Introducción al Cálculo Nombre de la asignatura Introducción al Cálculo. Resultado de aprendizaje general de la asignatura Resuelve problemas elementales de las matemáticas aplicando los conceptos y propiedades del precálculo y las cónicas en el contexto de la ingeniería. - Resultados de aprendizaje de la semana - Semana Utilización de axiomas y propiedades de los números reales. Diferenciación entre ecuaciones e inecuaciones. Representación de intervalos de forma gráfica y simbólica. Verificación de desigualdades. Resolución de inecuaciones lineales, cuadráticas y racionales. Resolución de ecuaciones e inecuación con valor absoluto. 1. Descripción general de la guía En este apunte, llamado Propiedades en ℝ relacionadas con la desigualdad, aprenderás a reconocer y aplicar las propiedades en IR relacionadas con la desigualdad, las propiedades adicionales a los números reales, las ecuaciones cuadráticas y las propiedades de los valores absolutos. Temas que se abordarán 1. Propiedades en IR relacionadas con la desigualdad. 2. Propiedades adicionales de los números reales. 3. Ecuaciones cuadráticas. 4. Propiedades del valor absoluto. 2 Contextualización tema En este apunte, podrás revisar las propiedades en ℝ relacionadas con la desigualdad, sus propiedades asociadas a los números reales y la definición de ecuaciones cuadráticas a través de ejemplos y sus soluciones, además de reconocer las propiedades del valor absoluto que te permitirán formular juicios críticos sobre problemas y soluciones. Desarrollo Una de las principales utilidades de las inecuaciones es su aplicación en problemas de decisión, donde aparece una serie de condiciones con el objetivo de determinar una solución óptima. Este proceso se denomina optimización y consiste en lograr un resultado máximo o mínimo según el problema planteado. Para resolver las desigualdades es necesario utilizar las propiedades de los números reales, que estudiaremos a continuación. 1. Propiedades en ℝ relacionadas con la desigualdad Comencemos teniendo en cuenta que, sean x, y ∈ ℝ, se definen las relaciones <, >, ≤, ≥, por: 1) x < y ⇔ (x − y) ∈ ℝ− 2) x > y ⇔ (x − y) ∈ ℝ+ 3) x ≤ y ⇔ (x < y) ∨ (x = y) 4) x ≥ y ⇔ (x > y) ∨ (x = y) La propiedad tricotomía, para cualquier par de números reales x e y, una y solo una de las siguientes proposiciones es verdadera: 3 Proposiciones 1 2 x<y x>y 3 x=y Veamos cuáles son las propiedades relacionadas con la desigualdad: Propiedades 4 01 x < y ∧ a > 0 ⇒ 𝑎𝑥 < 𝑎𝑦 05 Si 0 < x < y, 0 < u < v, entonces podemos multiplicar las desigualdades, es decir, 𝑥𝑢 < 𝑦𝑣 . 02 x < y ∧ a < 0 ⇒ 𝑎𝑥 > 𝑎𝑦 06 (x < 0) ∧ (y > 0) ⇒ 𝑥𝑦 < 0 03 ∀x ∈ ℝ ⇒ 𝑥 2 ≥ 0. 07 (x < 0) ∧ (y < 0) ⇒ 𝑥𝑦 > 0 04 Si x < y, u < v ⇒ x + u < y +v 08 x < y, a ∈ IR ⇒ x + a < y + a 1.1 Propiedades relacionadas con la desigualdad 5 1.2 Propiedades adicionales de los números reales 6 2. Ecuaciones cuadráticas Ecuación cuadrática Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor exponente de la incógnita x es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que solo aparece una incógnita y la forma más común en la que se expresa es: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Concepto Expliquemos sus incógnitas: − a: es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0 (pues, si fuera 0, la ecuación no sería de segundo grado). − b: es el coeficiente lineal o de primer grado. − c: es el término independiente. La resolución de estas ecuaciones se realiza aplicando una fórmula general: 𝑥= 7 −𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 Dato: la expresión bajo la raíz de la fórmula general se denomina discriminante. Analicemos el discriminante= b2 – 4ac Posibles situaciones 1 8 Si el valor final del discriminante es positivo, la ecuación tiene dos soluciones. 2 Si el valor final del discriminante es cero, la ecuación tiene una única solución. 3 Si el valor final del discriminante es negativo, la ecuación no tiene solución en los números reales, sino en los números complejos. 2.1 Ejemplos de solución de ecuaciones cuadráticas 2.1 Ejemplos de solución de ecuaciones cuadráticas Caso 1 Ecuación: 𝑥2 + 3𝑥 − 10 = 0 Fórmula para utilizar: a = 1, b = 2, c = 1, según la ecuación planteada. Las dos soluciones son x1 = 2 y x2 = -5 9 El caso 3 no tiene solución. La solución pertenece al conjunto de los números complejos. Los números complejos se denotan por ℂ, son una extensión de los números reales y forman un cuerpo algebraicamente cerrado. Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario. El número √−1 se denota por la letra 𝑖. Retomando la solución de esta ecuación, que pertenece al conjunto de los números complejos, las soluciones se escriben en la forma: 10 𝑥1 = −1 + √3 ∙ −1 −1 + √3√−1 −1 + 𝑖√3 , 𝑥1 = , 𝑖 = √−1 ⇒ 𝑥1 = 2 2 2 𝑥2 = −1 − √3 ∙ −1 −1 − √3√−1 −1 − 𝑖√3 , 𝑥2 = , 𝑖 = √−1 ⇒ 𝑥2 = 2 2 2 3. Propiedades de valor absoluto 1. 2. 3. 4. 5. 6. |𝑥| ≥ 0, ∀ 𝑥 ∈ ℝ. |𝑥| = 0 ⇔ 𝑥 = 0. |𝑥| = |−𝑥|, ∀ 𝑥 ∈ ℝ. |𝑥 2 | = |𝑥|2 = 𝑥 2 , ∀ 𝑥 ∈ 𝑅. −|𝑥| ≤ 𝑥 ≤ |𝑥|, ∀ 𝑥 ∈ ℝ. |𝑥𝑦| = |𝑥||𝑦|, ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ. 𝑥 |𝑥| 7. | | = |𝑦| , ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ. , 𝑦 ≠ 0. 𝑦 8. |𝑥| ≤ 𝑎 ⟺ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 ⇔ 𝑥 ∈ [−𝑎, 𝑎], ∀𝑥, 𝑎 ∈ ℝ. 9. |𝑥| ≥ 𝑎 ⟺ 𝑥 ≤ −𝑎 ∨ 𝑎 ≤ 𝑥 ⇔ 𝑥 ∈] − ∞, 𝑎] ∪ [𝑎, +∞[, ∀𝑥, 𝑎 ∈ ℝ. 10. |𝑥 + 𝑦| ≤ |𝑥| + |𝑦|, ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ. 4. Referencias bibliográficas Larson, R. y Edwards, B. (2016). Cálculo 1. Cengage Learning. Stewart, J. (2013). Cálculo trascendente temprano. Cengage Learning. Zill, D. y Wright, W. (2011). Mathematica 2. McGraw-Hill. 11 Propiedades en IR relacionadas con la desigualdad Ideas clave 12 Propiedades adicionales de los números reales Ecuaciones cuadráticas Propiedades de valor absoluto Indicadores de evaluación Indicadores generales Indicadores específicos Sí Comprendí las instrucciones de la guía. Identifiqué problemas emergentes. propuestos o Solucioné problemas emergentes. propuestos o COMPLETAR EXPERTO TÉCNICO (en primera persona) Comprendí las propiedades en IR relacionadas con la desigualdad. COMPLETAR EXPERTO TÉCNICO (en primera persona) Comprendí las propiedades adicionales de los números reales. COMPLETAR EXPERTO TÉCNICO (en primera persona) Comprendí qué son las ecuaciones cuadráticas. COMPLETAR EXPERTO TÉCNICO (en primera persona) Comprendí las propiedades de valor absoluto. Autoevaluación 13 No
