Análisis combinatorio La combinatoria estudia los métodos para contar las distintas configuraciones de los elementos de un conjunto que cumplan ciertos criterios especificados. En todo problema combinatorio hay varios conceptos claves que debemos distinguir: Saberes previos La función factorial (símbolo: !) indica la multiplicación de todos los números enteros desde un número dado, descendiendo hasta el número 1. Ejemplos: •4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 •7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040 •0! = 1 Conceptos clave 1 Población Es el conjunto de elementos que estamos estudiando. Denominaremos con m al número de elementos de este conjunto. 2 Muestra Es un subconjunto de la población. Denominaremos con n al número de elementos que componen la muestra. Los diferentes tipos de muestra vienen determinados por dos aspectos: Orden Es decir, si es importante que los elementos de la muestra aparezcan ordenados o no. Repetición La posibilidad de repetición o no de los elementos. Conceptos básicos Diferencia entre población y muestra Ejemplo: En una clase de danza hay 10 alumnos y se quiere formar un comité de 4 personas que organice las presentaciones ¿De cuántas maneras distintas es esto posible? Población: Los 10 alumnos Muestra: Un posible comité, por ejemplo: Ana, Rosa, Valeria y Carla. ¿Importa el orden en la muestra? En este caso no, pues si ordenamos de diferente manera los elementos en nuestra muestra se obtiene el mismo comité. Es decir, Ana, Rosa, Valeria y Carla forman el mismo comité que Carla, Rosa, Ana y Valeria. ¿Puede haber elementos repetidos en la muestra? No, ya que se trata de personas, elementos que no se pueden repetir, y por ejemplo Ana, Ana, Rosa y Ana no se considera como un comité válido Más adelante en el estudio de las técnicas de combinatoria veremos la respuesta a esta pregunta es: No consideraremos por ahora la repetición Tengo 10 pelotas de diferentes colores: n Tengo qué escoger 3 de ellas: k Técnicas: Variaciones: sí importa el orden 𝑽𝒏𝒌 = 𝒏! 𝒏−𝒌 ! Ej. Escoger al primero y segundo lugar de la clase Luis Juan 1ro 2do No es lo mismo que Juan Luis 1ro De un total de 2do 40 alumnos Combinaciones: no importa el orden 𝒏 𝑪𝒌 = 𝒏! 𝒏−𝒌 !𝒌! Ej. Se tienen 10 trabajadores, necesitamos que se turnen de 2 en 2 para vigilar una cierta área 10 Permutaciones: sí importa el orden 𝑷𝒏 = 𝒏! Se incluyen a todos los elementos. Es una variación: 𝑽𝒏 𝒏 4 personas: 1ro 2do 3ro 4to 2 No importa el orden en que vengan, ambos harán la misma tarea. Importa el orden porque no es lo mismo llegar primero que llegar tercero. De 4 personas se escogen a las 4 Problema 1 1. ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes puedo formar con los números: 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9? n=7 k=3 𝑽𝒏𝒌 = Importa o no el orden? NO es lo mismo tener los números: 1,2,4 que 4,2,1 Son números diferentes, por tanto, sí importa el orden y tenemos una variación. 𝒏! 𝟕! 𝟕! 𝟕 𝒙 𝟔 𝒙 𝟓 𝒙 𝟒! = = = 𝒏−𝒌 ! 𝟕 − 𝟑 ! 𝟒! 𝟒! Dividimos el 4! Entre 4! Y nos queda 1. El 1 no nos afecta = 210 números diferentes Problema 2 2. Se sortean 2 laptops iguales entre 10 personas. ¿De cuántas formas se puede escoger a los ganadores? Importa o no el orden? Laptop 1 Laptop 2 Como las laptops son iguales, no importa si un ganador sale ganador de la lap 1 o de la lap 2 Da lo mismo que Juan se gane la laptop 1 que la dos y que María se gane la laptop 2 o la 1 Laptop 1: Juan Laptop 1: María Laptop 2: María Laptop 2: Juan Si hubiesen sido una lap y un celular tendríamos qué elegir variaciones. n = 10, 𝑪𝒏𝒌 = 𝒏! 𝟏𝟎! 𝟏𝟎! 𝟏𝟎 𝒙 𝟗 𝒙 𝟖! 𝟗𝟎 = = = = = 𝒏 − 𝒌 ! 𝒌! 𝟏𝟎 − 𝟐 ! 𝟐! 𝟖! 𝟐 𝟖! 𝟐 𝟐 k=2 = 45 formas diferentes Problema 3 3. En una carrera participan 4 caballos: A, B, C, D. ¿De cuántas formas puede terminar la carrera? Importa o no el orden? n = 4, B, A, C, D D, B, A, C No es lo mismo que primero salga el caballo B que primero salga el caballo D, por tanto, sí importa el orden. k=4 𝑷𝒏 = 𝟒! = 𝟒 𝒙 𝟑 𝒙 𝟐 𝒙 𝟏 = 24 formas diferentes
