)
R
de líquido; (b) diagrama de bloques del sistema.
Capítulo 5 / Acciones básicas de control y respuesta de sistemas de control
ess = lízsE(s)
= lím
s(RCs2
+ s) 1
ro RCs*+s+KR;
= 0
Por consiguiente, el control integral del sistema del nivel de líquido elimina el error en estado estable en la respuesta a la entrada escalón. Éste es un mejoramiento importante sobre el control proporcional solo, que produce un offset.
Respuesta a perturbaciones de par (control proporcional). Investiguemos el
efecto de una perturbación de par que ocurre en el elemento de carga. Considere el sistema
de la figura 5-14. El controlador proporcional produce un par t para posicionar el elemento de
carga, que consiste en el momento de inercia y una fricción viscosa. La perturbación de par
se representa mediante D.
Suponiendo que la entrada de referencia es cero, o R(s) = 0, la función de transferencia entre C(s) y D(s) se obtiene mediante
C(s)
-=
D(s)
1
Js* + bs + Kp
Por tanto
E(s)=- 1C(s)
D(s) - -Js2+bs+Kp
D(s)
El error en estado estable producido por un par de perturbación escalón de magnitud Td
se obtiene mediante
ess = lízsE(s)
= lím
-s
Td
s-co Js* + bs + Kp s
En el estado estable, el controlador proporcional aporta el par -Td, que tiene igual magnitud pero signo opuesto que el par de perturbación Td. La salida en estado estable producida por el par de perturbación escalón es
D
Figura 5-14
Sistema de control con
una perturbación de par.
Sección 5-3
/
Efectos de las acciones de control integral y derivativa . . .
221
El error en estado estable se reduce si se incrementa el valor de la ganancia Kp. Sin embargo, acrecentar este valor provocará que la respuesta del sistema sea más oscilatoria.
Obtención de respuestas con MATLAB. En las secciones siguientes, obtendremos
las curvas de respuesta del sistema de la figura 5-14 cuando está sujeto a una perturbación
escalón unitario. Específicamente, obtendremos curvas de respuesta escalón para un valor
pequeño de Kp y un valor grande de Kp.
Consideremos dos casos:
C a s o 1: J = 1, b = 0.5, Kp = 1
(sistema 1):
C(s)
1
-=
D(s)
s2 + 0.5s + 1
C a s o 2:
J = 1, b = 0.5, Kp = 4
(sistema 2):
C(s)
1
-=
s2 + 0.5s + 4
D(s)
Observe que, para el sistema 3
numl
denl
= [O 0 II
= [l 0.5 Il
Para el sistema 2
num2=[0
0 ll
den = [l 0.5 41
En el programa MATLAB 5-1, usamos notaciones yl y y2 para la respuesta. yl es la respuesta c(t) del sistema 1 y y2 es la respuesta c(t) del sistema 2.
Observe que, en el programa MATLAB 5-1, usamos el comando plot (graficar) con argumentos múltiples, en lugar de usar el comando hold (mantener). (Se obtiene el mismo resultado de cualquier forma.) Para usar el comando plot con argumentos múltiples, el
tamaño de los vectores yl y y2 no necesita ser el mismo. Sin embargo, es conveniente que
los dos vectores sean de la misma longitud. Por ende, especificamos la misma cantidad de
puntos de cálculo determinando los puntos de tiempo de cálculo (tales como t = 0:0.1:20).
El comando step debe incluir este tiempo t especificado por el usuario. De este modo, en el
programa MATLAB 5-1 usamos el siguiente comando step:
[y, x, tl = step(num,
den,t)
Las curvas de respuesta escalón unitario obtenidas mediante el programa MATLAB 5-1
aparecen en la figura 5-15.
222
Capítulo 5 / Acciones básicas de control y respuesta de sistemas de control
Respuestas escalón de dos sistemas
,j
j
j
:
j
j
j
-
j
.~
i; Sistema
1 i~
._. . __
. . . . . ..-..-.......-.------.-----------........
i -.
-
Figura5-15
1
Curvas de respuesta
escalón unitario.
Sección 5-3
/
-
i
2
4
6
8
10
t seg
12
14
16
18
Efectos de las acciones de control integral y derivativa . . .
20
223
Respuesta a perturbaciones de par (control proporcional-integral). Para eliminar el offset debido a una perturbación de par, el controlador proporcional se sustituye con
un controlador proporcional-integral, y luego, mientras existe una señal de error, el controlador desarrolla un par para reducir este error, siempre y cuando el sistema de control
sea estable.
La figura 5-16 muestra el control proporcional-integral del elemento de carga, formado
por el momento de inercia y una fricción viscosa.
La función de transferencia en lazo cerrado entre C(s) y D(s) es
C(s)
-=
D(s)
s
Js3 + bs2 + Kps + g
z
Ante la ausencia de la entrada de referencia, o r(t) = 0, la señal de error se obtiene de
S
E(s) = -
Js3 + bs2 + Kps + %
I
D(s)
Si este sistema de control es estable, es decir, si las raíces de la ecuación característica
Js3 + bs2 + Kps + + = 0
I
\\tienen partes reales negativas, el error en estado estable en la respuesta a un par de perturbación escalón unitario se obtiene aplicando el teorema de valor final del modo siguiente:
ess = lím sE
A-a
-9
= lím
?W+bs2+Kps
1
+$’
z
= 0
Por tanto, el error en estado estable para el par de perturbación escalón se elimina si el controlador es del tipo proporcional-integral.
Observe que la acción de control integral agregada al control proporcional convirtió el
sistema, originalmente de segundo orden, en uno de tercer orden. Por ende, el sistema de
control puede volverse inestable para un valor grande de Kp, dado que las rafces de la
ecuación característica pueden tener partes reales positivas. (El sistema de segundo orden
D
Figura 5-16
Control
proporcional-integral
de un elemento de
carga formado por un
momento de inercia y
una fricción viscosa.
224
Capítulo 5 / Acciones básicas de control y respuesta de sistemas de control
siempre es estable si los coeficientes de la ecuación diferencial del sistema son todos positivos.)
Es importante señalar que, si el controlador fuera integral, como en la figura 5-17, el
sistema siempre se volvería inestable, porque la ecuación característica
Js3 + bs2 + K = 0
tendría raíces con partes reales positivas. Tal sistema inestable no se puede usar en la práctica.
Observe que, en el sistema de la figura 5-16, la acción de control proporcional tiende a
estabilizar el mismo, en tanto que la acción de control integral tiende a eliminar o reducir
el error en estado estable en respuesta a diversas entradas.
Acción de control derivativa. Cuando una acción de control derivativa se agrega a
un controlador proporcional, aporta un medio de obtener un controlador con alta sensibilidad. Una ventaja de usar una acción de control derivativa es que responde a la velocidad del cambio del error y produce una corrección significativa antes de que la magnitud
del error se vuelva demasiado grande. Por tanto, el control derivativo prevé el error, inicia
una acción correctiva oportuna y tiende a aumentar la estabilidad del sistema.
Aunque el control derivativo no afecta en forma directa el error en estado estable,
añade amortiguamiento al sistema y, por tanto, permite el uso de un valor más grande que
la ganancia K, lo cual provoca una mejora en la precisión en estado estable.
Debido a que el control derivativo opera sobre la velocidad de cambio del error, y no
sobre el error mismo, este modo nunca se usa solo. Siempre se emplea junto con una acción
de control proporcional o proporcional-integral.
Control proporcional de sistemas con carga de inercia. Antes de analizar el
efecto de una acción de control derivativa sobre el desempeño de un sistema, analizaremos
el control proporcional de una carga de inercia.
Considere el sistema de la figura 5-M(a). La función de transferencia en lazo cerrado
se obtiene mediante
C(s)
-=
R(s) Js*
KP
+ Kp
Dado que las raíces de la ecuación característica
Js* + Kp = 0
son imaginarias, la respuesta a una entrada escalón unitario oscila indefinidamente, como
se observa en la figura 5-B(b).
D
Figura 5-17
Control integral de
un elemento de carga
formado por un
momento de inercia y
una fricción viscosa.
Sección 5-3
/
Efectos de las acciones de control integral y derivativa . . .
225
t
(b)
(a) Control proporcional de un sistema
con carga de inercia; (b) respuesta para
una entrada escalón unitario.
No son convenientes los sistemas de control que exhiben tales características de respuesta. Veremos que la adición de un control derivativo estabilizará el sistema.
Control proporcional-derivativo de un sistema con carga de inercia. Modifiquemos el controlador proporcional para obtener un controlador proporcional-derivativo cuya
función de transferencia sea K,(l + Tds). El par que desarrolla el controlador es proporcional a K,(e + T&). El control derivativo es esencialmente de previsión, mide la velocidad instantánea del error, predice el sobrepaso significativo adelantándose en el tiempo y
produce una respuesta adecuada antes de que ocurra un sobrepaso demasiado grande.
Considere el sistema de la figura 5-19(a). La función de transferencia en lazo cerrado
se obtiene mediante
ce> = 441 + Tds)
R(s)
Js2 + K,T,s + Kp
La ecuación característica
Js2 + K,T,s + Kp = 0
tiene ahora dos raíces con partes reales negativas para valores positivos de J, Kp y Td. Por
tanto, el control derivativo introduce un efecto de amortiguamiento. La figura 5-19(b) presenta una curva de respuesta común c(t) para una entrada escalón unitario. Es evidente que
la curva de respuesta muestra un marcado mejoramiento sobre la curva de respuesta original de la figura 5-18(b).
Control proporcional-derivativo de sistemas de segundo orden. Si se usa una acción de control proporcional-derivativo, se obtiene un equilibrio entre un comportamiento
aceptable para una respuesta transitoria y un comportamiento aceptable en un estado estable.
Considere el sistema de la figura 5-20. La función de transferencia en lazo cerrado es
Kp + Kds
C(s)
-=
R(s) Js2 + (B + Kd)s + Kp
226
Capítulo 5 / Acciones básicas de control y respuesta de sistemas de control
(b)
(4
Figura 5-19
(a) Control proporcional-derivativo de un sistema con carga de inercia; (b) respuesta para una
entrada escalón unitario.
El error en estado estable para una entrada rampa unitaria es
B
e =ss Kp
La ecuación característica es
Js2 + (B + Kd)s + Kp = 0
Por tanto, el coeficiente de amortiguamiento efectivo de este sistema es B + Kd, en lugar
de B. Dado que el factor de amortiguamiento relativo 5 de este sistema es
B + K4
5= 2V&i
es posible obtener tanto el error en estado estable eSS para una entrada rampa, como el sobrepaso máximo para una entrada escalón pequeña, si hacemos que B sea pequeño, Kp sea
grande y Kd lo suficientemente grande para que 5 esté entre 0.4 y 0.7.
A continuación examinaremos la respuesta escalón unitario del sistema de la figura
5-20. Definamos
Por consiguiente, la función de transferencia en lazo cerrado se escribe como
sfz
C(s) _ &
R(s) z s= + 2¿3o,s + co;
Cuando un sistema de segundo orden tiene un cero cerca de los polos en lazo cerrado, el
comportamiento de la respuesta transitoria se vuelve considerablemente diferente del de
un sistema de segundo orden sin ceros.
Figura 5 -20
Sistema de control.
Sección 5-3 / Efectos de las acciones de control integral y derivativa . . .
227
1.8 +..me..+..; ............... . .«<.. ;. . . . ._. . .;
;A 1 ;
/
/
. <t. ._. . i
/
Figura5-21
Curvas de respuesta escalón unitario
del sistema de segundo orden.
Cl
1
2
3
4
w
5
6
1
8
C(s) fu2
S+Z
-=L!
z s2 + 2504s + co;
R(s)
5 = 0.5
Si el cero en s = -z se localiza cerca del eje@, es muy significativo el efecto del cero sobre la respuesta escalón unitario. La figura 5-21 presenta las curvas de respuesta escalón
comunes de este sistema con 5 = 0.5 y diversos valores de z/(&II,,).
5-4 SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR
En esta sección analizaremos, primero, la respuesta escalón unitario de un tipo específico
de sistema de orden superior. Después, presentaremos un análisis de la respuesta transitoria de los sistemas de orden superior en términos generales. Por último, presentaremos el
análisis de estabilidad en el plano complejo.
Respuesta transitoria de los sistemas de orden superior.
de la figura 5-22. La función de transferencia en lazo cerrado es
C(s)
-=
R(s) 1
Considere el sistema
G(s)
+ G(s)H(s)
(5-1)
En general, G(s) y H(s) se obtienen como cocientes de polinomios en s, o bien,
‘3s) =”
Y
H(s) = ”
en dondep(s), q(s),n(s) y d(s) son polinomios en s. A continuación, la función de transferencia en lazo cerrado obtenida con la ecuación (5-1) se escribe como
228
Capítulo 5 / Acciones básicas de control y respuesta de sistemas de control
Pww
Ns) qW(s) + PW(~)
C(s)
-=
=
b,,sm + blF1 + . . .m + b,dls + 6,
aos” + a,P + * * * + un-1s + un
(m s n)
La respuesta transitoria de este sistema a cualquier entrada determinada se obtiene mediante una simulación por computadora (vease sección 4-4). Si se pretende una expresión
analítica para la respuesta transitoria, es necesario factorizar el polinomio del denominador. [Puede usar MATLAB para encontrar las raíces del polinomio del denominador. Use el comando roots(den).] Una vez factorizados el numerador y el denominador,
C(s)/R(s) se escribe como
C(s) K(s + Zl)(S + 2,) * - * (s + z,)
-=
Ns)
(s + Pl>(S + PJ * * * 6 + PJ
(5-2)
Examinemos el comportamiento de respuesta de este sistema para una entrada escalón
unitario. Considere primero el caso en el que todos los polos en lazo cerrado son reales y
distintos. Para una entrada escalón unitario, la ecuación (5-2) se escribe
C(S) = f + 2 ai
i=l ’ + Pi
(5-3)
en donde ai es el residuo del polo en s = -pi.
Si todos los polos en lazo cerrado se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s,
las magnitudes relativas de los residuos determinan la importancia relativa de los componentes en la forma expandida de C(s). Si hay un cero en lazo cerrado cerca de un polo en
lazo cerrado, el residuo en este polo es pequeño y el coeficiente del término de respuesta
transitoria que corresponde a este polo se vuelve pequeño. Un par polo-cero cercanos entre sí se cancelarán efectivamente uno al otro. Si un polo se localiza muy lejos del origen,
su residuo puede ser pequeño. Los valores transitorios que corresponden a tal polo remoto
son pequeños y duran un tiempo corto. Los términos en la forma expandida de C(s)
que tienen residuos muy pequeños contribuyen poco a la respuesta transitoria, por lo que
pueden pasarse por alto. Si se hace esto, el sistema de orden superior se aproxima mediante
uno de orden inferior. (Tal aproximación nos permite con frecuencia estimar las características de respuesta de un sistema de orden superior a partir de las de uno simplificado.)
A continuación, considere el caso en el que los polos de C(s) están formados por polos
reales y pares de polos complejos conjugados. Un par de polos complejos conjugados produce un término de segundo orden en s. Dado que la forma factorizada de la ecuación característica de orden superior está formada por términos de primer y segundo orden, la
ecuación (5-3) se vuelve a escribir como
Seccien
5-4 / Sistemas de orden superior
229
K&s+zJ
i=l
C(s)
=
4
r
s n (s + pi) I-J (s2 + 25,w,s + fu’,)
j=l
k=l
(5-4)
en donde 4 + 2r = II. Si los polos en lazo cerrado son distintos, la ecuación (5-4) se expande en fracciones parciales, del modo siguiente:
' bk(s + &mk) + ckokm
C(s) = 4 + 2 & + 2
s2 + 25,CokS + co;
j=l
k=l
J
A partir de esta última ecuación, observamos que la respuesta de un sistema de orden superior está compuesta de varios términos que contienen las funciones simples encontradas en las respuestas de los sistemas de primer y segundo orden. Por tanto, la respuesta
escalón unitario c(t), la transformada inversa de Laplace de C(s), es
c(t) = a + 2 aje-et + i bkebCkmk’ cos o,m t
i=l
k
=
l
sen okm t,
para t 2 0
k=l
En este caso, la curva de respuesta de un sistema estable de orden superior es la suma del
número de curvas exponenciales y curvas senoidales amortiguadas.
Si todos los polos en lazo cerrado se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s, los
términos exponenciales y los términos senoidales amortiguados de la ecuación (5-5) se aproximaran a cero, conforme el tiempo t aumente. Por tanto, la salida en estado estable es c(m) = a.
Supongamos que el sistema que se considera es estable. Por tanto, los polos en lazo
cerrado que se localizan lejos del eje jw tienen partes reales grandes y negativas. Los términos exponenciales que corresponden a estos polos llegan a cero con mucha rapidez.
(Observe que la distancia horizontal del polo en lazo cerrado al eje jw determina el
tiempo de asentamiento de los transitorios producidos por tal polo. Entre más pequeña es
la distancia, más prolongado es el tiempo de asentamiento.)
Recuerde que los polos en lazo cerrado determinan el tipo de respuesta transitoria, en
tanto que los ceros en lazo cerrado determinan principalmente la forma de la respuesta
transitoria. Como vimos antes, los polos de la entrada R(s) producen los términos de la respuesta en estado estable en la solución, en tanto que los polos de C(s)/R(s) se introducen
en los términos exponenciales de la respuesta transitoria y/o en los términos senoidales
amortiguados de la respuesta transitoria. Los ceros de C(s)lR(s) no afectan los exponentes
en los términos exponenciales, pero afectan las magnitudes y los signos de los residuos.
Polos dominantes en lazo cerrado. La dominancia relativa de los polos en lazo cerrado se determina mediante el cociente de las partes reales de los polos en lazo cerrado, al
igual que mediante las magnitudes relativas de los residuos evaluados en los polos en lazo
cerrado. Las magnitudes de los residuos dependen tanto de los polos en lazo cerrado como
de los ceros.
Si los cocientes de las partes reales son superiores a 5 y no hay ceros cerca, los polos en lazo
cerrado más cercanos al eje jw dominarán eí comportamiento de la respuesta transitoria, debido
230
Capítulo 5 / Acciones bbsicas de control y respuesta de sistemas de control
a que corresponden a los términos de la respuesta transitoria que se disminuyen lentamente. Los
polos en lazo cerrado que tienen efectos dominantes sobre el comportamiento de la respuesta
transitoria se denominan polos dominantes en lazo cerrado. Con mucha frecuencia, los polos
dominantes en lazo cerrado aparecen en forma de un par complejo conjugado. Los polos dominantes en lazo cerrado son los más importantes entre todos los polos en lazo cerrado.
Es frecuente que la ganancia de un sistema de orden superior se ajuste para que exista
un par de polos dominantes complejos conjugados en lazo cerrado. La presencia de tales
polos en un sistema estable reduce el efecto de las no linealidades, tales como la zona
muerta, el juego o bamboleo (backlash) y la fricción de coulomb.
Recuerde que, aunque el concepto de los polos dominantes en lazo cerrado es útil para
estimar el comportamiento dinámico de un sistema en lazo cerrado, se debe tener cuidado
de observar que se cumplan las suposiciones implícitas antes de usarlo.
Análisis de estabilidad en el plano compleJo. La estabilidad de un sistema lineal
en lazo cerrado se determina a partir de la ubicación de los polos en lazo cerrado en el
plano s. Si alguno de estos polos se encuentra en el semiplano derecho del plano s, entonces
conforme aumenta el tiempo, producirá el modo dominante y la respuesta transitoria aumentará en forma monotónica u oscilará con una amplitud creciente. Esto representa un
sistema inestable. Para tal sistema, tan pronto como se conecta la alimentación, la salida aumenta con el tiempo. Si no ocurre una saturación en el sistema y no se incluye una detención mecánica, el sistema puede terminar por dañarse y fallar, dado que la respuesta de un
sistema físico real no puede aumentar indefinidamente. Por ende, en el sistema de control
lineal normal no se permiten los polos en lazo cerrado en el semiplano derecho del plano s.
Si todos los polos en lazo cerrado se encuentran a la izquierda del eje jo, cualquier respuesta transitoria termina por alcanzar el equilibrio. Esto representa un sistema estable.
Que un sistema lineal sea estable o inestable es una propiedad del sistema mismo y no
depende de la entrada ni de la función de excitación del sistema. Los polos de la entrada,
o de la función de excitación, no afectan la propiedad de estabilidad del sistema, sino ~610
contribuyen a los términos de respuesta en estado estable en la solución. Por tanto, el problema de estabilidad absoluta se soluciona con facilidad al no elegir polos en lazo cerrado
en el semiplano derecho del plano s, incluyendo el eje jw. (Matemáticamente, los polos en
lazo cerrado sobre el eje jo producirán oscilaciones, cuya amplitud no se reduce ni crece
con el tiempo. Sin embargo, en los casos prácticos en los que hay ruido, la amplitud de las
oscilaciones aumenta a una velocidad determinada por el nivel de la potencia del ruido. Por
tanto, un sistema de control no debe tener polos en lazo cerrado en el eje jo.)
Observe que el solo hecho de que todos los polos en lazo cerrado se encuentren en el
semiplano izquierdo del plano s no garantiza caracterfsticas satisfactorias de respuesta
transitoria. Si los polos dominantes complejos conjugados en lazo cerrado se encuentran
cerca del eje jo, la respuesta transitoria exhibirá oscilaciones excesivas o será muy lenta.
Por tal razón, a fin de garantizar características de respuesta transitoria rápidas y bien
amortiguadas, es necesario que los polos en lazo cerrado del sistema se encuentren en una
región determinada del plano complejo, tal como la región delimitada por el área sombreada de la figura 5-23.
Dado que la estabilidad relativa y el desempeño transitorio de un sistema de control
en lazo cerrado se relacionan directamente con el patrón de polos y ceros en lazo cerrado en
el plano s, con frecuencia es necesario ajustar uno o más parámetros para obtener los patrones convenientes. Los efectos de los parámetros que varían sobre los polos de un sistema
en lazo cerrado se analizarán con detalle en el capítulo 6.
Sección 5-4 / Sistemas de orden superior
231
Figura 5-23
Región del plano complejo
que satisface las condiciones
5 > 0.4 y ts < 4kJ.
5-5 CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH
El problema más importante de los sistemas de control lineal tiene que ver con la estabilidad. Es decir, ¿bajo qué condiciones se vuelve inestable un sistema? Si es inestable, jcómo
se estabiliza? En la sección 5-4 se plante6 que un sistema de control es estable si y ~610 si
todos los polos en lazo cerrado se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s. Dado
que casi todos los sistemas lineales en lazo cerrado tienen funciones de transferencia en
lazo cerrado de la forma
C(s)
b# + blF1 + * * * + b,-1s + b m _ m)
-=
a,s” + ulsn-l + - * * + u,-1s + a,
Ns)
4s)
en donde las ay las b son constantes y m I n,primero debemos factorizar el polinomio A(s)
para encontrar los polos en lazo cerrado. Un criterio simple, conocido como el criterio de
estabilidad de Routh, permite determinar la cantidad de polos en lazo cerrado que se encuentran en el semiplano derecho del plano s sin tener que factorizar el polinomio.
Criterio de estabilidad de Routh. El criterio de estabilidad de Routh nos dice si existen o no raíces inestables en una ecuación polinomial, sin tener que obtenerlas en realidad.
Este criterio de estabilidad sólo se aplica a los polinomios con una cantidad finita de términos. Cuando se aplica el criterio a un sistema de control, la información acerca de la estabilidad absoluta se obtiene directamente de los coeficientes de la ecuación característica.
El procedimiento en el criterio de estabilidad de Routh es el siguiente:
1. Escriba el polinomio en s en la forma siguiente:
u()sn + als”-l + * * *+ u,-ls + un = 0
6-6)
en donde los coeficientes son cantidades reales. Suponemos que un # 0; es decir, se elimina
cualquier raíz cero.
2. Si alguno de los coeficientes es cero o negativo, ante la presencia de al menos un coeficiente positivo, hay una raíz, o rafces imaginarias o que tiene partes reales positivas. En
232
Capítulo 5 / Acciones básicas de control y respuesta de sistemas de control
tal caso, el sistema no es estable. Si sólo nos interesa la estabilidad absoluta, no es necesario
continuar con el procedimiento. Observe que todos los coeficientes deben ser positivos.
Ésta es una condición necesaria, como se aprecia a partir del argumento siguiente: un potinomio en s con coeficientes reales siempre puede factorizarse en factores lineales y
cuadráticos tales como (s + a) y (9 + bs + c), en donde u, b y c son números reales. Los
factores lineales producen las raíces reales y los factores cuadráticos producen las rafces complejas del polinomio. El factor ($2 + bs + c) produce las raíces con partes reales negativas
sólo si b y c son ambas positivas. Para todas las raíces que tienen partes reales negativas, las
constantes a, b, c,... deben ser positivas en todos los factores. El producto de cualquier cantidad de factores lineales y cuadráticos que contengan solo coeficientes positivos siempre
produce un polinomio con coeficientes positivos. Es importante señalar que la condición
de que todos los coeficientes sean positivos no es suficiente para asegurar la estabilidad. La
condición necesaria, pero no suficiente, para la estabilidad es que todos los coeficientes de
la ecuación (5-6) estén presentes y tengan un signo positivo. (Si todas las a son negativas,
se hacen positivas multiplicando ambos miembros de la ecuación por -1.)
3 . Si todos los coeficientes son positivos, ordene los coeficientes del polinomio en renglones y columnas de acuerdo con el patrón o arreglo siguiente:
S”
p-l
ao
sn-2
al
bl
sn-3
Cl
sn-4
u2
u4
b:!
a5
b3
c:!
c3
a3
dl
dz d3
.
.
s2 e,
s1 fi
so g1
U6
a7
64
c4
d4
.
.
.
. . .
. . :
.
.
.
.
.
.
i?2
Los coeficientes bl, b2, b3, etc., se evalúan del modo siguiente:
b, = ‘1’2 - a@3
4
b, = ‘1’4 - ‘0%
%
b3 = ala6 - ‘0’7
al
La evaluación de las b continúa hasta que todas las restantes son cero. Se sigue el mismo
patrón de multiplicación cruzada de los coeficientes de los dos renglones anteriores al evaluar las c, las d, las e, etc. Es decir,
Sección 5-5 / Criterio de estabilidad de Routh
233
Cl = 4% - %b*
bl
c2 = ha, - a1b3
bl
cg = b1a7 - a1b4
bl
Y
d, =
Clb2 - blC2
Cl
d, = Clb, - blC3
Cl
Este proceso continúa hasta que se completa el n-ésimo renglón. El arreglo completo de
los coeficientes es triangular. Observe que, al desarrollar el arreglo, un renglón completo se
divide entre, o se multiplica por, un número positivo para simplificar el cálculo numérico
subsecuente sin alterar la conclusión de la estabilidad.
El criterio de estabilidad de Routh plantea que el número de raíces de la ecuación (5-6)
con partes reales positivas es igual al número de cambios de signo de los coeficientes de la
primera columna del arreglo. Debe señalarse que no es necesario conocer los valores exactos de los términos de la primera columna; sólo se necesitan los signos. La condición necesaria y suficiente para que todas las raíces de la ecuación (5-6) se encuentren en el
semiplano izquierdo del plano s es que todos los coeficientes de la ecuación (5-6) sean positivos y que todos los términos de la primera columna del arreglo tengan signo positivo.
EJEMl?LO 5-1
Apliquemos el criterio de estabilidad de Routh al siguiente polinomio de tercer orden:
aos + u1s2 + ~2,s + u3 = 0
en donde todos los coeficientes son números positivos. El arreglo de coeficientes se convierte en
s3
s2
a,
u,
sl
w2 - 0043
u2
u3
al
so
u3
La condición de que todas las raíces tengan partes reales negativas se obtiene mediante
w%'aoa3
EJEMPLO 5-2
Considere
el
polinomio
siguiente:
s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0
234
Capítulo 5 / Acciones básicas de control y respuesta de sistemas de control
Sigamos el procedimiento que se acaba de presentar y construyamos el arreglo de coeficientes.
(Los primeros dos renglones se obtienen directamente del polinomio dado. Los términos restantes se obtienen de éstos. Si faltan coeficientes en el arreglo, se sustituyen con ceros.)
s4
s3
$2
s*
SO
1
2
1
-6
5
3
4
5
0
5
S4
1
s3
24
3
5
fJ
0
s2
s*
so
1 2
1 5
-3
5
El segundo renglón se divide
entre 2.
En este ejemplo, hay dos cambios de signo en los coeficientes de la primera columna. Esto significa que existen dos raíces con partes reales positivas. Observe que el resultado no se modifica
cuando los coeficientes de cualquier renglón se multiplican por, o se dividen entre, un número
positivo para simplificar el cálculo.
Casos especiales. Si el término de la primera columna de cualquier renglón es cero,
pero los términos reptantes no son cero, o no hay términos restantes, el término cero se
sustituye con un número positivo muy pequeño E y se evalúa el resto del arreglo. Por ejemplo, considere la ecuación
s3 + 2s2 + s + 2 = 0
(5-7)
El arreglo de coeficientes es
s3
s2
s1
so
1
2
O=E
2
1
2
Si el signo del coeficiente que está encima del cero (E) es igual al signo que está abajo de
él, quiere decir que hay un par de raíces imaginarias. En realidad, la ecuación (5-7) tiene
dos raíces en s = k j.
Sin embargo, si el signo del coeficiente que está encima del cero (E) es opuesto al del
que está abajo, quiere decir que hay un cambio de signo. Por ejemplo, para la ecuación
s3 - 3s + 2 = (s - 1)2(s + 2) = 0
el arreglo de coeficientes es
s3
s*
1
O=E
( Sl
-3-i
< so
2
Un cambio de signo:
Un cambio de signo:
-3
2
Hay dos cambios de signo en los coeficientes de la primera columna. Esto coincide con el
resultado correcto indicado por la forma factorizada de la ecuación polinomial.
Si todos los coeficientes de cualquier renglón son cero significa que existen raíces de
igual magnitud que se encuentran radialmente opuestas en el plano s, es decir, dos raíces
con magnitudes iguales y signos opuestos y/o dos raíces imaginarias conjugadas. En este
caso, la evaluación del resto del arreglo continúa mediante la formación de un polinomio
Sección 5-5 / Criterio de estabilidad de Routh
235
auxiliar con los coeficientes del último renglón y mediante el empleo de los coeficientes de
la derivada de este polinomio en el renglón siguiente. Tales raíces con magnitudes iguales
y radialmente opuestas en el plano s se encuentran despejando el polinomio auxiliar, que
siempre es par. Para un polinomio auxiliar de grado 2n, existen n pares de raíces iguales y
opuestas. Por ejemplo, considere la ecuación:
s5 + 2s4 + 24s3 + 48s2 - 25s - 50 = 0
El arreglo de coeficientes es
s5 1 24 -25
s” 2 48 -50 t Polinomio auxiliar P(s)
s3 0 0
Todos los términos del renglón s3 son cero. Después se forma el polinomio auxiliar a partir
de los coeficientes del renglón ~4. El polinomio auxiliar P(s) es
P(s) = 2Y4 + 48s* - 50
lo cual indica que hay dos pares de rafces de igual magnitud y signo opuesto. Estos pares se
obtienen resolviendo la ecuación del polinomio auxiliar P(s) = 0. La derivada de P(s) con
respecto a s es
Ws) = 8s3 + 96s
ds
Los coeficientes de la ultima ecuación, es decir, 8 y 96, sustituyen los términos del renglón
ss. Por consiguiente, el arreglo de coeficientes se convierte en
s5
s4
s3
s’=
s1
so
1
24
2
48
8
96
24
-50
112.7
0
-50
-25
-50
t Coeficientes de dP(s)lds
Vemos que hay un cambio de signo en la primera columna del arreglo nuevo. Por tanto,la ecuación original tiene una raíz con una parte real positiva. Despejando las raíces de la ecuacion
del polinomio auxiliar
2s4 + 48s* - 50 = 0
obtenemos
s* = 1 >
s2 = -25
s = 21,
s = kj5
o bien
Estos dos pares de raíces son una parte de las rafces de la ecuación original. De hecho, la
ecuación original se escribe en forma factorizada del modo siguiente:
(s + l)(s - l)(s + jS)(s - jS)(s + 2) = 0
236
Capítulo 5 / Acciones básicas de control y respuesta de sistemas de control
Es evidente que la ecuación original tiene una raíz con una parte real positiva.
Análisis de estabilidad relativa. El criterio de estabilidad de Routh proporciona la
respuesta a la pre$unta de la estabilidad absoluta. Esto, en muchos casos prácticos, no es
suficiente. Por lo general, se requiere información acerca de la estabilidad relativa del sistema. Un enfoque útil para examinar la estabilidad relativa es cambiar el eje del plano s y
aplicar el criterio de estabilidad de Routh. Es decir, escribimos
s=s^ -0
(a = constante)
en la ecuación característica del sistema, escribimos el polinomio en términos de $ y aplicamos el criterio de estabilidad de Routh al nuevo polinomio en d La cantidadde cambios
de signo en la primera columna del arreglo desarrollado para el polinomio en $ es igual a
la cantidad de raíces que se localizan a la derecha de la línea vertical s = -u. Por tanto, esta
prueba revela la cantidad de raíces que se encuentran a la derecha de la línea vertical s = -0:
Aplicación del criterio de estabilidad de Routh al análisis de un sistema de control. El criterio de estabilidad de Routh tiene una utilidad limitada en el análisis de un
sistema de control lineal, sobre todo porque no sugiere cómo mejorar la estabilidad relativa ni cómo estabilizar un sistema inestable. Sin embargo, es posible determinar los efectos de cambiar uno o dos parámetros de un sistema si se examinan los valores que producen
inestabilidad. A continuación consideraremos el problema de determinar el rango de estabilidad para el valor de un parámetro.
Considere el sistema de la figura 5-24. Determinemos el rango de valores de K para la
estabilidad. La función de transferencia en lazo cerrado es
K
ce>
-=
R(s)
s(s2 + s + l)(s + 2) + K
La ecuación característica es
s4 + 3s3 + 3s2 + 2s + K = 0
El arreglo de coeficientes se convierte en
s4
s3
s2
s1
s"
13K
3
20
3
K
2-7K
K
Para la estabilidad, K debe ser positiva, y todos los coeficientes de la primera columna
deben serlo también. Por tanto,
$>K>O
Figura5-24
Sistema de control.
Sección 5-5 / Criterio de estabilidad de Routh
237
Cuando K = 3, el sistema se vuelve oscilatorio y, matemáticamente, la oscilación se
mantiene en una amplitud constante.
5-6 CONTROLADORES NEUMÁTICOS
Debido a que son el medio más versátil para transmitir señales y potencia,los fluidos, ya sean
líquidos o gases, tienen un amplio uso en la industria. Los líquidos y los gases se diferencian
entre sí básicamente por su falta de compresibilidad relativa y por el hecho de que un líquido
puede tener una superficie libre, en tanto que un gas se expande para llenar su recipiente.
En 61 campo de la ingeniería, el término neumática describe los sistemas de fluidos que usan
aire o gases e hidráulica describe los sistemas que usan aceite.
Los sistemas neumáticos se usan mucho en la automatización de la maquinaria de producción y en el campo de los controladores automáticos. Por ejemplo, tienen un amplio uso
los circuitos neumáticos que convierten la energía del aire comprimido en energía
mecánica, y se encuentran diversos tipos de controladores neumáticos en la industria.
Dado que es frecuente equiparar los sistemas neumáticos y los sistemas hidráulicos, a
continuación ofrecemos una breve comparación de estos dos tipos de sistemas.
Comparación entre sistemas neumáticos y sistemas hidráulicos. El fluido que
suele encontrarse en los sistemas neumáticos es el aire;en los sistemas hidráulicos es el aceite.
Y son principalmente las propiedades distintas de los fluidos incorporados las que caracterizan las diferencias entre estos dos sistemas. A continuación se listan estas diferencias:
1. El aire y los gases son comprimibles, en tanto que el aceite no lo es.
2. El aire carece de la propiedad lubricante y siempre contiene vapor de agua. El aceite
funciona como un fluido hidráulico al igual que como lubricante.
3. La presión de operación normal de los sistemas neumáticos es mucho más baja que la
de los sistemas hidráulicos.
4. Las potencias de salida de los sistemas neumáticos son considerablemente menores que
las de los sistemas hidráulicos.
5 . La precisión de los actuadores neumáticos es deficiente a bajas velocidades, en tanto que
la precisión de los actuadores hidráulicos es satisfactoria en todas las velocidades.
6. En los sistemas neumáticos, se permite un cierto grado de escurrimiento externo, pero
debe evitarse el escurrimiento interno debido a que la diferencia de presión efectiva es
muy pequeña. En los sistemas hidráulicos se permite un cierto grado de escurrimiento
interno, pero debe evitarse el escurrimiento externo.
mn los sistemas neumáticos no se requiere de tubos de recuperación cuando se usa aire,
en tanto que siempre se necesitan en los sistemas hidráulicos.
8. La temperatura de operación normal de los sistemas neumáticos es de 5 a 60°C (41 a
140°F). Sin embargo, el sistema neumático opera en el rango de 0 a 200°C (32 a 392°F).
Los sistemas neumáticos son insensibles a los cambios de temperatura, a diferencia de
los sistemas hidráulicos, en los cuales la fricción de los fluidos provocada por la viscosidad depende en gran parte de la temperatura. La temperatura de operación normal de
los sistemas hidráulicos es de 20 a 70°C (68 a 158°F).
9. Los sistemas neumáticos no corren el riesgo de incendiarse o explotar, al contrario de
los sistemas hidráulicos.
A continuación empezaremos un modelado matemático de los sistemas neumáticos.
Después presentaremos los controladores neumáticos proporcionales. Ilustraremos el he238
Capítulo 5 /
Acciones básicas de control y respuesta de sistemas de control
cho de que los controladores proporcionales utilizan el principio de realimentación negativa sobre sí mismos. Ofreceremos un análisis detallado del principio mediante el cual operan los controladores proporcionales. Por último, trataremos los métodos para obtener
acciones de control derivativa e integral. En todos los análisis, enfatizaremos los principios
fundamentales en lugar de los detalles de la operación de los mecanismos reales.
Sistemas
neumáticos. Las últimas décadas han visto un gran desarrollo de los controladores neumáticos de baja presión para sistemas de control industrial, que en la actualidad se usan ampliamente en los procesos industriales. Entre las razones para que estos
controladores resulten atractivos están que son a prueba de explosiones, son sencillos y es
fácil darles mantenimiento.
Resistencia y capacitancia de los sistemas de presión. Muchos procesos industriales y controladores neumáticos incluyen el flujo de un gas, que puede ser aire, en recipientes a presión conectados a través de tuberías.
Considere el sistema a presión de la figura 5-25(a). El flujo del gas a través de la restricción es una función de la diferencia de presión del gas pi -p,,. Tal sistema de presión se
caracteriza en términos de una resistencia y una capacitancia.
La resistencia del flujo de gas R se define del modo siguiente:
R=
cambio en la diferencia de presión del gas, lbf/piez
cambio en el flujo del gas, lb/seg
o bien
R = d cA’)
&
(543)
en donde d(A P) es un cambio pequeño en la diferencia de presión del gas y dq es un cambio pequeño en el flujo del gas. El cálculo del valor de la resistencia de flujo del gas R puede
tomar mucho tiempo. Sin embargo, experimentalmente se determina con facilidad a partir
de una gráfica de la diferencia de presión contra flujo, calculando la pendiente de la curva
en una condición de operación determinada, como se aprecia en la figura 5-25(b).
La capacitancia del recipiente a presión se define mediante
c =
cambio en el gas almacenado, Ib
cambio en la presión del gas, lb$pie*
AP
t
pan
r$Resir;
Figura 5-25
(a) Diagrama
esquemático de un
sistema a presión;
(b) curva de la diferencia
de presión contra flujo.
Capacitancia
C
(4
Sección 5-6 / Controladores neumáticos
4
(b)
239
o bien
(5-9)
en donde C = capacitancia, Ib-pie*/lbf
m = masa del gas en el recipiente, Ib
p = presión del gas, lb$pie*
V = volumen del recipiente, pie3
\_ p = densidad, lb/pie3
,
La capacitancia del sistema de presión depende del tipo de proceso de expansión implícito. La capacitancia se calcula mediante la ley de los gases ideales. Si el proceso de expansión del gas es politrópico y el cambio de estado del mismo está entre isotérmico y adiabático, entonces
Vn
0
p ;
= + = constante
en donde n = exponente politrópico.
Para los gases ideales,
pv=RT
o
pv=$T
en donde p = presión absoluta, lbf/pie*
Y = volumen ocupado por un mol de un gas, piesAb-mol
Z? = constante universal de los gases, pie-lb$lb-mol “R
T = temperatura absoluta, “R
v = volumen específico del gas, pieYlb
M = peso molecular del gas por mol, lbllb-mol
Por tanto
en donde Rgas = constante de gas, pie-lb$lb “R.
El exponente politrópico n es unitario para la expansión isotérmica. Para la expansión
adiabática, n es igual al cociente entre los calores específicos c,Ic,, en donde c, es el calor
específico a presión constante y cV es el calor específico a volumen constante. En muchos
casos prácticos, el valor de n es aproximadamente constante y, por ende, la capacitancia se
considera constante. El valor de dpldp se obtiene a partir de las ecuaciones (5-10) y (5-11)
como
1
4
-=dp
nR,aJ
Después, la capacitancia se obtiene como
(5-12)
240
Capitulo 5
/
Acciones básicas de control y respuesta de sistemas de control
La capacitancia de un recipiente determinado es constante si la temperatura permanece
constante. (En muchos casos prácticos, el exponente politrópico n es aproximadamente
1.0 - 1.2 para gases en recipientes metálicos sin aislamiento.)
Sistemas de presión. Considere el sistema de la figura 5-25(a). Si sólo suponemos
desviaciones pequeñas en las variables a partir de sus valores en estado estable respectivos,
este sistema se considera lineal.
Definamos
P = presión del gas en el recipiente en estado estable (antes de que ocurran cambios
en la presión), lbf/pie*
pi = cambio pequeño en la presión del gas que entra, lbf/pie*
p. = cambio pequeño en la presión del gas en el recipiente, lbf/pie*
V = volumen del recipiente, pie3
m = masa del gas en el recipiente, Ib
q = flujo del gas, lb/seg
p = densidad del gas, Ib/pie3
Para valores pequeños de pi y pO, la resistencia R obtenida mediante la ecuación (5-8) se
vuelve constante y se escribe como
La capacitancia C se obtiene mediante la ecuación (5-9), o bien,
c=dm
dp
Dado que el cambio de presión dpo multiplicado por la capacitancia C es igual al gas añadido al recipiente durante dt segundos, obtenemos
Cdp, = q dt
o bien
cdPo
-Pi-Po
dt
R
lo cual se escribe como
Si pi y p. se consideran la entrada y la salida, respectivamente, la función de transferencia
del sistema es
1Po(s) _
pi(s)
RCs + 1
en donde RC tiene la dimensión del tiempo y es la constante de tiempo del sistema.
Sécción
5-6 / Controladores neumáticos
241
Amplificadores neumáticos de tobera-aleta. La figura 5-26(a) contiene un diagrama esquemático de un amplificador neumático de tobera-aleta. La fuente de potencia
para este amplificador es un suministro de aire a una presión constante. El amplificador de
tobera-aleta convierte los cambios pequeños en la posición de la aleta en cambios grandes
en la presión trasera de la tobera. Por tanto, una salida de energía grande se controla por
medio de la pequeña cantidad de energía necesaria para posicionar la aleta.
En la figura 5-26(a) el aire presurizado se alimenta a través del orificio y se expulsa
de la tobera hacia la aleta. En general, la presión de suministro PS para tal controlador es de
20 psig (una gravitacional de 1.4 kgf/cmz). El diámetro del orificio está en el orden de 0.01
plg (0.25 mm) y el de la tobera está en el orden de 0.016 plg (0.4 mm). Para asegurar un
funcionamiento adecuado del amplificador, el diámetro de la tobera debe ser más grande
que el diámetro del orificio.
Al operar este sistema, la aleta se posiciona contra la abertura de la tobera. La presión
trasera de la tobera Pb se controla mediante la distancia X tobera-aleta. Conforme la aleta
se acerca a la tobera, aumenta la oposición al flujo del aire a través de la tobera, aumenta
la presión trasera Pb de la tobera. Si la tobera está completamente cerrada por medio de la
aleta, SU presión trasera Pb se vuelve igual a la presión de suministro PS. Si la aleta se aleja
de la tobera, de modo que la distancia tobera-aleta sea amplia (en el orden de 0.01 plg),
prácticamente no hay restricción para el flujo y la presión trasera Pb de la tobera adquiere
un valor mínimo que depende del dispositivo tobera-aleta. (La presión posible más baja
será la presión ambienta1 Pa.)
Observe que, debido a que el chorro de aire opone una fuerza contra la aleta, es necesario hacer 10 más pequeño posible el diámetro de la tobera.
La figura S-26(b) contiene una curva típica que relaciona la presión trasera Pb de la tobera con la distancia X tobera-aleta. La parte con gran inclinación y casi lineal de la curva
se utiliza en la operación real del amplificador de tobera-aleta. Debido a que el rango de
los desplazamientos de la aleta está limitado a un valor pequeño, también es pequeño el
cambio en la presión de salida, a menos que la curva esté muy inclinada.
Entrada
-
,
Orificio
f’b
x7
Suministro +
de aire
+ Aleta
PS
Tobera
7r
t
:
A la válvula
de control
Ca)
Figura 5-26
(a) Diagrama esquemático del amplificador neumático de tobera-aleta; (b) curva característica
que relaciona la presión trasera de la tobera y la distancia tobera-aleta.
242
Capítulo 5 /
Acciones básicas de control y respuesta de sistemas de control
El amplificador de tobera-aleta convierte el desplazamiento en una señal de presión.
Dado que los sistemas de control de procesos industriales requieren de una potencia de salida grande para operar válvulas con actuadores neumáticos grandes, por lo general es insuficiente el incremento de potencia del amplificador de tobera-aleta. En consecuencia, un
relevador neumático funciona por lo general como un amplificador de potencia en la
conexión con el amplificador de tobera-aleta.
Relevadores neumáticos. En la práctica, en un controlador neumático, el amplificador de tobera-aleta actúa como el amplificador de primera etapa y el relevador neumático como el amplificador de segunda etapa. El relevador neumático es capaz de manejar
un flujo de aire grande.
La figura 5-27(a) contiene un diagrama esquemático de un relevador neumático. Conforme aumenta la presión trasera de la tobera Pb, la válvula del diafragma se mueve hacia
abajo. La apertura hacia la atmósfera disminuye y la apertura para la válvula neumática aumenta, por lo cual aumenta la presión de control PC. Cuando la válvula de diafragma cierra
la abertura hacia la atmósfera, la presión de control PC se vuelve igual a la presión de suministro P,. Cuando disminuye la presión trasera de la tobera Pb y la válvula de diafragma se
mueve hacia arriba y cierra el suministro de aire, la presión de control PC disminuye hasta
la presión ambiental Pa. Por tal razón, se hace que varíe la presión de control PC de 0 psig a
una presión de suministro completa, por lo general de 20 psig.
El movimiento total de la válvula de diafragma es muy pequeño. En todas las posiciones
de la válvula, excepto en la posición que se cierra el suministro de aire, el aire continúa escapando a la atmósfera, incluso después de que se obtiene la condición de equilibrio entre
la presión trasera de la tobera y la presión de control. Por tanto, el de la figura 5-27(a) es
un tipo de relevador con escape.
Existe otro tipo de relevador, sin escape. En éste, el escape del aire se detiene cuando
se obtiene la condición de equilibrio y, por tanto, no hay una pérdida de aire presurizado
en una operación en estado estable. Sin embargo, observe que el relevador sin escape debe
tener un alivio atmosférico para liberar la presión de control PC de la válvula con actuador
neumático. La figura 5-27(b) muestra un diagrama esquemático de un relevador sin escape.
En cualquier tipo de relevador, el suministro de aire se controla mediante una válvula,
que a su vez, se controla mediante la presión trasera de la tobera. Por tanto, la presión trasera
de la tobera se convierte en una presión de control con la amplificación de la potencia.
Dado que la presión de control PC cambia casi instantáneamente con las modificaciones
en la presión trasera de la tobera Pb, la constante del tiempo del relevador neumático es inPresión trasera
de la tobera Pb
Presión trasera
de la tobera Pb
+
A la atmósfera f
--+ A la válvula
PC
neurnhica
Suministro -+
de aire PS
I
A la athsfera +-Alav&ula
+
neum&ica
Pf
+- Suministro de aire
PS
(4
Figura 5-27
(a) Diagrama esquemático de un relevador con escape; (b) Diagrama esquemático de un relevador sin escape.
Sección 5-6 / Controladores neumáticos
243
significante en comparación con las otras constantes de tiempo más grandes del controlador neumático y la planta.
Observe que algunos relevadores neumáticos funcionan en acción inversa. Por ejemplo,
el relevador de la figura 5-28 es un relevador de acción inversa. En él, conforme aumenta
la presión trasera de la tobera Pb, la vlvula de esfera es impulsada hacia el asiento inferior,
por lo cual disminuye la presión de control PC. Por consiguiente, se trata de un relevador de
acción inversa.
Controladores neumáticos proporcionales (de tipo fuerza-distancia). En la industria se usan dos tipos de controladores neumáticos, el denominado de fuerza-distancia y el
de fuerza-balance. Sin tomar en cuenta qué tan distintos parezcan los controladores neumáticos industriales, un estudio cuidadoso mostrara la estrecha similitud en las funciones del circuito neumático. Aquí consideraremos controladores neumáticos del tipo de fuerza-distancia.
La figura 5-29(a) muestra un diagrama esquemático de semejante controlador proporcional. El amplificador de tobera-aleta es el amplificador de la primera etapa y la presión
trasera de la tobera se controla mediante la distancia de la tobera-aleta. El amplificador de
tipo relevador constituye el amplificador de la segunda etapa. La presión trasera de la tobera determina la posición de la válvula de diafragma para el amplificador de la segunda
etapa, que es capaz de manejar una cantidad grande de flujo de aire.
En la mayor parte de los controladores neumáticos, se emplea algún tipo de realimentación
neumática. La realimentación de la salida neumática reduce la cantidad de movimiento real
de la aleta. En lugar de montar la aleta en un punto fijo, como se aprecia en la figura 5-29(b),
suele colocarse como pivote en los fuelles de realimentación, como se observa en la figura
5-29(c). La cantidad de realimentación se regula introduciendo un enlace variable entre el fuelle de realimentación y el punto de conexión de la aleta. A su vez la aleta se convierte en un
enlace flotante. Se mueve tanto por la señal de error como por la señal de realimentación.
La operación del controlador de la figura 5-29(a) es la siguiente. La señal de entrada para
el amplificador neumático de dos etapas es la señal de error. El incremento en la señal de error
mueve la aleta hacia la izquierda. Este movimiento, a su vez, aumenta la presión trasera de la
tobera y la válvula de diafragma se mueve hacia abajo. Esto provoca un aumento en la presión de control. Este incremento provoca que el fuelle Fse expanda y mueva la aleta hacia la
derecha, con lo cual se abre la tobera. Debido a esta realimentación, el desplazamiento de tobera-aleta es muy pequeño, pero el cambio en la presión de control puede ser grande.
Debe señalarse que la operación adecuada del controlador requiere que el fuelle de realimentación mueva la aleta menos que el movimiento provocado por la pura señal de error.
(Si estos dos movimientos son iguales, no se producirá una acción de control.)
Presión trasera
de la tobera Pb
A la atmósfera +
A la v&lvula
neumhtica
t
Suministro de aire
PS
244
Capítulo 5 /
Figura 5-28
Relevador de acción inversa.
Acciones básicas de control y respuesta de sistemas de control
Sefial de error
con actuador
i%+Dh
t- - N
1\
Tobera.
Señal de error
Orificio -t
\c
Señal de error
Ga
reaEZtZ5n
(cl
(4
te)
Figura 5-29
(a) Diagrama esquemático de un controlador proporcional neumático de tipo fuerza-distancia;
(b) aleta montada en un punto fijo; (c) aleta montada en un fuelle de realimentación; (d) diagrama de bloques para el controlador: (e) diagrama de bloques simplificado para el controlador.
Las ecuaciones para este controlador se obtienen del modo siguiente. Cuando el error
es cero, o e = 0, existe un estado de equilibrio con la distancia tobera-aleta igual a x el desplazamiento del fuelle igual a x el desplazamiento del diafragma igual a z la presión
trasera de la tobera igual a &, y la presión de control igual a PC. Cuando existe un error,
la distancia tobera-aleta, el desplazamiento del fuelle, el desplazamiento del diafragma, la
presión trasera de la tobera y la presión de control se desvían de sus valores de equilibrio
respectivos. Supongamos que estas desviaciones son x, y, Z,pb ypc, respectivamente. (La dirección positiva para cada variable de desplazamiento se indica mediante una punta de
flecha en el diagrama.)
Suponiendo que la relación entre la variación en la presión trasera de la tobera y la
variación en la distancia tobera-aleta es lineal, tenemos que
Pb = 4~
Seccih
5-6 / Controladores neumbticos
(5-13)
245
en donde KI es una constante positiva. Para la válvula de diafragma,
Pb = Kzz
(5-14)
en donde KZ es una constante positiva. La posición de la válvula de diafragma determina la presión de control. Si la válvula de diafragma es tal que la relación entre pc y z es lineal, entonces
PC = K~z
(5-15)
en donde K3 es una constante positiva. A partir de las ecuaciones (5-13), (5-14) y (5-15),
obtenemos
(5-16)
en donde K = KlKdK2 es una constante positiva. Para el movimiento de la aleta, tenemos que
b
a
x=-e-- Y
a+b
a+b
(5-17)
El fuelle funciona como un resorte y la ecuación siguiente es pertinente:
AP, = k,y
(5-18)
en donde A es el área efectiva del fuelle y k, es la constante de elasticidad equivalente, que
es la rigidez provocada por la acción del lado corrugado del fuelle.
Suponiendo que todas las variaciones de las variables están dentro de un rango lineal,
obtenemos un diagrama de bloques para este sistema a partir de las ecuaciones (5-16),
(5-17) y (5-18) como se aprecia en la figura 5-29(d). En la figura 5-29(d) se aprecia con claridad que el mismo controlador neumático de la figura 5-29(a) es un sistema de realimentación. La función de transferencia entre pC y e se obtiene mediante
(5-19)
La figura 5-29(e) contiene un diagrama de bloques simplificado. Dado que pC y e son proporcionales, el controlador neumático de la figura 5-29(a) se denomina un controlador
neumático proporcional. Como se observa en la ecuación (5-19), la ganancia del controlador neumático proporcional varía en gran medida si se ajusta el enlace que conecta la
aleta. [El enlace que conecta la aleta no aparece en la figura 5-29(a).] En casi todos los controladores proporcionales comerciales existe una perilla de ajuste u otro mecanismo para
variar la ganancia ajustando este enlace.
Como se señaló antes, la señal de error movió la aleta en una dirección y el fuelle de
realimentación lo movió en la dirección opuesta, pero en un grado más pequeño. Por
tanto, el efecto del fuelle de realimentación es reducir la sensibilidad del controlador. El
principio de realimentación se usa con frecuencia para obtener controladores de banda
proporcional amplia.
Los controladores neumáticos que no tienen mecanismos de realimentación [lo que significa que un extremo de la aleta está fijo, tal como en la figura 5-3O(a)] tienen una alta sensibilidad y se denominan controladores neumáticos de dos posiciones o controladores
neumáticos de encendido y apagado. En semejante tipo de controlador, ~610 se requiere de
246
Capítulo 5 / Acciones básicas de control y respuesta de sistemas de control
PPCS
PI IL
Pb
PS
Pt?
PS
/“PC
/-
h-
o-X
ta)
0
X
(b)
Figura 530
(a) Controlador neumático sin un mecanismo de realimentación; (b) curvas Pb contra X y PC contra X.
un pequeño movimiento entre la tobera y la aleta para generar un cambio completo de la presión de control máxima a la mfnima. Las curvas que relacionan Pb con X, y PC con Xse presentan en la figura 5-30(b). Observe que un cambio pequeño en X provoca un cambio grande
en Pb, lo que hace que la válvula de diafragma quede completamente abierta o cerrada.
Controladores neumáticos proporcionales (del tipo fuerza-balance). La figura
5-31 muestra un diagrama esquemático de un controlador neumático proporcional de
fuerza-balance. Los controladores de fuerza-balance se usan ampliamente en la industria.
Se les conoce como controladores apilados. El principio de operación básico no es diferente
del que emplea el controlador de fuerza-distancia. La principal ventaja del controlador
fuerza-balance es que elimina muchos enlaces mecánicos y uniones de pivote, con lo cual reduce los efectos de la fricción.
A continuación consideraremos el principio del controlador de fuerza-balance. En el
controlador de la figura 5-31, la presión de la entrada de referencia Pr y la presión de salida
Po se alimentan hacia grandes cámaras de diafragma. Observe que un controlador neumático
de fuerza-balance sólo opera sobre señales de presión. Por tanto, es necesario convertir la
entrada de referencia y la salida del sistema en las señales de presión correspondientes.
Al igual que en el caso del controlador de fuerza-distancia, este controlador emplea una
aleta, una tobera y algunos orificios En la figura 5-31, la abertura perforada en la cámara inferior es la tobera. El diafragma que aparece justo encima de la tobera funciona como una aleta.
La operación del controlador fuerza-balance de la figura 5-31 se resume así: 20 psig de aire
fluyen desde un suministro a través de un orificio, provocando una presión reducida en la cámara
Atmósfera +Presión
de la entrada -+
de referencia
Figura 531
Diagrama esquemático
de un controlador
neumático proporcional de tipo
fuerza-balance.
Presión
de salidaSuministro -+
de aire
Sección
5-6 /
Controladores neumaticos
Presión
de control
247
inferior. El aire de esta cámara escapa a la atmósfera a través de la tobera. El flujo a través de la
tobera depende de la brecha y la disminución de la presión a través de la misma. Un incremento
en la presión de la entrada de referencia P,, al tiempo que la presión de salida Po permanece igual,
provoca que el vástago de la vGula se mueva hacia abajo, disminuyendo la brecha entre la tobera y el diafragma de la aleta. Esto provoca que la presión de control PC aumente. Suponga que
p,=p,-P 0
(5-20)
Si pc = 0, existe un estado de equilibrio con la distancia tobera-aleta igual a x y la presión
de control igual a FC. En este estado de equilibrio, PI = l?,k, (en donde K < 1) y
2 = a(&A, - &kA,)
(5-21)
en donde a es una constante.
Supongamos que pe # 0 y definamos las pequeñas variaciones en la distancia tobera-aleta y la presión de control como x y p, respectivamente. En este caso obtenemos la
ecuación siguiente:
zf+ x = a[(e + PJA, - (PC + pc)kA, - P,(Az - AJI
(5-22)
De las ecuaciones (5-21) y (5-22) obtenemos
x = 4pc(l - k)A, - P,(A, - 41
(5-23)
En este punto, debemos examinar la cantidad X. En el diseño de los controladores neumáticos, la distancia tobera-aleta se hace muy pequeña. En vista de que da es un término de orden mayor que pc (1 - k)Al o p,(Az -AI), es decir, parap, # 0,
t Q p,(l - k)A,
x Q P,(A, - AI)
es posible no considerar el término x en nuestro análisis. A continuación se vuelve a escribir
la ecuación (5-23) para que refleje esta suposición del modo siguiente:
PS - k)A;= ~e(Az - AI)
y la función de transferencia entre pc y pe se convierte en
f1 ’&L 4 - 4 - = Kp
l - k
PA4
Al
en dondep, se define mediante la ecuación (5-20). El controlador de la figura 5-31 es proporcional. El valor del aumento &, se incrementa conforme k tiende a uno. Observe que el
valor de k depende de los diámetros de los orificios de los tubos de entrada y salida de la
cámara de realimentación. (E!,valor de k tiende a la unidad conforme la resistencia al flujo
en el orificio de tubo de entrada se hace más pequeña.)
Válvulas con actuador neumático. Una característica de los controles neumáticos
es que emplean casi exclusivamente válvulas con actuador neumático. Una válvula con actuador neumático proporciona una gran potencia de salida. (Dado que un actuador
neumático requiere de una entrada de potencia grande para producir una salida de potencia grande, es necesario contar con una cantidad suficiente de aire presurizado.) En las v6lvu-
248
Capítulo 5 / Acciones básicas de control y respuesta de sistemas de control
las con actuador neumático prácticas, las características de la válvula tal vez no sean lineale%
es decir, es posible que el flujo no sea directamente proporcional a la posición del vástago
de la válvula y también pueden existir otros efectos no lineales, tales como la histéreris.
Considere el diagrama esquemático de una válvula con actuador neumático como la de
la figura 5-32. Suponga que el área del diafragma es A. También suponga que cuando el
error es cero, la presión de control es igual a pc y el desplazamiento de la v&ula es igual a X.
En el analisis siguiente, consideraremos algunas variaciones pequeñas en las variables
y linealizaremos la válvula con actuador neumático. Definamos las variaciones pequeñas
en la presión de control y en el desplazamiento de la válvula correspondiente como pc y x,
respectivamente. Dado que un cambio pequeño en la fuerza de presión neumática aplicada al diafragma vuelve a posicionar la carga, formada por el resorte, la fricción viscosa y
la masa, la ecuación de balance de la fuerza se convierte en
,
Ap, = mi + bi + kx
(5-24)
en donde m = masa de la válvula y vástago de la válvula
b = coeficiente de fricci6n viscosa
k = constante del resorte
Si las fuerzas producidas por la masa y la fricción viscosa son insignificantes, la ecuación
(5-24) se simplifica a:
Ap, = kx
Por ende, la función de transferencia entre x y PC se convierte en
en donde X(s) = Ce[x] y PC(s) = %[pc]. Si qi, el cambio en el flujo a travbs-de la válvula con
actuador neumático, es proporcional a x, el cambio en el desplazamiento del-vástago de la
válvula es, entonces
en donde Q¡(s) = Ce[qi] y K4 es una constante. La función de transferencia entre qi y pc se
convierte en
Presión de control
+
Figura 5-32
Diagrama esquemático de una
válvula con actuador neumático.
Sección 5-6 / Controladores neumáticos
249
en donde KV es una constante.
La presión de control estándar para este tipode-válvula con actuador neumático está
entre 3 y 15 psig. El desplazamiento del vástago de la válvula está limitado por la carrera
que se permite al diafragma y ~610 es de unas cuantas pulgadas. Si se necesita un viaje más
largo, es posible emplear una combinación de pistón-resorte.
En las válvulas con actuador neumático, la fuerza de fricción-estática debe limitarse a
un valor bajo para no provocar una histéresis excesiva. Debido a la compresibilidad del
aire, la acción de control tal vez no sea positiva; es decir, puede ocurrir un error en la posición del vástago de la válvula. El uso de un posicionador de válvula mejora el desempeño
de una válvula con actuador neumatico.
Principio básico para obtener una acción de control derivativa. Ahora presentaremos los métodos para obtener una acción de control derivativa.Volveremos a enfatizar el principio y no los detalles del mecanismo real. El principio básico para generar la acción de control
que se requiere es insertar el inverso de la función de transferencia deseada en la trayectoria de
realimentación. Para el sistema de la figura 5-33, la función de transferencia en lazo cerrado es
C(s)
G(s)
-=
R(s) 1 + G(s)H(s)
Si (G(s)H(s)l Z+ 1, entonces C(s)lR@)
puede volverse
C(s)
1
R(s) - H(s)
Por tanto, si se pretende una acción de control proporcional-derivativa, insertamos un elemento que tenga la función de transferencia l/( Ts + 1) en la trayectoria de realimentación.
Considere el controlador neumático de la figura 5-34(a). Si se toman en cuenta cambios pequeños en las variables, podemos dibujar un diagrama de bloques de este controlador, como en la figura 5-34(b). A partir del diagrama de bloques observamos que el
controlador es de tipo proporcional.
Ahora mostraremos que la adición de una restricción en la trayectoria de realimentación negativa modifica el controlador proporcional en un controlador proporcional-derivativo, el cual se conoce como controlador PD.
Considere el controlador neumático de la figura 5-35(a). Si suponemos una vez más
cambios pequeños en el error, la distancia tobera-aleta y la presión de control, podemos
250
Capítulo 5 / Acciones básicas de control y respuesta de sistemas de control
eh-0
jr+,
a
7;
PS -
I
1
pC+PC
3
b
(b)
“Id
Gd
Figura 5-34
(a) Controlador
neumático
proporcional;
(b)
diagrama
de
bloques
del
controlador.
resumir la operación de este controlador del modo siguiente: supongamos primero un cambio escalón pequeño en e. En este caso, el cambio en la presión de control p= será instantáneo. La restricción R evitará momentáneamente que el fuelle de realimentación detecte el
cambio de presión pE. Por tanto, el fuelle de realimentación no responderá momentáneamente y la válvula con actuador neumático detectará el efecto completo del movimiento
de la aleta. Conforme pasa el tiempo, el fuelle de realimentación se expandirá o se contraerá. El cambio en la distancia tobera-aleta x y el cambio en la presión de control PC se
grafican contra el tiempo t, como en la figura 5-35(b). En estado estable, el fuelle de realie+-
b
(al
Figura 535
(a) Controlador
neumático proporcional-derivativo;
(b) cambio escalón en
e y cambios correspondientes en x y PC
graficados contra t;
(c) diagrama de bloques
del controlador.
(b)
PC(S)
Sección 5-6 / Controladores neumlticos
251
mentación funciona como un mecanismo de realimentación ordinario. La curva P, contra
t muestra claramente que este controlador es de tipo proporcional-derivativo.
La figura 5-35(c) contiene el diagrama de bloques que corresponde a este controlador
neumático. En el diagrama de bloques, K es una constante, A es el área del fuelle y k, es la
constante del resorte equivalente del fuelle. La función de transferencia entre pc y e se obtiene a partir del diagrama de bloques, del modo siguiente:
b
K
a
+
b
PM
1
E(s) - 1 +- Ka Aa + b k, RCs+JL‘
En semejante controlador, la ganancia de lazo IKaAl[(a + b)k,(RCs + l)]] suele ser mucho
más grande que la unidad. Por tanto, la función de transferencia P,(s)/,??(s) se simplifica
para producir
p,(s> = K,(l + Gs)
E(s)
en donde
KP =!%
aA ’
T,=RC
Por tanto, el retraso en la realimentación negativa, o la función de transferencia lI(RCs +
1) en la trayectoria de realimentaci+r, modifica el controlador proporcional en un controlador
proporcional-derivativo.
Observe que, si la válvula de realimentación está completamente abierta, la acción de
control se vuelve proporcional. Si la válvula de realimentación está completamente cerrada, la acción de control se vuelve proporcional (de encendido y apagado) de banda estrecha.
Obtención de una acción de control neumhtico proporcional-integral. Considere el controlador proporcional de la figura 5-34(a). Suponiendo cambios pequeños en
las variables, demostraremos que la adición de un retraso en la realimentación positiva
modifica este controlador proporcional en un controlador proporcional-integral, conocido como controlador PI.
Considere el controlador neumático de la figura 5-36(a), cuya operación es la siguiente: el fuelle representado por 1 se conecta a la fuente de presión de control sin ninguna
restricción. El fuelle representado por II se conecta a la fuente de presión de control a
través de una restricción. Supongamos un cambio escalón pequeño en el error. Esto provocará que la presión trasera en la tobera cambie de manera instantánea. Por ende, también
ocurrirá instantáneamente un cambio en la presión de control pc. Debido a la restricción
de la válvula en la trayectoria al fuelle II, habrá un descenso en la presión a través de la
válvula. Conforme pasa el tiempo, el aire fluirá a traves de la válvula, de un modo tal que
el cambio en la presión del fuelle II alcanzará el valor de pc. Por lo tanto, el fuelle II se ex-
252
Capítulo 5 / Acciones básicas de control y respuesta de sistemas de control
e - o
P
1
II
Ca)
(b)
-t
Figura 5-36
(a) Controlador
neumátic0 proporcional-integral;
(b) cambio escalón en
e y los cambios correspondientes en x y pc
graficados contra t;
(c) diagrama de bloques del controlador;
(d) diagrama de bloques simplificado.
pandirá o contraerá, de modo que moverá la aleta una cantidad adicional en la dirección
del desplazamiento original e. Esto provocará que la presión traserapc en la tobera cambie
en forma continua, como se observa en la figura 5-36(b).
Observe que la acción de control integral en el controlador adopta una forma tal que
cancela lentamente la realimentación que aportó originalmente el control proporcional.
La figura 5-36(c) contiene un diagrama de bloques de este controlador, bajo la suposición de variaciones pequeñas en las variables. Una simplificación de este diagrama de bloques produce la figura 5-36(d). La función de transferencia de este controlador es
Sección 5-6 / Controladores neumáticos
253
en donde K es una constante, A es la área del fuelle y k, es la constante del resorte equivalente del fuelle combinado. Si IKaARCsl[(a + b)k,(RCs + l)][ 9 1, lo cual ocurre con regularidad, la función de transferencia se simplifica a
p,(s> =K,l+&
*1
E(s)
(
en donde
K P =i&
uA ’
I]:=RC
Obtención de una acción de control neumático proporcional-integral-derivativa.
Una combinación de los controladores neumáticos de las figuras S-35(a) y 5-36(a) produce
un controlador proporcional-integral-derivativo, conocido como controlador PID. La
figura 5-37(a) muestra un diagrama esquemático de dicho controlador. La figura 5-37(b)
muestra un diagrama de bloques de este controlador bajo la suposición de variaciones pequeñas en las variables.
La función de transferencia de este controlador es
bK
a
+b
P,(s) _
(R,C - R,C)s
E(s)
1+ - Ku Au + b k, (R,Cs + l)(RQ + 1)
Si definimos
T = R,C,
q = R,C
y consideramos que bajo una operación normal, IKd(Z
1)]1 % 1 y Ti 9 Td, obtenemos
T&/[U
+ b)ks(T& + l)(Tfi +
p,(s) + 4 (Tds + l)(Ts + 1)
E(s)
uA
(T - m
. bk Tdqs2 + Tp + 1
7’
aA
íp
(5-25)
en donde
254
Capítulo 5
/
Acciones básicas de control y respuesta de sistemas de control
e
t i
X+.X
b
i’
PC(S)
Figura 5-37
(a) Controlador
neumático proporcional-integral-derivativo;
(b) diagrama de bloques del controlador.
RiCS + 1
(b)
La ecuación (5-25) indica que el controlador de la figura S-37(a)
porcional-integral-derivativo (un controlador PID).
es un controlador pro-
5-7 CONTROLADORES HIDRÁULICOS
Excepto para los controladores neumáticos de baja presión, rara vez se ha usado el aire
comprimido para el control continuo del movimiento de dispositivos que tienen masas significativas sujetas a fuerzas de carga externas. Para estos casos, por lo general se prefieren
los controladores hidráulicos.
Sistemas hidráulicos. El uso de la circuitería hidráulica en las máquinas-herramienta, los sistemas de control de aeronaves y operaciones similares se ha extendido debido a factores tales como su positividad, precisión, flexibilidad, una alta razón de
.peso-potencia, sus rápidos arranque, paro y reversa, que realiza con suavidad y precisión,
así como la simplicidad de sus operaciones.
La presión de operación en los sistemas hidráulicos está en algún punto entre 145 y 5000
lbr/plg* (entre 1 y 35 MPa). En algunas aplicaciones especiales, la presión de operación
puede subir hasta 10,000 lb$plgz (70 MPa). Por el mismo requerimiento de potencia, el peso
y el tamaño de la unidad hidráulica se reducen a fin de aumentar la presión del suministro.
Sección 5-7 / Controladores hidráulicos
255
Los sistemas hidráulicos de alta presión, proporcionan una fuerza muy grande. Permiten
un posicionamiento preciso de acción rápida de cargas pesadas. Es común una combinación
de sistemas electrónicos e hidráulicos debido a que así se combinan las ventajas del control
electrónico y la potencia hidráulica.
Ventqjas y desventqjas de los sistemas hidráulicos. Hay ciertas ventajas y desventajas
en el uso de los sistemas hidráulicos en lugar de otros Algunas de las ventajas son las siguientes:
1 . El fluido hidráulico funciona como lubricante, además de disipar el calor generado en el
sistema hacia un intercambiador de calor conveniente.
2. Los actuadores hidráulicos de un tamaño comparativamente pequeño pueden desarrollar fuerzas o pares grandes.
3. Los actuadores hidráulicos tienen una velocidad de respuesta más alta para arranques,
paros e inversiones de velocidad rápidos.
4. Los actuadores hidráulicos operan sin daño bajo condiciones continuas, intermitentes,
invertidas y de pérdida de velocidad.
5. La disponibilidad de actuadores lineales y rotacionales aporta flexibilidad al diseño.
6 . Debido a los bajos escurrimientos en los actuadores hidráulicos, la disminución de la velocidad cuando se aplica una carga es pequeña.
/ I
/
En cambio, varias desventajas tienden a limitar su uso.
1. No es tan sencillo contar con la potencia hidráulica como con la potencia eléctrica.
2 . El costo de un sistema hidráulico puede ser mas alto que el de un sistema eléctrico comparable que realice una función similar.
3 . Existen riesgos de incendio y explosión, a menos que se usen fluidos resistentes al fuego.
4. Debido a que es difícil mantener un sistema hidráulico libre de escurrimientos, el sistema tiende a ser complicado.
5. El aceite contaminado puede provocar fallas en el funcionamiento adecuado de un sistema hidráulico.
6. Como resultado de las características no lineales y otras condiciones complejas implícitas, el diseño de los sistemas hidráulicos complejos es muy complicado.
7. Por lo general, los circuitos hidráulicos tienen características deficientes de amortiguamiento. Si un circuito hidráulico no se diseña en forma,adecuada,
pueden ocurrir o
desaparecer fenómenos inestables, dependiendo de las condiciones de operación.
i ~
Comentarios. Es necesaria una atención especial a fin de asegurar que el sistema
hidráulico sea estable y satisfactorio bajo todas las condiciones de operación. Dado que la
viscosidad del fluido hidráulico afecta de manera significativa los efectos del amortiguamiento y la fricción de los circuitos hidráulicos, deben realizarse pruebas de estabilidad a la temperatura de operación más alta posible.
Observe que casi todos los sistemas hidráulicos son no lineales. Sin embargo, en ocasiones es posible linealizar los sistemas no lineales con el propósito de reducir su complejidad y permitir soluciones suficientemente precisas para gran parte de los propósitos. La
sección 3-10 contiene una técnica de linealización útil para enfrentar los sistemas no lineales.
Controladores hidráulicos integrales. El servomotor hidráulico de la figura 5-38
es, en esencia, un amplificador y actuador de la potencia hidráulica, controlado por una
válvula piloto. La válvula piloto está balanceada, en el sentido de que las fuerzas de presión
256
Capítulo 5 / Acciones básicas de control y respuesta de sistemas de control
Aceite
bajo
presión
o-
Y
Figura 5-38
Servomotor hidráulico.
que actúan sobre ella están todas balanceadas. Una válvula piloto puede controlar una salida de potencia muy grande, y puede posicionarse con muy poca potencia.
A continuación se mostrará que, para masas de carga insignificante, el servomotor de
la figura 5-38 funciona como un integrador o un controlador integral. Dicho servomotor
constituye la base del circuito de control hidráulico.
En el servomotor hidráulico de la figura 5-38, la válvula piloto (una válvula de cuatro
vfas) tiene dos áreas en el carrete. Si el ancho del área es menor que el puerto de la manga
de la válvula, se dice que esta última es subtraslapadu.
Las válvulas sobretraslapadas son
más anchas que el puerto. Una válvula sin traslape tiene un área cuyo ancho es idéntico al
del puerto. (Si la válvula piloto no es una v&lvula sin traslape, los análisis de los servomotores hidráulicos se vuelven muy complicados.)
En el análisis presente, suponemos que el fluido hidráulico es incompresible y que la
fuerza de inercia del pistón de potencia y de la carga es insignificante en comparación con
la fuerza hidráulica del pistón de potencia. También suponemos que la válvula piloto no
tiene traslape y que la velocidad del flujo del aceite es proporcional al desplazamiento de
la válvula piloto.
La operación de este servomotor hidráulico es la siguiente. Si la entrada x mueve la
válvula piloto a la derecha, se descubre el puerto II y, por tanto, se introduce aceite a alta
presión en el lado derecho del pistón de potencia. Dado que el puerto 1 está conectado al
puerto de drenaje, el aceite del lado izquierdo del pistón de potencia regresa al drenaje. El
aceite que fluye hacia el cilindro de potencia está a alta presión; el aceite que fuera del cilindro de potencia hacia el drenaje está a baja presión. La diferencia resultante en la presión
de ambos lados del pistón de potencia provocará que se mueva a la izquierda.
Observe que el flujo de aceite q(kg/seg) por dt(seg) es igual al desplazamiento del pistón
de potencia dy(m) por el área del pistón A(m2) por la densidad del aceite p(kg/ms). Por tanto,
Ap dy = q dt
(5-26)
Debido a la suposición de que el flujo de aceite q es proporcional al desplazamiento x de
la válvula piloto, tenemos que
q = K,x
en donde Kl es una constante p0sitiva.A
Seccibn
5-7 / Controladores hidráulicos
(5-27)
partir de las ecuaciones (5-26) y (5-27) obtenemos
257
La transformada de Laplace
cero, produce
de esta última ecuación, suponiendo una condición inicial de
ApsY(s) = K&(s)
o bien
Y(s)
fG
K
-=-=
X(s)
Aps s
en donde K = &I(Ap). Por ende, el servomotor hidráulico de la figura 5-38 funciona como
un controlador integral.
Controladores hidráulicos proporcionales. Se ha demostrado que el servomotor
de la figura 5-38 funciona como un controlador integral. Este servomotor se modifica en
un controlador proporcional mediante un enlace de realimentación. Considere el controlador hidráulico de la figura 5-39(a). El lado izquierdo de la válvula piloto está unido al
lado izquierdo del pistón de potencia mediante un enlace ABC. Este enlace es flotante y,
por tanto, no se mueve alrededor de un pivote fijo.
En este caso, el controlador opera del modo siguiente. Si la entrada e mueve la vabula
piloto a la derecha, se descubrirá el puerto II y el aceite a alta presión fluirá a través del puerto
II hacia el lado derecho del pistón de potencia e impulsará éste a la izquierda. El pistón de
potencia, al moverse a la izquierda, arrastrará con él el enlace de realimentación ABC, con
lo cual moverá la v&ula piloto a la izquierda. Esta-acción contmua hasta que el pistón del
piloto cubre otra vez los puertos 1 y II. Un diagrama de bloques del sistema se dibuja en la
figura 5-39(b). La función de transferencia entre Y(s) y E(s) se obtiene mediante
K- b
a + b s
Y(s)
-=
K a
E(s)
1 + - s a+b
bK
= s(a + b) + Ka
Aceite
y\
+pLyiin+
X--b
Y’
ta)
258
Co)
Figura 539
(a) Servomotor que funciona como controlador proporcional, (b) diagrama de bloques del
servomotor.
Capítulo 5
/
Acciones básicas de control y respuesta de sistemas de control
Considerando que, bajo condiciones de operación normales, tenemos que IKul[s(a + b)]l
* 1, esta última ecuación se simplifica a
La funcibn de transferencia entre y y e se convierte en una constante. Por tanto, el controlador hidráulico de la figura 5-39(a) funciona como un controlador proporcional, cuya
ganancia es Kp. Esta ganancia se ajusta modificando efectivamente la razón bh de la
palanca. (El mecanismo de ajuste no se muestra en el diagrama.)
De esta manera, hemos visto que la adición de un enlace de realimentación hace que el
servomotor hidráulico funcione como un controlador proporcional.
Amortiguadores.
El amortiguador de la figura 5-40(a) funciona como un elemento
de diferenciación. Suponga que introducimos un desplazamiento escalón a la posición del
pistón x. En este caso, el desplazamiento y iguala momentáneamente a x. Sin embargo, debido a la fuerza del resorte, el aceite fluirá a través de la resistencia R y el cilindro regresará a la posición original. Las curvas x contra t y y contra t se muestran en la figura 540(b).
Obtengamos la función de transferencia entre el desplazamiento y y el desplazamiento
X. Definamos las presiones existentes en ambos lados del pistón como Pl(lblplg2) y P2
(lb/plgz), respectivamente. Suponga que la fuerza de inercia implícita es insignificante. DespuCs, la fuerza que funciona sobre el pistón debe equilibrar la fuerza del resorte. Por tanto,
A(P, - Pz) = ky
en donde A = área de pistón, plg2
k = constante del resorte, lbf/plg
El flujo 4 se obtiene mediante
Pl - p2
4’7
en donde q = flujo a través de la restricción, lb/seg
R = resistencia al flujo en la restricción, lbf-seg/plgz-lb
4 .
“-
x
(al
r
Y
(b)
Figura 5-40
(a) Amortiguador; (b) cambio escalón en x y cambio correspondiente en y, graficados contra t;
(c) diagrama de bloques del amortiguador.
Sección 5-7 / Controladores hidráulicos
259
Dado que el flujo a través de la restricción durante dt segundos debe ser igual al cambio en
la masa del aceite del lado izquierdo del pistón durante los mismos dt segundos, obtenemos
q dt = Ap(dx - dy)
en donde p = densidad, lb/plgs. (Suponemos que el fluido es incompresible o que p = constante.) Esta última ecuación puede reescribirse como
tfx
dr
4 JY-p2.J!L.
---=---dt
dt
Ap
RAp
RA2p
o bien
c-ix dr kr
dt=dt+RA2p
Tomando las transformadas de Laplace de ambos miembros de esta ultima ecuación, y
suponiendo condiciones iniciales de cero, obtenemos
k
sX(s) = SU(S) + - Y(s)
M2P
Por tanto, la funcibn
de transferencia de este sistema se convierte en
s
Y(s)
-=
X(s)
s
;
k
M2P
Definamos RAZplk = T. Entonces
Y(s)
Ts
1
-=-=Ts
+
1
X(s)
La figura MO(c) muestra una representación en diagrama de bloques para este sistema.
Obtención de una acción de control hidráulico proporcional-integral. La figura
5-41(a) muestra un diagrama esquemático de un controlador hidráulico proporcionalintegral. La figura 5-41(b) contiene un diagrama de bloques del mismo. La función de transferencia Y(s se obtiene mediante
b
K
En un controlador semejante, bajo una operación normal, IKuT/[(a + b)(Ts + 1)]1 S 1, con
el resultado de que
yo
E(s)
260
Capitulo 5 / Acciones bhsicas de control y respuesta de sistemas de control
Aceite
bajo
presión
t-t
t
Densidad’ W
delaceite=p
\
Resistencia = R
(b)
ta)
FcguraS-41
(a) Diagrama esquemático de un controlador hidráulico proporcional-integra1; (b) diagrama de bloques del controlador.
en donde
Por lo tanto, el controlador de la figura 5-52(a) es un controlador proporcional-integral (un
controlador PI).
Obtención de una acción de control hidrdulico proporcional-derivativa. La figura
542(a) muestra un diagrama esquemático de un controlador hidráulico proporcional-
Densidad del aceite = p
64
cb)
Figwa5-42
(a) Diagrama esquemático de un controlador hidráulico proporcional-derivativo;(b) diagrama L de bloques del controlador.
Sección 5-7 / Controladores hidrbulicos
261
derivativo. Los cilindros están fijos en el espacio y los pistones se mueven. Para este sistema,
observe que
k(y - z) = A(P, - P,)
4=
p2 - Pl
R.
q dt = pA dz
.Por tanto
RA2p
dz
y=z+fqR=z+-kdt
o bien
<.
‘”
’
Z(s)
1
-=Ts + 1
Y(s)
en donde
T&%!
k
La figura 542(b) muestra un diagrama de bloques para este sistema. A partir del diagrama
de bloques, la función de transferencia Y(s se obtiene como
- b Ka+b s
w
-=
E(s) 1
.)
+- a K
1 a + b s Ts+l
Bajo una operación normal, tenemos que laK/[(a + b)s(fs + 1)]1& 1. Por tanto,
Y(s) = K,(l + Ts)
E(s)
en donde,
Kp = b
a’
T=RAZp
k
De este modo, el controlador de la figura 5-42(a) es un controlador proporcional-dkxivativo (un controlador PD).
%
‘:, ; . (2, ,
,;
._
Esta sección analiza los controladores electrónicos que usan amplificadores operacionales. Empezaremos por obtener las funciones de transferencia de los circuitos con amplificadores operacionales simples. A continuación obtendremos las funciones de
transferencia de algunos de los controladores con amplificadores operacionales. Pos último, proporcionaremos en una tabla. los controladores con amplificadores operacionales
y sus funciones de transferencia.
5-8 CONTROLADORES ELECTRÓNICOS
262
Capítulo 5 / Acciones básicas de control y respuesta de sistemas de control
Amplificadores
operacionales. Los amplificadores operacionales, también conocidos como amp ops, se usan con frecuencia para amplificar las señales de los circuitos sensores. Los amp ops también se usan con frecuencia en los filtros que sirven para compensación. La figura 5-43 muestra un amp op. Es una práctica común seleccionar la tierra
como 0 volts y medir los voltajes de entrada et y ez en relación con ella. La entrada et hacia
la terminal negativa del amplificador está invertida y la entrada ez hacia la terminal positiva no lo está. Por consiguiente, la entrada total al amplificador se convierte en e2 - el. De
este modo, para el circuito de la figura 5-54, tenemos que,
e, = K(e, - el) = -K(e, - e,)
en donde las entradas el y e2 pueden ser señales de cd o ca y K es la ganancia diferencial o
la ganancia de voltaje. La magnitud de K es, aproximadamente de 105 - 106 para las sefiales
de cd y señales de ca tienen frecuencias menores que unos 10 Hz. (La ganancia diferencial
disminuye con la frecuencia de la señal y se estabiliza alrededor de la unidad para frecuencias de 1 Mhz - 50 Mhz.) Observe que el amp op amplifica la diferencia entre los
voltajes el y ea. Tal amplificador se denomina amplificador diferencial. Dado que la ganancia del amp op es muy alta, es necesario tener una realimentación negativa de la salida hacia
la entrada para hacer estable el amplificador. (La realimentación se lleva a cabo de la salida hacia la entrada inversora para que la realimentación sea negativa.)
En el amp op ideal no fluyen corrientes en las terminales de entrada y el voltaje de salida no se ve afectado por la carga conectada a la terminal de salida. En otras palabras, la impedancia de entrada es infinita y la impedancia de salida es cero. En un amp op real, fluye
una corriente muy pequeña (casi insignificante) hacia una terminal de entrada y la salida no
se carga demasiado. En el amilisis que se hace aquí, suponemos que los amp ops son ideales.
Amplificador inversor. Considere el amplificador operacional de la figura 5-14.
Obtengamos el voltaje de salida eO.
iz
R2
0
ei
0
.,
Sècción
eo
0
5-8 / Controladores electrónicos
*^
Figura544
Amplificador inversor.
‘,
/
263
La ecuación para este circuito se obtiene del modo siguiente:
e. - e’
i 1 =I
Rl
e’ - e
i, = 0
’
R2
Dado que sólo fluye una corriente insignificante hacia el amplificador, la corriente ir debe
ser igual a la corriente h. Por tanto
-ei - e’
f?’ %
Rl
R2
Dado que K(0 - e’) = e, y K %= 1, e’ debe ser casi cero, o e’ + 0. Por tanto, tenemos que
o bien
R2
e, = --e,
Rl
De esta manera el circuito que se muestra es un amplificador inversor. Si RI = Rz, el circuito amp op mostrado funciona como un inversor de signo.
Amplificador no inkrsor. La figura 5-45(a) muestra un amplificador no inversor.
La figura 5-45(b) contiene un circuito equivalente a este último. Para el circuito de la figura
5-45(b), tenemos que
en donde K es la ganancia diferencial del amplificador. A partir de esta última ecuación,
obtenemos
ei=
(&+i)%
Dado que K S= 1, si RII(RI + Rz) 9 l/K, entonces,.
( )
R2
eo = l+
R1 ei
Esta ecuación obtiene el voltaje de salida e,. Dado que eo y ei tienen los mismos signos, el
circuito amp op de la figura 545(a) es no inversor.
0
R2
ei
Figura 5-4s
(a) Amplificador
operacional no inversor; (b) circuito
equivalente.
0
RI
0
0
1
T
6)
264
eo
eo
(b)
Capítulo 5 / Acciones basicas de control y respuesta de sistemas de control
EJEMPLO 5-3
La figura 546
la salida e,.
Definamos
muestra un circuito eléctrico que contiene un amplificador operacional. Obtenga
ei - e’
i,=T,
i = cW - 4
2
dt
. _ e’ - eo
’
l3
R,
Considerando que el flujo de la corriente hacia el amplificador es insignificante, tenemos que
i, = i2 + i,
Por tanto,
ei - e’ = c 4e’ - 4 + e’ - e,
dt
RI
R2
Dado que e’ + 0, tenemos que
Calculando la transformada de Laplace
cial cero, tenemos que
de esta última ecuación, y suponiendo una condición ini-
E¡(S) _ _ R,Cs + 1 E,(s)
RI
R2
lo cual puede escribirse
E,(s)
R2
1
E¡(s) = -R; R,Cs + 1
El circuito con amp op de la figura 546 es un circuito de retraso de primer orden. (La tabla 5-1
muestra varios otros circuitos que contienen amp ops junto con sus funciones de transferencia.)
Enfoque de impédancias para obtener funciones de transferencia.
Considere el
circuito con amp op de la figura 547. En forma similar al caso de los circuitos el6\tricos
que analizamos antes, el enfoque de impedawias se aplica a los circuitos con amp opi para
obtener sus funciones de transferencia. Para el circuito de la figura 547, tenemos que
Por tanto, la función de transferencia para el circuito se obtiene como
i2
’
II
,
i3
R2
0
eo
Figura
Q
Sección 5-8 / Controladores electrónicos
5-46
Circuito de retraso de primer orden
usando un amplificador operacional.
265
Figura 5-47
Circuito con amplificador operacional.
