DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Tercera edición DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Tercera edición ING. MSc. CARLOS ROBERTO CÓRDOVA ALVÉSTEGUI Ingeniero Civil, Escuela Militar de Ingeniería, La Paz-Bolivia. Magíster en Ciencias de la Ingeniería-Estructuras, Universidad de Texas en Austin, Texas-EEUU. Ex profesor del Departamento de Ingeniería Civil, Universidad del Valle, La Paz-Bolivia. Ex profesor de la Maestría en Ingeniería Estructural, Escuela Militar de Ingeniería, La Paz-Bolivia. Ex profesor de la Maestría en Ingeniería Estructural, Universidad de San Francisco Xavier, Sucre-Bolivia. Profesor del Departamento de Obras Civiles, Universidad de Santiago de Chile, Santiago-Chile. © Editorial Universidad de Santiago de Chile Av. Libertador Bernardo O'Higgins Nº 2229 Santiago de Chile Tel.: 56-2-27180080 www.editorial.usach.cl [email protected] © Carlos Córdova Alvéstegui Inscripción Nº 248.139 I.S.B.N.: 978-956-303-278-9 Crédito de la fotografía de la portada Título: Costanera Center. Autor: Cristofer Daniel Ortega Urrutia. Fuente: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Costanera_Center_Sep._13.jpg?uselang=es Licencia: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/deed.es La fotografía de la tapa muestra la Torre Costanera Center cuyos diseños arquitectónico y estructural estuvieron a cargo de Pelli-Clarke-Pelli Architects y René Lagos Engineers, respectivamente. El edificio, ubicado en la ciudad de Santiago de Chile, tiene 60 pisos y una altura de 300 [m]. Crédito del diseño de la portada El diseño de la tapa fue realizado por Carlos Córdova Alvéstegui. El autor de este libro ha puesto el mayor esfuerzo en la preparación del mismo. Esto incluye una revisión concienzuda de la teoría, procedimientos de diseño y de los ejercicios presentados. Sin embargo, el autor no ofrece explícita o implícitamente garantía alguna con respecto a las teorías, procedimientos de diseño y ejercicios contenidos en este libro. Por tanto, el autor, los patrocinadores y la editorial, no serán responsables por daños, inherentes o resultantes, que se pudiesen producir en conexión con la utilización de estas teorías y procedimientos de análisis y diseño. Primera edición, 2001 Segunda edición, 2004 Tercera edición, 2015 Impreso en Gráfica LOM Ninguna parte de esta publicación puede ser reproducida, almacenada o transmitida en manera alguna ni por ningún medio, ya sea eléctrico, químico o mecánico, óptico, de grabación o de fotocopia, sin permiso previo de la Editorial. Impreso en Chile. ACERCA DEL AUTOR Carlos Roberto Córdova Alvéstegui es Ingeniero Civil, graduado de honor y abanderado de la Escuela Militar de Ingeniería (La Paz – 1990). Obtuvo su título de Magíster en Ciencias de la Ingeniería con especialidad en Estructuras en la Universidad de Texas (Austin – 1996), habiendo sido distinguido como alumno sobresaliente. Durante su permanencia en la Universidad de Texas, trabajó como investigador en proyectos de hormigón pretensado bajo el asesoramiento del profesor Ned H. Burns quien junto al profesor T.Y Lin son autores de libro “Diseño de Estructuras de Concreto Presforzado”. El ingeniero Córdova ha realizado cursos de especialización en ingeniería de puentes y diseño sísmico de estructuras en Japón y Taiwán, respectivamente. Desde estudiante, tuvo vocación hacia la docencia trabajando como ayudante de diversas asignaturas en la Universidad Católica Boliviana, la Escuela Militar de Ingeniería y la Universidad de Texas en Austin. Después de la obtención de su título de magíster, él ha dedicado parte de su tiempo enseñando diversos cursos entre los que se destacan los ramos de estructuras isostáticas, estructuras de hormigón armado, estructuras de hormigón pretensado, estructuras de acero y estructuras especiales en el Departamento de Ingeniería Civil de la Universidad del Valle en La Paz. También, fue catedrático de las materias de estabilidad de estructuras, diseño de estructuras de acero y de hormigón armado en los programas de maestría en ingeniería estructural de la Escuela Militar de Ingeniería y de la Universidad de San Francisco Xavier. Actualmente, es profesor de la asignatura de Hormigón Armado en la Universidad de Santiago de Chile. Durante su trayectoria académica, el profesor Córdova ha recibido diversos reconocimientos entre los que se destacan los otorgados por la Universidad del Valle en los años 2001 y 2004, por un excelente desempeño académico y por la publicación de la 2da edición del presente libro, respectivamente. La afición de Carlos por las estructuras se inició cuando, al poco tiempo de egresar de la universidad, fue invitado por uno de sus profesores a trabajar como ingeniero calculista en el Departamento de Puentes y Estructuras del Servicio Nacional de Caminos en La Paz, Bolivia. Posteriormente, se desempeñó como consultor en estructuras y durante más de 5 años como especialista en estructuras viales en la Gerencia de Construcción de la Administradora Boliviana de Carreteras. Por razones profesionales y buscando nuevos desafíos, el ingeniero Córdova decidió radicarse en Santiago de Chile donde trabajó durante más de 3 años en APIA XXI IAC, primero como ingeniero estructural y después como encargado del Departamento de Estructuras. Posteriormente, fue invitado para formar el equipo de estructuras de la Gerencia de Generación en DESSAU Chile Ingeniería S.A., donde se desenvolvió durante más de 2 años como Jefe de Especialidad de Estructuras y Obras Civiles. Actualmente, trabaja en Tractebel Engineering como Líder de Disciplina de Estructuras y Obras Civiles. Es miembro de la Sociedad de Ingenieros de Bolivia, Colegio de Ingenieros Civiles de Bolivia, Colegio de Ingenieros Estructurales de Bolivia, Colegio de Ingenieros de Chile A.G. y del Instituto Americano del Concreto. El ingeniero Córdova ha participado de forma directa en el diseño y cálculo de más de cien puentes de diferentes características construidos en acero, hormigón armado y hormigón pretensado en Bolivia, Perú y Chile. También, ha trabajado realizando estudios para la rehabilitación y reforzamiento de edificios, puentes vehiculares y ferroviarios, tanto en Bolivia como en Chile. Asimismo, ha participado en el diseño de numerosas estructuras industriales, tanques de almacenamiento de agua, muros de contención, cubiertas estereométricas y escaleras helicoidales. En los últimos cinco años, el ingeniero Córdova ha estado trabajando en el rubro de la energía, donde ha participado revisando y liderando los diseños estructurales de diferentes centrales hidroeléctricas ubicadas en el sur de Chile. También, como jefe de proyecto y líder de la disciplina de estructuras, ha realizado la ingeniería de varios parques eólicos; así como el diseño de las estructuras de las subestaciones y líneas de transmisión asociadas a dichos proyectos. Al presente, se encuentra liderando el desarrollo de la ingeniería de detalle de diversos proyectos en Chile, entre los que se destacan las estructuras subterráneas para dos centrales hidroeléctricas de pasada y la ampliación de una planta de fabricación de tableros de fibra orientada. A mis padres Samuel y Sonia por sus sabios consejos y enseñanzas que siempre me han acompañado. A mi esposa Marisol por su apoyo incondicional y por haberme concedido el tiempo para concluir este libro. A mis hijos Anahí y Matías porque ellos me dieron la fuerza necesaria y la inspiración permanente para culminar este anhelado sueño. TABLA DE CONTENIDO PRÓLOGO ............................................................................................................................................................... xvii 1. INTRODUCCIÓN AL HORMIGÓN ARMADO .................................................................................................. 1 1.1. Esencia del hormigón armado ................................................................................................................................. 1 1.2. Breve reseña histórica.............................................................................................................................................. 2 1.3. Métodos de las tensiones admisibles y de la resistencia última ............................................................................... 8 1.4. Diseño por el método de las tensiones admisibles (Teoría elástica) ........................................................................ 9 1.5. Diseño por el método de la resistencia última ......................................................................................................... 9 1.6. Razones para utilizar el método de la resistencia última ......................................................................................... 9 1.7. Diseño para resistencia y funcionalidad ................................................................................................................ 10 1.8. Método de la resistencia última y de servicio ........................................................................................................ 10 1.8.1. Provisiones para la resistencia ................................................................................................................. 10 1.8.2. Ecuación básica para el diseño por resistencia ........................................................................................ 18 1.8.3. Provisiones para la resistencia del acero ................................................................................................. 18 1.8.4. Provisiones para el funcionamiento o servicio ........................................................................................ 18 1.8.5. Provisiones para la ductilidad.................................................................................................................. 19 1.9. Cargas vivas de servicio ........................................................................................................................................ 19 1.9.1. Divisiones y particiones .......................................................................................................................... 19 1.9.2. Cargas concentradas ................................................................................................................................ 19 1.9.3. Consideraciones para el impacto ............................................................................................................. 20 1.9.4. Reducción de la carga viva en pisos ........................................................................................................ 20 1.9.5. Reducción de la carga viva en techos ...................................................................................................... 25 1.10. Problemas propuestos .......................................................................................................................................... 26 2. CARACTERÍSTICAS MECÁNICAS DE LOS MATERIALES ....................................................................... 31 2.1. Hormigón............................................................................................................................................................... 31 2.1.1. Comportamiento del hormigón bajo diferentes tipos de esfuerzos.......................................................... 31 2.1.2. Cambios volumétricos dependientes del tiempo ..................................................................................... 40 2.2. Acero de refuerzo .................................................................................................................................................. 60 2.3. Problemas propuestos ............................................................................................................................................ 67 3. TEORÍA DE FLEXIÓN EN HORMIGÓN ARMADO ...................................................................................... 69 3.1. Introducción........................................................................................................................................................... 69 3.2. Flexión en vigas de material homogéneo, elástico e isótropo ............................................................................... 69 ix Diseño de estructuras de hormigón armado 3.3. Suposiciones básicas de la teoría de flexión en hormigón armado ....................................................................... 72 3.4. Problemas propuestos ........................................................................................................................................... 78 4. VIGAS - RESISTENCIA A LA FLEXIÓN ......................................................................................................... 81 4.1. Secciones rectangulares ........................................................................................................................................ 81 4.1.1. Análisis de secciones con simple armadura ............................................................................................ 81 4.1.2. Diseño de vigas rectangulares ................................................................................................................ 96 4.1.3. Vigas con refuerzo de compresión ....................................................................................................... 112 4.1.4. Análisis de vigas con refuerzo de tracción y compresión ..................................................................... 117 4.2. Vigas de sección T .............................................................................................................................................. 127 4.2.1. Análisis de vigas T ............................................................................................................................... 134 4.2.2. Diseño de vigas T ................................................................................................................................. 145 4.2.3. Análisis de vigas T (Método General) .................................................................................................. 148 4.3. Método de compatibilidad de deformaciones ..................................................................................................... 152 4.4. Ductilidad de secciones de hormigón no confinado ........................................................................................... 163 4.4.1. Introducción a la ductilidad de secciones de hormigón armado ........................................................... 163 4.4.2. Ductilidad en secciones no confinadas de vigas ................................................................................... 165 4.5. Problemas propuestos ......................................................................................................................................... 180 5. VIGAS – RESISTENCIA A CORTE Y TENSIÓN DIAGONAL ................................................................... 185 5.1. Introducción ........................................................................................................................................................ 185 5.2. Tensión diagonal en vigas elásticas homogéneas ............................................................................................... 186 5.3. Vigas de hormigón armado sin refuerzo por corte .............................................................................................. 188 5.3.1. Criterio para la formación de fisuras diagonales .................................................................................. 188 5.4. Análisis y diseño de vigas de hormigón armado por corte ................................................................................. 192 5.5. Problemas propuestos ......................................................................................................................................... 210 6. VIGAS CONTINUAS Y LOSAS EN UNA DIRECCIÓN................................................................................ 213 6.1. Vigas hiperestáticas de hormigón armado .......................................................................................................... 213 6.2. Estados de carga ................................................................................................................................................. 217 6.3. Coeficientes para momentos de la ACI .............................................................................................................. 221 6.4. Redistribución de momentos negativos en vigas continuas ................................................................................ 223 6.5. Losas armadas en una dirección ......................................................................................................................... 223 6.6. Problemas propuestos ......................................................................................................................................... 243 7. DESARROLLO, ANCLAJE Y EMPALMES DE BARRAS DE ACERO ..................................................... 245 7.1. Introducción ........................................................................................................................................................ 245 7.2. Tensiones de adherencia ..................................................................................................................................... 247 7.3. Mecanismos de transferencia .............................................................................................................................. 253 x Tabla de contenido 7.4. Longitud de desarrollo ......................................................................................................................................... 255 7.4.1. Desarrollo de barras corrugadas y de alambres corrugados a tracción .................................................. 255 7.4.2. Desarrollo de barras corrugadas y alambres corrugados a compresión ................................................. 260 7.4.3. Desarrollo de atados de barras............................................................................................................... 263 7.4.4. Desarrollo de ganchos estándar a tracción ............................................................................................ 263 7.4.5. Desarrollo de barras corrugadas en tracción ancladas con cabeza y ancladas mecánicamente ............. 267 7.4.6. Desarrollo de refuerzo electrosoldado de alambre corrugado a tracción ............................................... 268 7.4.7. Desarrollo de refuerzo electrosoldado de alambre liso a tracción ......................................................... 269 7.5. Diseño de anclajes ............................................................................................................................................... 270 7.5.1. Corte de barras y desarrollo de barras en vigas ..................................................................................... 273 7.5.2. Factores que afectan la localización de los cortes en las barras ............................................................ 274 7.5.3. Localización de puntos de corte para barras en vigas............................................................................ 274 7.5.4. Desarrollo del refuerzo por flexión ....................................................................................................... 278 7.5.5. Desarrollo del refuerzo positivo por flexión.......................................................................................... 279 7.5.6. Desarrollo del refuerzo negativo por flexión ......................................................................................... 279 7.5.7. Desarrollo del refuerzo del alma - estribos............................................................................................ 281 7.6. Empalmes en barras de acero .............................................................................................................................. 281 7.6.1. Empalmes de solapa o por traslapo ....................................................................................................... 281 7.6.2. Empalmes mecánicos y soldados .......................................................................................................... 281 7.6.3. Empalmes de barras y alambres en tracción .......................................................................................... 282 7.6.4. Empalmes de barras en compresión ...................................................................................................... 283 7.6.5. Empalmes de refuerzo electrosoldado de alambre corrugado a tracción ............................................... 283 7.6.6. Empalmes de refuerzo electrosoldado de alambre liso a tracción ......................................................... 284 7.7. Problemas propuestos .......................................................................................................................................... 285 8. COLUMNAS CORTAS ....................................................................................................................................... 287 8.1. Introducción......................................................................................................................................................... 287 8.2. Comportamiento elástico de columnas cargadas axialmente ............................................................................... 288 8.3. Resistencia última de columnas cargadas axialmente ......................................................................................... 293 8.4. Diagramas de interacción .................................................................................................................................... 293 8.5. Diagramas de interacción para columnas de hormigón armado .......................................................................... 298 8.5.1. Solución utilizado compatibilidad de deformaciones ............................................................................ 298 8.6. Diagramas de interacción para columnas circulares ............................................................................................ 314 8.7. Propiedades de los diagramas de interacción para columnas de hormigón armado ............................................ 316 8.7.1. Diagramas de interacción sin dimensiones ............................................................................................ 316 8.7.2. Excentricidad de la carga ...................................................................................................................... 323 8.7.3. Columnas con refuerzo asimétrico ........................................................................................................ 323 8.7.4. Diagramas de Interacción simplificados para columnas ....................................................................... 325 8.8. Diseño de columnas cortas .................................................................................................................................. 326 8.8.1. Consideraciones en la elección de la sección transversal de columnas ................................................. 327 8.8.2. Elección del material y de la cuantía de acero....................................................................................... 328 8.8.3. Estimación de las dimensiones de la columna....................................................................................... 329 8.8.4. Columnas esbeltas ................................................................................................................................. 330 8.8.5. Requerimientos de espacio entre barras ................................................................................................ 332 8.8.6. Empalmes para el refuerzo .................................................................................................................... 332 xi Diseño de estructuras de hormigón armado 8.8.7. Espaciamiento y requerimientos constructivos para los estribos .......................................................... 332 8.9. Problemas propuestos ......................................................................................................................................... 343 9. ESTADOS LÍMITES DE SERVICIO ............................................................................................................... 347 9.1. Introducción ........................................................................................................................................................ 347 9.2. Teoría elástica en elementos de hormigón armado sometidos a flexión ............................................................. 348 9.2.1. Análisis elástico de secciones ............................................................................................................... 348 9.3. Análisis de vigas utilizando el procedimiento del par interno ............................................................................ 351 9.4. Análisis de vigas T utilizando el procedimiento del par interno ......................................................................... 358 9.5. Análisis de vigas por el método de la sección transformada............................................................................... 364 9.6. Análisis de columnas cortas ................................................................................................................................ 369 9.7. Agrietamiento ..................................................................................................................................................... 372 9.7.1. Variables que afectan el ancho y distribución de las fisuras ................................................................. 372 9.7.2. Ubicación y distribución de fisuras por acciones conocidas................................................................. 373 9.7.3. Razones para controlar el ancho de fisuras ........................................................................................... 375 9.7.4. Límites en el ancho de fisuras .............................................................................................................. 376 9.7.5. Refuerzo lateral del alma (armadura de piel) ........................................................................................ 378 9.8. Deflexiones ......................................................................................................................................................... 379 9.8.1. Comportamiento de vigas de hormigón armado ................................................................................... 379 9.8.2. Cálculo de las deflexiones .................................................................................................................... 382 9.8.3. Deflexiones por retracción y fluencia ................................................................................................... 383 9.8.4. Consideraciones de las deflexiones en el diseño .................................................................................. 385 9.8.5. Magnitudes permitidas de deflexión ..................................................................................................... 386 9.8.6. Deflexiones en pórticos ........................................................................................................................ 387 9.9. Vibraciones ......................................................................................................................................................... 388 9.10. Fatiga ................................................................................................................................................................ 388 9.11. Problemas propuestos ....................................................................................................................................... 389 10. COLUMNAS ESBELTAS ................................................................................................................................ 393 10.1. Introducción ...................................................................................................................................................... 393 10.2. Definición de columna esbelta .......................................................................................................................... 393 10.3. Pandeo de columnas (Teoría Elástica) .............................................................................................................. 395 10.3.1. Estados de equilibrio .......................................................................................................................... 395 10.4. Columnas esbeltas en estructuras ...................................................................................................................... 399 10.4.1. Comportamiento y análisis de columnas doblemente articuladas ...................................................... 399 10.4.2. Fallas en material y fallas de estabilidad ............................................................................................ 400 10.4.3. Diagramas de interacción para columnas esbeltas .............................................................................. 401 10.4.4. Mayorador de momento para un elemento doblemente articulado cargado simétricamente .............. 402 10.4.5. Efecto de momentos desiguales de extremo en la resistencia de columnas esbeltas .......................... 404 10.4.6. Rigidez de la columna esbelta ............................................................................................................ 408 10.4.7. Efecto de cargas sostenidas en columnas doblemente articuladas ...................................................... 412 10.5. Límites de esbeltez para columnas esbeltas ...................................................................................................... 415 xii Tabla de contenido 10.6. Límite de los efectos de segundo orden ............................................................................................................. 416 10.7. Resumen del diseño de columnas esbeltas en pórticos arriostrados .................................................................. 416 10.8. Comportamiento de las columnas en pórticos no arriostrados .......................................................................... 431 10.8.1. Estática de pórticos no arriostrados ..................................................................................................... 431 10.8.2. Diseño de columnas en pórticos no arriostrados ................................................................................. 432 10.9. Resumen del diseño de columnas esbeltas en pórticos no arriostrados ............................................................. 434 10.10. Momento mínimo ............................................................................................................................................ 437 10.11. Problemas propuestos ...................................................................................................................................... 448 11. VIGAS – RESISTENCIA A TORSIÓN ........................................................................................................... 451 11.1. Introducción....................................................................................................................................................... 451 11.2. Torsión en elemento de hormigón sin refuerzo ................................................................................................. 453 11.3. Tensiones causadas por torsión ......................................................................................................................... 453 11.4. Torsión en elementos de hormigón armado ....................................................................................................... 456 11.5. Torsión y corte ................................................................................................................................................... 461 11.6. Provisiones del código ACI para el diseño a torsión ......................................................................................... 462 11.7. Problemas propuestos ........................................................................................................................................ 478 12. LOSAS ARMADAS EN DOS DIRECCIONES ............................................................................................... 481 12.1. Introducción....................................................................................................................................................... 481 12.2. Análisis exacto de losas ..................................................................................................................................... 482 12.2.1. Análisis de resultados típicos .............................................................................................................. 489 12.3. Losas en dos direcciones soportadas en sus cuatro lados .................................................................................. 499 12.4. Análisis por el método de los coeficientes ........................................................................................................ 505 12.5. Espesor mínimo de losas con y sin vigas interiores ........................................................................................... 512 12.5.1. Losa sin vigas interiores ...................................................................................................................... 512 12.5.2. Losa con vigas interiores ..................................................................................................................... 512 12.6. Consideraciones para el refuerzo de losas en dos direcciones ........................................................................... 525 12.6.1. Ábacos ................................................................................................................................................. 525 12.6.2. Capiteles .............................................................................................................................................. 526 12.6.3. Refuerzo .............................................................................................................................................. 527 12.6.4. Anclajes y puntos de corte del refuerzo .............................................................................................. 529 12.7. Resistencia al corte de losas en dos direcciones ................................................................................................ 530 12.7.1. Corte en una dirección ......................................................................................................................... 531 12.7.2. Corte en dos direcciones...................................................................................................................... 531 12.8. Losas planas soportadas sobre pilares ............................................................................................................... 559 12.9. Método del diseño directo ................................................................................................................................. 565 12.9.1. Definición de la luz libre ..................................................................................................................... 567 12.9.2. Cálculo del momento estático ............................................................................................................. 567 12.9.3. Distribución del momento estático ...................................................................................................... 568 xiii Diseño de estructuras de hormigón armado 12.9.4. Momentos en las franjas de la columna y central ............................................................................... 570 12.10. Método del pórtico equivalente ...................................................................................................................... 580 12.10.1. Idealización del sistema .................................................................................................................... 581 12.10.2. Rigidez de los elementos del pórtico ................................................................................................ 581 12.11. Método de los elementos finitos ..................................................................................................................... 597 12.12. Problemas propuestos ..................................................................................................................................... 601 13. ANÁLISIS Y DISEÑO DE REGIONES CON DISCONTINUIDAD............................................................ 607 13.1. Introducción ...................................................................................................................................................... 607 13.2. Procedimientos de dimensionamiento según los códigos actuales ................................................................... 609 13.3. Regiones B y regiones D .................................................................................................................................. 609 13.4. Componentes de los modelos con puntales y tensores ...................................................................................... 612 13.5. Reglas de diseño para los modelos de puntales y tensores ............................................................................... 613 13.5.1. Geometría de los modelos de puntales y tensores .............................................................................. 614 13.5.2. Resistencia efectiva del hormigón y factores de reducción de resistencia .......................................... 615 13.5.3. Forma y resistencia de los puntales de compresión ............................................................................ 615 13.5.4. Resistencia y anclaje de los tensores .................................................................................................. 619 13.5.5. Geometría y resistencia de las zonas nodales ..................................................................................... 622 13.5.6. Requisitos de detallado ....................................................................................................................... 626 13.6. Estado límite de servicio ................................................................................................................................... 628 13.7. Vigas de canto alto ............................................................................................................................................ 628 13.8. Ménsulas cortas ................................................................................................................................................ 644 13.9. Vigas con bordes entallados ............................................................................................................................. 656 13.10. Resistencia al aplastamiento ........................................................................................................................... 670 13.11. Problemas propuestos ..................................................................................................................................... 673 14. MUROS DE CORTE ......................................................................................................................................... 677 14.1. Introducción ...................................................................................................................................................... 677 14.2. Interacción entre muros de corte y marcos ....................................................................................................... 681 14.3. Muros de corte acoplados ................................................................................................................................. 687 14.4. Diseño de muros estructurales .......................................................................................................................... 699 14.4.1. Geometría del edificio ........................................................................................................................ 699 14.4.2. Diafragmas ......................................................................................................................................... 699 14.4.3. Distribución de los muros en planta ................................................................................................... 699 14.4.4. Distribución de las fuerzas de corte de un piso a los muros estructurales .......................................... 700 14.4.5. Fundaciones para muros ..................................................................................................................... 709 14.4.6. Dimensiones de la sección transversal de un muro estructural ........................................................... 710 14.4.7. Espesor mínimo de los muros ............................................................................................................. 713 14.4.8. Refuerzo en muros estructurales ......................................................................................................... 713 14.4.9. Estribos y/o trabas para el refuerzo vertical ........................................................................................ 715 14.5. Resistencia a la flexión de muros de corte ........................................................................................................ 716 xiv Tabla de contenido 14.5.1. Análisis de sección rectangular con armadura vertical uniformemente distribuida ............................ 718 14.5.2. Análisis de secciones I, C o T con armadura vertical concentrada en los extremos ............................ 725 14.6. Resistencia al corte de muros de corte ............................................................................................................... 730 14.6.1. Cálculo de la resistencia al corte del hormigón ................................................................................... 731 14.6.2. Cálculo de la armadura por corte en muros estructurales .................................................................... 735 14.7. Resistencia al corte por fricción ........................................................................................................................ 751 14.8. Problemas propuestos ........................................................................................................................................ 758 15. DISEÑO PARA ZONAS SÍSMICAS ................................................................................................................ 763 15.1. Introducción....................................................................................................................................................... 763 15.2. Provisiones generales del código ACI para el diseño símico de estructuras ..................................................... 764 15.3. Análisis y diseño de elementos estructurales ..................................................................................................... 765 15.4. Requisitos de ductilidad de desplazamiento ...................................................................................................... 765 15.5. Factores de carga, combinaciones de cargas y factores de reducción de la resistencia ..................................... 768 15.6. Calidad de los materiales para pórticos y muros especiales resistentes a momento .......................................... 769 15.7. Empalmes mecánicos y soldados en pórticos y muros especiales resistentes a momento ................................. 770 15.8. Pórticos ordinarios resistentes a momento para categoría de diseño sísmico B ................................................ 771 15.9. Pórticos intermedios resistentes a momento para categoría de diseño sísmico C .............................................. 772 15.9.1. Consideraciones para el diseño de vigas en pórticos intermedios ....................................................... 773 15.9.2. Consideraciones para el diseño de columnas en pórticos intermedios ................................................ 774 15.10. Pórticos especiales resistentes a momento para categoría de diseño sísmico D, E y F ................................... 777 15.10.1. Consideraciones para el diseño de vigas en pórticos especiales ........................................................ 778 15.10.2. Consideraciones para el diseño de columnas en pórticos especiales ................................................. 783 15.10.3. Longitud de desarrollo de barras en tracción con gancho sísmico .................................................... 790 15.10.4. Nudos en pórticos especiales resistentes a momento ........................................................................ 792 15.11. Muros estructurales especiales y vigas de acople ............................................................................................ 820 15.11.1. Consideraciones para el diseño de muros estructurales especiales .................................................... 820 15.11.2. Machones de muro ............................................................................................................................ 890 15.11.3. Vigas de acople ................................................................................................................................. 893 15.12. Problemas propuestos ...................................................................................................................................... 902 16. FALLAS DE ELEMENTOS ESTRUCTURALES .......................................................................................... 905 16.1. Introducción....................................................................................................................................................... 905 16.2. Falla de columnas .............................................................................................................................................. 905 16.3. Falla de vigas ..................................................................................................................................................... 916 16.4. Falla de la unión entre viga y columna .............................................................................................................. 917 16.5. Falla de losas ..................................................................................................................................................... 920 16.6. Falla de muros de corte...................................................................................................................................... 922 16.7. Falla de fundaciones .......................................................................................................................................... 925 16.8. Colapso parcial o total de estructuras ................................................................................................................ 929 xv Diseño de estructuras de hormigón armado REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA ....................................................................................................................... 933 ANEXO 1 – TABLAS DE ARMADURAS ............................................................................................................ 935 ANEXO 2 – ESPESORES MÍNIMOS PARA LOSAS Y VIGAS DE HORMIGÓN ARMADO...................... 943 ANEXO 3 – DETALLES PARA EL CORTE DE BARRAS Y PARA EL REFUERZO DE INTEGRIDAD . 945 ANEXO 4 – DEFLEXIONES MÁXIMAS PERMISIBLES ................................................................................ 947 ANEXO 5 – CARGAS VIVAS Y MUERTAS DE SERVICIO ............................................................................ 949 ANEXO 6 – REFUERZO MÍNIMO PARA DIFERENTES ELEMENTOS ESTRUCTURALES .................. 957 ANEXO 7 – CUANTÍAS DE REFUERZO PARA ELEMENTOS ESTRUCTURALES.................................. 959 ANEXO 8 – FAMILIA DE DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN ADIMENSIONALES .................................. 961 xvi PRÓLOGO Desde la segunda edición de este texto han transcurrido varios años y nuevos procedimientos de análisis y cálculo de elementos de hormigón armado se han puesto en vigencia de acuerdo a la norma norteamericana de hormigón estructural publicada periódicamente por el Instituto Americano del Concreto (ACI por sus siglas en inglés). La presente edición del libro está basada en la edición del año 2014 del ACI 318 con base a revisiones y actualizaciones continuas que la mantienen a la vanguardia y con gran influencia en América Latina y el resto del mundo. Es importante mencionar, que la edición del año 2014 del código ACI, con respecto a las anteriores, ha sufrido una reorganización muy importante de su contenido. De un código orientado al análisis y diseño por tipos de esfuerzos, ha pasado a ser un código enfocado al diseño por tipo de elemento estructural. En ese sentido, el nuevo código es más fácil y rápido de utilizar. Además, como toda la información se halla condensada por elemento estructural, existe la plena seguridad de que para el diseño se cumplan la totalidad de los requerimientos del código y así tener estructuras más seguras y confiables. En las versiones anteriores del código, el calculista estaba obligado a consultar muchas secciones de varios capítulos para el diseño de un solo elemento, con lo que se utilizaban muchas horas en el diseño y al final no siempre se tenía la plena certeza de haber cumplido con todas las exigencias del código. La versión actual del código mantiene al calculista dentro de un mismo capítulo tanto como sea posible minimizando la pérdida de tiempo y esfuerzo. Esta tercera edición del libro, Diseño de Estructuras de Hormigón Armado, ha sido revisada y complementada extensivamente, adecuándola a los nuevos requerimientos. Además, se han incorporado nuevos capítulos que tratan sobre el análisis y diseño de regiones con discontinuidad, diseño de muros de corte, requerimientos de diseño para zonas sísmicas y daños de estructuras por efectos de los terremotos. Este texto está orientado principalmente a estudiantes de Ingeniería Civil, Construcción Civil y Arquitectura; a profesionales que se dedican al cálculo, supervisión y construcción de estructuras de hormigón armado y a cualquier otro profesional que le interese refrescar y actualizar sus conocimientos en la materia. El estudiante debe tener en cuenta que no interesa la norma de diseño que se utilice, debido a que todas conducen a resultados muy parecidos si se utilizan los mismos parámetros de entrada. Lo importante, es comprender los conceptos fundamentales del comportamiento del hormigón armado como material y entender las limitaciones que nos imponen las suposiciones que han sido adoptadas para el desarrollo de toda la teoría del hormigón armado. Los países desarrollados están trabajando cada vez más en forma conjunta a fin de elaborar un sólo código de diseño para estructuras de hormigón armado, con lo cual se daría fin a la gama de códigos y normas que actualmente están en vigencia. Varios textos publicados en los últimos años reflejan esa tendencia xvii Diseño de estructuras de hormigón armado hacia la unificación de criterios, pero todavía habrá que esperar para que la publicación de este nuevo código sea una realidad. El texto está dividido en dieciséis capítulos que son presentados de manera que el estudiante adquiera paulatinamente los conocimientos y la habilidad para resolver problemas de análisis y diseño de estructuras de hormigón armado. Capítulo primero: Introducción al diseño de estructuras de hormigón armado y a los métodos que se utilizan. Se comparan los procedimientos de diseño de las tensiones admisibles y de la resistencia última. Se presentan algunas provisiones para el buen funcionamiento y ductilidad de la estructura en la etapa de servicio. Capítulo segundo: Características de los materiales que intervienen para conformar el hormigón armado. Se presenta por separado el comportamiento del hormigón simple y del acero de refuerzo. Se estudian los cambios volumétricos que presenta el hormigón y que dependen del tiempo como son la fluencia y retracción. Capítulo tercero: Nociones preliminares para el análisis y diseño a la flexión de elementos de hormigón armado. Se presentan, por primera vez, las suposiciones básicas que conforman la esencia de la teoría para el diseño en hormigón armado. Capítulo cuarto: Formulación matemática para el análisis y diseño de vigas de sección rectangular en hormigón armado con simple y doble armadura sometidas a flexión pura. Se analiza el comportamiento de las vigas de hormigón armado con otros tipos de sección transversal como la sección T. Se presenta un método basado en la compatibilidad de deformaciones para secciones de vigas con numerosas filas de acero. Capítulo quinto: Análisis y diseño de elementos de hormigón armado, especialmente vigas sometidas a tensiones diagonales, comúnmente conocidas como solicitaciones por corte. Se estudia el esfuerzo cortante y la formación de fisuras en vigas de hormigón simple, para luego generalizar el estudio a vigas de hormigón armado. Capítulo sexto: Análisis y diseño de vigas continuas y losas de hormigón armado que trabajan principalmente en una sola dirección. Se explica la importancia de considerar en un elemento continuo los diferentes estados de carga necesarios y el concepto de la envolvente de solicitaciones. Capítulo séptimo: Teoría para determinar la longitud de desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero sometidas a tracción y compresión dentro de elementos de hormigón armado. Capítulo octavo: Estudio de elementos estructurales cortos de hormigón armado sometidos a flexo – compresión, comúnmente conocidos como columnas. Procedimientos manuales y automáticos para el cálculo de los diagramas de interacción y su utilización en el diseño y análisis de secciones de hormigón armado. xviii Prólogo Capítulo noveno: Estados límites de servicio considerando los problemas de deflexión, agrietamiento, vibración y fatiga. Se explica detalladamente el agrietamiento de elementos de hormigón armado y las variables que influyen en el ancho y distribución de las fisuras. Capítulo décimo: Introducción general sobre el pandeo de elementos estructurales esbeltos sometidos a flexo - compresión. Análisis y diseño de columnas esbeltas en pórticos traslacionales (no arriostrados) y en pórticos intraslacionales (arriostrados). Capítulo décimo primero: Análisis y diseño a torsión de vigas de hormigón armado. Comportamiento de elementos de hormigón simple y de hormigón armado con su respectivo refuerzo transversal y longitudinal. Capítulo décimo segundo: Varios métodos de análisis para losas en dos direcciones. Desarrollo de la ecuación diferencial que gobierna el comportamiento de losas y presentación de algunos resultados típicos para losas cuadradas y rectangulares. Explicación del método de los coeficientes cuyo tratamiento se presentaba en ediciones antiguas del código para losas apoyadas en sus cuatro lados (simplemente apoyadas, empotradas y con combinación de apoyos). Finalmente, tres métodos de aplicación general como son el Método del Diseño Directo, el Método del Pórtico Equivalente y el Método de Elementos Finitos son explicados para el análisis de losas sobre apoyos aislados con o sin vigas intermedias. Se analiza también el esfuerzo de corte en una y dos direcciones en las inmediaciones de las columnas. Capítulo décimo tercero: Análisis y diseño de regiones con discontinuidad, también llamadas regiones D, utilizando modelos de puntales y tensores. Estos modelos pueden ser enrejados planos o espaciales donde las barras a tracción son reemplazadas por “tirantes” de acero y las barras a compresión son reemplazadas por “bielas” de hormigón. En este capítulo se enfatiza la adecuada colocación de las barras de acero, que es la parte fundamental, en el diseño de estructuras de hormigón armado. Capítulo décimo cuarto: Análisis y diseño de muros de corte. En este capítulo se investiga la interacción entre muros de corte y pórticos, junto con el comportamiento de muros acoplados. También, se presentan las consideraciones que se deben tener para el diseño de muros estructurales y la forma de determinar su resistencia a la flexión, corte y corte por fricción. Capítulo décimo quinto: Diseño para zonas sísmicas. En este capítulo se realiza una revisión general de los efectos de los terremotos sobre las estructuras y se hace hincapié en la importancia del detallamiento de la armadura y confinamiento de las secciones para conseguir una buena ductilidad de los elementos de hormigón armado que es la propiedad más importante cuando se diseñan estructuras en zonas sísmicas. Capítulo décimo sexto: Daño de elementos estructurales. En este capítulo se describen las diferentes fallas que pueden tener los distintos elementos estructurales. También, se muestran fotografías de las fallas más comunes observadas en varios de los terremotos más fuertes acaecidos en la historia del mundo. Asimismo, se explican las posibles causas que generan la falla de elementos tales como columnas, vigas, nudos, muros de corte, losas, fundaciones y colapsos de estructuras en general. El orden de los capítulos en el texto está basado en mi experiencia como profesional y docente de la materia, ordenados de acuerdo a su grado de dificultad y aplicación práctica. xix Diseño de estructuras de hormigón armado Se ha utilizado el Sistema Internacional de medidas, es decir que si no se especifica la unidad en una dimensión, ésta debe ser tomada en milímetros. Por el apoyo financiero recibido para la publicación de la presente edición del libro, deseo expresar mi agradecimiento a la carrera de Obras Civiles de la Universidad de Santiago de Chile y a Tractebel Engineering S.A. Los máximos representantes de ambas instituciones, la Sra. Paulina González Directora de Carrera de Obras Civiles de la USACH y el Sr. Juan Pablo Negroni - Gerente General de Tractebel Chile, mostraron su predisposición a ayudarme desde el momento en que conocieron el proyecto y por ello les expreso mi gratitud. Quiero agradecer al ingeniero Víctor Palma, de la oficina de ingeniería Sergio Contreras y Asociados, por su revisión y comentarios al borrador de la presente edición del libro. Asimismo, de manera especial, agradezco al ingeniero Alfonso Larraín, de la oficina de ingeniería Alfonso Larraín Vial y Asociados, por sus valiosas sugerencias que han enriquecido la tercera edición de este texto. Agradecimientos especiales al Sr. César Contreras por la delineación de la figura 14.2, al Sr. José Aburto por la transcripción, al nuevo formato, de las ecuaciones de los capítulos 2, 3, 5 y 6, a la Sra. Carolina Tapia por las del capítulo 4, al Sr. Guillermo Tobar por las del capítulo 10, al Sr. Carlos Telles por las del capítulo 13 y al Sr. Carlos Varela por las del capítulo 8. Finalmente, solicito a los lectores enviarme sus sugerencias, comentarios y correcciones para que éstas sean incluidas en la próxima edición del texto. Se les agradece con antelación por el tiempo y la gentileza. Santiago de Chile, mayo de 2015 Carlos Roberto Córdova Alvéstegui [email protected] xx CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN AL HORMIGÓN ARMADO 1. Introducción al hormigón armado 1.1. Esencia del hormigón armado El hormigón armado es un material compuesto de hormigón reforzado con barras de acero que cuando es diseñado, detallado y construido adecuadamente se comporta de una manera eficiente para resistir diferentes tipos de solicitaciones. El hormigón armado posee propiedades mucho más ventajosas de las que poseen sus componentes si actuaran en forma aislada. Por ejemplo, el acero actuando en forma aislada es muy susceptible a sufrir daños por incendios, pandeo y corrosión; mientras que el hormigón es muy ineficiente para resistir esfuerzos de tracción. Por tanto, al combinar ambos materiales sus mejores propiedades son utilizadas en el nuevo material llamado hormigón armado. La sabiduría detrás de la unión del hormigón con las barras de acero radica en el aprovechamiento, desde el punto de vista mecánico, funcional y económico, de las propiedades y características que presentan ambos materiales. Por ejemplo, desde el punto vista mecánico, nos interesan las características de rigidez, resistencia y ductilidad. Desde el punto de vista funcional el hormigón armado ofrece la versatilidad de adquirir cualquier forma en obra a costos razonables. El peso unitario del hormigón simple es aproximadamente 23 [𝑘𝑁/𝑚3 ], mientras que el del acero es de 78 [𝑘𝑁/𝑚3 ]. Los diámetros usuales de las barras de acero varían entre 6 [𝑚𝑚] y 25 [𝑚𝑚] y la cuantía total de acero suele estar entre el 0.2% y el 3% de la sección total del elemento. Esto implica índices de consumo entre 15 a 250 [𝑘𝑔] de acero por metro cúbico de hormigón. En nuestro medio el costo del metro cúbico de hormigón simple elaborado puede oscilar entre 100 y 250 dólares americanos (dependiendo de las características mecánicas, en particular la resistencia), y el costo del acero de refuerzo es de unas 50 veces más. Por tanto, el costo del material compuesto depende fundamentalmente de la eficiencia con que se utilicen las barras de refuerzo en la masa de hormigón. Por ser un material que en su mayoría es elaborado in situ, la incidencia de la mano de obra para obtener el hormigón armado es muy importante. En consecuencia, cuando se comparan los costos entre distintas alternativas de materiales para la construcción de una estructura, la decisión de optar por el hormigón 1 Diseño de estructuras de hormigón armado armado depende de la relación entre mano de obra y materiales del sitio de construcción. En países desarrollados la mano de obra tiene mayor incidencia que los materiales, mientras que en países en vías de desarrollo, los materiales tienen mayor incidencia en el costo del hormigón armado. Para que el hormigón armado pueda funcionar como un material, es esencial que exista una buena unión entre las barras de acero y la masa de hormigón. Las fuerzas de adherencia y fricción que se desarrollan entre el acero y el hormigón, permiten que exista la compatibilidad de deformaciones entre ambos materiales. Las principales ventajas del hormigón armado son: a) El hormigón fresco se adapta a cualquier forma de encofrado y las armaduras pueden disponerse siguiendo la trayectoria de los esfuerzos principales internos. b) Es resistente al fuego, efectos climáticos y desgastes mecánicos. c) Es apropiado para construcciones monolíticas (sin juntas) que, por tratarse de estructuras de múltiple indeterminación estática poseen, una gran reserva de capacidad portante y un elevado grado de seguridad. Esta característica es debida a que, correctamente detallado, el hormigón armado posee gran capacidad de absorción y disipación de energía. d) Es económico (materiales inertes baratos como la arena y el agregado grueso) y, en la práctica, no requiere mantenimiento. Sin embargo, sus armaduras deben estar apropiadamente recubiertas para evitar la oxidación. Las desventajas del hormigón armado son: a) Elevado peso propio de la estructura. b) Reducido aislamiento térmico. c) Las modificaciones y su demolición son dificultosas y caras. 1.2. Breve reseña histórica El más antiguo vestigio de hormigón ha sido encontrado en Oriente Medio por el año 5600 antes de Cristo; los egipcios utilizaron una mezcla de morteros de yeso y cal con pajas como aglomerante para los bloques de piedra para la construcción de las pirámides. Los griegos de Creta y Chipre utilizaron también morteros de cal, mientras que los babilonios y sirios utilizaron betún como material aglomerante para sus bloques de piedra y mampostería. 2 Introducción al hormigón armado Foto 1.1. Las Pirámides de Egipto (Fotografía libre de derechos de autor, http://pixabay.com, CC0 1.0) Los griegos de la antigüedad utilizaron piedra caliza calcinada como aglomerante, mientras que los romanos fabricaron el primer hormigón mezclando la cal molida con ceniza volcánica. Esta mezcla fue utilizada para la unión de los bloques de piedra en la construcción de acueductos, edificios, etc. Los romanos utilizaron puzolana, un tipo particular de arena de Pozzuoli, cerca del volcán Vesubio (sur de Italia) como aglomerante en la construcción de edificaciones importantes como el Panteón o el Coliseo en Roma, Italia. Foto 1.2. Coliseo en Roma - Italia (Fotografía libre de derechos de autor, http://pixabay.com, CC0 1.0) 3 Diseño de estructuras de hormigón armado La puzolana es una arena poco común que reacciona químicamente con la cal y el agua para formar una masa que al endurecer parece una roca. Además, esta arena es silícea y aluminosa que reacciona con el hidróxido de calcio para formar un compuesto con propiedades aglomerantes. Durante la Edad Media, la calidad de los materiales aglomerantes se deterioró porque la cal y la puzolana ya no eran utilizadas. Pero, éstas volvieron a utilizarse en los siglos XIII y XIV. En el siglo XV, los constructores venecianos utilizaron cal negra de Abetone (un área en el norte de Italia cerca de Vicenza) que es similar a la puzolana, para la construcción de los edificios en Venecia. En 1499 Fray Giovanni Giocondo un monje ingeniero nacido en Verona, Italia utilizó puzolana en el mortero para la construcción de las pilas del puente de Notre Dam en París. En 1779 le fue concedida una patente a B. Higging por un cemento hidráulico utilizado para revestimiento exterior. En 1793 J. Smeaton descubrió que la calcinación de la piedra caliza conteniendo arcilla producía una clase de cal que endurecía bajo el agua. Smeaton utilizó la cal hidráulica en la construcción del faro Eddystone en Cornwall. James Parker, en el año 1796, patentó un tipo especial de cemento natural hidráulico (llamado Cemento Romano) que se obtenía por la calcinación de gránulos de piedra caliza con impurezas de arcilla. Un proceso similar fue utilizado en Francia en el año 1802. En 1812 L. Vicat preparó una cal hidráulica artificial calcinando mezclas artificiales de piedra caliza y arcilla. En 1818 un cemento natural fue producido en los Estados Unidos y a M. de Saint Leger le fueron concedidas patentes para cementos hidráulicos. En 1822 J. Frost produjo una cal hidráulica artificial llamada Cemento Británico. El año 1824 fue de mucha importancia en la historia del hormigón porque J. Aspdin mejoró el Cemento Portland (llamado así por la masa dura que formaba al endurecer y que se asemejaba a las rocas de alta calidad que se extraían en Portland, Inglaterra) incinerando, en forma conjunta, una mezcla de yeso y arcilla hasta que dióxido de carbono era liberado. El cemento de Aspdin tuvo un éxito inmediato en la construcción de edificaciones. En 1828 I. K. Brunel fue el primer arquitecto que utilizó Cemento Portland en la construcción del túnel Támesis, mientras que en Alemania ensayos sistemáticos de la resistencia a la compresión y tracción del cemento comenzaron a realizarse en 1836. J. L. Lambot en 1848 construyó en el sur de Francia un pequeño bote de hormigón (posteriormente el bote fue reforzado con barras y mallas de hierro). En la década de 1890 el italiano C. Gabellini comenzó también a construir barcos de hormigón reforzado con hierro. En 1850 un jardinero francés llamado J. Monier construyó una maseta para flores de hormigón armado y en 1867 patentó tubos de hormigón reforzado. En 1887 H. Le Chatelier estableció proporciones de óxido para la preparación de la mezcla en la producción del cemento Portland, cuyos principales componentes fueron ferritos, aluminatos y silicatos tricálcicos. A W. Wilkinson de Newcastle se le atribuye la construcción del primer edificio en hormigón armado porque introdujo barras de hierro reforzado en el hormigón de las losas y techo para la construcción de 4 Introducción al hormigón armado viviendas pequeñas de dos pisos. En 1854 solicitó una patente para la construcción de viviendas, almacenes y otras estructuras. El constructor francés F. Coignet construyó varias viviendas grandes en el Reino Unido y Francia entre 1850 y 1880 utilizando barras de hierro en los pisos para prevenir la separación de los muros, pero más tarde utilizó las barras de hierro como elementos a flexión. En 1861, Coignet dio un paso muy importante al establecer normas para construir vigas, bóvedas y tubos en hormigón reforzado. Además, Coignet y Monier, presentaron en asociación modelos físicos en la Exposición Universal de París en 1867. En ese mismo año Monier sacó sus primeras patentes para construir depósitos, vigas rectas, vigas curvas y otras tipologías estructurales. La primera edificación de hormigón reforzado en los Estados Unidos fue una casa en el puerto Chester en Nueva York construida por W. E. Ward entre 1871 y 1875. En 1879 G. A. Wayss, un constructor alemán, compró los derechos de la patente del llamado sistema Monier y comenzó con la construcción de edificaciones de hormigón armado en Alemania y Austria. Durante los años venideros, en los Estados Unidos, Wayss realizó estudios interesantes con el hormigón armado y en 1884 patentó su propio sistema de construcción. Diez años más tarde, en 1894, A de Baudot construyó la iglesia de San Juan de Montmartre en París con columnas esbeltas de hormigón y bóvedas confinadas por muros delgados de hormigón armado. T. A. Edison utilizó también el hormigón y en 1899 estableció la Compañía Edison de Cemento Portland en Nueva Jersey. Edison promovió la construcción en hormigón y realizó una gran cantidad de propuestas nuevas para innovar el uso del hormigón. Además, él diseñó varios juegos de encofrados metálicos para la construcción en hormigón de columnas, losas y escaleras de casas. El primer puente de hormigón armado fue construido en 1889, mientras que el primer rascacielos de hormigón armado fue construido en Cincinnati, EEUU entre 1902 y 1904 utilizando una variación del sistema Ransome, diseñado por Elzner y Henderson. El constructor francés F. Hennebique comenzó la construcción de casas en hormigón armado en 1870 y solicitó patentes de su sistema en varios países de Europa y Sudamérica. Hennebique promovió el hormigón armado a través de conferencias y desarrollando manuales de construcción, pero fue A. Pret quien contribuyó a su diseminación como material arquitectónico. En 1903, Perret diseñó y construyó un edificio de varios pisos en París utilizando hormigón armado. Esta estructura influyó profundamente la arquitectura y la construcción en hormigón armado por muchas décadas debido a que ésta fue construida sin muros portantes, solamente utilizando columnas, vigas y losas. Perret también construyó museos, iglesias, teatros como el Teatro de los Campos Elíseos. La iglesia de Notre Dame du Raincy construida en 1922 constituyó un avance importante en el hormigón armado (comparado con edificaciones anteriores de hormigón) y es reconocida como una obra maestra del diseño arquitectónico por la sublime cubierta curva y las columnas esbeltas que demuestran las bondades excepcionales de este nuevo material de construcción. 5 Diseño de estructuras de hormigón armado La estructura más interesante desde el punto de vista del desarrollo del hormigón armado es la Sala del Siglo (Jahrhunderthalle en alemán) que fue diseñada por M. Berg y calculada por los ingenieros del Departamento de Obras de la ciudad de Breslau. Esta obra fue construida en la misma ciudad de Breslau en el año 1913 como parte de una serie de trabajos con motivo de la celebración del centenario de la Guerra de Liberación contra Napoleón ganada en 1813. Foto 1.3. La Sala del Siglo en Breslau – Polonia (Fotografía cortesía de http://mostbeautifulplacesintheworld.org) Emilio Mörsch, profesor en la Escuela Superior Técnica de Stuttgart entre 1916 a 1948, publicó en 1902 un tratado sobre el comportamiento del hormigón armado sobre bases científicas, partiendo de resultados experimentales. El profesor Mörsch presentó la primera teoría para el dimensionado de secciones de hormigón armado y cuyos principios no difieren mucho con las teorías vigentes de cálculo. En 1951 M. Trucco construyó la fábrica de autos Fiat-Lingotto en Turín, Italia utilizando hormigón armado. La peculiaridad de este edificio es que la pista de pruebas de los autos está en el techo. En 1921 los hangares parabólicos, para aviones del aeropuerto de Orly en París, construidos de hormigón armado fueron completados. En 1930 el ingeniero español Eduardo Torroja diseñó un domo rebajado para la cubierta del mercado de Algeciras utilizando cables de acero para el anillo inferior a tracción. También, Torroja diseñó la cubierta en voladizo para las graderías del hipódromo de Madrid en 1935. Al mismo tiempo, el ingeniero italiano Pier Luigi Nervi comenzó a construir sus famosos hangares en Orbetello. Los trabajos de Nervi incluyen la sala de exhibiciones de Turín y dos estadios cubiertos en Roma. 6 Introducción al hormigón armado El arquitecto Félix Candela llevó a la máxima expresión la utilización de cáscaras diseñando y construyendo muchas estructuras de este tipo, entre las cuales se pueden destacar el Laboratorio de Rayos Cósmicos de la ciudad de México y la cubierta del restaurante Los Manantiales en Xochimilco, México. Foto 1.4. Restaurant “Los Manantiales” en construcción en Xochimilco - México (Fotografía de www.arq.com.mx) Entre los renombrados trabajos en hormigón armado de Le Corbusier se pueden nombrar a Villa Savoye (1931), las casas en bloques en Nantes y Marseille (1940), el monasterio de La Tourette (1959) y los edificios gubernamentales en Chandigarh, India (1961). Frank Lloyd Wright fue el primero en explorar el voladizo como una característica del diseño gracias a la naturaleza continua de las construcciones en hormigón armado. La casa Kaufman (1936) es un ejemplo particular del uso de voladizos. En 1970, el primer edificio en hormigón reforzado con fibras fue construido. La edificación, en hormigón armado, más alta del mundo fue construida en 1975 y es la torre CN de comunicaciones en Toronto, Canadá con una altura de 555 metros. En la actualidad existen otras edificaciones más altas como el Burj Khalifa en Dubái cuya altura alcanza los impresionantes 928 metros. Sin embargo, solamente hasta los 586 metros de altura es de hormigón armado y el resto de acero, para alivianar su peso. El avance alcanzado en la actualidad sobre el comportamiento del hormigón armado es muy significativo y los procedimientos de diseño para la mayoría de las solicitaciones ya están bien establecidos. En sus inicios, el diseño en hormigón armado se basó en resultados experimentales de pruebas realizadas sobre prototipos. Posteriormente, su diseño se fundamentó en el método elástico de la resistencia de materiales considerando esfuerzos admisibles. En la actualidad, el diseño en hormigón armado se basa en el método de la rotura y la verificación de una sección, elemento o estructura para diferentes estados límites. En las siguientes secciones se explican con más detalle estos dos métodos. 7 Diseño de estructuras de hormigón armado Foto 1.5. Torre CN de comunicaciones en Toronto – Canadá (Fotografía libre de derechos de autor, http://pixabay.com, CC0 1.0) 1.3. Métodos de las tensiones admisibles y de la resistencia última Según Park y Paulay, muchos estudios iniciales acerca del hormigón armado estuvieron basados en teorías de resistencia última como la teoría de flexión de Thullie en 1897 y la teoría de la distribución parabólica de tensiones de Ritter en 1899. Sin embargo, desde 1900 la teoría elástica (distribución lineal de tensiones) de Coignet y Tedeson fue universalmente aceptada porque esta teoría ya se usaba en el diseño con otros materiales y porque era matemáticamente simple. Además, se había observado que las estructuras diseñadas con este método se comportaban adecuadamente bajo cargas de servicio y que tenían un margen adecuado de seguridad contra el colapso cuando el valor de la tensión admisible era elegido cuidadosamente. Antes de la edición del año 1956 del código ACI, el único método disponible para diseñar elementos de hormigón armado era el método de diseño por tensiones admisibles. Después de más de 50 años de utilización del método de las tensiones admisibles y de mucha investigación sobre el comportamiento no lineal e inelástico del hormigón y del acero, en 1956 el método de la resistencia última hace su aparición, como un método alternativo, en un apéndice del código ACI. En la siguiente edición (año 1963), el diseño 8 Introducción al hormigón armado por resistencia última se trasladó al cuerpo principal del código como una alternativa al método de diseño por tensiones admisibles. Pero, debido a la gran aceptación que tuvo el método por resistencia última, en el código del año 1971 se dedicó apenas una página al método de las tensiones admisibles. Luego, el método de las tensiones admisibles se trasladó del cuerpo principal del código a un apéndice de la edición 1983 y a partir de entonces el método comenzó a llamarse "método de diseño alternativo," y permaneció en un apéndice hasta el código del año 1999. 1.4. Diseño por el método de las tensiones admisibles (Teoría elástica) El diseño de las secciones de los elementos que conforman una estructura es realizado asumiendo que las tensiones son proporcionales a las deformaciones (ley de Hooke) y que las tensiones, para las cargas de servicio en el acero y hormigón, no sobrepasan tensiones admisibles que son tomadas como una fracción de la resistencia última de los materiales. Esto quiere decir que la resistencia última dividida por un factor de seguridad da como resultado la tensión admisible. Con este método se utilizan las cargas de servicio para hallar los esfuerzos respectivos por flexión, corte, etc., que luego son comparados con las tensiones admisibles. Si los esfuerzos provenientes de las cargas de servicio son menores o iguales a las tensiones admisibles, entonces el diseño está bien realizado, de lo contrario se modifican las dimensiones del elemento hasta cumplir con el requerimiento de tensión. 1.5. Diseño por el método de la resistencia última El diseño de las secciones de los elementos que conforman una estructura es realizado tomando en cuenta deformaciones inelásticas para alcanzar la resistencia última de la sección (el hormigón a su resistencia máxima y el acero a su tensión de fluencia) para la carga última. La carga última (momento, corte, torsión, etc.) es igual a la suma de las cargas de servicio multiplicadas por sus respectivos factores de carga que en general son mayores a la unidad. La resistencia nominal de diseño del elemento a la acción considerada es multiplicada por un factor de reducción que es menor a la unidad. Si la carga última es menor o igual a la resistencia nominal de diseño del elemento, entonces el diseño es satisfactorio, de lo contrario se modifican las dimensiones de la sección del elemento hasta cumplir la desigualdad. Sin importar el método de diseño que se utilice, el análisis estructural y la determinación de las solicitaciones en los elementos son realizados asumiendo un comportamiento lineal y elástico de la estructura hasta su carga última. En general, se pueden utilizar los métodos clásicos de resolución de estructuras o métodos más modernos como el análisis matricial y los elementos finitos. 1.6. Razones para utilizar el método de la resistencia última Entre las principales razones por las cuales se debe utilizar el método de la resistencia última se pueden citar las siguientes: a) La teoría elástica no puede predecir con exactitud la resistencia última de secciones de hormigón armado ya que éstas se comportan inelásticamente para cargas elevadas con diagramas de tensióndeformación no lineales. Por lo tanto, el factor de seguridad (carga última/carga de servicio) para estructuras diseñadas con el método de las tensiones admisibles es desconocido y varía de estructura en estructura. 9 Diseño de estructuras de hormigón armado b) c) d) e) Los factores de carga son seleccionados de una manera más racional en el método de la resistencia última, ya que para las cargas cuya estimación se la puede realizar con mayor exactitud (peso propio y cargas muertas) se utiliza un factor de carga más pequeño que para las cargas de difícil cuantificación (carga viva, presión de tierra o agua, viento, etc.), para las cuales se puede usar un factor de carga mayor. La curva tensión - deformación del hormigón es no lineal y depende del tiempo. Solamente la parte inicial de la curva puede considerarse aproximadamente lineal. El diseño por el método de la resistencia última hace uso más eficiente del acero de alta resistencia, por lo que se puede diseñar vigas de canto más bajo sin acero de compresión. El método de resistencia última permite al diseñador estimar la ductilidad de la estructura en el rango postelástico. Esto es importante cuando se considera una posible redistribución de los momentos flectores por cargas verticales (muerta, viva, etc.) y en el diseño para cargas producidas por sismos o explosiones. 1.7. Diseño para resistencia y funcionalidad Un sólido diseño en hormigón armado debe contemplar los siguientes dos aspectos importantes: a) b) La estructura en su conjunto y cada uno de sus elementos en particular deben tener suficiente resistencia para soportar las cargas últimas, que son el producto de los factores de carga por las cargas de servicio. Bajo cargas de servicio, las deflexiones, vibraciones y fisuras de todos los elementos que conforman la estructura deben mantenerse dentro de los límites razonables o admisibles. Por lo tanto, una estructura debe ser diseñada, en general, para diferentes estados límites. Los estados límites más importantes son: - Estado límite de resistencia para cargas últimas - Estado límite de deflexión y vibración para cargas de servicio - Estado límite de ancho de fisuras para cargas de servicio 1.8. Método de la resistencia última y de servicio 1.8.1. Provisiones para la resistencia El código ACI separa las provisiones de resistencia para la seguridad estructural en dos partes: factores de carga y factores de reducción de la capacidad del elemento. Factores de carga 𝜸 Estos factores tienen la función de brindar seguridad adecuada a la estructura para cualquier incremento de las cargas de servicio por encima de las cargas especificadas en el diseño, entonces la ocurrencia de una falla es extremadamente improbable. 