Diseño de Estructuras de Hormigón Armado - Libro de Texto

DISEÑO DE ESTRUCTURAS
DE HORMIGÓN ARMADO
Tercera edición
DISEÑO DE ESTRUCTURAS
DE HORMIGÓN ARMADO
Tercera edición
ING. MSc. CARLOS ROBERTO CÓRDOVA ALVÉSTEGUI
Ingeniero Civil, Escuela Militar de Ingeniería, La Paz-Bolivia.
Magíster en Ciencias de la Ingeniería-Estructuras, Universidad de Texas en Austin, Texas-EEUU.
Ex profesor del Departamento de Ingeniería Civil, Universidad del Valle, La Paz-Bolivia.
Ex profesor de la Maestría en Ingeniería Estructural, Escuela Militar de Ingeniería, La Paz-Bolivia.
Ex profesor de la Maestría en Ingeniería Estructural, Universidad de San Francisco Xavier, Sucre-Bolivia.
Profesor del Departamento de Obras Civiles, Universidad de Santiago de Chile, Santiago-Chile.
© Editorial Universidad de Santiago de Chile
Av. Libertador Bernardo O'Higgins Nº 2229
Santiago de Chile
Tel.: 56-2-27180080
www.editorial.usach.cl
[email protected]
© Carlos Córdova Alvéstegui
Inscripción Nº 248.139
I.S.B.N.: 978-956-303-278-9
Crédito de la fotografía de la portada
Título: Costanera Center.
Autor: Cristofer Daniel Ortega Urrutia.
Fuente: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Costanera_Center_Sep._13.jpg?uselang=es
Licencia: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/deed.es
La fotografía de la tapa muestra la Torre Costanera Center cuyos diseños arquitectónico y estructural estuvieron a cargo
de Pelli-Clarke-Pelli Architects y René Lagos Engineers, respectivamente. El edificio, ubicado en la ciudad de Santiago de
Chile, tiene 60 pisos y una altura de 300 [m].
Crédito del diseño de la portada
El diseño de la tapa fue realizado por Carlos Córdova Alvéstegui.
El autor de este libro ha puesto el mayor esfuerzo en la preparación del mismo. Esto incluye una revisión concienzuda de la
teoría, procedimientos de diseño y de los ejercicios presentados. Sin embargo, el autor no ofrece explícita o implícitamente
garantía alguna con respecto a las teorías, procedimientos de diseño y ejercicios contenidos en este libro. Por tanto, el autor,
los patrocinadores y la editorial, no serán responsables por daños, inherentes o resultantes, que se pudiesen producir en
conexión con la utilización de estas teorías y procedimientos de análisis y diseño.
Primera edición, 2001
Segunda edición, 2004
Tercera edición, 2015
Impreso en Gráfica LOM
Ninguna parte de esta publicación puede ser reproducida, almacenada o transmitida en manera alguna ni por ningún medio,
ya sea eléctrico, químico o mecánico, óptico, de grabación o de fotocopia, sin permiso previo de la Editorial.
Impreso en Chile.
ACERCA DEL AUTOR
Carlos Roberto Córdova Alvéstegui es Ingeniero Civil, graduado de honor y abanderado de la Escuela
Militar de Ingeniería (La Paz – 1990). Obtuvo su título de Magíster en Ciencias de la Ingeniería con
especialidad en Estructuras en la Universidad de Texas (Austin – 1996), habiendo sido distinguido como
alumno sobresaliente. Durante su permanencia en la Universidad de Texas, trabajó como investigador en
proyectos de hormigón pretensado bajo el asesoramiento del profesor Ned H. Burns quien junto al
profesor T.Y Lin son autores de libro “Diseño de Estructuras de Concreto Presforzado”.
El ingeniero Córdova ha realizado cursos de especialización en ingeniería de puentes y diseño sísmico de
estructuras en Japón y Taiwán, respectivamente. Desde estudiante, tuvo vocación hacia la docencia
trabajando como ayudante de diversas asignaturas en la Universidad Católica Boliviana, la Escuela Militar
de Ingeniería y la Universidad de Texas en Austin. Después de la obtención de su título de magíster, él ha
dedicado parte de su tiempo enseñando diversos cursos entre los que se destacan los ramos de estructuras
isostáticas, estructuras de hormigón armado, estructuras de hormigón pretensado, estructuras de acero y
estructuras especiales en el Departamento de Ingeniería Civil de la Universidad del Valle en La Paz.
También, fue catedrático de las materias de estabilidad de estructuras, diseño de estructuras de acero y de
hormigón armado en los programas de maestría en ingeniería estructural de la Escuela Militar de
Ingeniería y de la Universidad de San Francisco Xavier. Actualmente, es profesor de la asignatura de
Hormigón Armado en la Universidad de Santiago de Chile.
Durante su trayectoria académica, el profesor Córdova ha recibido diversos reconocimientos entre los que
se destacan los otorgados por la Universidad del Valle en los años 2001 y 2004, por un excelente
desempeño académico y por la publicación de la 2da edición del presente libro, respectivamente.
La afición de Carlos por las estructuras se inició cuando, al poco tiempo de egresar de la universidad, fue
invitado por uno de sus profesores a trabajar como ingeniero calculista en el Departamento de Puentes y
Estructuras del Servicio Nacional de Caminos en La Paz, Bolivia. Posteriormente, se desempeñó como
consultor en estructuras y durante más de 5 años como especialista en estructuras viales en la Gerencia de
Construcción de la Administradora Boliviana de Carreteras. Por razones profesionales y buscando nuevos
desafíos, el ingeniero Córdova decidió radicarse en Santiago de Chile donde trabajó durante más de 3 años
en APIA XXI IAC, primero como ingeniero estructural y después como encargado del Departamento de
Estructuras. Posteriormente, fue invitado para formar el equipo de estructuras de la Gerencia de
Generación en DESSAU Chile Ingeniería S.A., donde se desenvolvió durante más de 2 años como Jefe de
Especialidad de Estructuras y Obras Civiles. Actualmente, trabaja en Tractebel Engineering como Líder
de Disciplina de Estructuras y Obras Civiles. Es miembro de la Sociedad de Ingenieros de Bolivia,
Colegio de Ingenieros Civiles de Bolivia, Colegio de Ingenieros Estructurales de Bolivia, Colegio de
Ingenieros de Chile A.G. y del Instituto Americano del Concreto.
El ingeniero Córdova ha participado de forma directa en el diseño y cálculo de más de cien puentes de
diferentes características construidos en acero, hormigón armado y hormigón pretensado en Bolivia, Perú
y Chile. También, ha trabajado realizando estudios para la rehabilitación y reforzamiento de edificios,
puentes vehiculares y ferroviarios, tanto en Bolivia como en Chile. Asimismo, ha participado en el diseño
de numerosas estructuras industriales, tanques de almacenamiento de agua, muros de contención, cubiertas
estereométricas y escaleras helicoidales.
En los últimos cinco años, el ingeniero Córdova ha estado trabajando en el rubro de la energía, donde ha
participado revisando y liderando los diseños estructurales de diferentes centrales hidroeléctricas ubicadas
en el sur de Chile. También, como jefe de proyecto y líder de la disciplina de estructuras, ha realizado la
ingeniería de varios parques eólicos; así como el diseño de las estructuras de las subestaciones y líneas de
transmisión asociadas a dichos proyectos. Al presente, se encuentra liderando el desarrollo de la ingeniería
de detalle de diversos proyectos en Chile, entre los que se destacan las estructuras subterráneas para dos
centrales hidroeléctricas de pasada y la ampliación de una planta de fabricación de tableros de fibra
orientada.
A mis padres Samuel y Sonia por sus sabios consejos y
enseñanzas que siempre me han acompañado.
A mi esposa Marisol por su apoyo incondicional y por
haberme concedido el tiempo para concluir este libro.
A mis hijos Anahí y Matías porque ellos me dieron la
fuerza necesaria y la inspiración permanente para
culminar este anhelado sueño.
TABLA DE CONTENIDO
PRÓLOGO ............................................................................................................................................................... xvii
1. INTRODUCCIÓN AL HORMIGÓN ARMADO .................................................................................................. 1
1.1. Esencia del hormigón armado ................................................................................................................................. 1
1.2. Breve reseña histórica.............................................................................................................................................. 2
1.3. Métodos de las tensiones admisibles y de la resistencia última ............................................................................... 8
1.4. Diseño por el método de las tensiones admisibles (Teoría elástica) ........................................................................ 9
1.5. Diseño por el método de la resistencia última ......................................................................................................... 9
1.6. Razones para utilizar el método de la resistencia última ......................................................................................... 9
1.7. Diseño para resistencia y funcionalidad ................................................................................................................ 10
1.8. Método de la resistencia última y de servicio ........................................................................................................ 10
1.8.1. Provisiones para la resistencia ................................................................................................................. 10
1.8.2. Ecuación básica para el diseño por resistencia ........................................................................................ 18
1.8.3. Provisiones para la resistencia del acero ................................................................................................. 18
1.8.4. Provisiones para el funcionamiento o servicio ........................................................................................ 18
1.8.5. Provisiones para la ductilidad.................................................................................................................. 19
1.9. Cargas vivas de servicio ........................................................................................................................................ 19
1.9.1. Divisiones y particiones .......................................................................................................................... 19
1.9.2. Cargas concentradas ................................................................................................................................ 19
1.9.3. Consideraciones para el impacto ............................................................................................................. 20
1.9.4. Reducción de la carga viva en pisos ........................................................................................................ 20
1.9.5. Reducción de la carga viva en techos ...................................................................................................... 25
1.10. Problemas propuestos .......................................................................................................................................... 26
2. CARACTERÍSTICAS MECÁNICAS DE LOS MATERIALES ....................................................................... 31
2.1. Hormigón............................................................................................................................................................... 31
2.1.1. Comportamiento del hormigón bajo diferentes tipos de esfuerzos.......................................................... 31
2.1.2. Cambios volumétricos dependientes del tiempo ..................................................................................... 40
2.2. Acero de refuerzo .................................................................................................................................................. 60
2.3. Problemas propuestos ............................................................................................................................................ 67
3. TEORÍA DE FLEXIÓN EN HORMIGÓN ARMADO ...................................................................................... 69
3.1. Introducción........................................................................................................................................................... 69
3.2. Flexión en vigas de material homogéneo, elástico e isótropo ............................................................................... 69
ix
Diseño de estructuras de hormigón armado
3.3. Suposiciones básicas de la teoría de flexión en hormigón armado ....................................................................... 72
3.4. Problemas propuestos ........................................................................................................................................... 78
4. VIGAS - RESISTENCIA A LA FLEXIÓN ......................................................................................................... 81
4.1. Secciones rectangulares ........................................................................................................................................ 81
4.1.1. Análisis de secciones con simple armadura ............................................................................................ 81
4.1.2. Diseño de vigas rectangulares ................................................................................................................ 96
4.1.3. Vigas con refuerzo de compresión ....................................................................................................... 112
4.1.4. Análisis de vigas con refuerzo de tracción y compresión ..................................................................... 117
4.2. Vigas de sección T .............................................................................................................................................. 127
4.2.1. Análisis de vigas T ............................................................................................................................... 134
4.2.2. Diseño de vigas T ................................................................................................................................. 145
4.2.3. Análisis de vigas T (Método General) .................................................................................................. 148
4.3. Método de compatibilidad de deformaciones ..................................................................................................... 152
4.4. Ductilidad de secciones de hormigón no confinado ........................................................................................... 163
4.4.1. Introducción a la ductilidad de secciones de hormigón armado ........................................................... 163
4.4.2. Ductilidad en secciones no confinadas de vigas ................................................................................... 165
4.5. Problemas propuestos ......................................................................................................................................... 180
5. VIGAS – RESISTENCIA A CORTE Y TENSIÓN DIAGONAL ................................................................... 185
5.1. Introducción ........................................................................................................................................................ 185
5.2. Tensión diagonal en vigas elásticas homogéneas ............................................................................................... 186
5.3. Vigas de hormigón armado sin refuerzo por corte .............................................................................................. 188
5.3.1. Criterio para la formación de fisuras diagonales .................................................................................. 188
5.4. Análisis y diseño de vigas de hormigón armado por corte ................................................................................. 192
5.5. Problemas propuestos ......................................................................................................................................... 210
6. VIGAS CONTINUAS Y LOSAS EN UNA DIRECCIÓN................................................................................ 213
6.1. Vigas hiperestáticas de hormigón armado .......................................................................................................... 213
6.2. Estados de carga ................................................................................................................................................. 217
6.3. Coeficientes para momentos de la ACI .............................................................................................................. 221
6.4. Redistribución de momentos negativos en vigas continuas ................................................................................ 223
6.5. Losas armadas en una dirección ......................................................................................................................... 223
6.6. Problemas propuestos ......................................................................................................................................... 243
7. DESARROLLO, ANCLAJE Y EMPALMES DE BARRAS DE ACERO ..................................................... 245
7.1. Introducción ........................................................................................................................................................ 245
7.2. Tensiones de adherencia ..................................................................................................................................... 247
7.3. Mecanismos de transferencia .............................................................................................................................. 253
x
Tabla de contenido
7.4. Longitud de desarrollo ......................................................................................................................................... 255
7.4.1. Desarrollo de barras corrugadas y de alambres corrugados a tracción .................................................. 255
7.4.2. Desarrollo de barras corrugadas y alambres corrugados a compresión ................................................. 260
7.4.3. Desarrollo de atados de barras............................................................................................................... 263
7.4.4. Desarrollo de ganchos estándar a tracción ............................................................................................ 263
7.4.5. Desarrollo de barras corrugadas en tracción ancladas con cabeza y ancladas mecánicamente ............. 267
7.4.6. Desarrollo de refuerzo electrosoldado de alambre corrugado a tracción ............................................... 268
7.4.7. Desarrollo de refuerzo electrosoldado de alambre liso a tracción ......................................................... 269
7.5. Diseño de anclajes ............................................................................................................................................... 270
7.5.1. Corte de barras y desarrollo de barras en vigas ..................................................................................... 273
7.5.2. Factores que afectan la localización de los cortes en las barras ............................................................ 274
7.5.3. Localización de puntos de corte para barras en vigas............................................................................ 274
7.5.4. Desarrollo del refuerzo por flexión ....................................................................................................... 278
7.5.5. Desarrollo del refuerzo positivo por flexión.......................................................................................... 279
7.5.6. Desarrollo del refuerzo negativo por flexión ......................................................................................... 279
7.5.7. Desarrollo del refuerzo del alma - estribos............................................................................................ 281
7.6. Empalmes en barras de acero .............................................................................................................................. 281
7.6.1. Empalmes de solapa o por traslapo ....................................................................................................... 281
7.6.2. Empalmes mecánicos y soldados .......................................................................................................... 281
7.6.3. Empalmes de barras y alambres en tracción .......................................................................................... 282
7.6.4. Empalmes de barras en compresión ...................................................................................................... 283
7.6.5. Empalmes de refuerzo electrosoldado de alambre corrugado a tracción ............................................... 283
7.6.6. Empalmes de refuerzo electrosoldado de alambre liso a tracción ......................................................... 284
7.7. Problemas propuestos .......................................................................................................................................... 285
8. COLUMNAS CORTAS ....................................................................................................................................... 287
8.1. Introducción......................................................................................................................................................... 287
8.2. Comportamiento elástico de columnas cargadas axialmente ............................................................................... 288
8.3. Resistencia última de columnas cargadas axialmente ......................................................................................... 293
8.4. Diagramas de interacción .................................................................................................................................... 293
8.5. Diagramas de interacción para columnas de hormigón armado .......................................................................... 298
8.5.1. Solución utilizado compatibilidad de deformaciones ............................................................................ 298
8.6. Diagramas de interacción para columnas circulares ............................................................................................ 314
8.7. Propiedades de los diagramas de interacción para columnas de hormigón armado ............................................ 316
8.7.1. Diagramas de interacción sin dimensiones ............................................................................................ 316
8.7.2. Excentricidad de la carga ...................................................................................................................... 323
8.7.3. Columnas con refuerzo asimétrico ........................................................................................................ 323
8.7.4. Diagramas de Interacción simplificados para columnas ....................................................................... 325
8.8. Diseño de columnas cortas .................................................................................................................................. 326
8.8.1. Consideraciones en la elección de la sección transversal de columnas ................................................. 327
8.8.2. Elección del material y de la cuantía de acero....................................................................................... 328
8.8.3. Estimación de las dimensiones de la columna....................................................................................... 329
8.8.4. Columnas esbeltas ................................................................................................................................. 330
8.8.5. Requerimientos de espacio entre barras ................................................................................................ 332
8.8.6. Empalmes para el refuerzo .................................................................................................................... 332
xi
Diseño de estructuras de hormigón armado
8.8.7. Espaciamiento y requerimientos constructivos para los estribos .......................................................... 332
8.9. Problemas propuestos ......................................................................................................................................... 343
9. ESTADOS LÍMITES DE SERVICIO ............................................................................................................... 347
9.1. Introducción ........................................................................................................................................................ 347
9.2. Teoría elástica en elementos de hormigón armado sometidos a flexión ............................................................. 348
9.2.1. Análisis elástico de secciones ............................................................................................................... 348
9.3. Análisis de vigas utilizando el procedimiento del par interno ............................................................................ 351
9.4. Análisis de vigas T utilizando el procedimiento del par interno ......................................................................... 358
9.5. Análisis de vigas por el método de la sección transformada............................................................................... 364
9.6. Análisis de columnas cortas ................................................................................................................................ 369
9.7. Agrietamiento ..................................................................................................................................................... 372
9.7.1. Variables que afectan el ancho y distribución de las fisuras ................................................................. 372
9.7.2. Ubicación y distribución de fisuras por acciones conocidas................................................................. 373
9.7.3. Razones para controlar el ancho de fisuras ........................................................................................... 375
9.7.4. Límites en el ancho de fisuras .............................................................................................................. 376
9.7.5. Refuerzo lateral del alma (armadura de piel) ........................................................................................ 378
9.8. Deflexiones ......................................................................................................................................................... 379
9.8.1. Comportamiento de vigas de hormigón armado ................................................................................... 379
9.8.2. Cálculo de las deflexiones .................................................................................................................... 382
9.8.3. Deflexiones por retracción y fluencia ................................................................................................... 383
9.8.4. Consideraciones de las deflexiones en el diseño .................................................................................. 385
9.8.5. Magnitudes permitidas de deflexión ..................................................................................................... 386
9.8.6. Deflexiones en pórticos ........................................................................................................................ 387
9.9. Vibraciones ......................................................................................................................................................... 388
9.10. Fatiga ................................................................................................................................................................ 388
9.11. Problemas propuestos ....................................................................................................................................... 389
10. COLUMNAS ESBELTAS ................................................................................................................................ 393
10.1. Introducción ...................................................................................................................................................... 393
10.2. Definición de columna esbelta .......................................................................................................................... 393
10.3. Pandeo de columnas (Teoría Elástica) .............................................................................................................. 395
10.3.1. Estados de equilibrio .......................................................................................................................... 395
10.4. Columnas esbeltas en estructuras ...................................................................................................................... 399
10.4.1. Comportamiento y análisis de columnas doblemente articuladas ...................................................... 399
10.4.2. Fallas en material y fallas de estabilidad ............................................................................................ 400
10.4.3. Diagramas de interacción para columnas esbeltas .............................................................................. 401
10.4.4. Mayorador de momento para un elemento doblemente articulado cargado simétricamente .............. 402
10.4.5. Efecto de momentos desiguales de extremo en la resistencia de columnas esbeltas .......................... 404
10.4.6. Rigidez de la columna esbelta ............................................................................................................ 408
10.4.7. Efecto de cargas sostenidas en columnas doblemente articuladas ...................................................... 412
10.5. Límites de esbeltez para columnas esbeltas ...................................................................................................... 415
xii
Tabla de contenido
10.6. Límite de los efectos de segundo orden ............................................................................................................. 416
10.7. Resumen del diseño de columnas esbeltas en pórticos arriostrados .................................................................. 416
10.8. Comportamiento de las columnas en pórticos no arriostrados .......................................................................... 431
10.8.1. Estática de pórticos no arriostrados ..................................................................................................... 431
10.8.2. Diseño de columnas en pórticos no arriostrados ................................................................................. 432
10.9. Resumen del diseño de columnas esbeltas en pórticos no arriostrados ............................................................. 434
10.10. Momento mínimo ............................................................................................................................................ 437
10.11. Problemas propuestos ...................................................................................................................................... 448
11. VIGAS – RESISTENCIA A TORSIÓN ........................................................................................................... 451
11.1. Introducción....................................................................................................................................................... 451
11.2. Torsión en elemento de hormigón sin refuerzo ................................................................................................. 453
11.3. Tensiones causadas por torsión ......................................................................................................................... 453
11.4. Torsión en elementos de hormigón armado ....................................................................................................... 456
11.5. Torsión y corte ................................................................................................................................................... 461
11.6. Provisiones del código ACI para el diseño a torsión ......................................................................................... 462
11.7. Problemas propuestos ........................................................................................................................................ 478
12. LOSAS ARMADAS EN DOS DIRECCIONES ............................................................................................... 481
12.1. Introducción....................................................................................................................................................... 481
12.2. Análisis exacto de losas ..................................................................................................................................... 482
12.2.1. Análisis de resultados típicos .............................................................................................................. 489
12.3. Losas en dos direcciones soportadas en sus cuatro lados .................................................................................. 499
12.4. Análisis por el método de los coeficientes ........................................................................................................ 505
12.5. Espesor mínimo de losas con y sin vigas interiores ........................................................................................... 512
12.5.1. Losa sin vigas interiores ...................................................................................................................... 512
12.5.2. Losa con vigas interiores ..................................................................................................................... 512
12.6. Consideraciones para el refuerzo de losas en dos direcciones ........................................................................... 525
12.6.1. Ábacos ................................................................................................................................................. 525
12.6.2. Capiteles .............................................................................................................................................. 526
12.6.3. Refuerzo .............................................................................................................................................. 527
12.6.4. Anclajes y puntos de corte del refuerzo .............................................................................................. 529
12.7. Resistencia al corte de losas en dos direcciones ................................................................................................ 530
12.7.1. Corte en una dirección ......................................................................................................................... 531
12.7.2. Corte en dos direcciones...................................................................................................................... 531
12.8. Losas planas soportadas sobre pilares ............................................................................................................... 559
12.9. Método del diseño directo ................................................................................................................................. 565
12.9.1. Definición de la luz libre ..................................................................................................................... 567
12.9.2. Cálculo del momento estático ............................................................................................................. 567
12.9.3. Distribución del momento estático ...................................................................................................... 568
xiii
Diseño de estructuras de hormigón armado
12.9.4. Momentos en las franjas de la columna y central ............................................................................... 570
12.10. Método del pórtico equivalente ...................................................................................................................... 580
12.10.1. Idealización del sistema .................................................................................................................... 581
12.10.2. Rigidez de los elementos del pórtico ................................................................................................ 581
12.11. Método de los elementos finitos ..................................................................................................................... 597
12.12. Problemas propuestos ..................................................................................................................................... 601
13. ANÁLISIS Y DISEÑO DE REGIONES CON DISCONTINUIDAD............................................................ 607
13.1. Introducción ...................................................................................................................................................... 607
13.2. Procedimientos de dimensionamiento según los códigos actuales ................................................................... 609
13.3. Regiones B y regiones D .................................................................................................................................. 609
13.4. Componentes de los modelos con puntales y tensores ...................................................................................... 612
13.5. Reglas de diseño para los modelos de puntales y tensores ............................................................................... 613
13.5.1. Geometría de los modelos de puntales y tensores .............................................................................. 614
13.5.2. Resistencia efectiva del hormigón y factores de reducción de resistencia .......................................... 615
13.5.3. Forma y resistencia de los puntales de compresión ............................................................................ 615
13.5.4. Resistencia y anclaje de los tensores .................................................................................................. 619
13.5.5. Geometría y resistencia de las zonas nodales ..................................................................................... 622
13.5.6. Requisitos de detallado ....................................................................................................................... 626
13.6. Estado límite de servicio ................................................................................................................................... 628
13.7. Vigas de canto alto ............................................................................................................................................ 628
13.8. Ménsulas cortas ................................................................................................................................................ 644
13.9. Vigas con bordes entallados ............................................................................................................................. 656
13.10. Resistencia al aplastamiento ........................................................................................................................... 670
13.11. Problemas propuestos ..................................................................................................................................... 673
14. MUROS DE CORTE ......................................................................................................................................... 677
14.1. Introducción ...................................................................................................................................................... 677
14.2. Interacción entre muros de corte y marcos ....................................................................................................... 681
14.3. Muros de corte acoplados ................................................................................................................................. 687
14.4. Diseño de muros estructurales .......................................................................................................................... 699
14.4.1. Geometría del edificio ........................................................................................................................ 699
14.4.2. Diafragmas ......................................................................................................................................... 699
14.4.3. Distribución de los muros en planta ................................................................................................... 699
14.4.4. Distribución de las fuerzas de corte de un piso a los muros estructurales .......................................... 700
14.4.5. Fundaciones para muros ..................................................................................................................... 709
14.4.6. Dimensiones de la sección transversal de un muro estructural ........................................................... 710
14.4.7. Espesor mínimo de los muros ............................................................................................................. 713
14.4.8. Refuerzo en muros estructurales ......................................................................................................... 713
14.4.9. Estribos y/o trabas para el refuerzo vertical ........................................................................................ 715
14.5. Resistencia a la flexión de muros de corte ........................................................................................................ 716
xiv
Tabla de contenido
14.5.1. Análisis de sección rectangular con armadura vertical uniformemente distribuida ............................ 718
14.5.2. Análisis de secciones I, C o T con armadura vertical concentrada en los extremos ............................ 725
14.6. Resistencia al corte de muros de corte ............................................................................................................... 730
14.6.1. Cálculo de la resistencia al corte del hormigón ................................................................................... 731
14.6.2. Cálculo de la armadura por corte en muros estructurales .................................................................... 735
14.7. Resistencia al corte por fricción ........................................................................................................................ 751
14.8. Problemas propuestos ........................................................................................................................................ 758
15. DISEÑO PARA ZONAS SÍSMICAS ................................................................................................................ 763
15.1. Introducción....................................................................................................................................................... 763
15.2. Provisiones generales del código ACI para el diseño símico de estructuras ..................................................... 764
15.3. Análisis y diseño de elementos estructurales ..................................................................................................... 765
15.4. Requisitos de ductilidad de desplazamiento ...................................................................................................... 765
15.5. Factores de carga, combinaciones de cargas y factores de reducción de la resistencia ..................................... 768
15.6. Calidad de los materiales para pórticos y muros especiales resistentes a momento .......................................... 769
15.7. Empalmes mecánicos y soldados en pórticos y muros especiales resistentes a momento ................................. 770
15.8. Pórticos ordinarios resistentes a momento para categoría de diseño sísmico B ................................................ 771
15.9. Pórticos intermedios resistentes a momento para categoría de diseño sísmico C .............................................. 772
15.9.1. Consideraciones para el diseño de vigas en pórticos intermedios ....................................................... 773
15.9.2. Consideraciones para el diseño de columnas en pórticos intermedios ................................................ 774
15.10. Pórticos especiales resistentes a momento para categoría de diseño sísmico D, E y F ................................... 777
15.10.1. Consideraciones para el diseño de vigas en pórticos especiales ........................................................ 778
15.10.2. Consideraciones para el diseño de columnas en pórticos especiales ................................................. 783
15.10.3. Longitud de desarrollo de barras en tracción con gancho sísmico .................................................... 790
15.10.4. Nudos en pórticos especiales resistentes a momento ........................................................................ 792
15.11. Muros estructurales especiales y vigas de acople ............................................................................................ 820
15.11.1. Consideraciones para el diseño de muros estructurales especiales .................................................... 820
15.11.2. Machones de muro ............................................................................................................................ 890
15.11.3. Vigas de acople ................................................................................................................................. 893
15.12. Problemas propuestos ...................................................................................................................................... 902
16. FALLAS DE ELEMENTOS ESTRUCTURALES .......................................................................................... 905
16.1. Introducción....................................................................................................................................................... 905
16.2. Falla de columnas .............................................................................................................................................. 905
16.3. Falla de vigas ..................................................................................................................................................... 916
16.4. Falla de la unión entre viga y columna .............................................................................................................. 917
16.5. Falla de losas ..................................................................................................................................................... 920
16.6. Falla de muros de corte...................................................................................................................................... 922
16.7. Falla de fundaciones .......................................................................................................................................... 925
16.8. Colapso parcial o total de estructuras ................................................................................................................ 929
xv
Diseño de estructuras de hormigón armado
REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA ....................................................................................................................... 933
ANEXO 1 – TABLAS DE ARMADURAS ............................................................................................................ 935
ANEXO 2 – ESPESORES MÍNIMOS PARA LOSAS Y VIGAS DE HORMIGÓN ARMADO...................... 943
ANEXO 3 – DETALLES PARA EL CORTE DE BARRAS Y PARA EL REFUERZO DE INTEGRIDAD . 945
ANEXO 4 – DEFLEXIONES MÁXIMAS PERMISIBLES ................................................................................ 947
ANEXO 5 – CARGAS VIVAS Y MUERTAS DE SERVICIO ............................................................................ 949
ANEXO 6 – REFUERZO MÍNIMO PARA DIFERENTES ELEMENTOS ESTRUCTURALES .................. 957
ANEXO 7 – CUANTÍAS DE REFUERZO PARA ELEMENTOS ESTRUCTURALES.................................. 959
ANEXO 8 – FAMILIA DE DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN ADIMENSIONALES .................................. 961
xvi
PRÓLOGO
Desde la segunda edición de este texto han transcurrido varios años y nuevos procedimientos de análisis y
cálculo de elementos de hormigón armado se han puesto en vigencia de acuerdo a la norma
norteamericana de hormigón estructural publicada periódicamente por el Instituto Americano del Concreto
(ACI por sus siglas en inglés).
La presente edición del libro está basada en la edición del año 2014 del ACI 318 con base a revisiones y
actualizaciones continuas que la mantienen a la vanguardia y con gran influencia en América Latina y el
resto del mundo. Es importante mencionar, que la edición del año 2014 del código ACI, con respecto a las
anteriores, ha sufrido una reorganización muy importante de su contenido. De un código orientado al
análisis y diseño por tipos de esfuerzos, ha pasado a ser un código enfocado al diseño por tipo de elemento
estructural. En ese sentido, el nuevo código es más fácil y rápido de utilizar. Además, como toda la
información se halla condensada por elemento estructural, existe la plena seguridad de que para el diseño
se cumplan la totalidad de los requerimientos del código y así tener estructuras más seguras y confiables.
En las versiones anteriores del código, el calculista estaba obligado a consultar muchas secciones de
varios capítulos para el diseño de un solo elemento, con lo que se utilizaban muchas horas en el diseño y
al final no siempre se tenía la plena certeza de haber cumplido con todas las exigencias del código. La
versión actual del código mantiene al calculista dentro de un mismo capítulo tanto como sea posible
minimizando la pérdida de tiempo y esfuerzo.
Esta tercera edición del libro, Diseño de Estructuras de Hormigón Armado, ha sido revisada y
complementada extensivamente, adecuándola a los nuevos requerimientos. Además, se han incorporado
nuevos capítulos que tratan sobre el análisis y diseño de regiones con discontinuidad, diseño de muros de
corte, requerimientos de diseño para zonas sísmicas y daños de estructuras por efectos de los terremotos.
Este texto está orientado principalmente a estudiantes de Ingeniería Civil, Construcción Civil y
Arquitectura; a profesionales que se dedican al cálculo, supervisión y construcción de estructuras de
hormigón armado y a cualquier otro profesional que le interese refrescar y actualizar sus conocimientos en
la materia.
El estudiante debe tener en cuenta que no interesa la norma de diseño que se utilice, debido a que todas
conducen a resultados muy parecidos si se utilizan los mismos parámetros de entrada. Lo importante, es
comprender los conceptos fundamentales del comportamiento del hormigón armado como material y
entender las limitaciones que nos imponen las suposiciones que han sido adoptadas para el desarrollo de
toda la teoría del hormigón armado.
Los países desarrollados están trabajando cada vez más en forma conjunta a fin de elaborar un sólo código
de diseño para estructuras de hormigón armado, con lo cual se daría fin a la gama de códigos y normas
que actualmente están en vigencia. Varios textos publicados en los últimos años reflejan esa tendencia
xvii
Diseño de estructuras de hormigón armado
hacia la unificación de criterios, pero todavía habrá que esperar para que la publicación de este nuevo
código sea una realidad.
El texto está dividido en dieciséis capítulos que son presentados de manera que el estudiante adquiera
paulatinamente los conocimientos y la habilidad para resolver problemas de análisis y diseño de
estructuras de hormigón armado.
Capítulo primero: Introducción al diseño de estructuras de hormigón armado y a los métodos que se
utilizan. Se comparan los procedimientos de diseño de las tensiones admisibles y de la resistencia última.
Se presentan algunas provisiones para el buen funcionamiento y ductilidad de la estructura en la etapa de
servicio.
Capítulo segundo: Características de los materiales que intervienen para conformar el hormigón armado.
Se presenta por separado el comportamiento del hormigón simple y del acero de refuerzo. Se estudian los
cambios volumétricos que presenta el hormigón y que dependen del tiempo como son la fluencia y
retracción.
Capítulo tercero: Nociones preliminares para el análisis y diseño a la flexión de elementos de hormigón
armado. Se presentan, por primera vez, las suposiciones básicas que conforman la esencia de la teoría para
el diseño en hormigón armado.
Capítulo cuarto: Formulación matemática para el análisis y diseño de vigas de sección rectangular en
hormigón armado con simple y doble armadura sometidas a flexión pura. Se analiza el comportamiento de
las vigas de hormigón armado con otros tipos de sección transversal como la sección T. Se presenta un
método basado en la compatibilidad de deformaciones para secciones de vigas con numerosas filas de
acero.
Capítulo quinto: Análisis y diseño de elementos de hormigón armado, especialmente vigas sometidas a
tensiones diagonales, comúnmente conocidas como solicitaciones por corte. Se estudia el esfuerzo
cortante y la formación de fisuras en vigas de hormigón simple, para luego generalizar el estudio a vigas
de hormigón armado.
Capítulo sexto: Análisis y diseño de vigas continuas y losas de hormigón armado que trabajan
principalmente en una sola dirección. Se explica la importancia de considerar en un elemento continuo los
diferentes estados de carga necesarios y el concepto de la envolvente de solicitaciones.
Capítulo séptimo: Teoría para determinar la longitud de desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero
sometidas a tracción y compresión dentro de elementos de hormigón armado.
Capítulo octavo: Estudio de elementos estructurales cortos de hormigón armado sometidos a flexo –
compresión, comúnmente conocidos como columnas. Procedimientos manuales y automáticos para el
cálculo de los diagramas de interacción y su utilización en el diseño y análisis de secciones de hormigón
armado.
xviii
Prólogo
Capítulo noveno: Estados límites de servicio considerando los problemas de deflexión, agrietamiento,
vibración y fatiga. Se explica detalladamente el agrietamiento de elementos de hormigón armado y las
variables que influyen en el ancho y distribución de las fisuras.
Capítulo décimo: Introducción general sobre el pandeo de elementos estructurales esbeltos sometidos a
flexo - compresión. Análisis y diseño de columnas esbeltas en pórticos traslacionales (no arriostrados) y
en pórticos intraslacionales (arriostrados).
Capítulo décimo primero: Análisis y diseño a torsión de vigas de hormigón armado. Comportamiento de
elementos de hormigón simple y de hormigón armado con su respectivo refuerzo transversal y
longitudinal.
Capítulo décimo segundo: Varios métodos de análisis para losas en dos direcciones. Desarrollo de la
ecuación diferencial que gobierna el comportamiento de losas y presentación de algunos resultados típicos
para losas cuadradas y rectangulares. Explicación del método de los coeficientes cuyo tratamiento se
presentaba en ediciones antiguas del código para losas apoyadas en sus cuatro lados (simplemente
apoyadas, empotradas y con combinación de apoyos). Finalmente, tres métodos de aplicación general
como son el Método del Diseño Directo, el Método del Pórtico Equivalente y el Método de Elementos
Finitos son explicados para el análisis de losas sobre apoyos aislados con o sin vigas intermedias. Se
analiza también el esfuerzo de corte en una y dos direcciones en las inmediaciones de las columnas.
Capítulo décimo tercero: Análisis y diseño de regiones con discontinuidad, también llamadas regiones D,
utilizando modelos de puntales y tensores. Estos modelos pueden ser enrejados planos o espaciales donde
las barras a tracción son reemplazadas por “tirantes” de acero y las barras a compresión son reemplazadas
por “bielas” de hormigón. En este capítulo se enfatiza la adecuada colocación de las barras de acero, que
es la parte fundamental, en el diseño de estructuras de hormigón armado.
Capítulo décimo cuarto: Análisis y diseño de muros de corte. En este capítulo se investiga la interacción
entre muros de corte y pórticos, junto con el comportamiento de muros acoplados. También, se presentan
las consideraciones que se deben tener para el diseño de muros estructurales y la forma de determinar su
resistencia a la flexión, corte y corte por fricción.
Capítulo décimo quinto: Diseño para zonas sísmicas. En este capítulo se realiza una revisión general de
los efectos de los terremotos sobre las estructuras y se hace hincapié en la importancia del detallamiento
de la armadura y confinamiento de las secciones para conseguir una buena ductilidad de los elementos de
hormigón armado que es la propiedad más importante cuando se diseñan estructuras en zonas sísmicas.
Capítulo décimo sexto: Daño de elementos estructurales. En este capítulo se describen las diferentes fallas
que pueden tener los distintos elementos estructurales. También, se muestran fotografías de las fallas más
comunes observadas en varios de los terremotos más fuertes acaecidos en la historia del mundo.
Asimismo, se explican las posibles causas que generan la falla de elementos tales como columnas, vigas,
nudos, muros de corte, losas, fundaciones y colapsos de estructuras en general.
El orden de los capítulos en el texto está basado en mi experiencia como profesional y docente de la
materia, ordenados de acuerdo a su grado de dificultad y aplicación práctica.
xix
Diseño de estructuras de hormigón armado
Se ha utilizado el Sistema Internacional de medidas, es decir que si no se especifica la unidad en una
dimensión, ésta debe ser tomada en milímetros.
Por el apoyo financiero recibido para la publicación de la presente edición del libro, deseo expresar mi
agradecimiento a la carrera de Obras Civiles de la Universidad de Santiago de Chile y a Tractebel
Engineering S.A. Los máximos representantes de ambas instituciones, la Sra. Paulina González Directora de Carrera de Obras Civiles de la USACH y el Sr. Juan Pablo Negroni - Gerente General de
Tractebel Chile, mostraron su predisposición a ayudarme desde el momento en que conocieron el proyecto
y por ello les expreso mi gratitud.
Quiero agradecer al ingeniero Víctor Palma, de la oficina de ingeniería Sergio Contreras y Asociados, por
su revisión y comentarios al borrador de la presente edición del libro. Asimismo, de manera especial,
agradezco al ingeniero Alfonso Larraín, de la oficina de ingeniería Alfonso Larraín Vial y Asociados, por
sus valiosas sugerencias que han enriquecido la tercera edición de este texto.
Agradecimientos especiales al Sr. César Contreras por la delineación de la figura 14.2, al Sr. José Aburto
por la transcripción, al nuevo formato, de las ecuaciones de los capítulos 2, 3, 5 y 6, a la Sra. Carolina
Tapia por las del capítulo 4, al Sr. Guillermo Tobar por las del capítulo 10, al Sr. Carlos Telles por las del
capítulo 13 y al Sr. Carlos Varela por las del capítulo 8.
Finalmente, solicito a los lectores enviarme sus sugerencias, comentarios y correcciones para que éstas
sean incluidas en la próxima edición del texto. Se les agradece con antelación por el tiempo y la gentileza.
Santiago de Chile, mayo de 2015
Carlos Roberto Córdova Alvéstegui
[email protected]
xx
CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN AL HORMIGÓN ARMADO
1. Introducción al hormigón armado
1.1. Esencia del hormigón armado
El hormigón armado es un material compuesto de hormigón reforzado con barras de acero que cuando es
diseñado, detallado y construido adecuadamente se comporta de una manera eficiente para resistir
diferentes tipos de solicitaciones. El hormigón armado posee propiedades mucho más ventajosas de las
que poseen sus componentes si actuaran en forma aislada. Por ejemplo, el acero actuando en forma aislada
es muy susceptible a sufrir daños por incendios, pandeo y corrosión; mientras que el hormigón es muy
ineficiente para resistir esfuerzos de tracción. Por tanto, al combinar ambos materiales sus mejores
propiedades son utilizadas en el nuevo material llamado hormigón armado.
La sabiduría detrás de la unión del hormigón con las barras de acero radica en el aprovechamiento, desde
el punto de vista mecánico, funcional y económico, de las propiedades y características que presentan
ambos materiales. Por ejemplo, desde el punto vista mecánico, nos interesan las características de rigidez,
resistencia y ductilidad. Desde el punto de vista funcional el hormigón armado ofrece la versatilidad de
adquirir cualquier forma en obra a costos razonables.
El peso unitario del hormigón simple es aproximadamente 23 [𝑘𝑁/𝑚3 ], mientras que el del acero es de
78 [𝑘𝑁/𝑚3 ]. Los diámetros usuales de las barras de acero varían entre 6 [𝑚𝑚] y 25 [𝑚𝑚] y la cuantía
total de acero suele estar entre el 0.2% y el 3% de la sección total del elemento. Esto implica índices de
consumo entre 15 a 250 [𝑘𝑔] de acero por metro cúbico de hormigón. En nuestro medio el costo del
metro cúbico de hormigón simple elaborado puede oscilar entre 100 y 250 dólares americanos
(dependiendo de las características mecánicas, en particular la resistencia), y el costo del acero de refuerzo
es de unas 50 veces más. Por tanto, el costo del material compuesto depende fundamentalmente de la
eficiencia con que se utilicen las barras de refuerzo en la masa de hormigón.
Por ser un material que en su mayoría es elaborado in situ, la incidencia de la mano de obra para obtener
el hormigón armado es muy importante. En consecuencia, cuando se comparan los costos entre distintas
alternativas de materiales para la construcción de una estructura, la decisión de optar por el hormigón
1
Diseño de estructuras de hormigón armado
armado depende de la relación entre mano de obra y materiales del sitio de construcción. En países
desarrollados la mano de obra tiene mayor incidencia que los materiales, mientras que en países en vías de
desarrollo, los materiales tienen mayor incidencia en el costo del hormigón armado.
Para que el hormigón armado pueda funcionar como un material, es esencial que exista una buena unión
entre las barras de acero y la masa de hormigón. Las fuerzas de adherencia y fricción que se desarrollan
entre el acero y el hormigón, permiten que exista la compatibilidad de deformaciones entre ambos
materiales.
Las principales ventajas del hormigón armado son:
a)
El hormigón fresco se adapta a cualquier forma de encofrado y las armaduras pueden disponerse
siguiendo la trayectoria de los esfuerzos principales internos.
b)
Es resistente al fuego, efectos climáticos y desgastes mecánicos.
c)
Es apropiado para construcciones monolíticas (sin juntas) que, por tratarse de estructuras de
múltiple indeterminación estática poseen, una gran reserva de capacidad portante y un elevado
grado de seguridad. Esta característica es debida a que, correctamente detallado, el hormigón
armado posee gran capacidad de absorción y disipación de energía.
d)
Es económico (materiales inertes baratos como la arena y el agregado grueso) y, en la práctica, no
requiere mantenimiento. Sin embargo, sus armaduras deben estar apropiadamente recubiertas para
evitar la oxidación.
Las desventajas del hormigón armado son:
a) Elevado peso propio de la estructura.
b) Reducido aislamiento térmico.
c) Las modificaciones y su demolición son dificultosas y caras.
1.2. Breve reseña histórica
El más antiguo vestigio de hormigón ha sido encontrado en Oriente Medio por el año 5600 antes de
Cristo; los egipcios utilizaron una mezcla de morteros de yeso y cal con pajas como aglomerante para los
bloques de piedra para la construcción de las pirámides. Los griegos de Creta y Chipre utilizaron también
morteros de cal, mientras que los babilonios y sirios utilizaron betún como material aglomerante para sus
bloques de piedra y mampostería.
2
Introducción al hormigón armado
Foto 1.1. Las Pirámides de Egipto
(Fotografía libre de derechos de autor, http://pixabay.com, CC0 1.0)
Los griegos de la antigüedad utilizaron piedra caliza calcinada como aglomerante, mientras que los
romanos fabricaron el primer hormigón mezclando la cal molida con ceniza volcánica. Esta mezcla fue
utilizada para la unión de los bloques de piedra en la construcción de acueductos, edificios, etc. Los
romanos utilizaron puzolana, un tipo particular de arena de Pozzuoli, cerca del volcán Vesubio (sur de
Italia) como aglomerante en la construcción de edificaciones importantes como el Panteón o el Coliseo en
Roma, Italia.
Foto 1.2. Coliseo en Roma - Italia
(Fotografía libre de derechos de autor, http://pixabay.com, CC0 1.0)
3
Diseño de estructuras de hormigón armado
La puzolana es una arena poco común que reacciona químicamente con la cal y el agua para formar una
masa que al endurecer parece una roca. Además, esta arena es silícea y aluminosa que reacciona con el
hidróxido de calcio para formar un compuesto con propiedades aglomerantes.
Durante la Edad Media, la calidad de los materiales aglomerantes se deterioró porque la cal y la puzolana
ya no eran utilizadas. Pero, éstas volvieron a utilizarse en los siglos XIII y XIV. En el siglo XV, los
constructores venecianos utilizaron cal negra de Abetone (un área en el norte de Italia cerca de Vicenza)
que es similar a la puzolana, para la construcción de los edificios en Venecia.
En 1499 Fray Giovanni Giocondo un monje ingeniero nacido en Verona, Italia utilizó puzolana en el
mortero para la construcción de las pilas del puente de Notre Dam en París.
En 1779 le fue concedida una patente a B. Higging por un cemento hidráulico utilizado para revestimiento
exterior. En 1793 J. Smeaton descubrió que la calcinación de la piedra caliza conteniendo arcilla producía
una clase de cal que endurecía bajo el agua. Smeaton utilizó la cal hidráulica en la construcción del faro
Eddystone en Cornwall.
James Parker, en el año 1796, patentó un tipo especial de cemento natural hidráulico (llamado Cemento
Romano) que se obtenía por la calcinación de gránulos de piedra caliza con impurezas de arcilla. Un
proceso similar fue utilizado en Francia en el año 1802.
En 1812 L. Vicat preparó una cal hidráulica artificial calcinando mezclas artificiales de piedra caliza y
arcilla. En 1818 un cemento natural fue producido en los Estados Unidos y a M. de Saint Leger le fueron
concedidas patentes para cementos hidráulicos. En 1822 J. Frost produjo una cal hidráulica artificial
llamada Cemento Británico.
El año 1824 fue de mucha importancia en la historia del hormigón porque J. Aspdin mejoró el Cemento
Portland (llamado así por la masa dura que formaba al endurecer y que se asemejaba a las rocas de alta
calidad que se extraían en Portland, Inglaterra) incinerando, en forma conjunta, una mezcla de yeso y
arcilla hasta que dióxido de carbono era liberado. El cemento de Aspdin tuvo un éxito inmediato en la
construcción de edificaciones. En 1828 I. K. Brunel fue el primer arquitecto que utilizó Cemento Portland
en la construcción del túnel Támesis, mientras que en Alemania ensayos sistemáticos de la resistencia a la
compresión y tracción del cemento comenzaron a realizarse en 1836. J. L. Lambot en 1848 construyó en
el sur de Francia un pequeño bote de hormigón (posteriormente el bote fue reforzado con barras y mallas
de hierro). En la década de 1890 el italiano C. Gabellini comenzó también a construir barcos de hormigón
reforzado con hierro.
En 1850 un jardinero francés llamado J. Monier construyó una maseta para flores de hormigón armado y
en 1867 patentó tubos de hormigón reforzado. En 1887 H. Le Chatelier estableció proporciones de óxido
para la preparación de la mezcla en la producción del cemento Portland, cuyos principales componentes
fueron ferritos, aluminatos y silicatos tricálcicos.
A W. Wilkinson de Newcastle se le atribuye la construcción del primer edificio en hormigón armado
porque introdujo barras de hierro reforzado en el hormigón de las losas y techo para la construcción de
4
Introducción al hormigón armado
viviendas pequeñas de dos pisos. En 1854 solicitó una patente para la construcción de viviendas,
almacenes y otras estructuras.
El constructor francés F. Coignet construyó varias viviendas grandes en el Reino Unido y Francia entre
1850 y 1880 utilizando barras de hierro en los pisos para prevenir la separación de los muros, pero más
tarde utilizó las barras de hierro como elementos a flexión. En 1861, Coignet dio un paso muy importante
al establecer normas para construir vigas, bóvedas y tubos en hormigón reforzado. Además, Coignet y
Monier, presentaron en asociación modelos físicos en la Exposición Universal de París en 1867. En ese
mismo año Monier sacó sus primeras patentes para construir depósitos, vigas rectas, vigas curvas y otras
tipologías estructurales.
La primera edificación de hormigón reforzado en los Estados Unidos fue una casa en el puerto Chester en
Nueva York construida por W. E. Ward entre 1871 y 1875.
En 1879 G. A. Wayss, un constructor alemán, compró los derechos de la patente del llamado sistema
Monier y comenzó con la construcción de edificaciones de hormigón armado en Alemania y Austria.
Durante los años venideros, en los Estados Unidos, Wayss realizó estudios interesantes con el hormigón
armado y en 1884 patentó su propio sistema de construcción. Diez años más tarde, en 1894, A de Baudot
construyó la iglesia de San Juan de Montmartre en París con columnas esbeltas de hormigón y bóvedas
confinadas por muros delgados de hormigón armado.
T. A. Edison utilizó también el hormigón y en 1899 estableció la Compañía Edison de Cemento Portland
en Nueva Jersey. Edison promovió la construcción en hormigón y realizó una gran cantidad de propuestas
nuevas para innovar el uso del hormigón. Además, él diseñó varios juegos de encofrados metálicos para la
construcción en hormigón de columnas, losas y escaleras de casas.
El primer puente de hormigón armado fue construido en 1889, mientras que el primer rascacielos de
hormigón armado fue construido en Cincinnati, EEUU entre 1902 y 1904 utilizando una variación del
sistema Ransome, diseñado por Elzner y Henderson.
El constructor francés F. Hennebique comenzó la construcción de casas en hormigón armado en 1870 y
solicitó patentes de su sistema en varios países de Europa y Sudamérica. Hennebique promovió el
hormigón armado a través de conferencias y desarrollando manuales de construcción, pero fue A. Pret
quien contribuyó a su diseminación como material arquitectónico.
En 1903, Perret diseñó y construyó un edificio de varios pisos en París utilizando hormigón armado. Esta
estructura influyó profundamente la arquitectura y la construcción en hormigón armado por muchas
décadas debido a que ésta fue construida sin muros portantes, solamente utilizando columnas, vigas y
losas. Perret también construyó museos, iglesias, teatros como el Teatro de los Campos Elíseos. La iglesia
de Notre Dame du Raincy construida en 1922 constituyó un avance importante en el hormigón armado
(comparado con edificaciones anteriores de hormigón) y es reconocida como una obra maestra del diseño
arquitectónico por la sublime cubierta curva y las columnas esbeltas que demuestran las bondades
excepcionales de este nuevo material de construcción.
5
Diseño de estructuras de hormigón armado
La estructura más interesante desde el punto de vista del desarrollo del hormigón armado es la Sala del
Siglo (Jahrhunderthalle en alemán) que fue diseñada por M. Berg y calculada por los ingenieros del
Departamento de Obras de la ciudad de Breslau. Esta obra fue construida en la misma ciudad de Breslau
en el año 1913 como parte de una serie de trabajos con motivo de la celebración del centenario de la
Guerra de Liberación contra Napoleón ganada en 1813.
Foto 1.3. La Sala del Siglo en Breslau – Polonia
(Fotografía cortesía de http://mostbeautifulplacesintheworld.org)
Emilio Mörsch, profesor en la Escuela Superior Técnica de Stuttgart entre 1916 a 1948, publicó en 1902
un tratado sobre el comportamiento del hormigón armado sobre bases científicas, partiendo de resultados
experimentales. El profesor Mörsch presentó la primera teoría para el dimensionado de secciones de
hormigón armado y cuyos principios no difieren mucho con las teorías vigentes de cálculo.
En 1951 M. Trucco construyó la fábrica de autos Fiat-Lingotto en Turín, Italia utilizando hormigón
armado. La peculiaridad de este edificio es que la pista de pruebas de los autos está en el techo.
En 1921 los hangares parabólicos, para aviones del aeropuerto de Orly en París, construidos de hormigón
armado fueron completados. En 1930 el ingeniero español Eduardo Torroja diseñó un domo rebajado para
la cubierta del mercado de Algeciras utilizando cables de acero para el anillo inferior a tracción. También,
Torroja diseñó la cubierta en voladizo para las graderías del hipódromo de Madrid en 1935.
Al mismo tiempo, el ingeniero italiano Pier Luigi Nervi comenzó a construir sus famosos hangares en
Orbetello. Los trabajos de Nervi incluyen la sala de exhibiciones de Turín y dos estadios cubiertos en
Roma.
6
Introducción al hormigón armado
El arquitecto Félix Candela llevó a la máxima expresión la utilización de cáscaras diseñando y
construyendo muchas estructuras de este tipo, entre las cuales se pueden destacar el Laboratorio de Rayos
Cósmicos de la ciudad de México y la cubierta del restaurante Los Manantiales en Xochimilco, México.
Foto 1.4. Restaurant “Los Manantiales” en construcción en Xochimilco - México
(Fotografía de www.arq.com.mx)
Entre los renombrados trabajos en hormigón armado de Le Corbusier se pueden nombrar a Villa Savoye
(1931), las casas en bloques en Nantes y Marseille (1940), el monasterio de La Tourette (1959) y los
edificios gubernamentales en Chandigarh, India (1961).
Frank Lloyd Wright fue el primero en explorar el voladizo como una característica del diseño gracias a la
naturaleza continua de las construcciones en hormigón armado. La casa Kaufman (1936) es un ejemplo
particular del uso de voladizos.
En 1970, el primer edificio en hormigón reforzado con fibras fue construido. La edificación, en hormigón
armado, más alta del mundo fue construida en 1975 y es la torre CN de comunicaciones en Toronto,
Canadá con una altura de 555 metros. En la actualidad existen otras edificaciones más altas como el Burj
Khalifa en Dubái cuya altura alcanza los impresionantes 928 metros. Sin embargo, solamente hasta los
586 metros de altura es de hormigón armado y el resto de acero, para alivianar su peso.
El avance alcanzado en la actualidad sobre el comportamiento del hormigón armado es muy significativo
y los procedimientos de diseño para la mayoría de las solicitaciones ya están bien establecidos. En sus
inicios, el diseño en hormigón armado se basó en resultados experimentales de pruebas realizadas sobre
prototipos. Posteriormente, su diseño se fundamentó en el método elástico de la resistencia de materiales
considerando esfuerzos admisibles. En la actualidad, el diseño en hormigón armado se basa en el método
de la rotura y la verificación de una sección, elemento o estructura para diferentes estados límites. En las
siguientes secciones se explican con más detalle estos dos métodos.
7
Diseño de estructuras de hormigón armado
Foto 1.5. Torre CN de comunicaciones en Toronto – Canadá
(Fotografía libre de derechos de autor, http://pixabay.com, CC0 1.0)
1.3. Métodos de las tensiones admisibles y de la resistencia última
Según Park y Paulay, muchos estudios iniciales acerca del hormigón armado estuvieron basados en teorías
de resistencia última como la teoría de flexión de Thullie en 1897 y la teoría de la distribución parabólica
de tensiones de Ritter en 1899. Sin embargo, desde 1900 la teoría elástica (distribución lineal de
tensiones) de Coignet y Tedeson fue universalmente aceptada porque esta teoría ya se usaba en el diseño
con otros materiales y porque era matemáticamente simple. Además, se había observado que las
estructuras diseñadas con este método se comportaban adecuadamente bajo cargas de servicio y que tenían
un margen adecuado de seguridad contra el colapso cuando el valor de la tensión admisible era elegido
cuidadosamente.
Antes de la edición del año 1956 del código ACI, el único método disponible para diseñar elementos de
hormigón armado era el método de diseño por tensiones admisibles. Después de más de 50 años de
utilización del método de las tensiones admisibles y de mucha investigación sobre el comportamiento no
lineal e inelástico del hormigón y del acero, en 1956 el método de la resistencia última hace su aparición,
como un método alternativo, en un apéndice del código ACI. En la siguiente edición (año 1963), el diseño
8
Introducción al hormigón armado
por resistencia última se trasladó al cuerpo principal del código como una alternativa al método de diseño
por tensiones admisibles. Pero, debido a la gran aceptación que tuvo el método por resistencia última, en
el código del año 1971 se dedicó apenas una página al método de las tensiones admisibles. Luego, el
método de las tensiones admisibles se trasladó del cuerpo principal del código a un apéndice de la edición
1983 y a partir de entonces el método comenzó a llamarse "método de diseño alternativo," y permaneció
en un apéndice hasta el código del año 1999.
1.4. Diseño por el método de las tensiones admisibles (Teoría elástica)
El diseño de las secciones de los elementos que conforman una estructura es realizado asumiendo que las
tensiones son proporcionales a las deformaciones (ley de Hooke) y que las tensiones, para las cargas de
servicio en el acero y hormigón, no sobrepasan tensiones admisibles que son tomadas como una fracción
de la resistencia última de los materiales. Esto quiere decir que la resistencia última dividida por un factor
de seguridad da como resultado la tensión admisible. Con este método se utilizan las cargas de servicio
para hallar los esfuerzos respectivos por flexión, corte, etc., que luego son comparados con las tensiones
admisibles. Si los esfuerzos provenientes de las cargas de servicio son menores o iguales a las tensiones
admisibles, entonces el diseño está bien realizado, de lo contrario se modifican las dimensiones del
elemento hasta cumplir con el requerimiento de tensión.
1.5. Diseño por el método de la resistencia última
El diseño de las secciones de los elementos que conforman una estructura es realizado tomando en cuenta
deformaciones inelásticas para alcanzar la resistencia última de la sección (el hormigón a su resistencia
máxima y el acero a su tensión de fluencia) para la carga última. La carga última (momento, corte, torsión,
etc.) es igual a la suma de las cargas de servicio multiplicadas por sus respectivos factores de carga que en
general son mayores a la unidad. La resistencia nominal de diseño del elemento a la acción considerada es
multiplicada por un factor de reducción que es menor a la unidad. Si la carga última es menor o igual a la
resistencia nominal de diseño del elemento, entonces el diseño es satisfactorio, de lo contrario se
modifican las dimensiones de la sección del elemento hasta cumplir la desigualdad.
Sin importar el método de diseño que se utilice, el análisis estructural y la determinación de las
solicitaciones en los elementos son realizados asumiendo un comportamiento lineal y elástico de la
estructura hasta su carga última. En general, se pueden utilizar los métodos clásicos de resolución de
estructuras o métodos más modernos como el análisis matricial y los elementos finitos.
1.6. Razones para utilizar el método de la resistencia última
Entre las principales razones por las cuales se debe utilizar el método de la resistencia última se pueden
citar las siguientes:
a)
La teoría elástica no puede predecir con exactitud la resistencia última de secciones de hormigón
armado ya que éstas se comportan inelásticamente para cargas elevadas con diagramas de tensióndeformación no lineales. Por lo tanto, el factor de seguridad (carga última/carga de servicio) para
estructuras diseñadas con el método de las tensiones admisibles es desconocido y varía de
estructura en estructura.
9
Diseño de estructuras de hormigón armado
b)
c)
d)
e)
Los factores de carga son seleccionados de una manera más racional en el método de la resistencia
última, ya que para las cargas cuya estimación se la puede realizar con mayor exactitud (peso
propio y cargas muertas) se utiliza un factor de carga más pequeño que para las cargas de difícil
cuantificación (carga viva, presión de tierra o agua, viento, etc.), para las cuales se puede usar un
factor de carga mayor.
La curva tensión - deformación del hormigón es no lineal y depende del tiempo. Solamente la
parte inicial de la curva puede considerarse aproximadamente lineal.
El diseño por el método de la resistencia última hace uso más eficiente del acero de alta
resistencia, por lo que se puede diseñar vigas de canto más bajo sin acero de compresión.
El método de resistencia última permite al diseñador estimar la ductilidad de la estructura en el
rango postelástico. Esto es importante cuando se considera una posible redistribución de los
momentos flectores por cargas verticales (muerta, viva, etc.) y en el diseño para cargas producidas
por sismos o explosiones.
1.7. Diseño para resistencia y funcionalidad
Un sólido diseño en hormigón armado debe contemplar los siguientes dos aspectos importantes:
a)
b)
La estructura en su conjunto y cada uno de sus elementos en particular deben tener suficiente
resistencia para soportar las cargas últimas, que son el producto de los factores de carga por las
cargas de servicio.
Bajo cargas de servicio, las deflexiones, vibraciones y fisuras de todos los elementos que
conforman la estructura deben mantenerse dentro de los límites razonables o admisibles.
Por lo tanto, una estructura debe ser diseñada, en general, para diferentes estados límites. Los estados
límites más importantes son:
- Estado límite de resistencia para cargas últimas
- Estado límite de deflexión y vibración para cargas de servicio
- Estado límite de ancho de fisuras para cargas de servicio
1.8. Método de la resistencia última y de servicio
1.8.1. Provisiones para la resistencia
El código ACI separa las provisiones de resistencia para la seguridad estructural en dos partes: factores de
carga y factores de reducción de la capacidad del elemento.

Factores de carga 𝜸
Estos factores tienen la función de brindar seguridad adecuada a la estructura para cualquier incremento de
las cargas de servicio por encima de las cargas especificadas en el diseño, entonces la ocurrencia de una
falla es extremadamente improbable.
10
Introducción al hormigón armado
Los factores de carga difieren en magnitud para cada tipo de carga porque la probabilidad de que éstas
sean excedidas es diferente para cada una. Por ejemplo, la carga viva de servicio tiene una probabilidad
mayor de ser excedida que la carga muerta.
La carga última en una estructura es obtenida mediante la adición o sustracción de cargas de servicio
multiplicadas por sus respectivos factores de carga, en lo que se conoce comúnmente como combinaciones
de carga. Estas combinaciones tratan de alguna manera de predecir, aproximadamente, las solicitaciones
probables a las que estará sometida la estructura durante su vida útil.

Resistencias requeridas
En la edición 2002 del código ACI se realizó un cambio sustancial de los factores y combinaciones de
carga con el propósito de uniformizar el diseño del hormigón armado con el de otros materiales. En la
edición del año 2011, el código ACI, nuevamente realiza una revisión de los factores de combinación de
carga. A continuación se presentan las combinaciones de carga recomendadas en la sección 5.3.1 del
código ACI para el cálculo de estructuras en hormigón armado.
𝑈 = 1.4 ∙ 𝐷
𝑈 = 1.2 ∙ 𝐷 + 1.6 ∙ 𝐿 + 0.5 ∙ (𝐿𝑟 𝑜 𝑆 𝑜 𝑅)
𝑈 = 1.2 ∙ 𝐷 + 1.6 ∙ (𝐿𝑟 𝑜 𝑆 𝑜 𝑅) + (1.0 ∙ 𝐿 𝑜 0.5 ∙ 𝑊)
𝑈 = 1.2 ∙ 𝐷 + 1.0 ∙ 𝑊 + 1.0 ∙ 𝐿 + 0.5 ∙ (𝐿𝑟 𝑜 𝑆 𝑜 𝑅)
𝑈 = 1.2 ∙ 𝐷 + 1.0 ∙ 𝐸 + 1.0 ∙ 𝐿 + 0.2 ∙ 𝑆
𝑈 = 0.9 ∙ 𝐷 + 1.0 ∙ 𝑊
𝑈 = 0.9 ∙ 𝐷 + 1.0 ∙ 𝐸
(1.1)
(1.2)
(1.3)
(1.4)
(1.5)
(1.6)
(1.7)
El factor de carga para la carga viva 𝐿 en las ecuaciones de (1.3) a (1.5) puede ser reducido a 0.5 excepto
para estacionamientos, áreas para actos o reuniones públicas y todas las áreas donde la carga viva es
mayor a 4.8 [𝑘𝑁/𝑚2 ].
Cuando la carga de viento 𝑊 corresponda a cargas de viento a nivel de servicio, como es todavía el caso
de la normativa chilena, se debe utilizar 1.6 ∙ 𝑊 en vez de 1.0 ∙ 𝑊 en las ecuaciones (1.4) y (1.6) y
0.8 ∙ 𝑊 en lugar de 0.5 ∙ 𝑊 en la ecuación (1.3).
Cuando la carga de terremoto 𝐸 está basada en fuerzas sísmicas para el nivel de servicio, como es todavía
el caso de la normativa chilena, entonces se debe utilizar 1.4 ∙ 𝐸 en vez de 1.0 ∙ 𝐸 en las ecuaciones de
(1.5) y (1.7).
Si la carga viva es aplicada rápidamente, los efectos del impacto deben ser considerados, por lo que en
todas las ecuaciones se debe reemplazar 𝐿 por 𝐿 + 𝐼.
Cuando sea aplicable, los efectos inducidos por deformaciones 𝑇 deben ser considerados en combinación
con otras cargas. El factor de mayoración para este efecto debe ser establecido tomando en cuenta la
incertidumbre de su magnitud, la probabilidad de que su máximo efecto ocurra simultáneamente con otras
11
Diseño de estructuras de hormigón armado
cargas aplicadas y las consecuencias potencialmente adversas en caso de que su valor supuesto sea
superado. El factor de carga para 𝑇 debe ser mayor o igual a la unidad.
Cuando existen cargas de fluidos 𝐹, éstas deben ser incluidas con el mismo factor de 𝐷 en las ecuaciones
(1.1) a (1.5) y (1.7).
La presión de suelos 𝐻 debe ser incluida en las combinaciones de carga de acuerdo a los siguientes
criterios:
a) Si 𝐻 actúa en solitario o incrementa el efecto de otras cargas, se la incluye con un factor de carga
de 1.6.
b) Si 𝐻 es permanente y contrarresta el efecto de otras cargas, se la incluye con un factor de carga de
0.9.
c) Si 𝐻 no es permanente, pero cuando está presente contrarresta el efecto de otras cargas, no se la
incluye.
Para el diseño de las zonas de anclaje en postensado, un factor de 1.2 debe ser aplicado a la máxima
fuerza aplicada por el gato.
A modo de comparación, en la edición 2008 del código ACI se tenían las siguientes combinaciones de
carga:
𝑈 = 1.4 ∙ (𝐷 + 𝐹)
𝑈 = 1.2 ∙ (𝐷 + 𝐹 + 𝑇) + 1.6 ∙ (𝐿 + 𝐻) + 0.5 ∙ (𝐿𝑟 𝑜 𝑆 𝑜 𝑅)
𝑈 = 1.2 ∙ 𝐷 + 1.6 ∙ (𝐿𝑟 𝑜 𝑆 𝑜 𝑅) + (1.0 ∙ 𝐿 𝑜 0.8 ∙ 𝑊)
𝑈 = 1.2 ∙ 𝐷 + 1.6 ∙ 𝑊 + 1.0 ∙ 𝐿 + 0.5 ∙ (𝐿𝑟 𝑜 𝑆 𝑜 𝑅)
𝑈 = 1.2 ∙ 𝐷 + 1.0 ∙ 𝐸 + 1.0 ∙ 𝐿 + 0.2 ∙ 𝑆
𝑈 = 0.9 ∙ 𝐷 + 1.6 ∙ 𝑊 + 1.6 ∙ 𝐻
𝑈 = 0.9 ∙ 𝐷 + 1.0 ∙ 𝐸 + 1.6 ∙ 𝐻
(1.1)
(1.2)
(1.3)
(1.4)
(1.5)
(1.6)
(1.7)
El factor de carga para la carga viva 𝐿 en las ecuaciones de (1.3) a (1.5) puede ser reducido a 0.5 excepto
para estacionamientos, áreas para actos o reuniones públicas y todas las áreas donde la carga viva es
mayor a 4.8 [𝑘𝑁/𝑚2 ] .
Cuando la carga de viento 𝑊 no ha sido reducida por el factor de dirección, puede utilizarse 1.3 ∙ 𝑊 en
vez de 1.6 ∙ 𝑊 en las ecuaciones de (1.4) a (1.6).
Cuando la carga de terremoto 𝐸 está basada en fuerzas sísmicas para el nivel de servicio, entonces se debe
utilizar 1.4 ∙ 𝐸 en vez de 1.0 ∙ 𝐸 en las ecuaciones de (1.5) y (1.7).
El factor de carga para la presión de suelos 𝐻 debe ser igual a cero en las ecuaciones (1.6) y (1.7) si la
acción estructural debido a 𝐻 actúa en sentido contrario a 𝑊 o 𝐸. Donde la presión lateral de tierra provee
resistencia a acciones estructurales de otra naturaleza, ésta no debe ser incluida en 𝐻, pero debe ser
incluida en el lado de la resistencia para el diseño.
12
Introducción al hormigón armado
Si la carga viva es aplicada de manera rápida, tal como sucede en los puentes por la circulación de
vehículos, los efectos del impacto deben ser considerados, por lo que en todas las ecuaciones se debe
reemplazar 𝐿 por 𝐿 + 𝐼.
Para el diseño de las zonas de anclaje en postensado, un factor de 1.2 debe ser aplicado a la máxima
fuerza aplicada por el gato.
Como se puede apreciar, los cambios efectuados en las combinaciones de carga entre las ediciones de los
años 2008 y 2011 son más de forma que de fondo y esta revisión obedece a la tendencia del reglamento de
la ACI de ser consistente con el documento ASCE/SEI 7-10. En general, los factores de mayoración de
carga no han cambiado, con excepción del de la carga de viento que ha disminuido de 0.8 a 0.5 en la
ecuación (1.3) y de 1.6 a 1.0 en las ecuaciones (1.4) y (1.6) siempre y cuando el valor de la carga de
viento corresponda a un nivel de resistencia. Sin embargo, si el valor de la carga de viento corresponde a
un nivel de servicio se deben utilizar los antiguos factores de mayoración. Entre los cambios menores que
se presentan en la nueva edición del código es que las cargas por peso y presión de líquidos 𝐹, cuando
existan, deben incluirse con el mismo factor de las cargas muertas 𝐷 en las combinaciones (1.1) a (1.5) y
(1.7). Otro cambio menor, es que las cargas por peso y presión de suelos, agua en suelos u otros
materiales 𝐻 deben ser incluidas cuando corresponda con los factores de mayoración indicados por el
mismo código.
Como conclusión se puede indicar que el nuevo código presenta, en esencia, las mismas combinaciones.
Sin embargo, deja de mostrar en ellas los efectos de 𝑇, 𝐹 y 𝐻 cuya inclusión es explicada en forma literal
en las secciones 5.3.6, 5.3.7 y 5.3.8 del mismo código.
El significado de las variables descritas en las ecuaciones de (1.1) a (1.7) es el siguiente:
𝑈 = Resistencia requerida para resistir cargas últimas o momentos y fuerzas resultantes.
𝐿 = Cargas vivas o momentos y fuerzas resultantes.
𝐷 = Cargas muertas o momentos y fuerzas resultantes.
𝐿𝑟 = Cargas vivas en cubiertas y techos o momentos y fuerzas resultantes.
𝐹 = Cargas por peso y presión de líquidos con densidades y controles de máxima altura bien definidos; o
momentos y fuerzas resultantes.
𝑅 = Carga de lluvia o momentos y fuerzas resultantes.
𝑆 = Carga de nieve o momentos y fuerzas resultantes.
𝑇 = Efecto acumulado de temperatura, fluencia, retracción y asentamiento diferencial
𝐸 = Efectos de carga de fuerzas sísmicas o momentos y fuerzas resultantes.
𝑊 = Carga de viento o momentos y fuerzas resultantes.
𝐻 = Cargas por peso y presión de suelos, agua en suelos u otros materiales; o momentos y fuerzas
resultantes.
En el presente texto se utilizará la letra minúscula 𝑤 para denotar carga distribuida y las letras mayúsculas
𝑃 o 𝐹 para denotar carga o fuerza puntual. Para saber de que tipo de carga se trata se utilizarán las
siguientes abreviaciones:
13
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑃𝐷 = Carga muerta puntual
𝑃𝐿 = Carga viva puntual
𝑤𝐷 = Carga muerta uniformemente distribuida
𝑤𝐿 = Carga viva uniformemente distribuida

Factores de reducción de la capacidad 𝝓
El propósito de los factores de reducción de la capacidad es de proteger a la sección de hormigón armado
de pequeños errores que se introducen por la utilización de procedimientos de cálculo aproximados y
variaciones en la resistencia de los materiales, mano de obra y dimensiones de los elementos. Además,
estos factores reflejan el grado de ductilidad y de fiabilidad requerida en el elemento bajo los efectos de la
carga considerada, y la importancia del elemento en la estructura.
En la sección 21.2 del código ACI se especifican los factores de reducción de la resistencia y éstos, desde
la edición del código del año 2002, dependen de las condiciones de deformación de la sección transversal
para la resistencia nominal.
Los factores de reducción de la capacidad son los siguientes:
a)
Para secciones controladas por una falla a tracción
b)
Para secciones controladas por una falla a compresión:
Miembros con refuerzo en espiral
Miembros con otro tipo de refuerzo
𝜙 = 0.90
𝜙 = 0.75
𝜙 = 0.65
Para secciones en las cuales la deformación neta de tracción en el acero más alejado de la cara de
compresión está entre los límites de falla a compresión y tracción, el factor de reducción de la capacidad
se incrementará en forma lineal desde el valor de falla a compresión hasta 0.9 a medida que la
deformación neta de tracción, en el acero más alejado de la cara de compresión para la resistencia
nominal, se incremente desde la deformación para falla a compresión hasta 0.005. Como se asume que la
deformación máxima de compresión en el hormigón para la resistencia nominal es de 0.003, los límites de
las deformaciones netas de tracción para los elementos controlados por falla a compresión pueden ser
especificados en términos de la relación 𝑐/𝑑𝑡 , donde 𝑐 es la profundidad del eje neutro para la resistencia
nominal y 𝑑𝑡 es la distancia desde la fibra extrema de compresión hasta el acero más alejado en tracción.
Los límites 𝑐/𝑑𝑡 para fallas controladas por compresión y controladas por tracción son de 0.6 y 0.375,
respectivamente. El límite 0.6 se aplica para secciones reforzadas con acero con límite de fluencia de
420 [𝑀𝑃𝑎] y para secciones pretensadas. En la siguiente figura se muestra la variación de 𝜙 en función de
𝜀𝑡 y 𝑐/𝑑𝑡 .
14
Introducción al hormigón armado
𝜙
𝜙 = 0.75 + 50 ∙ (𝜀𝑡 − 0.002)
0.90
0.75
0.65
Espiral
𝜙 = 0.65 + (𝜀𝑡 − 0.002) ∙ (
Estribos
Falla controlada
por compresión
Falla en
transición
𝜀𝑡 = 0.002
𝑐/𝑑𝑡 = 0.600
𝑎/𝑑𝑡 = 0.600 ∙ 𝛽1
250
)
3
Falla controlada
por tracción
𝜀𝑡 = 0.005
𝑐/𝑑𝑡 = 0.375
𝑎/𝑑𝑡 = 0.375 ∙ 𝛽1
𝜀𝑡
Fig. 1.1. Variación del factor de 𝝓 en función de 𝜺𝒕
Para elementos con refuerzo en espiral
𝑑𝑡
𝜙 = 0.5 + 0.15 ∙
𝑐
Para elementos con otro tipo de refuerzo
𝑑𝑡
𝜙 = 0.23 + 0.25 ∙
𝑐
(1.8)
(1.9)
c)
Para torsión y corte
d)
Para aplastamiento del hormigón (excepto para zonas de anclaje en postesado y modelos de
puntales y tensores)
𝜙 = 0.65
e)
Para zonas de anclaje en postesado
𝜙 = 0.85
f)
Para cartelas y ménsulas
𝜙 = 0.75
g)
Para modelos de puntales y tensores, zonas nodales y apoyos en esos modelos
𝜙 = 0.75
h)
Para secciones a flexión en miembros pretesados donde la longitud embebida del torón es menor a
la longitud de desarrollo requerida por el código ACI en su sección 25.4.8.1:
𝜙 = 0.75
- Desde el extremo del elemento hasta el final de la longitud de transferencia 𝜙 = 0.75
- Desde el final de la longitud de transferencia hasta el final de la longitud de desarrollo, el
factor 𝜙 puede incrementarse linealmente desde 0.75 hasta 0.90.
- Cuando la adherencia del torón no se extiende hasta el final del elemento, para la longitud
embebida del torón se asume que ésta comienza al final de la longitud no adherida.
15
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝜙
0.90
0.80
0.70
0.60
0.50
Extremo libre
del torón y
extremo del
elemento
Final de la longitud
de transferencia
Final de la longitud
de desarrollo
𝑓𝑠𝑒
( ) ∙ 𝑑𝑏
21
𝑓𝑝𝑠 − 𝑓𝑠𝑒
(
) ∙ 𝑑𝑏
7
Distancia desde el
extremo libre del torón
ℓ𝑑
Fig. 1.2. Variación del factor de 𝝓 con la distancia desde el extremo libre del torón en elementos
pretesados con torones adheridos en toda su longitud
Donde:
𝑓𝑝𝑠 = Esfuerzo en el acero de pretensado en el estado de resistencia nominal a la flexión.
𝑓𝑠𝑒 = Esfuerzo efectivo en el acero de pretensado después de ocurridas todas las pérdidas.
𝜙
0.90
0.80
0.70
0.60
Final de la
longitud de
transferencia
Extremo del
elemento
Extremo libre
del torón
0.50
𝑓𝑠𝑒
Longitud
2 ∙ ( ) ∙ 𝑑𝑏
no adherida
21
𝑓𝑝𝑠 − 𝑓𝑠𝑒
2∙(
)
7
Final de la longitud
de desarrollo
Distancia desde el
extremo libre del torón
2∙ ℓ𝑑
Fig. 1.3. Variación del factor de 𝝓con la distancia desde el extremo libre del torón en elementos
pretesados con torones no adheridos (entubados) en el extremo del elemento
Para estructuras que dependen de muros estructurales intermedios prefabricados de las categorías de
diseño sísmico D, E o F, pórticos especiales resistentes a momento o muros estructurales especiales para
resistir los efectos de terremotos, los factores de reducción de la capacidad deben ser modificados de la
siguiente manera:
16
Introducción al hormigón armado
a)
b)
c)
Para elementos estructurales con una resistencia nominal al corte menor al corte correspondiente a
la resistencia nominal a la flexión del elemento, considerando las cargas axiales últimas más
críticas incluyendo los efectos del terremoto
𝜙 = 0.60
El factor de reducción de la capacidad para corte en diafragmas no debe exceder el mínimo factor
de reducción de la capacidad utilizado para los componentes verticales del sistema primario de
resistencia a las fuerzas laterales (fuerzas sísmicas)
Para corte en nudos y vigas de acoplamiento reforzadas diagonalmente
𝜙 = 0.85
Para el diseño a flexión, compresión, corte y aplastamiento en hormigón estructural simple (hormigón sin
refuerzo de acero)
𝜙 = 0.60
Otras variables, como la consecuencia de la falla en un miembro con respecto a toda la estructura y el
grado de advertencia que presenta el modo de falla, han sido también consideradas para la determinación y
la adopción de los valores para los factores de reducción de la capacidad.
Las vigas tienen el factor 𝜙 más elevado porque son diseñadas para fallar de una manera dúctil debido a la
fluencia del acero en tensión. La falla de una viga es advertida por grandes deformaciones y fisuras en la
zona traccionada y debido a que la variabilidad de la resistencia del acero es menor a la del hormigón, la
resistencia a la flexión puede ser estimada con bastante precisión.
Las columnas tienen el factor 𝜙 más bajo porque pueden fallar de una manera frágil cuando se alcanza la
resistencia del hormigón. Además, la falla de una columna puede significar el colapso de toda la estructura
y la reparación de columnas es una tarea muy difícil. Las columnas con espiral tienen una falla más dúctil
que las columnas con solamente estribos debido a que el núcleo central se encuentra mejor confinado, por
lo que su factor 𝜙 es un poco mayor.
El valor de 𝜙 para corte y torsión es intermedio porque la contribución del hormigón a la resistencia es
menos crítica que en el caso de columnas y la teoría para predecir la falla es menos exacta que en el caso
de las vigas.
El factor de seguridad 𝐹𝑆 para una estructura que soporta carga muerta y carga viva vale:
𝐹𝑆 =
1.2 ∙ 𝐷 + 1.6 ∙ 𝐿 1
∙
𝜙
𝐷+𝐿
(1.10)
Para flexión sin fuerza axial y con falla a tracción (𝜙 = 0.9):
𝐿
= 0 ⟹ 𝐹𝑆 = 1.33
𝐷
𝐿
= 4 ⟹ 𝐹𝑆 = 1.69
𝐷
Para flexión con fuerza axial de compresión y con falla a compresión (𝜙 = 0.65):
17
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝐿
= 0 ⟹ 𝐹𝑆 = 1.85
𝐷
𝐿
= 4 ⟹ 𝐹𝑆 = 2.34
𝐷
1.8.2. Ecuación básica para el diseño por resistencia
El requisito básico para el diseño por resistencia se expresa mediante la siguiente inecuación:
𝜙 ∙ 𝑅𝑛 ≥ 𝑅𝑢
(1.11)
Donde:
𝑅𝑢 = Suma de las cargas mayoradas en correspondencia a una combinación de carga dada.
𝑅𝑛 = Resistencia nominal del elemento.
𝜙 = Factor de reducción de la capacidad.
En el procedimiento de diseño por resistencia, la seguridad se obtiene a través de dos fuentes. La primera
es multiplicando las cargas de servicio por sus respectivos factores de carga, de acuerdo a la combinación
utilizada; y la segunda, es multiplicando la resistencia nominal por un factor de reducción que depende del
tipo de falla que se está analizando.
1.8.3. Provisiones para la resistencia del acero
Para el diseño de elementos de hormigón armado, la tensión de fluencia del acero pasivo no debe ser
tomada mayor a 550 [𝑀𝑃𝑎], excepto para el acero de pretensado y para el acero de refuerzo transversal en
espiral. Para el diseño a corte y torsión, el código limita la tensión de fluencia del acero pasivo de refuerzo
a 420 [𝑀𝑃𝑎], pero si el acero de refuerzo cumple la especificación ASTM A 497M, su tensión de fluencia
puede ser tomada hasta 550 [𝑀𝑃𝑎] para el diseño a corte. Para el diseño de estructuras especiales como
cáscaras, losas plegadas y estructuras en zonas sísmicas, la tensión de fluencia del acero es también
limitada a 420 [𝑀𝑃𝑎].
1.8.4. Provisiones para el funcionamiento o servicio
Si bien la resistencia es de vital importancia para la seguridad de una estructura, no hay que dejar de lado
el funcionamiento de la misma. El poder predecir el comportamiento de la estructura bajo cargas de
servicio es de mucha importancia cuando los elementos son diseñados utilizando el método de la
resistencia última porque un elemento de sección pequeña puede resistir adecuadamente las cargas
últimas, pero tener grandes deflexiones bajo cargas de servicio. Por lo tanto, es siempre aconsejable
verificar que las deflexiones en los elementos (vigas, losas, etc.) de una estructura estén dentro de los
límites tolerables que previenen un mal funcionamiento. Es también importante, dependiendo del tipo de
estructura, controlar las fisuras y la vibración por el bien de la durabilidad y apariencia de la misma.
18
Introducción al hormigón armado
1.8.5. Provisiones para la ductilidad
Además de las provisiones para la resistencia y funcionalidad, se debe prestar atención a la ductilidad. Es
importante asegurar que en el caso de que una estructura sea cargada hasta la falla (sobre carga
extraordinaria), ésta tenga un comportamiento dúctil dando señales evidentes de colapso (fisuras y
deformación excesivas) para que se puedan tomar las medidas que el caso amerite y se protejan vidas
humanas. También, un comportamiento dúctil en elementos de hormigón armado da la oportunidad de
utilizar la redistribución de momentos flectores durante el diseño.
Para el diseño de estructuras en zonas sísmicas, es primordial la ductilidad ya que generalmente la
estructura es diseñada para resistir elásticamente solamente los sismos moderados. En el caso de sismos
fuertes, se confía que hay suficiente ductilidad después de la primera fluencia para que la estructura
sobreviva sin colapsar. Para tener un comportamiento dúctil en secciones de hormigón armado, es
importante detallar cuidadosamente la colocación y los empalmes de las barras de acero. Los lugares
donde generalmente se presentan grandes problemas durante los terremotos son las intersecciones entre
vigas y columnas o entre columna y losas si el entrepiso no tiene vigas, por lo que es imperativo seguir las
recomendaciones existentes en los diferentes códigos de construcción para tener una buena ductilidad en
los elementos de hormigón armado.
1.9. Cargas vivas de servicio
Las cargas vivas a utilizar en el diseño de edificaciones y otras estructuras, deben ser las máximas cargas
que se espere que actúen de acuerdo al uso de la estructura, pero no menores a aquellas cargas
uniformemente distribuidas presentadas en el Anexo 5.
1.9.1. Divisiones y particiones
La carga muerta producida por muros divisorios y particiones de materiales tradicionales, cuando éstos no
son parte del sistema estructural, debe evaluarse para cada piso y se la puede utilizar como carga
distribuida sobre las losas. Tanto en la memoria de cálculo como en los planos debe detallarse las cargas
asumidas para el diseño. Cuando no se realice un análisis detallado pueden utilizarse, como mínimo,
3.0 [𝑘𝑁/𝑚2 ] para muros de ladrillo hueco de arcilla o concreto y 3.5 [𝑘𝑁/𝑚2 ] para ladrillo macizo de
arcilla u hormigón. Estos valores están con base a alturas libres de entrepiso de 2.20 [𝑚], pero si la altura
libre es mayor, se puede extrapolar proporcionalmente a la mayor altura. Como mínimo, para muros
divisorios y particiones ligeras, se debe considerar una carga de 0.72 [𝑘𝑁/𝑚2 ]. Cuando el muro está sobre
el elemento estructural o es parte del sistema estructural, su peso debe contabilizarse como peso propio del
elemento. El numeral 4.3.2 de la ASCE/SEI 7-10 indica que no se requiere una carga por particiones
cuando la carga viva de diseño está por encima de 3.83 [𝑘𝑁/𝑚2 ].
1.9.2. Cargas concentradas
Las losas de pisos, cubiertas y otras superficies similares deben ser diseñadas para soportar de una manera
segura las cargas del Anexo 5, distribuidas o concentradas, que produzcan el mayor efecto. A menos que
19
Diseño de estructuras de hormigón armado
se indique de otra manera, la carga concentrada es asumida que actúa de una manera uniformemente
distribuida en una superficie de 0.58 [𝑚2 ] y debe ser ubicada de manera de producir el máximo efecto en
los elementos estructurales.
1.9.3. Consideraciones para el impacto
En los valores de las cargas vivas del Anexo 5 están incluidos los efectos para condiciones ordinarias de
impacto. Pero, para cargas que producen condiciones inusuales de vibración e impacto se debe tomar los
recaudos necesarios.

Ascensores
Todas las cargas para ascensores deben ser incrementadas en un 100% por impacto y los soportes
estructurales deben ser diseñados para cumplir los requerimientos de deflexiones.

Maquinaria y equipo
Para propósitos de diseño el peso de maquinarias y cargas móviles debe ser incrementado de la siguiente
manera para considerar el impacto:
-
Montacargas y otras maquinarias que sirven como ascensores
Maquinaria liviana de transmisión a cardán o impulsada por motor
Maquinaria de movimiento alternativo o unidades de potencia
Tirantes para pisos y balcones
100%
20%
50%
33%
Todos los porcentajes pueden ser incrementados de acuerdo a las especificaciones del fabricante.
1.9.4. Reducción de la carga viva en pisos
La Sociedad Americana de Ingenieros Civiles, en su estándar ASCE/SEI 7-10, presenta un método para
realizar la reducción de las cargas vivas del Anexo 5 para cualquier elemento estructural, incluyendo losas
planas, que tenga un área de influencia 𝐴𝐼 igual o mayor a 37 [𝑚2 ].
𝐿 = 𝐿𝑜 ∙ (0.25 +
4.57
√𝐾𝐿𝐿 ∙ 𝐴 𝑇
)
Donde:
𝐴
𝐾𝐿𝐿 = 𝐴 𝐼 = Factor de carga viva para el elemento.
𝑇
𝐴 𝑇 = Area tributaria en [𝑚2 ].
𝐴𝐼 = Area de influencia en [𝑚2 ].
𝐿𝑜 = Carga viva de diseño no reducida que soporta el elemento en [𝑘𝑁/𝑚2 ] (ver Anexo 5).
𝐿 = Carga viva de diseño reducida que soporta el elemento en [𝑘𝑁/𝑚2 ].
20
(1.12)
Introducción al hormigón armado
La carga viva de diseño reducida 𝐿 no puede ser menor al 50% de la carga viva de diseño no reducida 𝐿𝑜
en elementos que soportan o reciben la carga de un sólo piso, ni menor al 40% en elementos que soportan
o reciben carga de dos o más pisos. Para elementos que soporten más de un piso deben sumarse las áreas
de influencia de los diferentes pisos. En la siguiente tabla se resume la relación entre el área de influencia
y el área tributaria 𝐾𝐿𝐿 para diferentes tipos de elementos estructurales.
Tipo de elemento estructural
𝑲𝑳𝑳 *
Columnas interiores
4
Columnas exteriores sin losa en voladizo
4
Columnas de borde con losa en voladizo
3
Columnas de esquina con losa en voladizo
2
Vigas de borde sin losa en voladizo
2
Vigas interiores
2
Otros elementos como:
 Vigas de borde con losa en voladizo
 Vigas en voladizo
 Losas en una dirección
1
 Losas en dos direcciones
 Elementos sin provisiones para la transferencia continua
del corte perpendicular a sus luces
* En vez de utilizar los valores de la tabla se puede calcular el valor de 𝐾𝐿𝐿

Cargas pesadas
Para cargas vivas por encima de 4.79 [𝑘𝑁/𝑚2 ] no se utiliza reducción alguna, excepto que se admite una
reducción del 20% de la carga viva para elementos que soportan dos o mas pisos.

Edificios de parqueos
La carga viva no se reduce en edificios de parqueos, excepto que se admite una reducción del 20% de la
carga viva para elementos que soportan dos o más pisos.

Estructuras de carácter público
Para cargas vivas iguales a 4.79 [𝑘𝑁/𝑚2 ] o menores, en edificaciones de carácter público, no se realiza
reducción alguna.

Limitaciones para losas en una dirección
El área tributaria 𝐴 𝑇 para losas en una dirección no debe ser mayor al área definida por la luz de la losa
multiplicada por un ancho (perpendicular a la luz) igual a 1.5 veces la luz de la losa.
21
Diseño de estructuras de hormigón armado
A
B
C
D
1
𝐴𝑇
2
𝐴𝐼
3
4
Fig. 1.4. Áreas tributaria y de influencia para la columna B2 del sistema de piso
A
B
C
D
1
𝐴𝑇
𝐴𝐼
2
3
4
Fig. 1.5. Áreas tributaria y de influencia para la columna D1 del sistema de piso
22
Introducción al hormigón armado
A
C
B
D
1
𝐴𝑇
𝐴𝐼
2
𝐴𝑇
𝐴𝐼
3
4
Fig. 1.6. Áreas tributaria y de influencia para las columnas A2 y D1 del sistema de piso
A
B
C
D
1
2
𝐴 𝑇 = 𝐴𝐼
3
4
Fig. 1.7. Áreas tributaria y de influencia para el panel B2-C3 del sistema de piso
23
Diseño de estructuras de hormigón armado
B
A
C
D
1
2
𝐴𝑇
𝐴𝐼
3
4
Fig. 1.8. Áreas tributaria y de influencia para la viga B2-B3 del sistema de piso
B
A
C
D
1
2
3
𝐴𝑇
𝐴𝐼
4
Fig. 1.9. Áreas tributaria y de influencia para la viga A3-A4 del sistema de piso
24
Introducción al hormigón armado
1.9.5. Reducción de la carga viva en techos
Las cargas vivas mínimas uniformemente repartidas para techos presentadas en la tabla del Anexo 5
pueden ser reducidas de acuerdo a los siguientes criterios:

Techos planos corrientes, inclinados y curvos
Los techos planos corrientes, inclinados y curvos pueden ser diseñados para la carga viva reducida de la
ecuación (1.13) u otra combinación de cargas que controle según lo discutido en la sección 1.8.1, la que
produzca la mayor carga. En estructuras como invernaderos donde, para el mantenimiento, se utilizan
andamios especiales como superficie de trabajo para los trabajadores y materiales, no es conveniente
utilizar cargas menores a la especificada por la ecuación (1.13) a menos que esa carga sea aprobada por la
autoridad que tenga jurisdicción. En ese tipo de estructuras se debe utilizar, como mínimo, una carga viva
de 0.58 [𝑘𝑁/𝑚2 ].
𝐿𝑟 = 𝐿𝑜 ∙ 𝑅1 ∙ 𝑅2
(1.13)
Con la condición de que 0.58 [𝑘𝑁/𝑚2 ] ≤ 𝐿𝑟 ≤ 0.96 [𝑘𝑁/𝑚2 ].
Donde:
𝐿𝑟 = Carga viva de techo reducida por metro cuadrado de proyección horizontal en [𝑘𝑁/𝑚2 ].
Los factores de reducción 𝑅1 y 𝑅2 son determinados de la siguiente manera:
Área tributaria [𝒎𝟐 ]
𝐴 𝑇 ≤ 18.58
18.58 < 𝐴 𝑇 < 55.74
𝐴 𝑇 ≥ 55.74
𝑹𝟏
1
1.2– 0.011 ∙ 𝐴 𝑇
0.6
𝑹𝟐
1
1.2 – 0.006 ∙ 𝐹
0.6
Pendiente 𝑭 [%]
𝐹 ≤ 33.33
33.33 < 𝐹 < 100
𝐹 ≥ 100
𝑓
𝑓
𝐿
𝐿
𝐹=
𝑓
∙ 266.67
𝐿
Arcos y domos
𝐹=
𝑓
∙ 100
𝐿
Techos planos, inclinados y curvos
Fig. 1.10. Cálculo de la pendiente 𝑭 para hallar el valor de 𝑹𝟐
25
Diseño de estructuras de hormigón armado

Techos para propósitos especiales
Las cargas vivas de techos que cubren espacios funcionales, como jardines, sala de reuniones u otros,
pueden ser reducidas considerando la reducción de carga viva para pisos.
1.10. Problemas propuestos
1. Indique las diferencias entre los métodos de las tensiones admisibles y el de la resistencia última.
2. ¿Por qué los factores de carga y de minoración de la resistencia no son todos iguales?
3. ¿Cuáles son los estados límites que uno debe considerar al diseñar una estructura en hormigón
armado?
4. ¿Por qué es importante la ductilidad en estructuras diseñadas en hormigón armado y que se encuentran
en zonas sísmicas?
5. Dibujar los diagramas de momento flector y esfuerzo cortante para la viga de hormigón armado de la
figura. Asumir que el hormigón solamente resiste esfuerzos de compresión y el acero esfuerzos de
tracción. Dibujar un esquema donde se indique la posición del refuerzo longitudinal.
180 [𝑘𝑁]
90 [𝑘𝑁/𝑚]
180 [𝑘𝑁]
6000 [𝑚𝑚]
10000 [𝑚𝑚]
6. Considere la viga continua que se muestra en la siguiente figura. Asumir que tiene una sección
rectangular con un ancho de 450 [𝑚𝑚] y una altura de 610 [𝑚𝑚], además el material tiene un
módulo de elasticidad de 27580 [𝑀𝑃𝑎]. La viga está sujeta a una carga muerta de servicio de
14.5 [𝑘𝑁/𝑚] uniformemente repartida sobre todas las luces y una carga viva de servicio uniforme de
17.5 [𝑘𝑁/𝑚] que se puede repartir de cualquier manera sobre la viga. No considerar en el análisis el
peso propio de la viga.
26
a)
Dibujar los diagramas de momento flector y esfuerzo cortante para la viga de hormigón armado
considerando todos los posibles estados y combinaciones de carga.
b)
Dibujar la envolvente de momentos flectores y esfuerzos cortantes, localizando los puntos de
inflexión.
Introducción al hormigón armado
c)
Dibujar un esquema donde se indique la posición del refuerzo longitudinal si se asume que el
hormigón solamente resiste esfuerzos de compresión y el acero esfuerzos de tracción.
Datos:
𝑤𝐷 = 14.5 [𝑘𝑁/𝑚]
Dimensiones en [𝑚𝑚]
𝑤𝐿 = 17.5 [𝑘𝑁/𝑚]
7300
8500
8500
7. La pila de hormigón armado de un puente soporta tres vigas de acero. Para cada estado de cargas
dibujar los diagramas de momento y corte en la viga. Determinar el máximo momento para el cual la
viga y la columna deben ser diseñadas.
Datos:
𝑃𝐷 = 160 [𝑘𝑁]
Dimensiones en [𝑚𝑚]
𝑃𝐿 = 180 [𝑘𝑁]
Estado de Carga 1.
𝑃𝐷 +𝑃𝐿
𝑃𝐷 +𝑃𝐿
1800
𝑃𝐷 +𝑃𝐿
1800
550
1850
450
1850
27
Diseño de estructuras de hormigón armado
Estado de Carga 2.
𝑃𝐷
𝑃𝐷 +𝑃𝐿
1800
𝑃𝐷 +𝑃𝐿
1800
550
1850
450
1850
Estado de Carga 3.
𝑃𝐷 +𝑃𝐿
𝑃𝐷 +𝑃𝐿
1800
𝑃𝐷
1800
550
1850
450
1850
8. Considere el pórtico que se muestra a continuación. Asumir que las vigas tienen una sección
rectangular con un ancho de 450 [𝑚𝑚] y una altura de 610 [𝑚𝑚], mientras que las columnas son
cuadradas de 610 [𝑚𝑚] de lado. El material tiene un módulo de elasticidad de 27580 [𝑀𝑃𝑎]. Las
vigas están sujetas a una carga muerta de servicio uniforme de 14.5 [𝑘𝑁/𝑚] repartida sobre todas las
luces y una carga viva de servicio uniforme de 17.5 [𝑘𝑁/𝑚] que se puede repartir de cualquier
manera sobre las vigas. No considerar en el análisis el peso propio de la estructura.
28
a)
Dibujar los diagramas de momento flector y esfuerzo cortante para el pórtico de hormigón armado
considerando todos los posibles estados y combinaciones de carga.
b)
Dibujar la envolvente de momentos flectores y esfuerzos cortantes localizando los puntos de
inflexión.
Introducción al hormigón armado
c)
Dibujar un esquema donde se indique la posición del refuerzo longitudinal si se asume que el
hormigón solamente resiste esfuerzos de compresión y el acero esfuerzos de tracción.
Datos:
𝑤𝐷 = 14.5 [𝑘𝑁/𝑚]
𝑤𝐿 = 17.5 [𝑘𝑁/𝑚]
Dimensiones en [𝑚𝑚]
6000
8500
7300
9. Determinar la carga última en una columna de sección cuadrada de 300 [𝑚𝑚] de lado y de una
longitud de 3000 [𝑚𝑚] que soporta las siguientes cargas de servicio:
Carga muerta:
Carga viva:
Carga de terremoto:
Compresión (+)
Tracción (-)
𝐷 = 300 [𝑘𝑁]
𝐿 = 150 [𝑘𝑁]
𝐸 = ±50 [𝑘𝑁]
29
CAPÍTULO 2
CARACTERÍSTICAS MECÁNICAS DE LOS MATERIALES
2. Características mecánicas de los materiales
2.1. Hormigón
2.1.1. Comportamiento del hormigón bajo diferentes tipos de esfuerzos

Comportamiento bajo esfuerzo uniaxial
Bajo condiciones prácticas, el hormigón casi nunca es esforzado en una sola dirección, ya que en la
mayoría de las estructuras éste se encuentra esforzado en varias direcciones. Pero, la condición de
esfuerzo en una sola dirección es sencilla de analizar y proporciona resultados útiles para el diseño de
estructuras en hormigón.

Comportamiento bajo esfuerzo de compresión
La resistencia del hormigón a la compresión es usualmente obtenida de cilindros con la relación
altura/diámetro igual a 2. Los cilindros son cargados longitudinalmente a una velocidad de deformación
pequeña de tal modo que se alcanza la tensión máxima en 2 o 3 minutos. La dimensión normal del
cilindro estándar es de 12 [𝑝𝑢𝑙𝑔. ] (305 [𝑚𝑚]) de alto y 6 [𝑝𝑢𝑙𝑔. ] (152 [𝑚𝑚]) de diámetro. La
resistencia a la compresión que se alcanza a los 28 días varía entre 13.8 [𝑀𝑃𝑎] y 55.2 [𝑀𝑃𝑎]
dependiendo de las características de los agregados, relación agua/cemento, etc., de la mezcla de
hormigón. Algunas veces se utilizan también cilindros pequeños o cubos, los cuales dan una resistencia a
la compresión mayor, pero que puede ser convertida en resistencia equivalente de cilindros estándar.
El módulo de elasticidad para el hormigón puede ser calculado con la siguiente fórmula:
𝐸𝑐 = 44 ∙ 𝑤𝑐 1.5 ∙ √𝑓𝑐′ [𝑀𝑃𝑎]
(2.1)
𝑤𝑐 = Peso unitario del hormigón en [𝑘𝑁/𝑚3 ].
𝑓𝑐′ = Resistencia característica cilíndrica de compresión a los 28 días en [𝑀𝑃𝑎].
31
Diseño de estructuras de hormigón armado
Para hormigón de densidad normal (𝑤𝑐 = 22.5 [𝑘𝑁/𝑚3 ]).
𝐸𝑐 = 4700 ∙ √𝑓𝑐′ [𝑀𝑃𝑎]
(2.2)
La ecuación (2.1) fue determinada utilizando cargas de corta duración y es válida para valores, del peso
unitario del hormigón, que están entre el rango de 14.1 [𝑘𝑁/𝑚3 ] y 24.3 [𝑘𝑁/𝑚3 ]. Asimismo, esa
ecuación proporciona el módulo secante del hormigón a un esfuerzo de aproximadamente 0.5 · 𝑓𝑐′.
Esfuerzo en el
hormigón [𝑀𝑃𝑎]
80
60
40
20
0.001
0.002
0.003
0.004
Deformación en el hormigón
Fig. 2.1. Curvas esfuerzo-deformación para cilindros de hormigón cargados uniaxialmente
En la figura 2.1 se observa que el comportamiento del hormigón bajo carga axial es no lineal, salvo para
valores bajos de deformación o hasta aproximadamente la mitad del esfuerzo máximo a la compresión,
donde se podría asumir que el hormigón se comporta como un material elástico lineal.
32
Características mecánicas de los materiales
Aproximadamente, para una deformación del 0.002 el hormigón alcanza su máximo esfuerzo a la
compresión.
Para la representación de la curva esfuerzo-deformación varios autores han propuesto funciones
matemáticas que tratan de representar aproximadamente la forma de la curva real. Entre las funciones más
conocidas está el modelo de Hognestad que se muestra en la figura 2.2.
Esfuerzo 𝑓𝑐
𝑓𝑐′′
0.15 ∙ 𝑓𝑐′′
Lineal
𝑓𝑐 = 𝑓𝑐′′ ∙ [
2 ∙ 𝜀𝑐
𝜀𝑐 2
−( ) ]
𝜀0
𝜀0
𝐸𝑐 = 𝑡𝑎𝑛 ∝
𝛼
𝜀0 =
2 ∙ 𝑓𝑐′′
𝐸𝑐
0.0038
Deformación 𝜀𝑐
Fig. 2.2. Curva esfuerzo-deformación de Hognestad para hormigón cargado uniaxialmente
El esfuerzo 𝑓𝑐′′ es el máximo esfuerzo que se alcanza en el hormigón. Este esfuerzo puede diferir de la
resistencia cilíndrica 𝑓𝑐′ debido a la diferencia en tamaño y forma del hormigón comprimido.
Cuando la carga es aplicada a una velocidad rápida de deformación, el módulo de la elasticidad y la
resistencia del hormigón se incrementan.

Comportamiento bajo esfuerzo de tracción
La resistencia del hormigón a esfuerzos de tracción está generalmente por debajo del 20% de su
resistencia a la compresión. Sin embargo, debido a la dificultad de sujetar las probetas y a las
incertidumbres de tensiones secundarias inducidas por los aparatos de sujeción, el ensayo de tracción
directa no es realizado.
33
Diseño de estructuras de hormigón armado
La resistencia del hormigón a esfuerzos de tracción puede ser medida indirectamente en términos del
esfuerzo de tracción que fractura un cilindro de hormigón colocado horizontalmente y cargado a lo largo
de su diámetro.
𝑑
ℎ
Tensión
Compresión
𝑃
𝑓1
𝑓1
𝑓2
𝑓2
Distribución de tensiones
en el diámetro
𝑃
Fig. 2.3. Determinación de la resistencia a la tracción del hormigón
El esfuerzo de tracción a través del diámetro en el momento de la rotura es:
𝑓𝑐𝑡 =
2∙𝑃
𝜋∙ℎ∙𝑑
(2.3)
La resistencia del hormigón a esfuerzos de tracción también puede ser calculada por ensayos a la flexión
en vigas de hormigón simple. Estas vigas son normalmente de sección cuadrada (150 [𝑚𝑚] de lado). La
resistencia a la tracción en flexión es conocida como el módulo de ruptura 𝑓𝑟 . Este módulo es calculado
utilizando la conocida fórmula del esfuerzo por flexión 𝑀/𝑆.
34
Características mecánicas de los materiales
𝐿/3
𝑃
𝐿/3
𝑃
𝐿/3
+
-
“𝑉”
“𝑀”
”
Región de flexión pura
Fig. 2.4. Ensayo de la viga para determinar la resistencia a la tracción del hormigón
𝑓𝑟 =
𝑀 6∙𝑀
=
𝑆 𝑏 ∙ ℎ2
(2.4)
Donde:
𝑀 = Momento flector al momento de la falla.
𝑆 = Módulo de la sección transversal.
La viga utilizada para determinar la resistencia a la tracción del hormigón es generalmente de 600 [𝑚𝑚]
de longitud y de sección cuadrada de lado 150 [𝑚𝑚].
La resistencia por el ensayo de rotura del cilindro está entre el 50% y el 70% del valor del módulo de
rotura. Esta diferencia se debe mayormente a la distribución de tensiones en el hormigón del elemento a
flexión debido a que ésta es no lineal en el momento de falla.
El módulo de ruptura 𝑓𝑟 puede ser correlacionado con la resistencia cilíndrica a la compresión 𝑓𝑐′ mediante
la siguiente ecuación:
𝑓𝑟 = 𝐾 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ [𝑀𝑃𝑎]
(2.5)
Para hormigones normales 𝐾 varía entre 0.58 y 1.08; en consecuencia el código ACI en su sección
19.2.3.1 recomienda tomar 0.62 como un valor conservador.
𝑓𝑟 = 0.62 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ [𝑀𝑃𝑎]
(2.6)
35
Diseño de estructuras de hormigón armado
Donde:
𝜆 = Factor que considera las propiedades mecánicas reducidas de hormigones de peso liviano, relativa a
los hormigones de peso normal de igual resistencia a la compresión (ACI 19.2.4).
Por la anterior ecuación es evidente que un incremento en la resistencia de compresión del hormigón, no
da como resultado un incremento proporcional en el valor del módulo de ruptura. Debido a la baja
resistencia a la tracción del hormigón, el hormigón en tracción es generalmente ignorado en el cálculo de
la resistencia de elementos de hormigón armado. Sin embargo, si por alguna razón se decide tomarla en
cuenta, la curva tensión - deformación puede ser idealizada como una línea recta hasta la resistencia
última a la tracción. Dentro de este rango, el módulo de elasticidad en tracción puede ser asumido igual al
de compresión.

Comportamiento bajo cargas cíclicas
Si el hormigón se descarga antes de alcanzar el esfuerzo máximo, la respuesta de descarga será
prácticamente lineal, con una pendiente cercana a 𝐸𝑐𝑡 , módulo de elasticidad tangencial, representado por
la línea AB de la figura 2.5. Si se vuelve a cargar la probeta de hormigón, la respuesta alcanzará la curva
original. La envolvente de la curva a la respuesta de carga cíclica es prácticamente idéntica a la que se
obtendría por la aplicación de una carga monotónica continua.
El hormigón tiene una buena capacidad para resistir varios ciclos de carga repetida. En consecuencia, la
resistencia a la fatiga en estructuras de hormigón precomprimido estará controlada por la fatiga de la
armadura y no del hormigón.
Esfuerzo 𝑓𝑐
Curva típica 𝑓𝑐 − 𝜀𝑐
del hormigón bajo
carga monotónica
A’
A
𝐸𝑐𝑡
B
Curva típica 𝑓𝑐 − 𝜀𝑐
del hormigón bajo
carga cíclica
𝐸𝑐𝑡
B’
Deformación 𝜀𝑐
Fig. 2.5. Respuesta del hormigón a carga cíclica con reversión en compresión solamente
𝐸𝑐𝑡
36
Características mecánicas de los materiales

Influencia de la velocidad de carga
Si se preparan tres probetas con la misma mezcla de hormigón y se las conserva en las mismas
condiciones por cierto lapso de tiempo, por ejemplo un año para luego ensayarlas a tres diferentes
velocidades de carga, los resultados obtenidos para las curvas esfuerzo-deformación serían similares a las
mostradas en la figura 2.6. Lo que más llama la atención en la figura es la diferencia en resistencias de los
tres ensayos. Cuando la carga se aplica rápidamente (en unos segundos) la resistencia de la probeta se
incrementa en aproximadamente un 20% con respecto a la resistencia de la probeta ensayada de manera
estándar, mientras que si la carga se aplica muy lentamente (en unos meses), la resistencia se ve reducida
en un porcentaje similar.
Por lo general, en el diseño de estructuras de hormigón armado se toma la resistencia del hormigón a los
28 días y se ignora la disminución que ésta sufre a causa de la aplicación de las cargas a largo plazo
debido al sistema constructivo que se utiliza. Sin embargo, también suele ignorarse la ganancia en
resistencia que el hormigón experimenta a medida que transcurre el tiempo.
Dado que el hormigón usualmente gana una resistencia entre 20% a 40% por encima de la que
corresponde a los 28 días (hidratación después de este período), esto implica que ambas suposiciones
tienden a compensarse y por lo tanto en general las hipótesis de diseño son seguras en este aspecto.
Esfuerzo 𝑓𝑐
Algunos segundos
𝑓𝑐
Algunos minutos
Algunos meses
Deformación 𝜀𝑐
Fig. 2.6. Influencia de la velocidad de carga en la curva tensión-deformación del hormigón
37
Diseño de estructuras de hormigón armado
Ganancia de resistencia del hormigón
después de los 28 días
1,3
1,2
1,1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Edad del hormigón en meses
Fig. 2.7. Incremento de resistencia del hormigón con el tiempo después de los 28 días
Porcentaje de resistencia con respecto a
la resistencia a los 28 días
100
90
80
70
60
50
a/c = 0,4
40
a/c = 0,6
30
a/c = 0,8
20
10
0
1
4
7
10
13
16
19
22
25
28
Edad del hormigón en días
Fig. 2.8. Incremento de resistencia con el tiempo de hormigones con diferentes relaciones a/c
38
Características mecánicas de los materiales
Con base a los valores que recomienda el código de práctica del Reino Unido se ha elaborado la curva de
la figura 2.7 donde se puede apreciar que la resistencia del hormigón aumenta con el transcurso del
tiempo.
La figura 2.8 ha sido elaborada con base a los resultados obtenidos por la Asociación del Cemento
Portland y en ella se aprecia que los hormigones con baja relación agua/cemento aumentan de resistencia
más rápidamente que los hormigones que han sido fabricados con valores altos de la relación
agua/cemento. Para el diseño de mezclas de hormigón es necesario realizar numerosas pruebas con varios
tipos y cantidades de agregado y cemento, por lo que se acostumbra preparar cilindros de prueba con las
dosificaciones propuestas y romper probetas antes de los 28 días (generalmente a los tres o siete días) y
con los resultados obtenidos se puede predecir, utilizando curvas como las de la figura 2.8, la resistencia
que ese hormigón alcanzará a los 28 días. Por ejemplo, si la relación agua/cemento es fijada en 0.4, un
hormigón que debe tener una resistencia característica a los 28 días de 20 [𝑀𝑃𝑎], deberá alcanzar a los
tres y siete días resistencias aproximadas de 11 [𝑀𝑃𝑎] (53% de 𝑓𝑐′ ) y de 16 [𝑀𝑃𝑎] (78% de 𝑓𝑐′ ),
respectivamente.

Módulo de Poisson
La relación entre la deformación transversal y la deformación en la dirección de la carga uniaxial aplicada
es llamada módulo de Poisson que varía entre 0.15 y 0.20 para hormigón. No existe información todavía
sobre la variación del módulo de Poisson con respecto a las propiedades del hormigón, pero se considera
que para hormigones de alta resistencia el módulo de Poisson es más bajo.
Esfuerzo⁄Resistencia
1,0
0,8
0,6
Deformación
transversal
0,4
Deformación
longitudinal
0,2
Tracción
Compresión
0,0
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
Deformaciones ∙ 10−4
Fig. 2.9. Deformaciones longitudinales y transversales medidas en una probeta
de hormigón sometida a compresión uniaxial
39
Diseño de estructuras de hormigón armado
Para esfuerzos de compresión elevados, las deformaciones transversales se incrementan rápidamente, lo
cual concuerda con la fisuración que se presenta, en el interior de la probeta, en las fibras paralelas a la
dirección la carga. La figura 2.9 muestra las deformaciones medidas en una probeta ensayada en
compresión hasta la rotura. Durante la mayor parte del rango de cargas el volumen del espécimen decrece,
pero cuando se alcanzan esfuerzos elevados, cercanos a la resistencia a compresión de la probeta, las
deformaciones transversales se vuelven tan altas que el volumen de la probeta comienza a crecer, lo cual
es un indicador de que la resistencia a compresión está siendo alcanzada.
La falla de una probeta cargada uniaxialmente en compresión generalmente va seguida por el alejamiento
de las fibras paralelas cargadas y un incremento de volumen. Este tipo de falla es el que ha sugerido la
concepción del hormigón armado confinado a través de la armadura transversal (estribos o espirales) que
actúa como zuncho ante la expansión de la masa de hormigón en esa dirección y que modifica
substancialmente la respuesta.
2.1.2. Cambios volumétricos dependientes del tiempo

Fluencia del hormigón
La fluencia es una deformación que se produce en el hormigón cuando éste se halla sometido a esfuerzos
permanentes de compresión. Como la fluencia es una deformación que depende del tiempo, ésta puede
llegar a ser mucho mayor que la deformación elástica inicial.
Deformación
Espécimen cargado permanentemente
Carga removida
Recuperación elástica
Fluencia
Recuperación por fluencia
Deformación
elástica
Deformación permanente
Tiempo
Fig. 2.10. Curva típica de fluencia para hormigón sometido a esfuerzo
axial constante de compresión
La resistencia de una estructura en general no se ve afectada por la fluencia, pero puede existir una
redistribución interna de esfuerzos (momentos, cortes, etc.) entre los elementos para las cargas de servicio.
Además, debido a la fluencia las deflexiones bajo cargas de servicio tenderán a aumentar.
40
Características mecánicas de los materiales
El valor de la deformación por fluencia depende de la composición del hormigón, el medio ambiente y la
curva tensión - tiempo (curva que indica la forma en que ha sido cargado el elemento).
Para el cálculo de las deformaciones por fluencia existen diferentes métodos empíricos, de los cuales los
más usados son los propuestos por los códigos ACI 209R-92 (aprobado nuevamente el 2008) y el CEB.
Los métodos calculan el coeficiente de fluencia de hormigón 𝐶𝑡 como una función de varias variables. El
coeficiente de fluencia 𝐶𝑡 relaciona la deformación por fluencia con la deformación elástica inicial. De
acuerdo al código ACI, para hormigones normales o aligerados curados al vapor o con humedad y
utilizando cementos Tipo I (Cemento Portland normal) o III (Cemento Portland de alta resistencia), el
coeficiente de fluencia es:
𝐶𝑡 = 𝐶𝑢 ∙ 𝐾𝑡 ∙ 𝐾𝑎 ∙ 𝐾ℎ ∙ 𝐾𝑡ℎ ∙ 𝐾𝑠 ∙ 𝐾𝑓 ∙ 𝐾𝑒 =
𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑙𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
(2.7)
Según la ecuación anterior la deformación por fluencia está en función de la deformación elástica inicial,
por lo tanto el coeficiente 𝐶𝑡 es solamente un amplificador de la deformación elástica inicial.
-
Coeficiente último de fluencia 𝑪𝒖:
El valor de 𝐶𝑢 tiene gran variación (1.30 a 4.15), con un valor promedio de 2.35. Este valor promedio
sólo debería usarse en la ausencia de un valor más preciso para el hormigón.
-
Coeficiente de tiempo de carga 𝑲𝒕 :
Este coeficiente toma en cuenta el tiempo para el cual se desea conocer la deformación por fluencia del
elemento.
𝑡 0.6
𝐾𝑡 =
10 + 𝑡 0.6
(2.8)
𝑡 = Tiempo en días después de la aplicación de la carga
𝒕 [𝒅í𝒂𝒔]
𝑲𝒕
𝒕 [𝒅í𝒂𝒔]
𝑲𝒕
0
0.00
70
0.56
10
0.28
80
0.58
20
0.38
90
0.60
30
0.43
180
0.69
40
0.48
360
0.77
50
0.51
1800
0.90
60
0.54
3600
0.93
41
Diseño de estructuras de hormigón armado
1,00
0,90
0,80
0,70
𝐾𝑡 0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
Tiempo [𝑑í𝑎𝑠]
Fig. 2.11. Variación del coeficiente 𝑲𝒕 con respecto al tiempo
-
Coeficiente de edad cuando se aplica la carga por primera vez 𝑲𝒂 :
Este coeficiente considera la edad que tenía el elemento cuando por primera vez fue sometido a carga.
Para tener una mayor precisión en el cálculo de la deformación por fluencia, en éste coeficiente se
considera el tipo de curado utilizado para el elemento de hormigón.
Para hormigón curado con humedad:
𝐾𝑎 = 1.25 ∙ 𝑡𝑖−0.118
(2.9)
Para hormigón curado al vapor:
𝐾𝑎 = 1.13 ∙ 𝑡𝑖−0.094
(2.10)
𝑡𝑖 = Edad del hormigón en días cuando la carga es aplicada por primera vez.
42
Tiempo
Curado a humedad
Curado a vapor
𝒕 [𝒅í𝒂𝒔]
𝑲𝒂
𝑲𝒂
1a3
1.00
1.00
10
0.95
0.91
20
0.88
0.85
30
0.84
0.82
40
0.81
0.80
50
0.79
0.78
60
0.77
0.77
Características mecánicas de los materiales
Tiempo
Curado a humedad
Curado a vapor
𝒕 [𝒅í𝒂𝒔]
𝑲𝒂
𝑲𝒂
70
0.76
0.76
80
0.75
0.75
90
0.74
0.74
1,05
1,00
Curado a
humedad
0,95
𝐾𝑎 0,90
0,85
0,80
Curado
a vapor
0,75
0,70
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Tiempo [𝑑í𝑎𝑠]
Fig. 2.12. Variación del coeficiente 𝑲𝒂 con respecto al tiempo
-
Coeficiente de humedad relativa 𝑲𝒉:
Este coeficiente considera la humedad relativa del ambiente del lugar donde se encuentra ubicada la
estructura o elemento bajo consideración.
Para 𝐻 ≤ 40%:
𝐾ℎ = 1.0
(2.11)
Para 𝐻 > 40%:
𝐾ℎ = 1.27 − 0.0067 ∙ 𝐻
(2.12)
𝐻 = Humedad relativa en porcentaje
𝑯𝒖𝒎𝒆𝒅𝒂𝒅 %
𝑲𝒉
10
1.00
20
1.00
30
1.00
43
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑯𝒖𝒎𝒆𝒅𝒂𝒅 %
𝑲𝒉
40
1.00
50
0.94
60
0.87
70
0.80
80
0.73
90
0.67
100
0.60
1,10
1,00
0,90
𝐾ℎ 0,80
0,70
0,60
0,50
0,40
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
Humedad [%]
Fig. 2.13. Variación del coeficiente 𝑲𝒉 con respecto a la humedad
-
Coeficiente de espesor promedio del elemento 𝑲𝒕𝒉:
Este coeficiente toma en cuenta el espesor mínimo de la sección del elemento bajo estudio. Para espesores
distintos se puede interpolar o extrapolar.
Para ℎ ≤ 150 [𝑚𝑚]:
𝐾𝑡ℎ = 𝑣𝑒𝑟 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎
(2.13)
Para 150 [𝑚𝑚] < ℎ ≤ 400 [𝑚𝑚] y durante el primer año:
𝐾𝑡ℎ = 1.14 − 0.00092 ∙ ℎ
(2.14)
Para 150 [𝑚𝑚] < ℎ ≤ 400 [𝑚𝑚] y para el valor último:
𝐾𝑡ℎ = 1.10 − 0.00067 ∙ ℎ
(2.15)
44
Características mecánicas de los materiales
Espesor
Primer año
Valor último
𝒉[𝒎𝒎]
𝑲𝒕𝒉
𝑲𝒕𝒉
50
1.30
1.30
75
1.17
1.17
100
1.11
1.11
125
1.04
1.04
150
1.00
1.00
200
0.96
0.97
250
0.91
0.93
300
0.86
0.90
350
0.82
0.87
400
0.77
0.83
1,40
1,30
1,20
Para calcular
valores últimos
1,10
𝐾𝑡ℎ
1,00
0,90
Durante el primer
año después de
aplicada la carga
0,80
0,70
0,60
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Espesor [𝑚𝑚]
Fig. 2.14. Variación del coeficiente 𝑲𝒕𝒉 con respecto al espesor promedio del elemento
-
Coeficiente de revenimiento del hormigón 𝑲𝒔 :
Este coeficiente considera el revenimiento que tuvo la mezcla de hormigón en el momento de su
colocación. Por lo tanto, toma en cuenta de forma indirecta la cantidad original de agua en la mezcla de
hormigón o lo que también podría ser la relación agua – cemento en la dosificación.
𝐾𝑠 = 0.82 + 0.00264 ∙ 𝑆
(2.16)
45
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝐾𝑠
Revenimiento 𝑺 [𝒎𝒎]
𝑲𝒔
50
0.95
75
1.02
100
1.08
125
1.15
150
1.22
175
1.28
200
1.35
1,40
1,35
1,30
1,25
1,20
1,15
1,10
1,05
1,00
0,95
0,90
25
50
75
100
125
150
175
200
225
Revenimiento [𝑚𝑚]
Fig. 2.15. Variación del coeficiente 𝑲𝒔 con respecto al revenimiento del hormigón
Coeficiente de contenido de finos 𝑲𝒇 :
Este coeficiente considera la cantidad de agregado fino (arena) en la mezcla de hormigón.
𝐾𝑓 = 0.88 + 0.0024 ∙ % 𝑓𝑖𝑛𝑜𝑠
46
(2.17)
% 𝒇𝒊𝒏𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒑𝒆𝒔𝒐
𝑲𝒇
30
0.95
35
0.96
40
0.98
45
0.99
50
1.00
Características mecánicas de los materiales
% 𝒇𝒊𝒏𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒑𝒆𝒔𝒐
𝑲𝒇
55
1.01
60
1.02
65
1.04
70
1.05
1,05
1,03
𝐾𝑓
1,01
0,99
0,97
0,95
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
% 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑜
Fig. 2.16. Variación del coeficiente 𝑲𝒇 con respecto al porcentaje de agregado fino en el hormigón
-
Coeficiente de contenido de aire 𝑲𝒆 :
Este coeficiente considera el porcentaje de aire en la mezcla de hormigón.
𝐾𝑒 = 0.46 + 0.09 ∙ %𝑎𝑖𝑟𝑒 ≥ 1.00
(2.18)
% 𝒅𝒆 𝒂𝒊𝒓𝒆
𝑲𝒆
1
1.00
2
1.00
3
1.00
4
1.00
5
1.00
6
1.00
7
1.09
8
1.18
47
Diseño de estructuras de hormigón armado
% 𝒅𝒆 𝒂𝒊𝒓𝒆
𝑲𝒆
9
1.27
10
1.36
1,50
1,40
𝐾𝑒 1,30
1,20
1,10
1,00
0,90
1
2
3
4
5
6
% 𝑑𝑒 𝑎𝑖𝑟𝑒
7
8
9
10
Fig. 2.17. Variación del coeficiente 𝑲𝒆 con respecto al porcentaje de aire en el hormigón
El coeficiente por contenido de cemento en la mezcla de hormigón no necesita ser tomado en cuenta
cuando la cantidad de cemento varía entre 280 [𝑘𝑔𝑓] y 445 [𝑘𝑔𝑓] por metro cúbico de hormigón.
Factores que afectan la fluencia
Factores Internos (Composición del hormigón)
Si el factor
La fluencia
Agregados (concentración y dureza)


Relación agua/cemento


Permeabilidad del agregado


Fluencia del agregado


Granulometría y distribución del agregado


Contenido de finos en la mezcla de hormigón


Contenido de aire en la mezcla de hormigón


Contenido de cemento


Si el factor
La fluencia
Sección transversal del elemento


Medio ambiente (Humedad y Temperatura)


Intensidad del esfuerzo


Edad del elemento cuando se aplica la carga


Factores Externos (Medio ambiente e historial de carga)
48
Características mecánicas de los materiales
Ejemplo. Estimar la deformación por fluencia que se puede esperar que ocurra en un muro de hormigón
de 300 [𝑚𝑚] de espesor cargado a la edad de 10 [𝑑í𝑎𝑠] por un periodo de 5 [𝑎ñ𝑜𝑠] a una humedad
relativa de 60%. El hormigón tiene un revenimiento de 75 [𝑚𝑚], un contenido de finos del 34% por
peso, un contenido de aire de 5% y curado con humedad. El esfuerzo de compresión es constante y es
producido por las cargas de servicio.
Coeficiente
Coeficiente último de fluencia
Coeficiente de tiempo de carga
Coeficiente de edad cuando se aplica la carga por primera vez
Coeficiente de humedad relativa
Coeficiente de espesor promedio del elemento
Coeficiente de revenimiento del hormigón
Coeficiente de contenido de finos
Coeficiente de contenido de aire
Símbolo
𝐶𝑢
𝐾𝑡
𝐾𝑎
𝐾ℎ
𝐾𝑡ℎ
𝐾𝑠
𝐾𝑓
𝐾𝑒
Valor
2.35
0.90
0.95
0.87
0.90
1.02
0.96
1.00
𝐶𝑡 = 2.35 ∙ 0.90 ∙ 0.95 ∙ 0.87 ∙ 0.90 ∙ 1.02 ∙ 0.96 ∙ 1.00 = 1.54
La deformación probable por fluencia es 1.54 veces mayor a la deformación elástica inicial.

Retracción del hormigón
El hormigón se retrae cuando pierde humedad por evaporación. A diferencia de las deformaciones por
fluencia, las deformaciones por retracción son independientes de las condiciones de esfuerzo en el
hormigón. Estas deformaciones, si son restringidas, pueden causar fisuras en el hormigón y en general
incrementan las deflexiones de los elementos con el tiempo. Es siempre necesario prever un refuerzo de
acero, llamado comúnmente “refuerzo por retracción y temperatura”, cuya principal función es la de
controlar las posibles fisuras que aparecen en las superficies de hormigón debidas a cambios de
temperatura y pérdidas de humedad de la mezcla.
Deformación
por retracción
𝑡𝑜
Tiempo
Fig. 2.18. Variación de la retracción del hormigón con el tiempo
49
Diseño de estructuras de hormigón armado
El tiempo 𝑡𝑜 es el tiempo en el que el hormigón es expuesto a un ambiente seco o el tiempo que transcurre
desde su vaciado hasta el momento en que se termina el periodo de curado del elemento.
La velocidad de deformación por retracción disminuye con el tiempo. La deformación final por retracción
varía entre 0.0002 y 0.0006, pero puede llegar a veces hasta 0.0010.
La retracción es en gran medida un fenómeno reversible porque si el hormigón es saturado con agua
después de que se ha retraído, éste se expandirá hasta casi su volumen original. Por lo tanto, la variación
en las condiciones de humedad causará cambios de volumen alternados del hormigón. Este fenómeno es
en parte responsable de los cambios en las deflexiones de las estructuras (puentes de hormigón) expuestas
todo el año a los cambios de estación. Como regla, un hormigón que exhibe una deformación grande por
fluencia, también tendrá una deformación grande por retracción. Por lo tanto, la magnitud de la
deformación por retracción depende de la composición del hormigón y del medio ambiente, de la misma
manera que la deformación por fluencia.
Para el cálculo de las deformaciones por retracción existen diferentes métodos empíricos, de los cuales los
más usados son los propuestos por la ACI 209R-92 (aprobado nuevamente el 2008) y el CEB.
De acuerdo al código ACI, para hormigones normales o aligerados curados al vapor o con humedad y
utilizando cementos Tipo I (Cemento Portland normal) o III (Cemento Portland de alta resistencia), la
deformación por retracción no restringida en el tiempo 𝑡 es:
𝜀𝑠𝑛 = 𝜀𝑠ℎ𝑢 ∙ 𝑆𝑡 ∙ 𝑆ℎ ∙ 𝑆𝑡ℎ ∙ 𝑆𝑠 ∙ 𝑆𝑓 ∙ 𝑆𝑒 ∙ 𝑆𝑐
-
(2.19)
Deformación última por retracción 𝜺𝒔𝒉𝒖 :
La deformación última por retracción 𝜀𝑠ℎ𝑢 varía entre 0.000415 y 0.00107 con un valor promedio de
0.00078 para hormigones curados, indistintamente, con humedad o vapor. Este valor debería usarse
solamente en la ausencia de valores más exactos para el hormigón.
-
Coeficiente de tiempo de retracción 𝑺𝒕 :
Este coeficiente toma en cuenta el tiempo para el cual se desea conocer la deformación por retracción del
elemento.
Por regla general, un elemento de hormigón debe ser curado por un lapso no menor a 7 días o de 1 a 3
días desde su vaciado cuando se realiza el curado con humedad y a vapor, respectivamente.
Para cualquier tiempo después de 7 días en hormigón curado con humedad
𝑆𝑡 =
𝑡
35 + 𝑡
𝑡 = Tiempo en días desde los 7 días
50
(2.20)
Características mecánicas de los materiales
Para cualquier tiempo después de 1 a 3 días en hormigón curado al vapor
𝑆𝑡 =
𝑡
55 + 𝑡
(2.21)
𝑡 = Tiempo en días desde 1 a 3 días
𝑆𝑡
Tiempo
Curado a humedad
Curado a vapor
𝒕 [𝒅í𝒂𝒔]
𝑺𝒕
𝑺𝒕
10
0.22
0.15
20
0.36
0.27
30
0.46
0.35
40
0.53
0.42
50
0.59
0.48
60
0.63
0.52
70
0.67
0.56
80
0.70
0.59
90
0.72
0.62
180
0.84
0.77
360
0.91
0.87
1800
0.98
0.97
3600
0.99
0.98
1,10
1,00
0,90
0,80
0,70
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
Curado a
humedad
0
500
Curado
a vapor
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
Tiempo [𝑑í𝑎𝑠]
Fig. 2.19. Variación del coeficiente St con respecto al tiempo
1, 10
0,90
0,70
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
10 0
51
Diseño de estructuras de hormigón armado
-
Coeficiente de humedad relativa 𝑺𝒉 :
Este coeficiente considera la humedad relativa del ambiente del lugar donde se encuentra ubicada la
estructura o elemento bajo consideración.
Para 𝐻 ≤ 40%:
𝑆ℎ = 1.0
(2.22)
Para 40% < 𝐻 ≤ 80%:
𝑆ℎ = 1.4 − 0.0102 ∙ 𝐻
(2.23)
Para 80% < 𝐻 ≤ 100%:
𝑆ℎ = 3.0 − 0.03 ∙ 𝐻
(2.24)
𝐻 = Humedad relativa en porcentaje
52
Humedad %
𝑺𝒉
10
1.00
20
1.00
30
1.00
40
1.00
50
0.89
60
0.79
70
0.69
80
0.58
90
0.30
100
0.00
Características mecánicas de los materiales
1,20
1,00
0,80
𝑆ℎ
0,60
0,40
0,20
0,00
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
Humedad [%]
Fig. 2.20. Variación del coeficiente 𝑺𝒉 con respecto a la humedad
-
Coeficiente de espesor promedio del elemento 𝑺𝒕𝒉 :
Este coeficiente toma en cuenta el espesor mínimo de la sección del elemento bajo estudio. Para espesores
distintos se puede interpolar o extrapolar.
Para ℎ  150 [𝑚𝑚]:
𝑆𝑡ℎ = 𝑣𝑒𝑟 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎
(2.25)
Para 150 [𝑚𝑚] < ℎ ≤ 400 [𝑚𝑚] y durante el primer año:
𝑆𝑡ℎ = 1.23 − 0.0015 ∙ ℎ
(2.26)
Para 150 [𝑚𝑚] < ℎ ≤ 400 [𝑚𝑚] y para el valor último:
𝑆𝑡ℎ = 1.17 − 0.00114 ∙ ℎ
(2.27)
Espesor
Primer año
Valor último
𝒉 [mm]
𝑺𝒕𝒉
𝑺𝒕𝒉
50
1.35
1.35
75
1.25
1.25
100
1.17
1.17
125
1.08
1.08
150
1.00
1.00
200
0.93
0.94
250
0.86
0.89
300
0.78
0.83
53
Diseño de estructuras de hormigón armado
Espesor
Primer año
Valor último
𝒉 [mm]
𝑺𝒕𝒉
𝑺𝒕𝒉
350
0.71
0.77
400
0.63
0.71
1,40
1,30
1,20
1,10
𝑆𝑡ℎ
Para calcular
valores últimos
1,00
0,90
0,80
Durante el
primer año
0,70
0,60
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Espesor [𝑚𝑚]
Fig. 2.21. Variación del coeficiente 𝑺𝒕𝒉 con respecto al espesor promedio del elemento
-
Coeficiente de revenimiento del hormigón 𝑺𝒔 :
Este coeficiente toma en cuenta el revenimiento de la mezcla de hormigón.
𝑆𝑠 = 0.89 + 0.00161 ∙ 𝑆
54
(2.28)
Revenimiento [𝒎𝒎]
𝑺𝒔
50
0.97
75
1.01
100
1.05
125
1.09
150
1.13
175
1.17
200
1.21
Características mecánicas de los materiales
1,25
1,20
1,15
𝑆𝑠 1,10
1,05
1,00
0,95
0,90
25
50
75
100
125
150
175
200
225
Revenimiento [𝑚𝑚]
Fig. 2.22. Variación del coeficiente 𝑺𝒔 con respecto al revenimiento del hormigón
-
Coeficiente de contenido de finos 𝑺𝒇 :
Este coeficiente considera la cantidad de arena en la mezcla de hormigón.
Para % 𝑓𝑖𝑛𝑜𝑠 ≤ 50%:
𝑆𝑓 = 0.30 + 0.014 ∙ % 𝑓𝑖𝑛𝑜𝑠
(2.29)
Para % 𝑓𝑖𝑛𝑜𝑠 > 50%:
𝑆𝑓 = 0.90 + 0.002 ∙ % 𝑓𝑖𝑛𝑜𝑠
(2.30)
% 𝒇𝒊𝒏𝒐𝒔 en peso
𝑺𝒇
30
0.72
35
0.79
40
0.86
45
0.93
50
1.00
55
1.01
60
1.02
65
1.03
70
1.04
55
Diseño de estructuras de hormigón armado
1,05
1,00
0,95
𝑆𝑓 0,90
0,85
0,80
0,75
0,70
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
% 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑜
Fig. 2.23. Variación del coeficiente 𝑺𝒇 con respecto al porcentaje de agregado fino en el hormigón
-
Coeficiente de contenido de aire 𝑺𝒆 :
Este coeficiente considera el porcentaje de aire en la mezcla de hormigón.
𝑆𝑒 = 0.95 + 0.008 ∙ % 𝑎𝑖𝑟𝑒
56
(2.31)
% 𝒅𝒆 𝒂𝒊𝒓𝒆
𝑺𝒆
1
0.96
2
0.97
3
0.97
4
0.98
5
0.99
6
1.00
7
1.01
8
1.01
9
1.02
10
1.03
Características mecánicas de los materiales
1,05
1,03
𝑆𝑒
1,01
0,99
0,97
0,95
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
% 𝑑𝑒 𝑎𝑖𝑟𝑒
Fig. 2.24. Variación del coeficiente Se con respecto al porcentaje de aire en el hormigón
-
Coeficiente de contenido de cemento 𝑺𝒄 :
Este coeficiente considera la cantidad de cemento en la mezcla de hormigón.
𝑆𝑐 = 0.75 + 0.00061 ∙ 𝑐
(2.32)
Cemento 𝒄 [𝒌𝒈𝒇/𝒎𝟑 ]
𝑺𝒄
150
0.84
200
0.87
250
0.90
300
0.93
350
0.96
400
0.99
450
1.02
500
1.06
550
1.09
600
1.12
57
Diseño de estructuras de hormigón armado
1,15
1,10
1,05
𝑆𝑐 1,00
0,95
0,90
0,85
0,80
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
Contenido de cemento 𝑐 [𝑘𝑔𝑓/𝑚3 ]
Fig. 2.25. Variación del coeficiente 𝑺𝒄 con respecto al contenido de cemento en el hormigón
Factores que afectan la retracción
Factores Internos (Composición del hormigón)
Si el factor
La retracción
Relación agua/cemento


Contenido de finos en la mezcla de hormigón


Contenido de aire en la mezcla de hormigón


Granulometría y distribución del agregado


Cemento


Si el factor
La retracción
Sección transversal del elemento


Medio ambiente (Humedad y Temperatura)


Factores Externos (Medio ambiente)
Ejemplo. Estimar la deformación por retracción que se puede esperar que ocurra en un muro de
230 [𝑚𝑚] de espesor desde los 7 días hasta los 5 años a una humedad relativa del 60%. El hormigón
tiene un revenimiento de 75 [𝑚𝑚], un contenido de finos del 40% por peso, un contenido de cemento de
355 [𝑘𝑔𝑓/𝑚3 ], un contenido de aire del 5% y es curado con humedad por 5 días después de ser vaciado.
58
Características mecánicas de los materiales
Coeficiente
Deformación última por retracción
Coeficiente de tiempo de retracción
Coeficiente de humedad relativa
Coeficiente de espesor promedio del elemento
Coeficiente de revenimiento del hormigón
Coeficiente de contenido de finos
Coeficiente de contenido de aire
Coeficiente de contenido de cemento
Símbolo
𝜀𝑠ℎ𝑢
𝑆𝑡
𝑆ℎ
𝑆𝑡ℎ
𝑆𝑠
𝑆𝑓
𝑆𝑒
𝑆𝑐
Valor
0.00078
0.98
0.79
0.91
1.01
0.86
0.99
0.97
𝜀𝑠ℎ = 0.00078 ∙ 0.98 ∙ 0.79 ∙ 0.91 ∙ 1.01 ∙ 0.86 ∙ 0.99 ∙ 0.97 = 0.000458

Expansión térmica
El coeficiente de expansión o contracción térmica 𝛼 es afectado por factores tales como la composición
del hormigón, contenido de humedad del hormigón y edad del hormigón. El rango de 𝛼 para hormigones
de densidad normal varía entre 9 y 13 · 10−6 [1/𝐶] para aquellos fabricados con agregados silícicos; y
entre 6 y 9 · 10−6 [1/𝐶] para aquellos fabricados con agregados calcáreos. Valores aproximados para
hormigones aligerados están entre 6.5 y 11.2 · 10−6 [1/𝐶].
Para cualquier hormigón utilizar:
1
°𝐶
 = 10 · 10−6 [ ]
Para el refuerzo de acero utilizar:
1
°𝐶
 = 11 · 10−6 [ ]
Debido a que los coeficientes de expansión térmica del hormigón y del acero son casi iguales, el hormigón
armado es factible. El valor de 10 · 10−6 [1/𝐶] para el coeficiente de expansión térmica del hormigón se
mantiene razonablemente constante sobre un ancho rango de temperaturas, aunque cuando la temperatura
está cerca de los 500°𝐶 el valor de 𝛼 se incrementa hasta aproximadamente un 50% de su valor original.
El clima es la causa más común de cambios de temperatura. Sin embargo, por ciertos accidentes como
pueden ser incendios o pérdida del líquido refrigerante en centrales nucleares se pueden originar
incrementos muy importantes de temperatura.
La figura 2.26 muestra varias curvas de esfuerzo-deformación de probetas de hormigón ensayadas a
diferentes temperaturas. En la figura se puede observar que para temperaturas superiores a los 400°𝐶 se
produce una importante reducción de la resistencia. A los 600°𝐶 la resistencia puede ser de apenas un
60% de la que tendría a 20°𝐶. Con respecto a la rigidez 𝐸𝑐 del hormigón, ésta comienza a reducirse a
partir de los 100°𝐶. El módulo de elasticidad 𝐸𝑐 a 400°𝐶 tiene un valor de cerca de 1/3 del valor a 20°𝐶.
Tanto la contracción como la fluencia lenta del hormigón también se incrementan a altas temperaturas.
59
Diseño de estructuras de hormigón armado
Esfuerzo en el
hormigón [𝑀𝑃𝑎]
40
𝑇 = 20℃
𝑇 = 400℃
30
𝑇 = 200℃
𝑇 = 600℃
20
𝑇 = 800℃
10
0. 01
0.02
0.03
0.04
0.05
Deformación en el hormigón
Fig. 2.26. Reducción de la resistencia a compresión del hormigón en función de la temperatura
2.2. Acero de refuerzo
Las barras de acero de refuerzo son en general de sección circular. Para restringir el movimiento
longitudinal de las barras con relación al hormigón, existen protuberancias que son laminadas en la
superficie de cada barra. Los requerimientos mínimos de las protuberancias (de espaciamiento, altura y
cobertura circunferencial) han sido establecidos por experimentos y se indican en las especificaciones del
acero. La especificación ASTM requiere que las protuberancias tengan un espaciamiento promedio menor
al 0.7 del diámetro nominal de la barra y una altura de por lo menos 0.04 a 0.05 del diámetro nominal de
la barra. También, estas protuberancias deben estar presentes en por lo menos un 75% del perímetro
nominal de la barra. Las protuberancias son fabricadas de tal manera que el ángulo con el eje de la barra
no sea menor a 45°. Generalmente, protuberancias longitudinales son también utilizadas para mejorar la
adherencia de las barras.

Comportamiento del acero bajo esfuerzo monotónico
Las curvas típicas tensión – deformación de las barras de acero que se utilizan en hormigón armado son
obtenidas de barras de acero cargadas monotónicamente a tracción. En la siguiente figura se muestran los
resultados obtenidos de dos ensayos realizados a aceros de diferente grado. El módulo de elasticidad del
60
Características mecánicas de los materiales
acero 𝐸𝑠 está dado por la pendiente de la parte lineal elástica de la curva, que para el caso del acero es
generalmente tomado como 200000 [𝑀𝑃𝑎] o 29000 [𝑘𝑠𝑖].
Tensión [𝑀𝑃𝑎]
800
600
400
200
0
0.04
0.08
0.12
0.16
0.20
Deformación
Fig. 2.27. Curvas tensión - deformación del acero
El esfuerzo en el punto de fluencia, llamado tensión de fluencia, es una propiedad importante del acero de
refuerzo. Algunas veces, la fluencia viene acompañada por una caída abrupta de la tensión y del diagrama
tensión – deformación, como se muestra en la siguiente figura.
Esfuerzo
𝐴
𝐵
𝐴 = Tensión de fluencia superior
𝐵 = Tensión de fluencia inferior
Deformación
Fig. 2.28. Tensión de fluencia para aceros con punto de fluencia bien definido
61
Diseño de estructuras de hormigón armado
La posición del punto 𝐴 depende de la velocidad de ensayo, la forma de la sección y la forma del
espécimen. El punto 𝐵 es el que se considera como el valor real de la tensión de fluencia.
Para aceros en los que la curva tensión-deformación no tiene una platea de fluencia bien definida, la
tensión de fluencia es generalmente tomada como la tensión correspondiente a una deformación particular
(por ejemplo, la que corresponde a 0.002 o 0.2%). La figura 2.29 compara las curvas tensión-deformación
para diferentes tipos de acero y se observa que al aumentar la resistencia del acero, la platea de fluencia va
disminuyendo hasta desaparecer en el acero de pretensado.
Para cables y alambres que no exhiben una tensión de fluencia, se define una tensión de fluencia
equivalente como aquella que corresponde a una deformación del 0.2% (0.002). Es claro que a un
aumento de la resistencia, y que está asociada a aceros con mayor contenido de carbono, corresponde una
disminución de la deformabilidad de los aceros, y por lo tanto una reducción en la capacidad de disipación
de energía, generalmente cuantificada por el factor de ductilidad, el cual representa la relación entre la
deformación máxima y aquella que corresponde al inicio de fluencia. La deformabilidad de los aceros
también se ve disminuida por los procesos de endurecimiento en frío a que puedan ser sometidos.
La deformación mínima del acero antes de la fractura es normalmente también definida en las
especificaciones de materiales puesto que es esencial para la seguridad de la estructura que el acero sea
suficientemente dúctil como para sobrellevar grandes deformaciones antes de su falla total.
Las características deseables del acero de refuerzo son que posea una larga platea de fluencia seguida de
un endurecimiento gradual por deformación, y que además los resultados de ensayos a tracción presenten
poca dispersión con respecto al valor nominal especificado para la tensión de fluencia. Estas
características son recomendables desde el punto de vista del diseño por capacidad. Este tipo de diseño
necesita que las resistencias al corte y flexión de las secciones, que no son detalladas como regiones
potenciales de articulación plástica, excedan a las fuerzas correspondientes al desarrollo de la sobre
resistencia en las zonas plásticas seleccionadas. Si el acero exhibe un temprano y rápido endurecimiento,
las tensiones en el acero en una sección con fuertes demandas de ductilidad pueden exceder la tensión de
fluencia por un margen excesivo. Esto también ocurriría si la tensión de fluencia real es mayor que la
especificada y supuesta en el diseño. En ambos casos, el resultado conlleva a que será necesario utilizar
mayores factores de sobre resistencia, para protegerse de fallas por corte o por la aparición de inesperadas
zonas plásticas.
62
Características mecánicas de los materiales
Tensión [𝑀𝑃𝑎]
1800
Torón de acero de ½”
1600
1400
1200
Barra de alta resistencia
1000
Barra de acero deformado
800
600
400
Barra de acero dulce
200
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
Deformación
Fig. 2.29. Tensión de fluencia para aceros con punto de fluencia no definido
La longitud de la platea de fluencia está generalmente en función de la resistencia del acero. Aceros de
alta resistencia y con un contenido alto de carbón tienen generalmente una longitud de la platea de
fluencia más corta que aceros de baja resistencia con contenidos bajos de carbón. Similarmente, el trabajo
en frío del acero puede causar el acortamiento de la platea de fluencia hasta el punto en que el
endurecimiento por deformación comienza inmediatamente después del punto de fluencia.
63
Diseño de estructuras de hormigón armado
Designación
Tensión mínima de fluencia
Tensión última
ASTM
[𝒌𝒔𝒊]
[𝑴𝑷𝒂]
[𝒌𝒔𝒊]
[𝑴𝑷𝒂]
G40
40
276
70
483
G50
50
345
80
552
G60
60
414
90
621
G75
75
517
100
690
La deformación mínima en el momento de la fractura está también definida en la especificación para el
acero, ya que es esencial para la seguridad de la estructura, que el acero tenga suficiente ductilidad para
soportar grandes deformaciones antes de la fractura. La ASTM requiere una elongación de acero entre
4.5% y 12% que depende de la fuente, el grado y el diámetro de la barra. Esta deformación es medida en
una longitud de 200 [𝑚𝑚] del espécimen de acero.
Las curvas de tensión – deformación para el acero en tracción y compresión son asumidas idénticas.
Varios experimentos han demostrado la veracidad de esta suposición.
Si se rompe el espécimen rápidamente, la tensión de fluencia se incrementa. Por ejemplo, se ha
comprobado que a una velocidad de deformación de 0.01 [1/𝑠] la tensión de fluencia inferior puede
incrementarse en un 14%.

Curvas idealizadas tensión-deformación para acero en tracción o compresión
Para el diseño de estructuras de hormigón armado existe la posibilidad, para simplificar los cálculos, de
asumir diferentes tipos de curvas que representan de una manera aproximada el comportamiento del acero.
La más simple y utilizada de todas las idealizaciones es la llamada “elástica perfectamente plástica”,
donde la primera parte es elástica y lineal hasta el punto de fluencia y a partir de ese punto se asume que el
acero no puede resistir mayores cargas por lo que el diagrama se mantiene constante en lo que se llama la
zona plástica. En esta idealización no se toma en cuenta la fase de endurecimiento por deformación del
acero.
La segunda idealización es llamada “aproximación tri – lineal” porque todo el comportamiento del acero
es representado por tres líneas rectas. En esta idealización la fase de endurecimiento por deformación es
asumida lineal.
La última idealización es la que representa de una forma más precisa el comportamiento del acero en el
ensayo a tracción, puesto que además de tener las fases elástica y plástica, el endurecimiento por
deformación es asumido que tiene un incremento parabólico. Esta idealización es generalmente utilizada
para propósitos de investigación porque es la que mejor describe el comportamiento real del acero.
64
Características mecánicas de los materiales
𝑓𝑠
𝑓𝑦
tan 𝜃 = 𝐸𝑠

𝜀𝑠
𝜀𝑦
Elástico perfectamente plástico
𝑓𝑠
𝑓𝑦
tan 𝜃 = 𝐸𝑠

𝜀𝑦
𝜀𝑠ℎ
Aproximación tri - lineal
𝑓𝑠
𝜀𝑠
𝑓𝑠𝑢
𝑓𝑦
tan 𝜃 = 𝐸𝑠

𝜀𝑦
𝜀𝑠𝑣
𝜀𝑠ℎ
𝜀𝑠
Curva completa
Fig. 2.30. Diferentes idealizaciones de la curva tensión – deformación para el acero
65
Diseño de estructuras de hormigón armado

Respuesta inelástica cíclica
Cuando el acero de refuerzo es sometido a ciclos de carga en el rango inelástico, la platea de fluencia
desaparece y en la curva tensión-deformación se manifiesta el efecto Bauschinger, en el cual la respuesta
no lineal se desarrolla a una deformación mucho más baja que la que corresponde a fluencia.
Esfuerzo
[𝑀𝑃𝑎]
Esfuerzo
[𝑀𝑃𝑎]
600
600
300
300
-0.02
0.02
0.04
0.06
-300
-600
Deformación
a)
-0.04 -0.02
0.02
0.04
-300
-600
Deformación
b)
Fig. 2.31. Comportamiento cíclico del acero
En la figura 2.31(a) se muestra el caso de comportamiento cíclico predominantemente del lado de las
deformaciones en tracción, mientras que en la figura 2.31(b) las excursiones no lineales son simétricas en
tracción y compresión. El primer caso es típico de la respuesta de las barras en rótulas plásticas en vigas
en las que es poco probable que sufra gran plasticidad en compresión. Para estos casos la respuesta
monotónica provee una envolvente de la respuesta cíclica.
El caso (b) se podría dar durante la respuesta inelástica de columnas con fuerzas axiales moderadas o
altas. En estos casos, mientras que la amplitud de respuesta se incrementa, los niveles de tensión para una
deformación dada también se incrementan y pueden exceder por bastante margen las tensiones que se
obtendrían de la curva tensión-deformación monotónica.

Efectos de velocidad de deformación
Para valores de velocidad de deformación característicos durante la respuesta sísmica (del orden de
0.01 [𝑠 −1 ] a 0.10 [𝑠 −1 ]), las barras de acero manifiestan un significativo incremento en la tensión de
fluencia con respecto a los valores estáticos. Las referencias dan incrementos del orden de 10% a 20%
respectivamente para valores de deformación entre 0.01 [𝑠 −1 ] a 0.10 [𝑠 −1 ], en los aceros con tensión de
fluencia cercana a 400 [𝑀𝑃𝑎].
66
Características mecánicas de los materiales

Efecto de la temperatura en el acero
Si bien el coeficiente de dilatación térmica del acero es cercano a 11 · 10−6 [1/℃], es aceptado utilizar el
mismo valor de 10 · 10−6 [1/℃] para ambos materiales. Por encima de los 200 °𝐶 hay una substancial
reducción tanto de la rigidez como de la resistencia de los aceros. A 400 °𝐶 la resistencia a tracción de los
alambres y cables es apenas un 50% del valor a los 20 °𝐶.
Temperatura en ℃
Porcentaje de resistencia
100
0
100
200
300
400
40
600
700
800
Barra de acero de
alta resistencia
80
60
500
Acero laminado
en caliente
Acero de pretensado
deformado en frío
20
0
Fig. 2.32. Reducción de la resistencia de los aceros en función de la temperatura
La figura 2.32 muestra la variación de la resistencia a tracción de diversos tipos de acero ante la influencia
de altas temperaturas. Por debajo de ciertos valores de temperatura (típico 20℃) la ductilidad de las barras
de acero prácticamente se pierde y éstas se comportan de forma frágil alcanzando con dificultad la tensión
de fluencia. Por lo tanto se debe tener cuidado cuando se necesita diseñar estructuras dúctiles en climas
muy fríos.
2.3. Problemas propuestos
1. ¿Qué factores afectan la retracción del hormigón?
2. ¿Qué factores afectan la fluencia del hormigón?
3. Una estructura es construida de hormigón dosificado con cemento Tipo I (Cemento Portland normal).
La humedad relativa del ambiente es 70%. El hormigón fue curado durante cuatro días por humedad.
La resistencia característica a los 28 días es de 28 [𝑀𝑃𝑎].
67
Diseño de estructuras de hormigón armado
a)
Calcular la deformación por retracción no restringida de una viga rectangular de 200 [𝑚𝑚] de
base por 500 [𝑚𝑚] de altura a los tres años después de vaciado el hormigón.
b)
Calcular la deformación por fluencia de una columna cuadrada de 500 [𝑚𝑚] de lado a los dos
años después de vaciado el hormigón. Una carga de 1780 [𝑘𝑁] fue aplicada a la columna cuando
ésta tenía 60 días de edad.
4. ¿Cuántos centímetros de longitud la columna pierde después de 360 [𝑑í𝑎𝑠] si se aplica de forma
instantánea una carga de 400 [𝑘𝑁] y se la mantiene durante todo el periodo señalado?. Considerar las
deformaciones instantánea, retracción y fluencia del hormigón.
Datos:
Hormigón curado con humedad durante 7 [𝑑í𝑎𝑠]
Humedad relativa de 60%
Revenimiento de la mezcla de hormigón de 5 [𝑐𝑚]
Contenido de finos en la mezcla de 40%
Porcentaje de aire en la mezcla de 6%
Contenido de cemento en la mezcla de 420 [𝑘𝑔𝑓/𝑚3 ]
La columna es cargada después de 10 [𝑑í𝑎𝑠] de ser vaciada
Peso unitario del hormigón de 24 [𝑘𝑁/𝑚3 ]
Resistencia característica del hormigón de 20 [𝑀𝑃𝑎]
68
CAPÍTULO 3
TEORÍA DE FLEXIÓN EN HORMIGÓN ARMADO
3. Teoría de flexión en hormigón armado
3.1. Introducción
En el desarrollo de la teoría de flexión para el análisis y diseño de vigas de hormigón armado es necesario
considerar ciertas suposiciones fundamentales, sin las cuales la tarea del ingeniero calculista sería muy
difícil de realizar, puesto que existirían muchas incertidumbres y variables.
En el presente capítulo se presentan las suposiciones básicas sobre las cuales se basa el desarrollo de la
teoría de flexión para elementos de hormigón armado.
3.2. Flexión en vigas de material homogéneo, elástico e isótropo
El hormigón armado es un material no homogéneo porque está constituido por dos materiales totalmente
distintos (hormigón y acero), además no tiene un comportamiento elástico, como se puede evidenciar en
sus curvas tensión-deformación y por último no es isótropo, porque no presenta las mismas propiedades
en todas sus direcciones. Por lo tanto, los procedimientos utilizados para el diseño de vigas en otros
materiales, como el acero, no se aplican. Pero, algunos principios fundamentales pueden ser mantenidos y
sobre la base de ellos desarrollar otro método para el diseño y análisis en hormigón armado.
Los principios fundamentales que intervienen en el diseño de vigas de material elástico, homogéneo e
isótropo son los siguientes:
En cualquier sección transversal existe una distribución de esfuerzos que puede ser descompuesta en dos
componentes: una perpendicular (normal) y la otra paralela (tangencial) a la sección. Los esfuerzos
normales a la sección son los esfuerzos por flexión y son los que resisten los momentos flectores, mientras
que los esfuerzos tangenciales son los esfuerzos por corte y son los que resisten las fuerzas cortantes.
69
Diseño de estructuras de hormigón armado
Una sección transversal del elemento que era plana antes de la aplicación de las cargas, se mantiene plana
una vez que las cargas actúan sobre el elemento. Esto quiere decir que la distribución de los esfuerzos a lo
largo de la sección transversal es lineal y proporcional a la distancia desde el eje neutro.
Los esfuerzos normales (esfuerzos por flexión), dependen de la deformación de la sección en el punto
considerado de acuerdo a la variación de la curva tensión-deformación. Para un material elástico, el
esfuerzo 𝑓 es igual a la deformación 𝜀 multiplicada por el módulo de elasticidad.
La distribución de los esfuerzos de corte 𝑣 en la sección transversal depende de la forma de la sección y
del diagrama tensión-deformación del material. Los esfuerzos cortantes son mayores a nivel del eje neutro
y cero en las fibras extremas, además estos esfuerzos son iguales en planos verticales y horizontales de un
punto.
En cualquier punto a lo largo y alto del elemento se pueden hallar los esfuerzos principales de compresión
𝑓2 y tracción 𝑓1 conociendo los esfuerzos cortantes y de flexión en ese punto y utilizando la técnica del
círculo de Mohr o las ecuaciones correspondientes.
Tracción principal:
1
𝑓1 = ∙ (𝑓 + √𝑓 2 + 4 ∙ 𝑣 2 )
2
(3.1)
Compresión principal:
1
𝑓2 = ∙ (𝑓 − √𝑓 2 + 4 ∙ 𝑣 2 )
2
(3.2)
𝑓1
𝑣
𝑣
𝑓
𝑓2
𝛼
𝑓
𝑣
𝑣
𝑓2
Esfuerzos de corte y flexión
𝑓1
Esfuerzos principales
Fig. 3.1. Esfuerzos en un punto cualquiera de una viga
El esfuerzo principal tiene un ángulo ∝ con la horizontal que puede hallarse con la siguiente ecuación:
tan(2 ∙ 𝛼) =
70
2 ∙ 𝑣
𝑓
(3.3)
Teoría de flexión en hormigón armado
Como los esfuerzos cortantes verticales y horizontales son iguales y como los esfuerzos por flexión son
cero en el plano del eje neutro, los esfuerzos principales en cualquier punto de ese plano forman un ángulo
de 45° con la horizontal y tienen una intensidad igual al esfuerzo cortante.
𝑓 =−𝑣
𝑓=𝑣
𝑣
45°
𝑣
𝑣
𝑣
𝑓 =−𝑣
Esfuerzos de corte
𝑓=𝑣
Esfuerzos principales
Fig. 3.2. Esfuerzos en un punto cualquiera sobre el eje neutro de la viga
Cuando se tiene un comportamiento elástico del material o el nivel de esfuerzo se mantiene dentro del
rango de comportamiento elástico de ese material, entonces el eje neutro pasa por el centro de gravedad de
la sección y los esfuerzos por flexión 𝑓 y corte 𝑣 pueden ser hallados utilizando las ecuaciones típicas de
la resistencia de materiales.
𝑓=
𝑀 ∙ 𝑦
𝐼
𝑓𝑚𝑎𝑥 =
𝑣=
𝑀 ∙𝑐 𝑀
=
𝐼
𝑆
𝑉 ∙𝑄
𝐼 ∙𝑏
(3.4)
(3.5)
(3.6)
Donde:
𝑓 = Esfuerzo de flexión a una distancia y desde el eje neutro.
𝑀 = Momento flector externo en la sección.
𝑦 = Distancia desde el eje neutro al punto considerado de la sección.
𝐼 = Momento de inercia de la sección alrededor del eje neutro.
𝑐 = Distancia desde el eje neutro a la fibra extrema.
𝑆 = Módulo de la sección transversal 𝐼/𝑐.
𝑣 = Esfuerzo de corte (horizontal o vertical) en cualquier punto de la sección.
𝑉 = Fuerza cortante externa en la sección.
𝑄 = Momento estático, alrededor del eje baricéntrico, de la porción de la sección transversal entre la línea
del punto en cuestión y la fibra extrema más cercana (superior o inferior) de la viga.
𝑏 = Ancho de la sección en donde se determina la tensión de corte.
71
Diseño de estructuras de hormigón armado
3.3. Suposiciones básicas de la teoría de flexión en hormigón armado
Para el desarrollo de una teoría sencilla y que pueda ser aplicada en la práctica, se deben realizar una serie
de suposiciones para facilitar el desarrollo de las ecuaciones que predicen el comportamiento de una
sección de hormigón armado sometida a esfuerzos de flexión. Para ello, se van a considerar las siguientes
suposiciones:
Las secciones planas antes de la flexión se siguen manteniendo planas después de ella
La curva tensión – deformación para el acero es conocida
La resistencia a la tracción del hormigón no es tomada en cuenta
La curva tensión – deformación es conocida para el hormigón y ésta define la magnitud y
distribución del esfuerzo de compresión
- El acero y el hormigón trabajan como una sola unidad
-
La primera suposición que corresponde al principio de Bernoulli, implica que la deformación longitudinal
en el hormigón y en el acero en varios puntos a través de la sección transversal es proporcional a la
distancia desde el eje neutro. Un gran número de ensayos, en miembros de hormigón armado, ha
comprobado que esta suposición es correcta en todas las etapas de carga hasta la falla, siempre y cuando
exista una buena adherencia entre el hormigón y el acero. Ciertamente esta suposición es correcta en la
zona de compresión del hormigón, pero en la zona de tracción las fuerzas producen cierto deslizamiento
del acero con respecto al hormigón y esto significa que la suposición no es completamente aplicable en el
hormigón cerca de las fisuras. Sin embargo, si se mide la deformación en una longitud que incluye varias
fisuras, se encuentra que el principio de Bernoulli es aplicable a la deformación promedio medida. Esta
suposición no es aplicable para vigas de canto alto o en regiones que tienen grandes esfuerzos de corte.
La segunda suposición significa que las propiedades del acero están bien definidas. Normalmente se
utiliza la idealización elástico perfectamente plástico para la curva tensión-deformación del acero. Eso
presume que el incremento de tensión por endurecimiento pasado el punto de fluencia es ignorado, tal
como lo indica la sección 20.2.2.1 del código ACI. Esta suposición es razonable debido a que no es
conveniente confiar en un incremento de la resistencia del acero en la fase plástica, sobre todo si la ley
constitutiva no es conocida. La suposición de rigidez nula para el acero desde la fase postelástica hasta su
rotura no sería necesaria si la curva tensión-deformación fuera conocida, pero para los efectos de evaluar
la resistencia a flexión da resultados por el lado de la seguridad y es conveniente porque facilita los
procedimientos de cálculo. Sin embargo, cuando se da la posibilidad de que ocurra un incremento en las
tensiones por endurecimiento y esto pueda conducir a una situación desfavorable, por ejemplo falla frágil
por corte o por adherencia, el calculista puede y debería tomar en cuenta la posibilidad de ese incremento
de resistencia.
La tercera suposición está muy cerca de la verdad. Cualquier tensión de tracción que existe en el hormigón
por debajo del eje neutro es pequeña y tiene un pequeño brazo de palanca. Por lo que de existir alguna
contribución en la resistencia a flexión, no se comete un error apreciable al ignorarla.
La cuarta suposición es necesaria para estimar el comportamiento real de la sección. Debido a que las
deformaciones en el hormigón comprimido son proporcionales a la distancia desde el eje neutro, las
curvas tensión-deformación del hormigón, descritas anteriormente, indican la forma del bloque de
72
Teoría de flexión en hormigón armado
esfuerzos de compresión para varias etapas de carga. En la siguiente figura se puede apreciar cómo cambia
la forma del diagrama de esfuerzos en la zona comprimida (por encima del eje neutro) a medida que se
incrementa el momento flector en la sección. Cuando el momento es pequeño, la distribución de esfuerzos
es triangular y a medida que éste se incrementa, el esfuerzo se curva hasta tener la forma aproximada de
una parábola, que representa el comportamiento real del hormigón a compresión.
a b c d
𝐶
Diagrama de
deformaciones
𝑑
𝑗·𝑑
Acero
a
b
c
d
𝑇
Fig. 3.3. Distribución de tensiones de compresión en el hormigón correspondientes
a diferentes diagramas de deformación (a, b, c y d)
0.85 ∙ 𝑓𝑐′
𝐾3 ∙ 𝑓𝑐′
𝐾2 ∙ 𝑐
𝐶 = 𝐾1 ∙ 𝐾3 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑏 ∙ 𝑐
𝑐
0.5 · 𝑎
𝐶 = 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑏 ∙ 𝑎
𝑎 = 𝛽1 · 𝑐
eje neutro
Distribución actual
Distribución rectangular equivalente
Fig. 3.4. Distribución de esfuerzos de compresión en la zona de compresión de una
sección rectangular de hormigón de dimensiones (𝒃 · 𝒉)
Diferentes ensayos realizados en laboratorios de todo el mundo dieron como resultado valores para todos
los factores 𝐾 (𝐾1 , 𝐾2 y 𝐾3 ), pero debido a la complejidad del diagrama real de esfuerzos es que muchos
investigadores han propuesto el uso de diagramas equivalentes más sencillos para simplificar el análisis y
73
Diseño de estructuras de hormigón armado
diseño de elementos de hormigón armado. Para hallar la resistencia a la flexión de una sección solo se
necesita saber la magnitud de 𝐾1 ∙ 𝐾3 y la posición de 𝐾2 de la fuerza de compresión del hormigón. El
diagrama rectangular equivalente de esfuerzos simplifica de sobremanera los cálculos sin afectar la
exactitud de los resultados.
El código ACI indica en su sección 22.2.2.4.3 que el factor 𝛽1 debe ser tomado como 0.85 para
resistencias del hormigón 𝑓𝑐′ entre 17 [𝑀𝑃𝑎] y 28 [𝑀𝑃𝑎]. Para hormigones con resistencias superiores a
28 [𝑀𝑃𝑎], 𝛽1 debe ser reducido continuamente a una razón de 0.05 por cada 7 [𝑀𝑃𝑎] de resistencia por
encima de 28 [𝑀𝑃𝑎], pero el factor 𝛽1 no debe ser tomado menos de 0.65. De la anterior definición se
puede deducir la siguiente fórmula aproximada:
𝛽1 = 1.05 − 0.007 ∙ 𝑓𝑐′
Pero 0.65  𝛽1  0.85 donde 𝑓𝑐′ está en [𝑀𝑃𝑎]
(3.7)
Valor del coeficiente 𝛽1
0,90
0,85
0,80
0,75
0,70
0,65
0,60
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
Resistencia característica del hormigón 𝑓𝑐′ en [𝑀𝑃𝑎]
Fig. 3.5. Variación de 𝜷𝟏 en función de la resistencia característica del hormigón 𝒇′𝒄
Parámetros del diagrama rectangular:
𝑎
= 𝛽1
𝑐
(3.8)
𝐶 = 𝐾1 ∙ 𝐾3 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 = 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑏 ∙ 𝑎
(3.9)
𝐾1 − 𝐾3 = 0.85 ∙ 𝑎⁄𝑐 = 0.85 ∙ 𝛽1
(3.10)
𝐾2 ∙ 𝑐 = 0.5 ∙ 𝑎
(3.11)
74
Teoría de flexión en hormigón armado
Deformación de la fibra extrema 𝜀𝑐
𝐾2 = 0.5 ∙ 𝑎⁄𝑐 = 0.5 ∙ 𝛽1
(3.12)
0.004
0.003
0.002
0.001
20
40
60
Resistencia característica del hormigón 𝑓𝑐′ en [𝑀𝑃𝑎]
Fig. 3.6. Representación de resultados de ensayos de compresión en probetas de hormigón
El código ACI en su sección 22.2.2.1 recomienda el valor de 0.003 como deformación máxima en la fibra
extrema de compresión del hormigón en una sección sometida a flexión hasta alcanzar su resistencia
máxima. Para este valor de deformación el hormigón en compresión no muestra fisuras ni desintegración
visibles (efecto de Poisson), aunque ese valor de 𝜀𝑐 es bastante mayor al que corresponde a la máxima
tensión. Cilindros cargados axialmente se fisuran bastante cuando la deformación excede la que
corresponde al máximo valor de 𝑓𝑐′ pero en los ensayos a flexión las fisuras no son visibles hasta que se
alcanzan valores de deformación grandes, lo cual es atribuido a la presencia de material, más cercano al
eje neutro, con menores esfuerzos.
La quinta suposición es necesaria porque de otra manera se tendrían diferentes deformaciones para el
hormigón y el acero en un mismo nivel, por lo tanto la adherencia entre los dos materiales es esencial para
el adecuado comportamiento de las secciones de hormigón armado. Con las barras de acero corrugado que
se utilizan actualmente, ésta suposición está muy cerca de la realidad.

Secciones no rectangulares sometidas a flexión
Cuando se utilizan vigas de sección T o L, o en columnas sometidas a momentos flectores biaxiales, puede
que el área de compresión en la sección no llegue a ser rectangular, por lo que los parámetros
recomendados para el diagrama rectangular equivalente de tensiones en secciones rectangulares no se
75
Diseño de estructuras de hormigón armado
aplican estrictamente. El esfuerzo promedio de compresión y la profundidad del diagrama rectangular
equivalente para diferentes áreas en compresión no son los mismos. Además, la deformación máxima de
la fibra extrema en compresión será diferente. Pero, experimentos han demostrado que si la sección no
tiene cuantías altas de refuerzo, la resistencia a la flexión de vigas con áreas comprimidas diferentes a la
rectangular pude ser estimada con bastante exactitud utilizando los parámetros de esfuerzo y deformación
de la fibra extrema derivados para áreas rectangulares en compresión, debido a que el brazo de palanca
𝑗 · 𝑑 y las fuerzas internas no varían de manera significativa.
Para columnas cuyas áreas en compresión difieren de la rectangular, el uso de los parámetros derivados
para áreas en compresión de forma rectangular puede llegar a dar resultados equivocados debido a que las
fuerzas de compresión son mayores y la distribución del esfuerzo de compresión en el hormigón tiene una
influencia más significativa en la resistencia a la flexión de la sección que en el caso de vigas. Por lo tanto
para columnas sujetas a momentos flectores biaxiales es necesario derivar otros nuevos parámetros
tomando en cuenta la curva tensión-deformación del hormigón.
En resumen, se puede indicar que para vigas con secciones en compresión diferentes a la rectangular se
pueden utilizar los mismos parámetros que para secciones rectangulares en compresión, pero para el caso
de columnas, si se utilizan los mismos parámetros, se debe proceder con cautela.