E,(s) = 226)
Ei
Z,(s)
EJEMPLO 5-4 , Remítase al circuito con amp op de la figura 5-46 para obtener la función de transferencia
E,(s)lEi(s)
mediante el enfoque de impedancias.
Las impedancias complejas ZI(S) y ZZ(S) para el circuito son
Z2(S) = L,=
y
Z,(s) = RI
cs+L
R2
R,Cs+l
R2
Por tanto, E¡(s) y E,(s) se obtienen como
Ei(s) = W(s),
Así, la función de transferencia E,(s)/Ei(s)
‘-
J%(S) = -R ct+ 1 Z(s)
2
se obtiene como
E,(s)
R,
1
E¡(s) = -R; R,Cs + 1
que es, por supuesto, igual a la qbtenida en el ejemplo 53.
Redes de adelanto o atraso uskmdo amplificadores operacionales. La figura
SN(a) muestra un’&cuito electrónico que uh ti &nplificador operacional. La función
E,(s)
0
Ei
E(s)
0
0
0
T
0
Red de adelanto o atraso
7
Figura 5-48,
(a) Circuito con amplificador operacional; (b)
cdmo compensador de adelanto o atraso.
266
Capítulo
5
/ Acciones b8sicas
circuito
con
Inversor de signo
amplificador
operacional
de cbdtrol y respuesta de sistemas de control
usado
de transferencia para este circuito se obtiene del modo siguiente: defina la impedancia de
entrada y la impedancia de realimentación como Zr y ZZ, respectivamente. A continuación
z, =
Rl
R,C,s + 1’
z, =
R2
R,Cg + 1
Dado que la corriente que fluye hacia el amplificador es insignificante, la corriente ir es
igual a la corriente h. Por tanto, il = iz, o bien
Ei - E’(s) = E’(s) - E(s)
z2
Zl
Debido a que E’(s) + 0, tenemos que
1
z2- R2 R,C,s + 1 =-Cl ’ + R,C,
E(s) =----1
R,C,s
+
1
C
Ei
z,
Rl
.2s + -
(5-28)
R2C2
Observe que la función de transferencia de la ecuación (5-28) contiene un signo menos. En
este caso, el circuito es de inversión de signo. Si tal inversión de signo no es conveniente en
la aplicación actual, un inversor de signo se conecta à lá entrada o a la salida del circuito de la
figura 5-48(a). En la figura 5-48(b) se muestra un ejemplo. El inversor de signo tiene la función de transferencia de
E,(s)
E(s) = -R,
R4
El inversor de signo tiene la ganancia de -R4/R3. Por lo tanto, la red de la figura 5-48(b)
tiene la siguiente función de transferencia:
1
E,(s) _ R2$4 R&s + 1 _ R4C1 ’ + R,C,
Ei
R,R, R,C,s + 1
R3C2 s + 1
R2C2
1
s+T
= KcT
(5-29)
s+aT
en donde
f = R,C,,
aT = R2C2,
g
Kc = R3C2
Considere que
K Q = --_R4C1 R2C2 _ R2R4
c
R3C2
RICl
RlR3’
Esta red tiene una ganancia en de cd de Kca = RzR~(RIRs).
Seccih 5-8 / Controladores electrónicos
267
Remitiéndonos ala ecuación (5-29), 6sta es una red de adelanto si RlCl> R2C2, o a < 1.
Si RICI < R2C2 se trata de una red de atraso. (Para las definiciones de las redes de adelanto
y atraso, consulte la sección 5-9.)
Controlador PID usando amplificadores operacionales. La figura 549 muestra
un controlador electrónico proporcional-integral-derivativo (controlador PID) que usa
amplificadores operacionales. La función de transferencia E(s)/ B(s) se obtiene mediante
E(s)
22
-=-E,(s)
Zl
en donde
z,
=
Rl
R,C,s + 1’
z, =
R,C,s + 1
c9
Por tanto
Considerando que
E,(s)
R,
E(s) = -K
tenemos que
WG
E,(s) _(R,C,s
E,(s) +E(s) =E,(s)
E(s) Ei(S) RJRI
W2C9
+
1)
R2Q
RlV2C2
R,C,)s + R,C, + R,C,’
1
0
0
Ei(s)
Figura
5-49
Controlador
electrónico PID.
268
E,(s)
0
Capítulo 5 /
0
Acciones bksicas
de control y respuesta de sistemas de control
(5-30)
Por tanto
Ti = R,C, + R,C,
En términos de la ganancia proporcional, ganancia integral y ganancia derivativa, tenemos
K = R4&C, + RA)
P
R3W2
R4
Ki = R,R,C,
R4W,
&=y--3
Observe que el segundo circuito con amplificador operacional funciona como un inversor
.de signo, al igual que como un ajustador de ganancia.
La tabla 5-1 muestra una lista de circuitos con amplificadores operacionales que se usan
como controladores o compensadores.
5-9 ADELANTO DE FASE Y ATRASO DE FASE
EN UNA RESPUESTA SENOIDAL
Para una entrada senoidal, la salida en estado estable de un sistema lineal e invariante con
el tiempo es senoidal con un desfasamiento que es función de la frecuencia de la entrada.
Este ángulo de fase varfa conforme la frecuencia aumenta de cero a infinito. Si la salida
senoidal en estado estable de una red adelanta (atrasa) la senoidal de entrada, se denornina una de adelanto (atraso). Primero obtendremos la salida en estado estable de una red
lineal e invariante con el tiempo para una entrada senoidal.
Obtención de salidas en estado estable para entradas senoidales. Mostraremos
que la salida en estado estable de un sistema de función de transferencia se obtiene directamente a partir de la función de transferencia senoidal, es decir, la función de transferencia en la cual s se sustituye por jw, en donde w es una frecuencia.
Considere el sistema estable, lineal e invariante con el tiempo de la figura 5-50. La entrada y la salida del sistema, cuya función de transferencia es G(s), se representan mediante
x(t) y y(t), respectivamente. Si la entrada x(t) es una señal senoidal, la salida en estado estable también será una sefial senoidal de la misma frecuencia, pero tal vez con diferentes
magnitud y ángulo de fase.
Supongamos que la señal de entrada se obtiene mediante
x(t) = X sen ot
Suponga que la función de transferencia G(s) se escribe como un cociente de dos polinomios en s; es decir,
Sección 5-9
/
Adelanto de fase y atraso de fase en una respuesta senoidal
269
Tabla 5-1 Circuitos con amplificadores operacionales que se pueden usar como compensadores
-
Acción
de control
Circuitos
con
0
1
+
amplificadores
operacionales
1
0
-
1
3%
P
R3 4
-
c2
2
R4
5’
1
R3 R1C2s
-
3
PD
eo
0
-
4
3 R2 R2C2s
PI
R3 RI
+ 1
R2Czs
-
T
R2
5
PID
Rd RJ (RlCls + 1) (R2C2s
R3 4
C2
+ 1)
R2C2s
-
6
Adelanto
0 am.30
3 R2 Rl’3+ 1
R3 R1 R2C2s + 1
-
1
AtraSOadelanto
3 f$ [(RI + R3)
Rs R3
Cls + 11 (R2C2s + 1)
+ 11
(Rt’3 + 1) W2 + R4) C2s
-
270
Capítulo 5 / Acciones básicas de control y respuesta de sistemas de control
R4
qq--$
F
i
g
u
r
a
550
Sistema estable, lineal e invariante con el tiempo.
En este caso, la salida transformada mediante el método de Laplace
Y(s) = G(s)X(s)
es
= ‘$X(s)
en donde X(s) es la transformada de Laplace de la entrada x(t).
Se mostrará que, después de esperar hasta que se alcancen las condiciones en estado estable, la respuesta en frecuencia se calcula sustituyendo s por@ en la función de transferencia. También se comprobará que la respuesta en estado estable se obtiene mediante
G(jw) = Mei@ = MN
en donde M es el cociente de las amplitudes de las senoidales de salida y de entrada y @ es
el desfasamiento entre la senoide de entrada y la senoide de salida. En la prueba de respuesta en frecuencia, la frecuencia de entrada w se hace variar hasta cubrir por completo
el rango de frecuencia de interés.
La respuesta en estado estable de un sistema estable, lineal e invariante con el tiempo
ante una entrada senoidal no depende de las condiciones iniciales. (Por tanto, suponemos
una condición inicial cero.) Si Y(s) ~610 tiene polos distintos, la expansión en fracciones parciales de la ecuación (5-31) produce
Y(s) = G(s)X(s) = G(s) 6
a
ã
b2
+. . +. b?’
=-++b 1 +s + jo
s - jo
s + Sl
s + s,
s + s,
(5-32)
endondeaybi(parai= 1,2,..., n) son constantes y ã es el complejo conjugado de a. La
transformada inversa de Laplace de la ecuación (5-32) produce
y(t) = Ile-io’ + &+Jr + ble-%r + b+-%r + . . .-+ b,e-sn’
(t z 0)
(5-33)
Para un sistema estable, -SI, -SZ, . . . , -sn, tienen partes reales negativas. De este modo, conforme t tiende a infinito, los términos e-Sr: e-Q: . . . , y e- snt tienden a cero. Por lo tanto, todos los términos en el segundo miembro de la ecuación (5-33), excepto los dos primeros,
se descartan en estado estable.
Si Y(s) involucra polos múltiples sj de multiplicidad mi, entonces y(t) incluirá tCrminos
tales como t%e-si’ (hj = 0,1,2, . . . , mj - 1). Para un sistema estable, los términos t%e-sir tienden a cero conforme t tiende a infinito.
Por tanto, sin considerar si el sistema tenga polos distintos, la respuesta en estado estable se convierte en
y,,(t) = wjd + iid”f
(5-34)
en donde la constante a se evalúa a partir de la ecuación (5-32) del modo siguiente:
a=G(s)*(s+jw)
= -XW-j4
s= -jw
3
Sección 5-9 / Adelanto de fase y atraso de fase en una respuesta senoidal
271
Observe que
XW4
ã = *<s-jcu, =G(s)
s=jw
2i
Dado que G(io) es una cantidad compleja, seescribe en la forma siguiente:
G(jw)
= IG(j¿o)lej@
en donde I(Gjo)l representa la magnitud y # representa el ángulo de G(jw);
imaginaria de G(jw)
# = /G(jw) = tan-’
parte real de G(jo)
1
es decir,
El ángulo @ puede ser negativo, positivo o cero. Asimismo, obtenemos la expresión siguiente para G(-jo):
G( -jto) = lG(-jco)le-j@ = IG(jw)le-j@
Después, considerando que
a _XlGW)k-j@
2j
’
¿j= XlG(jo)lej@
2j
La ecuación (5-34) puede escribirse como
= X IGCjw)lsen (ot + C#I)
= Ysen(ot+@)
(5-35)
en donde Y = AC(i Observamos que un sistema estable, lineal e invariante con el
tiempo sujeto a una entrada senoidal tendrá, en estado estable, una salida senoidal de la
misma frecuencia que la entrada. Pero la amplitud y la fase de la salida serán, en general,
diferentes de las de la entrada. De hecho, la amplitud de la salida se obtiene mediante el
producto de la de la entrada por IC(j en tanto que el ángulo de fase difiere del de la entrada por la cantidad # =/G(iw). Un ejemplo de las señales senoidales de entrada y salida
aparece en la figura 5-51.
Con base en esto, obtenemos este importante resultado: Para las entradas senoidales,
Entrada x(r) = X sen
Figura 5-51
Señales senoidales
de entrada y salida.
272
Salida y(t)LY sen (ot + C#J)
Capítulo 5 /
Acciones básicas de control y respuesta de sistemas de control
cociente de las amplitudes de la senoide de salida entre
IG@u)( = 1$$1 = la senoide de entrada
/b(jw) = /ci
= desfasamiento de la senoide de salida con respecto) a la
senoide de entrada
Por tanto, las características de respuesta de un sistema para una entrada senoidal se obtienen directamente de
Y(b) = G(jo)
-W4
La función G@J) se denomina función de transferencia senoidul. Es el cociente entre
Y@) y X(i0). Es una cantidad compleja y se representa mediante una magnitud y un ángulo de fase con la frecuencia como parámetro. (Un ángulo de fase negativo se denomina
atraso de fase y un ángulo de fase positivo se denomina adelanto de fase.) La función de
transferencia senoidal de cualquier sistema lineal se obtiene sustituyendo jo por s en la función de transferencia del sistema.
Una red que tenga características de adelanto de fase se denomina, comúnmente, red
de adelanto. Asimismo, una red con características de atraso de fase se denomina una
red de atraso.
EJEMPLO 5-5
Considere el sistema de la figura 5-52. La función de transferencia G(s) es
Para la entrada senoidal x(t) = X sen wt, la salida en estado estable y=(f) se encuentra del modo
siguiente
K
jTo + 1
G(jo), = -
El cociente entre la amplitud de la salida y la de la entrada es
IG(Wl= dl +KT2a2
en tanto que el ángulo de fase Q, es
q!~ = /G( jo) = -tan-l Tw
Por lo tanto, para la entrada x(t) = X sen wt, la salida en estado estable ys se obtiene a partir
de la ecuaciónl5-35) del modo siguiente:
‘3s)
Sistema de primer orden.
Sección 5-9 / Adelanto de fase y atraso de fase en una respuesta senoidal
273
(5-36)
Y&) = vg&- sen (wt - tan-l Tm)
A partir de la ecuación (5-36) se observa que, para una w pequeña, la amplitud de la salida en estado estable yss(t) es casi igual a K veces la amplitud de la entrada. El cambio de fase de la salida
es pequeño para una w pequeña. Para una o grande, la amplitud de la salida es pequeña y casi inversamente proporcional a w. El cambio de fase tiende a -90” conforme w tiende a infinito. Ésta
es una red de atraso de fase.
EJEMPLO 5-6
Considere la red obtenida
mediante
1
S+G(s) = +
.Y+T2
Compruebe si se trata de una red de adelanto o de atraso.
Para la entrada senoidal x(t) = X sen wt, la salida en estado estable yss(t)
modo siguiente: dado que
G(h) =
se encuentra del
=
tenemos que
Y
# = /G(jw) = tan-’ T,w - tan-’ T2w
Por tanto, la salida en estado estable es
ys&) =
xw + &2
~~~
sen (ot + tan-l TWJ - tan-r T20)
A partir de esta expresión, encontramos que, si Tl > T2, entonces tan-r TIW - tan-r Tzw > 0. Por
tanto, si TI > T2, la red es de adelanto. Si TI < T2, la red es de atraso.
5-10 ERRORES EN ESTADO ESTABLE EN LOS SISTEMAS
DE CONTROL DE REALIMENTACIÓN UNITARIA
Los errores en un sistema de control se pueden atribuir a muchos factores Los cambios en la
entrada de referencia provocan errores inevitables durante los periodos transitorios y también
pueden producir errores en estado estable. Las imperfecciones en los componentes del sistema, tales como la fricción estática, juego o bamboleo (backlash) y la deriva térmica del amplificador, al igual que el envejecimiento o el deterioro, provocan errores en el estado
uniforme. Sin embargo, en esta sección no analizaremos los errores producidos por las imperfecciones de los componentes del sistema. Más bien, investigaremos un tipo de error en estado
estable provocado por la incapacidad del sistema de seguir determinados tipos de entradas
274
Capítulo 5 / Acciones básicas de control y respuesta de sistemas de control
Cualquier sistema de control físico sufre, por naturaleza un error en estado estable en
respuesta a ciertos tipos de entrada. Un sistema puede no tener un error en estado estable para una entrada escalón, pero el mismo sistema puede exhibir un error en estado estable diferente de cero ante una entrada rampa. (La única forma de eliminar este error es modificar la estructura del sistema.) El que un sistema determinado exhiba un error en estado
estable para un tipo específico de entrada depende del tipo de función de transferencia en
lazo abierto del sistema, lo cual analizaremos a continuación.
Clasificach de los sistemas de control. Los sistemas de control se clasifican de
acuerdo con su capacidad de seguir entradas escalón, rampa, parábola, etc. Éste es un esquema de clasificación razonable, porque las entradas reales con frecuencia se consideran
combinaciones de las entradas mencionadas. Las magnitudes de los errores en estado estable producidos por estas entradas individuales indican la bondad del sistema.
Considere el sistema de control con realimentación unitaria con la siguiente función de
transferencia en lazo abierto G(s):
G(s) =
K(T,s + l)(T,s + 1) **- (íy& + 1)
s”( T,s + l)(Tg + 1) ***(Tps + 1)
Este sistema contiene el término sN en el denominador, que representa un polo de multiplicidad iV en el origen. El esquema de clasificaci6n actual se basa en la cantidad de integraciones indicadas por la función de”transferencia en lazo abierto. Un sistema se
denomina de tipo 0, de tipo 1, de tipo 2,. . . si N = 0, N = 1, N = 2,. . . , respectivamente. Tome
en cuenta que esta clasificación es diferente de la que se basa en el orden del sistema.
Conforme el número del tipo es mayor, mejora la precisión; sin embargo, aumentar el
número del tipo agrava el problema de la estabilidad. Siempre es necesario un equilibrio
entre la precisión en estado estable y la estabilidad relativa. En la práctica, es muy raro
tener sistemas de tipo 3 o superiores, pues, por lo general, resulta difícil diseñar sistemas
estables que tengan ,dos o más integradores en la trayectoria directa.
Veremos después que, si G(s) se escribe para que cada término del numerador y el denominador, excepto el termino SN, tiende a la unidad, conforme s tiende a cero, entonces la
ganancia en lazo abierto K está directamente relacionada con el error en estado estable.
Errores en estado estable.
transferencia en lazo cerrado es
Considere el sistema de la figura 5-53. La función de
C(s)
G(s)
-=
R(s) 1 + G(s)
La función de transferencia entre la señal de error e(t) y la señal de entrada r(t) es
E(s)
-=l-g=l+;(s)
Ns)
Figura 5-53
Sistema de control.
Sección 5-10
/
Errores en estado estable en los sistemas de control . . .
275
en donde el error e(t) es la diferencia entre la señal de entrada y la señal de salida.
El teorema del valor final ofrece una forma conveniente de encontrar el desempeño en
estado estable de un sistema estable. Dado que E(s) es
E(s) =
1 + G(s) R(S)
el error en estado estable es
e SS = lím e(t) = l$~~ sE = Iím W)
t-v=
s+o 1 + G(s)
Las constantes de error estático definidas a continuación son figuras de mkrito de los
sistemas de control. Entre más altas son las constantes, más pequeño es el error en estado
estable. En un sistema determinado, la salida puede ser la posición, la velocidad, la presión, la temperatura, etc. Sin embargo, la forma física de la salida no viene al caso en el
análisis actual. Por tanto, en lo sucesivo llamaremos “posición” a la salida, “velocidad” a la
razón de cambio de la salida, etc. Esto significa que, en un sistema de control de temperatura, “posición” representa la temperatura de salida, “velocidad” representa la razón de
cambio de la temperatura de salida, etcétera.
Constante de error de posicih estática Kp’
para una entrada escalón unitario es
El error en estado estable del sistema
1
eaa = lím
s-,o 1 +G(s) i
1
= 1 + G(O)
,
La constante de error de posición estática Kp se define mediante
Kp = '90 G(s) * G(O)
Por ende, el error en estado estable en términos de la constante de error de posición estática Kp se obtiene mediante
1
esa = 1+-K,
Para un sistema de tipo 0,
KP
=límK(~s+l)(T,s+l)...=K
5-4 (T,s + l)(T,s + 1) - - *
Para un sistema de tipo 1 o mayor,
K = lím K(Tc7.f + l)(Tbs + 1) * * *
p
,4s~(T1s+l)(Tzs+l)**-
=03,
para N L 1
De este modo, para un sistema de tipo 0, la constante de error de posición estática Kp es
finita, en tanto que, para un sistema de tipo 1 o mayor, Kp es infinita.
276
capítulo 5 / Acciones bíisicas
de control y respuesta de sistemas de control
Para una entrada escal& unitario, el error en estado estable e, se resume del modo siguiente:
1
e S S =1+zc’
para sistemas de tipo 0
ess = 0,
para sistemas de tipo 1 o mayor
A partir del antisis anterior, se observa que la respuesta de un sistema de control de
realimentación para una entrada escalón implica un error en estado estable si no existe un
integrador en la trayectoria directa. (Si es posible tolerar errores pequeños para entradas
escalón, es permisible un sistema de tipo 0, siempre y cuando la ganancia K sea suficientemente grande. Sin embargo, si la ganancia K es demasiado grande, es difícil obtener una estabilidad relativa razonable.) Si se pretende un error en estado estable de cero para una
entrada escalón, el tipo del sistema debe ser uno o mayor.
Constante de error de velkidad estática &
una entrada rampa unitaria se obtiene mediante
El error en estado estable del sistema con
1
= lím s-,o sG(s)
La constante de error de velocidad estática KV se define mediante
KV = !% SC(S)
Así, el error en estado estable en términos de la constante de error de velocidad estática KV
se obtiene mediante
Aquí se usa el t6rmino error & velocidad para expresar el error en estado estable para
una entrada rampa. La dimensión del error de velocidad es igual que la del error del sistema. Es decir, el error de veloéidad no es un error en la velocidad, sino un error en la posición debido a una entrada rampa.
Para un sistema de tipo 0,
K = lh
”
W 3 + l)Gs + 1) - - * = o
s+o (f,,& l)(T*s + 1) . **
Para un sistema de tipo 1,
Para un sistema de tipo 2 o mayor,
K
=l,sK(~~+W’~+l)***
” S-JO sN(T1s + l)(Tzs +-1) ***
Seccih
5-10
/
=m
’
paraNr2
Errores en estado estable en los sistemas de control . . .
277
El error en estado estable eSS para la entrada rampa unitaria se resume del modo siguiente:
1
ess = - = 03,
K”
para sistemas de tipo 0
1
1
ess = =
,
K
K
para sistemas de tipo 1
1
ess = K = 0,
”
para sistemas de tipo 2 o mayor
El análisis anterior indica que un sistema de tipo 1 es incapaz de seguir una entrada
rampa en el estado uniforme. El sistema de tipo 1 con realimentación unitaria sigue la entrada rampa con un error finito. Operando en estado estable, la velocidad de salida es igual
a la velocidad de entrada, pero hay un error de posición. Este error es proporcional a la velocidad de la entrada y es inversamente proporcional a la ganancia K. La figura 5-54 muestra un ejemplo de la respuesta de un sistema de tipo 1 con realimentación unitaria para una
entrada rampa. El sistema de tipo 2 o mayor sigue una entrada rampa con un error de cero
en estado estable.
Constante de error de aceleración estática &. El error en estado estable del sistema con una entrada parábola unitaria (entrada de aceleración), que se define mediante
r(r) = ; >
para t 2 0
= 0,
para t < 0
se obtiene a partir de
e ss
1
= lj--o s2G(s)
La constante de error de aceleración estática K. se define mediante la ecuación
Figura 5-54
t
278
Respuesta de un sistema con realimentación
unitaria de tipo 1 para una entrada rampa.
Capítulo 5 / Acciones básicas de control y respuesta de sistemas de control
De esta manera, el error en estado estable es
1
e S S =Ka
Observe que el error de aceleración, el error en estado estable producido por una entrada
parábola, es un error en la posición.
Los valores de K, se obtienen del modo siguiente:
Para un sistema de tipo 0,
K = lím s2K(T,s + l)(T,s + 1) * * * = o
a
s+o
(T,s + l)(T,s + 1) . . *
Para un sistema de tipo 1,
K
=
= lím s2K(T,s + l)(T,s + 1) - *. = o
s-b0 s( T,s f l)(T,s + 1) ***
Para un sistema de tipo 2,
Para un sistema de tipo 3 o mayor,
K = lim s2K(Td + l)(Tbs + i) * * - = cQ
a
paraNr3
’
Por tanto, el error en estado estable para la entrada parábola unitaria es
s-so sN(T1s + l)(Tzs + 1) ***
e SS =rn,
para sistemas de tipo 0 y tipo 1
1
e SS =->
K
para sistemas de tipo 2
e SS - 0,
para sistemas de tipo 3 o mayor
Observe que tanto los sistemas de tipo 1 como los de tipo 2 son incapaces de seguir una
entrada parábola en estado estable. El sistema de tipo 2 con realimentación unitaria puede
seguir una entrada parábola con una señal de error finita. La figura 5-55 muestra un ejemplo de la respuesta de un sistema de tipo 2 con realimentación unitaria a una entrada parábola. El sistema de tipo 3 o mayor con realimentación unitaria sigue una entrada parábola
con un error de cero en estado uniforme.
Resumen. La tabla 5-2 resume los errores en estado estable para los sistemas de tipo
0, de tipo 1 y de tipo 2 cuando están sujetos a diversas entradas. Los valores finitos para los
errores en estado estable aparecen en la línea diagonal. Sobre la diagonal, los errores en estado estable son infinitos; bajo la diagonal, son cero.
Recuerde que los términos error de posición, error de velocidad, y error de aceleración
significan desviaciones en estado estable en la posición de salida. Un error de velocidad
finito implica que, después de que han desaparecido los transitorios, la entrada y la salida
se mueven a la misma velocidad, pero tienen una diferencia de posición finita.
Sección 5-10 /
Errores en estado estable en los sistemas de control . . .
279
Figura 5-55
Respuesta de un sistema de tipo 2 con realimentación
unitaria a una entrada parábola.
Las constantes de error Kp, KV y Ka describen la capacidad de un sistema de realimentación unitaria de reducir o eliminar el error en estado estable. Por tanto, indican el desempeño en estado estable. En general, es conveniente aumentar las constantes de errores,
al tiempo que se conserva la respuesta transitoria dentro de un rango aceptable. Si hay un
conflicto entre la constante de error de velocidad estática y la constante de error de la aceleración, esta última se considera menos importante que la primera. Debe señalarse que, para
mejorar el desempeño en estado estable aumentamos el tipo del sistema agregando uno o
más integradores a la trayectoria directa. Sin embargo, esto introduce un problema de estabilidad adicional. Por lo general, es difícil realizar el disefio de un sistema satisfactorio con
más de dos integradores en serie en la trayectoria directa.
Comparación de los errores en estado estable de un sistema de control en lazo
abierto con los de un sistema de control en lazo cerrado. Considere el sistema de
control en lazo abierto y el sistema de control en lazo cerrado de la figura 5-56. En el sistema en lazo abierto, la ganancia K, se calibra para que K, = l/K. Por tanto, la función de
transferencia del sistema de control en lazo abierto es
G,(s) = ;-j& = w-iTs + 1
En el sistema de control en lazo cerrado, la ganancia Kp del controlador se establece para
que K,KS- 1.
Tabla 5-2 Error en estado estable en términos de la ganancia K
Entrada escalón
r(t) = 1
Entrada rampa
Entrada de aceleración
r(t) = t
r(t) = ItZ
Sistema de tipo 0
1
-
m
co
Sistema de tipo’1
0
1
K
c9
Sistema de tipo 2
0
0
1
K
Capítulo 5
/
l+K
Acciones bhsicas
de control y respuesta de sistemas de control
R
*
-
Kc
Calibración
K,=L
K
c
K
Ts+l
t
Phllta
yTHzT FIgnrs 5-56
Diagramas de bloques de un sistema
de control en lazo abierto y de un
sistema de control en lazo cerrado.
I
1
Suponiendo una entrada escalón unitario, comparemos los errores en estado estable
para los sistemas de control. Para el sistema de control en lazo abierto, la señal de error es
e(t) = r(t) - c(t)
o bien
E(s) = R(s) - C(s)
= P - WWW
El error en estado estable en la respuesta escalón unitario es
e SS = iFo W)
= h. s[l - G,(s)] i
= 1 - G,,(O)
Si G,(O),la ganancia de cd del sistema de control en lazo abierto es igual a la unidad, de modo
que el error en estado estable es cero. Sin embargo, debido a los cambios ambientales y al envejecimiento de los componentes, la ganancia en cd Ga(O) se alejará de la unidad conforme
pase el tiempo y el error en estado estable ya no será igual a cero. Tal error en estado estable
en un sistema de control en lazo abierto perdurará hasta que el sistema vuelva a calibrarse.
Para el sistema de control en lazo cerrado, la señal de error es
E(s) = R(s) - C(s)
1
= 1 + G(s) R(s)
en donde
G(s) = +$
El error en estado estable en la respuesta escalón unitario es
Sección 5-10
/
Errores en estado estable
en los sistemas de control . . .
281
1
= 1 + G(O)
1
= 1 + KPK
En el sistema de control en lazo cerrado,la ganancia Kp se establece en un valor muy grande
en comparación con l/K. Por tanto, el error en estado estable disminuye, aunque no exactamente hasta cero.
Supongamos la variación siguiente en la función de transferencia de la planta, considerando Kc y Kp constantes:
K+AK
Ts + 1
Para simplificar, supongamos que K = 10, AK = 1 o AKIK = 0.1. A continuación, el error
en estado estable en la respuesta escalón unitario para el sistema de control en lazo abierto
se convierte en
e S S =l-+(K+AK)
= 1 - 1.1 = -0.1
Para el sistema de control en lazo cerrado, si Kp se establece en lOO/K, el error en estado
estable en la respuesta escalón unitario se convierte en
1
e
ss = 1 + G(O)
=
1
l+$$K+AK)
1
= - = 0.009
1 + 110
Por tanto, el sistema de control en lazo cerrado es superior al sistema de control en lazo
abierto en presencia de cambios ambientales, envejecimiento de los componentes, etc., lo
cual definitivamente afecta el desempeño en estado estable.
EJEMPLO DE PROBLEMAS Y SOLUCIONES
A-5-1.
Explique por que el control proporcional de una planta que no posee una propiedad de integración (lo que significa que la función de transferencia de la planta no incluye el factor 11~) sufre
un offset en la respuesta a las entradas escalón.
Solución. Por ejemplo, considere el sistema de la figura 5-57. En estado uniforme, si c fuera igual
a una constante r diferente de cero, e = 0 y u = Ke = 0. Esto haría que c = 0, lo cual contradice
la suposición de que c = r = constante diferente de cero.
Capítulo 5
/
Acciones básicas de control y respuesta de sistemas de control
Debe existir un offset diferente de cero para la operación adecuada de un sistema de control. En otras palabras, en estado estable, si e fuera igual a r/(l + K), entonces u = Kr/(l + k) y c
= Krl(1 + k), lo cual provocaría la señal de error supuesta e = r/(l + K). Por tanto, el offset de
r/(l + K) debe existir en tal sistema.
A-5-2.
Considere el sistema de la figura 5-58. Demuestre que el error en estado estable después de la
entrada rampa unitaria es BIK. Este error se hace más pequeño si se selecciona una B pequeña
ylo una K grande. Sin embargo, reducir B ylo aumentar K, tendría el efecto de reducir el factor
de amortiguamiento relativo, cosa que, por lo general, no es conveniente. Describa un método
para reducir BIK e incluso así hacer que el factor de amortiguamiento relativo tenga un valor razonable (0.5 < 5 < 0.7).
Solución. A partir de la figura 5-58 obtenemos
E(s) = R(s) - C(s) = Jsf; ;,“s K R(s)
El error en estado estable para la respuesta rampa unitaria se obtiene del modo siguiente: para
la entrada rampa unitaria, el error en estado estable ess es
en donde
Para asegurar una respuesta transitoria y un error en estado estable aceptables después de
una entrada rampa, 5 no debe ser demasiado pequefía
y un debe ser suficientemente grande. Es
posible reducir el error en estado estable e, si se aumenta el valor de la ganancia K. (Un valor
grande de K tiene la ventaja adicional de suprimir los efectos indeseables provocados por una
Figura 5-58
Sistema de control.
qemplo de problemas y soluciones
283
D(S)
Figura 5-59
Diagrama de bloques de un
sistema de control de velocidad.
zona muerta, un bamboleo o juego, una fricción de coulomb, etc.). Sin embargo, un valor grande
de K reduciría el valor de 5 y aumentaría el sobrepaso máximo, lo cual no es conveniente.
Por lo anterior es necesario establecer un equilibrio entre la magnitud del error en estado
estable ante una entrada rampa y el sobrepaso máximo para una entrada escalón unitario. En el
sistema de la figura 5-58, es fácil alcanzar un compromiso razonable. Por tanto, es conveniente
considerar otros tipos de acciones de control que mejoren tanto la respuesta transitoria como el
desempeño en estado permanente. Existen dos esquemas para mejorar la respuesta transitoria y
el desempeíío en estado estable. Uno es usar un controlador proporcional-derivativo, y el otro
es usar una realimentación de tacómetro.
A-5-3.
El diagrama de bloques de la figura 5-59 muestra un sistema de control de velocidad en el cual
el miembro de salida del sistema esta sujeto a una perturbación de par. En el diagrama, B,(s),
B(s), T(s) y D(s) son las transformadas de Laplace de la velocidad de referencia, la velocidad de
salida, el par de excitación y el par de perturbación, respectivamente. En ausencia de un par de perturbación, la velocidad de salida es igual ,a la velocidad de referencia.
Investigue la respuesta de este sistema para un par de perturbación escalón unitario. Suponga
que la entrada de referencia es cero, es decir, Q,(s) = 0.
Solución. La figura 540 es un diagrama de bloques modificado, conveniente para el análisis
sente. La función de transferencia en lazo cerrado es
gL
pre-
l
Js + K
en donde G%(s) es la transformada de Laplace de la velocidad de salida producida por el par de
perturbación. Para un par de perturbación escalón unitario, la velocidad de salida en estado estable es
1
=-
K
A partir de este anaisis concluimos que, si se aplica un par de perturbaciión
escalón al miembro de salida del sistema, se producirá una velocidad de error tal que el par del motor resultante
Figura
S-MI
Diagrama de bloques del sistema de control
de velocidad de la figura 5-59 cuando Q,(s) = 0.
284
Capítulo 5 / Acciones bhsicas
de control y respuesta de sistemas de control
cancelara exactamente el par de perturbación. Para desarrollar el par del motor, es necesario que
exista un error en la velocidad para que se produzca un par diferente de cero.
A-M.
En el sistema considerado en el problema A-5-3, se pretende eliminar lo más posible los errores
de velocidad producidos por los pares de perturbación.
iEs posible cancelar el efecto de un par de perturbación en estado estable para que un par
de perturbación constante aplicado al miembro de salida no produzca un cambio de velocidad en
estado estable?
Solución. Suponga que elegimos un controlador conveniente cuya función de transferencia sea
G,(s), como se observa en la figura 5-61. En ausencia de la entrada de referencia, la función de
transferencia en laxo cerrado entre la velocidad de salida Q,(s) y el par de perturbación D(s) es
Jws) _
D(s)
1
Js
1 + ; G,(s)
1
= Js + G,(s)
La velocidad de salida en estado estable producida por el par de perturbación escalón unitario es
W&) = Jin;: s&(s)
=lím
’
’
s+oJs + G,(s) i
1
=G,(Q)
Para satisfacer el requerimiento de que
w&J) = 0
debemos seleccionar G,(O) = m. Esto se comprende si elegimos
G,(s) = 5
Una acción de control integral seguirá corrigiendo hasta que el error sea cero. Sin embargo, este
controlador presenta un problema de estabilidad, debido a que la ecuación caracterfstica
tendrá
dos raíces imaginarias.
Un método para estabilizar un sistema como éste es agregar un modo proporcional al controlador, o elegir
G,(s) = Kp + 5
Figura 5-61
Diagrama de bloques de un
sistema de control de velocidad.
F,jemplo de problemas y soluciones
285
Con este controlador, el diagrama de bloques de la figura 5-61, ante la ausencia de la entrada de
referencia, se convierte en el de la figura 5-62. La funci6n de transferencia en lazo cerrado
Q~(s)lD(s)
se convierte en
s
Q,(s)
-=
J$ + Kps + K
D(s)
Para un par de perturbación escalón unitario, la velocidad de salida en estado estable es
w,(m) = líi sQ,(s) = lím
s2
1-cO
s+o Js2 + Kps + K s
Por tanto, observamos que el controlador proporcional-integral elimina el error de velocidad en
estado estable.
El uso de una acción de control integral ha aumentado
el orden del sistema en 1. (Esto tiende
~a producir una respuesta oscilatoria.)
En el problema actual, un par de perturbación escalón provocará un error transitorio en la
velocidad de salida, pero el error se convertirá en cero en estado estable. El integrador proporciona una salida diferente de cero con un error de cero. (La salida diferente de cero del integrador
produce un par del motor que cancela exactamente el par de perturbación.)
Observe que el integrador de la función de transferencia de la planta no elimina el error en
estado estable debido a un par de perturbación escalón. Para eliminar dicho error, debemos tener
un integrador antes del punto en el que se introduce el par de perturbación.
A-H.
Considere el sistema de la figura 5-63(a). El error en estado estable para una entrada rampa unitaria es eS, = 25lw,. Demuestre que el error en estado estable se elimina para seguir una entrada
rampa si la entrada se incorpora al sistema a través de un filtro proporcional-derivativo, como se
observa en la figura 5-63(b), y el valor de k se establece en forma proporcional. Observe que el
error e(t) se obtiene mediante r(t) - c(t).
Solución. La función de transferencia en lazo cerrado del sistema de la figura 5-63(b) es
(1 + ks)w;
C(s)
-=
s2 + 25qp + cu;
R(s)
Por tanto,
R(s) - C(s) =
s2 + 25w,s -* w;ks
s2 + 25w,s + co;
R(s)
Si la entrada es una rampa unitaria, el error en estado estable es
Figura 5-63
(a) Sistema de control; (b) sistema de
control con filtro de
entrada.
286
Ca)
Capítulo 5
/
(b)
Acciones básicas de control y respuesta de sistemas de control
f?(m) = r(m) - c(m)
=líis
s= + 25w,s - w;ks 1
i s= + 2504p + c.0; 2
= Xw,, - w:k
Por tanto, si se selecciona k como
4
,&i
%
el error en estado estable después de una entrada rampa se hace igual a cero. Observe que, si existen variaciones en los valores de 5 ylo o,,, debido a los cambios ambientales o al envejecimiento,
puede producirse un error en estado estable diferente de cero para una respuesta rampa.
A-M.
Considere el sistema de control del nivel de líquido de la figura 5-64. Suponga que el punto de
definición del controlador está fijo. Suponiendo una perturbación escalón de magnitud DO, determine el error. Considere que DO es pequeña lo mismo que las variables a partir de sus valores
en estado estable respectivos. El controlador es proporcional.
Si el controlador no es proporcional sino integral, jcul es el error en estado estable?
Solución. La figura 5-65 es un diagrama de bloques del sistema cuando el controlador es pro-
porcional con una ganancia de K,,. (Suponemos que la función de la válvula neumática es unitaria.) Dado que el punto de ajuste está fijo, la variación en el punto de ajuste es cero o X(s) =
0. La transformada de Laplace de h(t) es
Entonces
KR
E(s) = -H(s) = -p. E(s) z& D(S)
RCsi-1
Controlador proporcional
Perturbación D
Q+qo
-
Figura 5-64
Sistema de control del nivel de líquido.
R
D(s)
R
-
RCs+l
Figura 5-65
Diagrama de bloques
del sistema de control
del nivel de líquido
de la figura 5-64.
Ejemplo de problemas y soluciones
287
Por tanto
E(s) = -
RCs +k KpROd)
Dado que
D(s) = +
obtenemos
E(s) = RCs
- '+l+
R KPR Do
s
RDO
-
=1 + KPR
RDO
1
1 + KPR s
La solución en el tiempo para t > 0 es
e(t) = 3-[exp(-qt) - l]
Por tanto, la constante de tiempo es RCI(1 + K,R). (Ante la ausencia del controlador, la constante
de tiempo es igual a RC.) Conforme la ganancia del controlador crece, la constante de tiempo disminuye. El error en estado estable es
RDO
+m) = -
l +
-
KPR
Conforme la ganancia Kp del controlador crece, el error en estado estable, o el offset, se reduce.
Por tanto, matemáticamente, entre más grande es la ganancia Kp, más pequefíos son el offset y la
constante de tiempo. Sin embargo, en los sistemas prácticos, si la ganancia Kp del controlador proporcional llega a un valor muy grande, puede producirse una oscilación en la salida, dado que en
nuestro anAlisis no se consideran todos los retrasos pequeños y todas las constantes de tiempo
pequeíías que existen en el sistema de control real. (Si en el análisis se incluyen estos retrasos y
constantes de tiempo pequeños, la función de transferencia ge vuelve de un orden mayor y, para
valores muy grandes de Kp, existe la posibilidad de oscilación o incluso la inestabilidad.)
Si el controlador es integral, suponiendo que la función de transferencia del controlador es
G, = 5
obtenemos
E(s) = -
R& :+ KRD(')
El error en estado estable para una perturbación escalón D(s)
= Dd(s)
es
e(m) = L% SE(S)
=0
288
Capítulo 5 / Acciones bhsícas
de control y respuesta de sistemas de control
Por tanto, un controlador integral elimina un error en estado estable o un offset debido a la perturbación escalón. (El valor de K debe elegirse para que la respuesta provocada por la entrada
del comando ylo la perturbación se amortigtie con una velocidad razonable.)
A-5-7.
Obtenga una solución analítica y una solución computacional de la respuesta escalón unitario de
un sistema de realimentación unitaria cuya función de transferencia en lazo abierto es
G(s) =
qs + 20)
s(s + 4.59)(s2 + 3.41s + 16.35)
Solución. La función de transferencia en lazo cerrado es
qs + 20)
cN=
R(s)
s(s + 4.59)(s2 + 3.41s + 16.35) + 5(s + 20)
=
5s + loo
s4 + @ + 32~~ + 80s + 100
5(s + 20)
= (2 + 2,s + lO)(sz + 6s + 10)
Así, la respuesta escalón unitario de este sistema es
C(s) =
5(s + 20)
s(s2 + 2s + lO)(? + 6s + 10)
=1 I
%(s+ -1) 9 + -w + 3) - 9
s (s + q2 + 32
(s + 3)2 + l2
La respuesta en el tiempo c(t) se encuentra a partir de la transformada inversa de Laplace
del modo siguiente:
c(t) = 1 + te-1 cos 32 - &j e-’ sen 3t - * e-st cos t - f e-31 sen t,
de C(s),
para 2 0
El programa MATLAB 5-2 sirve para obtener la respuesta escalón unitario de este sistema.
La curva de respuesta escalón unitario resultante aparece en la figura 5-66.
A-5-8.
Considere la siguiente ecuación caracterfstica:
s4+Ks3+?+s+1=0
Determine el rango de valores de K para la estabilidad.
Solución. El arreglo de coeficientes de Routh es
Qemplo
de problemas y soluciones
Respuesta escalón unitario de C(s)/R(s) = (5s+100)l(sA4+8.P3+32s”2t
(5~+100)/(~“4+&“3+32~2+80s+100)
Figura
5-66
Curva de respuesta
escalón unitario.
0
0.5
1
1.5
2
2.5 3 3.5
Tiempo (seg)
s4
2
2
Sl
so
K
K - l
K
P
l-K-1
1
1
1
1
1
0
0
4
4.5
5
0
Para la estabilidad, es necesario que
K>O
K - l
->o
K
l
P- s-o
K - l
A partir de las primera y segunda condiciones, K debe ser mayor que 1. Para K > 1, observe que
el término l-[P/(K - 1)] siempre es negativo, dado que
K-l-p=
K - l
-l+K(l-K)<o
K - l
Por tanto, no es posible cumplir con las tres condiciones en forma simulthnea.
existe un valor de K que permita la estabilidad del sistema.
A-5-9.
Considere la ecuación característica obtenida
Por tal razón, no
mediante
a,s” + a,P + a2sne2 + * * . + a,s + a, = 0
(5-37)
El criterio de estabilidad de Hurwitz, que se presenta a continuación, ofrece las condiciones para
todas las raíces que tienen partes reales negativas en términos de los coeficientes del polinomio.
Como se plante6 en el análisis del criterio de estabilidad de Routh, de la sección 5-5, para todas
las raíces que tengan partes reales negativas, todos los coeficientes de las a deben ser positivos.
29d
Capítulo 5 / Acciones bhsicas
de control y respuesta de sistemas de control
Ésta es una condición necesaria, pero no suficiente. Si no se satisface esta condición, quiere decir
que algunas de las raíces tienen partes reales positivas, son imaginarias o son cero. Una condición
suficiente para que todas las rafces tengan partes reales negativas se obtiene mediante el siguiente criterio de estabilidad de Hurwitz: si todos los coeficientes del polinomio son positivos,
arréglelos en el determinante siguiente:
a,
a,
0
An = 0
.
u3
ll2
u,
u,
.
.
0
.
0
u5
u,
Lz3
u,
.
.
0
. . .
. . .
. . .
. . .
0
.
u,
Un-l
42-2
%3
.. .
an-4
0
.
0
0
an
0
.
0
0
0
%-1
un-2
0
u,I
en donde los ceros se sustituyen por u, para s > n. Para todas las raíces que tienen partes reales
negativas, es necesario y suficiente que los menores principales de Ah. sean positivos . Los menores
principales sucesivos son los determinantes siguientes:
Ai
al
u3
uo
u2
**
*
**.
&+l
%i -2
= 0 uI . . . uZm3
. .
0
0
*.* ui
(i=1,2,...,n-1)
en donde us = 0 si s > n. (Observe que se incluyen algunas condiciones para los determinantes
de orden inferior en las condiciones para los determinantes de orden superior.) Si todos estos
determinantes son positivos, y si se ha supuesto uo > 0, el estado de equilibrio del sistema cuya
ecuación caracterfstica se obtiene mediante la ecuación (5-37) es asintóticamente estable. Observe que no se necesitan valores exactos de los determinantes; sólo se requieren los signos de
estos determinantes para el criterio de estabilidad.
Ahora considere la siguiente ecuación caracterfstica:
llos” + UlS3 + u2s2 + ugs + u, = 0
Obtenga la condición para la estabilidad mediante el criterio de estabilidad de Hurwitz.
Solución. Las condiciones para la estabilidad son que todas las u sean positivas y que
- 110113 > 0
01
Q3
0
8, = u, u2 u4
0 al a3
= u1(u2u3 - up4) - uou;
= u3(u1u2 - uou3) - u$z4 > 0
Es evidente que todas las u son positivas y que, si se satisface la condición As > 0, también se
cumple la condición AZ > 0. Por tanto, para todas las raíces de la ecuación característica determinada que tengan partes reales negativas, es necesario y suficiente que todos los coeficientes de
u sean positivos y 83 > 0.
A-5-10.
Demuestre que el criterio de estabilidad de Routh y el criterio de estabilidad de Hurwitz son
equivalentes.
EJemplo
de problemas y soluciones I
291
Soluc.ión. Si escribimos las determinantes de Hmwitz en la forma triangular
,*
all
a22
Ai =
(i= 1,2,...,n)
’
0
aii
en la que todos los elementos debajo de la lfnea diagonal son cero y todos los elementos sobre la
línea diagonal son cualquier número, las condiciones de Hmwitz para la estabilidad asintótica se
convierten en
Ai = a11a22...aii> 0
(i = 1,2, . . . , n)
que son equivalentes a las condiciones
all > 0,
az2 > 0,
...,
am>0
Ahora demostraremos que estas condiciones son equivalentes a
al > 0,
Cl > 0,
b, > 0,
...
en donde al, bl, cl,. . .son los elementos de la primera columna en el arreglo de Routh.
Por ejemplo, considere el siguiente determinante de Hmwitz, que corresponde a n = 4:
al
al
A4
=
0
0
a3
a3
aO
a5
a7
a4
a6
a2
al
ao
a3
a2
a5
a4
El determinante no se altera si restamos del l”-ésimo renglón el j-ésimo renglón multiplicado por
k. Restando del segundo renglón adal veces el primer renglón, obtenemos
all
a3
0
A, =
0
0
a22
al
ao
aS
a7
a3
aS
a2
a4
,,‘&
a24
^
en donde
all = al
a0
a,=a2--a,
al
ao
a,=a,--aS
al
a0
aB=a6--a7
al
Asimismo, restar del cuarto renglón el tercer renglón multiplicado por adal
292
Capítulo 5 / Acciones básicas de
control y respuesta de sistemas de control
produce
a3
all
0
A4=o
a5
a7
““Z
0
0
a43
644
en donde
L
QO
a43 = a2- -a3
al
A continuación, restando del tercer
renglón el segundo renglón multiplicado por
A
4
all
0
a3
a22
9
aB
a7
0
0
U33
Q34
=
0
0
a43
aJazz
produce
a2.4
ii4
en donde
Ql
a33 = a3 - - a23
az
Q34 =
Ql
aS--ax
az
Por último, restar del última renglón el segundo renglón multiplicado por
\
41
h4
=
;
0
a3
%
a7
“0”
a23
a24
0
U33
a34
0
U@
&3/a33
produce
en donde
.
a,,
,.
a, = a, --U 34
U33
A partir de este análisis, observamos que
A4 = alla22wti
4 = w22%
A2 = Una22
AI = all
Las condiciones de Hurwitz
para la estabilidad asintótica
A,>O,
A,=-0,
A,=-0,
A,>O,
...
se reducen a las condiciones
FJemplo
de problemas y soluciones
293
a,, > 0,
a22 > 0,
a,>O,
a33 > 0,
...
El arreglo de Routh para el polinomio
uos4 + UlS3 + u2s2 + a3s + a4 = 0
en donde ao > 0, se obtiene a partir de
ao
a2
al
a3
a4
b,
b,
Cl
4
A partir de este arreglo de Routh, observamos que
a 22 = a, - a0
- a3 = b,
al
al
a33 = a3 - -a,
= a3bl - alb2 _
b,
- ”
a22
A
.
b,c,
a4,
a4 = a, - -a34
=
- b1c2
= d
Cl
a33
1
Por tanto, las condiciones de Hmwitz para la estabilidad asintótica se vuelven
a, > 0,
d,> 0,
q > 0,
b, > 0,
...
De esta manera, demostramos que las condiciones de Hurwitz para la estabilidad asintótica se reducen a las condiciones de Routh para la estabilidad asintótica. El mismo argumento se extiende
para los determinantes de Hurwitz de cualquier orden, y es posible establecer la equivalencia entre el criterio de estabilidad de Routh y el criterio de estabilidad de Hunvitz.
A-Sll.
Demuestre que la primera columna del arreglo de Routh de
s” + als”-’ + a2sne2 + **. + cz,-p + a, = 0
se obtiene mediante
1,
4,
h,
A2
1
h,
A3
.
2
.
.
48
.
G
en donde
al
a3
%
AI =
1
0
0
1
..*
...
a2 al
a4 u3 a2 . . .
.
.
.
.
.
.
1.la2rl . . .. .. ..*
ak = 0
0
0
0
a,
Sik>tZ
Solución. El arreglo de coeficientes de Routh tiene la forma de
29.4
Capítulo 5 / Acciones bhsícas de control y respuesta de sistemas de control
1
a2
a4
a6
a,
a3
a5
. . .
.
.
.
a,
b, b, b, . . .
Cl
c2
*
.
.
.
.
.
.
.
.
.
El primer término de la primera columna del arreglo de Routh es 1. El término siguiente de la
primera columna es al, que es igual a AI, El término siguiente es bl, que es igual a
ala2 - a3
_ _
A2
al
Al
El término que sigue en la primera columna es cl, que es igual a
4%
- alb2 _
4 -
[!vyL3] a3 - al[“‘“;y as]
[Fl
= alaza - a$ - afa + ala5
alu2 - a3
A
=3
AZ
Los Mrminos restantes de la primera columna del arreglo de Routh se encuentran en forma similar.
El arreglo de Routh tiene la propiedad de que los últimos términos diferentes de cero de
cualquier columna son iguales; es decir, si el arreglo se obtiene mediante
aO
a2
a4
a6
al
bl
a3
a7
bz
a5
b,
Cl
c2
c3
4
4
e2
;;
g1
entonces
a, = c3 = e, = g,
y si el arreglo se obtiene mediante
‘0
a2
a4
a6
al
a3
a5
0
bl
bz
Cl
c2
b,
0
4
4
0
entonces
Qemplo
de problemas y soluciones
295
a6 = b, = d2 = fi
En cualquier caso, el último termino de la primera columna es igual a an, o bien,
LIan _ 4
a =--n
An-I
L-t
Por ejemplo, si n = 4, entonces
a,
A,
=
1
0
0
a2
al
1
a4
a3
a2
a6
a5
a4
a3
a5
al
aI
=
a3
0
0
1
a2
a4
0
al
a3
0
0
0
1
a2
= A3a4
a,
Por tanto, se ha demostrado que la primera columna del arreglo de Routh se obtiene mediante
1,
A-5-12.
A.,,
82
Li;,
A3
h,
. . . , -$
1
2
n 1
El valor de la constante del gas para cualquier gas se determina a partir de observaciones experimentales precisas de valores simultáneos de p, v y T.
Obtenga la constante del gas R,, para el aire. Observe que a 32°F y 14.7 psia, el volumen específico del aire es de 12.39 piesVlb. A continuación obtenga la capacitancia de un recipiente a
presión de 20 pies3 que contiene aire a MiO’% Suponga que el proceso de expansión es isotkmico.
Solución.
R,+
14.7, x 144 x 12.39
‘.
460+32
= 53.3 pies-lbrllb “R
Remitiéndonos a la ecuación (5-12), la capacitancia de un recipiente a presión de 20 pies3 es
(pV=
nRtiT
Observe que, en tkrminos
20
= 6.05 x lo-4A
1 X 53.3 X 620
lbdpiesr
de las unidades del SI, Rtie se obtiene mediante
Raire= 287 N-m/kg K
A-S-W.
La figura 5-67 es un diagrama esquemático de una válvula de diafragma neumático. En estado
estable, la presión de control de un controlador es I’,, la presión en la válvula tambien es I’, y el
desplazamiento del vastago de la vabula es J?. Suponga que, en t = 0, la presión de control cambia de pc a p, + pc. Por tanto, la presión de la valvula cambiara de, p, a p, + pV. El cambio en la
presión de la válvula py provocará que el desplazamiento del vástago de la vabula pase de za J?
+ X. Encuentre la función de transferencia entre el cambio del desplazamiento del vástago de la
v&lvula x y el cambio en la presión de control pc.
Solución. Definamos como q el flujo del aire para la válvula de diafragma a travks de la resistencia R. Por tanto
q = PC - P”
R
Para la cámara de aire de la válvula de diafragma, tenemos que
Cdp, = q dt
En consecuencia,
296
Capítulo 5 / Acciones básicas de control y respuesta de sistemas de control
Figura 5-67
Válvula de diafragma neumática.
a partir de lo cual
Considerando que
AP, =kX
tenemos que
$ RC$+x =pc
(
1
La función de transferencia entre x y pE es
Alk
X(s)
-=P,(s) RCs + 1
A-S-U.
En el sistema de presión neumático de la figura H%(a) suponga que, para t C 0, el sistema está
en estado estable y que la presión de todo el sistema es p Tambih suponga que los dos fuelles
son idhticos. En t = 0, la presión de entrada cambia de Pa P + pi. A continuación, las presiones
en los fuelles 1 y 2 cambiarán de P a 4 + pl y de P a P + pz, respectivamente. La capacidad (el
volumen) de cada fuelle es de 5 X 1P m3, y la diferencia de presión de operación Ap (la diferencia entre pi ypl o la diferencia entre pi ypz) está entre -0.5 X 105 N/m* y 0.5 X 105 N/m*. La figura
5-68(b) contiene los flujos másicos correspondientes (kg/seg) a través de las válvulas. Suponga
que los fuelles se expanden o se contraen en forma lineal con las presiones de aire que se les aplican, que la constante del résorte equivalente del sistema de fuelles es k = 1 X 10s N/m y que cada
fuelle tiene un área A = 15 X lo” mz.
Definiendo como x el desplazamiento del punto medio de la varilla que conecta dos fuelles,
encuentre la función de transferencia X(s)/Pi(s).
Suponga que el proceso de expansión es iso&mico y que la temperatura del sistema completo permanece en 3O’C.
Solución. Remitiéndonos ala sección 5-6, la función de transferencia Pl(s)/Pi(s) se obtiene como
Ejemplo de problemas y soluciones
297
x
Fuelle 1
Fuelle 2
- Vhlvula 2
Figura 5-68
1.5 X 10-’
(a) Sistema de presión neumático; (b)
curva de la diferencia
de presión contra el
flujo másico.
P+pi
q(kg/seg)
4
II
(al
PI(S)
-=
pi(s)
1
(5-38)
R,Cs + 1
De manera similar, la función de transferencia Pz(S)/Pi(S)
es
1
P2(s>
-=
R,Cs
f1
Pi(S)
(5-39)
La fuerza que actúa sobre el fuelle 1 en la dirección x es A(P + pl) y la fuerza que actúa sobre el
fuelle 2 en la dirección x negativa es A(P + pz). La fuerza resultante se equilibra con kx, fuerza
del resorte equivalente del lado corrugado del fuelle.
A(P, - PZ) = kxo bien
(5-40)
-W,(s) - P,(s)1 = 4s)
Remitiéndonos a las ecuaciones (5-38) y (S-39), observamos que
PI(S) - P*(s) =
1
l
R,Cs + 1 - R,Cs + 1 P,Cs)
R,Cs - R,Cs
= (R,Cs + l)(R,Cs + 1) “(‘)
Sustituyendo esta última ecuación en la ecuación (5-40) y reescribiendo ésta, la función de transferencia X(s)/Pi(s)
se obtiene como
X(s)
A
-=pi(s)
(R,C - RO
(5-41)
k (R,Cs + l)(R,Cs + 1)
Los valores numéricos de las resistencias promedio RI y Rz son
R _ dAp_ 0.5~105
1
= 0.167 x 10”’ f$$
3 x 105
da
R2 =d=
42
o~5x~~5=0333x1010 N/m2
1.5 x 105
.
kglseg
El valor numérico de la capacitancia C de cada fuelle es
c-L=
nR,i,T
298
5 x 10-4
1 X 287 X (273 + 30)
= 5.75 x 10-9kg
N/m2
Capítulo 5 / Acciones básicas de control y respuesta de sistemas de control
en donde Re, = 287 N-míkg K. (Véase el problema A-5-12.) En consecuencia,
RlC = 0.167 X 1010 X 5.75 X 10-9 = 9.60 seg
RzC = 0.333 X 1010 X 5.75 X 10-9 = 19.2 seg
Sustituyendo los valores numéricos de A, k, RIC y R2C en la ecuación (541), obtenemos
1.44 x 10-7s
X(s)
-=
P,(s) (9.6s + 1)(19.23 + 1)
A-5-15.
Dibuje un diagrama de bloques del controlador neumático de la figura 5-69. A continuación,
obtenga la función de transferencia de este controlador.
Si se elimina la resistencia & (y se sustituye con una tubería del tamaño de la línea), iqué acción de control obtenemos? Si se elimina la resistencia Ri (y se sustituye con una tubería del
tamaño de la línea), LquC acción de control obtenemos?
Solución. Supongamos que cuando e = 0, la distancia tobera-aleta es igual a xy la presión de
control es igual a PC. En este análisis, supondremos desviaciones pequeñas de los valores de referencia respectivos, del modo siguiente:
e = señal de error pequeña
x = cambio pequeño en la distancia tobera-aleta
pc = cambio pequeño en la presión de control
PI = cambio pequeño en la presión del fuelle 1 debido a un cambio pequeño en la presión de control
p11 = cambio pequeño en la presión del fuelle II debido a un cambio pequeño en la presión de control
y = desplazamiento pequeño en el extremo inferior de la aleta
En este controlador, pE se transmite al fuelle I a través de la resistencia &. Asimismo, pc se
transmite al fuelle II a través de la serie de resistencias Rd y Ri. Una relación aproximada entre
mypces
1
P,(S) R,Cs +
PI(S)
-=
1
1
=T,s + 1
,P, + PI1
Figura 5-69
Diagrama esquemático
de un controlador
neumático.
Qemplo de problemas y soluciones
299
en donde Td = RdC = tiempo derivativo. Asimismo, pn y PI se relacionan mediante la función de
transferencia
1
PI,(S)
1
-z-z
R,Cs + 1 Tis + 1
PI(S)
en donde Ti = RiC = tiempo integral. La ecuación del balance de la fuerza para los dos fuelles es
(PI - PIJA = ky
en donde k, es la rigidez de los dos fuelles conectados y A es el área transversal de los mismos.
La relación entre las variables e, x y y es
b
a
X=-e-Y
a+b
a+b
La relación entre pc y x es
p,=Ki
(K>O)
A partir de las ecuaciones recién obtenidas, se dibuja un diagrama de bloques del controlador,
como aparece en la figura 5-70(a). La simplificación de este diagrama de bloques se produce en
la figura 5-70(b).
La función de transferencia entre PC(s) y E(s) es
P,(s) _
E(s)
bK ’
a+b
Para un controlador práctico, bajo una operación normal, lKaATg/[(a + b)h(Tis + l)(Tds + l)])
es mucho mayor que la unidad y Ti S Td. Por tanto, la función de transferencia se simplifica del
modo siguiente:
a
a+b
PI(S)
A
1
k,
-+
T<IS+ 1
Tiy--
PII(s)
1
TiS+l
Ca)
Fignra 5-70
(a) Diagrama de bloques del controlador
neumático de la
figura 5-69; (b) diagrama de bloques
simplificado.
300
(b)
Capítulo 5 / Acciones básicas de control y respuesta de sistemas de control
‘Kp(l +$+ Tds)
en donde
KP ,daA
Por tanto, el controlador de la figura 5-69 es proporcional-integral-derivativo.
Si se elimina la resistencia Rd o & = 0, la acción se convierte en la de un controlador proporcional-integral.
Si se suprime la resistencia Ri, o Ri = 0, la acción se convierte en la de un controlador proporcional de banda estrecha o la de un controlador de dos posiciones. (Observe que las acciones
de los dos fuelles de realimentación se cancelan una a la otra y que no hay realimentación.)
A-5-16.
Las válvulas de carretes reales tienen un sobretraslape o un subtraslape, debido a las tolerancias
de manufactura. Considere las válvulas de carrete con sobretraslape o subtraslape de la figura
5-71(a) y (b). Trace las curvas que relacionan el área del puerto descubierta A contra el desplazamiento x.
Solución. Para la válvula con un sobretraslape, existe una zona muerta entre - 4x0 y 4x0, o - 4x0
< x < $xo. La figura 5-72(a) muestra la curva del área del puerto descubierta A contra el desplazamiento x.Tal válvula con sobretraslape no funciona como válvula de control.
Para la válvula con subtraslape, la curva del área del puerto, A, contra el desplazamiento x se
muestra en la figura 5-72(b). La curva efectiva para la región con subtraslape tiene una pendiente más alta, lo que representa una mayor sensibilidad. Por lo general, las válvulas que se usan para
el control tienen un subtraslape.
A-5-17.
La figura 5-73 muestra un controlador hidráulico de tubos a chorro. El fluido hidráulico se expele del tubo a chorro. Si el tubo a chorro se cambia hacia la derecha de la posición neutral, el
pistón de potencia se mueve a la izquierda, y viceversa. La válvula del tubo a chorro no se usa
tanto como la v&lvula de la aleta, debido a un gran flujo nulo, a una respuesta más lenta y a caracterfsticas impredecibles. Su principal ventaja estriba en su insensibilidad a los fluidos sucios.
Suponga que el pistón de potencia se conecta a una carga ligera, de modo que la fuerza de inercia del elemento de la carga es insignificante en comparación con la fuerza hidráulica que desarrolla el pistón de potencia. ~Que tipo de acción de control produce este controlador?
Figura5-71
(a) Válvula de carrete con
un sobretraslape;
(b) válvula de devanado
con un subtraslape.
inr
FYesi6n
Presión
baja
alta
(al
E,jemplo de problemas y soluciones
Presión
alta
Presión
baja
(b)
301
Figura 5-72
(a) Curva del área descubierta del puerto, A,
contra el desplazamiento x para la válvula
con un sobretraslape;
(b) curva del área del
puerto descubierta, A,
contra el desplazamiento x para la válvula
con subtraslape.
63)
I
Aceite
bajo presión
(b)
Figua 5-73
Controlador hidráulico de tuberfa
a chorro.
Solución. Defina como x el desplazamiento de la tobera a chorro a partir de la posición neutral
y como y el desplazamiento del pistón de potencia. Si la tobera a chorro se mueve a la derecha
un desplazamiento x pequefío, el aceite fluirá al lado derecho del pistón de potencia y el aceite
del lado izquierdo del pistón de potencia regresará al drenaje. El aceite que fluye hacia el cilindro de potencia está auna presión alta; el aceite que fluye desde el cilindro de potencia al drenaje
está a una presión baja. La diferencia de presión resultante provoca que el pistón de potencia se
mueva a la izquierda.
Para un desplazamiento pequefío de la tobera a chorro x, el flujo q hacia el cilindro de potencia es proporcional a x; es decir,
q = KIX
Para el cilindro de potencia,
Ap dy = q dt
en donde A es el área del pistón de potencia y p es la densidad del aceite. De este modo
302
Capítulo 5 / Acciones básicas de control y respuesta de sistemas de control
dy=4-KLx=Kx
dt Ap - Ap
en donde K = Ki d(Ap)
= constante. Por tanto, la función de transferencia Y(s)/X(s)
es
Y(s) K
-=X(s) s
El controlador produce la acción de control integral.
A-S-l&
La figura 5-74 muestra un tubo a chorro hidráulico aplicado a un sistema de control de flujo. El
controlador de la tubería a chorro determina la posición de la válvula de mariposa.Analice la operación de este sistema. Grafique una curva posible relacionando el desplazamiento x de la tobera
con la fuerza total F que actúa sobre el pistón de potencia.
Solución. La operación de este sistema es la siguiente: el flujo se mide a través del orificio y la
diferencia de presión producida por este orificio se transmite al diafragma del dispositivo de
medición de presión. El diafragma se conecta a la tobera de giro libre o a la tubería a chorro mediante un enlace. En todo momento, la tobera expele aceite a alta presión. Cuando la tobera está
en una posición neutral, no fluye aceite por la tubería para mover el pistón de potencia. Si la tobera se desplaza hacia un lado por el movimiento del brazo de equilibrio, el aceite a alta presión
fluye por el tubo correspondiente y el aceite del cilindro de potencia fluye de regreso al depósito
por el otro tubo.
Suponga que el sistema está inicialmente en reposo. Si la entrada de referencia cambia repentinamente a un flujo más alto, la tobera se mueve en tal dirección que desplaza el pistón de potencia
y abre la válvula de mariposa. A continuación aumenta el flujo, la diferencia de presión a travks del
orificio se vuelve más grande y la tobera regresa a la posición neutral. El movimiento del pistón de
potencia se detiene cuando x, el desplazamiento de la tobera, regresa y permanece en la posición
neutral. (Por tanto, el controlador de la tubería a chorro posee una propiedad de integración.)
VáJula de mariposa
Pistón
de potencia
Tubería a chorro
Figura 5-74
Entrada de referencia
Diagrama esquemático
de un sistema de control
de flujo mediante un controlador hidráulico de tubería a chorro.
Ejemplo de problemas y soluciones
Filtro
303
Figura 5-75
Curva de fuerza contra desplazamiento.
La relación entre la fuerza total F que actúa sobre el pistón de potencia y el desplazamiento
x de la tobera aparece en la figura 5-75. La fuerza total es igual a la diferencia de presión AP a
través del pistón, multiplicada por el área A del pistón de potencia. Para un desplazamiento pequefio x de la tobera, la fuerza total F y el desplazamiento x se consideran proporcionales.
A-5-19.
Explique la operación del sistema de control de velocidad de la figura 5-76.
Solución. Si la velocidad de la máquina aumenta, el soporte deslizable del controlador de esferas
se mueve hacia arriba. Este movimiento funciona como entrada para el controlador hidráulico. Una
señal de error positiva (un movimiento hacia arriba del soporte deslizante) provoca que el pistón
de potencia se mueva hacia abajo, se reduzca la apertura de la válvula de combustible y disminuya
la velocidad de la máquina. La figura 5-77 contiene un diagrama de bloques de este sistema.
A partir del diagrama de bloques, la función de transferencia Y(s se obtiene como
K
s
Y(s)
a2
-=bs K
al + a2 1+a,-E(s)
al + a2 bs + k s
Figura 5-76
Sistema de control de velocidad.
304
Capítulo 5 / Acciones básicas de control y respuesta de sistemas de control
E(s)
Y(s)
Figura 5 -77
Diagrama de bloques
para el sistema de
control de velocidad
de la figura 5-76.
al
4 + a2
z(s)
bs
bs+k
-
Si la condición siguiente es pertinente,
al
-bs Kg->1
a, + a2 bs + k s
La función de transferencia Y(s se convierte en
+ k a2
Y(s) . a2 al + a2 bs
-~--..--w-=bs
al
E(s) al + a2 al
El controlador de velocidad tiene una acción de control proporcional-integral.
A-5-20.
Considere el sistema de seguimiento hidráulico de la figura 5-78. Suponiendo que la señal e(t) es
la entrada y que el desplazamiento del pistón de potencia y(t) es la salida, encuentre la función
de transferencia Y(s)
Solución. A partir de la figura 5-79 es posible dibujar un diagrama de bloques para el sistema.
Suponiendo que lKlal/[s(al + a2)]1 S 1 y lK2bll[s(bl + b2)]/ * 1, obtenemos
Aceite
bajo presión
Figura 5-78
Sistema de seguimiento
hidráulico.
Ejemplo de problemas y soluciones
305
E(S)
a, +
a2
4 +a2
a2 + ag
~1 +a2
al
a3
al + a2
al +a2
A
Figura 5-79
Diagrama de bloques para el sistema de la figura 5-78.
K
.-.L
a2
a,+a,
s
Z(s)
-=
E(s)
1,%.“1
ea,. al
- + a2- _ a2al + a2
W(s) Yz a, + 112 + u3 Z(s)
a3
* E ( s ) + al + a2
E(s)
al + a2
al
01
a2 + ~3
=%
K
-2
Y(s) =
S
w(s)
1
+
b,
+ bl
+ b2
K2
b,
b,T
Por tanto
Y(s)
y(s)
w(s)
-=-.-=
E(s)
W(s)
(~2 +
E(s)
4@, +
bz)
4
Este sistema de seguimiento es un controlador proporcional.
A-5-21.
Obtenga la función de transferencia E,(s)lEi(s)
figura 5-80.
del circuito con amplificador operacional de la
Solución. Defina el voltaje en el punto A como e.4. Así
R,Cs
EA(S)
RI
-=-=
R,Cs + 1
-46)
&+4
0
O Figura540
Circuito con amplificador operacional.
306
Capítulo 5
/ Acciones básicas de control y respuesta de sistemas de control
Defina el voltaje en el punto B como ee. Por tanto
-G(S) = g& E,(s)
2
3
Considerando que
CEA4 - 4d41~ = 4W
y que K 9 1, debemos tener
EA(S) = J%(S)
De modo que
E,-,(s) = R “cs”s 1 Ei = Es(s) = & E,(s)
1
a partir de lo cual obtenemos
E,(s) =+ R,CsR,Cs+ 1 =
R2
E,(s)
R3
R3
S+R,C
A-5-22.
Obtenga la función de transferencia E,(s)lEi(s)
figura 5-81.
del circuito con amplificador operacional de la
Solución. El voltaje del punto A es
e A = 2 (ei - e,) + e,
La versión transformada mediante el método de Laplace
de esta última ecuación es
EAs) = 2 [J%(S) + -%)l
El voltaje en el punto B es
1
-
E,(s) = + Ei = R2C: + 1 Ei
R2 + cs
ei
Figura 5-81
Circuito con amplificador operacional.
Ejemplo de problemas y soluciones
307
Dado que [EE(S) - EA(s)]K = E,(s) y K * 1, debemos tener EA(s) = ES(S). Por tanto
De esta forma
1
R,Cs
1
S-R,C
-K(s) - _
-~
1
R,Cs + 1 =
E,(s)
s+R,c
A-5-23.
Considere el sistema estable de control con realimentación unitaria con una función de transferencia de trayectoria directa G(s). Suponga que la función de transferencia en lazo cerrado se escribe como
(T,s + l)(T,s + 1). . . (T,s + 1)
C(s)
‘3s)
-=~=
R(s)
1 + G(s)
(TUS + ~)(T,s + 1) . . . (T,S + 1)
(mIn)
Demuestre que
CC
I0+
e(t)dt=(T,+
T,+...+ T,)-(Ta+
Tb++..+
Tm)
en donde e(t) es el error en la respuesta escalón unitario. Asimismo, demuestre que
1
= (TI + T, + ... + T,) - (T, + Tb + . **+ T,,,)
líío sG(s)
Solución. Definamos
(Tas + l)(T,s + 1). . . (T,s + 1) = P(s)
Y
(T,s + l)(T,s + 1) . . . (T,s + 1) = Q(s)
Por tanto
C(s) P(s)
-=R(s) Q(s)
Y
E(s) = ‘(‘) - ‘@) R(s)
Q(s)
Para una entrada escalón unitario, R(s) = lls y
E(s)
=
Q(s) - f’(s)
se(s)
Dado que el sistema es estable jz e(t) dt converge a un valor constante. Remitiéndonos a la tabla
2-2 (renglón lo), tenemos que
e(t) dt = ‘eo s y = líí E(s)
308
Capítulo 5 / Acciones básicas de control y respuesta de sistemas de control
Por tanto
e(t) dt = lím Q(yQ<s+)
S-r0
= lím e’(s) - w>
s+o Q(s) + Q’(s)
= yz [e’(s) - P’(s)]
Dado que
syo P’(s) = Ta + Tb + . * + T,,,
syo e’(s) = T, + T2 + . . . + T,,
tenemos que
m
I0
e(t) dt = (Tl + T, + * . . + T,) - (Ta + Tb + * * * + Tm)
Para una entrada escalón unitario r(t), dado que
m
1
1
1
1
1
e(t) dt = lí+í E(s) = lím - R(s) = lím ~ - =
S-PO
1
+
G(s)
s+o
1
+
G(s)
s
líí
sG(s)
=
K,
x
tenemos que
1
= (Tl + T, + ... + T,) - (Ta + Tb + . . . + Tm)
F:. sG(s)
Observe que los ceros en el semiplano izquierdo del plano (es decir, Ta, Tb,. . . , T,,, positivos) aumentan K,. Los polos cerca del origen provocan constantes de error de velocidad bajas a menos
que haya ceros cercanos.
PROBLEMAS
Bd-l. Si la trayectoria directa de un sistema contiene al
menos un elemento de integración, la salida sigue cambiando mientras haya un error presente. La salida se detiene cuando el error es precisamente cero. Si se introduce
al sistema una perturbación externa, es conveniente tener
un elemento de integración entre el elemento que mide el
error y el punto en donde se introduce la perturbación, a fin
de que el efecto de la perturbación externa se haga cero en
estado estable.
Demuestre que, si la perturbación es una función rampa, el error en estado estable provocado por esta perturbación rampa sólo se elimina si dos integradores preceden
al punto en el que se introduce la perturbación.
B-5-2. Considere los controladores automáticos industriales cuyas acciones de control son proporcionales, integrales,
proporcionales-integrales,
proporcionales-derivativas
y
pro-
Problemas
porcionales-integrales-derivativas. Las funciones de transferencia de estos controladores se obtienen, respectivamente, a partir de
U(s)
-=K
E(s)
p
U(s)
K.
-CL
E(s)
s
w = K,(l + Tds)
E(s)
309
en donde U(s) es la transformada de Laplace de u(t), la salida
del controlador, y E(s) es la transformada de Laplace de e(t),
la señal de error.Trace las curvas u(t) contra t para cada uno de
los cinco tipos de controladores, cuando la señal de error sea
(4
e(t) = función escalón unitario
(b)
e(t) = función rampa unitaria
Al trazar las curvas, suponga que los valores numéricos de
Kp, Ki, Ti y Td, se obtienen como
Kp = aumento proporcional = 4
Ki = aumento integral = 2
Ti = tiempo integral = 2 seg
Td = tiempo derivativo = 0.8 seg
B-5-3. Considere un sistema de control con realimentación
unitaria cuya función de transferencia en lazo abierto es
G(s)
= K
s(Js + B)
Trace curvas de respuesta rampa unitaria para valores de K
pequeño, mediano y grande.
B-5-4. La figura 5-82 muestra tres sistemas. El sistema 1 es
un sistema de control de posición. El sistema II es un sistema
de control de posición con acción de control PD. El sistema
III es un sistema de control de posición con realimentación
de velocidad. Compare las respuestas escalón unitario, de
impulso unitario y rampa unitaria de los tres sistemas ¿Cuál
sistema es mejor con respecto a la velocidad de respuesta y
el sobrepaso máximo en la respuesta escalón?
B-S-5 Considere el sistema de control de posición de la
figura 5-83. Escriba un programa de MATLAB para obtener una respuesta escalón unitario y una respuesta rampa
unitaria del sistema. Trace las curvas de XI(~) contra t, xz(t)
contra t, x3(t) contra t, y e(t) contra t [en donde e(t) = r(t)
- XI(~)] para la respuesta escalón unitario y la respuesta
rampa unitaria.
B-5-6. Determine el rango de valores de K para la estabilidad de un sistema de control con realimentación unitaria
cuya función de transferencia en lazo abierto es
Analice los efectos de variar los valores de K y B sobre el
error en estado estable en la respuesta rampa unitaria.
G(s)
=
K
s(s + l)(s + 2)
Sistema 1
Sistema II
Figura 5-82
(a) Sistema de control
de posición; (b) sistema
de control de posición
con acción de control
PD; (c) sistema de
control de posición
con realimentación
de velocidad.
310
Sistema III
Capítulo 5 / Acciones básicas de control y respuesta de sistemas de control
Figura 5-83
Sistema de control
de posición.
B-5-7. Considere el sistema de control con realimentación
unitaria con la siguiente función de transferencia en lazo
abierto:
G(s) =
10
s(s -/1)(2s + 3)
B-5-13. Considere el controlador neumático de la figura
5-88. ¿Qué clase de acción de control produce este controlador? Suponga que el relevador neumático tiene la característica de que pc = Kpb, en donde K > 0.
LES estable este sistema?
B-5-8. Considere el sistema
B-5-14. La figura 5-89 contiene un transductor electroneumático. Demuestra que el cambio en la presión de salida es proporcional al cambio en la corriente de entrada.
i = Ax
[ 1
en donde la matriz A se obtiene mediante
0
1
A=-b,O
0
-b,
B-5-12. La figura 5-87 muestra un controlador neumático.
La señal e es la entrada y el cambio en la presión de control
pc es la salida. Obtenga la función de transferencia
P,(s)lE(s). Suponga que el relevador neumático tiene la
característica de que pc = Kpb, en donde K > 0.
0
1
-b,
(A se denomina matriz de Schwarz.) Demuestre que la
primera columna del arreglo de Routh de la ecuación característica IsI - Al = 0 está formada por 1, bl, bz, y blb3.
B-5-9. Considere el sistema neumático de la figura 5-84.
Obtenga la función de transferencia X(s)/P@).
B-5-10. La figura 5-85 muestra un controlador neumático.
¿Qué clase de acción de control produce este controlador?
Obtenga la función de transferencia P,(s)/.!?(s).
B-5-11. Considere el controlador neumático de la figura
5-86. Suponiendo que el relevador neumático tiene la característica de que pc = Kpb (en donde K > 0), determine la
acción de control de este controlador. La entrada al controlador es e y la salida es pc.
B-5-15. La figura 5-90 muestra una válvula de aleta colocada entre dos toberas opuestas. Si la aleta se mueve ligeramente ala derecha, ocurre un desequilibrio de presión en las
toberas y el pistón de potencia se mueve a la izquierda, y
viceversa. Con frecuencia se usan dispositivos como éste en
los sistemas de seguimiento hidráulicos como válvulas de
primera etapa en las servoválvulas de dos etapas. Este uso
se da porque es posible que se requiera una fuerza considerable para impulsar válvulas de carrete más grandes que la
que produce la fuerza de flujo en estado estable. Para reducir oeompensar
esta fuerza,se
emplea con frecuencia una
configuración de válvulas de dos etapas; se usa una válvula
de aleta o una tubería a chorro como válvula de primera
etapa para aportar la fuerza necesaria, con el propósito de
impulsar la válvula de carretes de la segunda etapa.
La figura 5-91 ofrece un diagrama esquemático de un
servomotor hidráulico en el cual se amplifica la señal de
error en dos etapas mediante una tubería a chorro y una
válvula piloto. Dibuje un diagrama de bloques del sistema
Constante del resorte
P+p;
k
Capacitancia C
\
/
Figura 5-84
Sistema neumático.
Problemas
311
Señal de error
e
,
Figura S-SS
Controlador
neumático.
Señal de error
Orificio
Figura 5-86
Controlador
neumático.
de la figura 5-91 y a continuación encuentre la función de
transferencia entre y y x, en donde x es la presión de aire y
y es el desplazamiento del pistón de potencia.
B-517. Considere el controlador de la figura 5-93. La entrada es la presión de aire pi y la salida es el desplazamiento
y del pistón de potencia. Obtenga la función de transferencia Y(s)
B-5-16. La figura 5-92 es un diagrama esquemático de un sistema de control de elevación de aeronaves. La entrada al
sistema es el ángulo de deflexión 8 de la palanca de control
y la salida es el ángulo de elevación #. Suponga que los ángulos 0 y 4 son relativamente pequeños. Demuestre que,
para cada ángulo 8 de la palanca de control, existe un ángulo de elevación 4 correspondiente (en estado estable).
B-5-18. Obtenga la función de transferencia &(s)/&(s) del
circuito con amplificador operacional de la figura 5-94.
312
Capítulo 5
B-5-19. Obtenga la función de transferencia E,(s)/Ei(s)
del
circuito con amplificador operacional de la figura 5-95.
B-5-20. Considere un sistema de control con realimentación
unitaria con la función de transferencia en lazo cerrado:
/ Acciones básicas de control y respuesta de sistemas de control
Señal de error
e
Figura 5-87
Controlador
neumático.
Señal de error
e
-R
pb++b.
, Aleta
Tobera _
Orificio -+
JI
R2
Figura 5-88
Controlador
neumático.
Problemas
313
Corriente
de entrada
Aire
a presión
Salida
de presión
Figura 5-89
Transductor eléctrico neumático.
K-y
I-
Lx
Figura 5-90
Válvula de aleta.
Aceite
bajo presión
314
Figura 5-91
Diagrama esquemático de un servomotor hidráulico.
Capítulo 5 / Acciones básicas de control y respuesta de sistemas de control
Aceite
bajo presión
Figura 5-92
Sistema de control de
elevación de aeronaves.
F +- Aire pi (entrada)
R2
Figura 5-94
Circuito con amplificador operacional.
y (Salida)
Figura 5-93
Controlador.
Problemas
315
KS + b
C(s)
-Zr
R(s)
s2 + as + b
0
Determine la función de transferencia en lazo abierto G(s).
Demuestre que el error en estado estable en la respuesta rampa unitaria se obtiene mediante
eo
1
a - K
e ss=-=Kv
b
0
Circuito con amplificador operacional.
316
Capítulo 5
/
B-5-21. Demuestre que el error en estado estable en la respuesta a las entradas rampa se hace cero si la función de
transferencia en lazo cerrado está dada mediante
a,-,s + a,
C(s)
-=
R(s)
s” + upn-l + . . *+ an-,s + II,
Acciones bhicas de control y respuesta de sistemas de control
6-1 INTRODUCCIÓN
La característica básica de la respuesta transitoria de un sistema en lazo cerrado se relaciona estrechamente con la ubicación de los polos en lazo cerrado. Si el sistema tiene una ganancia de lazo variable, la ubicación de los polos en lazo cerrado depende del valor de la
ganancia de lazo elegida. Por tanto, es importante que el diseñador conozca cómo se
mueven los polos en lazo cerrado en el plano s conforme varía la ganancia de lazo.
Desde el punto de vista del diseño, un simple ajuste de la ganancia en algunos sistemas
mueve los polos en lazo cerrado a las posiciones deseadas. A continuación el problema de
diseño se centra en la selección de un valor de ganancia adecuada. Si el ajuste de la ganancia no produce por sí solo un resultado conveniente, será necesario agregar al sistema un
compensador. (Este tema se analiza con detalle en el capítulo 7.)
Los polos en lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica. Si ésta tiene un
grado superior a 3, es muy laborioso encontrar sus raíces y se requerirá de una solución con
computadora. (MATLAB aporta una solución simple para este problema.) Sin embargo,
simplemente encontrar las raíces de la ecuación característica puede tener un valor limitado, debido a que, conforme varía la ganancia de la función de transferencia en lazo
abierto, la ecuación característica cambia y deben repetirse los cálculos.
W. R. Evans diseñó un método sencillo para encontrar las raíces de la ecuación característica, que se usa ampliamente en la ingeniería de control. Este método se denomina
método del lugar geométrico de las raíces, y en él se grafican las raíces de la ecuación característica para todos los valores de un parámetro del sistema. A continuación se pueden
localizar sobre la gráfica resultante las raíces correspondientes a un valor determinado de
este parámetro. Observe que el parámetro es, por lo general, la ganancia, aunque es posible usar cualquier otra variable de la función de transferencia en lazo abierto. A menos que
317
se indique lo contrario, aquí supondremos que la ganancia de la función de transferencia
en lazo abierto es el parámetro que puede adoptar todos los valores, de cero a infinito.
Mediante el método del lugar geométrico de las raíces, el diseñador puede predecir los
efectos que tiene en la ubicación de los polos en lazo cerrado, variar el valor de la ganancia o
agregar polos y/o ceros en lazo abierto. Por tanto, es conveniente que el diseñador comprenda
bien el método para generar los lugares geométricos de las raíces del sistema en lazo cerrado,
ya sea en forma manual o mediante el uso de programas de computadora como MATLAB.
Método del lugar geométrico de las raíces. La idea básica detrás del método del
lugar geométrico de las raíces es que los valores des que hacen que la función de transferencia alrededor del lazo sea igual a - 1 deben satisfacer la ecuación característica del sistema.
El método debe su nombre al lugar geométrico de las raíces de la ecuación característica del sistema en lazo cerrado conforme la ganancia varía de cero a infinito. Dicha gráfica
muestra claramente cómo contribuye cada polo o cero en lazo abierto a las posiciones de
los polos en lazo cerrado.
Al diseñar un sistema de control lineal, encontramos que el método del lugar geométrico de las raíces resulta muy útil, dado que indica la forma en la que deben modificarse
los polos y ceros en lazo abierto para que la respuesta cumpla las especificaciones de desempeño del sistema. Este método es particularmente conveniente para obtener resultados
aproximados con mucha rapidez.
Algunos sistemas de control pueden tener más de un parámetro que deba ajustarse. El
diagrama del lugar geométrico de las raíces, para un sistema que tiene parámetros múltiples, se construye variando un parámetro a la vez. En este capítulo incluimos el análisis de
los lugares geométricos de las raíces para un sistema de dos parámetros. Los lugares geométricos de las raíces para tal caso se denominan contornos de Zas raices.
El método del lugar geométrico de las raíces es una técnica gráfica muy poderosa para
investigar los efectos de la variación de un parámetro del sistema sobre la ubicación de los
polos en lazo cerrado. En la mayor parte de los casos, el parámetro del sistema es la
ganancia de lazo K, aunque el parámetro puede ser cualquier otra variable del sistema. Si
el diseñador sigue las reglas generales para construir los lugares geométricos, le resultará
sencillo trazar los lugares geométricos de las raíces de un sistema específico.
Debido a que generar los lugares geométricos de las raíces usando MATLAB es muy
simple, se podría pensar que trazar los lugares geométricos de las raíces en forma manual
es una pérdida de tiempo y esfuerzo. Sin embargo, una buena forma de interpretar los lugares geométricos generados por la computadora es adquirir la experiencia de trazar los
lugares geométricos en forma manual, cosa que, además, proporciona con mucha rapidez
una idea global de los lugares geométricos.
Mediante el método del lugar geométrico de las raíces, es posible determinar el valor
de la ganancia de lazo K que formará el factor de amortiguamiento relativo de los polos
dominantes en lazo cerrado en la forma sugerida. Si la ubicación de un polo o cero en lazo
abierto es una variable del sistema, el método del lugar geométrico de las raíces sugiere la
forma de elegir la ubicación de un polo o cero en lazo abierto. (Véanse el ejemplo 6-8 y
los problemas A-6-12 al A-6-14.) El capítulo 7 contiene más información del diseño de un
sistema de control con base en el método del lugar geométrico de las raíces.
Panorama del capítulo. Este capítulo presenta los conceptos básicos del método del
lugar geométrico de las raíces y ofrece algunas reglas útiles para construir gráficamente los
lugares geométricos de las raíces, al igual que para generar los lugares geométricos de las
raíces con MATLAB.
318
Capítulo 6 / Análisis del lugar geométrico de las raíces
El panorama del capítulo es el siguiente: la sección 6- 1 presentó una introducción del
método del lugar geométrico de las raíces. La sección 6-2 detalla los conceptos implícitos
en el mismo y presenta algunos ejemplos del procedimiento general para trazar los lugares
geométricos de las raíces. La sección 6-3 resume las reglas generales para construir los lugares geométricos de las raíces y la sección 6-4 analiza la generación de gráficas de los
lugares geométricos de las raíces con MATLAB. La sección 6-5 se refiere a casos especiales:
el primer caso ocurre cuando la variable K no aparece como factor multiplicativo y el segundo, cuando el sistema en lazo cerrado se realimenta positivamente. La sección 6-6 analiza los sistemas en lazo cerrado mediante el método del lugar geométrico de las raíces. La
sección 6-7 extiende este método para tratar los sistemas en lazo cerrado con retardo de
transporte. Por último, la sección 6-8 analiza las gráficas de los contornos de las raíces.
6-2 GRÁFICAS DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAíCES
Condiciones de ángulo y magnitud.
Considere el sistema de la figura 6 - 1. La fun-
ción de transferencia en lazo cerrado es
C(s) =
G(s)
(6-1)
R(s) 1
+
G(s)H(s)
La ecuación característica para este sistema en lazo cerrado se obtiene haciendo que el denominador del segundo miembro de la ecuación (6- 1) sea igual a cero. Es decir,
1 + G(s)H(s) = 0
o bien
G(s)H(s) = - 1
(6-2)
Aquí se supone que G(s)H(s) es un cociente de polinomios en s. [En la sección 6-7 se extiende el análisis para el caso en el que G(s)H( s ) contiene el retardo de transporte e-n.]