10 Introducción al hormigón armado Los factores de carga difieren en magnitud para cada tipo de carga porque la probabilidad de que éstas sean excedidas es diferente para cada una. Por ejemplo, la carga viva de servicio tiene una probabilidad mayor de ser excedida que la carga muerta. La carga última en una estructura es obtenida mediante la adición o sustracción de cargas de servicio multiplicadas por sus respectivos factores de carga, en lo que se conoce comúnmente como combinaciones de carga. Estas combinaciones tratan de alguna manera de predecir, aproximadamente, las solicitaciones probables a las que estará sometida la estructura durante su vida útil. Resistencias requeridas En la edición 2002 del código ACI se realizó un cambio sustancial de los factores y combinaciones de carga con el propósito de uniformizar el diseño del hormigón armado con el de otros materiales. En la edición del año 2011, el código ACI, nuevamente realiza una revisión de los factores de combinación de carga. A continuación se presentan las combinaciones de carga recomendadas en la sección 5.3.1 del código ACI para el cálculo de estructuras en hormigón armado. 𝑈 = 1.4 ∙ 𝐷 𝑈 = 1.2 ∙ 𝐷 + 1.6 ∙ 𝐿 + 0.5 ∙ (𝐿𝑟 𝑜 𝑆 𝑜 𝑅) 𝑈 = 1.2 ∙ 𝐷 + 1.6 ∙ (𝐿𝑟 𝑜 𝑆 𝑜 𝑅) + (1.0 ∙ 𝐿 𝑜 0.5 ∙ 𝑊) 𝑈 = 1.2 ∙ 𝐷 + 1.0 ∙ 𝑊 + 1.0 ∙ 𝐿 + 0.5 ∙ (𝐿𝑟 𝑜 𝑆 𝑜 𝑅) 𝑈 = 1.2 ∙ 𝐷 + 1.0 ∙ 𝐸 + 1.0 ∙ 𝐿 + 0.2 ∙ 𝑆 𝑈 = 0.9 ∙ 𝐷 + 1.0 ∙ 𝑊 𝑈 = 0.9 ∙ 𝐷 + 1.0 ∙ 𝐸 (1.1) (1.2) (1.3) (1.4) (1.5) (1.6) (1.7) El factor de carga para la carga viva 𝐿 en las ecuaciones de (1.3) a (1.5) puede ser reducido a 0.5 excepto para estacionamientos, áreas para actos o reuniones públicas y todas las áreas donde la carga viva es mayor a 4.8 [𝑘𝑁/𝑚2 ]. Cuando la carga de viento 𝑊 corresponda a cargas de viento a nivel de servicio, como es todavía el caso de la normativa chilena, se debe utilizar 1.6 ∙ 𝑊 en vez de 1.0 ∙ 𝑊 en las ecuaciones (1.4) y (1.6) y 0.8 ∙ 𝑊 en lugar de 0.5 ∙ 𝑊 en la ecuación (1.3). Cuando la carga de terremoto 𝐸 está basada en fuerzas sísmicas para el nivel de servicio, como es todavía el caso de la normativa chilena, entonces se debe utilizar 1.4 ∙ 𝐸 en vez de 1.0 ∙ 𝐸 en las ecuaciones de (1.5) y (1.7). Si la carga viva es aplicada rápidamente, los efectos del impacto deben ser considerados, por lo que en todas las ecuaciones se debe reemplazar 𝐿 por 𝐿 + 𝐼. Cuando sea aplicable, los efectos inducidos por deformaciones 𝑇 deben ser considerados en combinación con otras cargas. El factor de mayoración para este efecto debe ser establecido tomando en cuenta la incertidumbre de su magnitud, la probabilidad de que su máximo efecto ocurra simultáneamente con otras 11 Diseño de estructuras de hormigón armado cargas aplicadas y las consecuencias potencialmente adversas en caso de que su valor supuesto sea superado. El factor de carga para 𝑇 debe ser mayor o igual a la unidad. Cuando existen cargas de fluidos 𝐹, éstas deben ser incluidas con el mismo factor de 𝐷 en las ecuaciones (1.1) a (1.5) y (1.7). La presión de suelos 𝐻 debe ser incluida en las combinaciones de carga de acuerdo a los siguientes criterios: a) Si 𝐻 actúa en solitario o incrementa el efecto de otras cargas, se la incluye con un factor de carga de 1.6. b) Si 𝐻 es permanente y contrarresta el efecto de otras cargas, se la incluye con un factor de carga de 0.9. c) Si 𝐻 no es permanente, pero cuando está presente contrarresta el efecto de otras cargas, no se la incluye. Para el diseño de las zonas de anclaje en postensado, un factor de 1.2 debe ser aplicado a la máxima fuerza aplicada por el gato. A modo de comparación, en la edición 2008 del código ACI se tenían las siguientes combinaciones de carga: 𝑈 = 1.4 ∙ (𝐷 + 𝐹) 𝑈 = 1.2 ∙ (𝐷 + 𝐹 + 𝑇) + 1.6 ∙ (𝐿 + 𝐻) + 0.5 ∙ (𝐿𝑟 𝑜 𝑆 𝑜 𝑅) 𝑈 = 1.2 ∙ 𝐷 + 1.6 ∙ (𝐿𝑟 𝑜 𝑆 𝑜 𝑅) + (1.0 ∙ 𝐿 𝑜 0.8 ∙ 𝑊) 𝑈 = 1.2 ∙ 𝐷 + 1.6 ∙ 𝑊 + 1.0 ∙ 𝐿 + 0.5 ∙ (𝐿𝑟 𝑜 𝑆 𝑜 𝑅) 𝑈 = 1.2 ∙ 𝐷 + 1.0 ∙ 𝐸 + 1.0 ∙ 𝐿 + 0.2 ∙ 𝑆 𝑈 = 0.9 ∙ 𝐷 + 1.6 ∙ 𝑊 + 1.6 ∙ 𝐻 𝑈 = 0.9 ∙ 𝐷 + 1.0 ∙ 𝐸 + 1.6 ∙ 𝐻 (1.1) (1.2) (1.3) (1.4) (1.5) (1.6) (1.7) El factor de carga para la carga viva 𝐿 en las ecuaciones de (1.3) a (1.5) puede ser reducido a 0.5 excepto para estacionamientos, áreas para actos o reuniones públicas y todas las áreas donde la carga viva es mayor a 4.8 [𝑘𝑁/𝑚2 ] . Cuando la carga de viento 𝑊 no ha sido reducida por el factor de dirección, puede utilizarse 1.3 ∙ 𝑊 en vez de 1.6 ∙ 𝑊 en las ecuaciones de (1.4) a (1.6). Cuando la carga de terremoto 𝐸 está basada en fuerzas sísmicas para el nivel de servicio, entonces se debe utilizar 1.4 ∙ 𝐸 en vez de 1.0 ∙ 𝐸 en las ecuaciones de (1.5) y (1.7). El factor de carga para la presión de suelos 𝐻 debe ser igual a cero en las ecuaciones (1.6) y (1.7) si la acción estructural debido a 𝐻 actúa en sentido contrario a 𝑊 o 𝐸. Donde la presión lateral de tierra provee resistencia a acciones estructurales de otra naturaleza, ésta no debe ser incluida en 𝐻, pero debe ser incluida en el lado de la resistencia para el diseño. 12 Introducción al hormigón armado Si la carga viva es aplicada de manera rápida, tal como sucede en los puentes por la circulación de vehículos, los efectos del impacto deben ser considerados, por lo que en todas las ecuaciones se debe reemplazar 𝐿 por 𝐿 + 𝐼. Para el diseño de las zonas de anclaje en postensado, un factor de 1.2 debe ser aplicado a la máxima fuerza aplicada por el gato. Como se puede apreciar, los cambios efectuados en las combinaciones de carga entre las ediciones de los años 2008 y 2011 son más de forma que de fondo y esta revisión obedece a la tendencia del reglamento de la ACI de ser consistente con el documento ASCE/SEI 7-10. En general, los factores de mayoración de carga no han cambiado, con excepción del de la carga de viento que ha disminuido de 0.8 a 0.5 en la ecuación (1.3) y de 1.6 a 1.0 en las ecuaciones (1.4) y (1.6) siempre y cuando el valor de la carga de viento corresponda a un nivel de resistencia. Sin embargo, si el valor de la carga de viento corresponde a un nivel de servicio se deben utilizar los antiguos factores de mayoración. Entre los cambios menores que se presentan en la nueva edición del código es que las cargas por peso y presión de líquidos 𝐹, cuando existan, deben incluirse con el mismo factor de las cargas muertas 𝐷 en las combinaciones (1.1) a (1.5) y (1.7). Otro cambio menor, es que las cargas por peso y presión de suelos, agua en suelos u otros materiales 𝐻 deben ser incluidas cuando corresponda con los factores de mayoración indicados por el mismo código. Como conclusión se puede indicar que el nuevo código presenta, en esencia, las mismas combinaciones. Sin embargo, deja de mostrar en ellas los efectos de 𝑇, 𝐹 y 𝐻 cuya inclusión es explicada en forma literal en las secciones 5.3.6, 5.3.7 y 5.3.8 del mismo código. El significado de las variables descritas en las ecuaciones de (1.1) a (1.7) es el siguiente: 𝑈 = Resistencia requerida para resistir cargas últimas o momentos y fuerzas resultantes. 𝐿 = Cargas vivas o momentos y fuerzas resultantes. 𝐷 = Cargas muertas o momentos y fuerzas resultantes. 𝐿𝑟 = Cargas vivas en cubiertas y techos o momentos y fuerzas resultantes. 𝐹 = Cargas por peso y presión de líquidos con densidades y controles de máxima altura bien definidos; o momentos y fuerzas resultantes. 𝑅 = Carga de lluvia o momentos y fuerzas resultantes. 𝑆 = Carga de nieve o momentos y fuerzas resultantes. 𝑇 = Efecto acumulado de temperatura, fluencia, retracción y asentamiento diferencial 𝐸 = Efectos de carga de fuerzas sísmicas o momentos y fuerzas resultantes. 𝑊 = Carga de viento o momentos y fuerzas resultantes. 𝐻 = Cargas por peso y presión de suelos, agua en suelos u otros materiales; o momentos y fuerzas resultantes. En el presente texto se utilizará la letra minúscula 𝑤 para denotar carga distribuida y las letras mayúsculas 𝑃 o 𝐹 para denotar carga o fuerza puntual. Para saber de que tipo de carga se trata se utilizarán las siguientes abreviaciones: 13 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑃𝐷 = Carga muerta puntual 𝑃𝐿 = Carga viva puntual 𝑤𝐷 = Carga muerta uniformemente distribuida 𝑤𝐿 = Carga viva uniformemente distribuida Factores de reducción de la capacidad 𝝓 El propósito de los factores de reducción de la capacidad es de proteger a la sección de hormigón armado de pequeños errores que se introducen por la utilización de procedimientos de cálculo aproximados y variaciones en la resistencia de los materiales, mano de obra y dimensiones de los elementos. Además, estos factores reflejan el grado de ductilidad y de fiabilidad requerida en el elemento bajo los efectos de la carga considerada, y la importancia del elemento en la estructura. En la sección 21.2 del código ACI se especifican los factores de reducción de la resistencia y éstos, desde la edición del código del año 2002, dependen de las condiciones de deformación de la sección transversal para la resistencia nominal. Los factores de reducción de la capacidad son los siguientes: a) Para secciones controladas por una falla a tracción b) Para secciones controladas por una falla a compresión: Miembros con refuerzo en espiral Miembros con otro tipo de refuerzo 𝜙 = 0.90 𝜙 = 0.75 𝜙 = 0.65 Para secciones en las cuales la deformación neta de tracción en el acero más alejado de la cara de compresión está entre los límites de falla a compresión y tracción, el factor de reducción de la capacidad se incrementará en forma lineal desde el valor de falla a compresión hasta 0.9 a medida que la deformación neta de tracción, en el acero más alejado de la cara de compresión para la resistencia nominal, se incremente desde la deformación para falla a compresión hasta 0.005. Como se asume que la deformación máxima de compresión en el hormigón para la resistencia nominal es de 0.003, los límites de las deformaciones netas de tracción para los elementos controlados por falla a compresión pueden ser especificados en términos de la relación 𝑐/𝑑𝑡 , donde 𝑐 es la profundidad del eje neutro para la resistencia nominal y 𝑑𝑡 es la distancia desde la fibra extrema de compresión hasta el acero más alejado en tracción. Los límites 𝑐/𝑑𝑡 para fallas controladas por compresión y controladas por tracción son de 0.6 y 0.375, respectivamente. El límite 0.6 se aplica para secciones reforzadas con acero con límite de fluencia de 420 [𝑀𝑃𝑎] y para secciones pretensadas. En la siguiente figura se muestra la variación de 𝜙 en función de 𝜀𝑡 y 𝑐/𝑑𝑡 . 14 Introducción al hormigón armado 𝜙 𝜙 = 0.75 + 50 ∙ (𝜀𝑡 − 0.002) 0.90 0.75 0.65 Espiral 𝜙 = 0.65 + (𝜀𝑡 − 0.002) ∙ ( Estribos Falla controlada por compresión Falla en transición 𝜀𝑡 = 0.002 𝑐/𝑑𝑡 = 0.600 𝑎/𝑑𝑡 = 0.600 ∙ 𝛽1 250 ) 3 Falla controlada por tracción 𝜀𝑡 = 0.005 𝑐/𝑑𝑡 = 0.375 𝑎/𝑑𝑡 = 0.375 ∙ 𝛽1 𝜀𝑡 Fig. 1.1. Variación del factor de 𝝓 en función de 𝜺𝒕 Para elementos con refuerzo en espiral 𝑑𝑡 𝜙 = 0.5 + 0.15 ∙ 𝑐 Para elementos con otro tipo de refuerzo 𝑑𝑡 𝜙 = 0.23 + 0.25 ∙ 𝑐 (1.8) (1.9) c) Para torsión y corte d) Para aplastamiento del hormigón (excepto para zonas de anclaje en postesado y modelos de puntales y tensores) 𝜙 = 0.65 e) Para zonas de anclaje en postesado 𝜙 = 0.85 f) Para cartelas y ménsulas 𝜙 = 0.75 g) Para modelos de puntales y tensores, zonas nodales y apoyos en esos modelos 𝜙 = 0.75 h) Para secciones a flexión en miembros pretesados donde la longitud embebida del torón es menor a la longitud de desarrollo requerida por el código ACI en su sección 25.4.8.1: 𝜙 = 0.75 - Desde el extremo del elemento hasta el final de la longitud de transferencia 𝜙 = 0.75 - Desde el final de la longitud de transferencia hasta el final de la longitud de desarrollo, el factor 𝜙 puede incrementarse linealmente desde 0.75 hasta 0.90. - Cuando la adherencia del torón no se extiende hasta el final del elemento, para la longitud embebida del torón se asume que ésta comienza al final de la longitud no adherida. 15 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝜙 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 Extremo libre del torón y extremo del elemento Final de la longitud de transferencia Final de la longitud de desarrollo 𝑓𝑠𝑒 ( ) ∙ 𝑑𝑏 21 𝑓𝑝𝑠 − 𝑓𝑠𝑒 ( ) ∙ 𝑑𝑏 7 Distancia desde el extremo libre del torón ℓ𝑑 Fig. 1.2. Variación del factor de 𝝓 con la distancia desde el extremo libre del torón en elementos pretesados con torones adheridos en toda su longitud Donde: 𝑓𝑝𝑠 = Esfuerzo en el acero de pretensado en el estado de resistencia nominal a la flexión. 𝑓𝑠𝑒 = Esfuerzo efectivo en el acero de pretensado después de ocurridas todas las pérdidas. 𝜙 0.90 0.80 0.70 0.60 Final de la longitud de transferencia Extremo del elemento Extremo libre del torón 0.50 𝑓𝑠𝑒 Longitud 2 ∙ ( ) ∙ 𝑑𝑏 no adherida 21 𝑓𝑝𝑠 − 𝑓𝑠𝑒 2∙( ) 7 Final de la longitud de desarrollo Distancia desde el extremo libre del torón 2∙ ℓ𝑑 Fig. 1.3. Variación del factor de 𝝓con la distancia desde el extremo libre del torón en elementos pretesados con torones no adheridos (entubados) en el extremo del elemento Para estructuras que dependen de muros estructurales intermedios prefabricados de las categorías de diseño sísmico D, E o F, pórticos especiales resistentes a momento o muros estructurales especiales para resistir los efectos de terremotos, los factores de reducción de la capacidad deben ser modificados de la siguiente manera: 16 Introducción al hormigón armado a) b) c) Para elementos estructurales con una resistencia nominal al corte menor al corte correspondiente a la resistencia nominal a la flexión del elemento, considerando las cargas axiales últimas más críticas incluyendo los efectos del terremoto 𝜙 = 0.60 El factor de reducción de la capacidad para corte en diafragmas no debe exceder el mínimo factor de reducción de la capacidad utilizado para los componentes verticales del sistema primario de resistencia a las fuerzas laterales (fuerzas sísmicas) Para corte en nudos y vigas de acoplamiento reforzadas diagonalmente 𝜙 = 0.85 Para el diseño a flexión, compresión, corte y aplastamiento en hormigón estructural simple (hormigón sin refuerzo de acero) 𝜙 = 0.60 Otras variables, como la consecuencia de la falla en un miembro con respecto a toda la estructura y el grado de advertencia que presenta el modo de falla, han sido también consideradas para la determinación y la adopción de los valores para los factores de reducción de la capacidad. Las vigas tienen el factor 𝜙 más elevado porque son diseñadas para fallar de una manera dúctil debido a la fluencia del acero en tensión. La falla de una viga es advertida por grandes deformaciones y fisuras en la zona traccionada y debido a que la variabilidad de la resistencia del acero es menor a la del hormigón, la resistencia a la flexión puede ser estimada con bastante precisión. Las columnas tienen el factor 𝜙 más bajo porque pueden fallar de una manera frágil cuando se alcanza la resistencia del hormigón. Además, la falla de una columna puede significar el colapso de toda la estructura y la reparación de columnas es una tarea muy difícil. Las columnas con espiral tienen una falla más dúctil que las columnas con solamente estribos debido a que el núcleo central se encuentra mejor confinado, por lo que su factor 𝜙 es un poco mayor. El valor de 𝜙 para corte y torsión es intermedio porque la contribución del hormigón a la resistencia es menos crítica que en el caso de columnas y la teoría para predecir la falla es menos exacta que en el caso de las vigas. El factor de seguridad 𝐹𝑆 para una estructura que soporta carga muerta y carga viva vale: 𝐹𝑆 = 1.2 ∙ 𝐷 + 1.6 ∙ 𝐿 1 ∙ 𝜙 𝐷+𝐿 (1.10) Para flexión sin fuerza axial y con falla a tracción (𝜙 = 0.9): 𝐿 = 0 ⟹ 𝐹𝑆 = 1.33 𝐷 𝐿 = 4 ⟹ 𝐹𝑆 = 1.69 𝐷 Para flexión con fuerza axial de compresión y con falla a compresión (𝜙 = 0.65): 17 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝐿 = 0 ⟹ 𝐹𝑆 = 1.85 𝐷 𝐿 = 4 ⟹ 𝐹𝑆 = 2.34 𝐷 1.8.2. Ecuación básica para el diseño por resistencia El requisito básico para el diseño por resistencia se expresa mediante la siguiente inecuación: 𝜙 ∙ 𝑅𝑛 ≥ 𝑅𝑢 (1.11) Donde: 𝑅𝑢 = Suma de las cargas mayoradas en correspondencia a una combinación de carga dada. 𝑅𝑛 = Resistencia nominal del elemento. 𝜙 = Factor de reducción de la capacidad. En el procedimiento de diseño por resistencia, la seguridad se obtiene a través de dos fuentes. La primera es multiplicando las cargas de servicio por sus respectivos factores de carga, de acuerdo a la combinación utilizada; y la segunda, es multiplicando la resistencia nominal por un factor de reducción que depende del tipo de falla que se está analizando. 1.8.3. Provisiones para la resistencia del acero Para el diseño de elementos de hormigón armado, la tensión de fluencia del acero pasivo no debe ser tomada mayor a 550 [𝑀𝑃𝑎], excepto para el acero de pretensado y para el acero de refuerzo transversal en espiral. Para el diseño a corte y torsión, el código limita la tensión de fluencia del acero pasivo de refuerzo a 420 [𝑀𝑃𝑎], pero si el acero de refuerzo cumple la especificación ASTM A 497M, su tensión de fluencia puede ser tomada hasta 550 [𝑀𝑃𝑎] para el diseño a corte. Para el diseño de estructuras especiales como cáscaras, losas plegadas y estructuras en zonas sísmicas, la tensión de fluencia del acero es también limitada a 420 [𝑀𝑃𝑎]. 1.8.4. Provisiones para el funcionamiento o servicio Si bien la resistencia es de vital importancia para la seguridad de una estructura, no hay que dejar de lado el funcionamiento de la misma. El poder predecir el comportamiento de la estructura bajo cargas de servicio es de mucha importancia cuando los elementos son diseñados utilizando el método de la resistencia última porque un elemento de sección pequeña puede resistir adecuadamente las cargas últimas, pero tener grandes deflexiones bajo cargas de servicio. Por lo tanto, es siempre aconsejable verificar que las deflexiones en los elementos (vigas, losas, etc.) de una estructura estén dentro de los límites tolerables que previenen un mal funcionamiento. Es también importante, dependiendo del tipo de estructura, controlar las fisuras y la vibración por el bien de la durabilidad y apariencia de la misma. 18 Introducción al hormigón armado 1.8.5. Provisiones para la ductilidad Además de las provisiones para la resistencia y funcionalidad, se debe prestar atención a la ductilidad. Es importante asegurar que en el caso de que una estructura sea cargada hasta la falla (sobre carga extraordinaria), ésta tenga un comportamiento dúctil dando señales evidentes de colapso (fisuras y deformación excesivas) para que se puedan tomar las medidas que el caso amerite y se protejan vidas humanas. También, un comportamiento dúctil en elementos de hormigón armado da la oportunidad de utilizar la redistribución de momentos flectores durante el diseño. Para el diseño de estructuras en zonas sísmicas, es primordial la ductilidad ya que generalmente la estructura es diseñada para resistir elásticamente solamente los sismos moderados. En el caso de sismos fuertes, se confía que hay suficiente ductilidad después de la primera fluencia para que la estructura sobreviva sin colapsar. Para tener un comportamiento dúctil en secciones de hormigón armado, es importante detallar cuidadosamente la colocación y los empalmes de las barras de acero. Los lugares donde generalmente se presentan grandes problemas durante los terremotos son las intersecciones entre vigas y columnas o entre columna y losas si el entrepiso no tiene vigas, por lo que es imperativo seguir las recomendaciones existentes en los diferentes códigos de construcción para tener una buena ductilidad en los elementos de hormigón armado. 1.9. Cargas vivas de servicio Las cargas vivas a utilizar en el diseño de edificaciones y otras estructuras, deben ser las máximas cargas que se espere que actúen de acuerdo al uso de la estructura, pero no menores a aquellas cargas uniformemente distribuidas presentadas en el Anexo 5. 1.9.1. Divisiones y particiones La carga muerta producida por muros divisorios y particiones de materiales tradicionales, cuando éstos no son parte del sistema estructural, debe evaluarse para cada piso y se la puede utilizar como carga distribuida sobre las losas. Tanto en la memoria de cálculo como en los planos debe detallarse las cargas asumidas para el diseño. Cuando no se realice un análisis detallado pueden utilizarse, como mínimo, 3.0 [𝑘𝑁/𝑚2 ] para muros de ladrillo hueco de arcilla o concreto y 3.5 [𝑘𝑁/𝑚2 ] para ladrillo macizo de arcilla u hormigón. Estos valores están con base a alturas libres de entrepiso de 2.20 [𝑚], pero si la altura libre es mayor, se puede extrapolar proporcionalmente a la mayor altura. Como mínimo, para muros divisorios y particiones ligeras, se debe considerar una carga de 0.72 [𝑘𝑁/𝑚2 ]. Cuando el muro está sobre el elemento estructural o es parte del sistema estructural, su peso debe contabilizarse como peso propio del elemento. El numeral 4.3.2 de la ASCE/SEI 7-10 indica que no se requiere una carga por particiones cuando la carga viva de diseño está por encima de 3.83 [𝑘𝑁/𝑚2 ]. 1.9.2. Cargas concentradas Las losas de pisos, cubiertas y otras superficies similares deben ser diseñadas para soportar de una manera segura las cargas del Anexo 5, distribuidas o concentradas, que produzcan el mayor efecto. A menos que 19 Diseño de estructuras de hormigón armado se indique de otra manera, la carga concentrada es asumida que actúa de una manera uniformemente distribuida en una superficie de 0.58 [𝑚2 ] y debe ser ubicada de manera de producir el máximo efecto en los elementos estructurales. 1.9.3. Consideraciones para el impacto En los valores de las cargas vivas del Anexo 5 están incluidos los efectos para condiciones ordinarias de impacto. Pero, para cargas que producen condiciones inusuales de vibración e impacto se debe tomar los recaudos necesarios. Ascensores Todas las cargas para ascensores deben ser incrementadas en un 100% por impacto y los soportes estructurales deben ser diseñados para cumplir los requerimientos de deflexiones. Maquinaria y equipo Para propósitos de diseño el peso de maquinarias y cargas móviles debe ser incrementado de la siguiente manera para considerar el impacto: - Montacargas y otras maquinarias que sirven como ascensores Maquinaria liviana de transmisión a cardán o impulsada por motor Maquinaria de movimiento alternativo o unidades de potencia Tirantes para pisos y balcones 100% 20% 50% 33% Todos los porcentajes pueden ser incrementados de acuerdo a las especificaciones del fabricante. 1.9.4. Reducción de la carga viva en pisos La Sociedad Americana de Ingenieros Civiles, en su estándar ASCE/SEI 7-10, presenta un método para realizar la reducción de las cargas vivas del Anexo 5 para cualquier elemento estructural, incluyendo losas planas, que tenga un área de influencia 𝐴𝐼 igual o mayor a 37 [𝑚2 ]. 𝐿 = 𝐿𝑜 ∙ (0.25 + 4.57 √𝐾𝐿𝐿 ∙ 𝐴 𝑇 ) Donde: 𝐴 𝐾𝐿𝐿 = 𝐴 𝐼 = Factor de carga viva para el elemento. 𝑇 𝐴 𝑇 = Area tributaria en [𝑚2 ]. 𝐴𝐼 = Area de influencia en [𝑚2 ]. 𝐿𝑜 = Carga viva de diseño no reducida que soporta el elemento en [𝑘𝑁/𝑚2 ] (ver Anexo 5). 𝐿 = Carga viva de diseño reducida que soporta el elemento en [𝑘𝑁/𝑚2 ]. 20 (1.12) Introducción al hormigón armado La carga viva de diseño reducida 𝐿 no puede ser menor al 50% de la carga viva de diseño no reducida 𝐿𝑜 en elementos que soportan o reciben la carga de un sólo piso, ni menor al 40% en elementos que soportan o reciben carga de dos o más pisos. Para elementos que soporten más de un piso deben sumarse las áreas de influencia de los diferentes pisos. En la siguiente tabla se resume la relación entre el área de influencia y el área tributaria 𝐾𝐿𝐿 para diferentes tipos de elementos estructurales. Tipo de elemento estructural 𝑲𝑳𝑳 * Columnas interiores 4 Columnas exteriores sin losa en voladizo 4 Columnas de borde con losa en voladizo 3 Columnas de esquina con losa en voladizo 2 Vigas de borde sin losa en voladizo 2 Vigas interiores 2 Otros elementos como: Vigas de borde con losa en voladizo Vigas en voladizo Losas en una dirección 1 Losas en dos direcciones Elementos sin provisiones para la transferencia continua del corte perpendicular a sus luces * En vez de utilizar los valores de la tabla se puede calcular el valor de 𝐾𝐿𝐿 Cargas pesadas Para cargas vivas por encima de 4.79 [𝑘𝑁/𝑚2 ] no se utiliza reducción alguna, excepto que se admite una reducción del 20% de la carga viva para elementos que soportan dos o mas pisos. Edificios de parqueos La carga viva no se reduce en edificios de parqueos, excepto que se admite una reducción del 20% de la carga viva para elementos que soportan dos o más pisos. Estructuras de carácter público Para cargas vivas iguales a 4.79 [𝑘𝑁/𝑚2 ] o menores, en edificaciones de carácter público, no se realiza reducción alguna. Limitaciones para losas en una dirección El área tributaria 𝐴 𝑇 para losas en una dirección no debe ser mayor al área definida por la luz de la losa multiplicada por un ancho (perpendicular a la luz) igual a 1.5 veces la luz de la losa. 21 Diseño de estructuras de hormigón armado A B C D 1 𝐴𝑇 2 𝐴𝐼 3 4 Fig. 1.4. Áreas tributaria y de influencia para la columna B2 del sistema de piso A B C D 1 𝐴𝑇 𝐴𝐼 2 3 4 Fig. 1.5. Áreas tributaria y de influencia para la columna D1 del sistema de piso 22 Introducción al hormigón armado A C B D 1 𝐴𝑇 𝐴𝐼 2 𝐴𝑇 𝐴𝐼 3 4 Fig. 1.6. Áreas tributaria y de influencia para las columnas A2 y D1 del sistema de piso A B C D 1 2 𝐴 𝑇 = 𝐴𝐼 3 4 Fig. 1.7. Áreas tributaria y de influencia para el panel B2-C3 del sistema de piso 23 Diseño de estructuras de hormigón armado B A C D 1 2 𝐴𝑇 𝐴𝐼 3 4 Fig. 1.8. Áreas tributaria y de influencia para la viga B2-B3 del sistema de piso B A C D 1 2 3 𝐴𝑇 𝐴𝐼 4 Fig. 1.9. Áreas tributaria y de influencia para la viga A3-A4 del sistema de piso 24 Introducción al hormigón armado 1.9.5. Reducción de la carga viva en techos Las cargas vivas mínimas uniformemente repartidas para techos presentadas en la tabla del Anexo 5 pueden ser reducidas de acuerdo a los siguientes criterios: Techos planos corrientes, inclinados y curvos Los techos planos corrientes, inclinados y curvos pueden ser diseñados para la carga viva reducida de la ecuación (1.13) u otra combinación de cargas que controle según lo discutido en la sección 1.8.1, la que produzca la mayor carga. En estructuras como invernaderos donde, para el mantenimiento, se utilizan andamios especiales como superficie de trabajo para los trabajadores y materiales, no es conveniente utilizar cargas menores a la especificada por la ecuación (1.13) a menos que esa carga sea aprobada por la autoridad que tenga jurisdicción. En ese tipo de estructuras se debe utilizar, como mínimo, una carga viva de 0.58 [𝑘𝑁/𝑚2 ]. 𝐿𝑟 = 𝐿𝑜 ∙ 𝑅1 ∙ 𝑅2 (1.13) Con la condición de que 0.58 [𝑘𝑁/𝑚2 ] ≤ 𝐿𝑟 ≤ 0.96 [𝑘𝑁/𝑚2 ]. Donde: 𝐿𝑟 = Carga viva de techo reducida por metro cuadrado de proyección horizontal en [𝑘𝑁/𝑚2 ]. Los factores de reducción 𝑅1 y 𝑅2 son determinados de la siguiente manera: Área tributaria [𝒎𝟐 ] 𝐴 𝑇 ≤ 18.58 18.58 < 𝐴 𝑇 < 55.74 𝐴 𝑇 ≥ 55.74 𝑹𝟏 1 1.2– 0.011 ∙ 𝐴 𝑇 0.6 𝑹𝟐 1 1.2 – 0.006 ∙ 𝐹 0.6 Pendiente 𝑭 [%] 𝐹 ≤ 33.33 33.33 < 𝐹 < 100 𝐹 ≥ 100 𝑓 𝑓 𝐿 𝐿 𝐹= 𝑓 ∙ 266.67 𝐿 Arcos y domos 𝐹= 𝑓 ∙ 100 𝐿 Techos planos, inclinados y curvos Fig. 1.10. Cálculo de la pendiente 𝑭 para hallar el valor de 𝑹𝟐 25 Diseño de estructuras de hormigón armado Techos para propósitos especiales Las cargas vivas de techos que cubren espacios funcionales, como jardines, sala de reuniones u otros, pueden ser reducidas considerando la reducción de carga viva para pisos. 1.10. Problemas propuestos 1. Indique las diferencias entre los métodos de las tensiones admisibles y el de la resistencia última. 2. ¿Por qué los factores de carga y de minoración de la resistencia no son todos iguales? 3. ¿Cuáles son los estados límites que uno debe considerar al diseñar una estructura en hormigón armado? 4. ¿Por qué es importante la ductilidad en estructuras diseñadas en hormigón armado y que se encuentran en zonas sísmicas? 5. Dibujar los diagramas de momento flector y esfuerzo cortante para la viga de hormigón armado de la figura. Asumir que el hormigón solamente resiste esfuerzos de compresión y el acero esfuerzos de tracción. Dibujar un esquema donde se indique la posición del refuerzo longitudinal. 180 [𝑘𝑁] 90 [𝑘𝑁/𝑚] 180 [𝑘𝑁] 6000 [𝑚𝑚] 10000 [𝑚𝑚] 6. Considere la viga continua que se muestra en la siguiente figura. Asumir que tiene una sección rectangular con un ancho de 450 [𝑚𝑚] y una altura de 610 [𝑚𝑚], además el material tiene un módulo de elasticidad de 27580 [𝑀𝑃𝑎]. La viga está sujeta a una carga muerta de servicio de 14.5 [𝑘𝑁/𝑚] uniformemente repartida sobre todas las luces y una carga viva de servicio uniforme de 17.5 [𝑘𝑁/𝑚] que se puede repartir de cualquier manera sobre la viga. No considerar en el análisis el peso propio de la viga. 26 a) Dibujar los diagramas de momento flector y esfuerzo cortante para la viga de hormigón armado considerando todos los posibles estados y combinaciones de carga. b) Dibujar la envolvente de momentos flectores y esfuerzos cortantes, localizando los puntos de inflexión. Introducción al hormigón armado c) Dibujar un esquema donde se indique la posición del refuerzo longitudinal si se asume que el hormigón solamente resiste esfuerzos de compresión y el acero esfuerzos de tracción. Datos: 𝑤𝐷 = 14.5 [𝑘𝑁/𝑚] Dimensiones en [𝑚𝑚] 𝑤𝐿 = 17.5 [𝑘𝑁/𝑚] 7300 8500 8500 7. La pila de hormigón armado de un puente soporta tres vigas de acero. Para cada estado de cargas dibujar los diagramas de momento y corte en la viga. Determinar el máximo momento para el cual la viga y la columna deben ser diseñadas. Datos: 𝑃𝐷 = 160 [𝑘𝑁] Dimensiones en [𝑚𝑚] 𝑃𝐿 = 180 [𝑘𝑁] Estado de Carga 1. 𝑃𝐷 +𝑃𝐿 𝑃𝐷 +𝑃𝐿 1800 𝑃𝐷 +𝑃𝐿 1800 550 1850 450 1850 27 Diseño de estructuras de hormigón armado Estado de Carga 2. 𝑃𝐷 𝑃𝐷 +𝑃𝐿 1800 𝑃𝐷 +𝑃𝐿 1800 550 1850 450 1850 Estado de Carga 3. 𝑃𝐷 +𝑃𝐿 𝑃𝐷 +𝑃𝐿 1800 𝑃𝐷 1800 550 1850 450 1850 8. Considere el pórtico que se muestra a continuación. Asumir que las vigas tienen una sección rectangular con un ancho de 450 [𝑚𝑚] y una altura de 610 [𝑚𝑚], mientras que las columnas son cuadradas de 610 [𝑚𝑚] de lado. El material tiene un módulo de elasticidad de 27580 [𝑀𝑃𝑎]. Las vigas están sujetas a una carga muerta de servicio uniforme de 14.5 [𝑘𝑁/𝑚] repartida sobre todas las luces y una carga viva de servicio uniforme de 17.5 [𝑘𝑁/𝑚] que se puede repartir de cualquier manera sobre las vigas. No considerar en el análisis el peso propio de la estructura. 28 a) Dibujar los diagramas de momento flector y esfuerzo cortante para el pórtico de hormigón armado considerando todos los posibles estados y combinaciones de carga. b) Dibujar la envolvente de momentos flectores y esfuerzos cortantes localizando los puntos de inflexión. Introducción al hormigón armado c) Dibujar un esquema donde se indique la posición del refuerzo longitudinal si se asume que el hormigón solamente resiste esfuerzos de compresión y el acero esfuerzos de tracción. Datos: 𝑤𝐷 = 14.5 [𝑘𝑁/𝑚] 𝑤𝐿 = 17.5 [𝑘𝑁/𝑚] Dimensiones en [𝑚𝑚] 6000 8500 7300 9. Determinar la carga última en una columna de sección cuadrada de 300 [𝑚𝑚] de lado y de una longitud de 3000 [𝑚𝑚] que soporta las siguientes cargas de servicio: Carga muerta: Carga viva: Carga de terremoto: Compresión (+) Tracción (-) 𝐷 = 300 [𝑘𝑁] 𝐿 = 150 [𝑘𝑁] 𝐸 = ±50 [𝑘𝑁] 29 CAPÍTULO 2 CARACTERÍSTICAS MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 2. Características mecánicas de los materiales 2.1. Hormigón 2.1.1. Comportamiento del hormigón bajo diferentes tipos de esfuerzos Comportamiento bajo esfuerzo uniaxial Bajo condiciones prácticas, el hormigón casi nunca es esforzado en una sola dirección, ya que en la mayoría de las estructuras éste se encuentra esforzado en varias direcciones. Pero, la condición de esfuerzo en una sola dirección es sencilla de analizar y proporciona resultados útiles para el diseño de estructuras en hormigón. Comportamiento bajo esfuerzo de compresión La resistencia del hormigón a la compresión es usualmente obtenida de cilindros con la relación altura/diámetro igual a 2. Los cilindros son cargados longitudinalmente a una velocidad de deformación pequeña de tal modo que se alcanza la tensión máxima en 2 o 3 minutos. La dimensión normal del cilindro estándar es de 12 [𝑝𝑢𝑙𝑔. ] (305 [𝑚𝑚]) de alto y 6 [𝑝𝑢𝑙𝑔. ] (152 [𝑚𝑚]) de diámetro. La resistencia a la compresión que se alcanza a los 28 días varía entre 13.8 [𝑀𝑃𝑎] y 55.2 [𝑀𝑃𝑎] dependiendo de las características de los agregados, relación agua/cemento, etc., de la mezcla de hormigón. Algunas veces se utilizan también cilindros pequeños o cubos, los cuales dan una resistencia a la compresión mayor, pero que puede ser convertida en resistencia equivalente de cilindros estándar. El módulo de elasticidad para el hormigón puede ser calculado con la siguiente fórmula: 𝐸𝑐 = 44 ∙ 𝑤𝑐 1.5 ∙ √𝑓𝑐′ [𝑀𝑃𝑎] (2.1) 𝑤𝑐 = Peso unitario del hormigón en [𝑘𝑁/𝑚3 ]. 𝑓𝑐′ = Resistencia característica cilíndrica de compresión a los 28 días en [𝑀𝑃𝑎]. 31 Diseño de estructuras de hormigón armado Para hormigón de densidad normal (𝑤𝑐 = 22.5 [𝑘𝑁/𝑚3 ]). 𝐸𝑐 = 4700 ∙ √𝑓𝑐′ [𝑀𝑃𝑎] (2.2) La ecuación (2.1) fue determinada utilizando cargas de corta duración y es válida para valores, del peso unitario del hormigón, que están entre el rango de 14.1 [𝑘𝑁/𝑚3 ] y 24.3 [𝑘𝑁/𝑚3 ]. Asimismo, esa ecuación proporciona el módulo secante del hormigón a un esfuerzo de aproximadamente 0.5 · 𝑓𝑐′. Esfuerzo en el hormigón [𝑀𝑃𝑎] 80 60 40 20 0.001 0.002 0.003 0.004 Deformación en el hormigón Fig. 2.1. Curvas esfuerzo-deformación para cilindros de hormigón cargados uniaxialmente En la figura 2.1 se observa que el comportamiento del hormigón bajo carga axial es no lineal, salvo para valores bajos de deformación o hasta aproximadamente la mitad del esfuerzo máximo a la compresión, donde se podría asumir que el hormigón se comporta como un material elástico lineal. 32 Características mecánicas de los materiales Aproximadamente, para una deformación del 0.002 el hormigón alcanza su máximo esfuerzo a la compresión. Para la representación de la curva esfuerzo-deformación varios autores han propuesto funciones matemáticas que tratan de representar aproximadamente la forma de la curva real. Entre las funciones más conocidas está el modelo de Hognestad que se muestra en la figura 2.2. Esfuerzo 𝑓𝑐 𝑓𝑐′′ 0.15 ∙ 𝑓𝑐′′ Lineal 𝑓𝑐 = 𝑓𝑐′′ ∙ [ 2 ∙ 𝜀𝑐 𝜀𝑐 2 −( ) ] 𝜀0 𝜀0 𝐸𝑐 = 𝑡𝑎𝑛 ∝ 𝛼 𝜀0 = 2 ∙ 𝑓𝑐′′ 𝐸𝑐 0.0038 Deformación 𝜀𝑐 Fig. 2.2. Curva esfuerzo-deformación de Hognestad para hormigón cargado uniaxialmente El esfuerzo 𝑓𝑐′′ es el máximo esfuerzo que se alcanza en el hormigón. Este esfuerzo puede diferir de la resistencia cilíndrica 𝑓𝑐′ debido a la diferencia en tamaño y forma del hormigón comprimido. Cuando la carga es aplicada a una velocidad rápida de deformación, el módulo de la elasticidad y la resistencia del hormigón se incrementan. Comportamiento bajo esfuerzo de tracción La resistencia del hormigón a esfuerzos de tracción está generalmente por debajo del 20% de su resistencia a la compresión. Sin embargo, debido a la dificultad de sujetar las probetas y a las incertidumbres de tensiones secundarias inducidas por los aparatos de sujeción, el ensayo de tracción directa no es realizado. 33 Diseño de estructuras de hormigón armado La resistencia del hormigón a esfuerzos de tracción puede ser medida indirectamente en términos del esfuerzo de tracción que fractura un cilindro de hormigón colocado horizontalmente y cargado a lo largo de su diámetro. 𝑑 ℎ Tensión Compresión 𝑃 𝑓1 𝑓1 𝑓2 𝑓2 Distribución de tensiones en el diámetro 𝑃 Fig. 2.3. Determinación de la resistencia a la tracción del hormigón El esfuerzo de tracción a través del diámetro en el momento de la rotura es: 𝑓𝑐𝑡 = 2∙𝑃 𝜋∙ℎ∙𝑑 (2.3) La resistencia del hormigón a esfuerzos de tracción también puede ser calculada por ensayos a la flexión en vigas de hormigón simple. Estas vigas son normalmente de sección cuadrada (150 [𝑚𝑚] de lado). La resistencia a la tracción en flexión es conocida como el módulo de ruptura 𝑓𝑟 . Este módulo es calculado utilizando la conocida fórmula del esfuerzo por flexión 𝑀/𝑆. 34 Características mecánicas de los materiales 𝐿/3 𝑃 𝐿/3 𝑃 𝐿/3 + - “𝑉” “𝑀” ” Región de flexión pura Fig. 2.4. Ensayo de la viga para determinar la resistencia a la tracción del hormigón 𝑓𝑟 = 𝑀 6∙𝑀 = 𝑆 𝑏 ∙ ℎ2 (2.4) Donde: 𝑀 = Momento flector al momento de la falla. 𝑆 = Módulo de la sección transversal. La viga utilizada para determinar la resistencia a la tracción del hormigón es generalmente de 600 [𝑚𝑚] de longitud y de sección cuadrada de lado 150 [𝑚𝑚]. La resistencia por el ensayo de rotura del cilindro está entre el 50% y el 70% del valor del módulo de rotura. Esta diferencia se debe mayormente a la distribución de tensiones en el hormigón del elemento a flexión debido a que ésta es no lineal en el momento de falla. El módulo de ruptura 𝑓𝑟 puede ser correlacionado con la resistencia cilíndrica a la compresión 𝑓𝑐′ mediante la siguiente ecuación: 𝑓𝑟 = 𝐾 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ [𝑀𝑃𝑎] (2.5) Para hormigones normales 𝐾 varía entre 0.58 y 1.08; en consecuencia el código ACI en su sección 19.2.3.1 recomienda tomar 0.62 como un valor conservador. 𝑓𝑟 = 0.62 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ [𝑀𝑃𝑎] (2.6) 35 Diseño de estructuras de hormigón armado Donde: 𝜆 = Factor que considera las propiedades mecánicas reducidas de hormigones de peso liviano, relativa a los hormigones de peso normal de igual resistencia a la compresión (ACI 19.2.4). Por la anterior ecuación es evidente que un incremento en la resistencia de compresión del hormigón, no da como resultado un incremento proporcional en el valor del módulo de ruptura. Debido a la baja resistencia a la tracción del hormigón, el hormigón en tracción es generalmente ignorado en el cálculo de la resistencia de elementos de hormigón armado. Sin embargo, si por alguna razón se decide tomarla en cuenta, la curva tensión - deformación puede ser idealizada como una línea recta hasta la resistencia última a la tracción. Dentro de este rango, el módulo de elasticidad en tracción puede ser asumido igual al de compresión. Comportamiento bajo cargas cíclicas Si el hormigón se descarga antes de alcanzar el esfuerzo máximo, la respuesta de descarga será prácticamente lineal, con una pendiente cercana a 𝐸𝑐𝑡 , módulo de elasticidad tangencial, representado por la línea AB de la figura 2.5. Si se vuelve a cargar la probeta de hormigón, la respuesta alcanzará la curva original. La envolvente de la curva a la respuesta de carga cíclica es prácticamente idéntica a la que se obtendría por la aplicación de una carga monotónica continua. El hormigón tiene una buena capacidad para resistir varios ciclos de carga repetida. En consecuencia, la resistencia a la fatiga en estructuras de hormigón precomprimido estará controlada por la fatiga de la armadura y no del hormigón. Esfuerzo 𝑓𝑐 Curva típica 𝑓𝑐 − 𝜀𝑐 del hormigón bajo carga monotónica A’ A 𝐸𝑐𝑡 B Curva típica 𝑓𝑐 − 𝜀𝑐 del hormigón bajo carga cíclica 𝐸𝑐𝑡 B’ Deformación 𝜀𝑐 Fig. 2.5. Respuesta del hormigón a carga cíclica con reversión en compresión solamente 𝐸𝑐𝑡 36 Características mecánicas de los materiales Influencia de la velocidad de carga Si se preparan tres probetas con la misma mezcla de hormigón y se las conserva en las mismas condiciones por cierto lapso de tiempo, por ejemplo un año para luego ensayarlas a tres diferentes velocidades de carga, los resultados obtenidos para las curvas esfuerzo-deformación serían similares a las mostradas en la figura 2.6. Lo que más llama la atención en la figura es la diferencia en resistencias de los tres ensayos. Cuando la carga se aplica rápidamente (en unos segundos) la resistencia de la probeta se incrementa en aproximadamente un 20% con respecto a la resistencia de la probeta ensayada de manera estándar, mientras que si la carga se aplica muy lentamente (en unos meses), la resistencia se ve reducida en un porcentaje similar. Por lo general, en el diseño de estructuras de hormigón armado se toma la resistencia del hormigón a los 28 días y se ignora la disminución que ésta sufre a causa de la aplicación de las cargas a largo plazo debido al sistema constructivo que se utiliza. Sin embargo, también suele ignorarse la ganancia en resistencia que el hormigón experimenta a medida que transcurre el tiempo. Dado que el hormigón usualmente gana una resistencia entre 20% a 40% por encima de la que corresponde a los 28 días (hidratación después de este período), esto implica que ambas suposiciones tienden a compensarse y por lo tanto en general las hipótesis de diseño son seguras en este aspecto. Esfuerzo 𝑓𝑐 Algunos segundos 𝑓𝑐 Algunos minutos Algunos meses Deformación 𝜀𝑐 Fig. 2.6. Influencia de la velocidad de carga en la curva tensión-deformación del hormigón 37 Diseño de estructuras de hormigón armado Ganancia de resistencia del hormigón después de los 28 días 1,3 1,2 1,1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Edad del hormigón en meses Fig. 2.7. Incremento de resistencia del hormigón con el tiempo después de los 28 días Porcentaje de resistencia con respecto a la resistencia a los 28 días 100 90 80 70 60 50 a/c = 0,4 40 a/c = 0,6 30 a/c = 0,8 20 10 0 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 Edad del hormigón en días Fig. 2.8. Incremento de resistencia con el tiempo de hormigones con diferentes relaciones a/c 38 Características mecánicas de los materiales Con base a los valores que recomienda el código de práctica del Reino Unido se ha elaborado la curva de la figura 2.7 donde se puede apreciar que la resistencia del hormigón aumenta con el transcurso del tiempo. La figura 2.8 ha sido elaborada con base a los resultados obtenidos por la Asociación del Cemento Portland y en ella se aprecia que los hormigones con baja relación agua/cemento aumentan de resistencia más rápidamente que los hormigones que han sido fabricados con valores altos de la relación agua/cemento. Para el diseño de mezclas de hormigón es necesario realizar numerosas pruebas con varios tipos y cantidades de agregado y cemento, por lo que se acostumbra preparar cilindros de prueba con las dosificaciones propuestas y romper probetas antes de los 28 días (generalmente a los tres o siete días) y con los resultados obtenidos se puede predecir, utilizando curvas como las de la figura 2.8, la resistencia que ese hormigón alcanzará a los 28 días. Por ejemplo, si la relación agua/cemento es fijada en 0.4, un hormigón que debe tener una resistencia característica a los 28 días de 20 [𝑀𝑃𝑎], deberá alcanzar a los tres y siete días resistencias aproximadas de 11 [𝑀𝑃𝑎] (53% de 𝑓𝑐′ ) y de 16 [𝑀𝑃𝑎] (78% de 𝑓𝑐′ ), respectivamente. Módulo de Poisson La relación entre la deformación transversal y la deformación en la dirección de la carga uniaxial aplicada es llamada módulo de Poisson que varía entre 0.15 y 0.20 para hormigón. No existe información todavía sobre la variación del módulo de Poisson con respecto a las propiedades del hormigón, pero se considera que para hormigones de alta resistencia el módulo de Poisson es más bajo. Esfuerzo⁄Resistencia 1,0 0,8 0,6 Deformación transversal 0,4 Deformación longitudinal 0,2 Tracción Compresión 0,0 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 Deformaciones ∙ 10−4 Fig. 2.9. Deformaciones longitudinales y transversales medidas en una probeta de hormigón sometida a compresión uniaxial 39 Diseño de estructuras de hormigón armado Para esfuerzos de compresión elevados, las deformaciones transversales se incrementan rápidamente, lo cual concuerda con la fisuración que se presenta, en el interior de la probeta, en las fibras paralelas a la dirección la carga. La figura 2.9 muestra las deformaciones medidas en una probeta ensayada en compresión hasta la rotura. Durante la mayor parte del rango de cargas el volumen del espécimen decrece, pero cuando se alcanzan esfuerzos elevados, cercanos a la resistencia a compresión de la probeta, las deformaciones transversales se vuelven tan altas que el volumen de la probeta comienza a crecer, lo cual es un indicador de que la resistencia a compresión está siendo alcanzada. La falla de una probeta cargada uniaxialmente en compresión generalmente va seguida por el alejamiento de las fibras paralelas cargadas y un incremento de volumen. Este tipo de falla es el que ha sugerido la concepción del hormigón armado confinado a través de la armadura transversal (estribos o espirales) que actúa como zuncho ante la expansión de la masa de hormigón en esa dirección y que modifica substancialmente la respuesta. 2.1.2. Cambios volumétricos dependientes del tiempo Fluencia del hormigón La fluencia es una deformación que se produce en el hormigón cuando éste se halla sometido a esfuerzos permanentes de compresión. Como la fluencia es una deformación que depende del tiempo, ésta puede llegar a ser mucho mayor que la deformación elástica inicial. Deformación Espécimen cargado permanentemente Carga removida Recuperación elástica Fluencia Recuperación por fluencia Deformación elástica Deformación permanente Tiempo Fig. 2.10. Curva típica de fluencia para hormigón sometido a esfuerzo axial constante de compresión La resistencia de una estructura en general no se ve afectada por la fluencia, pero puede existir una redistribución interna de esfuerzos (momentos, cortes, etc.) entre los elementos para las cargas de servicio. Además, debido a la fluencia las deflexiones bajo cargas de servicio tenderán a aumentar. 40 Características mecánicas de los materiales El valor de la deformación por fluencia depende de la composición del hormigón, el medio ambiente y la curva tensión - tiempo (curva que indica la forma en que ha sido cargado el elemento). Para el cálculo de las deformaciones por fluencia existen diferentes métodos empíricos, de los cuales los más usados son los propuestos por los códigos ACI 209R-92 (aprobado nuevamente el 2008) y el CEB. Los métodos calculan el coeficiente de fluencia de hormigón 𝐶𝑡 como una función de varias variables. El coeficiente de fluencia 𝐶𝑡 relaciona la deformación por fluencia con la deformación elástica inicial. De acuerdo al código ACI, para hormigones normales o aligerados curados al vapor o con humedad y utilizando cementos Tipo I (Cemento Portland normal) o III (Cemento Portland de alta resistencia), el coeficiente de fluencia es: 𝐶𝑡 = 𝐶𝑢 ∙ 𝐾𝑡 ∙ 𝐾𝑎 ∙ 𝐾ℎ ∙ 𝐾𝑡ℎ ∙ 𝐾𝑠 ∙ 𝐾𝑓 ∙ 𝐾𝑒 = 𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑙𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 (2.7) Según la ecuación anterior la deformación por fluencia está en función de la deformación elástica inicial, por lo tanto el coeficiente 𝐶𝑡 es solamente un amplificador de la deformación elástica inicial. - Coeficiente último de fluencia 𝑪𝒖: El valor de 𝐶𝑢 tiene gran variación (1.30 a 4.15), con un valor promedio de 2.35. Este valor promedio sólo debería usarse en la ausencia de un valor más preciso para el hormigón. - Coeficiente de tiempo de carga 𝑲𝒕 : Este coeficiente toma en cuenta el tiempo para el cual se desea conocer la deformación por fluencia del elemento. 𝑡 0.6 𝐾𝑡 = 10 + 𝑡 0.6 (2.8) 𝑡 = Tiempo en días después de la aplicación de la carga 𝒕 [𝒅í𝒂𝒔] 𝑲𝒕 𝒕 [𝒅í𝒂𝒔] 𝑲𝒕 0 0.00 70 0.56 10 0.28 80 0.58 20 0.38 90 0.60 30 0.43 180 0.69 40 0.48 360 0.77 50 0.51 1800 0.90 60 0.54 3600 0.93 41 Diseño de estructuras de hormigón armado 1,00 0,90 0,80 0,70 𝐾𝑡 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 Tiempo [𝑑í𝑎𝑠] Fig. 2.11. Variación del coeficiente 𝑲𝒕 con respecto al tiempo - Coeficiente de edad cuando se aplica la carga por primera vez 𝑲𝒂 : Este coeficiente considera la edad que tenía el elemento cuando por primera vez fue sometido a carga. Para tener una mayor precisión en el cálculo de la deformación por fluencia, en éste coeficiente se considera el tipo de curado utilizado para el elemento de hormigón. Para hormigón curado con humedad: 𝐾𝑎 = 1.25 ∙ 𝑡𝑖−0.118 (2.9) Para hormigón curado al vapor: 𝐾𝑎 = 1.13 ∙ 𝑡𝑖−0.094 (2.10) 𝑡𝑖 = Edad del hormigón en días cuando la carga es aplicada por primera vez. 42 Tiempo Curado a humedad Curado a vapor 𝒕 [𝒅í𝒂𝒔] 𝑲𝒂 𝑲𝒂 1a3 1.00 1.00 10 0.95 0.91 20 0.88 0.85 30 0.84 0.82 40 0.81 0.80 50 0.79 0.78 60 0.77 0.77 Características mecánicas de los materiales Tiempo Curado a humedad Curado a vapor 𝒕 [𝒅í𝒂𝒔] 𝑲𝒂 𝑲𝒂 70 0.76 0.76 80 0.75 0.75 90 0.74 0.74 1,05 1,00 Curado a humedad 0,95 𝐾𝑎 0,90 0,85 0,80 Curado a vapor 0,75 0,70 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Tiempo [𝑑í𝑎𝑠] Fig. 2.12. Variación del coeficiente 𝑲𝒂 con respecto al tiempo - Coeficiente de humedad relativa 𝑲𝒉: Este coeficiente considera la humedad relativa del ambiente del lugar donde se encuentra ubicada la estructura o elemento bajo consideración. Para 𝐻 ≤ 40%: 𝐾ℎ = 1.0 (2.11) Para 𝐻 > 40%: 𝐾ℎ = 1.27 − 0.0067 ∙ 𝐻 (2.12) 𝐻 = Humedad relativa en porcentaje 𝑯𝒖𝒎𝒆𝒅𝒂𝒅 % 𝑲𝒉 10 1.00 20 1.00 30 1.00 43 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑯𝒖𝒎𝒆𝒅𝒂𝒅 % 𝑲𝒉 40 1.00 50 0.94 60 0.87 70 0.80 80 0.73 90 0.67 100 0.60 1,10 1,00 0,90 𝐾ℎ 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 Humedad [%] Fig. 2.13. Variación del coeficiente 𝑲𝒉 con respecto a la humedad - Coeficiente de espesor promedio del elemento 𝑲𝒕𝒉: Este coeficiente toma en cuenta el espesor mínimo de la sección del elemento bajo estudio. Para espesores distintos se puede interpolar o extrapolar. Para ℎ ≤ 150 [𝑚𝑚]: 𝐾𝑡ℎ = 𝑣𝑒𝑟 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 (2.13) Para 150 [𝑚𝑚] < ℎ ≤ 400 [𝑚𝑚] y durante el primer año: 𝐾𝑡ℎ = 1.14 − 0.00092 ∙ ℎ (2.14) Para 150 [𝑚𝑚] < ℎ ≤ 400 [𝑚𝑚] y para el valor último: 𝐾𝑡ℎ = 1.10 − 0.00067 ∙ ℎ (2.15) 44 Características mecánicas de los materiales Espesor Primer año Valor último 𝒉[𝒎𝒎] 𝑲𝒕𝒉 𝑲𝒕𝒉 50 1.30 1.30 75 1.17 1.17 100 1.11 1.11 125 1.04 1.04 150 1.00 1.00 200 0.96 0.97 250 0.91 0.93 300 0.86 0.90 350 0.82 0.87 400 0.77 0.83 1,40 1,30 1,20 Para calcular valores últimos 1,10 𝐾𝑡ℎ 1,00 0,90 Durante el primer año después de aplicada la carga 0,80 0,70 0,60 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 Espesor [𝑚𝑚] Fig. 2.14. Variación del coeficiente 𝑲𝒕𝒉 con respecto al espesor promedio del elemento - Coeficiente de revenimiento del hormigón 𝑲𝒔 : Este coeficiente considera el revenimiento que tuvo la mezcla de hormigón en el momento de su colocación. Por lo tanto, toma en cuenta de forma indirecta la cantidad original de agua en la mezcla de hormigón o lo que también podría ser la relación agua – cemento en la dosificación. 𝐾𝑠 = 0.82 + 0.00264 ∙ 𝑆 (2.16) 45 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝐾𝑠 Revenimiento 𝑺 [𝒎𝒎] 𝑲𝒔 50 0.95 75 1.02 100 1.08 125 1.15 150 1.22 175 1.28 200 1.35 1,40 1,35 1,30 1,25 1,20 1,15 1,10 1,05 1,00 0,95 0,90 25 50 75 100 125 150 175 200 225 Revenimiento [𝑚𝑚] Fig. 2.15. Variación del coeficiente 𝑲𝒔 con respecto al revenimiento del hormigón Coeficiente de contenido de finos 𝑲𝒇 : Este coeficiente considera la cantidad de agregado fino (arena) en la mezcla de hormigón. 𝐾𝑓 = 0.88 + 0.0024 ∙ % 𝑓𝑖𝑛𝑜𝑠 46 (2.17) % 𝒇𝒊𝒏𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒑𝒆𝒔𝒐 𝑲𝒇 30 0.95 35 0.96 40 0.98 45 0.99 50 1.00 Características mecánicas de los materiales % 𝒇𝒊𝒏𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒑𝒆𝒔𝒐 𝑲𝒇 55 1.01 60 1.02 65 1.04 70 1.05 1,05 1,03 𝐾𝑓 1,01 0,99 0,97 0,95 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 % 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑜 Fig. 2.16. Variación del coeficiente 𝑲𝒇 con respecto al porcentaje de agregado fino en el hormigón - Coeficiente de contenido de aire 𝑲𝒆 : Este coeficiente considera el porcentaje de aire en la mezcla de hormigón. 𝐾𝑒 = 0.46 + 0.09 ∙ %𝑎𝑖𝑟𝑒 ≥ 1.00 (2.18) % 𝒅𝒆 𝒂𝒊𝒓𝒆 𝑲𝒆 1 1.00 2 1.00 3 1.00 4 1.00 5 1.00 6 1.00 7 1.09 8 1.18 47 Diseño de estructuras de hormigón armado % 𝒅𝒆 𝒂𝒊𝒓𝒆 𝑲𝒆 9 1.27 10 1.36 1,50 1,40 𝐾𝑒 1,30 1,20 1,10 1,00 0,90 1 2 3 4 5 6 % 𝑑𝑒 𝑎𝑖𝑟𝑒 7 8 9 10 Fig. 2.17. Variación del coeficiente 𝑲𝒆 con respecto al porcentaje de aire en el hormigón El coeficiente por contenido de cemento en la mezcla de hormigón no necesita ser tomado en cuenta cuando la cantidad de cemento varía entre 280 [𝑘𝑔𝑓] y 445 [𝑘𝑔𝑓] por metro cúbico de hormigón. Factores que afectan la fluencia Factores Internos (Composición del hormigón) Si el factor La fluencia Agregados (concentración y dureza) Relación agua/cemento Permeabilidad del agregado Fluencia del agregado Granulometría y distribución del agregado Contenido de finos en la mezcla de hormigón Contenido de aire en la mezcla de hormigón Contenido de cemento Si el factor La fluencia Sección transversal del elemento Medio ambiente (Humedad y Temperatura) Intensidad del esfuerzo Edad del elemento cuando se aplica la carga Factores Externos (Medio ambiente e historial de carga) 48 Características mecánicas de los materiales Ejemplo. Estimar la deformación por fluencia que se puede esperar que ocurra en un muro de hormigón de 300 [𝑚𝑚] de espesor cargado a la edad de 10 [𝑑í𝑎𝑠] por un periodo de 5 [𝑎ñ𝑜𝑠] a una humedad relativa de 60%. El hormigón tiene un revenimiento de 75 [𝑚𝑚], un contenido de finos del 34% por peso, un contenido de aire de 5% y curado con humedad. El esfuerzo de compresión es constante y es producido por las cargas de servicio. Coeficiente Coeficiente último de fluencia Coeficiente de tiempo de carga Coeficiente de edad cuando se aplica la carga por primera vez Coeficiente de humedad relativa Coeficiente de espesor promedio del elemento Coeficiente de revenimiento del hormigón Coeficiente de contenido de finos Coeficiente de contenido de aire Símbolo 𝐶𝑢 𝐾𝑡 𝐾𝑎 𝐾ℎ 𝐾𝑡ℎ 𝐾𝑠 𝐾𝑓 𝐾𝑒 Valor 2.35 0.90 0.95 0.87 0.90 1.02 0.96 1.00 𝐶𝑡 = 2.35 ∙ 0.90 ∙ 0.95 ∙ 0.87 ∙ 0.90 ∙ 1.02 ∙ 0.96 ∙ 1.00 = 1.54 La deformación probable por fluencia es 1.54 veces mayor a la deformación elástica inicial. Retracción del hormigón El hormigón se retrae cuando pierde humedad por evaporación. A diferencia de las deformaciones por fluencia, las deformaciones por retracción son independientes de las condiciones de esfuerzo en el hormigón. Estas deformaciones, si son restringidas, pueden causar fisuras en el hormigón y en general incrementan las deflexiones de los elementos con el tiempo. Es siempre necesario prever un refuerzo de acero, llamado comúnmente “refuerzo por retracción y temperatura”, cuya principal función es la de controlar las posibles fisuras que aparecen en las superficies de hormigón debidas a cambios de temperatura y pérdidas de humedad de la mezcla. Deformación por retracción 𝑡𝑜 Tiempo Fig. 2.18. Variación de la retracción del hormigón con el tiempo 49 Diseño de estructuras de hormigón armado El tiempo 𝑡𝑜 es el tiempo en el que el hormigón es expuesto a un ambiente seco o el tiempo que transcurre desde su vaciado hasta el momento en que se termina el periodo de curado del elemento. La velocidad de deformación por retracción disminuye con el tiempo. La deformación final por retracción varía entre 0.0002 y 0.0006, pero puede llegar a veces hasta 0.0010. La retracción es en gran medida un fenómeno reversible porque si el hormigón es saturado con agua después de que se ha retraído, éste se expandirá hasta casi su volumen original. Por lo tanto, la variación en las condiciones de humedad causará cambios de volumen alternados del hormigón. Este fenómeno es en parte responsable de los cambios en las deflexiones de las estructuras (puentes de hormigón) expuestas todo el año a los cambios de estación. Como regla, un hormigón que exhibe una deformación grande por fluencia, también tendrá una deformación grande por retracción. Por lo tanto, la magnitud de la deformación por retracción depende de la composición del hormigón y del medio ambiente, de la misma manera que la deformación por fluencia. Para el cálculo de las deformaciones por retracción existen diferentes métodos empíricos, de los cuales los más usados son los propuestos por la ACI 209R-92 (aprobado nuevamente el 2008) y el CEB. De acuerdo al código ACI, para hormigones normales o aligerados curados al vapor o con humedad y utilizando cementos Tipo I (Cemento Portland normal) o III (Cemento Portland de alta resistencia), la deformación por retracción no restringida en el tiempo 𝑡 es: 𝜀𝑠𝑛 = 𝜀𝑠ℎ𝑢 ∙ 𝑆𝑡 ∙ 𝑆ℎ ∙ 𝑆𝑡ℎ ∙ 𝑆𝑠 ∙ 𝑆𝑓 ∙ 𝑆𝑒 ∙ 𝑆𝑐 - (2.19) Deformación última por retracción 𝜺𝒔𝒉𝒖 : La deformación última por retracción 𝜀𝑠ℎ𝑢 varía entre 0.000415 y 0.00107 con un valor promedio de 0.00078 para hormigones curados, indistintamente, con humedad o vapor. Este valor debería usarse solamente en la ausencia de valores más exactos para el hormigón. - Coeficiente de tiempo de retracción 𝑺𝒕 : Este coeficiente toma en cuenta el tiempo para el cual se desea conocer la deformación por retracción del elemento. Por regla general, un elemento de hormigón debe ser curado por un lapso no menor a 7 días o de 1 a 3 días desde su vaciado cuando se realiza el curado con humedad y a vapor, respectivamente. Para cualquier tiempo después de 7 días en hormigón curado con humedad 𝑆𝑡 = 𝑡 35 + 𝑡 𝑡 = Tiempo en días desde los 7 días 50 (2.20) Características mecánicas de los materiales Para cualquier tiempo después de 1 a 3 días en hormigón curado al vapor 𝑆𝑡 = 𝑡 55 + 𝑡 (2.21) 𝑡 = Tiempo en días desde 1 a 3 días 𝑆𝑡 Tiempo Curado a humedad Curado a vapor 𝒕 [𝒅í𝒂𝒔] 𝑺𝒕 𝑺𝒕 10 0.22 0.15 20 0.36 0.27 30 0.46 0.35 40 0.53 0.42 50 0.59 0.48 60 0.63 0.52 70 0.67 0.56 80 0.70 0.59 90 0.72 0.62 180 0.84 0.77 360 0.91 0.87 1800 0.98 0.97 3600 0.99 0.98 1,10 1,00 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 Curado a humedad 0 500 Curado a vapor 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 Tiempo [𝑑í𝑎𝑠] Fig. 2.19. Variación del coeficiente St con respecto al tiempo 1, 10 0,90 0,70 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 0 51 Diseño de estructuras de hormigón armado - Coeficiente de humedad relativa 𝑺𝒉 : Este coeficiente considera la humedad relativa del ambiente del lugar donde se encuentra ubicada la estructura o elemento bajo consideración. Para 𝐻 ≤ 40%: 𝑆ℎ = 1.0 (2.22) Para 40% < 𝐻 ≤ 80%: 𝑆ℎ = 1.4 − 0.0102 ∙ 𝐻 (2.23) Para 80% < 𝐻 ≤ 100%: 𝑆ℎ = 3.0 − 0.03 ∙ 𝐻 (2.24) 𝐻 = Humedad relativa en porcentaje 52 Humedad % 𝑺𝒉 10 1.00 20 1.00 30 1.00 40 1.00 50 0.89 60 0.79 70 0.69 80 0.58 90 0.30 100 0.00 Características mecánicas de los materiales 1,20 1,00 0,80 𝑆ℎ 0,60 0,40 0,20 0,00 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 Humedad [%] Fig. 2.20. Variación del coeficiente 𝑺𝒉 con respecto a la humedad - Coeficiente de espesor promedio del elemento 𝑺𝒕𝒉 : Este coeficiente toma en cuenta el espesor mínimo de la sección del elemento bajo estudio. Para espesores distintos se puede interpolar o extrapolar. Para ℎ 150 [𝑚𝑚]: 𝑆𝑡ℎ = 𝑣𝑒𝑟 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 (2.25) Para 150 [𝑚𝑚] < ℎ ≤ 400 [𝑚𝑚] y durante el primer año: 𝑆𝑡ℎ = 1.23 − 0.0015 ∙ ℎ (2.26) Para 150 [𝑚𝑚] < ℎ ≤ 400 [𝑚𝑚] y para el valor último: 𝑆𝑡ℎ = 1.17 − 0.00114 ∙ ℎ (2.27) Espesor Primer año Valor último 𝒉 [mm] 𝑺𝒕𝒉 𝑺𝒕𝒉 50 1.35 1.35 75 1.25 1.25 100 1.17 1.17 125 1.08 1.08 150 1.00 1.00 200 0.93 0.94 250 0.86 0.89 300 0.78 0.83 53 Diseño de estructuras de hormigón armado Espesor Primer año Valor último 𝒉 [mm] 𝑺𝒕𝒉 𝑺𝒕𝒉 350 0.71 0.77 400 0.63 0.71 1,40 1,30 1,20 1,10 𝑆𝑡ℎ Para calcular valores últimos 1,00 0,90 0,80 Durante el primer año 0,70 0,60 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 Espesor [𝑚𝑚] Fig. 2.21. Variación del coeficiente 𝑺𝒕𝒉 con respecto al espesor promedio del elemento - Coeficiente de revenimiento del hormigón 𝑺𝒔 : Este coeficiente toma en cuenta el revenimiento de la mezcla de hormigón. 𝑆𝑠 = 0.89 + 0.00161 ∙ 𝑆 54 (2.28) Revenimiento [𝒎𝒎] 𝑺𝒔 50 0.97 75 1.01 100 1.05 125 1.09 150 1.13 175 1.17 200 1.21 Características mecánicas de los materiales 1,25 1,20 1,15 𝑆𝑠 1,10 1,05 1,00 0,95 0,90 25 50 75 100 125 150 175 200 225 Revenimiento [𝑚𝑚] Fig. 2.22. Variación del coeficiente 𝑺𝒔 con respecto al revenimiento del hormigón - Coeficiente de contenido de finos 𝑺𝒇 : Este coeficiente considera la cantidad de arena en la mezcla de hormigón. Para % 𝑓𝑖𝑛𝑜𝑠 ≤ 50%: 𝑆𝑓 = 0.30 + 0.014 ∙ % 𝑓𝑖𝑛𝑜𝑠 (2.29) Para % 𝑓𝑖𝑛𝑜𝑠 > 50%: 𝑆𝑓 = 0.90 + 0.002 ∙ % 𝑓𝑖𝑛𝑜𝑠 (2.30) % 𝒇𝒊𝒏𝒐𝒔 en peso 𝑺𝒇 30 0.72 35 0.79 40 0.86 45 0.93 50 1.00 55 1.01 60 1.02 65 1.03 70 1.04 55 Diseño de estructuras de hormigón armado 1,05 1,00 0,95 𝑆𝑓 0,90 0,85 0,80 0,75 0,70 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 % 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑜 Fig. 2.23. Variación del coeficiente 𝑺𝒇 con respecto al porcentaje de agregado fino en el hormigón - Coeficiente de contenido de aire 𝑺𝒆 : Este coeficiente considera el porcentaje de aire en la mezcla de hormigón. 𝑆𝑒 = 0.95 + 0.008 ∙ % 𝑎𝑖𝑟𝑒 56 (2.31) % 𝒅𝒆 𝒂𝒊𝒓𝒆 𝑺𝒆 1 0.96 2 0.97 3 0.97 4 0.98 5 0.99 6 1.00 7 1.01 8 1.01 9 1.02 10 1.03 Características mecánicas de los materiales 1,05 1,03 𝑆𝑒 1,01 0,99 0,97 0,95 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 % 𝑑𝑒 𝑎𝑖𝑟𝑒 Fig. 2.24. Variación del coeficiente Se con respecto al porcentaje de aire en el hormigón - Coeficiente de contenido de cemento 𝑺𝒄 : Este coeficiente considera la cantidad de cemento en la mezcla de hormigón. 𝑆𝑐 = 0.75 + 0.00061 ∙ 𝑐 (2.32) Cemento 𝒄 [𝒌𝒈𝒇/𝒎𝟑 ] 𝑺𝒄 150 0.84 200 0.87 250 0.90 300 0.93 350 0.96 400 0.99 450 1.02 500 1.06 550 1.09 600 1.12 57 Diseño de estructuras de hormigón armado 1,15 1,10 1,05 𝑆𝑐 1,00 0,95 0,90 0,85 0,80 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 Contenido de cemento 𝑐 [𝑘𝑔𝑓/𝑚3 ] Fig. 2.25. Variación del coeficiente 𝑺𝒄 con respecto al contenido de cemento en el hormigón Factores que afectan la retracción Factores Internos (Composición del hormigón) Si el factor La retracción Relación agua/cemento Contenido de finos en la mezcla de hormigón Contenido de aire en la mezcla de hormigón Granulometría y distribución del agregado Cemento Si el factor La retracción Sección transversal del elemento Medio ambiente (Humedad y Temperatura) Factores Externos (Medio ambiente) Ejemplo. Estimar la deformación por retracción que se puede esperar que ocurra en un muro de 230 [𝑚𝑚] de espesor desde los 7 días hasta los 5 años a una humedad relativa del 60%. El hormigón tiene un revenimiento de 75 [𝑚𝑚], un contenido de finos del 40% por peso, un contenido de cemento de 355 [𝑘𝑔𝑓/𝑚3 ], un contenido de aire del 5% y es curado con humedad por 5 días después de ser vaciado. 58 Características mecánicas de los materiales Coeficiente Deformación última por retracción Coeficiente de tiempo de retracción Coeficiente de humedad relativa Coeficiente de espesor promedio del elemento Coeficiente de revenimiento del hormigón Coeficiente de contenido de finos Coeficiente de contenido de aire Coeficiente de contenido de cemento Símbolo 𝜀𝑠ℎ𝑢 𝑆𝑡 𝑆ℎ 𝑆𝑡ℎ 𝑆𝑠 𝑆𝑓 𝑆𝑒 𝑆𝑐 Valor 0.00078 0.98 0.79 0.91 1.01 0.86 0.99 0.97 𝜀𝑠ℎ = 0.00078 ∙ 0.98 ∙ 0.79 ∙ 0.91 ∙ 1.01 ∙ 0.86 ∙ 0.99 ∙ 0.97 = 0.000458 Expansión térmica El coeficiente de expansión o contracción térmica 𝛼 es afectado por factores tales como la composición del hormigón, contenido de humedad del hormigón y edad del hormigón. El rango de 𝛼 para hormigones de densidad normal varía entre 9 y 13 · 10−6 [1/𝐶] para aquellos fabricados con agregados silícicos; y entre 6 y 9 · 10−6 [1/𝐶] para aquellos fabricados con agregados calcáreos. Valores aproximados para hormigones aligerados están entre 6.5 y 11.2 · 10−6 [1/𝐶]. Para cualquier hormigón utilizar: 1 °𝐶 = 10 · 10−6 [ ] Para el refuerzo de acero utilizar: 1 °𝐶 = 11 · 10−6 [ ] Debido a que los coeficientes de expansión térmica del hormigón y del acero son casi iguales, el hormigón armado es factible. El valor de 10 · 10−6 [1/𝐶] para el coeficiente de expansión térmica del hormigón se mantiene razonablemente constante sobre un ancho rango de temperaturas, aunque cuando la temperatura está cerca de los 500°𝐶 el valor de 𝛼 se incrementa hasta aproximadamente un 50% de su valor original. El clima es la causa más común de cambios de temperatura. Sin embargo, por ciertos accidentes como pueden ser incendios o pérdida del líquido refrigerante en centrales nucleares se pueden originar incrementos muy importantes de temperatura. La figura 2.26 muestra varias curvas de esfuerzo-deformación de probetas de hormigón ensayadas a diferentes temperaturas. En la figura se puede observar que para temperaturas superiores a los 400°𝐶 se produce una importante reducción de la resistencia. A los 600°𝐶 la resistencia puede ser de apenas un 60% de la que tendría a 20°𝐶. Con respecto a la rigidez 𝐸𝑐 del hormigón, ésta comienza a reducirse a partir de los 100°𝐶. El módulo de elasticidad 𝐸𝑐 a 400°𝐶 tiene un valor de cerca de 1/3 del valor a 20°𝐶. Tanto la contracción como la fluencia lenta del hormigón también se incrementan a altas temperaturas. 59 Diseño de estructuras de hormigón armado Esfuerzo en el hormigón [𝑀𝑃𝑎] 40 𝑇 = 20℃ 𝑇 = 400℃ 30 𝑇 = 200℃ 𝑇 = 600℃ 20 𝑇 = 800℃ 10 0. 01 0.02 0.03 0.04 0.05 Deformación en el hormigón Fig. 2.26. Reducción de la resistencia a compresión del hormigón en función de la temperatura 2.2. Acero de refuerzo Las barras de acero de refuerzo son en general de sección circular. Para restringir el movimiento longitudinal de las barras con relación al hormigón, existen protuberancias que son laminadas en la superficie de cada barra. Los requerimientos mínimos de las protuberancias (de espaciamiento, altura y cobertura circunferencial) han sido establecidos por experimentos y se indican en las especificaciones del acero. La especificación ASTM requiere que las protuberancias tengan un espaciamiento promedio menor al 0.7 del diámetro nominal de la barra y una altura de por lo menos 0.04 a 0.05 del diámetro nominal de la barra. También, estas protuberancias deben estar presentes en por lo menos un 75% del perímetro nominal de la barra. Las protuberancias son fabricadas de tal manera que el ángulo con el eje de la barra no sea menor a 45°. Generalmente, protuberancias longitudinales son también utilizadas para mejorar la adherencia de las barras. Comportamiento del acero bajo esfuerzo monotónico Las curvas típicas tensión – deformación de las barras de acero que se utilizan en hormigón armado son obtenidas de barras de acero cargadas monotónicamente a tracción. En la siguiente figura se muestran los resultados obtenidos de dos ensayos realizados a aceros de diferente grado. El módulo de elasticidad del 60 Características mecánicas de los materiales acero 𝐸𝑠 está dado por la pendiente de la parte lineal elástica de la curva, que para el caso del acero es generalmente tomado como 200000 [𝑀𝑃𝑎] o 29000 [𝑘𝑠𝑖]. Tensión [𝑀𝑃𝑎] 800 600 400 200 0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20 Deformación Fig. 2.27. Curvas tensión - deformación del acero El esfuerzo en el punto de fluencia, llamado tensión de fluencia, es una propiedad importante del acero de refuerzo. Algunas veces, la fluencia viene acompañada por una caída abrupta de la tensión y del diagrama tensión – deformación, como se muestra en la siguiente figura. Esfuerzo 𝐴 𝐵 𝐴 = Tensión de fluencia superior 𝐵 = Tensión de fluencia inferior Deformación Fig. 2.28. Tensión de fluencia para aceros con punto de fluencia bien definido 61 Diseño de estructuras de hormigón armado La posición del punto 𝐴 depende de la velocidad de ensayo, la forma de la sección y la forma del espécimen. El punto 𝐵 es el que se considera como el valor real de la tensión de fluencia. Para aceros en los que la curva tensión-deformación no tiene una platea de fluencia bien definida, la tensión de fluencia es generalmente tomada como la tensión correspondiente a una deformación particular (por ejemplo, la que corresponde a 0.002 o 0.2%). La figura 2.29 compara las curvas tensión-deformación para diferentes tipos de acero y se observa que al aumentar la resistencia del acero, la platea de fluencia va disminuyendo hasta desaparecer en el acero de pretensado. Para cables y alambres que no exhiben una tensión de fluencia, se define una tensión de fluencia equivalente como aquella que corresponde a una deformación del 0.2% (0.002). Es claro que a un aumento de la resistencia, y que está asociada a aceros con mayor contenido de carbono, corresponde una disminución de la deformabilidad de los aceros, y por lo tanto una reducción en la capacidad de disipación de energía, generalmente cuantificada por el factor de ductilidad, el cual representa la relación entre la deformación máxima y aquella que corresponde al inicio de fluencia. La deformabilidad de los aceros también se ve disminuida por los procesos de endurecimiento en frío a que puedan ser sometidos. La deformación mínima del acero antes de la fractura es normalmente también definida en las especificaciones de materiales puesto que es esencial para la seguridad de la estructura que el acero sea suficientemente dúctil como para sobrellevar grandes deformaciones antes de su falla total. Las características deseables del acero de refuerzo son que posea una larga platea de fluencia seguida de un endurecimiento gradual por deformación, y que además los resultados de ensayos a tracción presenten poca dispersión con respecto al valor nominal especificado para la tensión de fluencia. Estas características son recomendables desde el punto de vista del diseño por capacidad. Este tipo de diseño necesita que las resistencias al corte y flexión de las secciones, que no son detalladas como regiones potenciales de articulación plástica, excedan a las fuerzas correspondientes al desarrollo de la sobre resistencia en las zonas plásticas seleccionadas. Si el acero exhibe un temprano y rápido endurecimiento, las tensiones en el acero en una sección con fuertes demandas de ductilidad pueden exceder la tensión de fluencia por un margen excesivo. Esto también ocurriría si la tensión de fluencia real es mayor que la especificada y supuesta en el diseño. En ambos casos, el resultado conlleva a que será necesario utilizar mayores factores de sobre resistencia, para protegerse de fallas por corte o por la aparición de inesperadas zonas plásticas. 62 Características mecánicas de los materiales Tensión [𝑀𝑃𝑎] 1800 Torón de acero de ½” 1600 1400 1200 Barra de alta resistencia 1000 Barra de acero deformado 800 600 400 Barra de acero dulce 200 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 Deformación Fig. 2.29. Tensión de fluencia para aceros con punto de fluencia no definido La longitud de la platea de fluencia está generalmente en función de la resistencia del acero. Aceros de alta resistencia y con un contenido alto de carbón tienen generalmente una longitud de la platea de fluencia más corta que aceros de baja resistencia con contenidos bajos de carbón. Similarmente, el trabajo en frío del acero puede causar el acortamiento de la platea de fluencia hasta el punto en que el endurecimiento por deformación comienza inmediatamente después del punto de fluencia. 63 Diseño de estructuras de hormigón armado Designación Tensión mínima de fluencia Tensión última ASTM [𝒌𝒔𝒊] [𝑴𝑷𝒂] [𝒌𝒔𝒊] [𝑴𝑷𝒂] G40 40 276 70 483 G50 50 345 80 552 G60 60 414 90 621 G75 75 517 100 690 La deformación mínima en el momento de la fractura está también definida en la especificación para el acero, ya que es esencial para la seguridad de la estructura, que el acero tenga suficiente ductilidad para soportar grandes deformaciones antes de la fractura. La ASTM requiere una elongación de acero entre 4.5% y 12% que depende de la fuente, el grado y el diámetro de la barra. Esta deformación es medida en una longitud de 200 [𝑚𝑚] del espécimen de acero. Las curvas de tensión – deformación para el acero en tracción y compresión son asumidas idénticas. Varios experimentos han demostrado la veracidad de esta suposición. Si se rompe el espécimen rápidamente, la tensión de fluencia se incrementa. Por ejemplo, se ha comprobado que a una velocidad de deformación de 0.01 [1/𝑠] la tensión de fluencia inferior puede incrementarse en un 14%. Curvas idealizadas tensión-deformación para acero en tracción o compresión Para el diseño de estructuras de hormigón armado existe la posibilidad, para simplificar los cálculos, de asumir diferentes tipos de curvas que representan de una manera aproximada el comportamiento del acero. La más simple y utilizada de todas las idealizaciones es la llamada “elástica perfectamente plástica”, donde la primera parte es elástica y lineal hasta el punto de fluencia y a partir de ese punto se asume que el acero no puede resistir mayores cargas por lo que el diagrama se mantiene constante en lo que se llama la zona plástica. En esta idealización no se toma en cuenta la fase de endurecimiento por deformación del acero. La segunda idealización es llamada “aproximación tri – lineal” porque todo el comportamiento del acero es representado por tres líneas rectas. En esta idealización la fase de endurecimiento por deformación es asumida lineal. La última idealización es la que representa de una forma más precisa el comportamiento del acero en el ensayo a tracción, puesto que además de tener las fases elástica y plástica, el endurecimiento por deformación es asumido que tiene un incremento parabólico. Esta idealización es generalmente utilizada para propósitos de investigación porque es la que mejor describe el comportamiento real del acero. 64 Características mecánicas de los materiales 𝑓𝑠 𝑓𝑦 tan 𝜃 = 𝐸𝑠 𝜀𝑠 𝜀𝑦 Elástico perfectamente plástico 𝑓𝑠 𝑓𝑦 tan 𝜃 = 𝐸𝑠 𝜀𝑦 𝜀𝑠ℎ Aproximación tri - lineal 𝑓𝑠 𝜀𝑠 𝑓𝑠𝑢 𝑓𝑦 tan 𝜃 = 𝐸𝑠 𝜀𝑦 𝜀𝑠𝑣 𝜀𝑠ℎ 𝜀𝑠 Curva completa Fig. 2.30. Diferentes idealizaciones de la curva tensión – deformación para el acero 65 Diseño de estructuras de hormigón armado Respuesta inelástica cíclica Cuando el acero de refuerzo es sometido a ciclos de carga en el rango inelástico, la platea de fluencia desaparece y en la curva tensión-deformación se manifiesta el efecto Bauschinger, en el cual la respuesta no lineal se desarrolla a una deformación mucho más baja que la que corresponde a fluencia. Esfuerzo [𝑀𝑃𝑎] Esfuerzo [𝑀𝑃𝑎] 600 600 300 300 -0.02 0.02 0.04 0.06 -300 -600 Deformación a) -0.04 -0.02 0.02 0.04 -300 -600 Deformación b) Fig. 2.31. Comportamiento cíclico del acero En la figura 2.31(a) se muestra el caso de comportamiento cíclico predominantemente del lado de las deformaciones en tracción, mientras que en la figura 2.31(b) las excursiones no lineales son simétricas en tracción y compresión. El primer caso es típico de la respuesta de las barras en rótulas plásticas en vigas en las que es poco probable que sufra gran plasticidad en compresión. Para estos casos la respuesta monotónica provee una envolvente de la respuesta cíclica. El caso (b) se podría dar durante la respuesta inelástica de columnas con fuerzas axiales moderadas o altas. En estos casos, mientras que la amplitud de respuesta se incrementa, los niveles de tensión para una deformación dada también se incrementan y pueden exceder por bastante margen las tensiones que se obtendrían de la curva tensión-deformación monotónica. Efectos de velocidad de deformación Para valores de velocidad de deformación característicos durante la respuesta sísmica (del orden de 0.01 [𝑠 −1 ] a 0.10 [𝑠 −1 ]), las barras de acero manifiestan un significativo incremento en la tensión de fluencia con respecto a los valores estáticos. Las referencias dan incrementos del orden de 10% a 20% respectivamente para valores de deformación entre 0.01 [𝑠 −1 ] a 0.10 [𝑠 −1 ], en los aceros con tensión de fluencia cercana a 400 [𝑀𝑃𝑎]. 66 Características mecánicas de los materiales Efecto de la temperatura en el acero Si bien el coeficiente de dilatación térmica del acero es cercano a 11 · 10−6 [1/℃], es aceptado utilizar el mismo valor de 10 · 10−6 [1/℃] para ambos materiales. Por encima de los 200 °𝐶 hay una substancial reducción tanto de la rigidez como de la resistencia de los aceros. A 400 °𝐶 la resistencia a tracción de los alambres y cables es apenas un 50% del valor a los 20 °𝐶. Temperatura en ℃ Porcentaje de resistencia 100 0 100 200 300 400 40 600 700 800 Barra de acero de alta resistencia 80 60 500 Acero laminado en caliente Acero de pretensado deformado en frío 20 0 Fig. 2.32. Reducción de la resistencia de los aceros en función de la temperatura La figura 2.32 muestra la variación de la resistencia a tracción de diversos tipos de acero ante la influencia de altas temperaturas. Por debajo de ciertos valores de temperatura (típico 20℃) la ductilidad de las barras de acero prácticamente se pierde y éstas se comportan de forma frágil alcanzando con dificultad la tensión de fluencia. Por lo tanto se debe tener cuidado cuando se necesita diseñar estructuras dúctiles en climas muy fríos. 2.3. Problemas propuestos 1. ¿Qué factores afectan la retracción del hormigón? 2. ¿Qué factores afectan la fluencia del hormigón? 3. Una estructura es construida de hormigón dosificado con cemento Tipo I (Cemento Portland normal). La humedad relativa del ambiente es 70%. El hormigón fue curado durante cuatro días por humedad. La resistencia característica a los 28 días es de 28 [𝑀𝑃𝑎]. 67 Diseño de estructuras de hormigón armado a) Calcular la deformación por retracción no restringida de una viga rectangular de 200 [𝑚𝑚] de base por 500 [𝑚𝑚] de altura a los tres años después de vaciado el hormigón. b) Calcular la deformación por fluencia de una columna cuadrada de 500 [𝑚𝑚] de lado a los dos años después de vaciado el hormigón. Una carga de 1780 [𝑘𝑁] fue aplicada a la columna cuando ésta tenía 60 días de edad. 4. ¿Cuántos centímetros de longitud la columna pierde después de 360 [𝑑í𝑎𝑠] si se aplica de forma instantánea una carga de 400 [𝑘𝑁] y se la mantiene durante todo el periodo señalado?. Considerar las deformaciones instantánea, retracción y fluencia del hormigón. Datos: Hormigón curado con humedad durante 7 [𝑑í𝑎𝑠] Humedad relativa de 60% Revenimiento de la mezcla de hormigón de 5 [𝑐𝑚] Contenido de finos en la mezcla de 40% Porcentaje de aire en la mezcla de 6% Contenido de cemento en la mezcla de 420 [𝑘𝑔𝑓/𝑚3 ] La columna es cargada después de 10 [𝑑í𝑎𝑠] de ser vaciada Peso unitario del hormigón de 24 [𝑘𝑁/𝑚3 ] Resistencia característica del hormigón de 20 [𝑀𝑃𝑎] 68 CAPÍTULO 3 TEORÍA DE FLEXIÓN EN HORMIGÓN ARMADO 3. Teoría de flexión en hormigón armado 3.1. Introducción En el desarrollo de la teoría de flexión para el análisis y diseño de vigas de hormigón armado es necesario considerar ciertas suposiciones fundamentales, sin las cuales la tarea del ingeniero calculista sería muy difícil de realizar, puesto que existirían muchas incertidumbres y variables. En el presente capítulo se presentan las suposiciones básicas sobre las cuales se basa el desarrollo de la teoría de flexión para elementos de hormigón armado. 3.2. Flexión en vigas de material homogéneo, elástico e isótropo El hormigón armado es un material no homogéneo porque está constituido por dos materiales totalmente distintos (hormigón y acero), además no tiene un comportamiento elástico, como se puede evidenciar en sus curvas tensión-deformación y por último no es isótropo, porque no presenta las mismas propiedades en todas sus direcciones. Por lo tanto, los procedimientos utilizados para el diseño de vigas en otros materiales, como el acero, no se aplican. Pero, algunos principios fundamentales pueden ser mantenidos y sobre la base de ellos desarrollar otro método para el diseño y análisis en hormigón armado. Los principios fundamentales que intervienen en el diseño de vigas de material elástico, homogéneo e isótropo son los siguientes: En cualquier sección transversal existe una distribución de esfuerzos que puede ser descompuesta en dos componentes: una perpendicular (normal) y la otra paralela (tangencial) a la sección. Los esfuerzos normales a la sección son los esfuerzos por flexión y son los que resisten los momentos flectores, mientras que los esfuerzos tangenciales son los esfuerzos por corte y son los que resisten las fuerzas cortantes. 69 Diseño de estructuras de hormigón armado Una sección transversal del elemento que era plana antes de la aplicación de las cargas, se mantiene plana una vez que las cargas actúan sobre el elemento. Esto quiere decir que la distribución de los esfuerzos a lo largo de la sección transversal es lineal y proporcional a la distancia desde el eje neutro. Los esfuerzos normales (esfuerzos por flexión), dependen de la deformación de la sección en el punto considerado de acuerdo a la variación de la curva tensión-deformación. Para un material elástico, el esfuerzo 𝑓 es igual a la deformación 𝜀 multiplicada por el módulo de elasticidad. La distribución de los esfuerzos de corte 𝑣 en la sección transversal depende de la forma de la sección y del diagrama tensión-deformación del material. Los esfuerzos cortantes son mayores a nivel del eje neutro y cero en las fibras extremas, además estos esfuerzos son iguales en planos verticales y horizontales de un punto. En cualquier punto a lo largo y alto del elemento se pueden hallar los esfuerzos principales de compresión 𝑓2 y tracción 𝑓1 conociendo los esfuerzos cortantes y de flexión en ese punto y utilizando la técnica del círculo de Mohr o las ecuaciones correspondientes. Tracción principal: 1 𝑓1 = ∙ (𝑓 + √𝑓 2 + 4 ∙ 𝑣 2 ) 2 (3.1) Compresión principal: 1 𝑓2 = ∙ (𝑓 − √𝑓 2 + 4 ∙ 𝑣 2 ) 2 (3.2) 𝑓1 𝑣 𝑣 𝑓 𝑓2 𝛼 𝑓 𝑣 𝑣 𝑓2 Esfuerzos de corte y flexión 𝑓1 Esfuerzos principales Fig. 3.1. Esfuerzos en un punto cualquiera de una viga El esfuerzo principal tiene un ángulo ∝ con la horizontal que puede hallarse con la siguiente ecuación: tan(2 ∙ 𝛼) = 70 2 ∙ 𝑣 𝑓 (3.3) Teoría de flexión en hormigón armado Como los esfuerzos cortantes verticales y horizontales son iguales y como los esfuerzos por flexión son cero en el plano del eje neutro, los esfuerzos principales en cualquier punto de ese plano forman un ángulo de 45° con la horizontal y tienen una intensidad igual al esfuerzo cortante. 𝑓 =−𝑣 𝑓=𝑣 𝑣 45° 𝑣 𝑣 𝑣 𝑓 =−𝑣 Esfuerzos de corte 𝑓=𝑣 Esfuerzos principales Fig. 3.2. Esfuerzos en un punto cualquiera sobre el eje neutro de la viga Cuando se tiene un comportamiento elástico del material o el nivel de esfuerzo se mantiene dentro del rango de comportamiento elástico de ese material, entonces el eje neutro pasa por el centro de gravedad de la sección y los esfuerzos por flexión 𝑓 y corte 𝑣 pueden ser hallados utilizando las ecuaciones típicas de la resistencia de materiales. 𝑓= 𝑀 ∙ 𝑦 𝐼 𝑓𝑚𝑎𝑥 = 𝑣= 𝑀 ∙𝑐 𝑀 = 𝐼 𝑆 𝑉 ∙𝑄 𝐼 ∙𝑏 (3.4) (3.5) (3.6) Donde: 𝑓 = Esfuerzo de flexión a una distancia y desde el eje neutro. 𝑀 = Momento flector externo en la sección. 𝑦 = Distancia desde el eje neutro al punto considerado de la sección. 𝐼 = Momento de inercia de la sección alrededor del eje neutro. 𝑐 = Distancia desde el eje neutro a la fibra extrema. 𝑆 = Módulo de la sección transversal 𝐼/𝑐. 