Resumen de recomendaciones para la determinación de la resistencia de secciones sometidas
a flexión y compresión
a)
Las secciones planas antes de la flexión permanecen planas después de la flexión.
b)
La distribución del esfuerzo en el hormigón puede ser tomada como rectangular con los siguientes
parámetros:
Esfuerzo promedio = 0.85 · 𝑓𝑐′
Profundidad del bloque de compresión = 𝛽1 ∙ 𝑐
Profundidad del eje neutro = 𝑐
𝛽1 = 1.05– 0.007 · 𝑓𝑐′
76
0.65 ≤ 𝛽1 ≤ 0.85
c)
La resistencia a la tracción del hormigón se desprecia.
d)
La deformación última del hormigón en la fibra extrema en compresión es 0.003 para el cálculo
de la resistencia a la flexión de una sección de hormigón.
e)
El esfuerzo en el acero por debajo de la tensión de fluencia puede ser hallado multiplicando su
deformación por el módulo de elasticidad. Para deformaciones mayores de la correspondiente a la
tensión de fluencia, el esfuerzo en el acero puede suponerse que se mantiene en la tensión de
fluencia.
Teoría de flexión en hormigón armado
f)
La deformación última del hormigón y la distribución rectangular de tensiones pueden ser
utilizadas en el análisis de vigas con cualquier tipo de sección. Para columnas de sección
comprimida no rectangular se deben usar parámetros más exactos basados en la curva tensióndeformación del hormigón.
g)
El efecto de carga permanente puede ser despreciado.
La sección 22.2.2.3 del código ACI permite, para predecir la resistencia a flexión de secciones de
hormigón armado, adoptar cualquier forma de distribución de tensiones de compresión en el hormigón,
siempre y cuando los resultados obtenidos estén de acuerdo con los de ensayos realizados. En algunas
normas se utiliza una distribución de tensiones en el hormigón parabólica, triangular y hasta trapecial.
Las principales diferencias que se pueden mencionar, sólo en el aspecto de hipótesis para evaluar
resistencias a flexo-compresión, entre el ACI y la norma CEB-FIP europea son las siguientes:
a) En el CEB-FIP se adopta una parábola de segundo grado hasta una deformación de 0.002 y luego
una rama horizontal (tensión constante) hasta 0.0035. Esta norma no da opciones para las
relaciones tensión-deformación del hormigón ni del acero
b) La forma de introducir la seguridad en el CEB-FIP consiste en la utilización de dos tipos de
coeficientes: los de minoración de las resistencias de los materiales y los de mayoración de las
acciones. En el ACI la seguridad se introduce también mediante dos coeficientes: los de
minoración de la resistencia y los de mayoración de las acciones o cargas. La diferencia principal
en este punto es que el factor de reducción de la resistencia en el ACI depende del tipo de falla,
mientras que en el CEB-FIP el factor de reducción se aplica a los materiales (hormigón y acero) sin
importar el tipo de falla.
c) Para evaluar las deformaciones, el CEB-FIP sugiere adoptar otro diagrama simplificado para el
hormigón en compresión y considerar que no son importantes los fenómenos de fluencia lenta y
contracción del hormigón. El ACI, en su sección 24.2.4, considera la influencia de la fluencia del
hormigón en las deformaciones.
d) El CEB-FIP limita la máxima deformación usable del acero a 0.01, es decir apenas el 1%. El ACI
no impone límites en la deformación a tracción del acero. Debe reconocerse que esta restricción
produce muy poca diferencia (si no se considera el aumento de tensión por endurecimiento de postfluencia) en el valor de la resistencia a flexión, pero, y aquí está la gran diferencia, sí tiene una
influencia notable en la evaluación de la capacidad de deformación disponible del elemento. Dado
que la deformación disponible del acero es mucho mayor que aquellos límites impuestos, Park y
Paulay mencionan en su texto que tal restricción no es necesaria. Además, para el caso de diseño
sismo resistente, la evaluación de las capacidades de deformación, y las posibilidades de sobre
resistencia son fundamentales a la hora de establecer criterios de diseño y seguridad. En estos casos
la imposición de un límite para la deformación del acero en tracción es inaceptable.
77
Diseño de estructuras de hormigón armado
Como se ve, las diferencias de criterios entre las normas del CEB-FIP y las ACI, no son triviales. Existen
aún más diferencias en los criterios de adopción de factores de carga para solicitaciones últimas y en los
criterios de armado, en particular cuantías mínimas y máximas de acero.
3.4. Problemas propuestos
1. Una viga simplemente apoyada, de material homogéneo, elástico e isótropo, soporta una carga
uniformemente distribuida de 30 [𝑘𝑁/𝑚]. Determinar los esfuerzos principales en los siguientes
puntos:
a)
Sobre el apoyo 𝐴 a nivel del eje neutro
b)
Sobre el punto 𝐵 a nivel del eje neutro
c)
Sobre el punto 𝐵 a 250 [𝑚𝑚] por debajo del eje neutro
d)
Sobre el punto 𝐶 a 200 [𝑚𝑚] por encima del eje neutro
600
𝐴
𝐵
2500
𝐶
2500
𝐷
300
1800
Dimensiones en [𝑚𝑚]
2. Repetir el ejercicio anterior considerando que la sección transversal de la viga tiene la forma de la
figura que se muestra a continuación.
500
250
600
250
3. ¿Por qué se utiliza en el diseño de elementos de hormigón armado un diagrama rectangular de
tensiones con una tensión máxima de 0.85𝑓𝑐′ y una profundidad de 𝑎 = 𝛽1 ∙ 𝑐?
78
Teoría de flexión en hormigón armado
4. ¿Cuáles son las suposiciones básicas de la teoría de flexión?
5. ¿En qué cambiaría el diseño de secciones de hormigón armado si la primera suposición no fuera
válida?
6. ¿Por qué las vigas, de cualquier sección transversal, pueden ser analizadas y diseñadas utilizando los
mismos parámetros derivados para vigas de sección rectangular?
79
CAPÍTULO 4
VIGAS - RESISTENCIA A LA FLEXIÓN
4. Vigas - Resistencia a la flexión
4.1. Secciones rectangulares
La sección más simple que se presenta y la de mayor utilización en el diseño de estructuras de hormigón
armado es la rectangular. Esto se debe a diversos factores que se presentan tanto en la etapa de diseño,
como en la de construcción, entre los que podemos citar los siguientes:
-
Métodos de diseño y análisis relativamente sencillos
Facilidad en el dibujo y detalle de la armadura
Es una forma sencilla que permite armar el encofrado rápidamente
La forma se acomoda a la mayoría de las aplicaciones en puentes, edificios, etc.
En las siguientes secciones, se desarrollarán los métodos necesarios para el análisis y diseño de secciones
rectangulares con simple y doble armadura.
4.1.1. Análisis de secciones con simple armadura
Se considera que una viga tiene sección transversal rectangular de base 𝑏 y altura ℎ. Debido a la forma del
diagrama de momentos flectores, solamente la cara inferior está sometida a tracción, por lo que se dispone
el refuerzo próximo a esa cara con un área de acero 𝐴𝑠 . La sección transversal en estudio sufre una
deformación por las cargas que actúan sobre la viga (momento flector). La variación de la deformación es
lineal y proporcional a la distancia con respecto al eje neutro de la sección, de acuerdo a la suposición de
que las secciones planas antes de la aplicación de las cargas se mantienen planas una vez que ellas actúan.
Como no se considera la resistencia a la tracción del hormigón, la distribución de esfuerzos en la sección
es solamente de compresión por encima del eje neutro. Por debajo del eje neutro, no existe contribución
del hormigón y el acero es el que sufre una deformación de tracción 𝜀𝑠 y su respectivo esfuerzo de
tracción 𝑓𝑠 . La distribución real de esfuerzos en el hormigón se aproxima a una parábola, por lo que para
simplificar el diseño se asume que es rectangular con una intensidad de 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ y una profundidad de 𝑎.
81
Diseño de estructuras de hormigón armado
Por último, se hallan las resultantes de los esfuerzos en el hormigón 𝐶 y en el acero 𝑇 y se aplican las
ecuaciones de equilibrio.
𝑏
0.85 · 𝑓𝑐′
𝜀𝑐 = 0.003
𝑎 = 𝛽1 · 𝑐
𝑀𝑛
ℎ
𝑑
𝐶
𝑐
Eje neutro
𝑗·𝑑
Α𝑠
𝜀𝑠
Sección
Parte del
elemento
Deformación
𝑓𝑠
Tensiones
Reales
𝑓𝑠
Tensiones
Equivalentes
𝑇
Fuerzas
Internas
Fig. 4.1. Análisis de una sección rectangular con simple armadura
Fuerza de tracción (si el acero fluye)
Fuerza de compresión
Equilibrio de fuerzas horizontales
Distancia entre las fuerzas
Momento nominal
𝑇 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦
𝐶 = 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑎 ∙ 𝑏
𝑇=𝐶
𝑎
𝑗·𝑑 =𝑑−2
𝑀𝑛 = 𝑇 ∙ 𝑗 ∙ 𝑑
(4.1)
(4.2)
(4.3)
(4.4)
(4.5)
Para determinar la capacidad de resistencia de la viga a la flexión, se debe considerar la forma en que la
sección transversal puede fallar. De acuerdo a la cantidad de acero 𝐴𝑠 que tiene la sección transversal, se
pueden distinguir tres tipos de fallas por flexión: tracción, compresión y balanceada.

Falla por tracción
Para cuantías pequeñas de acero en la sección, éste alcanzará su tensión de fluencia 𝑓𝑦 antes de que el
hormigón alcance su resistencia máxima. Si el acero tiene un comportamiento elástico perfectamente
plástico, la fuerza 𝑇 se mantiene constante en el valor 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 para cualquier incremento de carga en el
elemento.
Fuerza de compresión 𝐶 = 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑎 ∙ 𝑏
Fuerza de tracción
𝑇 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦
Equilibrio de fuerzas 𝑇 = 𝐶
(4.2)
(4.1)
(4.3)
𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦
0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑏
(4.6)
𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 = 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 ⇒ 𝑎 =
𝑎
𝑀𝑛 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ∙ (𝑑 − )
2
82
(4.7)
Vigas – Resistencia a la flexión
𝑀𝑛 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ∙ [𝑑 −
𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦
𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦
] = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ∙ [𝑑 − 0.59 ∙ ′
]
′
2 ∙ 0.85 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏
𝑓𝑐 ∙ 𝑏
𝑀𝑛 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑑 ∙ [1 − 0.59 ∙
𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦
]
𝑑 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑏
(4.8)
Donde:
 = Cuantía de armadura.
𝐴𝑠
𝜌=
𝑏∙𝑑
 = Cuantía mecánica de acero.
𝑓𝑦
𝜔=𝜌∙ ′
𝑓𝑐
(4.9)
(4.10)
𝑀𝑛 = 𝑏 ∙ 𝑑2 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝜔 ∙ (1 − 0.59 ∙ 𝜔)
(4.11)
𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 𝜙 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑2 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝜔 ∙ (1 − 0.59 ∙ 𝜔)
(4.12)

Falla por compresión
Para cuantías grandes de acero en la sección, el hormigón alcanzará su máxima capacidad antes de que el
acero fluya, por lo tanto la tensión en el acero de tracción no alcanza la tensión de fluencia (𝑓𝑠 < 𝑓𝑦 ).
Del diagrama de deformaciones se obtiene la siguiente relación:
𝜀𝑐
𝜀𝑠
=
𝑐
𝑑−𝑐
𝜀𝑠 = 0.003 ∙
𝑑−𝑐
𝑐
𝑓𝑠 = 𝜀𝑠 ∙ 𝐸𝑠 = 0.003 ∙
(4.13)
𝑑−𝑐
𝛽1 ∙ 𝑑 − 𝑎
∙ 𝐸𝑠 = 0.003 ∙
∙ 𝐸𝑠
𝑐
𝑎
(4.14)
Fuerza de compresión 𝐶 = 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑎 ∙ 𝑏
Fuerza de tracción
𝑇 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑠
Equilibrio de fuerzas 𝑇 = 𝐶
0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑠 = 𝐴𝑠 ∙ 0.003 ∙
(4.2)
(4.1)
(4.3)
𝛽1 ∙ 𝑑 − 𝑎
𝛽1 ∙ 𝑑 − 𝑎
∙ 𝐸𝑠 = 𝐴𝑠 ∙ 𝐸𝑠 ∙ 0.003 ∙
𝑎
𝑎
1
0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑏 ∙ 𝑎2 − 𝐴𝑠 ∙ 𝐸𝑠 ∙ 0.003 ∙ 𝛽1 ∙ 𝑑 + 𝐴𝑠 ∙ 𝐸𝑠 ⋅ 0.003 ∙ 𝑎 = 0 multiplicar por 𝑏∙𝑑
0.85 ∙ 𝑓𝑐′ 2
𝐴𝑠
𝐴𝑠
∙𝑎 +
∙ 0.003 ∙ 𝐸𝑠 ∙ 𝑎 −
∙ 0.003 ∙ 𝐸𝑠 ∙ 𝛽1 ∙ 𝑑 = 0
𝑑
𝑏∙𝑑
𝑏∙𝑑
83
Diseño de estructuras de hormigón armado
0.85 ∙ 𝑓𝑐′
∙ 𝑎2 + 𝑑 ∙ 𝑎 − 𝛽1 ∙ 𝑑2 = 0
𝜌 ∙ 0.003 ∙ 𝐸𝑠
(4.15)
Se resuelve la ecuación de segundo grado y se halla el valor de 𝑎
𝑎
𝑀𝑛 = 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ (𝑑 − )
2
𝑎
′
𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 𝜙 ∙ 0.85 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ (𝑑 − )
2

(4.16)
(4.17)
Falla balanceada
Esta falla se presenta para una cuantía particular de acero en la sección, para la cual, tanto el hormigón
como el acero, alcanzan simultáneamente sus capacidades máximas.
Deformación de fluencia del acero:
𝑓𝑦
𝜀𝑠 = 𝜀𝑦 =
𝐸𝑠
Deformación máxima del hormigón:
𝜀𝑐 = 0.003
𝜀𝑐
𝜀𝑠
=
⇒ 𝜀𝑐 ∙ (𝑑 − 𝑐𝑏 ) = 𝜀𝑦 ∙ 𝑐𝑏 ⇒ 𝑐𝑏 ∙ (𝜀𝑦 + 𝜀𝑐 ) = 𝜀𝑐 ∙ 𝑑
𝑐𝑏 𝑑 − 𝑐𝑏
0.003 ∙ 𝑑
0.003 ∙ 𝐸𝑠
600
=
∙𝑑 =
∙𝑑
𝑓𝑦
0.003 ∙ 𝐸𝑠 + 𝑓𝑦
600 + 𝑓𝑦
+
0.003
𝐸𝑠
𝑎𝑏
600
= 𝛽1 ∙
𝑑
600 + 𝑓𝑦
𝑐𝑏 =
𝐸𝑠 = 2 ∙ 105 [𝑀𝑃𝑎]
𝛽1 = 1.05 − 0.007 ∙ 𝑓𝑐′
(4.18)
(4.19)
0.65 ≤ 𝛽1 ≤ 0.85
Fuerza de compresión:
𝐶 = 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑎𝑏 ∙ 𝑏
(4.2)
Fuerza de tracción:
𝑇 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦
(4.1)
Equilibrio de fuerzas:
𝑇=𝐶
(4.3)
𝐴
0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑎𝑏 ∙ 𝑏 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 = 𝜌𝑏 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑦 donde 𝜌𝑏 = 𝑏∙𝑑𝑠
84
Vigas – Resistencia a la flexión
Para una falla balanceada, la cuantía de acero tiene un valor de:
0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑎𝑏
𝑓𝑦 ∙ 𝑑
Substituyendo el valor de 𝑎𝑏 en la ecuación (4.20)
𝜌𝑏 =
𝜌𝑏 =
(4.20)
0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝛽1
600
∙
𝑓𝑦
600 + 𝑓𝑦
(4.21)
En la ecuación anterior 𝑓𝑐′ y 𝑓𝑦 están en [𝑀𝑃𝑎]
En muy contadas ocasiones la cuantía de armadura 𝜌 será igual a la cuantía balanceada 𝜌𝑏 . En el caso
general 𝜌 será mayor o menor a 𝜌𝑏 .
𝑓
Si 𝜌 < 𝜌𝑏 ⇒ 𝑐 < 𝑐𝑏 y 𝜀𝑠 > 𝑦 ⇒ Falla por tracción
𝐸𝑠
𝑓
Si 𝜌 > 𝜌𝑏 ⇒ 𝑐 > 𝑐𝑏 y 𝜀𝑠 < 𝑦 ⇒ Falla por compresión
𝐸𝑠
𝜀𝑐 = 0.003
Fibra extrema en compresión
𝑐𝑏
Falla por tracción 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 y 𝜌 < 𝜌𝑏
𝑑
Falla balanceada
Falla por compresión 𝑓𝑠 < 𝑓𝑦 y 𝜌 > 𝜌𝑏
c.g. del
acero
𝜀𝑠 ≤ 𝜀𝑦
𝜀𝑦 =
𝑓𝑦
𝐸𝑠
𝜀𝑠 > 𝜀𝑦
Fig. 4.2. Diferentes tipos de fallas de una sección de hormigón armado
85
Diseño de estructuras de hormigón armado

Factor de reducción de la resistencia 𝝓
El código ACI ha introducido la terminología de “Secciones Controladas por Compresión” para aquellas
secciones en las que la deformación a la rotura en el acero de tracción del nivel extremo es menor o igual a
la deformación de fluencia por tracción 𝜀𝑦 . Este tipo de secciones desarrollan fallas por compresión o
fallas balanceadas. Las secciones que tienen una deformación a la rotura en el acero de tracción del nivel
extremo mayor o igual a 0.005 en tracción son llamadas “Secciones Controladas por Tracción”. Las
secciones que están entre los dos límites son llamadas “Secciones en Transición”.
Para reducir la probabilidad de que ocurran fallas frágiles, el código ACI en su sección 9.3.3.1 requiere
que los elementos de hormigón armado (no pretensados) sometidos a esfuerzos de flexión y con una carga
axial mayorada 𝑃𝑢 menor o igual a 0.10 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝐴𝑔 deben tener su deformación neta de tracción 𝜀𝑡 mayor o
igual a 0.004 para la resistencia nominal.
El código permite la utilización de acero de compresión en combinación con una adición de acero de
tracción para incrementar la resistencia de los elementos a flexión o para cambiar el modo de falla.
En el diseño de vigas de hormigón armado, las propiedades de la sección transversal, en lo posible, deben
asegurar una falla por tracción, eso quiere decir que la tensión en el acero, en el momento de la falla de la
sección, alcance su tensión de fluencia (𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 ). El código ACI en su sección 9.3.3.1, permite que las
vigas puedan ser diseñadas para una falla en transición siempre y cuando la deformación neta de tracción
sea igual o superior a 0.004 (𝜀𝑡 ≥ 0.004). Para este tipo de secciones cuyas fallas caen en el rango de
transición, se requiere que el factor de reducción de resistencia 𝜙 a utilizarse esté entre el valor para
columnas y vigas. El código permite realizar una transición lineal entre estos dos valores tal como fue
explicado en el primer capítulo del presente texto.
𝑎
𝑎
Para saber si 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 durante el diseño se debe verificar que 𝑑 ≤ 𝑑𝑏. Durante el diseño, la localización
exacta del centro de gravedad del acero no es conocida hasta que se escoge el refuerzo final porque no se
sabe que diámetro de barra se va a utilizar y cuántas filas de acero serán necesarias. Por esta razón, es más
fácil definir la distribución de deformaciones en términos de la profundidad 𝑑𝑡 a nivel del acero más
lejano de la cara de compresión. La deformación neta de tracción a nivel del acero más lejano de la cara de
compresión es 𝜀𝑡 . La deformación neta de tracción es la deformación del acero para la condición de
resistencia nominal, considerando sólo las cargas vivas y muertas últimas. No se toma en cuenta cualquier
deformación en el acero producida por pretensado, fluencia del hormigón, retracción o temperatura.
El código ACI en su sección 21.2.2 indica que las secciones controladas por compresión son aquellas en
las que la deformación neta de tracción 𝜀𝑡 , en el acero más cercano a la cara de tracción, es igual o menor
a la deformación de fluencia 𝜀𝑦 al mismo tiempo que el hormigón, en la cara de compresión, alcanza su
deformación límite asumida de 0.003. Para acero con tensiones de fluencia de 420 [𝑀𝑃𝑎], y para todo
tipo de acero de pretensado, se puede asumir que el límite de deformación para una falla controlada por
compresión es igual a 0.002.
86
Vigas – Resistencia a la flexión
Si 𝜀𝑡 ≤ 𝜀𝑦 ⇒ Sección controlada por compresión
𝑐𝑐𝑐
=
0.003
𝑑𝑡
𝑓𝑦
0.003 + 𝐸
𝑠
El módulo de elasticidad del acero 𝐸𝑠 es tomado como 200000 [𝑀𝑃𝑎]
600
𝑐𝑐𝑐
=
𝑑𝑡 600 + 𝑓𝑦
(4.22)
𝑎𝑐𝑐
600
= 𝛽1 ∙
𝑑𝑡
600 + 𝑓𝑦
(4.23)
Para aceros con 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] y para todos los aceros de pretensado el código permite que la
deformación de fluencia del acero sea tomada como 0.002.
𝑐𝑐𝑐
= 0.6
𝑑𝑡
(4.24)
𝑎𝑐𝑐
= 0.6 ∙ 𝛽1
𝑑𝑡
(4.25)
Si 𝜀𝑡 ≥ 0.005 ⇒ Sección controlada por tracción
𝑐𝑡𝑐
𝑑𝑡
=
0.003 0.003 + 0.005
𝑐𝑡𝑐
= 0.375
𝑑𝑡
(4.26)
𝑎𝑡𝑐
= 0.375 ∙ 𝛽1
𝑑𝑡
(4.27)
La figura 4.3 resume los tres tipos de falla que puede presentar una sección de hormigón armado
dependiendo de la deformación de la fila de aceros más cercana a la cara de tracción en el momento de la
falla. Por tanto, una sección puede presentar una falla controlada por tracción (𝜀𝑡 ≥ 0.005), compresión
(𝜀𝑡 < 𝜀𝑦 ) o balanceada (𝜀𝑡 = 𝜀𝑦 ).
87
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑏
𝜀𝑐 = 0.003
𝜀𝑐 = 0.003
𝑐𝑏
𝑑
Sección
𝑐𝑡𝑐
𝑐𝑐𝑐
𝑑𝑡
𝐴𝑠
𝜀𝑐 = 0.003
𝜀𝑠 = 𝜀𝑦
𝜀𝑡 < 𝜀𝑦
𝜀𝑡 ≥ 0.005
Sección
balanceada
Sección controlada
por compresión
Sección controlada
por tracción
Fig. 4.3. Falla balanceada, controlada por compresión y controlada por tracción
Para secciones en transición el código ACI específica para 𝜙 una transición lineal desde 0.9 hasta 0.65 o
0.75. En la figura de abajo se puede apreciar gráficamente la variación del factor 𝜙 tomando en cuenta el
tipo de refuerzo transversal que tiene el elemento.
𝜙
𝜙 = 0.75 + 50 ∙ (𝜀𝑡 − 0.002)
0.90
0.75
0.65
Espiral
250
𝜙 = 0.65 + (𝜀𝑡 − 0.002) ∙ (
)
3
Estribos
Falla controlada
por compresión
Falla en
transición
𝜀𝑡 = 0.002
𝑐 ∕ 𝑑𝑡 = 0.600
𝑎 ∕ 𝑑𝑡 = 0.600 ∙ 𝛽1
Falla controlada
por tracción
𝜀𝑡 = 0.005
𝑐 ∕ 𝑑𝑡 = 0.375
𝑎 ∕ 𝑑𝑡 = 0.375 ∙ 𝛽1
Miembros con refuerzo en espiral
Miembros con estribos normales
Fig. 4.4. Variación del factor de reducción de la resistencia 𝝓
88
𝜀𝑡
Vigas – Resistencia a la flexión
Como alternativa, para la zona en transición, se puede calcular 𝜙 utilizando las siguientes ecuaciones:
Para elementos con refuerzo en espiral:
𝛽1
𝜙 = 0.50 + 0.15 ∙ 𝑎
𝑑𝑡
(1.8)
Para elementos con otro tipo de refuerzo:
𝛽1
𝜙 = 0.23 + 0.25 ∙ 𝑎
𝑑𝑡
(1.9)
Ejemplo. Calcular el momento nominal 𝑀𝑛 y el momento nominal de diseño 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 correspondiente a la
sección transversal de la figura.
250
500
Datos:
𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
𝑏 = 250 [𝑚𝑚]
𝑑 = 500 [𝑚𝑚]
𝐴𝑠 = 1473 [𝑚𝑚2 ]
3𝜙25
Sección
a) Asumir 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 y calcular 𝑎
𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦
1473 ∙ 420
=
′
0.85 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 0.85 ∙ 20 ∙ 250
𝑎 = 146 [𝑚𝑚]
𝑎=
b) Verificar si 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 y si la sección es controlada por tracción
𝑎
146
𝑎
=
=
= 0.292
𝑑 𝑑𝑡 500
En este caso 𝑑 = 𝑑𝑡
𝛽1 = 1.05 − 0.007 ∙ 𝑓𝑐′ = 1.05 − 0.007 ∙ 20 = 0.91 > 0.85 ⇒ 𝛽1 = 0.85
600
600
𝑎𝑏
= 𝛽1 ∙
= 0.85 ∙
= 0.5
𝑑
600 + 𝑓𝑦
600 + 420
89
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑎
𝑎
Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑏 ⇒ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦
𝑎
𝑎
Para verificar si la sección es controlada por tracción hay que ver si 𝑑 ≤ 𝑑𝑡𝑐
𝑡
𝑡
𝑎𝑡𝑐
= 0.375 ∙ 𝛽1 = 0.375 ∙ 0.85 = 0.319
𝑑𝑡
𝑎
𝑎
Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑡𝑐 ⇒ La sección está controlada por tracción 𝜙 = 0.9
𝑡
𝑡
c) Calcular el momento nominal 𝑀𝑛
𝑎
146
𝑀𝑛 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ∙ (𝑑 − ) = 1473 ∙ 420 ∙ (500 −
)
2
2
𝑀𝑛 = 264167820 [𝑁 ∙ 𝑚𝑚] = 264.17 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
d) Calcular el momento nominal 𝜙 ∙ 𝑀𝑛
𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 0.9 ∙ 264.17 = 237.75 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
e) Calcular el brazo de palanca y el coeficiente 𝑗
𝑎
146
= 500 −
2
2
𝑗 ∙ 𝑑 = 427 [𝑚𝑚] ⇒ 𝑗 = 0.85
𝑗∙𝑑 =𝑑−
Ejemplo. En el problema anterior sustituir los 3𝜙25 por 3𝜙28 (𝐴𝑠 = 1847 [𝑚𝑚2 ]).
a) Asumir 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 y calcular 𝑎
𝑎=
𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦
1847 ∙ 420
=
′
0.85 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 0.85 ∙ 20 ∙ 250
𝑎 = 183 [𝑚𝑚]
b) Verificar si 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 y si la sección es controlada por tracción
𝑎
𝑎
183
=
=
= 0.366
𝑑 𝑑𝑡 500
𝑎𝑏
= 0.5
𝑑
90
Vigas – Resistencia a la flexión
𝑎
𝑎
Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑏 ⇒ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦
𝑎
𝑎
Verificar si la sección es controlada por tracción 𝑑 ≤ 𝑑𝑡𝑐
𝑡
𝑡
𝑎𝑡𝑐
= 0.319
𝑑𝑡
𝑎
𝑎
Como 𝑑 > 𝑑𝑡𝑐 ⇒ La sección no está controlada por tracción
𝑡
𝑡
𝑎
𝑎
Verificar si la sección es controlada por compresión 𝑑 ≥ 𝑑𝑐𝑐
𝑡
𝑡
𝑎𝑐𝑐
600
600
= 𝛽1 ∙
= 0.85 ∙
= 0.5
𝑑𝑡
600 + 𝑓𝑦
600 + 420
𝑎
𝑎
𝑎
Como 𝑑𝑡𝑐 ≤ 𝑑 ≤ 𝑑𝑐𝑐 ⇒ La sección falla en transición
𝑡
𝑡
𝜙 = 0.23 + 0.25 ∙
𝑡
0.85
𝛽1
= 0.23 + 0.25 ∙
= 0.81
0.366
𝑎 ∕ 𝑑𝑡
c) Calcular el momento nominal 𝑀𝑛
𝑎
183
𝑀𝑛 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ∙ (𝑑 − ) = 1847 ∙ 420 ∙ (500 −
)
2
2
𝑀𝑛 = 316889790 [𝑁 · 𝑚𝑚] = 316.89 [𝑘𝑁 · 𝑚]
d) Calcular el momento nominal 𝜙 ∙ 𝑀𝑛
𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 0.81 ∙ 316.89 = 256.68 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
e) Calcular el brazo de palanca y el coeficiente 𝑗
𝑗∙𝑑 =𝑑−
𝑎
183
= 500 −
2
2
𝑗 ∙ 𝑑 = 409 [𝑚𝑚] ⇒ 𝑗 = 0.82
Ejemplo. En el problema anterior sustituir los 3𝜙28 por 3𝜙40 (𝐴𝑠 = 3770 [𝑚𝑚2 ])
a) Asumir 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 y calcular 𝑎
91
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑎=
𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦
3770 ∙ 420
=
′
0.85 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 0.85 ∙ 20 ∙ 250
𝑎 = 373 [𝑚𝑚]
b) Verificar si 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 y si la sección es controlada por tracción
𝑎 373
𝑎𝑏
=
= 0.746 >
= 0.5
𝑑 500
𝑑
𝑎
𝑎
Como 𝑑 > 𝑑𝑏 entonces 𝑓𝑠 < 𝑓𝑦 y la falla de la viga es por compresión, por lo que el valor de 𝑎 está mal
calculado. Además, para falla en compresión el valor de 𝜙 debe ser tomado como 0.65.
c) Recalcular 𝑎 para la falla por compresión.
0.85 ∙ 𝑓𝑐′
∙ 𝑎2 + 𝑑 ∙ 𝑎 − 𝛽1 ∙ 𝑑2 = 0
𝜌 ∙ 0.003 ∙ 𝐸𝑠
𝜌=
3770
𝐴𝑠
=
= 0.03016
𝑏 ∙ 𝑑 250 ∙ 500
0.93943 ∙ 𝑎2 + 500 ∙ 𝑎 − 212500 = 0
𝑎 = 279 [𝑚𝑚]
𝑎
279
𝑎
𝑎
279
𝑎
Como 𝑑 = 500 = 0.558 > 𝑑𝑏 y 𝑑 = 500 = 0.558 > 𝑑𝑐𝑐 entonces 𝑓𝑠 < 𝑓𝑦 y 𝜙 = 0.65
𝑡
𝑡
d) Calcular el momento nominal 𝑀𝑛
𝑎
279
𝑀𝑛 = 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ (𝑑 − ) = 0.85 ∙ 20 ∙ 279 ∙ 250 ∙ (500 −
)
2
2
𝑀𝑛 = 427462875 [𝑁 ∙ 𝑚𝑚] = 427.46 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
e) Calcular el momento nominal de diseño 𝜙 ∙ 𝑀𝑛
𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 0.65 ∙ 427.46 = 277.85 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
f) Calcular el brazo de palanca y el coeficiente 𝑗
𝑗∙𝑑 =𝑑−
92
𝑎
279
= 500 −
2
2
Vigas – Resistencia a la flexión
𝑗 · 𝑑 = 361 [𝑚𝑚] ⇒ 𝑗 = 0.72
Ejemplo. Considerando la sección transversal y las propiedades de los materiales del problema anterior
hallar el momento nominal, el momento nominal de diseño y el área de acero para que la sección tenga
una falla balanceada.
a) Hallar la cuantía balanceada y el área de acero correspondiente
𝜌𝑏 =
0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝛽1
600
0.85 ∙ 20 ∙ 0.85
600
∙
=
∙
= 0.02024
𝑓𝑦
600 + 𝑓𝑦
420
600 + 420
𝐴𝑠 = 𝑏 ∙ 𝑑 ∙ 𝜌𝑏 = 250 ∙ 500 ∙ 0.02024
𝐴𝑠 = 2530 [𝑚𝑚2 ]
b) Calcular 𝑎 conociendo que 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦
𝑎=
𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦
2530 ∙ 420
=
′
0.85 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 0.85 ∙ 20 ∙ 250
𝑎 = 250 [𝑚𝑚]
c) Calcular el momento nominal 𝑀𝑛
𝑎
250
𝑀𝑛 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ∙ (𝑑 − ) = 2530 ∙ 420 ∙ (500 −
)
2
2
𝑀𝑛 = 398475000 [𝑁 · 𝑚𝑚] = 398.48 [𝑘𝑁 · 𝑚]
d) Calcular el momento nominal 𝜙 ∙ 𝑀𝑛
𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 0.65 ∙ 398.48 = 259.01 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
e) Calcular el brazo de palanca y el coeficiente 𝑗
𝑗∙𝑑 =𝑑−
𝑎
250
= 500 −
2
2
𝑗 · 𝑑 = 375 [𝑚𝑚] ⇒ 𝑗 = 0.75
93
Diseño de estructuras de hormigón armado
Observaciones
El código ACI en su sección 9.3.3.1 indica que para el diseño de elementos no preesforzados en flexión o
elementos no preesforzados con carga axial mayorada de compresión 𝑃𝑢 menor o igual a 0.10 · 𝑓𝑐′ · 𝐴𝑔 la
deformación neta de tracción 𝜀𝑡 en el acero más cercano a la cara de tracción no debe ser menor a 0.004.
El efecto de esta limitación es el de limitar la cantidad de refuerzo en vigas no pretensadas de tal modo
que se pueda asegurar un comportamiento dúctil de la sección en el momento de la falla. Con base a esta
limitación se pueden deducir las siguientes expresiones:
𝑐𝑣
𝑑𝑡
=
0.003 0.003 + 0.004
𝑐𝑣 = 0.429 ∙ 𝑑𝑡
(4.28)
𝑎𝑣
= 0.429 ∙ 𝛽1
𝑑𝑡
(4.29)
𝑎
Las vigas se deben diseñar cuidando de que 𝑑 ≤ 0.429 ∙ 𝛽1
𝑡
𝑎
Para los ejemplos anteriores, donde 𝛽1 = 0.85, la relación 𝑑𝑣 tiene el siguiente valor:
𝑡
𝑎𝑣
= 0.365
𝑑𝑡
(4.30)
En la viga donde se dispusieron de 3𝜙40 (área de acero de 37.70 [𝑐𝑚2 ]) se tiene como resultado una
profundidad del bloque de compresiones igual a 279 [𝑚𝑚].
𝑎
= 0.558
𝑑𝑡
𝑎
Como 𝑑 > 0.365 esta sección viola el requerimiento del código, por lo tanto debería aumentarse su altura
𝑡
o utilizar acero de compresión para cambiar su modo de falla.

Variación de la resistencia a la flexión de una sección con armadura simple
En la región de falla por tracción la resistencia nominal no se incrementa linealmente con el área de acero.
Esto se debe a que a pesar de que la fuerza en el acero se incrementa linealmente, existe una reducción en
su brazo con el incremento de acero.
94
Vigas – Resistencia a la flexión
𝑗
Falla balanceada
𝜌 = 𝜌𝑏
𝑀𝑛
𝑀 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
𝜙 ∙ 𝑀𝑛
Falla por tracción
𝜌 < 𝜌𝑏
Falla por compresión
𝜌 > 𝜌𝑏
𝐴𝑠 [𝑚𝑚2 ]
Fig. 4.5. Variación de la resistencia de una sección de hormigón armado
en función de la cuantía de acero
En el ejemplo, el coeficiente 𝑗 del brazo se reduce de 1.00 cuando 𝐴𝑠 = 0 hasta 0.75 para el contenido de
acero correspondiente a la falla balanceada. En la región de falla por compresión, el incremento de la
resistencia nominal 𝑀𝑛 con el área de acero es muy pequeño, porque tanto el esfuerzo en el acero como el
brazo decrecen con el incremento del área de acero. Por lo tanto, un incremento en el área de acero por
encima del punto de falla balanceada no se justifica por el bajo incremento en la resistencia de la sección.
95
Diseño de estructuras de hormigón armado
4.1.2. Diseño de vigas rectangulares
El proceso de diseño de vigas en hormigón armado es mucho más complejo que el de análisis puesto que
existe un número grande de variables que intervienen. Por lo tanto, para realizar un buen diseño es
necesario considerar ciertos aspectos fundamentales que pueden ayudar a simplificar el número de
variables. A continuación se presentan las consideraciones más importantes que el ingeniero calculista
debe tomar en cuenta antes de proceder con el diseño de un elemento o estructura en hormigón armado.

Localización del refuerzo
La primera pregunta que el ingeniero se hace es: ¿Dónde se debe colocar la armadura para resistir las
fuerzas que actúan sobre la estructura o el elemento considerado?
La armadura debe ser colocada donde la flexión, las cargas axiales, los esfuerzos de retracción, etc.,
causan esfuerzos de tracción. En general, el diagrama envolvente de momentos flectores es el que guía de
una manera clara y sencilla al calculista para decidir en qué lugares de la viga o del elemento se debe
reforzar. En las siguientes figuras se da como ejemplo el caso de una viga simplemente apoyada y de una
viga empotrada en un extremo. De acuerdo al diagrama de momentos flectores se puede evidenciar que
para el caso de la viga simplemente apoyada el refuerzo debe estar localizado lo más cerca de la fibra
inferior, mientras que para el caso de la viga en voladizo, el refuerzo debe ser colocado lo más cerca de la
fibra superior.
Fig. 4.6. Posición del acero de refuerzo en vigas de hormigón armado
96
Vigas – Resistencia a la flexión

Relación entre altura de viga y deflexiones
El parámetro que afecta de la manera más significativa a la deflexión de los elementos de una estructura es
el momento de inercia de la sección transversal, porque la deflexión es siempre inversamente proporcional
a la rigidez de flexión 𝐸 · 𝐼 y directamente proporcional a la carga 𝑤 y a la luz ℓ. En forma general la
deflexión puede ser expresada de la siguiente forma:
𝑤 ∙ ℓ4
Δ𝑚𝑎𝑥 = 𝐶1 ∙
𝐸∙𝐼
(4.31)
Modificando la ecuación y haciendo suposiciones sobre deformaciones en el acero y profundidad del eje
neutro, la ecuación adquiere la siguiente forma:
Δ
ℓ
=𝐶∙
ℓ
𝑑
Δ = Deflexión de la viga
ℓ = Luz de cálculo (luz entre ejes de soportes)
𝑑 = Canto útil de la viga
Δ
La anterior fórmula indica que para cualquier relación aceptable de deflexión – longitud de la viga ℓ se
ℓ
puede hallar una relación longitud – altura de viga 𝑑 con la cual se obtienen deflexiones admisibles las
cuales si son excedidas puede dar como resultado deflexiones perjudiciales e inadmisibles.
La mejor manera de disminuir la deflexión en vigas es aumentando las dimensiones de la sección y en
especial la altura del elemento puesto que su inercia aumenta con el cubo de la altura. Por ejemplo, para el
𝑏∙ℎ 3
caso de una sección rectangular de base 𝑏 y altura ℎ, su inercia es 12 .
Para los casos en los cuales no se calculan las deflexiones de los elementos, la siguiente tabla da alturas
mínimas de vigas no pretensadas y espesores de losas armadas en una dirección, cuando éstas no soportan
o están en contacto con particiones susceptibles a sufrir daño por grandes deflexiones.
Espesor o altura mínima de elementos cuando no soportan o están ligados a divisiones u otro
tipo de elementos susceptibles de dañarse debido a deflexiones grandes
Losas sólidas en una
dirección
Simplemente
apoyado
ℓ
20
Un extremo
continuo
ℓ
24
Ambos extremos
continuos
ℓ
28
Vigas o losas nervadas
en una dirección
ℓ
16
ℓ
18.5
ℓ
21
Tipo de Elemento
En voladizo
ℓ
10
ℓ
8
Basado en las tablas 7.3.1.1 y 9.3.1.1 del código ACI
97
Diseño de estructuras de hormigón armado

Recubrimiento y espaciamiento de la armadura
El recubrimiento de la armadura es necesario debido a diferentes factores, entre los cuales se pueden citar
los siguientes:
- Se necesita un cierto recubrimiento para la adherencia entre el acero y el hormigón. Por lo
menos se requiere un recubrimiento igual al diámetro de la barra para que exista una buena
adherencia.
- Para proteger la armadura de la corrosión. Dependiendo del medio ambiente y del tipo de
elemento el recubrimiento varía entre 20 [𝑚𝑚] y 75 [𝑚𝑚].
- Para proteger la armadura del fuego. Un recubrimiento de 20 [𝑚𝑚] para la armadura en losas
provee una protección de 1 [ℎ𝑜𝑟𝑎].
- Para proteger la armadura de posibles desgastes de la superficie del elemento como por
ejemplo en losas de fábricas o de edificios de estacionamiento de tal modo que el
recubrimiento no se reduzca a valores menores de los necesarios para otros fines.
El código ACI en su sección 20.6.1 indica los mínimos recubrimientos que las barras de acero deben tener
dependiendo de sus diámetros, condiciones del medio ambiente y tipo de elemento que refuerzan. En
estructuras de hormigón armado donde el hormigón es vaciado en sitio, la sección 20.6.1.3.1 del código
ACI da las recomendaciones para los recubrimientos. La longitud de desarrollo de las barras de acero está
en función del recubrimiento, por lo que puede ser deseable utilizar recubrimientos mayores al mínimo. La
siguiente tabla adapta las recomendaciones de la sección 20.6.1.3.1 del código ACI.
Hormigón vaciado en sitio (Hormigón Armado)
Condición de exposición del
elemento
Tipo de Elemento
Diámetro de
barra [mm]
Recubrimiento
mínimo [mm]
Hormigón vaciado en contacto y
expuesto permanentemente al suelo
No especificado
No especificado
75
No especificado
18 ≤ 𝑑𝑏 ≤ 56
50
No especificado
𝑑𝑏 ≤ 16
40
Losas, muros y
viguetas
44 ≤ 𝑑𝑏 ≤ 56
40
𝑑𝑏 < 44
20
Refuerzo
primario
No especificado
40
Estribos y
espirales
No especificado
40
𝑑𝑏 ≥ 18
20
𝑑𝑏 ≤ 16
13
Hormigón expuesto a la intemperie
o en contacto con el suelo
Hormigón no expuesto a la
intemperie o sin contacto con el
suelo
Vigas y
columnas
Cáscaras y placas
plegadas (ACI 318.2)
98
Vigas – Resistencia a la flexión
DS 60 Chile - Hormigón vaciado en sitio (Hormigón Armado)
Condiciones
Condición de exposición
del elemento
Tipo de Elemento
Diámetro de barra
[𝒎𝒎]
Normales
Severas
Hormigón colocado
contra el suelo y expuesto
permanentemente a él
No especificado
No especificado
50
70
No especificado
18 ≤ 𝑑𝑏 ≤ 56
40
50
No especificado
𝑑𝑏 ≤ 16
30
40
44 ≤ 𝑑𝑏 ≤ 56
40
40
16 ≤ 𝑑𝑏 < 44
20
20
𝑑𝑏 < 16
15
20
Refuerzo
primario
No especificado
30
40
Estribos y
espirales
No especificado
20
30
Cáscaras y placas
plegadas
𝑑𝑏 ≥ 18
20
20
𝑑𝑏 ≤ 16
15
15
Armadura principal
𝑑𝑏 ≤ 10
20
30
Amarras, estribos y
espirales
𝑑𝑏 ≤ 8
15
20
Hormigón expuesto al
suelo o al aire libre
Losas, muros y
nervaduras
Hormigón no expuesto al
aire libre ni en contacto
con el suelo
Elementos de
confinamiento en
albañilería
Vigas y
columnas
50 [𝑚𝑚]
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑏 ≥ 18 [𝑚𝑚]
20 [𝑚𝑚] 𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑑𝑏 < 44 [𝑚𝑚]
Cara exterior
(expuesta)
50
50 [𝑚𝑚]
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑏 ≥ 18 [𝑚𝑚]
Capa de hormigón de
limpieza (emplantillado)
a) Losa de fundación
Cara interior
(no expuesta)
Suelo
Suelo
b) Muro
Fig. 4.7. Recubrimientos mínimos para armaduras en hormigones vaciados en sitio (Según ACI)
99
Diseño de estructuras de hormigón armado
En estructuras de hormigón pretensado donde el hormigón es vaciado en sitio, la sección 20.6.1.3.2 del
código ACI especifica los recubrimientos necesarios tanto para la armadura pasiva, como para la activa.
La siguiente tabla adapta las recomendaciones de la sección 20.6.1.3.2 del código ACI.
Hormigón vaciado en sitio (Hormigón Pretensado)
Condición de exposición del
elemento
Tipo de Elemento
Diámetro de
barra [mm]
Recubrimiento
mínimo [mm]
Hormigón vaciado en contacto y
expuesto permanentemente al suelo
No especificado
No especificado
75
Paneles de muros, losas
y viguetas
No especificado
25
Otros elementos
No especificado
40
Losas, muros y nudos
No especificado
20
Refuerzo
primario
No especificado
40
Estribos y
espirales
No especificado
25
𝑑𝑏 ≤ 16
10
Otros refuerzos
𝑑𝑏 ≥ 20
Hormigón expuesto a la intemperie
o en contacto con el suelo
Hormigón no expuesto a la
intemperie o sin contacto con el
suelo
Vigas y
columnas
Cáscaras y placas
plegadas (ACI 318.2)
DS 60 Chile - Hormigón vaciado en sitio (Hormigón Pretensado)
Condiciones
Condición de exposición
del elemento
Tipo de Elemento
Diámetro de barra
[mm]
Normales
Severas
Hormigón colocado en
contacto con el suelo y
permanentemente
expuesto a él
No especificado
No especificado
60
70
Paños de muros, losas
y nervaduras
No especificado
25
25
Otros elementos
No especificado
40
40
Losas, muros y
nervaduras
No especificado
20
20
Refuerzo
primario
No especificado
30
40
Estribos y
espirales
No especificado
20
25
𝑑𝑏 ≤ 16
10
10
Otros refuerzos
𝑑𝑏 ≥ 20
𝑑𝑏 ≥ 20
Hormigón expuesto al
suelo o al aire libre
Hormigón no expuesto al
aire libre ni en contacto
con el suelo
Vigas y
columnas
Cáscaras y placas
plegadas
100
Vigas – Resistencia a la flexión
Para hormigones prefabricados bajo condiciones de control de planta la sección 20.6.1.3.3 del código ACI
especifica los recubrimientos necesarios tanto para la armadura pasiva, como para la activa. Cuando el
hormigón tiene un control estricto de calidad durante su preparación, vaciado y curado los recubrimientos
necesarios disminuyen. El recubrimiento del hormigón para cables de pretensado provee una protección
mínima contra el clima y otros efectos. Ese recubrimiento puede no ser suficiente para transferir o
desarrollar la tensión en el cable, por lo que puede que sea necesario incrementar el recubrimiento. La
siguiente tabla adapta las recomendaciones de la sección 20.6.1.3.3 del código ACI.
Hormigón prefabricado (Fabricado bajo condiciones de control de planta)
Condición de exposición
del elemento
Diámetro de barra [mm]
Recubrimiento
mínimo [mm]
44 ≤ 𝑑𝑏 ≤ 56 y cables de
pretensado > 40
40
𝑑𝑏 < 44 y cables de
pretensado ≤ 40
20
44 ≤ 𝑑𝑏 ≤ 56 y cables de
pretensado > 40
50
18 ≤ 𝑑𝑏 < 44 y
16 < cables de
pretensado ≤ 40
40
𝑑𝑏 ≤ 16 y cables de
pretensado ≤ 16
30
44 ≤ 𝑑𝑏 ≤ 56 y cables de
pretensado > 40
30
Cables de pretensado
≤ 40
20
𝑑𝑏 ≤ 36
16
Refuerzo
primario
No especificado
𝑑𝑏 ≥ 16, pero
≤ 40
Estribos y
espirales
No especificado
10
Cables de pretensado
20
𝑑𝑏 ≥ 18
16
𝑑𝑏 ≤ 16
10
Tipo de Elemento
Paneles de muro
Hormigón expuesto a la
intemperie o en contacto
permanente con el suelo
Otros elementos
Losas, muros y nudos
Hormigón no expuesto a
la intemperie o sin
contacto con el suelo
Vigas y
columnas
Cáscaras y placas
plegadas (ACI 318.2)
101
Diseño de estructuras de hormigón armado
DS 60 Chile - Hormigón prefabricado (Fabricado bajo condiciones de control de planta)
Condición de exposición
del elemento
Tipo de Elemento
Paneles para muros
Hormigón expuesto al
suelo o al aire libre
Otros elementos
Losas, muros y
nervaduras
Hormigón no expuesto al
aire libre ni en contacto
con el suelo
Vigas y
columnas
Condiciones
Diámetro de barra
[mm]
Normales
Severas
44 ≤ 𝑑𝑏 ≤ 56
40
40
𝑑𝑏 < 44
20
20
44 ≤ 𝑑𝑏 ≤ 56
50
50
18 ≤ 𝑑𝑏 < 44
30
40
𝑑𝑏 < 18
20
30
44 ≤ 𝑑𝑏 ≤ 56 y
cables de pretensado
> 40
30
30
Cables de pretensado
≤ 40
20
20
𝑑𝑏 ≤ 36
15
15
Refuerzo
primario
No especificado
Estribos y
espirales
No especificado
10
10
Cables de pretensado
20
20
𝑑𝑏 ≥ 18
15
15
𝑑𝑏 ≤ 16
10
10
Cáscaras y placas
plegadas
𝑑𝑏 ≥ 15,
𝑑𝑏 ≥ 15,
pero ≤ 40 pero ≤ 40
Cuando el ambiente donde se encuentra la estructura es altamente corrosivo o cuando se prevé la
exposición a cloruros, la dosificación de la mezcla de hormigón debe ser estudiada cuidadosamente
considerando el porcentaje mínimo de aire, la relación máxima de agua - cemento, resistencia mínima del
hormigón a los 28 días, tipo de cemento, etc. Adicionalmente, para la protección contra la corrosión, se
debe dar un recubrimiento mínimo de 50 [𝑚𝑚] para muros y losas, y 60 [𝑚𝑚] para los otros tipos de
elemento. Para elementos prefabricados, construidos bajo condiciones de control de planta, un
recubrimiento mínimo de 40 [𝑚𝑚] y 50 [𝑚𝑚] respectivamente, es recomendado.
El recubrimiento mínimo para paquetes de barras debe ser igual al diámetro de barra equivalente, pero no
necesita ser mayor de 50 [𝑚𝑚], excepto que cuando el hormigón es vaciado contra el suelo y se encuentra
permanentemente expuesto a él, entonces el recubrimiento mínimo debe ser de 75 [𝑚𝑚].
Si para la ampliación de edificaciones se deja previsto armaduras expuestas a la intemperie, éstas deben
ser protegidas contra la corrosión. Si en el código general o local de construcción existe un requerimiento
de protección contra el fuego, por el cual los recubrimientos de las armaduras indicados previamente
resultan insuficientes, entonces se debe utilizar los recubrimientos mayores para cumplir con la protección
contra el fuego.
102
Vigas – Resistencia a la flexión

Colocación de las barras de acero
Es importante detallar cuidadosamente la colocación de las barras de acero en la sección para que no se
interfiera con el vaciado de la mezcla de hormigón, ni tampoco con las tareas de vibración que se
requieren para consolidar la masa de hormigón fresco. Cuando el ancho del elemento no es suficiente para
acomodar todas las barras en una sola fila, es común disponer el acero en dos capas. Nunca se deben
colocar los aceros en la disposición conocida como “al tres bolillo”, puesto que de esa manera la mezcla
no puede fluir fácilmente y las tareas de vibración también se ven dificultadas. En la siguiente figura se
muestra la manera correcta e incorrecta de disponer las barras.
Colocación incorrecta
Colocación correcta
Fig. 4.8. Colocación de la armadura principal en dos filas
Además de una correcta disposición de las barras en una o dos filas, se debe cuidar que exista entre ellas y
hacia los bordes exteriores la suficiente distancia para permitir el ingreso de la mezcla de hormigón y del
vibrador, asegurar una buena adherencia entre las barras de acero y el hormigón que las circunscribe y por
último, pero no menos importante, tener el suficiente recubrimiento para la protección contra la corrosión.
ℎ
Mayor a:
- 25 [𝑚𝑚]
- 1.33 ∙ 𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑚𝑎𝑥 𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑜
40 [𝑚𝑚]
40 [𝑚𝑚]
Mayor a:
- Diámetro de la barra 𝑑𝑏 (ACI 25.2.1)
- 25 [𝑚𝑚] (ACI 25.2.1)
- 1.33 ∙ 𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑚𝑎𝑥 𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑜 (ACI 25.2.1)
Mínimo espaciamiento entre barras
≤ 450 [𝑚𝑚]
Menor a:
- 3 ∙ ℎ para losas en una dirección (ACI 7.7.2.3)
- 2 ∙ ℎ para secciones críticas en losas 2D (ACI 8.7.2.2)
- 3 ∙ ℎ para otras secciones en losas 2D (ACI 8.7.2.2)
Máximo espaciamiento de barras traccionadas en losas
en una y dos direcciones (excepto losas nervadas)
Fig. 4.9. Espaciamientos mínimos y máximos de barras de acero
103
Diseño de estructuras de hormigón armado
Ejemplo. Calcular el canto útil 𝑑 y el ancho mínimo 𝑏 de la viga de la figura si su altura es de
600 [𝑚𝑚] y el tamaño máximo del agregado es de 19 [𝑚𝑚] (3/4”).
2 · 𝑑𝑠
2 · 𝑑𝑠 − 0.5 · 𝑑𝑏
0.5 · 𝑑𝑏
2𝜙25
25
3𝜙32
≥ 25
32
10
40
40
10 4
32
≥ 32
32
≥ 32
32 4 10
40
El recubrimiento mínimo para el estribo es de 40 [𝑚𝑚] y la mínima distancia entre filas de aceros debe
ser de 25 [𝑚𝑚] y no menor a 1.33 veces el tamaño máximo del agregado (1.33 · 19 = 25 [𝑚𝑚]). Por lo
tanto, se escoge 25 [𝑚𝑚].
Fila
Centro de gravedad de las armaduras
𝒚𝒊 [𝒎𝒎]
𝑨𝒊 [𝒄𝒎𝟐 ]
𝑨𝒊 · 𝒚𝒊 [𝒄𝒎𝟐 · 𝒎𝒎]
Inferior
Superior
TOTAL
24.13
9.82
33.95
∑ 𝐴𝑖 ∙ 𝑦𝑖
∑ 𝐴𝑖
𝑦 = 81.5 [𝑚𝑚]
𝑑 = ℎ − 𝑦 = 600 − 81.5 = 518.5 [𝑚𝑚]
𝑦=
Cálculo del ancho mínimo de la viga
104
66.0
119.5
-----
1592.58
1173.49
2766.07
Vigas – Resistencia a la flexión
El radio de doblado del estribo es de 2 · 𝑑𝑠 , donde 𝑑𝑠 es el diámetro del estribo. Si 𝑑𝑠 = 10 [𝑚𝑚],
entonces 2 · 𝑑𝑠 = 20 [𝑚𝑚]. Para las barras cuyo diámetro es menor a 40 [𝑚𝑚], habrá un espacio entre el
estribo y la barra.
Espacio = 2 · 𝑑𝑠 – 0.5 · 𝑑𝑠 = 2 · 10– 0.5 · 32 = 4 [𝑚𝑚]
La mínima distancia horizontal entre barras es la mayor de 𝑑𝑏 , 25 [𝑚𝑚] y 1.33 veces el tamaño máximo
del agregado.
Distancia = 32 [𝑚𝑚]
 𝑏𝑚𝑖𝑛 = 40 + 10 + 4 + 32 + 32 + 32 + 32 + 32 + 4 + 10 + 40 = 268 [𝑚𝑚]
Adoptar 𝑏 = 300 [𝑚𝑚]
Es importante no subestimar el valor de 𝑑 ya que durante las operaciones de vaciado de la mezcla de
hormigón éste valor suele disminuir especialmente en la zona de la armadura negativa, debido a que los
obreros pisan la armadura y ésta desciende.
Como el cálculo del canto útil de una sección depende de la posición del centro de gravedad del conjunto
de armaduras y eso puede resultar a veces engorroso y moroso, en la práctica es generalmente satisfactorio
utilizar las relaciones que se presentan en la siguiente tabla.
Estimación del canto útil de la sección
Tipo de elemento
Vigas con una fila de aceros
Vigas con dos filas de aceros
Losas con luces hasta de 3.5 [𝑚]
Losas con luces mayores a 3.5 [𝑚]

𝒅 [𝒎𝒎]
ℎ − 65
ℎ − 90
ℎ − 25
ℎ − 30
Armadura mínima
La provisión de armadura mínima por flexión, generalmente es aplicada a aquellos elementos que por
razones estéticas, arquitectónicas o de otra índole han sido diseñados con una sección transversal mucho
mayor a la requerida por cálculo. En este tipo de secciones suele ocurrir que la armadura por cálculo es
muy pequeña y por consiguiente en la viga se puede producir una falla repentina si la resistencia a la
flexión de la sección agrietada es menor al momento que produjo la primera fisura en la sección. Por esta
razón, el código ACI en su sección 9.6.1.2 requiere una cantidad mínima de acero de flexión.
105
Diseño de estructuras de hormigón armado
√𝑓𝑐′
∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 [𝑚𝑚2 ]
𝑓𝑦
𝑏𝑤 ∙ 𝑑
[𝑚𝑚2 ]
𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 ≥ 1.4 ∙
𝑓𝑦
𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 = 0.25 ∙
Donde:
𝑓𝑐′ y 𝑓𝑦 están en [𝑀𝑃𝑎].
𝑏𝑤 y 𝑑 están en [𝑚𝑚].
(4.32)
(4.33)
𝑏𝑤
𝑏𝑤
Se aplica para vigas rectangulares y para vigas de sección T con el ala en compresión y para las regiones
de momento negativo de vigas continuas de sección T donde el ala está en tracción.
Para vigas isostáticas de sección T con el ala en tracción (viga en voladizo o simplemente apoyada de
sección T invertida), el área mínima es igual al menor de los siguientes valores:
√𝑓𝑐′
∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
𝑓𝑦
Donde 𝑏𝑤 es el ancho del alma
𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 = 0.50 ∙
√𝑓𝑐′
∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
𝑓𝑦
Donde 𝑏𝑤 es el ancho del ala
𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 = 0.25 ∙
(4.34)
(4.35)
1
El requerimiento de área mínima no necesita ser aplicado si el área de acero colocada es al menos 3 mayor
a la requerida por el análisis.
En el caso de losas de hormigón armado y zapatas de fundación de espesor constante, el área mínima de
refuerzo de acero en la cara traccionada y en la dirección de la luz debe ser como mínimo el requerido por
retracción y temperatura (sección 24.4.3.2 del código ACI).
Para el caso de losas de cimentación, la sección 13.3.4.4 del ACI indica que el refuerzo mínimo debe
cumplir con los requisitos de la sección 8.6.1.1 en cada dirección principal y tener un espaciamiento
máximo no mayor a 450 [𝑚𝑚].
Según las secciones 11.7.2.1 y 7.7.2.3 del ACI, en muros y losas en una dirección, con excepción de losas
nervadas, la separación del refuerzo principal por flexión no debe ser mayor de 450 [𝑚𝑚], ni mayor de 3
veces el espesor del muro o de la losa. Para losas macizas en dos direcciones, la sección 8.7.2.2 del ACI,
indica que la separación del refuerzo principal por flexión no debe ser mayor de 450 [𝑚𝑚], ni mayor de 2
veces el espesor de la losa en secciones críticas y de 3 veces el espesor de la losa en otras secciones.
106
Vigas – Resistencia a la flexión

Diseño de vigas rectangulares con acero de tracción
Para diseño, se debe verificar que el momento nominal de diseño sea mayor o igual al momento último
producido por la combinación de cargas más desfavorable.
𝜙 ∙ 𝑀𝑛 ≥ 𝑀𝑢
(4.36)
𝑀𝑢 = Momento producido por las cargas últimas de la combinación de cargas más desfavorable
𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = Momento nominal de diseño
𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 𝜙 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑2 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝜔 ∙ (1 − 0.59 ∙ 𝜔)
(4.12)
Para el diseño se tienen seis incógnitas (𝑏, 𝑑, 𝜌, 𝑓𝑦 , 𝑓𝑐′ y peso propio de la viga) y solamente dos
ecuaciones independientes (𝜙 ∙ 𝑀𝑛 y peso propio = 𝛾𝑐 ⋅ 𝑏 ⋅ ℎ) por lo tanto es imposible tener una única
solución. Se deben asumir cuatro parámetros para poder resolver el problema:
𝑓𝑐′ : La resistencia del hormigón es escogida de acuerdo a consideraciones de durabilidad si el elemento
está expuesto a ciclos de heladas y deshieles, a agua salada o a otro tipo de ambiente agresivo. En la tabla
19.3.2.1 del código ACI se especifican resistencias mínimas entre 17 [𝑀𝑃𝑎] y 35 [𝑀𝑃𝑎] para diferentes
tipos de exposición. Si la durabilidad no es un problema, la resistencia de hormigón escogida es en general
entre 20 [𝑀𝑃𝑎] y 25 [𝑀𝑃𝑎].
𝑓𝑦 : La tensión de fluencia del acero siempre puede ser proporcionada por el que suministra el material o
por el mismo fabricante. El acero común que se utiliza en la construcción de estructuras de hormigón
armado tiene una tensión mínima de fluencia de 420 [𝑀𝑃𝑎].
𝑏: El ancho de la viga puede ser definido sobre la base de requerimientos arquitectónicos o de
funcionalidad. En general el ancho de la viga se escoge como la mitad de la altura (𝑏 ℎ/2).
ℎ: La altura también puede ser definida por requerimientos arquitectónicos o de deflexión del elemento.
Las Tablas 9.3.1.1 y 7.3.1.1 del código ACI proporcionan fórmulas apropiadas para la estimación de la
altura de vigas y losas, respectivamente.
Peso propio: El peso propio del elemento puede ser estimado añadiendo un porcentaje a la carga muerta.
Una vez que se conocen los valores para 𝑓𝑐′ , 𝑓𝑦 , 𝑏, ℎ y el peso propio, sólo resta hallar el área de acero 𝐴𝑠 .
Ejemplo. Una viga simplemente apoyada de 8000 [𝑚𝑚] de luz y de sección rectangular soporta, además
de su peso propio, una carga muerta y una carga viva uniformemente repartidas. Considerando el estado
de carga más desfavorable calcular la armadura necesaria en su sección crítica.
Datos:
𝑓𝑐′ = 25 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
107
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑏 = 600 [𝑚𝑚]
ℎ = 600 [𝑚𝑚]
𝑤𝐿 = 38.0 [𝑘𝑁/𝑚]
𝑤𝐷 = 18.3 [𝑘𝑁/𝑚]
8000 [𝑚𝑚]
a) Calcular 𝑀𝑢
Peso propio: 𝑤𝑂𝑊 = 0.6 · 0.6 · 24 = 8.64 [𝑘𝑁/𝑚]
Carga última:
𝑤𝑢 = 1.2 ⋅ (𝑤𝐷 + 𝑤𝑂𝑊 ) + 1.6 ⋅ 𝑤𝑐𝑣 = 1.2 ⋅ (18.3 + 8.64) + 1.6 ⋅ 38.0
𝑤𝑢 = 93.13 [𝑘𝑁/𝑚]
Momento último:
1
1
𝑀𝑢 = ⋅ 𝑤𝑢 ⋅ ℓ2 = ⋅ 93.13 ⋅ 8.02
8
8
𝑀𝑢 = 745.04 [𝑘𝑁 · 𝑚]
∴ 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 ≥ 745.04 [𝑘𝑁 · 𝑚]
b) Calcular 𝑑
𝑑 = ℎ– 65 = 600– 65 = 535 [𝑚𝑚]
c) Calcular 𝐴𝑠
Asumir: 𝑗 · 𝑑 = 𝑑– 𝑎/2 = 0.875 · 𝑑 = 0.875 · 535 = 468 [𝑚𝑚]
𝐴𝑠 =
𝑀𝑢
745.04 ⋅ 1000 ⋅ 1000
=
𝜙 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ 𝑗 ⋅ 𝑑
0.9 ⋅ 420 ⋅ 468
𝐴𝑠 = 4212 [𝑚𝑚2 ] = 42.12 [𝑐𝑚2 ]
2𝜙25 + 4𝜙32
9𝜙25
𝐴𝑠 = 9.82 + 32.17 = 42.0 [𝑐𝑚2 ]
𝐴𝑠 = 44.18 [𝑐𝑚2 ]
Todas las opciones entran en el ancho de viga especificado.
Escogemos: 2𝜙25 + 4𝜙32 equivalentes a 𝐴𝑠 = 42 [𝑐𝑚2 ]
108
Vigas – Resistencia a la flexión
d) Verificar si 𝐴𝑠 ≥ 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛
𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 = 0.25 ⋅
𝑏𝑤 ⋅ 𝑑
√𝑓𝑐′
⋅ 𝑏𝑤 ⋅ 𝑑 ≥ 1.4 ⋅
𝑓𝑦
𝑓𝑦
𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 = 0.25 ⋅
600 ⋅ 535
√25
⋅ 600 ⋅ 535 ≥ 1.4 ⋅
420
420
𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 = 955 [𝑚𝑚2 ] ≥ 1070 [𝑚𝑚2 ]
∴ 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 10.7 [𝑐𝑚2 ]
𝐴𝑠 = 42 [𝑐𝑚2 ] ≥ 10.7 [𝑐𝑚2 ]
Bien !
e) Calcular 𝑎 y 𝑑 y verificar si 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 y si la sección está controlada por tracción
𝑎=
𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦
4200 ⋅ 420
=
′
0.85 ⋅ 𝑓𝑐 ⋅ 𝑏 0.85 ⋅ 25 ⋅ 600
𝑎 = 138 [𝑚𝑚]
𝑑 = 𝑑𝑡 = ℎ– 𝑟– 𝑑𝑠 – 𝑑𝑏 /2 = 600– 40– 10– 16 = 534 [𝑚𝑚]
𝑎 138
=
= 0.258
𝑑 534
𝑎
𝑎
Para verificar si 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 hay que ver si 𝑑 ≤ 𝑑𝑏
𝑎𝑏
600
600
= 𝛽1 ⋅
= 0.85 ⋅
= 0.5
𝑑
600 + 𝑓𝑦
600 + 420
𝑎
𝑎
Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑏 ⇒ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦
𝑎
𝑎
Para verificar si la sección está controlada por tracción hay que ver si 𝑑 ≤ 𝑑𝑡𝑐. Como todo el acero está en
una sola fila 𝑑𝑡 es igual a 𝑑
𝑡
𝑡
𝑎𝑡𝑐
= 0.375 ∙ 𝛽1 = 0.319
𝑑𝑡
𝑎
𝑎
Debido a que 𝑑 ≤ 𝑑𝑡𝑐 ⇒ La sección está controlada por tracción 𝜙 = 0.9
𝑡
𝑡
f) Calcular 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 utilizando los valores calculados de 𝑎 y 𝑑
𝑎
138
𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 𝜙 ∙ 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ∙ (𝑑 − ) = 0.9 ∙ 4200 ∙ 420 ∙ (534 −
)
2
2
109
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 738234000 [𝑁 · 𝑚𝑚]
𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 738.23 [𝑘𝑁 · 𝑚] ≤ 𝑀𝑢 = 745.04 [𝑘𝑁 · 𝑚]
No está bien !
Debido a que 𝜙 · 𝑀𝑛 ≤ 𝑀𝑢 , entonces hay que aumentar el área de acero. El valor asumido de 0.875 · 𝑑
para 𝑗 · 𝑑 es mayor al real de 0.871 · 𝑑 que corresponde a un área de acero 𝐴𝑠 igual a 4200 [𝑚𝑚2 ].
g) Recalcular el área de acero 𝐴𝑠
𝑎
Se utiliza en este nuevo cálculo el brazo (𝑑 − 2 ) con los valores de 𝑎 y 𝑑 hallados en el inciso e).
𝐴𝑠 =
𝑀𝑢
745040000
=
𝑎
𝜙 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − 2) 0.9 ⋅ 420 ⋅ (534 − 138)
2
𝐴𝑠 = 4239 [𝑚𝑚2 ] = 42.39 [𝑐𝑚2 ]
Utilizar 9𝜙25 equivalentes a 𝐴𝑠 = 44.18 [𝑐𝑚2 ]
La cantidad de acero entra en el ancho de la viga
Nuevo canto útil 𝑑 = 𝑑𝑡 = ℎ − 𝑟 − 𝑑𝑠 − 𝑑𝑏 /2 = 600 − 40 − 10 − 12.5 = 537.5 [𝑚𝑚]
𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 = 0.25 ⋅
𝑏𝑤 ⋅ 𝑑
√𝑓𝑐′
⋅ 𝑏𝑤 ⋅ 𝑑 ≥ 1.4 ⋅
𝑓𝑦
𝑓𝑦
𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 = 0.25 ⋅
600 ⋅ 537.5
√25
⋅ 600 ⋅ 537.5 ≥ 1.4 ⋅
420
420
𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 = 960 [𝑚𝑚2 ] ≥ 1075 [𝑚𝑚2 ]
∴ 𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 = 10.75 [𝑐𝑚2 ]
𝐴𝑠 = 44.18 [𝑐𝑚2 ] ≥ 10.75 [𝑐𝑚2 ]
𝑎=
𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦
4418 ⋅ 420
=
0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏 0.85 ⋅ 25 ⋅ 600
𝑎 = 146 [𝑚𝑚]
𝑎
146
=
= 0.272
𝑑 537.5
𝑎𝑏
= 0.50
𝑑
𝑎𝑡𝑐
= 0.319
𝑑𝑡
110
Bien !
Vigas – Resistencia a la flexión
𝑎
𝑎
Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑏
⇒
𝑓𝑠 = 𝑓𝑦
Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑡𝑐 ⇒
𝜙 = 0.9
𝑎
𝑡
𝑎
𝑡
Sección controlada por tracción.
𝑎
146
𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 𝜙 ⋅ 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − ) = 0.9 ⋅ 4418 ⋅ 420 ⋅ (537.5 −
)
2
2
𝜙 · 𝑀𝑛 = 775716858 [𝑁 · 𝑚𝑚]
𝜙 · 𝑀𝑛 = 775.72 [𝑘𝑁 · 𝑚] ≥ 𝑀𝑢 = 745.04 [𝑘𝑁 · 𝑚]
Bien !
 Utilizar 9𝜙25 para la armadura en tracción

Solución directa al requerimiento de acero
Es posible reducir el número de iteraciones necesarias para converger al requerimiento del área de acero
necesaria resolviendo una ecuación de segundo grado.
Sabemos que:
Diseño más económico:
Se asume que el acero fluye:
𝑎
𝑀𝑢 = 𝜙 ⋅ 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − )
2
𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦
𝑎=
0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏
𝑀𝑢 ≤ 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛
𝑀𝑢 = 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛
𝑓𝑠 = 𝑓𝑦
(4.6)
Se reemplaza el valor de 𝑎 en la ecuación anterior
𝑀𝑢 = 𝜙 ⋅ 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 −
𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦
)
1.7 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏
(4.37)
𝜙 ⋅ 𝑓𝑦2
⋅ 𝐴2 − 𝜙 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ 𝑑 ⋅ 𝐴𝑠 + 𝑀𝑢 = 0
1.7 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏 𝑠
Datos:
Incógnita:
𝜙
𝐴𝑠
𝑏
𝑑
𝑓𝑦
(4.38)
𝑓𝑐′
𝑀𝑢
Se resuelve la ecuación de segundo grado y se hallan los dos valores posibles para la sección de acero 𝐴𝑠 ,
luego se escoge la armadura (diámetro y cantidad de barras) tomando en cuenta el valor de 𝐴𝑠 “más
adecuado”. Una vez que se obtiene el área real de armadura, se procede a la verificación de la viga y si es
necesario se modifican los parámetros necesarios (𝜙, 𝑏, 𝑑, 𝑓𝑐′ , 𝑓𝑦 ) hasta obtener un diseño satisfactorio. Es
importante notar que para resolver la ecuación de segundo grado se tienen que asumir ciertos parámetros
como el valor de 𝜙y la tensión 𝑓𝑠 en el acero, por lo que una vez seleccionada el área de acero se debe
realizar la verificación correspondiente para ratificar o modificar los valores asumidos para estos dos
parámetros.
111
Diseño de estructuras de hormigón armado
Ejemplo. Tomando las cargas, la resistencia de los materiales y las dimensiones de la viga del ejemplo
anterior, calcular la armadura necesaria utilizando la ecuación de segundo grado.
Datos:
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑐′ = 25 [𝑀𝑃𝑎]
𝑀𝑢 = 745.04 [𝑘𝑁 · 𝑚]
𝑏 = 600 [𝑚𝑚]
ℎ = 600 [𝑚𝑚]
𝑑 = ℎ– 65 = 535 [𝑚𝑚]
Se asume un 𝜙 = 0.9
6.22588 · 𝐴2𝑠 − 202230 · 𝐴𝑠 + 745040000 = 0
Dos soluciones:
𝐴𝑠 = 28245 [𝑚𝑚2 ] = 282.45 [𝑐𝑚2 ]
𝐴𝑠 = 4237 [𝑚𝑚2 ] = 42.37 [𝑐𝑚2 ]
𝐴𝑠 ≥ 𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 = 10.75 [𝑐𝑚2 ]
Solución incorrecta
Solución correcta
Utilizar 9ϕ25 equivalentes a 𝐴𝑠 = 44.18 [𝑐𝑚2 ]
Verificar si los 9𝜙25 entran en el ancho de la viga
Bien !
Cálculo del nuevo d = h − r − ds − db /2 = 600 − 40 − 10 − 25/2 = 537.5 [mm]
Cálculo de 𝑎
𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦
4418 ∙ 420
=
= 146 [𝑚𝑚]
′
0.85 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 0.85 ∙ 25 ∙ 600
𝑎
𝑎𝑡𝑐
= 0.272 ≤
= 0.319 ⇒ 𝜙 = 0.9
𝑑𝑡
𝑑𝑡
146
0.9 ⋅ 4418 ⋅ 420 ⋅ (537.5 − 2 )
𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 =
1000000
𝑎=
𝜙 · 𝑀𝑛 = 775.72 [𝑘𝑁 · 𝑚] ≥ 𝑀𝑢 = 745.04 [𝑘𝑁 · 𝑚]
Bien !
En este ejemplo no fue necesario verificar que la deformación neta de tracción 𝜀𝑡 del acero más cercano a
la cara de tracción sea superior a 0.004 puesto que la falla de la sección está controlada por tracción. En
𝑎
otras circunstancias se debe proceder a verificar que ≤ 0.429 ⋅ 𝛽1 para asegurar que 𝜀𝑡 ≥ 0.004.
𝑑𝑡
4.1.3. Vigas con refuerzo de compresión
Algunas veces las vigas son construidas con doble refuerzo, uno en la cara traccionada y otro en la cara
comprimida. Las razones por las cuales se coloca armadura en la zona comprimida serán analizadas más
adelante. El efecto del refuerzo de compresión en la resistencia y el comportamiento de secciones de
hormigón armado puede verse en la figura 4.10 donde se compara una viga con armadura simple con otra
112
Vigas – Resistencia a la flexión
de las mismas características, pero con doble armadura. Cuando existe acero de compresión, éste ayuda al
hormigón a resistir los esfuerzos de compresión, por lo que en el diagrama de deformaciones se puede
apreciar un incremento en la deformación del acero de tracción tal como se muestra en la figura 4.11. En
la fibra superior la deformación del hormigón se mantiene en su máximo valor de 0.003, mientras que a
nivel del acero de tracción la deformación 𝜀𝑠 se incrementa.
𝑏
0.85 · 𝑓𝑐′
𝐶
𝑎1
𝑑
ℎ
𝑗1 · 𝑑
𝐴𝑠
𝑓𝑠
𝑇 = 𝐴𝑠 · 𝑓𝑦
Viga con acero de tracción
𝑏
0.85 · 𝑓𝑐′
𝐴′𝑠
𝑑’
𝑎2 < 𝑎1
𝑑
ℎ
𝐶𝑠
𝐶
𝐶𝑐
𝑗2 · 𝑑
𝐴𝑠
𝑓𝑠
𝑇 = 𝐴𝑠 · 𝑓𝑦
Viga con acero de tracción y compresión
Fig. 4.10. Efecto del refuerzo de compresión en la resistencia y el comportamiento
de secciones de hormigón armado
𝜀𝑐 = 0.003
Viga con refuerzo de compresión
Viga sin refuerzo de compresión
𝜀𝑠
Fig. 4.11. Efecto del refuerzo de compresión en el diagrama de deformaciones
en dos vigas con la misma área de refuerzo de tracción
113
Diseño de estructuras de hormigón armado
El momento, en una viga con acero de compresión, es también resistido por un par de fuerzas 𝐶 y 𝑇, pero
separadas por una distancia 𝑗2 · 𝑑.
Viga sin acero de compresión: 𝑀𝑛 = 𝐴𝑠 · 𝑓𝑦 · (𝑗1 · 𝑑)
Viga con acero de compresión: 𝑀𝑛 = 𝐴𝑠 · 𝑓𝑦 · (𝑗2 · 𝑑)
La única diferencia entre estas dos expresiones es que 𝑗2 > 𝑗1 porque 𝑎2 < 𝑎1 . Por lo tanto, para una
determinada cantidad de acero de tracción, la colocación de acero de compresión tiene poco efecto en el
momento nominal siempre y cuando el acero de tracción fluya en la viga que no tiene acero de
compresión.
𝑀𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝐴′𝑠
𝑀𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝐴′𝑠
𝜌′ =
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑐′ = 28 [𝑀𝑃𝑎]
1.2
𝐴′𝑠
𝑏∙𝑑
𝜌=
𝐴𝑠
𝑏∙𝑑
𝜌 = 0.75 · 𝜌𝑏 = 0.021
𝑑′
= 0.10
𝑑
𝜌 = 0.015
𝑑′
= 0.10
𝑑
1.1
𝜌 = 0.015
𝑑′
= 0.20
𝑑
1.0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
𝜌′ /𝜌
Fig. 4.12. Incremento de 𝑴𝒏 debido al acero de compresión
Para cuantías normales de acero de tracción ( ≤ 0.015) el incremento del momento nominal 𝑀𝑛 debido
al acero de compresión es, en general, menor al 5%. La efectividad del acero de compresión disminuye a
medida que éste se aleja de la cara de compresión. Si la distancia 𝑑’ aumenta, la deformación 𝜀𝑠′
disminuye, por lo tanto la tensión 𝑓𝑠′ del acero de compresión puede estar por debajo de la fluencia 𝑓𝑦 y el
momento nominal 𝑀𝑛 también disminuye.
La figura anterior demuestra claramente que la utilización del acero de compresión, no aumenta
significativamente la capacidad de la viga. Para cuantías de acero de compresión iguales a las de acero de
tracción (𝜌′ = 𝜌), en el mejor de los casos, se puede esperar un incremento de la resistencia de la sección
transversal de aproximadamente el 15%. Por lo tanto, se puede inferir que la utilización de acero de
compresión con el sólo propósito de aumentar la resistencia de la viga no es la forma más inteligente o
económica de proceder. A continuación se explican las razones por las cuales se debe colocar acero de
compresión.
¿Por qué colocar acero de compresión?
114
Vigas – Resistencia a la flexión
1. Reducción de las deflexiones por carga permanente.
Como el acero de compresión absorbe parte del esfuerzo de compresión, el hormigón en esa zona (por
encima del eje neutro) se “libera”, por lo tanto al soportar el hormigón menos compresión, los efectos de
la fluencia sobre la sección disminuyen con el consiguiente beneficio en la disminución de las deflexiones
a largo plazo.
Δ [𝑐𝑚]
Δ
15
𝜌′ = 0
10
𝜌′ = 𝜌
Deflexión por carga permanente
5
Deflexión elástica inicial
0
0
120 𝑑í𝑎𝑠
240 𝑑í𝑎𝑠
Tiempo
2 𝑎ñ𝑜𝑠
Fig. 4.13. Efecto del acero de compresión en las deflexiones por carga permanente
Una cuantía de acero de compresión igual a la del acero de tracción (𝜌′ = 𝜌) puede disminuir hasta en un
50% las deflexiones causadas por la fluencia del hormigón. Por lo tanto, es siempre conveniente tener
cierta cantidad de acero en la zona de compresión cuando se quiere disminuir las deflexiones producidas
por la presencia de cargas permanentes sobre la estructura.
2. Incremento de la ductilidad.
𝑀𝑛
𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏 ⋅ ℎ2
0.2
𝜌′ = 𝜌
′
𝜌′ = 0
0.1
𝜌 = 0.5 ⋅ 𝜌
𝜌 = 0.01
0
0
2.0
4.0
6.0
8.0
Curvatura
Fig. 4.14. Efecto del acero de compresión en la ductilidad de la sección
115
Diseño de estructuras de hormigón armado
Se han llevado a cabo ensayos en vigas con diferentes cuantías de acero de compresión. Los resultados de
estos ensayos pueden ser apreciados en la siguiente figura donde se ve que una sección transversal con una
cuantía de acero de compresión igual a la del acero de tracción (𝜌′ = 𝜌) puede incrementar su ductilidad
hasta en un 40% comparada con una sección de dimensiones iguales, pero en la cual no se ha provisto
armadura de compresión (𝜌′ = 0).
Para estructuras ubicadas en zonas sísmicas, la ductilidad de los diferentes elementos que la componen es
de fundamental importancia para resistir las fuerzas que generan los terremotos. Si una sección no posee la
suficiente ductilidad, entonces no podrá acomodar los grandes desplazamientos y deflexiones que se
presentan durante los movimientos telúricos y colapsará ante ellos.
3. Cambio del modo de falla, de compresión a tracción, en una viga.
Cuando la cuantía de acero en la sección de hormigón armado es mayor a la cuantía de acero que produce
una falla balanceada ( > 𝜌𝑏 ), la sección falla de una manera frágil debido al aplastamiento del área de
hormigón en la zona de compresión y ésta falla se produce antes de la fluencia del acero, por lo que la
ductilidad es muy pequeña o nula. Por esta razón, es importante la utilización de acero en la zona de
compresión para cambiar el modo de falla y aumentar la ductilidad de la sección de hormigón armado en
el momento de la falla.
𝑀𝑛
𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏 ⋅ ℎ2
0.4
𝜌′ = 𝜌
𝜌′ = 0.5 · 𝜌
0.3
0.2
𝜌 = 0.01
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
𝜌′ = 0
𝑓𝑐′ = 28 [𝑀𝑃𝑎]
0.1
0
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Curvatura
Fig. 4.15. Efecto del acero de compresión en el modo de falla de la sección
Si el refuerzo de compresión fluye, la distribución de deformaciones y la curvatura en el momento de la
falla de una viga con acero de compresión, será esencialmente igual a la de una viga solamente con acero
de tracción con una cuantía de ( − 𝜌′ ). El término ( − 𝜌′ ) es llamado “cuantía efectiva de refuerzo”.
Usualmente los diseñadores añaden refuerzo de compresión de tal modo que:
( − 𝜌′ ) ≤ 0.5 · 𝜌𝑏
116
(4.39)
Vigas – Resistencia a la flexión
Los lugares donde frecuentemente se utiliza acero de compresión son:
- Región de momento negativo de vigas continuas de sección T
- Región central de vigas T invertidas utilizadas para soportar paneles prefabricados de piso
4. Facilitar la construcción.
Durante el ensamblaje de la armadura, es necesario colocar dos barras en la parte superior de la viga para
sostener los estribos verticales.
Fig. 4.16. Armadura de compresión constructiva
4.1.4. Análisis de vigas con refuerzo de tracción y compresión
El procedimiento para calcular el momento nominal 𝑀𝑛 de una viga de hormigón armado con acero de
compresión depende del valor de la deformación del acero de compresión 𝜀𝑠′ en el momento de la falla. Si
el acero de compresión fluye, la viga es dividida en dos vigas para facilitar su análisis. Si por el contrario
el acero de compresión no fluye, entonces la viga no es dividida y su análisis se realiza considerando toda
la viga.
Para el caso donde el acero de compresión fluye, el análisis de vigas con refuerzo a tracción y compresión
se realiza considerando que la viga puede ser dividida en dos. La primera será llamada Viga 1 y estará
compuesta solamente por el acero de compresión y una parte del acero de tracción igual al área del acero
de compresión. En general, siempre la cuantía de acero de tracción será mayor a la de compresión. Luego,
el equilibrio de las fuerzas se realiza entre la fuerza generada por el acero de compresión y la generada por
la porción equivalente del acero de tracción sin considerar contribución alguna por parte del hormigón. La
Viga 2 estará compuesta por el resto de la armadura de tracción (𝐴𝑠 − 𝐴′𝑠 ) y por todo el hormigón. Esta
segunda viga es analizada con los mismos procedimientos utilizados para el análisis de vigas que tienen
solamente acero de tracción.
El resultado de los análisis para ambas vigas se suma y así se obtiene la capacidad total de la sección con
refuerzo de tracción y compresión.
117
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑏
0.85 · 𝑓𝑐′
𝜀𝑐 = 0.003
𝑑′
𝐴′𝑠
𝜀𝑠′
𝑐
𝑎
𝐶𝑠
𝑓𝑠′
𝐶𝑐
𝑑
ℎ
𝐴𝑠
𝜀𝑠
Deformaciones
Sección
Tensiones
𝑏
𝑓𝑠 = 𝑓𝑦
𝑇 = 𝐴𝑠 · 𝑓𝑦
Fuerzas Internas
𝑏
𝑑′
𝐴′𝑠
0.85 · 𝑓𝑐′
𝐶𝑠 = 𝐴′𝑠 · 𝑓𝑠′
𝐶𝑐
𝑎
𝑑
ℎ
𝑑
𝑑 − 𝑑′
𝑑−
𝐴𝑠 2
𝐴𝑠 1
𝑎
2
𝑇 = 𝐴𝑠2 · 𝑓𝑦
𝑇 = 𝐴𝑠1 · 𝑓𝑦
Viga 2
Viga 1
Fig. 4.17. Análisis de una sección rectangular con doble armadura cuando 𝜺′𝒔 ≥ 𝜺𝒚
Deformación del acero de compresión
Si
⇒ 𝑓𝑠′ = 𝑓𝑦
𝜀𝑠′ ≥ 𝜀𝑦
0.003
𝜀𝑠′
=
𝑐
𝑐−𝑑 ′
reemplazando
𝑓𝑦
𝑐−𝑑 ′
𝑐
𝛽1 ⋅𝑑 ′
′
𝜀𝑠 = (1 − 𝑎 ) ⋅ 0.003
⇒ 𝜀𝑠′ = 0.003 ⋅
𝑎
𝑐=𝛽
1
Haciendo 𝜀𝑠′ = 𝜀𝑦 y 𝜀𝑦 = 𝐸 donde 𝐸𝑠 = 200000 [𝑀𝑃𝑎] se puede resolver la ecuación para el valor límite
𝑠
𝑑′
en el cual el refuerzo de compresión fluye.
𝑎
𝛽1 ⋅ 𝑑′
𝑓𝑦 = (1 −
) ⋅ 0.003 ⋅ 𝐸𝑠
𝑎
𝑓𝑦
𝛽1 ⋅ 𝑑′
1−
=
𝑎
600
𝑓𝑦
𝑑′
1
= ⋅ (1 −
( )
)
𝑎 𝑙𝑖𝑚 𝛽1
600
(4.41)
Donde 𝑓𝑦 está en [𝑀𝑃𝑎]
En resumen se tiene que:
𝑑′
𝑑′
𝑓𝑠′ = 𝑓𝑦
Si
(𝑎) ≤ (𝑎)
⇒
Si
(𝑎) > (𝑎)
𝑑′
⇒ 𝑓𝑠′ < 𝑓𝑦
118
𝑑′
𝑙𝑖𝑚
𝑙𝑖𝑚
(4.40)
Vigas – Resistencia a la flexión
1er Caso: El acero de compresión fluye
Se asume que la viga puede ser dividida en dos vigas imaginarias y en cada una se realiza el equilibrio de
las fuerzas horizontales (𝐶 = 𝑇).
Viga 1: 𝐴𝑠1 = 𝐴′𝑠
Esta viga está compuesta solamente de acero, por lo que si el acero de compresión fluye (𝑓𝑠′ = 𝑓𝑦 ),
también fluye el acero de tracción (𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 ) y como 𝐴𝑠1 = 𝐴′𝑠 entonces la fuerza de compresión en el
acero tiene un valor de 𝐶𝑠 = 𝐴𝑠1 ⋅ 𝑓𝑦 .
Equilibrio 𝐶𝑠 = 𝑇1
𝐴′𝑠 𝑓𝑦 = 𝐴𝑠1 𝑓𝑦
𝐴′𝑠 = 𝐴𝑠1
𝑀𝑛1 = 𝐴′𝑠 𝑓𝑦 (𝑑 − 𝑑′ )
(4.42)
Viga 2: 𝐴𝑠2 = 𝐴𝑠 − 𝐴𝑠1
Si el acero de compresión fluye (𝑓𝑠′ = 𝑓𝑦 ) y como 𝐴𝑠1 = 𝐴′𝑠 entonces la fuerza de compresión en el
hormigón tiene un valor de 𝐶𝑐 = 0.85𝑓𝑐′ 𝑏𝑎.
Si el acero de tracción fluye (𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 ) y como 𝐴𝑠2 = 𝐴𝑠 − 𝐴𝑠1 entonces la fuerza de tracción del acero
tiene un valor de 𝑇 = (𝐴𝑠 − 𝐴′𝑠 )𝑓𝑦 .
Equilibrio 𝐶𝑐 = 𝑇
0.85𝑓𝑐′ 𝑏𝑎 = (𝐴𝑠 − 𝐴′𝑠 )𝑓𝑦
(𝐴𝑠 − 𝐴′𝑠 ) ⋅ 𝑓𝑦
𝑎=
0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏
𝑎
𝑀𝑛2 = (𝐴𝑠 − 𝐴′𝑠 ) ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − )
2
El momento nominal total de la viga con acero de compresión es:
𝑎
𝑀𝑛 = 𝐴′𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − 𝑑′ ) + (𝐴𝑠 − 𝐴′𝑠 ) ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − )
2
𝑎
′
′
′
𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 𝜙 ⋅ [𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − 𝑑 ) + (𝐴𝑠 − 𝐴𝑠 ) ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − )]
2
(4.43)
(4.44)
(4.45)
(4.46)
En la determinación de la ecuación anterior se asumió que tanto el acero de tracción como el de
compresión habían fluido, por lo tanto es necesario verificar si esto es verdad.
Si
𝑓𝑦
𝑑′
𝑑′
1
≤
(
)
= 𝛽 ⋅ (1 − 600
) ⇒ 𝑓𝑠′ = 𝑓𝑦
𝑎
𝑎 𝑙𝑖𝑚
1
119
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑎
𝑎
600
≤ 𝑏 = 𝛽1 ⋅ (600+𝑓 ) ⇒ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦
𝑑
𝑑
𝑦
Si
Si se comprueba que el acero de tracción en la Viga 2 no fluye, se procede a recalcular el valor de
𝑎 considerando que la tensión en el acero de tracción 𝑓𝑠 es menor a la tensión de fluencia 𝑓𝑦 .
Viga 2: 𝐴𝑠2 = 𝐴𝑠 − 𝐴𝑠1
Si el acero de compresión fluye (𝑓𝑠′ = 𝑓𝑦 ) y como 𝐴𝑠1 = 𝐴′𝑠 entonces la fuerza de compresión en el
hormigón tiene un valor de 𝐶𝑐 = 0.85𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏𝑎.
Si el acero de tracción no fluye (𝑓𝑠 < 𝑓𝑦 ) y como 𝐴𝑠2 = 𝐴𝑠 − 𝐴𝑠1 entonces la fuerza de tracción del acero
tiene un valor de 𝑇 = (𝐴𝑠 − 𝐴′𝑠 )𝑓𝑠 = 𝐴𝑠2 𝑓𝑠
Equilibrio 𝐶𝑐 = 𝑇
0.85𝑓𝑐′ 𝑏𝑎 = 𝐴𝑠2 𝑓𝑠
𝑓𝑠 = 𝜀𝑠 ⋅ 𝐸𝑠 = 0.003 ⋅
𝑑−𝑐
𝛽1 ⋅ 𝑑 − 𝑎
⋅ 𝐸𝑠 = 0.003 ⋅
⋅ 𝐸𝑠
𝑐
𝑎
0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝐴𝑠2 ⋅ 𝑓𝑠 = 𝐴𝑠2 ⋅ 0.003 ⋅
𝛽1 ⋅ 𝑑 − 𝑎
⋅ 𝐸𝑠
𝑎
1
0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑎2 − 𝐴𝑠2 ⋅ 𝐸𝑠 ⋅ 0.003 ⋅ 𝛽1 ⋅ 𝑑 + 𝐴𝑠2 ⋅ 𝐸𝑠 ⋅ 0.003 ⋅ 𝑎 = 0 multiplicando por 𝑏⋅𝑑
0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ 2 𝐴𝑠2
𝐴𝑠2
⋅𝑎 +
⋅ 0.003 ⋅ 𝐸𝑠 ⋅ 𝑎 −
⋅ 0.003 ⋅ 𝐸𝑠 ⋅ 𝛽1 ⋅ 𝑑 = 0
𝑑
𝑏⋅𝑑
𝑏⋅𝑑
0.85 ⋅ 𝑓𝑐′
⋅ 𝑎2 + 𝑑 ⋅ 𝑎 − 𝛽1 ⋅ 𝑑2 = 0
(𝜌 − 𝜌′ ) ⋅ 0.003 ⋅ 𝐸𝑠
0.85 ⋅ 𝑓𝑐′
⋅ 𝑎2 + 𝑑 ⋅ 𝑎 − 𝛽1 ⋅ 𝑑2 = 0
(𝜌 − 𝜌′ ) ⋅ 0.003 ⋅ 𝐸𝑠
(4.47)
Donde:
𝜌=
𝐴𝑠
𝑏⋅𝑑
(4.9)
𝐴′𝑠
𝑏⋅𝑑
(4.48)
𝜌′ =
Se resuelve la ecuación de segundo grado y se halla el valor de 𝑎.
𝑎
𝑀𝑛2 = 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ (𝑑 − )
2
120
(4.49)
Vigas – Resistencia a la flexión
El momento nominal total de la viga con acero de compresión es:
𝑎
𝑀𝑛 = 𝐴′𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − 𝑑′ ) + 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ (𝑑 − )
2
𝑎
′
′
′
𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 𝜙 ⋅ [𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − 𝑑 ) + 0.85 ⋅ 𝑓𝑐 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ (𝑑 − )]
2
(4.50)
(4.51)
2do Caso: El acero de compresión no fluye
Si el acero de compresión no fluye entonces 𝑓𝑠′ es desconocido. Pero, si asumimos que el acero de tracción
fluye se pueden desarrollar las siguientes ecuaciones:
Si el acero de compresión no fluye (𝑓𝑠′ < 𝑓𝑦 ) entonces la fuerza de compresión en el hormigón tiene un
valor de 𝐶𝑐 = 0.85𝑓𝑐′ 𝑏𝑎 y en el acero de compresión un valor de 𝐶𝑠 = (𝐸𝑠 𝜀𝑠′ )𝐴′𝑠 .
Si el acero de tracción fluye (𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 ) entonces la fuerza de tracción en el acero tiene un valor igual al
área de acero multiplicada por la tensión de fluencia (𝑇 = 𝐴𝑠 𝑓𝑦 ).
𝑇 = 𝐴𝑠 𝑓𝑦
𝐶𝑐 = 0.85𝑓𝑐′ 𝑏𝑎
𝐶𝑠 = (𝐸𝑠 ⋅ 𝜀𝑠′ ) 𝐴′𝑠
𝑑′
0.003
𝜀𝑠′
′
=
0.003
⋅
−
=
⇒
𝜀
(1
)
𝑠
𝑐
𝑐 − 𝑑′
𝑐
Equilibrio 𝐶𝑐 + 𝐶𝑠 = 𝑇
𝛽1 ⋅ 𝑑′
) = 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦
𝑎
(0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏) ⋅ 𝑎2 + (0.003 ⋅ 𝐸𝑠 ⋅ 𝐴′𝑠 − 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ) ⋅ 𝑎 − 0.003 ⋅ 𝐸𝑠 ⋅ 𝐴′𝑠 ⋅ 𝛽1 ⋅ 𝑑′ = 0
0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑎 + 𝐸𝑠 ⋅ 𝐴′𝑠 ⋅ 0.003 ⋅ (1 −
(4.52)
Se resuelve la ecuación de segundo grado y se halla el valor de 𝑎.
El momento nominal total de la viga con acero de compresión es:
𝑎
𝑀𝑛 = 𝐶𝑐 ⋅ (𝑑 − ) + 𝐶𝑠 ⋅ (𝑑 − 𝑑′ )
2
𝑎
𝛽1 ⋅ 𝑑′
𝑀𝑛 = 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑎 ⋅ (𝑑 − ) + 𝐸𝑠 ⋅ 0.003 ⋅ (1 −
) ⋅ 𝐴′𝑠 ⋅ (𝑑 − 𝑑′ )
𝑎
2
𝛽1 ⋅ 𝑑′
𝑎
′
𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 𝜙 ⋅ [0.85 ⋅ 𝑓𝑐 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑎 ⋅ (𝑑 − ) + 𝐸𝑠 ⋅ 0.003 ⋅ (1 −
) ⋅ 𝐴′𝑠 ⋅ (𝑑 − 𝑑 ′ )]
2
𝑎
(4.53)
(4.54)
En la determinación de la ecuación anterior se asumió que el acero de tracción había fluido, por lo tanto es
necesario verificar si esto es verdad.
121
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑎
𝑎
600
≤ 𝑏 = 𝛽1 ⋅ (600+𝑓 ) ⇒ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦
𝑑
𝑑
𝑦
Si

Coeficiente de reducción de la resistencia 𝝓
Para secciones controladas por tracción
Para secciones controladas por compresión
𝑎
𝑎
≤ 𝑑𝑡𝑐 = 0.375 ⋅ 𝛽1
𝑑𝑡
𝑡
𝑎𝑡𝑐
𝑎
𝑎
≤
≤ 𝑑𝑐𝑐
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑡
𝑎
𝑎𝑐𝑐
600
≥ 𝑑 = 𝛽1 ⋅ 600+𝑓
𝑑𝑡
𝑡
𝑦
Si
Si
Si
𝜙 = 0.9
𝜙 = 0.65
Sección controlada por tracción
𝜙 = 0.9
Sección en transición
𝜙 = 0.23 + 0.25 ⋅ 𝑎∕𝑑1
Sección controlada por compresión
𝜙 = 0.65
𝛽
𝑡
La cuantía mínima para el acero de tracción es la misma que para el caso de vigas con solamente acero de
tracción.
√𝑓𝑐′
⋅ 𝑏𝑤 ⋅ 𝑑
𝑓𝑦
𝑏𝑤 ⋅ 𝑑
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 ≥ 1.4 ⋅
𝑓𝑦
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0.25 ⋅

(4.32)
(4.33)
Estribos para el acero de compresión
Para carga última, el acero de compresión en una viga puede pandear causando el descascaro de la
superficie de hormigón y la posible falla del elemento. Por lo tanto, para prevenir estas fallas, se deben
colocar estribos con espaciamientos pequeños entre sí. El código ACI en su sección 9.7.6.4 indica los
requerimientos que debe cumplir el refuerzo lateral (estribos) en vigas cuando en ellas se utiliza acero de
compresión. El refuerzo de compresión en vigas debe estar amarrado por estribos con diámetros y
espaciamientos que son resumidos en la siguiente tabla.
Estribos para elementos de dimensiones (𝒃 · 𝒉) sometidos a compresión
Diámetro de barra
longitudinal 𝒅𝒃 [𝒎𝒎]
Diámetro de
estribo 𝒅𝒔 [𝒎𝒎]
Separación de
estribos
≤ 32
> 32
Atados de barras
≥ 10
≥ 12
≥ 12
≤ 16 · 𝑑𝑏
≤ 48 · 𝑑𝑠
≤𝑏
Ejemplo. Calcular el momento nominal de diseño de una viga rectangular de base 250 [𝑚𝑚] y altura
600 [𝑚𝑚] que tiene 2𝜙25 como acero de compresión y 6𝜙25 como acero de tracción repartidas en dos
filas de tres barras cada una.
122
Vigas – Resistencia a la flexión
Datos:
𝑏 = 250 [𝑚𝑚]
ℎ = 600 [𝑚𝑚]
𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎]
𝐴𝑠 = 2940 [𝑚𝑚2 ]
𝑑 = 510 [𝑚𝑚]
𝑑′ = 65 [𝑚𝑚]
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
𝐴′𝑠 = 980 [𝑚𝑚2 ]
250
2𝜙25
250
65
2𝜙25
𝐴′𝑠 = 980
600
510
510
𝑑 – 𝑑 ′ = 445
𝐴𝑠 = 2940
𝐴𝑠1 = 980
6𝜙25
2𝜙25
𝐴𝑠2 = 1960
4𝜙25
Sección
Viga 1
Viga 2
Las dimensiones de la sección están en [𝑚𝑚]
a) Asumir que 𝑓𝑠′ = 𝑓𝑦 y 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 y dividir la viga en dos vigas
Como se asume que el acero fluye entonces se tiene:
Para la Viga 1 𝐴𝑠1 = 𝐴′𝑠 = 980 [𝑚𝑚2 ]
Para la Viga 2 𝐴𝑠2 = 𝐴𝑠 − 𝐴𝑠1 = 2940 – 980 = 1960 [𝑚𝑚2 ]
b) Calcular 𝑎 para la Viga 2
(𝐴𝑠 − 𝐴′𝑠 ) ⋅ 𝑓𝑦
1960 ⋅ 420
𝑎=
=
′
0.85 ⋅ 𝑓𝑐 ⋅ 𝑏
0.85 ⋅ 20 ⋅ 250
𝑎 = 194 [𝑚𝑚]
c) Verificar si el acero de compresión fluye
𝑑′ = 65 [𝑚𝑚]
𝑑′
65
=
= 0.335
𝑎 194
𝛽1 = 1.05 – 0.007𝑓𝑐′ = 1.05 − 0.00720 = 0.91 > 0.85 ⇒ 𝛽1 = 0.85
𝑓𝑦
𝑑′
1
1
420
= ⋅ (1 −
⋅ (1 −
) = 0.353
( )
)=
𝑎 𝑙𝑖𝑚 𝛽1
600
0.85
600
𝑑′
𝑑′
≤( )
⇒ 𝑓𝑠′ = 𝑓𝑦
𝑎
𝑎 𝑙𝑖𝑚
123
Diseño de estructuras de hormigón armado
d) Verificar si el acero de tracción fluye y si la sección es controlada por tracción
𝑎 = 194 [𝑚𝑚]
𝑎 194
=
= 0.380
𝑑 510
𝑎𝑏
600
600
= 𝛽1 ⋅
= 0.85 ⋅
= 0.50
𝑑
600 + 𝑓𝑦
600 + 420
𝑎 𝑎𝑏
≤
⇒ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦
𝑑
𝑑
𝑑𝑡 = 600 − 40 − 10 − 25/2 = 538 [𝑚𝑚]
𝑎
194
=
= 0.361
𝑑𝑡 538
𝑎𝑡𝑐
= 0.375 ⋅ 𝛽1 = 0.375 ⋅ 0.85 = 0.319
𝑑𝑡
𝑎𝑐𝑐
600
600
= 𝛽1 ⋅
= 0.85 ⋅
= 0.50
𝑑𝑡
600 + 𝑓𝑦
600 + 420
𝑎𝑣
= 0.429 ⋅ 𝛽1 = 0.429 ⋅ 0.85 = 0.365
𝑑𝑡
𝑎
𝑎
Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑣 ⇒ Cumple requerimiento de ductilidad 𝜀𝑡 ≥ 0.004
𝑡
Como
𝑡
𝑎𝑡𝑐
𝑎
𝑎
≤ ≤ 𝑐𝑐
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝜙 = 0.23 + 0.25 ⋅
⇒ Sección en transición 0.65 ≤ 𝜙 ≤ 0.90
0.85
𝛽1
= 0.23 + 0.25 ⋅
= 0.82
0.361
𝑎 ∕ 𝑑𝑡
e) Verificar si 𝐴𝑠 ≥ 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛
𝑏𝑤 ⋅ 𝑑
√𝑓𝑐′
⋅ 𝑏𝑤 ⋅ 𝑑 ≥ 1.4 ⋅
𝑓𝑦
𝑓𝑦
2
2
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 339 [𝑚𝑚 ] ≥ 425 [𝑚𝑚 ]
 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 425 [𝑚𝑚2 ]
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0.25 ⋅
𝐴𝑠 = 2940 [𝑚𝑚2 ] > 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 425 [𝑚𝑚2 ]
f) Calcular 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛
Viga 1
𝜙 ⋅ 𝑀𝑛1 = 𝜙 ⋅ [𝐴′𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − 𝑑 ′ )] =
𝜙 ⋅ 𝑀𝑛1 = 150.19 [𝑘𝑁𝑚]
124
0.82
⋅ [980 ⋅ 420 ⋅ (510 − 65)]
1000000
Bien !
Vigas – Resistencia a la flexión
Viga 2
𝜙 ⋅ 𝑀𝑛2 = 𝜙 ⋅ [(𝐴𝑠 − 𝐴′𝑠 ) ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − 𝑎 ∕ 2)] =
𝜙 ⋅ 𝑀𝑛2 = 278.78 [𝑘𝑁𝑚]
0.82
194
⋅ [(2940 − 980) ⋅ 420 ⋅ (510 −
)]
1000000
2
Momento nominal de diseño de la viga
𝜙𝑀𝑛 = 𝜙𝑀𝑛1 + 𝜙𝑀𝑛2 = 150.19 + 278.78
𝜙𝑀𝑛 = 428.97 [𝑘𝑁𝑚]
Ejemplo. Si la armadura de compresión de la viga del problema anterior se cambia a 3𝜙25, calcular el
nuevo momento nominal de diseño.
Datos:
𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
250
65
3𝜙25
510
600
6𝜙25
a) Asumir que 𝑓𝑠′ = 𝑓𝑦 y 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 y dividir la viga en dos vigas
Viga 1
Viga 2
𝐴𝑠1 = 𝐴′𝑠 = 1470 [𝑚𝑚2 ]
𝐴𝑠2 = 𝐴𝑠 − 𝐴′𝑠 = 2940 − 1470 = 1470 [𝑚𝑚2 ]
b) Calcular a para la Viga 2
𝑎=
(𝐴𝑠 − 𝐴′𝑠 ) ⋅ 𝑓𝑦
0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏
=
1470 ⋅ 420
0.85 ⋅ 20 ⋅ 250
𝑎 = 145 [𝑚𝑚]
c) Verificar si el acero de compresión fluye
𝑑′
65
=
= 0.448
𝑎 145
125
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑑′
= 0.353
( )
𝑎 𝑙𝑖𝑚
𝑑′
𝑑′
>( )
⇒ 𝑓𝑠′ < 𝑓𝑦
𝑎
𝑎 𝑙𝑖𝑚
d) Hallar el nuevo valor de 𝑎
(0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏) ⋅ 𝑎2 + (0.003 ⋅ 𝐸𝑠 ⋅ 𝐴′𝑠 − 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ) ⋅ 𝑎 − 0.003 ⋅ 𝐸𝑠 ⋅ 𝐴′𝑠 ⋅ 𝛽1 ⋅ 𝑑′ = 0
4250 𝑎2 − 352800 𝑎 − 48730500 = 0
𝑎 = 156 [𝑚𝑚]
Este valor es mayor al anterior de 145 [𝑚𝑚] ya que el esfuerzo en el acero de compresión es menor que
𝑓𝑦 y como resultado se necesita un área mayor de compresión en el hormigón.
e) Verificar si el acero de tracción fluye y si la sección es controlada por tracción
𝑎 156
=
= 0.306
𝑑 510
𝑎𝑏
= 0.50
𝑑
𝑎 𝑎𝑏
≤
⇒ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦
𝑑
𝑑
𝑎
156
=
= 0.290
𝑑𝑡 538
𝑎𝑡𝑐
= 0.319
𝑑𝑡
𝑎
𝑎
≤ 𝑑𝑡𝑐
𝑑𝑡
𝑡
⇒ Sección controlada por tracción 𝜙 = 0.90
f) Verificar si 𝐴𝑠 ≥ 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 425 [𝑚𝑚2 ]
𝐴𝑠 = 2940 [𝑚𝑚2 ] > 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛
126
Vigas – Resistencia a la flexión
g) Calcular 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛
𝑎
𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 𝜙 ⋅ [𝐶𝑐 ⋅ (𝑑 − ) + 𝐶𝑠 ⋅ (𝑑 − 𝑑′ )]
2
𝐶𝑐 = 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑎 = 0.85 ⋅ 20 ⋅ 250 ⋅ 156 = 663000[𝑁]
𝑑′
65
𝐶𝑠 = 𝐸𝑠 ⋅ 0.003 ⋅ (1 − 𝛽1 ⋅ ) ⋅ 𝐴′𝑠 = 200000 ⋅ 0.003 ⋅ (1 − 0.85 ⋅
) ⋅ 1470
𝑎
146
𝐶𝑠 = 569625 [𝑁]
𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 =
0.9
156
⋅ [663000 ⋅ (510 −
) + 569625 ⋅ (510 − 65)]
1000000
2
𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 485.91 [𝑘𝑁𝑚]
Conclusiones
Comparando los dos ejemplos anteriores se puede observar que un incremento del 50% en el área de
acero de compresión solamente incrementa un 13.3% el momento nominal de diseño. Esto ilustra el hecho
de que el incremento en el acero de compresión es en general un procedimiento ineficiente para aumentar
la capacidad resistente de la viga. Pero, por otro lado, el acero de compresión puede ayudar a cambiar el
modo en que una viga falla, haciendo que ésta tenga un comportamiento más dúctil.
4.2. Vigas de sección T
Las vigas de sección T en el diseño de estructuras de hormigón armado se presentan con mucha más
frecuencia de lo que se piensa. En general, cuando se realiza el vaciado monolítico de losas de piso o
cubierta sobre vigas, las vigas perimetrales e interiores forman una sola estructura con la losa, por lo que
parte de ésta actúa como ala superior de las vigas. Por lo tanto, la sección transversal de las vigas es T o L
invertida en vez de rectangular. En la figura, de color gris, se aprecia la sección transversal de vigas
interiores y perimetrales para propósitos de diseño.
Cuando se empezó el diseño de este tipo de vigas, el principal problema era estimar el ancho del ala que se
podía considerar efectivo para el análisis. Después de muchos ensayos y pruebas de laboratorio, los
investigadores lograron obtener fórmulas simples para calcular de una manera razonable el ancho efectivo
del ala de la viga. En las siguientes secciones se analizará con mayor profundidad la determinación de ese
ancho. Cuando una viga está apoyada sobre múltiples pilares (viga continua) y soporta principalmente
cargas verticales uniformemente repartidas, entonces el diagrama de momentos es parabólico y cambia de
sentido, por lo que es fácil de deducir que en los tramos centrales, la fibra inferior de la viga está sometida
a tracción, mientras que sobre los apoyos, la fibra superior es la que se encuentra en tracción. Una
situación parecida ocurre en los entrepisos con vigas, puesto que en general existen más de dos apoyos en
cualquier dirección del piso.
127
Diseño de estructuras de hormigón armado
La losa soporta carga
en esta dirección
Fig. 4.18. Típica disposición de vigas en un entrepiso con losa diseñada en una dirección
En la siguiente figura se muestra una viga de sección T continua que forma parte de un entre piso. Por
razones de simplicidad solamente se muestran dos pilares y la viga ha sido cortada. Como es de esperar, la
viga presentará fisuras en los lugares donde existen esfuerzos de tracción en el hormigón. Por lo tanto, las
fibras opuestas estarán sometidas a esfuerzos de compresión. En el caso de secciones rectangulares esta
situación no tiene importancia, puesto que la parte de la sección transversal sometida a compresión tiene
siempre una forma rectangular, pero en vigas de sección T es muy importante determinar las fibras que
están en compresión, porque puede darse el caso de que la parte comprimida de la sección transversal no
tenga la forma rectangular cómo se logra apreciar en la siguiente figura.
B
A
B
A
𝑏
Zona en tracción
𝑏
Sección A-A
Sección A-A
Zona en compresión
Sección B-B
Fig. 4.19. Vigas de sección T con diferentes zonas de compresión
128
Vigas – Resistencia a la flexión
Cuando la fibra inferior de una viga de sección T está sometida a esfuerzos de compresión, la forma de la
parte comprimida será siempre rectangular. Si por el contrario, la parte superior (ala) está en compresión,
entonces dependiendo de la profundidad del eje neutro, puede ser que la forma de la parte comprimida sea
rectangular o T. Por tanto, para propósitos de diseño es muy importante determinar con precisión la
profundidad del eje neutro cuando el ala está en compresión porque los métodos de cálculo son diferentes.
Si la zona de compresión de una viga T es rectangular, esta viga será clasificada como simplemente “viga
rectangular” y los procedimiento de diseño y cálculo serán los mismos que se utilizan para vigas de
sección rectangular, pero si la zona de compresión es en T entonces la viga será clasificada como “viga T”
y se utilizarán los procedimiento de diseño específicos para vigas T. En las siguientes figuras se muestra
gráficamente la distribución real de esfuerzos que se produce en el ala en compresión de una viga T
aislada y de un conjunto de vigas T.
Soporte
Punto central de una viga
simplemente apoyada
Fig. 4.20. Flujo de esfuerzos de compresión en el ala de una viga de sección T
Sección a medio tramo
Vista en planta
𝑏0
Fig. 4.21. Distribución real de esfuerzos de compresión en las
alas de un conjunto de vigas de sección T
129
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑏𝑓
𝑏𝑓
𝑏𝑓
Vista en planta
Fig. 4.22. Distribución ficticia de esfuerzos de compresión en las
alas de un conjunto de vigas de sección T
En la figura 4.20 se puede apreciar como los flujos de esfuerzos de compresión en una sección a medio
tramo ocupan todo el ancho del ala de la viga T. A medida que los flujos de compresión se acercan a los
extremos de la viga (apoyos), éstos ocupan un ancho menor del ala.
Cuando se diseñan vigas de sección T, en la zona de momentos positivos se utiliza un “ancho efectivo” de
losa 𝑏𝑓 . Este ancho cuando es sometido a un esfuerzo uniforme 𝑓𝑐′ produce la misma fuerza de compresión
que el ancho total 𝑏𝑜 sometido a la distribución real de tensiones. El código ACI en su sección 6.3.2.1
presenta las siguientes recomendaciones para hallar el ancho efectivo de la losa en compresión de una viga
interior y perimetral que son parte de un sistema de piso que tiene un conjunto de vigas.
Ubicación del ala
Ancho sobresaliente efectivo del ala, más allá
de la cara del alma
8⋅ℎ
A cada lado del
alma
A un solo lado del
alma
130
El menor de:
El menor de:
𝑠𝑤
2
ℓ𝑛
8
Ancho efectivo del ala
𝒃𝒇
16 ⋅ ℎ + 𝑏𝑤
𝑠𝑤 + 𝑏𝑤
ℓ𝑛
+ 𝑏𝑤
4
6⋅ℎ
6 ⋅ ℎ + 𝑏𝑤
𝑠𝑤
2
ℓ𝑛
12
𝑠𝑤
+ 𝑏𝑤
2
ℓ𝑛
+ 𝑏𝑤
12
Vigas – Resistencia a la flexión
𝑏𝑓
𝑠𝑤
𝑠𝑤
𝑏𝑤
ℎ
𝑏𝑤
ℓ𝑛
Fig. 4.23. Viga interior de un entrepiso con vigas
𝑏𝑓
ℎ
𝑏𝑤
𝑠𝑤
Fig. 4.24. Viga de borde (perimetral) de un entrepiso con vigas
Para vigas aisladas de sección T en las cuales el ala es utilizada para proveer un área adicional de
compresión, el código ACI en su sección 6.3.2.2 presenta dos recomendaciones para el espesor del ala y
ancho efectivo de la losa comprimida.
1)
2)
ℎ ≥ 0.5 ∙ 𝑏𝑤
𝑏𝑓 ≤ 4 ∙ 𝑏𝑤
𝑏𝑓
ℎ
𝑏𝑤
Fig. 4.25. Viga aislada de sección T
131
Diseño de estructuras de hormigón armado
Para losas con nervios en una o dos direcciones, el código ACI en su sección 8.8.1 presenta
recomendaciones referentes a las dimensiones, espaciamiento y espesores de los diferentes elementos que
componen su sección transversal.
1)
2)
3)
𝑏𝑤 ≥ 100 [𝑚𝑚]
ℎ𝑤  3.5𝑏𝑤
𝑠𝑤  750 [𝑚𝑚]
Cuando para formar la losa aligerada se utilizan ladrillos o bloques de concreto cuyo material tiene una
resistencia a la compresión mayor o igual a la resistencia a la compresión del hormigón especificada para
los nervios, se pueden considerar las paredes verticales que están en contacto con los nervios de dichos
elementos para el cálculo de la resistencia al corte y al momento negativo.
El espesor de la losa ℎ sobre el material permanente de relleno debe ser mayor a 𝑠𝑤 /12 y en ningún caso
menor a 40 [𝑚𝑚]. En losas aligeradas en una dirección, se debe prever un refuerzo perpendicular a la
dirección de los nervios de acuerdo a la sección 7.6.1.1 del código ACI.
Cuando para formar la losa aligerada se utilizan encofrados removibles o bloques de poliestireno
expandido, el espesor de la losa ℎ debe ser mayor a 𝑠𝑤 /12 y en ningún caso menor a 50 [𝑚𝑚].
En este tipo de losas aligeradas, se debe prever un refuerzo perpendicular a la dirección de los nervios de
acuerdo a requerimientos por flexión considerando, si existen, cargas concentradas y en ningún caso este
refuerzo debe ser menor a lo especificado en la sección 7.6.1.1 del código ACI.
Cuando el contrapiso no es vaciado monolíticamente con la losa, su espesor puede ser tomado en cuenta
solamente para cumplir con los requerimientos de recubrimiento de la armadura, protección contra el
fuego u otro propósito no estructural. Un espesor de losa igual a 75 [𝑚𝑚], provee una protección al fuego
de aproximadamente una hora.
ℎ
ℎ𝑤
𝑠𝑤
𝑏𝑤
𝑠𝑤
𝑏𝑤
Fig. 4.26. Losa con nervios en una o dos direcciones
La sección 7.5.2.3 del código ACI indica que cuando el refuerzo principal de flexión en una losa que
pertenece a una viga T (excluyendo losas con nervios) es paralelo a la viga, se deberá colocar un refuerzo
perpendicular a la viga en la parte superior de la losa de acuerdo a lo siguiente:
132
Vigas – Resistencia a la flexión
a)
Se considera que las cargas últimas actúan en la longitud de la losa que sobresale del alma
(𝑏 − 𝑏𝑤 )/2 como si fuera un voladizo. Para vigas aisladas el ancho total del ala debe ser
considerado, mientras que para otras vigas T, solamente el ancho efectivo que sobresale del alma
es necesario considerar.
b)
El refuerzo transversal no debe estar espaciado más de 5ℎ y en ningún caso éste debe ser superior
a 450 [𝑚𝑚].
Fig. 4.27. Formas de cargar la losa para calcular su refuerzo
en la dirección perpendicular a la viga
Para el diseño de losas nervadas, la contribución del hormigón al corte puede ser tomada como 10% más
de la utilizada en vigas. Para incrementar la resistencia al corte de los nervios se puede utilizar estribos o
ensanchar la base de los mismos cerca de los apoyos.
La sección 8.8.1.7 del código ACI indica que se debe colocar refuerzo perpendicular a los nervios de
acuerdo a los requerimientos de flexión considerando cargas puntuales si estas existen. Pero, la cuantía de
este refuerzo debe ser mayor o igual a la especificada en la sección 24.4.3.2 que es la necesaria por
retracción y temperatura, pero no menos que 0.0014. En la siguiente tabla se presenta un resumen de lo
indicado en la sección 24.4.3.2 con respecto a la armadura de retracción y temperatura para losas.
Armadura por retracción y temperatura en losas
Tensión de fluencia del acero de
refuerzo [𝑴𝑷𝒂]
Cuantía de refuerzo por área
total de hormigón (𝒃 · 𝒉)
< 420
0.0020
≥ 420
0.0018 ∙
420
≥ 0.0014
𝑓𝑦
La armadura por retracción y temperatura debe tener un espaciamiento menor a cinco veces el espesor de
la losa y en ningún caso este espaciamiento puede superar 450 [𝑚𝑚].
133
Diseño de estructuras de hormigón armado
El código ACI en su sección 7.6.4.2 permite la utilización de acero de pretensado para retracción y
temperatura considerando lo siguiente:
a)
La mínima compresión promedio en el área gruesa del hormigón debe ser superior a 0.7 [𝑀𝑃𝑎]
considerando el pretensado efectivo, después de que se han producido todas las pérdidas
b)
El espaciamiento entre cables debe ser menor o igual a 1.8 [𝑚]
c)
Cuando el espaciamiento entre cables, utilizados por temperatura y retracción, excede 1.4 [𝑚], se
debe proveer entre los cables refuerzo pasivo adicional de acuerdo a la sección 24.4.3.1 del código
en los bordes de la losa donde se aplica la fuerza de pretensado para reforzar adecuadamente el
área entre el borde de la losa y el punto donde los esfuerzos de compresión, detrás de los anclajes
individuales, se han esparcido suficientemente de tal modo que la losa esta con una compresión
uniforme. Este refuerzo se debe extender desde el borde de la losa hasta una distancia igual al
espaciamiento del cable
4.2.1. Análisis de vigas T
Cuando la zona de compresión de una viga T es rectangular, su análisis puede ser realizado asumiendo
que es una viga rectangular de ancho 𝑏; donde 𝑏 puede ser el ancho del alma o el ancho efectivo del ala
dependiendo de la posición de la sección transversal de la viga con respecto a la forma del diagrama de
momentos. Sin embargo, si la zona de compresión es de forma T hay que realizar un análisis especial.
En la figura 4.28 se puede apreciar que para el equilibrio del momento externo en la sección T interviene
una fuerza de compresión en el hormigón 𝐶 y otra fuerza de tracción en el acero 𝑇 de la misma forma que
en una sección rectangular. La diferencia más notable es que la parte de la sección T que está en
compresión no siempre tiene la forma rectangular.
𝑏
0.85𝑓𝑐′
ℎ
𝑎
𝑑
𝐶
𝑗𝑑
𝐴𝑠
𝑏𝑤
Viga
𝑀𝑛 = 𝑀𝑛𝑓 + 𝑀𝑛𝑤
Fig. 4.28. Viga T con la zona de compresión extendida hasta el alma
134
𝑇 = 𝐴𝑠 𝑓𝑦
Vigas – Resistencia a la flexión
En la siguiente figura se muestra el procedimiento para el análisis de vigas cuya zona de compresión tiene
la forma de T. La viga es dividida en dos vigas hipotéticas, una llamada “Viga F” porque solamente
considera en compresión las proyecciones del ala a ambos lados del alma (flange en inglés) y la otra “Viga
W” porque considera la parte del alma que está en compresión (web en inglés). Este procedimiento es
realizado para evitar hallar el centro de gravedad de la sección en compresión que tiene una forma T.
La Viga 𝐹 comprende las proyecciones de las alas de la viga T y una parte del acero de tracción (𝐴𝑠𝑓 <
𝐴𝑠 ), mientras que la Viga W comprende toda el alma de la viga T y el resto de la armadura de tracción
(𝐴𝑠𝑤 = 𝐴𝑠 − 𝐴𝑠𝑓 ). Al dividir la viga de esta manera, las zonas de compresión de ambas vigas son ahora
rectangulares, por lo que su análisis puede ser realizado utilizando los procedimientos estudiados
anteriormente.
𝑏
ℎ
Viga 𝐹
0.85𝑓𝑐′
𝐶𝑓 = 0.85𝑓𝑐′ (𝑏 − 𝑏𝑤 )ℎ
𝑎
𝑑
𝑑 − ℎ𝑓 /2
𝐴𝑠𝑓
𝑇𝑓 = 𝐴𝑠𝑓 ⋅ 𝑓𝑦
𝑏𝑤
𝑏
0.85𝑓𝑐′
ℎ
𝑎
𝐶𝑤 = 0.85𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏𝑤 𝑎
𝑑
𝑑 − 𝑎/2
Viga W
𝐴𝑠𝑤 = 𝐴𝑠 − 𝐴𝑠𝑓
𝑏𝑤
𝑇𝑤 = 𝐴𝑠𝑤 ⋅ 𝑓𝑦
Fig. 4.29. Análisis de secciones T de hormigón armado
135
Diseño de estructuras de hormigón armado
Se realiza el análisis independientemente en las dos vigas hipotéticas y luego se suman sus resultados.
Viga F
𝑇𝑓 = 𝐴𝑠𝑓 ⋅ 𝑓𝑠
𝐶𝑓 = 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ (𝑏 − 𝑏𝑤 ) ⋅ ℎ
(4.55)
(4.56)
Asumir que 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 para el acero 𝐴𝑠𝑓
Realizar el equilibrio de las fuerzas horizontales 𝑇𝑓 = 𝐶𝑓
𝐴𝑠𝑓 ⋅ 𝑓𝑦 = 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ (𝑏 − 𝑏𝑤 ) ⋅ ℎ
0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ (𝑏 − 𝑏𝑤 ) ⋅ ℎ
𝐴𝑠𝑓 =
𝑓𝑦
ℎ
ℎ
𝑀𝑛𝑓 = 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ (𝑏 − 𝑏𝑤 ) ⋅ ℎ ⋅ (𝑑 − ) = 𝐴𝑠𝑓 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − )
2
2
(4.57)
Viga W
𝑇𝑤 = 𝐴𝑠𝑤 ⋅ 𝑓𝑠
(4.58)
𝐶𝑤 = 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏𝑤 ⋅ 𝑎
(4.59)
Asumir que 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 para el acero 𝐴𝑠𝑤 = 𝐴𝑠 − 𝐴𝑠𝑓
Realizar el equilibrio de las fuerzas horizontales 𝑇𝑤 = 𝐶𝑤
𝐴𝑠𝑤 ⋅ 𝑓𝑦 = 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏𝑤 ⋅ 𝑎
𝐴𝑠𝑤 ⋅ 𝑓𝑦
𝑎=
0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏𝑤
𝑎
𝑎
𝑀𝑛𝑤 = 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏𝑤 ⋅ 𝑎 ⋅ (𝑑 − ) = 𝐴𝑠𝑤 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − )
2
2
(4.60)
(4.61)
Viga T
𝑀𝑛 = 𝑀𝑛𝑓 + 𝑀𝑛𝑤
𝑎
ℎ
𝑀𝑛 = 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ (𝑏 − 𝑏𝑤 ) ⋅ ℎ ⋅ (𝑑 − ) + 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏𝑤 ⋅ 𝑎 ⋅ (𝑑 − )
2
2
O también escrita de otra manera,
ℎ
𝑎
𝑀𝑛 = 𝐴𝑠𝑓 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − ) + 𝐴𝑠𝑤 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − )
2
2
Finalmente el momento nominal de diseño será 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛
Ocasionalmente 𝑎 = ℎ y en ese caso la viga se diseña como viga rectangular
136
(4.62)
(4.63)
Vigas – Resistencia a la flexión
Determinar si 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦
En la derivación de las ecuaciones se asumió que 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 , pero se debe verificar esta suposición.
𝑎
𝑎
600
≤ 𝑑𝑏 = 𝛽1 ⋅ 600+𝑓
𝑑
𝑦
Si
⇒ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦
Coeficiente de reducción de la resistencia 𝜙
𝑎
𝑎
Si 𝑑 ≤ 𝑑𝑡𝑐 = 0.375 ⋅ 𝛽1
Sección controlada por tracción
𝑡
𝑡
𝑎𝑡𝑐
𝑎
𝑎
≤ 𝑑 ≤ 𝑑𝑐𝑐
𝑑𝑡
𝑡
𝑡
𝑎
𝑎𝑐𝑐
600
≥
=
𝛽
1 ⋅ 600+𝑓
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑦
Si
Si

𝜙 = 0.9
𝛽
Sección en transición
𝜙 = 0.23 + 0.25 ⋅ 𝑎∕𝑑1
Sección controlada por compresión
𝜙 = 0.65
𝑡
Cuantía mínima de acero de tracción
Para vigas T con el ala en compresión y para las regiones de momento negativo de vigas continuas de
sección T donde el ala está en tracción
𝑏𝑤
√𝑓𝑐′
⋅ 𝑏𝑤 ⋅ 𝑑
𝑓𝑦
𝑏𝑤 ⋅ 𝑑
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 ≥ 1.4 ⋅
𝑓𝑦
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0.25 ⋅
(4.32)
(4.33)
Para vigas isostáticas de sección T con el ala en tracción (viga en voladizo), el área mínima es igual al
menor valor de:
𝑏𝑤 ⋅ 𝑑
𝑓𝑦
Donde: 𝑏𝑤 = Ancho del alma.
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0.50 ⋅ √𝑓𝑐′ ⋅
𝑏𝑤 ⋅ 𝑑
𝑓𝑦
Donde: 𝑏𝑤 = 𝑏𝑓 Ancho efectivo del ala.
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0.25 ⋅ √𝑓𝑐′ ⋅
(4.34)
(4.35)
1
El requerimiento del área mínima no necesita ser aplicado si el área de acero colocada es al menos 3
mayor a la requerida por el análisis.
137
Diseño de estructuras de hormigón armado

Análisis del momento nominal de diseño 𝝓 ⋅ 𝑴𝒏 para una viga T
Ejemplo. Una viga interior T de un sistema de piso tiene una distancia libre entre caras de columnas de
5500 [𝑚𝑚]. Calcular 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 en la región de momento positivo.
Datos:
𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
Dimensiones en [𝑚𝑚]
3050
3650
ℎ = 125
500
300
2750
300
3300
400
Sección transversal
8𝜙20
8𝜙20
6𝜙20
5500
Elevación de la viga
𝑏𝑓 = 1675
125
𝐸 𝜙10
𝑑 = 425
6𝜙20
𝑏𝑤 = 300
Refuerzo a medio tramo
138
500
Vigas – Resistencia a la flexión
a) Calcular el ancho efectivo del ala 𝑏𝑓
ℓ
4
5500
+ 300
4
1)
𝑏𝑓 ≤ 𝑛 + 𝑏𝑤 =
2)
𝑏𝑓 ≤ 16 ⋅ ℎ + 𝑏𝑤 = 16 ⋅ 125 + 300
𝑏𝑓 ≤ 2300 [𝑚𝑚]
3)
𝑠 +𝑠
2750+3300
𝑏𝑓 ≤ 𝑤𝑖 𝑤𝑖+1 + 𝑏𝑤 =
+ 300
2
2
𝑏𝑓 ≤ 3325 [𝑚𝑚]
𝑏𝑓 ≤ 1675 [𝑚𝑚]
∴ 𝑏𝑓 = 1675 [𝑚𝑚]
b) Calcular 𝑑
𝑐. 𝑔. 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 =
6.28 ∙ 105 + 12.57 ∙ 60
= 75 [𝑚𝑚]
6.28 + 12.57
𝑑 = ℎ – 𝑟 = 500– 75 = 425 [𝑚𝑚]
c) Calcular 𝑎
Asumimos que 𝑎 ≤ ℎ ⇒ se puede analizar la viga T como rectangular.
𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦
1885 ⋅ 420
=
′
0.85 ⋅ 𝑓𝑐 ⋅ 𝑏𝑓 0.85 ⋅ 20 ⋅ 1675
𝑎 = 28 [𝑚𝑚]
𝑎=
Como 𝑎 ≤ ℎ ⇒ La viga es analizada como rectangular
d) Verificar si 𝐴𝑠 ≥ 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛
Como el ala está en compresión
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 =
𝑏𝑤 ⋅ 𝑑
0.25 ⋅ √𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏𝑤 ⋅ 𝑑
≥ 1.4 ⋅
𝑓𝑦
𝑓𝑦
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 =
0.25 ⋅ √20 ⋅ 300 ⋅ 425
300 ⋅ 425
≥ 1.4 ⋅
420
420
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 339.4 [𝑚𝑚2 ] ≥ 425.0 [𝑚𝑚2 ]
∴ 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 4.25 [𝑐𝑚2 ]
𝐴𝑠 = 18.85 [𝑐𝑚2 ] ≥ 4.25 [𝑐𝑚2 ]
Bien !
e) Verificar si 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 y si la sección está controlada por tracción
𝑎
28
=
= 0.0659
𝑑 425
139
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑎𝑏
600
600
= 𝛽1 ⋅
= 0.85 ⋅
= 0.50
𝑑
600 + 𝑓𝑦
600 + 420
𝑎
𝑎
Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑏 ⇒ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦
𝑑𝑡 = 500 − 40 − 10 − 10 = 440 [𝑚𝑚]
𝑎
28
=
= 0.0636
𝑑𝑡 440
𝑎𝑡𝑐
= 0.375 ⋅ 𝛽1 = 0.375 ⋅ 0.85 = 0.319
𝑑𝑡
𝑎
𝑎
Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑡𝑐 ⇒ 𝜙 = 0.90
𝑡
𝑡
f) Calcular 𝜙𝑀𝑛
𝑎
𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 𝜙 ⋅ 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − )
2
𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 =
28
0.9 ⋅ 1885 ⋅ 420 ⋅ (425 − 2 )
1000000
𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 292.85 [𝑘𝑁𝑚]
Ejemplo. Para la viga del problema anterior, calcular 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 en la región de momento negativo.
8𝜙20
𝐸 𝜙 10
𝑑 = 440
500
𝑎
𝑏𝑤 = 300
Refuerzo sobre los apoyos
a) Calcular 𝑏
Como el alma de la viga está sometida a compresión, entonces el ancho de la zona en compresión es igual
al ancho del alma (𝑏 = 𝑏𝑤 = 300 [𝑚𝑚]).
140
Vigas – Resistencia a la flexión
b) Calcular 𝑑
En este caso se tiene como dato el canto efectivo de la sección en la zona de momento negativo (𝑑 =
440 [𝑚𝑚])
c) Calcular 𝑎
𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦
2512 ⋅ 420
=
′
0.85 ⋅ 𝑓𝑐 ⋅ 𝑏𝑤 0.85 ⋅ 20 ⋅ 300
𝑎 = 207 [𝑚𝑚]
𝑎=
d) Verificar si 𝐴𝑠 ≥ 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 =
0.25 ⋅ √𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏𝑤 ⋅ 𝑑
𝑏𝑤 ⋅ 𝑑
≥ 1.4 ⋅
𝑓𝑦
𝑓𝑦
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 =
0.25 ⋅ √20 ⋅ 300 ⋅ 440
300 ⋅ 440
≥ 1.4 ⋅
420
420
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 351 [𝑚𝑚2 ] ≥ 440 [𝑚𝑚2 ]
∴ 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 4.40 [𝑐𝑚2 ]
𝐴𝑠 = 25.12 [𝑐𝑚2 ] ≥ 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 4.40 [𝑐𝑚2 ]
Bien !
e) Verificar si 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 y si la sección está controlada por tracción
𝑎 207
=
= 0.470
𝑑 440
𝑎𝑏
600
600
= 𝛽1 ⋅
= 0.85 ⋅
= 0.50
𝑑
600 + 𝑓𝑦
600 + 420
𝑎
𝑎
Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑏 ⇒ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦
𝑎
207
=
= 0.470
𝑑𝑡 440
𝑎𝑡𝑐
= 0.375 ⋅ 𝛽1 = 0.375 ⋅ 0.85 = 0.319
𝑑𝑡
𝑎𝑣
= 0.429 ⋅ 𝛽1 = 0.429 ⋅ 0.85 = 0.365
𝑑𝑡
141
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑎
𝑎
Como 𝑑 > 𝑑𝑣 la sección no cumple con los requerimientos de ductilidad, pero como es un problema de
𝑡
𝑡
análisis y no de diseño se continúa con el ejercicio. También, se puede refinar el análisis considerando la
armadura inferior que se encuentra en compresión.
𝑎
𝑎
𝑎
Como 𝑑𝑡𝑐 ≤ 𝑑 ≤ 𝑑𝑐𝑐 ⇒ La sección falla en transición
𝑡
𝑡
𝜙 = 0.23 + 0.25 ⋅
𝜙 = 0.682
𝑡
𝛽1
0.85
= 0.23 + 0.25 ⋅
𝑎 ∕ 𝑑𝑡
0.47
f) Calcular 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛
207
0.682 ⋅ 2512 ⋅ 420 ⋅ (440 −
)
𝑎
2
𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 𝜙 ⋅ 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − ) =
2
1000000
𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 242.12 [𝑘𝑁𝑚]

Análisis de una viga T con el eje neutro en el alma
En algunas ocasiones en la región de momentos positivos de vigas de sección T continuas o isostáticas, el
eje neutro de la sección cae por debajo del espesor del ala, por lo que su análisis debe ser realizado
considerando que la sección comprimida es de forma T. Para ilustrar el procedimiento de análisis descrito
en las anteriores secciones, se considerará el siguiente ejemplo.
Ejemplo. Calcular el momento nominal positivo 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 de la sección que se muestra en la figura si la
armadura que se detalla corresponde a la sección de medio tramo de una viga T simplemente apoyada.
Datos:
𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎]
𝑑 = 610 [𝑚𝑚]
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
500
125
610
700
6𝜙25
250
Sección transversal
142
Zona en compresión
Vigas – Resistencia a la flexión
500
500
125
610
125
700
610
700
250
250
Viga F
Viga W
a) Calcular 𝑏𝑓
𝑏𝑓 ≤ 4𝑏𝑤 = 4250 = 1000 [𝑚𝑚]
ℎ ≥ 0.5 ∙ 𝑏𝑤 = 0.5 ∙ 250 = 125 [𝑚𝑚]
Bien !
Bien !
b) Calcular 𝑑
𝑑 = 610 [𝑚𝑚]
c) Calcular 𝑎
Primero se asume que la zona de compresión es rectangular
𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦
2945 ⋅ 420
=
′
0.85 ⋅ 𝑓𝑐 ⋅ 𝑏 0.85 ⋅ 20 ⋅ 500
𝑎 = 146 [𝑚𝑚]
𝑎=
Como 𝑎 ≥ ℎ ⇒ La zona de compresión se extiende al alma.
 El valor de 𝑎 debe ser calculado nuevamente considerando que la zona de compresión tiene la forma
de T.
d) Dividir la viga en dos: Viga F y Viga W
Viga F
𝐶𝑓 = 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ (𝑏 − 𝑏𝑤 ) ⋅ ℎ = 0.85 ⋅ 20 ⋅ (500 − 250) ⋅ 125
𝐶𝑓 = 531250 [𝑁]
El área de acero en la Viga F es:
143
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝐴𝑠𝑓 ⋅ 𝑓𝑦 = 𝐶𝑓
𝐶𝑓
𝐴𝑠𝑓 =
𝑓𝑦
531250
𝐴𝑠𝑓 =
420
𝐴𝑠𝑓 = 1265 [𝑚𝑚2 ]
125
1265 ⋅ 420 ⋅ (610 − 2 )
ℎ
𝑀𝑛𝑓 = 𝐴𝑠𝑓 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − ) =
1000000
2
𝑀𝑛𝑓 = 290.87 [𝑘𝑁𝑚]
Viga W
𝐴𝑠𝑤 = 𝐴𝑠 − 𝐴𝑠𝑓 = 2945 − 1265 = 1680 [𝑚𝑚2 ]
Para la viga W
𝑏 = 𝑏𝑤 = 250 [𝑚𝑚]
𝐴𝑠𝑤 ⋅ 𝑓𝑦
1680 ⋅ 420
=
′
0.85 ⋅ 𝑓𝑐 ⋅ 𝑏 0.85 ⋅ 20 ⋅ 250
𝑎 = 166 [𝑚𝑚]
𝑎=
166
1680 ⋅ 420 ⋅ (610 − 2 )
𝑎
𝑀𝑛𝑤 = 𝐴𝑠𝑤 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − ) =
1000000
2
𝑀𝑛𝑤 = 371.85 [𝑘𝑁𝑚]
Por lo tanto, 𝑀𝑛 = 𝑀𝑛𝑓 + 𝑀𝑛𝑤 = 290.87 + 371.85 = 662.72 [𝑘𝑁𝑚]
𝑀𝑛 = 662.72 [𝑘𝑁𝑚]
e) Verificar si 𝐴𝑠 ≥ 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛
0.25 ⋅ √𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏𝑤 ⋅ 𝑑
𝑏𝑤 ⋅ 𝑑
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 =
≥ 1.4 ⋅
𝑓𝑦
𝑓𝑦
0.25 ⋅ √20 ⋅ 250 ⋅ 610
250 ⋅ 610
≥ 1.4 ⋅
420
420
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 406 [𝑚𝑚2 ] ≥ 508 [𝑚𝑚2 ]
∴ 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 5.08 [𝑐𝑚2 ]
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 =
Como 𝐴𝑠 = 29.45 [𝑐𝑚2 ] ≥ 5.08 [𝑐𝑚2 ]
144
Vigas – Resistencia a la flexión
f) Verificar si 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 y si la sección está controlada por tracción
𝑎 166
=
= 0.272
𝑑 610
600
600
𝑎𝑏
= 𝛽1 ⋅
= 0.85 ⋅
= 0.50
𝑑
600 + 𝑓𝑦
600 + 420
𝑎
𝑎
Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑏 ⇒ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦
𝑑𝑡 = ℎ − 𝑟 − 𝑑𝑠 −
𝑑𝑏
25
= 700 − 40 − 10 −
= 637.5 [𝑚𝑚]
2
2
𝑎
166
=
= 0.260
𝑑𝑡 637.5
𝑎𝑡𝑐
= 0.375 ⋅ 𝛽1 = 0.375 ⋅ 0.85 = 0.319
𝑑𝑡
𝑎
𝑎
Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑡𝑐 ⇒ 𝜙 = 0.90
𝑡
𝑡
Sección controlada por tracción
g) Calcular 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛
𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 0.90662.72
𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 596.45 [𝑘𝑁𝑚]
4.2.2. Diseño de vigas T
El diseño de una viga T comprende la elección de la sección transversal y del refuerzo requerido. El
espesor y el ancho del ala son usualmente establecidos durante el diseño de la losa de piso. El ancho del
alma está afectado por los mismos factores que en el caso de secciones rectangulares.
En el caso de vigas T continuas, los esfuerzos de compresión en el hormigón son más críticos en las
regiones de momento negativo donde la zona de compresión está en el alma. Generalmente, las
dimensiones del alma son escogidas de tal modo que 𝜌 = 0.5 ⋅ 𝜌𝑏 en el punto del momento máximo
negativo.
Ejemplo. Hallar el área de acero requerido en la sección T de la viga que se muestra en la figura si ésta
soporta un momento máximo positivo de 310.00 [𝑘𝑁𝑚].
Datos:
𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
145
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑏𝑓 = 1500
125
500
Dimensiones en [𝑚𝑚]
300
a) Calcular 𝑏𝑓
Considerando todas las condiciones se ha determinado que 𝑏𝑓 = 1500 [𝑚𝑚]
b) Calcular 𝑑
Asumir que hay dos filas de acero
𝑑 = ℎ − 90 = 500 − 90 = 410 [𝑚𝑚]
c) Calcular 𝐴𝑠 asumiendo que la sección puede ser considerada rectangular
𝐴𝑠 =
𝑀𝑢
𝜙 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ 𝑗 ⋅ 𝑑
Como es una sección T, en la región positiva se asume que 𝑗 = 0.95
𝐴𝑠 =
310000000
0.90 ⋅ 420 ⋅ 0.95 ⋅ 410
𝐴𝑠 = 2106 [𝑚𝑚2 ] = 21.06 [𝑐𝑚2 ]
7𝜙20
10𝜙16
3𝜙25 + 3𝜙16
𝐴𝑠 = 21.99 [𝑐𝑚2 ]
𝐴𝑠 = 20.11 [𝑐𝑚2 ]
𝐴𝑠 = 20.76 [𝑐𝑚2 ] ⇒ Escogemos esta alternativa en dos filas
d) Verificar si 𝐴𝑠 ≥ 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 =
146
0.25 ⋅ √𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏𝑤 ⋅ 𝑑
𝑏𝑤 ⋅ 𝑑
≥ 1.4 ⋅
𝑓𝑦
𝑓𝑦
Vigas – Resistencia a la flexión
𝑑 = 500 − 76 = 424 [𝑚𝑚]
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 339 [𝑚𝑚2 ] ≥ 424 [𝑚𝑚2 ]
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 424 [𝑚𝑚2 ]
𝐴𝑠 = 20.76 [𝑐𝑚2 ] ≥ 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 4.24 [𝑐𝑚2 ]
76
m
m
Bien !
e) Calcular 𝑎 y verificar si 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 y si la sección es controlada por tracción
𝑎=
𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦
2076 ⋅ 420
=
′
0.85 ⋅ 𝑓𝑐 ⋅ 𝑏 0.85 ⋅ 20 ⋅ 1500
𝑎 = 34 [𝑚𝑚] ≤ ℎ = 125 [𝑚𝑚]
 Sección rectangular
𝑎
34
=
= 0.080
𝑑 424
𝑎𝑏
= 0.50
𝑑
𝑎
𝑎
Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑏 ⇒ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦
𝑑𝑡 = 500 − 40 − 10 −
25
= 437.5 [𝑚𝑚]
2
𝑎
34
=
= 0.078
𝑑𝑡 437.5
𝑎𝑡𝑐
= 0.319
𝑑𝑡
𝑎
𝑎
Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑡𝑐 ⇒ 𝜙 = 0.90
𝑡
𝑡
f) Calcular 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛
34
0.9 ⋅ 2076 ⋅ 420 ⋅ (424 − 2 )
𝑎
𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 𝜙 ⋅ 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − ) =
2
1000000
𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 319.38 [𝑘𝑁𝑚] ≥ 𝑀𝑢 = 310.00 [𝑘𝑁𝑚]
Bien !
147
Diseño de estructuras de hormigón armado
4.2.3. Análisis de vigas T (Método General)
Cuando la sección comprimida tiene la forma de una T, puede ser conveniente, para propósitos de
programación, realizar el análisis sin dividir la viga en dos vigas hipotéticas. En la siguiente figura se
considera una sección T donde el área comprimida también tiene la forma de una T. Para el análisis se
puede hallar el centro de gravedad de toda el área comprimida y colocar en ese punto la resultante 𝐶 de
todos los esfuerzos de compresión. Como se conoce la posición y la magnitud de la fuerza de tracción 𝑇,
se puede trabajar con ese par de fuerzas para hallar el momento nominal de diseño de la viga.
𝑏𝑓
𝑦
ℎ
0.85 · 𝑓𝑐′
𝜀𝑐 = 0.003
ℎ
c.g.
𝑀𝑛
𝑑
eje
neutro
ℎ𝑤
𝐴𝑠
Parte del
elemento
C
𝑗·𝑑
𝜀𝑠
Sección
𝑎 = 𝛽1 · 𝑐
𝑐
Deformaciones
𝑓𝑠
𝑓𝑠
Tensiones
Reales
Tensiones
Equivalentes
𝑇
Fuerzas
Internas
Fig. 4.30. Método general para el análisis de secciones T de hormigón armado
Centro de gravedad del área en compresión
𝑦=
ℎ
𝑎+ℎ
𝑏𝑓 ⋅ ℎ ⋅ 2 + 𝑏𝑤 ⋅ (𝑎 − ℎ) ⋅ ( 2 )
𝑏𝑓 ⋅ ℎ + 𝑏𝑤 ⋅ (𝑎 − ℎ)
=
𝑏𝑓 ⋅ ℎ2 + 𝑏𝑤 ⋅ (𝑎2 − ℎ2 )
2 ⋅ 𝑏𝑓 ⋅ ℎ + 2 ⋅ 𝑏𝑤 ⋅ (𝑎 − ℎ)
(4.64)
Resultante de la fuerzas de tracción
𝑇 = 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑠
Resultante de los esfuerzos de compresión
𝐶 = 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ [𝑏𝑓 ⋅ ℎ + 𝑏𝑤 ⋅ (𝑎 − ℎ)]
(4.65)
Distancia entre el par de fuerzas
𝑗⋅𝑑 =𝑑−𝑦
(4.66)
Momento nominal
𝑀𝑛 = 𝑇 ⋅ 𝑗 ⋅ 𝑑 = 𝐶 ⋅ 𝑗 ⋅ 𝑑
(4.67)
Cuando la falla de la sección es por tracción
𝑓𝑠 = 𝑓𝑦
𝐶=𝑇
148
Vigas – Resistencia a la flexión
0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ [𝑏𝑓 ⋅ ℎ + 𝑏𝑤 ⋅ (𝑎 − ℎ)] = 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦
𝑎=(
𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦
1
+ℎ
′ − 𝑏𝑓 ⋅ ℎ) ⋅
0.85 ⋅ 𝑓𝑐
𝑏𝑤
(4.68)
𝑀𝑛 = 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − 𝑦)
(4.69)
𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 𝜙 ⋅ 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − 𝑦)
(4.70)
Cuando la falla de la sección es por compresión 𝑓𝑠 < 𝑓𝑦
𝜀
𝜀
𝑠
Del diagrama de deformación 𝑐𝑐 = 𝑑−𝑐
⇒ 𝜀𝑠 = 0.003 ⋅
𝑓𝑠 = 𝜀𝑠 ⋅ 𝐸𝑠 = 0.003 ⋅
𝑑−𝑐
𝑐
𝛽1 ⋅ 𝑑 − 𝑎
𝑑−𝑐
⋅ 𝐸𝑠 = 0.003 ⋅
⋅ 𝐸𝑠
𝑎
𝑐
𝐶=𝑇
𝛽1 ⋅ 𝑑 − 𝑎
𝑎
0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏𝑓 ⋅ ℎ ⋅ 𝑎 + 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏𝑤 ⋅ 𝑎2 − 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏𝑤 ⋅ ℎ ⋅ 𝑎 − 𝐴𝑠 ⋅ 𝐸𝑠 ⋅ 0.003
⋅ 𝛽1 ⋅ 𝑑 + 𝐴𝑠 ⋅ 𝐸𝑠 ⋅ 0.003 ⋅ 𝑎 = 0
0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ [𝑏𝑓 ⋅ ℎ + 𝑏𝑤 ⋅ (𝑎 − ℎ)] = 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑠 = 𝐴𝑠 ⋅ 𝐸𝑠 ⋅ 0.003 ⋅
0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏𝑤 ⋅ 𝑎2 + [(0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ ℎ) ⋅ (𝑏𝑓 − 𝑏𝑤 ) + 𝐴𝑠 ⋅ 𝐸𝑠 ∙ 0.003] ⋅ 𝑎
−𝐴𝑠 ⋅ 𝐸𝑠 ⋅ 0.003 ⋅ 𝛽1 ⋅ 𝑑 = 0
(4.71)
Se halla el valor de 𝑎 y se calcula el momento nominal de diseño de la sección
𝑀𝑛 = 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ [𝑏𝑓 ⋅ ℎ + 𝑏𝑤 ⋅ (𝑎 − ℎ)] ⋅ (𝑑 − 𝑦)
𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 𝜙 ⋅ 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ [𝑏𝑓 ⋅ ℎ + 𝑏𝑤 ⋅ (𝑎 − ℎ)] ⋅ (𝑑 − 𝑦)
(4.72)
(4.73)
Falla balanceada
𝑎𝑏
600
= 𝛽1 ⋅ (
)
𝑑
600 + 𝑓𝑦
Sección controlada por compresión 𝜙 = 0.65
𝑎
𝑎𝑐𝑐
600
≥
= 𝛽1 ⋅ (
)
𝑑𝑡
𝑑𝑡
600 + 𝑓𝑦
Sección controlada por tracción 𝜙 = 0.90
𝑎𝑡𝑐
𝑎
≤
= 0.375 ⋅ 𝛽1
𝑑𝑡
𝑑𝑡
149
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝛽
Sección en transición 𝜙 = 0.23 + 0.25 ⋅ 𝑎∕𝑑1
𝑡
𝑎𝑡𝑐
𝑎
𝑎𝑐𝑐
<
<
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Ejemplo. Calcular 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 en la sección de la siguiente figura. La armadura mostrada corresponde a la
sección de medio tramo de una viga T simplemente apoyada.
Datos:
𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
𝑑 = 610 [𝑚𝑚]
500
125
610
700
6𝜙25
250
Sección transversal
a) Calcular 𝑏 y verificar el requerimiento de espesor del ala
𝑏𝑓 ≤ 4 · 𝑏𝑤 = 4 · 250 = 1000 [𝑚𝑚] que es mayor al ancho real por lo que 𝑏𝑓 = 500 [𝑚𝑚].
ℎ ≥ 0.5 ∙ 𝑏𝑤 = 0.5 ∙ 250
ℎ ≥ 125 [𝑚𝑚]
b) Calcular 𝑑
𝑑 = 610 [𝑚𝑚]
c) Calcular 𝑎 asumiendo que el área de compresión tiene forma rectangular
𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦
2945 ⋅ 420
=
′
0.85 ⋅ 𝑓𝑐 ⋅ 𝑏𝑓 0.85 ⋅ 20 ⋅ 500
𝑎 = 146 [𝑚𝑚] > ℎ = 125 [𝑚𝑚]
𝑎=
150
Vigas – Resistencia a la flexión
d) Recalcular 𝑎 para la viga T y asumir que el acero de tracción fluye 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦
𝑎=(
𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦
1
2945 ⋅ 420
1
+ℎ =(
− 500 ⋅ 125) ⋅
+ 125
′ − 𝑏𝑓 ⋅ ℎ) ⋅
0.85 ⋅ 𝑓𝑐
𝑏𝑤
0.85 ⋅ 20
250
𝑎 = 166 [𝑚𝑚]
e) Verificar si 𝐴𝑠 ≥ 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 508 [𝑚𝑚2 ]
𝐴𝑠 = 29.45 [𝑐𝑚2 ] ≥ 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 5.08 [𝑐𝑚2 ]
Bien !
f) Verificar si 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 y si 𝜙 = 0.9
𝑎 166
=
= 0.272
𝑑 610
𝑎𝑏
= 0.50
𝑑
𝑎
𝑎
Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑏 ⇒ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦
𝑑𝑡 = 700– 40– 10 −
25
= 637.5 [𝑚𝑚]
2
𝑎
166
=
= 0.260
𝑑𝑡 637.5
𝑎𝑡𝑐
= 0.319
𝑑𝑡
𝑎
𝑎
Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑡𝑐 ⇒ 𝜙 = 0.9
𝑡
𝑡
g) Calcular 𝜙 · 𝑀𝑛
𝑏𝑓 ⋅ ℎ2 + 𝑏𝑤 ⋅ (𝑎2 − ℎ2 )
500 ⋅ 1252 + 250 ⋅ (1662 − 1252 )
𝑦=
=
2 ⋅ 𝑏𝑓 ⋅ ℎ + 2 ⋅ 𝑏𝑤 ⋅ (𝑎 − ℎ) 2 ⋅ 500 ⋅ 125 + 2 ⋅ 250 ⋅ (166 − 125)
𝑦 = 74.2 [𝑚𝑚]
𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 𝜙 ⋅ 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − 𝑦) =
0.9 ⋅ 2945 ⋅ 420 ⋅ (610 − 74.2)
1000000
𝜙 · 𝑀𝑛 = 596.46 [𝑘𝑁 · 𝑚]
151
Diseño de estructuras de hormigón armado
Se ha obtenido el mismo resultado que el del ejercicio anterior que fue resuelto con el procedimiento
común de dividir la viga de sección T, cuando el área en compresión tiene la forma de T, en dos vigas
hipotéticas (Viga F y Viga W).
4.3. Método de compatibilidad de deformaciones
Cuando se tiene que analizar o diseñar vigas de hormigón armado cuya sección es rectangular, T, cruz,
etc., y que además tengan diferentes niveles de refuerzo se puede utilizar un procedimiento relativamente
sencillo basado en la compatibilidad de deformaciones. Para ilustrar el método, se considerará la sección
de hormigón armado de la siguiente figura. Como se trata de una viga, se asume que sobre ella no actúa
carga axial alguna de tal modo que sobre la sección se desarrolla un diagrama de deformaciones no
uniforme. Con base al diagrama de deformaciones es posible determinar los esfuerzos en cada una de las
filas de acero y en la porción de hormigón sometido a compresión.
Compresión (+)
𝜀𝑐𝑢 = 0.003
𝑑3
𝑑4
0.85 · 𝑓𝑐′
𝜀𝑠4
𝑑2
𝑑1
ℎ
𝜀𝑠3
𝑐
𝑓𝑠4
𝑓𝑠3
𝑎 = 𝛽1 · 𝑐
𝜀𝑠2
𝜀𝑠1 = 𝑧 · 𝜀𝑦
𝑏
Sección
𝑓𝑠2
𝑓𝑠1
Valor arbitrario
𝑧 + para compresión
𝑧– para tracción
Deformaciones
Esfuerzos (Todos positivos)
Fig. 4.31. Compatibilidad de deformación en una sección de hormigón armado
Por triángulos similares:
0.003 0.003 − 𝑧 ⋅ 𝜀𝑦
0.003
=
⇒𝑐=(
) ⋅ 𝑑1
𝑐
𝑑1
0.003 − 𝑧 ⋅ 𝜀𝑦
(4.74)
0.003
𝜀𝑠𝑖
𝑐 − 𝑑𝑖
=
⇒ 𝜀𝑠𝑖 = (
) ⋅ 0.003
𝑐
𝑐 − 𝑑𝑖
𝑐
(4.75)
Una vez calculados los valores de 𝑐, 𝜀𝑠4 , 𝜀𝑠3 , 𝜀𝑠2 y 𝜀𝑠1 , se calculan los esfuerzos en el hormigón y en cada
fila de aceros.
𝑓𝑠𝑖 = 𝜀𝑠𝑖 · 𝐸𝑠
152
(4.76)
Vigas – Resistencia a la flexión
Pero con la condición de que −𝑓𝑦 < 𝑓𝑠𝑖 < 𝑓𝑦
𝛽1 = 1.05 − 0.007 · 𝑓𝑐′ ⇒ 𝑎 = 𝛽1 · 𝑐
Pero con la condición de que 0.65 < 𝛽1 < 0.85
𝑓𝑠
𝑓𝑠 = 𝑓𝑦
𝑓𝑦
−𝜀𝑦
𝑓𝑠 = −𝑓𝑦
𝜀𝑦
𝜀𝑠
−𝑓𝑦
Fig. 4.32. Diagrama tensión – deformación de las barras de acero
Cuando se tienen calculados los esfuerzos en cada uno de los elementos de la sección transversal, se
procede a hallar la posición y magnitud de la resultante de cada uno de ellos.
Hormigón:
𝐶𝑐 = (0.85 · 𝑓𝑐′ ) · 𝑎 · 𝑏
(4.77)
Acero:
Si
Si
𝑎 < 𝑑𝑖
𝑎 ≥ 𝑑𝑖
⇒
⇒
𝐹𝑠𝑖 = 𝑓𝑠𝑖 · 𝐴𝑠𝑖
𝐹𝑠𝑖 = (𝑓𝑠𝑖 − 0.85 · 𝑓𝑐′ ) · 𝐴𝑠𝑖
(4.78)
(4.79)
Se toma la fuerza como positiva si es compresión.
Para hallar la posición del eje neutro se debe tantear el valor de 𝑧 hasta que la sumatoria de las fuerzas en
el sentido perpendicular a la sección sea cero (𝑃𝑛 = 0).
𝑛
𝑃𝑛 = 𝐶𝑐 + ∑ 𝐹𝑠𝑖 = 0
(4.80)
𝑖=1
Una vez hallada la posición del eje neutro se halla el momento nominal 𝑀𝑛 y para ello se procede a
realizar la sumatoria de momentos alrededor del centro de gravedad de la sección de hormigón calculado
sin considerar las barras de acero.
153
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑛
ℎ 𝑎
ℎ
𝑀𝑛 = 𝐶𝑐 ∙ ( − ) + ∑ 𝐹𝑠𝑖 ∙ ( − 𝑑𝑖 )
2 2
2
(4.81)
𝑖=1
𝐹𝑠4
ℎ
2
𝑎/2
𝐶𝑐
𝐹𝑠3
𝐹𝑠2
(ℎ/2 − 𝑑3 )
(ℎ/2 − 𝑑2 )
(ℎ/2 − 𝑑4 )
(ℎ/2 − 𝑎/2)
(ℎ/2 − 𝑑1 )
𝐹𝑠1
𝑏
Fuerzas en la sección
Sección
Fig. 4.33. Fuerzas internas en una sección de hormigón armado
Ejemplo. Calcular el momento nominal 𝑀𝑛 y el momento nominal de diseño 𝜙 · 𝑀𝑛 correspondiente a la
sección transversal de la figura.
Datos:
𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
𝑏 = 250 [𝑚𝑚]
𝑑 = 500 [𝑚𝑚]
ℎ = 570 [𝑚𝑚]
𝐴𝑠 = 1473 [𝑚𝑚2 ]
250
500
a) Si 𝑧 = 0 calcular 𝑃𝑛
3𝜙25
Sección
Profundidad eje neutro.
0.003
0.003
𝑐=
⋅ 𝑑1 =
⋅ 500 = 500 [𝑚𝑚]
0.003 − 𝑧 ⋅ 𝜀𝑦
0.003
Deformación en 𝐴𝑠1
𝜀𝑠1 = 𝑧 ⋅ 𝜀𝑦 = 0 ⋅ 0.0021 = 0 [𝑟𝑎𝑑]
Tensión en 𝐴𝑠1
𝑓𝑠1 = 𝜀𝑠1 ⋅ 𝐸𝑠 = 0 [𝑀𝑃𝑎]
Cálculo de 𝑎.
𝛽1 = 1.05 − 0.007 ⋅ 𝑓𝑐′ = 1.05 − 0.007 ⋅ 20 = 0.91 > 0.85
154
Vigas – Resistencia a la flexión
𝛽1 = 0.85
𝑎 = 𝛽1 ⋅ 𝑐 = 0.85 ⋅ 500 = 425 [𝑚𝑚] < ℎ = 570 [𝑚𝑚]
Si 𝑎 > ℎ ⇒ 𝑎 = ℎ
Fuerza en el hormigón.
𝐶𝑐 = 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏 = 0.85 ⋅ 20 ⋅
Bien 
425 ⋅ 250
= 1806 [𝑘𝑁]
1000
Fuerza en 𝐴𝑠1
Como 𝑎 = 425 [𝑚𝑚] < 𝑑1 = 500 [𝑚𝑚]
1473
= 0 [𝑘𝑁]
⇒ 𝐹𝑠1 = 𝑓𝑠1 ∙ 𝐴𝑠1 = 0 ⋅
1000
Cálculo de 𝑃𝑛
𝑃𝑛 = 𝐶𝑐 + 𝐹𝑠1 = 1806 + 0 = 1806 [𝑘𝑁]
Como 𝑃𝑛 ≠ 0 entonces se debe escoger otro valor para 𝑧.
b) Si 𝑧 = −1 calcular 𝑃𝑛
Profundidad eje neutro.
0.003
𝑐=
⋅ 500 = 294 [𝑚𝑚]
0.003 + 0.0021
Deformación en 𝐴𝑠1
𝜀𝑠1 = 𝑧 ⋅ 𝜀𝑦 = −1 ⋅ 0.0021 = −0.0021 [𝑟𝑎𝑑]
(Tracción)
Tensión en 𝐴𝑠1
𝑓𝑠1 = 𝜀𝑠1 ⋅ 𝐸𝑠 = −0.0021 · 200000 = −420 [𝑀𝑃𝑎] = −𝑓𝑦
Bien 
Cálculo de 𝑎.
𝑎 = 𝛽1 ⋅ 𝑐 = 0.85 ⋅ 294 = 250 [𝑚𝑚] < ℎ = 570 [𝑚𝑚]
Bien 
Fuerza en el hormigón.
250 ⋅ 250
𝐶𝑐 = 0.85 ⋅ 20 ⋅
= 1062.50 [𝑘𝑁]
1000
Fuerza en 𝐴𝑠1
Como 𝑎 = 250 [𝑚𝑚] < 𝑑1 = 500 [𝑚𝑚]
1473
⇒ 𝐹𝑠1 = −420 ⋅
= −619 [𝑘𝑁]
1000
155
Diseño de estructuras de hormigón armado
Cálculo de 𝑃𝑛 .
𝑃𝑛 = 1062.5 − 619 = 443.50 [𝑘𝑁]
Como 𝑃𝑛 ≠ 0 entonces se debe escoger otro valor para 𝑧.
c) Si 𝑧 = −2 calcular 𝑃𝑛
Profundidad eje neutro.
0.003
𝑐=
⋅ 500 = 208 [𝑚𝑚]
0.003 + 2 ⋅ 0.0021
Deformación en 𝐴𝑠1
𝜀𝑠1 = 𝑧 ⋅ 𝜀𝑦 = −2 · 0.0021 = −0.0042 [𝑟𝑎𝑑]
Tensión en 𝐴𝑠1
𝑓𝑠1 = 𝜀𝑠1 ⋅ 𝐸𝑠 = −0.0042 ⋅ 200000 = −840 [𝑀𝑃𝑎] < − 𝑓𝑦
𝑓𝑠1 = −420 [𝑀𝑃𝑎]
Cálculo de 𝑎.
𝑎 = 𝛽1 ⋅ 𝑐 = 0.85 ⋅ 208 = 177 [𝑚𝑚] < ℎ = 570 [𝑚𝑚]
(Tracción)
No está bien 
Bien 
Fuerza en el hormigón.
𝐶𝑐 = 0.85 ⋅ 20 ⋅
177 ⋅ 250
= 752.25 [𝑘𝑁]
1000
Fuerza en 𝐴𝑠1
Como 𝑎 = 177 [𝑚𝑚] < 𝑑1 = 500 [𝑚𝑚]
1473
= −619[𝑘𝑁]
⇒ 𝐹𝑠1 = −420 ⋅
1000
Cálculo de 𝑃𝑛
𝑃𝑛 = 752.25 − 619 = 133.25 [𝑘𝑁]
Como 𝑃𝑛 ≠ 0 entonces se debe escoger otro valor para 𝑧.
d) Si 𝑧 = −2.75 calcular 𝑃𝑛
Profundidad eje neutro.
0.003
𝑐=
⋅ 500 = 171 [𝑚𝑚]
0.003 + 2.75 ⋅ 0.0021
Deformación en 𝐴𝑠1
𝜀𝑠1 = 𝑧 ⋅ 𝜀𝑦 = −2.75 ⋅ 0.0021 = −0.005775 [𝑟𝑎𝑑]
156
(Tracción)
Vigas – Resistencia a la flexión
Tensión en 𝐴𝑠1
𝑓𝑠1 = 𝜀𝑠1 ⋅ 𝐸𝑠 = −0.005775 ⋅ 200000 = −1155 [𝑀𝑃𝑎] < − 𝑓𝑦
𝑓𝑠1 = −420 [𝑀𝑃𝑎]
Cálculo de 𝑎.
𝑎 = 𝛽1 ⋅ 𝑐 = 0.85 ⋅ 171 = 145 [𝑚𝑚] < ℎ = 570 [𝑚𝑚]
No está bien 
Bien
Fuerza en el hormigón.
145 ⋅ 250
𝐶𝑐 = 0.85 ⋅ 20 ⋅
= 616 [𝑘𝑁]
1000
Fuerza en 𝐴𝑠1
Como 𝑎 = 145 [𝑚𝑚] < 𝑑1 = 500 [𝑚𝑚]
1473
⇒ 𝐹𝑠1 = −420 ⋅
= −619 [𝑘𝑁]
1000
Cálculo de 𝑃𝑛
𝑃𝑛 = 616 − 619 = −3 [𝑘𝑁]
Como 𝑃𝑛 ≈ 0 entonces la posición del eje neutro es la correcta y se procede a calcular el momento
nominal.
Cálculo de 𝑀𝑛
620
145
619
𝑀𝑛 =
⋅ (285 −
)−
⋅ (285 − 500)
1000
2
1000
𝑀𝑛 = 264.84 [𝑘𝑁 · 𝑚]
Cálculo de 𝜙
𝜀𝑡 = 𝜀𝑠1 = −2.75 · 𝜀𝑦 = − 0.005775
Como | − 0.005775| > | − 0.005| ⇒ 𝜙 = 0.90
Cálculo de 𝜙 · 𝑀𝑛
𝜙 · 𝑀𝑛 = 0.90 · 264.84 = 238.36 [𝑘𝑁 · 𝑚]
Para efectuar los cálculos de 𝑃𝑛 y 𝑀𝑛 , se puede desarrollar una hoja electrónica o un programa de
computadora que realice las operaciones de forma automática.
Ejemplo. Calcular el momento nominal de diseño de una viga rectangular de base 250 [𝑚𝑚] y altura
600 [𝑚𝑚] que tiene 2𝜙25 como acero de compresión y 6𝜙25 como acero de tracción repartidas en dos
filas de tres barras cada una.
157
Diseño de estructuras de hormigón armado
Datos:
𝑏 = 250 [𝑚𝑚]
ℎ = 600 [𝑚𝑚]
𝑑 = 510 [𝑚𝑚]
𝑑’ = 65 [𝑚𝑚]
𝐴𝑠 = 2940 [𝑚𝑚2 ]
𝐴′𝑠 = 980 [𝑚𝑚2 ]
𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
Las dimensiones de la sección están en [𝑚𝑚]
250
65
2𝜙25
600
510
a) Si 𝑧 = 0 calcular 𝑃𝑛
6𝜙25
56
62
Sección
Profundidad eje neutro.
0.003
0.003
𝑐=
⋅ 𝑑1 =
⋅ 538 = 538 [𝑚𝑚]
0.003 − 𝑧 ⋅ 𝜀𝑦
0.003
Deformación en 𝐴𝑠1
𝜀𝑠1 = 𝑧 ⋅ 𝜀𝑦 = 0 ⋅ 0.0021 = 0 [𝑟𝑎𝑑]
Deformación en 𝐴𝑠2
𝑐 − 𝑑2
538 − 482
𝜀𝑠2 =
⋅ 0.003 =
⋅ 0.003 = 0.00031 [𝑟𝑎𝑑]
𝑐
538
Deformación en 𝐴𝑠3
𝑐 − 𝑑3
538 − 65
𝜀𝑠3 =
⋅ 0.003 =
⋅ 0.003 = 0.00264 [𝑟𝑎𝑑]
𝑐
538
Tensión en 𝐴𝑠1
𝑓𝑠1 = 𝜀𝑠1 ⋅ 𝐸𝑠 = 0 [𝑀𝑃𝑎]
Tensión en 𝐴𝑠2
𝑓𝑠2 = 𝜀𝑠2 ⋅ 𝐸𝑠 = 0.00031 ⋅ 200000 = 62 [𝑀𝑃𝑎] < 𝑓𝑦
Por lo tanto 𝑓𝑠2 = 62 [𝑀𝑃𝑎]
Tensión en 𝐴𝑠3
𝑓𝑠3 = 𝜀𝑠3 ⋅ 𝐸𝑠 = 0.00264 · 200000 = 528 [𝑀𝑃𝑎] > 𝑓𝑦
Por lo tanto 𝑓𝑠3 = 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
Cálculo de 𝑎.
𝛽1 = 1.05 − 0.007 ⋅ 𝑓𝑐′ = 1.05 − 0.007 ⋅ 20 = 0.91 > 0.85
𝛽1 = 0.85
𝑎 = 𝛽1 ⋅ 𝑐 = 0.85 ⋅ 538 = 457[𝑚𝑚] < ℎ = 600 [𝑚𝑚]
Si 𝑎 > ℎ ⇒ 𝑎 = ℎ
158
Bien 
Vigas – Resistencia a la flexión
Fuerza en el hormigón.
𝐶𝑐 = 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏 = 0.85 ⋅ 20 ⋅
457 ⋅ 250
= 1942 [𝑘𝑁]
1000
Fuerza en 𝐴𝑠1
Como 𝑎 = 457 [𝑚𝑚] < 𝑑1 = 538 [𝑚𝑚]
1470
⇒ 𝐹𝑠1 = 𝑓𝑠1 · 𝐴𝑠1 = 0 ∙
= 0 [𝑘𝑁]
1000
Fuerza en 𝐴𝑠2
Como 𝑎 = 457 [𝑚𝑚] < 𝑑2 = 482 [𝑚𝑚]
1470
⇒ 𝐹𝑠2 = 𝑓𝑠2 · 𝐴𝑠2 = 62 ∙
= 91 [𝑘𝑁]
1000
Fuerza en 𝐴𝑠3
Como 𝑎 = 457 [𝑚𝑚] > 𝑑3 = 65 [𝑚𝑚]
⇒ 𝐹𝑠3 = (𝑓𝑠3 − 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ) ⋅ 𝐴𝑠3 = (420 − 0.85 ⋅ 20) ⋅
980
= 395 [𝑘𝑁]
1000
Cálculo de 𝑃𝑛
𝑃𝑛 = 𝐶𝑐 + 𝐹𝑠1 + 𝐹𝑠2 + 𝐹𝑠3 = 1942 + 0 + 91 + 395 = 2428 [𝑘𝑁]
Como 𝑃𝑛 ≠ 0 entonces se debe escoger otro valor para 𝑧.
b) Si 𝑧 = −1 calcular 𝑃𝑛
Profundidad eje neutro.
0.003
0.003
𝑐=
⋅ 𝑑1 =
⋅ 538 = 316 [𝑚𝑚]
0.003 − 𝑧 ⋅ 𝜀𝑦
0.003 + 1 ⋅ 0.0021
Deformación en 𝐴𝑠1
𝜀𝑠1 = 𝑧 ⋅ 𝜀𝑦 = −1 · 0.0021 = −0.0021 [𝑟𝑎𝑑]
Deformación en 𝐴𝑠2
𝑐 − 𝑑2
316 − 482
𝜀𝑠2 =
⋅ 0.003 =
⋅ 0.003 = −0.00158 [𝑟𝑎𝑑]
𝑐
316
Deformación en 𝐴𝑠3
𝑐 − 𝑑3
316 − 65
𝜀𝑠3 =
⋅ 0.003 =
⋅ 0.003 = 0.00238 [𝑟𝑎𝑑]
𝑐
316
Tensión en 𝐴𝑠1
𝑓𝑠1 = 𝜀𝑠1 ⋅ 𝐸𝑠 = −0.0021 ∙ 200000 = −420 [𝑀𝑃𝑎]
159
Diseño de estructuras de hormigón armado
Tensión en 𝐴𝑠2
𝑓𝑠2 = 𝜀𝑠2 ⋅ 𝐸𝑠 = −0.00158 · 200000 = −316 [𝑀𝑃𝑎] > −𝑓𝑦
Por lo tanto 𝑓𝑠2 = −316 [𝑀𝑃𝑎]
Tensión en 𝐴𝑠3
𝑓𝑠3 = 𝜀𝑠3 ⋅ 𝐸𝑠 = 0.00238 · 200000 = 476 [𝑀𝑃𝑎] > 𝑓𝑦
Por lo tanto 𝑓𝑠3 = 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
Cálculo de 𝑎.
𝛽1 = 0.85
𝑎 = 𝛽1 ∙ 𝑐 = 0.85 ∙ 316 = 269 [𝑚𝑚] < ℎ = 600 [𝑚𝑚]
Si 𝑎 > ℎ ⇒ 𝑎 = ℎ
Fuerza en el hormigón.
𝐶𝑐 = 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏 = 0.85 ⋅ 20 ⋅
269 ⋅ 250
= 1143 [𝑘𝑁]
1000
Fuerza en 𝐴𝑠1
Como 𝑎 = 269 [𝑚𝑚] < 𝑑1 = 538 [𝑚𝑚]
1470
⇒ 𝐹𝑠1 = 𝑓𝑠1 · 𝐴𝑠1 = −420 ∙
= −617 [𝑘𝑁]
1000
Fuerza en 𝐴𝑠2
Como 𝑎 = 269 [𝑚𝑚] < 𝑑2 = 482 [𝑚𝑚]
1470
⇒ 𝐹𝑠2 = 𝑓𝑠2 · 𝐴𝑠2 = −316 ∙
= −465 [𝑘𝑁]
1000
Fuerza en 𝐴𝑠3
Como 𝑎 = 269 [𝑚𝑚] > 𝑑3 = 65 [𝑚𝑚]
⇒ 𝐹𝑠3 = (𝑓𝑠3 − 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ) ⋅ 𝐴𝑠3 = (420 − 0.85 ⋅ 20) ⋅
980
= 395 [𝑘𝑁]
1000
Cálculo de 𝑃𝑛
𝑃𝑛 = 𝐶𝑐 + 𝐹𝑠1 + 𝐹𝑠2 + 𝐹𝑠3 = 1143 − 617 − 465 + 395 = 456 [𝑘𝑁]
Como 𝑃𝑛 ≠ 0 entonces se debe escoger otro valor para 𝑧
c) Si 𝑧 = −2 calcular 𝑃𝑛
Profundidad eje neutro.
0.003
0.003
𝑐=
⋅ 𝑑1 =
⋅ 538 = 224 [𝑚𝑚]
0.003 − 𝑧 ⋅ 𝜀𝑦
0.003 + 2 ⋅ 0.0021
160
Vigas – Resistencia a la flexión
Deformación en 𝐴𝑠1
𝜀𝑠1 = 𝑧 ⋅ 𝜀𝑦 = −2 · 0.0021 = −0.0042 [𝑟𝑎𝑑]
Deformación en 𝐴𝑠2
𝑐 − 𝑑2
224 − 482
𝜀𝑠2 =
⋅ 0.003 =
⋅ 0.003 = −0.00346 [𝑟𝑎𝑑]
𝑐
224
Deformación en 𝐴𝑠3
𝑐 − 𝑑3
224 − 65
𝜀𝑠3 =
⋅ 0.003 =
⋅ 0.003 = 0.00213 [𝑟𝑎𝑑]
𝑐
224
Tensión en 𝐴𝑠1
𝑓𝑠1 = 𝜀𝑠1 ⋅ 𝐸𝑠 = −0.0042 ∙ 200000 = −840 [𝑀𝑃𝑎] < −𝑓𝑦
Por lo tanto 𝑓𝑠1 = −420 [𝑀𝑃𝑎]
No es posible 
Tensión en 𝐴𝑠2
𝑓𝑠2 = 𝜀𝑠2 ⋅ 𝐸𝑠 = −0.00346 · 200000 = −692 [𝑀𝑃𝑎] < −𝑓𝑦
Por lo tanto 𝑓𝑠2 = −420 [𝑀𝑃𝑎]
No es posible 
Tensión en 𝐴𝑠3
𝑓𝑠3 = 𝜀𝑠3 ⋅ 𝐸𝑠 = 0.00213 · 200000 = 426 [𝑀𝑃𝑎] > 𝑓𝑦
Por lo tanto 𝑓𝑠3 = 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
No es posible 
Cálculo de 𝑎.
𝛽1 = 0.85
𝑎 = 𝛽1 ⋅ 𝑐 = 0.85 ⋅ 224 = 190 [𝑚𝑚] < ℎ = 600 [𝑚𝑚]
Si 𝑎 > ℎ ⇒ 𝑎 = ℎ
Fuerza en el hormigón.
𝐶𝑐 = 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏 = 0.85 ⋅ 20 ⋅
Bien 
1920 ⋅ 250
= 808 [𝑘𝑁]
1000
Fuerza en 𝐴𝑠1
Como 𝑎 = 190 [𝑚𝑚] < 𝑑1 = 538 [𝑚𝑚]
1470
= −617 [𝑘𝑁]
⇒ 𝐹𝑠1 = 𝑓𝑠1 · 𝐴𝑠1 = −420 ∙
1000
Fuerza en 𝐴𝑠2
Como 𝑎 = 190 [𝑚𝑚] < 𝑑2 = 482 [𝑚𝑚]
1470
⇒ 𝐹𝑠2 = 𝑓𝑠2 · 𝐴𝑠2 = −420 ⋅
= −617 [𝑘𝑁]
1000
161
Diseño de estructuras de hormigón armado
Fuerza en 𝐴𝑠3
Como 𝑎 = 190 [𝑚𝑚] > 𝑑3 = 65 [𝑚𝑚]
⇒ 𝐹𝑠3 = (𝑓𝑠3 − 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ) ⋅ 𝐴𝑠3 = (420 − 0.85 ⋅ 20) ⋅
980
= 395 [𝑘𝑁]
1000
Cálculo de 𝑃𝑛
𝑃𝑛 = 𝐶𝑐 + 𝐹𝑠1 + 𝐹𝑠2 + 𝐹𝑠3 = 808 − 617 − 617 + 395 = −31 [𝑘𝑁]
Como 𝑃𝑛 ≠ 0 entonces se debe escoger otro valor para 𝑧
d) Si 𝑧 = −1.90 calcular 𝑃𝑛
Profundidad eje neutro
0.003
0.003
𝑐=
⋅ 𝑑1 =
⋅ 538 = 231 [𝑚𝑚]
0.003 − 𝑧 ⋅ 𝜀𝑦
0.003 + 1.90 ⋅ 0.0021
Deformación en 𝐴𝑠1
𝜀𝑠1 = 𝑧 ⋅ 𝜀𝑦 = −1.90 · 0.0021 = −0.00399 [𝑟𝑎𝑑]
Deformación en 𝐴𝑠2
𝑐 − 𝑑2
231 − 482
𝜀𝑠2 =
⋅ 0.003 =
⋅ 0.003 = −0.00326 [𝑟𝑎𝑑]
𝑐
231
Deformación en 𝐴𝑠3
𝑐 − 𝑑3
231 − 65
𝜀𝑠3 =
⋅ 0.003 =
⋅ 0.003 = 0.00216 [𝑟𝑎𝑑]
𝑐
231
Tensión en 𝐴𝑠1
𝑓𝑠1 = 𝜀𝑠1 ⋅ 𝐸𝑠 = −0.00399 ∙ 200000 = −798 [𝑀𝑃𝑎] < −𝑓𝑦
Por lo tanto 𝑓𝑠1 = −420 [𝑀𝑃𝑎]
No es posible 
Tensión en 𝐴𝑠2
𝑓𝑠2 = 𝜀𝑠2 ⋅ 𝐸𝑠 = −0.00326 · 200000 = −652 [𝑀𝑃𝑎] < −𝑓𝑦
Por lo tanto 𝑓𝑠2 = −420 [𝑀𝑃𝑎]
No es posible 
Tensión en 𝐴𝑠3
𝑓𝑠3 = 𝜀𝑠3 ⋅ 𝐸𝑠 = 0.00216 · 200000 = 432 [𝑀𝑃𝑎] > 𝑓𝑦
Por lo tanto 𝑓𝑠3 = 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
No es posible 
Cálculo de 𝑎.
𝛽1 = 0.85
𝑎 = 𝛽1 ⋅ 𝑐 = 0.85 ⋅ 231 = 196 [𝑚𝑚] < ℎ = 600 [𝑚𝑚]
Si 𝑎 > ℎ ⇒ 𝑎 = ℎ
162
Bien 
Vigas – Resistencia a la flexión
Fuerza en el hormigón.
𝐶𝑐 = 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏 = 0.85 ⋅ 20 ⋅
196 ⋅ 250
= 833 [𝑘𝑁]
1000
Fuerza en 𝐴𝑠1
Como 𝑎 = 196 [𝑚𝑚] < 𝑑1 = 538 [𝑚𝑚]
1470
= −617 [𝑘𝑁]
⇒ 𝐹𝑠1 = 𝑓𝑠1 · 𝐴𝑠1 = −420 ⋅
1000
Fuerza en 𝐴𝑠2
Como 𝑎 = 196 [𝑚𝑚] < 𝑑2 = 482 [𝑚𝑚]
Fuerza en 𝐴𝑠3
Como 𝑎 = 196 [𝑚𝑚] > 𝑑3 = 65 [𝑚𝑚]
⇒ 𝐹𝑠3 = (𝑓𝑠3 − 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ) ⋅ 𝐴𝑠3 = (420 − 0.85 ⋅ 20) ⋅
980
= 395 [𝑘𝑁]
1000
Cálculo de 𝑃𝑛
𝑃𝑛 = 𝐶𝑐 + 𝐹𝑠1 + 𝐹𝑠2 + 𝐹𝑠3 = 833 − 617 − 617 + 395 = −6 [𝑘𝑁]
Como 𝑃𝑛 ≈ 0 entonces la posición del eje neutro es la correcta y se procede a calcular el momento
nominal.
Cálculo de 𝑀𝑛
833
196
617
617
395
𝑀𝑛 =
⋅ (300 −
)−
⋅ (300 − 538) −
⋅ (300 − 482) +
⋅ (300 − 65)
1000
2
1000
1000
1000
𝑀𝑛 = 520 [𝑘𝑁 · 𝑚]
Cálculo de 𝜙
𝜀𝑡 = 𝜀𝑠1 = −1.90 · 𝜀𝑦 = − 0.00399
𝐶𝑜𝑚𝑜 | − 0.00399| < | − 0.005| ⇒ 𝜙 = 0.48 − 83 · 𝜀𝑡 = 0.48 + 83 ∙ 0.00399 = 0.81
Cálculo de 𝜙 · 𝑀𝑛
𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 0.81 · 520 = 421 [𝑘𝑁 · 𝑚]
4.4. Ductilidad de secciones de hormigón no confinado
4.4.1. Introducción a la ductilidad de secciones de hormigón armado
Los elementos de hormigón armado pueden exhibir diferentes comportamientos en el momento de la falla.
En la siguiente figura se compara el comportamiento frágil y dúctil de una viga que es sometida a una
carga uniformemente repartida.
163
Diseño de estructuras de hormigón armado
Carga
Comportamiento dúctil
Carga
Comportamiento frágil
Δ
Deflexión Δ
Fig. 4.34. Curva de carga – deflexión de un elemento sometido a flexión
La falla frágil de un elemento no debería ocurrir, por lo que en el caso de que se presentaran cargas
extremas que lleven al elemento a fallar, éste debería ser capaz de soportarlas exhibiendo grandes
deformaciones y manteniendo su capacidad resistente. Este comportamiento da la posibilidad de salvar
vidas porque anuncia la falla inminente del elemento y se pueden tomar las medidas correctivas para
evitar el colapso del mismo.
La posible distribución de momentos flectores, esfuerzos cortantes y cargas axiales que puede ser utilizada
en el diseño de estructuras hiperestáticas depende de la ductilidad de los diferentes elementos en sus
secciones críticas. En el diseño plástico de estructuras, se obtienen momentos flectores diferentes a los
hallados mediante un análisis estructural elástico debido a que se considera que las secciones críticas de
los elementos tienen la suficiente capacidad rotacional para sostener el máximo momento que pueden
resistir y redistribuir el restante a las secciones que aún poseen capacidad remanente. Esto significa que
cuando se aproxima la carga última, algunas secciones pueden alcanzar su capacidad máxima antes que
otras, pero si la rotación plástica puede ocurrir en esas secciones mientras mantienen sus respectivos
momentos últimos, una carga adicional puede ser resistida hasta que los momentos en otras secciones
alcancen su valor máximo. La carga última en la estructura es alcanzada una vez que existen suficientes
articulaciones plásticas para formar un mecanismo de colapso. La mayoría de los códigos de diseño
permiten cierta cantidad de redistribución de momentos dependiendo de la ductilidad de las secciones. La
redistribución de momentos puede ser conveniente para evitar el congestionamiento de la armadura sobre
los soportes de elementos continuos y también posibilita la reducción de los picos en las envolventes de
momentos.
En zonas donde la actividad sísmica es importante, el diseño de una estructura debe considerar la
ductilidad de sus diferentes elementos porque los actuales códigos de diseño sísmico se basan en la
capacidad de la estructura para absorber de una manera inelástica la energía producida por un sismo. Por
ello, estructuras con poca ductilidad deben ser diseñadas para resistir las fuerzas sísmicas de una manera
elástica para evitar su colapso durante un terremoto.
164
Vigas – Resistencia a la flexión
4.4.2. Ductilidad en secciones no confinadas de vigas
En el diseño para el estado límite último y sísmico, generalmente se expresa la ductilidad de un elemento
como la relación entre la deformación última y la de fluencia. Se considera que el hormigón comprimido
no está confinado, aunque en la práctica la armadura transversal (de corte) le proporciona cierto
confinamiento, pero en el análisis de la ductilidad de vigas generalmente se considera que el hormigón no
está confinado a menos que el diámetro y espaciamiento de los estribos sean tales que efectivamente
confinan al hormigón. En la siguiente figura se observan los diagramas de deformaciones y esfuerzos para
el momento último y para el momento de fluencia. Con base a los diagramas de deformaciones se pueden
obtener las respectivas curvaturas.