Dado que G(s)H(s) es una cantidad compleja, la ecuación (6-2) se divide en dos ecuaciones igualando los ángulos y magnitudes de ambos miembros, para obtener lo siguiente:
Condición de ángulo:
(/G(s)H(s)
k
= klSO”(2k
=
+0 1)
,
1,2,. .
.)
(6-3)
Condición de magnitud:
iGW(s>l = 1
(6-4)
Los valores de s que cumplen tanto las condiciones de ángulo como las de magnitud son las
raíces de la ecuación característica, o los polos en lazo cerrado. El lugar geométrico de las raíces es una gráfica de los puntos del plano complejo que sólo satisfacen la condición de ángulo. Las raíces de la ecuación característica (los polos en lazo cerrado) que corresponden
a un valor específico de la ganancia se determinan a partir de la condición de magnitud. Los
detalles de la aplicación de las condiciones de ángulo y magnitud para obtener los polos en
lazo cerrado se presentan más adelante en esta sección.
Sección 6-2 / Gráficas del lugar geométrico de las raíces
319
En muchos casos, G(s)H(s) contiene un parámetro de ganancia K, y la ecuación característica se escribe como
1 + as + Zl)(S + z2) * * * 6 + z,) = o
(6-5)
6 + Pl)(S + P2) * **6 + PJ
Entonces, los lugares geométricos de las raíces para el sistema son los lugares geométricos
de los polos en lazo cerrado conforme la ganancia K varía de cero a infinito.
Observe que, para empezar a trazar los lugares geométricos de las raíces de un sistema
mediante el método analizado aquí, debemos conocer la ubicación de los polos y los ceros
de G(s)H(s). Recuerde que los ángulos de las cantidades complejas que se originan a partir de los polos y los ceros en lazo abierto para el punto de prueba s se miden en sentido
contrario al de las manecillas del reloj. Por ejemplo, si G(s)H(s) se obtiene mediante
G(s)H(s) =
K(s + ZA
6 + Pl)(S + P2)@ + P3b + P4)
en donde -pz y -p3 son polos complejos conjugados, el ángulo de G(s)H(s) es
G(s)H(s) = q!~~ - el - 8, - 0, - 8,
en donde $1,131, f32, 0s y 04 se miden en sentido contrario al de las manecillas del reloj, como
se aprecia en las figuras 6-2(a) y (b). La magnitud de G(s)H(s) para este sistema es
IG(s)H(s)l
=
KB1
Nb&44
en donde AI, AZ, A3, A4 y BI son magnitudes de las cantidades complejas s + pl, s + ~2, s +
p3, s + p4 y s + ZI, respectivamente, de acuerdo con la figura 6-2(a).
Observe que, debido a que los polos complejos conjugados y los ceros complejos conjugados en lazo abierto, si existen, siempre se ubican simétricamente con respecto al eje real,
los lugares geométricos de las raíces siempre son simétricos con respecto a este eje. Por
Punto de prueba
Figura 6-2
-i;,
(a) y (b) Diagramas
que muestran la
medición de ángulos
de los polos y los
ceros en lazo abierto
para el punto
de prueba s.
320
+
0
-P4
-p1
-q
41
03
L
-p3
(al
Capítulo
6
/
Análisis del lugar geométrico de las raíces
T
-p3
(b)
03
tanto, sólo es necesario construir la mitad superior de los lugares geométricos de las raíces
y dibujar la imagen espejo de la mitad superior en el plano s inferior.
Ejemplos.
A continuación se presentarán dos ejemplos para construir gráficas del lugar geométrico de las raíces. Aunque los enfoques de computadora resultan muy sencillos
para la construcción de los lugares geométricos de las raíces, aquí se usará el cálculo gráfico, combinado con una inspección, para determinar los lugares geométricos de las raíces
en los que deben ubicarse las raíces de la ecuación característica del sistema en lazo cerrado. Este enfoque gráfico ayudará a comprender mejor cómo se mueven los polos en lazo
cerrado en el plano complejo conforme los polos y los ceros en lazo abierto se mueven.
Aunque sólo usaremos sistemas simples como ejemplo, el procedimiento para encontrar los
lugares geométricos de las raíces no es más complicado para sistemas de orden superior.
El primer paso en el procedimiento para construir una gráfica del lugar geométrico de
las raíces es buscar los lugares geométricos de las raíces posibles usando la condición de ángulo. A continuación, si es necesario, se escala o se gradúa la escala de los lugares geométricos en la ganancia mediante la condición de magnitud.
Bebihaque
las mediciones gráficas de ángulos y magnitudes están implícitas en el análisis, encontramos necesario usar las mismas divisiones en el eje de las abscisas y en el de las
ordenadas, cuando se tracen los lugares geométricos de las raíces sobre papel para gráficas
EJEMPLO 6-1
Considere el sistema de la figura 6-3. (Suponemos que el valor de la ganancia K es no negativo.)
Para este sistema,
G(s) =
K
s(s + l)(s + 2) ’
H(s) = 1
Tracemos la gráfica del lugar geométrico de las raíces y después determinemos el valor de K tal
que el factor de amortiguamiento relativo 5 de los polos dominantes complejos conjugados en
lazo abierto sea 0.5.
Para el sistema determinado, la condición de ángulo se convierte en
/cO= /s(s + ly@ + 2)
=-A-/s+l
-/s+2
= ?180”(2k + 1)
(k = 0, 1,2,. . .)
La condición de magnitud es
IG@)l = ls(s + 1;s + 2) = l
Un procedimiento común para trazar la gráfica del lugar geométrico de las raíces es el siguiente:
1. Determine los lugares geométricos de las raíces sobre el eje real. El primer paso al construir
una gráfica del lugar geométrico es ubicar los polos en lazo abierto, s = 0, s = -1 y s = -2, en el
Sección 6-2 / Gráficas del lugar geométrico de las raíces
321
plano complejo. (En este sistema no hay ceros en lazo abierto.) Las ubicaciones de los polos en laxo
abierto se señalan mediante cruces. (En este libro las ubicaciones de los ceros en laxo abierto se indicarán con círculos pequeños.) Observe que los puntos iniciales de los lugares geométricos de las
raíces (los puntos que corresponden a K = 0) son los polos en laxo abierto. Los lugares geométricos
de raíces individuales para este sistema son tres, lo cual es igual al numero de polos en laxo abierto.
Para determinar los lugares geométricos de las raíces sobre el eje real,seleccionamos un punto
de prueba, s. Si el punto de prueba está en el eje real positivo, entonces
b=/s+l =/s+2 =O”
Esto demuestra que no es posible satisfacer la condición de ángulo. Por tanto, no hay un lugar geométrico de las raíces sobre el eje real positivo. A continuación, se selecciona un punto de prueba
sobre el eje real negativo entre 0 y -1. Así
s = 180”,
i
/s+ 1 = /s+2 =O”
Por tanto
-is_ - /s + 1 - /s + 2 = -180”
y se satisface la condición de ángulo. Así, la parte del eje real negativo entre 0 y - 1 forma parte
del lugar geométrico de las raíces. Si se selecciona un punto de prueba entre -1 y -2, entonces
b=/s+l
=180”,
/s+2
=O”
Y
-k - /s + 1 - /s + 2 = - 360”
Se observa que no se satisface la condición de ángulo. Por tanto, el eje real negativo de -1 a -2
no es parte del lugar geométrico de las raíces. Asimismo, si se ubica un punto de prueba sobre el
eje real negativo de -2 a -m, se satisface la condición de ángulo. Por tanto, existen lugares geométricos de las raíces sobre el eje real negativo entre 0 y -1 y entre -2 y -00.
2 . Determine las asíntotas de los lugares geométricos de las raíces. Las asíntotas de los lugares
geométricos de las raíces, conforme s tiende a infinito, se determinan del modo siguiente: si se selecciona un punto de prueba muy lejano al origen, entonces
K
Pm s(s + l)(s + 2)
lím G(s) = lím
s-m
K
= Et 3
y la condición de ángulo se convierte en
-3b = -I180”(2k + 1)
(k = 0, 1,2, . . .)
o bien
Ángulos de asíntotas =
?180”(2k + 1)
3
(k = 0, 1,2,. . .)
Dado que el ángulo se repite a sí mismo conforme K varía, los ángulos distintos para las asíntotas se determinan como 60”, -60” y 180”. Por tanto, hay tres asíntotas. La única que tiene el ángulo de 180” es el eje real negativo.
Antes de dibujar estas asíntotas en el plano complejo, debemos encontrar el punto en el cual
intersecan el eje real. Dado que
G(s)
=
K
s(s + l)(s + 2)
si un punto de prueba se ubica muy lejos del origen, G(s) se escribe como
322
Capítulo 6 / Análisis del lugar geométrico de las raíces
(6-6)
G(s)
=
K
s3 + 3s2 + . *
(6-7)
Dado que la ecuación característica es
G(s) = -1
remitiéndonos a la ecuación (6-7),
la ecuación característica puede escribirse
s3+3s2+,..= -K
Para un valor grande de s, esta última ecuación se aproxima mediante
(s + 1)3 = 0
Si la abscisa de la intersección de las asíntotas y el eje real se representa mediantes = - an, entonces
u, = -1
y el punto de origen de las asíntotas es (-1,O). Las asíntotas son casi parte de los lugares geométricos de las raíces en regiones muy lejanas al origen.
3 . Determine elpunto de ruptura o desprendimiento. Para trazar con precisión los lugares geométricos de las raíces, debemos encontrar el punto de desprendimiento, a partir del cual las ramificaciones del lugar geométrico que se originan en los polos en 0 y -1 (conforme K aumenta) se
alejan del eje real y se mueven sobre plano complejo. El punto de desprendimiento corresponde
a un punto en el plano s en el cual ocurren raíces múltiples de la ecuación característica.
Existe un método sencillo para encontrar el punto de desprendimiento y lo presentamos a
continuación: escriba la ecuación característica como
f(s) = B(s) + KA(s) = 0
en donde A(s) y B(s) no contienen K. Observe quefls)
(6-8)
= 0 tiene raíces múltiples en los puntos donde
@Lo
ds
Esto se observa del modo siguiente: suponga quef(s)
caso,fls)
se escribe como
tiene raíces múltiples de un orden r. En este
f(s) = (s - sl)‘(s - s2) . . . (s - Sn)
Si diferenciamos esta ecuación con respecto a s y establecemos s = SI,
dfo
ds S=S, =
0
obtenemos
(6-9
Esto significa que múltiples raíces de f(s) satisfarán la ecuación (6-9). A partir de la ecuación
(6-8) obtenemos
df@) = B’(s) + KA’(s) = 0
ds
en donde
A’(s)
= @f,
B’(s)
= @f
El valor específico de K que producirá raíces múltiples de la ecuación característica se obtiene
de la ecuación (6-10) como
K=AW
A’(s)
Sección 6-2 / Gráficas del lugar geométrico de las raíces
323
Si sustituimos este valor de K en la ecuación (6-8) obtenemos
f(s) = B(s) - ZA(s) = 0
o bien
B(s)A’(s) - B’(s)A(s) = 0
(6-11)
Si se despeja la ecuación (6-11) para s, se obtienen los puntos en los que ocurren raíces múltiples. Por otra parte, a partir de la ecuación (6-8) obtenemos
,=39
4s)
Y
dK
-=- B’(s)A(s) - B(s)A’(s)
ds
A’(s)
Si dKlds se hace igual a cero, obtenemos lo mismo que en la ecuación (6-11). Por tanto, los puntos de desprendimiento se determinan sencillamente a partir de las raíces de
dK
-=O
ds
Debe señalarse que no todas las soluciones de la ecuación (6-11) o de dKlds = 0 corresponden a los puntos de desprendimiento reales. Si un punto en el cual df(s)lds = 0 está sobre el lugar
geométrico de las raíces, se trata de un punto de desprendimiento real o un punto de ingreso.
Planteado de otro modo, si un punto en el cual df(s)lds = 0, el valor de K adquiere un valor positivo real, por lo cual el punto es un punto de desprendimiento o un punto de ingreso real.
Para el ejemplo en cuestión, la ecuación característica G(s) + 1 = 0 se obtiene mediante
K
s(s + l)(s + 2)
+1=0
o bien
K =
-(s3+3s2+2s)
Haciendo dKlds = 0 obtenemos
dK
ds
-=-(3s2+6s+2)=0
o bien
s = -0.4226,
s = -1.5774
Dado que el punto de desprendimiento debe encontrarse sobre el lugar geométrico de las raíces
entre 0 y - 1, es evidente que s = -0.4226 corresponde al punto de desprendimiento real. El punto
s = -1.5774 no está sobre el lugar geométrico de las raíces. Por tanto, no es un punto de desprendimiento o de ingreso real. De hecho, el cálculo de los valores de K que corresponden a s =
-0.4226 y s = - 1.5774 da por resultado
K = 0.3849,
paras = -0.4226
K = -0.3849,
para s = -1.5774
4 . Determine los puntos en donde los lugaresgeométricos de las raíces cruzan el eje imaginario.
Estos puntos se encuentran mediante el criterio de estabilidad de Routh, del modo siguiente:
dado que la ecuación característica para el sistema actual es
s3 + 3s2 + 2s + K = 0
324
Capítulo 6 / Análisis del lugar geométrico de las raíces
El arreglo de Routh se convierte en
s3
s2
1
3
2
st
6-K
so
K
K
El valor de K que iguala con cero el término s1 de la primera columna es K = 6. Los puntos de
cruce con el eje imaginario se encuentran después despejando la ecuación auxiliar obtenida
del
renglón 9; es decir,
3s2 + K = 3s2 + 6 = 0
lo cual produce
Las frecuencias en los puntos de cruce con el eje imaginario son, por tanto, w = Zfi. El valor de
ganancia que corresponde a los puntos de cruce es K = 6.
Un enfoque alternativo es suponer que s = jw en la ecuación característica, igualar con cero
tanto la parte imaginaria como la real y después despejar w y K. Para el sistema actual, la ecuación
característica, con s = jw, es
(j~)~ + 3( jo)2 + 2( jw) + K = 0
o bien
(K - 30~) + j(2w - 03) = 0
Si igualamos a cero tanto la parte real como la imaginaria de esta última ecuación, obtenemos
K - 3w2 = 0,
2c.o - cO3 = 0
A partir de lo cual
lB=?Vi,
K=6
u
W = 0,
K=O
Por tanto, los lugares geométricos de las raíces cruzan el eje imaginario en w = t fi, y el valor
de K en los puntos de cruce es 6. Asimismo, una ramificación del lugar geométrico de las raíces
sobre el eje real tocará el eje imaginario en w = 0.
5 . Seleccione un punto de prueba en una vecindad amplia del eje jw y el origen, como se muestra
en la figura 6-4, y aplique la condición de ángulo. Si un punto de prueba está sobre los lugares geo-
-jl
t
Sección 6-2
/
Figura 6-4
Construcción de un lugar geométrico de las raíces.
Gráficas del lugar geométrico de las raíces
325
métricos de las raíces, la suma de los tres ángulos, 61 + 02 + 03, debe ser 180”. Si el punto de prueba
no satisface la condición de ángulo, seleccione otro hasta que se cumpla tal condición. (La suma de
los ángulos en el punto de prueba indicará en qué dirección debe moverse el punto de prueba.) Continúe este proceso y ubique una cantidad suficiente de puntos que satisfagan la condición de ángulo.
6. Dibuje los lugares geométricos de las raíces, con base en la información obtenida
en los pasos anteriores, tal como se muestra en la figura 6-5.
7. Determine un par de polos dominantes complejos conjugados en lazo cerrado tales que el
de amortiguamiento relativo (sea 0.5. Los polos en lazo cerrado con 5 = 0.5 se encuentran
factor
sobre las líneas que pasan por el origen y forman los ángulos tcos-1 c = kcos-10.5 = ?60” con
el eje real negativo. A partir de la figura 6-5, tales polos en lazo cerrado con 5 = 0.5 se obtienen
del modo siguiente:
s2 = -0.3337 - jO.5780
s1 = -0.3337 + jO.5780,
El valor de K que producen tales polos se encuentra a partir de la condición de magnitud, del
modo siguiente:
K = Is(s + l)(s + 2)Is=-0.3337+jo.s780
= 1.0383
Usando este valor de K, el tercer polo se encuentra en s = -2.3326.
Observe que, a partir del paso 4, se aprecia que para K = 6, los polos dominantes en lazo cerrado se encuentran sobre el eje imaginario en s = ti%“% Con este valor de K, el sistema exhibirá
oscilaciones sostenidas. Para K > 6, los polos dominantes en lazo cerrado se encuentran en el
semiplano derecho del plano s, produciendo un sistema inestable.
Por último, observe que, si es necesario, se establece con facilidad la graduación de los lugares
geométricos de las raíces en términos de K mediante la condición de magnitud. Sencillamente
elegimos un punto sobre un lugar geométrico de las raíces, medimos las magnitudes de las tres
cantidades complejas s, s + 1 y s + 2 y multiplicamos estas magnitudes; el producto es igual al
valor de la ganancia K en tal punto, o bien
Is/ . 1s + 11 . 1s + 21 = K
\
j P
/
+- K=6
- jl
K= 1.0383
K=6
t
-3
- K = 1.0383
v
- -jl
\
! -j2
Figura 6-5
Gráfica del lugar
geométrico de las raíces.
326
Capitulo 6 / Análisis del lugar geometrico
de las raices
EJEMPLO 6-2
En este ejemplo trazaremos la gráfica del lugar geométrico de las raíces de un sistema con polos
complejos conjugados en lazo abierto. Considere el sistema de la figura 6-6. Para este sistema,
G(s) =
K(s + 2)
s2 + 2s + 3 ’
H(s) = 1
Se observa que G(s) tiene un par de polos complejos conjugados en
s=-1+jti,
s=-l-jti,
Un procedimiento común para trazar la gráfica del lugar geométrico de las raíces es el siguiente:
1. Determine los lugares geométricos de las raíces sobre el eje real. Para cualquier punto de
prueba s sobre el eje real, la suma de las contribuciones angulares de los polos complejos conjugados es de 360”, como se observa en la figura 6-7. Por tanto, el efecto neto de los polos complejos
conjugados es cero sobre el eje real. La ubicación del lugar geométrico de las raíces sobre el eje
real se determina a partir del cero en lazo abierto sobre el eje real negativo. Una prueba sencilla
revela que una sección del eje real negativo, aquella que se encuentra entre -2 y -m, es una parte
del lugar geométrico de las raíces. Se observa que, dado que este lugar geométrico se encuentra
entre dos ceros (en s = -2 y s = -co), es en realidad parte de dos lugares geométricos de las raíces,
cada uno de los cuales empieza en uno de los dos polos complejos conjugados. En otras palabras,
dos lugares geométricos de las raíces ingresan en la parte del eje real negativo entre -2 y -M.
Dado que existen dos polos en lazo abierto y un cero, hay una asíntota que coincide con el eje
real negativo.
2. Determine el ángulo de salida de los polos complejos conjugados en lazo abierto. La presencia de un par de polos complejos conjugados en lazo abierto requiere de la determinación del
ángulo de salida a partir de los mismos. El conocimiento de este ángulo es importante, dado que
el lugar geométrico de las raíces cerca de un polo complejo proporciona información con respecto
a si el lugar geométrico que se origina en el polo complejo emigra hacia el eje real o se extiende
hacia la asfntota.
Remitiéndonos a la figura 6-8, si elegimos un punto de prueba y lo movemos en la vecindad
misma del polo complejo en lazo abierto en s = -PI, encontramos que la suma de las contribuciones angulares del polo en s = pz y el cero en s = -21 se considera sin alteración para el punto
- -jti
Figura 6-7
Determinación del lugar geométrico
de las raíces sobre el eje real.
Sección 6-2 / Gráficas del lugar geométrico de las raíces
3
2
7
Figura 6-8
-P2
Determinación del ángulo
de salida.
de prueba. Si el punto de prueba está sobre el lugar geométrico de las raíces, la suma de $í, -01
y 05 debe ser 5180” (2k + l), en donde k = 0, 1,2,. . . . Por tanto, en este ejemplo,
q5; - (0, + 0;) = ?180”(2k + 1)
o bien
eI = 1800 - e; + G; = 1800 - 8, + #1
En este caso, el ángulo de salida es
el = 1800 - 8, + $1 = 1800 - 900 + 550 = 1450
Dado que el lugar geométrico de las raíces es simétrico con respecto al eje real, el ángulo de salida del polo en s = -p2 es - 145”.
3. Determine el punto de ingreso. Existe un punto de ingreso en el cual se integran un par de
ramificaciones del lugar geométrico conforme K aumenta. Para este problema, el punto de ingreso se encuentra del modo siguiente: dado que,
K=-
s2 + 2s + 3
si-2
tenemos que
dK
(2s + 2)(s + 2) - (s2 + 2s + 3) = o
-=ds
(s + 2)2
lo cual produce
s2+4s+l=O
o bien
s = -3.1320
o
s = -0.2680
Observe que el punto s = -3.7320 está sobre el lugar geométrico de las raíces. Por tanto, se trata
de un punto de ingreso real. (Observe que, en el punto s = -3.7320 el valor del aumento correspondiente es K = 5.4641.) Dado que el punto s = -0.2680 no está en el lugar geométrico de las
raíces, no puede ser un punto de ingreso. (Para el punto s = -0.2680, el valor de ganancia correspondiente es K = - 1.4641.)
328
Capítulo 6 / Anhlisis del lugar geométrico de las raíces
4 . Trace una gráfica del lugar geométrico de las raíces, con base en la información obtenida en
los pasos anteriores. Para determinar los lugares geométricos de las raíces precisos, deben encontrarse varios puntos mediante prueba y error entre el punto de ingreso y los polos complejos
en lazo abierto. (Para facilitar el trazo de la gráfica del lugar geométrico de las raíces, debemos
encontrar la dirección en la cual se moverá el punto de prueba sumando mentalmente los cambios de los ángulos de los polos y ceros.) La figura 6-9 muestra una gráfica completa del lugar
geométrico de las raíces para el sistema considerado.
El valor de la ganancia K en cualquier punto sobre el lugar geométrico de las raíces se encuentra
aplicando la condición de magnitud. Por ejemplo, el valor de K en el cual los polos complejos conjugados en lazo cerrado tienen el factor de amortiguamiento relativo 5 = 0.7 se encuentra ubicando
las raíces, como se aprecia en la figura 6-9, y calculando el valor de K del modo siguiente:
K= (s+l--jfl)(s+l+jfl)
s+2
= 1.34
s=-1.67+j1.70
Se observa que, en este sistema, el lugar geométrico de las raíces en el plano complejo es parte
de un círculo. Dicho lugar geométrico de las raíces circular no ocurre en la mayor parte de los sistemas. Los lugares geométricos de las raíces circulares ocurren en sistemas que contienen dos polos y un cero, dos polos y dos ceros, o un polo y dos ceros. Incluso en tales sistemas, el que ocurran
estos lugares geométricos de las raíces circulares depende de la ubicación de los polos y los ceros
involucrados.
Para mostrar la ocurrencia en el sistema actual de un lugar geométrico de las raíces circular,
necesitamos derivar la ecuación para dicho lugar geométrico. Para el sistema actual, la condición
de ángulo es
s+2 - s+l-jfl - s+l+jfl=k180”(2k+l)
L--LL
Si se sustituye s = u + jw dentro de esta última ecuación, obtenemos
/a+2+jo - / a+l+j~-jfl - o+l+jo+jfl=?180”(2k+l)
la cual se escribe como
tan-i(%) -tan-i(*)
-tan-i(*)
= +-lgO”(2k + 1)
o bien
tan-i(z) + tan-i(*) = tan-l(%) + lSO”(2k + 1)
Tomando las tangentes de ambos miembros de esta última ecuación y usando la relación
tanx t tany
tan(lc-t-)i)=lTtanxtany
jw
t
Figura 6-9
Gráfica del lugar geométrico de las raíces.
Sección 6-2 / Gráficas del lugar geométrico de las raíces
329
obtenemos
tan[,,,-‘(5) + tan-r(s)] = tan[tan-l(s)?
o bien
w-fl
-..-+o
u+l
a+l
lgO”(2k + Il)]
w
-20
a+2
m=
1TWXO
a+2
que se simplifica a
240 + 1)
w
(a + 1>*- (cO2 - 2) = u+2
o bien
w[(u + 2y + uI* - 31 = 0
Esta última ecuación es equivalente a
o=o
0
(u+2)2
+ 69 = (ti)"
Estas dos ecuaciones corresponden a los lugares geométricos de las raíces del sistema actual. Observe que la primera ecuación, w = 0, corresponde al eje real. El eje real de s = -2 a s = --co corresponde a un lugar geométrico de las raíces para K 2 0. La parte restante del eje real
corresponde a un lugar geométrico de las raíces cuando K es negativo. (En el sistema actual, K
es no negativo.) La segunda ecuación para el lugar geométrico de las raíces es una ecuación de
un círculo con centro en u = -2, w = 0 y radio igual a V?. Esta parte del círculo a la izquierda
de los polos complejos conjugados corresponde al lugar geométrico de las raíces para K 2 0. La
parte restante del círculo corresponde al lugar geométrico de las raíces cuando K es negativo.
Es importante observar que las ecuaciones que se interpretan con facilidad para el lugar geométrico de las raíces sólo se obtienen para sistemas sencillos. No se recomienda intentar obtener
las ecuaciones para los lugares geometricos
de las raíces en sistemas complicados que tengan muchos polos y ceros.Tales ecuaciones son muy complicadas y su configuración en el plano complejo
es difícil de visualizar.
6-3 RESUMEN DE LAS REGLAS GENERALES PARA CONSTRUIR
LOS LUGARES GEOMÉTRICOS DE LAS RAíCES
Para un sistema complejo en lazo abierto con muchos polos y ceros, puede parecer complicado construir una gráfica del lugar geométrico de las raíces, aunque en realidad no es
difícil si se aplican las reglas para construir dicho lugar geométrico. Ubicando los puntos y
las asíntotas específicos y calculando los ángulos de salida de los polos complejos y los ángulos de llegada a los ceros complejos, podemos construir la forma general de los lugares
geométricos de las raíces sin dificultad.
Algunas de las reglas para construir los lugares geométricos de las raíces se ofrecieron
en la sección 6-2. El propósito de esta sección es resumir las reglas generales para construir dichos lugares geométricos del sistema de la figura 6-10. En tanto que el método del
lugar geométrico de las raíces se basa esencialmente en una técnica de prueba y error, la
cantidad de pruebas requeridas se reduce sustancialmente si aplicamos estas reglas.
Reglas generales para construir los lugares geométricos de las raíces. Ahora
resumiremos las reglas y el procedimiento general para construir los lugares geométricos
de las raíces del sistema de la figura 6-10.
330
Capítulo 6 / Análisis del lugar geométrico de las raices
Figuraó-10
Sistema de control.
Primero, obtenga la ecuación característica
1 + G(s)H(s)
= 0
A continuación, vuelva a ordenar esta ecuación para que el parámetro de interés aparezca
como el factor multiplicativo, en la forma
1 + ws + Zlk + z2). *. ts + z,) = o
(6-13)
6 + P& + P2) . *. ts + P,)
En estos análisis, suponemos que el parámetro de interés es la ganancia K, en donde K > 0.
(Si K < 0, lo cual corresponde al caso de realimentación positiva, debe modificarse la condición de ángulo.Véase
la sección 6-5.) Sin embargo, observe que el método todavía es aplicable a sistemas con parámetros de interés diferentes a la ganancia.
1. Ubique los polos y ceros de G(s)H(s) en elplano s. Las ramificaciones del lugar geométrico
de las raíces empiezan en los polos en lazo abietio y terminan en los ceros (ceros finitos o ceros
en infmito) .A partir de la forma factorizada de la función de transferencia en lazo abierto, ubique
los polos y los ceros en lazo abierto en el plano s. [Observe que los ceros en lazo abierto son los
de G(s)H(s), en tanto que los ceros en lazo cerrado son los de G(s) y los polos de H(s)].
Observe que los lugares geométricos de las raíces son simétricos con respecto al eje real
del plano s, debido a que los polos y ceros complejos sólo ocurren en pares conjugados.
Encuentre los puntos inicio y fin de los lugares geométricos de las raíces y localice
también el número de lugares geométricos de las raíces separados. Los puntos del lugar
geométrico que corresponden a K = 0 son los polos en lazo abierto. Esto se aprecia a partir de la condición de magnitud, suponiendo que K tiende a cero, o que
( s + Zl)(S + 2 2 ) . * . ( s + íh)
2 (s + Pl)(S
+ p2) * * * (s + pn)
_
4lh+=w
Esta última ecuación implica que, conforme K disminuye, el valor de s debe tender a uno
de los polos en lazo abierto. Por tanto, cada lugar geométrico de las raíces se origina en un
polo de la función de transferencia en lazo abierto G(s)H(s). Conforme K tiende a infinito,
cada lugar geométrico tiende al cero de la función de transferencia en lazo abierto o al in-\,
finito del plano complejo. Esto se aprecia del modo siguiente: si suponemos que K tiende
a infinito en la condición de magnitud, entonces
lff
(s + Zl)(S
+ 22) * * * (s + z,)
ts + PI)+ + p2) * * * (s + pn)
= lím I = 0
~-im
K
Por tanto, el valor de s debe aproximarse a uno de los ceros finitos en lazo abierto o a un
cero en lazo abierto en infinito. [Si se incluyen los ceros en infinito en la cuenta, G(s)H(s)
tiene la misma cantidad de ceros que de polos.]
Una gráfica del lugar geométrico de las raíces tendrá tantas ramificaciones como raíces
tenga la ecuación característica. Dado que, por lo general, la cantidad de polos en lazo abierto
Sección 6-3 / Resumen de las reglas generales
331
es mayor que la de ceros, la cantidad de ramificaciones es igual a la de los polos Si la cantidad
de polos en lazo cerrado es igual a la cantidad de polos en lazo abierto, la cantidad de ramificaciones individuales del lugar geométrico de las raíces que terminan en los ceros finitos en
lazo abierto será igual a la cantidad m de ceros en lazo abierto. Las n - m ramificaciones
restantes terminan en infinito (n - m ceros implícitos en infinito) a lo largo de las asíntotas
Si incluimos los polos y los ceros en infinito, la cantidad de polos en lazo abierto es igual
a la de ceros en lazo abierto. Por tanto, siempre podemos plantear que los lugares geométricos de las raíces empiezan en los polos de G(s)H(s) y terminan en los ceros de
G(s)H(s) conforme K aumenta de cero a infinito, en donde los polos y los ceros incluyen
tanto aquellos finitos y en infinitos en el plano s.
2. Determine los lugares geométricos de las raíces sobre el eje real. LOS lugares geométricos
de las raíces sobre el eje real se determinan mediante los polos y los ceros en lazo abierto que se
encuentran sobre él. Los polos y los ceros complejos conjugados de la función de transferencia
en lazo abierto no afectan la ubicación de los lugares geométricos de las raíces sobre el eje real,
porque la contribución del ángulo de un par de polos o ceros complejos conjugados es 360” sobre el eje real. Cada parte del lugar geométrico de las raíces sobre el eje real se extiende sobre
un rango de un polo o cero a otro polo o cero. Al construir los lugares geométricos sobre el eje
real, seleccione un punto en éste. Si la cantidad total de polos y ceros reales a la derecha de este
punto de prueba es impar, este punto se encuentra en el lugar geométrico de las raíces El lugar
geométrico de las raíces y su forma complementaria alternan segmentos a lo largo del eje real.
3. Determine las asíntotas de los lugares geométricos de las raíces. Si el punto de prueba
s se ubica lejos del origen, se considera que no cambia el ángulo de cada cantidad compleja.
Entonces, un cero en lazo abierto y un polo en lazo abierto cancelan los efectos del otro.
Por tanto, los lugares geométricos de las raíces para valores de s muy grandes deben ser asintóticos para líneas rectas cuyos ángulos (pendientes) se obtengan mediante
Ángulos de las asíntotas =
+180”(2k + 1)
n- m
(k = 0, 1,2,. . .)
en donde n = número de polos finitos de G(s)H(s)
m = número de ceros finitos de G(s)H(s)
Aquí, k = 0 corresponde a las asíntotas con el ángulo más pequeño con respecto al eje real.
Aunque k supone una cantidad infinita de valores, conforme aumenta, el ángulo se repite
a sí mismo y la cantidad de asíntotas distintas es n - m.
Todas las asíntotas intersecan el eje real en un punto que se obtiene del modo siguiente: si se expanden el numerador y el denominador de la función de transferencia en lazo
abierto, el resultado es
G(s)H(s) =
K[s” + (q + .Q + . . ++ z,)F1 + * * . + z1z2 * * * z,]
s”+(p,+p,+...+p,)s”-l+...+p,p,...p,
Si un punto de prueba se localiza muy lejos del origen, entonces, dividiendo el denominador
entre el numerador, podemos escribir G(s)H(s) como
G(s)H(s) = Sn-m + [(PI + p2 + *. * + p n ) - t1 + z2 + . . . + z,)]s”-“-l + . . .
Dado que la ecuación característica es
G(s)H(s) = - 1
puede escribirse como
332
Capítulo 6 / Análisis del lugar geométrico de las raíces
s n-m + [(pl + p2 + * * - + p,) - (q + z2 + . . * + Zm)]Fm-l + * * * = -K
(6-14)
Para un valor grande de s, la ecuación (6- 14) se aproxima mediante
s + (Pl + Pz + * * * + p,) - (z, + 22
n - m
1
+ * * * + z,) n-m = 0
Si la abscisa de la intersección de las asíntotas y el eje real se representa mediante s = o,,
entonces
u =_(P1+P2+...+Pn)-(Z1+z2+...+Zm)
a
n - m
(6-15)
o bien
(T = suma de polos) - (suma de ceros)
a (
n - m
(6-16)
Debido a que todos los polos y ceros complejos ocurren en pares conjugados, uO siempre es
una cantidad real. Una vez que se encuentra la intersección de las asíntotas y el eje real,
es fácil dibujar las asíntotas en el plano complejo.
Es importante señalar que las asíntotas muestran el comportamiento de los lugares geométricos de las raíces para Is( % 1. Una ramificación del lugar geométrico de las raíces
puede encontrarse en un lado de la asíntota correspondiente o puede atravesar ésta de un
lado al otro.
4. Encuentre los puntos de desprendimiento y de ingreso. Debido a la simetría conjugada de los lugares geométricos de las raíces, los puntos de desprendimiento y de ingreso
se encuentran sobre el eje real o bien ocurren en pares complejos conjugados.
Si un lugar geométrico de las raíces se ubica entre dos polos en lazo abierto adyacentes
sobre el eje real, existe al menos un punto de desprendimiento entre dichos dos polos.
Asimismo, si el lugar geométrico de las raíces está entre dos ceros adyacentes (un cero
puede ubicarse en -QJ) sobre el eje real, siempre existe al menos un punto de ingreso entre los dos ceros. Si el lugar geométrico de las raíces se ubica entre un polo en lazo abierto
y un cero (finito o no finito) sobre el eje real, pueden no existir puntos de desprendimiento
o de ingreso, o bien pueden existir ambos.
Suponga que la ecuación característica se obtiene mediante
B(s) + KA(s) = 0
Los puntos de desprendimiento y los puntos de ingreso corresponden a las raíces múltiples
de la ecuación caracterfstica. Por tanto, los puntos de desprendimiento y de ingreso se determinan a partir de las raíces de
dK
B’(sM(s) - W)A’(s)
-=ds
A2(s)
= o
(6-17)
en donde la prima indica una diferenciación con respecto a s. Es importante señalar que los
puntos de desprendimiento y los puntos de ingreso deben ser las raíces de la ecuación (6 -17)
aunque no todas las raíces de la ecuación (6 - 17) son puntos de desprendimiento o de ingreso.
Si una raíz real de la ecuación (6-17) se encuentra en la parte del eje real del lugar geométrico de las raíces, es un punto de desprendimiento o de ingreso real. Si una raíz real de la
ecuación (6-17) no está en la parte del eje real del lugar geométrico, esta raíz no corresponde
a un punto de desprendimiento ni a un punto de ingreso. Si dos raíces s = SI y s = -SI de la
Sección 6-3 / Resumen de las reglas generales
333
ecuación (6-17) son un par complejo conjugado, y si no es seguro que están en los lugares
geométricos de las raíces, es necesario verificar el valor de K correspondiente. Si el valor de
K que corresponde a la raíz s = SI de dK/ds = 0 es positivo, el punto s = SI es un punto de desprendimiento o de ingreso real. (Dado que se supone que K es no negativo, si es negativo el
valor obtenido de &, el punto s = SI no es de desprendimiento ni de ingreso.)
5. Determine el ángulo de salida (ángulo de llegada) de un lugar geométrico de las raíces
a partir de un pol~‘complejo
(un cero complejo). Para trazar los lugares geométricos de las
raíces con una precisión razonable, debemos encontrar las direcciones de los lugares geométricos de las raíces ceixanas a los polos y ceros complejos. Si se selecciona un punto de
prueba y se mueve en la cercanía precisa del polo complejo (o del cero complejo), se considera que no cambia la suma de las contribuciones angulares de todos los otros polos y
ceros. Por tanto, el ángulo de llegada (o ángulo de salida) del lugar geométrico de las raíces
de un polo complejo (o de un cero complejo), se encuentra restando a 180“ la suma de todos los ángulos de vectores, desde todos los otros polos y ceros hasta el polo complejo (o
cero complejo) en cukstión, incluyendo los signos apropiados.
Ángulo de salida desde un polo complejo = 180”
- (suma de los ángulos de vectores hacia el polo complejo en cuestión desde otros polos)
+ (suma de los ángulos de vectores hacia el polo complejo en cuestión desde los ceros)
Ángulo de llegada a un cero complejo = 180”
- (suma de los ángulos de vectores hacia el cero complejo en cuestión desde otro cero)
+ (suma de los ángulos de vectores hacia el cero complejo en cuestión desde los polos)
El ángulo de salida aparece en la figura 6-11.
6. Encuentre los puntos en los que los lugares geométricos de las raíces cruzan el eje imaginario. Los puntos en donde los lugares geométricos de las raíces intersecan el eje jw se en-
cuentran con facilidad por medio de: (a) el criterio de estabilidad de Routh, o (b) suponiendo
que s = jo en la ecuación característica, igualando con cero la parte real y la parte imaginaria y despejando o y K. En este caso, los valores encontrados de w representan las frecuencias en las cuales los lugares geométricos de las rafces cruzan el eje imaginario. El valor
de K que corresponde a cada frecuencia de cruce produce la ganancia en el punto de cruce.
7. Tomando una serie de puntos de prueba en la vecindad amplia del origen delplano s,
trace los lugares geométricos. Determine los lugares geométricos de las raíces en la vecin-
dad amplia del eje w y el origen. La parte más importante de los lugares geométricos de las
raíces no está sobre el eje real ni en las asíntotas, sino en la parte de la vecindad amplia del
Figura6-11
Construcción del lugar
geométrico de las raíces. [Ángulo
de salida = 180” - (01 + 02) + $.]
334
Capítulo 6 / Análisis del lugar geométrico de las raíces
eje jo y el origen. La forma de los lugares geométricos de las raíces en esta región importante del plano s debe obtenerse con suficiente precisión.
8. Determine los polos en lazo cerrado. Un punto específico de cada ramificación del
lugar geométrico de las raíces será un polo en lazo cerrado si el valor de K en dicho punto
satisface la condición de magnitud. Por otra parte, la condición de magnitud nos permite
determinar el valor de la ganancia en K en cualquier ubicación de las raíces específica sobre el lugar geométrico. (Si es necesario, se establece una graduación de los lugares geométricos en términos de K. Los lugares geométricos de las raíces son continuos con K.)
El valor de K que corresponde a cualquier punto s sobre el lugar geométrico de las
raíces se obtiene a partir de la condición de magnitud, o bien
K = producto de las longitudes entre el punto s y los polos
producto de las longitudes entre el punto s y los ceros
Este valor puede calcularse en forma gráfica o analítica.
Si en este problema se da la ganancia K de la función de transferencia en lazo abierto,
entonces, aplicando la condición de magnitud encontramos las ubicaciones correctas de los
polos en lazo cerrado para un K determinado de cada ramificación de los lugares geométricos de las raíces, mediante un enfoque de prueba y error o mediante MATLAB, lo cual se
presentará en la sección 6-4.
Comentarios acerca de las gráficas del lugar geométrico de las raíces. Se observa que la ecuación característica del sistema cuya función de transferencia en lazo
abierto es
G(s)H(s) =
K(P + blF1 + . . . + b,)
sn + a1s”-1 + * * * + a,
(nrm)
es una ecuación algebraica en s de n-ésimo grado. Si el orden del numerador de G(s)H(s) es
menor que el del denominador,en dos o más (lo que significa que hay dos o más ceros en infinito),
el coeficiente al es la suma negativa de las raíces de la ecuación y es independiente de K. En este
caso, si alguna de las raíces se mueve en el lugar geométrico de las raíces hacia la izquierda, conforme K aumenta, las otras raíces deben moverse hacia la derecha conforme aumenta K. Esta información es útil para encontrar la forma general de los lugares geométricos de las raíces.
También se observa que un cambio ligero en el patrón de los polos y ceros provoca cambios significativos en las gráficas del lugar geométrico de las raíces. La figura 6- 12 representa el hecho de que un cambio ligero en la ubicación de un cero o polo hará muy diferente
la gráfica del lugar geométrico de las raíces.
Figura 6-12
Gráfica del lugar
geométrico de las raíces.
Sección 6-3 / Resumen de las reglas generales
335
Cancelación de los polos G(s) con los ceros de H(s). Es importante señalar que
si el denominador de G(s) y el numerador de H(s) contienen factores comunes, los polos y
ceros en lazo abierto correspondientes se cancelarán unos a otros, lo cual reducirá el grado
de la ecuación característica en uno o más. Por ejemplo, considere el sistema de la figura
6-13(a). (Este sistema tiene una realimentación de velocidad.) Si se modifica el diagrama
de bloques de la figurp 6-13(a) para obtener el de la figura 6-13(b) se aprecia con claridad que G(s) y H(s) tiknen un factor común s + 1. La función de transferencia en lazo cerrado C(s)lR(s) es
C(s)
-=
R(s)
K
s(s + l)(s + 2) + K(s
+ 1)
La ecuación característica es
[s(s + 2) + Kj(s + 1) = 0
Sin embargo, debido a la cancelación de los términos (s + 1) que aparecen en G(s) y H(s),
tenemos que
1 + G(s)H(s) = 1 +
K(s + 1)
s(s + l)(s + 2)
= s(s + 2) + K
s(s + 2)
La ecuación característica reducida es
s(s + 2) + K = 0
La gráfica del lugar geométrico de las raíces de G(s)H( s )no muestra todas las raíces de la
ecuación característica; sólo las raíces de la ecuación reducida.
Para obtener el conjunto completo de polos en lazo cerrado, debemos agregar el polo
cancelado de G(s)H(s) para los polos en lazo cerrado obtenidos en la gráfica del lugar geo-
Figura 6-13
(a) Sistema de
control con
realimentación de
velocidad; (b) y
(c) diagramas de
bloques modificados.
336
l
l
H(s)
(b)
Capítulo 6
/ Análisis del lugar geométrico de las raíces
métrica de las raíces de G(s)H(s). No debe olvidarse que el polo cancelado de G(s)H(s)
un polo en lazo cerrado del sistema, como se observa en la figura 6-13(c).
es
Configuraciones comunes de polos y ceros y los correspondientes lugares geométricos de las raíces. Para concluir esta sección, mostramos la tabla 6-1, que contiene varias configuraciones de polos y ceros en lazo abierto y los correspondientes lugares
geométricos de las raíces. El patrón de los lugares geométricos de las raíces sólo depende
de la separación relativa de los polos y ceros en lazo abierto. Si el número de polos en lazo
abierto excede el número de ceros finitos en tres o más, existe un valor de la ganancia K
más allá del cual los lugares geométricos de las raíces entran en el semiplano derecho del
plano s y, por tanto, el sistema puede volverse inestable. Un sistema estable debe tener todos sus polos en lazo cerrado en el semiplano izquierdo del plano s.
Tabla 6-1 Configuraciones de polos y ceros en lazo abierto
v los correspondientes lugares geométricos de las raíces
Sección 6-3 / Resumen de las reglas generales
Observe que, una vez que hemos adquirido cierta experiencia con el método, nos es fácil
evaluar los cambios en los lugares geométricos de las raíces debidos a las modificaciones en el
número y ubicación de los polos y ceros en lazo abierto, visualizando las gráficas de los lugares
geométrico de las raíces que se producen de las diversas configuraciones de polos y ceros.
Resumen.
A partir de los analisis anteriores, es evidente que se puede trazar un diagrama razonablemente preciso del lugar geométrico de las raíces para un sistema determinado, siguiendo reglas simples (Se sugiere al lector que estudie los diversos diagramas de los
lugares geométricos de las raíces que aparecen en los problemas resueltos al final del capítulo.)
En las etapas de diseño preliminar, no necesitamos las ubicaciones precisas de los polos en lazo
cerrado. Con frecuencia sólo se necesitan sus ubicaciones aproximadas para hacer una estimación del desempeño del sistema. Por tanto, es importante que el diseñador tenga la capacidad de trazar con rapidez los lugares geométricos de las raíces para un sistema determinado.
6-4 GRÁFICAS DEL LUGAR GEOMÉTRICO
DE LAS RAíCES CON MATLAB
En esta sección presentaremos el enfoque de MATLAB para generar las gráficas del lugar
geométrico de las raíces.
Gráfica de los lugares geométricos de las raíces con MATLAB. Al graficar los lugares geométricos de las raíces con MATLAB, abordamos la ecuación del sistema obtenida
en la forma de la ecuación (6 - 13) que se escribe como
en donde num es el polinomio del numerador y den
es el polinomio del denominador. Es decir,
num = (s + zr)(s + z,) . . . (s + z,)
= Sm + (q + z2 + * * f + Zm)Sm-l + - * *+ zlzz * *. z,
den = (s + pr)(s + pJ . . . (s + p,)
= s” + (pl + p2 + * * * + pn)P + . . . + p1p2. *. p,
Observe que ambos vectores, num y den, deben escribirse en potencias descendentes de s.
Un comando de MATLAB que se usa con frecuencia para graficar los lugares geométricos de las raíces es
rlocus(num,den)
Con este comando, se dibuja en la pantalla la gráfica del lugar geométrico de las raíces. El
vector de ganancias K se determina en forma automática. El comando rlocus funciona para
sistemas tanto en tiempo continuo como discreto.
Para los sistemas definidos en el espacio de estados, rlocus(A,B,C,D)
grafica el lugar geométrico de las raíces del sistema con el vector de ganancias automáticamente determinado.
Observe que los comandos
338
Capítulo 6 / Análisis del lugar geométrico de las raíces
rlocus(num,den,K)
y
rlocus(A,B,C,D,K)
Usan el vector de ganancias K proporcionado por el usuario. (El vector K contiene todos
los valores de ganancias para los cuales se van a calcular los polos en lazo cerrado.)
Si se invoca con los argumentos del lado izquierdo
[r,Kl = rlocus(num,den)
[r,Kl = rlocus(num,den,K)
[r,Kl = rlocus(A,B,C,D)
[r,KI = rlocus(A,B,C,D,K)
la pantalla mostrará la matriz r y el vector de ganancias K. (r tiene una longitud de K renglones y una longitud den de - 1 columnas que contienen las ubicaciones de las raíces complejas. Cada renglón de la matriz corresponde a una ganancia a partir del vector K.) El
comando plot
plot(r,l 1)
grafica los lugares geométricos de las raíces.
Si se quiere graficar los lugares geométricos de las raíces con las marcas ‘0’ o bien ‘x’,
es necesario usar el comando siguiente:
r = rlocus(num,den)
plot(r,lol)
0
plot(r,lxl)
Es instructivo graficar los lugares geométricos de las raíces mediante las marcas ‘0’ o
bien ‘x’, dado que cada polo en lazo cerrado calculado se exhibe en forma gráfica; en alguna
parte de los lugares geométricos de las raíces estas marcas están densamente ubicadas y en
otra parte aparecen separadas. MATLAB produce su propio conjunto de valores de ganancias que se usan para obtener una gráfica del lugar geométrico de las raíces. Lo consigue
mediante una rutina interna de adaptación del tamaño de paso. Asimismo, MATLAB usa
la característica automática de fijar la escala del eje del comando plot.
Por último, observe que, dado que el vector de ganancias se determina en forma automática, las gráficas del lugar geométrico de las raíces de
G(s)H(s) =
K(s + 1)
s(s + 2)(s + 3)
G(s)H@) = l°K(’ + ‘)
s(s + 2)(s f 3)
G(s)H(s) =
200K(s + 1)
s(s + 2)(s + 3)
son todas iguales. El conjunto de num y den del sistema es igual para los tres sistemas. Los
num y den son
num=[O
den = [l
EJEJVPLO
6-3
0
5
1
6
11
01
Considere el sistema de control de la figura 6-14. Para graficar el diagrama del lugar geométrico
de las raíces con MATLAB, es necesario encontrar los polinomios del numerador y el denominador en lazo abierto.
Sección 6-4 / Gráficas
del
lugar geométrico de las raíces con
MATLAB
339
Figuraó-14
Sistema de control.
Para este problema, el numerador está dado como polinomio en s. Sin embargo, E: denominador
se obtiene como un producto de los términos de primer y segundo orden, lo cual implica que debemos multiplicar estos términos para obtener un polinomio en s. La multiplicación de estos términos se efectúa con facilidad mediante el comando de convolución, que aparece a continuación.
Defina
a = s(s + 4) = s2 + 4s : a = [l 4 01
b=s+6
: b = [l 61
:
c = s2 + 1.4s + 1
c=[l
1.4
11
Después, use el comando siguiente:
d = conv(a,b);
e = conv(c,d)
[Observe que conv(a,b) proporciona el producto de dos polinomios a y b.] Observe la siguiente
salida de computadora:
a = II 4 01;
b = Il 61;
c=[l
1.4 ll;
d = conv(a,b)
d =
1
10
24
0
1 1 : conv(c,d)
1.0000
11.4000
39.0000
43.6000
24.0000
43.6
01
0
Por tanto, el polinomio del denominador es
den
=
[l
ll.4
39
24
Para encontrar los ceros en lazo abierto de la función de transferencia determinada, usamos
el siguiente comando roots:
p = [l 2 41
r = roots(p)
340
Capítulo 6 /
Análisis
del lugar geométrico de las raíces
A continuación se muestra el comando y la salida de la computadora.
p = [l 2 41;
r = roots(p)
I
I
r=
-1.0000 + 1.7321i
-1.0000 - 1.7321i
Asimismo, para encontrar los polos complejos conjugados en lazo abierto (las raíces de S* + 1.4~
+ 1 = 0), introducimos el comando roots del modo siguiente:
q = roots(c)
q=
-0.7000 + 0.7141i
-0.7000 - 0.7141i
Por tanto, el sistema tiene los siguientes polos y ceros en lazo abierto:
Ceros en lazo abierto: s = -1 + j1.7321,
Polos en lazo abierto: s = -0.7 + j0.7141,
s = 0,
s= -4,
s = -1 - j1.7321
s = -0.7 - jo.7141
s=-6
El programa MATLAB 6-1 graficará el diagrama del lugar geométrico de las raíces para este
sistema. La gráfica aparece en la figura 6- 15.
Sección 6-4 / Gráficas del lugar geométrico de las raíces con MATLAB
341
Gráfica del lyyr geométrico de las raíces de G(s) = K(s”2+2.s+4)l[s(s+4)(s+6)(s”2+1.4s+l)]
Figuraó-15
Gráfica del lugar
geométrico de las raíces.
YEMPLO 6-4
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
Eje real
4
6
8
10
Considere el sistema de la figura 6-16, en el cual la función de transferencia en lazo abierto
G(s)H(s) es
K(s + 0.2)
GWW = s2(s + 3 6)
El cero en lazo abierto está en s = -0.2 y los polos en lazo abierto están en s = 0, s = 0 y s 0 -3.6.
El programa MATLAB 6-2 genera una gráfica del lugar geométrico de las raíces. La gráfica
del lugar geométrico de las raíces resultante aparece en la figura 6-17.
342
Capítulo 6 / Análisis del lugar geométrico de las raíces
Gráy del lugar geométrico de las raíces de G(s) = K(s+0.2)l[sA2(s+3.6)]
Figura6-17
Gráfica del lugar
geométrico de las raíces.
ZJEMPLO
6-5
-4
-3
-2
-1
Eje real
0
1
2
Considere el sistema de la figura 6-18. Grafique los lugares geométricos de las raíces con una razón
de aspecto cuadrada para que una línea con una pendiente de 1 sea una linea realmente de 4.5”.
A fin de establecer la región de la gráfica en la pantalla para que sea cuadrada, introduzca el
comando axis(‘square’).
Con este comando, una línea con una pendiente de 1 estará realmente
45”, y no inclinada por la forma irregular de la pantalla. (Es importante señalar que una grhfica
de copia permanente puede ser o no una región cuadrada, dependiendo de la impresora.)
El programa MATLAB 6-3 produce una gráfica del lugar geométrico de las raíces en una
región cuadrada. La gráfica resultante aparece en la figura 6-19.
Sección 6-4 / Gráficas del lugar geométrico de las raíces con MATLAB
343
Gráfica del lugar geométrico de las raíces de G(s) = K(s+l)l[s(s-l)(s”2+4s+16)]
Figura 6-19
Gráfica del lugar
geométrico de las raíces.
EJEMPLO 6-6
-6
-6
-4
-2
0
Eje real
2
4
6
Considere el sistema cuya función de transferencia en lazo abierto G(s)H(s) es
G(s)+) =
=
K
s(s + OS)@’ + 0.6s + 10)
K
s4 + l.ls3 + 10.32 + 5s
No hay ceros en lazo abierto. Los polos en lazo abierto se ubican en s = -0.3 + j3.1480, s = -0.3
- j3.1480, s = -0.5 y s = 0.
Si introducimos en la computadora el programa MATLAB 6-4, obtenemos la gráfica del lugar geométrico de las raíces de la figura 6-20.
Observe que, en las regiones cerca de x = -0.3,~ = 2.3 y x = -0.3,~ = -2.3, dos lugares geométricos tienden uno al otro. Podemos preguntarnos si estas dos ramificaciones deben tocarse
o no. Para explorar esta situación, graficamos los lugares geométricos de las raíces mediante el
comando
344
Capítulo 6 / Análisis del lugar geométrico de las raíces
Gráfica d e
6
l -
i -
4,
-4
-2
U
L
4
,
õ
Eje real
raíces.
r = rlocus(num,den)
plot(r,‘o’)
como se aprecia en el programa MATLAB 6-5. La figura 6-21 muestra la gráfica resultante.
Dado que no hay puntos calculados cerca de (-0.3,2.3) y (-0.3, -2.3), es necesario ajustar
los pasos en la ganancia K. Mediante un enfoque de prueba y error, encontramos que la región
específica de interés es 20 5 K 5 30. Introduciendo el programa MATLAB 6-6, obtenemos la
gráfica del lugar geométrico de las raíces de la figura 6-22. A partir de esta gráfica, es evidente
que las dos ramificaciones que se aproximan en la mitad superior del plano (o en la mitad inferior del plano) no se tocan.
Sección 6-4
/
Gráficas del lugar geométrico de las raíces con MATLAB
345
Grhfica del lugar geométrico de las raíces de G(s) = K/[~(~+0.5)(~“2+0.6~+10)]
6
4
2
.i
f
.m
.ol,
w
2
0
-2
-4
Figura6-21
Gráfica del lugar
geométrico de las raíces.
EJEMPLO 6-7
-6 -0I
-4
-2
0
2
4
6
Eje real
Considere el sistema de la figura 6-23. Las ecuaciones del sistema son
i=Ax+Bu
y = Cx + Du
u=r- Y
En este problema de ejemplo obtendremos el diagrama del lugar geométrico de las raíces del sistema definido en el espacio de estados. Por ejemplo, supongamos que las matrices, A, B, C y D,
se obtienen mediante
346
Capítulo 6 / Análisis del lugar geométrico de las raíces
(s”2+O.ás+lO)]
Gráfica del lugar geométrico de las I ,aíces de G(s)._ = Wls(s+O.S)
_.
-3
Figura
6-22
Gráfica del lugar
geométrico de las raíces.
Figura
A
-7
-4
-3
-1
-2
0
Eje real
1
2
3
4
6-23
Sistema de control
en lazo cerrado.
(6-18)
c = [l
0
D = [0]
01,
La gráfica del lugar geométrico de las raíces para este sistema se obtiene mediante el siguiente
comando de MATLAB:
rlocus(A,B,C,D)
Este comando producirá la misma gráfica del lugar geométrico de las raíces que se obtiene mediante el comando rlocus(num,den),
en donde num y den se obtienen de
[num,den]
= ss2tf(A,B,C,D)
num = [0
den = [l
0 1 01
1 4 5 6 1601
del modo siguiente:
Sección 6-4 / Cirhficas
del lugar geomktrico
de las raíces con MATLAB
347
El programa MATLAB 6-7 contiene un programa que generará la gráfica del lugar geomktrico
de las raíces de la figura 6-24.
estados
Figura 6-24
Gráfica del lugar
geométrico de las raíces
del sistema definido
en el espacio de estados,
en donde A, B, C y D
s e obtuvieron mediante
la ecuación (6-18).
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
Eje real
6 - 5 CASOS ESPECIALES
En esta sección consideraremos dos casos especiales. Uno es aquel en el cual la ganancia K
no aparece como un factor multiplicativo, y en el otro el sistema en lazo cerrado es un sistema con realimentación positiva en lugar de un sistema con realimentación negativa.
348
Capítulo 6 / Análisis del lugar geométrico de las raíces
Construcción de los lugares geométricos de las raíces cuando un parámetro variable no aparece como un factor multiplicativo. En algunos casos, el parámetro variable
K no aparece como un factor multiplicativo de G(s)H(s). En tales casos es posible volver a
escribir la ecuación característica de modo que el parámetro de la variable K aparezca como
un factor multiplicativo de G(s)H(s). El ejemplo 6-8 ilustra cómo proceder para ello.
EJEMPLO 6-8
Considere el sistema de la figura 6-25. Dibuje un diagrama del lugar geométrico de las raíces. A
continuación determine el valor de k de modo que el factor de amortiguamiento relativo de los
polos dominantes en lazo cerrado sea 0.4.
Aquí el sistema contiene una realimentación de velocidad. La función de transferencia en lazo
abierto es
Función de transferencia en lazo abierto =
20
s(s + l)(s + 4) + 2oks
Observe que la variable ajustable k no aparece como un factor multiplicativo. La ecuación característica para el sistema es
s3 + Ss + 4s + 20 + 20ks = 0
(6-19)
Defina
20k = K
Por tanto, la ecuación (6-19) se convierte en
s3 + 5s2 + 4s + KS + 20 = 0
(6-20)
Dividiendo ambos miembros de la ecuación (6-20) entre la suma de los términos que no contienen K, obtenemos
1+
KS
0
s3 + SS2 + 4s + 20 =
o bien
l + (s +j2)(s-i2)(s
+ 5) = O
(6-21)
En este punto la ecuación (6-21) tiene la forma de la ecuación (6-5).
Ahora trazaremos los lugares geométricos de las raíces del sistema dado por la ecuación (6-21).
Observe que los polos en lazo abierto se ubican en s = 12,s = -)2,s = - 5,y que el cero en lazo abierto
se ubica en s = 0. El lugar geométrico de las raíces existe sobre el eje real entre 0 y -5. Dado que
'2 (s +j2)(sy2)(s
+ 5) = l,-5
tenemos que
Ángulo de la asíntota
=
+180"(2k + 1) = +go"
2
Figura 6-25
Sistema de control.
Seccián
6-5 / Casos especiales
349
La intersección de las asíntotas con el eje real se encuentra a partir de
KS
E s3
+ 5s* + 4s + 20
K
s-Q0 s* + 5s + . . . = :E (s tK2.512
= Iím
como
0, = -2.5
El ángulo de salida (ángulo 0) a partir del polo en s = 12 se obtiene del modo siguiente:
6’ = 180” - 90” - 21.8” + 90” = 158.2”
Por tanto, el ángulo de salida del polos = $2 es 158.2”. La figura 6-26 muestra una gráfica del lugar geométrico de las raíces para el sistema.
Observe que los polos en lazo cerrado con 5 = 0.4 deben encontrarse sobre las líneas rectas
que pasan a través del origen y forman los ángulos de t66.42” con el eje real negativo. En este
caso, hay dos intersecciones de la ramificación del lugar geomttrico
de las raíces del semiplano
superior del plano s y la línea recta del ángulo 66.42”. Por tanto, dos valores de K producirán el
factor de amortiguamiento relativo 5 de los polos en lazo cerrado igual a 0.4. En el punto P,
el valor de K es
K = (s + MS - Ns + 5)
S
s=-1.0490+j2.4065
= 8.9801
Por tal razón
k = t. = 0.4490
en el punto P
\
s=-2.1589+j4.9652
'
j2.4065
s=-2.9021
Figura 6-26
Gráfica del lugar
geométrico de las
raíces para el sistema
de la figura 6-25.
350
Capítulo 6 / Análisis del lugar geométrico de las raíces
En el punto Q, el valor de K es
K = 6 + sw - MS + 5)
s
s=-2.1589+j4.9652
= ~~ZXJ
Por tanto
k = ; = 1.4130
en el punto Q
Así, tenemos dos soluciones para este problema. Para K = 0.4490, los tres polos en lazo cerrado
se ubican en
s = -1.0490 -+- j2.4065,
s = -1.0490 - j2.4065,
s = -2.9021
para k = 1.4130, los tres polos en lazo cerrado se localizan en
s = -2.1589 + j4.9652,
s = -2.1589 - j4.9652,
s = -0.6823
Es importante señalar que el cero del origen es en lazo abierto, y no en lazo cerrado. Es decir
evidente, debido a que el sistema original de la figura 6-25 no tiene un cero en lazo cerrado, dado
que
20
C(s)
-=
R(s) s(s + l)(s + 4) + 20(1 + ks)
El cero en lazo abierto en s = 0 se introdujo en el proceso de modificar la ecuación característica
de modo que la variable ajustable K = 20k apareciera como un factor multiplicativo.
Obtuvimos dos valores diferentes de k para satisfacer el requisito de que el factor de amortiguamiento relativo de los polos dominantes en lazo cerrado fuera igual a 0.4. La función de
transferencia en lazo cerrado con K = 0.4490 se obtiene mediante
20
C(s)
-=
s3 + 5s’ + 12.98s + 20
Ns)
= (s + 1.0490 + j2.4065)(s + tu0490 - j2.4065)(s + 2.9021)
La función de transferencia en lazo cerrado con k = 1.4130 se obtiene mediante
C(s)
-=
R(s)
20
s3 + 5s’ + 32.26s + 20
20
= (s + 2.1589 + j4.9652)(s + 2.1589 - j4.9652)(s + 0.6823)
Observe que el sistema con k = 0.4490 tiene un par de polos dominantes complejos conjugados en
lazo cerrado, en tanto que en el sistema con k = 1.4130 es el polo dominante en lazo cerrado real
en s = -0.6823 y no son los polos dominantes complejos conjugados en lazo cerrado. En este caso,
la característica de respuesta se determina principalmente mediante el polo real en lazo cerrado.
Comparemos las respuestas escalón unitario de ambos sistemas. El programa MATLAB 6-8
se usa para graficar
las curvas de respuesta escalón unitario en un diagrama. Las curvas de respuesta escalón unitario resultantes [cl(t) para k = 0.4490 y ch para k = 1.41301 aparecen en la
figura 6-27.
En el figura 6-27 observamos que es oscilatoria la respuesta del sistema con k = 0.4490. (El
efecto del polo en lazo cerrado en s = -2.9021 en la respuesta escalón unitario es pequeño.) Para
el sistema con k = 1.4130,las oscilaciones producidas por los polos en lazo cerrado en s = -2.1589
* j4.9652 se amortiguan mucho más rápido que una respuesta puramente exponencial, debido
al polo en lazo cerrado en s = -0.6823.
Sección 6-5 / Casos especiales
351
Reswestas escalbn unitario de dos sistemas
1.2
Figura 6-27
Curvas de respuestas
‘;p: 0.6
escalón unitario para el
sistema de la figura 6-25
cuando el factor de
amortiguamiento relativo 5
de los polos dominantes en
lazo cerrado se hace igual a
0.4. (Dos valores posibles de
k producen el factor de
amortiguamiento relativo 5
igual a 0.4.)
3
* 0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t seg
El sistema con k = 0.4490 (que presenta una respuesta más rápida con un sobrepaso máximo
relativamente pequeño) tiene una característica de respuesta mucho mejor que el sistema con
k = 1.4130 (el cual presenta una respuesta sobreamortiguada lenta). Por tanto, debemos elegir k =
0.4490 para el sistema actual.
Lugares geométricos de las raíces para sistemas con realimentación positiva.*
En un sistema de control complejo, puede haber un lazo interno con realimentación positiva como el de la figura 6-28. Por lo general, un lazo semejante se estabiliza mediante el
* Bibliografía W-5.
Capítulo 6 / Análisis del lugar geométrico de las raíces
Figura 6-28
Sistema de control.
I
HI(S) :
I
I
1
lazo externo.A continuación nos concentraremos en el lazo interno de realimentación positiva. La función de transferencia en lazo cerrado del lazo interno es
C(s) =
G(s)
R(s) 1 - G(s)H(s)
La ecuación característica es
1 - G(s)H(s)
(6-22)
= 0
Esta ecuación se despeja en forma similar al desarrollo del método del lugar geométrico de
las raíces de la sección 6-2. Sin embargo, debe alterarse la condición de ángulo.
La ecuación (6-22) se escribe como
G(s)H(s) = 1
que es equivalente a las dos ecuaciones siguientes:
/G(s)H(s)
(k
= 0" +=k360"
0,1,2,...)
IG(s)fJ(s)l = 1
La suma total de todos los ángulos a partir de los polos y ceros en lazo abierto debe ser
igual a 0” t- k360”. Por tanto, el lugar geométrico de las raíces ocupa un lugar geométrico
de O”, en contraste con el lugar geométrico de 180” que se consideró antes. La condición de
magnitud no cambia.
Para ilustrar la gráfica del lugar geométrico de las raíces para el sistema con realimentación
positiva, usaremos como ejemplo las siguientes funciones de transferencia G(s) y H(s).
K(s + 2)
G(s) = ts + 3)ts2 + 3 + 2) 7
Ws) = l
Se supone que la ganancia K es positiva.
Las reglas generales para construir los lugares geométricos de las raíces ofrecidas en la
sección 6-3 deben modificarse en la forma siguiente:
La regla 2 se modifica del modo siguiente: si el número total de polos reales y ceros reales
a la derecha de un punto de prueba sobre el eje real es un número par, este punto de prueba
se encuentra en el lugar geométrico de las raíces.
Sección 6-5 / Casos especiales
353
La regla 3 se modifica del modo siguiente:
Ángulos de las asíntotas =
+ k360”
(k = 0, 1,2,. . .)
n - m
en donde n = número de polos finitos de G(s)H(s)
m = número de ceros finitos de G(s)H(s)
La regla 5 se modifica del modo siguiente: cuando se calcula el ángulo de salida (o el ángulo de llegada) a partir de un polo complejo en lazo abierto (o de un cero complejo), se deben
restar de 0” la suma de todos los ángulos de los vectores que parten de todos los otros polos y
ceros hacia el polo complejo (o el cero complejo) en cuestión, incluyendo los signos adecuados.
Las otras reglas para construir la gráfica del lugar geométrico de las raíces no cambian.
Ahora aplicaremos las reglas modificadas para desarrollar la gráfica del lugar geométrico.
Grafique en el plano complejo los polos (s = - 1 + j, s = -1 - j, s = -3) y cero (S = -2)
en lazo abierto. Conforme K aumenta de 0 a ~0, los polos en lazo cerrado empiezan en
los polos en lazo abierto y terminan en los ceros en lazo abierto (finitos o infinitos), igual
que en el caso de los sistemas con realimentación negativa.
Determine los lugares geométricos de las raíces sobre el eje real. Existen lugares geométricos de las raíces sobre el eje real entre -2 y +m y entre -3 y -co.
Determine las asíntotas de los lugares geométricos de las raíces. Para el sistema actual,
+ k360”
Ángulo de la asíntota = 3 _ 1
= +-MO”
Esto significa simplemente que las asíntotas están sobre el eje real.
Determine los puntos de desprendimiento y de ingreso. Dado que la ecuación característica es
(s + 3)(s2 + 2s + 2) - K(s + 2) = 0
obtenemos
K = (s + 3)(? + 2s + 2)
s+2
Diferenciando K con respecto a S, obtenemos
dK
-= 2s3 + 11s’ + 20s + 10
ds
(s + 2)2
Observe que
2s3 + 11s2 + 20s + 10 = 2(s + 0.8)(s2 + 4.7s + 6.24)
= 2(s + 0.8)(s + 2.35 + jO.77)(s + 2.35 - j0.77)
El punto s = -0.8 está en el lugar geométrico de las raíces. Dado que este punto se encuentra entre dos ceros (un cero finito y un cero infinito), es un punto de ingreso real.
Los puntos s = -2.37 f jo.77 no satisfacen la condición de ángulo y,por tanto, no son puntos de desprendimiento ni de ingreso.
5. Encuentre el ángulo de salida del lugar geométrico de las raíces a partir de un polo complejo. Para el polo complejo en s = -1 + j, el ángulo de salida 8 es
0 = 0" - 27" - 90" + 45"
354
Capítulo 6 / Análisis del lugar geométrico de las raíces
o bien
8 = -72”
(El ángulo de salida del polo complejo s = - 1 - j es 72”.)
6. Seleccione un punto de prueba en la vecindad amplia del eje jw y el origen, y aplique la
condición de ángulo. Ubique una cantidad suficiente de puntos que satisfagan la condición de ángulo.
La figura 6-29 muestra los lugares geométricos de las raíces para el sistema con realimentación positiva determinado. Los lugares geométricos de las raíces aparecen con líneas
de guiones y una curva.
Observe que, si
K > (s + 3)(? + 2s + 2)
3
=
s+2
s=o
una raíz real se introduce en el semiplano derecho del plano s. Por tanto, para valores de K
mayores que 3, el sistema se vuelve inestable. (Para K > 3, el sistema debe estabilizarse con
un lazo externo.)
Observe que la función de transferencia en lazo cerrado para el sistema con realimentación positiva se obtiene mediante
C(s)
G(s)
-=
R(s) 1 - G(s)H(s)
K(s + 2)
= (s + 3)(s2 + 2s + 2) - K(s + 2)
Para comparar esta gráfica de un lugar geométrico de las raíces con la del sistema con
realimentación negativa correspondiente, mostramos en la figura 6-30 los lugares geométricos de las raíces para el sistema con realimentación negativa cuya función de transferencia en lazo cerrado es
-j2
-jl
-m-m
1
l-t
0
1
- -jl
- -j2
il
-jl
-j2
-j3
Sección 6-5 / Casos especiales
Figura 6-29
2aGráfica
del lugar geométrico de las
raíces para el sistema con realimentación positiva con G(s) =
K(s+ 2)/[(s + 3)(s2 + 2s + 2)],
H(s) = 1.
Figura 6-30
Gráfica del lugar geométrico de las
raíces para el sistema con realimentación negativa con G(s) =
K(s + 2)/[(s + 3)(s2 + 2s + 2)],
H(s) = 1.
*
355
K(s + 2)
C(S)
-=
R(s)
(s + 3)(s2 + 2s + 2) + K(s + 2)
La tabla 6-2 contiene varias gráficas del lugar geométrico de las raíces de sistemas con
realimentación negativa y positiva. Las funciones de transferencia en lazo cerrado se obtienen mediante
Tabla 6-2 Gráficas del lugar geométrico de sistemas
con realimentación negativa y positiva
---I-
+z-+&
+q---;
Las líneas y curvas gruesas corresponden a los sistemas con realimentación negativa; las líneas y curvas punteadas corresponden a los sistemas con realimentación
positiva.
356
Capítulo 6
/ Análisis del lugar geométrico de las raíces
c
G
x=l+GH ’
C
G
x=l+GH ’
para sistemas con realimentación negativa
para sistemas con realimentación positiva
en donde GH es la función de transferencia en lazo abierto. En la tabla 6-2, los lugares geométricos de las raíces para los sistemas con realimentación negativa se dibujan con líneas
y curvas gruesas y los de los sistemas con realimentación positiva se dibujan con líneas y
curvas punteadas.
6-6 ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROL MEDIANTE
EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAíCES
En esta sección analizaremos primero la ortogonalidad de los lugares geométricos de las
raíces y los lugares geométricos de ganancia constante para los sistemas en lazo cerrado.
Luego analizaremos los sistemas condicionalmente estables. Por último, analizaremos los
sistemas de fase no mínima.
Ortogonalidad de los lugares geométricos de las raíces y los lugares geométricos de ganancia constante. Considere el sistema cuya función de transferencia en lazo
abierto es G(s)H(s). En el plano G(s)H(s), los lugares geométricos de IG(s)H(s)l = una constante, son círculos con centro en el origen y los lugares geométricos correspondientes a
/G(s)H(s) = t180” (2k + 1) (k = 0, 1,2, . . .) se encuentran sobre el eje real negativo del
plano G(s)H(s), como se aprecia en la figura 6-31. [Observe que el plano complejo empleado aquí no es el plàno s, sino el plano G(s)H(s).]
Los lugares geométricos de las raíces y los lugares geométricos de ganancia constante
en el plano s son mapeos conformes de los lugares geométricos de /G(s)H(s) = -+ 180” (2k
+ 1) y de lG(s)H(~jl = una constante, en el plano G(s)H(s).
Dado que los lugar?s geométricos de fase constante y de ganancia constante en el plano
G(s) y H(s) son ortogonales, los Iugares geométricos de las raíces y los lugares geométricos de
ganancia constante en el plano S son ortógonales La figura 6-32(a) contiene los lugares geométricos de las raíces y los lugares geom&ricos de ganancia constante para el sistema siguiente:
K(s + 2)
G(s) =
H(s) = 1
s2 + 2s + 3 ’
observe que, dado que la configuración de polos y ceros es simétrica con respecto al eje real,
los lugares geométricos de ganancia constante también son simétricos con respecto al mismo.
ImA
Im
Plano G(s) H(s)
H(s)
H(s)
H(s)
/G(s)
/G(s)
1
= t180°(2k+ 1)
Figura 631
+
Re
0
Gráficas de los
lugares geométricos
de ganancia constante y de fase
constante en el
plano G(s)H(s).
I
Sección 6-6
/ Análisis de sistemas de control mediante el lugar geométrico de las raices
357
:
,’: /’
,/’ ,-
jw
_.--- -.._
,.-.,
L j6-‘-.,
iw
K=6
j3
‘\\
.f’ ,
/’
-j3
(b)
Figura
6-32
Gráficas de los lugares geomhricos de las raíces y los lugares geomkricos de ganancia constante. (a) sistema con G(s) = K(s + 2)/(s2 + 2 + 3), H(s) = 1; (b) sistema con G(s) = K/[s(s + l)(s + 2) 1, H(s) = 1.
La figura 6-32(b) muestra los lugares geométricos de las raíces y los lugares geométricos de ganancia constante para el sistema:
G(s) =
K
s(s + l)(s + 2) ’
H(s) = 1
Observe que, dado que la configuración de los polos en el plano s es simétrica con respecto al eje real y la línea paralela hacia el eje imaginario que pasa a través del punto
(a = - 1, w = 0), los lugares geométricos de ganancia constante son simétricos con respecto a la línea w = 0 (eje real) y la línea 0 = -1.
Sistemas condicionalmente estables. Considere el sistema de la figura 6-33(a).Los
lugares geométricos de las raíces para este sistema se grafican mediante las reglas generales y
el procedimiento para construir lugares geométricos de las raíces. La figura 6-33(b) contiene
una gráfica de un lugar geométrico de las raíces para este sistema. Se aprecia que este sistema
es estable sólo para rangos limitados del valor de K, es decir, 0 < K < 14 y 64 < K < 195. El
sistema se vuelve inestable para 14 < K < 64 y 195 < K. Si K adopta un valor correspondiente a una operación inestable, el sistema se colapsa o se vuelve no lineal, debido a que puede
existir una no linealidad de saturación. Tal sistema se denomina condicionalmente estable.
En la práctica, no son convenientes los sistemas condicionalmente estables. La estabilidad
condicional es peligrosa pero ocurre en ciertos sistemas, en particular, un sistema que tiene una
trayectoria directa inestable. Tal trayectoria directa puede ocurrir si el sistema tiene un lazo
menor. Es aconsejable evitar tal estabilidad condicional dado que, si por alguna razón la ganancia desciende más allá del valor crítico, el sistema se vuelve inestable. Observe que la adición de
una red de compensación adecuada elimina la estabilidad condicional. [La adición de un cero
provocará que los lugares geométricos de las raíces se inclinen a la izquierda. (Véase la sección
7-2.) Por tanto, la estabilidad condicional se elimina agregando la compensación adecuada.]
358
Capítulo 6 / Análisis del lugar geométrico de las raíces
I
.l
.l
-8
-6
-4
64
2 <T
(b)
Figura 6-33
(a) Sistema condicionalmente estable; (b) gráfica del lugar geométrico de las raíces.
Sistemas de fase no mínima. Si todos los polos y ceros de un sistema se encuentran en el semiplano izquierdo del planos, el sistema se denomina de fase mínima. Si un sistema tiene al menos un polo o un cero en el semiplano derecho del plano s, el sistema se
considera de fase no mínima. El término de fase no mínima proviene de las características
de cambio de fase de tal sistema cuando está sujeto a entradas senoidales.
Considere el sistema de la figura 6-34(a). Para este sistema,
G(s) =
K(1 - Tas)
s(Ts + 1)
K “3,
H(s) = 1
Éste es un sistema de fase no mínima, dado que sólo hay un cero en el semiplano derecho
del plano s. Para este sistema, la condición de ángulo se convierte en
Figura 6-34
(a) Sistema de fase
no mínima;
(b) gráfica del
lugar geométrico
de las raíces.
(4
Sección 6-6
(b)
/ Análisis de sistemas de control mediante el lugar geométrico de las raíces
%9-
= ?180”(2k + 1)
(k = 0, 1,2, . . .)
o bien
wh - 1) = 0”
s Ts + 1)
L
(6-23)
Los lugares geometricos de las raíces se obtienen a partir de la ecuación (6-23). La figura
6-34(b) muestra una gráfica del lugar geométrico de las raíces para este sistema. A partir
del diagrama, observamos que el sistema es estable si la ganancia K es menor que UT,.
6-7 LUGARES GEOMÉTRICOS DE LAS RAíCES PARA SISTEMAS
CON RETARDO DE TRANSPORTE
La figura 6-35 contiene un sistema térmico en el cual circula aire caliente para conservar
constante la temperatura de una cámara. En este sistema, el elemento de medición se
coloca corriente abajo a una distancia de L pie del horno, la velocidad del aire es v pie/seg,
y transcurrirá T = Llv seg antes de que el termómetro detecte cualquier cambio en la temperatura del horno. Tal retardo en la medición, la acción de control, la operación funcional,
o situaciones similares, se denomina retardo de transporte o tiempo muerto. En la mayoría
de los sistemas de control de procesos presentan un tiempo muerto.
La entradax(t) y la saliday de un elemento de retardo de transporte o tiempo muerto
se relacionan mediante
y(t) = x(t - T)
en donde T es el tiempo muerto. La función de transferencia del retardo de transporte o
tiempo muerto se obtiene mediante
Función de transferencia del retardo de transporte o tiempo muerto =
.Lqx(t - T)l(t - T)l
~ww)l
= X(s)e-”
X(s)
Termómetro
Figura 635
Sistema térmico.
1
Ventilador
Capítulo 6 / Análisis del lugar geométrico de las raíces
-Ts
=
e
Suponga que la función de transferencia de la trayectoria directa de este sistema térmico se aproxima mediante
G(s) = 5
como se aprecia en la figura 6-36. Construyamos una gráfica del lugar geométrico de las
raíces para este sistema. La ecuación característica para este sistema en lazo cerrado es
(6-24)
Observe que, para sistemas con retardo de transporte, es nqcesario modificar las reglas
de construcción que se presentaron antes. Por ejemplo, el número de ramificaciones del lugar geométrico de las raíces es infinito, dado que la ecuación característica tiene un número
infinito de raíces. El número de asíntotas es infinito.Todas son paralelas al eje real del planos.
A partir de la ecuación (6-24), obtenemos
KemTs
-=
-1
s+l
Por tanto, la condición de ángulo se convierte en
l
5 = p - 1s + 1 = +180”(2k
+ 1)
(k = O,l, 2,. . .)
(6-25)
Para encontrar el ángulo de e-r’, sustituya s = (T + iw. En tal caso, obtenemos
e-Ts = e-To-joT
Dado que e-ro es una cantidad real, el ángulo de e-Ta es cero. Por tanto,
b=/e-W=/coswT-jsenwT
= -w T ( r a d i a n e s )
= -57.3wT
(grados)
La condición de ángulo, ecuación (6-25), se vuelve, así,
- 57.3wT
- /s + 1 = +180”(2k + 1)
Dado que T es una constante determinada, el ángulo de e-n es una función de w solamente.
A continuación determinaremos la contribución del ángulo producida por e-Ts. Para k
= 0, la condición de ángulo se escribe
s + 1 = +180” - 57.3”wT
/
-y-q=
Sección 6-7 / Lugares geom6tricos
(6-26)
~~~~~6~31~
Diagrama de bloques del sistema
de las raíces para sistemas con retardo de transporte
361
Dado que la contribución de ángulo de e-rs es cero para w = 0, el eje real de -1 a -w forma
una parte de los lugares geométricos de las raíces. Ahora suponga un valor OI para w y
calcule 57.3” WI T. En el punto -1 sobre el eje real negativo, dibuje una línea que forme un ángulo de 180” - 57.3” wrí”con el eje real. Encuentre la intersección de esta línea y la línea horizontal o = WI. Esta intersección, punto T de la figura 6-37(a), es un punto que satisface la
ecuación (6-26) y, por tanto, está sobre un lugar geométrico de las raíces. Continuando con
el mismo proceso, obtenemos la gráfica del lugar geométrico de las raíces de la figura 6-37(b).
Observe que, conforme s tiende a -co, la función de transferencia en lazo abierto
KemTs
s+l
tiende a -w dado que
lím KfrTs -
s=-ms+l
$ (Ke-n)
d
z(s + 1)
s z-m
= - KTe-TsI,=-,
= -cO
Por tanto, s = -co es un polo de la función de transferencia en lazo abierto. En este caso,
los lugares geométricos de las raíces empiezan en s = -1 o s = -00 y terminan en s = ~0,
conforme K aumenta de cero a infinito. Dado que el primer miembro de la condición de
ángulo obtenida mediante la ecuación (6-25) tiene un número infinito de valores, hay un
número infinito de lugares geométricos de las raíces, conforme el valor de k (k = 0, 1,2,. . .)
va de cero a infinito. Por ejemplo, si k = 1, la condición de ángulo se convierte en
s + 1 = 2540” - 57.3”oT
(grados)
/
= +39i-- wT
(radianes)
-3
-2
-1
- -jl
Figura 6-37
(a) Construcción del
lugar geométrico de
las raíces; (b) gráfica
del lugar geométrico
de las raíces.
362
0
60
I
Capítulo 6 / Análisis del lugar geométrico de las raíces
(b)
La construcción de los lugares geométricos de las raíces para k = 1 es igual que para k =
0. Una gráfica de los lugares geométricos de las raíces para k = 0,l y 2 cuando T = 1 seg,
aparece en la figura 6-38.
La condición de magnitud establece que
1
Dado que la magnitud de e-rs es igual a la de e-*o, o
la condición de magnitud se convierte en
[s + 11 = KeeTa
Los lugares geométricos de las raíces de la figura 6-38 se gradúan en términos de K cuando
T = 1 seg.
Aunque hay un número infinito de ramificaciones del lugar geométrico de las raíces, la
más importante es la ramificación primaria que se encuentra entre -jJt y jn. Remitiéndonos a
la figura 6-38, el valor crftico de K en la ramificación primaria es igual a 2, en tanto que los
valores críticos de K en otras ramificaciones son mucho más altos (8,14,. . .). Por tanto, el valor
crítico K = 2 en la ramificación primaria es el más importante desde el punto de vista de la estabilidad. La respuesta transitoria del sistema la determinan las raíces que se ubican más
cerca del eje jo y que se encuentran sobre la ramificación primaria. En resumen, la ramificación del lugar geométrico de las raíces que corresponde a k = 0 es la dominante; otras ramificaciones que corresponden a k = 1,2,3, . . . no son tan importantes y pueden pasarse por alto.
K=6X lo-5
I
‘uA
K=14
’
jSrr
f,
f
K=5 x lO-5
I
i
K=0.028
K=8ooo
I
1
K=8
’
I
m
j2w
K=2
Kz4.1
x.lCr5
K=O.Qll
ll
-4?r
I
\l
-3Tr -2TT
f
(k = 2)
b:
j49r
K = 0.019
K=5.5 X lo6
I
r
K=5500
1
K=4.5 X lo6
K=4000
K=3.9
f
(k= 1)
X lo6
+
t
I
2fz-
1, , I
3a
4a
(k=O)
I
5?T
u
(k = 0)
K=2
-j2?r
-j3?r
t
K=4000
t
Kz3.9 X lo6
(k= 1)
Figura 6-38
Gráfica del lugar
geométrico de las raíces
para el sistema de la figura
6-36 (T = 1 seg).
Sección 6-7 / Lugares geomdtricos
de
las raíces para sistemas con retardo de transporte
363
Este ejemplo muestra el hecho de que el tiempo muerto produce inestabilidad, incluso en
los sistemas de primer orden, debido a que los lugares geométricos de las raíces se introducen
en el semiplano derecho del plano s para valores grandes de K. Por tanto, aunque el aumento
K del sistema de primer orden se hace grande ante la ausencia de tiempo muerto, no puede
hacerse demasiado alta si hay tiempo muerto. (Para el sistema que se considera aquí, el valor
de ganancia K debe ser considerablemente menor que 2 para una operación satisfactoria.)
Aproximación del retardo de transporte o tiempo muerto.
T es muy pequeño, e-rs se aproxima por lo común mediante
Si el tiempo muerto
emTs + 1 - Ts
o bien
1
e-Ts + Ts + 1
Tales aproximaciones son buenas si el tiempo muerto es muy pequeño y, además, la función
de entradaflf) para el elemento de tiempo muerto es regular y continua. [Esto significa que
las derivadas de segundo orden y de orden superior de f(t) son pequeñas.]
Hay una expresión más elaborada para aproximar e-r?
e-Ts
=
12+02-w+...
1 + ; + -(Ts>z + $3
2
8
48 + ***
Si solo se consideran los primeros dos términos del numerador y el denominador, entonces
2 - Ts
e-Ts + - = 2 + Ts
Esta aproximación también se usa con frecuencia.
6-8 GRÁFICAS DE CONTORNOS DE LAS RAÍCES
Efectos de las variaciones de parámetros sobre los polos en lazo cerrado. En
muchos problemas de diseño, es necesario investigar los efectos que tienen las variaciones
de parámetros diferentes a la ganancia K sobre los polos en laxo cerrado. Tales efectos se
investigan con facilidad mediante el método del lugar geométrico de las raíces. Cuando
varían dos (o más) parámetros, los lugares geométricos de las raíces correspondientes se
denominan contornos de las raíces.
Usaremos un ejemplo para ilustrar la construcción de los contornos de las raíces cuando
varían dos parámetros, uno por uno, de cero a infinito.
Considere un sistema de seguimiento que tiene una realimentación con tacómetro igual
a la dela figura 6-39(a). Si eliminamos el laxo menor, se simplifica el diagrama de bloques
[figura 6-39(b) 1. Si definimos
a = b + KK,,
364
Capítulo 6
/
Análisis del lugar geombtrico
de las raíces
(a)
K
s+b+KKh
1
s
C(s)
(b)
Figura 6-39
(a) Sistema de
seguimiento con
realimentación de
tacómetro; (b), (c)
diagramas de bloques
simplificados (a = b + KKJ,).
este diagrama de bloques se transforma en el que aparece en la figura 6-39(c). Este sistema contiene dos variables, el parámetro a y la ganancia K.
A continuación investigaremos el efecto de variar el parámetro a y la ganancia K. La
función de transferencia en lazo cerrado de este sistema se vuelve
K
C(s)
-=
R(s)
s2 + as + K
La ecuación característica es
(6-27)
s2+as+K=0
que se puede reescribir como
1+“s=()
s2+K
.
o bien
En la ecuación (6-28) el parámetro u se escribe como un factor multiplicativo. Para un
valor determinado de K, el efecto de a sobre los polos en lazo cerrado se investiga a partir
de la ecuación (6-28). Los contornos de las raíces para este sistema se construyen siguiendo el procedimiento normal para construir los lugares geométricos de las raíces.
Ahora construiremos los contornos de las raíces conforme k y u varían, cada uno, de
cero a infinito. Los contornos de las raíces empiezan en los polos (en s = rtlfl) y terminan en los ceros (en s = 0 e infinito).
Sección 6-8 / OratIcas
de contornos de las raíces
365
Construiremos primero los lugares geométricos de las raíces cuando a = 0. Esto se hace
con facilidad del modo siguiente: sustituya a = 0 en la ecuación (6-27). A continuación,
s2+K=0
o bien
K
-g= - 1
Por tanto, los polos en lazo abierto son un polo doble en el origen. La gráfica del lugar geométrico de las raíces de la ecuación (6-29) aparece en la figura 6-40(a).
Para construir los contornos de las raíces, supongamos que K es una constante; por
ejemplo, K = 4. En este caso, la ecuación (6-28) se convierte en
as
= -1
s2 + 4
(6-30)
Los polos en lazo abierto están en s = 5~2. El cero finito en lazo abierto está en el origen.