𝑣 = Esfuerzo de corte (horizontal o vertical) en cualquier punto de la sección. 𝑉 = Fuerza cortante externa en la sección. 𝑄 = Momento estático, alrededor del eje baricéntrico, de la porción de la sección transversal entre la línea del punto en cuestión y la fibra extrema más cercana (superior o inferior) de la viga. 𝑏 = Ancho de la sección en donde se determina la tensión de corte. 71 Diseño de estructuras de hormigón armado 3.3. Suposiciones básicas de la teoría de flexión en hormigón armado Para el desarrollo de una teoría sencilla y que pueda ser aplicada en la práctica, se deben realizar una serie de suposiciones para facilitar el desarrollo de las ecuaciones que predicen el comportamiento de una sección de hormigón armado sometida a esfuerzos de flexión. Para ello, se van a considerar las siguientes suposiciones: Las secciones planas antes de la flexión se siguen manteniendo planas después de ella La curva tensión – deformación para el acero es conocida La resistencia a la tracción del hormigón no es tomada en cuenta La curva tensión – deformación es conocida para el hormigón y ésta define la magnitud y distribución del esfuerzo de compresión - El acero y el hormigón trabajan como una sola unidad - La primera suposición que corresponde al principio de Bernoulli, implica que la deformación longitudinal en el hormigón y en el acero en varios puntos a través de la sección transversal es proporcional a la distancia desde el eje neutro. Un gran número de ensayos, en miembros de hormigón armado, ha comprobado que esta suposición es correcta en todas las etapas de carga hasta la falla, siempre y cuando exista una buena adherencia entre el hormigón y el acero. Ciertamente esta suposición es correcta en la zona de compresión del hormigón, pero en la zona de tracción las fuerzas producen cierto deslizamiento del acero con respecto al hormigón y esto significa que la suposición no es completamente aplicable en el hormigón cerca de las fisuras. Sin embargo, si se mide la deformación en una longitud que incluye varias fisuras, se encuentra que el principio de Bernoulli es aplicable a la deformación promedio medida. Esta suposición no es aplicable para vigas de canto alto o en regiones que tienen grandes esfuerzos de corte. La segunda suposición significa que las propiedades del acero están bien definidas. Normalmente se utiliza la idealización elástico perfectamente plástico para la curva tensión-deformación del acero. Eso presume que el incremento de tensión por endurecimiento pasado el punto de fluencia es ignorado, tal como lo indica la sección 20.2.2.1 del código ACI. Esta suposición es razonable debido a que no es conveniente confiar en un incremento de la resistencia del acero en la fase plástica, sobre todo si la ley constitutiva no es conocida. La suposición de rigidez nula para el acero desde la fase postelástica hasta su rotura no sería necesaria si la curva tensión-deformación fuera conocida, pero para los efectos de evaluar la resistencia a flexión da resultados por el lado de la seguridad y es conveniente porque facilita los procedimientos de cálculo. Sin embargo, cuando se da la posibilidad de que ocurra un incremento en las tensiones por endurecimiento y esto pueda conducir a una situación desfavorable, por ejemplo falla frágil por corte o por adherencia, el calculista puede y debería tomar en cuenta la posibilidad de ese incremento de resistencia. La tercera suposición está muy cerca de la verdad. Cualquier tensión de tracción que existe en el hormigón por debajo del eje neutro es pequeña y tiene un pequeño brazo de palanca. Por lo que de existir alguna contribución en la resistencia a flexión, no se comete un error apreciable al ignorarla. La cuarta suposición es necesaria para estimar el comportamiento real de la sección. Debido a que las deformaciones en el hormigón comprimido son proporcionales a la distancia desde el eje neutro, las curvas tensión-deformación del hormigón, descritas anteriormente, indican la forma del bloque de 72 Teoría de flexión en hormigón armado esfuerzos de compresión para varias etapas de carga. En la siguiente figura se puede apreciar cómo cambia la forma del diagrama de esfuerzos en la zona comprimida (por encima del eje neutro) a medida que se incrementa el momento flector en la sección. Cuando el momento es pequeño, la distribución de esfuerzos es triangular y a medida que éste se incrementa, el esfuerzo se curva hasta tener la forma aproximada de una parábola, que representa el comportamiento real del hormigón a compresión. a b c d 𝐶 Diagrama de deformaciones 𝑑 𝑗·𝑑 Acero a b c d 𝑇 Fig. 3.3. Distribución de tensiones de compresión en el hormigón correspondientes a diferentes diagramas de deformación (a, b, c y d) 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ 𝐾3 ∙ 𝑓𝑐′ 𝐾2 ∙ 𝑐 𝐶 = 𝐾1 ∙ 𝐾3 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 𝑐 0.5 · 𝑎 𝐶 = 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑏 ∙ 𝑎 𝑎 = 𝛽1 · 𝑐 eje neutro Distribución actual Distribución rectangular equivalente Fig. 3.4. Distribución de esfuerzos de compresión en la zona de compresión de una sección rectangular de hormigón de dimensiones (𝒃 · 𝒉) Diferentes ensayos realizados en laboratorios de todo el mundo dieron como resultado valores para todos los factores 𝐾 (𝐾1 , 𝐾2 y 𝐾3 ), pero debido a la complejidad del diagrama real de esfuerzos es que muchos investigadores han propuesto el uso de diagramas equivalentes más sencillos para simplificar el análisis y 73 Diseño de estructuras de hormigón armado diseño de elementos de hormigón armado. Para hallar la resistencia a la flexión de una sección solo se necesita saber la magnitud de 𝐾1 ∙ 𝐾3 y la posición de 𝐾2 de la fuerza de compresión del hormigón. El diagrama rectangular equivalente de esfuerzos simplifica de sobremanera los cálculos sin afectar la exactitud de los resultados. El código ACI indica en su sección 22.2.2.4.3 que el factor 𝛽1 debe ser tomado como 0.85 para resistencias del hormigón 𝑓𝑐′ entre 17 [𝑀𝑃𝑎] y 28 [𝑀𝑃𝑎]. Para hormigones con resistencias superiores a 28 [𝑀𝑃𝑎], 𝛽1 debe ser reducido continuamente a una razón de 0.05 por cada 7 [𝑀𝑃𝑎] de resistencia por encima de 28 [𝑀𝑃𝑎], pero el factor 𝛽1 no debe ser tomado menos de 0.65. De la anterior definición se puede deducir la siguiente fórmula aproximada: 𝛽1 = 1.05 − 0.007 ∙ 𝑓𝑐′ Pero 0.65 𝛽1 0.85 donde 𝑓𝑐′ está en [𝑀𝑃𝑎] (3.7) Valor del coeficiente 𝛽1 0,90 0,85 0,80 0,75 0,70 0,65 0,60 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 Resistencia característica del hormigón 𝑓𝑐′ en [𝑀𝑃𝑎] Fig. 3.5. Variación de 𝜷𝟏 en función de la resistencia característica del hormigón 𝒇′𝒄 Parámetros del diagrama rectangular: 𝑎 = 𝛽1 𝑐 (3.8) 𝐶 = 𝐾1 ∙ 𝐾3 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 = 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑏 ∙ 𝑎 (3.9) 𝐾1 − 𝐾3 = 0.85 ∙ 𝑎⁄𝑐 = 0.85 ∙ 𝛽1 (3.10) 𝐾2 ∙ 𝑐 = 0.5 ∙ 𝑎 (3.11) 74 Teoría de flexión en hormigón armado Deformación de la fibra extrema 𝜀𝑐 𝐾2 = 0.5 ∙ 𝑎⁄𝑐 = 0.5 ∙ 𝛽1 (3.12) 0.004 0.003 0.002 0.001 20 40 60 Resistencia característica del hormigón 𝑓𝑐′ en [𝑀𝑃𝑎] Fig. 3.6. Representación de resultados de ensayos de compresión en probetas de hormigón El código ACI en su sección 22.2.2.1 recomienda el valor de 0.003 como deformación máxima en la fibra extrema de compresión del hormigón en una sección sometida a flexión hasta alcanzar su resistencia máxima. Para este valor de deformación el hormigón en compresión no muestra fisuras ni desintegración visibles (efecto de Poisson), aunque ese valor de 𝜀𝑐 es bastante mayor al que corresponde a la máxima tensión. Cilindros cargados axialmente se fisuran bastante cuando la deformación excede la que corresponde al máximo valor de 𝑓𝑐′ pero en los ensayos a flexión las fisuras no son visibles hasta que se alcanzan valores de deformación grandes, lo cual es atribuido a la presencia de material, más cercano al eje neutro, con menores esfuerzos. La quinta suposición es necesaria porque de otra manera se tendrían diferentes deformaciones para el hormigón y el acero en un mismo nivel, por lo tanto la adherencia entre los dos materiales es esencial para el adecuado comportamiento de las secciones de hormigón armado. Con las barras de acero corrugado que se utilizan actualmente, ésta suposición está muy cerca de la realidad. Secciones no rectangulares sometidas a flexión Cuando se utilizan vigas de sección T o L, o en columnas sometidas a momentos flectores biaxiales, puede que el área de compresión en la sección no llegue a ser rectangular, por lo que los parámetros recomendados para el diagrama rectangular equivalente de tensiones en secciones rectangulares no se 75 Diseño de estructuras de hormigón armado aplican estrictamente. El esfuerzo promedio de compresión y la profundidad del diagrama rectangular equivalente para diferentes áreas en compresión no son los mismos. Además, la deformación máxima de la fibra extrema en compresión será diferente. Pero, experimentos han demostrado que si la sección no tiene cuantías altas de refuerzo, la resistencia a la flexión de vigas con áreas comprimidas diferentes a la rectangular pude ser estimada con bastante exactitud utilizando los parámetros de esfuerzo y deformación de la fibra extrema derivados para áreas rectangulares en compresión, debido a que el brazo de palanca 𝑗 · 𝑑 y las fuerzas internas no varían de manera significativa. Para columnas cuyas áreas en compresión difieren de la rectangular, el uso de los parámetros derivados para áreas en compresión de forma rectangular puede llegar a dar resultados equivocados debido a que las fuerzas de compresión son mayores y la distribución del esfuerzo de compresión en el hormigón tiene una influencia más significativa en la resistencia a la flexión de la sección que en el caso de vigas. Por lo tanto para columnas sujetas a momentos flectores biaxiales es necesario derivar otros nuevos parámetros tomando en cuenta la curva tensión-deformación del hormigón. En resumen, se puede indicar que para vigas con secciones en compresión diferentes a la rectangular se pueden utilizar los mismos parámetros que para secciones rectangulares en compresión, pero para el caso de columnas, si se utilizan los mismos parámetros, se debe proceder con cautela. Resumen de recomendaciones para la determinación de la resistencia de secciones sometidas a flexión y compresión a) Las secciones planas antes de la flexión permanecen planas después de la flexión. b) La distribución del esfuerzo en el hormigón puede ser tomada como rectangular con los siguientes parámetros: Esfuerzo promedio = 0.85 · 𝑓𝑐′ Profundidad del bloque de compresión = 𝛽1 ∙ 𝑐 Profundidad del eje neutro = 𝑐 𝛽1 = 1.05– 0.007 · 𝑓𝑐′ 76 0.65 ≤ 𝛽1 ≤ 0.85 c) La resistencia a la tracción del hormigón se desprecia. d) La deformación última del hormigón en la fibra extrema en compresión es 0.003 para el cálculo de la resistencia a la flexión de una sección de hormigón. e) El esfuerzo en el acero por debajo de la tensión de fluencia puede ser hallado multiplicando su deformación por el módulo de elasticidad. Para deformaciones mayores de la correspondiente a la tensión de fluencia, el esfuerzo en el acero puede suponerse que se mantiene en la tensión de fluencia. Teoría de flexión en hormigón armado f) La deformación última del hormigón y la distribución rectangular de tensiones pueden ser utilizadas en el análisis de vigas con cualquier tipo de sección. Para columnas de sección comprimida no rectangular se deben usar parámetros más exactos basados en la curva tensióndeformación del hormigón. g) El efecto de carga permanente puede ser despreciado. La sección 22.2.2.3 del código ACI permite, para predecir la resistencia a flexión de secciones de hormigón armado, adoptar cualquier forma de distribución de tensiones de compresión en el hormigón, siempre y cuando los resultados obtenidos estén de acuerdo con los de ensayos realizados. En algunas normas se utiliza una distribución de tensiones en el hormigón parabólica, triangular y hasta trapecial. Las principales diferencias que se pueden mencionar, sólo en el aspecto de hipótesis para evaluar resistencias a flexo-compresión, entre el ACI y la norma CEB-FIP europea son las siguientes: a) En el CEB-FIP se adopta una parábola de segundo grado hasta una deformación de 0.002 y luego una rama horizontal (tensión constante) hasta 0.0035. Esta norma no da opciones para las relaciones tensión-deformación del hormigón ni del acero b) La forma de introducir la seguridad en el CEB-FIP consiste en la utilización de dos tipos de coeficientes: los de minoración de las resistencias de los materiales y los de mayoración de las acciones. En el ACI la seguridad se introduce también mediante dos coeficientes: los de minoración de la resistencia y los de mayoración de las acciones o cargas. La diferencia principal en este punto es que el factor de reducción de la resistencia en el ACI depende del tipo de falla, mientras que en el CEB-FIP el factor de reducción se aplica a los materiales (hormigón y acero) sin importar el tipo de falla. c) Para evaluar las deformaciones, el CEB-FIP sugiere adoptar otro diagrama simplificado para el hormigón en compresión y considerar que no son importantes los fenómenos de fluencia lenta y contracción del hormigón. El ACI, en su sección 24.2.4, considera la influencia de la fluencia del hormigón en las deformaciones. d) El CEB-FIP limita la máxima deformación usable del acero a 0.01, es decir apenas el 1%. El ACI no impone límites en la deformación a tracción del acero. Debe reconocerse que esta restricción produce muy poca diferencia (si no se considera el aumento de tensión por endurecimiento de postfluencia) en el valor de la resistencia a flexión, pero, y aquí está la gran diferencia, sí tiene una influencia notable en la evaluación de la capacidad de deformación disponible del elemento. Dado que la deformación disponible del acero es mucho mayor que aquellos límites impuestos, Park y Paulay mencionan en su texto que tal restricción no es necesaria. Además, para el caso de diseño sismo resistente, la evaluación de las capacidades de deformación, y las posibilidades de sobre resistencia son fundamentales a la hora de establecer criterios de diseño y seguridad. En estos casos la imposición de un límite para la deformación del acero en tracción es inaceptable. 77 Diseño de estructuras de hormigón armado Como se ve, las diferencias de criterios entre las normas del CEB-FIP y las ACI, no son triviales. Existen aún más diferencias en los criterios de adopción de factores de carga para solicitaciones últimas y en los criterios de armado, en particular cuantías mínimas y máximas de acero. 3.4. Problemas propuestos 1. Una viga simplemente apoyada, de material homogéneo, elástico e isótropo, soporta una carga uniformemente distribuida de 30 [𝑘𝑁/𝑚]. Determinar los esfuerzos principales en los siguientes puntos: a) Sobre el apoyo 𝐴 a nivel del eje neutro b) Sobre el punto 𝐵 a nivel del eje neutro c) Sobre el punto 𝐵 a 250 [𝑚𝑚] por debajo del eje neutro d) Sobre el punto 𝐶 a 200 [𝑚𝑚] por encima del eje neutro 600 𝐴 𝐵 2500 𝐶 2500 𝐷 300 1800 Dimensiones en [𝑚𝑚] 2. Repetir el ejercicio anterior considerando que la sección transversal de la viga tiene la forma de la figura que se muestra a continuación. 500 250 600 250 3. ¿Por qué se utiliza en el diseño de elementos de hormigón armado un diagrama rectangular de tensiones con una tensión máxima de 0.85𝑓𝑐′ y una profundidad de 𝑎 = 𝛽1 ∙ 𝑐? 78 Teoría de flexión en hormigón armado 4. ¿Cuáles son las suposiciones básicas de la teoría de flexión? 5. ¿En qué cambiaría el diseño de secciones de hormigón armado si la primera suposición no fuera válida? 6. ¿Por qué las vigas, de cualquier sección transversal, pueden ser analizadas y diseñadas utilizando los mismos parámetros derivados para vigas de sección rectangular? 79 CAPÍTULO 4 VIGAS - RESISTENCIA A LA FLEXIÓN 4. Vigas - Resistencia a la flexión 4.1. Secciones rectangulares La sección más simple que se presenta y la de mayor utilización en el diseño de estructuras de hormigón armado es la rectangular. Esto se debe a diversos factores que se presentan tanto en la etapa de diseño, como en la de construcción, entre los que podemos citar los siguientes: - Métodos de diseño y análisis relativamente sencillos Facilidad en el dibujo y detalle de la armadura Es una forma sencilla que permite armar el encofrado rápidamente La forma se acomoda a la mayoría de las aplicaciones en puentes, edificios, etc. En las siguientes secciones, se desarrollarán los métodos necesarios para el análisis y diseño de secciones rectangulares con simple y doble armadura. 4.1.1. Análisis de secciones con simple armadura Se considera que una viga tiene sección transversal rectangular de base 𝑏 y altura ℎ. Debido a la forma del diagrama de momentos flectores, solamente la cara inferior está sometida a tracción, por lo que se dispone el refuerzo próximo a esa cara con un área de acero 𝐴𝑠 . La sección transversal en estudio sufre una deformación por las cargas que actúan sobre la viga (momento flector). La variación de la deformación es lineal y proporcional a la distancia con respecto al eje neutro de la sección, de acuerdo a la suposición de que las secciones planas antes de la aplicación de las cargas se mantienen planas una vez que ellas actúan. Como no se considera la resistencia a la tracción del hormigón, la distribución de esfuerzos en la sección es solamente de compresión por encima del eje neutro. Por debajo del eje neutro, no existe contribución del hormigón y el acero es el que sufre una deformación de tracción 𝜀𝑠 y su respectivo esfuerzo de tracción 𝑓𝑠 . La distribución real de esfuerzos en el hormigón se aproxima a una parábola, por lo que para simplificar el diseño se asume que es rectangular con una intensidad de 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ y una profundidad de 𝑎. 81 Diseño de estructuras de hormigón armado Por último, se hallan las resultantes de los esfuerzos en el hormigón 𝐶 y en el acero 𝑇 y se aplican las ecuaciones de equilibrio. 𝑏 0.85 · 𝑓𝑐′ 𝜀𝑐 = 0.003 𝑎 = 𝛽1 · 𝑐 𝑀𝑛 ℎ 𝑑 𝐶 𝑐 Eje neutro 𝑗·𝑑 Α𝑠 𝜀𝑠 Sección Parte del elemento Deformación 𝑓𝑠 Tensiones Reales 𝑓𝑠 Tensiones Equivalentes 𝑇 Fuerzas Internas Fig. 4.1. Análisis de una sección rectangular con simple armadura Fuerza de tracción (si el acero fluye) Fuerza de compresión Equilibrio de fuerzas horizontales Distancia entre las fuerzas Momento nominal 𝑇 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 𝐶 = 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 𝑇=𝐶 𝑎 𝑗·𝑑 =𝑑−2 𝑀𝑛 = 𝑇 ∙ 𝑗 ∙ 𝑑 (4.1) (4.2) (4.3) (4.4) (4.5) Para determinar la capacidad de resistencia de la viga a la flexión, se debe considerar la forma en que la sección transversal puede fallar. De acuerdo a la cantidad de acero 𝐴𝑠 que tiene la sección transversal, se pueden distinguir tres tipos de fallas por flexión: tracción, compresión y balanceada. Falla por tracción Para cuantías pequeñas de acero en la sección, éste alcanzará su tensión de fluencia 𝑓𝑦 antes de que el hormigón alcance su resistencia máxima. Si el acero tiene un comportamiento elástico perfectamente plástico, la fuerza 𝑇 se mantiene constante en el valor 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 para cualquier incremento de carga en el elemento. Fuerza de compresión 𝐶 = 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 Fuerza de tracción 𝑇 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 Equilibrio de fuerzas 𝑇 = 𝐶 (4.2) (4.1) (4.3) 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑏 (4.6) 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 = 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 ⇒ 𝑎 = 𝑎 𝑀𝑛 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ∙ (𝑑 − ) 2 82 (4.7) Vigas – Resistencia a la flexión 𝑀𝑛 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ∙ [𝑑 − 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ] = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ∙ [𝑑 − 0.59 ∙ ′ ] ′ 2 ∙ 0.85 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 𝑀𝑛 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑑 ∙ [1 − 0.59 ∙ 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ] 𝑑 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑏 (4.8) Donde: = Cuantía de armadura. 𝐴𝑠 𝜌= 𝑏∙𝑑 = Cuantía mecánica de acero. 𝑓𝑦 𝜔=𝜌∙ ′ 𝑓𝑐 (4.9) (4.10) 𝑀𝑛 = 𝑏 ∙ 𝑑2 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝜔 ∙ (1 − 0.59 ∙ 𝜔) (4.11) 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 𝜙 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑2 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝜔 ∙ (1 − 0.59 ∙ 𝜔) (4.12) Falla por compresión Para cuantías grandes de acero en la sección, el hormigón alcanzará su máxima capacidad antes de que el acero fluya, por lo tanto la tensión en el acero de tracción no alcanza la tensión de fluencia (𝑓𝑠 < 𝑓𝑦 ). Del diagrama de deformaciones se obtiene la siguiente relación: 𝜀𝑐 𝜀𝑠 = 𝑐 𝑑−𝑐 𝜀𝑠 = 0.003 ∙ 𝑑−𝑐 𝑐 𝑓𝑠 = 𝜀𝑠 ∙ 𝐸𝑠 = 0.003 ∙ (4.13) 𝑑−𝑐 𝛽1 ∙ 𝑑 − 𝑎 ∙ 𝐸𝑠 = 0.003 ∙ ∙ 𝐸𝑠 𝑐 𝑎 (4.14) Fuerza de compresión 𝐶 = 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 Fuerza de tracción 𝑇 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑠 Equilibrio de fuerzas 𝑇 = 𝐶 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑠 = 𝐴𝑠 ∙ 0.003 ∙ (4.2) (4.1) (4.3) 𝛽1 ∙ 𝑑 − 𝑎 𝛽1 ∙ 𝑑 − 𝑎 ∙ 𝐸𝑠 = 𝐴𝑠 ∙ 𝐸𝑠 ∙ 0.003 ∙ 𝑎 𝑎 1 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑏 ∙ 𝑎2 − 𝐴𝑠 ∙ 𝐸𝑠 ∙ 0.003 ∙ 𝛽1 ∙ 𝑑 + 𝐴𝑠 ∙ 𝐸𝑠 ⋅ 0.003 ∙ 𝑎 = 0 multiplicar por 𝑏∙𝑑 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ 2 𝐴𝑠 𝐴𝑠 ∙𝑎 + ∙ 0.003 ∙ 𝐸𝑠 ∙ 𝑎 − ∙ 0.003 ∙ 𝐸𝑠 ∙ 𝛽1 ∙ 𝑑 = 0 𝑑 𝑏∙𝑑 𝑏∙𝑑 83 Diseño de estructuras de hormigón armado 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑎2 + 𝑑 ∙ 𝑎 − 𝛽1 ∙ 𝑑2 = 0 𝜌 ∙ 0.003 ∙ 𝐸𝑠 (4.15) Se resuelve la ecuación de segundo grado y se halla el valor de 𝑎 𝑎 𝑀𝑛 = 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ (𝑑 − ) 2 𝑎 ′ 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 𝜙 ∙ 0.85 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ (𝑑 − ) 2 (4.16) (4.17) Falla balanceada Esta falla se presenta para una cuantía particular de acero en la sección, para la cual, tanto el hormigón como el acero, alcanzan simultáneamente sus capacidades máximas. Deformación de fluencia del acero: 𝑓𝑦 𝜀𝑠 = 𝜀𝑦 = 𝐸𝑠 Deformación máxima del hormigón: 𝜀𝑐 = 0.003 𝜀𝑐 𝜀𝑠 = ⇒ 𝜀𝑐 ∙ (𝑑 − 𝑐𝑏 ) = 𝜀𝑦 ∙ 𝑐𝑏 ⇒ 𝑐𝑏 ∙ (𝜀𝑦 + 𝜀𝑐 ) = 𝜀𝑐 ∙ 𝑑 𝑐𝑏 𝑑 − 𝑐𝑏 0.003 ∙ 𝑑 0.003 ∙ 𝐸𝑠 600 = ∙𝑑 = ∙𝑑 𝑓𝑦 0.003 ∙ 𝐸𝑠 + 𝑓𝑦 600 + 𝑓𝑦 + 0.003 𝐸𝑠 𝑎𝑏 600 = 𝛽1 ∙ 𝑑 600 + 𝑓𝑦 𝑐𝑏 = 𝐸𝑠 = 2 ∙ 105 [𝑀𝑃𝑎] 𝛽1 = 1.05 − 0.007 ∙ 𝑓𝑐′ (4.18) (4.19) 0.65 ≤ 𝛽1 ≤ 0.85 Fuerza de compresión: 𝐶 = 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑎𝑏 ∙ 𝑏 (4.2) Fuerza de tracción: 𝑇 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 (4.1) Equilibrio de fuerzas: 𝑇=𝐶 (4.3) 𝐴 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑎𝑏 ∙ 𝑏 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 = 𝜌𝑏 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑦 donde 𝜌𝑏 = 𝑏∙𝑑𝑠 84 Vigas – Resistencia a la flexión Para una falla balanceada, la cuantía de acero tiene un valor de: 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑎𝑏 𝑓𝑦 ∙ 𝑑 Substituyendo el valor de 𝑎𝑏 en la ecuación (4.20) 𝜌𝑏 = 𝜌𝑏 = (4.20) 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝛽1 600 ∙ 𝑓𝑦 600 + 𝑓𝑦 (4.21) En la ecuación anterior 𝑓𝑐′ y 𝑓𝑦 están en [𝑀𝑃𝑎] En muy contadas ocasiones la cuantía de armadura 𝜌 será igual a la cuantía balanceada 𝜌𝑏 . En el caso general 𝜌 será mayor o menor a 𝜌𝑏 . 𝑓 Si 𝜌 < 𝜌𝑏 ⇒ 𝑐 < 𝑐𝑏 y 𝜀𝑠 > 𝑦 ⇒ Falla por tracción 𝐸𝑠 𝑓 Si 𝜌 > 𝜌𝑏 ⇒ 𝑐 > 𝑐𝑏 y 𝜀𝑠 < 𝑦 ⇒ Falla por compresión 𝐸𝑠 𝜀𝑐 = 0.003 Fibra extrema en compresión 𝑐𝑏 Falla por tracción 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 y 𝜌 < 𝜌𝑏 𝑑 Falla balanceada Falla por compresión 𝑓𝑠 < 𝑓𝑦 y 𝜌 > 𝜌𝑏 c.g. del acero 𝜀𝑠 ≤ 𝜀𝑦 𝜀𝑦 = 𝑓𝑦 𝐸𝑠 𝜀𝑠 > 𝜀𝑦 Fig. 4.2. Diferentes tipos de fallas de una sección de hormigón armado 85 Diseño de estructuras de hormigón armado Factor de reducción de la resistencia 𝝓 El código ACI ha introducido la terminología de “Secciones Controladas por Compresión” para aquellas secciones en las que la deformación a la rotura en el acero de tracción del nivel extremo es menor o igual a la deformación de fluencia por tracción 𝜀𝑦 . Este tipo de secciones desarrollan fallas por compresión o fallas balanceadas. Las secciones que tienen una deformación a la rotura en el acero de tracción del nivel extremo mayor o igual a 0.005 en tracción son llamadas “Secciones Controladas por Tracción”. Las secciones que están entre los dos límites son llamadas “Secciones en Transición”. Para reducir la probabilidad de que ocurran fallas frágiles, el código ACI en su sección 9.3.3.1 requiere que los elementos de hormigón armado (no pretensados) sometidos a esfuerzos de flexión y con una carga axial mayorada 𝑃𝑢 menor o igual a 0.10 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝐴𝑔 deben tener su deformación neta de tracción 𝜀𝑡 mayor o igual a 0.004 para la resistencia nominal. El código permite la utilización de acero de compresión en combinación con una adición de acero de tracción para incrementar la resistencia de los elementos a flexión o para cambiar el modo de falla. En el diseño de vigas de hormigón armado, las propiedades de la sección transversal, en lo posible, deben asegurar una falla por tracción, eso quiere decir que la tensión en el acero, en el momento de la falla de la sección, alcance su tensión de fluencia (𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 ). El código ACI en su sección 9.3.3.1, permite que las vigas puedan ser diseñadas para una falla en transición siempre y cuando la deformación neta de tracción sea igual o superior a 0.004 (𝜀𝑡 ≥ 0.004). Para este tipo de secciones cuyas fallas caen en el rango de transición, se requiere que el factor de reducción de resistencia 𝜙 a utilizarse esté entre el valor para columnas y vigas. El código permite realizar una transición lineal entre estos dos valores tal como fue explicado en el primer capítulo del presente texto. 𝑎 𝑎 Para saber si 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 durante el diseño se debe verificar que 𝑑 ≤ 𝑑𝑏. Durante el diseño, la localización exacta del centro de gravedad del acero no es conocida hasta que se escoge el refuerzo final porque no se sabe que diámetro de barra se va a utilizar y cuántas filas de acero serán necesarias. Por esta razón, es más fácil definir la distribución de deformaciones en términos de la profundidad 𝑑𝑡 a nivel del acero más lejano de la cara de compresión. La deformación neta de tracción a nivel del acero más lejano de la cara de compresión es 𝜀𝑡 . La deformación neta de tracción es la deformación del acero para la condición de resistencia nominal, considerando sólo las cargas vivas y muertas últimas. No se toma en cuenta cualquier deformación en el acero producida por pretensado, fluencia del hormigón, retracción o temperatura. El código ACI en su sección 21.2.2 indica que las secciones controladas por compresión son aquellas en las que la deformación neta de tracción 𝜀𝑡 , en el acero más cercano a la cara de tracción, es igual o menor a la deformación de fluencia 𝜀𝑦 al mismo tiempo que el hormigón, en la cara de compresión, alcanza su deformación límite asumida de 0.003. Para acero con tensiones de fluencia de 420 [𝑀𝑃𝑎], y para todo tipo de acero de pretensado, se puede asumir que el límite de deformación para una falla controlada por compresión es igual a 0.002. 86 Vigas – Resistencia a la flexión Si 𝜀𝑡 ≤ 𝜀𝑦 ⇒ Sección controlada por compresión 𝑐𝑐𝑐 = 0.003 𝑑𝑡 𝑓𝑦 0.003 + 𝐸 𝑠 El módulo de elasticidad del acero 𝐸𝑠 es tomado como 200000 [𝑀𝑃𝑎] 600 𝑐𝑐𝑐 = 𝑑𝑡 600 + 𝑓𝑦 (4.22) 𝑎𝑐𝑐 600 = 𝛽1 ∙ 𝑑𝑡 600 + 𝑓𝑦 (4.23) Para aceros con 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] y para todos los aceros de pretensado el código permite que la deformación de fluencia del acero sea tomada como 0.002. 𝑐𝑐𝑐 = 0.6 𝑑𝑡 (4.24) 𝑎𝑐𝑐 = 0.6 ∙ 𝛽1 𝑑𝑡 (4.25) Si 𝜀𝑡 ≥ 0.005 ⇒ Sección controlada por tracción 𝑐𝑡𝑐 𝑑𝑡 = 0.003 0.003 + 0.005 𝑐𝑡𝑐 = 0.375 𝑑𝑡 (4.26) 𝑎𝑡𝑐 = 0.375 ∙ 𝛽1 𝑑𝑡 (4.27) La figura 4.3 resume los tres tipos de falla que puede presentar una sección de hormigón armado dependiendo de la deformación de la fila de aceros más cercana a la cara de tracción en el momento de la falla. Por tanto, una sección puede presentar una falla controlada por tracción (𝜀𝑡 ≥ 0.005), compresión (𝜀𝑡 < 𝜀𝑦 ) o balanceada (𝜀𝑡 = 𝜀𝑦 ). 87 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑏 𝜀𝑐 = 0.003 𝜀𝑐 = 0.003 𝑐𝑏 𝑑 Sección 𝑐𝑡𝑐 𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑡 𝐴𝑠 𝜀𝑐 = 0.003 𝜀𝑠 = 𝜀𝑦 𝜀𝑡 < 𝜀𝑦 𝜀𝑡 ≥ 0.005 Sección balanceada Sección controlada por compresión Sección controlada por tracción Fig. 4.3. Falla balanceada, controlada por compresión y controlada por tracción Para secciones en transición el código ACI específica para 𝜙 una transición lineal desde 0.9 hasta 0.65 o 0.75. En la figura de abajo se puede apreciar gráficamente la variación del factor 𝜙 tomando en cuenta el tipo de refuerzo transversal que tiene el elemento. 𝜙 𝜙 = 0.75 + 50 ∙ (𝜀𝑡 − 0.002) 0.90 0.75 0.65 Espiral 250 𝜙 = 0.65 + (𝜀𝑡 − 0.002) ∙ ( ) 3 Estribos Falla controlada por compresión Falla en transición 𝜀𝑡 = 0.002 𝑐 ∕ 𝑑𝑡 = 0.600 𝑎 ∕ 𝑑𝑡 = 0.600 ∙ 𝛽1 Falla controlada por tracción 𝜀𝑡 = 0.005 𝑐 ∕ 𝑑𝑡 = 0.375 𝑎 ∕ 𝑑𝑡 = 0.375 ∙ 𝛽1 Miembros con refuerzo en espiral Miembros con estribos normales Fig. 4.4. Variación del factor de reducción de la resistencia 𝝓 88 𝜀𝑡 Vigas – Resistencia a la flexión Como alternativa, para la zona en transición, se puede calcular 𝜙 utilizando las siguientes ecuaciones: Para elementos con refuerzo en espiral: 𝛽1 𝜙 = 0.50 + 0.15 ∙ 𝑎 𝑑𝑡 (1.8) Para elementos con otro tipo de refuerzo: 𝛽1 𝜙 = 0.23 + 0.25 ∙ 𝑎 𝑑𝑡 (1.9) Ejemplo. Calcular el momento nominal 𝑀𝑛 y el momento nominal de diseño 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 correspondiente a la sección transversal de la figura. 250 500 Datos: 𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] 𝑏 = 250 [𝑚𝑚] 𝑑 = 500 [𝑚𝑚] 𝐴𝑠 = 1473 [𝑚𝑚2 ] 3𝜙25 Sección a) Asumir 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 y calcular 𝑎 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 1473 ∙ 420 = ′ 0.85 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 0.85 ∙ 20 ∙ 250 𝑎 = 146 [𝑚𝑚] 𝑎= b) Verificar si 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 y si la sección es controlada por tracción 𝑎 146 𝑎 = = = 0.292 𝑑 𝑑𝑡 500 En este caso 𝑑 = 𝑑𝑡 𝛽1 = 1.05 − 0.007 ∙ 𝑓𝑐′ = 1.05 − 0.007 ∙ 20 = 0.91 > 0.85 ⇒ 𝛽1 = 0.85 600 600 𝑎𝑏 = 𝛽1 ∙ = 0.85 ∙ = 0.5 𝑑 600 + 𝑓𝑦 600 + 420 89 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑎 𝑎 Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑏 ⇒ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 𝑎 𝑎 Para verificar si la sección es controlada por tracción hay que ver si 𝑑 ≤ 𝑑𝑡𝑐 𝑡 𝑡 𝑎𝑡𝑐 = 0.375 ∙ 𝛽1 = 0.375 ∙ 0.85 = 0.319 𝑑𝑡 𝑎 𝑎 Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑡𝑐 ⇒ La sección está controlada por tracción 𝜙 = 0.9 𝑡 𝑡 c) Calcular el momento nominal 𝑀𝑛 𝑎 146 𝑀𝑛 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ∙ (𝑑 − ) = 1473 ∙ 420 ∙ (500 − ) 2 2 𝑀𝑛 = 264167820 [𝑁 ∙ 𝑚𝑚] = 264.17 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] d) Calcular el momento nominal 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 0.9 ∙ 264.17 = 237.75 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] e) Calcular el brazo de palanca y el coeficiente 𝑗 𝑎 146 = 500 − 2 2 𝑗 ∙ 𝑑 = 427 [𝑚𝑚] ⇒ 𝑗 = 0.85 𝑗∙𝑑 =𝑑− Ejemplo. En el problema anterior sustituir los 3𝜙25 por 3𝜙28 (𝐴𝑠 = 1847 [𝑚𝑚2 ]). a) Asumir 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 y calcular 𝑎 𝑎= 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 1847 ∙ 420 = ′ 0.85 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 0.85 ∙ 20 ∙ 250 𝑎 = 183 [𝑚𝑚] b) Verificar si 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 y si la sección es controlada por tracción 𝑎 𝑎 183 = = = 0.366 𝑑 𝑑𝑡 500 𝑎𝑏 = 0.5 𝑑 90 Vigas – Resistencia a la flexión 𝑎 𝑎 Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑏 ⇒ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 𝑎 𝑎 Verificar si la sección es controlada por tracción 𝑑 ≤ 𝑑𝑡𝑐 𝑡 𝑡 𝑎𝑡𝑐 = 0.319 𝑑𝑡 𝑎 𝑎 Como 𝑑 > 𝑑𝑡𝑐 ⇒ La sección no está controlada por tracción 𝑡 𝑡 𝑎 𝑎 Verificar si la sección es controlada por compresión 𝑑 ≥ 𝑑𝑐𝑐 𝑡 𝑡 𝑎𝑐𝑐 600 600 = 𝛽1 ∙ = 0.85 ∙ = 0.5 𝑑𝑡 600 + 𝑓𝑦 600 + 420 𝑎 𝑎 𝑎 Como 𝑑𝑡𝑐 ≤ 𝑑 ≤ 𝑑𝑐𝑐 ⇒ La sección falla en transición 𝑡 𝑡 𝜙 = 0.23 + 0.25 ∙ 𝑡 0.85 𝛽1 = 0.23 + 0.25 ∙ = 0.81 0.366 𝑎 ∕ 𝑑𝑡 c) Calcular el momento nominal 𝑀𝑛 𝑎 183 𝑀𝑛 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ∙ (𝑑 − ) = 1847 ∙ 420 ∙ (500 − ) 2 2 𝑀𝑛 = 316889790 [𝑁 · 𝑚𝑚] = 316.89 [𝑘𝑁 · 𝑚] d) Calcular el momento nominal 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 0.81 ∙ 316.89 = 256.68 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] e) Calcular el brazo de palanca y el coeficiente 𝑗 𝑗∙𝑑 =𝑑− 𝑎 183 = 500 − 2 2 𝑗 ∙ 𝑑 = 409 [𝑚𝑚] ⇒ 𝑗 = 0.82 Ejemplo. En el problema anterior sustituir los 3𝜙28 por 3𝜙40 (𝐴𝑠 = 3770 [𝑚𝑚2 ]) a) Asumir 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 y calcular 𝑎 91 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑎= 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 3770 ∙ 420 = ′ 0.85 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 0.85 ∙ 20 ∙ 250 𝑎 = 373 [𝑚𝑚] b) Verificar si 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 y si la sección es controlada por tracción 𝑎 373 𝑎𝑏 = = 0.746 > = 0.5 𝑑 500 𝑑 𝑎 𝑎 Como 𝑑 > 𝑑𝑏 entonces 𝑓𝑠 < 𝑓𝑦 y la falla de la viga es por compresión, por lo que el valor de 𝑎 está mal calculado. Además, para falla en compresión el valor de 𝜙 debe ser tomado como 0.65. c) Recalcular 𝑎 para la falla por compresión. 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑎2 + 𝑑 ∙ 𝑎 − 𝛽1 ∙ 𝑑2 = 0 𝜌 ∙ 0.003 ∙ 𝐸𝑠 𝜌= 3770 𝐴𝑠 = = 0.03016 𝑏 ∙ 𝑑 250 ∙ 500 0.93943 ∙ 𝑎2 + 500 ∙ 𝑎 − 212500 = 0 𝑎 = 279 [𝑚𝑚] 𝑎 279 𝑎 𝑎 279 𝑎 Como 𝑑 = 500 = 0.558 > 𝑑𝑏 y 𝑑 = 500 = 0.558 > 𝑑𝑐𝑐 entonces 𝑓𝑠 < 𝑓𝑦 y 𝜙 = 0.65 𝑡 𝑡 d) Calcular el momento nominal 𝑀𝑛 𝑎 279 𝑀𝑛 = 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ (𝑑 − ) = 0.85 ∙ 20 ∙ 279 ∙ 250 ∙ (500 − ) 2 2 𝑀𝑛 = 427462875 [𝑁 ∙ 𝑚𝑚] = 427.46 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] e) Calcular el momento nominal de diseño 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 0.65 ∙ 427.46 = 277.85 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] f) Calcular el brazo de palanca y el coeficiente 𝑗 𝑗∙𝑑 =𝑑− 92 𝑎 279 = 500 − 2 2 Vigas – Resistencia a la flexión 𝑗 · 𝑑 = 361 [𝑚𝑚] ⇒ 𝑗 = 0.72 Ejemplo. Considerando la sección transversal y las propiedades de los materiales del problema anterior hallar el momento nominal, el momento nominal de diseño y el área de acero para que la sección tenga una falla balanceada. a) Hallar la cuantía balanceada y el área de acero correspondiente 𝜌𝑏 = 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝛽1 600 0.85 ∙ 20 ∙ 0.85 600 ∙ = ∙ = 0.02024 𝑓𝑦 600 + 𝑓𝑦 420 600 + 420 𝐴𝑠 = 𝑏 ∙ 𝑑 ∙ 𝜌𝑏 = 250 ∙ 500 ∙ 0.02024 𝐴𝑠 = 2530 [𝑚𝑚2 ] b) Calcular 𝑎 conociendo que 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 𝑎= 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 2530 ∙ 420 = ′ 0.85 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 0.85 ∙ 20 ∙ 250 𝑎 = 250 [𝑚𝑚] c) Calcular el momento nominal 𝑀𝑛 𝑎 250 𝑀𝑛 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ∙ (𝑑 − ) = 2530 ∙ 420 ∙ (500 − ) 2 2 𝑀𝑛 = 398475000 [𝑁 · 𝑚𝑚] = 398.48 [𝑘𝑁 · 𝑚] d) Calcular el momento nominal 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 0.65 ∙ 398.48 = 259.01 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] e) Calcular el brazo de palanca y el coeficiente 𝑗 𝑗∙𝑑 =𝑑− 𝑎 250 = 500 − 2 2 𝑗 · 𝑑 = 375 [𝑚𝑚] ⇒ 𝑗 = 0.75 93 Diseño de estructuras de hormigón armado Observaciones El código ACI en su sección 9.3.3.1 indica que para el diseño de elementos no preesforzados en flexión o elementos no preesforzados con carga axial mayorada de compresión 𝑃𝑢 menor o igual a 0.10 · 𝑓𝑐′ · 𝐴𝑔 la deformación neta de tracción 𝜀𝑡 en el acero más cercano a la cara de tracción no debe ser menor a 0.004. El efecto de esta limitación es el de limitar la cantidad de refuerzo en vigas no pretensadas de tal modo que se pueda asegurar un comportamiento dúctil de la sección en el momento de la falla. Con base a esta limitación se pueden deducir las siguientes expresiones: 𝑐𝑣 𝑑𝑡 = 0.003 0.003 + 0.004 𝑐𝑣 = 0.429 ∙ 𝑑𝑡 (4.28) 𝑎𝑣 = 0.429 ∙ 𝛽1 𝑑𝑡 (4.29) 𝑎 Las vigas se deben diseñar cuidando de que 𝑑 ≤ 0.429 ∙ 𝛽1 𝑡 𝑎 Para los ejemplos anteriores, donde 𝛽1 = 0.85, la relación 𝑑𝑣 tiene el siguiente valor: 𝑡 𝑎𝑣 = 0.365 𝑑𝑡 (4.30) En la viga donde se dispusieron de 3𝜙40 (área de acero de 37.70 [𝑐𝑚2 ]) se tiene como resultado una profundidad del bloque de compresiones igual a 279 [𝑚𝑚]. 𝑎 = 0.558 𝑑𝑡 𝑎 Como 𝑑 > 0.365 esta sección viola el requerimiento del código, por lo tanto debería aumentarse su altura 𝑡 o utilizar acero de compresión para cambiar su modo de falla. Variación de la resistencia a la flexión de una sección con armadura simple En la región de falla por tracción la resistencia nominal no se incrementa linealmente con el área de acero. Esto se debe a que a pesar de que la fuerza en el acero se incrementa linealmente, existe una reducción en su brazo con el incremento de acero. 94 Vigas – Resistencia a la flexión 𝑗 Falla balanceada 𝜌 = 𝜌𝑏 𝑀𝑛 𝑀 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 Falla por tracción 𝜌 < 𝜌𝑏 Falla por compresión 𝜌 > 𝜌𝑏 𝐴𝑠 [𝑚𝑚2 ] Fig. 4.5. Variación de la resistencia de una sección de hormigón armado en función de la cuantía de acero En el ejemplo, el coeficiente 𝑗 del brazo se reduce de 1.00 cuando 𝐴𝑠 = 0 hasta 0.75 para el contenido de acero correspondiente a la falla balanceada. En la región de falla por compresión, el incremento de la resistencia nominal 𝑀𝑛 con el área de acero es muy pequeño, porque tanto el esfuerzo en el acero como el brazo decrecen con el incremento del área de acero. Por lo tanto, un incremento en el área de acero por encima del punto de falla balanceada no se justifica por el bajo incremento en la resistencia de la sección. 95 Diseño de estructuras de hormigón armado 4.1.2. Diseño de vigas rectangulares El proceso de diseño de vigas en hormigón armado es mucho más complejo que el de análisis puesto que existe un número grande de variables que intervienen. Por lo tanto, para realizar un buen diseño es necesario considerar ciertos aspectos fundamentales que pueden ayudar a simplificar el número de variables. A continuación se presentan las consideraciones más importantes que el ingeniero calculista debe tomar en cuenta antes de proceder con el diseño de un elemento o estructura en hormigón armado. Localización del refuerzo La primera pregunta que el ingeniero se hace es: ¿Dónde se debe colocar la armadura para resistir las fuerzas que actúan sobre la estructura o el elemento considerado? La armadura debe ser colocada donde la flexión, las cargas axiales, los esfuerzos de retracción, etc., causan esfuerzos de tracción. En general, el diagrama envolvente de momentos flectores es el que guía de una manera clara y sencilla al calculista para decidir en qué lugares de la viga o del elemento se debe reforzar. En las siguientes figuras se da como ejemplo el caso de una viga simplemente apoyada y de una viga empotrada en un extremo. De acuerdo al diagrama de momentos flectores se puede evidenciar que para el caso de la viga simplemente apoyada el refuerzo debe estar localizado lo más cerca de la fibra inferior, mientras que para el caso de la viga en voladizo, el refuerzo debe ser colocado lo más cerca de la fibra superior. Fig. 4.6. Posición del acero de refuerzo en vigas de hormigón armado 96 Vigas – Resistencia a la flexión Relación entre altura de viga y deflexiones El parámetro que afecta de la manera más significativa a la deflexión de los elementos de una estructura es el momento de inercia de la sección transversal, porque la deflexión es siempre inversamente proporcional a la rigidez de flexión 𝐸 · 𝐼 y directamente proporcional a la carga 𝑤 y a la luz ℓ. En forma general la deflexión puede ser expresada de la siguiente forma: 𝑤 ∙ ℓ4 Δ𝑚𝑎𝑥 = 𝐶1 ∙ 𝐸∙𝐼 (4.31) Modificando la ecuación y haciendo suposiciones sobre deformaciones en el acero y profundidad del eje neutro, la ecuación adquiere la siguiente forma: Δ ℓ =𝐶∙ ℓ 𝑑 Δ = Deflexión de la viga ℓ = Luz de cálculo (luz entre ejes de soportes) 𝑑 = Canto útil de la viga Δ La anterior fórmula indica que para cualquier relación aceptable de deflexión – longitud de la viga ℓ se ℓ puede hallar una relación longitud – altura de viga 𝑑 con la cual se obtienen deflexiones admisibles las cuales si son excedidas puede dar como resultado deflexiones perjudiciales e inadmisibles. La mejor manera de disminuir la deflexión en vigas es aumentando las dimensiones de la sección y en especial la altura del elemento puesto que su inercia aumenta con el cubo de la altura. Por ejemplo, para el 𝑏∙ℎ 3 caso de una sección rectangular de base 𝑏 y altura ℎ, su inercia es 12 . Para los casos en los cuales no se calculan las deflexiones de los elementos, la siguiente tabla da alturas mínimas de vigas no pretensadas y espesores de losas armadas en una dirección, cuando éstas no soportan o están en contacto con particiones susceptibles a sufrir daño por grandes deflexiones. Espesor o altura mínima de elementos cuando no soportan o están ligados a divisiones u otro tipo de elementos susceptibles de dañarse debido a deflexiones grandes Losas sólidas en una dirección Simplemente apoyado ℓ 20 Un extremo continuo ℓ 24 Ambos extremos continuos ℓ 28 Vigas o losas nervadas en una dirección ℓ 16 ℓ 18.5 ℓ 21 Tipo de Elemento En voladizo ℓ 10 ℓ 8 Basado en las tablas 7.3.1.1 y 9.3.1.1 del código ACI 97 Diseño de estructuras de hormigón armado Recubrimiento y espaciamiento de la armadura El recubrimiento de la armadura es necesario debido a diferentes factores, entre los cuales se pueden citar los siguientes: - Se necesita un cierto recubrimiento para la adherencia entre el acero y el hormigón. Por lo menos se requiere un recubrimiento igual al diámetro de la barra para que exista una buena adherencia. - Para proteger la armadura de la corrosión. Dependiendo del medio ambiente y del tipo de elemento el recubrimiento varía entre 20 [𝑚𝑚] y 75 [𝑚𝑚]. - Para proteger la armadura del fuego. Un recubrimiento de 20 [𝑚𝑚] para la armadura en losas provee una protección de 1 [ℎ𝑜𝑟𝑎]. - Para proteger la armadura de posibles desgastes de la superficie del elemento como por ejemplo en losas de fábricas o de edificios de estacionamiento de tal modo que el recubrimiento no se reduzca a valores menores de los necesarios para otros fines. El código ACI en su sección 20.6.1 indica los mínimos recubrimientos que las barras de acero deben tener dependiendo de sus diámetros, condiciones del medio ambiente y tipo de elemento que refuerzan. En estructuras de hormigón armado donde el hormigón es vaciado en sitio, la sección 20.6.1.3.1 del código ACI da las recomendaciones para los recubrimientos. La longitud de desarrollo de las barras de acero está en función del recubrimiento, por lo que puede ser deseable utilizar recubrimientos mayores al mínimo. La siguiente tabla adapta las recomendaciones de la sección 20.6.1.3.1 del código ACI. Hormigón vaciado en sitio (Hormigón Armado) Condición de exposición del elemento Tipo de Elemento Diámetro de barra [mm] Recubrimiento mínimo [mm] Hormigón vaciado en contacto y expuesto permanentemente al suelo No especificado No especificado 75 No especificado 18 ≤ 𝑑𝑏 ≤ 56 50 No especificado 𝑑𝑏 ≤ 16 40 Losas, muros y viguetas 44 ≤ 𝑑𝑏 ≤ 56 40 𝑑𝑏 < 44 20 Refuerzo primario No especificado 40 Estribos y espirales No especificado 40 𝑑𝑏 ≥ 18 20 𝑑𝑏 ≤ 16 13 Hormigón expuesto a la intemperie o en contacto con el suelo Hormigón no expuesto a la intemperie o sin contacto con el suelo Vigas y columnas Cáscaras y placas plegadas (ACI 318.2) 98 Vigas – Resistencia a la flexión DS 60 Chile - Hormigón vaciado en sitio (Hormigón Armado) Condiciones Condición de exposición del elemento Tipo de Elemento Diámetro de barra [𝒎𝒎] Normales Severas Hormigón colocado contra el suelo y expuesto permanentemente a él No especificado No especificado 50 70 No especificado 18 ≤ 𝑑𝑏 ≤ 56 40 50 No especificado 𝑑𝑏 ≤ 16 30 40 44 ≤ 𝑑𝑏 ≤ 56 40 40 16 ≤ 𝑑𝑏 < 44 20 20 𝑑𝑏 < 16 15 20 Refuerzo primario No especificado 30 40 Estribos y espirales No especificado 20 30 Cáscaras y placas plegadas 𝑑𝑏 ≥ 18 20 20 𝑑𝑏 ≤ 16 15 15 Armadura principal 𝑑𝑏 ≤ 10 20 30 Amarras, estribos y espirales 𝑑𝑏 ≤ 8 15 20 Hormigón expuesto al suelo o al aire libre Losas, muros y nervaduras Hormigón no expuesto al aire libre ni en contacto con el suelo Elementos de confinamiento en albañilería Vigas y columnas 50 [𝑚𝑚] 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑏 ≥ 18 [𝑚𝑚] 20 [𝑚𝑚] 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑏 < 44 [𝑚𝑚] Cara exterior (expuesta) 50 50 [𝑚𝑚] 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑏 ≥ 18 [𝑚𝑚] Capa de hormigón de limpieza (emplantillado) a) Losa de fundación Cara interior (no expuesta) Suelo Suelo b) Muro Fig. 4.7. Recubrimientos mínimos para armaduras en hormigones vaciados en sitio (Según ACI) 99 Diseño de estructuras de hormigón armado En estructuras de hormigón pretensado donde el hormigón es vaciado en sitio, la sección 20.6.1.3.2 del código ACI especifica los recubrimientos necesarios tanto para la armadura pasiva, como para la activa. La siguiente tabla adapta las recomendaciones de la sección 20.6.1.3.2 del código ACI. Hormigón vaciado en sitio (Hormigón Pretensado) Condición de exposición del elemento Tipo de Elemento Diámetro de barra [mm] Recubrimiento mínimo [mm] Hormigón vaciado en contacto y expuesto permanentemente al suelo No especificado No especificado 75 Paneles de muros, losas y viguetas No especificado 25 Otros elementos No especificado 40 Losas, muros y nudos No especificado 20 Refuerzo primario No especificado 40 Estribos y espirales No especificado 25 𝑑𝑏 ≤ 16 10 Otros refuerzos 𝑑𝑏 ≥ 20 Hormigón expuesto a la intemperie o en contacto con el suelo Hormigón no expuesto a la intemperie o sin contacto con el suelo Vigas y columnas Cáscaras y placas plegadas (ACI 318.2) DS 60 Chile - Hormigón vaciado en sitio (Hormigón Pretensado) Condiciones Condición de exposición del elemento Tipo de Elemento Diámetro de barra [mm] Normales Severas Hormigón colocado en contacto con el suelo y permanentemente expuesto a él No especificado No especificado 60 70 Paños de muros, losas y nervaduras No especificado 25 25 Otros elementos No especificado 40 40 Losas, muros y nervaduras No especificado 20 20 Refuerzo primario No especificado 30 40 Estribos y espirales No especificado 20 25 𝑑𝑏 ≤ 16 10 10 Otros refuerzos 𝑑𝑏 ≥ 20 𝑑𝑏 ≥ 20 Hormigón expuesto al suelo o al aire libre Hormigón no expuesto al aire libre ni en contacto con el suelo Vigas y columnas Cáscaras y placas plegadas 100 Vigas – Resistencia a la flexión Para hormigones prefabricados bajo condiciones de control de planta la sección 20.6.1.3.3 del código ACI especifica los recubrimientos necesarios tanto para la armadura pasiva, como para la activa. Cuando el hormigón tiene un control estricto de calidad durante su preparación, vaciado y curado los recubrimientos necesarios disminuyen. El recubrimiento del hormigón para cables de pretensado provee una protección mínima contra el clima y otros efectos. Ese recubrimiento puede no ser suficiente para transferir o desarrollar la tensión en el cable, por lo que puede que sea necesario incrementar el recubrimiento. La siguiente tabla adapta las recomendaciones de la sección 20.6.1.3.3 del código ACI. Hormigón prefabricado (Fabricado bajo condiciones de control de planta) Condición de exposición del elemento Diámetro de barra [mm] Recubrimiento mínimo [mm] 44 ≤ 𝑑𝑏 ≤ 56 y cables de pretensado > 40 40 𝑑𝑏 < 44 y cables de pretensado ≤ 40 20 44 ≤ 𝑑𝑏 ≤ 56 y cables de pretensado > 40 50 18 ≤ 𝑑𝑏 < 44 y 16 < cables de pretensado ≤ 40 40 𝑑𝑏 ≤ 16 y cables de pretensado ≤ 16 30 44 ≤ 𝑑𝑏 ≤ 56 y cables de pretensado > 40 30 Cables de pretensado ≤ 40 20 𝑑𝑏 ≤ 36 16 Refuerzo primario No especificado 𝑑𝑏 ≥ 16, pero ≤ 40 Estribos y espirales No especificado 10 Cables de pretensado 20 𝑑𝑏 ≥ 18 16 𝑑𝑏 ≤ 16 10 Tipo de Elemento Paneles de muro Hormigón expuesto a la intemperie o en contacto permanente con el suelo Otros elementos Losas, muros y nudos Hormigón no expuesto a la intemperie o sin contacto con el suelo Vigas y columnas Cáscaras y placas plegadas (ACI 318.2) 101 Diseño de estructuras de hormigón armado DS 60 Chile - Hormigón prefabricado (Fabricado bajo condiciones de control de planta) Condición de exposición del elemento Tipo de Elemento Paneles para muros Hormigón expuesto al suelo o al aire libre Otros elementos Losas, muros y nervaduras Hormigón no expuesto al aire libre ni en contacto con el suelo Vigas y columnas Condiciones Diámetro de barra [mm] Normales Severas 44 ≤ 𝑑𝑏 ≤ 56 40 40 𝑑𝑏 < 44 20 20 44 ≤ 𝑑𝑏 ≤ 56 50 50 18 ≤ 𝑑𝑏 < 44 30 40 𝑑𝑏 < 18 20 30 44 ≤ 𝑑𝑏 ≤ 56 y cables de pretensado > 40 30 30 Cables de pretensado ≤ 40 20 20 𝑑𝑏 ≤ 36 15 15 Refuerzo primario No especificado Estribos y espirales No especificado 10 10 Cables de pretensado 20 20 𝑑𝑏 ≥ 18 15 15 𝑑𝑏 ≤ 16 10 10 Cáscaras y placas plegadas 𝑑𝑏 ≥ 15, 𝑑𝑏 ≥ 15, pero ≤ 40 pero ≤ 40 Cuando el ambiente donde se encuentra la estructura es altamente corrosivo o cuando se prevé la exposición a cloruros, la dosificación de la mezcla de hormigón debe ser estudiada cuidadosamente considerando el porcentaje mínimo de aire, la relación máxima de agua - cemento, resistencia mínima del hormigón a los 28 días, tipo de cemento, etc. Adicionalmente, para la protección contra la corrosión, se debe dar un recubrimiento mínimo de 50 [𝑚𝑚] para muros y losas, y 60 [𝑚𝑚] para los otros tipos de elemento. Para elementos prefabricados, construidos bajo condiciones de control de planta, un recubrimiento mínimo de 40 [𝑚𝑚] y 50 [𝑚𝑚] respectivamente, es recomendado. El recubrimiento mínimo para paquetes de barras debe ser igual al diámetro de barra equivalente, pero no necesita ser mayor de 50 [𝑚𝑚], excepto que cuando el hormigón es vaciado contra el suelo y se encuentra permanentemente expuesto a él, entonces el recubrimiento mínimo debe ser de 75 [𝑚𝑚]. Si para la ampliación de edificaciones se deja previsto armaduras expuestas a la intemperie, éstas deben ser protegidas contra la corrosión. Si en el código general o local de construcción existe un requerimiento de protección contra el fuego, por el cual los recubrimientos de las armaduras indicados previamente resultan insuficientes, entonces se debe utilizar los recubrimientos mayores para cumplir con la protección contra el fuego. 102 Vigas – Resistencia a la flexión Colocación de las barras de acero Es importante detallar cuidadosamente la colocación de las barras de acero en la sección para que no se interfiera con el vaciado de la mezcla de hormigón, ni tampoco con las tareas de vibración que se requieren para consolidar la masa de hormigón fresco. Cuando el ancho del elemento no es suficiente para acomodar todas las barras en una sola fila, es común disponer el acero en dos capas. Nunca se deben colocar los aceros en la disposición conocida como “al tres bolillo”, puesto que de esa manera la mezcla no puede fluir fácilmente y las tareas de vibración también se ven dificultadas. En la siguiente figura se muestra la manera correcta e incorrecta de disponer las barras. Colocación incorrecta Colocación correcta Fig. 4.8. Colocación de la armadura principal en dos filas Además de una correcta disposición de las barras en una o dos filas, se debe cuidar que exista entre ellas y hacia los bordes exteriores la suficiente distancia para permitir el ingreso de la mezcla de hormigón y del vibrador, asegurar una buena adherencia entre las barras de acero y el hormigón que las circunscribe y por último, pero no menos importante, tener el suficiente recubrimiento para la protección contra la corrosión. ℎ Mayor a: - 25 [𝑚𝑚] - 1.33 ∙ 𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑚𝑎𝑥 𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑜 40 [𝑚𝑚] 40 [𝑚𝑚] Mayor a: - Diámetro de la barra 𝑑𝑏 (ACI 25.2.1) - 25 [𝑚𝑚] (ACI 25.2.1) - 1.33 ∙ 𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑚𝑎𝑥 𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑜 (ACI 25.2.1) Mínimo espaciamiento entre barras ≤ 450 [𝑚𝑚] Menor a: - 3 ∙ ℎ para losas en una dirección (ACI 7.7.2.3) - 2 ∙ ℎ para secciones críticas en losas 2D (ACI 8.7.2.2) - 3 ∙ ℎ para otras secciones en losas 2D (ACI 8.7.2.2) Máximo espaciamiento de barras traccionadas en losas en una y dos direcciones (excepto losas nervadas) Fig. 4.9. Espaciamientos mínimos y máximos de barras de acero 103 Diseño de estructuras de hormigón armado Ejemplo. Calcular el canto útil 𝑑 y el ancho mínimo 𝑏 de la viga de la figura si su altura es de 600 [𝑚𝑚] y el tamaño máximo del agregado es de 19 [𝑚𝑚] (3/4”). 2 · 𝑑𝑠 2 · 𝑑𝑠 − 0.5 · 𝑑𝑏 0.5 · 𝑑𝑏 2𝜙25 25 3𝜙32 ≥ 25 32 10 40 40 10 4 32 ≥ 32 32 ≥ 32 32 4 10 40 El recubrimiento mínimo para el estribo es de 40 [𝑚𝑚] y la mínima distancia entre filas de aceros debe ser de 25 [𝑚𝑚] y no menor a 1.33 veces el tamaño máximo del agregado (1.33 · 19 = 25 [𝑚𝑚]). Por lo tanto, se escoge 25 [𝑚𝑚]. Fila Centro de gravedad de las armaduras 𝒚𝒊 [𝒎𝒎] 𝑨𝒊 [𝒄𝒎𝟐 ] 𝑨𝒊 · 𝒚𝒊 [𝒄𝒎𝟐 · 𝒎𝒎] Inferior Superior TOTAL 24.13 9.82 33.95 ∑ 𝐴𝑖 ∙ 𝑦𝑖 ∑ 𝐴𝑖 𝑦 = 81.5 [𝑚𝑚] 𝑑 = ℎ − 𝑦 = 600 − 81.5 = 518.5 [𝑚𝑚] 𝑦= Cálculo del ancho mínimo de la viga 104 66.0 119.5 ----- 1592.58 1173.49 2766.07 Vigas – Resistencia a la flexión El radio de doblado del estribo es de 2 · 𝑑𝑠 , donde 𝑑𝑠 es el diámetro del estribo. Si 𝑑𝑠 = 10 [𝑚𝑚], entonces 2 · 𝑑𝑠 = 20 [𝑚𝑚]. Para las barras cuyo diámetro es menor a 40 [𝑚𝑚], habrá un espacio entre el estribo y la barra. Espacio = 2 · 𝑑𝑠 – 0.5 · 𝑑𝑠 = 2 · 10– 0.5 · 32 = 4 [𝑚𝑚] La mínima distancia horizontal entre barras es la mayor de 𝑑𝑏 , 25 [𝑚𝑚] y 1.33 veces el tamaño máximo del agregado. Distancia = 32 [𝑚𝑚] 𝑏𝑚𝑖𝑛 = 40 + 10 + 4 + 32 + 32 + 32 + 32 + 32 + 4 + 10 + 40 = 268 [𝑚𝑚] Adoptar 𝑏 = 300 [𝑚𝑚] Es importante no subestimar el valor de 𝑑 ya que durante las operaciones de vaciado de la mezcla de hormigón éste valor suele disminuir especialmente en la zona de la armadura negativa, debido a que los obreros pisan la armadura y ésta desciende. Como el cálculo del canto útil de una sección depende de la posición del centro de gravedad del conjunto de armaduras y eso puede resultar a veces engorroso y moroso, en la práctica es generalmente satisfactorio utilizar las relaciones que se presentan en la siguiente tabla. Estimación del canto útil de la sección Tipo de elemento Vigas con una fila de aceros Vigas con dos filas de aceros Losas con luces hasta de 3.5 [𝑚] Losas con luces mayores a 3.5 [𝑚] 𝒅 [𝒎𝒎] ℎ − 65 ℎ − 90 ℎ − 25 ℎ − 30 Armadura mínima La provisión de armadura mínima por flexión, generalmente es aplicada a aquellos elementos que por razones estéticas, arquitectónicas o de otra índole han sido diseñados con una sección transversal mucho mayor a la requerida por cálculo. En este tipo de secciones suele ocurrir que la armadura por cálculo es muy pequeña y por consiguiente en la viga se puede producir una falla repentina si la resistencia a la flexión de la sección agrietada es menor al momento que produjo la primera fisura en la sección. Por esta razón, el código ACI en su sección 9.6.1.2 requiere una cantidad mínima de acero de flexión. 105 Diseño de estructuras de hormigón armado √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 [𝑚𝑚2 ] 𝑓𝑦 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 [𝑚𝑚2 ] 𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 ≥ 1.4 ∙ 𝑓𝑦 𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 = 0.25 ∙ Donde: 𝑓𝑐′ y 𝑓𝑦 están en [𝑀𝑃𝑎]. 𝑏𝑤 y 𝑑 están en [𝑚𝑚]. (4.32) (4.33) 𝑏𝑤 𝑏𝑤 Se aplica para vigas rectangulares y para vigas de sección T con el ala en compresión y para las regiones de momento negativo de vigas continuas de sección T donde el ala está en tracción. Para vigas isostáticas de sección T con el ala en tracción (viga en voladizo o simplemente apoyada de sección T invertida), el área mínima es igual al menor de los siguientes valores: √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 𝑓𝑦 Donde 𝑏𝑤 es el ancho del alma 𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 = 0.50 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 𝑓𝑦 Donde 𝑏𝑤 es el ancho del ala 𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 = 0.25 ∙ (4.34) (4.35) 1 El requerimiento de área mínima no necesita ser aplicado si el área de acero colocada es al menos 3 mayor a la requerida por el análisis. En el caso de losas de hormigón armado y zapatas de fundación de espesor constante, el área mínima de refuerzo de acero en la cara traccionada y en la dirección de la luz debe ser como mínimo el requerido por retracción y temperatura (sección 24.4.3.2 del código ACI). Para el caso de losas de cimentación, la sección 13.3.4.4 del ACI indica que el refuerzo mínimo debe cumplir con los requisitos de la sección 8.6.1.1 en cada dirección principal y tener un espaciamiento máximo no mayor a 450 [𝑚𝑚]. Según las secciones 11.7.2.1 y 7.7.2.3 del ACI, en muros y losas en una dirección, con excepción de losas nervadas, la separación del refuerzo principal por flexión no debe ser mayor de 450 [𝑚𝑚], ni mayor de 3 veces el espesor del muro o de la losa. Para losas macizas en dos direcciones, la sección 8.7.2.2 del ACI, indica que la separación del refuerzo principal por flexión no debe ser mayor de 450 [𝑚𝑚], ni mayor de 2 veces el espesor de la losa en secciones críticas y de 3 veces el espesor de la losa en otras secciones. 106 Vigas – Resistencia a la flexión Diseño de vigas rectangulares con acero de tracción Para diseño, se debe verificar que el momento nominal de diseño sea mayor o igual al momento último producido por la combinación de cargas más desfavorable. 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 ≥ 𝑀𝑢 (4.36) 𝑀𝑢 = Momento producido por las cargas últimas de la combinación de cargas más desfavorable 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = Momento nominal de diseño 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 𝜙 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑2 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝜔 ∙ (1 − 0.59 ∙ 𝜔) (4.12) Para el diseño se tienen seis incógnitas (𝑏, 𝑑, 𝜌, 𝑓𝑦 , 𝑓𝑐′ y peso propio de la viga) y solamente dos ecuaciones independientes (𝜙 ∙ 𝑀𝑛 y peso propio = 𝛾𝑐 ⋅ 𝑏 ⋅ ℎ) por lo tanto es imposible tener una única solución. Se deben asumir cuatro parámetros para poder resolver el problema: 𝑓𝑐′ : La resistencia del hormigón es escogida de acuerdo a consideraciones de durabilidad si el elemento está expuesto a ciclos de heladas y deshieles, a agua salada o a otro tipo de ambiente agresivo. En la tabla 19.3.2.1 del código ACI se especifican resistencias mínimas entre 17 [𝑀𝑃𝑎] y 35 [𝑀𝑃𝑎] para diferentes tipos de exposición. Si la durabilidad no es un problema, la resistencia de hormigón escogida es en general entre 20 [𝑀𝑃𝑎] y 25 [𝑀𝑃𝑎]. 𝑓𝑦 : La tensión de fluencia del acero siempre puede ser proporcionada por el que suministra el material o por el mismo fabricante. El acero común que se utiliza en la construcción de estructuras de hormigón armado tiene una tensión mínima de fluencia de 420 [𝑀𝑃𝑎]. 𝑏: El ancho de la viga puede ser definido sobre la base de requerimientos arquitectónicos o de funcionalidad. En general el ancho de la viga se escoge como la mitad de la altura (𝑏 ℎ/2). ℎ: La altura también puede ser definida por requerimientos arquitectónicos o de deflexión del elemento. Las Tablas 9.3.1.1 y 7.3.1.1 del código ACI proporcionan fórmulas apropiadas para la estimación de la altura de vigas y losas, respectivamente. Peso propio: El peso propio del elemento puede ser estimado añadiendo un porcentaje a la carga muerta. Una vez que se conocen los valores para 𝑓𝑐′ , 𝑓𝑦 , 𝑏, ℎ y el peso propio, sólo resta hallar el área de acero 𝐴𝑠 . Ejemplo. Una viga simplemente apoyada de 8000 [𝑚𝑚] de luz y de sección rectangular soporta, además de su peso propio, una carga muerta y una carga viva uniformemente repartidas. Considerando el estado de carga más desfavorable calcular la armadura necesaria en su sección crítica. Datos: 𝑓𝑐′ = 25 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] 107 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑏 = 600 [𝑚𝑚] ℎ = 600 [𝑚𝑚] 𝑤𝐿 = 38.0 [𝑘𝑁/𝑚] 𝑤𝐷 = 18.3 [𝑘𝑁/𝑚] 8000 [𝑚𝑚] a) Calcular 𝑀𝑢 Peso propio: 𝑤𝑂𝑊 = 0.6 · 0.6 · 24 = 8.64 [𝑘𝑁/𝑚] Carga última: 𝑤𝑢 = 1.2 ⋅ (𝑤𝐷 + 𝑤𝑂𝑊 ) + 1.6 ⋅ 𝑤𝑐𝑣 = 1.2 ⋅ (18.3 + 8.64) + 1.6 ⋅ 38.0 𝑤𝑢 = 93.13 [𝑘𝑁/𝑚] Momento último: 1 1 𝑀𝑢 = ⋅ 𝑤𝑢 ⋅ ℓ2 = ⋅ 93.13 ⋅ 8.02 8 8 𝑀𝑢 = 745.04 [𝑘𝑁 · 𝑚] ∴ 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 ≥ 745.04 [𝑘𝑁 · 𝑚] b) Calcular 𝑑 𝑑 = ℎ– 65 = 600– 65 = 535 [𝑚𝑚] c) Calcular 𝐴𝑠 Asumir: 𝑗 · 𝑑 = 𝑑– 𝑎/2 = 0.875 · 𝑑 = 0.875 · 535 = 468 [𝑚𝑚] 𝐴𝑠 = 𝑀𝑢 745.04 ⋅ 1000 ⋅ 1000 = 𝜙 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ 𝑗 ⋅ 𝑑 0.9 ⋅ 420 ⋅ 468 𝐴𝑠 = 4212 [𝑚𝑚2 ] = 42.12 [𝑐𝑚2 ] 2𝜙25 + 4𝜙32 9𝜙25 𝐴𝑠 = 9.82 + 32.17 = 42.0 [𝑐𝑚2 ] 𝐴𝑠 = 44.18 [𝑐𝑚2 ] Todas las opciones entran en el ancho de viga especificado. Escogemos: 2𝜙25 + 4𝜙32 equivalentes a 𝐴𝑠 = 42 [𝑐𝑚2 ] 108 Vigas – Resistencia a la flexión d) Verificar si 𝐴𝑠 ≥ 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 = 0.25 ⋅ 𝑏𝑤 ⋅ 𝑑 √𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏𝑤 ⋅ 𝑑 ≥ 1.4 ⋅ 𝑓𝑦 𝑓𝑦 𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 = 0.25 ⋅ 600 ⋅ 535 √25 ⋅ 600 ⋅ 535 ≥ 1.4 ⋅ 420 420 𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 = 955 [𝑚𝑚2 ] ≥ 1070 [𝑚𝑚2 ] ∴ 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 10.7 [𝑐𝑚2 ] 𝐴𝑠 = 42 [𝑐𝑚2 ] ≥ 10.7 [𝑐𝑚2 ] Bien ! e) Calcular 𝑎 y 𝑑 y verificar si 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 y si la sección está controlada por tracción 𝑎= 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 4200 ⋅ 420 = ′ 0.85 ⋅ 𝑓𝑐 ⋅ 𝑏 0.85 ⋅ 25 ⋅ 600 𝑎 = 138 [𝑚𝑚] 𝑑 = 𝑑𝑡 = ℎ– 𝑟– 𝑑𝑠 – 𝑑𝑏 /2 = 600– 40– 10– 16 = 534 [𝑚𝑚] 𝑎 138 = = 0.258 𝑑 534 𝑎 𝑎 Para verificar si 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 hay que ver si 𝑑 ≤ 𝑑𝑏 𝑎𝑏 600 600 = 𝛽1 ⋅ = 0.85 ⋅ = 0.5 𝑑 600 + 𝑓𝑦 600 + 420 𝑎 𝑎 Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑏 ⇒ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 𝑎 𝑎 Para verificar si la sección está controlada por tracción hay que ver si 𝑑 ≤ 𝑑𝑡𝑐. Como todo el acero está en una sola fila 𝑑𝑡 es igual a 𝑑 𝑡 𝑡 𝑎𝑡𝑐 = 0.375 ∙ 𝛽1 = 0.319 𝑑𝑡 𝑎 𝑎 Debido a que 𝑑 ≤ 𝑑𝑡𝑐 ⇒ La sección está controlada por tracción 𝜙 = 0.9 𝑡 𝑡 f) Calcular 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 utilizando los valores calculados de 𝑎 y 𝑑 𝑎 138 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 𝜙 ∙ 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ∙ (𝑑 − ) = 0.9 ∙ 4200 ∙ 420 ∙ (534 − ) 2 2 109 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 738234000 [𝑁 · 𝑚𝑚] 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 738.23 [𝑘𝑁 · 𝑚] ≤ 𝑀𝑢 = 745.04 [𝑘𝑁 · 𝑚] No está bien ! Debido a que 𝜙 · 𝑀𝑛 ≤ 𝑀𝑢 , entonces hay que aumentar el área de acero. El valor asumido de 0.875 · 𝑑 para 𝑗 · 𝑑 es mayor al real de 0.871 · 𝑑 que corresponde a un área de acero 𝐴𝑠 igual a 4200 [𝑚𝑚2 ]. g) Recalcular el área de acero 𝐴𝑠 𝑎 Se utiliza en este nuevo cálculo el brazo (𝑑 − 2 ) con los valores de 𝑎 y 𝑑 hallados en el inciso e). 𝐴𝑠 = 𝑀𝑢 745040000 = 𝑎 𝜙 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − 2) 0.9 ⋅ 420 ⋅ (534 − 138) 2 𝐴𝑠 = 4239 [𝑚𝑚2 ] = 42.39 [𝑐𝑚2 ] Utilizar 9𝜙25 equivalentes a 𝐴𝑠 = 44.18 [𝑐𝑚2 ] La cantidad de acero entra en el ancho de la viga Nuevo canto útil 𝑑 = 𝑑𝑡 = ℎ − 𝑟 − 𝑑𝑠 − 𝑑𝑏 /2 = 600 − 40 − 10 − 12.5 = 537.5 [𝑚𝑚] 𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 = 0.25 ⋅ 𝑏𝑤 ⋅ 𝑑 √𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏𝑤 ⋅ 𝑑 ≥ 1.4 ⋅ 𝑓𝑦 𝑓𝑦 𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 = 0.25 ⋅ 600 ⋅ 537.5 √25 ⋅ 600 ⋅ 537.5 ≥ 1.4 ⋅ 420 420 𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 = 960 [𝑚𝑚2 ] ≥ 1075 [𝑚𝑚2 ] ∴ 𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 = 10.75 [𝑐𝑚2 ] 𝐴𝑠 = 44.18 [𝑐𝑚2 ] ≥ 10.75 [𝑐𝑚2 ] 𝑎= 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 4418 ⋅ 420 = 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏 0.85 ⋅ 25 ⋅ 600 𝑎 = 146 [𝑚𝑚] 𝑎 146 = = 0.272 𝑑 537.5 𝑎𝑏 = 0.50 𝑑 𝑎𝑡𝑐 = 0.319 𝑑𝑡 110 Bien ! Vigas – Resistencia a la flexión 𝑎 𝑎 Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑏 ⇒ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑡𝑐 ⇒ 𝜙 = 0.9 𝑎 𝑡 𝑎 𝑡 Sección controlada por tracción. 𝑎 146 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 𝜙 ⋅ 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − ) = 0.9 ⋅ 4418 ⋅ 420 ⋅ (537.5 − ) 2 2 𝜙 · 𝑀𝑛 = 775716858 [𝑁 · 𝑚𝑚] 𝜙 · 𝑀𝑛 = 775.72 [𝑘𝑁 · 𝑚] ≥ 𝑀𝑢 = 745.04 [𝑘𝑁 · 𝑚] Bien ! Utilizar 9𝜙25 para la armadura en tracción Solución directa al requerimiento de acero Es posible reducir el número de iteraciones necesarias para converger al requerimiento del área de acero necesaria resolviendo una ecuación de segundo grado. Sabemos que: Diseño más económico: Se asume que el acero fluye: 𝑎 𝑀𝑢 = 𝜙 ⋅ 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − ) 2 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 𝑎= 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏 𝑀𝑢 ≤ 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 𝑀𝑢 = 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 (4.6) Se reemplaza el valor de 𝑎 en la ecuación anterior 𝑀𝑢 = 𝜙 ⋅ 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ) 1.7 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏 (4.37) 𝜙 ⋅ 𝑓𝑦2 ⋅ 𝐴2 − 𝜙 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ 𝑑 ⋅ 𝐴𝑠 + 𝑀𝑢 = 0 1.7 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏 𝑠 Datos: Incógnita: 𝜙 𝐴𝑠 𝑏 𝑑 𝑓𝑦 (4.38) 𝑓𝑐′ 𝑀𝑢 Se resuelve la ecuación de segundo grado y se hallan los dos valores posibles para la sección de acero 𝐴𝑠 , luego se escoge la armadura (diámetro y cantidad de barras) tomando en cuenta el valor de 𝐴𝑠 “más adecuado”. Una vez que se obtiene el área real de armadura, se procede a la verificación de la viga y si es necesario se modifican los parámetros necesarios (𝜙, 𝑏, 𝑑, 𝑓𝑐′ , 𝑓𝑦 ) hasta obtener un diseño satisfactorio. Es importante notar que para resolver la ecuación de segundo grado se tienen que asumir ciertos parámetros como el valor de 𝜙y la tensión 𝑓𝑠 en el acero, por lo que una vez seleccionada el área de acero se debe realizar la verificación correspondiente para ratificar o modificar los valores asumidos para estos dos parámetros. 111 Diseño de estructuras de hormigón armado Ejemplo. Tomando las cargas, la resistencia de los materiales y las dimensiones de la viga del ejemplo anterior, calcular la armadura necesaria utilizando la ecuación de segundo grado. Datos: 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑐′ = 25 [𝑀𝑃𝑎] 𝑀𝑢 = 745.04 [𝑘𝑁 · 𝑚] 𝑏 = 600 [𝑚𝑚] ℎ = 600 [𝑚𝑚] 𝑑 = ℎ– 65 = 535 [𝑚𝑚] Se asume un 𝜙 = 0.9 6.22588 · 𝐴2𝑠 − 202230 · 𝐴𝑠 + 745040000 = 0 Dos soluciones: 𝐴𝑠 = 28245 [𝑚𝑚2 ] = 282.45 [𝑐𝑚2 ] 𝐴𝑠 = 4237 [𝑚𝑚2 ] = 42.37 [𝑐𝑚2 ] 𝐴𝑠 ≥ 𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 = 10.75 [𝑐𝑚2 ] Solución incorrecta Solución correcta Utilizar 9ϕ25 equivalentes a 𝐴𝑠 = 44.18 [𝑐𝑚2 ] Verificar si los 9𝜙25 entran en el ancho de la viga Bien ! Cálculo del nuevo d = h − r − ds − db /2 = 600 − 40 − 10 − 25/2 = 537.5 [mm] Cálculo de 𝑎 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 4418 ∙ 420 = = 146 [𝑚𝑚] ′ 0.85 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 0.85 ∙ 25 ∙ 600 𝑎 𝑎𝑡𝑐 = 0.272 ≤ = 0.319 ⇒ 𝜙 = 0.9 𝑑𝑡 𝑑𝑡 146 0.9 ⋅ 4418 ⋅ 420 ⋅ (537.5 − 2 ) 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 1000000 𝑎= 𝜙 · 𝑀𝑛 = 775.72 [𝑘𝑁 · 𝑚] ≥ 𝑀𝑢 = 745.04 [𝑘𝑁 · 𝑚] Bien ! En este ejemplo no fue necesario verificar que la deformación neta de tracción 𝜀𝑡 del acero más cercano a la cara de tracción sea superior a 0.004 puesto que la falla de la sección está controlada por tracción. En 𝑎 otras circunstancias se debe proceder a verificar que ≤ 0.429 ⋅ 𝛽1 para asegurar que 𝜀𝑡 ≥ 0.004. 𝑑𝑡 4.1.3. Vigas con refuerzo de compresión Algunas veces las vigas son construidas con doble refuerzo, uno en la cara traccionada y otro en la cara comprimida. Las razones por las cuales se coloca armadura en la zona comprimida serán analizadas más adelante. El efecto del refuerzo de compresión en la resistencia y el comportamiento de secciones de hormigón armado puede verse en la figura 4.10 donde se compara una viga con armadura simple con otra 112 Vigas – Resistencia a la flexión de las mismas características, pero con doble armadura. Cuando existe acero de compresión, éste ayuda al hormigón a resistir los esfuerzos de compresión, por lo que en el diagrama de deformaciones se puede apreciar un incremento en la deformación del acero de tracción tal como se muestra en la figura 4.11. En la fibra superior la deformación del hormigón se mantiene en su máximo valor de 0.003, mientras que a nivel del acero de tracción la deformación 𝜀𝑠 se incrementa. 𝑏 0.85 · 𝑓𝑐′ 𝐶 𝑎1 𝑑 ℎ 𝑗1 · 𝑑 𝐴𝑠 𝑓𝑠 𝑇 = 𝐴𝑠 · 𝑓𝑦 Viga con acero de tracción 𝑏 0.85 · 𝑓𝑐′ 𝐴′𝑠 𝑑’ 𝑎2 < 𝑎1 𝑑 ℎ 𝐶𝑠 𝐶 𝐶𝑐 𝑗2 · 𝑑 𝐴𝑠 𝑓𝑠 𝑇 = 𝐴𝑠 · 𝑓𝑦 Viga con acero de tracción y compresión Fig. 4.10. Efecto del refuerzo de compresión en la resistencia y el comportamiento de secciones de hormigón armado 𝜀𝑐 = 0.003 Viga con refuerzo de compresión Viga sin refuerzo de compresión 𝜀𝑠 Fig. 4.11. Efecto del refuerzo de compresión en el diagrama de deformaciones en dos vigas con la misma área de refuerzo de tracción 113 Diseño de estructuras de hormigón armado El momento, en una viga con acero de compresión, es también resistido por un par de fuerzas 𝐶 y 𝑇, pero separadas por una distancia 𝑗2 · 𝑑. Viga sin acero de compresión: 𝑀𝑛 = 𝐴𝑠 · 𝑓𝑦 · (𝑗1 · 𝑑) Viga con acero de compresión: 𝑀𝑛 = 𝐴𝑠 · 𝑓𝑦 · (𝑗2 · 𝑑) La única diferencia entre estas dos expresiones es que 𝑗2 > 𝑗1 porque 𝑎2 < 𝑎1 . Por lo tanto, para una determinada cantidad de acero de tracción, la colocación de acero de compresión tiene poco efecto en el momento nominal siempre y cuando el acero de tracción fluya en la viga que no tiene acero de compresión. 𝑀𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝐴′𝑠 𝑀𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝐴′𝑠 𝜌′ = 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑐′ = 28 [𝑀𝑃𝑎] 1.2 𝐴′𝑠 𝑏∙𝑑 𝜌= 𝐴𝑠 𝑏∙𝑑 𝜌 = 0.75 · 𝜌𝑏 = 0.021 𝑑′ = 0.10 𝑑 𝜌 = 0.015 𝑑′ = 0.10 𝑑 1.1 𝜌 = 0.015 𝑑′ = 0.20 𝑑 1.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 𝜌′ /𝜌 Fig. 4.12. Incremento de 𝑴𝒏 debido al acero de compresión Para cuantías normales de acero de tracción ( ≤ 0.015) el incremento del momento nominal 𝑀𝑛 debido al acero de compresión es, en general, menor al 5%. La efectividad del acero de compresión disminuye a medida que éste se aleja de la cara de compresión. Si la distancia 𝑑’ aumenta, la deformación 𝜀𝑠′ disminuye, por lo tanto la tensión 𝑓𝑠′ del acero de compresión puede estar por debajo de la fluencia 𝑓𝑦 y el momento nominal 𝑀𝑛 también disminuye. La figura anterior demuestra claramente que la utilización del acero de compresión, no aumenta significativamente la capacidad de la viga. Para cuantías de acero de compresión iguales a las de acero de tracción (𝜌′ = 𝜌), en el mejor de los casos, se puede esperar un incremento de la resistencia de la sección transversal de aproximadamente el 15%. Por lo tanto, se puede inferir que la utilización de acero de compresión con el sólo propósito de aumentar la resistencia de la viga no es la forma más inteligente o económica de proceder. A continuación se explican las razones por las cuales se debe colocar acero de compresión. ¿Por qué colocar acero de compresión? 114 Vigas – Resistencia a la flexión 1. Reducción de las deflexiones por carga permanente. Como el acero de compresión absorbe parte del esfuerzo de compresión, el hormigón en esa zona (por encima del eje neutro) se “libera”, por lo tanto al soportar el hormigón menos compresión, los efectos de la fluencia sobre la sección disminuyen con el consiguiente beneficio en la disminución de las deflexiones a largo plazo. Δ [𝑐𝑚] Δ 15 𝜌′ = 0 10 𝜌′ = 𝜌 Deflexión por carga permanente 5 Deflexión elástica inicial 0 0 120 𝑑í𝑎𝑠 240 𝑑í𝑎𝑠 Tiempo 2 𝑎ñ𝑜𝑠 Fig. 4.13. Efecto del acero de compresión en las deflexiones por carga permanente Una cuantía de acero de compresión igual a la del acero de tracción (𝜌′ = 𝜌) puede disminuir hasta en un 50% las deflexiones causadas por la fluencia del hormigón. Por lo tanto, es siempre conveniente tener cierta cantidad de acero en la zona de compresión cuando se quiere disminuir las deflexiones producidas por la presencia de cargas permanentes sobre la estructura. 2. Incremento de la ductilidad. 𝑀𝑛 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏 ⋅ ℎ2 0.2 𝜌′ = 𝜌 ′ 𝜌′ = 0 0.1 𝜌 = 0.5 ⋅ 𝜌 𝜌 = 0.01 0 0 2.0 4.0 6.0 8.0 Curvatura Fig. 4.14. Efecto del acero de compresión en la ductilidad de la sección 115 Diseño de estructuras de hormigón armado Se han llevado a cabo ensayos en vigas con diferentes cuantías de acero de compresión. Los resultados de estos ensayos pueden ser apreciados en la siguiente figura donde se ve que una sección transversal con una cuantía de acero de compresión igual a la del acero de tracción (𝜌′ = 𝜌) puede incrementar su ductilidad hasta en un 40% comparada con una sección de dimensiones iguales, pero en la cual no se ha provisto armadura de compresión (𝜌′ = 0). Para estructuras ubicadas en zonas sísmicas, la ductilidad de los diferentes elementos que la componen es de fundamental importancia para resistir las fuerzas que generan los terremotos. Si una sección no posee la suficiente ductilidad, entonces no podrá acomodar los grandes desplazamientos y deflexiones que se presentan durante los movimientos telúricos y colapsará ante ellos. 3. Cambio del modo de falla, de compresión a tracción, en una viga. Cuando la cuantía de acero en la sección de hormigón armado es mayor a la cuantía de acero que produce una falla balanceada ( > 𝜌𝑏 ), la sección falla de una manera frágil debido al aplastamiento del área de hormigón en la zona de compresión y ésta falla se produce antes de la fluencia del acero, por lo que la ductilidad es muy pequeña o nula. Por esta razón, es importante la utilización de acero en la zona de compresión para cambiar el modo de falla y aumentar la ductilidad de la sección de hormigón armado en el momento de la falla. 𝑀𝑛 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏 ⋅ ℎ2 0.4 𝜌′ = 𝜌 𝜌′ = 0.5 · 𝜌 0.3 0.2 𝜌 = 0.01 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] 𝜌′ = 0 𝑓𝑐′ = 28 [𝑀𝑃𝑎] 0.1 0 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 Curvatura Fig. 4.15. Efecto del acero de compresión en el modo de falla de la sección Si el refuerzo de compresión fluye, la distribución de deformaciones y la curvatura en el momento de la falla de una viga con acero de compresión, será esencialmente igual a la de una viga solamente con acero de tracción con una cuantía de ( − 𝜌′ ). El término ( − 𝜌′ ) es llamado “cuantía efectiva de refuerzo”. Usualmente los diseñadores añaden refuerzo de compresión de tal modo que: ( − 𝜌′ ) ≤ 0.5 · 𝜌𝑏 116 (4.39) Vigas – Resistencia a la flexión Los lugares donde frecuentemente se utiliza acero de compresión son: - Región de momento negativo de vigas continuas de sección T - Región central de vigas T invertidas utilizadas para soportar paneles prefabricados de piso 4. Facilitar la construcción. Durante el ensamblaje de la armadura, es necesario colocar dos barras en la parte superior de la viga para sostener los estribos verticales. Fig. 4.16. Armadura de compresión constructiva 4.1.4. Análisis de vigas con refuerzo de tracción y compresión El procedimiento para calcular el momento nominal 𝑀𝑛 de una viga de hormigón armado con acero de compresión depende del valor de la deformación del acero de compresión 𝜀𝑠′ en el momento de la falla. Si el acero de compresión fluye, la viga es dividida en dos vigas para facilitar su análisis. Si por el contrario el acero de compresión no fluye, entonces la viga no es dividida y su análisis se realiza considerando toda la viga. Para el caso donde el acero de compresión fluye, el análisis de vigas con refuerzo a tracción y compresión se realiza considerando que la viga puede ser dividida en dos. La primera será llamada Viga 1 y estará compuesta solamente por el acero de compresión y una parte del acero de tracción igual al área del acero de compresión. En general, siempre la cuantía de acero de tracción será mayor a la de compresión. Luego, el equilibrio de las fuerzas se realiza entre la fuerza generada por el acero de compresión y la generada por la porción equivalente del acero de tracción sin considerar contribución alguna por parte del hormigón. La Viga 2 estará compuesta por el resto de la armadura de tracción (𝐴𝑠 − 𝐴′𝑠 ) y por todo el hormigón. Esta segunda viga es analizada con los mismos procedimientos utilizados para el análisis de vigas que tienen solamente acero de tracción. El resultado de los análisis para ambas vigas se suma y así se obtiene la capacidad total de la sección con refuerzo de tracción y compresión. 117 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑏 0.85 · 𝑓𝑐′ 𝜀𝑐 = 0.003 𝑑′ 𝐴′𝑠 𝜀𝑠′ 𝑐 𝑎 𝐶𝑠 𝑓𝑠′ 𝐶𝑐 𝑑 ℎ 𝐴𝑠 𝜀𝑠 Deformaciones Sección Tensiones 𝑏 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 𝑇 = 𝐴𝑠 · 𝑓𝑦 Fuerzas Internas 𝑏 𝑑′ 𝐴′𝑠 0.85 · 𝑓𝑐′ 𝐶𝑠 = 𝐴′𝑠 · 𝑓𝑠′ 𝐶𝑐 𝑎 𝑑 ℎ 𝑑 𝑑 − 𝑑′ 𝑑− 𝐴𝑠 2 𝐴𝑠 1 𝑎 2 𝑇 = 𝐴𝑠2 · 𝑓𝑦 𝑇 = 𝐴𝑠1 · 𝑓𝑦 Viga 2 Viga 1 Fig. 4.17. Análisis de una sección rectangular con doble armadura cuando 𝜺′𝒔 ≥ 𝜺𝒚 Deformación del acero de compresión Si ⇒ 𝑓𝑠′ = 𝑓𝑦 𝜀𝑠′ ≥ 𝜀𝑦 0.003 𝜀𝑠′ = 𝑐 𝑐−𝑑 ′ reemplazando 𝑓𝑦 𝑐−𝑑 ′ 𝑐 𝛽1 ⋅𝑑 ′ ′ 𝜀𝑠 = (1 − 𝑎 ) ⋅ 0.003 ⇒ 𝜀𝑠′ = 0.003 ⋅ 𝑎 𝑐=𝛽 1 Haciendo 𝜀𝑠′ = 𝜀𝑦 y 𝜀𝑦 = 𝐸 donde 𝐸𝑠 = 200000 [𝑀𝑃𝑎] se puede resolver la ecuación para el valor límite 𝑠 𝑑′ en el cual el refuerzo de compresión fluye. 𝑎 𝛽1 ⋅ 𝑑′ 𝑓𝑦 = (1 − ) ⋅ 0.003 ⋅ 𝐸𝑠 𝑎 𝑓𝑦 𝛽1 ⋅ 𝑑′ 1− = 𝑎 600 𝑓𝑦 𝑑′ 1 = ⋅ (1 − ( ) ) 𝑎 𝑙𝑖𝑚 𝛽1 600 (4.41) Donde 𝑓𝑦 está en [𝑀𝑃𝑎] En resumen se tiene que: 𝑑′ 𝑑′ 𝑓𝑠′ = 𝑓𝑦 Si (𝑎) ≤ (𝑎) ⇒ Si (𝑎) > (𝑎) 𝑑′ ⇒ 𝑓𝑠′ < 𝑓𝑦 118 𝑑′ 𝑙𝑖𝑚 𝑙𝑖𝑚 (4.40) Vigas – Resistencia a la flexión 1er Caso: El acero de compresión fluye Se asume que la viga puede ser dividida en dos vigas imaginarias y en cada una se realiza el equilibrio de las fuerzas horizontales (𝐶 = 𝑇). Viga 1: 𝐴𝑠1 = 𝐴′𝑠 Esta viga está compuesta solamente de acero, por lo que si el acero de compresión fluye (𝑓𝑠′ = 𝑓𝑦 ), también fluye el acero de tracción (𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 ) y como 𝐴𝑠1 = 𝐴′𝑠 entonces la fuerza de compresión en el acero tiene un valor de 𝐶𝑠 = 𝐴𝑠1 ⋅ 𝑓𝑦 . Equilibrio 𝐶𝑠 = 𝑇1 𝐴′𝑠 𝑓𝑦 = 𝐴𝑠1 𝑓𝑦 𝐴′𝑠 = 𝐴𝑠1 𝑀𝑛1 = 𝐴′𝑠 𝑓𝑦 (𝑑 − 𝑑′ ) (4.42) Viga 2: 𝐴𝑠2 = 𝐴𝑠 − 𝐴𝑠1 Si el acero de compresión fluye (𝑓𝑠′ = 𝑓𝑦 ) y como 𝐴𝑠1 = 𝐴′𝑠 entonces la fuerza de compresión en el hormigón tiene un valor de 𝐶𝑐 = 0.85𝑓𝑐′ 𝑏𝑎. Si el acero de tracción fluye (𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 ) y como 𝐴𝑠2 = 𝐴𝑠 − 𝐴𝑠1 entonces la fuerza de tracción del acero tiene un valor de 𝑇 = (𝐴𝑠 − 𝐴′𝑠 )𝑓𝑦 . Equilibrio 𝐶𝑐 = 𝑇 0.85𝑓𝑐′ 𝑏𝑎 = (𝐴𝑠 − 𝐴′𝑠 )𝑓𝑦 (𝐴𝑠 − 𝐴′𝑠 ) ⋅ 𝑓𝑦 𝑎= 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏 𝑎 𝑀𝑛2 = (𝐴𝑠 − 𝐴′𝑠 ) ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − ) 2 El momento nominal total de la viga con acero de compresión es: 𝑎 𝑀𝑛 = 𝐴′𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − 𝑑′ ) + (𝐴𝑠 − 𝐴′𝑠 ) ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − ) 2 𝑎 ′ ′ ′ 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 𝜙 ⋅ [𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − 𝑑 ) + (𝐴𝑠 − 𝐴𝑠 ) ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − )] 2 (4.43) (4.44) (4.45) (4.46) En la determinación de la ecuación anterior se asumió que tanto el acero de tracción como el de compresión habían fluido, por lo tanto es necesario verificar si esto es verdad. Si 𝑓𝑦 𝑑′ 𝑑′ 1 ≤ ( ) = 𝛽 ⋅ (1 − 600 ) ⇒ 𝑓𝑠′ = 𝑓𝑦 𝑎 𝑎 𝑙𝑖𝑚 1 119 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑎 𝑎 600 ≤ 𝑏 = 𝛽1 ⋅ (600+𝑓 ) ⇒ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 𝑑 𝑑 𝑦 Si Si se comprueba que el acero de tracción en la Viga 2 no fluye, se procede a recalcular el valor de 𝑎 considerando que la tensión en el acero de tracción 𝑓𝑠 es menor a la tensión de fluencia 𝑓𝑦 . Viga 2: 𝐴𝑠2 = 𝐴𝑠 − 𝐴𝑠1 Si el acero de compresión fluye (𝑓𝑠′ = 𝑓𝑦 ) y como 𝐴𝑠1 = 𝐴′𝑠 entonces la fuerza de compresión en el hormigón tiene un valor de 𝐶𝑐 = 0.85𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏𝑎. Si el acero de tracción no fluye (𝑓𝑠 < 𝑓𝑦 ) y como 𝐴𝑠2 = 𝐴𝑠 − 𝐴𝑠1 entonces la fuerza de tracción del acero tiene un valor de 𝑇 = (𝐴𝑠 − 𝐴′𝑠 )𝑓𝑠 = 𝐴𝑠2 𝑓𝑠 Equilibrio 𝐶𝑐 = 𝑇 0.85𝑓𝑐′ 𝑏𝑎 = 𝐴𝑠2 𝑓𝑠 𝑓𝑠 = 𝜀𝑠 ⋅ 𝐸𝑠 = 0.003 ⋅ 𝑑−𝑐 𝛽1 ⋅ 𝑑 − 𝑎 ⋅ 𝐸𝑠 = 0.003 ⋅ ⋅ 𝐸𝑠 𝑐 𝑎 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝐴𝑠2 ⋅ 𝑓𝑠 = 𝐴𝑠2 ⋅ 0.003 ⋅ 𝛽1 ⋅ 𝑑 − 𝑎 ⋅ 𝐸𝑠 𝑎 1 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑎2 − 𝐴𝑠2 ⋅ 𝐸𝑠 ⋅ 0.003 ⋅ 𝛽1 ⋅ 𝑑 + 𝐴𝑠2 ⋅ 𝐸𝑠 ⋅ 0.003 ⋅ 𝑎 = 0 multiplicando por 𝑏⋅𝑑 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ 2 𝐴𝑠2 𝐴𝑠2 ⋅𝑎 + ⋅ 0.003 ⋅ 𝐸𝑠 ⋅ 𝑎 − ⋅ 0.003 ⋅ 𝐸𝑠 ⋅ 𝛽1 ⋅ 𝑑 = 0 𝑑 𝑏⋅𝑑 𝑏⋅𝑑 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑎2 + 𝑑 ⋅ 𝑎 − 𝛽1 ⋅ 𝑑2 = 0 (𝜌 − 𝜌′ ) ⋅ 0.003 ⋅ 𝐸𝑠 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑎2 + 𝑑 ⋅ 𝑎 − 𝛽1 ⋅ 𝑑2 = 0 (𝜌 − 𝜌′ ) ⋅ 0.003 ⋅ 𝐸𝑠 (4.47) Donde: 𝜌= 𝐴𝑠 𝑏⋅𝑑 (4.9) 𝐴′𝑠 𝑏⋅𝑑 (4.48) 𝜌′ = Se resuelve la ecuación de segundo grado y se halla el valor de 𝑎. 𝑎 𝑀𝑛2 = 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ (𝑑 − ) 2 120 (4.49) Vigas – Resistencia a la flexión El momento nominal total de la viga con acero de compresión es: 𝑎 𝑀𝑛 = 𝐴′𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − 𝑑′ ) + 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ (𝑑 − ) 2 𝑎 ′ ′ ′ 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 𝜙 ⋅ [𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − 𝑑 ) + 0.85 ⋅ 𝑓𝑐 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ (𝑑 − )] 2 (4.50) (4.51) 2do Caso: El acero de compresión no fluye Si el acero de compresión no fluye entonces 𝑓𝑠′ es desconocido. Pero, si asumimos que el acero de tracción fluye se pueden desarrollar las siguientes ecuaciones: Si el acero de compresión no fluye (𝑓𝑠′ < 𝑓𝑦 ) entonces la fuerza de compresión en el hormigón tiene un valor de 𝐶𝑐 = 0.85𝑓𝑐′ 𝑏𝑎 y en el acero de compresión un valor de 𝐶𝑠 = (𝐸𝑠 𝜀𝑠′ )𝐴′𝑠 . Si el acero de tracción fluye (𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 ) entonces la fuerza de tracción en el acero tiene un valor igual al área de acero multiplicada por la tensión de fluencia (𝑇 = 𝐴𝑠 𝑓𝑦 ). 