Curvatura para el momento de fluencia
Con base al diagrama de deformaciones para el momento de fluencia se obtiene la siguiente ecuación para
la curvatura.
𝜑𝑦 =

𝜀𝑦
𝑓𝑦
=
𝑑 − 𝑘 ⋅ 𝑑 𝐸𝑠 ⋅ 𝑑 ⋅ (1 − 𝑘)
(4.82)
Curvatura para el momento último
Con base al diagrama de deformaciones para el momento último se obtiene la siguiente ecuación para la
curvatura.
𝜑𝑢 =
𝜀𝑐 𝜀𝑐 ⋅ 𝛽1
=
𝑎
𝑐
(4.83)
La relación 𝜑𝑢 ∕ 𝜑𝑦 proporciona una medida de la ductilidad de la curvatura de la sección transversal del
elemento y se obtiene dividiendo la ecuación (4.83) por la (4.82).
𝜑𝑢 𝜀𝑐 ⋅ 𝛽1 ⋅ 𝐸𝑠 ⋅ 𝑑 ⋅ (1 − 𝑘)
=
𝜑𝑦
𝑎 ⋅ 𝑓𝑦
(4.84)
165
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑏
𝜀𝑐 < 0.003
𝑑′
𝐴′𝑠
𝜀𝑠′
𝑘∙𝑑
𝜑𝑦
𝑑
ℎ
𝑓𝑐
𝑓𝑠′
𝑘∙𝑑
𝑓𝑠 = 𝑓𝑦
𝐴𝑠
Sección
𝜀𝑠 = 𝜀𝑦
Deformaciones
Esfuerzos
Deformaciones y esfuerzos para el momento de fluencia
0.85 · 𝑓𝑐′
𝜀𝑐 = 0.003
𝜀𝑠′
𝑐
𝜑𝑢
𝑓𝑠′
𝑎
𝑓𝑠 = 𝑓𝑦
𝜀𝑠
Deformaciones
Esfuerzos
Deformaciones y esfuerzos para el momento último
Fig. 4.35. Sección rectangular con doble armadura sometida a flexión
Para las cuantías de acero consideradas, cuando el acero de tracción alcanza por primera vez su tensión de
fluencia, el esfuerzo en la fibra extrema del hormigón puede ser considerablemente menor a 𝑓𝑐′ . La curva
esfuerzo deformación para el hormigón es aproximadamente lineal hasta 0.7 · 𝑓𝑐′ entonces, si el esfuerzo
en el hormigón no excede este valor cuando el acero alcanza su tensión de fluencia, se puede calcular la
profundidad del eje neutro utilizando la fórmula de la teoría elástica (línea recta).
Para una sección rectangular con doble armadura
1
2
𝑑′
𝑘 = [(𝜌 + 𝜌′ )2 ⋅ 𝑛2 + 2 ⋅ (𝜌 + 𝜌′ ⋅ ) ⋅ 𝑛] − (𝜌 + 𝜌′ ) ⋅ 𝑛
𝑑
𝐴𝑠
𝜌=
𝑏⋅𝑑
𝐴′𝑠
𝜌′ =
𝑏⋅𝑑
𝐸𝑠
𝑛 = ⋅ (1 + 𝐶𝑡 )
𝐸𝑐
(9.16)
(4.9)
(4.48)
(9.4)
Si el esfuerzo en la fibra extrema a compresión del hormigón es mayor que 0.7 ∙ 𝑓𝑐′, se debe calcular la
profundidad del eje neutro para la primera fluencia del acero en tracción utilizando la curva real esfuerzo 166
Vigas – Resistencia a la flexión
deformación para el hormigón. Sin embargo, se puede obtener una estimación a partir de la fórmula de la
línea recta, incluso si el esfuerzo calculado es tan alto como 𝑓𝑐′ , porque el valor de 𝑘 calculado con la
fórmula de la línea recta será más pequeño que el valor real de 𝑘 si la distribución de esfuerzos del
hormigón es curva, lo que lleva a subestimar 𝜑𝑦 y a sobre estimar 𝑀𝑦 .
𝑓𝑐
𝑘1 ∙ 𝑑
Distribución triangular de
esfuerzos en el hormigón
𝑘2 ∙ 𝑑
Distribución curva de
esfuerzos en el hormigón
𝜀𝑦
Deformaciones
𝑓𝑦
Esfuerzos
Fig. 4.36. Distribución de esfuerzo y deformación para la misma fuerza de
compresión cuando el acero alcanza la fluencia
Las áreas sombreadas en el diagrama de esfuerzos de la anterior figura son iguales para que la fuerza de
compresión en el hormigón sea la misma en ambos casos.
Se puede calcular la curvatura y el momento nominal (momento último) de la sección doblemente
reforzada para los siguientes casos. Siempre es conveniente comenzar asumiendo que tanto el acero de
compresión como el de tracción fluyen y luego se verifica esa condición.
El acero de compresión fluye (𝒇′𝒔 = 𝒇𝒚 ) y el acero de tracción también fluye (𝒇𝒔 = 𝒇𝒚 ):
𝑎=
(𝐴𝑠 − 𝐴′𝑠 ) ⋅ 𝑓𝑦
0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏
(4.43)
𝑓𝑦
𝑑′
𝑑′
1
≤( )
= ⋅ (1 −
) ⇒ 𝑓𝑠′ = 𝑓𝑦
𝑎
𝑎 𝑙𝑖𝑚 𝛽1
𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠
𝑎 𝑎𝑏
𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠
≤
= 𝛽1 ⋅ (
) ⇒ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦
𝑑
𝑑
𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠 + 𝑓𝑦
𝑎
𝑀𝑛 = 𝐴′𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − 𝑑′ ) + (𝐴𝑠 − 𝐴′𝑠 ) ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − )
2
(4.45)
Si se reemplazan las ecuaciones (9.16) y (4.43) en la ecuación (4.84) se obtiene la siguiente expresión:
167
Diseño de estructuras de hormigón armado
1
2
𝜑𝑢 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝜀𝑐 ⋅ 𝛽1 ⋅ 𝐸𝑠
𝑑′
′)
′ )2
2
′
(𝜌
=
+
+
𝜌
⋅
𝑛
−
[(𝜌
+
𝜌
⋅
𝑛
+
2
+
𝜌
⋅
⋅
𝑛]
{1
(𝜌
)
}
𝜑𝑦
(𝜌 − 𝜌′ ) ⋅ 𝑓𝑦2
𝑑
(4.85)
El acero de compresión fluye (𝒇′𝒔 = 𝒇𝒚 ), pero el acero de tracción no fluye (𝒇𝒔 < 𝒇𝒚 ):
La viga se divide en dos vigas
𝐴𝑠2 = 𝐴𝑠 − 𝐴′𝑠
0.85 ⋅ 𝑓𝑐′
⋅ 𝑎2 + 𝑑 ⋅ 𝑎 − 𝛽1 ⋅ 𝑑2 = 0
(𝜌 − 𝜌′ ) ⋅ 𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠
(4.47)
Se resuelve la ecuación de segundo grado y se halla el valor de 𝑎
𝑓𝑦
𝑑′
𝑑′
1
≤( )
= ⋅ (1 −
) ⇒ 𝑓𝑠′ = 𝑓𝑦
𝑎
𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠
𝑎 𝑙𝑖𝑚 𝛽1
𝑎 𝑎𝑏
𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠
>
= 𝛽1 ⋅ (
) ⇒ 𝑓𝑠 < 𝑓𝑦
𝑑
𝑑
𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠 + 𝑓𝑦
𝑎
𝑀𝑛 = 𝐴′𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − 𝑑′ ) + 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ (𝑑 − )
2
(4.50)
Si se reemplazan las ecuaciones (9.16) y (4.47) en la ecuación (4.84) se obtiene la siguiente expresión:
𝜑𝑢
1
= ⋅
𝜑𝑦 𝑓𝑦
1
′
2
′
2
2
′ 𝑑
1.7 ⋅ 𝑓𝑐 ⋅ 𝜀𝑐 ⋅ 𝛽1 ⋅ 𝐸𝑠 ∙ {1 − [(𝜌 + 𝜌′ ) ⋅ 𝑛 + 2 ⋅ (𝜌 + 𝜌 ⋅ ) ⋅ 𝑛] + (𝜌 + 𝜌′ ) ⋅ 𝑛}
𝑑
1
−(𝜌 − 𝜌′ ) ⋅ 𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠 + [(𝜌 − 𝜌′ )2 ⋅ 𝜀𝑐2 ⋅ 𝐸𝑠2 + 3.4 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝛽1 ⋅ (ρ − ρ′ ) ⋅ εc ⋅ Es ]2
(4.86)
El acero de compresión no fluye (𝒇′𝒔 < 𝒇𝒚 ), pero el acero de tracción fluye (𝒇𝒔 = 𝒇𝒚 ):
(0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏) ⋅ 𝑎2 + (𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠 ⋅ 𝐴′𝑠 − 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ) ⋅ 𝑎 − 𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠 ⋅ 𝐴′𝑠 ⋅ 𝛽1 ⋅ 𝑑′ = 0
Se resuelve la ecuación de segundo grado y se halla el valor de 𝑎
𝑓𝑦
𝑑′
𝑑′
1
>( )
= ⋅ (1 −
) ⇒ 𝑓𝑠′ < 𝑓𝑦
𝑎
𝑎 𝑙𝑖𝑚 𝛽1
𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠
𝑎 𝑎𝑏
𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠
≤
= 𝛽1 ⋅ (
) ⇒ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦
𝑑
𝑑
𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠 + 𝑓𝑦
168
(4.52)
Vigas – Resistencia a la flexión
𝑎
𝛽1 ⋅ 𝑑′
𝑀𝑛 = 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑎 ⋅ (𝑑 − ) + 𝐸𝑠 ⋅ 𝜀𝑐 ⋅ (1 −
) ⋅ 𝐴′𝑠 ⋅ (𝑑 − 𝑑′ )
𝑎
2
(4.53)
Si se reemplazan las ecuaciones (9.16) y (4.52) en la ecuación (4.84) se obtiene la siguiente expresión:
1
𝜑𝑢 𝜀𝑐 ⋅ 𝛽1 ⋅ 𝐸𝑠
=
⋅
𝜑𝑦
𝑓𝑦
1 − [(𝜌+𝜌
𝜌 ⋅ 𝑓𝑦 − 𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠
1.7 ⋅ 𝑓𝑐′
′ )2
⋅ 𝜌′
2
𝑑′
⋅ 𝑛 + 2 ⋅ (𝜌 + 𝜌 ⋅ ) ⋅ 𝑛] + (𝜌 + 𝜌′ ) ⋅ 𝑛
𝑑
2
′
1
𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠 ⋅ 𝜌′ − 𝜌 ⋅ 𝑓𝑦 2 𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠 ⋅ 𝜌′ ⋅ 𝛽1 ⋅ 𝑑′ 2
+ [(
) +
]
1.7 ⋅ 𝑓𝑐′
0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑑
(4.87)
En las figuras 4.38, 4.39, 4.40 y 4.41 se grafica la variación de 𝑢 /𝑦 para una sección rectangular con
doble armadura de una viga de hormigón no confinado considerando como variables la resistencia
característica del hormigón, la deformación máxima del hormigón y la tensión de fluencia del acero.
𝑏
𝐴′𝑠
𝐴′𝑠
𝑏⋅𝑑
[𝑀𝑃𝑎]
𝐸𝑠 = 200000
𝜌=
𝑑′
𝑑
ℎ
𝐴𝑠
𝐴𝑠
𝑏⋅𝑑
𝜌′ =
𝑑′
= 0.10
𝑑
𝑓𝑐′ = variable
𝑓𝑦 = variable
𝜀𝑐 =variable
s
Fig. 4.37. Sección con doble armadura para el análisis de la variación de 𝒖 /𝒚
169
Diseño de estructuras de hormigón armado
20
𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎]
𝜀𝑐 = 0.003
15
𝜑𝑢
𝜑𝑦
𝜌′
𝜌
10
0.75
5
0
0,00
0.25
0
0,01
0,02
20
10
0
0,00
0,05
0.25
0
0,01
𝐴𝑠
𝑏∙𝑑
𝜌=
𝐴𝑠
𝑏∙𝑑
0.50
0,02
0,03
0,04
0,05
𝑓𝑐′ = 30 [𝑀𝑃𝑎]
𝜀𝑐 = 0.003
15
𝜌′
𝜌
10
0.75
0.25
0
5
0,01
0,02
0.50
0,03
0,04
0,05
Fig. 4.38. Variación de u/y para vigas de hormigón no confinado
(𝜺𝒄 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟑 y 𝒇𝒚 = 𝟐𝟕𝟔 [𝑴𝑷𝒂])
170
𝜌=
0.75
20
0
0,00
0,04
𝐴𝑠
𝑏∙𝑑
𝜌′
𝜌
5
𝜑𝑢
𝜑𝑦
0,03
𝜌=
𝑓𝑐′ = 25 [𝑀𝑃𝑎]
𝜀𝑐 = 0.003
15
𝜑𝑢
𝜑𝑦
0.50
Vigas – Resistencia a la flexión
20
𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎]
𝜀𝑐 = 0.004
15
𝜑𝑢
𝜑𝑦
0.75
10
0
0,00
0.50
0
5
0.25
0,01
0,02
20
0,04
0.75
0
0,00
0
0,01
0.25
𝜌=
𝐴𝑠
𝑏∙𝑑
𝜌=
𝐴𝑠
𝑏∙𝑑
0.50
0,02
20
20
0,03
0,04
0,05
𝑓𝑐′ = 30 [𝑀𝑃𝑎]
𝜀𝑐 = 0.004
15
15
𝜌′
𝜌
0.75
10
10
0.25
0.50
0
55
00
0,00
0,00
0,05
𝐴𝑠
𝑏∙𝑑
𝜌'′

𝜌
10
5
𝜑𝑢
𝜑𝑦
0,03
𝜌=
𝑓𝑐𝑓′ 𝑐′==25
20[𝑀𝑃𝑎]
[𝑀𝑃𝑎]
𝜀
=
0.004
𝜀𝑐𝑐= 0.004
15
𝜑𝑢
𝜑𝑦
𝜌′
𝜌
0,01
0,01
0,02
0,02
0,03
0,03
0,04
0,04
0,05
0,05
Fig. 4.39. Variación de u/y para vigas de hormigón no confinado
(𝜺𝒄 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒 y 𝒇𝒚 = 𝟐𝟕𝟔 [𝑴𝑷𝒂])
171
Diseño de estructuras de hormigón armado
20
𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎]
𝜀𝑐 = 0.003
15
𝜑𝑢
𝜑𝑦
𝜌′
𝜌
10
5
0.25
0
0
0,00
0,01
0.50
0,02
20
0,03
0,04
𝜌=
𝐴𝑠
𝑏∙𝑑
𝜌=
𝐴𝑠
𝑏∙𝑑
10
0
0
0,00
0.25
0,01
0.50
0,02
20
0.75
0,03
0,04
𝜌′
𝜌
10
5
0
0
0,00
0,05
𝑓𝑐′ = 30 [𝑀𝑃𝑎]
𝜀𝑐 = 0.003
15
0,01
0.50
0.25
0,02
0,03
0.75
0,04
0,05
Fig. 4.40. Variación de u/y para vigas de hormigón no confinado
(𝜺𝒄 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟑 y 𝒇𝒚 = 𝟒𝟐𝟎 [𝑴𝑷𝒂])
172
𝐴𝑠
𝑏∙𝑑
𝜌′
𝜌
5
𝜑𝑢
𝜑𝑦
0,05
𝜌=
𝑓𝑐′ = 25 [𝑀𝑃𝑎]
𝜀𝑐 = 0.003
15
𝜑𝑢
𝜑𝑦
0.75
Vigas – Resistencia a la flexión
20
𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎]
𝜀𝑐 = 0.004
15
𝜑𝑢
𝜑𝑦
𝜌′
𝜌
10
0.75
5
0
0
0,00
0,01
20
0.50
0,02
0,04
0,05
𝐴𝑠
𝑏∙𝑑
𝜌=
𝐴𝑠
𝑏∙𝑑
𝜌=
𝐴𝑠
𝑏∙𝑑
𝜌′
𝜌
10
0.75
5
0
0
0,00
0,01
0.25
0,02
20
0.50
0,03
0,04
0,05
𝑓𝑐′ = 30 [𝑀𝑃𝑎]
𝜀𝑐 = 0.004
15
𝜑𝑢
𝜑𝑦
0,03
𝜌=
𝑓𝑐′ = 25 [𝑀𝑃𝑎]
𝜀𝑐 = 0.004
15
𝜑𝑢
𝜑𝑦
0.25
𝜌′
𝜌
10
5
0
0,00
0.75
0
0,01
0.25
0,02
0.50
0,03
0,04
0,05
Fig. 4.41. Variación de 𝝋𝒖 /𝝋𝒚 para vigas de hormigón no confinado
(𝜺𝒄 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒 y 𝒇𝒚 = 𝟒𝟐𝟎 [𝑴𝑷𝒂])
173
Diseño de estructuras de hormigón armado
Se pueden resumir las siguientes conclusiones:
a) Un aumento en la cuantía del acero de tracción 𝜌 disminuye la ductilidad debido a que aumentan
tanto 𝑘 como 𝑎, por lo que aumenta 𝜑𝑦 y disminuye 𝜑𝑢 .
b) Un aumento en la cuantía del acero de compresión 𝜌′ aumenta la ductilidad, debido a que
disminuye tanto 𝑘 como 𝑎, por lo que disminuye 𝜑𝑦 y aumenta 𝜑𝑢 .
c) Un aumento en la tensión de fluencia del acero 𝑓𝑦 disminuye la ductilidad debido a que aumenta
tanto 𝑓𝑦 /𝐸𝑠 como 𝑎, por lo que aumenta 𝜑𝑦 y disminuye 𝜑𝑢 .
d) Un aumento en la resistencia del concreto 𝑓𝑐′ aumenta la ductilidad debido a que disminuye tanto 𝑘
como 𝑎, por lo que disminuye 𝜑𝑦 y aumenta 𝜑𝑢 .
e) Un aumento en la deformación de la fibra extrema del hormigón 𝜀𝑐 aumenta la ductilidad debido a
que aumenta 𝜑𝑢 .
Ejemplo. Una viga de hormigón armado de sección rectangular de base 250 [𝑚𝑚] y altura 630 [𝑚𝑚]
tiene 2𝜙25 como acero de compresión y 4𝜙25 como acero de tracción repartidas en una fila.
a) Calcular el momento y curvatura justo antes del agrietamiento del hormigón, a la primera fluencia
y cuando el hormigón alcanza una deformación a compresión en la fibra extrema de compresión
igual a 0.004.
b) Construir la curva aproximada trilineal momento – curvatura para la sección.
Datos:
𝑏 = 250 [𝑚𝑚]
𝑑 = 580 [𝑚𝑚]
𝐴𝑠 = 1963 [𝑚𝑚2 ]
𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎]
𝐶𝑡 = 0
ℎ = 635 [𝑚𝑚]
𝑑’ = 55 [𝑚𝑚]
𝐴′𝑠 = 982 [𝑚𝑚2 ]
𝑓𝑦 = 276 [𝑀𝑃𝑎] (𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜 40)
Las dimensiones de la sección están en [mm]
250
250
𝐴′𝑠 = 982
55
2𝜙25
635
2𝜙25
580
4𝜙25
Sección
Viga
1
2𝜙25
𝐴𝑠1 = 982
174
580
𝑑 – 𝑑 ′ = 525
Viga
2𝜙252
𝐴𝑠2 = 𝐴𝑠 − 𝐴𝑠1 = 982
Vigas – Resistencia a la flexión
Cuantías
𝐴𝑠
1963
=
= 0.0135379
𝑏 ⋅ 𝑑 250 ⋅ 580
𝐴′𝑠
982
𝜌′ =
=
= 0.0067724
𝑏 ⋅ 𝑑 250 ⋅ 580
𝜌=
Módulo de elasticidad del acero
𝐸𝑠 = 200000 [𝑀𝑃𝑎]
Módulo de elasticidad del hormigón
𝐸𝑐 = 4700 ⋅ √𝑓𝑐′ = 4700 ⋅ √20 = 21019 [𝑀𝑃𝑎]
Módulo de ruptura del hormigón
𝑓𝑟 = 0.70 ⋅ √𝑓𝑐′ = 0.70 ⋅ √20 = 3.13 [𝑀𝑃𝑎]
Antes del agrietamiento

Sección transformada no agrietada
𝑛=
200000
𝐸𝑠
⋅ (1 + 𝐶𝑡 ) =
⋅ (1 + 0) = 9.5
𝐸𝑐
21019
Área de acero transformada:
Acero superior
(𝑛 − 1) · 𝐴𝑠 = (9.5 − 1) · 982 = 8347.0 [𝑚𝑚2]
Acero inferior
(𝑛 − 1) · 𝐴𝑠 = (9.5 − 1) · 1963 = 16685.5 [𝑚𝑚2 ]
Centro de gravedad de la sección transformada
Elemento
𝑨𝒊 [𝒎𝒎𝟐 ]
𝒚𝒔𝒊 [𝒎𝒎]
𝑨𝒊 · 𝒚𝒔𝒊 [𝒎𝒎𝟑 ]
Hormigón
158750.0
317.5
50403125
Acero superior
8347.0
55
459085
Acero inferior
16685.5
580
9677590
Total
183782.5
-----
60539800
𝑦𝑠𝑢𝑝 =
∑ 𝐴𝑖 ⋅ 𝑦𝑠𝑖
= 329.4 [𝑚𝑚]
∑ 𝐴𝑖
𝑦𝑖𝑛𝑓 = ℎ − 𝑦𝑠𝑢𝑝 = 635 – 329.4 = 305.6 [𝑚𝑚]
175
Diseño de estructuras de hormigón armado
Momento de inercia
Elemento
𝑨𝒊 [𝒎𝒎𝟐 ]
𝒎𝒊 [𝒎𝒎]
𝑰𝒙𝒊 [𝒎𝒎𝟒 ]
𝑰𝒙𝒊 + 𝑨𝒊 + 𝒎𝟐𝒊 [𝒎𝒎𝟒 ]
Hormigón
158750.0
11.7
5.334 · 109
5.356 · 109
Acero superior
8347.0
274.2
-----
0.628 · 109
Acero inferior
16685.5
250.8
-----
1.050 · 109
Total
-----
-----
-----
7.033 · 109
𝐼𝑔𝑡 = 703317 [𝑐𝑚4 ] Momento de inercia de la sección transformada no agrietada
𝐼𝑔 = 533433 [𝑐𝑚4 ] Momento de inercia de la sección de hormigón
El agrietamiento ocurre cuando se alcanza el módulo de ruptura 𝑓𝑟 en la fibra del extremo inferior.
𝑀𝑐𝑟 =
𝑓𝑟 ⋅ 𝐼𝑔𝑡 3.13 ⋅ 7033165182
=
= 72034709 [𝑁 ∙ 𝑚𝑚] = 72.03 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
𝑦𝑖𝑛𝑓
305.6
𝜑𝑐𝑟 =
𝑓𝑟 ⋅ 𝐼𝑔𝑡
𝑀𝑐𝑟
𝑓𝑟
=
=
𝐸𝑐 ⋅ 𝐼𝑔𝑡 𝑦𝑖𝑛𝑓 ⋅ 𝐸𝑐 ⋅ 𝐼𝑔𝑡 𝑦𝑖𝑛𝑓 ⋅ 𝐸𝑐
𝜑𝑐𝑟 =
𝑟𝑎𝑑
𝑟𝑎𝑑
3.13
= 4.873 ⋅ 10−7 [
] = 4.873 ∙ 10−4 [
]
𝑚𝑚
𝑚
305.6 ⋅ 21019

Después del agrietamiento (a la primera fluencia)
Suponiendo que el hormigón se comporta elásticamente
 + 𝜌′ = 0.0203103
1
2
𝑑′
𝑘 = [(𝜌 + 𝜌′ )2 ⋅ 𝑛2 + 2 ⋅ (𝜌 + 𝜌′ ⋅ ) ⋅ 𝑛] − (𝜌 + 𝜌′ ) ⋅ 𝑛
𝑑
1
2
55
) ⋅ 9.5] − 0.0203103 ⋅ 9.5 = 0.3608
𝑘 = [0.0203103 ⋅ 9.5 + 2 ⋅ (0.0135379 + 0.0067724 ⋅
580
2
2
𝑘 ∙ 𝑑 = 0.3608 ∙ 580 = 209 [𝑚𝑚]
𝜀𝑠 =
𝑓𝑦
276
=
= 0.00138
𝐸𝑠 200000
𝜀𝑐 =
𝑘 ⋅ 𝜀𝑦 0.3608 ⋅ 0.00138
=
= 0.0007789
1−𝑘
1 − 0.3608
𝑓𝑐 = 𝐸𝑐 ⋅ 𝜀𝑐 = 21019 ⋅ 0.0007789 = 16.37 [𝑀𝑃𝑎] = 0.82 ∙ 𝑓𝑐′
176
Vigas – Resistencia a la flexión
Por tanto, la distribución triangular de esfuerzos del hormigón es aproximada y del diagrama de
deformaciones se encuentra que la deformación del acero de compresión es:
𝜀𝑠′ = 𝜀𝑐 ⋅
209 − 55
𝑘 ⋅ 𝑑 − 𝑑′
= 0.0007789 ⋅
= 0.0005739
𝑘⋅𝑑
209
𝑓𝑠′ = 𝐸𝑠 ∙ 𝜀𝑠′ = 200000 ∙ 0.0005739 = 114.78 [𝑀𝑃𝑎]
𝐶𝑐 =
1
1
⋅ 𝑓𝑐 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑘 ⋅ 𝑑 = ⋅ 16.37 ⋅ 250 ⋅ 209 = 427666 [𝑁]
2
2
𝐶𝑠 = 𝐴′𝑠 ⋅ 𝑓𝑠′ = 982 ⋅ 114.78 = 112714 [𝑁]
La fuerza total de compresión (𝐶𝑐 + 𝐶𝑠 ) vale 540380 [𝑁] y actúa a una distancia de 𝑦 desde la fibra
superior.
209
𝑘⋅𝑑
112714 ⋅ 55 + 427666 ⋅ 3
𝐶𝑠 ⋅ 𝑑′ + 𝐶𝑐 ⋅ 3
=
= 67 [𝑚𝑚]
𝑦=
𝐶𝑠 + 𝐶𝑐
540380
𝑗 ⋅ 𝑑 = 𝑑 − 𝑦 = 580 − 67 = 513 [𝑚𝑚]
𝑀𝑦 = 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ 𝑗 ⋅ 𝑑 =
𝜑𝑦 =
𝑓𝑦
276
𝑟𝑎𝑑
=
= 4.208 ⋅ 10−6 [
]
𝐸𝑠 ⋅ 𝑑 ⋅ (1 − 𝑘) 200000 ⋅ 513 ⋅ (1 − 0.3608)
𝑚𝑚
𝜑𝑦 = 4.208 ∙ 10−3 [

1963 ⋅ 276 ⋅ 513
= 277.94 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
1000000
𝑟𝑎𝑑
]
𝑚
Después del agrietamiento (para la carga última)
Asumir que 𝑓𝑠′ = 𝑓𝑦 y 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 y dividir la viga en dos vigas
Como se asume que el acero fluye entonces se tiene:
Para la Viga 1 𝐴𝑠1 = 𝐴′𝑠 = 982 [𝑚𝑚2 ]
Para la Viga 2 𝐴𝑠2 = 𝐴𝑠 − 𝐴𝑠1 = 1963– 982 = 981 [𝑚𝑚2 ]
Calcular 𝑎 para la Viga 2
177
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑎=
(𝐴𝑠 − 𝐴′𝑠 ) ⋅ 𝑓𝑦
0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏
=
981 ⋅ 276
0.85 ⋅ 20 ⋅ 250
𝑎 = 64 [𝑚𝑚]
g) Verificar si el acero de compresión fluye
𝑑’ = 55 [𝑚𝑚]
𝑑 ′ 55
=
= 0.859
𝑎 64
𝛽1 = 1.05 − 0.007 ⋅ 𝑓𝑐′ = 1.05 − 0.007 ⋅ 20 = 0.91 > 0.85 ⇒ 𝛽1 = 0.85
𝑓𝑦
𝑑′
1
276
1
⋅ (1 −
) = 0.771
= ⋅ (1 −
( )
)=
𝑎 𝑙𝑖𝑚 𝛽1
𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠
0.85
0.004 ⋅ 200000
𝑑′
𝑑′
>( )
⇒ 𝑓𝑠′ < 𝑓𝑦
𝑎
𝑎 𝑙𝑖𝑚
Recalcular 𝑎 sabiendo que el acero de compresión no fluye y asumiendo que el acero de tracción fluye
(0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏) ⋅ 𝑎2 + (𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠 ⋅ 𝐴′𝑠 − 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ) ⋅ 𝑎 − 𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠 ⋅ 𝐴′𝑠 ⋅ 𝛽1 ⋅ 𝑑′ = 0
4250 ∙ 𝑎2 + 243812 − 36726800 = 0
𝑎 = 69 [𝑚𝑚]
𝑑 ′ 55
=
= 0.797
𝑎 69
𝑑′
= 0.771
( )
𝑎 𝑙𝑖𝑚
𝑑′
𝑑′
>( )
⇒ 𝑓𝑠′ < 𝑓𝑦
𝑎
𝑎 𝑙𝑖𝑚
Verificar si el acero de tracción fluye
69
𝑎
=
= 0.119
𝑑 580
𝑎𝑏
𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠
800
= 𝛽1 ⋅
= 0.85 ⋅
= 0.632
𝑑
𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠 + 𝑓𝑦
800 + 276
178
Vigas – Resistencia a la flexión
𝑎 𝑎𝑏
≤
⇒ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦
𝑑
𝑑
Calcular 𝑀𝑛
𝑎
𝛽1 ⋅ 𝑑′
𝑀𝑛 = 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑎 ⋅ (𝑑 − ) + 𝐸𝑠 ⋅ 𝜀𝑐 ⋅ (1 −
) ⋅ 𝐴′𝑠 ⋅ (𝑑 − 𝑑′ )
2
𝑎
𝑀𝑛 =
69
200000 ⋅ 0.004
0.85 ⋅ 55
0.85 ⋅ 20 ⋅ 250 ⋅ 69
⋅ (580 − ) +
⋅ (1 −
) ⋅ 982 ⋅ (580 − 55)
2
1000000
69
1000000
𝑀𝑛 = 292.96 [𝑘𝑁𝑚]
𝜑𝑢 =
𝜀𝑐 ⋅ 𝛽1 0.004 ⋅ 0.85
𝑟𝑎𝑑
𝑟𝑎𝑑
=
= 4.928 ⋅ 10−5 [
] = 4.928 ∙ 10−2 [
]
𝑎
69
𝑚𝑚
𝑚
Momento vs. Curvatura
Fluencia
Falla
Agrietamiento
179
Diseño de estructuras de hormigón armado
4.5. Problemas propuestos
1. La viga soporta una carga muerta de servicio (sin factores de carga) que consiste en su peso propio
más 20.40 [𝑘𝑁/𝑚] y una carga viva de servicio de 21.90 [𝑘𝑁/𝑚]. El hormigón tiene una resistencia
característica a los 28 días de 20 [𝑀𝑃𝑎] y la tensión de fluencia del acero es de 420 [𝑀𝑃𝑎].
a)
Calcular el peso propio de la viga por metro lineal, la carga última uniformemente repartida por
metro 𝑤𝑢 y el momento máximo producido por cargas últimas 𝑀𝑢 . Dibujar el diagrama de
momentos.
b)
Calcular 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 para la sección transversal. ¿Es la viga segura?
c)
Dibujar la sección transversal a medio tramo e indicar en la misma la localización de la zona de
compresión y las siguientes dimensiones: 𝑏, 𝑑, ℎ y 𝑎.
550
600
300
6000
3𝜙30
Dimensiones en [mm]
2. Asumiendo que la máxima deformación por compresión en el hormigón es 0.003, calcular la
deformación en el acero que corresponde al momento 𝑀𝑛 para la viga del problema 1. ¿Es 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 en
la viga?.
3. Calcular 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 para una viga de sección rectangular con las siguientes características:
Datos:
𝑏 = 300 [𝑚𝑚]
𝑓𝑐′ = 25 [𝑀𝑃𝑎]
ℎ = 500 [𝑚𝑚]
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
Armadura 8𝜙25 en dos filas de cuatro barras cada una
4. Calcular 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 para las tres secciones transversales de vigas que se muestran en la figura.
Datos:
𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎]
𝑏 = 300 [𝑚𝑚]
ℎ = 915 [𝑚𝑚]
180
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
𝑑 = 825 [𝑚𝑚]
Vigas – Resistencia a la flexión
90
65
2𝜙30
4𝜙30
825
6𝜙30
6𝜙30
6𝜙30
De los resultados obtenidos en las tres vigas, comente si es rentable y efectivo añadir refuerzo de
compresión para incrementar la resistencia 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 de una viga de hormigón armado.
5. Calcular 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 para la sección transversal de viga de la figura.
Datos:
𝑓𝑐′ = 28 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
Dimensiones en [𝑚𝑚]
1070
150
150
600
150
660
8𝜙20
181
Diseño de estructuras de hormigón armado
6. Calcular 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 para las secciones transversales de vigas que se muestran en las siguientes figuras
donde todas las dimensiones están en [𝑚𝑚].
a)
𝑓𝑐′ = 25 [𝑀𝑃𝑎]
Datos:
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
1220
150
480
560
6𝜙25
300
𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎]
b) Datos:
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
500
125
470
560
6𝜙25
250
7. Utilizando el procedimiento de compatibilidad de deformaciones, calcular 𝜙 · 𝑀𝑛 para las secciones
transversales de las vigas del problema anterior.
182
Vigas – Resistencia a la flexión
8. Calcular el momento nominal 𝑀𝑛 de la viga de la figura.
Datos:
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑐′ = 25 [𝑀𝑃𝑎]
550
600
3𝜙25
300
300
9. Hallar la armadura de compresión (𝑥𝜙𝑦) que se requiere para que la sección transversal de hormigón
armado tenga una falla por tracción con un 0.005 ≤ 𝜀𝑡 ≤ 0.006.
Datos:
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑐′ = 25 [𝑀𝑃𝑎]
𝑑𝑠 = 8 [𝑚𝑚] Diámetro del estribo
𝑟 = 20 [𝑚𝑚] Recubrimiento al borde del estribo
150
80
𝑥𝜙𝑦
300
5𝜙18
300
183
CAPÍTULO 5
VIGAS – RESISTENCIA A CORTE Y TENSIÓN DIAGONAL
5. Vigas – Resistencia a corte y tensión diagonal
5.1. Introducción
Las vigas deben tener también un margen adecuado de seguridad contra otros tipos de fallas que son más
peligrosas que la falla por flexión. Algunas de estas fallas son de difícil predicción y pueden traer consigo
colapsos catastróficos.
Falla por tensión diagonal viene a ser el término correcto para describir la falla por corte de elementos de
hormigón. Hasta el presente, a pesar de que se han realizado muchos experimentos, la falla por corte es
todavía difícil de predecir con exactitud. En vigas, con diseños inadecuados para resistir fuerzas cortantes,
se presenta una falla repentina y brusca cuando éstas son cargadas hasta su límite. El comportamiento de
una viga durante una falla por corte es completamente diferente al que presenta una viga que falla por
flexión, ya que en ésta el acero fluye produciéndose fisuras y grandes deflexiones en la cara sometida a
tracción, con lo que se tiene tiempo para tomar las medidas correctivas. Debido a que la falla por corte en
vigas de hormigón es repentina, éstas son reforzadas con una armadura especial para asegurar que la falla
por flexión ocurra antes que la falla por corte si la viga es sobre cargada.
El análisis y diseño para corte no están relacionados directamente con el corte como tal, sino con las
tensiones diagonales que son producidas por una combinación de esfuerzos por corte y flexión. Los
esfuerzos por corte directo en la mayoría de las vigas están por debajo de la resistencia del hormigón al
corte directo. En algunos casos se debe prestar atención al corte directo, como en la unión de losas
vaciadas en sitio sobre vigas prefabricadas donde es importante considerar la magnitud de los esfuerzos
horizontales de corte en la superficie de unión entre ambos elementos. Hace algunos años han aparecido
métodos alternativos para el diseño por corte, basados en modelos de cerchas donde el hormigón soporta
la compresión mientras que el acero resiste la tracción.
185
Diseño de estructuras de hormigón armado
5.2. Tensión diagonal en vigas elásticas homogéneas
Para materiales elásticos y homogéneos las tensiones, en cualquier sección de una viga, pueden ser
halladas utilizando las siguientes ecuaciones:
Tensiones por corte:
𝑉 ∙ 𝑄
𝑣=
𝐼 ∙ 𝑏
(5.1)
Tensiones por flexión:
𝑀 ∙ 𝑦
𝑓=
𝐼
(5.2)
Donde:
𝑉 = Fuerza cortante en la sección considerada [𝑁].
𝑄 = Momento estático, alrededor del eje baricéntrico, de la porción de la sección transversal entre la línea
del punto en cuestión y la fibra extrema más cercana (superior o inferior) de la viga [𝑚𝑚3 ].
𝐼 = Momento de inercia de la sección alrededor del eje baricéntrico de la sección [𝑚𝑚4 ].
𝑏 = Ancho de la sección en donde se determina la tensión de corte [𝑚𝑚].
𝑀 = Momento flector en la sección considerada [𝑁 ∙ 𝑚𝑚].
𝑦 = Distancia desde el eje baricéntrico al punto donde se desea hallar el esfuerzo por flexión [𝑚𝑚].
La función de las tensiones de corte es fácilmente visualizada en el comportamiento de una viga laminada
bajo la acción de una carga.
Láminas sobrepuestas
Láminas pegadas
𝑎
𝑉𝑝𝑟𝑜𝑚 =
𝑎
𝑉
𝑎∙𝑏
𝑉𝑚𝑎𝑥 = 1.5 ∙ 𝑉𝑝𝑟𝑜𝑚
𝑉
𝑏
Tensiones horizontales de corte en el plano de
unión de las dos láminas
Distribución de tensiones de corte en una
sección de la viga
Fig. 5.1. Esfuerzos de corte horizontal y vertical
186
Vigas –Resistencia a corte y tensión diagonal
1
2
𝑣
1
𝑣
𝑓 =−𝑣
𝑓=𝑣
𝑣
𝑣
𝑓
1
𝑣
𝑣
𝑓 =−𝑣
Esfuerzos principales en
el punto 1
𝑓=𝑣
2
𝑣
𝑓2
𝑓1
𝑣
𝑓
2
𝑓2
𝑓1
Esfuerzos principales en
el punto 2
Trayectorias de Tracción
Trayectorias de Compresión
Fig. 5.2. Trayectoria de tensiones en una viga rectangular homogénea
Tracción principal:
1
𝑓1 = ∙ (𝑓 + √𝑓 2 + 4 ∙ 𝑣 2 )
2
Compresión principal:
1
𝑓2 = ∙ (𝑓 − √𝑓 2 + 4 ∙ 𝑣 2 )
2
(5.3)
(5.4)
La magnitud de las tensiones de corte 𝑣 y por flexión 𝑓 cambia a lo largo de la viga y verticalmente con
respecto del eje neutro por lo tanto la inclinación y la magnitud de las tensiones principales también varían
de un punto a otro.
La flexión de elementos de hormigón no es la única responsable de producir esfuerzos de tracción en las
fibras extremas, ya que éstos pueden existir a lo largo del elemento con inclinaciones y magnitudes
187
Diseño de estructuras de hormigón armado
diferentes; producto no solamente de esfuerzos de corte sino por una combinación de esfuerzos de corte y
flexión que existen en toda la viga y pueden producir el colapso de la misma si no se los toma en cuenta.
Por esta razón las tensiones de tracción inclinadas conocidas como tensiones diagonales deben ser
consideradas cuidadosamente en el diseño de elementos de hormigón armado.
5.3. Vigas de hormigón armado sin refuerzo por corte
El comportamiento de las vigas de hormigón, antes de la aparición de fisuras, es similar al de una viga
homogénea de material elástico. La primera fisura en una viga aparece donde el esfuerzo de tracción
supera la resistencia del material, lo que comúnmente ocurre en fibras extremas de la sección y donde los
momentos son máximos, siempre y cuando la relación luz/canto del elemento sea mayor a 2 porque en
este caso el corte tiene poca o ninguna influencia en la resistencia del elemento. Para elementos cuya
relación luz/canto es menor a 2, se tiene un comportamiento distinto y las fisuras no necesariamente
aparecen en las fibras extremas. En este caso, el corte tiene una importancia preponderante en la
resistencia del elemento. Pero, en cualquiera de los dos casos, el colapso de la viga ocurrirá apenas se
presente la primera fisura.
Sin embargo, en elementos de hormigón armado, aunque las fisuras por tracción también se producen, los
esfuerzos de tracción son resistidos por el acero y por ello el elemento puede resistir mayor carga.
Generalmente, cerca de los apoyos se producen las máximas tensiones diagonales por corte y a medio
tramo y sobre los apoyos las máximas tracciones por flexión. El acero longitudinal que se coloca cerca de
las fibras extremas sólo absorbe esfuerzos de tracción por flexión, pero no tiene influencia alguna sobre
las tensiones diagonales de tracción por corte o sobre aquellas que se producen por una combinación de
corte y momento flector. Si no se coloca un refuerzo especial para resistir estas tensiones diagonales,
aparecerán fisuras inclinadas que producirán el colapso repentino del elemento o estructura. En
consecuencia, es muy importante predecir la carga que produce estas fisuras diagonales.
Con un poco de experiencia, es posible determinar, analizando la posición y trayectoria de la fisura, qué
tipo de esfuerzo es el que la ha producido. En el siguiente cuadro se presenta un resumen del tipo de fisura
y el lugar donde generalmente se presenta.
Tipo de fisura
Ubicación de la fisura
Vertical
Donde el momento flector es grande
Diagonal
Donde el corte es grande o donde hay una
combinación de momento flector y corte
5.3.1. Criterio para la formación de fisuras diagonales
Las tensiones principales están en función de los esfuerzos por corte, de los esfuerzos por flexión o de una
combinación de ambos, dependiendo de la posición del punto a lo largo de la viga.
En la siguiente figura se muestran dos vigas simplemente apoyadas sometidas a dos cargas distintas. La
primera viga soporta una carga puntual a medio tramo y la segunda una carga uniformemente repartida.
188
Vigas –Resistencia a corte y tensión diagonal
La viga con carga puntual tiene dos zonas que se distinguen claramente. A medio tramo se tiene un
máximo momento y un corte máximo y cerca de los apoyos se tiene un momento pequeño o nulo y un
máximo corte. La viga con carga uniformemente repartida tiene también dos zonas que se distinguen
claramente. A medio tramo se tiene un máximo momento y un corte pequeño o nulo y cerca de los apoyos
se tiene un momento pequeño o nulo y un máximo corte.
La forma de los diagramas de momento y corte dependen directamente del tipo de carga, su intensidad y
distribución sobre la viga. Los esfuerzos que éstos producen varían a lo largo de la viga, por lo tanto
existirán zonas en la viga donde los esfuerzos por corte son predominantes o los esfuerzos por flexión son
predominantes o ambos esfuerzos son predominantes. Entonces, de acuerdo a este razonamiento, se puede
predecir con bastante precisión el lugar donde las fisuras aparecen y la forma que ellas adoptan (verticales
o inclinadas). Cuando los esfuerzos por flexión son los predominantes, las fisuras son verticales y
comienzan desde las fibras extremas en tracción, mientras que si los esfuerzos por cortante son los
predominantes, las fisuras son inclinadas y están localizadas a media altura de la sección. En las zonas
donde ambos esfuerzos están presentes, generalmente las fisuras comienzan siendo verticales para luego
inclinarse.
𝑀𝑚𝑎𝑥
𝑉𝑚𝑎𝑥
𝑀𝑚𝑎𝑥
𝑉𝑚𝑖𝑛
𝑀𝑚𝑖𝑛
𝑉𝑚𝑎𝑥
𝑀𝑚𝑖𝑛
𝑉𝑚𝑎𝑥
“𝑀”
+
-
“𝑉”
+
-
Fig. 5.3. Combinaciones críticas de corte y momento en vigas isostáticas
En la siguiente figura se muestra una viga continua sometida a una carga uniformemente distribuida. En
esta viga se tienen tres zonas que se distinguen claramente. A medio tramo se tiene un máximo momento y
un corte mínimo, cerca de los apoyos externos se tiene un momento pequeño o nulo y un máximo corte y
por último en el apoyo intermedio se tiene un máximo momento y un corte máximo también.
189
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑀𝑚𝑎𝑥
𝑉𝑚𝑖𝑛
𝑀𝑚𝑎𝑥
𝑉𝑚𝑎𝑥
𝑀𝑚𝑖𝑛
𝑉𝑚𝑎𝑥
𝑀𝑚𝑖𝑛
𝑉𝑚𝑎𝑥
“𝑀”
“𝑉”
+
+
-
-
Fig. 5.4. Combinaciones críticas de corte y momento en vigas hiperestáticas
En la figura 5.5 se presenta la mitad de una viga simplemente apoyada que ha estado sometida a una carga
uniforme repartida cuyo valor se ha incrementado paulatinamente hasta la aparición de fisuras. En la viga
se pueden observar claramente los siguientes tres tipos de fisuras:
a)
Fisuras por flexión.- Se presentan en forma vertical desde la cara traccionada y se aproximan al
eje neutro de la viga. Estas fisuras son típicas en regiones donde el esfuerzo por flexión es grande
y el esfuerzo por corte es pequeño o no existe.
b)
Fisuras por flexión y corte.- Se presentan inicialmente en forma vertical desde la cara traccionada
y se inclinan a medida que se acercan al eje neutro de la viga. Estas fisuras son típicas en regiones
donde existe una combinación de esfuerzos por flexión y corte de magnitudes comparables.
c)
Fisuras en el alma por corte.- Se presentan desde su inicio en forma inclinada y generalmente
cerca del eje neutro de la viga. Estas fisuras son típicas en regiones donde el esfuerzo por corte es
grande y el esfuerzo por flexión es pequeño o no existe.
190
Vigas –Resistencia a corte y tensión diagonal
Fisuras en el
alma por corte
Fisuras por
flexión y corte
Fisuras por
flexión
Fig. 5.5. Fisuras por tensión diagonal en vigas de hormigón armado
𝑣𝑐𝑟 =
𝑉𝑐𝑟
= 0.30 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′
𝑏𝑤 ∙ 𝑑
𝑣𝑐𝑟 =
𝑉𝑐𝑟
= 0.16 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′
𝑏𝑤 ∙ 𝑑
Región de corte elevado
Región de momento elevado
y momento pequeño
y corte pequeño
𝑉𝑐𝑟 = Fuerza de corte que produce la primera fisura.
Es evidente que el corte para el cual se forman fisuras diagonales depende de la relación entre la fuerza
cortante y el momento flector, o más precisamente de la relación entre el esfuerzo cortante 𝑣 y el esfuerzo
por flexión 𝑓 en la parte superior de la fisura por flexión. Ninguno de estos dos esfuerzos puede ser
calculado con precisión pero es evidente que:
𝑣 = 𝐾1 ∙
𝑉
𝑏 ∙𝑑
(5.5)
Donde 𝐾1 depende de la profundidad de penetración de la fisura por flexión. De igual manera:
𝑓 = 𝐾2 ∙
𝑀
𝑏 ∙ 𝑑2
(5.6)
Donde 𝐾1 depende también de la configuración de las fisuras.
𝑣 𝐾1 𝑣 ∙ 𝑑
=
∙
𝑓 𝐾2 𝑀
Los valores de 𝐾1 ⁄𝐾2 fueron investigados mediante ensayos y se dedujo la siguiente fórmula:
𝑣𝑐𝑟 =
𝑉𝑐𝑟
𝜌∙𝑉∙𝑑
= 0.16 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ + 17 ∙
≤ 0.30 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′
𝑏𝑤 ∙ 𝑑
𝑀
(5.7)
191
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑉𝑐𝑟 = 𝑣𝑐𝑟 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
(5.8)
𝐴𝑠
𝑏𝑤 ∙ 𝑑
(4.9)
𝜌=
17.24 = Constante empírica en [𝑀𝑃𝑎]
𝑣𝑐𝑟 = Tensión nominal de corte para la cual se forma la fisura por flexión y corte
Una ecuación más simple que da resultados conservadores es la siguiente:
𝑣𝑐𝑟 =
𝑉𝑐𝑟
= 0.17 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′
𝑏𝑤 ∙ 𝑑
𝑣𝑐𝑟
𝜆 ∙ √𝑓𝑐′
=
(5.9)
𝑉𝑐𝑟
𝑏𝑤 ∙ 𝑑 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′
0.4
0.3
𝑣𝑐𝑟
= 0.16 + 17 ∙
0.2
𝜆 ∙ √𝑓𝑐′
0.1
𝑣𝑐𝑟
𝜆 ∙ √𝑓𝑐′
0.2
0.4
0.6
𝜌∙𝑉∙𝑑
𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑀
≤ 0.30
= 0.17
0.8
1.0
1.5
2.0
5.0
Fig. 5.6. Correlación de las ecuaciones con ensayos

6.89 ∙
𝜌∙𝑉∙𝑑
𝑀 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′
5.4. Análisis y diseño de vigas de hormigón armado por corte
Para vigas esbeltas la ecuación básica de diseño es la siguiente:
𝜙 · 𝑉𝑛 ≥ 𝑉𝑢
(5.10)
Donde:
𝑉𝑛 = Resistencia nominal al corte de la viga.
𝜙 = Factor de reducción de la resistencia (0.75).
𝑉𝑢 = Fuerza cortante mayorada en la sección.
𝑉𝑛 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠
192
(5.11)
Vigas –Resistencia a corte y tensión diagonal
Donde:
𝑉𝑐 = Fuerza de corte resistida por el hormigón.
𝑉𝑠 = Fuerza de corte resistida por los estribos.

Estado límite de falla por corte - vigas sin refuerzo (estribos) en el alma
Para poder determinar la resistencia nominal de una viga de hormigón armado al corte, es necesario
primero saber la resistencia del hormigón simple al corte. En vigas esbeltas de hormigón sin refuerzo en el
alma, se presenta la falla cuando las fisuras inclinadas se forman en el alma. Por lo tanto, la resistencia al
corte de estos elementos es igual al corte que produce la primera fisura inclinada. Si el elemento que
soporta corte está sometido simultáneamente a fuerzas de compresión o tracción, la resistencia básica se
incrementa o disminuye de acuerdo a las prescripciones de las secciones 22.5.5.1, 22.5.6.1 y 22.5.7.1 del
código ACI y que son resumidas en las siguientes tablas.
Resistencia al corte 𝑽𝒄 de elementos de hormigón armado sin carga axial
Fórmula aproximada.
0.17 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
(5.12)
𝜌𝑤 ∙ 𝑉𝑢 ∙ 𝑑
) ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
𝑀𝑢
(5.12𝑎)
(0.16 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ + 17 ∙ 𝜌𝑤 ) ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
(5.12𝑏)
0.29 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
(5.12𝑐)
(0.16 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ + 17 ∙
Fórmulas más precisas.
Escoger el menor valor de:
Resistencia al corte 𝑽𝒄 de elementos de hormigón armado con carga axial
Fórmula
aproximada
considera
carga
axial
compresión
Fórmulas
considerando
compresión.
más
carga
que
de
precisas
axial de
Escoger el menor valor de:
Fórmula
aproximada
que
considera carga axial de tracción.
0.17 ∙ (1 +
(0.16 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ +
𝑁𝑢
) ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
14 ∙ 𝐴𝑔
17 ∙ 𝜌𝑤 ∙ 𝑉𝑢 ∙ 𝑑
) ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
(4 ∙ ℎ − 𝑑)
𝑀𝑢 − 𝑁𝑢 ∙
8
(4 ∙ ℎ − 𝑑)
𝑀𝑢 > 𝑁𝑢 ∙
8
(5.13𝑎)
𝑁𝑢
3.5 ∙ 𝐴𝑔
(5.13𝑏)
𝑁𝑢
) ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
3.5 ∙ 𝐴𝑔
(5.14)
0.29 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 ∙ √1 +
0.17 ∙ (1 +
(5.13)
𝑁𝑢 es negativo para tracción y el valor 𝑉𝑐 no debe ser menor que cero
193
Diseño de estructuras de hormigón armado
Donde:
𝜌𝑤 = Cuantía del área de refuerzo 𝐴𝑠 evaluada sobre el área 𝑏𝑤 ∙ 𝑑.
𝑁𝑢 = Carga axial última en [𝑁] (positiva si es compresión y negativa si es tracción).
𝐴𝑔 = Area total de la sección transversal en [𝑚𝑚2 ].
𝜆 = Factor de modificación que tiene en cuenta las propiedades mecánicas reducidas del hormigón ligero
(ACI 19.2.4). Se toma el valor de 𝜆 igual a 1 para hormigón de densidad normal.
𝑀𝑢 ocurre simultáneamente con 𝑉𝑢 en la sección considerada
En el caso de elementos sometidos a cargas axiales de tracción, el calculista debe ejercer su criterio para
decidir cuándo esta carga debe ser considerada. En casos donde existe la incertidumbre sobre la magnitud
de la solicitación axial de tracción en un elemento, es conveniente considerar 𝑉𝑐 = 0 y dejar que el
refuerzo de corte tome el total del corte último.

Estado límite de falla por corte - Vigas con refuerzo (estribos) en el alma
Este tipo de vigas pueden fallar por diferentes causas, entre las cuales se estudiarán las siguientes:
-
Falla debido a la fluencia de los estribos.
Falla del anclaje de los estribos.
Falla por ancho excesivo de fisuras para cargas de servicio.
Falla por corte debido al aplastamiento del alma.
Falla de las barras en tracción iniciada por fisuras de corte.
a) Falla debido a la fluencia de los estribos
𝑉𝑛 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠
(5.11)
El código ACI asume que 𝑉𝑐 es igual a la resistencia al corte del hormigón de una viga sin estribos. Las
vigas de hormigón armado pueden ser reforzadas para resistir el corte utilizando dos tipos de refuerzo o
una combinación de ambos. Por un lado se tiene el refuerzo con estribos verticales que se colocan en
forma perpendicular al eje de la viga y están conformados por barras de acero dobladas de acuerdo a la
forma de la sección transversal del elemento. Por otro lado se pueden utilizar parte de las barras
longitudinales de acero que dejan de ser necesarias y por lo tanto en vez de cortarlas se las puede doblar
hacia la cara opuesta. Por último, se puede realizar una combinación de ambos tipos de refuerzo. En la
actualidad se prefiere la colocación de estribos verticales puesto que para el doblado de barras
longitudinales se requiere un mayor uso de mano de obra y tiempo de armado.
Estribos verticales
La utilización de estribos verticales constituye en la actualidad la forma más común de disposición de
barras de acero para resistir las fuerzas cortantes en los elementos de hormigón armado. En la siguiente
figura se presenta el diagrama de cuerpo libre de un pedazo de viga limitada en el extremo derecho por
una fisura inclinada de corte.
194
Vigas –Resistencia a corte y tensión diagonal
𝑠
𝐶
𝑉𝑐
𝐴𝑉 ∙ 𝑓𝑦
𝐴𝑉 ∙ 𝑓𝑦
𝐴𝑉 ∙ 𝑓𝑦
𝑇
𝑑
Fig. 5.7. Estribos verticales para resistir el corte
La fuerza total cortante 𝑉𝑠 que resisten los estribos a lo largo de la fisura es simplemente la multiplicación
de la tensión de fluencia del acero 𝑓𝑦 por el área del acero 𝐴𝑣 y por el número de estribos que son cortados
por la fisura. Para determinar el número de estribos que son cortados por una fisura, se ha determinado
mediante ensayos de laboratorio que la proyección horizontal de la fisura es aproximadamente igual al
canto útil de la sección 𝑑. Por tanto, el número de estribos es igual a 𝑑/𝑠.
𝑉𝑠 =
𝐴𝑣 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑑
𝑠
(5.15)
Barras inclinadas
La utilización de estribos o barras inclinadas para resistir las fuerzas cortantes en los elementos de
hormigón armado no es muy frecuente en la actualidad debido a que esta disposición de barras de acero
presenta mayores dificultades constructivas y una demanda más alta de mano de obra. En la siguiente
figura se presenta el diagrama de cuerpo libre de un pedazo de viga limitada en el extremo derecho por
una fisura inclinada de corte.
𝑠
𝐶
𝑉𝑐
𝛼
𝐴𝑣 ∙ 𝑓𝑦
45°
𝐴𝑣 ∙ 𝑓𝑦
𝐴𝑣 ∙ 𝑓𝑦 𝑇
𝐴𝑣 ∙ 𝑓𝑦
𝑑
𝑖 = 𝑑/𝑐𝑜𝑠 45°
Fig. 5.8. Barras inclinadas para resistir el corte
195
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 =
𝑖 𝑑 ∙ 𝑠𝑒𝑛 45° ∙ (1 + cot 𝛼)
=
𝑎
cos 45° ∙ 𝑠
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 =
𝑑
∙ (1 + cot 𝛼)
𝑠
Fuerza inclinada
𝑐 = ℎ ∙ cot 45°
𝑎
𝑒 = ℎ ∙ cot 𝛼
45°
𝑏
𝛼
𝑒
𝑐
𝑠 = ℎ ∙ (cot 45° + cot 𝛼)
𝑠
𝑠
ℎ=
sen 45° ∙ (1 + cot 𝛼)
sen 45° =
ℎ
ℎ
𝑎
𝑠
sen 45° ∙ (1 + cot 𝛼)
(1 + cot 𝛼)
𝑓 = 𝐴𝑣 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑑 ∙
𝑠
ℎ=
𝑉𝑠 = 𝑓 ∙ sen 𝛼 = 𝐴𝑣 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑑 ∙
𝑉𝑠 = 𝐴𝑣 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑑 ∙
(1 + cot 𝛼)
∙ sen 𝛼
𝑠
(sen 𝛼 + cos 𝛼)
𝑠
(5.16)
Si 𝑉𝑢 ≥ 𝜙 · 𝑉𝑐 , entonces se necesita colocar estribos de manera que 𝑉𝑢 ≤ 𝜙 · 𝑉𝑛
𝑉𝑢 ≤ 𝜙 ∙ (𝑉𝑐 + 𝑉𝑠 )
𝜙 ∙ 𝑉𝑠 ≥ 𝑉𝑢 − 𝜙 ∙ 𝑉𝑐
𝑉𝑠 ≥
𝑉𝑢
− 𝑉𝑐
𝜙
Para estribos verticales se tiene:
𝑉𝑠 =
196
𝐴𝑣 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑑
𝑠
(5.15)
Vigas –Resistencia a corte y tensión diagonal
𝐴𝑣 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑑 𝑉𝑢
≥ − 𝑉𝑐
𝜙
𝑠
𝐴𝑣 (𝑉𝑢 − 𝜙 ∙ 𝑉𝑐 )
≥
𝑠
𝜙 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑑
(5.17)
𝐴𝑣 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑑
𝑉𝑢
𝜙 − 𝑉𝑐
(5.18)
𝑠≤
Los estribos no pueden resistir corte a menos que estén atravesados por una fisura inclinada y por esta
razón el código ACI, en su sección 9.7.6.2.2, limita el espaciamiento entre estribos dispuestos
perpendicularmente al eje del elemento a una distancia de 𝑑/2 en elementos de hormigón armado, o a
0.75 · ℎ en elementos de hormigón pretensado y en ningún caso el espaciamiento debe superar 600 [𝑚𝑚].
𝑑
2
45°
0.5 ∙ 𝑑 ≤ 600 [𝑚𝑚]
Fig. 5.9. Espaciamiento máximo de estribos verticales en elementos de hormigón armado
La sección 9.7.6.2.3 del código ACI indica que los estribos inclinados y barras longitudinales dobladas
deben tener un espaciamiento tal que cualquier línea trazada a 45° desde una altura de 0.5 ∙ 𝑑 y dirigida
hacia la reacción hasta interceptar el refuerzo de tracción longitudinal, debe estar atravesada por al menos
una línea del refuerzo a corte.
𝛼
45°
0.5 ∙ 𝑑
𝑑
2
𝑑
2 · tan 𝛼
Fig. 5.10. Espaciamiento máximo de barras inclinadas en elementos de hormigón armado
197
Diseño de estructuras de hormigón armado
Cuando 𝑉𝑠 excede 0.33 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 , el código ACI en su sección 9.7.6.2.2 indica que el máximo
espaciamiento señalado en los dos párrafos anteriores debe ser reducido a la mitad. En la siguiente tabla se
presenta un resumen de las recomendaciones del código ACI sobre la separación máxima de los estribos
para resistir fuerzas cortantes tanto en elementos de hormigón armado como de hormigón pretensado.
Espaciamiento máximo de estribos verticales
𝑉𝑢
− 𝑉𝑐 = 𝑉𝑠 ≤ 0.33 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
𝜙
𝑉𝑢
− 𝑉𝑐 = 𝑉𝑠 > 0.33 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
𝜙
Hormigón
Armado
𝑑
2
600 [𝑚𝑚]
Hormigón
Armado
𝑑
4
300 [𝑚𝑚]
Hormigón
Pretensado
3·ℎ
4
600 [𝑚𝑚]
Hormigón
Pretensado
3·ℎ
8
300 [𝑚𝑚]
Como una buena práctica para seleccionar el diámetro del acero de los estribos de corte, se debe
considerar que separaciones pequeñas entre estribos reducen el ancho de las fisuras inclinadas y proveen
mejor anclaje para los extremos inferiores de los flujos diagonales de compresión.
Para mejorar el anclaje de los flujos de las compresiones diagonales, la separación máxima entre los
brazos de los estribos 𝑠𝑡 debe ser menor a 2⁄3 ∙ 𝑑 y en ningún caso superar los 800 [𝑚𝑚].
𝑠𝑡
Brazos muy espaciados
Brazos poco espaciados
Fig. 5.11. Flujo de las compresiones diagonales en vigas con estribos
b) Falla del anclaje de los estribos
Las ecuaciones anteriores se basan en la suposición de que el acero de los estribos fluye para la carga
última, por lo que éstos deben estar bien anclados. Generalmente el extremo superior de las fisuras
inclinadas se aproxima a la cara comprimida de la viga. Para la carga última, la tensión en los estribos se
aproxima o es igual a la tensión de fluencia del acero 𝑓𝑦 en cada punto donde una fisura inclinada
198
Vigas –Resistencia a corte y tensión diagonal
intercepta a un estribo. Por lo tanto, la porción del estribo por encima de las fisuras debe ser capaz de
anclar a la barra para una tensión igual a 𝑓𝑦 .
Reacción
𝐴
Zona comprimida
𝐴
Sección 𝐴 − 𝐴
Fig. 5.12. Zona de anclaje de los estribos
La figura 5.12 muestra un área achurada que representa la porción de la viga que está sometida a
compresión (zona comprimida). Dentro de esa área, el estribo debe estar anclado para poder resistir la
máxima fuerza que la barra de acero puede desarrollar que es igual a la tensión de fluencia multiplicada
por el área de acero. El código ACI en su sección 25.7.1.1 requiere que los estribos se extiendan lo más
cerca posible a las caras de compresión y tensión de la viga, tanto como el recubrimiento y el
espaciamiento entre barras lo permitan. Además, para mejorar el anclaje de los estribos, el código
especifica diferentes tipos de gancho que pueden ser de 90° o más. En la siguiente figura se muestran
algunas soluciones de estribos para diferentes secciones transversales, con ganchos y empalmes, que se
pueden utilizar dependiendo de la preferencia o experiencia del lugar de trabajo. El estribo cerrado
fabricado de una sola pieza presenta una mayor dificultad de instalación, pero tiene un excelente
comportamiento para elementos que resisten torsión.
Fig. 5.13. Requerimiento para el anclaje de los estribos para diámetros de 16 mm y menores
Se debe prestar atención especial al doblado del estribo, puesto que cuando la sección transversal de la
viga es irregular es conveniente utilizar varias piezas de acero como estribo para evitar empujes al vacío.
La figura 5.14 muestra la unión del alma con el ala inferior de una viga donde se presenta esta situación.
199
Diseño de estructuras de hormigón armado
Incorrecto
Correcto
Para casos donde se presenta empuje al vacío
por utilizar una sola pieza de acero como estribo
Dos piezas
Una pieza
Para vigas con torsión, con refuerzo
de compresión o en zonas sísmicas
Fig. 5.14. Colocación y doblado de estribos
c) Falla por ancho excesivo de fisuras para cargas de servicio
Si el ancho de las fisuras producidas por tensiones diagonales es muy grande, además de dar una mala
impresión, éstas permiten la penetración de la humedad en la viga acelerando el proceso de corrosión de
los estribos.
El código ACI en su sección 22.5.1.2 controla indirectamente el ancho de las fisuras producidas por
esfuerzos cortantes limitando el máximo corte que puede ser resistido por los estribos al siguiente valor:
𝑉𝑠 𝑚𝑎𝑥 = 0.66 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
(5.19)
En el caso de que una viga requiera que 𝑉𝑠 sea mayor al valor dado por la ecuación anterior, es
imprescindible que se aumenten las dimensiones de la sección transversal del elemento.
d) Falla por corte debido al aplastamiento del alma
En vigas con almas delgadas los esfuerzos de compresión diagonal pueden producir el aplastamiento del
alma. El valor 𝑉𝑠 𝑚𝑎𝑥 anterior también proporciona seguridad adecuada al aplastamiento del alma.
𝑉𝑠 𝑚𝑎𝑥 = 0.66 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
(5.19)
El espesor del alma en las vigas debe ser escogido para asegurar que el hormigón en esa región no
presente una falla explosiva debido a la concentración de esfuerzos de compresión que generalmente se
presentan al momento de la falla por flexión del elemento.
200
Vigas –Resistencia a corte y tensión diagonal
e) Falla de las barras en tracción iniciada por fisuras de corte
Si los extremos de las barras en tracción no tienen un anclaje adecuado, éstas se deslizarán tan pronto se
produzcan las fisuras por corte en los extremos de la viga, lo cual producirá el colapso de la estructura.
Para prevenir esta falla, el código ACI en su sección 7.7.3.3 requiere que el acero de flexión se extienda
una distancia igual al mayor de 𝑑 o 12 · 𝑑𝑏 más allá del punto donde la barra deja de ser necesaria.

Refuerzo mínimo en el alma
Debido a que la falla por corte de una viga es frágil, repentina y porque las ecuaciones que predicen la
resistencia del hormigón al corte son aproximadas el código ACI en su sección 9.6.3.3 especifica un
refuerzo mínimo. Este refuerzo mínimo debe ser utilizado en todos los elementos de hormigón armado o
pretensado donde el corte último 𝑉𝑢 excede la mitad de la resistencia al corte dada por el hormigón 𝜙 · 𝑉𝑐 .
También, se debe colocar la mínima armadura especificada por el código cuando por cálculo la armadura
necesaria para corte es menor a la mínima.
El requerimiento de armadura mínima para corte no necesita ser considerado cuando en los elementos
estructurales puede ocurrir una redistribución de carga a través de su ancho o de elementos adyacentes
como es el caso de los siguientes tipos de elementos:
Casos donde no se requiere 𝑨𝒗 𝒎𝒊𝒏 si 𝟎. 𝟓 ∙ 𝝓 ∙ 𝑽𝒄 < 𝑽𝒖 ≤ 𝝓 ∙ 𝑽𝒄
Tipo de elemento
Condiciones
Losas y fundaciones macizas
Vigas de poca altura
ℎ ≤ 250 [𝑚𝑚]
Vigas integrales con losas
ℎ ≤ 600 [𝑚𝑚]
y
ℎ ≤ que el mayor valor de 2.5 veces el
espesor del ala (2.5 · 𝑡𝑓 ) o la mitad del
espesor del alma (0.5 · 𝑏𝑤 ).
Vigas construidas con hormigón de peso normal reforzado
con fibra de acero, con un 𝑓𝑐′ no mayor a 40 [𝑀𝑃𝑎]
ℎ ≤ 600 [𝑚𝑚]
𝑉𝑢 ≤ 𝜙 ∙ 0.17 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑.
Viguetas en una dirección
De acuerdo a la sección 9.8 del ACI
Antes, el código ACI requería una armadura mínima para corte independiente de la resistencia del
hormigón, pero ensayos en laboratorio han demostrado la necesidad de aumentar el área del refuerzo por
corte a medida que la resistencia del hormigón se incrementa para prevenir una falla repentina por corte
cuando las fisuras inclinadas aparecen.
Exceptuando lo indicado anteriormente para elementos de hormigón armado y pretensado, cuando
𝑉𝑢 > 𝜙 ∙ 0.5 ∙ 𝑉𝑐 y los efectos de torsión son despreciables, se debe prever en el elemento la armadura
mínima que se resume en la siguiente tabla.
201
Diseño de estructuras de hormigón armado
Tipo de viga
Hormigón armado y pretensado con
𝐴𝑝𝑠 ∙ 𝑓𝑠𝑒 < 0.4 ∙ (𝐴𝑝𝑠 ∙ 𝑓𝑠𝑢 + 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 )
Hormigón pretensado con
𝐴𝑝𝑠 ∙ 𝑓𝑠𝑒 ≥ 0.4 ∙ (𝐴𝑝𝑠 ∙ 𝑓𝑠𝑢 + 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 )

Área mínima de refuerzo para cortante 𝑨𝒗 𝒎𝒊𝒏
𝑏𝑤 ∙ 𝑠
𝑓𝑦
𝑏𝑤 ∙ 𝑠
0.35 ∙
𝑓𝑦
0.062 ∙ √𝑓𝑐′ ∙
El mayor
de:
El menor
de:
El mayor
de:
𝑏𝑤 ∙ 𝑠
𝑓𝑦
𝑏𝑤 ∙ 𝑠
0.35 ∙
𝑓𝑦
0.062 ∙ √𝑓𝑐′ ∙
𝐴𝑝𝑠 ∙ 𝑓𝑝𝑢 ∙ 𝑠
𝑑
∙√
80 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑑
𝑏𝑤
(5.20)
(5.21)
(5.20)
(5.21)
(5.22)
Factor de reducción de la resistencia 𝝓
Se utiliza un factor de reducción de la resistencia 𝜙 igual a 0.75 que es menor al utilizado para el caso de
la flexión debido a que la resistencia por corte del hormigón es muy variable y porque el tipo de falla es
repentina y frágil.

Localización del corte máximo para el diseño de vigas
El código ACI en su sección 9.4.3.2 permite, en elementos de hormigón armado, diseñar las secciones
localizadas a una distancia menor a 𝑑 desde la cara del soporte utilizando el mismo corte último 𝑉𝑢
calculado para una distancia 𝑑, pero esto es permitido solamente cuando se presentan las siguientes
situaciones:
- La reacción del soporte, en la dirección del corte aplicado, introduce fuerzas de compresión en
las regiones extremas del miembro.
- Las cargas son aplicadas en o cerca de la cara superior del elemento.
- No hay cargas concentradas dentro de la distancia 𝑑 medida desde la cara del soporte.
En la figura 5.15 se presentan diferentes ejemplos en donde es permitido considerar como sección crítica a
aquella sección que está a una distancia 𝑑 desde la cara del soporte. Pero, si las cargas son aplicadas en la
cara inferior del elemento o existen cargas concentradas dentro de la distancia 𝑑 desde la cara del soporte,
entonces no es permitida la reducción en el cortante y el valor a considerar para el diseño debe ser aquel
que se produce en la cara del soporte. En la figura 5.16 se muestran diferentes elementos estructurales en
los cuales la sección crítica para la evaluación del corte se encuentra en la cara del soporte.
202
Vigas –Resistencia a corte y tensión diagonal
𝑑
𝑑
𝑑
Sección crítica
𝑑
𝑑
𝑑
Sección crítica
Sección crítica
Sección crítica
Viga
Viga
Refuerzo de suspensión para evitar
la falla de la parte inferior de la viga
Viga principal
Fig. 5.15. Localización de secciones críticas en elementos donde
es posible la reducción del corte
El extremo de la viga debe ser considerado como
viga de canto alto para el diseño por corte y flexión
𝑑
Sección crítica
Sección crítica
Fig. 5.16. Localización de secciones críticas en elementos donde
no es posible la reducción del corte
203
Diseño de estructuras de hormigón armado
Corte a medio tramo de vigas con carga uniforme

Se asume que la carga viva última 𝑤𝑢 𝐿 puede actuar sobre toda o parte de la luz. El corte por carga viva
uniforme a mitad del tramo es:
𝑉𝑢 =
𝑤𝑢 𝐿 ∙ 𝐿
8
(5.23)
Este corte puede ser positivo o negativo. Aunque este corte ha sido derivado para una viga simplemente
apoyada, también se lo puede utilizar satisfactoriamente para el caso de vigas continuas.
Ejemplo. Diseñar el refuerzo de corte para la siguiente viga isostática.
Datos:
𝑓𝑐′ = 25 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
𝑏 = 900
ℎ = 150
Dimensiones en [𝑚𝑚]
𝑑 = 610
𝐿 = 10000
𝑏𝑤 = 300
Sección transversal
𝑤𝐷+𝑂𝑊 = 20 [𝑘𝑁/𝑚]
𝑤𝐿 = 24 [𝑘𝑁/𝑚]
a) Calcular la envolvente de corte máximo
𝑤𝑢 𝐷+𝑂𝑊 = 1.2 ∙ 20 = 24.0 [𝑘𝑁/𝑚]
𝑤𝑢 𝐿 = 1.6 ∙ 24 = 38.4 [𝑘𝑁/𝑚]
204
Vigas –Resistencia a corte y tensión diagonal
62.4 [𝑘𝑁/𝑚]
62.4 [𝑘𝑁/𝑚]
24 [𝑘𝑁/𝑚]
Primer Caso
Segundo Caso
312
264
+
+
48
-
168
312
Diagrama de corte en [𝑘𝑁]
Diagrama de corte en [𝑘𝑁]
416
312
+
48
64
+
48
-
Envolvente de corte en [𝑘𝑁]
-
64
312
𝑉
Diagrama 𝑢 en [𝑘𝑁]
𝜙
416
Como la viga está cargada en su ala superior y apoyada en su parte inferior, la sección crítica está a una
distancia 𝑑 de los apoyos.
A una distancia 𝑑:
𝑉𝑢
610
= 416 −
∙ (416 − 64) = 373 [𝑘𝑁]
𝜙
5000
𝑉𝑛 ≥
𝑉𝑢
= 373 [𝑘𝑁]
𝜙
b) Verificar si se requieren estribos
Si 𝑉𝑛 ≤ 0.5 ∙ 𝑉𝑐 no se requieren estribos.
𝑉𝑐 = 0.17 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 = 0.17 ∙ 1 ∙ √25 ∙ 300 ∙ 610 = 155550 [𝑁]
205
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑉𝑐 = 155.55 [𝑘𝑁]
Como 𝑉𝑛 = 373 [𝑘𝑁] > 0.5 ∙ 𝑉𝑐 = 77.78 [𝑘𝑁], los estribos son requeridos.
c) Verificar anclaje y máximo espaciamiento
Se colocarán estribos cerrados.
Máximo espaciamiento basado en la altura de la viga.
𝑠𝑚𝑎𝑥 ≤
𝑑
= 305 [𝑚𝑚]
2
𝑠𝑚𝑎𝑥 ≤ 600 [𝑚𝑚]
Si 𝑉𝑛 ≥ 𝑉𝑐 + 0.33 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 se reduce a la mitad el valor de 𝑠
𝑉𝑛 = 373 [𝑘𝑁]
𝑉𝑐 + 0.33 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 = 155.55 + 0.33 ∙
√25 ∙ 300 ∙ 610
= 457.50 [𝑘𝑁]
1000
Como 𝑉𝑛 = 373 [𝑘𝑁] < 457.50 [𝑘𝑁] entonces la separación de los estribos no se reduce a la mitad de los
valores indicados y queda fijada en 305 [𝑚𝑚]
𝑠𝑚𝑎𝑥 = 305 [𝑚𝑚]
Máximo espaciamiento basado en el área mínima
𝐴𝑣 𝑚𝑖𝑛 = 0.062 ∙ √𝑓𝑐′ ∙
𝑏𝑤 ∙ 𝑠
𝑏𝑤 ∙ 𝑠
≥ 0.35 ∙
𝑓𝑦
𝑓𝑦
Reemplazando el valor de 25 [𝑀𝑃𝑎] para la resistencia del hormigón se tiene:
𝐴𝑣 𝑚𝑖𝑛 = 0.062 ∙ √25 ∙
𝑏𝑤 ∙ 𝑠
𝑓𝑦
𝐴𝑣 𝑚𝑖𝑛 ∙ 𝑓𝑦
𝑠 𝑚𝑎𝑥 =
0.35 ∙ 𝑏𝑤
𝐴𝑣 𝑚𝑖𝑛 = 0.35 ∙
206
𝑏𝑤 ∙ 𝑠
𝑏𝑤 ∙ 𝑠
𝑏𝑤 ∙ 𝑠
= 0.31 ∙
≥ 0.35 ∙
𝑓𝑦
𝑓𝑦
𝑓𝑦
Vigas –Resistencia a corte y tensión diagonal
Si utilizamos 𝐸𝜙10 dos ramas 𝐴𝑣 = 2 · 0.785 = 1.57 [𝑐𝑚2 ]
𝑠 𝑚𝑎𝑥 =
157 ∙ 420
0.35 ∙ 300
𝑠𝑚𝑎𝑥 = 628 [𝑚𝑚]
 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 305 [𝑚𝑚]
d) Calcular el espaciamiento de los estribos para resistir las fuerzas de corte
𝑠=
𝐴𝑣 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑑
157 ∙ 420 ∙ 610
=
= 185 [𝑚𝑚]
𝑉𝑢
(373
−
155.55)
∙
1000
𝜙 − 𝑉𝑐
𝑉𝑐 = 155.55 [𝑘𝑁]
𝑉𝑢
= 373 [𝑘𝑁]
𝜙
Utilizar 𝑠 = 150 [𝑚𝑚]
Se cambia la separación 𝑠 a 200 [𝑚𝑚] y 300 [𝑚𝑚] donde sea posible. Los espaciamientos intermedios
dependen del ingeniero y se recomienda no utilizar más de tres separaciones con diferencias de 50 [𝑚𝑚] a
75 [𝑚𝑚].
𝑉
Calcular 𝜙𝑢 donde se utilice 𝑠 = 200 [𝑚𝑚]
𝑉𝑢 𝐴𝑣 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑑
=
+ 𝑉𝑐
𝜙
𝑠
𝑉𝑢 157 ∙ 420 ∙ 610
=
+ 155.55 = 356.67 [𝑘𝑁]
𝜙
200 ∙ 1000
La distancia desde el borde izquierdo de la viga es:
𝑥=
416 − 356.67
∙ 5000 = 843 [𝑚𝑚]
416 − 64
𝑉
Calcular 𝜙𝑢 donde se utilice 𝑠 = 300 [𝑚𝑚]
207
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑉𝑢 157 ∙ 420 ∙ 610
=
+ 155.55 = 289.63 [𝑘𝑁]
𝜙
300 ∙ 1000
La distancia desde el borde izquierdo de la viga es:
𝑥=
416 − 289.63
∙ 5000 = 1795 [𝑚𝑚]
416 − 64
Los estribos deben continuar hasta el punto donde 𝑉𝑢 = 𝜙 ∙ 0.5 ∙ 𝑉𝑐
𝑉𝑢
= 0.5 ∙ 𝑉𝑐 = 77.78 [𝑘𝑁]
𝜙
La distancia desde el borde izquierdo de la viga es:
𝑥=
416 − 77.78
∙ 500 = 4804 [𝑚𝑚]
416 − 64
Utilizar:
0 [𝑚𝑚] ≤ 𝑥 ≤ 843 [𝑚𝑚]
843 [𝑚𝑚] ≤ 𝑥 ≤ 1795 [𝑚𝑚]
1795 [𝑚𝑚] ≤ 𝑥 ≤ 4804 [𝑚𝑚]
50
7𝐸𝜙10𝑐/150
0
200
843
𝑠 = 150 [𝑚𝑚]
𝑠 = 200 [𝑚𝑚]
𝑠 = 300 [𝑚𝑚]
300
5𝐸𝜙10𝑐/200
1795
10𝐸𝜙10𝑐/300
50
4804 5000
Para dibujar la envolvente de la resistencia nominal al corte a lo largo de la viga, se calcula el valor de 𝑉𝑛
correspondiente a cada separación 𝑠 de los estribos.
𝑉𝑛 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠
208
Vigas –Resistencia a corte y tensión diagonal
𝑉𝑛 = 155.55 +
𝐴𝑣 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑑
𝑠
Para 𝑠 = 150 [𝑚𝑚]
𝑉𝑠 =
157 ∙ 420 ∙ 610
= 268.16 [𝑘𝑁]
150 ∙ 1000
𝑉𝑛 = 423.71 [𝑘𝑁]
Para 𝑠 = 200 [𝑚𝑚]
𝑉𝑠 =
157 ∙ 420 ∙ 610
= 201.12 [𝑘𝑁]
200 ∙ 1000
𝑉𝑛 = 356.67 [𝑘𝑁]
Para 𝑠 = 300 [𝑚𝑚]
𝑉𝑠 =
157 ∙ 420 ∙ 610
= 134.08 [𝑘𝑁]
300 ∙ 1000
𝑉𝑛 = 289.63 [𝑘𝑁]
Se dibuja la envolvente de 𝑉𝑛 sobre 𝑉𝑢 /𝜙 para confirmar que el diseño sea el adecuado.
423.71
356.67
416
289.63
77.78
64
209
Diseño de estructuras de hormigón armado
5.5. Problemas propuestos
1. Calcular 𝜙 · 𝑉𝑛 para las secciones transversales que se muestran en las figuras:
Datos:
𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
Dimensiones en [𝑚𝑚].
a)
750
150
650
𝐸𝜙10 𝑐/150
300
b)
580
𝐸𝜙10 𝑐/250
380
c)
125
400
𝐸𝜙10 𝑐/150
650
210
125
500
Vigas –Resistencia a corte y tensión diagonal
2. La viga de la figura soporta las cargas de servicio que se muestran. La carga muerta incluye el peso
propio de la viga.
a) Dibujar los diagramas de corte para las siguientes cargas últimas:
- Carga muerta y carga viva en toda la viga.
- Carga muerta en toda la viga y carga viva en la luz BC.
- Carga muerta en toda la viga y carga viva en la luz AB y CD.
b) Dibujar la envolvente del diagrama de corte
c) Diseñar los estribos utilizando
Datos:
𝑓𝑐′ = 25 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
𝑤𝐷 = 29.0 [𝑘𝑁/𝑚]
𝑤𝐿 = 21.9 [𝑘𝑁/𝑚]
A
B
2500
C
2500
D
1800
550
600
300
Dimensiones en [𝑚𝑚]
211
CAPÍTULO 6
VIGAS CONTINUAS Y LOSAS EN UNA DIRECCIÓN
6. Vigas continuas y losas en una dirección
6.1. Vigas hiperestáticas de hormigón armado
El cálculo de vigas continuas y losas en una dirección se presenta con mucha frecuencia en el diseño de
edificios puesto que, dependiendo de la configuración, los pisos en menor o mayor grado están
compuestos por vigas y losas.
En el diseño de una viga continua o losa armada en una sola dirección es necesario considerar varios
estados límites últimos y de servicio.
Estados límites últimos:
-
Falla por flexión.
Falla por corte.
Falla por anclaje.
Falla por torsión (posiblemente).
Estados límites de servicio:
- Excesiva deflexión.
- Ancho de fisuras.
- Vibración.

Continuidad en estructuras de hormigón armado
En la construcción de edificios una vez terminado el encofrado para las losas y vigas se procede a la
colocación de la armadura. Después se realiza el vaciado monolítico de toda la superficie para luego
levantar las columnas del siguiente piso. El código ACI en su sección 26.5.7.2 (a) requiere que el
hormigón de columnas y muros haya fraguado antes de colocar el hormigón en el piso soportado por éstas.
213
Diseño de estructuras de hormigón armado
Esta secuencia es requerida porque el hormigón en la columna tenderá a asentarse mientras siga en estado
plástico. Si se vacía al mismo tiempo el hormigón del piso con el de las columnas, pueden aparecer
cangrejeras (espacios huecos) entre las vigas y las columnas. Vaciando el hormigón del piso después de
que el hormigón de la columna ya no está plástico, da como resultado una unión entre vigas y columnas
sin vacíos.
Como resultado de esta secuencia en el vaciado, cada piso actúa como una unidad continua. Debido a que
el refuerzo de las columnas se extiende a través del piso, las columnas actúan con el piso para formar un
pórtico continuo (hiperestático).

Pórticos arriostrados vs. Pórticos no arriostrados
Se dice que un pórtico no está arriostrado si resiste las fuerza laterales (viento, sismo, etc.) a través de la
acción de pórtico, mientras que si resiste estas fuerzas a través de muros se dice que el pórtico está
arriostrado.
Si la rigidez lateral del elemento más resistente (muro, caja de ascensores, etc.) en un piso excede entre 6
y 10 veces la suma de las rigidez de todas las columnas en ese piso, ese piso puede ser considerado como
arriostrado. La mayoría de los edificios están arriostrados por muros, cajas de ascensores o escaleras. Los
elementos del piso (vigas y losa) en un pórtico no arriostrado deben resistir momentos producidos por
cargas laterales como también por cargas gravitacionales. En pórticos arriostrados los momentos en vigas
producidos por las cargas laterales pueden ser ignorados en la mayoría de los casos.
La mayoría de las edificaciones pueden catalogarse como arriostradas, por lo que en el presente texto solo
se presentarán ejemplos de vigas en pórticos arriostrados. Cuando la estructura no está arriostrada, las
acciones laterales sobre la edificación producen esfuerzos tanto en los elementos verticales (columnas)
como en los horizontales (vigas y losas), por lo que éstos deben ser considerados para el diseño de las
vigas y losas.
Muro de
cortante
Pórtico no arriostrado
Pórtico arriostrado
Fig. 6.1. Tipos de pórticos
En la figura 6.1 se muestra la configuración de un pórtico no arriostrado y de uno arriostrado. El
arriostramiento puede consistir en muros de cortante, cajas de ascensores, diagonales, etc. Es importante
214
Vigas contínuas y losas en una dirección
notar que el arriostramiento de un pórtico no necesita estar presente en todos los vanos, basta con asegurar
el movimiento lateral de uno de ellos, pero lo importante es que el sistema de arriostramiento esté presente
en todo lo alto de la edificación.

Losas armadas en una dirección y vigas de piso
Uno de los sistemas de piso más comunes en hormigón armado vaciado in situ es el que utiliza losas
macizas armadas en una dirección que se apoyan sobre vigas. Este sistema es muy utilizado para vanos
simples, pero se presenta con más frecuencia en losas con varios vanos. Las losas en una dirección tienen
la particularidad de transmitir las cargas, que actúan sobre ellas, en la dirección más corta de sus dos
dimensiones.
𝐷
𝐵
𝐸
𝐴
𝐹
𝑷
𝐶
𝐺
Fig. 6.2. Losa armada en una dirección
En la figura 6.2, se puede apreciar como una carga 𝑃 que es aplicada en el punto 𝐴 es resistida por la
franja de losa que la trasmite a las vigas en los puntos 𝐵 y 𝐶 (en una sola dirección). Las vigas transmiten
la carga a las columnas en los puntos 𝐷, 𝐸, 𝐹 y 𝐺.
Existen otros tipos de losa que por sus características y disposición de sus elementos estructurales
distribuyen la carga en dos direcciones como las losas sin vigas que son conocidas con el nombre de losas
planas o las losas con vigas dispuestas en una grilla aproximadamente cuadrada con columnas en cada
esquina de cada cuadrado que son referidas como sistemas de losas y vigas en dos direcciones. También,
se pueden construir sistemas de losa en dos direcciones, que pueden o no tener vigas perimetrales, con
nervaduras dispuestas ortogonalmente o utilizando losas planas con capiteles sobre las columnas o ábacos
embebidos en la misma losa. Todos estos sistemas serán estudiados en el capítulo de losas armadas en dos
direcciones.
Algunas veces los pisos tienen vigas en dos direcciones como se muestra en la siguiente figura, pero aun
así dependiendo de las dimensiones del panel que queda circunscrito entre las vigas, la losa puede ser
todavía diseñada como losa en una dirección.
Cuando en una losa se tienen vanos paneles cuadrados de grandes dimensiones, puede ser recomendable
subdividirlos utilizando vigas secundarias para obtener losas rectangulares que pueden ser diseñadas como
215
Diseño de estructuras de hormigón armado
losas en una dirección. En la figura 6.3 se ha utilizado una viga secundaria para subdividir una losa
cuadrada en dos rectangulares.
VIGA PRINCIPAL
V
I
G
A
LOSA
S
E
C
U
N
D
A
R
I
A
𝐴
LOSA
𝐴
VIGA PRINCIPAL
LOSA EN PLANTA
LOSA
SECCION 𝐴 − 𝐴
Fig. 6.3. Losa armada en una dirección con vigas en dos direcciones

Momentos y Cortantes en vigas continuas
Las losas continuas, las vigas continuas y los pórticos son estructuras estáticamente indeterminadas o
también llamadas hiperestáticas. Existen tres procedimientos para el cálculo de los momentos y cortantes
en los elementos de estas estructuras:
- Análisis Elástico.- Como el método de los tres momentos, Cross, métodos matriciales, etc.
- Análisis Plástico.- Con el objeto de conocer el verdadero coeficiente de seguridad de la
estructura es importante conocer la carga límite o de rotura que produce el colapso de la
216
Vigas contínuas y losas en una dirección
estructura y el estado de solicitaciones en ese instante, razón por la cual el ingeniero debe
conocer las técnicas básicas de los métodos de análisis plástico.
- Análisis Aproximado.- Como el uso de coeficientes de momento, o los métodos del pórtico o
volado.
Dependiendo de la importancia del trabajo, de los medios disponibles y de los conocimientos del
calculista, el análisis de la estructura continua puede ser encarado considerando cualquiera de los
procedimientos enunciados. Para el diseño de pequeños edificios arriostrados, el último procedimiento
proporciona resultados aceptables, mientras que para edificios más complejos puede ser utilizado para el
predimensionamiento de sus elementos.
6.2. Estados de carga
Los momentos máximos en vigas continuas o en pórticos ocurren cuando algunos de los tramos están
cargados y otros no. Las líneas de influencia son utilizadas para determinar que tramos deberían o no
deberían estar cargados. Una línea de influencia es un gráfico de la variación del momento, corte u otro
efecto, en un punto particular de la estructura, cuando una carga puntual unitaria se mueve a lo largo de la
misma.
En vigas continuas resulta muy útil y práctico la utilización del principio de Müller - Breslau para dibujar
en forma cualitativa las líneas de influencia y de ese modo determinar las posiciones más críticas de la
carga viva. Una vez que se ha dibujado la línea de influencia en forma cualitativa, es fácil determinar la
posición de las cargas vivas que producen el máximo efecto en el punto considerado. Para explicar de
forma práctica el principio de Müller – Breslau, se considerará una viga continua de cinco tramos, para la
cual se determinará la posición de las cargas vivas que producen la máxima influencia (corte o momento)
en puntos determinados.
Geometría de la viga continua
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐸
𝐹
𝐺
𝐻
𝐼
𝐽
𝐾
Línea de influencia de 𝑀𝐵
+
-
+
-
+
Estado de carga para producir el momento máximo positivo 𝐵
217
Diseño de estructuras de hormigón armado
Línea de influencia de 𝑀𝐶
-
-
-
+
+
Estado de carga para producir el momento máximo negativo en 𝐶
Línea de influencia de 𝑉𝐵
-
+
+
-
-
+
Estado de carga para producir el corte máximo positivo en 𝐵
Línea de influencia de 𝑉𝐹
-
+
-
+
-
+
Estado de carga para producir el corte máximo positivo en 𝐹
Línea de influencia de 𝑉𝐸 a la derecha
-
+
+
-
+
Estado de carga para producir el corte máximo positivo en 𝐸
Fig. 6.4. Estados de carga con base a líneas de influencia
218
Vigas contínuas y losas en una dirección
La primera línea de influencia de la viga es para el momento positivo en el punto B. Para hallar el máximo
momento positivo en 𝐵, la carga viva es colocada sobre los tramos 𝐴𝐶, 𝐸𝐺 e 𝐼𝐾.
La segunda línea de influencia de la viga es para el momento negativo sobre el apoyo C. Para hallar el
máximo momento negativo en 𝐶, la carga viva es colocada sobre los tramos 𝐴𝐶, 𝐶𝐸 y 𝐺𝐼.
La tercera línea de influencia de la viga es para el cortante en B. Para hallar el máximo cortante positivo
en 𝐵, la carga viva es colocada en los tramos 𝐵𝐶, 𝐸𝐺 e 𝐼𝐾.
La cuarta línea de influencia de la viga es para el cortante en 𝐹. Para hallar el máximo cortante negativo
en 𝐹, la carga viva es colocada en los tramos 𝐴𝐶, 𝐸𝐹 y 𝐺𝐼.
La quinta línea de influencia en la figura es para el cortante a la derecha del apoyo 𝐸. Para hallar el
máximo cortante positivo a la derecha de 𝐸, la carga viva es colocada sobre los tramos 𝐶𝐸, 𝐸𝐺 e 𝐼𝐾.
Para la determinación de los momentos y cortantes causados por cargas gravitacionales sobre columnas,
muros y vigas, el código ACI en su sección 6.3.1.2 permite asumir que la carga viva está solamente
aplicada al piso o techo bajo consideración. Con base a esta simplificación, se puede utilizar un modelo
limitado a la losa y vigas del piso considerado más las columnas por encima y debajo del piso. Los
extremos de las columnas pueden ser considerados como empotrados para el análisis bajo cargas
gravitacionales. Esta suposición no es aplicable para el análisis bajo cargas laterales. Sin embargo, para
éste tipo de cargas, se puede utilizar métodos aproximados como el método del pórtico siempre y cuando
la estructura sea simétrica y cumpla con los requerimientos del método aproximado. Para otros casos, se
debe utilizar métodos más rigurosos de análisis que consideren todos los desplazamientos de la estructura.
Basado en el análisis de la viga continua con las líneas de influencia de la figura 6.4, el código ACI en su
sección 6.4.2 requiere que una viga continua sea diseñada para los siguientes dos estados de carga:
- Cargas muertas últimas en todas las luces con cargas vivas últimas en dos luces adyacentes y
ninguna carga viva en las demás luces. Este estado de carga produce el máximo momento
negativo y el máximo corte en el apoyo que está entre las dos luces cargadas. Este estado de
carga se repite para cada apoyo interior.
- Cargas muertas últimas en todas las luces con cargas vivas últimas sobre luces alternadas. Este
estado de carga produce el máximo momento positivo al medio de las luces cargadas, el
mínimo momento positivo (que puede ser negativo) al medio de las luces no cargadas y
momentos máximos negativos en los apoyos exteriores.
En la siguiente figura se presentan los diferentes estados de carga que se deben considerar para un pórtico
arriostrado de tres vanos.
219
Diseño de estructuras de hormigón armado
Pórtico
Estado de carga 1
Estado de carga 2
Estado de carga 3
Estado de carga 4
Envolvente de Momentos
Fig. 6.5. Estados de carga y envolvente de momentos para la viga del pórtico
220
Vigas contínuas y losas en una dirección
Cada sección de la viga del pórtico debe ser diseñada considerando la envolvente de momentos máximos
de tal modo que se asegure que la viga tiene la suficiente resistencia para soportar los momentos máximos
positivos y negativos que se presentan en la envolvente de momentos. Por lo tanto, la relación  · 𝑀𝑛 ≥
𝑀𝑢 debe cumplirse para cada sección de la viga a lo largo de los tres vanos.
6.3. Coeficientes para momentos de la ACI
Debido a que los cálculos necesarios para hallar las envolventes de corte y momento son largos y tediosos,
el código ACI en su sección 6.5 presenta coeficientes aproximados que pueden ser utilizados para el
cálculo de las mismas en vigas o losas continuas en una dirección construidas de hormigón armado (no
pretensado) que cumplen los siguientes requerimientos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Existen dos o más tramos.
Las luces de los tramos son aproximadamente iguales, con la más larga, entre dos tramos
adyacentes, no mayor a 1.2 veces la longitud de la más corta.
Las cargas son uniformemente distribuidas.
La carga viva de servicio no excede en tres veces la carga muerta de servicio.
Las vigas deben ser prismáticas, esto quiere decir que ellas tienen la misma sección transversal en
toda su longitud.
La viga debe pertenecer a un pórtico arriostrado y no debe tener momentos significativos
producidos por cargas laterales.
Los momentos máximos positivos, negativos, y los cortes máximos son calculados utilizando las
siguientes expresiones:
𝑀𝑢 = 𝐶𝑚 ∙ (𝑤𝑢 ∙ ℓ2𝑛 )
(6.1)
ℓ𝑛
)
2
(6.2)
𝑉𝑢 = 𝐶𝑣 ∙ (𝑤𝑢 ∙
Donde:
𝑤𝑢 = Carga total última por unidad de longitud.
𝐶𝑚 = Coeficiente para momentos.
𝐶𝑣 = Coeficiente para cortantes.
ℓ𝑛 = Longitud del tramo en cuestión, para momentos negativos en la cara interior del soporte exterior,
para momentos positivos y para corte.
ℓ𝑛 = Longitud promedio de los tramos adyacentes, para momentos negativos en los soportes interiores.
Para entender mejor la terminología empleada en el código ACI y los distintos coeficientes que se utilizan
dependiendo de las condiciones de apoyo de los extremos de la losa o viga continua, se presentan en las
siguientes figuras unos esquemas informativos.
221
Diseño de estructuras de hormigón armado
a) Terminología
Extremo continuo tramo exterior
Tramo interior
Cara interna del
soporte exterior
Otras caras de los
soportes interiores
Cara externa del
soporte interior
b) Extremo discontinuo no restringido
Se presenta cuando el extremo de la losa o viga se apoya sobre un muro que le permite rotación pero no
desplazamiento vertical.
𝐶𝑚
𝐶𝑣
0
1/11
−1/10
−1/11
Para dos vanos
−1/9
−1/9
1.15
1.0
1.0
1/16
−1/11
−1/11
1.0
1.0
c) Extremo discontinuo integrado con el soporte, donde el soporte es una viga
Se presenta cuando el extremo de la losa o viga se apoya sobre una viga (apoyo elástico) que le permite
cierto grado de rotación y desplazamiento vertical.
𝐶𝑚
−1/24
𝐶𝑣
1.0
1/14
−1/10
−1/11
Para dos vanos
−1/9
−1/9
1.15
1.0
1/16
−1/11
−1/11
1.0
1.0
d) Extremo discontinuo integrado con el soporte, donde el soporte es una columna o muro
Se presenta cuando el extremo de la losa o viga se apoya sobre una columna o muro que no le permite
rotación y tampoco desplazamiento vertical.
𝐶𝑚
𝐶𝑣
−1/16
1.0
1/16
−1/10
−1/11
Para dos vanos
−1/9
−1/9
1.15
1.0
1/16
−1/11
1.0
−1/11
1.0
Fig. 6.6. Coeficientes de momento y cortante para estructuras hiperestáticas
222
Vigas contínuas y losas en una dirección
6.4. Redistribución de momentos negativos en vigas continuas
El código ACI en su sección 6.6.5 permite la redistribución de los momentos negativos en vigas continuas,
excepto cuando éstos han sido determinados por métodos aproximados. Se permite incrementar o
disminuir los momentos negativos calculados por la teoría elástica para cualquier combinación de carga en
un porcentaje no mayor a 1000 · 𝜀𝑡 considerando como límite máximo un 20%.
Los momentos negativos modificados deben ser utilizados para el cálculo de los momentos en las
secciones de los tramos.
La redistribución de los momentos negativos se puede realizar solamente cuando la deformación neta de
tracción en el acero más alejado de la cara de compresión 𝜀𝑡 es igual o mayor a 0.0075 en la sección
donde el momento es reducido.
6.5. Losas armadas en una dirección
Para propósitos de diseño una losa armada en una dirección se asume que actúa como una serie de franjas
de 1 [𝑚] de ancho paralelas, independientes y continuas sobre las vigas que las soportan. Las franjas de
losa se extienden en la dirección más corta como las franjas 𝐴 y 𝐵. Cerca de los extremos del panel
adyacentes a las vigas, algo de carga es resistida por la flexión de las franjas longitudinales (franja 𝐶) y
por las franjas transversales (franja 𝐴). Por lo tanto, cerca de las vigas la carga es soportada por una acción
de la losa en dos direcciones. En el diseño de una losa armada en una dirección este hecho es ignorado,
pero se lo toma en cuenta colocando una armadura superior (armadura negativa) en cada lado de la losa. Si
este refuerzo es omitido en la cara superior de la losa, entonces se presentan fisuras a lo largo de la unión
con la viga 𝐷𝐸 con la losa.
𝐷
𝐴
𝐵
𝐶
𝐸
Acción en dos
direcciones
Acción en una dirección
Acción en dos
direcciones
Fig. 6.7. Comportamiento de una losa armada en dos direcciones
223
Diseño de estructuras de hormigón armado

Espesor de las losas en una dirección
Con excepción de losas muy cargadas, como las que soportan varios metros de tierra, el espesor es elegido
de tal manera que la deflexión no sea un problema. Ocasionalmente, el espesor estará controlado por corte
o flexión y esto debe ser verificado para cada diseño. La tabla 7.3.1.1 del código ACI proporciona
espesores mínimos de losas construidas con hormigón de peso normal y con acero de tensión de fluencia
igual a 420 [𝑀𝑃𝑎] y que no soportan o que no están adheridas a particiones u otras construcciones que
pueden dañarse por deformaciones grandes. No se da ninguna otra guía para otros casos. La tabla da
espesores mínimos para losas en una dirección que soportan y no soportan tales particiones.
Algunas veces el espesor de las losas está controlado por la transmisión de calor durante un incendio. Por
lo tanto la clasificación para fuego de una losa se basa en el número de horas necesarias para que la
temperatura, de una superficie no expuesta, se incremente en una cantidad, generalmente 120℃ (250℉).
Basado en un incremento de 120℃ (250℉) una losa de 90 [𝑚𝑚] (3½") tendrá una clasificación de 1
hora, una de 125 [𝑚𝑚] (5") tendrá una clasificación de 2 horas y una de 160 [𝑚𝑚] (6") tendrá una
clasificación de 3 horas.

Recubrimiento
El recubrimiento de las barras de acero cumple diversas funciones que van desde protección contra el
medio ambiente (corrosión) y el fuego, hasta la necesidad que tiene una barra de contar con hormigón
alrededor suyo para propósitos de adherencia. El código ACI en su sección 20.6.1.3.1 recomienda en el
caso de losas, los siguientes recubrimientos mínimos para protección contra la corrosión:
- Hormigón no expuesto a humedad o sin contacto con suelo para barras de diámetros menores o
iguales a 36 [𝑚𝑚] utilizar 20 [𝑚𝑚] de recubrimiento.
- Hormigón expuesto a humedad o en contacto con suelo. Para barras de diámetros menores o
iguales a 16 [𝑚𝑚] utilizar 40 [𝑚𝑚] de recubrimiento. Para barras de diámetros mayores o
iguales a 20 [𝑚𝑚] utilizar 50 [𝑚𝑚] de recubrimiento.
La resistencia estructural de una losa expuesta al fuego depende, entre otras cosas, del recubrimiento de la
armadura. Se recomienda utilizar los siguientes recubrimientos:
- 20 [𝑚𝑚] de recubrimiento provee una resistencia al fuego de 1 hora y 15 minutos.
- 25 [𝑚𝑚] de recubrimiento provee una resistencia al fuego de 1 hora y 30 minutos.
- 40 [𝑚𝑚] de recubrimiento provee una resistencia al fuego de 3 horas.

Refuerzo
La colocación de la armadura para losas armadas en una dirección puede ser realizada de las siguientes
formas:
224
Vigas contínuas y losas en una dirección
a)
Disposición recta de barras.- Esta forma facilita mucho el armado de la losa con lo que se reducen
los costos de mano de obra tanto en el doblado de las barras como en su colocado. Como
desventaja se puede mencionar que ésta necesita una mayor cantidad de acero por metro cúbico de
hormigón, puesto que en los extremos de las barras se deben considerar longitudes adicionales que
corresponden a las longitudes de desarrollo de las mismas.
b)
Combinación de barras rectas y dobladas.- Esta forma necesita un mayor consumo en tiempo de la
mano de obra tanto para el doblado de las barras como para su instalación. Como ventaja se puede
mencionar que el uso del acero es más eficiente, puesto que las barras se doblan tan pronto dejan
de ser necesarias evitando la utilización de las longitudes de desarrollo que son necesarias tomar
en cuenta en la disposición recta de las barras. En este tipo de disposición es costumbre no doblar
todas las barras, sino más bien colocar en forma alterna una barra doblada y una barra recta.
La colocación de la armadura en losas que trabajan en una sola dirección, utilizando la disposición recta o
la combinación de barras rectas y dobladas, es como la que se muestra en las figuras a continuación. Es
importante observar que la armadura por retracción y temperatura debe ser colocada perpendicularmente a
la armadura principal tanto en la cara superior de la losa como en la cara inferior. La armadura principal
positiva (en los vanos) y la negativa (sobre los apoyos) de la losa en ningún caso puede ser menor a la
armadura por retracción y temperatura.
Refuerzo superior sobre vigas interiores
Refuerzo por
temperatura
Refuerzo inferior
Disposición recta de barras
Barras inferiores dobladas
Refuerzo inferior
Refuerzo por
temperatura
Disposición alternada de barras rectas y dobladas
Fig. 6.8. Disposición del refuerzo en losas armadas en una dirección
Las losas en una dirección son diseñadas asumiendo una franja de un metro de ancho, por lo tanto el área
de refuerzo es calculada en [𝑐𝑚2 /𝑚].
Según la sección 7.7.2.3 del código ACI, el máximo espaciamiento que se debe utilizar para las barras de
la armadura principal en una losa es tres veces el espesor de la misma, pero menor a 450 [𝑚𝑚]. También
225
Diseño de estructuras de hormigón armado
se debe tomar en cuenta lo que indican las provisiones para el control del agrietamiento en la sección
24.3.2 del código ACI.
𝑠 ≤ 3 ∙ ℎ ≤ 450 [𝑚𝑚]
Para controlar el ancho de las fisuras paralelas al acero principal que se pueden presentar debido a la
retracción del hormigón, se coloca un refuerzo perpendicular al acero principal que es llamado acero de
retracción y temperatura. El código ACI en su sección 7.6.1.1 requiere que se coloquen las siguientes
cuantías mínimas de área de acero con respecto al área gruesa de hormigón:
Armadura por retracción y temperatura en losas
Tensión de fluencia del acero
de refuerzo [𝑴𝑷𝒂]
Cuantía de refuerzo por área
total de hormigón (𝒃 · 𝒉)
< 420
0.0020
420
0.0018 ∙
≥ 0.0014
𝑓𝑦
≥ 420
Según la sección 7.7.2.4 del código ACI, el máximo espaciamiento de las barras de la armadura por
retracción y temperatura, dispuestas de forma perpendicular a la armadura principal, debe ser cinco veces
el espesor de la losa, pero menor a 450 [𝑚𝑚].
𝑠 ≤ 5 ∙ ℎ ≤ 450 [𝑚𝑚]
Para losas estructurales y cimentaciones de espesor uniforme, la sección 7.7.2.3 del código ACI especifica
que el área mínima de acero por flexión debe ser igual o mayor al área necesaria por temperatura y
retracción (sección 24.4.3.2 código ACI), pero el máximo espaciamiento que se debe utilizar es tres veces
el espesor de la losa, pero menor a 450 [𝑚𝑚].
𝑠 ≤ 3 ∙ ℎ ≤ 450 [𝑚𝑚]
Ejemplo. Diseñar la losa del piso que se muestra abajo. Se considerará una franja de 1 [𝑚] de ancho.
Datos:
𝑓𝑐′ = 25 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
Carga viva = 4.8 [𝑘𝑁/𝑚2 ] incluye particiones.
Se asume que las vigas tienen un ancho de 350 [𝑚𝑚].
Dimensiones en [𝑚𝑚].
226
Vigas contínuas y losas en una dirección
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
9
3
4
1
2
3
4
D
1
2
3
4
9000
C
1
2
3
4
9200
B
9000
𝐴
𝐴
1
2
3
4
A
1
4600
4600
4600
4600
4600
4600
4600
2
3
4
4600
PLANTA
SECCION 𝐴 − 𝐴
a) Estimar el espesor de la losa de piso.
La elección inicial del espesor de la losa se basará en la tabla 7.3.1.1 del código ACI que proporciona
espesores mínimos cuando no se calculan deflexiones de los elementos. Los espesores de esta tabla son
utilizados cuando los elementos no soportan particiones susceptibles a dañarse por deflexiones grandes
(tabiques de mampostería de ladrillo). Se asumirán particiones movibles lo suficientemente flexibles para
acomodar las deflexiones del piso.
Vano exterior:
ℓ
4600
ℎ𝑚𝑖𝑛 =
=
= 192 [𝑚𝑚]
24
24
Vanos interiores:
ℓ
4600
ℎ𝑚𝑖𝑛 =
=
= 164 [𝑚𝑚]
28
28
Se adopta preliminarmente una losa maciza de ℎ = 200 [𝑚𝑚].
227
Diseño de estructuras de hormigón armado
Nota: Debido a que 200 [𝑚𝑚] es ya un espesor considerable, convendría diseñar una losa aligerada en
una dirección para disminuir el peso propio del piso, pero en este caso se seguirá el ejemplo con una losa
maciza.
Si se asume un recubrimiento de 20 [𝑚𝑚] y barras de 16 [𝑚𝑚] de diámetro.
16
= 172 [𝑚𝑚]
𝑑 = 200 − 20 −
2
Antes de definir el espesor final de la losa, es necesario verificar que el espesor adoptado sea adecuado
para resistir el momento flector y la fuerza cortante.
b) Cálculo de Cargas.
- Peso propio
𝑘𝑁
Asumir un peso unitario del hormigón armado de 24 [𝑚3 ].
𝑘𝑁
𝑤𝑙𝑜𝑠𝑎 = 24 · 0.20 = 4.8 [ 2 ]
𝑚
- Contrapiso
𝑘𝑁
Asumir un promedio de 60 [𝑚𝑚] de hormigón pobre de peso unitario igual a 22.5 [𝑚3 ].
𝑘𝑁
𝑤𝑐𝑝 = 22.5 · 0.06 = 1.35 [ 2 ]
𝑚
- Equipo mecánico
𝑘𝑁
𝑤𝑒𝑚 = 0.20 [ 2 ]
𝑚
- Cielo falso
𝑤𝑐𝑓 = 0.10 [
𝑘𝑁
]
𝑚2
Total carga muerta
𝑤𝐷 = 4.8 + 1.35 + 0.20 + 0.10 = 6.45 [
𝑘𝑁
]
𝑚2
Total carga viva
𝑘𝑁
𝑤𝐿 = 4.8 [ 2 ]
𝑚
Combinación de carga
𝑤𝑢 = 1.2 · 𝑤𝐷 + 1.6 · 𝑤𝐿 = 1.2 · 6.45 + 1.6 · 4.8 = 15.42 [
La carga por metro de ancho de losa es:
228
𝑘𝑁
]
𝑚2
Vigas contínuas y losas en una dirección
1 [𝑚] · 15.42 [
𝑘𝑁
𝑘𝑁
] = 15.42 [ ]
𝑚2
𝑚
Como la carga viva 𝑤𝐿 es menor a tres veces la carga muerta 𝑤𝐷 y los otros requerimientos de la sección
6.5 del código ACI se cumplen, entonces se utilizarán los coeficientes recomendados por el código para
calcular los momentos flectores y las fuerzas cortantes.
c) Verificar el espesor que se requiere por momentos.
El máximo refuerzo que normalmente se utiliza será aquel que corresponde a una falla controlada por
tracción cuya profundidad del bloque rectangular de compresión está dada por:
𝑎
𝑎𝑡𝑐
≤
= 0.375 ∙ 𝛽1
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Sin embargo las losas muy pocas veces tienen una cuantía geométrica  mayor al 1%. Entonces
adoptamos una cuantía  igual a 0.01.
Sabemos que: 𝜙 · 𝑀𝑛 = 𝜙 · 𝑏 · 𝑑2 · 𝑓𝑐′ ·  · (1 − 0.59 · )
𝜔=𝜌∙
𝑓𝑦
420
= 0.168
′ = 0.01 ∙
𝑓𝑐
25
𝑀𝑢 ≤ 𝜙 · 𝑀𝑛 = 0.9 · 1000 · 𝑑2 · 25 · 0.168 · (1 − 0.59 · 0.168)
𝑀𝑢 ≤ 𝜙 · 𝑀𝑛 = 3405.33 · 𝑑2
El máximo momento ocurrirá en el primer o segundo soporte interior:
Primer soporte interior
𝑀𝑢 = (𝑤𝑢 ∙ ℓ𝑛 2 )/10
ℓ𝑛 = ((4600 − 350) + (4600 − 350))/2 = 4250[𝑚𝑚] = 4.25[𝑚]
𝑀𝑢 = (15.42 ∙ 4.252 )/10 = 27.85 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] por metro de losa
Segundo soporte interior
𝑀𝑢 = (𝑤𝑢 ∙ ℓ𝑛 2 )/11
ℓ𝑛 = 4250 [𝑚𝑚]
𝑀𝑢 = (15.42 · 4.252 )/11 = 25.32 [𝑘𝑁 · 𝑚] por metro de losa
229
Diseño de estructuras de hormigón armado
Por lo tanto, el momento máximo se presenta en el primer soporte interior
𝑀𝑢 𝑚𝑎𝑥 = 27.85 [𝑘𝑁 · 𝑚]
Reemplazando en 𝑀𝑢 ≤ 3405.33 · 𝑑2
27.85 · 106 ≤ 3405.33 · 𝑑2
𝑑 ≥ 90 [𝑚𝑚]
El mínimo canto útil 𝑑 es de 90 [𝑚𝑚] para mantener una cuantía  < 0.01 y como 𝑑 = 172 [𝑚𝑚],
calculado en el inciso a), excede este valor, la losa tiene un espesor adecuado para resistir los momentos
de flexión.
d) Verificar si el espesor es adecuado para corte.
Se requiere refuerzo para corte en losas cuando 𝑉𝑢 > 𝜙 · 𝑉𝑐 (ACI 7.6.3.1). Como es muy difícil colocar
refuerzo de corte en una losa, se tomará como valor máximo de 𝑉𝑢 el valor de 𝜙 · 𝑉𝑐 . En consecuencia, hay
que verificar que 𝑉𝑢 ≤ 𝜙 · 𝑉𝑐 .
Como todas las luces son iguales, el máximo corte ocurre en la cara exterior del primer soporte interior.
Primer soporte interior
𝑉𝑢 = 1.15 · 𝑤𝑢 · ℓ𝑛 /2
ℓ𝑛 = 4250 [𝑚𝑚] = 4.25 [𝑚]
𝑉𝑢 = 1.15 · 15.42 · 4.25/2 = 37.68 [𝑘𝑁]
Corte nominal de diseño
𝜙 ∙ 𝑉𝑛 = 𝜙 ∙ 0.17 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
𝜙 ∙ 𝑉𝑛 =
0.75 ∙ 0.17 ∙ 1 ∙ √25 ∙ 1000 ∙ 172
103
𝜙 ∙ 𝑉𝑛 = 109.65 [𝑘𝑁]
Como 𝜙 ∙ 𝑉𝑛 > 𝑉𝑢 el espesor de losa es adecuado para corte.
NOTA: Cuando el espesor de la losa es elegido con base a la Tabla 7.3.1.1 del ACI (control de deflexión),
la resistencia al corte y a la flexión rara vez controlan.
230
Vigas contínuas y losas en una dirección
e) Diseño del refuerzo.
El refuerzo para la losa continua debe ser calculado en varios puntos (a medio tramo de los vanos y sobre
los soportes) utilizando el siguiente procedimiento desarrollado para el 𝑀𝑢 𝑚𝑎𝑥 .
Asumir: 𝑗 · 𝑑 = 𝑑 − 𝑎/2 = 0.925 · 𝑑 (Para losa)
𝐴𝑠 =
𝑀𝑢
𝜙 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑗 ∙ 𝑑
𝐴𝑠 =
27.85 ∙ 106
0.9 ∙ 420 ∙ 0.925 ∙ 172
𝐴𝑠 = 463.1 [𝑚𝑚²/𝑚] = 4.6 [𝑐𝑚²/𝑚]
Utilizar 𝜙10 𝑐/150 (𝐴𝑠 = 5.24 [𝑐𝑚²/𝑚])
Calcular 𝑎
𝑎=
𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦
524 ∙ 420
=
′
0.85 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 0.85 ∙ 25 ∙ 1000
𝑎 = 10 [𝑚𝑚]
Calcular 𝑑 y 𝑗 · 𝑑
𝑑 = 200 − 20 −
𝑗·𝑑 =𝑑−
10
= 175 [𝑚𝑚]
2
𝑎
10
= 175 −
= 170 [𝑚𝑚]
2
2
Notar que 𝑗 = 0.97 en este caso.
Recalculamos 𝐴𝑠 .
𝐴𝑠 =
𝑀𝑢 ∙ 106
0.9 ∙ 420 ∙ 170 ∙ 102
𝐴𝑠 = 0.1556 · 𝑀𝑢 [𝑐𝑚²/𝑚]
Donde 𝑀𝑢 en [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
𝐴𝑠 = 0.1556 · 𝑀𝑢
231
Diseño de estructuras de hormigón armado
Esta fórmula puede ser utilizada para el cálculo del área en todas las secciones de la losa, ya que los
momentos en las otras secciones son menores y el 𝑗 · 𝑑 calculado para la sección más solicitada estará por
el lado de la seguridad (muy pequeño) y dará valores de 𝐴𝑠 un poco mayores.
Calcular la armadura mínima 𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛
𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 = 0.0018 ∙ 𝑏 ∙ ℎ = 0.0018 ∙ 100 ∙ 20 = 3.6 [𝑐𝑚2 /𝑚]
El máximo espaciamiento de la armadura debe ser el menor de los siguientes valores:
𝑠 ≤ 3 · ℎ = 600 [𝑚𝑚]
𝑠 ≤ 450 [𝑚𝑚]
f) Refuerzo por temperatura y retracción
𝐴𝑠 = 0.0018 ∙ 𝑏 ∙ ℎ = 0.0018 ∙ 100 ∙ 20 = 3.6 [𝑐𝑚2 /𝑚]
Utilizar 𝜙10 𝑐/200 (𝐴𝑠 = 3.93 [𝑐𝑚²/𝑚]) que es ligeramente mayor al valor mínimo requerido.
232
1. ℓ𝑛 [𝑚]
4.25
4.25
4.25
4.25
4.25
2. 𝑤𝑢 · ℓ𝑛 2
278.5
278.5
278.5
278.5
278.5
3. Coef. de 𝑀
−
1
24
1
14
−
1
10
−
1
11
1
16
−
4. 𝑀𝑢 [𝑘𝑁 · 𝑚/𝑚]
−11.60
19.89
−27.85
− 25.32
17.41
−25.32
5. 𝐴𝑠(𝑟𝑒𝑞) [𝑐𝑚2 /𝑚]
1.80
3.09
4.33
3.94
2.71
3.94
6. 𝐴𝑠(𝑚𝑖𝑛) [𝑐𝑚2 /𝑚]
3.60
3.60
3.60
3.60
3.60
7. Armadura
10 𝑐/200
10 𝑐/200
10 𝑐/175
10 𝑐/200
10 𝑐/175
8. 𝐴𝑠 [𝑐𝑚2 /𝑚]
3.93
3.93
4.49
3.93
4.49
1
11
Vigas contínuas y losas en una dirección
1.5 [𝑚]
1.0 [𝑚]
𝜙 10 𝑐/200
1.5 [𝑚]
1.5 [𝑚]
𝜙 10 𝑐/175
𝜙 10 𝑐/200
𝜙 10 𝑐/175
𝜙10 𝑐/200
𝜙 10 𝑐/200
1.5 [𝑚]
𝜙 10 𝑐/200
𝜙 10 𝑐/200
𝜙 10 𝑐/200
g) Diseño del refuerzo superior transversal en las vigas.
Debido a la acción en dos direcciones que presentan las regiones de la losa adyacentes a las vigas (A, B,
C, etc.), es necesario colocar un refuerzo superior en la losa perpendicular a las vigas. Este refuerzo será
calculado cuando las vigas sean diseñadas.
Ejemplo. Diseñar la viga del eje 8 de la losa de piso del problema anterior. Esta viga soporta, además de
su peso propio, la carga de la losa de 200 [𝑚𝑚] de espesor. La viga está soportada por las vigas en los
ejes A, B, C, y D. Utilizar las mismas características de los materiales empleados para el diseño de la losa.
a) Cálculo de cargas.
La altura de la viga será calculada para resistir el momento negativo sobre el primer apoyo interior debido
a las cargas últimas. Para ello, calculemos primero las cargas últimas sobre la viga.
Carga Muerta (No incluye la porción de viga por debajo de la losa).
𝑤𝑙𝑜𝑠𝑎 = 4.80 [𝑘𝑁/𝑚2 ]
Losa
2
𝑤𝑐𝑝 = 1.35 [𝑘𝑁/𝑚 ]
Contra piso
2
𝑤𝑒𝑚 = 0.20 [𝑘𝑁/𝑚 ]
Equipo Mecánico
2
𝑤𝑐𝑓 = 0.10 [𝑘𝑁/𝑚 ]
Cielo Falso
𝑤𝐷 = 6.45 [𝑘𝑁/𝑚²] · 4.60 [𝑚] = 29.67 [𝑘𝑁/𝑚]
Ancho tributario
Viga.- Se deben aproximar sus dimensiones: base 𝑏 y altura ℎ.
Vano exterior:
ℓ
9000
ℎ𝑚𝑖𝑛 =
=
= 486 [𝑚𝑚]
18.5 18.5
Vanos interiores:
ℓ
9200
ℎ𝑚𝑖𝑛 =
=
= 438 [𝑚𝑚]
21
21
233
Diseño de estructuras de hormigón armado
Se decide utilizar ℎ = 0.50 [𝑚].
𝑏 = 0.35 [𝑚]
𝑤𝑣𝑖𝑔𝑎 = 0.35 · (0.50 − 0.20) · 24 = 2.52 [𝑘𝑁/𝑚]
𝑤𝐷 = 29.67 + 2.52 = 32.19 [𝑘𝑁/𝑚]
Carga viva
𝑤𝐿 = 4.8 [𝑘𝑁/𝑚²] · 4.60 [𝑚] = 22.08 [𝑘𝑁/𝑚]
Combinaciones de carga:
𝑤𝑢 = 1.2 · 𝑤𝐷 + 1.6 · 𝑤𝐿 = 1.2 · 32.19 + 1.6 · 22.08 = 73.96 [𝑘𝑁/𝑚]
b) Cálculo de la altura necesaria para la viga.
La altura de la viga está gobernada por tres factores:
- Deflexión.
- Capacidad de momento en el punto de máximo momento negativo.
- Capacidad de corte.
Altura de viga basada en requerimientos de deflexión.
De la tabla 9.3.1.1 del código ACI se escoge la altura mínima.
Un extremo continuo
ℎ = ℓ/18.5 = 9.0/18.5 = 0.49 [𝑚]
Dos extremos continuos
ℎ = ℓ/21 = 9.2/21 = 0.44 [𝑚]
Altura de viga basada en el momento negativo del primer soporte interior.
𝑀𝑢 =
1
∙𝑤 ∙ℓ 2
10 𝑢 𝑛
Donde ℓ𝑛 es el promedio de las luces libres (distancias entre caras de apoyos)
ℓ𝑛 =
ℓ𝑛𝑙+ ℓ𝑛2 (9.2 − 0.35 + 9.0 − 0.35)
=
2
2
ℓ𝑛 = 8.75 [𝑚]
𝑀𝑢 =
1
∙ 73.96 ∙ 8.752
10
𝑀𝑢 = 566.26 [𝑘𝑁 · 𝑚]
234
Vigas contínuas y losas en una dirección
Sabemos que:
𝜙 · 𝑀𝑛 = 𝜙 · 𝑏 · 𝑑2 · 𝑓𝑐′ ·  · (1 − 0.59 · ) ≥ 𝑀𝑢
En vigas continuas un  = 0.013 es generalmente deseado en la región de máximo momento negativo. Se
asume  = 0.013 y que no hay acero de compresión.
𝜔=𝜌∙
𝑓𝑦
420
= 0.2184
′ = 0.013 ∙
𝑓𝑐
25
0.9 · 𝑏 · 𝑑2 · 25 · 0.2184 · (1 − 0.59 · 0.2184) ≥ 𝑀𝑢
𝑏 · 𝑑2 ≥ 𝑀𝑢 /4.28
𝑏 · 𝑑2 ≥ 132303738 [𝑚𝑚³]
Para diferentes valores de 𝑏 se tienen los siguientes 𝑑:
𝑏 = 250 [𝑚𝑚]
𝑏 = 300 [𝑚𝑚]
𝑏 = 350 [𝑚𝑚]
𝑏 = 400 [𝑚𝑚]




𝑑 ≥ 727 [𝑚𝑚]
𝑑 ≥ 664 [𝑚𝑚]
𝑑 ≥ 615 [𝑚𝑚]
𝑑 ≥ 575 [𝑚𝑚]
Escogemos 𝑏 = 350 [𝑚𝑚] ⇒ ℎ = 𝑑 + 65 = 615 + 65 = 680 [𝑚𝑚]
Por lo tanto 𝑏 = 350 [𝑚𝑚] y ℎ = 700[𝑚𝑚]
Verificar el corte con la altura escogida
𝜙 · 𝑉𝑛 = 𝜙 · (𝑉𝑐 + 𝑉𝑠 ) ≥ 𝑉𝑢
𝑉𝑐 = 0.17 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 = 0.17 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
𝑉𝑠 𝑚𝑎𝑥 = 0.66 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
𝜙 ∙ 𝑉𝑛 = 𝜙 ∙ (0.17 + 0.66) ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 = 𝜙 ∙ 0.83 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 ≥ 𝑉𝑢
𝜙 ∙ 𝑉𝑛 ≤ 𝜙 ∙ 0.83 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 = 0.75 ∙ 0.83 ∙ √25 ∙
350 ∙ 635
= 691.75 [𝑘𝑁]
1000
𝑉𝑢 ≤ 691.75 [𝑘𝑁]
El máximo corte 𝑉𝑢 en la viga es 1.15 · 𝑤𝑢 · ℓ𝑛 /2
235
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑉𝑢 = 1.15 · 𝑤𝑢 · ℓ𝑛 /2 = 1.15 · 73.09 · 8.85/2 = 371.95 [𝑘𝑁]
Bien !
𝑉𝑢 = 371.95 [𝑘𝑁] ≤ 691.75 [𝑘𝑁]
ℓ𝑛 = 9.20 − 0.35 = 8.85 [𝑚]
Resumen
200
635
700
200
700
635
350
350
Región de momento positivo
Región de momento negativo
𝑑 = ℎ − 65 = 635 [𝑚𝑚]
Asumiendo una sola fila de aceros
c) Calcular el peso propio del alma debajo de la losa y recalcular la carga total.
Peso del alma debajo de la losa:
0.35 · 0.50 · 24 = 4.20 [𝑘𝑁/𝑚]
Carga total:
𝑤𝑢 = 1.2 · (29.67 + 4.20) + 1.6 · 22.08 = 75.97 [𝑘𝑁/𝑚]
Esta carga es 4% mayor a la estimada anteriormente.
d) Calcular el ancho efectivo del ala para la región de momento positivo.
𝑏𝑓 ≤ 0.25 · ℓ𝑛 + 𝑏𝑤 = 0.25 · 8650 + 350 = 2513 [𝑚𝑚] basado en la luz corta
𝑏𝑓 ≤ 16 · ℎ + 𝑏𝑤 = 16 · 200 + 350 = 3550 [𝑚𝑚]
𝑏𝑓 ≤ 𝑠𝑤 + 𝑏𝑤 = 4250 + 350 = 4600 [𝑚𝑚]
Por lo tanto 𝑏𝑓 = 2513 [𝑚𝑚]
e) Calcular los momentos.
Los momentos pueden ser hallados por un programa de estructuras o con los coeficientes del código ACI
si la estructura cumple con las condiciones estipuladas.
236
Vigas contínuas y losas en una dirección
- La estructura es de hormigón armado con más de dos luces
- La relación entre luces es de 8.85/8.65 = 1.02 < 1.20
- Las cargas son uniformemente repartidas
Carga viva:
𝑤𝐿 = (4.8 · 4.60) = 22.08 [𝑘𝑁/𝑚]
Carga muerta:
𝑤𝐷 = (6.45 · 4.60 + 4.20) = 33.87 [𝑘𝑁/𝑚]
Por lo tanto la carga viva no mayorada no excede en tres veces la carga muerta no mayorada.
1.
ℓ𝑛 [𝑚]
8.65
8.65
8.75
8.85
8.75
2.
𝑤𝑢 [𝑘𝑁/𝑚]
75.97
75.97
75.97
75.97
75.97
3.
𝑤𝑢 · ℓ𝑛 2 [𝑘𝑁 · 𝑚]
5684.27
5684.27
5816.45
5950.16
5816.45
4.
Coef. de 𝑀
−
1
24
1
14
5.
𝑀𝑢 [𝑘𝑁 · 𝑚]
−236.84
406.02
−581.65
371.89
−581.65
6.
Coef. de 𝐴𝑠
4.84
4.22
4.84
4.22
4.84
7.
𝐴𝑠 (𝑟𝑒𝑞) [𝑐𝑚2 ]
11.46
17.13
28.15
15.69
28.15
8.
𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 [𝑐𝑚2 ]
7.41
7.41
7.41
7.41
7.41
9.
Armadura
4 𝜙 20
4 𝜙 25
9 𝜙 20
4 𝜙 25
9 𝜙 20
10. 𝐴𝑠 [𝑐𝑚2 ]
12.57
19.63
28.27
19.63
28.27
−−−−
Si
−−−−
Si
−−−−
11.
𝑏𝑤 suficiente para
las barras
−
1
10
−
1
11
1
16
−
1
11
−
1
10
En la región de momentos negativos no es necesario verificar si las barras entran en el ancho del alma 𝑏𝑤
porque algunas de ellas pueden entrar en la losa.
237
Diseño de estructuras de hormigón armado
f) Diseño del refuerzo.
Cálculo del área de acero en el punto de máximo momento negativo.
𝐴𝑠 =
𝑀𝑢
581.65 ∙ 106
=
𝜙 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑗 ∙ 𝑑 0.9 ∙ 420 ∙ 0.875 ∙ 635
Valor asumido
𝐴𝑠 = 2769 [𝑚𝑚²] = 27.7 [𝑐𝑚²]
Se asumió que 𝑗 · 𝑑 = 𝑑 − 𝑎/2 = 0.875 · 𝑑
Escogemos 10 𝜙 20 (𝐴𝑠 = 31.42 [𝑐𝑚²])
Calcular 𝑎
𝑎=
𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦
3142 ∙ 420
=
′
0.85 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 0.85 ∙ 25 ∙ 350
𝑎 = 177 [𝑚𝑚]
𝑎
𝑎
177
=
=
= 0.279
𝑑 𝑑𝑡 635
𝑎𝑏
600
600
= 𝛽1 ∙
= 0.85 ∙
= 0.5
𝑑
600 + 𝑓𝑦
600 + 420
𝛽1 = 1.05 − 0.007 · 𝑓𝑐′ = 1.05 − 0.007 · 25 = 0.88
⇒
𝑎𝑡𝑐
= 0.375 ∙ 𝛽1 = 0.375 ∙ 0.85 = 0.319
𝑑𝑡
Como:
𝑎
𝑎𝑏
𝑎
𝑎𝑡𝑐
= 0.279 ≤
= 0.5 𝑦
= 0.279 ≤
= 0.319
𝑑
𝑑
𝑑𝑡
𝑑𝑡
⇒ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 y 𝜙 = 0.9
Recalcular 𝐴𝑠 tomando como base el valor de 𝑎 calculado.
238
𝛽1 = 0.85
Vigas contínuas y losas en una dirección
𝐴𝑠 =
𝑀𝑢
𝑀𝑢 ∙ 106
=
𝜙 ∙ 𝑓𝑦 ∙ (𝑑 − 𝑎/2) 0.9 ∙ 420 ∙ (635 − 177/2)
𝐴𝑠 = 4.84 · 𝑀𝑢 [𝑚𝑚²] donde 𝑀𝑢 está en [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
En las líneas 6 y 7 de la tabla anterior, el área requerida en las regiones de momento negativo es calculada
como 𝐴𝑠 = 4.84 · 𝑀𝑢 . La "constante" 4.84 fue evaluada en el punto de máximo momento negativo, por lo
tanto su uso en los demás puntos de momento negativo está justificado.
Cálculo del área en el punto de máximo momento positivo
En la región del momento positivo la viga actúa como una viga "T" donde el ala está en compresión.
Se asume que la zona de compresión es rectangular.
𝐴𝑠 =
406.02 ∙ 106
𝑀𝑢
=
𝜙 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑗 ∙ 𝑑 0.9 ∙ 420 ∙ 0.95 ∙ 635
Valor asumido
𝐴𝑠 = 1781 [𝑚𝑚²] = 17.81 [𝑐𝑚²]
Se asumió 𝑗 · 𝑑 = 𝑑 − 𝑎/2 = 0.95 · 𝑑
Escogemos 4 𝜙 25 (𝐴𝑠 = 19.63 [𝑐𝑚²])
Calcular 𝑎
𝑎=
𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦
1963 ∙ 420
=
′
0.85 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 0.85 ∙ 25 ∙ 2513
𝑎 = 15 [𝑚𝑚] ≤ ℎ = 200 [𝑚𝑚] ⇒ Sección rectangular
𝑎
𝑎
15
=
=
= 0.024
𝑑 𝑑𝑡 635
Como:
𝑎
𝑎𝑏
= 0.024 ≤
= 0.5 ⇒ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦
𝑑
𝑑
𝑎
𝑎𝑡𝑐
= 0.024 ≤
= 0.319 ⇒ 𝜙 = 0.9
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Recalcular 𝐴𝑠 tomando como base el valor de 𝑎 calculado.
239
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝐴𝑠 =
𝑀𝑢
𝑀𝑢 ∙ 106
=
𝜙 ∙ 𝑓𝑦 ∙ (𝑑 − 𝑎/2) 0.9 ∙ 420 ∙ (635 − 15/2)
𝐴𝑠 = 4.22 · 𝑀𝑢 [𝑚𝑚²] donde 𝑀𝑢 está en [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
En las líneas 6 y 7 de la tabla anterior, el área requerida en las regiones de momento positivo es calculada
como 𝐴𝑠 = 4.22 · 𝑀𝑢 .
g) Determinar el área mínima.
𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 = 0.25 ∙
𝑏𝑤 ∙ 𝑑
√𝑓𝑐′
∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 ≥ 1.4 ∙
𝑓𝑦
𝑓𝑦
𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 = 0.25 ∙
350 ∙ 635
√25
∙ 350 ∙ 635 ≥ 1.4 ∙
420
420
𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 = 661 [𝑚𝑚²] ≥ 741 [𝑚𝑚²]
Por lo tanto 𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 = 7.41 [𝑐𝑚²]
h) Verificar la distribución del refuerzo.
Esta verificación necesita ser realizada solamente en la región de momentos positivos ya que en la región
de momentos negativos el ancho del ala de la viga T es en general más que suficiente para alojar la
armadura.
Diseño a corte
𝐴
1.
2.
3.
4.
ℓ𝑛 [𝑚]
𝑤𝑢 [𝑘𝑁/𝑚]
𝑤𝐿𝑢 [𝑘𝑁/𝑚]
Coef. de 𝑉
5a.
5b.
6.
7.
𝑤𝑢 ∙ ℓ𝑛 /2 [𝑘𝑁]
𝑤𝐿𝑢 ∙ ℓ𝑛 /2 [𝑘𝑁]
𝑉𝑢 [𝑘𝑁]
𝑉𝑛 = 𝑉𝑢 /𝜙
𝐵
𝐶
8.65
75.97
35.33
1.0
8.85
75.97
35.33
1.15
1.0
328.57
336.17
0.25
240
328.57
328.57
438.09
152.80
38.20
50.93
1.0
0.25
377.86
503.81
336.17
448.23
336.17
156.34
39.09
52.12
336.17
448.23
Vigas contínuas y losas en una dirección
438.09
𝑉𝑢 /𝜙
448.23
50.93
+
+
-
50.93
52.12
52.12
-
503.81
448.23
Para el apoyo 𝐵
El corte a una distancia 𝑑 = 635 [𝑚𝑚] del apoyo 𝐵 vale:
𝑉𝑢 503.81 − 50.93
=
∙ (4325 − 635) + 50.93
𝜙
4325
𝑉𝑢 /𝜙 = 437.32 [𝑘𝑁]
Por lo tanto 𝑉𝑛 ≥ 437.32 [𝑘𝑁]
Se requieren estribos en los lugares donde 𝑉𝑛 = 𝑉𝑢 /𝜙 ≥ 0.5 · 𝑉𝑐
𝑉𝑐 = 0.17 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 = 0.17 ∙ 1 ∙ √25 ∙
350 ∙ 635
1000
𝑉𝑐 = 188.91 [𝑘𝑁]
Como 𝑉𝑛 = 437.32 [𝑘𝑁] ≥ 0.5 · 𝑉𝑐 = 94.46 [𝑘𝑁] ⇒ Se necesitan estribos
Si utilizamos 𝐸𝜙10 ⇒ 𝐴𝑣 = 1.57 [𝑐𝑚²]
Para la separación máxima de los estribos se toma el menor de los siguientes valores:
𝑠𝑚𝑎𝑥 ≤
𝑑 635
=
= 318 [𝑚𝑚]
2
2
𝑠𝑚𝑎𝑥 ≤ 600 [𝑚𝑚]
Si 𝑉𝑢 /𝜙 − 𝑉𝑐 > 0.33 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 ⇒ Disminuir a la mitad la separación
𝑉𝑢
− 𝑉𝑐 = 437.32 − 188.91 = 248.41 [𝑘𝑁]
𝜙
0.33 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 = 0.33 ∙ √25 ∙
350 ∙ 635
= 366.71 [𝑘𝑁]
1000
241
Diseño de estructuras de hormigón armado
Como 248.41[𝑘𝑁] < 366.71 [𝑘𝑁] ⇒ 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 318 [𝑚𝑚] (No se disminuye la separación)
La separación máxima entre estribos por refuerzo mínimo es:
𝐴𝑣 𝑚𝑖𝑛 = 0.062 ∙ √𝑓𝑐′ ∙
𝑏𝑤 ∙ 𝑠
𝑏𝑤 ∙ 𝑠
≥ 0.35 ∙
𝑓𝑦
𝑓𝑦
Reemplazando el valor de 25 [𝑀𝑃𝑎] para la resistencia del hormigón se tiene:
𝐴𝑣 𝑚𝑖𝑛 = 0.062 ∙ √25 ∙
𝐴𝑣 𝑚𝑖𝑛 = 0.35 ∙
𝑠𝑚𝑎𝑥 =
𝑏𝑤 ∙ 𝑠
𝑓𝑦
𝑏𝑤 ∙ 𝑠
𝑏𝑤 ∙ 𝑠
𝑏𝑤 ∙ 𝑠
= 0.31 ∙
≥ 0.35 ∙
𝑓𝑦
𝑓𝑦
𝑓𝑦
⇒
𝑠𝑚𝑎𝑥 =
𝐴𝑣 𝑚𝑖𝑛 ∙ 𝑓𝑦
0.35 ∙ 𝑏𝑤
𝐴𝑣 𝑚𝑖𝑛 ∙ 𝑓𝑦 157 ∙ 420
=
0.35 ∙ 𝑏𝑤
0.35 ∙ 350
𝑠𝑚𝑎𝑥 = 538 [𝑚𝑚]
Por lo tanto 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 318 [𝑚𝑚]
La separación necesaria de los estribos para resistir la fuerza cortante máxima es:
𝑠=
𝐴𝑣 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑑
157 ∙ 420 ∙ 635
=
𝑉𝑢
(437.32 − 188.91) ∙ 1000
− 𝑉𝑐
𝜙
𝑠 = 168.56 [𝑚𝑚]
Utilizar 𝐸𝜙10 𝑐/150
Se cambia la separación a 200 [𝑚𝑚] y 300 [𝑚𝑚] donde ésta sea adecuada.
Calcular 𝑉𝑢 /𝜙 donde se puede utilizar 𝑠 = 200 [𝑚𝑚]
𝑉𝑢 𝐴𝑣 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑑
157 ∙ 420 ∙ 635
=
+ 𝑉𝑐 =
+ 188.91
𝜙
𝑠
200 ∙ 1000
𝑉𝑢
= 398.27 [𝑘𝑁]
𝜙
242
Vigas contínuas y losas en una dirección
𝑥=
503.81 − 398.27
∙ 4325
503.81 − 50.93
𝑥 = 1008 [𝑚𝑚]
Calcular 𝑉𝑢 /𝜙 donde se puede utilizar 𝑠 = 300 [𝑚𝑚]
𝑉𝑢 𝐴𝑣 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑑
157 ∙ 420 ∙ 635
=
+ 𝑉𝑐 =
+ 188.91
𝜙
𝑠
300 ∙ 1000
𝑉𝑢
= 328.48 [𝑘𝑁]
𝜙
𝑥=
503.81 − 328.48
∙ 4325
503.81 − 50.93
𝑥 = 1674 [𝑚𝑚]
Utilizar:
0 [𝑚𝑚] ≤ 𝑥 ≤ 1008 [𝑚𝑚]
𝐸𝜙10 𝑐/150
1043 [𝑚𝑚] ≤ 𝑥 ≤ 1674 [𝑚𝑚]
𝐸𝜙10 𝑐/200
1674 [𝑚𝑚] ≤ 𝑥 ≤ 4325 [𝑚𝑚]
𝐸𝜙10 𝑐/300
Para facilitar la construcción utilizamos la misma distribución de estribos con sus respectivas separaciones
en todos los tramos de la viga.
6.6. Problemas propuestos
1. Una losa de cinco vanos, armada en una dirección, está apoyada sobre vigas de 300 [𝑚𝑚] de ancho
espaciadas cada 5 [𝑚] de centro a centro. La losa soporta una carga muerta uniformemente distribuida
de 0.5 [𝑘𝑁/𝑚2 ] y una carga viva uniformemente distribuida de 5 [𝑘𝑁/𝑚2 ]. El hormigón tiene una
resistencia característica a los 28 días de 20 [𝑀𝑃𝑎] y el acero una tensión mínima de fluencia de
420 [𝑀𝑃𝑎]. Calcular la losa utilizando los coeficientes para momento y corte del código ACI y un
programa de análisis estructural tomando las diferentes combinaciones y estados de carga que usted
considere. Comparar los resultados y dibujar, para cada uno de los procedimientos, una sección
longitudinal mostrando la posición del refuerzo y los puntos de corte. Para el caso del método de los
coeficientes del código ACI, localizar los puntos de corte utilizando las figuras del anexo que
muestran la longitud estándar de las barras.
2. Una losa de cuatro vanos, armada en una dirección, está apoyada sobre vigas de 300 [mm] de ancho
espaciadas 4.5 [𝑚], 5 [𝑚], 5 [𝑚] y 4.5 [𝑚] de centro a centro. La losa soporta una carga muerta
243
Diseño de estructuras de hormigón armado
uniformemente distribuida de 1.0 [𝑘𝑁/𝑚2 ] y una carga viva de 7.5 [𝑘𝑁/𝑚2 ]. El hormigón tiene una
resistencia característica a los 28 días de 20 [𝑀𝑃𝑎] y el acero una tensión mínima de fluencia de
420 [𝑀𝑃𝑎]. Calcular la losa utilizando los coeficientes para momento y corte del código ACI y un
programa de análisis estructural tomando las diferentes combinaciones y estados de carga que usted
considere. Comparar los resultados y dibujar, para cada uno de los procedimientos, una sección
longitudinal mostrando la posición del refuerzo y los puntos de corte. Para el caso del método de los
coeficientes del código ACI, localizar los puntos de corte utilizando las figuras del anexo que
muestran la longitud estándar de las barras.
244
CAPÍTULO 7
DESARROLLO, ANCLAJE Y EMPALMES
DE BARRAS DE ACERO
7. Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero
7.1. Introducción
Como el hormigón armado es un material compuesto (hormigón y acero) es necesario que exista una
eficiente ligazón entre los dos componentes y para ello se requiere de una adherencia e interacción
adecuadas entre ambos materiales.
Los requerimientos de los códigos tienen como finalidad asegurar que las barras de acero estén lo
suficientemente embebidas dentro de la masa de hormigón bien compactado de tal manera que éstas
puedan desarrollar su resistencia (al menos la tensión de fluencia) sin que se produzca en la estructura
deformaciones excesivas o el deslizamiento de las mismas barras fuera del hormigón.
En la teoría del hormigón armado es usual asumir como hipótesis de que las deformaciones específicas del
hormigón 𝜀𝑐 y del acero 𝜀𝑠 son iguales; y por tanto, esto implica suponer que la adherencia entre el
hormigón y las barras de acero es perfecta, por lo cual no habría desplazamiento relativo entre los
materiales en la superficie de interfase. La deformación límite del hormigón en tracción es del orden de
0.0002, es decir de un orden mucho menor que la deformación de fluencia del acero grado 420 que es
0.002. Por tanto, es imposible postular que 𝜀𝑐 = 𝜀𝑠 , en particular para estados de tensiones donde el
hormigón armado tiene comportamiento francamente no lineal como ocurre en estructuras construidas en
zonas de alta sismicidad donde por condiciones de diseño ciertas zonas críticas son seleccionadas para
plastificarse. En esas circunstancias, pueden aparecer fisuras de tracción multidireccionales por lo que las
condiciones de adherencia se ven seriamente deterioradas a menos que se comprenda el fenómeno y se
adopten condiciones especiales para el detalle y la colocación de la armadura. Para tener un
comportamiento dúctil en hormigón armado se deben evitar o demorar al máximo posible dos tipos de
fallas por ser frágiles: las de corte por un lado, y las de adherencia y anclaje por otro.
245
Diseño de estructuras de hormigón armado
Para las situaciones normales, y las extremas cuando actúa por ejemplo el sismo severo, se debe admitir en
el hormigón armado convencional (no precomprimido) la formación de fisuras debidas a tracción. Si bien
𝜀𝑐 no es igual a 𝜀𝑠 , la hipótesis de igualdad de deformaciones, a los efectos del diseño de las secciones,
puede admitirse como válida pues está demostrado que dentro de un ancho determinado donde existen
fisuras por tracción la deformación promedio se mantiene aproximadamente lineal en toda la sección
transversal del elemento. Sin embargo, se debe cuidar el diseño y detalle de modo que las fisuras puedan
considerarse como capilares (del orden de la décima de mm). Para esto, en las condiciones de servicio del
hormigón armado la adherencia cumple un rol fundamental.
En la práctica común, se priorizan los cálculos numéricos de las secciones de hormigón armado antes que
el diseño y detalle de las mismas, de los elementos estructurales completos y de sus conexiones. Muchos
terremotos pasados han demostrado inadecuados detalles de los anclajes y empalmes de las barras de
acero, como los que se muestran en las siguientes figuras.
Foto 7.1. Falla del viaducto de la autopista interestatal 5/14 por arrancamiento de las
barras en sus columnas - Terremoto de 1971, San Fernando – California
(Fotografía de R. Kachadoorian, U.S. Geological Survey)
Los siguientes dos conceptos son el fundamento de la interacción entre el acero y el hormigón:
246
Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero
a) Tensiones en la superficie de contacto, llamadas tensiones de adherencia, se desarrollan cuando entre
dos secciones a lo largo de la barra de acero existen variaciones de esfuerzo.
b) Una barra de acero se debe extender y estar embebida en el hormigón una distancia ℓ𝑑 , conocida como
longitud de desarrollo, de tal modo que la barra transfiera paulatinamente al hormigón, a través de esa
longitud, el total de la fuerza desarrollada.
Foto 7.2. Falla de empalmes y anclajes de las barras de acero en el viaducto Cypress –
Terremoto de 1989, Loma Prieta - San Francisco – California
(Fotografía de H. G. Wilshire, U.S. Geological Survey)
7.2. Tensiones de adherencia
En vigas de hormigón armado, el momento flector solicitante es resistido por un par de fuerzas que
forman una cupla, donde la fuerza de compresión es resistida por el hormigón, mientras que la fuerza de
tracción es resistida por el acero. Para que el acero pueda resistir la tracción, debe existir una buena
adherencia entre las barras de acero y el hormigón que las envuelve. En la figura 7.1 se muestra, en la
izquierda, parte de una viga donde se pueden apreciar las distintas fuerzas que actúan en una sección
transversal y en la derecha un trozo de barra que se mantiene en equilibrio debido a la acción de las
fuerzas de adherencia.
247
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝐶
𝑉
𝑗·𝑑
𝑇
𝑇
Fuerzas internas en una viga
Fuerzas en una barra de acero
Fig. 7.1. Adherencia de las barras de acero al hormigón
Las tensiones de adherencia son fuerzas que se desarrollan en toda la superficie de las barras de acero y
siempre están presentes a lo largo de ellas porque cualquier variación del momento flector en una viga
produce inmediatamente cambios de tensión en la barra, por lo tanto estas fuerzas no son constantes. En la
figura 7.2 se dibuja el diagrama de cuerpo libre de un pedazo de barra cuyos extremos resisten fuerzas de
tracción distintas, pero gracias a las fuerzas de adherencia, que absorben esta diferencia, el trozo de barra
se mantiene en equilibrio.
𝑇1 = 𝑓𝑠1 · 𝐴𝑏
 = Tensiones de adherencia
ℓ
𝑇2 = 𝑓𝑠2 · 𝐴𝑏
Fig. 7.2. Tensiones de adherencia en una barra de acero
Si se realiza el equilibrio de la barra a lo largo de su eje se puede determinar el valor promedio de la
tensión de adherencia.
∑𝐹 = 0
𝑇2 = 𝑇1 + 𝜇𝑝𝑟𝑜𝑚 · 𝐴𝑠𝑢𝑝
(𝑓𝑠2 − 𝑓𝑠1 ) ∙ 𝐴𝑏 = 𝜇𝑝𝑟𝑜𝑚 ∙ (𝜋 ∙ 𝑑𝑏 ) ∙ ℓ
248
(7.1)
Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero
∆𝑓𝑠 ∙
𝜋 ∙ 𝑑𝑏2
= 𝜇𝑝𝑟𝑜𝑚 ∙ 𝜋 ∙ 𝑑𝑏 ∙ ℓ
4
𝜇𝑝𝑟𝑜𝑚 =
∆𝑓𝑠 ∙ 𝑑𝑏
4∙ℓ
(7.2)
Si ℓ es tomada como una pequeña longitud 𝑑𝑥
𝑑𝑓𝑠 4 ∙ 𝜇
=
𝑑𝑥
𝑑𝑏
(7.3)
Donde  es la verdadera tensión de adherencia que actúa en la longitud 𝑑𝑥.

Tensión promedio de adherencia en una viga
Para hallar la tensión de adherencia de las barras en una viga, se puede tomar como ejemplo la viga
isostática de la siguiente figura que soporta una carga puntual a medio tramo. Si se toma un pedazo de
viga Δ𝑥 y se dibujan los diagramas de cuerpo libre tanto para el acero en solitario como para el trozo de
viga se puede hallar la tensión promedio de adherencia en función del esfuerzo cortante.
𝐶
Fisuras
𝑗·𝑑
𝑇
∆𝑥
𝑀 =𝑇·𝑗·𝑑
𝑀1
2
𝑀2 = 𝑀1 + ∆𝑀
𝑇1
𝜇
𝑇2 = 𝑇1 + ∆𝑇
𝑉
𝑀1
𝑀2 = 𝑀1 + ∆𝑀
𝑉
Fig. 7.3. Tensión promedio de adherencia en una viga
249
Diseño de estructuras de hormigón armado
∑ 𝐹𝐻 = 0
𝑇1 + 𝜇𝑝𝑟𝑜𝑚 ∙ (𝜋 ∙ 𝑑𝑏 ) ∙ ∆𝑥 = 𝑇2
𝑇2 − 𝑇1 = 𝜇𝑝𝑟𝑜𝑚 ∙ (𝜋 ∙ 𝑑𝑏 ) ∙ ∆𝑥
∆𝑇
= 𝜇𝑝𝑟𝑜𝑚 ∙ (𝜋 ∙ 𝑑𝑏 )
∆𝑥
∆𝑇 =
∆𝑀
𝑗∙𝑑
(7.4)
(7.5)
∆𝑀
= (𝜋 ∙ 𝑑𝑏 ) ∙ 𝜇𝑝𝑟𝑜𝑚 ∙ 𝑗 ∙ 𝑑
∆𝑥
∆𝑀
=𝑉
∆𝑥
𝜇𝑝𝑟𝑜𝑚 =
(7.6)
𝑉
(𝜋 ∙ 𝑑𝑏 ) ∙ 𝑗 ∙ 𝑑
(7.7)
Si hay varias barras se suman sus perímetros.
𝜇𝑝𝑟𝑜𝑚 =
𝑉
𝜋 ∙ ∑ 𝑑𝑏𝑖 ∙ 𝑗 ∙ 𝑑
(7.8)
Con estas ecuaciones se calcula la tensión promedio de adherencia entre dos fisuras en una viga, la cual
varía notablemente de un punto a otro entre fisuras.

