pdf-esfuerzo-cortante compress

10.1 Sobre una muestra de arena seca con un esfuerzo normal de 200 kN/m 2 se
realizó una prueba de corte directo. La falla se produjo en un esfuerzo cortante de
175 kN/m2. El tamaño de la muestra sometida a la prueba fue de 75 mm x 75 mm x
Φ’ . Para un esfuerzo normal de 150
30 mm (altura). Determine el ángulo de fricción, Φ’.
kN/m2, ¿qué fuerza de corte se requeriría para causar la falla de la muestra?
De la ecuación:
 =   ϕ′

 = 0


175
/



−
−
 =  ϕ →ϕ′=tan ′ =tan 200 / →ϕ′=41.186°
τ=σ′tanϕ′ = 151500 
/
/ tan41.186° = 13131.1.25 /
/
F=  ∗ 
Donde para la arena
Teniendo Φ se puede obtener a fuerza cortante
Si
entonces:

− 
 = 13131.1.25 
/
/ ∗5.625×10  = 0.77382
38288 
10.2 El tamaño de una muestra de arena en una prueba de corte directo fue de 50
Φ’=
mm x 50 mm x 30 mm (altura). Se sabe que, para la arena, tan Φ’
= 0.65/e (donde e
= relación de vacíos) y la gravedad específica de los suelos sólidos Gs= 2.65.
Durante la prueba, se aplicó un esfuerzo normal de 140 kN/m 2. La falla se produjo
con un esfuerzo cortante de 105 kN/m 2. ¿Cuál es la masa de la muestra de arena?
De la ecuación:
Donde para la arena
 = 0
 =   ϕ′

 =  ϕ′
105 ⁄ = 140 ⁄ ′ → 0.75=′, 0.65 =′
′
0.75= 0.65 ⇒ =0.867
Sustituyendo
Igualando
se tiene:
Donde
Si:
=50∗50∗30 =7.5×10− 
 = + ⇒ =0.46
 =  →  =3.48×10− 
 =  →  =4.014×10− 
Entonces:
 =  = ∗ →  =  ∗  ∗ 

 = 2.65 ∗ 9.811⁄ ∗4.014×10−  =1.043499×10− 
− 

1.
0
43499×10

 =  = 9.81⁄ =1.06
La masa se obtiene dividiendo el peso entre la gravedad:
10.3 El ángulo de fricción de una arena seca compactada es 35º. En una prueba
de corte directo sobre la arena se aplicó un esfuerzo normal de 115 kN/m 2. El
tamaño de la muestra fue de 50 mm x 50 mm x 30 mm (altura). ¿Qué fuerza de
corte (en kN) causará la falla?
De la ecuación:
Donde para la arena
 = 0
 =   ϕ′
 = ϕ′
τf = 115 kN⁄m tan
tan3535 → τf = 80.458 kN⁄m
 = 50
50∗∗ 50 →  = 2.5 × 10− 
− 
 =  ∗ = 80.4=580.2.20013131
⁄1∗2.5×10