La gráfica del lugar geométrico de las raíces que corresponde a la ecuación (6-30) aparece
en la figura 6-40(b). Para valores diferentes de K, la ecuación (6-30) produce lugares geométricos de las raíces similares.
Los contornos de las raíces, diagrama que muestra los lugares geométricos de las raíces
que corresponden a 0 I K I oo,0 5 a 5 m, se grafican como en la figura 6-4O(c). Es evidente que los contornos de las raíces empiezan en los polos de la función de transferencia
jc
K=16
jo
i4
i4
a=2
K=4
i2
a=O
\I
a=5
a=4
\
LL
-4
-2
a=5
3
-2
K=4
-j2
K=16
-j4
G-
\
a=2
f
a=O
i2
a=m
J
u
-j2
-j4
(al
(b)
Figura 6-40
(a) Gráfica del lugar geométrico de las raíces para el sistema de la figura 6-39(c) (a = 0,O 5 K
I m); (b) gráfica del lugar geométrico de las raíces (0 5 a 5 M, K = 4); (c) gráfica de los contornos de las raíces.
366
Capítulo 6 / Análisis del lugar geomktrico
de las,raíces
asl(s2 + K) y terminan en sus ceros. Las puntas de flecha de los contornos de las raíces indican la dirección del incremento en el valor de a.
Los contornos de las raíces muestran los efectos de las variaciones de los parámetros del
sistema sobre los polos en lazo cerrado. A partir de la gráfica de los contornos de las raíces
de la figura 6-4O(c) observamos que, para 0 < K < m, 0 < a < w, los polos en lazo cerrado
se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s y el sistema es estable.
Observe que, si el valor de K es fijo, por ejemplo K = 4, los contornos de las raíces se
convierten simplemente en los lugares geométricos de las raíces, como se observa en la
figura 6-40(b).
Hemos mostrado un método para construir contornos de las raíces cuando varían la
ganancia K y el parámetro a, cada uno, de cero a infinito. Básicamente, asignamos a uno de
los parámetros un valor constante, y variamos el otro parámetro de 0 a 00, a la vez que
trazamos los lugares geométricos de las raíces. A continuación cambiamos el valor del
primer parámetro y repetimos el trazo de los lugares geométricos de las raíces. Si repetimos este proceso podemos trazar los contornos de las raíces.
El programa MATLAB 6-9 sirve para generar una gráfica de los contornos de las
raíces. La gráfica resultante aparece en la figura 6-41.
Sección 6-8 / Gráficas de contornos de las raíces
367
Gráfica de los contornos de las raíces
Figura 6-41
Ghfica de los contornos
de las raíces generada
con MATLAB.
-5
EJEMPLO
A-6-1.
-4
DE
-3
-2
-1
Eje real
PROBLEMAS
0
Y
1
2
SOLUCIONES
Trace los lugares geométricos de las raíces para el sistema de la figura 6-42(a). (Se supone que
la ganancia K es positivo.) Observe que para valores pequeños o grandes de K el sistema es sobreamortiguado y para valores medios de K es subamortiguado.
Solución. El procedimiento para graficar
los lugares geométricos de las raíces es el siguiente:
1. Ubique los polos y ceros en lazo abierto sobre el plano complejo. Existen lugares geométricos
de las raíces sobre el eje real negativo entre 0 y -1 y entre -2 y -3.
jw
9
K= 0.0718
(b)
Ca)
Figura 6-42
(a) Sistema de control; (b) gráfica del lugar geométrico de las raíces.
368
Capítulo 6 / Análisis del lugar geométrico de las raíces
F
2. La cantidad de polos en lazo abierto y la de ceros finitos son iguales. Esto significa que no hay
asíntotas en la región compleja del plano s.
3. Determine los puntos de desprendimiento y de ingreso. La ecuación característica para el sistema es
1 + K(s + 2)(s + 3) = o
s(s + 1)
o bien
s(s + 1)
K = - (s + 2)(s + 3)
Los puntos de desprendimiento y de ingreso se determinan a partir de
dK
(2s + l)(s + 2)(s + 3) - s(s + 1)(2.s + 5)
-=ds
KS + 2)(s + 3)Y
= - 4(s + 0.634)(s + 2.366)
KS + 2)@ + 3r
= 0
del modo siguiente:
s = -0.634,
s = -2.366
Observe que ambos puntos están sobre los lugares geométricos de las raíces. Por tanto, son
puntos de desprendimiento y de ingreso reales. En el punto s = -0.634, el valor de K es
K = -(-0.634)(0.366)
(1.366)(2.366)
= o’o718
Asimismo, en s = -2.366,
K = -(-2.366)(-1.366)
= 14
(-0.366)(0.634)
(Debido a que el puntos = -0.634 se encuentra entre dos polos, es un punto de desprendimiento
y, debido a que el punto s = -2.366 se encuentra entre dos ceros, es un punto de ingreso.)
4. Determine una cantidad suficiente de puntos que satisfaga la condición de ángulo. (Se encuentra que el lugar geométrico de las raíces es un círculo con centro en -1.5 que atraviesa
los puntos de desprendimiento y de ingreso.) La gráfica del lugar geométrico de las raíces para
este sistema aparece en la figura 6-42(b).
Observe que este sistema es estable para cualquier valor positivo de K, dado que todos los
lugares geométricos de las raíces se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s.
Los valores pequeños de K (0 < K < 0.0718) corresponden a un sistema sobreamortiguado. Los
valores medios de K (0.0718 < K < 14) corresponden a un sistema subamortiguado. Por último,
los valores grandes de K (14 < K) corresponden a un sistema sobreamortiguado. Para un valor
grande de K, el estado estable se alcanza en un tiempo más corto que para un valor pequeño de K.
El valor de K debe ajustarse para que el desempeño del sistema sea óptimo, de acuerdo con
un índice de desempeño determinado.
A-6-2.
Una forma simplificada de la función de transferencia en lazo abierto de un avión con piloto automático en el modo longitudinal es
G(s)H(s)
=
K(s + a)
s(s - b)(s2 + 25~~s + cu;) ’
Ejemplo de problemas y soluciones
a > 0,
b>O
369
Este sistema con un polo en lazo abierto en el semiplano derecho del plano s puede ser condicionalmente estable. Trace los lugares geométricos de las raíces cuando a = b = 1, 5 = 0.5, y co,,
= 4. Encuentre el rango de valores de la ganancia K para la estabilidad.
Solución. La función de transferencia en lazo abierto para el sistema es
G(s)H(s)
=
K(s + 1)
s(s - l)(s* + 4s + 16)
Para trazar los lugares geométricos de las raíces, seguimos este procedimiento:
1. Ubique los polos y el cero en lazo abierto en el plano complejo. Los lugares geométricos de
las raíces existen sobre el eje real entre 1 y 0 y entre -1 y -M.
2. Determine las asíntotas de los lugares geométricos de las raíces. Hay tres asíntotas cuyos ángulos se determinan como
Ángulos de las asíntotas =
lW(2k + 1)
= 60”, - 60”, 180”
4-1
Remitiéndonos a la ecuación (6-19, la abscisa de la intersección de las asíntotas y el eje
real es
o =-(0-1+2+j22/3+2-j22/3)-1=-2
n
3
4-1
3. Determine los puntos de desprendimiento y de ingreso. Dado que la ecuación característica es
1+
K(s + 1)
s(s - l)(s’ + 4s + 16) =
0
obtenemos
K= -s(s-l)(s*+4~+16)
s+l
Diferenciando K con respecto a s, obtenemos
dK
3s4 + lOs3 + 21s* + 24s - 16
-=ds
(s + 1)”
El numerador se factoriza del modo siguiente:
3s4 + lOs3 + 21s’ + 24s - 16
= 3(s + 0.76 + j2.16)(s + 0.76 - j2.16)(s + 2.26)(s - 0.45)
Los puntos s = 0.45 y s = -2.26 están en los lugares geométricos de las raíces sobre el eje real.
Por tanto, son puntos de desprendimiento y de ingreso, respectivamente. Los puntos s = -0.76
? j2.16 no satisfacen la condición de ángulo. Por tanto, no son puntos de desprendimiento ni
de ingreso.
4. Usando el criterio de estabilidad de Routh, determine el valor de K en el cual los lugares geométricos de las raíces cruzan el eje imaginario. Dado que la ecuación característica es
s4 + 3s3 + 12s’ + (K - 16)s + K = 0
el arreglo de Routh se convierte en
370
Capítulo 6 / Análisis del lugar geométrico de las raíces
s4
1
s3
3
52 - K
3
-K2 + 59K - 832
52 - K
K
2
sl
so
12
K-l6
K
K
0
0
o
Los valores de K que forman el término sr en la primera columna igual a cero son K = 35.7 y
K = 23.3.
Los puntos que cruzan sobre el eje imaginario se encuentran despejando la ecuación auxiliar obtenida de la fila ~2, es decir, despejando la siguiente ecuación para s:
52 - K
s2+K=0
3
Los resultados son
s = kj2.56,
para K = 35.7
s = kj1.56,
para K = 23.3
Los puntos que cruzan sobre el eje imaginario son, entonces, s = kj2.56 y s = kj1.56.
5. Encuentre los ángulos de salida de los lugares geométricos de las raíces a partir de los polos
complejos. Para el polo en lazo abierto en s = -2 + j2fi, el ángulo de salida 0 es
8 = 180” - 120” - 130.5” - 90” + 106”
o bien
e = -54.50
(El ángulo de salida a partir del polo en lazo abierto en s = -2 - j2fi es 54.5”.)
6. Seleccione un punto de prueba en la vecindad amplia del eje jw y el origen y aplique la condición de ángulo. Si el punto de prueba no satisface la condición de ángulo, seleccione otros hasta
que uno la cumpla. Prosiga con el mismo proceso y ubique una cantidad suficiente de puntos que
satisfagan la condición de ángulo.
La figura 6-43 muestra los lugares geométricos de las raíces para este sistema. A partir del
paso 4 el sistema es estable para 23.3 < K < 35.7. De lo contrario, es inestable.
A-6-3.
Trace los lugares geométricos de las raíces del sistema de control de la figura 6-44(a).
Solución. Los polos en lazo abierto se localizan en s = 0, s = -3 + j4 y s = -3 - j4. Existe una
ramificación del lugar geométrico de las raíces sobre el eje real entre el origen y -M. Hay tres
asíntotas para los lugares geométricos de las raíces. Los ángulos de las asíntotas son
Ángulos de las asíntotas = ~18’Wk + 1) = (jo”, _ 600, 1800
3
Remitiéndonos a la ecuación (6-15) la intersección de las asíntotas y el eje real se obtiene como
u, = -
Ejemplo de problemas y soluciones
0+3+3 = -2
3
371
4
-j6
-j4
K= 35.1
-ji
b------K= 23.3
\
--j2
Figura 6-43
Gráfica del lugar geométrico de las raíces.
A continuación verifiquemos los puntos de desprendimiento y de ingreso. Para este sistema
tenemos que
K = - s(s2 + 6s + 25)
Ahora establecemos
dK
ds
- = -(3s2 + 12s + 25) = 0
lo cual produce
s = -2 + j2.0817,
s = -2 - j2.0817
Observe que la condición de ángulo en los puntos s = -2 + J!.O817 no se satisface, por lo que no se
trata de puntos de desprendimiento ni de ingreso. De hecho, si calculamos el valor de K, obtenemos
K = -s(s’ + 6s + 25)
= 34 ? j18.04
s=-Z-Cj2.0817
(Para tratarse de un punto de desprendimiento o de ingreso real, el valor correspondiente de K
debe ser real y positivo.)
El ángulo de salida del polo complejo de la mitad superior del plano s es
0 = 180” - 126.87” - 90”
o bien
13 = -36.87”
372
Capítulo 6 / Análisis del lugar geométrico de las raíces
P
l
-7
l
-6
K=34
K=68
I\I
r\
- 5 - 4 - 3 -2\
Ca)
-1
0
1
<T
(b)
Figura 6-44
(a) Sistema de control; (b) gráfica del lugar geométrico de las raíces.
Los puntos en los que las ramificaciones del lugar geométrico cruzan el eje imaginario se encuentran sustituyendo s = jw en la ecuación característica y despejando la ecuación para w y K
del modo siguiente: considere que la ecuación característica es
s3 + 6s’ + 25s + K = 0
de aquí
(jw)3 + 6( jw)’ + 25(jo) + K = (-60’ + K) + jo(25 - o*) = 0
lo cual produce
w = 55,
K = 150
u
w=o
K=O
Las ramificaciones del lugar geométrico de las raíces cruzan el eje imaginario en w = 5 y w = -5.
El valor de la ganancia K en los puntos de cruce es 150. Asimismo, la ramificación del lugar geométrico de las raíces sobre el eje real toca el eje imaginario en o = 0. La figura 6-44(b) muestra
una grafica del lugar geométrico de las raíces para el sistema.
Se observa que, si el orden del numerador de G(s)H(s) es menor que el del denominador en
dos o más, y si algunos de los polos en lazo cerrado se mueven sobre el lugar geométrico de las raíces
hacia la derecha, conforme la ganancia K se incrementa, los otros polos en lazo cerrado deben moverse hacia la izquierda conforme la ganancia K se incrementa. Este hecho se observa claramente
en este problema. Si se incrementa la ganancia K de K = 34 a K = 68, los polos complejos conjugados en lazo cerrado se mueven de s = -2 + ~3.65 a s = -1 + j4; el tercer polo se mueve de s =
-2 (que corresponde a K = 34) as = -4 (que corresponde a K = 68). Por tanto, el movimiento de
los dos polos en lazo cerrado complejos conjugados a la derecha en una unidad provocan que el
polo en lazo cerrado restante (en este caso el polo real), se mueva a la izquierda en dos unidades.
EJemplo
de problemas y soluciones
373
A-6-4.
Considere el sistema de la figura 6-45(a).Trace los lugares geométricos de las raíces para el sistema. Observe que para valores pequeños o grandes de K el sistema es subamortiguado y para
valores medios de K es sobreamortiguado.
Solución. Existe un lugar geométrico de las raíces sobre el eje real entre el origen y -00. Los ángulos de las asíntotas de las ramificaciones de este lugar geométrico se obtienen como
Ángulos de las asíntotas =
?180”(2k + 1)
= 60”, -6O”, -180”
3
La intersección de las asíntotas y el eje real se ubica sobre el eje real en
(7 --0+2+2
= -1.3333
a
3
Los puntos de desprendimiento y de ingreso se encuentran a partir de dKlds
ecuación característica es
s3 + 4s2 + 5s + K = 0
tenemos que
K = -(s3+4s2+5s)
Ahora establecemos
dK
ds
-=-(3s2+8s+5)=0
(4
374
(b)
Figura 6-45
(a) Sistema de control; (b) gráfica del lugar geométrico de las raíces.
Capítulo 6 / Análisis del lugar geométrico de las raíces
= 0. Dado que la
10 cual produce
s = -1,
s = -1.6667
Dado que estos puntos están sobre los lugares geométricos de las raíces, son puntos de desprendimiento y de ingreso reales. (En el punto s = -1, el valor de K es 2, y en el punto s =
- 1. j667, el valor de K es 1.852.)
El ángulo de salida de un polo complejo en la mitad superior del planos se obtiene a partir de
0 = 180” - 153.43” - 90”
o bien
6’ = -63.43”
La ramificación del lugar geométrico de las raíces a partir del polo complejo en la mitad superior
del plano s corta el eje real en s = -1.6667.
A continuación determinaremos los puntos en donde las ramificaciones del lugar geométrico
de las raíces cruzan el eje imaginario. Sustituyendo s = jo en la ecuación característica, tenemos que
( jw)3 + 4( jw)* + 5( jw) + K = 0
o bien
(K - 4~‘) + jw(5 - w2) = 0
a partir de lo cual obtenemos
0=d3,
K=20
u
w = 0,
K=O
Las ramificaciones del lugar geométrico de las raíces cruzan el eje imaginario en w = e y w =
-ti. La ramificación del lugar geométrico de las raíces sobre el eje real toca el eje jw en w = 0.
La figura 6-45(b) contiene un trazo de los lugares geométricos de las raíces para el sistema.
Observe que, dado que este sistema es de tercer orden, existen tres polos en lazo cerrado. La
naturaleza de la respuesta del sistema a una entrada determinada depende de las ubicaciones de
los polos en lazo cerrado.
Para 0 < K < 1.852, existe un conjunto de polos complejos conjugados en lazo cerrado y un
polo real en lazo cerrado. Para 1.852 5 K 5 2, hay tres polos reales en lazo cerrado. Por ejemplo,
los polos en lazo cerrado se ubican en
s = -1.667,
s = -1.667,
s = -0.667,
para K = 1.852
s= - 1 ,
s= -1,
s = -2,
para K = 2
Para 2 < K, hay un conjunto de polos complejos conjugados en lazo cerrado y un polo real en
lazo cerrado. Por tanto, los valores pequeños de K (0 < K < 1.852) corresponden a un sistema
subamortiguado. (Dado que el polo real en lazo cerrado domina, solo aparece una pequeña onda
en la respuesta transitoria.) Los valores medios de K (1.852 I K 5 2) corresponden a un sistema
sobreamortiguado. Los valores grandes de K (2 < K) corresponden a un sistema subamortiguado.
Para valores grandes de K el sistema responde con mucho mayor rapidez que para valores más
pequeños de K.
A-6-5.
Trace los lugares geométricos de las raíces para el sistema de la figura 6-46(a).
Solución. Los polos en lazo abierto se localizan en s = 0, s= -1, s = -2 + j3 y s = -2 - j3. Existe un lugar geométrico de las raíces sobre el eje real entre los puntos s = 0 y s = - 1. Las asíntotas se encuentran del modo siguiente:
?180”(2k + 1)
Ángulos de las asíntotas =
= 45”, -45”, 135”, -135”
4
F,jemplo de problemas y soluciones
375
-jS
t
(al
(b)
Figura 6-46
(a) Sistema de control; (b) gráfica del lugar geométrico de las raíces.
La intersección de las asíntotas y el eje real se encuentra a partir de
CJ, = -
0+1+2+2
= -1.25
4
Los puntos de desprendimiento y de ingreso se encuentran a partir de dKlds = 0. Considerando que
K = -s(s + l)(s2 + 4s + 13) = -(s4 + 5s3 + 17s2 + 13s)
tenemos que
dK
ds
- = -(4s3 + 152 + 34s + 13) = 0
a partir de lo cual obtenemos
s = -0.467,
s = -1.642 + j2.067,
s = -1.642 - j2.067
El punto s = -0.467 está sobre un lugar geométrico de las raíces. Por tanto, se trata un punto de
desprendimiento real. Los valores de la ganancia K que corresponden a los puntos s = -1.642 +
$2.067 son cantidades complejas. Dado que los valores de ganancia no son positivos reales, estos
puntos no son de desprendimiento ni de ingreso.
El ángulo de salida del polo complejo en la mitad superior del plano s es
8 = 180” - 123.69” - 108.44” - 90”
o bien
0 = -142.13”
A continuación encontraremos los puntos en donde los lugares geométricos de las raíces
cruzan el eje jw. Dado que la ecuación característica es
376
Capítulo 6 / Análisis del lugar geométrico de las raíces
. s4 + 5s3 + 172 + 13s + K = 0
si sustituimos s por jw dentro de ella, obtenemos
(jw)” + .5(jw)3 + 17( jw)* + 13(jw) + K = 0
o bien
(K+ co4 - 17~~) + jw(13 - 50~) = 0
a partir de la cual obtenemos
w = k1.6125,
K=37.44
u
w = 0,
K=O
Las ramificaciones del lugar geométrico de las raíces que se extienden al semiplano derecho del
plano s cruzan el eje imaginario en w = 21.6125. Asimismo, la ramificación del lugar geométrico
de las raíces sobre el eje real toca el eje imaginario en w = 0. La figura 6-46(b) muestra un trazo de
los lugares geométricos de las raíces para el sistema. Observe que cada ramificación del lugar geométrico que se extiende al semiplano derecho del plano s cruza su propia asíntota.
Trace los lugares geométricos de las raíces para el sistema de la figura 6-47(a).
A-6-6.
Solución. Existe un lugar geométrico de las raíces sobre el eje real entre los puntos s = - 1 y s =
-3.6. Las asíntotas se determinan del modo siguiente:
Angulas
(al
de las asíntotas =
?180”(2k + 1)
= 90",-90"
3-1
(b)
Figura 6-47
(a) Sistema de control; (b) gráfica del lugar geométrico de las raíces.
Ejemplo de problemas y soluciones
377
La intersección de las asíntotas y el eje real se encuentra a partir de
u, = -
O+O+3.6-1=-13
3-1
Dado que la ecuación característica es
s3 + 3.6s’ + K(s + 1) = 0
tenemos que
K=-
s3 + 3.6s’
s+l
Los puntos de desprendimiento y de ingreso se encuentran a partir de
(3s’ + 7.2s)(s + 1) - (.s3 + 3.6~‘) = o
dK
-=ds
(s + l)Z
o bien
s3 + 3.3s’ + 3.6s = 0
a partir de lo cual obtenemos
s = 0,
s = -1.65 + j0.9367,
s = -1.65 - jo.9367
El puntos = 0 corresponde al punto de desprendimiento real. Pero los puntos s = - 1.65 + jo.9367
no son ni de desprendimiento ni de ingreso, debido a que los valores de la ganancia K correspondientes se convierten en cantidades complejas.
Para verificar los puntos en los que las ramificaciones del lugar geométrico de las raíces
cruzan el eje imaginario, sustituya s por jo en la ecuación característica.
( jo)3 + 3.6( jw)’ + Kjw + K = 0
o bien
(K - 3.60’) + jw(K - w*) = 0
Observe que esta ecuación se satisface sólo si w = 0, K = 0. Debido a la presencia de un polo
doble en el origen, el lugar geométrico de las raíces es tangente al eje jw en o = 0. Las ramificaciones del lugar geométrico de las raíces no cruzan el eje jw. La figura 6-47(b) es un trazo del lugar geométrico de las raíces para este sistema.
A-6-7.
Trace los lugares geométricos de las raíces para el sistema de la figura 6-48(a).
Solución. Existe un lugar geométrico de las raíces sobre el eje real entre el punto s = -0.4 y s =
-3.6. las asíntotas se encuentran del modo siguiente:
Ángulos de las asíntotas = ~18Wk + 1) = 9oo, -900
3-1
La intersección de las asíntotas y el eje real se obtiene a partir de
u, = -
0 + 0 + 3.6 - 0.4
= -1.6
3-1
A continuación encontraremos los puntos de desprendimiento. Dado que la ecuación característica es
s3 + 3.6s’ + KS + 0.4K = 0
tenemos que
378
Capítulo 6 / Análisis del lugar geométrico de las raíces
.j3
-j2
-jl
3
I +
1 u
-jl
- -j2
--j3
(al
(b)
Figura 6-48
(a) Sistema de control; (b) gráfica del lugar geométrico de las raíces.
K=-
s3 + 3.6s’
s + 0.4
Los puntos de desprendimiento y de ingreso se encuentran a partir de
dK
(3s2 + 7.2~)(s + 0.4) - (s3 + 3.6~‘)
= o
(s + 0.4)2
ds=-
con 10 cual obtenemos
s3 + 2.4s’
+ 1.44s = 0
o bien
s(s + 1.2)2 = 0
Por tanto, los puntos de desprendimiento o de ingreso están en s = 0 y s = -1.2. Observe que
s = - 1.2 es una raíz doble. Cuando ocurre una raíz doble en dKlds = 0 en el punto s = -1.2,
dzKl(ds2) = 0 en este punto. El valor de la ganancia K en el punto s = - 1.2 es
K=-
s3 + 3.6s’
s + 0 . 4 s=-12
= 4.32
Esto significa que, con K = 4.32 la ecuación característica tiene una raíz triple en el punto s
= - 1.2. Esto se verifica fácilmente del modo siguiente:
Fjemplo
de problemas y soluciones
379
s3 + 3.6s’ + 4.32s + 1.728 = (s + 1.2)3 = 0
Por tanto, se encuentran tres ramificaciones del lugar geométrico de las raíces en el puntos = -1.2.
Los ángulos de salida en el puntos = -1.2 de las ramificaciones del lugar geométrico de las raíces
que se aproximan a las asíntotas son t180”/3, es decir, 60” y -60”. (Vtase el problema A-6-8.)
Por último, examinaremos si las ramificaciones del lugar geomCtrico de las raíces cruzan el
eje imaginario. Sustituyendo s por jo en la ecuación característica, tenemos que
(jw)3 + 3.6(jo)2 + K(jw) + 0.4K = 0
o bien
(0.4K - 3.6~~) + jw(K - w2) = 0
Esta ecuación se satisface ~610 si o = 0, K = 0. En el punto o = 0, el lugar geométrico de las raíces
es tangente al eje jw por la presencia de un polo doble en el origen. No hay puntos en los que las
ramificaciones del lugar geométrico de las raíces crucen el eje imaginario.
Un trazo de los lugares geométricos de las raíces para este sistema aparece en la figura
6-48(b).
A-6-8.
Remitiéndonos al problema A-6-7, obtenga las ecuaciones para las ramificaciones del lugar geométrico de las raíces del sistema de la figura 6-48(a). Demuestre que las ramificaciones del lugar
geométrico de las raíces cruzan el eje real en el punto de desprendimiento en los ángulos +60”.
Solución. Las ecuaciones para las ramificaciones del lugar geométrico de las raíces se obtienen
a partir de la condición de ángulo
l
I
K(s + 0.4)
s2(s + 3.6)
= -+180”(2k + 1)
que puede reescribirse como
/s + 0.4 - 2h - /s + 3.6 = ?180”(2k + 1)
Sustituyendo s por u + jo obtenemos
/u + jw + 0.4 - 210 + jo - /u + jw + 3.6 = +180”(2k + 1)
o bien
tan-l(&) - 2tañ’($ - tan-‘(&) = ?180”(2k + 1)
Volviendo a ordenar, tenemos
tan-‘(&) - tan-‘(f) = tan-‘(:) + tan-‘(&) t 180”(2k + 1)
Tomando las tangentes de ambos miembros de esta última ecuación, y considerando que
obtenemos
- 0 -
ff + 0.4
w-
L?+--%.-
(5 = u
u + 3.6
1+WW
12!c-Eu + 0.4 u
u u + 3.6
380
Capítulo 6 / Análisis del lugar geométrico de las raíces
10 cual se simplifica 6
wu - w(u + 0.4) = O(U + 3.6) + wu
(a + 0.4)u + w2
u(u + 3.6) - co2
o bien
w(d + 2.42 + 1.44~ + 1.6~~ + uw2) = 0
que puede simplificarse todavía más a
w[u(u + 1.2)2 + (u + 1.6)w2] = 0
Para u # -1.6, escribimos esta última ecuación como
lo cual produce las ecuaciones para el lugar geométrico de las raíces del modo siguiente:
w=o
w=(u+1.2)
-<T
u + 1.6
J
w = -(u + 1.2) *
\i
*
La ecuaci6n w = 0 representa el eje real. El lugar geométrico de las raíces para 0 IS K I CC está
entre los puntos s = -0.4 y s = -3.6. (El eje real que no es este segmento de línea y el origen
s = 0 corresponde al lugar geométrico de las raíces para -DJ 5 K s 0.)
Las ecuaciones
w = +(u + 1.2) s
‘I
J
.
representan las ramificaciones complejas para 0 5 K 5 m. Estas dos ramificaciones se encuentran entre u = - 1.6 y u = 0. [Véase la figura 6-48(b).] Las pendientes de las ramificaciones de
los lugares geométricos de las raíces complejas en el punto de desprendimiento (u = -1.2) se encuentran calculando los valores de dwldu de la ecuación (6-31) en el punto u = -1.2.
Dado que tan-l fi = 60”, las ramificaciones del lugar geométrico de las raíces intersecan el eje
real con ángulos de 260”.
A-6-9.
Considere el sistema de la figura 6-49, que tiene una función de transferencia de la trayectoria
directa inestable.Trace la gráfica del lugar geométrico de las raíces y ubique los polos en lazo cerrado. Demuestre que, aunque los polos en lazo cerrado se encuentran en el eje real negativo y el
sistema no es oscilatorio, la curva de respuesta escalón unitario exhibirá un sobrepaso.
Solución. La gráfica del lugar geométrico de las raíces para este sistema aparece en la figura
6-50. Los polos en lazo cerrado se ubican en s = -2 y s = -5.
La función de transferencia en lazo cerrado se convierte en
lO(s + 1)
C(s)
-=
R(s)
s* + 7s + 10
E,jemplo de problemas y soluciones
381
Figura 6-50
Gráfica del lugar
geométrico de las raíces para
el sistema de la figura 6-49.
I
La respuesta escalón unitario de este sistema es
lO(S + 1)
c(s) = s(s + 2)(s + 5)
La transformada inversa de Laplace
de C(S) produce
c(f) = 1 + 1.666e-2’ - 2.666e-51,
para t 2 0
La curva de respuesta escalón unitario aparece en la figura 6-51. Aunque el sistema no es oscilatorio, la curva de respuesta escalón unitario exhibe un sobrepaso. (Esto se debe a la presencia de un cero en s = -1.)
A-6-10.
Trace los lugares geométricos del sistema de control de la figura 6-52(a).
valores de la ganancia K para la estabilidad.
Determine el rango de
Solución. Los polos en laxo abierto se ubican en s = 1,s = -2 + jfi y s = -2 - jfi. Existe un
lugar geométrico de las raíces sobre el eje real entre los puntos s = 1 y s = --co. Las asíntotas de
las ramificaciones del lugar geométrico de las raíces se encuentran del modo siguiente:
Angulos de Ias asíntotas =
?180”(2k + 1)
= 60”, -6O”, 180”
3
La intersección de las asíntotas y el eje real se obtiene como
0, = -
-1+2+2 = -1
3
Los puntos de desprendimiento y de ingreso se ubican a partir de dKlds = 0. Dado que
K = -(s - l)(s* + 4s + 7) = -(s3 + 3s2 + 3s - 7)
tenemos que
dK
- = -(3s2 + 6s + 3) = 0
ds
382
Capítulo 6
/
Anhlisis
del lugar geométrico de las raíces
Figura 6-51
Curva de respuesta
escalón unitario para
el sistema de la
figura 6-49.
0
0.2 0.4 0.6 0.8
t
1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
jo
3
/
j2
J
K=7
-jl
-j2
-j3
\
Ca)
(b)
Figura 652
(a) Sistema de control; (b) gráfica del lugar geométrico de las raíces.
lo cual produce
(s + 1)2 = 0
Por tanto, la ecuación dKlds = 0 tiene una raíz doble en s = - 1. El punto de desprendimiento se
ubica en s = -1. Tres ramificaciones del lugar geométrico de las raíces se encuentran en este
punto de desprendimiento. Los ángulos de salida de las ramificaciones en el punto de desprendimiento son +180”/3, es decir, 60” y -60”.
F,jemplo de problemas y soluciones
383
A continuación determinaremos los puntos en los que las ramificaciones del lugar geométrico
de las raíces cruzan el eje imaginario. Considerando que la ecuación característica es
(s - l)(s* + 4s + 7) + K = 0
0 bien
s3 + 3s2 + 3s - 7 + K = 0
sustituimos s por jw en ella y obtenemos
(jc~)~ + 3(j10)~ + 3(jw) - 7 + K = 0
Volviendo a escribir esta última ecuación, tenemos
(K - 7 - 3w2) +jw(3
- w2) = 0
Esta ecuación se satisface cuando
CiJ=1ti,
K=7+3&=16
u
0 = 0,
K=7
Las ramificaciones del lugar geométrico cruzan el eje imaginario en w = ?fi (en donde K =
16) y w = 0 (en donde K = 7). Dado que el valor de la ganancia K en el origen es 7, el rango de
valores de la ganancia K para la estabilidad es
7<K<16
La figura 6-52(b) muestra un trazo de los lugares geométricos de las raíces para el sistema. Observe que todas las ramificaciones tienen partes rectas.
El hecho de que las ramificaciones del lugar geométrico de las raíces estén formadas por
líneas rectas se verifica del modo siguiente: dado que la condición de ángulo es
(s - l)(s + 2 + j&(s + 2 - jfl) = ?lgoY2k + l)
tenemos que
- /s - 1 - /s + 2 + jfl - /s + 2 - jfl = +180”(2k + 1)
Sustituyendo s por o + jw en esta última ecuación,
u - 1 + jw +
u + 2 + jw + jfl +
u + 2 + jw - jfi = t180”(2k + 1)
o bien
a+2+j(o+jfl)+
a+2+j(w-jfl)=-/o-1+j~~180~(2k+1)
lo cual puede reescribirse como
tan-l(z) + tan-‘(s) = -tan-r(&)?180”(2k + 1)
Tomando las tangentes de ambos miembros de esta última ecuación, obtenemos
OJ+fl +w-VJ
___
___
o bien
384
Capítulo 6 / Análisis del lugar geométrico de las raíces
20(a + 2)
a2+4a+4-c¿Jz+3=
-
A
lo cual se simplifica a
2w(o + 2)(0 - 1) = -o(a2 + 4a + 7 - d)
o bien
0(3c? + 60+ 3 - w2) = 0
Una simplificación adicional de esta última ecuación produce
++,.-$,)(o+l--&)=o
lo cual define tres líneas:
w = 0,
a+l+&=O,
fl
o+l-&o=o
Por tanto, las ramificaciones del lugar geométrico de las raíces tienen tres líneas. Observe que los
lugares geometricos
de las raíces para K > 0 tienen partes de las rectas que aparecen en la figura
6-52(b). (Observe que cada recta empieza a partir de un polo en lazo abierto y se extiende a infinito en la dirección de 180”, 60” o -6O”, medidos a partir del eje real.) La parte restante de cada
recta corresponde a K < 0.
A-6-ll.
Considere el sistema de la figura 6-53(a).
Trace los lugares geométricos de las raíces.
Solución. Los ceros en lazo abierto del sistema se ubican en s = ?j. Los polos en lazo abierto se
ubican en s = 0 y s = -2. Este sistema contiene dos polos y dos ceros. Por tanto, hay una posibilidad de que exista una ramificación circular del lugar geométrico de las raíces. De hecho, en este
caso existe semejante lugar geométrico circular, como se aprecia a continuación. La condición de
ángulo es:
Figura643
(a) Sistema de control; (b) gráfica del lugar geométrico de las raíces.
Ejemplo de problemas y soluciones
385
/
= “‘“;;$?180”(2kj)
+
1
)
o bien
1s + j + 1s - j - /s- - /s + 2 = ?180”(2k + 1)
Sustituyendo s por u + jw en este última ecuación, obtenemos
[o+jo+j +/cr+jco-j
=/o+jm +/a+2+jw?180°(2k+1)
o bien
Tomando las tangentes de ambos miembros de esta ecuación y considerando que
tan[,,,-l(&) + ISO’] = 5
obtenemos
w+l +w-1
c7
u
l/o+lw-l=
0
u
E+W
u
a-I-2
1
-
;
*
o bien
lo cual es equivalente a
w=o
0
l2
( 1
(J-2
5
+w2=4
Estas dos son las ecuaciones para los lugares geométricos de las raíces. La primera corresponde al lugar geométrico de las raíces sobre el eje real. (El segmento entre s = 0 y s = -2 corresponde al lugar
geométrico de las raíces para 0 5 K < m. Las partes restantes del eje real corresponden al lugar geométrico de las raíces para K < 0.) La segunda ecuación corresponde a un circulo. Por tanto, existe
un lugar geométrico de las raíces circular con centro en u = 4, w = 0 y radio igual a Xh?. Los lugares geométricos de las raíces se trazan en la figura 6-53(b). [La parte circular del lugar geométrico de las raíces a la izquierda de los ceros imaginarios, corresponde a K > 0. La parte circular
del lugar geométrico de las raíces que no aparece en la figura 6-53(b) corresponde a K < 0.1
A-6-12.
Considere el sistema de la figura 6-54. Determine el valor de (Y tal que el factor de amortiguamiento relativo 5 de los polos dominantes en lazo cerrado sea 0.5.
Solución. En este sistema, la ecuación característica es
Figura 6-54
Sistema de control.
386
Capítulo 6 / Análisis del lugar geométrico de las raíces
1+
2(s + a>
0
s(s + l)(S + 3) =
Observe que la variable a no es un factor multiplicativo. Por tanto, necesitamos volver a escribir
la ecuación característica
s(s + l)(S + 3) + 2s + 2a = 0
del modo siguiente:
1+
2a
s3 + 4s2 + 5s =
0
Defina
2a = K
A continuación, obtenemos la ecuación característica en la forma
1+
K
s(s’ + 4s + 5) =
0
(6-32)
En el problema A-6-4 construimos el diagrama del lugar geométrico de las raíces para el sistema
definido mediante la ecuación (6-32). Por tanto, la solución para este problema está disponible
en el problema A-6-4. Remitiéndonos a la figura 6-45(b) los polos en lazo cerrado que tienen
el factor de amortiguamiento relativo 5 = 0.5 se localizan en s = 0.63 + jl.09. El valor de K en el
punto s = -0.63 + jl.09 se encuentra como 4.32. Por tanto, el valor de a en este problema se obtiene del modo siguiente:
a = ; = 2.16
A-6-13.
Considere el sistema de la figura 6-55(a). Determine el valor de a de modo que el factor de amortiguamiento relativo 5 de los polos dominantes en lazo cerrado sea 0.5.
Solución.
La
ecuación
característica
es
1+
lO(s + a)
o
s(s + l)(s + 8) =
La variable a no es un factor multiplicativo. Por tanto, necesitamos modificar la ecuación característica. Dado que la ecuación característica se escribe como
s3 + 9s2 + 18s + loa = 0
volvemos a escribir esta ecuación de modo que a aparezca como un factor multiplicativo:
1+
loa
s(s2 + 9s + 18) =
0
Defina
lOa = K
Por tanto, la ecuación característica se convierte en
1+
K
s(s2 + 9s + 18) =
0
Observe que la ecuación característica está en una forma conveniente para la construcción de los
lugares geométricos de las raíces.
Ejemplo de problemas y soluciones
387
K=28
*JJ,
-1 -6
s+a
s+8
1
-5
1
-4
I
1
c
-
10
- s(s + 1)
Ca)
(b)
Figura 6-55
(a) Sistema de control; (b) gráfica del lugar geométrico de las raíces, en donde K = loa.
Este sistema contiene tres polos y ningún cero. Los tres polos están en s = 0,s = -3 y s = -6.
Existe una ramificación del lugar geométrico de las raíces sobre el eje real entre los puntos s = 0
y s = -3. Asimismo, existe otra ramificación entre los puntos s = -6 y s = -m.
Las asíntotas para los lugares geométricos de las raíces se encuentran del modo siguiente:
Ángulos de las asíntotas =
?180”(2k + 1)
= 60”, -6O”, 180”
3
La intersección de las asíntotas y el eje real se obtiene a partir de
0, = -
0+3+6 = -3
3
Los puntos de desprendimiento y de ingreso se determinan a partir de dKlds
K = -(s3 + 9s’ + 18s)
Ahora establecemos
dK
ds
- = -(3s2 + 18s + 18) = 0
lo cual produce
s2+6s+6=0
o bien
388
Capítulo 6 / Análisis del lugar geométrico de las raíces
= 0, en donde
s = -1.268,
s = -4.732
El punto s = -1.268 está sobre una ramificación del lugar geométrico de las raíces. Por tanto, el
punto s = -1.268 es un punto de desprendimiento real. Pero el punto s = -4.732 no está sobre
el lugar geometrico de las raíces y, por tanto, no es un punto de desprendimiento ni de ingreso.
A continuación encontraremos los puntos en los que las ramificaciones del lugar geométrico
de las raíces cruzan el eje imaginario. Sustituimos s por jw en la ecuación caracterfstica
s3 + 9s’ + 18s + K = 0
del modo siguiente:
(jo)3 + ~(~cILJ)~ + 18(jo) + K = 0
o bien
(K - 9w2) + jw(18 - w2) = 0
a partir de lo cual obtenemos
0 = +3v5,
K = 9~2 = 162
u
w = 0,
K=O
Los puntos de cruce están en w = ?fi y el valor correspondiente de la ganancia K es 162.
Asimismo, una ramificación del lugar geometrico
de las raíces toca el eje imaginario en w = 0. La
figura 6-55(b) muestra un trazo de los lugares geométricos de las raíces para el sistema.
Dado que el factor de amortiguamiento relativo de los polos dominantes en lazo cerrado se
especifica como 0.5, el polo en lazo cerrado deseado en la mitad superior del plano s se ubica en
la intersección de la ramificación del lugar geométrico de las raíces en la mitad superior del plano
s con una línea recta que tiene un ángulo de 60” con el eje real negativo. Los polos dominantes
en lazo cerrado deseados se ubican en
s = -1 + j1.732,
.
s = -1 - j1.732
En estos puntos, el valor de la ganancia K es 28. Por tanto,
a = 5 = 2.8
Dado que el sistema contiene dos polos más que ceros, o más (de hecho, tres polos y ningún cero),
el tercer polo se ubica sobre el eje real negativo partiendo del hecho de que la suma de los tres
polos en lazo cerrado es -9. Por tanto, el tercer polo está en
s = -9 - (-1 + j1.732) - (-1 - j1.732)
o bien
s = -7
A-6-14.
Considere el sistema de la figura 6-56(a).Trace los lugares geométricos de las raíces del sistema conforme la ganancia k de la realimentación de la velocidad varfa de cero a infinito. Determine el valor
de k de modo que los polos en lazo cerrado tengan un factor de amortiguamiento relativo 5 de 0.7.
Solución. La función de transferencia en lazo abierto es
Función de transferencia en lazo abierto =
10
(s + 1 + 10k)s + 10
Dado que k no es un factor multiplicativo, modificamos la ecuación de modo que k aparezca
como un factor multiplicativo. Dado que la ecuación característica es
s2 + s + 1Oks + 10 = 0
E,jemplo de problemas y soluciones
389
Ns)
1
s
C(s)
I
-1
I
-6
I
-5
I
-4
II
1-3
-2
-1
OT
Ll
kv
1
2
Cr
-jl
-j2
-j3
-j4
t
Ca)
(b)
Figura 6-56
(a) Sistema de control; (b) gráfica del lugar geométrico de las raíces, en donde K = 10k.
volvemos a escribir esta ecuación del modo siguiente:
1+
1Oks
0
s2 + s + 10 =
(6-33)
Defina
10k = K
Por tanto, la ecuación (6-33) se convierte en
1+
Ks
s2 + s + 10 =
0
Observe que el sistema tiene un cero en s = 0 y dos polos en s = -0.5 ? j3.1225. Dado que este
sistema contiene dos polos y un cero, hay una posibilidad de que exista un lugar geométrico de
las raíces circular. De hecho, este sistema tiene un lugar geométrico de las raíces circular, como
se verá pronto. Dado que la condición de ángulo es
l
KS
= ?180”(2k + 1)
s2 + s + 10
tenemos que
s - s + 0.5 + j3.1225 - s + 0.5 - j3.1225 = ?180”(2k + 1)
L-i
Sustituyendo s por (J + jw en esta última ecuación y volviendo a ordenar, obtenemos
u + 0.5 + j(w + 3.1225) +
u + 0.5 + j(w - 3.1225) = /u + jw t 180”(2k + 1)
lo cual se puede reescribir como
tan-r(w~:~~) + tan-l(w~~t!!) = tan-r(t) + 180”(2k + 1)
390
Capítulo 6 / Análisis del lugar geométrico de las raíces
Tomando las tangentes de ambos miembros de esta última ecuación, obtenemos
o + 3.1225 + o - 3.1225
(7 + 0.5
u + 0.5
qixJ(ygi”::o’i’)i”-:wi=:
que se simplifica a
2w(a + 0.5)
(a + 0.5)* - (w’ - 3.1225*) = :
o bien
o(az - 10 + 02) = 0
lo cual produce
w=o
0
0-2 + cO* = 10
Observe que o = 0 corresponde al eje real. El eje real negativo (entre s = 0 y s = -m) corresponde a K 2 0, y el eje real positivo corresponde a K < 0. La ecuación
2 + cO* = 10
es la ecuación de un círculo con centro en u = 0, o = 0 y radio igual a a. La parte de este círculo que se encuentra a la izquierda de los polos complejos corresponde al lugar geométrico de
las raíces para K > 0. La parte del círculo que se encuentra a la derecha de los polos complejos
corresponde al lugar geométrico de las raíces para K < 0. Por tanto, esta parte no es un lugar geométrico de las raíces para el sistema actual, en donde K > 0. La figura 6-56 (b) contiene un trazo
de los lugares geométricos de las raíces.
Dado que requerimos que [ = 0.7 para los polos en lazo cerrado, encontramos la intersección
del lugar geometrico
de las raíces circular y una línea que tiene un ángulo de 45.57” (observe que
cos 45.57” = 0.7) con el eje real negativo. La intersección está en s = -2.214 + j 2.258. La ganancia K que corresponde a este punto es 3.427. Por tanto, el valor deseado de la ganancia de la realimentación de velocidad k es
k = 5 = 0.3427
A-6-15.
Considere el sistema de control de la figura 6-57. Grafique los lugares geométricos de las raíces
con MATLAB.
Solución. El programa MATLAB 6-10 genera una gráfica del lugar geometrico
de las raíces
como en la figura 6-58. Los lugares geométricos de las raíces deben ser simétricos con respecto
al eje real. Sin embargo, la figura 6-58 demuestra lo contrario.
MATLAB proporciona su propio conjunto de valores de ganancia que se usan para calcular
una gráfica del lugar geométrico de las raíces. Lo consigue mediante una rutina interna de
adaptación de paso. Sin embargo, en ciertos sistemas, los cambios muy pequeños en la ganancia
producen modificaciones drásticas en las ubicaciones de las raíces dentro de ciertos rangos de
ganancias. Por lo tanto, MATLAB da un salto bastante grande en los valores de ganancia al calcular las raíces, y las ubicaciones de las raíces cambian en una cantidad relativamente grande. Al
momento de graficar,
MATLAB conecta estos puntos y produce una gráfica de aspecto extraño
en la ubicación de las ganancias sensibles. Tales gráficas erróneas del lugar geométrico de las
raíces son comunes cuando los lugares geométricos se aproximan a un polo doble (o triple o superior), dado que el lugar geométrico es muy sensible a los cambios de ganancia pequeños.
Ejemplo de problemas y soluciones
391
Gráfi3ca
Figura 6-58
Gráfica del lugar
geométrico de las raíces.
-3 1
-5
del lugar geométrico de las raíces de G(s) = K(s+O.4)/[~“2(~+3.6)]
l
-4
f
-3
I I
-2
Eje real
/
-1
1
0
1
1
En el problema que se considera aquí, la región crítica de la ganancia K está entre 4.2 y 4.4.
Por tanto, necesitamos configurar el tamaño de paso suficientemente pequeño en esta región. Dividimos la región para K del modo siguiente:
Kl = [0:0.2:4.2];
K2 = [4.2:0.002:4.4];
K3 = [4.4:0.2:10];
K4 = [10:5:200];
K = [Kl K2 K3 K4];
Introduciendo el programa MATLAB 6-11 en la computadora, obtenemos la gráfica de la figura
6-59. Si cambiamos el comando plot(r,‘o’) del programa MATLAB 6-11 por plot(r,‘-‘) obtenemos
la figura 6-60. Las figuras 6-59 y 6-60 muestran respectivamente gráficas satisfactorias del lugar
geométrico de las raíces.
A-6-16.
Considere el sistema cuya función de transferencia en lazo abierto G(s)H(s) se obtiene mediante
G(s)H(s)
=
K
s(s + l)(s + 2)
Usando MATLAB, grafique los lugares geométricos de las raíces y sus asíntotas.
392
Capítulo 6 / Análisis del lugar geométrico de las raices
Solución. Ahora graficaremos
en un diagrama los lugares geométricos di& las raíces y las asíntotas. Dado que la función de transferencia en lazo abierto se obtiene mediante
G(s)H(s)
=
K
s(s + l)(s + 2)
K
s3 + 3s2 + 2.9
la ecuación para las asíntotas se obtiene del modo siguiente: considerando que
zz.
K
=G lím
lím
pm s3 + 39: 3s + 1 (s :1)3
p..m s3+3s’=+2s
Gráf$x del lugar geométrico de las raíces de G(S) = K(s+0.4)/[sA2(s+3.6)]
:o
a
4 ._ ..._..__ j ________._ _j .__________ i.4 __.._ 4 ___________~ _.._._....
3
2
.s 1
.si
.f
O
.F, -1
Lrl
-2
-3
Figura 6-59
Gráfica del lugar
geométrico de las raíces.
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Eje real
FJemplo de problemas y soluciones
393
Gráfica del lugar geométrico de las raíces de G(s) = K(s+0.4)/[sA2(s+3.6)]
Figura 6-60
Gráfica del lugar
geométrico de las raíces.
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Eje real
la ecuación para las asíntotas se obtiene mediante
Por tanto, para el sistema, tenemos que
num=[O
0 0 ll
den = [l 3 2 0]
y para las asíntotas,
numa=
dena=
[O 0 0 11
[l 3 3 ll
Al usar los siguientes comandos root-locus (lugar geométrico de las raíces) y plot (graficar)
r = rlocus(num,den)
a = rlocus(numa,dena)
plot(Ir a l )
el número de renglones de r y de a debe ser el mismo. Para asegurar esto, incluimos la constante
de ganancia K en los comandos. Por ejemplo,
Kl = 0:0.1:0.3;
K2 = 0.3:0.005:0.5:
K3 = 0.5:0.5:10;
K4 = 10:5:100;
K = [Kl K2 K3 K4]
r = rlocus(num,den,K)
a = rlocus(numa,dena,K)
y = Ir
al
pmy, ‘)
394
Capítulo 6 / Análisis del lugar geométrico de las raíces
Incluir la ganancia K en el comando rlocus asegura que la matriz r y la matriz a tengan la misma
cantidad de renglones. El programa MATLAB 6-12 generará una gráfica de los lugares geométricos de las raíces y sus asíntotas.VCase la figura 6-61.
Gráfica?1 lugar geométrico de las raices de G(s) = K/[(s(s+l)(s+2)]
y asíntotas
Figura6-61
Gráfica del lugar
geométrico de las raíces.
-4
-3
-2
E,jemplo de problemas y soluciones
-1
0
Eje real
1
2
3
4
395
Es posible dibujar dos o más gráficas en un diagrama mediante el comando hold (mantener).
El programa MATLAB 6-13 usa el comando hold. La grafica del lugar geométrico de las raíces
resultante aparece en la figura 6-62.
A-6-11.
Considere un sistema con realimentación unitaria con la siguiente función de transferencia de la
trayectoria directa G(s):
G(s) =
K(s + 2)2
(s2 + 4)(s + 5)*
Grafique los lugares geométricos de las raíces para el sistema con MATLAB.
Solución. El programa MATLAB 6-14 sirve para graficar
los lugares geométricos de las raíces.
La gráfica del lugar geométrico de las raíces resultante aparece en la figura 6-63.
Observe que éste es un caso especial en el que no existe un lugar geométrico de las raíces sobre el eje real. Esto significa que, para cualquier valor de K > 0, los polos en lazo cerrado del sistema son dos conjuntos de poloscomplejos conjugados. (No existen polos reales en lazo cerrado.)
Dado que no existen polos en lazo cerrado en el semiplano derecho del plano s, el sistema es estable para todos los valores de K > 0.
396
Capítulo 6 / Análisis del lugar geométrico de las raíces
Gráfica del lugar geométrico de las raíces de G(s) = K/[s(s+l)(s+l)]
4
Y asíntotas
3
2
.g 1
.$
.il O
.g -1
-2
-3
Figura 6-62
Gráfica del lugar
geométrico de las raíces.
A-6-18.
-4
-4
-3
-2
-1
0
Eje real
1
2
3
4
Considere el sistema con el retardo de transporte de la figura 6-64(a). Trace los lugares geométricos de las raíces y encuentre los dos pares de polos en lazo cerrado más cercanos al eje jw.
Usando sólo los polos dominantes en lazo cerrado, obtenga la respuesta escalón unitario y
trace la curva de respuesta.
Solución.
La
ecuación
característica
es
que es equivalente a las condiciones siguientes de ángulo y magnitud:
- = +180”(2k + 1)
s-cl
Qemplo
de problemas y soluciones
397
lur geomktrico
de las raíces de G(s) = (~+2)“2/[(~“2+4)(~+5)“2]
Figura 6-63
Gráfica del lugar
geométrico de las raíces.
-8
-6
-4
-2
0
2
4
Eje real
ze - 0.3s
/
Ej
s+l I
La condición de ángulo se reduce a
s + 1 = hc(2k + 1) - 0.3w
/
(radianes)
Para k = 0,
s + 1 = k3c - 0.3w
/
(radianes)
= 5180” - 17.2”~~
(grados)
Figura 6-64
(a) Sistema de control con retardo de
transporte; (b) gráfica
del lugar geométrico
de las raíces.
398
(al
Capítulo 6 / Análisis del lugar geométrico de las raíces
(b)
Para k = 1,
s+l=23n-0.3w
L-
(radianes)
= t540” - 17.2”~
(grados)
La gráfica del lugar geométrico de las raíces para este sistema aparece en la figura 6-64(b).
Establezcamos s = o + jo en la condición de magnitud y sustituyamos 2 con K. En este caso,
obtenemos
xql +
u)2 +
02 = K
e-o.3o
Evaluando K en puntos diferentes sobre los lugares geométricos de las raíces, encontramos los
puntos para los cuales K = 2. Estos puntos son polos en lazo cerrado. El par dominante de polos
en lazo cerrado es
s = -2.5 + j3.9
El siguiente par de polos en lazo cerrado es
s = - 8.6 2 j25.1
Usando ~610 el par de polos dominantes en lazo cerrado, la función de transferencia en lazo
cerrado se aproxima del modo siguiente: considerando que
&-0.3s
C(s)
-=
R(s) 1 + s + 2CO.3"
= 3 + 0.4s + 0.09s2 + ***
Y
(s + 2.5 + j3.9)(s + 2.5 - j3.9) = ? + 5s + 21.46
aproximamos
C(s)/R(s)
mediante
8 (21.46)e-0.3S
C(s)
-=
s2 + 5s + 21.46
R(s)
o bien
C ( s ) 14.31e-0.3”
-=
R(s)
(s + 2.5)' + 3.9'
Para
una
entrada
escalón
unitario,
14 31e-0.”
‘(‘) = [(s + 215)’ + 3.9’1s
Observe que
14.31
B
-3s - Y
=-+
[(s + 2.5)2 + 3.92]s
s (s + 2.5)’ + 3.9’
Ejemplo de problemas y soluciones
399
40
t
1.0 Exacta
Figura 6-65
Curvas de respuesta
escalón unitario para
el sistema de la
figura 6-@l(a).
Por tanto,
C(s) = - e-o.3s
s
0
La transformada inversa de Laplace
c(t)
= i [l - e-2~5(~-0~3)~0~
+
-4s -Y
(s + 2.5)2 + 3.g2
de C(S) produce
3.9(t - 0.3) - 0.641e-2.5(‘-0J)sen
1 e-
0.3s
3.9(t - 0.3)]1(t - 0.3)
en donde l(t - 0.3) es la función escalón unitario que ocurre en t = 0.3.
La figura 6-65 muestra la curva de respuesta aproximada obtenida así junto con la curva de
respuesta escalón unitario exacta obtenida mediante una simulación de computadora. Observe
que en este sistema se obtiene una aproximación bastante buena sólo con los polos dominantes
en lazo cerrado.
PROBLEMAS
B-6-1. Grafique los lugares geométricos de las raíces para
el sistema de control en lazo cerrado con
G(s) =
K
H(s) = 1
s(s + l)(S2 + 4s + 5) ’
B-6-2. Grafique los lugares geométricos de las raíces para
un sistema de control en lazo cerrado con:
G(s) =
K(s + 9)
s(s2 + 4s + ll) ’
K
s(s + 0.5)(s2 + 0.6s + 10) ’
H(s) = 1
B-6-4. Grafique los lugares geométricos de las raíces para
el sistema con
Capítulo 6 / Anhlisís
H(s) = 1
Determine los puntos exactos donde los lugares geométricos de las raíces cruzan el eje jo.
B-6-5. Demuestre que los lugares geométricos de las raíces
para un sistema de control con
G(s) =
B-6-3. Grafique los lugares geométricos de las raíces para
el sistema con
400
K
(s2 + 2s + 2)(s2 + 2s + 5) ’
H(s) = 1
Ubique los polos en lazo cerrado sobre los lugares geométricos de las raíces de modo que los polos dominantes en lazo
cerrado tengan un factor de amortiguamiento relativo igual
a 0.5. Determine el valor correspondiente de la ganancia K.
G(s) =
G(s) =
K(s2 + 6s + 101
s2+2s+10
’
H(s) = 1
son arcos del círculo con centro en el origen con un radio
igual a VíK
B-6-6. Grafique los lugares geométricos de las raíces para
un sistema de control en lazo cerrado con
G(s) =
K(s + 0.2)
s2(s + 3.6) ’
H(s) = 1
B-6-7. Grafique los lugares geométricos de las raíces para
un sistema de control en lazo cerrado con
del lugar geométrico de las raíces
G(s) =
K(s + 0.5)
s3 + s2 + 1 ’
H(s) = 1
B-6-12. Considere el sistema cuya función de transferencia
en lazo abierto G(s)H(s) se obtiene mediante
B-6-8. Grafique los lugares geométricos de las raíces para
el sistema de la figura 6-66. Determine el rango de valores
de la ganancia K para la estabilidad.
B-6-9. Considere un sistema de control con realimentación
unitaria con la siguiente función de transferencia de la
trayectoria directa:
G(s)
=
K
s(s2 + 4s + 8)
Grafique los lugares geométricos de las raíces para el sistema. Si el valor de la ganancia K se establece igual a 2,
Ldónde se ubican los polos en lazo cerrado?
B-6-10. Considere el sistema de la figura 6-67. Determine
los valores de la ganancia K y el coeficiente de realimentación
de velocidad & de modo que los polos en lazo cerrado estén
en s = -1 t ~fi. Después, usando el valor determinado de
Kt,, grafique los lugares geométricos de las raíces
B-6-11. Considere el sistema de la figura 6-68. El sistema
incluye una realimentación de velocidad. Determine el
valor de la ganancia K de modo que los polos dominantes
en lazo cerrado tengan un factor de amortiguamiento relativo de 0.5. Usando la ganancia K determinada de tal modo,
obtenga la respuesta escalón unitario del sistema.
G(s)H(s) =
K
(s2 + 2s + 2)(s2 + 2s + 5)
K
= s4 + 4s3 + lls2 + 14s + 10
Grafique un diagrama del lugar geométrico de las raíces
con MATLAB.
B-6-13. Considere el sistema cuya función de transferencia
en lazo abierto se obtiene mediante
G(s)H(s) =
K(s - 0.6667)
s4 + 3.340~~ + 7.0325s’
Demuestre que la ecuación para las asíntotas se obtiene
mediante
K
WN4s) = s3 + 4.0068s’ + 5.3515s + 2.3825
Grafique con MATLAB los lugares geométricos de las
raíces y las asíntotas para el sistema.
B-6-14. Considere el sistema con realimentación unitaria
cuya función de transferencia de la trayectoria directa es
KS
-
2
s2 (s + 2)
Figura 6-66
Sistema de control.
1
J
Figura6-67
*
Sistema de control.
Figura 6-68
Sistema de control.
Problemas
401
G(s) = -&---
B-6-15. Considere el sistema de la figura 6-69. Grafique
los lugares geométricos de las raíces. Ubique los polos en
lazo cerrado cuando la ganancia K se hace igual a 2.
El lugar geométrico de las raíces de ganancia constante
para el sistema para un valor determinado de K se define
mediante la ecuación siguiente:
B-6-16. Considere el sistema de la figura 6-70. Grafique
los lugares geométricos de las raíces conforme a varía de 0 a
m. Determine el valor de a de modo que el factor de amortiguamiento relativo de los polos dominantes en lazo cerrado sea 0.5.
s(s + 1)
K
~
El
s(s
+ 1) I
/
[o(a + 1) + w2]2 + c? = P
B-6-17. Considere el sistema de la figura 6-71. Grafique
los lugares geométricos de las raíces conforme el valor de k
varíe de 0 a 00. ¿Qué valor de k producirá el factor de amortiguamiento relativo de los polos dominantes en lazo cerrado igual a 0.5? Encuentre la constante de error estático de
velocidad con este valor de k.
Trace los lugares geométricos de las raíces de ganancia constante para K = 1,2,5,10 y 20 en el plano s.
B-6-18. Grafique los lugares geométricos de las raíces para
el sistema de la figura 6-72. Demuestre que el sistema se
vuelve inestable para valores grandes de K.
Demuestre que el lugar geométrico de las raíces de ganancia constante para 0 I K 5 ~0 se obtiene mediante
Figura 6-69
Sistema de control.
Figura 6-70
Sistema de control.
Figura 6-71
Sistema de control.
R(s)
K
-t
ewk
+
Figura 6-72
Sistema de control.
402
Capítulo 6 / Análisis del lugar geométrico de las raíces
2
loos+l
B-6-19. Grafique los contornos de las raíces para el sistema
de la figura 6-73 cuando la ganancia K y el parámetro a
varíen, cada uno. de cero a infinito.
B-6-20. Considere el sistema de la figura 6-74. Suponiendo que el valor de la ganancia K varía de 0 a ~0, grafique
los lugares geométricos de las raíces cuando & = 0.5. A
continuación trace los contornos de las raíces para 0 5 K <
m y 0 5 & < w. Ubique los polos en lazo cerrado sobre el
coktorno de las raíces cuandõ K = 10 y &, = 0.5.
Figura 6-74
Sistema de control.
Problemas
403
7-1 INTRODUCCIÓN
El objetivo principal de este capítulo es presentar los procedimientos para el diseño y la
compensación de sistemas de control de una entrada y una salida e invariantes con el
tiempo. La compensación es la modificación de la dinámica del sistema, realizada para satisfacer las especificaciones determinadas. El enfoque que se usa en este capítulo para el
diseño y la compensación de un sistema de control es el lugar geométrico de las raíces. (Los
enfoques de respuesta en frecuencia y en el espacio de estados para el diseño y la compensación de sistemas de control se presentarán en los capítulos 9 y ll, respectivamente.)
Especificaciones de desempeño. Los sistemas de control se diseñan para realizar
tareas específicas. Los requerimientos impuestos sobre el sistema de control se detallan
como especificaciones de desempeño. Por lo general se refieren a la precisión, la estabilidad relativa y la velocidad de respuesta.
Para problemas de diseño rutinarios, las especificaciones de desempeño se proporcionan
en términos de valores numéricos precisos. En otros casos, se ofrecen parcialmente en términos de valores numéricos precisos y parcialmente en términos de planteamientos cualitativos. En este último caso, puede ser necesario modificar las especificaciones durante el curso
del diseño, ya que es posible que las especificaciones proporcionadas nunca se cumplan (debido a requerimientos que producen conflicto) o conduzcan a un sistema muy costoso.
Por lo general, las especificaciones de desempeño no deben ser más rigurosas de lo
necesario para efectuar la tarea definida. Si la precisión de una operación en estado estable
es de importancia vital para determinado sistema de control, no debemos solicitar especificaciones de desempeño más rígidas de lo necesario sobre la respuesta transitoria, dado
que tales especificaciones requerirían de componentes costosos. Recuerde que la parte más
importante de un sistema de control es el planteamiento preciso de las especificaciones de
desempeño a fin de producir un sistema de control óptimo para el propósito determinado.
Compensación del sistema. Establecer la ganancia es el primer paso encaminado a
ajustar el sistema para un desempeño satisfactorio. Sin embargo, en muchos casos prácticos,
el solo ajuste de la ganancia tal vez no proporcione una alteración suficiente del comportamiento del sistema para cumplir las especificaciones dadas. Como ocurre con frecuencia, incrementar el valor de la ganancia mejora el comportamiento en estado estable pero produce
una estabilidad deficiente o, incluso, inestabilidad. En este caso, es necesario volver a diseñar
el sistema (modificando la estructura o incorporando dispositivos o componentes adicionales)
a fin de alterar el comportamiento general, de modo que el sistema se comporte como se requiere. Este nuevo diseño o adición de un dispositivo apropiado se denomina compensación.
Un elemento insertado en el sistema para satisfacer las especificaciones se denomina compensador. El compensador modifica el desempeño con déficit del sistema original.
Compensación en serie y compensación mediante realimentación (o en paralelo).
Las figuras 7-l(a) y (b) muestran los esquemas de compensación que suelen utilizarse para los sistemas de control realimentados La figura 7-l(a) contiene la configuración en la que el compensador G,(s) se coloca en serie con la planta. Este esquema se denomina compensación en serie.
Una alternativa a la compensación en serie es la realimentación de las señales de algunos elementos y la colocación de un compensador en la trayectoria de realimentación interna resultante, como se aprecia en la figura 7-l(b). Esta compensación se denomina
compensación mediante realimentación o compensación en paralelo.
Al compensar los sistemas de control, observamos que, por lo general, el problema termina en un diseño conveniente de un compensador en serie o mediante realimentación. La
elección entre la compensación en serie y la compensación mediante realimentación depende
3
H(s) 4
Ca)
r
Figura 7-1
(a) Compensación en
serie; (b) compensación
mediante realimentación
0 en paralelo.
Sección 7-1 / Introducción
405
de la naturaleza de las señales del sistema, los niveles de potencia en los diferentes puntos los
componentes disponibles, la experiencia del diseñador, las consideraciones económicas, etcétera.
En general, la compensación en serie es más sencilla que la compensación mediante realimentación; sin embargo, aquélla requiere con frecuencia de amplificadores adicionales
para incrementar la ganancia y/o ofrecer un aislamiento. (Para evitar la disipación de potencia, el compensador en serie se inserta en el punto de bajo nivel en la trayectoria directa.) Observe que, en general, la cantidad de componentes requerida en la compensación mediante realimentación será menor que la cantidad de componentes de la compensación
en serie, siempre y cuando se tenga una señal adecuada, debido a que la transferencia se da
de un nivel de potencia más alto a un nivel más bajo. (Esto significa que tal vez no se requiera de amplificadores adicionales.)
Al analizar los compensadores, solemos utilizar términos como red de adelanto, red de
atraso, y red de atraso-adelanto. Como se planteó en la sección 5-9, si se aplica una entrada
senoidal ei a la entrada de una red, y la salida en estado estable e, (que también es senoidal)
tiene un adelanto de fase, el sistema se denomina red de adelanto. (La magnitud del ángulo
de adelanto de fase es una función de la frecuencia de entrada.) Si la salida en estado estable
e,, tiene un atraso de fase, la red se denomina red de atraso. En una red de atraso-adelanto,
ocurren tanto un atraso de fase como un adelanto de fase en la salida, pero en diferentes regiones de frecuencia; el atraso de fase ocurre en la región de baja frecuencia y el adelanto de
fase ocurre en la región de alta frecuencia. Un compensador que tenga la característica de una
red de adelanto, una red de atraso, o una red de atraso-adelanto se denomina compensador
de adelanto, compensador de atraso, o compensador de atraso-adelanto, respectivamente.
Compensadores.
Si se necesita un compensador para cumplir las especificaciones de
desempeño, el diseñador debe planear un dispositivo físico que tenga prescrita la función
de transferencia del compensador.
Se han utilizado numerosos dispositivos físicos para tales propósitos. De hecho, en la literatura se encuentran muchas ideas generosas y útiles para construir físicamente los compensadores.
Entre los muchos tipos de compensadores, los de mayor uso son los compensadores de
adelanto, los de atraso, los de atraso-adelanto y los de realimentación de velocidad (tacómetros). En este capítulo limitaremos nuestro análisis a estos tipos. Los compensadores de
adelanto, de atraso y de atraso-adelanto pueden ser dispositivos electrónicos (tales como
circuitos que usen amplificadores operacionales), redes RC (eléctricas, mecánicas, neumáticas, hidráulicas o una combinación de ellas) o amplificadores.
En el diseño real de un sistema de control, el que se use un compensador electrónico,
neumático o hidráulico debe decidirse parcialmente con base en la naturaleza de la planta
que se controla. Por ejemplo, si la planta que se controla contiene fluidos inflamables, debe
optarse por los componentes neumáticos (tanto un compensador como un actuador) para
eliminar la posibilidad de que salten chispas. Sin embargo, si no existe el riesgo de incendio,
los que se usan con mayor frecuencia son los compensadores electrónicos. (De hecho, es
común transformar las señales no eléctricas en señales eléctricas, debido a la sencillez de la
transmisión, mayor precisión, mayor confiabilidad, más facilidad de compensación, etcétera.)
Procedimientos de diseño. En el enfoque de prueba y error para el diseño de un
sistema, se prepara un modelo matemático del sistema de control y se ajustan los parámetros de un compensador. La parte de este proceso que requiere de más tiempo es la verificación del desempeño del sistema mediante un análisis, después de cada ajuste de los
parámetros. El diseñador debe usar una computadora digital para evitar gran parte de la
complicación numérica necesaria en esta verificación.
406
Capítulo
7
/
Diseño de sistemas de control mediante el método del lugar geométrico de las raíces
una vez obtenido un modelo matemático satisfactorio, el diseñador debe construir unprototipo y probar el sistema en lazo abierto. Si se asegura la estabilidad absoluta en lazo abierto,
el diseñador cierra el lazo y prueba el desempeño del sistema en lazo cerrado resultante. Debido a los efectos de carga no considerados entre los componentes, la falta de linealidad, los
parámetros distribuidos, etc, mismos que no se toman en consideración en el trabajo de diseño original, es probable que el desempeño real del sistema prototipo difiera de las predicciones teóricas. Por tanto, tal vez el primer diseño no satisfaga todos los requerimientos de
desempeño. Mediante el enfoque de prueba y error, el diseñador debe cambiar el prototipo
hasta que el sistema cumpla las especificaciones. Debe analizar cada prueba e incorporar los
resultados de este análisis en la prueba siguiente. El diseñador debe ver que el sistema final
cumpla las especificaciones de desempeño y, al mismo tiempo, sea confiable y económico.
Debe señalarse que, al diseñar sistemas de control mediante los métodos del lugar geométrico de las raíces o de la respuesta en frecuencia, el resultado final no es único, debido
a que tal vez no se haya definido con precisión la solución óptima si se incorporaron las especificaciones en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia.
Panorama del capítulo. La sección 7-1 presentó una introducción a la compensación de los sistemas de control. La sección 7-2 analiza las consideraciones preliminares
para el enfoque del lugar geométrico de las raíces para el diseño de los sistemas de control.
La sección 7-3 trata los detalles de las técnicas de compensación de adelanto basadas en el
método del lugar geométrico de las raíces. La sección 71t aborda las técnicas de compensación de atraso mediante el método del lugar geométrico de las raíces. La sección 7-5 presenta las técnicas de compensación de atraso-adelanto, así como un análisis detallado del
diseño de los compensadores de atraso-adelanto.
7-2 CONSIDERACIONES PRELIMINARES DE DISEÑO
Al desarrollar un sistema de control, sabemos que la modificación adecuada de la dinámica
de la planta puede ser una forma sencilla de cumplir las especificaciones de desempeño. Sin
embargo, tal vez esto no sea posible en muchas situaciones prácticas, debido a que la planta
esté fija y no pueda modificarse. En este caso, deben ajustarse parámetros diferentes a los
que tiene la planta fija. En este libro suponemos que la planta está definida y es inalterable.
Por tanto, los problemas de diseño son aquellos que implican la mejora del desempeño
de un sistema mediante la inserción de un compensador. La compensación de un sistema de
control se reduce al diseño de un filtro cuyas características tiendan a compensar las características inconvenientes o inalterables de la planta. Nuestro análisis se limita a los compensadores en tiempo continuo.
En las secciones 7-3 a 7-5, consideramos específicamente el diseño de compensadores
de adelanto, de compensadores de atraso y de compensadores de atraso-adelanto. En los
problemas planteados por dichos diseños, colocamos un compensador en serie con la función de transferencia inalterable G(s) para obtener un comportamiento conveniente. A
continuación, el problema principal consiste en la elección apropiada de los polos y los
ceros del compensador G,(s) para alterar el lugar geométrico de las raíces (o la respuesta
en frecuencia) con el propósito de cumplir las especificaciones de desempeño.
Enfoque del lugar geométrico de las raíces para el diseño de un sistema de control. El método del lugar geométrico de las raíces es un enfoque gráfico que permite de-
Sección 7-2 / Consideraciones preliminares de diseño
407
terminar las ubicaciones de todos los polos en lazo cerrado a partir de las ubicaciones de los
polos y ceros en lazo abierto conforme algún parámetro (por lo general la ganancia) varía de
cero a infinito. El método produce un indicio claro de los efectos del ajuste del parámetro.
En la práctica, una gráfica del lugar geométrico de las raíces de un sistema indica que
el desempeño deseado no puede obtenerse con sólo el ajuste de la ganancia. De hecho, en
algunos casos, tal vez el sistema no sea estable para todos los valores de ganancia. En este
caso, es necesario volver a construir los lugares geométricos de las raíces para cumplir las
especificaciones de desempeño.
Cuando se diseña un sistema de control, si se requiere de un ajuste diferente al de la
ganancia, debemos modificar los lugares geométricos de las raíces originales insertando un
compensador conveniente. Una vez comprendidos los efectos de la adición de los polos y/o
ceros sobre el lugar geométrico de las raíces, podemos determinar con facilidad las ubicaciones de los polos y los ceros del compensador que volverán a dar una forma conveniente al
lugar geométrico de las raíces. En esencia, en el diseño realizado mediante el método del lugar
geométrico de las raíces, los lugares geométricos de las raíces del sistema se vuelven a construir
mediante el uso de un compensador, a fin de poder colocar un par de polos dominantes en lazo
cerrado en la posición deseada. (A menudo se especifican el factor de amortiguamiento relativo y la frecuencia no amortiguada natural de un par de polos dominantes en lazo cerrado.)
Efectos de la adición de polos. La adición de un polo a la función de transferencia en
lazo abierto tiene el efecto de jalar el lugar geométrico de las raíces a la derecha, lo cual tiende a
disrnimrir la estabilidad relativa del sistema y alentar el asentamiento de la respuesta. (Recuerde que la adición de los controles integrales añade un polo en el origen, con lo cual el sistema se vuelve menos estable.) La figura 7-2 muestra ejemplos de los lugares geométricos de
las raíces, que presentan el efecto de la adición de uno o dos polos a un sistema de un solo polo.
Efectos de la adición de ceros. La adición de un cero a la función de transferencia
en lazo abierto tiene el efecto de jalar el lugar geométrico de las raíces hacia la izquierda,
con lo cual el sistema tiende a ser más estable, y se acelera el asentamiento de la respuesta.
(Físicamente, la adición de un cero a la función de transferencia de la trayectoria directa
significa agregar al sistema un control derivativo. El efecto de tal control es introducir un
grado de previsión al sistema y acelerar la respuesta transitoria.) La figura 7-3(a) muestra
los lugares geométricos de las raíces para un sistema estable con una ganancia pequeña,
pero inestable con una ganancia grande. Las figuras 7-3(b), (c) y (d) muestran las gráficas
jo
jo
Figura 7-2
(a) Gráfica del lugar geométrico de las raíces del
sistema de un solo polo; (b)
gráfica del lugar geométrico
de las raíces de un sistema de
dos polos; (c) gráfica del lugar geométrico de las raíces
de un sistema con tres polos.
408
Capítulo ‘7
-4
(4
/
(b)
(c)
Diseño de sistemas de control mediante el método del lugar geométrico de las raíces
Ca)
Figura 7-3
(a) Gráfica del lugar geometrico de las raíces de un
sistema con tres polos; (b),
(c) y (d) gráficas del lugar
geometrico
de las raíces que
muestran los efectos de la
adición de un cero al sistema
de tres polos.
(b).
Cc)
del lugar geométrico de las raíces para el sistema cuando se añade un cero a la función de
transferencia en lazo abierto. Observe que, cuando se agrega un cero al sistema de la figura
7-3(a), éste se vuelve estable para todos los valores de ganancia.
7-3 COMPENSACIÓN DE ADELANTO
Compensadores de adelanto. Existen muchas formas de obtener compensadores
de adelanto en tiempo continuo (o analógicos), tales como redes electrónicas que usan amplificadores operacionales, redes RC eléctricas y sistemas de amortiguadores mecánicos. En
la práctica, suelen usarse compensadores que involucran amplificadores operacionales.
(Consulte en el capítulo 5 lo referente a las redes que usan amplificadores operacionales.)
La figura 7-4 muestra un circuito electrónico que usa amplificadores operacionales. La
función de transferencia para este circuito se obtuvo en el capítulo 5 del modo siguiente:
c2
II
Cl
Figura 7- 4
Circuito electrónico que
consiste en una red de adelanto si RICI > R2C2 y en
una red de atraso si RICI <
I
0
J%(S)
E,(s)
R2C2.
Sección 7-3 / Compensación de adelanto
409
1
nl-
E,(s) R,R,R,C,s + 1=R4Clo ' R,C,
E,(s) = 1
R,R,R& + 1 R&
' + R2C2
= K,a
Ts + 1
aTs+ 1
(7-1)
1
S+-
aT
en donde
T = R,C,,
aT = R2C2,
K, = Wl
R3C2
Observe que
K a = --_R,C, R2C2 _ R2R,
c
R3C2
R,C,
R,R,’
a - R2C2
RlG
Esta red tiene una ganancia en cd de Kca = R&I(RIR~).
A partir de la ecuación (7-1) observamos que ésta es una red de adelanto si
RICI > R2C2, o a < 1 y una red de atraso si RICI < R2C2. Las configuraciones de polos y
ceros de esta red, cuando RICI > R2C2 and RICI < R2C2, aparecen en las figuras 7-5(a) y (b),
respectivamente.
Técnicas de compensación de adelanto basadas en el enfoque del lugar geométrico de las raíces. El enfoque del lugar geométrico de las raíces es muy poderoso
en el diseño cuando se incorporan las especificaciones en términos de las cantidades en el
dominio del tiempo, tales como el factor de amortiguamiento relativo y la frecuencia natural no amortiguada de los polos dominantes en lazo cerrado, el sobrepaso máximo, el
tiempo de levantamiento y el tiempo de asentamiento.
Considere un problema de diseño tal que el sistema original sea inestable para todos
los valores de ganancia o estable pero con características inconvenientes de la respuesta
jo
jw
1
-
1R2C2
- 1 -
RlC1
g
-
1RlCl
- 1 R2C2
c7
I
Figura 7-5
--t
(4
410
Capítulo 7
/
(b)
Configuraciones de polos y ceros:
(a) red de adelanto; (b) red de
atraso.
Diseño de sistemas de control mediante el mbtodo del luga; geométrico de las raíces
transitoria. En este caso, es necesario volver a construir el lugar geométrico de las raíces en
la vecindad amplia del eje jw y el origen para que los polos dominantes en lazo cerrado estén en las posiciones deseadas en el plano complejo. Este problema se soluciona insertando
un compensador de adelanto apropiado en cascada con la función de transferencia de la
trayectoria directa.
Los procedimientos para diseñar un compensador de adelanto para el sistema de la figura
7- 6 mediante el método del lugar geométrico de las raíces se plantean del modo siguiente:
1. A partir de las especificaciones de desempeño, determine la ubicación deseada para
los polos dominantes en lazo cerrado.
2. Por medio de una gráfica del lugar geométrico de las raíces, compruebe si el ajuste
de la ganancia puede o no por sí solo producir los polos en lazo cerrado convenientes. Si
no, calcule la deficiencia de ángulo 4. Este ángulo debe ser una contribución del compensador de adelanto si el nuevo lugar geométrico de las raíces va a pasar por las ubicaciones
deseadas para los polos dominantes en lazo cerrado.
3. Suponga que el compensador de adelanto G,(s) es
G,(s)
1
S+Ts + 1
T
= Ka -= &----aTs + 1
1’
S+aT
(0 < a < 1)
en donde a y T se determinan a partir de la deficiencia de ángulo. Kc se determina a partir
del requerimiento de la ganancia en lazo abierto.
4. Si no se especifican las constantes de error estático, determine la ubicación del polo
y del cero del compensador de adelanto, para que el compensador de adelanto contribuya
al ángulo 4 necesario. Si no se imponen otros requerimientos sobre el sistema, intente aumentar lo más posible el valor de a. Un valor más grande de a por lo general produce un
valor más grande de KV, lo cual es conveniente. (Si se especifica una constante de error estático, por lo general es más sencillo usar el enfoque de la respuesta en frecuencia.)
5. Determine la ganancia en lazo abierto del sistema compensado a partir de la condición de magnitud.
Una vez diseñado un compensador, verifique que se hayan cumplido todas las especificaciones de desempeño. Si el sistema no cumple las especificaciones de desempeño,
repita el procedimiento de diseño ajustando el polo y el cero del compensador hasta
cumplir con todas las especificaciones. Si se requiere de una constante de error estático
grande, enlace en cascada una red de atraso o convierta el compensador de adelanto en un
compensador de atraso-adelanto.
Observe que, si los polos dominantes en lazo cerrado seleccionados no son realmente
dominantes, será necesario modificar la ubicación del par de polos dominantes en lazo ceG,(s) + G(s)
Figura
7-6
Sistema de control.
Sección 7-3 / Compensación de adelanto
411
rrado seleccionados. (Los polos en lazo cerrado diferentes de los dominantes modifican la
respuesta obtenida de los polos dominantes en lazo cerrado. El grado de modificación depende de la ubicación de los polos en lazo cerrado restantes.) Asimismo, los ceros en lazo
cerrado afectan la respuesta si se localizan cerca del origen.
EJEMPLO 7-1
Considere el sistema de la figura 7-7(a). La función de transferencia de la trayectoria directa es
G(s) = 4
s(s + 2)
La gráfica del lugar geométrico de las raíces para este sistema aparece en la figura 7-7(b). La función de transferencia en lazo cerrado se convierte en
4
C(s)
-=
s2+2s+4
R(s)
Los polos en lazo cerrado se ubican en
El factor de amortiguamiento relativo de los polos en lazo cerrado es 0.5. La frecuencia natural
no amortiguada de los polos en lazo cerrado es 2 radlseg. La constante de error estática de velocidad es 2 se@.
Se pretende modificar los polos en lazo cerrado para obtener la frecuencia natural no amortiguada o,, = 4 radheg sin cambiar el valor del factor de amortiguamiento relativo, 5 = 0.5.
Recuerde que, en el plano complejo, el factor de amortiguamiento relativo 5 de un par de polos complejos conjugados se expresa en términos del ángulo 0, que se mide a partir del eje@, tal
como en la figura 7-8(a), con
5 = sen e
En otras palabras, la razón de amortiguamiento constante c tiene líneas radiales que pasan por
el origen, como se aprecia en la figura 7-8(b). Por ejemplo, un factor de amortiguamiento relativo de 0.5 requiere que los polos complejos se encuentren sobre las líneas dibujadas a través del
origen, formando ángulos de 260” con el eje real negativo. (Si la parte real de un par de polos
iwA
-3
-%
Polos en lazo cerrado
\
-d
,\I
0
I
L
lu
- -jl
- -j2
Figura 7-7
(a) Sistema de control;
(b) gráfica del lugar
geométrico de las raíces.
412
Capítulo 7
- -j3
(4
(b)
/ Diseño de sistemas de control mediante el método del lugar geométrico de las raices
jo
t
0.8
lJ=o.9
531
5=0.9
0.8
Figura 7-8
(a) Polos complejos; (b)
líneas de factor de
amortiguamiento relativo constante I;.
l=O
(4
(b)
complejos es positiva, lo cual significa que el sistema es inestable, la 5 correspondiente es negativa.) El factor de amortiguamiento relativo determina la ubicación angular de los polos, en tanto
que la distancia del polo al origen la determina la frecuencia natural no amortiguada w,,.
En el ejemplo actual, las ubicaciones deseadas de los polos en lazo cerrado son
Después de obtenidos los lugares geométricos de las raíces del sistema original, los polos dominantes en lazo cerrado se mueven a la ubicación deseada con un simple ajuste de la ganancia.
Sin embargo, esto no ocurre en el sistema actual. Por tanto, insertaremos un compensador de
adelanto en la trayectoria directa.
El siguiente es un procedimiento general para determinar el compensador de adelanto:
primero, encuentre la suma de los ángulos en la ubicación deseada de uno de los polos dominantes en lazo cerrado con los polos y ceros en lazo abierto del sistema original, y determine el
ángulo necesario 4 que se va a agregar para que la suma total de los ángulos sea igual a
t180”(2k + 1). El compensador de adelanto debe contribuir a este ángulo 4. (Si el ángulo 4 es
suficientemente grande, tal vez se requiera de dos o más redes de adelanto en lugar de una.)
Si el sistema original tiene la función de transferencia en lazo abierto G(s), el sistema compensado tendrá la función de transferencia en lazo abierto:
en donde,
1
S+-
T
G,(s) = K,a z = K, 7
(0 < a < 1)
s+-
aT
Observe que hay muchos valores posibles para T y a que producirán la contribución de ángulo
necesaria en los polos en lazo cerrado deseados.
Sección 7-3 / Compensación de adelanto
413
El paso siguiente es determinar las ubicaciones del cero y el polo del compensador de adelanto. Existen muchas posibilidades para elegir tales ubicaciones. (Véase Comentarios al final de
este ejemplo.) A continuación presentaremos un procedimiento con el propósito de obtener el
valor más grande posible para a. (Observe que un valor más grande de a producirá un valor más
grande de KV. En la mayor parte de los casos, entre más grande sea la KV, mejor será el desempeño del sistema.) Primero dibuje una línea horizontal que pase por el punto P, ubicación deseada para uno de los polos dominantes en lazo cerrado. Esto corresponde a la línea PA de la
figura 7-9. Dibuje una línea que conecte el punto P con el origen. Bisecte el ángulo que forman
las líneas PA y PO, como se aprecia en la figura 7-9. Dibuje dos líneas PC y PD que formen ángulos de +@2 con la bisectriz PB. Las intersecciones de PC y PD con el eje real negativo proporcionan la ubicación necesaria para el polo y el cero de la red de adelanto. Por tanto, el compensador diseñado hará de P un punto sobre el lugar geométrico de las raíces del sistema compensado. La ganancia en lazo abierto se determina mediante el uso de la condición de magnitud.
En el sistema actual, el ángulo de G(s) del polo en lazo cerrado deseado es
Ll
4
4s + 2) s= -2+pg
= -210”
Por tanto, si necesitamos obligar al lugar geométrico de las raíces a que pase por el polo en lazo
cerrado deseado, el compensador de adelanto debe contribuir con 4 = 30” en este punto. Siguiendo el procedimiento de diseño anterior, determinamos el cero y el polo del compensador
de adelanto, como se aprecia en la figura 7-10, del modo siguiente:
Cero en s = -2.9,
Polo en s = -5.4
T = $j = 0.345,
aT = & = 0.185
o bien
Por tanto, a = 0.537. La función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado se convierte en
K(s + 2.9)
G,(s)G(s) = K, = -!- =
s + 5.4 s(s + 2)
s(s + 2)(s + 5.4)
en donde K = 4K,. La gráfica del lugar geométrico de las raíces para el sistema compensado
aparece en la figura 7-10. La ganancia K se calcula a partir de la condición de magnitud, del
modo siguiente: remitiéndonos a la gráfica del lugar geométrico de las raíces para el sistema compensado de la figura 7-10, se calcula la ganancia K a partir de la condición de magnitud como
K(s + 2.9)
s(s + 2)(s + 5.4) s=-2+,~g5
= l
o bien
K = 18.7
jo A
P
/
B
c
414
Capítulo
7
/
”
D
0
t
fs
Figura 7-9
Determinación del polo y el cero de
una red de adelanto.
Diseño de sistemas de control mediante el método del lugar geométrico de las raíces
-9
I
I .
-8
-6 -5.4
-4 -2.9 -2
0
I
2
~
Cr
--j2
Figura 7-10
Gráfica del lugar geométrico de las
raíces del sistema compensado.
- -j4
Con lo cual se deduce que
18.7(s + 2.9)
WPW = s(s + 2)(s + 5.4)
La constante K,
del compensador de adelanto es
KE ~18.7~468
4
’
Por tanto, Ka- = 2.51. En este caso, el compensador de adelanto tiene la función de transferencia
0.345s + 1
G,(s) = 2.510 185s + 1 = 4.68 5
Si el circuito electrónico con amplificadores operacionales como los de la figura 7- 4 se usa
como el compensador de adelanto que se acaba de diseñar, los valores de parámetro del compensador de adelanto se determinan a partir de
=E,(s)
Ei
R,R, RI+ + 1 = 2 51 0.345~ + 1
R,R, R&s + 1
’ 0.185s + 1
tal como se aprecia en la figura 7-11, en donde hemos elegido arbitrariamente Cr = Cr = 10 PF
y RJ =lO kQ.
Figura 7-11
Compensador de adelanto.
Sección 7-3 / Compensación de adelanto
415
La constante de error estático de velocidad KV se obtiene a partir de la expresión
K, = líí sG,(s)G(s)
= lím s18.7(s +2.9)
$4 s(s + 2)(s + 5.4)
= 5.02 seg-l
Observe que el tercer polo en lazo cerrado del sistema diseñado se obtiene si se divide la ecuación
característica entre los factores conocidos, del modo siguiente:
s(s + 2)(s + 5.4) + 18.7(s + 2.9) F. (s + 2 + j2fl)(s + 2 - $2fl)(s + 3.4)
El metodo de compensación anterior nos permite colocar los polos dominantes en lazo cerrado en los puntos deseados del plano complejo. El tercer polo en s = 3.4 está cerca del cero
agregado en s = - 2.9. Por tanto, el efecto de este polo sobre la respuesta transitoria es relativamente pequeño. Dado que no se ha impuesto una restricción sobre el polo no dominante y no se
ha definido una especificación relacionada con el valor del coeficiente estático de velocidad,
concluimos que el diseño actual es satisfactorio.
Comentarios.
