Guía de estudio. Elementos de cálculo
integral
Nombre del Profesor: Nicolás Bulacio Gallardo
Bloque V. Elementos de cálculo integral
Integral
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Integral indefinida
3
Propiedades de la integral indefinida
4
Integral definida
5
Propiedades de la integral definida
6
Métodos de integración (por partes)
7
Ecuaciones diferenciales
8
Ecuaciones diferenciales separables
9
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
11
Sucesiones
12
Convergencia puntual
14
Convergencia uniforme
15
Fuentes de consulta
1
2
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Bloque V. Elementos de cálculo integral
Integral
Empecemos primero por plantear el concepto de integral en forma general y más
adelante se estudiará a la integral indefinida y definida.
La integral de una función f se denota como:
∫ f (x) dx
Donde:
f(x) función a integrar o integrando,
dx diferencial de la variable x,
∫ signo de integración.
La integral tiene muchas interpretaciones y aplicaciones, se mencionan algunas de
éstas:
Antiderivada: La integral es la operación contraria a derivar y se le llama antiderivada.
Ejemplo:
La derivada de la función x es 1, dx (x) = 1
Por lo tanto la antiderivada o integral de 1 es:
∫ 1 dx = x + C
En donde “C” es una constante de integración que puede tomar cualquier valor, se
podría decir que:
F(x) = x + 3
F(x) = x + 2
F(x) = x + 1
F(x) = x + 0
F(x) = x – 1
Todos los casos anteriores son antiderivadas de la función f(x) =1, entonces se
puede
afirmar que una función f es una antiderivada de f en un intervalo, si:
2
F’(x) = f(x)
Las funciones F(x) = x + C representan una familia de rectas, todas ellas con
pendiente igual a 1.
Integral indefinida
La integral indefinida de cualquier función f con respecto a x es una antiderivada
indefinida (arbitraria) de f, y se denota como: ∫ f (x) dx.
Se afirma que todas las antiderivadas de f difieren sólo en una constante.
La antiderivada general de f(x) es: F(x) + C
por lo tanto:
∫ f(x) dx = F(x) + C
Ejemplo:
∫ 5dx =
5 ∫ dx =
5x + C
Ejemplo 1:
∫ 3x2 dx
3 ∫ x2 dx
3 [x3/3 + C]
x3 + C
Ejemplo 2:
∫ (1 – x) dx
∫ dx - ∫ x dx
x – x2/2 + C
3
Propiedades de la integral indefinida
Ejemplo:
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Integral definida
La integral definida de una función f(x) entre x = a y x = b se denota como:
Se puede interpretar como el área de la región limitada por la gráfica y = f(x) y las
rectas x = a, x = b y el eje “x”.
Los valores a y b reciben el nombre de límite inferior y superior de integración
respectivamente.
Una definición más precisa es mencionar que el área bajo una gráfica de una función
continua, puede expresarse como la integral definida de F(x) sobre el intervalo de a
hasta b escrito matemáticamente como:
Al contrario de la integral indefinida que es un conjunto de funciones que contiene
todas las antiderivadas de F(x), la integral definida es un número real que puede ser
evaluado empleando el “teorema fundamental del cálculo” que establece que el valor
numérico de la integral definida de una función continua F(x) sobre el intervalo de a
hasta b, está dado por la antiderivada F(x)+C evaluada en el límite superior de
integración b, menos la misma antiderivada F(x)+C evaluada en el límite inferior de
integración a, con C común a ambos, la constante de integración se elimina en la
sustracción matemática expresada.
Donde el símbolo
sustituirse sucesivamente para x.
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indican que los límites de b y a deben
Ejemplo:
Propiedades de la integral definida
Algunas de las propiedades de la integral definida.
1. Si tenemos una función que se está multiplicando por una constante; podemos
colocar a la constante fuera de la integral.
Ejemplo:
2. Si k es cualquier constante, entonces:
Ejemplo:
3. Si estamos calculando la integral de la suma o resta de 2 funciones:
6
Ejemplo:
4. La inversa del orden de los límites de integración cambia el signo de la integración.
5. Sí el límite superior de integraciones es igual al límite inferior de integración, el valor
de la integración definida es cero.
6. La integral definida puede expresarse como la suma de subintegrales.
Métodos de integración (por partes)
Sean dos funciones u y v derivables de x , y considerando la regla para obtener la
diferencial de un producto:
d(u × v) = u × dv + v × du
u × dv = d(u × v)- v × du
∫ u × dv = ∫ d(u × v)- ∫ v × du
⇒ ∫ u × dv = u × v - ∫ v × du
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El integrando se separa en dos partes. Una de ellas se iguala a u y la otra a dv (por
eso se llama método de integración por partes). Se deben considerar dos aspectos:
1) La parte que se iguala a dv debe ser fácilmente integrable.
2) ∫ v × du no debe ser más complicada que ∫ u × dv
Ejemplo:
Ejemplo 1:
Ecuaciones diferenciales
Si una ecuación contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables
dependientes con respecto a una o más variables independientes, se dice que es una
ecuación diferencial.
Consideraciones:
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Cabe considerar que la propia ecuación diferencial determina claramente cuál
es
la
variable
independiente
y
cuál
la
función
incógnita.