Tensiones de adherencia en prismas cargados axialmente.
Para entender de una mejor manera la variación de las tensiones de adherencia de una barra de acero
cuando se presentan fisuras en el elemento de hormigón armado se estudiará el comportamiento de un
prisma de hormigón armado sometido a carga axial.
En la siguiente figura se puede apreciar la disposición regular de fisuras en el elemento. Las fisuras
aparecen en las zonas más débiles de la estructura interna del hormigón porque en ellas se ha superado el
límite de su capacidad de deformación de tracción. En ese caso, el hormigón debe transferir todo el
esfuerzo en esa sección al acero, el cual tendrá un pico de tensión.
El efecto de adherencia hace que el acero intente nuevamente transferir parte de los esfuerzos a ambos
lados de las fisuras hacia el hormigón y por esa razón la tensión en el acero disminuye a un mínimo entre
fisuras, mientras que las tensiones en el hormigón aumentan desde cero hasta un máximo entre fisuras. En
el lugar de la fisura la tensión en el acero es máxima y en el hormigón es cero, mientras que a medio
tramo, entre dos fisuras, la tensión en el acero es mínima y en el hormigón es máxima porque el hormigón
absorbe pequeños esfuerzos de tracción si no está agrietado. Las tensiones de adherencia tienen una
variación cíclica donde se alternan los esfuerzos de tracción y compresión entre fisuras.
250
Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero
Prisma cargado axialmente
𝑃
𝑃
Variación de la tensión
Variación de la tensión en el hormigón
Variación de la tensión de adherencia
Fig. 7.4. Tensión de adherencia en prisma cargado axialmente

Tensiones de adherencia en una viga.
El comportamiento de las tensiones de adherencia para una viga de hormigón armado es parecido al del
prisma de hormigón armado cargado axialmente mostrado antes. En la siguiente figura se presenta una
viga simplemente apoyada que soporta dos cargas puntuales. Debido a la distribución y localización de las
cargas, se genera en la parte central una región donde el diagrama de momentos es constante.
La viga presenta fisuras distribuidas regularmente a lo largo de su cara traccionada, por lo que en los
puntos donde se localizan las fisuras, la tensión en el acero es máxima y en el hormigón mínima. La
variación de las tensiones del acero a lo largo de la viga sigue más o menos la forma del diagrama de
momentos flectores, mientras que la del hormigón es muy parecida al caso del prisma cargado axialmente.
Las tensiones de adherencia tienen también una variación cíclica entre fisuras, donde se alternan los
esfuerzos de compresión y tracción de una manera sinusoidal.
251
Diseño de estructuras de hormigón armado
Viga agrietada
Diagrama de momentos
Variación de la tensión en el acero
Variación de la tensión en el hormigón
Variación de la tensión de adherencia
Fig. 7.5. Tensiones de adherencia en una viga

Tensiones de adherencia en un ensayo de extracción.
Este tipo de ensayo no da valores representativos de la resistencia por adherencia de una barra en vigas de
hormigón armado porque el hormigón no está agrietado y por lo tanto no hay una distribución cíclica y
alternada de esfuerzos de tracción y compresión de las tensiones de adherencia. Pero, este ensayo nos
determina, de una forma sencilla y práctica, la mínima longitud que una barra de acero necesita tener,
embebida dentro de la masa de hormigón, para poder desarrollar su máxima tensión de fluencia.
252
Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero
Cilindro de
hormigón
𝑃
Ensayo de adherencia
𝑃/𝐴𝑠
Tensiones en la barra
𝑓𝑠
𝜇
Tensiones de adherencia
Fig. 7.6. Tensiones de adherencia en un ensayo de extracción
En el ensayo de extracción, la barra es colocada dentro de la masa de hormigón durante el vaciado de la
probeta y no es retirada hasta que el hormigón alcanza su resistencia característica. Como se puede ver en
la figura 7.6 la tensión en el acero es máxima y se mantiene constante desde el extremo donde se aplica la
carga hasta el punto donde la barra penetra en el hormigón y va disminuyendo hasta un valor de cero en el
otro extremo. La longitud necesaria de barra embebida dentro de la masa de hormigón para que toda la
tensión del acero sea trasmitida al hormigón está en función de muchas variables como: diámetro de la
barra de acero, protección epóxica, características del hormigón, etc.
7.3. Mecanismos de transferencia
Para que la fuerza en el acero pueda ser transmitida al hormigón, es necesario que diferentes mecanismos
se activen entre los dos materiales. Las clases de mecanismos que intervienen en la transferencia de la
carga dependen del tipo de barra que se utilice.
En barras lisas la transferencia se realiza a través de la adherencia y fricción. Estos dos mecanismos se
pierden una vez que la barra es cargada debido a que el diámetro de la barra disminuye por el efecto de
Poisson. Por lo tanto, se deben usar ganchos, arandelas y tuercas en el extremo de la barra lisa embebida
en el hormigón cuando ésta es utilizada como refuerzo.
En barras corrugadas la transferencia se realiza a través de la adherencia, fricción y apoyo en las
protuberancias. Los dos primeros mecanismos se pierden rápidamente quedando solamente el tercero.
En la figura 7.7 se muestra como el mecanismo de transferencia de apoyo en las protuberancias actúa
sobre la masa de hormigón con dos componentes, una radial y la otra longitudinal. La componente
longitudinal es la que efectivamente realiza la transferencia de la fuerza, mientras que la radial produce
unos esfuerzos circunferenciales que pueden agrietar la viga.
253
Diseño de estructuras de hormigón armado
Fuerzas en la barra
Fuerza longitudinal
Fuerzas en el hormigón
Fuerza radial
Fuerzas radiales en el hormigón
Fig. 7.7. Mecanismo de transferencia - Apoyo en las protuberancias
La fuerza radial produce esfuerzos de tracción circunferenciales en el hormigón alrededor de las barras.
Eventualmente, si las barras no tienen suficiente recubrimiento, algunas fisuras aparecerán paralelas a
éstas y se propagarán hacia la superficie exterior de la viga. Las fisuras producidas por las fuerzas radiales
generalmente se manifiestan en los lugares donde las barras de tracción son ancladas. En la figura 7.8 se
pueden observar dos secciones transversales de vigas de hormigón armado donde este tipo de fisuras se
presentan próximas a las caras traccionadas y se propagan desde las barras hacia el exterior de las
secciones.
Fig. 7.8. Fisuras producidas por la fuerza radial
254
Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero
La carga que produce las fisuras longitudinales está en función de:
- Distancia de la barra a la superficie de hormigón o a la barra contigua.
- Resistencia a la tracción del hormigón.
- Tensión promedio de adherencia.
7.4. Longitud de desarrollo
Debido a que la tensión real de adherencia varía a lo largo de la longitud de la barra anclada en la zona de
tracción, el código ACI utiliza el concepto de longitud de desarrollo en vez de tensión de adherencia. La
longitud de desarrollo ℓ𝑑 es la longitud más corta de barra en el que la tensión puede incrementarse de
cero hasta la tensión de fluencia 𝑓𝑦 . Si la distancia desde el punto donde la tensión de la barra es 𝑓𝑦 hasta
el extremo de la barra es menor a la longitud de desarrollo, la barra se deslizará a través del hormigón.
ℓ𝑑 =
𝑓𝑦 ∙ 𝑑𝑏
4 ∙ 𝜇𝑝𝑟𝑜𝑚,𝑢
(7.9)
La longitud de desarrollo en tracción está sujeta a tensiones de adherencia reversibles, en consecuencia se
requiere una mayor longitud de desarrollo. Además, la longitud de desarrollo está expresada en términos
del valor último de la tensión de adherencia promedio cuando ∆𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 .
7.4.1. Desarrollo de barras corrugadas y de alambres corrugados a tracción
El código ACI en su sección 25.4.2.3 expresa la longitud de desarrollo, para barras y alambres corrugados,
como un múltiplo del diámetro de la barra.
ℓ𝑑 = (
𝑓𝑦
1.1 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′
∙
Ψ𝑡 ∙ Ψ𝑒 ∙ Ψ𝑠
) ∙ 𝑑𝑏 ≥ 300[𝑚𝑚]
𝑐𝑏 + 𝐾𝑡𝑟
𝑑𝑏
(7.10)
Donde:
𝑐𝑏 +𝐾𝑡𝑟
≤ 2.5 para prevenir la falla por pérdida de adherencia
𝑑𝑏
ℓ𝑑 = Longitud de desarrollo [𝑚𝑚].
𝑑𝑏 = Diámetro de la barra [𝑚𝑚].
Ψ𝑡 = Factor por localización de la barra.
Ψ𝑒 = Factor por protección epóxica.
Ψ𝑠 = Factor por diámetro de la barra.
𝜆 = Factor por uso de hormigón ligero.
𝑐𝑏 = El menor valor de:
255
Diseño de estructuras de hormigón armado
- La menor distancia de la superficie de hormigón al centro de gravedad de la barra a ser
desarrollada
- La mitad de la distancia entre centros de gravedad de barras a ser desarrolladas
𝐾𝑡𝑟 = Índice de refuerzo transversal.
En la mayoría de los casos la ecuación anterior es muy difícil de utilizar en el diseño porque 𝑐𝑏 y 𝐾𝑡𝑟
pueden variar a lo largo del elemento, por lo que se sustituyen valores límites inferiores de estas dos
variables.
Para simplificar el cálculo de la longitud de desarrollo de barras en tracción que están siendo empalmadas
o desarrolladas con extremos rectos, el código ACI presenta dos casos dependiendo del espaciamiento
libre entre barras, del recubrimiento mínimo y de la existencia de armadura perpendicular (estribos) en la
zona de desarrollo.
Caso 1:
Espaciamiento libre entre barras o alambres que se están desarrollando o empalmando por
traslape no menor a 𝑑𝑏 , recubrimiento mínimo no menor a 𝑑𝑏 y con estribos a lo largo de ℓ𝑑
que satisfacen el mínimo del código.
Caso 2:
Espaciamiento libre entre barras o alambres que se están desarrollando o empalmando no
menor a 2 ∙ 𝑑𝑏 y recubrimiento mínimo no menor a 𝑑𝑏
Longitud de desarrollo ld para barras y alambres deformados en frío
Casos
Para 𝒅𝒃 ≤ 𝟐𝟎 [𝒎𝒎]
1y2
ℓ𝑑 = (
Otros
ℓ𝑑 = (
𝑓𝑦 ∙ Ψ𝑡 ∙ Ψ𝑒
2.1 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′
𝑓𝑦 ∙ Ψ𝑡 ∙ Ψ𝑒
1.4 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′
Para 𝒅𝒃 > 𝟐𝟎 [𝒎𝒎]
) ∙ 𝑑𝑏
(7.11)
ℓ𝑑 = (
) ∙ 𝑑𝑏
(7.13)
ℓ𝑑 = (
𝑓𝑦 ∙ Ψ𝑡 ∙ Ψ𝑒
1.7 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′
𝑓𝑦 ∙ Ψ𝑡 ∙ Ψ𝑒
1.1 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′
) ∙ 𝑑𝑏
(7.12)
) ∙ 𝑑𝑏
(7.14)
En todos los casos, la longitud de desarrollo ℓ𝑑 para las barras en tracción debe ser mayor o igual a
300 [𝑚𝑚].
En la figura 7.9 se muestra gráficamente las condiciones físicas y geométricas que deben cumplir las
barras a ser desarrolladas para que puedan ser clasificadas como caso 1 o 2 en el cálculo de su longitud de
desarrollo. Para las barras que no cumplen las condiciones de clasificación mostradas en los casos 1 o 2,
se debe calcular su longitud de desarrollo con las otras ecuaciones.
256
Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero
≥ 𝑑𝑏
≥ 𝑑𝑏
≥ 2 ∙ 𝑑𝑏
≥ 𝑑𝑏
≥ 𝑑𝑏
≥ 𝑑𝑏
≥ 2 ∙ 𝑑𝑏
Caso 1
≥ 𝑑𝑏
Caso 2
Fig. 7.9. Distancias mínimas entre barras a tracción
Se pueden obtener expresiones simples y útiles considerando hormigón de densidad normal, refuerzo sin
protección epóxica, barras localizadas en la parte inferior de la sección y acero con tensión de fluencia de
420 [𝑀𝑃𝑎].

Ψ𝑡 = 1 Factor por localización de la barra.
Ψ𝑒 = 1 Factor por protección epóxica.
𝜆 = 1 Factor por uso de hormigón ligero.
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
Longitud de desarrollo 𝓵𝒅 para barras y alambres deformados en frío (𝓵𝒅 ≥ 𝟑𝟎𝟎 [𝒎𝒎])
Diámetro de barra
𝒇′𝒄 [𝑴𝑷𝒂]
Para 𝒅𝒃 > 𝟐𝟎 [𝒎𝒎]
𝒅𝒃 ≤ 𝟐𝟎 [𝒎𝒎]
𝟐𝟎
𝟐𝟓
𝟑𝟎
𝟐𝟎
𝟐𝟓
𝟑𝟎
Caso 1 y Caso 2
45 · 𝑑𝑏
40 · 𝑑𝑏
37 · 𝑑𝑏
55 · 𝑑𝑏
49 · 𝑑𝑏
45 · 𝑑𝑏
Otros casos
67 · 𝑑𝑏
60 · 𝑑𝑏
55 · 𝑑𝑏
85 · 𝑑𝑏
76 · 𝑑𝑏
70 · 𝑑𝑏
Factor por localización de la barra 𝚿𝒕 .
Este factor toma en cuenta la posición del refuerzo de acero en hormigón fresco vaciado. Por numerosas
investigaciones, desde el código ACI – 89 el factor Ψ𝑡 fue reducido a 1.3.
- Refuerzo horizontal colocado de tal manera que más de 300 [𝑚𝑚] de hormigón fresco es
vaciado en el elemento debajo de la longitud de desarrollo o empalme
1.3
- Otro refuerzo
1.0
257
Diseño de estructuras de hormigón armado
Generalmente la masa de hormigón fresco sufre de asentamientos y debido a ello existe la tendencia de
acumulación de agua debajo de las barras y de las partículas más gruesas del agregado (bleeding o
ganancia de agua). Como esa agua es posteriormente reabsorbida por el hormigón, se forman oquedades o
poros como se esquematiza en la figura 7.10 y cuando se requiere empalmar o desarrollar barras rectas de
acero, se necesitan mayores longitudes porque en esas zonas se producen deslizamientos entre el acero y
el hormigón.
Oquedad
Poros
Fig. 7.10. Formación de oquedades o poros debajo de barras horizontales como consecuencia del
asentamiento y exudación de la masa de hormigón, respectivamente
Con respecto a la posición de las barras en el encofrado, hay que destacar que en general se espera que las
barras horizontales ubicadas en la parte superior presenten condiciones de adherencia más desfavorables
en comparación con las ubicadas cerca del fondo del encofrado o de la capa de hormigón llenada
previamente. Esto se debe a que en las barras ubicadas en la parte superior el fenómeno de ganancia de
agua (exudación) por debajo de ellas es mayor y en consecuencia la formación de oquedades o poros es
más probable.
Factor por protección epóxica de la barra 𝚿𝒆 .
Los estudios realizados en acero con protección epóxica demostraron que la resistencia al deslizamiento es
reducida porque el revestimiento epóxico anula la adherencia y la fricción entre el acero y el hormigón. El
factor Ψ𝑒 considera el tipo de falla de anclaje más probable que puede sufrir una barra de acero con
revestimiento epóxico. Cuando los recubrimientos o espaciamientos entre barras son pequeños, es muy
probable que se presente una falla por agrietamiento de la superficie que rodea las barras y la resistencia al
deslizamiento de las barras se reduce sustancialmente. Si por el contrario, los recubrimientos y
espaciamientos entre barras son grandes, es poco probable que se presente una falla por agrietamiento de
la superficie que rodea las barras y el revestimiento epóxico no produce un decremento importante de la
resistencia al deslizamiento. Algunos ensayos han demostrado que aunque los recubrimientos y
espaciamientos entre barras sean pequeños, si se coloca refuerzo transversal cruzando el plano de
agrietamiento de tal modo que éste se oponga a la propagación de las fisuras, entonces se puede conseguir
un incremento en la resistencia al deslizamiento.
- Barras con protecciones epóxica o dual de zinc y epóxico con recubrimiento menor a 3 · 𝑑𝑏 o
espaciamiento libre entre barras menor a 6 · 𝑑𝑏
1.5
- Para otras barras o alambres con protecciones epóxica o dual de zinc y epóxico
1.2
258
Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero
- Barras sin protección epóxica o con recubrimiento de zinc (galvanizado)
1.0
Debido a que la resistencia al deslizamiento de barras con revestimiento epóxico es reducido ya por la
pérdida de adherencia entre la misma barra y el hormigón, se impone un límite superior de 1.7 al producto
de Ψ𝑡 por Ψ𝑒 (Ψ𝑡 · Ψ𝑒 ≤ 1.7).
Factor por diámetro de la barra 𝚿𝒔 .
Este factor considera el diámetro de las barras de acero a ser desarrolladas. Barras de diámetro menor o
igual a 20 [𝑚𝑚] requieren proporcionalmente una menor longitud de desarrollo que barras de mayor
diámetro.
- Para barras 𝑑𝑏 ≤ 20 [𝑚𝑚]
- Para barras 𝑑𝑏 > 20 [𝑚𝑚]
0.8
1.0
El diámetro de la barra influye poco sobre el valor de la adherencia. Sin embargo, se prefiere el uso de
barras de diámetro menor por las siguientes razones:
- Las condiciones de anclaje y manejo en obra serán más favorables.
- La sección y por ende el esfuerzo que debe transmitir crece cuadráticamente con el diámetro,
(𝑑𝑏 2 ), mientras que el perímetro lo hace linealmente, por lo que las barras de menor diámetro
serán más efectivas que las de mayor diámetro.
Factor por uso de hormigón ligero 𝝀.
Cuando se utiliza hormigón ligero es necesario considerar una mayor longitud de desarrollo para las barras
de acero.
- Cuando se utiliza hormigón ligero
𝜆 ≤ 0.75
- Cuando 𝑓𝑐𝑡 es especificado
𝜆=
- Hormigón de densidad normal
𝜆 = 1.0
1.8∙𝑓𝑐𝑡
√𝑓𝑐′
≤ 1.0
𝑓𝑐𝑡 = Esfuerzo promedio de fractura a la tracción del hormigón ligero en [𝑀𝑃𝑎] (ver sección 19.2.4 del
código ACI).
Espaciamiento o recubrimiento 𝒄𝒃 .
Se debe tomar el menor de:
- La menor distancia de la superficie del hormigón al centro de gravedad de la barra o alambre a
ser desarrollado.
- La mitad de la distancia entre centros de gravedad de barras o alambres a ser desarrollados.
259
Diseño de estructuras de hormigón armado
Factor de refuerzo transversal 𝑲𝒕𝒓 .
El factor 𝐾𝑡𝑟 es el índice de refuerzo transversal que toma en cuenta la cantidad y distribución de la
armadura de confinamiento (estribos) que atraviesa los planos potenciales de falla de hendimiento o de
separación en la zona donde las barras de acero son desarrolladas.
𝐾𝑡𝑟 =
40 ∙ 𝐴𝑡𝑟
𝑠∙𝑛
(7.15)
𝐴𝑡𝑟 = Sección transversal de todo el refuerzo perpendicular dentro de la separación 𝑠 entre estribos, que
cruza el plano potencial de falla a lo largo del acero que está siendo desarrollado dentro de la longitud de
desarrollo [𝑚𝑚2 ].
𝑠 = Máxima distancia entre centros de gravedad de las barras de los estribos que están dentro de
ℓ𝑑 [𝑚𝑚].
𝑛 = Número de barras o alambres que se empalman o desarrollan a lo largo del plano de falla.
El código ACI en su sección 25.4.2.3 permite tomar el factor 𝐾𝑡𝑟 como 0 para simplificar los cálculos
aunque exista refuerzo transversal.
Cuando el refuerzo de un elemento sometido a flexión excede el requerido por análisis, excepto cuando se
requiere específicamente anclaje o desarrollo para 𝑓𝑦 (diseño sísmico), la longitud ℓ𝑑 puede ser reducida,
𝐴
de acuerdo a la sección 25.4.10 del código ACI, multiplicándola por el factor ( 𝑠 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜 ).
𝐴𝑠 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑐𝑎𝑑𝑜
7.4.2. Desarrollo de barras corrugadas y alambres corrugados a compresión
La longitud de desarrollo para barras en compresión es considerablemente más corta que la de barras en
tracción porque los mecanismos de transferencia de esfuerzos son diferentes y además no existen fisuras
en la zona de anclaje y por lo tanto la tensión de adherencia no cambia de signo.
Para barras a compresión, en primer lugar, hay una menor tendencia de que ocurran las fallas por
separación (splitting) que se da en barras que se desarrollan en tracción, porque el hormigón que rodea la
barra está en compresión. En segundo lugar, una parte de la compresión de la barra puede ser transmitida
al hormigón directamente por presión de punta. Pero, el peligro de este mecanismo de transferencia es que
la presión de punta puede hacer saltar las zonas del hormigón movilizadas para soportar las presiones de
compresión que están muy concentradas. La activación de este mecanismo es posible si más allá del
extremo de la barra existe suficiente masa de hormigón o algún otro dispositivo que distribuya los
esfuerzos de compresión. La figura 7.11 muestra la posibilidad de que la presión de punta en una barra a
compresión tienda a producir una rotura con superficie cónica cuando su extremo termina muy cerca de la
superficie libre de hormigón. Para evitar este tipo de falla es conveniente que exista suficiente distancia
(masa de hormigón) desde la superficie del elemento al extremo de la barra o que la barra termine con
algún tipo de dispositivo (plancha) capaz de distribuir de manera más uniforme el esfuerzo de punta. Sin
embargo, es mucho más conveniente que una barra sometida a compresión termine con un gancho de 90°
en la dirección opuesta a la ubicación de la barra.
260
Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero
Peligro de fractura
Preferible acortar
o doblar la barra
Fig. 7.11. Precaución a tomar cuando se interrumpen barras en compresión cercanas a las
superficies libres de hormigón
En la sección 25.4.1.2 del código ACI se indica que el gancho no debe ser considerado como una forma
adecuada y efectiva para anclar las barras a compresión y por tanto no se considera reducción alguna de la
longitud de desarrollo de barras en compresión por la existencia de ganchos. En la figura 7.12 se muestra
como una barra en compresión que termina en gancho y que no tiene suficientes estribos puede ser
susceptible a pandeo, mientras que si la misma barra termina en forma recta y cuenta con los estribos
suficientes para eliminar la posibilidad de pandeo y mejorar la adherencia de la barra, entonces la barra es
desarrollada adecuadamente a compresión. Los ganchos no son apropiados para anclar las barras
comprimidas, en especial en columnas donde es mejor extender la barra y terminarla con un gancho de
90° apoyado sobre la parrilla de la zapata.
Pandeo de
la barra
a) Posibilidad de pandeo de la barra
por insuficientes estribos
Estribos
b) Disposición de estribos para evitar
pandeo y mejorar la adherencia de la barra
Fig. 7.12. Terminación de barras en compresión
261
Diseño de estructuras de hormigón armado
Como buena práctica, en la zona donde se deben desarrollar o empalmar barras en tracción o compresión,
es conveniente disponer de armaduras transversales (estribos) para evitar el pandeo y mejorar la
adherencia de la barra.
En todos los casos, la longitud de desarrollo ℓ𝑑𝑐 para las barras o alambres en compresión debe ser mayor
o igual a 200 [𝑚𝑚].
ℓ𝑑𝑐 =
0.24 ∙ 𝑓𝑦 ∙ Ψ𝑟
𝜆 ∙ √𝑓𝑐′
∙ 𝑑𝑏 ≥ 200 [𝑚𝑚]
(7.16)
Donde:
0.24∙𝑓𝑦
𝜆∙√𝑓𝑐′
≥ 0.043 ∙ 𝑓𝑦 ∙ Ψ𝑟 y la constante 0.043 tiene las unidades de [
𝑚𝑚2
].
𝑁
Ψ𝑟 = Factor por refuerzo de confinamiento.
𝜆 = Factor por uso de hormigón ligero.
Factor por refuerzo de confinamiento de la barra 𝚿𝒓 .
Este factor toma en cuenta el confinamiento de las barras.
- Para barras dentro de una espiral de diámetro no menor a 6 [mm] con un paso no mayor a
100 [mm] o estribos de diámetro mayor o igual a 12 [mm] de acuerdo a lo especificado en la
sección 9.7.6.4 con separación no mayor a 100 [mm]
0.75
- Para otros casos
1.0
De acuerdo a la sección 25.4.10 del código ACI, la longitud ℓ𝑑𝑐 puede ser reducida multiplicándola por el
𝐴
factor ( 𝑠 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜 ) cuando el refuerzo colocado excede lo requerido por el análisis excepto en sistemas
𝐴𝑠 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑐𝑎𝑑𝑜
resistentes a fuerzas sísmicas.
Al igual que para el caso de la longitud de desarrollo de barras a tracción, para barras en compresión se
pueden obtener expresiones simples y útiles considerando hormigón de densidad normal y acero con
tensión de fluencia de 420 [𝑀𝑃𝑎].

𝜆 = 1 Factor por uso de hormigón ligero
Ψ𝑟 = 1 Factor por confinamiento de la barra
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
Longitud de desarrollo 𝓵𝒅𝒄 para barras y alambres deformados en frío
(𝓵𝒅𝒄 ≥ 𝟐𝟎𝟎 [𝒎𝒎] ≥ 𝟏𝟖 · 𝒅𝒃 )
262
𝒇′𝒄 [𝑴𝑷𝒂]
𝟐𝟎
𝟐𝟓
𝟑𝟎
Cualquier caso
23 · 𝑑𝑏
20 · 𝑑𝑏
18 · 𝑑𝑏
Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero
7.4.3. Desarrollo de atados de barras
La longitud de desarrollo para barras individuales a compresión o tracción, pertenecientes a un atado, debe
ser incrementada en 20% si el atado es de tres barras y 33% si el atado es de cuatro barras. La longitud
adicional es atribuida a la reducción del diámetro exterior expuesto de las barras, por lo que la superficie
de transferencia es menor. Para la determinación de los factores Ψ𝑡 , Ψ𝑒 y Ψ𝑠 , el atado de barras debe ser
considerado como una sola barra cuyo diámetro es calculado con base al área equivalente total de las
barras.
7.4.4. Desarrollo de ganchos estándar a tracción
En muchos casos la dimensión de los elementos o la posición de las barras dentro de ellos es tal que no es
posible tener una longitud recta de desarrollo para el extremo de las barras. Por lo tanto, se hace necesario
la utilización de ganchos para proveer el anclaje necesario requerido. Los ganchos más comunes que se
utilizan para anclar las barras de acero son los de 90° y 180°. Para evitar que las barras de acero se
fracturen en el momento de doblarlas, es necesario respetar los diámetros mínimos de doblado que se
presentan en la sección 25.3.1 del código ACI y que se resumen en la siguiente tabla.
Diámetro de la barra [𝒎𝒎]
Diámetro de doblado 𝑫
De 10 a 25
6 · 𝑑𝑏
De 28 a 36
8 · 𝑑𝑏
> 36
10 · 𝑑𝑏
El diámetro de doblado está en directa proporción con el diámetro de la barra. Se recomienda realizar el
doblado de las barras durante las horas del día y cuando la temperatura ambiente está sobre los 10℃. Está
prohibido el calentar las barras con soplete (fuego directo), puesto que esta acción produce cambios en la
estructura microscópica del acero.
Para el diseño de los ganchos de anclaje el código ACI 25.4.3.1 no hace diferencia entre ganchos de 90° y
180° o entre ganchos superiores e inferiores. La longitud de desarrollo de un gancho ℓ𝑑ℎ (ℎ por hook) esta
compuesta por una longitud de desarrollo básica que debe ser mayor a 8 ∙ 𝑑𝑏 y a 150 [𝑚𝑚], multiplicada
por una serie de factores.
ℓ𝑑ℎ = (
0.24 ∙ 𝑓𝑦 ∙ Ψ𝑒 ∙ Ψ𝑐 ∙ Ψ𝑟
𝜆 ∙ √𝑓𝑐′
) ∙ 𝑑𝑏 ≥ 8 ∙ 𝑑𝑏 ≥ 150 [𝑚𝑚]
(7.17)
Factor por uso de hormigón ligero 𝝀.
- Para hormigón de peso liviano
0.75
- Para hormigón de peso normal
1.0
263
Diseño de estructuras de hormigón armado
Factor por protección epóxica de la barra 𝚿𝒆 .
- Para otras barras o alambres con protecciones epóxica o dual de zinc y epóxico
- Barras sin protección epóxica o con recubrimiento de zinc (galvanizado)
1.2
1.0
Factor por recubrimiento 𝚿𝒄 .
- Para ganchos en barras de db ≤ 36 [mm] con recubrimiento lateral (perpendicular al plano del
gancho) mayor o igual a 65 [mm] y para ganchos de 90° con recubrimiento más allá del
gancho no menor a 50 [mm] a lo largo de la extensión recta
0.7
- Para otras condiciones
1.0
Factor por confinamiento 𝚿𝒓 .
- Para ganchos de 90° en barras de db ≤ 36 [mm] cuando se utilizan estribos perpendiculares a
la barra a ser desarrollada con separaciones menores o iguales a 3 · db a lo largo de la longitud
de desarrollo ℓdh del gancho o cuando se utilizan estribos paralelos a la barra a ser desarrollada
con separaciones menores o iguales a 3 · db a lo largo del gancho más la extensión recta, donde
db es el diámetro de la barra
0.8
- Para ganchos de 180° en barras de db ≤ 36 [mm] con estribos perpendiculares a la barra a ser
desarrollada utilizando separaciones menores o iguales a 3 · db a lo largo de la longitud de
desarrollo ℓdh donde db es el diámetro de la barra con gancho
0.8
- Para otras condiciones
1.0
Donde el anclaje o el desarrollo para 𝑓𝑦 no es necesario y cuando se tiene refuerzo en exceso al requerido
por análisis y éste no va a estar sometido a fuerzas sísmicas, la sección 25.4.10 del código ACI permite
𝐴
multiplicar ℓdh por el factor ( 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜 ). Esta reducción considera el caso en que se tenga más armadura
𝑠 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑐𝑎𝑑𝑜
de la requerida en un elemento sometido a flexión. En ese caso, la longitud de desarrollo se puede reducir
en la misma proporción que el cociente entre la sección requerida y la proporcionada. Pero, esto no es
válido si las barras a desarrollar pueden alcanzar la tensión de fluencia, como es el caso de armaduras que
son parte del sistema resistente en zonas sísmicas. Para los factores Ψ𝑐 y Ψ𝑟 , 𝑑𝑏 es el diámetro de la barra
del gancho; y el primer estribo debe confinar la parte doblada del gancho, a una distancia menor a 2 ∙ 𝑑𝑏
del borde externo del gancho.
Hay que notar que ℓ𝑑ℎ se mide desde la sección crítica hasta el extremo exterior o borde del gancho.
Además, se ve que no se hace diferencia entre barras horizontales que puedan estar en la parte superior o
inferior del encofrado. El código ACI en sus comentarios aclara que para el caso de barras con ganchos
esta distinción (que se castigaba con 1.30 para barras superiores desarrolladas en forma recta) es difícil de
hacer.
264
Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero
ℓ𝑑ℎ
ℓ𝑑ℎ
𝐷
𝐷
12 · 𝑑𝑏
Sección crítica
Sección crítica
4 · 𝑑𝑏 ≥ 65 [𝑚𝑚]
Gancho de 90°
Gancho de 180°
6 · 𝑑𝑏
Línea Central
Viga
Línea Central
Viga
𝐷
6 · 𝑑𝑏
𝐷
𝐷 = 4 · 𝑑𝑏
𝐷
𝐷
Ganchos en estribos de diámetro = 10 [𝑚𝑚]
Fig. 7.13. Ganchos estándar
ℓ𝑑ℎ
𝑑𝑏
≤ 2 · 𝑑𝑏
≤ 3 · 𝑑𝑏
Fig. 7.14. Estribos colocados perpendicularmente a la barra a ser desarrollada
espaciados a lo largo de la longitud de desarrollo 𝓵𝒅𝒉
265
Diseño de estructuras de hormigón armado
Gancho y
extensión
recta
≤ 2 · 𝑑𝑏
𝑑𝑏
≤ 3 · 𝑑𝑏
Fig. 7.15. Estribos colocados paralelamente a la barra a ser desarrollada
espaciados a lo largo del gancho y la extensión recta
El estudio de fallas de barras con gancho ha demostrado que la causa principal de la falla está dada por la
pérdida o separación del recubrimiento del hormigón en el plano del gancho y que la separación se origina
en la parte interior donde las tensiones en el hormigón son muy elevadas. Es por ello, que los
recubrimientos laterales y de confinamiento son de vital importancia para el efectivo desarrollo de las
barras con terminación en gancho.
Foto 7.3. Detalle desprolijo del anclaje con ganchos a 180º e inadecuado confinamiento del núcleo.
(Fotografía de Antilla Ansal et. al, Geotechnical Extreme Events Reconnaissance)
266
Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero
7.4.5. Desarrollo de barras corrugadas en tracción ancladas con cabeza y ancladas mecánicamente
La sección 25.4.4.1 del código ACI indica que se puede usar como anclaje cualquier dispositivo mecánico
capaz de desarrollar la resistencia del refuerzo de acero sin dañar el hormigón. Además, cuando un anclaje
mecánico no puede desarrollar la resistencia total requerida de diseño del refuerzo de acero, se permite
una combinación de anclaje mecánico más una longitud adicional de refuerzo embebido en el hormigón
entre el punto de esfuerzo máximo (sección crítica) de la barra y el anclaje mecánico. La longitud de
desarrollo en tracción de barras corrugadas con cabeza ℓ𝑑𝑡 es evaluada con la siguiente ecuación:
ℓ𝑑𝑡 = (
0.19 ∙ 𝑓𝑦 ∙ Ψ𝑒
√𝑓𝑐′
) ∙ 𝑑𝑏 ≥ 8 ∙ 𝑑𝑏 ≥ 150 [𝑚𝑚]
(7.18)
La resistencia del hormigón 𝑓𝑐′ no debe exceder 40 [𝑀𝑃𝑎] y el factor Ψ𝑒 es igual a 1.2 para refuerzos
recubiertos con epóxico y 1.0 para otros casos. Las barras corrugadas en tracción pueden ser ancladas con
cabezas siempre y cuando se cumplan todas las siguientes condiciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
El 𝑓𝑦 de la barra no debe exceder de 420 [𝑀𝑃𝑎].
El diámetro de la barra no debe ser mayor de 36 [𝑚𝑚] (𝑑𝑑 ≤ 36 [𝑚𝑚]).
El hormigón debe ser de peso unitario normal.
El área de apoyo de la cabeza 𝐴𝑏𝑟𝑔 no debe ser menor a 4 · 𝐴𝑏 (𝐴𝑏𝑟𝑔 ≥ 4 · 𝐴𝑏 ).
El recubrimiento libre para la barra no debe ser menor de 2 · 𝑑𝑏 .
El espaciamiento libre entre barras debe ser al menos 4 · 𝑑𝑏 .
ℓ𝑑𝑡
𝐴𝑏𝑟𝑔 ≥ 4 · 𝐴𝑏
𝑑𝑏 ≤ 36 [𝑚𝑚]
≥ 2 · 𝑑𝑏
Fig. 7.16. Barra corrugada con cabeza que se extiende hasta la cara lejana del nudo
una longitud de anclaje mayor a 𝓵𝒅𝒕
267
Diseño de estructuras de hormigón armado
Las barras a tracción, desarrolladas con cabeza y que terminan en una columna, deben extenderse a través
del nudo hasta la cara más lejana del elemento de apoyo, teniendo en cuenta el recubrimiento y evitando la
interferencia con el refuerzo de la columna, aunque la longitud de anclaje resultante sea mayor a la
requerida (ℓ𝑑𝑡 ). La extensión de las barras hasta el lado más lejano de la columna, tal como se aprecia en
la figura 7.16, ayuda a anclar las fuerzas de compresión que probablemente se formen en esa conexión y
mejora el comportamiento del nudo.
Las cabezas de anclaje permiten que las barras a tracción puedan desarrollarse en una longitud más corta
que la requerida para los ganchos estándar.
El refuerzo transversal, basado en ensayos, ha demostrado no ser efectivo para mejorar el anclaje de las
barras corrugadas con cabeza y por ello no se usan las reducciones adicionales que son utilizadas en los
anclajes con ganchos estándar que se hallan confinados por refuerzo transversal. Sin embargo, el refuerzo
transversal ayuda a controlar el ancho de las fisuras por hendimiento y por esta razón se recomienda su
utilización.
El código ACI, en su sección 25.4.1.2, indica que las cabezas no se consideran efectivas en el desarrollo
de las barras a compresión puesto que no existen datos disponibles que corroboren lo contrario.
7.4.6. Desarrollo de refuerzo electrosoldado de alambre corrugado a tracción
La sección 25.4.6 del código ACI indica los requisitos que debe cumplir la malla electrosoldada de
alambres corrugados para calcular su longitud de desarrollo. Esta longitud es calculada utilizando
cualquiera de las ecuaciones 7.10, 7.11, 7.12, 7.13 o 7.14 y modificando el resultado con el factor para
refuerzo electrosoldado Ψ𝑤 .
Factor para refuerzo electrosoldado 𝚿𝒘
Cuando al menos un alambre transversal se encuentra dentro de la longitud de desarrollo y está localizado
a no menos de 50 [𝑚𝑚] de la sección crítica, entonces se aplica el factor Ψ𝑤 , pero su valor no necesita ser
mayor a 1.0. Si no hay alambres transversales dentro de ℓ𝑑 o hay solamente un alambre a menos de
50 [𝑚𝑚] del punto de sección crítica, entonces Ψ𝑤 es tomado como 1.0.
Ψ𝑤 =
𝑓𝑦 − 240 5 ∙ 𝑑𝑏
≥
𝑓𝑦
𝑠
Donde:
𝑠 = Separación entre alambres que se desarrollan.
𝑑𝑏 = Diámetro de la barra [𝑚𝑚].
268
(7.19)
Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero
< 50 [𝑚𝑚] Sección crítica
≥ 50 [𝑚𝑚] Sección crítica
ℓ𝑑 ≥ 200 [𝑚𝑚]
ℓ𝑑 ≥ 300 [𝑚𝑚]
Fig. 7.17. Desarrollo de refuerzo electrosoldado de alambre corrugado
7.4.7. Desarrollo de refuerzo electrosoldado de alambre liso a tracción
La sección 25.4.7 del código ACI indica que para el desarrollo de alambres lisos se requiere que por lo
menos dos alambres transversales queden embebidos dentro de la masa de hormigón con el alambre
transversal más próximo a no menos de 50 [𝑚𝑚] de la sección crítica. Sin embargo, se debe verificar que
la longitud de desarrollo ℓ𝑑 no sea menor a:
𝑓𝑦
𝐴𝑏
ℓ𝑑 = 3.3 ∙ ( ) ∙ (
) ≥ 150 [𝑚𝑚]
𝑠
𝜆 ∙ √𝑓𝑐′
(7.20)
Donde:
𝑠 = Separación entre alambres que se desarrollan.
𝐴𝑏 = Área de la barra [𝑚𝑚2 ].
𝜆 = Factor por uso de hormigón ligero.
Nota: ℓ𝑑 se mide desde
la sección crítica hasta
≥ 50 [𝑚𝑚]
el alambre transversal
Sección crítica
más alejado.
ℓ𝑑 ≥ 150 [𝑚𝑚]
Fig. 7.18. Desarrollo de refuerzo electrosoldado de alambre liso
269
Diseño de estructuras de hormigón armado
Cuando el refuerzo proporcionado excede el requerido, la longitud ℓ𝑑 puede ser reducida multiplicándola
𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜
por el siguiente factor ( 𝐴
𝑠 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑐𝑎𝑑𝑜
). La longitud ℓ𝑑 no debe ser menor a 150 [𝑚𝑚] excepto para el cálculo
de empalmes por traslapo.
7.5. Diseño de anclajes
La regla básica que gobierna el desarrollo y anclaje de barras es que “la fuerza de tracción o compresión
calculada en las barras de acero en cada sección de elementos de hormigón armado debe ser desarrollada
en ambos lados de esa sección utilizando una longitud de desarrollo, gancho o combinación de ambos“.
Ejemplo. Una viga en voladizo de 400 [𝑚𝑚] de ancho esta empotrada en un muro de gran espesor. Para
el estado límite último, las tres barras de 25 [𝑚𝑚] de diámetro son esforzadas hasta 𝑓𝑦 en el punto A.
Calcular la mínima longitud que deben estar las barras embebidas en el muro y la distancia mínima a la
cual deben extenderse estas barras dentro de la viga para lograr su desarrollo. El hormigón del muro es de
densidad normal mientras que el de la viga es aligerado, pero ambos tienen la misma resistencia cilíndrica
característica 𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎]. El acero tiene un 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]. Las juntas constructivas del muro
coinciden con la parte superior e inferior de la viga. La viga tiene estribos cerrados de 10 [𝑚𝑚] de
diámetro separados cada 150 [𝑚𝑚]. El recubrimiento de los estribos es de 40 [𝑚𝑚]. Las 3 barras de
25 [𝑚𝑚] diámetro pasan por dentro de las barras verticales de 16 [𝑚𝑚] de diámetro que se encuentran en
cada cara del muro.
400
Juntas constructivas
A
3𝜙25
ℓ𝑑
Muro

3𝜙25
400
450
𝐸 𝜙10𝑐/150
𝜙16 𝑐/300
Longitud de desarrollo de las barras dentro del muro.
a) Determinar el espaciamiento y el caso de confinamiento.
Distancia libre entre barras:
400 – 2·40 – 2·16 – 3·25
= 107 [𝑚𝑚] = 4.26 · 𝑑𝑏 ≥ 2 · 𝑑𝑏
2
Recubrimiento de las barras: 40 + 16 = 56 [𝑚𝑚] = 2.24 · 𝑑𝑏 ≥ 𝑑𝑏
270
Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero
Como el recubrimiento de las barras es mayor a 𝑑𝑏 y la distancia entre barras a desarrollar es superior
a 2 · 𝑑𝑏 , entonces la longitud de desarrollo de las barras de diámetro 25 [𝑚𝑚] está gobernada por el
Caso 2.
b) Calcular la longitud de desarrollo.
ℓ𝑑 = (
𝑓𝑦 ∙ Ψ𝑡 ∙ Ψ𝑒
1.7 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′
) ∙ 𝑑𝑏
(7.12)
Ψ𝑡 = 1.3 porque debajo de las barras hay más de 300 [𝑚𝑚] de hormigón fresco.
Ψ𝑒 = 1.0 porque las barras no tienen recubrimiento epóxico.
 = 1.0 porque el hormigón es de densidad normal.
ℓ𝑑 = (
420 ∙ 1.3 ∙ 1.0
1.7 ∙ 1.0 ∙ √20
) ∙ 𝑑𝑏 = 71.82 ∙ 𝑑𝑏
ℓ𝑑 = 1795 [𝑚𝑚]
Las barras deben estar embebidas en la pared por lo menos 1795 [𝑚𝑚] para que puedan desarrollar la
fuerza de fluencia, por lo tanto las barras se extienden una longitud de 1.80 [𝑚] dentro de la pared.

Longitud de desarrollo de las barras dentro de la viga.
a) Determinar el espaciamiento y el caso de confinamiento.
Del cálculo previo se conoce que el recubrimiento de las barras es mayor a 𝑑𝑏 , por tanto ahora
corresponde determinar si los estribos cumplen para la condición de confinamiento del Caso 1. Se verifica
que los estribos
𝐴𝑣𝑚𝑖𝑛 = 0.062 ∙ √𝑓𝑐′ ∙
𝐴𝑣𝑚𝑖𝑛 ≥ 0.35 ∙
𝑏𝑤 ∙ 𝑠
𝑓𝑦
𝑏𝑤 ∙ 𝑠
𝑓𝑦
(5.20)
(5.21)
En este caso controla la ecuación (5.21).
𝐴𝑣𝑚𝑖𝑛 ≥ 0.35 ∙
400 ∙ 150
= 50 [𝑚𝑚2 ] = 0.50 [𝑐𝑚2 ]
420
𝐴𝑣 = 1.57 [𝑐𝑚2 ]
271
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑑
La separación de los estribos es menor a 2 y su cuantía cumple con el requerimiento mínimo, por tanto el
desarrollo de las barras está gobernado por el Caso 1.
b) Calcular la longitud de desarrollo.
ℓ𝑑 = (
𝑓𝑦 ∙ Ψ𝑡 ∙ Ψ𝑒
1.7 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′
) ∙ 𝑑𝑏
(7.12)
Ψ𝑡 = 1.3 porque debajo de las barras hay más de 300 [𝑚𝑚] de hormigón fresco.
Ψ𝑒 = 1.0 porque las barras no tienen recubrimiento epóxico.
 = 0.75 porque el hormigón es aligerado.
ℓ𝑑 = (
420 ∙ 1.3 ∙ 1.0
1.7 ∙ 0.75 ∙ √20
) ∙ 𝑑𝑏 = 95.76 ∙ 𝑑𝑏
ℓ𝑑 = 2394 [𝑚𝑚]
Las barras deben extenderse dentro de la viga por lo menos 2394 [𝑚𝑚] para que puedan desarrollar la
fuerza de fluencia, entonces se adopta como longitud de desarrollo 2.40 [𝑚]. Por tanto, ninguna de las
barras puede cortarse antes de esa longitud.

Longitud de desarrollo de las barras dentro de la viga utilizando la ecuación más precisa.
Utilizando la ecuación completa:
ℓ𝑑 = (
𝑓𝑦
1.1 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′
∙
Ψ𝑡 ∙ Ψ𝑒 ∙ Ψ𝑠
) ∙ 𝑑𝑏 ≥ 300[𝑚𝑚]
𝑐𝑏 + 𝐾𝑡𝑟
𝑑𝑏
Ψ𝑡 = 1.3
Ψ𝑒 = 1.0
Ψ𝑠 = 1.0 porque el diámetro de la barra > 20 [𝑚𝑚]
𝜆 = 0.75
𝑐𝑏 = Se toma el menor valor de:
a) La distancia del centro de gravedad de la barra a la superficie más cercana de hormigón.
25
Recubrimiento lateral = 40 + 16 + 2 = 69 [𝑚𝑚]
25
Recubrimiento superior = 40 + 10 + 2 = 63 [𝑚𝑚]
272
(7.10)
Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero
b) La mitad de la distancia entre centros de gravedad de barras.
400−2∙(40+16)−25
) = 66 [𝑚𝑚]
2
Mitad de la distancia entre barras = 0.5 ∙ (
𝑐𝑏 = 63 [𝑚𝑚]
𝐾𝑡𝑟 =
40 ∙ 𝐴𝑡𝑟
𝑠∙𝑛
𝑠 = 150 [𝑚𝑚] Espaciamiento entre estribos
𝐴𝑡𝑟 = 2 · 0.79 = 1.57 [𝑐𝑚2 ] = 157 [𝑚𝑚2 ]
𝑓𝑦𝑡 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
𝑛=3
𝐾𝑡𝑟 =
2 ramas 𝐸𝜙10 𝑐/150
Para el acero del estribo
Número de barras a anclarse
40 ∙ 157
= 14 [𝑚𝑚]
150 ∙ 3
𝑐𝑏 + 𝐾𝑡𝑟 63 + 14
=
= 3.08
𝑑𝑏
25
𝑐 +𝐾
Como 𝑏𝑑 𝑡𝑟 ≥ 2.50 →
𝑏
ℓ𝑑 =
𝑐𝑏 +𝐾𝑡𝑟
= 2.50
𝑑𝑏
1.3 ∙ 1.0 ∙ 1.0
∙ 𝑑𝑏 = 59.19 ∙ 𝑑𝑏 = 1480 [𝑚𝑚]
2.5
1.1 ∙ 0.75 ∙ √20
420
∙
Las barras podrían extenderse dentro de la viga una distancia de por lo menos 1480 [𝑚𝑚] desde la cara
del muro para desarrollar la fuerza de fluencia. Por tanto, se puede tener un ahorro de casi 1 [𝑚] de
longitud por cada barra cuando se utiliza la ecuación más precisa para calcular la longitud de desarrollo.
𝑐 +𝐾
La diferencia entre las dos soluciones se debe a que para la ecuación reducida se asumió que 𝑏𝑑 𝑡𝑟 = 1.5,
𝑏
pero en este ejercicio su valor es de 2.50. Para este ejemplo en particular, se logra un ahorro del 40% en
la longitud de desarrollo de las barras cuando se utiliza la ecuación más precisa.
7.5.1. Corte de barras y desarrollo de barras en vigas
Para economizar acero, algunas barras pueden ser cortadas donde éstas dejan de ser necesarias según el
diagrama de momentos flectores. En la siguiente figura se muestra una parte de un pórtico donde las
barras en la región de momentos negativos han sido cortadas.
273
Diseño de estructuras de hormigón armado
Puntos de inflexión
Fig. 7.19. Corte de barras según el diagrama de momentos
7.5.2. Factores que afectan la localización de los cortes en las barras
Para ubicar la posición del corte en barras de acero se deben considerar los siguientes factores:
a)
Las barras pueden ser cortadas donde ya no son necesarias para resistir fuerzas de tracción o
cuando las barras que sobran son adecuadas para hacerlo.
b)
Debe haber suficiente extensión en las barras a ambos lados de cada sección para desarrollar la
fuerza que actúa en la barra.
c)
Las barras en tracción cortadas en regiones de fuerza cortante moderada causan concentraciones
de esfuerzo que pueden producir grandes fisuras inclinadas en los extremos cortados de las barras.
Generalmente, los cortes en las barras deben mantenerse al mínimo particularmente en las zonas de
tracción para simplificar el diseño y la construcción.
7.5.3. Localización de puntos de corte para barras en vigas
Para el diseño de vigas en hormigón armado se deben considerar las acciones más importantes para poder
localizar las secciones críticas. Cuando las cargas gravitacionales son las preponderantes, las secciones
críticas se localizan en la cara de los soportes y cerca al medio de los tramos para los momentos negativos
y positivos, respectivamente. Pero, cuando la acción sísmica es igualmente preponderante en el diseño,
entonces las secciones críticas también están localizadas en la cara de los soportes para los momentos
positivos.
274
Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero
En general, las vigas en edificios y otras estructuras son prismáticas (las dimensiones de su sección
transversal se mantienen constantes), salvo casos muy especiales en los que se utilizan elementos de
sección variable. El mantener constante la sección transversal de las vigas conlleva a una mayor rapidez
en la ejecución y a un ahorro en la construcción (facilidad de encofrados, estribos y apuntalamiento).
Como los diagramas de momento varían a lo largo de las vigas, se puede lograr optimizar el diseño y uso
de los materiales modificando la cantidad de acero en diferentes secciones a los largo de las mismas.
En la actualidad, es muy común interrumpir algunas barras de acero a partir de puntos específicos que
están asociados a la disminución de los momentos flectores. Décadas anteriores, era muy usual doblar las
barras de acero desde la región de momentos positivos hacia la región de momentos negativos o viceversa,
a medida que éstas dejaban de ser necesarias según la variación de los diagramas de momentos. Además,
se consideraba el efecto de las barras inclinadas para absorber los esfuerzos cortantes. Por distintas
razones, la práctica del doblado de barras ha ido disminuyendo y al presente casi ya no se utiliza y resulta
más beneficioso cortar las barras a medida que dejan de ser necesarias y utilizar estribos verticales para
absorber los esfuerzos de corte.
Basado en el diagrama de momentos flectores y considerando la longitud de desarrollo de las barras de
acero, es posible determinar la posición y localización de los puntos de corte. En la siguiente figura se
muestra una viga simplemente apoyada donde se ha realizado solamente un corte en las barras.
Suponiendo que según el cálculo de la viga, en el punto de momento máximo (a medio tramo), es
necesaria la utilización de cinco barras de 𝜙25 para absorber el momento último proveniente de la
combinación de cargas más desfavorable y considerando que el diagrama de momentos va disminuyendo
en dirección a los apoyos, dos barras 𝜙25 pueden ser cortadas en puntos predeterminados y solamente
tres barras 𝜙25 ser extendidas de extremo a extremo de la viga. Los puntos de corte a lo largo de la viga
son determinados según la capacidad (momento nominal de diseño) de la sección transversal que contiene
las tres barras 𝜙25.
275
Diseño de estructuras de hormigón armado
96 [𝑘𝑁/𝑚]
2
1
2
1
2𝜙25
3𝜙25
6.00 [𝑚]
1.25 [𝑚]
1.25 [𝑚]
𝑀𝑢 [𝑘𝑁 · 𝑚]
286
286
432
A
B
C
ℓ𝑑
D
E
D’
C’
ℓ𝑑
𝜙 · 𝑀𝑛 [𝑘𝑁 · 𝑚]
286
449
𝜙 · 𝑀𝑛 vs. 𝑀𝑢
Fig. 7.20. Puntos de corte para barras en vigas
276
B’
A’
Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero
Como se puede apreciar en la figura 7.20 el diagrama 𝜙 · 𝑀𝑛 (momento nominal de diseño) envuelve
completamente al diagrama 𝑀𝑢 (envolvente de momentos últimos proveniente de las diferentes
combinaciones de carga) y por tanto se presume que la viga tiene capacidad adecuada para resistir los
momentos flectores. Sin embargo, debido a contingencias que se pueden presentar por cargas inesperadas,
fluencia de los soportes, movimiento de los puntos de inflexión u otras discrepancias con las condiciones
asumidas para el diseño, el código ACI requiere que las barras longitudinales en tracción se extiendan una
mínima distancia igual al mayor de 𝑑 o 12 · 𝑑𝑏 más allá del punto teórico de corte por flexión.
Para cumplir con el requerimiento del código ACI se puede trasladar el diagrama real de envolvente de
momentos últimos una distancia 𝑑 a ambos lados.
Para la viga del ejemplo anterior tenemos:
𝑑
1.25 [𝑚]
1.25 [𝑚]
𝑀𝑢 [𝑘𝑁 · 𝑚]
𝑑
286
286
𝑑
432
A
C1
C
D
E
D’
C’
C1’
A’
Fig. 7.21. Puntos de corte para barras de acero en vigas
El punto C1 se ha recorrido una distancia 𝑑 hacia la izquierda del punto C.
El punto C1’ se ha recorrido una distancia 𝑑 hacia la derecha del punto C’.
Para asegurar que las barras longitudinales en tracción se extiendan una mínima distancia igual al mayor
de 𝑑 o 12 · 𝑑𝑏 más allá del punto teórico de corte por flexión, se pueden desplazar los diagramas de
envolvente de momentos últimos una mínima distancia igual al mayor de 𝑑 o 12 · 𝑑𝑏 hacia el lado donde
el momento se hace nulo y trabajar con ese diagrama para la determinación de los puntos de corte de las
barras de acero. En la siguiente figura se muestra la forma de proceder con el decalaje del diagrama de
momentos para diferentes vigas.
277
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑑 𝑑
𝑑
𝑑
Viga continua
𝑑
𝑑
Viga empotrada en un extremo y simplemente apoyada en el otro
𝑑
𝑑
Viga empotrada en un solo extremo
Fig. 7.22. Ejemplos de decalaje para el diagrama de momentos
7.5.4. Desarrollo del refuerzo por flexión
La figura 7.23 muestra una porción de tramo y apoyo continuo de una viga que pertenece a un pórtico de
hormigón armado con su correspondiente envolvente de diagrama de momentos. Es claro que la
envolvente de momentos últimos (demanda) es una curva continua, pero la de momentos nominales de
diseño (resistencia), para una sección prismática de hormigón no lo es. A lo largo de la viga, existen zonas
que pueden tener más barras que otras y por ende tendrán diferentes capacidades a flexión (𝜙 · 𝑀𝑛 ). El
corte de barras trata de optimizar el uso del acero dentro de la sección de hormigón.
En la figura 7.23 se ha supuesto que el momento negativo es tomado en el apoyo por dos grupos de barras,
“b” y “d”, mientras que otros dos grupos distintos designados como “a” y “c” toman el momento positivo
278
Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero
y en algunas secciones se producen las interrupciones o corte de barras. Si se supone que cada grupo de
barras resiste una porción o fracción definida del momento, se pude hablar de dos puntos característicos de
la curva, y por lo tanto de la sección de la viga: un punto que corresponde a la sección donde la barra o el
grupo de barras debe desarrollar la resistencia a fluencia (máxima), y otro punto a partir del cual
teóricamente la barra no es necesaria. En el caso de la figura 7.23, en el apoyo (cara de la columna) el
punto Y representa la sección donde las barras adicionales “d” deben desarrollar su máximo esfuerzo o
resistencia total. A partir de X y hacia el centro del tramo, en esa porción del diagrama de momentos
negativos, las barras “d” no serían necesarias. Es decir de X hacia Y (hacia donde crece el momento)
comienzan las barras “d” a ser necesarias (con tensión progresivamente creciendo) y en Y se las necesita
en su totalidad. Para el grupo de barras “b”, siguiendo en la zona de momentos negativos, en X deben
desarrollar su máxima resistencia y a partir de la sección donde el momento se hace nulo hacia la derecha
ya no serían necesarias.
Un razonamiento similar se puede utilizar con el grupo de barras “a” y “c” que deben absorber los
momentos positivos. A medio tramo, el punto W representa la sección donde las barras adicionales “c”
deben desarrollar su máximo esfuerzo o resistencia total. A partir de Z y hacia la cara del soporte, en esa
porción del diagrama de momentos positivos, las barras “c” no serían necesarias. Es decir de Z hacia W
(hacia donde crece el momento) comienzan las barras “c” a ser necesarias (con tensión progresivamente
creciendo) y en W se las necesita en su totalidad. Para el grupo de barras “a”, siguiendo en la zona de
momentos positivos, en Z deben desarrollar su máxima resistencia y a partir de la sección donde el
momento se hace nulo hacia la izquierda ya no serían necesarias.
7.5.5. Desarrollo del refuerzo positivo por flexión
El código ACI en su sección 7.7.3.8 da recomendaciones sobre el desarrollo del refuerzo positivo por
flexión. Al menos un tercio del refuerzo positivo por flexión en elementos simplemente apoyados y un
cuarto en elementos continuos debe ser extendido dentro del soporte a lo largo de la cara del elemento. En
vigas, este refuerzo debe extenderse dentro del soporte al menos 150 [𝑚𝑚].
Cuando el elemento a flexión es parte del pórtico que constituye el sistema principal resistente para cargas
laterales, el refuerzo positivo por flexión que se extiende dentro del soporte debe ser anclado para
desarrollar la tensión de fluencia 𝑓𝑦 en la cara del soporte.
7.5.6. Desarrollo del refuerzo negativo por flexión
El refuerzo negativo por flexión en elementos continuos arriostrados o en vigas en voladizo debe ser
anclado dentro del elemento resistente por medio de una prolongación recta de la barra, gancho o un
anclaje mecánico. Para el refuerzo negativo en apoyos intermedios se deben seguir las recomendaciones
de la figura 7.23 para la longitud de desarrollo.
Al menos un tercio del refuerzo total negativo por flexión debe tener una longitud de desarrollo más allá
del punto de inflexión mayor a la profundidad efectiva del elemento 𝑑, 12 · 𝑑𝑏 o un dieciseisavo de la luz
ℓ
libre 16𝑛 , la que resulte mayor.
279
Diseño de estructuras de hormigón armado
En soportes interiores de elementos de canto alto, el refuerzo negativo por flexión debe ser continuo con el
de las luces adyacentes. La figura 7.23 resume las recomendaciones para el desarrollo de barras a flexión
descritas en la sección 9.7.3.del código ACI.
Mayor de:
𝑑
𝑑
12 · 𝑑𝑏 Mayor de:
12 · 𝑑𝑏
ℓ𝑛 /16
Barras b: Extender por lo menos 1/3 · 𝐴−𝑠
ℓ𝑑 para barras b
Barras b
Y
X
𝑑
Barras d
≥ 150 ⃰
Mayor de: 12 · 𝑑𝑏
ℓ𝑑 para barras d
Barras a
ℓ𝑑 para barras a
Z
Barras c
ℓ𝑑 para barras c
W
Barras a: Extender por lo menos 1/4 · 𝐴+𝑠
Extender por lo menos 1/3 · 𝐴+𝑠 (Vigas isostáticas)
⃰ Cuando la viga es parte del sistema que resiste cargas laterales, el
refuerzo se debe anclar para desarrollar 𝑓𝑦 en tracción en la cara del apoyo
Y
Momento teórico negativo
X
Capacidad de
las barras b
Punto de inflexión
para As+
Cara del
soporte
Capacidad de
las barras a
Z
Momento teórico
positivo
W
Fig. 7.23. Desarrollo del refuerzo por flexión en una viga típica continua
280
Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero
7.5.7. Desarrollo del refuerzo del alma - estribos
Los estribos deben extenderse a las caras de compresión y tracción tanto como el recubrimiento y la
proximidad con otros refuerzos lo permitan de acuerdo a la sección 25.7.1 del código ACI.
Para estribos de acero con diámetros igual y menores a 16 [𝑚𝑚] y para estribos con diámetros mayores a
16 [𝑚𝑚], pero con tensión de fluencia de 280 [𝑀𝑃𝑎] o menor, un gancho estándar alrededor del refuerzo
longitudinal es suficiente para dar el anclaje necesario al estribo.
Para estribos de acero con diámetros mayores a 16 [𝑚𝑚] y con tensiones de fluencia mayores a
280 [𝑀𝑃𝑎] se requiere para el anclaje un gancho estándar alrededor del refuerzo longitudinal más una
longitud embebida entre la altura media del elemento y la parte exterior del gancho igual o mayor a
17 ∙ 𝑑𝑏 ∙
𝑓𝑦
𝜆∙√𝑓𝑐′
.
7.6. Empalmes en barras de acero
Los empalmes en el refuerzo de acero deben realizarse solamente en los lugares requeridos o permitidos
en los planos de diseño, indicados por las especificaciones técnicas o autorizados por el ingeniero
supervisor. En lo posible, los empalmes deben estar ubicados lejos de los puntos de máximo esfuerzo de
tracción.
7.6.1. Empalmes de solapa o por traslapo
Los empalmes de solapa o por traslapo no deben utilizarse para barras cuyos diámetros sean mayores a los
32 [𝑚𝑚] y cuando se los utiliza para barras en atado deben basarse en la longitud de empalme de solapa
de las barras individuales incrementada de acuerdo a lo indicado en el acápite de desarrollo de atados de
barras. Los empalmes de barras individuales dentro de un atado no deben ser realizados en una misma
sección y nunca se debe realizar un empalme por solapa para todo un atado.
En elementos sometidos a flexión las barras empalmadas por traslapo, que no quedan en contacto entre sí,
no deben estar separadas transversalmente más de un quinto de la longitud requerida por el empalme de
solapa o 150 [𝑚𝑚].
7.6.2. Empalmes mecánicos y soldados
El código ACI en su sección 25.5.7 permite la utilización de empalmes mecánicos y soldados siempre y
cuando se cumplan ciertos requerimientos.
Según la sección 25.5.7.1 del código ACI, un empalme mecánico o soldado debe ser capaz de desarrollar
tanto en tracción como en compresión, de acuerdo a como se lo requiera, por lo menos 125% de la tensión
de fluencia 𝑓𝑦 de la barra.
281
Diseño de estructuras de hormigón armado
En Chile se ha modificado este requerimiento indicando que los empalmes completos, tanto mecánicos
como los soldados, deben ser capaces de desarrollar en tracción o compresión, según sea requerido, por lo
menos 1.4 · 𝑓𝑦 nominal o 1.15 · 𝑓𝑦 real característico de las barras empalmadas. Esta mayor exigencia se
justifican considerando que muchas barras de acero de refuerzo que se usan en Chile tienen un 𝑓𝑦 real que
supera ampliamente el 𝑓𝑦 nominal, de manera tal que la exigencia del ACI de 1.25 · 𝑓𝑦 no garantiza que la
barra fluya antes de que falle la unión.
Los empalmes mecánicos y soldados que no cumplen con lo indicado en los anteriores párrafos pueden ser
utilizados solamente para barras de diámetro menor o igual a 16 [𝑚𝑚], siempre y cuando cumplan los
requerimientos de la sección 25.5.7.1 del código ACI.
7.6.3. Empalmes de barras y alambres en tracción
La longitud mínima de empalme para empalmes de solapa a tracción debe ser la requerida para un
empalme de clase A o B, pero no menor a 300 [𝑚𝑚], donde:
- Empalme Clase A
- Empalme Clase B
1.0 · ℓ𝑑
1.3 · ℓ𝑑
La longitud de desarrollo en tracción ℓ𝑑 es para la tensión de fluencia especificada 𝑓𝑦 de la barra, sin
𝐴
aplicar el requerimiento de 300 [𝑚𝑚] ni el factor por exceso de refuerzo ( 𝑠 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜 ).
𝐴𝑠 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑐𝑎𝑑𝑜
Los empalmes de solapa para barras y alambres en tracción deben ser de Clase B excepto que empalmes
de Clase A son permitidos cuando:
- El área de refuerzo colocada es al menos dos veces al requerido por análisis sobre toda la
longitud del empalme
- La mitad o menos del refuerzo total es empalmado dentro de la longitud de empalme requerida
Empalmes de solapa a tracción
𝐴𝑠 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑐𝑎𝑑𝑜
𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜
282
Porcentaje máximo de 𝐴𝑠 empalmado dentro de la
longitud de empalme requerida
50
100
≥2
Clase A
Clase B
<2
Clase B
Clase B
Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero
7.6.4. Empalmes de barras en compresión
La longitud de empalme para empalmes de solapa a compresión debe ser 0.071 · 𝑓𝑦 · 𝑑𝑏 para barras de
acero con tensiones de fluencia 𝑓𝑦 iguales o menores a 420 [𝑀𝑃𝑎] o (0.13 · 𝑓𝑦 − 24) · 𝑑𝑏 para barras de
acero con tensiones de fluencia 𝑓𝑦 mayores a 420 [𝑀𝑃𝑎], pero no menos de 300 [𝑚𝑚]. Para hormigones
con resistencia característica a la compresión 𝑓𝑐′ menor a 21 [𝑀𝑃𝑎] la longitud de empalme debe ser
1
incrementada en 3.
Cuando barras en compresión de diferente diámetro son empalmadas, la longitud de empalme debe ser la
mayor de la longitud de desarrollo ℓ𝑑𝑐 de la barra más gruesa o la longitud del empalme en compresión
por traslapo de la barra más delgada.
En barras que se requieren sólo para compresión, el código permite que los esfuerzos se transfieran por
apoyo directo a través de cortes a escuadra manteniendo las dos barras en contacto concéntrico por medio
de algún dispositivo adecuado. Estos empalmes a tope se deben utilizar únicamente en elementos que
tengan estribos cerrados o espirales.
El código ACI, en su sección 10.7.5, indica algunos requerimientos especiales para columnas en el caso de
empalmes con solapa, empalmes mecánicos, soldadura a tope y otros.
7.6.5. Empalmes de refuerzo electrosoldado de alambre corrugado a tracción
≥ 50 [𝑚𝑚]
Con al menos un alambre
transversal dentro de la
longitud de empalme
1.3 · ℓ𝑑 ≥ 200 [𝑚𝑚]
Sin ningún alambre
transversal dentro de la
longitud de empalme
Igual que para el
alambre corrugado
Fig. 7.24. Empalmes por traslapo de refuerzo electrosoldado de alambre corrugado
La longitud mínima de empalme por traslapo del refuerzo electrosoldado de alambre corrugado, medida
entre los extremos de cada refuerzo es calculada considerando los siguientes criterios:
283
Diseño de estructuras de hormigón armado
- Cuando dentro de la longitud de empalme hay por lo menos un alambre transversal, la longitud
de empalme no debe ser menor de 1.3 · ℓ𝑑 y de 200 [𝑚𝑚]; y la longitud de traslapo medida
entre los alambres transversales más alejados de cada refuerzo electrosoldado individual no
debe ser menor de 50 [𝑚𝑚], donde ℓ𝑑 es calculada con base a lo descrito en el acápite 7.4.6.
- Cuando dentro de la longitud de empalme no hay ningún alambre transversal, la longitud de
empalme se determinan de manera similar a los empalmes de alambres corrugados.
7.6.6. Empalmes de refuerzo electrosoldado de alambre liso a tracción
La longitud mínima de empalme por traslapo del refuerzo electrosoldado de alambre liso es calculada
considerando los siguientes criterios:
- Cuando el área de acero suministrada es menor que 2 veces el área requerida por análisis en la
zona de empalme, la longitud de traslapo, medida entre los alambres transversales más alejados
de cada refuerzo electrosoldado individual, no debe ser menor que el mayor de un
espaciamiento de los alambres transversales más 50 [𝑚𝑚], 1.5 · ℓ𝑑 y de 150 [𝑚𝑚]; donde ℓ𝑑
es calculada con base a lo descrito en el acápite 7.4.7.
- Cuando el área de acero suministrada es igual o mayor que 2 veces el área requerida por
análisis en la zona de empalme, la longitud de traslapo, medida entre los alambres transversales
más alejados de cada refuerzo electrosoldado individual, no debe ser menor que el mayor de
1.5 · ℓ𝑑 y 50 [𝑚𝑚]; donde ℓ𝑑 es calculada con base a lo descrito en el acápite 7.4.7.
≥ 50 [𝑚𝑚]
𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜
<2
𝐴𝑠 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑐𝑎𝑑𝑜
1.5 · ℓ𝑑 ≥ 150 [𝑚𝑚]
𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜
≥2
𝐴𝑠 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑐𝑎𝑑𝑜
1.5 · ℓ𝑑 ≥ 50 [𝑚𝑚]
Fig. 7.25. Empalmes por traslapo de refuerzo electrosoldado de alambre liso
284
Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero
7.7. Problemas propuestos
1. Indique dos razones por las que la longitud de desarrollo en barras en tracción es mayor a la de barras
en compresión.
2. Una viga rectangular con las características que se describen al final soporta un carga total última de
55.0 [𝑘𝑁/𝑚] que incluye su peso propio. La viga está simplemente apoyada y tiene una luz de
7.00 [𝑚]. Su refuerzo positivo es de 6 barras de 20 [𝑚𝑚] de diámetro, de las cuales dos son cortadas
antes de llegar a los soportes, mientras que las restantes cuatro se extienden 300 [𝑚𝑚] más halla del
centro de los soportes. La viga tiene estribos de 10 [𝑚𝑚] de diámetro que satisfacen todos los
requerimientos del código ACI.
Dimensiones:
𝑏 = 355 [𝑚𝑚]
ℎ = 610 [𝑚𝑚]
𝑑 = 550 [𝑚𝑚]
a)
b)
c)
Características de los materiales:
𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
Dibujar a escala el diagrama de momentos últimos.
Redibujar el diagrama de momentos recorriéndolo una distancia 𝑑 hacia ambos soportes.
Dibujar el diagrama de resistencia y localizar los puntos de corte para las dos barras de 20 [𝑚𝑚]
de diámetro.
3. La viga de la figura está en voladizo y se proyecta fuera de la columna una longitud de 2.5 [𝑚]. Una
carga muerta de 22 [𝑘𝑁/𝑚] que incluye el peso propio más una carga viva de 44 [𝑘𝑁/𝑚] son
soportadas por la viga. Se proveen dos barras de refuerzo en la cara a tracción y estribos cerrados a lo
largo de la viga.
a) Utilizando las ecuaciones simplificadas para la longitud de desarrollo, verificar si las barras
pueden ser desarrolladas adecuadamente considerando 𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎] y 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎].
b) Recalcular la longitud requerida de desarrollo utilizando la ecuación más precisa.
c) Detallar las dimensiones del gancho que se requiere en el extremo izquierdo de la barra.
100
𝐸 4𝜙12 𝑐/200 200
𝐸 7𝜙12 𝑐/250
2𝜙32
460
100
75
610
540
50
500
2500
230
Dimensiones en [𝑚𝑚]
285
CAPÍTULO 8
COLUMNAS CORTAS
8. Columnas cortas
8.1. Introducción
En general, una columna es un elemento estructural vertical cuya función principal es la de transmitir
todas las cargas (esfuerzos normales de compresión, momentos flectores, etc.) de la estructura hacia las
fundaciones. El comportamiento de una columna y el modo en que ésta falla dependen de la relación entre
la intensidad del esfuerzo axial y los esfuerzos de flexión.
Fig. 8.1. Diferentes tipos de sección transversal para columnas de hormigón armado
287
Diseño de estructuras de hormigón armado
En general, las dimensiones de la sección transversal de una columna son menores que su altura y ésta
puede adoptar la forma cuadrada, rectangular, circular u otra que sea conveniente.
Las columnas de hormigón armado pueden tener una gran diversidad de secciones transversales tal como
se muestra en la figura 8.1 y se encuentran reforzadas por una combinación de barras longitudinales y
transversales. Las barras transversales también llamadas estribos pueden ser piezas aisladas dispuestas a lo
largo de la columna con una cierta separación en la forma de estribos cerrados (cuadrados, rectangulares,
circulares, etc.) o ser una pieza continua en forma de espiral, con pequeño paso, que envuelve a las barras
longitudinales.
Otros términos comúnmente utilizados para describir a las columnas son "miembros a compresión" o
"miembros sujetos a carga axial y momentos flectores" como en el caso de muros, cordón superior de
cerchas, etc. Estos elementos pueden ser horizontales, verticales o inclinados. Una columna es un caso
especial de un miembro a compresión que es vertical.
El término de columna corta o simplemente columna es utilizado cuando su carga axial última, para una
excentricidad dada, está controlada por las dimensiones de su sección transversal y por la resistencia de
los materiales que la componen. Mientras que el término de columna esbelta es utilizado para describir
una columna donde su longitud ocasiona momentos adicionales (momentos de segundo orden) que
disminuyen el valor de la carga axial última que puede resistir la columna. En este capítulo se tratará
solamente el comportamiento de columnas cortas, eso quiere decir columnas cuya falla no está
influenciada por la no linealidad geométrica, sino por la no linealidad del material.
En columnas esbeltas, donde la capacidad resistente de la columna se ve significativamente disminuida
por la presencia de momentos flectores, se debe considerar en el análisis y diseño de las mismas, los
efectos de segundo orden. En la mayoría de las estructuras, las columnas son lo suficientemente robustas o
se encuentran arriostradas de tal manera que los efectos de segundo orden, también llamados efectos
𝑃 − Δ, pueden ser despreciados.
8.2. Comportamiento elástico de columnas cargadas axialmente
En la figura 8.2 se muestra en forma esquemática una columna de hormigón armado sometida a una carga
axial 𝑃. Para estudiar el comportamiento elástico de la columna, se considera que la carga se incrementa
progresivamente sin superar cierto valor de modo que la respuesta es básicamente elástica y lineal.
Cuando los esfuerzos en el hormigón y en el acero son suficientemente pequeños, la relación entre
tensiones y deformaciones puede ser considerada como lineal y la teoría elástica es aplicable. En la figura
2.2 del capítulo 2, se puede apreciar que para esfuerzos menores al 50% o 60% del esfuerzo máximo se
puede considerar de forma aproximada que la ley de Hooke es válida (𝑓𝑐 = 𝐸𝑐 ∙ 𝜀𝑐 ) en el hormigón,
mientras que en el acero, la ley de Hooke (𝑓𝑠 = 𝐸𝑠 ∙ 𝜀𝑠 ) es aplicable para tensiones inferiores a la tensión
de fluencia. Por condición de compatibilidad de deformaciones, el acortamiento elástico es igual en ambos
materiales.
𝜀 = 𝜀𝑐 = 𝜀𝑠
288
(8.1)
Columnas cortas
𝑃
Barras
longitudinales
A
A
Estribos
Sección A-A
Fig. 8.2. Columna de hormigón armado sometida a carga axial concéntrica
Por la condición de equilibrio de fuerzas se tiene:
𝑃 = 𝑓𝑐 ∙ 𝐴𝑐 + 𝑓𝑠 ∙ 𝐴𝑠𝑡
(8.2)
Donde:
𝑃 = Carga axial aplicada.
𝑓𝑐 = Tensión de compresión en el hormigón.
𝐴𝑐 = Área neta de hormigón.
𝑓𝑠 = Tensión de compresión en el acero.
𝐴𝑠𝑡 = Área de armadura longitudinal.
Remplazando las relaciones constitutivas lineales para el hormigón y el acero en la ecuación (8.1) se
tiene:

𝑓𝑐
𝑓𝑠
𝜀=
=
(8.3)
𝐸𝑐 𝐸𝑠

𝐸𝑠
𝑓𝑠 =
∙𝑓
(8.4)
𝐸𝑐 𝑐
Si se designa como 𝑛 a la relación de módulos de elasticidad del acero con respecto al del hormigón, se
tiene:
𝐸𝑠
𝐸𝑐
𝑓𝑠 = 𝑛 ∙ 𝑓𝑐
𝑛=
(8.5)
(8.6)
289
Diseño de estructuras de hormigón armado
Transformando el área de la sección transversal de la columna en una equivalente de solamente hormigón
se tiene la siguiente ecuación:
𝐴𝑡𝑡 = 𝐴𝑐 + 𝑛 ∙ 𝐴𝑠𝑡
(8.7)
Pero, si la referimos al área total o área bruta 𝐴𝑔 , sería:
𝐴𝑔 = 𝐴𝑐 + 𝐴𝑠𝑡
(8.8)
𝐴𝑡𝑡 = 𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 + 𝑛 ∙ 𝐴𝑠𝑡 = 𝐴𝑔 + 𝐴𝑠𝑡 ∙ (𝑛 − 1)
(8.9)
Se designa con 𝜌ℓ a la relación entre el área de refuerzo longitudinal distribuido y el área bruta de
hormigón perpendicular a este refuerzo.
𝜌ℓ =
𝐴𝑠𝑡
𝐴𝑔
(8.10)
El área transformada 𝐴𝑡𝑡 queda expresada como:
𝐴𝑡𝑡 = 𝐴𝑔 + 𝐴𝑔 ∙ 𝜌ℓ ∙ (𝑛 − 1) = 𝐴𝑔 ∙ [1 + 𝜌ℓ ∙ (𝑛 − 1)]
(8.11)
De la combinación de las ecuaciones (8.2) y (8.3) se pueden escribir las expresiones de las tensiones del
hormigón y del acero para una carga dada, ya que:
𝑃 = 𝑓𝑐 ∙ 𝐴𝑐 + 𝑓𝑐 ∙ 𝑛 ∙ 𝐴𝑠𝑡 = 𝑓𝑐 ∙ (𝐴𝑐 + 𝑛 ∙ 𝐴𝑠𝑡 ) = 𝑓𝑐 ∙ 𝐴𝑡𝑡
Por lo que:
𝑓𝑐 =
𝑃
𝐴𝑔 ∙ [1 + 𝜌ℓ ∙ (𝑛 − 1)]
(8.12)
𝑓𝑠 =
𝑛∙𝑃
= 𝑛 ∙ 𝑓𝑐
𝐴𝑔 ∙ [1 + 𝜌ℓ ∙ (𝑛 − 1)]
(8.13)
Ejemplo. Una columna de sección cuadrada de 400 [𝑚𝑚] de lado y que tiene una cuantía de refuerzo
igual a 0.01 es sometida a una carga axial de 2000 [𝑘𝑁] de corta duración y por tanto no se considera el
efecto de fluencia (𝐶𝑡 = 0). Hallar los esfuerzos en el hormigón y el acero considerando una tensión de
fluencia de 420 [𝑀𝑃𝑎] para el acero y una resistencia característica igual a 20 [𝑀𝑃𝑎] con un módulo de
elasticidad de 21500 [𝑀𝑃𝑎] para el hormigón.
290
Columnas cortas
𝑛=
𝐸𝑠
200000
∙ (1 + 𝐶𝑡 ) =
∙ (1 + 0) = 9.30
𝐸𝑐
21500
𝑓𝑐 =
𝑃
2000 ∙ 1000
=
= 11.54 [𝑀𝑃𝑎]
2
𝐴𝑔 ∙ [1 + 𝜌ℓ ∙ (𝑛 − 1)] 400 ∙ [1 + 0.01 ∙ (9.30 − 1)]
𝑓𝑠 = 𝑛 ∙ 𝑓𝑐 = 9.30 ∙ 11.54 = 107.32 [𝑀𝑃𝑎]
En el ejemplo, se puede apreciar que la tensión en el hormigón de 11.54 [𝑀𝑃𝑎] representa un poco más
de la mitad de la resistencia característica del hormigón (0.58 ∙ 𝑓𝑐′ ) por lo que la suposición de
comportamiento elástico da una buena solución. En el acero, la tensión de 107.32 [𝑀𝑃𝑎] está muy por
debajo de la tensión de fluencia (0.26 ∙ 𝑓𝑦 ) y el comportamiento elástico está garantizado.
Para cargas de servicio de corta duración, la teoría elástica predice de una manera satisfactoria las
tensiones en el hormigón y el acero. Sin embargo, los fenómenos de retracción y fluencia del hormigón,
estudiados en el capítulo 2, afectan significativamente la distribución de tensiones calculadas con la teoría
elástica para las cargas de servicio debido a que en estructuras de hormigón armado la carga se va
aplicando progresivamente hasta un valor máximo y esa carga es de carácter permanente sobre la
estructura. Para ese caso, las tensiones finales cambian porque existe una redistribución de esfuerzos entre
el hormigón y el acero.
La fluencia del hormigón hace que su deformación se incremente y por tanto su módulo de elasticidad
disminuya (módulo de elasticidad efectivo) con lo que el valor de la relación de módulos se incrementa
hasta valores que pueden a llegar a ser más del doble del inicialmente calculado. En consecuencia, el
esfuerzo en el hormigón disminuye, mientras que en el acero aumenta. La redistribución de tensiones
puede continuar por años hasta que se estabilice la relación modular y por ello es muy difícil estimar los
valores finales que pueden alcanzar los esfuerzos en el hormigón y el acero para cargas de servicio
permanentes. Algunos investigadores mencionan que para hormigones normales el valor del módulo
efectivo del hormigón puede disminuir de 2 a 3 veces con respecto del valor inicial. Es decir, que la
relación de módulos para cargas de larga duración puede ser 2 a 3 veces mayor al correspondiente para
cargas de corta duración. Si parte de la carga sobre la columna es removida, como se muestra en la figura
2.10 hay una recuperación elástica inmediata y se inducen tensiones residuales. Podría suceder incluso,
dependiendo de los contenidos de acero y de la magnitud del fenómeno de fluencia, que si bien el acero
continúa en compresión, el hormigón podría terminar con esfuerzos de tracción suficientes como para
provocar fisuras.
La retracción del hormigón, explicada en el capítulo 2, provoca también una redistribución de esfuerzos
entre el acero y el hormigón. Una columna de hormigón simple (sin armadura) que sufra teóricamente una
retracción uniforme no debería tener variaciones en sus tensiones si las deformaciones por retracción son
libres de producirse. Sin embargo, en las columnas de hormigón armado las barras de acero, por su efecto
de adherencia, resisten las deformaciones por retracción y en consecuencia se inducen tensiones de
tracción en el hormigón y de compresión en el acero.
291
Diseño de estructuras de hormigón armado
De lo expuesto anteriormente, se puede concluir que los esfuerzos calculados mediante las ecuaciones
(8.12) y (8.13) no son en definitiva los valores finales de las tensiones en el hormigón y el acero bajo
cargas de servicio. La situación se complica aún más si la carga tiene variaciones significativas con
respecto del tiempo porque la redistribución de esfuerzos dificulta mucho más la utilización de la teoría
elástica. Como conclusión, se puede indicar que no es posible utilizar la teoría elástica de tensiones
admisibles para tratar de establecer la seguridad de columnas de hormigón armado porque no se pueden
conocer con precisión las tensiones finales en el hormigón y el acero.
Por el contrario, la carga última de una columna de hormigón armado no varía apreciablemente con la
historia de cargas y es independiente de los efectos de fluencia y retracción. Para comprender el
comportamiento de una columna de hormigón armado hasta su rotura es conveniente referirse a las curvas
de las figuras 2.1 y 2.29 que muestran la respuesta a carga axial de compresión del hormigón y del acero,
respectivamente. Cuando la carga axial alcanza cierto nivel, para características usuales de los materiales,
el acero entrará en fluencia antes de que el hormigón alcance su resistencia máxima.
La figura 8.3 representa, en términos de carga vs. deformación axial, la respuesta de una columna de
hormigón armado sometida a carga axial de compresión. La carga máxima de la columna se alcanza
cuando el hormigón llega a su resistencia máxima y no cuando el acero alcanza su resistencia de fluencia
debido a que una vez que el acero fluye su tensión no disminuye y el hormigón continúa en la rama
ascendente de su respuesta axial. Después del punto máximo, se produce un descenso de la resistencia en
la columna por la pérdida de resistencia del hormigón hasta que se produce la falla completa del elemento.
Por tanto, la carga máxima de una columna de hormigón armado es la suma de la resistencia a fluencia del
acero más la resistencia máxima del hormigón. Por ensayos, se ha verificado que la resistencia del
hormigón en una columna cargada axialmente es aproximadamente 0.85 ∙ 𝑓𝑐′, donde 𝑓𝑐′ , es la resistencia
característica cilíndrica del hormigón a compresión.
Carga [𝑘𝑁]
800
Curva carga vs. deformación
del hormigón
600
0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ (𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 )
400
200
𝐴𝑠𝑡 ∙ 𝑓𝑦
0
0.002
0.004
0.006
Curva carga vs. deformación
para el acero
0.008
0.010
Deformación
Fig. 8.3. Curva carga vs. deformación para el acero y el hormigón de una columna
con carga axial de compresión
292
Columnas cortas
8.3. Resistencia última de columnas cargadas axialmente
La resistencia de una columna cargada axialmente está dada por la siguiente ecuación:
𝑃𝑜 = 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ (𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 ) + 𝑓𝑦 ∙ 𝐴𝑠𝑡
(8.14)
Donde:
𝐴𝑔 = Área total de la sección transversal del elemento.
𝐴𝑠𝑡 = Área del acero longitudinal (paralelo a la carga axial).
0.85 · 𝑓𝑐′ = Máximo esfuerzo de compresión en el hormigón (derivado de ensayos).
𝑓𝑦 = Tensión de fluencia del acero.
En la ecuación (8.14) se asume que el acero trabaja a su tensión de fluencia 𝑓𝑦 , mientras que el hormigón
solamente alcanza una resistencia a la compresión de 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ . Esta disminución en la resistencia del
hormigón se debe principalmente a los siguientes factores:
a) La velocidad de aplicación de la carga en una estructura real es mucho menor a la utilizada en el
ensayo de compresión del cilindro.
b) Las dimensiones y formas de la sección transversal de las columnas en obra pueden diferir en
cierto grado con las de los planos de diseño.
c) Las columnas son generalmente vaciadas en forma vertical y eso produce algo de segregación de
la mezcla y ganancia de agua en la parte superior del elemento.
𝑃𝑜
0.85 ∙ 𝑓𝑐′
Resistencia del hormigón
cargado axialmente
(Valor encontrado de
experimentos realizados)
Fig. 8.4. Columna con carga axial concéntrica
8.4. Diagramas de interacción
Casi todos los miembros a compresión en estructuras de hormigón armado están también sujetos a
momentos flectores que provienen de la excentricidad de la carga axial o del momento no balanceado de
vigas en las conexiones rígidas viga - columna como en el caso de pórticos. Para el diseño y cálculo de
elementos sometidos a flexión y compresión es recomendable utilizar los llamados “diagramas de
interacción” que son simplemente diagramas que muestran la interacción de una carga axial con un
momento flector en una sección transversal de hormigón armado.
293
Diseño de estructuras de hormigón armado
ℎ
𝑏
𝑒
Sección Transversal
𝑃
Carga Excéntrica
𝑃
𝑀 =𝑃·𝑒
Carga Axial y Momento
Fig. 8.5. Columna con carga axial excéntrica
Para ilustrar el concepto de la interacción entre momento flector y carga axial se utilizará una columna de
material homogéneo y elástico con una resistencia a la compresión 𝑓𝑐𝑢 igual a su resistencia a la tracción
𝑓𝑡𝑢 . En la figura 8.6 se muestra la curva tensión – deformación para el material elegido. En el primer
cuadrante se representa el comportamiento de compresión del material (deformación máxima de
compresión 𝜀𝑐𝑢 y tensión máxima de compresión 𝑓𝑐𝑢 ), mientras que en el tercer cuadrante se representa el
comportamiento de tracción del material (deformación máxima de tracción 𝜀𝑡𝑢 y tensión máxima de
tracción 𝑓𝑡𝑢 ).
Para la derivación de las ecuaciones se utilizará la siguiente notación:
𝐴 = Área de la sección transversal.
𝐼 = Momento de inercia de la sección transversal.
𝑐 = Distancia desde el centro de gravedad hasta la fibra más comprimida.
𝑃 = Carga axial (+ en compresión).
𝑀 = Momento flector (+ en el sentido de las agujas del reloj).
294
Columnas cortas
𝜎
𝑓𝑐𝑢 = Tensión máxima de compresión (+).
𝑓𝑡𝑢 = Tensión máxima de tracción (-).
𝑓𝑐𝑢
𝜀𝑡𝑢
𝜀𝑐𝑢
𝜀
𝑓𝑡𝑢
Fig. 8.6. Curva tensión - deformación lineal
La falla de la sección de la columna por compresión ocurrirá cuando, en una de las fibras extremas, la
suma de los esfuerzos de compresión producidos por la carga axial y el momento flector alcance el valor
máximo de la resistencia por compresión del material 𝒇𝒄𝒖.
𝑃 𝑀∙𝑐
+
= 𝑓𝑐𝑢
𝐴
𝐼
𝑃
𝑀
𝑃
𝑀∙𝑐
+
=1
𝑓𝑐𝑢 ∙ 𝐴 𝑓𝑐𝑢 ∙ 𝐼
Si
𝑀=0
 𝑃𝑚𝑎𝑥 = 𝑓𝑐𝑢 · 𝐴
Si
𝑃=0

𝑃
𝑃𝑚𝑎𝑥
+
𝑀
=1
𝑀𝑚𝑎𝑥
𝑓 ∙𝐼
𝑀𝑚𝑎𝑥 = 𝑐𝑢𝑐
1
𝑃
𝐴
𝑀∙𝑐
𝐼
𝑃 𝑀∙𝑐
−
𝐴
𝐼
𝑃
𝐴
𝑀∙𝑐
𝐼
𝑃 𝑀∙𝑐
+
𝐴
𝐼
Si se repite el mismo procedimiento cambiando los sentidos de 𝑃 y 𝑀 se pueden hallar otras ecuaciones
que en su conjunto forman el diagrama de interacción de la sección transversal. En la siguiente figura se
muestra el diagrama de interacción para una sección rectangular de material elástico donde |𝑓𝑐𝑢 | = |𝑓𝑡𝑢 |.
295
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑃
𝑃𝑚𝑎𝑥
1
4
𝑃
𝑃𝑚𝑎𝑥
−
D
𝑀
𝑀𝑚𝑎𝑥
-1
−
𝑃
𝑃𝑚𝑎𝑥
A
𝑀
=1
𝑀𝑚𝑎𝑥
Momento -
3
Compresión
−
𝑃
F
𝑃𝑚𝑎𝑥
+
𝑀
=1
𝑀𝑚𝑎𝑥
1
E
ZONA SEGURA
B
Momento +
𝑀
𝑀𝑚𝑎𝑥
1
𝑀
=1
𝑀𝑚𝑎𝑥
−
-1
C
𝑃
Tracción
Si:
𝑃
𝑃𝑚𝑎𝑥
+
𝑀
=1
𝑀𝑚𝑎𝑥
2
𝑃𝑚𝑎𝑥 = 𝑓𝑡𝑢 ∙ 𝐴
𝑀𝑚𝑎𝑥 =
𝑓𝑡𝑢 ∙ 𝐴
𝑐
𝑃𝑚𝑎𝑥
Fig. 8.7. Diagrama de interacción para una columna elástica con |𝒇𝒄𝒖| = |𝒇𝒕𝒖|
Punto E.- Representa una combinación de 𝑃 y 𝑀 que no producirá falla de la sección transversal.
Punto F.- Representa una combinación de 𝑃 y 𝑀 que producirá falla de la sección transversal.
Si se considera un material que no tiene resistencia a la tracción (𝑓𝑡𝑢 = 0), entonces el diagrama de
interacción (figura 8.8) sufre un desplazamiento hacia arriba para reflejar esa situación. En este caso la
sección transversal no puede soportar ninguna carga axial de tracción. El diagrama de interacción ocupa
únicamente los dos cuadrantes superiores (cuadrantes I y IV), lo cual refleja que la sección transversal
resiste solamente diferentes combinaciones de fuerzas de compresión y momentos flectores.
Si se considera un material que tiene una resistencia a la tracción igual a la mitad de la resistencia a la
compresión (𝑓𝑡𝑢 = −𝑓𝑐𝑢 /2), entonces el diagrama de interacción (figura 8.9) se desplaza a otra posición
que refleja esa nueva situación. En este caso la sección transversal puede soportar cierta magnitud de
carga axial de tracción. La mayor parte del diagrama de interacción se encuentra en los dos cuadrantes
superiores, lo que refleja el comportamiento de la curva tensión - deformación del material.
296
Columnas cortas
𝑃
𝜎
𝑃𝑚𝑎𝑥
1
Compresión
𝑓𝑐𝑢
𝜀𝑐𝑢
𝜀
ZONA SEGURA
Momento +
𝑀
𝑀𝑚𝑎𝑥
0
Fig. 8.8. Diagramas de interacción para una columna elástica con 𝒇𝒕𝒖 = 𝟎
𝑃
𝜎
𝑃𝑚𝑎𝑥
Compresión
1
𝑓𝑐𝑢
𝜀𝑡𝑢
𝜀𝑐𝑢
ZONA SEGURA
𝜀
𝑓𝑡𝑢
Momento +
𝑀
𝑀𝑚𝑎𝑥
-0.5
Tracción
𝒇
Fig. 8.9. Diagramas de interacción para una columna elástica con 𝒇𝒕𝒖 = |− 𝟐𝒄𝒖 |
297
Diseño de estructuras de hormigón armado
En el caso de secciones de hormigón armado, la situación es mucho más compleja porque la resistencia a
la tracción del hormigón es mucho menor que su resistencia a la compresión y por tanto se deben utilizar
barras de acero para absorber los esfuerzos de tracción. Además, el hormigón en compresión tiene un
comportamiento no lineal, lo cual complica aún más la construcción de diagramas de interacción para este
material. En la siguiente sección se explica un método sencillo de cálculo que se basa en la compatibilidad
de las deformaciones dentro de la sección transversal del elemento.
8.5. Diagramas de interacción para columnas de hormigón armado
8.5.1. Solución utilizado compatibilidad de deformaciones
Utilizando la suposición de que las secciones planas antes de la flexión se mantienen planas después de
ella, se puede desarrollar un procedimiento relativamente sencillo, que se basa en la compatibilidad de las
deformaciones de la sección transversal. Para la construcción del diagrama de interacción, se asume una
serie de deformaciones con las cuales se calculan diferentes puntos cuyos valores corresponden a
combinaciones de 𝑃 y 𝑀. Cuando se han calculado suficientes puntos se procede a dibujar el diagrama de
interacción.
Para una distribución particular de deformaciones como la que se muestra en la siguiente figura, se
procede a calcular las tensiones y luego las fuerzas resultantes de las tensiones. Una vez que se tienen
todas las fuerzas se efectúa el equilibrio de la sección transversal para lo cual se realiza la sumatoria de las
fuerzas horizontales y se halla 𝑃𝑛 ; para luego proceder con la sumatoria de los momentos flectores
alrededor del centro de gravedad de la sección transversal para hallar 𝑀𝑛 . Los valores de 𝑃𝑛 y 𝑀𝑛
representan un punto en el diagrama de interacción.
𝑏
𝐴′′𝑠𝑠
𝜀𝑐 = 0.003
𝑑′
𝜀𝑠′
𝑐
0.85 · 𝑓𝑐′
𝑎
𝑓𝑠′
𝑑
𝐶 ′𝑠 = 𝐴′𝑠 · 𝑓𝑠′
𝐶𝑐 = 0.85 · 𝑓𝑐′ · 𝑎 · 𝑏
𝑃𝑛
𝐴𝑠𝑠
𝐴
𝜀𝑠
Sección
𝑀𝑛
Deformaciones
𝑓𝑠
Tensiones
𝑇 = 𝐴𝑠 · 𝑓𝑠
Fuerzas Internas
Fuerzas Resultantes
Fig. 8.10. Distribución de deformación arbitraria
El procedimiento descrito en el anterior párrafo es repetido las veces que uno considera necesario y se
hallan nuevos puntos del diagrama de interacción, con lo cual se dibuja la curva de interacción 𝑃 – 𝑀.
298
Columnas cortas
𝑃𝑛
Compresión
pura
A
𝜀𝑐𝑢
𝜀𝑐𝑢
𝜀𝑠 = 0
B
𝜀𝑐𝑢
Falla
balanceada
−𝜀𝑦
C
Tracción
pura
−𝜀𝑦
𝜀𝑐𝑢
D
𝜀𝑠 < −𝜀𝑦
E
Flexión pura
𝑀𝑛
F
Fig. 8.11. Diagrama de interacción con base a diferentes distribuciones de deformación

Carga máxima axial
La resistencia de una columna bajo carga axial concéntrica es:
𝑃𝑜 = 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ (𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 ) + 𝑓𝑦 ∙ 𝐴𝑠𝑡
(8.14)
Donde:
𝐴𝑔 = Área total de la sección transversal del elemento.
𝐴𝑠𝑡 = Área del acero longitudinal (paralelo a la carga axial).
0.85 · 𝑓𝑐′ = Máximo esfuerzo de compresión en el hormigón (derivado de ensayos).
𝑓𝑦 = Tensión de fluencia del acero.
299
Diseño de estructuras de hormigón armado
Para tomar en cuenta los efectos de momentos o excentricidades accidentales de la carga axial, el código
ACI en sus secciones 22.4.2.1 y 22.4.2.2 especifica que la máxima carga en una columna no debe exceder
los siguientes valores:
Columnas con espirales:
𝜙 ∙ 𝑃𝑛𝑚𝑎𝑥 = 0.85 ∙ 𝜙 ∙ [0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ (𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 ) + 𝑓𝑦 ∙ 𝐴𝑠𝑡 ]
(8.15)
Columnas con estribos:
𝜙 ∙ 𝑃𝑛𝑚𝑎𝑥 = 0.80 ∙ 𝜙 ∙ [0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ (𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 ) + 𝑓𝑦 ∙ 𝐴𝑠𝑡 ]
(8.16)

Factor de reducción de la resistencia 𝝓
En el diseño de columnas se debe satisfacer lo siguiente:
𝜙 ∙ 𝑃𝑛 ≥ 𝑃𝑢
𝜙 ∙ 𝑀𝑛 ≥ 𝑀𝑢
(8.17)
(8.18)
Donde:
𝑃𝑢 𝑦 𝑀𝑢 = Carga axial y momento flector últimos.
𝑃𝑛 𝑦 𝑀𝑛 = Resistencias nominales de la sección de la columna.
𝜙 = Factor de reducción de la resistencia que es el mismo en ambas ecuaciones.
Para valores elevados de carga axial (fallas controladas por compresión) se tiene:
𝜙 = 0.65
𝜙 = 0.75
𝜙 = 0.90
Columnas con estribos.
Columnas con espiral
Para flexión pura (𝑃𝑢 = 0)
Se necesita una transición de 𝜙 entre los valores de 0.65 o 0.75 a 0.90. La transición en 𝜙 es función de la
deformación 𝜀𝑡 en la capa de refuerzo más alejada de la cara de compresión.
Columna con estribos de acero 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
Si 𝜀𝑡 ≥ −𝜀𝑦 (más comprimida)
Si −𝜀𝑦 > 𝜀𝑡 > −0.005
Si 𝜀𝑡 ≤ −0.005 (más traccionado)
𝜙 = 0.65
𝜙 = 0.48 − 83 · 𝜀𝑡
𝜙 = 0.90
Columnas con espiral de acero 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
Si 𝜀𝑡 ≥ −𝜀𝑦 (más comprimido)
Si − 𝜀𝑦 > 𝜀𝑡 > −0.005
Si 𝜀𝑡 ≤ −0.005 (más traccionado)
300
𝜙 = 0.75
𝜙 = 0.65 − 50 · 𝜀𝑡
𝜙 = 0.90
Columnas cortas
Si la deformación neta en el acero más alejado de la cara de compresión 𝜀𝑡 esta en compresión, entonces
su valor es tomado como positivo, pero si está en tracción su valor es tomado como negativo.

Método de cálculo
Para ilustrar el método de cálculo del diagrama de interacción de una sección de hormigón armado se
considerará la sección rectangular de la siguiente figura. Se asume que sobre ella actúa una carga axial de
compresión con una cierta excentricidad de tal modo que sobre la sección se desarrolla un diagrama de
deformaciones no uniforme. Con base al diagrama de deformaciones es posible determinar los esfuerzos
en cada una de las filas de acero y en la porción de hormigón sometido a compresión.
Fuerza axial de compresión
0.85 · 𝑓𝑐′
Compresión (+)
𝜀𝑐𝑢 = 0.003
𝑑3
𝑑4
𝜀𝑠4
𝑑2
𝑑1
ℎ
𝜀𝑠3
𝑐
𝑓𝑠4
𝑎 = 𝛽1 ∙ 𝑐
𝑓𝑠3
𝜀𝑠2
𝜀𝑠1 = 𝑧 · 𝜀𝑦
𝑏
Sección
𝑓𝑠2
𝑓𝑠1
Valor arbitrario
z + para compresión
z – para tracción
Deformaciones
Esfuerzos (Todos positivos)
Fig. 8.12. Distribución de deformación en una sección de hormigón armado
Por triángulos similares:
0.003
0.003 0.003 − 𝑧 ∙ 𝜀𝑦
=
⇒ 𝑐=(
) ∙ 𝑑1
𝑑1
0.003 − 𝑧 ∙ 𝜀𝑦
𝑐
(8.19)
0.003
𝜀𝑠𝑖
=
𝑐
𝑐 − 𝑑𝑖
(8.20)
𝑐 − 𝑑𝑖
⇒ 𝜀𝑠𝑖 = (
) ∙ 0.003
𝑐
Una vez calculados los valores de c, εs4 , εs3 , εs2 y εs1 , se calculan los esfuerzos en el hormigón y en cada
fila de aceros.
𝑓𝑠𝑖 = 𝜀𝑠𝑖 ∙ 𝐸𝑠
(8.21)
301
Diseño de estructuras de hormigón armado
Pero − 𝑓𝑦 ≤ 𝑓𝑠𝑖 ≤ 𝑓𝑦
𝛽1 = 1.05 − 0.007 ∙ 𝑓𝑐′
Pero 0.65 ≤ 𝛽1 ≤ 0.85
⇒
𝑎 = 𝛽1 ∙ 𝑐
𝑓𝑠
𝑓𝑠 = 𝑓𝑦
𝑓𝑦
− 𝜀𝑦
𝑓𝑠 = − 𝑓𝑦
𝜀𝑦
𝜀𝑠
− 𝑓𝑦
Fig. 8.13. Diagrama tensión – deformación de las barras de acero
Cuando se tienen calculados los esfuerzos en cada uno de los elementos de la sección transversal, se
procede a hallar la posición y magnitud de la resultante de cada uno de ellos.
Hormigón:
𝐶𝑐 = (0.85 · 𝑓𝑐′ ) · 𝑎 · 𝑏
(8.22)
Acero:
Si 𝑎 < 𝑑𝑖
⇒ 𝐹𝑠𝑖 = 𝑓𝑠𝑖 · 𝐴𝑠𝑖 (+𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛)
Si 𝑎 ≥ 𝑑𝑖
⇒
𝐹𝑠𝑖 = (𝑓𝑠𝑖 − 0.85 · 𝑓𝑐′ ) · 𝐴𝑠𝑖
(8.23)
(8.24)
Finalmente, para hallar 𝑃𝑛 y 𝑀𝑛 se realiza el equilibrio de las fuerzas resultantes en la sección transversal
procediendo con la sumatoria de las fuerzas en el sentido perpendicular a la sección y la sumatoria de
momentos alrededor del centro de gravedad de la sección de hormigón calculado sin considerar las barras
de acero.
𝑛
𝑃𝑛 = 𝐶𝑐 + ∑ 𝐹𝑠𝑖
𝑖=1
(8.25)
𝑛
ℎ 𝑎
ℎ
𝑀𝑛 = 𝐶𝑐 ∙ ( − ) + ∑ 𝐹𝑠𝑖 ∙ ( − 𝑑𝑖 )
2 2
2
𝑖=1
302
(8.26)
Columnas cortas
Fuerza axial de tracción
La resistencia para fuerza axial de tracción es calculada asumiendo que la sección está completamente
agrietada y sujeta a una deformación uniforme mayor o igual a −𝜀𝑦 .
𝑛
𝑃𝑛𝑡 = ∑ −𝑓𝑦 ∙ 𝐴𝑠𝑖
(8.27)
𝑖=1
Para una sección simétrica el correspondiente momento es cero (𝑀𝑛𝑡 = 0), pero para una sección no
simétrica se utiliza la siguiente ecuación:
𝑛
ℎ
𝑀𝑛𝑡 = ∑ 𝐹𝑠𝑖 ∙ ( − 𝑑𝑖 )
2
(8.28)
𝑖=1
𝐹𝑠4
ℎ/2
𝐹𝑠3
𝐹𝑠2
Cc
𝑎/2
(ℎ/2 − 𝑑4 )
(ℎ/2 − 𝑎/2)
(ℎ/2 − 𝑑3 )
(ℎ/2 − 𝑑2 )
(ℎ/2 − 𝑑1 )
𝐹𝑠1
𝑏
Fuerzas en la sección
Sección
Fig. 8.14. Fuerzas internas en una sección de hormigón armado
Ejemplo. Calcular cuatro puntos del diagrama de interacción para la columna de la figura.
𝑓𝑐′ = 35 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
𝜀𝑦 = 𝑓𝑦 /𝐸𝑠 = 420/200000 = 0.0021
𝑑2 = 60
𝐴𝑠2 = 1963 [𝑚𝑚2 ]
4𝜙25
𝑑1 = 340
400
4𝜙25
𝐴𝑠1 = 1963 [𝑚𝑚2 ]
400
303
Diseño de estructuras de hormigón armado
a) Calcular la capacidad concéntrica axial y la máxima capacidad de carga axial.
𝑃𝑜 = 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ (𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 ) + 𝑓𝑦 ∙ 𝐴𝑠𝑡 =
𝑃𝑜 = 4643 + 1649 = 6292 [𝑘𝑁]
3926
0.85 ∙ 35
∙ (4002 − 3926) + 420 ∙
1000
1000
Punto A: (𝑃𝑜 , 𝑀𝑜 ) = (6292, 0)
𝜙 · 𝑃 𝑜 = 0.65 · 6292 = 4090 [𝑘𝑁]
Punto A’: (𝜙 · 𝑃𝑜 , 𝜙 · 𝑀𝑜 ) = (4090, 0)
Para esta columna, la cuantía longitudinal de refuerzo es:
𝜌ℓ =
𝐴𝑠𝑡
3926
=
= 0.0245 (2.45%)
𝐴𝑔 400 ∙ 400
La fuerza de 1649 [𝑘𝑁] soportada por el acero, corresponde a un 26.2% de la fuerza de 6292 [𝑘𝑁] que es
la capacidad nominal de la columna. Para columnas cargadas axialmente, el refuerzo de acero
generalmente soportará entre el 10% y 35% de toda la capacidad de la columna.
La máxima carga permitida en esta columna por el código ACI es:
𝜙 ∙ 𝑃𝑛 𝑚𝑎𝑥 = 0.80 ∙ 𝜙 ∙ 𝑃𝑜 = 0.80 ∙ 4090 = 3272 [𝑘𝑁]
b) Calcular 𝜙 · 𝑃𝑛 y 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 para el caso general.
Calcular 𝜙 · 𝑃𝑛 y 𝜙 · 𝑀𝑛 para 𝑧 = 0, −1, −2 y −4
c) Si 𝑧 = 0 calcular 𝜙 · 𝑃𝑛 y 𝜙 · 𝑀𝑛 .
Profundidad eje neutro.
𝑐=
0.003
0.003
∙ 𝑑1 =
∙ 340 = 340 [𝑚𝑚]
0.003 − 𝑧 ∙ 𝜀𝑦
0.003
Deformación en 𝐴𝑠1 .
𝜀𝑠1 = 𝑧 ∙ 𝜀𝑦 = 0 ∙ 0.0021 = 0 [𝑟𝑎𝑑]
Deformación en 𝐴𝑠2 .
𝜀𝑠2 =
304
𝑐 − 𝑑2
340 − 60
∙ 0.003 =
∙ 0.003 = 0.00247 [𝑟𝑎𝑑]
𝑐
340
Columnas cortas
Tensión en 𝐴𝑠1 .
𝑓𝑠1 = 𝜀𝑠1 ∙ 𝐸𝑠 = 0 [𝑀𝑃𝑎]
Tensión en 𝐴𝑠2 .
𝑓𝑠2 = 𝜀𝑠2 ∙ 𝐸𝑠 = 0.00247 ∙ 200000 = 494 [𝑀𝑃𝑎] > 𝑓𝑦 ⇒ 𝑓𝑠2 = 𝑓𝑦
𝑓𝑠2 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
Cálculo de 𝑎.
𝛽1 = 1.05 − 0.007 ∙ 𝑓𝑐′ = 1.05 − 0.007 ∙ 35 = 0.81 ≤ 0.85 ⇒ 𝛽1 = 0.81
𝑎 = 𝛽1 ∙ 𝑐 = 0.81 ∙ 340 = 275 [𝑚𝑚] < ℎ = 400 [𝑚𝑚]
Si 𝑎 > ℎ ⇒ 𝑎 = ℎ
Fuerza en el hormigón.
𝐶𝑐 = 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 = 0.85 ∙ 35 ∙
275 ∙ 400
= 3273[𝑘𝑁]
1000
Fuerza en 𝐴𝑠1 .
Como 𝑎 = 275 [𝑚𝑚] < 𝑑1 = 340 [𝑚𝑚]
1963
⇒ 𝐹𝑠1 = 𝑓𝑠1 · 𝐴𝑠1 = 0 ∙
= 0 [𝑘𝑁]
1000
Fuerza en 𝐴𝑠2 .
Como 𝑎 = 275 [𝑚𝑚] ≥ 𝑑2 = 60 [𝑚𝑚]
⇒ 𝐹𝑠2 = (𝑓𝑠2 − 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ) ∙ 𝐴𝑠2 = (420 − 0.85 ∙ 35) ∙
1963
= 766 [𝑘𝑁]
1000
Cálculo de 𝑃𝑛 .
𝑃𝑛 = 𝐶𝑐 + 𝐹𝑠1 + 𝐹𝑠2 = 3273 + 0 + 766 = 4039 [𝑘𝑁]
Cálculo de 𝑀𝑛 .
ℎ 𝑎
ℎ
ℎ
𝑀𝑛 = 𝐶𝑐 ∙ ( − ) + 𝐹𝑠1 ∙ ( − 𝑑1 ) + 𝐹𝑠2 ∙ ( − 𝑑2 )
2 2
2
2
𝑀𝑛 =
3273 400 275
766 400
∙(
−
)+0+
∙(
− 60) = 312 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
1000
2
2
1000
2
Punto B: (𝑃𝑛 , 𝑀𝑛 ) = (4039, 312)
305
Diseño de estructuras de hormigón armado
Cálculo de 𝜙.
𝜀𝑡 = 𝜀𝑠1 = 0 > − 𝜀𝑦 = −0.0021 ⇒ 𝜙 = 0.65
Cálculo de 𝜙 · 𝑃𝑛 .
𝜙 · 𝑃𝑛 = 0.65 · 4039 = 2625 [𝑘𝑁]
Cálculo de 𝜙 · 𝑀𝑛 .
𝜙 · 𝑀𝑛 = 0.65 · 312 = 203 [𝑘𝑁 · 𝑚]
Punto B’: (𝜙 · 𝑃𝑛 , 𝜙 · 𝑀𝑛 ) = (2625, 203)
d) Si 𝑧 = −1 calcular 𝜙 · 𝑃𝑛 y 𝜙 · 𝑀𝑛 .
Profundidad eje neutro.
𝑐=
0.003
∙ 340 = 200 [𝑚𝑚]
0.003 + 0.0021
Deformación en 𝐴𝑠1 .
𝜀𝑠1 = 𝑧 ∙ 𝜀𝑦 = −1 ∙ 0.0021 = −0.0021 [𝑟𝑎𝑑]
Deformación en 𝐴𝑠2 .
𝜀𝑠2 =
𝑐 − 𝑑2
200 − 60
∙ 0.003 =
∙ 0.003 = 0.0021 [𝑟𝑎𝑑]
𝑐
200
Tensión en 𝐴𝑠1 .
𝑓𝑠1 = 𝜀𝑠1 ∙ 𝐸𝑠 = −0.0021 ∙ 200000 = −420 [𝑀𝑃𝑎] ⇒ 𝑓𝑠1 = −𝑓𝑦
𝑓𝑠1 = −420 [𝑀𝑃𝑎]
Tensión en 𝐴𝑠2 .
𝑓𝑠2 = 𝜀𝑠2 ∙ 𝐸𝑠 = 0.0021 ∙ 200000 = 420 [𝑀𝑃𝑎] ⇒ 𝑓𝑠2 = 𝑓𝑦
𝑓𝑠2 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
Cálculo de 𝑎.
𝑎 = 𝛽1 ∙ 𝑐 = 0.81 ∙ 200 = 162 [𝑚𝑚] < ℎ = 400 [𝑚𝑚]
306
Columnas cortas
Fuerza en el hormigón.
𝐶𝑐 = 0.85 ∙ 35 ∙
162 ∙ 400
= 1928 [𝑘𝑁]
1000
Fuerza en 𝐴𝑠1 .
Como 𝑎 = 162 [𝑚𝑚] < 𝑑1 = 340 [𝑚𝑚]
1963
⇒ 𝐹𝑠1 = −420 ∙
= −824 [𝑘𝑁]
1000
Fuerza en 𝐴𝑠2 .
Como 𝑎 = 162 [𝑚𝑚] ≥ 𝑑2 = 60 [𝑚𝑚]
1963
⇒ 𝐹𝑠2 = (420 − 0.85 ∙ 35) ∙
= 766 [𝑘𝑁]
1000
Cálculo de 𝑃𝑛 .
𝑃𝑛 = 1928– 824 + 766 = 1870 [𝑘𝑁]
Cálculo de 𝑀𝑛 .
𝑀𝑛 =
1928
162
824
766
(200 − 60) = 452 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
∙ (200 −
)−
∙ (200 − 340) +
1000
2
1000
1000
Punto C: (𝑃𝑛 , 𝑀𝑛 ) = (1870, 452)
Cálculo de 𝜙.
𝜀𝑡 = 𝜀𝑠1 = −𝜀𝑦 = −0.0021 ⇒ 𝜙 = 0.65
Cálculo de 𝜙 · 𝑃𝑛 .
𝜙 · 𝑃𝑛 = 0.65 · 1870 = 1216 [𝑘𝑁]
Cálculo de 𝜙 · 𝑀𝑛 .
𝜙 · 𝑀𝑛 = 0.65 · 452 = 294 [𝑘𝑁 · 𝑚]
Punto C’: (𝜙 · 𝑃𝑛 , 𝜙 · 𝑀𝑛 ) = (1216, 294)
e) Si 𝑧 = −2 calcular 𝜙 · 𝑃𝑛 y 𝜙 · 𝑀𝑛 .
307
Diseño de estructuras de hormigón armado
Profundidad eje neutro.
𝑐=
0.003
∙ 340 = 142 [𝑚𝑚]
0.003 + 2 ∙ 0.0021
Deformación en 𝐴𝑠1 .
𝜀𝑠1 = 𝑧 ∙ 𝜀𝑦 = −2 ∙ 0.0021 = −0.0042 [𝑟𝑎𝑑]
Deformación en 𝐴𝑠2 .
𝜀𝑠2 =
𝑐 − 𝑑2
142 − 60
∙ 0.003 =
∙ 0.003 = 0.00173 [𝑟𝑎𝑑]
𝑐
142
Tensión en 𝐴𝑠1 .
𝑓𝑠1 = 𝜀𝑠1 ∙ 𝐸𝑠 = −0.0042 ∙ 200000 = −840 [𝑀𝑃𝑎] > −𝑓𝑦 ⇒ 𝑓𝑠1 = −420 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑠1 = −420 [𝑀𝑃𝑎]
Tensión en 𝐴𝑠2 .
𝑓𝑠2 = 𝜀𝑠2 ∙ 𝐸𝑠 = 0.00173 ∙ 200000 = 346 [𝑀𝑃𝑎] < 𝑓𝑦
Cálculo de 𝑎.
𝑎 = 𝛽1 ∙ 𝑐 = 0.81 ∙ 142 = 115[𝑚𝑚] < ℎ = 400 [𝑚𝑚]
Fuerza en el hormigón.
𝐶𝑐 = 0.85 ∙ 35 ∙
115 ∙ 400
= 1369 [𝑘𝑁]
1000
Fuerza en 𝐴𝑠1 .
Como 𝑎 = 115 [𝑚𝑚] < 𝑑1 = 340 [𝑚𝑚]
1963
⇒ 𝐹𝑠1 = −420 ∙
= −824 [𝑘𝑁]
1000
Fuerza en 𝐴𝑠2 .
Como 𝑎 = 115 [𝑚𝑚] ≥ 𝑑2 = 60 [𝑚𝑚]
1963
⇒ 𝐹𝑠2 = (346 − 0.85 ∙ 35) ∙
= 621 [𝑘𝑁]
1000
Cálculo de 𝑃𝑛 .
308
Columnas cortas
𝑃𝑛 = 1369 – 824 + 621 = 1166 [𝑘𝑁]
Cálculo de 𝑀𝑛 .
𝑀𝑛 =
1369
115
824
621
(200 − 60) = 397 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
∙ (200 −
)−
∙ (200 − 340) +
1000
2
1000
1000
Punto D: (𝑃𝑛 , 𝑀𝑛 ) = (1166, 397)
Cálculo de 𝜙.
𝜀𝑡 = 𝜀𝑠1 = −2 · 𝜀𝑦 = −0.0042 > − 0.005 ⇒ 𝜙 = 0.83
Cálculo de 𝜙 · 𝑃𝑛 .
𝜙 · 𝑃𝑛 = 0.83 · 1166 = 968 [𝑘𝑁]
Cálculo de 𝜙 · 𝑀𝑛 .
𝜙 · 𝑀𝑛 = 0.83 · 397 = 330 [𝑘𝑁 · 𝑚]
Punto D’: (𝜙 · 𝑃𝑛 , 𝜙 · 𝑀𝑛 ) = (968, 330)
f) Si 𝑧 = −4 calcular 𝜙 · 𝑃𝑛 y 𝜙 · 𝑀𝑛 .
Profundidad eje neutro.
𝑐=
0.003
∙ 340 = 89 [𝑚𝑚]
0.003 + 4 ∙ 0.0021
Deformación en 𝐴𝑠1 .
𝜀𝑠1 = 𝑧 ∙ 𝜀𝑦 = −4 ∙ 0.0021 = −0.0084 [𝑟𝑎𝑑]
Deformación en 𝐴𝑠2 .
𝜀𝑠2 =
𝑐 − 𝑑2
89 − 60
∙ 0.003 =
∙ 0.003 = 0.00098 [𝑟𝑎𝑑]
𝑐
89
Tensión en 𝐴𝑠1 .
𝑓𝑠1 = 𝜀𝑠1 ∙ 𝐸𝑠 = −0.0084 ∙ 200000 = −1680 [𝑀𝑃𝑎] > −𝑓𝑦 ⇒ 𝑓𝑠1 = −𝑓𝑦
𝑓𝑠1 = − 420 [𝑀𝑃𝑎]
309
Diseño de estructuras de hormigón armado
Tensión en 𝐴𝑠2 .
𝑓𝑠2 = 𝜀𝑠2 ∙ 𝐸𝑠 = 0.00098 ∙ 200000 = 196 [𝑀𝑃𝑎] < 𝑓𝑦
Cálculo de 𝑎.
𝑎 = 𝛽1 ∙ 𝑐 = 0.81 ∙ 89 = 72 [𝑚𝑚] < ℎ = 400 [𝑚𝑚]
Fuerza en el hormigón.
𝐶𝑐 = 0.85 ∙ 35 ∙
72 ∙ 400
= 857 [𝑘𝑁]
1000
Fuerza en 𝐴𝑠1 .
Como 𝑎 = 72 [𝑚𝑚] < 𝑑1 = 340 [𝑚𝑚]
1963
= −824 [𝑘𝑁]
⇒ 𝐹𝑠1 = −420
1000
Fuerza en 𝐴𝑠2 .
Como 𝑎 = 72 [𝑚𝑚] ≥ 𝑑2 = 60 [𝑚𝑚]
1963
⇒ 𝐹𝑠2 = (196 − 0.85 ∙ 35) ∙
= 326 [𝑘𝑁]
1000
Cálculo de 𝑃𝑛 .
𝑃𝑛 = 857 − 824 + 326 = 359 [𝑘𝑁]
Cálculo de 𝑀𝑛 .
𝑀𝑛 =
857
72
824
326
∙ (200 − ) −
∙ (200 − 340) +
∙ (200 − 60) = 302 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
1000
2
1000
1000
Punto E: (𝑃𝑛 , 𝑀𝑛 ) = (359, 302)
Cálculo de 𝜙.
𝜀𝑡 = 𝜀𝑠1 = −4 · 𝜀𝑦 = − 0.0084 ≤ − 0.005 ⇒ 𝜙 = 0.90
Cálculo de 𝜙 · 𝑃𝑛 .
𝜙 · 𝑃𝑛 = 0.90 · 359 = 323 [𝑘𝑁]
310
Columnas cortas
Cálculo de 𝜙 · 𝑀𝑛 .
𝜙 · 𝑀𝑛 = 0.90 · 302 = 272 [𝑘𝑁 · 𝑚]
Punto E’: (𝜙 · 𝑃𝑛 , 𝜙 · 𝑀𝑛 ) = (323, 272)
g) Calcular la capacidad para carga axial en tracción.
La capacidad bajo carga axial de tracción es igual a la resistencia de fluencia del acero en tracción.
𝑛
𝑃𝑛𝑡 = ∑(−𝑓𝑦 ∙ 𝐴𝑠𝑖 )
𝑖=1
𝑃𝑛𝑡 = −
420
∙ (1963 + 1963) = −1649 [𝑘𝑁]
1000
𝑀𝑛𝑡 = 0 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] porque la sección es simétrica
Punto F: (𝑃𝑛𝑡 , 𝑀𝑛𝑡 ) = (−1649, 0)
El factor de reducción de la resistencia para tracción pura es 𝜙 = 0.9.

𝜙 ∙ 𝑃𝑛 = 0.90 ∙ (−1649) = −1484 [𝑘𝑁]
Punto F’: (𝜙 · 𝑃𝑛𝑡 , 𝜙 · 𝑀𝑛𝑡 ) = (−1484, 0)
Para efectuar los cálculos de 𝑃𝑛 y 𝑀𝑛 , se puede desarrollar una hoja electrónica o un programa de
computadora que realice las operaciones de forma automática y dibuje con mayor precisión el diagrama de
interacción para cualquier tipo de columna. En la figura 8.15 se muestra el diagrama de interacción de la
columna del presente problema resuelto con la ayuda de una hoja electrónica.

Diagrama de interacción.
Una vez hallados los puntos A, A’, B, B’, C, C’, D, D’ E, E’, F y F’ se procede a dibujar el diagrama de
interacción de la sección de hormigón armado.
Para diseño, el diagrama de interacción debe ser utilizado considerando que el área encerrada dentro de la
línea continua representa la zona segura. Eso significa que cualquier combinación de carga axial y
momento flector que quede dentro de esa área puede ser soportada sin que se produzca la falla de la
sección transversal. Por otro lado, el área entre la línea continua y la línea segmentada representa
combinaciones de carga axial y momento flector, que si bien pueden ser resistidas sin que se produzca la
falla de la sección, no poseen los parámetros de seguridad que requiere el código. Por otro lado, cualquier
combinación de carga axial y momento flector que quede fuera de la línea segmentada no puede ser
resistida por la sección transversal de la columna. Es interesante notar que la presencia de carga axial
311
Diseño de estructuras de hormigón armado
moderada (por debajo de la falla balanceada) incrementa la resistencia a flexión de la sección transversal
de la columna.
𝑃𝑛 y 𝜙 · 𝑃𝑛 [𝑘𝑁]
8000
A
6000
Primera fisura en la fibra
traccionada de la sección
Tensión cero en la primera fila de aceros
𝜀𝑠1 = 0 (𝑧 = 0)
A’
B
4000
𝜙 · 𝑃𝑛𝑚𝑎𝑥
Máxima carga axial
permitida en la sección
B’
Falla balanceada y
Límite de la falla controlada por compresión
𝑧 = −1
2000
C
C’
Compresión
D’
E’
100
200
E
300
D
𝑧 = −2
Límite de la falla controlada por tracción
400
𝑧 = −4
Tracción
-2000
312
F’
F
𝑓𝑠1 = −𝑓𝑦
𝜀𝑠1 = −𝜀𝑦
500
600
𝑀𝑛 y 𝜙 · 𝑀𝑛 [𝑘𝑁 · 𝑚]
Columnas cortas
DIAGRAMA DE INTERACCION
COLUMNA DE 400x400 CON 8f25
7000
6000
Resistencia Nominal de Diseño
Resistencia Nominal
5000
4000
Pn y fPn [kN]
3000
2000
1000
0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
-1000
-2000
-3000
Mn y fMn [kN·m]
Fig. 8.15. Diagrama de interacción obtenido con la ayuda de una hoja electrónica
313
Diseño de estructuras de hormigón armado
Los resultados obtenidos de la hoja electrónica se dibujan automáticamente para formar el diagrama de
interacción de la columna tomando en cuenta los resultados de 𝑀𝑛 , 𝑃𝑛 , 𝜙𝑀𝑛 y 𝜙𝑃𝑛 . La línea continua en
la figura es el diagrama de interacción que se utiliza para el diseño de la columna ya que éste se encuentra
afectado por los coeficientes 𝜙 de reducción, mientras que la línea segmentada representa la capacidad
máxima de la columna.
8.6. Diagramas de interacción para columnas circulares
El desarrollo de diagramas de interacción para columnas de sección circular es un poco más complejo que
para columnas rectangulares o cuadradas debido a la forma de la sección comprimida y a la disposición de
las barras de acero alrededor del perímetro de la sección. Para poder analizar una columna de sección
circular se debe tener muy en cuenta la profundidad del bloque de compresiones porque las ecuaciones
difieren cuando éste se encuentra por encima y por debajo del centro baricéntrico de la sección. A
continuación se presentan las ecuaciones requeridas para el análisis y diseño de columnas de sección
circular.
y
𝜀𝑐𝑢 = 0.003
0.85 · 𝑓𝑐′
𝑎
𝑓𝑠3
𝑐
x
𝑓𝑠2
𝑓𝑠1
𝜀𝑠1
Sección
Deformaciones
Tensiones
Zona de compresión
Centroide de la
zona en compresión
Centroide de la
zona en compresión
𝑎

ℎ
ℎ/2
ℎ/2 − 𝑎 𝑦

𝑦
𝜂
Caso 1
𝑎 − ℎ/2
Caso 2
Fig. 8.16. Diagrama de interacción para sección circular de hormigón armado
314
Columnas cortas
ℎ
Caso 1: 𝑎 ≤ 2, 𝜃 < 90°
ℎ/2 − 𝑎
𝜃 = cos−1 (
)
ℎ/2
(8.29)
ℎ
Caso 2: 𝑎 > 2, 𝜃 ≥ 90°
𝜃 = 180° − 𝜂
(8.30)
𝑎 − ℎ/2
𝜂 = cos −1 (
)
ℎ/2
(8.31)
El área del segmento en compresión es:
𝜃 − sen 𝜃 ∙ cos 𝜃
𝐴 = ℎ2 ∙ (
)
4
(8.32)
Donde  está expresado en radianes. El momento de esta área alrededor del centro de la columna es:
𝐴 ∙ 𝑦 = ℎ3 ∙ (
sen3 𝜃
)
12
(8.33)
La forma del diagrama de interacción para una columna circular es afectada por el número de barras y su
orientación relativa a la dirección del eje neutro. Por lo tanto el momento nominal a través del eje x-x de la
columna de la figura es menor que el momento nominal a través del eje y-y. El diagrama de interacción
debe ser calculado considerando la orientación de barras más desfavorable. Para columnas circulares con
más de 8 barras es indiferente calcular los diagramas de interacción a través de cualquier eje ya que la
diferencia entre ellos es despreciable (sección R 10.7.3 del código ACI).
Columna circular con estribos
Si 𝜀𝑡 ≥ −𝜀𝑦 (más comprimido)
Si − 𝜀𝑦 > 𝜀𝑡 > −0.005
Si 𝜀𝑡 ≤ −0.005 (más traccionado)
𝜙 = 0.65
𝜙 = 0.48 − 83 · 𝜀𝑡
𝜙 = 0.90
para
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
𝜙 = 0.75
𝜙 = 0.65 − 50𝜀𝑡
𝜙 = 0.90
para
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
Columna circular con espiral
Si 𝜀𝑡 ≥ −𝜀𝑦 (más comprimido)
Si − 𝜀𝑦 > 𝜀𝑡 > −0.005
Si 𝜀𝑡 ≤ −0.005 (más traccionado)
315
Diseño de estructuras de hormigón armado
8.7. Propiedades de los diagramas de interacción para columnas de hormigón armado
8.7.1. Diagramas de interacción sin dimensiones
Frecuentemente es muy útil expresar los diagramas de interacción independientemente de las dimensiones
de la columna. Esto se logra de la siguiente manera:
Eje de las ordenadas:
𝑃𝑛
𝐴𝑔
𝜙 ∙ 𝑃𝑛
𝐴𝑔
[𝑘𝑁/𝑚2 ]
𝑃𝑛
′
𝑓𝑐 ∙ 𝐴𝑔
𝜙 ∙ 𝑃𝑛
𝑓𝑐′ ∙ 𝐴𝑔
𝐴𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
Eje de las abscisas:
𝑀𝑛
𝐴𝑔 ∙ ℎ
𝜙 ∙ 𝑀𝑛
𝐴𝑔 ∙ ℎ
[𝑘𝑁/𝑚2 ]
𝑀𝑛
′
𝑓𝑐 ∙ 𝐴𝑔 ∙ ℎ
𝜙 ∙ 𝑀𝑛
′
𝑓𝑐 ∙ 𝐴𝑔 ∙ ℎ
𝐴𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
Los diagramas de interacción adimensionales evitan la preparación de diagramas de interacción
específicos para cada columna y eso facilita enormemente el proceso de diseño de columnas sometidas a
flexocompresión.
La presentación típica de estos diagramas es la de una familia de curvas para determinados valores de la
resistencia característica del hormigón 𝑓𝑐′ , tensión de fluencia del acero 𝑓𝑦 , relación entre el recubrimiento
y la dimensión de la sección en la dirección de la flexión y distribución de la armadura. En el Anexo 8 se
presenta un conjunto de familias de diagramas de interacción para columnas de hormigón armado con
diferentes parámetros.
Para utilizar los diagramas de interacción se debe tener primero determinadas las solicitaciones máximas
que actúan en la columna (Carga axial última 𝑃𝑢 y momento flector último 𝑀𝑢 ). Se utilizan las mismas
dimensiones empleadas para el análisis estructural y se escoge una distribución tentativa del refuerzo
longitudinal en la sección transversal de la columna, respetando los recubrimientos mínimos y las
separaciones admisibles entre las barras. Se define la resistencia característica del hormigón 𝑓𝑐′ y la
tensión de fluencia del acero 𝑓𝑦 . Generalmente, se utilizan hormigones con resistencias entre 20 [𝑀𝑃𝑎] y
25 [𝑀𝑃𝑎], mientras que el acero más común tiene una tensión mínima de fluencia de 420 [𝑀𝑃𝑎].
Se proceden a calcular los siguientes parámetros adimensionales:
316
Columnas cortas
Eje de las abscisas:
𝜙 ∙ 𝑀𝑛
𝑀𝑢
= ′
′
𝑓𝑐 ∙ 𝐴𝑔 ∙ ℎ 𝑓𝑐 ∙ 𝐴𝑔 ∙ ℎ
Eje de las ordenadas:
𝜙 ∙ 𝑃𝑛
𝑃𝑢
= ′
′
𝑓𝑐 ∙ 𝐴𝑔 𝑓𝑐 ∙ 𝐴𝑔
Se escoge el diagrama adimensional que mejor se ajuste a las condiciones del diseño real y sobre él se
identifica el punto definido por los parámetros adimensionales. El punto generalmente se ubica sobre una
de las curvas de interacción o entre dos de ellas, definidas para diferentes cuantías de acero 𝜌ℓ (desde 1%
hasta 8%). En el primer caso se lee directamente la cuantía de armado total 𝜌ℓ de la curva de interacción y
en el segundo caso se puede interpolar la cuantía o simplemente se escoge la cuantía de la curva de
interacción superior. Finalmente, la cantidad de acero se halla multiplicando la cuantía de acero por el área
total de la sección de la columna.
Ejemplo. Diseñar una columna rectangular corta de hormigón armado cuya sección transversal es de
400 [𝑚𝑚]𝑥600 [𝑚𝑚] que está sometida a una carga axial última 𝑃𝑢 de 1500 [𝑘𝑁] y un momento flector
último 𝑀𝑢 de 500 [𝑘𝑁 · 𝑚] alrededor del eje principal mayor.
600
400
a) Seleccionar las propiedades de los materiales, sección inicial y cuantía inicial de refuerzo.
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎]
b) Determinar los factores adimensionales.
Eje de las abscisas:
317
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑀𝑢
500 ∙ 1000 ∙ 1000
=
= 0.174
′
𝑓𝑐 ∙ 𝐴𝑔 ∙ ℎ 20 ∙ 240000 ∙ 600
Eje de las ordenadas:
𝑃𝑢
1500 ∙ 1000
=
= 0.313
′
𝑓𝑐 ∙ 𝐴𝑔 20 ∙ 240000
c) Definir la relación entre el recubrimiento y la dimensión de la sección en la dirección de la flexión.
Se define un recubrimiento de 40 [𝑚𝑚] a la cara del estribo que se supone es de diámetro 10 [𝑚𝑚].
También, se asume que las barrras longitudinales tendrán un diámetro de 20 [𝑚𝑚].
𝑑 ′ 40 + 10 + 10
60
=
=
= 0.10
ℎ
600
600
d) Definir una distribución tentativa de refuerzo.
Se decide utilizar, como primera alternativa, doce barras distribuidas de la siguiente manera:
600
400
e) Utilizar la correspondiente familia de diagramas de interacción.
La cuantía de armado total que se lee del diagrama de interacción es de 3.1%, por tanto el área de acero
requerida es de:
𝐴𝑠 = 0.031 · 400 · 600 = 7440 [𝑚𝑚2] = 74.40 [𝑐𝑚2 ]
Si se utilizan 12 barras, se requiere que cada barra tenga 6.2 [𝑐𝑚2 ] de área y para ello se tendría que
utilizar 12𝜙28. Como no es un diámetro muy comercial se decide utilizar 𝜙22 y para ello se requieren
aproximadamente 22 barras. Se escoge la familia de diagramas de interacción correspondiente y se
verifica.
318
Columnas cortas
FAMILIA DE DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN
1.40
𝑃𝑢
rl = 8%
𝑏
𝑒
1.20
rl = 7%
𝑑’
ℎ
rl = 6%
𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
𝑑’ = 0.10 · ℎ
𝐴𝑠 = 12 · 𝜙
𝐴𝑔 = 𝑏 · ℎ
𝐴𝑠
𝜌ℓ =
𝐴𝑔
𝑑’
1.00
rl = 5%
rl = 4%
0.80
rl = 3%
𝑃𝑢
𝑓𝑐′ ∙ 𝐴𝑔
rl = 2%
0.60
rl = 1%
0.40
0.20
0.00
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
𝑀𝑢
𝑓𝑐′ ∙ 𝐴𝑔 ∙ ℎ
319
Diseño de estructuras de hormigón armado
FAMILIA DE DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN
1.40
𝑃𝑢
rl = 8%
𝑏
𝑒
1.20
rl = 7%
𝑑’
ℎ
rl = 6%
𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
𝑑’ = 0.10 · ℎ
𝐴𝑠 = 22 · 𝜙
𝐴𝑔 = 𝑏 · ℎ
𝐴𝑠
𝜌ℓ =
𝐴𝑔
𝑑’
1.00
rl = 5%
rl = 4%
0.80
rl = 3%
𝑃𝑢
𝑓𝑐′ ∙ 𝐴𝑔
rl = 2%
0.60
rl = 1%
0.40
0.20
0.00
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
𝑀𝑢
𝑓𝑐′ ∙ 𝐴𝑔 ∙ ℎ
320
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
Columnas cortas
La cuantía de armado total que se lee del diagrama de interacción es también aproximadamente de 3.1%,
por tanto el área de acero requerida es de:
𝐴𝑠 = 0.031 · 400 · 600 = 6960 [𝑚𝑚2 ] = 74.40 [𝑐𝑚2 ]
Si se utilizan 22𝜙22 se tiene un área de 83.63 [𝑐𝑚2 ] cuya cuantía es de 3.48% que es un poco mayor a la
cuantía de 3.1% hallada con la ayuda de los gráficos de la familia de diagramas de interacción. Para
comprobar de que la columna resiste las solicitaciones últimas, se grafica el diagrama de interacción de la
columna con 22𝜙22 y se verifica que el punto (𝑀𝑢 , 𝑃𝑢 ) quede dentro del diagrama. Como se puede
apreciar en la siguiente figura las solicitaciones quedan dentro de la zona segura (Resistencia nominal de
diseño), por tanto se concluye que la columna rectangular de 400 [𝑚𝑚]𝑥600 [𝑚𝑚] armada con 22𝜙22 es
aceptable.
Se podría escoger una distribución de aceros solamente en las caras superior e inferior, pero las columnas
en general están sometidas a momentos flectores en ambos ejes y por ello es conveniente tener las barras
de acero distribuidas en las cuatro caras.
400
𝐸 𝜙10
600
22𝜙22
El estribo es solamente esquemático porque se debe realizar el diseño correspondiente a corte y por las
dimensiones de la columna seguramente se requieren más ramas para poder arriostrar adecuadamente las
barras longitudinales.
321
Diseño de estructuras de hormigón armado
DIAGRAMA DE INTERACCIÓN
COLUMNA DE 400x600 CON 22f22
5000
4000
Resistencia Nominal de Diseño
3000
fPn [kN]
2000
(500, 1500)
1000
0
0
100
200
300
400
-1000
-2000
-3000
-4000
fMn [kN·m]
322
500
600
700
800
Columnas cortas
8.7.2. Excentricidad de la carga
Si sabemos que la carga 𝑃𝑢 tiene una excentricidad 𝑒, entonces podemos utilizar el mismo diagrama de
interacción de la sección de hormigón armado para hallar el máximo momento 𝑀𝑢 que la columna puede
resistir. Como se puede apreciar en la siguiente figura, se pueden trazar una infinidad de rectas desde el
origen cuyas pendientes tienen el valor de 1/𝑒 que en realidad es simplemente la relación 𝑃𝑛 /𝑀𝑛 o 𝑃𝑢 /
𝑀𝑢 .
𝜙 · 𝑃𝑛
𝑃
𝑃
𝑀
𝑒
1/𝑒
𝜙 · 𝑃𝑛
𝜙 · 𝑀𝑛
𝜙 · 𝑀𝑛
Fig. 8.17. Excentricidad de la carga en el diagrama de interacción
8.7.3. Columnas con refuerzo asimétrico
Para columnas con refuerzo no simétrico el diagrama de interacción se rota si los momentos de las fuerzas
son tomados con respecto del eje geométrico de la sección. El cálculo del diagrama de interacción para
estas secciones es realizado siguiendo el mismo procedimiento desarrollado para secciones con refuerzo
simétrico, excepto que para los casos de compresión uniforme 𝑃𝑜 o tracción uniforme 𝑃𝑡 , la colocación no
simétrica de las barras de acero da como resultado un momento con respecto al centro geométrico de la
sección.
323
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑃
𝑃𝑛
𝑀
𝑀𝑛
Fig. 8.18. Diagrama de interacción para columnas con refuerzo simétrico
𝑃
𝑃𝑛
𝑀
𝑀𝑛
Fig. 8.19. Diagrama de interacción para columnas con refuerzo asimétrico
324
Columnas cortas
8.7.4. Diagramas de Interacción simplificados para columnas
Cuando uno no tiene acceso a diagramas de interacción publicados o a programas de computación o
cuando se tiene una sección irregular (pilas de puentes, cajas de ascensores, etc.), los diagramas de
interacción pueden ser calculados utilizando el procedimiento de compatibilidad de deformaciones. Sólo
se realiza el cálculo para algunos puntos y se los une con líneas rectas.

Distribuciones de deformaciones recomendadas
1.
Deformación uniforme de compresión 𝜀 = 0.003.
Utilizar
𝜙 = 0.65
2.
Deformación de compresión 𝜀 = 0.003 en un extremo
y 𝜀 = 0 en el refuerzo más cercano a la cara traccionada.
Utilizar
𝜙 = 0.65
0.003
0.003
0.003
0
3.
Diagrama de deformación correspondiente a una falla
balanceada, 𝜀 = 0.003 en un extremo y 𝜀 = − 𝜀𝑦 en el
refuerzo más cercano a la cara traccionada.
Utilizar
𝜙 = 0.65
0.003
− 𝜀y
4.
Diagrama de deformación correspondiente al límite de
falla por tracción. 𝜀 = 0.003 en un extremo y 𝜀 = −0.005
en el refuerzo más cercano a la cara traccionada.
Utilizar
𝜙 = 0.9
0.003
− 0.005
− 𝜀𝑦
5.
Deformación uniforme de tracción 𝜀 = − 𝜀𝑦 con el
hormigón agrietado completamente.
Utilizar
𝜙 = 0.9
− 𝜀𝑦
Con los cinco diagramas de deformaciones, se calculan los valores para 𝑃𝑛 , 𝜙𝑃𝑛 , 𝑀𝑛 y 𝜙𝑀𝑛 . Con una
regla o cercha se procede a unir todos los puntos y se obtiene un diagrama de interacción simplificado,
pero que resulta muy útil para el análisis y diseño de secciones de hormigón armado de forma irregular.
325
Diseño de estructuras de hormigón armado
0.003
𝑃𝑛
1
0.003
0.003
2
0
0.003
3
− 𝜀𝑦
0.003
4
𝑀𝑛
− 0.005
5
− 𝜀𝑦
− 𝜀𝑦
Fig. 8.20. Diagrama de interacción simplificado
8.8. Diseño de columnas cortas
Del análisis estructural se encuentran las fuerzas que actúan en los diferentes elementos que componen
una estructura. Se seleccionan dimensiones tentativas para todos los elementos de manera que éstos
resistan las cargas en forma segura. Se vuelve a analizar la estructura considerando las nuevas
dimensiones de los elementos y éstas son nuevamente modificadas sobre la base de los resultados
obtenidos. Se continúa con este proceso hasta que la diferencia en las dimensiones de los elementos, entre
iteraciones sucesivas, es despreciable. El problema de diseño se resuelve más fácilmente si se cuenta con
una familia de diagramas de interacción o un programa de computación.
326
Columnas cortas
8.8.1. Consideraciones en la elección de la sección transversal de columnas
𝜙 · 𝑃𝑛
Columna circular con espiral
Columna cuadrada con estribos
𝜙 · 𝑀𝑛
Fig. 8.21. Diagramas de interacción para columnas de diferente sección
Las tres columnas tienen la misma área de hormigón 𝐴𝑔
Las tres columnas tienen la misma área de acero 𝐴𝑠𝑡
Observaciones:
a)
Para excentricidades pequeñas la columna circular es más eficiente para resistir cargas. Esto se
debe a que para columnas circulares con refuerzo en espiral el factor de reducción de la capacidad
𝜙 es 0.75, mientras que para columnas con estribos 𝜙es 0.65. La eficiencia de este tipo de
columnas desaparece cuando se consideran los costos del refuerzo en espiral y del encofrado.
b)
Para excentricidades grandes la columna más eficiente es la de sección cuadrada que tiene la
mayor cantidad de acero en sus extremos. Se puede aumentar la eficiencia de esta columna si se
utiliza una sección rectangular.
c)
Las columnas con acero en sus cuatro caras son utilizadas cuando existen momentos flectores
alrededor de los dos ejes principales de la sección.
d)
Las columnas con refuerzo en espiral son más frecuentemente utilizadas en zonas sísmicas o
donde se necesita mayor ductilidad.
327
Diseño de estructuras de hormigón armado
8.8.2. Elección del material y de la cuantía de acero
Las columnas que soportan sistemas de losas armadas en dos direcciones con vigas o sin ellas entre
soportes deben ser diseñadas considerando en lo posible hormigones con resistencias a la compresión 𝑓𝑐′
menores o iguales a 1.4 veces la resistencia del hormigón de la losa.
𝑓𝑐′ 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 ≤ 1.4 ∙ 𝑓𝑐′ 𝑙𝑜𝑠𝑎𝑠
(8.34)
Si para el diseño de la losa se utiliza un hormigón con resistencia a la compresión 𝑓𝑐′ de 25 [𝑀𝑃𝑎],
entonces las columnas deben ser diseñadas con un hormigón de resistencia a la compresión 𝑓𝑐′ menor o
igual a 35 [𝑀𝑃𝑎].
En edificios de poca altura (menos de 30 pisos), la resistencia del hormigón a la compresión en columnas
y losas es por lo general igual. Para este tipo de estructuras es común utilizar hormigones con resistencias
entre 20 [𝑀𝑃𝑎] y 25 [𝑀𝑃𝑎]. Por otro lado, en edificios altos la resistencia del hormigón en columnas es
por lo general mayor que en las losas.
El código ACI, en su sección 15.3.1, prevé situaciones en las cuales la ecuación (8.34) no se cumple en el
diseño de columnas, entonces para calcular la transmisión de cargas de la columna a través del sistema de
piso, se debe considerar, dependiendo del caso, alguno de los siguientes criterios:
a) El hormigón especificado para las columnas debe ser colocado en el sistema de piso alrededor de
cada columna hasta una distancia no menor a 600 [𝑚𝑚] desde las caras de la columna y se debe
cuidar de que este hormigón quede bien integrado con el hormigón de la losa.
b)
El cálculo de la resistencia de la columna a través del sistema de piso debe basarse en el menor
valor de la resistencia del hormigón y usando pasadores “dowels” verticales y/o espirales, como se
requiera.
c)
Para columnas soportadas lateralmente por vigas en sus cuatro lados de similar altura o por losas,
se debe permitir que la resistencia de la columna se base en una resistencia asumida del hormigón
en la unión entre columna y losa igual al 75% de la resistencia del hormigón de la columna más el
35% de la resistencia del hormigón de la losa. La relación de la resistencia del hormigón de la
columna con el de la losa no debe ser tomada mayor a 2.5 para el diseño.
El código ACI, en su sección 10.6.1.1, limita el área 𝐴𝑠𝑡 del refuerzo longitudinal en columnas con
estribos y espirales a no menos de 0.01 ∙ 𝐴𝑔 y no más de 0.08 ∙ 𝐴𝑔 (0.06 ∙ 𝐴𝑔 en regiones sísmicas). Bajo
cargas sostenidas, la fluencia del hormigón transfiere gradualmente la carga desde el hormigón hacia el
refuerzo de acero. En ensayos de columnas cargadas axialmente el acero longitudinal entra en fluencia
bajo cargas de servicio sostenidas cuando la cuantía del mismo es menor a 0.01.
Cuantía mínima del refuerzo longitudinal
Cuantía máxima del refuerzo longitudinal
328
𝜌ℓ𝑚𝑖𝑛 = 0.01
𝜌ℓ𝑚𝑖𝑛 = 0.08
Columnas cortas
Cuantía de acero en columnas:
𝜌ℓ =
𝐴𝑠𝑡
𝐴𝑔
(8.35)
Cuando se utilizan empalmes de solapa para las armaduras longitudinales hay que limitar la cuantía de
acero a 0.04 (𝜌ℓ < 0.04) para evitar un congestionamiento de las mismas en la sección transversal de la
columna. En edificios altos donde las dimensiones de las columnas para los primeros pisos son limitadas
por razones arquitectónicas 𝜌ℓ puede llegar a ser mayor a 0.04, por lo que las barras deben ser atadas en
grupos para permitir el buen vibrado del hormigón.
El mínimo número de barras en una columna de sección circular es 6 y en una rectangular 4.
Generalmente se utiliza un número par de barras del mismo diámetro en una columna rectangular para
mantener la simetría.
8.8.3. Estimación de las dimensiones de la columna
Para estimar las dimensiones de una columna, se puede recurrir a las ecuaciones (8.15) y (8.16)
dependiendo del tipo de refuerzo transversal que se piense utilizar. Para el caso de columnas con refuerzo
en espiral, la ecuación (8.15) con un factor de reducción de la resistencia 𝜙 igual a 0.75 es la que debe
utilizarse. En el caso de columnas con estribos, la ecuación (8.16) con un factor de reducción 𝜙 de la
resistencia igual a 0.65 es la indicada.
Columnas con espirales (𝜙 = 0.75):
𝑃𝑢 ≤ 𝜙 ∙ 𝑃𝑛𝑚𝑎𝑥 = 0.85 ∙ 𝜙 ∙ [0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ (𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 ) + 𝑓𝑦 ∙ 𝐴𝑠𝑡 ]
Columnas con estribos (𝜙 = 0.65):
𝑃𝑢 ≤ 𝜙 ∙ 𝑃𝑛𝑚𝑎𝑥 = 0.80 ∙ 𝜙 ∙ [0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ (𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 ) + 𝑓𝑦 ∙ 𝐴𝑠𝑡 ]
Realizando algunas operaciones aritméticas y simplificaciones se obtienen las siguientes ecuaciones:
Para columnas con estribos:
𝐴𝑔 ≥
𝑃𝑢
0.40 ∙ (𝑓𝑐′ + 𝜌ℓ ∙ 𝑓𝑦 )
(8.36)
Para columnas con espiral:
𝐴𝑔 ≥
𝑃𝑢
0.50 ∙ (𝑓𝑐′ + 𝜌ℓ ∙ 𝑓𝑦 )
(8.37)
Las dos ecuaciones anteriores tienden a subestimar el área de hormigón si la columna resiste momentos
flectores importantes ya que corresponden a la porción horizontal del diagrama de interacción (𝑃 − 𝑀).
329
Diseño de estructuras de hormigón armado
Para 𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎] y 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] se recomienda utilizar las siguientes ecuaciones cuando, además
de la carga axial, hay un momento flector actuando en la sección.
Para columnas con estribos:
𝑃𝑢
[𝑚𝑚2 ]
𝐴𝑔 ≥
7.5
(8.38)
Para columnas con espirales:
𝑃𝑢
[𝑚𝑚2 ]
𝐴𝑔 ≥
9.2
(8.39)
𝑃𝑢 = Carga axial última en [𝑁]
𝑏
𝑏 ≥ 200 [𝑚𝑚]
Preferible 𝑏 = 250 [𝑚𝑚]
𝑑
𝑑 ≥ 300 [𝑚𝑚]
Fig. 8.22. Dimensiones mínimas para la sección de una columna
Las dimensiones de 𝑏 y 𝑑 en las secciones transversales de las columnas deben ser variadas en
incrementos de 50 [𝑚𝑚].
8.8.4. Columnas esbeltas
La esbeltez de una columna se expresa en términos de su relación 𝑘 · ℓ𝑢 /𝑟, donde 𝑘 es un factor de
longitud efectiva que depende de las condiciones de restricción de los extremos de la columna, ℓ𝑢 es la
longitud entre apoyos y 𝑟 es el radio de giro de la sección transversal de la columna. En general, una
columna es esbelta si las dimensiones de su sección transversal son pequeñas comparadas con su longitud,
pudiendo aumentar esa esbeltez si un extremo se desplaza con respecto del otro.
Una columna esbelta tiende a desplazarse lateralmente bajo la acción de las cargas lo que produce un
incremento de los momentos en la misma y una disminución en su capacidad de resistencia. Para fines de
diseño, el término "columna corta" se usa para designar las columnas que tienen una resistencia igual a la
calculada para su sección transversal considerando solamente las propiedades de resistencia del acero y el
hormigón ignorando cualquier disminución de capacidad a consecuencia de su longitud. Una "columna
330
Columnas cortas
esbelta" se define como una columna cuya resistencia se reduce debido a los efectos de segundo orden
(momentos de segundo orden). Según las definiciones indicadas, una columna con una determinada
relación de esbeltez se puede considerar como columna corta si cumple unas condiciones dadas y como
columna esbelta si no las cumple.
El código ACI en su sección 6.2.5 presenta las condiciones que deben cumplir los elementos sometidos a
compresión, arriostrados y no arriostrados, para no tomar en cuenta los efectos de esbeltez.
En elementos sometidos a compresión, arriostrados contra desplazamientos laterales, se puede ignorar los
efectos de esbeltez cuando:
𝑘 ∙ ℓ𝑢
𝑀1
≤ 34 + 12 ∙ ( ) ≤ 40
𝑟
𝑀2
(8.40)
En elementos sometidos a compresión, no arriostrados contra desplazamientos laterales, se puede ignorar
los efectos de esbeltez cuando:
𝑘 ∙ ℓ𝑢
≤ 22
𝑟
(8.41)
Donde:
𝑘 = Factor efectivo de longitud (𝑘 = 1 para columnas en pórticos arriostrados).
ℓ𝑢 = Altura de columna no arriostrada.
𝑟 = Radio de giro.
𝑟 = 0.3 · ℎ
para secciones cuadradas
𝑟 = 0.25 · 𝑑 para secciones circulares
𝑀1
= Relación de los momentos en los dos extremos de la columna. La relación se tomará positiva si el
𝑀2
elemento se dobla en curvatura doble y negativa si se dobla en curvatura simple. Para un pórtico
arriostrado esta relación estará entre 0.5 y −0.5.
Para el presente capítulo se asumirá que el valor del factor efectivo de longitud 𝑘 es igual a la unidad y
que la relación entre el momento 𝑀1 y 𝑀2 es −0.5. Estas suposiciones están por el lado conservador
puesto que 𝑘 = 1 corresponde a una columna doblemente articulada en un pórtico arriostrado. En pórticos
arriostrados de hormigón armado, el valor de 𝑘 para las columnas será por lo general menor a 1. La
𝑀
suposición de que 𝑀1 = −0.5 supone que la columna se dobla en simple curvatura con un momento 𝑀2
2
cuyo valor es el doble de 𝑀1 . En general las columnas se doblan en doble curvatura lo que aumenta en
gran medida su resistencia al pandeo. Si se reemplazan los valores de 𝑘 y de 𝑀1 /𝑀2 en la ecuación
(8.40), entonces ésta se simplifica a la ecuación (8.42).
𝑘 ∙ ℓ𝑢
≤ 28
𝑟
(8.42)
331
Diseño de estructuras de hormigón armado
Para columna cuadrada:
ℓ𝑢
≤ 8.4
ℎ
Para columna circular:
ℓ𝑢
≤ 7.0
𝑑
(8.43)
(8.44)
8.8.5. Requerimientos de espacio entre barras
El código ACI en su sección 20.6.1.3.1 requiere un recubrimiento libre mayor o igual a 40 [𝑚𝑚] para los
estribos y espirales en columnas. Para facilitar que el hormigón fluya fácilmente desde el interior hacia el
exterior de la sección se deben respetar las distancias entre barras de acero que se muestran en la siguiente
figura.
𝐴
𝐴
𝐴
Barras en la columna superior
Barras en la columna inferior
La distancia 𝐴 debe ser mayor a 40 [𝑚𝑚], 1.5 ∙ 𝑑𝑏 y 1.33 ∙ 𝑑𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑜
Fig. 8.23. Espaciamiento mínimo entre barras
8.8.6. Empalmes para el refuerzo
En la mayoría de los edificios construidos en zonas no sísmicas, la armadura longitudinal de las columnas
es empalmada arriba de cada piso. El empalme con solapa es el más utilizado aunque en columnas muy
grandes se puede utilizar empalmes mecánicos o soldadura.
En general, todas las barras de una columna tendrán la misma longitud de empalme sin que importe si
ellas están ubicadas en la cara de tensión o compresión. Esto se hace para evitar errores en la obra. La
longitud de empalme se calcula utilizando las fórmulas indicadas anteriormente.
8.8.7. Espaciamiento y requerimientos constructivos para los estribos
Los estribos son colocados en las columnas por cuatro razones principales:
332
Columnas cortas
a)
Sujetan las barras longitudinales para evitar su pandeo hacia la superficie de la columna.
Según la sección 9.7.6.4.2 del código ACI se debe utilizar estribos para encerrar todas las barras
longitudinales en compresión. En columnas de sección circular solamente es necesario utilizar una forma
de estribo circular con el espaciamiento requerido por cálculo. En columnas con barras longitudinales de
diámetros menores o iguales a 32 [𝑚𝑚] se utilizarán estribos de 10 [𝑚𝑚] de diámetro, mientras que para
columnas con barras de mayor diámetro y para atados de barras, el diámetro mínimo de estribo debe ser
12 [𝑚𝑚].
La normativa chilena modifica el numeral 9.7.6.4.2.del ACI indicando que todas las barras no
preesforzadas deben estar confinadas por medio de estribos de diámetro igual o mayor que un tercio de la
barra de mayor diámetro que sujetan. El diámetro mínimo de estribo a utilizar es de 8 [𝑚𝑚]. Para
paquetes de barras, el estribo debe ser mayor o igual a 12 [𝑚𝑚]. Se permite el uso de alambre corrugado o
refuerzo electrosoldado de alambre con un área equivalente.
𝑑𝑏
𝑑𝑠
≤ 16 ∙ 𝑑𝑏
𝑠
≤ 48 ∙ 𝑑𝑠
≥
4
∙𝑑
3 𝑎𝑔𝑔
Donde:
𝑑𝑏 = Diámetro de la barra longitudinal
𝑑𝑠 = Diámetro del estribo
𝑑𝑎𝑔𝑔 = Diámetro del agregado
Fig. 8.24. Distancia máxima entre estribos
Según el código ACI en su sección 25.7.2.1 la separación máxima 𝑠 entre estribos debe cumplir con los
siguientes valores:
- ≤ 16 ∙ 𝑑𝑏 que se utiliza para limitar la longitud no arriostrada de las barras longitudinales
- ≤ 48 ∙ 𝑑𝑠 que se especifica para asegurar que los estribos puedan desarrollar la fuerza
necesaria para prevenir el pandeo
4
- ≥ 3 ∙ 𝑑𝑎𝑔𝑔 que se especifica para que la mezcla fluya a través de los estribos
333
Diseño de estructuras de hormigón armado
Los estribos deben ser dispuestos de tal manera que toda barra longitudinal en esquina y cada barra
alternada debe contar con un soporte lateral provisto por la arista de un estribo con un ángulo interior no
mayor a 135° y ninguna barra debe encontrarse a una distancia mayor a 150 [𝑚𝑚] a cada lado de la barra
arriostrada.
≤ 135°
𝑥
4 barras
𝑥
𝑥
6 barras
𝑥
𝑥
8 barras
𝑥
8 barras
NOTA: Los estribos en ---- pueden ser omitidos si 𝑥 < 150[𝑚𝑚]
12 barras
12 barras
12 barras
Fig. 8.25. Disposición de estribos en secciones de hormigón armado
b)
Los estribos sujetan la armadura durante el proceso constructivo.
La colocación de estribos durante la etapa constructiva es importante puesto que ellos son los que
mantienen en posición las barras longitudinales durante el procedimiento de vaciado y vibrado de la
mezcla de hormigón.
c)
Si los estribos están correctamente detallados confinan el núcleo central de hormigón
incrementando la ductilidad de la sección.
Numerosas investigaciones han confirmado que cuando los estribos están bien colocados y su separación
respeta las máximas indicadas en el código, se puede esperar un comportamiento dúctil de la sección
transversal durante la falla. En zonas sísmicas es de mucha importancia que todos los elementos de
hormigón armado y en especial las columnas muestren un comportamiento dúctil para mantener la
integridad de la estructura durante un terremoto, porque de ese modo se evita el colapso de la estructura.
334
Columnas cortas
Foto 8.1. Falla de columnas por insuficiente refuerzo de corte en el viaducto de la autopista 10 en el
Boulevard Venice - Terremoto de 1994, Northridge – California
(Fotografía de M. Celebi, U.S. Geological Survey)
d)
Los estribos sirven como refuerzo para corte.
Al igual que en el caso de vigas, las columnas pueden estar sometidas a fuerzas cortantes, por lo que es
necesario proveer refuerzo lateral para absorber los esfuerzos producidos por estas solicitaciones. La
sección 10.7.6.5.2 del código ACI indica los límites para el espaciamiento de los estribos que deben
absorber fuerzas cortantes. Cuando la fuerza cortante última 𝑉𝑢 es mayor o igual a la mitad de la
resistencia nominal del hormigón 𝜙 ∙ 𝑉𝑐 , es necesaria la colocación de un refuerzo lateral mínimo.
Resumiendo, se puede indicar que cuando 𝑉𝑢 /𝜙 > 𝑉𝑐 /2 se requiere una cuantía mínima de refuerzo por
corte (sección 7.6.3.1 del código ACI).
Los estribos colocados por razones diferentes a la indicada en el presente inciso pueden servir como
refuerzo de corte siempre y cuando la separación entre los mismos no supere 𝑑/2 y sea menor en todo
caso a 600 [𝑚𝑚] (sección 10.7.6.5.2 del código ACI). La separación 𝑑/2 es en general menor a la
necesaria para evitar el pandeo de las barras longitudinales (sección 25.7.2.1 del código ACI), por lo tanto
cuando el corte gobierna, la separación 𝑑/2 entre estribos debe ser utilizada.
335
Diseño de estructuras de hormigón armado
Foto 8.2. Colocación de los estribos en columnas de un edificio
(Fotografías de Carlos Córdova)
Ejemplo. Diseño de una columna con estribos.
Diseñar una columna si:
𝑃𝑢 = 1557 [𝑘𝑁]
𝑀𝑢 = 149 [𝑘𝑁 · 𝑚]
𝑉𝑢 = 321 [𝑘𝑁]
La columna pertenece a un pórtico arriostrado y tiene una longitud no arriostrada de 3.20 [𝑚].
a) Seleccionar las propiedades de los materiales, sección inicial y cuantía inicial de refuerzo.
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎]
El rango más económico de cuantía 𝜌ℓ está entre 1% y 2%
𝜌ℓ = 0.015
𝐴𝑔 ≥
336
𝑃𝑢
1557000
=
= 148004 [𝑚𝑚2 ]
′
0.40 ∙ (𝑓𝑐 + 𝜌ℓ ∙ 𝑓𝑦 ) 0.40 ∙ (20 + 0.015 ∙ 420)
Columnas cortas
𝐴𝑔 ≥
𝑃𝑢
1557000
=
= 207600 [𝑚𝑚2 ]
7.5
7.5
Para un área gruesa de hormigón 𝐴𝑔 mayor o igual a 148004 [𝑚𝑚2 ] se requiere por lo menos una
columna cuadrada de 385 [𝑚𝑚] de lado, mientras que para un 𝐴𝑔 mayor o igual a 207600 [𝑚𝑚2 ] se
requiere de una columna cuadrada de 450 [𝑚𝑚] de lado. Para el presente problema se selecciona, como
primera alternativa, una columna cuadrada de 400 [𝑚𝑚] de lado.
𝑒=
149
𝑀𝑢
=
= 0.0956[𝑚] = 95.6 [𝑚𝑚]
𝑃𝑢
1557
Como la columna soporta una carga con gran excentricidad, el diseño más económico se obtiene
colocando barras de acero en solo dos caras. Comúnmente, en columnas de edificios se coloca acero en las
cuatro caras debido a que hay momentos respecto a los dos ejes principales de la sección. Para este
ejemplo se supondrá que el momento en la otra dirección es despreciable y por ello se utilizará solamente
refuerzo en dos caras.
Los efectos de esbeltez pueden ser despreciados si:
𝑘 ∙ ℓ𝑢
𝑀1
≤ 34 + 12 ∙ ( )
𝑟
𝑀2
𝑀
Asumir 𝑘 = 1 y 𝑀1 = −0.5
2
ℓ𝑢 = 3200 [𝑚𝑚]
𝑟 = 0.3 ∙ 400 = 120 [𝑚𝑚]
1 ∙ 3200
≤ 34 − 12 ∙ 0.5
120
26.67 ≤ 28  Se puede despreciar los efectos de segundo orden
b) Área de acero necesaria
El área de acero necesaria se halla multiplicando la cuantía de refuerzo total longitudinal 𝜌ℓ por la sección
total de la columna de hormigón.
𝐴𝑠𝑡 = 𝜌ℓ ∙ 𝐴𝑔 = 0.015 ∙ 400 ∙ 400 = 2400 [𝑚𝑚2 ] = 24 [𝑐𝑚2 ]
Posibles distribuciones de acero:
8𝜙20
6𝜙25
𝐴𝑠𝑡 = 25.1 [𝑐𝑚2 ]
𝐴𝑠𝑡 = 29.4 [𝑐𝑚2 ]
337
Diseño de estructuras de hormigón armado
Como primera alternativa se utiliza 8𝜙20 en la columna de sección 400𝑥400 [𝑚𝑚2 ] y se asume que los
estribos serán de diámetro 𝜙10 con un recubrimiento de 40 [𝑚𝑚] desde el borde del estribo a la cara de la
columna.
73.3 73.3 73.3
60
340
Refuerzo de
acero 8𝜙20
400
c) Dibujar el diagrama de interacción.
Se dibuja el diagrama de interacción para la columna cuadrada de 400 [𝑚𝑚] y se verifica que la columna
no es adecuada para las cargas últimas (𝑀𝑢 , 𝑃𝑢 ) por lo que se decide aumentar la dimensión de la misma a
450 [𝑚𝑚] de lado pero manteniendo la armadura. Con esta nueva dimensión, la columna cuadrada resiste
adecuadamente las solicitaciones.
d) Diseño de los empalmes por solapa
ℓ𝑑 =
𝑓𝑦 ∙ Ψ𝑡 ∙ Ψ𝑒
2.1 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′
∙ 𝑑𝑏 =
420 ∙ 1 ∙ 1
2.1 ∙ 1 ∙ √20
= 894 [𝑚𝑚]
La longitud de empalme será la de un empalme clase B (sección 25.5.2.1 del código ACI) que se utiliza
cuando entre un 50% a 100% de la armadura se empalma en un mismo lugar y el área proporcionada es
menor a dos veces el área requerida.
Longitud de empalme de clase B:
1.3 · ℓ𝑑 = 1.20 [𝑚]
338
Columnas cortas
DIAGRAMA DE INTERACCION
COLUMNA DE 400x400 CON 8f20
2500
2000
Resistencia Nominal de Diseño
(149, 1557)
1500
fPn [kN]
1000
500
0
0
50
100
150
200
250
-500
-1000
-1500
fMn [kN·m]
339
Diseño de estructuras de hormigón armado
DIAGRAMA DE INTERACCION
COLUMNA DE 450x450 CON 8f20
2500
Resistencia Nominal de Diseño
2000
(149, 1557)
1500
fPn [kN]
1000
500
0
0
50
100
150
-500
-1000
-1500
fMn [kN·m]
340
200
250
300
Columnas cortas
e) Seleccionar los estribos.
Según la sección 9.7.6.4.2 del código ACI, las barras de diámetro igual a 10 [𝑚𝑚] son las más pequeñas
que se pueden utilizar para sujetar barras longitudinales de hasta 32 [𝑚𝑚] de diámetro. La sección
25.7.2.1 del código ACI indica tres condiciones para establecer el espaciamiento mínimo entre estribos
con la finalidad de evitar el pandeo de las barras longitudinales. Estas condiciones están resumidas en el
siguiente cuadro sinóptico.
𝑠 ≤ 16 ∙ 𝑑𝑏 = 320 [𝑚𝑚]
𝑠 ≤ 48 ∙ 𝑑𝑠 = 480 [𝑚𝑚]
4
4
𝑠 ≥ ∙ 𝑑𝑎𝑔𝑔 = ∙ 19 = 25 [𝑚𝑚]
3
3
Si 𝑉𝑢 > 0.5 ∙ 𝜙 ∙ 𝑉𝑐 , la separación 𝑠 entre estribos debe también satisfacer los requerimientos de la sección
10.7.6.5.2 y de la sección 10.6.2.1 del código ACI que da los requerimientos sobre la armadura mínima al
corte.
𝑉𝑐 = 0.17 ∙ (1 +
𝑁𝑢
) ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
14 ∙ 𝐴𝑔
𝑉𝑐 = 0.17 ∙ (1 +
1557000
) ∙ 1 ∙ √20 ∙ 450 ∙ 390 = 206705 [𝑁]
14 ∙ 4502
𝑉𝑐 = 206.70 [𝑘𝑁]
𝑉𝑢 = 321 [𝑘𝑁] > 0.5 · 𝜙 · 𝑉𝑐 = 0.5 · 0.75 · 206.70 = 77.51 [𝑘𝑁]
Como 𝑉𝑢 > 0.5 ∙ 𝜙 ∙ 𝑉𝑐 , la separación de los estribos debe cumplir con los requerimientos de la sección
10.7.6.5.2.
Máximo espaciamiento basado en la altura de la columna.
𝑠𝑚𝑎𝑥 ≤
𝑑 390
=
= 195 [𝑚𝑚]
2
2
𝑠𝑚𝑎𝑥 ≤ 600 [𝑚𝑚]
Si 𝑉𝑛 ≥ 𝑉𝑐 + 0.33 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 se reduce a la mitad el valor de 𝑠
𝑉𝑛 =
𝑉𝑢 321
=
= 428 [𝑘𝑁]
𝜙 0.75
𝑉𝑐 + 0.33 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 = 206.70 + 0.33 ∙
√20 ∙ 450 ∙ 390
= 465.70 [𝑘𝑁]
1000
341
Diseño de estructuras de hormigón armado
Como 𝑉𝑛 = 428 [𝑘𝑁] < 465.70 [𝑘𝑁] entonces la separación de los estribos no se reduce a la mitad de los
valores indicados y queda fijada en 195 [𝑚𝑚]
𝑠𝑚𝑎𝑥 = 195 [𝑚𝑚]
Máximo espaciamiento basado en el área mínima
𝐴𝑣 𝑚𝑖𝑛 = 0.062 ∙ √𝑓𝑐′ ∙
𝑏𝑤 ∙ 𝑠
𝑏𝑤 ∙ 𝑠
≥ 0.35 ∙
𝑓𝑦
𝑓𝑦
Reemplazando el valor de 20 [𝑀𝑃𝑎] para la resistencia del hormigón se tiene:
𝐴𝑣 𝑚𝑖𝑛 = 0.062 ∙ √20 ∙
𝑏𝑤 ∙ 𝑠
𝑓𝑦
𝐴𝑣 𝑚𝑖𝑛 ∙ 𝑓𝑦
𝑠 𝑚𝑎𝑥 =
0.35 ∙ 𝑏𝑤
𝑏𝑤 ∙ 𝑠
𝑏𝑤 ∙ 𝑠
𝑏𝑤 ∙ 𝑠
= 0.28 ∙
≥ 0.35 ∙
𝑓𝑦
𝑓𝑦
𝑓𝑦
𝐴𝑣 𝑚𝑖𝑛 = 0.35 ∙
Si utilizamos 2𝐸𝜙 10 cuatro ramas 𝐴𝑣 = 4 · 0.785 = 3.14 [𝑐𝑚2 ]
𝑠 𝑚𝑎𝑥 =
314 ∙ 420
0.35 ∙ 450
𝑠𝑚𝑎𝑥 = 838 [𝑚𝑚]
 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 195 [𝑚𝑚]
f) Calcular el espaciamiento de los estribos para resistir las fuerzas de corte.
𝑠=
𝐴𝑣 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑑
314 ∙ 420 ∙ 390
=
= 232 [𝑚𝑚]
𝑉𝑢
(428 − 206.70) ∙ 1000
−
𝑉
𝑐
𝜙
𝑉𝑐 = 206.70 [𝑘𝑁]
𝑉𝑢
= 428 [𝑘𝑁]
𝜙
Utilizar 𝑠 = 200 [𝑚𝑚]. Se redondea el valor hallado de 195 [𝑚𝑚] a 200 [𝑚𝑚].
Por tanto, se decide utilizar 2𝐸𝜙10 𝑐/200.
342
Columnas cortas
g) Dibujar la sección.
8𝜙20
450
2𝐸𝜙10 𝑐/200
450
8.9. Problemas propuestos
1. La sección de la columna que se muestra en la figura tiene un hormigón de resistencia 𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎]
y acero con tensión de fluencia 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎].
a)
Calcular la capacidad teórica de la columna 𝑃𝑛 para carga axial pura.
b)
Calcular la máxima carga permitida 𝜙 · 𝑃𝑛𝑚𝑎𝑥 para la columna.
c)
Calcular la carga axial y el momento para una falla balanceada.
Armadura longitudinal 8𝜙20
Armadura de corte 𝐸𝜙10
Dimensiones en [𝑚𝑚]
Recubrimiento de 20 [𝑚𝑚]
x
x
450
450
2. Utilizando el procedimiento de la compatibilidad de deformaciones calcular cinco puntos del
diagrama de interacción para la sección de la figura. Utilizar como datos para los materiales los
siguientes valores: 𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎] y 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎].
343
Diseño de estructuras de hormigón armado
Armadura longitudinal 8𝜙20
Armadura de corte 𝐸𝜙10
x
Dimensiones en [𝑚𝑚]
Recubrimiento de 20 [𝑚𝑚]
x
450
450
3. Utilizando el procedimiento de la compatibilidad de deformaciones calcular cinco puntos del
diagrama de interacción para la sección de la figura. Utilizar como datos para los materiales los
siguientes valores: 𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎] y 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎].
150
Armadura longitudinal 12𝜙20
Armadura de corte 2 𝐸𝜙10
x
x
Dimensiones en [𝑚𝑚]
Recubrimiento de 20 [𝑚𝑚]
300
150
600
4. Utilizando el diagrama de interacción del problema 2 calcular el máximo momento 𝑀𝑢 que puede
soportar la columna para los siguientes casos:
a)
𝑃𝑢 = 2500 [𝑘𝑁]
b)
𝑃𝑢 = 750 [𝑘𝑁]
c)
𝑒 = 30 [𝑚𝑚]
344
Columnas cortas
5. Utilizando el procedimiento de la compatibilidad de deformaciones calcular cinco puntos del
diagrama de interacción para la sección de la figura. Utilizar como datos para los materiales los
siguientes valores: 𝑓𝑐′ = 25 [𝑀𝑃𝑎] y 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎].
Armadura longitudinal 8𝜙20
Armadura de corte 𝐸𝜙10
x
x
400
Dimensiones en [𝑚𝑚]
Recubrimiento de 25 [𝑚𝑚]
345
CAPÍTULO 9
ESTADOS LÍMITES DE SERVICIO
9. Estados límites de servicio
9.1. Introducción
Una estructura debe ser diseñada considerando todos aquellos estados límites últimos y de servicio que
pueden actuar en cualquier momento a lo largo de la vida útil de la misma. Los anteriores capítulos 4, 5, 7
y 8 estuvieron principalmente dedicados al estudio de diferentes estados límites últimos y para cada uno
de ellos se desarrollaron métodos y ecuaciones que aseguran un adecuado margen de seguridad contra las
fallas por flexión, corte, inadecuada adherencia o anclaje en las barras o por una combinación de esfuerzos
axiales y de flexión. Para este propósito se han considerado diferentes combinaciones de carga con sus
respectivos coeficientes de mayoración para tratar de simular las condiciones más desfavorables a las
cuales la estructura o elemento estará sujeto.
Es también importante, que una estructura y sus diferentes elementos que la conforman se comporten
adecuadamente bajo cargas de uso normal, eso quiere decir cuando los coeficientes de mayoración sean
todos igual a la unidad. La verificación para los estados límites últimos no garantiza automáticamente el
buen comportamiento bajo cargas de servicio. Por ejemplo, una viga bajo cargas de servicio puede
presentar vibraciones o deflexiones excesivas que son inadmisibles por la incomodidad que éstas
representan para el usuario, pero no fallar para el estado límite último de flexión.
Para la verificación de los estados límites de servicio se utiliza la teoría elástica y se asume que el acero y
el hormigón trabajan dentro de su rango elástico, esto quiere decir que las deformaciones son
proporcionales a los esfuerzos en el material. El hormigón en la porción traccionada del eje neutro de la
sección transversal puede ser asumido sin fisuras, parcialmente agrietado o totalmente agrietado,
dependiendo de la magnitud de las cargas y de la resistencia de los materiales.
En el presente capítulo se estudiarán diferentes estados límites de servicio que, dependiendo del tipo de
estructura o elemento, deben ser verificados para asegurar un comportamiento satisfactorio de la
estructura durante su vida útil considerando todas sus cargas de uso. Los principales estados límites de
servicio que deben ser verificados son:
347
Diseño de estructuras de hormigón armado
-
Ancho excesivo de fisuras.
Deflexiones excesivas.
Vibraciones.
Fatiga.
Si bien la fatiga es un estado límite último, ésta ocurre para la acción repetitiva de las cargas de servicio y
su análisis será considerado en este capítulo.
9.2. Teoría elástica en elementos de hormigón armado sometidos a flexión
9.2.1. Análisis elástico de secciones
Para cargas de servicio la distribución de tensiones en la zona de compresión de una viga agrietada es casi
lineal y la tensión en el acero está en el rango elástico. Por lo tanto, se puede conseguir una buena
estimación de las tensiones en el hormigón y en el acero para las cargas de servicio si se utiliza un análisis
elástico. Sin embargo, la dificultad más importante para aplicar la teoría elástica es la estimación del
módulo de elasticidad del hormigón porque éste depende del esfuerzo y el tiempo de aplicación de la
carga. La ecuación (2.1) fue deducida de pruebas con cargas de corta duración y proporciona el valor del
módulo secante del hormigón a un esfuerzo de aproximadamente 0.5 · 𝑓𝑐′ . Cuando la carga se aplica
lentamente y es conservada por largos periodos de tiempo (carga sostenida), el módulo de elasticidad se
reduce debido a la fluencia del hormigón.
En la figura 2.10 se aprecia la influencia de una carga permanente sobre la deformación del hormigón.
Para un esfuerzo de aproximadamente 0.5 · 𝑓𝑐′, se puede asumir que la deformación por fluencia es casi
proporcional al esfuerzo aplicado, por tanto para hallar la deformación por fluencia del hormigón bajo un
esfuerzo de compresión constante se puede utilizar la siguiente ecuación.
𝜀𝑓𝑙𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝐶𝑡 ∙
𝑓𝑐
𝐸𝑐
(9.1)
Donde:
𝑓𝑐 = Esfuerzo constante de compresión menor a 0.5 · 𝑓𝑐′.
𝐸𝑐 = Módulo secante de elasticidad del hormigón al instante de la carga.
𝐶𝑡 = Coeficiente de fluencia del hormigón.
El coeficiente 𝐶𝑡 relaciona la deformación por fluencia con la deformación elástica inicial y puede ser
considerado como un amplificador de la deformación elástica inicial. Por tanto, la deformación unitaria
total es la suma de la deformación elástica y la deformación por fluencia.
𝜀𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜀𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 + 𝜀𝑓𝑙𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 =
348
𝑓𝑐
𝑓𝑐
𝑓𝑐
+ 𝐶𝑡 ∙ =
∙ (1 + 𝐶𝑡 )
𝐸𝑐
𝐸𝑐 𝐸𝑐
(9.2)
Estados límites de servicio
De la ecuación (9.2) se puede obtener el módulo efectivo de elasticidad del hormigón que considera el
efecto de la fluencia del hormigón bajo cargas sostenidas.
𝐸𝑐 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 =
𝑓𝑐
𝜀𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
=
𝑓𝑐 ∙ 𝐸𝑐
𝐸𝑐
=
𝑓𝑐 ∙ (1 + 𝐶𝑡 ) 1 + 𝐶𝑡
(9.3)
El módulo efectivo de elasticidad puede ser utilizado para relacionar el esfuerzo y la deformación unitaria
total cuando se conoce el coeficiente de fluencia. En el capítulo 2 se analizó con detalle las variables que
afectan el valor de 𝐶𝑡 y se presenta un método para su estimación. En la práctica, el valor del coeficiente
de fluencia puede variar entre 1.5 y 2.
0,55
0,50
0,45
𝐸𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜
𝐸𝑐
0,40
0,35
0,30
0,25
0,20
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
Coeficientededefluencia
fluenciadel
delhormigón
hormigón𝐶Ct
Coeficiente
𝑡
Fig. 9.1. Influencia del coeficiente 𝑪𝒕 en el módulo de elasticidad del hormigón