Podemos colocar el cero del compensador en s = -2 y el polo en s = -4
para que la contribución del ángulo del compensador de adelanto sea de 30”. (En este caso, el cero
del compensador de adelanto cancelará un polo de la planta,produciendo un sistema de segundo
orden, en lugar del sistema de tercer orden que hemos diseñado.) Se observa que el valor KV en
este caso es 4 seg -1. Es posible seleccionar otras combinaciones que produzcan un adelanto de fase
de 30”. (Para diferentes combinaciones de un cero y un polo del compensador que contribuyan 30”,
el valor de a y el valor de k, serán diferentes.) Aunque es posible cambiar ligeramente el valor de
KV alterando la ubicación del polo o el cero del compensador de adelanto, si se pretende obtener
una ganancia grande en el valor de KV, debemos transformar el compensador de adelanto en un
compensador de atraso-adelanto. (Véase la compensación de atraso-adelanto en la sección 7-5.)
Comparación. de las respuestas escalón de los sistemas compensados y no compensados.
A continuación examinaremos las respuestas escalón unitario de los sistemas
compensados y no compensados con MATLAB.
La función de transferencia en lazo cerrado del sistema compensado es
C(s)
-=
R(s)
18.7(s + 2.9)
s(s + 2)(s + 5.4) + 18.7(s + 2.9)
18.7s + 54.23
= s3 + 7.4~~ + 29.5s + 54.23
En este caso
numc=[O '0
18.7 54.231
denc = [1 7.4 29.5 54.231
Para el sistema no compensado, la función de transferencia en lazo cerrado es
4
C(s) =
R(s) s2+2s+4
416
Capítulo 7
/
Diseño de sistemas de control mediante el método del lugar geométrico de las raíces
Por tanto,
num
=
[O 0
41
den = [l 2 41
El programa MATLAB 7-1 produce las curvas de respuesta escalón unitario para los dos
sistemas. La gráfica resultante aparece en la figura 7-12.
Respuestas escalón unitario de los sistemas
compensado y no compensado
Figura 7-12
Respuestas escalón
unitario de los sistemas compensado y
, no compensado.
1.41
:
0
0.5
!
1
I
I
:
:
I
I
:
1.5
2
2.5
3
t seg
3.5
4
4.5
Secci6n 7-3 / Compensación de adelanto
417
7-4 COMPENSACIÓN DE ATRASO
Compensador de atraso electrónico usando amplificadores operacionales. La
configuración del compensador de atraso electrónico usando amplificadores operacionales
es igual a la del compensador de adelanto de la figura 7-4. Si elegimos R2C2 > RICI en el
circuito de la figura 7-4, éste se convierte en un compensador de atraso. A partir de la
misma figura, la función de transferencia del compensador de atraso se obtiene mediante
1
S-t,.
T
E,(s) = Kc~p~s~ll
..
= K,
Ei
en donde
T = R,C,,
PT = R,C,,
b = s > 1,
1
1
kc = $$
3
2
Observe que usamos /3 en lugar de a en las expresiones anteriores. [En el compensador de
adelanto usamos Q para indicar la razón RzCZ/(RICI), que era menor que 1, o 0 < a < 1.1
En este capítulo siempre supondremos que 0 < Q < 1 y que /3 > 1.
Técnicas de compensación de atraso basadas en el enfoque del lugar geométrico
de las raíces. Considere el problema de encontrar una red de compensación conveniente para un sistema que exhibe características satisfactorias de la respuesta transitoria,
pero características insatisfactorias en estado estable. En este caso la compensación consiste, esencialmente, en incrementar la ganancia en lazo cerrado sin modificar en forma
notable las características de la respuesta transitoria. Esto quiere decir que no debe cambiarse de manera significativa el lugar geométrico de las raíces en la vecindad de los polos dominantes en lazo cerrado, sino que debe incrementarse la ganancia en lazo abierto
en la medida en que se necesite. Esto se consigue si se coloca un compensador de atraso en
cascada con la función de transferencia de la trayectoria directa determinada.
Para evitar un cambio notable en los lugares geométricos de las raíces, la contribución
de ángulo de la red de atraso debe limitarse a una cantidad pequeña, por ejemplo 5”. Para
asegurar esto, colocamos el polo y el cero de la red de atraso relativamente cerca uno del
otro y cerca del origen del plano s. De este modo, los polos en lazo cerrado del sistema compensado sólo se alejarán ligeramente de sus ubicaciones originales. Por tanto, la caracterfstica de la respuesta transitoria cambiará muy poco.
Considere un compensador de atraso G,(s), en el que
1
s + ,.
Ts+l
.
T
G,(s) = KcB pTs + 1 = Kc
s+-&
(7-2)
Si colocamos el cero y el polo del compensador de atraso muy cerca uno del otro, en s = SI,
en donde SI es uno de los polos dominantes en lazo cerrado, las magnitudes SI + (KY) y
SI + [lI@W)] serán casi iguales, o bien,
418
Capítulo 7 /
Diseiio de sistemas de control mediante el método del lugar geométrico de las raíces
IG,(s,)I =
Esto implica que, si la ganancia & del compensador de atraso se hace igual a 1, la caracterfstica de la respuesta transitoria no se alterará. (Esto significa que la ganancia global de la
función de transferencia en lazo abierto se incrementará en un factor de /3, en donde p > 1.)
Si el polo y el cero se colocan muy cerca del origen, puede aumentarse el valor de p. (Se usa
un valor grande de /?, siempre que sea posible la materialización del compensador de atraso.)
Se debe señalar que el valor de T debe ser grande, pero no es indispensable conocer su valor
exacto. Sin embargo, no debe ser demasiado grande, a fin de evitar dificultades al momento
de materializar el compensador de atraso de fase mediante componentes físicos.
Un incremento en la ganancia significa un incremento en las constantes de error estático. Si la función de transferencia en lazo abierto del sistema no compensado es G(s), la
constante de error estático de velocidad KV del sistema no compensado es
KV = lí~y sG(s)
Si el compensador se selecciona como el que se obtiene de la ecuación (7-2) entonces, para
el sistema compensado con la función de transferencia en lazo abierto G,(s)G(s), la constante de error estático de velocidad kV se convierte en:
& = lím sG,(s)G(s)
s+O
= lím GC(s)KV
S-O
Por tanto, si el compensador se obtiene mediante la ecuación (7-2), la constante de error
estático de velocidad se incrementa en un factor de Z& B, en donde Z& tiene un valor cercano a la unidad.
Procedimientos de diseño para la compensación de atraso mediante el método
del lugar geométrico de las raíces. El procedimiento para diseñar compensadores de
atraso para el sistema de la figura 7-13 mediante el método del lugar geométrico de las
raíces se plantea del modo siguiente (suponemos que el sistema no compensado cumple
las especificaciones de la respuesta transitoria mediante un simple ajuste de la ganancia; si
no sucede así, consulte la sección 7-5):
1. Dibuje la gráfica del lugar geométrico de las raíces para el sistema no compensado, cuya
función de transferencia en lazo abierto sea G(s). Con base en las especificaciones de la respuesta
transitoria, ubique los polos dominantes en lazo cerrado en el lugar geométrico de las raíces.
2. Suponga que la función de transferencia del compensador de atraso es
Así, la función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado se convierte en
Gc(s)G(s).
Sección 7-4 / Compensación de atraso
419
Figura 7-13
Sistema de control.
3. Calcule la constante de error estático especificada en el problema.
4. Determine el incremento necesario en la constante de error estático para satisfacer
las especificaciones.
5. Determine el polo y el cero del compensador de atraso que producen el incremento
necesario en la constante de error estático determinado sin alterar apreciablemente los lugares geométricos de las raíces originales. (Observe que la razón entre el valor de la ganancia requerido en las especificaciones y la ganancia que se encuentra en el sistema no
compensado es la razón entre la distancia del cero al origen y la del polo al origen.)
6. Dibuje una nueva gráfica del lugar geométrico de las raíces para el sistema no compensado. Localice los polos dominantes en lazo cerrado deseados sobre el lugar geométrico de las raíces. (Si la contribución de ángulo de la red de atraso es muy pequeña, es
decir, de pocos grados, los lugares geométricos de las raíces originales y los nuevos serán
casi idénticos. Sin embargo, habrá una ligera discrepancia entre ellos. A continuación
ubique, sobre el nuevo lugar geométrico de las raíces, los polos dominantes en lazo cerrado deseados a partir de las especificaciones de la respuesta transitoria.)
7. Ajuste la ganancia l& del compensador a partir de la condición de magnitud, a fin
de que los polos dominantes en lazo cerrado se encuentren en la ubicación deseada.
EJEMPLO 7-2
Considere el sistema de la figura 7-14(a). La función de transferencia de la trayectoria directa es
G(s) =
1.06
s(s + l)(s + 2)
La gráfica del lugar geométrico de las raíces para el sistema aparece en la figura 7-14(b). La función de transferencia en lazo cerrado se convierte en
1.06
C(s)
-=
R(s)
s(s + l)(s + 2) + 1.06
1.06
= (s + 0.3307 - jO.S864)(s + 0.3307 + jOS864)(s + 2.3386)
Los polos dominantes en lazo cerrado son
s = -0.3307 kjO.5864
El factor de amortiguamiento de los polos dominantes en lazo cerrado es 5 = 0.491. La frecuencia natural no amortiguada de los polos dominantes en lazo cerrado es 0.673 radkeg. La constante
de error estático de velocidad es 0.53 seg-1.
Se pretende incrementar la constante de error estático de velocidad KV hasta cerca de 5 seg -1
sin modificar notablemente la ubicación de los polos dominantes en lazo cerrado.
’ Para cumplir con esta especificación, insertamos un compensador de atraso como el obtenido
mediante la ecuación (7-2) en cascada con la función de transferencia de la trayectoria directa
420
Capítulo
7
/
Diseño de sistemas de control mediante el método del lugar geomdtrico de las raíces
Polos en lazo cerrado
Figura 7-14
(a) Sistema de control; (b) gráfica del
lugar geométrico
de las raíces.
ta)
(b)
determinada. Para incrementar la constante de error estático de velocidad en un factor de alrededor
de 10, seleccionamos p = 10 y colocamos el cero y el polo del compensador de atraso en s = - 0.05 y
s = - 0.005, respectivamente. La función de transferencia del compensador de atraso se convierte en
La contribución de ángulo de esta red de atraso cerca de un polo dominante en lazo cerrado es de
alrededor de 4”. Debido a que esta contribución de ángulo no es muy pequeña, existe un cambio mínimo en el nuevo lugar geométrico de las raíces cerca de los polos dominantes en lazo cerrado deseados
G,(s)G(s)
= k,
s + 0.05
1.06
s + 0.005 s(s + l)(s -l- 2)
K(s + 0.05)
= s(s + 0.005)(s + l)(s + 2)
en donde
K = l.O6Z?,
El diagrama de bloques del sistema compensado aparece en la figura 7-15(a). La gráfica del lugar geométrico de las raíces para el sistema compensado cerca de los polos dominantes en lazo
cerrado se muestra en la figura 7-15(b), junto con la gráfica original del lugar geométrico de las
raíces. La figura 7-15(c) muestra la gráfica del lugar geométrico de las raíces del sistema compensado cerca del origen. El programa MATLAB 7-2 genera las gráficas del lugar geométrico de
las raíces de las figuras 7-15(b) y (c).
Si el factor de amortiguamiento relativo de los nuevos polos dominantes en lazo cerrado no
cambia, los polos se obtienen a partir de la nueva gráfica del lugar geomktrico
de las raíces del
modo siguiente:
s1 = -0.31 + j0.55,
Sección 7-4 / Compensación de atraso
s2 = -0.31 - jo.55
421
(4
Gráficas del lugar geométrico de las raíces
de los sistemas compensado y no compensado
Eje real
(b)
Gráfica del lugar geométrico de las raíces
del sistema compensado cerca del origen
0.5
0.4
0.3
Figura 7-15
(a) Sistema compensado;
(b) gráficas del lugar
geométrico de las raíces
del sistema compensado y
el sistema no compensado;
(c) gráfica del lugar
geométrico de las raíces
del sistema compensado
cerca del origen.
2
0.2
g!
0.1
18
0
.E -0.1
w -0.2
-0.3
-0.4
-0.5
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Eje real
(4
422
Capítulo 7 /
Diseño de sistemas de control mediante el método del lugar geométrico de las raíces
La ganancia en lazo abierto K es
K = s(s + 0.005)(s + l)(s + 2)
s + 0.05
s=-0.31 +jO.SS
= 1.0235
Por tanto, la ganancia del compensador de atraso & se determina como
zQi&E$= 0.9656
Sección 7-4 / Compensación de atraso
423
Así, la función de transferencia del compensador de atraso diseñado es
2os + l
G,(s) = 0.9656 ;+'" =9656
. 2OOs+ 1
Por lo cual, el sistema compensado tiene la siguiente función de transferencia en laxo abierto:
1.0235(s + 0.05)
G,(s) = s(s + 0.005)(s + l)(s + 2)
5.12(20s + 1)
= s(2OOs + l)(s + 1)(0.5s + 1)
La constante de error estático de velocidad KV es
KS = ~~ sGl(s) = 5.12 seg-’
En el sistema compensado, la constante de error estático de velocidad ha aumentado a 5.12 seg -1,
o 5.12iO.53 = 9.66 veces su valor original. (El error en estado estable con entradas rampa ha disminuido alrededor de 10% del valor del sistema original.) En esencia hemos obtenido el objetivo
de diseño de incrementar la constante de error estático de velocidad hasta cerca de 5 seg -1.
Observe que, dado que el polo y el cero del compensador de atraso están muy cerca uno del
otro, así como muy cerca del origen, su efecto sobre la forma de los lugares geométricos de las
raíces originales es pequeño. Excepto por la presencia de un lugar geométrico de las raíces cerrado y pequeño cerca del origen, los lugares geométricos de las raíces de los sistemas compensado y no compensado son muy similares entre sí, a pesar de que la constante de error estático de
velocidad del sistema compensado es 9.66 veces más grande que la del sistema no compensado.
Los otros dos polos en lazo cerrado para el sistema compensado se encuentran del modo siguiente:
s3 = -2.326,
s, = -0.0549
La adición del compensador de atraso incrementa el orden del sistema de 3 a 4, incorporando un polo
en lazo cerrado adicional cerca del cero del compensador de atraso. (El polo en laxo cerrado agregado en s = - 0.0549 está cerca del cero en s = - 0.05.) Este par de un cero y un polo crea una larga
cola de amplitud pequeña en la respuesta transitoria, como veremos despues en la respuesta escalón
unitario. Dado que el polo en s = -2.326 está muy lejos del eje jw en comparación con los polos dominantes en laxo cerrado, también es pequeño su efecto sobre la respuesta transitoria. Por tanto, consideramos los polos en lazo cerrado en s = -0.312 jo.55 como los polos dominantes en laxo cerrado.
La frecuencia natural no amortiguada de los polos dominantes en laxo cerrado del sistema compensado es de 0.631 rad/seg. Este valor es alrededor del 6% menor que el valor original,O.673 rad/seg.
Esto implica que la respuesta transitoria del sistema compensado es más lenta que la del sistema original. La respuesta necesitará mas tiempo para asentarse. El sobrepaso máximo de la respuesta escalón aumentara en el sistema compensado. Si se toleran estos efectos adversos, la compensación de
atraso, tal como se analiza aquí, presenta una solución satisfactoria al problema de diseño dado.
A continuación compararemos las respuestas rampa unitaria del sistema compensado con las
del sistema no compensado y verificaremos que el desempeño en estado estable sea mucho
mayor en el sistema compensado que en el sistema no compensado.
Para obtener la respuesta rampa unitaria con MATLAB, usamos el comando srep (escalón)
para el sistema C(s)/[sR(s)].
Dado que C(s)/[sR(s)]
para el sistema compensado es
1.0235(s + 0.05)
C(s) =
d?(s)
s[s(s + 0.005)(s + l)(s + 2) + 1.0235(s + O.OS)]
1.0235s + 0.0512
= s5 + 3.005~~ + 2.015~~ + 1.0335s' + 0.0512s
tenemos que
numc = [0
denc = [l
424
Capítulo
7
/
0 0 0 1.0235 0.05121
3.005 2.015 1.0335 0.0512
01
Diseño de sistemas de control mediante el método del lugar geomdtrico de las raíces
Asimismo, C(s)l[sR(s)]
para el sistema no compensado es
1.06
C(s)
sq(s) = s[s(s + l)(s + 2) + 1.061
=
1.06
s4 + 3s3 + 2s' + 1.06s
Por tanto,
num = [O 0 0 0 1.061
den = [l 3 2 1.06 01
El programa MATLAB 7-3 genera la gráfica de las curvas de respuesta rampa unitaria. La figura
7-16 muestra el resultado. Es evidente que el sistema compensado presente un error en estado
estable mucho más pequeño (un décimo del error en estado estable original) al seguir la entrada
rampa unitaria.
El programa MATLAB 7- 4 genera las curvas de respuesta escalón unitario de los sistemas
compensado y no compensado. Dichas curvas aparecen en la figura 7-17. Observe que el sis-
Seccián 7-4 / Compensación de atraso
425
Respuestas rampa unitaria de los sistemas
compensado y no compensado
Figura
7-16
Respuestas rampa
unitaria de los
sistemas compensado
y no compensado.
10
1.5
20
25
30
35
40
45
50
t seg
426
Capítulo 7
/
Diseño de sistemas de control mediante el método del lugar geométrico de las raíces
Respuestas escalón unitario de los sistemas
compensado y no compensado
Figura7-17
Respuestas escalón
unitario de los
sistemas compensado
y no compensado.
1
5
10
15
20
25
t seg
30
35
40
tema compensado de atraso exhibe un sobrepaso máximo y una respuesta más lenta que el sistema no compensado original. Observe que el par formado por el polo en s = - 0.0549 y el cero
en s = - 0.05 genera una cola larga de amplitud pequeña en la respuesta transitoria. Si no se
pretende obtener un sobrepaso máximo más grande y una respuesta más lenta, es necesario
usar un compensador de atraso-adelanto tal como se presenta en la sección 7-5.
7-5 COMPENSACIÓN DE ATRASO-ADELANTO
La compensación de adelanto básicamente acelera la respuesta e incrementa la estabilidad
del sistema. La compensación de atraso mejora la precisión en estado estable del sistema,
pero reduce la velocidad de la respuesta.
Si se desea mejorar tanto la respuesta transitoria como la respuesta en estado estable, debe
usarse en forma simultánea un compensador de adelanto y un compensador de atraso. Sin embargo, en lugar de introducir un compensador de adelanto y un compensador de atraso, ambos
como elementos separados, es más económico sólo usar un compensador de atraso-adelanto.
La compensación de atraso-adelanto combina las ventajas de las compensaciones de
atraso y de adelanto. Dado que el compensador de atraso-adelanto posee dos polos y dos ceros,
tal compensación aumenta en dos el orden del sistema, a menos que ocurra una cancelación
de polos y ceros en el sistema compensado.
Compensador electrónico de atraso-adelanto usando amplificadores operacionales. La figura 7-18 muestra un compensador electrónico de atraso-adelanto que
usa amplificadores operacionales. La función de transferencia para este compensador se
obtiene del modo siguiente: la impedancia compleja 21 se obtiene a partir de
1
1
-=
+$
4
RI+&
3
1
Sección 7-5 / Compensación de atraso-adelanto
427
o bien
z1 = (R, + R,)C,s + 1
Del mismo modo, la impedancia compleja Z-L se obtiene mediante
(R2C2S
+ lP‘4
zz = (R, + R4)C2S + 1
Por tanto, tenemos que
R2C2s + 1
R,(R,
+ R,)C,s + 1
R,C,s + 1
‘(R2 + R4)C2s + 1
R,
E(s)
z2
_ -=
--_
J%)
4
El inversor de signo tiene la función de transferencia
E,(s)= -&
E(s)
R,
Así, la función de transferencia del compensador de la figura 7-18 es
1
(R, + R,)C,s + 1
E,(s)- E (s) E(s)0
R,C,s + 1
W)
E(s) Ei R$s
Definamos
Tl = (R, + R&,
- = R,C,,
Y
Ti + $-&
PT2
=
CR2
(7-3)
+ QC2
Entonces, la ecuación (7-3) se convierte en
(7-4)
K3
I
L----
I
0
E(s)
Ei(s)
4
Figura7-18
Compensador de
atraso-adelanto.
428
Red de atraso-adelanto
Capítulo 7
/
f&(s)
--
-
Inversor de signo
Diseño de sistemas de control mediante el método del lugar geométrico de las raíces
en donde ’
Rl+ R3
y=7>1,
1
\
p= R, Rf R, >l,
2
Observe que, con frecuencia, /3 se selecciona igual a y.
Técnicas de compensación de atraso-adelanto basadas en el enfoque del lugar
geométrico de las raíces. Considere el sistema de la figura 7-19. Suponga que usamos
el compensador de atraso-adelanto:
en el que /I > 1 y y > 1. (Suponga que K, pertenece a la parte dcadelanto del compensador
de atraso-adelanto.)
Al diseñar los compensadores de atraso-adelanto, consideramos dos casos: y # /I y y = /I.
Caso 1. y # b. En este caso, el proceso de diseño es una combinación del diseño del compensador de adelanto con el del compensador de atraso. El siguiente es el procedimiento
para el compensador de atraso-adelanto:
1. A partir de las especificaciones de desempeño proporcionadas, determine la ubicación deseada para los polos dominantes en lazo cerrado.
2. Use la función de transferencia en lazo abierto no compensado G(s), para determinar la deficiencia de ángulo 4 si los polos dominantes en lazo cerrado estarán en la posición
deseada. La parte de adelanto de fase del compensador de atraso-adelanto debe contribuir
a este ángulo 4.
3. Suponiendo que después selecciona un T2 suficientemente grande para que la magnitud de la parte de atraso
1
s1 + -
T2
1
s1 + gr,
se acerque a la unidad, de modo que s = SI es uno de los polos dominantes en lazo cerrado,
elija los valores de TI y y a partir del requerimiento de que
G,(s)
--t G(s)
Figura7-19
Sistema de control.
Sección 7-5 / Compensación de atraso-adelanto
429
La elección de TI y y no es única. (Puede escogerse un conjunto infinitamente más grande
de valores para TI y y.) A continuación determine el valor de K, a partir de la condición de
magnitud:
1
s1 + Tl
Kc- G(q) = 1
s1 + JL
Tl
4. Si se especifica la constante de error estático de velocidad K,, determine el valor de
/? que satisfaga el requerimiento para KV. La constante de error estático de velocidad KV se
obtiene mediante
KV = lí~í~ sG,(s)G(s)
’S+-1
Tl
= límsKc s+O
\
S+Y
TII
1
S+l
\
T2
~ G(s)
;+B’T;,
= lhy sK, $f G(s)
en donde K, y y se determinaron en el paso 3. Por tanto, dado el valor de KV, el valor de B
se determina a partir de esta última ecuación. Después, usando el valor de p determinado
de este modo, seleccione un valor de T2 tal que
1
s1 + T2
1
+ 3
s1 +plr2
1
s1 + -5” <
T2 < 0”
1
s1 +pT,
L
(El procedimiento de diseño anterior se ilustra en el ejemplo 7-3.)
Caso 2. y = B. Si se requiere que en la ecuación (7-5) y = p, el procedimiento de diseño anterior para el compensador de atraso-adelanto se modifica del modo siguiente:
1. A partir de las especificaciones de desempeño proporcionadas, determine la ubicación deseada para los polos dominantes en lazo cerrado.
430
Capítulo 7
/
Diseño de sistemas de control mediante el método del lugar geométrico de las raíces
2. El compensador de atraso-adelanto obtenido mediante la ecuación (7-5) se modifica a
(7-6)
(s+$)(s+$)
Gc(s) = Kc(;;:ly[;2s++1:, = Kc(s + g(s ;,T,)
en donde p > 1. La función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado es
G,(s)G(s). Si se especifica la constante de error estático de velocidad KV, determine el valor
de la constante K, a partir de la ecuación siguiente:
K, = F; sG,(s)G(s)
= lhh sK,G(s)
3. Para tener los polos dominantes en lazo cerrado en la ubicación deseada, calcule la
contribución requerida del ángulo 4 de la parte de adelanto de fase del compensador de
atraso-adelanto.
4. Para el compensador de atraso-adelanto, seleccione una TZ suficientemente grande,
a fin de que
1
Sl + 7-2
s1+&
se aproxime a la unidad, de modo que s = s1 sea uno de los polos dominantes en lazo cerrado. Determine los valores de TI y /3 a partir de las condiciones de magnitud y de ángulo:
G(s,)
= 1
5. Usando el valor de p recién determinado, seleccione TZ de modo que
1
Sl + +1
T2
s1+&
-5” <
L
1
Sl + T2
1
s1 +aT,
Sección 7-5 / Compensach de atraso-adelanto
< 0”
431
El valor de ~Tz, la constante de tiempo más grande del compensador de atraso-adelanto no
debe ser demasiado grande, a fin de que pueda materializarse. (Un ejemplo del diseño de
un compensador de atraso-adelanto cuando y = /3 se ofrece en el ejemplo 74.)
EJEMPLO 7-3
Considere el sistema de control de la figura 7-20. La función de transferencia de la trayectoria directa es
G(s)
= 4
s(s + 0.5)
Este sistema tiene polos en lazo cerrado en
s = -0.2500 + j1.9843
El factor de amortiguamiento relativo es 0.125, la frecuencia natural no amortiguada es de
2 radlseg y la constante de error estático de velocidad es de 8 seg -1.
Se desea que el factor de amortiguamiento relativo de los polos dominantes en lazo cerrado
sea igual a 0.5, así como aumentar la frecuencia natural no amortiguada a 5 radheg y la constante
de error estático de velocidad a 80 seg -1. Diseñe un compensador apropiado para cumplir todas
las especificaciones de desempeño.
Supongamos que usamos un compensador de atraso-adelanto que tiene la función de transferencia
en donde y no es igual a B. En este caso, el sistema compensado tendrá la función de transferencia
G,(s)G(s) = K,
A partir de las especificaciones de desempeño, los polos dominantes en lazo cerrado deben estar en
s = -2.50 + j4.33
Dado que
- 235”
s=-2.5O+j4.33
432
=
Capítulo 7 / Diseño de sistemas de control mediante el método del lugar geométrico de las raíces
la parte de adelanto de fase del compensador de atraso-adelanto debe contribuir con 55” para que el
lugar geomkrico de las raíces pase por la ubicación deseada de los polos dominantes en lazo cerrada
Para diseñar la parte de adelanto de fase del compensador, primero determinamos la ubicación del cero y el polo que dan una aportación de 5.5”. Existen muchas formas de hacer esto,
pero aquí elegiremos el cero en s = - 0.5, para que cancele el polo en s = - 0.5 de la planta. Una
vez elegido el cero, el polo se ubica de modo que la contribución de ángulo sea 55”. Mediante un
cálculo simple o el análisis gráfico, el polo debe ubicarse en s = -5.021. Por tanto, la parte de adelanto de fase del compensador de atraso-adelanto se convierte en
1
s+-
Tl K,- K
S4
s + 0.5
‘s + 5.021
Tl
Así,
5.021
- = 10.04
y = 0.5
T, = 2,
A continuación determinamos el valor de Kc a partir de la condición de magnitud:
4
s + 0.5
1
Kc S + 5.021 S(S + 0.5) s=-2,5+j4,33 =
De este modo,
La parte de atraso de fase del compensador se disefía del modo siguiente: primero se determina
el valor de /3 que satisfaga el requerimiento sobre la constante de error estático de velocidad:
KV = ‘Is sG,(s)G(s)
= 5 sK, ; G(s)
B
4
= ;$ ~(6.26) -~ = 4.9888 = 80
10.04 s(s+O.5)
Por tanto, p se determina como
j3 = 16.04
Por último, elegimos un valor de TZ
suficientemente grande para que
1
s+T2
+ 1
1
’ ’ 16.04T2
s =- 2.5 +j4.33
-5” <
Sección 7-5 / Compensaci6n
de atraso-adelanto
< 0”
433
Dado que T2 9 5 (o cualquier otro número mayor que 5) satisface los dos requerimientos anteriores, seleccionamos
T2 = 5
Ahora la función de transferencia del compensador de atraso-adelanto diseñado se obtiene mediante
1
S+5
1
’ + 16.04 X 5
G,(s) = (6.26)
lO(2s + 1)(5s + 1)
= (0.1992s + 1)(80.19s + 1)
El sistema compensado tendrá la función de transferencia en lazo abierto
25.04(s + 0.2)
GWW = s(s + 5.02) (s + 0.01247)
Debido a la cancelación de los términos (s + 0.5), el sistema compensado es de tercer orden.
(Matemáticamente esta cancelación es exacta, pero en la práctica no lo es, debido a que, por lo
general, al obtener el modelo matemático del sistema son necesarias algunas aproximaciones y,
como resultado, las constantes de tiempo no son precisas.) La gráfica del lugar geométrico de las
raíces del sistema compensado aparece en la figura 7-21(a). Una vista ampliada de la gráfica del
lugar geométrico de las raíces cerca del origen aparece en la figura 7-21(b). Debido a que la contribución de ángulo de la parte de atraso de fase del compensador de atraso-adelanto es muy pequeña, ~610 hay un cambio pequeño en la ubicación de los polos dominantes en lazo cerrado a
Gráfica
del lugar geométrico de las raíces
del sistema comr>ensado
J?igtua7-21
(a) Gráfica del lugar geométrico de las raíces del sistema compensado; (b) gráfica
del lugar geométrico de las
raíces cerca del origen.
434
Capítulo
Eje real
(4
7
/
Diseño de sistemas de control mediante el método del lugar geométrico de las raíces
Gráfica del lugar geométrico de las raíces
del sistema compensado cerca del origen
I
-0.5
Figura 7-21
(Continuación)
-0.4
I
-0.3
I
-0.2
I
I
-0.1
0
Eje real
(b)
partir de la ubicación deseada, s = -2.5 + j4.33. De hecho, los nuevos polos en lazo cerrado se
ubican en s = -2.4123 + j4.2756. (El nuevo factor de amortiguamiento relativo es 5 = 0.491.) De
este modo, el sistema compensado cumple todas las especificaciones de desempeño requeridas.
El tercer polo en lazo cerrado del sistema compensado se ubica en s = - 0.2078. Dado que este
polo está muy cerca del cero en s = - 0.2, el efecto de este polo sobre la respuesta es pequeño.
(Observe que, en general, si un polo y un cero están cercanos entre sí sobre el eje real negativo
cerca del origen, su combinación producirá una larga cola de amplitud pequeña en la respuesta
transitoria.)
Las curvas de respuesta escalón unitario y las curvas de respuesta rampa unitaria antes y después de la compensación aparecen en la figura 7-22.
Respuestas escalón unitario de los sistemas
compensado y no compensado
1.8
1.6
1.4
1.2
3 1
2
2 0.8
Figura 7-22
Curvas de respuesta
transitoria para el sistema compensado y el
sistema no compensado.
(a) Curvas de respuesta
escalón unitario; (b)
curvas de respuesta
rampa unitaria.
0.6
0.4
0.2
0
1
0
1
2
3
4
t seg
5
6
7
8
6)
Sección 7-5 / Compensación de atraso-adelanto
435
Respuestas rampa unitaria de los sistemas
compensado y no compensado
compensado = 0.125
Sistema no compensado
1
Figura 7-22
2
3
4
5
6
1
8
t seg
(Continuación)
(b)
EJEMPLO 7-4
Considere el sistema de control del ejemplo 7-3. Suponga que usamos un compensador de atrasoadelanto de la forma obtenida mediante la ecuacióq (749, o bien,
Suponiendo que las especificaciones son iguales a las obtenidas en el ejemplo 7-3, diseñe un
compensador G,(s).
Las ubicaciones deseadas para los polos dominantes en lazo cerrado están en
s = -2.50 2 j4.33
La función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado es
Dado que el requerimiento sobre la constante de error estático de velocidad KV es de 80 seg-*,
tenemos que
4
K, = lím sG,(s)G(s) = lím K, - = 8K, = 80
s-d
S-PO
0.5
Por tanto,
K, = 10
La constante de tiempo Tl y el valor de j3 se determinan a partir de
=-
436
Capítulo 7 /
Diseño de
sistemas de control mediante el mttodo del lugar geométrico de las raíces
Remitiéndonos a la figura 7-23, es fácil localizar los puntos A y B tales que
APB = sy,
L--
PA 4 . 7 7
pB=--i-(Use un enfoque gráfico o un enfoque trigonomhico.) El resultado es
i@ = 2.38,
BO = 8.34
o bien
Tl = &j = 0.420,
/3 = 8.34T, = 3.503
Por tanto, la parte de adelanto de fase de la red de atraso-adelanto se convierte en
Para la parte de atraso de fase, seleccionamos
T2 = 10
Así,
-
-
/3;, - 3.5o;x 10 = o*o285
Por tanto, el compensador de atraso-adelanto se convierte en
G,(s) = (10) (53 (s “+;.oz,,)
-j2
-j3
Figura 7-23
Determinación de la
ubicación deseada d e
polos y ceros.
-j4
Sección 7-5 / Compensación de atraso-adelanto
437
El sistema compensado tendrá la función de transferencia en lazo abierto
4O(s + 2.38)(s + 0.1)
Gc(s)G(s) = (s + 8.34)(s + O.O285)s(s + 0.5)
En este caso no ocurre una cancelación y el sistema compensado es de cuarto orden. Debido a
que la contribución de ángulo de la parte de atraso de fase de la red de atraso-adelanto es muy
pequeña, los polos dominantes en lazo cerrado se ubican muy cerca de la posición deseada. De
hecho, los polos dominantes en lazo cerrado se localizan en s = -2.4539 + j4.3099. Los otros dos
polos en lazo cerrado se localizan en
s = -0.1003,
s = -3.8604
Dado que el polo en lazo cerrado en s = - 0.1003 está muy cerca de un cero en s = - 0.1, casi se
cancelan uno al otro. Por tanto, el efecto de este polo en lazo cerrado es muy pequeño. El polo en
lazo cerrado restante (s = - 3.8604) no cancela realmente el polo en s = -2.4. El efecto de este
Respuestas escalón unitario de los sistemas
compensado v no ComDensado
(4
Respuestas rampa unitaria de los sistemas
compensado v no compensado
Figura 7-24
(a) Curvas de respuestas escalón
unitario para los sistemas compensado y no compensado; (b)
curvas de respuesta rampa unitaria para ambos sistemas.
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
t seg
(b)
438
Capítulo 7
/
Diseño de sistemas de control mediante el método del lugar geométrico de las raíces
cero es provocar un mayor sobrepaso en la respuesta escalón que el de un sistema similar sin dicho cero. Las curvas de respuesta escalón unitario de los sistemas compensado y no compensado
aparecen en la figura 7-24(a). Las curvas de respuesta rampa unitaria para ambos sistemas se
muestran en la figura 7-24(b).
EJEMPLO
A-I-I.
DE
PROBLEMAS
Y
SOLUCIONES
Obtenga la función de transferencia del sistema mecánico de la figura 7-25. Suponga que el desplazamiento xi es la entrada y el desplazamiento x0 es la salida del sistema.
Solución. A partir del diagrama obtenemos la siguiente ecuación de movimiento:
62
b2(ki - i,) = b,(i, - j)
b,(i, - y) = ky
h
Tomando las transformadas de Laplace
cero y eliminando Y(s), obtenemos
-YAs)
b2
xits)
Figura 7-25
Sistema mecánico.
de estas dos ecuaciones, suponiendo condiciones iniciales
=
4 + b, - b,
b,- s + 1
b, + b, k
Ésta es la función de transferencia entre X&) y X(s). Si definimos
LT
k
b
’
--“-=a<l
b, + b2
obtenemos
1
S+Ts + 1 = T
KA4 - a ~
aTs
+
1
1
xi(s)
s+aT
Este sistema mecánico es una red de adelanto mecánica.
A-7-2.
Obtenga la función de transferencia del sistema mecánico de la figura 7-26. Suponga que el desplazamiento Xi es la entrada y el desplazamiento x0 es la salida.
Solución. Las ecuaciones de movimiento para este sistema son
b2(ii - XJ + k2(xi - xo) = b,(i,, - y)
b,(i, - j) = ky
Tomando las transformadas de Laplace
ciales de cero, obtenemos
de estas dos ecuaciones, y suponiendo condiciones ini-
bJS;Yi(S) - sXo(s)I + kAxi - Xo(s)I = b,[sXo(s) - SY(
b,[sX,(s) - sY( = k,Y(s)
Ejemplo
de problemas y soluciones
439
Figura 7-26
Sistema
mecánico.
Si eliminamos Y(s) de las dos últimas ecuaciones, k función de transferencia X&)/X&)
tiene como
se ob-
Definimos
Tl = $,
T, = $,
1
2
@>11)
Entonces, X&)/Xi(s) se simplifica como
xo(s>=
xi(s)
(TIS + W,s + 1)
=
($$+1)(/3T2s+1)
(s+$(s+&)
A partir de esta función de transferencia vemos que este sistema mecánico es una red de atrasoadelanto mecánica.
A-7-3.
Considere la red electrónica de la figura 7-27. Obtenga la función de transferencia de la red.
(Como se acostumbre en la obtención de la función de transferencia de cualquier red de cuatro
Figura 7-27
Red eléctrica.
440
Capítulo
7
/
Diseño de sistemas de control mediante el método del lugar geométrico de las raíces
terminales, suponemos que la impedancia fuente que ve la red es cero y que la impedancia de
carga de salida es infinita.)
Solución. Usando los símbolos definidos en la figura 7-27, encontramos que las impedancias
complejas ZI y ZZ son
z,
=
Rl
Z, = R,
R,Cs + 1 ’
La función de transferencia entre la salida E,(s) y la entrada E¡(s) es
R
E,(s) Z---E
z2
Ei(s)
Zl + z2 RI +
2
R,Cs + 1
RI%
R,+-l
R2
Definimos
R
-2-=a<l
RI + R2
R,C = T,
Entonces la función de transferencia se convierte en
Eo-
a
Ei
Ts + 1
aTs + 1
~
=
1
s+T
1
s+aT
~
Dado que a es menor que 1, se trata de una red de adelanto.
A-7-4.
Obtenga la función de transferencia de la red de la figura 7-28.
Solución. Las impedancias complejas ZI y ZZ son,
z,
=
Rl
R,C,s + 1 ’
Z, = R, + &
2
La función de transferencia entre E,(s) y Ei es
E,(s) C---E
z2
J%(S)
Z, + Z,
(R,C,s + l)(R,C,s + 1)
(R,C,s + l)(R,Cg + 1) + R,C,s
El denominador de esta función de transferencia se factoriza en dos thninos
R,C, = T,,
EJemplo
R,C,
= T,,
de problemas y soluciones
R,C, + R,C, + R,C, = B + /3T2
reales. Definamos
GB ‘1)
441
Entonces, &(s)/.&(s)
puede simplificarse a
E,(s) _ (TlS + w,s + 1) =
EL4 (~s+1)(B*2s+1) (s+$(s+&)
Ésta es una red de atraso-adelanto.
A-M.
Un sistema de control con
G(s) = K
sys + 1)’
H(s) = 1
es inestable para todos los valores positivos de la ganancia K.
Grafique los lugares geométricos de las raíces del sistema. Usando esta gráfica, demuestre
que este sistema se estabiliza agregando un cero al eje real negativo o modificando G(s) a Gr(s),
en donde
K(s + a)
G,(s) = s2(s + 1)
(0 5 a c 1)
Solución. Una gráfica del lugar geométrico de las raíces para el sistema con
G(s) = -&--
?(s + 1)’
H(s) = 1
aparece en la figura 7-29(a). Dado que hay dos ramificaciones en el semiplano derecho del plano,
el sistema es inestable para cualquier valor de K > 0.
La adición de un cero ala función de transferencia G(s) inclina las ramificaciones del semiplano derecho del plano a la izquierda y lleva todas las ramificaciones del lugar geometrico
de
las raíces al semiplano izquierdo del plano, como se aprecia en la gráfica del lugar geométrico
de las raíces de la figura 7-29(b). Por tanto, el sistema con
G = W + a)
l s2(s + 1) ’
H(s) = 1
(0 5 a c 1)
es estable para todos los K > 0.
A-7-6.
Considere un sistema con una planta inestable, como el de la figura 7-30(a). Usando el enfoque
del lugar geométrico de las raíces, diseñe un controlador proporcional derivativo (es decir, determine los valores de Kp y Td) tal que el factor de amortiguamiento relativo 5 del sistema en lazo
cerrado sea 0.7 y la frecuencia natural no amortiguada w,, sea 0.5 radlseg.
Solución. Observe que la función de transferencia en lazo abierto tiene dos polos en s = 1.085 y
s = -1.085 y un cero en s = -l/Td, que se desconoce en este punto.
Dado que los polos en lazo cerrado deseados deben tener o,, = 0.5 radlseg y 5 = 0.7, deben
ubicarse en
s = 0.5 1180”
+ 45.573”
(5 = 0.7 corresponde a una línea que forma un ángulo de 45.573” con el eje real negativo.) Por
tanto, los polos en lazo cerrado deseados están en
s = -0.35 kjO.357
Los polos en lazo abierto y el polo en lazo cerrado deseado de la mitad superior del plano se ubican en el diagrama de la figura 7-30(b). La deficiencia de ángulo en el puntos = - 0.35 + jo.357 es
-166.026” - 25.913” + 180” = -11.938”
442
Capítulo 7
/
Diseño de sistemas de control mediante el método del lugar geométrico de las raíces
2
Gráfica del lugar geométrico de las raíces
de G(s) = K/[s~(s + l)], H(s) = 1
2
Eje real
(4
Gráfica del lugar geombtrico de las raíces
,
de Cl(s) = K(s + O.~)/[S~(S + l)], H(s) = 1
Figura 7 - 2 9
(a) Gráfica del lugar
geométrico de las
raíces del sistema con
G(s) = K/[s~(s + l)] y
H(s) = 1; (b) gráfica
del lugar geométrico de
las raíces del sistema
con GI(s) = K(s + a)l
[s2(s + l)] y H(S)= 1, en
donde a = 0.5.
Eje real
(b)
Esto significa que el cero en s = -1lTd debe contribuir con 11.938”, mismos que, a su vez, determinan la ubicación del cero del modo siguiente:
s=-$=-2.039
d
Por tanto, tenemos que
&,(l + TdS) = K,T,
Ejemplo de problemas y soluciones
= KpTd(s + 2.039)
(7-7)
443
1
- 10000 (s* - 1.1772) ’
q1 + Tdd
b
-3
Polo en lazo cerrado
-jl
-j2
Figura 7-30
(a) Control PD de una
planta inestable; (b) diagrama del lugar geométrico
de las raíces para el sistema.
-j3
(b)
El valor de Td es
1
Td = & = 0.4904
El valor de la ganancia Kp se determina a partir de la condición de magnitud del modo siguiente:
s + 2.039
= 1
KpTd lOOOO(s* - 1.1772) s=-,,35+,U.357
o bien
K,T, = 6999.5
Por tanto,
K = 6999.5
- = 14,273
p 0.4904
Sustituyendo Td y Kp por sus valores numéricos en la ecuación (7-7), obtenemos
K,(l + Tg) = 14,273(1 + 0.4904s) = 6999.Q + 2.039)
que
444
produce
Capítulo 7
la
función
de
transferencia
deseada
del
controlador
proporcional
derivativo.
/ Diseño de sistemas de control mediante el método del lugar geométrico de las raíces
A-7-7.
Considere el sistema de control de la figura 7-31. Disefíe un compensador de atraso G,(s) tal que
la constante de error estático de velocidad K, sea 50 seg -1 sin modificar notablemente la ubicación de los polos en laio cerrado originales, que estan en s = -2 2 jfl.
Solución. Supongamos que la función de transferencia del compensador de atraso es:
1
S+G,(s) = Ztc-$
cs’ 1)
Dado que KV se especifica como 50 seg -1, tenemos que
10
KV = yz sG,(s) - = Izd2.5 = 50
s(s + 4)
Por tanto,
K,/3 = 20
Ahora, seleccionamos k = 1. De este modo,
jl = 20
Tomando T = 10. A continuación, el compensador de atraso se obtiene mediante
G,(s) = ’ + ‘*’
s + 0.005
La contribución de ángulo del compensador de atraso en el polo en lazo cerrados = -2 + jfl es
Gc s s=-2+jfi =
/(>I
fl
tan-l ti
tan-‘--
-1.9
-1.995
= -1.3616”
que es pequena.
Por tanto, el cambio en la ubicación de los polos dominantes en lazo cerrado es
muy pequeño.
La función de transferencia en lazo abierto del sistema se convierte en
G,(s)G(s)
=
’ +
‘*’ 1o
s + 0.005 s(s + 4)
La función de transferencia en lazo cerrado es
10s + 1
C(s)
-=
R(s)
s3 + 4.005s2 + 10.02s + 1
Figura 7-31
Sistema de control.
Ejemplo de problemas y soluciones
445
A fin de comparar la característica de la respuesta transitoria antes y despues de la compensación,
las respuestas escalón unitario y rampa unitaria de los sistemas compensado y no compensado
aparecen en las figuras 7-32(a) y (b), respectivamente. El error en estado estable en la respuesta
rampa unitaria se exhibe en la figura 7-32(c).
A-7-8.
Considere un sistema de control con realimentación unitaria cuya función de transferencia de la
trayectoria directa se obtiene mediante
G(s)
=
lo
s(s + 2)(s + 8)
Diseñe un compensador tal que los polos dominantes en laxo cerrado se ubiquen en s = -2 + ]2fl
y la constante de error estático de velocidad K, sea igual a 80 seg -1.
Respuestas escalón unitario de los sistemas
compensado y no compensado
0.8
0.2
0
0
12
3
4
5
6
7
8
9
t seg
(a)
Respuestas rampa unitaria de los sistemas
compensado y no compensado
10
7
,. .
98-
El sistema compensado
7 - tiene un error en estado
a
estable de 0.02
z 6m
a9
Figura 7-32
(a) Respuestas escalón
unitario de los sistemas
compensado y no compensado; (b) respuestas
rampa unitaria de ambos sistemas; (c) respuestas rampa unitaria
q u e muestran los errores en estado estable.
E 5-
ij 4E
w
3-
El sistema no compensado
tiene un error en estado
estable de 0.4
2-
l0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t seg
(b)
446
Capítulo 7 / Diseño de sistemas de control mediante el método del lugar geométrico de las raíces
Respuestas rampa unitaria (35 < t < 40)
35
35.5
36
36.5
Figura 1-32
(Continuación)
37
37.5 3 8
t seg
38.5
39
39.5
40
(4
Solución. La constante de error estático de velocidad del sistema no compensado es
K, = # = 0.625. Dado que se requiere que KV = 80, necesitamos incrementar la ganancia en lazo
abierto en 128. (Esto implica que necesitamos un compensador de atraso.) La gráfica del lugar
geométrico de las raíces del sistema no compensado revela que no es posible llevar los polos dominantes en lazo cerrado a -2 ? 12fl con ~610 un ajuste de la ganancia. Veáse la figura 7-33.
(Esto significa que también necesitamos un compensador de adelanto.) Por tanto, emplearemos
un compensador de atraso-adelanto.
Supongamos que la función de transferencia del compensador de atraso-adelanto es
ca = B)
Gráfica del lugar geométrico de las raíces
de G(s) = 10@@+2)(s+8)]
Figura 7-33
Gráfica del lugar
geométrico de las raíces
de G(s) = lO/[s(s + 2)
\
-5
6 + fa*
0
,
5
I
10
Eje real
Ejemplo
de problemas y soluciones
447
en donde Kc = 128. Esto se debe a que
KV = lím sG,(s)G(s) = lím sK,G(s) = K, $ = 80
s+O
S-MI
y obtenemos Kc = 128. La deficiencia de ángulo en lazo cerrado deseado s = -2 + ~2fl es
Deficiencia del ángulo = 120” + 90” + 30” - 180” = 60”
La parte de adelanto del compensador de atraso-adelanto debe contribuir a este ángulo. Para seleccionar Tl usamos el mktodo gráfico que se presentó en la sección 7-5.
La parte de adelanto debe cumplir las siguientes condiciones:
= 1
‘3sJ
s,=-2+jzv3
= 60”
La primeya
condición se simplifica como
1
si + -
T
1
B
I
1
=-
13.3333
Sl + T
* 1 p,=-2+Jzv3
Mediante el mismo enfoque aplicado en la sección 7-5, el cero (s = UTi) y el polo (s = JVTl) se
determinan del modo siguiente:
1
- = 3.70,
Tl
B = 53.35
T
1
Véase la figura 7-34. Por tanto, el valor de /I se determina como
/3 = 14.419
Para la parte de atraso del compensador, seleccionamos
j& = 0.01
Así,
1
- = 0.1442
T2
448
Capítulo 7 / Diseño de sistemas de control mediante el método del lugar geométrico de las raíces
Figura 7-34
Determinación gráfica
del cero y el polo de la
parte de adelanto del
compensador.
t
Cr
-53.35
Considerando que
= 0.9837
s,=-2+j2%/3
L-I
s1 + 0.1442
= -1.697”
Sl + 0.01 s,= -2+j&B
la contribución del ángulo de la parte de atraso es -1.697”~ la contribución de magnitud es 0.9837.
Esto significa que los polos dominantes en lazo cerrado se encuentran cerca de la posición deseada s = -2 t @ti. Por tanto, el compensador diseñado,
es aceptable. La función de transferencia de trayectoria directa del sistema compensado se convierte en
128O(s + 3.7) (s + 0.1442)
GcWW = s(s + 53.35) (s + 0.01) (s + 2) (s + 8)
La figura 7-35(a) contiene una gráfica del lugar geométrico de las raíces del sistema compensado. La figura 7-35(b) presenta una gráfica ampliada del lugar geométrico de las raíces cerca del
origen.
Para verificar el desempeño del sistema mejorado del sistema no compensado, véanse las respuestas escalón unitario y las respuestas rampa unitaria de los sistemas compensado y no compensado de las figuras 7-36(a) y (b), respectivamente.
A-7-9.
Considere el sistema de la figura 7-37. Diseñe un compensador de atraso-adelanto tal que la constante de error estático de velocidad KV sea de 50 seg -1 y la razón de amortiguamiento relativo 5
de los polos dominantes en lazo cerrado sea 0.5. (Seleccione el cero de la parte de adelanto del
compensador de atraso-adelanto para cancelar el polo en s = -1 de la planta.) Determine todos
los polos en lazo cerrado del sistema compensado.
SoluQón.
Empleemos el compensador de atraso-adelanto obtenido mediante
F,jemplo de problemas y soluciones
449
Gráfica del lugar geombrico de las raíces
del sistema compensado
Eje real
(4
Gráfica del lugar geométrico de las raíces
del sistema compensado cerca del origen
10 I
I
I
I
8
6
4
Figura 7-35
(a) Gráfica del lugar
geométrico de las
raíces del sistema
compensado; (b) gráfica del lugar geométrico de las raíces
cerca del origen.
-4
-6
-8
-10
Eje real
(b)
en donde B > 1. En este caso,
La especificación de KV = 50 seg -1 determina el palor de &,
o bien,
K, = 2.50
450
Capítulo 7 /
Diseño de sistemas de control mediante el mdtodo del lugar geométrico de las raíces
Respuestas escalón unitario de los sistemas
compensado y no compensado
0.4
0.2
cl
“0
1
2
3
4
5
t seg
6
7
8
9
10
(4
Respuestas rampa unitaria de los sistemas
compensado y no compensado
Figura 7-36
(a) Respuestas escalón unitario de los
sistemas compensado
y no compensado;
(b) respuestas rampa
unitaria de ambos
sistemas.
“0
1
2
3
4
5
t seg
6
7
8
9
10
(b)
Figura 7-37
Sistema de control.
Ejemplo de problemas y soluciones
451
Ahora seleccionamos Tl = 1 para que s + (l/Tt) cancele el término (S + 1) de la planta. La
parte de adelanto se vuelve así,
Para la parte de atraso del compensador de atraso-adelanto necesitamos que
1
1
s1 + s1 + T
T2 ‘1
-5” <
--y<O”
-----y--Y
s1 +E
L
s1 +E
en donde s = sr sea uno de los polos dominantes en lazo cerrado. Paras = SI, la función de transferencia en lazo abierto se convierte en
1
1
Sl(S1 + l)(sr + 5) = Kc (Sr + B)Sl(Sl + 5)
Considerando que en s = st se satisfacen las condiciones de magnitud y de ángulo, tenemos que
1
Kc Sl(Sl + B)(Sl + 5) = l
(7-8)
en donde k = 0, 1,2,. . . En las ecuaciones (7-8) y (7-9), B y sr son incógnitas. Dado que el factor
de amortiguamiento relativo 5 de los polos dominantes en lazo cerrado se especifica como 0.5, el
polo en lazo cerrado s = st se escribe como
s,=-x+jflx
en donde x todavía no está determinada.
Observe que la condición de magnitud, ecuación (7-8), se puede reescribir como
Kc
(-x + jflx)(-x+ B + jflx)(-x + 5 + jflx) = ’
Considerando que K, = 250, tenemos que
xX@ - x)’ + 32 v(5 - x)~ + 3x* = 125
(7-10)
La condición de ángulo, ecuación (7-9), puede reescribirse como
1
Kc
(-x
+
jflx)(-x
+
p
+
jflx)(-x+ 5 + jfix)
l
o bien
tan-‘($)
+ tan-l(s)
= 600
(7-11)
Necesitamos despejar /? y x en las ecuaciones (7-10) y (7-11). Mediante varios cálculos de prueba
y error, se encuentra que
452
Capítulo
7
/
Diseño de sistemas de control mediante el método del lugar geométrico de las raíces
,8 = 16.025,
x = 1.9054
Por tanto,
s1 = -1.9054 + jfi (1.9054) = -1.9054 + j3.3002
La parte de atraso del compensador de atraso-adelanto se determina del modo siguiente: considerando que el polo y el cero de la parte de atraso del compensador deben ubicarse cerca del
origen, seleccionamos
& = 0.01
Es decir,
1
- = 0.16025
o
Tz = 6.25
T2
Con la elección de T2 = 6.25, encontramos que
1
Sl + T2
- -1.9054 + j3.3002 + 0.16025
-1.9054 + j3.3002 + 0.01
= -1.74515 + j3.3002 = o g8 ~ 1
-1.89054 + j3.3002
’
(7-12)
= tan-’ j-:z5)- tan-‘(Jiz,) = -1.937”
(7-13)
1
Sl + -
T
2
+k
Sl
/
Dado que
-5” < -1.937” < 0”
nuestra elección de TZ = 6.25 es aceptable. A continuación, el compensador de atraso-adelanto
recién diseñado se escribe como
Por tanto, el sistema compensado tiene la siguiente función de transferencia en lazo abierto:
25O(s + 0.16025)
G,WW = s(s + O.Ol)(s + 5)(s + 16.025)
La figura 7-38(a) muestra una gráfica del lugar geométrico de las raíces del sistema compensado. La
figura 7-38(b) presenta una gráfica ampliada del lugar geométrico de las raíces cerca del origen.
La función de transferencia en lazo cerrado se convierte en
25O(s + 0.16025)
C(s)
-=
R(s)
s(s + O.Ol)(s + 5)(s + 16.025) + 25O(s + 0.16025)
E,jemplo de problemas y
soluciones
453
Gráfica
del lugar geométrico de las raíces
de un sistema compensado
Eje real
1
(4
Gráfica del lugar geombrico de las raíces
de un sistema compensado cerca del origen
Figura 7-38
(a) Gráfica del lugar geométrico de las raíces de
un sistema compensado;
(b) gráfica del lugar geométrico de las raíces
cerca del origen.
Los polos en lazo cerrado se ubican en
s = -1.8308 kj3.2359
s = -0.1684
s = -17.205
Observe que los polos dominantes en lazo cerrado s = -1.8308 + 13.2359 difieren de los polos dominantes en lazo cerrado s = +sl supuestos en el cAculo de/3 y Tz. Las pequeñas desviaciones de los
polos dominantes en lazo cerrados = -1.8308 2 132359 a partir des = +SI = -1.9054 ? j3.3002 se
deben a las aproximaciones implícitas al determinar la parte de atraso del compensador [véanse las
ecuaciones (7-12) y 7-13)].
454
Capítulo
7
/
Diseño de sistemas de control mediante el método del lugar geométrico de las raíces
Respuesta escalón unitario del sistema compensado
0.4
0.2
0
I
2
4
I
1
,
I
6
8
10
12
14
t seg
(4
Respuesta rampa unitaria del sistema compensado
Figura7-39
(a) Respuesta escalón unitario del sistema compensado;
(b) respuesta rampa
unitaria del sistema
compensado.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t seg
(b)
Las figuras 7-39(a) y (b) muestran, respectivamente, la respuesta escalón unitario y la respuesta rampa unitaria del sistema diseñado. Observe que el polo en lazo cerrado en s = -0.1684
casi cancela el cero en s = - 0.16025. Sin embargo, este par formado por un polo y un cero en lazo
cerrado ubicado cerca del origen produce una larga cola de amplitud pequeña. Dado que el polo
en lazo cerrado en s = -17.205 se localiza muy lejos a la izquierda, en comparación con los polos en
lazo cerrado en s = -1.8308 f j3.2359, tambikn es muy pequeño el efecto de este polo real sobre la
respuesta del sistema. Por tanto, los polos en lazo cerrado en s = -1.8308 ? j3.2359 son en realidad polos dominantes en lazo cerrado que determinan la característica de respuesta del sistema
en lazo cerrado. En la respuesta rampa unitaria, el error en estado estable al seguir la entrada
rampa unitaria termina por convertirse en llk, = & = 0.02.
A-7-10.
Considere el sistema de la figura 7- 40. Se desea diseñar un controlador PID, G,(s) tal que los
polos dominantes en lazo cerrado se ubiquen en s = -1 + jfl. Para el controlador PID, selec-
F,jemplo de problemas y soluciones
455
Figura740
Sistema controlado
PID.
L
cione a = 1 y después determine los valores de K y b. Trace el diagrama del lugar geomCtrico
las raíces para el sistema diseñado.
de
Solución. Dadoque
G (s)G(s) = K (s + l)(s + b)
1
c
S
s2 + 1
la suma de los ángulos en s = - 1 + jfl, uno de los polos en lazo cerrado deseados, a partir del
ceroens=-lylospolosens=O,s=jys=-jes
90” - 143.794” - 120” - 110.104” = -283.898”
por tanto, el cero en s = -b debe contribuir con 103.898”. Esto requiere que el cero se ubique en
b = 0.5714
La constante de ganancia K se determina a partir de la condición de magnitud.
K (s + l)(s + 0.5714)
S
1
=1
s2 s=-l+jfi
o bien
K = 2.3333
Después, el compensador se escribe del modo siguiente:
G,(s) = 2 3333 6 + w + 0.5714)
S
La función de transferencia en lazo abierto se convierte en
GWW =
2.3333(s + l)(s + 0.5714) 1
s
2+1
A partir de esta ecuación, es posible trazar una gráfica del lugar geométrico de las raíces para el
sistema compensado. La figura 7- 41 es una gráfica del lugar geométrico de las raíces.
La función de transferencia en lazo cerrado se obtiene a partir de
2.3333(s + l)(s + 0.5714)
C(s)
-=
R(s)
s3 + s + 2.3333(s + l)(s + 0.5714)
Los polos en lazo cerrado están en s = - 1 2 jfl y s = -0.3333. La figura 7- 42 contiene una curva
de respuesta escalón unitario. El polo en lazo cerrado de s = -0.3333 y un cero en s = - 0.5714
producen una larga cola de amplitud pequeña.
A-7-11.
456
La figura 7- 43(a) es un diagrama de bloques de un modelo para un sistema de control de cambio de posición. La función de transferencia en lazo cerrado para este sistema es
Capítulo 7
/
Diseño de sistemas de control mediante el método del lugar geométrico
de las raices
Gráfica
del lugar geométrico de las raíces
de Gc(s)G(s)
Figura 741
Gráfica del lugar geomktrico de las raíces
del sistema compensado
(problema A-7-10).
Eje real
2s + 0.1
s3 + 0.1~~ + 6s + 0.1
2(s + 0.05)
= (s + 0.0417 + J?.4489)(s + 0.0417 - $2.4489)(s
+ 0.0167)
La respuesta escalón unitario de este sistema aparece en la figura 7- 43(b). La respuesta muestra
las oscilaciones de alta frecuencia al inicio de la respuesta, debido a los polos en s = - 0.0417 2
~2.4489. La respuesta la controla el polo en s = - 0.0167. El tiempo de asentamiento es de aproximadamente 240 segundos.
Se desea acelerar la respuesta, asi como eliminar el modo oscilatorio al inicio de la misma.
Diseñe un compensador conveniente tal que los polos dominantes en lazo cerrado estén en
s=-2?]2fl.
Respuesta escalón unitario del sistema compensado
Figura 7-42
Respuesta escalón
unitario del sistema
compensado (problema A-7-10).
I
4
I
6
Tiempo
Ejemplo de problemas y soluciones
I
8
I
10
l
12
(seg)
457
Respuesta escalón unitario de un sistema no comuensado
Servomotor hidráulico
Avión
Giroscopio de cambio
Ca)
Figura 7-43
(a) Sistema de control
de cambio de posición;
(b) respuesta escalón
unitario.
100
150
200
Tiempo (seg)
250
300
(b)
Solución. La figura 7- 44 muestra un diagrama de bloques para el sistema compensado. Observe
que el cero en lazo abierto en s = - 0.05 y el polo en lazo abierto en s = 0 generan un polo en lazo
cerrado entre s = 0 y s = - 0.05. Tal polo en lazo cerrado se convierte en un polo dominante en
lazo cerrado y desacelera la respuesta. Por tanto, es necesario sustituir este cero por uno que se
ubique bastante lejos del eje iw, por ejemplo, un cero en s = - 4.
Ahora seleccionamos el compensador en la forma siguiente:
G,(s) = &s) jf$&
A continuación, la función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado se vuelve
G,(s)G(s)
s+4 1 2s+o.1
= G,(s) ~2s + 0.1 s 2 + 0.1s + 4
= î;,(s)
s+4
s(s2 + 0.1s + 4)
Servomotor hidráulico
Figura 7-44
Sistema de control
cJe cambio de posición compensado.
Avión
Giroscopio de cambio
Capítulo 7
/ Diseño de sistemas de control mediante el método del lugar geométrico de las raíces
Para determinar G,(s) mediante el método del lugar geométrico de las raíces, necesitamos encontrar la deficiencia de ángulo en el polo en lazo cerrado deseado s = -2 + j2fl. La deficiencia del ángulo se encuentra del modo siguiente:
Deficiencia del ángulo = -143.088” - 120” - 109.642“ + 60” + 180”
= -132.73”
Por tanto, el compensador de adelanto &(s) debe aportar 132.73”. Dado que la deficiencia de ángulo es de 132.73”, necesitamos dos compensadores de adelanto que aporten, 66.365” cada uno.
Por tanto, G,(s) tendrá la forma siguiente:
2
Suponga que elegimos dos ceros en s = -2. A continuación, los dos polos de los compensadores
de adelanto se obtienen a partir de
3.4641
- = tan(90” - 66.365”) = 0.4376169
sp - 2
o bien
sp=2+
3.4641
0.4376169
= 9.9158
Por tanto,
2
El compensador G,(s) completo para el sistema se convierte en
El valor de K, se determina a partir de la condición de magnitud. Dado que la función de transferencia en lazo abierto es
Gc(s)G(s)
(s + 2)2(s + 4)
= Kc (s + 9.9158)2s(s2 + 0.1s + 4)
la condición de magnitud se convierte en
(s + 2)2(s + 4)
Kc (s + 9.9158)%(s2 + 0.1s + 4) s=-2+,2fl = ’
Por tanto,
K = (s + 9.9158)2s(s2 + 0.1s + 4)
c
(s + 2)“(s + 4)
s=-2+pfl
= 88.0227
Qemplo
de problemas y soluciones
459
De este modo, el compensador G,(s) se convierte en
(s + 2)2(S + 4)
Gc(s) = 88’0227 (s + 9.9158)‘(2~ + 0.1)
La función de transferencia en lazo abierto se obtiene mediante
88.0227(s + 2)‘(s + 4)
= (s + 9.9158)2~(s2 + 0.1s 9 4)
Gc(s)G(s)
La figura 7- 45 contiene una gráfica del lugar geométrico de las raíces para el sistema compensado. En la gráfica se indican los polos en lazo cerrado para el sistema compensado. Los polos en
lazo cerrado, raíces de la ecuación característica,
(s + 9.9158)2s(~2 + 0.1s + 4) + 88.0227(s + 2)‘(s + 4) = 0
son los siguientes:
s = -2.0000 t_ j3.4641
s = -7.5224 ? j6.5326
s = -0.8868
Ahora que se ha diseñado el compensador, examinemos la característica de la respuesta transitoria con MATLAB. La función de transferencia en lazo cerrado se obtiene a partir de
88.0227(s + 2)2(s + 4)
C(s)
-=
R(s)
(s + 9.9158)2s(s2 + 0.1s + 4) + 88.0227(s + 2)2(s + 4)
Las figuras 7- 46(a) y (b) muestran las gráficas de la respuesta escalón unitario y de la respuesta
rampa unitaria del sistema compensado. Estas curvas de respuesta muestran que el sistema diseñado es aceptable.
Gráfica del lugar geométrico de las raíces
del sistema compensado
Figura 7-45
Gráfica del lugar
geométrico de las
raíces del sistema
compensado.
460
-15
--15
I
,
-10
-5
8
0
5
10
15
Eje real
Capítulo 7 / Diseño de sistemas
de
control mediante el método del lugar geométrico de las raíces
Respuesta escalón unitario del sistema
o 0.8 3
v, 0.6 -
0.4 0.2 0
0
t seg
(4
Respuesta rampa unitaria del sistema compensado
Figura 7-46
(a) Respuesta escalón unitario del sistema compensado;
(b) respuesta rampa
unitaria del sistema
compensado (problema A-7-11).
A-7-12.
t seg
(b)
Considere un modelo para un sistema de control de un vehículo espacial, como el que aparece en
la figura 7- 47. Diseñe un compensador de adelanto G,(s) tal que el factor de amortiguamiento
relativo 5 y la frecuencia natural no amortiguada un de los polos dominantes en lazo cerrado sean
0.5 y 2 radlseg, respectivamente.
Solución
Primer intento: Suponga que el compensador de adelanto G,(s) es
Ejemplo de problemas y soluciones
461
de adelanto
espacial
1
O.ls+l
Figura 7-47
Sistema de control de
un vehículo espacial.
4
Sensor
(0 < Q < 1)
A partir de las especificaciones determinadas, 5 = 0.5 y CIJA = 2 radkeg,
lazo cerrado deben ubicarse en
los polos dominantes en
Primero calculamos la deficiencia del ángulo en este polo en lazo cerrado.
Deficiencia del ángulo = - 120“ - 120” - 10.8934” + 180”
= -70.8934”
El compensador de adelanto debe compensar esta deficiencia del ángulo. Existen muchas formas de
determinar las ubicaciones del polo y el cero de la red de adelanto. Seleccionemos el cero del compensador en s = -1. A continuación, remitiéndonos a la figura 7- 48, tenemos la ecuación siguiente:
1.73205
- = tan(90” - 70.8934”) = 0.34641
x - l
o bien
x=1+1.73205=6
0.34641
jw
t
- - - - - j1.73205
Figura 7-48
Determinación del
polo de la red de
adelanto.
462
Capítulo 7
/
Diseño de sistemas de control mediante el método del lugar geométrico de las raíces
Por tanto,
G,(s) = Kcz
El valor de K, se determina a partir de la condición de magnitud
K - s+ll- 1 1
’ s + 6 s2 0.1s + 1 SZ-l+jfi =
del modo siguiente:
K = (s + 6)s2(0.1s + 1)
c
s+l
= 11.2000
s=-1+fl
De este modo,
G,(s) = ll.25
Dado que la función de transferencia en lazo abierto se convierte en
s+l
Gcts)G(sW(s) = ll.2 ts + q$(o.is + 1)
11.2(s + 1)
= Oh4 + 1.6s3 + 63
una gráfica del lugar geométrico de las raíces del sistema compensado se obtiene fácilmente con
MATLAB introduciendo num y den, y usando el comando rlocus. El resultado aparece en la
figura 7- 49.
La funci6n de transferencia en lazo cerrado para el sistema compensado se vuelve
11.2(s + l)(O.ls + 1)
C(s)
-=
R(s)
(s + 6)s2(0.1s + 1) + 11.2(s + 1)
Gráfica del lugar geomkico de las raíces
del sistema compensado
Figura 7-49
Gráfica del lugar
geométrico de las
raíces del sistema
compensado.
Eje real
Ejemplo de problemas y soluciones
463
.
Figura7-50
Respuesta escalón
unitario del sistema
compensado.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
t seg
La figura 7-50 muestra la curva de respuesta escalón unitario. Presenta un sobrepaso máximo
bastante grande (un sobrepaso de 50%). Es conveniente modificar el compensador y reducir el
sobrepaso máximo. Una revisión cuidadosa de la gráfica del lugar geométrico de las raíces revela que la presencia del cero en s = -1 agrega el valor del sobrepaso máximo. Una forma de evitar esto es modificar el compensador de adelanto, tal como se presenta en el intento siguiente.
Segundo intento: Par? modificar la forma de los lugares geomttricos
de las raíces, es posible usar dos redes de adelanto, tales que cada una contribuya con la mitad del ángulo de adelanto
necesario, 70.8934’12 = 35.4467”. Seleccionemos la ubicación de los ceros en s = -3. (Ésta es una
elección arbitraria. Es posible elegir otra ubicación, tal como s = -2.5 o s = - 4.)
Una vez elegidos dos ceros en s = -3, la ubicaciõn necesaria de los polos se determina tal
como se aprecia en la figura 7-51, o bien
1.73205
- = tan(40.89334” - 35.4467’)
Y-l
= tan 5.4466” = 0.09535
b
35.4467’
I
- - j1.73205
-16
I
I
I
-12
-8
-4
-1
0
r
Figura741
Determinación del
polo de la red de
adelanto.
Capitulo 7 / Diseño de sistemas de control mediante el método del lugar geométrico de las raíces
lo cual nos da
,=l.ggc 19.1652
Por tanto, el compensador de adelanto tendrá la siguiente función de transferencia:
GC(s) = & (s +“;.&,)
El valor de K, se determina a partir de la condición de magnitud, del modo siguiente:
o bien
K, = 174.3864
De esta forma, el compensador de adelanto recién diseñado es
2
Así, la función de transferencia en lazo abierto se convierte en
.
La figura 7-52(a) contiene una gráfica del lugar geometrico de las raíces para el sistema compensado. Observe que no hay un cero en lazo cerrado cerca del origen. Una vista ampliada de la
gráfica del lugar geombtrico
de las raíces cerca del origen aparece en la figura 7-52(b).
La función de transferencia en lazo cerrado se convierte en
174.3864(s + 3)‘(0.1s + 1)
C(s)
-=
R(s)
(s + 19.1652)2s2(0.1s + 1) + 174.3864(s + 3)’
Grhfica del lugar geom&ico de las raíces
del sistema compensado
Figura 7-52
(a) Gráfica del lugar geométrico de las raíces del
-15
sistema compensado; (b)
gráfica del lugar geométrico de las raíces cerca
del origen.
---..-.f
-20
-30
__._ -; .__.._ ;.-_.__;
:
-25
-20
-15
_..__ j -
-10
-5
.._.
_.._..p-
0
5
10
Eje real
(4
Qemplo
de problemas y soluciones
465
Gráfica del lugar geométrico de las raíces
del sistema compensado cerca del origen
3
:
Figura 7-52
(Continuación)
-3.
-4
i
-3
l
: Po& e n 140
-2
I
-1
0
I
1
2
Eje real
(b)
Los’polos en lazo cerrado se encuentran del modo siguiente:
s = -1 ij1.73205
s = -9.1847 + j7.4814
s = -27.9606
Las figuras 7-53(a) y (b) muestran la respuesta escalón unitario y la respuesta rampa unitaria del
sistema compensado. La curva de respuesta escalón unitario es razonable y la respuesta rampa
unitaria parece aceptable. Observe que, en la respuesta rampa unitaria, la salida se adelanta a la
entrada de una cantidad pequeña. Esto se debe a que el sistema tiene una función de transferencia realimentada de l/(O.ls + 1). Si se grafica la señal de realimentación contra t, junto con la entrada rampa unitaria, la primera no se adelantará a la entrada rampa en estado estable.
Véase la figura 7-53(c). Respuesta escalón unitario del sistema compensado
1.4
1.2 _. .
1 _. .
_.
Figura 7-53
(a) Respuesta escalón unitario del sistema compensado;
(b) respuesta rampa
unitaria del sistema
compensado; (c) gráfica de la señal de realimentación contra t
en la respuesta
rampa unitaria.
466
-. .
0.4 _._.
0.2 .._
0
Capítulo 7
/
0
Diseño de sistemas de control mediante el método del lugar geométrico de las raíces
Respuesta rampa unitaria
del sistema compensado
5
Señal de realimentación en la respuesta
rampa unitaria
“0
Figure 7-53
1
2
3
4
5
t seg
(Continuacibn)
(cl
PROBLEMAS
B-7-1. Considere el sistema mecánico de la figura 7-54.
Está formado por un resorte y dos amortiguadores Obtenga
la función de transferencia del sistema. El desplazamiento xi
es la entrada y el desplazamiento x0 es la salida. LEste sistema es una red de adelanto mecánico o una red de atraso?
B-7-2. Obtenga la función de transferencia de la red elhrica
de la figura 7-55. Demuestre que se trata de una red de atraso.
Problemas
B-7-3. Considere el sistema de la figura 7-56. Grafique los
lugares geométricos de las raíces para el sistema. Determine
el valor de K tal que el factor de amortiguamiento relativo
5 de los polos dominantes en lazo cerrado sea 0.5. Después,
determine todos los polos en lazo cerrado. Grafique la
curva de respuesta escalón unitario con MATLAB.
B-7-4. Determine los valores de K, Tl y T2 del sistema de la
467
Figura 7-54
Sistema mecánico.
-_-_
i
RI
“”
Figura 7-55
Red eléctrica.
Figura 7-56
Sistema de control.
Tls+ 1
KT2s+ 1 -
10
S(S+ 1)
C
-c
Figura 7-57
Sistema de control.
figura 7-57 tales que los polos dominantes en lazo cerrado
tengan el factor de amortiguamiento relativo 5 = 0.5 y la
frecuencia natural no amortiguada w,, = 3 radheg.
B-7-5. Considere el sistema de la figura 7-58, que incluye
una realimentación de velocidad, determine los valores de
la ganancia de amplificador K y la ganancia de realimentación de velocidad &, tales que se satisfagan las siguientes especificaciones:
468
Capítulo 7
/
1. El factor de amortiguamiento de los polos en lazo cerrado es 0.5
2. El tiempo de asentamiento es I2 segundos.
3. La constante de error estático de velocidad K, 2 50 seg -l.
4 o < Kh < 1
.
B-7-6. Considere el sistema de la figura 7-59. Diseñe un
compensador de adelanto tal que los polos dominantes en
lazo cerrado se ubiquen en s = -2 ? j22/3. Grafique con
Diseño de sistemas de control mediante el método del lugar geométrico de las raíces
.
Figura 7-58
Sistema de control.
Figura
7-59
Sistema de control.
MATLAB la curva de respuesta escalón unitario del sistema diseñado.
360”/seg
4
ev=- = - = 87.8”
4.1 seg-’
K’
B-7-7. Considere el sistema de la figura 7-60. Diseñe un
compensador tal que los polos dominantes en lazo cerrado
se ubiquen ens = -1 2 jl.
Se desea disminuir e, a un décimo del valor presente, o
incrementar el valor de la constante de error estático de velocidad KV a 41 seg -1. También se busca conservar el factor
de amortiguamiento relativo 5 de los polos dominantes en
lazo cerrado en 0.6. Se permite un pequeño cambio en la
frecuencia natural no amortiguada wV de los polos dominantes en lazo cerrado. Diseñe un compensador de atraso
conveniente para incrementar la constante de error estático
de velocidad como se pretende.
B-7-8. Remítase al sistema de la figura 7-61 para diseñar
un compensador tal que la constante de error estático de
velocidad K, sea de 20 seg -1 sin que se modifique en forma
notable la ubicación original (s = -2 + j2@) de un par de
polos complejos conjugados en lazo cerrado.
B-7-9. Considere el sistema de control de posición angular
de la figura 7-62. Los polos dominantes en lazo cerrado se
ubican en s = - 3.60 t j4.80. El factor de amortiguamiento
relativo 5 de los polos dominantes en lazo cerrado es 0.6.
La constante de error estático de velocidad KV es 4.1 seg -1,
lo que significa que, para una entrada rampa de 360”lseg, el
error en estado estable al seguir la entrada rampa es
Figura
B-7-10. Considere el sistema de control de la figura 7-63.
Diseñe un compensador tal que los polos dominantes en
lazo cerrado se ubiquen en s = -2 + 12fl y la constante
de error estático de velocidad K, sea de 50 seg -l.
B-7-11.
Considere el mismo sistema del problema A-7-10.
Se
desea diseñar un controlador PID G,(s) tal que los polos
7-60
Sistema de control.
Figura
7-61
Sistema de control.
Problemas
469
Figura
7-62
Sistema de control
de posición angular.
Figura 7-63
Sistema de control.
dominantes en lazo cerrado se ubiquen en s = -1 + jfl.
Para el controlador PID, seleccione a = 0.5 (en lugar de a = 1
como se analizó en el problema A-7-lo),
y después determine
los valores de K y b. ‘lIace la gráfica del lugar geométrico de
las raíces para el sistema diseñado. Asimismo, obtenga la
curva de respuesta escalón unitario con MATL~.
exhiba un sobrepaso máximo menor que 40% y un tiempo
de asentamiento de 5 seg o menos.
B-7-12. Considere el sistema de control de la figura 7-64.
La planta es críticamente estable en el sentido de que las
oscilaciones proseguirán indefinidamente. Diseñe un compensador conveniente tal que la respuesta escalón unitario
B-7-14 Considere el sistema de control de la figura 7-66.
B-7-13. Considere el sistema de control de la figura 7-65.
Diseñe un compensador tal que la curva de respuesta escalón unitario exhiba un sobrepaso máximo de 30% o
menor y un tiempo de asentamiento de 3 seg o menos.
Diseñe un compensador tal que la curva de respuesta escalón unitario exhiba un sobrepaso máximo de 25% o
menor y un tiempo de asentamiento de 5 seg o menos.
Figura 7-64
Sistema de control.
Figura 7-65
Sistema de control.
Figura 7-66
Sistema de control.
470
Capítulo 7
/
Diseño de sistemas de control mediante el método del lugar geométrico de las raíces
S-l INTRODUCCIÓN
Con el término respuesta en frecuencia, nos referimos a la respuesta de un sistema en estado
estable a una entrada senoidal. En los métodos de la respuesta en frecuencia, la frecuencia
de la señal de entrada se varía en un cierto rango, para estudiar la respuesta resultpnte.
El criterio de estabilidad de Nyquist nos+ermite averiguar la estabilidad relativa y absoluta de los sistemas lineales en lazo cerrado a partir del conocimiento de sus características de frecuencia en lazo abierto. Una ventaja del enfoque de la respuesta en frecuencia es
que las pruebas de la respuesta en frecuencia son, en general, sencillas y pueden ser muy precisas con el uso de generadores de señales senoidales que se obtienen con facilidad y un
equipo de medición preciso. Por lo común las funciones de transferencia de los componentes
complicados se determinan experimentalmente mediante pruebas de la respuesta en frecuencia. Además, este enfoque tiene la ventaja de que permite diseñar un sistema en el que
se desprecian los efectos inconvenientes del ruido así como extender este análisis y diseño
a ciertos sistemas de control no lineales.
Aunque la respuesta en frecuencia de un sistema de control presenta una imagen cualitativa de la respuesta transitoria, la correlación entre las respuestas en frecuencia y transitoria es indirecta, excepto en el caso de los sistemas de segundo orden. Al diseñar un
sistema en lazo cerrado, las características de la respuesta en frecuencia de la función de
transferencia en lazo abierto se ajustan mediante varios criterios de diseño, a fin de obtener
características aceptables de respuesta transitoria para el sistema.
Salida en estado estable para una entrada senoidal. Considere el sistema lineal
e invariante con el tiempo de la figura 8-1. Para este sistema
471
g = G(s)
La entrada x(t) es senoidal y se obtiene mediante
x(t) = Xsen ot
Tal como se presentó en el capítulo 5, si el sistema es estable, la salida y(t) se obtiene a partir de
y(t) = Y sen(ot + f$)
en donde
Y = XIGO’w)(
Y
@ = /G(@) = tan-
1 parte imaginaria de G&u)
parte real de G(io)
1
Un sistema estable, lineal e invariante con el tiempo, sujeto a una entrada senoidal, tendrá, en estado estable, una salida senoidal de la misma frecuencia que la entrada. Pero, en
general, la amplitud y la fase de la salida serán diferentes de las de la entrada. De hecho, la
amplitud de la salida se obtiene del producto de la amplitud de la entrada y IC(& en tanto
que el ángulo de fase difiere del de la entrada en una cantidad @ = /G(iw). Un ejemplo de
las señales senoidales de entrada y salida aparece en la figura 8-2.
Observe que para las entradas senoidales,
IG@o)l = lzi =
/G(io)
Cociente de amplitud entre la senoide de salida
y la senoide de entrada
= 1” = Corrimiento de fase de la senoide de salida con respecto
a la senoide de entrada
Por tanto, la característica de respuesta de un sistema para una entrada senoidal se obtiene
directamente de
YO’W) = GO’w)
Xciw>
+++++
figura
8-1
Sistema lineal e invariante con el tiempo.
, Entrada x(t) = X sen ot
Figura 8-2
Señales senoidales
de entrada y salida.
472
S’hida y(t) = Y sen (cot + 4)
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
La función de transferencia senoidal G(jw), cociente entre Yo’w) y X(io), es una cantidad compleja y se representa mediante la magnitud y el ángulo de fase con la frecuencia
como parámetro. (Un ángulo de fase negativo se denomina atraso de fase y un ángulo de
fase positivo se llama adelanto de fase.) La función de transferencia senoidal de cualquier
sistema lineal se obtiene sustituyendo s por iw en la función de transferencia del sistema.
Presentación de las características de la respuesta en frecuencia en forma gráfica. La función de transferencia senoidal, función compleja de la frecuencia w, se caracteriza por su magnitud y ángulo de fase, con la frecuencia como parámetro. Por lo general
se usan tres representaciones gráficas de las funciones de transferencia senoidales:
1. Las trazas de Bode o trazas logarítmicas
2. La traza de Nyquist o traza polar
3. La traza de magnitud logarítmica contra la fase
En este capítulo analizaremos estas representaciones con detalle, y discutiremos el enfoque
de MATLAB para obtener las trazas de Bode y las de Nyquist.
Panorama del capítulo. La sección 8-1 presentó el material introductorio para la respuesta en frecuencia. La sección 8-2 presenta las trazas de Bode de diferentes sistemas de
funciones de transferencia. La sección 8-3 analiza un enfoque de c&ulo para obtener trazas
de Bode con MATLAB, la sección 8-4 trata las trazas polares de funciones de transferencia
senoidales y la sección 8-5 describe la obtención de las trazas de Nyquist con MATLAB. La
sección 8-6 presenta brevemente las trazas de magnitud logarítmica contra la fase. La sección
8-7 ofrece una explicación detallada del criterio de estabilidad de Nyquist, en la sección 8-8
se estudia el análisis de estabilidad de sistemas en lazo cerrado mediante el mismo criterio de
estabilidad y la sección 8-9 trata el análisis de la estabilidad relativa de los sistemas en lazo
cerrado. También se presentan aquí las medidas de la estabilidad relativa, tales como el margen de fase y el margen de ganancia. Asimismo, se analiza la correlación entre la respuesta
transitoria y la respuesta en frecuencia. La sección 8-10 presenta un método para obtener la
respuesta en frecuencia en lazo cerrado a partir de la respuesta en frecuencia en lazo abierto,
mediante el uso de los círculos M y N. También se describe el uso de la traza de Nichols para
obtener la respuesta en frecuencia en lazo cerrado. Por último, la sección 8-11 aborda la determinación de la función de transferencia con base en una traza de Bode experimental.
8-2 TRAZAS DE BODE
Trazas de Bode o trazas logarítmicas. Una función de transferencia senoidal
puede representarse mediante dos gráficas distintas: una que ofrece la magnitud contra la
frecuencia y otra que muestra el ángulo de fase (en grados) contra la frecuencia. Las
trazas de Bode están formadas por dos gráficas: una es el logaritmo de la magnitud de una
función de transferencia senoidal y la otra es el ángulo de fase. Ambas se grafican contra
la frecuencia en la escala logarítmica.
La representación común de la magnitud logarítmica de G@) es 20 loglG(jw)l, en donde
la base del logaritmo es 10. La unidad que se usa en esta representación de la magnitud es el
decibel, por lo general abreviado dB. En la representación logarítmica, se trazan las curvas
sobre papel semilogarftmico, con la escala logarítmica para la frecuencia y la escala lineal para
Sección 8-2 / Trazas de Bode
473
cualquier magnitud (en decibeles) o el ángulo de fase (en grados). (El rango de frecuencia de
interés determina la cantidad de ciclos logarítmicos que se requieren en la abscisa.)
La ventaja principal de usar la traza de Bode es que la multiplicación de magnitudes se
convierte en adición. Además, cuenta con un método simple para trazar una curva aproximada de magnitud logarítmica. Se basa en aproximaciones asintóticas. Esta aproximación,
mediante asíntotas (líneas rectas), es suficiente si sólo se necesita información general sobre la caracterfstica de la respuesta en frecuencia. Si se desea obtener curvas exactas, es fácil corregir las curvas asintóticas. Las curvas de ángulo de fase se dibujan con facilidad si se
cuenta con una plantilla de la curva de ángulo de fase de 1 + io. Es muy provechoso ampliar el rango de frecuencia baja mediante el uso de una escala logarítmica, dado que las
características de las frecuencias bajas son lo más importante en los sistemas prácticos.
Aunque no es posible graficar las curvas hasta una frecuencia cero, debido a la frecuencia
logarftmica (log 0 = -w), esto no significa un problema serio.
Observe que la determinación experimental de una función de transferencia se hace simplemente si se presentan datos de la respuesta en frecuencia en la forma de una traza de Bode.
Factores básicos de G(JD)H(&D).
Como se plante6 antes, la ventaja principal de
usar una traza logarftmica es la facilidad relativa de graficar las curvas de la respuesta en
frecuencia. Los factores básicos que suelen ocurrir en una función de transferencia arbitraria GGw)H(jw)
son:
1. La ganancia K
2. Los factores de integral y de derivada (io)+l
3. Los factores de primer orden (1 + @í’Jsr
4. Los factores cuadráticos [l + 25(io/o,J + (@/wJ*]Tl
Una vez que nos familiarizamos con las trazas logarítmicas de estos factores básicos, es
posible utilizarlas con el fin de construir una traza logarítmica compuesta para cualquier forma
de G(jo)H(jo), trazando las curvas para cada factor y agregando curvas individuales en forma gráfica, ya que agregar los logaritmos de las ganancias corresponde a multiplicarlos entre sí.
El proceso de obtener la traza logarítmica se simplifica todavía más mediante aproximaciones asintóticas para las curvas de cada factor. (Si es necesario, es fácil hacer correcciones a una traza aproximada, con el fin obtener una precisa.)
La ganancia K. Un numero mayor que la unidad tiene un valor positivo en decibeles,
en tanto que un número menor que la unidad tiene un valor negativo. La curva de magnitud
logarftmica para una ganancia constante K es una recta horizontal cuya magnitud es de 20 log
K decibeles. El ángulo de fase de la ganancia K es cero. El efecto de variar la ganancia K en
la función de transferencia es que sube o baja la curva de magnitud logarftmica de la función
de transferencia en la cantidad constante correspondiente, pero no afecta la curva de fase.
La figura 8-3 contiene una línea de conversión de números a decibeles. El valor en decibeles de cualquier número se obtiene a partir de esta línea. Conforme un número aumenta
en un factor de 10, el valor correspondiente en decibeles aumenta en un factor de 20. Esto
se observa a partir de lo siguiente:
20 log(K X 10) = 20 log K + 20
Asimismo,
20 log (K X lOn) = 20 log K + 2On
474
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
Figura 83
Línea de conversión
de números a decibeles.
0.01 0.02 0.04
0.1
0.2 0.4 0.6
Números
1
2
3456810
Observe que, cuando se expresa en decibeles, el recíproco de un número difiere de su valor
sólo en el signo; es decir, para el numero K,
20 log K = -20 lo&
Factores de integral y de derivada (&)T* (polos y ceros en el origen).
nitud logarítmica de l/jw en decibeles es
La mag-
= -20 log w dB
El ángulo de fase de l/jcu es constante e igual a -90”.
En las trazas de Bode, las razones de frecuencia se expresan en términos de octavas o décadas. Una octava es una banda de frecuencia de WI a 201, en donde& es cualquier frecuencia. Una década es una banda de frecuencia de WI a 1001, en donde, otra vez, WI
es cualquier frecuencia. (En la escala logarftmica del papel semilogarftmico, cualquier
razón de frecuencia determinada se representa mediante la misma distancia horizontal.
Por ejemplo, la distancia horizontal de w = 1 a o = 10 es igual a la de w = 3 a o = 30.)
Si se grafica la magnitud logarítmica de -20 log o dB contra w en una escala logarftmica, se obtiene una recta. Para trazar esta recta, necesitamos ubicar un punto (0 dB, w = 1)
en ella. Dado que
(-20 log 100) dB = (-20 log o -20) dB
la pendiente de la recta es -20 dB/década (o -6 dB/octava).
De la misma manera, la magnitud logarftmica de jw en decibeles es
20 log 1jo/ = 20 log w dB
El ángulo de fase de jw es constante e igual a 90”. La curva de magnitud logarftmica es una
recta con una pendiente de 20 dB/década. Las figuras S+a) y (b) muestran curvas de res-
Sección 8-2 / Trazas de Bode
475
Pendiente = -20 dB/década
Figura 8-4
-;1~
0.1
(a) Trazas de Bode
de GCjw) = lljw;
(b) trazas de Bode
de G(ju) = jw.