𝑇 = 𝐴𝑠 𝑓𝑦 𝐶𝑐 = 0.85𝑓𝑐′ 𝑏𝑎 𝐶𝑠 = (𝐸𝑠 ⋅ 𝜀𝑠′ ) 𝐴′𝑠 𝑑′ 0.003 𝜀𝑠′ ′ = 0.003 ⋅ − = ⇒ 𝜀 (1 ) 𝑠 𝑐 𝑐 − 𝑑′ 𝑐 Equilibrio 𝐶𝑐 + 𝐶𝑠 = 𝑇 𝛽1 ⋅ 𝑑′ ) = 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 𝑎 (0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏) ⋅ 𝑎2 + (0.003 ⋅ 𝐸𝑠 ⋅ 𝐴′𝑠 − 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ) ⋅ 𝑎 − 0.003 ⋅ 𝐸𝑠 ⋅ 𝐴′𝑠 ⋅ 𝛽1 ⋅ 𝑑′ = 0 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑎 + 𝐸𝑠 ⋅ 𝐴′𝑠 ⋅ 0.003 ⋅ (1 − (4.52) Se resuelve la ecuación de segundo grado y se halla el valor de 𝑎. El momento nominal total de la viga con acero de compresión es: 𝑎 𝑀𝑛 = 𝐶𝑐 ⋅ (𝑑 − ) + 𝐶𝑠 ⋅ (𝑑 − 𝑑′ ) 2 𝑎 𝛽1 ⋅ 𝑑′ 𝑀𝑛 = 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑎 ⋅ (𝑑 − ) + 𝐸𝑠 ⋅ 0.003 ⋅ (1 − ) ⋅ 𝐴′𝑠 ⋅ (𝑑 − 𝑑′ ) 𝑎 2 𝛽1 ⋅ 𝑑′ 𝑎 ′ 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 𝜙 ⋅ [0.85 ⋅ 𝑓𝑐 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑎 ⋅ (𝑑 − ) + 𝐸𝑠 ⋅ 0.003 ⋅ (1 − ) ⋅ 𝐴′𝑠 ⋅ (𝑑 − 𝑑 ′ )] 2 𝑎 (4.53) (4.54) En la determinación de la ecuación anterior se asumió que el acero de tracción había fluido, por lo tanto es necesario verificar si esto es verdad. 121 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑎 𝑎 600 ≤ 𝑏 = 𝛽1 ⋅ (600+𝑓 ) ⇒ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 𝑑 𝑑 𝑦 Si Coeficiente de reducción de la resistencia 𝝓 Para secciones controladas por tracción Para secciones controladas por compresión 𝑎 𝑎 ≤ 𝑑𝑡𝑐 = 0.375 ⋅ 𝛽1 𝑑𝑡 𝑡 𝑎𝑡𝑐 𝑎 𝑎 ≤ ≤ 𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑡 𝑎 𝑎𝑐𝑐 600 ≥ 𝑑 = 𝛽1 ⋅ 600+𝑓 𝑑𝑡 𝑡 𝑦 Si Si Si 𝜙 = 0.9 𝜙 = 0.65 Sección controlada por tracción 𝜙 = 0.9 Sección en transición 𝜙 = 0.23 + 0.25 ⋅ 𝑎∕𝑑1 Sección controlada por compresión 𝜙 = 0.65 𝛽 𝑡 La cuantía mínima para el acero de tracción es la misma que para el caso de vigas con solamente acero de tracción. √𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏𝑤 ⋅ 𝑑 𝑓𝑦 𝑏𝑤 ⋅ 𝑑 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 ≥ 1.4 ⋅ 𝑓𝑦 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0.25 ⋅ (4.32) (4.33) Estribos para el acero de compresión Para carga última, el acero de compresión en una viga puede pandear causando el descascaro de la superficie de hormigón y la posible falla del elemento. Por lo tanto, para prevenir estas fallas, se deben colocar estribos con espaciamientos pequeños entre sí. El código ACI en su sección 9.7.6.4 indica los requerimientos que debe cumplir el refuerzo lateral (estribos) en vigas cuando en ellas se utiliza acero de compresión. El refuerzo de compresión en vigas debe estar amarrado por estribos con diámetros y espaciamientos que son resumidos en la siguiente tabla. Estribos para elementos de dimensiones (𝒃 · 𝒉) sometidos a compresión Diámetro de barra longitudinal 𝒅𝒃 [𝒎𝒎] Diámetro de estribo 𝒅𝒔 [𝒎𝒎] Separación de estribos ≤ 32 > 32 Atados de barras ≥ 10 ≥ 12 ≥ 12 ≤ 16 · 𝑑𝑏 ≤ 48 · 𝑑𝑠 ≤𝑏 Ejemplo. Calcular el momento nominal de diseño de una viga rectangular de base 250 [𝑚𝑚] y altura 600 [𝑚𝑚] que tiene 2𝜙25 como acero de compresión y 6𝜙25 como acero de tracción repartidas en dos filas de tres barras cada una. 122 Vigas – Resistencia a la flexión Datos: 𝑏 = 250 [𝑚𝑚] ℎ = 600 [𝑚𝑚] 𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎] 𝐴𝑠 = 2940 [𝑚𝑚2 ] 𝑑 = 510 [𝑚𝑚] 𝑑′ = 65 [𝑚𝑚] 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] 𝐴′𝑠 = 980 [𝑚𝑚2 ] 250 2𝜙25 250 65 2𝜙25 𝐴′𝑠 = 980 600 510 510 𝑑 – 𝑑 ′ = 445 𝐴𝑠 = 2940 𝐴𝑠1 = 980 6𝜙25 2𝜙25 𝐴𝑠2 = 1960 4𝜙25 Sección Viga 1 Viga 2 Las dimensiones de la sección están en [𝑚𝑚] a) Asumir que 𝑓𝑠′ = 𝑓𝑦 y 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 y dividir la viga en dos vigas Como se asume que el acero fluye entonces se tiene: Para la Viga 1 𝐴𝑠1 = 𝐴′𝑠 = 980 [𝑚𝑚2 ] Para la Viga 2 𝐴𝑠2 = 𝐴𝑠 − 𝐴𝑠1 = 2940 – 980 = 1960 [𝑚𝑚2 ] b) Calcular 𝑎 para la Viga 2 (𝐴𝑠 − 𝐴′𝑠 ) ⋅ 𝑓𝑦 1960 ⋅ 420 𝑎= = ′ 0.85 ⋅ 𝑓𝑐 ⋅ 𝑏 0.85 ⋅ 20 ⋅ 250 𝑎 = 194 [𝑚𝑚] c) Verificar si el acero de compresión fluye 𝑑′ = 65 [𝑚𝑚] 𝑑′ 65 = = 0.335 𝑎 194 𝛽1 = 1.05 – 0.007𝑓𝑐′ = 1.05 − 0.00720 = 0.91 > 0.85 ⇒ 𝛽1 = 0.85 𝑓𝑦 𝑑′ 1 1 420 = ⋅ (1 − ⋅ (1 − ) = 0.353 ( ) )= 𝑎 𝑙𝑖𝑚 𝛽1 600 0.85 600 𝑑′ 𝑑′ ≤( ) ⇒ 𝑓𝑠′ = 𝑓𝑦 𝑎 𝑎 𝑙𝑖𝑚 123 Diseño de estructuras de hormigón armado d) Verificar si el acero de tracción fluye y si la sección es controlada por tracción 𝑎 = 194 [𝑚𝑚] 𝑎 194 = = 0.380 𝑑 510 𝑎𝑏 600 600 = 𝛽1 ⋅ = 0.85 ⋅ = 0.50 𝑑 600 + 𝑓𝑦 600 + 420 𝑎 𝑎𝑏 ≤ ⇒ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 𝑑 𝑑 𝑑𝑡 = 600 − 40 − 10 − 25/2 = 538 [𝑚𝑚] 𝑎 194 = = 0.361 𝑑𝑡 538 𝑎𝑡𝑐 = 0.375 ⋅ 𝛽1 = 0.375 ⋅ 0.85 = 0.319 𝑑𝑡 𝑎𝑐𝑐 600 600 = 𝛽1 ⋅ = 0.85 ⋅ = 0.50 𝑑𝑡 600 + 𝑓𝑦 600 + 420 𝑎𝑣 = 0.429 ⋅ 𝛽1 = 0.429 ⋅ 0.85 = 0.365 𝑑𝑡 𝑎 𝑎 Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑣 ⇒ Cumple requerimiento de ductilidad 𝜀𝑡 ≥ 0.004 𝑡 Como 𝑡 𝑎𝑡𝑐 𝑎 𝑎 ≤ ≤ 𝑐𝑐 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝜙 = 0.23 + 0.25 ⋅ ⇒ Sección en transición 0.65 ≤ 𝜙 ≤ 0.90 0.85 𝛽1 = 0.23 + 0.25 ⋅ = 0.82 0.361 𝑎 ∕ 𝑑𝑡 e) Verificar si 𝐴𝑠 ≥ 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 𝑏𝑤 ⋅ 𝑑 √𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏𝑤 ⋅ 𝑑 ≥ 1.4 ⋅ 𝑓𝑦 𝑓𝑦 2 2 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 339 [𝑚𝑚 ] ≥ 425 [𝑚𝑚 ] 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 425 [𝑚𝑚2 ] 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0.25 ⋅ 𝐴𝑠 = 2940 [𝑚𝑚2 ] > 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 425 [𝑚𝑚2 ] f) Calcular 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 Viga 1 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛1 = 𝜙 ⋅ [𝐴′𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − 𝑑 ′ )] = 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛1 = 150.19 [𝑘𝑁𝑚] 124 0.82 ⋅ [980 ⋅ 420 ⋅ (510 − 65)] 1000000 Bien ! Vigas – Resistencia a la flexión Viga 2 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛2 = 𝜙 ⋅ [(𝐴𝑠 − 𝐴′𝑠 ) ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − 𝑎 ∕ 2)] = 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛2 = 278.78 [𝑘𝑁𝑚] 0.82 194 ⋅ [(2940 − 980) ⋅ 420 ⋅ (510 − )] 1000000 2 Momento nominal de diseño de la viga 𝜙𝑀𝑛 = 𝜙𝑀𝑛1 + 𝜙𝑀𝑛2 = 150.19 + 278.78 𝜙𝑀𝑛 = 428.97 [𝑘𝑁𝑚] Ejemplo. Si la armadura de compresión de la viga del problema anterior se cambia a 3𝜙25, calcular el nuevo momento nominal de diseño. Datos: 𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] 250 65 3𝜙25 510 600 6𝜙25 a) Asumir que 𝑓𝑠′ = 𝑓𝑦 y 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 y dividir la viga en dos vigas Viga 1 Viga 2 𝐴𝑠1 = 𝐴′𝑠 = 1470 [𝑚𝑚2 ] 𝐴𝑠2 = 𝐴𝑠 − 𝐴′𝑠 = 2940 − 1470 = 1470 [𝑚𝑚2 ] b) Calcular a para la Viga 2 𝑎= (𝐴𝑠 − 𝐴′𝑠 ) ⋅ 𝑓𝑦 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏 = 1470 ⋅ 420 0.85 ⋅ 20 ⋅ 250 𝑎 = 145 [𝑚𝑚] c) Verificar si el acero de compresión fluye 𝑑′ 65 = = 0.448 𝑎 145 125 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑑′ = 0.353 ( ) 𝑎 𝑙𝑖𝑚 𝑑′ 𝑑′ >( ) ⇒ 𝑓𝑠′ < 𝑓𝑦 𝑎 𝑎 𝑙𝑖𝑚 d) Hallar el nuevo valor de 𝑎 (0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏) ⋅ 𝑎2 + (0.003 ⋅ 𝐸𝑠 ⋅ 𝐴′𝑠 − 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ) ⋅ 𝑎 − 0.003 ⋅ 𝐸𝑠 ⋅ 𝐴′𝑠 ⋅ 𝛽1 ⋅ 𝑑′ = 0 4250 𝑎2 − 352800 𝑎 − 48730500 = 0 𝑎 = 156 [𝑚𝑚] Este valor es mayor al anterior de 145 [𝑚𝑚] ya que el esfuerzo en el acero de compresión es menor que 𝑓𝑦 y como resultado se necesita un área mayor de compresión en el hormigón. e) Verificar si el acero de tracción fluye y si la sección es controlada por tracción 𝑎 156 = = 0.306 𝑑 510 𝑎𝑏 = 0.50 𝑑 𝑎 𝑎𝑏 ≤ ⇒ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 𝑑 𝑑 𝑎 156 = = 0.290 𝑑𝑡 538 𝑎𝑡𝑐 = 0.319 𝑑𝑡 𝑎 𝑎 ≤ 𝑑𝑡𝑐 𝑑𝑡 𝑡 ⇒ Sección controlada por tracción 𝜙 = 0.90 f) Verificar si 𝐴𝑠 ≥ 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 425 [𝑚𝑚2 ] 𝐴𝑠 = 2940 [𝑚𝑚2 ] > 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 126 Vigas – Resistencia a la flexión g) Calcular 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 𝑎 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 𝜙 ⋅ [𝐶𝑐 ⋅ (𝑑 − ) + 𝐶𝑠 ⋅ (𝑑 − 𝑑′ )] 2 𝐶𝑐 = 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑎 = 0.85 ⋅ 20 ⋅ 250 ⋅ 156 = 663000[𝑁] 𝑑′ 65 𝐶𝑠 = 𝐸𝑠 ⋅ 0.003 ⋅ (1 − 𝛽1 ⋅ ) ⋅ 𝐴′𝑠 = 200000 ⋅ 0.003 ⋅ (1 − 0.85 ⋅ ) ⋅ 1470 𝑎 146 𝐶𝑠 = 569625 [𝑁] 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 0.9 156 ⋅ [663000 ⋅ (510 − ) + 569625 ⋅ (510 − 65)] 1000000 2 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 485.91 [𝑘𝑁𝑚] Conclusiones Comparando los dos ejemplos anteriores se puede observar que un incremento del 50% en el área de acero de compresión solamente incrementa un 13.3% el momento nominal de diseño. Esto ilustra el hecho de que el incremento en el acero de compresión es en general un procedimiento ineficiente para aumentar la capacidad resistente de la viga. Pero, por otro lado, el acero de compresión puede ayudar a cambiar el modo en que una viga falla, haciendo que ésta tenga un comportamiento más dúctil. 4.2. Vigas de sección T Las vigas de sección T en el diseño de estructuras de hormigón armado se presentan con mucha más frecuencia de lo que se piensa. En general, cuando se realiza el vaciado monolítico de losas de piso o cubierta sobre vigas, las vigas perimetrales e interiores forman una sola estructura con la losa, por lo que parte de ésta actúa como ala superior de las vigas. Por lo tanto, la sección transversal de las vigas es T o L invertida en vez de rectangular. En la figura, de color gris, se aprecia la sección transversal de vigas interiores y perimetrales para propósitos de diseño. Cuando se empezó el diseño de este tipo de vigas, el principal problema era estimar el ancho del ala que se podía considerar efectivo para el análisis. Después de muchos ensayos y pruebas de laboratorio, los investigadores lograron obtener fórmulas simples para calcular de una manera razonable el ancho efectivo del ala de la viga. En las siguientes secciones se analizará con mayor profundidad la determinación de ese ancho. Cuando una viga está apoyada sobre múltiples pilares (viga continua) y soporta principalmente cargas verticales uniformemente repartidas, entonces el diagrama de momentos es parabólico y cambia de sentido, por lo que es fácil de deducir que en los tramos centrales, la fibra inferior de la viga está sometida a tracción, mientras que sobre los apoyos, la fibra superior es la que se encuentra en tracción. Una situación parecida ocurre en los entrepisos con vigas, puesto que en general existen más de dos apoyos en cualquier dirección del piso. 127 Diseño de estructuras de hormigón armado La losa soporta carga en esta dirección Fig. 4.18. Típica disposición de vigas en un entrepiso con losa diseñada en una dirección En la siguiente figura se muestra una viga de sección T continua que forma parte de un entre piso. Por razones de simplicidad solamente se muestran dos pilares y la viga ha sido cortada. Como es de esperar, la viga presentará fisuras en los lugares donde existen esfuerzos de tracción en el hormigón. Por lo tanto, las fibras opuestas estarán sometidas a esfuerzos de compresión. En el caso de secciones rectangulares esta situación no tiene importancia, puesto que la parte de la sección transversal sometida a compresión tiene siempre una forma rectangular, pero en vigas de sección T es muy importante determinar las fibras que están en compresión, porque puede darse el caso de que la parte comprimida de la sección transversal no tenga la forma rectangular cómo se logra apreciar en la siguiente figura. B A B A 𝑏 Zona en tracción 𝑏 Sección A-A Sección A-A Zona en compresión Sección B-B Fig. 4.19. Vigas de sección T con diferentes zonas de compresión 128 Vigas – Resistencia a la flexión Cuando la fibra inferior de una viga de sección T está sometida a esfuerzos de compresión, la forma de la parte comprimida será siempre rectangular. Si por el contrario, la parte superior (ala) está en compresión, entonces dependiendo de la profundidad del eje neutro, puede ser que la forma de la parte comprimida sea rectangular o T. Por tanto, para propósitos de diseño es muy importante determinar con precisión la profundidad del eje neutro cuando el ala está en compresión porque los métodos de cálculo son diferentes. Si la zona de compresión de una viga T es rectangular, esta viga será clasificada como simplemente “viga rectangular” y los procedimiento de diseño y cálculo serán los mismos que se utilizan para vigas de sección rectangular, pero si la zona de compresión es en T entonces la viga será clasificada como “viga T” y se utilizarán los procedimiento de diseño específicos para vigas T. En las siguientes figuras se muestra gráficamente la distribución real de esfuerzos que se produce en el ala en compresión de una viga T aislada y de un conjunto de vigas T. Soporte Punto central de una viga simplemente apoyada Fig. 4.20. Flujo de esfuerzos de compresión en el ala de una viga de sección T Sección a medio tramo Vista en planta 𝑏0 Fig. 4.21. Distribución real de esfuerzos de compresión en las alas de un conjunto de vigas de sección T 129 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑏𝑓 𝑏𝑓 𝑏𝑓 Vista en planta Fig. 4.22. Distribución ficticia de esfuerzos de compresión en las alas de un conjunto de vigas de sección T En la figura 4.20 se puede apreciar como los flujos de esfuerzos de compresión en una sección a medio tramo ocupan todo el ancho del ala de la viga T. A medida que los flujos de compresión se acercan a los extremos de la viga (apoyos), éstos ocupan un ancho menor del ala. Cuando se diseñan vigas de sección T, en la zona de momentos positivos se utiliza un “ancho efectivo” de losa 𝑏𝑓 . Este ancho cuando es sometido a un esfuerzo uniforme 𝑓𝑐′ produce la misma fuerza de compresión que el ancho total 𝑏𝑜 sometido a la distribución real de tensiones. El código ACI en su sección 6.3.2.1 presenta las siguientes recomendaciones para hallar el ancho efectivo de la losa en compresión de una viga interior y perimetral que son parte de un sistema de piso que tiene un conjunto de vigas. Ubicación del ala Ancho sobresaliente efectivo del ala, más allá de la cara del alma 8⋅ℎ A cada lado del alma A un solo lado del alma 130 El menor de: El menor de: 𝑠𝑤 2 ℓ𝑛 8 Ancho efectivo del ala 𝒃𝒇 16 ⋅ ℎ + 𝑏𝑤 𝑠𝑤 + 𝑏𝑤 ℓ𝑛 + 𝑏𝑤 4 6⋅ℎ 6 ⋅ ℎ + 𝑏𝑤 𝑠𝑤 2 ℓ𝑛 12 𝑠𝑤 + 𝑏𝑤 2 ℓ𝑛 + 𝑏𝑤 12 Vigas – Resistencia a la flexión 𝑏𝑓 𝑠𝑤 𝑠𝑤 𝑏𝑤 ℎ 𝑏𝑤 ℓ𝑛 Fig. 4.23. Viga interior de un entrepiso con vigas 𝑏𝑓 ℎ 𝑏𝑤 𝑠𝑤 Fig. 4.24. Viga de borde (perimetral) de un entrepiso con vigas Para vigas aisladas de sección T en las cuales el ala es utilizada para proveer un área adicional de compresión, el código ACI en su sección 6.3.2.2 presenta dos recomendaciones para el espesor del ala y ancho efectivo de la losa comprimida. 1) 2) ℎ ≥ 0.5 ∙ 𝑏𝑤 𝑏𝑓 ≤ 4 ∙ 𝑏𝑤 𝑏𝑓 ℎ 𝑏𝑤 Fig. 4.25. Viga aislada de sección T 131 Diseño de estructuras de hormigón armado Para losas con nervios en una o dos direcciones, el código ACI en su sección 8.8.1 presenta recomendaciones referentes a las dimensiones, espaciamiento y espesores de los diferentes elementos que componen su sección transversal. 1) 2) 3) 𝑏𝑤 ≥ 100 [𝑚𝑚] ℎ𝑤 3.5𝑏𝑤 𝑠𝑤 750 [𝑚𝑚] Cuando para formar la losa aligerada se utilizan ladrillos o bloques de concreto cuyo material tiene una resistencia a la compresión mayor o igual a la resistencia a la compresión del hormigón especificada para los nervios, se pueden considerar las paredes verticales que están en contacto con los nervios de dichos elementos para el cálculo de la resistencia al corte y al momento negativo. El espesor de la losa ℎ sobre el material permanente de relleno debe ser mayor a 𝑠𝑤 /12 y en ningún caso menor a 40 [𝑚𝑚]. En losas aligeradas en una dirección, se debe prever un refuerzo perpendicular a la dirección de los nervios de acuerdo a la sección 7.6.1.1 del código ACI. Cuando para formar la losa aligerada se utilizan encofrados removibles o bloques de poliestireno expandido, el espesor de la losa ℎ debe ser mayor a 𝑠𝑤 /12 y en ningún caso menor a 50 [𝑚𝑚]. En este tipo de losas aligeradas, se debe prever un refuerzo perpendicular a la dirección de los nervios de acuerdo a requerimientos por flexión considerando, si existen, cargas concentradas y en ningún caso este refuerzo debe ser menor a lo especificado en la sección 7.6.1.1 del código ACI. Cuando el contrapiso no es vaciado monolíticamente con la losa, su espesor puede ser tomado en cuenta solamente para cumplir con los requerimientos de recubrimiento de la armadura, protección contra el fuego u otro propósito no estructural. Un espesor de losa igual a 75 [𝑚𝑚], provee una protección al fuego de aproximadamente una hora. ℎ ℎ𝑤 𝑠𝑤 𝑏𝑤 𝑠𝑤 𝑏𝑤 Fig. 4.26. Losa con nervios en una o dos direcciones La sección 7.5.2.3 del código ACI indica que cuando el refuerzo principal de flexión en una losa que pertenece a una viga T (excluyendo losas con nervios) es paralelo a la viga, se deberá colocar un refuerzo perpendicular a la viga en la parte superior de la losa de acuerdo a lo siguiente: 132 Vigas – Resistencia a la flexión a) Se considera que las cargas últimas actúan en la longitud de la losa que sobresale del alma (𝑏 − 𝑏𝑤 )/2 como si fuera un voladizo. Para vigas aisladas el ancho total del ala debe ser considerado, mientras que para otras vigas T, solamente el ancho efectivo que sobresale del alma es necesario considerar. b) El refuerzo transversal no debe estar espaciado más de 5ℎ y en ningún caso éste debe ser superior a 450 [𝑚𝑚]. Fig. 4.27. Formas de cargar la losa para calcular su refuerzo en la dirección perpendicular a la viga Para el diseño de losas nervadas, la contribución del hormigón al corte puede ser tomada como 10% más de la utilizada en vigas. Para incrementar la resistencia al corte de los nervios se puede utilizar estribos o ensanchar la base de los mismos cerca de los apoyos. La sección 8.8.1.7 del código ACI indica que se debe colocar refuerzo perpendicular a los nervios de acuerdo a los requerimientos de flexión considerando cargas puntuales si estas existen. Pero, la cuantía de este refuerzo debe ser mayor o igual a la especificada en la sección 24.4.3.2 que es la necesaria por retracción y temperatura, pero no menos que 0.0014. En la siguiente tabla se presenta un resumen de lo indicado en la sección 24.4.3.2 con respecto a la armadura de retracción y temperatura para losas. Armadura por retracción y temperatura en losas Tensión de fluencia del acero de refuerzo [𝑴𝑷𝒂] Cuantía de refuerzo por área total de hormigón (𝒃 · 𝒉) < 420 0.0020 ≥ 420 0.0018 ∙ 420 ≥ 0.0014 𝑓𝑦 La armadura por retracción y temperatura debe tener un espaciamiento menor a cinco veces el espesor de la losa y en ningún caso este espaciamiento puede superar 450 [𝑚𝑚]. 133 Diseño de estructuras de hormigón armado El código ACI en su sección 7.6.4.2 permite la utilización de acero de pretensado para retracción y temperatura considerando lo siguiente: a) La mínima compresión promedio en el área gruesa del hormigón debe ser superior a 0.7 [𝑀𝑃𝑎] considerando el pretensado efectivo, después de que se han producido todas las pérdidas b) El espaciamiento entre cables debe ser menor o igual a 1.8 [𝑚] c) Cuando el espaciamiento entre cables, utilizados por temperatura y retracción, excede 1.4 [𝑚], se debe proveer entre los cables refuerzo pasivo adicional de acuerdo a la sección 24.4.3.1 del código en los bordes de la losa donde se aplica la fuerza de pretensado para reforzar adecuadamente el área entre el borde de la losa y el punto donde los esfuerzos de compresión, detrás de los anclajes individuales, se han esparcido suficientemente de tal modo que la losa esta con una compresión uniforme. Este refuerzo se debe extender desde el borde de la losa hasta una distancia igual al espaciamiento del cable 4.2.1. Análisis de vigas T Cuando la zona de compresión de una viga T es rectangular, su análisis puede ser realizado asumiendo que es una viga rectangular de ancho 𝑏; donde 𝑏 puede ser el ancho del alma o el ancho efectivo del ala dependiendo de la posición de la sección transversal de la viga con respecto a la forma del diagrama de momentos. Sin embargo, si la zona de compresión es de forma T hay que realizar un análisis especial. En la figura 4.28 se puede apreciar que para el equilibrio del momento externo en la sección T interviene una fuerza de compresión en el hormigón 𝐶 y otra fuerza de tracción en el acero 𝑇 de la misma forma que en una sección rectangular. La diferencia más notable es que la parte de la sección T que está en compresión no siempre tiene la forma rectangular. 𝑏 0.85𝑓𝑐′ ℎ 𝑎 𝑑 𝐶 𝑗𝑑 𝐴𝑠 𝑏𝑤 Viga 𝑀𝑛 = 𝑀𝑛𝑓 + 𝑀𝑛𝑤 Fig. 4.28. Viga T con la zona de compresión extendida hasta el alma 134 𝑇 = 𝐴𝑠 𝑓𝑦 Vigas – Resistencia a la flexión En la siguiente figura se muestra el procedimiento para el análisis de vigas cuya zona de compresión tiene la forma de T. La viga es dividida en dos vigas hipotéticas, una llamada “Viga F” porque solamente considera en compresión las proyecciones del ala a ambos lados del alma (flange en inglés) y la otra “Viga W” porque considera la parte del alma que está en compresión (web en inglés). Este procedimiento es realizado para evitar hallar el centro de gravedad de la sección en compresión que tiene una forma T. La Viga 𝐹 comprende las proyecciones de las alas de la viga T y una parte del acero de tracción (𝐴𝑠𝑓 < 𝐴𝑠 ), mientras que la Viga W comprende toda el alma de la viga T y el resto de la armadura de tracción (𝐴𝑠𝑤 = 𝐴𝑠 − 𝐴𝑠𝑓 ). Al dividir la viga de esta manera, las zonas de compresión de ambas vigas son ahora rectangulares, por lo que su análisis puede ser realizado utilizando los procedimientos estudiados anteriormente. 𝑏 ℎ Viga 𝐹 0.85𝑓𝑐′ 𝐶𝑓 = 0.85𝑓𝑐′ (𝑏 − 𝑏𝑤 )ℎ 𝑎 𝑑 𝑑 − ℎ𝑓 /2 𝐴𝑠𝑓 𝑇𝑓 = 𝐴𝑠𝑓 ⋅ 𝑓𝑦 𝑏𝑤 𝑏 0.85𝑓𝑐′ ℎ 𝑎 𝐶𝑤 = 0.85𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏𝑤 𝑎 𝑑 𝑑 − 𝑎/2 Viga W 𝐴𝑠𝑤 = 𝐴𝑠 − 𝐴𝑠𝑓 𝑏𝑤 𝑇𝑤 = 𝐴𝑠𝑤 ⋅ 𝑓𝑦 Fig. 4.29. Análisis de secciones T de hormigón armado 135 Diseño de estructuras de hormigón armado Se realiza el análisis independientemente en las dos vigas hipotéticas y luego se suman sus resultados. Viga F 𝑇𝑓 = 𝐴𝑠𝑓 ⋅ 𝑓𝑠 𝐶𝑓 = 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ (𝑏 − 𝑏𝑤 ) ⋅ ℎ (4.55) (4.56) Asumir que 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 para el acero 𝐴𝑠𝑓 Realizar el equilibrio de las fuerzas horizontales 𝑇𝑓 = 𝐶𝑓 𝐴𝑠𝑓 ⋅ 𝑓𝑦 = 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ (𝑏 − 𝑏𝑤 ) ⋅ ℎ 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ (𝑏 − 𝑏𝑤 ) ⋅ ℎ 𝐴𝑠𝑓 = 𝑓𝑦 ℎ ℎ 𝑀𝑛𝑓 = 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ (𝑏 − 𝑏𝑤 ) ⋅ ℎ ⋅ (𝑑 − ) = 𝐴𝑠𝑓 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − ) 2 2 (4.57) Viga W 𝑇𝑤 = 𝐴𝑠𝑤 ⋅ 𝑓𝑠 (4.58) 𝐶𝑤 = 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏𝑤 ⋅ 𝑎 (4.59) Asumir que 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 para el acero 𝐴𝑠𝑤 = 𝐴𝑠 − 𝐴𝑠𝑓 Realizar el equilibrio de las fuerzas horizontales 𝑇𝑤 = 𝐶𝑤 𝐴𝑠𝑤 ⋅ 𝑓𝑦 = 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏𝑤 ⋅ 𝑎 𝐴𝑠𝑤 ⋅ 𝑓𝑦 𝑎= 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏𝑤 𝑎 𝑎 𝑀𝑛𝑤 = 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏𝑤 ⋅ 𝑎 ⋅ (𝑑 − ) = 𝐴𝑠𝑤 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − ) 2 2 (4.60) (4.61) Viga T 𝑀𝑛 = 𝑀𝑛𝑓 + 𝑀𝑛𝑤 𝑎 ℎ 𝑀𝑛 = 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ (𝑏 − 𝑏𝑤 ) ⋅ ℎ ⋅ (𝑑 − ) + 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏𝑤 ⋅ 𝑎 ⋅ (𝑑 − ) 2 2 O también escrita de otra manera, ℎ 𝑎 𝑀𝑛 = 𝐴𝑠𝑓 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − ) + 𝐴𝑠𝑤 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − ) 2 2 Finalmente el momento nominal de diseño será 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 Ocasionalmente 𝑎 = ℎ y en ese caso la viga se diseña como viga rectangular 136 (4.62) (4.63) Vigas – Resistencia a la flexión Determinar si 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 En la derivación de las ecuaciones se asumió que 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 , pero se debe verificar esta suposición. 𝑎 𝑎 600 ≤ 𝑑𝑏 = 𝛽1 ⋅ 600+𝑓 𝑑 𝑦 Si ⇒ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 Coeficiente de reducción de la resistencia 𝜙 𝑎 𝑎 Si 𝑑 ≤ 𝑑𝑡𝑐 = 0.375 ⋅ 𝛽1 Sección controlada por tracción 𝑡 𝑡 𝑎𝑡𝑐 𝑎 𝑎 ≤ 𝑑 ≤ 𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑡 𝑡 𝑡 𝑎 𝑎𝑐𝑐 600 ≥ = 𝛽 1 ⋅ 600+𝑓 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑦 Si Si 𝜙 = 0.9 𝛽 Sección en transición 𝜙 = 0.23 + 0.25 ⋅ 𝑎∕𝑑1 Sección controlada por compresión 𝜙 = 0.65 𝑡 Cuantía mínima de acero de tracción Para vigas T con el ala en compresión y para las regiones de momento negativo de vigas continuas de sección T donde el ala está en tracción 𝑏𝑤 √𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏𝑤 ⋅ 𝑑 𝑓𝑦 𝑏𝑤 ⋅ 𝑑 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 ≥ 1.4 ⋅ 𝑓𝑦 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0.25 ⋅ (4.32) (4.33) Para vigas isostáticas de sección T con el ala en tracción (viga en voladizo), el área mínima es igual al menor valor de: 𝑏𝑤 ⋅ 𝑑 𝑓𝑦 Donde: 𝑏𝑤 = Ancho del alma. 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0.50 ⋅ √𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏𝑤 ⋅ 𝑑 𝑓𝑦 Donde: 𝑏𝑤 = 𝑏𝑓 Ancho efectivo del ala. 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0.25 ⋅ √𝑓𝑐′ ⋅ (4.34) (4.35) 1 El requerimiento del área mínima no necesita ser aplicado si el área de acero colocada es al menos 3 mayor a la requerida por el análisis. 137 Diseño de estructuras de hormigón armado Análisis del momento nominal de diseño 𝝓 ⋅ 𝑴𝒏 para una viga T Ejemplo. Una viga interior T de un sistema de piso tiene una distancia libre entre caras de columnas de 5500 [𝑚𝑚]. Calcular 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 en la región de momento positivo. Datos: 𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] Dimensiones en [𝑚𝑚] 3050 3650 ℎ = 125 500 300 2750 300 3300 400 Sección transversal 8𝜙20 8𝜙20 6𝜙20 5500 Elevación de la viga 𝑏𝑓 = 1675 125 𝐸 𝜙10 𝑑 = 425 6𝜙20 𝑏𝑤 = 300 Refuerzo a medio tramo 138 500 Vigas – Resistencia a la flexión a) Calcular el ancho efectivo del ala 𝑏𝑓 ℓ 4 5500 + 300 4 1) 𝑏𝑓 ≤ 𝑛 + 𝑏𝑤 = 2) 𝑏𝑓 ≤ 16 ⋅ ℎ + 𝑏𝑤 = 16 ⋅ 125 + 300 𝑏𝑓 ≤ 2300 [𝑚𝑚] 3) 𝑠 +𝑠 2750+3300 𝑏𝑓 ≤ 𝑤𝑖 𝑤𝑖+1 + 𝑏𝑤 = + 300 2 2 𝑏𝑓 ≤ 3325 [𝑚𝑚] 𝑏𝑓 ≤ 1675 [𝑚𝑚] ∴ 𝑏𝑓 = 1675 [𝑚𝑚] b) Calcular 𝑑 𝑐. 𝑔. 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 = 6.28 ∙ 105 + 12.57 ∙ 60 = 75 [𝑚𝑚] 6.28 + 12.57 𝑑 = ℎ – 𝑟 = 500– 75 = 425 [𝑚𝑚] c) Calcular 𝑎 Asumimos que 𝑎 ≤ ℎ ⇒ se puede analizar la viga T como rectangular. 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 1885 ⋅ 420 = ′ 0.85 ⋅ 𝑓𝑐 ⋅ 𝑏𝑓 0.85 ⋅ 20 ⋅ 1675 𝑎 = 28 [𝑚𝑚] 𝑎= Como 𝑎 ≤ ℎ ⇒ La viga es analizada como rectangular d) Verificar si 𝐴𝑠 ≥ 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 Como el ala está en compresión 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 𝑏𝑤 ⋅ 𝑑 0.25 ⋅ √𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏𝑤 ⋅ 𝑑 ≥ 1.4 ⋅ 𝑓𝑦 𝑓𝑦 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0.25 ⋅ √20 ⋅ 300 ⋅ 425 300 ⋅ 425 ≥ 1.4 ⋅ 420 420 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 339.4 [𝑚𝑚2 ] ≥ 425.0 [𝑚𝑚2 ] ∴ 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 4.25 [𝑐𝑚2 ] 𝐴𝑠 = 18.85 [𝑐𝑚2 ] ≥ 4.25 [𝑐𝑚2 ] Bien ! e) Verificar si 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 y si la sección está controlada por tracción 𝑎 28 = = 0.0659 𝑑 425 139 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑎𝑏 600 600 = 𝛽1 ⋅ = 0.85 ⋅ = 0.50 𝑑 600 + 𝑓𝑦 600 + 420 𝑎 𝑎 Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑏 ⇒ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 𝑑𝑡 = 500 − 40 − 10 − 10 = 440 [𝑚𝑚] 𝑎 28 = = 0.0636 𝑑𝑡 440 𝑎𝑡𝑐 = 0.375 ⋅ 𝛽1 = 0.375 ⋅ 0.85 = 0.319 𝑑𝑡 𝑎 𝑎 Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑡𝑐 ⇒ 𝜙 = 0.90 𝑡 𝑡 f) Calcular 𝜙𝑀𝑛 𝑎 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 𝜙 ⋅ 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − ) 2 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 28 0.9 ⋅ 1885 ⋅ 420 ⋅ (425 − 2 ) 1000000 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 292.85 [𝑘𝑁𝑚] Ejemplo. Para la viga del problema anterior, calcular 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 en la región de momento negativo. 8𝜙20 𝐸 𝜙 10 𝑑 = 440 500 𝑎 𝑏𝑤 = 300 Refuerzo sobre los apoyos a) Calcular 𝑏 Como el alma de la viga está sometida a compresión, entonces el ancho de la zona en compresión es igual al ancho del alma (𝑏 = 𝑏𝑤 = 300 [𝑚𝑚]). 140 Vigas – Resistencia a la flexión b) Calcular 𝑑 En este caso se tiene como dato el canto efectivo de la sección en la zona de momento negativo (𝑑 = 440 [𝑚𝑚]) c) Calcular 𝑎 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 2512 ⋅ 420 = ′ 0.85 ⋅ 𝑓𝑐 ⋅ 𝑏𝑤 0.85 ⋅ 20 ⋅ 300 𝑎 = 207 [𝑚𝑚] 𝑎= d) Verificar si 𝐴𝑠 ≥ 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0.25 ⋅ √𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏𝑤 ⋅ 𝑑 𝑏𝑤 ⋅ 𝑑 ≥ 1.4 ⋅ 𝑓𝑦 𝑓𝑦 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0.25 ⋅ √20 ⋅ 300 ⋅ 440 300 ⋅ 440 ≥ 1.4 ⋅ 420 420 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 351 [𝑚𝑚2 ] ≥ 440 [𝑚𝑚2 ] ∴ 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 4.40 [𝑐𝑚2 ] 𝐴𝑠 = 25.12 [𝑐𝑚2 ] ≥ 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 4.40 [𝑐𝑚2 ] Bien ! e) Verificar si 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 y si la sección está controlada por tracción 𝑎 207 = = 0.470 𝑑 440 𝑎𝑏 600 600 = 𝛽1 ⋅ = 0.85 ⋅ = 0.50 𝑑 600 + 𝑓𝑦 600 + 420 𝑎 𝑎 Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑏 ⇒ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 𝑎 207 = = 0.470 𝑑𝑡 440 𝑎𝑡𝑐 = 0.375 ⋅ 𝛽1 = 0.375 ⋅ 0.85 = 0.319 𝑑𝑡 𝑎𝑣 = 0.429 ⋅ 𝛽1 = 0.429 ⋅ 0.85 = 0.365 𝑑𝑡 141 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑎 𝑎 Como 𝑑 > 𝑑𝑣 la sección no cumple con los requerimientos de ductilidad, pero como es un problema de 𝑡 𝑡 análisis y no de diseño se continúa con el ejercicio. También, se puede refinar el análisis considerando la armadura inferior que se encuentra en compresión. 𝑎 𝑎 𝑎 Como 𝑑𝑡𝑐 ≤ 𝑑 ≤ 𝑑𝑐𝑐 ⇒ La sección falla en transición 𝑡 𝑡 𝜙 = 0.23 + 0.25 ⋅ 𝜙 = 0.682 𝑡 𝛽1 0.85 = 0.23 + 0.25 ⋅ 𝑎 ∕ 𝑑𝑡 0.47 f) Calcular 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 207 0.682 ⋅ 2512 ⋅ 420 ⋅ (440 − ) 𝑎 2 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 𝜙 ⋅ 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − ) = 2 1000000 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 242.12 [𝑘𝑁𝑚] Análisis de una viga T con el eje neutro en el alma En algunas ocasiones en la región de momentos positivos de vigas de sección T continuas o isostáticas, el eje neutro de la sección cae por debajo del espesor del ala, por lo que su análisis debe ser realizado considerando que la sección comprimida es de forma T. Para ilustrar el procedimiento de análisis descrito en las anteriores secciones, se considerará el siguiente ejemplo. Ejemplo. Calcular el momento nominal positivo 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 de la sección que se muestra en la figura si la armadura que se detalla corresponde a la sección de medio tramo de una viga T simplemente apoyada. Datos: 𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎] 𝑑 = 610 [𝑚𝑚] 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] 500 125 610 700 6𝜙25 250 Sección transversal 142 Zona en compresión Vigas – Resistencia a la flexión 500 500 125 610 125 700 610 700 250 250 Viga F Viga W a) Calcular 𝑏𝑓 𝑏𝑓 ≤ 4𝑏𝑤 = 4250 = 1000 [𝑚𝑚] ℎ ≥ 0.5 ∙ 𝑏𝑤 = 0.5 ∙ 250 = 125 [𝑚𝑚] Bien ! Bien ! b) Calcular 𝑑 𝑑 = 610 [𝑚𝑚] c) Calcular 𝑎 Primero se asume que la zona de compresión es rectangular 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 2945 ⋅ 420 = ′ 0.85 ⋅ 𝑓𝑐 ⋅ 𝑏 0.85 ⋅ 20 ⋅ 500 𝑎 = 146 [𝑚𝑚] 𝑎= Como 𝑎 ≥ ℎ ⇒ La zona de compresión se extiende al alma. El valor de 𝑎 debe ser calculado nuevamente considerando que la zona de compresión tiene la forma de T. d) Dividir la viga en dos: Viga F y Viga W Viga F 𝐶𝑓 = 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ (𝑏 − 𝑏𝑤 ) ⋅ ℎ = 0.85 ⋅ 20 ⋅ (500 − 250) ⋅ 125 𝐶𝑓 = 531250 [𝑁] El área de acero en la Viga F es: 143 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝐴𝑠𝑓 ⋅ 𝑓𝑦 = 𝐶𝑓 𝐶𝑓 𝐴𝑠𝑓 = 𝑓𝑦 531250 𝐴𝑠𝑓 = 420 𝐴𝑠𝑓 = 1265 [𝑚𝑚2 ] 125 1265 ⋅ 420 ⋅ (610 − 2 ) ℎ 𝑀𝑛𝑓 = 𝐴𝑠𝑓 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − ) = 1000000 2 𝑀𝑛𝑓 = 290.87 [𝑘𝑁𝑚] Viga W 𝐴𝑠𝑤 = 𝐴𝑠 − 𝐴𝑠𝑓 = 2945 − 1265 = 1680 [𝑚𝑚2 ] Para la viga W 𝑏 = 𝑏𝑤 = 250 [𝑚𝑚] 𝐴𝑠𝑤 ⋅ 𝑓𝑦 1680 ⋅ 420 = ′ 0.85 ⋅ 𝑓𝑐 ⋅ 𝑏 0.85 ⋅ 20 ⋅ 250 𝑎 = 166 [𝑚𝑚] 𝑎= 166 1680 ⋅ 420 ⋅ (610 − 2 ) 𝑎 𝑀𝑛𝑤 = 𝐴𝑠𝑤 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − ) = 1000000 2 𝑀𝑛𝑤 = 371.85 [𝑘𝑁𝑚] Por lo tanto, 𝑀𝑛 = 𝑀𝑛𝑓 + 𝑀𝑛𝑤 = 290.87 + 371.85 = 662.72 [𝑘𝑁𝑚] 𝑀𝑛 = 662.72 [𝑘𝑁𝑚] e) Verificar si 𝐴𝑠 ≥ 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 0.25 ⋅ √𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏𝑤 ⋅ 𝑑 𝑏𝑤 ⋅ 𝑑 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = ≥ 1.4 ⋅ 𝑓𝑦 𝑓𝑦 0.25 ⋅ √20 ⋅ 250 ⋅ 610 250 ⋅ 610 ≥ 1.4 ⋅ 420 420 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 406 [𝑚𝑚2 ] ≥ 508 [𝑚𝑚2 ] ∴ 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 5.08 [𝑐𝑚2 ] 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = Como 𝐴𝑠 = 29.45 [𝑐𝑚2 ] ≥ 5.08 [𝑐𝑚2 ] 144 Vigas – Resistencia a la flexión f) Verificar si 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 y si la sección está controlada por tracción 𝑎 166 = = 0.272 𝑑 610 600 600 𝑎𝑏 = 𝛽1 ⋅ = 0.85 ⋅ = 0.50 𝑑 600 + 𝑓𝑦 600 + 420 𝑎 𝑎 Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑏 ⇒ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 𝑑𝑡 = ℎ − 𝑟 − 𝑑𝑠 − 𝑑𝑏 25 = 700 − 40 − 10 − = 637.5 [𝑚𝑚] 2 2 𝑎 166 = = 0.260 𝑑𝑡 637.5 𝑎𝑡𝑐 = 0.375 ⋅ 𝛽1 = 0.375 ⋅ 0.85 = 0.319 𝑑𝑡 𝑎 𝑎 Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑡𝑐 ⇒ 𝜙 = 0.90 𝑡 𝑡 Sección controlada por tracción g) Calcular 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 0.90662.72 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 596.45 [𝑘𝑁𝑚] 4.2.2. Diseño de vigas T El diseño de una viga T comprende la elección de la sección transversal y del refuerzo requerido. El espesor y el ancho del ala son usualmente establecidos durante el diseño de la losa de piso. El ancho del alma está afectado por los mismos factores que en el caso de secciones rectangulares. En el caso de vigas T continuas, los esfuerzos de compresión en el hormigón son más críticos en las regiones de momento negativo donde la zona de compresión está en el alma. Generalmente, las dimensiones del alma son escogidas de tal modo que 𝜌 = 0.5 ⋅ 𝜌𝑏 en el punto del momento máximo negativo. Ejemplo. Hallar el área de acero requerido en la sección T de la viga que se muestra en la figura si ésta soporta un momento máximo positivo de 310.00 [𝑘𝑁𝑚]. Datos: 𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] 145 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑏𝑓 = 1500 125 500 Dimensiones en [𝑚𝑚] 300 a) Calcular 𝑏𝑓 Considerando todas las condiciones se ha determinado que 𝑏𝑓 = 1500 [𝑚𝑚] b) Calcular 𝑑 Asumir que hay dos filas de acero 𝑑 = ℎ − 90 = 500 − 90 = 410 [𝑚𝑚] c) Calcular 𝐴𝑠 asumiendo que la sección puede ser considerada rectangular 𝐴𝑠 = 𝑀𝑢 𝜙 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ 𝑗 ⋅ 𝑑 Como es una sección T, en la región positiva se asume que 𝑗 = 0.95 𝐴𝑠 = 310000000 0.90 ⋅ 420 ⋅ 0.95 ⋅ 410 𝐴𝑠 = 2106 [𝑚𝑚2 ] = 21.06 [𝑐𝑚2 ] 7𝜙20 10𝜙16 3𝜙25 + 3𝜙16 𝐴𝑠 = 21.99 [𝑐𝑚2 ] 𝐴𝑠 = 20.11 [𝑐𝑚2 ] 𝐴𝑠 = 20.76 [𝑐𝑚2 ] ⇒ Escogemos esta alternativa en dos filas d) Verificar si 𝐴𝑠 ≥ 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 146 0.25 ⋅ √𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏𝑤 ⋅ 𝑑 𝑏𝑤 ⋅ 𝑑 ≥ 1.4 ⋅ 𝑓𝑦 𝑓𝑦 Vigas – Resistencia a la flexión 𝑑 = 500 − 76 = 424 [𝑚𝑚] 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 339 [𝑚𝑚2 ] ≥ 424 [𝑚𝑚2 ] 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 424 [𝑚𝑚2 ] 𝐴𝑠 = 20.76 [𝑐𝑚2 ] ≥ 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 4.24 [𝑐𝑚2 ] 76 m m Bien ! e) Calcular 𝑎 y verificar si 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 y si la sección es controlada por tracción 𝑎= 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 2076 ⋅ 420 = ′ 0.85 ⋅ 𝑓𝑐 ⋅ 𝑏 0.85 ⋅ 20 ⋅ 1500 𝑎 = 34 [𝑚𝑚] ≤ ℎ = 125 [𝑚𝑚] Sección rectangular 𝑎 34 = = 0.080 𝑑 424 𝑎𝑏 = 0.50 𝑑 𝑎 𝑎 Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑏 ⇒ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 𝑑𝑡 = 500 − 40 − 10 − 25 = 437.5 [𝑚𝑚] 2 𝑎 34 = = 0.078 𝑑𝑡 437.5 𝑎𝑡𝑐 = 0.319 𝑑𝑡 𝑎 𝑎 Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑡𝑐 ⇒ 𝜙 = 0.90 𝑡 𝑡 f) Calcular 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 34 0.9 ⋅ 2076 ⋅ 420 ⋅ (424 − 2 ) 𝑎 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 𝜙 ⋅ 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − ) = 2 1000000 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 319.38 [𝑘𝑁𝑚] ≥ 𝑀𝑢 = 310.00 [𝑘𝑁𝑚] Bien ! 147 Diseño de estructuras de hormigón armado 4.2.3. Análisis de vigas T (Método General) Cuando la sección comprimida tiene la forma de una T, puede ser conveniente, para propósitos de programación, realizar el análisis sin dividir la viga en dos vigas hipotéticas. En la siguiente figura se considera una sección T donde el área comprimida también tiene la forma de una T. Para el análisis se puede hallar el centro de gravedad de toda el área comprimida y colocar en ese punto la resultante 𝐶 de todos los esfuerzos de compresión. Como se conoce la posición y la magnitud de la fuerza de tracción 𝑇, se puede trabajar con ese par de fuerzas para hallar el momento nominal de diseño de la viga. 𝑏𝑓 𝑦 ℎ 0.85 · 𝑓𝑐′ 𝜀𝑐 = 0.003 ℎ c.g. 𝑀𝑛 𝑑 eje neutro ℎ𝑤 𝐴𝑠 Parte del elemento C 𝑗·𝑑 𝜀𝑠 Sección 𝑎 = 𝛽1 · 𝑐 𝑐 Deformaciones 𝑓𝑠 𝑓𝑠 Tensiones Reales Tensiones Equivalentes 𝑇 Fuerzas Internas Fig. 4.30. Método general para el análisis de secciones T de hormigón armado Centro de gravedad del área en compresión 𝑦= ℎ 𝑎+ℎ 𝑏𝑓 ⋅ ℎ ⋅ 2 + 𝑏𝑤 ⋅ (𝑎 − ℎ) ⋅ ( 2 ) 𝑏𝑓 ⋅ ℎ + 𝑏𝑤 ⋅ (𝑎 − ℎ) = 𝑏𝑓 ⋅ ℎ2 + 𝑏𝑤 ⋅ (𝑎2 − ℎ2 ) 2 ⋅ 𝑏𝑓 ⋅ ℎ + 2 ⋅ 𝑏𝑤 ⋅ (𝑎 − ℎ) (4.64) Resultante de la fuerzas de tracción 𝑇 = 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑠 Resultante de los esfuerzos de compresión 𝐶 = 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ [𝑏𝑓 ⋅ ℎ + 𝑏𝑤 ⋅ (𝑎 − ℎ)] (4.65) Distancia entre el par de fuerzas 𝑗⋅𝑑 =𝑑−𝑦 (4.66) Momento nominal 𝑀𝑛 = 𝑇 ⋅ 𝑗 ⋅ 𝑑 = 𝐶 ⋅ 𝑗 ⋅ 𝑑 (4.67) Cuando la falla de la sección es por tracción 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 𝐶=𝑇 148 Vigas – Resistencia a la flexión 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ [𝑏𝑓 ⋅ ℎ + 𝑏𝑤 ⋅ (𝑎 − ℎ)] = 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 𝑎=( 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 1 +ℎ ′ − 𝑏𝑓 ⋅ ℎ) ⋅ 0.85 ⋅ 𝑓𝑐 𝑏𝑤 (4.68) 𝑀𝑛 = 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − 𝑦) (4.69) 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 𝜙 ⋅ 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − 𝑦) (4.70) Cuando la falla de la sección es por compresión 𝑓𝑠 < 𝑓𝑦 𝜀 𝜀 𝑠 Del diagrama de deformación 𝑐𝑐 = 𝑑−𝑐 ⇒ 𝜀𝑠 = 0.003 ⋅ 𝑓𝑠 = 𝜀𝑠 ⋅ 𝐸𝑠 = 0.003 ⋅ 𝑑−𝑐 𝑐 𝛽1 ⋅ 𝑑 − 𝑎 𝑑−𝑐 ⋅ 𝐸𝑠 = 0.003 ⋅ ⋅ 𝐸𝑠 𝑎 𝑐 𝐶=𝑇 𝛽1 ⋅ 𝑑 − 𝑎 𝑎 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏𝑓 ⋅ ℎ ⋅ 𝑎 + 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏𝑤 ⋅ 𝑎2 − 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏𝑤 ⋅ ℎ ⋅ 𝑎 − 𝐴𝑠 ⋅ 𝐸𝑠 ⋅ 0.003 ⋅ 𝛽1 ⋅ 𝑑 + 𝐴𝑠 ⋅ 𝐸𝑠 ⋅ 0.003 ⋅ 𝑎 = 0 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ [𝑏𝑓 ⋅ ℎ + 𝑏𝑤 ⋅ (𝑎 − ℎ)] = 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑠 = 𝐴𝑠 ⋅ 𝐸𝑠 ⋅ 0.003 ⋅ 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏𝑤 ⋅ 𝑎2 + [(0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ ℎ) ⋅ (𝑏𝑓 − 𝑏𝑤 ) + 𝐴𝑠 ⋅ 𝐸𝑠 ∙ 0.003] ⋅ 𝑎 −𝐴𝑠 ⋅ 𝐸𝑠 ⋅ 0.003 ⋅ 𝛽1 ⋅ 𝑑 = 0 (4.71) Se halla el valor de 𝑎 y se calcula el momento nominal de diseño de la sección 𝑀𝑛 = 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ [𝑏𝑓 ⋅ ℎ + 𝑏𝑤 ⋅ (𝑎 − ℎ)] ⋅ (𝑑 − 𝑦) 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 𝜙 ⋅ 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ [𝑏𝑓 ⋅ ℎ + 𝑏𝑤 ⋅ (𝑎 − ℎ)] ⋅ (𝑑 − 𝑦) (4.72) (4.73) Falla balanceada 𝑎𝑏 600 = 𝛽1 ⋅ ( ) 𝑑 600 + 𝑓𝑦 Sección controlada por compresión 𝜙 = 0.65 𝑎 𝑎𝑐𝑐 600 ≥ = 𝛽1 ⋅ ( ) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 600 + 𝑓𝑦 Sección controlada por tracción 𝜙 = 0.90 𝑎𝑡𝑐 𝑎 ≤ = 0.375 ⋅ 𝛽1 𝑑𝑡 𝑑𝑡 149 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝛽 Sección en transición 𝜙 = 0.23 + 0.25 ⋅ 𝑎∕𝑑1 𝑡 𝑎𝑡𝑐 𝑎 𝑎𝑐𝑐 < < 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Ejemplo. Calcular 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 en la sección de la siguiente figura. La armadura mostrada corresponde a la sección de medio tramo de una viga T simplemente apoyada. Datos: 𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] 𝑑 = 610 [𝑚𝑚] 500 125 610 700 6𝜙25 250 Sección transversal a) Calcular 𝑏 y verificar el requerimiento de espesor del ala 𝑏𝑓 ≤ 4 · 𝑏𝑤 = 4 · 250 = 1000 [𝑚𝑚] que es mayor al ancho real por lo que 𝑏𝑓 = 500 [𝑚𝑚]. ℎ ≥ 0.5 ∙ 𝑏𝑤 = 0.5 ∙ 250 ℎ ≥ 125 [𝑚𝑚] b) Calcular 𝑑 𝑑 = 610 [𝑚𝑚] c) Calcular 𝑎 asumiendo que el área de compresión tiene forma rectangular 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 2945 ⋅ 420 = ′ 0.85 ⋅ 𝑓𝑐 ⋅ 𝑏𝑓 0.85 ⋅ 20 ⋅ 500 𝑎 = 146 [𝑚𝑚] > ℎ = 125 [𝑚𝑚] 𝑎= 150 Vigas – Resistencia a la flexión d) Recalcular 𝑎 para la viga T y asumir que el acero de tracción fluye 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 𝑎=( 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 1 2945 ⋅ 420 1 +ℎ =( − 500 ⋅ 125) ⋅ + 125 ′ − 𝑏𝑓 ⋅ ℎ) ⋅ 0.85 ⋅ 𝑓𝑐 𝑏𝑤 0.85 ⋅ 20 250 𝑎 = 166 [𝑚𝑚] e) Verificar si 𝐴𝑠 ≥ 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 508 [𝑚𝑚2 ] 𝐴𝑠 = 29.45 [𝑐𝑚2 ] ≥ 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 5.08 [𝑐𝑚2 ] Bien ! f) Verificar si 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 y si 𝜙 = 0.9 𝑎 166 = = 0.272 𝑑 610 𝑎𝑏 = 0.50 𝑑 𝑎 𝑎 Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑏 ⇒ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 𝑑𝑡 = 700– 40– 10 − 25 = 637.5 [𝑚𝑚] 2 𝑎 166 = = 0.260 𝑑𝑡 637.5 𝑎𝑡𝑐 = 0.319 𝑑𝑡 𝑎 𝑎 Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑡𝑐 ⇒ 𝜙 = 0.9 𝑡 𝑡 g) Calcular 𝜙 · 𝑀𝑛 𝑏𝑓 ⋅ ℎ2 + 𝑏𝑤 ⋅ (𝑎2 − ℎ2 ) 500 ⋅ 1252 + 250 ⋅ (1662 − 1252 ) 𝑦= = 2 ⋅ 𝑏𝑓 ⋅ ℎ + 2 ⋅ 𝑏𝑤 ⋅ (𝑎 − ℎ) 2 ⋅ 500 ⋅ 125 + 2 ⋅ 250 ⋅ (166 − 125) 𝑦 = 74.2 [𝑚𝑚] 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 𝜙 ⋅ 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − 𝑦) = 0.9 ⋅ 2945 ⋅ 420 ⋅ (610 − 74.2) 1000000 𝜙 · 𝑀𝑛 = 596.46 [𝑘𝑁 · 𝑚] 151 Diseño de estructuras de hormigón armado Se ha obtenido el mismo resultado que el del ejercicio anterior que fue resuelto con el procedimiento común de dividir la viga de sección T, cuando el área en compresión tiene la forma de T, en dos vigas hipotéticas (Viga F y Viga W). 4.3. Método de compatibilidad de deformaciones Cuando se tiene que analizar o diseñar vigas de hormigón armado cuya sección es rectangular, T, cruz, etc., y que además tengan diferentes niveles de refuerzo se puede utilizar un procedimiento relativamente sencillo basado en la compatibilidad de deformaciones. Para ilustrar el método, se considerará la sección de hormigón armado de la siguiente figura. Como se trata de una viga, se asume que sobre ella no actúa carga axial alguna de tal modo que sobre la sección se desarrolla un diagrama de deformaciones no uniforme. Con base al diagrama de deformaciones es posible determinar los esfuerzos en cada una de las filas de acero y en la porción de hormigón sometido a compresión. Compresión (+) 𝜀𝑐𝑢 = 0.003 𝑑3 𝑑4 0.85 · 𝑓𝑐′ 𝜀𝑠4 𝑑2 𝑑1 ℎ 𝜀𝑠3 𝑐 𝑓𝑠4 𝑓𝑠3 𝑎 = 𝛽1 · 𝑐 𝜀𝑠2 𝜀𝑠1 = 𝑧 · 𝜀𝑦 𝑏 Sección 𝑓𝑠2 𝑓𝑠1 Valor arbitrario 𝑧 + para compresión 𝑧– para tracción Deformaciones Esfuerzos (Todos positivos) Fig. 4.31. Compatibilidad de deformación en una sección de hormigón armado Por triángulos similares: 0.003 0.003 − 𝑧 ⋅ 𝜀𝑦 0.003 = ⇒𝑐=( ) ⋅ 𝑑1 𝑐 𝑑1 0.003 − 𝑧 ⋅ 𝜀𝑦 (4.74) 0.003 𝜀𝑠𝑖 𝑐 − 𝑑𝑖 = ⇒ 𝜀𝑠𝑖 = ( ) ⋅ 0.003 𝑐 𝑐 − 𝑑𝑖 𝑐 (4.75) Una vez calculados los valores de 𝑐, 𝜀𝑠4 , 𝜀𝑠3 , 𝜀𝑠2 y 𝜀𝑠1 , se calculan los esfuerzos en el hormigón y en cada fila de aceros. 𝑓𝑠𝑖 = 𝜀𝑠𝑖 · 𝐸𝑠 152 (4.76) Vigas – Resistencia a la flexión Pero con la condición de que −𝑓𝑦 < 𝑓𝑠𝑖 < 𝑓𝑦 𝛽1 = 1.05 − 0.007 · 𝑓𝑐′ ⇒ 𝑎 = 𝛽1 · 𝑐 Pero con la condición de que 0.65 < 𝛽1 < 0.85 𝑓𝑠 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 𝑓𝑦 −𝜀𝑦 𝑓𝑠 = −𝑓𝑦 𝜀𝑦 𝜀𝑠 −𝑓𝑦 Fig. 4.32. Diagrama tensión – deformación de las barras de acero Cuando se tienen calculados los esfuerzos en cada uno de los elementos de la sección transversal, se procede a hallar la posición y magnitud de la resultante de cada uno de ellos. Hormigón: 𝐶𝑐 = (0.85 · 𝑓𝑐′ ) · 𝑎 · 𝑏 (4.77) Acero: Si Si 𝑎 < 𝑑𝑖 𝑎 ≥ 𝑑𝑖 ⇒ ⇒ 𝐹𝑠𝑖 = 𝑓𝑠𝑖 · 𝐴𝑠𝑖 𝐹𝑠𝑖 = (𝑓𝑠𝑖 − 0.85 · 𝑓𝑐′ ) · 𝐴𝑠𝑖 (4.78) (4.79) Se toma la fuerza como positiva si es compresión. Para hallar la posición del eje neutro se debe tantear el valor de 𝑧 hasta que la sumatoria de las fuerzas en el sentido perpendicular a la sección sea cero (𝑃𝑛 = 0). 𝑛 𝑃𝑛 = 𝐶𝑐 + ∑ 𝐹𝑠𝑖 = 0 (4.80) 𝑖=1 Una vez hallada la posición del eje neutro se halla el momento nominal 𝑀𝑛 y para ello se procede a realizar la sumatoria de momentos alrededor del centro de gravedad de la sección de hormigón calculado sin considerar las barras de acero. 153 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑛 ℎ 𝑎 ℎ 𝑀𝑛 = 𝐶𝑐 ∙ ( − ) + ∑ 𝐹𝑠𝑖 ∙ ( − 𝑑𝑖 ) 2 2 2 (4.81) 𝑖=1 𝐹𝑠4 ℎ 2 𝑎/2 𝐶𝑐 𝐹𝑠3 𝐹𝑠2 (ℎ/2 − 𝑑3 ) (ℎ/2 − 𝑑2 ) (ℎ/2 − 𝑑4 ) (ℎ/2 − 𝑎/2) (ℎ/2 − 𝑑1 ) 𝐹𝑠1 𝑏 Fuerzas en la sección Sección Fig. 4.33. Fuerzas internas en una sección de hormigón armado Ejemplo. Calcular el momento nominal 𝑀𝑛 y el momento nominal de diseño 𝜙 · 𝑀𝑛 correspondiente a la sección transversal de la figura. Datos: 𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] 𝑏 = 250 [𝑚𝑚] 𝑑 = 500 [𝑚𝑚] ℎ = 570 [𝑚𝑚] 𝐴𝑠 = 1473 [𝑚𝑚2 ] 250 500 a) Si 𝑧 = 0 calcular 𝑃𝑛 3𝜙25 Sección Profundidad eje neutro. 0.003 0.003 𝑐= ⋅ 𝑑1 = ⋅ 500 = 500 [𝑚𝑚] 0.003 − 𝑧 ⋅ 𝜀𝑦 0.003 Deformación en 𝐴𝑠1 𝜀𝑠1 = 𝑧 ⋅ 𝜀𝑦 = 0 ⋅ 0.0021 = 0 [𝑟𝑎𝑑] Tensión en 𝐴𝑠1 𝑓𝑠1 = 𝜀𝑠1 ⋅ 𝐸𝑠 = 0 [𝑀𝑃𝑎] Cálculo de 𝑎. 𝛽1 = 1.05 − 0.007 ⋅ 𝑓𝑐′ = 1.05 − 0.007 ⋅ 20 = 0.91 > 0.85 154 Vigas – Resistencia a la flexión 𝛽1 = 0.85 𝑎 = 𝛽1 ⋅ 𝑐 = 0.85 ⋅ 500 = 425 [𝑚𝑚] < ℎ = 570 [𝑚𝑚] Si 𝑎 > ℎ ⇒ 𝑎 = ℎ Fuerza en el hormigón. 𝐶𝑐 = 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏 = 0.85 ⋅ 20 ⋅ Bien 425 ⋅ 250 = 1806 [𝑘𝑁] 1000 Fuerza en 𝐴𝑠1 Como 𝑎 = 425 [𝑚𝑚] < 𝑑1 = 500 [𝑚𝑚] 1473 = 0 [𝑘𝑁] ⇒ 𝐹𝑠1 = 𝑓𝑠1 ∙ 𝐴𝑠1 = 0 ⋅ 1000 Cálculo de 𝑃𝑛 𝑃𝑛 = 𝐶𝑐 + 𝐹𝑠1 = 1806 + 0 = 1806 [𝑘𝑁] Como 𝑃𝑛 ≠ 0 entonces se debe escoger otro valor para 𝑧. b) Si 𝑧 = −1 calcular 𝑃𝑛 Profundidad eje neutro. 0.003 𝑐= ⋅ 500 = 294 [𝑚𝑚] 0.003 + 0.0021 Deformación en 𝐴𝑠1 𝜀𝑠1 = 𝑧 ⋅ 𝜀𝑦 = −1 ⋅ 0.0021 = −0.0021 [𝑟𝑎𝑑] (Tracción) Tensión en 𝐴𝑠1 𝑓𝑠1 = 𝜀𝑠1 ⋅ 𝐸𝑠 = −0.0021 · 200000 = −420 [𝑀𝑃𝑎] = −𝑓𝑦 Bien Cálculo de 𝑎. 𝑎 = 𝛽1 ⋅ 𝑐 = 0.85 ⋅ 294 = 250 [𝑚𝑚] < ℎ = 570 [𝑚𝑚] Bien Fuerza en el hormigón. 250 ⋅ 250 𝐶𝑐 = 0.85 ⋅ 20 ⋅ = 1062.50 [𝑘𝑁] 1000 Fuerza en 𝐴𝑠1 Como 𝑎 = 250 [𝑚𝑚] < 𝑑1 = 500 [𝑚𝑚] 1473 ⇒ 𝐹𝑠1 = −420 ⋅ = −619 [𝑘𝑁] 1000 155 Diseño de estructuras de hormigón armado Cálculo de 𝑃𝑛 . 𝑃𝑛 = 1062.5 − 619 = 443.50 [𝑘𝑁] Como 𝑃𝑛 ≠ 0 entonces se debe escoger otro valor para 𝑧. c) Si 𝑧 = −2 calcular 𝑃𝑛 Profundidad eje neutro. 0.003 𝑐= ⋅ 500 = 208 [𝑚𝑚] 0.003 + 2 ⋅ 0.0021 Deformación en 𝐴𝑠1 𝜀𝑠1 = 𝑧 ⋅ 𝜀𝑦 = −2 · 0.0021 = −0.0042 [𝑟𝑎𝑑] Tensión en 𝐴𝑠1 𝑓𝑠1 = 𝜀𝑠1 ⋅ 𝐸𝑠 = −0.0042 ⋅ 200000 = −840 [𝑀𝑃𝑎] < − 𝑓𝑦 𝑓𝑠1 = −420 [𝑀𝑃𝑎] Cálculo de 𝑎. 𝑎 = 𝛽1 ⋅ 𝑐 = 0.85 ⋅ 208 = 177 [𝑚𝑚] < ℎ = 570 [𝑚𝑚] (Tracción) No está bien Bien Fuerza en el hormigón. 𝐶𝑐 = 0.85 ⋅ 20 ⋅ 177 ⋅ 250 = 752.25 [𝑘𝑁] 1000 Fuerza en 𝐴𝑠1 Como 𝑎 = 177 [𝑚𝑚] < 𝑑1 = 500 [𝑚𝑚] 1473 = −619[𝑘𝑁] ⇒ 𝐹𝑠1 = −420 ⋅ 1000 Cálculo de 𝑃𝑛 𝑃𝑛 = 752.25 − 619 = 133.25 [𝑘𝑁] Como 𝑃𝑛 ≠ 0 entonces se debe escoger otro valor para 𝑧. d) Si 𝑧 = −2.75 calcular 𝑃𝑛 Profundidad eje neutro. 0.003 𝑐= ⋅ 500 = 171 [𝑚𝑚] 0.003 + 2.75 ⋅ 0.0021 Deformación en 𝐴𝑠1 𝜀𝑠1 = 𝑧 ⋅ 𝜀𝑦 = −2.75 ⋅ 0.0021 = −0.005775 [𝑟𝑎𝑑] 156 (Tracción) Vigas – Resistencia a la flexión Tensión en 𝐴𝑠1 𝑓𝑠1 = 𝜀𝑠1 ⋅ 𝐸𝑠 = −0.005775 ⋅ 200000 = −1155 [𝑀𝑃𝑎] < − 𝑓𝑦 𝑓𝑠1 = −420 [𝑀𝑃𝑎] Cálculo de 𝑎. 𝑎 = 𝛽1 ⋅ 𝑐 = 0.85 ⋅ 171 = 145 [𝑚𝑚] < ℎ = 570 [𝑚𝑚] No está bien Bien Fuerza en el hormigón. 145 ⋅ 250 𝐶𝑐 = 0.85 ⋅ 20 ⋅ = 616 [𝑘𝑁] 1000 Fuerza en 𝐴𝑠1 Como 𝑎 = 145 [𝑚𝑚] < 𝑑1 = 500 [𝑚𝑚] 1473 ⇒ 𝐹𝑠1 = −420 ⋅ = −619 [𝑘𝑁] 1000 Cálculo de 𝑃𝑛 𝑃𝑛 = 616 − 619 = −3 [𝑘𝑁] Como 𝑃𝑛 ≈ 0 entonces la posición del eje neutro es la correcta y se procede a calcular el momento nominal. Cálculo de 𝑀𝑛 620 145 619 𝑀𝑛 = ⋅ (285 − )− ⋅ (285 − 500) 1000 2 1000 𝑀𝑛 = 264.84 [𝑘𝑁 · 𝑚] Cálculo de 𝜙 𝜀𝑡 = 𝜀𝑠1 = −2.75 · 𝜀𝑦 = − 0.005775 Como | − 0.005775| > | − 0.005| ⇒ 𝜙 = 0.90 Cálculo de 𝜙 · 𝑀𝑛 𝜙 · 𝑀𝑛 = 0.90 · 264.84 = 238.36 [𝑘𝑁 · 𝑚] Para efectuar los cálculos de 𝑃𝑛 y 𝑀𝑛 , se puede desarrollar una hoja electrónica o un programa de computadora que realice las operaciones de forma automática. Ejemplo. Calcular el momento nominal de diseño de una viga rectangular de base 250 [𝑚𝑚] y altura 600 [𝑚𝑚] que tiene 2𝜙25 como acero de compresión y 6𝜙25 como acero de tracción repartidas en dos filas de tres barras cada una. 157 Diseño de estructuras de hormigón armado Datos: 𝑏 = 250 [𝑚𝑚] ℎ = 600 [𝑚𝑚] 𝑑 = 510 [𝑚𝑚] 𝑑’ = 65 [𝑚𝑚] 𝐴𝑠 = 2940 [𝑚𝑚2 ] 𝐴′𝑠 = 980 [𝑚𝑚2 ] 𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] Las dimensiones de la sección están en [𝑚𝑚] 250 65 2𝜙25 600 510 a) Si 𝑧 = 0 calcular 𝑃𝑛 6𝜙25 56 62 Sección Profundidad eje neutro. 0.003 0.003 𝑐= ⋅ 𝑑1 = ⋅ 538 = 538 [𝑚𝑚] 0.003 − 𝑧 ⋅ 𝜀𝑦 0.003 Deformación en 𝐴𝑠1 𝜀𝑠1 = 𝑧 ⋅ 𝜀𝑦 = 0 ⋅ 0.0021 = 0 [𝑟𝑎𝑑] Deformación en 𝐴𝑠2 𝑐 − 𝑑2 538 − 482 𝜀𝑠2 = ⋅ 0.003 = ⋅ 0.003 = 0.00031 [𝑟𝑎𝑑] 𝑐 538 Deformación en 𝐴𝑠3 𝑐 − 𝑑3 538 − 65 𝜀𝑠3 = ⋅ 0.003 = ⋅ 0.003 = 0.00264 [𝑟𝑎𝑑] 𝑐 538 Tensión en 𝐴𝑠1 𝑓𝑠1 = 𝜀𝑠1 ⋅ 𝐸𝑠 = 0 [𝑀𝑃𝑎] Tensión en 𝐴𝑠2 𝑓𝑠2 = 𝜀𝑠2 ⋅ 𝐸𝑠 = 0.00031 ⋅ 200000 = 62 [𝑀𝑃𝑎] < 𝑓𝑦 Por lo tanto 𝑓𝑠2 = 62 [𝑀𝑃𝑎] Tensión en 𝐴𝑠3 𝑓𝑠3 = 𝜀𝑠3 ⋅ 𝐸𝑠 = 0.00264 · 200000 = 528 [𝑀𝑃𝑎] > 𝑓𝑦 Por lo tanto 𝑓𝑠3 = 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] Cálculo de 𝑎. 𝛽1 = 1.05 − 0.007 ⋅ 𝑓𝑐′ = 1.05 − 0.007 ⋅ 20 = 0.91 > 0.85 𝛽1 = 0.85 𝑎 = 𝛽1 ⋅ 𝑐 = 0.85 ⋅ 538 = 457[𝑚𝑚] < ℎ = 600 [𝑚𝑚] Si 𝑎 > ℎ ⇒ 𝑎 = ℎ 158 Bien Vigas – Resistencia a la flexión Fuerza en el hormigón. 𝐶𝑐 = 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏 = 0.85 ⋅ 20 ⋅ 457 ⋅ 250 = 1942 [𝑘𝑁] 1000 Fuerza en 𝐴𝑠1 Como 𝑎 = 457 [𝑚𝑚] < 𝑑1 = 538 [𝑚𝑚] 1470 ⇒ 𝐹𝑠1 = 𝑓𝑠1 · 𝐴𝑠1 = 0 ∙ = 0 [𝑘𝑁] 1000 Fuerza en 𝐴𝑠2 Como 𝑎 = 457 [𝑚𝑚] < 𝑑2 = 482 [𝑚𝑚] 1470 ⇒ 𝐹𝑠2 = 𝑓𝑠2 · 𝐴𝑠2 = 62 ∙ = 91 [𝑘𝑁] 1000 Fuerza en 𝐴𝑠3 Como 𝑎 = 457 [𝑚𝑚] > 𝑑3 = 65 [𝑚𝑚] ⇒ 𝐹𝑠3 = (𝑓𝑠3 − 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ) ⋅ 𝐴𝑠3 = (420 − 0.85 ⋅ 20) ⋅ 980 = 395 [𝑘𝑁] 1000 Cálculo de 𝑃𝑛 𝑃𝑛 = 𝐶𝑐 + 𝐹𝑠1 + 𝐹𝑠2 + 𝐹𝑠3 = 1942 + 0 + 91 + 395 = 2428 [𝑘𝑁] Como 𝑃𝑛 ≠ 0 entonces se debe escoger otro valor para 𝑧. b) Si 𝑧 = −1 calcular 𝑃𝑛 Profundidad eje neutro. 0.003 0.003 𝑐= ⋅ 𝑑1 = ⋅ 538 = 316 [𝑚𝑚] 0.003 − 𝑧 ⋅ 𝜀𝑦 0.003 + 1 ⋅ 0.0021 Deformación en 𝐴𝑠1 𝜀𝑠1 = 𝑧 ⋅ 𝜀𝑦 = −1 · 0.0021 = −0.0021 [𝑟𝑎𝑑] Deformación en 𝐴𝑠2 𝑐 − 𝑑2 316 − 482 𝜀𝑠2 = ⋅ 0.003 = ⋅ 0.003 = −0.00158 [𝑟𝑎𝑑] 𝑐 316 Deformación en 𝐴𝑠3 𝑐 − 𝑑3 316 − 65 𝜀𝑠3 = ⋅ 0.003 = ⋅ 0.003 = 0.00238 [𝑟𝑎𝑑] 𝑐 316 Tensión en 𝐴𝑠1 𝑓𝑠1 = 𝜀𝑠1 ⋅ 𝐸𝑠 = −0.0021 ∙ 200000 = −420 [𝑀𝑃𝑎] 159 Diseño de estructuras de hormigón armado Tensión en 𝐴𝑠2 𝑓𝑠2 = 𝜀𝑠2 ⋅ 𝐸𝑠 = −0.00158 · 200000 = −316 [𝑀𝑃𝑎] > −𝑓𝑦 Por lo tanto 𝑓𝑠2 = −316 [𝑀𝑃𝑎] Tensión en 𝐴𝑠3 𝑓𝑠3 = 𝜀𝑠3 ⋅ 𝐸𝑠 = 0.00238 · 200000 = 476 [𝑀𝑃𝑎] > 𝑓𝑦 Por lo tanto 𝑓𝑠3 = 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] Cálculo de 𝑎. 𝛽1 = 0.85 𝑎 = 𝛽1 ∙ 𝑐 = 0.85 ∙ 316 = 269 [𝑚𝑚] < ℎ = 600 [𝑚𝑚] Si 𝑎 > ℎ ⇒ 𝑎 = ℎ Fuerza en el hormigón. 𝐶𝑐 = 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏 = 0.85 ⋅ 20 ⋅ 269 ⋅ 250 = 1143 [𝑘𝑁] 1000 Fuerza en 𝐴𝑠1 Como 𝑎 = 269 [𝑚𝑚] < 𝑑1 = 538 [𝑚𝑚] 1470 ⇒ 𝐹𝑠1 = 𝑓𝑠1 · 𝐴𝑠1 = −420 ∙ = −617 [𝑘𝑁] 1000 Fuerza en 𝐴𝑠2 Como 𝑎 = 269 [𝑚𝑚] < 𝑑2 = 482 [𝑚𝑚] 1470 ⇒ 𝐹𝑠2 = 𝑓𝑠2 · 𝐴𝑠2 = −316 ∙ = −465 [𝑘𝑁] 1000 Fuerza en 𝐴𝑠3 Como 𝑎 = 269 [𝑚𝑚] > 𝑑3 = 65 [𝑚𝑚] ⇒ 𝐹𝑠3 = (𝑓𝑠3 − 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ) ⋅ 𝐴𝑠3 = (420 − 0.85 ⋅ 20) ⋅ 980 = 395 [𝑘𝑁] 1000 Cálculo de 𝑃𝑛 𝑃𝑛 = 𝐶𝑐 + 𝐹𝑠1 + 𝐹𝑠2 + 𝐹𝑠3 = 1143 − 617 − 465 + 395 = 456 [𝑘𝑁] Como 𝑃𝑛 ≠ 0 entonces se debe escoger otro valor para 𝑧 c) Si 𝑧 = −2 calcular 𝑃𝑛 Profundidad eje neutro. 0.003 0.003 𝑐= ⋅ 𝑑1 = ⋅ 538 = 224 [𝑚𝑚] 0.003 − 𝑧 ⋅ 𝜀𝑦 0.003 + 2 ⋅ 0.0021 160 Vigas – Resistencia a la flexión Deformación en 𝐴𝑠1 𝜀𝑠1 = 𝑧 ⋅ 𝜀𝑦 = −2 · 0.0021 = −0.0042 [𝑟𝑎𝑑] Deformación en 𝐴𝑠2 𝑐 − 𝑑2 224 − 482 𝜀𝑠2 = ⋅ 0.003 = ⋅ 0.003 = −0.00346 [𝑟𝑎𝑑] 𝑐 224 Deformación en 𝐴𝑠3 𝑐 − 𝑑3 224 − 65 𝜀𝑠3 = ⋅ 0.003 = ⋅ 0.003 = 0.00213 [𝑟𝑎𝑑] 𝑐 224 Tensión en 𝐴𝑠1 𝑓𝑠1 = 𝜀𝑠1 ⋅ 𝐸𝑠 = −0.0042 ∙ 200000 = −840 [𝑀𝑃𝑎] < −𝑓𝑦 Por lo tanto 𝑓𝑠1 = −420 [𝑀𝑃𝑎] No es posible Tensión en 𝐴𝑠2 𝑓𝑠2 = 𝜀𝑠2 ⋅ 𝐸𝑠 = −0.00346 · 200000 = −692 [𝑀𝑃𝑎] < −𝑓𝑦 Por lo tanto 𝑓𝑠2 = −420 [𝑀𝑃𝑎] No es posible Tensión en 𝐴𝑠3 𝑓𝑠3 = 𝜀𝑠3 ⋅ 𝐸𝑠 = 0.00213 · 200000 = 426 [𝑀𝑃𝑎] > 𝑓𝑦 Por lo tanto 𝑓𝑠3 = 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] No es posible Cálculo de 𝑎. 𝛽1 = 0.85 𝑎 = 𝛽1 ⋅ 𝑐 = 0.85 ⋅ 224 = 190 [𝑚𝑚] < ℎ = 600 [𝑚𝑚] Si 𝑎 > ℎ ⇒ 𝑎 = ℎ Fuerza en el hormigón. 𝐶𝑐 = 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏 = 0.85 ⋅ 20 ⋅ Bien 1920 ⋅ 250 = 808 [𝑘𝑁] 1000 Fuerza en 𝐴𝑠1 Como 𝑎 = 190 [𝑚𝑚] < 𝑑1 = 538 [𝑚𝑚] 1470 = −617 [𝑘𝑁] ⇒ 𝐹𝑠1 = 𝑓𝑠1 · 𝐴𝑠1 = −420 ∙ 1000 Fuerza en 𝐴𝑠2 Como 𝑎 = 190 [𝑚𝑚] < 𝑑2 = 482 [𝑚𝑚] 1470 ⇒ 𝐹𝑠2 = 𝑓𝑠2 · 𝐴𝑠2 = −420 ⋅ = −617 [𝑘𝑁] 1000 161 Diseño de estructuras de hormigón armado Fuerza en 𝐴𝑠3 Como 𝑎 = 190 [𝑚𝑚] > 𝑑3 = 65 [𝑚𝑚] ⇒ 𝐹𝑠3 = (𝑓𝑠3 − 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ) ⋅ 𝐴𝑠3 = (420 − 0.85 ⋅ 20) ⋅ 980 = 395 [𝑘𝑁] 1000 Cálculo de 𝑃𝑛 𝑃𝑛 = 𝐶𝑐 + 𝐹𝑠1 + 𝐹𝑠2 + 𝐹𝑠3 = 808 − 617 − 617 + 395 = −31 [𝑘𝑁] Como 𝑃𝑛 ≠ 0 entonces se debe escoger otro valor para 𝑧 d) Si 𝑧 = −1.90 calcular 𝑃𝑛 Profundidad eje neutro 0.003 0.003 𝑐= ⋅ 𝑑1 = ⋅ 538 = 231 [𝑚𝑚] 0.003 − 𝑧 ⋅ 𝜀𝑦 0.003 + 1.90 ⋅ 0.0021 Deformación en 𝐴𝑠1 𝜀𝑠1 = 𝑧 ⋅ 𝜀𝑦 = −1.90 · 0.0021 = −0.00399 [𝑟𝑎𝑑] Deformación en 𝐴𝑠2 𝑐 − 𝑑2 231 − 482 𝜀𝑠2 = ⋅ 0.003 = ⋅ 0.003 = −0.00326 [𝑟𝑎𝑑] 𝑐 231 Deformación en 𝐴𝑠3 𝑐 − 𝑑3 231 − 65 𝜀𝑠3 = ⋅ 0.003 = ⋅ 0.003 = 0.00216 [𝑟𝑎𝑑] 𝑐 231 Tensión en 𝐴𝑠1 𝑓𝑠1 = 𝜀𝑠1 ⋅ 𝐸𝑠 = −0.00399 ∙ 200000 = −798 [𝑀𝑃𝑎] < −𝑓𝑦 Por lo tanto 𝑓𝑠1 = −420 [𝑀𝑃𝑎] No es posible Tensión en 𝐴𝑠2 𝑓𝑠2 = 𝜀𝑠2 ⋅ 𝐸𝑠 = −0.00326 · 200000 = −652 [𝑀𝑃𝑎] < −𝑓𝑦 Por lo tanto 𝑓𝑠2 = −420 [𝑀𝑃𝑎] No es posible Tensión en 𝐴𝑠3 𝑓𝑠3 = 𝜀𝑠3 ⋅ 𝐸𝑠 = 0.00216 · 200000 = 432 [𝑀𝑃𝑎] > 𝑓𝑦 Por lo tanto 𝑓𝑠3 = 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] No es posible Cálculo de 𝑎. 𝛽1 = 0.85 𝑎 = 𝛽1 ⋅ 𝑐 = 0.85 ⋅ 231 = 196 [𝑚𝑚] < ℎ = 600 [𝑚𝑚] Si 𝑎 > ℎ ⇒ 𝑎 = ℎ 162 Bien Vigas – Resistencia a la flexión Fuerza en el hormigón. 𝐶𝑐 = 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏 = 0.85 ⋅ 20 ⋅ 196 ⋅ 250 = 833 [𝑘𝑁] 1000 Fuerza en 𝐴𝑠1 Como 𝑎 = 196 [𝑚𝑚] < 𝑑1 = 538 [𝑚𝑚] 1470 = −617 [𝑘𝑁] ⇒ 𝐹𝑠1 = 𝑓𝑠1 · 𝐴𝑠1 = −420 ⋅ 1000 Fuerza en 𝐴𝑠2 Como 𝑎 = 196 [𝑚𝑚] < 𝑑2 = 482 [𝑚𝑚] Fuerza en 𝐴𝑠3 Como 𝑎 = 196 [𝑚𝑚] > 𝑑3 = 65 [𝑚𝑚] ⇒ 𝐹𝑠3 = (𝑓𝑠3 − 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ) ⋅ 𝐴𝑠3 = (420 − 0.85 ⋅ 20) ⋅ 980 = 395 [𝑘𝑁] 1000 Cálculo de 𝑃𝑛 𝑃𝑛 = 𝐶𝑐 + 𝐹𝑠1 + 𝐹𝑠2 + 𝐹𝑠3 = 833 − 617 − 617 + 395 = −6 [𝑘𝑁] Como 𝑃𝑛 ≈ 0 entonces la posición del eje neutro es la correcta y se procede a calcular el momento nominal. Cálculo de 𝑀𝑛 833 196 617 617 395 𝑀𝑛 = ⋅ (300 − )− ⋅ (300 − 538) − ⋅ (300 − 482) + ⋅ (300 − 65) 1000 2 1000 1000 1000 𝑀𝑛 = 520 [𝑘𝑁 · 𝑚] Cálculo de 𝜙 𝜀𝑡 = 𝜀𝑠1 = −1.90 · 𝜀𝑦 = − 0.00399 𝐶𝑜𝑚𝑜 | − 0.00399| < | − 0.005| ⇒ 𝜙 = 0.48 − 83 · 𝜀𝑡 = 0.48 + 83 ∙ 0.00399 = 0.81 Cálculo de 𝜙 · 𝑀𝑛 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 = 0.81 · 520 = 421 [𝑘𝑁 · 𝑚] 4.4. Ductilidad de secciones de hormigón no confinado 4.4.1. Introducción a la ductilidad de secciones de hormigón armado Los elementos de hormigón armado pueden exhibir diferentes comportamientos en el momento de la falla. En la siguiente figura se compara el comportamiento frágil y dúctil de una viga que es sometida a una carga uniformemente repartida. 163 Diseño de estructuras de hormigón armado Carga Comportamiento dúctil Carga Comportamiento frágil Δ Deflexión Δ Fig. 4.34. Curva de carga – deflexión de un elemento sometido a flexión La falla frágil de un elemento no debería ocurrir, por lo que en el caso de que se presentaran cargas extremas que lleven al elemento a fallar, éste debería ser capaz de soportarlas exhibiendo grandes deformaciones y manteniendo su capacidad resistente. Este comportamiento da la posibilidad de salvar vidas porque anuncia la falla inminente del elemento y se pueden tomar las medidas correctivas para evitar el colapso del mismo. La posible distribución de momentos flectores, esfuerzos cortantes y cargas axiales que puede ser utilizada en el diseño de estructuras hiperestáticas depende de la ductilidad de los diferentes elementos en sus secciones críticas. En el diseño plástico de estructuras, se obtienen momentos flectores diferentes a los hallados mediante un análisis estructural elástico debido a que se considera que las secciones críticas de los elementos tienen la suficiente capacidad rotacional para sostener el máximo momento que pueden resistir y redistribuir el restante a las secciones que aún poseen capacidad remanente. Esto significa que cuando se aproxima la carga última, algunas secciones pueden alcanzar su capacidad máxima antes que otras, pero si la rotación plástica puede ocurrir en esas secciones mientras mantienen sus respectivos momentos últimos, una carga adicional puede ser resistida hasta que los momentos en otras secciones alcancen su valor máximo. La carga última en la estructura es alcanzada una vez que existen suficientes articulaciones plásticas para formar un mecanismo de colapso. La mayoría de los códigos de diseño permiten cierta cantidad de redistribución de momentos dependiendo de la ductilidad de las secciones. La redistribución de momentos puede ser conveniente para evitar el congestionamiento de la armadura sobre los soportes de elementos continuos y también posibilita la reducción de los picos en las envolventes de momentos. En zonas donde la actividad sísmica es importante, el diseño de una estructura debe considerar la ductilidad de sus diferentes elementos porque los actuales códigos de diseño sísmico se basan en la capacidad de la estructura para absorber de una manera inelástica la energía producida por un sismo. Por ello, estructuras con poca ductilidad deben ser diseñadas para resistir las fuerzas sísmicas de una manera elástica para evitar su colapso durante un terremoto. 164 Vigas – Resistencia a la flexión 4.4.2. Ductilidad en secciones no confinadas de vigas En el diseño para el estado límite último y sísmico, generalmente se expresa la ductilidad de un elemento como la relación entre la deformación última y la de fluencia. Se considera que el hormigón comprimido no está confinado, aunque en la práctica la armadura transversal (de corte) le proporciona cierto confinamiento, pero en el análisis de la ductilidad de vigas generalmente se considera que el hormigón no está confinado a menos que el diámetro y espaciamiento de los estribos sean tales que efectivamente confinan al hormigón. En la siguiente figura se observan los diagramas de deformaciones y esfuerzos para el momento último y para el momento de fluencia. Con base a los diagramas de deformaciones se pueden obtener las respectivas curvaturas. Curvatura para el momento de fluencia Con base al diagrama de deformaciones para el momento de fluencia se obtiene la siguiente ecuación para la curvatura. 𝜑𝑦 = 𝜀𝑦 𝑓𝑦 = 𝑑 − 𝑘 ⋅ 𝑑 𝐸𝑠 ⋅ 𝑑 ⋅ (1 − 𝑘) (4.82) Curvatura para el momento último Con base al diagrama de deformaciones para el momento último se obtiene la siguiente ecuación para la curvatura. 𝜑𝑢 = 𝜀𝑐 𝜀𝑐 ⋅ 𝛽1 = 𝑎 𝑐 (4.83) La relación 𝜑𝑢 ∕ 𝜑𝑦 proporciona una medida de la ductilidad de la curvatura de la sección transversal del elemento y se obtiene dividiendo la ecuación (4.83) por la (4.82). 𝜑𝑢 𝜀𝑐 ⋅ 𝛽1 ⋅ 𝐸𝑠 ⋅ 𝑑 ⋅ (1 − 𝑘) = 𝜑𝑦 𝑎 ⋅ 𝑓𝑦 (4.84) 165 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑏 𝜀𝑐 < 0.003 𝑑′ 𝐴′𝑠 𝜀𝑠′ 𝑘∙𝑑 𝜑𝑦 𝑑 ℎ 𝑓𝑐 𝑓𝑠′ 𝑘∙𝑑 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 𝐴𝑠 Sección 𝜀𝑠 = 𝜀𝑦 Deformaciones Esfuerzos Deformaciones y esfuerzos para el momento de fluencia 0.85 · 𝑓𝑐′ 𝜀𝑐 = 0.003 𝜀𝑠′ 𝑐 𝜑𝑢 𝑓𝑠′ 𝑎 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 𝜀𝑠 Deformaciones Esfuerzos Deformaciones y esfuerzos para el momento último Fig. 4.35. Sección rectangular con doble armadura sometida a flexión Para las cuantías de acero consideradas, cuando el acero de tracción alcanza por primera vez su tensión de fluencia, el esfuerzo en la fibra extrema del hormigón puede ser considerablemente menor a 𝑓𝑐′ . La curva esfuerzo deformación para el hormigón es aproximadamente lineal hasta 0.7 · 𝑓𝑐′ entonces, si el esfuerzo en el hormigón no excede este valor cuando el acero alcanza su tensión de fluencia, se puede calcular la profundidad del eje neutro utilizando la fórmula de la teoría elástica (línea recta). Para una sección rectangular con doble armadura 1 2 𝑑′ 𝑘 = [(𝜌 + 𝜌′ )2 ⋅ 𝑛2 + 2 ⋅ (𝜌 + 𝜌′ ⋅ ) ⋅ 𝑛] − (𝜌 + 𝜌′ ) ⋅ 𝑛 𝑑 𝐴𝑠 𝜌= 𝑏⋅𝑑 𝐴′𝑠 𝜌′ = 𝑏⋅𝑑 𝐸𝑠 𝑛 = ⋅ (1 + 𝐶𝑡 ) 𝐸𝑐 (9.16) (4.9) (4.48) (9.4) Si el esfuerzo en la fibra extrema a compresión del hormigón es mayor que 0.7 ∙ 𝑓𝑐′, se debe calcular la profundidad del eje neutro para la primera fluencia del acero en tracción utilizando la curva real esfuerzo 166 Vigas – Resistencia a la flexión deformación para el hormigón. Sin embargo, se puede obtener una estimación a partir de la fórmula de la línea recta, incluso si el esfuerzo calculado es tan alto como 𝑓𝑐′ , porque el valor de 𝑘 calculado con la fórmula de la línea recta será más pequeño que el valor real de 𝑘 si la distribución de esfuerzos del hormigón es curva, lo que lleva a subestimar 𝜑𝑦 y a sobre estimar 𝑀𝑦 . 𝑓𝑐 𝑘1 ∙ 𝑑 Distribución triangular de esfuerzos en el hormigón 𝑘2 ∙ 𝑑 Distribución curva de esfuerzos en el hormigón 𝜀𝑦 Deformaciones 𝑓𝑦 Esfuerzos Fig. 4.36. Distribución de esfuerzo y deformación para la misma fuerza de compresión cuando el acero alcanza la fluencia Las áreas sombreadas en el diagrama de esfuerzos de la anterior figura son iguales para que la fuerza de compresión en el hormigón sea la misma en ambos casos. Se puede calcular la curvatura y el momento nominal (momento último) de la sección doblemente reforzada para los siguientes casos. Siempre es conveniente comenzar asumiendo que tanto el acero de compresión como el de tracción fluyen y luego se verifica esa condición. El acero de compresión fluye (𝒇′𝒔 = 𝒇𝒚 ) y el acero de tracción también fluye (𝒇𝒔 = 𝒇𝒚 ): 𝑎= (𝐴𝑠 − 𝐴′𝑠 ) ⋅ 𝑓𝑦 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏 (4.43) 𝑓𝑦 𝑑′ 𝑑′ 1 ≤( ) = ⋅ (1 − ) ⇒ 𝑓𝑠′ = 𝑓𝑦 𝑎 𝑎 𝑙𝑖𝑚 𝛽1 𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠 𝑎 𝑎𝑏 𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠 ≤ = 𝛽1 ⋅ ( ) ⇒ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 𝑑 𝑑 𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠 + 𝑓𝑦 𝑎 𝑀𝑛 = 𝐴′𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − 𝑑′ ) + (𝐴𝑠 − 𝐴′𝑠 ) ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − ) 2 (4.45) Si se reemplazan las ecuaciones (9.16) y (4.43) en la ecuación (4.84) se obtiene la siguiente expresión: 167 Diseño de estructuras de hormigón armado 1 2 𝜑𝑢 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝜀𝑐 ⋅ 𝛽1 ⋅ 𝐸𝑠 𝑑′ ′) ′ )2 2 ′ (𝜌 = + + 𝜌 ⋅ 𝑛 − [(𝜌 + 𝜌 ⋅ 𝑛 + 2 + 𝜌 ⋅ ⋅ 𝑛] {1 (𝜌 ) } 𝜑𝑦 (𝜌 − 𝜌′ ) ⋅ 𝑓𝑦2 𝑑 (4.85) El acero de compresión fluye (𝒇′𝒔 = 𝒇𝒚 ), pero el acero de tracción no fluye (𝒇𝒔 < 𝒇𝒚 ): La viga se divide en dos vigas 𝐴𝑠2 = 𝐴𝑠 − 𝐴′𝑠 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑎2 + 𝑑 ⋅ 𝑎 − 𝛽1 ⋅ 𝑑2 = 0 (𝜌 − 𝜌′ ) ⋅ 𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠 (4.47) Se resuelve la ecuación de segundo grado y se halla el valor de 𝑎 𝑓𝑦 𝑑′ 𝑑′ 1 ≤( ) = ⋅ (1 − ) ⇒ 𝑓𝑠′ = 𝑓𝑦 𝑎 𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠 𝑎 𝑙𝑖𝑚 𝛽1 𝑎 𝑎𝑏 𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠 > = 𝛽1 ⋅ ( ) ⇒ 𝑓𝑠 < 𝑓𝑦 𝑑 𝑑 𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠 + 𝑓𝑦 𝑎 𝑀𝑛 = 𝐴′𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ (𝑑 − 𝑑′ ) + 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ (𝑑 − ) 2 (4.50) Si se reemplazan las ecuaciones (9.16) y (4.47) en la ecuación (4.84) se obtiene la siguiente expresión: 𝜑𝑢 1 = ⋅ 𝜑𝑦 𝑓𝑦 1 ′ 2 ′ 2 2 ′ 𝑑 1.7 ⋅ 𝑓𝑐 ⋅ 𝜀𝑐 ⋅ 𝛽1 ⋅ 𝐸𝑠 ∙ {1 − [(𝜌 + 𝜌′ ) ⋅ 𝑛 + 2 ⋅ (𝜌 + 𝜌 ⋅ ) ⋅ 𝑛] + (𝜌 + 𝜌′ ) ⋅ 𝑛} 𝑑 1 −(𝜌 − 𝜌′ ) ⋅ 𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠 + [(𝜌 − 𝜌′ )2 ⋅ 𝜀𝑐2 ⋅ 𝐸𝑠2 + 3.4 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝛽1 ⋅ (ρ − ρ′ ) ⋅ εc ⋅ Es ]2 (4.86) El acero de compresión no fluye (𝒇′𝒔 < 𝒇𝒚 ), pero el acero de tracción fluye (𝒇𝒔 = 𝒇𝒚 ): (0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏) ⋅ 𝑎2 + (𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠 ⋅ 𝐴′𝑠 − 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ) ⋅ 𝑎 − 𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠 ⋅ 𝐴′𝑠 ⋅ 𝛽1 ⋅ 𝑑′ = 0 Se resuelve la ecuación de segundo grado y se halla el valor de 𝑎 𝑓𝑦 𝑑′ 𝑑′ 1 >( ) = ⋅ (1 − ) ⇒ 𝑓𝑠′ < 𝑓𝑦 𝑎 𝑎 𝑙𝑖𝑚 𝛽1 𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠 𝑎 𝑎𝑏 𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠 ≤ = 𝛽1 ⋅ ( ) ⇒ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 𝑑 𝑑 𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠 + 𝑓𝑦 168 (4.52) Vigas – Resistencia a la flexión 𝑎 𝛽1 ⋅ 𝑑′ 𝑀𝑛 = 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑎 ⋅ (𝑑 − ) + 𝐸𝑠 ⋅ 𝜀𝑐 ⋅ (1 − ) ⋅ 𝐴′𝑠 ⋅ (𝑑 − 𝑑′ ) 𝑎 2 (4.53) Si se reemplazan las ecuaciones (9.16) y (4.52) en la ecuación (4.84) se obtiene la siguiente expresión: 1 𝜑𝑢 𝜀𝑐 ⋅ 𝛽1 ⋅ 𝐸𝑠 = ⋅ 𝜑𝑦 𝑓𝑦 1 − [(𝜌+𝜌 𝜌 ⋅ 𝑓𝑦 − 𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠 1.7 ⋅ 𝑓𝑐′ ′ )2 ⋅ 𝜌′ 2 𝑑′ ⋅ 𝑛 + 2 ⋅ (𝜌 + 𝜌 ⋅ ) ⋅ 𝑛] + (𝜌 + 𝜌′ ) ⋅ 𝑛 𝑑 2 ′ 1 𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠 ⋅ 𝜌′ − 𝜌 ⋅ 𝑓𝑦 2 𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠 ⋅ 𝜌′ ⋅ 𝛽1 ⋅ 𝑑′ 2 + [( ) + ] 1.7 ⋅ 𝑓𝑐′ 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑑 (4.87) En las figuras 4.38, 4.39, 4.40 y 4.41 se grafica la variación de 𝑢 /𝑦 para una sección rectangular con doble armadura de una viga de hormigón no confinado considerando como variables la resistencia característica del hormigón, la deformación máxima del hormigón y la tensión de fluencia del acero. 𝑏 𝐴′𝑠 𝐴′𝑠 𝑏⋅𝑑 [𝑀𝑃𝑎] 𝐸𝑠 = 200000 𝜌= 𝑑′ 𝑑 ℎ 𝐴𝑠 𝐴𝑠 𝑏⋅𝑑 𝜌′ = 𝑑′ = 0.10 𝑑 𝑓𝑐′ = variable 𝑓𝑦 = variable 𝜀𝑐 =variable s Fig. 4.37. Sección con doble armadura para el análisis de la variación de 𝒖 /𝒚 169 Diseño de estructuras de hormigón armado 20 𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎] 𝜀𝑐 = 0.003 15 𝜑𝑢 𝜑𝑦 𝜌′ 𝜌 10 0.75 5 0 0,00 0.25 0 0,01 0,02 20 10 0 0,00 0,05 0.25 0 0,01 𝐴𝑠 𝑏∙𝑑 𝜌= 𝐴𝑠 𝑏∙𝑑 0.50 0,02 0,03 0,04 0,05 𝑓𝑐′ = 30 [𝑀𝑃𝑎] 𝜀𝑐 = 0.003 15 𝜌′ 𝜌 10 0.75 0.25 0 5 0,01 0,02 0.50 0,03 0,04 0,05 Fig. 4.38. Variación de u/y para vigas de hormigón no confinado (𝜺𝒄 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟑 y 𝒇𝒚 = 𝟐𝟕𝟔 [𝑴𝑷𝒂]) 170 𝜌= 0.75 20 0 0,00 0,04 𝐴𝑠 𝑏∙𝑑 𝜌′ 𝜌 5 𝜑𝑢 𝜑𝑦 0,03 𝜌= 𝑓𝑐′ = 25 [𝑀𝑃𝑎] 𝜀𝑐 = 0.003 15 𝜑𝑢 𝜑𝑦 0.50 Vigas – Resistencia a la flexión 20 𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎] 𝜀𝑐 = 0.004 15 𝜑𝑢 𝜑𝑦 0.75 10 0 0,00 0.50 0 5 0.25 0,01 0,02 20 0,04 0.75 0 0,00 0 0,01 0.25 𝜌= 𝐴𝑠 𝑏∙𝑑 𝜌= 𝐴𝑠 𝑏∙𝑑 0.50 0,02 20 20 0,03 0,04 0,05 𝑓𝑐′ = 30 [𝑀𝑃𝑎] 𝜀𝑐 = 0.004 15 15 𝜌′ 𝜌 0.75 10 10 0.25 0.50 0 55 00 0,00 0,00 0,05 𝐴𝑠 𝑏∙𝑑 𝜌'′ 𝜌 10 5 𝜑𝑢 𝜑𝑦 0,03 𝜌= 𝑓𝑐𝑓′ 𝑐′==25 20[𝑀𝑃𝑎] [𝑀𝑃𝑎] 𝜀 = 0.004 𝜀𝑐𝑐= 0.004 15 𝜑𝑢 𝜑𝑦 𝜌′ 𝜌 0,01 0,01 0,02 0,02 0,03 0,03 0,04 0,04 0,05 0,05 Fig. 4.39. Variación de u/y para vigas de hormigón no confinado (𝜺𝒄 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒 y 𝒇𝒚 = 𝟐𝟕𝟔 [𝑴𝑷𝒂]) 171 Diseño de estructuras de hormigón armado 20 𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎] 𝜀𝑐 = 0.003 15 𝜑𝑢 𝜑𝑦 𝜌′ 𝜌 10 5 0.25 0 0 0,00 0,01 0.50 0,02 20 0,03 0,04 𝜌= 𝐴𝑠 𝑏∙𝑑 𝜌= 𝐴𝑠 𝑏∙𝑑 10 0 0 0,00 0.25 0,01 0.50 0,02 20 0.75 0,03 0,04 𝜌′ 𝜌 10 5 0 0 0,00 0,05 𝑓𝑐′ = 30 [𝑀𝑃𝑎] 𝜀𝑐 = 0.003 15 0,01 0.50 0.25 0,02 0,03 0.75 0,04 0,05 Fig. 4.40. Variación de u/y para vigas de hormigón no confinado (𝜺𝒄 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟑 y 𝒇𝒚 = 𝟒𝟐𝟎 [𝑴𝑷𝒂]) 172 𝐴𝑠 𝑏∙𝑑 𝜌′ 𝜌 5 𝜑𝑢 𝜑𝑦 0,05 𝜌= 𝑓𝑐′ = 25 [𝑀𝑃𝑎] 𝜀𝑐 = 0.003 15 𝜑𝑢 𝜑𝑦 0.75 Vigas – Resistencia a la flexión 20 𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎] 𝜀𝑐 = 0.004 15 𝜑𝑢 𝜑𝑦 𝜌′ 𝜌 10 0.75 5 0 0 0,00 0,01 20 0.50 0,02 0,04 0,05 𝐴𝑠 𝑏∙𝑑 𝜌= 𝐴𝑠 𝑏∙𝑑 𝜌= 𝐴𝑠 𝑏∙𝑑 𝜌′ 𝜌 10 0.75 5 0 0 0,00 0,01 0.25 0,02 20 0.50 0,03 0,04 0,05 𝑓𝑐′ = 30 [𝑀𝑃𝑎] 𝜀𝑐 = 0.004 15 𝜑𝑢 𝜑𝑦 0,03 𝜌= 𝑓𝑐′ = 25 [𝑀𝑃𝑎] 𝜀𝑐 = 0.004 15 𝜑𝑢 𝜑𝑦 0.25 𝜌′ 𝜌 10 5 0 0,00 0.75 0 0,01 0.25 0,02 0.50 0,03 0,04 0,05 Fig. 4.41. Variación de 𝝋𝒖 /𝝋𝒚 para vigas de hormigón no confinado (𝜺𝒄 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒 y 𝒇𝒚 = 𝟒𝟐𝟎 [𝑴𝑷𝒂]) 173 Diseño de estructuras de hormigón armado Se pueden resumir las siguientes conclusiones: a) Un aumento en la cuantía del acero de tracción 𝜌 disminuye la ductilidad debido a que aumentan tanto 𝑘 como 𝑎, por lo que aumenta 𝜑𝑦 y disminuye 𝜑𝑢 . b) Un aumento en la cuantía del acero de compresión 𝜌′ aumenta la ductilidad, debido a que disminuye tanto 𝑘 como 𝑎, por lo que disminuye 𝜑𝑦 y aumenta 𝜑𝑢 . c) Un aumento en la tensión de fluencia del acero 𝑓𝑦 disminuye la ductilidad debido a que aumenta tanto 𝑓𝑦 /𝐸𝑠 como 𝑎, por lo que aumenta 𝜑𝑦 y disminuye 𝜑𝑢 . d) Un aumento en la resistencia del concreto 𝑓𝑐′ aumenta la ductilidad debido a que disminuye tanto 𝑘 como 𝑎, por lo que disminuye 𝜑𝑦 y aumenta 𝜑𝑢 . e) Un aumento en la deformación de la fibra extrema del hormigón 𝜀𝑐 aumenta la ductilidad debido a que aumenta 𝜑𝑢 . Ejemplo. Una viga de hormigón armado de sección rectangular de base 250 [𝑚𝑚] y altura 630 [𝑚𝑚] tiene 2𝜙25 como acero de compresión y 4𝜙25 como acero de tracción repartidas en una fila. a) Calcular el momento y curvatura justo antes del agrietamiento del hormigón, a la primera fluencia y cuando el hormigón alcanza una deformación a compresión en la fibra extrema de compresión igual a 0.004. b) Construir la curva aproximada trilineal momento – curvatura para la sección. Datos: 𝑏 = 250 [𝑚𝑚] 𝑑 = 580 [𝑚𝑚] 𝐴𝑠 = 1963 [𝑚𝑚2 ] 𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎] 𝐶𝑡 = 0 ℎ = 635 [𝑚𝑚] 𝑑’ = 55 [𝑚𝑚] 𝐴′𝑠 = 982 [𝑚𝑚2 ] 𝑓𝑦 = 276 [𝑀𝑃𝑎] (𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜 40) Las dimensiones de la sección están en [mm] 250 250 𝐴′𝑠 = 982 55 2𝜙25 635 2𝜙25 580 4𝜙25 Sección Viga 1 2𝜙25 𝐴𝑠1 = 982 174 580 𝑑 – 𝑑 ′ = 525 Viga 2𝜙252 𝐴𝑠2 = 𝐴𝑠 − 𝐴𝑠1 = 982 Vigas – Resistencia a la flexión Cuantías 𝐴𝑠 1963 = = 0.0135379 𝑏 ⋅ 𝑑 250 ⋅ 580 𝐴′𝑠 982 𝜌′ = = = 0.0067724 𝑏 ⋅ 𝑑 250 ⋅ 580 𝜌= Módulo de elasticidad del acero 𝐸𝑠 = 200000 [𝑀𝑃𝑎] Módulo de elasticidad del hormigón 𝐸𝑐 = 4700 ⋅ √𝑓𝑐′ = 4700 ⋅ √20 = 21019 [𝑀𝑃𝑎] Módulo de ruptura del hormigón 𝑓𝑟 = 0.70 ⋅ √𝑓𝑐′ = 0.70 ⋅ √20 = 3.13 [𝑀𝑃𝑎] Antes del agrietamiento Sección transformada no agrietada 𝑛= 200000 𝐸𝑠 ⋅ (1 + 𝐶𝑡 ) = ⋅ (1 + 0) = 9.5 𝐸𝑐 21019 Área de acero transformada: Acero superior (𝑛 − 1) · 𝐴𝑠 = (9.5 − 1) · 982 = 8347.0 [𝑚𝑚2] Acero inferior (𝑛 − 1) · 𝐴𝑠 = (9.5 − 1) · 1963 = 16685.5 [𝑚𝑚2 ] Centro de gravedad de la sección transformada Elemento 𝑨𝒊 [𝒎𝒎𝟐 ] 𝒚𝒔𝒊 [𝒎𝒎] 𝑨𝒊 · 𝒚𝒔𝒊 [𝒎𝒎𝟑 ] Hormigón 158750.0 317.5 50403125 Acero superior 8347.0 55 459085 Acero inferior 16685.5 580 9677590 Total 183782.5 ----- 60539800 𝑦𝑠𝑢𝑝 = ∑ 𝐴𝑖 ⋅ 𝑦𝑠𝑖 = 329.4 [𝑚𝑚] ∑ 𝐴𝑖 𝑦𝑖𝑛𝑓 = ℎ − 𝑦𝑠𝑢𝑝 = 635 – 329.4 = 305.6 [𝑚𝑚] 175 Diseño de estructuras de hormigón armado Momento de inercia Elemento 𝑨𝒊 [𝒎𝒎𝟐 ] 𝒎𝒊 [𝒎𝒎] 𝑰𝒙𝒊 [𝒎𝒎𝟒 ] 𝑰𝒙𝒊 + 𝑨𝒊 + 𝒎𝟐𝒊 [𝒎𝒎𝟒 ] Hormigón 158750.0 11.7 5.334 · 109 5.356 · 109 Acero superior 8347.0 274.2 ----- 0.628 · 109 Acero inferior 16685.5 250.8 ----- 1.050 · 109 Total ----- ----- ----- 7.033 · 109 𝐼𝑔𝑡 = 703317 [𝑐𝑚4 ] Momento de inercia de la sección transformada no agrietada 𝐼𝑔 = 533433 [𝑐𝑚4 ] Momento de inercia de la sección de hormigón El agrietamiento ocurre cuando se alcanza el módulo de ruptura 𝑓𝑟 en la fibra del extremo inferior. 𝑀𝑐𝑟 = 𝑓𝑟 ⋅ 𝐼𝑔𝑡 3.13 ⋅ 7033165182 = = 72034709 [𝑁 ∙ 𝑚𝑚] = 72.03 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] 𝑦𝑖𝑛𝑓 305.6 𝜑𝑐𝑟 = 𝑓𝑟 ⋅ 𝐼𝑔𝑡 𝑀𝑐𝑟 𝑓𝑟 = = 𝐸𝑐 ⋅ 𝐼𝑔𝑡 𝑦𝑖𝑛𝑓 ⋅ 𝐸𝑐 ⋅ 𝐼𝑔𝑡 𝑦𝑖𝑛𝑓 ⋅ 𝐸𝑐 𝜑𝑐𝑟 = 𝑟𝑎𝑑 𝑟𝑎𝑑 3.13 = 4.873 ⋅ 10−7 [ ] = 4.873 ∙ 10−4 [ ] 𝑚𝑚 𝑚 305.6 ⋅ 21019 Después del agrietamiento (a la primera fluencia) Suponiendo que el hormigón se comporta elásticamente + 𝜌′ = 0.0203103 1 2 𝑑′ 𝑘 = [(𝜌 + 𝜌′ )2 ⋅ 𝑛2 + 2 ⋅ (𝜌 + 𝜌′ ⋅ ) ⋅ 𝑛] − (𝜌 + 𝜌′ ) ⋅ 𝑛 𝑑 1 2 55 ) ⋅ 9.5] − 0.0203103 ⋅ 9.5 = 0.3608 𝑘 = [0.0203103 ⋅ 9.5 + 2 ⋅ (0.0135379 + 0.0067724 ⋅ 580 2 2 𝑘 ∙ 𝑑 = 0.3608 ∙ 580 = 209 [𝑚𝑚] 𝜀𝑠 = 𝑓𝑦 276 = = 0.00138 𝐸𝑠 200000 𝜀𝑐 = 𝑘 ⋅ 𝜀𝑦 0.3608 ⋅ 0.00138 = = 0.0007789 1−𝑘 1 − 0.3608 𝑓𝑐 = 𝐸𝑐 ⋅ 𝜀𝑐 = 21019 ⋅ 0.0007789 = 16.37 [𝑀𝑃𝑎] = 0.82 ∙ 𝑓𝑐′ 176 Vigas – Resistencia a la flexión Por tanto, la distribución triangular de esfuerzos del hormigón es aproximada y del diagrama de deformaciones se encuentra que la deformación del acero de compresión es: 𝜀𝑠′ = 𝜀𝑐 ⋅ 209 − 55 𝑘 ⋅ 𝑑 − 𝑑′ = 0.0007789 ⋅ = 0.0005739 𝑘⋅𝑑 209 𝑓𝑠′ = 𝐸𝑠 ∙ 𝜀𝑠′ = 200000 ∙ 0.0005739 = 114.78 [𝑀𝑃𝑎] 𝐶𝑐 = 1 1 ⋅ 𝑓𝑐 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑘 ⋅ 𝑑 = ⋅ 16.37 ⋅ 250 ⋅ 209 = 427666 [𝑁] 2 2 𝐶𝑠 = 𝐴′𝑠 ⋅ 𝑓𝑠′ = 982 ⋅ 114.78 = 112714 [𝑁] La fuerza total de compresión (𝐶𝑐 + 𝐶𝑠 ) vale 540380 [𝑁] y actúa a una distancia de 𝑦 desde la fibra superior. 209 𝑘⋅𝑑 112714 ⋅ 55 + 427666 ⋅ 3 𝐶𝑠 ⋅ 𝑑′ + 𝐶𝑐 ⋅ 3 = = 67 [𝑚𝑚] 𝑦= 𝐶𝑠 + 𝐶𝑐 540380 𝑗 ⋅ 𝑑 = 𝑑 − 𝑦 = 580 − 67 = 513 [𝑚𝑚] 𝑀𝑦 = 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ 𝑗 ⋅ 𝑑 = 𝜑𝑦 = 𝑓𝑦 276 𝑟𝑎𝑑 = = 4.208 ⋅ 10−6 [ ] 𝐸𝑠 ⋅ 𝑑 ⋅ (1 − 𝑘) 200000 ⋅ 513 ⋅ (1 − 0.3608) 𝑚𝑚 𝜑𝑦 = 4.208 ∙ 10−3 [ 1963 ⋅ 276 ⋅ 513 = 277.94 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] 1000000 𝑟𝑎𝑑 ] 𝑚 Después del agrietamiento (para la carga última) Asumir que 𝑓𝑠′ = 𝑓𝑦 y 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 y dividir la viga en dos vigas Como se asume que el acero fluye entonces se tiene: Para la Viga 1 𝐴𝑠1 = 𝐴′𝑠 = 982 [𝑚𝑚2 ] Para la Viga 2 𝐴𝑠2 = 𝐴𝑠 − 𝐴𝑠1 = 1963– 982 = 981 [𝑚𝑚2 ] Calcular 𝑎 para la Viga 2 177 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑎= (𝐴𝑠 − 𝐴′𝑠 ) ⋅ 𝑓𝑦 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏 = 981 ⋅ 276 0.85 ⋅ 20 ⋅ 250 𝑎 = 64 [𝑚𝑚] g) Verificar si el acero de compresión fluye 𝑑’ = 55 [𝑚𝑚] 𝑑 ′ 55 = = 0.859 𝑎 64 𝛽1 = 1.05 − 0.007 ⋅ 𝑓𝑐′ = 1.05 − 0.007 ⋅ 20 = 0.91 > 0.85 ⇒ 𝛽1 = 0.85 𝑓𝑦 𝑑′ 1 276 1 ⋅ (1 − ) = 0.771 = ⋅ (1 − ( ) )= 𝑎 𝑙𝑖𝑚 𝛽1 𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠 0.85 0.004 ⋅ 200000 𝑑′ 𝑑′ >( ) ⇒ 𝑓𝑠′ < 𝑓𝑦 𝑎 𝑎 𝑙𝑖𝑚 Recalcular 𝑎 sabiendo que el acero de compresión no fluye y asumiendo que el acero de tracción fluye (0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏) ⋅ 𝑎2 + (𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠 ⋅ 𝐴′𝑠 − 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 ) ⋅ 𝑎 − 𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠 ⋅ 𝐴′𝑠 ⋅ 𝛽1 ⋅ 𝑑′ = 0 4250 ∙ 𝑎2 + 243812 − 36726800 = 0 𝑎 = 69 [𝑚𝑚] 𝑑 ′ 55 = = 0.797 𝑎 69 𝑑′ = 0.771 ( ) 𝑎 𝑙𝑖𝑚 𝑑′ 𝑑′ >( ) ⇒ 𝑓𝑠′ < 𝑓𝑦 𝑎 𝑎 𝑙𝑖𝑚 Verificar si el acero de tracción fluye 69 𝑎 = = 0.119 𝑑 580 𝑎𝑏 𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠 800 = 𝛽1 ⋅ = 0.85 ⋅ = 0.632 𝑑 𝜀𝑐 ⋅ 𝐸𝑠 + 𝑓𝑦 800 + 276 178 Vigas – Resistencia a la flexión 𝑎 𝑎𝑏 ≤ ⇒ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 𝑑 𝑑 Calcular 𝑀𝑛 𝑎 𝛽1 ⋅ 𝑑′ 𝑀𝑛 = 0.85 ⋅ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑎 ⋅ (𝑑 − ) + 𝐸𝑠 ⋅ 𝜀𝑐 ⋅ (1 − ) ⋅ 𝐴′𝑠 ⋅ (𝑑 − 𝑑′ ) 2 𝑎 𝑀𝑛 = 69 200000 ⋅ 0.004 0.85 ⋅ 55 0.85 ⋅ 20 ⋅ 250 ⋅ 69 ⋅ (580 − ) + ⋅ (1 − ) ⋅ 982 ⋅ (580 − 55) 2 1000000 69 1000000 𝑀𝑛 = 292.96 [𝑘𝑁𝑚] 𝜑𝑢 = 𝜀𝑐 ⋅ 𝛽1 0.004 ⋅ 0.85 𝑟𝑎𝑑 𝑟𝑎𝑑 = = 4.928 ⋅ 10−5 [ ] = 4.928 ∙ 10−2 [ ] 𝑎 69 𝑚𝑚 𝑚 Momento vs. Curvatura Fluencia Falla Agrietamiento 179 Diseño de estructuras de hormigón armado 4.5. Problemas propuestos 1. La viga soporta una carga muerta de servicio (sin factores de carga) que consiste en su peso propio más 20.40 [𝑘𝑁/𝑚] y una carga viva de servicio de 21.90 [𝑘𝑁/𝑚]. El hormigón tiene una resistencia característica a los 28 días de 20 [𝑀𝑃𝑎] y la tensión de fluencia del acero es de 420 [𝑀𝑃𝑎]. a) Calcular el peso propio de la viga por metro lineal, la carga última uniformemente repartida por metro 𝑤𝑢 y el momento máximo producido por cargas últimas 𝑀𝑢 . Dibujar el diagrama de momentos. b) Calcular 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 para la sección transversal. ¿Es la viga segura? c) Dibujar la sección transversal a medio tramo e indicar en la misma la localización de la zona de compresión y las siguientes dimensiones: 𝑏, 𝑑, ℎ y 𝑎. 550 600 300 6000 3𝜙30 Dimensiones en [mm] 2. Asumiendo que la máxima deformación por compresión en el hormigón es 0.003, calcular la deformación en el acero que corresponde al momento 𝑀𝑛 para la viga del problema 1. ¿Es 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 en la viga?. 3. Calcular 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 para una viga de sección rectangular con las siguientes características: Datos: 𝑏 = 300 [𝑚𝑚] 𝑓𝑐′ = 25 [𝑀𝑃𝑎] ℎ = 500 [𝑚𝑚] 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] Armadura 8𝜙25 en dos filas de cuatro barras cada una 4. Calcular 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 para las tres secciones transversales de vigas que se muestran en la figura. Datos: 𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎] 𝑏 = 300 [𝑚𝑚] ℎ = 915 [𝑚𝑚] 180 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] 𝑑 = 825 [𝑚𝑚] Vigas – Resistencia a la flexión 90 65 2𝜙30 4𝜙30 825 6𝜙30 6𝜙30 6𝜙30 De los resultados obtenidos en las tres vigas, comente si es rentable y efectivo añadir refuerzo de compresión para incrementar la resistencia 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 de una viga de hormigón armado. 5. Calcular 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 para la sección transversal de viga de la figura. Datos: 𝑓𝑐′ = 28 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] Dimensiones en [𝑚𝑚] 1070 150 150 600 150 660 8𝜙20 181 Diseño de estructuras de hormigón armado 6. Calcular 𝜙 ⋅ 𝑀𝑛 para las secciones transversales de vigas que se muestran en las siguientes figuras donde todas las dimensiones están en [𝑚𝑚]. a) 𝑓𝑐′ = 25 [𝑀𝑃𝑎] Datos: 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] 1220 150 480 560 6𝜙25 300 𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎] b) Datos: 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] 500 125 470 560 6𝜙25 250 7. Utilizando el procedimiento de compatibilidad de deformaciones, calcular 𝜙 · 𝑀𝑛 para las secciones transversales de las vigas del problema anterior. 182 Vigas – Resistencia a la flexión 8. Calcular el momento nominal 𝑀𝑛 de la viga de la figura. Datos: 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑐′ = 25 [𝑀𝑃𝑎] 550 600 3𝜙25 300 300 9. Hallar la armadura de compresión (𝑥𝜙𝑦) que se requiere para que la sección transversal de hormigón armado tenga una falla por tracción con un 0.005 ≤ 𝜀𝑡 ≤ 0.006. Datos: 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑐′ = 25 [𝑀𝑃𝑎] 𝑑𝑠 = 8 [𝑚𝑚] Diámetro del estribo 𝑟 = 20 [𝑚𝑚] Recubrimiento al borde del estribo 150 80 𝑥𝜙𝑦 300 5𝜙18 300 183 CAPÍTULO 5 VIGAS – RESISTENCIA A CORTE Y TENSIÓN DIAGONAL 5. Vigas – Resistencia a corte y tensión diagonal 5.1. Introducción Las vigas deben tener también un margen adecuado de seguridad contra otros tipos de fallas que son más peligrosas que la falla por flexión. Algunas de estas fallas son de difícil predicción y pueden traer consigo colapsos catastróficos. Falla por tensión diagonal viene a ser el término correcto para describir la falla por corte de elementos de hormigón. Hasta el presente, a pesar de que se han realizado muchos experimentos, la falla por corte es todavía difícil de predecir con exactitud. En vigas, con diseños inadecuados para resistir fuerzas cortantes, se presenta una falla repentina y brusca cuando éstas son cargadas hasta su límite. El comportamiento de una viga durante una falla por corte es completamente diferente al que presenta una viga que falla por flexión, ya que en ésta el acero fluye produciéndose fisuras y grandes deflexiones en la cara sometida a tracción, con lo que se tiene tiempo para tomar las medidas correctivas. Debido a que la falla por corte en vigas de hormigón es repentina, éstas son reforzadas con una armadura especial para asegurar que la falla por flexión ocurra antes que la falla por corte si la viga es sobre cargada. El análisis y diseño para corte no están relacionados directamente con el corte como tal, sino con las tensiones diagonales que son producidas por una combinación de esfuerzos por corte y flexión. Los esfuerzos por corte directo en la mayoría de las vigas están por debajo de la resistencia del hormigón al corte directo. En algunos casos se debe prestar atención al corte directo, como en la unión de losas vaciadas en sitio sobre vigas prefabricadas donde es importante considerar la magnitud de los esfuerzos horizontales de corte en la superficie de unión entre ambos elementos. Hace algunos años han aparecido métodos alternativos para el diseño por corte, basados en modelos de cerchas donde el hormigón soporta la compresión mientras que el acero resiste la tracción. 185 Diseño de estructuras de hormigón armado 5.2. Tensión diagonal en vigas elásticas homogéneas Para materiales elásticos y homogéneos las tensiones, en cualquier sección de una viga, pueden ser halladas utilizando las siguientes ecuaciones: Tensiones por corte: 𝑉 ∙ 𝑄 𝑣= 𝐼 ∙ 𝑏 (5.1) Tensiones por flexión: 𝑀 ∙ 𝑦 𝑓= 𝐼 (5.2) Donde: 𝑉 = Fuerza cortante en la sección considerada [𝑁]. 𝑄 = Momento estático, alrededor del eje baricéntrico, de la porción de la sección transversal entre la línea del punto en cuestión y la fibra extrema más cercana (superior o inferior) de la viga [𝑚𝑚3 ]. 𝐼 = Momento de inercia de la sección alrededor del eje baricéntrico de la sección [𝑚𝑚4 ]. 𝑏 = Ancho de la sección en donde se determina la tensión de corte [𝑚𝑚]. 𝑀 = Momento flector en la sección considerada [𝑁 ∙ 𝑚𝑚]. 𝑦 = Distancia desde el eje baricéntrico al punto donde se desea hallar el esfuerzo por flexión [𝑚𝑚]. La función de las tensiones de corte es fácilmente visualizada en el comportamiento de una viga laminada bajo la acción de una carga. Láminas sobrepuestas Láminas pegadas 𝑎 𝑉𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝑎 𝑉 𝑎∙𝑏 𝑉𝑚𝑎𝑥 = 1.5 ∙ 𝑉𝑝𝑟𝑜𝑚 𝑉 𝑏 Tensiones horizontales de corte en el plano de unión de las dos láminas Distribución de tensiones de corte en una sección de la viga Fig. 5.1. Esfuerzos de corte horizontal y vertical 186 Vigas –Resistencia a corte y tensión diagonal 1 2 𝑣 1 𝑣 𝑓 =−𝑣 𝑓=𝑣 𝑣 𝑣 𝑓 1 𝑣 𝑣 𝑓 =−𝑣 Esfuerzos principales en el punto 1 𝑓=𝑣 2 𝑣 𝑓2 𝑓1 𝑣 𝑓 2 𝑓2 𝑓1 Esfuerzos principales en el punto 2 Trayectorias de Tracción Trayectorias de Compresión Fig. 5.2. Trayectoria de tensiones en una viga rectangular homogénea Tracción principal: 1 𝑓1 = ∙ (𝑓 + √𝑓 2 + 4 ∙ 𝑣 2 ) 2 Compresión principal: 1 𝑓2 = ∙ (𝑓 − √𝑓 2 + 4 ∙ 𝑣 2 ) 2 (5.3) (5.4) La magnitud de las tensiones de corte 𝑣 y por flexión 𝑓 cambia a lo largo de la viga y verticalmente con respecto del eje neutro por lo tanto la inclinación y la magnitud de las tensiones principales también varían de un punto a otro. La flexión de elementos de hormigón no es la única responsable de producir esfuerzos de tracción en las fibras extremas, ya que éstos pueden existir a lo largo del elemento con inclinaciones y magnitudes 187 Diseño de estructuras de hormigón armado diferentes; producto no solamente de esfuerzos de corte sino por una combinación de esfuerzos de corte y flexión que existen en toda la viga y pueden producir el colapso de la misma si no se los toma en cuenta. Por esta razón las tensiones de tracción inclinadas conocidas como tensiones diagonales deben ser consideradas cuidadosamente en el diseño de elementos de hormigón armado. 