10.4 A continuación se presentan los resultados de cuatro pruebas de corte directo
drenadas de una arcilla normalmente consolidada:
Diámetro de muestra = 50 mm
Altura de muestra = 25 mm
1
Fuerza normal
(N)
267
Fuerza cortante
En la falla (N)
166.8
2
400
244.6
3
489
311.4
4
556
355.8
Prueba Num
Dibuje una gráfica de esfuerzo cortante en la falla contra el esfuerzo normal.
Determine el ángulo de fricción de drenaje en la gráfica.
Para transformar de fuerza a esfuerzo se ocupan las fórmulas:
Donde el área es
 =   = 
 = π 50mm = 191936.
36.495
495  =0.001963
Prueba Num
Fuerza
normal (N)
Esfuerzo
normal
(kN/m2)
Fuerza
cortante en la
falla (N)
Esfuerzo
cortante
(kN/m2)
1
2
3
4
267
400
489
556
135.982
203.718
249.046
283.168
166.8
244.6
311.4
355.8
84.951
124.574
158.595
181.207
Al graficar
graficar el esfuerzo
esfuerzo
normal y el esfuerzo
cortante se tiene:
Al se normalmente
normalmente
consolidada se considera
C’=0
C’=0
Entonces
84.951
ϕ′=tan− 135.
982
ϕ′=31.994°
200
180
)
2
160
m
/
N140
k
(
e
t 120
n
a
tr 100
o
c 80
o
z
r 60
e
fu
s 40
e
20
0
0
50
100
150
200
2
esfuerzo normal (kN/m )
250
300
10.5 La relación entre la densidad relativa, Dr, y el ángulo de fricción, Φ’ de una
arena se puede dar como Φ’° = 25 + 0.18 Dr (Dr está en %). En la misma arena se
llevó a cabo una prueba triaxial con drenaje con una cámara de presión de
confinamiento de 124 kN/m2. La densidad relativa de compactación fue de 60%.
Calcule el esfuerzo principal mayor en la falla.
Si:
′=250.18 =25
=250.18∗60
0.18∗60 → =35.8°
′ = ′ 45 ′22′45 ′2 
Donde:
Pero al ser arena C=0 quedando:
4⁄ ∗ (45 35.28°)
′ = ′ 45 ′2  = 124
′ = 473.529 ⁄
10.6
Considere la prueba triaxial descrita en el problema 10.5.
a. Calcule el ángulo que el plano de falla forma con el plano principal mayor.
b. Determine los esfuerzos normales y cortante (cuando la muestra falla) en un
plano que forma un ángulo de 30º con el plano principal mayor.
a) El Angulo de falla se determina de la siguiente manera:
=45 ′2 =45 35.2 8 =62.9°
b) La fórmula para determinar el esfuerzo normal es:
Donde
, = ′ 2 ′  ′ 2 ′ 2′
′ = 473.529 ⁄ ′ = 124 ⁄ ′=30°
29124 2∗30
29124  473.529124
, = 473.529124
2
2,
 = 386.1468 ⁄
Sustituyendo:
La fórmula para determinar el esfuerzo cortante es:
Sustituyendo:
10.7
′ =  2  2′
29124 2∗30
′ = 473.529124
2
′ = 151.3505 ⁄
El esfuerzo efectivo de la envolvente de falla de una arena se puede dar como
. En la misma arena se llevó a cabo una prueba triaxial drenada. La
muestra falló cuando el esfuerzo desviador fue de 250 kN/m2. ¿Cuál fue la presión
de confinamiento de cámara durante la prueba?
 =´38°
Si el esfuerzo principal mayor total es:
′ = ′   → ′ = ′ 250
 =´38°
′=38°
Si
entonces
Donde:
′ = ′ 45
45′′22′45
2′45′′2
Pero al ser arena C=0 quedando:
′ = ′ 45 ′2 →′ = ′ (45 382 ) → ′′ =4.2037′
′ =4.2037′
′ = ′ 250
′ 250=4.2037′ →3.2037′ =250→′ = 78.0348 ⁄
′ =4.203778.0348 ⁄ = 328.0348 ⁄
Igualando
10.8
con
se tiene
Consulte el problema 10.7.
a) Calcule el ángulo que el plano de falla forma con el plano principal menor.
b) Determine el esfuerzo normal y el esfuerzo cortante en un plano que forma un
ángulo de 35º con el plano principal menor.
El ángulo de plano de falla del suelo se determina a partir del ángulo de fricción
interna
=45′′2 =45
=45
=4538382 ∴ =64°
Si se conoce el ángulo de 35° se puede determinar el esfuerzo normal a partir de
Donde
, = ′ 2 ′  ′ 2 ′ cos2
′ = 328.0348 ⁄ ′ = 78.0348 ⁄ ′=35°
Sustituyendo

328.
0
34878.
0
348

0
348

, = 328.034878.
cos2∗35
cos
2∗35 ∴

2
2 ,
 = 160.2823 ⁄
′ = ′ 2 ′ 2′
328.034878.0348
348 
′ = ′ = 1127.46 ⁄sin
sin 2∗35
2∗35
Por su parte, la manera de determinar el esfuerzo cortante es:
Sustituyendo:
10.9 Para una arcilla normalmente consolidada, los resultados de una prueba
triaxial drenada son como sigue:
• Presión de confinamiento de la cámara = 103.5 kN/m2
• Esfuerzo desviador en la falla = 234.6 kN/m2
Φ’..
Determine el ángulo de fricción del suelo Φ’
Si el esfuerzo principal mayor total es:
′ = ′  
′ = 103.5 ⁄  234.66
⁄ → ′ = 338.1 ⁄


′


′ = ′ 45 2 2 45 2    = 0 ∴


′


′ = ′ 45 2 →338.1=103.5∗ 45 2 
Si se trata de una arcilla normalmente se puede considerar C’=0