1
10
100
4
180”
0”:
w
0.1
1
10
Trazas de Bode
de G(jw) = l/jw
Trazas de Bode
de GCjo) = jo
ta)
CJ)
100
0
puesta en frecuencia para lljo y jo, respectivamente. Es fácil observar que las diferencias
en las respuestas en frecuencia de los factores l/jti y jw estriban en los signos de las pendientes de las curvas de magnitud logarítmica y en los signos de los ángulos de fase. Ambas magnitudes logarítmicas se vuelven iguales a 0 dB en w = 1.
Si la función de transferencia contiene el factor (lljw)” o UU)“, la magnitud logarítmica
se convierte, respectivamente, en
-II X2OlogIjwl = -2OnlogodB
o bien
20 log ((jo)“/ = II X 20 log (jw( = 20n log o dB
Por tanto, las pendientes de las curvas de magnitud logarítmica para los factores (l/j@)” y
Cjo~ son -20n dB/década y 20n dB/década, respectivamente. El ángulo de fase de (lljw)”
es igual a -90” X n durante todo el rango de frecuencia, en tanto que el de 0~)~ es igual a
90” X ~t en todo el rango de frecuencia. Las curvas de magnitud pasarán por el punto (0 dB,
w = 1).
Factores de primer orden (1 +j~T)~l.
primer orden l/(l + jw T) es
La magnitud logarítmica del factor de
-20 log m dB
Para frecuencias bajas, tales que w 4 UT, la magnitud logarítmica se aproxima mediante
-2Ologm
476
+ -2Ologl = OdB
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
Por tanto, la curva de magnitud logarítmica para frecuencias bajas es la línea 0 dB constante. Para frecuencias altas, tales que w % UT,
-20 log m + -20 log oT dB
Ésta es una expresión aproximada para el rango de altas frecuencias. En o = UT, la magnitud logarítmica es igual a 0 dB; en w = lO/T, la magnitud logarítmica es de -20 dB. Por
tanto, el valor de -20 log WT dB disminuye en 20 dB para todas las décadas de o. De esta
forma, Para w S- UT, la curva de magnitud logarítmica es una línea recta con una pendiente de -20 dB/década (o -6 dB/octava).
Nuestro análisis muestra que la representación logarítmica de la curva de respuesta en
frecuencia del factor l/(l + ~wT)’ se aproxima mediante dos asíntotas (líneas rectas),
una de las cuales es una recta de 0 dB para el rango de frecuencia 0 < o < UT y la otra es una
recta con una pendiente de -20 dB/década (o -6 dB/octava) para el rango de frecuencia
l/T < w < m. La curva de magnitud logarítmica exacta, las asíntotas y la curva de ángulo
de fase exacta aparecen en la figura 8-5.
La frecuencia en la cual las dos asíntotas se encuentran se denomina frecuencia de esquina o frecuencia de corte. Para el factor l/(l + joT), la frecuencia o = l/T es la frecuencia de esquina, dado que en w = UT, ambas asíntotas tienen el mismo valor. (La expresión
asintótica de baja frecuencia en o = UT es 20 log 1 dB = 0 dB y la expresión asintótica de
alta frecuencia en w = l/T también es 20 log 1 dB = 0 dB.) La frecuencia de esquina divide
la curva de respuesta en frecuencia en dos regiones, una curva para la región de baja frecuencia y una curva para la región de alta frecuencia. La frecuencia de esquina es muy importante cuando se trazan curvas logarítmicas de frecuencia en respuesta.
El ángulo de fase # exacto del factor l/(l + jwT) es
I$ = -tan-’ oT
En una frecuencia cero, el ángulo de fase es 0”. En la frecuencia de esquina, el ángulo de
fase es
c$ = -tacl -7 = -tan-l 1 = -450
Figura 8-5
Curva de magnitud
logarítmica, junto
con las asíntotas y la
curva de ángulo de
fase de l/(l + ~wT).
Sección 8-2 / Trazas de Bode
477
En el infinito, el ángulo de fase se convierte en -90”. Dado que el ángulo de fase se obtiene
mediante una función de tangente inversa, el ángulo de fase tiene una pendiente simétrica
con respecto al punto de inflexión en @ = -45”.
Se puede calcular el error en la curva de magnitud provocado por el uso de las asíntotas. El error máximo ocurre en la frecuencia de esquina y es aproximadamente igual a
-3 dB dado que
-20 log m + 20 log 1 = -10 log 2 = -3.03 dB
El error en la frecuencia una octava abajo de la frecuencia de esquina, es decir, en w =
1/(2T), es
-20 log
El error en la frecuencia una octava arriba de la esquina de frecuencia, es decir, en w = 2/T, es
ti
-20 log I@%-i + 20 log 2 = -20 log 2 = -0.97 dB
Por tanto, el error en una octava abajo o arriba de la frecuencia de esquina es aproximadamente igual a -1 dB. Asimismo, el error en una década abajo o arriba de la frecuencia de esquina es aproximadamente -0.04 dB. El error en decibeles implícito al usar la
expresión asintótica para la curva de respuesta en frecuencia de l/(l + jwT) aparece en
la figura S-6. El error es simétrico con respecto a la frecuencia de esquina.
Dado que las asíntotas se trazan con facilidad y están suficientemente cerca de la curva
exacta, su uso es conveniente para dibujar las trazas de Bode con el fin de establecer con
rapidez y con un mínimo de cálculos la naturaleza general de las características de la respuesta en frecuencia, y significa una ayuda en gran parte del trabajo de diseño preliminar.
Si se desea obtener curvas de respuesta en frecuencia precisas, es fácil hacer correcciones
remitiéndonos a la curva obtenida en la figura 8-6. En la práctica, para dibujar una curva
de respuesta en frecuencia precisa se introduce una corrección de 3 dB en la frecuencia de
esquina y una corrección de 1 dB en los puntos una octava abajo y arriba de la frecuencia
de esquina, y después se conectan estos puntos mediante una curva regular.
Observe que variar la constante de tiempo T mueve la frecuencia de esquina a la
izquierda o a la derecha, aunque las formas de las curvas de magnitud logarftmica y de ángulo de fase no cambian.
Frecuencia de esquina
I
Figura 8-6
Error de magnitud logarítmica en la expresión
asintótica de la curva de
respuesta en frecuencia
de l/(l + jwT).
47%
1
10T
1
5T
1
2T
1
T
w
Capítulo 8 / Anhlisis de la respuesta en frecuencia
2 3
TT
5
T
10
T
La función de transferencia l/(l + joT) tiene la caracterfstica de un filtro paso-bajas.
Para frecuencias arriba de w = UT, la magnitud logarftmica disminuye ráp@lamente hacia
-03. Esto se debe, en esencia, a la presencia de la constante de tiempo. En el filtro pasobajas, la salida sigue fielmente una entrada senoidal a frecuencias bajas. Pero, conforme aumenta la frecuencia de entrada, la salida no puede seguir la entrada debido a que se requiere de cierta cantidad de tiempo para que el sistema aumente en magnitud. Por tanto,
para frecuencias altas, la amplitud de la salida tiende a cero y el ángulo de fase de la salida
tiende a -90”. En este caso, si la función de entrada contiene muchos armónicos, los componentes de baja frecuencia se reproducen fielmente en la salida, en tanto que los componentes de alta frecuencia se atenúan en amplitud y cambian en fase. Por tanto, un elemento
de primer orden produce una duplicación exacta, o casi exacta, solo para fenómenos constantes 0 que varían lentamente.
Una ventaja de las trazas de Bode es que, para factores recíprocos, por ejemplo, el factor 1 + jwT, las curvas de magnitud logarftmica y de ángulo de fase sólo necesitàn cambiar
de signo. Dado que
2Ologll +joTI = -2010g
1 + JIBE = tan-’ oT = - -
/
la frecuencia de esquina es igual para ambos casos. La pendiente de la asíntota de alta frecuencia de 1 + jo T es 20 dB/dCcada, y el ángulo de fase varía de 0’ a 90” conforme la frecuencia w se incrementa de cero a infinito. La curva de magnitud logarftmica, junto con las
asíntotas y la curva del ángulo de fase para el factor 1 + jw T, aparece en la figura 8-7.
La forma de las curvas del ángulo de fase es la misma para cualquier factor de la forma
(1 + joT)sr. Por tanto, es conveniente tener una plantilla para la curva de ángulo de fase.
Esta plantilla puede usarse repetidas veces para construir curvas de ángulo de fase para
Sección 8-2 / Trazas de Bode
479
cualquier función de la forma (1 + jw7’)~r. Si no se cuenta con dicha plantilla, será necesario localizar varios puntos sobre la curva. Los ángulos de fase de (1 + jw Z’)‘r son
o=-1
745”
en
T26.6”
en
T5.7”
en
763.4”
en
uc-2
784.3”
en
10
UC--
T
1
@=2T
1
cza = FT
T
T
Para el caso en el que una función de transferencia determinada contiene términos
como (1 + jwZ’)?n, se hace una construcción asintótica similar. La frecuencia de esquina
está todavía en o = l/Ty las asíntotas son rectas. La asíntota de frecuencia baja es una recta
horizontal en 0 dB, en tanto que la asíntota de frecuencia alta tiene la pendiente de -20n
dB/década o 20~2 dB/década. El error implícito en las ecuaciones asintóticas es n veces el
que existe para (1 + joí’)‘r. El ángulo de fase es n veces el de (1 + jwí‘JT1 en cada punto
de frecuencia.
Factores cuadráticos [l + 2~dio/on) + (&~/e#]~r.
len tener factores cuadráticos de la forma
Los sistemas de control sue-
(8-1)
l+%(j-f$+(jf-~
Si 5 > 1, este factor cuadrático se expresa como un producto de dos factores de primer orden con polos reales. Si 0 < 5 < 1, este factor cuadrático es el producto de dos factores complejos conjugados. Las aproximaciones asintóticas para las curvas de respuesta en
frecuencia no son precisas para un factor con valores bajos de 5. Esto se debe a que la magnitud y la fase del factor cuadrático dependen de la frecuencia de esquina y del factor de
amortiguamiento relativo 5.
La curva asintótica de respuesta en frecuencia se obtiene del modo siguiente: dado que
20 log
1+2¿J(ji)+(jzr
=-2010gJ~
para frecuencias bajas tales que w G w,,, la magnitud logarítmica se convierte en
-2Ologl = OdB
Por tanto, la asintota de frecuencia baja es una recta horizontal en 0 dB. Para frecuencias
altas tales que w % CD,,, la magnitud logarítmica se vuelve
-20 log $ = -40 log ; dB
n
480
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
n
La ecuación para la asíntota de alta frecuencia es una recta con pendiente de -40 dB/década, dado que
-40 log F = -40 - 40 log f
n
n
La asíntota de alta frecuencia interseca la de baja frecuencia en o = w,, dado que en esta
frecuencia
-4Olog2
= -4Ologl = OdB
n
Esta frecuencia, w,,, es la frecuencia de esquina para el factor cuadrático considerado.
Las dos asíntotas recién obtenidas son independientes del valor de 5. Cerca de la frecuencia o = w”, ocurre un pico de resonancia, tal como se espera de (8-1). El factor de
amortiguamiento relativo 5 determina la magnitud de este pico de resonancia. Es obvio que
la aproximación mediante las asíntotas genera errores. La magnitud del error depende del
valor de 5. Para valores pequeños de éste, es grande . La figura 8-8 muestra las curvas exactas de magnitud logarítmica junto con las asíntotas y las curvas exactas de ángulo de fase
para el factor cuadrático obtenido mediante (8-1) con varios valores de 5. Si se desea hacer
correcciones en las curvas asintóticas, las cantidades necesarias de corrección en un número
suficiente de puntos de frecuencia se obtienen de la figura 8-8.
El ángulo de fase del factor cuadrático [l + ~¿J’@w,,) + (i~Ic.Q]-r es
El ángulo de fase es una función de w y de 5. En w = 0, el ángulo de fase es igual a 0”. En
la frecuencia de esquina w = wn, el ángulo de fase es -9O”, sin considerar 5, dado que
-tan-1 3o -- -tan-l 03 = -90”
0
En o = 03, el ángulo de fase se convierte en -180”. La curva del ángulo de fase tiene una
pendiente simétrica respecto del punto de inflexión, punto en el que # = -90”. No existen
maneras simples de trazar tales curvas de fase. Es necesario remitirnos a las curvas de ángulo de fase de la figura 8-8.
Las curvas de respuesta en frecuencia para el factor
4
=
l+Z+f-)+(f-)
pueden obtenerse si simplemente se invierte el signo de la magnitud logarítmica y el del ángulo de fase del factor
1
Sección 8-2 / Trazas de Bode
481
Figura 8-8
Curvas de magnitud
logarítmica,
asíntotas
y curvas de ángulo
de fase de la función
de transferencia
cuadrática obtenida
mediante (8-1).
0.1
0.2
0 . 4 0.6 0 . 8 1
w
G
2
4
6
8 10
Para obtener las curvas de respuesta en frecuencia de una función de transferencia
cuadrática determinada, primero debemos determinar los valores de la frecuencia de esquina O,, y del factor de amortiguamiento relativo 5. A continuación, usando la familia de
curvas obtenidas en la figura 8-8, se grafican las curvas de respuesta en frecuencia.
Frecuencia de resonancia wry el valor del pico de resonancia M,
G(j¿o) =
1+2+$+(jf-)
482
Capítulo 8 / Anblisis de la respuesta en frecuencia
La magnitud de
es
‘Gciw)’ = &Y-$q
(f-w
Si IC( tiene un valor pico en alguna frecuencia, ésta se denomina frecuencia de resonancia. Dado que el numerador de I(Gjw)l es constante, ocurrirá un valor pico de )G(jw)l
cuando
(8-4)
sea mínima. Dado que la ecuación (8-4) se escribe como
1
w2 - wi(l - 2C2) 2
+ 452(1 - C2)
4
el valor mfnirno de g(w) ocurre en w = m. Por tanto, la frecuencia de resonancia wI es
g(w) =
[
w, = w,ví?@p,
para 0 5 5 5 0.707
(8-6)
Conforme el factor de amortiguamiento relativo 5 tiende a cero, la frecuencia de resonancia tiende a wn. Para 0 < 5 5 0.707, la frecuencia de resonancia wI es menor que la frecuencia natural amortiguada Wd = w,fl, lo cual se exhibe en la respuesta transitoria.
A partir de la ecuación (8-6), se aprecia que, para 5; > 0.707, no hay un pico de resonancia.
La magnitud IC( d’rsminuye en forma monotónica con el aumento de la frecuencia w.
(La magnitud es menor que 0 dB para todos los valores de w > 0. Recuerde que, para
0.7 < 5 < 1, la respuesta escalón es oscilatoria, pero las oscilaciones estan bien amortiguadas y son apenas perceptibles.)
la magnitud del pico de resonancia M, se encuentra sustituyendo la ecuación (8-6) en
la ecuación (8-3). Para 0 5 5 5 0.707,
M, = IG(jw)lmax = IGo’wr)l =
’
25m
(8-7)
Para 5 > 0.707,
M, = 1
U3-49
Conforme 5 tiende a cero, M, tiende a infinito. Esto significa que, si el sistema no amortiguado se excita en su frecuencia natural, la magnitud de G(jw) se vuelve infinita. La
relación entre M, y 5 aparece en la figura 8-9.
El ángulo de fase de GQ0 ) en la frecuencia en la que ocurre el pico de resonancia se
obtiene sustituyendo la ecuación (8-6) en la ecuación (8-2). Por tanto, en la frecuencia de
resonancia w,,
/G(‘jwr)
= -tan-r T= -90” + sen-r V&
Procedimiento general para graficar trazas de Bode. Primero reescriba la función de transferencia senoidal G(jw)Hb0 ) como un producto de los factores básicos analizados antes. Después identifique las frecuencias de esquina asociadas con estos factores
Sección 8-2 / Trazas de Bode
483
12
4
2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Figura 8-9
Curva M, contra ¿J para el
sistema de segundo orden
l/[l + 2&0/w,) + @IWn)2].
1.0
d
básicos. Por último, dibuje las curvas asintóticas de magnitud logarítmica con pendientes
adecuadas entre las frecuencias de esquina. La curva exacta, que se encuentra cerca de la
curva asintótica, se obtiene agregando las correcciones adecuadas.
La curva del ángulo de fase de G(jcu)H(j~) se traza agregando las curvas de ángulo de
fase de los factores individuales.
El uso de las trazas de Bode con aproximaciones asintóticas toma mucho menos
tiempo que otros métodos utilizados para calcular la respuesta en frecuencia de una función de transferencia. La facilidad de graficar las curvas de respuesta en frecuencia para
una función de transferencia determinada y la facilidad para modificar la curva de respuesta conforme se agrega una compensación, son las principales razones por las cuales
las trazas de Bode se usan tanto en la práctica.
EJEMPLO 8-1
Dibuje las trazas de Bode para la siguiente función de transferencia:
lO(jw + 3)
G(jw) = (jw)(jw + 2)[(jw)* + jo + 21
Haga las correcciones necesarias para que la curva de magnitud logarítmica sea precisa.
Para evitar errores posibles al trazar la curva de magnitud logarítmica, es conveniente-escribir
G(iw) en la siguiente forma normalizada, en la que las asíntotas de baja frecuencia para los factores de primer orden y el factor de segundo orden son la línea 0 dB.
G(jw) =
Esta función se compone de los factores siguientes:7.5,
(iw)-l,
l+jY,
(l+jT)-',
[l+jt+@$]-'
Las frecuencias de esquina del tercer, cuarto y quinto términos son w = 3, w = 2 y o = fl,
respectivamente. Observe que el último término tiene el factor de amortiguamiento relativo
de 0.3536.
484
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
Para graficar
las trazas de Bode, la figura 8-10 muestra las curvas asintóticas separadas para
cada uno de los factores. A continuación se obtiene la curva compuesta agregando algebraicamente las curvas individuales, como también se observa en la figura 8-10. Considere que, cuando
se agregan las curvas asintóticas individuales a cada frecuencia, la pendiente de la curva compuesta es acumulativa. Debajo de o = fl, la gráfica tiene la pendiente de -20 dB/década.
En la
primera frecuencia de esquina w = fl, la pendiente cambia a -60 dB/década y continúa a la siguiente esquina de frecuencia w = 2, en donde la pendiente se convierte en -80 dB/década.
En la última frecuencia de esquina w = 3, la pendiente cambia a -60 dB/década.
Una vez dibujada una curva aproximada de magnitud logarítmica, la curva real se obtiene agregando correcciones a todas las frecuencias de esquina y a las frecuencias una octava abajo y arriba de
las frecuencias de esquina. Para los factores de primer orden (1 + joT)ll,las correcciones son +3 dB
en la frecuencia de esquina y 2 1 dB en las frecuencias una octava abajo y arriba de la frecuencia de
esquina. Las correcciones necesarias para el factor cuadrático se obtienen a partir de la figura 8-8. La
curva exacta de magnitud logarítmica para G(jw) aparece con una curva de guiones en la figura 8-10.
Observe que cualquier cambio en la pendiente de la curva de magnitud sólo se hace en las
frecuencias de esquina de la función de transferencia G(jw). Por tanto, en lugar de dibujar y agregar curvas de magnitud individuales, tal como aparece, es posible trazar la curva de magnitud sin
trazar las curvas individuales. Empezamos por dibujar la parte de la recta de frecuencia más baja
-40 I
0.2
IIIIIII1
0.4 0.6 0.8 1
0
I
2
I111111
4
6 810
-180"
Figura 8-10
-270'
0.2
0.4 0.6 0.8 1
w
Sección 8-2 / Trazas de Bode
2
4
6
810
Trazas de Bode del sistema considerado en el ejemplo 8-1.
485
(es decir, la recta con la pendiente de -20 dB/década
para u < ti). Conforme la frecuencia aumenta, obtenemos el efecto de los polos complejos conjugados (el término cuadrático) en la frecuencia de esquina w = fl. Los polos complejos conjugados provocan que las pendientes de la
curva de magnitud cambien de -20 a -60 dB/década.
En la siguiente esquina de frecuencia, o = 2,
el efecto del polo es cambiar la pendiente a -80 dB/década. Por ultimo, en la frecuencia de esquina o = 3, el efecto del cero es cambiar la pendiente de -80 a -60 dBldécada.
Para graficar la curva de ángulo de fase completa, deben trazarse las curvas de ángulo de fase
de todos los factores. La suma algebraica de todas las curvas de ángulo de fase proporciona la
curva completa de ángulo de fase, como se aprecia en la figura &lO.
Sistemas de fase mínima y de fase no mínima. Las funciones de transferencia que
no tienen polos ni ceros en el semiplano derecho del plano s son funciones de transferencia
de fase mínima, en tanto que las que tienen polos y/o ceros en el semiplano derecho del plano
s son funciones de transferencia de fase no mínima. Los sistemas con funciones de transferencia de fase mínima se denominan sistemas de fkse minima, en tanto que aquellos con funciones de transferencia con fase no mínima se denominan sistemas de fase no mínima.
Para los sistemas con la misma característica de magnitud, el rango del ángulo de fase de la función de transferencia de fase mínima es mínimo entre todos los sistemas de ese
tipo, en tanto que el rango del ángulo de fase de cualquier función de transferencia de fase no mínima es mayor que este mfnimo.
Se observa que, para un sistema de fase mínima, la función de transferencia se determina en forma única sólo a partir de la curva de magnitud. Para un sistema de fase no mfnima, esto no sucede. Multiplicar cualquier función de transferencia por todos los filtros
paso-todo no altera la curva de magnitud, sino que modifica la curva de fase.
Considere como ejemplo los dos sistemas cuyas funciones de transferencia senoidales son
l+jwT
G,(h) = 1 + joT, ’
G,(jw) =
l-jwT
1 + joT,
Q<T<T,
Las configuraciones de polos y ceros de estos sistemas aparecen en la figura 8-11. Las dos
funciones de transferencia senoidales tienen la misma característica de magnitud, pero
tienen diferente característica de ángulo de fase, como se aprecia en la figura 8-12. Estos
dos sistemas difieren uno del otro en el factor
l-jwT
l+jwT
G(jw) = ~
Figura 8-11
Configuraciones de
polos y ceros de un sistema de fase mínima
G*(s) y un sistema de
fase no mínima G&).
486
Gl(s) = fi
1
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
Figura 842
Característica de ángulo de fase de los
sistemas Cr(s) y
Gz(s) de la figura
s-ll.
-180"
La magnitud del factor (1 - jwT)/(l + joT) siempre es unitaria. Pero el ángulo de fase
es igual a -2 tan-r oT y varfa de 0” a -180” conforme o aumenta de cero a infinito.
Como se planteó antes, para un sistema de fase mínima, las características de magnitud
y de ángulo de fase se relacionan en forma única. Esto significa que, si se especifica la curva de magnitud de un sistema en el rango de frecuencia completo de cero a infinito, la curva
de ángulo de fase se determina en forma única y viceversa. Sin embargo, esto no es válido
para un sistema de fase no mínima.
Las situaciones de fase no mínima surgen en dos formas distintas. Una es simplemente
cuando un sistema incluye uno o más elementos de fase no mínima. La otra ocurre cuando
un lazo menor es inestable.
Para un sistema de fase mínima, el ángulo de fase en o = CC se convierte en -9O”(q -p),
donde p y 4 son los grados de los polinomios del numerador y el denominador de la función
de transferencia, respectivamente. Para un sistema de fase no mínima, el ángulo de fase en
o = CO difiere de -9O”(q -p). En cualquier sistema, la pendiente de la curva de magnitud logarftmica en w = CO es igual a -2O(q -p) dB/década. Por tanto, es posible detectar si el sistema
es de fase mínima, si se examinan tanto la pendiente de la asíntota de alta frecuencia de la
curva de magnitud logarítmica, como el ángulo de fase en o = 03. Si la pendiente de la curva
de magnitud logarftmica, conforme o tiende a infinito, es -2O(q - p) dB/década y el ángulo
de fase en w = CO es igual a -90“ (q -JI), el sistema es de fase mínima.
Los sistemas de fase no mínima son lentos en su respuesta, debido a su comportamiento defectuoso al inicio de la respuesta. En la mayor parte de los sistemas de control,
debe tenerse cuidado en evitar un atraso de fase excesivo. Al diseñar un sistema, si una velocidad de respuesta rápida es de vital importancia, no deben usarse componentes de fase
no mínima. (Un ejemplo común de elementos de fase no mínima que pueden estar presentes en un sistema de control es el retardo de transporte.)
Es importante observar que las técnicas de análisis y diseño mediante la respuesta en
frecuencia que se presentarán en este capítulo y el siguiente son válidas para los sistemas de
fase mínima y los de fase no mínima.
Retardo de transporte. El retardo de transporte tiene un comportamiento de fase no
mínima y tiene un atraso de fase excesivo sin atenuación en frecuencias altas. Estos retardos
de transporte ocurren, por lo común en los sistemas térmicos, hidráulicos y neumáticos.
Considere el retardo de transporte obtenido mediante
G(jm) = e-h’T
Sección 8-2 / Trazas de Bode
487
La magnitud siempre es igual a la unidad, dado que
IG(jo)( = Icos wT - j sen o.14 = 1
Por tanto, la magnitud logarítmica del retardo de transporte e-jmT es igual a 0 dB. El ángulo de fase del retardo de transporte es
G(jo) = -oT
(radianes)
/
= -57.3 oT
(grados)
El ángulo de fase varía en forma lineal con la frecuencia w. La característica del ángulo
de fase del retardo de transporte aparece en la figura 8-13.
EJEMPLO 8-2
Dibuje las trazas de Bode de la siguiente función de transferencia:
o-jmL
GO’w) = L
l+jwT
La magnitud logarítmica es
20loglG(jo)l = 2010gle-jwLI
1
+ 2010g l+jw7
El ángulo de fase de G(jw) es
/G(jo) = /e-jmL + /kT
= -oL - tan-’ wT
FiguratJ-13
Característica del
ángulo de fase del
retardo de transporte.
488
0.1
0.2
0.4 0.6 0.8 1
WT
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
2
4
6 810
10
dB
0
-10
-20
-180“
Figura&14
Trazas de Bode
para el sistema
e-jW( 1 + jw T) con
L = 0.5 y T = 1.
-270"
-I
0.2
0.1
0.4
0.6 0.8 1
w
2
4
6
810
Las curvas de magnitud logarítmica y de ángulo de fase para esta función de transferencia con
L = 0.5 y T = 1 aparecen en la figura 8-14.
Considere
el sistema de control con realimentación unitaria. Las constantes estáticas de error de posición, velocidad y aceleración describen el comportamiento de baja frecuencia de los sistemas de tipo 0, tipo 1 y tipo 2, respectivamente. Para un sistema definido, sólo es finita y
significativa una de las constantes de error estático. (Entre mayor es el valor de la constante
finita de error estático, más alta es la ganancia de lazo conforme o tiende a cero.)
El tipo de sistema determina la pendiente de la curva de magnitud logarítmica en frecuencias bajas. Por tanto, la información relacionada con la existencia y la magnitud del
error en estado estable de un sistema ante una entrada definida se determina a partir de la
observación de baja frecuencia de la curva de magnitud logarítmica.
Relación entre el tipo de sistema y la curva de magnitud logarítmica.
Determinación de las constantes de error estático de posición. Considere el sistema de control con realimentación unitaria de la figura 8-15. Suponga que la función de
transferencia en lazo abierto se obtiene mediante
G(s) =
K(T,s + l)(T,s + 1) * * * (T,s + 1)
P(TIS + l)(T,s + 1). * * (Tps + 1)
Figura&15
Sistema
Seccibn 8-2 / Trazas de
Bode
de
control
con
realimentación
unitaria.
489
20 log Kp
I
-20 dB/década
Figura 8-16
Curva de magnitud logarítmica
de un sistema de tipo 0.
o bien
G(ju) =
K(T,juJ + l)( T,jo + 1) ***(T,jw + 1)
(jc~)~(Tjo + l)(Tjw + 1). **(T,jw + 1)
La figura 8-16 contiene un ejemplo de la gráfica de la magnitud logarítmica de un sistema
de tipo 0. En este sistema, la magnitud de G&IJ) es igual a Kp en frecuencias bajas, o
De esto se deduce que la asíntota de baja frecuencia es una línea horizontal en 20 log Kp
dB.
Determinación de las constantes de error estático de velocidad. Considere el
sistema de control con realimentación unitaria de la figura &15. La figura &17 contiene
un ejemplo de la gráfica de la magnitud logarítmica de un sistema de tipo 1. La intersección
del segmento inicial -20 dB/década (o su extensión) con la línea w = 1 tiene la magnitud
de 20 log K,. Esto se observa del modo siguiente: en un sistema de tipo 1
G@) = E,
para 0 -% 1
dB
t
-20 dFVd6cada
;2
Y
01
w en la escala
logaxhica
-40 dWd6cada
W=l
J
\-
Figura
8-17
Curva de magnitud logarítmica
de un sistema de tipo 1.
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
Por tanto.
2Olog 3
= 20 log K”
/ iw l d
La intersección del segmento inicial -20 dB/década (o su extensión) con la línea 0 dB tiene
una frecuencia cuyo valor numkrico es igual a KV. Para ver esto, defina la frecuencia en esta
intersección como 01; así,
K” = 1
Gl
I
I
o bien
KV = íq
Como ejemplo, considere el sistema de tipo 1 con realimentación unitaria cuya función
de transferencia en lazo abierto es
G(s) =
K
s(Js + F)
Si definimos la frecuencia de esquina como w2 y la frecuencia de la intersección del segmento 40 dB/década (o su extensión) con la línea 0 dB como 013, entonces
F
J
coz=-,
K
J
(3 = -
3
Dado que
K
w1 = KV = F
se deduce que
o bien
El.=os
w3
02
En la traza de Bode,
log WI - log 03 = log W3 - log 04
Por tanto, el punto w3 está justo en la mitad entre los puntos w2 y WI. Entonces, el factor de
amortiguamiento relativo I; del sistema es
#+-Fe02
22/KJ
20,
Determinación de las constantes de error estático de aceleración. Considere el
sistema de control con realimentación unitaria de la figura 8-15. La figura 8-18 contiene
un ejemplo de la gráfica de la magnitud logarítmica de un sistema de tipo 2. La intersección
Sección
8-2 / Trazas de Bode
491
dB
t
-40 dEVdécada
Figura 8-18
Curva de magnitud logarítmica
de un sistema de tipo 2.
del segmento inicial -40 dB/década (o su extensión) con la línea w = 1 tiene una magnitud
de 20 log K,. Dado que, a bajas frecuencias,
GCio) = 6,
para 0 ã 1
se deduce que
La frecuencia wB de la intersección del segmento inicial 40 dB/década (o su extensión) con la
línea 0 dB produce numéricamente la raíz cuadrada de Ka. Esto se observa a partir de lo
siguiente:
K
=2Ologl=O
2. l”g (1
@J’
lo cual produce
l l
8-3 GRAFICACIÓN DE TRAZAS DE BODE CON MATLAB
El comando bode calcula las magnitudes y los ángulos de fase de la respuesta en frecuencia de un sistema en tiempo continuo, lineal e invariante con el tiempo.
Cuando se introduce el comando bode a la computadora (sin argumentos en el lado
izquierdo), MATLAB produce las trazas de Bode en la pantalla.
Cuando se invoca con argumentos en el lado izquierdo,
[mag,phase,wl
= bode(num,den,w)
bode retorna la respuesta en frecuencia del sistema en las matrices mag, phase, y w. No
aparece una gráfica en la pantalla. Las matrices mag y phase contienen las magnitudes y los
492
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
ángulos de fase de respuesta en frecuencia del sistema evaluado en los puntos de frecuencia especificados por el usuario. El ángulo de fase se retorna en grados. La magnitud se convierte en decibeles con el enunciado
magdB
= 2O*logl O(mag)
Para especificar el rango de frecuencia, use el comando logspace(dl,d2),
o
,d2,n). El primero genera un vector de 50 puntos logarítmicamente espaciados
en forma equitativa entre las décadas 1 Odl y 1 Od2. Es decir, para generar 50 puntos entre 0.1
radkeg y 100 rad/seg, introduzca el comando
logspace(d1
w = logspace(-1,2)
El comando logspace(d1 ,d2,n), en cambio, genera logarítmicamente II puntos espaciados en forma equitativa entre las décadas 1 Odl y 1 Od2. Por ejemplo, para generar 100 puntos entre 1 radheg y 1000 rad/seg, introduzca el comando siguiente:
w = logspace(0,3,1
OO)
Para incorporar estos puntos de frecuencia cuando se grafican las trazas de Bode, use
el comando bode(num,den,w) o bode(A,B,C,D,iu,w). Estos comandos usan el vector de frecuencia w especificado por el usuario.
EJEMPLO 8-3
Considere
la
siguiente
función
de
transferencia:
G(s) =
25
s= + 4s + 25
Grafique las trazas de Bode para esta función de transferencia.
Cuando el sistema se define en la forma
num(s)
G(s) = den
use el comando bode(num,den) para dibujar las trazas de Bode. [Cuando el numerador y el denominador contienen los coeficientes del polinomio en potencias descendentes de s, bode(num,den)
dibuja las trazas de Bode.] El programa MATLAB 8-1 muestra un programa que grafica las trazas
de Bode para este sistema. Las trazas de Bode resultantes aparecen en la figura 8-19.
Sección 8-3 / Graficación
de trazas de Bode con MATLAB
493
Trazas de Bode de
-100’
lOO
I
1
102
10’
Figura 8-19
Trazas de Bode fiF
de G(s) =
“
s2 + 4s + 25 .
Frecuencia (radheg)
EJEMPLO 8 - 4
Considere el sistema de la figura 8-20. La función de transferencia en lazo abierto es
G(s) =
9(s’ + 0.28 + 1)
s(s2 + 1.2s + 9)
Grafique las trazas de Bode.
El programa MATLAB 8-2 grafica las trazas de Bode para el sistema. Las gráficas resultantes aparecen en la figura 8-21. En este caso, se determina automáticamente que el rango de
frecuencia es de 0.1 a 10 radlseg.
Si se pretende graficar las trazas de Bode de 0.1 a 1000 radlseg, introduzca el comando siguiente:
w = logspacet-2,3,1
494
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
OO)
Figura8-20
Sistema de control.
20
3
.I
$j
Trazas de Bode de G(s) = 9(sA2+0.2s+l)l[s(sA2+1.2s+9)]
0
3
100
Frecuencia (radkeg)
Figura8-21
Trazas de Bode
de G(s)
= 9(sz+ 0.23 + 1)
s(2 + 1.2s + 9) *
Frecuencia (radheg)
Este comando genera logarítmicamente 100 puntos espaciados en forma equitativa entre 0.01 y
100 radheg.
(Observe que el vector w especifica en radianes por segundo las frecuencias en las
que se calculará la respuesta en frecuencia.)
Si usamos el comando
bode(num,den,w)
entonces, el rango de frecuencia será el que especifique el usuario, pero el rango de magnitud y
el rango del ángulo de fase se determinarán automáticamente. Véase el programa MATLAB 8-3
y la gráfica resultante en la figura 8-22.
Para especificar el rango de magñitud y el rango del ángulo de fase, use el comando siguiente:
[mag,phase,wl
= bode(num,den,w)
Las matrices mag y phase contienen las magnitudes y los ángulos de fase de respuesta en frecuencia, evaluados en los púntos de frecuencia especificados por el usuario. El ángulo de fase se
retorna en grados. La magnitud se convierte en decibeles con el enunciado
Secci6n
8-3 / Graficación
de trazas de Bode con MATLAB
495
magdb = 2O*logl O(mag)
Si se quiere especificar que el rango de magnitud se encuentre, por ejemplo, al menos entre
45 dB y +45 dB, deben introducirse líneas invisibles en 4 dB y +45 dB en la gráfica, especificando la magnitud máxima, dBmax,
y magnitud mínima, dBmin, del modo siguiente:
dBmax = 45*ones(l,l OO);
dBmin = -45*ones(l ,l OO);
A
continuación,
introduzca
el
siguiente
comando
de
gráfica
semilogarítmica:
semilogx(w,magdB,‘o’,w,magdB,‘-‘,w,dBmax,’--i’,w,dBmin,‘:i’)
Trazas de Bode de G(s) = 9(s”2+0.2s+l)l[s(s”2+1.~+9)]
50
%
2
8
%
d
0
-50’ ’ ’ “““’ ’ ’ “ “ “ ’ ’ ’ “ “ “ ’ I Illlll1l
10-2
10-1
100
10’
lo2
Frecuencia (radheg)
Figura 8-22
Trazas de Bode
de G(s)
= 9(? + 0.23 + 1)
s(s2 + 1.23 + 9) ’
496
4:
$
d
8
-0
$
I
I1lllJJJ
103
90
0
-90
10-2
10-1
100
Frecuencia
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
10’
(radlseg)
103
(Observe que el número de puntos dBmax y dBmin debe ser el mismo que el número de puntos
de frecuencia en w. En este ejemplo, todos los números son 100.) A continuación, la pantalla
mostrará la curva de magnitud magdB con marcas ‘0’. (Las líneas rectas en +45 dB y 45 dB son
invisibles.)
Observe que ‘i’ es un color invisible. Por ejemplo, ‘og’ mostrará círculos pequeños en color
verde y ‘oi’ mostrará círculos pequeños en color ‘invisible’; es decir, los círculos pequeños no
aparecerán en la pantalla. Cambiando una parte del comando semilogx anterior de
w,dBmax,‘--i’,w,dBmin,‘:i’
a
w,dBmax,‘--‘,w,dBmin,‘:’
Las líneas de +45 dB y 45 dB se volverán visibles en la pantalla.
El rango para la magnitud es, por lo general, un múltiplo de 5,10,20 o 50 dB. (Hay excepciones.) Para el caso actual, el rango para la magnitud será de -50 dB a +50 dB.
Para el ángulo de fase, si pretendemos especificar que el rango esté,por ejemplo, al menos entre -145’ y +115”, introducimos líneas invisibles en -145” y +115’ en el programa, especificando
el ángulo de fase máximo, pmax, y el ángulo de fase mfnimo, pmin, del modo siguiente:
pmax = ll 5*ones( 1,l OO)
pmin = -145*ones(l ,l OO)
Después, introducimos el comando de la gráfica semilogarítmica:
semilogx(w,phase,‘o’,w,phase,‘-‘,w,pmax,’--i’,w,pmin,‘:i’)
(La cantidad de puntos pmax y de puntos pmin debe ser igual al número de puntos de frecuencia
en w.) La pantalla mostrará la curva de fase. Las líneas rectas en + 115” y -145” son invisibles.
El rango para el ángulo de fase es, por lo general, un múltiplo de 5”, lo”, 50” o 100”. (Hay excepciones.) Para el caso actual, el rango para el ángulo de fase será de -150” a + 150”.
El programa MATLAB 8-4 genera las trazas de Bode para el sistema tal que el rango de frecuencia es de 0.01 a 1000 radkeg, el rango de magnitud es de -50 a +50 dB (el rango de magnitud es un múltiplo de 50 dB) y el rango del ángulo de fase es de -150” a + 150’ (el rango del ángulo
de fase es un múltiplo de 50”). La figura k3-23 muestra las trazas de Bode obtenidas mediante el
programa MATLAB g-4.
¿Qué le sucede a las trazas de Bode si la ganancia se vuelve infinita en un punto
de cierta frecuencia? Si existe un polo del sistema en el eje iw y el vector w contiene
este punto de frecuencia, la ganancia se vuelve infinita en esta frecuencia. En este caso,
MATLAB proporcionará mensajes de advertencia. Considere el ejemplo siguiente.
Sección 8-3 / Graficación
de trazas de Bode con MATLAB
497
498
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
Trazas de Bode de G(s) = 9(sA2+0.2s
+ l)/[s(sA2+1.2S+9)]
Frecuencia (radkeg)
. .
. .
/.-.
.
$
ea
Figura 8-23
Trazas de Bode
de G(s)
= 9@‘+ 0.2s + 1)
s(s2 + 1.2v + 9) .
Sección 8-3 / Graficación
Frecuencia (radlseg) -
de trazas de Bode con MATLAB
499
Considere un sistema con la siguiente función de transferencia en lazo abierto:
Esta función de transferencia en lazo abierto tiene polos sobre el eje jw en tj.
El programa MATLAB 8-5 se usa para graficar las trazas de Bode para este sistema. La gráfica resultante aparece en la figura 8-24. En teoría, la magnitud se vuelve infinita en un punto de
frecuencia en el que w = 1 radlseg. Sin embargo, este punto de frecuencia no está entre los puntos de frecuencia que se calculan. En la gráfica, la magnitud de cumbre aparece de aproximadamente 50 dB. Este valor se calcula cercano, pero no exacto, a w = 1 radlseg.
Sin embargo, si uno de los puntos de frecuencia que se calculan coincide con el polo en w = 1,
la magnitud se vuelve infinita en este punto. MATLAB envía mensajes de advehencia.
Véase el
Trazas de Bode de G(s) = ll(s”2+1)
10-1
lOO
Frecuencia (radkeg)
Figura 8-24
Trazas de Bode
de G(s) = -&y .
500
lOO
Frecuencia (radkeg)
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
10'
programa MATLAB 8-6 en donde los puntos que se calculan incluyen el punto en w = 1
radlseg. (En este caso, se calculan 101 puntos, que van de w = 0.1 a w = 10. Los primeros cincuenta puntos están en w = 1.) Cuando se introduce en la computadora el programa MATLAB
8-6, aparecen mensajes de advertencia, como se aprecia. Las trazas de Bode resultantes, que
aparecen en la figura 8-25, no incluyen la magnitud calculada en w = 1. (En teoría, esta magnitud
es infinita.) La curva de magnitud muestra el valor pico cerca de 20 dB. La curva de fase muestra
un cambio gradual en el ángulo de fase de 0’ a +180” cerca del punto w = 1. (En teoría, el cambio en el ángulo de fase de 0” a +180” debe ser abrupto en w = 1.) Es obvio que las trazas de
Bode de la figura 8-25 son incorrectas.
Si el vector w contiene un punto de frecuencia en que la ganancia se vuelva infinita, el número
de puntos de frecuencia cambiará, por ejemplo, de 101 a 100. Por lo común, un pequeño cambio
en la cantidad de puntos de frecuencia evitará este tipo de problema.
Trazas de Bode incorrectas
Frecuencia (radheg)
Figura 8-25
Trazas de Bode
incorrectas de
(34 = &+
Frecuencia (radkeg)
Sección 8-3 / Graficación
de trazas de Bode con MATLAB
501
Obtención de trazas de Bode de sistemas definidos en el espacio de estados.
Considere el sistema definido mediante
X = Ax + Bu
y = Cx + Du
en donde x = vector de estado (vector n)
y = vector de salida (vector m)
u = vector de control (vector I))
A = matriz de estado (matriz n x n)
B = matriz de control (matriz II x r)
C = matriz de salida (matriz m x n)
D = matriz de transmisión directa (matriz m x r)
Las trazas de Bode para este sistema se obtiene introduciendo el comando
bode(A,B,C,D)
o bien
bode(A,B,C,D,iu)
El comando bode(A,B,C,D) produce una serie de trazas de Bode, una para cada entrada del
sistema, con el rango de frecuencia determinado automáticamente. (Se usan más puntos
cuando la respuesta cambia con rapidez.)
El comando bode(A, B,C, D, i u), en donde i u es la i-ésima entrada del sistema, produce
las trazas de Bode de la entrada iu para todas las salidas (yl, yz,..., y,) del sistema, con el
rango de frecuencia automáticamente determinado. (La iu escalar es un índice dentro de
las entradas del sistema y especifica cuál entrada se usará para graficar las trazas de Bode.)
Si el vector de control u tiene tres entradas, tales que
u=[ll.¿z
Ul
u3
entonces iu debe establecerse en 1,2 o 3.
Si el sistema sólo tiene una entrada U, se usa cualquiera de los comandos siguientes:
bode(A, B,C, D)
o bien
bode(A, B,C, D, 1)
1EJEMPLO 8-6
Considere el sistema siguiente:
[m:] = [-25 -j[*:] + [2:]u
I
502
Ll
Y = P 01 ::
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
Este sistema tiene una entrada u y una salida y. Usando el comando
bode(A,B,C,D)
e introduciendo el programa MATLAB 8-7 en la computadora, obtenemos las trazas de Bode de
la figura 8-26.
Si sustituimos el comando bode(A,B,C,D) del programa MATLAB 8-7 por
bode(A,B,C,D,l)
entonces, MATLAB producirá las trazas de Bode idénticas a las de la figura 8-26.
‘Itazas de Bode
~Figuratb26
Trazas de Bode del
sistema considerado
en el ejemplo 8-6.
Frecuencia (radheg)
Sección 8-3 / Graficación
de trazas de Bode con MATLAB
503
Observe que, si por error usamos el comando
bode(A,B,C,D,2)
MATLAB produce un mensaje de error, debido a que el sistema actual sólo tiene una entrada e
iu debe establecerse en ‘l’, no en ‘2’ o cualquier otro número.
8-4 TRAZAS POLARES
La traza polar de una función de transferencia senoidal G(&) es una gráfica de la magnitud
de GGa) contra el ángulo de fase de GGa) en coordenadas polares, conforme CIJ varía de
cero a infinito. Por tanto, la traza polar es el lugar geométrico de los vectores IG(‘&)(/G(jo)
conforme o varía de cero a infinito. Observe que, en las gráficas polares, los ángulos de fase
son positivos (negativos) si se miden en el sentido contrario de las manecillas del reloj (en
el sentido de las manecillas) a partir del eje real positivo. La traza polar se denomina, con
frecuencia, traza de Nyquist. La figura &27 contiene un ejemplo de dicha traza. Todos los
puntos de la traza polar de G(@) representan el punto terminal de un vector en un valor determinado de w. En la traza polar, es importante mostrar la graduación de la frecuencia del
lugar geométrico. Las proyecciones de G@D) en los ejes real e imaginario son sus componentes real e imaginaria. La magnitud IC@) y el ángulo de fase /G(ju~) deben calcularse
directamente para cada frecuencia w con el propósito de construir trazas polares. Sin embargo, dado que es fácil construir trazas logarftmicas, los datos necesarios para graficar la
traza polar deben obtenerse directamente de la traza logarítmica si ésta se traza primero y
los decibeles se convierten a una magnitud ordinaria. 0 bien, por supuesto puede usarse
MATLAB para obtener una traza polar G(&) o para obtener IG’(&)l y /G(@) con precisión
para diversos valores de w en el rango de frecuencia que interesa. (Véase la sección S-S.)
Una ventaja de usar una traza polar es que representa, en una sola gráfica, las características de la respuesta en frecuencia de un sistema en el rango de frecuencia completo.
Una desventaja es que la traza no indica en forma clara la contribución de todos los factores individuales de la función de transferencia en lazo abierto.
t
Re
Figura 8-27
Traza polar.
504
Capítulo 8 / An&lisk&
la respuesta en frecuencia
Factores de integral y de derivada (&@l.
imaginario negativo dado que
La traza polar de G(jo) = ll@ es el eje
La traza polar de G(jo) = jw es el eje imaginario positivo.
Factores de primer orden (1 + j07)~~.
Para la función de transferencia senoidal
/-tan-’ wT
los valores de G(jw) en w = 0 y w = UT son, respectivamente,
G(j0) = 1 b
y
Si w tiende a infinito, la magnitud de G(iw) tiende a cero y el ángulo de fase tiende a -90”.
La traza polar de esta función de transferencia es un semicírculo conforme la frecuencia w
varía de cero a infinito, como se aprecia en la figura 8-28(a). El centro se ubica en 0.5 sobre el eje real y el radio es igual a 0.5.
Para probar que la traza polar es un semicírculo, defina
GO‘o) =X+jY
en donde
x=
l
= parte real de GCjo)
1+0*12
Y=
Así,
-UT
1+ 02T2
= parte imaginaria de G(jw)
obtenemos
w=rn
Im
1
l+wZP
\ t
-
\
0
-
I
1
I
+
Re
UT
1+dT2
Figura 8-28
(a) Traza polar de
l/(l + jwT);
(b) traza de G(jw)
en el plano X-Y.
ta)
Secci6n
8-4 / Trazas polares
(b)
505
m
t
0
o=o
_L
1
Figura 8-29
Traza polar de
l+jwT.
Re
Por tanto, en el plano X-Y, G&II) es un círculo con centro en X = 4, Y = 0 y con radio de 4,
como se aprecia en la figura 8-28(b). El semicírculo inferior corresponde a 0 I w 5 03 y el
semicírculo superior corresponde a -CQ c: w 5 0.
La traza polar de la función de transferencia 1 + jwT es simplemente la mitad superior
de la recta que pasa por el punto (1,0) en el plano complejo y paralelo al eje imaginario,
como se observa en la figura 8-29. La traza polar de 1 + jwT tiene un aspecto completamente diferente del de l/(l + @T).
Factores cuadráticos [ 1 + 25(&0/0,J + (JII/w~)~]+~.
Las partes de frecuencia
baja y alta de la traza polar de la función de transferencia senoidal
se obtienen, respectivamente, mediante
lím G(jo) = l/_o
Y
E G(io) = O/-180”
La traza polar de esta función de transferencia senoidal empieza en l/o” y termina en
O/-180” conforme w aumenta de cero a infinito. Por tanto, la parte de frecuencia alta de
GGw) es tangente al eje real negativo. Los valores de G(jo) en el rango de frecuencia que
interesa se calculan directamente, mediante las trazas de Bode o MATLAB.
La figura 8-30 contiene ejemplos de las trazas polares de la función de transferencia
que se acaba de considerar. La forma exacta de una traza polar depende del valor del factor de amortiguamiento relativo 5, pero la forma general de la traza es igual tanto para el
caso subamortiguado (1 > 5 > 0) como para el caso sobreamortiguado (5 > 1).
Para el caso subamortiguado en o = o,,, tenemos que G(~cD”) = l/(jZC), y el ángulo de
fase en w = un es de -90”. Por tanto, se observa que la frecuencia en la que el lugar geo-
Figura 8-30
Razas polares de
1
para 5 > 0.
506
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
métrico G(jw) intersecta el eje imaginario es la frecuencia natural no amortiguada un. En
la traza polar, el punto de frecuencia cuya distancia al origen es la máxima, corresponde a la
frecuencia de resonancia ol. El valor pico de G(&J) se obtiene como el cociente entre la magnitud del vector en la frecuencia de resonancia w y la magnitud del vector en o = 0. La
frecuencia de resonancia W, se señala en la traza polar de la figura 8-31.
Para el caso sobreamortiguado, conforme 5 aumenta mucho más allá de la unidad, el lugar geométrico G(jo) tiende a un semicírculo. Esto se observa pues, para un sistema muy
amortiguado, las raíces características son reales y una es mucho más pequeña que la otra.
Dado que para un 5 suficientemente grande el efecto de la raíz mayor (mayor en su valor
absoluto) sobre la respuesta se vuelve muy pequeño, el sistema se comporta como uno de
primer orden.
A continuación, considere la siguiente función de transferencia senoidal:
=(1-$)+j(F)
La parte de frecuencia baja de la curva es
y la parte de frecuencia alta es
Dado que la parte imaginaria de G@) es positiva para w > 0 y aumenta en forma
monotónica, además de que la parte real de G(jo) se decrementa en forma monotónica a
partir de la unidad, la forma general de la traza polar de G&) es la que aparece en la figura
8-32. El ángulo de fase está entre 0” y 180”.
Im
t
o=m
J
w=o
J
+
Re
Figura831
Traza polar que muestra el pico de resonancia
y la frecuencia de resonancia ur.
Sección 8-4 / Trazas polares
507
0
EJEMPLO 8-7
1
Re
Considere la siguiente función de transferencia de segundo orden:
G(s)
= ’
s(Ts + 1 )
Grafique la traza polar de esta función de transferencia.
Dado que la función de transferencia senoidal se escribe como
G(jo)
=
T
’
.
1
jo(1 + joT) = - 1 + w*T’ - ’ ~(1 + 02TZ)
la parte de frecuencia baja de la traza polar se convierte en
líiG(jw)= -T-jm=m/-90°
y la parte de frecuencia alta se vuelve
lím G(jo) = 0 - j0 = 0 /-MO”
0”
La forma general de la traza polar de G(jw) aparece en la figura &33. La traza de G(jw) es asintótica para la línea vertical que pasa por el punto (-T, 0). Dado que esta función de transferencia
contiene un integrador (US), la forma general de la traza polar difiere sustancialmente de las funciones de transferencia de segundo orden que no poseen un integrador.
Retardo de transporte.
El retardo de transporte
GO’o) = e-ioF
se puede escribir como
G(jo) = 1 cos oT - j sen oT
Im
t
Figura 8-33
Traza polar de l/~w(l + jwT)].
508
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
Im
t
Figura 8-34
Traza polar de un retardo de transporte.
1 +jwT
Figura 8-35
Trazas polares de e-@r y l/(l + jwT).
Dado que la magnitud de G(jw) siempre es unitaria y el ángulo de fase varía en forma
lineal con o, la traza polar del retardo de transporte es un círculo unitario, como se aprecia
en la figura 8-34.
Para frecuencias bajas, el retardo de transporte c+ry el atraso de primer orden l/(l + joT)
se comportan en forma similar, como se aprecia en la figura &35. Las trazas polares de e-W y
l/(l + jw 7) son tangentes entre sí en o = 0. Esto se observa a partir del hecho de que, para
u Q UT,
Sin embargo, para o % UT existe una diferencia esencial entre e-W y l/(l + juT), como
también se aprecia en la figura 8-35.
EJEMPLO 8-8
Obtenga la traza polar de la siguiente función de transferencia:
e-jwL
G(jw)
= -
l+jwT
Dado que G(‘jw) se escribe como
la magnitud y el ángulo de fase son, respectivamente,
Sección 8-4 / Trazas polares
509
Y
/G(jcu) = le+= + /í+‘;õT = -COL - tan-’ wT
Dado que la magnitud disminuye en forma monotónica a partir de la unidad y el ángulo de fase
disminuye en forma monotónica
e indefinida, la traza polar de la función de transferencia determinada es una espiral, como se observa en la figura 8-36.
Formas generales de las trazas polares.
Las trazas polares de una función de
transferencia de la forma
G(jw) =
K(l + jwT,)(l + joT,)* * *
(jw)‘(l + joT,)(l + joTJ. . .
= b,(joy + b,(jw)“-l + * - *
a,(jw)” + a,(jo)“-l + * *.
en donde n > m, o el grado del polinomio del denominador es mayor que el del numerador, tendrá las formas generales siguientes:
1. Para A. = 0 o sistemas de tipo 0: el punto inicial de la traza polar (que corresponde a
w = 0) es finito y está sobre el eje real positivo. La tangente para la traza polar en o = 0 es
perpendicular al eje real. El punto terminal, que corresponde a w = ~0, está en el origen y
la curva es tangente a uno de los ejes.
2. Para A = 1 o sistemas de tipo 1: el término (jo) del denominador contribuye -90” al
ángulo de fase total de G(jw) para 0 5 o 5 00. En o = 0, la magnitud de GQw) es infinita
y el ángulo de fase se convierte en -90”. En frecuencias bajas, la traza polar es asintótica
para una línea paralela al eje imaginario negativo. En w = m, la magnitud se vuelve cero y
la curva converge hacia el origen y es tangente a uno de los ejes.
3 . Para A. = 2 o sistemas de tipo 2: el término (io) del denominador contribuye -180” al
ángulo de fase total de G(jo) para 0 I w < 00. En w = 0, la magnitud de G(jw) es infinita
y el ángulo de fase es igual a -180”. En frecuencias bajas, la traza polar es asintótica para
una línea paralela al eje real negativo. En o = w, la magnitud se vuelve cero y la curva es
tangente a uno de los ejes.
Las formas generales de las partes de frecuencia baja de las trazas polares de los sistemas de tipo 0, tipo 1 y tipo 2 aparecen en la figura 8-37. Se observa que, si el grado del
polinomio del denominador de G(jw) es mayor que el del denominador, entonces los lu-
t
Re
I
510
Figura 8-36
Traza polar de e-Wl(1 + jwT).
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
Figura 8-37
Sistema de tipo 0 Trazas polares
de los sistemas
de tipo 0, tipo 1 y tipo 2.
gares geométricos G@) convergen al origen en el sentido de las manecillas del reloj. En
w = 00, los lugares geométricos son tangentes a uno u otro de los ejes, como se observa
en la figura 8-38.
Observe que las formas complicadas de las curvas de trazas polares se deben a la
dinámica del numerador, es decir, a las constantes de tiempo del numerador de la función
de transferencia. La figura 8-39 muestra dos ejemplos de trazas polares de funciones de
transferencia con una dinámica del numerador. Al analizar los sistemas de control, debe
determinarse con precisión la traza polar de GQo) en el rango de frecuencia que interesa.
La tabla 8-1 muestra gráficas de las trazas polares de varias funciones de transferencia.
Im
t
Gtio) = k4bP + “.
a,O’o)” + . . .
Figura 8-38
Trazas polares
en el rango de
frecuencias altas.
n-m=1
Figura 8-39
Trazas polares de
funciones de transferencia
con dinámica en el numerador.
Secch 8-4 / Trazas polares
511
Tabla 8-1
8-5
Trazas polares de funciones de transferencia simples
OBTENCIÓN DE TRAZAS DE NYQUIST CON MATLAB
Las trazas de Nyquist, al igual que las trazas de-Bode, suelen usarse en la representación de
la respuesta en frecuencia de sistemas de control lineales realimentados e invariantes con el
tiempo. Las trazas de Nyquist son gráficas polares, en tanto que las trazas de Bode son gráficas rectangulares. Una u otra traza puede ser más conveniente para una operación específica, pero determinada operación siempre puede realizarse en cualquier traza.
512
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
El comando nyquist calcula la respuesta en frecuencia para sistemas en tiempo continuo, lineales e invariantes con el tiempo. Cuando se invoca con argumentos del lado
izquierdo, nyquist produce una traza de Nyquist en la pantalla.
El comando
nyquist(num,den)
dibuja la traza de Nyquist de la función de transferencia
num(s)
den
G(s) = -
en la que num y den contienen los coeficientes del polinomio en potencias descendentes
de s.
El comando
nyquist(num,den,w)
usa el vector de frecuencia w especificado por el usuario. El vector w determina los puntos
de frecuencia, en radianes por segundo, en los cuales se calculará la respuesta en frecuencia.
Cuando se invoca con los argumentos del lado izquierdo
[re,im,w] = nyquist(num,den)
o bien
[re,im,w] = nyquist(num,den,w)
MATLAB retorna la respuesta en frecuencia del sistema en las matrices re, im y w. No
aparece una gráfica en la pantalla. Las matrices re e im contienen las partes real e imaginaria de respuesta en frecuencia del sistema cuyo valor se calculó en los puntos de frecuencia especificados en el vector w. Observe que re e im tienen tantas columnas como
salidas y un renglón para cada elemento en w.
EJEMPLO
8-9
Considere la siguiente función de transferencia en lazo abierto:
G(s)
=
’
s2 + 0.8s + 1
Dibuje una traza de Nyquist con MATLAB.
Dado que el sistema se obtiene en la forma de la función de transferencia, el comando
nyquist(num,den)
puede usarse para dibujar una tr&a de Nyquist. El programa MATLAB 8-8 produce la traza de
Nyquist que aparece en la figura 8-40. En esta gráfica, los rangos para el eje real y el eje imaginario se determinan automáticamente.
Si se quiere dibujar la traza de Nyquist usando los rangos determinados en forma manual, por
ejemplo de -2 a 2 en el eje real y de -2 a 2 en el eje imaginario, debe introducirse el comando siguiente en la computadora:
Sección 8-5
/
Obtención de trazas de Nyquist con MATLAB
513
Traza de Nyquist de G(s) = l/(sA2+0.8s+l)
Figura 8-40
Traza de Nyquist de G(s)
1
=
s2 + 0.8s + 1’
70.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Eje real
v = 1-2 2 -2 21;
axis(v);
o, combinando estas dos líneas en una,
axisU-
2
-2
21);
Véase el programa MATLAB 8-9 y la traza de Nyquist resultante que aparece en la figura Wl.
Advertencia.
Si se dibuja una traza de Nyquist, en la que una operación de MATLAB
implica “dividir entre O”, la traza de Nyquist puede resultar errónea. Por ejemplo, si la función de transferencia G(s) se obtiene mediante
514
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
Traza de Nyquist de G(s) = ll(s*2+0.&+1)
2
Figura 8-41
Traza de Nyquist de G(s)
1
= s* + 0.83 + 1.
-2
-2
;
-1.5
1
-1
I
-0.5
I
0
0.5
I
1.5
1
2
Eje real
1
G(s) = -
s(s + 1)
entonces, el comando MATLAB
num = [O 0 ll;
den = [l 1 01;
nyquist(num,den)
produce una traza de Nyquist errónea. Un ejemplo de una traza de Nyquist errónea
aparece en la figura 8-42. Si una traza de Nyquist como ésta aparece en la computadora,
puede corregirse especificando el eje (v). Por ejemplo, si introducimos en la computa;
dora el comando de axis
Traza de Nyquist errónea
XlO'
1
0.8
0.6
-0.6
Figura 8-42
Traza de Nyquist
errónea.
-0.8
t
-1 ’
-1
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
- 0 . 4 -0.3
Eje real
Sección 8-5 / Obtencih de trazas de Nyquist con MATLAB
-0.2
-0.1 0
515
v
=
[-2 2 -5 51; axis(v)
se obtiene una traza de Nyquist correcta. Véase el ejemplo 8-10.
EJEMPLO 8-10
Dibuje una traza de Nyquist para la siguiente G(s):
El programa MATLAB 8-10 producirá una traza de Nyquist correcta en la computadora
aunque aparezca un mensaje de advertencia “Divide by zero” (dividir entre 0). La traza de
Nyquist resultante aparece en la figura 8-43.
Observe que la traza de Nyquist de la figura W3 incluye los lugares geométricos para w > 0
y w < 0. Si queremos dibujar la traza de Nyquist ~610 para la región de frecuencia positiva (o > 0),
necesitamos usar el comando
[re,im,wl = nyquist(num,den,w)
El programa MATLAB 8-11 usa este comando nyquist. La traza de Nyquist resultante se presenta en la figura -4.
Traza de Nyquist de G(s) = l/[s(s+l)]
Figura 8-43
Traza de Nyquist de
-<
-J
G(s) = --!s(s + 1) .
516
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
Eje real
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
1
1.5
2
Figura 8-44
Traza de Nyquist de
G(s) = -!s(s + 1) .
Eje real
Obtención de trazas de Nyquist de un sistema definido en el espacio de estados. Considere el sistema definido mediante
i=Ax+Bu
y = Cx + Du
en donde x = vector de estado (vector n)
y = vector de salida (vector m)
u = vector de control (vector I)
A = matriz de estado (matriz n X n)
B = matriz de control (matriz IZ X r)
C = matriz de salida (matriz m X n)
D = matriz de transmisión directa (matriz m X r)
Las trazas de Nyquist para este sistema se obtienen mediante el comando
nyquist(A,B,C,D)
Sección 8-5 / Obtención de trazas de Nyquist con MATLAB
517
Este comando produce una serie de trazas de Nyquist, una para cada combinación de entrada y salida del sistema. El rango de frecuencia se determina automáticamente.
El comando
nyquist(A,B,C,D,iu)
produce una traza de Nyquist a partir de la única entrada iu para todas las salidas del sistema, con el rango de frecuencia determinado automáticamente. La iu escalar es un índice
dentro de las entradas del sistema y especifica cuál entrada debe usarse para la respuesta
en frecuencia.
El comando
nyquist(A,B,C,D,iu,w)
usa el vector de frecuencia w proporcionado por el usuario. El vector w especifica las frecuencias, en radianes por segundo, en las cuales debe calcularse la respuesta en frecuencia.
EJEIVIPLO
8-11
Considere
el
sistema
definido
mediante
Ll
0
[:] = [-25 -$:] + 25 z4
r -l
Y = Ll
O] x1 + DIU
x2
H
Dibuje una traza de Nyquist.
Este sistema tiene una sola entrada u y una sola salida y. La traza de Nyquist se obtiene introduciendo el comando
nyquist(A,B,C,D)
o bien
nyquist(A,B,C,D,l
)
El programa MATLAB 8-12 producirá la traza de Nyquist. (Observe que el mismo resultado se
obtiene con cualquiera de estos comandos.) La figura 845 muestra la traza de Nyquist producida
por el programa MATLAB 8-12.
518
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
1 -’
3 .d2
..oi),T O
w -0.5 -1 -0.'
Traza de Nyquist
1.5
0.5
Figura 8-45
Baza de Nyquist del
sistema considerado
en el ejemplo 8-11.
1 EJEMPLO 8-12
-1.5
6
I
-0.4
I
I
-0.2
0
0.2
1
0.4
I
0.6
I
0.8
I
1
1.2
Eje real
Considere
el
sistema
definido
mediante
Este sistema contiene dos entrada y dos salidas. Hay cuatro relaciones senoidales salida-entrada:
YI(jw)lUI@), Y&~~)/tLhg’o), Y~@)lMjo) y Y~(jw)lUAjw). Dibuje las trazas de Nyquist para el
sistema. (Cuando se considera la entrada ~1, suponemos que la entrada ~42 es cero y viceversa.)
Las cuatro trazas de Nyquist individuales se obtienen a partir del comando
nyquist(A,B,C,D)
El programa MATLAB 8-13 produce las cuatro trazas de Nyquist, mismas que se presentan en
la figura 8-46.
8-6 TRAZAS DE MAGNITUD LOCiARíTMICA
CONTRA LA FASE
Otro enfoque para representar gráficamente la característica de la respuesta en frecuencia es usar la traza de la magnitud logarítmica contra la fase, que es una traza de la magnitud logarítmica en decibeles contra el ángulo de fase o el margen de fase para un rango de
frecuencia que interesa. [El margen de fase es la diferencia entre el ángulo de fase real # y
Sección 8-8 / Trazas de magnitud logarítmica contra la fase
519
1
Entrada 1 Salida 1
Entrada 1 Salida 2
/ 0.;
g-o.5
-1’
-1
0
1
Eje real
I
2
Eje real
Entrada 2 Salida 1
l-
Figura 8-46
Traza de Nyquist del
sistema considerado
en el ejemplo 8-12.
-1 u
0
0.5
1
Eje real
-2
-1
0
1
Eje real
2
-180”; es decir, # - (-180”) = 180” + #.] La curva se gradúa en términos de la frecuencia w.
Estas trazas de la magnitud logarítmica contra la fase se denominan trazas de Nichols.
En las trazas de Bode, las características de la respuesta en frecuencia de GGw) aparecen en papel semilogarítmico mediante dos curvas separadas, la curva de magnitud logarítmica y la curva de ángulo de fase; en la traza de magnitud logarítmica contra la fase, en
cambio, las dos curvas de las trazas de Bode se combinan en una. La traza de la magnitud
logarítmica contra la fase se construye fácilmente si se leen los valores de la magnitud logarítmica y del ángulo de fase de las trazas de Bode. Observe que en la traza de magnitud
logarítmica contra la fase, un cambio en la constante de ganancia de G(@) simplemente altera la curva hacia arriba (al incrementar la ganancia) o hacia abajo (al decrementar la
ganancia), pero que la forma de la curva permanece igual.
Las ventajas de la traza de magnitud logarítmica contra la fase son que la estabilidad
relativa del sistema en lazo cerrado se determina con rapidez y que la compensación se obtiene con facilidad.
Las trazas de magnitud logarítmica contra la fase para la función de transferencia
senoidal G(jo) y l/G(@) tienen una inclinación simétrica con respecto al origen, dado que
/ I
& endB = -IG&)l
endB
La figura 8-47 compara las curvas de respuesta en frecuencia de
G(jw) =
l+X(ji)+(jE)
520
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
Im
w=o
63 -3
5
4 -6
-9
-12
-15
-180”
-180° . ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’
0.20,
0.50,
0,
0
(4
f
I
I
I
-90”
0”
.&
Cc)
Figura 8-47
Tres representaciones de respuesta en frecuencia de
1 + 2((jJi) +
(j.E),.,.rac>o’
(a) Trazas de Bode; (b) traza polar; (c) traza de magnitud logarítmica contra la fase.
en tres diferentes representaciones. En la traza de magnitud logarítmica contra la fase, la
distancia vertical entre los puntos o = 0 y w = w, en donde wr es la frecuencia de resonancia, es el valor pico de G(jw), en decibeles.
Dado que las características de magnitud logarítmica y de ángulo de fase de las funciones de transferencia básicas se han analizado con detalle en las secciones 8-2 y 8-3, aquí
será suficiente con proporcionar ejemplos de algunas trazas de magnitud logarítmica contra la fase. La tabla 8-2 contiene tales ejemplos.
8-7 CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST
Esta sección presenta el criterio de estabilidad de Nyquist y su base matemática. Considere
el sistema en lazo cerrado de la figura 8-48. La función de transferencia en lazo cerrado es
C(s)
-=
R(s) 1
G(s)
+
G(s)H(s)
Para la estabilidad, todas las raíces de la ecuación característica
1 + G(s)H(s) = 0
Sección 8-7 / Criterio de estabilidad de Nyquist
521
Tabla 8-2 Trazas de la magnitud logarítmica contra la fase de funciones
de transferencia simples
Yi
4
20
20
10
10
0
-10
-10
-20
-180”
i
0
0
I
0
-20
- 1 80”
180”
20
20
10
10
0
-10
-20
-1 80’
-20 -180”
180”
20
10
eI
3
4
0
-10
0
-10
-20
-180”
180”
-20
-180’
1
522
0”
20
10
t
0
180”
0
:
0
-10
0”
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
180”
debep estar en el semiplano izquierdo del plano s. [Se debe señalar que, aunque los polos y
ceros de la función de transferencia en lazo abierto G(s)H(s) pueden estar en el semiplano
derecho del plano s, el sistema sólo es estable si todos los polos de la función de transferencia en lazo cerrado (es decir, las raíces de la ecuación caracterfstica) están en el semiplano
izquierdo del plano s.] El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta en frecuencia en lazo abierto G(jc~)Hb 0 ) con el número de ceros y polos de 1 + G(s)H(s) que se
encuentran en el semiplano derecho del plano s. Este criterio, obtenido por H. Nyquist, es
útil en la ingeniería de control, debido a que permite determinar gráficamente la estabilidad
absoluta del sistema en lazo cerrado a partir de las curvas de respuesta en frecuencia en lazo
abierto, sin que sea necesario determinar los polos en lazo cerrado. Para el análisis de estabilidad se usan tanto las curvas de respuesta en frecuencia en lazo abierto obtenidas en
forma analítica, como las obtenidas en forma experimental. Es decir conveniente pues, al diseñar un sistema de control, suele suceder que se desconocen las expresiones matemáticas para
algunos de los componentes y sólo se cuenta con sus datos de respuesta en frecuencia.
El criterio de estabilidad de Nyquist se basa en un teorema de la teoría de la variable
compleja. Para comprenderlo, analizaremos primero el mapeo de los contornos en el plano
complejo.
Supondremos que la función de transferencia en lazo abierto G(s)H(s) se representa
como un cociente de polinomios en s. Para un sistema que puede materializarse, el grado
del polinomio del denominador de la función de transferencia en lazo cerrado debe ser
mayor o igual que el del polinomio del denominador. Esto significa que el límite de
G(s)H(s), cuando s tiende a infinito, es cero o una constante para cualquier sistema que
pueda
materializarse.
Estudio
preliminar.
La ecuación característica del sistema de la figura 8-48 es
F(s) = 1 + G(s)H(s)
= 0
Demostraremos que para una trayectoria cerrada continua determinada en el plano s, que
no pasa por ningún punto singular, le corresponde una curva cerrada en el plano F(s). El
número y la dirección de los encierros del origen del plano F(s) para la curva cerrada representan una función en particular importante en lo que sigue, pues después correlacionaremos el número y la dirección de los encierros con la estabilidad del sistema.
Por ejemplo, considere la siguiente función de transferencia en lazo abierto:
G(s)H(s) = (s + 1;s + 2)
La ecuación característica es
F(s) = 1 + G(s)H(s) = 1 +
6
(s + l)(s + 2)
= (s + 1.5 + j2.4)(s + 1.5 - j2.4) = o
(s + l)(s + 2)
La función F(s) es analítica en todas las partes del planos, excepto en sus puntos singulares.
A cada punto de análisis en el plano s le corresponde un punto en el plano F(s); por ejemplo, si s = 1 + j2, entonces F(s) se convierte en
F(1 + j2) = 1 +
6
= 1.115 - jo.577
(2 + j2)(3 + j2)
Sección 8-7 / Criterio de estabilidad de Nyquist
523
Así, el punto s = 1 + j2 en el plano s se mapea en el punto 1.115 - jo.577 en el plano F(s).
En esta forma, como se planteó antes, a determinada trayectoria cerrada continua en el
plano s, que no pase por ningún punto singular, le corresponde una curva cerrada en el plano F(s). La figura 8-49(a) muestra mapeos conformes dentro del plano F(s) de las líneas
w = 0, 1,2,3 y las líneas o = 1, 0, -1, -2, -3, -4 en la mitad superior del plano F(s). Por ejemplo, la líneas = jw en la mitad superior del planos (w 2 0) se mapea dentro de la curva representada por o = 0 en el plano F(s). La figura 8-49(b) muestra mapeos conformes de las
líneas o = 0, -1, -2, -3 y las líneas u = 1, 0, -1, -2, -3, -4 en la mitad inferior del plano s dentro del plano F(s). Observe que, para una u determinada, la curva de frecuencias negativas
es simétrica con respecto al eje real con la curva para frecuencias positivas. Remitiéndonos
a las figuras 8-49(a) y (b), vemos que, para la trayectoria ABCD en el plano s recorrida en
el sentido de las manecillas del reloj, la curva correspondiente en el plano F(s) es A’B ‘C’D ‘.
Las flechas en las curvas indican las direcciones del recorrido. Asimismo, la trayectoria
DEFA en el plano s se mapea dentro de la curva D ‘E’F’A ’en el plano F(S). Debido a la
propiedad de mapeos conformes, los ángulos correspondientes en el plano s y en el plano
F(S) son iguales y tienen el mismo sentido. [Por ejemplo, dado que las líneas AB y BC se
cortan en un ángulo recto en el plano s, las curvas A ‘B ’y B ‘C’ también se cortan en ángulo
recto en el punto B’ en el plano F(S).] Remitiéndonos a la figura 8-49(c), vemos que, en el
contorno cerrado ABCDEFA en el plano s, la variable s empieza en el punto A y supone
valores en esta trayectoria en sentido de las manecillas del reloj hasta que regresa al punto
inicial. La curva correspondiente en el plano F(s) se representa como A ‘B ‘C’D ‘E’F’A ‘. Si
definimos el área de la derecha de este contorno, como su interior, cuando un punto representativo s se mueve en el sentido de las manecillas del reloj, y el área de la izquierda como
el exterior, el área sombreada de la figura 849(c) está encerrada por el contorno
ABCDEFA y está dentro de él. En la figura 849(c) se observa que, cuando el contorno que
está en el plano s encierra dos polos de F(s), el lugar geométrico de F(s) encierra el origen
del plano F(s) dos veces en sentido contrario a las manecillas del reloj.
La cantidad de encierros del origen del plano F(s) depende del contorno cerrado en el
plano s. Si este contorno encierra dos ceros y dos polos de F(s), el lugar geométrico de F(s)
correspondiente no encierra el origen, como se aprecia en la figura 8-49(d). Si este contorno encierra sólo un cero, el lugar geométrico correspondiente de F(s) encierra el origen
una vez en sentido de las manecillas del reloj. Esto se aprecia en la figura 8-49(e). Por último, si el contorno cerrado en el plano s no encierra ceros ni polos, el lugar geométrico de
F(s) no encierra en absoluto el origen del plano F(s). Esto también se observa en la figura
8-49(e).
Observe que, para cada punto en el plano s, excepto para los puntos singulares, sólo hay
un punto correspondiente en el plano F(s); es decir, el mapeo del plano s dentro del plano
F(s) es uno a uno. Sin embargo, tal vez el mapeo del plano F(s) dentro del plano s no sea
uno a uno, por lo que un punto determinado en el plano F(s) puede corresponder a más de
un punto en el plano s. Por ejemplo, el punto B ’ en el plano F(s) de la figura 849(d) corresponde a los puntos (-3,3) y (0, -3) en el plano s.
A partir del análisis anterior, observamos que la dirección del encierro en el origen del
plano F(s) depende de si el contorno en el plano s encierra un polo o un cero. Observe que
la ubicación de un polo o un cero en el planos, ya sea en su semiplano derecho o en el semiplano izquierdo, no produce ninguna diferencia, pero el que se encierre un polo o un cero
sí la genera. Si el contorno en el plano s encierra k ceros y k polos (k = 0, 1,2,. . .), es decir,
cantidades iguales de ellos, la curva cerrada correspondiente en el plano F(s) no encerrará
524
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
jw
t
Plano s
jw
Im
Plano s
0
l
\JOJ = -’
Plano F(s)
3
ImA
I
Plano s
Plano F(s)
Re
i4
B.
:
C
Plano s
Plano F(s)
+
<T
Re
0
- 9
Cd)
,A
-4
0
D,
2
--j2
F
0
‘E
Im
2
Plano F(s)
Figura 8-49
Mapeos conformes de
las retículas en el plano
s dentro del plano F(s).
Sección 8-7 / Criterio de estabilidad de Nyquist
525
el origen del plano F(s). El análisis anterior es una explicación gráfica del teorema del
mapeo, que es la base del criterio de estabilidad de Nyquist.
Teorema del mapeo. Suponga que F(s) es el cociente de dos polinomios en s.
Suponga también que P es el número de polos y 2 el número de ceros de F(s) que se encuentran en cierto contorno cerrado en el plano s, considerada una multiplicidad de polos
y ceros. Suponga, por último, que este contorno es tal que no pasa a través de ningún polo
ni cero de F(s). Este contorno cerrado en el plano s se mapea después dentro del plano F(s)
como una curva cerrada. El número total N de encierros del origen del plano F(s) en el sentido d las manecillas del reloj, conforme un punto representativo traza el contorno complet p/”en el sentido de las manecillas del reloj, es igual a Z- P. (Observe que, mediante este
teorema del mapeo, no se encuentra el número de ceros y de polos sino su diferencia.)
No presentaremos una prueba formal de este teorema, pues la dejaremos para el problema A-8-10. Observe que un número positivo N indica que hay más ceros que polos en la
función F(s) y un número N negativo indica que hay más polos que ceros. En las aplicaciones de un sistema de control, el número P se determina con facilidad para F(s) = 1 +
G(s)H(s) a partir de la función G(s)H(s). Por tanto, si N se determina a partir de la gráfica
de F(s), es fácil determinar el número de ceros en el contorno cerrado en el plano s. Observe que las formas exactas del contorno en el planos y el lugar geométrico de F(s) no son
importantes en lo que respecta a los encierros del origen, dado que éstos sólo dependen de
que se encierren los polos y/o los ceros de F(s) mediante el contorno en el plano s.
Aplicación del teorema del mapeo al análisis de la estabilidad de los sistemas en
lazo cerrado. Para analizar la estabilidad de los sistemas de control lineales, suponemos
que el contorno cerrado en el plano s encierra todo el semiplano derecho de éste. El contorno está formado por el eje jw completo, de o = -00 a +M, y una trayectoria semicircular
de radio infinito en el semiplano derecho del plano s. Dicho contorno se conoce como trayectoria de Nyquist. (La trayectoria se forma en el sentido de las manecillas del reloj.) La trayectoria de Nyquist encierra el semiplano derecho del plano s así como todos los ceros y polos
de 1 + G(s)H(s) que tienen partes reales positivas. [Si no hay ceros de 1 + G(s)H(s) en el
semiplano derecho del plano s, no hay ahí polos en lazo cerrado, y el sistema es estable.] Es
necesario que el contorno cerrado, o la trayectoria de Nyquist, no pase por ningún cero ni
polo de 1 + G(s)H(s). Si G(s)H(s) tiene uno o más polos en el origen del plano s, el mapeo
del puntos = 0 se vuelve indeterminado. En estos casos, se evita pasar por el origen mediante una desviación. (Más adelante se ofrece un analisis detallado de este caso especial.)
Si el teorema del mapeo se aplica al caso especial en el que F(s) es igual a 1 + G(s)H(s),
podemos plantear el siguiente enunciado: si el contorno cerrado en el plano s encierra el
semiplano derecho del planos, como se aprecia en la figura 8-50, el número de ceros en el semiplano derecho del plano de la función F(s) = 1 + G(s)H(s) es igual al número de polos
de la función F(s) = 1 + G(s)H(s ) en el semiplano derecho del plano s, más el número de
encierros del origen del plano 1 + G(s)H(s) en el sentido de las manecillas del reloj por la
curva cerrada correspondiente en este último plano.
Debido a la condición supuesta de que
lff [l + G(s)H(s)]
= constante
la función de 1 + G(s)H(s) permanece constante conforme s recorre el semicírculo de radio infinito. Por esta razón, se determina si el lugar geométrico de 1 + G(s)H(s) encierra el
526
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
Plano s
Figura840
Contorno cerrado en el plano s.
origen del plano 1 + G(s)H(s ) considerando sólo una parte del contorno cerrado en el
plano s, es decir, el eje jw. Encerrar el origen, si llega a suceder, sólo ocurre mientras un
punto representativo se mueve de - jw a + jw a lo largo del eje jo, siempre y cuando no se
encuentren ceros ni polos sobre el eje jw.
Observe que la parte del contorno 1 + G(s)H(s) de o = -03 a o = ~0 es simplemente
1 + G(jo)H(jo). Dado que 1 + G(jw)H(jw) es la suma de vectores del vector unitario y el
vector G(jo)H(jw), 1 + G(jw)H() W ) es idéntico al vector dibujado del punto -1 + j0 al
punto terminal del vector G(iw)Z-Q ‘w ) , como se aprecia en la figura 8-51. Encerrar el origen mediante la gráfica de 1 + G(jw)HbW) es eq uivalente a encerrar el punto -1 + j0 mediante el puro lugar geometrico G(jo)H(jw). Por tanto, la estabilidad del sistema en lazo
cerrado se averigua examinando los encierros del punto - 1 + j0 mediante el lugar geométrico de G&)H(jw). El numero de encierros en el sentido de las manecillas del reloj del
punto -1 + j0 se encuentra dibujando un vector del punto -1 + j0 al lugar geométrico
G(iw)H(jco), a partir de o = -03, pasando por w = 0 y hasta llegar a w = +m, o bien contando el número de rotaciones en el sentido de las manecillas del reloj del vector.
Es sencillo graficar G(jo)H(jw) para la trayectoria de Nyquist. El mapeo del eje jw negativo es la imagen reflejada del mapeo del eje jo positivo con respecto al eje real. Es decir,
la gráfica de G(jo)H(jw) y la gráfica de G( -jw)H( -jo) son simétricas con respecto al eje
real. El semicírculo con radio infinito se mapea en el origen del plano GH o en un punto
del eje real del plano GH.
En el análisis anterior, se ha supuesto que G(s)H( s ) es el cociente de dos polinomios en
s. Por tanto, el retardo de transporte e- rs se ha excluido del análisis. Sm embargo, observe
que un análisis similar es pertinente para los sistemas con un retardo de transporte, aunque
aquí no se ha aportado una prueba de esto. La estabilidad de un sistema con retardo de
transporte se determina a partir de las curvas de respuesta en frecuencia en lazo abierto exa-
+
Re
0
1 + Go’o) Hf@)
Figura841
Gráficas de
l-b G(ja)H@)
en el plano 1 + GH
y en el plano GH.
Re
’ GO’o) HCjo)
Sección 8-7 / Criterio de estabilidad de Nyquist
527
minando el número de encierros en el punto - 1 + jo, al igual que en el caso de un sistema
cuya función de transferencia en lazo abierto es un cociente de dos polinomios en s.
Criterio de estabilidad de Nyquist. El análisis anterior, en el que se utilizaron los
encierros del punto -1 + j0 mediante el lugar geométrico G(jw)H(jw), se resume en el
siguiente criterio de estabilidad de Nyquist:
Criterio de estabilidad de Nyquist [para un caso especial cuando G(s)H(s) no tienepolos ni ceros sobre el eje jw.]: en el sistema de la figura 8-48, si la función de transferencia en lazo abierto G(s)H(s) tiene k polos en el semiplano derecho del plano s y lím,,
G(s)H(s)
= constante, para la estabilidad, el lugar geométrico G(jw)H(jw),
conforme
o varía de -00 a m, debe encerrar k veces el punto - 1 + j0 en sentido contrario a las
manecillas del reloj.
Observaciones sobre el criterio de estabilidad de Nyquist
1. Este criterio se expresa como
Z=N+P
en donde Z = número de ceros de 1 + G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano s
N = número de encierros en el sentido de las manecillas del reloj del punto - 1 + j0
P = número de polos de G(s)H( s ) en el semiplano derecho del plano s
Si P no es cero, para un sistema de control estable, debemos tener Z = 0 o N = -P, lo cual
significa que debemos tener P encierros del punto - 1 + j0 en el sentido de las manecillas
del reloj.
Si G(s)H(s) no tiene polos en el semiplano derecho del plano s, entonces Z = N. Por
tanto, para la estabilidad no se debe encerrar el punto - 1 + j0 mediante el lugar geométrico
G(jo)H(&). En este caso no es necesario considerar el lugar geométrico para el eje jo completo, sino sólo para la parte de frecuencia positiva. La estabilidad de este sistema se
determina observando si el punto -1 + j0 se encierra mediante la traza de Nyquist de
G&)H(jo). La región encerrada mediante la traza de Nyquist aparece en la figura 8-52.
Para la estabilidad, el punto - 1 + j0 debe encontrarse fuera de la región sombreada.
2 . Debe tenerse cuidado en el momento de probar la estabilidad de sistemas multilazo,
dado que pueden incluir polos en el semiplano derecho del plano s. (Observe que, aunque
un lazo interno puede ser inestable, el sistema en lazo cerrado completo se estabiliza mediante un diseño adecuado.) Una simple revisión de los encierros del punto - 1 + j0 medianIm
Plano GH
t
Figura 8-52
Región encerrada mediante una traza de Nyquist.
528
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
te el lugar geométrico G(jo)Mj W ) no es suficiente para detectar la inestabilidad en los sistemas multilazo. Sin embargo, en tales casos, si un polo de 1 + G(s)H(s) está en el semiplano derecho del plano s, se determina con facilidad aplicando el criterio de estabilidad de
Routh al denominador de G(s)H(s).
Si se incluyen en G(s)H(s) funciones trascendentes, tales como el retardo de transporte e-rs, deben aproximarse mediante una expansión en serie antes de aplicar el criterio
de estabilidad de Routh. En el capítulo 5 se obtuvo la siguiente forma de una expansión
en serie de e-r?
Como primera aproximación, ~610 tomamos los primeros dos términos del numerador y el
denominador, o bien
1-2
2 = 2 - Ts
2 + Ts
1+p
Esto proporciona una buena aproximación al retardo de transporte para el rango de frecuencia 0 5 w 5 (0.5/7). [Observe que la magnitud de (2 - joT)(2 + joí’) siempre es unitaria y que el atraso de fase de (2 - jwT)/(2 + jo7’) se aproxima estrechamente al retardo
de transporte dentro del rango de frecuencia planteado.]
3. Si el lugar geométrico de G(jw)H(jw)
pasa por el punto -1 + jo, entonces los ceros
de la ecuación característica, o los polos en lazo cerrado, se ubican sobre el eje jw. Esto no
es conveniente para sistemas de control prácticos Para un sistema en lazo cerrado bien diseñado, ninguna de las raíces de la ecuación caracterfstica debe encontrarse sobre el eje jw.
Caso especial cuando G(s)H(s) tiene polos y/o ceros sobre el eje jo. En el
análisis anterior, supusimos que la función de transferencia en lazo abierto G(s)H(s) no
tenía polos ni ceros en el origen.Ahora consideraremos el caso en el que G(s)H(s) contiene
polos y/o ceros sobre el eje jo.
Dado que la trayectoria de Nyquist no debe pasar por polos o ceros de G(s)H(s), si la
función G(s)H(s) tiene polos o ceros en el origen (o sobre el eje jw para puntos diferentes
del origen), debe modificarse el contorno en el plano s. La forma usual de modificar el contorno cerca del origen es mediante un semicírculo con el radio infinitesimal E, como se aprecia en la figura 8-53. Un punto representativo se mueve a lo largo del eje jo negativo de
-jm ajo-. De s = jo- a s = jo+, el punto se mueve a lo largo del semicírculo con radio E
(en donde E Q l), y después se mueve a lo largo del eje jw positivo de jO+ a jm. A partir de
s = jm, el contorno sigue un semicírculo con radio infinito y el punto representativo regresa
al punto inicial. El área que evita el contorno cerrado modificado es muy pequeña y tiende
a cero conforme el radio E tiende a cero. Por tanto, todos los polos y ceros en el semiplano
derecho del plano s, si existen, están encerrados por este contorno.
Considere, por ejemplo, un sistema en lazo cerrado cuya función de transferencia en
lazo abierto se obtiene mediante
Sección 8-7 / Criterio de estabilidad de Nyquist
529
G(s)H(s) = ,cTsK+ 1)
Los puntos correspondientes a s = jO+ y s = jo- en el lugar geométrico de G(s)H(s) en el
plano G(s)Z-I(s) son -jw y j00, respectivamente. En la trayectoria semicircular con radio E
(en donde E Q l), la variable compleja s se escribe
en donde f3 varía de -90” a +90”. A continuación, G(s)H(s)
se convierte en
G(EeqH(,,je) = 5 = fe-i@
El valor Kk tiende a infinito conforme E tiende a cero, y -8 varía de 90” a -90’ conforme
un punto representativo s se mueve a lo largo del semicírculo. Por tanto, los puntos
G(jO-)H(jO-) = jw y G(jO+)H(jO+) = -jw se unen mediante un semicírculo de radio infinito en el semiplano derecho del plano GH. La desviación semicircular infinitesimal
alrededor del origen se mapea dentro del plano GH como un semicírculo de radio infinito.