5.3. Vigas de hormigón armado sin refuerzo por corte El comportamiento de las vigas de hormigón, antes de la aparición de fisuras, es similar al de una viga homogénea de material elástico. La primera fisura en una viga aparece donde el esfuerzo de tracción supera la resistencia del material, lo que comúnmente ocurre en fibras extremas de la sección y donde los momentos son máximos, siempre y cuando la relación luz/canto del elemento sea mayor a 2 porque en este caso el corte tiene poca o ninguna influencia en la resistencia del elemento. Para elementos cuya relación luz/canto es menor a 2, se tiene un comportamiento distinto y las fisuras no necesariamente aparecen en las fibras extremas. En este caso, el corte tiene una importancia preponderante en la resistencia del elemento. Pero, en cualquiera de los dos casos, el colapso de la viga ocurrirá apenas se presente la primera fisura. Sin embargo, en elementos de hormigón armado, aunque las fisuras por tracción también se producen, los esfuerzos de tracción son resistidos por el acero y por ello el elemento puede resistir mayor carga. Generalmente, cerca de los apoyos se producen las máximas tensiones diagonales por corte y a medio tramo y sobre los apoyos las máximas tracciones por flexión. El acero longitudinal que se coloca cerca de las fibras extremas sólo absorbe esfuerzos de tracción por flexión, pero no tiene influencia alguna sobre las tensiones diagonales de tracción por corte o sobre aquellas que se producen por una combinación de corte y momento flector. Si no se coloca un refuerzo especial para resistir estas tensiones diagonales, aparecerán fisuras inclinadas que producirán el colapso repentino del elemento o estructura. En consecuencia, es muy importante predecir la carga que produce estas fisuras diagonales. Con un poco de experiencia, es posible determinar, analizando la posición y trayectoria de la fisura, qué tipo de esfuerzo es el que la ha producido. En el siguiente cuadro se presenta un resumen del tipo de fisura y el lugar donde generalmente se presenta. Tipo de fisura Ubicación de la fisura Vertical Donde el momento flector es grande Diagonal Donde el corte es grande o donde hay una combinación de momento flector y corte 5.3.1. Criterio para la formación de fisuras diagonales Las tensiones principales están en función de los esfuerzos por corte, de los esfuerzos por flexión o de una combinación de ambos, dependiendo de la posición del punto a lo largo de la viga. En la siguiente figura se muestran dos vigas simplemente apoyadas sometidas a dos cargas distintas. La primera viga soporta una carga puntual a medio tramo y la segunda una carga uniformemente repartida. 188 Vigas –Resistencia a corte y tensión diagonal La viga con carga puntual tiene dos zonas que se distinguen claramente. A medio tramo se tiene un máximo momento y un corte máximo y cerca de los apoyos se tiene un momento pequeño o nulo y un máximo corte. La viga con carga uniformemente repartida tiene también dos zonas que se distinguen claramente. A medio tramo se tiene un máximo momento y un corte pequeño o nulo y cerca de los apoyos se tiene un momento pequeño o nulo y un máximo corte. La forma de los diagramas de momento y corte dependen directamente del tipo de carga, su intensidad y distribución sobre la viga. Los esfuerzos que éstos producen varían a lo largo de la viga, por lo tanto existirán zonas en la viga donde los esfuerzos por corte son predominantes o los esfuerzos por flexión son predominantes o ambos esfuerzos son predominantes. Entonces, de acuerdo a este razonamiento, se puede predecir con bastante precisión el lugar donde las fisuras aparecen y la forma que ellas adoptan (verticales o inclinadas). Cuando los esfuerzos por flexión son los predominantes, las fisuras son verticales y comienzan desde las fibras extremas en tracción, mientras que si los esfuerzos por cortante son los predominantes, las fisuras son inclinadas y están localizadas a media altura de la sección. En las zonas donde ambos esfuerzos están presentes, generalmente las fisuras comienzan siendo verticales para luego inclinarse. 𝑀𝑚𝑎𝑥 𝑉𝑚𝑎𝑥 𝑀𝑚𝑎𝑥 𝑉𝑚𝑖𝑛 𝑀𝑚𝑖𝑛 𝑉𝑚𝑎𝑥 𝑀𝑚𝑖𝑛 𝑉𝑚𝑎𝑥 “𝑀” + - “𝑉” + - Fig. 5.3. Combinaciones críticas de corte y momento en vigas isostáticas En la siguiente figura se muestra una viga continua sometida a una carga uniformemente distribuida. En esta viga se tienen tres zonas que se distinguen claramente. A medio tramo se tiene un máximo momento y un corte mínimo, cerca de los apoyos externos se tiene un momento pequeño o nulo y un máximo corte y por último en el apoyo intermedio se tiene un máximo momento y un corte máximo también. 189 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑀𝑚𝑎𝑥 𝑉𝑚𝑖𝑛 𝑀𝑚𝑎𝑥 𝑉𝑚𝑎𝑥 𝑀𝑚𝑖𝑛 𝑉𝑚𝑎𝑥 𝑀𝑚𝑖𝑛 𝑉𝑚𝑎𝑥 “𝑀” “𝑉” + + - - Fig. 5.4. Combinaciones críticas de corte y momento en vigas hiperestáticas En la figura 5.5 se presenta la mitad de una viga simplemente apoyada que ha estado sometida a una carga uniforme repartida cuyo valor se ha incrementado paulatinamente hasta la aparición de fisuras. En la viga se pueden observar claramente los siguientes tres tipos de fisuras: a) Fisuras por flexión.- Se presentan en forma vertical desde la cara traccionada y se aproximan al eje neutro de la viga. Estas fisuras son típicas en regiones donde el esfuerzo por flexión es grande y el esfuerzo por corte es pequeño o no existe. b) Fisuras por flexión y corte.- Se presentan inicialmente en forma vertical desde la cara traccionada y se inclinan a medida que se acercan al eje neutro de la viga. Estas fisuras son típicas en regiones donde existe una combinación de esfuerzos por flexión y corte de magnitudes comparables. c) Fisuras en el alma por corte.- Se presentan desde su inicio en forma inclinada y generalmente cerca del eje neutro de la viga. Estas fisuras son típicas en regiones donde el esfuerzo por corte es grande y el esfuerzo por flexión es pequeño o no existe. 190 Vigas –Resistencia a corte y tensión diagonal Fisuras en el alma por corte Fisuras por flexión y corte Fisuras por flexión Fig. 5.5. Fisuras por tensión diagonal en vigas de hormigón armado 𝑣𝑐𝑟 = 𝑉𝑐𝑟 = 0.30 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 𝑣𝑐𝑟 = 𝑉𝑐𝑟 = 0.16 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 Región de corte elevado Región de momento elevado y momento pequeño y corte pequeño 𝑉𝑐𝑟 = Fuerza de corte que produce la primera fisura. Es evidente que el corte para el cual se forman fisuras diagonales depende de la relación entre la fuerza cortante y el momento flector, o más precisamente de la relación entre el esfuerzo cortante 𝑣 y el esfuerzo por flexión 𝑓 en la parte superior de la fisura por flexión. Ninguno de estos dos esfuerzos puede ser calculado con precisión pero es evidente que: 𝑣 = 𝐾1 ∙ 𝑉 𝑏 ∙𝑑 (5.5) Donde 𝐾1 depende de la profundidad de penetración de la fisura por flexión. De igual manera: 𝑓 = 𝐾2 ∙ 𝑀 𝑏 ∙ 𝑑2 (5.6) Donde 𝐾1 depende también de la configuración de las fisuras. 𝑣 𝐾1 𝑣 ∙ 𝑑 = ∙ 𝑓 𝐾2 𝑀 Los valores de 𝐾1 ⁄𝐾2 fueron investigados mediante ensayos y se dedujo la siguiente fórmula: 𝑣𝑐𝑟 = 𝑉𝑐𝑟 𝜌∙𝑉∙𝑑 = 0.16 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ + 17 ∙ ≤ 0.30 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 𝑀 (5.7) 191 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑉𝑐𝑟 = 𝑣𝑐𝑟 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 (5.8) 𝐴𝑠 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 (4.9) 𝜌= 17.24 = Constante empírica en [𝑀𝑃𝑎] 𝑣𝑐𝑟 = Tensión nominal de corte para la cual se forma la fisura por flexión y corte Una ecuación más simple que da resultados conservadores es la siguiente: 𝑣𝑐𝑟 = 𝑉𝑐𝑟 = 0.17 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 𝑣𝑐𝑟 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ = (5.9) 𝑉𝑐𝑟 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ 0.4 0.3 𝑣𝑐𝑟 = 0.16 + 17 ∙ 0.2 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ 0.1 𝑣𝑐𝑟 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ 0.2 0.4 0.6 𝜌∙𝑉∙𝑑 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑀 ≤ 0.30 = 0.17 0.8 1.0 1.5 2.0 5.0 Fig. 5.6. Correlación de las ecuaciones con ensayos 6.89 ∙ 𝜌∙𝑉∙𝑑 𝑀 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ 5.4. Análisis y diseño de vigas de hormigón armado por corte Para vigas esbeltas la ecuación básica de diseño es la siguiente: 𝜙 · 𝑉𝑛 ≥ 𝑉𝑢 (5.10) Donde: 𝑉𝑛 = Resistencia nominal al corte de la viga. 𝜙 = Factor de reducción de la resistencia (0.75). 𝑉𝑢 = Fuerza cortante mayorada en la sección. 𝑉𝑛 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠 192 (5.11) Vigas –Resistencia a corte y tensión diagonal Donde: 𝑉𝑐 = Fuerza de corte resistida por el hormigón. 𝑉𝑠 = Fuerza de corte resistida por los estribos. Estado límite de falla por corte - vigas sin refuerzo (estribos) en el alma Para poder determinar la resistencia nominal de una viga de hormigón armado al corte, es necesario primero saber la resistencia del hormigón simple al corte. En vigas esbeltas de hormigón sin refuerzo en el alma, se presenta la falla cuando las fisuras inclinadas se forman en el alma. Por lo tanto, la resistencia al corte de estos elementos es igual al corte que produce la primera fisura inclinada. Si el elemento que soporta corte está sometido simultáneamente a fuerzas de compresión o tracción, la resistencia básica se incrementa o disminuye de acuerdo a las prescripciones de las secciones 22.5.5.1, 22.5.6.1 y 22.5.7.1 del código ACI y que son resumidas en las siguientes tablas. Resistencia al corte 𝑽𝒄 de elementos de hormigón armado sin carga axial Fórmula aproximada. 0.17 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 (5.12) 𝜌𝑤 ∙ 𝑉𝑢 ∙ 𝑑 ) ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 𝑀𝑢 (5.12𝑎) (0.16 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ + 17 ∙ 𝜌𝑤 ) ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 (5.12𝑏) 0.29 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 (5.12𝑐) (0.16 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ + 17 ∙ Fórmulas más precisas. Escoger el menor valor de: Resistencia al corte 𝑽𝒄 de elementos de hormigón armado con carga axial Fórmula aproximada considera carga axial compresión Fórmulas considerando compresión. más carga que de precisas axial de Escoger el menor valor de: Fórmula aproximada que considera carga axial de tracción. 0.17 ∙ (1 + (0.16 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ + 𝑁𝑢 ) ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 14 ∙ 𝐴𝑔 17 ∙ 𝜌𝑤 ∙ 𝑉𝑢 ∙ 𝑑 ) ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 (4 ∙ ℎ − 𝑑) 𝑀𝑢 − 𝑁𝑢 ∙ 8 (4 ∙ ℎ − 𝑑) 𝑀𝑢 > 𝑁𝑢 ∙ 8 (5.13𝑎) 𝑁𝑢 3.5 ∙ 𝐴𝑔 (5.13𝑏) 𝑁𝑢 ) ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 3.5 ∙ 𝐴𝑔 (5.14) 0.29 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 ∙ √1 + 0.17 ∙ (1 + (5.13) 𝑁𝑢 es negativo para tracción y el valor 𝑉𝑐 no debe ser menor que cero 193 Diseño de estructuras de hormigón armado Donde: 𝜌𝑤 = Cuantía del área de refuerzo 𝐴𝑠 evaluada sobre el área 𝑏𝑤 ∙ 𝑑. 𝑁𝑢 = Carga axial última en [𝑁] (positiva si es compresión y negativa si es tracción). 𝐴𝑔 = Area total de la sección transversal en [𝑚𝑚2 ]. 𝜆 = Factor de modificación que tiene en cuenta las propiedades mecánicas reducidas del hormigón ligero (ACI 19.2.4). Se toma el valor de 𝜆 igual a 1 para hormigón de densidad normal. 𝑀𝑢 ocurre simultáneamente con 𝑉𝑢 en la sección considerada En el caso de elementos sometidos a cargas axiales de tracción, el calculista debe ejercer su criterio para decidir cuándo esta carga debe ser considerada. En casos donde existe la incertidumbre sobre la magnitud de la solicitación axial de tracción en un elemento, es conveniente considerar 𝑉𝑐 = 0 y dejar que el refuerzo de corte tome el total del corte último. Estado límite de falla por corte - Vigas con refuerzo (estribos) en el alma Este tipo de vigas pueden fallar por diferentes causas, entre las cuales se estudiarán las siguientes: - Falla debido a la fluencia de los estribos. Falla del anclaje de los estribos. Falla por ancho excesivo de fisuras para cargas de servicio. Falla por corte debido al aplastamiento del alma. Falla de las barras en tracción iniciada por fisuras de corte. a) Falla debido a la fluencia de los estribos 𝑉𝑛 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠 (5.11) El código ACI asume que 𝑉𝑐 es igual a la resistencia al corte del hormigón de una viga sin estribos. Las vigas de hormigón armado pueden ser reforzadas para resistir el corte utilizando dos tipos de refuerzo o una combinación de ambos. Por un lado se tiene el refuerzo con estribos verticales que se colocan en forma perpendicular al eje de la viga y están conformados por barras de acero dobladas de acuerdo a la forma de la sección transversal del elemento. Por otro lado se pueden utilizar parte de las barras longitudinales de acero que dejan de ser necesarias y por lo tanto en vez de cortarlas se las puede doblar hacia la cara opuesta. Por último, se puede realizar una combinación de ambos tipos de refuerzo. En la actualidad se prefiere la colocación de estribos verticales puesto que para el doblado de barras longitudinales se requiere un mayor uso de mano de obra y tiempo de armado. Estribos verticales La utilización de estribos verticales constituye en la actualidad la forma más común de disposición de barras de acero para resistir las fuerzas cortantes en los elementos de hormigón armado. En la siguiente figura se presenta el diagrama de cuerpo libre de un pedazo de viga limitada en el extremo derecho por una fisura inclinada de corte. 194 Vigas –Resistencia a corte y tensión diagonal 𝑠 𝐶 𝑉𝑐 𝐴𝑉 ∙ 𝑓𝑦 𝐴𝑉 ∙ 𝑓𝑦 𝐴𝑉 ∙ 𝑓𝑦 𝑇 𝑑 Fig. 5.7. Estribos verticales para resistir el corte La fuerza total cortante 𝑉𝑠 que resisten los estribos a lo largo de la fisura es simplemente la multiplicación de la tensión de fluencia del acero 𝑓𝑦 por el área del acero 𝐴𝑣 y por el número de estribos que son cortados por la fisura. Para determinar el número de estribos que son cortados por una fisura, se ha determinado mediante ensayos de laboratorio que la proyección horizontal de la fisura es aproximadamente igual al canto útil de la sección 𝑑. Por tanto, el número de estribos es igual a 𝑑/𝑠. 𝑉𝑠 = 𝐴𝑣 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑑 𝑠 (5.15) Barras inclinadas La utilización de estribos o barras inclinadas para resistir las fuerzas cortantes en los elementos de hormigón armado no es muy frecuente en la actualidad debido a que esta disposición de barras de acero presenta mayores dificultades constructivas y una demanda más alta de mano de obra. En la siguiente figura se presenta el diagrama de cuerpo libre de un pedazo de viga limitada en el extremo derecho por una fisura inclinada de corte. 𝑠 𝐶 𝑉𝑐 𝛼 𝐴𝑣 ∙ 𝑓𝑦 45° 𝐴𝑣 ∙ 𝑓𝑦 𝐴𝑣 ∙ 𝑓𝑦 𝑇 𝐴𝑣 ∙ 𝑓𝑦 𝑑 𝑖 = 𝑑/𝑐𝑜𝑠 45° Fig. 5.8. Barras inclinadas para resistir el corte 195 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 = 𝑖 𝑑 ∙ 𝑠𝑒𝑛 45° ∙ (1 + cot 𝛼) = 𝑎 cos 45° ∙ 𝑠 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 = 𝑑 ∙ (1 + cot 𝛼) 𝑠 Fuerza inclinada 𝑐 = ℎ ∙ cot 45° 𝑎 𝑒 = ℎ ∙ cot 𝛼 45° 𝑏 𝛼 𝑒 𝑐 𝑠 = ℎ ∙ (cot 45° + cot 𝛼) 𝑠 𝑠 ℎ= sen 45° ∙ (1 + cot 𝛼) sen 45° = ℎ ℎ 𝑎 𝑠 sen 45° ∙ (1 + cot 𝛼) (1 + cot 𝛼) 𝑓 = 𝐴𝑣 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑑 ∙ 𝑠 ℎ= 𝑉𝑠 = 𝑓 ∙ sen 𝛼 = 𝐴𝑣 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑑 ∙ 𝑉𝑠 = 𝐴𝑣 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑑 ∙ (1 + cot 𝛼) ∙ sen 𝛼 𝑠 (sen 𝛼 + cos 𝛼) 𝑠 (5.16) Si 𝑉𝑢 ≥ 𝜙 · 𝑉𝑐 , entonces se necesita colocar estribos de manera que 𝑉𝑢 ≤ 𝜙 · 𝑉𝑛 𝑉𝑢 ≤ 𝜙 ∙ (𝑉𝑐 + 𝑉𝑠 ) 𝜙 ∙ 𝑉𝑠 ≥ 𝑉𝑢 − 𝜙 ∙ 𝑉𝑐 𝑉𝑠 ≥ 𝑉𝑢 − 𝑉𝑐 𝜙 Para estribos verticales se tiene: 𝑉𝑠 = 196 𝐴𝑣 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑑 𝑠 (5.15) Vigas –Resistencia a corte y tensión diagonal 𝐴𝑣 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑑 𝑉𝑢 ≥ − 𝑉𝑐 𝜙 𝑠 𝐴𝑣 (𝑉𝑢 − 𝜙 ∙ 𝑉𝑐 ) ≥ 𝑠 𝜙 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑑 (5.17) 𝐴𝑣 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑑 𝑉𝑢 𝜙 − 𝑉𝑐 (5.18) 𝑠≤ Los estribos no pueden resistir corte a menos que estén atravesados por una fisura inclinada y por esta razón el código ACI, en su sección 9.7.6.2.2, limita el espaciamiento entre estribos dispuestos perpendicularmente al eje del elemento a una distancia de 𝑑/2 en elementos de hormigón armado, o a 0.75 · ℎ en elementos de hormigón pretensado y en ningún caso el espaciamiento debe superar 600 [𝑚𝑚]. 𝑑 2 45° 0.5 ∙ 𝑑 ≤ 600 [𝑚𝑚] Fig. 5.9. Espaciamiento máximo de estribos verticales en elementos de hormigón armado La sección 9.7.6.2.3 del código ACI indica que los estribos inclinados y barras longitudinales dobladas deben tener un espaciamiento tal que cualquier línea trazada a 45° desde una altura de 0.5 ∙ 𝑑 y dirigida hacia la reacción hasta interceptar el refuerzo de tracción longitudinal, debe estar atravesada por al menos una línea del refuerzo a corte. 𝛼 45° 0.5 ∙ 𝑑 𝑑 2 𝑑 2 · tan 𝛼 Fig. 5.10. Espaciamiento máximo de barras inclinadas en elementos de hormigón armado 197 Diseño de estructuras de hormigón armado Cuando 𝑉𝑠 excede 0.33 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 , el código ACI en su sección 9.7.6.2.2 indica que el máximo espaciamiento señalado en los dos párrafos anteriores debe ser reducido a la mitad. En la siguiente tabla se presenta un resumen de las recomendaciones del código ACI sobre la separación máxima de los estribos para resistir fuerzas cortantes tanto en elementos de hormigón armado como de hormigón pretensado. Espaciamiento máximo de estribos verticales 𝑉𝑢 − 𝑉𝑐 = 𝑉𝑠 ≤ 0.33 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 𝜙 𝑉𝑢 − 𝑉𝑐 = 𝑉𝑠 > 0.33 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 𝜙 Hormigón Armado 𝑑 2 600 [𝑚𝑚] Hormigón Armado 𝑑 4 300 [𝑚𝑚] Hormigón Pretensado 3·ℎ 4 600 [𝑚𝑚] Hormigón Pretensado 3·ℎ 8 300 [𝑚𝑚] Como una buena práctica para seleccionar el diámetro del acero de los estribos de corte, se debe considerar que separaciones pequeñas entre estribos reducen el ancho de las fisuras inclinadas y proveen mejor anclaje para los extremos inferiores de los flujos diagonales de compresión. Para mejorar el anclaje de los flujos de las compresiones diagonales, la separación máxima entre los brazos de los estribos 𝑠𝑡 debe ser menor a 2⁄3 ∙ 𝑑 y en ningún caso superar los 800 [𝑚𝑚]. 𝑠𝑡 Brazos muy espaciados Brazos poco espaciados Fig. 5.11. Flujo de las compresiones diagonales en vigas con estribos b) Falla del anclaje de los estribos Las ecuaciones anteriores se basan en la suposición de que el acero de los estribos fluye para la carga última, por lo que éstos deben estar bien anclados. Generalmente el extremo superior de las fisuras inclinadas se aproxima a la cara comprimida de la viga. Para la carga última, la tensión en los estribos se aproxima o es igual a la tensión de fluencia del acero 𝑓𝑦 en cada punto donde una fisura inclinada 198 Vigas –Resistencia a corte y tensión diagonal intercepta a un estribo. Por lo tanto, la porción del estribo por encima de las fisuras debe ser capaz de anclar a la barra para una tensión igual a 𝑓𝑦 . Reacción 𝐴 Zona comprimida 𝐴 Sección 𝐴 − 𝐴 Fig. 5.12. Zona de anclaje de los estribos La figura 5.12 muestra un área achurada que representa la porción de la viga que está sometida a compresión (zona comprimida). Dentro de esa área, el estribo debe estar anclado para poder resistir la máxima fuerza que la barra de acero puede desarrollar que es igual a la tensión de fluencia multiplicada por el área de acero. El código ACI en su sección 25.7.1.1 requiere que los estribos se extiendan lo más cerca posible a las caras de compresión y tensión de la viga, tanto como el recubrimiento y el espaciamiento entre barras lo permitan. Además, para mejorar el anclaje de los estribos, el código especifica diferentes tipos de gancho que pueden ser de 90° o más. En la siguiente figura se muestran algunas soluciones de estribos para diferentes secciones transversales, con ganchos y empalmes, que se pueden utilizar dependiendo de la preferencia o experiencia del lugar de trabajo. El estribo cerrado fabricado de una sola pieza presenta una mayor dificultad de instalación, pero tiene un excelente comportamiento para elementos que resisten torsión. Fig. 5.13. Requerimiento para el anclaje de los estribos para diámetros de 16 mm y menores Se debe prestar atención especial al doblado del estribo, puesto que cuando la sección transversal de la viga es irregular es conveniente utilizar varias piezas de acero como estribo para evitar empujes al vacío. La figura 5.14 muestra la unión del alma con el ala inferior de una viga donde se presenta esta situación. 199 Diseño de estructuras de hormigón armado Incorrecto Correcto Para casos donde se presenta empuje al vacío por utilizar una sola pieza de acero como estribo Dos piezas Una pieza Para vigas con torsión, con refuerzo de compresión o en zonas sísmicas Fig. 5.14. Colocación y doblado de estribos c) Falla por ancho excesivo de fisuras para cargas de servicio Si el ancho de las fisuras producidas por tensiones diagonales es muy grande, además de dar una mala impresión, éstas permiten la penetración de la humedad en la viga acelerando el proceso de corrosión de los estribos. El código ACI en su sección 22.5.1.2 controla indirectamente el ancho de las fisuras producidas por esfuerzos cortantes limitando el máximo corte que puede ser resistido por los estribos al siguiente valor: 𝑉𝑠 𝑚𝑎𝑥 = 0.66 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 (5.19) En el caso de que una viga requiera que 𝑉𝑠 sea mayor al valor dado por la ecuación anterior, es imprescindible que se aumenten las dimensiones de la sección transversal del elemento. d) Falla por corte debido al aplastamiento del alma En vigas con almas delgadas los esfuerzos de compresión diagonal pueden producir el aplastamiento del alma. El valor 𝑉𝑠 𝑚𝑎𝑥 anterior también proporciona seguridad adecuada al aplastamiento del alma. 𝑉𝑠 𝑚𝑎𝑥 = 0.66 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 (5.19) El espesor del alma en las vigas debe ser escogido para asegurar que el hormigón en esa región no presente una falla explosiva debido a la concentración de esfuerzos de compresión que generalmente se presentan al momento de la falla por flexión del elemento. 200 Vigas –Resistencia a corte y tensión diagonal e) Falla de las barras en tracción iniciada por fisuras de corte Si los extremos de las barras en tracción no tienen un anclaje adecuado, éstas se deslizarán tan pronto se produzcan las fisuras por corte en los extremos de la viga, lo cual producirá el colapso de la estructura. Para prevenir esta falla, el código ACI en su sección 7.7.3.3 requiere que el acero de flexión se extienda una distancia igual al mayor de 𝑑 o 12 · 𝑑𝑏 más allá del punto donde la barra deja de ser necesaria. Refuerzo mínimo en el alma Debido a que la falla por corte de una viga es frágil, repentina y porque las ecuaciones que predicen la resistencia del hormigón al corte son aproximadas el código ACI en su sección 9.6.3.3 especifica un refuerzo mínimo. Este refuerzo mínimo debe ser utilizado en todos los elementos de hormigón armado o pretensado donde el corte último 𝑉𝑢 excede la mitad de la resistencia al corte dada por el hormigón 𝜙 · 𝑉𝑐 . También, se debe colocar la mínima armadura especificada por el código cuando por cálculo la armadura necesaria para corte es menor a la mínima. El requerimiento de armadura mínima para corte no necesita ser considerado cuando en los elementos estructurales puede ocurrir una redistribución de carga a través de su ancho o de elementos adyacentes como es el caso de los siguientes tipos de elementos: Casos donde no se requiere 𝑨𝒗 𝒎𝒊𝒏 si 𝟎. 𝟓 ∙ 𝝓 ∙ 𝑽𝒄 < 𝑽𝒖 ≤ 𝝓 ∙ 𝑽𝒄 Tipo de elemento Condiciones Losas y fundaciones macizas Vigas de poca altura ℎ ≤ 250 [𝑚𝑚] Vigas integrales con losas ℎ ≤ 600 [𝑚𝑚] y ℎ ≤ que el mayor valor de 2.5 veces el espesor del ala (2.5 · 𝑡𝑓 ) o la mitad del espesor del alma (0.5 · 𝑏𝑤 ). Vigas construidas con hormigón de peso normal reforzado con fibra de acero, con un 𝑓𝑐′ no mayor a 40 [𝑀𝑃𝑎] ℎ ≤ 600 [𝑚𝑚] 𝑉𝑢 ≤ 𝜙 ∙ 0.17 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑. Viguetas en una dirección De acuerdo a la sección 9.8 del ACI Antes, el código ACI requería una armadura mínima para corte independiente de la resistencia del hormigón, pero ensayos en laboratorio han demostrado la necesidad de aumentar el área del refuerzo por corte a medida que la resistencia del hormigón se incrementa para prevenir una falla repentina por corte cuando las fisuras inclinadas aparecen. Exceptuando lo indicado anteriormente para elementos de hormigón armado y pretensado, cuando 𝑉𝑢 > 𝜙 ∙ 0.5 ∙ 𝑉𝑐 y los efectos de torsión son despreciables, se debe prever en el elemento la armadura mínima que se resume en la siguiente tabla. 201 Diseño de estructuras de hormigón armado Tipo de viga Hormigón armado y pretensado con 𝐴𝑝𝑠 ∙ 𝑓𝑠𝑒 < 0.4 ∙ (𝐴𝑝𝑠 ∙ 𝑓𝑠𝑢 + 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ) Hormigón pretensado con 𝐴𝑝𝑠 ∙ 𝑓𝑠𝑒 ≥ 0.4 ∙ (𝐴𝑝𝑠 ∙ 𝑓𝑠𝑢 + 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ) Área mínima de refuerzo para cortante 𝑨𝒗 𝒎𝒊𝒏 𝑏𝑤 ∙ 𝑠 𝑓𝑦 𝑏𝑤 ∙ 𝑠 0.35 ∙ 𝑓𝑦 0.062 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ El mayor de: El menor de: El mayor de: 𝑏𝑤 ∙ 𝑠 𝑓𝑦 𝑏𝑤 ∙ 𝑠 0.35 ∙ 𝑓𝑦 0.062 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝐴𝑝𝑠 ∙ 𝑓𝑝𝑢 ∙ 𝑠 𝑑 ∙√ 80 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑑 𝑏𝑤 (5.20) (5.21) (5.20) (5.21) (5.22) Factor de reducción de la resistencia 𝝓 Se utiliza un factor de reducción de la resistencia 𝜙 igual a 0.75 que es menor al utilizado para el caso de la flexión debido a que la resistencia por corte del hormigón es muy variable y porque el tipo de falla es repentina y frágil. Localización del corte máximo para el diseño de vigas El código ACI en su sección 9.4.3.2 permite, en elementos de hormigón armado, diseñar las secciones localizadas a una distancia menor a 𝑑 desde la cara del soporte utilizando el mismo corte último 𝑉𝑢 calculado para una distancia 𝑑, pero esto es permitido solamente cuando se presentan las siguientes situaciones: - La reacción del soporte, en la dirección del corte aplicado, introduce fuerzas de compresión en las regiones extremas del miembro. - Las cargas son aplicadas en o cerca de la cara superior del elemento. - No hay cargas concentradas dentro de la distancia 𝑑 medida desde la cara del soporte. En la figura 5.15 se presentan diferentes ejemplos en donde es permitido considerar como sección crítica a aquella sección que está a una distancia 𝑑 desde la cara del soporte. Pero, si las cargas son aplicadas en la cara inferior del elemento o existen cargas concentradas dentro de la distancia 𝑑 desde la cara del soporte, entonces no es permitida la reducción en el cortante y el valor a considerar para el diseño debe ser aquel que se produce en la cara del soporte. En la figura 5.16 se muestran diferentes elementos estructurales en los cuales la sección crítica para la evaluación del corte se encuentra en la cara del soporte. 202 Vigas –Resistencia a corte y tensión diagonal 𝑑 𝑑 𝑑 Sección crítica 𝑑 𝑑 𝑑 Sección crítica Sección crítica Sección crítica Viga Viga Refuerzo de suspensión para evitar la falla de la parte inferior de la viga Viga principal Fig. 5.15. Localización de secciones críticas en elementos donde es posible la reducción del corte El extremo de la viga debe ser considerado como viga de canto alto para el diseño por corte y flexión 𝑑 Sección crítica Sección crítica Fig. 5.16. Localización de secciones críticas en elementos donde no es posible la reducción del corte 203 Diseño de estructuras de hormigón armado Corte a medio tramo de vigas con carga uniforme Se asume que la carga viva última 𝑤𝑢 𝐿 puede actuar sobre toda o parte de la luz. El corte por carga viva uniforme a mitad del tramo es: 𝑉𝑢 = 𝑤𝑢 𝐿 ∙ 𝐿 8 (5.23) Este corte puede ser positivo o negativo. Aunque este corte ha sido derivado para una viga simplemente apoyada, también se lo puede utilizar satisfactoriamente para el caso de vigas continuas. Ejemplo. Diseñar el refuerzo de corte para la siguiente viga isostática. Datos: 𝑓𝑐′ = 25 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] 𝑏 = 900 ℎ = 150 Dimensiones en [𝑚𝑚] 𝑑 = 610 𝐿 = 10000 𝑏𝑤 = 300 Sección transversal 𝑤𝐷+𝑂𝑊 = 20 [𝑘𝑁/𝑚] 𝑤𝐿 = 24 [𝑘𝑁/𝑚] a) Calcular la envolvente de corte máximo 𝑤𝑢 𝐷+𝑂𝑊 = 1.2 ∙ 20 = 24.0 [𝑘𝑁/𝑚] 𝑤𝑢 𝐿 = 1.6 ∙ 24 = 38.4 [𝑘𝑁/𝑚] 204 Vigas –Resistencia a corte y tensión diagonal 62.4 [𝑘𝑁/𝑚] 62.4 [𝑘𝑁/𝑚] 24 [𝑘𝑁/𝑚] Primer Caso Segundo Caso 312 264 + + 48 - 168 312 Diagrama de corte en [𝑘𝑁] Diagrama de corte en [𝑘𝑁] 416 312 + 48 64 + 48 - Envolvente de corte en [𝑘𝑁] - 64 312 𝑉 Diagrama 𝑢 en [𝑘𝑁] 𝜙 416 Como la viga está cargada en su ala superior y apoyada en su parte inferior, la sección crítica está a una distancia 𝑑 de los apoyos. A una distancia 𝑑: 𝑉𝑢 610 = 416 − ∙ (416 − 64) = 373 [𝑘𝑁] 𝜙 5000 𝑉𝑛 ≥ 𝑉𝑢 = 373 [𝑘𝑁] 𝜙 b) Verificar si se requieren estribos Si 𝑉𝑛 ≤ 0.5 ∙ 𝑉𝑐 no se requieren estribos. 𝑉𝑐 = 0.17 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 = 0.17 ∙ 1 ∙ √25 ∙ 300 ∙ 610 = 155550 [𝑁] 205 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑉𝑐 = 155.55 [𝑘𝑁] Como 𝑉𝑛 = 373 [𝑘𝑁] > 0.5 ∙ 𝑉𝑐 = 77.78 [𝑘𝑁], los estribos son requeridos. c) Verificar anclaje y máximo espaciamiento Se colocarán estribos cerrados. Máximo espaciamiento basado en la altura de la viga. 𝑠𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝑑 = 305 [𝑚𝑚] 2 𝑠𝑚𝑎𝑥 ≤ 600 [𝑚𝑚] Si 𝑉𝑛 ≥ 𝑉𝑐 + 0.33 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 se reduce a la mitad el valor de 𝑠 𝑉𝑛 = 373 [𝑘𝑁] 𝑉𝑐 + 0.33 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 = 155.55 + 0.33 ∙ √25 ∙ 300 ∙ 610 = 457.50 [𝑘𝑁] 1000 Como 𝑉𝑛 = 373 [𝑘𝑁] < 457.50 [𝑘𝑁] entonces la separación de los estribos no se reduce a la mitad de los valores indicados y queda fijada en 305 [𝑚𝑚] 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 305 [𝑚𝑚] Máximo espaciamiento basado en el área mínima 𝐴𝑣 𝑚𝑖𝑛 = 0.062 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑠 𝑏𝑤 ∙ 𝑠 ≥ 0.35 ∙ 𝑓𝑦 𝑓𝑦 Reemplazando el valor de 25 [𝑀𝑃𝑎] para la resistencia del hormigón se tiene: 𝐴𝑣 𝑚𝑖𝑛 = 0.062 ∙ √25 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑠 𝑓𝑦 𝐴𝑣 𝑚𝑖𝑛 ∙ 𝑓𝑦 𝑠 𝑚𝑎𝑥 = 0.35 ∙ 𝑏𝑤 𝐴𝑣 𝑚𝑖𝑛 = 0.35 ∙ 206 𝑏𝑤 ∙ 𝑠 𝑏𝑤 ∙ 𝑠 𝑏𝑤 ∙ 𝑠 = 0.31 ∙ ≥ 0.35 ∙ 𝑓𝑦 𝑓𝑦 𝑓𝑦 Vigas –Resistencia a corte y tensión diagonal Si utilizamos 𝐸𝜙10 dos ramas 𝐴𝑣 = 2 · 0.785 = 1.57 [𝑐𝑚2 ] 𝑠 𝑚𝑎𝑥 = 157 ∙ 420 0.35 ∙ 300 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 628 [𝑚𝑚] 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 305 [𝑚𝑚] d) Calcular el espaciamiento de los estribos para resistir las fuerzas de corte 𝑠= 𝐴𝑣 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑑 157 ∙ 420 ∙ 610 = = 185 [𝑚𝑚] 𝑉𝑢 (373 − 155.55) ∙ 1000 𝜙 − 𝑉𝑐 𝑉𝑐 = 155.55 [𝑘𝑁] 𝑉𝑢 = 373 [𝑘𝑁] 𝜙 Utilizar 𝑠 = 150 [𝑚𝑚] Se cambia la separación 𝑠 a 200 [𝑚𝑚] y 300 [𝑚𝑚] donde sea posible. Los espaciamientos intermedios dependen del ingeniero y se recomienda no utilizar más de tres separaciones con diferencias de 50 [𝑚𝑚] a 75 [𝑚𝑚]. 𝑉 Calcular 𝜙𝑢 donde se utilice 𝑠 = 200 [𝑚𝑚] 𝑉𝑢 𝐴𝑣 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑑 = + 𝑉𝑐 𝜙 𝑠 𝑉𝑢 157 ∙ 420 ∙ 610 = + 155.55 = 356.67 [𝑘𝑁] 𝜙 200 ∙ 1000 La distancia desde el borde izquierdo de la viga es: 𝑥= 416 − 356.67 ∙ 5000 = 843 [𝑚𝑚] 416 − 64 𝑉 Calcular 𝜙𝑢 donde se utilice 𝑠 = 300 [𝑚𝑚] 207 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑉𝑢 157 ∙ 420 ∙ 610 = + 155.55 = 289.63 [𝑘𝑁] 𝜙 300 ∙ 1000 La distancia desde el borde izquierdo de la viga es: 𝑥= 416 − 289.63 ∙ 5000 = 1795 [𝑚𝑚] 416 − 64 Los estribos deben continuar hasta el punto donde 𝑉𝑢 = 𝜙 ∙ 0.5 ∙ 𝑉𝑐 𝑉𝑢 = 0.5 ∙ 𝑉𝑐 = 77.78 [𝑘𝑁] 𝜙 La distancia desde el borde izquierdo de la viga es: 𝑥= 416 − 77.78 ∙ 500 = 4804 [𝑚𝑚] 416 − 64 Utilizar: 0 [𝑚𝑚] ≤ 𝑥 ≤ 843 [𝑚𝑚] 843 [𝑚𝑚] ≤ 𝑥 ≤ 1795 [𝑚𝑚] 1795 [𝑚𝑚] ≤ 𝑥 ≤ 4804 [𝑚𝑚] 50 7𝐸𝜙10𝑐/150 0 200 843 𝑠 = 150 [𝑚𝑚] 𝑠 = 200 [𝑚𝑚] 𝑠 = 300 [𝑚𝑚] 300 5𝐸𝜙10𝑐/200 1795 10𝐸𝜙10𝑐/300 50 4804 5000 Para dibujar la envolvente de la resistencia nominal al corte a lo largo de la viga, se calcula el valor de 𝑉𝑛 correspondiente a cada separación 𝑠 de los estribos. 𝑉𝑛 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠 208 Vigas –Resistencia a corte y tensión diagonal 𝑉𝑛 = 155.55 + 𝐴𝑣 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑑 𝑠 Para 𝑠 = 150 [𝑚𝑚] 𝑉𝑠 = 157 ∙ 420 ∙ 610 = 268.16 [𝑘𝑁] 150 ∙ 1000 𝑉𝑛 = 423.71 [𝑘𝑁] Para 𝑠 = 200 [𝑚𝑚] 𝑉𝑠 = 157 ∙ 420 ∙ 610 = 201.12 [𝑘𝑁] 200 ∙ 1000 𝑉𝑛 = 356.67 [𝑘𝑁] Para 𝑠 = 300 [𝑚𝑚] 𝑉𝑠 = 157 ∙ 420 ∙ 610 = 134.08 [𝑘𝑁] 300 ∙ 1000 𝑉𝑛 = 289.63 [𝑘𝑁] Se dibuja la envolvente de 𝑉𝑛 sobre 𝑉𝑢 /𝜙 para confirmar que el diseño sea el adecuado. 423.71 356.67 416 289.63 77.78 64 209 Diseño de estructuras de hormigón armado 5.5. Problemas propuestos 1. Calcular 𝜙 · 𝑉𝑛 para las secciones transversales que se muestran en las figuras: Datos: 𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] Dimensiones en [𝑚𝑚]. a) 750 150 650 𝐸𝜙10 𝑐/150 300 b) 580 𝐸𝜙10 𝑐/250 380 c) 125 400 𝐸𝜙10 𝑐/150 650 210 125 500 Vigas –Resistencia a corte y tensión diagonal 2. La viga de la figura soporta las cargas de servicio que se muestran. La carga muerta incluye el peso propio de la viga. a) Dibujar los diagramas de corte para las siguientes cargas últimas: - Carga muerta y carga viva en toda la viga. - Carga muerta en toda la viga y carga viva en la luz BC. - Carga muerta en toda la viga y carga viva en la luz AB y CD. b) Dibujar la envolvente del diagrama de corte c) Diseñar los estribos utilizando Datos: 𝑓𝑐′ = 25 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] 𝑤𝐷 = 29.0 [𝑘𝑁/𝑚] 𝑤𝐿 = 21.9 [𝑘𝑁/𝑚] A B 2500 C 2500 D 1800 550 600 300 Dimensiones en [𝑚𝑚] 211 CAPÍTULO 6 VIGAS CONTINUAS Y LOSAS EN UNA DIRECCIÓN 6. Vigas continuas y losas en una dirección 6.1. Vigas hiperestáticas de hormigón armado El cálculo de vigas continuas y losas en una dirección se presenta con mucha frecuencia en el diseño de edificios puesto que, dependiendo de la configuración, los pisos en menor o mayor grado están compuestos por vigas y losas. En el diseño de una viga continua o losa armada en una sola dirección es necesario considerar varios estados límites últimos y de servicio. Estados límites últimos: - Falla por flexión. Falla por corte. Falla por anclaje. Falla por torsión (posiblemente). Estados límites de servicio: - Excesiva deflexión. - Ancho de fisuras. - Vibración. Continuidad en estructuras de hormigón armado En la construcción de edificios una vez terminado el encofrado para las losas y vigas se procede a la colocación de la armadura. Después se realiza el vaciado monolítico de toda la superficie para luego levantar las columnas del siguiente piso. El código ACI en su sección 26.5.7.2 (a) requiere que el hormigón de columnas y muros haya fraguado antes de colocar el hormigón en el piso soportado por éstas. 213 Diseño de estructuras de hormigón armado Esta secuencia es requerida porque el hormigón en la columna tenderá a asentarse mientras siga en estado plástico. Si se vacía al mismo tiempo el hormigón del piso con el de las columnas, pueden aparecer cangrejeras (espacios huecos) entre las vigas y las columnas. Vaciando el hormigón del piso después de que el hormigón de la columna ya no está plástico, da como resultado una unión entre vigas y columnas sin vacíos. Como resultado de esta secuencia en el vaciado, cada piso actúa como una unidad continua. Debido a que el refuerzo de las columnas se extiende a través del piso, las columnas actúan con el piso para formar un pórtico continuo (hiperestático). Pórticos arriostrados vs. Pórticos no arriostrados Se dice que un pórtico no está arriostrado si resiste las fuerza laterales (viento, sismo, etc.) a través de la acción de pórtico, mientras que si resiste estas fuerzas a través de muros se dice que el pórtico está arriostrado. Si la rigidez lateral del elemento más resistente (muro, caja de ascensores, etc.) en un piso excede entre 6 y 10 veces la suma de las rigidez de todas las columnas en ese piso, ese piso puede ser considerado como arriostrado. La mayoría de los edificios están arriostrados por muros, cajas de ascensores o escaleras. Los elementos del piso (vigas y losa) en un pórtico no arriostrado deben resistir momentos producidos por cargas laterales como también por cargas gravitacionales. En pórticos arriostrados los momentos en vigas producidos por las cargas laterales pueden ser ignorados en la mayoría de los casos. La mayoría de las edificaciones pueden catalogarse como arriostradas, por lo que en el presente texto solo se presentarán ejemplos de vigas en pórticos arriostrados. Cuando la estructura no está arriostrada, las acciones laterales sobre la edificación producen esfuerzos tanto en los elementos verticales (columnas) como en los horizontales (vigas y losas), por lo que éstos deben ser considerados para el diseño de las vigas y losas. Muro de cortante Pórtico no arriostrado Pórtico arriostrado Fig. 6.1. Tipos de pórticos En la figura 6.1 se muestra la configuración de un pórtico no arriostrado y de uno arriostrado. El arriostramiento puede consistir en muros de cortante, cajas de ascensores, diagonales, etc. Es importante 214 Vigas contínuas y losas en una dirección notar que el arriostramiento de un pórtico no necesita estar presente en todos los vanos, basta con asegurar el movimiento lateral de uno de ellos, pero lo importante es que el sistema de arriostramiento esté presente en todo lo alto de la edificación. Losas armadas en una dirección y vigas de piso Uno de los sistemas de piso más comunes en hormigón armado vaciado in situ es el que utiliza losas macizas armadas en una dirección que se apoyan sobre vigas. Este sistema es muy utilizado para vanos simples, pero se presenta con más frecuencia en losas con varios vanos. Las losas en una dirección tienen la particularidad de transmitir las cargas, que actúan sobre ellas, en la dirección más corta de sus dos dimensiones. 𝐷 𝐵 𝐸 𝐴 𝐹 𝑷 𝐶 𝐺 Fig. 6.2. Losa armada en una dirección En la figura 6.2, se puede apreciar como una carga 𝑃 que es aplicada en el punto 𝐴 es resistida por la franja de losa que la trasmite a las vigas en los puntos 𝐵 y 𝐶 (en una sola dirección). Las vigas transmiten la carga a las columnas en los puntos 𝐷, 𝐸, 𝐹 y 𝐺. Existen otros tipos de losa que por sus características y disposición de sus elementos estructurales distribuyen la carga en dos direcciones como las losas sin vigas que son conocidas con el nombre de losas planas o las losas con vigas dispuestas en una grilla aproximadamente cuadrada con columnas en cada esquina de cada cuadrado que son referidas como sistemas de losas y vigas en dos direcciones. También, se pueden construir sistemas de losa en dos direcciones, que pueden o no tener vigas perimetrales, con nervaduras dispuestas ortogonalmente o utilizando losas planas con capiteles sobre las columnas o ábacos embebidos en la misma losa. Todos estos sistemas serán estudiados en el capítulo de losas armadas en dos direcciones. Algunas veces los pisos tienen vigas en dos direcciones como se muestra en la siguiente figura, pero aun así dependiendo de las dimensiones del panel que queda circunscrito entre las vigas, la losa puede ser todavía diseñada como losa en una dirección. Cuando en una losa se tienen vanos paneles cuadrados de grandes dimensiones, puede ser recomendable subdividirlos utilizando vigas secundarias para obtener losas rectangulares que pueden ser diseñadas como 215 Diseño de estructuras de hormigón armado losas en una dirección. En la figura 6.3 se ha utilizado una viga secundaria para subdividir una losa cuadrada en dos rectangulares. VIGA PRINCIPAL V I G A LOSA S E C U N D A R I A 𝐴 LOSA 𝐴 VIGA PRINCIPAL LOSA EN PLANTA LOSA SECCION 𝐴 − 𝐴 Fig. 6.3. Losa armada en una dirección con vigas en dos direcciones Momentos y Cortantes en vigas continuas Las losas continuas, las vigas continuas y los pórticos son estructuras estáticamente indeterminadas o también llamadas hiperestáticas. Existen tres procedimientos para el cálculo de los momentos y cortantes en los elementos de estas estructuras: - Análisis Elástico.- Como el método de los tres momentos, Cross, métodos matriciales, etc. - Análisis Plástico.- Con el objeto de conocer el verdadero coeficiente de seguridad de la estructura es importante conocer la carga límite o de rotura que produce el colapso de la 216 Vigas contínuas y losas en una dirección estructura y el estado de solicitaciones en ese instante, razón por la cual el ingeniero debe conocer las técnicas básicas de los métodos de análisis plástico. - Análisis Aproximado.- Como el uso de coeficientes de momento, o los métodos del pórtico o volado. Dependiendo de la importancia del trabajo, de los medios disponibles y de los conocimientos del calculista, el análisis de la estructura continua puede ser encarado considerando cualquiera de los procedimientos enunciados. Para el diseño de pequeños edificios arriostrados, el último procedimiento proporciona resultados aceptables, mientras que para edificios más complejos puede ser utilizado para el predimensionamiento de sus elementos. 6.2. Estados de carga Los momentos máximos en vigas continuas o en pórticos ocurren cuando algunos de los tramos están cargados y otros no. Las líneas de influencia son utilizadas para determinar que tramos deberían o no deberían estar cargados. Una línea de influencia es un gráfico de la variación del momento, corte u otro efecto, en un punto particular de la estructura, cuando una carga puntual unitaria se mueve a lo largo de la misma. En vigas continuas resulta muy útil y práctico la utilización del principio de Müller - Breslau para dibujar en forma cualitativa las líneas de influencia y de ese modo determinar las posiciones más críticas de la carga viva. Una vez que se ha dibujado la línea de influencia en forma cualitativa, es fácil determinar la posición de las cargas vivas que producen el máximo efecto en el punto considerado. Para explicar de forma práctica el principio de Müller – Breslau, se considerará una viga continua de cinco tramos, para la cual se determinará la posición de las cargas vivas que producen la máxima influencia (corte o momento) en puntos determinados. Geometría de la viga continua 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 𝐻 𝐼 𝐽 𝐾 Línea de influencia de 𝑀𝐵 + - + - + Estado de carga para producir el momento máximo positivo 𝐵 217 Diseño de estructuras de hormigón armado Línea de influencia de 𝑀𝐶 - - - + + Estado de carga para producir el momento máximo negativo en 𝐶 Línea de influencia de 𝑉𝐵 - + + - - + Estado de carga para producir el corte máximo positivo en 𝐵 Línea de influencia de 𝑉𝐹 - + - + - + Estado de carga para producir el corte máximo positivo en 𝐹 Línea de influencia de 𝑉𝐸 a la derecha - + + - + Estado de carga para producir el corte máximo positivo en 𝐸 Fig. 6.4. Estados de carga con base a líneas de influencia 218 Vigas contínuas y losas en una dirección La primera línea de influencia de la viga es para el momento positivo en el punto B. Para hallar el máximo momento positivo en 𝐵, la carga viva es colocada sobre los tramos 𝐴𝐶, 𝐸𝐺 e 𝐼𝐾. La segunda línea de influencia de la viga es para el momento negativo sobre el apoyo C. Para hallar el máximo momento negativo en 𝐶, la carga viva es colocada sobre los tramos 𝐴𝐶, 𝐶𝐸 y 𝐺𝐼. La tercera línea de influencia de la viga es para el cortante en B. Para hallar el máximo cortante positivo en 𝐵, la carga viva es colocada en los tramos 𝐵𝐶, 𝐸𝐺 e 𝐼𝐾. La cuarta línea de influencia de la viga es para el cortante en 𝐹. Para hallar el máximo cortante negativo en 𝐹, la carga viva es colocada en los tramos 𝐴𝐶, 𝐸𝐹 y 𝐺𝐼. La quinta línea de influencia en la figura es para el cortante a la derecha del apoyo 𝐸. Para hallar el máximo cortante positivo a la derecha de 𝐸, la carga viva es colocada sobre los tramos 𝐶𝐸, 𝐸𝐺 e 𝐼𝐾. Para la determinación de los momentos y cortantes causados por cargas gravitacionales sobre columnas, muros y vigas, el código ACI en su sección 6.3.1.2 permite asumir que la carga viva está solamente aplicada al piso o techo bajo consideración. Con base a esta simplificación, se puede utilizar un modelo limitado a la losa y vigas del piso considerado más las columnas por encima y debajo del piso. Los extremos de las columnas pueden ser considerados como empotrados para el análisis bajo cargas gravitacionales. Esta suposición no es aplicable para el análisis bajo cargas laterales. Sin embargo, para éste tipo de cargas, se puede utilizar métodos aproximados como el método del pórtico siempre y cuando la estructura sea simétrica y cumpla con los requerimientos del método aproximado. Para otros casos, se debe utilizar métodos más rigurosos de análisis que consideren todos los desplazamientos de la estructura. Basado en el análisis de la viga continua con las líneas de influencia de la figura 6.4, el código ACI en su sección 6.4.2 requiere que una viga continua sea diseñada para los siguientes dos estados de carga: - Cargas muertas últimas en todas las luces con cargas vivas últimas en dos luces adyacentes y ninguna carga viva en las demás luces. Este estado de carga produce el máximo momento negativo y el máximo corte en el apoyo que está entre las dos luces cargadas. Este estado de carga se repite para cada apoyo interior. - Cargas muertas últimas en todas las luces con cargas vivas últimas sobre luces alternadas. Este estado de carga produce el máximo momento positivo al medio de las luces cargadas, el mínimo momento positivo (que puede ser negativo) al medio de las luces no cargadas y momentos máximos negativos en los apoyos exteriores. En la siguiente figura se presentan los diferentes estados de carga que se deben considerar para un pórtico arriostrado de tres vanos. 219 Diseño de estructuras de hormigón armado Pórtico Estado de carga 1 Estado de carga 2 Estado de carga 3 Estado de carga 4 Envolvente de Momentos Fig. 6.5. Estados de carga y envolvente de momentos para la viga del pórtico 220 Vigas contínuas y losas en una dirección Cada sección de la viga del pórtico debe ser diseñada considerando la envolvente de momentos máximos de tal modo que se asegure que la viga tiene la suficiente resistencia para soportar los momentos máximos positivos y negativos que se presentan en la envolvente de momentos. Por lo tanto, la relación · 𝑀𝑛 ≥ 𝑀𝑢 debe cumplirse para cada sección de la viga a lo largo de los tres vanos. 6.3. Coeficientes para momentos de la ACI Debido a que los cálculos necesarios para hallar las envolventes de corte y momento son largos y tediosos, el código ACI en su sección 6.5 presenta coeficientes aproximados que pueden ser utilizados para el cálculo de las mismas en vigas o losas continuas en una dirección construidas de hormigón armado (no pretensado) que cumplen los siguientes requerimientos: a) b) c) d) e) f) Existen dos o más tramos. Las luces de los tramos son aproximadamente iguales, con la más larga, entre dos tramos adyacentes, no mayor a 1.2 veces la longitud de la más corta. Las cargas son uniformemente distribuidas. La carga viva de servicio no excede en tres veces la carga muerta de servicio. Las vigas deben ser prismáticas, esto quiere decir que ellas tienen la misma sección transversal en toda su longitud. La viga debe pertenecer a un pórtico arriostrado y no debe tener momentos significativos producidos por cargas laterales. Los momentos máximos positivos, negativos, y los cortes máximos son calculados utilizando las siguientes expresiones: 𝑀𝑢 = 𝐶𝑚 ∙ (𝑤𝑢 ∙ ℓ2𝑛 ) (6.1) ℓ𝑛 ) 2 (6.2) 𝑉𝑢 = 𝐶𝑣 ∙ (𝑤𝑢 ∙ Donde: 𝑤𝑢 = Carga total última por unidad de longitud. 𝐶𝑚 = Coeficiente para momentos. 𝐶𝑣 = Coeficiente para cortantes. ℓ𝑛 = Longitud del tramo en cuestión, para momentos negativos en la cara interior del soporte exterior, para momentos positivos y para corte. ℓ𝑛 = Longitud promedio de los tramos adyacentes, para momentos negativos en los soportes interiores. Para entender mejor la terminología empleada en el código ACI y los distintos coeficientes que se utilizan dependiendo de las condiciones de apoyo de los extremos de la losa o viga continua, se presentan en las siguientes figuras unos esquemas informativos. 221 Diseño de estructuras de hormigón armado a) Terminología Extremo continuo tramo exterior Tramo interior Cara interna del soporte exterior Otras caras de los soportes interiores Cara externa del soporte interior b) Extremo discontinuo no restringido Se presenta cuando el extremo de la losa o viga se apoya sobre un muro que le permite rotación pero no desplazamiento vertical. 𝐶𝑚 𝐶𝑣 0 1/11 −1/10 −1/11 Para dos vanos −1/9 −1/9 1.15 1.0 1.0 1/16 −1/11 −1/11 1.0 1.0 c) Extremo discontinuo integrado con el soporte, donde el soporte es una viga Se presenta cuando el extremo de la losa o viga se apoya sobre una viga (apoyo elástico) que le permite cierto grado de rotación y desplazamiento vertical. 𝐶𝑚 −1/24 𝐶𝑣 1.0 1/14 −1/10 −1/11 Para dos vanos −1/9 −1/9 1.15 1.0 1/16 −1/11 −1/11 1.0 1.0 d) Extremo discontinuo integrado con el soporte, donde el soporte es una columna o muro Se presenta cuando el extremo de la losa o viga se apoya sobre una columna o muro que no le permite rotación y tampoco desplazamiento vertical. 𝐶𝑚 𝐶𝑣 −1/16 1.0 1/16 −1/10 −1/11 Para dos vanos −1/9 −1/9 1.15 1.0 1/16 −1/11 1.0 −1/11 1.0 Fig. 6.6. Coeficientes de momento y cortante para estructuras hiperestáticas 222 Vigas contínuas y losas en una dirección 6.4. Redistribución de momentos negativos en vigas continuas El código ACI en su sección 6.6.5 permite la redistribución de los momentos negativos en vigas continuas, excepto cuando éstos han sido determinados por métodos aproximados. Se permite incrementar o disminuir los momentos negativos calculados por la teoría elástica para cualquier combinación de carga en un porcentaje no mayor a 1000 · 𝜀𝑡 considerando como límite máximo un 20%. Los momentos negativos modificados deben ser utilizados para el cálculo de los momentos en las secciones de los tramos. La redistribución de los momentos negativos se puede realizar solamente cuando la deformación neta de tracción en el acero más alejado de la cara de compresión 𝜀𝑡 es igual o mayor a 0.0075 en la sección donde el momento es reducido. 6.5. Losas armadas en una dirección Para propósitos de diseño una losa armada en una dirección se asume que actúa como una serie de franjas de 1 [𝑚] de ancho paralelas, independientes y continuas sobre las vigas que las soportan. Las franjas de losa se extienden en la dirección más corta como las franjas 𝐴 y 𝐵. Cerca de los extremos del panel adyacentes a las vigas, algo de carga es resistida por la flexión de las franjas longitudinales (franja 𝐶) y por las franjas transversales (franja 𝐴). Por lo tanto, cerca de las vigas la carga es soportada por una acción de la losa en dos direcciones. En el diseño de una losa armada en una dirección este hecho es ignorado, pero se lo toma en cuenta colocando una armadura superior (armadura negativa) en cada lado de la losa. Si este refuerzo es omitido en la cara superior de la losa, entonces se presentan fisuras a lo largo de la unión con la viga 𝐷𝐸 con la losa. 𝐷 𝐴 𝐵 𝐶 𝐸 Acción en dos direcciones Acción en una dirección Acción en dos direcciones Fig. 6.7. Comportamiento de una losa armada en dos direcciones 223 Diseño de estructuras de hormigón armado Espesor de las losas en una dirección Con excepción de losas muy cargadas, como las que soportan varios metros de tierra, el espesor es elegido de tal manera que la deflexión no sea un problema. Ocasionalmente, el espesor estará controlado por corte o flexión y esto debe ser verificado para cada diseño. La tabla 7.3.1.1 del código ACI proporciona espesores mínimos de losas construidas con hormigón de peso normal y con acero de tensión de fluencia igual a 420 [𝑀𝑃𝑎] y que no soportan o que no están adheridas a particiones u otras construcciones que pueden dañarse por deformaciones grandes. No se da ninguna otra guía para otros casos. La tabla da espesores mínimos para losas en una dirección que soportan y no soportan tales particiones. Algunas veces el espesor de las losas está controlado por la transmisión de calor durante un incendio. Por lo tanto la clasificación para fuego de una losa se basa en el número de horas necesarias para que la temperatura, de una superficie no expuesta, se incremente en una cantidad, generalmente 120℃ (250℉). Basado en un incremento de 120℃ (250℉) una losa de 90 [𝑚𝑚] (3½") tendrá una clasificación de 1 hora, una de 125 [𝑚𝑚] (5") tendrá una clasificación de 2 horas y una de 160 [𝑚𝑚] (6") tendrá una clasificación de 3 horas. Recubrimiento El recubrimiento de las barras de acero cumple diversas funciones que van desde protección contra el medio ambiente (corrosión) y el fuego, hasta la necesidad que tiene una barra de contar con hormigón alrededor suyo para propósitos de adherencia. El código ACI en su sección 20.6.1.3.1 recomienda en el caso de losas, los siguientes recubrimientos mínimos para protección contra la corrosión: - Hormigón no expuesto a humedad o sin contacto con suelo para barras de diámetros menores o iguales a 36 [𝑚𝑚] utilizar 20 [𝑚𝑚] de recubrimiento. - Hormigón expuesto a humedad o en contacto con suelo. Para barras de diámetros menores o iguales a 16 [𝑚𝑚] utilizar 40 [𝑚𝑚] de recubrimiento. Para barras de diámetros mayores o iguales a 20 [𝑚𝑚] utilizar 50 [𝑚𝑚] de recubrimiento. La resistencia estructural de una losa expuesta al fuego depende, entre otras cosas, del recubrimiento de la armadura. Se recomienda utilizar los siguientes recubrimientos: - 20 [𝑚𝑚] de recubrimiento provee una resistencia al fuego de 1 hora y 15 minutos. - 25 [𝑚𝑚] de recubrimiento provee una resistencia al fuego de 1 hora y 30 minutos. - 40 [𝑚𝑚] de recubrimiento provee una resistencia al fuego de 3 horas. Refuerzo La colocación de la armadura para losas armadas en una dirección puede ser realizada de las siguientes formas: 224 Vigas contínuas y losas en una dirección a) Disposición recta de barras.- Esta forma facilita mucho el armado de la losa con lo que se reducen los costos de mano de obra tanto en el doblado de las barras como en su colocado. Como desventaja se puede mencionar que ésta necesita una mayor cantidad de acero por metro cúbico de hormigón, puesto que en los extremos de las barras se deben considerar longitudes adicionales que corresponden a las longitudes de desarrollo de las mismas. b) Combinación de barras rectas y dobladas.- Esta forma necesita un mayor consumo en tiempo de la mano de obra tanto para el doblado de las barras como para su instalación. Como ventaja se puede mencionar que el uso del acero es más eficiente, puesto que las barras se doblan tan pronto dejan de ser necesarias evitando la utilización de las longitudes de desarrollo que son necesarias tomar en cuenta en la disposición recta de las barras. En este tipo de disposición es costumbre no doblar todas las barras, sino más bien colocar en forma alterna una barra doblada y una barra recta. La colocación de la armadura en losas que trabajan en una sola dirección, utilizando la disposición recta o la combinación de barras rectas y dobladas, es como la que se muestra en las figuras a continuación. Es importante observar que la armadura por retracción y temperatura debe ser colocada perpendicularmente a la armadura principal tanto en la cara superior de la losa como en la cara inferior. La armadura principal positiva (en los vanos) y la negativa (sobre los apoyos) de la losa en ningún caso puede ser menor a la armadura por retracción y temperatura. Refuerzo superior sobre vigas interiores Refuerzo por temperatura Refuerzo inferior Disposición recta de barras Barras inferiores dobladas Refuerzo inferior Refuerzo por temperatura Disposición alternada de barras rectas y dobladas Fig. 6.8. Disposición del refuerzo en losas armadas en una dirección Las losas en una dirección son diseñadas asumiendo una franja de un metro de ancho, por lo tanto el área de refuerzo es calculada en [𝑐𝑚2 /𝑚]. Según la sección 7.7.2.3 del código ACI, el máximo espaciamiento que se debe utilizar para las barras de la armadura principal en una losa es tres veces el espesor de la misma, pero menor a 450 [𝑚𝑚]. También 225 Diseño de estructuras de hormigón armado se debe tomar en cuenta lo que indican las provisiones para el control del agrietamiento en la sección 24.3.2 del código ACI. 𝑠 ≤ 3 ∙ ℎ ≤ 450 [𝑚𝑚] Para controlar el ancho de las fisuras paralelas al acero principal que se pueden presentar debido a la retracción del hormigón, se coloca un refuerzo perpendicular al acero principal que es llamado acero de retracción y temperatura. El código ACI en su sección 7.6.1.1 requiere que se coloquen las siguientes cuantías mínimas de área de acero con respecto al área gruesa de hormigón: Armadura por retracción y temperatura en losas Tensión de fluencia del acero de refuerzo [𝑴𝑷𝒂] Cuantía de refuerzo por área total de hormigón (𝒃 · 𝒉) < 420 0.0020 420 0.0018 ∙ ≥ 0.0014 𝑓𝑦 ≥ 420 Según la sección 7.7.2.4 del código ACI, el máximo espaciamiento de las barras de la armadura por retracción y temperatura, dispuestas de forma perpendicular a la armadura principal, debe ser cinco veces el espesor de la losa, pero menor a 450 [𝑚𝑚]. 𝑠 ≤ 5 ∙ ℎ ≤ 450 [𝑚𝑚] Para losas estructurales y cimentaciones de espesor uniforme, la sección 7.7.2.3 del código ACI especifica que el área mínima de acero por flexión debe ser igual o mayor al área necesaria por temperatura y retracción (sección 24.4.3.2 código ACI), pero el máximo espaciamiento que se debe utilizar es tres veces el espesor de la losa, pero menor a 450 [𝑚𝑚]. 𝑠 ≤ 3 ∙ ℎ ≤ 450 [𝑚𝑚] Ejemplo. Diseñar la losa del piso que se muestra abajo. Se considerará una franja de 1 [𝑚] de ancho. Datos: 𝑓𝑐′ = 25 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] Carga viva = 4.8 [𝑘𝑁/𝑚2 ] incluye particiones. Se asume que las vigas tienen un ancho de 350 [𝑚𝑚]. Dimensiones en [𝑚𝑚]. 226 Vigas contínuas y losas en una dirección 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 9 3 4 1 2 3 4 D 1 2 3 4 9000 C 1 2 3 4 9200 B 9000 𝐴 𝐴 1 2 3 4 A 1 4600 4600 4600 4600 4600 4600 4600 2 3 4 4600 PLANTA SECCION 𝐴 − 𝐴 a) Estimar el espesor de la losa de piso. La elección inicial del espesor de la losa se basará en la tabla 7.3.1.1 del código ACI que proporciona espesores mínimos cuando no se calculan deflexiones de los elementos. Los espesores de esta tabla son utilizados cuando los elementos no soportan particiones susceptibles a dañarse por deflexiones grandes (tabiques de mampostería de ladrillo). Se asumirán particiones movibles lo suficientemente flexibles para acomodar las deflexiones del piso. Vano exterior: ℓ 4600 ℎ𝑚𝑖𝑛 = = = 192 [𝑚𝑚] 24 24 Vanos interiores: ℓ 4600 ℎ𝑚𝑖𝑛 = = = 164 [𝑚𝑚] 28 28 Se adopta preliminarmente una losa maciza de ℎ = 200 [𝑚𝑚]. 227 Diseño de estructuras de hormigón armado Nota: Debido a que 200 [𝑚𝑚] es ya un espesor considerable, convendría diseñar una losa aligerada en una dirección para disminuir el peso propio del piso, pero en este caso se seguirá el ejemplo con una losa maciza. Si se asume un recubrimiento de 20 [𝑚𝑚] y barras de 16 [𝑚𝑚] de diámetro. 16 = 172 [𝑚𝑚] 𝑑 = 200 − 20 − 2 Antes de definir el espesor final de la losa, es necesario verificar que el espesor adoptado sea adecuado para resistir el momento flector y la fuerza cortante. b) Cálculo de Cargas. - Peso propio 𝑘𝑁 Asumir un peso unitario del hormigón armado de 24 [𝑚3 ]. 𝑘𝑁 𝑤𝑙𝑜𝑠𝑎 = 24 · 0.20 = 4.8 [ 2 ] 𝑚 - Contrapiso 𝑘𝑁 Asumir un promedio de 60 [𝑚𝑚] de hormigón pobre de peso unitario igual a 22.5 [𝑚3 ]. 𝑘𝑁 𝑤𝑐𝑝 = 22.5 · 0.06 = 1.35 [ 2 ] 𝑚 - Equipo mecánico 𝑘𝑁 𝑤𝑒𝑚 = 0.20 [ 2 ] 𝑚 - Cielo falso 𝑤𝑐𝑓 = 0.10 [ 𝑘𝑁 ] 𝑚2 Total carga muerta 𝑤𝐷 = 4.8 + 1.35 + 0.20 + 0.10 = 6.45 [ 𝑘𝑁 ] 𝑚2 Total carga viva 𝑘𝑁 𝑤𝐿 = 4.8 [ 2 ] 𝑚 Combinación de carga 𝑤𝑢 = 1.2 · 𝑤𝐷 + 1.6 · 𝑤𝐿 = 1.2 · 6.45 + 1.6 · 4.8 = 15.42 [ La carga por metro de ancho de losa es: 228 𝑘𝑁 ] 𝑚2 Vigas contínuas y losas en una dirección 1 [𝑚] · 15.42 [ 𝑘𝑁 𝑘𝑁 ] = 15.42 [ ] 𝑚2 𝑚 Como la carga viva 𝑤𝐿 es menor a tres veces la carga muerta 𝑤𝐷 y los otros requerimientos de la sección 6.5 del código ACI se cumplen, entonces se utilizarán los coeficientes recomendados por el código para calcular los momentos flectores y las fuerzas cortantes. c) Verificar el espesor que se requiere por momentos. El máximo refuerzo que normalmente se utiliza será aquel que corresponde a una falla controlada por tracción cuya profundidad del bloque rectangular de compresión está dada por: 𝑎 𝑎𝑡𝑐 ≤ = 0.375 ∙ 𝛽1 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Sin embargo las losas muy pocas veces tienen una cuantía geométrica mayor al 1%. Entonces adoptamos una cuantía igual a 0.01. Sabemos que: 𝜙 · 𝑀𝑛 = 𝜙 · 𝑏 · 𝑑2 · 𝑓𝑐′ · · (1 − 0.59 · ) 𝜔=𝜌∙ 𝑓𝑦 420 = 0.168 ′ = 0.01 ∙ 𝑓𝑐 25 𝑀𝑢 ≤ 𝜙 · 𝑀𝑛 = 0.9 · 1000 · 𝑑2 · 25 · 0.168 · (1 − 0.59 · 0.168) 𝑀𝑢 ≤ 𝜙 · 𝑀𝑛 = 3405.33 · 𝑑2 El máximo momento ocurrirá en el primer o segundo soporte interior: Primer soporte interior 𝑀𝑢 = (𝑤𝑢 ∙ ℓ𝑛 2 )/10 ℓ𝑛 = ((4600 − 350) + (4600 − 350))/2 = 4250[𝑚𝑚] = 4.25[𝑚] 𝑀𝑢 = (15.42 ∙ 4.252 )/10 = 27.85 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] por metro de losa Segundo soporte interior 𝑀𝑢 = (𝑤𝑢 ∙ ℓ𝑛 2 )/11 ℓ𝑛 = 4250 [𝑚𝑚] 𝑀𝑢 = (15.42 · 4.252 )/11 = 25.32 [𝑘𝑁 · 𝑚] por metro de losa 229 Diseño de estructuras de hormigón armado Por lo tanto, el momento máximo se presenta en el primer soporte interior 𝑀𝑢 𝑚𝑎𝑥 = 27.85 [𝑘𝑁 · 𝑚] Reemplazando en 𝑀𝑢 ≤ 3405.33 · 𝑑2 27.85 · 106 ≤ 3405.33 · 𝑑2 𝑑 ≥ 90 [𝑚𝑚] El mínimo canto útil 𝑑 es de 90 [𝑚𝑚] para mantener una cuantía < 0.01 y como 𝑑 = 172 [𝑚𝑚], calculado en el inciso a), excede este valor, la losa tiene un espesor adecuado para resistir los momentos de flexión. d) Verificar si el espesor es adecuado para corte. Se requiere refuerzo para corte en losas cuando 𝑉𝑢 > 𝜙 · 𝑉𝑐 (ACI 7.6.3.1). Como es muy difícil colocar refuerzo de corte en una losa, se tomará como valor máximo de 𝑉𝑢 el valor de 𝜙 · 𝑉𝑐 . En consecuencia, hay que verificar que 𝑉𝑢 ≤ 𝜙 · 𝑉𝑐 . Como todas las luces son iguales, el máximo corte ocurre en la cara exterior del primer soporte interior. Primer soporte interior 𝑉𝑢 = 1.15 · 𝑤𝑢 · ℓ𝑛 /2 ℓ𝑛 = 4250 [𝑚𝑚] = 4.25 [𝑚] 𝑉𝑢 = 1.15 · 15.42 · 4.25/2 = 37.68 [𝑘𝑁] Corte nominal de diseño 𝜙 ∙ 𝑉𝑛 = 𝜙 ∙ 0.17 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 𝜙 ∙ 𝑉𝑛 = 0.75 ∙ 0.17 ∙ 1 ∙ √25 ∙ 1000 ∙ 172 103 𝜙 ∙ 𝑉𝑛 = 109.65 [𝑘𝑁] Como 𝜙 ∙ 𝑉𝑛 > 𝑉𝑢 el espesor de losa es adecuado para corte. NOTA: Cuando el espesor de la losa es elegido con base a la Tabla 7.3.1.1 del ACI (control de deflexión), la resistencia al corte y a la flexión rara vez controlan. 230 Vigas contínuas y losas en una dirección e) Diseño del refuerzo. El refuerzo para la losa continua debe ser calculado en varios puntos (a medio tramo de los vanos y sobre los soportes) utilizando el siguiente procedimiento desarrollado para el 𝑀𝑢 𝑚𝑎𝑥 . Asumir: 𝑗 · 𝑑 = 𝑑 − 𝑎/2 = 0.925 · 𝑑 (Para losa) 𝐴𝑠 = 𝑀𝑢 𝜙 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑗 ∙ 𝑑 𝐴𝑠 = 27.85 ∙ 106 0.9 ∙ 420 ∙ 0.925 ∙ 172 𝐴𝑠 = 463.1 [𝑚𝑚²/𝑚] = 4.6 [𝑐𝑚²/𝑚] Utilizar 𝜙10 𝑐/150 (𝐴𝑠 = 5.24 [𝑐𝑚²/𝑚]) Calcular 𝑎 𝑎= 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 524 ∙ 420 = ′ 0.85 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 0.85 ∙ 25 ∙ 1000 𝑎 = 10 [𝑚𝑚] Calcular 𝑑 y 𝑗 · 𝑑 𝑑 = 200 − 20 − 𝑗·𝑑 =𝑑− 10 = 175 [𝑚𝑚] 2 𝑎 10 = 175 − = 170 [𝑚𝑚] 2 2 Notar que 𝑗 = 0.97 en este caso. Recalculamos 𝐴𝑠 . 𝐴𝑠 = 𝑀𝑢 ∙ 106 0.9 ∙ 420 ∙ 170 ∙ 102 𝐴𝑠 = 0.1556 · 𝑀𝑢 [𝑐𝑚²/𝑚] Donde 𝑀𝑢 en [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] 𝐴𝑠 = 0.1556 · 𝑀𝑢 231 Diseño de estructuras de hormigón armado Esta fórmula puede ser utilizada para el cálculo del área en todas las secciones de la losa, ya que los momentos en las otras secciones son menores y el 𝑗 · 𝑑 calculado para la sección más solicitada estará por el lado de la seguridad (muy pequeño) y dará valores de 𝐴𝑠 un poco mayores. Calcular la armadura mínima 𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 = 0.0018 ∙ 𝑏 ∙ ℎ = 0.0018 ∙ 100 ∙ 20 = 3.6 [𝑐𝑚2 /𝑚] El máximo espaciamiento de la armadura debe ser el menor de los siguientes valores: 𝑠 ≤ 3 · ℎ = 600 [𝑚𝑚] 𝑠 ≤ 450 [𝑚𝑚] f) Refuerzo por temperatura y retracción 𝐴𝑠 = 0.0018 ∙ 𝑏 ∙ ℎ = 0.0018 ∙ 100 ∙ 20 = 3.6 [𝑐𝑚2 /𝑚] Utilizar 𝜙10 𝑐/200 (𝐴𝑠 = 3.93 [𝑐𝑚²/𝑚]) que es ligeramente mayor al valor mínimo requerido. 232 1. ℓ𝑛 [𝑚] 4.25 4.25 4.25 4.25 4.25 2. 𝑤𝑢 · ℓ𝑛 2 278.5 278.5 278.5 278.5 278.5 3. Coef. de 𝑀 − 1 24 1 14 − 1 10 − 1 11 1 16 − 4. 𝑀𝑢 [𝑘𝑁 · 𝑚/𝑚] −11.60 19.89 −27.85 − 25.32 17.41 −25.32 5. 𝐴𝑠(𝑟𝑒𝑞) [𝑐𝑚2 /𝑚] 1.80 3.09 4.33 3.94 2.71 3.94 6. 𝐴𝑠(𝑚𝑖𝑛) [𝑐𝑚2 /𝑚] 3.60 3.60 3.60 3.60 3.60 7. Armadura 10 𝑐/200 10 𝑐/200 10 𝑐/175 10 𝑐/200 10 𝑐/175 8. 𝐴𝑠 [𝑐𝑚2 /𝑚] 3.93 3.93 4.49 3.93 4.49 1 11 Vigas contínuas y losas en una dirección 1.5 [𝑚] 1.0 [𝑚] 𝜙 10 𝑐/200 1.5 [𝑚] 1.5 [𝑚] 𝜙 10 𝑐/175 𝜙 10 𝑐/200 𝜙 10 𝑐/175 𝜙10 𝑐/200 𝜙 10 𝑐/200 1.5 [𝑚] 𝜙 10 𝑐/200 𝜙 10 𝑐/200 𝜙 10 𝑐/200 g) Diseño del refuerzo superior transversal en las vigas. Debido a la acción en dos direcciones que presentan las regiones de la losa adyacentes a las vigas (A, B, C, etc.), es necesario colocar un refuerzo superior en la losa perpendicular a las vigas. Este refuerzo será calculado cuando las vigas sean diseñadas. Ejemplo. Diseñar la viga del eje 8 de la losa de piso del problema anterior. Esta viga soporta, además de su peso propio, la carga de la losa de 200 [𝑚𝑚] de espesor. La viga está soportada por las vigas en los ejes A, B, C, y D. Utilizar las mismas características de los materiales empleados para el diseño de la losa. a) Cálculo de cargas. La altura de la viga será calculada para resistir el momento negativo sobre el primer apoyo interior debido a las cargas últimas. Para ello, calculemos primero las cargas últimas sobre la viga. Carga Muerta (No incluye la porción de viga por debajo de la losa). 𝑤𝑙𝑜𝑠𝑎 = 4.80 [𝑘𝑁/𝑚2 ] Losa 2 𝑤𝑐𝑝 = 1.35 [𝑘𝑁/𝑚 ] Contra piso 2 𝑤𝑒𝑚 = 0.20 [𝑘𝑁/𝑚 ] Equipo Mecánico 2 𝑤𝑐𝑓 = 0.10 [𝑘𝑁/𝑚 ] Cielo Falso 𝑤𝐷 = 6.45 [𝑘𝑁/𝑚²] · 4.60 [𝑚] = 29.67 [𝑘𝑁/𝑚] Ancho tributario Viga.- Se deben aproximar sus dimensiones: base 𝑏 y altura ℎ. Vano exterior: ℓ 9000 ℎ𝑚𝑖𝑛 = = = 486 [𝑚𝑚] 18.5 18.5 Vanos interiores: ℓ 9200 ℎ𝑚𝑖𝑛 = = = 438 [𝑚𝑚] 21 21 233 Diseño de estructuras de hormigón armado Se decide utilizar ℎ = 0.50 [𝑚]. 𝑏 = 0.35 [𝑚] 𝑤𝑣𝑖𝑔𝑎 = 0.35 · (0.50 − 0.20) · 24 = 2.52 [𝑘𝑁/𝑚] 𝑤𝐷 = 29.67 + 2.52 = 32.19 [𝑘𝑁/𝑚] Carga viva 𝑤𝐿 = 4.8 [𝑘𝑁/𝑚²] · 4.60 [𝑚] = 22.08 [𝑘𝑁/𝑚] Combinaciones de carga: 𝑤𝑢 = 1.2 · 𝑤𝐷 + 1.6 · 𝑤𝐿 = 1.2 · 32.19 + 1.6 · 22.08 = 73.96 [𝑘𝑁/𝑚] b) Cálculo de la altura necesaria para la viga. La altura de la viga está gobernada por tres factores: - Deflexión. - Capacidad de momento en el punto de máximo momento negativo. - Capacidad de corte. Altura de viga basada en requerimientos de deflexión. De la tabla 9.3.1.1 del código ACI se escoge la altura mínima. Un extremo continuo ℎ = ℓ/18.5 = 9.0/18.5 = 0.49 [𝑚] Dos extremos continuos ℎ = ℓ/21 = 9.2/21 = 0.44 [𝑚] Altura de viga basada en el momento negativo del primer soporte interior. 𝑀𝑢 = 1 ∙𝑤 ∙ℓ 2 10 𝑢 𝑛 Donde ℓ𝑛 es el promedio de las luces libres (distancias entre caras de apoyos) ℓ𝑛 = ℓ𝑛𝑙+ ℓ𝑛2 (9.2 − 0.35 + 9.0 − 0.35) = 2 2 ℓ𝑛 = 8.75 [𝑚] 𝑀𝑢 = 1 ∙ 73.96 ∙ 8.752 10 𝑀𝑢 = 566.26 [𝑘𝑁 · 𝑚] 234 Vigas contínuas y losas en una dirección Sabemos que: 𝜙 · 𝑀𝑛 = 𝜙 · 𝑏 · 𝑑2 · 𝑓𝑐′ · · (1 − 0.59 · ) ≥ 𝑀𝑢 En vigas continuas un = 0.013 es generalmente deseado en la región de máximo momento negativo. Se asume = 0.013 y que no hay acero de compresión. 𝜔=𝜌∙ 𝑓𝑦 420 = 0.2184 ′ = 0.013 ∙ 𝑓𝑐 25 0.9 · 𝑏 · 𝑑2 · 25 · 0.2184 · (1 − 0.59 · 0.2184) ≥ 𝑀𝑢 𝑏 · 𝑑2 ≥ 𝑀𝑢 /4.28 𝑏 · 𝑑2 ≥ 132303738 [𝑚𝑚³] Para diferentes valores de 𝑏 se tienen los siguientes 𝑑: 𝑏 = 250 [𝑚𝑚] 𝑏 = 300 [𝑚𝑚] 𝑏 = 350 [𝑚𝑚] 𝑏 = 400 [𝑚𝑚] 𝑑 ≥ 727 [𝑚𝑚] 𝑑 ≥ 664 [𝑚𝑚] 𝑑 ≥ 615 [𝑚𝑚] 𝑑 ≥ 575 [𝑚𝑚] Escogemos 𝑏 = 350 [𝑚𝑚] ⇒ ℎ = 𝑑 + 65 = 615 + 65 = 680 [𝑚𝑚] Por lo tanto 𝑏 = 350 [𝑚𝑚] y ℎ = 700[𝑚𝑚] Verificar el corte con la altura escogida 𝜙 · 𝑉𝑛 = 𝜙 · (𝑉𝑐 + 𝑉𝑠 ) ≥ 𝑉𝑢 𝑉𝑐 = 0.17 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 = 0.17 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 𝑉𝑠 𝑚𝑎𝑥 = 0.66 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 𝜙 ∙ 𝑉𝑛 = 𝜙 ∙ (0.17 + 0.66) ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 = 𝜙 ∙ 0.83 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 ≥ 𝑉𝑢 𝜙 ∙ 𝑉𝑛 ≤ 𝜙 ∙ 0.83 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 = 0.75 ∙ 0.83 ∙ √25 ∙ 350 ∙ 635 = 691.75 [𝑘𝑁] 1000 𝑉𝑢 ≤ 691.75 [𝑘𝑁] El máximo corte 𝑉𝑢 en la viga es 1.15 · 𝑤𝑢 · ℓ𝑛 /2 235 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑉𝑢 = 1.15 · 𝑤𝑢 · ℓ𝑛 /2 = 1.15 · 73.09 · 8.85/2 = 371.95 [𝑘𝑁] Bien ! 𝑉𝑢 = 371.95 [𝑘𝑁] ≤ 691.75 [𝑘𝑁] ℓ𝑛 = 9.20 − 0.35 = 8.85 [𝑚] Resumen 200 635 700 200 700 635 350 350 Región de momento positivo Región de momento negativo 𝑑 = ℎ − 65 = 635 [𝑚𝑚] Asumiendo una sola fila de aceros c) Calcular el peso propio del alma debajo de la losa y recalcular la carga total. Peso del alma debajo de la losa: 0.35 · 0.50 · 24 = 4.20 [𝑘𝑁/𝑚] Carga total: 𝑤𝑢 = 1.2 · (29.67 + 4.20) + 1.6 · 22.08 = 75.97 [𝑘𝑁/𝑚] Esta carga es 4% mayor a la estimada anteriormente. d) Calcular el ancho efectivo del ala para la región de momento positivo. 𝑏𝑓 ≤ 0.25 · ℓ𝑛 + 𝑏𝑤 = 0.25 · 8650 + 350 = 2513 [𝑚𝑚] basado en la luz corta 𝑏𝑓 ≤ 16 · ℎ + 𝑏𝑤 = 16 · 200 + 350 = 3550 [𝑚𝑚] 𝑏𝑓 ≤ 𝑠𝑤 + 𝑏𝑤 = 4250 + 350 = 4600 [𝑚𝑚] Por lo tanto 𝑏𝑓 = 2513 [𝑚𝑚] e) Calcular los momentos. Los momentos pueden ser hallados por un programa de estructuras o con los coeficientes del código ACI si la estructura cumple con las condiciones estipuladas. 236 Vigas contínuas y losas en una dirección - La estructura es de hormigón armado con más de dos luces - La relación entre luces es de 8.85/8.65 = 1.02 < 1.20 - Las cargas son uniformemente repartidas Carga viva: 𝑤𝐿 = (4.8 · 4.60) = 22.08 [𝑘𝑁/𝑚] Carga muerta: 𝑤𝐷 = (6.45 · 4.60 + 4.20) = 33.87 [𝑘𝑁/𝑚] Por lo tanto la carga viva no mayorada no excede en tres veces la carga muerta no mayorada. 1. ℓ𝑛 [𝑚] 8.65 8.65 8.75 8.85 8.75 2. 𝑤𝑢 [𝑘𝑁/𝑚] 75.97 75.97 75.97 75.97 75.97 3. 𝑤𝑢 · ℓ𝑛 2 [𝑘𝑁 · 𝑚] 5684.27 5684.27 5816.45 5950.16 5816.45 4. Coef. de 𝑀 − 1 24 1 14 5. 𝑀𝑢 [𝑘𝑁 · 𝑚] −236.84 406.02 −581.65 371.89 −581.65 6. Coef. de 𝐴𝑠 4.84 4.22 4.84 4.22 4.84 7. 𝐴𝑠 (𝑟𝑒𝑞) [𝑐𝑚2 ] 11.46 17.13 28.15 15.69 28.15 8. 𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 [𝑐𝑚2 ] 7.41 7.41 7.41 7.41 7.41 9. Armadura 4 𝜙 20 4 𝜙 25 9 𝜙 20 4 𝜙 25 9 𝜙 20 10. 𝐴𝑠 [𝑐𝑚2 ] 12.57 19.63 28.27 19.63 28.27 −−−− Si −−−− Si −−−− 11. 𝑏𝑤 suficiente para las barras − 1 10 − 1 11 1 16 − 1 11 − 1 10 En la región de momentos negativos no es necesario verificar si las barras entran en el ancho del alma 𝑏𝑤 porque algunas de ellas pueden entrar en la losa. 237 Diseño de estructuras de hormigón armado f) Diseño del refuerzo. Cálculo del área de acero en el punto de máximo momento negativo. 𝐴𝑠 = 𝑀𝑢 581.65 ∙ 106 = 𝜙 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑗 ∙ 𝑑 0.9 ∙ 420 ∙ 0.875 ∙ 635 Valor asumido 𝐴𝑠 = 2769 [𝑚𝑚²] = 27.7 [𝑐𝑚²] Se asumió que 𝑗 · 𝑑 = 𝑑 − 𝑎/2 = 0.875 · 𝑑 Escogemos 10 𝜙 20 (𝐴𝑠 = 31.42 [𝑐𝑚²]) Calcular 𝑎 𝑎= 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 3142 ∙ 420 = ′ 0.85 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 0.85 ∙ 25 ∙ 350 𝑎 = 177 [𝑚𝑚] 𝑎 𝑎 177 = = = 0.279 𝑑 𝑑𝑡 635 𝑎𝑏 600 600 = 𝛽1 ∙ = 0.85 ∙ = 0.5 𝑑 600 + 𝑓𝑦 600 + 420 𝛽1 = 1.05 − 0.007 · 𝑓𝑐′ = 1.05 − 0.007 · 25 = 0.88 ⇒ 𝑎𝑡𝑐 = 0.375 ∙ 𝛽1 = 0.375 ∙ 0.85 = 0.319 𝑑𝑡 Como: 𝑎 𝑎𝑏 𝑎 𝑎𝑡𝑐 = 0.279 ≤ = 0.5 𝑦 = 0.279 ≤ = 0.319 𝑑 𝑑 𝑑𝑡 𝑑𝑡 ⇒ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 y 𝜙 = 0.9 Recalcular 𝐴𝑠 tomando como base el valor de 𝑎 calculado. 238 𝛽1 = 0.85 Vigas contínuas y losas en una dirección 𝐴𝑠 = 𝑀𝑢 𝑀𝑢 ∙ 106 = 𝜙 ∙ 𝑓𝑦 ∙ (𝑑 − 𝑎/2) 0.9 ∙ 420 ∙ (635 − 177/2) 𝐴𝑠 = 4.84 · 𝑀𝑢 [𝑚𝑚²] donde 𝑀𝑢 está en [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] En las líneas 6 y 7 de la tabla anterior, el área requerida en las regiones de momento negativo es calculada como 𝐴𝑠 = 4.84 · 𝑀𝑢 . La "constante" 4.84 fue evaluada en el punto de máximo momento negativo, por lo tanto su uso en los demás puntos de momento negativo está justificado. Cálculo del área en el punto de máximo momento positivo En la región del momento positivo la viga actúa como una viga "T" donde el ala está en compresión. Se asume que la zona de compresión es rectangular. 𝐴𝑠 = 406.02 ∙ 106 𝑀𝑢 = 𝜙 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑗 ∙ 𝑑 0.9 ∙ 420 ∙ 0.95 ∙ 635 Valor asumido 𝐴𝑠 = 1781 [𝑚𝑚²] = 17.81 [𝑐𝑚²] Se asumió 𝑗 · 𝑑 = 𝑑 − 𝑎/2 = 0.95 · 𝑑 Escogemos 4 𝜙 25 (𝐴𝑠 = 19.63 [𝑐𝑚²]) Calcular 𝑎 𝑎= 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 1963 ∙ 420 = ′ 0.85 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 0.85 ∙ 25 ∙ 2513 𝑎 = 15 [𝑚𝑚] ≤ ℎ = 200 [𝑚𝑚] ⇒ Sección rectangular 𝑎 𝑎 15 = = = 0.024 𝑑 𝑑𝑡 635 Como: 𝑎 𝑎𝑏 = 0.024 ≤ = 0.5 ⇒ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 𝑑 𝑑 𝑎 𝑎𝑡𝑐 = 0.024 ≤ = 0.319 ⇒ 𝜙 = 0.9 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Recalcular 𝐴𝑠 tomando como base el valor de 𝑎 calculado. 239 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝐴𝑠 = 𝑀𝑢 𝑀𝑢 ∙ 106 = 𝜙 ∙ 𝑓𝑦 ∙ (𝑑 − 𝑎/2) 0.9 ∙ 420 ∙ (635 − 15/2) 𝐴𝑠 = 4.22 · 𝑀𝑢 [𝑚𝑚²] donde 𝑀𝑢 está en [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] En las líneas 6 y 7 de la tabla anterior, el área requerida en las regiones de momento positivo es calculada como 𝐴𝑠 = 4.22 · 𝑀𝑢 . g) Determinar el área mínima. 𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 = 0.25 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 ≥ 1.4 ∙ 𝑓𝑦 𝑓𝑦 𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 = 0.25 ∙ 350 ∙ 635 √25 ∙ 350 ∙ 635 ≥ 1.4 ∙ 420 420 𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 = 661 [𝑚𝑚²] ≥ 741 [𝑚𝑚²] Por lo tanto 𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 = 7.41 [𝑐𝑚²] h) Verificar la distribución del refuerzo. Esta verificación necesita ser realizada solamente en la región de momentos positivos ya que en la región de momentos negativos el ancho del ala de la viga T es en general más que suficiente para alojar la armadura. Diseño a corte 𝐴 1. 2. 3. 4. ℓ𝑛 [𝑚] 𝑤𝑢 [𝑘𝑁/𝑚] 𝑤𝐿𝑢 [𝑘𝑁/𝑚] Coef. de 𝑉 5a. 5b. 6. 7. 𝑤𝑢 ∙ ℓ𝑛 /2 [𝑘𝑁] 𝑤𝐿𝑢 ∙ ℓ𝑛 /2 [𝑘𝑁] 𝑉𝑢 [𝑘𝑁] 𝑉𝑛 = 𝑉𝑢 /𝜙 𝐵 𝐶 8.65 75.97 35.33 1.0 8.85 75.97 35.33 1.15 1.0 328.57 336.17 0.25 240 328.57 328.57 438.09 152.80 38.20 50.93 1.0 0.25 377.86 503.81 336.17 448.23 336.17 156.34 39.09 52.12 336.17 448.23 Vigas contínuas y losas en una dirección 438.09 𝑉𝑢 /𝜙 448.23 50.93 + + - 50.93 52.12 52.12 - 503.81 448.23 Para el apoyo 𝐵 El corte a una distancia 𝑑 = 635 [𝑚𝑚] del apoyo 𝐵 vale: 𝑉𝑢 503.81 − 50.93 = ∙ (4325 − 635) + 50.93 𝜙 4325 𝑉𝑢 /𝜙 = 437.32 [𝑘𝑁] Por lo tanto 𝑉𝑛 ≥ 437.32 [𝑘𝑁] Se requieren estribos en los lugares donde 𝑉𝑛 = 𝑉𝑢 /𝜙 ≥ 0.5 · 𝑉𝑐 𝑉𝑐 = 0.17 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 = 0.17 ∙ 1 ∙ √25 ∙ 350 ∙ 635 1000 𝑉𝑐 = 188.91 [𝑘𝑁] Como 𝑉𝑛 = 437.32 [𝑘𝑁] ≥ 0.5 · 𝑉𝑐 = 94.46 [𝑘𝑁] ⇒ Se necesitan estribos Si utilizamos 𝐸𝜙10 ⇒ 𝐴𝑣 = 1.57 [𝑐𝑚²] Para la separación máxima de los estribos se toma el menor de los siguientes valores: 𝑠𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝑑 635 = = 318 [𝑚𝑚] 2 2 𝑠𝑚𝑎𝑥 ≤ 600 [𝑚𝑚] Si 𝑉𝑢 /𝜙 − 𝑉𝑐 > 0.33 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 ⇒ Disminuir a la mitad la separación 𝑉𝑢 − 𝑉𝑐 = 437.32 − 188.91 = 248.41 [𝑘𝑁] 𝜙 0.33 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 = 0.33 ∙ √25 ∙ 350 ∙ 635 = 366.71 [𝑘𝑁] 1000 241 Diseño de estructuras de hormigón armado Como 248.41[𝑘𝑁] < 366.71 [𝑘𝑁] ⇒ 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 318 [𝑚𝑚] (No se disminuye la separación) La separación máxima entre estribos por refuerzo mínimo es: 𝐴𝑣 𝑚𝑖𝑛 = 0.062 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑠 𝑏𝑤 ∙ 𝑠 ≥ 0.35 ∙ 𝑓𝑦 𝑓𝑦 Reemplazando el valor de 25 [𝑀𝑃𝑎] para la resistencia del hormigón se tiene: 𝐴𝑣 𝑚𝑖𝑛 = 0.062 ∙ √25 ∙ 𝐴𝑣 𝑚𝑖𝑛 = 0.35 ∙ 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝑏𝑤 ∙ 𝑠 𝑓𝑦 𝑏𝑤 ∙ 𝑠 𝑏𝑤 ∙ 𝑠 𝑏𝑤 ∙ 𝑠 = 0.31 ∙ ≥ 0.35 ∙ 𝑓𝑦 𝑓𝑦 𝑓𝑦 ⇒ 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝐴𝑣 𝑚𝑖𝑛 ∙ 𝑓𝑦 0.35 ∙ 𝑏𝑤 𝐴𝑣 𝑚𝑖𝑛 ∙ 𝑓𝑦 157 ∙ 420 = 0.35 ∙ 𝑏𝑤 0.35 ∙ 350 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 538 [𝑚𝑚] Por lo tanto 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 318 [𝑚𝑚] La separación necesaria de los estribos para resistir la fuerza cortante máxima es: 𝑠= 𝐴𝑣 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑑 157 ∙ 420 ∙ 635 = 𝑉𝑢 (437.32 − 188.91) ∙ 1000 − 𝑉𝑐 𝜙 𝑠 = 168.56 [𝑚𝑚] Utilizar 𝐸𝜙10 𝑐/150 Se cambia la separación a 200 [𝑚𝑚] y 300 [𝑚𝑚] donde ésta sea adecuada. Calcular 𝑉𝑢 /𝜙 donde se puede utilizar 𝑠 = 200 [𝑚𝑚] 𝑉𝑢 𝐴𝑣 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑑 157 ∙ 420 ∙ 635 = + 𝑉𝑐 = + 188.91 𝜙 𝑠 200 ∙ 1000 𝑉𝑢 = 398.27 [𝑘𝑁] 𝜙 242 Vigas contínuas y losas en una dirección 𝑥= 503.81 − 398.27 ∙ 4325 503.81 − 50.93 𝑥 = 1008 [𝑚𝑚] Calcular 𝑉𝑢 /𝜙 donde se puede utilizar 𝑠 = 300 [𝑚𝑚] 𝑉𝑢 𝐴𝑣 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑑 157 ∙ 420 ∙ 635 = + 𝑉𝑐 = + 188.91 𝜙 𝑠 300 ∙ 1000 𝑉𝑢 = 328.48 [𝑘𝑁] 𝜙 𝑥= 503.81 − 328.48 ∙ 4325 503.81 − 50.93 𝑥 = 1674 [𝑚𝑚] Utilizar: 0 [𝑚𝑚] ≤ 𝑥 ≤ 1008 [𝑚𝑚] 𝐸𝜙10 𝑐/150 1043 [𝑚𝑚] ≤ 𝑥 ≤ 1674 [𝑚𝑚] 𝐸𝜙10 𝑐/200 1674 [𝑚𝑚] ≤ 𝑥 ≤ 4325 [𝑚𝑚] 𝐸𝜙10 𝑐/300 Para facilitar la construcción utilizamos la misma distribución de estribos con sus respectivas separaciones en todos los tramos de la viga. 6.6. Problemas propuestos 1. Una losa de cinco vanos, armada en una dirección, está apoyada sobre vigas de 300 [𝑚𝑚] de ancho espaciadas cada 5 [𝑚] de centro a centro. La losa soporta una carga muerta uniformemente distribuida de 0.5 [𝑘𝑁/𝑚2 ] y una carga viva uniformemente distribuida de 5 [𝑘𝑁/𝑚2 ]. El hormigón tiene una resistencia característica a los 28 días de 20 [𝑀𝑃𝑎] y el acero una tensión mínima de fluencia de 420 [𝑀𝑃𝑎]. Calcular la losa utilizando los coeficientes para momento y corte del código ACI y un programa de análisis estructural tomando las diferentes combinaciones y estados de carga que usted considere. Comparar los resultados y dibujar, para cada uno de los procedimientos, una sección longitudinal mostrando la posición del refuerzo y los puntos de corte. Para el caso del método de los coeficientes del código ACI, localizar los puntos de corte utilizando las figuras del anexo que muestran la longitud estándar de las barras. 2. Una losa de cuatro vanos, armada en una dirección, está apoyada sobre vigas de 300 [mm] de ancho espaciadas 4.5 [𝑚], 5 [𝑚], 5 [𝑚] y 4.5 [𝑚] de centro a centro. La losa soporta una carga muerta 243 Diseño de estructuras de hormigón armado uniformemente distribuida de 1.0 [𝑘𝑁/𝑚2 ] y una carga viva de 7.5 [𝑘𝑁/𝑚2 ]. El hormigón tiene una resistencia característica a los 28 días de 20 [𝑀𝑃𝑎] y el acero una tensión mínima de fluencia de 420 [𝑀𝑃𝑎]. Calcular la losa utilizando los coeficientes para momento y corte del código ACI y un programa de análisis estructural tomando las diferentes combinaciones y estados de carga que usted considere. Comparar los resultados y dibujar, para cada uno de los procedimientos, una sección longitudinal mostrando la posición del refuerzo y los puntos de corte. Para el caso del método de los coeficientes del código ACI, localizar los puntos de corte utilizando las figuras del anexo que muestran la longitud estándar de las barras. 244 CAPÍTULO 7 DESARROLLO, ANCLAJE Y EMPALMES DE BARRAS DE ACERO 7. Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero 7.1. Introducción Como el hormigón armado es un material compuesto (hormigón y acero) es necesario que exista una eficiente ligazón entre los dos componentes y para ello se requiere de una adherencia e interacción adecuadas entre ambos materiales. Los requerimientos de los códigos tienen como finalidad asegurar que las barras de acero estén lo suficientemente embebidas dentro de la masa de hormigón bien compactado de tal manera que éstas puedan desarrollar su resistencia (al menos la tensión de fluencia) sin que se produzca en la estructura deformaciones excesivas o el deslizamiento de las mismas barras fuera del hormigón. En la teoría del hormigón armado es usual asumir como hipótesis de que las deformaciones específicas del hormigón 𝜀𝑐 y del acero 𝜀𝑠 son iguales; y por tanto, esto implica suponer que la adherencia entre el hormigón y las barras de acero es perfecta, por lo cual no habría desplazamiento relativo entre los materiales en la superficie de interfase. La deformación límite del hormigón en tracción es del orden de 0.0002, es decir de un orden mucho menor que la deformación de fluencia del acero grado 420 que es 0.002. Por tanto, es imposible postular que 𝜀𝑐 = 𝜀𝑠 , en particular para estados de tensiones donde el hormigón armado tiene comportamiento francamente no lineal como ocurre en estructuras construidas en zonas de alta sismicidad donde por condiciones de diseño ciertas zonas críticas son seleccionadas para plastificarse. En esas circunstancias, pueden aparecer fisuras de tracción multidireccionales por lo que las condiciones de adherencia se ven seriamente deterioradas a menos que se comprenda el fenómeno y se adopten condiciones especiales para el detalle y la colocación de la armadura. Para tener un comportamiento dúctil en hormigón armado se deben evitar o demorar al máximo posible dos tipos de fallas por ser frágiles: las de corte por un lado, y las de adherencia y anclaje por otro. 245 Diseño de estructuras de hormigón armado Para las situaciones normales, y las extremas cuando actúa por ejemplo el sismo severo, se debe admitir en el hormigón armado convencional (no precomprimido) la formación de fisuras debidas a tracción. Si bien 𝜀𝑐 no es igual a 𝜀𝑠 , la hipótesis de igualdad de deformaciones, a los efectos del diseño de las secciones, puede admitirse como válida pues está demostrado que dentro de un ancho determinado donde existen fisuras por tracción la deformación promedio se mantiene aproximadamente lineal en toda la sección transversal del elemento. Sin embargo, se debe cuidar el diseño y detalle de modo que las fisuras puedan considerarse como capilares (del orden de la décima de mm). Para esto, en las condiciones de servicio del hormigón armado la adherencia cumple un rol fundamental. En la práctica común, se priorizan los cálculos numéricos de las secciones de hormigón armado antes que el diseño y detalle de las mismas, de los elementos estructurales completos y de sus conexiones. Muchos terremotos pasados han demostrado inadecuados detalles de los anclajes y empalmes de las barras de acero, como los que se muestran en las siguientes figuras. Foto 7.1. Falla del viaducto de la autopista interestatal 5/14 por arrancamiento de las barras en sus columnas - Terremoto de 1971, San Fernando – California (Fotografía de R. Kachadoorian, U.S. Geological Survey) Los siguientes dos conceptos son el fundamento de la interacción entre el acero y el hormigón: 246 Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero a) Tensiones en la superficie de contacto, llamadas tensiones de adherencia, se desarrollan cuando entre dos secciones a lo largo de la barra de acero existen variaciones de esfuerzo. b) Una barra de acero se debe extender y estar embebida en el hormigón una distancia ℓ𝑑 , conocida como longitud de desarrollo, de tal modo que la barra transfiera paulatinamente al hormigón, a través de esa longitud, el total de la fuerza desarrollada. Foto 7.2. Falla de empalmes y anclajes de las barras de acero en el viaducto Cypress – Terremoto de 1989, Loma Prieta - San Francisco – California (Fotografía de H. G. Wilshire, U.S. Geological Survey) 7.2. Tensiones de adherencia En vigas de hormigón armado, el momento flector solicitante es resistido por un par de fuerzas que forman una cupla, donde la fuerza de compresión es resistida por el hormigón, mientras que la fuerza de tracción es resistida por el acero. Para que el acero pueda resistir la tracción, debe existir una buena adherencia entre las barras de acero y el hormigón que las envuelve. En la figura 7.1 se muestra, en la izquierda, parte de una viga donde se pueden apreciar las distintas fuerzas que actúan en una sección transversal y en la derecha un trozo de barra que se mantiene en equilibrio debido a la acción de las fuerzas de adherencia. 