El orden de una ecuación diferencial es el mayor de los órdenes de las
derivadas que comparecen en la ecuación.
Ecuaciones diferenciales separables
Son aquellas que no son simples porque se presentan dos o más funciones
simultáneamente. Se resuelven separando las variables correspondientes.
Una ecuación diferencial separable tiene la forma:
Estas ecuaciones se resuelven separando algebraicamente las “x” y las “y” con el
planteamiento
siguiente:
se
procede
a
su
integración:
Ejemplo:
De la ecuación diferencial
determinar:
a) La solución general.
b) la solución particular que satisfaga la condición inicial y(0)=2
a) Esta no es una ecuación diferencial simple porque el miembro derecho es una
función de x y de y simultáneamente. Se resuelve separando las variables.
Paso 1.- Al separar algebraicamente las variables se obtiene la ecuación:
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Paso 2.- Se integran ambos lados:
Paso 3.- Se despeja la variable dependiente “y”:
(se sustituye 3C por D la cual es una constante igualmente arbitraria)
entonces:
siendo esta la solución general de la ecuación diferencial.
b) Se necesita determinar el valor de D que produzca la solución que satisfaga la
condición:
y(0)=2 por lo que se sustituye x por 0 y “y” por 2 en la solución general:
Ejemplo 1:
Determinar la solución de la siguiente ecuación
Despejando
Como sí se pudo despejar, es una ecuación diferencial separable su solución
está dada por:
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:
el
término
𝑥2
tenemos
lo
siguiente:
Integrando
Con
Multiplicando la expresión matemática por 3 obtenemos (para eliminar el
valor
la
𝑎,
de
Despejando
expresión
𝑏
3
en
ambos
lados
constantes,
se
tiene
que
divide
a
𝑥
a
algunos
en
de
de
función
la
lo
los
igualdad:
siguiente:
elementos):
de
𝑦
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
Una ecuación diferencial lineal de primer orden se representa matemáticamente de
la siguiente manera:
𝑦´ + 𝑓(𝑥)𝑦 = ℎ(𝑥)
Considerando que ℎ(𝑥) y 𝑓(𝑥) son dos funciones continuas dadas en un intervalo 𝑎 <
𝑥 < 𝑏 , su solución se encuentra dada por:
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Ejemplo:
Determine la solución general de la siguiente ecuación diferencial: 𝑦´ + 4𝑥𝑦 = 𝑥
Sucesiones
En palabras simples, una sucesión de funciones es toda colección ordenada de
funciones con un dominio común:
f1, f2, f3 ,…
Los tres puntos significan que la lista continúa sin finalizar. A cada una de las
funciones fn la llamaremos término o elemento de la sucesión.
En una sucesión de funciones, como en el caso de sucesiones de reales, es
importante destacar que las funciones están ordenadas, cada función término de la
sucesión tiene una posición que la distingue de las otras funciones.
En términos un tanto más formales, tener definida una sucesión de funciones quiere
decir que para cada natural n tenemos definida una función fn y que todas estas
funciones tienen un dominio común.
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Una diferencia entre las sucesiones de reales y las sucesiones de funciones es la
visualización gráfica para estas últimas. A continuación damos algunos ejemplos de
sucesiones, acompañadas de las gráficas de algunos de sus términos.
Ejemplo
Ejemplo 1
Como en el caso de las sucesiones de números reales, para representar una sucesión
de funciones utilizaremos los paréntesis para resaltar el hecho de que se trata de una
colección ordenada.
(f1, f2, f3,…).
Los paréntesis desempeñan el mismo papel que juegan los paréntesis en las parejas
ordenadas (a, b) y en las ternas ordenadas (x1, x2, x3). Los paréntesis permiten
distinguir los pares y ternas ordenadas de los conjuntos {a, b} y {x1, x2, x3}
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respectivamente. Los tres puntos suspensivos indican que el ordenamiento es infinito.
La representación anterior también la abreviaremos con la notación
Convergencia puntual
Sea (fn) una sucesión de funciones fn: D→R. Supóngase que para cada x ∈D la
sucesión de reales (fn(x)) converge. Si para cada x ∈D hacemos
entonces diremos que la sucesión (fn) converge puntualmente a la función f :D→R.
y que f es el límite puntual de la sucesión (fn).
Ejemplo:
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Convergencia uniforme
Sea J un intervalo no vacío contenido en el campo de convergencia puntual de la
sucesión {fn}. Y sea f la función límite puntual de {fn}. Se dice que {fn} converge
uniformemente a f en J si para todo ε > 0 existe n0 Є N (que dependerá de ε) tal que
para todo n>n0 se verifica que sup
.
Para comprender bien esta definición, analicemos la última desigualdad. Tenemos
que:
Cuya interpretación gráfica es la siguiente (donde hemos considerado J = [a;b]).
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Fuentes de consulta
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México, UAM-X, 2001.
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Ernest F.H. Jr. Richard S. Matemáticas para Administración y Economía, México Editorial
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Eslava Ma. E. E., Velasco J. R. Q. Introducción a las Matemáticas Universitarias, Colombia,
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Biblioteca Didáctica de Matemáticas, México, Noriega Limusa,
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