La figura 8-54 muestra el contorno en el planos y el lugar geométrico G(s)H(s) en el plano
GH. Los puntos A, B y C en el contorno del plano s se mapean en los puntos respectivos A ‘,
B’ y C’ en el lugar geométrico G(s)H(s). Como se observa en la figura 8-54, los puntos D,
E y F en el semicírculo de radio infinito en el plano s se mapean dentro del origen del plano
GH. Dado que no hay un polo en el semiplano derecho del plano s y el lugar geométrico
G(s)H(s) no encierra el punto -1 + jo, no hay ceros de la función 1 + G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano s. Por tanto, el sistema es estable.
Para una función de transferencia en lazo abierto G(s)H(s) que contiene un factor l/sn
(en donde n = 2,3, . . .), la gráfica de G(s)H(s) tiene n semicírculos en el sentido de las
manecillas del reloj de radio infinito con respecto al origen, conforme un punto representativo s se mueve a lo largo del semicírculo de radio E (en donde E e 1). Por ejemplo, considere la siguiente función de transferencia en lazo abierto:
jw
Figura 8-53
Contornos cerrados
en el plano s evitando los polos y los
ceros en el origen.
530
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
1
Plano s
jw
Im A
o=o-, c -AhPlano GH
f
Figura 8-54
Contorno en el plano s
y el lugar geométrico
G(s)H(s) en el plano
GH, en donde G(s)H(s)
= K/[s(Ts + l)].
“I
Así,
>e~e G(s)H(s)
= --& = sczje
Conforme 8 varía de -90” a 90” en el planos, el ángulo de G(s)H(s) varfa de 180” a -MO”,
como aparece en la figura 8-55. Dado que no hay un polo en el semiplano derecho del
plano s y dado que el lugar geométrico encierra el punto -1 + j0 dos veces en sentido de
las manecillas del reloj, para cualquier valor positivo de K, hay dos ceros de 1 + G(s)H(s)
en el semiplano derecho del plano s. Por tanto, este sistema siempre es inestable.
Observe que un análisis similar es necesario si G(s)H(s) contiene polos y/o ceros sobre
el eje jo. El criterio de estabilidad de Nyquist se generaliza ahora del modo siguiente:
Criterio de estabilidad de Nyquist [para un caso general cuando G(s)H(s)
tiene polos
y/o ceros sobre el eje jw]: en el sistema de la figura 8-48, si la función de transferencia en lazo abierto G(s)H(s) tiene k polos en el semiplano derecho del plano s, para
ser estable, el lugar geométrico G(s)H(s) debe encerrar k veces el punto -1 + j0 en
Plano S
Figura 855
Contorno en el plano s
y lugar geométrico
G(s)H(s) en el plano
GH, en donde G(s)H(s)
= K/[s2(Ts + l)].
Sección 8-7 / Criterio de estabilidad de Nyquist
531
sentido contrario a las manecillas del reloj, conforme un punto representativo s se
traza en la trayectoria de Nyquist modificada en sentido de las manecillas del reloj.
8-8 ANÁLISIS DE ESTABILIDAD
En esta sección presentaremos varios ejemplos del análisis de estabilidad de los sistemas
de control mediante el criterio de estabilidad de Nyquist.
Si la trayectoria de Nyquist en el plano s encierra Z ceros y P polos de 1 + G(s)H(s) y
no pasa por los polos ni los ceros de 1 + G(s)H( s ) conforme un punto representativo s se
mueve en sentido de las manecillas del reloj a lo largo de la trayectoria de Nyquist, el contorno correspondiente en el plano G(s)H(s) encierra en un círculo N = Z - P veces el
punto -1 + j0 en sentido de las manecillas del reloj. (Los valores negativos de N implican
encierros en sentido contrario de las manecillas del reloj.)
Al examinar la estabilidad de los sistemas de control lineales mediante el criterio de estabilidad de Nyquist, vemos que se pueden presentar tres posibilidades.
1. El punto - 1 + j0 no está encerrado. Esto implica que el sistema es estable si no hay polos
de G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano s; de lo contrario, el sistema es inestable.
2. El punto -1 + j0 queda encerrado una o varias veces en sentido contrario de las
manecillas del reloj. En este caso, el sistema es estable si la cantidad de encierros en sentido contrario de las manecillas del reloj es igual a la cantidad de polos G(s)H(s) en el
semiplano derecho del plano s; de lo contrario, el sistema es inestable.
3. El punto -1 + j0 queda encerrado una o varias veces en sentido de las manecillas del
reloj. En este caso el sistema es inestable.
En los ejemplos siguientes, suponemos que todos los valores de la ganancia K y las constantes de tiempo (tales como T, TI y Tz) son positivos.
EJEMPLO
8-13
Considere un sistema en lazo cerrado cuya función de transferencia en lazo abierto se obtiene
mediante
K
Gwf(s) = (T,s + 1)(T2s + 1)
Examine la estabilidad del sistema.
La figura 8-56 contiene una traza de G(jw)H(jw). Dado que G(s)H(s) no tiene polos en el
semiplano derecho del plano s y el punto -1 + j0 no está encerrado por el lugar geométrico
GGw)H@), este sistema es estable para cualesquiera valores positivos de K, TI y Tz.
EJEMPLO
8-14
Considere el sistema con la siguiente función de transferencia en lazo abierto:
G(s) =
K
s(T,s + 1)(T2s + 1)
Determine la estabilidad del sistema para dos casos: (1) la ganancia K es pequeña, y (2) K es grande.
Las trazas de Nyquist de la función de transferencia en lazo abierto para un valor pequeño de
K y un valor grande de K aparecen en la figura 8-57. El número de polos de G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano s es cero. Por tanto, para que este sistema sea estable, es necesario que
N = Z = 0 o que el lugar geométrico G(s)H(s) no encierre el punto -1 + jo.
532
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
Im
t
Plano GH
GO'u)HO'w)
9
Traza polar de G(~o)H@J) considerada
en el ejemplo 8- 13.
Im
Plano GH
t
Plano GH
+
Re
Figura 8-57
Trazas polares del
sistema considerado
en el ejemplo 8-14.
K
K pequeña
grande
Para valores pequeños de K, el punto - 1 + j0 no queda encerrado. Por tanto, este sistema es estable para valores pequeños de K. Para valores grandes de K, el lugar geométrico de G(s)H(s)
encierra el punto - 1 + j0 dos veces en sentido de las manecillas del reloj, lo cual indica que hay
dos polos en lazo cerrado en el semiplano derecho del plano s y que el sistema es inestable. (Para
lograr una buena precisión, K debe ser grande. Sin embargo, desde el punto de vista de la estabilidad, un valor grande de K provoca una estabilidad deficiente o incluso la inestabilidad. Para obtener
un equilibrio entre la precisión y la estabilidad, es necesario incluir una red de compensación en el
sistema. Las técnicas de compensación en el dominio de la frecuencia se analizan en el capítulo 9.)
EJEMPLO 8-15
La estabilidad de un sistema en lazo cerrado con la siguiente función de transferencia en lazo abierto
K(T,s + 1)
~W(s) = s2(Tls + 1)
depende de las magnitudes relativas de TI y Tz. Dibuje las trazas de Nyquist y determine la estabilidad del sistema.
La figura 8-58 contiene las gráficas del lugar geométrico G(s)H(s)
para los tres casos en que
TI < Tz, TI = TZ y TI > T2. Para Tl < T2, el lugar geométrico de G(s)H(s) no encierra el punto
-1 + i0 y el sistema en lazo cerrado es estable. Para Tl = T2 el lugar geométrico G(s)H(s) pasa
por el punto - 1 + j0, lo cual indica que hay polos de lazo cerrado sobre el eje jw. Para TI > T2,
Sección 8-8 / Análisis de estabilidad
533
Figura 8-58
Trazas polares del
sistema considerado
en el ejemplo 8-15.
T, = T2
el lugar geométrico
G(jw) HCj’w) pasa por
el punto -1 +jO
Tl < T 2
(Estable)
TI ’ T 2
(Inestable)
el lugar geométrico de G(s)H( s) encierra en un círculo el punto -1 + j0 dos veces en sentido de
las manecillas del reloj. Por tanto, el sistema en lazo cerrado tiene dos polos en lazo cerrado en el
semiplano derecho del plano s y el sistema es inestable.
EJEMPLO 8-16
Considere el sistema en lazo cerrado que tiene la siguiente función de transferencia en lazo abierto:
Determine la estabilidad del sistema.
La función G(s)H(s) tiene un polo (s = UT) en el semiplano derecho del plano s. Por tanto,
T = 1. La traza de Nyquist de la figura 8-59 indica que la traza G(s)H(s) encierra el punto
-1 + j0 una vez en sentido de las manecillas del reloj. Por tanto, N = 1. Dado que Z = N + P,
encontramos que Z = 2. Esto significa que el sistema en lazo cerrado tiene dos polos en lazo cerrado en el semiplano derecho del plano s y que es inestable.
EJEMPLO 8-17
Investigue la estabilidad de un sistema en lazo cerrado con la siguiente función de transferencia
en lazo abierto:
G(s)H(s) = E
(K ’ 1)
Plano GH
(lJ=m
/
\ w=-co
L
Re
Figura 8-59
Traza polar del sistema considerado
en el ejemplo 8-16.
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
Im
Plano GH
t
Figura 8-60
Traza polar del sistema considerado
en el ejemplo 8-17.
La función de transferencia en lazo abierto tiene un polo (s = 1) en el semiplano derecho del
planos, o P = 1. El sistema en lazo abierto es inestable. La traza de Nyquist de la figura 8-60 indica que el lugar geométrico G(s)H( s ) encierra el punto - 1 + j0 una vez en sentido contrario de
las manecillas del reloj. Por tanto, N = -1. De esta forma se encuentra que 2 es cero a partir
de que Z = N + P, lo cual indica que no hay un cero de 1 + G(s)H(s) en el semiplano derecho del
planos y que el sistema en lazo cerrado es estable. Éste es uno de los ejemplos para los cuales un
sistema en lazo abierto se vuelve estable cuando se cierra el lazo.
Sistemas condicionalmente estables. La figura 8-61 muestra un ejemplo de un
lugar geométrico G(&)H(jw) para el cual el sistema en lazo cerrado se vuelve inestable
cuando se varía la ganancia en lazo abierto. Si el incremento de la ganancia en lazo abierto
es suficiente, el lugar geométrico G(jo)H(io) encierra el punto - 1 + j0 dos veces, y el sistema se vuelve inestable. Si la ganancia en lazo abierto disminuye lo suficiente, una vez más
el lugar geométrico G(jw)H(j w )encierra el punto -1 + j0 dos veces. Para una operación
estable del sistema considerado aquf, el punto crítico -1 + j0 no debe aparecer en las regiones comprendidas entre OA y BC en la figura 8-61. Un sistema que ~610 es estable para
rangos limitados del valor de la ganancia en lazo abierto tales que el punto -1 + j0 está
completamente fuera del lugar geométrico G@J)H(J ‘o )es condicionalmente estable.
Un sistema condicionalmente estable es estable para el valor de la ganancia en lazo
abierto que se encuentra entre valores críticos, y es inestable si la ganancia en lazo abierto
se incrementa o decrementa en forma suficiente. Un sistema semejante se vuelve inestable
Im
Plano GH
t
Figura 8-61
I
Sección 8-8 /
Traza polar de un sistema
condicionalmente estable.
Análisis de estabilidad
535
Figura 8-62
Sistema multilazo.
cuando las señales de entrada son grandes, dado que una señal grande puede provocar una
saturación, y ésta, a su vez, reduce la ganancia en lazo abierto del sistema. Es aconsejable
evitar una situación como ésta.
Sistema multilazo. Considere el sistema de la figura 8-62. Se trata de un sistema
multilazo. El lazo interno tiene la función de transferencia
G(s) =
G,(s)
1 + W)W)
Si G(s) es inestable, los efectos de la inestabilidad generan uno o más polos en el semiplano
derecho del plano s. Entonces, la ecuación característica del lazo interno, 1 + G2(s)H2(~) = 0,
tiene uno o más ceros en esta parte del plano. Si Gz.(s) y Z-Z&) tienen A polos aquí, el numero
21 de ceros en el semiplano derecho del plano de 1 + Gz(s)Hz(s) se encuentra a partir de
ZI = IVI + A, en donde NI es el número de encierros en sentido de las manecillas del reloj del
punto - 1 + i0 mediante el lugar geométrico G4r)Z&(s). Dado que la función de transferencia en lazo abierto de todo el sistema se obtiene mediante G&)G(s)Hr(s),
la estabilidad de
este sistema en lazo cerrado se encuentra a partir de la traza de Nyquist de Gl(s)G(s)H~(s) y
el conocimiento de los polos del semiplano derecho del plano de Gl(s)G(s)H~(s).
Observe que, si se elimina un lazo de realimentación por medio de reducciones de un
diagrama de bloques, existe una posibilidad de que se introduzcan polos inestables; si se
elimina la rama de la trayectoria directa por medio de reducciones del diagrama de bloques, existe una posibilidad de que se introduzcan ceros en el semiplano derecho del plano por
tanto, debemos considerar todos los polos y ceros en el semiplano derecho del plano conforme aparecen de las reducciones de lazos subsidiarios. Este conocimiento es necesario para
determinar la estabilidad de sistemas multilazo.
EJEMPLO 8-18
Considere el sistema de control de la figura 8-63. El sistema contiene dos lazos. Determine el
rango de la ganancia K para la estabilidad del sistema mediante el criterio de estabilidad de
Nyquist. (La ganancia K es positiva.)
K(s + 0.5)
1
s2(s + 1)
GD)
Figura 8-63
G2W
Sistema de control.
536
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
C(s)
Para examinar la estabilidad del sistema de control, necesitamos trazar el lugar geométrico
de Nyquist de G(s), en donde
Sin embargo, no se conocen los polos de G(s) en este punto. Por tanto, si hay polos en el semiplano derecho del plano s es necesario examinar el lazo menor. Esto es fácil con el criterio de estabilidad de Routh. Dado que
el arreglo de Routh queda:
s3
2
s1
so
1
1
-1
1
0
1
0
Observe que hay dos cambios de signo en la primera columna. Por tanto, existen dos polos de
Gr(s) en el semiplano derecho del plano s.
Una vez que encontramos el número de polos del semiplano derecho del plano s de Gz(s),
procedemos a trazar el lugar geometrico
de Nyquist de G(s), en donde
G(s) = G1(s)GZ(s)
=m
Nuestro problema es determinar el rango de la ganancia K para la estabilidad. Por tanto,no graficamos los lugares geométricos de Nyquist de G(jw) para diversos valores de K, sino que trazamos
el lugar geométrico de Nyquist de G(jo)/K. La figura 8-64 muestra la traza de Nyquist o la traza
polar de G(jm)lK.
Dado que G(s) tiene dos polos en el semiplano derecho del planos, tenemos que PI = 2. Considerando que
2, = Nl + P,
para la estabilidad requerimos que Zr = 0 o que iVr = -2. Es decir, el lugar geométrico de Nyquist
de G(jw) debe encerrar el punto -1 + &I dos veces en sentido contrario de las manecillas del
reloj. En la figura 8-64 vemos que, si el punto crítico se encuentra entre 0 y -0.5, el lugar geomátrico G(jw)lK encierra el punto critico dos veces en sentido contrario de las manecillas del
reloj. Por tanto, requerimos que
-0SK < -1
El rango de la ganancia K para la estabilidad es
2<K
El criterio de estabilidad de Nyquist aplicado a las trazas polares inversas.
En
los análisis anteriores, se aplicó el criterio de estabilidad de Nyquist a las trazas polares de
la función de transferencia en lazo abierto G(s)H(s).
Al analizar los sistemas multilazo, en ocasiones se usa la función de transferencia inversa para permitir análisis gráficos; esto evita gran parte del cálculo numérico. (El criterio
de estabilidad de Nyquist también es adecuado para las trazas polares inversas, para las
cuales la obtención matemática del criterio de estabilidad de Nyquist es igual a la que se
hace para las trazas polares directas.)
La traza polar inversa de G(jw)H(jw) es una traza de l/[G(jw)H(io)] como una función
de o. Por ejemplo, si G(@)H@IJ) es
Sección 8-8 / Análisis de estabilidad
537
G(jo)H(jo) = 1 i+oJILT
entonces
1
G(jo)H(jo)
=1+1
jwT
La traza polar inversa para o L 0 es la mitad inferior de la línea vertical que empieza en el
punto (1,0) sobre el eje real.
El criterio de estabilidad de Nyquist aplicado a las trazas inversas se plantea del modo
siguiente: para que un sistema en lazo cerrado sea estable, el encierro, si existe, del punto
-1 + j0 mediante el lugar geométrico l/[G(s)H(s)] ( conf orme s se mueve a lo largo de la
trayectoria de Nyquist) debe ser en el sentido contrario de las manecillas del reloj y el
número de veces que queda encerrado debe ser igual al número de polos de l/[G(s)H(s)]
[es decir, de ceros de G(s)H(s)] que se encuentran en el semiplano derecho del plano S. [El
número de ceros de G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano s se determina mediante
el criterio de estabilidad de Routh.] Si la función de transferencia en lazo abierto G(s)H(s)
Im
Plano $
Figura
8-64
-j1.5
Traza polar de
G(iw)IK.
538
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
no tiene ceros en el semiplano derecho del plano s, y con el fin de que el sistema en lazo
cerrado sea estable el número de encierros del punto -1 + j0 por el lugar geométrico
l/[G(s)H(s)]
debe ser cero.
Observe que, aunque el criterio de estabilidad de Nyquist se puede aplicar a las trazas
polares inversas, si se incorporan datos experimentales de la respuesta en frecuencia, puede
ser difícil contar el número de encierros del lugar geométrico l/[G(s)H(s)],
debido a que es
difícil medir el cambio de fase correspondiente a la trayectoria semicircular infinita en el
plano s. Por ejemplo, si la función de transferencia en lazo abierto G(s)H(s) implica un retardo de transporte tal que
entonces la cantidad de encierros del punto -1 + j0 mediante el lugar geométrico
l/[G(s)H(s)]
se vuelve infinita y no es posible aplicar el criterio de estabilidad de Nyquist
a la traza polar inversa de tal función de transferencia en lazo abierto.
En general, si los datos experimentales de la respuesta en frecuencia no pueden expresarse en forma analítica, deben graticarse los lugares geométricos G@)H(jw) y l/[G(ja)H(iw)],
además de determinarse el número de ceros de G(s)H(s) en el semiplano derecho del
plano. Es más difícil determinar los ceros de G(s)H(s ) en el semiplano derecho del plano
(en otras palabras determinar si un componente especifico es de fase mínima) que determinar los polos de G(s)H(s) en la misma parte del plano (en otras palabras, determinar si
el componente es estable).
Dependiendo de si los datos son gráficos o analíticos y de si se incluyen componentes
de fase no mínima, debe usarse una prueba de estabilidad apropiada para sistemas multilazo. Si los datos se proporcionan en forma analítica, o si se conocen expresiones matemáticas para todos los componentes, la aplicación del criterio de estabilidad de Nyquist para
trazas polares inversas no presenta dificultades y-es posible analizar y diseñar los sistemas
multilazo en el plano GH inverso.
EJEMPLO 8-19
Considere el sistema de control de la figura 8-63. (Consulte el ejemplo 8-18.) Usando la traza
polar inversa, determine el rango de la ganancia K para la estabilidad.
Dado que
G2(s)
=
’
s3 + s2 + 1
tenemos que
G(s) = G,(s)G,(s) = ,3’; $+;
Por tanto,
1
s3 + s2 + 1
-=
G(s) K(s + 0.5)
Considere que l/G(s) tiene un polo en s = -0.5 y ninguno en el semiplano derecho del plano s.
Por tanto, la ecuación de estabilidad de Nyquist
Z=N+P
se reduce a Z = N, dado que P = 0. La ecuación reducida plantea que el número Z de los ceros
de 1 + [l/G(s)] en el semiplano derecho del plano s es igual a N, que es el número de encierros
Sección 8-8 / Análisis de estabilidad
539
en sentido de las manecillas del reloj del punto -1 + jo. Para que el sistema sea estable, N debe
ser igual a cero o no debe formar ningún encierro. La figura 8-65 muestra la traza de Nyquist o
la traza polar de K/G(jw).
Observe que, dado que
K
= Gd3 + (jw)’ + 1
G(M)
jw + 0.5
E
= 0.5 - o.5w2 - cO4 + jw(-1 + 0.5d)
0.25 + co2
el lugar geométrico K/G(jo) cruza el eje real negativo en w = fl, y el punto de cruce en el eje
real negativo es -2.
En la figura 8-65 vemos que, si el punto crítico se encuentra en la región entre -2 y -00 el
punto crítico no queda encerrado. Por tanto, para que haya estabilidad es necesario que
-1 <s
Así, el rango de la ganancia K para la estabilidad es
2<K
que es el mismo resultado que obtuvimos en el ejemplo 8-18.
Análisis de estabilidad relativa a través de trazas de Nyquist modificadas.
La
trayectoria de Nyquist para pruebas de estabilidad puede modificarse a fin de investigar la
estabilidad relativa de los sistemas en lazo cerrado. Para la siguiente ecuación característica de segundo orden,
s2 + 25W”S + c.0; = 0
(0 < 5 < 1)
las raíces son complejas conjugadas y son
s1 = -&o, + jan-i
s2 = -Qo, - jcu,m
Figura 8-65
Traza polar de
KIGO’o).
540
Capítulo 8 / AnBlisis de la respuesta en frecuencia
jw t
Plano s
Figura 8-66
Gráfica de las raíces complejas
conjugadas en el plano s.
Si se grafican estas raíces en el plano s, como se aprecia en la figura 8-66, vemos que sen
19 = 5, o el ángulo 8 es indicativo del factor de amortiguamiento relativo 5. Conforme 8 se
hace más pequeño, ocurre lo mismo con el valor de 5.
Si modificamos la trayectoria de Nyquist y usamos líneas radiales con un ángulo &, en
lugar del eje jw, como se observa en la figura 8-67, podemos afirmar, siguiendo el mismo
razonamiento que en el caso del criterio de estabilidad de Nyquist, que si el lugar geométrico G(s)H(s) corresponde al contorno del plano s modificado, no encierra el punto
-1 + j0 y ninguno de los polos de G(s)H(s )se encuentra dentro del contorno del plano s
cerrado, entonces este contorno no encierra ningún cero de 1 + G(s)H(s). La ecuación característica, 1 + G(s)H(s) = 0, no tiene, entonces, ninguna raíz dentro del contorno del plano
s modificado. Si los polos en lazo cerrado de un sistema de orden superior no quedan encerrados en este contorno, podemos decir que el factor de amortiguamiento relativo de cada par
de polos conjugados complejos del sistema en lazo cerrado es mayor que sen 6%.
Suponga que el contorno del planos está formado por una línea a la izquierda del y paralela al eje jo a una distancia -u, (o la líneas = -u, + jo) y el semicírculo de radio infinito
que encierra el semiplano derecho del plano s y la parte del semiplano izquierdo del plano
s comprendida entre las lfneas s = -ab + jw y s = jo,como se observa en la figura 8-68(a).
Si el lugar geométrico G(s)H(s) que corresponde a este contorno del plano s no encierra el
punto -1’ + jo, y G(s)H(s) no tiene polos dentro del contorno del plano s encerrado, entonces la ecuación característica no,tiene ceros en la región encerrada por el contorno del
planos modificado.Todas las raíces de la ecuación característica se encuentran ala izquierda
de la línea s = -u, + jw. Un ejemplo de un lugar geométrico G(-u0 + jw)H( -u, + jw),
junto con un lugar geométrico G(jw)H(jo), aparece en la figura 8-68(b). La magnitud l/u,
es indicativa de la constante de tiempo de los polos dominantes en lazo cerrado. Si todas las
io
Plano s
Figura 8-67
Trayectoria de Nyquist modificada.
Secci6n
8-8 / Análisis de estabilidad
541
Im
Plano GH
/
Figura 8-68
(a) Trayectoria de
Nyquist modificada;
(b) trazas polares del
lugar geométrico
G(-u, + jw)H(-cq, + jo)
y el lugar geométrico
G(jw)H@) en el plano
GH.
Re
(b)
Ca)
Figura 8-69
Trayectoria de Nyquist modificada.
raíces se encuentran fuera del contorno del planos, todas las constantes de tiempo de la función de transferencia en lazo cerrado son menores que Uu,. Si se selecciona el contorno del
plano s como se aprecia en la figura 8-69, la prueba de encerrar el punto -1 + i0 revela la
existencia o inexistencia de las raíces de la ecuación característica del sistema en lazo cerrado dentro de este contorno del planos. Si la prueba revela que no hay raíces en el contorno
del plano s, es evidente que todos los polos en lazo cerrado tienen factores de amortiguamiento relativo mayores que L y constantes de tiempo menores que Ua,. Por tanto, si
se toma un contorno apropiado del plano s, pueden averiguarse las constantes de tiempo y
los factores de amortiguamiento relativo de los polos en lazo cerrado a partir de la función
de transferencia en lazo abierto.
8-9 ESTABILIDAD RELATIVA
Al diseñar un sistema de control, es necesario que sea estable. Además, es necesario que
tenga una estabilidad relativa adecuada.
En esta sección demostraremos que la traza de Nyquist no ~610 indica si un sistema es
estable, sino también el grado de estabilidad de un sistema estable. La traza de Nyquist también propor-ciona información acerca de cómo mejorar la estabilidad, si se necesita. (Véase
el capítulo 9.)
En el análisis siguiente supondremos que los sistemas considerados tienen realimentación unitaria. Observe que siempre es posible reducir un sistema con elementos de
542
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
a
Figura8-70
Modificación de un sistema con elementos
de realimentación a un sistema con
realimentación unitaria.
realimentación a un sistema con realimentación unitaria, como se aprecia en la figura 8-70.
Por tanto, el amilisis de la estabilidad relativa de un sistema con realimentación unitaria
puede extenderse a los sistemas con realimentación no unitaria.
También supondremos, a menos que se mencione lo contrario, que los sistemas son de
fase mínima; es decir, que la función de transferencia de lazo abierto G(s) no tiene polos ni
ceros en el semiplano derecho del plano s.
Análisis de la estabilidad relativa mediante un mapeo conforme. Uno de los problemas importantes al analizar un sistema de control es encontrar todos los polos en lazo
cerrado, o al menos los más cercanos al ejejw (o el par de polos dominantes en lazo cerrado).
Si se conocen las caracterfsticas de la respuesta en frecuencia en lazo abierto de un sistema,
es posible encontrar los polos en lazo cerrado más cercanos al eje jo. Obsérvese que el lugar geométrico de Nyquist G(jw) no necesita ser una función de o analíticamente conocida.
El lugar geométrico de Nyquist completo se obtiene experimentalmente. La técnica que se
va a presentar aquí es esencialmente gráfica y se basa en un mapeo apegado del planos dentro del plano G(s).
Considere el mapeo conforme de las lineas con o constante (las líneas s = u + jo, en donde u es una constante y w varfa) y las lfneas de w constante (las líneas s = u + jo, en donde
0 es una constante y u varía) en el plano s. La línea u = 0 (eje jo) en el plano s se mapea
dentro de la traza de Nyquist en el plano G(s). Las lfneas de u constante en el plano s se mapean dentro de las curvas similares a la traza de Nyquist y son en un sentido, paralelas a la
traza de Nyquist, como se observa en la figura 8-71. Las líneas de o constante en el plano
s se mapean dentro de las curvas, mismas que también se aprecian en la figura 8-71.
Im
Plano G
t
Figurath71
Mapeo conforme de las
retículas del plano s
dentro del plano G(s).
’
Sección 8-9 / Estabilidad relativa
GO'o)
'
543
Plano s
Figura 8-72
Dos sistemas con
dos polos en lazo
cerrado.
ta)
Aunque la forma de los lugares geométricos de u constante y de w constante en el plano
G(s) y !a estrecha proximidad del lugar geométrico G(iw) al punto - 1 + i0 depende de un G(s)
específico, la estrecha proximidad del lugar geométrico G(io) al punto -1 + i0 es un indicio de la estabilidad relativa de un sistema estable. En general, podemos esperar que, entre
más cerca esté el lugar geométrico G(jw) del punto - 1 + iO, más grande será el sobrepaso
máximo en la respuesta transitoria escalón y más tiempo requerirá ésta para amortiguarse.
Considere los dos sistemas de las figuras 8-72(a) y (b). (En la figura 8-72, las x indican los polos en lazo cerrado.) El sistema (a) es obviamente más estable que el sistema (b),
porque los polos en lazo cerrado del sistema (a) se ubican más lejos a la izquierda que los
del sistema (b). Las figuras 8-73(a) y (b) muestran el mapeo conforme de las retículas del
plano s dentro del plano G(s). Entre más cerca del eje ]w están los polos en lazo cerrado,
más cerca del punto -1 + j0 está el lugar geometrico G&).
Márgenes de fase y de ganancia. La figura 8-74 muestra las trazas polares de
GQw) para tres valores diferentes de la ganancia K en lazo abierto. Para un valor grande
de la ganantia K, el sistema es inestable. Conforme la ganancia se decrementa hacia cierto
valor, el lugar geométrico G(iw) pasa por el punto - 1 + iO. Esto significa que, para este valor de la ganancia, el sistema está al borde de la inestabilidad y presenta oscilaciones
sostenidas. Para un valor pequeño de la ganancia K, el sistema es estable.
En general, entre más se acerca el lugar geométrico GCjo) a encerrar el punto -1 + iO,
más oscilatoria es la respuesta del sistema. La proximidad del lugar geométrico G(jo) al
punto - 1 + i0 se usa como una medida del margen de estabilidad. (Sin embargo, esto no
Plano G
Im j,
0
Figura8-73
-1
Re
0
Re
Mapeos conformes de las
cuadrículas del plano s
para los sistemas de la
figura 8-72 dentro del
plano G(s).
544
.+
GW
*
Ca)
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
(b)
Im
Plano G
t
K = ganancia en lazo abierto
Figura 8-74
Trazas polares de
K(1 + joT,)(l + joT,) ‘.
(jo)“(l + joT,)(l + jwT,) . .
se aplica a los sistemas condicionalmente estables.) Es una práctica común representar la
proximidad en términos del margen de fase y el margen de ganancia.
Margen de fase: el margen de fase es la cantidad de atraso de fase adicional en la frecuencia de cruce de ganancia requerida para llevar el sistema al borde de la inestabilidad. La frecuencia de cruce de ganancia es la frecuencia en la cual IC(j magnitud
de la función de transferencia en lazo abierto,es unitaria. El margen de fase yes de
180’ más el ángulo de fase # de la función de transferencia en lazo abierto en la frecuencia de cruce de ganancia, o
y = 180” + q3
Las figuras 8-75(a), (b) y (c) ilustran el margen de fase de un sistema estable y de un
sistema inestable en trazas de Bode, trazas polares y trazas de magnitud logarítmica contra
fase. En la traza polar, se dibuja una línea del origen al punto en el que el círculo cruza el
lugar geométrico G(@). El ángulo del eje real negativo para esta línea es el margen de fase.
Éste es positivo para y > 0 y negativo para y < 0. Con el fin de que un sistema de fase mínima sea estable, el margen de fase debe ser positivo. En las trazas logarítmicas, el punto
crítico en el plano complejo corresponde a las líneas 0 dB y - 180”.
Margen de ganancia: el margen de ganancia es el recíproco de la magnitud IC( en
la frecuencia a la cual el ángulo de fase es - 180”. Si definimos la frecuencia de cruce
de fase 01 como la frecuencia a la cual el ángulo de fase de la función de transferencia en lazo abierto es igual a - 180”, se produce el margen de ganancia Kg:
Kg = , G(;q),
En términos de decibeles,
Kg dB = 20 log Kg = -20 log 1G(jw,) 1
El margen de ganancia expresado en decibeles es positivo si Kg es mayor que la unidad
y negativo si Kg es menor que la unidad. Por tanto, un margen de ganancia positivo (en deci-
Sección 8-9 / Estabilidad relativa
545
Margen de
ganancia positivo
:\
t
-90”
-90°
q -180’
q -180”
-270”
-270”
Margen de
fase positivo
Margen de ’
fase negativo
Sistema estable
Sistema inestable
(4
Im
Im A
+
Margen de
Sistema estable
Figura 8-75
Márgenes de fase y
de ganancia de sistemas
inestable y estable.
(a) Trazas de Bode;
(b) trazas polares;
(c) Trazas de magnitud
logarítmica contra
la fase.
546
Sistema inestable
(b)
I
-2 O0
-180”
LG
Sistema estable
-270’
-
(cl
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
Plano G
-180”
LG
Sistema inestable
-
beles) significa que el sistema es estable y un margen de ganancia negativo (en decibeles)
quiere decir que el sistema es inestable. El margen de ganancia se aprecia en las figuras
8-34, (b) Y Cc).
Para un sistema estable de fase mínima, el margen de ganancia indica cuánto puede incrementarse la ganancia antes de que el sistema se vuelva inestable. Para un sistema inestable, el margen de ganancia indica cuánto debe disminuir la ganancia para que el sistema
se vuelva estable.
El margen de ganancia de un sistema de primer o segundo órdenes es infinito, dado que las
trazas polares para tales sistemas no cruzan el eje real negativo. Por tanto, los sistemas de
primer y segundo órdenes en teoría no pueden ser inestables. (Sin embargo, observe que los
denominados sistemas de primer y segundo órdenes son sólo aproximaciones, en el sentido de
que, al obtener las ecuaciones del sistema, no se consideran los pequeños atrasos de tiempo y,
por tanto, no se trata, en verdad, de sistemas de primer o segundo órdenes Si se consideran estos atrasos pequeños,los supuestos sistemas de primer o segundo órdenes se vuelven inestables)
Observe que, para un sistema de fase no mínima con un lazo abierto inestable, la condición de estabilidad no se satisface a menos que la gráfica G(ja) encierre el punto - 1 + jo. Por
tanto, un sistema estable de fase no mínima tendrá mhrgenes de fase y de ganancia negativos.
También es importante señalar que los sistemas condicionalmente estables tienen dos
o más frecuencias de cruce de fase y que algunos sistemas de orden superior con una
dinámica complicada en el numerador también pueden tener dos o más frecuencias de
cruce de ganancia, como se observa en la figura 8-76. Para que los sistemas estables tengan dos o más frecuencias de cruce de ganancia, se mide el margen de fase en la frecuencia
de cruce de ganancia más alta.
Algunos comentarios sobre los márgenes de fase y de ganancia. Los márgenes
de fase y de ganancia de un sistema de control son una medida de la proximidad de la traza
polar al punto -1 + jo. Por tanto, pueden usarse como criterios de diseño.
Debe señalarse que el puro margen de ganancia o el puro margen de fase no aportan
un indicio suficiente de la estabilidad relativa. Deben considerarse ambos en la determinación de la estabilidad relativa.
Im
Im
Frecuencias de
cruce de fase
(W> 029 03)
Figura 8-76
Frecuencias de
cruce de ganancia
Trazas polares
que muestran más
de dos frecuencias
de cruce de fase
o de ganancia.
Sección 8-9 / Estabilidad relativa
3-
Re
Re
547
Para un sistema de fase mínima, los márgenes de fase y de ganancia deben ser positivos
a fin de que el sistema sea estable. Los margenes negativos indican inestabilidad.
Los márgenes adecuados de fase y de aumento nos aseguran contra las variaciones de
los componentes del sistema y se especifican para valores de frecuencia definidos. Los dos
valores delimitan el comportamiento del sistema en lazo cerrado cerca de la frecuencia de
resonancia. Para obtener un desempeño satisfactorio, el margen de fase debe estar entre
30” y 60”, y el margen de ganancia debe ser mayor que 6 dB. Con estos valores, un sistema
de fase mínima tiene una estabilidad garantizada, incluso si la ganancia en lazo abierto y
las constantes de tiempo de los componentes varían en cierto grado. Aunque los márgenes
de fase y de ganancia solo proporcionan estimados globales del factor de amortiguamiento
relativo efectivo del sistema en lazo cerrado, ofrecen un medio conveniente de diseñar los
sistemas de control o ajustar las constantes de ganancia de los sistemas.
Para los sistemas de fase mínima, las caracterfsticas de magnitud y de fase de la función
de transferencia en lazo abierto se relacionan en forma estrecha. El requerimiento de que el
margen de fase esté entre 30” y 60” significa que, en las trazas de Bode, la pendiente de la
curva de magnitud logarftmica en la frecuencia de cruce de ganancia debe ser más gradual
que -40 dB/década. En la mayor parte de los casos prácticos, es conveniente para la estabilidad una pendiente de -20 dB/década en la frecuencia de cruce de ganancia. Si es de
-40 dB/década, el sistema puede ser estable o inestable. (Sin embargo, incluso si el sistema es
estable, el margen de fase es pequeño.) Si la pendiente de la frecuencia de cruce de ganancia
tiene una pendiente de -60 dB/década o mayor, es muy probable que el sistema sea inestable.
EJEMPLO8-20
Obtenga los márgenes de fase y de ganancia del sistema de la figura 8-77 para los casos en los
queK=lOyK=lOO.
Los márgenes de fase y de ganancia se obtienen con facilidad de las trazas de Bode. La figura
8-78(a)
contiene las trazas de Bode de la función de transferencia en lazo abierto determinada
con K = 10. Los márgenes de fase y de ganancia para K = 10 son
Margen de fase = 21”,
Margen de ganancia = 8 dB
Por tanto, la ganancia del sistema se incrementa en 8 dB antes de que ocurra la inestabilidad.
Incrementar la ganancia de K = 10 a K = 100 mueve el eje 0 dB 20 dB hacia abajo, como se
aprecia en la figura 8-78(b). Los márgenes de fase y de ganancia son
Margen de fase = -3O”,
Margen de ganancia = -12 dB
Por tanto, el sistema es estable para K = 10, pero inestable para K = 100.
Observe que uno de los aspectos convenientes del enfoque de las trazas de Bode es la facilidad con la cual se evalúan los efectos de los cambios de ganancia.
Considere que, para obtener un desempeño satisfactorio, debemos incrementar el margen de fase
a30°- 60’. Para ello se decrementa
la ganancia K. Sin embargo, no es conveniente decrementar K,
dado que un valor pequeño de K producirá un error grande para la entrada de la pendiente Esto sugiere que puede ser necesario volver a dar forma a la curva de respuesta en frecuencia en lazo abierto
agregando una compensación. Las técnicas de compensación se analizan con detalle en el capítulo 9.
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
,.............
+/ .<.
i .<.
j
-1*(p /
]........
;w
, i. i..I j &. i/ .<
+...i +...i..j.ii I pq
i...]
.
i
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+
-30” / ; / /
f.....+i / i / ,.:/:iii
. .:(Margen
+.f..+..+.~de fa:t’ se)
+.-.. j ; . / +...+.+.
/ :/ ::i/:
: : i/jil
j
/. . . << /<..< y...../.:; :
i
0.2
i
/
:
0.4 0.6 0.8 1
0
(b)
(4
Figura 8-78
Trazas de Bode del sistema de la figura 8-77(a) con K = 10, y (b) con K = 100.
Magnitud del pico de resonancia M, y frecuencia de pico de resonancia or.
Con-
sidere el sistema de la figura 8-79. La ‘hmción de transferencia en lazo cerrado es
4
C(s)
-=
s2
+
25w,s
+ co;
R(s)
(8-9)
en donde 5 y wn son el factor de amortiguamiento relativo y la frecuencia natural no amortiguada, respectivamente. La respuesta en frecuencia en lazo cerrado es
Sección 8-9 / Estabilidad relativa
549
en donde
Según lo obtenido mediante la ecuación (8-6), para 0 5 5 I 0.707, el valor máximo de M
ocurre en la frecuencia wr, en la cual
0, = o,m = o,m
(8-10)
El ángulo 8 se define en la figura 8-80. La frecuencia ar es la frecuencia de resonancia. En
la frecuencia de resonancia, el valor de Mes máximo y se obtiene a partir la ecuación (8-7),
que se reescribe como
M,=
1
=25VTT3 s e n 28
’
(8-11)
en donde M, se define como la magnitud del pico de resonancia, valor que se relaciona con
el amortiguamiento del sistema.
La magnitud del pico de resonancia proporciona un indicio de la estabilidad relativa del
sistema. Una magnitud del pico de resonancia grande indica la presencia de un par de polos dominantes en laxo cerrado con un factor de amortiguamiento pequeño, lo cual produce
una respuesta transitoria inconveniente. En cambio, una magnitud del pico de resonancia
pequeña indica la ausencia de un par de polos dominantes en laxo cerrado con un factor de
amortiguamiento relativo pequeño, lo que significa que el sistema está bien amortiguado.
Recuerde que mr es real solo si 5 < 0.707. Por tanto, no hay una resonancia en lazo cerrado si 5 > 0.707. [El valor de M, es unitario sólo si 5 > 0.707.Véase la ecuación (8-8).] Dado
que en un sistema físico es fácil medir los valores de M, y w,, éstos son muy útiles para verificar que los análisis teórico y experimental coincidan.
Sin embargo, debe señalarse que, para problemas prácticos de diseño, es más común especificar el margen de fase y el margen de ganancia que la magnitud del pico de resonancia para indicar el grado de amortiguamiento de un sistema.
Correlación entre la respuesta transitoria a escalón y la respuesta en frecuencia en el sistema estándar de segundo orden. El sobrepaso máximo en la respuesta
escalón unitario del sistema estándar de segundo orden, tal como se aprecia en la figura
jo
f3 2
\
0u
X
Figura 8-80
Definición del ángulo 0.
550
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
8-79, se correlaciona en forma exacta con la magnitud del pico de resonancia en la respuesta en frecuencia. Por tanto, la respuesta en frecuencia contiene, en esencia, la misma
información de la dinámica del sistema que la respuesta transitoria.
Para una entrada escalón unitario, la salida del sistema de la figura 8 -79 se obtiene mediante la ecuación (4-21), o bien
c(t) = l- e-@ht
s e n Wdt ,
cos wdt + ,,&
para f 2 0
en donde
od=wnAlí-q=o,cos~
(8-12)
Por otra parte, el sobrepaso máximo Mp para la respuesta escalón unitario se obtiene mediante la ecuación (4-30), o bien
j$ = ,iCrn,~
(8-13)
Este sobrepaso máximo ocurre en la respuesta transitoria que tiene la frecuencia natural
amortiguada wd = UJ,~. El sobrepaso máximo se vuelve excesivo para valores de
5 < 0.4.
Dado que el sistema de segundo orden de la figura 8-79 tiene la función de transferencia en lazo abierto
G(s) =
4
ds + 334J
para una operación senoidal, la magnitud de G(jw)
se vuelve unitaria cuando
que se obtiene igualando IG(j o )) con la unidad y despejando o. En esta frecuencia, el ángulo de fase de G@J) es
/GCjo) = - /iw - /jw + 250, = -90” - tan-’ VT- 252
Por tanto, el margen de fase y es
y = 180” +/
G@u)
= 90” - tan-l
= tan-l
QTT-@ - 252
25
25
MT-ip - 252
La ecuación (8-14) presenta la relación entre el factor de amortiguamiento relativo 5 y el
margen de fase y. (Observe que el margen de fase y es sólo una función del factor de amortiguamiento relativo g.)
A continuación resumiremos la correlación entre la respuesta transitoria a escalón y la
respuesta en frecuencia del sistema de segundo orden obtenido mediante la ecuación (8-9):
Sección S-9 / Estabilidad relativa
551
Figura
8-81
Curva y (margen de fase) contra 5
para el sistema de la figura 8-79.
1. El margen de fase y el factor de amortiguamiento relativo se relacionan en forma directa. La figura 8-81 muestra una gráfica del margen de fase y como una función del factor
de amortiguamiento relativo 5. Observe que, para el sistema estándar de segundo orden de
la figura 8-79, el margen de fase y y el factor de amortiguamiento relativo 5 se relacionan
aproximadamente mediante una línea recta para 0 I 5 5 0.6, del modo siguiente:
Por tanto, un margen de fase de 60” corresponde a un factor de amortiguamiento relativo
de 0.6. Para sistemas de orden superior que tienen un par de polos dominantes en lazo cerrado, esta relación se usa como una regla empírica para estimar la estabilidad relativa de la
respuesta transitoria (es decir, el factor de amortiguamiento relativo) a partir de la respuesta en frecuencia.
2. Remitikndonos a las ecuaciones (8- 10) y (8- 12) vemos que los valores de w, y Wd
son casi iguales para valores pequeños de 5. Por tanto, para valores pequeños de c, el valor
de w es indicativo de la velocidad de respuesta transitoria del sistema.
3. En las ecuaciones (8-11) y (8-13), observamos que, entre más pequeño es el valor
de g, más grandes son los valores de M, y Mp. La correlación entre M, y Mp como una función de 5 aparece en la figura 8-82. Se observa una relación estrecha entre M, y Mp para 5
> 0.4. Para valores muy pequeños de 5, M, se vuelve muy grande (M, B l), en tanto que el
valor de Mp no excede de 1.
Correlación entre la respuesta transitoria a escalón y la respuesta en frecuencia en sistemas generales. Es muy común que el diseño de los sistemas de control se
realice con base en la respuesta en frecuencia. La razón principal de esto es la simplicidad
relativa de este enfoque en comparación con otros. Dado que en muchas aplicaciones el in-
552
Capítulo 8 / Anhlísis de la respuesta en frecuencia
Figura 8-82
0.2
0.4
0.6
0.8
1. 0
5
Curvas M, contra 5 y Mp contra 5
para el sistema de la figura 8-79.
terés principal es la respuesta transitoria del sistema para entradas aperiódicas, en lugar de
la respuesta en estado estable ante entradas senoidales, surge la cuestión de la correlación
entre la respuesta transitoria y la respuesta en frecuencia.
Para el sistema de segundo orden de la figura 8-79, es fácil obtener las relaciones
matemáticas que correlacionan la respuesta transitoria a escalón con la respuesta en frecuencia. La respuesta en tiempo de un sistema de segundo orden se predice con exactitud
a partir del conocimiento de la i& y la o1 de su respuesta en frecuencia en lazo cerrado.
Para sistemas de orden superior, la correlación es más compleja y no es fácil predecir
la respuesta transitoria a partir de la respuesta en frecuencia, porque los polos adicionales
modifican la correlación entre la respuesta transitoria a escalón y la respuesta en frecuencia existentes para un sistema de segundo orden. Existen técnicas matemáticas que permiten obtener la correlación exacta, pero son muy laboriosas y de poco valor práctico.
La aplicabilidad de la correlación existente entre la respuesta transitoria y la respuesta
en frecuencia para el sistema de segundo orden de la figura 8-79 en sistemas de orden superior depende de la presencia de un par de polos dominantes en lazo cerrado complejos
conjugados en estos sistemas de orden superior. Es evidente que, si la respuesta en frecuencia de un sistema de orden superior es dominada por un par de polos en lazo cerrado
complejos conjugados, la correlaciõn entre la respuesta transitoria y la respuesta en frecuencia existente para el sistema de segundo orden se puede extender al sistema de orden
superior.
Para sistemas de orden superior, lineales e invariantes con el tiempo, que tienen un par
de polos dominantes en lazo cerrado complejos conjugados, por lo general existen las siguientes relaciones entre la respuesta transitoria a escalón y la respuesta en frecuencia:
1. El valor de M, indica la estabilidad relativa. Por lo general se obtiene un desempeño transitorio satisfactorio si el valor de M, está en el rango de 1.0 < M, < 1.4 (0 dB <
M, < 3 dB), que corresponde a un factor de amortiguamiento relativo efectivo de 0.4 < 5
< 0.7. Para valores de M, mayores que 1.5, la respuesta transitoria a escalón puede pre-
Seccibn
8-9 / Estabilidad relativa
553
sentar varios sobrepasos. (Observe que, en general, un valor grande de M, corresponde a un
sobrepaso grande en la respuesta transitoria a escalón. Si el sistema está sujeto a señales
de ruido cuyas frecuencias están cerca de la frecuencia de resonancia w, el ruido se amplifica en la salida y presenta problemas serios.)
2 . La magnitud de la frecuencia de resonancia O, indica la velocidad de respuesta transitoria. Entre más grande es el valor de w, más rápida es la respuesta en tiempo. En otras
palabras, el tiempo de levantamiento varía inversamente con respecto a wI. En términos de
respuesta en frecuencia en lazo abierto, la frecuencia natural amortiguada en la respuesta
transitoria está en algún punto entre la frecuencia de cruce de ganancia y la frecuencia de
cruce de fase.
3 . La frecuencia del pico de resonancia w y la frecuencia natural amortiguada Wd para
la respuesta transitoria a escalón están muy cercanas entre sí para sistemas ligeramente
amortiguados.
Las tres relaciones que se acaban de listar son útiles para correlacionar la respuesta
transitoria a escalón con la respuesta en frecuencia de sistemas de orden superior, siempre
y cuando éstas se aproximen mediante un sistema de segundo orden o un par de polos complejos conjugados en lazo cerrado. Si un sistema de orden superior satisface esta condición,
un conjunto de especificaciones en el dominio del tiempo se traduce en especificaciones en
el dominio de la frecuencia. Esto simplifica enormemente el trabajo de diseño o de compensación de los sistemas de orden superior.
Además del margen de fase, el margen de ganancia, el pico de resonancia 44, y la frecuencia del pico de resonancia wr, existen otras cantidades en el dominio de frecuencia que
se usan a menudo en las especificaciones de desempeño. Éstas son la frecuencia de corte,
el ancho de banda y la razón de corte. A continuación se definirán todas ellas.
Frecuencia de corte y ancho de banda. Remitiéndonos a la figura 8-83, la frecuencia ab en la cual la magnitud de respuesta en frecuencia en lazo cerrado está 3 dB debajo de su valor de frecuencia cero se denomina frecuencia de corte. Por tanto
I
l
I
@b
0 en la escala logarftmica
554
+
Figura8-83
Traza logarítmica que muestra la frecuencia
de corte @b y el ancho de banda.
Capítulo 8 / An6lisis de la respuesta en frecuencia
Para los sistemas en los cuales IC(iO)lRGO)
= 0 dB,
para W > ab
El sistema en lazo cerrado filtra las componentes de la señal cuyas frecuencias son mayores
que la frecuencia de corte y permite el paso de aquellas con frecuencias menores que la frecuencia de corte.
El rango de la frecuencia 0 5 o I ab en el cual la magnitud en lazo cerrado no desciende
a -3 dB se denomina ancho de banda del sistema. El ancho de banda indica la frecuencia a
la cual la ganancia empieza a rebasar su valor de frecuencia baja. Por tanto, el ancho de banda
indica qué tan bien registrará el sistema una senoide de entrada. Observe que, para una wn
determinada, el tiempo de levantamiento aumenta con un factor de amortiguamiento relativo c creciente. En cambio, el ancho de banda disminuye con el decremento de 5. Por tanto,
el tiempo de levantamiento y el ancho de banda son inversamente proporcionales
La especificación del ancho de banda se determina mediante los factores siguientes:
1. La capacidad de reproducir la señal de entrada. Un ancho de banda grande corresponde
a un tiempo de levantamiento pequeño o a una respuesta rápida. En términos generales,
puede decirse que el ancho de banda es proporcional a la velocidad de respuesta.
2. Las características de filtrado necesarias para el ruido de alta frecuencia.
Para que el sistema siga las entradas arbitrarias con precisión, es necesario que tenga
un ancho de banda grande. Sin embargo, desde el punto de vista del ruido, el ancho de
banda no debe ser demasiado grande. Por tanto, existen requerimientos en conflicto con respecto al ancho de banda y, por lo general, el equilibrio es necesario para un buen diseño.
Observe que un sistema con un ancho de banda grande requiere de componentes de alto
desempeño. Así, el costo de los componentes suele incrementarse con el ancho de banda.
Razón de corte. La razón de corte es la pendiente de la curva de magnitud logarítmica cercana a la frecuencia de corte. La razón de corte indica la capacidad de un sistema
para distinguir la señal del ruido.
Adviértase que una curva de respuesta en frecuencia en lazo cerrado con una característica de corte muy marcada tiene una magnitud grande del pico de resonancia, lo cual
implica que el sistema tiene un margen de estabilidad relativamente pequeño.
EJEMPLO 8-21
Considere los dos sistemas siguientes:
1
Sistema 1: w-- s + l ’
Ns)
Sistema II:
Compare sus anchos de banda. Demuestre que el sistema con el ancho de banda mayor tiene una
mayor velocidad de respuesta y puede seguir la entrada mucho mejor que el que tiene un ancho
de banda menor.
La figura 8-84(a) muestra las curvas de respuesta en frecuencia en lazo cerrado para los dos
sistemas. (Las curvas asintóticas se indican con líneas de guiones.) Encontramos que el ancho de
banda del sistema 1 es 0 5 w ZG 1 rad/seg y que la del sistema II es 0 5 w 5 0.33 radkeg. Las figuras 8-84(b) y (c) muestran, respectivamente, las curvas de respuesta escalón unitario y de respuesta rampa unitaria para los dos sistemas. Es evidente que el sistema 1, cuyo ancho de banda
es tres veces mayor que el del sistema II, tiene una mayor velocidad de respuesta y sigue la entrada mucho mejor.
Sección 8-9 / Estabilidad relativa
555
dB
f
Figura 8-84
Comparación de las
características
dinámicas de los dos
sistema considerados
en el ejemplo S-21j.’
(a) Curvas de la respuesta en frecuencia
en lazo cerrado;
(b) curvas de la respuesta escalón
unitario; (c) curvas
de la respuesta
rampa unitaria.
(cl
8-10 RESPUESTA EN FRECUENCIA EN LAZO CERRADO
Respuesta en frecuencia en lazo cerrado de sistemas con realimentación unitaria. Para un sistema estable en lazo cerrado, es fácil obtener la respuesta en frecuencia
a partir de la respuesta en lazo abierto. Considere el sistema con realimentación unitaria
de la figura 8-85(a). La función de transferencia en lazo cerrado es
C(s) =
R(s)
G(s)
1 + G(s)
En la traza polar o de Nyquist que aparece en la figura 8-85(b), el vector ¿&epresenta a
G(@I), en donde WI es la frecuencia en el punto A. La longitud del vector des IGGw)l
y el ángulo del vector $¡ es /G(jw~) . El vector PA vector que va del punto - 1 + j0 al lugar geométrico de Nyquist, representa a 1 + G @JI). Por tanto, la razón entre dy arepresenta la respuesta en frecuencia en lazo cerrado, o
Im
Figura 8-85
(a) Sistema con realimentación unitaria;
(b) determinación de
la respuesta-en frecuencia en lazo
cerrado a partir de la
respuesta en frecuencia en lazo abierto.
556
64
Capítulo 8 /
Análisis de h respuesta en frecuencia
02
W4
C(h)
-=
1
+
G(jo,)
=
RCjwl)
PA
La magnitud de la función de transferencia en lazo cerrado en o = WI es el cociente entre las
magnitudes de o’a y de & El ángulo de fase de la función de transferencia en lazo cerrado
en w = WI es el ángulo formado por los vectores & a Pd, que es $J - 8, y que aparece en
la figura 8-85(b). Midiendo la magnitud y el ángulo de fase en diferentes puntos de frecuencia, se obtiene la curva de respuesta en frecuencia en lazo cerrado.
Definamos la magnitud de respuesta en frecuencia en lazo cerrado como M y el ángulo
de fase como a, o
A continuación, encontraremos los lugares geométricos de magnitud constante y los lugares geométricos de ángulo de fase constante. Tales lugares geométricos son convenientes
para determinar la respuesta en frecuencia en lazo cerrado a partir de la traza polar o de
Nyquist.
Lugares geométricos de magnitud constante (círculos M). Para obtener los lugares geométricos de magnitud constante, primero consideremos que G(jo) es una cantidad compleja que se escribe del modo siguiente:
G(jo) = X + jY
en donde X y Y son cantidades reales. A continuación obtenemos M mediante
M=Ix
Il + X+ jYI
Y M2 mediante
2
2
M2= &J2'+,
Por tanto
X2(1 - M2) - 2M2X - M2 + (1 - M2)Y2 = 0
(8-15)
Si M = 1, entonces, a partir de la ecuación (8-15), obtenemos X = -4. Ésta es la
ecuación de una recta paralela al eje Y y que pasa por el punto (-4,O).
Si M # 1, la ecuación (8-15) se escribe
2M2
M2
p+p-lx+ M2--1 +P=o
Si se agrega el término W/(iW - 1)2 a ambos miembros de esta última ecuación, obtenemos
La ecuación (8-16) es la de un círculo con centro en X = - W/(Mz - l), Y = 0 y con radio lM/(Mz - l)].
Vemos así que los lugares geométricos de M constante sobre el plano G(s) forman una
familia de círculos. El centro y el radio del círculo para un valor determinado de M se calcuSección 8-10 / Respuesta en frecuencia en lazo cerrado
557
lan con facilidad. Por ejemplo, para M = 1.3, el centro está en (-2.45,O) y el radio es de
1.88. La figura 8-86 muestra una familia de círculos de M constante. Se observa que, conforme M aumenta con respecto a 1, los círculos M se reducen y convergen en el punto
-1 + jo. Para M > 1, los centros de los círculos M se encuentran a la izquierda del punto - 1 + jo. Asimismo, conforme M disminuye con respecto a 1, el cfrculo M se vuelve más pequeño y converge en el origen. Para 0 < M < 1, los centros de los círculos M se encuentran
a la derecha del origen. M = 1 corresponde al lugar geométrico de los puntos equidistantes
del origen y el punto -1 + jo. Como se planteó antes, se trata de una recta que pasa por el
punto (-4, 0), paralela al eje imaginario. (Los círculos de M constante que corresponden a
M > 1 se encuentran a la izquierda de la recta M = 1 y los que corresponden a 0 < M < 1
se encuentran a la derecha de la misma.) Los círculos M son simétricos con respecto a la
recta que corresponde a M = 1 y al eje real.
Lugares geométricos de ángulo de fase constante (círculos N).
el ángulo de fase OL en términos de X y Y. Dado que
el ángulo de fase Q es
cx = tan-‘($) -tan-‘(&)
Si definimos
tana = N
entonces
N = tank-‘(5) - tan-‘(&)]
4
M= 1.2
Figura 8-86
Una familia de círculos
de M constante.
558
Capítulo 8 / Análisis de krespuesta en frecuencia
Y
Obtendremos
Dado que
tan(A - B) =
tanA - tanB
1 + tanA tanB
obtenemos
N=
-Y
x
- Y 1+x
Y
l+Y x 1+x
i
Y
=x2+x+y2
)
o bien
La adición de (?4) + 1/(2N)2 a ambos miembros de esta ultima ecuación nos lleva a
(8-17)
Ésta es la ecuación de un cfrculo con centro en X = -4, Y = 1/(2N) y radio de
v/(G) + 1/(2N)2. Por ejemplo, si a = 30”, N = tan Q = 0.577 y el centro y el radio del cfrculo correspondiente a a = 30” son (-0.5,0.866) y la unidad, respectivamente. Dado que
la ecuación (8- 17) se satisface para X = Y = 0 y X = -1, Y = 0 sin considerar el valor de
N, cada círculo pasa por el origen y el punto -1 + jo. Los lugares geométricos de Q constantes se trazan con facilidad una vez obtenido el valor de N. La figura 8-87 contiene una
familia de cfrculos de N constantes con a como parámetro.
Debe señalarse que el lugar geométrico de N constante para un valor determinado de
CL no es en realidad el círculo completo, sino ~610 un arco. En otras palabras, los arcos a =
30” y a = -150” son partes de un mismo cfrculo. Esto es así porque la tangente de un ángulo no cambia si se agregan al ángulo 2180’ (o múltiplos del mismo).
El uso de los cfrculos M y N nos permite encontrar toda la respuesta en frecuencia en
lazo cerrado a partir de la respuesta en frecuencia en lazo abierto G(jo), sin necesidad de
calcular la magnitud y la fase de la función de transferencia en lazo cerrado en todas las frecuencias. Las intersecciones del lugar geométrico G(jo) y los círculos M y N producen los
valores de M y N en los puntos de frecuencia sobre el lugar geométrico G(jw).
Los círculos N tienen valores múltiples en el sentido de que el círculo para a = al y
aquél para a = al I+ 180% (n = 1,2,. . .) son iguales. Al usar los círculos N para la determinación del ángulo de fase de los sistemas en lazo cerrado debemos interpretar el valor correcto de CC. Para evitar un error, empiece en la frecuencia cero, que corresponde a a = O”, y
avance a frecuencias más altas. La curva del ángulo de fase debe ser continua.
Gráficamente, las intersecciones del lugar geométrico G(jo) y los círculos M producen
los valores de M para las frecuencias representadas en el lugar geométrico G@u). Por
tanto, el círculo de M constante con el radio más pequeño tangente al lugar geométrico
CC&) produce el valor de la magnitud del pico de resonancia M,. Si se quiere conservar el
valor del pico de resonancia menor que cierto valor, el sistema no debe encerrar el punto
crítico (-1 + jo), ni debe haber intersecciones con el círculo M determinado y el lugar geométrico G(jo).
Seccibn 8-10 / Respuesta en frecuencia en lazo cerrado
559
Figura
8-87
Una familia de círculos de N constante.
La figura 8-88(a) muestra el lugar geomkico G(jw) sobrepuesto a una familia de círculos M. La figura 8-88(b) muestra el mismo lugar geométrico G(jw) sobrepuesto auna familia
de círculos I?. A partir de estas gráficas, es posible obtener, mediante inspección, la respuesta
en frecuencia en lazo cerrado. Observe que el circulo M = 1.1 intersecta el lugar geométrico
G(jo) en el punto de frecuencia w = 01. Esto significa que, en esta frecuencia, la magnitud de
la función de transferencia en lazo cerrado es 1.1. En la figura 8-88(a), el círculo M = 2 es
tangente al lugar geométrico [email protected]). Por tanto, sólo hay un punto en el lugar geométrico de
G(jo) para el cual IC(iw)/R(iw)l es igual a 2. La figura 8-88(c) muestra la curva de respuesta
en frecuencia en lazo cerrado para el sistema. La curva superior es la curva M contra la frecuencia w y la curva inferior es el ángulo de fase CI contra la curva de frecuencia w.
El valor del pico de resonancia es el valor de M correspondiente al cfrculo M de radio más
pequeño tangente al lugar geomCtrico G(jo). Por tanto, en la traza de Nyquist, el valor del
pico de resonancia Mr y la frecuencia de resonancia ur se encuentran a partir de la tangencia
entre el cfrculo M y el lugar geom&rico G@). (En el ejemplo actual, M, = 2 y cor = 04.)
Carta de Nichols. Al abordar problemas de diseño, encontramos conveniente construir los lugares geométricos M y N en el plano de la magnitud logarítmica contra la fase. El
diagrama formado por estos lugares geométricos se denomina carta de Nichols Esta carta
aparece en la figura 8-89, para los ángulos de fase entre 0’ y -240”.
Observe que el punto crítico (punto -1 + iO) se mapea para la carta de Nichols como
el punto (0 dB, -180’). La carta de Nichols contiene las curvas de magnitud y ángulo de
fase en lazo cerrado constantes. El diseñador puede determinar gráficamente el margen
de fase, el margen de ganancia, la magnitud del pico de resonancia, la frecuencia del pico de
resonancia y el ancho de banda del sistema en lazo cerrado a partir de la traza del lugar geométrico en lazo abierto, G(jw).
560
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
M= 1.1
\
Im
Im
t
t
(b)
G
Figura 8-88
(a) Lugar geométrico
G(jw) sobrepuesto a una
familia de círculos M; (b)
lugar geométrico G(jw)
sobrepuesto a una familia
de círculos N; (c) curvas
de respuesta en frecuencia
en lazo cerrado.
0:
4I
u
I
l
1
I
1
I
l
01
w
Y
@4
-180°
-270”
w
ws
w
(cl
La carta de Nichols es simétrica con respecto al eje - 180”. Los lugares geométricos M
y N se repiten cada 360” y presentan una simetría en cada intervalo de 180”. Los lugares geométricos M están centrados con respecto al punto crítico (0 dB, -180”). La carta de Nichols
es muy útil para determinar la respuesta en frecuencia en lazo cerrado a partir de la de lazo
abierto. Si la curva de la respuesta en frecuencia en lazo abierto G(jw) se sobrepone a la carta
de Nichols, los puntos en los que interseca los lugares geométricos M y N proporcionan los
valores de la magnitud M y el ángulo de fase a de la respuesta en frecuencia en lazo cerrado en cada punto de frecuencia. Si el lugar geométrico G(jc~) no intersecta el lugar geo-
Sección 8-10 / Respuesta en frecuencia en lazo cerrado
561
36
32
28
24
20
16
0
-4
-8
-16
Figura 8439
- 2 4 0 ” -210’ - 1 8 0 ” - 1 5 0 ” - 1 2 0 ” - 9 0 ” - 6 0 ” - 3 0 ” 0 ”
Carta de Nichols.
m
métrico M = M,, pero es tangente a él, el valor del pico de resonancia de M de la respuesta
en frecuencia en lazo cerrado se obtiene de Mr. La frecuencia del pico de resonancia se obtiene a partir de la frecuencia en el punto de tangencia.
Como ejemplo, considere el sistema con realimentación unitaria con la siguiente función de transferencia en lazo abierto:
G(jw)
=
K
s(s + l)(OSS + 1) ’
K = l
Para encontrar la respuesta en frecuencia en lazo cerrado mediante la carta de Nichols, se
construye el lugar geométrico GGw) en el plano de la magnitud logarítmica contra la fase,
a partir de las trazas de Bode. El uso de las trazas de Bode elimina el extenso cálculo
numérico de Gt’jw). La figura 8-90(a) muestra el lugar geométrico GGw) junto con los lugares geométricos My N. Para construir las curvas de la respuesta en frecuencia en lazo cerrado se leen las magnitudes y los ángulos de fase en diversos puntos de la frecuencia sobre
el lugar geométrico GGw) a partir de los lugares geométricos M y IV, como se aprecia en la
figura 8-90(b). Dado que el contorno de mayor magnitud que toca el lugar geométrico
G(jw) es 5 dB, la magnitud del pico de resonancia M, es 5 dB. La frecuencia del pico de resonancia correspondiente es de 0.8 rad/seg.
Observe que el punto de cruce de fase es el punto en el cual el lugar geométrico GQw)
interseca el eje -180” (para el sistema actual, w = 1.4 radkeg), y el punto de cruce de la
ganancia es el punto en el cual el lugar geométrico interseca el eje 0 dB (para el sistema
562
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
V.6 ;lAO”< .<
-4 ._,._.,. ......< ......... . _. l. i . < . < i
/
k/
yldE8,
;
~
. .<. . . _<.. (., . <. . 1.2
.... ..
/
75
i1.4
/
-150.3
c,
I
0
-1 3 ..<..<........ i ..<.............. i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .L.. . . I <.<.< . . . . . . . . . . . . L. . . . . i L.&“ed
-Ie
1.81i
\ !
!
I
I
I
-16
-240”
-210°
-180”
-150”
-120”
-90°
.&
-8
j,_~~
-270°
0.1
I
0.2
64
;;
: i:
ij
ii :j
l
I 1 I
0.4
0.6 0.8 1
0 en radheg
2
(b)
Figura 8-90
(a) Traza de GCjw) sobrepuesta a la carta de Nichols; (b) curvas de respuesta en frecuencia en lazo cerrado.
actual, w = 0.76 radkeg). El margen de fase es la distancia horizontal (medida en grados)
entre el punto de cruce de ganancia y el punto crítico (0 dB, -180”). El margen de ganancia es la distancia (en decibeles) entre el punto de cruce de fase y el punto crítico.
El ancho de banda del sistema en lazo cerrado se encuentra con facilidad a partir del
lugar geométrico GGw) en la carta de Nichols. La frecuencia en la intersección del lugar geométrico G(io) y el lugar geométrico M = -3 dB proporciona el ancho de banda.
Si la ganancia en lazo abierto K varía, la forma del lugar geométrico G@J) en la traza
de la magnitud logarítmica contra la fase no cambia, pero se mueve hacia arriba (al incrementar K) o hacia abajo (al decrementar K, a lo largo del eje vertical). Por tanto, el lugar
geométrico G(&I) interseca los lugares geométricos M y Nen forma diferente, y genera una
curva de la respuesta en frecuencia en lazo cerrado distinta. Para un valor pequeño de la
ganancia K, el lugar geométrico G(jo) no es tangente a ninguno de los lugares geométricos M, lo cual significa que no hay resonancia en la respuesta en frecuencia en lazo cerrado.
Respuesta en frecuencia en lazo cerrado para sistemas con realimentación no
unitaria. En las secciones anteriores, nuestro análisis se limitó a los sistemas en lazo cerra-
Sección 8-10 / Respuesta en frecuencia en lazo cerrado
563
do con realimentación unitaria. Los lugares geométricos constantes M y N y la carta de
Nichols no se aplican directamente a los sistemas de control con realimentación no unitaria,
sino más bien, requieren de una ligera modificación.
Si el sistema en lazo cerrado contiene una función de transferencia con realimentación
no unitaria, la función de transferencia en lazo cerrado se escribe
C(s)
G(s)
-=
R(s) 1 + G(s)H(s)
en donde G(s) es la función de transferencia de la trayectoria directa y H(s) es la función
de transferencia realimentada. En este caso, C~w)/Z?(jw) se escribe
G(jw)H(jo)
1Ccio) _
R(jw)
H(jo) 1 + GCjw)HCjo)
La magnitud y el ángulo de fase de
W4
1 + W4
en donde Gr(jw) = G@I)H~ Co ), se obtienen fácilmente graficando el lugar geométrico
Gr(jw) en la carta de Nichols y leyendo los valores de M y N en diversos puntos de la frecuencia. La respuesta en frecuencia en lazo cerrado C(jo)lR@~) se obtiene, entonces, multiplicando Gr(@~)/[l + Cr&)] por l/H@). Esta multiplicación se lleva a cabo sin
dificultad, si se dibujan trazas de Bode para Gr@~)l[l + Gl(jw)] y H(@) y después se resta
gráficamente la magnitud de II de la de GlCjw)/[l + G&u)] y también se resta gráficamente el ángulo de fase de H(io) del de Gr(iw)l[l + Gr(jw)]. De esta manera, la curva
de magnitud logarítmica y la curva de ángulo de fase producen la respuesta en frecuencia
en lazo cerrado C(jo)/R(iw).
Con el propósito de obtener valores aceptables de M,, wI, y ab, para ~C(jco)/R@o)~,
puede ser necesario realizar un proceso de prueba y error. En cada prueba, se varía la
forma del lugar geometrico Gr(jw), se dibujan trazas de Bode para Gr@~)l[l + GI@J)] y
HGo), y se obtiene la respuesta en frecuencia en lazo cerrado C(jw)R(iw). Deben verificarse los valores de M,, wr y wb hasta que sean aceptables.
qjustes de la ganancia. El concepto de los cfrculos M no se aplicará ahora al diseño de los sistemas de control. En la obtención de un desempeño conveniente, por lo general la primera consideración es el ajuste de la ganancia. Éste se basa en un valor conveniente
para el pico de resonancia.
A continuación mostraremos un método para determinar la ganancia K tal que el sistema tenga cierto valor máximo M,, no excedido durante el rango de frecuencia completo.
Remitiéndonos a la figura 8-91, vemos que la recta tangente que va del origen al círculo M, deseado forma un ángulo t,!~, tal como se aprecia, si M, es mayor que la unidad. El
valor de sen v es
senq =
=I
MF-1
MT
M? - 1
564
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
M,
(8-18)
Im
t
Figura
8-91
Círculo M.
Llamemos P al punto donde la recta tangente toca el círculo M,. Es fácil comprobar que la
recta dibujada desde el punto P, perpendicular al eje real negativo, interseca éste en el
punto -1 + jo.
Considere el sistema de la figura 8-92. El procedimiento para determinar la ganancia
K tal que G(jw) = KGl(jw) tenga el valor de M, deseado (en donde M, > 1) se resume del
modo siguiente:
1. Dibuje la traza polar de la función de transferencia en lazo abierto normalizada Gl(jo)
= GO’o)IK.
2. Dibuje a partir del origen la línea que forma un ángulo de ly = sen-* (YA!,) con el eje
real negativo.
3. Trace un círculo con centro en el eje real negativo, tangente al lugar geométrico Gl(jw)
y a la línea PO.
4 . Dibuje una línea perpendicular al eje real negativo en el punto P, punto de tangencia de
este círculo con la línea PO. La línea perpendicular PA interseca el eje real negativo en
el punto A.
5. Para que el círculo recién dibujado corresponda al círculo M, deseado, el punto A debe
ser el punto -1 f jo.
6 . El valor deseado de la ganancia K es aquel valor que cambia la escala para que el punto
A se convierta en el punto -1 + jo. Por tanto, K = llm.
Observe que la frecuencia de resonancia wr es la frecuencia del punto en el que el círculo
es tangente al lugar geométrico Ge. El procedimiento actual tal vez no produzca un
valor satisfactorio para w. De ser así, debe compensarse el sistema a fin de incrementar el
Sección 8-10 / Respuesta en frecuencia en lazo cerrado
565
valor de wI sin cambiar el valor de M,. (Para la compensación de los sistemas de control mediante los métodos de la respuesta en frecuencia, véase el capítulo 9.)
Observe también que si el sistema tiene una realimentación no unitaria el método requiere de algunos pasos de corte y prueba.
EJEMPLO 8-22
Considere el sistema de control con realimentación unitaria cuya función de transferencia en lazo
abierto es
G(jw)
= K
jw(1 + jo)
Determine el valor de la ganancia K tal que M, = 1.4.
El primer paso para determinar la ganancia K es dibujar la traza polar de
1
G(N) _
K
jw(l + jw)
como se aprecia en la figura 8-93. El valor de q que corresponde a M, = 1.4 se obtiene de
I$ = sen- 1 -$ = sen-1 1’4 = 45.6”
r
El paso siguiente es dibujar la línea OP que forma un fingulo 1~ = 45.6” con el eje real negativo.
Después, se dibuja un círculo tangente al lugar geom&ico G@)lK y a la línea OP. Defina
como P el punto en el cual el círculo es tangente a la línea 45.6”. La línea perpendicular trazada
desde el punto P interseca el eje real negativo en (-0.63,0’). Asf, la ganancia K del sistema se
determina del modo siguiente:
K = & = 1.59
Debe señalarse que tal determinación de la ganancia tambien se obtiene con facilidad de la
traza de magnitud logarítmica contra la fase. A continuación mostraremos cómo se usa la traza
de la magnitud logarítmica contra la fase para determinar la ganancia K, de modo que el sistema
tenga el valor de M, que se busca.
La figura 8-94 muestra el lugar geométrico M, = 1.4 y el lugar geométrico G(jo~)lK. Cambiar
la ganancia no afecta el ángulo de fase, sino simplemente mueve la curva hacia arriba para K > 1
y hacia abajo para K < 1. En la figura 8-94, el lugar geométrico G(jo)lK debe elevarse 4 dB para
Im
0.63
.- 2
Figura 8-93
Determinación de la ganancia K
mediante un círculo M.
566
Capítulo 8 / AnCllisis de la respuesta en frecuencia
15
10
5
63
0;
E
0
-5
-10
-15
-’ SO”
-150°
f!G
-120”
-90°
Figura 8-94
Determinación de la ganancia K
mediante la carta de Nichols.
que sea tangente al lugar geométrico M, deseado y para que el lugar geométrico G($)lK completo esté fuera del lugar geométrico Mr = 1.4. La cantidad de cambio vertical del lugar geométrico G(ju)IK determina la ganancia necesaria para producir el valor deseado de M,. Por tanto,
despejando
2010gK = 4
obtenemos
K = 1.59
Asi, tenemos el mismo resultado que antes,
8-11
DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL
DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
El primer paso en el análisis y diseño de un sistema de control es obtener un modelo
matemático de la planta que se considera. La obtención analítica de un modelo resulta ser
bastante difícil. Puede lograrse mediante un análisis experimental. La importancia de los
métodos de la respuesta en frecuencia es que la función de transferencia de la planta, o de
cualquier otro componente del sistema, se determina mediante mediciones simples de la
respuesta en frecuencia.
Si se han medido la razón de amplitudes y el cambio de fase de un número suficiente
de frecuencias dentro del rango de frecuencias que interesa, pueden graficarse en las trazas de
Bode. Luego se determina la función de transferencia mediante aproximaciones asintóticas. Se construyen curvas asintóticas de magnitud logarítmica con varios segmentos.
Con cierto manejo de prueba y error de las frecuencias de esquina, por lo general es posible encontrar un ajuste muy cercano para la curva. (Observe que si se grafica la frecuencia
Sección 8-11 / Determinación experimental de funciones de transferencia
567
en ciclos por segundo, y no en radianes por segundo, las frecuencias de esquina deben convertirse en radianes por segundo antes de calcular las constantes de tiempo.)
Generadores de señales senoidales. Al desarrollar una prueba de la respuesta en
frecuencia, debe contarse con generadores de señales senoidales. Es posible que la señal
tenga que estar en forma mecánica, eléctrica o neumática. Los rangos de frecuencia necesarios para la prueba son, aproximadamente, 0.001 a 10 Hz para sistemas con constantes de
tiempo grandes y 0.1 a 1000 Hz para sistemas con constantes de tiempo pequeñas. La señal
senoidal debe estar razonablemente libre de armónicos o distorsión.
Para rangos de frecuencias muy bajas (debajo de 0.01 Hz), tal vez se use un generador
de señales mecánicas (junto con un transductor neumático o eléctrico conveniente, si es
necesario). Para el rango de frecuencias de 0.01 a 1000 Hz, puede requerirse de un generador de señales eléctricas conveniente (junto con un trasductor adecuado, si es necesario).
Determinación de las funciones de transferencia de fase mínima a partir de las trazas
de Bode. Como se mencionó anteses posible determinar a partir de las curvas de la respuesta
en frecuencia si un sistema es de fasemfnima examinando las características de alta frecuencia.
Para determinar la función de transferencia, primero se dibujan asíntotas para la curva
de magnitud logarftmica obtenida en forma experimental. Las asíntotas deben tener pendientes de múltiplos de 220 dB/década. Si la pendiente de la curva de magnitud logarítmica obtenida experimentalmente cambia de -20 a -40 dB/década en w = WI, es evidente
que existe un factor l/[l + j(wlw~)] en la función de transferencia. Si la pendiente cambia
-40 dB/década en w = 02, debe haber un factor cuadrático de la forma
en la función de transferencia. La frecuencia natural no amortiguada de este factor
cuadrático es igual a la frecuencia de esquina ~2. El factor de amortiguamiento relativo 5
se determina a partir de la curva de magnitud logarítmica obtenida en forma experimental
de la medida de la cantidad del pico de resonancia cerca de la frecuencia de esquina 02 y
la comparación de esto con las curvas de la figura 8-8.
Una vez determinados los factores de la función de transferencia G(io), la ganancia se establece a partir de la parte de la curva de la magnitud logarítmica con baja frecuencia. Dado
que términos como 1 + j(o/wl) y 1 + 25(jo/w2) + (~c~/wz)~ se vuelven unitarios conforme w
tiende a cero, en frecuencias muy bajas, la función de transferencia senoidal G(jw) se escribe
lím G(@) = 6t)2
o-a
En muchos sistemas prácticos, A es igual a 0,l o 2.
1. Para A. = 0, o sistemas de tipo 0,
G(io)=K,
parao+1
o bien
20 log IC I= 20 log K,
568
Capítulo 8 / AnBlisis de la respuesta en frecuencia
parao41
La asíntota de frecuencia baja es una línea horizontal en 20 log K dB. Por tanto, el valor
de K se encuentra a partir de esta asfntota horizontal.
2. Para A = 1, o sistemas de tipo 1,
G(jo) =;,
para 0 4 1
o bien
20 log IG(jw) 1= 20 log K - 20 log o,
para w + 1
lo cual indica que la asíntota de frecuencia baja tiene la pendiente -20 dB/década. La
frecuencia a la cual esta asíntota de frecuencia baja (o su extensión) interseca la línea
0 dB es numéricamente igual a K.
3. Para 1 = 2, o sistemas de tipo 2,
(3.i~) =&,
para w 4 1
o bien
20 log IG(@) 1= 20 log K - 40 log w,
para 0 Q 1
La pendiente de la asíntota de frecuencia baja es -40 dB/década. La frecuencia a la cual
esta asíntota (o su extensión) interseca la línea 0 dB es numéricamente igual a K.
La figura 8-95 contiene ejemplos de las curvas de magnitud logarftmica para los sistemas de tipo 0, de tipo 1 y de tipo 2, junto con la frecuencia con la cual se relaciona la
ganancia K.
La curva del ángulo de fase obtenida en forma experimental ofrece un medio de verificar la función de transferencia obtenida a partir de la curva de magnitud logarítmica. Para
un sistema de fase mínima, la curva del ángulo de fase experimental debe coincidir con la
curva del ángulo de fase teórico, obtenida de la función de transferencia recién determinada. Estas dos curvas del ángulo de fase deben coincidir en los rangos de frecuencia muy
baja y muy alta. Si el ángulo de fase obtenido experimentalmente en frecuencias muy altas
(en comparación con las frecuencias de esquina) no es igual a -9O”(q - p), en donde p y q
son los grados de los polinomios del numerador y el denominador de la función de transferencia, respectivamente, la función de transferencia debe ser de fase no mínima.
Funciones de transferencia de fase no mínima. Si en el extremo de alta frecuencia, el atraso de fase calculado es 180” menor que el atraso de fase obtenido en forma experimental, uno de los ceros de la función de transferencia debe encontrarse en el
semiplano derecho del plano s, y no en el semiplano izquierdo del plano s.
Si el atraso de fase calculado difiere del atraso de fase obtenido de manera experimental por una velocidad constante de cambio de fase, hay un retardo de transporte presente,
o tiempo muerto. Si suponemos que la función de transferencia tiene la forma
G(s)emTs
Sección 8-11
/ Determinación experimental de funciones de transferencia-
569
dB
,-20
i
0
0 en la escala logarítmica
Ca)
Figura 8-95
(a) Curva de magnitud
logarítmica de un sistema
de tipo 0; (b) curvas de
magnitud logarítmica de
sistemas de tipo 1;
(c) curvas de magnitud
logarítmica de sistemas
de tipo 2. (Las pendientes
que se muestran están
en dBldécada.)
0 en la escala logarítmicá
0 en la escala logarítmica
(b)
0 en la escala logarítmica
w en la escala logarftmica
Cc)
en donde G(s) es un cociente de dos polinomios en S, por tanto
/fimT]
jcu) +
l& 5 /G( jo)e.-jmT = iíím -& [/G(
= lí~lí$[/G(jw)--T]
=O-T=-T
Así, a partir de esta ecuación, podemos evaluar la magnitud del retardo de transporte T.
de
Algunos comentarios sobre la determinación experimental de las funciones
transferencia
1. Por lo general es más fácil obtener mediciones precisas de la amplitud que del corrimiento de fase. Las mediciones del corrimiento de fase pueden implicar errores debidos a
la instrumentación o a la interpretación errónea de los registros experimentales.
570
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
2. La respuesta en frecuencia del equipo de medición usado para medir la salida del sistema debe tener una curva de magnitud contra frecuencia casi plana. Además, el ángulo de
fase debe ser casi proporcional a la frecuencia.
3. Los sistemas físicos tienen varios tipos de no linealidades. Por tanto, es necesario considerar con cuidado la amplitud de las señales senoidales de entrada. Si la amplitud de la
señal de entrada es demasiado grande, el sistema se saturará y la prueba de la respuesta en
frecuencia producirá resultados imprecisos. En cambio, una señal pequeña provocará
errores debidos a la zona muerta. Por tanto, debe hacerse una cuidadosa elección de la amplitud de la señal senoidal de entrada. Es necesario muestrear la forma de la onda de la
salida del sistema para asegurarse que sea senoidal y de que el sistema opere en su región
lineal durante el periodo de prueba. (La forma de la onda de la salida del sistema no es
senoidal cuando el sistema opera en su región no lineal.)
4. Si el sistema que se considera opera en forma continua durante días y semanas, no
es necesario detener la operación normal para las pruebas de la respuesta en frecuencia. La
señal de prueba senoidal se sobrepone a las entradas normales. Después, para los sistemas
lineales, la salida provocada por la señal de prueba se sobrepone a la salida normal. Para la
determinación de la función de transferencia, conforme el sistema está en operación normal, también es común el uso de señales estocásticas (señales de ruido blanco). Mediante
las funciones de correlación se determina la función de transferencia del sistema sin interrumpir la operación normal.
EJEMPLO 8-23
Determine la función de transferencia del sistema cuyas curvas de respuesta en frecuencia experimentales aparecen en la figura 8-96.
El primer paso para determinar la función de transferencia es aproximar la curva de magnitud logarítmica mediante asíntotas con pendientes de 220 dB/década
y múltiplos de la misma,
como se aprecia en la figura 8-96. Después, se estiman las frecuencias de esquina. Para el sistema
de la figura 8-96, se estima la siguiente forma de la función de transferencia:
K(1 + OSjo)
G(jw) =
jfa(l+ju)[1+2t(jf)+(jf)i]
El valor del factor de amortiguamiento relativo 5 se estima examinando el pico de resonancia
cerca de o = 6 radlseg. Remitiendonos a la figura 8-8, se determina que 5 sea 0.5. La ganancia K es numericamente igual a la frecuencia de la intersección de la extensión de la asintota de
baja frecuencia con la línea 0 dB. Por tanto, el valor de K resulta ser 10. Así, G(jw) se determina
tentativamente como
lO(1 + OSjw)
G( jo) =
ja(l+jco)[l+(j~)+(jf)2]
o bien
G(s) =
32O(s + 2)
s(s + 1)(2 + 8s + 64)
Esta función de transferencia es tentativa porque todavía no hemos examinado la curva del ángulo de fase.
Una vez que se señalan las frecuencias de esquina en la curva de magnitud logarítmica, es fácil dibujar la curva del ángulo de fase correspondiente para todos los factores que componen la
Sección 8-11
/ Determinación experimental de funciones de transferencia
571
dB
Figura 8-96
Trazas de Bode de
un sistema. (Las curvas
sólidas se obtuvieron
experimentalmente.)
0.1 0.2 0.4 0.6 1 2
4 6 10 20 40
0 en rad/seg
función de transferencia. La suma de estas curvas componentes del ángulo de fase es la suma de
la función de transferencia supuesta. La curva del ángulo de fase para G(iw) se representa mediante /G en la figura 8-96. Ahí se observa claramente una discrepancia entre la curva del ángulo de fase calculada y la curva del ángulo de fase obtenida en forma experimental. La
diferencia entre las dos curvas para frecuencias muy altas parece ser una razón de cambio constante. Por tanto, la discrepancia en las curvas del ángulo de fase debe ser provocada por un retardo de transporte.
De esta manera, suponemos que la función de transferencia completa es G(s)e-“. Dado que
la discrepancia entre el ángulo de fase calculado y el experimental es de -0.2~ rad para frecuencias muy altas, determinamos el valor de T del modo siguiente
lílím -$ /G(ju)e-‘“T = -T = -0.2
o bien
T = 0.2 seg
Por tanto, puede determinarse la presencia de un retardo de transporte, y la función de transferencia completa obtenida
de las curvas experimentales es
G(s)emT” =
572
32O(s + 2)e-0.2”
s(s + l)(s” + 8s + 64)
Capítulo 8 / Anklisis de la respuesta en frecuencia
EJEMPLO DE PROBLEMAS Y SOLUCIONES
A-g-l.
Considere un sistema cuya función de transferencia en lazo cerrado es
lO(s + 1)
C(s)
-=
R(s)
(s + 2)(s + 5)
(Se trata del mismo sistema considerado en el problema A-6-9.)
Es evidente que los polos en lazo
cerrado se ubican en s = -2 y s = -5 y que el sistema es no oscilatorio. (Sin embargo, la respuesta
escalón unitario exhibe un sobrepaso debido a la presencia de un cero en s = - 1. Véase la figura
6-51.)
Demuestre que la respuesta en frecuencia en lazo cerrado de este sistema exhibe un pico de
resonancia, aunque el factor de amortiguamiento relativo de los polos en lazo cerrado sea mayor
que la unidad.
Solución. La figura 8-97 muestra las trazas de Bode para el sistema. El valor del pico de resonancia es, aproximadamente, de 3.5 dB. (Observe que, en la ausencia de un cero, el sistema de segundo orden con 5 > 0.7 no exhibirá un pico de resonancia; sin embargo, la presencia de un cero
en lazo cerrado provocará tal pico.)
A-8-2.
Grafique las trazas de Bode para la siguiente función de transferencia en lazo abierto G(s):
G(s) =
2O(s2 + s + 0.5)
s(s + l)(s + 10)
Solución. Sustituyendo s por (jo) en G(s), tenemos que
G(jw) =
2O[(jw)* + (jw) + 0.51
jw(jw + l)(jo + 10)
Observe que W” y 5 del término cuadrático en el numerador son
O”=vG
y
5 = 0.707
Este término cuadrático se escribe como
15
10
5
0
-5
-10
;/
;
/
i
/
;
:
i
i
i
ii
j
1
:
:
ii;
:
/
/
l
.
+
.
;
<
.
.
p
.
.
+
+.
.
+
j
.
.
.
.
.
.
i
+
c ;/i; ;i;jAr(“t,+s :.
f..j-.-+7
“--i-~~~~~...
.i”“““““““‘“‘j
s
/i..
~~~~~ j...
c i j. . . j. . ; j. . . . . . ,. i j ._ j j ._. . . . . h 1.
-15
90”
45”
0”
-45”
Figura 8-97
Trazas de Bode para
lO(1 + jw)l[(2 + jw)
(5 + @JI.
-90”
0.2
0.4 0.6
1
2
4
6
10
20
40
0 en rad/seg
EJemplo
de problemas y soluciones
573
Observe que la frecuencia de esquina está en w = a = 0.707 radlseg.
como
Ahora G(io) se escribe
G(j~)-(j~)lil.414(j~)+l
jw(j0 + l)(O.ljw + 1)
Las trazas de Bode para G(jw) aparecen en la figura 8-98.