Cálculo de la rigidez.
Para poder realizar un análisis elástico de la sección transversal de un elemento de hormigón armado es
necesario calcular su rigidez. Para ello, se necesita calcular el módulo de elasticidad y el momento de
inercia.
𝐸𝑐 = 44 ∙ 𝑤𝑐1.5 ∙ √𝑓𝑐′ [𝑀𝑃𝑎]
(2.1)
𝑤𝑐 = Peso unitario del hormigón en [𝑘𝑁/𝑚3 ].
𝑓𝑐′ = Resistencia característica cilíndrica de compresión a los 28 días en [𝑀𝑃𝑎].
Para hormigón de densidad normal (𝑤𝑐 = 22.5 [𝑘𝑁/𝑚3 ]).
349
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝐸𝑐 = 4700 ∙ √𝑓𝑐′ [𝑀𝑃𝑎]
(2.2)
Para el acero, el módulo de elasticidad 𝐸𝑠 tiene un valor de 200000 [𝑀𝑃𝑎] y la relación modular 𝑛 se
define como:
𝑛=
𝐸𝑠
𝐸𝑐 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜
=
𝐸𝑠
∙ (1 + 𝐶𝑡 )
𝐸𝑐
(9.4)
Relación modular 𝒏
𝒇′𝒄 [𝑴𝑷𝒂]
𝐶𝑡 = 0
𝐶𝑡 = 1
𝐶𝑡 = 2
20
9.5
19.0
28.5
25
8.5
17.0
25.5
30
7.8
15.5
23.3
35
7.2
14.4
21.6
40
6.7
13.5
20.2
45
6.3
12.7
19.0
50
6.0
12.0
18.1
30
Relación modular n
Relación modular 𝑛
25
20
𝐶𝑡 C=t =22
15
𝐶𝑡 C=t =11
10
𝐶𝑡 C=t =00
5
0
20
25
30
35
40
45
50
Resistencia
característica
hormigón
[MPa]
Resistencia
característica
del del
hormigón
[𝑀𝑃𝑎]
Fig. 9.2. Variación de la relación modular en función del coeficiente de fluencia del hormigón
350
55
Estados límites de servicio
El valor de 𝑛 significa que para una deformación menor a la de fluencia 𝜀𝑦 , la tensión en el acero será 𝑛
veces mayor que la del hormigón sujeto a la misma deformación. En la figura 9.3 se ha dibujado sobre la
misma escala los diagramas de esfuerzo - deformación para el acero y el hormigón, por lo que se puede
apreciar que para una misma deformación, el acero tiene un esfuerzo mucho mayor que el hormigón. Para
el rango elástico (𝜀𝑠 < 𝜀𝑦 ), esta diferencia de esfuerzo es considerada utilizando la relación modular.
𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 [𝑀𝑃𝑎]
500
Acero
400
300
200
𝑛=
𝐸𝑠
𝐸𝑐
100
Hormigón
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛
Fig. 9.3. Curvas esfuerzo - deformación para acero y hormigón
9.3. Análisis de vigas utilizando el procedimiento del par interno
En la siguiente figura se muestra una sección rectangular de hormigón armado con doble armadura que se
encuentra agrietada debido a las cargas de servicio. Se consideran conocidas las dimensiones de la sección
transversal junto con la posición y áreas de los aceros.
Bajo cargas de servicio se asume que el hormigón trabaja en el rango elástico y se presume que la
distribución de los esfuerzos en el hormigón es lineal, por tanto el bloque de compresión que se forma por
encima del eje neutro tiene la forma triangular. Utilizando el concepto de la compatibilidad de
deformaciones y las ecuaciones de equilibrio, se puede realizar el análisis de la sección con el concepto
del par interno de fuerzas.
351
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑏
𝑓𝑐
𝜀𝑐
𝑑
𝐴′𝑠
′
𝜀𝑠′
𝑀𝑠
𝑑
ℎ
𝐶𝑠
𝐶𝑐
𝑓𝑠′
𝑘∙𝑑
Eje neutro
𝐴𝑠
𝜀𝑠
Sección
Parte del
elemento
Deformaciones
𝑇
𝑓𝑠
Esfuerzos
Fuerzas
internas
Fig. 9.4. Análisis de una sección rectangular con doble armadura para
carga de servicio después del agrietamiento
Las deformaciones 𝜀𝑐 , 𝜀𝑠′ y 𝜀𝑠 se pueden escribir en términos de los esfuerzos utilizando la ley de Hooke:
𝜀𝑐 =
𝑓𝑐
∙ (1 + 𝐶𝑡 )
𝐸𝑐
(9.5)
𝑓𝑠′
′
𝜀𝑠 =
𝐸𝑠
(9.6)
𝑓𝑠
𝐸𝑠
(9.7)
𝜀𝑠 =
Del diagrama de deformaciones, se pueden obtener las relaciones correspondientes entre las diferentes
deformaciones:
𝜀𝑐
ε′s
𝜀𝑠
=
=
′
𝑘·𝑑 𝑘∙𝑑−𝑑
𝑑−𝑘∙𝑑
(9.8)
Se substituyen las ecuaciones (9.5), (9.6) y (9.7) en la ecuación (9.8) y se obtienen las ecuaciones para
el esfuerzo en las barras de acero que están en compresión y tracción.
𝑓𝑠′
𝑓𝑠
𝑓𝑐 ∙ (1 + 𝐶𝑡 )
=
=
′
𝐸𝑐 ∙ 𝑘 ∙ 𝑑
𝐸𝑠 ∙ (𝑘 ∙ 𝑑 − 𝑑 ) 𝐸𝑠 ∙ 𝑑 ∙ (1 − 𝑘)
𝑓𝑠 =
1−𝑘
∙ 𝑛 ∙ 𝑓𝑐
𝑘
(9.9)
𝑓𝑠′ =
𝑘 ∙ 𝑑 − 𝑑′
∙ 𝑛 ∙ 𝑓𝑐
𝑘∙𝑑
(9.10)
Donde:
352
Estados límites de servicio
𝑛=
𝐸𝑠
∙ (1 + 𝐶𝑡 )
𝐸𝑐
(9.4)
Las fuerzas internas resultantes en la sección de hormigón son:
𝐶𝑐 = 0.5 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 ∙ 𝑘 ∙ 𝑑 −
𝑘 ∙ 𝑑 − 𝑑′
∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝐴′𝑠
𝑘∙𝑑
(9.11)
𝐶𝑠 = 𝑓𝑠′ ∙ 𝐴′𝑠
(9.12)
𝑇 = 𝑓𝑠 ∙ 𝐴𝑠
(9.13)
Debido a que el área de hormigón que desplaza el acero de compresión es pequeña, se puede ignorar el
segundo término de la ecuación (9.11).
𝐶𝑐 = 0.5 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 ∙ 𝑘 ∙ 𝑑
(9.14)
Realizando el equilibrio de las fuerzas horizontales se tiene que:
𝐶𝑐 + 𝐶𝑠 = 𝑇
0.5 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 ∙ 𝑘 ∙ 𝑑 + 𝑓𝑠′ ∙ 𝐴′𝑠 = 𝑓𝑠 ∙ 𝐴𝑠
(9.15)
Se substituyen las ecuaciones (9.9) y (9.10) en la ecuación (9.15) y se obtiene una ecuación cuadrática
para 𝑘.
0.5 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 ∙ 𝑘 ∙ 𝑑 +
1−𝑘
𝑘 ∙ 𝑑 − 𝑑′
𝑛 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝐴′𝑠 =
∙ 𝑛 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝐴𝑠
𝑘
𝑘∙𝑑
𝑘 2 + 2 ∙ (𝜌 + 𝜌′ ) ∙ 𝑛 ∙ 𝑘 − 2 ∙ (𝜌 + 𝜌′ ∙
𝑑′
)∙𝑛=0
𝑑
Donde:
𝜌=
𝐴𝑠
𝑏∙𝑑
(4.9)
𝐴′𝑠
𝑏∙𝑑
(4.48)
𝜌′ =
La solución de la ecuación cuadrática da como resultado el valor de 𝑘 que define la posición del eje neutro
y la profundidad del bloque triangular de compresiones en el hormigón.
353
Diseño de estructuras de hormigón armado
1
2
𝑑′
𝑘 = [(𝜌 + 𝜌′ )2 ∙ 𝑛2 + 2 ∙ (𝜌 + 𝜌′ ∙ ) ∙ 𝑛] − (𝜌 + 𝜌′ ) ∙ 𝑛
𝑑
(9.16)
Si se desea tomar en cuenta el área de hormigón que desplaza el acero de compresión se debe utilizar en la
sumatoria de fuerzas horizontales todos los términos de la ecuación (9.11).
Realizando el equilibrio de las fuerzas horizontales se tiene
𝐶𝑐 + 𝐶𝑠 = 𝑇
0.5 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 ∙ 𝑘 ∙ 𝑑 −
𝑘 ∙ 𝑑 − 𝑑′
∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝐴′𝑠 + 𝑓𝑠′ ∙ 𝐴′𝑠 = 𝑓𝑠 ∙ 𝐴𝑠
𝑘∙𝑑
(9.20)
Se substituyen las ecuaciones (9.9) y (9.10) en la ecuación (9.20) y se obtiene una ecuación cuadrática
para 𝑘.
𝑘 2 + 2 ∙ (𝑛 ∙ 𝜌 + 𝑛 ∙ 𝜌′ − 𝜌′ ) ∙ 𝑘 + 2 ∙ (
𝑑′ ′ 𝑑′
∙ 𝜌 − ∙ 𝑛 ∙ 𝜌′ − 𝑛 ∙ 𝜌) = 0
𝑑
𝑑
(9.21)
La solución de la ecuación cuadrática da como resultado el valor de 𝑘 que define la posición del eje neutro
y la profundidad del bloque triangular de compresiones en el hormigón.
1
2
𝑑′
𝑘 = [(𝜌′ − 𝑛 ∙ (𝜌 + 𝜌′ )) − 2 ∙ ( ∙ 𝜌′ ∙ (1 − 𝑛) − 𝑛 ∙ 𝜌)] + 𝜌′ − 𝑛 ∙ (𝜌 + 𝜌′ )
𝑑
2
(9.22)
Si se realiza la sumatoria de momentos con respecto a la posición de la armadura de tracción, se obtiene el
momento que resiste la sección. Para la fuerza en el hormigón, se puede utilizar indistintamente el valor de
𝑘 obtenido de las ecuaciones (9.16) o (9.22).
𝑀𝑠 = 0.5 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 ∙ 𝑘 ∙ 𝑑 ∙ (𝑑 −
𝑘∙𝑑
) + 𝑓𝑠′ ∙ 𝐴′𝑠 ∙ (𝑑 − 𝑑′ )
3
(9.23)
Si se substituye la ecuación (9.10) en la ecuación (9.22) se puede despejar el esfuerzo en el hormigón
para un momento de servicio dado.
𝑓𝑐 =
𝑀𝑠
𝑘∙𝑑
𝑘 ∙ 𝑑 − 𝑑′
0.5 ∙ 𝑏 ∙ 𝑘 ∙ 𝑑 ∙ (𝑑 − 3 ) +
∙ 𝑛 ∙ 𝐴′𝑠 ∙ (𝑑 − 𝑑′ )
𝑘∙𝑑
(9.24)
Las ecuaciones deducidas en esta sección pueden ser utilizadas para determinar los esfuerzos en el
hormigón y el acero para un momento dado, o el momento para un esfuerzo determinado, cuando se
conocen las dimensiones de la sección de hormigón, las áreas de acero y la posición de las mismas. Las
354
Estados límites de servicio
ecuaciones también pueden utilizarse para secciones con simple armadura considerando el valor de cero
para el acero de compresión (𝐴′𝑠 = 0) y (𝜌′ = 0)
Ejemplo. Calcular los esfuerzos en el acero y hormigón debido a un momento flector de 260 [𝑘𝑁 · 𝑚]
considerando al momento como carga instantánea y como carga sostenida. Para el coeficiente de fluencia
del hormigón 𝐶𝑡 considerar el valor de cero para cargas instantáneas y uno para cargas sostenidas.
Datos:
𝐴𝑠 = 2945 [𝑚𝑚2 ]
𝐴′𝑠 = 1473 [𝑚𝑚2 ]
𝑏 = 400 [𝑚𝑚]
𝑑 = 730 [𝑚𝑚]
𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
400
70
3𝜙25
730
800
6𝜙25
a) Calcular las cuantías de acero.
𝜌=
2945
𝐴𝑠
=
= 0.01009
𝑏 ∙ 𝑑 400 ∙ 730
𝜌′ =
𝐴′𝑠
1473
=
= 0.00504
𝑏 ∙ 𝑑 400 ∙ 730
b) Calcular la relación modular 𝑛.
𝐸𝑐 = 4700 ∙ √𝑓𝑐′ = 4700 ∙ √20 = 21019 [𝑀𝑃𝑎]
𝐸𝑠 = 200000 [𝑀𝑃𝑎]
Para carga instantánea (𝑪𝒕 = 𝟎).
𝑛=
𝐸𝑠
200000
∙ (1 + 𝐶𝑡 ) =
∙ (1 + 0) = 9.52
𝐸𝑐
21019
Para carga sostenida (𝑪𝒕 = 𝟏).
𝑛=
𝐸𝑠
200000
∙ (1 + 𝐶𝑡 ) =
∙ (1 + 1) = 19.03
21019
𝐸𝑐
c) Calcular el valor de 𝑘 despreciando el área de hormigón desplazada por el acero de compresión.
355
Diseño de estructuras de hormigón armado
Para carga instantánea.
70
1
2
𝑘 = [(0.01009 + 0.00504)2 ∙ 9.522 + 2 ∙ (0.01009 + 0.00504 ∙ 730) ∙ 9.52] − (0.01009 + 0.00504) ∙
9.52 = 0.327
Para carga sostenida.
1
2
𝑘 = [(0.01009 + 0.00504) ∙ 19.03
2
0.00504) ∙ 19.03 = 0.409
70
2
+ 2 ∙ (0.01009 + 0.00504 ∙ 730) ∙ 19.03] − (0.01009 +
d) Calcular los esfuerzos en el hormigón y las barras de acero.
Para carga instantánea.
𝑓𝑠 =
1 − 0.327
∙ 9.52 ∙ 𝑓𝑐 = 19.59 ∙ 𝑓𝑐
0.327
𝑓𝑠′ =
0.327 ∙ 730 − 70
∙ 9.52 ∙ 𝑓𝑐 = 6.73 ∙ 𝑓𝑐
0.327 ∙ 730
𝑓𝑐 =
260000000
0.327 ∙ 730 − 70
0.327 ∙ 730
)+
∙ 9.52 ∙ 1473 ∙ (730 − 70)
0.5 ∙ 400 ∙ 0.327 ∙ 730 ∙ (730 −
0.327 ∙ 730
3
𝑓𝑐 = 6.92 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑠 = 19.59 ∙ 𝑓𝑐 = 19.59 ∙ 6.92 = 135.56 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑠′ = 6.73 ∙ 𝑓𝑐 = 6.73 ∙ 6.92 = 46.57 [𝑀𝑃𝑎]
Para carga sostenida
𝑓𝑠 =
1 − 0.409
∙ 19.03 ∙ 𝑓𝑐 = 27.50 ∙ 𝑓𝑐
0.409
𝑓𝑠′ =
0.409 ∙ 730 − 70
∙ 19.03 ∙ 𝑓𝑐 = 14.57 ∙ 𝑓𝑐
0.409 ∙ 730
𝑓𝑐 =
260000000
0.409 ∙ 730
0.409 ∙ 730 − 70
0.5 ∙ 400 ∙ 0.409 ∙ 730 ∙ (730 −
) + 0.409 ∙ 730 ∙ 19.03 ∙ 1473 ∙ (730 − 70)
3
𝑓𝑐 = 5.02 [𝑀𝑃𝑎]
356
Estados límites de servicio
𝑓𝑠 = 27.50 ∙ 𝑓𝑐 = 27.50 ∙ 5.02 = 138.05 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑠′ = 14.57 ∙ 𝑓𝑐 = 14.57 ∙ 5.02 = 73.14 [𝑀𝑃𝑎]
Resumen de esfuerzos
Tipo de carga 𝒇𝒄 [𝑴𝑷𝒂] 𝒇𝒔 [𝑴𝑷𝒂]
Instantánea
6.92
135.56
Sostenida
5.02
138.05
Variación
−𝟐𝟕%
𝟐%
𝒇′𝒔 [𝑴𝑷𝒂]
46.57
73.14
𝟓𝟕%
El efecto de la fluencia del hormigón en una viga sometida a momento flector se evidencia en la tabla de
resumen del presente ejemplo. En ella se observa que, para una carga sostenida, el esfuerzo en el
hormigón disminuye en un 27%, mientras que el esfuerzo en el acero de tracción aumenta en 2% y en el
acero de compresión en 57%, con respecto a los valores para carga instantánea. Es evidente que la
fluencia del hormigón en la zona de compresión produce una transferencia de esfuerzos de compresión
desde el hormigón hacia al acero de compresión.
Ejemplo. Una sección rectangular de hormigón armado está sometida a momentos por cargas muertas y
vivas de servicio. Si la sección solamente tiene 3𝜙25 como acero de tracción, calcular la tensión en el
acero para las cargas de servicio especificadas.
Datos:
𝑏 = 250 [𝑚𝑚]
𝑑 = 510 [𝑚𝑚]
𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
𝑀𝐿 = 68 [𝑘𝑁 · 𝑚]
𝑀𝐷 = 95 [𝑘𝑁 · 𝑚]
250
Momento por carga viva
Momento por carga muerta
510
580
3𝜙25
a) Calcular las cuantías de acero.
𝜌=
1473
= 0.01155
250 ∙ 510
𝜌′ =
0
=0
250 ∙ 510
b) Calcular la relación modular 𝑛.
𝐸𝑐 = 4700 ∙ √20 = 21019 [𝑀𝑃𝑎]
𝐸𝑠 = 200000 [𝑀𝑃𝑎]
357
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑛=
200000
= 9.52
21019
c) Calcular el valor de 𝑘.
Como solo hay armadura de tracción se substituye el valor de 0 para 𝜌′ en las ecuaciones (9.9), (9.19) y
(9.23).
1
1
𝑘 = [𝜌2 ∙ 𝑛2 + 2 ∙ 𝜌 ∙ 𝑛]2 − 𝜌 ∙ 𝑛 = [0.011552 ∙ 9.522 + 2 ∙ 0.01155 ∙ 9.52]2 − 0.01155 ∙ 9.52
𝑘 = 0.372
d) Calcular los esfuerzos en el hormigón y las barras de acero.
𝑓𝑐 =
𝑀𝑠
𝑘∙𝑑
0.5 ∙ 𝑏 ∙ 𝑘 ∙ 𝑑 ∙ (𝑑 − 3 )
=
(68 + 95) ∙ 1000000
0.372 ∙ 510
)
0.5 ∙ 250 ∙ 0.372 ∙ 510 ∙ (510 −
3
𝑓𝑐 = 15.38 [𝑀𝑃𝑎] << 20 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑠 =
1−𝑘
1 − 0.372
∙ 𝑛 ∙ 𝑓𝑐 =
∙ 9.52 ∙ 15.38
𝑘
0.372
𝑓𝑠 = 247.18 [𝑀𝑃𝑎] << 420 [𝑀𝑃𝑎]
9.4. Análisis de vigas T utilizando el procedimiento del par interno
𝑏
ℎ
𝐴′𝑠
𝜀𝑐
𝑑′
𝜀𝑐1
𝑑
𝐴𝑠
𝑀𝑛
Eje neutro
Parte del
elemento
𝑓𝑐1
𝑘·𝑑
Deformaciones
𝑇
𝑓𝑠
Esfuerzos
Fig. 9.5. Análisis de una sección T con doble armadura para
carga de servicio después del agrietamiento
358
𝐶𝑠
𝐶𝑐
𝑓𝑠′
𝑀𝑛
𝜀𝑠
𝑏𝑤
Sección
𝑓𝑐
𝜀𝑠′
Fuerzas
internas
Estados límites de servicio
Las deformaciones 𝜀𝑐 , 𝜀𝑐1 , 𝜀𝑠′ y 𝜀𝑠 se pueden escribir en términos de los esfuerzos utilizando la ley de
Hooke:
𝜀𝑐 =
𝑓𝑐
∙ (1 + 𝐶𝑡 )
𝐸𝑐
(9.5)
𝑓𝑐1
∙ (1 + 𝐶𝑡 )
𝐸𝑐
(9.25)
𝜀𝑐1 =
𝑓𝑠′
′
𝜀𝑠 =
𝐸𝑠
(9.6)
𝑓𝑠
𝐸𝑠
(9.7)
𝜀𝑠 =
Del diagrama de deformaciones, se pueden obtener las relaciones correspondientes entre las diferentes
deformaciones:
𝜀𝑐1
𝜀𝑠′
𝜀𝑠
𝜀𝑐
=
=
=
′
𝑑−𝑘∙𝑑
𝑘 ∙ 𝑑 𝑘 ∙ 𝑑 − ℎ𝑓 𝑘 ∙ 𝑑 − 𝑑
(9.26)
Se substituyen las ecuaciones (9.5), (9.25), (9.6) y (9.7) en la ecuación (9.26) y se obtienen las
ecuaciones para el esfuerzo en las barras de acero que están a compresión y tracción.
𝑓𝑐 ∙ (1 + 𝐶𝑡 )
𝑓𝑐1 ∙ (1 + 𝐶𝑡 )
𝑓𝑠′
𝑓𝑠
=
=
=
′
𝐸𝑐 ∙ 𝑘 ∙ 𝑑
𝐸𝑐 ∙ (𝑘 ∙ 𝑑 − ℎ) 𝐸𝑠 ∙ (𝑘 ∙ 𝑑 − 𝑑 ) 𝐸𝑠 ∙ 𝑑 ∙ (1 − 𝑘)
𝑘∙𝑑−ℎ
∙ 𝑓𝑐
𝑘∙𝑑
(9.27)
𝑓𝑠 =
1−𝑘
∙ 𝑛 ∙ 𝑓𝑐
𝑘
(9.9)
𝑓𝑠′ =
𝑘 ∙ 𝑑 − 𝑑′
∙ 𝑛 ∙ 𝑓𝑐
𝑘∙𝑑
(9.10)
𝑓𝑐1 =
Donde:
𝑛=
𝐸𝑠
∙ (1 + 𝐶𝑡 )
𝐸𝑐
(9.4)
Las fuerzas internas resultantes en la sección de hormigón son:
𝐶𝑐 = 0.5 ∙ (𝑓𝑐 + 𝑓𝑐1 ) ∙ 𝑏 ∙ ℎ + 0.5 ∙ 𝑓𝑐1 ∙ (𝑘 ∙ 𝑑 − ℎ) ∙ 𝑏𝑤
359
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝐶𝑐 = 0.5 ∙ (𝑓𝑐 +
𝑘∙𝑑−ℎ
𝑘∙𝑑−ℎ
∙ 𝑓𝑐 ) ∙ 𝑏 ∙ ℎ + 0.5 ∙
∙ 𝑓𝑐 ∙ (𝑘 ∙ 𝑑 − ℎ) ∙ 𝑏𝑤
𝑘∙𝑑
𝑘∙𝑑
(𝑘 ∙ 𝑑 − ℎ)2
𝑘∙𝑑−ℎ
𝐶𝑐 = 0.5 ∙ 𝑏 ∙ ℎ ∙ 𝑓𝑐 ∙ (1 +
) + 0.5 ∙
∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏𝑤
𝑘∙𝑑
𝑘∙𝑑
𝐶𝑐 = 𝑏 ∙ ℎ ∙ 𝑓𝑐 ∙ (1 −
(𝑘 ∙ 𝑑 − ℎ)2
ℎ
)+
∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏𝑤
2∙𝑘∙𝑑
2∙𝑘∙𝑑
(9.28)
𝐶𝑠 = 𝑓𝑠′ ∙ 𝐴′𝑠
(9.12)
𝑇 = 𝑓𝑠 ∙ 𝐴𝑠
(9.13)
Despreciando la fuerza de compresión en el alma debido a que la magnitud del esfuerzo y el área de
hormigón son pequeñas, se puede ignorar el segundo término de la ecuación (9.28).
𝐶𝑐 = 𝑏 ∙ ℎ𝑓 ∙ 𝑓𝑐 ∙ (1 −
ℎ
)
2∙𝑘∙𝑑
(9.29)
Realizando el equilibrio de las fuerzas horizontales se tiene
𝐶𝑐 + 𝐶𝑠 = 𝑇
𝑏 ∙ ℎ ∙ 𝑓𝑐 ∙ (1 −
ℎ
) + 𝑓𝑠′ ∙ 𝐴′𝑠 = 𝑓𝑠 ∙ 𝐴𝑠
2∙𝑘∙𝑑
(9.30)
Se substituyen las ecuaciones (9.9) y (9.10) en la ecuación (9.30) y se obtiene una ecuación lineal para
𝑘.
𝑏 ∙ ℎ𝑓 ∙ 𝑓𝑐 ∙ (1 −
𝑘=
1−𝑘
ℎ
𝑘 ∙ 𝑑 − 𝑑′
)+
∙ 𝑛 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝐴′𝑠 =
∙ 𝑛 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝐴𝑠
2∙𝑘∙𝑑
𝑘
𝑘∙𝑑
𝑏 ∙ ℎ + 2 ∙ 𝑑′ ∙ 𝑛 ∙ 𝐴′𝑠 + 2 ∙ 𝑑 ∙ 𝑛 ∙ 𝐴𝑠
2 ∙ 𝑑 ∙ (𝑏 ∙ ℎ + 𝑛 ∙ 𝐴′𝑠 + 𝑛 ∙ 𝐴𝑠 )
(9.31)
La solución de la ecuación da como resultado el valor de 𝑘 que define la posición del eje neutro y la
profundidad del bloque triangular de compresión en el hormigón.
Si se desea tomar en cuenta el área de hormigón del alma se debe utilizar en la sumatoria de fuerzas
horizontales todos los términos de la ecuación (9.28).
Se realiza el equilibrio de las fuerzas horizontales y se obtiene la siguiente expresión:
𝐶𝑐 + 𝐶𝑠 = 𝑇
360
Estados límites de servicio
𝑏 ∙ ℎ ∙ 𝑓𝑐 ∙ (1 −
(𝑘 ∙ 𝑑 − ℎ)2
ℎ
)+
∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏𝑤 + 𝑓𝑐′ ∙ 𝐴′𝑠 = 𝑓𝑠 ∙ 𝐴𝑠
2∙𝑘∙𝑑
2∙𝑘∙𝑑
(9.32)
Se substituyen las ecuaciones (9.9) y (9.10) en la ecuación (9.32) y se obtiene una ecuación cuadrática
para 𝑘.
𝑏𝑤 ∙ 𝑑2 ∙ 𝑘 2 + 2 ∙ 𝑑 ∙ [ℎ ∙ (𝑏 − 𝑏𝑤 ) + 𝑛 ∙ (𝐴′𝑠 + 𝐴𝑠 )] ∙ 𝑘 + ℎ2 ∙ (𝑏𝑤 − 𝑏) − 2 ∙ 𝑛 ∙ (𝐴′𝑠 ∙ 𝑑′ + 𝐴𝑠 ∙ 𝑑) = 0
La solución de la ecuación cuadrática da como resultado el valor de 𝑘 que define la posición del eje neutro
y la profundidad del bloque triangular de compresiones en el hormigón.
1
2
𝑏
𝑏
ℎ 2
𝑏
𝑑′
𝑏 2 ℎ
ℎ
∙ (𝜌′ + 𝜌)] + ( ) ∙ ( − 1) + 2 ∙ 𝑛 ∙ (𝜌′ ∙ + 𝜌) ∙
𝑘 = {[ ∙ ( − 1) + 𝑛 ∙
} −
𝑏𝑤
𝑑
𝑏𝑤
𝑑
𝑏𝑤
𝑑
𝑑 𝑏𝑤
𝑏
𝑏
∙ ( − 1) − 𝑛 ∙ (𝜌′ + 𝜌) ∙
𝑏𝑤
𝑏𝑤
(9.33)
Donde:
𝜌=
𝐴𝑠
𝑏∙𝑑
(4.9)
𝐴′𝑠
𝑏∙𝑑
(4.48)
𝜌′ =
Si se realiza la sumatoria de momentos con respecto a la posición de la armadura de tracción, se obtiene el
momento que resiste la sección. Para la fuerza en el hormigón, se puede utilizar indistintamente el valor de
𝑘 obtenido de las ecuaciones (9.19) o (9.21).
𝑦̅ =
ℎ 2 ∙ 𝑓𝑐1 + 𝑓𝑐
∙(
)
𝑓𝑐1 + 𝑓𝑐
3
(9.34)
2
𝑘∙𝑑
∙ℎ+
3
3
(9.35)
𝑦̅1 =
361
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑓𝑐
𝑓𝑐
𝑦̅
ℎ𝑓
ℎ𝑓
𝑓𝑐1
𝑦̅1
𝑓𝑐1
𝑘 ∙ 𝑑 − ℎ𝑓
Fig. 9.6. Centros de gravedad del bloque de compresiones
(𝑘 ∙ 𝑑 − ℎ)2
ℎ
𝐶𝑐 = 𝑏 ∙ ℎ ∙ 𝑓𝑐 ∙ (1 −
)+
∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏𝑤
2∙𝑘∙𝑑
2∙𝑘∙𝑑
𝑀𝑠 = 𝑏 ∙ ℎ ∙ 𝑓𝑐 ∙ (1 −
(𝑘 ∙ 𝑑 − ℎ)2
ℎ
) ∙ (𝑑 − 𝑦̅) +
∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏𝑤 ∙ (𝑑 − 𝑦̅1 ) + 𝑓𝑠′ ∙ 𝐴′𝑠 ∙ (𝑑 − 𝑑′ )
2∙𝑘∙𝑑
2∙𝑘∙𝑑
(9.36)
Si se substituye la ecuación (9.10) en la ecuación (9.36), se puede despejar el esfuerzo en el hormigón
para un momento de servicio dado.
𝑓𝑐 =
𝑀𝑠
(𝑘 ∙ 𝑑 − ℎ)2
ℎ
𝑘 ∙ 𝑑 − 𝑑′
𝑏 ∙ ℎ𝑓 ∙ (1 −
) ∙ (𝑑 − 𝑦̅) +
∙ 𝑏𝑤 ∙ (𝑑 − 𝑦̅1 ) +
∙ 𝑛 ∙ 𝐴′𝑠 ∙ (𝑑 − 𝑑′ )
2∙𝑘∙𝑑
𝑘∙𝑑
2∙𝑘∙𝑑
(9.37)
Las ecuaciones deducidas en esta sección pueden ser utilizadas para determinar los esfuerzos en el
hormigón y el acero para un momento dado, o el momento para un esfuerzo determinado, cuando se
conocen las dimensiones de la sección de hormigón, las áreas de acero y la posición de las barras. Las
ecuaciones también pueden utilizarse para secciones con simple armadura considerando el valor de cero
para el acero de compresión (𝐴′𝑠 = 0) y (𝜌′ = 0).
Ejemplo. Una sección T de hormigón armado está sometida a un momento flector de servicio igual a
200 [𝑘𝑁 · 𝑚]. Si la sección tiene armadura de tracción y compresión, calcular los esfuerzos en el
hormigón y las barras de acero para el momento de servicio especificado. Considerar que el momento de
servicio aplicado es de corta duración y por tal razón se desprecian los efectos de la fluencia sobre el
módulo de elasticidad del hormigón.
362
Estados límites de servicio
Datos:
𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
𝐴𝑠 = 2945 [𝑚𝑚2 ]
𝐴′𝑠 = 679 [𝑚𝑚2 ]
𝑀 = 200 [𝑘𝑁 · 𝑚]
Dimensiones en milímetros
1000
125
6𝜙12
510
Asumir que el eje neutro está en el alma
a) Calcular las cuantías de acero.
𝜌=
50
6𝜙25
250
𝐴𝑠
2945
=
= 0.00577
𝑏 ∙ 𝑑 1000 ∙ 510
𝜌′ =
𝐴′𝑠
679
=
= 0.00133
𝑏 ∙ 𝑑 1000 ∙ 510
b) Calcular la relación modular 𝑛.
𝐸𝑐 = 4700 ∙ √𝑓𝑐′ = 4700 ∙ √20 = 21019 [𝑀𝑃𝑎]
𝐸𝑠 = 200000 [𝑀𝑃𝑎]
𝑛=
𝐸𝑠 200000
=
= 9.52
𝐸𝑐
21019
c) Calcular el valor de 𝑘.
ℎ 125
=
= 0.24510
𝑑 510
𝑏
1000
=
=4
𝑏𝑤
250
𝜌′ + 𝜌 = 0.00711
1
2
50
+ 0.00577) ∙ 4}
𝑘 = {(0.2451 ∙ 3 + 9.52 ∙ 4 ∙ 0.00711)2 + 0.24512 ∙ 3 + 2 ∙ 9.52 ∙ (0.00133 ∙
510
− 0.2451 ∙ 3 − 9.52 ∙ 0.00711 ∙ 4 = 0.275
𝑘 ∙ 𝑑 = 0.275 ∙ 510 = 140 [𝑚𝑚] ≥ 125[𝑚𝑚] ⇒ El eje neutro está en el alma
363
Diseño de estructuras de hormigón armado
d) Calcular los esfuerzos en el hormigón y las barras de acero.
0.275 ∙ 510 − 125
𝑓𝑐1 =
∙ 𝑓𝑐 = 0.11 ∙ 𝑓𝑐
0.275 ∙ 510
𝑓𝑠 =
1 − 0.275
∙ 9.52 ∙ 𝑓𝑐 = 25.10 ∙ 𝑓𝑐
0.275
𝑓𝑠′ =
0.275 ∙ 510 − 50
∙ 9.52 ∙ 𝑓𝑐 = 6.13 ∙ 𝑓𝑐
0.275 ∙ 510
𝑦̅ =
125 2 ∙ 0.11 ∙ 𝑓𝑐 + 𝑓𝑐
∙(
) = 46 [𝑚𝑚]
0.11 ∙ 𝑓𝑐 + 𝑓𝑐
3
(9.34)
2
0.275 ∙ 510
∙ 125 +
= 130 [𝑚𝑚]
3
3
(9.35)
𝑦̅1 =
𝐶𝑐 = 1000 ∙ 125 ∙ 𝑓𝑐 ∙ (1 −
(0.275 ∙ 510 − 125)2
125
)+
∙ 𝑓𝑐 ∙ 250 = 69296 ∙ 𝑓𝑐 + 207 ∙ 𝑓𝑐
2 ∙ 0.275 ∙ 510
2 ∙ 0.275 ∙ 510
𝐶𝑐 = 69503 ∙ 𝑓𝑐
𝑓𝑐 =
200000000
= 5.86 [𝑀𝑃𝑎]
69296 ∙ (510 − 46) + 207 ∙ (510 − 130) + 4160 ∙ (510 − 50)
𝑓𝑐1 = 0.11 ∙ 5.86 = 0.64 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑠 = 25.10 ∙ 5.86 = 147.09 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑠′ = 6.13 ∙ 5.86 = 35.92 [𝑀𝑃𝑎]
9.5. Análisis de vigas por el método de la sección transformada
Para cargas de servicio, se asume que la viga se comporta elásticamente y se utilizan las ecuaciones de la
teoría elástica para el análisis. Las suposiciones básicas de la teoría elástica son:
- Distribución lineal de las deformaciones en toda la altura de la sección.
- Las tensiones son calculadas considerando la proporcionalidad entre esfuerzos y
deformaciones.
La ecuación de la teoría elástica para hallar la distribución de esfuerzos por flexión a lo largo de la sección
transversal de la viga es:
𝑓=
364
𝑀∙𝑦
𝐼
(5.2)
Estados límites de servicio
Donde:
𝑀 = Momento flector aplicado en el centro de gravedad de la sección.
𝑦 = Distancia desde el eje baricéntrico al punto donde se desea hallar el esfuerzo por flexión.
𝐼 = Momento de inercia alrededor del eje baricéntrico de la sección.
Cuando una viga está hecha de dos materiales y es cargada, los diferentes valores del módulo de
elasticidad 𝐸 para ambos materiales dan como resultado distribuciones de tensiones diferentes debido a
que un material es más rígido y absorbe más tensión para la misma deformación. Sin embargo, la teoría
elástica para vigas puede ser utilizada si la viga es hipotéticamente trasformada en una viga totalmente de
acero o de hormigón. Generalmente la sección de hormigón armado es transformada en una viga de
hormigón simple reemplazando el área de acero por un área equivalente de hormigón que tiene la misma
rigidez axial 𝐸 · 𝐴. Como la relación 𝐸𝑠 /𝐸𝑐 es conocida como relación modular 𝑛, el área resultante de
hormigón será 𝑛 · 𝐴𝑠 . Se asume que esta área se halla concentrada en el mismo punto que el área real de
acero.
Cuando el acero está en la zona de compresión, su área transformada es 𝑛 · 𝐴′𝑠 , pero desplaza un área de
hormigón igual al área de acero en compresión 𝐴′𝑠 . Como resultado, el área de acero en compresión se
transforma en un área equivalente de hormigón igual a (𝑛 − 1) · 𝐴′𝑠 .
Ejemplo. Calcular para la sección de la figura la posición del baricentro (centro de gravedad) y computar
el momento de inercia alrededor del eje que pasa por el mismo. Considerar una sección no agrietada y otra
agrietada.
Datos:
𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎]
𝐴′𝑠 = 628 [𝑚𝑚2 ]
𝐴𝑠 = 1257 [𝑚𝑚2 ]
300
60
2𝜙20
540
600
4𝜙20

Sección transformada no agrietada
𝐸𝑐 = 4700 ∙ √𝑓𝑐′ = 4700 ∙ √20 = 21019 [𝑀𝑃𝑎]
𝐸𝑠 = 200000 [𝑀𝑃𝑎]
365
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑛=
𝐸𝑠 200000
=
= 9.52
𝐸𝑐
21019
Área de acero transformada:
Acero superior
(𝑛 − 1) · 𝐴′𝑠 = (9.52 − 1) · 628 = 5350.6 [𝑚𝑚2 ]
Acero inferior
(𝑛 − 1) · 𝐴𝑠 = (9.52 − 1) · 1257 = 10709.6 [𝑚𝑚2 ]
Centro de gravedad de la sección transformada
Elemento
𝑨𝒊 [𝒎𝒎𝟐 ]
𝒚𝒔𝒊 [𝒎𝒎]
𝑨𝒊 · 𝒚𝒔𝒊 [𝒎𝒎𝟑 ]
Hormigón
180000.0
300
54000000
Acero superior
5350.6
60
321036
Acero inferior
10709.6
540
5783184
Total
196060.2
−−−−
60104220
𝑦𝑠𝑢𝑝 =
ΣAi ∙ ysi
= 307 [𝑚𝑚]
Σ𝐴𝑖
Momento de inercia
Elemento
𝑨𝒊 [𝒎𝒎𝟐 ]
𝒎𝒊 [𝒎𝒎]
𝑰𝒙𝒊 [𝒎𝒎𝟒 ]
𝑰𝒙𝒊 + 𝑨𝒊 · 𝒎𝟐𝒊 [𝒎𝒎𝟒 ]
Hormigón
180000.0
6.6
5.4 · 109
5.408 · 109
Acero superior
5350.6
246.6
−−−−
0.325 · 109
Acero inferior
10709.6
233.4
−−−−
0.583 · 109
Total
−−−−
−−−−
−−−−
6.317 · 109
𝐼𝑔𝑡 = 631663 [𝑐𝑚4 ]
Momento de inercia de la sección transformada no agrietada
𝐼𝑔 = 540000 [𝑐𝑚4 ]
Momento de inercia de la sección de hormigón

Sección transformada agrietada
Área de acero transformada:
Acero superior
(𝑛 − 1) · 𝐴 ′𝑠 = (9.52 − 1) · 628 = 5350.6 [𝑚𝑚2 ]
Acero inferior
𝑛 · 𝐴𝑠 = 9.52 · 1257 = 11966.6 [𝑚𝑚2 ]
366
Estados límites de servicio
𝑐 =𝑘·𝑑
Centroide de la sección
transformada fisurada
𝐴 = 11966.6 [𝑚𝑚2 ]
Elemento
𝑨𝒊 [𝒎𝒎𝟐 ]
𝒚𝒊 [𝒎𝒎]
𝑨𝒊 ∙ 𝒚𝒊 [𝒎𝒎𝟑 ]
Zona en compresión
300 · 𝑐
𝑐/2
150 · 𝑐 2
Acero superior
5350.6
𝑐 − 60
5350.6 · 𝑐 – 321036.0
Acero inferior
11966.6
𝑐 − 540
11966.6 · 𝑐 – 6461985.6
Total
300 · 𝑐 + 16902.5
−−−
150 · 𝑐 2 + 17317.2 · 𝑐– 6783021.6
Por definición 𝑐 es la distancia al centro de gravedad cuando 𝐴𝑖 · 𝑦𝑖 = 0
150 · 𝑐 2 + 17317.2 · 𝑐– 6783021.6 = 0
𝑐 = 163 [𝑚𝑚]
Momento de Inercia.
Elemento
𝑨𝒊 [𝒎𝒎𝟐 ]
𝒎𝒊 [𝒎𝒎]
𝑰𝒙𝒊 [𝒎𝒎𝟒 ]
𝑰𝒙𝒊 + 𝑨𝒊 · 𝒎𝟐𝒊 [𝒎𝒎𝟒 ]
Zona en compresión
48780.0
81.3
107473559.4
4.299 · 108
Acero superior
5350.6
102.6
−−−−
0.563 · 108
Acero inferior
11966.6
377.4
−−−−
17.044 · 108
Total
−−−−
−−−−
−−−−
2.191 · 109
𝐼𝑐𝑟 = 219063 [𝑐𝑚4 ]
Momento de inercia de la sección transformada agrietada
Tipo de sección considerada
Momento de inercia [𝒄𝒎𝟒 ]
Relación entre inercias
Solamente hormigón
𝐼𝑔
540000
𝐼𝑔 /𝐼𝑔
1.00
Transformada no
agrietada
𝐼𝑔𝑡
631663
𝐼𝑔𝑡 /𝐼𝑔
1.17
Transformada agrietada
𝐼𝑐𝑟
219063
𝐼𝑐𝑟 /𝐼𝑔
0.41
367
Diseño de estructuras de hormigón armado
En la tabla se puede apreciar cómo el momento de inercia de una sección agrietada se reduce en un 59%
con respecto al momento de inercia de la sección gruesa.
La ecuación Σ𝐴𝑖 ∙ 𝑦𝑖 = 0, para hallar el centro de gravedad, queda demostrada con el siguiente
procedimiento:
𝑦𝑖 = Distancia desde el eje baricéntrico al centro de gravedad del área 𝑖.
𝑦𝑠𝑢𝑝 =
∑ 𝐴𝑖 ∙ 𝑦𝑠𝑖
∑ 𝐴𝑖
𝑦𝑠𝑢𝑝 ∙ ∑ 𝐴𝑖 − ∑ 𝐴𝑖 ∙ 𝑦𝑠𝑖 = 0
∑ 𝐴𝑖 ∙ (𝑦𝑠𝑢𝑝 − 𝑦𝑠𝑖 ) = 0
Como (𝑦𝑠𝑢𝑝 − 𝑦𝑠𝑖 ) = 𝑦𝑖 , la ecuación anterior se simplifica a:
∑ 𝐴𝑖 ∙ 𝑦𝑖 = 0
Para el caso de sección agrietada, se pueden utilizar las ecuaciones (9.16) o (9.22) para hallar la
profundidad del eje neutro que en la teoría elástica coincide con el eje baricéntrico de la sección.
𝜌=
1257
= 0.007759
300 ∙ 540
𝜌′ =
628
= 0.003877
300 ∙ 540
𝑛 = 9.52
Utilizando la ecuación (9.16) se obtiene:
1
2
60
𝑘 = [0.0116362 ∙ 9.522 + 2 ∙ (0.007759 + 0.003877 ∙
) ∙ 9.52] − 0.011636 ∙ 9.52 = 0.299
540
𝑘 ∙ 𝑑 = 0.299 ∙ 540 = 161[𝑚𝑚]
Utilizando la ecuación (9.22) se obtiene:
368
Estados límites de servicio
1
2
60
𝑘 = [(0.003877 − 9.52 ∙ 0.011636) − 2 ∙ (
∙ 0.003877 ∙ (1 − 9.52) − 9.52 ∙ 0.007759)]
540
+ 0.003877 − 9.52 ∙ 0.011636 = 0.301
2
𝑘 ∙ 𝑑 = 0.301 ∙ 540 = 163 [𝑚𝑚]
El resultado de 𝑘 obtenido con la ecuación (9.16) es ligeramente menor al resultado obtenido con la
ecuación (9.22) debido a que para la deducción de la ecuación (9.16) no se descontó el área de hormigón
desplazada por el acero de compresión, mientras que para la ecuación (9.22) se dedujo esa área y por ello
el resultado coincide plenamente con el del procedimiento de la sección transformada. Las ecuaciones
(9.16) y (9.22) pueden ser aplicadas para localizar la posición del eje neutro en secciones rectangulares
agrietadas de hormigón armado con o sin refuerzo de compresión.
9.6. Análisis de columnas cortas
Si una columna de hormigón armado corta está sometida a una carga axial 𝑃 aplicada por el centro de
gravedad de su sección transversal, ésta carga se reparte entre el acero y hormigón de la sección
transversal.
𝑃 = 𝐴𝑐 ∙ 𝑓𝑐 + 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑠
(9.38)
Tanto el acero como el hormigón sufren la misma deformación unitaria y las siguientes ecuaciones pueden
ser planteadas:
𝑛=
𝐸𝑠
∙ (1 + 𝐶𝑡 )
𝐸𝑐
𝑓𝑠 = 𝑛 ∙ 𝑓𝑐
(9.4)
(9.39)
𝑃 = 𝐴𝑐 ∙ 𝑓𝑐 + 𝐴𝑠 ∙ 𝑛 ∙ 𝑓𝑐
𝐴𝑐
𝑃 = 𝑓𝑐 ∙ (𝐴𝑐 + 𝐴𝑠 ∙ 𝑛) = 𝑓𝑠 ∙ ( + 𝐴𝑠 )
𝑛
𝑓𝑐 =
𝑃
𝐴𝑐 + 𝐴𝑠 ∙ 𝑛
(9.40)
𝑓𝑠 =
𝑛∙𝑃
𝐴𝑐 + 𝐴𝑠 ∙ 𝑛
(9.41)
Cuando una columna está sometida a una carga axial sostenida, el valor de 𝑛 aumenta debido al efecto que
tiene la fluencia sobre el módulo de elasticidad del hormigón y eso produce una redistribución de los
esfuerzos entre el acero y hormigón.
369
Diseño de estructuras de hormigón armado
Ejemplo. Una columna cuadrada de hormigón armado de 250 [𝑚𝑚] de lado está reforzada con 8𝜙16.
Calcular los esfuerzos en el hormigón y el acero para los tres casos que se indican al final, considerando
que una carga axial de servicio de 900 [𝑘𝑁] es soportada por la columa y asumiendo para la relación
modular inicial (𝐸𝑠 /𝐸𝑐 ) el valor de 10.
1) Para la primera aplicación de la carga.
2) Después de un periodo largo de tiempo asumiendo un valor de 2 para el coeficiente de flujo plástico.
3) En el instante cuando se retira la carga.
250
Datos:
𝑏 = 250 [𝑚𝑚]
ℎ = 250 [𝑚𝑚]
𝑃 = 900 [𝑘𝑁]
𝑛 = 10
a) Calcular las áreas de acero y de hormigón.
𝐴𝑠 = 1608 [𝑚𝑚2 ]
𝐴𝑐 = 2502 – 1608 = 60892 [𝑚𝑚2 ]
b) Esfuerzos en el acero y en el hormigón.
Para la primera aplicación de la carga (𝑪𝒕 = 𝟎).
𝑛 = 10
𝑓𝑐 =
900000
= 11.45 [𝑀𝑃𝑎]
62500 + 1608 ∙ 10
𝑓𝑠 = 10 ∙ 11.45 = 114.50 [𝑀𝑃𝑎]
Después de periodo largo de tiempo (𝑪𝒕 = 𝟐).
𝑛 = 10 ∙ (1 + 2) = 30
𝑓𝑐 =
900000
= 8.13 [𝑀𝑃𝑎]
62500 + 1608 ∙ 30
𝑓𝑠 = 30 ∙ 8.13 = 243.90 [𝑀𝑃𝑎]
370
8𝜙16
250
Estados límites de servicio
En el instante cuando se retira la carga.
El cambio en el esfuerzo al retirar la carga que estaba aplicada por un largo periodo de tiempo es una
recuperación elástica con 𝑛 = 10. Por tanto, los esfuerzos que quedan (esfuerzos residuales) se hallan
restando el primer caso del segundo.
𝑓𝑐 = 8.13 − 11.45 = −3.32 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑠 = 243.90 − 114.50 = 129.40 [𝑀𝑃𝑎]
Es importante resaltar que la recuperación de la fluencia del hormigón hace que estos esfuerzos residuales
vayan reduciéndose con el tiempo. En el siguiente gráfico se aprecian los resultados obtenidos de los
esfuerzos tanto en el acero, como en el hormigón.
En el ejemplo anterior se aprecia cómo la fluencia del hormigón, provocada por la carga sostenida, causa
una redistribución de los esfuerzos internos, disminuyendo el esfuerzo de compresión en el hormigón y
aumentando considerablemente el esfuerzo de compresión en el acero. El incremento del esfuerzo en el
acero puede algunas veces ser suficiente para producir la fluencia del acero. Sin embargo, la fluencia del
hormigón bajo carga sostenida de servicio no afecta la seguridad de la columna porque la carga última de
una columna corta es alcanzada cuando el acero llega a su resistencia de fluencia y el hormigón a su
resistencia máxima a la compresión.
En el ejemplo se puede apreciar que cuando se remueve la carga de compresión de una columna, puede el
hormigón quedar con esfuerzos residuales de tracción y el acero con esfuerzos de compresión de magnitud
considerable que se reducen con el tiempo debido al efecto de la fluencia.
Compresión
Con la carga actuando
Esfuerzos [𝑀𝑃𝑎]
Acero
Hormigón
300
15
200
10
100
5
0
- 100
Sin carga
Hormigón
Acero
Tiempo
-5
Tracción
371
Diseño de estructuras de hormigón armado
De los resultados del ejemplo, se puede inferir que es muy difícil evaluar la capacidad máxima y el
margen de seguridad de una columna de hormigón armado bajo cargas de servicio utilizando la teoría
elástica y por ello el código ACI utiliza el concepto del estado límite último con cargas mayoradas para
predecir con cierta precisión la resistencia nominal (resistencia máxima) de los elementos sometidos a
compresión. Sin embargo, cuando se desea evaluar la deformación de la columna bajo condiciones de
carga de servicio, es muy útil utilizar el análisis elástico considerando los efectos de la fluencia.
9.7. Agrietamiento
En la mayoría de los elementos de hormigón armado, adecuadamente diseñados, se presentan grietas que
en general son muy pequeñas y casi invisibles a simple vista. Las grietas pueden aparecer aun cuando el
elemento no está sometido a cargas puesto que éstas se pueden producir por los efectos de la retracción
durante el proceso de endurecimiento del hormigón.
Como el acero de refuerzo en elementos de hormigón armado es de características pasivas en
contraposición del acero de pretensado, éste necesita que el elemento se agriete para comenzar a trabajar,
por lo que no es factible diseñar una viga en hormigón armado donde no existan fisuras.
Las fisuras en hormigón armado no siguen, por lo general, un patrón definido salvo las conocidas fisuras
por flexión, corte o torsión que normalmente pueden ser distinguidas con facilidad. Debido a la
complejidad del problema, los actuales métodos para predecir el agrietamiento de las secciones de
hormigón armado están basados en observaciones del comportamiento de estructuras reales y de ensayos
en laboratorio. La mayoría de las ecuaciones desarrolladas tratan de predecir el ancho máximo de la fisura
que usualmente significa que el 90% de las fisuras que se esperan tendrá un ancho menor al calculado.
Pero, debido a la complejidad del problema es posible que fisuras con anchos mayores se puedan
presentar.
9.7.1. Variables que afectan el ancho y distribución de las fisuras
Entre las principales variables que afectan el ancho y la distribución de las fisuras tenemos:
a) Tipo de refuerzo de acero.- La utilización de aceros lisos produce la aparición de fisuras de mayor
ancho, por ello es recomendable la utilización de acero corrugado para asegurar una buena
adherencia entre el hormigón y la barra de acero.
b) Anclaje de las barras de acero.- Es importante de que toda barra sea anclada adecuadamente para
evitar el deslizamiento de la misma. Esto no solo asegura una mejor distribución de las fisuras,
sino que evita el colapso del elemento en la eventualidad de que se presenten cargas
extraordinarias.
c) Tensión en el refuerzo de acero.- El ancho de las fisuras está en directa proporción con la tensión
del acero de refuerzo bajo cargas de servicio. Para reducir el ancho de las fisuras, se debe
mantener la tensión del acero, para cargas de servicio, a un nivel muy por debajo de su tensión de
fluencia, en general menor a 0.6 · 𝑓𝑦 .
372
Estados límites de servicio
d) Diámetro de barra.- Es aconsejable utilizar, en las zonas de tracción, mayor número de barras de
menor diámetro, que menor número barras de mayor diámetro para alcanzar el área de acero
necesaria, puesto que esto asegura una mejor distribución de las fisuras con su consecuente
reducción de ancho. Pero, el espaciamiento elegido no debe perjudicar las operaciones durante el
vaciado y vibrado de la mezcla de hormigón.
e) Recubrimiento de la barra de acero.- Experimentos han demostrado que incrementando el
recubrimiento de las barras se incrementan también el espaciamiento y ancho de las fisuras. Pero,
un deficiente recubrimiento en las armaduras puede producir la corrosión prematura de las mismas
y el consiguiente aumento de volumen de las mismas lo cual produce a su vez un agrietamiento en
el hormigón y la posterior pérdida total del recubrimiento por estallido del hormigón.
f) Curado del elemento de hormigón.- Para evitar que se produzcan fisuras por los efectos de la
retracción del hormigón, es muy importante curar la superficie expuesta del elemento por lo
menos 7 días después de su vaciado, término en el cual se presume que el cemento ha terminado
con su proceso de hidratación. En superficies grandes como losas, la omisión de un cuidadoso
curado produce fisuras visiblemente notorias, que en muchos casos no pueden ser disimuladas o
reparadas.
g) Inadecuada colocación de la armadura.- En algunos casos, una equivocación en la disposición de
la armadura puede producir la aparición de fisuras no previstas.
h) Retracción térmica.- Los cambios de temperatura pueden producir fisuras en la superficie de
elementos de hormigón armado.
9.7.2. Ubicación y distribución de fisuras por acciones conocidas
Las tensiones de tracción producidas por cargas axiales, fuerzas cortantes y momentos flectores producen
configuraciones diferentes de fisuras, las cuales son fácilmente identificables en la mayoría de las
estructuras. En las siguientes figuras se presentan ejemplos de elementos agrietados por acciones
conocidas.
𝑞
Fig. 9.7. Fisuras por flexión y corte
373
Diseño de estructuras de hormigón armado
En una viga sometida a cargas gravitacionales, las fisuras verticales en el centro de la luz de la viga en la
sección de máximo momento flector, se originan por los esfuerzos de flexión y se presentan habitualmente
porque no existe la armadura suficiente.
Las fisuras inclinadas aproximadamente a 45° que aparecen generalmente en las proximidades de los
apoyos en vigas, son producidas por el esfuerzo de corte (tensión diagonal) y se deben a una insuficiente
sección de hormigón en los apoyos y/o insuficiente cantidad de estribos verticales o barras de acero
dobladas.
𝑃
𝑃
Fig. 9.8. Fisuras por tracción
Las fisuras de la figura anterior son normales a la dirección del esfuerzo, por lo tanto esto indica que las
fisuras se han producido por la falla del material a un esfuerzo de tracción perpendicular a ellas y por una
insuficiente cantidad de armadura en la dirección paralela a la carga.
𝑃
𝑃
Fig. 9.9. Fisuras por compresión
En un elemento sometido principalmente a esfuerzos de compresión paralelos a su eje longitudinal, las
fisuras paralelas a la dirección de ese esfuerzo pueden deberse a esfuerzos de tracción que aparecen en la
dirección perpendicular a la carga. Este tipo de fisuras son muy peligrosas, especialmente en columnas
374
Estados límites de servicio
porque "no avisan", porque son producto de un agotamiento de la capacidad de carga del material y el
colapso puede producirse en cualquier momento.
𝑇
𝑇
Fig. 9.10. Fisuras por torsión
Las fisuras que van rodeando una pieza de hormigón, en forma de espiral, con una tendencia a seguir
líneas a 45°, son producidas por esfuerzos de torsión y denotan una cantidad insuficiente de armaduras de
refuerzo para contrarrestarlos.
9.7.3. Razones para controlar el ancho de fisuras
Pueden existir muchas razones por las cuales el propietario, el calculista o la misma sociedad limitan el
ancho y distribución de las fisuras. Entre las principales se pueden citar las siguientes:
a)
b)
c)
Estética.
Filtraciones.
Corrosión.

Estética.
No existe duda alguna que una estructura agrietada pierde su característica estética frente a otra no
agrietada, aunque ambas cumplan adecuadamente su función. Anchos de fisuras entre 0.25 [𝑚𝑚] y
0.30 [𝑚𝑚] ya causan preocupación en el público, pero se aceptan anchos mayores siempre y cuando las
superficies sean rugosas o no vistas.

Filtraciones.
El control de fisuras se convierte en un asunto primordial y muy importante cuando se diseñan estructuras
para retener líquidos. En el caso de piscinas, tanques de almacenamiento de líquidos, torres de distribución
de agua, etc., el ancho de las fisuras debe mantenerse al mínimo para evitar la pérdida del líquido
contenido.

Corrosión.
La alcalinidad natural del cemento (pH cerca de 12) asegura la protección frente a la corrosión de las
armaduras de acero que se encuentran en el hormigón armado. Cuando disminuye el pH de la mezcla,
entonces aumenta el riesgo de corrosión. Algunos componentes del medio ambiente, como el dióxido de
carbono (contaminación), anhídrido sulfuroso (lluvia ácida), provocan la disminución del pH del
375
Diseño de estructuras de hormigón armado
hormigón (fenómeno que se conoce con el nombre de carbonatación del hormigón) y por tanto la pérdida
de protección de las armaduras. La carbonatación del hormigón es un fenómeno lento. Por ejemplo, en un
hormigón bien dosificado con un buen contenido de cemento (350 [𝑘𝑔𝑓/𝑚3 ]) la velocidad a la que
avanza la carbonatación es de 4 [𝑚𝑚] en dos años, 10 [𝑚𝑚] en 8 años y de aproximadamente 20 [𝑚𝑚]
en 25 años. Cuando las armaduras de acero no están bien protegidas, y entran en contacto con el agua o la
humedad, se oxidan. El óxido aumenta el volumen de la armadura y este aumento de volumen provoca
que el hormigón se agriete y que posteriormente estalle. En ocasiones la degradación del hormigón
aparece rápidamente, porque desde su puesta en obra, está agrietado, mal dosificado y es poroso. Además,
en ocasiones el medio ambiente es agresivo, por lo tanto es imprescindible que las armaduras tengan por
lo menos 2 [𝑐𝑚] de recubrimiento de hormigón.
La corrosión de la armadura se acelera si el ancho de las fisuras es muy grande. La rapidez con que ocurre
la corrosión depende del medio ambiente, recubrimiento de la armadura, permeabilidad y cantidad de
fisuras en el hormigón.
La corrosión de la armadura ocurre si se presenta una o varias de las siguientes circunstancias:
-
Presencia de substancias como el cloro.
Humedad relativa del ambiente mayor o igual a 60%.
Temperatura alta del medio ambiente.
Superficie del hormigón sometida a ciclos de secado y humedecido.
Presencia de dióxido de carbono en el ambiente.
Carbonatación del hormigón.
La corrosión no ocurre en el hormigón que está permanentemente saturado porque el agua previene el
flujo de oxígeno hacia el acero.
9.7.4. Límites en el ancho de fisuras
Las ediciones anteriores del código ACI presentaban provisiones para la distribución de la armadura
limitando el ancho de fisuras a:
- 0.4 [𝑚𝑚] para la exposición interna.
- 0.3 [𝑚𝑚] para la exposición externa.
Las provisiones de la sección 24.3 del código ACI, para determinar el espaciamiento entre barras, están
orientadas a limitar el ancho del agrietamiento superficial a un valor aceptable en la práctica, pero puede
variar considerablemente de una estructura a otra.
Las investigaciones sobre la importancia del ancho de las fisuras para evitar la corrosión del refuerzo de
acero tienen todavía resultados controversiales. Algunas investigaciones han demostrado que la corrosión
no tiene una correlación bien definida con el ancho del agrietamiento superficial encontrado normalmente
en estructuras donde el acero trabaja a esfuerzos de servicio. Por esta razón, la antigua distinción entre
exposición interior y exterior ha sido eliminada del código.
376
Estados límites de servicio
El control de las fisuras es manejado indirectamente por el código ACI en su sección 24.3.2 definiendo el
espaciamiento 𝑠 del refuerzo más cercano a la cara de tracción.
𝑠 = 380 ∙ (
280
280
) − 2.5 ∙ 𝑐𝑐 ≤ 300 ∙ (
)
𝑓𝑠
𝑓𝑠
(9.42)
Donde:
𝑐𝑐 = Recubrimiento efectivo medido desde la cara del elemento en tracción hasta la superficie del
refuerzo a flexión en [𝑚𝑚].
𝑓𝑠 = Tensión de servicio en el acero de refuerzo en [𝑀𝑃𝑎]. Este esfuerzo se calcula como el momento de
servicio dividido por el producto entre el área de acero y el brazo interno del momento. Se permite
2
considerar 3 · 𝑓𝑦 como valor para 𝑓𝑠 .
La tensión de servicio en el acero puede calcularse con la siguiente ecuación:
𝑓𝑠 =
𝑀𝑠
2
≈ ∙ 𝑓𝑦
𝐴𝑠 ∙ 𝑗 ∙ 𝑑 3
(9.43)
La separación entre barras hallada con la ecuación (9.42) no es suficiente para el caso de estructuras
sometidas a ambientes agresivos o estructuras diseñadas para ser estancas (tanques de agua, piscinas, etc.).
Para esas estructuras se debe realizar una investigación especial y tomar las debidas precauciones.
Cuando las alas de una sección T están en tracción, parte del refuerzo por flexión debe ser distribuido en
un ancho efectivo del ala como se define en la sección 4.2 del presente libro (sección 6.3.2.1 del código
ACI) o en un ancho igual a un décimo de la luz, el que sea menor. Si el ancho efectivo del ala excede el
décimo de la luz, se debe proveer algún refuerzo longitudinal en las porciones externas del ala.
Ejemplo. En el punto de momento máximo positivo, una viga tiene el refuerzo que se muestra en la
figura. Determinar si la distribución de las barras es satisfactoria.
𝐸𝜙10
2𝜙25
55
65
300
3𝜙30
377
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑓𝑠 =
2
· 𝑓 = 0.67 · 420 = 280 [𝑀𝑃𝑎]
3 𝑦
𝑐𝑐 = 65– 15 = 50 [𝑚𝑚]
𝑠 = 380 ∙ (
280
280
) − 2.5 ∙ 50 = 255 [𝑚𝑚] ≤ 300 ∙ (
) = 300 [𝑚𝑚]
280
280
𝑠 = 255 [𝑚𝑚]
A simple vista se puede verificar que la separación entre los aceros más próximos a la cara traccionada
(3𝜙30) es menor a 255 [𝑚𝑚], por lo que se concluye que la distribución del acero es aceptable. En teoría
esto debería verificarse en cada sección de máximo momento positivo y negativo. En la práctica, es
solamente necesario verificar la separación entre barras en las secciones de momento positivo o negativo
que tienen el menor número de barras ya que la separación 𝑠 será máxima en esos lugares.
Ejemplo. Para las barras de la losa, calcular el máximo valor de 𝑠 para satisfacer el requerimiento del
código.
150
𝑠
𝜙12
25
𝑓𝑠 = 280 [𝑀𝑃𝑎]
𝑐𝑐 = 19 [𝑚𝑚]
𝑠 = 380 ∙ (
280
280
) − 2.5 ∙ 19 = 333 [𝑚𝑚] ≤ 300 ∙ (
) = 300 [𝑚𝑚]
280
280
𝑠 = 300 [𝑚𝑚]
La sección 7.7.2.3 del código indica que en losas la separación del refuerzo primario de flexión debe ser
menor a tres veces el espesor del elemento o 450 [𝑚𝑚]. En este caso, tenemos que la separación 𝑠 ≤ 3 ·
𝑡𝑠 = 3 · 150 = 450 [𝑚𝑚] y como este valor es mayor a 300 [𝑚𝑚] no controla la separación entre las
armaduras.
9.7.5. Refuerzo lateral del alma (armadura de piel)
Si la altura total ℎ de una viga o nervio excede 900 [𝑚𝑚], la sección 9.7.2.3 del código ACI indica que es
necesario colocar refuerzo longitudinal de piel uniformemente distribuido en las dos caras laterales del
378
Estados límites de servicio
elemento hasta una distancia ℎ/2 desde el refuerzo principal de flexión. La separación 𝑠𝑠𝑘 entre las barras
que conforman la armadura de piel no debe ser mayor a la separación dada por la ecuación (9.42) donde
𝑐𝑐 es el recubrimiento libre medido desde la superficie del refuerzo superficial a la cara lateral.
Típicamente se utilizan barras con diámetros desde 10 [𝑚𝑚] hasta 16 [𝑚𝑚].
Refuerzo de tracción en la
cara negativa de la sección
ℎ
2
𝐴𝑏
ℎ
Armadura
de piel
𝑠𝑠𝑘
𝑠𝑠𝑘
𝑠𝑠𝑘
𝑠𝑠𝑘
𝑠𝑠𝑘
𝑠𝑠𝑘
ℎ
2
Armadura
de piel
ℎ
𝐴𝑏
Refuerzo de tracción en la
cara positiva de la sección
Fig. 9.11. Refuerzo de piel para vigas y nervios con 𝒉 > 𝟗𝟎𝟎 [𝒎𝒎]
Si para hallar el esfuerzo en las barras de acero se realiza un análisis de compatibilidad de deformaciones,
entonces el refuerzo de piel puede ser incluido en los cálculos. El área total del refuerzo de piel en ambas
caras del elemento no necesita exceder la mitad del refuerzo principal requerido por flexión.
9.8. Deflexiones
Además del control del agrietamiento en estructuras de hormigón armado, es también muy importante
limitar las deflexiones de los diferentes elementos para asegurar un buen comportamiento de toda la
estructura en su conjunto bajo cargas de servicio. Cuando no se realiza un estudio cuidadoso de las
deflexiones en vigas y losas de hormigón armado, generalmente se presentan problemas con ventanas,
puertas y muros divisorios. Las deflexiones excesivas en losas de piso pueden traer problemas de
agrietamientos en tabiques, deformaciones en puertas y ventanas, problemas de drenaje en cubiertas, mal
funcionamiento de equipos y maquinaria, etc.
9.8.1. Comportamiento de vigas de hormigón armado
En la siguiente figura se grafica el comportamiento de una viga doblemente empotrada cuando es
sometida a una carga uniformemente distribuida que se va incrementando. En la curva carga –
379
Diseño de estructuras de hormigón armado
desplazamiento se pueden distinguir varias fases, en la primera fase OA la viga no está agrietada y se
comporta elásticamente. En la segunda fase AB aparecen fisuras en los extremos de la viga, por lo tanto su
rigidez disminuye. Para la tercera fase BC nuevas fisuras aparecen a medio tramo de la viga, con lo que su
rigidez disminuye nuevamente. Generalmente el punto C delimita el comportamiento de la estructura bajo
cargas de servicio. Esto significa que los elementos de hormigón armado trabajan por lo general
agrietados y el momento de inercia de su sección transversal es mucho menor a la de una sección no
agrietada. Cuando las cargas de servicio son de carácter permanente se produce el fenómeno conocido
como fluencia, por lo que la deflexión se incrementa desde el punto del punto C al C’. Si las solicitaciones
son de carácter transitorio entonces la distancia entre C y C’ será pequeña. Si se sigue el proceso de carga
de la viga más allá de sus cargas de servicio, se verá que la deflexión aumenta dentro de la fase CD
llegando a un límite máximo de deflexión. Más allá del punto D, la viga no puede resistir mayores
solicitaciones, por lo que su posterior deformación se produce bajo la carga máxima alcanzada hasta ese
punto. El punto E representa el punto donde tanto las armaduras negativas de los extremos, como la
positiva a medio tramo fluyen y en el elemento se ha formado lo que se conoce como el “mecanismo de
falla” y la estructura colapsa. Como se puede apreciar en la última fase DE la pendiente de la curva carga
– desplazamiento es cero lo que significa que la viga ha perdido su rigidez.
Como se ha podido apreciar, el cálculo de la deflexión en elementos de hormigón armado es complejo, por
lo que para cumplir con los requerimientos de deflexiones en distintos elementos de hormigón armado se
pueden seguir dos procedimientos. El primero consiste en controlar indirectamente la deflexión de los
elementos imponiendo límites para la relación luz/canto. Esto es simple y apropiado para muchos casos
donde la luz, la magnitud y distribución de las cargas están dentro de rangos normales. De otra manera, se
debe calcular la deflexión y compararla con límites específicos impuestos por los códigos o por
requerimientos especiales.
La deflexión final de un elemento de hormigón armado depende de muchos factores entre los que se
pueden citar los siguientes:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Propiedades del material.
Grado de agrietamiento.
Distribución del agrietamiento.
Historial de carga de la estructura o del elemento bajo consideración.
Condiciones de soporte.
Momento de inercia de la sección transversal.
Cuando se desean calcular las deflexiones que ocurren inmediatamente bajo la aplicación de las cargas,
éstas pueden ser computadas por los métodos usuales y fórmulas disponibles para deflexiones elásticas,
pero considerando para la rigidez del elemento los efectos del agrietamiento y el refuerzo de acero.
Cuando no se dispone de valores para la rigidez del elemento 𝐸 · 𝐼, el código ACI en su sección 24.2.3.5
prevé un procedimiento para calcularla multiplicando el módulo de elasticidad del hormigón 𝐸𝑐 que se
calcula con las ecuaciones (2.1) o (2.2) por el momento de inercia efectivo 𝐼𝑒 .
380
Estados límites de servicio
𝑀𝑐𝑟 3
𝑀𝑐𝑟 3
𝐼𝑒 = (
) ∙ 𝐼𝑔 + [1 − (
) ] ∙ 𝐼𝑐𝑟
𝑀𝑎
𝑀𝑎
(9.44)
Carga
La armadura en los extremos y a
medio tramo fluye
Carga de servicio
C
B
A
D
E
C’
Debido a la fluencia del hormigón
Aparecen fisuras a
medio tramo
Aparecen fisuras en los
extremos de la viga
O
Deflexiones a medio tramo 
Fig. 9.12. Diagrama Carga – Deflexión para vigas de hormigón armado
El momento de inercia efectivo 𝐼𝑒 ha sido desarrollado para proveer una transición entre los valores
superior e inferior del momento de inercia que corresponden a la sección gruesa y agrietada
respectivamente, en función de la relación entre el momento de agrietamiento 𝑀𝑐𝑟 y el momento máximo
𝑀𝑎 en el elemento considerando el estado de carga para el cual se calcula el momento de inercia. El valor
del momento de inercia efectivo 𝐼𝑒 debe estar entre el valor del momento de inercia de la sección agrietada
𝐼𝑐𝑟 y el del momento de inercia de la sección gruesa 𝐼𝑔 . Como alternativa de la ecuación (9.44) se puede
utilizar la (9.45).
𝑀𝑐𝑟 3
𝐼𝑒 = 𝐼𝑐𝑟 + (𝐼𝑔 − 𝐼𝑐𝑟 ) ∙ (
)
𝑀𝑎
(9.45)
Donde:
𝐼𝑔 = Momento de inercia de la sección gruesa de hormigón.
𝐼𝑐𝑟 = Momento de inercia de la sección agrietada.
𝑀𝑎 = Momento máximo en el elemento considerando el estado de carga para el cual se calcula el
momento de inercia.
𝑀𝑐𝑟 = Momento de agrietamiento.
El momento de agrietamiento 𝑀𝑐𝑟 puede hallarse utilizando la siguiente ecuación:
381
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑀𝑐𝑟 =
𝑓𝑟 ∙ 𝐼𝑔
𝑦𝑡
(9.46)
Donde:
𝑓𝑟 = Módulo de ruptura.
𝑦𝑡 = Distancia del centro de gravedad de la sección hasta la fibra extrema en tracción.
Para hormigones de densidad normal, el módulo de ruptura 𝑓𝑟 puede ser tomado como:
𝑓𝑟 = 0.62 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ [𝑀𝑃𝑎]
(2.6)
Para una viga continua, los valores del momento de inercia efectivo 𝐼𝑒 pueden ser muy diferentes en las
regiones de momento positivo y negativo, por lo que el código ACI en su sección 24.2.3.6 sugiere el uso
del valor promedio considerando las secciones críticas de momento positivo y de momento negativo.
9.8.2. Cálculo de las deflexiones
Cuando una viga de hormigón es cargada, se desplaza inicialmente una cantidad que se conoce como la
deflexión inmediata Δ𝑖 . Si la carga permanece por un periodo largo de tiempo en la viga, se produce una
deflexión adicional debido a la fluencia del hormigón que es provocada por el efecto de la carga sostenida.
En la figura 9.13 se muestran casos particulares de vigas de un solo tramo con diferentes condiciones de
restricción en los apoyos. Las ecuaciones presentadas, son las que se utilizan para hallar las deflexiones
instantáneas a medio tramo de las vigas y están escritas de dos formas diferentes. Las ecuaciones
tradicionales de las deflexiones han sido modificadas considerando el momento positivo a medio tramo
𝑀𝑝𝑜𝑠 . Como se explicó anteriormente, para el cálculo de estas deflexiones inmediatas se pueden utilizar
los métodos usuales y fórmulas disponibles para el cómputo de deflexiones elásticas, pero considerando
que la rigidez del elemento debe tomar en cuenta los efectos del agrietamiento y el refuerzo de acero, tal
como se expuso en la sección anterior. Por tal motivo, en las ecuaciones de las deflexiones basadas en la
teoría elástica para el cálculo de Δ𝑖 se debe considerar para el momento de inercia el valor de 𝐼𝑒 .
382
Estados límites de servicio
Δ𝐶𝐿 =
Δ𝐶𝐿 =
5 𝑤 ∙ 𝐿4
5 𝑀𝑝𝑜𝑠 ∙ 𝐿2
∙
=
∙
𝐸∙𝐼
384 𝐸 ∙ 𝐼
48
128 𝑀𝑝𝑜𝑠 ∙ 𝐿2
1 𝑤 ∙ 𝐿4
∙
=
∙
1665
𝐸∙𝐼
185 𝐸 ∙ 𝐼
Δ𝐶𝐿 =
1 𝑤 ∙ 𝐿4
1 𝑀𝑝𝑜𝑠 ∙ 𝐿2
∙
=
∙
384 𝐸 ∙ 𝐼
16
𝐸∙𝐼
Fig. 9.13. Deflexiones instantáneas en vigas
9.8.3. Deflexiones por retracción y fluencia
La pérdida de humedad y las cargas permanentes sobre estructuras de hormigón producen los fenómenos
de retracción y fluencia ya estudiados en el segundo capítulo del presente texto. Las deformaciones
producidas por estos dos fenómenos incrementan de una manera significativa la deflexión inicial. Los
cambios volumétricos producidos por los fenómenos de retracción y fluencia fueron analizados en el
segundo capítulo del presente texto donde se pudo evidenciar la cantidad de variables que intervienen en
los mismos. Debido a la complejidad del cálculo y a las muchas variables que intervienen, fue necesario
desarrollar un método sencillo y práctico por el cual la deflexión inicial es multiplicada por un factor 𝜆Δ
para obtener la deflexión adicional para un tiempo prolongado. Basado en experimentos, Branson derivó
la siguiente ecuación que da el valor de 𝜆Δ .
𝜆Δ =
𝜉
1 + 50 ∙ 𝜌′
(9.47)
𝜌′ =
𝐴′𝑠
𝑏∙𝑑
(4.48)
383
Diseño de estructuras de hormigón armado
Δ𝑓 = 𝜆Δ ∙ Δ𝑖
(9.48)
Donde:
𝜌′ = Cuantía del refuerzo de compresión calculada a medio tramo para luces simples y contínuas; y en el
soporte para voladizos.
𝐴′𝑠 = Área de acero en compresión.
𝑏 = Ancho de la base de la sección de hormigón.
𝑑 = Canto útil de la sección.
𝜉 = Factor de tiempo para cargas sostenidas.
Δ𝑖 = Deflexión instantánea.
Δ𝑓 = Deflexión por fluencia.
El valor de  varía entre 0 y 2 dependiendo del periodo en el que las deflexiones por carga permanente son
de interés. Como se muestra en la siguiente figura el valor de 𝜉 se incrementa linealmente hasta el límite
superior de dos en un periodo de aproximadamente 5 años, luego del cual se asume que el fenómeno de
fluencia se ha estabilizado y la deflexión por fluencia se mantiene constante.
𝜉
2.0
1.0
0.25 0.5 1
5
10
1
2
3
4
5
Duración de la carga
Años
Meses
Fig. 9.14. Variación de 𝜺 en función del tiempo
El código ACI en su sección 24.2.4 recomienda diferente valores para 𝜉los cuales se encuentran
detallados en la siguiente tabla.
384
Tiempo en meses
𝜉
60 o más
2.0
12
1.4
6
1.2
3
1.0
Estados límites de servicio
9.8.4. Consideraciones de las deflexiones en el diseño
Durante el diseño de cualquier estructura, se debe prestar atención especial a las deflexiones para evitar
problemas posteriores durante la vida útil de las mismas. Existen diferentes razones por las cuales el
calculista debe limitar las deflexiones en una estructura o en ciertos elementos que la componen. Entre las
razones principales se pueden citar las siguientes: apariencia visual, daño a elementos no estructurales,
mal funcionamiento de equipos o maquinarias y daño a elementos estructurales.
a)
Apariencia visual.
Cuando se desea dar la impresión de rectitud y de una perfecta horizontalidad, se debe cuidar que las
deflexiones de los elementos no sean mayores a 𝐿/250, puesto que se ha constatado que deflexiones
mayores, en vigas simplemente apoyadas y continuas, pueden notarse a simple vista.
b)
Daño a elementos no estructurales.
Cuando elementos no estructurales como son tabiques, puertas y ventanas se encuentran adosadas a
elementos estructurales tales como losas y vigas, una deflexión excesiva puede producir fisuras en la
tabiquería o un mal funcionamiento de las puertas y ventanas. Estos problemas pueden solucionarse
limitando la deflexión que ocurre después de la instalación de los elementos no estructurales o diseñando
estos para acomodar el movimiento requerido.
Las deflexiones mayores a 𝐿/480 después de colocados los elementos no estructurales pueden ser causa
de daño a los mismos (ver tabla 24.2.2 del código ACI). La deflexión que se calcula es la suma de la
deflexión inmediata por carga viva, más la deflexión por carga muerta permanente y más la deflexión por
cualquier carga viva permanente.
Δ = Δ𝑖𝑐𝑣 + (𝑡𝑜 , ∞) ∙ Δ𝑖𝑐𝑚 + ∞ ∙ Δ𝑖𝑐𝑣𝑠
(9.49)
Δ𝑖𝑐𝑚 = Deflexión instantánea por carga muerta.
Δ𝑖𝑐𝑣 = Deflexión instantánea por carga viva.
Δ𝑖𝑐𝑣𝑠 = Deflexión por una porción de la carga viva permanente.
(𝑡𝑜 , ) = Valor de 𝜆Δ para un 𝜉 de 5 años o más, menos el valor de 𝜉 para el tiempo 𝑡𝑜 cuando los
elementos no estructurales fueron colocados.
∞ = Valor de 𝜆Δ para 𝜉 = 2 ya que se asume que toda la deflexión por carga viva permanente ocurrirá
después de que los elementos no estructurales fueron instalados.
El valor del momento de inercia efectivo 𝐼𝑒 que se utiliza para el cálculo de Δ𝑖𝑐𝑚 debe basarse en el valor
del momento de inercia correspondiente al instante cuando la carga viva y muerta están presentes.
385
Diseño de estructuras de hormigón armado
c)
Mal funcionamiento.
Las deflexiones excesivas pueden interferir con el uso de la estructura o con el funcionamiento de
maquinaria y equipo instalado sobre ella. Muchos equipos son sensibles a la nivelación de su superficie de
apoyo, por lo que se debe verificar el manual del equipo y respetar las tolerancias indicadas.
d)
Daño a elementos estructurales.
Si una deflexión comienza a causar daño estructural en la estructura, esto significa que su valor es
demasiado grande y se deben tomar los recaudos necesarios para evitar el colapso de la misma. Las
deflexiones que causan daño estructural son por lo general de mayor magnitud que las que producen daños
a elementos no estructurales. Si la deflexión de un elemento es tan grande que se apoya en otro, la
repartición de cargas y los esfuerzos en las secciones pueden cambiar totalmente produciendo fisuras en la
estructura.
9.8.5. Magnitudes permitidas de deflexión
En principio, el proyectista debe seleccionar la deflexión límite que se aplica a su estructura basada en las
características y la función de la misma. Esta deflexión límite debe considerar los requerimientos técnicos
y funcionales de los equipos, maquinaria y cualquier otro instrumento sensible a deflexiones. El código
ACI da valores máximos de deflexiones permitidas en su tabla 24.2.2 considerando el tipo de elemento
que se analiza y bajo qué carga esta deflexión debe ser calculada.
Deflexiones Máximas Admisibles Calculadas
Tipo de Elemento
Deflexiones a considerar
Límite
Techos planos que no soportan o que no están
en contacto con elementos no estructurales Deflexión inmediata por carga viva
susceptibles a daño por deflexiones grandes.
ℓ
180
Pisos que no soportan o que no están en
contacto con elementos no estructurales Deflexión inmediata por carga viva
susceptibles a daños por deflexiones grandes.
ℓ
360
Pisos o techos planos que soportan o están en Parte de la deflexión total que ocurre
contacto con elementos no estructurales después de la colocación de los
susceptibles a daño por deflexiones grandes.
elementos no estructurales. (Suma de
Pisos o techos planos que soportan o están en la deflexión por carga sostenida, más
contacto con elementos no estructurales no la deflexión inmediata debido a carga
viva adicional)
susceptibles a daño por deflexiones grandes.
ℓ
480
ℓ
240
Tabla 24.2.2 ACI
Las estructuras de hormigón armado más susceptibles de sufrir grandes deflexiones son las losas planas
armadas en dos direcciones que no cuentan con vigas intermedias. Este tipo de estructuras son en general
poco rígidas por lo que se debe tener precaución y cuidado en su diseño.
386
Estados límites de servicio
En la mayoría de los casos, la deflexión bajo cargas vivas es la de mayor importancia puesto que esta
carga define el funcionamiento de la estructura. En la anterior tabla que es tomada del código ACI se
puede apreciar que cuando se tienen elementos no estructurales adosados a la estructura, el límite de
deflexión es más estricto debido a la mayor probabilidad de causar daño a los mencionados elementos. En
el Anexo 4, se presenta la misma tabla con algunas recomendaciones adicionales que se deben tomar en
cuenta.
Las deflexiones pueden ser controladas de una manera indirecta utilizando límites en la relación luz/altura
de los elementos. Las tablas 9.3.1.1 y 7.3.1.1 del código ACI presentan recomendaciones para hallar la
altura mínima de vigas y losas armadas en una dirección dependiendo de sus condiciones de apoyo.
Δ
ℓ
=𝐶∙
ℓ
ℎ
(9.50)
La ecuación anterior demuestra que existe una relación inversamente proporcional entre la altura del
elemento ℎ y la deflexión Δ que se presenta, por tanto es posible relacionarlas a través de un factor 𝐶 de
proporcionalidad.
Espesor mínimo para vigas no pretensadas y losas armadas en una sola dirección cuando no
se calculan deflexiones
Tipo de elemento
Simplemente
apoyado
Un extremo
continuo
Ambos
extremos
continuos
En voladizo
Elementos que no soportan o que no están en contacto con
particiones u otros elementos susceptibles a ser dañados por
grandes deflexiones
Losas sólidas armadas en una
sola dirección
ℓ
20
ℓ
24
ℓ
28
ℓ
10
Vigas o losas aligeradas
armadas en una sola dirección
ℓ
16
ℓ
18.5
ℓ
21
ℓ
8
Basado en las tablas 7.3.1.1 y 9.3.1.1 del ACI
9.8.6. Deflexiones en pórticos
En el diseño de pórticos, además de las deflexiones verticales, se debe controlar también las deflexiones
horizontales para evitar los efectos de segundo orden (𝑃 − Δ) en las columnas. Es siempre aconsejable
que todo pórtico esté bien arriostrado para evitar grandes desplazamientos horizontales en la eventualidad
de presentarse cargas laterales de gran magnitud.
387
Diseño de estructuras de hormigón armado
9.9. Vibraciones
En general los edificios de hormigón armado no tienen problemas de vibración ya que en la mayoría de
los casos son macizos y rígidos. Ocasionalmente, algunos elementos estructurales como pisos de gran luz
pueden ser susceptibles a vibraciones inducidas por motores, equipos auxiliares o personas realizando
diferentes diligencias.
Las actividades de bailar y hacer ejercicios inducen perturbaciones con vibraciones de aproximadamente 2
a 4 ciclos por segundo [𝐻𝑧]. Si un piso o estructura portante tiene una frecuencia natural de vibración de
menos de 5 [𝐻𝑧] se debe examinar con más detenimiento sus propiedades para asegurarse que no tendrá
problemas.
La frecuencia natural de un piso puede calcularse con la siguiente fórmula.
𝑔
17.82 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠
𝑓 = 0.18 ∙ √
=
[
]
Δ𝑖𝑠
𝑠
√Δ𝑖𝑠
(9.51)
Donde:
𝑔 = Aceleración de la gravedad que tiene un valor de 9800 [𝑚𝑚/𝑠 2 ].
Δ𝑖𝑠 = Deflexión estática inmediata en [𝑚𝑚] en el centro del piso debido a las cargas que se esperan estén
presentes cuando éste vibra.
Las vibraciones pueden clasificarse en perturbaciones de tipo armónica, periódica u aleatoria. Las
frecuencias que componen la perturbación dependen de la ubicación de las fuentes que las generan. Por
ejemplo, para frecuencias perturbadoras tales como motores, se debe recurrir a los datos que pueda
facilitar el fabricante. En cuanto a las frecuencias naturales, el cálculo está en función de los elementos
estructurales. A la comparación de la frecuencia perturbadora y la frecuencia natural de la estructura se
llama “estudio de la resonancia”. Cuando la frecuencia perturbadora se aproxima a la frecuencia natural
del elemento o estructura, es muy probable que se tengan problemas de vibración excesiva.
Cuando se identifica en una estructura la posibilidad de tener problemas de resonancia, las soluciones a
adoptar están en función de la etapa en la cual la estructura se encuentre. Si por ejemplo la estructura está
en construcción, se pueden modificar sus dimensiones o diseño estructural para cambiar su frecuencia
natural de vibración. Si por el contrario, la estructura está en servicio, se deben adoptar otro tipo de
soluciones como la utilización de compensadores dinámicos. También, en otros casos es posible aislar la
fuente de vibración o en su defecto disminuir su intensidad.
9.10. Fatiga
Las estructuras sujetas a cargas cíclicas pueden fallar por fatiga. Este tipo de falla requiere generalmente
más de un millón de ciclos de carga y un cambio en la tensión del refuerzo mayor a aproximadamente
140 [𝑀𝑃𝑎] en cada ciclo.
388
Estados límites de servicio
Debido a que las tensiones por carga muerta representan una porción significativa de las tensiones por
carga de servicio en la mayoría de las estructuras de hormigón armado, el segundo caso es poco probable.
Por lo tanto, son muy raras las fallas por fatiga en estructuras de hormigón armado.
9.11. Problemas propuestos
1. Calcular los esfuerzos en el acero y hormigón debido a un momento flector de 300 [kN · m]
considerando al momento como carga instantánea y como carga sostenida. Para el coeficiente de
fluencia del hormigón Ct considerar el valor de cero para cargas instantáneas y dos para cargas
sostenidas.
Datos:
𝐴𝑠 = 2945 [𝑚𝑚2 ]
𝐴′𝑠 = 1473 [𝑚𝑚2 ]
𝑏 = 450 [𝑚𝑚]
𝑑 = 840 [𝑚𝑚]
𝑓𝑐′ = 30 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
450
70
3𝜙25
840
900
6𝜙25
2. Calcular para la sección de la figura la posición del baricentro (centro de gravedad) y computar el
momento de inercia alrededor del eje que pasa por el mismo. Considerar una sección no agrietada y
otra agrietada.
Datos:
𝑓𝑐′ = 25 [𝑀𝑃𝑎]
𝐴′𝑠 = 1140 [𝑚𝑚2 ]
𝐴𝑠 = 1521 [𝑚𝑚2 ]
300
70
3𝜙22
530
600
4𝜙22
389
Diseño de estructuras de hormigón armado
3. ¿Satisface la sección transversal de la viga que se muestra a continuación los requerimientos del
código ACI para el agrietamiento?.
2𝜙30
𝐸𝜙10
Dimensiones en [𝑚𝑚]
Recubrimiento de 40 [𝑚𝑚]
2𝜙25
25
2𝜙30+2𝜙25
40
300
4. Calcular la separación máxima entre barras de diámetro 𝜙16 de una losa armada en una dirección si
las barras tienen un recubrimiento libre de 25 [𝑚𝑚], de tal modo de satisfacer los requerimientos de
control del agrietamiento del código ACI.
5. Una viga simplemente apoyada tiene una luz 8 [𝑚] y soporta las siguientes cargas de servicio:
-
𝑤𝐷+𝑂𝑊 = 22 [𝑘𝑁/𝑚]
𝑤𝐿 = 22 [𝑘𝑁/𝑚]
Si la resistencia característica del hormigón a los 28 días es de 20 [𝑀𝑃𝑎] calcular:
a)
La deflexión inmediata por carga muerta.
b)
La deflexión inmediata por carga muerta más carga viva.
c)
La deflexión que ocurre después de que la tabiquería ha sido instalada.
Asumir que la tabiquería es instalada 2 meses después de que el apuntalamiento de la viga es removido y
asumir también que el 20% de la carga viva es permanente.
390
Estados límites de servicio
2𝜙25
𝐸𝜙10
610
Dimensiones en [𝑚𝑚]
Recubrimiento de 40 [𝑚𝑚]
6𝜙25
25
40
400
Dimensiones en [𝑚𝑚]
391
CAPÍTULO 10
COLUMNAS ESBELTAS
10. Columnas esbeltas
10.1. Introducción
En el capítulo octavo del texto se desarrollaron ecuaciones para el análisis y diseño de elementos cortos de
hormigón armado sometidos a combinaciones de fuerza axial y momento flector. La resistencia nominal
de las columnas cortas depende solamente de la resistencia de los materiales y la geometría de la sección
transversal. La mayoría de las columnas que se utilizan en estructuras de hormigón armado fallan de esa
manera, pero con el creciente uso de hormigones de alta resistencia y el refinamiento en los
procedimientos de dimensionamiento de los elementos, es posible ahora tener elementos de hormigón
armado cuyas secciones transversales son pequeñas, lo que los convierte en elementos esbeltos. Por tanto,
para el análisis y diseño de estos elementos, se deben considerar otros tipos de fallas como el pandeo de
toda la pieza.
10.2. Definición de columna esbelta
Una columna es esbelta, si las dimensiones de su sección transversal son pequeñas en comparación de su
ℓ
altura. El grado de esbeltez es en general expresado en términos de la relación de esbeltez 𝑟, donde ℓ se
define como la longitud no arriostrada del elemento y 𝑟 es el radio de giro de la sección. Para secciones
cuadradas y circulares el radio de giro es el mismo con relación a sus ejes principales, pero para otro tipo
de sección como la rectangular, el radio de giro más pequeño se presenta con respecto del eje principal
menor y es este valor el que debe ser utilizado para el cálculo de la esbeltez.
Desde hace muchos años es sabido que columnas esbeltas fallan para cargas axiales mucho menores que
ℓ
columnas cortas de la misma sección transversal. Cuando una columna corta con 𝑟 = 10 (columna de
sección cuadrada con una longitud igual a aproximadamente 3 veces la dimensión ℎ de su sección
transversal) es solicitada por una carga axial, ésta fallará para una carga dada por la ecuación (8.14) que
representa una falla simultanea por aplastamiento del hormigón y fluencia del acero. Si un elemento de la
ℓ
misma sección transversal pero con una relación de esbeltez 𝑟 = 100 (columna de sección cuadrada con
393
Diseño de estructuras de hormigón armado
una longitud igual a aproximadamente 30 veces la dimensión ℎ de su sección transversal) es solicitada por
una carga axial, ésta fallará para una carga mucho menor a la dada por la ecuación (8.14). En este caso, la
falla es debido al fenómeno llamado de pandeo que es un desplazamiento lateral repentino producido por
un desequilibrio de la columna. Como la columna se ha salido de la plomada (verticalidad), aparecen
esfuerzos de flexión producidos por momentos de segundo orden que combinados con los esfuerzos de
compresión causan un sobre esfuerzo de la sección transversal y finalmente la falla del elemento.
Los momentos de segundo orden son aquellos momentos que se presentan en un elemento debido a
grandes desplazamientos del mismo con respecto a su posición original y a la línea de acción de las cargas
axiales. Toda columna está sujeta a momentos flectores y cargas axiales. En columnas cortas o columnas
en pórticos arriostrados los momentos de segundo orden son de poca importancia, pero en columnas
esbeltas o columnas en pórticos no arriostrados, los momentos de segundo orden pueden en muchos casos
sobrepasar a los momentos de primer orden.
Una definición práctica para identificar columnas esbeltas es aquella en la cual se indica que si la
capacidad de una columna para resistir carga axial se ha reducido significativamente debido a los
momentos que provienen de la deflexión lateral (efectos de segundo orden), entonces la columna debe ser
considerada como esbelta para propósitos de diseño. La sección R6.2.5 del código ACI indica que una
reducción en la capacidad de la columna mayor al 5% se considera como significativa.
𝑃
𝑒
Momento en extremos
𝛿
𝑀𝑒 = 𝑃 · 𝑒
Momento a medio tramo 𝑀𝑐𝑙 = 𝑃 · (𝑒 + 𝛿)
La deflexión incrementa el momento para el
cual la columna debe ser diseñada
𝑃
Carga Axial
Diagrama de interacción para columnas cortas
A
𝑃·𝑒
𝑃·
B
Curva de máximo momento y carga axial
O
Momento
Fig. 10.1. Diagrama de interacción para una columna esbelta
394
Columnas esbeltas
El diagrama de interacción de una sección de hormigón armado representa las combinaciones de carga
axial y momento que son necesarias para producir la falla de la sección de una columna corta. La línea
punteada OA es una gráfica del momento en el extremo de la columna. Como esta carga es aplicada con
una excentricidad constante 𝑒, el momento en el extremo 𝑀𝑒 es una función lineal de 𝑃. La línea sólida
curva OB es una gráfica del momento a medio tramo de la columna. Para cualquier carga 𝑃, el momento a
medio tramo 𝑀𝑐𝑙 es la suma del momento en el extremo 𝑃 · 𝑒 y del momento debido a la deflexión 𝑃 · .
La línea OA es conocida como la curva carga-momento para el momento en el extremo, mientras que la
línea OB es conocida como la curva carga-momento para el momento máximo en la columna.
La falla de la columna ocurre cuando la curva OB para el punto de máximo momento intercepta el
diagrama de interacción de la sección transversal. Por lo tanto, el par de solicitaciones (carga axial y
momento flector) cuando ocurre la falla se encuentra en el punto B. Debido al incremento en el momento
máximo por la deflexión, la capacidad de la columna para soportar caga axial es reducida desde A hasta B.
Esta reducción en la capacidad de la columna para soportar carga axial se debe a lo que se llama efectos de
esbeltez.
10.3. Pandeo de columnas (Teoría Elástica)
10.3.1. Estados de equilibrio
En la siguiente figura se muestra de una manera sencilla tres estados diferentes de equilibrio de una bola.
En el equilibrio estable, la superficie cóncava donde se encuentra la bola, hace que ésta siempre vuelva a
su posición original sin interesar cuan fuerte la bola pueda ser golpeada. En el equilibrio neutro, la
superficie plana hace que cualquier perturbación desplace la bola sin que ésta caiga, mientras que en el
equilibrio inestable, la superficie convexa hace que la bola se caiga para cualquier tipo de perturbación y
nunca pueda recobrar su posición original.
𝑃
Estable
Indiferente o neutral
Inestable
Fig. 10.2. Diferentes estados de equilibrio
395
Diseño de estructuras de hormigón armado
Estados de equilibrio similares a los de la bola existen para la columna de la misma figura cargada
axialmente. Si la columna retorna a su posición original cuando es empujada lateralmente a medio tramo
por una carga que después es retirada, entonces la columna está en un equilibrio estable. Si la columna
permanece deformada se dice que está en un equilibrio neutral, pero si ésta sigue deformándose, entonces
la columna está en un equilibrio inestable.
𝑃
𝑃
𝑥
𝑦
𝑃
ℓ
𝑀
Diagrama de cuerpo libre
Columna
Fig. 10.3. Equilibrio de una columna doblemente articulada
La columna de la anterior figura se encuentra en un equilibrio neutral y en su diagrama de cuerpo libre se
puede plantear la ecuación diferencial que originalmente fue desarrollada por Eüler en el año 1744. La
solución de la ecuación diferencial (10.1) fue también hallada por Eüler y es la que se muestra en la
ecuación (10.2) en su forma general.
𝑑2 𝑦
𝐸 ∙ 𝐼 ∙ 2 = −𝑀 = −𝑃 ∙ 𝑦
𝑑𝑥
(10.1)
𝑛2 ∙ 𝜋 2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼
ℓ2
(10.2)
𝑃𝑐𝑟 =
Donde:
𝜋 = Constante con un valor aproximado de 3.1416.
𝐸 = Módulo de elasticidad.
𝐼 = Momento de inercia de la sección transversal.
ℓ = Longitud de la columna.
𝑛 = Modo de pandeo de la columna o número de medias curvas senoidales en las que la columna se
deforma.
396
Columnas esbeltas
𝑛=1
𝑃𝑐𝑟 =
𝑛=3
𝑛=2
𝜋2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼
ℓ2
𝑃𝑐𝑟 =
4 ∙ 𝜋2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼
ℓ2
𝑃𝑐𝑟 =
9 ∙ 𝜋2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼
ℓ2
Fig. 10.4. Posibles soluciones de la ecuación de Eüler
El valor más pequeño de 𝑃𝑐𝑟 ocurre cuando 𝑛 = 1 y ésta carga es conocida como la carga de pandeo de
Eüler:
𝑃𝐸 =
𝜋2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼
ℓ2
(10.3)
Si la columna estuviera arriostrada a medio tramo de tal manera que no pudiera desplazarse lateralmente,
entonces pandearía con 𝑛 = 2 y su carga sería:
𝑃𝑐𝑟 =
4 ∙ 𝜋2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼
ℓ2
(10.4)
La carga crítica de pandeo para esta nueva columna es cuatro veces más que la carga de pandeo de la
misma columna sin arriostramiento intermedio.
Otra manera de interpretar la ecuación (10.2) es a través del concepto de la longitud efectiva de la
columna. La longitud efectiva es la longitud de una columna articulada que tiene la misma carga de
pandeo.
En la figura 10.5 se puede apreciar que dos columnas de diferente altura tienen la misma carga de pandeo
puesto que ambas poseen la misma longitud efectiva. En resumen, la longitud efectiva de una columna es
simplemente la longitud entre dos puntos de inflexión o entre puntos de arriostramiento efectivo.
𝑘∙ℓ=
𝑘=
1
𝑛
ℓ
𝑛
(10.5)
(10.6)
397
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑃
ℓ
2
𝑃
ℓ
ℓ
2
𝑃𝑐𝑟 =
ℓ
2
𝜋2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼
𝑃𝑐𝑟 =
ℓ 2
(2)
𝜋2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼
ℓ 2
(2)
Fig. 10.5. Concepto de la longitud efectiva en columnas
Considerando la ecuación (10.6), la carga de pandeo de una columna puede escribirse de la siguiente
manera:
𝑃𝑐𝑟 =
𝜋2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼
(𝑘 ∙ ℓ)2
(10.7)
Donde:
𝑘 = Factor efectivo de la longitud de la columna.
El concepto del factor efectivo de la longitud de la columna 𝑘 puede ser explicado de una manera clara
con la figura 10.6 donde se comparan pórticos arriostrados con pórticos no arriostrados que tienen
columnas con distintas condiciones de apoyo y arriostramiento.
En los pórticos arriostrados el factor 𝑘 para las columnas solamente puede variar entre 0.5 y 1, mientras
que en los pórticos no arriostrados el factor 𝑘 varía entre 1 e infinito. La variación del factor efectivo se
debe estrictamente, en cada caso, a las condiciones de restricción rotacional y traslacional de los bordes de
las columnas.
Para columnas en pórticos arriostrados
0.5 ≤ 𝑘 ≤ 1.0
Para columnas en pórticos no arriostrados
1.0 ≤ 𝑘 ≤ ∞
398
Columnas esbeltas
𝑛=1
𝑘=1
𝑛=2
𝑘 = 0.5
Pórticos arriostrados
𝑛=1
𝑘=1
𝑛=0
𝑘=∞
Pórticos no arriostrados
Fig. 10.6. Concepto de la longitud efectiva en columnas
10.4. Columnas esbeltas en estructuras
Como se ha visto anteriormente, para hallar la carga de pandeo de cualquier columna, es necesario
modificar la ecuación de Eüler utilizando el concepto del factor efectivo de longitud, puesto que la
ecuación original fue derivada para una columna arriostrada doblemente articulada. En la construcción de
estructuras con elementos prefabricados se puede encontrar el caso de columnas doblemente articuladas,
pero en la construcción de estructuras con hormigón vaciado en sitio, es muy poco probable encontrar
columnas doblemente articuladas.
La mayoría de las estructuras en hormigón armado son arriostradas utilizando para ello muros de corte,
cajas de escaleras y núcleos de ascensores que tienen una rigidez considerablemente mayor a la de las
columnas. En otros casos, para arriostrar edificios de gran altura o para reforzar edificios existentes, se ha
recurrido a la utilización de un arriostramiento externo de acero en forma de diagonales o cruces que se
extienden sobre las caras de la edificación.
La mayoría de las columnas en edificios están en la categoría de columnas cortas. Algunas excepciones
ocurren en edificios industriales o en edificios, como hoteles, que tienen su primera planta más alta por
razones arquitectónicas. También, algunas pilas en puentes caen dentro de la categoría de columnas
esbeltas.
10.4.1. Comportamiento y análisis de columnas doblemente articuladas
Las deflexiones laterales en una columna esbelta causan un incremento en los momentos de la columna.
Estos momentos a su vez causan un incremento en las deflexiones que vuelven a incrementar los
momentos. Como resultado de este proceso, en la siguiente figura se puede apreciar que la línea OB es no
lineal. Si la carga axial está por debajo de la carga crítica, el proceso converge a una situación estable,
pero si la carga está por encima de la carga crítica el proceso se encamina a una situación inestable. Este
proceso es conocido como un proceso de segundo orden debido a que está descrito por una ecuación
diferencial de segundo orden.
399
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑃
𝑃
𝑒
A
B
𝛿
𝑃
𝑀
O
Fig. 10.7. Comportamiento de una columna doblemente articulada
10.4.2. Fallas en material y fallas de estabilidad
Dependiendo de las características y dimensiones de una columna esbelta, se puede presentar una falla en
el material o una falla de estabilidad general de la columna. En la siguiente figura se muestra, sobre un
diagrama de interacción de columna corta, los dos tipos de falla enunciados. La curva OA para columnas
cortas es prácticamente igual a la línea 𝑃𝑒. Para una columna de moderada longitud (curva OB), la
deflexión se hace significativa reduciendo la capacidad de carga de la columna. Esta columna falla cuando
la curva OB intercepta el diagrama de interacción. Este tipo de falla es conocida como falla del material y
es el tipo de falla esperada para la mayoría de las columnas en pórticos arriostrados. Si la columna es muy
𝑑𝑀
esbelta, ésta puede alcanzar una deflexión 𝛿 para la cual el valor de 𝑑𝑃 tiende a infinito o se hace negativo.
Cuando esto ocurre, la columna se hace inestable ya que con mayor excentricidad la capacidad de
momento descenderá. Este tipo de falla es conocida como falla de estabilidad y ocurre solamente en
columnas muy esbeltas de pórticos arriostrados o en columnas esbeltas de pórticos no arriostrados.
𝑃
𝑃
𝑒
𝑀 =𝑃·𝑒
A
OA = Columna corta
OB = Falla del material
OC = Falla de estabilidad
B

C
𝑑𝑀
⟶∞
𝑑𝑃
𝑃
O
𝑀
Fig. 10.8. Tipos de falla de una columna doblemente articulada
400
Columnas esbeltas
Nunca es aconsejable diseñar columnas muy esbeltas puesto que éstas son muy susceptibles de presentar
una falla de estabilidad general que es un tipo de falla de carácter repentino y que no proporciona
advertencia alguna.
10.4.3. Diagramas de interacción para columnas esbeltas
Para discutir los efectos de ciertos factores en la resistencia de una columna, es a veces conveniente
utilizar diagramas de interacción para columnas esbeltas. La construcción de diagramas de interacción
para columnas esbeltas puede ser realizada a partir de los diagramas de interacción de columnas cortas de
la misma sección transversal. La forma de construcción del diagrama de interacción de una columna
esbelta doblemente articulada es ilustrada en la siguiente figura y sigue el procedimiento que se explica a
continuación. La línea OB1 muestra la curva de carga – momento máximo para una columna con esbeltez
ℓ
= 30 y una excentricidad dada 𝑒1 . Esta columna falla cuando la curva carga – momento intercepta el
𝑛
diagrama de interacción en el punto B1, pero en el momento de la falla, la carga y el momento en el
extremo de la columna (donde no se presentan los efectos de segundo orden) están dados por el punto A1.
Si este proceso es repetido, tomando en cuenta varias excentricidades, se consigue el diagrama de
interacción para una columna esbelta uniendo con línea segmentada todos los puntos A1, A2, etc. Se puede
ℓ
seguir el mismo procedimiento utilizando distintas relaciones de esbeltez ℎ con lo que se consigue una
familia de diagramas de interacción para una columna de hormigón armado de sección transversal
constante pero con diferentes alturas.
La familia de curvas muestra las cargas y los momentos máximos que producen la falla de una columna
esbelta dada. Una familia de diagramas de interacción para una columna esbelta se muestra en la siguiente
figura para columnas de la misma sección transversal, pero de esbeltez diferente.
𝑃
𝑃
ℓ
= 30
ℎ
𝑃𝑒1
A1
A2
O
ℓ
=0
ℎ
ℓ
=0
ℎ
B1
30
20 10
45
B2
𝑀
O
𝑀
Fig. 10.9. Construcción de diagramas de interacción para columnas esbeltas
401
Diseño de estructuras de hormigón armado
10.4.4. Mayorador de momento para un elemento doblemente articulado cargado simétricamente
La construcción de diagramas de interacción para columnas esbeltas no es un método eficiente para el
diseño de las mismas debido a que en la práctica se tienen muchas dificultades para calcular con cierta
precisión las curvas OB1, OB2, etc. Por tanto, es más sencillo calcular un coeficiente, conocido como
mayorador de momento, que multiplicado por el momento de primer orden estime razonablemente el
momento final en la sección transversal.
𝑃
𝑀0
𝑀0
∆0
∆𝑎
𝑃 ∙ (∆0 + ∆𝑎 )
𝑃 ∙ (∆0 + ∆𝑎 )
𝐸∙𝐼
𝑀0
𝑃
Columna
deformada
𝑀0
Diagrama Primario
de Momento (𝑀0 )
Diagrama Secundario
de Momento (𝑃 ∙ ∆)
𝑀
Diagrama ( )
𝐸∙𝐼
Fig. 10.10. Desarrollo de los momentos de segundo orden
Bajo la acción de los momentos de extremo 𝑀0 , la columna se desplaza en la parte central una cantidad
∆0 . Esta deflexión es conocida como deflexión de primer orden. Cuando las cargas axiales son aplicadas,
la deflexión a media altura de la columna se incrementa en una cantidad ∆𝑎 . La deflexión final a medio
tramo es la suma de la deflexión inicial y la producida por las cargas axiales ∆= ∆0 + ∆𝑎 . Esta deflexión
total será referida como la deflexión de segundo orden. Se asumirá que la forma de la deformada final de
la columna se aproxima a la forma de una mitad de la curva del seno. Debido a que la deformada se
asumió como la mitad de una curva senoidal, entonces el diagrama 𝑃 ∙ ∆ es también de forma senoidal.
Utilizando el método del área de momentos y observando que la deformada es simétrica, la deflexión ∆𝑎
𝑀
puede ser hallada tomando el momento alrededor del soporte de la porción del diagrama 𝐸∙𝐼 entre el
soporte y la mitad de la columna.
𝐴𝑟𝑒𝑎 =
𝑃
ℓ 2
∙ (∆0 + ∆𝑎 ) ∙ ∙
𝐸∙𝐼
2 𝜋
(10.8)
ℓ
Y su centro de gravedad esta a 𝜋 desde el soporte, por lo tanto:
Δ𝑎 = [
402
𝑃
ℓ 2 𝐿
𝑃 ∙ ℓ2
∙ (Δ0 + Δ𝑎 ) ∙ ∙ ] ∙ = 2
∙ (∆0 + ∆𝑎 )
𝐸∙𝐼
2 𝜋 𝜋 𝜋 ∙𝐸∙𝐼
Columnas esbeltas
Despejando ∆𝒂 y considerando que 𝑃𝐸 =
∆𝑎 = ∆0 ∙ (
𝑃
𝑃𝐸
𝑃
1−𝑃
𝜋2 ∙𝐸∙𝐼
se obtiene:
ℓ2
(10.9)
)
𝐸
La deflexión final Δ es la suma de Δ0 y Δ𝑎 .
∆= ∆0 + ∆𝑎 = ∆0 + ∆𝑎 ∙ (
𝑃
𝑃𝐸
𝑃
1−𝑃
𝑃
𝑃
1−𝑃 +𝑃
𝐸
𝐸
∆= ∆0 ∙ (
)
𝑃
1−𝑃
𝐸
∆0
∆=
𝑃
1−𝑃
𝐸
)
𝐸
(10.10)
𝑃
Esta ecuación muestra que la deflexión de segundo orden ∆ incrementa a medida que 𝑃 se incrementa
𝐸
alcanzando el valor de ∞ cuando 𝑃 iguala a 𝑃𝐸 .
El máximo momento flector es:
𝑀𝑐 = 𝑀0 + 𝑃 ∙ ∆
(10.11)
Donde:
𝑀𝑐 = Momento de segundo orden.
𝑀0 = Momento de primer orden.
𝑀𝑐 = 𝑀0 +
𝑃 ∙ ∆0
𝑃
1−𝑃
𝐸
(10.12)
Para el diagrama de momento primario de la columna, la deflexión inicial puede calcularse con la
siguiente ecuación:
∆0 =
𝑀0 ∙ ℓ2
8∙𝐸∙𝐼
Sustituyendo ∆0 en la ecuación de 𝑀𝑐 y sabiendo que 𝑃𝐸 =
(10.13)
𝜋2 ∙𝐸∙𝐼
se obtiene:
ℓ2
403
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑀𝑐 = 𝑀0 +
𝑃 ∙ 𝑀0 ∙ ℓ2
𝑃
8 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼 ∙ (1 − 𝑃 )
= 𝑀0 ∙ [1 +
𝐸
𝑃 ∙ ℓ2
]
𝑃
8 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼 ∙ (1 − 𝑃 )
𝐸
𝑃
𝑃 𝜋2 𝑃
2
∙
𝜋
+ 8 ∙𝑃
1
−
𝑃𝐸
𝑃𝐸
𝐸
𝑀𝑐 = 𝑀0 ∙ [1 +
] = 𝑀0 ∙ [
]
𝑃
𝑃
8 ∙ (1 − 𝑃 )
1−𝑃
𝐸
𝐸
𝑀𝑐 =
𝑃
𝑀0 ∙ (1 + 0.23 ∙ 𝑃 )
𝑃
1−
𝑃𝐸
𝐸
(10.14)
El coeficiente 0.23 depende de la forma del diagrama primario de momentos 𝑀0 . Por ejemplo, para un
diagrama triangular con 𝑀0 en un extremo de la columna y 0 en el otro, el coeficiente es −0.38.
𝑃
En el código ACI el término (1 + 0.23 ∙ 𝑃 ) es omitido porque el factor 0.23 varía en función del
𝐸
diagrama de momentos primario y la ecuación anterior es presentada como:
𝑀𝑐 = 𝛿 ∙ 𝑀0
(10.15)
Donde:
 = Magnificador de momentos.
𝑀0 = Momento primario.
𝛿=
1
𝑃
1−𝑃
(10.16)
𝑐
𝜋 2 ∙ (𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓
𝑃𝑐 =
(𝑘 ∙ ℓ)2
(10.17)
La ecuación para  subestima el valor real del magnificador de momento para la columna sometida a
momentos iguales en ambos extremos, pero se aproxima a los valores reales cuando los momentos en los
extremos no son iguales.
10.4.5. Efecto de momentos desiguales de extremo en la resistencia de columnas esbeltas
Hasta ahora solamente se ha considerado columnas con extremos articulados sometidos a momentos
iguales en sus dos extremos. Este es un caso muy especial donde el momento máximo por deflexión 𝑃 ∙ ∆
ocurre en la sección donde el momento por carga aplicada 𝑃 ∙ 𝑒 es también máximo y por ello estas dos
cantidades pueden sumarse directamente.
404
Columnas esbeltas
Por lo general, las excentricidades en los extremos 𝑒1 y 𝑒2 no son iguales y por tanto, la posición de la
deflexión de segundo orden, no necesariamente coincide con la deflexión por momento primario. Cuando
los momentos de extremo son diferentes, el máximo valor de ∆ ocurre en algún punto intermedio de la
columna, mientras que el valor máximo de la excentricidad 𝑒 ocurre en uno de los extremos de la
columna, en consecuencia 𝑒𝑚𝑎𝑥 y ∆𝑚𝑎𝑥 no pueden sumarse directamente.
En la siguiente figura se pueden identificar dos casos, el primero consiste en una columna esbelta con
excentricidades pequeñas en los extremos donde el valor máximo de la suma 𝑒 + ∆ probablemente ocurre
en un punto intermedio de la columna. Por otro lado, para columnas cortas o columnas con grandes
excentricidades en los extremos, el valor máximo de la suma 𝑒 + ∆ ocurrirá en uno de los extremos de la
columna.
𝑒2 =
𝑃
𝑀2
= 𝑒𝑚𝑎𝑥
𝑃
𝑒2 = 𝑒𝑚𝑎𝑥 = (𝑒 + ∆)𝑚𝑎𝑥
𝑀2
𝑒
(𝑒 + ∆)𝑚𝑎𝑥
∆𝑚𝑎𝑥
∆𝑚𝑎𝑥
𝑒
𝑀1
𝑀1
𝑃
𝑒1
𝑃
𝑒1 =
Columna con diferentes
excentricidades en los
extremos
El máximo (𝑒 + ∆) ocurre
en un punto intermedio
El máximo (𝑒 + ∆) ocurre en
uno de los extremos
Primer Caso:
Excentricidades pequeñas
Segundo Caso:
Excentricidades grandes
Fig. 10.11. Efecto de momentos desiguales en los extremos
Estos dos tipos de comportamiento pueden ser observados en los diagramas de interacción que se
muestran en las siguientes figuras. Se puede apreciar que columnas sometidas a momentos desiguales de
extremo, pero del mismo sentido, inducen a que la columna esbelta se deforme en doble curvatura
ℓ
haciendo que la relación de esbeltez ℎ no influya de una forma significativa en el diagrama de interacción.
Cuando 𝑒1 = 𝑒2 (figura 10.14) el diagrama de interacción para una esbeltez de
𝑒
ℓ
= 20 muestra una
ℎ
reducción en la resistencia para todo el rango de excentricidades. Para 𝑒1 = 0 (figura 10.12) la máxima
2
(e+) ocurre entre los extremos para pequeñas excentricidades y en un extremo para grandes
ℓ
ℓ
excentricidades para la misma esbeltez ℎ = 20. Para 𝑒1 = −𝑒2 (figura 10.13) y la misma esbeltez ℎ = 20
405
Diseño de estructuras de hormigón armado
no existe efectos de esbeltez por lo que la columna puede ser considerada como columna corta para
propósitos de diseño.
ℓ
=0
ℎ
𝑃
Máximo (𝑒 + ∆)
entre los extremos
𝑃
𝑒2
20
𝑀1
=0
𝑀2
𝑒1 = 0
30
Máximo (𝑒 + ∆) en un extremo
45
𝑀
𝑴
Fig. 10.12. Efecto de la relación 𝑴𝟏 en el diagrama de interacción de columnas esbeltas
𝟐
(uno de los momentos de extremo es cero)
𝑃
𝑃
𝑒2
𝑒1
20
𝑒1 = −𝑒2
𝑀1
= −1
𝑀2
𝑃
30
45
𝑀
𝑴
Fig. 10.13. Efecto de la relación 𝑴𝟏 en el diagrama de interacción de columnas esbeltas
𝟐
(momentos de extremo distintos con el mismo sentido)
406
Columnas esbeltas
𝑃
ℓ
=0
ℎ
𝑒2
𝑃
𝑒1 = 𝑒2
10
𝑒1
20
30
𝑃
𝑀1
=0
𝑀2
45
𝑀
𝑴
Fig. 10.14. Efecto de la relación 𝑴𝟏 en el diagrama de interacción de columnas esbeltas
𝟐
(momentos de extremo distintos con diferente sentido)
Con el procedimiento del magnificador de momento , una columna sujeta a momentos de extremo de
sentidos iguales o contrarios y de magnitudes diferentes, es reemplazada por otra columna sujeta a
momentos de extremo de sentidos contrarios, pero de magnitudes iguales a 𝐶𝑚 ∙ 𝑀2 . Los momentos
𝐶𝑚 ∙ 𝑀2 son designados de tal manera que el momento máximo mayorado es el mismo en ambas
columnas.
𝐶𝑚 ∙ 𝑀2
𝑀2
𝑀𝑚𝑎𝑥
𝑀𝑚𝑎𝑥
𝑀1
Momentos Reales en la
falla de la columna
Momentos Equivalentes en
la falla de la columna
Fig. 10.15. Diagrama de momento equivalente
407
Diseño de estructuras de hormigón armado
La expresión del factor equivalente de momento 𝐶𝑚 fue originalmente derivado para el diseño de
columnas de acero y fue adoptado sin cambio alguno para el diseño de columnas de hormigón.
𝐶𝑚 = 0.6 − 0.4 ∙
𝑀1
𝑀2
(10.18)
Donde:
𝑀1 = Menor momento mayorado de uno de los extremos del elemento a compresión.
𝑀2 = Mayor momento mayorado en los extremos del elemento a compresión.
𝑀1
= - (Negativo si la columna se dobla en simple curvatura).
𝑀2
𝑀1
= + (Positivo si la columna se dobla en doble curvatura).
𝑀2
𝑀2
𝑀2
𝑀1
Columna flexada en
curvatura simple
0≤
𝑀1
≤1
𝑀2
𝑀1
Columna flexada en
doble curvatura
−1≤
𝑀1
≤0
𝑀2
Fig. 10.16. Variación de la relación 𝑴𝟏 /𝑴𝟐 en columnas esbeltas
La ecuación de 𝐶𝑚 solamente se aplica a columnas doblemente articuladas o a columnas en pórticos
arriostrados cargadas axialmente y con momentos en sus extremos. En todos los demás casos, incluyendo
columnas con cargas transversales entre sus extremos y columnas con carga axial concéntrica (sin
momentos en los extremos), 𝐶𝑚 es tomado como 1.0 según la sección 6.6.4.5.3 del código ACI. El
término 𝐶𝑚 no es incluido en la ecuación para el magnificador de momentos en pórticos no arriostrados.
10.4.6. Rigidez de la columna esbelta
Para calcular la carga crítica 𝑃𝑐 con la ecuación (10.17) es necesario conocer la rigidez a la flexión
(𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 de la columna. El valor de (𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 elegido para una columna de hormigón armado sometida a
un nivel de carga axial y que tiene una esbeltez dada debe aproximarse al 𝐸 ∙ 𝐼 de la columna al momento
de la falla, tomando en cuenta el tipo de falla (falla de material o falla de estabilidad), los efectos del
408
Columnas esbeltas
agrietamiento, fluencia y la no linealidad de la curva tensión – deformación al momento de la falla. La
sección 6.6.4.4.4 del código ACI, presenta fórmulas semiempíricas para el cálculo de (𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 que
intentan de alguna manera tomar en cuenta todos los factores mencionados anteriormente.
(𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 =
0.2 ∙ 𝐸𝑐 ∙ 𝐼𝑔 + 𝐸𝑠 ∙ 𝐼𝑠𝑒
1 + 𝛽𝑑
(10.19)
(𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 =
0.4 ∙ 𝐸𝑐 ∙ 𝐼𝑔
1 + 𝛽𝑑
(10.20)
(𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 =
𝐸𝑐 ∙ 𝐼
1 + 𝛽𝑑
(10.21)
Donde:
𝐸𝑐 = Módulo de elasticidad del hormigón.
𝐸𝑠 = Módulo de elasticidad del acero.
𝐼𝑔 = Momento de inercia de la sección de hormigón alrededor del eje que pasa por el centro de gravedad
de la sección de hormigón.
𝐼 = Momento de inercia calculado de acuerdo a la ecuación (10.22).
𝐼𝑠𝑒 = Momento de inercia del refuerzo de acero alrededor del eje que pasa por el centro de gravedad de la
sección de hormigón.
𝛽𝑑 = 𝛽𝑑𝑛𝑠 para columnas en pórticos arriostrados.
𝛽𝑑 = 𝛽𝑑𝑠 para columnas en pórticos no arriostrados.
𝛽𝑑𝑛𝑠 = Relación utilizada para calcular la reducción de rigidez de las columnas, en pórticos arriostrados,
debido a las cargas axiales permanentes.
𝛽𝑑𝑠 = Relación utilizada para calcular la reducción de rigidez de las columnas, en pórticos no arriostrados,
debido a las cargas laterales permanentes.
El término 1 + 𝛽𝑑 refleja el efecto de la fluencia prematura del acero en columnas sujetas a cargas
sostenidas. Para una estructura no arriostrada, 𝛽𝑑 se convierte en 𝛽𝑑𝑠 y tendrá normalmente un valor de
cero debido a que las cargas laterales son en general de corta duración. Las deformaciones por
desplazamiento lateral, debidas a cargas de corto plazo como viento o sismo, están en función de la rigidez
de corto plazo de las columnas después de un periodo sostenido de carga por gravedad. Para este caso la
definición dada por el código ACI en su sección 6.6.3.1.1 da como resultado 𝛽𝑑𝑠 = 0. En el caso inusual
de una estructura con desplazamiento lateral (no arriostrada) donde las cargas laterales son permanentes,
𝛽𝑑𝑠 no será igual a cero. Este caso puede presentarse en una edificación construida en un terreno inclinado
donde por un solo lado hay presiones de tierra. Para una estructura arriostrada, 𝛽𝑑 se convierte en 𝛽𝑑𝑛𝑠 y
tendrá normalmente un valor distinto a cero debido a que las cargas gravitacionales son en general de
larga duración.
Para estructuras sin desplazamiento lateral (arriostradas), se puede suponer un valor promedio de 0.6 para
𝛽𝑑𝑛𝑠 . En consecuencia, la ecuación (10.20) queda simplificada a (𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 = 0.25 ∙ 𝐸𝑐 ∙ 𝐼𝑔 .
409
Diseño de estructuras de hormigón armado
En el método del magnificador de momento, para el cálculo de la carga crítica de pandeo 𝑃𝑐 con la
ecuación (10.17), se deben utilizar las ecuaciones (10.19), (10.20) o (10.21) para estimar el valor de
(𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 . Esto representa el comportamiento de una columna sumamente cargada.
En la sección 6.6.3.1.1 del código ACI se presentan valores para los momentos de inercia 𝐼 de la sección
que pueden ser utilizados en los siguientes casos:
a) Cuando se realiza un análisis elástico de segundo orden para el cálculo de los momentos de
extremo en las columnas, momentos flectores en vigas y deflexiones laterales de la estructura.
b) Para calcular el valor de Ψ, que es utilizado para hallar el factor de longitud efectiva 𝑘 de las
columnas mediante el uso de los ábacos de Jackson y Moreland.
Las recomendaciones de la sección 6.6.3.1.1 del código ACI, son presentadas en la siguiente tabla.
Propiedad
Módulo de elasticidad (𝑬𝒄 )
Tipo de elemento
Todos
Ecuación
𝐸𝑐 = 44 ∙ 𝑤𝑐1.5 ∙ √𝑓𝑐′
Elementos en compresión
Momento de inercia (𝑰)
Columnas
0.70𝐼𝑔
Muros no agrietados
0.70𝐼𝑔
Muros agrietados
0.35𝐼𝑔
Elementos a flexión
Área (𝑨𝒈 )
Vigas
0.35𝐼𝑔
Losas y placas planas
0.25𝐼𝑔
Todos
1.0𝐴𝑔
Nota: No se deben utilizar los valores de esta tabla para el cálculo de 𝑃𝑐 en la ecuación (10.17)
Para el cálculo de deflexiones, vibraciones y periodos del edificio es necesario considerar cargas de
servicio y para ello se pueden utilizar los valores de los momentos de inercia dados en la tabla anterior
multiplicándolos por 1.4 (ACI R6.6.3.2.2).
Como alternativa, el código permite que los momentos de inercia 𝐼 de los elementos sometidos a
compresión y a flexión, puedan ser calculados con las ecuaciones que se resumen en la siguiente tabla.
En la ecuación (10.22), los valores de 𝑃𝑢 y 𝑀𝑢 deben provenir de la misma combinación de carga que se
está considerando o de la combinación de carga que produce el menor valor de 𝐼. Para elementos
contínuos sometidos a flexión, se permite que 𝐼, calculado con la ecuación (10.23), sea el promedio de los
valores obtenidos para secciones críticas de momento positivo y negativo.
410
Columnas esbeltas
Elemento a:
Momento de Inercia 𝑰
Límite
inferior
Límite
superior
0.35 · 𝐼𝑔
0.875 · 𝐼𝑔
0.25 · 𝐼𝑔
0.50 · 𝐼𝑔
Compresión
(columnas y
muros)
(0.80 + 25 ∙
𝐴𝑠𝑡
𝑀𝑢
𝑃𝑢
− 0.5 ∙ ) ∙ 𝐼𝑔 (10.22)
) ∙ (1 −
𝐴𝑔
𝑃𝑢 ∙ ℎ
𝑃𝑜
Flexión (vigas,
placas planas y
losas planas
(0.10 + 25 ∙ 𝜌) ∙ (1.2 − 0.2 ∙
𝑏𝑤
) ∙ 𝐼𝑔
𝑑
(10.23)
Las rigideces proporcionadas por las ecuaciones (10.22) y (10.23) son aplicables a todos los niveles de
carga, incluido servicio y última. Para uso de estas ecuaciones en niveles de carga distintos al último, 𝑃𝑢 y
𝑀𝑢 deben ser reemplazados por sus valores adecuados al nivel deseado de carga.
Fig. 10.17. Ábaco de Jackson y Moreland para columnas de pórticos arriostrados
411
Diseño de estructuras de hormigón armado
Fig. 10.18. Ábaco de Jackson y Moreland para columnas de pórticos no arriostrados
𝐸∙𝐼
𝐸∙𝐼
𝑐
𝑏
El coeficiente Ψ es la relación de ∑ ℓ 𝑐 de los elementos a compresión con respecto a ∑ ℓ 𝑏 de los
elementos a flexión en el mismos plano en un extremo del elemento a compresión.
10.4.7. Efecto de cargas sostenidas en columnas doblemente articuladas
Todo lo presentado hasta la sección anterior se refiere al comportamiento y falla de columnas bajo cargas
de corta duración, por lo que en esta sección se discutirá el efecto de las cargas sostenidas de larga
duración sobre la capacidad de la columna. Las columnas en estructuras están sujetas a cargas muertas
sostenidas y también algunas veces a cargas vivas sostenidas. La fluencia del hormigón bajo cargas
sostenidas incrementa la deflexión de las columnas por el aumento del momento 𝑀 = 𝑃 ∙ (𝑒 + Δ) y por lo
tanto las debilita.

Historia de carga “Rápida – Sostenida – Rápida”
En la siguiente figura se puede apreciar el comportamiento de una columna desde que es cargada
rápidamente hasta la carga de servicio OA. La carga de servicio actúa por años y durante este tiempo la
412
Columnas esbeltas
deflexión por fluencia y los efectos de segundo orden incrementan el momento AB. Finalmente la
columna es cargada rápidamente hasta la falla (punto C). Si la columna hubiera sido cargada rápidamente
hasta la falla, sin el periodo de carga sostenida, la curva hubiera sido OAD. El efecto de la carga sostenida
se manifiesta en el aumento de la deflexión y con ello en el incremento del momento causando una
reducción de la carga de falla desde el punto D hasta el punto C. En la recarga (línea BC), la deflexión de
la columna depende de la rigidez 𝐸 ∙ 𝐼 que corresponde a la misma rigidez de la curva cuando se aplica la
carga rápidamente (curva OAD).
𝑃
D
A
O
C
B
Falla
𝑀
Fig. 10.19. Falla de la columna por carga “rápida – sostenida - rápida”

Pandeo por fluencia
Esta falla ocurre solamente bajo grandes cargas sostenidas cuya magnitud sea mayor al 70% de la
capacidad de la columna bajo carga rápida representada, en la siguiente figura, por el punto D. Debido a
que la magnitud de la carga sostenida tiene pocas probabilidades de exceder el factor de reducción de
0.65
resistencia 𝜙 dividido por el factor de mayoración de carga muerta ( 1.4 = 0.46) veces la capacidad de la
columna, este tipo de falla no es considerada en los procedimientos de diseño del código ACI.
Dos procedimientos son ampliamente utilizados para tomar en cuenta los efectos de la fluencia. En el
procedimiento del módulo reducido, el valor del módulo de elasticidad 𝐸 utilizado para calcular 𝑃𝑐 es
reducido para estimar de una manera aproximada la carga correcta de falla. Este procedimiento es
ilustrado por la línea segmentada OC (figura 10.19).
El segundo procedimiento reemplaza la columna cargada con una excentricidad 𝑒 por una cargada con
excentricidad 𝑒 + Δ0,𝑐𝑟 donde Δ0,𝑐𝑟 es la deflexión por fluencia que quedaría en la columna de la figura
10.19 si ésta fuera descargada después de alcanzado el punto B.
413
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑃
D
Falla
O
𝑀
Fig. 10.20. Falla de la columna por carga sostenida
El procedimiento del magnificador de momento del código ACI utiliza el método del módulo reducido,
es por ello que la rigidez de la columna es reducida dividiéndola por el factor (1 + 𝛽𝑑𝑛𝑠 ) o (1 + 𝛽𝑑𝑠 ) en
las ecuaciones (10.19), (10.20) y (10.21). El código presenta las definiciones para hallar el valor de
𝛽𝑑𝑛𝑠 o 𝛽𝑑𝑠 dependiendo de la acción de carga sostenida y del tipo de arriostramiento que presenta la
columna.
a)
Columnas en pórticos arriostrados o doblemente articuladas
𝛽𝑑𝑛𝑠 =
𝑃𝑢 𝑠𝑜𝑠𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎
≤ 1.0
𝑃𝑢
(10.24)
Donde:
𝑃𝑢 𝑠𝑜𝑠𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎 = Máxima carga axial última que actúa en forma sostenida (carga muerta + algún
porcentaje de carga viva que se estime actúe de forma permanente).
𝑃𝑢 = Máxima carga axial última asociada con la misma combinación de carga que se utilizó para calcular
𝑃𝑢 𝑠𝑜𝑠𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎 .
b)
𝛽𝑑𝑠 =
Columnas en pórticos no arriostrados
𝑉𝑢 𝑠𝑜𝑠𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎
≤ 1.0
𝑉𝑢
(10.25)
Donde:
𝑉𝑢 𝑠𝑜𝑠𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎 = Máximo corte último que actúa en forma sostenida a nivel del piso considerado.
𝑉𝑢 = Máximo corte último a nivel del piso considerado asociado con la misma combinación de carga que
se utilizó para calcular 𝑉𝑢 𝑠𝑜𝑠𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎 .
414
Columnas esbeltas
El valor de 𝛽𝑑𝑠 será normalmente cero para una estructura no arriostrada, debido a que las cargas laterales
son en general de corta duración. Las deformaciones por desplazamiento lateral, ocasionadas por cargas
de corto plazo (viento o sismo), están en función de la rigidez de corto plazo de las columnas a
continuación de un periodo sostenido de carga por gravedad. Para este caso 𝑉𝑢 𝑠𝑜𝑠𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎 = 0 y por tanto
𝛽𝑑𝑠 = 0. En el caso inusual de una estructura no arriostrada con cargas laterales sostenidas, 𝛽𝑑𝑠 ≠ 0. Esta
situación podría suceder cuando hay cargas laterales permanentes de la presión desigual del terreno en los
dos lados de una edificación.
Los valores de 𝛽𝑑𝑠 y 𝛽𝑑𝑛𝑠 no deberían superar la unidad, caso contrario se debe revisar el diseño porque la
reducción en la rigidez de las columnas por efecto de las cargas axiales permanentes, en pórticos
arriostrados, o por las cargas laterales permanentes, en pórticos no arriostrados, es muy grande.
10.5. Límites de esbeltez para columnas esbeltas
La mayoría de las columnas son suficientemente cortas y macizas, por lo que tienen una adecuada sección
transversal para no ser afectadas por los efectos de esbeltez. La sección 6.2.5 del código ACI permite que
los efectos de esbeltez sean ignorados en el caso de columnas doblemente articuladas o columnas en
pórticos arriostrados si se cumple con la siguiente inecuación:
𝑘 ∙ ℓ𝑢
𝑀1
≤ 34 + 12 ∙
≤ 40
𝑟
𝑀2
(10.26)
𝑘 = Factor de longitud efectiva para el elemento en compresión.
ℓ𝑢 = Longitud no arriostrada del elemento en compresión.
𝑟 = Radio de giro de la sección transversal del elemento en compresión.
𝑟 = 0.30 · ℎ
𝑟 = 0.25 · ℎ
𝐼
𝑟 = √𝐴
Para sección rectangular
Para sección circular
Para cualquier tipo de sección
𝑀1 = El menor momento de los momentos de extremo del elemento en compresión.
𝑀2 = El mayor momento de los momentos de extremo del elemento en compresión.
𝑀1
= − (Negativo si el elemento se dobla en simple curvatura).
𝑀2
𝑀1
= + (Positivo si el elemento se dobla en doble curvatura).
𝑀2
El código ACI, en su capítulo 6, presenta métodos de análisis, modelos analíticos de miembros y sistemas
estructurales y los efectos producidos por las cargas. Dentro de este mismo capítulo, el código presenta
ciertos acápites dedicados exclusivamente al tema de columnas esbeltas, por lo que en el siguiente párrafo
se realiza un resumen conciso de los acápites del código que tratan de los efectos de segundo orden en
elementos a compresión de modo que el lector pueda referirse a ellos para ampliar sus conocimientos.
La sección 6.6.4 del código ACI describe un procedimiento aproximado de diseño que utiliza el concepto
del magnificador de momentos para tomar en cuenta los efectos de esbeltez en columnas. Los momentos
415
Diseño de estructuras de hormigón armado
calculados utilizando un análisis de pórtico de primer orden son multiplicados por un magnificador de
momento que está en función de la carga axial última 𝑃𝑢 y la carga crítica de pandeo 𝑃𝑐 para la columna
bajo análisis. Los pórticos arriostrados y no arriostrados son tratados en forma separada en las secciones
6.6.4.5 y 6.6.4.6 respectivamente. Un análisis de pórtico de primer orden es un análisis elástico realizado
en la geometría original de la estructura y que no incluye los efectos de las fuerzas internas que resultan de
los desplazamientos y deformaciones de la estructura.
10.6. Límite de los efectos de segundo orden
Si el peso de una estructura es alto, con relación a su rigidez lateral, entonces los efectos 𝑃 ∙ ∆ pueden ser
excesivos con momentos secundarios mayores al 25% de los momentos primarios y ello puede introducir
singularidades en la solución de las ecuaciones de equilibrio, indicando inestabilidad física de la
estructura. Con base a investigaciones analíticas realizadas sobre estructuras de hormigón armado se halló
que la probabilidad de que una estructura falle aumenta rápidamente cuando el índice de estabilidad 𝑄
excede 0.2, lo que es equivalenrte a una relación de 1.25 entre el momento total y el momento de primer
orden.
El código ACI en su sección 6.2.6 limita los momentos totales, incluyendo los efectos de segundo orden,
en los elementos en compresión, vigas de restricción u otros elementos estructurales a 1.4 veces los
momentos debidos a los efectos de primer orden.
En la sección 10.13.6, de la edición 2005 del código ACI, existía una verificación de estabilidad que ya no
es requerida debido a la imposición de un límite superior al valor del momento secundario.
10.7. Resumen del diseño de columnas esbeltas en pórticos arriostrados
a) Longitud de la columna.
Se calcula la distancia libre ℓ𝑢 entre los elementos que son capaces de dar soporte lateral a la columna,
como por ejemplo las losas o vigas.
b) Longitud efectiva.
Para columnas en pórticos arriostrados el factor de longitud efectiva 𝑘 es menor o igual a la unidad, pero
como valor conservador para el diseño se puede adoptar siempre la unidad.
La longitud efectiva de una columna 𝑘 ∙ ℓ𝑢 es definida como la longitud de una columna equivalente
doblemente articulada que tiene la misma carga de pandeo.
El valor de 𝑘 para una columna elástica está en
Ψ de las vigas y las columnas en cada extremo de la columna.
416
función
de
la
rigidez
relativa
Columnas esbeltas
𝐸𝑐 ∙ 𝐼𝑐
ℓ𝑐
Ψ=
𝐸 ∙𝐼
∑ 𝑏 𝑏
ℓ𝑏
∑
(10.27)
Donde:
𝐸𝑐 = Módulo de elasticidad del material de la columna.
𝐼𝑐 = Momento de inercia de la columna.
ℓ𝑐 = Longitud de la columna medida de centro a centro de los nudos del pórtico.
𝐸𝑏 = Módulo de elasticidad del material de la viga.
𝐼𝑏 = Momento de inercia de la viga.
ℓ𝑏 = Longitud de la viga medida de centro a centro de los nudos del pórtico.
Los valores de la rigidez 𝐸 ∙ 𝐼 para vigas y columnas pueden ser calculados considerando las
recomendaciones que se indican en la sección 6.6.3.1.1 del código ACI y que se encuentran resumidas en
la tabla presentada en el acápite 10.4.6 del presente capítulo. Se recomienda considerar, para todos los
casos, el valor de cero para el factor 𝛽𝑑 .
Teórico
Práctico
Tipo de apoyo
Ψ=0
Ψ=1
Extremo empotrado
Ψ=∞
Ψ = 10
Extremo articulado
Con los valores de Ψ calculados para ambos extremos de la columna, se entra al nomograma
correspondiente a pórticos arriostrados y se halla el valor de 𝑘.
Pórticos arriostrados
0.5 ≤ 𝑘 ≤ 1.0
En la práctica 𝑘 ≥ 0.6 para columnas en pórticos arriostrados.
Los nomogramas fueron derivados considerando una columna típica interior de un pórtico infinitamente
alto y largo en el cual todas las columnas tienen la misma sección y longitud al igual que las vigas. Cargas
iguales son aplicadas en la parte superior de cada una de las columnas, mientras las vigas se mantienen
descargadas. Se asume que todas las columnas pandean al mismo tiempo. Como resultado de estas
suposiciones poco reales, los nomogramas tienden a subestimar el valor de 𝑘 para pórticos elásticos de
dimensiones prácticas hasta en un 15% y esto subestima los momentos magnificados 𝑀𝑐 .
Pórticos no arriostrados
1.0 ≤ 𝑘 ≤ ∞
En la práctica 𝑘 ≥ 1.2 para columnas en pórticos no arriostrados.
c) Determinación del grado de arriostramiento del pórtico.
Una columna puede ser considerada como arriostrada en una dirección dada si la estabilidad lateral de la
estructura como conjunto está asegurada por muros, riostras, etc. diseñados para resistir todas las fuerzas
laterales en esa dirección. Una columna no está arriostrada en una dirección si toda la resistencia de la
estructura a cargas laterales es dada por la flexión de las columnas.
417
Diseño de estructuras de hormigón armado
En la realidad no existe un pórtico completamente arriostrado y tampoco una frontera clara entre pórticos
no arriostrados y arriostrados. Para propósitos de diseño, un piso o un pórtico pueden considerarse
arriostrados si los desplazamientos horizontales no reducen significativamente la capacidad de la
estructura para resistir cargas verticales. Como el procedimiento de diseño del magnificador de momento
del código ACI toma en cuenta la esbeltez de las columnas incrementando los momentos, este criterio
puede ser definido de la siguiente manera: Un pórtico puede ser considerado “arriostrado” si los
momentos 𝑃 ∙ Δ debido a las deflexiones laterales son pequeños comparados con los momentos de primer
orden debido a las cargas laterales. La sección 6.6.4.3(a) del código ACI permite a los diseñadores asumir
que un pórtico es arriostrado si el incremento en los momentos de extremo de las columnas debido a los
efectos de segundo orden no excede en 5% a los momentos de primer orden. Esta verificación debe ser
realizada en los extremos de las columnas donde el momento magnificado es mayor.
De manera alternativa la sección 6.6.4.3(b) del código ACI permite asumir que un piso en un pórtico es
arriostrado si:
𝑄=
∑ 𝑃𝑢 ∙ ∆0
≤ 0.05
𝑉𝑢𝑠 ∙ ℓ𝑐
(10.28)
Donde:
∑ 𝑃𝑢 = Carga vertical total en todas las columnas y muros del piso en cuestión.
𝑉𝑢𝑠 = Corte horizontal mayorado del piso.
∆0 = Deflexión relativa de primer orden entre la parte superior e inferior de ese piso debido a 𝑉𝑢𝑠 .
ℓ𝑐 = Altura del piso medido de centro a centro de los nudos encima y debajo del piso.
También se puede determinar si un pórtico o piso es arriostrado comparando la rigidez total lateral de
todas las columnas en un piso con la rigidez de los arriostramientos como muros, cajas de ascensores, etc.,
tal como lo sugiere el código ACI en su sección R6.6.4.1. La sección 6.2.5 del ACI permite considerar que
las columnas de un piso están arriostradas contra desplazamientos laterales si se cumple lo siguiente:
∑ 𝑘1 𝑅𝑖𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠
≥ 12.0
∑ 𝑘1 𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠
𝑘1 =
𝑉
∆
Donde:
𝑉 = Corte en el elemento.
∆= Desplazamiento lateral relativo entre los extremos de la columna debido al corte.
d) Radio de giro.
Se calcula el radio de giro de la sección transversal de la columna en la dirección estudiada.
418
(10.29)
(10.30)
Columnas esbeltas
Para una sección rectangular
Para una sección circular
𝑟 = 0.30 ∙ ℎ
𝑟 = 0.25 ∙ ℎ
Para cualquier sección
𝑟 = √𝐴𝑔
𝐼
𝑔
e) Consideraciones de los efectos de esbeltez.
Para columnas en pórticos arriostrados, el código ACI en su sección 6.2.5 permite despreciar los efectos
de esbeltez si:
𝑘 ∙ ℓ𝑢
𝑀1
≤ 34 + 12 ∙
≤ 40
𝑟
𝑀2
(10.26)
𝑀1
= − Simple curvatura
𝑀2
𝑀1
= + Doble curvatura
𝑀2
En columnas de pórticos no arriostrados, la sección 6.2.5 del código ACI permite despreciar los efectos de
esbeltez si
𝑘∙ℓ𝑢
≤ 22.
𝑟
f) Momento mínimo.
Para columnas en pórticos arriostrados, el momento de extremo mayor 𝑀2 no debe ser menor a:
𝑀2 𝑚𝑖𝑛 = 𝑃𝑢 ∙ (15 + 0.03 ∙ ℎ)
(10.31)
Donde:
ℎ = Canto de la sección transversal en [𝑚𝑚].
La verificación de la ecuación anterior debe ser realizada para cada eje por separado, para asegurar de esa
manera que la columna tiene, por lo menos, la capacidad de soportar el momento mínimo requerido por el
código. Para los elementos en que 𝑀2 𝑚𝑖𝑛 excede a 𝑀2 , el valor de 𝐶𝑚 en la ecuación (10.18) debe ser
igual a 1.0 o calcularse con base a la relación de los momentos calculados en los extremos
𝑀1
.
𝑀2
g) Ecuación del magnificador de momento.
La sección 6.6.4.5 del código ACI indica que las columnas en pórticos arriostrados deben ser diseñadas
para la carga axial mayorada 𝑃𝑢 y un momento mayorado magnificado 𝑀𝑐 dado por:
𝑀𝑐 = 𝛿 ∙ 𝑀2
(10.32)
Donde:
𝑀2 = Es el momento de extremo mayor.
419
Diseño de estructuras de hormigón armado
 = Factor de amplificación de momento para tener en cuenta los efectos de la curvatura entre los
extremos del elemento en compresión.
𝛿=
𝐶𝑚
≥ 1.0
𝑃𝑢
1−
0.75 ∙ 𝑃𝑐
𝐶𝑚 = 0.6 − 0.4 ∙
𝑀1
𝑀2
(10.33)
(10.18)
𝑀1
= - (Negativo si la columna se dobla en simple curvatura)
𝑀2
𝑀1
= + (Positivo si la columna se dobla en doble curvatura)
𝑀2
𝜋 2 ∙ (𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓
𝑃𝑐 =
(𝑘 ∙ ℓ𝑢 )2
(10.17)
(𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 =
0.2 ∙ 𝐸𝑐 ∙ 𝐼𝑔 + 𝐸𝑠 ∙ 𝐼𝑠𝑒
1 + 𝛽𝑑𝑛𝑠
(10.19)
(𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 =
0.4 ∙ 𝐸𝑐 ∙ 𝐼𝑔
1 + 𝛽𝑑𝑛𝑠
(10.20)
(𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 =
𝐸𝑐 ∙ 𝐼
1 + 𝛽𝑑𝑛𝑠
(10.21)
El término 𝛽𝑑𝑛𝑠 para elementos a compresión en pórticos arriostrados se calcula con la siguiente ecuación:
𝛽𝑑𝑛𝑠 =
𝑃𝑢 𝑠𝑜𝑠𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎
≤ 1.0
𝑃𝑢
(10.24)
Los valores recomendados para 𝐸 ∙ 𝐼 en la sección 6.6.3.1.1 del código ACI y resumidos en la tabla del
acápite 10.4.6 del presente texto no pueden ser utilizados para el cálculo de 𝑃𝑐 . Estos valores representan
el promedio de los valores de 𝐸 ∙ 𝐼 para un piso entero y deben ser utilizados para un análisis estructural de
primer y/o segundo orden.
Si 𝑃𝑢 > 0.75 ∙ 𝑃𝑐 entonces 𝛿 será negativo, por lo tanto se debe aumentar la sección transversal.
Si 𝛿 > 1.4 se debe aumentar la sección transversal de la columna debido a que los cálculos llegan a ser
muy sensibles a las suposiciones realizadas. El código en su sección 6.2.6 indica que los momentos
totales, incluyendo los efectos de segundo orden, de elementos en compresión, vigas de restricción u otros
elementos estructurales no deben exceder 1.4 veces los momentos debidos a los efectos de primer orden.
420
Columnas esbeltas
h) Seleccionar el refuerzo para la columna.
Con base a los diagramas de interacción de columnas cortas se determina si la sección es capaz de resistir
la carga 𝑃𝑢 y el momento 𝑀𝑐 .
Ejemplo. El pórtico de la figura es un pórtico típico de un edificio industrial que se
repite cada 6.0 [𝑚]. Diseñar las columnas CD y DE, considerando que el hormigón tiene un resistencia
característica a los 28 días de 20 [𝑀𝑃𝑎] y el acero una tensión mínima de fluencia de 420 [𝑀𝑃𝑎].
Cargas de servicio:
Columna CD
𝑃𝐷 = 356 [𝑘𝑁]
𝑃𝐿 = 107 [𝑘𝑁]
Columna DE
𝑃𝐷 = 222 [𝑘𝑁]
𝑃𝐿 = 62 [𝑘𝑁]
200
106
365.6
600
400
E
F
400
6700
Sección A - A
A
B
A
D
600
79
146
5500
A
C
58
9100
7600
𝑀𝑢 [𝑘𝑁𝑚]
598.4
𝑃𝑢 [𝑘𝑁]
Columnas ED y DC
421
Diseño de estructuras de hormigón armado
a)
Determinar las cargas en las columnas mediante un análisis estructural.
Después de realizado el análisis estructural del pórtico se obtienen los momentos y cargas axiales
mayoradas en las columnas ED y DC como se muestra en la figura.
b)
Escoger la dimensión preliminar de la columna.
Se estima la dimensión para la columna CD puesto que es la más solicitada y se utiliza la misma sección
transversal para la columna DE.
𝑃𝑢 = 1.2 · 356 + 1.6 · 107 = 598.4 [𝑘𝑁]
𝑃
𝑢
𝐴𝑔 ≥ 7.5
[𝑚𝑚2 ] donde 𝑃𝑢 debe estar en [𝑁]
𝐴𝑔 ≥
598400
= 79787 [𝑚𝑚2 ] ≈ 290 [𝑚𝑚]𝑥290 [𝑚𝑚]
7.5
Como la columna tiene momentos significativos escogemos, como primera alternativa, una columna
cuadrada de 350𝑥350 [𝑚𝑚2 ].
c)
Se determina si las columnas son esbeltas.
Columna CD
ℓ𝑢 = 5.50 [𝑚]
𝑟 = 0.3 ∙ ℎ = 0.3 · 0.35 = 0.105 [𝑚]
𝑘 =?
𝐸𝑐 ∙ 𝐼𝑐
𝐼
∑ 𝑐
ℓ𝑐
ℓ𝑐
Ψ=
=
𝐸 ∙𝐼
𝐼
∑ 𝑏 𝑏 ∑ 𝑏
ℓ𝑏
ℓ𝑏
∑
𝐼𝑏 = 0.35 ∙ 𝐼𝑔 = 0.35 ∙
1
∙ 0.40 ∙ 0.603 = 0.00252 [𝑚4 ]
12
𝐼𝑐 = 0.70 ∙ 𝐼𝑔 = 0.70 ∙
1
∙ 0.353 = 0.000875 [𝑚4 ]
12
0.000875 0.000875
+ 7.30
Ψ𝑠𝑢𝑝 = 5.80
= 0.98
0.00252
9.10
422
Columnas esbeltas
Ψ𝑖𝑛𝑓 = 10
𝑘 = 0.86
𝑘 ∙ ℓ𝑢 0.86 ∙ 5.50
=
= 45
𝑟
0.105
𝑀1
58
34 + 12 ∙ ( ) = 34 + 12 ∙ (
) = 38.8
𝑀2
146
Como 45 > 38.8 la columna es esbelta.
Columna DE
ℓ𝑢 = 6.70 [𝑚]
𝑟 = 0.105 [𝑚]
𝑘 =?
0.000875
Ψ𝑠𝑢𝑝 = 7.30 = 0.36
0.00252
7.60
Ψ𝑖𝑛𝑓 = 0.98
𝑘 = 0.71
𝑘 ∙ ℓ𝑢 0.71 ∙ 6.70
=
= 45.3
𝑟
0.105
𝑀1
79
34 + 12 ∙ ( ) = 34 + 12 ∙ (−
) = 25.1
𝑀2
106
Como 45.3 > 25.1 la columna es esbelta.
423
Diseño de estructuras de hormigón armado
Columna CD
Columna DE
E
B
D
A
d)
F
Forma en que pandea la estructura
C
Verificar si los momentos son menores al mínimo.
La sección 6.6.4.5.4 del código ACI requiere que las columnas esbeltas arriostradas sean diseñadas para
una mínima excentricidad de (15 + 0.03 · ℎ) [𝑚𝑚]. Para una columna de 350 [𝑚𝑚] esto es 25.5 [𝑚𝑚].
424
Columnas esbeltas
Columna CD
𝑀2 𝑚𝑖𝑛 = 𝑃𝑢 ∙ 𝑒𝑚𝑖𝑛 = 598.4 ∙
Columna DE
𝑀2 𝑚𝑖𝑛 = 𝑃𝑢 ∙ 𝑒𝑚𝑖𝑛 = 365.6 ∙
25.5
= 15.26 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
1000
25.5
= 9.32 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
1000
Como los momentos actuantes exceden los momentos mínimos 𝑀2 𝑚𝑖𝑛 , éstos no son tomados en cuenta.
e)
Calcular 𝐸 ∙ 𝐼.
0.4 ∙ 𝐸𝑐 ∙ 𝐼𝑔
1 + 𝛽𝑑𝑛𝑠
𝐸𝑐 = 4700 ∙ √𝑓𝑐′ = 𝐸𝑐 = 4700 ∙ √20 = 21019 [𝑀𝑃𝑎]
1
𝐼𝑔 =
∙ 3504 = 1250520833 [𝑚𝑚4 ]
12
(𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 =
Columna CD
𝛽𝑑𝑛𝑠 =
1.2 ∙ 356
427.2
1.2 ∙ 𝑃𝑐𝑚
=
=
= 0.714 ≤ 1.0
1.2 ∙ 356 + 1.6 ∙ 107 598.4
𝑃𝑢
(𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 =
0.4 ∙ 21019 ∙ 1250520833
= 6.13 ∙ 1012 [𝑁 ∙ 𝑚𝑚2 ]
1 + 0.714
Columna DE
𝛽𝑑𝑛𝑠 =
1.2 ∙ 𝑃𝑐𝑚
1.2 ∙ 222
266.4
=
=
= 0.729 ≤ 1.0
𝑃𝑢
1.2 ∙ 222 + 1.6 ∙ 62 365.6
(𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 =
f)
0.4 ∙ 21019 ∙ 1250520833
= 6.08 ∙ 1012 [𝑁 ∙ 𝑚𝑚2 ]
1 + 0.729
Calcular el momento magnificado.
𝑀𝑐 =  · 𝑀2
𝛿=
𝐶𝑚
≥ 1.0
𝑃𝑢
1−
0.75 ∙ 𝑃𝑐
Límites del magnificador de momentos 1.0 ≤ 𝛿 ≤ 1.4
425
Diseño de estructuras de hormigón armado
Columna CD
𝑀1
58
= 0.6 − 0.4 ∙ (
) = 0.44
𝑀2
146
𝜋 2 ∙ (𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 𝜋 2 ∙ 6.13 ∙ 1012
𝑃𝑐 =
=
= 2704195 [𝑁] = 2704.20 [𝑘𝑁]
(𝑘 ∙ ℓ𝑢 )2
(0.86 ∙ 5500)2
0.44
𝛿=
= 0.62
598.4
1−
0.75 ∙ 2704.20
𝐶𝑚 = 0.6 − 0.4 ∙
Como 𝛿 ≤ 1.0, entonces se adopta el valor de 1.0
La columna CD es diseñada para las siguientes solicitaciones:
𝑃𝑢 = 598.4 [𝑘𝑁]
𝑀𝑢 = 𝑀𝑐 = 146 [𝑘𝑁𝑚]
Columna DE
𝑀1
79
= 0.6 − 0.4 ∙ (−
) = 0.90
𝑀2
106
𝜋 2 ∙ (𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 𝜋 2 ∙ 6.08 ∙ 1012
=
= 2651777 [𝑁] = 2651.78 [𝑘𝑁]
𝑃𝑐 =
(𝑘 ∙ ℓ𝑢 )2
(0.71 ∙ 6700)2
0.90
𝛿=
= 1.10
365.6
1−
0.75 ∙ 2651.78
𝐶𝑚 = 0.6 − 0.4 ∙
Como 1.0 ≤ 𝛿 ≤ 1.4, entonces no es necesario modificar ese valor
Esta columna es afectada por su esbeltez 𝑀𝑐 = 1.10 ∙ 106 = 116.6 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
La columna DE es diseñada para las siguientes solicitaciones:
𝑃𝑢 = 365.6 [𝑘𝑁]
𝑀𝑢 = 𝑀𝑐 = 116.6 [𝑘𝑁𝑚]
g)
Seleccionar el refuerzo de acero.
Para hallar el refuerzo de acero se elaboran diagramas de interacción para una columna cuadrada de
350𝑥350 con las siguientes distribuciones de acero: 4𝜙25, 6𝜙22, 6𝜙25 y 10𝜙22. Después de analizar
los diagramas de interacción se decide finalmente utilizar para la columna CD 10𝜙22 y para la columna
DE 6𝜙22.
Columna CD: 350𝑥350 con 10𝜙22
Columna DE: 350𝑥350 con 6𝜙22
426
Columnas esbeltas
DIAGRAMA DE INTERACCION
COLUMNA DE 350x350 CON 4f25
2000
1500
Resistencia Nominal de Diseño
fPn [kN]
1000
500
0
(117, 366)
0
20
40
60
80
100
120
140
-500
-1000
fMn [kN·m]
427
Diseño de estructuras de hormigón armado
DIAGRAMA DE INTERACCION
COLUMNA DE 350x350 CON 6f22
2000
1500
Resistencia Nominal de Diseño
fPn [kN]
1000
500
0
(117, 366)
0
20
40
60
80
-500
-1000
fMn [kN·m]
428
100
120
140
160
Columnas esbeltas
DIAGRAMA DE INTERACCION
COLUMNA DE 350x350 CON 6f25
2000
1500
Resistencia Nominal de Diseño
1000
fPn [kN]
(146, 598)
500
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
-500
-1000
-1500
fMn [kN·m]
429
Diseño de estructuras de hormigón armado
DIAGRAMA DE INTERACCION
COLUMNA DE 350x350 CON 10f22
2500
2000
Resistencia Nominal de Diseño
1500
1000
fPn [kN]
(146, 598)
500
0
0
50
100
-500
-1000
-1500
-2000
fMn [kN·m]
430
150
200
250
Columnas esbeltas
10.8. Comportamiento de las columnas en pórticos no arriostrados
10.8.1. Estática de pórticos no arriostrados
∆
𝑃1
Articulaciones
𝑃2
𝐻
)
)
𝐿
(
(
𝐻
Momentos en las columnas en
un pórtico no arriostrado
Momento 𝐻 ∙ 𝐿
Momento 𝑃 ∙ ∆
Efecto de articulaciones en
las vigas
Fig. 10.21. Estática de pórticos no arriostrados
La suma de los momentos en la parte superior e inferior de todas las columnas debe equilibrar el momento
por carga lateral 𝐻 · 𝐿 más los momentos por cargas verticales ∑ 𝑃 ∙ ∆. Por lo tanto:
∑(𝑀𝑠𝑢𝑝 + 𝑀𝑖𝑛𝑓 ) = 𝐻 ∙ 𝐿 + ∑ 𝑃 ∙ ∆
(10.34)
En el pórtico de la figura es importante notar que ambas columnas tienen un mismo desplazamiento ∆
lateral. Por esta razón, no es posible considerar las columnas independientemente en un pórtico no
arriostrado cuando se considera el desplazamiento lateral del mismo.
Si en un pórtico no arriostrado existen columnas articuladas, como puede ser el caso de edificios
construidos con elementos prefabricados, las cargas verticales que actúan sobre estas columnas son
incluidas en la ∑ 𝑃 en las siguientes ecuaciones:
𝑄=
∑ 𝑃𝑢 ∙ ∆0
≤ 0.05
𝑉𝑢𝑠 ∙ ℓ𝑐
∑(𝑀𝑠𝑢𝑝 + 𝑀𝑖𝑛𝑓 ) = 𝐻 ∙ 𝐿 + ∑ 𝑃 ∙ ∆
(10.28)
(10.35)
Estas columnas son referidas como columnas apoyadas porque dependen del pórtico para su estabilidad.
431
Diseño de estructuras de hormigón armado
En el marco de la figura anterior se observa que los momentos debidos a carga lateral y a los 𝑃 · ∆ pueden
añadirse directamente porque los máximos de ambos ocurren en los extremos de las columnas. Por esta
razón, el factor equivalente del momento 𝐶𝑚 no se aplica para columnas no arriostradas. Por otro lado el
máximo momento es:
𝑀𝑐 =
𝑃
𝑀0 ∙ (1 − 0.18 ∙ 𝑃 )
𝑃
1−𝑃
𝐸
𝐸
(10.36)
𝑃
El término (1 − 0.18 ∙ 𝑃 ) refleja la forma del diagrama de momentos de primer orden (triangular), el cual
𝐸
difiere del rectangular hallado para la columna doblemente articulada arriostrada. El código ACI omite
este término, lo cual es conservador.
Es también importante notar que si articulaciones se forman en los extremos de las vigas del marco de la
figura, este se vuelve inestable. Por lo tanto, las vigas deben resistir el momento total magnificado de los
extremos de las columnas para que el marco se mantenga estable.
Las cargas que producen desplazamiento lateral rara vez son sostenidas a menos que éstas provengan de
las reacciones horizontales de arcos, pórticos que resisten empuje lateral de tierras, etc. Si una carga
sostenida actúa sobre una estructura no arriostrada, las deflexiones se incrementan con el tiempo, lo cual
incrementa directamente los momentos 𝑃 · ∆. Este proceso es muy sensible a variaciones pequeñas en las
propiedades de los materiales y cargas. Por lo tanto, toda estructura sometida a cargas laterales sostenidas
debería ser arriostrada. Más aún, se debería siempre utilizar estructuras arriostradas cuando sea posible sin
importar si las cargas laterales son de corta duración o sostenidas.
10.8.2. Diseño de columnas en pórticos no arriostrados
La sección 6.2.5 del código ACI constituye la sección donde se estudian los efectos de esbeltez de los
elementos a compresión. En la sección 6.2.6 del ACI se indica claramente que, cuando los efectos de
esbeltez no pueden ser ignorados como lo permite la sección 6.2.5 del mismo código, todo elemento a
compresión, viga de restricción o elemento de soporte debe ser diseñado considerando las cargas últimas
provenientes de un análisis de segundo orden. Para el análisis de segundo orden se debe tomar en cuenta el
comportamiento no lineal del material, agrietamiento del elemento, efectos de la curvatura y
deformaciones del elemento, duración de las cargas, cambios volumétricos del elemento por retracción y
fluencia y finalmente la interacción con la fundación. Como alternativa, la sección 6.6.4 permite que el
diseño de los mencionados elementos pueda ser realizado utilizando un procedimiento aproximado basado
en un magnificador de momentos descrito en las subsiguientes secciones 6.6.4.5 y 6.6.4.6 del código ACI.
La sección 6.2.5 del código presenta requerimientos generales para el diseño de columnas esbeltas en
pórticos arriostrados y no arriostrados, mientras que en la sección 6.6.4 se exponen métodos para definir si
una columna es arriostrada o no arriostrada. Si la columna es arriostrada, el diseño se enmarca en la
sección 6.6.4.5, caso contrario se utiliza la sección 6.6.4.6.
432
Columnas esbeltas
Las columnas sujetas a desplazamiento lateral generalmente son parte de un sistema estructural que
incluye vigas y losas. Una losa de piso es normalmente muy rígida en su propio plano, por lo que todas las
columnas en un determinado nivel están sujetas aproximadamente a los mismos desplazamientos laterales.
En otras palabras, para que ocurra un desplazamiento lateral en un determinado nivel de la estructura se
debe producir un desplazamiento simultáneo de todas las columnas del mismo nivel. Por tanto, en el modo
traslacional, todas las columnas de ese nivel deben ser consideradas para evaluar los efectos de esbeltez en
pórticos no arriostrados.
Es también posible para una columna individual, en un pórtico no arriostrado, pandear aisladamente bajo
cargas gravitacionales, puesto que los extremos de la columna pueden ser arriostrados por otras columnas,
del mismo nivel, pero que son mucho más rígidas. Esta posibilidad de pandeo en la cual se debe
magnificar los momentos debidos a cargas gravitacionales debe ser también investigada para el análisis y
diseño de columnas esbeltas en pórticos no arriostrados.
El procedimiento del magnificador de momento puede ser todavía utilizado, pero en pórticos no
arriostrados se debe separar las cargas actuantes en dos categorías: cargas que no producen un
desplazamiento lateral significativo y cargas que producen un desplazamiento lateral significativo. Por
tanto, dos análisis de la estructura son necesarios para tomar en cuenta los dos tipos de carga. En general,
las cargas gravitacionales que actúan en una estructura más o menos simétrica producirán muy poco
desplazamiento lateral y es razonable colocar a éstas cargas en la primera categoría. Por otro lado, las
cargas de viento o sismo, que por su naturaleza son principalmente cargas horizontales se las coloca en la
segunda categoría, porque éstas son las que producen el mayor desplazamiento lateral de la estructura.
Los momentos máximos magnificados producidos por cargas laterales se localizan en los extremos de la
columna, mientras que los producidos por cargas gravitacionales se encuentran cerca a la mitad de su
altura. Debido a que los momentos magnificados gravitacionales y los momentos magnificados por cargas
laterales no se localizan en los mismos puntos, se puede concluir que, en la mayoría de los casos, no se
debería magnificar los momentos por cargas gravitacionales cuando se consideran los momentos por
cargas laterales. Por tanto, es poco probable que el momento máximo exceda la suma del momento no
magnificado gravitacional y el momento magnificado por cargas laterales. De acuerdo a ese razonamiento,
el código ACI en su sección 6.6.4.6 indica que los momentos 𝑀1 y 𝑀2 en los extremos de un elemento
individual sometido a compresión deben ser tomados como:
𝑀1 = 𝑀1𝑛𝑠 + 𝛿𝑠 · 𝑀1𝑠
(10.37)
𝑀2 = 𝑀2𝑛𝑠 + 𝑠 · 𝑀2𝑠
(10.38)
Donde:
𝑀1 = Menor momento mayorado de extremo en el elemento a compresión.
𝑀2 = Mayor momento mayorado de extremo en el elemento a compresión.
𝑀1𝑛𝑠 = Momento mayorado en el extremo del elemento a compresión donde 𝑀1 actúa, debido a cargas
que no causan un desplazamiento apreciable, calculado utilizando un análisis elástico de primer orden.
433
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑀2𝑛𝑠 = Momento mayorado en el extremo del elemento a compresión donde 𝑀2 actúa, debido a cargas
que no causan un desplazamiento apreciable, calculado utilizando un análisis elástico de primer orden.
𝑀1𝑠 = Momento mayorado en el extremo del elemento a compresión donde 𝑀1 actúa, debido a cargas que
causan un desplazamiento apreciable, calculado utilizando un análisis elástico de primer orden.
𝑀2𝑠 = Momento mayorado en el extremo del elemento a compresión donde 𝑀2 actúa, debido a cargas que
causan un desplazamiento apreciable, calculado utilizando un análisis elástico de primer orden.
𝛿𝑠 = Factor de amplificación del momento en pórticos no arriostrados contra desplazamiento lateral, para
tomar en cuenta el desplazamiento lateral originado por las cargas laterales y gravitacionales.
10.9. Resumen del diseño de columnas esbeltas en pórticos no arriostrados
a) Momentos intraslacionales 𝑀𝑛𝑠 .
Calcular los momentos intraslacionales 𝑀𝑛𝑠 que resultan de las cargas que no producen una desviación
lateral significativa. Esto se realiza con un análisis elástico de primer orden considerando, para todos los
elementos, las rigideces dadas en la sección 6.6.3.1.1 del código ACI y que están resumidas en el acápite
10.4.6 del presente texto. En las combinaciones de carga que consideran viento se anula su efecto.
𝑈 = 1.2 ∙ 𝐷 + 1.6 ∙ (𝐿𝑟 𝑜 𝑆 𝑜 𝑅) + (1.0 ∙ 𝐿 𝑜 0.5 ∙ 𝑊)
Los momentos 𝑀𝑛𝑠 resultarán de 1.2 ∙ 𝐷 + 1.6 ∙ (𝐿𝑟 𝑜 𝑆 𝑜 𝑅) + 1.0 ∙ 𝐿
(1.3)
𝑈 = 1.2 ∙ 𝐷 + 1.0 ∙ 𝑊 + 1.0 ∙ 𝐿 + 0.5 ∙ (𝐿𝑟 𝑜 𝑆 𝑜 𝑅)
Los momentos 𝑀𝑛𝑠 resultarán de 1.2 ∙ 𝐷 + 1.0 ∙ 𝐿 + 0.5 ∙ (𝐿𝑟 𝑜 𝑆 𝑜 𝑅)
(1.4)
𝑈 = 0.9 ∙ 𝐷 + 1.0 ∙ 𝑊
(1.6)
Los momentos 𝑀𝑛𝑠 resultarán de 0.9 ∙ 𝐷
b) Momentos traslacionales magnificados 𝑠 · 𝑀𝑠 .
Calcular los momentos magnificados traslacionales 𝑠 · 𝑀𝑠 considerando alguno de los tres
procedimientos descritos en las secciones 6.8, 6.7 o 6.6 del código ACI. Para las combinaciones de carga
señaladas en a) los momentos 𝑀𝑠 resultan de las siguientes cargas:
𝑈 = 1.4 ∙ 𝐷
Los momentos 𝑀𝑠 resultarán de 1.4 · 𝐹 si 𝐹 está presente y produce desplazamiento lateral
(1.1)
𝑈 = 1.2 ∙ 𝐷 + 1.6 ∙ 𝐿 + 0.5 ∙ (𝐿𝑟 𝑜 𝑆 𝑜 𝑅)
(1.2)
Los momentos 𝑀𝑠 resultarán de 1.2 · 𝐹 + 1.6 · 𝐻 si 𝐹 y 𝐻 están presentes y ambas producen
desplazamiento lateral en el mismo sentido
434
Columnas esbeltas
𝑈 = 1.2 ∙ 𝐷 + 1.6 ∙ (𝐿𝑟 𝑜 𝑆 𝑜 𝑅) + (1.0 ∙ 𝐿 𝑜 0.5 ∙ 𝑊)
Los momentos 𝑀𝑠 resultarán de 0.5 ∙ 𝑊
(1.3)
𝑈 = 1.2 ∙ 𝐷 + 1.0 ∙ 𝑊 + 1.0 ∙ 𝐿 + 0.5 ∙ (𝐿𝑟 𝑜 𝑆 𝑜 𝑅)
Los momentos 𝑀𝑠 resultarán de 1.0 · 𝑊
(1.4)
𝑈 = 1.2 ∙ 𝐷 + 1.0 ∙ 𝐸 + 1.0 ∙ 𝐿 + 0.2 ∙ 𝑆
Los momentos 𝑀𝑠 resultarán de 1.0 · 𝐸
(1.5)
𝑈 = 0.9 ∙ 𝐷 + 1.0 ∙ 𝑊
(1.6)
Los momentos 𝑀𝑠 resultarán de 1.0 · 𝑊 + 1.6 ∙ 𝐻 si 𝐻 está presente y produce desplazamiento lateral
𝑈 = 0.9 ∙ 𝐷 + 1.0 ∙ 𝐸
(1.7)
Los momentos 𝑀𝑠 resultarán de 1.0 · 𝐸 + 1.6 · 𝐻 si 𝐻 está presente y produce desplazamiento lateral
Cuando la carga de viento 𝑊 corresponda a cargas de viento a nivel de servicio, se debe utilizar 1.6 ∙
𝑊 en vez de 1.0 ∙ 𝑊 en las ecuaciones (1.4) y (1.6) y 0.8 ∙ 𝑊 en lugar de 0.5 ∙ 𝑊 en la ecuación (1.3).
Cuando la carga de terremoto 𝐸 está basada en fuerzas sísmicas para el nivel de servicio, entonces se debe
utilizar 1.4 ∙ 𝐸 en vez de 1.0 ∙ 𝐸 en las ecuaciones de (1.5) y (1.7).
De acuerdo a las cargas que estén presentes en la estructura se seleccionan las posibles combinaciones y
de ahí se obtienen las cargas que producen desplazamiento lateral de la estructura.
En orden decreciente de precisión los procedimientos para calcular 𝑠 · 𝑀𝑠 son:
Cálculo de 𝒔 · 𝑴𝒔 utilizando un análisis de segundo orden.
La sección R6.7.1.2 del código ACI permite utilizar programas computacionales de segundo orden para
evaluar la magnificación de los momentos extremos y recomienda la subdivisión de los elementos en su
longitud para evaluar la magnificación entre los extremos.
Las rigideces 𝐸 · 𝐼 a ser utilizadas en un análisis elástico para diseño por resistencia deben representar las
rigideces de los elementos inmediatamente antes de la falla. Esto se hace más evidente en un análisis de
segundo orden donde se debe predecir las deformaciones a niveles cercanos a la carga última. Los valores
de 𝐸 · 𝐼 no deben estar basados completamente en la relación momento-curvatura para la sección más
cargada a lo largo del elemento sino en la relación momento-rotación en el extremo para el elemento
completo. En el acápite 10.4.6 del presente texto, que corresponde a lo indicado en la sección 6.6.3.1.1 del
código ACI, se presentan las rigideces de los elementos que pueden ser consideradas para un análisis de
segundo orden.
Cálculo de 𝒔 · 𝑴𝒔 utilizando un análisis directo 𝑷 · ∆.
El proceso iterativo de análisis 𝑃 · ∆ para el cálculo de momentos de segundo orden puede ser
representado por series infinitas cuya solución es mostrada en la ecuación (10.39) y en la sección
435
Diseño de estructuras de hormigón armado
6.6.4.6.2(a) del código ACI. Esta ecuación predice con bastante precisión los momentos de segundo orden
en pórticos no arriostrados hasta valores de 𝛿𝑠 menores o iguales a 1.5.
𝛿𝑠 =
1
≥ 1.0
1−𝑄
(10.39)
𝑄=
∑ 𝑃𝑢 ∙ ∆0
≤ 0.05
𝑉𝑢𝑠 ∙ ℓ𝑐
(10.28)
Donde:
𝑄 = Índice de estabilidad para un piso.
∑ 𝑃𝑢 = Sumatoria de todas las cargas verticales mayoradas en [𝑁] en un piso en concordancia con el
estado de cargas laterales para la cual éste valor es máximo.
𝑉𝑢𝑠 = Corte horizontal mayorado en un piso en [𝑁].
∆0 = Deflexión lateral en [𝑚𝑚] relativa entre la parte superior e inferior de un piso producida por 𝑉𝑢𝑠 ,
calculada utilizando un análisis elástico de primer orden y rigideces de los elementos que satisfacen la
tabla del acápite 10.4.6 del presente texto.
ℓ𝑐 = Longitud en [𝑚𝑚] del elemento sometido a compresión en un pórtico y que se mide de centro a
centro de los nudos en el pórtico.
Si el 𝛿𝑠 calculado por esta ecuación excede 1.5, entonces 𝑠 · 𝑀𝑠 debe ser calculado utilizando un análisis
de segundo orden o el magnificador de momentos para pórticos no arriostrados que se explica a
continuación.
Cálculo de 𝒔 · 𝑴𝒔 utilizando el magnificador de momentos para pórticos no arriostrados.
Para verificar los efectos de la estabilidad de un piso, el valor para 𝑠 es calculado como un valor
∑𝑃
promedio para todo el piso con base al uso de ∑ 𝑃𝑢. Este procedimiento refleja la interacción que existe
𝑐
entre todas las columnas de un mismo piso en los efectos 𝑃 · ∆ debido a que el desplazamiento lateral de
todas las columnas en el piso debería ser el mismo en la ausencia de desplazamientos torsionales alrededor
de un eje vertical intermedio. El código ACI en su sección 6.6.4.6.2(b) permite la utilización del
magnificador de momentos.
𝛿𝑠 =
1
≥ 1.0
∑ 𝑃𝑢
1−
0.75 ∙ ∑ 𝑃𝑐
(10.40)
Donde:
∑ 𝑃𝑢 = Sumatoria de todas las cargas verticales mayoradas en un piso.
∑ 𝑃𝑐 = Sumatoria de las cargas críticas de pandeo de todas las columnas que resisten desplazamiento
lateral en un piso.
𝑃𝑐 =
436
𝜋 2 ∙ (𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓
(𝑘 ∙ ℓ𝑢 )2
(10.17)
Columnas esbeltas
Donde:
ℓ𝑢 = Longitud no arriostrada de la columna en compresión, debe tomarse como la distancia libre entre
pisos.
𝑘 = Factor de longitud efectiva para columnas en pórticos no arriostrados (𝑘 > 1).
La rigidez (𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 de la columna a ser utilizada para la ecuación (10.17) es calculada utilizando las
ecuaciones (10.19), (10.20) o (10.21) y el valor de 𝛽𝑑𝑠 se calcula utilizando la ecuación (10.25). Pero,
se debe tomar en cuenta que en la mayoría de las estructuras no arriostradas, el corte en los pisos se debe
al viento o sismos que son cargas temporales y no sostenidas por lo que 𝛽𝑑𝑠 es generalmente cero.
c) Combinar los momentos intraslacionales no magnificados 𝑀𝑛𝑠 con los momentos traslacionales
magnificados 𝑠 · 𝑀𝑠 .
Se suman los momentos intraslacionales no magnificados 𝑀𝑛𝑠 con los momentos traslacionales
magnificados 𝑠 · 𝑀𝑠 . Esta adición se realiza en cada uno de los extremo de la columna en análisis.
𝑀1 = 𝑀1𝑛𝑠 + 𝑠 · 𝑀1𝑠
(10.37)
𝑀2 = 𝑀2𝑛𝑠 + 𝑠 · 𝑀2𝑠
(10.38)
El valor más grande que resulta de la suma de los momentos de extremo resultantes es llamado 𝑀2 y el
menor 𝑀1 .
d) Verificar si hay columnas que pueden pandear en el modo intraslacional.
Es factible que una columna individual, dentro de un sistema estructural no arriostrado, pueda pandear en
el modo intraslacional, eso significa sin que sus extremos sufran desplazamiento alguno. En ese sentido,
toda columna que sea muy esbelta y que forme parte de un sistema no arriostrado debe también ser
verificada en el modo intraslacional considerando los criterios expuestos en el acápite 10.7 del presente
texto.
e) Verificar si el pandeo traslacional puede ocurrir bajo cargas gravitacionales solamente.
La posibilidad de que la estructura pudiese presentar una inestabilidad lateral cuando solamente actuaban
cargas gravitacionales era investigada de acuerdo a las recomendaciones de la sección 10.13.6 de la
edición 2005 del código ACI. Sin embargo, en la sección 6.2.6 de la presente edición se indica que los
momentos de segundo orden no deben exceder en 1.4 veces los momentos de primer orden y con ello se
hace innecesaria la verificación indicada por el código en la edición 2005.
10.10. Momento mínimo
El código ACI especifica un momento mínimo 𝑀2𝑚𝑖𝑛 que debe ser considerado en el diseño de columnas
en pórticos arriostrados, pero no así en el diseño de columnas en pórticos no arriostrados. Esto es
únicamente un problema para las combinaciones de carga que solamente consideran cargas
437
Diseño de estructuras de hormigón armado
gravitacionales actuando en un pórtico no arriostrado ya que estas combinaciones no incluyen 𝑠 · 𝑀𝑠 ; por
ello, para estas combinaciones se diseñará para el mayor de 𝑀2 y 𝑀2𝑚𝑖𝑛 .
Ejemplo. Los tres primeros pisos de un edificio no arriostrado son mostrados en la siguiente figura. El
pórtico consiste en columnas exteriores de 50 [𝑐𝑚]𝑥50 [𝑐𝑚] y columnas interiores de 60 [𝑐𝑚]𝑥60 [𝑐𝑚] y
vigas de 90 [𝑐𝑚] de ancho por 60 [𝑐𝑚] de altura. La altura de las columnas de eje a eje de las vigas es de
490 [𝑐𝑚]. Para las columnas del segundo piso, los esfuerzos axiales, momentos flectores y esfuerzos
cortantes han sido calculados para las cargas de servicio y son los que se muestran en la tabla de abajo.
Solicitación
Columnas A2 y E2
Columnas B2 y D2
Columna C2
1548
3367
3060
𝑃𝐿
[𝑘𝑁]
[𝑘𝑁]
609
1366
1312
𝑃𝑊 o
[𝑘𝑁]
± 85
± 40
0
𝑉𝑊
[𝑘𝑁]
29
60
60
𝑀2𝐷
𝑀2𝐿
[𝑘𝑁 · 𝑚]
[𝑘𝑁 · 𝑚]
218
𝑀2𝑊
[𝑘𝑁 · 𝑚]
142
𝑀1𝐷
[𝑘𝑁 · 𝑚]
− 46
𝑀1𝐿
[𝑘𝑁 · 𝑚]
146
𝑀1𝑊
[𝑘𝑁 · 𝑚]
− 133
𝑃𝐷
4.9 [𝑚]
3
4.9 [𝑚]
2
4.9 [𝑚]
1
42
Col. B2
A
B
Col. D2
C
4 vanos de 12.2 [𝑚] cada uno
438
D
E
Columnas esbeltas
Mediante un análisis matricial se obtiene que la deflexión relativa del segundo piso es de 6 [𝑚𝑚] para el
corte total producido por una carga de viento de servicio de 238 [𝑘𝑁] y utilizando para la rigidez 𝐸 · 𝐼, de
todos los elementos, los valores especificados en la sección 6.6.3.1.1 del código ACI.
Diseñar las columnas B2 y D2 utilizando para el cálculo de 𝑠 · 𝑀𝑠 las ecuaciones del análisis directo 𝑃 · ∆
y del magnificador de momentos para pórticos no arriostrados. Comentar los resultados.
Propiedades de los materiales: 𝑓𝑐′ = 30 [𝑀𝑃𝑎] y 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
a)
Determinar si el piso está arriostrado utilizando el índice de estabilidad.
Inicialmente se verifica si es necesario realizar un análisis de pórtico intraslacional o si se puede
considerar al piso como arriostrado. De acuerdo a la sección 6.6.4.3(b) del código ACI, se calcula el
índice de estabilidad 𝑄 y si éste es menor a 0.05, el pórtico es considerado como arriostrado y solamente
es necesaria su verificación en el modo intraslacional. Por otro lado, si 𝑄 es mayor a 0.05, el pórtico es
considerado como no arriostrado y su verificación debe ser realizada en los modos traslacional e
intraslacional, cuando corresponda.
Corte último 𝑉𝑢𝑠 en el piso.
𝑉𝑢𝑠 = 1.6 · 𝑊 = 1.6 · 238 = 380.80 [𝑘𝑁]
Deflexión ∆0 correspondiente a 𝑉𝑢 .
∆0 = 1.6 · 6 = 9.6 [𝑚𝑚]
Carga axial total ∑ 𝑃𝑢 en el piso debido a la combinación de carga (1.4).
∑ 𝑃𝑢 = 1.2 · 𝐷 + 1.0 · 𝐿 = 1.2 · (2 · 1548 + 2 · 3367 + 3060) + 1.0 · (2 · 609 + 2 · 1366 + 1312)
∑ 𝑃𝑢 = 20730 [𝑘𝑁]
Nota: Las cargas axiales producidas por el viento no se consideran porque se anulan.
Índice de estabilidad 𝑄 para el piso en consideración.
𝑄=
∑ 𝑃𝑢 ∙ ∆0
20730 ∙ 9.6
=
= 0.107 > 0.05
380.80 ∙ 4900
𝑉𝑢𝑠 ∙ ℓ𝑐
Como 𝑄 > 0.05, el piso es considerado como no arriostrado y los efectos de esbeltez deben ser tomados
en cuenta para el cálculo y diseño de las columnas de ese nivel. Por tanto, se debe considerar el modo
intraslacional y el modo traslacional en el análisis de las columnas.
b)
Verificar las columnas en el modo intraslacional.
Cargas gravitacionales
439
Diseño de estructuras de hormigón armado
Todas las columnas en pórticos traslacionales deben ser primero verificadas en el modo intraslacional,
bajo cargas gravitacionales solamente.
Columnas B2 y D2.
𝑃𝑢 = 1.2 · 𝑃𝐷 + 1.6 · 𝑃𝐿 = 1.2 · 3367 + 1.6 · 1366 = 6226.0 [𝑘𝑁]
𝑀1𝑢 = 1.2 · 𝑀1𝐷 + 1.6 · 𝑀1𝐿 = 1.2 · (−46) + 1.6 · 146 = 178.4 [𝑘𝑁 · 𝑚]
𝑀2𝑢 = 1.2 · 𝑀2𝐷 + 1.6 · 𝑀2𝐿 = 1.2 · (42) + 1.6 · 218 = 399.2 [𝑘𝑁 · 𝑚]
Se verifica la esbeltez de las columnas en el modo intraslacional con el objeto de determinar si los efectos
de segundo orden en este modo deben ser considerados. Se asume inicialmente el valor de 1 para 𝑘, con lo
que se estaría por el lado de la seguridad puesto que el valor de uno es el máximo valor que puede tener 𝑘
en columnas de pórticos arriostrados.
𝑘 ∙ ℓ𝑢 1 ∙ (4.9 − 0.6)
=
= 23.89
𝑟
0.3 ∙ 0.6
34 + 12 ∙
Como
𝑀1𝑢
178.4
= 34 + 12 ∙ (−
) = 28.64
𝑀2𝑢
399.2
𝑘∙ℓ𝑢
= 23.89 ≤ 28.64 no se necesita considerar efectos de esbeltez en el modo intraslacional. Por
𝑟
lo tanto, las columnas B2 y D2 deben ser diseñadas para soportar una carga axial última 𝑃𝑢 de
6226.0 [𝑘𝑁] y un momento último 𝑀𝑢 de 399.2 [𝑘𝑁 · 𝑚].
c)
Verificar las columnas en el modo traslacional.
Cargas gravitacionales y viento
Tres combinaciones de carga deben ser incluidas cuando se considera el viento.
𝑈 = 1.2 ∙ 𝐷 + 1.6 ∙ (𝐿𝑟 𝑜 𝑆 𝑜 𝑅) + (1.0 ∙ 𝐿 𝑜 0.5 ∙ 𝑊)
𝑈 = 1.2 ∙ 𝐷 + 1.0 ∙ 𝑊 + 1.0 ∙ 𝐿 + 0.5 ∙ (𝐿𝑟 𝑜 𝑆 𝑜 𝑅)
𝑈 = 0.9 ∙ 𝐷 + 1.0 ∙ 𝑊
(1.3)
(1.4)
(1.6)
Se verifica la esbeltez de las columnas en el modo traslacional con el objeto de determinar si los efectos de
segundo orden en este modo deben ser considerados. Para la determinación de 𝑘, se debe tomar en cuenta
la rigidez rotacional de los nudos extremos de la columna y para ello se calcula primero el Ψ𝑠𝑢𝑝 y Ψ𝑖𝑛𝑓
para utilizar el nomograma de columnas en el modo traslacional.
1
∙ 0.6 ∙ 0.63 = 0.0108 [𝑚4 ]
12
1
𝐼𝑐 =
∙ 0.9 ∙ 0.63 = 0.0162 [𝑚4 ]
12
𝐼𝑐 =
440
Columnas esbeltas
Para el cálculo de Ψ𝑠𝑢𝑝 y Ψ𝑖𝑛𝑓 , las inercias deben ser modificadas de acuerdo a las recomendaciones de la
sección 6.6.3.1.1 del código ACI.
0.0108
∙ 0.7
490
Ψ𝑠𝑢𝑝 =
= 3.32
0.0162
2∙
∙
0.35
1220
2∙
Ψ𝑖𝑛𝑓 = Ψ𝑠𝑢𝑝 = 3.32
𝑘 = 1.90
𝑘 ∙ ℓ𝑢 1.90 ∙ (4.90 − 0.6)
=
= 45.39
𝑟
0.3 ∙ 0.6
Columnas B2 y D2
Como
𝑘∙ℓ𝑢
= 45.39 > 22 se debe considerar efectos de esbeltez en el modo traslacional. Los momentos
𝑟
ponderados que resultan de las cargas verticales son:
𝑀1𝑛𝑠 = 1.2 · 𝑀1𝑐𝑚 + 1.0 · 𝑀1𝑐𝑣 = 1.2 · (−46) + 1.0 · 146 = 90.8 [𝑘𝑁 · 𝑚]
𝑀2𝑛𝑠 = 1.2 · 𝑀2𝑐𝑚 + 1.0 · 𝑀2𝑐𝑣 = 1.2 · (42) + 1.0 · 218 = 268.4 [𝑘𝑁 · 𝑚]
441
Diseño de estructuras de hormigón armado
El magnificador de momentos afecta los momentos por carga horizontal.
𝑀1𝑠 = 1.6 · 𝑀1𝑊 = 1.6 · (−133) = − 212.8 [𝑘𝑁 · 𝑚]
𝑀2𝑠 = 1.6 · 𝑀2𝑊 = 1.6 · (142) = 227.2 [𝑘𝑁 · 𝑚]
Cálculo de 𝛿𝑠 · 𝑀𝑠 utilizando un análisis directo de 𝑃 · ∆.