247 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝐶 𝑉 𝑗·𝑑 𝑇 𝑇 Fuerzas internas en una viga Fuerzas en una barra de acero Fig. 7.1. Adherencia de las barras de acero al hormigón Las tensiones de adherencia son fuerzas que se desarrollan en toda la superficie de las barras de acero y siempre están presentes a lo largo de ellas porque cualquier variación del momento flector en una viga produce inmediatamente cambios de tensión en la barra, por lo tanto estas fuerzas no son constantes. En la figura 7.2 se dibuja el diagrama de cuerpo libre de un pedazo de barra cuyos extremos resisten fuerzas de tracción distintas, pero gracias a las fuerzas de adherencia, que absorben esta diferencia, el trozo de barra se mantiene en equilibrio. 𝑇1 = 𝑓𝑠1 · 𝐴𝑏 = Tensiones de adherencia ℓ 𝑇2 = 𝑓𝑠2 · 𝐴𝑏 Fig. 7.2. Tensiones de adherencia en una barra de acero Si se realiza el equilibrio de la barra a lo largo de su eje se puede determinar el valor promedio de la tensión de adherencia. ∑𝐹 = 0 𝑇2 = 𝑇1 + 𝜇𝑝𝑟𝑜𝑚 · 𝐴𝑠𝑢𝑝 (𝑓𝑠2 − 𝑓𝑠1 ) ∙ 𝐴𝑏 = 𝜇𝑝𝑟𝑜𝑚 ∙ (𝜋 ∙ 𝑑𝑏 ) ∙ ℓ 248 (7.1) Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero ∆𝑓𝑠 ∙ 𝜋 ∙ 𝑑𝑏2 = 𝜇𝑝𝑟𝑜𝑚 ∙ 𝜋 ∙ 𝑑𝑏 ∙ ℓ 4 𝜇𝑝𝑟𝑜𝑚 = ∆𝑓𝑠 ∙ 𝑑𝑏 4∙ℓ (7.2) Si ℓ es tomada como una pequeña longitud 𝑑𝑥 𝑑𝑓𝑠 4 ∙ 𝜇 = 𝑑𝑥 𝑑𝑏 (7.3) Donde es la verdadera tensión de adherencia que actúa en la longitud 𝑑𝑥. Tensión promedio de adherencia en una viga Para hallar la tensión de adherencia de las barras en una viga, se puede tomar como ejemplo la viga isostática de la siguiente figura que soporta una carga puntual a medio tramo. Si se toma un pedazo de viga Δ𝑥 y se dibujan los diagramas de cuerpo libre tanto para el acero en solitario como para el trozo de viga se puede hallar la tensión promedio de adherencia en función del esfuerzo cortante. 𝐶 Fisuras 𝑗·𝑑 𝑇 ∆𝑥 𝑀 =𝑇·𝑗·𝑑 𝑀1 2 𝑀2 = 𝑀1 + ∆𝑀 𝑇1 𝜇 𝑇2 = 𝑇1 + ∆𝑇 𝑉 𝑀1 𝑀2 = 𝑀1 + ∆𝑀 𝑉 Fig. 7.3. Tensión promedio de adherencia en una viga 249 Diseño de estructuras de hormigón armado ∑ 𝐹𝐻 = 0 𝑇1 + 𝜇𝑝𝑟𝑜𝑚 ∙ (𝜋 ∙ 𝑑𝑏 ) ∙ ∆𝑥 = 𝑇2 𝑇2 − 𝑇1 = 𝜇𝑝𝑟𝑜𝑚 ∙ (𝜋 ∙ 𝑑𝑏 ) ∙ ∆𝑥 ∆𝑇 = 𝜇𝑝𝑟𝑜𝑚 ∙ (𝜋 ∙ 𝑑𝑏 ) ∆𝑥 ∆𝑇 = ∆𝑀 𝑗∙𝑑 (7.4) (7.5) ∆𝑀 = (𝜋 ∙ 𝑑𝑏 ) ∙ 𝜇𝑝𝑟𝑜𝑚 ∙ 𝑗 ∙ 𝑑 ∆𝑥 ∆𝑀 =𝑉 ∆𝑥 𝜇𝑝𝑟𝑜𝑚 = (7.6) 𝑉 (𝜋 ∙ 𝑑𝑏 ) ∙ 𝑗 ∙ 𝑑 (7.7) Si hay varias barras se suman sus perímetros. 𝜇𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝑉 𝜋 ∙ ∑ 𝑑𝑏𝑖 ∙ 𝑗 ∙ 𝑑 (7.8) Con estas ecuaciones se calcula la tensión promedio de adherencia entre dos fisuras en una viga, la cual varía notablemente de un punto a otro entre fisuras. Tensiones de adherencia en prismas cargados axialmente. Para entender de una mejor manera la variación de las tensiones de adherencia de una barra de acero cuando se presentan fisuras en el elemento de hormigón armado se estudiará el comportamiento de un prisma de hormigón armado sometido a carga axial. En la siguiente figura se puede apreciar la disposición regular de fisuras en el elemento. Las fisuras aparecen en las zonas más débiles de la estructura interna del hormigón porque en ellas se ha superado el límite de su capacidad de deformación de tracción. En ese caso, el hormigón debe transferir todo el esfuerzo en esa sección al acero, el cual tendrá un pico de tensión. El efecto de adherencia hace que el acero intente nuevamente transferir parte de los esfuerzos a ambos lados de las fisuras hacia el hormigón y por esa razón la tensión en el acero disminuye a un mínimo entre fisuras, mientras que las tensiones en el hormigón aumentan desde cero hasta un máximo entre fisuras. En el lugar de la fisura la tensión en el acero es máxima y en el hormigón es cero, mientras que a medio tramo, entre dos fisuras, la tensión en el acero es mínima y en el hormigón es máxima porque el hormigón absorbe pequeños esfuerzos de tracción si no está agrietado. Las tensiones de adherencia tienen una variación cíclica donde se alternan los esfuerzos de tracción y compresión entre fisuras. 250 Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero Prisma cargado axialmente 𝑃 𝑃 Variación de la tensión Variación de la tensión en el hormigón Variación de la tensión de adherencia Fig. 7.4. Tensión de adherencia en prisma cargado axialmente Tensiones de adherencia en una viga. El comportamiento de las tensiones de adherencia para una viga de hormigón armado es parecido al del prisma de hormigón armado cargado axialmente mostrado antes. En la siguiente figura se presenta una viga simplemente apoyada que soporta dos cargas puntuales. Debido a la distribución y localización de las cargas, se genera en la parte central una región donde el diagrama de momentos es constante. La viga presenta fisuras distribuidas regularmente a lo largo de su cara traccionada, por lo que en los puntos donde se localizan las fisuras, la tensión en el acero es máxima y en el hormigón mínima. La variación de las tensiones del acero a lo largo de la viga sigue más o menos la forma del diagrama de momentos flectores, mientras que la del hormigón es muy parecida al caso del prisma cargado axialmente. Las tensiones de adherencia tienen también una variación cíclica entre fisuras, donde se alternan los esfuerzos de compresión y tracción de una manera sinusoidal. 251 Diseño de estructuras de hormigón armado Viga agrietada Diagrama de momentos Variación de la tensión en el acero Variación de la tensión en el hormigón Variación de la tensión de adherencia Fig. 7.5. Tensiones de adherencia en una viga Tensiones de adherencia en un ensayo de extracción. Este tipo de ensayo no da valores representativos de la resistencia por adherencia de una barra en vigas de hormigón armado porque el hormigón no está agrietado y por lo tanto no hay una distribución cíclica y alternada de esfuerzos de tracción y compresión de las tensiones de adherencia. Pero, este ensayo nos determina, de una forma sencilla y práctica, la mínima longitud que una barra de acero necesita tener, embebida dentro de la masa de hormigón, para poder desarrollar su máxima tensión de fluencia. 252 Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero Cilindro de hormigón 𝑃 Ensayo de adherencia 𝑃/𝐴𝑠 Tensiones en la barra 𝑓𝑠 𝜇 Tensiones de adherencia Fig. 7.6. Tensiones de adherencia en un ensayo de extracción En el ensayo de extracción, la barra es colocada dentro de la masa de hormigón durante el vaciado de la probeta y no es retirada hasta que el hormigón alcanza su resistencia característica. Como se puede ver en la figura 7.6 la tensión en el acero es máxima y se mantiene constante desde el extremo donde se aplica la carga hasta el punto donde la barra penetra en el hormigón y va disminuyendo hasta un valor de cero en el otro extremo. La longitud necesaria de barra embebida dentro de la masa de hormigón para que toda la tensión del acero sea trasmitida al hormigón está en función de muchas variables como: diámetro de la barra de acero, protección epóxica, características del hormigón, etc. 7.3. Mecanismos de transferencia Para que la fuerza en el acero pueda ser transmitida al hormigón, es necesario que diferentes mecanismos se activen entre los dos materiales. Las clases de mecanismos que intervienen en la transferencia de la carga dependen del tipo de barra que se utilice. En barras lisas la transferencia se realiza a través de la adherencia y fricción. Estos dos mecanismos se pierden una vez que la barra es cargada debido a que el diámetro de la barra disminuye por el efecto de Poisson. Por lo tanto, se deben usar ganchos, arandelas y tuercas en el extremo de la barra lisa embebida en el hormigón cuando ésta es utilizada como refuerzo. En barras corrugadas la transferencia se realiza a través de la adherencia, fricción y apoyo en las protuberancias. Los dos primeros mecanismos se pierden rápidamente quedando solamente el tercero. En la figura 7.7 se muestra como el mecanismo de transferencia de apoyo en las protuberancias actúa sobre la masa de hormigón con dos componentes, una radial y la otra longitudinal. La componente longitudinal es la que efectivamente realiza la transferencia de la fuerza, mientras que la radial produce unos esfuerzos circunferenciales que pueden agrietar la viga. 253 Diseño de estructuras de hormigón armado Fuerzas en la barra Fuerza longitudinal Fuerzas en el hormigón Fuerza radial Fuerzas radiales en el hormigón Fig. 7.7. Mecanismo de transferencia - Apoyo en las protuberancias La fuerza radial produce esfuerzos de tracción circunferenciales en el hormigón alrededor de las barras. Eventualmente, si las barras no tienen suficiente recubrimiento, algunas fisuras aparecerán paralelas a éstas y se propagarán hacia la superficie exterior de la viga. Las fisuras producidas por las fuerzas radiales generalmente se manifiestan en los lugares donde las barras de tracción son ancladas. En la figura 7.8 se pueden observar dos secciones transversales de vigas de hormigón armado donde este tipo de fisuras se presentan próximas a las caras traccionadas y se propagan desde las barras hacia el exterior de las secciones. Fig. 7.8. Fisuras producidas por la fuerza radial 254 Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero La carga que produce las fisuras longitudinales está en función de: - Distancia de la barra a la superficie de hormigón o a la barra contigua. - Resistencia a la tracción del hormigón. - Tensión promedio de adherencia. 7.4. Longitud de desarrollo Debido a que la tensión real de adherencia varía a lo largo de la longitud de la barra anclada en la zona de tracción, el código ACI utiliza el concepto de longitud de desarrollo en vez de tensión de adherencia. La longitud de desarrollo ℓ𝑑 es la longitud más corta de barra en el que la tensión puede incrementarse de cero hasta la tensión de fluencia 𝑓𝑦 . Si la distancia desde el punto donde la tensión de la barra es 𝑓𝑦 hasta el extremo de la barra es menor a la longitud de desarrollo, la barra se deslizará a través del hormigón. ℓ𝑑 = 𝑓𝑦 ∙ 𝑑𝑏 4 ∙ 𝜇𝑝𝑟𝑜𝑚,𝑢 (7.9) La longitud de desarrollo en tracción está sujeta a tensiones de adherencia reversibles, en consecuencia se requiere una mayor longitud de desarrollo. Además, la longitud de desarrollo está expresada en términos del valor último de la tensión de adherencia promedio cuando ∆𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 . 7.4.1. Desarrollo de barras corrugadas y de alambres corrugados a tracción El código ACI en su sección 25.4.2.3 expresa la longitud de desarrollo, para barras y alambres corrugados, como un múltiplo del diámetro de la barra. ℓ𝑑 = ( 𝑓𝑦 1.1 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ Ψ𝑡 ∙ Ψ𝑒 ∙ Ψ𝑠 ) ∙ 𝑑𝑏 ≥ 300[𝑚𝑚] 𝑐𝑏 + 𝐾𝑡𝑟 𝑑𝑏 (7.10) Donde: 𝑐𝑏 +𝐾𝑡𝑟 ≤ 2.5 para prevenir la falla por pérdida de adherencia 𝑑𝑏 ℓ𝑑 = Longitud de desarrollo [𝑚𝑚]. 𝑑𝑏 = Diámetro de la barra [𝑚𝑚]. Ψ𝑡 = Factor por localización de la barra. Ψ𝑒 = Factor por protección epóxica. Ψ𝑠 = Factor por diámetro de la barra. 𝜆 = Factor por uso de hormigón ligero. 𝑐𝑏 = El menor valor de: 255 Diseño de estructuras de hormigón armado - La menor distancia de la superficie de hormigón al centro de gravedad de la barra a ser desarrollada - La mitad de la distancia entre centros de gravedad de barras a ser desarrolladas 𝐾𝑡𝑟 = Índice de refuerzo transversal. En la mayoría de los casos la ecuación anterior es muy difícil de utilizar en el diseño porque 𝑐𝑏 y 𝐾𝑡𝑟 pueden variar a lo largo del elemento, por lo que se sustituyen valores límites inferiores de estas dos variables. Para simplificar el cálculo de la longitud de desarrollo de barras en tracción que están siendo empalmadas o desarrolladas con extremos rectos, el código ACI presenta dos casos dependiendo del espaciamiento libre entre barras, del recubrimiento mínimo y de la existencia de armadura perpendicular (estribos) en la zona de desarrollo. Caso 1: Espaciamiento libre entre barras o alambres que se están desarrollando o empalmando por traslape no menor a 𝑑𝑏 , recubrimiento mínimo no menor a 𝑑𝑏 y con estribos a lo largo de ℓ𝑑 que satisfacen el mínimo del código. Caso 2: Espaciamiento libre entre barras o alambres que se están desarrollando o empalmando no menor a 2 ∙ 𝑑𝑏 y recubrimiento mínimo no menor a 𝑑𝑏 Longitud de desarrollo ld para barras y alambres deformados en frío Casos Para 𝒅𝒃 ≤ 𝟐𝟎 [𝒎𝒎] 1y2 ℓ𝑑 = ( Otros ℓ𝑑 = ( 𝑓𝑦 ∙ Ψ𝑡 ∙ Ψ𝑒 2.1 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ 𝑓𝑦 ∙ Ψ𝑡 ∙ Ψ𝑒 1.4 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ Para 𝒅𝒃 > 𝟐𝟎 [𝒎𝒎] ) ∙ 𝑑𝑏 (7.11) ℓ𝑑 = ( ) ∙ 𝑑𝑏 (7.13) ℓ𝑑 = ( 𝑓𝑦 ∙ Ψ𝑡 ∙ Ψ𝑒 1.7 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ 𝑓𝑦 ∙ Ψ𝑡 ∙ Ψ𝑒 1.1 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ) ∙ 𝑑𝑏 (7.12) ) ∙ 𝑑𝑏 (7.14) En todos los casos, la longitud de desarrollo ℓ𝑑 para las barras en tracción debe ser mayor o igual a 300 [𝑚𝑚]. En la figura 7.9 se muestra gráficamente las condiciones físicas y geométricas que deben cumplir las barras a ser desarrolladas para que puedan ser clasificadas como caso 1 o 2 en el cálculo de su longitud de desarrollo. Para las barras que no cumplen las condiciones de clasificación mostradas en los casos 1 o 2, se debe calcular su longitud de desarrollo con las otras ecuaciones. 256 Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero ≥ 𝑑𝑏 ≥ 𝑑𝑏 ≥ 2 ∙ 𝑑𝑏 ≥ 𝑑𝑏 ≥ 𝑑𝑏 ≥ 𝑑𝑏 ≥ 2 ∙ 𝑑𝑏 Caso 1 ≥ 𝑑𝑏 Caso 2 Fig. 7.9. Distancias mínimas entre barras a tracción Se pueden obtener expresiones simples y útiles considerando hormigón de densidad normal, refuerzo sin protección epóxica, barras localizadas en la parte inferior de la sección y acero con tensión de fluencia de 420 [𝑀𝑃𝑎]. Ψ𝑡 = 1 Factor por localización de la barra. Ψ𝑒 = 1 Factor por protección epóxica. 𝜆 = 1 Factor por uso de hormigón ligero. 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] Longitud de desarrollo 𝓵𝒅 para barras y alambres deformados en frío (𝓵𝒅 ≥ 𝟑𝟎𝟎 [𝒎𝒎]) Diámetro de barra 𝒇′𝒄 [𝑴𝑷𝒂] Para 𝒅𝒃 > 𝟐𝟎 [𝒎𝒎] 𝒅𝒃 ≤ 𝟐𝟎 [𝒎𝒎] 𝟐𝟎 𝟐𝟓 𝟑𝟎 𝟐𝟎 𝟐𝟓 𝟑𝟎 Caso 1 y Caso 2 45 · 𝑑𝑏 40 · 𝑑𝑏 37 · 𝑑𝑏 55 · 𝑑𝑏 49 · 𝑑𝑏 45 · 𝑑𝑏 Otros casos 67 · 𝑑𝑏 60 · 𝑑𝑏 55 · 𝑑𝑏 85 · 𝑑𝑏 76 · 𝑑𝑏 70 · 𝑑𝑏 Factor por localización de la barra 𝚿𝒕 . Este factor toma en cuenta la posición del refuerzo de acero en hormigón fresco vaciado. Por numerosas investigaciones, desde el código ACI – 89 el factor Ψ𝑡 fue reducido a 1.3. - Refuerzo horizontal colocado de tal manera que más de 300 [𝑚𝑚] de hormigón fresco es vaciado en el elemento debajo de la longitud de desarrollo o empalme 1.3 - Otro refuerzo 1.0 257 Diseño de estructuras de hormigón armado Generalmente la masa de hormigón fresco sufre de asentamientos y debido a ello existe la tendencia de acumulación de agua debajo de las barras y de las partículas más gruesas del agregado (bleeding o ganancia de agua). Como esa agua es posteriormente reabsorbida por el hormigón, se forman oquedades o poros como se esquematiza en la figura 7.10 y cuando se requiere empalmar o desarrollar barras rectas de acero, se necesitan mayores longitudes porque en esas zonas se producen deslizamientos entre el acero y el hormigón. Oquedad Poros Fig. 7.10. Formación de oquedades o poros debajo de barras horizontales como consecuencia del asentamiento y exudación de la masa de hormigón, respectivamente Con respecto a la posición de las barras en el encofrado, hay que destacar que en general se espera que las barras horizontales ubicadas en la parte superior presenten condiciones de adherencia más desfavorables en comparación con las ubicadas cerca del fondo del encofrado o de la capa de hormigón llenada previamente. Esto se debe a que en las barras ubicadas en la parte superior el fenómeno de ganancia de agua (exudación) por debajo de ellas es mayor y en consecuencia la formación de oquedades o poros es más probable. Factor por protección epóxica de la barra 𝚿𝒆 . Los estudios realizados en acero con protección epóxica demostraron que la resistencia al deslizamiento es reducida porque el revestimiento epóxico anula la adherencia y la fricción entre el acero y el hormigón. El factor Ψ𝑒 considera el tipo de falla de anclaje más probable que puede sufrir una barra de acero con revestimiento epóxico. Cuando los recubrimientos o espaciamientos entre barras son pequeños, es muy probable que se presente una falla por agrietamiento de la superficie que rodea las barras y la resistencia al deslizamiento de las barras se reduce sustancialmente. Si por el contrario, los recubrimientos y espaciamientos entre barras son grandes, es poco probable que se presente una falla por agrietamiento de la superficie que rodea las barras y el revestimiento epóxico no produce un decremento importante de la resistencia al deslizamiento. Algunos ensayos han demostrado que aunque los recubrimientos y espaciamientos entre barras sean pequeños, si se coloca refuerzo transversal cruzando el plano de agrietamiento de tal modo que éste se oponga a la propagación de las fisuras, entonces se puede conseguir un incremento en la resistencia al deslizamiento. - Barras con protecciones epóxica o dual de zinc y epóxico con recubrimiento menor a 3 · 𝑑𝑏 o espaciamiento libre entre barras menor a 6 · 𝑑𝑏 1.5 - Para otras barras o alambres con protecciones epóxica o dual de zinc y epóxico 1.2 258 Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero - Barras sin protección epóxica o con recubrimiento de zinc (galvanizado) 1.0 Debido a que la resistencia al deslizamiento de barras con revestimiento epóxico es reducido ya por la pérdida de adherencia entre la misma barra y el hormigón, se impone un límite superior de 1.7 al producto de Ψ𝑡 por Ψ𝑒 (Ψ𝑡 · Ψ𝑒 ≤ 1.7). Factor por diámetro de la barra 𝚿𝒔 . Este factor considera el diámetro de las barras de acero a ser desarrolladas. Barras de diámetro menor o igual a 20 [𝑚𝑚] requieren proporcionalmente una menor longitud de desarrollo que barras de mayor diámetro. - Para barras 𝑑𝑏 ≤ 20 [𝑚𝑚] - Para barras 𝑑𝑏 > 20 [𝑚𝑚] 0.8 1.0 El diámetro de la barra influye poco sobre el valor de la adherencia. Sin embargo, se prefiere el uso de barras de diámetro menor por las siguientes razones: - Las condiciones de anclaje y manejo en obra serán más favorables. - La sección y por ende el esfuerzo que debe transmitir crece cuadráticamente con el diámetro, (𝑑𝑏 2 ), mientras que el perímetro lo hace linealmente, por lo que las barras de menor diámetro serán más efectivas que las de mayor diámetro. Factor por uso de hormigón ligero 𝝀. Cuando se utiliza hormigón ligero es necesario considerar una mayor longitud de desarrollo para las barras de acero. - Cuando se utiliza hormigón ligero 𝜆 ≤ 0.75 - Cuando 𝑓𝑐𝑡 es especificado 𝜆= - Hormigón de densidad normal 𝜆 = 1.0 1.8∙𝑓𝑐𝑡 √𝑓𝑐′ ≤ 1.0 𝑓𝑐𝑡 = Esfuerzo promedio de fractura a la tracción del hormigón ligero en [𝑀𝑃𝑎] (ver sección 19.2.4 del código ACI). Espaciamiento o recubrimiento 𝒄𝒃 . Se debe tomar el menor de: - La menor distancia de la superficie del hormigón al centro de gravedad de la barra o alambre a ser desarrollado. - La mitad de la distancia entre centros de gravedad de barras o alambres a ser desarrollados. 259 Diseño de estructuras de hormigón armado Factor de refuerzo transversal 𝑲𝒕𝒓 . El factor 𝐾𝑡𝑟 es el índice de refuerzo transversal que toma en cuenta la cantidad y distribución de la armadura de confinamiento (estribos) que atraviesa los planos potenciales de falla de hendimiento o de separación en la zona donde las barras de acero son desarrolladas. 𝐾𝑡𝑟 = 40 ∙ 𝐴𝑡𝑟 𝑠∙𝑛 (7.15) 𝐴𝑡𝑟 = Sección transversal de todo el refuerzo perpendicular dentro de la separación 𝑠 entre estribos, que cruza el plano potencial de falla a lo largo del acero que está siendo desarrollado dentro de la longitud de desarrollo [𝑚𝑚2 ]. 𝑠 = Máxima distancia entre centros de gravedad de las barras de los estribos que están dentro de ℓ𝑑 [𝑚𝑚]. 𝑛 = Número de barras o alambres que se empalman o desarrollan a lo largo del plano de falla. El código ACI en su sección 25.4.2.3 permite tomar el factor 𝐾𝑡𝑟 como 0 para simplificar los cálculos aunque exista refuerzo transversal. Cuando el refuerzo de un elemento sometido a flexión excede el requerido por análisis, excepto cuando se requiere específicamente anclaje o desarrollo para 𝑓𝑦 (diseño sísmico), la longitud ℓ𝑑 puede ser reducida, 𝐴 de acuerdo a la sección 25.4.10 del código ACI, multiplicándola por el factor ( 𝑠 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜 ). 𝐴𝑠 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑐𝑎𝑑𝑜 7.4.2. Desarrollo de barras corrugadas y alambres corrugados a compresión La longitud de desarrollo para barras en compresión es considerablemente más corta que la de barras en tracción porque los mecanismos de transferencia de esfuerzos son diferentes y además no existen fisuras en la zona de anclaje y por lo tanto la tensión de adherencia no cambia de signo. Para barras a compresión, en primer lugar, hay una menor tendencia de que ocurran las fallas por separación (splitting) que se da en barras que se desarrollan en tracción, porque el hormigón que rodea la barra está en compresión. En segundo lugar, una parte de la compresión de la barra puede ser transmitida al hormigón directamente por presión de punta. Pero, el peligro de este mecanismo de transferencia es que la presión de punta puede hacer saltar las zonas del hormigón movilizadas para soportar las presiones de compresión que están muy concentradas. La activación de este mecanismo es posible si más allá del extremo de la barra existe suficiente masa de hormigón o algún otro dispositivo que distribuya los esfuerzos de compresión. La figura 7.11 muestra la posibilidad de que la presión de punta en una barra a compresión tienda a producir una rotura con superficie cónica cuando su extremo termina muy cerca de la superficie libre de hormigón. Para evitar este tipo de falla es conveniente que exista suficiente distancia (masa de hormigón) desde la superficie del elemento al extremo de la barra o que la barra termine con algún tipo de dispositivo (plancha) capaz de distribuir de manera más uniforme el esfuerzo de punta. Sin embargo, es mucho más conveniente que una barra sometida a compresión termine con un gancho de 90° en la dirección opuesta a la ubicación de la barra. 260 Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero Peligro de fractura Preferible acortar o doblar la barra Fig. 7.11. Precaución a tomar cuando se interrumpen barras en compresión cercanas a las superficies libres de hormigón En la sección 25.4.1.2 del código ACI se indica que el gancho no debe ser considerado como una forma adecuada y efectiva para anclar las barras a compresión y por tanto no se considera reducción alguna de la longitud de desarrollo de barras en compresión por la existencia de ganchos. En la figura 7.12 se muestra como una barra en compresión que termina en gancho y que no tiene suficientes estribos puede ser susceptible a pandeo, mientras que si la misma barra termina en forma recta y cuenta con los estribos suficientes para eliminar la posibilidad de pandeo y mejorar la adherencia de la barra, entonces la barra es desarrollada adecuadamente a compresión. Los ganchos no son apropiados para anclar las barras comprimidas, en especial en columnas donde es mejor extender la barra y terminarla con un gancho de 90° apoyado sobre la parrilla de la zapata. Pandeo de la barra a) Posibilidad de pandeo de la barra por insuficientes estribos Estribos b) Disposición de estribos para evitar pandeo y mejorar la adherencia de la barra Fig. 7.12. Terminación de barras en compresión 261 Diseño de estructuras de hormigón armado Como buena práctica, en la zona donde se deben desarrollar o empalmar barras en tracción o compresión, es conveniente disponer de armaduras transversales (estribos) para evitar el pandeo y mejorar la adherencia de la barra. En todos los casos, la longitud de desarrollo ℓ𝑑𝑐 para las barras o alambres en compresión debe ser mayor o igual a 200 [𝑚𝑚]. ℓ𝑑𝑐 = 0.24 ∙ 𝑓𝑦 ∙ Ψ𝑟 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑑𝑏 ≥ 200 [𝑚𝑚] (7.16) Donde: 0.24∙𝑓𝑦 𝜆∙√𝑓𝑐′ ≥ 0.043 ∙ 𝑓𝑦 ∙ Ψ𝑟 y la constante 0.043 tiene las unidades de [ 𝑚𝑚2 ]. 𝑁 Ψ𝑟 = Factor por refuerzo de confinamiento. 𝜆 = Factor por uso de hormigón ligero. Factor por refuerzo de confinamiento de la barra 𝚿𝒓 . Este factor toma en cuenta el confinamiento de las barras. - Para barras dentro de una espiral de diámetro no menor a 6 [mm] con un paso no mayor a 100 [mm] o estribos de diámetro mayor o igual a 12 [mm] de acuerdo a lo especificado en la sección 9.7.6.4 con separación no mayor a 100 [mm] 0.75 - Para otros casos 1.0 De acuerdo a la sección 25.4.10 del código ACI, la longitud ℓ𝑑𝑐 puede ser reducida multiplicándola por el 𝐴 factor ( 𝑠 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜 ) cuando el refuerzo colocado excede lo requerido por el análisis excepto en sistemas 𝐴𝑠 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑐𝑎𝑑𝑜 resistentes a fuerzas sísmicas. Al igual que para el caso de la longitud de desarrollo de barras a tracción, para barras en compresión se pueden obtener expresiones simples y útiles considerando hormigón de densidad normal y acero con tensión de fluencia de 420 [𝑀𝑃𝑎]. 𝜆 = 1 Factor por uso de hormigón ligero Ψ𝑟 = 1 Factor por confinamiento de la barra 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] Longitud de desarrollo 𝓵𝒅𝒄 para barras y alambres deformados en frío (𝓵𝒅𝒄 ≥ 𝟐𝟎𝟎 [𝒎𝒎] ≥ 𝟏𝟖 · 𝒅𝒃 ) 262 𝒇′𝒄 [𝑴𝑷𝒂] 𝟐𝟎 𝟐𝟓 𝟑𝟎 Cualquier caso 23 · 𝑑𝑏 20 · 𝑑𝑏 18 · 𝑑𝑏 Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero 7.4.3. Desarrollo de atados de barras La longitud de desarrollo para barras individuales a compresión o tracción, pertenecientes a un atado, debe ser incrementada en 20% si el atado es de tres barras y 33% si el atado es de cuatro barras. La longitud adicional es atribuida a la reducción del diámetro exterior expuesto de las barras, por lo que la superficie de transferencia es menor. Para la determinación de los factores Ψ𝑡 , Ψ𝑒 y Ψ𝑠 , el atado de barras debe ser considerado como una sola barra cuyo diámetro es calculado con base al área equivalente total de las barras. 7.4.4. Desarrollo de ganchos estándar a tracción En muchos casos la dimensión de los elementos o la posición de las barras dentro de ellos es tal que no es posible tener una longitud recta de desarrollo para el extremo de las barras. Por lo tanto, se hace necesario la utilización de ganchos para proveer el anclaje necesario requerido. Los ganchos más comunes que se utilizan para anclar las barras de acero son los de 90° y 180°. Para evitar que las barras de acero se fracturen en el momento de doblarlas, es necesario respetar los diámetros mínimos de doblado que se presentan en la sección 25.3.1 del código ACI y que se resumen en la siguiente tabla. Diámetro de la barra [𝒎𝒎] Diámetro de doblado 𝑫 De 10 a 25 6 · 𝑑𝑏 De 28 a 36 8 · 𝑑𝑏 > 36 10 · 𝑑𝑏 El diámetro de doblado está en directa proporción con el diámetro de la barra. Se recomienda realizar el doblado de las barras durante las horas del día y cuando la temperatura ambiente está sobre los 10℃. Está prohibido el calentar las barras con soplete (fuego directo), puesto que esta acción produce cambios en la estructura microscópica del acero. Para el diseño de los ganchos de anclaje el código ACI 25.4.3.1 no hace diferencia entre ganchos de 90° y 180° o entre ganchos superiores e inferiores. La longitud de desarrollo de un gancho ℓ𝑑ℎ (ℎ por hook) esta compuesta por una longitud de desarrollo básica que debe ser mayor a 8 ∙ 𝑑𝑏 y a 150 [𝑚𝑚], multiplicada por una serie de factores. ℓ𝑑ℎ = ( 0.24 ∙ 𝑓𝑦 ∙ Ψ𝑒 ∙ Ψ𝑐 ∙ Ψ𝑟 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ) ∙ 𝑑𝑏 ≥ 8 ∙ 𝑑𝑏 ≥ 150 [𝑚𝑚] (7.17) Factor por uso de hormigón ligero 𝝀. - Para hormigón de peso liviano 0.75 - Para hormigón de peso normal 1.0 263 Diseño de estructuras de hormigón armado Factor por protección epóxica de la barra 𝚿𝒆 . - Para otras barras o alambres con protecciones epóxica o dual de zinc y epóxico - Barras sin protección epóxica o con recubrimiento de zinc (galvanizado) 1.2 1.0 Factor por recubrimiento 𝚿𝒄 . - Para ganchos en barras de db ≤ 36 [mm] con recubrimiento lateral (perpendicular al plano del gancho) mayor o igual a 65 [mm] y para ganchos de 90° con recubrimiento más allá del gancho no menor a 50 [mm] a lo largo de la extensión recta 0.7 - Para otras condiciones 1.0 Factor por confinamiento 𝚿𝒓 . - Para ganchos de 90° en barras de db ≤ 36 [mm] cuando se utilizan estribos perpendiculares a la barra a ser desarrollada con separaciones menores o iguales a 3 · db a lo largo de la longitud de desarrollo ℓdh del gancho o cuando se utilizan estribos paralelos a la barra a ser desarrollada con separaciones menores o iguales a 3 · db a lo largo del gancho más la extensión recta, donde db es el diámetro de la barra 0.8 - Para ganchos de 180° en barras de db ≤ 36 [mm] con estribos perpendiculares a la barra a ser desarrollada utilizando separaciones menores o iguales a 3 · db a lo largo de la longitud de desarrollo ℓdh donde db es el diámetro de la barra con gancho 0.8 - Para otras condiciones 1.0 Donde el anclaje o el desarrollo para 𝑓𝑦 no es necesario y cuando se tiene refuerzo en exceso al requerido por análisis y éste no va a estar sometido a fuerzas sísmicas, la sección 25.4.10 del código ACI permite 𝐴 multiplicar ℓdh por el factor ( 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜 ). Esta reducción considera el caso en que se tenga más armadura 𝑠 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑐𝑎𝑑𝑜 de la requerida en un elemento sometido a flexión. En ese caso, la longitud de desarrollo se puede reducir en la misma proporción que el cociente entre la sección requerida y la proporcionada. Pero, esto no es válido si las barras a desarrollar pueden alcanzar la tensión de fluencia, como es el caso de armaduras que son parte del sistema resistente en zonas sísmicas. Para los factores Ψ𝑐 y Ψ𝑟 , 𝑑𝑏 es el diámetro de la barra del gancho; y el primer estribo debe confinar la parte doblada del gancho, a una distancia menor a 2 ∙ 𝑑𝑏 del borde externo del gancho. Hay que notar que ℓ𝑑ℎ se mide desde la sección crítica hasta el extremo exterior o borde del gancho. Además, se ve que no se hace diferencia entre barras horizontales que puedan estar en la parte superior o inferior del encofrado. El código ACI en sus comentarios aclara que para el caso de barras con ganchos esta distinción (que se castigaba con 1.30 para barras superiores desarrolladas en forma recta) es difícil de hacer. 264 Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero ℓ𝑑ℎ ℓ𝑑ℎ 𝐷 𝐷 12 · 𝑑𝑏 Sección crítica Sección crítica 4 · 𝑑𝑏 ≥ 65 [𝑚𝑚] Gancho de 90° Gancho de 180° 6 · 𝑑𝑏 Línea Central Viga Línea Central Viga 𝐷 6 · 𝑑𝑏 𝐷 𝐷 = 4 · 𝑑𝑏 𝐷 𝐷 Ganchos en estribos de diámetro = 10 [𝑚𝑚] Fig. 7.13. Ganchos estándar ℓ𝑑ℎ 𝑑𝑏 ≤ 2 · 𝑑𝑏 ≤ 3 · 𝑑𝑏 Fig. 7.14. Estribos colocados perpendicularmente a la barra a ser desarrollada espaciados a lo largo de la longitud de desarrollo 𝓵𝒅𝒉 265 Diseño de estructuras de hormigón armado Gancho y extensión recta ≤ 2 · 𝑑𝑏 𝑑𝑏 ≤ 3 · 𝑑𝑏 Fig. 7.15. Estribos colocados paralelamente a la barra a ser desarrollada espaciados a lo largo del gancho y la extensión recta El estudio de fallas de barras con gancho ha demostrado que la causa principal de la falla está dada por la pérdida o separación del recubrimiento del hormigón en el plano del gancho y que la separación se origina en la parte interior donde las tensiones en el hormigón son muy elevadas. Es por ello, que los recubrimientos laterales y de confinamiento son de vital importancia para el efectivo desarrollo de las barras con terminación en gancho. Foto 7.3. Detalle desprolijo del anclaje con ganchos a 180º e inadecuado confinamiento del núcleo. (Fotografía de Antilla Ansal et. al, Geotechnical Extreme Events Reconnaissance) 266 Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero 7.4.5. Desarrollo de barras corrugadas en tracción ancladas con cabeza y ancladas mecánicamente La sección 25.4.4.1 del código ACI indica que se puede usar como anclaje cualquier dispositivo mecánico capaz de desarrollar la resistencia del refuerzo de acero sin dañar el hormigón. Además, cuando un anclaje mecánico no puede desarrollar la resistencia total requerida de diseño del refuerzo de acero, se permite una combinación de anclaje mecánico más una longitud adicional de refuerzo embebido en el hormigón entre el punto de esfuerzo máximo (sección crítica) de la barra y el anclaje mecánico. La longitud de desarrollo en tracción de barras corrugadas con cabeza ℓ𝑑𝑡 es evaluada con la siguiente ecuación: ℓ𝑑𝑡 = ( 0.19 ∙ 𝑓𝑦 ∙ Ψ𝑒 √𝑓𝑐′ ) ∙ 𝑑𝑏 ≥ 8 ∙ 𝑑𝑏 ≥ 150 [𝑚𝑚] (7.18) La resistencia del hormigón 𝑓𝑐′ no debe exceder 40 [𝑀𝑃𝑎] y el factor Ψ𝑒 es igual a 1.2 para refuerzos recubiertos con epóxico y 1.0 para otros casos. Las barras corrugadas en tracción pueden ser ancladas con cabezas siempre y cuando se cumplan todas las siguientes condiciones: a) b) c) d) e) f) El 𝑓𝑦 de la barra no debe exceder de 420 [𝑀𝑃𝑎]. El diámetro de la barra no debe ser mayor de 36 [𝑚𝑚] (𝑑𝑑 ≤ 36 [𝑚𝑚]). El hormigón debe ser de peso unitario normal. El área de apoyo de la cabeza 𝐴𝑏𝑟𝑔 no debe ser menor a 4 · 𝐴𝑏 (𝐴𝑏𝑟𝑔 ≥ 4 · 𝐴𝑏 ). El recubrimiento libre para la barra no debe ser menor de 2 · 𝑑𝑏 . El espaciamiento libre entre barras debe ser al menos 4 · 𝑑𝑏 . ℓ𝑑𝑡 𝐴𝑏𝑟𝑔 ≥ 4 · 𝐴𝑏 𝑑𝑏 ≤ 36 [𝑚𝑚] ≥ 2 · 𝑑𝑏 Fig. 7.16. Barra corrugada con cabeza que se extiende hasta la cara lejana del nudo una longitud de anclaje mayor a 𝓵𝒅𝒕 267 Diseño de estructuras de hormigón armado Las barras a tracción, desarrolladas con cabeza y que terminan en una columna, deben extenderse a través del nudo hasta la cara más lejana del elemento de apoyo, teniendo en cuenta el recubrimiento y evitando la interferencia con el refuerzo de la columna, aunque la longitud de anclaje resultante sea mayor a la requerida (ℓ𝑑𝑡 ). La extensión de las barras hasta el lado más lejano de la columna, tal como se aprecia en la figura 7.16, ayuda a anclar las fuerzas de compresión que probablemente se formen en esa conexión y mejora el comportamiento del nudo. Las cabezas de anclaje permiten que las barras a tracción puedan desarrollarse en una longitud más corta que la requerida para los ganchos estándar. El refuerzo transversal, basado en ensayos, ha demostrado no ser efectivo para mejorar el anclaje de las barras corrugadas con cabeza y por ello no se usan las reducciones adicionales que son utilizadas en los anclajes con ganchos estándar que se hallan confinados por refuerzo transversal. Sin embargo, el refuerzo transversal ayuda a controlar el ancho de las fisuras por hendimiento y por esta razón se recomienda su utilización. El código ACI, en su sección 25.4.1.2, indica que las cabezas no se consideran efectivas en el desarrollo de las barras a compresión puesto que no existen datos disponibles que corroboren lo contrario. 7.4.6. Desarrollo de refuerzo electrosoldado de alambre corrugado a tracción La sección 25.4.6 del código ACI indica los requisitos que debe cumplir la malla electrosoldada de alambres corrugados para calcular su longitud de desarrollo. Esta longitud es calculada utilizando cualquiera de las ecuaciones 7.10, 7.11, 7.12, 7.13 o 7.14 y modificando el resultado con el factor para refuerzo electrosoldado Ψ𝑤 . Factor para refuerzo electrosoldado 𝚿𝒘 Cuando al menos un alambre transversal se encuentra dentro de la longitud de desarrollo y está localizado a no menos de 50 [𝑚𝑚] de la sección crítica, entonces se aplica el factor Ψ𝑤 , pero su valor no necesita ser mayor a 1.0. Si no hay alambres transversales dentro de ℓ𝑑 o hay solamente un alambre a menos de 50 [𝑚𝑚] del punto de sección crítica, entonces Ψ𝑤 es tomado como 1.0. Ψ𝑤 = 𝑓𝑦 − 240 5 ∙ 𝑑𝑏 ≥ 𝑓𝑦 𝑠 Donde: 𝑠 = Separación entre alambres que se desarrollan. 𝑑𝑏 = Diámetro de la barra [𝑚𝑚]. 268 (7.19) Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero < 50 [𝑚𝑚] Sección crítica ≥ 50 [𝑚𝑚] Sección crítica ℓ𝑑 ≥ 200 [𝑚𝑚] ℓ𝑑 ≥ 300 [𝑚𝑚] Fig. 7.17. Desarrollo de refuerzo electrosoldado de alambre corrugado 7.4.7. Desarrollo de refuerzo electrosoldado de alambre liso a tracción La sección 25.4.7 del código ACI indica que para el desarrollo de alambres lisos se requiere que por lo menos dos alambres transversales queden embebidos dentro de la masa de hormigón con el alambre transversal más próximo a no menos de 50 [𝑚𝑚] de la sección crítica. Sin embargo, se debe verificar que la longitud de desarrollo ℓ𝑑 no sea menor a: 𝑓𝑦 𝐴𝑏 ℓ𝑑 = 3.3 ∙ ( ) ∙ ( ) ≥ 150 [𝑚𝑚] 𝑠 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ (7.20) Donde: 𝑠 = Separación entre alambres que se desarrollan. 𝐴𝑏 = Área de la barra [𝑚𝑚2 ]. 𝜆 = Factor por uso de hormigón ligero. Nota: ℓ𝑑 se mide desde la sección crítica hasta ≥ 50 [𝑚𝑚] el alambre transversal Sección crítica más alejado. ℓ𝑑 ≥ 150 [𝑚𝑚] Fig. 7.18. Desarrollo de refuerzo electrosoldado de alambre liso 269 Diseño de estructuras de hormigón armado Cuando el refuerzo proporcionado excede el requerido, la longitud ℓ𝑑 puede ser reducida multiplicándola 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜 por el siguiente factor ( 𝐴 𝑠 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑐𝑎𝑑𝑜 ). La longitud ℓ𝑑 no debe ser menor a 150 [𝑚𝑚] excepto para el cálculo de empalmes por traslapo. 7.5. Diseño de anclajes La regla básica que gobierna el desarrollo y anclaje de barras es que “la fuerza de tracción o compresión calculada en las barras de acero en cada sección de elementos de hormigón armado debe ser desarrollada en ambos lados de esa sección utilizando una longitud de desarrollo, gancho o combinación de ambos“. Ejemplo. Una viga en voladizo de 400 [𝑚𝑚] de ancho esta empotrada en un muro de gran espesor. Para el estado límite último, las tres barras de 25 [𝑚𝑚] de diámetro son esforzadas hasta 𝑓𝑦 en el punto A. Calcular la mínima longitud que deben estar las barras embebidas en el muro y la distancia mínima a la cual deben extenderse estas barras dentro de la viga para lograr su desarrollo. El hormigón del muro es de densidad normal mientras que el de la viga es aligerado, pero ambos tienen la misma resistencia cilíndrica característica 𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎]. El acero tiene un 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]. Las juntas constructivas del muro coinciden con la parte superior e inferior de la viga. La viga tiene estribos cerrados de 10 [𝑚𝑚] de diámetro separados cada 150 [𝑚𝑚]. El recubrimiento de los estribos es de 40 [𝑚𝑚]. Las 3 barras de 25 [𝑚𝑚] diámetro pasan por dentro de las barras verticales de 16 [𝑚𝑚] de diámetro que se encuentran en cada cara del muro. 400 Juntas constructivas A 3𝜙25 ℓ𝑑 Muro 3𝜙25 400 450 𝐸 𝜙10𝑐/150 𝜙16 𝑐/300 Longitud de desarrollo de las barras dentro del muro. a) Determinar el espaciamiento y el caso de confinamiento. Distancia libre entre barras: 400 – 2·40 – 2·16 – 3·25 = 107 [𝑚𝑚] = 4.26 · 𝑑𝑏 ≥ 2 · 𝑑𝑏 2 Recubrimiento de las barras: 40 + 16 = 56 [𝑚𝑚] = 2.24 · 𝑑𝑏 ≥ 𝑑𝑏 270 Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero Como el recubrimiento de las barras es mayor a 𝑑𝑏 y la distancia entre barras a desarrollar es superior a 2 · 𝑑𝑏 , entonces la longitud de desarrollo de las barras de diámetro 25 [𝑚𝑚] está gobernada por el Caso 2. b) Calcular la longitud de desarrollo. ℓ𝑑 = ( 𝑓𝑦 ∙ Ψ𝑡 ∙ Ψ𝑒 1.7 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ) ∙ 𝑑𝑏 (7.12) Ψ𝑡 = 1.3 porque debajo de las barras hay más de 300 [𝑚𝑚] de hormigón fresco. Ψ𝑒 = 1.0 porque las barras no tienen recubrimiento epóxico. = 1.0 porque el hormigón es de densidad normal. ℓ𝑑 = ( 420 ∙ 1.3 ∙ 1.0 1.7 ∙ 1.0 ∙ √20 ) ∙ 𝑑𝑏 = 71.82 ∙ 𝑑𝑏 ℓ𝑑 = 1795 [𝑚𝑚] Las barras deben estar embebidas en la pared por lo menos 1795 [𝑚𝑚] para que puedan desarrollar la fuerza de fluencia, por lo tanto las barras se extienden una longitud de 1.80 [𝑚] dentro de la pared. Longitud de desarrollo de las barras dentro de la viga. a) Determinar el espaciamiento y el caso de confinamiento. Del cálculo previo se conoce que el recubrimiento de las barras es mayor a 𝑑𝑏 , por tanto ahora corresponde determinar si los estribos cumplen para la condición de confinamiento del Caso 1. Se verifica que los estribos 𝐴𝑣𝑚𝑖𝑛 = 0.062 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝐴𝑣𝑚𝑖𝑛 ≥ 0.35 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑠 𝑓𝑦 𝑏𝑤 ∙ 𝑠 𝑓𝑦 (5.20) (5.21) En este caso controla la ecuación (5.21). 𝐴𝑣𝑚𝑖𝑛 ≥ 0.35 ∙ 400 ∙ 150 = 50 [𝑚𝑚2 ] = 0.50 [𝑐𝑚2 ] 420 𝐴𝑣 = 1.57 [𝑐𝑚2 ] 271 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑑 La separación de los estribos es menor a 2 y su cuantía cumple con el requerimiento mínimo, por tanto el desarrollo de las barras está gobernado por el Caso 1. b) Calcular la longitud de desarrollo. ℓ𝑑 = ( 𝑓𝑦 ∙ Ψ𝑡 ∙ Ψ𝑒 1.7 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ) ∙ 𝑑𝑏 (7.12) Ψ𝑡 = 1.3 porque debajo de las barras hay más de 300 [𝑚𝑚] de hormigón fresco. Ψ𝑒 = 1.0 porque las barras no tienen recubrimiento epóxico. = 0.75 porque el hormigón es aligerado. ℓ𝑑 = ( 420 ∙ 1.3 ∙ 1.0 1.7 ∙ 0.75 ∙ √20 ) ∙ 𝑑𝑏 = 95.76 ∙ 𝑑𝑏 ℓ𝑑 = 2394 [𝑚𝑚] Las barras deben extenderse dentro de la viga por lo menos 2394 [𝑚𝑚] para que puedan desarrollar la fuerza de fluencia, entonces se adopta como longitud de desarrollo 2.40 [𝑚]. Por tanto, ninguna de las barras puede cortarse antes de esa longitud. Longitud de desarrollo de las barras dentro de la viga utilizando la ecuación más precisa. Utilizando la ecuación completa: ℓ𝑑 = ( 𝑓𝑦 1.1 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ Ψ𝑡 ∙ Ψ𝑒 ∙ Ψ𝑠 ) ∙ 𝑑𝑏 ≥ 300[𝑚𝑚] 𝑐𝑏 + 𝐾𝑡𝑟 𝑑𝑏 Ψ𝑡 = 1.3 Ψ𝑒 = 1.0 Ψ𝑠 = 1.0 porque el diámetro de la barra > 20 [𝑚𝑚] 𝜆 = 0.75 𝑐𝑏 = Se toma el menor valor de: a) La distancia del centro de gravedad de la barra a la superficie más cercana de hormigón. 25 Recubrimiento lateral = 40 + 16 + 2 = 69 [𝑚𝑚] 25 Recubrimiento superior = 40 + 10 + 2 = 63 [𝑚𝑚] 272 (7.10) Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero b) La mitad de la distancia entre centros de gravedad de barras. 400−2∙(40+16)−25 ) = 66 [𝑚𝑚] 2 Mitad de la distancia entre barras = 0.5 ∙ ( 𝑐𝑏 = 63 [𝑚𝑚] 𝐾𝑡𝑟 = 40 ∙ 𝐴𝑡𝑟 𝑠∙𝑛 𝑠 = 150 [𝑚𝑚] Espaciamiento entre estribos 𝐴𝑡𝑟 = 2 · 0.79 = 1.57 [𝑐𝑚2 ] = 157 [𝑚𝑚2 ] 𝑓𝑦𝑡 = 420 [𝑀𝑃𝑎] 𝑛=3 𝐾𝑡𝑟 = 2 ramas 𝐸𝜙10 𝑐/150 Para el acero del estribo Número de barras a anclarse 40 ∙ 157 = 14 [𝑚𝑚] 150 ∙ 3 𝑐𝑏 + 𝐾𝑡𝑟 63 + 14 = = 3.08 𝑑𝑏 25 𝑐 +𝐾 Como 𝑏𝑑 𝑡𝑟 ≥ 2.50 → 𝑏 ℓ𝑑 = 𝑐𝑏 +𝐾𝑡𝑟 = 2.50 𝑑𝑏 1.3 ∙ 1.0 ∙ 1.0 ∙ 𝑑𝑏 = 59.19 ∙ 𝑑𝑏 = 1480 [𝑚𝑚] 2.5 1.1 ∙ 0.75 ∙ √20 420 ∙ Las barras podrían extenderse dentro de la viga una distancia de por lo menos 1480 [𝑚𝑚] desde la cara del muro para desarrollar la fuerza de fluencia. Por tanto, se puede tener un ahorro de casi 1 [𝑚] de longitud por cada barra cuando se utiliza la ecuación más precisa para calcular la longitud de desarrollo. 𝑐 +𝐾 La diferencia entre las dos soluciones se debe a que para la ecuación reducida se asumió que 𝑏𝑑 𝑡𝑟 = 1.5, 𝑏 pero en este ejercicio su valor es de 2.50. Para este ejemplo en particular, se logra un ahorro del 40% en la longitud de desarrollo de las barras cuando se utiliza la ecuación más precisa. 7.5.1. Corte de barras y desarrollo de barras en vigas Para economizar acero, algunas barras pueden ser cortadas donde éstas dejan de ser necesarias según el diagrama de momentos flectores. En la siguiente figura se muestra una parte de un pórtico donde las barras en la región de momentos negativos han sido cortadas. 273 Diseño de estructuras de hormigón armado Puntos de inflexión Fig. 7.19. Corte de barras según el diagrama de momentos 7.5.2. Factores que afectan la localización de los cortes en las barras Para ubicar la posición del corte en barras de acero se deben considerar los siguientes factores: a) Las barras pueden ser cortadas donde ya no son necesarias para resistir fuerzas de tracción o cuando las barras que sobran son adecuadas para hacerlo. b) Debe haber suficiente extensión en las barras a ambos lados de cada sección para desarrollar la fuerza que actúa en la barra. c) Las barras en tracción cortadas en regiones de fuerza cortante moderada causan concentraciones de esfuerzo que pueden producir grandes fisuras inclinadas en los extremos cortados de las barras. Generalmente, los cortes en las barras deben mantenerse al mínimo particularmente en las zonas de tracción para simplificar el diseño y la construcción. 7.5.3. Localización de puntos de corte para barras en vigas Para el diseño de vigas en hormigón armado se deben considerar las acciones más importantes para poder localizar las secciones críticas. Cuando las cargas gravitacionales son las preponderantes, las secciones críticas se localizan en la cara de los soportes y cerca al medio de los tramos para los momentos negativos y positivos, respectivamente. Pero, cuando la acción sísmica es igualmente preponderante en el diseño, entonces las secciones críticas también están localizadas en la cara de los soportes para los momentos positivos. 274 Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero En general, las vigas en edificios y otras estructuras son prismáticas (las dimensiones de su sección transversal se mantienen constantes), salvo casos muy especiales en los que se utilizan elementos de sección variable. El mantener constante la sección transversal de las vigas conlleva a una mayor rapidez en la ejecución y a un ahorro en la construcción (facilidad de encofrados, estribos y apuntalamiento). Como los diagramas de momento varían a lo largo de las vigas, se puede lograr optimizar el diseño y uso de los materiales modificando la cantidad de acero en diferentes secciones a los largo de las mismas. En la actualidad, es muy común interrumpir algunas barras de acero a partir de puntos específicos que están asociados a la disminución de los momentos flectores. Décadas anteriores, era muy usual doblar las barras de acero desde la región de momentos positivos hacia la región de momentos negativos o viceversa, a medida que éstas dejaban de ser necesarias según la variación de los diagramas de momentos. Además, se consideraba el efecto de las barras inclinadas para absorber los esfuerzos cortantes. Por distintas razones, la práctica del doblado de barras ha ido disminuyendo y al presente casi ya no se utiliza y resulta más beneficioso cortar las barras a medida que dejan de ser necesarias y utilizar estribos verticales para absorber los esfuerzos de corte. Basado en el diagrama de momentos flectores y considerando la longitud de desarrollo de las barras de acero, es posible determinar la posición y localización de los puntos de corte. En la siguiente figura se muestra una viga simplemente apoyada donde se ha realizado solamente un corte en las barras. Suponiendo que según el cálculo de la viga, en el punto de momento máximo (a medio tramo), es necesaria la utilización de cinco barras de 𝜙25 para absorber el momento último proveniente de la combinación de cargas más desfavorable y considerando que el diagrama de momentos va disminuyendo en dirección a los apoyos, dos barras 𝜙25 pueden ser cortadas en puntos predeterminados y solamente tres barras 𝜙25 ser extendidas de extremo a extremo de la viga. Los puntos de corte a lo largo de la viga son determinados según la capacidad (momento nominal de diseño) de la sección transversal que contiene las tres barras 𝜙25. 275 Diseño de estructuras de hormigón armado 96 [𝑘𝑁/𝑚] 2 1 2 1 2𝜙25 3𝜙25 6.00 [𝑚] 1.25 [𝑚] 1.25 [𝑚] 𝑀𝑢 [𝑘𝑁 · 𝑚] 286 286 432 A B C ℓ𝑑 D E D’ C’ ℓ𝑑 𝜙 · 𝑀𝑛 [𝑘𝑁 · 𝑚] 286 449 𝜙 · 𝑀𝑛 vs. 𝑀𝑢 Fig. 7.20. Puntos de corte para barras en vigas 276 B’ A’ Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero Como se puede apreciar en la figura 7.20 el diagrama 𝜙 · 𝑀𝑛 (momento nominal de diseño) envuelve completamente al diagrama 𝑀𝑢 (envolvente de momentos últimos proveniente de las diferentes combinaciones de carga) y por tanto se presume que la viga tiene capacidad adecuada para resistir los momentos flectores. Sin embargo, debido a contingencias que se pueden presentar por cargas inesperadas, fluencia de los soportes, movimiento de los puntos de inflexión u otras discrepancias con las condiciones asumidas para el diseño, el código ACI requiere que las barras longitudinales en tracción se extiendan una mínima distancia igual al mayor de 𝑑 o 12 · 𝑑𝑏 más allá del punto teórico de corte por flexión. Para cumplir con el requerimiento del código ACI se puede trasladar el diagrama real de envolvente de momentos últimos una distancia 𝑑 a ambos lados. Para la viga del ejemplo anterior tenemos: 𝑑 1.25 [𝑚] 1.25 [𝑚] 𝑀𝑢 [𝑘𝑁 · 𝑚] 𝑑 286 286 𝑑 432 A C1 C D E D’ C’ C1’ A’ Fig. 7.21. Puntos de corte para barras de acero en vigas El punto C1 se ha recorrido una distancia 𝑑 hacia la izquierda del punto C. El punto C1’ se ha recorrido una distancia 𝑑 hacia la derecha del punto C’. Para asegurar que las barras longitudinales en tracción se extiendan una mínima distancia igual al mayor de 𝑑 o 12 · 𝑑𝑏 más allá del punto teórico de corte por flexión, se pueden desplazar los diagramas de envolvente de momentos últimos una mínima distancia igual al mayor de 𝑑 o 12 · 𝑑𝑏 hacia el lado donde el momento se hace nulo y trabajar con ese diagrama para la determinación de los puntos de corte de las barras de acero. En la siguiente figura se muestra la forma de proceder con el decalaje del diagrama de momentos para diferentes vigas. 277 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 Viga continua 𝑑 𝑑 Viga empotrada en un extremo y simplemente apoyada en el otro 𝑑 𝑑 Viga empotrada en un solo extremo Fig. 7.22. Ejemplos de decalaje para el diagrama de momentos 7.5.4. Desarrollo del refuerzo por flexión La figura 7.23 muestra una porción de tramo y apoyo continuo de una viga que pertenece a un pórtico de hormigón armado con su correspondiente envolvente de diagrama de momentos. Es claro que la envolvente de momentos últimos (demanda) es una curva continua, pero la de momentos nominales de diseño (resistencia), para una sección prismática de hormigón no lo es. A lo largo de la viga, existen zonas que pueden tener más barras que otras y por ende tendrán diferentes capacidades a flexión (𝜙 · 𝑀𝑛 ). El corte de barras trata de optimizar el uso del acero dentro de la sección de hormigón. En la figura 7.23 se ha supuesto que el momento negativo es tomado en el apoyo por dos grupos de barras, “b” y “d”, mientras que otros dos grupos distintos designados como “a” y “c” toman el momento positivo 278 Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero y en algunas secciones se producen las interrupciones o corte de barras. Si se supone que cada grupo de barras resiste una porción o fracción definida del momento, se pude hablar de dos puntos característicos de la curva, y por lo tanto de la sección de la viga: un punto que corresponde a la sección donde la barra o el grupo de barras debe desarrollar la resistencia a fluencia (máxima), y otro punto a partir del cual teóricamente la barra no es necesaria. En el caso de la figura 7.23, en el apoyo (cara de la columna) el punto Y representa la sección donde las barras adicionales “d” deben desarrollar su máximo esfuerzo o resistencia total. A partir de X y hacia el centro del tramo, en esa porción del diagrama de momentos negativos, las barras “d” no serían necesarias. Es decir de X hacia Y (hacia donde crece el momento) comienzan las barras “d” a ser necesarias (con tensión progresivamente creciendo) y en Y se las necesita en su totalidad. Para el grupo de barras “b”, siguiendo en la zona de momentos negativos, en X deben desarrollar su máxima resistencia y a partir de la sección donde el momento se hace nulo hacia la derecha ya no serían necesarias. Un razonamiento similar se puede utilizar con el grupo de barras “a” y “c” que deben absorber los momentos positivos. A medio tramo, el punto W representa la sección donde las barras adicionales “c” deben desarrollar su máximo esfuerzo o resistencia total. A partir de Z y hacia la cara del soporte, en esa porción del diagrama de momentos positivos, las barras “c” no serían necesarias. Es decir de Z hacia W (hacia donde crece el momento) comienzan las barras “c” a ser necesarias (con tensión progresivamente creciendo) y en W se las necesita en su totalidad. Para el grupo de barras “a”, siguiendo en la zona de momentos positivos, en Z deben desarrollar su máxima resistencia y a partir de la sección donde el momento se hace nulo hacia la izquierda ya no serían necesarias. 7.5.5. Desarrollo del refuerzo positivo por flexión El código ACI en su sección 7.7.3.8 da recomendaciones sobre el desarrollo del refuerzo positivo por flexión. Al menos un tercio del refuerzo positivo por flexión en elementos simplemente apoyados y un cuarto en elementos continuos debe ser extendido dentro del soporte a lo largo de la cara del elemento. En vigas, este refuerzo debe extenderse dentro del soporte al menos 150 [𝑚𝑚]. Cuando el elemento a flexión es parte del pórtico que constituye el sistema principal resistente para cargas laterales, el refuerzo positivo por flexión que se extiende dentro del soporte debe ser anclado para desarrollar la tensión de fluencia 𝑓𝑦 en la cara del soporte. 7.5.6. Desarrollo del refuerzo negativo por flexión El refuerzo negativo por flexión en elementos continuos arriostrados o en vigas en voladizo debe ser anclado dentro del elemento resistente por medio de una prolongación recta de la barra, gancho o un anclaje mecánico. Para el refuerzo negativo en apoyos intermedios se deben seguir las recomendaciones de la figura 7.23 para la longitud de desarrollo. Al menos un tercio del refuerzo total negativo por flexión debe tener una longitud de desarrollo más allá del punto de inflexión mayor a la profundidad efectiva del elemento 𝑑, 12 · 𝑑𝑏 o un dieciseisavo de la luz ℓ libre 16𝑛 , la que resulte mayor. 279 Diseño de estructuras de hormigón armado En soportes interiores de elementos de canto alto, el refuerzo negativo por flexión debe ser continuo con el de las luces adyacentes. La figura 7.23 resume las recomendaciones para el desarrollo de barras a flexión descritas en la sección 9.7.3.del código ACI. Mayor de: 𝑑 𝑑 12 · 𝑑𝑏 Mayor de: 12 · 𝑑𝑏 ℓ𝑛 /16 Barras b: Extender por lo menos 1/3 · 𝐴−𝑠 ℓ𝑑 para barras b Barras b Y X 𝑑 Barras d ≥ 150 ⃰ Mayor de: 12 · 𝑑𝑏 ℓ𝑑 para barras d Barras a ℓ𝑑 para barras a Z Barras c ℓ𝑑 para barras c W Barras a: Extender por lo menos 1/4 · 𝐴+𝑠 Extender por lo menos 1/3 · 𝐴+𝑠 (Vigas isostáticas) ⃰ Cuando la viga es parte del sistema que resiste cargas laterales, el refuerzo se debe anclar para desarrollar 𝑓𝑦 en tracción en la cara del apoyo Y Momento teórico negativo X Capacidad de las barras b Punto de inflexión para As+ Cara del soporte Capacidad de las barras a Z Momento teórico positivo W Fig. 7.23. Desarrollo del refuerzo por flexión en una viga típica continua 280 Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero 7.5.7. Desarrollo del refuerzo del alma - estribos Los estribos deben extenderse a las caras de compresión y tracción tanto como el recubrimiento y la proximidad con otros refuerzos lo permitan de acuerdo a la sección 25.7.1 del código ACI. Para estribos de acero con diámetros igual y menores a 16 [𝑚𝑚] y para estribos con diámetros mayores a 16 [𝑚𝑚], pero con tensión de fluencia de 280 [𝑀𝑃𝑎] o menor, un gancho estándar alrededor del refuerzo longitudinal es suficiente para dar el anclaje necesario al estribo. Para estribos de acero con diámetros mayores a 16 [𝑚𝑚] y con tensiones de fluencia mayores a 280 [𝑀𝑃𝑎] se requiere para el anclaje un gancho estándar alrededor del refuerzo longitudinal más una longitud embebida entre la altura media del elemento y la parte exterior del gancho igual o mayor a 17 ∙ 𝑑𝑏 ∙ 𝑓𝑦 𝜆∙√𝑓𝑐′ . 7.6. Empalmes en barras de acero Los empalmes en el refuerzo de acero deben realizarse solamente en los lugares requeridos o permitidos en los planos de diseño, indicados por las especificaciones técnicas o autorizados por el ingeniero supervisor. En lo posible, los empalmes deben estar ubicados lejos de los puntos de máximo esfuerzo de tracción. 7.6.1. Empalmes de solapa o por traslapo Los empalmes de solapa o por traslapo no deben utilizarse para barras cuyos diámetros sean mayores a los 32 [𝑚𝑚] y cuando se los utiliza para barras en atado deben basarse en la longitud de empalme de solapa de las barras individuales incrementada de acuerdo a lo indicado en el acápite de desarrollo de atados de barras. Los empalmes de barras individuales dentro de un atado no deben ser realizados en una misma sección y nunca se debe realizar un empalme por solapa para todo un atado. En elementos sometidos a flexión las barras empalmadas por traslapo, que no quedan en contacto entre sí, no deben estar separadas transversalmente más de un quinto de la longitud requerida por el empalme de solapa o 150 [𝑚𝑚]. 7.6.2. Empalmes mecánicos y soldados El código ACI en su sección 25.5.7 permite la utilización de empalmes mecánicos y soldados siempre y cuando se cumplan ciertos requerimientos. Según la sección 25.5.7.1 del código ACI, un empalme mecánico o soldado debe ser capaz de desarrollar tanto en tracción como en compresión, de acuerdo a como se lo requiera, por lo menos 125% de la tensión de fluencia 𝑓𝑦 de la barra. 281 Diseño de estructuras de hormigón armado En Chile se ha modificado este requerimiento indicando que los empalmes completos, tanto mecánicos como los soldados, deben ser capaces de desarrollar en tracción o compresión, según sea requerido, por lo menos 1.4 · 𝑓𝑦 nominal o 1.15 · 𝑓𝑦 real característico de las barras empalmadas. Esta mayor exigencia se justifican considerando que muchas barras de acero de refuerzo que se usan en Chile tienen un 𝑓𝑦 real que supera ampliamente el 𝑓𝑦 nominal, de manera tal que la exigencia del ACI de 1.25 · 𝑓𝑦 no garantiza que la barra fluya antes de que falle la unión. Los empalmes mecánicos y soldados que no cumplen con lo indicado en los anteriores párrafos pueden ser utilizados solamente para barras de diámetro menor o igual a 16 [𝑚𝑚], siempre y cuando cumplan los requerimientos de la sección 25.5.7.1 del código ACI. 7.6.3. Empalmes de barras y alambres en tracción La longitud mínima de empalme para empalmes de solapa a tracción debe ser la requerida para un empalme de clase A o B, pero no menor a 300 [𝑚𝑚], donde: - Empalme Clase A - Empalme Clase B 1.0 · ℓ𝑑 1.3 · ℓ𝑑 La longitud de desarrollo en tracción ℓ𝑑 es para la tensión de fluencia especificada 𝑓𝑦 de la barra, sin 𝐴 aplicar el requerimiento de 300 [𝑚𝑚] ni el factor por exceso de refuerzo ( 𝑠 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜 ). 𝐴𝑠 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑐𝑎𝑑𝑜 Los empalmes de solapa para barras y alambres en tracción deben ser de Clase B excepto que empalmes de Clase A son permitidos cuando: - El área de refuerzo colocada es al menos dos veces al requerido por análisis sobre toda la longitud del empalme - La mitad o menos del refuerzo total es empalmado dentro de la longitud de empalme requerida Empalmes de solapa a tracción 𝐴𝑠 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑐𝑎𝑑𝑜 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜 282 Porcentaje máximo de 𝐴𝑠 empalmado dentro de la longitud de empalme requerida 50 100 ≥2 Clase A Clase B <2 Clase B Clase B Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero 7.6.4. Empalmes de barras en compresión La longitud de empalme para empalmes de solapa a compresión debe ser 0.071 · 𝑓𝑦 · 𝑑𝑏 para barras de acero con tensiones de fluencia 𝑓𝑦 iguales o menores a 420 [𝑀𝑃𝑎] o (0.13 · 𝑓𝑦 − 24) · 𝑑𝑏 para barras de acero con tensiones de fluencia 𝑓𝑦 mayores a 420 [𝑀𝑃𝑎], pero no menos de 300 [𝑚𝑚]. Para hormigones con resistencia característica a la compresión 𝑓𝑐′ menor a 21 [𝑀𝑃𝑎] la longitud de empalme debe ser 1 incrementada en 3. Cuando barras en compresión de diferente diámetro son empalmadas, la longitud de empalme debe ser la mayor de la longitud de desarrollo ℓ𝑑𝑐 de la barra más gruesa o la longitud del empalme en compresión por traslapo de la barra más delgada. En barras que se requieren sólo para compresión, el código permite que los esfuerzos se transfieran por apoyo directo a través de cortes a escuadra manteniendo las dos barras en contacto concéntrico por medio de algún dispositivo adecuado. Estos empalmes a tope se deben utilizar únicamente en elementos que tengan estribos cerrados o espirales. El código ACI, en su sección 10.7.5, indica algunos requerimientos especiales para columnas en el caso de empalmes con solapa, empalmes mecánicos, soldadura a tope y otros. 7.6.5. Empalmes de refuerzo electrosoldado de alambre corrugado a tracción ≥ 50 [𝑚𝑚] Con al menos un alambre transversal dentro de la longitud de empalme 1.3 · ℓ𝑑 ≥ 200 [𝑚𝑚] Sin ningún alambre transversal dentro de la longitud de empalme Igual que para el alambre corrugado Fig. 7.24. Empalmes por traslapo de refuerzo electrosoldado de alambre corrugado La longitud mínima de empalme por traslapo del refuerzo electrosoldado de alambre corrugado, medida entre los extremos de cada refuerzo es calculada considerando los siguientes criterios: 283 Diseño de estructuras de hormigón armado - Cuando dentro de la longitud de empalme hay por lo menos un alambre transversal, la longitud de empalme no debe ser menor de 1.3 · ℓ𝑑 y de 200 [𝑚𝑚]; y la longitud de traslapo medida entre los alambres transversales más alejados de cada refuerzo electrosoldado individual no debe ser menor de 50 [𝑚𝑚], donde ℓ𝑑 es calculada con base a lo descrito en el acápite 7.4.6. - Cuando dentro de la longitud de empalme no hay ningún alambre transversal, la longitud de empalme se determinan de manera similar a los empalmes de alambres corrugados. 7.6.6. Empalmes de refuerzo electrosoldado de alambre liso a tracción La longitud mínima de empalme por traslapo del refuerzo electrosoldado de alambre liso es calculada considerando los siguientes criterios: - Cuando el área de acero suministrada es menor que 2 veces el área requerida por análisis en la zona de empalme, la longitud de traslapo, medida entre los alambres transversales más alejados de cada refuerzo electrosoldado individual, no debe ser menor que el mayor de un espaciamiento de los alambres transversales más 50 [𝑚𝑚], 1.5 · ℓ𝑑 y de 150 [𝑚𝑚]; donde ℓ𝑑 es calculada con base a lo descrito en el acápite 7.4.7. - Cuando el área de acero suministrada es igual o mayor que 2 veces el área requerida por análisis en la zona de empalme, la longitud de traslapo, medida entre los alambres transversales más alejados de cada refuerzo electrosoldado individual, no debe ser menor que el mayor de 1.5 · ℓ𝑑 y 50 [𝑚𝑚]; donde ℓ𝑑 es calculada con base a lo descrito en el acápite 7.4.7. ≥ 50 [𝑚𝑚] 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜 <2 𝐴𝑠 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑐𝑎𝑑𝑜 1.5 · ℓ𝑑 ≥ 150 [𝑚𝑚] 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜 ≥2 𝐴𝑠 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑐𝑎𝑑𝑜 1.5 · ℓ𝑑 ≥ 50 [𝑚𝑚] Fig. 7.25. Empalmes por traslapo de refuerzo electrosoldado de alambre liso 284 Desarrollo, anclaje y empalmes de barras de acero 7.7. Problemas propuestos 1. Indique dos razones por las que la longitud de desarrollo en barras en tracción es mayor a la de barras en compresión. 2. Una viga rectangular con las características que se describen al final soporta un carga total última de 55.0 [𝑘𝑁/𝑚] que incluye su peso propio. La viga está simplemente apoyada y tiene una luz de 7.00 [𝑚]. Su refuerzo positivo es de 6 barras de 20 [𝑚𝑚] de diámetro, de las cuales dos son cortadas antes de llegar a los soportes, mientras que las restantes cuatro se extienden 300 [𝑚𝑚] más halla del centro de los soportes. La viga tiene estribos de 10 [𝑚𝑚] de diámetro que satisfacen todos los requerimientos del código ACI. Dimensiones: 𝑏 = 355 [𝑚𝑚] ℎ = 610 [𝑚𝑚] 𝑑 = 550 [𝑚𝑚] a) b) c) Características de los materiales: 𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] Dibujar a escala el diagrama de momentos últimos. Redibujar el diagrama de momentos recorriéndolo una distancia 𝑑 hacia ambos soportes. Dibujar el diagrama de resistencia y localizar los puntos de corte para las dos barras de 20 [𝑚𝑚] de diámetro. 3. La viga de la figura está en voladizo y se proyecta fuera de la columna una longitud de 2.5 [𝑚]. Una carga muerta de 22 [𝑘𝑁/𝑚] que incluye el peso propio más una carga viva de 44 [𝑘𝑁/𝑚] son soportadas por la viga. Se proveen dos barras de refuerzo en la cara a tracción y estribos cerrados a lo largo de la viga. a) Utilizando las ecuaciones simplificadas para la longitud de desarrollo, verificar si las barras pueden ser desarrolladas adecuadamente considerando 𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎] y 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]. b) Recalcular la longitud requerida de desarrollo utilizando la ecuación más precisa. c) Detallar las dimensiones del gancho que se requiere en el extremo izquierdo de la barra. 100 𝐸 4𝜙12 𝑐/200 200 𝐸 7𝜙12 𝑐/250 2𝜙32 460 100 75 610 540 50 500 2500 230 Dimensiones en [𝑚𝑚] 285 CAPÍTULO 8 COLUMNAS CORTAS 8. Columnas cortas 8.1. Introducción En general, una columna es un elemento estructural vertical cuya función principal es la de transmitir todas las cargas (esfuerzos normales de compresión, momentos flectores, etc.) de la estructura hacia las fundaciones. El comportamiento de una columna y el modo en que ésta falla dependen de la relación entre la intensidad del esfuerzo axial y los esfuerzos de flexión. Fig. 8.1. Diferentes tipos de sección transversal para columnas de hormigón armado 287 Diseño de estructuras de hormigón armado En general, las dimensiones de la sección transversal de una columna son menores que su altura y ésta puede adoptar la forma cuadrada, rectangular, circular u otra que sea conveniente. Las columnas de hormigón armado pueden tener una gran diversidad de secciones transversales tal como se muestra en la figura 8.1 y se encuentran reforzadas por una combinación de barras longitudinales y transversales. Las barras transversales también llamadas estribos pueden ser piezas aisladas dispuestas a lo largo de la columna con una cierta separación en la forma de estribos cerrados (cuadrados, rectangulares, circulares, etc.) o ser una pieza continua en forma de espiral, con pequeño paso, que envuelve a las barras longitudinales. Otros términos comúnmente utilizados para describir a las columnas son "miembros a compresión" o "miembros sujetos a carga axial y momentos flectores" como en el caso de muros, cordón superior de cerchas, etc. Estos elementos pueden ser horizontales, verticales o inclinados. Una columna es un caso especial de un miembro a compresión que es vertical. El término de columna corta o simplemente columna es utilizado cuando su carga axial última, para una excentricidad dada, está controlada por las dimensiones de su sección transversal y por la resistencia de los materiales que la componen. Mientras que el término de columna esbelta es utilizado para describir una columna donde su longitud ocasiona momentos adicionales (momentos de segundo orden) que disminuyen el valor de la carga axial última que puede resistir la columna. En este capítulo se tratará solamente el comportamiento de columnas cortas, eso quiere decir columnas cuya falla no está influenciada por la no linealidad geométrica, sino por la no linealidad del material. En columnas esbeltas, donde la capacidad resistente de la columna se ve significativamente disminuida por la presencia de momentos flectores, se debe considerar en el análisis y diseño de las mismas, los efectos de segundo orden. En la mayoría de las estructuras, las columnas son lo suficientemente robustas o se encuentran arriostradas de tal manera que los efectos de segundo orden, también llamados efectos 𝑃 − Δ, pueden ser despreciados. 8.2. Comportamiento elástico de columnas cargadas axialmente En la figura 8.2 se muestra en forma esquemática una columna de hormigón armado sometida a una carga axial 𝑃. Para estudiar el comportamiento elástico de la columna, se considera que la carga se incrementa progresivamente sin superar cierto valor de modo que la respuesta es básicamente elástica y lineal. Cuando los esfuerzos en el hormigón y en el acero son suficientemente pequeños, la relación entre tensiones y deformaciones puede ser considerada como lineal y la teoría elástica es aplicable. En la figura 2.2 del capítulo 2, se puede apreciar que para esfuerzos menores al 50% o 60% del esfuerzo máximo se puede considerar de forma aproximada que la ley de Hooke es válida (𝑓𝑐 = 𝐸𝑐 ∙ 𝜀𝑐 ) en el hormigón, mientras que en el acero, la ley de Hooke (𝑓𝑠 = 𝐸𝑠 ∙ 𝜀𝑠 ) es aplicable para tensiones inferiores a la tensión de fluencia. Por condición de compatibilidad de deformaciones, el acortamiento elástico es igual en ambos materiales. 𝜀 = 𝜀𝑐 = 𝜀𝑠 288 (8.1) Columnas cortas 𝑃 Barras longitudinales A A Estribos Sección A-A Fig. 8.2. Columna de hormigón armado sometida a carga axial concéntrica Por la condición de equilibrio de fuerzas se tiene: 𝑃 = 𝑓𝑐 ∙ 𝐴𝑐 + 𝑓𝑠 ∙ 𝐴𝑠𝑡 (8.2) Donde: 𝑃 = Carga axial aplicada. 𝑓𝑐 = Tensión de compresión en el hormigón. 𝐴𝑐 = Área neta de hormigón. 𝑓𝑠 = Tensión de compresión en el acero. 𝐴𝑠𝑡 = Área de armadura longitudinal. Remplazando las relaciones constitutivas lineales para el hormigón y el acero en la ecuación (8.1) se tiene: 𝑓𝑐 𝑓𝑠 𝜀= = (8.3) 𝐸𝑐 𝐸𝑠 𝐸𝑠 𝑓𝑠 = ∙𝑓 (8.4) 𝐸𝑐 𝑐 Si se designa como 𝑛 a la relación de módulos de elasticidad del acero con respecto al del hormigón, se tiene: 𝐸𝑠 𝐸𝑐 𝑓𝑠 = 𝑛 ∙ 𝑓𝑐 𝑛= (8.5) (8.6) 289 Diseño de estructuras de hormigón armado Transformando el área de la sección transversal de la columna en una equivalente de solamente hormigón se tiene la siguiente ecuación: 𝐴𝑡𝑡 = 𝐴𝑐 + 𝑛 ∙ 𝐴𝑠𝑡 (8.7) Pero, si la referimos al área total o área bruta 𝐴𝑔 , sería: 𝐴𝑔 = 𝐴𝑐 + 𝐴𝑠𝑡 (8.8) 𝐴𝑡𝑡 = 𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 + 𝑛 ∙ 𝐴𝑠𝑡 = 𝐴𝑔 + 𝐴𝑠𝑡 ∙ (𝑛 − 1) (8.9) Se designa con 𝜌ℓ a la relación entre el área de refuerzo longitudinal distribuido y el área bruta de hormigón perpendicular a este refuerzo. 𝜌ℓ = 𝐴𝑠𝑡 𝐴𝑔 (8.10) El área transformada 𝐴𝑡𝑡 queda expresada como: 𝐴𝑡𝑡 = 𝐴𝑔 + 𝐴𝑔 ∙ 𝜌ℓ ∙ (𝑛 − 1) = 𝐴𝑔 ∙ [1 + 𝜌ℓ ∙ (𝑛 − 1)] (8.11) De la combinación de las ecuaciones (8.2) y (8.3) se pueden escribir las expresiones de las tensiones del hormigón y del acero para una carga dada, ya que: 𝑃 = 𝑓𝑐 ∙ 𝐴𝑐 + 𝑓𝑐 ∙ 𝑛 ∙ 𝐴𝑠𝑡 = 𝑓𝑐 ∙ (𝐴𝑐 + 𝑛 ∙ 𝐴𝑠𝑡 ) = 𝑓𝑐 ∙ 𝐴𝑡𝑡 Por lo que: 𝑓𝑐 = 𝑃 𝐴𝑔 ∙ [1 + 𝜌ℓ ∙ (𝑛 − 1)] (8.12) 𝑓𝑠 = 𝑛∙𝑃 = 𝑛 ∙ 𝑓𝑐 𝐴𝑔 ∙ [1 + 𝜌ℓ ∙ (𝑛 − 1)] (8.13) Ejemplo. Una columna de sección cuadrada de 400 [𝑚𝑚] de lado y que tiene una cuantía de refuerzo igual a 0.01 es sometida a una carga axial de 2000 [𝑘𝑁] de corta duración y por tanto no se considera el efecto de fluencia (𝐶𝑡 = 0). Hallar los esfuerzos en el hormigón y el acero considerando una tensión de fluencia de 420 [𝑀𝑃𝑎] para el acero y una resistencia característica igual a 20 [𝑀𝑃𝑎] con un módulo de elasticidad de 21500 [𝑀𝑃𝑎] para el hormigón. 290 Columnas cortas 𝑛= 𝐸𝑠 200000 ∙ (1 + 𝐶𝑡 ) = ∙ (1 + 0) = 9.30 𝐸𝑐 21500 𝑓𝑐 = 𝑃 2000 ∙ 1000 = = 11.54 [𝑀𝑃𝑎] 2 𝐴𝑔 ∙ [1 + 𝜌ℓ ∙ (𝑛 − 1)] 400 ∙ [1 + 0.01 ∙ (9.30 − 1)] 𝑓𝑠 = 𝑛 ∙ 𝑓𝑐 = 9.30 ∙ 11.54 = 107.32 [𝑀𝑃𝑎] En el ejemplo, se puede apreciar que la tensión en el hormigón de 11.54 [𝑀𝑃𝑎] representa un poco más de la mitad de la resistencia característica del hormigón (0.58 ∙ 𝑓𝑐′ ) por lo que la suposición de comportamiento elástico da una buena solución. En el acero, la tensión de 107.32 [𝑀𝑃𝑎] está muy por debajo de la tensión de fluencia (0.26 ∙ 𝑓𝑦 ) y el comportamiento elástico está garantizado. Para cargas de servicio de corta duración, la teoría elástica predice de una manera satisfactoria las tensiones en el hormigón y el acero. Sin embargo, los fenómenos de retracción y fluencia del hormigón, estudiados en el capítulo 2, afectan significativamente la distribución de tensiones calculadas con la teoría elástica para las cargas de servicio debido a que en estructuras de hormigón armado la carga se va aplicando progresivamente hasta un valor máximo y esa carga es de carácter permanente sobre la estructura. Para ese caso, las tensiones finales cambian porque existe una redistribución de esfuerzos entre el hormigón y el acero. La fluencia del hormigón hace que su deformación se incremente y por tanto su módulo de elasticidad disminuya (módulo de elasticidad efectivo) con lo que el valor de la relación de módulos se incrementa hasta valores que pueden a llegar a ser más del doble del inicialmente calculado. En consecuencia, el esfuerzo en el hormigón disminuye, mientras que en el acero aumenta. La redistribución de tensiones puede continuar por años hasta que se estabilice la relación modular y por ello es muy difícil estimar los valores finales que pueden alcanzar los esfuerzos en el hormigón y el acero para cargas de servicio permanentes. Algunos investigadores mencionan que para hormigones normales el valor del módulo efectivo del hormigón puede disminuir de 2 a 3 veces con respecto del valor inicial. Es decir, que la relación de módulos para cargas de larga duración puede ser 2 a 3 veces mayor al correspondiente para cargas de corta duración. Si parte de la carga sobre la columna es removida, como se muestra en la figura 2.10 hay una recuperación elástica inmediata y se inducen tensiones residuales. Podría suceder incluso, dependiendo de los contenidos de acero y de la magnitud del fenómeno de fluencia, que si bien el acero continúa en compresión, el hormigón podría terminar con esfuerzos de tracción suficientes como para provocar fisuras. La retracción del hormigón, explicada en el capítulo 2, provoca también una redistribución de esfuerzos entre el acero y el hormigón. Una columna de hormigón simple (sin armadura) que sufra teóricamente una retracción uniforme no debería tener variaciones en sus tensiones si las deformaciones por retracción son libres de producirse. Sin embargo, en las columnas de hormigón armado las barras de acero, por su efecto de adherencia, resisten las deformaciones por retracción y en consecuencia se inducen tensiones de tracción en el hormigón y de compresión en el acero. 291 Diseño de estructuras de hormigón armado De lo expuesto anteriormente, se puede concluir que los esfuerzos calculados mediante las ecuaciones (8.12) y (8.13) no son en definitiva los valores finales de las tensiones en el hormigón y el acero bajo cargas de servicio. La situación se complica aún más si la carga tiene variaciones significativas con respecto del tiempo porque la redistribución de esfuerzos dificulta mucho más la utilización de la teoría elástica. Como conclusión, se puede indicar que no es posible utilizar la teoría elástica de tensiones admisibles para tratar de establecer la seguridad de columnas de hormigón armado porque no se pueden conocer con precisión las tensiones finales en el hormigón y el acero. Por el contrario, la carga última de una columna de hormigón armado no varía apreciablemente con la historia de cargas y es independiente de los efectos de fluencia y retracción. Para comprender el comportamiento de una columna de hormigón armado hasta su rotura es conveniente referirse a las curvas de las figuras 2.1 y 2.29 que muestran la respuesta a carga axial de compresión del hormigón y del acero, respectivamente. Cuando la carga axial alcanza cierto nivel, para características usuales de los materiales, el acero entrará en fluencia antes de que el hormigón alcance su resistencia máxima. La figura 8.3 representa, en términos de carga vs. deformación axial, la respuesta de una columna de hormigón armado sometida a carga axial de compresión. La carga máxima de la columna se alcanza cuando el hormigón llega a su resistencia máxima y no cuando el acero alcanza su resistencia de fluencia debido a que una vez que el acero fluye su tensión no disminuye y el hormigón continúa en la rama ascendente de su respuesta axial. Después del punto máximo, se produce un descenso de la resistencia en la columna por la pérdida de resistencia del hormigón hasta que se produce la falla completa del elemento. Por tanto, la carga máxima de una columna de hormigón armado es la suma de la resistencia a fluencia del acero más la resistencia máxima del hormigón. Por ensayos, se ha verificado que la resistencia del hormigón en una columna cargada axialmente es aproximadamente 0.85 ∙ 𝑓𝑐′, donde 𝑓𝑐′ , es la resistencia característica cilíndrica del hormigón a compresión. Carga [𝑘𝑁] 800 Curva carga vs. deformación del hormigón 600 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ (𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 ) 400 200 𝐴𝑠𝑡 ∙ 𝑓𝑦 0 0.002 0.004 0.006 Curva carga vs. deformación para el acero 0.008 0.010 Deformación Fig. 8.3. Curva carga vs. deformación para el acero y el hormigón de una columna con carga axial de compresión 292 Columnas cortas 8.3. Resistencia última de columnas cargadas axialmente La resistencia de una columna cargada axialmente está dada por la siguiente ecuación: 𝑃𝑜 = 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ (𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 ) + 𝑓𝑦 ∙ 𝐴𝑠𝑡 (8.14) Donde: 𝐴𝑔 = Área total de la sección transversal del elemento. 𝐴𝑠𝑡 = Área del acero longitudinal (paralelo a la carga axial). 0.85 · 𝑓𝑐′ = Máximo esfuerzo de compresión en el hormigón (derivado de ensayos). 𝑓𝑦 = Tensión de fluencia del acero. En la ecuación (8.14) se asume que el acero trabaja a su tensión de fluencia 𝑓𝑦 , mientras que el hormigón solamente alcanza una resistencia a la compresión de 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ . Esta disminución en la resistencia del hormigón se debe principalmente a los siguientes factores: a) La velocidad de aplicación de la carga en una estructura real es mucho menor a la utilizada en el ensayo de compresión del cilindro. b) Las dimensiones y formas de la sección transversal de las columnas en obra pueden diferir en cierto grado con las de los planos de diseño. c) Las columnas son generalmente vaciadas en forma vertical y eso produce algo de segregación de la mezcla y ganancia de agua en la parte superior del elemento. 𝑃𝑜 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ Resistencia del hormigón cargado axialmente (Valor encontrado de experimentos realizados) Fig. 8.4. Columna con carga axial concéntrica 8.4. Diagramas de interacción Casi todos los miembros a compresión en estructuras de hormigón armado están también sujetos a momentos flectores que provienen de la excentricidad de la carga axial o del momento no balanceado de vigas en las conexiones rígidas viga - columna como en el caso de pórticos. Para el diseño y cálculo de elementos sometidos a flexión y compresión es recomendable utilizar los llamados “diagramas de interacción” que son simplemente diagramas que muestran la interacción de una carga axial con un momento flector en una sección transversal de hormigón armado. 293 Diseño de estructuras de hormigón armado ℎ 𝑏 𝑒 Sección Transversal 𝑃 Carga Excéntrica 𝑃 𝑀 =𝑃·𝑒 Carga Axial y Momento Fig. 8.5. Columna con carga axial excéntrica Para ilustrar el concepto de la interacción entre momento flector y carga axial se utilizará una columna de material homogéneo y elástico con una resistencia a la compresión 𝑓𝑐𝑢 igual a su resistencia a la tracción 𝑓𝑡𝑢 . En la figura 8.6 se muestra la curva tensión – deformación para el material elegido. En el primer cuadrante se representa el comportamiento de compresión del material (deformación máxima de compresión 𝜀𝑐𝑢 y tensión máxima de compresión 𝑓𝑐𝑢 ), mientras que en el tercer cuadrante se representa el comportamiento de tracción del material (deformación máxima de tracción 𝜀𝑡𝑢 y tensión máxima de tracción 𝑓𝑡𝑢 ). Para la derivación de las ecuaciones se utilizará la siguiente notación: 𝐴 = Área de la sección transversal. 𝐼 = Momento de inercia de la sección transversal. 𝑐 = Distancia desde el centro de gravedad hasta la fibra más comprimida. 𝑃 = Carga axial (+ en compresión). 𝑀 = Momento flector (+ en el sentido de las agujas del reloj). 294 Columnas cortas 𝜎 𝑓𝑐𝑢 = Tensión máxima de compresión (+). 𝑓𝑡𝑢 = Tensión máxima de tracción (-). 𝑓𝑐𝑢 𝜀𝑡𝑢 𝜀𝑐𝑢 𝜀 𝑓𝑡𝑢 Fig. 8.6. Curva tensión - deformación lineal La falla de la sección de la columna por compresión ocurrirá cuando, en una de las fibras extremas, la suma de los esfuerzos de compresión producidos por la carga axial y el momento flector alcance el valor máximo de la resistencia por compresión del material 𝒇𝒄𝒖. 𝑃 𝑀∙𝑐 + = 𝑓𝑐𝑢 𝐴 𝐼 𝑃 𝑀 𝑃 𝑀∙𝑐 + =1 𝑓𝑐𝑢 ∙ 𝐴 𝑓𝑐𝑢 ∙ 𝐼 Si 𝑀=0 𝑃𝑚𝑎𝑥 = 𝑓𝑐𝑢 · 𝐴 Si 𝑃=0 𝑃 𝑃𝑚𝑎𝑥 + 𝑀 =1 𝑀𝑚𝑎𝑥 𝑓 ∙𝐼 𝑀𝑚𝑎𝑥 = 𝑐𝑢𝑐 1 𝑃 𝐴 𝑀∙𝑐 𝐼 𝑃 𝑀∙𝑐 − 𝐴 𝐼 𝑃 𝐴 𝑀∙𝑐 𝐼 𝑃 𝑀∙𝑐 + 𝐴 𝐼 Si se repite el mismo procedimiento cambiando los sentidos de 𝑃 y 𝑀 se pueden hallar otras ecuaciones que en su conjunto forman el diagrama de interacción de la sección transversal. En la siguiente figura se muestra el diagrama de interacción para una sección rectangular de material elástico donde |𝑓𝑐𝑢 | = |𝑓𝑡𝑢 |. 295 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑃 𝑃𝑚𝑎𝑥 1 4 𝑃 𝑃𝑚𝑎𝑥 − D 𝑀 𝑀𝑚𝑎𝑥 -1 − 𝑃 𝑃𝑚𝑎𝑥 A 𝑀 =1 𝑀𝑚𝑎𝑥 Momento - 3 Compresión − 𝑃 F 𝑃𝑚𝑎𝑥 + 𝑀 =1 𝑀𝑚𝑎𝑥 1 E ZONA SEGURA B Momento + 𝑀 𝑀𝑚𝑎𝑥 1 𝑀 =1 𝑀𝑚𝑎𝑥 − -1 C 𝑃 Tracción Si: 𝑃 𝑃𝑚𝑎𝑥 + 𝑀 =1 𝑀𝑚𝑎𝑥 2 𝑃𝑚𝑎𝑥 = 𝑓𝑡𝑢 ∙ 𝐴 𝑀𝑚𝑎𝑥 = 𝑓𝑡𝑢 ∙ 𝐴 𝑐 𝑃𝑚𝑎𝑥 Fig. 8.7. Diagrama de interacción para una columna elástica con |𝒇𝒄𝒖| = |𝒇𝒕𝒖| Punto E.- Representa una combinación de 𝑃 y 𝑀 que no producirá falla de la sección transversal. Punto F.- Representa una combinación de 𝑃 y 𝑀 que producirá falla de la sección transversal. Si se considera un material que no tiene resistencia a la tracción (𝑓𝑡𝑢 = 0), entonces el diagrama de interacción (figura 8.8) sufre un desplazamiento hacia arriba para reflejar esa situación. En este caso la sección transversal no puede soportar ninguna carga axial de tracción. El diagrama de interacción ocupa únicamente los dos cuadrantes superiores (cuadrantes I y IV), lo cual refleja que la sección transversal resiste solamente diferentes combinaciones de fuerzas de compresión y momentos flectores. Si se considera un material que tiene una resistencia a la tracción igual a la mitad de la resistencia a la compresión (𝑓𝑡𝑢 = −𝑓𝑐𝑢 /2), entonces el diagrama de interacción (figura 8.9) se desplaza a otra posición que refleja esa nueva situación. En este caso la sección transversal puede soportar cierta magnitud de carga axial de tracción. La mayor parte del diagrama de interacción se encuentra en los dos cuadrantes superiores, lo que refleja el comportamiento de la curva tensión - deformación del material. 296 Columnas cortas 𝑃 𝜎 𝑃𝑚𝑎𝑥 1 Compresión 𝑓𝑐𝑢 𝜀𝑐𝑢 𝜀 ZONA SEGURA Momento + 𝑀 𝑀𝑚𝑎𝑥 0 Fig. 8.8. Diagramas de interacción para una columna elástica con 𝒇𝒕𝒖 = 𝟎 𝑃 𝜎 𝑃𝑚𝑎𝑥 Compresión 1 𝑓𝑐𝑢 𝜀𝑡𝑢 𝜀𝑐𝑢 ZONA SEGURA 𝜀 𝑓𝑡𝑢 Momento + 𝑀 𝑀𝑚𝑎𝑥 -0.5 Tracción 𝒇 Fig. 8.9. Diagramas de interacción para una columna elástica con 𝒇𝒕𝒖 = |− 𝟐𝒄𝒖 | 297 Diseño de estructuras de hormigón armado En el caso de secciones de hormigón armado, la situación es mucho más compleja porque la resistencia a la tracción del hormigón es mucho menor que su resistencia a la compresión y por tanto se deben utilizar barras de acero para absorber los esfuerzos de tracción. Además, el hormigón en compresión tiene un comportamiento no lineal, lo cual complica aún más la construcción de diagramas de interacción para este material. En la siguiente sección se explica un método sencillo de cálculo que se basa en la compatibilidad de las deformaciones dentro de la sección transversal del elemento. 