A-8-3.
Dibuje las trazas de Bode del siguiente sistema de fase no mínima:
Obtenga la respuesta rampa unitaria del sistema y grafique c(t) contra t.
Solución. Las trazas de Bode del sistema aparecen en la figura 8-99. Para una entrada rampa
unitaria, R(s) = 11.~2, tenemos que
1-Ts
1
T
C(s) = -y-- = -g - S
Figura 8-98
Trazas de Bode para
G&J) del problema
A-8-2.
0.1
1
10
-180”
100
0 = en radkeg
Il -joTI
j
J(-Meada
1
0 en la escala
logarítmica
T
-,,&+
Figura
8-99
0 en la escala
Trazas de Bode de 1 - jwT
fogdtrrnca
T
574
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
Las transformadas inversas de Laplace
de C(S) producen
c(t) = t - T,
para t 2 0
La figura 8-100 muestra la curva de respuesta c(t) contra 1. (Observe el comportamiento defectuoso al inicio de respuesta.) Una propiedad característica de la fase no mínima es que la respuesta transitoria empieza en la dirección opuesta a la entrada, pero regresa en la misma
dirección.
A-W.
Considere
el
sistema
definido
mediante
[i:] = [-2: -:][::] + [u :][u:]
[y:] = [i Y][*:]
Obtenga las funciones de transferencia senoidales Y~(iw)/U~(jw),
Yz&J)/UI&), Y~(jw)/U&w)
y
Y~(io)l Uz(jw). Al obtener Y~(jw)llJ~(iw) y Y@o)lV~(iw),
suponemos que U2(jw) = 0. Asimismo,
2 ¿u
al obtener Y~(jw)lUz(iw) y Yz(jw)lU
(J ), s u p onemos que UI = 0. Obtenga también las trazas
de Bode de estas cuatro funciones de transferencia con MATLAB.
Solución. La expresión de la matriz de transferencia para el sistema definido mediante
i = Ax + Bu
i = Cx + Du
se obtiene por medio de
Y(s) = G(s)U(s)
en donde G(s) es la matriz de transferencia y se obtiene a partir de
G(s) = C(s1 - A)-‘B + D
Para el sistema aquí considerado, la matriz de transferencia se vuelve
Figura 8-100
Respuesta rampa unitaria del sistema
considerado en el problema A-8-3.
Ejemplo de problemas y soluciones
575
Por tanto,
s+4
s2 + 4s + 25
s+5
s2 + 4s + 25
-25
s2 + 4s + 25
s - 25
s2 + 4s + 25
Suponiendo que U&w) = 0, encontramos Y~(ju~)lU~(io)
YI@) _
U,(jw)
1 [U*(s) 1
U,(s)
y Ydjw)/&(jo) del modo siguiente:
jw + 4
(jo)2 + 4jw + 25
-25
Y2(jw)
-=
U,(jw)
( jw)2 + 4jco + 25
Asimismo, suponiendo que UI = 0, encontramos Y~(jw)lUdja~) y Y@o)/U2@o)
siguiente:
del modo
jw + 5
YI_
U,(jw)
(jw)2 + 4jm + 25
_Y2(jm)
U,(jo)
jo - 25
(jw)’ + 4jco + 25
Observe que Y&o)lU~(jo)
es una función de transferencia de fase no mínima.
Con el propósito de graficar las trazas de Bode para Y~(iu~)lU~(iw), Ydjw)/U~(jw),
Y~(jw)lU~(jw) y Y~(jo~)lU~(iw) con MATLAB, usamos el comando
bode(A,B,C,D)
A continuación, MATLAB produce las trazas de Bode cuando u1 es la entrada y u2 es cero y
cuando u2 es la entrada y u1 es cero. Vea el programa MATLAB 8-14 y las trazas de Bode resultantes que aparecen en la figura 8-101. [Observe que MATLAB produce dos grupos de figuras (denominadas figura 1 y figura 2) en la pantalla. La figura 8-101 está formada por estos
dos conjuntos de trazas de Bode.]
A-8-5.
Remitiéndonos al problema A-8-4, considere una forma alternativa de graficar las trazas de Bode
de esteSistema.
Un modo de graficar las trazas de Bode es usar el comando
bode(A,B,C,D,l)
para obtener trazas de Bode para Y~(jw)/U~(jco) y Ydjw)lU~(jw). Con el propósito de obtener
trazas de Bode para Y~@J)IU&B)
y Y2(jo)IU2(jo),
use el comando
bode(A,B,C,D,2)
Escriba un programa MATLAB para obtener las trazas de Bode mediante estos comandos bode.
576
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
Entrada 1
-100
lOO
101
Frecuencia (radheg)
102
Frecuencia (radkeg)
Entrada 2
I
101
Frecuencia (radkeg)
Figuratb101
Trazas de Bode del
sistema considerado en
el problema A-8-4.
10’
Frecuencia
(radheg)
Ejemplo
de problemas y soluciones
577
Solución. El programa MATLAB 8-15 se escribió para este problema. Las trazas de Bode producidas mediante este programa aparecen en la figura 8- 102. En estos diagramas no es fácil identificar cuáles curvas son para YI y cuáles para Y&). Por lo común se usa el comando text
para identificar las curvas. Sin embargo, este comando no se aplica a los comandos bode actuales.
Para usar el comando text, podemos usar el comando siguiente:
[mag,phase,wl
= bode(A,B,C,D,iu,w)
Véanse los detalles en el problema A-8-6.
A-8-6.
Remitiéndonos a los problemas A-g-4 y A-8-5, considere graficar las trazas de Bode para el
mismo sistema analizado en dichos problemas. Use el comando text para distinguir las curvas de
las trazas. Escriba un programa MATLAB posible para graficar las trazas de Bode mediante el
comando siguiente:
[mag,phase,w] = bode(A,B,C,D,iu,w)
Solución. Al usar el comando especificado, considere que las matrices mag y phase contienen las
magnitudes de YI y Yz(jw) y los ángulos de fase para YI y Yz(jw) calculados en cada punto
de frecuencia considerado. Para obtener la magnitud de YI( use el comando siguiente:
Yl = mag*[l;Ol
Para convertir la magnitud en decibeles, use el enunciado
magdB = 2O*logl O(mag)
Por tanto, para convertir Y 1 a decibeles, introduzca el enunciado
Yl dB = 2O*Iogl O(Y1)
Asimismo, para graficar la magnitud de Y2 en decibeles, use el comando siguiente:
Y2 = mag*[O;ll
Y2dB = 2O*logl O(Y2)
A
continuación,
introduzca
el
comando
semilogx(w,Yl
dB,‘o’,w,Yl dB,‘-‘,w,Y2dB,‘x’,Y2dB,‘-‘)
Ahora, use el comando text para escribir el texto en la figura.Véase el programa MATLAB 8-16.
578
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
Trazas de Bode: entrada = ul(u2 = 0)
Frecuencia
(radheg)
10*
Frecuencia
(radheg)
102
Trazas de Bode: entrada = u2 (ul = 0)
Frecuencia
(radheg)
101
Frecuencia
(radheg)
Figuras-102
Trazas de Bode.
EJemplo de problemas y soluciones
579
580
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
Del mismo modo, para graficar
siguientes:
los ángulos de fase para YI y Yz@), use los comandos
Y l p = phase*[l;OI;
Y2p = phase*[O;ll;
semilogx(w,Yl p,‘o’,w,Yl p,‘-IIw,Y2p,‘x’,w,Y2p,‘-‘1
Las trazas de Bode obtenidas mediante el programa MATLAB 8-16 aparecen en las figuras
8-103 y 8-104.
A-8-7.
Demuestre que la traza polar de la función de transferencia senoidal
G@,,) = jwT
1+jIOT
paraOSoSa,
es un semicírculo. Encuentre el centro y el radio del círculo.
Trazas de Bode: entrada = ul (d = 0)
Frecuencia (radheg)
150 ----. .- .‘-.’
0 100 _____ __ .._..
3
8 50 ___._ ._ .< _..
a
..c
”
0
Figura8-103
Trazas de Bode.
Frecuencia (raclheg)
Ejemplo
de
problemas y
soluciones
581
Trazas de Bode: entrada = u2 (~1 = 0)
-60
lo-’
100
Frecuencia (radkeg)
200
150
Q 100
2
; 50
-0
8
o
-50
-100
Figurati-104
lo-’
Trazas de Bode.
Frecuencia (radheg)
Solución. La función de transferencia senoidal determinada G(~o.I) se escribe del modo siguiente:
G(jío) =X+jY
en donde
x =
íO2T2
1 + w2T2 ’
y=
wT
1 + m2T2
Por tanto
(w2T2 - 1)”
O.PT2
4(1 + CO~T*)~ + (1 + w’T~)~ = i
582
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
Así,vemos que la gráfica de G(jw) es un círculo centrado en (OS,O), con radio igual a 0.5. El semicírculo superior corresponde a 0 5 o 5 00 y el semicírculo inferior corresponde a --CO 5 w 5 0.
A-S-S.
Remitiéndonos al problema A-8-2, grafique el lugar geométrico polar de G(s), en donde
G(s) =
2O(s2 + s + 0.5)
s(s + l)(s + 10)
Ubique en el lugar geomktrico
polar los puntos de frecuencia tales que w = 0.1,0.2,0.4,0.6,1.0,
2.0,4.0,6.0,10.0,20.0 y 40.0radkeg.
Solución. Considerando que
G@) =
2(-09 + jw + 0.5)
jo(jw + l)(O.l ju + 1)
tenemos que
N(O.5 - 42 + uI*
IGW>l = wvm
dl + 0.01 d
/Wo) = tan-’ (&) -90” - tan-l w - tan-l(0.10)
La magnitud y el ángulo de fase se obtienen como se aprecia en la tabla 8-3. (Observe que es facil leer la magnitud en decibeles y el ángulo de fase en grados en la figura 8-98.) La magnitud en
decibeles también se convierte fácilmente en un número. La figura 8-105 muestra la traza polar.
Observe la existencia de un lazo en el lugar geométrico polar.
Tabla 83 Magnitud y fase de G(jo)
consideradas en el problema A-8-8
Ejemplo de problemas y soluciones
583
Im
2
1
Figura 8-105
Traza polar de
G(jti) obtenida en el problema A-8-8.
A-8-9.
Considere la función
F(s) = 5
El mapeo conforme de las líneas w = 0, 21, k2 y las líneas u = 0, 51, r+2 genera círculos en el
plano F(s), como se observa en la figura 8- 106. Demuestre que si el contorno del planos encierra
el polo de F(s), el origen del plano F(s) queda encerrado en sentido contrario a las manecillas del
reloj. Si el contorno en el planos encierra el cero de F(s), el origen del plano F(s) no queda encerrado en sentido de las manecillas del reloj. Si el contorno en el plano s encierra tanto el cero como
el polo, o si el contorno no encierra el cero ni el polo, el origen del plano F(s) no queda encerrado
mediante el lugar geométrico de F(s). (Considere que, en el plano s, un punto representativo s
traza un contorno en el sentido de las manecillas del reloj.)
Solución. La figura 8-107 aporta una solución gráfica; aquí se observan contornos cerrados en
el plano s y sus curvas cerradas correspondientes en el plano F(s).
A-8-10.
Demuestre el siguiente teorema de mapeo: suponga que F(s) es un cociente de polinomios en s.
Suponga que P es el número de polos y que Z es el número de ceros de F(s) que se encuentran
dentro de un contorno cerrado en el plano s, considerada la multiplicidad. Suponga que el contorno cerrado no pasa por polos ni ceros de F(s). A continuación, el contorno cerrado en el
plano s se mapea dentro del plano F(s) como una curva cerrada. El número N de encierros del
origen del plano F(s) en el sentido de las manecillas del reloj, conforme un punto representativo s
traza el contorno completo en el planos en el sentido de las manecillas del reloj, es igual a Z - P.
Solución. Para comprobar este teorema, usamos el teorema de Cauchy y el teorema del residuo.
El teorema de Cauchy plantea que la integral de F(s) alrededor de un contorno cerrado en el
plano s es cero si F(s) es analítica dentro del contorno cerrado y sobre él, o
584
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
Im
jw
t
3
Plano s
Plano F(s)
o=-2
Figura8406
Mapeo conforme
las cuadrículas del
plano s dentro del
plano F(s), en donde
F(s) = (s + l)/(S - 1).
$
F(s) ds = 0
Suponga que F(s) se obtiene mediante
F(s) =
(s + Z$‘(S + zzp * * *
X(s)
(s + ppqs + pp . . .
en donde X(s) es analítica en el contorno cerrado en el plano s y todos los polos y ceros se localizan en el contorno. Así, el cociente F’(s)/F(s) se escribe
F’(s) =
F(s)
(8-19)
Esto se observa a partir de la consideración siguiente: si F(s) se obtiene mediante
F(s) = (s + z$X(s)
entonces F(s) tiene un cero de k-ésimo orden en s = -21. Diferenciar F(s) con respecto a s produce,
F’(s) = k(s + zJk-‘X(s) + (s + z$X’(s)
Por tanto,
_F’(s)
_
F(s)
= k
_ _
s + z1
; x’(s)
X(s)
(8-20)
Observamos que si tomamos el cociente F’(s)/F(s), el cero de k-ésimo orden de F(s) se vuelve un
polo sencillo de F’(s)/F(s).
Qemplo de problemas y soluciones
585
ju
91
Plano S
-lo
1
2
3 Re
-j2 C
jo A
j2 A
D
_
B
c
Y
-jl
-j2 C
-j2 C
Figura
8-107
Mapeo conforme
los contornos
del plano s dentro
del plano F(s), en donde
F(s) = (s + l)/(s - 1).
3 Re
Si el último término del segundo miembro de la ecuación (8-20) no contiene polos ni ceros
en el contorno cerrado en el plano s, F’(s)IF( s) es analítica en dicho contorno, excepto en el cero
s = -zr. Así, remitiéndonos a la ecuación (8-19) y usando el teorema del residuo, que plantea
que la integral de F’(s)/F(s) tomada en el sentido de las manecillas del reloj alrededor de un contorno cerrado en el plano s es igual a -2zrj veces los residuos de los polos simples de F’(s)/F(s), o
F(s)
- ds = -2nj(L residuos)
$ F(s)
586
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
tenemos que
F’(s) ds = -2zj[(k, + k, + * * *) - (ml + m2 + * . .)] = -hj(.Z - P)
$F(s)
en donde Z = kl + k2 + * * * = número total de ceros de F(s) encerrados en el contorno cerrado
en el plano s.
P = 1711 + m2 + ’ f * = número total de polos de F(s) encerrados en el contorno
cerrado en el plano s.
[Los k ceros (o polos) múltiples se consideran k ceros (o polos) ubicados en el mismo punto.]
Dado que F(s) es una cantidad compleja, se escribe
F(s) = IFleje
Y
In F(s) = IrrIF/ + jo
Considerando que F’(s)/F(s) puede escribirse
;{;; _ d ln F(s)
ds
obtenemos
F ’ ( s )
F(s)= d
dlnIF[ .dO
s
+‘dr
Si el contorno cerrado en el planos se mapea
_’ dentro del contorno cerrado Fen el plano F(s), entonces
$
~ds=$pdLnlF/+j~dtl=j/dB=2zj(P-Z)
La integral $r d lnlF[ es cero, dado que la magnitud lnlq es igual en el punto inicial y en el punto
final del contorno JY. Por tanto, obtenemos
-*2-*Lpez
227
La diferencia angular entre los valores inicial y final de 8 es igual al cambio total en el ángulo de
fase de F’(s)/F(s) conforme un punto representativo en el plano s se mueve a lo largo del contorno cerrado. Considerando que N es el número de encierros en el sentido de las manecillas del
reloj del origen del plano F(s) y que 02 - 81 es cero o un múltiplo de 2n rad, obtenemos
‘2 - ‘1 _ -N
‘P
2n
Por tanto, tenemos la relación
N=Z-P
Esto comprueba el teorema.
Observe que, mediante este teorema del mapeo, no es posible encontrar la cantidad exacta
de ceros y polos, sino sólo su diferencia. También considere que en las figuras 8-108(a) y (b) vemos que, si 0 no cambia a través de 21rrad, entonces el origen del plano F(s) no puede encerrarse
en un círculo.
A-g-ll.
La traza de Nyquist (traza polar) de respuesta en frecuencia en lazo abierto de un sistema de control con realimentación unitaria aparece en la figura 8-109. Suponiendo que la trayectoria de
Nyquist en el planos encierra todo el semiplano derecho del plano s, dibuje una traza de Nyquist
completa en el plano G. A continuación conteste las preguntas siguientes:
(a) Si la función de transferencia en lazo abierto no tiene polos en el semiplano derecho del plano
s, Les estable el sistema en lazo cerrado?
EJemplo
de problemas y soluciones
587
(b) Si la función de transferencia en lazo abierto tiene un polo y ningún cero en el semiplano derecho del plano s, Les estable el sistema en lazo cerrado?
(c) Si la función de transferencia en lazo abierto tiene un cero y ningún polo en el semiplano
derecho del plano s, Les estable el sistema en lazo cerrado?
Solución. La figura 8-110 muestra una traza de Nyquist completa en el plano G. Las respuestas
a las tres preguntas son las siguientes:
(a) El sistema en lazo cerrado es estable, porque el punto crftico (-1 + iO) no queda encerrado
por la traza de Nyquist. Es decir, dado que P = 0 y N = 0, tenemos que Z = N + P = 0.
(b) La función de transferencia en lazo abierto tiene un polo en el semiplano derecho del plano
s. Por tanto, P = 1. (El sistema en lazo abierto es inestable.) Para que el sistema en lazo cerrado sea estable, la traza de Nyquist debe encerrar el punto crítico (- 1 + iO) una vez en sentido contrario a las manecillas del reloj. Sin embargo, la traza de Nyquist no encierra el punto
crftico. Por tanto, N = 0. En este caso, Z = N + P = 1. El sistema en lazo cerrado es inestable.
(c) Dado que la función de transferencia en lazo abierto tiene un cero pero ningún polo en el
semiplano derecho del planos, tenemos que Z = N + P = 0. Por tanto, el sistema en lazo cerrado es estable. (Observe que los ceros de la función de-transferencia en lazo abierto no afectan
la estabilidad del sistema en lazo cerrado.)
A-8-12.
iEs estable un sistema en lazo cerrado con la siguiente función de transferencia en lazo abierto
yconK=2?
K
Gw(s) = s(s + l)@ + 1)
Encuentre el valor crftico de la ganancia K para la estabilidad.
Im
Im
t
Plano F(s)
Plano F(s)
t
a,
4
0
Figuratb108
Determinación de los
encierros del origen
del plano F(s).
I
Ongen
encerrado
I:
e2-e,=2r
Origen no encerrado
e2 - el = 0
Ca)
(b)
Im
t
588
Re
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
Figura8-110
Traza de Nyquist completa
en el plano G.
I
Solución. La función de transferencia en lazo abierto es
K
G(jw) (io) = jw(j0 + 1)(2jw + 1)
=
K
-30~ + jw(1 - 2w2)
Esta función de transferencia en lazo abierto no tiene polos en el s,emiplano derecho del plano s.
Por tanto, para obtener la estabilidad, el punto -1 + j0 no debe estar encerrado por la traza de
Nyquist. Encontremos el punto en el cual la traza de Nyquist cruza el eje real negativo. Supongamos que la parte imaginaria de G(jw)H(jw) es cero, o que
1 - 2wz = 0
a partir de lo cual
Sustituyendo w = l/fl en G&)H(jw), obtenemos
G(j-$) H(j-$) = -y
El valor crítico de la ganancia K se obtiene igualando -2Kl3 con -1, o bien
-;K = -1
Por tanto,
El sistema es estable si 0 < K < 4. Por tanto, el sistema con K = 2 es inestable.
Qemplo
de problemas y soluciones
589
A-8-W.
Considere el sistema en lazo cerrado de la figura 8-111. Determine el valor crítico de K para la
estabilidad, mediante el criterio de estabilidad de Nyquist.
Solución. La traza polar de
K
G(jo) = jw - 1
es un círculo con centro en -Kl2 en el eje real negativo y radio de Kl2, como se observa en la
figura 8-112(a). Conforme o se incrementa de - m a m, el lugar geométrico G(jo) hace un giro
en sentido contrario a las manecillas del reloj. En este sistema, P = 1 porque hay un polo de
G(s) en el semiplano derecho del plano s. Para que el sistema en lazo cerrado sea estable, Z
debe ser igual a cero. Por tanto, N = Z - P debe ser igual a -1, o el punto -1 + j0 debe quedar
encerrado en sentido contrario a las manecillas del reloj, para la estabilidad. (Si el punto -1 + j0
no se encierra, el sistema es inestable.) Por tanto para la estabilidad, K debe ser mayor que la
unidad, y K = 1 proporciona el lfmite de la estabilidad. La figura 8-112(b) muestra los casos estable e inestable de las gráficas de G(jw).
A-g-14
Considere un sistema con realimentación unitaria cuya función de transferencia en lazo abierto es:
K
-
Im
t
Plano G
(al
Im
Im
Plano G
Plano G
t
t
Figura 8-112
(a) Traza polar de
K/&J - 1); (b) trazas
polares de Klcjw - 1)
para los casos estable
e inestable.
ó = 01
P=l
N=O
Z=l
K;l
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
(Inestable)
K¿l
Usando la traza de Nyquist, determine el valor crítico de K para la estabilidad.
Solución. Para este sistema,
c’@,) = 5
= K(cos 0.8 w - j sen 0.8w)(l - jw)
1 + 03
= 5 [(cos 0.80.1 - w sen 0.80) - j(sen 0.8~ + w cos 0.8w)]
La parte imaginaria de G(jw) es igual a cero si
sen 0.8~ +w cos 0.8~ = 0
Por tanto,
o = -tanO.gw
Despejando esta ecuación para el valor positivo más pequeño de w, obtenemos.
w = 2.4482
Sustituyendo w por 2.4482 en G(jw), obtenemos
W2.4482)
= 1 + 2K44822
(cos 1.9586 - 2.4482 sen 1.9586) = -0.378K
El valor crítico de K para la estabilidad se obtiene suponiendo que G(j2.4482) es igual a -1. Por
tanto,
0.378K = 1
o bien
K = 2.65
La figura 8-113 muestra las trazas de Nyquist, o polares, de 2.6.5e-W~/(l + jw) y 2.65/(1 + jo).
El sistema de primer orden sin retardo de transporte es estable para todos los valores de K, pero
el que tiene un retardo de transporte de 0.8 seg se vuelve inestable para K > 2.65.
Im
Figura&113
Trazas polares de 2.65e-WV(l + ju)
y 2.65/(1 + jw).
Ejemplo de problemas y soluciones
591
A-8-15.
Considere un sistema con realimentación unitaria con la siguiente función de transferencia en
lazo abierto:
G(s) =
20(sZ + s + 0.5)
s(s + l)(s + 10)
Obtenga una traza de Nyquist mediante MATLAB y examine la estabilidad del sistema en lazo
cerrado.
Solución. Primero introducimos el programa MATLAB 8- 17 en la computadora. Debido a que
este sistema MATLAB contiene “Divide by zero” (dividir entre cero) en el cálculo, la traza de
Nyquist resultante es errónea, como se observa en la figura 8-114.
Esta traza de Nyquist errónea se corrige introduciendo el comando axis, como se observa en
el programa MATLAB 8-18. La traza de Nyquist resultante aparece en la figura 8-115.
1 X107
0.8 0.6 /\
0.4 11 0.2 4
O
50.2 W
-0.4 -
/\
-0.6 -
Figura 8-114
Traza de Nyquist
errónea.
592
-0.8 -1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Eje real
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
1.2
1.4
1.6
1.8
Traza de Nyquist de G(s) = 20(sA2+s+0.5)l[s(s+l)(s+10)]
Figura 8-115
Traza de Nyquist de G(s)
= 2O(s2 + s + 0.5)
s(s + l)(s + 10) .
-3
-2
:
-1.5
:
-1
:
-0.5
0
0.5
1
Eje real
0
4
0
1.5
2
2.5
3
Dado que no se encuentran polos en lazo abierto en el semiplano derecho del plano s, P = 0
según el criterio de estabilidad de Nyquist. En la figura 8-115 vemos que la traza de Nyquist no
encierra el punto -1 + jo. Por tanto, el sistema en lazo cerrado es estable.
A-8-16.
Considere el mismo sistema analizado en el problema A-8-15. Dibuje la traza de Nyquist sólo
para la región de frecuencia positiva.
Solución. La traza de Nyquist sólo para la región de frecuencia positiva se consigue mediante el
comando siguiente:
[re,im,w] = nyquist(num,den,w)
La región de frecuencia se divide en varias subregiones usando incrementos distintos. Por ejemplo, la región de frecuencia que interesa se divide en tres subregiones del modo siguiente:
WI = 0.1:0.1:10;
w2 = 10:2:100;
w3 = 100:10:500;
w=[wl w2 w31
El programa MATLAB 8- 19 usa esta región de frecuencia. Mediante este programa, obtenemos
la traza de Nyquist de la figura 8-116.
A-8-17.
Considere un sistema con realimentación positiva y unitaria con la siguiente función de transferencia en lazo abierto:
G(s) =
s2 + 4s + 6
s2 + 5s + 4
Dibuje la traza de Nyquist.
Solución. La traza de Nyquist del sistema con realimentación positiva se obtiene definiendo num
y den como
n u m = [-1 - 4
den = [l 5 41
EJemplo
de problemas y soluciones
-61
593
Traza de Nyquist de G(s) = 20(~“2+s+0.5)/[~(~+1)(~+10)]
1
0
.Í? -1
.2
2E -2
.M
.o?
Ll - 3
-4
Figura&116
Traza de Nyquist
para la región de frecuencia positiva.
-5
-3
-2
-1
0
1
2
3
Eje real
y usando el comando nyquist(num,den). El programa MATLAB 8-20 genera la traza de Nyquist
que se observa en la figura 8-117.
Este sistema es inestable porque el punto - 1 + j0 queda encerrado una vez en sentido de las
manecillas del reloj. Observe que se trata de un caso especial en el cual la traza de Nyquist pasa
por el punto -1 + i0 y encierra este punto una vez en sentido de las manecillas del reloj. Esto significa que el sistema en lazo cerrado se degenera; el comportamiento es el de un sistema inestable
594
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
Traza de Nvquist
de G(s) = -(sA2+4s+6)l(s”2+5s+4)
Figura%117
Traza de Nyquist
para un sistema con
realimentación positiva.
-0.5
i
-1.5
-1.4
i
i
-1.3
-1.2
i
-1.1
-1
Eje real
-0.9
-0.8
-0.7
de primer orden. Véase la siguiente función de transferencia en lazo cerrado del sistema con realimentación
positiva:
s2 + 4s + 6
C(s)
-=
R(s)
s2 + 5s + 4 - (s2 + 4s + 6)
= s2 + 4s + 6
s-2
Observe que la traza de Nyquist para el caso de realimentación positiva es un reflejo de la traza
de Nyquist con respecto al eje imaginario para el caso de realimentación negativa. Esto se observa de la figura 8-118, misma que se obtuvo mediante el programa MATLAB 8-21.
11
Traza de Nyquist de G(s) y -G(s)
0.8
0.6
Figura&118
Traza de Nyquist
para un sistema
con realimentación
positiva y un sistema
con realimentacih
negativa.
Eje real
EJemplo
de problemas y soluciones
595
A-8-18.
Suponga un sistema que posee al menos un par de polos complejos conjugados en lazo cerrado. Si
el punto - 1 + j0 está en la intersección de una curva de o constante y una curva de w constante en el
plano G(s), los valores específicos de u y o, que definimos como -uc y wc, respectivamente, caracterizan el polo en lazo cerrado más cercano al eje jo en la mitad superior del planos. (Observe que
-u, representa la descomposición exponencial y que wf representa la frecuencia natural amortiguada del término de respuesta transitoria a escalón, producido por el par de polos en lazo cerrado
más cercanos al eje jw.) Los valores probables de -u, y wc se estiman a partir de la traza, como se
observa en la figura 8-119. Por tanto, el par de polos complejos conjugados en lazo cerrado que
se encuentra más cerca del eje jw se determina en forma gráfica. Debe señalarse que todos los polos
en lazo cerrado se mapean dentro del punto - 1 + j0 en el plano G(s). Aunque los polos complejos
conjugados en lazo cerrado más cercanos al eje jw se encuentran con facilidad mediante esta técnica, hallar otros polos en lazo cerrado mediante este sistema, si los hay, es prácticamente imposible.
Si los datos en G(iw) son experimentales, puede construirse un cuadrado con líneas curvas
cerca del punto - 1 + j0 mediante extrapolación. Remitiéndonos a la figura 8- 120, encontramos la
ubicación de los polos dominantes en lazo cerrado en el plano s, o el factor de amortiguamiento relativo ¿J y la frecuencia natural amortiguada de Wd trazando la línea AB que conecta el punto -1 + j0
(punto A) con el punto B, acercamiento más próximo al punto -1 + j0, y después construyendo un
Im ,,
Plano G
0
Re
Figura8-119
Estimación de -uc y wc.
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
Im
jo
t
Plano G
t
Plano s
*
Figura 8-120
Mapeo conforme
un cuadrado con
líneas curvas cerca
del punto -1 + j0
en el plano G(s)
dentro del plano s.
Re
cuadrado con lfneas curvas CDEF, como se observa en la figura 8-120. Este cuadrado con líneas
curvas CDEF se construye trazando la curva PQ más probable (en donde PQ es el mapeo conforme de una línea paralela al eje jo en el plano S) que pase por el punto - l-+ j0 ~‘par$ela” aJ lugar geon$ric~ G(iwJ, y ajustando los puntos C, D, E y F de modo que FB = BE, CA = AD, y
FE + CD = FC + ED. El contorno del plano s correspondiente C’D ‘E’F’, junto con el punto A ‘,
polo en lazo cerrado más cercano al eje jw, aparece en la figura 8-120. El valor del intervalo de frecuencia Awr entre los puntos E y F es aproximadamente igual al valor de ut, tal como se muestra en
la figura 8-120. La frecuencia en el punto B es aproximadamente igual a la frecuencia natural
amortiguada wd. A continuación, los polos en lazo cerrado más cercanos al eje jw se estiman como
s = -0, 2 jwd
Por tanto, el factor de amortiguamiento relativo c de estos polos en lazo cerrado se obtiene de
UI
Aw
*=,=,
Debe señalarse que la frecuencia natural amortiguada Ud de la respuesta transitoria a escalón
está, en realidad, en el contorno de frecuencia que pasa por el punto -1 + jo, y que no es necesariamente el punto del acercamiento más próximo al lugar geométrico G(io). Por tanto, de alguna manera el valor @d obtenido mediante la técnica anterior tiene un error.
A partir de nuestro análisis, conchrimos que es posible estimar los polos en lazo cerrado más cercanos al eje jw a partir de la estrecha proximidad del lugar geometrico G(jw) al punto - 1 + j0, la frecuencia en el punto del acercamiento más próximo y la graduación de frecuencias cerca de este punto.
Remitiéndonos a la gráfica de respuesta de G(jw) d e un sistema con realimentación unitaria,
tal como aparece en la figura 8-21, encuentre los polos en lazo cerrado más cercanos al eje jo.
Solución. Primero se dibuja la línea que conecta el punto - 1 + j0 y el punto de acercamiento
más próximo al lugar geomktrico G(jo) con el punto -1 + jo. A continuación, se construye el
cuadrado con líneas curvas ABCD. Dado que la frecuencia en el punto del acercamiento más
próximo es w = 2.9, la frecuencia natural amortiguada es aproximadamente 2.9, o Ud = 2.9. A
partir del cuadrado con líneas curvas ABCD, se encuentra que
Ao = wD - w, = 3.4 - 2.4 = 1.0
Después se estiman los polos en lazo cerrado más cercanos al eje jo como
s= -1tj2.9
El lugar geométrico G(jw) de la figura 8-121 es en realidad una traza de la función de transferencia en lazo cerrado siguiente:
G(s) =
Ejemplo de problemas y soluciones
5(s + 20)
s(s + 4.59)(s2 + 3.41s + 16.35)
597
Im A
- 0.4
-0.6
-0.8
Figura 8-121
Traza polar y cuadrado con líneas curvas.
Los polos exactos en lazo cerrado del sistema son s = -1 kj3 y s = -3 +jl. Los polos en lazo
cerrado más cercanos al eje jw son s = -1 kj3. En este ejemplo específico vemos que el error implícito es muy pequeño. En general, este error depende de una curva G(jo) determinada. Entre
más cerca esté el lugar geometrico G(jw) del punto -1 + jo, más pequeño será el error.
A-8-19.
La figura 8-122 muestra un diagrama de bloques de un sistema de control de un vehículo espacial. Determine la ganancia K tal que el margen de fase sea 50” . ¿Cuál es el margen de la ganancia en este caso?
Solución. Dado que
tenemos que
/G(jo) = /iw + 2 - 2 /io = tan-’ t - 180”
El requerimiento de que el margen de fase sea de 50” significa que /G(jw,) debe ser igual a - 130”,
en donde oC es la frecuencia de cruce de ganancia, o
/G(jo,) = -130”
Por
tanto,
establecemos
tan-’ w
2 = 50”
2
a partir de lo cual obtenemos
wc = 2.3835 radlseg
Figura 8422
Sistema de control de un
vehículo
espacial.
598
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
Dado que la curva de fase nunca cruza la línea -MO’, el margen de ganancia es +m dB. Considerando que la magnitud de G(jw) debe ser igual a 0 dB en o = 2.3835, tenemos que
= 1
0=2.3835
a partir de lo cual obtenemos
2.38352
= 1.8259
q22 + 2.38352
Este valor K dará el margen de fase de 50”.
K =
A-8-20.
Dibuje las trazas de Bode de la función de transferencia en lazo abierto G(s) del sistema en lazo
cerrado de la figura 8-123. Determine el margen de fase y el margen de ganancia.
Solución. Considere que
2O(jw + 1)
G(jw) = jw(jw + 5)[(jw)2 + 2jw + lo]
0.4(jw + 1)
=
j~(O.z,O+l)[(~)i+~j~+lJ
El término cuadrático en el denominador tiene la frecuencia de esquina de fl radlseg
tor de amortiguamiento relativo 5 de 0.3162, o
fIO,=pTO,
y el fac-
5 = 0.3162
Las trazas de Bode de G(jo) aparecen en la figura 8- 124. A partir de estas trazas encontramos
que el margen de fase es de 100” y el margen de ganancia es de +13.3 dB.
A-8-21.
Para el sistema estándar de segundo orden
4
C(s)
-Zr
R(s) s2 + 25w,s + OJ;
demuestre que el ancho de banda wb se obtiene a partir de
ob = o,(l - 2c2 + 1/454 - 452 + 2)112
Considere que c.&&
es sólo una función de 5. Grafique una curva wk&, contra 5.
Solución. El ancho de banda wb se determina a partir de IC(jwb)/R(&b)] = -3 dB. Con mucha
frecuencia, en lugar de -3 dB, usamos -3.01 dB, que es igual a 0.707. Por tanto,
(jmb)2 + 2~~,,(j~b)
+ w;
= 0.707
Figura S-l23
Sistema en lazo cerrado.
E,jemplo de problemas y soluciones
599
-20
dB
40
-80
Figura 8-124
Trazas de Bode
de GGw) del
sistema de la
figura 8- 123.
-270”
0.1
0.2
0.4 0.6
1
2
4 6
w en radseg
10
20
40 60 100
De esta forma
4
d\/<w; - wp + (25W,Wb)2
= 0.707
a partir de lo cual obtenemos
w; = 0.5[(0; - W;)2 + 4&LJ~O;]
Si dividimos ambos miembros de esta última ecuación entre wi, obtenemos
Despejar esta última ecuación para
(Ob/Wn)2
produce
= -252 + 12 q454
- 452 + 2
Dado que (Wb/&)2 > 0, tomamos el signo más en esta última ecuación. Por tanto
fu; = f$&(l - 252 + q454
- 452 + 2)
ob = w,(l - 25’ + d454
- 452 + 2)“’
o bien
La figura 8-125 muestra una curva que relaciona Wb/& contra [.
A-8-22.
Un sistema de control con realimentación unitaria tiene la siguiente función de transferencia en
lazo abierto:
G(s)
600
=
K
s(s + l)(s + 2)
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
i; / /j
i ...<... i i..
1.8
1.6
0.8
0.6
0.4
0.2
Figura 8-125
curva Wbhn Contra
5, en donde wb es el
ancho de banda.
0
/
1
0
j
I
j
I
0.2
/
I
0.4
j
l
c
j
I
0.6
/
I
/
I
0.8
j
I
1.0
Considere la respuesta en frecuencia de este sistema. Grafique un lugar geométrico polar de
G(jo)IK. Después, determine el valor de la ganancia K, tal que la magnitud del pico de resonancia M, de la respuesta en frecuencia en lazo cerrado sea 2.
Solución. La figura 8- 126 contiene una traza de G(jw)lK.
a M, = 2, obtenido a partir de la ecuación (8-18) es
El valor del ángulo 1 > que corresponde
* = sen -+300
Por tanto, dibujamos la línea OP que pasa por el origen y forma un ángulo de 30” con el eje real
negativo, como se observa en la figura 8-126. A continuación dibujamos el círculo tangente al lugar geométrico G(jo)lK y la línea op. Defina como P el punto en el que el círculo y la línea G
son tangentes. La línea perpendicular dibujada desde el punto P interseca el eje real negativo en
(-0.445,O). Por tanto, la ganancia K se determina como
1
- = 2.247
K = 0.445
En la figura 8-126 observamos que la frecuencia de resonancia es aproximadamente o = 0.83
radlseg.
A-8-23.
La figura 8-127 muestra un diagrama de bloques de un sistema de reactor químico. Dibuje las
trazas de Bode de G@). Asimismo trace el lugar geométrico G@) sobre la carta de Nichols A
partir de la carta de Nichols, lea las magnitudes y los ángulos de fase de la respuesta en frecuencia
en lazo cerrado y después grafique las trazas de Bode del sistema en lazo cerrado, G@)/[l +
‘Xi~)lSolución. Considerando que
8&-0.1s
2e-0.1"
G(s) = s(s + 4)(s + 10) = s(O.25s + l)(O.ls + 1)
tenemos que
2e-0.1jw
G(jw)
Qemplo
de problemas y soluciones
=
jo(O.25jw + l)(O.ljw + 1)
601
Círculo M = 2
yw=0.83
-jo.5
Figura 8-126
Traza de G(jo)lK del
sistema considerado
en el problema A-8-22.
-jl
Figura 8-127
Diagrama de bloques de un sistema
de reactor químico.
El ángulo de fase del retardo de transporte e-Wm es
e- 3m = cos(O.lw) - 1 sen(O.lw) = -0.1~
LL/
= -5.13w
(radianes)
(grados)
Las trazas de Bode de G(jw) aparecen en la figura 8-128.
A continuación, leyendo las magnitudes y los ángulos de fase de G(jo) para diversos valores
de w, es posible trazar la gráfica de la ganancia contra la fase sobre una carta de Nichols. La figura
8-129 muestra el lugar geométrico G(@) sobrepuesto a la carta de Nichols. A partir de esta carta
es posible leer las magnitudes y los ángulos de fase del sistema en lazo cerrado en diferentes puntos de la frecuencia. La figura 8-130 muestra las trazas de Bode de la respuesta en frecuencia en
lazo cerrado (G(jw)/[l + G(jw)].
A-8-24.
La figura 8-131 contiene las trazas de Bode de la función de transferencia en lazo abierto G(s)
del sistema de control con realimentaci6n unitaria. Se sabe que la función de transferencia en lazo
abierto es de fase mfnima. En la traza se observa que existe un par de polos complejos conjugados
en w = 2 radkeg. Determine el factor de amortiguamiento relativo del término cuadrático que
contiene estos polos complejos conjugados Asimismo, determine la función de transferencia G(s).
Solución. Remitiéndonos a la figura 8-8 y examinando las trazas de Bode de la figura 8-131,
encontramos que el factor de amortiguamiento relativo 5 y la frecuencia natural no amortiguada
w,, del término cuadrático son
5 = 0.1,
602
o,, = 2 radlseg
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
-20
dB
-40
-60
Figura 8-128
Trazas de Bode
de G(jw) del
sistema de la figura
8-127.
0.1
0.2
0.4 0.6
1
2
4 6
0 e n rad/seg
10
20
40 60 100
36
32
28
24
20
16
i l2
8
34
0
-4
-8
-12
Figura 8-129
Lugar geomkico G(jo)
sobrepuesto a la carta
de Nichols (problema
A-8-23).
-16
-240”
-210”
-180”
-150”
-120”
-90’
-60”
-30”
0”
/GH
Qemplo
de problemas y soluciones
603
Figura8-130
Trazas de Bode de la
respuesta en frecuencia
en lazo cerrado
(problema A-8-23).
0.1
0.2
0.4 0.6
1
2
4 6810
20
40 60
w en radheg
-180"
Figua8-l31
Trazas de Bode de la
función de transferencia
en lazo abierto de un
sistema de control con
realimentación unitaria.
604
-80
-270"
0.1
0.2
0.4 0.6
1
2
4 6
w en rad/seg
Capítulo 8 / Anirlisis de la respuesta en frecuencia
10
20
40 60 100
Figura8-132
I
I
Sistema de control.
Considerando que existe otra frecuencia de esquina en w = 0.5 radlseg.
curva de magnitud en la región de frecuencia baja es de -40 dB/década,
tativamente del modo siguiente:
G(jw)- K(E+l) .
[( 1
(jo)’
y que la pendiente de la
G@) se determina ten-
1
2
2 + O.l(jw) + 1
Dado que en la figura 8-131 encontramos que /G(iO.l)l = 40 dB, el valor de la ganancia K se determina como unitario. Asimismo, la curva de fase calculada, /G(ja) contra w coincide con la
curva de fase obtenida. Por tanto, la función de transferencia G(s) se determina como
G(s) =
A-8-25.
4(2S + 1)
sz(s2 + 0.4s + 4)
Un sistema de control en lazo cerrado incluye un elemento inestable dentro del lazo. Al momento
de aplicarle el criterio de estabilidad de Nyquist, deben obtenerse las curvas de la respuesta en
frecuencia para el elemento ineãtable.
iCómo obtenemos en forma experimental las curvas de la respuesta en frecuencia para tal
elemento inestable? Sugiera un enfoque posible para la determinación experimental de la respuesta en frecuencia de un elemento lineal inestable.
Solución. Una manera de resolver esto es medir las características de la respuesta en frecuencia
del elemento inestable usándolo como parte de un sistema estable.
Considere el sistema de la figura 8-132. Suponga que el elemento G*(s) es inestable. El sistema completo puede estabilizarse eligiendo un elemento lineal conveniente Gz(s). Aplicamos
una señal senoidal en la entrada. En estado estable, todas las señales del lazo serán senoidales.
Medimos las señales e(f), la entrada para el elemento inestable y x(t), salida del elemento inestable. Si cambiamos la frecuencia [y posiblemente la amplitud por la conveniencia de medir e(t)
y x(t)] de la senoide de entrada y repetimos el proceso, podemos obtener la respuesta en frecuencia del elemento lineal inestable.
PROBLEMAS
B-g-l. Considere el sistema con realimentación unitaria
con las funciones de transferencia en lazo abierto.
B-8-2. Considere el sistema cuya función de transferencia
en lazo cerrado es
G(s) = +
C(s) K(T,s + 1)
-=
T,s + 1
Ns)
Obtenga la salida en estado estable del sistema cuando está
sujeto a cada una de las entradas siguientes:
(a)
(b)
(c)
r(t) = sen (t + 30”)
r(t) = 2 cos (2t - 45”)
r(t) = sen(t + 30”) - 2 cos (2t - 45”)
Obtenga la salida en estado estable del sistema cuando está
sujeto ã la entrada r(t) = R sen cot.
B-8-3. Dibuje las trazas de Bode de las tres funciones de
transferencia siguientes:
605
( a ) G(S) = s
(TI > Tz > 0)
2
( b ) G(s) = s
(TI > T2 > 0)
(T: > T2 > 0)
( c ) G ( s ) = ;F++ll
B-8-4. Grafique las trazas de Bode de
10(s2 + 0.4s + 1)
s(s2 + 0.8s + 9)
G(s) =
B-M.
(al
(b)
Figura 8-I33 (a) Representación del planos de una función
compleja Fr(s) y un contorno cerrado; (b) representación del
plano s de una función compleja F2(s) y un contorno cerrado.
figuras 8- 133(a) y (b).Trace cualitativamente los contornos
cerrados correspondientes en los planos Fr(s) y Fr(s).
Dado
G(s) =
4
s2 + 25ci$p + CD;
demuestre que
B-8-9. Dibuje un lugar geométrico de Nyquist para el sistema de control con realimentación unitaria con la función
de transferencia en lazo abierto
K(1 - s)
G(s) = s+l
kX~rz)l = $
B-8-6. Considere un sistema de control con realimentación
unitaria con la siguiente función de transferencia en lazo
abierto:
Usando el criterio de estabilidad de Nyquist, determine la
estabilidad del sistema en lazo cerrado.
B-8-10. Un sistema con la función de transferencia en lazo
abierto
G(s) =
s + 0.5
s3 + s2 + 1
Éste es un sistema de fase no mínima. Dos de los tres polos
en lazo abierto se ubican en el semiplano derecho del plano
s del modo siguiente:
Polos en lazo abierto en s = 1.4656
s = 0.2328 + jo.7926
K
GtWts) = $(Tls + 1)
es inherentemente inestable. Este sistema se estabiliza si se
agrega un control derivativo. Dibuje las trazas polares para
la función de transferencia en lazo abierto con y sin control
derivativo.
B-8-11. Considere el sistema en lazo cerrado con la siguiente función de transferencia en lazo abierto:
s = 0.2328 - jo.7926
G(s)H(s)
Grafique las trazas de Bode de G(s) con MATLAB. Explique por qué la curva del ángulo de fase empieza a partir
de 0” y tiende a +180°.
B-8-7. Dibuje las trazas polares de la función de transferencia en lazo abierto
G(s)H(s) =
K(T,s + l)(T,s + 1)
s2(Ts + 1)
Tb>T>o
T>Tb>o
B-8-8. Las configuraciones de polos y ceros de las funciones complejas FI(s) y F2(s) aparecen en las figuras
8-133(a) y (b), respectivamente. Suponga que los contornos cerrados en el plano s son los que se exhiben en las
606
lOK(s + 0.5)
s2(s + 2)(s + 10)
Grafique las trazas polares directa e inversa de G(s)H(s)
con K = 1 y K = 10. Aplique el criterio de estabilidad de
Nyquist a las trazas y determine la estabilidad del sistema
con estos valores de K.
B-8-12. Considere el sistema en lazo cerrado cuya función
de transferencia en lazo abierto es
para los dos casos siguientes:
( a ) Ta> T>O,
( b ) T>T,>O,
=
G(s)H(s)
= y
Encuentre el valor máximo de K para el cual el sistema es
estable.
B-8-13.
Dibuje una traza de Nyquist para el G(s) siguiente:
Capitulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
G(s) =
1
s(s2 + 0.8s + 1)
B-8-14. Considere un sistema de control con realimentación unitaria con la siguiente función de transferencia en
lazo abierto:
G(s) =
1
s3 + o.2s2 + s + 1
Dibuje una traza de Nyquist de G(s) y examine la estabilidad del sistema.
B-S-15 Considere un sistema de control con realimentación unitaria con la siguiente función de transferencia en
lazo abierto:
s2+2s+1
G(s) =
s3 + 0.22 + s + 1
Dibuje una traza de Nyquist de G(s) y examine la estabilidad del sistema en lazo cerrado.
B-8-16.
Considere el sistema definido mediante
[i:] = [,: -k][x:] + [: o][s]
Ei] = [u ;][*:] + [: o][u:]
Hay cuatro trazas de Nyquist individuales implícitas en este sistema. Dibuje en un par de ejes dos trazas de Nyquist parala entrada UI y en otro dos trazas de Nyquist para la entrada ~2.
Escriba un programa MATLAB para obtener estos dos juegos
de trazas.
B-8-17. Remitiéndonos al problema B-8-16, se quiere
graficar sólo YI(~para w > 0. Escriba un programa MATLAB que produzca tal traza.
Si se desea graficar Y~(iw)lU~(jw) para -M < w < 00,
Lqué cambios deben hacerse en el programa MATLAB?
B-S-U. Considere el sistema de control con realimentación
unitaria cuya función de transferencia en lazo abierto es
G(s) = 9
Determine el valor de a tal que el margen de fase sea 45”.
B-8-19. Considere el sistema de la figura 8-134. Dibuje las
trazas de Bode de la función de transferencia en lazo abierto
G(s). Determine el margen de fase y el margen de ganancia.
B-8-20. Considere el sistema de la figura 8-135. Dibuje las
trazas de Bode de la función de transferencia en lazo abierto
G(s). Determine el margen de fase y el margen de ganancia.
Figura S-l34
Sistema de control.
Problemas
Figura 8-135 Sistema de control.
B-8-21. Considere un sistema de control con realimentación unitaria con la función de transferencia en lazo abierto.
Determine el valor de la ganancia K tal que el margen de
fase sea SO”. iCuál es el margen de ganancia de este sistema
con esta ganancia K?
G(s)
= K
s(s2 + s + 4)
B-8-22. Considere el sistema de la figura 8-136. Dibuje las
trazas de Bode de la función de transferencia en lazo abierto
y determine el valor de la ganancia K tal que el margen de
fase sea 50”. ~Cuál es el margen de ganancia de este sistema
con esta ganancia K?
B-8-23. Considere un sistema de control con realimentación
unitaria cuya función de transferencia en lazo abierto es
G(s)
=
K
s(s2 + s + 0.5)
Determine el valor de la ganancia K tal que la magnitud del
pico de resonancia en la respuesta en frecuencia sea de 2 dB
oM,=2dB.
B-S-24 La figura 8-137 muestra un diagrama de bloques
de un sistema de control de procesos. Determine el rango
de la ganancia K para la estabilidad.
B-8-25. Considere un sistema en lazo cerrado cuya función
de transferencia en lazo abierto es
G(s)H(s)
= -$$)
Determine el valor máximo de la ganancia K para la estabilidad, como una función del tiempo muerto T.
Figura 8-136 Sistema de control
Figura 8-137 Sistema de control de procesos.
607
B-8-26. Grafique la traza polar de
G(s) = (W2 - WI + 12
(Ts)~ + 6(Ts) + 12
Demuestre que, Para el rango de frecuencia 0 < QJT < hh
esta ecuación produce una buena aproximación para la función de transferencia del retardo de transporte, e-n.
Figura 8-138 Trazas
de Bode de una función
de transferencia G(s).
Figura 8-139 Trazas
de Bode determinadas
experimentalmente de
un sistema.
0.1
0.2
0.4 0.6
B-8-27. La figura 8-138 muestra las trazas de Bode de una
función de transferencia G(s). Determine esta función de
transferencia.
B-MS. En la figura 8- 139 aparecen las trazas de Bode det erminadas experimentalmente de un sistema G@J). Determine la función de transferencia G(s).
1
2
4 6 810
20
-270°
40 6 0 1 0 0
0 e n radheg
-800 . t1
0.2
I
I 0.4
1111111
0.6 1
2I
11111111
4 6 10
0 en radkeg
Capítulo 8 / Análisis de la respuesta en frecuencia
20
I LI40-’
160°
9-1 INTRODUCCIÓN
El objetivo principal de este capítulo es presentar los procedimientos que se siguen en el
diseño y la compensación de sistemas de control lineales e invariantes con el tiempo, de una
entrada y una salida, mediante el enfoque de la respuesta en frecuencia.
Enfoque de la respuesta en frecuencia para el diseño de un sistema de control.
Es importante señalar que, en el diseño de un sistema de control, por lo general lo más importante es el desempeño de la respuesta transitoria. En el enfoque de la respuesta en frecuencia, especificamos el desempeño de la respuesta transitoria en una forma indirecta. Es
decir, el desempeño de la respuesta transitoria se especifica en términos del margen de fase,
el margen de ganancia y la magnitud del pico de resonancia, que ofrecen una estimación a
grandes rasgos del amortiguamiento del sistema, la frecuencia de cruce de ganancia, la frecuencia de resonancia y el ancho de banda, que ofrecen una estimación a grandes rasgos
de la velocidad de la respuesta transitoria y las constantes de error estático, que aportan la
precisión en estado estable. Aunque la correlación entre la respuesta transitoria y la respuesta en frecuencia es. indirecta, las especificaciones en el dominio de la frecuencia se
cumplen adecuadamente en el enfoque de las trazas de Bode.
Después de diseñar el lazo abierto mediante el método de la respuesta en frecuencia,
se determinan los polos y los ceros en lazo cerrado. Deben verificarse las características de
la respuesta transitoria para saber si el sistema diseñado satisface los requerimientos en el
dominio del tiempo. De no ser así, debe modificarse el compensador y luego repetirse el análisis hasta obtener un resultado satisfactorio.
El diseño en el dominio de la frecuencia es sencillo y directo. La gráfica de la respuesta
en frecuencia indica en forma clara la manera en la que debe modificarse el sistema, aunque
609
no sea posible hacer una predicción cuantitativa exacta de las características de la respuesta
transitoria. El enfoque de la respuesta en frecuencia se aplica a los sistemas o componentes
cuyas características dinámicas están dadas en forma de datos de respuesta en frecuencia.
Observe que, debido a la dificultad de obtener las ecuaciones que controlan ciertos componentes, por ejemplo neumáticos o hidráulicos, por lo general las características dinámicas de
dichos componentes se determinan en forma experimental a través de pruebas de respuesta
en frecuencia. Las gráficas de respuesta en frecuencia obtenidas experimentalmente se combinan con facilidad con otras gráficas obtenidas del mismo modo cuando se usa el enfoque
de las trazas de Bode. Observe también que, cuando se trabaja con ruido de frecuencia alta,
encontramos que el enfoque de la respuesta en frecuencia es más conveniente que otros.
Básicamente hay dos enfoques de diseño en el dominio de la frecuencia. Uno es el enfoque de la traza polar y el otro es el enfoque de las trazas de Bode. Cuando se añade un
compensador, la traza polar no conserva su forma original, por lo que es necesario dibujar
una nueva traza polar, esto toma tiempo y, por tanto, no es conveniente. En cambio, agregar las trazas de Bode del compensador a las trazas de Bode originales es muy simple y, por
tanto, grafícar las trazas de Bode completas es un asunto sencillo. Asimismo, si varía la
ganancia en lazo abierto, la curva de magnitud se mueve hacia arriba o hacía abajo sin que
se modifique la pendiente de la curva, y la curva de fase no cambia. Por tanto, para propósitos de diseño, es mejor trabajar con las trazas de Bode.
En un procedimiento común de las trazas de Bode, primero se ajusta la ganancia en lazo
abierto para cumplir el requerimiento sobre la precisión en estado estable. A continuación
se grafican las curvas de magnitud y fase en el lazo abierto sin compensar (con la ganancia en lazo abierto recién ajustada). Si no se satisfacen las especificaciones del margen de
fase y del margen de ganancia, se determina un compensador conveniente que vuelva a dar
forma a la función de transferencia en lazo abierto. Por último, si se debe cumplir con otros
requerimientos, se intenta satisfacerlos, a menos que algunos contradigan a los otros.
Información que se obtiene a partir de la respuesta en frecuencia en lazo abierto.
La región de frecuencia baja (aquella muy por debajo de la frecuencia de cruce de ganancia) del lugar geométrico indica el comportamiento en estado estable del sistema en lazo
cerrado. La región de frecuencia media (cercana al punto - 1 + iO) del lugar geométrico índica una estabilidad relativa. La región de frecuencia alta (aquella muy arriba de la frecuencia de cruce de ganancia) indica la complejidad del sistema.
Requerimientos sobre la respuesta en frecuencia en lazo abierto. Se puede decir que, en muchos casos prácticos, la compensación es, en esencia, un compromiso entre la
precisión en estado estable y la estabilidad relativa.
Para obtener un valor alto de la constante de error de velocidad, y aún así una estabilidad relativa satisfactoria, es necesario volver a dar forma a la curva de respuesta en frecuencia en lazo abierto.
La ganancia en la región de frecuencia baja debe ser suficientemente grande y, cerca de
la frecuencia de cruce de ganancia, la pendiente de la curva de magnitud logarítmica en las
trazas de Bode debe ser de -20 dB/década. Esta pendiente debe extenderse sobre una
banda de frecuencia suficientemente amplia para asegurar un margen de fase adecuado.
Para la región de frecuencia alta, la ganancia debe atenuarse lo más rápido posible a fin de
reducir los efectos del ruido.
La figura 9-1 contiene algunos ejemplos de las curvas de respuesta en frecuencia en lazo
abierto y en lazo cerrado deseables y no deseables.
610
Capítulo 9
/
Diseño de sistemas de control mediante la respuesta en frecuencia
Figura %l
(a) Ejemplos de las curvas de respuesta en
frecuencia en lazo
abierto deseables y no
D+ble *
deseables; (b) ejemplos
de las curvas de respuesta
en frecuencia en lazo
cerrado deseables y no
(4
deseables.
“36;
(b)
Círculo M
l-
Re
Figura 9-2
Remodelado de la curva de respuesta
en frecuencia en lazo abierto.
En la figura 9-2 observamos que la remodelación de la curva de respuesta en frecuencia en lazo abierto se lleva a cabo si la región de frecuencia alta del lugar geométrico sigue
al lugar geométrico G~@o), en tanto que la región de frecuencia baja del lugar geométrico
sigue al lugar geométrico Gs(&). El lugar geométrico remodelado G,(jw)G(jw) debe tener
márgenes de fase y de ganancia razonables, así como ser tangente a un círculo M adecuado,
como se aprecia.
Características básicas de la compensación de adelanto, de atraso y de atrasoadelanto.
La compensación de adelanto produce, en esencia, un mejoramiento razonable en la respuesta transitoria y un cambio pequeño en la precisión en estado estable. Puede
acentuar los efectos del ruido de alta frecuencia. Por su parte, la compensación de atraso
produce un mejoramiento notable en la precisión en estado estable a costa de aumentar el
tiempo de respuesta transitoria. Suprime los efectos de las señales de ruido a altas frecuencias. La compensación de atraso-adelanto combina las caracterfsticas de la compensación de adelanto con las de la compensación de atraso. El uso de un compensador de
atraso o de adelanto aumenta el orden del sistema en 1 (a menos que haya una cancelación
entre el cero del compensador y un polo de la función de transferencia en lazo abierto no
compensada). El uso de un compensador de atraso-adelanto eleva el orden del sistema en
2 [a menos que haya una cancelación entre el cero, o los ceros, del compensador de atrasoadelanto y el polo, o los polos, de la función de transferencia en lazo abierto no compen-
Sección 9-1 / Introducción
611
sada], lo cual significa que el sistema se vuelve más complejo y que es más difícil controlar
el comportamiento de la respuesta transitoria. La situación en particular determina el tipo
de compensación que debe usarse.
Panorama del capítulo. La sección 9-1 presentó el material introductorio; la sección
9-2 analiza la compensación de adelanto mediante el enfoque de las trazas de Bode y la sección 9-3 analiza la compensación de atraso mediante el enfoque de las trazas de Bode. La 94
estudia las tecnicas de compensación de atraso-adelanto con el mismo enfoque de las trazas de
Bode. La sección 9-5 ofrece los comentarios finales sobre el enfoque de respuesta en frecuencia para el diseño de sistemas de control.
9-2 COMPENSACIÓN DE ADELANTO
Primero examinaremos las caracterfsticas en frecuencia del compensador de adelanto.
Luego presentaremos una técnica de diseño para el compensador de adelanto mediante el
uso de las trazas de Bode.
Características de los compensadores de adelanto.
de adelanto que tiene la función de transferencia siguiente:
Considere un compensador
1
s+-
Ts + 1
KP aTs + 1 =K+S+-
(0 < a < 1)
aT
Tiene un cero en s =-UT y un polo en s =-ll(a7’). Dado que 0 C a < 1, vemos que el cero
siempre se ubica a la derecha del polo en el plano complejo. Observe que, para un valor pequeño de a, el polo se localiza lejos hacia la izquierda. El valor mínimo de a está limitado
por la construcción física del compensador de adelanto. Por lo general, el valor mínimo de
a se ubica cerca de 0.05. (Esto significa que el adelanto de fase máximo que produce el compensador es de alrededor de 65”.)
La figura 9-3 muestra la traza polar de
KajuT+l
(0 < a < 1)
’ joaT+1
con Kc = 1. Para un valor determinado de a, el ángulo entre el eje real positivo y la línea
tangente al semicírculo dibujada desde el origen proporciona el ángulo de adelanto de fase
Im
+
Figura 9-3
0
612
Capítulo 9
a
1
Re
Traza polar de uncompensador
de adelanto a($T + l)l(@aT + l),
endondeO<a<l.
/ Diseño de sistemas de control mediante la respuesta en frecuencia
máximo, $J,,,. Llamaremos wrn a la frecuencia en el punto tangente. En la figura 9-3, el ángulo de fase en o = w,,, es &,,, en donde
l - a
2
l - a
sen@,=-= l+ a l+ a
2
(9-1)
La ecuación (9-1) relaciona el ángulo de adelanto de fase máximo con el valor de a.
La figura 94 muestra las trazas de Bode de un compensador de adelanto cuando K, = 1
y a = 0.1. Las frecuencias de esquina para el compensador de adelanto son w = l/T y w =
l/(aT) = lO/T. Si examinamos la figura 9-4, vemos que w,,, es la media geométrica de las
dos frecuencias de esquina, o
log $ + log$T
1ogw,=;
i
1
Por tanto,
Como puede observarse en la figura 9-4, el compensador de adelanto es básicamente
un filtro paso-altas. (Pasan las frecuencias altas, pero se atenúan las frecuencias bajas.)
Técnicas de compensación de adelanto basadas en el enfoque de la respuesta
en frecuencia. La función principal del compensador de adelanto es volver a dar forma
ala curva de respuesta en frecuencia a fin de ofrecer un ángulo de adelanto de fase suficiente
para compensar el atraso de fase excesivo asociado con los componentes del sistema fijo.
Considere el sistema de la figura 9-5. Suponga que las especificaciones del desempeño
se dan en términos del margen de fase, del margen de ganancia, de las constantes de error
estático de velocidad, etc. El procedimiento para diseñar un compensador de adelanto mediante el enfoque de la respuesta en frecuencia se plantea del modo siguiente:
Figura 9-4
Traza de Bode
de un compensador
de adelanto
a(jwT + l)/ (jwaT + l),
en donde a = 0.1.
0 en radheg
Sección 9-2 / Compensacián de adelanto
613
Figura 9-5
Sistema de control.
1. Suponga el siguiente compensador de adelanto:
1
,Y+=
G,(s) = K,a s = K, *
(0 < a < 1)
S+-
aT
Defina
K,a = K
Así,
G,(s) = K ,‘T,++ll
La función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado es
G,(s)G(s) = K -$+ G(s) = -&+ KG(s) = s G,(s)
en donde
G,(s) = KG(s)
Determine la ganancia K que satisfaga el requerimiento sobre la constante estática de
error determinada.
2. Usando la ganancia K determinada, dibuje las trazas de Bode de GI@), el sistema
con la ganancia ajustada pero sin compensar. Calcule el valor del margen de fase.
3. Determine el ángulo de adelanto de fase # necesario que se agregará al sistema.
4. Determine el factor de atenuación a a partir de la ecuación (9-1). Establezca la frecuencia a la cual la magnitud del sistema no compensado GI@II) es igual a -20 log (l/&).
Seleccione ésta como la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Esta frecuencia corresponde a w,,, = l/(k’&‘J, y el cambio de fase máximo $m ocurre en ella.
5 . Determine las frecuencias de esquina del compensador de adelanto del modo siguiente:
Cero del compensador de adelanto:
“2
Polo del compensador de adelanto:
&)= I
T
aT
6 . Usando el valor de K determinado en el paso 1 y el de a establecido en el paso 4, calcule la constante K, a partir de
614
Capitulo 9
/
Diseño de sistemas de control mediante la respuesta en frecuencia
7. Verifique el margen de ganancia para asegurarse de que es satisfactorio. De no ser
así, repita el proceso de diseño modificando la ubicación de los polos y ceros del compensador hasta obtener un resultado satisfactorio.
( EJEMPLO 9-1
Considere el sistema de la figura 9-6. La función de transferencia en lazo abierto es
Se quiere diseñar un compensador para el sistema de modo que la constante de error estático de
velocidad KV sea de 20 seg-1, el margen de fase sea al menos de 50” y el margen de ganancia sea
al menos de 10 dB.
Usaremos un compensador de adelanto con la forma
El sistema compensado tendrá la función de transferencia en lazo abierto G,(s)G(s).
Defina
G,(s) = KG(s) = 4K
s(s + 2)
en donde K = K,a.
El primer paso en el diseño es ajustar la ganancia K para que cumpla la especificación de desempeño en estado estable, o bien proporcionar la constante de error estático de velocidad requerida. Dado que esta constante es de 20 seg-1, obtenemos
KV = lím sG,(s)G(s) = lím s s Gl(s) = lím -+&- =2K=20
A-a s(s + 2)
J-o
S-JO
o bien
K= 10
Con K = 10, el sistema compensado cumple el requerimiento en estado estable.
A continuación, graficaremos
las trazas de Bode de
G,O’w)
20
4o
jo.@0 + 2) = jw(O.5jw + 1)
=
La figura 9-7 muestra las curvas de magnitud y de ángulo de fase de GlCjw). A partir de estas
trazas, vemos que los márgenes de fase y de ganancia del sistema son 17” y t-w dB, respectivamente. (Un margen de fase de 17” implica que el sistema es muy oscilatorio. Por tanto, satisfacer la
Figura 9-6
Sistema de control.
Sección 9-2 / Compensación de adelanto
615
dB
0
0 en radkeg
G~(jo)=lOG(j~)= 4O/[jw(jo + 2)].
especificación en estado estable produce un desempeño deficiente de la respuesta transitoria.)
La especificación requiere de un margen de fase de cuando menos 50”. Por tanto, resulta necesario encontrar el adelanto de fase adicional a fin de satisfacer el requerimiento de que la estabilidad relativa sea de 33”. Para obtener un margen de fase de 50” sin disminuir el valor de K, el
compensador de adelanto debe contribuir al ángulo de fase requerido.
Tomando en cuenta que la adición de un compensador de adelanto modifica la curva de magnitud de las trazas de Bode, vemos que la frecuencia de cruce de ganancia se moverá a la derecha.
Debemos compensar el atraso de fase incrementado de Gr(jw), debido a este incremento en la
frecuencia de cruce de ganancia. Considerando el cambio de la frecuencia de cruce de ganancia,
suponemos que &,, adelanto de fase máximo requerido, es de aproximadamente 38”. (Esto significa que se han agregado 5” para compensar el cambio en la frecuencia de cruce de ganancia.)
Dado que
l - a
sen&= l+ a
&,, = 38” corresponde a a = 0.24. Una vez establecido el factor de atenuación a, con base en el
ángulo de adelanto de fase requerido, el paso siguiente es determinar las frecuencias de esquina
o = UT y w = ll(aT) del compensador de adelanto. Para conseguirlo, primero observamos que
el ángulo de adelanto de fase máximo &,, ocurre en la media geométrica de las dos frecuencias de
esquina, o w =
la ecuación (9-2).] La cantidad de la modificación de la curva
de magnitud en o =
por la inclusión del término (Ts + l)/(aTs + 1) es
l+jlti
1 +-ja-l
ti
1
=ti
Observe que
-&=-&=&=6.2dB
616
Capítulo 9
/
Diseño de sistemas de control mediante la respuesta en frecuencia
y IG~(jw)l= -6.2 dB corresponde a w = 9 radkeg. Elegiremos esta como la nueva frecuencia de cruce de ganancia wC. Tomando en cuenta que esta frecuencia corresponde a l/(&Z’),o wC = l/(Vk’),
obtenemos
$ = &xwc = 4.43
Y
-a; -- $ = 18.4
El
compensador
de
adelanto
determinado
es,
entonces,
de donde el valor de K, se obtiene como
K=~===417
c
a
0.24
’
Por tanto, la función de transferencia del compensador se vuelve
G,(s) = 41.7s = 10 ;” 1 ;
Observe que
G,(s)
G,(s)
K G,(s) = 1o lOG(s) = G,(s)G(s)
La curva de magnitud y la curva del ángulo de fase para G,(jw)/lO aparecen en la figura 9-8. El
sistema compensado tiene la siguiente función de transferencia en lazo abierto:
s + 4.41
4
G,(s)G(s) = 41.7 -____
s + 18.4 s(s + 2)
Las líneas continuas de la figura 9-8 representan la curva de magnitud y la curva del angula de
fase para el sistema compensado. El compensador de adelanto provoca que la frecuencia de cruce
de ganancia se incremente de 6.3 a 9 radkeg. El incremento de esta frecuencia significa un aumento en el ancho de banda. Esto implica, a su vez, un incremento en la velocidad de respuesta.
Se observa que los márgenes de fase y de ganancia son de cerca de 50” y +m dB, respectivamente.
Por tanto, el sistema compensado de la figura 9-9 cumple los requerimientos en estado estable y
de la estabilidad relativa.
Observe que, para los sistemas de tipo 1, como el sistema recién considerado, el valor de la
constante de error estático de velocidad K, es simplemente el valor de la frecuencia en la intersección de la extensión de la línea de pendiente inicial -20 dB/década
con la línea 0 dB, como se
observa en la figura 9-8.
La figura 9-10 muestra las tr%zas polares del sistema no compensado Ge = lOG(jw) y del
sistema compensado G&)G(jo). En la figura 9-10 vemos que la frecuencia de resonancia del sistema no compensado es de alrededor de 6 radlseg y que la del sistema compensado es de aproximadamente 7 radlseg. (Esto tambien indica que se ha incrementado el ancho de banda.)
En la figura 9-10 encontramos que el valor del pico de resonancia M para el sistema no compensado con K = 10 es 3. El valor de M para el sistema compensado es 1.29. Esto muestra claramente que el sistema compensado tiene una estabilidad relativa mejorada. (Observe que el
Secci6n
9-2 / Compensaciód
de adelanto
617
dB
Figura 9-8
Trazas de Bode para el
sistema compensado.
-L
1
2
4
6
Tl0
20
40
60
100
Figura 9-9
Sistema compensado.
valor de M, se obtiene con facilidad si se transfieren los datos de las trazas de Bode a la carta de
Nichols.)
Observe que, si el ángulo de fase de Gr(jw) cerca de la frecuencia de cruce de ganancia disminuye rápidamente, la compensación de adelanto pierde su efectividad, porque el movimiento
hacia la derecha de la frecuencia de cruce de ganancia hace difícil proporcionar un adelanto de
fase suficiente para la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Esto significa que, con el fin de aportar el margen de fase deseado, debemos usar un valor de a muy pequeño. Sin embargo, el
valor de a no debe ser demasiado pequeño (menor que 0.05), ni el adelanto de fase máximo &
debe ser demasiado grande (mayor de 65’7, pues tales valores requerirán una ganancia adicional
con un valor excesivo. [Si se necesitan más de 65”, se usan dos (o más) redes de adelanto en serie, con un amplificador de aislamiento.]
Por último, examinaremos las caracterfsticas
de la respuesta transitoria del sistema diseñado.
Obtendremos las curvas de respuesta escalón unitario y de respuesta rampa unitaria de los sistemas
618
Capítulo 9 / Diseño de sistemas de control mediante la respuesta en frecuencia
.- 2
Figura940
Trazas polares de la
función de transferencia en lazo abierto
compensada y no
compensada. (GI: sistema no compensado; G,G: sistema
compensado.)
compensado y no compensado con MATLAB. Observe que las funciones de transferencia en lazo
cerrado de los sistemas no compensado y compensado se obtienen, respectivamente, mediante
4
C(s)
-=
R(s) sz + 23 + 4
Y
166.8s + 735.588
R(s) - s? + 20.4~~ + 203.6s + 735.588
CN-
El programa MATLAB 9-1 nos permite obtener las curvas de respuesta escalón unitario y rampa
unitaria. La figura 9-11 muestra las curvas de la respuesta escalón unitario y la figura 9-12 contiene las curvas de respuesta rampa unitaria.Estas curvas de respuesta indican que el sistema diseñado es satisfactorio.
Sección 9-2 / Compensación de adelanto
619
Respuestas escalón unitario de los sistemas
compensado y no compensado
1.4
1.2
1
g 0.8
3 0.6
0.4
Figura9-11
Curvas de respuesta
escalón unitario de los
sistemas compensado y
no compensado.
620
0.2
O”
1
3
t seg
6
Capítulo 9 / Diseño de sistemas de control mediante la respuesta en frecuencia
Respuestas rampa unitaria de los sistemas compensado y no compensado
Figura sl.2
Curvas de respuesta
rampa unitaria de los
sistemas compensado
y no compensado.
0
0.5
1
1.5
t seg
Observe que los polos en lazo cerrado para el sistema compensado están en:
s = -6.9541 I+ j8.0592
s = -6.4918
Debido a que los polos dominantes en lazo cerrado se ubican lejos del eje jw,la respuesta se amortigua con rapidez.
9-3 COMPENSACIÓN DE ATRASO
En esta sección analizaremos, primero, la traza de Nyquist y las trazas de Bode del compensador de atraso. A continuación presentaremos las técnicas de compensación de atraso
basadas en el enfoque de la respuesta en frecuencia.
Características de los compensadores de atraso.
Considere un compensador de
atraso que tiene la siguiente función de transferencia:
1
Ts + 1
G,(s) = Kc$Ts + 1 = Kc
En el plano complejo, un compensador de atraso tiene un cero en s = -l/T y un polo en
s = - V(JW). El polo está a la derecha del cero.
La figura 9-13 muestra una traza polar del compensador de atraso. La figura 9-14 contiene las trazas de Bode del mismo, en donde K, = 1 y p = 10. Las frecuencias de esquina del
compensador de atraso están en UJ = l/T y o = l/(j3T’). Como se observa en la figura 9-14, en
donde los valores de Kc y B se hacen igual a 1 y 10, respectivamente, la magnitud del compensador de atraso se vuelve 10 (o 20 dB) en frecuencias bajas, y 1 (o 0 dB) en frecuencias
altas. Por tanto, el compensador de atraso es esencialmente un filtro de paso-bajas.
Sección 9-3 / Compensación de atraso
621
Figura !Ll3
Traza polar de
un compensador
de atraso
K&jwT I- l)l(joBT + 1).
Técnicas de compensación de atraso basadas en el enfoque de la respuesta en
frecuencia. La función principal de un compensador de atraso es proporcionar una atenuación en el rango de las frecuencias altas a fin de aportar un margen de fase suficiente al sistema. La característica de atraso de fase no afecta la compensación de atraso.
El procedimiento para diseñar compensadores de atraso para el sistema de la figura
9-5, mediante el enfoque de la respuesta en frecuencia, se plantea del modo siguiente:
1. Suponga el compensador de atraso:
1
S+-
G,(s) = Wp;s++;
T
= Kc S’&
@‘ll
Defina
KJ = K
De modo que
La función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado es
Figura 9-14
Trazas de Bode del
compensador de atraso
/!?(joT + l)/(jo#?T + l),
con /3 = 10.
622
&l
1
T
T
K!
T
w en radkeg
Capítulo 9 / Diseño de sistemas de control mediante la respuesta en frecuencia
G&)‘W = $ss++; G(s) = p;s++;
Ts + 1
KW) = pTs + 1 G,(s)
en donde
G,(s) = KG(s)
Determine la ganancia K que satisfaga el requerimiento en la constante de error estático
establecida.
2. Si el sistema no compensado G&o) = KGG w )no satisface las especificaciones en
los márgenes de fase y de ganancia, encuentre el punto de frecuencia en el cual el ángulo
de fase de la función de transferencia en lazo abierto sea igual a - 180” más el margen de
fase requerido. Éste es el margen de fase especificado entre 5 y 12”. (La adición de entre 5
y 12” compensa el atraso de fase del compensador de atraso.) Seleccione ésta como la nueva
frecuencia de cruce de ganancia.
3. Para evitar los efectos nocivos del atraso de fase producido por el compensador de
atraso, el polo y el cero del compensador de atraso deben ubicarse mucho más abajo que
la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Por tanto, seleccione la frecuencia de esquina w
= UT (que corresponde al cero del compensador de atraso) entre una octava y una década
por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia. (Si las constantes de tiempo del
compensador de atraso no se vuelven demasiado grandes, se selecciona la esquina de frecuencia o = l/T una década por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia.)
4. Determine la atenuación necesaria para disminuir la curva de magnitud a 0 dB en la
nueva frecuencia de cruce de ganancia. Considerando que esta atenuación es de -20 log /I,
determine el valor de /3. Luego se obtiene la otra frecuencia de esquina (que corresponde
al polo del compensador de atraso) a partir de w = lI(pIT).
5. Usando el valor de K determinado en el paso 1 y el de /3 obtenido en el paso 5, calcule la constante KE a partir de
EJEMPLO 9-2
Considere el sistema de la figura 9-15. La función de transferencia en lazo abierto se obtiene
mediante
G(s) =
1
s(s + 1)(0.5s + 1)
Se desea compensar el sistema a fin de que la constante de error estático de velocidad KV sea de 5 seg-1,
el margen de fase sea de cuando menos 40” y el margen de ganancia sea de cuando menos 10 dB.
Usaremos un compensador de atraso de la forma
1
S+T
G,(s) = KcPp;s;; = K, 1
(P’l>
,+,,
Sección 9-3 / Compensación de atraso
623
!
Defina
KJ=K
También defina
G,(s) = KG(s) =
K
s(s + 1)(0.5s + 1)
El primer paso en el diseño es ajustar la ganancia K para que cumpla con la constante de error
estático de velocidad requerida. Por tanto,
Ts + 1
KV = lít~ sG,(s)G(s) = 2 s pTs + 1 Gl(s) = 12 sGl(s)
= lím
SK
& s(s + 1)(0.5s + 1)
=K=5
0 bien
K=5
Con K = 5, el sistema compensado satisface el requerimiento de desempeño en estado estable.
A continuación graficamos
las trazas de Bode de
Cl@) =
5
joJ@o + 1)(0.5jul + 1)
La curva de magnitud y la curva del ángulo de fase de Gr(jw) aparecen en la figura 9-16. A partir de estas trazas, vemos que el margen de fase es de -2O”, lo cual significa que el sistema es inestable.
Considerando que la adición de un compensador de atraso modifica la curva de fase de las
trazas de Bode, debemos permitir entre 5 y 12” a fin de que el margen de fase especificado compense la modificación de la curva de fase. Dado que la frecuencia correspondiente a un margen
de fase de 40* es de 0.7 radlseg, la nueva frecuencia de cruce de ganancia (del sistema compensado) debe seleccionarse cercana a este valor. Con el fin de evitar las constantes de tiempo muy
grandes para el compensador de atraso, debemos elegir la frecuencia de esquina o = l/T (que corresponde al cero del compensador de atraso) como 0.1 radkeg. Dado que esta frecuencia de esquina no está muy abajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia, la modificación de la curva
de fase tal vez no sea pequeña. Por tanto, agregamos cerca de 12” al margen de fase proporcionado, como una tolerancia para considerar el ángulo de atraso introducido mediante el compensador de atraso. El margen de fase requerido es ahora de 52”. El ángulo de fase de la función
de transferencia en lazo abierto no compensada es de - 128” en la cercanía de o = 0.5 radkeg. Por
tanto, tomamos la nueva frecuencia de cruce de ganancia como de 0.5 radlseg. Para bajar la curva
de magnitud hasta 0 dB en esta nueva frecuencia de cruce de ganancia, el compensador de atraso
debe proporcionar la atenuación necesaria que, en este caso, es de -20 dB. Por tanto,
20 log ; = -20
o bien,
p = 10
se
624
La otra frecuencia de esquina w = l@T), que corresponde al polo del compensador de atraso,
determina, entonces, como
Capítulo 9 / Diseño de sistemas de control mediante la respuesta en frecuencia
Figura 9-16
kazas de Bode para el
listema no compensado,
:l compensador y el sisema compensado.
GI: sistema no compensado,
k: compensador, G,G:
#istema compensado.)
0.004 0.01 0.02 0.04
0.1 0.2 0.4 0.6 1 2 4
w en radheg
0.01 radheg
Por tanto, la función de transferencia del compensador de atraso es
1
“+G
G,(s) = K,(lO) e = K, 1
s+TG
Dado que la ganancia K se determinó como 5 y ,8 como 10, tenemos que
K, = ; = 6 = 0.5
La función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado es
S(lOs + 1)
GcWW = s(1oos + l)(s + l)(OSs + 1)
La figura 9-16 también muestra las curvas de magnitud y de ángulo de fase de G,(iw)G(jw).
El margen de fase del sistema compensado es de alrededor de 40”, que es el valor requerido.
El margen de ganancia es de aproximadamente 11 dB;valor
bastante aceptable. La constante de
error estático de velocidad es de 5 seg-1, tal como se requiere. Por tanto, el sistema compensado
satisface los requerimientos en estado estable y la estabilidad relativa.
Sección 9-3 / Compensach de atraso
625
observe que esta nueva frecuencia de cruce de ganancia disminuyó de cerca de 2 a 0.5 radlseg.
Esto significa que el ancho de banda del sistema se redujo.
Para apreciar mejor los efectos de la compensación de atraso, la figura 9-17 muestra las
trazas de la magnitud logarítmica contra la fase del sistema no compensado Grf$u) y del sistema
compensado G,(jw)G(&). La traza de GrGw) muestra claramente que el sistema no compensado es inestable. Al agregar el compensador de atraso el sistema se estabiliza. La traza de
G,@)G(jw) es tangente al lugar geométrico M = 3 dB. Por tanto, el valor del pico de resonancia
es de 3 dB, o 1.4, y este pico ocurre en o = 0.5 radlseg.
Los compensadores diseñados con métodos diferentes o por diseñadores distintos (incluso
mediante el mismo enfoque) pueden resultar muy diferentes. Sin embargo, cualquier sistema bien
diseñado producirá un desempeño transitorio y en estado estable similar. La mejor entre muchas
alternativas se elige a partir de la consideración económica de que las constantes de tiempo del
compensador de atraso no deben ser demasiado grandes.
Por último examinaremos la respuesta escalón unitario y la respuesta rampa unitaria del sistema compensado y del sistema no compensado original. Las funciones de transferencia en lazo
cerrado de los sistemas compensado y no compensado son
C(s)
-=
R(s)
50s + 5
5os4 + 150.5s3 + 101.5s2 + 51s + 5
Y
C(s)
-=
R(s)
1
0.5s3 + 1.5? + s + 1
respectivamente. El programa MATLAB 9-2 producirá las respuestas escalón unitario y rampa
unitaria de los sistemas compensado y no compensado. Las curvas de respuesta escalón unitario
y rampa unitaria resultantes aparecen en las figuras 9-18 y 9-19, respectivamente. A partir de las
curvas de respuesta encontramos que el sistema diseñado satisface las especificaciones proporcionadas y que es satisfactorio.
16
mea
<.. . ;tï..l
t
-240” -210” -180” -150“ -120’ -90”
626
Figura !L17
Trazas de la magnitud logarítmica
contra la fase del sistema no compensado y del sistema compensado.
(GI: sistema no compensado, G,G:
sistema compensado.)
Capítulo 9 / Diseño de sistemas de control mediante la respuesta en frecuencia
Observe que el cero y los polos de los sistemas en lazo cerrado diseñados son los siguientes:
Cero en s = -0.1
Polos en s = -0.2859 + j0.5196,
s = -0.1228,
s= -2.3155
Los polos dominantes en lazo cerrado están muy cerca del eje jw, por lo cual la respuesta es
lenta. Asimismo, el par formado por el polo en lazo cerrado en s = -0.1228 y el cero en s = -0.1
produce una cola lentamente decreciente de amplitud pequeña.
Algunos comentarios sobre la compensación de atraso
1. Los compensadores de atraso son, en esencia, filtros paso-bajas. Por tanto, la com;
pensación de atraso permite una ganancia alta en las frecuencias bajas (lo cual mejora el
desempeño en estado estable) y reduce la ganancia en el rango de las frecuencias críticas
Sección 9-3 / Compensación de atraso
627
Respuestas escalón unitario de los sistemas
compensado y no compensado
Figura 9-18
Curvas de respuesta
escalón unitario para
los sistemas compen-
sado y no compensado (ejemplo 9-2).
'0
5I
10 1 15 /
20 /
t seg
25 /
I
30
I
35
40
Respuestas rampa unitaria de los sistemas compensado y no compensado
Figura 9-19
Curvas de respuesta
rampa unitaria para
los sistemas compensado y no compensado (ejemplo 9-2).
t seg
más altas, a fin de mejorar el margen de fase. Observe que en la compensación de atraso
utilizamos la característica de atenuación del compensador de atraso en frecuencias altas,
en lugar de la característica de atraso de fase. (La característica de atraso de fase no sirve
para propósitos de compensación.)
2. Suponga que el cero y el polo de un compensador de atraso se ubican en s = -z y
s = -p, respectivamente. Entonces, la ubicación exacta del cero y el polo no es crítica, dado
que están cerca del origen, y el cociente zlp es igual al factor de multiplicación requerido
de la constante de error estático de velocidad.
628
Capítulo 9 / Diseño de sistemas de control mediante la respuesta en frecuencia
Sin embargo, debe señalarse que el cero y el polo del compensador de atraso no necesariamente están cerca del origen, porque el compensador de atraso crea un polo adicional
en lazo cerrado en la misma región que el cero y el polo del compensador de atraso.
El polo en lazo cerrado que está cerca del origen proporciona una respuesta transitoria decreciente muy lenta, aunque su magnitud se vuelve muy pequeña porque el cero del compensador de atraso casi cancela el efecto de este polo. Sin embargo, la respuesta transitoria (decae)
producida por este polo es tan lenta que el tiempo de asentamiento se ve muy afectado.
También se observa que, en el sistema compensado mediante el compensador de atraso,
la función de transferencia entre la perturbación de la planta y el error del sistema tal vez
no contenga un cero cerca de este polo. Por tanto, es posible que la respuesta transitoria a
la entrada de perturbación sea muy prolongada.
3. La atenuación producida por el compensador de atraso cambia la frecuencia de
cruce de ganancia a un punto de frecuencia más bajo en el cual el margen de fase sea aceptable. Por tanto, el compensador de atraso reduce el ancho de banda del sistema y provoca una
respuesta transitoria más lenta. [La curva del ángulo de fase de G,(jw)G(jw) se encuentra relativamente sin modificaciones cerca y arriba de la nueva frecuencia de cruce de ganancia.]
4. Dado que el compensador de atraso tiende a integrar la señal de entrada, funciona
más o menos como un controlador proporcional-integral. Por esta razón, un sistema cuyo
atraso se compensa tiende a volverse menos estable. Para evitar esta característica no conveniente, la constante de tiempo T debe hacerse suficientemente más grande que la mayor
constante de tiempo del sistema.
5. Puede haber una estabilidad condicional cuando un sistema tiene saturación o con
limitaciones se ajusta mediante un compensador de atraso. Cuando la saturación o la limitación tienen lugar en el sistema, se reduce la ganancia de lazo efectiva. Así, el sistema se
vuelve menos estable e incluso puede operar de manera inestable, como se observa en la
figura 9-20. Para evitar esto, el sistema debe diseñarse de modo que el efecto de la compensación de atraso se vuelva significativo sólo cuando la amplitud de la entrada al ele-
-180”
-270” u
0.7 1
2
4 6 810
20
w en rad/seg
Sección 9-3 / Compensación de atraso
Trazas de Bode de un sistema condicionalmente estable.
629
mento de saturación sea pequeña. (Esto se consigue mediante una compensación menor
del lazo de realimentación.)
9-4 COMPENSACIÓN DE ATRASO-ADELANTO
Primero examinaremos las características de respuesta del compensador de atraso-adelanto. Después presentaremos la técnica de compensación de atraso-adelanto basada en el
enfoque de la respuesta en frecuencia.
de
Característica del compensador de
atraso-adelanto obtenido mediante
atraso-adelanto.
Considere
el
compensador
(9-3)
endondey>ly/3>1.Eltérmino
1
S+T
1
-l - S+Y
Tl
(Y ’ 1)
Y
produce el efecto de una red de adelanto, y el término
produce el efecto de una red de atraso.
Al diseñar un compensador de atraso-adelanto, es común seleccionar y = j3. (Esto, por
supuesto, no es necesario, ya que podemos elegir y # /3.) A continuación, considere el caso en el
que y = /?. La traza polar del compensador de atraso-adelanto con K, = 1 y y = j3 se convierte en
la que aparece en la figura 9-21. Observe que, para 0 < w c 01, el compensador funciona como
Figura!I-21
Traza polar de un compensador de atrasoadelanto obtenido mediante la ecuación
(9-3), con K, = 1 y y = p.
630
Capítulo 9 / Diseño de sistemas de control mediante la respuesta en frecuencia
un compensador de atraso, en tanto que, para ol< w < ~0, funciona como un compensador de
adelanto. La frecuencia wl es aquella en la cual el ángulo de fase es cero. Se obtiene mediante
(Para obtener esta ecuación, véase el problema A-9-2.)
La figura 9-22 muestra las trazas de Bode del compensador de atraso-adelanto cuando
K, = 1, y = /3 = 10 y TZ = 10T1. Observe que la curva de magnitud tiene un valor de 0 dB en
las regiones de frecuencia alta y baja.
Compensación de atraso-adelanto basada en el enfoque de la respuesta en frecuencia. El diseño de un compensador de atraso-adelanto mediante el enfoque de la respuesta en frecuencia se basa en la combinación de las técnicas de diseño analizadas en la
compensación de adelanto y la compensación de atraso.
Supongamos que el compensador de atraso-adelanto tiene la forma siguiente:
en donde /l> 1. La parte de adelanto de fase del compensador de atraso-adelanto (la parte
que contiene TI) altera la curva de respuesta en frecuencia añadiendo un ángulo de adelanto de fase e incrementando el margen de fase en la frecuencia de