3.267= 45
452 →1.8074=45
→1.8074=45 2 






−
tan 1.8074
074 =45 2 → 61.0451 = 45  2 → 16.0451 = 2
 =32.0902°
10.10 Para una arcilla normalmente consolidada, tenemos que Φ’
Φ’=
= 28º. En una
prueba triaxial drenada la muestra falla a un esfuerzo desviador de 207 kN/m2.
¿Cuál fue la presión de confinamiento de cámara, σ3?
Si el esfuerzo principal mayor total es:
′ = ′  
′ = ′  2077⁄
Al tratarse
tratarse de una
una arcilla normalmen
normalmente
te consolidada
consolidada se puede considerar C’=0


′


′ = ′ 45 2 45 
= 0 ∴


2
2
′ = ′ 45 ′ → ′ =  (45 28)
′ 2= 2.77698
698 ′
2
′ = ′ 207
′ = 2.77698
698 
′  207 = 2.76
.7698 ′′ →1.27698 ′ = 207 → ′ =207/1.27698
′ = 116.9624 ⁄
′ = 116.9624 ⁄ 2
20077⁄ = 323.9624 ⁄
Igualando
con
se tiene:
Entonces:
10.11 Una prueba triaxial consolidada-drenada se llevó a cabo en una arcilla
normalmente consolidada. Los resultados fueron los siguientes:
σ3= 276 kN/m2
Δσd= 276 kN/m2
a. Encuentre el ángulo de fricción, Φ’
b. ¿Cuál es el ángulo θ que el plano de falla forma con el esfuerzo principal mayor?
c. Determine el esfuerzo normal σ’ y el esfuerzo cortante τf en el plano de falla.
a) Si el esfuerzo principal mayor total es:
′ = ′   = 2766⁄  2766⁄
′ = 5522⁄
Al tratarse de una arcilla normalmente consolidada se
s e puede considerar C’=0


′


′ = ′ 45 2 45 
2
2   = 0 ∴

′



′ = ′ 45  → 552 = 276  45 
2= 45 22→1.414=45 2 2






−
tan 1.414
14 =45 2 → 54.7315 = 45  2 → 9.7315 = 2
 =19.463°
1=45 ′2 =45 19.2463 ∴ 1=54.73°
b) para determinar θ se tiene:
Posterior a esto, al tratarse del plano de falla forma con el esfuerzo principal mayor
Se debe restar el ángulo de fricción al de falla para determinar θ requerida
=1 =54.7319.463=35.267°
, = ′ 2 ′  ′ 2 ′ cos2
′ = 5522⁄ ′ = 276 ⁄ =54.73°
c) para determinar el esfuerzo normal y cortante:
Donde
Sustituyendo
552276
2 ,   552276
552276
2  cos
cos2∗54.73
2∗54.73 ∴
, = 552276
 = 459.975⁄
′ = ′ 2 ′ 2
552276 sin2∗54.73
′ = 552276
2
′ = 130.117 ⁄
Por su parte, la manera de determinar el esfuerzo cortante es:
Sustituyendo:
10.12
Consulte el problema 10.11.
a. Determine el esfuerzo normal efectivo en el plano de esfuerzo cortante máximo.
b. Explique por qué la falla de corte se presentó a lo largo del plano como se
determina en el inciso (b) y no a lo largo del plano de esfuerzo cortante máximo.
a) Si es un esfuerzo normal al plano de esfuerzo cortante se tiene:
′ = ′ 2 ′ 2
Para que sea el plano de esfuerzo cortante máximo debe cumplirse que
2 =1 ∴  =90°
′ = ′ 2 ′
De esta manera se obtiene el máximo, entonces:
Sustituyendo:
 = 552276
2 
′ = 138
8⁄
b) Debido que para la falla de corte esta en función tanto el esfuerzo normal como
el esfuerzo cortante, y al tenerse la presencia del esfuerzo normal no se presentaba
únicamente en el plano de esfuerzo cortante máximo.
10.13 Los resultados de dos pruebas triaxiales drenadas
drenadas en una arcilla saturada
se dan aquí:
• Muestra I: Presión de confinamiento de la cámara = 103.5 kN/m2
Esfuerzo desviador en la falla = 216.7 kN/m2
• Muestra II: Presión de confinamiento de la cámara = 172.5 kN/m2
Esfuerzo desviador en la falla = 324.3 kN/m2
Calcule los parámetros de resistencia cortante del suelo.
Si el esfuerzo principal mayor total para la muestra I es:
′ = ′   = 103.55
⁄  216.77
⁄
′ = 320.22
⁄
Para la muestra II el esfuerzo principal mayor total es:
′ = ′   = 172.55
⁄  324.33
⁄
′ = 496.88
⁄
Donde:

 45
2

′ = ′ 45
45′
′
2
2
45







 
320.2=103.5∗ 45 2 2 45 2    






 
496.8=172.5∗ 45 2 2 45 2    
Proponiendo un cambio de variable:


45 2  = 
Se pueden reescribir como:
320.2=103.5∗   2   
 
496.8=172.5∗   2   
 
Se tiene así un sistema de ecuaciones
Al resolverlo
resolverlo se tiene:
tiene:
 
496.8172.5∗
  ó 2
2 = 
 496.8172.5∗



  

ó
ó 1 
32320.0.2 = 10103.
 2  



3.5 ∗=1.25998






−
45 2 = →45 2 =1.5998 → tan 1.5998=45 2


57.991445= 2 →  =12.9914∗2 →  = 25.9828°
Sustituyendo el valor de X en:
También se puede sustituir el valor de X para obtener C’
992 →496.8=264.893.1996
320.2=103.5∗1.5992  21.5992
 = 17.2 ⁄
10.14
Un suelo arenoso tiene un ángulo de fricción drenado de 36º. En una
prueba triaxial drenada en el mismo suelo el esfuerzo desviador en la falla es de
268 kN/m2. ¿Cuál es la presión de confinamiento en la cámara?
Si el esfuerzo principal mayor total es:
 =   
′ =   2688⁄
Donde:
′ = ′ 45 ′22′45 ′2 
Al tratarse
tratarse arena se
se considera
considera C=0 quedando
quedando::
′
36

 = ′
 =3.852′
′′=′=3.852′45
2
→′
(45
2
)
→

′
′
′
268

 
′ 268=3.852′ →2.852′ =268→′ = 93.969 ⁄
′ =3.852
=3.85293.9.9669 ⁄ = 361.969 ⁄

Igualando
con
se tiene
10.15
En una muestra normalmente consolidada se llevó a cabo una prueba
consolidada-no drenada con una presión de confinamiento en la cámara de 140
kN/m2. La muestra falló mientras el esfuerzo desviador era de 126 kN/m 2. La presión
de poros en la muestra en ese momento era de 76.3 kN/m 2. Determine los ángulos
de fricción consolidado-no drenado y drenado.
Si el esfuerzo principal mayor total es:
 =    = 1400⁄ 1
12266⁄
′ = 2666⁄
 =  (45 2 )2 (45 2 )   = 0 ∴
 =  (45 2 ) → 266 = 140  (45 2 )



1.9= (45 2 )→1.378=(45 2 )
Al tratarse
tratarse de una muestra normalmente consolidada se puede considerar C’=0
78 =45 2 → 54.032 = 45  2 → 9.032 = 2
tan−1.378
=18.064°
Sabiendo que para condiciones consolidadas drenadas se les resta a los
esfuerzos la presión de poro se tiene:
Y
 =   ∆

 = 140  76.3 = 63.77
⁄
 =   ∆
 = 266  76.3 = 189.7
7 ⁄


′


′ = ′ 45 2 2 45 2    = 0 ∴
′ = ′ 45
45′′2 → 189.7 = 63.7  45
452





2.978= 45 2 →1.726=45 2 






−
tan 1.726
26 =45 2 → 59.909 = 45  2 → 14.909 = 2
 =29.817°
Ahora con
con estos valores se recalcula
recalcula el ángulo
ángulo de fricción
fricción
10.16
La resistencia cortante de una arcilla normalmente consolidada puede ser
dada por la ecuación τf = σ’ tan 31º. En la arcilla se llevó a cabo una prueba triaxial
consolidada-no drenada. A continuación se presentan los resultados de la prueba:
• Presión de confinamiento de la cámara = 112 kN/m2
• Esfuerzo desviador en la falla = 100 kN/m2
a. Determine el ángulo de fricción consolidada-no drenada, Φ’
b. ¿Cuál es la presión de poros desarrollada en la muestra de arcilla cuando falla?
a) Si el esfuerzo principal mayor total es:
10000⁄
 =    = 1122⁄ 1
 = 2122⁄
Al tratarse de una arcilla normalmente consolidada se puede considerar C’=0
 =  (45 2 )2(45 2 )   = 0 ∴
 =  (45 2 ) → 212 = 112  (45 2 )



2 →2 )→1.376=(45
1.376
tan−1.893=
76 =45(45
53.989 = 45  2 → 8.928)9 = 2
=17.997°
 =31°