8.5. Diagramas de interacción para columnas de hormigón armado 8.5.1. Solución utilizado compatibilidad de deformaciones Utilizando la suposición de que las secciones planas antes de la flexión se mantienen planas después de ella, se puede desarrollar un procedimiento relativamente sencillo, que se basa en la compatibilidad de las deformaciones de la sección transversal. Para la construcción del diagrama de interacción, se asume una serie de deformaciones con las cuales se calculan diferentes puntos cuyos valores corresponden a combinaciones de 𝑃 y 𝑀. Cuando se han calculado suficientes puntos se procede a dibujar el diagrama de interacción. Para una distribución particular de deformaciones como la que se muestra en la siguiente figura, se procede a calcular las tensiones y luego las fuerzas resultantes de las tensiones. Una vez que se tienen todas las fuerzas se efectúa el equilibrio de la sección transversal para lo cual se realiza la sumatoria de las fuerzas horizontales y se halla 𝑃𝑛 ; para luego proceder con la sumatoria de los momentos flectores alrededor del centro de gravedad de la sección transversal para hallar 𝑀𝑛 . Los valores de 𝑃𝑛 y 𝑀𝑛 representan un punto en el diagrama de interacción. 𝑏 𝐴′′𝑠𝑠 𝜀𝑐 = 0.003 𝑑′ 𝜀𝑠′ 𝑐 0.85 · 𝑓𝑐′ 𝑎 𝑓𝑠′ 𝑑 𝐶 ′𝑠 = 𝐴′𝑠 · 𝑓𝑠′ 𝐶𝑐 = 0.85 · 𝑓𝑐′ · 𝑎 · 𝑏 𝑃𝑛 𝐴𝑠𝑠 𝐴 𝜀𝑠 Sección 𝑀𝑛 Deformaciones 𝑓𝑠 Tensiones 𝑇 = 𝐴𝑠 · 𝑓𝑠 Fuerzas Internas Fuerzas Resultantes Fig. 8.10. Distribución de deformación arbitraria El procedimiento descrito en el anterior párrafo es repetido las veces que uno considera necesario y se hallan nuevos puntos del diagrama de interacción, con lo cual se dibuja la curva de interacción 𝑃 – 𝑀. 298 Columnas cortas 𝑃𝑛 Compresión pura A 𝜀𝑐𝑢 𝜀𝑐𝑢 𝜀𝑠 = 0 B 𝜀𝑐𝑢 Falla balanceada −𝜀𝑦 C Tracción pura −𝜀𝑦 𝜀𝑐𝑢 D 𝜀𝑠 < −𝜀𝑦 E Flexión pura 𝑀𝑛 F Fig. 8.11. Diagrama de interacción con base a diferentes distribuciones de deformación Carga máxima axial La resistencia de una columna bajo carga axial concéntrica es: 𝑃𝑜 = 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ (𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 ) + 𝑓𝑦 ∙ 𝐴𝑠𝑡 (8.14) Donde: 𝐴𝑔 = Área total de la sección transversal del elemento. 𝐴𝑠𝑡 = Área del acero longitudinal (paralelo a la carga axial). 0.85 · 𝑓𝑐′ = Máximo esfuerzo de compresión en el hormigón (derivado de ensayos). 𝑓𝑦 = Tensión de fluencia del acero. 299 Diseño de estructuras de hormigón armado Para tomar en cuenta los efectos de momentos o excentricidades accidentales de la carga axial, el código ACI en sus secciones 22.4.2.1 y 22.4.2.2 especifica que la máxima carga en una columna no debe exceder los siguientes valores: Columnas con espirales: 𝜙 ∙ 𝑃𝑛𝑚𝑎𝑥 = 0.85 ∙ 𝜙 ∙ [0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ (𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 ) + 𝑓𝑦 ∙ 𝐴𝑠𝑡 ] (8.15) Columnas con estribos: 𝜙 ∙ 𝑃𝑛𝑚𝑎𝑥 = 0.80 ∙ 𝜙 ∙ [0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ (𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 ) + 𝑓𝑦 ∙ 𝐴𝑠𝑡 ] (8.16) Factor de reducción de la resistencia 𝝓 En el diseño de columnas se debe satisfacer lo siguiente: 𝜙 ∙ 𝑃𝑛 ≥ 𝑃𝑢 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 ≥ 𝑀𝑢 (8.17) (8.18) Donde: 𝑃𝑢 𝑦 𝑀𝑢 = Carga axial y momento flector últimos. 𝑃𝑛 𝑦 𝑀𝑛 = Resistencias nominales de la sección de la columna. 𝜙 = Factor de reducción de la resistencia que es el mismo en ambas ecuaciones. Para valores elevados de carga axial (fallas controladas por compresión) se tiene: 𝜙 = 0.65 𝜙 = 0.75 𝜙 = 0.90 Columnas con estribos. Columnas con espiral Para flexión pura (𝑃𝑢 = 0) Se necesita una transición de 𝜙 entre los valores de 0.65 o 0.75 a 0.90. La transición en 𝜙 es función de la deformación 𝜀𝑡 en la capa de refuerzo más alejada de la cara de compresión. Columna con estribos de acero 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] Si 𝜀𝑡 ≥ −𝜀𝑦 (más comprimida) Si −𝜀𝑦 > 𝜀𝑡 > −0.005 Si 𝜀𝑡 ≤ −0.005 (más traccionado) 𝜙 = 0.65 𝜙 = 0.48 − 83 · 𝜀𝑡 𝜙 = 0.90 Columnas con espiral de acero 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] Si 𝜀𝑡 ≥ −𝜀𝑦 (más comprimido) Si − 𝜀𝑦 > 𝜀𝑡 > −0.005 Si 𝜀𝑡 ≤ −0.005 (más traccionado) 300 𝜙 = 0.75 𝜙 = 0.65 − 50 · 𝜀𝑡 𝜙 = 0.90 Columnas cortas Si la deformación neta en el acero más alejado de la cara de compresión 𝜀𝑡 esta en compresión, entonces su valor es tomado como positivo, pero si está en tracción su valor es tomado como negativo. Método de cálculo Para ilustrar el método de cálculo del diagrama de interacción de una sección de hormigón armado se considerará la sección rectangular de la siguiente figura. Se asume que sobre ella actúa una carga axial de compresión con una cierta excentricidad de tal modo que sobre la sección se desarrolla un diagrama de deformaciones no uniforme. Con base al diagrama de deformaciones es posible determinar los esfuerzos en cada una de las filas de acero y en la porción de hormigón sometido a compresión. Fuerza axial de compresión 0.85 · 𝑓𝑐′ Compresión (+) 𝜀𝑐𝑢 = 0.003 𝑑3 𝑑4 𝜀𝑠4 𝑑2 𝑑1 ℎ 𝜀𝑠3 𝑐 𝑓𝑠4 𝑎 = 𝛽1 ∙ 𝑐 𝑓𝑠3 𝜀𝑠2 𝜀𝑠1 = 𝑧 · 𝜀𝑦 𝑏 Sección 𝑓𝑠2 𝑓𝑠1 Valor arbitrario z + para compresión z – para tracción Deformaciones Esfuerzos (Todos positivos) Fig. 8.12. Distribución de deformación en una sección de hormigón armado Por triángulos similares: 0.003 0.003 0.003 − 𝑧 ∙ 𝜀𝑦 = ⇒ 𝑐=( ) ∙ 𝑑1 𝑑1 0.003 − 𝑧 ∙ 𝜀𝑦 𝑐 (8.19) 0.003 𝜀𝑠𝑖 = 𝑐 𝑐 − 𝑑𝑖 (8.20) 𝑐 − 𝑑𝑖 ⇒ 𝜀𝑠𝑖 = ( ) ∙ 0.003 𝑐 Una vez calculados los valores de c, εs4 , εs3 , εs2 y εs1 , se calculan los esfuerzos en el hormigón y en cada fila de aceros. 𝑓𝑠𝑖 = 𝜀𝑠𝑖 ∙ 𝐸𝑠 (8.21) 301 Diseño de estructuras de hormigón armado Pero − 𝑓𝑦 ≤ 𝑓𝑠𝑖 ≤ 𝑓𝑦 𝛽1 = 1.05 − 0.007 ∙ 𝑓𝑐′ Pero 0.65 ≤ 𝛽1 ≤ 0.85 ⇒ 𝑎 = 𝛽1 ∙ 𝑐 𝑓𝑠 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 𝑓𝑦 − 𝜀𝑦 𝑓𝑠 = − 𝑓𝑦 𝜀𝑦 𝜀𝑠 − 𝑓𝑦 Fig. 8.13. Diagrama tensión – deformación de las barras de acero Cuando se tienen calculados los esfuerzos en cada uno de los elementos de la sección transversal, se procede a hallar la posición y magnitud de la resultante de cada uno de ellos. Hormigón: 𝐶𝑐 = (0.85 · 𝑓𝑐′ ) · 𝑎 · 𝑏 (8.22) Acero: Si 𝑎 < 𝑑𝑖 ⇒ 𝐹𝑠𝑖 = 𝑓𝑠𝑖 · 𝐴𝑠𝑖 (+𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛) Si 𝑎 ≥ 𝑑𝑖 ⇒ 𝐹𝑠𝑖 = (𝑓𝑠𝑖 − 0.85 · 𝑓𝑐′ ) · 𝐴𝑠𝑖 (8.23) (8.24) Finalmente, para hallar 𝑃𝑛 y 𝑀𝑛 se realiza el equilibrio de las fuerzas resultantes en la sección transversal procediendo con la sumatoria de las fuerzas en el sentido perpendicular a la sección y la sumatoria de momentos alrededor del centro de gravedad de la sección de hormigón calculado sin considerar las barras de acero. 𝑛 𝑃𝑛 = 𝐶𝑐 + ∑ 𝐹𝑠𝑖 𝑖=1 (8.25) 𝑛 ℎ 𝑎 ℎ 𝑀𝑛 = 𝐶𝑐 ∙ ( − ) + ∑ 𝐹𝑠𝑖 ∙ ( − 𝑑𝑖 ) 2 2 2 𝑖=1 302 (8.26) Columnas cortas Fuerza axial de tracción La resistencia para fuerza axial de tracción es calculada asumiendo que la sección está completamente agrietada y sujeta a una deformación uniforme mayor o igual a −𝜀𝑦 . 𝑛 𝑃𝑛𝑡 = ∑ −𝑓𝑦 ∙ 𝐴𝑠𝑖 (8.27) 𝑖=1 Para una sección simétrica el correspondiente momento es cero (𝑀𝑛𝑡 = 0), pero para una sección no simétrica se utiliza la siguiente ecuación: 𝑛 ℎ 𝑀𝑛𝑡 = ∑ 𝐹𝑠𝑖 ∙ ( − 𝑑𝑖 ) 2 (8.28) 𝑖=1 𝐹𝑠4 ℎ/2 𝐹𝑠3 𝐹𝑠2 Cc 𝑎/2 (ℎ/2 − 𝑑4 ) (ℎ/2 − 𝑎/2) (ℎ/2 − 𝑑3 ) (ℎ/2 − 𝑑2 ) (ℎ/2 − 𝑑1 ) 𝐹𝑠1 𝑏 Fuerzas en la sección Sección Fig. 8.14. Fuerzas internas en una sección de hormigón armado Ejemplo. Calcular cuatro puntos del diagrama de interacción para la columna de la figura. 𝑓𝑐′ = 35 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] 𝜀𝑦 = 𝑓𝑦 /𝐸𝑠 = 420/200000 = 0.0021 𝑑2 = 60 𝐴𝑠2 = 1963 [𝑚𝑚2 ] 4𝜙25 𝑑1 = 340 400 4𝜙25 𝐴𝑠1 = 1963 [𝑚𝑚2 ] 400 303 Diseño de estructuras de hormigón armado a) Calcular la capacidad concéntrica axial y la máxima capacidad de carga axial. 𝑃𝑜 = 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ (𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 ) + 𝑓𝑦 ∙ 𝐴𝑠𝑡 = 𝑃𝑜 = 4643 + 1649 = 6292 [𝑘𝑁] 3926 0.85 ∙ 35 ∙ (4002 − 3926) + 420 ∙ 1000 1000 Punto A: (𝑃𝑜 , 𝑀𝑜 ) = (6292, 0) 𝜙 · 𝑃 𝑜 = 0.65 · 6292 = 4090 [𝑘𝑁] Punto A’: (𝜙 · 𝑃𝑜 , 𝜙 · 𝑀𝑜 ) = (4090, 0) Para esta columna, la cuantía longitudinal de refuerzo es: 𝜌ℓ = 𝐴𝑠𝑡 3926 = = 0.0245 (2.45%) 𝐴𝑔 400 ∙ 400 La fuerza de 1649 [𝑘𝑁] soportada por el acero, corresponde a un 26.2% de la fuerza de 6292 [𝑘𝑁] que es la capacidad nominal de la columna. Para columnas cargadas axialmente, el refuerzo de acero generalmente soportará entre el 10% y 35% de toda la capacidad de la columna. La máxima carga permitida en esta columna por el código ACI es: 𝜙 ∙ 𝑃𝑛 𝑚𝑎𝑥 = 0.80 ∙ 𝜙 ∙ 𝑃𝑜 = 0.80 ∙ 4090 = 3272 [𝑘𝑁] b) Calcular 𝜙 · 𝑃𝑛 y 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 para el caso general. Calcular 𝜙 · 𝑃𝑛 y 𝜙 · 𝑀𝑛 para 𝑧 = 0, −1, −2 y −4 c) Si 𝑧 = 0 calcular 𝜙 · 𝑃𝑛 y 𝜙 · 𝑀𝑛 . Profundidad eje neutro. 𝑐= 0.003 0.003 ∙ 𝑑1 = ∙ 340 = 340 [𝑚𝑚] 0.003 − 𝑧 ∙ 𝜀𝑦 0.003 Deformación en 𝐴𝑠1 . 𝜀𝑠1 = 𝑧 ∙ 𝜀𝑦 = 0 ∙ 0.0021 = 0 [𝑟𝑎𝑑] Deformación en 𝐴𝑠2 . 𝜀𝑠2 = 304 𝑐 − 𝑑2 340 − 60 ∙ 0.003 = ∙ 0.003 = 0.00247 [𝑟𝑎𝑑] 𝑐 340 Columnas cortas Tensión en 𝐴𝑠1 . 𝑓𝑠1 = 𝜀𝑠1 ∙ 𝐸𝑠 = 0 [𝑀𝑃𝑎] Tensión en 𝐴𝑠2 . 𝑓𝑠2 = 𝜀𝑠2 ∙ 𝐸𝑠 = 0.00247 ∙ 200000 = 494 [𝑀𝑃𝑎] > 𝑓𝑦 ⇒ 𝑓𝑠2 = 𝑓𝑦 𝑓𝑠2 = 420 [𝑀𝑃𝑎] Cálculo de 𝑎. 𝛽1 = 1.05 − 0.007 ∙ 𝑓𝑐′ = 1.05 − 0.007 ∙ 35 = 0.81 ≤ 0.85 ⇒ 𝛽1 = 0.81 𝑎 = 𝛽1 ∙ 𝑐 = 0.81 ∙ 340 = 275 [𝑚𝑚] < ℎ = 400 [𝑚𝑚] Si 𝑎 > ℎ ⇒ 𝑎 = ℎ Fuerza en el hormigón. 𝐶𝑐 = 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 = 0.85 ∙ 35 ∙ 275 ∙ 400 = 3273[𝑘𝑁] 1000 Fuerza en 𝐴𝑠1 . Como 𝑎 = 275 [𝑚𝑚] < 𝑑1 = 340 [𝑚𝑚] 1963 ⇒ 𝐹𝑠1 = 𝑓𝑠1 · 𝐴𝑠1 = 0 ∙ = 0 [𝑘𝑁] 1000 Fuerza en 𝐴𝑠2 . Como 𝑎 = 275 [𝑚𝑚] ≥ 𝑑2 = 60 [𝑚𝑚] ⇒ 𝐹𝑠2 = (𝑓𝑠2 − 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ) ∙ 𝐴𝑠2 = (420 − 0.85 ∙ 35) ∙ 1963 = 766 [𝑘𝑁] 1000 Cálculo de 𝑃𝑛 . 𝑃𝑛 = 𝐶𝑐 + 𝐹𝑠1 + 𝐹𝑠2 = 3273 + 0 + 766 = 4039 [𝑘𝑁] Cálculo de 𝑀𝑛 . ℎ 𝑎 ℎ ℎ 𝑀𝑛 = 𝐶𝑐 ∙ ( − ) + 𝐹𝑠1 ∙ ( − 𝑑1 ) + 𝐹𝑠2 ∙ ( − 𝑑2 ) 2 2 2 2 𝑀𝑛 = 3273 400 275 766 400 ∙( − )+0+ ∙( − 60) = 312 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] 1000 2 2 1000 2 Punto B: (𝑃𝑛 , 𝑀𝑛 ) = (4039, 312) 305 Diseño de estructuras de hormigón armado Cálculo de 𝜙. 𝜀𝑡 = 𝜀𝑠1 = 0 > − 𝜀𝑦 = −0.0021 ⇒ 𝜙 = 0.65 Cálculo de 𝜙 · 𝑃𝑛 . 𝜙 · 𝑃𝑛 = 0.65 · 4039 = 2625 [𝑘𝑁] Cálculo de 𝜙 · 𝑀𝑛 . 𝜙 · 𝑀𝑛 = 0.65 · 312 = 203 [𝑘𝑁 · 𝑚] Punto B’: (𝜙 · 𝑃𝑛 , 𝜙 · 𝑀𝑛 ) = (2625, 203) d) Si 𝑧 = −1 calcular 𝜙 · 𝑃𝑛 y 𝜙 · 𝑀𝑛 . Profundidad eje neutro. 𝑐= 0.003 ∙ 340 = 200 [𝑚𝑚] 0.003 + 0.0021 Deformación en 𝐴𝑠1 . 𝜀𝑠1 = 𝑧 ∙ 𝜀𝑦 = −1 ∙ 0.0021 = −0.0021 [𝑟𝑎𝑑] Deformación en 𝐴𝑠2 . 𝜀𝑠2 = 𝑐 − 𝑑2 200 − 60 ∙ 0.003 = ∙ 0.003 = 0.0021 [𝑟𝑎𝑑] 𝑐 200 Tensión en 𝐴𝑠1 . 𝑓𝑠1 = 𝜀𝑠1 ∙ 𝐸𝑠 = −0.0021 ∙ 200000 = −420 [𝑀𝑃𝑎] ⇒ 𝑓𝑠1 = −𝑓𝑦 𝑓𝑠1 = −420 [𝑀𝑃𝑎] Tensión en 𝐴𝑠2 . 𝑓𝑠2 = 𝜀𝑠2 ∙ 𝐸𝑠 = 0.0021 ∙ 200000 = 420 [𝑀𝑃𝑎] ⇒ 𝑓𝑠2 = 𝑓𝑦 𝑓𝑠2 = 420 [𝑀𝑃𝑎] Cálculo de 𝑎. 𝑎 = 𝛽1 ∙ 𝑐 = 0.81 ∙ 200 = 162 [𝑚𝑚] < ℎ = 400 [𝑚𝑚] 306 Columnas cortas Fuerza en el hormigón. 𝐶𝑐 = 0.85 ∙ 35 ∙ 162 ∙ 400 = 1928 [𝑘𝑁] 1000 Fuerza en 𝐴𝑠1 . Como 𝑎 = 162 [𝑚𝑚] < 𝑑1 = 340 [𝑚𝑚] 1963 ⇒ 𝐹𝑠1 = −420 ∙ = −824 [𝑘𝑁] 1000 Fuerza en 𝐴𝑠2 . Como 𝑎 = 162 [𝑚𝑚] ≥ 𝑑2 = 60 [𝑚𝑚] 1963 ⇒ 𝐹𝑠2 = (420 − 0.85 ∙ 35) ∙ = 766 [𝑘𝑁] 1000 Cálculo de 𝑃𝑛 . 𝑃𝑛 = 1928– 824 + 766 = 1870 [𝑘𝑁] Cálculo de 𝑀𝑛 . 𝑀𝑛 = 1928 162 824 766 (200 − 60) = 452 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] ∙ (200 − )− ∙ (200 − 340) + 1000 2 1000 1000 Punto C: (𝑃𝑛 , 𝑀𝑛 ) = (1870, 452) Cálculo de 𝜙. 𝜀𝑡 = 𝜀𝑠1 = −𝜀𝑦 = −0.0021 ⇒ 𝜙 = 0.65 Cálculo de 𝜙 · 𝑃𝑛 . 𝜙 · 𝑃𝑛 = 0.65 · 1870 = 1216 [𝑘𝑁] Cálculo de 𝜙 · 𝑀𝑛 . 𝜙 · 𝑀𝑛 = 0.65 · 452 = 294 [𝑘𝑁 · 𝑚] Punto C’: (𝜙 · 𝑃𝑛 , 𝜙 · 𝑀𝑛 ) = (1216, 294) e) Si 𝑧 = −2 calcular 𝜙 · 𝑃𝑛 y 𝜙 · 𝑀𝑛 . 307 Diseño de estructuras de hormigón armado Profundidad eje neutro. 𝑐= 0.003 ∙ 340 = 142 [𝑚𝑚] 0.003 + 2 ∙ 0.0021 Deformación en 𝐴𝑠1 . 𝜀𝑠1 = 𝑧 ∙ 𝜀𝑦 = −2 ∙ 0.0021 = −0.0042 [𝑟𝑎𝑑] Deformación en 𝐴𝑠2 . 𝜀𝑠2 = 𝑐 − 𝑑2 142 − 60 ∙ 0.003 = ∙ 0.003 = 0.00173 [𝑟𝑎𝑑] 𝑐 142 Tensión en 𝐴𝑠1 . 𝑓𝑠1 = 𝜀𝑠1 ∙ 𝐸𝑠 = −0.0042 ∙ 200000 = −840 [𝑀𝑃𝑎] > −𝑓𝑦 ⇒ 𝑓𝑠1 = −420 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑠1 = −420 [𝑀𝑃𝑎] Tensión en 𝐴𝑠2 . 𝑓𝑠2 = 𝜀𝑠2 ∙ 𝐸𝑠 = 0.00173 ∙ 200000 = 346 [𝑀𝑃𝑎] < 𝑓𝑦 Cálculo de 𝑎. 𝑎 = 𝛽1 ∙ 𝑐 = 0.81 ∙ 142 = 115[𝑚𝑚] < ℎ = 400 [𝑚𝑚] Fuerza en el hormigón. 𝐶𝑐 = 0.85 ∙ 35 ∙ 115 ∙ 400 = 1369 [𝑘𝑁] 1000 Fuerza en 𝐴𝑠1 . Como 𝑎 = 115 [𝑚𝑚] < 𝑑1 = 340 [𝑚𝑚] 1963 ⇒ 𝐹𝑠1 = −420 ∙ = −824 [𝑘𝑁] 1000 Fuerza en 𝐴𝑠2 . Como 𝑎 = 115 [𝑚𝑚] ≥ 𝑑2 = 60 [𝑚𝑚] 1963 ⇒ 𝐹𝑠2 = (346 − 0.85 ∙ 35) ∙ = 621 [𝑘𝑁] 1000 Cálculo de 𝑃𝑛 . 308 Columnas cortas 𝑃𝑛 = 1369 – 824 + 621 = 1166 [𝑘𝑁] Cálculo de 𝑀𝑛 . 𝑀𝑛 = 1369 115 824 621 (200 − 60) = 397 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] ∙ (200 − )− ∙ (200 − 340) + 1000 2 1000 1000 Punto D: (𝑃𝑛 , 𝑀𝑛 ) = (1166, 397) Cálculo de 𝜙. 𝜀𝑡 = 𝜀𝑠1 = −2 · 𝜀𝑦 = −0.0042 > − 0.005 ⇒ 𝜙 = 0.83 Cálculo de 𝜙 · 𝑃𝑛 . 𝜙 · 𝑃𝑛 = 0.83 · 1166 = 968 [𝑘𝑁] Cálculo de 𝜙 · 𝑀𝑛 . 𝜙 · 𝑀𝑛 = 0.83 · 397 = 330 [𝑘𝑁 · 𝑚] Punto D’: (𝜙 · 𝑃𝑛 , 𝜙 · 𝑀𝑛 ) = (968, 330) f) Si 𝑧 = −4 calcular 𝜙 · 𝑃𝑛 y 𝜙 · 𝑀𝑛 . Profundidad eje neutro. 𝑐= 0.003 ∙ 340 = 89 [𝑚𝑚] 0.003 + 4 ∙ 0.0021 Deformación en 𝐴𝑠1 . 𝜀𝑠1 = 𝑧 ∙ 𝜀𝑦 = −4 ∙ 0.0021 = −0.0084 [𝑟𝑎𝑑] Deformación en 𝐴𝑠2 . 𝜀𝑠2 = 𝑐 − 𝑑2 89 − 60 ∙ 0.003 = ∙ 0.003 = 0.00098 [𝑟𝑎𝑑] 𝑐 89 Tensión en 𝐴𝑠1 . 𝑓𝑠1 = 𝜀𝑠1 ∙ 𝐸𝑠 = −0.0084 ∙ 200000 = −1680 [𝑀𝑃𝑎] > −𝑓𝑦 ⇒ 𝑓𝑠1 = −𝑓𝑦 𝑓𝑠1 = − 420 [𝑀𝑃𝑎] 309 Diseño de estructuras de hormigón armado Tensión en 𝐴𝑠2 . 𝑓𝑠2 = 𝜀𝑠2 ∙ 𝐸𝑠 = 0.00098 ∙ 200000 = 196 [𝑀𝑃𝑎] < 𝑓𝑦 Cálculo de 𝑎. 𝑎 = 𝛽1 ∙ 𝑐 = 0.81 ∙ 89 = 72 [𝑚𝑚] < ℎ = 400 [𝑚𝑚] Fuerza en el hormigón. 𝐶𝑐 = 0.85 ∙ 35 ∙ 72 ∙ 400 = 857 [𝑘𝑁] 1000 Fuerza en 𝐴𝑠1 . Como 𝑎 = 72 [𝑚𝑚] < 𝑑1 = 340 [𝑚𝑚] 1963 = −824 [𝑘𝑁] ⇒ 𝐹𝑠1 = −420 1000 Fuerza en 𝐴𝑠2 . Como 𝑎 = 72 [𝑚𝑚] ≥ 𝑑2 = 60 [𝑚𝑚] 1963 ⇒ 𝐹𝑠2 = (196 − 0.85 ∙ 35) ∙ = 326 [𝑘𝑁] 1000 Cálculo de 𝑃𝑛 . 𝑃𝑛 = 857 − 824 + 326 = 359 [𝑘𝑁] Cálculo de 𝑀𝑛 . 𝑀𝑛 = 857 72 824 326 ∙ (200 − ) − ∙ (200 − 340) + ∙ (200 − 60) = 302 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] 1000 2 1000 1000 Punto E: (𝑃𝑛 , 𝑀𝑛 ) = (359, 302) Cálculo de 𝜙. 𝜀𝑡 = 𝜀𝑠1 = −4 · 𝜀𝑦 = − 0.0084 ≤ − 0.005 ⇒ 𝜙 = 0.90 Cálculo de 𝜙 · 𝑃𝑛 . 𝜙 · 𝑃𝑛 = 0.90 · 359 = 323 [𝑘𝑁] 310 Columnas cortas Cálculo de 𝜙 · 𝑀𝑛 . 𝜙 · 𝑀𝑛 = 0.90 · 302 = 272 [𝑘𝑁 · 𝑚] Punto E’: (𝜙 · 𝑃𝑛 , 𝜙 · 𝑀𝑛 ) = (323, 272) g) Calcular la capacidad para carga axial en tracción. La capacidad bajo carga axial de tracción es igual a la resistencia de fluencia del acero en tracción. 𝑛 𝑃𝑛𝑡 = ∑(−𝑓𝑦 ∙ 𝐴𝑠𝑖 ) 𝑖=1 𝑃𝑛𝑡 = − 420 ∙ (1963 + 1963) = −1649 [𝑘𝑁] 1000 𝑀𝑛𝑡 = 0 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] porque la sección es simétrica Punto F: (𝑃𝑛𝑡 , 𝑀𝑛𝑡 ) = (−1649, 0) El factor de reducción de la resistencia para tracción pura es 𝜙 = 0.9. 𝜙 ∙ 𝑃𝑛 = 0.90 ∙ (−1649) = −1484 [𝑘𝑁] Punto F’: (𝜙 · 𝑃𝑛𝑡 , 𝜙 · 𝑀𝑛𝑡 ) = (−1484, 0) Para efectuar los cálculos de 𝑃𝑛 y 𝑀𝑛 , se puede desarrollar una hoja electrónica o un programa de computadora que realice las operaciones de forma automática y dibuje con mayor precisión el diagrama de interacción para cualquier tipo de columna. En la figura 8.15 se muestra el diagrama de interacción de la columna del presente problema resuelto con la ayuda de una hoja electrónica. Diagrama de interacción. Una vez hallados los puntos A, A’, B, B’, C, C’, D, D’ E, E’, F y F’ se procede a dibujar el diagrama de interacción de la sección de hormigón armado. Para diseño, el diagrama de interacción debe ser utilizado considerando que el área encerrada dentro de la línea continua representa la zona segura. Eso significa que cualquier combinación de carga axial y momento flector que quede dentro de esa área puede ser soportada sin que se produzca la falla de la sección transversal. Por otro lado, el área entre la línea continua y la línea segmentada representa combinaciones de carga axial y momento flector, que si bien pueden ser resistidas sin que se produzca la falla de la sección, no poseen los parámetros de seguridad que requiere el código. Por otro lado, cualquier combinación de carga axial y momento flector que quede fuera de la línea segmentada no puede ser resistida por la sección transversal de la columna. Es interesante notar que la presencia de carga axial 311 Diseño de estructuras de hormigón armado moderada (por debajo de la falla balanceada) incrementa la resistencia a flexión de la sección transversal de la columna. 𝑃𝑛 y 𝜙 · 𝑃𝑛 [𝑘𝑁] 8000 A 6000 Primera fisura en la fibra traccionada de la sección Tensión cero en la primera fila de aceros 𝜀𝑠1 = 0 (𝑧 = 0) A’ B 4000 𝜙 · 𝑃𝑛𝑚𝑎𝑥 Máxima carga axial permitida en la sección B’ Falla balanceada y Límite de la falla controlada por compresión 𝑧 = −1 2000 C C’ Compresión D’ E’ 100 200 E 300 D 𝑧 = −2 Límite de la falla controlada por tracción 400 𝑧 = −4 Tracción -2000 312 F’ F 𝑓𝑠1 = −𝑓𝑦 𝜀𝑠1 = −𝜀𝑦 500 600 𝑀𝑛 y 𝜙 · 𝑀𝑛 [𝑘𝑁 · 𝑚] Columnas cortas DIAGRAMA DE INTERACCION COLUMNA DE 400x400 CON 8f25 7000 6000 Resistencia Nominal de Diseño Resistencia Nominal 5000 4000 Pn y fPn [kN] 3000 2000 1000 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 -1000 -2000 -3000 Mn y fMn [kN·m] Fig. 8.15. Diagrama de interacción obtenido con la ayuda de una hoja electrónica 313 Diseño de estructuras de hormigón armado Los resultados obtenidos de la hoja electrónica se dibujan automáticamente para formar el diagrama de interacción de la columna tomando en cuenta los resultados de 𝑀𝑛 , 𝑃𝑛 , 𝜙𝑀𝑛 y 𝜙𝑃𝑛 . La línea continua en la figura es el diagrama de interacción que se utiliza para el diseño de la columna ya que éste se encuentra afectado por los coeficientes 𝜙 de reducción, mientras que la línea segmentada representa la capacidad máxima de la columna. 8.6. Diagramas de interacción para columnas circulares El desarrollo de diagramas de interacción para columnas de sección circular es un poco más complejo que para columnas rectangulares o cuadradas debido a la forma de la sección comprimida y a la disposición de las barras de acero alrededor del perímetro de la sección. Para poder analizar una columna de sección circular se debe tener muy en cuenta la profundidad del bloque de compresiones porque las ecuaciones difieren cuando éste se encuentra por encima y por debajo del centro baricéntrico de la sección. A continuación se presentan las ecuaciones requeridas para el análisis y diseño de columnas de sección circular. y 𝜀𝑐𝑢 = 0.003 0.85 · 𝑓𝑐′ 𝑎 𝑓𝑠3 𝑐 x 𝑓𝑠2 𝑓𝑠1 𝜀𝑠1 Sección Deformaciones Tensiones Zona de compresión Centroide de la zona en compresión Centroide de la zona en compresión 𝑎 ℎ ℎ/2 ℎ/2 − 𝑎 𝑦 𝑦 𝜂 Caso 1 𝑎 − ℎ/2 Caso 2 Fig. 8.16. Diagrama de interacción para sección circular de hormigón armado 314 Columnas cortas ℎ Caso 1: 𝑎 ≤ 2, 𝜃 < 90° ℎ/2 − 𝑎 𝜃 = cos−1 ( ) ℎ/2 (8.29) ℎ Caso 2: 𝑎 > 2, 𝜃 ≥ 90° 𝜃 = 180° − 𝜂 (8.30) 𝑎 − ℎ/2 𝜂 = cos −1 ( ) ℎ/2 (8.31) El área del segmento en compresión es: 𝜃 − sen 𝜃 ∙ cos 𝜃 𝐴 = ℎ2 ∙ ( ) 4 (8.32) Donde está expresado en radianes. El momento de esta área alrededor del centro de la columna es: 𝐴 ∙ 𝑦 = ℎ3 ∙ ( sen3 𝜃 ) 12 (8.33) La forma del diagrama de interacción para una columna circular es afectada por el número de barras y su orientación relativa a la dirección del eje neutro. Por lo tanto el momento nominal a través del eje x-x de la columna de la figura es menor que el momento nominal a través del eje y-y. El diagrama de interacción debe ser calculado considerando la orientación de barras más desfavorable. Para columnas circulares con más de 8 barras es indiferente calcular los diagramas de interacción a través de cualquier eje ya que la diferencia entre ellos es despreciable (sección R 10.7.3 del código ACI). Columna circular con estribos Si 𝜀𝑡 ≥ −𝜀𝑦 (más comprimido) Si − 𝜀𝑦 > 𝜀𝑡 > −0.005 Si 𝜀𝑡 ≤ −0.005 (más traccionado) 𝜙 = 0.65 𝜙 = 0.48 − 83 · 𝜀𝑡 𝜙 = 0.90 para 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] 𝜙 = 0.75 𝜙 = 0.65 − 50𝜀𝑡 𝜙 = 0.90 para 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] Columna circular con espiral Si 𝜀𝑡 ≥ −𝜀𝑦 (más comprimido) Si − 𝜀𝑦 > 𝜀𝑡 > −0.005 Si 𝜀𝑡 ≤ −0.005 (más traccionado) 315 Diseño de estructuras de hormigón armado 8.7. Propiedades de los diagramas de interacción para columnas de hormigón armado 8.7.1. Diagramas de interacción sin dimensiones Frecuentemente es muy útil expresar los diagramas de interacción independientemente de las dimensiones de la columna. Esto se logra de la siguiente manera: Eje de las ordenadas: 𝑃𝑛 𝐴𝑔 𝜙 ∙ 𝑃𝑛 𝐴𝑔 [𝑘𝑁/𝑚2 ] 𝑃𝑛 ′ 𝑓𝑐 ∙ 𝐴𝑔 𝜙 ∙ 𝑃𝑛 𝑓𝑐′ ∙ 𝐴𝑔 𝐴𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 Eje de las abscisas: 𝑀𝑛 𝐴𝑔 ∙ ℎ 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 𝐴𝑔 ∙ ℎ [𝑘𝑁/𝑚2 ] 𝑀𝑛 ′ 𝑓𝑐 ∙ 𝐴𝑔 ∙ ℎ 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 ′ 𝑓𝑐 ∙ 𝐴𝑔 ∙ ℎ 𝐴𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 Los diagramas de interacción adimensionales evitan la preparación de diagramas de interacción específicos para cada columna y eso facilita enormemente el proceso de diseño de columnas sometidas a flexocompresión. La presentación típica de estos diagramas es la de una familia de curvas para determinados valores de la resistencia característica del hormigón 𝑓𝑐′ , tensión de fluencia del acero 𝑓𝑦 , relación entre el recubrimiento y la dimensión de la sección en la dirección de la flexión y distribución de la armadura. En el Anexo 8 se presenta un conjunto de familias de diagramas de interacción para columnas de hormigón armado con diferentes parámetros. Para utilizar los diagramas de interacción se debe tener primero determinadas las solicitaciones máximas que actúan en la columna (Carga axial última 𝑃𝑢 y momento flector último 𝑀𝑢 ). Se utilizan las mismas dimensiones empleadas para el análisis estructural y se escoge una distribución tentativa del refuerzo longitudinal en la sección transversal de la columna, respetando los recubrimientos mínimos y las separaciones admisibles entre las barras. Se define la resistencia característica del hormigón 𝑓𝑐′ y la tensión de fluencia del acero 𝑓𝑦 . Generalmente, se utilizan hormigones con resistencias entre 20 [𝑀𝑃𝑎] y 25 [𝑀𝑃𝑎], mientras que el acero más común tiene una tensión mínima de fluencia de 420 [𝑀𝑃𝑎]. Se proceden a calcular los siguientes parámetros adimensionales: 316 Columnas cortas Eje de las abscisas: 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 𝑀𝑢 = ′ ′ 𝑓𝑐 ∙ 𝐴𝑔 ∙ ℎ 𝑓𝑐 ∙ 𝐴𝑔 ∙ ℎ Eje de las ordenadas: 𝜙 ∙ 𝑃𝑛 𝑃𝑢 = ′ ′ 𝑓𝑐 ∙ 𝐴𝑔 𝑓𝑐 ∙ 𝐴𝑔 Se escoge el diagrama adimensional que mejor se ajuste a las condiciones del diseño real y sobre él se identifica el punto definido por los parámetros adimensionales. El punto generalmente se ubica sobre una de las curvas de interacción o entre dos de ellas, definidas para diferentes cuantías de acero 𝜌ℓ (desde 1% hasta 8%). En el primer caso se lee directamente la cuantía de armado total 𝜌ℓ de la curva de interacción y en el segundo caso se puede interpolar la cuantía o simplemente se escoge la cuantía de la curva de interacción superior. Finalmente, la cantidad de acero se halla multiplicando la cuantía de acero por el área total de la sección de la columna. Ejemplo. Diseñar una columna rectangular corta de hormigón armado cuya sección transversal es de 400 [𝑚𝑚]𝑥600 [𝑚𝑚] que está sometida a una carga axial última 𝑃𝑢 de 1500 [𝑘𝑁] y un momento flector último 𝑀𝑢 de 500 [𝑘𝑁 · 𝑚] alrededor del eje principal mayor. 600 400 a) Seleccionar las propiedades de los materiales, sección inicial y cuantía inicial de refuerzo. 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎] b) Determinar los factores adimensionales. Eje de las abscisas: 317 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑀𝑢 500 ∙ 1000 ∙ 1000 = = 0.174 ′ 𝑓𝑐 ∙ 𝐴𝑔 ∙ ℎ 20 ∙ 240000 ∙ 600 Eje de las ordenadas: 𝑃𝑢 1500 ∙ 1000 = = 0.313 ′ 𝑓𝑐 ∙ 𝐴𝑔 20 ∙ 240000 c) Definir la relación entre el recubrimiento y la dimensión de la sección en la dirección de la flexión. Se define un recubrimiento de 40 [𝑚𝑚] a la cara del estribo que se supone es de diámetro 10 [𝑚𝑚]. También, se asume que las barrras longitudinales tendrán un diámetro de 20 [𝑚𝑚]. 𝑑 ′ 40 + 10 + 10 60 = = = 0.10 ℎ 600 600 d) Definir una distribución tentativa de refuerzo. Se decide utilizar, como primera alternativa, doce barras distribuidas de la siguiente manera: 600 400 e) Utilizar la correspondiente familia de diagramas de interacción. La cuantía de armado total que se lee del diagrama de interacción es de 3.1%, por tanto el área de acero requerida es de: 𝐴𝑠 = 0.031 · 400 · 600 = 7440 [𝑚𝑚2] = 74.40 [𝑐𝑚2 ] Si se utilizan 12 barras, se requiere que cada barra tenga 6.2 [𝑐𝑚2 ] de área y para ello se tendría que utilizar 12𝜙28. Como no es un diámetro muy comercial se decide utilizar 𝜙22 y para ello se requieren aproximadamente 22 barras. Se escoge la familia de diagramas de interacción correspondiente y se verifica. 318 Columnas cortas FAMILIA DE DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN 1.40 𝑃𝑢 rl = 8% 𝑏 𝑒 1.20 rl = 7% 𝑑’ ℎ rl = 6% 𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] 𝑑’ = 0.10 · ℎ 𝐴𝑠 = 12 · 𝜙 𝐴𝑔 = 𝑏 · ℎ 𝐴𝑠 𝜌ℓ = 𝐴𝑔 𝑑’ 1.00 rl = 5% rl = 4% 0.80 rl = 3% 𝑃𝑢 𝑓𝑐′ ∙ 𝐴𝑔 rl = 2% 0.60 rl = 1% 0.40 0.20 0.00 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 𝑀𝑢 𝑓𝑐′ ∙ 𝐴𝑔 ∙ ℎ 319 Diseño de estructuras de hormigón armado FAMILIA DE DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN 1.40 𝑃𝑢 rl = 8% 𝑏 𝑒 1.20 rl = 7% 𝑑’ ℎ rl = 6% 𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] 𝑑’ = 0.10 · ℎ 𝐴𝑠 = 22 · 𝜙 𝐴𝑔 = 𝑏 · ℎ 𝐴𝑠 𝜌ℓ = 𝐴𝑔 𝑑’ 1.00 rl = 5% rl = 4% 0.80 rl = 3% 𝑃𝑢 𝑓𝑐′ ∙ 𝐴𝑔 rl = 2% 0.60 rl = 1% 0.40 0.20 0.00 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 𝑀𝑢 𝑓𝑐′ ∙ 𝐴𝑔 ∙ ℎ 320 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 Columnas cortas La cuantía de armado total que se lee del diagrama de interacción es también aproximadamente de 3.1%, por tanto el área de acero requerida es de: 𝐴𝑠 = 0.031 · 400 · 600 = 6960 [𝑚𝑚2 ] = 74.40 [𝑐𝑚2 ] Si se utilizan 22𝜙22 se tiene un área de 83.63 [𝑐𝑚2 ] cuya cuantía es de 3.48% que es un poco mayor a la cuantía de 3.1% hallada con la ayuda de los gráficos de la familia de diagramas de interacción. Para comprobar de que la columna resiste las solicitaciones últimas, se grafica el diagrama de interacción de la columna con 22𝜙22 y se verifica que el punto (𝑀𝑢 , 𝑃𝑢 ) quede dentro del diagrama. Como se puede apreciar en la siguiente figura las solicitaciones quedan dentro de la zona segura (Resistencia nominal de diseño), por tanto se concluye que la columna rectangular de 400 [𝑚𝑚]𝑥600 [𝑚𝑚] armada con 22𝜙22 es aceptable. Se podría escoger una distribución de aceros solamente en las caras superior e inferior, pero las columnas en general están sometidas a momentos flectores en ambos ejes y por ello es conveniente tener las barras de acero distribuidas en las cuatro caras. 400 𝐸 𝜙10 600 22𝜙22 El estribo es solamente esquemático porque se debe realizar el diseño correspondiente a corte y por las dimensiones de la columna seguramente se requieren más ramas para poder arriostrar adecuadamente las barras longitudinales. 321 Diseño de estructuras de hormigón armado DIAGRAMA DE INTERACCIÓN COLUMNA DE 400x600 CON 22f22 5000 4000 Resistencia Nominal de Diseño 3000 fPn [kN] 2000 (500, 1500) 1000 0 0 100 200 300 400 -1000 -2000 -3000 -4000 fMn [kN·m] 322 500 600 700 800 Columnas cortas 8.7.2. Excentricidad de la carga Si sabemos que la carga 𝑃𝑢 tiene una excentricidad 𝑒, entonces podemos utilizar el mismo diagrama de interacción de la sección de hormigón armado para hallar el máximo momento 𝑀𝑢 que la columna puede resistir. Como se puede apreciar en la siguiente figura, se pueden trazar una infinidad de rectas desde el origen cuyas pendientes tienen el valor de 1/𝑒 que en realidad es simplemente la relación 𝑃𝑛 /𝑀𝑛 o 𝑃𝑢 / 𝑀𝑢 . 𝜙 · 𝑃𝑛 𝑃 𝑃 𝑀 𝑒 1/𝑒 𝜙 · 𝑃𝑛 𝜙 · 𝑀𝑛 𝜙 · 𝑀𝑛 Fig. 8.17. Excentricidad de la carga en el diagrama de interacción 8.7.3. Columnas con refuerzo asimétrico Para columnas con refuerzo no simétrico el diagrama de interacción se rota si los momentos de las fuerzas son tomados con respecto del eje geométrico de la sección. El cálculo del diagrama de interacción para estas secciones es realizado siguiendo el mismo procedimiento desarrollado para secciones con refuerzo simétrico, excepto que para los casos de compresión uniforme 𝑃𝑜 o tracción uniforme 𝑃𝑡 , la colocación no simétrica de las barras de acero da como resultado un momento con respecto al centro geométrico de la sección. 323 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑃 𝑃𝑛 𝑀 𝑀𝑛 Fig. 8.18. Diagrama de interacción para columnas con refuerzo simétrico 𝑃 𝑃𝑛 𝑀 𝑀𝑛 Fig. 8.19. Diagrama de interacción para columnas con refuerzo asimétrico 324 Columnas cortas 8.7.4. Diagramas de Interacción simplificados para columnas Cuando uno no tiene acceso a diagramas de interacción publicados o a programas de computación o cuando se tiene una sección irregular (pilas de puentes, cajas de ascensores, etc.), los diagramas de interacción pueden ser calculados utilizando el procedimiento de compatibilidad de deformaciones. Sólo se realiza el cálculo para algunos puntos y se los une con líneas rectas. Distribuciones de deformaciones recomendadas 1. Deformación uniforme de compresión 𝜀 = 0.003. Utilizar 𝜙 = 0.65 2. Deformación de compresión 𝜀 = 0.003 en un extremo y 𝜀 = 0 en el refuerzo más cercano a la cara traccionada. Utilizar 𝜙 = 0.65 0.003 0.003 0.003 0 3. Diagrama de deformación correspondiente a una falla balanceada, 𝜀 = 0.003 en un extremo y 𝜀 = − 𝜀𝑦 en el refuerzo más cercano a la cara traccionada. Utilizar 𝜙 = 0.65 0.003 − 𝜀y 4. Diagrama de deformación correspondiente al límite de falla por tracción. 𝜀 = 0.003 en un extremo y 𝜀 = −0.005 en el refuerzo más cercano a la cara traccionada. Utilizar 𝜙 = 0.9 0.003 − 0.005 − 𝜀𝑦 5. Deformación uniforme de tracción 𝜀 = − 𝜀𝑦 con el hormigón agrietado completamente. Utilizar 𝜙 = 0.9 − 𝜀𝑦 Con los cinco diagramas de deformaciones, se calculan los valores para 𝑃𝑛 , 𝜙𝑃𝑛 , 𝑀𝑛 y 𝜙𝑀𝑛 . Con una regla o cercha se procede a unir todos los puntos y se obtiene un diagrama de interacción simplificado, pero que resulta muy útil para el análisis y diseño de secciones de hormigón armado de forma irregular. 325 Diseño de estructuras de hormigón armado 0.003 𝑃𝑛 1 0.003 0.003 2 0 0.003 3 − 𝜀𝑦 0.003 4 𝑀𝑛 − 0.005 5 − 𝜀𝑦 − 𝜀𝑦 Fig. 8.20. Diagrama de interacción simplificado 8.8. Diseño de columnas cortas Del análisis estructural se encuentran las fuerzas que actúan en los diferentes elementos que componen una estructura. Se seleccionan dimensiones tentativas para todos los elementos de manera que éstos resistan las cargas en forma segura. Se vuelve a analizar la estructura considerando las nuevas dimensiones de los elementos y éstas son nuevamente modificadas sobre la base de los resultados obtenidos. Se continúa con este proceso hasta que la diferencia en las dimensiones de los elementos, entre iteraciones sucesivas, es despreciable. El problema de diseño se resuelve más fácilmente si se cuenta con una familia de diagramas de interacción o un programa de computación. 326 Columnas cortas 8.8.1. Consideraciones en la elección de la sección transversal de columnas 𝜙 · 𝑃𝑛 Columna circular con espiral Columna cuadrada con estribos 𝜙 · 𝑀𝑛 Fig. 8.21. Diagramas de interacción para columnas de diferente sección Las tres columnas tienen la misma área de hormigón 𝐴𝑔 Las tres columnas tienen la misma área de acero 𝐴𝑠𝑡 Observaciones: a) Para excentricidades pequeñas la columna circular es más eficiente para resistir cargas. Esto se debe a que para columnas circulares con refuerzo en espiral el factor de reducción de la capacidad 𝜙 es 0.75, mientras que para columnas con estribos 𝜙es 0.65. La eficiencia de este tipo de columnas desaparece cuando se consideran los costos del refuerzo en espiral y del encofrado. b) Para excentricidades grandes la columna más eficiente es la de sección cuadrada que tiene la mayor cantidad de acero en sus extremos. Se puede aumentar la eficiencia de esta columna si se utiliza una sección rectangular. c) Las columnas con acero en sus cuatro caras son utilizadas cuando existen momentos flectores alrededor de los dos ejes principales de la sección. d) Las columnas con refuerzo en espiral son más frecuentemente utilizadas en zonas sísmicas o donde se necesita mayor ductilidad. 327 Diseño de estructuras de hormigón armado 8.8.2. Elección del material y de la cuantía de acero Las columnas que soportan sistemas de losas armadas en dos direcciones con vigas o sin ellas entre soportes deben ser diseñadas considerando en lo posible hormigones con resistencias a la compresión 𝑓𝑐′ menores o iguales a 1.4 veces la resistencia del hormigón de la losa. 𝑓𝑐′ 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 ≤ 1.4 ∙ 𝑓𝑐′ 𝑙𝑜𝑠𝑎𝑠 (8.34) Si para el diseño de la losa se utiliza un hormigón con resistencia a la compresión 𝑓𝑐′ de 25 [𝑀𝑃𝑎], entonces las columnas deben ser diseñadas con un hormigón de resistencia a la compresión 𝑓𝑐′ menor o igual a 35 [𝑀𝑃𝑎]. En edificios de poca altura (menos de 30 pisos), la resistencia del hormigón a la compresión en columnas y losas es por lo general igual. Para este tipo de estructuras es común utilizar hormigones con resistencias entre 20 [𝑀𝑃𝑎] y 25 [𝑀𝑃𝑎]. Por otro lado, en edificios altos la resistencia del hormigón en columnas es por lo general mayor que en las losas. El código ACI, en su sección 15.3.1, prevé situaciones en las cuales la ecuación (8.34) no se cumple en el diseño de columnas, entonces para calcular la transmisión de cargas de la columna a través del sistema de piso, se debe considerar, dependiendo del caso, alguno de los siguientes criterios: a) El hormigón especificado para las columnas debe ser colocado en el sistema de piso alrededor de cada columna hasta una distancia no menor a 600 [𝑚𝑚] desde las caras de la columna y se debe cuidar de que este hormigón quede bien integrado con el hormigón de la losa. b) El cálculo de la resistencia de la columna a través del sistema de piso debe basarse en el menor valor de la resistencia del hormigón y usando pasadores “dowels” verticales y/o espirales, como se requiera. c) Para columnas soportadas lateralmente por vigas en sus cuatro lados de similar altura o por losas, se debe permitir que la resistencia de la columna se base en una resistencia asumida del hormigón en la unión entre columna y losa igual al 75% de la resistencia del hormigón de la columna más el 35% de la resistencia del hormigón de la losa. La relación de la resistencia del hormigón de la columna con el de la losa no debe ser tomada mayor a 2.5 para el diseño. El código ACI, en su sección 10.6.1.1, limita el área 𝐴𝑠𝑡 del refuerzo longitudinal en columnas con estribos y espirales a no menos de 0.01 ∙ 𝐴𝑔 y no más de 0.08 ∙ 𝐴𝑔 (0.06 ∙ 𝐴𝑔 en regiones sísmicas). Bajo cargas sostenidas, la fluencia del hormigón transfiere gradualmente la carga desde el hormigón hacia el refuerzo de acero. En ensayos de columnas cargadas axialmente el acero longitudinal entra en fluencia bajo cargas de servicio sostenidas cuando la cuantía del mismo es menor a 0.01. Cuantía mínima del refuerzo longitudinal Cuantía máxima del refuerzo longitudinal 328 𝜌ℓ𝑚𝑖𝑛 = 0.01 𝜌ℓ𝑚𝑖𝑛 = 0.08 Columnas cortas Cuantía de acero en columnas: 𝜌ℓ = 𝐴𝑠𝑡 𝐴𝑔 (8.35) Cuando se utilizan empalmes de solapa para las armaduras longitudinales hay que limitar la cuantía de acero a 0.04 (𝜌ℓ < 0.04) para evitar un congestionamiento de las mismas en la sección transversal de la columna. En edificios altos donde las dimensiones de las columnas para los primeros pisos son limitadas por razones arquitectónicas 𝜌ℓ puede llegar a ser mayor a 0.04, por lo que las barras deben ser atadas en grupos para permitir el buen vibrado del hormigón. El mínimo número de barras en una columna de sección circular es 6 y en una rectangular 4. Generalmente se utiliza un número par de barras del mismo diámetro en una columna rectangular para mantener la simetría. 8.8.3. Estimación de las dimensiones de la columna Para estimar las dimensiones de una columna, se puede recurrir a las ecuaciones (8.15) y (8.16) dependiendo del tipo de refuerzo transversal que se piense utilizar. Para el caso de columnas con refuerzo en espiral, la ecuación (8.15) con un factor de reducción de la resistencia 𝜙 igual a 0.75 es la que debe utilizarse. En el caso de columnas con estribos, la ecuación (8.16) con un factor de reducción 𝜙 de la resistencia igual a 0.65 es la indicada. Columnas con espirales (𝜙 = 0.75): 𝑃𝑢 ≤ 𝜙 ∙ 𝑃𝑛𝑚𝑎𝑥 = 0.85 ∙ 𝜙 ∙ [0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ (𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 ) + 𝑓𝑦 ∙ 𝐴𝑠𝑡 ] Columnas con estribos (𝜙 = 0.65): 𝑃𝑢 ≤ 𝜙 ∙ 𝑃𝑛𝑚𝑎𝑥 = 0.80 ∙ 𝜙 ∙ [0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ (𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 ) + 𝑓𝑦 ∙ 𝐴𝑠𝑡 ] Realizando algunas operaciones aritméticas y simplificaciones se obtienen las siguientes ecuaciones: Para columnas con estribos: 𝐴𝑔 ≥ 𝑃𝑢 0.40 ∙ (𝑓𝑐′ + 𝜌ℓ ∙ 𝑓𝑦 ) (8.36) Para columnas con espiral: 𝐴𝑔 ≥ 𝑃𝑢 0.50 ∙ (𝑓𝑐′ + 𝜌ℓ ∙ 𝑓𝑦 ) (8.37) Las dos ecuaciones anteriores tienden a subestimar el área de hormigón si la columna resiste momentos flectores importantes ya que corresponden a la porción horizontal del diagrama de interacción (𝑃 − 𝑀). 329 Diseño de estructuras de hormigón armado Para 𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎] y 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] se recomienda utilizar las siguientes ecuaciones cuando, además de la carga axial, hay un momento flector actuando en la sección. Para columnas con estribos: 𝑃𝑢 [𝑚𝑚2 ] 𝐴𝑔 ≥ 7.5 (8.38) Para columnas con espirales: 𝑃𝑢 [𝑚𝑚2 ] 𝐴𝑔 ≥ 9.2 (8.39) 𝑃𝑢 = Carga axial última en [𝑁] 𝑏 𝑏 ≥ 200 [𝑚𝑚] Preferible 𝑏 = 250 [𝑚𝑚] 𝑑 𝑑 ≥ 300 [𝑚𝑚] Fig. 8.22. Dimensiones mínimas para la sección de una columna Las dimensiones de 𝑏 y 𝑑 en las secciones transversales de las columnas deben ser variadas en incrementos de 50 [𝑚𝑚]. 8.8.4. Columnas esbeltas La esbeltez de una columna se expresa en términos de su relación 𝑘 · ℓ𝑢 /𝑟, donde 𝑘 es un factor de longitud efectiva que depende de las condiciones de restricción de los extremos de la columna, ℓ𝑢 es la longitud entre apoyos y 𝑟 es el radio de giro de la sección transversal de la columna. En general, una columna es esbelta si las dimensiones de su sección transversal son pequeñas comparadas con su longitud, pudiendo aumentar esa esbeltez si un extremo se desplaza con respecto del otro. Una columna esbelta tiende a desplazarse lateralmente bajo la acción de las cargas lo que produce un incremento de los momentos en la misma y una disminución en su capacidad de resistencia. Para fines de diseño, el término "columna corta" se usa para designar las columnas que tienen una resistencia igual a la calculada para su sección transversal considerando solamente las propiedades de resistencia del acero y el hormigón ignorando cualquier disminución de capacidad a consecuencia de su longitud. Una "columna 330 Columnas cortas esbelta" se define como una columna cuya resistencia se reduce debido a los efectos de segundo orden (momentos de segundo orden). Según las definiciones indicadas, una columna con una determinada relación de esbeltez se puede considerar como columna corta si cumple unas condiciones dadas y como columna esbelta si no las cumple. El código ACI en su sección 6.2.5 presenta las condiciones que deben cumplir los elementos sometidos a compresión, arriostrados y no arriostrados, para no tomar en cuenta los efectos de esbeltez. En elementos sometidos a compresión, arriostrados contra desplazamientos laterales, se puede ignorar los efectos de esbeltez cuando: 𝑘 ∙ ℓ𝑢 𝑀1 ≤ 34 + 12 ∙ ( ) ≤ 40 𝑟 𝑀2 (8.40) En elementos sometidos a compresión, no arriostrados contra desplazamientos laterales, se puede ignorar los efectos de esbeltez cuando: 𝑘 ∙ ℓ𝑢 ≤ 22 𝑟 (8.41) Donde: 𝑘 = Factor efectivo de longitud (𝑘 = 1 para columnas en pórticos arriostrados). ℓ𝑢 = Altura de columna no arriostrada. 𝑟 = Radio de giro. 𝑟 = 0.3 · ℎ para secciones cuadradas 𝑟 = 0.25 · 𝑑 para secciones circulares 𝑀1 = Relación de los momentos en los dos extremos de la columna. La relación se tomará positiva si el 𝑀2 elemento se dobla en curvatura doble y negativa si se dobla en curvatura simple. Para un pórtico arriostrado esta relación estará entre 0.5 y −0.5. Para el presente capítulo se asumirá que el valor del factor efectivo de longitud 𝑘 es igual a la unidad y que la relación entre el momento 𝑀1 y 𝑀2 es −0.5. Estas suposiciones están por el lado conservador puesto que 𝑘 = 1 corresponde a una columna doblemente articulada en un pórtico arriostrado. En pórticos arriostrados de hormigón armado, el valor de 𝑘 para las columnas será por lo general menor a 1. La 𝑀 suposición de que 𝑀1 = −0.5 supone que la columna se dobla en simple curvatura con un momento 𝑀2 2 cuyo valor es el doble de 𝑀1 . En general las columnas se doblan en doble curvatura lo que aumenta en gran medida su resistencia al pandeo. Si se reemplazan los valores de 𝑘 y de 𝑀1 /𝑀2 en la ecuación (8.40), entonces ésta se simplifica a la ecuación (8.42). 𝑘 ∙ ℓ𝑢 ≤ 28 𝑟 (8.42) 331 Diseño de estructuras de hormigón armado Para columna cuadrada: ℓ𝑢 ≤ 8.4 ℎ Para columna circular: ℓ𝑢 ≤ 7.0 𝑑 (8.43) (8.44) 8.8.5. Requerimientos de espacio entre barras El código ACI en su sección 20.6.1.3.1 requiere un recubrimiento libre mayor o igual a 40 [𝑚𝑚] para los estribos y espirales en columnas. Para facilitar que el hormigón fluya fácilmente desde el interior hacia el exterior de la sección se deben respetar las distancias entre barras de acero que se muestran en la siguiente figura. 𝐴 𝐴 𝐴 Barras en la columna superior Barras en la columna inferior La distancia 𝐴 debe ser mayor a 40 [𝑚𝑚], 1.5 ∙ 𝑑𝑏 y 1.33 ∙ 𝑑𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑜 Fig. 8.23. Espaciamiento mínimo entre barras 8.8.6. Empalmes para el refuerzo En la mayoría de los edificios construidos en zonas no sísmicas, la armadura longitudinal de las columnas es empalmada arriba de cada piso. El empalme con solapa es el más utilizado aunque en columnas muy grandes se puede utilizar empalmes mecánicos o soldadura. En general, todas las barras de una columna tendrán la misma longitud de empalme sin que importe si ellas están ubicadas en la cara de tensión o compresión. Esto se hace para evitar errores en la obra. La longitud de empalme se calcula utilizando las fórmulas indicadas anteriormente. 8.8.7. Espaciamiento y requerimientos constructivos para los estribos Los estribos son colocados en las columnas por cuatro razones principales: 332 Columnas cortas a) Sujetan las barras longitudinales para evitar su pandeo hacia la superficie de la columna. Según la sección 9.7.6.4.2 del código ACI se debe utilizar estribos para encerrar todas las barras longitudinales en compresión. En columnas de sección circular solamente es necesario utilizar una forma de estribo circular con el espaciamiento requerido por cálculo. En columnas con barras longitudinales de diámetros menores o iguales a 32 [𝑚𝑚] se utilizarán estribos de 10 [𝑚𝑚] de diámetro, mientras que para columnas con barras de mayor diámetro y para atados de barras, el diámetro mínimo de estribo debe ser 12 [𝑚𝑚]. La normativa chilena modifica el numeral 9.7.6.4.2.del ACI indicando que todas las barras no preesforzadas deben estar confinadas por medio de estribos de diámetro igual o mayor que un tercio de la barra de mayor diámetro que sujetan. El diámetro mínimo de estribo a utilizar es de 8 [𝑚𝑚]. Para paquetes de barras, el estribo debe ser mayor o igual a 12 [𝑚𝑚]. Se permite el uso de alambre corrugado o refuerzo electrosoldado de alambre con un área equivalente. 𝑑𝑏 𝑑𝑠 ≤ 16 ∙ 𝑑𝑏 𝑠 ≤ 48 ∙ 𝑑𝑠 ≥ 4 ∙𝑑 3 𝑎𝑔𝑔 Donde: 𝑑𝑏 = Diámetro de la barra longitudinal 𝑑𝑠 = Diámetro del estribo 𝑑𝑎𝑔𝑔 = Diámetro del agregado Fig. 8.24. Distancia máxima entre estribos Según el código ACI en su sección 25.7.2.1 la separación máxima 𝑠 entre estribos debe cumplir con los siguientes valores: - ≤ 16 ∙ 𝑑𝑏 que se utiliza para limitar la longitud no arriostrada de las barras longitudinales - ≤ 48 ∙ 𝑑𝑠 que se especifica para asegurar que los estribos puedan desarrollar la fuerza necesaria para prevenir el pandeo 4 - ≥ 3 ∙ 𝑑𝑎𝑔𝑔 que se especifica para que la mezcla fluya a través de los estribos 333 Diseño de estructuras de hormigón armado Los estribos deben ser dispuestos de tal manera que toda barra longitudinal en esquina y cada barra alternada debe contar con un soporte lateral provisto por la arista de un estribo con un ángulo interior no mayor a 135° y ninguna barra debe encontrarse a una distancia mayor a 150 [𝑚𝑚] a cada lado de la barra arriostrada. ≤ 135° 𝑥 4 barras 𝑥 𝑥 6 barras 𝑥 𝑥 8 barras 𝑥 8 barras NOTA: Los estribos en ---- pueden ser omitidos si 𝑥 < 150[𝑚𝑚] 12 barras 12 barras 12 barras Fig. 8.25. Disposición de estribos en secciones de hormigón armado b) Los estribos sujetan la armadura durante el proceso constructivo. La colocación de estribos durante la etapa constructiva es importante puesto que ellos son los que mantienen en posición las barras longitudinales durante el procedimiento de vaciado y vibrado de la mezcla de hormigón. c) Si los estribos están correctamente detallados confinan el núcleo central de hormigón incrementando la ductilidad de la sección. Numerosas investigaciones han confirmado que cuando los estribos están bien colocados y su separación respeta las máximas indicadas en el código, se puede esperar un comportamiento dúctil de la sección transversal durante la falla. En zonas sísmicas es de mucha importancia que todos los elementos de hormigón armado y en especial las columnas muestren un comportamiento dúctil para mantener la integridad de la estructura durante un terremoto, porque de ese modo se evita el colapso de la estructura. 334 Columnas cortas Foto 8.1. Falla de columnas por insuficiente refuerzo de corte en el viaducto de la autopista 10 en el Boulevard Venice - Terremoto de 1994, Northridge – California (Fotografía de M. Celebi, U.S. Geological Survey) d) Los estribos sirven como refuerzo para corte. Al igual que en el caso de vigas, las columnas pueden estar sometidas a fuerzas cortantes, por lo que es necesario proveer refuerzo lateral para absorber los esfuerzos producidos por estas solicitaciones. La sección 10.7.6.5.2 del código ACI indica los límites para el espaciamiento de los estribos que deben absorber fuerzas cortantes. Cuando la fuerza cortante última 𝑉𝑢 es mayor o igual a la mitad de la resistencia nominal del hormigón 𝜙 ∙ 𝑉𝑐 , es necesaria la colocación de un refuerzo lateral mínimo. Resumiendo, se puede indicar que cuando 𝑉𝑢 /𝜙 > 𝑉𝑐 /2 se requiere una cuantía mínima de refuerzo por corte (sección 7.6.3.1 del código ACI). Los estribos colocados por razones diferentes a la indicada en el presente inciso pueden servir como refuerzo de corte siempre y cuando la separación entre los mismos no supere 𝑑/2 y sea menor en todo caso a 600 [𝑚𝑚] (sección 10.7.6.5.2 del código ACI). La separación 𝑑/2 es en general menor a la necesaria para evitar el pandeo de las barras longitudinales (sección 25.7.2.1 del código ACI), por lo tanto cuando el corte gobierna, la separación 𝑑/2 entre estribos debe ser utilizada. 335 Diseño de estructuras de hormigón armado Foto 8.2. Colocación de los estribos en columnas de un edificio (Fotografías de Carlos Córdova) Ejemplo. Diseño de una columna con estribos. Diseñar una columna si: 𝑃𝑢 = 1557 [𝑘𝑁] 𝑀𝑢 = 149 [𝑘𝑁 · 𝑚] 𝑉𝑢 = 321 [𝑘𝑁] La columna pertenece a un pórtico arriostrado y tiene una longitud no arriostrada de 3.20 [𝑚]. a) Seleccionar las propiedades de los materiales, sección inicial y cuantía inicial de refuerzo. 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎] El rango más económico de cuantía 𝜌ℓ está entre 1% y 2% 𝜌ℓ = 0.015 𝐴𝑔 ≥ 336 𝑃𝑢 1557000 = = 148004 [𝑚𝑚2 ] ′ 0.40 ∙ (𝑓𝑐 + 𝜌ℓ ∙ 𝑓𝑦 ) 0.40 ∙ (20 + 0.015 ∙ 420) Columnas cortas 𝐴𝑔 ≥ 𝑃𝑢 1557000 = = 207600 [𝑚𝑚2 ] 7.5 7.5 Para un área gruesa de hormigón 𝐴𝑔 mayor o igual a 148004 [𝑚𝑚2 ] se requiere por lo menos una columna cuadrada de 385 [𝑚𝑚] de lado, mientras que para un 𝐴𝑔 mayor o igual a 207600 [𝑚𝑚2 ] se requiere de una columna cuadrada de 450 [𝑚𝑚] de lado. Para el presente problema se selecciona, como primera alternativa, una columna cuadrada de 400 [𝑚𝑚] de lado. 𝑒= 149 𝑀𝑢 = = 0.0956[𝑚] = 95.6 [𝑚𝑚] 𝑃𝑢 1557 Como la columna soporta una carga con gran excentricidad, el diseño más económico se obtiene colocando barras de acero en solo dos caras. Comúnmente, en columnas de edificios se coloca acero en las cuatro caras debido a que hay momentos respecto a los dos ejes principales de la sección. Para este ejemplo se supondrá que el momento en la otra dirección es despreciable y por ello se utilizará solamente refuerzo en dos caras. Los efectos de esbeltez pueden ser despreciados si: 𝑘 ∙ ℓ𝑢 𝑀1 ≤ 34 + 12 ∙ ( ) 𝑟 𝑀2 𝑀 Asumir 𝑘 = 1 y 𝑀1 = −0.5 2 ℓ𝑢 = 3200 [𝑚𝑚] 𝑟 = 0.3 ∙ 400 = 120 [𝑚𝑚] 1 ∙ 3200 ≤ 34 − 12 ∙ 0.5 120 26.67 ≤ 28 Se puede despreciar los efectos de segundo orden b) Área de acero necesaria El área de acero necesaria se halla multiplicando la cuantía de refuerzo total longitudinal 𝜌ℓ por la sección total de la columna de hormigón. 𝐴𝑠𝑡 = 𝜌ℓ ∙ 𝐴𝑔 = 0.015 ∙ 400 ∙ 400 = 2400 [𝑚𝑚2 ] = 24 [𝑐𝑚2 ] Posibles distribuciones de acero: 8𝜙20 6𝜙25 𝐴𝑠𝑡 = 25.1 [𝑐𝑚2 ] 𝐴𝑠𝑡 = 29.4 [𝑐𝑚2 ] 337 Diseño de estructuras de hormigón armado Como primera alternativa se utiliza 8𝜙20 en la columna de sección 400𝑥400 [𝑚𝑚2 ] y se asume que los estribos serán de diámetro 𝜙10 con un recubrimiento de 40 [𝑚𝑚] desde el borde del estribo a la cara de la columna. 73.3 73.3 73.3 60 340 Refuerzo de acero 8𝜙20 400 c) Dibujar el diagrama de interacción. Se dibuja el diagrama de interacción para la columna cuadrada de 400 [𝑚𝑚] y se verifica que la columna no es adecuada para las cargas últimas (𝑀𝑢 , 𝑃𝑢 ) por lo que se decide aumentar la dimensión de la misma a 450 [𝑚𝑚] de lado pero manteniendo la armadura. Con esta nueva dimensión, la columna cuadrada resiste adecuadamente las solicitaciones. d) Diseño de los empalmes por solapa ℓ𝑑 = 𝑓𝑦 ∙ Ψ𝑡 ∙ Ψ𝑒 2.1 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑑𝑏 = 420 ∙ 1 ∙ 1 2.1 ∙ 1 ∙ √20 = 894 [𝑚𝑚] La longitud de empalme será la de un empalme clase B (sección 25.5.2.1 del código ACI) que se utiliza cuando entre un 50% a 100% de la armadura se empalma en un mismo lugar y el área proporcionada es menor a dos veces el área requerida. Longitud de empalme de clase B: 1.3 · ℓ𝑑 = 1.20 [𝑚] 338 Columnas cortas DIAGRAMA DE INTERACCION COLUMNA DE 400x400 CON 8f20 2500 2000 Resistencia Nominal de Diseño (149, 1557) 1500 fPn [kN] 1000 500 0 0 50 100 150 200 250 -500 -1000 -1500 fMn [kN·m] 339 Diseño de estructuras de hormigón armado DIAGRAMA DE INTERACCION COLUMNA DE 450x450 CON 8f20 2500 Resistencia Nominal de Diseño 2000 (149, 1557) 1500 fPn [kN] 1000 500 0 0 50 100 150 -500 -1000 -1500 fMn [kN·m] 340 200 250 300 Columnas cortas e) Seleccionar los estribos. Según la sección 9.7.6.4.2 del código ACI, las barras de diámetro igual a 10 [𝑚𝑚] son las más pequeñas que se pueden utilizar para sujetar barras longitudinales de hasta 32 [𝑚𝑚] de diámetro. La sección 25.7.2.1 del código ACI indica tres condiciones para establecer el espaciamiento mínimo entre estribos con la finalidad de evitar el pandeo de las barras longitudinales. Estas condiciones están resumidas en el siguiente cuadro sinóptico. 𝑠 ≤ 16 ∙ 𝑑𝑏 = 320 [𝑚𝑚] 𝑠 ≤ 48 ∙ 𝑑𝑠 = 480 [𝑚𝑚] 4 4 𝑠 ≥ ∙ 𝑑𝑎𝑔𝑔 = ∙ 19 = 25 [𝑚𝑚] 3 3 Si 𝑉𝑢 > 0.5 ∙ 𝜙 ∙ 𝑉𝑐 , la separación 𝑠 entre estribos debe también satisfacer los requerimientos de la sección 10.7.6.5.2 y de la sección 10.6.2.1 del código ACI que da los requerimientos sobre la armadura mínima al corte. 𝑉𝑐 = 0.17 ∙ (1 + 𝑁𝑢 ) ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 14 ∙ 𝐴𝑔 𝑉𝑐 = 0.17 ∙ (1 + 1557000 ) ∙ 1 ∙ √20 ∙ 450 ∙ 390 = 206705 [𝑁] 14 ∙ 4502 𝑉𝑐 = 206.70 [𝑘𝑁] 𝑉𝑢 = 321 [𝑘𝑁] > 0.5 · 𝜙 · 𝑉𝑐 = 0.5 · 0.75 · 206.70 = 77.51 [𝑘𝑁] Como 𝑉𝑢 > 0.5 ∙ 𝜙 ∙ 𝑉𝑐 , la separación de los estribos debe cumplir con los requerimientos de la sección 10.7.6.5.2. Máximo espaciamiento basado en la altura de la columna. 𝑠𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝑑 390 = = 195 [𝑚𝑚] 2 2 𝑠𝑚𝑎𝑥 ≤ 600 [𝑚𝑚] Si 𝑉𝑛 ≥ 𝑉𝑐 + 0.33 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 se reduce a la mitad el valor de 𝑠 𝑉𝑛 = 𝑉𝑢 321 = = 428 [𝑘𝑁] 𝜙 0.75 𝑉𝑐 + 0.33 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 = 206.70 + 0.33 ∙ √20 ∙ 450 ∙ 390 = 465.70 [𝑘𝑁] 1000 341 Diseño de estructuras de hormigón armado Como 𝑉𝑛 = 428 [𝑘𝑁] < 465.70 [𝑘𝑁] entonces la separación de los estribos no se reduce a la mitad de los valores indicados y queda fijada en 195 [𝑚𝑚] 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 195 [𝑚𝑚] Máximo espaciamiento basado en el área mínima 𝐴𝑣 𝑚𝑖𝑛 = 0.062 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑠 𝑏𝑤 ∙ 𝑠 ≥ 0.35 ∙ 𝑓𝑦 𝑓𝑦 Reemplazando el valor de 20 [𝑀𝑃𝑎] para la resistencia del hormigón se tiene: 𝐴𝑣 𝑚𝑖𝑛 = 0.062 ∙ √20 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑠 𝑓𝑦 𝐴𝑣 𝑚𝑖𝑛 ∙ 𝑓𝑦 𝑠 𝑚𝑎𝑥 = 0.35 ∙ 𝑏𝑤 𝑏𝑤 ∙ 𝑠 𝑏𝑤 ∙ 𝑠 𝑏𝑤 ∙ 𝑠 = 0.28 ∙ ≥ 0.35 ∙ 𝑓𝑦 𝑓𝑦 𝑓𝑦 𝐴𝑣 𝑚𝑖𝑛 = 0.35 ∙ Si utilizamos 2𝐸𝜙 10 cuatro ramas 𝐴𝑣 = 4 · 0.785 = 3.14 [𝑐𝑚2 ] 𝑠 𝑚𝑎𝑥 = 314 ∙ 420 0.35 ∙ 450 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 838 [𝑚𝑚] 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 195 [𝑚𝑚] f) Calcular el espaciamiento de los estribos para resistir las fuerzas de corte. 𝑠= 𝐴𝑣 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑑 314 ∙ 420 ∙ 390 = = 232 [𝑚𝑚] 𝑉𝑢 (428 − 206.70) ∙ 1000 − 𝑉 𝑐 𝜙 𝑉𝑐 = 206.70 [𝑘𝑁] 𝑉𝑢 = 428 [𝑘𝑁] 𝜙 Utilizar 𝑠 = 200 [𝑚𝑚]. Se redondea el valor hallado de 195 [𝑚𝑚] a 200 [𝑚𝑚]. Por tanto, se decide utilizar 2𝐸𝜙10 𝑐/200. 342 Columnas cortas g) Dibujar la sección. 8𝜙20 450 2𝐸𝜙10 𝑐/200 450 8.9. Problemas propuestos 1. La sección de la columna que se muestra en la figura tiene un hormigón de resistencia 𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎] y acero con tensión de fluencia 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]. a) Calcular la capacidad teórica de la columna 𝑃𝑛 para carga axial pura. b) Calcular la máxima carga permitida 𝜙 · 𝑃𝑛𝑚𝑎𝑥 para la columna. c) Calcular la carga axial y el momento para una falla balanceada. Armadura longitudinal 8𝜙20 Armadura de corte 𝐸𝜙10 Dimensiones en [𝑚𝑚] Recubrimiento de 20 [𝑚𝑚] x x 450 450 2. Utilizando el procedimiento de la compatibilidad de deformaciones calcular cinco puntos del diagrama de interacción para la sección de la figura. Utilizar como datos para los materiales los siguientes valores: 𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎] y 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]. 343 Diseño de estructuras de hormigón armado Armadura longitudinal 8𝜙20 Armadura de corte 𝐸𝜙10 x Dimensiones en [𝑚𝑚] Recubrimiento de 20 [𝑚𝑚] x 450 450 3. Utilizando el procedimiento de la compatibilidad de deformaciones calcular cinco puntos del diagrama de interacción para la sección de la figura. Utilizar como datos para los materiales los siguientes valores: 𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎] y 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]. 150 Armadura longitudinal 12𝜙20 Armadura de corte 2 𝐸𝜙10 x x Dimensiones en [𝑚𝑚] Recubrimiento de 20 [𝑚𝑚] 300 150 600 4. Utilizando el diagrama de interacción del problema 2 calcular el máximo momento 𝑀𝑢 que puede soportar la columna para los siguientes casos: a) 𝑃𝑢 = 2500 [𝑘𝑁] b) 𝑃𝑢 = 750 [𝑘𝑁] c) 𝑒 = 30 [𝑚𝑚] 344 Columnas cortas 5. Utilizando el procedimiento de la compatibilidad de deformaciones calcular cinco puntos del diagrama de interacción para la sección de la figura. Utilizar como datos para los materiales los siguientes valores: 𝑓𝑐′ = 25 [𝑀𝑃𝑎] y 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎]. Armadura longitudinal 8𝜙20 Armadura de corte 𝐸𝜙10 x x 400 Dimensiones en [𝑚𝑚] Recubrimiento de 25 [𝑚𝑚] 345 CAPÍTULO 9 ESTADOS LÍMITES DE SERVICIO 9. Estados límites de servicio 9.1. Introducción Una estructura debe ser diseñada considerando todos aquellos estados límites últimos y de servicio que pueden actuar en cualquier momento a lo largo de la vida útil de la misma. Los anteriores capítulos 4, 5, 7 y 8 estuvieron principalmente dedicados al estudio de diferentes estados límites últimos y para cada uno de ellos se desarrollaron métodos y ecuaciones que aseguran un adecuado margen de seguridad contra las fallas por flexión, corte, inadecuada adherencia o anclaje en las barras o por una combinación de esfuerzos axiales y de flexión. Para este propósito se han considerado diferentes combinaciones de carga con sus respectivos coeficientes de mayoración para tratar de simular las condiciones más desfavorables a las cuales la estructura o elemento estará sujeto. Es también importante, que una estructura y sus diferentes elementos que la conforman se comporten adecuadamente bajo cargas de uso normal, eso quiere decir cuando los coeficientes de mayoración sean todos igual a la unidad. La verificación para los estados límites últimos no garantiza automáticamente el buen comportamiento bajo cargas de servicio. Por ejemplo, una viga bajo cargas de servicio puede presentar vibraciones o deflexiones excesivas que son inadmisibles por la incomodidad que éstas representan para el usuario, pero no fallar para el estado límite último de flexión. Para la verificación de los estados límites de servicio se utiliza la teoría elástica y se asume que el acero y el hormigón trabajan dentro de su rango elástico, esto quiere decir que las deformaciones son proporcionales a los esfuerzos en el material. El hormigón en la porción traccionada del eje neutro de la sección transversal puede ser asumido sin fisuras, parcialmente agrietado o totalmente agrietado, dependiendo de la magnitud de las cargas y de la resistencia de los materiales. En el presente capítulo se estudiarán diferentes estados límites de servicio que, dependiendo del tipo de estructura o elemento, deben ser verificados para asegurar un comportamiento satisfactorio de la estructura durante su vida útil considerando todas sus cargas de uso. Los principales estados límites de servicio que deben ser verificados son: 347 Diseño de estructuras de hormigón armado - Ancho excesivo de fisuras. Deflexiones excesivas. Vibraciones. Fatiga. Si bien la fatiga es un estado límite último, ésta ocurre para la acción repetitiva de las cargas de servicio y su análisis será considerado en este capítulo. 9.2. Teoría elástica en elementos de hormigón armado sometidos a flexión 9.2.1. Análisis elástico de secciones Para cargas de servicio la distribución de tensiones en la zona de compresión de una viga agrietada es casi lineal y la tensión en el acero está en el rango elástico. Por lo tanto, se puede conseguir una buena estimación de las tensiones en el hormigón y en el acero para las cargas de servicio si se utiliza un análisis elástico. Sin embargo, la dificultad más importante para aplicar la teoría elástica es la estimación del módulo de elasticidad del hormigón porque éste depende del esfuerzo y el tiempo de aplicación de la carga. La ecuación (2.1) fue deducida de pruebas con cargas de corta duración y proporciona el valor del módulo secante del hormigón a un esfuerzo de aproximadamente 0.5 · 𝑓𝑐′ . Cuando la carga se aplica lentamente y es conservada por largos periodos de tiempo (carga sostenida), el módulo de elasticidad se reduce debido a la fluencia del hormigón. En la figura 2.10 se aprecia la influencia de una carga permanente sobre la deformación del hormigón. Para un esfuerzo de aproximadamente 0.5 · 𝑓𝑐′, se puede asumir que la deformación por fluencia es casi proporcional al esfuerzo aplicado, por tanto para hallar la deformación por fluencia del hormigón bajo un esfuerzo de compresión constante se puede utilizar la siguiente ecuación. 𝜀𝑓𝑙𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝐶𝑡 ∙ 𝑓𝑐 𝐸𝑐 (9.1) Donde: 𝑓𝑐 = Esfuerzo constante de compresión menor a 0.5 · 𝑓𝑐′. 𝐸𝑐 = Módulo secante de elasticidad del hormigón al instante de la carga. 𝐶𝑡 = Coeficiente de fluencia del hormigón. El coeficiente 𝐶𝑡 relaciona la deformación por fluencia con la deformación elástica inicial y puede ser considerado como un amplificador de la deformación elástica inicial. Por tanto, la deformación unitaria total es la suma de la deformación elástica y la deformación por fluencia. 𝜀𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜀𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 + 𝜀𝑓𝑙𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 348 𝑓𝑐 𝑓𝑐 𝑓𝑐 + 𝐶𝑡 ∙ = ∙ (1 + 𝐶𝑡 ) 𝐸𝑐 𝐸𝑐 𝐸𝑐 (9.2) Estados límites de servicio De la ecuación (9.2) se puede obtener el módulo efectivo de elasticidad del hormigón que considera el efecto de la fluencia del hormigón bajo cargas sostenidas. 𝐸𝑐 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 = 𝑓𝑐 𝜀𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑓𝑐 ∙ 𝐸𝑐 𝐸𝑐 = 𝑓𝑐 ∙ (1 + 𝐶𝑡 ) 1 + 𝐶𝑡 (9.3) El módulo efectivo de elasticidad puede ser utilizado para relacionar el esfuerzo y la deformación unitaria total cuando se conoce el coeficiente de fluencia. En el capítulo 2 se analizó con detalle las variables que afectan el valor de 𝐶𝑡 y se presenta un método para su estimación. En la práctica, el valor del coeficiente de fluencia puede variar entre 1.5 y 2. 0,55 0,50 0,45 𝐸𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 𝐸𝑐 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 Coeficientededefluencia fluenciadel delhormigón hormigón𝐶Ct Coeficiente 𝑡 Fig. 9.1. Influencia del coeficiente 𝑪𝒕 en el módulo de elasticidad del hormigón Cálculo de la rigidez. Para poder realizar un análisis elástico de la sección transversal de un elemento de hormigón armado es necesario calcular su rigidez. Para ello, se necesita calcular el módulo de elasticidad y el momento de inercia. 𝐸𝑐 = 44 ∙ 𝑤𝑐1.5 ∙ √𝑓𝑐′ [𝑀𝑃𝑎] (2.1) 𝑤𝑐 = Peso unitario del hormigón en [𝑘𝑁/𝑚3 ]. 𝑓𝑐′ = Resistencia característica cilíndrica de compresión a los 28 días en [𝑀𝑃𝑎]. Para hormigón de densidad normal (𝑤𝑐 = 22.5 [𝑘𝑁/𝑚3 ]). 349 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝐸𝑐 = 4700 ∙ √𝑓𝑐′ [𝑀𝑃𝑎] (2.2) Para el acero, el módulo de elasticidad 𝐸𝑠 tiene un valor de 200000 [𝑀𝑃𝑎] y la relación modular 𝑛 se define como: 𝑛= 𝐸𝑠 𝐸𝑐 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 = 𝐸𝑠 ∙ (1 + 𝐶𝑡 ) 𝐸𝑐 (9.4) Relación modular 𝒏 𝒇′𝒄 [𝑴𝑷𝒂] 𝐶𝑡 = 0 𝐶𝑡 = 1 𝐶𝑡 = 2 20 9.5 19.0 28.5 25 8.5 17.0 25.5 30 7.8 15.5 23.3 35 7.2 14.4 21.6 40 6.7 13.5 20.2 45 6.3 12.7 19.0 50 6.0 12.0 18.1 30 Relación modular n Relación modular 𝑛 25 20 𝐶𝑡 C=t =22 15 𝐶𝑡 C=t =11 10 𝐶𝑡 C=t =00 5 0 20 25 30 35 40 45 50 Resistencia característica hormigón [MPa] Resistencia característica del del hormigón [𝑀𝑃𝑎] Fig. 9.2. Variación de la relación modular en función del coeficiente de fluencia del hormigón 350 55 Estados límites de servicio El valor de 𝑛 significa que para una deformación menor a la de fluencia 𝜀𝑦 , la tensión en el acero será 𝑛 veces mayor que la del hormigón sujeto a la misma deformación. En la figura 9.3 se ha dibujado sobre la misma escala los diagramas de esfuerzo - deformación para el acero y el hormigón, por lo que se puede apreciar que para una misma deformación, el acero tiene un esfuerzo mucho mayor que el hormigón. Para el rango elástico (𝜀𝑠 < 𝜀𝑦 ), esta diferencia de esfuerzo es considerada utilizando la relación modular. 𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 [𝑀𝑃𝑎] 500 Acero 400 300 200 𝑛= 𝐸𝑠 𝐸𝑐 100 Hormigón 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 Fig. 9.3. Curvas esfuerzo - deformación para acero y hormigón 9.3. Análisis de vigas utilizando el procedimiento del par interno En la siguiente figura se muestra una sección rectangular de hormigón armado con doble armadura que se encuentra agrietada debido a las cargas de servicio. Se consideran conocidas las dimensiones de la sección transversal junto con la posición y áreas de los aceros. Bajo cargas de servicio se asume que el hormigón trabaja en el rango elástico y se presume que la distribución de los esfuerzos en el hormigón es lineal, por tanto el bloque de compresión que se forma por encima del eje neutro tiene la forma triangular. Utilizando el concepto de la compatibilidad de deformaciones y las ecuaciones de equilibrio, se puede realizar el análisis de la sección con el concepto del par interno de fuerzas. 351 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑏 𝑓𝑐 𝜀𝑐 𝑑 𝐴′𝑠 ′ 𝜀𝑠′ 𝑀𝑠 𝑑 ℎ 𝐶𝑠 𝐶𝑐 𝑓𝑠′ 𝑘∙𝑑 Eje neutro 𝐴𝑠 𝜀𝑠 Sección Parte del elemento Deformaciones 𝑇 𝑓𝑠 Esfuerzos Fuerzas internas Fig. 9.4. Análisis de una sección rectangular con doble armadura para carga de servicio después del agrietamiento Las deformaciones 𝜀𝑐 , 𝜀𝑠′ y 𝜀𝑠 se pueden escribir en términos de los esfuerzos utilizando la ley de Hooke: 𝜀𝑐 = 𝑓𝑐 ∙ (1 + 𝐶𝑡 ) 𝐸𝑐 (9.5) 𝑓𝑠′ ′ 𝜀𝑠 = 𝐸𝑠 (9.6) 𝑓𝑠 𝐸𝑠 (9.7) 𝜀𝑠 = Del diagrama de deformaciones, se pueden obtener las relaciones correspondientes entre las diferentes deformaciones: 𝜀𝑐 ε′s 𝜀𝑠 = = ′ 𝑘·𝑑 𝑘∙𝑑−𝑑 𝑑−𝑘∙𝑑 (9.8) Se substituyen las ecuaciones (9.5), (9.6) y (9.7) en la ecuación (9.8) y se obtienen las ecuaciones para el esfuerzo en las barras de acero que están en compresión y tracción. 𝑓𝑠′ 𝑓𝑠 𝑓𝑐 ∙ (1 + 𝐶𝑡 ) = = ′ 𝐸𝑐 ∙ 𝑘 ∙ 𝑑 𝐸𝑠 ∙ (𝑘 ∙ 𝑑 − 𝑑 ) 𝐸𝑠 ∙ 𝑑 ∙ (1 − 𝑘) 𝑓𝑠 = 1−𝑘 ∙ 𝑛 ∙ 𝑓𝑐 𝑘 (9.9) 𝑓𝑠′ = 𝑘 ∙ 𝑑 − 𝑑′ ∙ 𝑛 ∙ 𝑓𝑐 𝑘∙𝑑 (9.10) Donde: 352 Estados límites de servicio 𝑛= 𝐸𝑠 ∙ (1 + 𝐶𝑡 ) 𝐸𝑐 (9.4) Las fuerzas internas resultantes en la sección de hormigón son: 𝐶𝑐 = 0.5 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 ∙ 𝑘 ∙ 𝑑 − 𝑘 ∙ 𝑑 − 𝑑′ ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝐴′𝑠 𝑘∙𝑑 (9.11) 𝐶𝑠 = 𝑓𝑠′ ∙ 𝐴′𝑠 (9.12) 𝑇 = 𝑓𝑠 ∙ 𝐴𝑠 (9.13) Debido a que el área de hormigón que desplaza el acero de compresión es pequeña, se puede ignorar el segundo término de la ecuación (9.11). 𝐶𝑐 = 0.5 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 ∙ 𝑘 ∙ 𝑑 (9.14) Realizando el equilibrio de las fuerzas horizontales se tiene que: 𝐶𝑐 + 𝐶𝑠 = 𝑇 0.5 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 ∙ 𝑘 ∙ 𝑑 + 𝑓𝑠′ ∙ 𝐴′𝑠 = 𝑓𝑠 ∙ 𝐴𝑠 (9.15) Se substituyen las ecuaciones (9.9) y (9.10) en la ecuación (9.15) y se obtiene una ecuación cuadrática para 𝑘. 0.5 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 ∙ 𝑘 ∙ 𝑑 + 1−𝑘 𝑘 ∙ 𝑑 − 𝑑′ 𝑛 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝐴′𝑠 = ∙ 𝑛 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝐴𝑠 𝑘 𝑘∙𝑑 𝑘 2 + 2 ∙ (𝜌 + 𝜌′ ) ∙ 𝑛 ∙ 𝑘 − 2 ∙ (𝜌 + 𝜌′ ∙ 𝑑′ )∙𝑛=0 𝑑 Donde: 𝜌= 𝐴𝑠 𝑏∙𝑑 (4.9) 𝐴′𝑠 𝑏∙𝑑 (4.48) 𝜌′ = La solución de la ecuación cuadrática da como resultado el valor de 𝑘 que define la posición del eje neutro y la profundidad del bloque triangular de compresiones en el hormigón. 353 Diseño de estructuras de hormigón armado 1 2 𝑑′ 𝑘 = [(𝜌 + 𝜌′ )2 ∙ 𝑛2 + 2 ∙ (𝜌 + 𝜌′ ∙ ) ∙ 𝑛] − (𝜌 + 𝜌′ ) ∙ 𝑛 𝑑 (9.16) Si se desea tomar en cuenta el área de hormigón que desplaza el acero de compresión se debe utilizar en la sumatoria de fuerzas horizontales todos los términos de la ecuación (9.11). Realizando el equilibrio de las fuerzas horizontales se tiene 𝐶𝑐 + 𝐶𝑠 = 𝑇 0.5 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 ∙ 𝑘 ∙ 𝑑 − 𝑘 ∙ 𝑑 − 𝑑′ ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝐴′𝑠 + 𝑓𝑠′ ∙ 𝐴′𝑠 = 𝑓𝑠 ∙ 𝐴𝑠 𝑘∙𝑑 (9.20) Se substituyen las ecuaciones (9.9) y (9.10) en la ecuación (9.20) y se obtiene una ecuación cuadrática para 𝑘. 𝑘 2 + 2 ∙ (𝑛 ∙ 𝜌 + 𝑛 ∙ 𝜌′ − 𝜌′ ) ∙ 𝑘 + 2 ∙ ( 𝑑′ ′ 𝑑′ ∙ 𝜌 − ∙ 𝑛 ∙ 𝜌′ − 𝑛 ∙ 𝜌) = 0 𝑑 𝑑 (9.21) La solución de la ecuación cuadrática da como resultado el valor de 𝑘 que define la posición del eje neutro y la profundidad del bloque triangular de compresiones en el hormigón. 1 2 𝑑′ 𝑘 = [(𝜌′ − 𝑛 ∙ (𝜌 + 𝜌′ )) − 2 ∙ ( ∙ 𝜌′ ∙ (1 − 𝑛) − 𝑛 ∙ 𝜌)] + 𝜌′ − 𝑛 ∙ (𝜌 + 𝜌′ ) 𝑑 2 (9.22) Si se realiza la sumatoria de momentos con respecto a la posición de la armadura de tracción, se obtiene el momento que resiste la sección. Para la fuerza en el hormigón, se puede utilizar indistintamente el valor de 𝑘 obtenido de las ecuaciones (9.16) o (9.22). 𝑀𝑠 = 0.5 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 ∙ 𝑘 ∙ 𝑑 ∙ (𝑑 − 𝑘∙𝑑 ) + 𝑓𝑠′ ∙ 𝐴′𝑠 ∙ (𝑑 − 𝑑′ ) 3 (9.23) Si se substituye la ecuación (9.10) en la ecuación (9.22) se puede despejar el esfuerzo en el hormigón para un momento de servicio dado. 𝑓𝑐 = 𝑀𝑠 𝑘∙𝑑 𝑘 ∙ 𝑑 − 𝑑′ 0.5 ∙ 𝑏 ∙ 𝑘 ∙ 𝑑 ∙ (𝑑 − 3 ) + ∙ 𝑛 ∙ 𝐴′𝑠 ∙ (𝑑 − 𝑑′ ) 𝑘∙𝑑 (9.24) Las ecuaciones deducidas en esta sección pueden ser utilizadas para determinar los esfuerzos en el hormigón y el acero para un momento dado, o el momento para un esfuerzo determinado, cuando se conocen las dimensiones de la sección de hormigón, las áreas de acero y la posición de las mismas. Las 354 Estados límites de servicio ecuaciones también pueden utilizarse para secciones con simple armadura considerando el valor de cero para el acero de compresión (𝐴′𝑠 = 0) y (𝜌′ = 0) Ejemplo. Calcular los esfuerzos en el acero y hormigón debido a un momento flector de 260 [𝑘𝑁 · 𝑚] considerando al momento como carga instantánea y como carga sostenida. Para el coeficiente de fluencia del hormigón 𝐶𝑡 considerar el valor de cero para cargas instantáneas y uno para cargas sostenidas. Datos: 𝐴𝑠 = 2945 [𝑚𝑚2 ] 𝐴′𝑠 = 1473 [𝑚𝑚2 ] 𝑏 = 400 [𝑚𝑚] 𝑑 = 730 [𝑚𝑚] 𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] 400 70 3𝜙25 730 800 6𝜙25 a) Calcular las cuantías de acero. 𝜌= 2945 𝐴𝑠 = = 0.01009 𝑏 ∙ 𝑑 400 ∙ 730 𝜌′ = 𝐴′𝑠 1473 = = 0.00504 𝑏 ∙ 𝑑 400 ∙ 730 b) Calcular la relación modular 𝑛. 𝐸𝑐 = 4700 ∙ √𝑓𝑐′ = 4700 ∙ √20 = 21019 [𝑀𝑃𝑎] 𝐸𝑠 = 200000 [𝑀𝑃𝑎] Para carga instantánea (𝑪𝒕 = 𝟎). 𝑛= 𝐸𝑠 200000 ∙ (1 + 𝐶𝑡 ) = ∙ (1 + 0) = 9.52 𝐸𝑐 21019 Para carga sostenida (𝑪𝒕 = 𝟏). 𝑛= 𝐸𝑠 200000 ∙ (1 + 𝐶𝑡 ) = ∙ (1 + 1) = 19.03 21019 𝐸𝑐 c) Calcular el valor de 𝑘 despreciando el área de hormigón desplazada por el acero de compresión. 355 Diseño de estructuras de hormigón armado Para carga instantánea. 70 1 2 𝑘 = [(0.01009 + 0.00504)2 ∙ 9.522 + 2 ∙ (0.01009 + 0.00504 ∙ 730) ∙ 9.52] − (0.01009 + 0.00504) ∙ 9.52 = 0.327 Para carga sostenida. 1 2 𝑘 = [(0.01009 + 0.00504) ∙ 19.03 2 0.00504) ∙ 19.03 = 0.409 70 2 + 2 ∙ (0.01009 + 0.00504 ∙ 730) ∙ 19.03] − (0.01009 + d) Calcular los esfuerzos en el hormigón y las barras de acero. Para carga instantánea. 𝑓𝑠 = 1 − 0.327 ∙ 9.52 ∙ 𝑓𝑐 = 19.59 ∙ 𝑓𝑐 0.327 𝑓𝑠′ = 0.327 ∙ 730 − 70 ∙ 9.52 ∙ 𝑓𝑐 = 6.73 ∙ 𝑓𝑐 0.327 ∙ 730 𝑓𝑐 = 260000000 0.327 ∙ 730 − 70 0.327 ∙ 730 )+ ∙ 9.52 ∙ 1473 ∙ (730 − 70) 0.5 ∙ 400 ∙ 0.327 ∙ 730 ∙ (730 − 0.327 ∙ 730 3 𝑓𝑐 = 6.92 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑠 = 19.59 ∙ 𝑓𝑐 = 19.59 ∙ 6.92 = 135.56 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑠′ = 6.73 ∙ 𝑓𝑐 = 6.73 ∙ 6.92 = 46.57 [𝑀𝑃𝑎] Para carga sostenida 𝑓𝑠 = 1 − 0.409 ∙ 19.03 ∙ 𝑓𝑐 = 27.50 ∙ 𝑓𝑐 0.409 𝑓𝑠′ = 0.409 ∙ 730 − 70 ∙ 19.03 ∙ 𝑓𝑐 = 14.57 ∙ 𝑓𝑐 0.409 ∙ 730 𝑓𝑐 = 260000000 0.409 ∙ 730 0.409 ∙ 730 − 70 0.5 ∙ 400 ∙ 0.409 ∙ 730 ∙ (730 − ) + 0.409 ∙ 730 ∙ 19.03 ∙ 1473 ∙ (730 − 70) 3 𝑓𝑐 = 5.02 [𝑀𝑃𝑎] 356 Estados límites de servicio 𝑓𝑠 = 27.50 ∙ 𝑓𝑐 = 27.50 ∙ 5.02 = 138.05 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑠′ = 14.57 ∙ 𝑓𝑐 = 14.57 ∙ 5.02 = 73.14 [𝑀𝑃𝑎] Resumen de esfuerzos Tipo de carga 𝒇𝒄 [𝑴𝑷𝒂] 𝒇𝒔 [𝑴𝑷𝒂] Instantánea 6.92 135.56 Sostenida 5.02 138.05 Variación −𝟐𝟕% 𝟐% 𝒇′𝒔 [𝑴𝑷𝒂] 46.57 73.14 𝟓𝟕% El efecto de la fluencia del hormigón en una viga sometida a momento flector se evidencia en la tabla de resumen del presente ejemplo. En ella se observa que, para una carga sostenida, el esfuerzo en el hormigón disminuye en un 27%, mientras que el esfuerzo en el acero de tracción aumenta en 2% y en el acero de compresión en 57%, con respecto a los valores para carga instantánea. Es evidente que la fluencia del hormigón en la zona de compresión produce una transferencia de esfuerzos de compresión desde el hormigón hacia al acero de compresión. Ejemplo. Una sección rectangular de hormigón armado está sometida a momentos por cargas muertas y vivas de servicio. Si la sección solamente tiene 3𝜙25 como acero de tracción, calcular la tensión en el acero para las cargas de servicio especificadas. Datos: 𝑏 = 250 [𝑚𝑚] 𝑑 = 510 [𝑚𝑚] 𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] 𝑀𝐿 = 68 [𝑘𝑁 · 𝑚] 𝑀𝐷 = 95 [𝑘𝑁 · 𝑚] 250 Momento por carga viva Momento por carga muerta 510 580 3𝜙25 a) Calcular las cuantías de acero. 𝜌= 1473 = 0.01155 250 ∙ 510 𝜌′ = 0 =0 250 ∙ 510 b) Calcular la relación modular 𝑛. 𝐸𝑐 = 4700 ∙ √20 = 21019 [𝑀𝑃𝑎] 𝐸𝑠 = 200000 [𝑀𝑃𝑎] 357 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑛= 200000 = 9.52 21019 c) Calcular el valor de 𝑘. Como solo hay armadura de tracción se substituye el valor de 0 para 𝜌′ en las ecuaciones (9.9), (9.19) y (9.23). 1 1 𝑘 = [𝜌2 ∙ 𝑛2 + 2 ∙ 𝜌 ∙ 𝑛]2 − 𝜌 ∙ 𝑛 = [0.011552 ∙ 9.522 + 2 ∙ 0.01155 ∙ 9.52]2 − 0.01155 ∙ 9.52 𝑘 = 0.372 d) Calcular los esfuerzos en el hormigón y las barras de acero. 𝑓𝑐 = 𝑀𝑠 𝑘∙𝑑 0.5 ∙ 𝑏 ∙ 𝑘 ∙ 𝑑 ∙ (𝑑 − 3 ) = (68 + 95) ∙ 1000000 0.372 ∙ 510 ) 0.5 ∙ 250 ∙ 0.372 ∙ 510 ∙ (510 − 3 𝑓𝑐 = 15.38 [𝑀𝑃𝑎] << 20 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑠 = 1−𝑘 1 − 0.372 ∙ 𝑛 ∙ 𝑓𝑐 = ∙ 9.52 ∙ 15.38 𝑘 0.372 𝑓𝑠 = 247.18 [𝑀𝑃𝑎] << 420 [𝑀𝑃𝑎] 9.4. Análisis de vigas T utilizando el procedimiento del par interno 𝑏 ℎ 𝐴′𝑠 𝜀𝑐 𝑑′ 𝜀𝑐1 𝑑 𝐴𝑠 𝑀𝑛 Eje neutro Parte del elemento 𝑓𝑐1 𝑘·𝑑 Deformaciones 𝑇 𝑓𝑠 Esfuerzos Fig. 9.5. Análisis de una sección T con doble armadura para carga de servicio después del agrietamiento 358 𝐶𝑠 𝐶𝑐 𝑓𝑠′ 𝑀𝑛 𝜀𝑠 𝑏𝑤 Sección 𝑓𝑐 𝜀𝑠′ Fuerzas internas Estados límites de servicio Las deformaciones 𝜀𝑐 , 𝜀𝑐1 , 𝜀𝑠′ y 𝜀𝑠 se pueden escribir en términos de los esfuerzos utilizando la ley de Hooke: 𝜀𝑐 = 𝑓𝑐 ∙ (1 + 𝐶𝑡 ) 𝐸𝑐 (9.5) 𝑓𝑐1 ∙ (1 + 𝐶𝑡 ) 𝐸𝑐 (9.25) 𝜀𝑐1 = 𝑓𝑠′ ′ 𝜀𝑠 = 𝐸𝑠 (9.6) 𝑓𝑠 𝐸𝑠 (9.7) 𝜀𝑠 = Del diagrama de deformaciones, se pueden obtener las relaciones correspondientes entre las diferentes deformaciones: 𝜀𝑐1 𝜀𝑠′ 𝜀𝑠 𝜀𝑐 = = = ′ 𝑑−𝑘∙𝑑 𝑘 ∙ 𝑑 𝑘 ∙ 𝑑 − ℎ𝑓 𝑘 ∙ 𝑑 − 𝑑 (9.26) Se substituyen las ecuaciones (9.5), (9.25), (9.6) y (9.7) en la ecuación (9.26) y se obtienen las ecuaciones para el esfuerzo en las barras de acero que están a compresión y tracción. 𝑓𝑐 ∙ (1 + 𝐶𝑡 ) 𝑓𝑐1 ∙ (1 + 𝐶𝑡 ) 𝑓𝑠′ 𝑓𝑠 = = = ′ 𝐸𝑐 ∙ 𝑘 ∙ 𝑑 𝐸𝑐 ∙ (𝑘 ∙ 𝑑 − ℎ) 𝐸𝑠 ∙ (𝑘 ∙ 𝑑 − 𝑑 ) 𝐸𝑠 ∙ 𝑑 ∙ (1 − 𝑘) 𝑘∙𝑑−ℎ ∙ 𝑓𝑐 𝑘∙𝑑 (9.27) 𝑓𝑠 = 1−𝑘 ∙ 𝑛 ∙ 𝑓𝑐 𝑘 (9.9) 𝑓𝑠′ = 𝑘 ∙ 𝑑 − 𝑑′ ∙ 𝑛 ∙ 𝑓𝑐 𝑘∙𝑑 (9.10) 𝑓𝑐1 = Donde: 𝑛= 𝐸𝑠 ∙ (1 + 𝐶𝑡 ) 𝐸𝑐 (9.4) Las fuerzas internas resultantes en la sección de hormigón son: 𝐶𝑐 = 0.5 ∙ (𝑓𝑐 + 𝑓𝑐1 ) ∙ 𝑏 ∙ ℎ + 0.5 ∙ 𝑓𝑐1 ∙ (𝑘 ∙ 𝑑 − ℎ) ∙ 𝑏𝑤 359 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝐶𝑐 = 0.5 ∙ (𝑓𝑐 + 𝑘∙𝑑−ℎ 𝑘∙𝑑−ℎ ∙ 𝑓𝑐 ) ∙ 𝑏 ∙ ℎ + 0.5 ∙ ∙ 𝑓𝑐 ∙ (𝑘 ∙ 𝑑 − ℎ) ∙ 𝑏𝑤 𝑘∙𝑑 𝑘∙𝑑 (𝑘 ∙ 𝑑 − ℎ)2 𝑘∙𝑑−ℎ 𝐶𝑐 = 0.5 ∙ 𝑏 ∙ ℎ ∙ 𝑓𝑐 ∙ (1 + ) + 0.5 ∙ ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏𝑤 𝑘∙𝑑 𝑘∙𝑑 𝐶𝑐 = 𝑏 ∙ ℎ ∙ 𝑓𝑐 ∙ (1 − (𝑘 ∙ 𝑑 − ℎ)2 ℎ )+ ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏𝑤 2∙𝑘∙𝑑 2∙𝑘∙𝑑 (9.28) 𝐶𝑠 = 𝑓𝑠′ ∙ 𝐴′𝑠 (9.12) 𝑇 = 𝑓𝑠 ∙ 𝐴𝑠 (9.13) Despreciando la fuerza de compresión en el alma debido a que la magnitud del esfuerzo y el área de hormigón son pequeñas, se puede ignorar el segundo término de la ecuación (9.28). 𝐶𝑐 = 𝑏 ∙ ℎ𝑓 ∙ 𝑓𝑐 ∙ (1 − ℎ ) 2∙𝑘∙𝑑 (9.29) Realizando el equilibrio de las fuerzas horizontales se tiene 𝐶𝑐 + 𝐶𝑠 = 𝑇 𝑏 ∙ ℎ ∙ 𝑓𝑐 ∙ (1 − ℎ ) + 𝑓𝑠′ ∙ 𝐴′𝑠 = 𝑓𝑠 ∙ 𝐴𝑠 2∙𝑘∙𝑑 (9.30) Se substituyen las ecuaciones (9.9) y (9.10) en la ecuación (9.30) y se obtiene una ecuación lineal para 𝑘. 𝑏 ∙ ℎ𝑓 ∙ 𝑓𝑐 ∙ (1 − 𝑘= 1−𝑘 ℎ 𝑘 ∙ 𝑑 − 𝑑′ )+ ∙ 𝑛 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝐴′𝑠 = ∙ 𝑛 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝐴𝑠 2∙𝑘∙𝑑 𝑘 𝑘∙𝑑 𝑏 ∙ ℎ + 2 ∙ 𝑑′ ∙ 𝑛 ∙ 𝐴′𝑠 + 2 ∙ 𝑑 ∙ 𝑛 ∙ 𝐴𝑠 2 ∙ 𝑑 ∙ (𝑏 ∙ ℎ + 𝑛 ∙ 𝐴′𝑠 + 𝑛 ∙ 𝐴𝑠 ) (9.31) La solución de la ecuación da como resultado el valor de 𝑘 que define la posición del eje neutro y la profundidad del bloque triangular de compresión en el hormigón. Si se desea tomar en cuenta el área de hormigón del alma se debe utilizar en la sumatoria de fuerzas horizontales todos los términos de la ecuación (9.28). Se realiza el equilibrio de las fuerzas horizontales y se obtiene la siguiente expresión: 𝐶𝑐 + 𝐶𝑠 = 𝑇 360 Estados límites de servicio 𝑏 ∙ ℎ ∙ 𝑓𝑐 ∙ (1 − (𝑘 ∙ 𝑑 − ℎ)2 ℎ )+ ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏𝑤 + 𝑓𝑐′ ∙ 𝐴′𝑠 = 𝑓𝑠 ∙ 𝐴𝑠 2∙𝑘∙𝑑 2∙𝑘∙𝑑 (9.32) Se substituyen las ecuaciones (9.9) y (9.10) en la ecuación (9.32) y se obtiene una ecuación cuadrática para 𝑘. 𝑏𝑤 ∙ 𝑑2 ∙ 𝑘 2 + 2 ∙ 𝑑 ∙ [ℎ ∙ (𝑏 − 𝑏𝑤 ) + 𝑛 ∙ (𝐴′𝑠 + 𝐴𝑠 )] ∙ 𝑘 + ℎ2 ∙ (𝑏𝑤 − 𝑏) − 2 ∙ 𝑛 ∙ (𝐴′𝑠 ∙ 𝑑′ + 𝐴𝑠 ∙ 𝑑) = 0 La solución de la ecuación cuadrática da como resultado el valor de 𝑘 que define la posición del eje neutro y la profundidad del bloque triangular de compresiones en el hormigón. 1 2 𝑏 𝑏 ℎ 2 𝑏 𝑑′ 𝑏 2 ℎ ℎ ∙ (𝜌′ + 𝜌)] + ( ) ∙ ( − 1) + 2 ∙ 𝑛 ∙ (𝜌′ ∙ + 𝜌) ∙ 𝑘 = {[ ∙ ( − 1) + 𝑛 ∙ } − 𝑏𝑤 𝑑 𝑏𝑤 𝑑 𝑏𝑤 𝑑 𝑑 𝑏𝑤 𝑏 𝑏 ∙ ( − 1) − 𝑛 ∙ (𝜌′ + 𝜌) ∙ 𝑏𝑤 𝑏𝑤 (9.33) Donde: 𝜌= 𝐴𝑠 𝑏∙𝑑 (4.9) 𝐴′𝑠 𝑏∙𝑑 (4.48) 𝜌′ = Si se realiza la sumatoria de momentos con respecto a la posición de la armadura de tracción, se obtiene el momento que resiste la sección. Para la fuerza en el hormigón, se puede utilizar indistintamente el valor de 𝑘 obtenido de las ecuaciones (9.19) o (9.21). 𝑦̅ = ℎ 2 ∙ 𝑓𝑐1 + 𝑓𝑐 ∙( ) 𝑓𝑐1 + 𝑓𝑐 3 (9.34) 2 𝑘∙𝑑 ∙ℎ+ 3 3 (9.35) 𝑦̅1 = 361 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑓𝑐 𝑓𝑐 𝑦̅ ℎ𝑓 ℎ𝑓 𝑓𝑐1 𝑦̅1 𝑓𝑐1 𝑘 ∙ 𝑑 − ℎ𝑓 Fig. 9.6. Centros de gravedad del bloque de compresiones (𝑘 ∙ 𝑑 − ℎ)2 ℎ 𝐶𝑐 = 𝑏 ∙ ℎ ∙ 𝑓𝑐 ∙ (1 − )+ ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏𝑤 2∙𝑘∙𝑑 2∙𝑘∙𝑑 𝑀𝑠 = 𝑏 ∙ ℎ ∙ 𝑓𝑐 ∙ (1 − (𝑘 ∙ 𝑑 − ℎ)2 ℎ ) ∙ (𝑑 − 𝑦̅) + ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏𝑤 ∙ (𝑑 − 𝑦̅1 ) + 𝑓𝑠′ ∙ 𝐴′𝑠 ∙ (𝑑 − 𝑑′ ) 2∙𝑘∙𝑑 2∙𝑘∙𝑑 (9.36) Si se substituye la ecuación (9.10) en la ecuación (9.36), se puede despejar el esfuerzo en el hormigón para un momento de servicio dado. 𝑓𝑐 = 𝑀𝑠 (𝑘 ∙ 𝑑 − ℎ)2 ℎ 𝑘 ∙ 𝑑 − 𝑑′ 𝑏 ∙ ℎ𝑓 ∙ (1 − ) ∙ (𝑑 − 𝑦̅) + ∙ 𝑏𝑤 ∙ (𝑑 − 𝑦̅1 ) + ∙ 𝑛 ∙ 𝐴′𝑠 ∙ (𝑑 − 𝑑′ ) 2∙𝑘∙𝑑 𝑘∙𝑑 2∙𝑘∙𝑑 (9.37) Las ecuaciones deducidas en esta sección pueden ser utilizadas para determinar los esfuerzos en el hormigón y el acero para un momento dado, o el momento para un esfuerzo determinado, cuando se conocen las dimensiones de la sección de hormigón, las áreas de acero y la posición de las barras. Las ecuaciones también pueden utilizarse para secciones con simple armadura considerando el valor de cero para el acero de compresión (𝐴′𝑠 = 0) y (𝜌′ = 0). Ejemplo. Una sección T de hormigón armado está sometida a un momento flector de servicio igual a 200 [𝑘𝑁 · 𝑚]. Si la sección tiene armadura de tracción y compresión, calcular los esfuerzos en el hormigón y las barras de acero para el momento de servicio especificado. Considerar que el momento de servicio aplicado es de corta duración y por tal razón se desprecian los efectos de la fluencia sobre el módulo de elasticidad del hormigón. 362 Estados límites de servicio Datos: 𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] 𝐴𝑠 = 2945 [𝑚𝑚2 ] 𝐴′𝑠 = 679 [𝑚𝑚2 ] 𝑀 = 200 [𝑘𝑁 · 𝑚] Dimensiones en milímetros 1000 125 6𝜙12 510 Asumir que el eje neutro está en el alma a) Calcular las cuantías de acero. 𝜌= 50 6𝜙25 250 𝐴𝑠 2945 = = 0.00577 𝑏 ∙ 𝑑 1000 ∙ 510 𝜌′ = 𝐴′𝑠 679 = = 0.00133 𝑏 ∙ 𝑑 1000 ∙ 510 b) Calcular la relación modular 𝑛. 𝐸𝑐 = 4700 ∙ √𝑓𝑐′ = 4700 ∙ √20 = 21019 [𝑀𝑃𝑎] 𝐸𝑠 = 200000 [𝑀𝑃𝑎] 𝑛= 𝐸𝑠 200000 = = 9.52 𝐸𝑐 21019 c) Calcular el valor de 𝑘. ℎ 125 = = 0.24510 𝑑 510 𝑏 1000 = =4 𝑏𝑤 250 𝜌′ + 𝜌 = 0.00711 1 2 50 + 0.00577) ∙ 4} 𝑘 = {(0.2451 ∙ 3 + 9.52 ∙ 4 ∙ 0.00711)2 + 0.24512 ∙ 3 + 2 ∙ 9.52 ∙ (0.00133 ∙ 510 − 0.2451 ∙ 3 − 9.52 ∙ 0.00711 ∙ 4 = 0.275 𝑘 ∙ 𝑑 = 0.275 ∙ 510 = 140 [𝑚𝑚] ≥ 125[𝑚𝑚] ⇒ El eje neutro está en el alma 363 Diseño de estructuras de hormigón armado d) Calcular los esfuerzos en el hormigón y las barras de acero. 0.275 ∙ 510 − 125 𝑓𝑐1 = ∙ 𝑓𝑐 = 0.11 ∙ 𝑓𝑐 0.275 ∙ 510 𝑓𝑠 = 1 − 0.275 ∙ 9.52 ∙ 𝑓𝑐 = 25.10 ∙ 𝑓𝑐 0.275 𝑓𝑠′ = 0.275 ∙ 510 − 50 ∙ 9.52 ∙ 𝑓𝑐 = 6.13 ∙ 𝑓𝑐 0.275 ∙ 510 𝑦̅ = 125 2 ∙ 0.11 ∙ 𝑓𝑐 + 𝑓𝑐 ∙( ) = 46 [𝑚𝑚] 0.11 ∙ 𝑓𝑐 + 𝑓𝑐 3 (9.34) 2 0.275 ∙ 510 ∙ 125 + = 130 [𝑚𝑚] 3 3 (9.35) 𝑦̅1 = 𝐶𝑐 = 1000 ∙ 125 ∙ 𝑓𝑐 ∙ (1 − (0.275 ∙ 510 − 125)2 125 )+ ∙ 𝑓𝑐 ∙ 250 = 69296 ∙ 𝑓𝑐 + 207 ∙ 𝑓𝑐 2 ∙ 0.275 ∙ 510 2 ∙ 0.275 ∙ 510 𝐶𝑐 = 69503 ∙ 𝑓𝑐 𝑓𝑐 = 200000000 = 5.86 [𝑀𝑃𝑎] 69296 ∙ (510 − 46) + 207 ∙ (510 − 130) + 4160 ∙ (510 − 50) 𝑓𝑐1 = 0.11 ∙ 5.86 = 0.64 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑠 = 25.10 ∙ 5.86 = 147.09 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑠′ = 6.13 ∙ 5.86 = 35.92 [𝑀𝑃𝑎] 9.5. Análisis de vigas por el método de la sección transformada Para cargas de servicio, se asume que la viga se comporta elásticamente y se utilizan las ecuaciones de la teoría elástica para el análisis. Las suposiciones básicas de la teoría elástica son: - Distribución lineal de las deformaciones en toda la altura de la sección. - Las tensiones son calculadas considerando la proporcionalidad entre esfuerzos y deformaciones. La ecuación de la teoría elástica para hallar la distribución de esfuerzos por flexión a lo largo de la sección transversal de la viga es: 𝑓= 364 𝑀∙𝑦 𝐼 (5.2) Estados límites de servicio Donde: 𝑀 = Momento flector aplicado en el centro de gravedad de la sección. 𝑦 = Distancia desde el eje baricéntrico al punto donde se desea hallar el esfuerzo por flexión. 𝐼 = Momento de inercia alrededor del eje baricéntrico de la sección. Cuando una viga está hecha de dos materiales y es cargada, los diferentes valores del módulo de elasticidad 𝐸 para ambos materiales dan como resultado distribuciones de tensiones diferentes debido a que un material es más rígido y absorbe más tensión para la misma deformación. Sin embargo, la teoría elástica para vigas puede ser utilizada si la viga es hipotéticamente trasformada en una viga totalmente de acero o de hormigón. Generalmente la sección de hormigón armado es transformada en una viga de hormigón simple reemplazando el área de acero por un área equivalente de hormigón que tiene la misma rigidez axial 𝐸 · 𝐴. Como la relación 𝐸𝑠 /𝐸𝑐 es conocida como relación modular 𝑛, el área resultante de hormigón será 𝑛 · 𝐴𝑠 . Se asume que esta área se halla concentrada en el mismo punto que el área real de acero. Cuando el acero está en la zona de compresión, su área transformada es 𝑛 · 𝐴′𝑠 , pero desplaza un área de hormigón igual al área de acero en compresión 𝐴′𝑠 . Como resultado, el área de acero en compresión se transforma en un área equivalente de hormigón igual a (𝑛 − 1) · 𝐴′𝑠 . Ejemplo. Calcular para la sección de la figura la posición del baricentro (centro de gravedad) y computar el momento de inercia alrededor del eje que pasa por el mismo. Considerar una sección no agrietada y otra agrietada. Datos: 𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎] 𝐴′𝑠 = 628 [𝑚𝑚2 ] 𝐴𝑠 = 1257 [𝑚𝑚2 ] 300 60 2𝜙20 540 600 4𝜙20 Sección transformada no agrietada 𝐸𝑐 = 4700 ∙ √𝑓𝑐′ = 4700 ∙ √20 = 21019 [𝑀𝑃𝑎] 𝐸𝑠 = 200000 [𝑀𝑃𝑎] 365 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑛= 𝐸𝑠 200000 = = 9.52 𝐸𝑐 21019 Área de acero transformada: Acero superior (𝑛 − 1) · 𝐴′𝑠 = (9.52 − 1) · 628 = 5350.6 [𝑚𝑚2 ] Acero inferior (𝑛 − 1) · 𝐴𝑠 = (9.52 − 1) · 1257 = 10709.6 [𝑚𝑚2 ] Centro de gravedad de la sección transformada Elemento 𝑨𝒊 [𝒎𝒎𝟐 ] 𝒚𝒔𝒊 [𝒎𝒎] 𝑨𝒊 · 𝒚𝒔𝒊 [𝒎𝒎𝟑 ] Hormigón 180000.0 300 54000000 Acero superior 5350.6 60 321036 Acero inferior 10709.6 540 5783184 Total 196060.2 −−−− 60104220 𝑦𝑠𝑢𝑝 = ΣAi ∙ ysi = 307 [𝑚𝑚] Σ𝐴𝑖 Momento de inercia Elemento 𝑨𝒊 [𝒎𝒎𝟐 ] 𝒎𝒊 [𝒎𝒎] 𝑰𝒙𝒊 [𝒎𝒎𝟒 ] 𝑰𝒙𝒊 + 𝑨𝒊 · 𝒎𝟐𝒊 [𝒎𝒎𝟒 ] Hormigón 180000.0 6.6 5.4 · 109 5.408 · 109 Acero superior 5350.6 246.6 −−−− 0.325 · 109 Acero inferior 10709.6 233.4 −−−− 0.583 · 109 Total −−−− −−−− −−−− 6.317 · 109 𝐼𝑔𝑡 = 631663 [𝑐𝑚4 ] Momento de inercia de la sección transformada no agrietada 𝐼𝑔 = 540000 [𝑐𝑚4 ] Momento de inercia de la sección de hormigón Sección transformada agrietada Área de acero transformada: Acero superior (𝑛 − 1) · 𝐴 ′𝑠 = (9.52 − 1) · 628 = 5350.6 [𝑚𝑚2 ] Acero inferior 𝑛 · 𝐴𝑠 = 9.52 · 1257 = 11966.6 [𝑚𝑚2 ] 366 Estados límites de servicio 𝑐 =𝑘·𝑑 Centroide de la sección transformada fisurada 𝐴 = 11966.6 [𝑚𝑚2 ] Elemento 𝑨𝒊 [𝒎𝒎𝟐 ] 𝒚𝒊 [𝒎𝒎] 𝑨𝒊 ∙ 𝒚𝒊 [𝒎𝒎𝟑 ] Zona en compresión 300 · 𝑐 𝑐/2 150 · 𝑐 2 Acero superior 5350.6 𝑐 − 60 5350.6 · 𝑐 – 321036.0 Acero inferior 11966.6 𝑐 − 540 11966.6 · 𝑐 – 6461985.6 Total 300 · 𝑐 + 16902.5 −−− 150 · 𝑐 2 + 17317.2 · 𝑐– 6783021.6 Por definición 𝑐 es la distancia al centro de gravedad cuando 𝐴𝑖 · 𝑦𝑖 = 0 150 · 𝑐 2 + 17317.2 · 𝑐– 6783021.6 = 0 𝑐 = 163 [𝑚𝑚] Momento de Inercia. Elemento 𝑨𝒊 [𝒎𝒎𝟐 ] 𝒎𝒊 [𝒎𝒎] 𝑰𝒙𝒊 [𝒎𝒎𝟒 ] 𝑰𝒙𝒊 + 𝑨𝒊 · 𝒎𝟐𝒊 [𝒎𝒎𝟒 ] Zona en compresión 48780.0 81.3 107473559.4 4.299 · 108 Acero superior 5350.6 102.6 −−−− 0.563 · 108 Acero inferior 11966.6 377.4 −−−− 17.044 · 108 Total −−−− −−−− −−−− 2.191 · 109 𝐼𝑐𝑟 = 219063 [𝑐𝑚4 ] Momento de inercia de la sección transformada agrietada Tipo de sección considerada Momento de inercia [𝒄𝒎𝟒 ] Relación entre inercias Solamente hormigón 𝐼𝑔 540000 𝐼𝑔 /𝐼𝑔 1.00 Transformada no agrietada 𝐼𝑔𝑡 631663 𝐼𝑔𝑡 /𝐼𝑔 1.17 Transformada agrietada 𝐼𝑐𝑟 219063 𝐼𝑐𝑟 /𝐼𝑔 0.41 367 Diseño de estructuras de hormigón armado En la tabla se puede apreciar cómo el momento de inercia de una sección agrietada se reduce en un 59% con respecto al momento de inercia de la sección gruesa. La ecuación Σ𝐴𝑖 ∙ 𝑦𝑖 = 0, para hallar el centro de gravedad, queda demostrada con el siguiente procedimiento: 𝑦𝑖 = Distancia desde el eje baricéntrico al centro de gravedad del área 𝑖. 