1
𝛿𝑠 =
≥ 1
1−𝑄
Límites del magnificador de momentos 1.0 ≤  ≤ 1.4.
𝛿𝑠 =
1
= 1.12
1 − 0.107
Como 𝛿𝑠 ≥ 1.0, entonces 𝛿𝑠 ∙ 𝑀𝑠 ≥ 𝑀𝑠 .
𝛿𝑠 ∙ 𝑀1𝑠 = 1.12 ∙ (−212.8) = −238.34 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
𝛿𝑠 ∙ 𝑀2𝑠 = 1.12 ∙ (227.2) = 254.46 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
Cálculo de 𝛿𝑠 · 𝑀𝑠 utilizando el magnificador de momentos para pórticos no arriostrados.
𝛿𝑠 =
1
≥1
∑ 𝑃𝑢
1−
0.75 ∙ ∑ 𝑃𝑐
Límites del magnificador de momentos 1.0 ≤  ≤ 1.4.
𝛿𝑠 ∙ 𝑀𝑠 ≥ 𝑀𝑠
∑ 𝑃𝑢 = 1.2 · 𝐷 + 1.0 · 𝐿 = 1.2 · (2 · 1548 + 2 · 3367 + 3060) + 1.0 · (2 · 609 + 2 · 1366 + 1312)
∑ 𝑃𝑢 = 20730 [𝑘𝑁]
Columnas A2 y E2.
𝐼𝑐 = 0.7 ∙ 𝐼𝑔 = 0.7 ∙
1
∙ 0.54 = 3.65 ∙ 10−3 [𝑚4 ]
12
𝐼𝑐 3.65 ∙ 10−3
=
= 7.45 ∙ 10−4 [𝑚3 ]
ℓ𝑐
4.9
442
Columnas esbeltas
Columnas B2, C2 y D2.
𝐼𝑐 = 0.7 ∙ 𝐼𝑔 = 0.7 ∙
1
∙ 0.64 = 7.56 ∙ 10−3 [𝑚4 ]
12
𝐼𝑐 7.56 ∙ 10−3
=
= 1.54 ∙ 10−3 [𝑚3 ]
ℓ𝑐
4.9
Vigas.
𝐼𝑏 = 0.35 ∙ 𝐼𝑔 = 0.35 ∙
1
∙ 0.9 ∙ 0.63 = 5.67 ∙ 10−3 [𝑚4 ]
12
𝐼𝑏 5.67 ∙ 10−3
=
= 4.65 ∙ 10−4 [𝑚3 ]
ℓ𝑏
12.2
Columnas A2 y E2.
Ψ𝑠𝑢𝑝 =
2 ∙ 7.44 ∙ 10−4
= 3.20
4.65 ∙ 10−4
Ψ𝑖𝑛𝑓 = 3.20
𝑘 = 1.87
Calculo de la rigidez.
Para viento 𝛽𝑑 = 0
(𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 = 0.4 · 𝐸𝑐 · 𝐼𝑔
𝐸𝑐 = 4700 ∙ √𝑓𝑐′ = 4700 ∙ √30 = 25743 [𝑀𝑃𝑎]
1
𝐼𝑔 =
∙ 5004 = 5208333333 [𝑚𝑚4 ]
12
(𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 = 0.4 · 25743 · 5208333333 = 5.36 ∙ 1013 [𝑁 ∙ 𝑚𝑚2 ]
𝑃𝑐 =
𝜋 2 ∙ (𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓
𝜋 2 ∙ 5.36 ∙ 1013
=
= 8182 [𝑘𝑁]
(𝑘 ∙ ℓ𝑢 )2
(1.87 ∙ 4300)2 ∙ 1000
443
Diseño de estructuras de hormigón armado
Columnas A2 y E2
Columnas B2, C2 y D2.
Ψ𝑠𝑢𝑝 =
2 ∙ 1.54 ∙ 10−3
= 3.31
2 ∙ 4.65 ∙ 10−4
Ψ𝑠𝑢𝑝 = Ψ𝑖𝑛𝑓 = 3.31
𝑘 = 1.90
Calculo de la rigidez.
Para viento 𝛽𝑑𝑠 = 0
(𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 = 0.4 · 𝐸𝑐 · 𝐼𝑔
𝐸𝑐 = 4700 ∙ √30 = 25743 [𝑀𝑃𝑎]
𝐼𝑔 =
444
1
∙ 6004 = 10800000000 [𝑚𝑚4 ]
12
Columnas esbeltas
(𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 = 0.4 · 25743 · 10800000000 = 1.11 ∙ 1014 [𝑁 ∙ 𝑚𝑚2 ]
𝑃𝑐 =
𝜋 2 ∙ (𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓
𝜋 2 ∙ 1.11 ∙ 1014
=
= 16413 [𝑘𝑁]
(𝑘 ∙ ℓ𝑢 )2
(1.90 ∙ 4300)2 ∙ 1000
∑ 𝑃𝑐 = 2 · 8182 + 3 · 16413 = 65603 [𝑘𝑁]
Finalmente los momentos magnificados son:
1
𝛿𝑠 =
= 1.73 > 1.4
20730
1−
0.75 ∙ 65603
Como 𝛿𝑠 > 1.4, no es aceptable.
𝛿𝑠 ∙ 𝑀1𝑠 = 1.73 ∙ (−212.8) = −368.14 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
𝛿𝑠 ∙ 𝑀2𝑠 = 1.73 ∙ (227.2) = 393.06 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
El segundo procedimiento da un valor de 𝛿𝑠 muy conservador, por lo que para este ejercicio no se tomará
en cuenta para el diseño de las columnas.
Los momentos totales magnificados se obtienen sumando los momentos últimos intraslacionales con los
momentos últimos magnificados traslacionales.
𝑀1 = 𝑀1𝑛𝑠 + 𝑠 · 𝑀1𝑠 = 90.8 − 238.34 = −147.54 [𝑘𝑁 · 𝑚]
𝑀2 = 𝑀2𝑛𝑠 + 𝑠 · 𝑀2𝑠 = 268.4 + 254.46 = 522.86 [𝑘𝑁 · 𝑚]
La carga axial en la columna B2 considerando la combinación de cargas con viento es:
𝑃𝑢 = 1.2 · 𝑃𝐷 + 1.6 · 𝑃𝑊 + 1.0 · 𝑃𝐿 = 1.2 · 3367 + 1.6 · 40 + 1.0 · 1366 = 5470.40 [𝑘𝑁]
En resumen las columnas B2 y D2 se deben diseñar para las siguientes solicitaciones.
Modo Intraslacional.
𝑃𝑢 = 6226.0 [𝑘𝑁]
𝑀𝑢 = 399.2 [𝑘𝑁 · 𝑚]
Modo Traslacional.
𝑃𝑢 = 5470.4 [𝑘𝑁]
𝑀𝑢 = 522.9 [𝑘𝑁 · 𝑚]
445
Diseño de estructuras de hormigón armado
d)
Seleccionar el refuerzo de acero.
Para hallar el refuerzo de acero se elaboran diagramas de interacción para una columna cuadrada de
600 [𝑚𝑚]𝑥600 [𝑚𝑚] con diferentes distribuciones y diámetros de barras de acero y finalmente se
selecciona la columna que tiene 16𝜙30 porque cumple con las solicitaciones requeridas.
Columna B2 y D2:
600𝑥600 con 16𝜙30
600
446
Columnas esbeltas
DIAGRAMA DE INTERACCION
COLUMNA DE 600x600 CON 16f30
8000
(399, 6226)
6000
(523, 5470)
Resistencia Nominal de Diseño
4000
fPn [kN]
2000
0
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
-2000
-4000
-6000
fMn [kN·m]
447
Diseño de estructuras de hormigón armado
10.11. Problemas propuestos
1. La columna de la figura se extiende desde el nivel de fundación hasta el segundo nivel de un pórtico
arriostrado con una longitud no arriostrada de 6.25 [𝑚]. La columna se flexa en doble curvatura y el
factor de longitud efectiva calculado del nomograma respectivo es 𝑘 = 0.90. Un análisis estructural
de primer orden indica las siguientes solicitaciones provenientes de las cargas de servicio:
Carga muerta:
𝑃 = 670 [𝑘𝑁]
𝑀𝑠𝑢𝑝 = 39.3 [𝑘𝑁 · 𝑚]
𝑀𝑖𝑛𝑓 = 19.7 [𝑘𝑁 · 𝑚]
Carga viva:
𝑃 = 400 [𝑘𝑁]
𝑀𝑠𝑢𝑝 = 67.8 [𝑘𝑁 · 𝑚]
𝑀𝑖𝑛𝑓 = 33.9 [𝑘𝑁 · 𝑚]
Propiedades de los materiales:
𝑓𝑐′ = 30 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
Utilizando el método del magnificador de momentos, determinar si la columna es adecuada para resistir
las solicitaciones.
𝑃
𝑀𝑖𝑛𝑓
380
y
305
380
ℓ𝑢 = 6250
𝐸𝜙10
6𝜙30
y
Sección A - A
Dimensiones en [mm]
𝑀𝑠𝑢𝑝
𝑃
2. Los tres primeros pisos de un edificio son mostrados en la figura. El pórtico consiste en columnas
exteriores de 50𝑥50 [𝑐𝑚2 ] y columnas interiores de 60𝑥60 [𝑐𝑚2 ] y vigas de 90 [𝑐𝑚] de ancho por
60 [𝑐𝑚] de altura. La altura de las columnas de eje a eje de las vigas es de 490 [𝑐𝑚]. Para las
columnas del segundo piso, los esfuerzos axiales, momentos flectores y esfuerzos cortantes han sido
calculados para las cargas de servicio y son los que se muestran en la tabla de abajo.
Solicitación
448
Columnas A2 y E2
Columnas B2 y D2
Columna C2
𝑃𝐷
𝑘𝑁
1548
3367
3060
𝑃𝐿
𝑘𝑁
609
1366
1312
Columnas esbeltas
Solicitación
Columnas A2 y E2
Columnas B2 y D2
Columna C2
𝑃𝑊
𝑘𝑁
± 85
± 40
0
𝑉𝑊
𝑘𝑁
29
60
60
𝑀2𝐷
𝑘𝑁 ∙ 𝑚
42
𝑀2𝐿
𝑘𝑁 ∙ 𝑚
218
𝑀2𝑊
𝑘𝑁 ∙ 𝑚
142
𝑀1𝐷
𝑘𝑁 ∙ 𝑚
− 46
𝑀1𝐿
𝑘𝑁 ∙ 𝑚
146
𝑀1𝑊
𝑘𝑁 ∙ 𝑚
− 133
Un análisis matricial para el corte total producido por un viento de servicio de 238 [𝑘𝑁], utilizando
valores de 𝐼 y 𝐸 especificados en la sección 10.11.1 del código ACI, indica que la deflexión relativa del
segundo piso es de 6 [𝑚𝑚]. Diseñar las columnas B2 y D2 utilizando para el cálculo de 𝑠 ∙ 𝑀𝑠 las
ecuaciones del análisis directo 𝑃 − ∆ y del magnificador de momentos para pórticos no arriostrados.
Comentar los resultados.
Propiedades de los materiales: 𝑓𝑐′ = 30 [𝑀𝑃𝑎] y 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
4.9 [𝑚]
3
4.9 [𝑚]
2
4.9 [𝑚]
1
Col. B2
A
B
Col. D2
C
D
E
4 vanos de 12.2 [𝑚] cada uno
449
CAPÍTULO 11
VIGAS – RESISTENCIA A TORSIÓN
11. Vigas – Resistencia a torsión
11.1. Introducción
En general los elementos de hormigón armado están sujetos a momentos flectores y fuerzas cortantes
asociados a ellos. En el caso de columnas, cargas axiales también están presentes. Algunas veces fuerzas
de torsión aparecen en los elementos de hormigón armado que tienden a girar a los elementos alrededor de
su eje longitudinal. Las fuerzas de torsión rara vez actúan solitariamente, generalmente actúan en forma
conjunta con los momentos flectores, fuerzas cortantes y a veces con fuerzas de compresión también.
Por muchos años, la torsión fue tomada como un efecto secundario y no fue considerada explícitamente en
el diseño, su efecto era absorbido dentro del factor de seguridad global de estructuras calculadas
conservadoramente. Con el avance de la tecnología y con nuevos procedimientos refinados de diseño, la
consideración de la torsión es necesaria debido a que los factores de seguridad han sido disminuidos ya
que se conoce con mayor precisión la capacidad del elemento. Además, con el procedimiento de diseño de
los factores de carga y minoración de las resistencias las dimensiones de los elementos de hormigón
armado han disminuido por lo que su capacidad inherente para resistir torsión también ha disminuido. El
diseño de estructuras especiales como puentes curvos, escaleras helicoidales, etc., hace necesario
considerar la torsión ya que ésta es muy importante en el comportamiento de estas estructuras.
Existen dos tipos de torsión: primaria y secundaria. La torsión primaria es también llamada torsión de
equilibrio o torsión estáticamente determinada y existe cuando las cargas externas no tienen otros caminos
alternativos para ser resistidas más que por torsión. Un ejemplo claro es una losa en voladizo.
La torsión secundaria es también llamada torsión de compatibilidad o torsión estáticamente indeterminada
y se presenta por requerimientos de continuidad, en otras palabras por compatibilidad de deformaciones
entre partes adyacentes de una estructura. Para este caso, los momentos de torsión no pueden ser hallados
considerando solamente las ecuaciones de equilibrio. Si en el diseño no se toma en cuenta la continuidad,
los elementos presentaran un extenso agrietamiento, pero generalmente no colapsaran. Un reajuste interno
451
Diseño de estructuras de hormigón armado
de las fuerzas es usualmente posible y las fuerzas hallan otras formas de equilibrio. Un ejemplo de este
tipo de torsión es hallado en las vigas perimetrales de losas.
𝑇
𝑇
Fig. 11.1. Ejemplo de torsión primaria en una losa en volado
𝑇
𝑇
Diagrama de momentos en la losa si la
viga de borde es torsionalmente rígida
Diagrama de momentos en la losa si la
viga de borde es torsionalmente flexible
Fig. 11.2. Ejemplo de torsión secundaria en una losa de piso con vigas
452
Vigas – Resistencia a torsión
Si la viga perimetral es rígida a la torsión y tiene suficiente armadura, los momentos flectores en la losa se
aproximaran a aquellos que corresponden a un soporte exterior rígido. Si por el otro lado la viga
perimetral es flexible a la torsión y no tiene un refuerzo adecuado, se presentaran fisuras en la viga que
reducirán su rigidez a la torsión y los momentos flectores en la losa se aproximaran a aquellos que
corresponden a un soporte exterior articulado. Si la losa es diseñada para resistir el diagrama de momentos
alterado, no ocurrirá el colapso de la estructura.
El código ACI permite despreciar los efectos de la torsión secundaria cuando las tensiones por torsión son
pequeñas y estados de equilibrio alternativo son posibles. Por otro lado, cuando la resistencia a torsión es
esencial en el diseño como en el caso de vigas curvas, se debe realizar un análisis especial y reforzar la
viga para los efectos de torsión.
11.2. Torsión en elemento de hormigón sin refuerzo
Si el material es elástico la teoría de torsión de St. Venant indica que tensiones de corte producidas por
torsión están distribuidas en la sección transversal de la forma que se muestra en la figura 11.3 (b).
𝑥
𝑇
𝜎 = −𝜏
𝜎=𝜏
𝜏
𝜎 = −𝜏
𝜏
𝑇
𝜎=𝜏
𝑦
𝜏𝑚𝑎𝑥
𝜏
𝜏
a) Tensiones de corte torsionales 𝜏 y
tensiones principales y torsionales 𝜎
b) Tensiones de corte torsionales
en la sección transversal
Fig. 11.3. Distribución de tensiones en una viga de material elástico
11.3. Tensiones causadas por torsión
Las tensiones de corte más grandes se presentan en la mitad de las caras más anchas. Si el material se
deforma inelásticamente, como se espera que ocurra con el hormigón, la distribución de tensiones será
parecida a la que se muestra con línea segmentada.
453
Diseño de estructuras de hormigón armado
Tensiones de corte en pares actúan en un elemento en o cerca de la superficie más ancha como se ve la
figura 11.3 (a). Las tensiones principales de compresión y tracción corresponden a un elemento a 45° de la
dirección del corte cerca de las superficies de las caras. Estas tensiones inclinadas son de la misma clase
que aquellas causadas por esfuerzos de corte transversales.
Cuando la tensión diagonal excede la resistencia a la tracción del hormigón, una fisura se forma en el
punto más débil y se extiende inmediatamente a través del elemento. El valor del momento de torsión que
corresponde a la formación de esta fisura diagonal es conocido como el torque de agrietamiento 𝑇𝑐𝑟 .
Existen varias maneras de analizar elementos sujetos a torsión. La distribución no lineal de tensiones de la
figura 11.3 (b) es analizada mejor utilizando la analogía del enrejado espacial en un tubo de pared delgada.
Utilizando esta analogía, las tensiones de corte son asumidas constantes en un espesor finito 𝑡 alrededor
del perímetro del elemento, permitiendo que el elemento sea representado por un tubo equivalente como
se muestra en la siguiente figura. Dentro de las paredes del tubo, el torque es resistido por un flujo de corte
𝑞 que tiene unidades de fuerza por longitud. En la analogía, 𝑞 es asumido constante alrededor del
perímetro del tubo.
𝑇
𝑞
𝑡
Flujo de corte
𝑇
𝑞
𝐴𝑜
𝑦𝑜
𝑥𝑜
𝑥𝑜 y 𝑦𝑜 son medidos desde los
centros del espesor de la pared
Fig. 11.4. Flujo de corte en un tubo de pared delgada sujeto a torsión
Sumando momentos alrededor del eje del tubo se halla la relación entre el torque y el flujo de corte. Pero
el producto 𝑥𝑜 · 𝑦𝑜 representa el área delimitada por el flujo de corte que puede ser expresada como 𝐴𝑜 .
𝑇 = 2 ∙ 𝑞 ∙ 𝑥𝑜 ∙
𝑦𝑜
𝑥𝑜
+ 2 ∙ 𝑞 ∙ 𝑦𝑜 ∙
= 2 ∙ 𝑞 ∙ 𝑥𝑜 ∙ 𝑦𝑜
2
2
(11.1)
𝑇 = 2 ∙ 𝑞 ∙ 𝐴𝑜
(11.2)
𝑇
2 ∙ 𝐴𝑜
(11.3)
𝑞=
454
Vigas – Resistencia a torsión
Nota: Como 𝐴𝑜 es un área que viene de la sumatoria del momento del flujo de corte, entonces es
aplicable tanto para secciones huecas como para secciones sólidas.
Para un espesor de pared 𝑡, la tensión unitaria de corte que actúa dentro de las paredes del tubo es:
𝜏=
𝑇
𝑞
=
𝑡 2 ∙ 𝐴𝑜 ∙ 𝑡
(11.4)
Como se muestra en la figura 11.3 (a), la tensión principal de tracción es 𝜎 = 𝜏. Por lo tanto, el hormigón
se fisura solamente cuando 𝜎 = 𝜏 = 𝑓𝑡′ (resistencia a la tracción de hormigón). Considerando que el
hormigón está bajo esfuerzos biaxiales de tracción y compresión, 𝑓𝑡′ puede ser calculado
conservadoramente como 0.33 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ en vez del valor típicamente usado para el módulo de rotura del
hormigón que es tomado como 𝑓𝑟 = 0.62 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ y por tanto, el momento de torsión que produce la
primera fisura tiene el siguiente valor:
𝑇𝑐𝑟 = 𝜏 ∙ 2 ∙ 𝐴𝑜 ∙ 𝑡 = 0.33 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ (2 ∙ 𝐴𝑜 ∙ 𝑡)
(11.5)
El área 𝐴𝑜 representa el área encerrada por el flujo de corte y debe ser una fracción del área encerrada por
el perímetro exterior de la sección transversal total de hormigón 𝐴𝑐𝑝 . El valor de 𝑡, en general, puede ser
aproximado como una fracción de la relación 𝐴𝑐𝑝 /𝑝𝑐𝑝 donde 𝑝𝑐𝑝 es el perímetro de la sección transversal.
Para elementos sólidos de sección transversal rectangular, el valor de 𝑡 es aproximadamente de 1/6 a 1/4
de la menor dimensión.
1
𝑏
Si 𝑡 = 4 ∙ 𝑏 y la sección tiene un ℎ = 0.5 entonces,
𝑏
𝑏
3
ℎ
3 7 21
𝐴𝑜 = (𝑏 − ) ∙ (ℎ − ) = 𝑏 ∙ ∙ (ℎ − ) = 𝑏 ∙ ℎ ∙ ∙ =
∙𝑏∙ℎ
4
4
4
8
4 8 32
𝐴𝑐𝑝 = 𝑏 ∙ ℎ
𝐴𝑜 =
21
∙ 𝑏 ∙ ℎ ≈ 0.66 ∙ 𝑏 ∙ ℎ = 0.66 ∙ 𝐴𝑐𝑝
32
3 𝐴
Para el mismo elemento, 𝑡 se aproxima a 4 ∙ 𝑝𝑐𝑝 entonces,
𝑐𝑝
3 𝐴𝑐𝑝
𝑇𝑐𝑟 = 0.33 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ (2 ∙ 𝐴𝑜 ∙ 𝑡) = 0.33 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ (2 ∙ 0.66 ∙ 𝐴𝑐𝑝 ∙ ∙
)
4 𝑝𝑐𝑝
𝐴2𝑐𝑝
′
𝑇𝑐𝑟 = 0.33 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐 ∙ (
) [𝑁 ∙ 𝑚𝑚]
𝑝𝑐𝑝
(11.6)
455
Diseño de estructuras de hormigón armado
Esta ecuación da una estimación razonable del torque que produce el agrietamiento en secciones sólidas o
huecas de elementos de hormigón armado sin importar la forma de su sección transversal.
11.4. Torsión en elementos de hormigón armado
Para resistir momentos de torsión mayores a la torsión de fisuración 𝑇𝑐𝑟 , el elemento de hormigón armado
debe ser reforzado con estribos cerrados no muy espaciados y barras longitudinales. Ensayos de
laboratorio han demostrado que las barras longitudinales por si solas aumentan muy poco la resistencia de
la torsión (menos de 15%). Esto puede entenderse ya que la única manera en la que las barras
longitudinales pueden contribuir a la resistencia a la torsión es por una acción de barra trabada, la cual es
particularmente débil y no confiable si las fisuras longitudinales a lo largo de las barras no son restringidas
mediante refuerzo transversal.
𝑇
ℎ
𝑦𝑜
𝑥𝑜
𝑇

𝑏
Refuerzo torsional
Fisuras producidas por torsión
Fig. 11.5. Efectos de la torsión en elementos de hormigón armado
Cuando un elemento de hormigón armado tiene refuerzo adecuado, éste se agrietará para un momento de
torsión igual o un poco mayor al 𝑇𝑐𝑟 donde las fisuras formarán un patrón helicoidal. Después del
agrietamiento, la resistencia a torsión del hormigón se reduce a la mitad de la de un elemento sin
agrietamiento, por lo tanto, el refuerzo de acero debe resistir la diferencia de momento de torsión.
La redistribución de la resistencia interna puede observarse en la siguiente figura que muestra la
interacción torque – giro. En la figura 11.6, el giro 𝛽 es un giro continuo para el torque que produce el
agrietamiento 𝑇𝑐𝑟 hasta que las fuerzas internas se transfieren desde el hormigón hasta el acero. A medida
que la sección se aproxima a su resistencia última, la capa de hormigón por afuera de los estribos se
desprende y cae contribuyendo menos a la resistencia del elemento.
456
Vigas – Resistencia a torsión
Ensayos de laboratorio han demostrado que después del agrietamiento, el área encerrada por el flujo de
corte está definida por las dimensiones 𝑥𝑜 y 𝑦𝑜 que son medidas entre líneas centrales del refuerzo más
exterior (estribos) en vez de la línea central de las paredes del tubo como se vio en secciones sin refuerzo.
𝐴𝑜ℎ = 𝑥𝑜 · 𝑦𝑜
(11.7)
𝑝ℎ = 2 · (𝑥𝑜 + 𝑦𝑜 )
(11.8)
𝑻
𝑇𝑐𝑟
𝛽
Fig. 11.6. Curva torque – giro para elementos de hormigón armado
Para facilitar el análisis de elementos de hormigón armado a torsión, es conveniente tratar el elemento
como un enrejado espacial consistente en diagonales de hormigón en forma de espiral, estribos
transversales de acero y barras longitudinales de acero. Se supone que el hormigón no soporta tracción y
que el refuerzo fluye. Después de que el agrietamiento por torsión se ha producido, la resistencia torsional
del elemento proviene principalmente de los estribos cerrados, del refuerzo longitudinal dispuesto en el
perímetro de la sección y de las diagonales de hormigón que trabajan a compresión. El hormigón que
queda fuera de los estribos, y que pertenece al recubrimiento propio del elemento, es relativamente
inefectivo. Por tanto, el área encerrada por la trayectoria del flujo de cortante alrededor del perímetro del
tubo 𝐴𝑜 se define después de la fisuración en términos de 𝐴𝑜ℎ que es el área encerrada por el eje del
refuerzo transversal exterior para torsión.
En la siguiente figura se muestra la analogía de la cercha espacial que es utilizada para el análisis y diseño
de elementos de hormigón armado sometidos a torsión.
457
Diseño de estructuras de hormigón armado
Estribos
Fisuras
𝑥𝑜
𝑇
𝑦𝑜
𝑉1
𝑉2
o
𝑉4
Barras longitudinales
𝑉3
Bielas de hormigón en compresión
𝑠
𝑦𝑜 · 𝑐𝑜𝑠
𝑁/4
𝑦𝑜
𝑉4
𝐴𝑡 · 𝑓𝑦𝑡

𝐴𝑡 · 𝑓𝑦𝑡
𝑦𝑜
𝑉4

𝐴𝑡 · 𝑓𝑦𝑡
𝐴ℓ · 𝑓𝑦
𝑁/4
𝑦𝑜 · 𝑐𝑜𝑡
Equilibrio de las fuerzas verticales en
una cara del elemento fisurado
Equilibrio de las fuerzas horizontales en
una cara del elemento fisurado
Fig. 11.7. Analogía de la cercha espacial para el análisis de los efectos de
torsión en elementos de hormigón armado
La analogía de la cercha espacial representa una simplificación del comportamiento actual bastante
razonable ya que la resistencia a la torsión del elemento está controlada por la resistencia del refuerzo
transversal independientemente de la resistencia del hormigón.
𝑉4
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜃
𝑉4 · 𝑐𝑜𝑡𝜃
𝑉4
Polígono de fuerzas en
equilibrio
Fig. 11.8. Polígono de fuerzas en equilibrio de una de las caras del elemento
458
Vigas – Resistencia a torsión
El momento de torsión 𝑇 es resistido por la suma de los cortantes en cada una de las cuatro paredes del
tubo hueco equivalente.
La contribución de los cortes a la resistencia del momento de torsión es:
𝑦𝑜
2
𝑥𝑜
𝑇2 = 𝑉2 ∙
2
𝑦𝑜
𝑇3 = 𝑉3 ∙
2
𝑥𝑜
𝑇4 = 𝑉4 ∙
2
𝑇1 = 𝑉1 ∙
(11.9)
(11.10)
(11.11)
(11.12)
Si se realiza el equilibrio en cada pared del tubo hueco puede hallarse el valor de 𝑉1, 𝑉2 , 𝑉3 y 𝑉4 . Como
ejemplo se analizará la pared correspondiente a 𝑉4 .
𝑉4 = 𝑛 ∙ 𝐴𝑡 ∙ 𝑓𝑦𝑡
𝑛 = 𝑦𝑜 ∙
𝑐𝑜𝑡𝜃
𝑠
(11.13)
(11.14)
Donde:
𝑛 = Número de estribos cortados por una fisura diagonal.
𝐴𝑡 = Área de una rama del estribo cerrado en [𝑚𝑚2 ].
𝑓𝑦𝑡 = Tensión de fluencia del estribo en [𝑀𝑃𝑎].
𝑉4 =
𝐴𝑡 ∙ 𝑓𝑦𝑡 ∙ 𝑦𝑜
∙ 𝑐𝑜𝑡𝜃
𝑠
(11.15)
Remplazando 𝑉4 en la ecuación de 𝑇4 se tiene:
𝑇4 = 𝑉4 ∙
𝑥𝑜 𝐴𝑡 ∙ 𝑓𝑦𝑡 ∙ 𝑥𝑜 ∙ 𝑦𝑜
=
∙ 𝑐𝑜𝑡𝜃
2∙𝑠
2
(11.16)
Si se sigue el mismo procedimiento para las demás paredes y se suma los respectivos 𝑇𝑖 se tiene la
capacidad nominal de la sección.
4
𝑇𝑛 = ∑ 𝑇𝑖 =
𝑖=1
2 ∙ 𝐴𝑡 ∙ 𝑓𝑦𝑡 ∙ 𝑥𝑜 ∙ 𝑦𝑜
∙ 𝑐𝑜𝑡𝜃
𝑠
(11.17)
Pero 𝐴𝑜ℎ = 𝑥𝑜 · 𝑦𝑜
𝑇𝑛 =
2 ∙ 𝐴𝑜ℎ ∙ 𝐴𝑡 ∙ 𝑓𝑦𝑡
∙ 𝑐𝑜𝑡𝜃
𝑠
(11.18)
459
Diseño de estructuras de hormigón armado
Los puntales diagonales de compresión que se forman paralelamente a las fisuras de torsión son necesarios
para el equilibrio de la sección transversal. La componente horizontal de compresión de los puntales en la
pared vertical debe estar en equilibrio con la fuerza axial Δ𝑁4 .
Δ𝑁4 = 𝑉4 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝜃 =
𝐴𝑡 ∙ 𝑓𝑦𝑡 ∙ 𝑦𝑜
∙ 𝑐𝑜𝑡 2 𝜃
𝑠
(11.19)
Sumando las fuerzas axiales de las cuatro caras se tiene que el incremento total de la fuerza axial en el
elemento es:
4
Δ𝑁 = ∑ Δ𝑁𝑖 =
𝑖=1
Δ𝑁 =
𝐴𝑡 ∙ 𝑓𝑦𝑡
∙ 2 ∙ (𝑥𝑜 + 𝑦𝑜 ) ∙ 𝑐𝑜𝑡 2 𝜃
𝑠
𝐴𝑡 ∙ 𝑓𝑦𝑡 ∙ 𝑝ℎ
∙ 𝑐𝑜𝑡 2 𝜃
𝑠
(11.20)
(11.21)
Donde 𝑝ℎ = 2 · (𝑥𝑜 + 𝑦𝑜 ) es el perímetro de la línea central de los estribos cerrados.
Barras longitudinales son necesarias para resistir el incremento de fuerza axial ∆𝑁. Si ese acero es
diseñado para fluir, se tiene:
𝐴ℓ ∙ 𝑓𝑦 = ∆𝑁 =
𝐴ℓ =
𝐴𝑡 ∙ 𝑓𝑦𝑡 ∙ 𝑝ℎ
∙ 𝑐𝑜𝑡 2 𝜃
𝑠
𝑓𝑦𝑡
𝐴𝑡
∙ 𝑝ℎ ∙
∙ 𝑐𝑜𝑡 2 𝜃
𝑠
𝑓𝑦
(11.22)
Donde:
𝐴ℓ = Área total del refuerzo longitudinal para resistir la torsión en [𝑚𝑚2 ].
𝑓𝑦 = Tensión de fluencia de las barras longitudinales en [𝑀𝑃𝑎].
Se ha visto experimentalmente que después del agrietamiento, el área efectiva encerrada por el flujo de
corte es algo menor que el valor 𝐴𝑜ℎ = 𝑥𝑜 · 𝑦𝑜 , por lo que es recomendable utilizar un valor reducido
𝐴𝑜 = 0.85 · 𝐴𝑜ℎ para las ecuaciones anteriores.
En experimentos también se ha encontrado que el espesor del tubo equivalente para cargas próximas a la
última es:
𝐴𝑜ℎ
𝑝ℎ
(11.23)
𝐴𝑜ℎ = 𝑥𝑜 · 𝑦𝑜
(11.7)
𝑡=
460
Vigas – Resistencia a torsión
𝑝ℎ = 2 · (𝑥𝑜 + 𝑦𝑜 )
(11.8)
11.5. Torsión y corte
En general un elemento sujeto a torsión también debe resistir fuerzas cortantes y momentos flectores. En
un elemento sin agrietamiento, las fuerzas cortantes y de torsión producen tensiones de corte. En
elementos agrietados, el corte y la torsión incrementan las fuerzas en los puntales diagonales y éstos
incrementan el ancho de las fisuras diagonales que a su vez incrementan las fuerzas requeridas en los
refuerzos transversales.
Tensión de corte por fuerzas cortantes:
𝜏=
𝑉
𝑏𝑤 ∙ 𝑑
(11.24)
Tensión de corte por torsión:
𝜏𝑡 =
𝑇
2 ∙ 𝐴𝑜 ∙ 𝑡
(11.25)
Como se aprecia en la siguiente figura, para secciones huecas, estas tensiones se adicionan directamente
en un lado del elemento. Por lo tanto, para una sección de hormigón armado agrietada con 𝐴𝑜 = 0.85 ·
𝐴𝑜ℎ y 𝑡 = 𝐴𝑜ℎ /𝑃ℎ la máxima tensión de corte es:
𝜏 = 𝜏𝑣 + 𝜏𝑡 =
𝑉
𝑇 ∙ 𝑝ℎ
+
𝑏𝑤 ∙ 𝑑 1.7 ∙ 𝐴2𝑜ℎ
(11.26)
Para elementos de sección sólida, 𝑡 está distribuida predominantemente alrededor del perímetro mientras
que la sección completa contribuye a resistir 𝑣 . Resultados experimentales han demostrado que la
ecuación anterior es un poco conservadora para secciones sólidas por lo que se sugiere utilizar la siguiente
ecuación:
𝑉 2
𝑇 ∙ 𝑝ℎ
𝜏 = √(
) +(
)
𝑏𝑤 ∙ 𝑑
1.7 ∙ 𝐴2𝑜ℎ
2
(11.27)
Estas dos últimas ecuaciones estiman las tensiones de corte en el hormigón bajo cargas de servicio y
cargas últimas.
461
Diseño de estructuras de hormigón armado
Tensiones por torsión
Tensiones por corte
Tensiones por torsión
Secciones Huecas
Tensiones por corte
Secciones Sólidas
Fig. 11.9. Flujo de tensiones por corte y torsión en secciones sólidas y huecas
11.6. Provisiones del código ACI para el diseño a torsión
El código indica que se debe satisfacer la siguiente ecuación:
𝜙 ∙ 𝑇𝑛 ≥ 𝑇𝑢
(11.28)
Donde:
𝑇𝑢 = Momento torsor último proveniente de las cargas mayoradas.
𝑇𝑛 = Resistencia nominal a la torsión del elemento.
𝜙 = Factor de reducción de la resistencia (0.75).
2 ∙ 𝐴𝑜 ∙ 𝐴𝑡 ∙ 𝑓𝑦𝑡
∙ 𝑐𝑜𝑡𝜃
𝑠
2 ∙ 𝐴𝑜 ∙ 𝐴ℓ ∙ 𝑓𝑦 1
𝑇𝑛 =
∙
𝑝ℎ
𝑐𝑜𝑡𝜃
𝐴𝑜 = 0.85 · 𝐴𝑜ℎ
𝑇𝑛 =
(11.29)
(11.30)
(11.31)
Fig. 11.10. Determinación del área 𝑨𝒐𝒉 para diferentes secciones de hormigón armado
462
Vigas – Resistencia a torsión
De acuerdo a la sección 9.4.4.3 del código ACI, las secciones localizadas a una distancia menor al canto
útil de la sección 𝑑 desde la cara del soporte pueden ser diseñadas para el mismo momento torsor 𝑇𝑢
calculado a una distancia 𝑑, reconociendo el efecto beneficioso de la compresión en el soporte. Sin
embargo si un torque concentrado es aplicado dentro de esta distancia, la sección crítica debe ser tomada
en la cara del soporte.

Vigas de secciones T y cajón
Para secciones T, una porción de la parte proyectada del ala contribuye a la capacidad a torsión antes del
agrietamiento, pero si el ala esta reforzada con estribos cerrados, entonces también contribuye a la
resistencia a torsión después de su agrietamiento.
4 · ℎ ≤ ℎ𝑤
ℎ
ℎ𝑤
𝑏𝑤
Fig. 11.11. Contribución de las alas en la capacidad de torsión de vigas T
El área 𝐴𝑐𝑝 para secciones cajón, con o sin alas, representa el área encerrada por el perímetro externo al
igual que para secciones sólidas.
Después del agrietamiento por torsión, el torsor es resistido por la sección 𝐴𝑜ℎ . Para secciones con alas, el
código ACI no requiere que la sección utilizada para establecer 𝐴𝑐𝑝 coincida con la usada para establecer
𝐴𝑜ℎ .

Momento de torsión mínimo o umbral de torsión
La sección 9.5.4.1 del código ACI permite despreciar los efectos de torsión cuando el momento último de
torsión 𝑇𝑢 es menor al momento de umbral de torsión 𝜙 ∙ 𝑇𝑡ℎ definido en la sección 22.7.4 del mismo
código.
Para elementos vaciados monolíticamente con la losa, el ancho de la proyección del ala utilizado para el
cálculo de 𝐴𝑐𝑝 y 𝑝𝑐𝑝 debe satisfacer lo requerido en el anterior punto (vigas de sección T y cajón). Para
secciones huecas, el área total de la sección 𝐴𝑔 debe ser utilizada en lugar de 𝐴𝑐𝑝 en todas las ecuaciones
para hallar el umbral de torsión; y para definir los bordes exteriores de la sección se debe tomar en cuenta
también lo indicado en el punto anterior (vigas de sección T y cajón).
463
Diseño de estructuras de hormigón armado
Umbral de torsión para secciones transversales sólidas
Tipo de elemento
𝑻𝒕𝒉 [𝑵 ∙ 𝒎𝒎]
𝐴2𝑐𝑝
)
𝑝𝑐𝑝
(11.32)
𝐴2𝑐𝑝
𝑓𝑝𝑐
) ∙ √1 +
𝑝𝑐𝑝
0.33 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′
(11.33)
𝐴2𝑐𝑝
𝑁𝑢
) ∙ √1 +
𝑝𝑐𝑝
0.33 ∙ 𝐴𝑔 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′
(11.34)
0.083 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ (
Elementos no preesforzados
Elementos preesforzados
Elementos no preesforzados
sometidos a fuerza axial.
𝑁𝑢 es positiva si es compresión
y negativa si es tracción.
0.083 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ (
0.083 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ (
Umbral de torsión para secciones transversales huecas
Tipo de elemento
𝑻𝒕𝒉 [𝑵 ∙ 𝒎𝒎]
𝐴𝑔2
)
𝑝𝑐𝑝
(11.32𝑎)
𝐴𝑔2
𝑓𝑝𝑐
′
0.083 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐 ∙ ( ) ∙ √1 +
𝑝𝑐𝑝
0.33 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′
(11.33𝑎)
𝐴𝑔2
𝑁𝑢
′
0.083 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐 ∙ ( ) ∙ √1 +
𝑝𝑐𝑝
0.33 ∙ 𝐴𝑔 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′
(11.34𝑎)
Elementos no preesforzados
Elementos preesforzados
Elementos no preesforzados
sometidos a fuerza axial.
𝑁𝑢 es positiva si es compresión
y negativa si es tracción.
0.083 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ (
En elementos preesforzados, 𝑓𝑝𝑐 es el esfuerzo de compresión, después de que han ocurrido todas las
pérdidas de preesforzado, en el centroide de la sección transversal que resiste las cargas externas aplicadas
externamente.
Para el caso de elementos aislados con alas y para elementos vaciados monolíticamente con la losa, la
parte proyectada del ala utilizada en el cálculo de 𝐴𝑐𝑝 y 𝑝𝑐𝑝 debe cumplir con lo indicado anteriormente.
Si el parámetro 𝐴2𝑐𝑝 /𝑝𝑐𝑝 calculado para la viga con alas es menor al de la viga sin alas, entonces para el
cálculo de 𝐴𝑐𝑝 y 𝑝𝑐𝑝 se deben ignorar las partes proyectadas del ala.

Torsión de equilibrio vs. Torsión de compatibilidad
Si el máximo momento de torsión 𝑇𝑢 en un elemento es requerido para mantener el equilibrio (torsión de
equilibrio) y excede el menor valor especificado para la torsión mínima (𝑇𝑢 ≥ 𝜙 ∙ 𝑇𝑡ℎ ), entonces el
elemento debe ser diseñado para resistir la totalidad del momento de torsión 𝑇𝑢 . En estructuras
hiperestáticas donde la reducción del momento de torsión en un elemento puede ocurrir por la
redistribución de las fuerzas internas después del agrietamiento (torsión secundaria), la sección 22.7.3.2
464
Vigas – Resistencia a torsión
del código ACI permite que el máximo momento por torsión 𝑇𝑢 pueda ser reducido al valor de 𝜙 ∙ 𝑇𝑐𝑟 ,
donde la fisuración por torsión 𝑇𝑐𝑟 se encuentra definida en la sección 22.7.5 del código ACI y que se
resume en la siguiente tabla. Sin embargo, los correspondientes momentos flectores y cortantes
redistribuidos en los elementos resistentes contiguos deben ser utilizados para el diseño de esos elementos.
Para secciones huecas, el área 𝐴𝑐𝑝 no debe ser reemplazada por el área total de la sección 𝐴𝑔 , tal como
ocurría para el cálculo del torsor mínimo (umbral de torsión).
El valor reducido de 𝑇𝑢 , permitido por el código ACI, trata de aproximar la resistencia al agrietamiento
por torsión de la viga de soporte para cargas combinadas de flexión y torsión. Las grandes rotaciones que
ocurren esencialmente por un momento de torsión constante, darán como resultado una apreciable
redistribución de las fuerzas internas justificando el uso del valor reducido para el diseño del elemento
sometido a torsión y de los elementos soportados.
Torsión de fisuración para secciones huecas y sólidas
Tipo de elemento
𝑻𝒄𝒓 [𝑵 ∙ 𝒎𝒎]
𝐴2𝑐𝑝
′
0.33 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐 ∙ (
)
𝑝𝑐𝑝
(11.35)
𝐴2𝑐𝑝
𝑓𝑝𝑐
) ∙ √1 +
𝑝𝑐𝑝
0.33 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′
(11.36)
𝐴2𝑐𝑝
𝑁𝑢
) ∙ √1 +
𝑝𝑐𝑝
0.33 ∙ 𝐴𝑔 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′
(11.37)
Elementos no preesforzados
0.33 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ (
Elementos preesforzados
Elementos no preesforzados
sometidos a fuerza axial.
𝑁𝑢 es positiva si es compresión y
negativa si es tracción.
0.33 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ (
En elementos no pretensados, las secciones localizadas a una distancia menor al canto útil del elemento 𝑑
desde la cara del soporte deben ser diseñadas para un torsor 𝑇𝑢 no menor al calculado para la distancia 𝑑.
Si existe un momento torsor concentrado dentro de la distancia 𝑑, la sección crítica para el diseño debe ser
considerada en la cara del soporte. Por otro lado, en elementos pretensados, las secciones localizadas a una
distancia menor a la mitad de la altura total del elemento ℎ desde la cara del soporte deben ser diseñadas
para un torsor 𝑇𝑢 no menor al calculado para la distancia ℎ/2. Si existe un momento torsor concentrado
dentro de la distancia ℎ/2, la sección crítica para el diseño debe ser considerada en la cara del soporte.

Limitaciones de la tensión de corte
Basado en observaciones empíricas, el ancho de las fisuras diagonales producidas por una combinación de
corte y torsión bajo cargas de servicio puede ser restringido indirectamente limitando la tensión de corte
producida por cargas mayoradas de corte y torsión.
𝑉𝑐
𝑣𝑚𝑎𝑥 = 𝜙 ∙ (
+ 0.66 ∙ √𝑓𝑐′ )
𝑏𝑤 ∙ 𝑑
𝑣𝑚𝑎𝑥 = 𝜏
(11.38)
(11.39)
465
Diseño de estructuras de hormigón armado
Combinando la ecuación (11.38) con la ecuación (11.26) se obtiene una relación que limita las
dimensiones de la sección transversal de una sección hueca.
𝑉𝑢
𝑇𝑢 ∙ 𝑝ℎ
𝑉𝑐
+
≤𝜙∙(
+ 0.66 ∙ √𝑓𝑐′ )
2
𝑏𝑤 ∙ 𝑑 1.7 ∙ 𝐴𝑜ℎ
𝑏𝑤 ∙ 𝑑
(11.40)
Del mismo modo, para secciones sólidas, si la ecuación (11.27) es combinada con la ecuación (11.38) se
obtiene otra relación que limita las dimensiones de la sección llena.
2
2
𝑉
𝑇 ∙𝑝
𝑉
√( 𝑢 ) + ( 𝑢 ℎ2 ) ≤ 𝜙 ∙ ( 𝑐 + 0.66 ∙ √𝑓𝑐′ )
𝑏𝑤 ∙ 𝑑
𝑏𝑤 ∙ 𝑑
1.7 ∙ 𝐴𝑜ℎ
(11.41)
Si estas relaciones no se cumplen, las dimensiones de la sección transversal o la resistencia del hormigón
deben ser incrementadas. Si el espesor de la pared alrededor del perímetro de una sección hueca de
hormigón armado varía y es menor a 𝐴𝑜ℎ /𝑝ℎ , entonces utilizar 𝑡 en el segundo término del lado izquierdo
de la ecuación (11.40) para hallar la ecuación (11.42). Donde el espesor 𝑡 es el espesor de la pared de la
sección hueca en el lugar donde las tensiones son verificadas.
𝑉𝑢
𝑇𝑢
𝑉𝑐
+
≤𝜙∙(
+ 0.66 ∙ √𝑓𝑐′ )
𝑏𝑤 ∙ 𝑑 1.7 ∙ 𝐴𝑜ℎ ∙ 𝑡
𝑏𝑤 ∙ 𝑑

(11.42)
Refuerzo para torsión.
La resistencia nominal a la torsión de una sección de hormigón armado está dada por el menor valor que
se obtiene de las siguientes dos ecuaciones:
2 ∙ 𝐴𝑜 ∙ 𝐴𝑡 ∙ 𝑓𝑦𝑡
∙ 𝑐𝑜𝑡𝜃
𝑠
2 ∙ 𝐴𝑜 ∙ 𝐴ℓ ∙ 𝑓𝑦 1
∙
𝑇𝑛 =
𝑝ℎ
𝑐𝑜𝑡𝜃
𝑇𝑛 =
(11.29)
(11.30)
El código ACI recomienda que el ángulo 𝜃 se mantenga entre 30° y 60°, pero se sugiere 𝜃 = 45° para
hormigón armado. La sección 22.7.6.1.2 del código permite que el ángulo 𝜃 tenga los siguientes valores:
a) 45° para elementos de hormigón no pretensado o elementos de hormigón pretensado con
𝐴𝑝𝑠 ∙ 𝑓𝑠𝑒 < 0.4 ∙ (𝐴𝑝𝑠 ∙ 𝑓𝑝𝑢 + 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ).
b) 37.5° para elementos de hormigón pretensado con una fuerza efectiva de pretensado
𝐴𝑝𝑠 ∙ 𝑓𝑠𝑒 ≥ 0.4 ∙ (𝐴𝑝𝑠 ∙ 𝑓𝑝𝑢 + 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ).
Para hallar las armaduras transversal y longitudinal del elemento, se reemplazan las ecuaciones (11.29) y
(11.30) en la ecuación (11.28) que expresa que la resistencia nominal de diseño a la torsión 𝜙 · 𝑇𝑛 debe
ser siempre mayor o igual al momento torsor último 𝑇𝑢 .
466
Vigas – Resistencia a torsión
𝜙 ∙ 𝑇𝑛 ≥ 𝑇𝑢
(11.28)
De las ecuaciones (11.29) y (11.30) se desprenden las siguientes dos ecuaciones.
𝑇𝑢 ∙ 𝑠
2 ∙ 𝜙 ∙ 𝐴𝑜 ∙ 𝑓𝑦𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝜃
𝑇𝑢 ∙ 𝑝ℎ ∙ 𝑐𝑜𝑡𝜃
𝐴ℓ ≥
2 ∙ 𝜙 ∙ 𝐴𝑜 ∙ 𝑓𝑦
(11.43)
𝐴𝑡 ≥
(11.44)
Donde:
𝐴𝑡 = Área de una rama de un estribo cerrado que resiste la torsión con un espaciamiento 𝑠.
𝐴ℓ = Área total del refuerzo longitudinal para resistir torsión.
La tensión de fluencia del refuerzo transversal 𝑓𝑦𝑡 es limitada por la sección 20.2.2.4 del código ACI a un
máximo de 420 [𝑀𝑃𝑎] por razones de control del ancho del agrietamiento diagonal. Para el armado de un
elemento de hormigón, el refuerzo por torsión debe ser combinado con el refuerzo por corte. Si se
considera un estribo típico de dos brazos, la adición del área de los estribos por torsión y corte se la realiza
considerando que el refuerzo por torsión 𝐴𝑡 es para un solo brazo, mientras que el refuerzo por corte 𝐴𝑣 es
para dos brazos.
𝐴𝑣+𝑡 𝐴𝑣 2 ∙ 𝐴𝑡
=
+
𝑠
𝑠
𝑠
(11.45)
Los estribos para ser efectivos en torsión deben ser necesariamente cerrados porque de esa manera pueden
proveer la capacidad a tracción requerida cuando atraviesan las fisuras diagonales de todas las caras del
elemento. Los estribos en forma de U utilizados comúnmente para corte no pueden utilizarse como
refuerzo para torsión. Por otro lado, la utilización de estribos cerrados de una sola pieza puede muchas
veces dificultar el armado de vigas en la obra, por lo que en muchos lugares se ha adoptado, como práctica
común, la utilización de estribos cerrados de dos piezas.
Confinamiento
por la losa
Confinamiento
por la losa
Viga perimetral con
losa en un lado
Viga interior con losa
en ambos lados
Sin confinamiento, utilizar
ganchos de 135°
Viga rectangular
aislada
Fig. 11.12. Disposición de los estribos para torsión en vigas
467
Diseño de estructuras de hormigón armado
Debido a que el hormigón fuera de una caja de refuerzo mal detallada tiende a caerse cuando el elemento
es solicitado por torsión, el refuerzo transversal debe ser anclado dentro del núcleo central de hormigón.
El código ACI en su sección 9.7.6.3.1 requiere que los extremos de los estribos sean anclados utilizando
un gancho estándar de 135° alrededor de una barra longitudinal, a menos que el hormigón alrededor del
anclaje no pueda desprenderse porque está restringido por un ala o losa. En ese caso se puede utilizar un
gancho estándar de 90°. La superposición invertida de dos estribos en U no debe utilizarse como refuerzo
transversal para torsión. Cuando las alas de una viga son tomadas en cuenta en el cálculo de la resistencia
a torsión de vigas con secciones T o L, se debe armar adecuadamente el ala para tal propósito y colocar
estribos cerrados como se muestra en la siguiente figura.
Fig. 11.13. Detalle de la armadura en la losa para vigas de sección T y L
El espaciamiento 𝑠 de los estribos cerrados, para satisfacer la ecuación anterior, es seleccionado al tanteo
con base al diámetro de las barras estándar.
Para el control del agrietamiento en espiral, el máximo espaciamiento de los estribos 𝑠𝑚𝑎𝑥 para torsión no
debe exceder 𝑃ℎ /8 o 300 [𝑚𝑚].
La sección 9.6.4.1 del código ACI requiere un mínimo de armadura por torsión en todas aquellas partes de
un elemento de hormigón armado donde los momentos últimos de torsión 𝑇𝑢 exceden el torsor mínimo
dado por las ecuaciones (11.32), (11.33) y (11.34). La siguiente ecuación estima el área mínima de
refuerzo por torsión que requiere el código.
(𝐴𝑣 + 2 ∙ 𝐴𝑡 )𝑚𝑖𝑛 = 0.062 ∙ √𝑓𝑐′ ∙
𝑏𝑤 ∙ 𝑠
𝑏𝑤 ∙ 𝑠
≥ 0.35 ∙
𝑓𝑦𝑡
𝑓𝑦𝑡
(11.46)
El área de refuerzo longitudinal 𝐴ℓ que se requiere para resistir la torsión es la dada por las ecuaciones
(11.22) o (11.44), donde 𝜃 debe ser el mismo ángulo que se utilizó para calcular 𝐴𝑡 . El valor 𝐴𝑡 /𝑠 en la
ecuación (11.22) debe ser tomado como el valor calculado utilizando la ecuación de 𝐴𝑡 sin modificación
por el requerimiento mínimo de acero transversal.
468
Vigas – Resistencia a torsión
𝑓𝑦𝑡
𝐴𝑡
∙ 𝑝ℎ ∙
∙ 𝑐𝑜𝑡 2 𝜃
𝑠
𝑓𝑦
𝑇𝑢 ∙ 𝑠
𝐴𝑡 =
2 ∙ 𝜙 ∙ 𝐴𝑜 ∙ 𝑓𝑦𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝜃
𝐴𝑡
𝑇𝑢
=
𝑠
2 ∙ 𝜙 ∙ 𝐴𝑜 ∙ 𝑓𝑦𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝜃
𝐴ℓ =
(11.22)
(11.43)
(11.47)
Si se reemplaza la ecuación (11.47) en la ecuación (11.22) y se procede a simplificar términos
semejantes, se obtiene la ecuación para la armadura longitudinal de torsión 𝐴ℓ .
𝐴ℓ =
𝑇𝑢 ∙ 𝑝ℎ
∙ 𝑐𝑜𝑡𝜃
2 ∙ 𝜙 ∙ 𝐴𝑜 ∙ 𝑓𝑦
(11.48)
La sección 9.5.4.5 del código ACI permite que la fracción de 𝐴ℓ en la zona comprimida por flexión sea
reducida por una cantidad igual a 𝑀𝑢 /(0.9 · 𝑑 · 𝑓𝑦 ), donde 𝑀𝑢 es el momento mayorado en la sección en
combinación con 𝑇𝑢 . La reducción no debe dejar un área del refuerzo longitudinal en la zona comprimida
menor al área mínima 𝐴𝑙𝑚𝑖𝑛 , ni tampoco afectar a los requerimientos de mínimo diámetro y máximo
espaciamiento del refuerzo que se explican más adelante.
En experimentos de laboratorio, se ha comprobado que elementos, con una cuantía de refuerzo menor al
1% en volumen, han fallado en torsión pura para el momento de torsión que produce la primera fisura. En
el código de 1989 y anteriores, se presentaba una relación que aproximadamente requería 1% de acero
longitudinal en vigas cargadas en torsión pura y una cantidad menor para vigas sometidas a corte y
torsión. La siguiente ecuación es una simplificación para el cálculo de la armadura longitudinal y en ella
se requiere aproximadamente una cuantía del 0.5% en volumen.
𝐴ℓ𝑚𝑖𝑛 =
𝑓𝑦𝑡
𝑓𝑦𝑡
0.42 ∙ √𝑓𝑐′
𝐴𝑡
0.175 ∙ 𝑏𝑤
0.42 ∙ √𝑓𝑐′
∙ 𝐴𝑐𝑝 − ( ) ∙ 𝑝ℎ ∙ ( ) ≤
∙ 𝐴𝑐𝑝 − (
) ∙ 𝑝ℎ ∙ ( )
𝑓𝑦
𝑠
𝑓𝑦
𝑓𝑦
𝑓𝑦𝑡
𝑓𝑦
(11.49)
Donde:
𝑓𝑦𝑡 = Tensión de fluencia de los estribos transversales cerrados en [𝑀𝑃𝑎].
𝑏𝑤 = Ancho del alma en [𝑚𝑚].
El espaciamiento de las barras longitudinales no debe exceder 300 [𝑚𝑚] y éstas deben ser distribuidas
alrededor del perímetro de la sección transversal para controlar el agrietamiento, considerando que en cada
esquina de los estribos debe existir por lo menos una barra longitudinal. El diámetro de las barras debe ser
mayor a 10 [𝑚𝑚] o 0.042 veces el espaciamiento del refuerzo transversal. Se debe colocar por lo menos
una barra en cada esquina de los estribos. Para que las barras longitudinales puedan desarrollar su
resistencia a la fluencia, se debe prestar atención especial a sus anclajes en los extremos.
El refuerzo requerido por torsión puede ser combinado con el refuerzo requerido por otras solicitaciones
siempre y cuando el área colocada sea la suma de las áreas requeridas individualmente y que los
requerimientos más restrictivos de espaciamiento y colocado sean cumplidos.
469
Diseño de estructuras de hormigón armado
Según la sección 9.7.5.3 del código ACI, el refuerzo para torsión debe ser colocado por lo menos a una
distancia 𝑏𝑡 + 𝑑 más allá del punto donde teóricamente deja de ser requerido, donde 𝑏𝑡 es el ancho de la
parte de la sección transversal que contiene los estribos cerrados para torsión. El punto teórico donde el
refuerzo por torsión deja de ser necesario es aquel en el cual el momento de torsión último es menor a un
cuarto del momento de torsión que produce la primera fisura (𝑇𝑢 < 0.25 ∙ 𝜙 ∙ 𝑇𝑐𝑟 ).

Diseño por torsión
Para realizar un diseño apropiado a torsión, es conveniente seguir los siguientes pasos:
a)
Se calcula el momento de torsión último 𝑇𝑢 .
Con base a las diferentes combinaciones de carga, se determina el momento de torsión último 𝑇𝑢 en la o
las secciones del elemento a diseñar.
b)
Se verifica si se puede despreciar la torsión.
Si 𝑇𝑢 < 0.25 ∙ 𝜙 ∙ 𝑇𝑐𝑟 entonces la torsión puede ser despreciada. Para el cálculo de 𝐴𝑐𝑝 y 𝑝𝑐𝑝 en secciones
T y L se debe considerar las porciones de sus alas de la siguiente manera.
4 · ℎ ≤ ℎ𝑤
ℎ
ℎ𝑤
𝑏𝑤
Si el momento de torsión es debido a compatibilidad y no a equilibrio, el máximo momento de torsión
mayorado puede ser reducido, pero los momentos flectores y cortantes en los elementos resistentes deben
ser ajustados. Si el momento de torsión es debido a equilibrio, entonces no puede ser reducido.
c)
Se verifica las dimensiones de la sección transversal.
Se debe verificar que la sección transversal tenga las dimensiones suficientes para resistir el momento de
torsión y la fuerza cortante en el punto considerado, caso contrario las dimensiones deben ser aumentadas.
470
Vigas – Resistencia a torsión
Secciones huecas.
𝑉𝑢
𝑇𝑢 ∙ 𝑝ℎ
𝑉𝑐
+
≤𝜙∙(
+ 0.66 ∙ √𝑓𝑐′ )
2
𝑏𝑤 ∙ 𝑑 1.7 ∙ 𝐴𝑜ℎ
𝑏𝑤 ∙ 𝑑
(11.40)
Secciones sólidas.
2
2
𝑉
𝑇 ∙𝑝
𝑉
√( 𝑢 ) + ( 𝑢 ℎ2 ) ≤ 𝜙 ∙ ( 𝑐 + 0.66 ∙ √𝑓𝑐′ )
𝑏𝑤 ∙ 𝑑
𝑏𝑤 ∙ 𝑑
1.7 ∙ 𝐴𝑜ℎ
d)
(11.41)
Se calcula el refuerzo transversal.
Se calcula independientemente el área de refuerzo transversal necesario para resistir torsión 𝐴𝑡 y corte 𝐴𝑣 ,
para después combinarlas.
Refuerzo transversal por torsión
𝑇𝑢 ∙ 𝑠
𝐴𝑡 ≥
2 ∙ 𝜙 ∙ 𝐴𝑜 ∙ 𝑓𝑦𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝜃
(11.43)
Refuerzo transversal por corte
(𝑉𝑢 − 𝜙 ∙ 𝑉𝑐 )
𝐴𝑣 ≥
𝜙 ∙ 𝑓𝑦𝑡 ∙ 𝑑
(5.17)
Adición del refuerzo por corte y del refuerzo por torsión
𝐴𝑣+𝑡 𝐴𝑣 2 ∙ 𝐴𝑡
=
+
𝑠
𝑠
𝑠
e)
(11.45)
Se verifica si el refuerzo transversal es mayor al mínimo.
Se verifica si el refuerzo transversal calculado es mayor al mínimo requerido para corte y torsión, y si se
cumple con el espaciamiento máximo.
(𝐴𝑣 + 2 ∙ 𝐴𝑡 )𝑚𝑖𝑛 = 0.062 ∙ √𝑓𝑐′ ∙
𝑏𝑤 ∙ 𝑠
𝑏𝑤 ∙ 𝑠
≥ 0.35 ∙
𝑓𝑦𝑡
𝑓𝑦𝑡
(11.46)
Para torsión:
𝑠 ≤ 0.125 ∙ 𝑝ℎ o 300 [𝑚𝑚]
Para corte:
𝑉
Si 𝜙𝑢 − 𝑉𝑐 = 𝑉𝑠 ≤ 0.33 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
𝑠 ≤ 0.5 ∙ 𝑑 o 600 [𝑚𝑚]
471
Diseño de estructuras de hormigón armado
Para corte:
𝑉
Si 𝜙𝑢 − 𝑉𝑐 = 𝑉𝑠 > 0.33 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
𝑠 ≤ 0.25 ∙ 𝑑 o 300 [𝑚𝑚]
f)
Refuerzo longitudinal requerido por torsión.
Se calcula el refuerzo longitudinal requerido por torsión con cualquiera de las ecuaciones (11.22) o
(11.44), el cual es después añadido al refuerzo requerido por flexión.
𝑓𝑦𝑡
𝐴𝑡
∙ 𝑝ℎ ∙
∙ 𝑐𝑜𝑡 2 𝜃
𝑠
𝑓𝑦
𝑇𝑢 ∙ 𝑝ℎ ∙ 𝑐𝑜𝑡𝜃
𝐴ℓ =
2 ∙ 𝜙 ∙ 𝐴𝑜 ∙ 𝑓𝑦
𝐴ℓ =
𝐴ℓ𝑚𝑖𝑛 =
(11.22)
(11.44)
𝑓𝑦𝑡
𝑓𝑦𝑡
0.42 ∙ √𝑓𝑐′
𝐴𝑡
0.42 ∙ √𝑓𝑐′
0.175 ∙ 𝑏𝑤
∙ 𝐴𝑐𝑝 − ( ) ∙ 𝑝ℎ ∙ ( ) ≤
∙ 𝐴𝑐𝑝 − (
) ∙ 𝑝ℎ ∙ ( )
𝑓𝑦
𝑠
𝑓𝑦
𝑓𝑦
𝑓𝑦𝑡
𝑓𝑦
(11.49)
Se debe cuidar que la distancia máxima entre barras longitudinales sea menor o igual a 300 [𝑚𝑚] y que
su diámetro sea mayor a 10 [𝑚𝑚] o 0.042 veces el espaciamiento entre estribos.
g)
Colocación del refuerzo por torsión.
Colocar el refuerzo para torsión a una distancia 𝑏𝑡 + 𝑑 más allá del punto donde teóricamente deja de ser
requerido (𝑇𝑢 < 0.25 ∙ 𝜙 ∙ 𝑇𝑐𝑟 ).
Ejemplo. Una viga de 8.50 [𝑚] de luz soporta una losa de 1.70 [𝑚] en voladizo. La viga resultante de
sección L soporta una carga viva de 13 [𝑘𝑁/𝑚] a lo largo de su línea central, más una carga viva de
2.40 [𝑘𝑁/𝑚2 ] sobre la superficie superior de la losa. La profundidad efectiva al centro de gravedad del
acero de flexión es 540 [𝑚𝑚] y la distancia desde la cara externa de la viga al centro de gravedad del
estribo es de 40 [𝑚𝑚]. Diseñar el refuerzo por torsión y corte para la viga si el hormigón tiene una
resistencia característica a los 28 días de 35 [𝑀𝑃𝑎] y el acero una tensión mínima de fluencia de
420 [𝑀𝑃𝑎].
8500
1850
1700
150
610
𝑑 = 540 [𝑚𝑚]
300
472
Vigas – Resistencia a torsión
Peso unitario del hormigón:
𝑐 = 24 [𝑘𝑁/𝑚3]
Para hormigón de peso unitario normal 𝜆 = 1.0
a)
Cálculo del momento de torsión.
Cargas sobre la losa
Carga muerta:
𝑤𝐷 = 1.2 · 24 · 1.70 · 0.15 = 7.34 [𝑘𝑁/𝑚]
Carga viva:
𝑤𝐿 = 1.6 · 2.40 · 1.7 = 6.53 [𝑘𝑁/𝑚]
𝑤𝐷 + 𝑤𝐿 = 13.87 [𝑘𝑁/𝑚] con 1.00 [𝑚] de excentricidad
Cargas directas en la viga
Carga muerta:
𝑤𝐷 = 1.2 · 24 · 0.30 · 0.61 = 5.27 [𝑘𝑁/𝑚]
Carga viva:
𝑤𝐿 = 1.6 · 13 = 20.80 [𝑘𝑁/𝑚]
𝑤𝐷 + 𝑤𝐿 = 26.07 [𝑘𝑁/𝑚]
La carga total distribuida sobre la viga es igual a 39.94 [𝑘𝑁/𝑚] (13.87 [𝑘𝑁/𝑚] + 26.07 [𝑘𝑁/𝑚]) y
actúa en forma conjunta con un momento de torsión uniformemente distribuido de 13.87 [𝑘𝑁 · 𝑚/𝑚] que
resulta de multiplicar la carga 13.87 [𝑘𝑁 · 𝑚] que actúa sobre la losa por su excentricidad de 1.00 [𝑚].
Diagramas de corte y momento de torsión
𝑑
169.7
148.1
𝜙 · 𝑉𝑐 = 119.8
+
“𝑉𝑢 ” [𝑘𝑁]
1250
𝑑
58.9
51.4
+
“𝑇𝑢 ” [𝑘𝑁 · 𝑚]
4250
473
Diseño de estructuras de hormigón armado
b)
Se verifica si se puede despreciar la torsión.
300
𝑎
150
610
45°
300
Condiciones para el valor de 𝑎:
𝑎 ≤ 4 · ℎ = 600 [𝑚𝑚]
𝑎 ≤ ℎ − ℎ = 460 [𝑚𝑚]
Por tanto, 𝑎 = 460 [𝑚𝑚]
𝐴𝑐𝑝 = 610 · 300 + 460 · 150 = 252000 [𝑚𝑚2 ]
𝑝𝑐𝑝 = 2 · (610 + 300 + 460) = 2740 [𝑚𝑚]
De acuerdo al código ACI, el momento de torsión puede despreciarse si:
𝑇𝑢 ≤ 𝜙 ∙ 0.083 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ (
𝐴2𝑐𝑝
2520002
) = 0.75 ∙ 0.083 ∙ 1 ∙ √35 ∙ (
) = 8535400 [𝑁 ∙ 𝑚𝑚]
𝑝𝑐𝑝
2740
𝑇𝑢 ≤ 8.54 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
Como el momento de torsión último, cuyo valor es de 51.4 [𝑘𝑁 · 𝑚], es mayor a 8.54 [𝑘𝑁 · 𝑚], éste no
puede ser despreciado. Además, como el momento de torsión es de equilibrio no puede ser reducido.
c)
Verificación de las dimensiones de la sección transversal.
Antes de proceder al cálculo del refuerzo por torsión, la sección debe ser verificada para determinar si es
adecuada para resistir las tensiones de corte producidas por el momento de torsión y la fuerza cortante.
2
2
𝑉
𝑇 ∙𝑝
𝑉
√( 𝑢 ) + ( 𝑢 ℎ2 ) ≤ 𝜙 ∙ ( 𝑐 + 0.66 ∙ √𝑓𝑐′ )
𝑏𝑤 ∙ 𝑑
𝑏𝑤 ∙ 𝑑
1.7 ∙ 𝐴𝑜ℎ
474
Vigas – Resistencia a torsión
Para la verificación de la sección a corte y torsión no se considerara la contribución de la parte del ala que
se proyecta fuera del alma y tampoco se proveerá refuerzo alguno para torsión en ella.
𝑉𝑢 = 148100 [𝑁]
𝑏𝑤 · 𝑑 = 300 · 540 = 162000 [𝑚𝑚2 ]
𝑇𝑢 = 51.4 · 106 [𝑁 · 𝑚𝑚]
𝑥𝑜 = 300 − 2 · 40 = 220 [𝑚𝑚]
𝑦𝑜 = 610 − 2 · 40 = 530 [𝑚𝑚]
𝑝ℎ = 2 · (𝑥𝑜 + 𝑦𝑜 ) = 2 · (220 + 530) = 1500 [𝑚𝑚]
𝐴𝑜ℎ = 𝑥𝑜 · 𝑦𝑜 = 220 · 530 = 116600 [𝑚𝑚2 ]
𝑉𝑐 = 0.17 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 = 0.17 ∙ 1 ∙ √35 ∙ 300 ∙ 540 = 162929 [𝑁]
2
148100 2
51.4 ∙ 106 ∙ 1500
162929
√(
) +(
+ 0.66 ∙ √35)
) ≤𝜙∙(
2
162000
1.7 ∙ 116600
162000
Como 3.46 [𝑀𝑃𝑎] ≤ 3.67 [𝑀𝑃𝑎], la sección tiene dimensiones adecuadas
d)
Cálculo del refuerzo transversal.
Se calculan los valores del refuerzo transversal por torsión 𝐴𝑡 y por corte 𝐴𝑣 considerando un ángulo
 = 45°.
𝐴𝑜 = 0.85 · 𝐴𝑜ℎ = 0.85 · 116600 = 99110 [𝑚𝑚2 ]
𝐴𝑡 =
𝑇𝑢 ∙ 𝑠
51.4 ∙ 106 ∙ 𝑠
=
= 0.823 ∙ 𝑠
2 ∙ 𝜙 ∙ 𝐴𝑜 ∙ 𝑓𝑦𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝜃 2 ∙ 0.75 ∙ 99110 ∙ 420 ∙ 𝑐𝑜𝑡45°
𝐴𝑡 = 0.823 · 𝑠 para una rama de un estribo cerrado o 1.646 · 𝑠 para dos ramas.
La capacidad al corte de la sección de hormigón es:
162929
= 122.20 [𝑘𝑁]
1000
(𝑉𝑢 − 𝜙 ∙ 𝑉𝑐 ) ∙ 𝑠 (148.10 − 122.20) ∙ 1000 ∙ 𝑠
𝐴𝑣 =
=
= 0.152 ∙ 𝑠
𝜙 ∙ 𝑓𝑦𝑡 ∙ 𝑑
0.75 ∙ 420 ∙ 540
𝐴𝑣 = 0.152 · 𝑠 que debe ser colocado en dos ramas verticales.
𝜙 ∙ 𝑉𝑐 = 𝜙 ∙ 0.17 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 = 0.75 ∙
Añadir el área de estribos de corte y torsión.
𝐴𝑣+𝑡 𝐴𝑣
𝐴𝑡 0.152 ∙ 𝑠 1.646 ∙ 𝑠
𝑚𝑚2
=
+2∙
=
+
= 1.798 [
]
𝑠
𝑠
𝑠
𝑠
𝑠
𝑚𝑚
475
Diseño de estructuras de hormigón armado
e)
Refuerzo mínimo transversal.
Se verifica si el área transversal es mayor a la mínima requerida.
(𝐴𝑣 + 2 ∙ 𝐴𝑡 )𝑚𝑖𝑛
𝑏𝑤
𝑏𝑤
= 0.062 ∙ √𝑓𝑐′ ∙
≥ 0.35 ∙
𝑓𝑦𝑡
𝑓𝑦𝑡
𝑠
(𝐴𝑣 + 2 ∙ 𝐴𝑡 )𝑚𝑖𝑛
300
𝑚𝑚2
𝑚𝑚2
= 0.062 ∙ √35 ∙
= 0.262 [
] ≥ 0.250 [
]
𝑠
𝑚𝑚
𝑚𝑚
420
𝑚𝑚2
𝑚𝑚2
Como 1.798 [ 𝑚𝑚 ] > 0.262 [ 𝑚𝑚 ], la armadura mínima no controla.
Se selecciona el diámetro del estribo.
Para
Para
Para
𝜙 8 𝑚𝑚
𝜙 10 𝑚𝑚
𝜙 12 𝑚𝑚
𝐴𝑣+𝑡 = 100.6 [𝑚𝑚2 ]
𝐴𝑣+𝑡 = 157.0 [𝑚𝑚2 ]
𝐴𝑣+𝑡 = 226.2 [𝑚𝑚2 ]
(dos ramas)
(dos ramas)
(dos ramas)
𝑠 = 56 [𝑚𝑚]
𝑠 = 87 [𝑚𝑚]
𝑠 = 126 [𝑚𝑚]
Espaciamiento máximo.
𝑠≤
𝑝ℎ 1500
=
= 188 [𝑚𝑚] ≤ 300 [𝑚𝑚]
8
8
Para corte.
𝑉𝑠 =
𝑉𝑢
148.1
− 𝑉𝑐 =
− 162.93 = 34.54 [𝑘𝑁]
𝜙
0.75
0.33 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 = 0.33 ∙ √35 ∙
300 ∙ 540
= 316.27 [𝑘𝑁]
1000
Como 𝑉𝑠 = 37.8 [𝑘𝑁] ≤ 316.27 [𝑘𝑁] la separación máxima de los estribos es:
𝑠≤
𝑑 540
=
= 270 [𝑚𝑚] ≤ 600 [𝑚𝑚]
2
2
Por lo tanto 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 188 [𝑚𝑚]
Se utilizan estribos cerrados 𝜙12 𝑐/125
f)
Refuerzo longitudinal por torsión.
Se calcula el refuerzo longitudinal que se requiere como complemento al refuerzo transversal hallado.
476
Vigas – Resistencia a torsión
𝐴ℓ =
𝑓𝑦𝑡
𝐴𝑡
∙ 𝑝ℎ ∙
∙ 𝑐𝑜𝑡 2 𝜃
𝑠
𝑓𝑦
𝐴𝑡
= 0.823 (Valor calculado en el inciso d)
𝑠
2
2
2
ℓ = 0.823 ∙ 1500 ∙ 𝑐𝑜𝑡 45° = 1235 [𝑚𝑚 ] = 12.4 [𝑐𝑚 ]
𝐴ℓ𝑚𝑖𝑛 =
𝑓𝑦𝑡
𝑓𝑦𝑡
0.42 ∙ √𝑓𝑐′
𝐴𝑡
0.42 ∙ √𝑓𝑐′
0.175 ∙ 𝑏𝑤
∙ 𝐴𝑐𝑝 − ( ) ∙ 𝑝ℎ ∙ ( ) ≤
∙ 𝐴𝑐𝑝 − (
) ∙ 𝑝ℎ ∙ ( )
𝑓𝑦
𝑠
𝑓𝑦
𝑓𝑦
𝑓𝑦𝑡
𝑓𝑦
𝐴ℓ𝑚𝑖𝑛 =
0.42 ∙ √35
0.42 ∙ √35
300
∙ 252000 − 0.823 ∙ 1500 ≤
∙ 252000 − 0.175 ∙
∙ 1500
420
420
420
𝐴ℓ𝑚𝑖𝑛 = 256 [𝑚𝑚2 ] ≤ 1303 [𝑚𝑚2 ]
Por tanto:
𝐴ℓ𝑚𝑖𝑛 = 2.56 [𝑐𝑚2 ]
Como la armadura mínima 𝐴ℓ𝑚𝑖𝑛 es menor a la requerida, entonces controla la armadura longitudinal 𝐴ℓ .
𝐴ℓ = 12.4 [𝑐𝑚2 ]
Por las dimensiones de la viga se requieren por lo menos 6 barras.
Condiciones para el diámetro de la barra 𝑑𝑏 :
𝑑𝑏 ≥ 100 [𝑚𝑚]
𝑑𝑏 ≥ 0.042 ∙ 𝑠 = 0.042 ∙ 125 = 5.2 [𝑚𝑚]
Se utilizan 6𝜙16 cuya área de 12.06 [𝑐𝑚2 ] es aproximadamente igual a la requerida de 𝐴ℓ = 12.4 [𝑐𝑚2 ].
3.05 [𝑐𝑚2 ]
2𝜙16
3.05 [𝑐𝑚2 ]
3.05 [𝑐𝑚2 ]
2𝜙16
2𝜙16
𝐸𝜙12 𝑐/125
3.05 [𝑐𝑚2 ]
477
Diseño de estructuras de hormigón armado
11.7. Problemas propuestos
1. Una viga en voladizo de 2500 [𝑚𝑚] de largo y de 450 [𝑚𝑚] de ancho soporta además de su peso
propio una carga concentrada localizada a 110 [𝑚𝑚] del eje vertical de la misma. La carga
concentrada está compuesta por las siguientes cargas de servicio: 70 [𝑘𝑁] de carga muerta y 90 [𝑘𝑁]
de carga viva. Diseñar el refuerzo necesario para flexión, corte y torsión. Utilizar un acero con tensión
de fluencia de 420 [𝑀𝑃𝑎] y un hormigón con resistencia característica a los 28 días de 25 [𝑀𝑃𝑎]. La
deflexión inmediata por carga viva no debe exceder ℓ/360. Dibujar la sección transversal crítica
detallando la posición y diámetro de las armaduras encontradas. La distribución de la armadura debe
tener en cuenta el control de agrietamiento.
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑐′ = 25 [𝑀𝑃𝑎]
𝑐 = 24 [𝑘𝑁/𝑚3 ]
2500
Dimensiones en [𝑚𝑚]
𝑃𝐷 + 𝑃𝐿
110
ℎ
450
Sección Transversal
2. Una escalera helicoidal tiene sus dos extremos empotrados y tiene un desarrollo de 270°. Por
requerimientos arquitectónicos el ancho de la escalera ha sido fijado en 2000 [𝑚𝑚] y su radio, al
centro del ancho de la escalera, es de 1950 [𝑚𝑚]. La altura de piso a piso es de 3500 [𝑚𝑚]. El
hormigón tiene una resistencia característica a los 28 días de 20 [𝑀𝑃𝑎] y el acero una tensión mínima
de fluencia de 420 [𝑀𝑃𝑎]. Considerar para el diseño todas las cargas muertas que a su juicio sean
necesarias y una carga viva de servicio de 2.85 [𝑘𝑁/𝑚2 ].
a) Dibujar los diagramas de esfuerzos (𝑃𝑥 , 𝑀𝑦 , 𝑀𝑧 , 𝑉𝑦 , 𝑉𝑧 y 𝑇𝑥 ) para las cargas últimas.
b) Determinar la altura mínima ℎ de la sección transversal de tal modo que las tensiones de corte
producidas por las fuerzas cortantes y de torsión estén dentro de los límites especificados por el
código ACI.
c) Determinar las armaduras transversal y longitudinal que requiere la sección transversal para
resistir los momentos torsores 𝑇𝑥 y los esfuerzos cortantes 𝑉𝑦 y 𝑉𝑧 . Realizar el diseño en diferentes
puntos a lo largo del desarrollo de la escalera.
478
Vigas – Resistencia a torsión
d) Determinar las armaduras longitudinales que requiere la sección transversal para resistir la fuerza
axial 𝑃𝑥 y los momentos flectores 𝑀𝑦 y 𝑀𝑧 . Realizar el diseño en diferentes puntos a lo largo del
desarrollo de la escalera.
e) Dibujar la sección o secciones transversales críticas detallando la armadura transversal y
longitudinal.
Sección transversal de la escalera helicoidal
Z
X
Y
ℎ
2000 [𝑚𝑚]
3. La vista en planta de una columna con su viga de borde se muestran abajo. El ancho de la viga de
borde es el mismo que el de la columna (450 [𝑚𝑚]).
450
450
𝑓𝑐′ = 30 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
a) Si la viga de borde es sujeta a un torque de compatibilidad de 22.6 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] en la sección crítica,
¿Qué tan alta debe ser esta viga para que los efectos de la torsión sean ignorados?
b) Si la viga de borde tiene 610 [𝑚𝑚] de alto y 450 [𝑚𝑚] de ancho y está sujeta a un torque de
compatibilidad de 22.6 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] en la sección crítica, ¿Cuál es el torque de diseño 𝑇𝑢 ?
¿Cuál es el área de refuerzo por torsión transversal (𝐴𝑡 /𝑠) que se necesita en la sección crítica para la viga
del inciso b)?
479
CAPÍTULO 12
LOSAS ARMADAS EN DOS DIRECCIONES
12. Losas armadas en dos direcciones
12.1. Introducción
Las losas son los elementos estructurales más complejos de uso común en el diseño de estructuras de
hormigón armado. El análisis de estos elementos es complejo por las siguientes razones:
a) Aunque se asume un comportamiento lineal, elástico, homogéneo e isotrópico, muy pocas
soluciones exactas están disponibles para los casos más comunes.
b) Las losas reales de hormigón armado están agrietadas y tienen un refuerzo de acero con
disposiciones no uniformes, por lo que plantear una solución exacta es imposible.
Sin embargo, el grado elevado de indeterminación de las losas hace posible una gran cantidad de
redistribución inelástica de momentos. Esto a su vez posibilita el desarrollo de varios métodos
aproximados para el análisis y diseño de losas. En la actualidad las losas que trabajan en dos direcciones
pueden ser analizadas por uno o más de los siguientes procedimientos:

Análisis elástico exacto de casos simples.

Adaptación de los resultados del análisis elástico para diseñar las losas utilizando la
experiencia (métodos de diseño directo).

Método del pórtico equivalente para losas irregulares.

Teoría de las líneas de fisura.

Método de las franjas.

Programas de análisis estructural utilizando elementos tipo barra.
481
Diseño de estructuras de hormigón armado
Método de los elementos finitos.

12.2. Análisis exacto de losas
Para realizar un análisis exacto de losas es importante definir primero las suposiciones sobre las cuales se
va a trabajar. Las suposiciones que se adoptan comúnmente son las siguientes:
a) La placa es horizontal y las cargas actúan en forma vertical y perpendicular al plano de la misma.
b) El material que compone la placa es homogéneo y la placa tiene un espesor uniforme.
c) La placa tiene un espesor intermedio (no muy delgado, ni tampoco muy grueso). El
comportamiento de una placa depende primordialmente de su espesor, puesto que en placas muy
delgadas la acción principal es la de membrana, mientras que en placas muy gruesas es el esfuerzo
cortante. En consecuencia, en placas de espesor intermedio la acción más importante es la flexión.
d) Las secciones planas antes de la aplicación de las cargas se mantienen planas una vez aplicadas las
mismas, por tanto se asume una distribución lineal de las deformaciones en todo el espesor de la
placa.
e) El material tiene un comportamiento lineal y elástico para que la ley de Hooke se cumpla.
f) Las deflexiones de la losa son pequeñas, por lo que el equilibrio se lo realiza sobre la geometría
original.
Para estudiar el comportamiento de una losa se va a analizar un elemento diferencial 𝑑𝑥 · 𝑑𝑦 sometido a
una carga 𝑞 uniformemente distribuida. El elemento tiene un comportamiento elástico lineal y se asume
que sus deflexiones son pequeñas y por ello se realiza el equilibrio en la posición original.
Se realiza el equilibrio del elemento de placa.
∑ 𝐹𝑣 = 0
+
𝑞 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 + (𝑉𝑦 +
𝑞 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 +
𝑞+
482
𝜕𝑉𝑦
𝜕𝑉𝑥
∙ 𝑑𝑦) ∙ 𝑑𝑥 + (𝑉𝑥 +
∙ 𝑑𝑥) ∙ 𝑑𝑦 − 𝑉𝑥 ∙ 𝑑𝑦 − 𝑉𝑦 ∙ 𝑑𝑥 = 0
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑉𝑦
𝜕𝑉𝑥
∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 +
∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 = 0
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑉𝑦 𝜕𝑉𝑥
+
=0
𝜕𝑦
𝜕𝑥
(12.1)
Losas armadas en dos direcciones
𝑑𝑥
𝑚𝑦𝑥 ∙ 𝑑𝑥
𝑚𝑦 ∙ 𝑑𝑥
Z
X
𝑉𝑦 ∙ 𝑑𝑥
𝑚𝑥 ∙ 𝑑𝑦
𝑑𝑦
(𝑚𝑥𝑦 +
𝑚𝑥𝑦 𝑑𝑦
𝑉𝑥 ∙ 𝑑𝑦
(𝑉𝑥 +
𝑞 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦
𝜕𝑉𝑥
∙ 𝑑𝑥) ∙ 𝑑𝑦
𝜕𝑥
(𝑚𝑥 +
(𝑉𝑦 +
𝜕𝑚𝑥𝑦
∙ 𝑑𝑥) ∙ 𝑑𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑚𝑥
∙ 𝑑𝑥) ∙ 𝑑𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑉𝑦
∙ 𝑑𝑦) ∙ 𝑑𝑥
𝜕𝑦
(𝑚𝑦 +
𝜕𝑚𝑦
∙ 𝑑𝑦) ∙ 𝑑𝑥
𝜕𝑦
Y
(𝑚𝑦𝑥 +
𝜕𝑚𝑦𝑥
∙ 𝑑𝑦) ∙ 𝑑𝑥
𝜕𝑦
Fig. 12.1. Equilibrio del elemento de placa
∑ 𝑀𝑥 = 0
+
𝜕𝑚𝑦
𝜕𝑉𝑦
𝜕𝑚𝑥𝑦
∙ 𝑑𝑦) ∙ 𝑑𝑥 + 𝑚𝑦 ∙ 𝑑𝑥 + (𝑉𝑦 +
∙ 𝑑𝑦) ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 − (𝑚𝑥𝑦 +
∙ 𝑑𝑥) ∙ 𝑑𝑦 + ⋯
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝜕𝑉𝑥
𝑑𝑦
… + 𝑚𝑥𝑦 ∙ 𝑑𝑦 + 𝑞 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ ( ) − 𝑉𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ ( ) + (𝑉𝑥 +
∙ 𝑑𝑥) ∙ 𝑑𝑦 ∙ ( ) = 0
2
2
𝜕𝑥
2
− (𝑚𝑦 +
483
Diseño de estructuras de hormigón armado
−
𝜕𝑚𝑦
𝜕𝑉𝑦
𝜕𝑚𝑥𝑦
𝑑𝑦 2 𝜕𝑉𝑥
𝑑𝑦 2
∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 + 𝑉𝑦 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 +
∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 2 −
∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 + 𝑞 ∙ 𝑑𝑥 ∙
+
∙ 𝑑𝑥 ∙
=0
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑥
2
2
−
𝜕𝑚𝑦
𝜕𝑚𝑥𝑦
∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 + 𝑉𝑦 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 −
∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 = 0
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝑉𝑦 =
𝜕𝑚𝑦 𝜕𝑚𝑥𝑦
+
𝜕𝑦
𝜕𝑥
∑ 𝑀𝑦 = 0
(12.2)
+
𝜕𝑉𝑥
𝑑𝑥
𝜕𝑚𝑥
∙ 𝑑𝑥) ∙ 𝑑𝑦 − (𝑉𝑥 +
∙ 𝑑𝑥) ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑥 − 𝑞 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ ( ) − 𝑚𝑦𝑥 ∙ 𝑑𝑥 + ⋯
𝜕𝑥
2
𝜕𝑥
𝜕𝑚𝑦𝑥
𝜕𝑉𝑦
𝑑𝑥
… + (𝑚𝑦𝑥 +
∙ 𝑑𝑦) ∙ 𝑑𝑥 − (𝑉𝑦 +
∙ 𝑑𝑦) ∙ 𝑑𝑥 ∙ ( ) = 0
𝜕𝑦
𝜕𝑦
2
−𝑚𝑥 ∙ 𝑑𝑦 + (𝑚𝑥 +
𝜕𝑉𝑦
𝜕𝑚𝑥
𝜕𝑉𝑥
𝑑𝑥 2 𝜕𝑚𝑦𝑥
𝑑𝑥 2
∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 − 𝑉𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑥 −
∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑥 2 − 𝑞 ∙ 𝑑𝑦 ∙
+
∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 −
∙ 𝑑𝑦 ∙
=0
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑦
2
2
𝜕𝑚𝑦𝑥
𝜕𝑚𝑥
∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 − 𝑉𝑥 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 +
∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 = 0
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝑉𝑥 =
𝜕𝑚𝑥 𝜕𝑚𝑦𝑥
+
𝜕𝑥
𝜕𝑦
(12.3)
Derivando las ecuaciones (12.2) y (12.3) se obtienen las ecuaciones (12.4) y (12.5) que luego son
reemplazadas en la ecuación (12.1) para obtener la ecuación (12.6).
𝜕𝑉𝑦 𝜕 2 𝑚𝑦 𝜕 2 𝑚𝑥𝑦
=
+
𝜕𝑦
𝜕𝑦 2
𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑦
(12.4)
𝜕𝑉𝑥 𝜕 2 𝑚𝑥 𝜕 2 𝑚𝑦𝑥
=
+
𝜕𝑥
𝜕𝑥 2
𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑦
(12.5)
𝑞+
𝜕 2 𝑚𝑦 𝜕 2 𝑚𝑥𝑦 𝜕 2 𝑚𝑥 𝜕 2 𝑚𝑥𝑦
+
+
+
=0
𝜕𝑦 2
𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑦
𝜕𝑥 2
𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑦
(12.6)
Como 𝑚𝑥𝑦 = 𝑚𝑦𝑥 , la ecuación (12.6) puede ser simplificada y así obtener la ecuación (12.7).
𝜕 2 𝑚𝑥𝑦 𝜕 2 𝑚𝑦
𝜕 2 𝑚𝑥
+
2
∙
+
= −𝑞
𝜕𝑥 2
𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑦
𝜕𝑦 2
484
(12.7)
Losas armadas en dos direcciones
Esta ecuación fue hallada considerando solamente el equilibrio y es independiente del estado de
elasticidad o plasticidad del material, del módulo de Poisson y si la placa es isotrópica u ortotrópica.
Ahora, se impone la condición de que las secciones planas se mantienen planas y se hallan los
desplazamientos de la placa.
X
Posición original
𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥
Z
Fig. 12.2. Desplazamiento del elemento de placa
𝑢 = −𝑧 ∙
𝜕𝑤
𝜕𝑥
(12.8)
Similarmente se puede hallar que el desplazamiento 𝑣 es:
𝑣 = −𝑧 ∙
𝜕𝑤
𝜕𝑦
(12.9)
Donde:
𝑢 = Desplazamiento en la dirección de X.
𝑣 = Desplazamiento en la dirección de Y.
𝑤 = Desplazamiento en la dirección de Z.
Con base a los desplazamientos de la placa, se pueden hallar las deformaciones 𝜀𝑥𝑥 , 𝜀𝑦𝑦 y 𝜀𝑥𝑦 .
485
Diseño de estructuras de hormigón armado
Y
𝜕𝑢
𝜕𝑣
𝜀𝑥𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑣
𝜀𝑥𝑦
X
𝜕𝑥
𝜕𝑢
Fig. 12.3. Deformación angular en el elemento de placa
𝜕2𝑤
𝜕𝑢
= −𝑧 ∙ 2
𝜀𝑥𝑥 =
𝜕𝑥
𝜕𝑥
(12.10)
𝜀𝑦𝑦 =
𝜕𝑣
𝜕2𝑤
= −𝑧 ∙ 2
𝜕𝑦
𝜕𝑦
(12.11)
𝜀𝑥𝑦 =
1 𝜕𝑢 𝜕𝑣
𝜕2𝑤
1
𝜕2𝑤
𝜕2𝑤
∙ ( + ) = ∙ (−𝑧 ∙
−𝑧∙
) = −𝑧 ∙
2 𝜕𝑦 𝜕𝑥
𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑦
2
𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑦
𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑦
(12.12)
Si se expresan las tensiones en función de las deformaciones se obtienen las siguientes ecuaciones:
𝜀𝑥𝑥 =
1
∙ (𝜎𝑥𝑥 −∙ 𝜎𝑦𝑦 )
𝐸
(12.13)
𝜀𝑦𝑦 =
1
∙ (𝜎𝑦𝑦 − 𝜈 ∙ 𝜎𝑥𝑥 )
𝐸
(12.14)
𝜀𝑥𝑦 =
𝜎𝑥𝑦
=
2∙𝐺 2∙
(12.15)
486
𝜎𝑥𝑦
1+𝜈
=
∙ 𝜎𝑥𝑦
𝐸
𝐸
2 ∙ (1 + 𝜈)
Losas armadas en dos direcciones
𝜎𝑦𝑦
𝜎𝑥𝑥
𝜎𝑥𝑥
𝜎𝑦𝑦
Fig. 12.4. Esfuerzos normales en el elemento de placa
Ordenando las deformaciones en forma matricial.
𝜀𝑥𝑥
1
1
𝜀
{ 𝑦𝑦 } = ∙ [−𝜐
𝐸
𝜀𝑥𝑦
0
−𝜐
1
0
𝜎𝑥𝑥
0
𝜎
0 ] ∙ { 𝑦𝑦 }
𝜎𝑥𝑦
1+𝜐
(12.16)
Despejando las tensiones obtenemos.
𝜎𝑥𝑥 =
𝐸
∙ (𝜀𝑥𝑥 + 𝜐 ∙ 𝜀𝑦𝑦 )
1 − 𝜐2
(12.17)
𝜎𝑦𝑦 =
𝐸
∙ (𝜀𝑦𝑦 + 𝜐 ∙ 𝜀𝑥𝑥 )
1 − 𝜐2
(12.18)
𝜎𝑥𝑦 =
𝐸
∙𝜀
1 + 𝜐 𝑥𝑦
(12.19)
Reemplazando los términos de las deformaciones en las ecuaciones de las tensiones se obtienen las
siguientes ecuaciones:
𝜎𝑥𝑥 = −
𝐸∙𝑧
𝜕2𝑤
𝜕2𝑤
∙
[
+
𝜐
∙
]
1 − 𝜐 2 𝜕𝑥 2
𝜕𝑦 2
(12.20)
487
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝜎𝑦𝑦 = −
𝐸∙𝑧
𝜕2𝑤
𝜕2𝑤
∙
[
+
𝜐
∙
]
1 − 𝜐 2 𝜕𝑦 2
𝜕𝑥 2
(12.21)
𝜎𝑥𝑦 = −
𝐸 ∙ 𝑧 𝜕2𝑤
∙
1 + 𝜐 𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑦
(12.22)
Si se expresan los momentos 𝑚𝑥 , 𝑚𝑦 y 𝑚𝑥𝑦 en términos de las tensiones se obtienen las siguientes
ecuaciones:
𝑡
2
𝜕2𝑤
𝜕2𝑤
+
𝜐
∙
)
𝜕𝑦 2
𝜕𝑥 2
(12.23)
𝜕2𝑤
𝜕2𝑤
𝑚𝑦 = ∫ 𝑧 ∙ 𝜎𝑦𝑦 𝑑𝑧 = −𝐷 ∙ ( 2 + 𝜐 ∙ 2 )
𝑡
𝜕𝑦
𝜕𝑥
−
(12.24)
𝑚𝑥 = ∫ 𝑧 ∙ 𝜎𝑥𝑥 𝑑𝑧 = −𝐷 ∙ (
−
𝑡
2
𝑡
2
2
𝑡
2
𝑚𝑥𝑦 = ∫ 𝑧 ∙ 𝜎𝑥𝑦 𝑑𝑧 = −𝐷 ∙ (1 − 𝜈) ∙
−
𝑡
2
𝜕2𝑤
𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑦
(12.25)
Donde:
𝐷=
𝐸∙𝐼
𝐸 ∙ 𝑡3
=
(1 − 𝜈 2 ) 12 ∙ (1 − 𝜈 2 )
(12.26)
Finalmente, substituyendo las ecuaciones (12.23), (12.24) y (12.25) en la ecuación original de equilibrio
se obtiene la ecuación que define el comportamiento de las placas de espesor intermedio.
−𝑞 =
𝜕 2 𝑚𝑥𝑦 𝜕 2 𝑚𝑦
𝜕 2 𝑚𝑥
+
2
∙
+
𝜕𝑥 2
𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑦
𝜕𝑦 2
−𝑞 = −𝐷 ∙ (
(12.27)
𝜕4𝑤
𝜕4𝑤
𝜕4𝑤
𝜕4𝑤
𝜕4𝑤
(1
+
𝜈
∙
−
2
∙
𝐷
∙
−
𝜈)
∙
−
𝐷
∙
+
𝜈
∙
)
(
)
𝜕𝑥 4
𝜕𝑥 2 ∙ 𝜕𝑦 2
𝜕𝑥 2 ∙ 𝜕𝑦 2
𝜕𝑦 4
𝜕𝑥 2 ∙ 𝜕𝑦 2
𝑞 𝜕4𝑤
𝜕4𝑤
𝜕4𝑤
=
+
2
∙
+
𝐷 𝜕𝑥 4
𝜕𝑥 2 ∙ 𝜕𝑦 2 𝜕𝑦 4
(12.28)
Para resolver la ecuación de la placa se deben considerar las diferentes condiciones de borde que ésta
pueda presentar. Por lo tanto, se pueden distinguir los siguientes tipos de borde en una placa.
a) Borde empotrado
𝑤=0
488
Losas armadas en dos direcciones
𝜕𝑤
𝜕𝑤
= 0 o 𝜕𝑦 = 0 como sea apropiado
𝜕𝑥
b) Borde libre
𝑚𝑥 = 0, 𝑉𝑥 = 0 y 𝑚𝑥𝑦 = 0 si el borde en 𝑥 está libre
𝑚𝑦 = 0, 𝑉𝑦 = 0 y 𝑚𝑥𝑦 = 0 si el borde en 𝑦 está libre
c) Borde simplemente apoyado
𝑤=0
𝑚𝑥 = 0 o 𝑚𝑦 = 0 como sea apropiado
Nota: Existen momentos de torsión en bordes simplemente apoyados
La ecuación que gobierna el comportamiento de las placas puede ser resuelta con las condiciones de
contorno apropiadas y utilizando alguna de las siguientes técnicas:




Solución exacta (Solamente aplicable en casos excepcionales).
Utilización de series.
Métodos numéricos (Diferencias finitas, Elementos finitos, etc.).
Soluciones aproximadas (Analogía del enrejado).
12.2.1. Análisis de resultados típicos
En el presente acápite se muestran resultados típicos obtenidos con la ecuación (12.28) en losas
cuadradas y rectangulares sometidas a carga uniformemente repartida y que tienen diferentes condiciones
de borde.
En las figuras que siguen se puede distinguir tres tipos de apoyos: simplemente apoyado, libre y
empotrado. El borde simplemente apoyado permite el giro, pero no los desplazamientos laterales, el borde
libre permite el giro y desplazamientos laterales y el borde empotrado no permite giro, ni tampoco
desplazamientos laterales.
Tipos de bordes:
Borde simplemente apoyado
Borde libre
Borde empotrado
489
Diseño de estructuras de hormigón armado
Para 𝑎/𝑏 = 1
𝑎
(0.0479𝑞𝑏 2 )
0.0368𝑞𝑏 2
𝑏
promedio
0.0236𝑞𝑏 2
𝑏/2
𝑎
Sección transversal
Fig. 12.5. Losa cuadrada simplemente apoyada en sus cuatro lados
Para 𝑎/𝑏 = 2
𝑎
(0.1016𝑞𝑏 2 )
0.0964𝑞𝑏 2
𝑏
0.0174𝑞𝑏 2
(0.0464𝑞𝑏2 )
Fig. 12.6. Losa rectangular simplemente apoyada en sus cuatro lados
Los valores que se muestran sin paréntesis corresponden a los resultados encontrados considerando un
coeficiente de Poisson 𝜐 igual a 0, mientras los valores entre paréntesis fueron hallados para un coeficiente
de Poisson 𝜐 igual a 0.3. Los diagramas que se muestran representan la variación de los momentos a
través de la sección transversal y no a lo largo de esa línea.
490
Losas armadas en dos direcciones
El efecto del coeficiente de Poisson 𝜐 sobre la magnitud de los momentos flectores en cualquier punto de
la losa puede ser fácilmente calculado utilizando las siguientes ecuaciones.
𝑚𝑥 = 𝑚𝑥𝜈=0 + 𝜐 ∙ 𝑚𝑦𝜐=0
(12.29)
𝑚𝑦 = 𝑚𝑦𝜈=0 + 𝜐 ∙ 𝑚𝑥𝜐=0
(12.30)
Ejemplo. En la losa de la anterior figura se muestran los valores de los momentos flectores para un
coeficiente de Poisson 𝜈 igual a 0. Tomando en cuenta esos momentos, calcular los momentos 𝑚𝑥 y 𝑚𝑦
en el centro de la losa considerando un coeficiente de Poisson 𝜈 igual a 0.3.
𝑚𝑦 = 0.0964 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 + 0.3 ∙ 0.0174 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 = 0.1016 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2
𝑚𝑥 = 0.0174 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 + 0.3 ∙ 0.0964 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 = 0.0464 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2
Solo se necesita conocer la solución de los momentos flectores para un coeficiente de Poisson 𝜈 de 0 y a
partir de eso se pueden calcular nuevos momentos para cualquier otro valor del coeficiente de Poisson.
Para 𝑎/𝑏 = 1
𝑎
0.0513 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2
0.0175 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2
𝑏
promedio
0.0290 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2
promedio
0.0096 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2
Fig. 12.7. Losa cuadrada empotrada en sus cuatro lados
491
Diseño de estructuras de hormigón armado
Para 𝑎/𝑏 = 2
𝑎
0.0829 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2
0.039 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2
𝑏
0.0571 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2
0.004 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2
Fig. 12.8. Losa rectangular empotrada en sus cuatro lados
Para 𝑎/𝑏 = 1
𝑎
0.0840 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2
0.0318 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2
𝑏
0.0243 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2
Fig. 12.9. Losa cuadrada empotrada en un lado y apoyada en tres lados
492
Losas armadas en dos direcciones
Para 𝑎/𝑏 = 1
𝑎
0.0647 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2
0.0284 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2
𝑏
0.0158 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2
Fig. 12.10. Losa cuadrada empotrada en dos lados y apoyada en dos lados
Para 𝑎/𝑏 = 1
𝑎
0.0694 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2
𝑏
0.0252 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2
0.4 ∙ 𝑎
Fig. 12.11. Losa cuadrada empotrada en dos lados y libre en dos lados
493
Diseño de estructuras de hormigón armado
Para 𝑎/𝑏 = 1
𝑎
0.0596 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2
𝑎/3
0.0617 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2
𝑏
0.0551 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2
0.0168 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2
Fig. 12.12. Losa cuadrada empotrada en tres lados y apoyada en un lado
Para 𝑎/𝑏 = 1
𝑎
0.083 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2
0.060 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2
𝑏
0.055 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2
0.0417 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2
0.0283 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2
Fig. 12.13. Losa cuadrada empotrada en tres lados y libre en un lado
494
Losas armadas en dos direcciones
Para 𝑎/𝑏 = 1
𝑎
0.086 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2
0.112 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2
𝑏
0.0165 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2
Fig. 12.14. Losa cuadrada apoyada tres lados y libre en un lado
Observaciones:
a) Comportamiento de la losa simplemente apoyada.
Para entender mejor el comportamiento de losas que trabajan en dos direcciones, se analizará la losa de la
siguiente figura que presenta sus cuatro lados simplemente apoyados.
𝑎
Y
X
𝑏
Fig. 12.15. Losa cuadrada simplemente apoyada con carga uniformemente repartida
Si una losa que actúa en dos direcciones es analizada como una losa en una dirección, entonces se debe
calcular esa losa para el siguiente momento.
𝑚𝑚𝑎𝑥 =
𝑞 ∙ 𝑏2
8
(12.31)
Si se idealiza la losa como dos fajas que se cruzan, cada una de las fajas debe resistir la mitad del
momento.
495
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑚𝑚𝑎𝑥 =
1 𝑞 ∙ 𝑏2
∙
= 0.0625 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2
8
2
(12.32)
Pero, en realidad el momento máximo para una losa apoyada en sus cuatro lados es 0.0368 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 ,
porque los momentos torsores transfieren el momento de una sección a otra.
Hay que notar que existen unos momentos diagonales en las esquinas que provocan que éstas se levanten.
Si este movimiento es restringido se forman fisuras diagonales y para evitar que estas fisuras tengan un
ancho muy notorio, se debe colocar una malla de acero diagonal u ortogonal tal como se muestra en la
siguiente figura.
Armadura
inferior
Armaduras superior
e inferior
Armadura
superior
Fig. 12.16. Detalle de armadura en esquina de una losa simplemente apoyada
b) Comportamiento de una losa simplemente apoyada con la relación 𝑎/𝑏 = 2.
𝑎
Y
X
𝑏
Fig. 12.17. Losa rectangular simplemente apoyada con carga uniformemente repartida
496
Losas armadas en dos direcciones
0.0964 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2
Fig. 12.18. Distribución del momento en la dirección más corta
A medida que la relación a/b tiende a un valor muy grande, el momento máximo en la dirección corta
tiende al valor límite de 0.125 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2.
0.0257 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2
0.0174 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2
Fig. 12.19. Distribución del momento en la dirección más larga
Los momentos en la dirección larga son mayores cerca de los apoyos que a medio tramo, porque a medio
tramo las deflexiones no cambian mucho en la dirección de X.
c) Comportamiento de la losa empotrada.
Con base a los diagramas de distribución de momentos mostrados en las figuras anteriores, es posible
hallar la forma y los valores correspondientes a los momentos flectores para distintas secciones en la losa.
497
Diseño de estructuras de hormigón armado
A
0.0513𝑞𝑏 2
0.0513 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2
0.0175 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2
0.0175 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2
0.0513 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2
A
Sección A - A
Fig. 12.20. Diagrama de momentos para una losa empotrada en sus cuatro lados
Se debe notar que los momentos dependen de las condiciones de borde. La rigidez del soporte depende de
la rigidez a la flexión 𝐸 ∙ 𝐼 y de la rigidez a la torsión 𝐺 ∙ 𝐽 de las vigas de borde. Las vigas de borde con
una rigidez a la flexión 𝐸 ∙ 𝐼 grande pero con una rigidez a la torsión 𝐺 ∙ 𝐽 pequeña representan a bordes
articulados, mientras que vigas de borde con 𝐸 ∙ 𝐼 y 𝐺 ∙ 𝐽 grandes representan bordes empotrados.
d) Equilibrio general de la losa simplemente apoyada con carga uniformemente distribuida.
Si se considera el equilibrio de la losa simplemente apoyada en sus cuatro lados sometida a una carga
uniformemente distribuida se puede observar que las vigas de borde deben soportar parte del momento
para mantener el equilibrio de la estructura.
𝑎
0.0368 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2
𝑏
a) Momento promedio a medio tramo
498
𝑎
∫ 𝑚𝑦 𝑑𝑥
0.0236 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 = 0
𝑎
2
Losas armadas en dos direcciones
𝑎
1
1
0.50 ∙ 𝑞 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏
𝑏/2
Momento en losa
Momentos en las vigas de borde
b) Reacciones que soportan las vigas de borde
Fig. 12.21. Equilibrio de una losa cuadrada simplemente apoyada
El diagrama de cuerpo libre de media losa muestra las cargas y reacciones que en ella se presentan. Es
importante notar que no existen fuerzas cortantes a medio tramo de la losa puesto que éstas son cero por la
simetría de la estructura.
∑ 𝑀𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 = 0
→
(Alrededor del eje 1-1)
𝑞∙𝑎∙𝑏 𝑏
∙ ( ) = 0.0236 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 ∙ 𝑎 + 2 ∙ 𝑀𝑣𝑖𝑔𝑎
2
4
0.125 ∙ 𝑞 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 2 = 0.0236 ∙ 𝑞 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 2 + 2 ∙ 𝑀𝑣𝑖𝑔𝑎
𝑀𝑣𝑖𝑔𝑎 = 0.0507 ∙ 𝑞 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 2
(12.33)
Como se puede apreciar en el diagrama de cuerpo libre de la losa, las vigas de borde deben absorber una
parte del momento estático. El momento estático 0.125 ∙ 𝑞 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 2 debe mantenerse en ambas direcciones
de la losa y para cualquier condición de apoyo que ésta presente.
12.3. Losas en dos direcciones soportadas en sus cuatro lados
Las losas soportadas en sus cuatro lados distribuyen la carga en sus dos direcciones, por lo tanto cuando
éstas son cargadas se doblan formando una superficie semiesférica en vez de una cilíndrica como en el
caso de losas apoyadas en dos de sus lados paralelos (losas armadas en una sola dirección). Esto significa
que la losa en cualquier punto presenta flexión en ambas direcciones principales y como los momentos
flectores son proporcionales a las curvaturas, entonces también existen momentos en ambas direcciones.
Para resistir estos momentos, la losa debe estar reforzada en ambas direcciones por al menos dos capas de
barras perpendiculares, en consecuencia la losa debe ser diseñada para resistir una porción de la carga en
cada dirección.
499
Diseño de estructuras de hormigón armado
Las losas que tienen acción en dos direcciones son aquellas apoyadas sobre muros, vigas de acero o vigas
de hormigón armado de gran canto vaciadas monolíticamente con la losa. Si las vigas de hormigón
armado son de pequeño canto o no existen como en el caso de losas planas y entramados en dos
direcciones sin vigas, la deformación del sistema de piso a lo largo de las líneas de las columnas altera
significativamente la distribución de momentos en el mismo panel.
En este acápite se considera un método de cálculo de losas en dos direcciones apoyadas sobre soportes
continuos con la suficiente rigidez para no desplazarse significativamente.
𝑠1
𝑙1
ℓ𝑎
ℓ𝑏
a) Flexión de las franjas centrales de la losa
𝑙1
𝑠2
𝑙2
𝑠1
𝑠2
𝑙2
ℓ𝑎
ℓ𝑏
b) Modelo de emparrillado de la losa
Fig. 12.22. Losa en dos direcciones simplemente apoyada en sus cuatro lados
La figura 12.22 (a) muestra las dos franjas centrales de una losa rectangular de dimensiones ℓ𝑎 y ℓ𝑏 . Si la
losa soporta una carga uniformemente repartida 𝑤 por metro cuadrado de losa, cada franja actúa como una
viga simplemente apoyada con su respectiva porción de la carga distribuida 𝑤. Debido a que estas franjas
imaginarias son parte de la misma losa monolítica, sus deflexiones deben ser las mismas en el punto de
intersección.
Si la parte de la carga 𝑤 soportada en la dirección corta es 𝑤𝑎 y en la dirección larga es 𝑤𝑏 se puede
plantear la siguiente ecuación.
500
Losas armadas en dos direcciones
5 𝑤𝑎 ∙ ℓ4𝑎
5 𝑤𝑏 ∙ ℓ4𝑏
∙
=
∙
384 𝐸 ∙ 𝐼
384 𝐸 ∙ 𝐼
𝑤𝑎 ∙ ℓ4𝑎 = 𝑤𝑏 ∙ ℓ4𝑏
𝑤𝑎 = (
ℓ𝑏 4
) ∙ 𝑤𝑏
ℓ𝑎
(12.34)
𝓵𝒃 /𝓵𝒂
𝒘𝒂
1
𝑤𝑏
1.5
5 ∙ 𝑤𝑏
2
16 ∙ 𝑤𝑏
3
81 ∙ 𝑤𝑏
4
256 ∙ 𝑤𝑏
Cuando la losa es cuadrada las cargas en ambas franjas se reparten en forma equitativa, mientras que
cuando la losa es rectangular y dependiendo de la relación ℓ𝑏 /ℓ𝑎 , la carga en la franja más corta es mucho
mayor que en la franja más larga. Cuando la relación de luces ℓ𝑏 /ℓ𝑎 no es superior a 2, se recomienda que
la losa sea diseñada para trabajar en dos direcciones y si ésta es superior a 2, la mayor parte de la carga es
resistida en la dirección más corta y es más económico diseñar la losa para que trabaje en una sola
dirección (dirección más corta).
La carga total 𝑤 se distribuye en las franjas corta y larga en una proporción que depende de la relación de
luces entre las mismas, pero por la condición de equilibrio la suma de las cargas de las franjas (𝑤𝑎 + 𝑤𝑏 )
debe dar como resultado el valor total de la carga 𝑤.
𝑤𝑎 + 𝑤𝑏 = 𝑤
(12.35)
𝑤𝑏 = 𝑤 − 𝑤𝑎
(12.36)
Reemplazando la ecuación (12.36) en la ecuación (12.34) se puede hallar la proporción de la carga 𝑤
que se distribuye en la dirección más corta.
𝑤𝑎 = (
ℓ𝑏 4
ℓ𝑏 4
ℓ𝑏 4
) ∙ (𝑤 − 𝑤𝑎 ) = ( ) ∙ 𝑤 − ( ) ∙ 𝑤𝑎
ℓ𝑎
ℓ𝑎
ℓ𝑎
ℓ 4
( 𝑏) ∙ 𝑤
ℓ
𝑤𝑎 = 𝑎
ℓ 4
1 + ( 𝑏)
ℓ𝑎
(12.37)
501
Diseño de estructuras de hormigón armado
Reemplazando la ecuación (12.37) en la ecuación (12.36) se puede hallar la proporción de la carga 𝑤
que se distribuye en la dirección más larga.
ℓ 4
ℓ 4
ℓ 4
( 𝑏) ∙ 𝑤 𝑤 + ( 𝑏) ∙ 𝑤 − ( 𝑏) ∙ 𝑤
ℓ
ℓ𝑎
ℓ𝑎
𝑤𝑏 = 𝑤 − 𝑎
4 =
4
ℓ
ℓ
1 + ( 𝑏)
1 + ( 𝑏)
ℓ𝑎
ℓ𝑎
𝑤
𝑤𝑏 =
ℓ 4
1 + ( 𝑏)
ℓ𝑎
(12.38)
𝓵𝒃
𝓵𝒂
𝒘𝒂
𝒘𝒃
1
0.5𝑤
0.5𝑤
1.5
0.835𝑤
0.165𝑤
2
0.941𝑤
0.059𝑤
3
0.988𝑤
0.012𝑤
4
0.996𝑤
0.004𝑤
A medida que la relación ℓ𝑏 /ℓ𝑎 sube, la carga que se distribuye en la dirección más corta 𝑤𝑎 tiende al
valor de 𝑤, mientras que la carga en la dirección más larga 𝑤𝑏 tiende a 0. Los resultados obtenidos
mediante el análisis del comportamiento de dos fajas transversales que se cruzan muestran de una manera
aproximada la distribución de las cargas en la dirección larga y corta, pero el comportamiento real es
mucho más complicado por la presencia de momentos torsores.
Si se calcula una losa cuadrada que está apoyada en sus cuatro lados utilizando diferentes criterios, se
puede observar el contraste que existe entre los resultados de los momentos flectores. La teoría de la
elasticidad presenta los momentos más bajos cuando la losa es analizada en dos direcciones, mientras que
si la losa es analizada en una sola dirección los momentos son más altos.
a) Losa calculada en una sola dirección.
ℓ𝑎 = ℓ𝑏 = ℓ
𝑤𝑎 = 𝑤
𝑚𝑥 =
502
1
∙ 𝑤 ∙ ℓ2 = 0.125 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2𝑏 = 0.125 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2
8 𝑎 𝑏
Losas armadas en dos direcciones
b) Losa calculada como dos franjas ortogonales en dos direcciones.
ℓ𝑎 = ℓ𝑏 = ℓ
𝑤𝑎 = 0.5 ∙ 𝑤
𝑤𝑏 = 0.5 ∙ 𝑤
1
𝑤
𝑚𝑥 = ∙ 𝑤𝑎 ∙ ℓ2𝑏 = 0.125 ∙ ∙ ℓ2𝑏 = 0.0625 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2
8
2
1
𝑤
𝑚𝑦 = ∙ 𝑤𝑏 ∙ ℓ2𝑎 = 0.125 ∙ ∙ ℓ2𝑎 = 0.0625 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2
8
2
c) Losa calculada con la teoría de elasticidad para diferentes valores de 𝜈.
ℓ𝑎 = ℓ𝑏 = ℓ
𝑚𝑥 = 0.0368 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2 para 𝜈 = 0
𝑚𝑥 = 0.0479 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2 para 𝜈 = 0.3
𝑚𝑦 = 0.0368 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2 para 𝜈 = 0
𝑚𝑦 = 0.0479 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2 para 𝜈 = 0.3
Donde:
𝜈 = Coeficiente de Poisson.
Los momentos torsores disminuyen el momento flector de un valor de 0.0625 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2 , hallado con la
idealización de la losa como dos franjas ortogonales, a 0.0479 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2 para la solución exacta
considerando un coeficiente de Poisson 𝜈 de 0.3, lo que significa una reducción del 25%.
El momento máximo en una losa se presenta donde la curvatura es más pronunciada. En la figura 12.22
(b) se observa que la franja central 𝑠1 a medio tramo es la que resistirá mayor momento flector. Si la carga
es incrementada hasta que el punto medio de la franja alcanza su capacidad máxima, la losa puede fallar
siempre y cuando esta franja central estuviese aislada y sea la única en la dirección más corta. Pero, como
la losa es una estructura continua, existe la posibilidad de una redistribución de esfuerzos internos que
evita que la losa colapse cuando una de sus partes ha sido sobre esforzada. Las franjas adyacentes
(paralelas y perpendiculares) tomarán la carga que la franja 𝑠1 no puede resistir hasta el momento en que
éstas mismas no puedan resistir más carga. Esta redistribución inelástica continuará hasta que en una
superficie significativa de la parte central de la losa todo el acero en ambas direcciones haya fluido.
Solamente cuando esta condición ocurre, la losa perderá su estabilidad y finalmente colapsará. Con este
razonamiento, que está confirmado mediante ensayos, no es necesario diseñar la losa para el máximo
momento absoluto de 0.0479 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2 en cada una de las dos direcciones, sino para un momento promedio
más pequeño de 0.036 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2 que es un 25% menor.
El mayor momento en la losa ocurre a medio tramo de la franja más pequeña 𝑠1, pero es evidente que la
curvatura y por lo tanto el momento en la franja más larga 𝑙1 , perpendicular a 𝑠1, es menor que el
momento en la franja corta considerando el punto de intersección de las franjas.
503
Diseño de estructuras de hormigón armado
ℓ𝑏
ℓ𝑏
ℓ𝑎
ℓ𝑎
Y
Y
X
X
a) Losa analizada en una sola dirección
b) Losa analizada como dos franjas ortogonales
ℓ𝑏
ℓ𝑎
Y
X
c) Losa analizada con la teoría de la elasticidad
Fig. 12.23. Criterios diferentes para el análisis de una losa apoyada en sus cuatro lados
ℓ𝑏
2
1
ℓ𝑎
𝑀𝑎 a lo largo de 1-1
2
1
Variación de 𝑀𝑎 a través de 2-2
ℓ𝑏
2
ℓ𝑎
1
2
1
Variación de 𝑀𝑏 a través de 1-1
𝑀𝑏 a lo largo de 2-2
Fig. 12.24. Momentos y variación de momentos en una losa apoyada en sus cuatro lados
504
Losas armadas en dos direcciones
La variación de los momentos a través del ancho y largo de una losa rectangular es considerada de una
manera aproximada en cualquier método de diseño práctico analizando y diseñando la losa para un
momento reducido en los cuartos de luz más alejados de cada dirección.
Se ha demostrado que losas con relaciones de luz ℓ𝑏 /ℓ𝑎 menores o iguales a 2 pueden ser consideradas
como losas que trabajan en dos direcciones. Para relaciones de luz ℓ𝑏 /ℓ𝑎 mayores a 2, la franja más corta
soporta casi la totalidad de la carga, por lo que es más conveniente diseñar esta losa para que trabaje en
una sola dirección. La armadura principal es colocada paralelamente a la longitud más corta, mientras que
en la otra dirección se coloca la armadura por retracción y temperatura.
12.4. Análisis por el método de los coeficientes
La determinación precisa de los momentos para losas en dos direcciones con diferentes condiciones de
apoyo es muy complicada y poco práctica para propósitos de diseño. Por esta razón, se han desarrollado
varios métodos simplificados para la determinación de los momentos, cortantes y reacciones en este tipo
de losas.
El código ACI presenta un método unificado para el diseño de losas en dos direcciones sobre apoyos
rígidos o flexibles, para losas planas o con vigas intermedias, etc. Pero, para el caso de losas en dos
direcciones sobre apoyos continuos rígidos en sus cuatro lados es más práctico utilizar el método
presentado en el código ACI – 63. Si bien este método no es ya parte del código desde el año 1971, su uso
es permitido cuando el actual código en su sección 8.2.1 indica que un sistema de losa puede ser diseñado
con cualquier método que satisfaga las condiciones de equilibrio y de compatibilidad geométrica y además
que la resistencia nominal de diseño en cada sección sea mayor o igual a la resistencia requerida y que
todos los requerimientos para el estado límite de servicio también se cumplan.
El método utiliza coeficientes para una variedad de condiciones de apoyo. Estos coeficientes están
basados en un análisis elástico, pero consideran la redistribución inelástica de esfuerzos.
𝑀𝑎 = 𝐶𝑎 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2𝑎
(12.39)
𝑀𝑏 = 𝐶𝑏 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2𝑏
(12.40)
Donde:
𝐶𝑎 y 𝐶𝑏 = Coeficientes de momento para la dirección 𝑎 y 𝑏 respectivamente.
𝑤 = Carga uniformemente repartida en [𝑘𝑁/𝑚2 ].
ℓ𝑎 y ℓ𝑏 = Longitud de la luz libre en la dirección corta y larga respectivamente.
El método divide cada panel en franjas centrales y de columna para cada una de las direcciones. La franja
central es de un ancho igual a la mitad de la luz libre en la dirección considerada, mientras que el ancho de
las franjas extremas o de columna es igual a un cuarto de la misma luz.
505
Diseño de estructuras de hormigón armado
ℓ𝑏 /4
ℓ𝑏 /2
ℓ𝑏 /4
ℓ𝑎 /4
ℓ𝑎 /2
ℓ𝑎 /4
Fig. 12.25. División del panel de una losa para su análisis y diseño en dos direcciones
La franja central es diseñada para resistir todo el momento de diseño que indican las tablas. Para las
franjas de extremo se asume que este momento decrece linealmente desde el valor máximo en el extremo
de la franja central hasta un tercio de este valor en el extremo del panel.
La distribución de los momentos en la dirección más corta se muestra en la figura siguiente donde se
observa que la franja central es solicitada para 𝑀𝑎 𝑚𝑎𝑥 y las franjas extremas por una variación lineal de
𝑀𝑎 𝑚𝑎𝑥 a 1/3 ∙ 𝑀𝑎 𝑚𝑎𝑥 . La distribución de los momentos en la dirección más larga es similar.
ℓ𝑏
2
𝑀𝑎 𝑚𝑎𝑥 a lo largo de 1-1
3
1
ℓ𝑎
2
⅓ ∙ 𝑀𝑎 𝑚𝑎𝑥
1
ℓ𝑏 /4
⅓ ∙ 𝑀𝑎 𝑚𝑎𝑥
𝑀𝑎 𝑚𝑎𝑥
ℓ𝑏 /2
3
ℓ𝑏 /4
𝑀𝑎 𝑚𝑎𝑥 a lo largo de 3-3
Variación de 𝑀𝑎 𝑚𝑎𝑥 a través de 2-2
Fig. 12.26. Variación del momento en la dirección más corta
El análisis realizado es para un panel central aislado simplemente apoyado en sus cuatro lados, pero en un
sistema real de losa de piso se tienen muchos paneles con diferentes condiciones de apoyo, por lo que se
debe considerar la condición de apoyo de cada uno de los lados del panel porque de acuerdo a esa
condición los momentos positivos a medio tramo y los negativos en los apoyos continuos o empotrados
pueden ser hallados. En la siguiente figura se muestra una parte de un sistema de piso típico de un edificio
que está compuesto por losas y vigas que coinciden con los ejes de las columnas. Los espacios delimitados
por las vigas son llamados paneles y en el piso se pueden distinguir tres tipos de paneles que son
identificados con las letras A (panel de esquina), B (panel de borde) y C (panel interior).
506
Losas armadas en dos direcciones
A
B
C
Fig. 12.27. Tipos de paneles en un piso típico de edificio
El panel A tiene dos bordes externos discontinuos mientras que sus otros dos bordes son continuos. El
panel B tiene un borde discontinuo y tres continuos. El panel C tiene todos sus bordes continuos. En
bordes continuos de las losas, los momentos son negativos, como en el caso de apoyos interiores de vigas
continuas. También, la magnitud de los momentos positivos depende de las condiciones de continuidad de
sus cuatro bordes. En las siguientes tablas se presentan los coeficientes 𝐶𝑎 y 𝐶𝑏 para los momentos
positivos, momentos negativos y reacciones en paneles con distintas condiciones de apoyo en sus bordes.
507
Diseño de estructuras de hormigón armado
Coeficientes para momentos negativos en losas
Relación
ℓ𝑎
𝑚=
ℓ𝑏
1.00
0.95
0.90
0.85
0.80
0.75
0.70
0.65
0.60
0.55
0.50
Caso 1
Caso 2
𝐶𝑎 𝑛𝑒𝑔
0.045
𝐶𝑏 𝑛𝑒𝑔
0.045
𝐶𝑎 𝑛𝑒𝑔
0.050
𝐶𝑏 𝑛𝑒𝑔
0.041
𝐶𝑎 𝑛𝑒𝑔
0.055
𝐶𝑏 𝑛𝑒𝑔
0.037
𝐶𝑎 𝑛𝑒𝑔
0.060
𝐶𝑏 𝑛𝑒𝑔
0.031
𝐶𝑎 𝑛𝑒𝑔
0.065
𝐶𝑏 𝑛𝑒𝑔
0.027
𝐶𝑎 𝑛𝑒𝑔
0.069
𝐶𝑏 𝑛𝑒𝑔
0.022
𝐶𝑎 𝑛𝑒𝑔
0.074
𝐶𝑏 𝑛𝑒𝑔
0.017
𝐶𝑎 𝑛𝑒𝑔
0.077
𝐶𝑏 𝑛𝑒𝑔
0.014
𝐶𝑎 𝑛𝑒𝑔
0.081
𝐶𝑏 𝑛𝑒𝑔
0.010
𝐶𝑎 𝑛𝑒𝑔
0.084
𝐶𝑏 𝑛𝑒𝑔
0.007
𝐶𝑎 𝑛𝑒𝑔
0.086
𝐶𝑏 𝑛𝑒𝑔
0.006
Caso 3
0.076
Caso 4
Caso 5
Caso 6
0.050
0.075
0.071
0.050
0.055
0.072
0.070
0.083
0.057
0.083
0.086
0.051
0.085
0.088
0.044
0.086
0.091
0.038
0.087
0.093
0.031
0.088
0.095
0.024
0.089
0.096
0.008
0.094
0.022
0.082
0.011
0.092
0.028
0.062
0.015
0.089
0.035
0.079
0.019
0.085
0.043
0.080
0.024
0.081
0.050
0.067
0.029
0.076
0.056
0.075
0.034
0.071
0.061
0.079
0.040
0.066
0.065
0.071
0.045
0.060
0.006
Caso 7
0.019
0.090
0.097
0.014
Caso 8
Caso 9
0.033
0.061
0.061
0.033
0.038
0.065
0.056
0.029
0.043
0.068
0.052
0.025
0.049
0.072
0.046
0.021
0.055
0.075
0.041
0.017
0.061
0.078
0.036
0.014
0.068
0.081
0.029
0.011
0.074
0.083
0.024
0.008
0.080
0.085
0.018
0.006
0.085
0.086
0.014
0.005
0.089
0.088
0.010
0.003
𝑀𝑎 𝑛𝑒𝑔 = 𝐶𝑎 𝑛𝑒𝑔 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2𝑎
(12.41)
𝑀𝑏 𝑛𝑒𝑔 = 𝐶𝑏 𝑛𝑒𝑔 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2𝑏
(12.42)
508
Losas armadas en dos direcciones
Coeficientes para momentos positivos debidos a carga muerta en losas
Relación
ℓ𝑎
𝑚=
ℓ𝑏
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 4
Caso 5
Caso 6
Caso 7
Caso 8
Caso 9
1.00
𝐶𝑎 𝐷
0.036
0.018
0.018
0.027
0.027
0.033
0.027
0.020
0.023
𝐶𝑏 𝐷
0.036
0.018
0.027
0.027
0.018
0.027
0.033
0.023
0.020
𝐶𝑎 𝐷
0.040
0.020
0.021
0.030
0.028
0.036
0.031
0.022
0.024
𝐶𝑏 𝐷
0.033
0.016
0.025
0.024
0.015
0.024
0.031
0.021
0.017
𝐶𝑎 𝐷
𝐶𝑏 𝐷
0.045
0.022
0.025
0.033
0.029
0.039
0.035
0.025
0.026
0.029
0.014
0.024
0.022
0.013
0.021
0.028
0.019
0.015
𝐶𝑎 𝐷
0.050
0.024
0.029
0.036
0.031
0.042
0.040
0.029
0.028
𝐶𝑏 𝐷
0.026
0.012
0.022
0.019
0.011
0.017
0.025
0.017
0.013
𝐶𝑎 𝐷
0.056
0.026
0.034
0.039
0.032
0.045
0.045
0.032
0.029
𝐶𝑏 𝐷
0.023
0.011
0.020
0.016
0.009
0.015
0.022
0.015
0.010
𝐶𝑎 𝐷
0.061
0.028
0.040
0.043
0.033
0.048
0.051
0.036
0.031
𝐶𝑏 𝐷
0.019
0.009
0.018
0.013
0.007
0.012
0.020
0.013
0.007
𝐶𝑎 𝐷
0.068
0.030
0.046
0.046
0.035
0.051
0.058
0.040
0.033
𝐶𝑏 𝐷
0.016
0.007
0.016
0.011
0.005
0.009
0.017
0.011
0.006
𝐶𝑎 𝐷
0.074
0.032
0.054
0.050
0.036
0.054
0.065
0.044
0.034
𝐶𝑏 𝐷
0.013
0.006
0.014
0.009
0.004
0.007
0.014
0.009
0.005
𝐶𝑎 𝐷
0.081
0.034
0.062
0.053
0.037
0.056
0.073
0.048
0.036
𝐶𝑏 𝐷
0.010
0.004
0.011
0.007
0.003
0.006
0.012
0.007
0.004
𝐶𝑎 𝐷
0.088
0.035
0.071
0.056
0.038
0.058
0.081
0.052
0.037
𝐶𝑏 𝐷
0.008
0.003
0.009
0.005
0.002
0.004
0.009
0.005
0.003
𝐶𝑎 𝐷
0.095
0.037
0.080
0.059
0.039
0.061
0.089
0.056
0.038
𝐶𝑏 𝐷
0.006
0.002
0.007
0.004
0.001
0.003
0.007
0.004
0.002
0.95
0.90
0.85
0.80
0.75
0.70
0.65
0.60
0.55
0.50
𝑀𝑎 𝑝𝑜𝑠 𝐷 = 𝐶𝑎 𝐷 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2𝑎
(12.43)
𝑀𝑏 𝑝𝑜𝑠 𝐷 = 𝐶𝑏 𝐷 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2𝑏
(12.44)
509
Diseño de estructuras de hormigón armado
Coeficientes para momentos positivos debidos a carga viva en losas
Relación
ℓ𝑎
𝑚=
ℓ𝑏
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 4
Caso 5
Caso 6
Caso 7
Caso 8
Caso 9
1.00
𝐶𝑎 𝐿
0.036
0.027
0.027
0.032
0.032
0.035
0.032
0.028
0.030
𝐶𝑏 𝐿
0.036
0.027
0.032
0.032
0.027
0.032
0.035
0.030
0.028
𝐶𝑎 𝐿
0.040
0.030
0.031
0.035
0.034
0.038
0.036
0.031
0.032
𝐶𝑏 𝐿
0.033
0.025
0.029
0.029
0.024
0.029
0.032
0.027
0.025
𝐶𝑎 𝐿
0.045
0.034
0.035
0.039
0.037
0.042
0.040
0.035
0.036
𝐶𝑏 𝐿
0.029
0.022
0.027
0.026
0.021
0.025
0.029
0.024
0.022
𝐶𝑎 𝐿
0.050
0.037
0.040
0.043
0.041
0.046
0.045
0.040
0.039
𝐶𝑏 𝐿
0.026
0.019
0.024
0.023
0.019
0.022
0.026
0.022
0.020
𝐶𝑎 𝐿
0.056
0.041
0.045
0.048
0.044
0.051
0.051
0.044
0.042
𝐶𝑏 𝐿
0.023
0.017
0.022
0.020
0.016
0.019
0.023
0.019
0.017
𝐶𝑎 𝐿
0.061
0.045
0.051
0.052
0.047
0.055
0.056
0.049
0.046
𝐶𝑏 𝐿
0.019
0.014
0.019
0.016
0.013
0.016
0.020
0.016
0.013
𝐶𝑎 𝐿
0.068
0.049
0.057
0.057
0.051
0.060
0.063
0.054
0.050
𝐶𝑏 𝐿
0.016
0.012
0.016
0.014
0.011
0.013
0.017
0.014
0.011
𝐶𝑎 𝐿
0.074
0.053
0.064
0.062
0.055
0.064
0.070
0.059
0.054
𝐶𝑏 𝐿
0.013
0.010
0.014
0.011
0.009
0.010
0.014
0.011
0.009
𝐶𝑎 𝐿
0.081
0.058
0.071
0.067
0.059
0.068
0.077
0.065
0.059
𝐶𝑏 𝐿
0.010
0.007
0.011
0.009
0.007
0.008
0.011
0.009
0.007
𝐶𝑎 𝐿
0.088
0.062
0.080
0.072
0.063
0.073
0.085
0.070
0.063
𝐶𝑏 𝐿
0.008
0.006
0.009
0.007
0.005
0.006
0.009
0.007
0.006
𝐶𝑎 𝐿
0.095
0.066
0.088
0.077
0.067
0.078
0.092
0.076
0.067
𝐶𝑏 𝐿
0.006
0.004
0.007
0.005
0.004
0.005
0.007
0.005
0.004
0.95
0.90
0.85
0.80
0.75
0.70
0.65
0.60
0.55
0.50
𝑀𝑎 𝑝𝑜𝑠 𝐿 = 𝐶𝑎 𝐿 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2𝑎
(12.45)
𝑀𝑏 𝑝𝑜𝑠 𝐿 = 𝐶𝑏 𝐿 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2𝑏
(12.46)
510
Losas armadas en dos direcciones
Relación de la carga 𝑾 que se transmite en las direcciones 𝓵𝒂 y 𝓵𝒃 para calcular el cortante en
la losa y las reacciones en los apoyos
Relación
ℓ𝑎
𝑚=
ℓ𝑏
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 4
Caso 5
Caso 6
Caso 7
Caso 8
Caso 9
1.00
𝑊𝑎
0.50
0.50
0.17
0.50
0.83
0.71
0.29
0.33
0.67
𝑊𝑏
0.50
0.50
0.83
0.50
0.17
0.29
0.71
0.67
0.33
𝑊𝑎
0.55
0.55
0.20
0.55
0.86
0.75
0.33
0.38
0.71
𝑊𝑏
0.45
0.45
0.80
0.45
0.14
0.25
0.67
0.62
0.29
𝑊𝑎
𝑊𝑏
0.60
0.60
0.23
0.60
0.88
0.79
0.38
0.43
0.75
0.40
0.40
0.77
0.40
0.12
0.21
0.62
0.57
0.25
𝑊𝑎
0.66
0.66
0.28
0.66
0.90
0.83
0.43
0.49
0.79
𝑊𝑏
0.34
0.34
0.72
0.34
0.10
0.17
0.57
0.51
0.21
𝑊𝑎
0.71
0.71
0.33
0.71
0.92
0.86
0.49
0.55
0.83
𝑊𝑏
0.29
0.29
0.67
0.29
0.08
0.14
0.51
0.45
0.17
𝑊𝑎
0.76
0.76
0.39
0.76
0.94
0.88
0.56
0.61
0.86
𝑊𝑏
0.24
0.24
0.61
0.24
0.06
0.12
0.44
0.39
0.14
𝑊𝑎
0.81
0.81
0.45
0.81
0.95
0.91
0.62
0.68
0.89
𝑊𝑏
0.19
0.19
0.55
0.19
0.05
0.09
0.38
0.32
0.11
𝑊𝑎
0.85
0.85
0.53
0.85
0.96
0.93
0.69
0.74
0.92
𝑊𝑏
0.15
0.15
0.47
0.15
0.04
0.07
0.31
0.26
0.08
𝑊𝑎
0.89
0.89
0.61
0.89
0.97
0.95
0.76
0.80
0.94
𝑊𝑏
0.11
0.11
0.39
0.11
0.03
0.05
0.24
0.20
0.06
𝑊𝑎
0.92
0.92
0.69
0.92
0.98
0.96
0.81
0.85
0.95
𝑊𝑏
0.08
0.08
0.31
0.08
0.02
0.04
0.19
0.15
0.05
𝑊𝑎
0.94
0.94
0.76
0.94
0.99
0.97
0.86
0.89
0.97
𝑊𝑏
0.06
0.06
0.24
0.06
0.01
0.03
0.14
0.11
0.03
0.95
0.90
0.85
0.80
0.75
0.70
0.65
0.60
0.55
0.50
En todas las tablas el borde achurado significa que la losa continúa a través o se encuentra empotrada en el
apoyo, mientras que el borde con doble línea punteada indica un apoyo donde la resistencia torsional es
despreciable (borde apoyado).
511
Diseño de estructuras de hormigón armado
12.5. Espesor mínimo de losas con y sin vigas interiores
12.5.1. Losa sin vigas interiores
Cuando la losa de piso no tiene vigas interiores o tiene vigas planas con altura igual al de la losa o cuando
la inercia de las vigas no es significativamente grande (𝛼𝑓𝑚 ≤ 0.2), entonces se puede asumir el sistema
de piso sin vigas y aplicar la sección 8.3.1.1 del código ACI donde se indica que para losas sin vigas
interiores que se extiendan entre soportes y que tienen una relación ℓ𝑛𝑏 /ℓ𝑛𝑎 ≤ 2, el mínimo espesor debe
ser el indicado en la Tabla 8.3.1.1, pero no debe ser menor a los siguientes valores:

Losas sin ábacos como los definidos en la sección 8.2.4 del código deben tener un espesor
mínimo de 120 [𝑚𝑚].