′


′ = ′ 45 2 2 45 2    = 0 ∴
′ = ′ 45 ′2  → ′ = ′ (45 312 )
 =3.124 ′
′
  =      =    ∴    =   
′   = 212  112 = 1000⁄
′ = 3.112424 ′
′   =100
3.124    =100 → 2.124  =100
 = 47.081 ⁄
′ =3.12447.08 ⁄ → ′ = 147.081 ⁄
Para una condición drenada, donde
Sustituyendo
en
se tiene:
Donde:
b) la presión de poro se puede obtener de la fórmula:
 =   ∆ → 47.081=112∆ → ∆ =11247.081
∆ = 64.919⁄
10.17 Para la muestra de arcilla descrita en el problema 10.16, ¿cuál habría sido
el esfuerzo desviador en la falla si una prueba drenada había sido llevada a cabo
con la misma presión de confinamiento de la cámara (es decir, σ3= 112 kN/m2)?
Si el esfuerzo principal mayor total es:
 =    = 1122⁄  
 =112
Al tratarse de una arcilla normalmente consolidada se
s e puede considerar C’=0
 =  (45 2 )2(45 2 )   = 0 ∴
 =  (45 2 ) →  =112∗ (45 312 )
 =112∗ (45
(4531312) →  = 349.892 ⁄
  =112
349.892=112 →  =349.892112
 = 237.892 ⁄
Sustituyendo
en
se tiene
10.18
Para un suelo arcilloso tenemos Φ’
Φ’=
= 28º y Φ= 18º. Una prueba triaxial
consolidada-no drenada se llevó a cabo en este suelo de arcilla con una presión de
confinamiento de la cámara de 105 kN/m 2. Determine el esfuerzo desviador y la
presión de poros en la falla.
Si el esfuerzo principal mayor total es:
 =    = 1055⁄  
 =105
Al solo tener
tener datos
datos de una sola muestra
muestra se considera una arcilla
arcilla normalmente
normalmente
consolidada para poder dar solución:
 =  (45 2 )2(45 2 )   = 0 ∴

18


 =105∗ (45 2 )
 (45
2
)
→

 ==105∗
18
 (45 ) →  = 198.915 ⁄
2
  =105
198.915=105 →  =198.915105
 = 93.915⁄
 =28°

′



′ = ′ 45 2 45    = 0 ∴
2
2
Sustituyendo
en
Para una condición drenada, donde
se tiene
′ = ′ 45 ′2  → ′ = ′ (45 282 )
′ =2.770 ′
  =   
93.915915
′ =2.7770=70′  → ==93.
2.770 ′ =   93.915→ 1.770   =93.915
 = 53.059 ⁄
′ =2.770
=2.77053.05
.059 ⁄ → ′ = 146.974 ⁄
 =   ∆ → 53.059=105∆ → ∆ =10553.059
∆ = 51.941⁄
Sustituyendo
Donde:
en
se tiene:
La presión de poro se puede obtener de la fórmula:
10.19
Durante una prueba triaxial consolidada-no drenada en una muestra de
suelo arcilloso, los esfuerzos principales menor y mayor de falla fueron 96 kN/m 2 y
187 kN/m2, respectivamente.
¿Cuál será el esfuerzo axial en la falla si una muestra similar se somete a una
prueba de compresión no confinada?
De la prueba de compresión no confinada se tiene
 
=′   ′
Si se sabe
   = 187 ⁄ 9
96
6⁄ →    = 91
1⁄
Como
 =   ∆
 =   ∆
   =   ∆    ∆ →    =   
Restando los esfuerzos se tiene
Por lo tanto
1⁄
=′   =    ∴ = 91
10.20
Durante la exploración de campo se determinó que el ángulo de fricción,
Φ’
Φ’,, de una muestra de arcilla normalmente consolidada
consoli dada obtenida a partir de pruebas
triaxiales drenadas era 22º. De una muestra similar se encontró que la resistencia a
la compresión no confinada, qu, era de 120 kN/m2. Determine la presión de poros
en la falla de la prueba de compresión no confinada.
Al ser una
una arcilla normalmente
normalmente consolidada
consolidada


′


′ = ′ 45 2 45 
= 0 ∴


2
2
′ = ′ 45 ′2  → ′ = ′ (45 222 )
′ =2.198 ′
   = 


     =120
′ = 2.119898 ′
   =120
2.198 ′   =120 → 1.198  =120
 = 100.167 ⁄
′ =2.198100.167 ⁄ → ′ = 220.167 ⁄
Sustituyendo
Donde:
en
se tiene:
La presión de poro se puede obtener de la fórmula:
 =0  =0
 = ∆∆=1→00.1100.167=∆
67 ⁄ 
Al ser la primera prueba
prueba compresión
compresión no
no confinada
confinada