Losas con ábacos como los definidos en la sección 8.2.4 del código deben tener un
espesor mínimo de 100 [𝑚𝑚].
Espesor mínimo de losas sin vigas interiores*
Tensión de
fluenciab
𝒇𝒚 en
[𝑴𝑷𝒂]
280
420
520
Con ábacosa
Sin ábacos
Paneles Exteriores
Sin vigas de
borde
Con vigas
de bordec
ℓ𝑛
33
ℓ𝑛
30
ℓ𝑛
28
ℓ𝑛
36
ℓ𝑛
33
ℓ𝑛
31
Paneles
Interiores
ℓ𝑛
36
ℓ𝑛
33
ℓ𝑛
31
Paneles Exteriores
Sin vigas de
borde
Con vigas
de borde
ℓ𝑛
36
ℓ𝑛
33
ℓ𝑛
31
ℓ𝑛
40
ℓ𝑛
36
ℓ𝑛
34
Paneles
Interiores
ℓ𝑛
40
ℓ𝑛
36
ℓ𝑛
34
Tabla 8.3.1.1 del código ACI
* Para losas en dos direcciones, ℓ𝑛 es la luz libre en la dirección larga, medida entre caras de los apoyos en losas sin vigas y entre
caras de vigas, para losas con vigas u otros apoyos.
a
La geometría del ábaco para ser considerado como tal debe cumplir con lo especificado en la sección 8.2.4 del ACI.
b
Para valores intermedios de la tensión de fluencia se puede utilizar una interpolación lineal.
c
El valor de 𝛼𝑓 para la viga de borde debe ser mayor o igual a 0.8.
12.5.2. Losa con vigas interiores
La sección 8.3.1.2 del código ACI indica que para losas con vigas en todos sus lados y que se apoyan
entre soportes, el mínimo espesor debe ser:
512
Losas armadas en dos direcciones
a) Para 𝛼𝑓𝑚 ≤ 0.2 se aplica la tabla anterior de espesores mínimos de losas sin vigas interiores
(Tabla 8.3.1.1 del código ACI).
b) Para 0.2 < 𝛼𝑓𝑚 ≤ 2 el espesor no debe ser menor a:
𝑓𝑦
ℓ𝑛 ∙ (0.8 + 1400)
ℎ=
36 + 5 ∙ 𝛽 ∙ (𝛼𝑓𝑚 − 0.2)
≥ 125 [𝑚𝑚]
(12.47)
c) Para 𝛼𝑓𝑚 > 2 el espesor no debe ser menor a:
𝑓𝑦
ℓ𝑛 ∙ (0.8 + 1400)
ℎ=
36 + 9 ∙ 𝛽
≥ 90 [𝑚𝑚]
(12.48)
d) En bordes discontinuos, la viga de borde debe tener un 𝛼𝑓 ≥ 0.80 o el espesor mínimo de la losa
ℎ, calculado con las ecuaciones (12.47) y (12.48), debe ser incrementado en por lo menos 10%
en el panel que tenga un borde discontinuo.
Donde:

𝛼𝑓𝑚 = Valor promedio de los 𝛼𝑓 de todas las vigas que conforman los bordes del panel.
𝐼𝑏
𝐼𝑠
(12.49)
ℓ𝑛𝑏
ℓ𝑛𝑎
(12.50)
𝛼𝑓 =
𝛽=
𝐼𝑏 = Inercia de la viga.
𝐼𝑠 = Inercia de la losa.
ℓ𝑛𝑏 = Longitud libre en la dirección larga.
ℓ𝑛𝑎 = Longitud libre en la dirección corta.
ℓ𝑛 = Longitud libre en la dirección larga, medida desde las caras de los soportes en losas sin vigas y
desde las caras de las vigas u otros soportes para los demás casos.
513
Diseño de estructuras de hormigón armado
ℓ2 /2
ℓ2 /2
ℎ𝑤 ≤ 4 ∙ ℎ
ℎ𝑤 ≤ 4 ∙ ℎ
ℎ
ℎ𝑤
𝑏𝑤
Sección para el cálculo de 𝑰𝒃 en vigas interiores
ℓ2 /2
ℓ2 /2
ℎ
ℎ𝑤
𝑏𝑤
Sección para el cálculo de 𝑰𝒔 en vigas interiores
Fig. 12.28. Secciones transversales para el cálculo de inercias en viga y losa
Es común calcular el espesor de una losa, con vigas entre soportes interiores, considerando el perímetro
del panel como se muestra en la siguiente ecuación:
ℎ≈
𝑃
2 ∙ (ℓ𝑛𝑎 + ℓ𝑛𝑏 )
[𝑚𝑚]
=
180
180
(12.51)
Donde:
𝑃 = Perímetro del panel en [𝑚𝑚].
Ejemplo. Un sistema de piso de hormigón armado está compuesto por paneles rectangulares con
dimensiones externas de 6.5 [𝑚] por 8 [𝑚]. El ancho de las vigas es de 300 [𝑚𝑚] y su altura de
600 [𝑚𝑚] y se encuentran sobre todas las líneas de las columnas por lo que las dimensiones libres del
panel son de 5.9 [𝑚] por 7.4 [𝑚]. La carga viva de servicio sobre el piso es de 6.5 [𝑘𝑁/𝑚2 ] distribuida
uniformemente sobre su superficie. Considerando que la resistencia característica del hormigón a los 28
días es de 20 [𝑀𝑃𝑎] y el acero tiene una tensión de fluencia de 420 [𝑀𝑃𝑎], calcular el espesor de la losa
y el refuerzo necesario para el panel de la esquina.
514
Losas armadas en dos direcciones
B
A
6200
5900
1
7700
Panel de
esquina
7400
2
a)
Determinación del espesor.
ℎ≈
𝑃
2 ∙ (5900 + 7400)
=
= 148 [𝑚𝑚]
180
180
ℎ = 150[𝑚𝑚]
450
150
450
300
Momento de inercia de la viga de borde 𝐼𝑏 = 80.118 ∙ 108 [𝑚𝑚4 ]
515
Diseño de estructuras de hormigón armado
450
450
150
450
300
Momento de inercia de la viga interior 𝐼𝑏 = 95.585 ∙ 108 [𝑚𝑚4 ].
𝛽=
7400
= 1.25
5900
Eje 1:
80.118 ∙ 108
= 7.12
1
∙ 4000 ∙ 1503
12
Eje A:
80.118 ∙ 108
𝛼𝑓 =
= 8.77
1
3
∙ 3250 ∙ 150
12
𝛼𝑓 =
Eje 2:
𝛼𝑓 =
95.585 ∙ 108
= 4.41
1
∙ 7700 ∙ 1503
12
Eje B:
𝛼𝑓 =
95.585 ∙ 108
= 5.48
1
3
∙ 6200 ∙ 150
12
𝛼𝑓𝑚 = 6.45 > 2
ℎ=
𝑓𝑦
ℓ𝑛 ∙ (0.8 + 1400)
36 + 9 ∙ 𝛽
=
420
7400 ∙ (0.8 + 1400)
36 + 9 ∙ 1.25
= 172 [𝑚𝑚] ≥ 90 [𝑚𝑚]
Se adopta ℎ = 175 [𝑚𝑚].
Se podría recalcular 𝛼𝑓𝑚 , pero se puede observar que su valor será otra vez mayor a 2 dando como
resultado la misma altura de losa ℎ, por lo tanto no es necesario calcular nuevamente 𝛼𝑓𝑚 .
516
Losas armadas en dos direcciones
b)
Cálculo de las solicitaciones máximas.
Solicitaciones de servicio.
𝑤𝐿 = 6.5 [𝑘𝑁/𝑚2 ]
𝑤𝐷 = 0.175 · 24 = 4.2 [𝑘𝑁/𝑚2 ]
Solicitaciones últimas.
𝑤𝐿𝑢 = 1.6 · 6.5 = 10.40 [𝑘𝑁/𝑚2 ]
𝑤𝐷𝑢 = 1.2 · 4.2 = 5.04 [𝑘𝑁/𝑚2 ]
𝑤𝑢 = 15.44 [𝑘𝑁/𝑚2 ]
c)
Cálculo de los momentos.
ℓ𝑎 5.9
=
= 0.80
ℓ𝑏 7.4
Momentos negativos en bordes continuos.
𝑘𝑁 ∙ 𝑚
]
𝑚
𝑘𝑁 ∙ 𝑚
𝑀𝑏 = −0.029 ∙ 15.44 ∙ 7.42 = −24.52 [
]
𝑚
𝑀𝑎 = −0.071 ∙ 15.44 ∙ 5.92 = −38.16 [
Momentos positivos.
𝑘𝑁 ∙ 𝑚
]
𝑚
𝑘𝑁 ∙ 𝑚
𝑀𝑎+𝐿 = 0.048 ∙ 10.40 ∙ 5.92 = 17.38 [
]
𝑚
𝑘𝑁 ∙ 𝑚
𝑀𝑎+ = 24.22 [
]
𝑚
𝑀𝑎+𝐷 = 0.039 ∙ 5.04 ∙ 5.92 = 6.84 [
𝑘𝑁 ∙ 𝑚
]
𝑚
𝑘𝑁 ∙ 𝑚
𝑀𝑏+𝐿 = 0.020 ∙ 10.40 ∙ 7.42 = 11.39 [
]
𝑚
𝑘𝑁 ∙ 𝑚
𝑀𝑏+ = 15.81 [
]
𝑚
𝑀𝑏+𝐷 = 0.016 ∙ 5.04 ∙ 7. 42 = 4.42 [
1
Momentos negativos en bordes discontinuos (Se toma como 3 de los momentos positivos).
1
𝑘𝑁 ∙ 𝑚
𝑀𝑎− = − ∙ 24.22 = −8.07 [
]
3
𝑚
517
Diseño de estructuras de hormigón armado
1
𝑘𝑁 ∙ 𝑚
𝑀𝑏− = − ∙ 15.81 = −5.27 [
]
3
𝑚
d)
Diseño de la armadura.
En la dirección corta.
𝑑 = ℎ − 25 = 175 − 25 = 150 [𝑚𝑚]
𝑎
𝑗 ∙ 𝑑 = 𝑑 − ≈ 0.925 ∙ 𝑑
2
Se asume que 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 y que la falla es por tracción.
𝐴𝑠 =
𝑀𝑢
𝜙 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑗 ∙ 𝑑
A medio tramo se tiene:
𝑀𝑎+ = 24.22 [
𝐴𝑠 =
𝑘𝑁 ∙ 𝑚
]
𝑚
24.22 ∙ 10002
𝑚𝑚2
𝑐𝑚2
= 462 [
] = 4.62 [
]
0.9 ∙ 420 ∙ 0.925 ∙ 150
𝑚
𝑚
𝑐𝑚2
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0.0018 ∙ 𝑏 ∙ ℎ = 0.0018 ∙ 100 ∙ 17.5 = 3.15 [
]
𝑚
𝜙 10 𝑐/150 → 𝐴𝑠 = 5.24 [𝑐𝑚2 /𝑚]
𝜙 12 𝑐/250 → 𝐴𝑠 = 4.52 [𝑐𝑚2 /𝑚]
Se verifica la sección para 𝜙 12 𝑐/250 → 𝐴𝑠 = 4.52 [𝑐𝑚2 /𝑚]
𝑎=
𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦
452 ∙ 420
=
= 11 [𝑚𝑚]
′
0.85 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 0.85 ∙ 20 ∙ 1000
𝑑 = 𝑑𝑡 = 175 − 20 − 6 = 149 [𝑚𝑚]
𝑎
11
=
= 0.074
𝑑𝑡 149
𝑎𝑡𝑐
= 0.375 ∙ 𝛽1 = 0.319
𝑑𝑡
𝑎
𝑎
Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑡𝑐 el acero fluye y la sección falla a tracción
𝑡
518
𝑡
Losas armadas en dos direcciones
𝑎
453 ∙ 420
11
𝑘𝑁 ∙ 𝑚
𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 𝜙 ∙ 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ∙ (𝑑 − ) = 0.9 ∙
∙ (149 − ) = 24.57 [
]
2
2
1000
2
𝑚
𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 24.57 [
𝑘𝑁 ∙ 𝑚
𝑘𝑁 ∙ 𝑚
] ≥ 𝑀𝑎+ = 24.22 [
]
𝑚
𝑚
En bordes continuos se tiene:
𝑀𝑎− = 38.16 [
𝐴𝑠 =
𝑘𝑁 ∙ 𝑚
]
𝑚
𝑚𝑚2
𝑐𝑚2
38.16 ∙ 10002
= 728 [
] = 7.28 [
]
𝑚
𝑚
0.9 ∙ 420 ∙ 0.925 ∙ 150
𝑐𝑚2
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0.0018 ∙ 𝑏 ∙ ℎ = 0.0018 ∙ 100 ∙ 17.5 = 3.15 [
]
𝑚
𝜙 10 𝑐/100 → 𝐴𝑠 = 7.85 [𝑐𝑚2 /𝑚]
𝜙 12 𝑐/150 → 𝐴𝑠 = 7.54 [𝑐𝑚2 /𝑚]
Se verifica la sección para 𝜙 12 𝑐/150 → 𝐴𝑠 = 7.54 [𝑐𝑚2 /𝑚]
𝑎=
𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦
754 ∙ 420
=
= 19 [𝑚𝑚]
′
0.85 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 0.85 ∙ 20 ∙ 1000
𝑑 = 𝑑𝑡 = 175 − 20 − 6 = 149 [𝑚𝑚]
𝑎
19
=
= 0.128
𝑑𝑡 149
𝑎𝑡𝑐
= 0.375 ∙ 𝛽1 = 0.319
𝑑𝑡
𝑎
𝑎
Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑡𝑐 el acero fluye y la sección falla a tracción.
𝑡
𝑡
𝑎
754 ∙ 420
19
𝑘𝑁 ∙ 𝑚
𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 𝜙 ∙ 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ∙ (𝑑 − ) = 0.9 ∙
∙ (149 − ) = 39.76 [
]
2
2
1000
2
𝑚
𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 39.76 [
𝑘𝑁 ∙ 𝑚
𝑘𝑁 ∙ 𝑚
] ≥ 𝑀𝑎− = 38.16 [
]
𝑚
𝑚
519
Diseño de estructuras de hormigón armado
En bordes discontinuos se tiene:
𝑀𝑎− = 8.07 [
𝑘𝑁 ∙ 𝑚
]
𝑚
Debido a que el valor del momento en bordes discontinuos fue hallado como ⅓ de los momentos
positivos, la armadura será aproximadamente igual a ⅓ de la armadura positiva.
𝐴𝑠 =
1
𝑐𝑚2
∙ 4.53 = 1.51 [
]
3
𝑚
𝑐𝑚2
]
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0.0018 ∙ 𝑏 ∙ ℎ = 0.0018 ∙ 100 ∙ 17.5 = 3.15 [
𝑚
Se adopta la armadura mínima.
𝜙 10 𝑐/250 → 𝐴𝑠 = 3.14 [𝑐𝑚2 /𝑚]
𝜙 12 𝑐/350 → 𝐴𝑠 = 3.23 [𝑐𝑚2 /𝑚]
Se verifica la sección para 𝜙 10 𝑐/250 → 𝐴𝑠 = 3.14 [𝑐𝑚2 /𝑚].
𝑎=
𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦
314 ∙ 420
=
= 8 [𝑚𝑚]
′
0.85 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 0.85 ∙ 20 ∙ 1000
𝑎
8
=
= 0.053
𝑑𝑡 150
𝑎𝑡𝑐
= 0.375 ∙ 𝛽1 = 0.319
𝑑𝑡
𝑎
𝑎
Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑡𝑐 el acero fluye y la sección falla a tracción.
𝑡
𝑡
𝑎
314 ∙ 420
8
𝑚
𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 𝜙 ∙ 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ∙ (𝑑 − ) = 0.9 ∙
∙ (150 − ) = 17.33 [𝑘𝑁 ∙ ]
2
2
1000
2
𝑚
𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 17.33 [
𝑘𝑁 ∙ 𝑚
𝑘𝑁 ∙ 𝑚
] ≥ 𝑀𝑎− = 8.07 [
]
𝑚
𝑚
En la dirección larga.
𝑑 = ℎ − 20 − 12 − 6 = 175 − 38 = 137 [𝑚𝑚] (Solamente para el 𝑀𝑏+ )
𝑗∙𝑑 =𝑑−
520
𝑎
≈ 0.925 ∙ 𝑑
2
Losas armadas en dos direcciones
Se asume que 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 y que la falla es por tracción.
𝐴𝑠 =
𝑀𝑢
𝜙 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑗 ∙ 𝑑
A medio tramo se tiene:
𝑀𝑏+ = 15.81 [
𝐴𝑠 =
𝑘𝑁 ∙ 𝑚
]
𝑚
15.81 ∙ 10002
𝑚𝑚2
𝑐𝑚2
= 330 [
] = 3.30 [
]
0.9 ∙ 420 ∙ 0.925 ∙ 137
𝑚
𝑚
𝑐𝑚2
]
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0.0018 ∙ 𝑏 ∙ ℎ = 0.0018 ∙ 100 ∙ 17.5 = 3.15 [
𝑚
𝜙 10 𝑐/220 → 𝐴𝑠 = 3.57 [𝑐𝑚2 /𝑚]
𝜙 12 𝑐/300 → 𝐴𝑠 = 3.77 [𝑐𝑚2 /𝑚]
Se verifica la sección para 𝜙 12 𝑐/300 → 𝐴𝑠 = 3.77 [𝑐𝑚2 /𝑚]
𝑎=
𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦
377 ∙ 420
=
= 9 [𝑚𝑚]
′
0.85 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 0.85 ∙ 20 ∙ 1000
𝑎
9
=
= 0.066
𝑑𝑡 137
𝑎𝑡𝑐
= 0.375 ∙ 𝛽1 = 0.319
𝑑𝑡
𝑎
𝑎
Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑡𝑐 el acero fluye y la sección falla a tracción.
𝑡
𝑡
𝑎
377 ∙ 420
9
𝑚
∙ (137 − ) = 18.88 [𝑘𝑁 ∙ ]
𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 𝜙 ∙ 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ∙ (𝑑 − ) = 0.9 ∙
2
2
1000
2
𝑚
𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 18.88 [𝑘𝑁 ∙
𝑚
𝑚
] ≥ 𝑀𝑏+ = 15.81 [𝑘𝑁 ∙ ]
𝑚
𝑚
En bordes continuos se tiene:
𝑀−
𝑏 = 24.52 [
𝑘𝑁 ∙ 𝑚
]
𝑚
𝑑 = ℎ − 25 = 175 − 25 = 150[𝑚𝑚] (Solamente para el 𝑀𝑏− )
521
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝐴𝑠 =
24.52 ∙ 10002
𝑚𝑚2
𝑐𝑚2
= 468 [
] = 4.68 [
]
0.9 ∙ 420 ∙ 0.925 ∙ 150
𝑚
𝑚
𝑐𝑚2
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0.0018 ∙ 𝑏 ∙ ℎ = 0.0018 ∙ 100 ∙ 17.5 = 3.15 [
]
𝑚
𝜙 10 𝑐/150 → 𝐴𝑠 = 5.24 [𝑐𝑚2 /𝑚]
𝜙 12 𝑐/250 → 𝐴𝑠 = 4.53 [𝑐𝑚2 /𝑚]
Se verifica la sección para 𝜙 12 𝑐/250 → 𝐴𝑠 = 4.53 [𝑐𝑚2 /𝑚]
𝑎=
𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦
453 ∙ 420
=
= 11 [𝑚𝑚]
′
0.85 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 0.85 ∙ 20 ∙ 1000
𝑑 = 𝑑𝑡 = 175 − 20 − 6 = 149 [𝑚𝑚]
𝑎
11
=
= 0.074
𝑑𝑡 149
𝑎𝑡𝑐
= 0.375 ∙ 𝛽1 = 0.319
𝑑𝑡
𝑎
𝑎
Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑡𝑐 el acero fluye y la sección falla a tracción.
𝑡
𝑡
453 ∙ 420
11
𝑚
𝑎
∙ (149 − ) = 24.57 [𝑘𝑁 ∙ ]
𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 𝜙 ∙ 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ∙ (𝑑 − ) = 0.9 ∙
2
1000
2
𝑚
2
𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 24.57 [
𝑘𝑁 ∙ 𝑚
𝑘𝑁 ∙ 𝑚
] ≥ 𝑀𝑏− = 24.52 [
]
𝑚
𝑚
En bordes discontinuos se tiene:
𝑀𝑏− = 5.27 [
𝑘𝑁 ∙ 𝑚
]
𝑚
Debido a que el valor del momento en bordes discontinuos fue hallado como ⅓ de los momentos
positivos, la armadura será aproximadamente igual a ⅓ de la armadura positiva.
1
𝑐𝑚2
𝐴𝑠 = ∙ 3.77 = 1.26 [
]
3
𝑚
𝑐𝑚2
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0.0018 ∙ 𝑏 ∙ ℎ = 0.0018 ∙ 100 ∙ 17.5 = 3.15 [
]
𝑚
Se adopta la armadura mínima.
522
Losas armadas en dos direcciones
𝜙 10 𝑐/250 → 𝐴𝑠 = 3.14 [𝑐𝑚2 /𝑚]
𝜙 12 𝑐/350 → 𝐴𝑠 = 3.23 [𝑐𝑚2 /𝑚]
Se verifica la sección para 𝜙 10 𝑐/250 → 𝐴𝑠 = 3.14 [𝑐𝑚2 /𝑚].
𝑎=
𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦
314 ∙ 420
=
= 8 [𝑚𝑚]
′
0.85 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 0.85 ∙ 20 ∙ 1000
8
𝑎
=
= 0.053
𝑑𝑡 150
𝑎𝑡𝑐
= 0.375 ∙ 𝛽1 = 0.319
𝑑𝑡
𝑎
𝑎
Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑡𝑐 el acero fluye y la sección falla a tracción.
𝑡
𝑡
𝑎
314 ∙ 420
8
𝑚
𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 𝜙 ∙ 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ∙ (𝑑 − ) = 0.9 ∙
∙ (150 − ) = 17.33 [𝑘𝑁 ∙ ]
2
2
1000
2
𝑚
𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 17.33 [
𝑘𝑁 ∙ 𝑚
𝑘𝑁 ∙ 𝑚
] ≥ 𝑀𝑏− = 5.27 [
]
𝑚
𝑚
Los aceros seleccionados hasta el momento corresponden a las franjas centrales en ambas direcciones.
Para las franjas de extremo (franjas de la columna), se asume que los momentos decrecen linealmente
desde el valor completo en el borde interno de la franja de la columna hasta un tercio de ese valor en el
borde de la viga de soporte. Para simplificar la colocación de la armadura, un espaciamiento uniforme
puede ser utilizado para las franjas de la columna. El momento promedio en las franjas de las columnas es
1
2
1
∙ (1 + 3) ∙ 𝑀𝑚𝑎𝑥 = 3 ∙ 𝑀𝑚𝑎𝑥 , donde 𝑀𝑚𝑎𝑥 es el momento máximo correspondiente a la franja central,
2
por lo tanto se puede colocar el mismo diámetro de barra utilizado para la franja central pero con un
espaciamiento de 3/2 mayor con la condición de que ese espaciamiento no supere el espaciamiento máximo
de dos veces el espesor de la losa.
523
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝜙 12𝑐/300
𝜙 12𝑐/350
3700
𝜙 12𝑐/150
𝜙 12𝑐/250
𝜙 12𝑐/250
ℓ𝑛𝑏 = 7400
7700
𝜙 10𝑐/250
𝜙 12𝑐/350
1850
𝜙 10𝑐/250
ℓ𝑛𝑎 = 5900
Refuerzo de esquina tanto en
la parte superior como en la
inferior según ACI 13.3.6.
1850
6200
Para el presente ejercicio se realizará una variación en el espaciamiento solamente de las barras positivas
en la dirección corta correspondientes a las franjas de la columna a 𝜙12 𝑐/350 que tiene una cuantía
superior a la mínima y cuyo espaciamiento es igual al máximo permitido (2 ∙ ℎ). En la dirección larga no
se justifica aumentar el espaciamiento en las franjas de las columnas y se utilizará el mismo que el de la
franja central puesto que la separación de la armadura es de 300[𝑚𝑚].
Las reacciones de la losa son también calculadas y de acuerdo a la tabla correspondiente se obtiene que el
71% de la carga es transmitida en la dirección corta, mientras que el 29% en la dirección larga.
La carga total en el panel se obtiene multiplicando el área total libre por la carga última.
Carga total = 5.90 ∙ 7.40 ∙ 15.44 = 674.11[𝑘𝑁]
Carga sobre las vigas largas =
0.71∙674.11
𝑘𝑁
= 32.34 [ 𝑚 ]
2∙7.40
Carga sobre las vigas cortas =
0.29∙674.11
𝑘𝑁
= 16.57 [ 𝑚 ]
2∙5.90
El corte que se transmite de la losa a las vigas es numéricamente igual a las cargas determinadas sobre las
vigas. Para propósitos de diseño, este corte puede ser reducido considerando si se calcula el corte
524
Losas armadas en dos direcciones
correspondiente a una distancia 𝑑 desde la cara de las vigas. Para el presente problema no se hará
reducción alguna del corte y se verificará la losa para el corte máximo calculado.
𝜙 ∙ 𝑉𝑐 = 𝜙 ∙ 0.17 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 = 0.75 ∙ 0.17 ∙ 1 ∙ √20 ∙
𝜙 ∙ 𝑉𝑐 = 85.53 [
1000 ∙ 150
𝑘𝑁
= 85.53 [ ]
1000
𝑚
𝑘𝑁
𝑘𝑁
] ≥ 32.34 [ ]
𝑚
𝑚
El espesor es suficiente para resistir el corte que se produce en la unión de la losa con la cara interior de
las vigas a lo largo del perímetro cuando la totalidad de la carga actúa sobre el panel, por tanto no es
necesario colocar ningún tipo de refuerzo para corte.
12.6. Consideraciones para el refuerzo de losas en dos direcciones
12.6.1. Ábacos
Los ábacos son porciones más gruesas de la losa que circunscriben las columnas y generalmente son
utilizados por las siguientes razones:
a) El espesor mínimo requerido de losa para limitar deflexiones puede ser reducido en un 10% si la
losa tiene ábacos que cumplen los requerimientos de la sección 8.2.4 del código ACI. El ábaco
rigidiza la losa en la región de momentos máximos (momentos negativos sobre los apoyos) y por
tanto reduce la deflexión.
b) Un ábaco con las dimensiones mínimas indicadas por la sección 8.2.4 del código ACI puede ser
considerado para reducir la cantidad de refuerzo negativo sobre las columnas porque el brazo del
refuerzo negativo aumenta.
c) Un ábaco provee una profundidad adicional en la región de las columnas y por tanto aumenta el
área del perímetro de la sección crítica a corte.
La sección 8.2.4 del código ACI indica que cuando se emplee un ábaco para reducir la cantidad de
refuerzo por momento negativo sobre la columna de una losa plana, el ábaco debe proyectarse bajo la losa
al menos un cuarto del espesor de la losa y debe extenderse, en cada dirección, desde la línea central de
apoyo una distancia no menor a un sexto de la longitud del vano medida al centro de los apoyos en esa
dirección. Para calcular el refuerzo requerido para la losa, el espesor del ábaco bajo la losa no debe
considerarse mayor a un cuarto de la distancia desde el extremo del ábaco a la cara de la columna o de su
capitel.
525
Diseño de estructuras de hormigón armado
ℎ
Losa
Abaco
≥
ℓ𝑎
6
≥
ℎ𝑑 ≥
ℓ𝑏
6
ℓ𝑎
ℎ
4
ℓ𝑏
Fig. 12.29. Dimensiones mínimas de un ábaco
12.6.2. Capiteles
Algunas veces la parte superior de una columna se remata con un ensanche tronco cónico con el propósito
de aumentar el perímetro crítico para corte alrededor de la columna y para reducir la luz nominal ℓ𝑛 en las
losas.
La sección 26.5.7.2(b) del código ACI requiere que el capitel sea vaciado al mismo tiempo que la losa y
eso hace que el tiempo requerido y el costo para armar el encofrado aumenten. Por tanto, otras alternativas
como la utilización de ábacos o refuerzo de corte son preferidas antes que capiteles.
El diámetro efectivo del capitel es definido en la sección 8.4.1.4 del código y es ilustrado en la figura
12.30. Este diámetro efectivo es medido en la base de la losa o ábaco, si éste existe y tiene mayor espesor
que la losa, y es utilizado para definir el ancho efectivo para la transferencia de momentos y para definir la
luz libre ℓ𝑛 . El hormigón que queda fuera de la línea de 45° de la figura 12.30 puede ser considerado para
incrementar la resistencia al corte.
Diámetro efectivo
Losa
Abaco
45° 45°
Columna
Capitel
Fig. 12.30. Diámetro efectivo de capiteles
526
Losas armadas en dos direcciones
12.6.3. Refuerzo
La sección 8.6.1 del código ACI presenta los requerimientos mínimos para el refuerzo en losas. Para
sistemas de losas que trabajan en dos direcciones, el área de refuerzo de acero debe determinarse con base
a los momentos flectores en las secciones críticas, pero éste no debe ser menor al área requerida por la
sección 24.4.3.2 (refuerzo mínimo por retracción y temperatura). El espaciamiento del refuerzo en las
secciones críticas no debe exceder de 2 veces el espesor de la losa, excepto para aquellas partes de la
superficie de la losa nervada. El refuerzo de la losa nervada localizado sobre los casetones de poliestireno
expandido debe colocarse cumpliendo los requerimientos de la sección 24.4.3.2 (refuerzo mínimo por
retracción y temperatura).
Como se aprecia en la figura 12.31, el refuerzo para momento positivo, perpendicular a un borde
discontinuo, debe extenderse hasta el borde de la losa y terminar con una longitud embebida recta o en
gancho, de por lo menos 150 [𝑚𝑚] en las vigas, muros o columnas perimetrales. De la misma forma, el
refuerzo para momento negativo perpendicular a un borde discontinuo debe anclarse, en general, con
gancho dentro de las vigas, muros o columnas perimetrales para que pueda desarrollar su capacidad a
tracción en la cara del apoyo. En un borde discontinuo, cuando la losa no está apoyada en una viga
perimetral o muro; o cuando la losa se proyecta en voladizo más allá del apoyo, se permite el anclaje del
refuerzo dentro de la losa de modo que pueda desarrollar su capacidad a tracción en la cara del apoyo
donde se inicia el voladizo.
Gancho para
anclaje de barra
150
Anclaje del refuerzo
dentro de la losa
Longitud mínima
embebida en viga,
muro o columna
Fig. 12.31. Detalle de anclaje del refuerzo positivo y negativo en borde discontinuo
527
Diseño de estructuras de hormigón armado
En las losas con vigas entre los apoyos, que tengan un valor de 𝛼𝑓 mayor de 1.0, debe proporcionarse
refuerzo especial en las esquinas exteriores, tanto en la parte inferior como en la superior de la losa de
acuerdo con los siguientes criterios:
a) El refuerzo especial tanto en la parte superior como en la inferior de la losa debe ser suficiente para
resistir un momento igual al momento positivo máximo (por metro de ancho) de la losa.
b) Debe suponerse que el momento actúa alrededor de un eje perpendicular a la diagonal que parte de
la esquina en la parte superior de la losa y alrededor de un eje paralelo a la diagonal en la parte
inferior de la losa.
1
c) El refuerzo especial debe colocarse a partir de la esquina a una distancia en cada dirección igual a 5
de la longitud de la luz más grande.
d) El refuerzo especial debe colocarse en una banda paralela a la diagonal en la parte superior de la
losa, y en una banda perpendicular a la diagonal en la parte inferior de la losa. Alternativamente, el
refuerzo especial puede ser colocado en dos capas paralelas a los bordes de la losa tanto en la parte
superior como en la parte inferior de la losa.
ℓ𝑛𝑎
ℓ𝑛𝑎
ℓ𝑛𝑎
5
ℓ𝑛𝑎
5
ℓ𝑛𝑎
5
ℓ𝑛𝑎
5
ℓ𝑛𝑏
ℓ𝑛𝑏
ℓ𝑛𝑎 > ℓ𝑛𝑏
Refuerzo inferior en
la esquina de la losa
ℓ𝑛𝑎 > ℓ𝑛𝑏
Refuerzo superior en
la esquina de la losa
Fig. 12.32. Colocación del refuerzo en esquinas de una losa soportada por vigas
528
Losas armadas en dos direcciones
ℓ𝑛𝑎
ℓ𝑛𝑎
ℓ𝑛𝑎
5
ℓ𝑛𝑎
5
ℓ𝑛𝑎
5
ℓ𝑛𝑎
5
ℓ𝑛𝑏
ℓ𝑛𝑏
ℓ𝑛𝑎 > ℓ𝑛𝑏
Refuerzo inferior en
la esquina de la losa
ℓ𝑛𝑎 > ℓ𝑛𝑏
Refuerzo superior en
la esquina de la losa
Fig. 12.33. Alternativa de colocación para el refuerzo en esquinas de una losa soportada por vigas
12.6.4. Anclajes y puntos de corte del refuerzo
Para losas sin vigas, la sección 8.7.4.1.3(a) del código ACI permite que las barras sean cortadas de
acuerdo a las indicaciones de la figura 12.34. Cuando las luces de vanos adyacentes tienen longitudes
desiguales, la extensión de las barras superiores (barras para momento negativo) más allá de los soportes
es hallada considerando la longitud del mayor vano.
En pórticos donde las losas en dos direcciones actúan como elementos principales del sistema resistente
para cargas laterales, las longitudes del refuerzo deben determinarse por medio del análisis estructural,
pero no deben ser menores a las presentadas en la figura 12.34.
Todas las barras inferiores que quedan dentro de una franja de columna en cada dirección, deben
extenderse en forma continua o estar empalmadas con empalmes de tracción Clase A, o con dispositivos
mecánicos o soldadas. Los empalmes deben ubicarse en los lugares indicados por la figura 12.34 y por lo
menos dos barras inferiores de la franja de columna, en cada dirección, deben pasar a través del núcleo de
la columna y estar ancladas en los apoyos exteriores.
529
Diseño de estructuras de hormigón armado
Franja
Ubicación
Arriba
𝑨𝒔 mínimo
en la
sección
Sin ábacos
Con ábacos
0.30 ∙ ℓ𝑛
0.30 ∙ ℓ𝑛
0.33 ∙ ℓ𝑛
0.33 ∙ ℓ𝑛
0.20 ∙ ℓ𝑛
0.20 ∙ ℓ𝑛
0.20 ∙ ℓ𝑛
0.20 ∙ ℓ𝑛
𝟓𝟎%
restante
Franja de
columnas
Mínimo dos barras ancladas
Abajo
𝟏𝟎𝟎%
150
Barras contínuas
150
En esta región solo empalmes Clase B
0.22 ∙ ℓ𝑛
Arriba
0.22 ∙ ℓ𝑛
0.22 ∙ ℓ𝑛
0.22 ∙ ℓ𝑛
𝟏𝟎𝟎%
Franja
central
150
Abajo
𝟓𝟎%
Máx. 0.15 ∙ ℓ𝑛
150
restante
𝑐1
Luz libre ℓ𝑛
Máx. 0.15 ∙ ℓ𝑛
𝑐1
150
Luz libre ℓ𝑛
CL
CL
Apoyo exterior sin
continuidad de la losa
Apoyo interior con
continuidad de la losa
𝑐1
CL
Apoyo exterior sin
continuidad de la losa
Fig. 12.34. Extensiones mínimas del refuerzo en losas sin vigas
12.7. Resistencia al corte de losas en dos direcciones
Las losas en dos direcciones y las cimentaciones pueden presentar los siguientes dos tipos de fallas por
corte:
530
Losas armadas en dos direcciones
a) Corte en una dirección o corte tipo viga que involucra una grieta inclinada que se extiende a lo
largo de todo el ancho de la losa.
b) Corte en dos direcciones o punzonamiento que involucra una falla con superficie de forma
piramidal o tronco cónica alrededor de la columna.
Generalmente la capacidad de la losa ante la falla por corte en dos direcciones es mucho menor a la
capacidad ante la falla por corte en una dirección. Sin embargo, es conveniente siempre verificar ambos
tipos de falla en el diseño.
12.7.1. Corte en una dirección
En el caso de una losa con carga uniforme, la sección crítica para corte en una dirección está localizada a
una distancia 𝑑 desde la cara del soporte o a una distancia 𝑑 desde la cara del ábaco o de otro cambio de
espesor. Aunque, el corte en una dirección casi nunca es crítico para losas planas en dos direcciones,
durante el diseño se debe realizar su verificación asumiendo que el ancho total del panel de la losa resiste
el corte en la dirección considerada. El área tributaria para calcular la resistencia al corte en una dirección
se ilustra en la figura 12.39. La resistencia al corte se calcula como en el caso de vigas utilizando las
siguientes ecuaciones:
𝜙 · 𝑉𝑛 ≥ 𝑉𝑢
𝑉𝑛 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠
(5.10)
(5.11)
𝑉𝑐 = 0.17 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
(5.12)
Donde:
𝑉𝑛 = Resistencia nominal al corte de la viga.
𝜙 = Factor de reducción de la resistencia (0.75).
𝑉𝑢 = Corte último.
𝑉𝑐 = Fuerza de corte resistida por el hormigón.
𝑉𝑠 = Fuerza de corte resistida por los estribos.
12.7.2. Corte en dos direcciones

Sección crítica para columnas interiores.
Primero se considera el caso de la transferencia de corte sin transferencia apreciable de momento y
posteriormente se analizará el caso donde también existe transferencia de momento. El código ACI asume
que la sección crítica se desarrolla en una sección vertical y alrededor de la columna a una distancia de
0.5 ∙ 𝑑 desde sus caras de tal modo que su perímetro 𝑏𝑜 es mínimo.
531
Diseño de estructuras de hormigón armado
0.5 ∙ 𝑑
0.5 ∙ 𝑑
𝑑
2
𝑑
2
Perímetro crítico
para el corte
0.5 ∙ 𝑑
0.5 ∙ 𝑑
𝑑
2
𝑑
2
Fig. 12.35. Ubicación del perímetro crítico para el corte en dos direcciones
𝑑1
Cualquier
dimensión
𝑑2
Cualquier
dimensión
0.5 ∙ 𝑑2
0.5 ∙ 𝑑1
Fig. 12.36. Secciones críticas para corte en losas con ábacos
532
Losas armadas en dos direcciones

Sección crítica para columnas con ábacos en la losa.
En losas con ábacos que se proyectan por debajo de la misma, es necesario considerar dos secciones
críticas como se muestra en la figura 12.36. En el caso de que las dimensiones del ábaco no cumplan con
las mínimas requeridas por el código (figura 12.29), éste solamente puede ser considerado para propósitos
de reducción del esfuerzo cortante.

Sección crítica para columnas con agujeros cerca de sus caras.
Cuando existen agujeros en la losa que están localizados a menos de diez veces el espesor de la misma
desde la cara de la columna, el código ACI requiere que el perímetro crítico se reduzca de acuerdo a lo
que se muestra en la figura 12.37.
Aberturas
No efectivo
𝑑
2
Sección
crítica
𝑑
2
𝑑
2
Sección
crítica
Fig. 12.37. Efecto de aberturas dentro o próximas al perímetro crítico para corte

Sección crítica para columnas de borde y esquina.
El cálculo del perímetro crítico para columnas de borde y esquina no está claramente definido en el código
ACI, pero Mac Gregor y Wight en su libro “Reinforced Concrete – Mechanics and Design” presentan los
siguientes criterios:
a) Comúnmente, los bordes del perímetro crítico alrededor de la columna no son considerados más
allá de la cara exterior de la columna. En la figura 12.38 la sección crítica para las columnas de
borde y esquina estaría definida por las líneas T-U-V-W y T-U-V, respectivamente.
b) Se asume que los bordes del perímetro crítico, perpendiculares al borde de la losa, pueden
extenderse más allá de la columna hasta los puntos definidos por la intersección de unas líneas que
se proyectan a 45° desde las esquinas de la columna. En la figura 12.38, la sección crítica para las
columnas de borde y esquina estaría definida por las líneas S-U-V-X y S-U-W, respectivamente.
533
Diseño de estructuras de hormigón armado
c) En 1978, el comité 426 del código ACI sugirió que las caras laterales del perímetro podrían ser
consideradas efectivas más allá de las caras exteriores de la columna cuando la losa se proyecta en
voladizo por lo menos una distancia igual al mayor de cuatro veces el espesor de la losa (4 ∙ ℎ) o
dos veces la longitud de desarrollo (2 ∙ ℓ𝑑 ) del refuerzo a flexión perpendicular al borde. En la
figura 12.38 se aprecia que cuando las distancias A y B no exceden el mayor valor de 4 ∙ ℎ o 2 ∙ ℓ𝑑 ,
entonces la sección crítica, para las columnas de borde y esquina, estaría definida por las líneas RU-V-Y y R-U-X, respectivamente. Pero, si las distancias A y B exceden el mayor valor de 4 ∙ ℎ o
2 ∙ ℓ𝑑 , entonces la sección crítica, para las columnas de borde y esquina, estaría definida por una
sección alrededor de las columnas distanciada 𝑑/2 de sus caras.
R
S
T
A
U
Y
R
X
W
S
T
𝑑
2
𝑑
2
V
U
Borde de la losa
A
B
X
V W
a) Perímetros críticos si A y B no exceden el mayor valor de 4 ∙ ℎ o 2 ∙ ℓ𝑑
Borde de la losa
A
A
𝑑
2
𝑑
2
B
b) Perímetros críticos si A excede el mayor valor de 4 ∙ ℎ o 2 ∙ ℓ𝑑 , pero B no lo hace
Fig. 12.38. Perímetro crítico para columnas de borde y esquina

Áreas tributarias para el corte en losas en dos direcciones
Para losas en dos direcciones sometidas a cargas uniformemente repartidas, las áreas tributarias para
calcular 𝑉𝑢 estan circundadas por líneas donde el corte es cero. Para paneles interiores, estas líneas pueden
ser asumidas que pasan por el centro del panel. Para paneles de borde y esquina, los coeficientes que se
presentan a continuación corresponden a líneas donde el corte es cero en los siguientes puntos:
534
Losas armadas en dos direcciones
a) 0.44 ∙ ℓ𝑖 desde el centro de la columna exterior para losas planas sin vigas de borde.
b) 0.45 ∙ ℓ𝑖 desde el centro de la columna exterior para losas con vigas de borde.
c) 0.50 ∙ ℓ𝑖 desde el centro de columnas para todos los demás paneles.
Donde ℓ𝑖 se define como la distancia entre ejes de columnas.
ℓ3
0.44 ∙ ℓ3
ℓ5
ℓ4
0.56 ∙ ℓ3
0.50 ∙ ℓ4
0.50 ∙ ℓ4
0.56 ∙ ℓ5
0.44 ∙ ℓ5
A
Área tributaria
para corte en dos
direcciones en la
columna A1
Area tributaria para corte en dos
direcciones en la columna A2
Área tributaria para corte en dos
direcciones en la columna A3
𝑑
0.44 ∙ ℓ6
ℓ6
Sección crítica para corte en una
dirección en la columna A4
Área tributaria para corte en dos
direcciones en la columna B2
0.56 ∙ ℓ6
B
0.50 ∙ ℓ7
ℓ7
Área tributaria para
corte en una dirección
en la columna C2
Secciones críticas para corte en
una dirección en la columna C2
𝑑
Area tributaria para
corte en una dirección
en la columna C2
𝑑
C
0.50 ∙ ℓ7
0.56 ∙ ℓ8
ℓ8
0.44 ∙ ℓ8
D
1
2
3
4
Fig. 12.39. Secciones críticas y áreas tributarias para la verificación al corte en losas planas armadas
en dos direcciones
535
Diseño de estructuras de hormigón armado

Ecuaciones para el diseño del corte en losas en dos direcciones sin transferencia de momento
apreciable.
Cuando las cargas en paneles adyacentes no están balanceadas o cuando actúan cargas laterales en
edificios no arriostrados con losas planas, existe una transferencia de momentos flectores y fuerzas
cortantes desde la losa hacia las columnas. En el caso de columnas interiores de edificios arriostrados
con losas planas, el estado de carga más desfavorable para corte generalmente no conlleva una
transferencia apreciable de momento entre losa y columnas. De manera similar, las columnas
generalmente transfieren poco o nada de momento hacia las cimentaciones.
Para el diseño del corte en dos direcciones donde la transferencia del momento entre losa y columnas es
insignificante se utilizan las siguientes ecuaciones:
𝜙 · 𝑉𝑛 ≥ 𝑉𝑢
(5.10)
𝑉𝑛 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠
(5.11)
Donde:
𝑉𝑛 = Resistencia nominal al corte de la viga.
𝜙 = Factor de reducción de la resistencia (0.75).
𝑉𝑢 = Corte último.
𝑉𝑐 = Fuerza de corte resistida por el hormigón.
𝑉𝑠 = Fuerza de corte resistida por los estribos o por la armadura de corte dispuesta.
En la mayoría de las losas no se coloca armadura para corte, entonces 𝑉𝑠 es igual a cero y la resistencia al
corte del hormigón 𝑉𝑐 en dos direcciones se calcula con las ecuaciones de la siguiente tabla.
Cálculo de 𝑽𝒄 para cortante en dos direcciones
El menor de:
2
0.17 ∙ (1 + ) ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑜 ∙ 𝑑
𝛽
(12.52)
𝛼𝑠 ∙ 𝑑
0.083 ∙ (
+ 2) ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑜 ∙ 𝑑
𝑏𝑜
(12.53)
0.33 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑜 ∙ 𝑑
(12.54)
Donde:
𝛽 = Relación entre la dimensión mayor y menor de la columna.
𝑏𝑜 = Perímetro de la sección crítica para corte.
𝛼𝑠 = 40 para columnas interiores.
𝛼𝑠 = 30 para columnas de borde.
𝛼𝑠 = 20 para columnas de esquina.
536
Losas armadas en dos direcciones

Perímetro crítico
para corte
𝑑/2
𝑑/2
𝛽=
𝑏𝑛
𝑑/2
𝑎𝑛
𝑑/2
𝑎𝑛
𝑏𝑛
Donde:
𝑎𝑛 > 𝑏𝑛
𝑎𝑛 es perpendicular a 𝑏𝑛
𝑑/2
Fig. 12.40. Definición de  para columnas de forma irregular
Ejemplo. Un sistema de piso de hormigón armado está compuesto por una losa plana de 150 [𝑚𝑚] de
espesor y sin vigas entre sus columnas. El canto útil 𝑑 es 124 [𝑚𝑚] para la armadura perpendicular al
lado más largo de la columna y 112 [𝑚𝑚] para la armadura en la otra dirección. La losa soporta una carga
muerta de servicio de 0.7 [𝑘𝑁/𝑚2 ] y una viva de 1.92 [𝑘𝑁/𝑚2 ]. La resistencia característica del
hormigón es de 20 [𝑀𝑃𝑎]. Los momentos que se transfieren desde la losa a las columnas o viceversa son
insignificantes. Verificar si la losa tiene una adecuada resistencia al corte.
a) Calcular la carga última.
𝑤𝑢 = 1.2 ∙ (0.70 + 0.15 ∙ 24) + 1.6 ∙ 1.92 = 8.23 [
𝑘𝑁
]
𝑚2
b) Verificar el corte en una dirección.
Corte por el eje F-F.
𝑑 = 112 [𝑚𝑚]
𝑏𝑤 = 3.08 + 2.75 = 5.83 [𝑚]
𝐴 𝑇 = (3.08 + 2.75) ∙ (3.00 − 0.30 − 0.112) = 15.09 [𝑚2 ]
𝑉𝑢 = 15.09 ∙ 8.23 = 124.19 [𝑘𝑁]
𝑉𝑐 = 0.17 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 = 0.17 ∙ 1 ∙ √20 ∙
5830 ∙ 112
= 496.42 [𝑘𝑁]
1000
537
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑉𝑠 = 0
𝜙 ∙ 𝑉𝑛 = 𝜙 ∙ (𝑉𝑐 + 𝑉𝑠 ) = 0.75 ∙ (496.42 + 0) = 372.32 [𝑘𝑁]
𝜙 · 𝑉𝑛 > 𝑉𝑢
Bien !
372.32 [𝑘𝑁] ≥ 124.19 [𝑘𝑁]
5.50
2.42
5.50
5.50
3.08
2.75
2.75
3.08
2.42
A
Área tributaria
para corte en dos
direcciones en la
columna A1
Area tributaria para corte en dos
direcciones en la columna A2
Area tributaria para corte en dos
direcciones en la columna A3
𝑑
2.64
6.0
Sección crítica para corte en una
dirección en la columna A4
𝐴 𝑇 = 36.78 [𝑚2 ]
3.36
0.059
B
3.00
0.30𝑥0.60
G
6.0
F
0.112
0.124
C
𝐴 𝑇 = 15.75 [𝑚2 ]
𝐴 𝑇 = 15.09 [𝑚2 ]
3.00
F
3.36
6.0
G
D
538
1
2
2.64
3
4
Losas armadas en dos direcciones
Corte por el eje G-G.
𝑑 = 124 [𝑚𝑚]
𝑏𝑤 = 3.00 + 3.36 = 6.36 [𝑚]
𝐴 𝑇 = (3.00 + 3.36) ∙ (2.75 − 0.15 − 0.124) = 15.75 [𝑚2 ]
𝑉𝑢 = 15.75 ∙ 8.23 = 129.62 [𝑘𝑁]
𝑉𝑐 = 0.17 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 = 0.17 ∙ 1 ∙ √20 ∙
6360 ∙ 124
= 599.57 [𝑘𝑁]
1000
𝑉𝑠 = 0
𝜙 ∙ 𝑉𝑛 = 𝜙 ∙ (𝑉𝑐 + 𝑉𝑠 ) = 0.75 ∙ (599.57 + 0) = 449.68 [𝑘𝑁]
𝜙 · 𝑉𝑛 > 𝑉𝑢
449.68 [𝑘𝑁] ≥ 129.62 [𝑘𝑁]
Bien !
c) Verificar el corte en dos direcciones.
𝑑=
124+112
= 118 [𝑚𝑚] (Se toma el promedio de los cantos útiles)
2
𝐴 𝑇 = (3.08 + 2.75) ∙ (3.36 + 3.00) − (0.418 ∙ 0.718) = 36.78 [𝑚2 ]
𝑉𝑢 = 36.78 ∙ 8.23 = 302.70 [𝑘𝑁]
𝛽=
0.6
=2
0.3
𝑏𝑜 = 2 ∙ (300 + 118 + 600 + 118) = 2272 [𝑚𝑚]
2
2272 ∙ 118
2
𝑉𝑐 = 0.17 ∙ (1 + ) ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑜 ∙ 𝑑 = 0.17 ∙ (1 + ) ∙ 1 ∙ √20 ∙
= 407.65 [𝑘𝑁]
2
1000
𝛽
𝛼𝑠 = 40 para columnas interiores.
𝛼𝑠 ∙ 𝑑
40 ∙ 118
2272 ∙ 118
𝑉𝑐 = 0.083 ∙ (
+ 2) ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑜 ∙ 𝑑 = 0.083 ∙ (
+ 2) ∙ 1 ∙ √20 ∙
𝑏𝑜
2272
1000
𝑉𝑐 = 405.76 [𝑘𝑁]
539
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑉𝑐 = 0.33 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑜 ∙ 𝑑 = 0.33 ∙ 1 ∙ √20 ∙
2272 ∙ 118
= 395.66 [𝑘𝑁]
1000
Por tanto, la resistencia del hormigón 𝑉𝑐 es tomada como el menor valor de los tres hallados
anteriormente.
𝑉𝑐 = 395.66 [𝑘𝑁]
𝑉𝑠 = 0
𝜙 ∙ 𝑉𝑛 = 𝜙 ∙ (𝑉𝑐 + 𝑉𝑠 ) = 0.75 ∙ (395.66 + 0) = 296.75 [𝑘𝑁]
𝜙 ∙ 𝑉𝑛 > 𝑉𝑢
No cumple !
296.75 [𝑘𝑁] ≥ 302.70 [𝑘𝑁]
Debido a que la resistencia nominal de diseño a corte no es mayor a la fuerza cortante mayorada, se debe
revisar el diseño para cumplir con esa condición. En este caso, se opta por aumentar la resistencia
cilíndrica del hormigón a 25 [𝑀𝑃𝑎].
𝑉𝑐 = 0.33 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑜 ∙ 𝑑 = 0.33 ∙ 1 ∙ √25 ∙
2272 ∙ 118
= 442.36 [𝑘𝑁]
1000
𝜙 ∙ 𝑉𝑛 = 𝜙 ∙ (𝑉𝑐 + 𝑉𝑠 ) = 0.75 ∙ (442.36 + 0) = 331.77 [𝑘𝑁]
𝜙 ∙ 𝑉𝑛 > 𝑉𝑢
331.77 [𝑘𝑁] ≥ 302.70 [𝑘𝑁]

Bien !
Refuerzo para corte.
Cuando 𝜙 ∙ 𝑉𝑐 es menor a 𝑉𝑢 , la capacidad de corte de la losa puede ser incrementada utilizando los
siguientes métodos:
a) Aumentar la resistencia cilíndrica del hormigón.
b) Aumentar el espesor de la losa en todo el panel.
c) Utilizar ábacos para incrementar el espesor de la losa sobre las columnas.
d) Agrandar el perímetro crítico 𝑏𝑜 incrementando las dimensiones de la columna o utilizando
capiteles en la parte superior de las columnas.
e) Añadir refuerzo para corte.
540
Losas armadas en dos direcciones
No es frecuente la utilización del refuerzo para corte en losas, pero en la eventualidad de usarlo se puede
seleccionar uno de los tres tipos de refuerzo mostrados en la siguiente figura.
La sección 8.7.6 del código ACI permite emplear refuerzo de cortante consistente en barras o alambres y
estribos de una o varias ramas en losas y zapatas con 𝑑 mayor o igual a 150 [𝑚𝑚], pero no menor de 16
veces el diámetro de la barra de refuerzo al cortante.
𝑑 ≥ 150 [𝑚𝑚] ≥ 16 ∙ 𝑑𝑠
(12.55)
Donde:
𝑑𝑠 = Diámetro de la barra de refuerzo al cortante.
Cuando se requiere emplear refuerzo de cortante, el diseño se realiza siguiendo las siguientes ecuaciones:
𝜙 · 𝑉𝑛 ≥ 𝑉𝑢
(5.10)
𝑉𝑛 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠
(5.11)
𝑉𝑠 =
𝐴𝑣 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑑
𝑠
(5.15)
Donde:
𝑉𝑛 = Resistencia nominal al corte de la viga.
𝜙 = Factor de reducción de la resistencia (0.75).
𝑉𝑢 = Fuerza cortante mayorada en la sección.
𝑉𝑐 = Fuerza de corte resistida por el hormigón.
𝑉𝑠 = Fuerza de corte resistida por los estribos.
𝐴𝑣 = Área de la sección transversal de todas las ramas de refuerzo en una línea periférica que es
geométricamente similar al perímetro de la sección de la columna.
Para elementos armados en dos direcciones que tienen refuerzo a cortante, la máxima resistencia nominal
a cortante proporcionada por el hormigón 𝑉𝑐 y que se calcula en las secciones críticas no debe exceder los
valores de la siguiente tabla.
𝑽𝒄 máximo para elementos en dos direcciones con refuerzo a cortante
𝑽𝒄 máximo en las secciones críticas 𝑽𝒄 máximo en las secciones críticas
Tipo de refuerzo
definidas por la sección 22.6.4.1 del definidas por la sección 22.6.4.2 del
a cortante
código ACI
código ACI
Estribos
0.17 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑜 ∙ 𝑑
(12.56𝑎)
0.17 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑜 ∙ 𝑑
(12.56𝑏)
Pernos con cabeza
para cortante
0.25 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑜 ∙ 𝑑
(12.56𝑐)
0.17 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑜 ∙ 𝑑
(12.56𝑑)
541
Diseño de estructuras de hormigón armado
La sección 22.6.4.1 del ACI indica que se debe verificar la sección crítica cuyo perímetro 𝑏𝑜 sea un
mínimo y ésta no necesita estar localizada a una distancia menor a 0.5 ∙ 𝑑 de las siguientes secciones
críticas:
a) Los bordes o las esquinas de las columnas, cargas concentradas o áreas de reacción.
b) Los cambios de espesor de la losa o zapata, tales como los bordes de capiteles, ábacos o
descolgados para cortante.
Para columnas cuadradas o rectangulares, cargas concentradas o áreas de reacción, se permite calcular las
secciones críticas para cortante en dos direcciones de acuerdo a los incisos a) y b) anteriores suponiendo
lados rectos.
En el caso de columnas de sección poligonal o circular, el código ACI permite que éstas sean consideradas
como columnas cuadradas de área equivalente para los efectos de calcular el perímetro crítico para
cortante en dos direcciones de acuerdo a los incisos a) y b) anteriores.
La sección 22.6.4.2 del ACI indica que para elementos armados en dos direcciones a los que se les ha
proporcionado estribos de una o varias ramas o pernos con cabeza como refuerzo a cortante, se debe
considerar la verificación de una sección crítica con perímetro 𝑏𝑜 localizada a una distancia de 0.5 ∙ 𝑑
fuera de la línea periférica más externa del refuerzo a cortante. La forma de la sección crítica a utilizar
debe consistir en un polígono con el menor perímetro 𝑏𝑜 posible.
La distancia entre la cara de la columna y la primera línea de las ramas de los estribos que rodean la
columna debe ser menor o igual a 0.5 ∙ 𝑑. Además, el espaciamiento entre las ramas adyacentes de los
estribos en la primera línea de refuerzo para cortante no debe exceder 2 ∙ 𝑑 medido en una dirección
paralela a la cara de la columna. También, el espaciamiento entre las otras líneas sucesivas de refuerzo
para cortante que rodean la columna no debe exceder de 0.5 ∙ 𝑑 en una dirección perpendicular a la cara de
la columna. Finalmente, el refuerzo para cortante en las losas debe amarrar el refuerzo de flexión
longitudinal y desarrollarse adecuadamente de acuerdo a la sección 25.7.1.1 del código ACI.
Para elementos armados en dos direcciones que tienen refuerzo a cortante, la máxima fuerza cortante
mayorada 𝑉𝑢 calculada en las secciones críticas no debe exceder los valores de la siguiente tabla.
𝑽𝒖 máximo para elementos en dos direcciones con refuerzo a cortante
542
Tipo de refuerzo a cortante
𝑽𝒖 máximo en las secciones críticas definidas
por la sección 22.6.4.1 del código ACI
Estribos
𝜙 ∙ 0.50 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑜 ∙ 𝑑
(12.57𝑎)
Pernos con cabeza para cortante
𝜙 ∙ 0.66 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑜 ∙ 𝑑
(12.57𝑏)
Losas armadas en dos direcciones
Planta
𝑑/2
Sección
crítica
fuera de la zona
de refuerzo de
cortante de la losa
𝑑/2
𝑑/2
𝑑/2
𝑑/2
𝑑/2
Sección crítica a través
del refuerzo de cortante
de la losa (primera fila
de ramas de los estribos)
𝑑/2
Elevación
𝑑
𝑑
≤ 2 ∙ 𝑑 ≤ 𝑑/2
≤ 2 ∙ 𝑑 ≤ 𝑑/2
𝑠 ≤ 𝑑/2
Columna exterior
𝑠 ≤ 𝑑/2
Columna interior
Planta
Sección crítica
Elevación
Fig. 12.41. Refuerzo para corte en losas
543
Diseño de estructuras de hormigón armado

Transferencia del corte y momento en las conexiones columna – losa.
El procedimiento del código ACI para el diseño de la transferencia del corte y momento en las conexiones
columna – losa asume que los esfuerzos cortantes en una sección crítica localizada a una distancia de 𝑑/2
de la cara de la columna producidos por la fuerza cortante última 𝑉𝑢 pueden ser adicionados a los
esfuerzos cortantes, en la misma sección, producidos por la transferencia de momentos. La falla se
produce cuando el esfuerzo cortante máximo alcanza un valor límite.
𝑣=
𝑉𝑢
𝑏𝑜 ∙ 𝑑
a) Esfuerzos de corte debido a 𝑉𝑢
Z
𝑣=
𝛾𝑣 ∙ 𝑀𝑠𝑐 ∙ 𝑐
𝐽𝑐
Z
b) Esfuerzos de corte debido al momento no balanceado (𝑀𝑠𝑐 = 𝑀𝑢1 – 𝑀𝑢2 )
c) Esfuerzos totales de corte
Fig. 12.42. Esfuerzos de corte debido a la transferencia de fuerzas cortantes
y momentos flectores en una columna interior
𝑣𝑢 =
𝑉𝑢
𝛾𝑣 ∙ 𝑀𝑠𝑐 ∙ 𝑐
±
𝑏𝑜 ∙ 𝑑
𝐽𝑐
𝛾𝑣 = 1 − 𝛾𝑓
544
(12.58)
(12.59)
Losas armadas en dos direcciones
Donde:
𝑉𝑢 = Fuerza cortante transferida que actúa en el centro de gravedad de la sección crítica.
𝛾𝑣 = Fracción del momento que se transfiere por esfuerzos de corte en la sección crítica.
𝛾𝑓 = Fracción del momento que se transfiere por esfuerzos de flexión en la sección crítica.
𝐽𝑐 = Propiedad de la sección similar al momento polar de inercia de la sección crítica a corte alrededor de
su centro de gravedad.
𝑀𝑠𝑐 = Momento mayorado de la losa que es resistido por la columna en el nudo. También se lo conoce
como momento no balanceado (𝑀𝑠𝑐 = 𝑀𝑢1 – 𝑀𝑢2 ).
𝑐 = Distancia perpendicular desde el eje Z-Z que pasa por el centro de gravedad del perímetro crítico al
punto donde se quiere calcular el esfuerzo de corte.
𝑣=
𝑉𝑢
𝑏𝑜 ∙ 𝑑
a) Esfuerzos de corte debido a 𝑉𝑢
Z
𝑣=
𝛾𝑣 ∙ 𝑀𝑠𝑐 ∙ 𝑐
𝐽𝑐
Z
S
b) Esfuerzos de corte
e debido al momento no balanceado 𝑀𝑠𝑐 = 𝑀𝑢1 − 𝑀𝑢2
c
c
i
ó
n
c de corte
c) Esfuerzos totales
r
Fig. 12.43. Esfuerzosí de corte debido a la transferencia de fuerzas cortantes
y momentos flectores en una columna de borde
t
i
c requiere que una porción del momento total no balanceado, 𝛾𝑓 ∙ 𝑀𝑠𝑐 ,
La sección 8.4.2.3.2 del código ACI
en la conexión es transferida por flexión
desde la losa a la columna. En el diseño de una conexión de losa
a
con columna de borde es usual 0colocar acero de flexión en un ancho efectivo de losa 𝑏𝑙𝑜𝑠𝑎 igual a
.
2
0
∙
l
545
Diseño de estructuras de hormigón armado
3 ∙ ℎ + 𝑐2 centrado desde el eje de la columna. El refuerzo ya calculado por flexión en esa región puede
ser utilizado para ese propósito. Pero, por ensayos de laboratorio se ha demostrado que solamente las
barras que ingresan dentro de la columna logran fluir para el momento último, por tal motivo el acero
colocado en el ancho efectivo de losa 𝑏𝑙𝑜𝑠𝑎 no logra transferir el momento esperado. El resto del momento
no balanceado, 𝛾𝑣 ∙ 𝑀𝑠𝑐 , es asumido que se transfiere, de la losa a la columna, por esfuerzos de corte en la
sección crítica debido al momento y corte.
𝛾𝑓 =
1
(12.60)
2 𝑏
1+3∙√ 1
𝑏2
Donde:
𝑏𝑙𝑜𝑠𝑎 = Ancho efectivo de losa que resiste 𝛾𝑓 ∙ 𝑀𝑠𝑐 .
ℎ = Espesor de la losa o ábaco.
𝑐1 = Dimensión de una columna rectangular o rectangular equivalente, de un capitel o de una ménsula,
medida en la dirección de la luz para la cual se determinan los momentos.
𝑐2 = Dimensión de una columna rectangular o rectangular equivalente, de un capitel o de una ménsula,
medida en la dirección perpendicular a 𝑐1 .
𝑏1 = Ancho total de la sección crítica medido perpendicularmente al eje donde el momento actúa.
𝑏2 = Ancho total de la sección crítica medido paralelamente al eje donde el momento actúa.
1,00
0,90
0,80
0,70
0,60
gf
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
30,0
35,0
40,0
45,0
Relación b1/b2
Fig. 12.44. Variación de la fracción del momento no balanceado transferido
por flexión en función de las dimensiones de la columna
546
50,0
Losas armadas en dos direcciones
Para una sección crítica cuadrada 𝑏1 = 𝑏2, se tiene que:
𝛾𝑓 = 0.60
𝛾𝑣 = 1 − 𝛾𝑓 = 1 − 0.60 = 0.40.
Esto significa que 60% del momento último no balanceado es transferido de la losa a la columna por
flexión y 40% por esfuerzos de corte excéntricos.
La sección 8.4.2.3.4 del código ACI permite, para losas no preesforzadas con momentos no balanceados
transferidos entre la losa y columna, aumentar 𝛾𝑓 de acuerdo a los criterios de la siguiente tabla:
Localización
de la columna
Dirección de la luz
𝒗𝒖𝒈
𝜺𝒕 (dentro de
𝒃𝒍𝒐𝒔𝒂)
𝜸𝒇 máximo
modificado
Esquina
Ambas direcciones
≤ 0.5 ∙ 𝜙 ∙ 𝑣𝑐
≥ 0.004
𝑎
≤ 0.429 ∙ 𝛽1
𝑑𝑡
1.0
Perpendicular al
borde
≤ 0.75 ∙ 𝜙 ∙ 𝑣𝑐
≥ 0.004
𝑎
≤ 0.429 ∙ 𝛽1
𝑑𝑡
1.0
≤ 0.4 ∙ 𝜙 ∙ 𝑣𝑐
≥ 0.010
𝑎
≤ 0.231 ∙ 𝛽1
𝑑𝑡
2 𝑏
1+3∙√ 1
𝑏2
≥ 0.010
1.25
Borde
Paralelo al borde
Interior
Ambas direcciones
≤ 0.4 ∙ 𝜙 ∙ 𝑣𝑐
𝑎
≤ 0.231 ∙ 𝛽1
𝑑𝑡
1.25
2 𝑏
1+3∙√ 1
𝑏2
≤ 1.0
≤ 1.0
Nota: No se permiten ajustes al valor de 𝛾𝑓 en sistemas de losas preesforzadas.
Donde:
𝑣𝑢𝑔 = Esfuerzo cortante mayorado en la sección crítica para acción en dos direccones sin incluir la
transferencia de momento
Aunque el requerimiento de 𝜀𝑡 ≥ 0.010 para incrementar hasta 1 el valor de 𝛾𝑓 está solamente
especificado por la sección 8.4.2.3.4 del ACI para conexiones interiores, es recomendable utilizar ese
límite para todas las conexiones losa-columna. Este requerimiento asegura que la zona de transferencia de
la losa tiene una ductilidad adecuada para permitir la redistribución de cargas fuera de la conexión en la
eventualidad de una sobrecarga.
Los esfuerzos de corte que resultan de la fuerza cortante última 𝑉𝑢 y del momento último no balanceado
𝛾𝑣 ∙ (𝑀𝑢1 − 𝑀𝑢2 ) son mostrados en las figuras 12.42 y 12.43 para una columna interior y una de borde,
respectivamente.
547
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑣𝑢 ≤ 𝜙 ∙ 𝑣𝑛
𝜙 ∙ 𝑣𝑛 =
(12.61)
𝜙 ∙ (𝑉𝑐 + 𝑉𝑠 )
𝑏𝑜 ∙ 𝑑
(12.62)
Donde:
𝑉𝑐 = Fuerza de corte resistida por el hormigón.
𝑉𝑠 = Fuerza de corte resistida por estribos o armadura de corte en la losa alrededor de la columna.
Cálculo de 𝑽𝒄 para cortante en dos direcciones
El menor de:
2
0.17 ∙ (1 + ) ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑜 ∙ 𝑑
𝛽
(12.52)
𝛼𝑠 ∙ 𝑑
0.083 ∙ (
+ 2) ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑜 ∙ 𝑑
𝑏𝑜
(12.53)
0.33 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑜 ∙ 𝑑
(12.54)
Donde:
𝛽 = Relación entre la dimensión mayor y menor de la columna.
𝑏𝑜 = Perímetro de la sección crítica para corte.
𝛼𝑠 = 40 para columnas interiores.
𝛼𝑠 = 30 para columnas de borde.
𝛼𝑠 = 20 para columnas de esquina.

Propiedades del perímetro crítico en las conexiones columna – losa.
El procedimiento actual del código ACI para la transferencia de corte y momento en las conexiones losacolumna se aplica para conexiones de la losa con columnas interiores, de borde y esquina.
Columna interior
𝐽𝑐 = (𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 ) de las caras C y D más 𝐴 ∙ 𝑥 2 de las caras A y B.
𝑏1 ∙ 𝑑3
𝑑 ∙ 𝑏13
𝑏1 2
𝐽𝑐 = 2 ∙
+2∙
+ 2 ∙ 𝑏2 ∙ 𝑑 ∙ ( )
12
12
2
Donde:
𝑏1 = 𝑐1 + 𝑑 Ancho del perímetro de corte perpendicular al eje de flexión.
𝑏2 = 𝑐2 + 𝑑 Ancho del perímetro de corte paralelo al eje de flexión.
𝑐1 = Ancho de la columna perpendicular al eje de flexión.
𝑐2 = Ancho de la columna paralelo al eje de flexión.
548
(12.63)
Losas armadas en dos direcciones
Si grandes aberturas están presentes, adyacentes a la columna, el perímetro de corte será discontinuo como
se muestra en la figura 12.37. Si esto ocurre, el cálculo de la posición del centro de gravedad y de 𝐽𝑐 debe
incluir el efecto de las aberturas.
Columna de borde.
En el caso de una columna de borde, el centro de gravedad del perímetro crítico está más cerca de la cara
interior de la columna que de su cara exterior. Como resultado, los esfuerzos de corte debido al momento
son mayores en las esquinas exteriores del perímetro crítico. Si 𝑀𝑢 es grande y 𝑉𝑢 es pequeño, entonces un
esfuerzo de corte negativo puede ocurrir en esos puntos. Si 𝑀𝑢 , debido a la combinación de cargas
laterales y gravitacionales es positivo, en vez de ser negativo, en esta unión, los esfuerzos más grandes de
corte ocurrirán en las esquinas exteriores.
Momentos con respecto de un eje paralelo al borde (eje Z-Z). Para un perímetro crítico de tres lados,
como se muestra en la figura 12.45(b) considerando como 𝑏1 la longitud del lado perpendicular al borde,
la posición del eje centroidal Z-Z es:
𝑐𝐴 =
𝑐𝐴 =
𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝐴
á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠
𝑏
2 ∙ 𝑏1 ∙ 𝑑 ∙ 21
2 ∙ 𝑏1 ∙ 𝑑 + 𝑏2 ∙ 𝑑
(12.64)
𝐽𝑐 = (𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 ) de las caras C y D, más 𝐴 ∙ 𝑥 2 de las caras C y D, más 𝐴 ∙ 𝑥 2 de la cara A.
𝐽𝑐 = 2 ∙
2
𝑑 ∙ 𝑏13
𝑏1
𝑏1 ∙ 𝑑3
+2∙
+ 2 ∙ 𝑏1 ∙ 𝑑 ∙ ( − 𝑐𝐴 ) + 𝑏2 ∙ 𝑑 ∙ 𝑐𝐴2
12
2
12
(12.65)
Momentos con respecto de un eje perpendicular al borde (eje W-W). Para un perímetro crítico de tres
lados, como se muestra en la figura 12.45(b) considerando como 𝑏1 la longitud del lado perpendicular al
borde, la posición del eje centroidal W-W es:
𝑐𝐶𝐵 = 𝑐𝐴𝐷 =
𝑏2
2
Frecuentemente, los momentos con respecto a un eje perpendicular a un borde son transferidos desde la
losa a la columna. En este caso la ecuación (12.58) se transforma en:
𝑣𝑢 =
𝑉𝑢
𝛾𝑣 ∙ 𝑀𝑢1 ∙ 𝑐 𝛾𝑣 ∙ 𝑀𝑢2 ∙ 𝑐
±
±
𝑏𝑜 ∙ 𝑑
𝐽𝑐1
𝐽𝑐2
(12.66)
549
Diseño de estructuras de hormigón armado
Donde, 𝑀𝑢1 y 𝐽𝑐1 estan referidos a los momentos provenientes de la luz perpendicular al borde y 𝑀𝑢2 y
𝐽𝑐2 a los momentos provenientes de la luz paralela al borde. El valor de 𝐽𝑐1 se calcula con la ecuación
(12.65), mientras que para 𝐽𝑐2 se requiere una nueva ecuación.
𝑐𝐶𝐵 = 𝑐𝐴𝐷 =
𝑏2
2
𝐽𝑐2 = 𝐴 ∙ 𝑥 2 de las caras C y D más (𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 ) de la cara A.
2
𝐽𝑐2 = 2 ∙ 𝑏1 ∙ 𝑑 ∙ 𝑐𝐶𝐵
+
𝑏2 ∙ 𝑑3 𝑏23 ∙ 𝑑
+
12
12
(12.67)
Columna de esquina
Para un perímetro crítico de dos lados, como se muestra en la figura 12.45(c) con dimensiones 𝑏1 y 𝑏2 , la
ubicación del eje centroidal Z-Z es:
𝑐𝐴𝐵 =
𝑏
𝑏1 ∙ 𝑑 ∙ 21
𝑏1 ∙ 𝑑 + 𝑏2 ∙ 𝑑
𝐽𝑐 = (𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 ) de la cara C más 𝐴 ∙ 𝑥 2 de la cara C más 𝐴 ∙ 𝑥 2 de la cara A.
2
𝑏1 ∙ 𝑑3 𝑑 ∙ 𝑏13
𝑏1
2
𝐽𝑐 =
+
+ 𝑏1 ∙ 𝑑 ∙ ( − 𝑐𝐴𝐵 ) + 𝑏2 ∙ 𝑑 ∙ 𝑐𝐴𝐵
12
12
2
550
(12.68)
Losas armadas en dos direcciones
𝑏1 X
𝑏2
C
B
𝑑
A
D
X
a) Perímetro crítico de una columna interior
𝑏1
𝑏2
Z
C
W
”
𝑑
A
W
D
Z
b) Perímetro crítico de una columna de borde
V
𝑏2
𝑏1
W
Z
C
”
U
U
A
Z
𝑑
W
V
c) Perímetro crítico de una columna de esquina
Fig. 12.45. Perímetros de corte críticos
551
Diseño de estructuras de hormigón armado
Columnas circulares
En columnas circulares, para el cálculo de corte y momento se recomienda que el perímetro crítico este
basado en uno para columna cuadrada con el mismo centro de gravedad y la misma longitud de perímetro.
0.866 ∙ 𝑑𝑐
𝑑
2
Columna circular
𝑑𝑐
Columna cuadrada equivalente
Perímetro crítico de corte
a) Perímetro crítico para columna circular interior
Borde de losa
Columna circular
Columna cuadrada equivalente
Perímetro crítico de corte
b) Perímetro crítico para columna circular de borde
Fig. 12.46. Perímetros de críticos para la transferencia de momento y corte
en columnas circulares

Corte en losas
Cuando se diseña una losa en dos direcciones o una zapata con poco o nada de momento transferido desde
la losa a la columna, es habitual seleccionar el espesor de la losa considerando que 𝑉𝑢 ≈ (0.85 𝑎 1.0) ∙ 𝜙 ∙
𝑉𝑐 a menos de que haya aberturas adyacentes a la columna. La presencia de aberturas adyacentes a la
columna reduce el perímetro crítico y si estas aberturas no están colocadas de manera simétrica alrededor
de la columna también introducen una excentricidad entre la línea de acción del corte y el centro de
gravedad del perímetro crítico.
552
Losas armadas en dos direcciones
Alrededor de una columna de borde que soporta una losa en dos direcciones sujeta a cargas
gravitacionales, los esfuerzos de corte resultantes de la transferencia de momento pueden ser de la misma
magnitud que los esfuerzos de corte directo. Por tanto, el espesor de la losa debería ser seleccionado
considerando 𝑉𝑢 ≈ (0.50 𝑎 0.55) ∙ 𝜙 ∙ 𝑉𝑐 . El momento no balanceado a ser transferido puede ser reducido
haciendo que la losa sobrepase el centro de la columna en volado. El momento que produce la losa en
volado contrarresta en algo el momento no balanceado a ser transferido.
En pórticos no arriostrados con losas planas, el corte inducido por los momentos, que a su vez son
producidos por las cargas laterales, incrementará los esfuerzos de corte en cualquiera de las caras (interna
o externa) de la columna de borde y eso puede causar problemas serios en el perímetro crítico de la losa
alrededor de la columna.
Ejemplo. Una columna de 300 [𝑚𝑚] por 400 [𝑚𝑚] esta localizada 100 [𝑚𝑚] del borde de una losa
plana sin vigas de borde. La losa tiene un espesor de 165 [𝑚𝑚], con un canto útil promedio de 140 [𝑚𝑚].
El hormigón tiene una resistencia característica a los 28 días de 25 [𝑀𝑃𝑎] y el acero una tensión de
fluencia de 420 [𝑀𝑃𝑎]. El método del diseño directo da un valor de 205 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] para el momento
estático 𝑀𝑜 en el panel exterior. El corte del panel exterior es 139 [𝑘𝑁]. La porción de la losa por fuera de
la línea central de la columna produce un corte último de 18 [𝑘𝑁] que actúa en la cara de la columna o a
150 [𝑚𝑚] del centro de la columna. El momento alrededor del eje W-W (eje perpendicular al borde) es
menos crítico que el momento alrededor del eje Z-Z (eje paralelo al borde). Verificar la resistencia de la
losa alrededor del perímetro crítico debido a los esfuerzos de corte que se producen por efectos
combinados de la fuerza cortante y la transferencia del momento entre la losa y la columna de borde.
Z
321
100
300
149
D
A
70
Perímetro crítico
Borde libre
de la losa
400
400
𝑏2 = 540
100
𝑑
= 70
2
300
70
C
B
𝑏1 = 470
Z
553
Diseño de estructuras de hormigón armado
a)
Localización del perímetro crítico para corte.
El perímetro crítico para corte está localizado a una distancia de 𝑑/2 desde las caras de la columna,
excepto en el borde exterior donde solamente existe una distancia de 100 [𝑚𝑚] al borde de la losa.
b)
Calcular el centro de gravedad del perímetro crítico para corte.
𝑏1
470
2 ∙ 470 ∙ 140 ∙
2
2
𝑐𝐴 =
=
= 149 [𝑚𝑚]
2 ∙ 𝑏1 ∙ 𝑑 + 𝑏2 ∙ 𝑑 2 ∙ 470 ∙ 140 + 540 ∙ 140
2 ∙ 𝑏1 ∙ 𝑑 ∙
c)
Calcular el momento alrededor del centro de gravedad del perímetro crítico para corte.
Para la porción de la losa entre la línea central de las columnas de borde y la línea central de las primeras
columnas interiores, 𝑀𝑜 = 205 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] y 𝑉𝑢 = 139 [𝑘𝑁]. La sección 8.10.7.3 del código ACI define el
momento a ser transferido como 0.3 ∙ 𝑀𝑜 = 61.5 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]. Se asumirá que este momento actúa en el
centro de gravedad del perímetro de corte y que 𝑉𝑢 del panel externo también actúa en ese punto. La
porción de la losa ubicada por fuera de la línea central de la columna tiene un corte 𝑉𝑢𝑐 = 18 [𝑘𝑁]
actuando a 221 [𝑚𝑚] desde el centro de gravedad del perímetro de corte. El momento total alrededor del
centro de gravedad del perímetro de corte es:
𝑀𝑠𝑐 = 61.5 − 18 ∙ 0.221 = 57.52 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
El corte total a ser transferido es:
𝑉𝑢 = 139 + 18 = 157 [𝑘𝑁]
d)
Calcular 𝜙 ∙ 𝑉𝑐 y 𝑉𝑢 /𝜙 ∙ 𝑉𝑐 .
El valor de 𝑉𝑐 es el valor más pequeño de:
2
2
1480 ∙ 140
𝑉𝑐 = 0.17 ∙ (1 + ) ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑜 ∙ 𝑑 = 0.17 ∙ (1 +
) ∙ 1 ∙ √25 ∙
= 440.96 [𝑘𝑁]
𝛽
1.33
1000
𝜙 ∙ 𝑉𝑐 = 0.75 ∙ 440.96 = 330.72 [𝑘𝑁]
𝛽=
400
= 1.33
300
𝑏𝑜 = 2 ∙ 470 + 540 = 1480 [𝑚𝑚]
𝛼𝑠 ∙ 𝑑
30 ∙ 140
1480 ∙ 140
𝑉𝑐 = 0.083 ∙ (
+ 2) ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑜 ∙ 𝑑 = 0.083 ∙ (
+ 2) ∙ 1 ∙ √25 ∙
𝑏𝑜
1480
1000
𝑉𝑐 = 416.00 [𝑘𝑁]
554
Losas armadas en dos direcciones
𝜙 ∙ 𝑉𝑐 = 0.75 ∙ 416.00 = 312.00 [𝑘𝑁]

𝛼𝑠 = 30 para columnas de borde

𝑉𝑐 = 0.33 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑜 ∙ 𝑑 = 0.33 ∙ 1 ∙ √25 ∙

𝜙 ∙ 𝑉𝑐 = 0.75 ∙ 341.88 = 256.41 [𝑘𝑁]
1480 ∙ 140
= 341.88 [𝑘𝑁]
1000
Por tanto:
𝜙 ∙ 𝑉𝑐 = 256.41 [𝑘𝑁]
𝑉𝑢
157
=
= 0.612
𝜙 ∙ 𝑉𝑐 256.41
e)
Determinar la fracción del momento transferido por flexión 𝛾𝑓 .
𝛾𝑓 =
1
2 𝑏
1+ ∙√ 1
3 𝑏2
=
1
2 470
1+3∙√
540
= 0.617
Para columnas de borde con momentos no balanceados alrededor de un eje paralelo al borde, el valor de
𝑉
𝑢
𝛾𝑓 puede incrementarse hasta 1, siempre que la condición 𝜙∙𝑉
≤ 0.75 en el borde del apoyo se cumpla.
𝑐
𝑉
𝑢
Como 𝜙∙𝑉
= 0.612 ≤ 0.75 se adopta 𝛾𝑓 = 1 y se calcula el refuerzo necesario.
𝑐
f)
Calcular el refuerzo para el momento transferido por flexión.
Ancho efectivo para flexión: 𝑐2 + 3 ∙ ℎ = 400 + 3 ∙ 165 = 895 [𝑚𝑚]
Momento transferido: 1.0 ∙ 57.52 = 57.52 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
Asumir que 𝑗 ∙ 𝑑 = 0.925 ∙ 𝑑 = 0.925 ∙ 140 = 130 [𝑚𝑚]
Se asume que 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 y que la falla es por tracción 𝜙 = 0.9
𝐴𝑠 =
𝛾𝑓 ∙ 𝑀𝑠𝑐
𝜙 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑗 ∙ 𝑑
A medio tramo 𝛾𝑓 ∙ 𝑀𝑠𝑐 = 57.52 [𝑘𝑁 · 𝑚]
555
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝐴𝑠 =
𝛾𝑓 ∙ 𝑀𝑠𝑐
57.52 ∙ 10002
=
= 1175 [𝑚𝑚2 ] = 11.75 [𝑐𝑚2 ]
𝜙 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑗 ∙ 𝑑 0.9 ∙ 420 ∙ 0.925 ∙ 140
Se verifica la sección para 11𝜙12
𝑎=
→
𝐴𝑠 = 12.44 [𝑐𝑚2 ]
𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦
1244 ∙ 420
=
= 27 [𝑚𝑚]
′
0.85 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 0.85 ∙ 25 ∙ 895
𝐴𝑠 =
57.52 ∙ 10002
=
= 1203 [𝑚𝑚2 ] = 12.03 [𝑐𝑚2 ]
𝑎
27
𝜙 ∙ 𝑓𝑦 ∙ (𝑑 − 2) 0.9 ∙ 420 ∙ (140 − )
2
𝛾𝑓 ∙ 𝑀𝑠𝑐
Se utilizan 11𝜙12
→
𝐴𝑠 = 12.44 [𝑐𝑚2 ]
𝑎
𝑎
27
=
=
= 0.193
𝑑 𝑑𝑡 140
𝛽1 = 1.05 − 0.007 ∙ 𝑓𝑐′ = 1.05 − 0.007 ∙ 25 = 0.875 > 0.85
→
𝛽1 = 0.85
𝑎𝑏
600
= 0.85 ∙
= 0.5
𝑑
600 + 420
𝑎𝑡𝑐
= 0.375 ∙ 0.85 = 0.319
𝑑𝑡
Para que 𝜀𝑡 ≥ 0.010 se debe verificar que
𝑎
≤ 0.231 ∙ 𝛽1 = 0.231 ∙ 0.85 = 0.196.
𝑑𝑡
𝑎
Como 𝑑 = 0.193 ≤ 0.196 entonces la conexión tiene la suficiente ductilidad y el incremento de 𝛾𝑓 hasta
𝑡
el valor de 1 puede ser realizado.
𝑎
Como 𝑑 = 0.193 ≤ 0.319 el acero fluye y la sección falla a tracción.
𝑡
𝑎
1244 ∙ 420
27
𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 𝜙 ∙ 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ∙ (𝑑 − ) = 0.9 ∙
∙ (140 − ) = 59.48 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
2
2
1000
2
𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 59.96 [𝑘𝑁 · 𝑚] ≥ 𝛾𝑓 ∙ 𝑀𝑠𝑐 = 57.52 [𝑘𝑁 · 𝑚]
En los casos cuando 𝜀𝑡 es menor a 0.010, se puede ajustar el valor de 𝛾𝑓 de modo de cumplir con el
requerimiento de ductilidad de la conexión. Por ejemplo, se va a resolver el presente ejercicio suponiendo
que no se hubiese cumplido con el requerimiento de ductilidad o que quisiéramos tener una mayor
ductilidad. En ese caso, el factor 𝛾𝑓 no hubiese podido ser incrementado hasta 1.0, entonces se puede
asumir que éste factor puede ser incrementado hasta un valor entre 0.617 y 1.0. Arbitrariamente, se decide
proveer, como armadura para el momento, 8𝜙12 con un área de 9.05 [𝑐𝑚2 ].
556
Losas armadas en dos direcciones
𝑎=
𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦
905 ∙ 420
=
= 20 [𝑚𝑚]
′
0.85 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 0.85 ∙ 25 ∙ 895
𝑎
𝑎
20
=
=
= 0.143
𝑑 𝑑𝑡 140
𝑎
Para que 𝜀𝑡 ≥ 0.010 se debe verificar que 𝑑 ≤ 0.231 ∙ 𝛽1 = 0.231 ∙ 0.85 = 0.196
𝑡
𝑎
Como 𝑑 = 0.143 ≤ 0.196 entonces la conexión tiene más ductilidad de la requerida.
𝑡
𝑎𝑡𝑐
= 0.375 ∙ 0.85 = 0.319
𝑑𝑡
𝑎
Como 𝑑 = 0.193 ≤ 0.319 el acero fluye y la sección falla a tracción.
𝑡
𝑎
905 ∙ 420
20
𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 𝜙 ∙ 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ∙ (𝑑 − ) = 0.9 ∙
∙ (140 − ) = 44.47 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
2
2
1000
2
𝜙 · 𝑀𝑛 = 𝛾𝑓 · 𝑀𝑠𝑐
→
𝛾𝑓 =
𝜙 ∙ 𝑀𝑛 44.47
=
= 0.77
𝑀𝑠𝑐
57.52
El momento transferido por corte es:
𝛾𝑣 ∙ 𝑀𝑠𝑐 = (1 − 𝛾𝑓 ) ∙ 𝑀𝑠𝑐 = (1 − 0.77) ∙ 57.52 = 13.23 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
g)
Calcular el momento torsional de inercia 𝐽𝑐 .
𝐽𝑐 = 2 ∙
2
𝑏1 ∙ 𝑑3
𝑑 ∙ 𝑏13
𝑏1
+2∙
+ 2 ∙ 𝑏1 ∙ 𝑑 ∙ ( − 𝑐𝐴 ) + 𝑏2 ∙ 𝑑 ∙ 𝑐𝐴2
12
12
2
𝐽𝑐 = 2 ∙
2
470 ∙ 1403
140 ∙ 4703
470
+2∙
+ 2 ∙ 470 ∙ 140 ∙ (
− 149) + 540 ∙ 140 ∙ 1492
12
12
2
(12.65)
𝐽𝑐 = 5289192533 [𝑚𝑚4 ]
h)
Calcular los esfuerzos de corte.
𝑣𝑢 =
𝛾𝑣 ∙ 𝑀𝑠𝑐 ∙ 𝑐
𝑉𝑢
±
𝑏𝑜 ∙ 𝑑
𝐽𝑐
𝑣𝑢 =
157000
13230000 ∙ 𝑐
±
1480 ∙ 140 5289192533
(12.55)
557
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑣𝑢 = 0.758 ± 0.002501 ∙ 𝑐
El esfuerzo de corte en la cara AB es (𝑐𝐴𝐵 = 149 [𝑚𝑚]):
𝑣𝑢 = 0.758 + 0.002501 ∙ 149 = 1.13 [𝑀𝑃𝑎]
El esfuerzo de corte en la cara CD es (𝑐𝐶𝐷 = 321 [𝑚𝑚]):
𝑣𝑢 = 0.758 − 0.002501 ∙ 321 = −0.045 [𝑀𝑃𝑎]
El esfuerzo nominal de corte es:
𝜙 ∙ 𝑣𝑐 =
𝜙 ∙ 𝑉𝑐
256410
=
= 1.24 [𝑀𝑃𝑎]
𝑏𝑜 ∙ 𝑑 1480 ∙ 140
Como 𝜙 ∙ 𝑣𝑐 ≥ 𝑣𝑢 , la resistencia del hormigón al corte es adecuada y por tanto se utiliza la columna de
300 [𝑚𝑚]𝑥400 [𝑚𝑚] con 8𝜙12 𝑐/125 centradas con respecto del eje de la columna. Hay que recordar
que la cantidad total del acero debe quedar contenida dentro del ancho efectivo (𝑐2 + 3 ∙ ℎ) que en este
caso vale 895 [𝑚𝑚].
Z
321
𝑐𝐶𝐷
D
149
𝑐𝐴𝐵
A
70
Perímetro crítico
400
𝑏2 = 540
100
𝑑
= 70
2
300
70
C
B
𝑏1 = 470
Z
558
Losas armadas en dos direcciones
139 [𝑘𝑁]
18 [𝑘𝑁]
61.5 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
221
Momento proveniente
del Método del Diseño
Directo
149
157 [𝑘𝑁]
57.52 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
Momento alrededor del
centro de gravedad del
perímetro de corte
221
12.8. Losas planas soportadas sobre pilares
Las losas de hormigón armado sobre vigas pueden ser analizadas como placas elásticas, pero existen dos
desventajas principales para la utilización de este método cuando la losa está sobre pilares o apoyos
flexibles.
a) La distribución elástica de momentos flectores es impráctica para propósitos de diseño actuales
debido a las siguientes razones:
o
o
No se puede hacer variar el acero de refuerzo con tanta precisión.
Las losas reales no se comportan como placas elásticas ya que el agrietamiento ocurre
rápidamente y las losas son capaces de una enorme redistribución de momentos. La forma
real de los momentos en una losa de hormigón armado no corresponde a la solución
elástica.
b) La distribución elástica de momentos encontrada anteriormente no es correcta para losas que están
apoyadas en soportes flexibles o sobre apoyos puntuales.
La distribución elástica trabaja bastante bien para losas en dos direcciones apoyadas en sus cuatro lados,
pero no para losas planas sobre soportes aislados con o sin capiteles. Como resultado de esa falencia, el
diseño de losas en los años 1900 fue realizado utilizando diferentes métodos para cada tipo de losa.
559
Diseño de estructuras de hormigón armado
Las losas planas sobre apoyos aislados eran diseñadas de acuerdo a sistemas patentados y experimentados
con pruebas de carga, mientras que las losas en dos direcciones apoyadas sobre soportes continuos eran
diseñadas utilizando procedimientos de análisis elástico. Una consecuencia desfavorable de esto fue la
impresión errónea de que las losas planas no obedecían las mismas leyes de la estática como lo hacían las
losas en dos direcciones. No existía, en ese entonces, equipos precisos para medir deformaciones y poder
comparar los resultados de los ensayos con las predicciones analíticas. Las personas que habían patentado
sus diseños como Turner atribuían propiedades mágicas a sus diseños. Esta confusión fue de alguna
manera resuelta en 1914 por J. R. Nichols quien demostró que las losas planas también deben obedecer las
leyes de la estática.
Nichols considera un panel cuadrado central como el de la siguiente figura y asume que es un panel típico
de toda una configuración de losa donde todos los demás paneles están igualmente cargados. Por lo tanto,
la línea central del panel y los bordes del mismo son líneas de simetría a lo largo de las cuales no hay una
fuerza cortante neta, ni un momento torsor neto resultante. La única fuerza neta que actúa a lo largo de la
línea a-b será el momento 𝑀1 .
Similarmente la única fuerza neta que actúa a lo largo del borde c-d-e-f será el momento 𝑀2 . Se asume
que no hay momentos de torsión en los lugares donde se han anulado las columnas. La losa es cargada con
una fuerza total hacia abajo 𝑊1 , la cual debe ser resistida por una fuerza cortante hacia arriba 𝑊1 . Debido
a que la línea e-d es una línea de simetría no hay una fuerza cortante neta ahí, por lo tanto la fuerza de
corte resistente 𝑊1 debe provenir de los lugares donde se han removido las columnas. Si el corte es
considerado que se distribuye uniformemente a lo largo del perímetro de la porción cortada, entonces su
𝑐
resultante está localizada a 𝜋 de los bordes del panel.
ℓ𝑛
2
ℓ1 = ℓ
a
f
e
ℓ2 = ℓ
ℓ
2
𝑐
2
d
c
b
CL
Fig. 12.47. Panel tipo considerado por Nichols para su análisis
560
Losas armadas en dos direcciones
𝑊1
𝑀2
𝑀1
𝑊1
ℓ
2
𝑐
2
𝑐
𝜋
Fig. 12.48. Diagrama de cuerpo libre de mitad del panel de losa
La carga uniformemente distribuida sobre la losa, puede ser tratada como se muestra en la siguiente
2∙𝑐
figura, donde el centroide de cada área sombreada está a 3∙𝜋 del borde e-d. Si a un rectángulo de losa
cargado uniformemente, que representa mitad del panel, se le restan dos cuartos de circunferencia
igualmente cargados con una carga de sentido contrario, se obtiene el resultado deseado.
ℓ𝑛
2
a
f
e
𝑤
ℓ
2
𝑐
2
d
c
b
Fig. 12.49. Diagrama de cuerpo libre de mitad del panel de losa
561
Diseño de estructuras de hormigón armado
Si se toma momentos a lo largo de e-d e igualamos los momentos por las cargas con los momentos de la
resistencia.
ℓ ℓ 1
2∙𝑐
𝑐
𝑐2
ℓ 1
𝑐2
𝑤 ∙ ℓ ∙ ∙ − ∙ (𝑤 ∙ 𝜋 ∙ ) ∙ (
) = 𝑀1 + 𝑀2 + [𝑤 ∙ ℓ ∙ − ∙ (𝑤 ∙ 𝜋 ∙ )] ∙
2 4 2
4
3∙𝜋
4
𝜋
2 2
𝑤∙
ℓ3
𝑐3
ℓ2 ∙ 𝑐
𝑐3
𝑐3
−𝑤∙
= 𝑀1 + 𝑀2 + 𝑤 ∙
−𝑤∙
+𝑤∙
8
12
12
8
2∙𝜋
𝑀1 + 𝑀2 = 𝑤 ∙
ℓ3
ℓ2 ∙ 𝑐
𝑐3
𝑐3
−𝑤∙
−𝑤∙
+𝑤∙
8
12
8
2∙𝜋
𝑀1 + 𝑀2 = 𝑤 ∙
ℓ3
ℓ2 ∙ 𝑐
𝑐3
−𝑤∙
+𝑤∙
8
24
2∙𝜋
𝑀1 + 𝑀2 = 𝑤 ∙
1 𝑐 3 4 𝑐
ℓ3
∙ [1 + ∙ ( ) − ∙ ]
3 ℓ
𝜋 ℓ
8
ℓ3
2 𝑐 2
𝑀1 + 𝑀2 = 𝑤 ∙ ∙ (1 − ∙ )
3 ℓ
8
(12.69)
ℓ𝑛
2
a
f
e
𝑀−
𝑀−
ℓ
2
𝑀−
𝑀+
𝑀+
𝑐
2
ℓ
d
c
𝑀+ + 𝑀 − = 𝑤 ∙
b
ℓ3
2 𝑐 2
∙ (1 − ∙ )
8
3 ℓ
𝑀+ + 𝑀− = 𝑤 ∙
ℓ2
8
Fig. 12.50. Comparación del momento estático en el panel de losa con el de una viga
562
Losas armadas en dos direcciones
Esta derivación no indica nada sobre la distribución de los momentos a lo largo de los bordes c-d-e-f o ab, pero deben estar de acuerdo con la estática que se presenta en vigas.
Las comparaciones iniciales de estos resultados con los ensayos de carga sobre las losas diseñadas por
Turner no arribaron a conclusiones satisfactorias, por lo que el problema fue aclarado posteriormente en el
año 1921 con el trabajo teórico de Westergaard y los ensayos experimentales realizados por Slater.
Si se comparan los resultados teóricos de Westergaard con la fórmula hallada por Nichols se observa que
los mismos guardan mucha similitud y eso corrobora el planteamiento inicial realizado por Nichols.
𝑐
Para ℓ = 0.15
𝑀−
0.032
0.09
0.09
0.04
0.03
0.04
𝑀+
Franja
Columna
Franja
Central
Franja
Columna
Fig. 12.51. Resultados teóricos obtenidos por Westergaard en un panel de losa
Si se toma el promedio de los momentos obtenidos tanto en la franja central como en las franjas de las
columnas se puede realizar un análisis comparativo con la ecuación de Nichols.
Momento positivo 𝑀+
Momento en franja central
Momento en franjas de la columna
Momento promedio
ℓ
∙ (0.03 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2 )
2
ℓ
∙ (0.04 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2 )
2
3
0.035 ∙ 𝑤 · ℓ
563
Diseño de estructuras de hormigón armado
Momento negativo 𝑀−
Momento en franja central
Momento en franjas de la columna
Momento promedio
ℓ
∙ (0.032 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2 )
2
ℓ
∙ (0.09 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2 )
2
3
0.061 ∙ 𝑤 · ℓ
𝑀+ + 𝑀− = 0.035 ∙ 𝑤 · ℓ2 + 0.061 ∙ 𝑤 · ℓ2 = 0.096 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2
𝑀+ + 𝑀− = 0.096 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2
La solución de Westergaard no presenta los momentos a través de la línea central de la columna en las
columnas, por tanto éstos deben ser inferidos utilizando los momentos a lo largo de la línea central de la
columna.
Si se utiliza la ecuación de Nichols para estimar el momento total del mismo panel, se obtiene:
𝑀+ + 𝑀− = 𝑤 ∙
2
ℓ3
2 𝑐 2
ℓ3
2
∙ (1 − ∙ ) = 𝑤 ∙ ∙ (1 − ∙ 0.15)
3 ℓ
3
8
8
𝑀+ + 𝑀− = 0.101 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2
Los resultados no son exactamente los mismos porque a diferencia de la suposición que Nichols realiza en
su derivación sobre la inexistencia de momentos de torsión a lo largo de los bordes de la sección, éstos si
existen una vez de que se remueven las columnas. Sin embargo, estos resultados soportan lo afirmado por
Nichols de que las losas planas sobre pilares también obedecen las leyes de la estática.
A pesar de todo, el artículo del año 1921 de Westergaard y Slater no resolvió la disputa y debido a la
influencia política de ingenieros como Turner se alcanzó a un “compromiso” en la discusión de la suma de
los momentos positivos y negativos.
2 𝑐 2
𝑀+ + 𝑀− = 0.09 ∙ 𝑤 ∙ ℓ3 ∙ (1 − ∙ )
3 ℓ
(12.70)
Se debe notar que este “compromiso” requiere que una losa plana sobre pilares sea diseñada para tan solo
el 72% del momento estático real, mientras que las losas en dos direcciones apoyadas en sus cuatro lados
debían ser diseñadas considerando el momento total estático.
Como resultado de todo lo expresado anteriormente, el diseño de losas era complicado y un poco confuso
en la época del código ACI – 63.
Para losas en dos direcciones apoyadas a lo largo de sus bordes, tres métodos estaban disponibles y todos
ellos basados en un análisis elástico.
564
Losas armadas en dos direcciones
a) Destesio y Von Buren (adoptado en 1936).
b) Westergaard y Slater (adoptado en 1947).
c) Marcus y Rogers (adoptado en 1963).
Para losas planas apoyadas sobre pilares, dos métodos estaban disponibles.
a) Procedimientos empíricos.- Basados en general en el trabajo de Turner, modificado por las
investigaciones de Westergaard y Slater. Se requería que la losa sea diseñada para un momento
del 72% del momento real estático.
b) Métodos elásticos.- Basados en el trabajo de Westergaard y Slater, pero modificado por el
“compromiso” de diseñar para el 72% del momento real estático.
Estos momentos eran evidentemente insatisfactorios y en el año 1960 se realizaron ensayos extensivos en
todo tipo de losas en la Universidad de Illinois y en la Asociación del Cemento Portland (PCA por sus
siglas en inglés) con los siguientes objetivos:
a) Eliminar la distinción abrupta en los procedimientos de diseño para losas en dos direcciones y
losas planas.
b) Determinar la distribución real de momentos en losas pertenecientes a sistemas típicos de piso.
c) Elaborar guías de diseño para sistemas poco comunes.
Los resultados fueron presentados en el código ACI – 71 donde por primera vez se detallan dos
procedimientos aplicables a todo tipo de losas.
a) Método de diseño directo.- Comparable con los procedimientos antiguos de diseño empírico más
racional, pero no todavía completamente racional.
b) Método del pórtico equivalente.- Comparable con los procedimientos elásticos presentes en
códigos anteriores, pero aplicable a losas irregulares.
12.9. Método del diseño directo
Este método fue adoptado de procedimientos antiguos de diseño y su aplicación está restringida a los
siguientes casos:
a) Debe haber por lo menos tres tramos continuos en cada dirección, por lo que el sistema de piso
más pequeño que se pueda analizar es aquel compuesto por nueve paneles (3 en cada dirección).
565
Diseño de estructuras de hormigón armado
b) Los paneles deben ser rectangulares con la relación de la dimensión larga a la corta no mayor a 2.
Si la relación entre luces es mayor a 2, se diseña la losa en una sola dirección.
c) Las longitudes de luces contiguas, medidas de centro a centro de los apoyos, en cada dirección no
deben diferir en más de ⅓ de la dimensión de la luz mayor. Esta restricción se la realiza para
evitar que dos vanos contiguos tengan luces muy diferentes que puedan hacer variar
significativamente la distribución de momentos.
d) Las columnas pueden estar desviadas un máximo de 10% de la luz (en la dirección del desvío)
desde cualquier eje entre líneas centrales de columnas sucesivas.
e) Todas las cargas deben ser solamente gravitacionales y uniformemente distribuidas sobre todo el
panel. La carga viva de servicio (no mayorada) no debe exceder en más de dos veces la carga
muerta.
f) Para un panel con vigas en todos sus lados soportados por pilares, la rigidez relativa de las vigas
en dos direcciones perpendiculares no debe ser menor a 0.2, ni mayor a 5.0. Esta restricción se
debe a que la distribución elástica de los momentos difiere significativamente de lo indicado por
el método del diseño directo a menos que se cumpla con los límites de rigidez indicados.
0.2 ≤
𝛼𝑓1 ∙ ℓ22
≤ 5.0
𝛼𝑓2 ∙ ℓ12
(12.71)
Donde 𝛼𝑓1 y 𝛼𝑓2 se calculan de acuerdo a la siguiente ecuación:
𝛼𝑓 =
𝐸𝑐𝑏 ∙ 𝐼𝑏
𝐸𝑐𝑠 ∙ 𝐼𝑠
(12.72)
El código ACI en su sección R8.10.1.2 permite que el diseñador utilice el método de diseño directo aún si
la estructura no cumple con las limitaciones descritas, siempre que se pueda demostrar por medio del
análisis que la limitación infringida no se aplica a esa estructura.
Resumen del método de diseño directo para losas
Calcular 𝑴𝒐
Distribuir 𝑴𝒐 en 𝑴+ y 𝑴−
Distribuir 𝑴+ y 𝑴− a las
franjas de columna y central y a
vigas si éstas existen
566
𝑴𝒐
Secciones de Momento
Negativo 𝑀−
Franja de
columna
Viga
Losa
Franja Central
Secciones de Momento
Positivo 𝑀+
Franja de
columna
Viga
Losa
Franja Central
Losas armadas en dos direcciones
12.9.1. Definición de la luz libre
La luz libre ℓ𝑛 para el cómputo de los momentos estáticos es aquella luz medida, entre caras de soportes
rectangulares, en la dirección del cálculo. En el caso de que se presenten soportes con secciones
transversales diferentes a la rectangular o cuadrada, se debe proceder a medir la luz libre suponiendo una
sección cuadrada equivalente para todos los soportes con secciones diferentes.
ℓ𝑛
0.89 · 𝑐
𝑐
𝑐
ℓ1
Fig. 12.52. Luz libre de cálculo
12.9.2. Cálculo del momento estático
El momento estático 𝑀𝑜 para los paneles de losas sometidos a cargas uniformemente repartidas por unidad
de área guarda estrecha relación con el momento estático conocido para el caso de vigas contínuas
sometidas a cargas uniformemente repartidas por unidad de longitud, por lo que su cálculo es realizado
utilizando la misma ecuación.
𝑀3
𝑀𝑜
𝑀1
𝑀2
ℓ𝑛
Fig. 12.53. Representación general del momento estático 𝑴𝒐
567
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑀𝑜 = 𝑀2 +
𝑀1 + 𝑀3
2
(12.73)
ℓ2𝑛
8
(12.74)
𝑀𝑜 = 𝑤 ∙ ℓ2 ∙
Donde:
𝑤 = Carga uniformemente distribuida por unidad de área.
ℓ2 = Longitud en la dirección transversal a la considerada.
ℓ𝑛 = Luz libre en la dirección considerada (de cara a cara de los soportes).
12.9.3. Distribución del momento estático
La distribución del momento estático 𝑀𝑜 entre su parte positiva y negativa depende de las rigideces de sus
apoyos extremos, por lo tanto se debe considerar que ésta distribución para paneles interiores es muy
diferente a la de paneles exteriores.

Tramo interior
La distribución de momentos en las luces interiores es similar a la variación elástica del momento a lo
largo del centro de una losa cuadrada con soportes rígidos.
CL
0.65 · 𝑀𝑜
0.35 · 𝑀𝑜
ℓ𝑛
Fig. 12.54. Distribución de momentos para paneles interiores

Tramo exterior
La distribución de los momentos positivos y negativos para un panel exterior es realizada considerando los
efectos de la rigidez torsional de la viga de borde más la rigidez a la flexión de las columnas exteriores.
568
Losas armadas en dos direcciones
CL
−
𝑀𝑖𝑛𝑡
−
𝑀𝑒𝑥𝑡
𝑀+
ℓ𝑛
Fig. 12.55. Distribución de momentos para paneles exteriores
En la siguiente figura se puede apreciar que la rigidez del extremo externo del panel depende de la rigidez
de todos los elementos que concurren en el nudo. Por ejemplo, la viga de borde aporta con su rigidez a la
torsión mientras que la columna exterior con su rigidez a la flexión.
Viga de
Borde
Losa y Viga
Columna
Exterior
Fig. 12.56. Elementos que aportan a la rigidez equivalente de la columna
Los valores para los momentos negativos interiores, los momentos positivos a medio tramo y los
momentos negativos exteriores en paneles exteriores son presentados en la sección 8.10.4.2 del código
ACI y resumidos en la siguiente tabla:
569
Diseño de estructuras de hormigón armado
Distribución de momentos en tramos exteriores de paneles externos
Posición del
momento
Borde
externo no
restringido
Losa con vigas
entre todos los
soportes
Momento mayorado
negativo interior
0.75
Momento mayorado
positivo
Momento mayorado
negativo exterior
Losa sin vigas entre los
soportes interiores
Borde
externo
restringido
Sin viga
de borde
Con viga
de borde
0.70
0.70
0.70
0.65
0.63
0.57
0.52
0.50
0.35
0
0.16
0.26
0.30
0.65
12.9.4. Momentos en las franjas de la columna y central
Los momentos negativos y positivos deben ser distribuidos entre las franjas de columna y central
considerando la existencia de vigas interiores entre soportes. Cuando la losa es completamente plana
(entramado sin vigas), entonces las franjas centrales tienden a absorber la mayor cantidad de los
momentos dejando a las franjas de las columnas con una menor porción. En el caso de losas con vigas
interiores, las franjas de las columnas absorben una mayor porción de los momentos porque las vigas
interiores aumentan considerablemente la rigidez de la losa en esas zonas, por lo que las franjas centrales
quedan con la menor porción de los momentos.
Menor de
ℓ1 ℓ2
y
2
2
Fig. 12.57. Ancho de la franja de la columna para losas planas
570
Losas armadas en dos direcciones
Menor de
ℓ1 ℓ2
y
2
2
La franja de la columna
incluye la viga interior
Fig. 12.58. Ancho de la franja de la columna para losas con vigas entre soportes
Los momentos positivos y negativos son ahora distribuidos a las franjas de la columna y central. Las losas
que tienen vigas rígidas a la flexión atraen más momento hacia las franjas de las columnas, mientras que
losas planas, sin vigas interiores, atraen más momento hacia las franjas centrales.
𝛼𝑓1 =
𝐸𝑐𝑏 ∙ 𝐼𝑏
𝐸𝑐𝑠 ∙ 𝐼𝑠
(12.72)
Donde:
𝐸𝑐𝑏 = Módulo de elasticidad del hormigón de la viga.
𝐸𝑐𝑠 = Módulo de elasticidad del hormigón de la losa.
𝐼𝑠 = Momento de inercia de la losa.
𝐼𝑏 = Momento de inercia de la viga.

Momentos negativos y positivos en la franja de la columna
a) Las franjas de las columnas deben ser diseñadas para resistir los siguientes porcentajes de los
momentos interiores negativos mayorados.
ℓ
ℓ1
Se permite interpolación lineal entre los valores de la tabla. Las losas rectangulares largas ( 2 = 0.5) con
vigas entre soportes deben absorber el 90% de los momentos negativos en la franja de la columna. Las
571
Diseño de estructuras de hormigón armado
ℓ
losas cuadradas planas y sin vigas interiores (ℓ2 = 1.0) deben absorber el 75% de los momentos
1
negativos en la franja de la columna.
Tipo de losa
𝜶𝒇𝟏 ∙
Sin viga interior en la
dirección 𝓵𝟏
Con viga interior en la
dirección 𝓵𝟏
𝓵𝟐 /𝓵𝟏
𝓵𝟐
𝓵𝟏
𝟎. 𝟓
𝟏. 𝟎
𝟐. 𝟎
0
75%
75%
75%
≥1
90%
75%
45%
b) Las franjas de las columnas deben ser diseñadas para resistir los siguientes porcentajes de los
momentos exteriores negativos mayorados.
Tipo de losa
𝜷𝒕
Sin viga interior en la
dirección 𝓵𝟏
0
Con viga interior en la
dirección 𝓵𝟏
𝜶𝒇𝟏 ∙
𝓵𝟐
𝓵𝟏
0
≥ 2.5
0
≥1
≥ 2.5
𝓵𝟐 /𝓵𝟏
𝟎. 𝟓
𝟏. 𝟎
𝟐. 𝟎
100%
100%
100%
75%
75%
75%
100%
100%
100%
90%
75%
45%
Donde:
𝛽𝑡 = 0 significa que la losa no tiene viga de borde.
𝛽𝑡 > 0 significa que la losa tiene viga de borde.
Se permite la interpolación lineal entre los valores de la tabla.
𝛽𝑡 =
𝐸𝑐𝑏 ∙ 𝐶
2 ∙ 𝐸𝑐𝑠 ∙ 𝐼𝑠
𝑥 𝑥3 ∙ 𝑦
𝐶 = ∑ (1 − 0.63 ∙ ) ∙
𝑦
3
Donde:
𝐶 = Rigidez torsional de la viga de borde.
572
(12.75)
(12.76)
Losas armadas en dos direcciones
𝐸𝑐𝑏 = Módulo de elasticidad del hormigón de la viga.
𝐸𝑐𝑠 = Módulo de elasticidad del hormigón de la losa.
𝐼𝑠 = Rigidez a la flexión de la losa.
𝑥 = Dimensión más pequeña de los rectángulos en que se divide la sección de la viga.
𝑦 = Dimensión más grande de los rectángulos en que se divide la sección de la viga.
Si no se tiene una viga de borde muy rígida, las franjas de la columna absorben casi todo el momento
negativo exterior en los paneles externos.
c) Las franjas de las columnas deben ser diseñadas para resistir los siguientes porcentajes de los
momentos positivos mayorados.
𝓵𝟐 /𝓵𝟏
𝓵𝟐
𝓵𝟏
Tipo de losa
𝜶𝒇𝟏 ∙
Sin viga interior
en la dirección 𝓵𝟏
0
Con viga interior
en la dirección 𝓵𝟏
≥1
𝟎. 𝟓
𝟏. 𝟎
𝟐. 𝟎
60%
60%
60%
90%
75%
45%
ℓ
Se permite interpolación lineal entre los valores de la tabla. Las losas rectangulares largas (ℓ2 = 0.5) con
1
vigas entre soportes deben absorber el 90% de los momentos positivos en la franja de la columna. Las
ℓ
losas cuadradas planas y sin vigas interiores (ℓ2 = 1.0) deben absorber el 60% de los momentos positivos
1
en la franja de la columna.
Para losas con vigas entre soportes, la porción de la losa, que se proyecta más allá del alma de las vigas,
en las franjas de las columnas debe resistir la porción de los momentos de la franja de la columna no
resistida por las vigas.
Momentos en las vigas.

Las vigas entre los soportes deben resistir el 85% de los momentos de la franja de la columna si
ℓ
ℓ
𝛼𝑓1 ∙ ℓ2 ≥ 1. Para 0 ≤ 𝛼𝑓1 ∙ ℓ2 ≤ 1 se puede interpolar el porcentaje entre 0% y 85% para determinar el
1
1
porcentaje del momento de la franja de la columna que debe ser resistido por la viga. Además de los
ℓ
momentos calculados de acuerdo a la rigidez 𝛼𝑓1 ∙ ℓ2 , las vigas deben resistir los momentos producidos
1
por aquellas cargas puntuales o distribuidas aplicadas directamente sobre ellas, incluyendo el peso de su
propia alma que se proyecta por encima o por debajo de la losa.
573
Diseño de estructuras de hormigón armado
Franja central
Franja de columna
Franja central
ℓ2
85%
15%
Fig. 12.59. Distribución de momentos en la franja de columna cuando hay vigas

Momentos mayorados en las franjas centrales.
La porción de los momentos mayorados negativos y positivos no resistidos por las franjas de las columnas
debe ser resistida por las correspondientes mitades de las franjas centrales. Cada franja central debe ser
diseñada para resistir la suma de los momentos asignados a sus dos mitades de franja central.
574
Losas armadas en dos direcciones

Modificación de los momentos mayorados.
El código ACI en su sección 8.10.4.3 permite que los momentos mayorados positivos y negativos sean
modificados hasta en un 10% siempre que el momento estático total 𝑀𝑜 , en la dirección considerada, no
sea menor que el inicialmente calculado para el tramo.
Ejemplo. Utilizando el Método de Diseño Directo analizar la siguiente losa de piso en la dirección que se
muestra. Las dimensiones están en [𝑚𝑚].
6000
6000
ℓ2 = 6000
6000
A
6000
½ Franja central
½ Franja central
Franja de columna
½ Franja central
½ Franja central
B
6000
C
D
3000
3000
3000
575
Diseño de estructuras de hormigón armado
125
3000
Datos:
Columnas exteriores de 0.6 [𝑚]𝑥0.4 [𝑚].
Columnas interiores de 0.6 [𝑚]𝑥0.6 [𝑚].
Vigas de borde de 0.2 [𝑚]𝑥0.5 [𝑚].
Cargas de servicio.
𝑤𝐷 + 𝑤𝑂𝑊 = 4.70 [
𝑤𝐿 = 3.60 [
a)
𝑘𝑁
]
𝑚2
𝑘𝑁
]
𝑚2
Cálculo de la carga última.
𝑤𝑢 = 1.2 · 4.7 + 1.6 · 3.6 = 11.40 [
b)
𝑘𝑁
]
𝑚2
Cálculo de 𝑀𝑜 .
Paneles interiores
ℓ𝑛 = 6 − 0.3 − 0.3 = 5.40 [𝑚]
𝑀𝑜 =
1
1
∙ 𝑤𝑢 ∙ ℓ2 ∙ ℓ2𝑛 = ∙ 11.40 ∙ 6.0 ∙ 5.42 = 249.3 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
8
8
Paneles exteriores
ℓ𝑛 = 6 − 0.3 − 0.2 = 5.50 [𝑚]
𝑀𝑜 =
576
1
1
∙ 𝑤𝑢 ∙ ℓ2 ∙ ℓ2𝑛 = ∙ 11.40 ∙ 6.0 ∙ 5.52 = 258.6 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
8
8
Losas armadas en dos direcciones
Determinación de 𝑀+ y 𝑀− .
c)
Paneles interiores
𝑀+ = 0.35 · 𝑀𝑜 = 0.35 · 249.3 = 87.3 [𝑘𝑁 · 𝑚]
𝑀− = 0.65 · 𝑀𝑜 = 0.65 · 249.3 = 162.1 [𝑘𝑁 · 𝑚]
CL
162.1
87.3
5.40
Paneles exteriores
Se escoge los valores de la tabla para losa sin vigas entre soportes interiores con viga de borde.
𝑀+ = 0.50 · 𝑀𝑜 = 0.50 · 258.6 = 129.3 [𝑘𝑁 · 𝑚]
𝑀− = 0.30 · 𝑀𝑜 = 0.30 · 258.6 = 77.6 [𝑘𝑁 · 𝑚] en borde exterior
𝑀− = 0.70 · 𝑀𝑜 = 0.70 · 258.6 = 181.0 [𝑘𝑁 · 𝑚] en borde interior
CL
181.0
77.6
129.3
5.50
d)
Momentos en las franjas de la columna y central.
ℓ2
= 1 porque es panel cuadrado
ℓ1
ℓ
𝛼𝑓1 ∙ ℓ2 = 0 porque la losa no tiene vigas interiores
1
577
Diseño de estructuras de hormigón armado
Momentos Interiores Negativos
−
Momento interior negativo en la franja de la columna 0.75 · 𝑀𝑖𝑛𝑡
−
0.75 · 𝑀𝑖𝑛𝑡 = 0.75 · 162.1 = 121.6 [𝑘𝑁 · 𝑚]
−
0.75 · 𝑀𝑖𝑛𝑡
= 0.75 · 181.0 = 135.8 [𝑘𝑁 · 𝑚]
−
Momento interior negativo en la franja central (1 − 0.75) · 𝑀𝑖𝑛𝑡
−
0.25 · 𝑀𝑖𝑛𝑡
= 0.25 · 162.1 = 40.5 [𝑘𝑁 · 𝑚]
−
0.25 · 𝑀𝑖𝑛𝑡 = 0.25 · 181.0 = 45.3 [𝑘𝑁 · 𝑚]
Momentos Exteriores Negativos
0.575
0.125
0.50
Dimensiones en [m]
45°
0.20
𝑥 𝑥3 ∙ 𝑦
𝐶 = ∑ (1 − 0.63 ∙ ) ∙
𝑦
3
Se divide la viga en rectángulos.
(𝑥1 , 𝑦1 ) = (0.2, 0.5)
(𝑥2 , 𝑦2 ) = (0.125, 0.375)
𝐶 = (1 − 0.63 ∙
0.2 0.23 ∙ 0.5
0.125 0.1253 ∙ 0.375
)∙
+ (1 − 0.63 ∙
)∙
= 0.00119 [𝑚4 ]
0.5
3
0.375
3
(𝑥1 , 𝑦1 ) = (0.2, 0.375)
(𝑥2 , 𝑦2 ) = (0.125, 0.575)
𝐶 = (1 − 0.63 ∙
0.2
0.23 ∙ 0.375
0.125 0.1253 ∙ 0.575
)∙
+ (1 − 0.63 ∙
)∙
= 0.000987 [𝑚4 ]
0.375
3
0.575
3
Por tanto, 𝐶 = 0.00119 [𝑚4 ].
𝐼𝑠 =
578
1
1
∙ ℓ2 ∙ ℎ 3 =
∙ 6.0 ∙ 0.1253 = 0.000976 [𝑚4 ]
12
12
Losas armadas en dos direcciones
𝛽𝑡 =
𝐶
2 ∙ 𝐼𝑠
𝛽𝑡 =
0.00119
= 0.61
2 ∙ 0.000976
Tipo de losa
𝜷𝒕
Sin viga interior
en la dirección 𝓵𝟏
0
𝟎. 𝟔𝟏
𝜶𝒇𝟏 ∙
𝓵𝟐
𝓵𝟏
𝓵𝟐 /𝓵𝟏
𝟏. 𝟎
100%
0
≥ 2.5
𝟗𝟒%
75%
Se realiza la interpolación lineal entre los valores extremos de 𝛽𝑡 y se obtiene como resultado que la franja
de la columna debe absorber el 94% de los momentos negativos exteriores.
−
Momento exterior negativo en la franja de la columna 0.94 · 𝑀𝑒𝑥𝑡
−
0.94 · 𝑀𝑒𝑥𝑡 = 0.94 · 77.6 = 72.9 [𝑘𝑁 · 𝑚]
−
Momento exterior negativo en la franja central 0.06 · 𝑀𝑒𝑥𝑡
−
0.06 · 𝑀𝑒𝑥𝑡
= 0.06 · 77.6 = 4.7 [𝑘𝑁 · 𝑚]
Momentos Positivos.
Panel exterior.
Momento positivo en la franja de la columna 0.60 · 𝑀+
0.60 · 𝑀+ = 0.60 · 129.3 = 77.6 [𝑘𝑁 · 𝑚]
Momento positivo en la franja central (1 − 0.60) · 𝑀+
0.40 · 𝑀+ = 0.40 · 129.3 = 51.7 [𝑘𝑁 · 𝑚]
Panel interior.
Momento positivo en la franja de la columna 0.60 · 𝑀+
0.60 · 𝑀+ = 0.60 · 87.3 = 52.4 [𝑘𝑁 · 𝑚]
Momento positivo en la franja central (1 − 0.60) · 𝑀+
0.40 · 𝑀+ = 0.40 · 87.3 = 34.9 [𝑘𝑁 · 𝑚]
En la siguiente figura se realiza un resumen de los resultados obtenidos por el Método del Diseño Directo.
579
Diseño de estructuras de hormigón armado
6000
6000
ℓ2 = 6000
4.7
72.9
4.7
51.7
77.6
51.7
45.3
135.8
45.3
6000
A
40.5
121.6
40.5
34.9
52.4
34.9
40.5
121.6
40.5
6000
B
45.3
135.8
45.3
51.7
77.6
51.7
4.7
72.9
4.7
6000
C
D
3000
3000
3000
Franja
Central
Franja de
Columna
Franja
Central
12.10. Método del pórtico equivalente
Este método es similar a los métodos de análisis elástico que presentaba el código en ediciones anteriores.
En líneas generales este método sigue los siguientes pasos:
a) Idealización de un sistema de losa tridimensional a través de pórticos bidimensionales en las dos
direcciones principales.
b) Determinación de la rigidez de los elementos del pórtico.
c) Análisis de los pórticos con métodos comunes de análisis de estructuras hiperestáticas.
d) Distribución de los momentos positivos y negativos en las franjas de la columna y franja central
utilizando los mismos coeficientes del Método de Diseño Directo
580
Losas armadas en dos direcciones
12.10.1. Idealización del sistema
Se procede a reducir un sistema tridimensional que está compuesto por losas, columnas y vigas a un
conjunto de pórticos bidimensionales en ambas direcciones. Cada pórtico bidimensional está compuesto
por un conjunto de columnas, vigas y uno o dos mitades de paneles a los costados de los ejes
longitudinales.
ℓ𝑎
Pórtico Interior
ℓ𝑎
2
ℓ𝑏
2
ℓ𝑏
ℓ𝑐
Pórtico Exterior
ℓ𝑐
2
Fig. 12.60. División de la estructura en pórticos bidimensionales
12.10.2. Rigidez de los elementos del pórtico
Este paso es el más complicado del método del pórtico equivalente puesto que en él se debe calcular la
rigidez de cada uno de los elementos del pórtico seleccionado.

Rigidez de vigas-losa
El código ACI en su sección 8.11.3 permite determinar el momento de inercia del sistema de vigas-losa,
en cualquier sección transversal del nudo o capitel de la columna, utilizando el área bruta de hormigón.
581
Diseño de estructuras de hormigón armado
Sin embargo, hay que tomar en cuenta la variación del momento de inercia a lo largo de los ejes de los
sistemas de vigas-losa.
La rigidez de las vigas-losa, desde el centro de la columna hasta la cara de la columna, es ajustada
tomando en cuenta el incremento en su rigidez dentro de la región de la conexión con la columna. En los
casos en que las columnas presenten capiteles o ensanchamientos en sus extremos superiores, el momento
de inercia de las vigas-losa debe considerar las diferencias de espesor dentro del ancho 𝑐1 tal como se
muestra en la siguiente figura. Las dimensiones 𝑐2 y ℓ2 se miden transversalmente a la dirección del vano
para el cual se determinan los momentos.
ℓ1
𝑐1
𝑐1
𝐼𝑠
𝑐
(1 − 2 )
ℓ2
𝐼𝑠
𝐼𝑠
𝑐
(1 − 2 )
ℓ2
Fig. 12.61. Variación de la inercia de la losa 𝑰𝒔

Rigidez de los elementos de soporte
El código ACI en su sección 8.11.4 permite determinar el momento de inercia de las columnas, en
cualquier sección transversal fuera de nudos o capiteles de columnas, utilizando el área bruta de hormigón.
Sin embargo, hay que tomar en cuenta la variación del momento de inercia a lo largo de los ejes de las
columnas.
582
Losas armadas en dos direcciones
Momento
de la losa
Columna
ℓ2 (Tramo perpendicular)
Fig. 12.62. Rigidez de los elementos de soporte
La rigidez de la columna equivalente está en función de la rigidez de la columna real y de la rigidez de la
losa o viga transversal.
1
1
1
=
+
𝐾𝑒𝑐 ∑ 𝐾𝑐 𝐾𝑡
(12.77)
1
𝐾𝑡 + ∑ 𝐾𝑐
=
𝐾𝑒𝑐
𝐾𝑡 ∙ ∑ 𝐾𝑐
𝐾𝑒𝑐 =
𝐾𝑡 ∙ ∑ 𝐾𝑐
𝐾𝑡 + ∑ 𝐾𝑐
𝐾𝑒𝑐 =
∑ 𝐾𝑐
∑𝐾
1+ 𝐾 𝑐
𝑡
(12.78)
La columna equivalente es más flexible (menos rígida) que la real. En un pórtico bidimensional real, los
momentos en un vano no pueden pasar al vano adyacente si las columnas son muy rígidas. Sin embargo,
la transmisión de momentos en un sistema de losa es posible debido al ancho de la misma losa. Las cargas
en un panel pueden producir momentos en paneles adyacentes aunque las columnas sean muy rígidas
porque esta transmisión se produce en la misma losa. Si el sistema de losa es idealizado como un pórtico
bidimensional, éste efecto puede ser considerado utilizando una rigidez reducida equivalente para la
columna.
583
Diseño de estructuras de hormigón armado
Viga
No hay transmisión
de momentos
Columna
Pórtico bidimensional
Línea central
del panel
Transmisión de
momentos alrededor
de las columnas
ℓ2
ℓ1
Línea central
del panel
Losa plana sin vigas entre columnas
Fig. 12.63. Transmisión de momentos entre vanos contiguos

Rigidez de la columna 𝑲𝒄
La rigidez de la columna es calculada de la manera convencional, utilizando la inercia real de la columna
para el tramo entre las losas superior e inferior y asumiendo una inercia infinita para los tramos de la
columna dentro de las losas.
584
Losas armadas en dos direcciones
ℎ
2
𝐼𝑐 = ∞
𝐼𝑐 = 𝐼𝑟𝑒𝑎𝑙 de la sección
ℎ
2
𝐼𝑐 = ∞
Fig. 12.64. Variación de la inercia de la columna

Rigidez de la viga transversal o del elemento sometido a torsión 𝑲𝒕
La rigidez de la viga transversal o del elemento sometido a torsión está definida en la sección R8.11.5 del
código ACI. Esta rigidez está basada en una distribución asumida lineal de los momentos torsores y un
ángulo de giro promedio a lo largo de la viga transversal.
𝐾𝑡 = ∑
9 ∙ 𝐸𝑐𝑠 ∙ 𝐶
𝑐 3
ℓ2 ∙ (1 − 2 )
ℓ2
(12.79)
Donde:
𝐶 = Constante torsional de la sección transversal en [𝑚𝑚4 ].
𝐸𝑐𝑠 = Módulo de elasticidad de la losa de hormigón en [𝑀𝑃𝑎].
ℓ2 = Longitud de la luz en el sentido transversal de ℓ1 medida de centro a centro de los soportes en [𝑚𝑚].
𝑐2 = Dimensión en [𝑚𝑚] de la columna rectangular o de la columna equivalente rectangular o capitel,
medida transversalmente a la dirección de la luz para la cual el momento se está calculando.
585
Diseño de estructuras de hormigón armado
La sumatoria se aplica a columnas que tienen vigas transversales en ambos lados. Para el caso de
columnas en esquina la sumatoria no es aplicable. Cuando hay vigas entre columnas en la dirección del
𝐼
pórtico equivalente, 𝐾𝑡 debe ser multiplicado por la relación 𝐼𝑠𝑏.
𝑠
𝐾𝑡𝑎 =
𝐼𝑠𝑏
∙ 𝐾𝑡
𝐼𝑠
𝐾𝑡𝑎 =
𝐼𝑠𝑏
∙∑
𝐼𝑠
(12.80)
9 ∙ 𝐸𝑐𝑠 ∙ 𝐶
𝑐 3
ℓ2 ∙ (1 − 2 )
ℓ2
(12.81)
Donde:
𝐼𝑠𝑏 = Inercia de la viga con losa.
𝐼𝑠 = Inercia de la losa.
Línea central del panel
A
ℓ2
ℓ1
A
Línea central del panel
ℓ2
ℓ2
Momento de Inercia 𝐼𝑠
Momento de Inercia 𝐼𝑠𝑏
Sección A - A
Fig. 12.65. Secciones a considerar para el cálculo de 𝑰𝒔 e 𝑰𝒔𝒃
586
Losas armadas en dos direcciones

Constante torsional 𝑪
La constante torsional 𝐶 para vigas de sección T o L es la suma de los valores de rectángulos individuales
que forman la sección. Se incluye para el cálculo la porción efectiva de losa con un ancho igual a la
proyección de la viga a 45° debajo de la losa, o el ancho de la columna en el plano del pórtico, se toma el
mayor valor de la parte de la losa proyectada que no sobrepase cuatro veces el espesor de la misma.
𝑥1
𝑦1
𝑦1
Para entrepiso sin vigas
𝑥1
𝑦2
𝑦2
𝑥2
𝑥2
𝑦1
𝑦1
𝑥1
𝑥1
Para losa con vigas entre columnas
𝑦1
𝑥1 = ℎ𝑓
𝑥2 = ℎ𝑤
𝑦2 = 𝑏𝑤
Para losa con ábaco sobre columnas
Fig. 12.66. Secciones a considerar para el cálculo de 𝑪
587
Diseño de estructuras de hormigón armado
Para el caso de una sección compuesta por dos rectángulos, la constante 𝐶 puede ser calculada con la
siguiente ecuación:
𝐶 = (1 − 0.63 ∙

𝑥1 𝑥13 ∙ 𝑦1
𝑥2 𝑥23 ∙ 𝑦2
)∙
+ (1 − 0.63 ∙ ) ∙
𝑦1
3
𝑦2
3
(12.82)
Secciones críticas para el momento negativo
Después de que las rigidices han sido calculadas y el pórtico analizado, los momentos negativos son
corregidos a la cara del soporte para columnas interiores y a un punto un poco diferente para columnas
exteriores. Este ajuste corrige los momentos a los valores utilizados en el método del diseño directo.
Luego, los momentos son distribuidos a las franjas de la columna y franja centrales de acuerdo a los
coeficientes utilizados en el método del diseño directo o con otro método adecuado.
𝑐1
≤ 0.175 · ℓ1
2
𝑥
2
Sección para el
momento exterior
negativo
𝑥
Sección para el
momento interior
negativo
𝑐1
𝑐1
2
Columna Exterior
Columna Interior
Fig. 12.67. Secciones críticas para el momento negativo
Ejemplo. Analizar con el Método del Pórtico Equivalente la losa que fue calculada anteriormente con el
Método de Diseño Directo.
Datos:
Columnas exteriores de 0.6 [𝑚]𝑥0.4 [𝑚]
Columnas interiores de 0.6 [𝑚]𝑥0.6 [𝑚]
Vigas de borde de 0.2 [𝑚]𝑥0.5 [𝑚]
588
Losas armadas en dos direcciones
ℓ2 = 6.0 [𝑚]
a)
Idealización del sistema.
6000
6000
6000
3000
125
Dimensiones en [𝑚𝑚]
b)
3000
Rigidez de los elementos del pórtico equivalente.
Rigidez de la columna equivalente.
𝐾𝑒𝑐 =
∑ 𝐾𝑐
∑𝐾
1+ 𝐾 𝑐
𝑡
𝐾𝑡 = ∑
9 ∙ 𝐸𝑐𝑠 ∙ 𝐶
𝑐 3
ℓ2 ∙ (1 − 2 )
ℓ2
Columna exterior de 0.6 [𝑚]𝑥0.4 [𝑚].
𝐶 = 0.00119 [𝑚4 ]
(Calculado en el ejemplo del Método del Diseño Directo)
9 ∙ 𝐸𝑐𝑠 ∙ 0.00119
= 4.90 ∙ 10−3 ∙ 𝐸𝑐𝑠 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
0.6 3
6 ∙ (1 −
)
6
1
1
𝐼𝑐 =
∙ 𝑏 ∙ ℎ3 =
∙ 0.6 ∙ 0.43 = 0.0032 [𝑚4 ]
12
12
𝐾𝑡 = 2 ∙
𝐾𝑐 =
4 ∙ 𝐸𝑐 ∙ 𝐼𝑐 4 ∙ 0.0032 ∙ 𝐸𝑐
=
= 4.27 ∙ 10−3 ∙ 𝐸𝑐 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
ℓ𝑐
3
∑ 𝐾𝑐 = 2 ∙ 4.27 ∙ 10−3 ∙ 𝐸𝑐 = 8.53 ∙ 10−3 ∙ 𝐸𝑐 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
589
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝐸𝑐𝑠 = 𝐸𝑐
𝐾𝑒𝑐 =
8.53 ∙ 10−3 ∙ 𝐸𝑐
= 3.11 ∙ 10−3 ∙ 𝐸𝑐 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
8.53 ∙ 10−3 ∙ 𝐸𝑐
1+
4.90 ∙ 10−3 ∙ 𝐸𝑐𝑠
Columna interior de 0.6 [𝑚]𝑥0.6 [𝑚].
0.125
Dimensiones en [𝑚]
0.60
𝐶 = (1 − 0.63 ∙
𝐾𝑡 = 2 ∙
𝐼𝑐 =
0.125 0.1253 ∙ 0.6
)∙
= 0.00034 [𝑚4 ]
0.6
3
9 ∙ 𝐸𝑐𝑠 ∙ 0.00034
0.6 3
6 ∙ (1 − 6 )
= 1.40 ∙ 10−3 ∙ 𝐸𝑐𝑠 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
1
1
∙ 𝑏 ∙ ℎ3 =
∙ 0.6 ∙ 0.63 = 0.0108 [𝑚4 ]
12
12
𝐾𝑐 =
4 ∙ 𝐸𝑐 ∙ 𝐼𝑐 4 ∙ 0.0108 ∙ 𝐸𝑐
=
= 1.44 ∙ 10−2 ∙ 𝐸𝑐 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
ℓ𝑐
3
∑ 𝐾𝑐 = 2 ∙ 1.44 ∙ 10−2 ∙ 𝐸𝑐 = 2.88 ∙ 10−2 ∙ 𝐸𝑐 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
𝐸𝑐𝑠 = 𝐸𝑐
𝐾𝑒𝑐 =
590
2.88 ∙ 10−2 ∙ 𝐸𝑐
= 1.33 ∙ 10−3 ∙ 𝐸𝑐 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
2.88 ∙ 10−2 ∙ 𝐸𝑐
1+
1.40 ∙ 10−3 ∙ 𝐸𝑐𝑠
Losas armadas en dos direcciones
Rigidez de la losa.
𝐼𝑠 =
1
1
∙ ℓ2 ∙ ℎ 3 =
∙ 6.0 ∙ 0.1253 = 0.00098 [𝑚4 ]
12
12
𝐾𝑠 =
c)
4 ∙ 𝐸𝑐𝑠 ∙ 𝐼𝑠 4 ∙ 0.00098 ∙ 𝐸𝑐𝑠
=
= 6.51 ∙ 10−4 ∙ 𝐸𝑐𝑠 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
ℓ1
ℓ1
Análisis del pórtico utilizando el método de Cross.
Carga última.
𝑤𝐷 + 𝑤𝑂𝑊 = 4.70 [
𝑤𝐿 = 3.60 [
𝑘𝑁
]
𝑚2
𝑘𝑁
]
𝑚2
𝑤𝑢 = 1.2 · 4.7 + 1.6 · 3.6 = 11.40 [
𝑤𝑢 = 11.40 · 6 = 68.40 [
𝑘𝑁
]
𝑚
𝑘𝑁
]
𝑚2
𝐹𝐷𝐴𝐵 =
6.51 ∙ 10−4
= 0.173
3.11 ∙ 10−3 + 6.51 ∙ 10−4
𝐹𝐷𝐵𝐴 =
6.51 ∙ 10−4
= 0.247
6.51 ∙ 10−4 + 1.33 ∙ 10−3 + 6.51 ∙ 10−4
𝐹𝐷𝐵𝐶 = 𝐹𝐷𝐶𝐵 = 𝐹𝐷𝐶𝐷 = 𝐹𝐷𝐵𝐴 = 0.247
𝐹𝐷𝐷𝐶 = 𝐹𝐷𝐴𝐵 = 0.173
FD
MF
Dist.
Dist.
Dist.
Dist.
Σ
M+
Mcara
A
𝟎. 𝟏𝟕𝟑
205.2
−35.5
0.0
0.0
2.2
−0.4
0.3
0.0
171.7
B
𝟎. 𝟐𝟒𝟕
−205.2
0.0
−17.8
4.4
0.0
0.5
−0.2
0.1
−218.1
C
𝟎. 𝟐𝟒𝟕
205.2
0.0
0.0
4.4
−2.2
0.5
−0.3
0.1
207.8
112.9
133.6
𝟎. 𝟐𝟒𝟕
−205.2
0.0
0.0
−4.4
2.2
−0.5
0.3
−0.1
−207.8
𝟎. 𝟐𝟒𝟕
205.2
0.0
17.8
−4.4
0.0
−0.5
0.2
−0.1
218.1
100.0
−157.3
149.3
D
𝟎. 𝟏𝟕𝟑
−205.2
35.5
0.0
0.0
−2.2
0.4
−0.3
0.0
−171.7
112.9
−149.3
157.3
−133.6
591
Diseño de estructuras de hormigón armado
ℎ
2
𝑤𝑢
𝑀𝐴
𝑅𝐴
𝑀𝐵
Cara del
soporte
ℓ1
1
ℓ12
1
62
∙ [𝑀𝐴 + 𝑀𝐵 + 𝑤𝑢 ∙ ] = ∙ [171.7 − 218.1 + 68.4 ∙ ] = 197.5 [𝑘𝑁]
ℓ1
2
6
2
ℎ
ℎ2
𝑀𝑐𝑎𝑟𝑎 = 𝑀𝐴 + 𝑤𝑢 ∙ − 𝑅𝐴 ∙
2
8
0.42
0.4
𝑀𝑐𝑎𝑟𝑎 = 171.7 + 68.4 ∙
− 197.5 ∙
= 133.6 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
2
8
𝑅𝐴 =
Momentos Interiores Negativos.
−
Momento interior negativo en la franja de la columna 0.75 · 𝑀𝑖𝑛𝑡
−
0.75 · 𝑀𝑖𝑛𝑡 = 0.75 · 149.3 = 112.0 [𝑘𝑁 · 𝑚]
−
0.75 · 𝑀𝑖𝑛𝑡
= 0.75 · 157.3 = 118.0 [𝑘𝑁 · 𝑚]
−
Momento interior negativo en la franja central (1 − 0.75) · 𝑀𝑖𝑛𝑡
−
0.25 · 𝑀𝑖𝑛𝑡
= 0.25 · 149.3 = 37.3 [𝑘𝑁 · 𝑚]
−
0.25 · 𝑀𝑖𝑛𝑡 = 0.25 · 157.3 = 39.3 [𝑘𝑁 · 𝑚]
Momentos Exteriores Negativos.
0.575
0.125
0.50
0.20
592
Losas armadas en dos direcciones
𝑥 𝑥3 ∙ 𝑦
𝐶 = ∑ (1 − 0.63 ∙ ) ∙
𝑦
3
Se divide la viga en dos rectángulos.
(𝑥1 , 𝑦1 ) = (0.2, 0.5)
(𝑥2 , 𝑦2 ) = (0.125, 0.375)
𝐶 = (1 − 0.63 ∙
0.2 0.23 ∙ 0.5
0.125 0.1253 ∙ 0.375
)∙
+ (1 − 0.63 ∙
)∙
= 0.00119 [𝑚4 ]
0.5
3
3
0.375
(𝑥1 , 𝑦1 ) = (0.2, 0.375)
(𝑥2 , 𝑦2 ) = (0.125, 0.575)
0.23 ∙ 0.375
0.125 0.1253 ∙ 0.575
0.2
𝐶 = (1 − 0.63 ∙
)∙
+ (1 − 0.63 ∙
)∙
= 0.000987 [𝑚4 ]
0.575
3
3
0.375
Por lo tanto, 𝐶 = 0.00119 [𝑚4 ]
𝐼𝑠 =
1
1
∙ ℓ2 ∙ ℎ 3 =
∙ 6.0 ∙ 0.1253 = 0.000976 [𝑚4 ]
12
12
𝛽𝑡 =
𝐶
0.00119
=
= 0.61
2 ∙ 𝐼𝑠 2 ∙ 0.000976
Tipo de losa
𝜷𝒕
Sin viga interior
en la dirección 𝓵𝟏
0
𝟎. 𝟔𝟏
𝜶𝒇𝟏 ∙
𝓵𝟐
𝓵𝟏
𝓵𝟐 /𝓵𝟏
𝟏. 𝟎
100%
0
≥ 2.5
𝟗𝟒%
75%
Se realiza la interpolación lineal entre los valores extremos de 𝛽𝑡 y se obtiene como resultado que la franja
de la columna debe absorber el 94% de los momentos negativos exteriores
−
Momento exterior negativo en la franja de la columna 0.94 · 𝑀𝑒𝑥𝑡
−
0.94 · 𝑀𝑒𝑥𝑡
= 0.94 · 133.6 = 125.6 [𝑘𝑁 · 𝑚]
−
Momento exterior negativo en la franja central 0.06 · 𝑀𝑒𝑥𝑡
−
0.06 · 𝑀𝑒𝑥𝑡 = 0.06 · 133.6 = 8.0 [𝑘𝑁 · 𝑚]
593
Diseño de estructuras de hormigón armado
Momentos Positivos.
Panel exterior.
Momento positivo en la franja de la columna 0.60 · 𝑀+
0.60 · 𝑀+ = 0.60 · 112.9 = 67.7 [𝑘𝑁 · 𝑚]
Momento positivo en la franja central (1 − 0.60) · 𝑀+
0.40 · 𝑀+ = 0.40 · 112.9 = 45.2 [𝑘𝑁 · 𝑚]
Panel interior.
Momento positivo en la franja de la columna 0.60 · 𝑀+
0.60 · 𝑀+ = 0.60 · 100.0 = 60.0 [𝑘𝑁 · 𝑚]
Momento positivo en la franja central (1 − 0.60) · 𝑀+
0.40 · 𝑀+ = 0.40 · 100.0 = 40.0 [𝑘𝑁 · 𝑚]
En la siguiente figura se realiza un resumen de los resultados obtenidos por el Método del Pórtico
Equivalente.
594
Losas armadas en dos direcciones
6000
6000
ℓ2 = 6000
8.0
125.6
8.0
45.2
67.7
45.2
39.3
118.0
39.3
6000
A
37.3
112.0
37.3
40.0
60.0
40.0
37.3
112.0
37.3
6000
B
39.3
118.0
39.3
45.2
67.7
45.2
8.0
125.6
8.0
6000
C
D
3000
3000
3000
Franja
Central
Franja de
Columna
Franja
Central
En la siguiente figura se comparan los resultados obtenidos por el Método del Pórtico Equivalente con los
del Método del Diseño Directo.
595
Diseño de estructuras de hormigón armado
6000
6000
ℓ2 = 6000
Método
Pórtico
Equivalente
8.0
125.6
8.0
45.2
67.7
45.2
39.3
118.0
39.3
6000
A
37.3
112.0
37.3
40.0
60.0
40.0
34.9
52.4
34.9
40.5
121.6
40.5
6000
B
Método
Diseño
Directo
45.3
135.8
45.3
51.7
77.6
51.7
4.7
72.9
4.7
6000
C
D
Método
MPE
𝑴𝒐
596
3000
3000
Franja
Central
Franja de
Columna
Franja
Central
Panel Exterior [𝒌𝑵 · 𝒎]
Panel Interior [𝒌𝑵 · 𝒎]
MA
MAB
MB
MB
MBC
MC
−133.6
112.9
−157.3
−149.3
100
−149.3
Mo
MDD
3000
258.4
−77.6
129.3
258.6
249.3
−181.0
−162.1
87.3
249.4
−162.1
Losas armadas en dos direcciones
En el panel exterior, con el Método del Pórtico Equivalente el momento negativo en A es 72% mayor, el
momento positivo en el tramo AB es 13% menor y el momento negativo en B es también 13% menor con
respecto a los resultados obtenidos por el Método del Diseño Directo.
En el panel interior, con el Método del Pórtico Equivalente el momento negativo en B es 8% menor, el
momento positivo en el tramo BC es 15% mayor y el momento negativo en C es 8% menor con respecto
a los resultados obtenidos por el Método del Diseño Directo.
En cualquier panel, el Método del Pórtico Equivalente y el Método del Diseño Directo dan como resultado
el mismo momento estático, la diferencia se encuentra en la distribución que éste tiene con respecto a su
parte negativa y positiva en el panel bajo consideración.
12.11. Método de los elementos finitos
Para la resolución del problema con el método de los elementos finitos se utilizará el programa de análisis
estructural SAP2000.
Datos:
125
3000
Dimensiones generales.
Espesor de la losa igual a 125 [𝑚𝑚]
Columnas exteriores de 0.6 [𝑚]𝑥0.4 [𝑚]
Columnas interiores de 0.6 [𝑚]𝑥0.6 [𝑚]
Columnas de esquina de 0.6 [𝑚]𝑥0.6 [𝑚]
Vigas de borde de 0.2 [𝑚]𝑥0.5 [𝑚]
Distancia entre cara superior del piso y cara inferior del techo igual a 3000 [𝑚𝑚]
Características de los materiales.
𝑘𝑁
𝛾𝑐 = 24 [𝑚3 ] Peso unitario del hormigón armado
𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
𝜐 = 0.2
Resistencia característica del hormigón a los 28 días
Tensión de fluencia del acero
Coeficiente de Poisson
597
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝐸𝑐 = 21538 [𝑀𝑃𝑎]
−5
𝛼𝑐 = 1 ∙ 10
1
[℃]
Módulo de elasticidad del hormigón
Coeficiente de expansión térmica del hormigón
Cargas de servicio.
𝑘𝑁
Carga de peso propio: 𝑤𝑂𝑊 = 3.00 [𝑚2 ]
𝑘𝑁
Carga muerta: 𝑤𝐷 = 1.70 [𝑚2 ]
𝑘𝑁
Carga viva: 𝑤𝐿 = 3.60 [𝑚2 ]
Geometría de la losa
Elemento
598
Color
Franjas Centrales
Naranja
Franjas de Columna
Azul
Columnas Exteriores
Verde
Columnas Interiores y de Esquina
Gris
Viga de Borde
Rojo
Losas armadas en dos direcciones
Para la modelación de la losa se ha utilizado elementos de cuatro nudos de un metro de lado. Solamente
alrededor de los soportes se ha discretizado la malla considerando las dimensiones de las columnas de
borde, centrales y de esquina.
Modelo de la losa de piso en elementos finitos
2
1
𝒌𝑵∙𝒎
Momentos en la dirección 2 en [ 𝒎 ]
599
Diseño de estructuras de hormigón armado
En la siguiente figura se realiza un resumen de los resultados obtenidos por el Método de los Elementos
Finitos transformando los momentos de [𝑘𝑁 ∙ 𝑚/𝑚] a [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]. Para hallar los momentos en [𝑘𝑁 ∙ 𝑚],
dentro los límites del ancho de las franjas de la columna y franjas centrales se realiza un promedio de los
momentos que están expresados en [𝑘𝑁 ∙ 𝑚/𝑚] y ese valor es multiplicado por el ancho de franja
respectivo.
6000
6000
ℓ2 = 6000
33.0
85.5
33.0
60.0
67.5
60.0
36.0
90.0
36.0
6000
A
36.0
90.0
36.0
48.0
60.0
48.0
36.0
90.0
36.0
6000
B
36.0
90.0
36.0
60.0
67.5
60.0
33.0
85.5
33.0
6000
C
D
3000
3000
3000
Franja
Central
Franja de
Columna
Franja
Central
En la siguiente tabla se presenta una comparación de los resultados obtenidos por los tres procedimientos.
Se debe tomar en cuenta que en los métodos de diseño directo y del pórtico equivalente los momentos
están expresados en [𝑘𝑁 · 𝑚] para las franjas de columna y las franjas centrales, mientras que los
600
Losas armadas en dos direcciones
𝑘𝑁·𝑚
resultados del SAP 2000, originalmente se presenta en [ 𝑚 ], pero luego fueron transformados en
[𝑘𝑁 ∙ 𝑚] para propósitos de comparación.
Panel Exterior [𝒌𝑵 · 𝒎]
Panel Interior [𝒌𝑵 · 𝒎]
Método
MA
MAB
MB
MB
MBC
MC
MPE
−133.6
112.9
−157.3
−149.3
100
−149.3
Mo
258.4
MDD
−77.6
129.3
Mo
249.3
−181.0
−162.1
87.3
258.6
MEF
−118.5
127.5
Mo
−162.1
249.4
−126.0
−126.0
108.0
249.8
−126.0
234.0
El en panel exterior el Método de los Elementos Finitos (MEF) da como resultado un valor que es un
3.4% menor al valor del momento estático y en el panel interior un 6.1% menor al valor del momento
estático, pero ambos resultados son aceptables para propósitos de diseño.
12.12. Problemas propuestos
1. Teniendo como dato los valores de los diagramas de momento para  = 0, determine los valores para
 = 0.25 y dibuje los respectivos diagramas de momento a lo largo de las secciones A-A y B-B
𝑎
indicando los valores máximos. Para todas las losas = 1.
𝑏
𝑎
=0
 = 0.25
𝑎
B
B
0.0647 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏2
0.0284 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏2
𝑏
y
0.0158qb2
x
A
A
𝑏
B
601
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑎
=0
𝑎
 = 0.25
B
0.060 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏2
0.083 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏2
0.055 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏2
0.009 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏2
A
𝑏
0.027 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏2
y
A
𝑏
0.0417 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏2
B
x
𝑎
=0
𝑎 B
 = 0.25
0.086 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏2
0.112 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏2
A
𝑏
A
𝑏
0.0165 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏2
y
B
x
2. Utilizando el método de los coeficientes, diseñar el panel de borde considerando el peso propio y una
carga viva de servicio de 5 [
Datos:
𝑘𝑁
]. Las vigas son de 300 [𝑚𝑚] de ancho y 600 [𝑚𝑚] de altura.
𝑚2
D
C
𝑓𝑐′ = 25 [𝑀𝑃𝑎]
5800
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
5500
Dimensiones en [𝑚𝑚]
1
3800
3500
Panel de borde
2
602
Losas armadas en dos direcciones
3. Diseñar la losa de la figura utilizando el método del diseño directo. Utilizando los momentos del
análisis realizado, hallar la armadura necesaria en todos los paneles en la dirección N-S o E-O
(escoger una sola dirección) y dibujarla indicando su posición y distribución en los mismos. Todas las
columnas tienen un diámetro de 0.4 [𝑚].
Cargas de servicio:
𝑘𝑁
𝑤𝐷 = 2.0 [𝑚2 ] debido al peso de la tabiquería y contrapiso
𝑘𝑁
𝑤𝐿 = 2.5 [ 2 ]
𝑚
Propiedades de los materiales:
𝑓𝑐′ = 20 [MPa]
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
4.0
3.5
4.5
4.0
N
4.0
3.5
Dimensiones en [𝑚]
4. Utilizando el método del diseño directo calcular la armadura en los paneles B1-C2, B2-C3 y B3-C4 de
la losa de piso de la figura y en las vigas a lo largo del eje B. Asumir que la carga viva de servicio es
𝑘𝑁
𝑘𝑁
de 3 [𝑚2 ] y la carga muerta de servicio es de 2 [𝑚2 ].
603
Diseño de estructuras de hormigón armado
Datos:
Columnas: 250 [𝑚𝑚]𝑥250 [𝑚𝑚]
Vigas interiores: 250 [𝑚𝑚]𝑥450 [𝑚𝑚]
Vigas perimetrales: 200 [𝑚𝑚]𝑥450 [𝑚𝑚]
Espesor de la losa: 200 [𝑚𝑚]
6.0
A
1
6.0
6.0
2
3
4
N
6.0
B
6.0
C
6.0
D
Dimensiones en [𝑚]
5. Repetir el problema anterior utilizando el método de los coeficientes y comparar los resultados.
6. Realizar el análisis de la losa (hallar los momentos flectores) utilizando el método de los coeficientes,
el método del diseño directo y un programa de análisis estructural. Utilizando una tabla comparar los
momentos en la losa y comentar los resultados. Todas las columnas tienen un diámetro de 300 [𝑚𝑚]
y las vigas son de sección rectangular de 300 [𝑚𝑚] 𝑥 500 [𝑚𝑚]. El espesor de la losa es de
120 [𝑚𝑚] y la altura libre de piso es de 3.0 [𝑚].
604
Losas armadas en dos direcciones
Cargas de servicio:
𝑘𝑁
𝑤𝐷 = 2.0 [𝑚2 ] debido al peso de la tabiquería y contrapiso
𝑘𝑁
𝑤𝐿 = 2.5 [ 2 ]
𝑚
Propiedades de los materiales:
𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
4.0
3.5
4.5
4.0
N
4.0
3.5
Dimensiones en [𝑚]
605
CAPÍTULO 13
ANÁLISIS Y DISEÑO DE REGIONES CON DISCONTINUIDAD
13. Análisis y diseño de regiones con discontinuidad
13.1. Introducción
Cuando ciertas regiones de elementos estructurales no pueden ser diseñadas a flexión y corte, utilizando
los procedimientos comunes, debido a que alguna de las suposiciones no se cumple adecuadamente,
entonces es necesario la utilización de otros procedimientos de diseño.
Los elementos estructurales de hormigón pueden ser divididos, para propósitos de diseño, en dos
porciones o regiones conocidas como regiones B y regiones D. Las regiones B son llamadas así porque en
ellas la suposición correspondiente al principio de Bernoulli se cumple a satisfacción, esto quiere decir
que las secciones planas antes de la flexión se mantienen planas después de ella. En este sentido, la
deformación longitudinal en el hormigón y en el acero en varios puntos a través de la sección transversal
es proporcional a la distancia desde el eje neutro. Esto permite considerar, para el diseño de la sección,
una variación lineal de las deformaciones en toda la altura del elemento. Las regiones D son llamadas así
porque son regiones de discontinuidad donde la suposición correspondiente al principio de Bernoulli no se
cumple como es el caso de ménsulas, vigas de gran canto con o sin aberturas, vigas con extremos
entallados, vigas con apoyos indirectos, zonas de anclajes de vigas postesadas, muros de cortante con
aberturas, tableros en pilas de un puente y cabezales de pilotes (figura 13.1).
Los procedimiento empíricos y semi empíricos de diseño tienen sus limitaciones, por tanto es necesario el
desarrollo de nuevos procedimientos de diseño como es el caso de los modelos de puntales y tensores.
Este tipo de modelos han constituido una valiosa herramienta de diseño desde los orígenes del hormigón
armado, según lo demuestra el empleo de modelos reticulados para el diseño al corte, por ejemplo, en los
trabajos de Ritter (1899), Mörsch (1909, 1912, 1922) y Rausch (1938, 1953) entre otros.
Es particularmente importante utilizar los modelos de puntales y tensores en el caso de las regiones con
discontinuidad (regiones D), las cuales no han sido tratadas adecuadamente en los códigos, aun cuando un
diseño y detallado incorrectos de estas regiones ha llevado a la falla de algunas estructuras. El desarrollo
de modelos de puntales y tensores presenta una oportunidad inmejorable de avanzar hacia la unificación
607
Diseño de estructuras de hormigón armado
del diseño de estructuras de hormigón armado, abarcando tanto las regiones D como las regiones B con
modelos similares. Además, la aplicación de modelos de puntales y tensores enfatiza el detalle en la
colocación del acero que es una parte fundamental dentro del diseño de estructuras de hormigón armado.
ℎ
ℎ1
ℎ
ℎ2
ℎ1
ℎ2
ℎ
ℎ1
h
ℎ2
1
ℎ1
ℎ
ℎ2
a) Discontinuidades geométricas
ℎ
ℎ
ℎ
ℎ
ℎ
2∙ℎ
ℎ
b) Discontinuidades geométricas y por carga
Fig. 13.1. Regiones D y tipos de discontinuidades
Una discontinuidad en la distribución de esfuerzos ocurre donde existe un cambio en la geometría del
elemento estructural o cuando hay una reacción o carga concentrada. El principio de St. Venant indica que
608
Análisis y diseño de regiones con discontinuidad
los esfuerzos por carga axial y momento flector se asemejan a una distribución lineal a partir de una
distancia de aproximadamente igual a la altura total del elemento ℎ desde el punto de discontinuidad. En
la figura 13.1a se muestran discontinuidades geométricas típicas y en la figura 13.1b una combinación de
discontinuidades geométricas con discontinuidades de carga. Las regiones sombreadas en la figura 13.1
son las que se llaman regiones D y en ellas la suposición de que las secciones planas se mantienen planas
antes y después de la aplicación de las cargas no se cumple.
13.2. Procedimientos de dimensionamiento según los códigos actuales
Cuando se ejecuta el diseño de una estructura en hormigón armado, generalmente se realiza primero el
análisis de los esfuerzos (momentos, cortantes y normales) en forma continua en toda la estructura, pero el
diseño y verificación de los diferentes elementos como vigas, columnas, losas, etc., se lo realiza en forma
discreta por secciones. Además, las recomendaciones incluidas en los códigos en cuanto al detallado de la
armadura pretenden garantizar la seguridad global de la estructura.
El peligro de realizar el diseño y verificación de una estructura con un procedimiento discreto por
secciones y no continuo es que existe la posibilidad de ignorar el flujo general de las fuerzas (el camino de
las cargas) y no cubrir algunas regiones críticas. En particular las regiones con discontinuidades de carga
y/o geometría (regiones D), a excepción de algunos casos particulares (por ejemplo, esquinas de pórticos o
ménsulas) no se dimensionan, sino que son cubiertas por las reglas o recomendaciones de detalle de las
armaduras.
Debido a estos inconvenientes es que diferentes códigos han tomado conciencia de la necesidad de tener
procedimientos de diseño que puedan tomar en cuenta estas particularidades. En este sentido, es que los
modelos de puntales y tensores han ganado aceptación y un nuevo impulso para su desarrollo. Sin
embargo, la mayoría de los códigos continúan con los conceptos tradicionales y sólo han agregado un
nuevo capítulo o apéndice, sin integrar el nuevo concepto en la totalidad del código. Una excepción es el
caso del diseño al corte, para el cual desde hace ya muchos años se ha estado utilizando un modelo
reticulado (cercha bidimensional) para considerar la contribución de las armaduras,
13.3. Regiones B y regiones D
Como ya se mencionó en la introducción, los elementos estructurales de hormigón, para propósitos de
diseño, se pueden dividir en regiones B y regiones D. A las regiones B pertenecen todas las regiones que
tienen un comportamiento tipo viga donde la hipótesis de distribución lineal de las deformaciones de la
teoría de flexión es aplicable; mientras que a las regiones D pertenecen todas las regiones que presentan
perturbaciones de esfuerzos y son en general aquellas que se encuentran contiguas a los cambios abruptos
de cargas concentradas y reacciones; o aquellas que presentan cambios repentinos de geometría tales
como huecos o cambios de sección transversal. Para analizar las secciones transversales en este tipo de
regiones no es correcto asumir una distribución lineal de deformaciones.
Para el diseño en hormigón armado de las regiones B se aplica la teoría de flexión tradicional y el enfoque
de diseño usual para el corte. Por el contrario, en las regiones D un gran porcentaje de la carga es
transmitida directamente a los apoyos por las fuerzas de compresión en el plano del hormigón y las
fuerzas de tracción en la armadura, por lo cual es necesario utilizar otro enfoque de diseño. Las regiones D
609
Diseño de estructuras de hormigón armado
se pueden analizar usando reticulados (cerchas planas o espaciales) hipotéticos compuestos por puntales
de hormigón comprimidos y tensores de acero traccionados, que se encuentran en uniones llamadas nodos.
Estos reticulados se conocen como modelos de puntales y tensores (Strut and Tie Models).
𝑉
𝑏 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑐′
0.25
𝑎
𝑉
𝑉
𝑎
0.20
𝑉
𝑉
0.15
Modelo de
puntales y
tensores
0.10
Modelo seccional
0.05
1
2
3
4
5
6
7
𝑎/𝑑
Fig. 13.2. Resistencia de vigas de hormigón que fallan en corte para diferentes relaciones 𝒂/𝒅
La figura 13.2 extractada del libro “Estructuras de Concreto Presforzado” de Collins y Mitchell (1991)
compara las resistencias empíricas al corte de vigas simplemente apoyadas con diferentes relaciones
longitud de corte/profundidad 𝑎/𝑑, comprendidas entre 1 y 7. El comportamiento como región B controla
la resistencia de vigas con relaciones 𝑎/𝑑 mayores a 2.5 como lo indica la línea aproximadamente
horizontal a la derecha de 𝑎/𝑑 = 2.5, mientras que el comportamiento como región D controla la
resistencia de vigas con relaciones 𝑎/𝑑 menores a aproximadamente 2.5 como lo representa la línea de
fuerte pendiente a la izquierda de 𝑎/𝑑 = 2.5. El Comité ACI 318 limitó las longitudes máximas de
610
Análisis y diseño de regiones con discontinuidad
regiones D aisladas y superpuestas a valores de 𝑑 y 2 ∙ 𝑑, respectivamente. Los modelos de puntales y
tensores también se pueden usar para el diseño de regiones B, pero el término 𝑉𝑐 no está incluido en la
ecuación tradicional del código ACI para la resistencia al corte.
Los modelos de puntales y tensores bidimensionales se utilizan para representar estructuras planas tales
como vigas de gran altura, ménsulas y uniones; mientras que los modelos de puntales y tensores
tridimensionales se usan para estructuras tales como cabezales para dos o más filas de pilotes.
Región D
puntal
𝑎
ℎ
𝑎
a) Tramo de corte, 𝑎 < 2 ∙ ℎ (viga de canto alto)
Región D
ℎ
puntal
≥ 25°
𝑎 =2∙ℎ
𝑎 =2∙ℎ
b) Tramo de corte, 𝑎 = 2 ∙ ℎ, límite para una viga de canto alto
Región D
Región B
Región D
ℎ
ℎ
ℎ
𝑎 > 2∙ℎ
𝑎 >2∙ℎ
c) Tramo de corte, 𝑎 > 2 ∙ ℎ, viga esbelta
Fig. 13.3. Descripción de viga de canto alto y viga esbelta
611
Diseño de estructuras de hormigón armado
Cada luz de corte en la viga de la figura 13.3a es una región D. Si dos regiones D se sobreponen o se
juntan como en la figura 13.3b, éstas pueden ser consideradas como una sola región D para propósitos de
diseño. La máxima relación de la luz versus la altura de estas regiones D es aproximadamente igual a dos.
Por tanto, el mínimo ángulo entre tensores y puntales es 𝑡𝑎𝑛−1 (1/2) = 26.5°, que en el código ACI es
redondeado a 25°.
Si existe una región B entre dos regiones D en un tramo de corte, como se muestra en la figura 13.3c, la
resistencia del tramo de corte es controlado por la resistencia de la región B, si ambas regiones tienen el
refuerzo y la geometría similares. Esto es cierto debido a que la resistencia al corte de una región B es
menor a la de una región D comparable. Tramos de corte que contienen regiones B, como en el caso de
vigas esbeltas, son diseñados para corte utilizando los procedimientos tradicionales ignorando las regiones
D.
13.4. Componentes de los modelos con puntales y tensores
El modelo de puntales y tensores de una viga de gran altura de un solo tramo, ilustrado en la figura 13.4,
se compone de dos puntales inclinados y un tensor horizontal unidos en tres nodos. Los nodos se ubican
dentro de zonas nodales que transfieren las fuerzas de los puntales a los tensores y reacciones. Se asume
que los modelos de puntales y tensores fallan debido a la fluencia de los tensores, aplastamiento de los
puntales, falla de las zonas nodales que conectan los puntales y los tensores, o falla de anclaje de los
tensores. Se asume que los puntales y las zonas nodales llegan a su capacidad cuando las tensiones de
compresión que actúan en los extremos de los puntales o en las caras de las zonas nodales llegan a la
correspondiente resistencia efectiva a la compresión 𝑓𝑐𝑒 .
𝑃
Puntal en forma
de botella
Zona Nodal
Puntal prismático
idealizado
Tensor
Fig. 13.4. Modelo de puntales y tensores para una viga de gran altura
612
Análisis y diseño de regiones con discontinuidad
De acuerdo al principio de St. Venant y a análisis elásticos de tensiones realizados en estructuras, se ha
estimado que el efecto localizado de una carga concentrada o una discontinuidad geométrica desaparece a
una distancia de alrededor de una profundidad del elemento a partir de la carga o discontinuidad. Por este
motivo se asume que las regiones D se extienden aproximadamente a una distancia igual a la profundidad
del elemento a partir de la carga o discontinuidad.
Si dos regiones D, cada una de ellas de una longitud menor o igual a 𝑑, se encuentran o superponen, se
considera que éstas actúan como una región D combinada. Para un tramo de corte en una viga de gran
altura, la región D combinada tiene una profundidad igual a 𝑑 y una longitud de hasta 2 ∙ 𝑑 hacia un lado o
hacia dos lados de la perturbación. Esto establece el menor ángulo que puede existir entre un puntal y un
𝑑
tensor unido a un extremo del puntal como tan−1 (2∙𝑑
) = 26.5°, redondeado a 25°. (Sección 23.2.7 del
código ACI).
Un modelo de puntales y tensores es un sistema de fuerzas que está en equilibrio con respecto a un sistema
de fuerzas externas. El límite inferior del teorema de plasticidad establece que la capacidad de ese sistema
de fuerzas es un límite inferior de la resistencia de la estructura siempre y cuando ningún elemento es
esforzado más allá de su capacidad. Pero, esto supone que la capacidad de deformación no es excedida en
ningún punto antes de que el sistema de fuerzas asumido se forme. Por esta razón, las fuerzas resultantes
en los elementos del modelo de puntales y tensores deberían estar próximas a las fuerzas reales internas
finales.
Un diseño estructural estáticamente admisible y seguro satisface los requisitos de una solución límite
inferior en la teoría de plasticidad. Esto implica que la carga de falla calculada mediante el modelo de
puntales y tensores subestima la carga de falla real. Para que esto sea cierto, la estructura debe tener
ductilidad suficiente para acomodar cualquier redistribución de fuerzas necesaria.
13.5. Reglas de diseño para los modelos de puntales y tensores
Los principales componentes a definir y especificar para el diseño de puntales y tensores son los
siguientes:






Geometría de los modelos de puntales y tensores.
Resistencias efectivas del hormigón y factores 𝜙 a utilizar.
Forma y resistencia de los puntales de compresión.
Resistencia y anclaje de los tensores.
Geometría y resistencia de las zonas nodales.
Requisitos de detallado.
Las definiciones de estos elementos difieren considerablemente en los distintos códigos y documentos
usados para el diseño. La resistencia efectiva del hormigón y los factores de reducción de la resistencia
para los modelos puntal-tensor del actual código ACI originalmente se derivaron usando los factores de
carga y resistencia del Capítulo 9 del código ACI - 1999.
613
Diseño de estructuras de hormigón armado
13.5.1. Geometría de los modelos de puntales y tensores
Los modelos de puntales y tensores son reticulados hipotéticos, construidos dentro del elemento o región
de hormigón armado, capaces de transmitir las fuerzas desde los puntos de aplicación de las cargas hacia
los apoyos o regiones adyacentes.
El capítulo 23 del código ACI está formulado bajo la hipótesis de que en el diseño se usarán modelos de
puntales y tensores. La selección del modelo es la etapa más importante porque de ella dependen tanto el
análisis como el diseño de ese elemento. Las secciones R23.2.1, R23.2.2 y R23.2.3 del código ACI
contienen un procedimiento paso a paso para diseñar un modelo de puntales y tensores.
Generalmente, el punto de partida es el cálculo de las reacciones para la estructura o elemento a diseñar,
considerando todas las cargas aplicadas. En términos generales, el modelo de puntales y tensores que
minimiza la cantidad de armadura se aproxima al modelo ideal. Para el caso de las estructuras
bidimensionales, algunos autores recomiendan realizar un análisis por elementos finitos para determinar
las trayectorias de los esfuerzos para una situación de carga dada. Luego, los puntales se alinean a ±15° de
las fuerzas de compresión resultantes de dicho análisis, y los tensores a ±15° de las fuerzas de tracción
resultantes.
Durante el desarrollo de un modelo de puntales y tensores, para una aplicación determinada, a menudo
resulta útil seleccionar ubicaciones iniciales tentativas para los nodos y utilizar estas ubicaciones en el
ciclo inicial de cálculo de las fuerzas en los miembros. Si se pueden conseguir fotografías del patrón de
agrietamiento en estructuras similares, es posible ubicar los puntales y tensores dentro de la estructura de
manera tal que los puntales se ubiquen entre las fisuras. Los puntales no deben atravesar regiones
fisuradas.
La sección 23.2 del código ACI presenta varios requisitos fundamentales que debe satisfacer un modelo
de puntales y tensores:
1. Primero y principal, el modelo de puntales y tensores debe estar en equilibrio con las cargas aplicadas
mayoradas y las reacciones (sección 23.2.4 del código ACI). El cálculo de las reacciones y las fuerzas
en los puntales y tensores es estático, por lo tanto produce un campo de fuerzas estáticamente
admisible.
2. Durante las primeras etapas del diseño de una región D puede ser suficiente considerar sólo los ejes de
los puntales y tensores. Sin embargo, al diseñar un modelo de puntales y tensores, generalmente es
necesario considerar los anchos de los puntales, tensores, zonas nodales y regiones de apoyo. (sección
23.2.2 del código ACI)
3. Los puntales, en el modelo planteado, no deben cruzarse, ni superponerse (sección 23.2.6 del código
ACI). Los anchos de los puntales se eligen de manera tal que soporten las fuerzas a las que están
sometidos considerando la resistencia efectiva del hormigón. Si los puntales se superpusieran, las
partes superpuestas de los puntales resultarían sobrecargadas.
614
Análisis y diseño de regiones con discontinuidad
4. Los tensores pueden cruzar otros tensores o puntales (sección 23.2.5 del código ACI).
5. El menor ángulo entre un puntal y un tensor unidos en un nodo se ha fijado en 25°. (sección 23.2.7 del
código ACI). La limitación en el ángulo es para prevenir modelar la región de corte de vigas esbeltas
utilizando puntales con inclinaciones menores a 25° con respecto al acero longitudinal.
6. Las resistencias nominales de diseño 𝜙 ∙ 𝐹𝑛 de los puntales, tensores y zonas nodales deben ser iguales
o mayores que las fuerzas últimas 𝐹𝑢 en dichos elementos (sección 23.3.1). Si en cualquier sección
transversal la resistencia es mayor o igual que la resistencia requerida por el análisis del punto 1 se
dice que la estructura tiene una distribución de resistencias segura.
13.5.2. Resistencia efectiva del hormigón y factores de reducción de resistencia
Una vez que se delinea el modelo inicial de puntales y tensores se procede a calcular las reacciones debido
al peso propio y cargas aplicadas. Después de calcular las reacciones se calculan las fuerzas últimas 𝐹𝑢 en
todos los puntales, tensores y zonas nodales usando un análisis elástico lineal. Luego, los puntales,
tensores y zonas nodales se dimensionan utilizando la siguiente ecuación:
𝜙 ∙ 𝐹𝑛 ≥ 𝐹𝑢
(13.1)
Donde:
𝐹𝑢 = Fuerza en el puntal, tensor o la que actúa en una cara de la zona nodal debido a las cargas últimas.
𝐹𝑛 = Resistencia nominal del puntal, tensor o zona nodal.
𝜙 = Factor de reducción de la resistencia igual a 0.75 para estos modelos.
13.5.3. Forma y resistencia de los puntales de compresión
En un modelo de puntales y tensores, los puntales representan un campo de esfuerzos de compresión cuya
dirección, en forma predominante, coincide con el eje longitudinal del puntal. Los puntales, en general,
son idealizados como elementos prismáticos o elementos con una variación uniforme de sección (figura
13.5).
La forma de los puntales es variable y en los modelos se los idealiza generalmente como miembros
uniformemente ahusados o prismáticos. En la figura 13.4 se puede apreciar cómo los puntales en forma de
botella son idealizados como puntales prismáticos en los sectores de corte en la viga de gran altura. En
este modelo de puntales y tensores, el hormigón comprimido a la mitad de la longitud de los puntales
tiende a expandirse lateralmente. Si hay lugar para que efectivamente ocurra esta expansión se dice que
los puntales son en forma de botella. En los modelos bidimensionales la mayoría de los puntales serán en
forma de botella.
615
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑃
Puntal prismático
𝑃
Puntal en forma de botella
Fig. 13.5. Tipos de puntales en compresión
La resistencia nominal a la compresión de un puntal sin refuerzo longitudinal debe ser calculada en ambos
extremos y controla el menor valor.
𝐹𝑛𝑠 = 𝑓𝑐𝑒 ∙ 𝐴𝑐𝑠
(13.2)
Donde:
𝐴𝑐𝑠 = Área de la sección transversal en el extremo del puntal bajo consideración.
𝑓𝑐𝑒 = Resistencia efectiva a la compresión del hormigón del puntal.
𝑓𝑐𝑒 = 0.85 ∙ 𝛽𝑠 ∙ 𝑓𝑐′ ≤ 0.85 ∙ 𝛽𝑛 ∙ 𝑓𝑐′
(13.3)
Valores de 𝜷𝒔 para diferentes condiciones de puntales
Condición
Para puntales de sección transversal uniforme en toda su longitud
Valor de 𝜷𝒔
1.0
Para puntales en forma de botella
 Con refuerzo que satisface la sección 23.5.1 del código ACI
0.75
 Sin refuerzo que satisface la sección 23.5.1 del código ACI
0.60 ∙ 𝜆
Para puntales en elementos a tracción o para las alas traccionadas de elementos
0.40
Para todos los demás casos
0.60 ∙ 𝜆
616
Análisis y diseño de regiones con discontinuidad
Valores de 𝝀 para distintos tipos de hormigón
Tipo de hormigón
Valor de 𝝀
Hormigón de peso unitario normal
1.00
Hormigón con arena ligera
0.85
Hormigones ligeros
0.75
El valor de 𝛽𝑠 = 1 se aplica a un puntal equivalente al diagrama rectangular de compresión en vigas o
columnas. Si se utiliza 𝛽𝑠 = 0.75, entonces se debe prever un refuerzo transversal al eje del puntal con el
objetivo de resistir los esfuerzos de tracción que se generan por la dispersión de los esfuerzos de
compresión en el puntal. Se puede asumir que los esfuerzos de compresión se dispersan con una pendiente
de 2 longitudinal por 1 transversal con respecto del eje del puntal.
1
Agritamiento longitudinal
por esfuerzos de tracción
2
Dispersión asumida de los
esfuerzos de compresión
Fig. 13.6. Agrietamiento longitudinal en el puntal debido a esfuerzos de tracción
generados por la dispersión de los esfuerzos de compresión en el puntal
Cuando la resistencia característica del hormigón 𝑓𝑐′ no excede los 40 [𝑀𝑃𝑎], el requerimiento de la
armadura, de la sección 23.5.1 del código ACI, para que 𝛽𝑠 sea 0.75 puede ser satisfecho con diferentes
capas de refuerzo de tal manera que se satisfaga la siguiente ecuación:
∑
𝐴𝑠𝑖
⋅ sen(𝛾𝑖 ) ≥ 0.003
𝑏𝑠 ∙ 𝑠𝑖
(13.4)
617
Diseño de estructuras de hormigón armado
Donde:
𝐴𝑠𝑖 = Área del refuerzo (vertical u horizontal) que cruza el eje del puntal con un ángulo de 𝛾𝑖 .
𝑠𝑖 = Separación horizontal o vertical del refuerzo de acero.
𝑏𝑠 = Ancho del puntal o espesor del elemento que lo contiene.
Límite del borde
del puntal
𝐴𝑠1
Eje del puntal
Límite del borde
del puntal
𝐴𝑠2
𝛾1
𝑠2
𝛾2
𝑠1
Fig. 13.7. Refuerzo vertical y horizontal cruzando un puntal
El refuerzo que cruza el puntal puede ser colocado en dos direcciones ortogonales formando ángulos 𝛾1 y
𝛾2 con respecto al eje del puntal o en una sola dirección con un ángulo 𝛾 con respecto del eje del puntal. Si
el refuerzo es solamente colocado en una sola dirección, 𝛾 no debe ser menor de 40°.
Si se comprueba mediante análisis y ensayos de laboratorio, se puede permitir una resistencia mayor de
los puntales debido al refuerzo de confinamiento.
Se puede utilizar refuerzo de compresión para incrementar la resistencia de los puntales siempre y cuando
este refuerzo se encuentre paralelo al eje del puntal y dentro de los límites de los bordes de la misma.
Además, éste debe tener buenos anclajes y estar encerrado dentro de estribos o espirales que satisfagan la
sección 10.7.6.1.5 del código ACI. En esos casos la resistencia de los puntales puede calcularse con la
siguiente ecuación:
618
Análisis y diseño de regiones con discontinuidad
𝐹𝑛𝑠 = 𝑓𝑐𝑒 ∙ 𝐴𝑐𝑠 + 𝐴′𝑠 ∙ 𝑓𝑠′
(13.5)
Donde:
𝐴′𝑠 = Área efectiva del refuerzo a compresión a lo largo del puntal.
𝑓𝑠′ = Esfuerzo en el refuerzo de compresión al nivel de resistencia nominal axial del puntal, se lo puede
tomar igual a 𝑓𝑦 para refuerzo con tensión de fluencia de 280 [𝑀𝑃𝑎] o 420 [𝑀𝑃𝑎].
13.5.4. Resistencia y anclaje de los tensores
La resistencia nominal de un tensor compuesto por barras de acero pasivo y por cables de acero de
pretensado es:
𝐹𝑛𝑡 = 𝐴𝑡𝑠 ∙ 𝑓𝑦 + 𝐴𝑡𝑝 ∙ (𝑓𝑠𝑒 + ∆𝑓𝑝 )
(13.6)
Donde:
𝐴𝑡𝑠 = Area de refuerzo no pretensado en el tensor.
𝑓𝑦 = Tensión de fluencia del refuerzo no pretensado.
𝐴𝑡𝑝 = Area del refuerzo pretensado en el tensor.
𝑓𝑠𝑒 = Tensión efectiva en el acero de pretensado después de las pérdidas.
∆𝑓𝑝 = Incremento de la tensión del acero de pretensado debido a las cargas últimas.
El término (𝑓𝑠𝑒 + ∆𝑓𝑝 ) no debe exceder la resistencia de fluencia especificada para el acero de pretensado
𝑓𝑝𝑦 . Se permite tomar para ∆𝑓𝑝 el valor de 420 [𝑀𝑃𝑎] cuando el refuerzo de pretensado es adherido y
70 [𝑀𝑃𝑎] cuando el refuerzo de pretensado es no adherido. Estas aproximaciones son razonables para el
cambio de tensión ∆𝑓𝑝 en la armadura pretensada a medida que el miembro se carga hasta el punto de
falla.
Cuando no hay acero de pretensado la anterior ecuación se simplifica a:
𝐹𝑛𝑡 = 𝐴𝑡𝑠 ∙ 𝑓𝑦
(13.7)
Se asume que el tensor está formado por la armadura más un prisma de hormigón hipotético concéntrico
con el eje de la fuerza de tracción. Por lo tanto, la sección 23.8.1 del código ACI requiere que la armadura
de los tensores se distribuya de manera aproximadamente uniforme en el ancho del tensor 𝑤𝑡 . Esto puede
implicar la colocación de la armadura en varias capas como se ilustra en la figura 13.8b, y no concentrarla
en la cara traccionada de la viga como se ilustra en la figura 13.8a.
El eje de los aceros que componen el refuerzo en un tensor debe coincidir con el eje del tensor propuesto
en el modelo de puntales y tensores. El ancho efectivo del tensor asumido para el diseño 𝑤𝑡 puede variar,
dependiendo de la distribución del refuerzo del tensor, entre los siguientes límites:
619
Diseño de estructuras de hormigón armado
a)
Si las barras del tensor son dispuestas en una sola capa, el ancho efectivo del tensor puede ser
tomado como el diámetro de la barra más dos veces el recubrimiento a la superficie de las barras
(figura 13.8a).
b)
Un límite superior práctico para el ancho del tensor puede ser tomado como el ancho correspondiente
al ancho en una zona nodal hidrostática, calculado con la siguiente ecuación:
𝑤𝑡𝑚𝑎𝑥 =
𝐹𝑛𝑡
𝐹𝑢
=
𝑓𝑐𝑒 ∙ 𝑏𝑤 𝜙 ∙ 𝑓𝑐𝑒 ∙ 𝑏𝑤
(13.8)
Donde:
𝑤𝑡𝑚𝑎𝑥 = Ancho efectivo máximo del tensor.
𝑏𝑤 = Espesor efectivo del tensor.
𝑓𝑐𝑒 = Resistencia a la compresión efectiva aplicable en la zona nodal.
𝐹𝑛𝑡 = Resistencia nominal del tensor.
𝐹𝑢 = Fuerza última actuando en el tensor.
𝜙 = Factor de reducción de la resistencia para modelos de puntales y tensores 0.75.
Si el ancho del tensor excede el valor calculado con el inciso a), el refuerzo de acero debe ser distribuido
de manera aproximadamente uniforme en el ancho y espesor del tensor (figura 13.8b).
Generalmente el principal problema en el diseño de tensores es el anclaje de los mismos en una zona
nodal. Se permite que el refuerzo sea anclado utilizando dispositivos mecánicos, dispositivos de anclaje de
postesado, ganchos estándar o longitudes de desarrollo rectas. El prisma hipotético de hormigón
concéntrico con el tensor no resiste ninguna parte de la fuerza en el tensor. En las verificaciones para la
etapa de servicio la menor deformación del tensor debida a este hormigón puede reducir el alargamiento
del tensor, produciendo menor deflexión en el miembro.
El refuerzo del tensor debe ser anclado, antes de que abandone la zona nodal extendida, en el punto
definido por la intersección del centro de gravedad de las barras del tensor y las extensiones de las líneas
externas del puntal o del área de apoyo. En la figura 13.8 esto ocurre en el punto donde la línea exterior de
la zona nodal extendida es cruzada por la línea que define el centro de gravedad del tensor (sección
crítica). El anclaje de las barras puede ser conseguido por adherencia desarrollando el refuerzo a través de
la zona nodal, por lo que las barras se extienden más allá de esa zona. Si el refuerzo es anclado utilizando
ganchos a 90°, éstos deben estar confinados dentro del refuerzo que se extiende en la viga desde el
elemento de soporte para evitar agrietamiento a lo largo del borde exterior del gancho.
Las longitudes de desarrollo de las barras de refuerzo que componen los tensores pueden ser reducidas
mediante ganchos, dispositivos mecánicos, confinamiento adicional o utilizando varias capas con barras
de menor diámetro que requieren longitudes de desarrollo más cortas.
620
Análisis y diseño de regiones con discontinuidad
𝑤𝑠 = 𝑤𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + ℓ𝑏 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑤𝑡 ∙ cos 𝜃
ℓ𝑏 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝐶
𝑤𝑡
𝜃
Zona nodal extendida
𝑇
𝜃
Zona nodal
Sección crítica para el
desarrollo de las
armaduras del tensor
𝐶
ℓ𝑏
ℓ𝑎𝑛𝑐
a) Una capa de armadura
𝑤𝑡 ∙ cos 𝜃
𝐶
∙ 𝑐𝑜𝑠
ℓ𝑏 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃
Zona nodal extendida
𝑤𝑡
𝑇
Zona nodal
𝜃
𝐶
ℓ𝑏
ℓ𝑎𝑛𝑐
Sección crítica para el
desarrollo de las
armaduras del tensor
b) Armadura distribuída
Fig. 13.8. Zona nodal extendida mostrando el efecto de la distribución de la fuerza
621
Diseño de estructuras de hormigón armado
Cuando existen tensores a ambos lados de una zona nodal, ésta debe ser capaz de resistir la diferencia
entre las fuerzas de ambos tensores.
Cuando en una zona nodal se anclan dos o más tensores, la fuerza de los tensores en cada dirección debe
ser desarrollada en los puntos donde el centro de gravedad del refuerzo de los tensores abandona la zona
nodal extendida.
13.5.5. Geometría y resistencia de las zonas nodales
Una zona nodal es el volumen de hormigón alrededor de un nodo y que se supone es el responsable de
transferir las fuerzas de los tensores y puntales a través del nodo. En los primeros modelos de puntales y
tensores se utilizaron zonas nodales hidrostáticas, las cuales posteriormente fueron superadas y
reemplazadas por las zonas nodales extendidas. Los nodos en elementos bidimensionales pueden
clasificarse como:
a)
b)
c)
d)
𝐶 − 𝐶 − 𝐶 si todos los elementos que llegan al nodo están en compresión.
𝐶 − 𝐶 − 𝑇 si uno de los elementos que llega al nodo está en tracción.
𝐶 − 𝑇 − 𝑇 si dos de los elementos que llegan al nodo están en tracción.
𝑇 − 𝑇 − 𝑇 si todos los elementos que llegan al nodo están en tracción.
Un nodo es un punto en el modelo de puntales y tensores donde los ejes de los puntales, tensores y las
cargas concentradas se interceptan. Todas las fuerzas que concurren en el nodo deben estar en equilibrio
(Σ𝐹𝑥 = 0, Σ𝐹𝑦 = 0 𝑦 Σ𝐹𝑧 = 0).
𝐶
𝐶
𝑇
𝐶
𝐶
𝐶
a) Nodo 𝐶 − 𝐶 − 𝐶
𝑇
b) Nodo 𝐶 − 𝐶 − 𝐶
𝑇
𝐶
𝑇
𝑇
c) Nodo 𝐶 − 𝑇 − 𝑇
𝑇
d) Nodo 𝑇 − 𝑇 − 𝑇
Fig. 13.9. Clasificación de los nodos
622
Análisis y diseño de regiones con discontinuidad
Una zona nodal hidrostática tiene sus caras orientadas en forma perpendicular al eje de los puntales y
tensores que actúan en el nodo y tiene esfuerzos iguales en sus caras cargadas. La figura 13.10a muestra
una zona nodal 𝐶 − 𝐶 − 𝐶. Si los esfuerzos en las caras de la zona nodal son los mismos en los tres
puntales, las relaciones de las longitudes de los lados de la zona nodal 𝑤𝑛1 : 𝑤𝑛2 : 𝑤𝑛3 estan en la misma
proporción que las tres fuerzas 𝐶1 : 𝐶2 : 𝐶3 . Las caras de una zona nodal hidrostática son perpendiculares a
los ejes de los puntales y tensores que actúan en la zona nodal.
A este tipo de zonas nodales se las llama zonas nodales hidrostáticas porque los esfuerzos en el plano son
los mismos en todas las direcciones. En este caso, el círculo de Mohr para los esfuerzos en el plano se
reduce a un punto. Siendo precisos, esta terminología es incorrecta, porque los esfuerzos en el plano no
son iguales a los esfuerzos fuera del plano.
Una zona nodal 𝐶 − 𝐶 − 𝑇 puede ser representada como una zona nodal hidrostática si se asume que el
tensor se extiende a través del nodo y es anclado con una placa en el lado externo del nodo, como muestra
la figura 13.10b, siempre y cuando el tamaño de la placa produzca esfuerzos de contacto iguales a los
esfuerzos en los puntales. La placa de apoyo de la figura 13.10b es utilizada para representar al anclaje
real del tensor. La fuerza del tensor puede ser anclada por una placa, o utilizando la longitud recta de
desarrollo o ganchos como se ve en la figura 13.10c. Las áreas sombreadas en gris de la figura 13.8 son
zonas nodales extendidas. Una zona nodal extendida es la porción del elemento limitado por la zona nodal
y por la intersección del ancho efectivo del puntal 𝑤𝑠 con el ancho efectivo del tensor 𝑤𝑡 .
𝑤𝑛2
𝐶2
𝐶
𝑇
𝑤𝑛1
𝐶1
𝑤𝑛3
𝐶3
𝐶
b) Fuerza de tracción anclada por una placa
a) Geometría
𝐶
ℓ𝑎
𝑇
𝐶
Sección crítica para el desarrollo del
refuerzo de los tensores
c) Fuerza de tracción anclada por longitud de adherencia
Fig. 13.10. Nodos hidrostáticos
623
Diseño de estructuras de hormigón armado
En la zona nodal mostrada en la figura 13.11a, la reacción 𝑅 equilibra las componentes verticales de las
fuerzas 𝐶1 y 𝐶2 , pero frecuentemente el cálculo se simplifica si la reacción 𝑅 es descompuesta en 𝑅1 , que
equilibra la componente vertical de 𝐶1 , y en 𝑅2 que equilibra la componente vertical de 𝐶2 .
𝐶1
𝐶2
𝑅
a) Zona nodal
𝐶1
𝐶2
𝐵
𝐴
𝑅1
𝑅2
𝑅
b) Zona nodal subdividida
Fig. 13.11. Subdivisión de la zona nodal
La resistencia nominal a la compresión de una zona nodal es:
𝐹𝑛𝑛 = 𝐴𝑛𝑧 ∙ 𝑓𝑐𝑒
624
(13.9)
Análisis y diseño de regiones con discontinuidad
Donde:
𝐴𝑛𝑧 = Área de la cara de la zona nodal o de una sección a través de la zona nodal considerando los incisos
a) y b).
a)
𝐴𝑛𝑧 será el area de la cara de la zona nodal sobre la cual 𝐹𝑢𝑠 actúa, si la cara es perpendicular a la
línea de acción de 𝐹𝑢𝑠 .
Si la zona nodal se ha delimitado aplicando un criterio diferente al del inciso a), es posible que la interfase
entre el nodo y el puntal no sea perpendicular al eje del puntal y por tanto las tensiones axiales en el
puntal, solicitado exclusivamente a compresión, generarán sobre la interfase tanto tensiones de corte como
tensiones normales. Por tanto, en estos casos 𝐴𝑛𝑧 se halla de acuerdo al inciso b).
b) 𝐴𝑛𝑧 será el área de la sección a través de la zona nodal tomada perpendicular a la línea de acción
de la fuerza resultante de la sección.
Si se asume que los esfuerzos principales en los puntales y tensores actúan en forma paralela al eje de los
mismos, los esfuerzos en las caras perpendiculares a estos ejes son esfuerzos principales y el inciso a)
controla. Si por el contrario, la cara de la zona nodal no es perpendicular a la del eje del puntal (figura
13.8b), existirán esfuerzos de corte y esfuerzos normales en la cara de la zona nodal. Típicamente, estos
esfuerzos son reemplazados por los esfuerzos normales (esfuerzos principales de compresión) que actúan
en la sección transversal 𝐴𝑐𝑠 del puntal, tomada perpendicular al eje del puntal como indica el inciso a).
En algunos casos, el inciso b) controla porque se requiere que los esfuerzos sean verificados en una
sección a través de una zona nodal subdividida. Los esfuerzos son verificados en la menor sección que sea
perpendicular a una fuerza resultante en la zona nodal. En la figura 13.11b, la cara vertical que divide la
zona nodal en dos partes es esforzada por la fuerza resultante que actúa a lo largo de A-B. El diseño de la
zona nodal es gobernado por la sección crítica del inciso a) o b), la que produzca el mayor esfuerzo.
𝑓𝑐𝑒 = Resistencia efectiva a la compresión del hormigón en la cara de una zona nodal.
𝑓𝑐𝑒 = 0.85 ∙ 𝛽𝑛 ∙ 𝑓𝑐 ’
(13.10)
Valores de 𝜷𝒏 para diferentes condiciones de las zonas nodales
Condición
Valor de 𝜷𝒏
Para zonas nodales rodeadas por puntales y/o áreas de apoyo (Nodo 𝐶 − 𝐶 − 𝐶)
1.00
Para zonas nodales que anclan un tensor (Nodo 𝐶 − 𝐶 − 𝑇)
0.80
Para zonas nodales que anclan dos o más tensores (Nodos 𝐶 − 𝑇 − 𝑇 y 𝑇 − 𝑇 − 𝑇)
0.60
625
Diseño de estructuras de hormigón armado
En un modelo tridimensional de puntales y tensores, el área de cada cara de una zona nodal no debe ser
menor a la dada por 𝐴𝑛𝑧 considerando los incisos a) y b), y la forma de cada cara de las zonas nodales será
similar a la forma de la proyección de los extremos de los puntales sobre las caras correspondientes de la
zona nodal.
13.5.6. Requisitos de detallado

Efectos de la armadura mínima de confinamiento según ensayos.
Es importante disponer con mallas de armadura en las caras laterales de las regiones D para controlar y
restringir la aparición de las fisuras longitudinales cerca de los extremos de los puntales en forma de
botella, y también para proporcionar cierta ductilidad a los puntales.
De acuerdo a numerosos ensayos realizados en vigas con diferentes cuantías de armadura vertical
(estribos) se sugiere que en vigas con estribos verticales exclusivamente la totalidad de la capacidad
plástica se puede alcanzar con una cuantía de armadura de estribos de 0.0025.

Armadura mínima requerida en los puntales en forma de botella.
En la sección 23.4.3 del código ACI se permite utilizar para 𝛽𝑠 un valor de 0.75 para el cálculo de la
resistencia efectiva a la compresión de puntales en forma de botella con armadura que satisface la sección
23.5.1. Si no se provee esta armadura el valor de 𝛽𝑠 se reduce a 0.6 · 𝜆. La sección 23.5.1 del código ACI
requiere que el eje del puntal sea atravesado por armadura transversal de manera de resistir la fuerza de
tracción que se produce debido a la dispersión de la fuerza de compresión en el puntal. La misma sección
23.5.1 del código ACI permite que el calculista compute la armadura necesaria ya sea mediante un modelo
de puntales y tensores ideal localizado dentro del puntal, como se ilustra en la figura 13.6, o bien, para el
caso de vigas con hormigón de resistencia menor o igual a 40 [𝑀𝑃𝑎], la sección 23.5.3 permite aproximar
los resultados del modelo de puntales y tensores usando la ecuación empírica (13.4). Esta ecuación se
derivó asumiendo que la tensión normal 𝜎1 , que actúa en la fisura resultante de una capa de armadura de
confinamiento es:
𝜎1 =
𝐴𝑠1 ∙ 𝑓𝑠1
∙ sen 𝛾1
𝑏𝑠 ∙ 𝑠1
(13.11)
Donde 𝐴𝑠1 es la sección de las barras en una dirección y el ángulo 𝛾1 es el ángulo entre la fisura y la
fuerza en la barra en cuestión. La dirección de la barra se selecciona de manera tal que una fuerza de
tracción en la barra provoque una fuerza de compresión en el hormigón perpendicular a la fisura. A fin de
simplificar la presentación de la anterior ecuación, el código ACI la presenta sin el término 𝑓𝑠1 .
La sección 23.5.3 del código permite satisfacer este requisito, cuando 𝑓𝑐′ es menor o igual a 40 [𝑀𝑃𝑎],
mediante capas de armadura que cruzan el puntal y que satisfacen la ecuación (13.4).
∑
626
𝐴𝑠𝑖
⋅ sen(𝛾𝑖 ) ≥ 0.003
𝑏𝑠 ∙ 𝑠𝑖
(13.4)
Análisis y diseño de regiones con discontinuidad
Donde:
𝐴𝑠𝑖 = Area del refuerzo (vertical u horizontal) que cruza el eje del puntal con un ángulo de 𝛾𝑖 .
𝑠𝑖 = Separación horizontal o vertical del refuerzo de acero.
𝑏𝑠 = Ancho del puntal o espesor del elemento que lo contiene.
La sección 23.5.3 de ACI establece que esta armadura generalmente se dispone en forma de malla en dos
direcciones ortogonales en cada cara, pero permite colocarla en una sola dirección, en cada cara, para
casos tales como las ménsulas o cartelas.

Mínima armadura de corte en vigas de gran altura
La sección 9.9.3.1 del código ACI requiere cuantías mínimas de armadura de corte vertical y horizontal de
0.0025 · 𝑏𝑤 ∙ 𝑠1 y 0.0025 · 𝑏𝑤 ∙ 𝑠2 , respectivamente, en vigas de gran altura.
Estas cantidades mínimas proveen una capacidad de corte considerable. Cada 0.001 · 𝑏𝑤 ∙ 𝑠 de armadura
de corte vertical corresponde a una resistencia al corte, 𝑉𝑠 correspondiente a una tensión de corte 𝑣 igual a
0.42 [𝑀𝑃𝑎], calculada usando la ecuación (5.15). La armadura de corte horizontal es mucho menos
eficiente para transferir corte. La capacidad adicional provista por la armadura de corte vertical no está
implícitamente incluida en el cálculo de resistencia usando las ecuaciones (13.1) y (13.2), ésta es tomada
en cuenta mediante el aumento de 𝛽𝑠 .
Para algunas regiones D, como por ejemplo las de una viga de gran altura, resulta factible proveer mallas
ortogonales de armadura próximas a las caras de la viga. En otros casos, tales como ménsulas o extremos
entallados, es más sencillo colocar la armadura en una sola dirección, horizontal en el caso de una
ménsula. La sección 23.5.3.1 de ACI permite armadura de confinamiento unidireccional que puede
utilizarse en ménsulas o casos similares. Si se la coloca en una sola capa, la armadura se coloca en una
dirección que forme un ángulo de al menos 40° respecto del eje del puntal.
En algunas estructuras tridimensionales, como por ejemplo los cabezales para más de dos pilotes, a
menudo no resulta posible colocar armadura de corte en el modelo de puntales y tensores. En estos casos
la sección 23.4.3 del código ACI requiere reducir la resistencia de los puntales utilizando para 𝛽𝑠 un valor
de 0.6 · 𝜆.
En una región D la mínima armadura de corte tiene dos funciones estructurales: resistir la tracción
transversal en las áreas en forma de botella próximas a los extremos del puntal una vez que se produce la
fisuración por compresión diametral, y proveer ductilidad a los puntales y zonas nodales mediante
confinamiento.
En la ecuación (13.4) la armadura mínima se da en términos de cantidades equivalentes perpendiculares
al eje del puntal. En el diseño esta limitación de la fisuración se logra disponiendo armadura de corte
mínima que satisfaga:
627
Diseño de estructuras de hormigón armado
∑ ρvi ∙ sen(𝛾𝑖 ) ≥ 0.003
(13.12)
Donde:
ρvi = Cuantía para la armadura de corte que forma un ángulo 𝛾𝑖 respecto del eje del puntal.
13.6. Estado límite de servicio
En el último párrafo de la sección R23.2.3 del código ACI, se menciona el estado límite de servicio. Si
bien los modelos de puntales y tensores son utilizados para determinar los diferentes estados límites en
regiones de discontinuidad, el calculista debe tener presente también los requerimientos de servicio. Las
deflexiones, para vigas de canto alto o elementos similares, pueden ser estimadas usando un análisis
elástico del modelo de puntales y tensores.
Las rigideces axiales para el modelo de puntales y tensores pueden ser modeladas como regiones fisuradas
(para la zona de los tensores) con rigideces axiales iguales a 𝐴𝑠 ∙ 𝐸𝑠 /ℓ𝑐𝑟 y regiones no fisuradas (para las
regiones de los puntales en compresión) con rigideces axiales iguales 𝐴𝑠 ∙ 𝐸𝑠 /ℓ𝑢𝑛𝑐𝑟 , donde ℓ𝑐𝑟 y ℓ𝑢𝑛𝑐𝑟
son las porciones de la longitud de puntal que se puede asumir poseen una rigidez de sección fisurada y la
fracción que posee rigidez de sección no fisurada, respectivamente. Esto permite modelar el alargamiento
del tensor de manera más sencilla.
Además, el ancho de las fisuras en la zona de los tensores puede ser verificado con lo dispuesto en el
numeral 9.3.4 del texto (sección 24.3.2 del código ACI) asumiendo que el tensor es envuelto por un
prisma de hormigón cuya área está en correspondencia con lo dispuesto en o el numeral 13.5.4 del
presente texto (sección R23.8.1 del código ACI).
13.7. Vigas de canto alto
La sección 9.9.1.1 del código ACI indica que vigas de canto alto son elementos cargados en una de sus
caras y soportados en la cara opuesta, de tal forma que puntales de compresión pueden desarrollarse entre
las cargas y las reacciones de los soportes; y además cumplen con cualquiera de las siguientes
condiciones:
a) Luz libre ℓ𝑛 igual o menor a cuatro veces la altura total del elemento.
b) Regiones cargadas con cargas concentradas dentro de dos veces la altura del elemento desde la
cara del soporte.
Las vigas de canto alto deben ser diseñadas ya sea tomando en cuenta la distribución no lineal de
deformaciones en toda la altura de su sección o utilizando los modelos de puntales y tensores descritos en
el capítulo 23 del código ACI. La posibilidad de pandeo lateral del elemento también debe ser considerada
para el diseño de vigas de canto alto.
628
Análisis y diseño de regiones con discontinuidad
La sección 9.9.2.1 del código ACI, indica que la resistencia al corte 𝑉𝑛 de las vigas de canto alto no debe
exceder el siguiente valor:
𝑉𝑛 ≤ 0.83 ∙ √𝑓𝑐´ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
(13.13)
El área del refuerzo de corte perpendicular a la luz, 𝐴𝑣 , y del refuerzo paralelo a la luz, 𝐴𝑣ℎ , no debe ser
menor a los siguientes valores:
𝐴𝑣 = 0.0025 · 𝑏𝑤 ∙ 𝑠1
𝑠1 ≤
𝑑
𝑜 300 [𝑚𝑚]
5
(13.14)
𝐴𝑣ℎ = 0.0025 · 𝑏𝑤 ∙ 𝑠2
𝑠2 ≤
𝑑
𝑜 300 [𝑚𝑚]
5
(13.15)
Donde:
𝐴𝑣 = Area del refuerzo de corte dispuesto perpendicular al refuerzo por flexión, dentro de la distancia 𝑠1.
𝐴𝑣ℎ = Area del refuerzo de corte dispuesto paralelo al refuerzo por flexión, dentro de la distancia 𝑠2.
𝑏𝑤 = Ancho del alma.
𝑑 = Distancia desde la fibra extrema más comprimida al centro de gravedad del refuerzo longitudinal por
flexión.
𝑠1 = Espaciamiento del refuerzo vertical.
𝑠2 = Espaciamiento del refuerzo horizontal.
Para satisfacer los requerimientos de refuerzo mínimo vertical y horizontal expresados por las ecuaciones
(13.14) y (13.15), se permite colocar el refuerzo indicado por la ecuación (13.4).
Las vigas de gran canto generalmente son utilizadas para soportar la carga de una o más columnas y
transmitirla lateralmente a otras columnas. Es común la utilización de este tipo de vigas cuando por alguna
razón se desea discontinuar las columnas de un piso a otro por razones arquitectónicas o de utilización de
espacio.
El diseño de una viga de canto alto utilizando los modelos de puntales y tensores involucra el bosquejo de
una cercha que transmite las cargas desde sus puntos de aplicación hasta los soportes. Una vez que se ha
hallado un modelo de cercha satisfactorio, los nodos y elementos de la cercha son detallados para que
éstos puedan resistir las fuerzas. Las dimensiones de la viga deben ser tales que la cercha quepa
adecuadamente considerando los recubrimientos apropiados.
Las vigas continuas de canto alto, son elementos en general muy rígidos y por tal razón son muy sensibles
a asentamientos diferenciales de sus apoyos o a posibles acortamientos diferenciales (fluencia) de sus
soportes. El primer paso en el diseño de estas vigas es estimar las reacciones y dibujar los diagramas de
envolventes de momentos y cortantes.
629
Diseño de estructuras de hormigón armado
Con base a la ecuación (13.13) y considerando que 𝑉𝑢 ≤ 𝜙 · 𝑉𝑐 se puede obtener una primera
aproximación de las dimensiones para la sección transversal de la viga de canto alto.
La parte más crítica del diseño de vigas de canto alto es la selección de la cercha más adecuada para
resistir las cargas. La dirección de los puntales de compresión en cada luz de corte debe estar en
concordancia con la dirección general de los esfuerzos principales de compresión en esa misma zona.
Cuando es posible la utilización de diferentes tipos de cerchas, la cercha más adecuada (óptima) será la
que requiere la menor cantidad de volumen de acero.
Una vez seleccionada la geometría de la cercha, se debe realizar la resolución de la misma para obtener los
esfuerzos en cada uno de los elementos que la componen. Algunas veces la cercha a resolver parecerá
indeterminada, pero puede ser resuelta asumiendo que los estribos fluyen y que las barras longitudinales
también fluyen en los puntos de máximo momento flector. Con esta suposición es posible hallar el valor
de las demás fuerzas en los elementos y proceder al dimensionamiento de los puntales de compresión.
Para determinar de una manera precisa el ancho de los puntales de compresión, es importante dibujar la
viga de canto alto y la cercha a escala. Una vez realizada esta operación se deberán recalcular las fuerzas
en los elementos y dimensionar nuevamente los puntales de compresión. Los nuevos anchos de los
puntales pueden hacer necesario dibujar la viga y la cercha nuevamente. Este proceso se repite hasta que
se converge a una solución satisfactoria, generalmente es necesario un par de ciclos. Después de que la
geometría y dimensiones de los puntales de compresión han sido determinadas, se selecciona el refuerzo
para los tensores.
Ejemplo. Diseñar la viga simplemente apoyada cargada con dos cargas vivas concentradas de servicio de
600 [𝑘𝑁] cada una en un tramo libre de 3.60 [𝑚], como se ilustra en la figura. La viga tiene un ancho de
350 [𝑚𝑚] y una altura total de 1.20 [𝑚]. La longitud de la placa de apoyo bajo cada una de las cargas
concentradas es de 400 [𝑚𝑚] y su ancho es el mismo de la viga, es decir 350 [𝑚𝑚]. Despreciar el peso
propio de la viga.
600 [𝑘𝑁]
600 [𝑘𝑁]
1200
1200
1200
350
400
630
3600
400
Análisis y diseño de regiones con discontinuidad
Datos:
𝑃𝐿 = 600 [𝑘𝑁]
𝑏 = 350 [𝑚𝑚]
𝑓𝑐′ = 28 [𝑀𝑃𝑎]
ℎ = 1200 [𝑚𝑚]
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
Las dimensiones de la sección están en [𝑚𝑚]
Parámetros del modelo de puntales y tensores
Resistencia a la compresión del hormigón
𝑓𝑐𝑒 = 0.85 ∙ 𝛽𝑠 ∙ 𝑓𝑐′ ≤ 0.85 ∙ 𝛽𝑛 ∙ 𝑓𝑐′
Puntales
Tipo
Cordón no figurado (prismático)
Puntal inclinado
botella)
(en
forma
de
𝜷𝒔
𝒇𝒄𝒆 [𝑴𝑷𝒂]
1.0
23.80
0.75
17.85
Zonas Nodales
Tipo
𝜷𝒏
𝒇𝒄𝒆 [𝑴𝑷𝒂]
Nudo 𝐶 − 𝐶 − 𝐶
1.0
23.80
Nudo 𝐶 − 𝐶 − 𝑇
0.8
19.04
Nudo 𝐶 − 𝑇 − 𝑇
0.6
14.28
Diseño a flexión
Para desarrollar el modelo de puntales y tensores es conveniente conocer la profundidad del bloque de
compresión y por ello se realiza un prediseño con la teoría de flexión. Para el cálculo del canto útil de la
sección 𝑑, se va a suponer que se disponen dos capas de barras de diámetro 25 [𝑚𝑚] para el momento
positivo.
a) Calcular 𝑀𝑢 .
𝑃𝑢 = 1.6 ∙ 600 = 960 [𝑘𝑁]
1400
960 [𝑘𝑁]
960 [𝑘𝑁]
1200
960 [𝑘𝑁]
1400
960 [𝑘𝑁]
631
Diseño de estructuras de hormigón armado
960
𝑉𝑢 [𝑘𝑁]
960
𝑀𝑢 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
1344
b) Calcular 𝑑.
𝑑 = 1200 − 40 − 10 − 25 − 25/2 = 1113 [𝑚𝑚]
c) Calcular 𝐴𝑠 .
𝜙 ⋅ 𝑓𝑦 2
⋅ 𝐴 2 − 𝜙 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ 𝑑 ⋅ 𝐴𝑠 + 𝑀𝑢 = 0
1.7 ∙ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏 𝑠
9.5294 · 𝐴𝑠 2 − 420714 · 𝐴𝑆 + 1344000000 = 0
Dos soluciones: 𝐴𝑠 = 40682 [𝑚𝑚2 ] = 406.82 [𝑐𝑚2 ]
Solución físicamente incorrecta
𝐴𝑠 = 3467 [𝑚𝑚2 ] = 34.67 [𝑐𝑚2 ]
Si se utilizaran 8𝜙25 con 𝐴𝑠 = 39.27 [𝑐𝑚2 ]
Se verifica que los 8𝜙25 entran en dos filas en el ancho de la viga
𝑎=
𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦
3927 ⋅ 420
=
= 198 [𝑚𝑚]
′
0.85 ⋅ 𝑓𝑐 ⋅ 𝑏 0.85 ⋅ 28 ⋅ 350
𝑑𝑡 = 1200– 40– 10– 25/2 = 1138 [𝑚𝑚]
1 = 1.05 − 0.007 · 𝑓𝑐′ = 1.05 − 0.007 · 28 = 0.854 > 0.85 ⇒ 1 = 0.85
𝑎𝑏
600
600
= 𝛽1 ∙
= 0.85 ⋅
= 0.5
𝑑
600 + 𝑓𝑦
600 + 420
632
Análisis y diseño de regiones con discontinuidad
𝑎
𝑎𝑏
= 0.178 ≤
= 0.500 ⇒ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦
𝑑
𝑑
𝑎
𝑎𝑡𝑐
= 0.174 ≤
= 0.319 ⇒ 𝜙 = 0.9
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑐=
𝑎
175
=
= 206 [𝑚𝑚]
𝛽1 0.85
d) Calcular el momento nominal 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 .
𝑎
198
𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 𝜙 ∙ 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ∙ (𝑑 − ) = 0.9 ∙ 3927 ∙ 420 ∙ (1113 −
)
2
2
𝜙 · 𝑀𝑛 = 1505187684 [𝑁 · 𝑚𝑚] = 1505.18 [𝑘𝑁 · 𝑚] ≥ 𝑀𝑢 = 1344 [𝑘𝑁 · 𝑚]
Modelo de puntales y tensores
a) Idealización del modelo.
960 [𝑘𝑁]
960 [𝑘𝑁]
1200
1200
125
985
54.6°
90
400
500
700
1200
700
700
200
De acuerdo al diseño por flexión, la profundidad del eje neutro 𝑐 es de 206 [𝑚𝑚], entonces para el
modelo de puntales y tensores se prueba con un puntal horizontal de un ancho de 250 [𝑚𝑚] y por tanto su
eje está a 125 [𝑚𝑚] de la fibra superior de la viga. El tensor, desde la fibra inferior de la viga, se acomoda
a 90 [𝑚𝑚].
633
Diseño de estructuras de hormigón armado
b) Resolución de la cercha idealizada.
960 [𝑘𝑁]
960 [𝑘𝑁]
7
2
−682
−1178
1
960
4
−1364
−1178
682
−682
5
−1178
960
1364
−1178
682
3
8
6
960
960
c) Verificación de la resistencia de los puntales y zonas nodales.
Geometría del nodo 2
350
400
400
250
180
578
400
Geometría del nodo 3
La verificación de las resistencias de los puntales y zonas nodales se debería realizar comparando el área
de puntal o zona nodal disponible con el área requerida. En este ejemplo, debido a que el ancho de la viga
y el ancho de las placas de apoyo y apoyos son iguales, es decir 350 [𝑚𝑚], la verificación se hará
comparando el ancho de puntal o zona nodal disponible 𝑤𝑑𝑖𝑠𝑝 con el requerido 𝑤𝑟𝑒𝑞 . Por lo tanto, para los
puntales y nodos, 𝑤𝑟𝑒𝑞 se calculará usando la siguiente ecuación:
𝑤𝑟𝑒𝑞 =
634
𝐹𝑢
𝜙 ∙ 𝑓𝑐𝑒 ∙ 𝑏
Análisis y diseño de regiones con discontinuidad
Nodo 1.
430
𝑧
𝑤𝑡 = 180
𝑧′
𝜃
ℓ𝑏 = 400
𝑧 = √4002 + 1802 = 439 [𝑚𝑚]
𝑧 ′ = ℓ𝑏 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑤𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 400 ∙ 𝑠𝑒𝑛(54.6°) + 180 ∙ 𝑐𝑜𝑠(54.6°) = 430 [𝑚𝑚]
Por lo tanto para puntal 1 − 2
𝑤𝑑𝑖𝑠𝑝 = 430 [𝑚𝑚]
Nodo 𝟐.
350
250
𝑧 ′ = 430
Para el puntal 2 − 4, 𝑤𝑑𝑖𝑠𝑝 = 250 [𝑚𝑚] (del diseño a flexión)
𝑧 ′ = 430 [𝑚𝑚]
Por lo tanto, el ancho de la zona nodal es √4302 − 2502 = 350 [𝑚𝑚]
635
Diseño de estructuras de hormigón armado
Nodo 𝟒.
ℓ𝑏 = 400
𝑧′
𝑤𝑡 = 250
𝑧
𝜃
471
𝑧 = √4002 + 2502 = 472 [𝑚𝑚]
𝑧 ′ = ℓ𝑏 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑤𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 400 ∙ 𝑠𝑒𝑛(54.6°) + 250 ∙ 𝑐𝑜𝑠(54.6°) = 471 [𝑚𝑚]
Por lo tanto para puntal 3 − 4
𝑤𝑑𝑖𝑠𝑝 = 471 [𝑚𝑚]
Nodo 𝟑.
471
𝜃
180
𝜃
578
Por lo tanto, el ancho de la zona nodal es:
471
= 578 [𝑚𝑚]
sen(54.6°)
636
Análisis y diseño de regiones con discontinuidad
𝜽
𝑭𝒖
𝒘𝒓𝒆𝒒
𝒘𝒅𝒊𝒔𝒑
Verifica
[°]
[𝒌𝑵]
[𝒎𝒎]
[𝒎𝒎]
Si/No
0.75
54.6
−1178
251
430
Si
2– 4
1.00
0
−682
109
250
Si
4– 5
1.00
0
−1364
218
250
Si
3– 4
0.75
54.6
−1178
251
471
Si
Elemento
𝜷𝒔
1– 2
Nota:
𝑤𝑟𝑒𝑞 =
𝐹𝑢
𝐹𝑢
=
𝜙 ∙ 𝑓𝑐𝑒 ∙ 𝑏 𝜙 ∙ 0.85 ∙ 𝛽𝑠 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑏
Nodo
Tipo
𝜷𝒏
1
𝐶−𝐶−𝑇
0.8
2
3
4
Nota:
𝑤𝑟𝑒𝑞 =
Solución
propuesta
𝐶−𝐶−𝑇
𝐶−𝑇−𝑇−𝑇
𝐶−𝐶−𝐶−𝐶
0.8
0.6
1.0
Fuerza
𝑭𝒖
𝒘𝒓𝒆𝒒
𝒘𝒅𝒊𝒔𝒑
Verifica
[°]
[𝒌𝑵]
[𝒎𝒎]
[𝒎𝒎]
Si/No
𝑅
−960
192
400
Si
𝐵(1 − 2)
−1178
236
430
Si
𝑇(1 − 3)
682
136
180
Si
𝐵(2 − 1)
−1178
236
430
Si
𝐵(2 − 4)
−682
136
250
Si
𝑇(2 − 3)
960
192
1400
Si
𝐵(3 − 4)
−1178
314
471
Si
𝑇(3 − 2)
960
256
1400
Si
𝑇(3 − 1)
682
182
180
Si
𝑇(3 − 6)
1364
364
180
No
𝑉
−960
154
400
Si
𝐵(4 − 2)
−682
109
250
Si
𝐵(4 − 3)
−1178
189
471
Si
𝐵(4 − 5)
−1364
218
250
Si
Solución
propuesta
Distribuir
la armadura
𝐹𝑢
𝐹𝑢
=
𝜙 ∙ 𝑓𝑐𝑒 ∙ 𝑏 𝜙 ∙ 0.85 ∙ 𝛽𝑛 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑏
d) Verificación de la resistencia de apoyo en los puntos de carga y reacción.
𝑅 = 𝑉 = 960 [𝑘𝑁]
Como la placa de carga es de 400𝑥350 [𝑚𝑚2 ]
637
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝐴𝑎 = 140000 [𝑚𝑚2 ]
La tensión de compresión es:
𝜎𝑎 =
𝑉
960000
=
= 6.86 [𝑀𝑃𝑎]
𝐴𝑎 140000
Para el nodo 4 (𝐶 − 𝐶 − 𝐶)
𝜙 ∙ 𝑓𝑐𝑒 = 𝜙 ∙ 0.85 ∙ 𝛽𝑛 ∙ 𝑓𝑐′ = 0.75 ∙ 0.85 ∙ 1 ∙ 28 = 17.85 [𝑀𝑃𝑎] > 6.86 [𝑀𝑃𝑎]
Bien !
Para el nodo 1 (𝐶 − 𝐶 − 𝑇)
𝜙 ∙ 𝑓𝑐𝑒 = 𝜙 ∙ 0.85 ∙ 𝛽𝑛 ∙ 𝑓𝑐′ = 0.75 ∙ 0.85 ∙ 0.8 ∙ 28 = 14.28 [𝑀𝑃𝑎] > 6.86 [𝑀𝑃𝑎]
Bien !
e) Armadura requerida en los tensores.
𝑨𝒔 𝒅𝒊𝒔𝒑
Verifica
[𝒄𝒎𝟐 ]
Solución
propuesta
[𝒄𝒎𝟐 ]
Si/No
960
30.48
8 𝐸𝜙16
32.16
Si
0
682
21.65
6𝜙25
29.45
Si
0
1364
43.30
9𝜙25
44.18
Si
𝜽
𝑭𝒖
𝑨𝒔 𝒓𝒆𝒒
[°]
[𝒌𝑵]
−−−
90
1 –3
−−−
3 –6
−−−
Elemento
𝜷𝒔
2 –3
𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞 =
𝐹𝑢
𝜙 ∙ 𝑓𝑦
Tensor 𝟏– 𝟑.
𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞 = 21.65 [𝑐𝑚2 ]
Utilizar 6𝜙25 (𝐴𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑝 = 29.45 [𝑐𝑚2 ]) en dos filas
Es necesario anclar las barras mediante ganchos, barras con cabeza, anclajes mecánicos o prolongación
recta de las barras.
ℓ𝑑ℎ = (
0.24 ∙ 𝑓𝑦 ∙ Ψ𝑒 ∙ Ψ𝑐 ∙ Ψ𝑟
Ψ𝑒 = 1
Ψ𝑐 = 0.7
Ψ𝑟 = 1
638
𝜆 ∙ √𝑓𝑐′
) ∙ 𝑑𝑏 ≥ 8 ∙ 𝑑𝑏 ≥ 150 [𝑚𝑚]
Las barras no tienen revestimiento epóxico.
El recubrimiento de los ganchos cumple con la sección 25.4.3.2 del código ACI.
El confinamiento no cumple con la sección 25.4.3.2 del código ACI.
(7.17)
Análisis y diseño de regiones con discontinuidad
El hormigón es de peso unitario normal.
𝜆=1
ℓ𝑑ℎ = (
0.24 ∙ 420 ∙ 1 ∙ 0.7 ∙ 1
1 ∙ √28
) ∙ 𝑑𝑏 = 13.33 ∙ 𝑑𝑏
ℓ𝑑ℎ = 13.33 ∙ 25 = 333 [𝑚𝑚]
El anclaje disponible es:
ℓ𝑑ℎ 𝑑𝑖𝑠𝑝 = Longitud de la zona nodal extendida - recubrimiento - diámetro de la armadura horizontal de
corte
90
ℓ𝑑ℎ 𝑑𝑖𝑠𝑝 = 400 + 𝑡𝑎𝑛(54.6°) – 40 – 16 = 408 [𝑚𝑚] > ℓ𝑑ℎ = 333 [𝑚𝑚]
Bien !
430
𝜃
180
90
400
90/𝑡𝑎𝑛(𝜃)
Tensor 𝟑– 𝟔.
𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞 = 43.30 [𝑐𝑚2 ]
Utilizar 6𝜙25 + 3𝜙25 (𝐴𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑝 = 44.18 [𝑐𝑚2 ]) en dos filas
Es conveniente distribuir la armadura uniformemente en un área de hormigón al menos igual a la fuerza de
tracción en el tensor dividida por la tensión de compresión limitante aplicable para el nodo. En este
ejemplo,
𝐴=
𝐹𝑢
𝐹𝑢
1364000
=
= 95518 [𝑚𝑚2 ]
′ =
𝑓𝑐𝑒 0.85 ∙ 𝛽𝑛 ∙ 𝑓𝑐 0.85 ∙ 0.6 ∙ 28
𝑤=
𝐴 95518
=
= 273 [𝑚𝑚]
𝑏
350
639
Diseño de estructuras de hormigón armado
Por lo tanto, se distribuye la armadura verticalmente en una altura de 273 [𝑚𝑚]. Para anclar las restantes
3𝜙25 se verificará una longitud de desarrollo recta.
Para el caso de barras con 𝑑𝑏 > 20 [𝑚𝑚], con espaciamiento libre entre ellas no menor a 2 · 𝑑𝑏 y
recubrimiento mínimo no menor a 𝑑𝑏 .
ℓ𝑑 = (
𝑓𝑦 ∙ Ψ𝑡 ∙ Ψ𝑒
1.7 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′
420 ∙ 1 ∙ 1
) ∙ 25 = 1167 [𝑚𝑚]
) ∙ 𝑑𝑏 = (
1.7 ∙ 1 ∙ √28
Se asumió que:
Ψ𝑡 = 1 (No es vaciado más de 300 [𝑚𝑚] de hormigón fresco por debajo de las barras).
Ψ𝑒 = 1 (Las barras no tienen protección epóxica).
𝜆 = 1 (Se utiliza hormigón de densidad normal).
El anclaje disponible es:
430
471
𝜃
𝜃
180
𝜃
400
150
90
578
90/𝑡𝑎𝑛(𝜃)
ℓ𝑑ℎ 𝑑𝑖𝑠𝑝 = Distancia desde la sección crítica al borde de la viga – recubrimiento – diámetro de la
armadura horizontal de corte
90
ℓ𝑑ℎ 𝑑𝑖𝑠𝑝 = 550 + 578 + 𝑡𝑎𝑛(54.6°) – 40 – 16 = 1136 [𝑚𝑚] < ℓ𝑑 = 1167 [𝑚𝑚]
No cumple !
Se debe utilizar barras de menor diámetro para que éstas puedan ser desarrolladas de forma recta.
𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞 = 43.30 [𝑐𝑚2 ]
Utilizar 6𝜙25 + 6𝜙20 (𝐴𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑝 = 48.30 [𝑐𝑚2 ]) en dos capas.
Por lo tanto, se distribuye la armadura verticalmente en una altura de 273 [𝑚𝑚]. Para anclar las restantes
6𝜙20 se verificará una longitud de desarrollo recta.
640
Análisis y diseño de regiones con discontinuidad
Para el caso de barras con 𝑑𝑏 ≤ 20 [𝑚𝑚], con espaciamiento libre entre ellas no menor a 2 · 𝑑𝑏 y
recubrimiento mínimo no menor a 𝑑𝑏 .
ℓ𝑑 = (
𝑓𝑦 ∙ Ψ𝑡 ∙ Ψ𝑒
2.1 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′
420 ∙ 1 ∙ 1
) ∙ 20 = 756 [𝑚𝑚]
) ∙ 𝑑𝑏 = (
2.1 ∙ 1 ∙ √28
90
ℓ𝑑ℎ 𝑑𝑖𝑠𝑝 = 550 + 578 + 𝑡𝑎𝑛(54.6°) – 40 – 16 = 1136 [𝑚𝑚] > ℓ𝑑 = 756 [𝑚𝑚]
Bien !
Por lo tanto, colocar las 6𝜙25 en dos filas, la primera de 4𝜙25 y la segunda de 2𝜙25 con una separación
(vertical) de 50 [𝑚𝑚] terminadas con gancho de 90°. Las 6𝜙20 colocarlas en las caras de la viga con una
separación (vertical) de 25 [𝑚𝑚] y extendidas en la totalidad de la longitud de la viga.
Tensor 𝟐– 𝟑.
𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞 = 30.48 [𝑐𝑚2 ]
Utilizar 8𝐸𝜙16 (𝐴𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑝 = 32.16 [𝑐𝑚2 ])
Para el caso de vigas de gran canto el código ACI en su sección 9.9.3.1 indica que el área de refuerzo por
corte perpendicular a la luz, 𝐴𝑣 no debe ser menor a 0.0025 · 𝑏𝑤 · 𝑠1 , donde 𝑠1 es espaciamiento del
refuerzo vertical que no debe exceder 𝑑/5 o 300 [𝑚𝑚].
𝑠1 ≤
1113
= 223 [𝑚𝑚] < 300 [𝑚𝑚]
5
𝐴𝑣 𝑚𝑖𝑛
= 0.0025
𝑏𝑤 ∙ 𝑠1
Se utilizarán ocho estribos cerrados 𝜙16 𝑐/100, para que los mismos queden dentro del ancho del tensor.
𝐴𝑣
2∙201
=
= 0.01149 ≥ 𝐴𝑣 𝑚𝑖𝑛 = 0.0025
𝑏𝑤 ∙𝑠1
350∙100
Bien !
Para el resto de la viga se utilizarán estribos cerrados 𝜙16 𝑐/200.
𝐴𝑣
2 ∙ 201
=
= 0.0057 ≥ 𝐴𝑣 𝑚𝑖𝑛 = 0.0025
𝑏𝑤 ∙ 𝑠1
350 ∙ 200
Bien !
641
Diseño de estructuras de hormigón armado
f) Armadura para los puntales en forma de botella.
Puntales 𝟏– 𝟐 y 𝟑– 𝟒 en forma de botella.
La sección 23.5.1 del código ACI especifica que los puntales deben ser cruzados por capas o mallas de
armadura paralelas al plano del elemento. Además, debido a que el ancho del alma es mayor a 200 [𝑚𝑚],
es conveniente colocar una capa o malla de armadura próxima a cada cara.
∑
𝐴𝑠𝑖
⋅ sen(𝛾𝑖 ) ≥ 0.003
𝑏𝑠 ∙ 𝑠𝑖
Si solo se coloca armadura horizontal en ambas caras del elemento con 𝛾2 = 54.6°
2 ∙ 𝐴𝑠2
0.003
≥
350 ∙ 𝑠2 sen(54.6°)
𝐴𝑠2 ≥ 0.644 ∙ 𝑠2
Para el caso de vigas de gran canto el código ACI en su sección 9.9.3.1 indica que el área de refuerzo por
corte paralelo a la luz, 𝐴𝑠2 no debe ser menor a 0.0025 · 𝑏𝑤 · 𝑠2, donde 𝑠2 es el espaciamiento del
refuerzo horizontal que no debe exceder 𝑑/5 o 300 [𝑚𝑚].
𝑠2 ≤
1113
= 223 [𝑚𝑚] ≤ 300 [𝑚𝑚]
5
𝐴𝑣ℎ 𝑚𝑖𝑛
= 0.0025
𝑏𝑤 ∙ 𝑠2
Para 𝑠2 = 200 [𝑚𝑚] ⇒ 𝐴𝑠2 = 175 [𝑚𝑚2 ] ⟹ 𝜙16 𝑐/200 (𝐴𝑠2 = 2.01 [𝑐𝑚2 ])
𝐴𝑣ℎ
2 ∙ 201
= 350 ∙ 200 = 0.0057 ≥ 𝐴𝑣ℎ 𝑚𝑖𝑛 = 0.0025
𝑏𝑤 ∙ 𝑠2
Bien !
Para 𝑠2 = 175 [𝑚𝑚] ⇒ 𝐴𝑠2 = 153 [𝑚𝑚2 ] ⟹ 𝜙12 𝑐/175 (𝐴𝑠2 = 1.13 [𝑐𝑚2 ])
𝐴𝑣ℎ
2 ∙ 113
=
= 0.0037 ≥ 𝐴𝑣ℎ 𝑚𝑖𝑛 = 0.0025
𝑏𝑤 ∙ 𝑠2
350 ∙ 175
Bien !
Cualquiera de las dos opciones cumple con el requerimiento mínimo de armadura. Se escoge como
separación 175 [𝑚𝑚], entonces se utiliza 𝜙12 𝑐/175.
642
Análisis y diseño de regiones con discontinuidad
g) Disposición de la armadura.
10𝜙12𝑐/175
125
300
6𝜙25
6𝜙20
350
100
200
3𝐸𝜙16𝑐/200
200
8𝐸𝜙16𝑐/100
200
7𝐸𝜙16𝑐/200
200
8𝐸𝜙16𝑐/100
100
3𝐸𝜙16𝑐/200
h) Modelo opcional.
El modelo de puntales y tensores resuelto es uno entre varios modelos que se podrían haber seleccionado.
En el modelo supuesto se consideró que la transferencia de cargas se lograba mediante la formación de un
reticulado compuesto por dos puntales inclinadas próximas a cada apoyo. Este modelo se seleccionó por
su sencillez y porque gracias al tensor vertical 2– 3 se obtienen estribos a lo largo de la longitud de corte,
lo cual es muy importante desde el punto de vista de seguridad.
Opcionalmente se podría haber seleccionado otro modelo de puntales y tensores. En la siguiente figura se
muestra un modelo de puntales y tensores donde se considera que en cada extremo de la viga la carga es
transferida al apoyo por medio de un solo puntal inclinado. Este modelo no requiere estribos verticales a
lo largo de la longitud de corte (es decir, entre la placa de carga y el apoyo de la viga) para mantener el
equilibrio. En ausencia de estribos verticales en la región de corte es muy probable esperar grandes fisuras
con cargas muy por debajo de la carga última y, por lo tanto, no se recomienda utilizar este modelo para el
diseño. Sin embargo, se podría argumentar a favor de un modelo similar a este, siempre que se disponga
armadura vertical mínima de estribos.
643
Diseño de estructuras de hormigón armado
960 [𝑘𝑁]
960 [𝑘𝑁]
1200
1200
125
985
35.13°
90
400
i)
1200
3600
1400
200
Conclusiones.
El análisis y diseño del modelo de puntales y tensores seleccionado resultó relativamente rápido y
sencillo. La utilización de puntales y tensores proporciona un método que permite comprender y evaluar el
flujo de fuerzas y los mecanismos resistentes. Además, éste método constituye una valiosa herramienta
para lograr una buena disposición y colocado de la armadura en los elementos de hormigón armado.
13.8. Ménsulas cortas
Una ménsula corta es un elemento que se proyecta, en voladizo, una distancia pequeña desde una columna
o muro y soporta en su extremo una carga o varias cargas. Las ménsulas cortas son generalmente
construidas en forma monolítica con la columna o muro de donde se proyectan.
En ensayos de laboratorio, las ménsulas cortas mostraron los siguientes tipos de fallas: fluencia del tensor
en tracción, falla del anclaje del tensor en tracción ya sea dentro de la columna o en el punto de aplicación
de la carga, falla del puntal de compresión por aplastamiento o corte y fallas locales debajo de las placas
de apoyo. Si el tensor de la ménsula es anclado en el extremo libre utilizando un gancho hacia abajo, el
hormigón que recubre el gancho puede desprenderse produciendo la falla, es por ello que se recomienda
soldar el extremo del tensor a una barra o perfil de acero. El doblado de las barras del tensor en un gancho
horizontal de 180° es también posible, pero es difícil de realizar y puede ser necesario un recubrimiento
adicional. Si el borde exterior vertical de la ménsula no es muy profundo, existe la posibilidad de que una
fisura vertical pueda extenderse en toda la profundidad. Por esta razón la sección 16.5.2.2 del código
requiere que la profundidad del borde externo de la ménsula no sea menor a 0.5 ∙ 𝑑.
644
Análisis y diseño de regiones con discontinuidad
a) Falla por desprendimiento del borde exterior de la ménsula
≥ 𝑑/2
𝑑
b) Falla por agrietamiento en toda la profundidad de la ménsula
Fig. 13.12. Falla de ménsulas cortas debido a malos detalles constructivos
645
Diseño de estructuras de hormigón armado
Las ménsulas cortas con una relación de luz de corte entre canto útil menor a 2 (𝑎/𝑑 < 2) pueden ser
diseñadas con el capítulo 23 del código ACI.
𝑉𝑢
𝑎
𝑁𝑢𝑐
ℎ
𝜙 ∙ 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦
Plano de corte
𝑑
Puntal de
compresión
Fig. 13.13. Acción estructural de una ménsula corta
La sección en la cara del soporte debe ser diseñada para resistir simultáneamente un corte 𝑉𝑢 , un momento
𝑉𝑢 ∙ 𝑎 + 𝑁𝑢𝑐 ∙ (ℎ − 𝑑) y una fuerza horizontal de tracción 𝑁𝑢𝑐 .
Ejemplo. Diseñar una ménsula que se proyecta a partir de una columna cuadrada de 350 [𝑚𝑚] de lado
usando el método de puntales y tensores. La ménsula soporta la fuerza de reacción 𝑉𝑢 , de una viga
premoldeada igual a 250 [𝑘𝑁] actuando a una distancia de 75 [𝑚𝑚] de la cara de la columna. Asumir que
en la parte superior de la ménsula se desarrolla una fuerza de tracción horizontal 𝑁𝑢𝑐 , igual a 50 [𝑘𝑁], la
cual toma en cuenta las deformaciones por fluencia lenta y retracción. Considerar un hormigón de peso
normal con una resistencia característica a la compresión 𝑓𝑐′ , igual a 35 [𝑀𝑃𝑎]. La resistencia a la fluencia
del acero 𝑓𝑦 , es igual a 420 [𝑀𝑃𝑎].
646
Análisis y diseño de regiones con discontinuidad
𝑉𝑢 = 250 [𝑘𝑁]
𝑁𝑢𝑐 = 50 [𝑘𝑁]
75
𝑎𝑣
𝑏 = 350
350
𝐴
350
𝐴
Sección A - A
La totalidad de la estructura considerada constituye una región perturbada debido a que presenta cambios
abruptos en su geometría y está próxima a fuerzas concentradas. La estructura se diseñará usando el
método de puntales y tensores de acuerdo con el capítulo 23 del código ACI. El procedimiento paso a paso
es el siguiente:
- Determinar las dimensiones de la placa de apoyo.
- Seleccionar las dimensiones de la ménsula.
- Establecer el modelo de puntales y tensores.
- Determinar las fuerzas requeridas en el reticulado.
- Seleccionar la armadura de los tensores.
- Diseñar las zonas nodales y verificar los anclajes.
- Verificar los puntales.
- Calcular la armadura mínima requerida para limitar la fisuración.
- Disposición de la armadura.
a) Determinar las dimensiones de la placa de apoyo.
La zona nodal debajo de la placa de apoyo constituye un nodo solicitado por compresión y tracción
(𝐶 − 𝐶 − 𝑇). La correspondiente resistencia efectiva a la compresión es:
𝑓𝑐𝑒 = 0.85 ∙ 𝛽𝑛 ∙ 𝑓𝑐′ = 0.85 ∙ 0.80 ∙ 35 = 23.8 [𝑀𝑃𝑎]
𝜙 ∙ 𝑓𝑐𝑒 = 0.75 ∙ 23.8 = 17.85 [𝑀𝑃𝑎]
647
Diseño de estructuras de hormigón armado
Si se selecciona una placa de apoyo de 300 [𝑚𝑚] de largo por 100 [𝑚𝑚] de ancho, la superficie de la
placa de apoyo es 30000 [𝑚𝑚2 ], y la tensión de apoyo vale:
𝜎𝑎 =
𝑉
250000
=
= 8.33 [𝑀𝑃𝑎]
𝐴𝑎
30000
Bien !
𝜙 ∙ 𝑓𝑐𝑒 = 17.85 [𝑀𝑃𝑎] > 8.33 [𝑀𝑃𝑎]
b) Seleccionar las dimensiones de la ménsula.
Para poder utilizar el capítulo 23 del código ACI, la sección 16.5.1.1 requiere una relación longitud de
corte/profundidad (𝑎𝑣 /𝑑) menor o igual a 1. Para la ménsula seleccionamos una profundidad total en la
cara de la columna igual a 450 [𝑚𝑚]. Además, la sección 16.5.2.2 del código ACI requiere que la
profundidad en la parte exterior de esta área de apoyo sea al menos la mitad de la profundidad en la cara
de la columna. Para satisfacer este requisito seleccionamos una profundidad de 225 [𝑚𝑚] en el extremo
libre de la ménsula.
En la siguiente figura se muestran las dimensiones seleccionadas para la ménsula, incluyendo su placa de
apoyo. La relación 𝑎𝑣 /𝑑 correspondiente es igual a 75/410 = 0.18, considerando que el eje del tensor
superior está a 40 [𝑚𝑚] de la superficie de la ménsula.
50 100
225
25
Placa de apoyo de
100 𝑥 300 [𝑚𝑚2 ]
225
225
648
350
Análisis y diseño de regiones con discontinuidad
c) Establecer el modelo de puntales y tensores.
A fin de satisfacer los requisitos del código se seleccionó el modelo de puntales y tensores sencillo
ilustrado en la siguiente figura. La armadura principal del tensor consistirá en barras 𝜙12 dispuestas en
una sola fila. Estas barras estarán soldadas a un perfil de acero estructural de 3½”𝑥3½”𝑥½”. Con el objeto
de considerar las excentricidades de las cargas y las tolerancias de fabricación, la posición de 𝑉𝑢 se
traslada 25 [𝑚𝑚], desde el centro de la placa de apoyo hacia el borde exterior de la ménsula. Por lo tanto,
la nueva posición de la carga con respecto de la cara de la columna es 25 + 0.5 ∙ 100 + 25 = 100 [𝑚𝑚].
Seleccionamos un modelo de puntales y tensores sencillo. En la siguiente figura se indica su geometría. Se
asume que el centro del tensor 𝐶 − 𝐵 está ubicado a una distancia de 40 [𝑚𝑚] a partir de la parte superior
de la ménsula, considerando una fila de barras de acero y aproximadamente 25 [𝑚𝑚] de recubrimiento de
hormigón. Por lo tanto, el canto útil 𝑑 vale 450– 40 = 410 [𝑚𝑚].
Se asume que el tensor horizontal 𝐷 − 𝐴 está ubicado sobre la recta horizontal que atraviesa el extremo
inclinado de la ménsula.
La posición del eje del puntal 𝐷 − 𝐷 ′ se puede hallar calculando el ancho del puntal 𝑤𝑠 , el cual se puede
obtener planteando la ecuación de momentos respecto del nodo 𝐴 de la siguiente manera:
250000 ∙ (8 + 100 + 300) + 50000 ∙ 410 = 𝐹𝐷𝐷′ ∙ (300 −
122500000 = 𝐹𝐷𝐷′ ∙ (300 −
𝑤𝑠
)
2
𝑤𝑠
)
2
𝐹𝐷𝐷′ = 𝜙 ∙ 𝑓𝑐𝑒 ∙ 𝑏 ∙ 𝑤𝑠 = 17.85 ∙ 350 ∙ 𝑤𝑠 = 6247.5 ∙ 𝑤𝑠
𝐹𝐷𝐷′ = Fuerza de compresión requerida en el puntal 𝐷 − 𝐷 ′
𝑏 = Dimensión fuera del plano de la ménsula
𝜙 = 0.75
𝛽𝑛 = 0.80 (El nudo 𝐷 en un nudo 𝐶 − 𝐶 − 𝐶 − 𝑇)
𝑓𝑐𝑒 = 0.85 ∙ 𝛽𝑛 ∙ 𝑓𝑐′ = 0.85 ∙ 0.80 ∙ 35 = 23.8 [𝑀𝑃𝑎]
𝜙 ∙ 𝑓𝑐𝑒 = 0.75 ∙ 23.8 = 17.85 [𝑀𝑃𝑎]
122500000 = 6247.5 ∙ 𝑤𝑠 ∙ (300 −
𝑤𝑠
)
2
𝑤𝑠 2 − 600 ∙ 𝑤𝑠 + 39215.68 = 0
649
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑤𝑠 = 75 [𝑚𝑚]
𝐹𝐷𝐷′ = 468563 [𝑁] = 468.56 [𝑘𝑁]
Posición de la
resultante
250 [𝑘𝑁]
8
𝛼
𝛼 = 11.31°
100
50 [𝑘𝑁]
40
𝐶
𝐵
𝑑 = 410
57.37°
70.46°
𝐷
𝐴
𝐷′
𝐴′
300
50
𝜙 ∙ 𝑓𝑐𝑒
75
d) Determinar las fuerzas requeridas en el reticulado.
Las fuerzas requeridas en todos los miembros del reticulado se determinan en base a consideraciones
estáticas; estas fuerzas se resumen en la siguiente tabla. Un signo positivo indica que el miembro está
traccionado y un signo negativo indica que el miembro está comprimido.
650
Elemento
𝑪−𝑫
𝑪−𝑩
𝑩−𝑫
𝑩−𝑨
𝑫−𝑨
𝑫 − 𝑫′
Fuerza [𝑘𝑁]
−265.28
138.72
−257.28
216.67
50.00
−468.56
Análisis y diseño de regiones con discontinuidad
e) Seleccionar la armadura de los tensores.
Tensor 𝑪 − 𝑩.
𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞 =
𝐹𝑢
138720
=
= 440 [𝑚𝑚2 ]
𝜙 ∙ 𝑓𝑦 0.75 ∙ 420
𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞 = 4.40 [𝑐𝑚2 ]
Según la sección 16.5.5.1(c) del código ACI, es necesario colocar una mínima cantidad de acero de
tracción en la ménsula para prevenir la posibilidad de una falla repentina si aparece una fisura debido a las
cargas que actúan sobre ella.
𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 = 0.04 ∙
𝑓`𝑐′
35
∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 = 0.04 ∙
∙ 350 ∙ 410 = 478 [𝑚𝑚2 ]
𝑓𝑦
420
𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 = 4.78 [𝑐𝑚2 ]
Utilizar 5𝜙12 (𝐴𝑠𝑐 = 𝐴 𝑑𝑖𝑠𝑝 = 5.65 [𝑐𝑚2 ]) en una sola fila
El tensor 𝐵 − 𝐴 está más traccionado que el tensor 𝐶 − 𝐵. Sin embargo, esta fuerza del tensor debe ser
resistida por la armadura longitudinal de la columna. Por lo tanto, todas las barras (5𝜙12) son
prolongadas hacia abajo en la columna sólo para tener suficiente longitud de desarrollo.
Tensor 𝑫 − 𝑨.
𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞 =
50000
𝐹𝑢
=
= 159 [𝑚𝑚2 ]
𝜙 ∙ 𝑓𝑦 0.75 ∙ 420
𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞 = 1.59 [𝑐𝑚2 ]
Utilizar 1𝐸𝜙12 (𝐴𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑝 = 2.26 [𝑐𝑚2 ]) adicional a los estribos de la columna en la posición 𝐷 − 𝐴.
f) Diseñar las zonas nodales y verificar los anclajes.
El ancho 𝑤𝑠 de la zona nodal 𝐷 ya fue seleccionado en el inciso c) de manera de satisfacer la tensión
límite en dicha zona nodal. Por lo tanto en esta sección sólo verificaremos la zona nodal 𝐶.
Para satisfacer la tensión límite en la zona nodal 𝐶 es necesario que el ancho efectivo del tensor, 𝑤𝑡 , sea al
menos igual a:
𝑤𝑡 =
𝐹𝐶𝐵
138720
=
= 22 [𝑚𝑚]
𝜙 ∙ 𝑓𝑐𝑒 ∙ 𝑏𝑤 17.85 ∙ 350
651
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝐹𝐶𝐵 = Fuerza de tracción requerida en el tensor 𝐶 − 𝐵.
𝑏𝑤 = Dimensión fuera del plano de la ménsula.
𝜙 = 0.75
𝛽𝑛 = 0.80 (El nudo 𝐶 es un nudo 𝐶 − 𝐶 − 𝑇)
𝑓𝑐𝑒 = 0.85 ∙ 𝛽𝑛 ∙ 𝑓𝑐′ = 0.85 ∙ 0.80 ∙ 35 = 23.8 [𝑀𝑃𝑎]
𝜙 ∙ 𝑓𝑐𝑒 = 0.75 ∙ 23.8 = 17.85 [MPa]
Este límite se satisface fácilmente puesto que el ancho de tensor disponible es de 2 ∙ 40 [𝑚𝑚] =
80 [𝑚𝑚], porque según la sección R23.8.1 del código ACI si las barras del tensor son dispuestas en una
sola capa, el ancho efectivo del tensor puede ser tomado como el diámetro de la barra más dos veces el
recubrimiento a la superficie de las barras. Para anclar el tensor 𝐶 − 𝐵 soldar las 5𝜙12 a un perfil de acero
de 3½”𝑥 3½”𝑥½”.
El ancho efectivo para el tensor 𝐷 − 𝐴 es asumido como 80 [𝑚𝑚] para propósitos de dibujar la zona
nodal 𝐷.
g) Verificar los puntales.
El puntal 𝐶 − 𝐷 se verificará con base a las dimensiones determinadas por las zonas nodales 𝐶 y 𝐷. Las
demás puntales se verifican calculando los anchos de las mismas y verificando si entran en el espacio
disponible.
La resistencia nominal del puntal 𝐶 − 𝐷 está limitada a
𝐹𝑛𝑠 = 𝑓𝑐𝑒 ∙ 𝐴𝑠
𝑓𝑐𝑒 = 0.85 ∙ 𝛽𝑠 ∙ 𝑓𝑐′ = 0.85 ∙ 0.75 ∙ 35 = 22.31 [𝑀𝑃𝑎]
El ancho más pequeño del puntal 𝐶 − 𝐷 se encuentra en el extremo 𝐷 y se lo calcula considerando el
ancho del puntal 𝐷 ′ − 𝐷.
𝑧 ′ 75
=
∙ sen(70.46°) = 35 [𝑚𝑚]
2
2
𝑧 ′ = 70 [𝑚𝑚]
El valor de 𝑧 ′ = 70 [𝑚𝑚] representa el valor disponible del ancho del puntal 𝐶 − 𝐷 en el extremo 𝐷.
652
Análisis y diseño de regiones con discontinuidad
𝐹
265280
𝑤𝑠 𝑟𝑒𝑞 = 𝜙∙𝑓𝐶𝐷∙𝑏 = 16.73 ∙ 350 = 45 [mm] < 𝑤𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑝 = 70 [mm]
𝑐𝑒
𝑤
Bien !
𝐹𝐶𝐷 = 265.28 [𝑘𝑁] fuerza de compresión requerida en el puntal 𝐶 − 𝐷
𝑏𝑤 = 350 [𝑚𝑚] dimensión fuera del plano de la ménsula
𝜙 = 0.75
𝛽𝑠 = 0.75 (Colocar armadura mínima de acuerdo a la sección 23.5.1 del código ACI)
𝑓𝑐𝑒 = 0.85 ∙ 𝛽𝑠 ∙ 𝑓𝑐′ = 0.85 ∙ 0.75 ∙ 35 = 22.31 [𝑀𝑃𝑎]
𝜙 ∙ 𝑓𝑐𝑒 = 0.75 ∙ 22.31 = 16.73 [𝑀𝑃𝑎]
Como se ha asumido 𝛽𝑠 = 0.75 se colocará la armadura mínima requerida por la sección 23.5.1 del
código ACI. Los cálculos se incluyen en la sección siguiente.
La resistencia efectiva a la compresión del puntal 𝐵 − 𝐷 también está limitada a 𝑓𝑐𝑒 = 0.85 ∙ 𝛽𝑠 ∙ 𝑓𝑐′. En
consecuencia el ancho requerido para el puntal 𝐵 − 𝐷 es:
𝑤𝑠 𝑟𝑒𝑞 =
257280
𝐹𝐵𝐷
=
= 44 [𝑚𝑚]
𝜙 ∙ 𝑓𝑐𝑒 ∙ 𝑏𝑤 16.73 ∙ 350
Se adopta 𝑤𝑠 = 50 [𝑚𝑚]
𝐹𝐵𝐷 = 257.28 [𝑘𝑁] fuerza de compresión requerida en el puntal 𝐵 − 𝐷
𝑏𝑤 = 350 [𝑚𝑚] dimensión fuera del plano de la ménsula
𝜙 = 0.75
𝛽𝑠 = 0.75 (Colocar armadura mínima de acuerdo a la sección 23.5.1 del código ACI)
𝑓𝑐𝑒 = 0.85 ∙ 𝛽𝑠 ∙ 𝑓𝑐 ’ = 0.85 ∙ 0.75 ∙ 35 = 22.31 [𝑀𝑃𝑎]
𝜙 ∙ 𝑓𝑐𝑒 = 0.75 ∙ 22.31 = 16.73 [𝑀𝑃𝑎]
Para el puntal 𝐵 − 𝐷 se adopta un ancho de 50 [𝑚𝑚] porque existe suficiente espacio. El ancho requerido
para el puntal 𝐷 − 𝐷 ′ ya fue determinado en el inciso c), habiéndose obtenido un ancho de 75 [𝑚𝑚].
Como se ilustra en la siguiente figura, todos los anchos de los puntales caben dentro de los límites de la
región de la ménsula. En consecuencia esta solución es aceptable.
653
Diseño de estructuras de hormigón armado
100
𝑙𝑏 = 87
37
50
75
Zona Nodal 𝐶
Perfil de acero
3½”𝑥3½”𝑥½”
𝐶
𝐵
80
𝐷
𝐴
80
𝐷′
𝐴′
Zona Nodal
Extendida 𝐶
50
70
75
h) Calcular la armadura mínima requerida para limitar la fisuración.
La sección 16.5.5.2 del código ACI requiere zunchos o estribos cerrados paralelos a la armadura requerida
para el tensor 𝐶 − 𝐵, uniformemente distribuidos en dos tercios de la profundidad efectiva 𝑑 del tensor
2
𝐶 − 𝐵, es decir, 3 ∙ 410 = 273 [𝑚𝑚]. Se adopta 270 [𝑚𝑚]. La sección de estos estribos debe ser mayor
que:
𝐴ℎ ≥ 0.5 ∙ (𝐴𝑠𝑐 − 𝐴𝑛 )
Donde 𝐴𝑛 es la sección de armadura que resiste la fuerza de tracción 𝑁𝑢𝑐 .
𝐴ℎ ≥ 0.5 ∙ (Asc −
𝐴ℎ ≥ 2.12 [𝑐𝑚2 ]
654
𝑁𝑢𝑐
50000
) = 212 [mm2 ]
) = 0.5 ∙ (565 −
𝜙 ∙ 𝑓𝑦
0.85 ∙ 420
Análisis y diseño de regiones con discontinuidad
Se utilizarán 3 estribos cerrados 𝜙10, 𝐴𝑣 = 3 ∙ 2 ∙ 0.79 = 4.71 [𝑐𝑚2 ], con una separación media de
270
= 90 [𝑚𝑚].
3
Como para los puntales diagonales usamos 𝛽𝑠 = 0.75 la armadura mínima provista también debe
satisfacer la siguiente relación:
∑
𝐴𝑠𝑖
∙ sen 𝛾𝑖 ≥ 0.003
𝑏𝑠 ∙ 𝑠𝑖
Donde 𝛾𝑖 es el ángulo formado por el eje de la armadura mínima y el eje del puntal. De acuerdo con la
sección 23.5.3.1 de código ACI, 𝛾𝑖 no debe ser menor a 40° porque solamente se provee armadura
horizontal. Con base a la armadura provista y al ángulo del puntal 𝐵 − 𝐷, es decir el menor ángulo entre
un puntal y la armadura mínima, se calcula la condición de armadura mínima.
∑
𝐴𝑠𝑖
2 ∙ 79
∙ sen 𝛾𝑖 =
∙ sen(57.37°) = 0.0042 ≥ 0.003
𝑏𝑠 ∙ 𝑠𝑖
350 ∙ 90
Como esta cantidad de armadura satisface ambos requisitos, disponemos 3 estribos cerrados 𝜙10 con una
separación de 90 [𝑚𝑚], distribuidos en una profundidad de 270 [𝑚𝑚] desde del tensor 𝐶 − 𝐵.
i)
Disposición de la armadura.
Placa de apoyo
100𝑥300 [𝑚𝑚2 ]
5𝜙12
Perfil de acero
3½”𝑥3½”𝑥½”
25
3𝐸𝜙10𝑐/90
𝐴
𝐴
225
500
225
3𝜙12
Nota: No se detalla la
armadura de la columna
1𝐸𝜙12
225
350
655
Diseño de estructuras de hormigón armado
5𝜙12
350
Sección A - A
13.9. Vigas con bordes entallados
Algunas veces los bordes de vigas prefabricadas de hormigón armado o pretensado son entallados con la
finalidad de que éstas se apoyen sobre otros elementos sin incrementar la altura total de la estructura. Una
reducción de la altura de la viga cerca de los soportes produce una concentración de esfuerzos y por tanto,
esa zona requiere un análisis especial de tensiones y un cuidadoso detalle en la colocación de la armadura.
Si se realiza un mal dimensionamiento y colocado de la armadura en esa zona, se produce un
agrietamiento poco deseado y un posible colapso de la estructura.
Para el diseño de los bordes entallados es recomendable utilizar modelos de puntales y tensores. En la
figura 13.14 se observan cuatro posibles modelos para diseñar esa zona. Por ensayos en laboratorio se ha
confirmado que el agrietamiento se inicia en la esquina interior del borde entallado (Punto 𝐴) de la figura
13.14a. Los modelos de puntales y tensores en las figuras 13.14b a 13.14d tienen un tensor vertical 𝐵 − 𝐶
antes del entallamiento y un puntal inclinada 𝐴 − 𝐵 sobre la reacción. La componente horizontal de la
fuerza de compresión en el puntal 𝐴 − 𝐵 es equilibrada por la fuerza de tracción en el tensor 𝐴 − 𝐷. Los
tres modelos difieren en la manera en que se ancla el tensor 𝐴 − 𝐷 en el nodo 𝐷. El modelo de la figura
13.14c tiene la ventaja de que la fuerza en el tensor 𝐶 − 𝐸 es menor y por lo tanto más fácil de anclar que
la correspondiente fuerza del tensor 𝐶 − 𝐹 de la figura 13.14b. En la figura 13.14d, el tensor 𝐴 − 𝐷 es
anclado por el puntal 𝐵 − 𝐷 que estará cruzado por fisuras como se muestra en la figura 13.14a. Esto
sugiere que el modelo de la figura 13.14d no es un modelo factible.
El modelo de puntales y tensores de la figura 13.14e tiene un tensor inclinado 𝐵 − 𝐶 y un puntal vertical
𝐴 − 𝐵 sobre la reacción. Se debe tener especial cuidado para anclar el tensor 𝐵 − 𝐶 en su borde superior.
Se acostumbra colocar estribos horizontales en 𝐴 para resistir las fuerzas de tracción que se generan por la
restricción de las deformaciones por retracción de la viga. En ensayos realizados sobre vigas con extremos
entallados y diseñadas con los modelos de las figuras 13.14b y 13.14c se observó que éstas se comportan
igualmente bien que vigas diseñadas con el modelo de la figura 13.14e.
656
Análisis y diseño de regiones con discontinuidad
Cuando se realiza el diseño de un extremo entallado, es una buena práctica procurar que la altura de la
parte extendida del extremo sea al menos la mitad de la altura total de la viga. La parte extendida de la
viga debe tener un espesor tal que el puntal de compresión inclinada 𝐴 − 𝐵 en el soporte no debe tener un
ángulo menor a 45° con respecto a la horizontal. Esto se debe a que de otra manera, las fuerzas del puntal
y el tensor que concurren en el punto 𝐴 son muy grandes para ser absorbidas dentro de la estructura de una
manera sencilla. En el detallado de la armadura se debe tener especial cuidado con el anclaje de las barras
en el extremo exterior del entallado de la viga.
𝐴
𝑎)
𝐵
𝐵
𝐸
𝐴
𝐴
𝐷
𝐶
𝐹
𝐷
𝑐)
𝐵
𝐸
𝐵
𝐸
𝐷
𝐴
𝐷
𝐹
𝐶
𝑑)
𝐺
𝐸
𝐶
𝑏)
𝐴
𝐹
𝐶
𝐹
𝑒)
Fig. 13.14. Modelos de puntales y tensores para bordes entallados
Ejemplo. El extremo entallado de una viga debe ser diseñado para transmitir una carga vertical última de
260 [𝑘𝑁] y una fuerza última horizontal de 50 [𝑘𝑁] en el soporte. La reacción vertical se asume que actúa
a 50 [𝑚𝑚] desde el extremo izquierdo de la viga. La viga es de 400 [𝑚𝑚] de ancho y está fabricada con
un hormigón con densidad normal de 21 [𝑀𝑃𝑎] de resistencia característica a los 28 días y acero de
420 [𝑀𝑃𝑎] de tensión de fluencia.
657
Diseño de estructuras de hormigón armado
Angular 4”𝑥4”𝑥5/8”
400
222.25 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
50 [𝑘𝑁]
750
50 [𝑘𝑁]
350
260 [𝑘𝑁]
260 [𝑘𝑁]
400
50 100
750
a) Definir la región D y calcular las fuerzas que actúan en los límites de la región.
Se asume que la extensión de la región D equivale a la altura del elemento más la parte entallada que se
extiende 750 [𝑚𝑚] + 150 [𝑚𝑚] = 900 [𝑚𝑚]. Se calculan las solicitaciones que actúan en el extremo
derecho del elemento realizando el equilibrio de las fuerzas.
b) Diseño a flexión.
Para desarrollar el modelo de puntales y tensores es conveniente conocer la profundidad del bloque de
compresión y por ello se realiza un prediseño con la teoría de flexión. Para el cálculo del canto útil de la
sección 𝑑, se va a suponer que se dispone una capa de barras de diámetro 25[𝑚𝑚] para el momento
positivo.
𝑑 = 750 − 40 − 10 −
25
= 688 [𝑚𝑚]
2
𝜙 ∙ 𝑓𝑦 2
∙ 𝐴 2 − 𝜙 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑑 ∙ 𝐴𝑠 + 𝑀𝑢 = 0
1.7 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑏 𝑠
11.1176 · 𝐴𝑠 2 − 260064 · 𝐴𝑠 + 222250000 = 0
Dos soluciones son posibles desde el punto de vista matemático, pero solamente una es adecuada para la
solución del área de acero requerida.
𝐴𝑠 = 22504 [𝑚𝑚2 ] = 225.04 [𝑐𝑚2 ]
𝐴𝑠 = 888 [𝑚𝑚2 ] = 8.88 [𝑐𝑚2 ]
Si se utilizan 2𝜙25 se tiene un área 𝐴𝑠 = 9.82 [𝑐𝑚2 ]
658
Solución inadeacuada !
Análisis y diseño de regiones con discontinuidad
Se verifica que los 2𝜙25 entran en una fila en el ancho de la viga
𝑎=
𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦
982 ∙ 420
=
= 58 [𝑚𝑚]
′
0.85 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 0.85 ∙ 21 ∙ 400
𝑑𝑡 = 750 − 40 − 10 − 25/2 = 688[𝑚𝑚]
1 = 1.05 − 0.007 · 𝑓𝑐′ = 1.05 − 0.007 · 21 = 0.903 > 0.85 ⇒ 1 = 0.85
𝑎𝑏
600
600
= 𝛽1 ∙
= 0.85 ⋅
= 0.5
𝑑
600 + 𝑓𝑦
600 + 420
𝑎
𝑎𝑏
= 0.084 ≤
= 0.500 ⇒ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦
𝑑
𝑑
𝑎𝑡𝑐
𝑎
= 0.084 ≤
= 0.319 ⇒ 𝜙 = 0.9
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑎
58
𝑐=
=
= 68 [𝑚𝑚]
𝛽1 0.85
𝑎
68
𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 𝜙 ∙ 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ∙ (𝑑 − ) = 0.9 ∙ 982 ∙ 420 ∙ (688 − )
2
2
𝜙 · 𝑀𝑛 = 242762184 [𝑁 · 𝑚𝑚] = 243 [𝑘𝑁 · 𝑚] ≥ 𝑀𝑢 = 222.25 [𝑘𝑁 · 𝑚]
c) Establecer el modelo de puntales y tensores.
Posición de la resultante
50
𝐵
353 [𝑘𝑁] 25 [𝑘𝑁]
𝐹
350
𝐴
59.04°
𝐷
50
350
260 [𝑘𝑁]
50 [𝑘𝑁]
10
260 [𝑘𝑁]
353 [𝑘𝑁]
𝐸
𝐶
50 100 70
𝑒
70
𝐺
610
25 [𝑘𝑁]
70
− 𝑒
La posición de los nudos 𝐷 y 𝐸 son localizados
una vez que se resuelve la cercha
659
Diseño de estructuras de hormigón armado
De acuerdo al diseño por flexión, la profundidad del eje neutro 𝑐 es de 68 [𝑚𝑚], entonces para el modelo
de puntales y tensores se prueba con un puntal horizontal de un ancho de 100 [𝑚𝑚] y por tanto su eje está
a 50 [𝑚𝑚] de la fibra superior de la viga. El tensor, desde la fibra inferior de la viga, se acomoda a
70 [𝑚𝑚].
d) Determinar las fuerzas en el modelo de puntales y tensores.
Las fuerzas en los distintos elementos de la cercha son determinadas por los métodos de los nudos y las
secciones.
𝐵
𝐴
𝜃1
206
−300
260
𝐷
−332
50 [𝑘𝑁]
10
260 [𝑘𝑁]
50 328 [𝑘𝑁]
260
50
350
𝐻
−156
−303
350
𝐹
𝜃2
-368
−298
260
𝐶
206
50 100 70
261
𝐸
260 [𝑘𝑁]
𝜃3
378 [𝑘𝑁]
𝜃4
350
349
𝜃1 = 59.04°
𝜃2 = 51.66°
610
𝐺
𝐼
70
70
𝜃3 = 61.01°
𝜃4 = 45° (Se impone este valor)
Nudo 𝐴.
∑ 𝐹𝑦 = 0
∑ 𝐹𝑥 = 0
𝐹𝐴𝐵 = −303 [𝑘𝑁]
𝐹𝐴𝐷 = 206 [𝑘𝑁]
Nudo 𝐵
∑ 𝐹𝑦 = 0
∑ 𝐹𝑥 = 0
𝐹𝑏𝑐 = 260 [𝑘𝑁]
𝐹𝑏𝑓 = −156 [𝑘𝑁]
Por el método de las secciones se determina que las fuerzas 𝐹𝐷𝐸 y 𝐹𝐹𝐺 en las barras 𝐷𝐸 y 𝐹𝐺
respectivamente, soportan la totalidad de la fuerza cortante de 260 [𝑘𝑁].
Nudo 𝐷
𝐹𝐶𝐷 = √2062 + 2602 = 332 [𝑘𝑁] en compresión
Por relación de triángulos se obtiene la distancia 𝑒
660
Análisis y diseño de regiones con discontinuidad
𝑒 = 330 ∙
206
= 261 [𝑚𝑚]
260
Nudo 𝐶
∑ 𝐹𝑥 = 0
∑ 𝐹𝑦 = 0
𝐹𝐶𝐸 = 206 [𝑘𝑁]
𝐹𝐶𝐵 = 260 [𝑘𝑁]
Nudo 𝐸
∑ 𝐹𝑥 = 0
∑ 𝐹𝑦 = 0
𝐹𝐸𝐺 = 350 [𝑘𝑁]
𝐹𝐸𝐹 = −298 [𝑘𝑁]
Nudo 𝐹
∑ 𝐹𝑥 = 0
∑ 𝐹𝑦 = 0
𝐹𝐹𝐻 = −300 [𝑘𝑁]
𝐹𝐹𝐺 = 260 [𝑘𝑁]
Nudo 𝐺
∑ 𝐹𝑦 = 0
∑ 𝐹𝑥 = 0
𝐹𝐺𝐻 = −368 [𝑘𝑁]
𝐹𝐺𝐼 = 610 [𝑘𝑁]
e) Determinar las dimensiones de la plancha de apoyo.
Se selecciona un angular de 4”𝑥4”𝑥5/8” para colocarlo en el borde exterior de la parte entallada y en todo
el ancho de la viga.
𝐴𝑎 = 400 ∙ 102 = 40800 [𝑚𝑚2 ]
La tensión de compresión vale
𝜎𝑎 =
𝑉 260000
∙
= 6.37 [𝑀𝑃𝑎]
𝐴𝑎 40800
𝜙 ∙ 𝑓𝑐𝑒 = 𝜙 ∙ 0.85 ∙ 𝛽𝑛 ∙ 𝑓𝑐′ = 0.75 ∙ 0.85 ∙ 0.8 ∙ 21 = 10.71 [𝑀𝑃𝑎] > 6.37 [𝑀𝑃𝑎]
Bien !
𝛽𝑛 = 0.8 porque el nudo 𝐴 es 𝐶 − 𝐶 − 𝑇
661
Diseño de estructuras de hormigón armado
f) Diseño de los tensores.
𝑨𝒔 𝒅𝒊𝒔𝒑
Verifica
[𝒄𝒎𝟐 ]
Si/No
4𝜙6
8.04
Si
6.54
4𝜙16
8.04
Si
11.11
6𝜙16
12.06
Si
4 𝐸𝜙12
9.05
Si
3 𝐸𝜙16
12.06
Si
4 𝐸𝜙12
9.05
Si
3 𝐸𝜙16
12.06
Si
4 𝐸𝜙12
9.05
Si
3 𝐸𝜙16
12.06
Si
𝜽
𝑭𝒖
𝑨𝒔 𝒓𝒆𝒒
[°]
[𝒌𝑵]
[𝒄𝒎𝟐 ]
−−−
0
206
6.54
𝐶– 𝐸
−−−
0
206
𝐸– 𝐺
−−−
0
350
Elemento
𝜷𝒔
𝐴– 𝐷
𝐶– 𝐵
𝐸– 𝐷
𝐺– 𝐹
𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞 =
−−−
−−−
−−−
90
90
90
260
260
260
8.25
8.25
8.25
Solución propuesta
𝐹𝑢
𝜙 ∙ 𝑓𝑦
Tensor 𝑨– 𝑫.
𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞 = 6.54 [𝑐𝑚2 ]
Utilizar 4𝜙16 (𝐴𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑝 = 8.04 [𝑐𝑚2 ]) en una sola fila
Es necesario anclar las barras mediante ganchos, barras con cabeza, anclajes mecánicos o prolongación
recta de las barras. En el extremo A, las barras son soldadas al angular (4”𝑥4”𝑥5/8”) y en el extremo D,
las barras serán ancladas mediante una prolongación recta de las mismas.
ℓ𝑑 = (
𝑓𝑦 ∙ Ψ𝑡 ∙ Ψ𝑒
2.1 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′
Ψ𝑡 = 1.3
Ψ𝑒 = 1
𝜆=1
662
) ∙ 𝑑𝑏
(7.11)
Más de 300 [𝑚𝑚] de hormigón fresco es vaciado en el elemento debajo de la longitud de
desarrollo.
Las barras no tienen revestimiento epóxico.
El hormigón es de peso unitario normal.
Análisis y diseño de regiones con discontinuidad
ℓ𝑑 =
420 ∙ 1.3 ∙ 1
2.1 ∙ 1 ∙ √21
∙ 16 = 908[𝑚𝑚]
Se proveerá una longitud ℓ𝑑 = 950 [𝑚𝑚] más allá del punto 𝐷, que se asume es el punto de anclaje.
Tensor 𝑬– 𝑪.
𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞 = 6.54 [𝑐𝑚2 ]
Utilizar 4𝜙16 (𝐴𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑝 = 8.04 [𝑐𝑚2 ]) en una o dos filas
Al igual que las barras del tensor 𝐴 − 𝐷, es necesario anclar las barras mediante ganchos, barras con
cabeza, anclajes mecánicos o prolongación recta de las barras. En el extremo 𝐶, las barras no tienen
suficiente espacio para ser prolongadas, por tanto se las podría soldar a un angular o disponer de algún
tipo de gancho. Se decide utilizar dos filas de barras dobladas en U colocadas de forma horizontal. En el
extremo 𝐸, las barras serán ancladas mediante una prolongación recta de las mismas.
ℓ𝑑 = (
𝑓𝑦 ∙ Ψ𝑡 ∙ Ψ𝑒
2.1 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′
(7.11)
Menos de 300 [𝑚𝑚] de hormigón fresco es vaciado en el elemento debajo de la longitud
de desarrollo.
Las barras no tienen revestimiento epóxico.
El hormigón es de peso unitario normal.
Ψ𝑡 = 1
Ψ𝑒 = 1
𝜆 =1
ℓ𝑑 = (
) ∙ 𝑑𝑏
420 ∙ 1 ∙ 1
2.1 ∙ 1 ∙ √21
) ∙ 16 = 698 [𝑚𝑚]
Se proveerá una longitud ℓ𝑑 = 750 [𝑚𝑚] más allá del punto 𝐸, que se asume es el punto de anclaje.
Tensor 𝑬– 𝑮.
𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞 = 11.11 [𝑐𝑚2 ]
Utilizar 6𝜙16 (𝐴𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑝 = 12.06 [𝑐𝑚2 ]) en una o dos filas
Al igual que las barras del tensor 𝐸 − 𝐶, es necesario anclar las barras mediante ganchos, barras con
cabeza, anclajes mecánicos o prolongación recta de las barras. En el extremo 𝐸, las barras no tienen
suficiente espacio para ser prolongadas, por tanto se dispondrá de un gancho a 90°. Se decide utilizar
barras dobladas en L dispuestas en dos filas. En el extremo 𝐺, las barras serán ancladas mediante una
prolongación recta de las mismas y se empalmarán con las barras provenientes del cálculo de la viga a
medio tramo.
663
Diseño de estructuras de hormigón armado
Ψ𝑒 = 1
Ψ𝑐 = 0.7
Ψ𝑟 = 1
𝜆 = 1
ℓ𝑑ℎ = (
Las barras no tienen revestimiento epóxico.
El recubrimiento de los ganchos cumple con la sección 25.4.3.2 del código ACI.
El confinamiento no cumple con la sección 25.4.3.2 del código ACI.
El hormigón es de peso unitario normal.
0.24 ∙ 420 ∙ 1 ∙ 0.7 ∙ 1
1 ∙ √21
) ∙ 𝑑𝑏 = 15.40 ∙ 𝑑𝑏
ℓ𝑑ℎ = 15.40 ∙ 16 = 246 [𝑚𝑚]
El anclaje disponible es:
Para simplificar el cálculo, ℓ𝑑ℎ se toma desde el punto 𝐸.
ℓ𝑑ℎ 𝑑𝑖𝑠𝑝 = Longitud de la zona nodal extendida – recubrimiento – diámetro de la armadura horizontal de
corte
ℓ𝑑ℎ 𝑑𝑖𝑠𝑝 = 261 + 70– 40– 16 = 275[𝑚𝑚] > ℓ𝑑ℎ = 246 [𝑚𝑚]
Tensor 𝑩– 𝑪.
𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞 = 8.25 [𝑐𝑚2 ]
Por requerimiento de espacio se decide utilizar 3 𝐸𝜙16 (𝐴𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑝 = 12.06 [𝑐𝑚2 ])
Tensor 𝑬– 𝑫.
𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞 = 8.25 [𝑐𝑚2 ]
Por requerimiento de espacio se decide utilizar 3 𝐸𝜙16 (𝐴𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑝 = 12.06 [𝑐𝑚2 ])
Tensor 𝑭– 𝑮.
𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞 = 8.25 [𝑐𝑚2 ]
Por requerimiento de espacio se decide utilizar 3 𝐸𝜙16 (𝐴𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑝 = 12.06 [𝑐𝑚2 ])
664
Bien !
Análisis y diseño de regiones con discontinuidad
g) Verificación de los puntales.
Nodo 𝑨.
120
𝑧′
𝑤𝑡 = 100
𝑧
𝜃1
ℓ𝑏 = 80

𝜃1 = 59.04°
𝑧 = √802 + 1002 = 128 [𝑚𝑚]
𝑧 ′ = ℓ𝑏 ∙ sen 𝜃1 + 𝑤𝑡 ∙ cos 𝜃1 = 80 ∙ sen(59.04°) + 100 ∙ cos(59.04°) = 120 [𝑚𝑚]
Por lo tanto para puntal 𝐴 − 𝐵
𝑤𝑑𝑖𝑠𝑝 = 120 [𝑚𝑚]
𝜽
𝑭𝒖
𝒘𝒓𝒆𝒒
𝒘𝒅𝒊𝒔𝒑
Verifica
[°]
[𝒌𝑵]
[𝒎𝒎]
[𝒎𝒎]
Si/No
0.75
59.04
−303
75
120
Si
𝐵 –𝐹
1.00
0
−156
29
100
Si
Adoptar 100
𝐶 –𝐷
0.75
51.66
−332
83
100
Si
Adoptar 100
𝐸 –𝐹
0.75
61.01
−298
74
100
Si
Adoptar 100
Elemento
𝜷𝒔
𝐴 –𝐵
Nota:
𝑤𝑟𝑒𝑞 =
Solución
propuesta
𝐹𝑢
𝐹𝑢
=
𝜙 ∙ 𝑓𝑐𝑒 ∙ 𝑏 𝜙 ∙ 0.85 ∙ 𝛽𝑠 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑏
665
Diseño de estructuras de hormigón armado
Nodo
Tipo
𝜷𝒏
𝐴
𝐶−𝐶−𝑇
0.8
𝐵
𝐶
𝐷
𝐸
𝐹
𝐺
Nota:
𝑤𝑟𝑒𝑞 =
666
𝐶−𝐶−𝑇
𝐶−𝑇−𝑇
𝐶−𝑇−𝑇
𝐶−𝑇−𝑇−𝑇
𝐶−𝐶−𝐶−𝑇
𝐶−𝑇−𝑇−𝑇
0.8
0.6
0.6
0.6
0.8
0.6
𝑭𝒖𝒆𝒓𝒛𝒂
𝑭𝒖
𝒘𝒓𝒆𝒒
𝒘𝒅𝒊𝒔𝒑 Verifica
Si/No
[°]
[𝒌𝑵] [𝒎𝒎] [𝒎𝒎]
𝑉
−260
61
100
Si
𝐵(𝐴 − 𝐵)
−303
71
120
Si
𝑇(𝐴 − 𝐷)
206
48
100
Si
𝐵(𝐵 − 𝐴)
−303
71
120
Si
𝐵(𝐵 − 𝐹)
−156
36
100
Si
𝑇(𝐵 − 𝐶)
260
61
140
Si
𝐵(𝐶 − 𝐷)
−332
103
100
No
𝑇(𝐶 − 𝐵)
260
81
140
Si
𝑇(𝐶 − 𝐸)
206
64
140
Si
𝐵(𝐷 − 𝐶)
−332
103
100
No
𝑇(𝐷 − 𝐴)
206
64
100
Si
𝑇(𝐷 − 𝐸)
260
81
140
Si
𝐵(𝐸 − 𝐹)
−298
93
100
Si
𝑇(𝐸 − 𝐶)
206
64
140
Si
𝑇(𝐸 − 𝐷)
260
81
140
Si
𝑇(𝐸 − 𝐺)
350
109
140
Si
𝐵(𝐹 − 𝐵)
−156
36
100
Si
𝐵(𝐹 − 𝐸)
−298
70
100
Si
𝐵(𝐹 − 𝐻)
−300
70
100
Si
𝑇(𝐹 − 𝐺)
260
61
140
Si
𝐵(𝐺 − 𝐻)
−368
115
120
Si
𝑇(𝐺 − 𝐸)
350
109
140
Si
𝑇(𝐺 − 𝐹)
260
81
140
Si
𝑇(𝐺 − 𝐼)
610
190
140
No
𝐹𝑢
𝐹𝑢
=
𝜙 ∙ 𝑓𝑐𝑒 ∙ 𝑏 𝜙 ∙ 0.85 ∙ 𝛽𝑛 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑏
Solución
propuesta
Adoptar 110
Adoptar 110
Adoptar 120
Distribuir la
armadura
Análisis y diseño de regiones con discontinuidad
Puntales 𝑨 − 𝑩, 𝑪 − 𝑫 y 𝑬 − 𝑭 en forma de botella.
La sección 23.5.1 del código ACI especifica que los puntales deben ser cruzados por capas o mallas de
armadura paralelas al plano del elemento. Además, debido a que el ancho del alma es mayor a 20 [𝑚𝑚],
es conveniente colocar una capa o malla de armadura próxima a cada cara.
∑
𝐴𝑠𝑖
⋅ sen(𝛾𝑖 ) ≥ 0.003
𝑏𝑠𝑖
Puntal 𝑨 − 𝑩.
Si se coloca armadura horizontal y vertical en ambas caras del elemento, entre el puntal y las respectivas
armaduras, se forman los siguientes ángulos:
𝛾1 = 30.96°
𝛾2 = 59.04°
Angulo entre el eje del puntal y la barra vertical
Angulo entre el eje del puntal y la barra horizontal
2 ∙ 𝐴𝑠1
2 ∙ 𝐴𝑠2
∙ sen(30.96°) +
∙ sen(59.04°) ≥ 0.003
400 ∙ 𝑠1
400 ∙ 𝑠2
𝑨𝒔𝟏
𝑨𝒂𝟐
𝒔𝟏
𝒔𝟐
𝟐
∑
𝐴𝑠𝑖
⋅ sen(𝛾𝑖 ) ≥ 0.003
𝑏𝑠𝑖
𝝓
𝟐
[𝒎𝒎 ]
𝝓
[𝒎𝒎 ]
[𝒎𝒎]
[𝒎𝒎]
12
113
12
113
100
100
0.00775
Si
12
113
12
201
100
100
0.01152
Si
16
201
16
113
100
100
0.01001
Si
16
201
16
201
100
100
0.01379
Si
Puntal 𝑪 − 𝑫.
Si se coloca armadura horizontal y vertical en ambas caras del elemento, entre el puntal y las respectivas
armaduras, se forman los siguientes ángulos:
𝛾1 = 38.34°
𝛾2 = 51.66°
Angulo entre el eje del puntal y la barra vertical
Angulo entre el eje del puntal y la barra horizontal
2 ∙ 𝐴𝑠1
2 ∙ 𝐴𝑠2
∙ sen(38.34°) +
∙ sen(51.66°) ≥ 0.003
400 ∙ 𝑠1
400 ∙ 𝑠2
667
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑨𝒔𝟏
𝑨𝒔𝟐
𝒔𝟏
𝒔𝟐
∑
𝐴𝑠𝑖
⋅ sen(𝛾𝑖 ) ≥ 0.003
𝑏𝑠𝑖
𝝓
[𝒎𝒎𝟐 ]
𝝓
[𝒎𝒎𝟐 ]
[𝒎𝒎]
[𝒎𝒎]
12
113
12
113
100
100
0.00794
Si
12
113
12
201
100
100
0.01139
Si
16
201
16
113
100
100
0.01067
Si
16
201
16
201
100
100
0.01412
Si
Puntal 𝑬 − 𝑭.
Si se coloca armadura horizontal y vertical en ambas caras del elemento, entre el puntal y las respectivas
armaduras, se forman los siguientes ángulos:
𝛾1 = 28.99°
Angulo entre el eje del puntal y la barra vertical
𝛾2 = 61.01°
Angulo entre el eje del puntal y la barra horizontal
2 ∙ 𝐴𝑠1
2 ∙ 𝐴𝑠2
∙ sen(28.99°) +
∙ sen(61.01°) ≥ 0.003
400 ∙ 𝑠1
400 ∙ 𝑠2
𝑨𝒔𝟏
668
𝑨𝒔𝟐
𝒔𝟏
𝒔𝟐
𝟐
∑
𝐴𝑠𝑖
⋅ sen(𝛾𝑖 ) ≥ 0.003
𝑏𝑠𝑖
𝝓
𝟐
[𝒎𝒎 ]
𝝓
[𝒎𝒎 ]
[𝒎𝒎]
[𝒎𝒎]
12
113
12
113
100
100
0.00768
Si
12
113
12
201
100
100
0.01153
Si
16
201
16
113
100
100
0.00981
Si
16
201
16
201
100
100
0.01366
Si
Análisis y diseño de regiones con discontinuidad
h) Disposición de la armadura.
4𝐸𝜙16𝑐/40 3𝐸𝜙16𝑐/30 3𝐸𝜙16𝑐/70
30
40
161
3𝐸𝜙16𝑐/70
209
2𝜙16
60
2𝜙12 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑈
350
50
350
4𝜙16
4𝜙12
4𝜙16
70
2𝜙16 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑈
6𝜙16 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝐿
1𝐸𝜙16
50 100 70
261
2𝜙16 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑈
6𝜙16 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝐿
1𝐸𝜙16
349
70
barra U
i)
Modelo opcional.
El modelo de puntales y tensores resuelto es uno entre varios modelos que se podrían haber seleccionado.
En el modelo supuesto se consideró que la transferencia de cargas se lograba mediante la formación de un
reticulado compuesto por un puntal horizontal, tres puntales inclinadas y seis tensores. Este modelo es
hipostático, pero gracias a que se halla la distancia 𝑒 con base a las fuerzas en el reticulado, es posible
solucionarlo sin hallar incongruencias.en las fuerzas. Este modelo fue seleccionado por su sencillez y
porque gracias los tensores verticales 𝐵 − 𝐶, 𝐷 − 𝐸 y 𝐹 − 𝐺 se obtienen estribos a lo largo de la longitud
de corte, lo cual es muy importante desde el punto de vista de seguridad.
Opcionalmente se podría haber seleccionado otro modelo de puntales y tensores. En la siguiente figura se
muestra un modelo de puntales y tensores donde el tensor 𝐷 − 𝐸 es reemplazado por el 𝐷 − 𝐺 y el puntal
𝐹 − 𝐸 por la 𝐹 − 𝐷. Este modelo es isostático y la distancia 𝑒 puede ser cualquier distancia. Este modelo
no requiere estribos verticales a lo largo de la distancia entre los puntos 𝐶 y 𝐺 para mantener el equilibrio.
Para evitar la formación de fisuras con cargas muy por debajo de la carga última, se podría disponer
armadura vertical mínima de estribos.
669
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝐵
−156
350
−303
𝐴
260
𝜃1
𝜃5
𝐹
350
−190
206
𝐷
260 [𝑘𝑁]


198
𝜃2
𝜃3
𝐶
50 100 70
206 𝐸
261
260 [𝑘𝑁]
124
−332
10
50 328 [𝑘𝑁]
−300
50
50 [𝑘𝑁]
𝐻
−368
𝐺
349
378 [𝑘𝑁]
𝜃4
610
𝐼
70
70
𝜃1 = 59.04°
𝜃2 = 51.66°
𝜃3 = 43.40°
𝜃4 = 45° Se impone este valor
𝜃5 = 40.68°
13.10. Resistencia al aplastamiento
Cuando cargas concentradas provenientes de columnas o vigas actúan sobre superficies pequeñas de
muros o pedestales, se debe verificar que los esfuerzos transversales de tracción que se desarrollan por
debajo del apoyo de la carga no produzcan una falla por hendidura del hormigón.
El código ACI en su sección 22.8.3.2 presenta la ecuación para calcular el esfuerzo admisible de
aplastamiento para situaciones “normales” como el caso de columnas sobre pedestales, apoyos de vigas o
de equipos. Sin embargo, en el caso de las zonas de anclaje para cables de pretensado o postensado se
deben seguir las recomendaciones de la sección 25.9.1.1.
La ecuación de aplastamiento presentada en el código ACI tiene como base los ensayos realizados por
Hawkins en bloques de hormigón simple cargados a través de placas rígidas. Para evitar la falla por
aplastamiento del bloque se puede reforzar el hormigón o limitar el esfuerzo a un valor por debajo del que
produce la fisura. La sección 22.8.3.2 del código ACI sigue la segunda opción.
𝐴2
𝑓𝑏 = 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ √ ≤ 1.7 ∙ 𝑓𝑐′
𝐴1
670
(13.16)
Análisis y diseño de regiones con discontinuidad
Donde:
𝐴1 = Área efectiva de apoyo de la carga en [𝑚𝑚2 ].
𝐴2 = Área de la base inferior del tronco mayor de la pirámide, cono o cuña ahusada, contenida en su
totalidad dentro del apoyo y que tenga por base superior el área efectiva de apoyo 𝐴1 y pendientes
laterales 𝑉: 𝐻 = 1: 2 en [𝑚𝑚2 ].
𝑓𝑏 = Esfuerzo admisible de aplastamiento [𝑀𝑃𝑎].
𝑃𝑢
2
1
Elevación
45°
𝐴2
𝐴1
45°
Planta
Fig. 13.15. Determinación del área 𝑨𝟐 debajo de una carga
𝐵𝑛 = 𝑓𝑏 ∙ 𝐴1
(13.17)
𝜙 ∙ 𝐵𝑛 = 𝜙 ∙ 𝑓𝑏 ∙ 𝐴1
(13.18)
𝜙 · 𝐵𝑛 ≥ 𝐵𝑢
(13.19)
Donde:
𝐵𝑛 = Resistencia nominal al aplastamiento del hormigón en [𝑁].
671
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝜙 = Factor de reducción de la resistencia (0.65).
𝐵𝑢 = Carga última de aplastamiento en [𝑁].
La distribución tronco piramidal con pendiente 𝑉: 𝐻 = 1: 2, para hallar el área 𝐴2 , no representa la
distribución real del esfuerzo por debajo de la carga, cuya pendiente es más pronunciada. Sin embargo,
esta distribución tiene la finalidad de asegurar que el área cargada 𝐴1 , que es la zona de altos esfuerzos,
tenga una cierta cantidad de material a su alrededor. El área 𝐴1 representa el área efectivamente cargada,
pero no debe ser mayor que el área de la plancha de apoyo y en ningún caso mayor al área de la sección
transversal del pedestal de apoyo.
Ejemplo. Determinar la máxima carga que puede aplicarse sobre el pedestal de la figura para evitar una
falla por aplastamiento del hormigón.
Datos:
𝑓𝑐′ = 25 [𝑀𝑃𝑎]
Placa de apoyo de 300[𝑚𝑚]𝑥300[𝑚𝑚]
200
300
2
Elevación
200
200
300
200
𝐴1
45°
𝐴2
Planta
672
1
Análisis y diseño de regiones con discontinuidad
A1 = 300 ∙ 200 = 60000 [𝑚𝑚2 ]
A2 = 700 ∙ 600 = 420000 [𝑚𝑚2 ]
420000
𝐴2
𝑓𝑏 = 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ √ = 0.85 ∙ 25 ∙ √
≤ 1.7 ∙ 25
𝐴1
60000
𝑓𝑏 = 56.22 [𝑀𝑃𝑎] ≤ 42.5[𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑏 = 42.50 [𝑀𝑃𝑎]
𝐵𝑢 = 𝜙 ∙ 𝐵𝑛 = 𝜙 ∙ 𝑓𝑏 ∙ 𝐴1 = 0.65 ∙ 42.5 ∙
60000
= 1657.50 [𝑘𝑁]
1000
13.11. Problemas propuestos
1. Para la viga de canto alto de la siguiente figura dibujar el modelo de puntal-tensor despreciando los
efectos de los estribos y el peso propio de la viga. La carga puntual última que soporta la viga es de
6000 [𝑘𝑁]. Diseñar el tensor y verificar la resistencia tanto de los nudos como de los puntales
considerndo que el espesor de la viga y columnas es de 600 [𝑚𝑚].
Datos:
𝑓𝑐′ = 30 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
𝑏 = 600 [𝑚𝑚]
2500
6000 [𝑘𝑁]
1000
4000
1000
800
9000
673
Diseño de estructuras de hormigón armado
2. El extremo entallado de una viga debe ser diseñado para transmitir una carga vertical última de
500 [𝑘𝑁]. La reacción vertical se asume que actúa a 100 [𝑚𝑚] desde el extremo izquierdo de la viga.
La viga es de 400 [𝑚𝑚] de ancho y está fabricada con un hormigón con densidad normal de
25 [𝑀𝑃𝑎] de resistencia característica a los 28 días y acero de 420 [𝑀𝑃𝑎] de tensión de fluencia.
Datos:
fc′ = 25 [MPa]
fy = 420 [MPa]
b = 400 [mm]
300
600
500 [𝑘𝑁]
100
3. Diseñar la ménsula que se proyecta a partir de la columna usando el método de puntales y tensores. La
ménsula soporta la fuerza de reacción Vu , de una viga premoldeada igual a 300 [kN] actuando a una
distancia de 80 [mm] de la cara de la columna. Asumir que en la parte superior de la ménsula se
desarrolla una fuerza de tracción horizontal Nuc , igual a 75 [kN], la cual toma en cuenta las
deformaciones por fluencia lenta y retracción. Considerar un hormigón de peso normal con una
resistencia característica a la compresión fc′ , igual a 30 [MPa]. La resistencia a la fluencia del acero fy ,
es igual a 420 [MPa].
𝑉𝑢 = 300 [𝑘𝑁]
𝑁𝑢𝑐 = 75 [𝑘𝑁]
80
𝑎𝑣
𝑏 = 400
400
𝐴
674
400
𝐴
Sección A - A
Análisis y diseño de regiones con discontinuidad
4. Dos muros de 2500[𝑚𝑚] de ancho descansan sobre un mismo muro de 9000[𝑚𝑚] de ancho y
6000 [𝑚𝑚] de alto. Considerando el modelo de puntal-tensor mostrado en la siguiente figura y
despreciando los efectos del peso propio de los muros, diseñar los tensores y verificar la resistencia
tanto de los nudos como de los puntales. El ancho de todos los muros es de 600 [𝑚𝑚].
Datos:
𝑓𝑐′ = 30 [𝑀𝑃𝑎]
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]
𝑏 = 600 [𝑚𝑚]
2000 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
2000 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
2500
250
2500
250
250
250
𝑇
𝑇
𝑇
𝐶
𝐶
𝐶
𝐶
6000
𝑇
9000
675
CAPÍTULO 14
MUROS DE CORTE
14. Muros de corte
14.1. Introducción
Desde hace ya varios siglos que la humanidad tiene conocimiento de los terremotos y de sus devastadoras
consecuencias. El terremoto en si causa pocas fatalidades comparado con el gran número de víctimas que
se producen a causa del colapso de las estructuras hechas por el hombre.
El diseño de estructuras en zonas sísmicas ha ido cobrando gran importancia a medida que las áreas
urbanas han crecido y se han densificado. Por tanto, los terremotos se han transformado en una creciente y
evidente amenaza en vastas áreas de nuestro planeta. Para que las estructuras sean duraderas es necesario
que éstas sean capaces de resistir tanto las acciones de uso propio como las externas, en donde las fuerzas
generadas por los sismos, en ciertos países, representan la acción externa más importante.
Una de las formas más usuales y eficaces para resistir las fuerzas sísmicas es mediante la utilización de
muros de hormigón armado. Estos muros son llamados comúnmente “muros de corte” aunque, en la
mayoría de los casos, la acción principal que resisten es de flexión. Estos muros son generalmente
dispuestos en las dos direcciones principales de la estructura de manera de poder absorber las fuerzas
inerciales que se generan por la aceleración del suelo durante un terremoto.
En la siguiente figura se puede apreciar la forma en que dos muros, de diferente altura, responden ante
fuerzas laterales. El muro de baja altura resiste las fuerzas laterales por medio de un mecanismo de
puntales y tensores, mientras que el muro alto las resiste como una viga en voladizo.
La resistencia y el comportamiento de muros de baja altura están generalmente controlados por corte.
Estos muros se encuentran en edificaciones de uno o dos pisos y tienen relaciones de altura a largo iguales
o menores a 2 (ℎ𝑤 /ℓ𝑤 ≤ 2). El diseño de estos muros puede ser realizado considerando los
requerimientos del capítulo 11 del código ACI o con el método de puntal-tensor que está descrito en el
capítulo 23.
677
Diseño de estructuras de hormigón armado
ℓ𝑤
ℓ𝑤
ℓ𝑤
ℎ𝑤
ℎ𝑤
Puntal
ℎ𝑤
Tirante
Puntal
a) Muro de corte bajo
b) Muro de corte intermedio
c) Muro de corte esbelto
ℎ𝑤
≤2
ℓ𝑤
ℎ𝑤
2<
<3
ℓ𝑤
ℎ𝑤
≥3
ℓ𝑤
Fig. 14.1. Tipos de muros de corte
Si el muro se encuentra en una edificación de más de tres o cuatro pisos, entonces las cargas laterales son
resistidas mayormente por flexión considerando el muro como una viga en voladizo. Los muros con
relaciones altura a largo mayores o iguales a 3 (ℎ𝑤 /ℓ𝑤 ≥ 3) son diseñados considerando las provisiones
del capítulo 22 del código ACI. Los muros de altura intermedia, donde la relación altura a largo se
encuentra entre 2 y 3 (2 < ℎ𝑤 /ℓ𝑤 < 3), resisten las fuerzas laterales por una acción combinada de corte
y flexión. Sin embargo, para su diseño se consideran generalmente las provisiones del capítulo 22 del
código ACI.
Otra manera, no muy eficiente, de resistir las fuerzas inerciales producidas por un terremoto, es mediante
la interacción de vigas y columnas. En una estructura, compuesta solamente por marcos tridimensionales,
las columnas y vigas deben flexionarse en doble curvatura y sus nudos deben ser lo suficientemente
rígidos para mantener un ángulo recto en todo momento.
En la siguiente figura, se puede apreciar la forma en que un marco bidimensional responde ante
solicitaciones laterales. Un marco de hormigón armado, para resistir las fuerzas laterales, debe
experimentar grandes desplazamientos y por ello sus elementos (vigas y columnas) se ven obligados a
doblarse en doble curvatura.
678
Muros de corte
En un marco resistente a momentos, tanto las vigas, como las columnas contribuyen a la deflexión lateral
del marco. Si se aísla un nudo del marco, es posible realizar el equilibrio de las fuerzas y de esa manera
determinar el desplazamiento relativo del punto A con respecto al punto B.
A
B
a) Pórtico deformado
Δ𝐴𝐵
A
𝑉
ℓ
𝑉∙ℓ
𝐿
2
B
𝑉
𝑉∙ℓ
𝐿
2
𝐿
2
b) Interacción viga-columna
Fig. 14.2. Desplazamiento de un pórtico no arriostrado debido a cargas laterales
679
Diseño de estructuras de hormigón armado
ΔT
Δ1 Δ2
Δ1 + Δ2
𝑃
𝑃
A
𝜃
𝐿𝑐
𝐿𝑐
𝑀𝑏
D
C
𝜃
𝐿𝑏
𝐿𝑐
𝐿𝑏
2 ∙ 𝑃 ∙ 𝐿𝑐
𝐿𝑏
B
𝐿𝑐
2 ∙ 𝑃 ∙ 𝐿𝑐
𝐿𝑏
P
2 ∙ 𝑃 ∙ 𝐿𝑐
𝐿𝑏
Fig. 14.3. Equilibrio de fuerzas y diagrama de cuerpo libre
Los desplazamientos, del punto A con respecto al punto C, debido a la flexión de la columna y viga se
representan con las variables ∆1 y ∆2 , respectivamente.
Δ1 =
P ∙ L3c
3 ∙ Ec ∙ I c
Δ2 = Lc ∙ θ
(14.1)
(14.2)
La rigidez de la viga de longitud 𝐿𝑏 esta dada por la siguiente ecuación:
𝑀𝑏 =
3 ∙ 𝐸𝑏 ∙ 𝐼𝑏
∙𝜃
𝐿𝑏
(14.3)
Realizando la sumatoria de momentos en C desde el apoyo D, se obtiene que el momento 𝑀𝑏 .
𝑀𝑏 = 2 ∙ 𝑃 ∙ 𝐿𝑐
(14.4)
Se igualan las ecuaciones (14.3) y (14.4); y se despeja el valor del ángulo 𝜃.
𝜃=
680
2 ∙ 𝑃 ∙ 𝐿𝑐 ∙ 𝐿𝑏
3 ∙ 𝐸𝑏 ∙ 𝐼𝑏
(14.5)
Muros de corte
Se reemplaza la ecuación (14.5) en la ecuación (14.2) para obtener el valor de Δ2 .
Δ2 =
2 ∙ P ∙ L2c ∙ Lb
3 ∙ Eb ∙ I b
(14.6)
El desplazamiento relativo del punto A con respecto del punto C es la suma de Δ1 y Δ2 .
Δ1 + Δ2 =
P ∙ L3c
2 ∙ P ∙ L2c ∙ Lb
+
3 ∙ Ec ∙ I c
3 ∙ Eb ∙ I b
(14.7)
En consecuencia, el desplazamiento relativo del punto A con respecto al punto B es el doble del
desplazamiento relativo entre los puntos A y C.
ΔT = 2 ∙ (Δ1 + Δ2 ) =
2 ∙ P ∙ L3c 4 ∙ P ∙ L2c ∙ Lb
+
3 ∙ Eb ∙ I b
3 ∙ Ec ∙ I c
(14.8)
Si se consideran que los pisos tienen una altura de ℓ (𝐿𝑐 = 0.5 · ℓ), que las columnas están espaciadas una
distancia de dos veces la altura de piso (𝐿𝑏 = ℓ) y que la fuerza cortante en el piso vale 𝑉 (𝑃 = 𝑉), se
obtiene el siguiente resultado:
ΔT =
V ∙ ℓ3
V ∙ ℓ3
+
12 ∙ Ec ∙ Ic 3 ∙ Eb ∙ Ib
(14.9)
El primer término de la ecuación (14.9) representa la contribución de la flexión de la columna al
desplazamiento relativo entre los puntos A y C, mientras que el segundo término representa la
contribución de la flexión de la viga al desplazamiento relativo entre los mismos dos puntos. En el caso de
que 𝐸𝑐 · 𝐼𝑐 = 𝐸𝑏 · 𝐼𝑏 , se puede observar que la porción del desplazamiento horizontal relativo entre A y C
debido a la deflexión de la viga representa el 80% del desplazamiento total. En consecuencia, en
edificaciones altas compuestas solamente por marcos, es imposible hacer las vigas lo suficientemente
rígidas para cumplir las limitaciones que imponen los códigos para los desplazamientos laterales. Por
tanto, en esos casos es necesario utilizar muros de corte u otros dispositivos de arriostramiento.
14.2. Interacción entre muros de corte y marcos
La repartición de la carga lateral entre muros y pórticos dentro de un edificio se la puede encontrar
realizando un modelo tridimensional de la estructura en un software de análisis estructural. Sin embargo,
cuando la edificación es regular, tanto en planta como en elevación, se puede asimilar la estructura como
una serie de pórticos planos en ambos sentidos y simplificar su análisis con modelos bidimensionales
(figura 14.4. a). En la siguiente figura se muestra un sistema estructural compuesto por un pórtico y un
muro sometido a una serie de cargas laterales. Para simplificar su análisis, es posible agrupar todas las
columnas en una sola columna equivalente conectada al muro por elementos horizontales que representan
los diafragmas rígidos de piso. Estos elementos, dependiendo de las características del diafragma de piso,
pueden estar o no articulados en ambos extremos (figura 14.4. b).
681
Diseño de estructuras de hormigón armado
ℓ1
ℓ2
ℓ3
ℓ4
ℓ5
𝐹𝑛−1
𝐹𝑛−1
𝐹𝑛−1
𝐹𝑛−2
𝐹𝑛−2
𝐹𝑛−2
𝐹7
𝐹7
𝐹7
𝐹6
𝐹6
𝐹6
𝐹5
𝐹5
𝐹5
𝐹4
𝐹4
𝐹4
𝐹3
𝐹3
𝐹2
𝐹2
𝐹3
Muro 2
𝐹𝑛
Muro 2
𝐹𝑛
Muro 1
𝐹𝑛
𝐹2
𝑘
Articulación
𝐹1
a) Pórtico plano con muro de corte
𝐹1
𝐹1
ℎ1
ℎ1
b) Modelo simplificado
c) Modelo más simplificado
Fig. 14.4. Modelos simplificados para el análisis de la interacción entre pórticos y muros de corte
A medida que aumentan las rigideces de las columnas y vigas en los pórticos, la contribución de los muros
de corte en el sistema resistente a cargas laterales disminuye. Además, la rigidez de los pórticos afecta
directamente el desplazamiento del muro a nivel de techo. Si los pórticos son muy rígidos, el
desplazamiento del muro a nivel de techo es muy pequeño y el muro puede analizarse como una viga
empotrada en su base y apoyada en su extremo superior. Sin embargo, si los pórticos son muy flexibles, el
muro se comporta como una viga empotrada en su base y libre en su extremo superior. Por tanto, el muro
podría analizarse como una viga empotrada en su base y con un apoyo tipo resorte en su extremo superior,
cuya rigidez depende de la rigidez de los pórticos (figura 14.4. c). Los límites del diagrama de momento
para el muro se encuentran entre el diagrama de momento de una viga empotrada en un extremo y libre en
el otro; y el de una viga empotrada en un extremo y apoyada en el otro. Por otro lado, la suma de los
cortes en los pórticos y el muro en un determinado piso debe ser igual al corte producido por las cargas
laterales. En el siguiente ejemplo se muestra la interacción entre pórticos y un muro de corte dentro de un
mismo plano.
682
Muros de corte
Ejemplo. En el sistema estructural de la figura, se desea investigar la interacción entre los pórticos y el
muro de corte y para ello se harán variar las secciones de las columnas, mientras se mantienen constantes
las dimensiones de las vigas y del muro de corte.
Datos:
Vigas: 25𝑥30
Columnas:30𝑥30, 30𝑥40, 30𝑥50, 30𝑥60, 30𝑥70, 30𝑥80 y 30𝑥90
Muro: 30𝑥200
3@4[𝑚]
70 [𝑘𝑁]
2[𝑚]
2@4[𝑚]
70 [𝑘𝑁]
50 [𝑘𝑁]
40 [𝑘𝑁]
40 [𝑘𝑁]
30 [𝑘𝑁]
Muro 2
50 [𝑘𝑁]
Muro 2
60 [𝑘𝑁]
Muro 1
60 [𝑘𝑁]
21 [𝑚]
0≤𝑘≤∞
30 [𝑘𝑁]
20 [𝑘𝑁]
20 [𝑘𝑁]
10 [𝑘𝑁]
10 [𝑘𝑁]
Se realiza el modelo de la estructura con la ayuda de un software de análisis estructural y se corren las
diferentes alternativas. Los resultados se resumen en las siguientes tablas y figuras.
683
Diseño de estructuras de hormigón armado
Momentos y cortantes en el muro en función de la rigidez de los pórticos
Cota
Pórtico
Flexible
Pórtico
Flexible
C30x30
C30x30
C30x40
C30x40
[𝒎]
𝑴 [𝒌𝑵 ∙ 𝒎]
𝑽 [𝒌𝑵]
𝑴 [𝒌𝑵 ∙ 𝒎]
𝑽 [𝒌𝑵]
𝑴 [𝒌𝑵 ∙ 𝒎]
𝑽 [𝒌𝑵]
21
0
70
87.52
−20.48
82.20
−24.76
18
−210
70
148.95
−20.48
156.48
−24.76
18
−210
130
252.88
41.93
255.08
38.33
15
−600
130
127.08
41.93
140.09
38.33
15
−600
180
239.26
84.39
247.38
79.06
12
−1140
180
−13.91
84.39
10.19
79.06
12
−1140
220
104.06
122.14
124.02
115.49
9
−1800
220
−262.36
122.14
−222.46
115.49
9
−1800
250
−147.10
158.69
−110.39
151.41
6
−2550
250
−623.18
158.69
−564.62
151.41
6
−2550
270
−524.28
198.62
−467.74
192.04
3
−3360
270
−1120.13
198.62
−1043.86
192.04
3
−3360
280
−1057.08
244.16
−981.57
238.97
0
−4200
280
−1789.55
244.16
−1698.47
238.97
Momentos y cortantes en el muro en función de la rigidez de los pórticos
684
Cota
C30x50
C30x50
C30x60
C30x60
C30x70
C30x70
[𝒎]
𝑴 [𝒌𝑵 ∙ 𝒎]
𝑽 [𝒌𝑵]
𝑴 [𝒌𝑵 ∙ 𝒎]
𝑽 [𝒌𝑵]
𝑴 [𝒌𝑵 ∙ 𝒎]
𝑽 [𝒌𝑵]
21
78.54
−27.52
66.28
−31.97
65.28
−29.03
18
161.10
−27.52
162.20
−31.97
152.38
−29.03
18
255.85
36.09
240.61
28.80
228.19
27.41
15
147.59
36.09
154.21
28.80
145.97
27.41
15
251.37
75.51
243.18
62.91
232.21
60.80
12
24.83
75.51
54.44
62.91
49.82
60.80
12
135.67
110.91
151.79
91.90
144.09
88.21
9
−197.05
110.91
−123.63
91.90
−120.55
88.21
9
−87.31
146.25
−25.63
122.62
−25.48
117.24
6
−526.06
146.25
−393.48
122.62
−377.20
117.24
6
−430.68
187.26
−306.51
161.38
−293.22
152.90
Muros de corte
Momentos y cortantes en el muro en función de la rigidez de los pórticos
Cota
C30x50
C30x50
C30x60
C30x60
C30x70
C30x70
[𝒎]
𝑴 [𝒌𝑵 ∙ 𝒎]
𝑽 [𝒌𝑵]
𝑴 [𝒌𝑵 ∙ 𝒎]
𝑽 [𝒌𝑵]
𝑴 [𝒌𝑵 ∙ 𝒎]
𝑽 [𝒌𝑵]
3
−992.47
187.26
−790.64
161.38
−751.91
152.90
3
−930.76
234.66
−733.19
196.61
−696.65
180.94
0
−1634.73
234.66 −1323.02
196.61 −1239.47
180.94
Momentos y cortantes en el muro en función de la rigidez de los pórticos
Cota
C30x80
C30x80
C30x90
C30x90
Pórtico
Rígido
Pórtico
Rígido
[𝒎]
𝑴 [𝒌𝑵 ∙ 𝒎]
𝑽 [𝒌𝑵]
𝑴 [𝒌𝑵 ∙ 𝒎]
𝑽 [𝒌𝑵]
𝑴 [𝒌𝑵 ∙ 𝒎]
𝑽 [𝒌𝑵]
21
24.81
−24.81
64.67
−19.89
0
−102.02
18
139.31
−24.81
124.32
−19.89
306.06
−102.02
18
213.34
26.51
196.97
26.11
306.06
−42.02
15
133.81
26.51
118.65
26.11
432.12
−42.02
15
217.78
58.91
200.48
57.03
432.12
7.98
12
41.04
58.91
29.38
57.03
408.18
7.98
12
132.43
84.94
117.86
81.62
408.18
47.98
9
−122.38
84.94
−127.00
81.62
264.24
47.98
9
−30.58
112.06
−38.69
106.58
264.24
77.98
6
−366.42
112.06
−358.42
106.58
30.29
77.98
6
−286.06
143.80
−281.28
134.04
30.29
97.98
3
−717.45
143.80
−683.39
134.04
−263.65
97.98
3
−664.71
165.35
−633.90
150.14
−263.65
107.98
0
−1160.77
165.35 −1083.87
150.14
−587.59
107.98
Como se puede apreciar en los gráficos de las figuras 14.5 y 14.6, las fuerzas cortantes y los momentos
flectores en el muro se encuentran entre los dos límites que suponen tener un pórtico sumamente flexible y
un pórtico sumamente rígido. Si se visualiza el sistema estructural como solamente el muro de corte con
su base empotrada y en su extremo superior un resorte de rigidez 𝑘, entonces dependiendo de la rigidez
lateral de las columnas y vigas, la rigidez del resorte puede variar entre 0 (pórtico muy flexible) hasta ∞
(pórtico muy rígido).
685
Diseño de estructuras de hormigón armado
21
18
Cota de cada piso [m]
15
12
Pórtico Flexible
C30x30
C30x40
C30x50
C30x60
C30x70
C30x80
C30x90
Pórtico Rígido
9
6
3
0
300
250
200
150
100
50
0
-50
-100
-150
Corte [kN]
Fig. 14.5. Variación del diagrama de corte en el muro en función de la rigidez del pórtico
21
Cota de cada piso [m]
Pórtico Flexible
C30x30
C30x40
C30x50
C30x60
C30x70
C30x80
C30x90
Pórtico Rígido
18
15
12
9
6
3
0
-5000
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
Momento [kN∙m]
Fig. 14.6. Variación del diagrama de momento en el muro en función de la rigidez del pórtico
686
Muros de corte
14.3. Muros de corte acoplados
En un mismo plano de elevación, una edificación puede tener dos o más muros que se encuentran
conectados a nivel de los pisos por medio de vigas de acople, de tal manera que el conjunto de muros
tiende a trabajar como una unidad cuando es solicitado por cargas laterales. Dependiendo de la rigidez de
las vigas de acople, los muros de corte trabajarán de forma separada o de manera conjunta.
ℓ
𝐹𝑛
ℓ
𝐹𝑛
ℓ
𝐹𝑛
ℓ
𝐹𝑛
𝑉𝑏𝑛
𝐹𝑛−1
𝐹𝑛−1
𝐹𝑛−1
𝐹𝑛−1
𝐹𝑛−2
𝐹𝑛−2
𝐹𝑛−2
𝐹𝑛−2
𝑉𝑏𝑛−1
𝑉𝑏𝑛−2
𝐹7
𝐹7
𝐹7
𝐹7
𝐹6
𝐹6
𝐹6
𝐹6
𝐹5
𝐹5
𝐹5
𝐹5
𝑉𝑏7
𝑉𝑏6
𝐹4
Cachos
rígidos
𝐹3
𝐹3
Muro 2
𝐹4
Muro 1
𝐹3
Muro 2
𝐹4
Muro 1
𝑉𝑏5
𝐹4
𝑉𝑏4
𝐹3
Cacho
rígido
𝑉𝑏3
𝐹2
𝐹2
𝐹1
𝐹1
𝐹2
𝐹2
𝐹1
𝐹1
Articulación
𝑉𝑏2
ℎ2
ℎ1
𝑉𝑏1
Empotramiento
𝑀𝑤1
a) Muros desacoplados
𝑀𝑤2
𝑇
′
𝑀𝑤1
𝐶
′
𝑀𝑤2
b) Muros acoplados
Fig. 14.7. Influencia de la rigidez de las vigas de acople en las reacciones de los muros
Cuando los muros están desacoplados o cuando la rigidez de la viga de acople es muy pequeña en
comparación con la inercia de los muros, entonces se pueden modelar las vigas de acople con doble
articulación y en ese sentido el momento producido por las cargas laterales 𝑀𝑜 , a cota cero de los muros,
es resistido por la flexión de los dos muros en forma proporcional a sus rigideces. Las vigas de acople no
rigidizan el sistema y el corte que resisten es muy pequeño o nulo si sus extremos son articulados.
687
Diseño de estructuras de hormigón armado
𝑛
𝑀𝑜 = ∑ 𝐹𝑖 ∙ ℎ𝑖 = 𝑀𝑤1 + 𝑀𝑤2
(14.10)
𝑖=1
Cuando los muros están acoplados mediante vigas con suficiente rigidez como para modificar el
comportamiento del sistema, entonces se puede considerar que las vigas de acople están empotradas en los
muros y en ese sentido el momento producido por las cargas laterales 𝑀𝒐 , a nivel de la base de los muros,
es resistido por una combinación de corte en las vigas de acople y flexión de los dos muros en forma
proporcional a sus rigideces. El corte en las vigas de acople es transmitido en cada nivel de los muros
como cargas axiales que, a cota cero de los muros, se convierten en un par de fuerzas axiales de
compresión y tracción que resisten un momento equivalente a 𝑇 · ℓ o 𝐶 · ℓ.
𝑛
𝑇 = 𝐶 = ∑ 𝑉𝑏𝑖
(14.11)
𝑖=1
𝑛
′
′
+𝑇∙ℓ
+ 𝑀𝑤2
𝑀𝑜 = ∑ 𝐹𝑖 ∙ ℎ𝑖 = 𝑀𝑤1
(14.12)
𝑖=1
Cuando se analiza un sistema de muros con vigas de acople, la rigidez de las mismas afecta directamente
la distribución de los momentos entre los muros. Sin embargo, existe un punto para el cual a mayor
rigidez de las vigas de acople la distribución de momentos entre muros se mantiene inalterable.
Ejemplo. Analizar el comportamiento de los muros de la siguiente figura considerando que la distancia
entre ejes de muros es de 4 [𝑚] y el largo efectivo ℓ𝑏 de las vigas de acople, medido entre bordes de
muros, es de 2 [𝑚]. Ambos muros tienen un largo ℓ𝑤 de 2 [𝑚] y una altura ℎ𝑤 de 30 [𝑚]. El espesor del
muro izquierdo es de 40 [𝑐𝑚] mientras que el del muro derecho es de 20 [𝑐𝑚] por tanto, la inercia del
muro izquierdo duplica a la del muro derecho. Las vigas de acople, en todos los niveles, tienen la misma
sección transversal rectangular de base 𝑏𝑏 y altura ℎ𝑏 . Cargas puntuales laterales de 10 [𝑘𝑁] son aplicadas
en cada nivel de piso para simular el efecto sísmico. Para estudiar el comportamiento de los muros y
conocer los efectos que las vigas de acople inducen sobre ellos se hará variar la relación altura vs. largo
ℎ𝑏 /ℓ𝑏 desde 0 (sin viga de acople) hasta 1 (viga de acople rígida).
El momento total 𝑀𝑜 que debe resistir el sistema de los muros acoplados es:
𝑛
𝑀𝑜 = ∑ 𝐹𝑖 ∙ ℎ𝑖
𝑖=1
𝑀𝑜 = 1650 [𝑘𝑁 · 𝑚]
688
(14.12)
Muros de corte
4 [𝑚]
ℓ = 4 [𝑚]
10 [𝑘𝑁]
10 [𝑘𝑁]
Piso 10
3 [𝑚]
10 [𝑘𝑁]
10 [𝑘𝑁]
Piso 9
2 [𝑚]
10 [𝑘𝑁]
2 [𝑚]
Vigas de acople
2 [𝑚]
10 [𝑘𝑁]
Piso 8
Muros de corte
10 [𝑘𝑁]
10 [𝑘𝑁]
Piso 7
ℓ𝑤
ℓ𝑏
10 [𝑘𝑁]
Piso 6
10 [𝑘𝑁]
Piso 5
Cachos rígidos
ℓ𝑤
10 [𝑘𝑁]
ℎ𝑏
10 [𝑘𝑁]
ℎ𝑤 = 30 [𝑚]
10 [𝑘𝑁]
Piso 4
10 [𝑘𝑁]
10 [𝑘𝑁]
Piso 3
10 [𝑘𝑁]
10 [𝑘𝑁]
Piso 2
10 [𝑘𝑁]
10 [𝑘𝑁]
Piso 1
10 [𝑘𝑁]
Geometría de los muros acoplados
Modelo estructural para el análisis
689
Diseño de estructuras de hormigón armado
Distribución del momento basal Mo entre los muros
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
Momento muro izquierdo
Momento muro derecho
0.4
Momento de acoplamiento
0.3
0.2
0.1
0.0
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
Relación alto/largo (hb/𝓁b) de las vigas de acople
Fig. 14.8. Distribución del momento basal entre muros acoplados en función de la rigidez de las
vigas de acoplamiento
En la figura 14.8 se observa que cuando no hay vigas de acoplamiento (ℎ𝑏 /ℓ𝑏 = 0) o cuando los extremos
de las vigas no se conectan rígidamente a los muros, los muros trabajan independientemente y el muro de
la izquierda absorbe el 66.66% del momento basal, mientras que el de la derecha el 33.33%. Esta
diferencia se debe a que el muro de la izquierda tiene el doble de rigidez que el de la derecha. A medida
que la rigidez de las vigas de acoplamiento aumenta, ambos muros se descargan llegando el muro de la
izquierda y derecha a absorber un 13% y 6.5% del momento basal, respectivamente. El momento de
acoplamiento entre los muros aumenta y debe resistir el 80.5% restante del momento basal. Como se
puede apreciar, la distribución del momento basal entre los muros es muy sensible al aumento de rigidez
de las vigas de acoplamiento hasta una relación ℎ𝑏 /ℓ𝑏 de aproximadamente 0.4. Valores de ℎ𝑏 /ℓ𝑏 por
encima de 0.4 ya no afectan significativamente la distribución de los momentos entre los muros
acoplados. Según el Código Canadiense del Hormigón, para el diseño sísmico, los muros se consideran
acoplados cuando el momento de acoplamiento 𝑇 · ℓ o 𝐶 · ℓ alcanza el 66% del momento basal 𝑀𝑜 . En la
figura 14.8, esto ocurre cuando ℎ𝑏 /ℓ𝑏 es aproximadamente 0.26. Si 𝑇 · ℓ o 𝐶 · ℓ es menor al 66% de 𝑀𝑜 ,
los muros son llamados parcialmente acoplados.
690
Muros de corte
1.0
Distribución del corte basal Vo entre los muros
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
Corte muro izquierdo
0.2
Corte muro derecho
0.1
0.0
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
Relación alto/largo (hb/𝓁b) de las vigas de acople
Fig. 14.9. Distribución del corte basal entre muros acoplados en función de la rigidez de las vigas de
acoplamiento
En la figura 14.9 se observa que cuando la rigidez de las vigas de acoplamiento es pequeña (ℎ𝑏 /ℓ𝑏 ≤
0.10) o cuando los extremos de las vigas no se conectan rígidamente a los muros, el muro de la izquierda
absorbe el 66,66% del corte basal, mientras que el de la derecha el 33,33%. Esta diferencia se debe a que
el muro de la izquierda tiene el doble de rigidez que el de la derecha. A medida que la rigidez de las vigas
de acoplamiento aumenta, el muro de la izquierda se descarga un poco hasta absorber aproximadamente el
60%, mientras que el de la derecha aumenta su contribución hasta un 40%. Como se puede apreciar, el
aumento de rigidez de las vigas de acoplamiento tiene poco impacto sobre la distribución del corte basal
en los muros. En consecuencia, se puede distribuir el corte basal entre todos los muros en forma
proporcional a sus rigideces sin considerar la influencia de las vigas de acoplamiento.
691
Diseño de estructuras de hormigón armado
Cota de las vigas de acople desde el nivel de piso [m]
30
V20x20
V20x80
V20x140
V20x200
27
24
V20x40
V20x100
V20x160
V20x60
V20x120
V20x180
21
18
15
12
9
6
3
0
0
10
20
30
40
50
60
70
Variación del corte en las vigas de acople con respecto a la altura del muro [kN]
Fig. 14.10. Variación del corte en las vigas de acople en función de la cota del edificio
La figura 14.10 muestra la variación de la fuerza cortante en las vigas de acople para cada nivel de la
estructura y en función de su rigidez. Se puede observar la sensibilidad que este esfuerzo de corte tiene
con respecto a la rigidez de las vigas de acople. A medida que aumenta la rigidez de las vigas, el máximo
corte va bajando de nivel de piso y estabilizándose en un determinado nivel. En este caso, el máximo corte
se produce a los 6 [𝑚] de alto. Típicamente, la máxima fuerza cortante en las vigas de acople ocurre a un
tercio de la altura del muro medido desde la base.
Las figuras 14.11 y 14.12 muestran la variación de la relación entre el corte de las vigas de acople y el
corte a nivel de cada piso producido por las cargas laterales. En la figura 14.11 es interesante notar que
cuando las vigas de acople tienen una relación ℎ𝑏 /ℓ𝑏 ≥ 0.60, la fuerza cortante en cada viga se encuentra
entre el 40% y el 60% del corte a nivel de cada piso.
En la figura 14.12 se puede apreciar que cuando la rigidez de las vigas de acople aumenta, el corte en las
vigas para los nieles del tramo central tiende a converger a la abscisa 0.6, mientras que en los niveles
inferiores y superiores, el corte tiende a la abscisa 0.4.
Por tanto, se puede concluir que las vigas de acople con relaciones ℎ𝑏 /ℓ𝑏 ≥ 0.60, deben ser diseñadas
para tener una resistencia al corte aproximadamente igual al 60% del corte a nivel del piso donde se
localizan.
692
Muros de corte
Corte en vigas de acople/Corte de cada piso
1.6
1.4
30 [m]
21 [m]
12 [m]
3 [m]
1.2
1.0
27 [m]
18 [m]
9 [m]
24 [m]
15 [m]
6 [m]
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Relación alto/largo (hb/𝓁b) de las vigas de acople
Fig. 14.11. Variación del corte en las vigas de acople en función del corte en cada piso
Cota de las vigas de acople desde el nivel de piso [m]
30
27
24
21
V20x20
V20x80
V20x140
V20x200
18
15
V20x40
V20x100
V20x160
V20x60
V20x120
V20x180
12
9
6
3
0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
Corte en vigas de acople/Corte de cada piso
Fig. 14.12. Variación del corte en las vigas de acople en función de su rigidez y posición con respecto
al nivel de la base del muro
693
Diseño de estructuras de hormigón armado
En las siguientes tablas se presenta un resumen de los resultados obtenidos de los diferentes análisis
realizados sobre la estructura del ejemplo.
Viga de
Base
Altura
acople
V20x20
V20x40
V20x60
V20x80
V20x100
V20x120
V20x140
[𝒎𝒎]
200
200
200
200
200
200
200
[𝒎𝒎]
200
400
600
800
1000
1200
1400
Viga de acople
Sección
V20x20
V20x40
V20x60
V20x80
V20x100
V20x120
V20x140
ℎ𝑏 /ℓ𝑏
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
𝑴𝒊𝒛𝒒
𝑴𝒅𝒆𝒓
[𝒌𝑵 ∙ 𝒎] [𝒌𝑵 ∙ 𝒎]
516.91 510.77
297.01 293.46
219.53 216.99
185.76 183.78
168.81 167.18
159.30 157.92
153.47 152.26
𝑽𝒊𝒛𝒒
𝑽𝒅𝒆𝒓
𝑵𝒊𝒛𝒒
[𝒌𝑵]
51.36
50.83
50.61
50.49
50.41
50.36
50.32
[𝒌𝑵]
48.64
49.17
49.39
49.51
49.59
49.64
49.68
[𝒌𝑵]
155.58
264.88
303.37
320.12
328.50
333.20
336.07
𝑵𝒅𝒆𝒓
𝜟𝒕𝒆𝒄𝒉𝒐
[𝒌𝑵]
[𝒎𝒎]
−155.58 27.51
−264.88 10.45
−303.37 7.20
−320.12 6.21
−328.50 5.80
−333.20 5.60
−336.07 5.49
Valores normalizados con respecto a la viga de acople V20x20
𝑴𝒊𝒛𝒒
𝑽𝒊𝒛𝒒
𝑵𝒊𝒛𝒒
Inercia
𝑴𝒅𝒆𝒓
𝑽𝒅𝒆𝒓
𝑵𝒅𝒆𝒓
𝜟𝒕𝒆𝒄𝒉𝒐
1
8
27
64
125
216
343
1.00
0.57
0.42
0.36
0.33
0.31
0.30
1.00
0.57
0.42
0.36
0.33
0.31
0.30
1.00
0.99
0.99
0.98
0.98
0.98
0.98
1.00
1.01
1.02
1.02
1.02
1.02
1.02
1.00
1.70
1.95
2.06
2.11
2.14
2.16
1.00
1.70
1.95
2.06
2.11
2.14
2.16
1.00
0.38
0.26
0.23
0.21
0.20
0.20
Con base a los resultados del análisis realizado a los muros acoplados con vigas se pueden deducir las
siguientes conclusiones:
a)
Las vigas de acople son útiles para disminuir los momentos flectores a nivel de la base de los
muros.
b)
Las vigas de acople producen un aumento significativo de los esfuerzos normales a nivel de la
base de los muros, tanto de compresión como de tracción.
c)
Las vigas de acople no tienen un efecto apreciable en los esfuerzos de corte a nivel de la base de
los muros.
d)
Las vigas de acople disminuyen significativamente los desplazamiento horizontales de los muros a
nivel del techo.
694
Muros de corte
Valores normalizados de las acciones en los muros acoplados
3
2
Momento en la base
Corte en la base
2
Normal en la base
Desplazamiento de techo
1
1
0
0
50
100
150
200
250
300
350
Variación de la inercia normalizada de las vigas de acople
Fig. 14.13. Influencia de la rigidez de las vigas de acople sobre el desplazamiento del techo y sobre el
momento, corte y fuerza normal a nivel de la base de los muros
Cota [𝒎]
30
27
24
21
18
15
12
9
6
3
V20x20
15.88
16.35
17.05
17.74
18.18
18.13
17.32
15.47
12.23
7.22
V20x40
12.92
15.56
19.66
24.41
29.21
33.47
36.45
37.02
33.44
22.74
Corte en las vigas de acople [𝒌𝑵]
V20x60
V20x80
V20x100
8.31
6.33
5.38
12.36
11.22
10.80
18.07
17.55
17.40
24.42
24.29
24.25
30.94
31.13
31.15
37.27
37.93
38.04
42.92
44.47
44.84
46.83
50.10
51.18
46.47
52.62
55.44
35.78
44.49
50.03
V20x120
4.85
10.62
17.35
24.24
31.15
38.07
44.94
51.58
56.81
53.59
V20x140
4.54
10.53
17.33
24.23
31.15
38.07
44.98
51.74
57.52
55.96
695
Diseño de estructuras de hormigón armado
Piso
Piso 10
Piso 9
Piso 8
Piso 7
Piso 6
Piso 5
Piso 4
Piso 3
Piso 2
Piso 1
9
Valor normalizado del corte en las vigas de acople
8
V20x20
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
Corte normalizado en las vigas de acople
V20x40
V20x60
V20x80
V20x100
V20x120
0.81
0.52
0.40
0.34
0.31
0.95
0.76
0.69
0.66
0.65
1.15
1.06
1.03
1.02
1.02
1.38
1.38
1.37
1.37
1.37
1.61
1.70
1.71
1.71
1.71
1.85
2.06
2.09
2.10
2.10
2.10
2.48
2.57
2.59
2.59
2.39
3.03
3.24
3.31
3.33
2.73
3.80
4.30
4.53
4.65
3.15
4.96
6.16
6.93
7.42
Piso 10
Piso 9
Piso 8
Piso 7
Piso 6
Piso 5
Piso 4
Piso 3
Piso 2
Piso 1
V20x140
0.29
0.64
1.02
1.37
1.71
2.10
2.60
3.34
4.70
7.75
7
6
5
4
3
2
1
0
0
50
100
150
200
250
300
Variación de la inercia normalizada de las vigas de acople
Fig. 14.14. Influencia de la rigidez de las vigas de acople sobre su mismo esfuerzo cortante
696
350
Muros de corte
Altura de los muros desde el nivel de piso [m]
30
V20x20
27
V20x40
24
V20x60
21
V20x80
V20x100
18
V20x120
15
V20x140
12
9
6
3
0
0
10
20
30
40
50
60
70
Variación del corte en las vigas de acople [kN]
Fig. 14.15. Variación del corte en las vigas de acople con respecto a la cota de los muros
30
Cota de los muros desde el nivel de piso [m]
27
V20x20
24
V20x40
21
V20x60
18
V20x80
15
V20x100
V20x120
12
V20x140
Mo
9
6
3
0
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
Momento de acoplamiento de los muros con respecto a su altura [kN·m]
Fig. 14.16. Variación en altura de los momentos de acoplamiento entre los dos muros
697
Diseño de estructuras de hormigón armado
30
Cota de los muros desde el nivel de piso [m]
27
V20x20
24
V20x40
21
V20x60
18
V20x80
15
V20x100
V20x120
12
V20x140
Mo
9
6
3
0
-200
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
Distribución del momento en los dos muros [kN·m]
Fig. 14.17. Variación en altura de la suma de los momentos en los dos muros
30
V20x20
Cota de los muros desde el nivel de piso [m]
27
V20x40
24
V20x60
21
V20x80
V20x100
18
V20x120
15
V20x140
12
9
6
3
0
0
50
100
150
200
Distribución de los momentos de extremo en las vigas de acople [kN·m]
Fig. 14.18. Distribución de los momentos de extremo en las vigas de acople
698
250
Muros de corte
14.4. Diseño de muros estructurales
14.4.1. Geometría del edificio
Durante la concepción arquitectónica del edificio, es conveniente que el Arquitecto trabaje en forma
conjunta con el Ingeniero Estructural a fin de determinar el mejor sistema estructural del edificio.
También, en el caso de utilizarse muros estructurales se deben considerar los siguientes puntos:
a) El edificio debe ser lo suficientemente rígido para resistir las cargas de servicio sin presentar
deflexiones o vibraciones excesivas.
b) Los muros estructurales deben tener la suficiente carga vertical para prevenir el levantamiento de
su fundación.
c) La distribución en planta de los muros estructurales debe minimizar la distancia entre los centros
de masa y rigidez para disminuir los efectos torsionales indeseables.
d) Los muros estructurales deben tener adecuada resistencia al corte y a las solicitaciones de flexocompresión que las cargas mayoradas le impongan.
e) El espesor del muro y de su recubrimiento puede estar prescrito por los requerimientos contra
incendios.
14.4.2. Diafragmas
Los diafragmas son los responsables de transmitir las cargas laterales a los muros. Las losas de piso y
techo pueden ser consideradas diafragmas horizontales siempre que tengan la suficiente resistencia y
rigidez para transmitir las cargas laterales.
14.4.3. Distribución de los muros en planta
En general, para la distribución de los muros en planta, se trata de minimizar la excentricidad entre el
centro de masa CM (centro geométrico de la losa de piso) y el centro de rigidez CR proporcionado por los
muros de corte y los pórticos resistentes a momento. Debido a que durante el análisis sísmico se considera
que las cargas laterales actúan en el centro de masa, la excentricidad con respecto al centro de rigidez
origina un momento torsional que produce esfuerzos de corte adicionales en el sistema estructural
resistente a fuerzas laterales.
Cuando una estructura es sometida a grandes desplazamientos durante la ocurrencia de un terremoto, se
produce el agrietamiento de sus diferentes elementos ocasionando la disminución de sus rigideces en
cantidades variables; lo que finalmente se traduce en un desplazamiento del CR con respecto a su posición
inicial. Como este desplazamiento es difícil de cuantificar, los códigos de diseño especifican una
excentricidad mínima en las dos direcciones principales que deben ser añadidas a las excentricidades
calculadas.
699
Diseño de estructuras de hormigón armado
14.4.4. Distribución de las fuerzas de corte de un piso a los muros estructurales
En la siguiente figura se muestra la planta de un edificio donde se tienen los muros estructurales que
forman el sistema resistente a las fuerzas laterales. Para el análisis de la distribución de las fuerzas de corte
en los muros estructurales se realizan las siguientes simplificaciones:
a) Se considera que la losa de piso trabaja como un diafragma de gran rigidez en su plano y baja
rigidez a la flexión, de tal modo que los muros estructurales no están acoplados, pero mantienen el
mismo desplazamiento lateral.
b) Se desprecia la rigidez del muro cuando éste se flexiona por su eje débil, considerando solamente
su rigidez cuando éste se flexiona por su eje fuerte.
c) Se asume que los muros son esbeltos y por ello se desprecia la contribución de la rigidez por
corte.
d) Se considera que el muro no está agrietado y por ello se utiliza la sección bruta del muro para el
cálculo de su momento de inercia.
Y
𝑋𝑚
𝐼𝑦𝑛
𝑋𝑟
Muro n
𝑉𝑥
𝑥𝑖
𝑒𝑦
𝐼𝑥𝑚
CR
CM
𝑌𝑟
𝑒𝑥
𝐼𝑥𝑖
𝐼𝑦𝑗
Muro i
𝑌𝑚
Muro m
X
𝑦𝑗
O
𝑉𝑦
Muro j
Fig. 14.19. Excentricidad del centro de rigidez CR con respecto al centro de masa CM
700
Muros de corte
Las fuerzas de corte pueden provenir tanto por la acción sísmica, como por la del viento. Cuando los
cortes provienen de la acción del viento, entonces hay que considerar que éste puede impactar a la
edificación por cualquier dirección y sentido. Por tanto, es muy probable que las fuerzas de corte 𝑉𝑥 y 𝑉𝑦
se presenten simultáneamente. Por otro lado, si los cortes provienen de la acción sísmica, la mayoría de
los códigos requieren que la estructura sea analizada sólo para acciones sísmicas independientes según
cada una de las dos direcciones horizontales principales y perpendiculares o aproximadamente
perpendiculares entre sí. En ese caso, 𝑉𝑥 y 𝑉𝑦 actúan independientemente. Sin embargo, si la estructura
presenta notorias irregularidades torsionales o si tiene en ambas direcciones marcos rígidos con columnas
comunes a dos líneas resistentes que se intersectan, se debe hacer actuar la acción sísmica en un 100% en
una dirección y en un 30% en la dirección perpendicular a la anterior, y viceversa. Los mayores esfuerzos
resultantes de las dos combinaciones anteriores son los que se deben considerar para el diseño del sistema
resistente a fuerzas laterales.
La distribución de las fuerzas de corte cuando CM coincide con CR es la siguiente:
′
𝑉𝑥𝑗
=
𝐼𝑦𝑗
∙𝑉
∑𝑛 𝐼𝑦𝑛 𝑥
(14.13𝑎)
′
𝑉𝑦𝑖
=
𝐼𝑥𝑖
∙𝑉
∑𝑚 𝐼𝑥𝑚 𝑦
(14.13𝑏)
Donde:
𝑉𝑥 = Fuerza de corte en la dirección del eje X a nivel del piso considerado.
𝑉𝑦 = Fuerza de corte en la dirección del eje Y a nivel del piso considerado.
𝐼𝑦𝑗 = Momento de inercia por el eje Y del muro 𝑗.
𝐼𝑦𝑛 = Momento de inercia por el eje Y del muro 𝑛.
𝐼𝑥𝑖 = Momento de inercia por el eje X del muro 𝑖.
𝐼𝑥𝑚 = Momento de inercia por el eje X del muro 𝑚.
𝑛 = Número de muros que resisten por su eje fuerte la fuerza de corte 𝑉𝑥 .
𝑚 = Número de muros que resisten por su eje fuerte la fuerza de corte 𝑉𝑦 .
Si existe una excentricidad entre el CM y el CR, o si una excentricidad mínima es especificada por el
código de diseño, entonces se deben considerar los efectos de la torsión. Para hallar el CR se fija un origen
de coordenadas en el punto O y se toman las distancias desde ese origen hasta los centros de gravedad de
cada muro. Para hallar 𝑌𝑟 se consideran solamente los muros que resisten 𝑉𝑥 a través de la flexión por su
eje fuerte 𝐼𝑦𝑗 . De la misma forma, para hallar 𝑋𝑟 se consideran solamente los muros que resisten 𝑉𝑦 a
través de la flexión por su eje fuerte 𝐼𝑥𝑖 .
∑𝑛𝑗=1 𝐼𝑦𝑗 ∙ 𝑦𝑗
∑𝑛𝑗=1 𝐼𝑦𝑗
(14.14𝑎)
∑𝑚
𝑖=1 𝐼𝑥𝑖 ∙ 𝑥𝑖
𝑋𝑟 =
∑𝑚
𝑖=1 𝐼𝑥𝑖
(14.14𝑏)
𝑌𝑟 =
701
Diseño de estructuras de hormigón armado
Donde:
𝑌𝑟 = Ordenada del CR con respecto a los ejes cartesianos que pasan por O.
𝑋𝑟 = Abscisa del CR con respecto a los ejes cartesianos que pasan por O.
𝑦𝑗 = Ordenada del centro de gravedad del muro 𝑗 con respecto a los ejes cartesianos que pasan por O.
𝑥𝑖 = Abscisa del centro de gravedad del muro 𝑖 con respecto a los ejes cartesianos que pasan por O.
Las excentricidades con respecto a los ejes ortogonales son:
𝑒𝑦 = 𝑌𝑟 − 𝑌𝑚
(14.15𝑎)
𝑒𝑥 = 𝑋𝑟 − 𝑋𝑚
(14.15𝑏)
Donde:
𝑌𝑚 = Ordenada del CM con respecto a los ejes cartesianos que pasan por O.
𝑋𝑚 = Abscisa del CM con respecto a los ejes cartesianos que pasan por O.
𝑒𝑥 = Distancia desde el CM al CR en la dirección paralela al eje X.
𝑒𝑦 = Distancia desde el CM al CR en la dirección paralela al eje Y.
Dependiendo de los signos de las excentricidades, la posición del CR con respecto a los ejes cartesianos X
e Y queda definida de la siguiente manera:

Si 𝑒𝑥 > 0 y 𝑒𝑦 > 0 el CR se encuentra ubicado en el primer cuadrante.

Si 𝑒𝑥 < 0 y 𝑒𝑦 > 0 el CR se encuentra ubicado en el segundo cuadrante.

Si 𝑒𝑥 < 0 y 𝑒𝑦 < 0 el CR se encuentra ubicado en el tercer cuadrante.

Si 𝑒𝑥 > 0 y 𝑒𝑦 < 0 el CR se encuentra ubicado en el cuarto cuadrante.

Si 𝑒𝑥 = 0 y 𝑒𝑦 = 0 el CR coincide con el CM.
La torsión que sufre el piso, se halla multiplicando las fuerzas de corte por sus correspondientes
excentricidades de acuerdo a las siguientes ecuaciones:
𝑇𝑥 = 𝑉𝑥 ∙ 𝑒𝑦
(14.16𝑎)
𝑇𝑦 = −𝑉𝑦 ∙ 𝑒𝑥
(14.16𝑏)
Se toma como positivo el momento de torsión en sentido contrario a las manecillas del reloj y por ello es
necesario introducir un signo negativo en la ecuación de 𝑇𝑦 porque un cortante 𝑉𝑦 positivo con una
excentricidad 𝑒𝑥 también positiva, generan un momento de torsión negativa (giro en el sentido de las
manecillas del reloj).
702
Muros de corte
La torsión es resistida por los muros que se flexionan por su eje fuerte y la rigidez torsional del sistema es
calculada considerando la rigidez lateral de cada muro que se flexiona por su eje fuerte multiplicada por la
distancia perpendicular del eje débil del muro al CR. Los muros dispuestos en el perímetro de la estructura
son más efectivos para resistir la torsión que los que se encuentran más cerca del CR. La rigidez torsional
del sistema puede ser expresada con la siguiente relación:
𝑚
𝑛
𝐾𝑡 = ∑ 𝐼𝑥𝑖 ∙ (𝑋𝑟 − 𝑥𝑖
𝑖=1
)2
2
+ ∑ 𝐼𝑦𝑗 ∙ (𝑌𝑟 − 𝑦𝑗 )
(14.17)
𝑗=1
Con base a la rigidez torsional del sistema, es posible calcular el corte que se induce en cada muro debido
al momento total de torsión (𝑇𝑥 + 𝑇𝑦 ) considerando una distribución de éste proporcional a la rigidez de
cada muro.
𝐼𝑦𝑗 ∙ (𝑌𝑟 − 𝑦𝑗 )
] ∙ (𝑇𝑥 + 𝑇𝑦 )
𝐾𝑡
(14.18𝑎)
𝐼𝑥𝑖 ∙ (𝑥𝑖 − 𝑋𝑟 )
′′
𝑉𝑦𝑖
=[
] ∙ (𝑇𝑥 + 𝑇𝑦 )
𝐾𝑡
(14.18𝑏)
′′
𝑉𝑥𝑗
=[
Finalmente, el corte en cada muro se halla sumando el corte producido directamente por la fuerza de corte
en la dirección considerada y el corte inducido por el momento total de torsión.
′
′′
𝑉𝑥𝑗 = 𝑉𝑥𝑗
+ 𝑉𝑥𝑗
=
𝐼𝑦𝑗 ∙ (𝑌𝑟 − 𝑦𝑗 )
𝐼𝑦𝑗
∙ 𝑉𝑥 + [
] ∙ (𝑇𝑥 + 𝑇𝑦 )
∑𝑛 𝐼𝑦𝑛
𝐾𝑡
(14.19𝑎)
′
′′
𝑉𝑦𝑖 = 𝑉𝑦𝑖
+ 𝑉𝑦𝑖
=
𝐼𝑥𝑖
𝐼𝑥𝑖 ∙ (𝑥𝑖 − 𝑋𝑟 )
∙ 𝑉𝑦 + [
] ∙ (𝑇𝑥 + 𝑇𝑦 )
∑𝑚 𝐼𝑥𝑚
𝐾𝑡
(14.19𝑏)
Ejemplo. Para el piso de figura, hallar el corte en los muros considerando las siguientes condiciones:
a)
b)
c)
d)
100% de 𝑉𝑥 .
100% de 𝑉𝑦
100% de 𝑉𝑥 y 30% de 𝑉𝑦 .
30% de 𝑉𝑥 y 100% de 𝑉𝑦 .
703
Diseño de estructuras de hormigón armado
Y
12500
12500
𝐼𝑦1
𝐼𝑦3
❶
❸
𝑋𝑟
24850
7000
❷
𝑉𝑥
𝑒𝑥
𝑒𝑦
𝐼𝑥2
CR
❶
X
CM
𝐼𝑥1
𝑌𝑟
7000
𝐼𝑦2
150
❷
O
𝑉𝑦
Dirección X
Datos:
𝑉𝑥 = 60 [𝑘𝑁]
𝑉𝑦 = 60 [𝑘𝑁]
𝑋𝑚 = 12500 [𝑚𝑚]
𝑌𝑚 = 7000 [𝑚𝑚]
ℎ = 300 [𝑚𝑚]
Muro
𝒉
𝓵𝒘
𝒚𝒋
𝑰𝒚𝒋
𝑰𝒚𝒋 ∙ 𝒚𝒋
𝑰𝒚𝒋 ∙ (𝒀𝒓 − 𝒚𝒋 )𝟐
Nº
[𝒎𝒎]
[𝒎𝒎]
[𝒎𝒎]
[𝒎𝒎𝟒 ]
[𝒎𝒎𝟓 ]
[𝒎𝒎𝟔 ]
1
2
3
4
300
300
300
6000
6000
6000
13850
150
13850
5.40𝐸 + 12
5.40𝐸 + 12
5.40𝐸 + 12
7.48𝐸 + 16
8.10𝐸 + 14
7.48𝐸 + 16
1.13𝐸 + 20
4.50𝐸 + 20
1.13𝐸 + 20
𝟏. 𝟔𝟐𝑬 + 𝟏𝟑
𝟏. 𝟓𝟎𝑬 + 𝟏𝟕
𝟔. 𝟕𝟔𝑬 + 𝟐𝟎
5
704
Dirección Y
Muros de corte
Muro
𝒉
𝓵𝒘
𝒙𝒊
𝑰𝒙𝒊
𝑰𝒙𝒊 ∙ 𝒙𝒊
𝑰𝒙𝒊 ∙ (𝑿𝒓 − 𝒙𝒊 )𝟐
Nº
[𝒎𝒎]
[𝒎𝒎]
[𝒎𝒎]
[𝒎𝒎𝟒 ]
[𝒎𝒎𝟓 ]
[𝒎𝒎𝟔 ]
1
2
3
4
300
300
10000
6000
24850
150
2.50𝐸 + 13
5.40𝐸 + 12
6.21𝐸 + 17
8.10𝐸 + 14
4.81𝐸 + 20
2.23𝐸 + 21
𝟑. 𝟎𝟒𝑬 + 𝟏𝟑
𝟔. 𝟐𝟐𝑬 + 𝟏𝟕
𝟐. 𝟕𝟏𝑬 + 𝟐𝟏
5
𝑌𝑟 =
∑𝑛𝑗=1 𝐼𝑦𝑗 ∙ 𝑦𝑗 1.50 ∙ 1017
=
= 9283 [𝑚𝑚]
∑𝑛𝑗=1 𝐼𝑦𝑗
1.62 ∙ 1013
𝑋𝑟 =
∑𝑚
6.22 ∙ 1017
𝑖=1 𝐼𝑥𝑖 ∙ 𝑥𝑖
=
= 20463 [𝑚𝑚]
∑𝑚
3.04 ∙ 1013
𝑖=1 𝐼𝑥𝑖
𝑌𝑟 = 9283 [𝑚𝑚]
𝑋𝑟 = 20463 [𝑚𝑚]
𝑒𝑦 = 𝑌𝑟 − 𝑌𝑚 = 9283 − 7000 = 2283 [𝑚𝑚]
𝑒𝑥 = 𝑋𝑟 − 𝑋𝑚 = 20463 − 12500 = 7963 [𝑚𝑚]
𝑒𝑦 = 2283 [𝑚𝑚]
𝑒𝑥 = 7963 [𝑚𝑚]
a) Para la condición de 100% de 𝑉𝑥 y 0% de 𝑉𝑦 se tiene los siguientes resultados:
𝑉𝑥 = 60 [𝑘𝑁]
𝑉𝑦 = 0 [𝑘𝑁]
𝑇𝑥 = 137.00 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
𝑇𝑦 = 0 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
705
Dirección X
Diseño de estructuras de hormigón armado
Muro
V'xj
V''xj
Vxj
Nº
[𝒌𝑵]
[𝒌𝑵]
[𝒌𝑵]
20.00
20.00
20.00
−1.00
2.00
−1.00
19.00
22.00
19.00
Total
𝟔𝟎. 𝟎𝟎
𝟎. 𝟎𝟎
𝟔𝟎. 𝟎𝟎
Muro
V'yi
V''yi
Vyi
Nº
[𝒌𝑵]
[𝒌𝑵]
[𝒌𝑵]
1
2
3
4
Dirección Y
5
0.00
0.00
4.44
−4.44
4.44
−4.44
𝟎. 𝟎𝟎
𝟎. 𝟎𝟎
𝟎. 𝟎𝟎
1
2
3
4
5
Total
b) Para la condición de 0% de 𝑉𝑥 y 100% de 𝑉𝑦 se tiene los siguientes resultados:
𝑉𝑥 = 0 [𝑘𝑁]
𝑉𝑦 = 60 [𝑘𝑁]
Dirección X
𝑇𝑥 = 0.00 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
𝑇𝑦 = −477.75 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
Muro
V'xj
V''xj
Vxj
Nº
[𝒌𝑵]
[𝒌𝑵]
[𝒌𝑵]
1
2
3
4
0.00
0.00
0.00
3.48
−6.96
3.48
3.48
−6.96
3.48
𝟎. 𝟎𝟎
𝟎. 𝟎𝟎
𝟎. 𝟎𝟎
5
Total
706
Dirección Y
Muros de corte
Muro
V'yi
V''yi
Vyi
Nº
[𝒌𝑵]
[𝒌𝑵]
[𝒌𝑵]
1
2
3
4
49.34
10.66
−15.48
15.48
33.86
26.14
𝟔𝟎. 𝟎𝟎
𝟎. 𝟎𝟎
𝟔𝟎. 𝟎𝟎
5
Total
c) Para la condición de 100% de 𝑉𝑥 y 30% de 𝑉𝑦 se tiene los siguientes resultados:
𝑉𝑥 = 60 [𝑘𝑁]
𝑉𝑦 = 18 [𝑘𝑁]
Dirección X
𝑇𝑥 = 137.00 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
𝑇𝑦 = −143.33 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
Muro
V'xj
V''xj
Vxj
Nº
[𝒌𝑵]
[𝒌𝑵]
[𝒌𝑵]
20.00
20.00
20.00
0.05
−0.09
0.05
20.05
19.91
20.05
Total
𝟔𝟎. 𝟎𝟎
𝟎. 𝟎𝟎
𝟔𝟎. 𝟎𝟎
Muro
V'yi
V''yi
Vyi
Nº
[𝒌𝑵]
[𝒌𝑵]
[𝒌𝑵]
1
2
3
4
Dirección Y
5
1
2
3
4
14.80
3.20
−0.20
0.20
14.60
3.40
𝟏𝟖. 𝟎𝟎
𝟎. 𝟎𝟎
𝟏𝟖. 𝟎𝟎
5
Total
707
Diseño de estructuras de hormigón armado
d) Para la condición de 30% de 𝑉𝑥 y 100% de 𝑉𝑦 se tiene los siguientes resultados:
𝑉𝑥 = 18 [𝑘𝑁]
𝑉𝑦 = 60 [𝑘𝑁]
Dirección X
𝑇𝑥 = 41.10 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
𝑇𝑦 = −477.75 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]
Muro
V'xj
V''xj
Vxj
Nº
[𝒌𝑵]
[𝒌𝑵]
[𝒌𝑵]
6.00
6.00
6.00
3.18
−6.36
3.18
9.18
−0.36
9.18
Total
𝟏𝟖. 𝟎𝟎
𝟎. 𝟎𝟎
𝟏𝟖. 𝟎𝟎
Muro
V'yi
V''yi
Vyi
Nº
[𝒌𝑵]
[𝒌𝑵]
[𝒌𝑵]
1
2
3
4
Dirección Y
5
1
2
3
4
49.34
10.66
−14.15
14.15
35.19
24.81
𝟔𝟎. 𝟎𝟎
𝟎. 𝟎𝟎
𝟔𝟎. 𝟎𝟎
5
Total
708
Muros de corte
Dirección X
Resumen de las solicitaciones en los muros
𝑽𝒙 [𝒌𝑵]
𝟔𝟎
𝟎
𝟔𝟎
𝟏𝟖
𝑽𝒚 [𝒌𝑵]
𝟎
𝟔𝟎
𝟏𝟖
𝟔𝟎
Muro
Vxj
Vxj
Vxj
Vxj
Nº
[𝒌𝑵]
[𝒌𝑵]
[𝒌𝑵]
[𝒌𝑵]
19.00
22.00
19.00
3.48
−6.96
3.48
20.05
19.91
20.05
9.18
−0.36
9.18
Total
𝟔𝟎. 𝟎𝟎
𝟎. 𝟎𝟎
𝟔𝟎. 𝟎𝟎
𝟏𝟖. 𝟎𝟎
Muro
Vyi
Vyi
Vyi
Vyi
Nº
[𝒌𝑵]
[𝒌𝑵]
[𝒌𝑵]
[𝒌𝑵]
1
2
3
4
Dirección Y
5
1
2
3
4
4.44
−4.44
33.86
26.14
14.60
3.40
35.19
24.81
𝟎. 𝟎𝟎
𝟔𝟎. 𝟎𝟎
𝟏𝟖. 𝟎𝟎
𝟔𝟎. 𝟎𝟎
5
Total
14.4.5. Fundaciones para muros
Para la verificación de los esfuerzos inducidos en el suelo, su deformación y la estabilidad general de las
cimentaciones se utilizarán todas las combinaciones de cargas de servicio.
Para el diseño estructural de la cimentación de los muros, se utilizarán todas las combinaciones de cargas
mayoradas consideradas en el diseño del resto de la estructura.
Las fundaciones deben ser dimensionadas de manera que tengan un comportamiento satisfactorio bajo
cargas estáticas y sísmicas, comprobándose que la presión de contacto entre el suelo y la fundación sea tal
que las deformaciones inducidas sean aceptables para la estructura.
En general, bajo condiciones de cargas de servicio, se debe verificar que el 100% del área de la
cimentación quede en contacto con el suelo (sin esfuerzos de tracción). Sin embargo, al