𝑦𝑠𝑢𝑝 = ∑ 𝐴𝑖 ∙ 𝑦𝑠𝑖 ∑ 𝐴𝑖 𝑦𝑠𝑢𝑝 ∙ ∑ 𝐴𝑖 − ∑ 𝐴𝑖 ∙ 𝑦𝑠𝑖 = 0 ∑ 𝐴𝑖 ∙ (𝑦𝑠𝑢𝑝 − 𝑦𝑠𝑖 ) = 0 Como (𝑦𝑠𝑢𝑝 − 𝑦𝑠𝑖 ) = 𝑦𝑖 , la ecuación anterior se simplifica a: ∑ 𝐴𝑖 ∙ 𝑦𝑖 = 0 Para el caso de sección agrietada, se pueden utilizar las ecuaciones (9.16) o (9.22) para hallar la profundidad del eje neutro que en la teoría elástica coincide con el eje baricéntrico de la sección. 𝜌= 1257 = 0.007759 300 ∙ 540 𝜌′ = 628 = 0.003877 300 ∙ 540 𝑛 = 9.52 Utilizando la ecuación (9.16) se obtiene: 1 2 60 𝑘 = [0.0116362 ∙ 9.522 + 2 ∙ (0.007759 + 0.003877 ∙ ) ∙ 9.52] − 0.011636 ∙ 9.52 = 0.299 540 𝑘 ∙ 𝑑 = 0.299 ∙ 540 = 161[𝑚𝑚] Utilizando la ecuación (9.22) se obtiene: 368 Estados límites de servicio 1 2 60 𝑘 = [(0.003877 − 9.52 ∙ 0.011636) − 2 ∙ ( ∙ 0.003877 ∙ (1 − 9.52) − 9.52 ∙ 0.007759)] 540 + 0.003877 − 9.52 ∙ 0.011636 = 0.301 2 𝑘 ∙ 𝑑 = 0.301 ∙ 540 = 163 [𝑚𝑚] El resultado de 𝑘 obtenido con la ecuación (9.16) es ligeramente menor al resultado obtenido con la ecuación (9.22) debido a que para la deducción de la ecuación (9.16) no se descontó el área de hormigón desplazada por el acero de compresión, mientras que para la ecuación (9.22) se dedujo esa área y por ello el resultado coincide plenamente con el del procedimiento de la sección transformada. Las ecuaciones (9.16) y (9.22) pueden ser aplicadas para localizar la posición del eje neutro en secciones rectangulares agrietadas de hormigón armado con o sin refuerzo de compresión. 9.6. Análisis de columnas cortas Si una columna de hormigón armado corta está sometida a una carga axial 𝑃 aplicada por el centro de gravedad de su sección transversal, ésta carga se reparte entre el acero y hormigón de la sección transversal. 𝑃 = 𝐴𝑐 ∙ 𝑓𝑐 + 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑠 (9.38) Tanto el acero como el hormigón sufren la misma deformación unitaria y las siguientes ecuaciones pueden ser planteadas: 𝑛= 𝐸𝑠 ∙ (1 + 𝐶𝑡 ) 𝐸𝑐 𝑓𝑠 = 𝑛 ∙ 𝑓𝑐 (9.4) (9.39) 𝑃 = 𝐴𝑐 ∙ 𝑓𝑐 + 𝐴𝑠 ∙ 𝑛 ∙ 𝑓𝑐 𝐴𝑐 𝑃 = 𝑓𝑐 ∙ (𝐴𝑐 + 𝐴𝑠 ∙ 𝑛) = 𝑓𝑠 ∙ ( + 𝐴𝑠 ) 𝑛 𝑓𝑐 = 𝑃 𝐴𝑐 + 𝐴𝑠 ∙ 𝑛 (9.40) 𝑓𝑠 = 𝑛∙𝑃 𝐴𝑐 + 𝐴𝑠 ∙ 𝑛 (9.41) Cuando una columna está sometida a una carga axial sostenida, el valor de 𝑛 aumenta debido al efecto que tiene la fluencia sobre el módulo de elasticidad del hormigón y eso produce una redistribución de los esfuerzos entre el acero y hormigón. 369 Diseño de estructuras de hormigón armado Ejemplo. Una columna cuadrada de hormigón armado de 250 [𝑚𝑚] de lado está reforzada con 8𝜙16. Calcular los esfuerzos en el hormigón y el acero para los tres casos que se indican al final, considerando que una carga axial de servicio de 900 [𝑘𝑁] es soportada por la columa y asumiendo para la relación modular inicial (𝐸𝑠 /𝐸𝑐 ) el valor de 10. 1) Para la primera aplicación de la carga. 2) Después de un periodo largo de tiempo asumiendo un valor de 2 para el coeficiente de flujo plástico. 3) En el instante cuando se retira la carga. 250 Datos: 𝑏 = 250 [𝑚𝑚] ℎ = 250 [𝑚𝑚] 𝑃 = 900 [𝑘𝑁] 𝑛 = 10 a) Calcular las áreas de acero y de hormigón. 𝐴𝑠 = 1608 [𝑚𝑚2 ] 𝐴𝑐 = 2502 – 1608 = 60892 [𝑚𝑚2 ] b) Esfuerzos en el acero y en el hormigón. Para la primera aplicación de la carga (𝑪𝒕 = 𝟎). 𝑛 = 10 𝑓𝑐 = 900000 = 11.45 [𝑀𝑃𝑎] 62500 + 1608 ∙ 10 𝑓𝑠 = 10 ∙ 11.45 = 114.50 [𝑀𝑃𝑎] Después de periodo largo de tiempo (𝑪𝒕 = 𝟐). 𝑛 = 10 ∙ (1 + 2) = 30 𝑓𝑐 = 900000 = 8.13 [𝑀𝑃𝑎] 62500 + 1608 ∙ 30 𝑓𝑠 = 30 ∙ 8.13 = 243.90 [𝑀𝑃𝑎] 370 8𝜙16 250 Estados límites de servicio En el instante cuando se retira la carga. El cambio en el esfuerzo al retirar la carga que estaba aplicada por un largo periodo de tiempo es una recuperación elástica con 𝑛 = 10. Por tanto, los esfuerzos que quedan (esfuerzos residuales) se hallan restando el primer caso del segundo. 𝑓𝑐 = 8.13 − 11.45 = −3.32 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑠 = 243.90 − 114.50 = 129.40 [𝑀𝑃𝑎] Es importante resaltar que la recuperación de la fluencia del hormigón hace que estos esfuerzos residuales vayan reduciéndose con el tiempo. En el siguiente gráfico se aprecian los resultados obtenidos de los esfuerzos tanto en el acero, como en el hormigón. En el ejemplo anterior se aprecia cómo la fluencia del hormigón, provocada por la carga sostenida, causa una redistribución de los esfuerzos internos, disminuyendo el esfuerzo de compresión en el hormigón y aumentando considerablemente el esfuerzo de compresión en el acero. El incremento del esfuerzo en el acero puede algunas veces ser suficiente para producir la fluencia del acero. Sin embargo, la fluencia del hormigón bajo carga sostenida de servicio no afecta la seguridad de la columna porque la carga última de una columna corta es alcanzada cuando el acero llega a su resistencia de fluencia y el hormigón a su resistencia máxima a la compresión. En el ejemplo se puede apreciar que cuando se remueve la carga de compresión de una columna, puede el hormigón quedar con esfuerzos residuales de tracción y el acero con esfuerzos de compresión de magnitud considerable que se reducen con el tiempo debido al efecto de la fluencia. Compresión Con la carga actuando Esfuerzos [𝑀𝑃𝑎] Acero Hormigón 300 15 200 10 100 5 0 - 100 Sin carga Hormigón Acero Tiempo -5 Tracción 371 Diseño de estructuras de hormigón armado De los resultados del ejemplo, se puede inferir que es muy difícil evaluar la capacidad máxima y el margen de seguridad de una columna de hormigón armado bajo cargas de servicio utilizando la teoría elástica y por ello el código ACI utiliza el concepto del estado límite último con cargas mayoradas para predecir con cierta precisión la resistencia nominal (resistencia máxima) de los elementos sometidos a compresión. Sin embargo, cuando se desea evaluar la deformación de la columna bajo condiciones de carga de servicio, es muy útil utilizar el análisis elástico considerando los efectos de la fluencia. 9.7. Agrietamiento En la mayoría de los elementos de hormigón armado, adecuadamente diseñados, se presentan grietas que en general son muy pequeñas y casi invisibles a simple vista. Las grietas pueden aparecer aun cuando el elemento no está sometido a cargas puesto que éstas se pueden producir por los efectos de la retracción durante el proceso de endurecimiento del hormigón. Como el acero de refuerzo en elementos de hormigón armado es de características pasivas en contraposición del acero de pretensado, éste necesita que el elemento se agriete para comenzar a trabajar, por lo que no es factible diseñar una viga en hormigón armado donde no existan fisuras. Las fisuras en hormigón armado no siguen, por lo general, un patrón definido salvo las conocidas fisuras por flexión, corte o torsión que normalmente pueden ser distinguidas con facilidad. Debido a la complejidad del problema, los actuales métodos para predecir el agrietamiento de las secciones de hormigón armado están basados en observaciones del comportamiento de estructuras reales y de ensayos en laboratorio. La mayoría de las ecuaciones desarrolladas tratan de predecir el ancho máximo de la fisura que usualmente significa que el 90% de las fisuras que se esperan tendrá un ancho menor al calculado. Pero, debido a la complejidad del problema es posible que fisuras con anchos mayores se puedan presentar. 9.7.1. Variables que afectan el ancho y distribución de las fisuras Entre las principales variables que afectan el ancho y la distribución de las fisuras tenemos: a) Tipo de refuerzo de acero.- La utilización de aceros lisos produce la aparición de fisuras de mayor ancho, por ello es recomendable la utilización de acero corrugado para asegurar una buena adherencia entre el hormigón y la barra de acero. b) Anclaje de las barras de acero.- Es importante de que toda barra sea anclada adecuadamente para evitar el deslizamiento de la misma. Esto no solo asegura una mejor distribución de las fisuras, sino que evita el colapso del elemento en la eventualidad de que se presenten cargas extraordinarias. c) Tensión en el refuerzo de acero.- El ancho de las fisuras está en directa proporción con la tensión del acero de refuerzo bajo cargas de servicio. Para reducir el ancho de las fisuras, se debe mantener la tensión del acero, para cargas de servicio, a un nivel muy por debajo de su tensión de fluencia, en general menor a 0.6 · 𝑓𝑦 . 372 Estados límites de servicio d) Diámetro de barra.- Es aconsejable utilizar, en las zonas de tracción, mayor número de barras de menor diámetro, que menor número barras de mayor diámetro para alcanzar el área de acero necesaria, puesto que esto asegura una mejor distribución de las fisuras con su consecuente reducción de ancho. Pero, el espaciamiento elegido no debe perjudicar las operaciones durante el vaciado y vibrado de la mezcla de hormigón. e) Recubrimiento de la barra de acero.- Experimentos han demostrado que incrementando el recubrimiento de las barras se incrementan también el espaciamiento y ancho de las fisuras. Pero, un deficiente recubrimiento en las armaduras puede producir la corrosión prematura de las mismas y el consiguiente aumento de volumen de las mismas lo cual produce a su vez un agrietamiento en el hormigón y la posterior pérdida total del recubrimiento por estallido del hormigón. f) Curado del elemento de hormigón.- Para evitar que se produzcan fisuras por los efectos de la retracción del hormigón, es muy importante curar la superficie expuesta del elemento por lo menos 7 días después de su vaciado, término en el cual se presume que el cemento ha terminado con su proceso de hidratación. En superficies grandes como losas, la omisión de un cuidadoso curado produce fisuras visiblemente notorias, que en muchos casos no pueden ser disimuladas o reparadas. g) Inadecuada colocación de la armadura.- En algunos casos, una equivocación en la disposición de la armadura puede producir la aparición de fisuras no previstas. h) Retracción térmica.- Los cambios de temperatura pueden producir fisuras en la superficie de elementos de hormigón armado. 9.7.2. Ubicación y distribución de fisuras por acciones conocidas Las tensiones de tracción producidas por cargas axiales, fuerzas cortantes y momentos flectores producen configuraciones diferentes de fisuras, las cuales son fácilmente identificables en la mayoría de las estructuras. En las siguientes figuras se presentan ejemplos de elementos agrietados por acciones conocidas. 𝑞 Fig. 9.7. Fisuras por flexión y corte 373 Diseño de estructuras de hormigón armado En una viga sometida a cargas gravitacionales, las fisuras verticales en el centro de la luz de la viga en la sección de máximo momento flector, se originan por los esfuerzos de flexión y se presentan habitualmente porque no existe la armadura suficiente. Las fisuras inclinadas aproximadamente a 45° que aparecen generalmente en las proximidades de los apoyos en vigas, son producidas por el esfuerzo de corte (tensión diagonal) y se deben a una insuficiente sección de hormigón en los apoyos y/o insuficiente cantidad de estribos verticales o barras de acero dobladas. 𝑃 𝑃 Fig. 9.8. Fisuras por tracción Las fisuras de la figura anterior son normales a la dirección del esfuerzo, por lo tanto esto indica que las fisuras se han producido por la falla del material a un esfuerzo de tracción perpendicular a ellas y por una insuficiente cantidad de armadura en la dirección paralela a la carga. 𝑃 𝑃 Fig. 9.9. Fisuras por compresión En un elemento sometido principalmente a esfuerzos de compresión paralelos a su eje longitudinal, las fisuras paralelas a la dirección de ese esfuerzo pueden deberse a esfuerzos de tracción que aparecen en la dirección perpendicular a la carga. Este tipo de fisuras son muy peligrosas, especialmente en columnas 374 Estados límites de servicio porque "no avisan", porque son producto de un agotamiento de la capacidad de carga del material y el colapso puede producirse en cualquier momento. 𝑇 𝑇 Fig. 9.10. Fisuras por torsión Las fisuras que van rodeando una pieza de hormigón, en forma de espiral, con una tendencia a seguir líneas a 45°, son producidas por esfuerzos de torsión y denotan una cantidad insuficiente de armaduras de refuerzo para contrarrestarlos. 9.7.3. Razones para controlar el ancho de fisuras Pueden existir muchas razones por las cuales el propietario, el calculista o la misma sociedad limitan el ancho y distribución de las fisuras. Entre las principales se pueden citar las siguientes: a) b) c) Estética. Filtraciones. Corrosión. Estética. No existe duda alguna que una estructura agrietada pierde su característica estética frente a otra no agrietada, aunque ambas cumplan adecuadamente su función. Anchos de fisuras entre 0.25 [𝑚𝑚] y 0.30 [𝑚𝑚] ya causan preocupación en el público, pero se aceptan anchos mayores siempre y cuando las superficies sean rugosas o no vistas. Filtraciones. El control de fisuras se convierte en un asunto primordial y muy importante cuando se diseñan estructuras para retener líquidos. En el caso de piscinas, tanques de almacenamiento de líquidos, torres de distribución de agua, etc., el ancho de las fisuras debe mantenerse al mínimo para evitar la pérdida del líquido contenido. Corrosión. La alcalinidad natural del cemento (pH cerca de 12) asegura la protección frente a la corrosión de las armaduras de acero que se encuentran en el hormigón armado. Cuando disminuye el pH de la mezcla, entonces aumenta el riesgo de corrosión. Algunos componentes del medio ambiente, como el dióxido de carbono (contaminación), anhídrido sulfuroso (lluvia ácida), provocan la disminución del pH del 375 Diseño de estructuras de hormigón armado hormigón (fenómeno que se conoce con el nombre de carbonatación del hormigón) y por tanto la pérdida de protección de las armaduras. La carbonatación del hormigón es un fenómeno lento. Por ejemplo, en un hormigón bien dosificado con un buen contenido de cemento (350 [𝑘𝑔𝑓/𝑚3 ]) la velocidad a la que avanza la carbonatación es de 4 [𝑚𝑚] en dos años, 10 [𝑚𝑚] en 8 años y de aproximadamente 20 [𝑚𝑚] en 25 años. Cuando las armaduras de acero no están bien protegidas, y entran en contacto con el agua o la humedad, se oxidan. El óxido aumenta el volumen de la armadura y este aumento de volumen provoca que el hormigón se agriete y que posteriormente estalle. En ocasiones la degradación del hormigón aparece rápidamente, porque desde su puesta en obra, está agrietado, mal dosificado y es poroso. Además, en ocasiones el medio ambiente es agresivo, por lo tanto es imprescindible que las armaduras tengan por lo menos 2 [𝑐𝑚] de recubrimiento de hormigón. La corrosión de la armadura se acelera si el ancho de las fisuras es muy grande. La rapidez con que ocurre la corrosión depende del medio ambiente, recubrimiento de la armadura, permeabilidad y cantidad de fisuras en el hormigón. La corrosión de la armadura ocurre si se presenta una o varias de las siguientes circunstancias: - Presencia de substancias como el cloro. Humedad relativa del ambiente mayor o igual a 60%. Temperatura alta del medio ambiente. Superficie del hormigón sometida a ciclos de secado y humedecido. Presencia de dióxido de carbono en el ambiente. Carbonatación del hormigón. La corrosión no ocurre en el hormigón que está permanentemente saturado porque el agua previene el flujo de oxígeno hacia el acero. 9.7.4. Límites en el ancho de fisuras Las ediciones anteriores del código ACI presentaban provisiones para la distribución de la armadura limitando el ancho de fisuras a: - 0.4 [𝑚𝑚] para la exposición interna. - 0.3 [𝑚𝑚] para la exposición externa. Las provisiones de la sección 24.3 del código ACI, para determinar el espaciamiento entre barras, están orientadas a limitar el ancho del agrietamiento superficial a un valor aceptable en la práctica, pero puede variar considerablemente de una estructura a otra. Las investigaciones sobre la importancia del ancho de las fisuras para evitar la corrosión del refuerzo de acero tienen todavía resultados controversiales. Algunas investigaciones han demostrado que la corrosión no tiene una correlación bien definida con el ancho del agrietamiento superficial encontrado normalmente en estructuras donde el acero trabaja a esfuerzos de servicio. Por esta razón, la antigua distinción entre exposición interior y exterior ha sido eliminada del código. 376 Estados límites de servicio El control de las fisuras es manejado indirectamente por el código ACI en su sección 24.3.2 definiendo el espaciamiento 𝑠 del refuerzo más cercano a la cara de tracción. 𝑠 = 380 ∙ ( 280 280 ) − 2.5 ∙ 𝑐𝑐 ≤ 300 ∙ ( ) 𝑓𝑠 𝑓𝑠 (9.42) Donde: 𝑐𝑐 = Recubrimiento efectivo medido desde la cara del elemento en tracción hasta la superficie del refuerzo a flexión en [𝑚𝑚]. 𝑓𝑠 = Tensión de servicio en el acero de refuerzo en [𝑀𝑃𝑎]. Este esfuerzo se calcula como el momento de servicio dividido por el producto entre el área de acero y el brazo interno del momento. Se permite 2 considerar 3 · 𝑓𝑦 como valor para 𝑓𝑠 . La tensión de servicio en el acero puede calcularse con la siguiente ecuación: 𝑓𝑠 = 𝑀𝑠 2 ≈ ∙ 𝑓𝑦 𝐴𝑠 ∙ 𝑗 ∙ 𝑑 3 (9.43) La separación entre barras hallada con la ecuación (9.42) no es suficiente para el caso de estructuras sometidas a ambientes agresivos o estructuras diseñadas para ser estancas (tanques de agua, piscinas, etc.). Para esas estructuras se debe realizar una investigación especial y tomar las debidas precauciones. Cuando las alas de una sección T están en tracción, parte del refuerzo por flexión debe ser distribuido en un ancho efectivo del ala como se define en la sección 4.2 del presente libro (sección 6.3.2.1 del código ACI) o en un ancho igual a un décimo de la luz, el que sea menor. Si el ancho efectivo del ala excede el décimo de la luz, se debe proveer algún refuerzo longitudinal en las porciones externas del ala. Ejemplo. En el punto de momento máximo positivo, una viga tiene el refuerzo que se muestra en la figura. Determinar si la distribución de las barras es satisfactoria. 𝐸𝜙10 2𝜙25 55 65 300 3𝜙30 377 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑓𝑠 = 2 · 𝑓 = 0.67 · 420 = 280 [𝑀𝑃𝑎] 3 𝑦 𝑐𝑐 = 65– 15 = 50 [𝑚𝑚] 𝑠 = 380 ∙ ( 280 280 ) − 2.5 ∙ 50 = 255 [𝑚𝑚] ≤ 300 ∙ ( ) = 300 [𝑚𝑚] 280 280 𝑠 = 255 [𝑚𝑚] A simple vista se puede verificar que la separación entre los aceros más próximos a la cara traccionada (3𝜙30) es menor a 255 [𝑚𝑚], por lo que se concluye que la distribución del acero es aceptable. En teoría esto debería verificarse en cada sección de máximo momento positivo y negativo. En la práctica, es solamente necesario verificar la separación entre barras en las secciones de momento positivo o negativo que tienen el menor número de barras ya que la separación 𝑠 será máxima en esos lugares. Ejemplo. Para las barras de la losa, calcular el máximo valor de 𝑠 para satisfacer el requerimiento del código. 150 𝑠 𝜙12 25 𝑓𝑠 = 280 [𝑀𝑃𝑎] 𝑐𝑐 = 19 [𝑚𝑚] 𝑠 = 380 ∙ ( 280 280 ) − 2.5 ∙ 19 = 333 [𝑚𝑚] ≤ 300 ∙ ( ) = 300 [𝑚𝑚] 280 280 𝑠 = 300 [𝑚𝑚] La sección 7.7.2.3 del código indica que en losas la separación del refuerzo primario de flexión debe ser menor a tres veces el espesor del elemento o 450 [𝑚𝑚]. En este caso, tenemos que la separación 𝑠 ≤ 3 · 𝑡𝑠 = 3 · 150 = 450 [𝑚𝑚] y como este valor es mayor a 300 [𝑚𝑚] no controla la separación entre las armaduras. 9.7.5. Refuerzo lateral del alma (armadura de piel) Si la altura total ℎ de una viga o nervio excede 900 [𝑚𝑚], la sección 9.7.2.3 del código ACI indica que es necesario colocar refuerzo longitudinal de piel uniformemente distribuido en las dos caras laterales del 378 Estados límites de servicio elemento hasta una distancia ℎ/2 desde el refuerzo principal de flexión. La separación 𝑠𝑠𝑘 entre las barras que conforman la armadura de piel no debe ser mayor a la separación dada por la ecuación (9.42) donde 𝑐𝑐 es el recubrimiento libre medido desde la superficie del refuerzo superficial a la cara lateral. Típicamente se utilizan barras con diámetros desde 10 [𝑚𝑚] hasta 16 [𝑚𝑚]. Refuerzo de tracción en la cara negativa de la sección ℎ 2 𝐴𝑏 ℎ Armadura de piel 𝑠𝑠𝑘 𝑠𝑠𝑘 𝑠𝑠𝑘 𝑠𝑠𝑘 𝑠𝑠𝑘 𝑠𝑠𝑘 ℎ 2 Armadura de piel ℎ 𝐴𝑏 Refuerzo de tracción en la cara positiva de la sección Fig. 9.11. Refuerzo de piel para vigas y nervios con 𝒉 > 𝟗𝟎𝟎 [𝒎𝒎] Si para hallar el esfuerzo en las barras de acero se realiza un análisis de compatibilidad de deformaciones, entonces el refuerzo de piel puede ser incluido en los cálculos. El área total del refuerzo de piel en ambas caras del elemento no necesita exceder la mitad del refuerzo principal requerido por flexión. 9.8. Deflexiones Además del control del agrietamiento en estructuras de hormigón armado, es también muy importante limitar las deflexiones de los diferentes elementos para asegurar un buen comportamiento de toda la estructura en su conjunto bajo cargas de servicio. Cuando no se realiza un estudio cuidadoso de las deflexiones en vigas y losas de hormigón armado, generalmente se presentan problemas con ventanas, puertas y muros divisorios. Las deflexiones excesivas en losas de piso pueden traer problemas de agrietamientos en tabiques, deformaciones en puertas y ventanas, problemas de drenaje en cubiertas, mal funcionamiento de equipos y maquinaria, etc. 9.8.1. Comportamiento de vigas de hormigón armado En la siguiente figura se grafica el comportamiento de una viga doblemente empotrada cuando es sometida a una carga uniformemente distribuida que se va incrementando. En la curva carga – 379 Diseño de estructuras de hormigón armado desplazamiento se pueden distinguir varias fases, en la primera fase OA la viga no está agrietada y se comporta elásticamente. En la segunda fase AB aparecen fisuras en los extremos de la viga, por lo tanto su rigidez disminuye. Para la tercera fase BC nuevas fisuras aparecen a medio tramo de la viga, con lo que su rigidez disminuye nuevamente. Generalmente el punto C delimita el comportamiento de la estructura bajo cargas de servicio. Esto significa que los elementos de hormigón armado trabajan por lo general agrietados y el momento de inercia de su sección transversal es mucho menor a la de una sección no agrietada. Cuando las cargas de servicio son de carácter permanente se produce el fenómeno conocido como fluencia, por lo que la deflexión se incrementa desde el punto del punto C al C’. Si las solicitaciones son de carácter transitorio entonces la distancia entre C y C’ será pequeña. Si se sigue el proceso de carga de la viga más allá de sus cargas de servicio, se verá que la deflexión aumenta dentro de la fase CD llegando a un límite máximo de deflexión. Más allá del punto D, la viga no puede resistir mayores solicitaciones, por lo que su posterior deformación se produce bajo la carga máxima alcanzada hasta ese punto. El punto E representa el punto donde tanto las armaduras negativas de los extremos, como la positiva a medio tramo fluyen y en el elemento se ha formado lo que se conoce como el “mecanismo de falla” y la estructura colapsa. Como se puede apreciar en la última fase DE la pendiente de la curva carga – desplazamiento es cero lo que significa que la viga ha perdido su rigidez. Como se ha podido apreciar, el cálculo de la deflexión en elementos de hormigón armado es complejo, por lo que para cumplir con los requerimientos de deflexiones en distintos elementos de hormigón armado se pueden seguir dos procedimientos. El primero consiste en controlar indirectamente la deflexión de los elementos imponiendo límites para la relación luz/canto. Esto es simple y apropiado para muchos casos donde la luz, la magnitud y distribución de las cargas están dentro de rangos normales. De otra manera, se debe calcular la deflexión y compararla con límites específicos impuestos por los códigos o por requerimientos especiales. La deflexión final de un elemento de hormigón armado depende de muchos factores entre los que se pueden citar los siguientes: a) b) c) d) e) f) Propiedades del material. Grado de agrietamiento. Distribución del agrietamiento. Historial de carga de la estructura o del elemento bajo consideración. Condiciones de soporte. Momento de inercia de la sección transversal. Cuando se desean calcular las deflexiones que ocurren inmediatamente bajo la aplicación de las cargas, éstas pueden ser computadas por los métodos usuales y fórmulas disponibles para deflexiones elásticas, pero considerando para la rigidez del elemento los efectos del agrietamiento y el refuerzo de acero. Cuando no se dispone de valores para la rigidez del elemento 𝐸 · 𝐼, el código ACI en su sección 24.2.3.5 prevé un procedimiento para calcularla multiplicando el módulo de elasticidad del hormigón 𝐸𝑐 que se calcula con las ecuaciones (2.1) o (2.2) por el momento de inercia efectivo 𝐼𝑒 . 380 Estados límites de servicio 𝑀𝑐𝑟 3 𝑀𝑐𝑟 3 𝐼𝑒 = ( ) ∙ 𝐼𝑔 + [1 − ( ) ] ∙ 𝐼𝑐𝑟 𝑀𝑎 𝑀𝑎 (9.44) Carga La armadura en los extremos y a medio tramo fluye Carga de servicio C B A D E C’ Debido a la fluencia del hormigón Aparecen fisuras a medio tramo Aparecen fisuras en los extremos de la viga O Deflexiones a medio tramo Fig. 9.12. Diagrama Carga – Deflexión para vigas de hormigón armado El momento de inercia efectivo 𝐼𝑒 ha sido desarrollado para proveer una transición entre los valores superior e inferior del momento de inercia que corresponden a la sección gruesa y agrietada respectivamente, en función de la relación entre el momento de agrietamiento 𝑀𝑐𝑟 y el momento máximo 𝑀𝑎 en el elemento considerando el estado de carga para el cual se calcula el momento de inercia. El valor del momento de inercia efectivo 𝐼𝑒 debe estar entre el valor del momento de inercia de la sección agrietada 𝐼𝑐𝑟 y el del momento de inercia de la sección gruesa 𝐼𝑔 . Como alternativa de la ecuación (9.44) se puede utilizar la (9.45). 𝑀𝑐𝑟 3 𝐼𝑒 = 𝐼𝑐𝑟 + (𝐼𝑔 − 𝐼𝑐𝑟 ) ∙ ( ) 𝑀𝑎 (9.45) Donde: 𝐼𝑔 = Momento de inercia de la sección gruesa de hormigón. 𝐼𝑐𝑟 = Momento de inercia de la sección agrietada. 𝑀𝑎 = Momento máximo en el elemento considerando el estado de carga para el cual se calcula el momento de inercia. 𝑀𝑐𝑟 = Momento de agrietamiento. El momento de agrietamiento 𝑀𝑐𝑟 puede hallarse utilizando la siguiente ecuación: 381 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑀𝑐𝑟 = 𝑓𝑟 ∙ 𝐼𝑔 𝑦𝑡 (9.46) Donde: 𝑓𝑟 = Módulo de ruptura. 𝑦𝑡 = Distancia del centro de gravedad de la sección hasta la fibra extrema en tracción. Para hormigones de densidad normal, el módulo de ruptura 𝑓𝑟 puede ser tomado como: 𝑓𝑟 = 0.62 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ [𝑀𝑃𝑎] (2.6) Para una viga continua, los valores del momento de inercia efectivo 𝐼𝑒 pueden ser muy diferentes en las regiones de momento positivo y negativo, por lo que el código ACI en su sección 24.2.3.6 sugiere el uso del valor promedio considerando las secciones críticas de momento positivo y de momento negativo. 9.8.2. Cálculo de las deflexiones Cuando una viga de hormigón es cargada, se desplaza inicialmente una cantidad que se conoce como la deflexión inmediata Δ𝑖 . Si la carga permanece por un periodo largo de tiempo en la viga, se produce una deflexión adicional debido a la fluencia del hormigón que es provocada por el efecto de la carga sostenida. En la figura 9.13 se muestran casos particulares de vigas de un solo tramo con diferentes condiciones de restricción en los apoyos. Las ecuaciones presentadas, son las que se utilizan para hallar las deflexiones instantáneas a medio tramo de las vigas y están escritas de dos formas diferentes. Las ecuaciones tradicionales de las deflexiones han sido modificadas considerando el momento positivo a medio tramo 𝑀𝑝𝑜𝑠 . Como se explicó anteriormente, para el cálculo de estas deflexiones inmediatas se pueden utilizar los métodos usuales y fórmulas disponibles para el cómputo de deflexiones elásticas, pero considerando que la rigidez del elemento debe tomar en cuenta los efectos del agrietamiento y el refuerzo de acero, tal como se expuso en la sección anterior. Por tal motivo, en las ecuaciones de las deflexiones basadas en la teoría elástica para el cálculo de Δ𝑖 se debe considerar para el momento de inercia el valor de 𝐼𝑒 . 382 Estados límites de servicio Δ𝐶𝐿 = Δ𝐶𝐿 = 5 𝑤 ∙ 𝐿4 5 𝑀𝑝𝑜𝑠 ∙ 𝐿2 ∙ = ∙ 𝐸∙𝐼 384 𝐸 ∙ 𝐼 48 128 𝑀𝑝𝑜𝑠 ∙ 𝐿2 1 𝑤 ∙ 𝐿4 ∙ = ∙ 1665 𝐸∙𝐼 185 𝐸 ∙ 𝐼 Δ𝐶𝐿 = 1 𝑤 ∙ 𝐿4 1 𝑀𝑝𝑜𝑠 ∙ 𝐿2 ∙ = ∙ 384 𝐸 ∙ 𝐼 16 𝐸∙𝐼 Fig. 9.13. Deflexiones instantáneas en vigas 9.8.3. Deflexiones por retracción y fluencia La pérdida de humedad y las cargas permanentes sobre estructuras de hormigón producen los fenómenos de retracción y fluencia ya estudiados en el segundo capítulo del presente texto. Las deformaciones producidas por estos dos fenómenos incrementan de una manera significativa la deflexión inicial. Los cambios volumétricos producidos por los fenómenos de retracción y fluencia fueron analizados en el segundo capítulo del presente texto donde se pudo evidenciar la cantidad de variables que intervienen en los mismos. Debido a la complejidad del cálculo y a las muchas variables que intervienen, fue necesario desarrollar un método sencillo y práctico por el cual la deflexión inicial es multiplicada por un factor 𝜆Δ para obtener la deflexión adicional para un tiempo prolongado. Basado en experimentos, Branson derivó la siguiente ecuación que da el valor de 𝜆Δ . 𝜆Δ = 𝜉 1 + 50 ∙ 𝜌′ (9.47) 𝜌′ = 𝐴′𝑠 𝑏∙𝑑 (4.48) 383 Diseño de estructuras de hormigón armado Δ𝑓 = 𝜆Δ ∙ Δ𝑖 (9.48) Donde: 𝜌′ = Cuantía del refuerzo de compresión calculada a medio tramo para luces simples y contínuas; y en el soporte para voladizos. 𝐴′𝑠 = Área de acero en compresión. 𝑏 = Ancho de la base de la sección de hormigón. 𝑑 = Canto útil de la sección. 𝜉 = Factor de tiempo para cargas sostenidas. Δ𝑖 = Deflexión instantánea. Δ𝑓 = Deflexión por fluencia. El valor de varía entre 0 y 2 dependiendo del periodo en el que las deflexiones por carga permanente son de interés. Como se muestra en la siguiente figura el valor de 𝜉 se incrementa linealmente hasta el límite superior de dos en un periodo de aproximadamente 5 años, luego del cual se asume que el fenómeno de fluencia se ha estabilizado y la deflexión por fluencia se mantiene constante. 𝜉 2.0 1.0 0.25 0.5 1 5 10 1 2 3 4 5 Duración de la carga Años Meses Fig. 9.14. Variación de 𝜺 en función del tiempo El código ACI en su sección 24.2.4 recomienda diferente valores para 𝜉los cuales se encuentran detallados en la siguiente tabla. 384 Tiempo en meses 𝜉 60 o más 2.0 12 1.4 6 1.2 3 1.0 Estados límites de servicio 9.8.4. Consideraciones de las deflexiones en el diseño Durante el diseño de cualquier estructura, se debe prestar atención especial a las deflexiones para evitar problemas posteriores durante la vida útil de las mismas. Existen diferentes razones por las cuales el calculista debe limitar las deflexiones en una estructura o en ciertos elementos que la componen. Entre las razones principales se pueden citar las siguientes: apariencia visual, daño a elementos no estructurales, mal funcionamiento de equipos o maquinarias y daño a elementos estructurales. a) Apariencia visual. Cuando se desea dar la impresión de rectitud y de una perfecta horizontalidad, se debe cuidar que las deflexiones de los elementos no sean mayores a 𝐿/250, puesto que se ha constatado que deflexiones mayores, en vigas simplemente apoyadas y continuas, pueden notarse a simple vista. b) Daño a elementos no estructurales. Cuando elementos no estructurales como son tabiques, puertas y ventanas se encuentran adosadas a elementos estructurales tales como losas y vigas, una deflexión excesiva puede producir fisuras en la tabiquería o un mal funcionamiento de las puertas y ventanas. Estos problemas pueden solucionarse limitando la deflexión que ocurre después de la instalación de los elementos no estructurales o diseñando estos para acomodar el movimiento requerido. Las deflexiones mayores a 𝐿/480 después de colocados los elementos no estructurales pueden ser causa de daño a los mismos (ver tabla 24.2.2 del código ACI). La deflexión que se calcula es la suma de la deflexión inmediata por carga viva, más la deflexión por carga muerta permanente y más la deflexión por cualquier carga viva permanente. Δ = Δ𝑖𝑐𝑣 + (𝑡𝑜 , ∞) ∙ Δ𝑖𝑐𝑚 + ∞ ∙ Δ𝑖𝑐𝑣𝑠 (9.49) Δ𝑖𝑐𝑚 = Deflexión instantánea por carga muerta. Δ𝑖𝑐𝑣 = Deflexión instantánea por carga viva. Δ𝑖𝑐𝑣𝑠 = Deflexión por una porción de la carga viva permanente. (𝑡𝑜 , ) = Valor de 𝜆Δ para un 𝜉 de 5 años o más, menos el valor de 𝜉 para el tiempo 𝑡𝑜 cuando los elementos no estructurales fueron colocados. ∞ = Valor de 𝜆Δ para 𝜉 = 2 ya que se asume que toda la deflexión por carga viva permanente ocurrirá después de que los elementos no estructurales fueron instalados. El valor del momento de inercia efectivo 𝐼𝑒 que se utiliza para el cálculo de Δ𝑖𝑐𝑚 debe basarse en el valor del momento de inercia correspondiente al instante cuando la carga viva y muerta están presentes. 385 Diseño de estructuras de hormigón armado c) Mal funcionamiento. Las deflexiones excesivas pueden interferir con el uso de la estructura o con el funcionamiento de maquinaria y equipo instalado sobre ella. Muchos equipos son sensibles a la nivelación de su superficie de apoyo, por lo que se debe verificar el manual del equipo y respetar las tolerancias indicadas. d) Daño a elementos estructurales. Si una deflexión comienza a causar daño estructural en la estructura, esto significa que su valor es demasiado grande y se deben tomar los recaudos necesarios para evitar el colapso de la misma. Las deflexiones que causan daño estructural son por lo general de mayor magnitud que las que producen daños a elementos no estructurales. Si la deflexión de un elemento es tan grande que se apoya en otro, la repartición de cargas y los esfuerzos en las secciones pueden cambiar totalmente produciendo fisuras en la estructura. 9.8.5. Magnitudes permitidas de deflexión En principio, el proyectista debe seleccionar la deflexión límite que se aplica a su estructura basada en las características y la función de la misma. Esta deflexión límite debe considerar los requerimientos técnicos y funcionales de los equipos, maquinaria y cualquier otro instrumento sensible a deflexiones. El código ACI da valores máximos de deflexiones permitidas en su tabla 24.2.2 considerando el tipo de elemento que se analiza y bajo qué carga esta deflexión debe ser calculada. Deflexiones Máximas Admisibles Calculadas Tipo de Elemento Deflexiones a considerar Límite Techos planos que no soportan o que no están en contacto con elementos no estructurales Deflexión inmediata por carga viva susceptibles a daño por deflexiones grandes. ℓ 180 Pisos que no soportan o que no están en contacto con elementos no estructurales Deflexión inmediata por carga viva susceptibles a daños por deflexiones grandes. ℓ 360 Pisos o techos planos que soportan o están en Parte de la deflexión total que ocurre contacto con elementos no estructurales después de la colocación de los susceptibles a daño por deflexiones grandes. elementos no estructurales. (Suma de Pisos o techos planos que soportan o están en la deflexión por carga sostenida, más contacto con elementos no estructurales no la deflexión inmediata debido a carga viva adicional) susceptibles a daño por deflexiones grandes. ℓ 480 ℓ 240 Tabla 24.2.2 ACI Las estructuras de hormigón armado más susceptibles de sufrir grandes deflexiones son las losas planas armadas en dos direcciones que no cuentan con vigas intermedias. Este tipo de estructuras son en general poco rígidas por lo que se debe tener precaución y cuidado en su diseño. 386 Estados límites de servicio En la mayoría de los casos, la deflexión bajo cargas vivas es la de mayor importancia puesto que esta carga define el funcionamiento de la estructura. En la anterior tabla que es tomada del código ACI se puede apreciar que cuando se tienen elementos no estructurales adosados a la estructura, el límite de deflexión es más estricto debido a la mayor probabilidad de causar daño a los mencionados elementos. En el Anexo 4, se presenta la misma tabla con algunas recomendaciones adicionales que se deben tomar en cuenta. Las deflexiones pueden ser controladas de una manera indirecta utilizando límites en la relación luz/altura de los elementos. Las tablas 9.3.1.1 y 7.3.1.1 del código ACI presentan recomendaciones para hallar la altura mínima de vigas y losas armadas en una dirección dependiendo de sus condiciones de apoyo. Δ ℓ =𝐶∙ ℓ ℎ (9.50) La ecuación anterior demuestra que existe una relación inversamente proporcional entre la altura del elemento ℎ y la deflexión Δ que se presenta, por tanto es posible relacionarlas a través de un factor 𝐶 de proporcionalidad. Espesor mínimo para vigas no pretensadas y losas armadas en una sola dirección cuando no se calculan deflexiones Tipo de elemento Simplemente apoyado Un extremo continuo Ambos extremos continuos En voladizo Elementos que no soportan o que no están en contacto con particiones u otros elementos susceptibles a ser dañados por grandes deflexiones Losas sólidas armadas en una sola dirección ℓ 20 ℓ 24 ℓ 28 ℓ 10 Vigas o losas aligeradas armadas en una sola dirección ℓ 16 ℓ 18.5 ℓ 21 ℓ 8 Basado en las tablas 7.3.1.1 y 9.3.1.1 del ACI 9.8.6. Deflexiones en pórticos En el diseño de pórticos, además de las deflexiones verticales, se debe controlar también las deflexiones horizontales para evitar los efectos de segundo orden (𝑃 − Δ) en las columnas. Es siempre aconsejable que todo pórtico esté bien arriostrado para evitar grandes desplazamientos horizontales en la eventualidad de presentarse cargas laterales de gran magnitud. 387 Diseño de estructuras de hormigón armado 9.9. Vibraciones En general los edificios de hormigón armado no tienen problemas de vibración ya que en la mayoría de los casos son macizos y rígidos. Ocasionalmente, algunos elementos estructurales como pisos de gran luz pueden ser susceptibles a vibraciones inducidas por motores, equipos auxiliares o personas realizando diferentes diligencias. Las actividades de bailar y hacer ejercicios inducen perturbaciones con vibraciones de aproximadamente 2 a 4 ciclos por segundo [𝐻𝑧]. Si un piso o estructura portante tiene una frecuencia natural de vibración de menos de 5 [𝐻𝑧] se debe examinar con más detenimiento sus propiedades para asegurarse que no tendrá problemas. La frecuencia natural de un piso puede calcularse con la siguiente fórmula. 𝑔 17.82 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 𝑓 = 0.18 ∙ √ = [ ] Δ𝑖𝑠 𝑠 √Δ𝑖𝑠 (9.51) Donde: 𝑔 = Aceleración de la gravedad que tiene un valor de 9800 [𝑚𝑚/𝑠 2 ]. Δ𝑖𝑠 = Deflexión estática inmediata en [𝑚𝑚] en el centro del piso debido a las cargas que se esperan estén presentes cuando éste vibra. Las vibraciones pueden clasificarse en perturbaciones de tipo armónica, periódica u aleatoria. Las frecuencias que componen la perturbación dependen de la ubicación de las fuentes que las generan. Por ejemplo, para frecuencias perturbadoras tales como motores, se debe recurrir a los datos que pueda facilitar el fabricante. En cuanto a las frecuencias naturales, el cálculo está en función de los elementos estructurales. A la comparación de la frecuencia perturbadora y la frecuencia natural de la estructura se llama “estudio de la resonancia”. Cuando la frecuencia perturbadora se aproxima a la frecuencia natural del elemento o estructura, es muy probable que se tengan problemas de vibración excesiva. Cuando se identifica en una estructura la posibilidad de tener problemas de resonancia, las soluciones a adoptar están en función de la etapa en la cual la estructura se encuentre. Si por ejemplo la estructura está en construcción, se pueden modificar sus dimensiones o diseño estructural para cambiar su frecuencia natural de vibración. Si por el contrario, la estructura está en servicio, se deben adoptar otro tipo de soluciones como la utilización de compensadores dinámicos. También, en otros casos es posible aislar la fuente de vibración o en su defecto disminuir su intensidad. 9.10. Fatiga Las estructuras sujetas a cargas cíclicas pueden fallar por fatiga. Este tipo de falla requiere generalmente más de un millón de ciclos de carga y un cambio en la tensión del refuerzo mayor a aproximadamente 140 [𝑀𝑃𝑎] en cada ciclo. 388 Estados límites de servicio Debido a que las tensiones por carga muerta representan una porción significativa de las tensiones por carga de servicio en la mayoría de las estructuras de hormigón armado, el segundo caso es poco probable. Por lo tanto, son muy raras las fallas por fatiga en estructuras de hormigón armado. 9.11. Problemas propuestos 1. Calcular los esfuerzos en el acero y hormigón debido a un momento flector de 300 [kN · m] considerando al momento como carga instantánea y como carga sostenida. Para el coeficiente de fluencia del hormigón Ct considerar el valor de cero para cargas instantáneas y dos para cargas sostenidas. Datos: 𝐴𝑠 = 2945 [𝑚𝑚2 ] 𝐴′𝑠 = 1473 [𝑚𝑚2 ] 𝑏 = 450 [𝑚𝑚] 𝑑 = 840 [𝑚𝑚] 𝑓𝑐′ = 30 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] 450 70 3𝜙25 840 900 6𝜙25 2. Calcular para la sección de la figura la posición del baricentro (centro de gravedad) y computar el momento de inercia alrededor del eje que pasa por el mismo. Considerar una sección no agrietada y otra agrietada. Datos: 𝑓𝑐′ = 25 [𝑀𝑃𝑎] 𝐴′𝑠 = 1140 [𝑚𝑚2 ] 𝐴𝑠 = 1521 [𝑚𝑚2 ] 300 70 3𝜙22 530 600 4𝜙22 389 Diseño de estructuras de hormigón armado 3. ¿Satisface la sección transversal de la viga que se muestra a continuación los requerimientos del código ACI para el agrietamiento?. 2𝜙30 𝐸𝜙10 Dimensiones en [𝑚𝑚] Recubrimiento de 40 [𝑚𝑚] 2𝜙25 25 2𝜙30+2𝜙25 40 300 4. Calcular la separación máxima entre barras de diámetro 𝜙16 de una losa armada en una dirección si las barras tienen un recubrimiento libre de 25 [𝑚𝑚], de tal modo de satisfacer los requerimientos de control del agrietamiento del código ACI. 5. Una viga simplemente apoyada tiene una luz 8 [𝑚] y soporta las siguientes cargas de servicio: - 𝑤𝐷+𝑂𝑊 = 22 [𝑘𝑁/𝑚] 𝑤𝐿 = 22 [𝑘𝑁/𝑚] Si la resistencia característica del hormigón a los 28 días es de 20 [𝑀𝑃𝑎] calcular: a) La deflexión inmediata por carga muerta. b) La deflexión inmediata por carga muerta más carga viva. c) La deflexión que ocurre después de que la tabiquería ha sido instalada. Asumir que la tabiquería es instalada 2 meses después de que el apuntalamiento de la viga es removido y asumir también que el 20% de la carga viva es permanente. 390 Estados límites de servicio 2𝜙25 𝐸𝜙10 610 Dimensiones en [𝑚𝑚] Recubrimiento de 40 [𝑚𝑚] 6𝜙25 25 40 400 Dimensiones en [𝑚𝑚] 391 CAPÍTULO 10 COLUMNAS ESBELTAS 10. Columnas esbeltas 10.1. Introducción En el capítulo octavo del texto se desarrollaron ecuaciones para el análisis y diseño de elementos cortos de hormigón armado sometidos a combinaciones de fuerza axial y momento flector. La resistencia nominal de las columnas cortas depende solamente de la resistencia de los materiales y la geometría de la sección transversal. La mayoría de las columnas que se utilizan en estructuras de hormigón armado fallan de esa manera, pero con el creciente uso de hormigones de alta resistencia y el refinamiento en los procedimientos de dimensionamiento de los elementos, es posible ahora tener elementos de hormigón armado cuyas secciones transversales son pequeñas, lo que los convierte en elementos esbeltos. Por tanto, para el análisis y diseño de estos elementos, se deben considerar otros tipos de fallas como el pandeo de toda la pieza. 10.2. Definición de columna esbelta Una columna es esbelta, si las dimensiones de su sección transversal son pequeñas en comparación de su ℓ altura. El grado de esbeltez es en general expresado en términos de la relación de esbeltez 𝑟, donde ℓ se define como la longitud no arriostrada del elemento y 𝑟 es el radio de giro de la sección. Para secciones cuadradas y circulares el radio de giro es el mismo con relación a sus ejes principales, pero para otro tipo de sección como la rectangular, el radio de giro más pequeño se presenta con respecto del eje principal menor y es este valor el que debe ser utilizado para el cálculo de la esbeltez. Desde hace muchos años es sabido que columnas esbeltas fallan para cargas axiales mucho menores que ℓ columnas cortas de la misma sección transversal. Cuando una columna corta con 𝑟 = 10 (columna de sección cuadrada con una longitud igual a aproximadamente 3 veces la dimensión ℎ de su sección transversal) es solicitada por una carga axial, ésta fallará para una carga dada por la ecuación (8.14) que representa una falla simultanea por aplastamiento del hormigón y fluencia del acero. Si un elemento de la ℓ misma sección transversal pero con una relación de esbeltez 𝑟 = 100 (columna de sección cuadrada con 393 Diseño de estructuras de hormigón armado una longitud igual a aproximadamente 30 veces la dimensión ℎ de su sección transversal) es solicitada por una carga axial, ésta fallará para una carga mucho menor a la dada por la ecuación (8.14). En este caso, la falla es debido al fenómeno llamado de pandeo que es un desplazamiento lateral repentino producido por un desequilibrio de la columna. Como la columna se ha salido de la plomada (verticalidad), aparecen esfuerzos de flexión producidos por momentos de segundo orden que combinados con los esfuerzos de compresión causan un sobre esfuerzo de la sección transversal y finalmente la falla del elemento. Los momentos de segundo orden son aquellos momentos que se presentan en un elemento debido a grandes desplazamientos del mismo con respecto a su posición original y a la línea de acción de las cargas axiales. Toda columna está sujeta a momentos flectores y cargas axiales. En columnas cortas o columnas en pórticos arriostrados los momentos de segundo orden son de poca importancia, pero en columnas esbeltas o columnas en pórticos no arriostrados, los momentos de segundo orden pueden en muchos casos sobrepasar a los momentos de primer orden. Una definición práctica para identificar columnas esbeltas es aquella en la cual se indica que si la capacidad de una columna para resistir carga axial se ha reducido significativamente debido a los momentos que provienen de la deflexión lateral (efectos de segundo orden), entonces la columna debe ser considerada como esbelta para propósitos de diseño. La sección R6.2.5 del código ACI indica que una reducción en la capacidad de la columna mayor al 5% se considera como significativa. 𝑃 𝑒 Momento en extremos 𝛿 𝑀𝑒 = 𝑃 · 𝑒 Momento a medio tramo 𝑀𝑐𝑙 = 𝑃 · (𝑒 + 𝛿) La deflexión incrementa el momento para el cual la columna debe ser diseñada 𝑃 Carga Axial Diagrama de interacción para columnas cortas A 𝑃·𝑒 𝑃· B Curva de máximo momento y carga axial O Momento Fig. 10.1. Diagrama de interacción para una columna esbelta 394 Columnas esbeltas El diagrama de interacción de una sección de hormigón armado representa las combinaciones de carga axial y momento que son necesarias para producir la falla de la sección de una columna corta. La línea punteada OA es una gráfica del momento en el extremo de la columna. Como esta carga es aplicada con una excentricidad constante 𝑒, el momento en el extremo 𝑀𝑒 es una función lineal de 𝑃. La línea sólida curva OB es una gráfica del momento a medio tramo de la columna. Para cualquier carga 𝑃, el momento a medio tramo 𝑀𝑐𝑙 es la suma del momento en el extremo 𝑃 · 𝑒 y del momento debido a la deflexión 𝑃 · . La línea OA es conocida como la curva carga-momento para el momento en el extremo, mientras que la línea OB es conocida como la curva carga-momento para el momento máximo en la columna. La falla de la columna ocurre cuando la curva OB para el punto de máximo momento intercepta el diagrama de interacción de la sección transversal. Por lo tanto, el par de solicitaciones (carga axial y momento flector) cuando ocurre la falla se encuentra en el punto B. Debido al incremento en el momento máximo por la deflexión, la capacidad de la columna para soportar caga axial es reducida desde A hasta B. Esta reducción en la capacidad de la columna para soportar carga axial se debe a lo que se llama efectos de esbeltez. 10.3. Pandeo de columnas (Teoría Elástica) 10.3.1. Estados de equilibrio En la siguiente figura se muestra de una manera sencilla tres estados diferentes de equilibrio de una bola. En el equilibrio estable, la superficie cóncava donde se encuentra la bola, hace que ésta siempre vuelva a su posición original sin interesar cuan fuerte la bola pueda ser golpeada. En el equilibrio neutro, la superficie plana hace que cualquier perturbación desplace la bola sin que ésta caiga, mientras que en el equilibrio inestable, la superficie convexa hace que la bola se caiga para cualquier tipo de perturbación y nunca pueda recobrar su posición original. 𝑃 Estable Indiferente o neutral Inestable Fig. 10.2. Diferentes estados de equilibrio 395 Diseño de estructuras de hormigón armado Estados de equilibrio similares a los de la bola existen para la columna de la misma figura cargada axialmente. Si la columna retorna a su posición original cuando es empujada lateralmente a medio tramo por una carga que después es retirada, entonces la columna está en un equilibrio estable. Si la columna permanece deformada se dice que está en un equilibrio neutral, pero si ésta sigue deformándose, entonces la columna está en un equilibrio inestable. 𝑃 𝑃 𝑥 𝑦 𝑃 ℓ 𝑀 Diagrama de cuerpo libre Columna Fig. 10.3. Equilibrio de una columna doblemente articulada La columna de la anterior figura se encuentra en un equilibrio neutral y en su diagrama de cuerpo libre se puede plantear la ecuación diferencial que originalmente fue desarrollada por Eüler en el año 1744. La solución de la ecuación diferencial (10.1) fue también hallada por Eüler y es la que se muestra en la ecuación (10.2) en su forma general. 𝑑2 𝑦 𝐸 ∙ 𝐼 ∙ 2 = −𝑀 = −𝑃 ∙ 𝑦 𝑑𝑥 (10.1) 𝑛2 ∙ 𝜋 2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼 ℓ2 (10.2) 𝑃𝑐𝑟 = Donde: 𝜋 = Constante con un valor aproximado de 3.1416. 𝐸 = Módulo de elasticidad. 𝐼 = Momento de inercia de la sección transversal. ℓ = Longitud de la columna. 𝑛 = Modo de pandeo de la columna o número de medias curvas senoidales en las que la columna se deforma. 396 Columnas esbeltas 𝑛=1 𝑃𝑐𝑟 = 𝑛=3 𝑛=2 𝜋2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼 ℓ2 𝑃𝑐𝑟 = 4 ∙ 𝜋2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼 ℓ2 𝑃𝑐𝑟 = 9 ∙ 𝜋2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼 ℓ2 Fig. 10.4. Posibles soluciones de la ecuación de Eüler El valor más pequeño de 𝑃𝑐𝑟 ocurre cuando 𝑛 = 1 y ésta carga es conocida como la carga de pandeo de Eüler: 𝑃𝐸 = 𝜋2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼 ℓ2 (10.3) Si la columna estuviera arriostrada a medio tramo de tal manera que no pudiera desplazarse lateralmente, entonces pandearía con 𝑛 = 2 y su carga sería: 𝑃𝑐𝑟 = 4 ∙ 𝜋2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼 ℓ2 (10.4) La carga crítica de pandeo para esta nueva columna es cuatro veces más que la carga de pandeo de la misma columna sin arriostramiento intermedio. Otra manera de interpretar la ecuación (10.2) es a través del concepto de la longitud efectiva de la columna. La longitud efectiva es la longitud de una columna articulada que tiene la misma carga de pandeo. En la figura 10.5 se puede apreciar que dos columnas de diferente altura tienen la misma carga de pandeo puesto que ambas poseen la misma longitud efectiva. En resumen, la longitud efectiva de una columna es simplemente la longitud entre dos puntos de inflexión o entre puntos de arriostramiento efectivo. 𝑘∙ℓ= 𝑘= 1 𝑛 ℓ 𝑛 (10.5) (10.6) 397 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑃 ℓ 2 𝑃 ℓ ℓ 2 𝑃𝑐𝑟 = ℓ 2 𝜋2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼 𝑃𝑐𝑟 = ℓ 2 (2) 𝜋2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼 ℓ 2 (2) Fig. 10.5. Concepto de la longitud efectiva en columnas Considerando la ecuación (10.6), la carga de pandeo de una columna puede escribirse de la siguiente manera: 𝑃𝑐𝑟 = 𝜋2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼 (𝑘 ∙ ℓ)2 (10.7) Donde: 𝑘 = Factor efectivo de la longitud de la columna. El concepto del factor efectivo de la longitud de la columna 𝑘 puede ser explicado de una manera clara con la figura 10.6 donde se comparan pórticos arriostrados con pórticos no arriostrados que tienen columnas con distintas condiciones de apoyo y arriostramiento. En los pórticos arriostrados el factor 𝑘 para las columnas solamente puede variar entre 0.5 y 1, mientras que en los pórticos no arriostrados el factor 𝑘 varía entre 1 e infinito. La variación del factor efectivo se debe estrictamente, en cada caso, a las condiciones de restricción rotacional y traslacional de los bordes de las columnas. Para columnas en pórticos arriostrados 0.5 ≤ 𝑘 ≤ 1.0 Para columnas en pórticos no arriostrados 1.0 ≤ 𝑘 ≤ ∞ 398 Columnas esbeltas 𝑛=1 𝑘=1 𝑛=2 𝑘 = 0.5 Pórticos arriostrados 𝑛=1 𝑘=1 𝑛=0 𝑘=∞ Pórticos no arriostrados Fig. 10.6. Concepto de la longitud efectiva en columnas 10.4. Columnas esbeltas en estructuras Como se ha visto anteriormente, para hallar la carga de pandeo de cualquier columna, es necesario modificar la ecuación de Eüler utilizando el concepto del factor efectivo de longitud, puesto que la ecuación original fue derivada para una columna arriostrada doblemente articulada. En la construcción de estructuras con elementos prefabricados se puede encontrar el caso de columnas doblemente articuladas, pero en la construcción de estructuras con hormigón vaciado en sitio, es muy poco probable encontrar columnas doblemente articuladas. La mayoría de las estructuras en hormigón armado son arriostradas utilizando para ello muros de corte, cajas de escaleras y núcleos de ascensores que tienen una rigidez considerablemente mayor a la de las columnas. En otros casos, para arriostrar edificios de gran altura o para reforzar edificios existentes, se ha recurrido a la utilización de un arriostramiento externo de acero en forma de diagonales o cruces que se extienden sobre las caras de la edificación. La mayoría de las columnas en edificios están en la categoría de columnas cortas. Algunas excepciones ocurren en edificios industriales o en edificios, como hoteles, que tienen su primera planta más alta por razones arquitectónicas. También, algunas pilas en puentes caen dentro de la categoría de columnas esbeltas. 10.4.1. Comportamiento y análisis de columnas doblemente articuladas Las deflexiones laterales en una columna esbelta causan un incremento en los momentos de la columna. Estos momentos a su vez causan un incremento en las deflexiones que vuelven a incrementar los momentos. Como resultado de este proceso, en la siguiente figura se puede apreciar que la línea OB es no lineal. Si la carga axial está por debajo de la carga crítica, el proceso converge a una situación estable, pero si la carga está por encima de la carga crítica el proceso se encamina a una situación inestable. Este proceso es conocido como un proceso de segundo orden debido a que está descrito por una ecuación diferencial de segundo orden. 399 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑃 𝑃 𝑒 A B 𝛿 𝑃 𝑀 O Fig. 10.7. Comportamiento de una columna doblemente articulada 10.4.2. Fallas en material y fallas de estabilidad Dependiendo de las características y dimensiones de una columna esbelta, se puede presentar una falla en el material o una falla de estabilidad general de la columna. En la siguiente figura se muestra, sobre un diagrama de interacción de columna corta, los dos tipos de falla enunciados. La curva OA para columnas cortas es prácticamente igual a la línea 𝑃𝑒. Para una columna de moderada longitud (curva OB), la deflexión se hace significativa reduciendo la capacidad de carga de la columna. Esta columna falla cuando la curva OB intercepta el diagrama de interacción. Este tipo de falla es conocida como falla del material y es el tipo de falla esperada para la mayoría de las columnas en pórticos arriostrados. Si la columna es muy 𝑑𝑀 esbelta, ésta puede alcanzar una deflexión 𝛿 para la cual el valor de 𝑑𝑃 tiende a infinito o se hace negativo. Cuando esto ocurre, la columna se hace inestable ya que con mayor excentricidad la capacidad de momento descenderá. Este tipo de falla es conocida como falla de estabilidad y ocurre solamente en columnas muy esbeltas de pórticos arriostrados o en columnas esbeltas de pórticos no arriostrados. 𝑃 𝑃 𝑒 𝑀 =𝑃·𝑒 A OA = Columna corta OB = Falla del material OC = Falla de estabilidad B C 𝑑𝑀 ⟶∞ 𝑑𝑃 𝑃 O 𝑀 Fig. 10.8. Tipos de falla de una columna doblemente articulada 400 Columnas esbeltas Nunca es aconsejable diseñar columnas muy esbeltas puesto que éstas son muy susceptibles de presentar una falla de estabilidad general que es un tipo de falla de carácter repentino y que no proporciona advertencia alguna. 10.4.3. Diagramas de interacción para columnas esbeltas Para discutir los efectos de ciertos factores en la resistencia de una columna, es a veces conveniente utilizar diagramas de interacción para columnas esbeltas. La construcción de diagramas de interacción para columnas esbeltas puede ser realizada a partir de los diagramas de interacción de columnas cortas de la misma sección transversal. La forma de construcción del diagrama de interacción de una columna esbelta doblemente articulada es ilustrada en la siguiente figura y sigue el procedimiento que se explica a continuación. La línea OB1 muestra la curva de carga – momento máximo para una columna con esbeltez ℓ = 30 y una excentricidad dada 𝑒1 . Esta columna falla cuando la curva carga – momento intercepta el 𝑛 diagrama de interacción en el punto B1, pero en el momento de la falla, la carga y el momento en el extremo de la columna (donde no se presentan los efectos de segundo orden) están dados por el punto A1. Si este proceso es repetido, tomando en cuenta varias excentricidades, se consigue el diagrama de interacción para una columna esbelta uniendo con línea segmentada todos los puntos A1, A2, etc. Se puede ℓ seguir el mismo procedimiento utilizando distintas relaciones de esbeltez ℎ con lo que se consigue una familia de diagramas de interacción para una columna de hormigón armado de sección transversal constante pero con diferentes alturas. La familia de curvas muestra las cargas y los momentos máximos que producen la falla de una columna esbelta dada. Una familia de diagramas de interacción para una columna esbelta se muestra en la siguiente figura para columnas de la misma sección transversal, pero de esbeltez diferente. 𝑃 𝑃 ℓ = 30 ℎ 𝑃𝑒1 A1 A2 O ℓ =0 ℎ ℓ =0 ℎ B1 30 20 10 45 B2 𝑀 O 𝑀 Fig. 10.9. Construcción de diagramas de interacción para columnas esbeltas 401 Diseño de estructuras de hormigón armado 10.4.4. Mayorador de momento para un elemento doblemente articulado cargado simétricamente La construcción de diagramas de interacción para columnas esbeltas no es un método eficiente para el diseño de las mismas debido a que en la práctica se tienen muchas dificultades para calcular con cierta precisión las curvas OB1, OB2, etc. Por tanto, es más sencillo calcular un coeficiente, conocido como mayorador de momento, que multiplicado por el momento de primer orden estime razonablemente el momento final en la sección transversal. 𝑃 𝑀0 𝑀0 ∆0 ∆𝑎 𝑃 ∙ (∆0 + ∆𝑎 ) 𝑃 ∙ (∆0 + ∆𝑎 ) 𝐸∙𝐼 𝑀0 𝑃 Columna deformada 𝑀0 Diagrama Primario de Momento (𝑀0 ) Diagrama Secundario de Momento (𝑃 ∙ ∆) 𝑀 Diagrama ( ) 𝐸∙𝐼 Fig. 10.10. Desarrollo de los momentos de segundo orden Bajo la acción de los momentos de extremo 𝑀0 , la columna se desplaza en la parte central una cantidad ∆0 . Esta deflexión es conocida como deflexión de primer orden. Cuando las cargas axiales son aplicadas, la deflexión a media altura de la columna se incrementa en una cantidad ∆𝑎 . La deflexión final a medio tramo es la suma de la deflexión inicial y la producida por las cargas axiales ∆= ∆0 + ∆𝑎 . Esta deflexión total será referida como la deflexión de segundo orden. Se asumirá que la forma de la deformada final de la columna se aproxima a la forma de una mitad de la curva del seno. Debido a que la deformada se asumió como la mitad de una curva senoidal, entonces el diagrama 𝑃 ∙ ∆ es también de forma senoidal. Utilizando el método del área de momentos y observando que la deformada es simétrica, la deflexión ∆𝑎 𝑀 puede ser hallada tomando el momento alrededor del soporte de la porción del diagrama 𝐸∙𝐼 entre el soporte y la mitad de la columna. 𝐴𝑟𝑒𝑎 = 𝑃 ℓ 2 ∙ (∆0 + ∆𝑎 ) ∙ ∙ 𝐸∙𝐼 2 𝜋 (10.8) ℓ Y su centro de gravedad esta a 𝜋 desde el soporte, por lo tanto: Δ𝑎 = [ 402 𝑃 ℓ 2 𝐿 𝑃 ∙ ℓ2 ∙ (Δ0 + Δ𝑎 ) ∙ ∙ ] ∙ = 2 ∙ (∆0 + ∆𝑎 ) 𝐸∙𝐼 2 𝜋 𝜋 𝜋 ∙𝐸∙𝐼 Columnas esbeltas Despejando ∆𝒂 y considerando que 𝑃𝐸 = ∆𝑎 = ∆0 ∙ ( 𝑃 𝑃𝐸 𝑃 1−𝑃 𝜋2 ∙𝐸∙𝐼 se obtiene: ℓ2 (10.9) ) 𝐸 La deflexión final Δ es la suma de Δ0 y Δ𝑎 . ∆= ∆0 + ∆𝑎 = ∆0 + ∆𝑎 ∙ ( 𝑃 𝑃𝐸 𝑃 1−𝑃 𝑃 𝑃 1−𝑃 +𝑃 𝐸 𝐸 ∆= ∆0 ∙ ( ) 𝑃 1−𝑃 𝐸 ∆0 ∆= 𝑃 1−𝑃 𝐸 ) 𝐸 (10.10) 𝑃 Esta ecuación muestra que la deflexión de segundo orden ∆ incrementa a medida que 𝑃 se incrementa 𝐸 alcanzando el valor de ∞ cuando 𝑃 iguala a 𝑃𝐸 . El máximo momento flector es: 𝑀𝑐 = 𝑀0 + 𝑃 ∙ ∆ (10.11) Donde: 𝑀𝑐 = Momento de segundo orden. 𝑀0 = Momento de primer orden. 𝑀𝑐 = 𝑀0 + 𝑃 ∙ ∆0 𝑃 1−𝑃 𝐸 (10.12) Para el diagrama de momento primario de la columna, la deflexión inicial puede calcularse con la siguiente ecuación: ∆0 = 𝑀0 ∙ ℓ2 8∙𝐸∙𝐼 Sustituyendo ∆0 en la ecuación de 𝑀𝑐 y sabiendo que 𝑃𝐸 = (10.13) 𝜋2 ∙𝐸∙𝐼 se obtiene: ℓ2 403 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑀𝑐 = 𝑀0 + 𝑃 ∙ 𝑀0 ∙ ℓ2 𝑃 8 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼 ∙ (1 − 𝑃 ) = 𝑀0 ∙ [1 + 𝐸 𝑃 ∙ ℓ2 ] 𝑃 8 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼 ∙ (1 − 𝑃 ) 𝐸 𝑃 𝑃 𝜋2 𝑃 2 ∙ 𝜋 + 8 ∙𝑃 1 − 𝑃𝐸 𝑃𝐸 𝐸 𝑀𝑐 = 𝑀0 ∙ [1 + ] = 𝑀0 ∙ [ ] 𝑃 𝑃 8 ∙ (1 − 𝑃 ) 1−𝑃 𝐸 𝐸 𝑀𝑐 = 𝑃 𝑀0 ∙ (1 + 0.23 ∙ 𝑃 ) 𝑃 1− 𝑃𝐸 𝐸 (10.14) El coeficiente 0.23 depende de la forma del diagrama primario de momentos 𝑀0 . Por ejemplo, para un diagrama triangular con 𝑀0 en un extremo de la columna y 0 en el otro, el coeficiente es −0.38. 𝑃 En el código ACI el término (1 + 0.23 ∙ 𝑃 ) es omitido porque el factor 0.23 varía en función del 𝐸 diagrama de momentos primario y la ecuación anterior es presentada como: 𝑀𝑐 = 𝛿 ∙ 𝑀0 (10.15) Donde: = Magnificador de momentos. 𝑀0 = Momento primario. 𝛿= 1 𝑃 1−𝑃 (10.16) 𝑐 𝜋 2 ∙ (𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 𝑃𝑐 = (𝑘 ∙ ℓ)2 (10.17) La ecuación para subestima el valor real del magnificador de momento para la columna sometida a momentos iguales en ambos extremos, pero se aproxima a los valores reales cuando los momentos en los extremos no son iguales. 10.4.5. Efecto de momentos desiguales de extremo en la resistencia de columnas esbeltas Hasta ahora solamente se ha considerado columnas con extremos articulados sometidos a momentos iguales en sus dos extremos. Este es un caso muy especial donde el momento máximo por deflexión 𝑃 ∙ ∆ ocurre en la sección donde el momento por carga aplicada 𝑃 ∙ 𝑒 es también máximo y por ello estas dos cantidades pueden sumarse directamente. 404 Columnas esbeltas Por lo general, las excentricidades en los extremos 𝑒1 y 𝑒2 no son iguales y por tanto, la posición de la deflexión de segundo orden, no necesariamente coincide con la deflexión por momento primario. Cuando los momentos de extremo son diferentes, el máximo valor de ∆ ocurre en algún punto intermedio de la columna, mientras que el valor máximo de la excentricidad 𝑒 ocurre en uno de los extremos de la columna, en consecuencia 𝑒𝑚𝑎𝑥 y ∆𝑚𝑎𝑥 no pueden sumarse directamente. En la siguiente figura se pueden identificar dos casos, el primero consiste en una columna esbelta con excentricidades pequeñas en los extremos donde el valor máximo de la suma 𝑒 + ∆ probablemente ocurre en un punto intermedio de la columna. Por otro lado, para columnas cortas o columnas con grandes excentricidades en los extremos, el valor máximo de la suma 𝑒 + ∆ ocurrirá en uno de los extremos de la columna. 𝑒2 = 𝑃 𝑀2 = 𝑒𝑚𝑎𝑥 𝑃 𝑒2 = 𝑒𝑚𝑎𝑥 = (𝑒 + ∆)𝑚𝑎𝑥 𝑀2 𝑒 (𝑒 + ∆)𝑚𝑎𝑥 ∆𝑚𝑎𝑥 ∆𝑚𝑎𝑥 𝑒 𝑀1 𝑀1 𝑃 𝑒1 𝑃 𝑒1 = Columna con diferentes excentricidades en los extremos El máximo (𝑒 + ∆) ocurre en un punto intermedio El máximo (𝑒 + ∆) ocurre en uno de los extremos Primer Caso: Excentricidades pequeñas Segundo Caso: Excentricidades grandes Fig. 10.11. Efecto de momentos desiguales en los extremos Estos dos tipos de comportamiento pueden ser observados en los diagramas de interacción que se muestran en las siguientes figuras. Se puede apreciar que columnas sometidas a momentos desiguales de extremo, pero del mismo sentido, inducen a que la columna esbelta se deforme en doble curvatura ℓ haciendo que la relación de esbeltez ℎ no influya de una forma significativa en el diagrama de interacción. Cuando 𝑒1 = 𝑒2 (figura 10.14) el diagrama de interacción para una esbeltez de 𝑒 ℓ = 20 muestra una ℎ reducción en la resistencia para todo el rango de excentricidades. Para 𝑒1 = 0 (figura 10.12) la máxima 2 (e+) ocurre entre los extremos para pequeñas excentricidades y en un extremo para grandes ℓ ℓ excentricidades para la misma esbeltez ℎ = 20. Para 𝑒1 = −𝑒2 (figura 10.13) y la misma esbeltez ℎ = 20 405 Diseño de estructuras de hormigón armado no existe efectos de esbeltez por lo que la columna puede ser considerada como columna corta para propósitos de diseño. ℓ =0 ℎ 𝑃 Máximo (𝑒 + ∆) entre los extremos 𝑃 𝑒2 20 𝑀1 =0 𝑀2 𝑒1 = 0 30 Máximo (𝑒 + ∆) en un extremo 45 𝑀 𝑴 Fig. 10.12. Efecto de la relación 𝑴𝟏 en el diagrama de interacción de columnas esbeltas 𝟐 (uno de los momentos de extremo es cero) 𝑃 𝑃 𝑒2 𝑒1 20 𝑒1 = −𝑒2 𝑀1 = −1 𝑀2 𝑃 30 45 𝑀 𝑴 Fig. 10.13. Efecto de la relación 𝑴𝟏 en el diagrama de interacción de columnas esbeltas 𝟐 (momentos de extremo distintos con el mismo sentido) 406 Columnas esbeltas 𝑃 ℓ =0 ℎ 𝑒2 𝑃 𝑒1 = 𝑒2 10 𝑒1 20 30 𝑃 𝑀1 =0 𝑀2 45 𝑀 𝑴 Fig. 10.14. Efecto de la relación 𝑴𝟏 en el diagrama de interacción de columnas esbeltas 𝟐 (momentos de extremo distintos con diferente sentido) Con el procedimiento del magnificador de momento , una columna sujeta a momentos de extremo de sentidos iguales o contrarios y de magnitudes diferentes, es reemplazada por otra columna sujeta a momentos de extremo de sentidos contrarios, pero de magnitudes iguales a 𝐶𝑚 ∙ 𝑀2 . Los momentos 𝐶𝑚 ∙ 𝑀2 son designados de tal manera que el momento máximo mayorado es el mismo en ambas columnas. 𝐶𝑚 ∙ 𝑀2 𝑀2 𝑀𝑚𝑎𝑥 𝑀𝑚𝑎𝑥 𝑀1 Momentos Reales en la falla de la columna Momentos Equivalentes en la falla de la columna Fig. 10.15. Diagrama de momento equivalente 407 Diseño de estructuras de hormigón armado La expresión del factor equivalente de momento 𝐶𝑚 fue originalmente derivado para el diseño de columnas de acero y fue adoptado sin cambio alguno para el diseño de columnas de hormigón. 𝐶𝑚 = 0.6 − 0.4 ∙ 𝑀1 𝑀2 (10.18) Donde: 𝑀1 = Menor momento mayorado de uno de los extremos del elemento a compresión. 𝑀2 = Mayor momento mayorado en los extremos del elemento a compresión. 𝑀1 = - (Negativo si la columna se dobla en simple curvatura). 𝑀2 𝑀1 = + (Positivo si la columna se dobla en doble curvatura). 𝑀2 𝑀2 𝑀2 𝑀1 Columna flexada en curvatura simple 0≤ 𝑀1 ≤1 𝑀2 𝑀1 Columna flexada en doble curvatura −1≤ 𝑀1 ≤0 𝑀2 Fig. 10.16. Variación de la relación 𝑴𝟏 /𝑴𝟐 en columnas esbeltas La ecuación de 𝐶𝑚 solamente se aplica a columnas doblemente articuladas o a columnas en pórticos arriostrados cargadas axialmente y con momentos en sus extremos. En todos los demás casos, incluyendo columnas con cargas transversales entre sus extremos y columnas con carga axial concéntrica (sin momentos en los extremos), 𝐶𝑚 es tomado como 1.0 según la sección 6.6.4.5.3 del código ACI. El término 𝐶𝑚 no es incluido en la ecuación para el magnificador de momentos en pórticos no arriostrados. 10.4.6. Rigidez de la columna esbelta Para calcular la carga crítica 𝑃𝑐 con la ecuación (10.17) es necesario conocer la rigidez a la flexión (𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 de la columna. El valor de (𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 elegido para una columna de hormigón armado sometida a un nivel de carga axial y que tiene una esbeltez dada debe aproximarse al 𝐸 ∙ 𝐼 de la columna al momento de la falla, tomando en cuenta el tipo de falla (falla de material o falla de estabilidad), los efectos del 408 Columnas esbeltas agrietamiento, fluencia y la no linealidad de la curva tensión – deformación al momento de la falla. La sección 6.6.4.4.4 del código ACI, presenta fórmulas semiempíricas para el cálculo de (𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 que intentan de alguna manera tomar en cuenta todos los factores mencionados anteriormente. (𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 = 0.2 ∙ 𝐸𝑐 ∙ 𝐼𝑔 + 𝐸𝑠 ∙ 𝐼𝑠𝑒 1 + 𝛽𝑑 (10.19) (𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 = 0.4 ∙ 𝐸𝑐 ∙ 𝐼𝑔 1 + 𝛽𝑑 (10.20) (𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 = 𝐸𝑐 ∙ 𝐼 1 + 𝛽𝑑 (10.21) Donde: 𝐸𝑐 = Módulo de elasticidad del hormigón. 𝐸𝑠 = Módulo de elasticidad del acero. 𝐼𝑔 = Momento de inercia de la sección de hormigón alrededor del eje que pasa por el centro de gravedad de la sección de hormigón. 𝐼 = Momento de inercia calculado de acuerdo a la ecuación (10.22). 𝐼𝑠𝑒 = Momento de inercia del refuerzo de acero alrededor del eje que pasa por el centro de gravedad de la sección de hormigón. 𝛽𝑑 = 𝛽𝑑𝑛𝑠 para columnas en pórticos arriostrados. 𝛽𝑑 = 𝛽𝑑𝑠 para columnas en pórticos no arriostrados. 𝛽𝑑𝑛𝑠 = Relación utilizada para calcular la reducción de rigidez de las columnas, en pórticos arriostrados, debido a las cargas axiales permanentes. 𝛽𝑑𝑠 = Relación utilizada para calcular la reducción de rigidez de las columnas, en pórticos no arriostrados, debido a las cargas laterales permanentes. El término 1 + 𝛽𝑑 refleja el efecto de la fluencia prematura del acero en columnas sujetas a cargas sostenidas. Para una estructura no arriostrada, 𝛽𝑑 se convierte en 𝛽𝑑𝑠 y tendrá normalmente un valor de cero debido a que las cargas laterales son en general de corta duración. Las deformaciones por desplazamiento lateral, debidas a cargas de corto plazo como viento o sismo, están en función de la rigidez de corto plazo de las columnas después de un periodo sostenido de carga por gravedad. Para este caso la definición dada por el código ACI en su sección 6.6.3.1.1 da como resultado 𝛽𝑑𝑠 = 0. En el caso inusual de una estructura con desplazamiento lateral (no arriostrada) donde las cargas laterales son permanentes, 𝛽𝑑𝑠 no será igual a cero. Este caso puede presentarse en una edificación construida en un terreno inclinado donde por un solo lado hay presiones de tierra. Para una estructura arriostrada, 𝛽𝑑 se convierte en 𝛽𝑑𝑛𝑠 y tendrá normalmente un valor distinto a cero debido a que las cargas gravitacionales son en general de larga duración. Para estructuras sin desplazamiento lateral (arriostradas), se puede suponer un valor promedio de 0.6 para 𝛽𝑑𝑛𝑠 . En consecuencia, la ecuación (10.20) queda simplificada a (𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 = 0.25 ∙ 𝐸𝑐 ∙ 𝐼𝑔 . 409 Diseño de estructuras de hormigón armado En el método del magnificador de momento, para el cálculo de la carga crítica de pandeo 𝑃𝑐 con la ecuación (10.17), se deben utilizar las ecuaciones (10.19), (10.20) o (10.21) para estimar el valor de (𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 . Esto representa el comportamiento de una columna sumamente cargada. En la sección 6.6.3.1.1 del código ACI se presentan valores para los momentos de inercia 𝐼 de la sección que pueden ser utilizados en los siguientes casos: a) Cuando se realiza un análisis elástico de segundo orden para el cálculo de los momentos de extremo en las columnas, momentos flectores en vigas y deflexiones laterales de la estructura. b) Para calcular el valor de Ψ, que es utilizado para hallar el factor de longitud efectiva 𝑘 de las columnas mediante el uso de los ábacos de Jackson y Moreland. Las recomendaciones de la sección 6.6.3.1.1 del código ACI, son presentadas en la siguiente tabla. Propiedad Módulo de elasticidad (𝑬𝒄 ) Tipo de elemento Todos Ecuación 𝐸𝑐 = 44 ∙ 𝑤𝑐1.5 ∙ √𝑓𝑐′ Elementos en compresión Momento de inercia (𝑰) Columnas 0.70𝐼𝑔 Muros no agrietados 0.70𝐼𝑔 Muros agrietados 0.35𝐼𝑔 Elementos a flexión Área (𝑨𝒈 ) Vigas 0.35𝐼𝑔 Losas y placas planas 0.25𝐼𝑔 Todos 1.0𝐴𝑔 Nota: No se deben utilizar los valores de esta tabla para el cálculo de 𝑃𝑐 en la ecuación (10.17) Para el cálculo de deflexiones, vibraciones y periodos del edificio es necesario considerar cargas de servicio y para ello se pueden utilizar los valores de los momentos de inercia dados en la tabla anterior multiplicándolos por 1.4 (ACI R6.6.3.2.2). Como alternativa, el código permite que los momentos de inercia 𝐼 de los elementos sometidos a compresión y a flexión, puedan ser calculados con las ecuaciones que se resumen en la siguiente tabla. En la ecuación (10.22), los valores de 𝑃𝑢 y 𝑀𝑢 deben provenir de la misma combinación de carga que se está considerando o de la combinación de carga que produce el menor valor de 𝐼. Para elementos contínuos sometidos a flexión, se permite que 𝐼, calculado con la ecuación (10.23), sea el promedio de los valores obtenidos para secciones críticas de momento positivo y negativo. 410 Columnas esbeltas Elemento a: Momento de Inercia 𝑰 Límite inferior Límite superior 0.35 · 𝐼𝑔 0.875 · 𝐼𝑔 0.25 · 𝐼𝑔 0.50 · 𝐼𝑔 Compresión (columnas y muros) (0.80 + 25 ∙ 𝐴𝑠𝑡 𝑀𝑢 𝑃𝑢 − 0.5 ∙ ) ∙ 𝐼𝑔 (10.22) ) ∙ (1 − 𝐴𝑔 𝑃𝑢 ∙ ℎ 𝑃𝑜 Flexión (vigas, placas planas y losas planas (0.10 + 25 ∙ 𝜌) ∙ (1.2 − 0.2 ∙ 𝑏𝑤 ) ∙ 𝐼𝑔 𝑑 (10.23) Las rigideces proporcionadas por las ecuaciones (10.22) y (10.23) son aplicables a todos los niveles de carga, incluido servicio y última. Para uso de estas ecuaciones en niveles de carga distintos al último, 𝑃𝑢 y 𝑀𝑢 deben ser reemplazados por sus valores adecuados al nivel deseado de carga. Fig. 10.17. Ábaco de Jackson y Moreland para columnas de pórticos arriostrados 411 Diseño de estructuras de hormigón armado Fig. 10.18. Ábaco de Jackson y Moreland para columnas de pórticos no arriostrados 𝐸∙𝐼 𝐸∙𝐼 𝑐 𝑏 El coeficiente Ψ es la relación de ∑ ℓ 𝑐 de los elementos a compresión con respecto a ∑ ℓ 𝑏 de los elementos a flexión en el mismos plano en un extremo del elemento a compresión. 10.4.7. Efecto de cargas sostenidas en columnas doblemente articuladas Todo lo presentado hasta la sección anterior se refiere al comportamiento y falla de columnas bajo cargas de corta duración, por lo que en esta sección se discutirá el efecto de las cargas sostenidas de larga duración sobre la capacidad de la columna. Las columnas en estructuras están sujetas a cargas muertas sostenidas y también algunas veces a cargas vivas sostenidas. La fluencia del hormigón bajo cargas sostenidas incrementa la deflexión de las columnas por el aumento del momento 𝑀 = 𝑃 ∙ (𝑒 + Δ) y por lo tanto las debilita. Historia de carga “Rápida – Sostenida – Rápida” En la siguiente figura se puede apreciar el comportamiento de una columna desde que es cargada rápidamente hasta la carga de servicio OA. La carga de servicio actúa por años y durante este tiempo la 412 Columnas esbeltas deflexión por fluencia y los efectos de segundo orden incrementan el momento AB. Finalmente la columna es cargada rápidamente hasta la falla (punto C). Si la columna hubiera sido cargada rápidamente hasta la falla, sin el periodo de carga sostenida, la curva hubiera sido OAD. El efecto de la carga sostenida se manifiesta en el aumento de la deflexión y con ello en el incremento del momento causando una reducción de la carga de falla desde el punto D hasta el punto C. En la recarga (línea BC), la deflexión de la columna depende de la rigidez 𝐸 ∙ 𝐼 que corresponde a la misma rigidez de la curva cuando se aplica la carga rápidamente (curva OAD). 𝑃 D A O C B Falla 𝑀 Fig. 10.19. Falla de la columna por carga “rápida – sostenida - rápida” Pandeo por fluencia Esta falla ocurre solamente bajo grandes cargas sostenidas cuya magnitud sea mayor al 70% de la capacidad de la columna bajo carga rápida representada, en la siguiente figura, por el punto D. Debido a que la magnitud de la carga sostenida tiene pocas probabilidades de exceder el factor de reducción de 0.65 resistencia 𝜙 dividido por el factor de mayoración de carga muerta ( 1.4 = 0.46) veces la capacidad de la columna, este tipo de falla no es considerada en los procedimientos de diseño del código ACI. Dos procedimientos son ampliamente utilizados para tomar en cuenta los efectos de la fluencia. En el procedimiento del módulo reducido, el valor del módulo de elasticidad 𝐸 utilizado para calcular 𝑃𝑐 es reducido para estimar de una manera aproximada la carga correcta de falla. Este procedimiento es ilustrado por la línea segmentada OC (figura 10.19). El segundo procedimiento reemplaza la columna cargada con una excentricidad 𝑒 por una cargada con excentricidad 𝑒 + Δ0,𝑐𝑟 donde Δ0,𝑐𝑟 es la deflexión por fluencia que quedaría en la columna de la figura 10.19 si ésta fuera descargada después de alcanzado el punto B. 413 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑃 D Falla O 𝑀 Fig. 10.20. Falla de la columna por carga sostenida El procedimiento del magnificador de momento del código ACI utiliza el método del módulo reducido, es por ello que la rigidez de la columna es reducida dividiéndola por el factor (1 + 𝛽𝑑𝑛𝑠 ) o (1 + 𝛽𝑑𝑠 ) en las ecuaciones (10.19), (10.20) y (10.21). El código presenta las definiciones para hallar el valor de 𝛽𝑑𝑛𝑠 o 𝛽𝑑𝑠 dependiendo de la acción de carga sostenida y del tipo de arriostramiento que presenta la columna. a) Columnas en pórticos arriostrados o doblemente articuladas 𝛽𝑑𝑛𝑠 = 𝑃𝑢 𝑠𝑜𝑠𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎 ≤ 1.0 𝑃𝑢 (10.24) Donde: 𝑃𝑢 𝑠𝑜𝑠𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎 = Máxima carga axial última que actúa en forma sostenida (carga muerta + algún porcentaje de carga viva que se estime actúe de forma permanente). 𝑃𝑢 = Máxima carga axial última asociada con la misma combinación de carga que se utilizó para calcular 𝑃𝑢 𝑠𝑜𝑠𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎 . b) 𝛽𝑑𝑠 = Columnas en pórticos no arriostrados 𝑉𝑢 𝑠𝑜𝑠𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎 ≤ 1.0 𝑉𝑢 (10.25) Donde: 𝑉𝑢 𝑠𝑜𝑠𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎 = Máximo corte último que actúa en forma sostenida a nivel del piso considerado. 𝑉𝑢 = Máximo corte último a nivel del piso considerado asociado con la misma combinación de carga que se utilizó para calcular 𝑉𝑢 𝑠𝑜𝑠𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎 . 414 Columnas esbeltas El valor de 𝛽𝑑𝑠 será normalmente cero para una estructura no arriostrada, debido a que las cargas laterales son en general de corta duración. Las deformaciones por desplazamiento lateral, ocasionadas por cargas de corto plazo (viento o sismo), están en función de la rigidez de corto plazo de las columnas a continuación de un periodo sostenido de carga por gravedad. Para este caso 𝑉𝑢 𝑠𝑜𝑠𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎 = 0 y por tanto 𝛽𝑑𝑠 = 0. En el caso inusual de una estructura no arriostrada con cargas laterales sostenidas, 𝛽𝑑𝑠 ≠ 0. Esta situación podría suceder cuando hay cargas laterales permanentes de la presión desigual del terreno en los dos lados de una edificación. Los valores de 𝛽𝑑𝑠 y 𝛽𝑑𝑛𝑠 no deberían superar la unidad, caso contrario se debe revisar el diseño porque la reducción en la rigidez de las columnas por efecto de las cargas axiales permanentes, en pórticos arriostrados, o por las cargas laterales permanentes, en pórticos no arriostrados, es muy grande. 10.5. Límites de esbeltez para columnas esbeltas La mayoría de las columnas son suficientemente cortas y macizas, por lo que tienen una adecuada sección transversal para no ser afectadas por los efectos de esbeltez. La sección 6.2.5 del código ACI permite que los efectos de esbeltez sean ignorados en el caso de columnas doblemente articuladas o columnas en pórticos arriostrados si se cumple con la siguiente inecuación: 𝑘 ∙ ℓ𝑢 𝑀1 ≤ 34 + 12 ∙ ≤ 40 𝑟 𝑀2 (10.26) 𝑘 = Factor de longitud efectiva para el elemento en compresión. ℓ𝑢 = Longitud no arriostrada del elemento en compresión. 𝑟 = Radio de giro de la sección transversal del elemento en compresión. 𝑟 = 0.30 · ℎ 𝑟 = 0.25 · ℎ 𝐼 𝑟 = √𝐴 Para sección rectangular Para sección circular Para cualquier tipo de sección 𝑀1 = El menor momento de los momentos de extremo del elemento en compresión. 𝑀2 = El mayor momento de los momentos de extremo del elemento en compresión. 𝑀1 = − (Negativo si el elemento se dobla en simple curvatura). 𝑀2 𝑀1 = + (Positivo si el elemento se dobla en doble curvatura). 𝑀2 El código ACI, en su capítulo 6, presenta métodos de análisis, modelos analíticos de miembros y sistemas estructurales y los efectos producidos por las cargas. Dentro de este mismo capítulo, el código presenta ciertos acápites dedicados exclusivamente al tema de columnas esbeltas, por lo que en el siguiente párrafo se realiza un resumen conciso de los acápites del código que tratan de los efectos de segundo orden en elementos a compresión de modo que el lector pueda referirse a ellos para ampliar sus conocimientos. La sección 6.6.4 del código ACI describe un procedimiento aproximado de diseño que utiliza el concepto del magnificador de momentos para tomar en cuenta los efectos de esbeltez en columnas. Los momentos 415 Diseño de estructuras de hormigón armado calculados utilizando un análisis de pórtico de primer orden son multiplicados por un magnificador de momento que está en función de la carga axial última 𝑃𝑢 y la carga crítica de pandeo 𝑃𝑐 para la columna bajo análisis. Los pórticos arriostrados y no arriostrados son tratados en forma separada en las secciones 6.6.4.5 y 6.6.4.6 respectivamente. Un análisis de pórtico de primer orden es un análisis elástico realizado en la geometría original de la estructura y que no incluye los efectos de las fuerzas internas que resultan de los desplazamientos y deformaciones de la estructura. 10.6. Límite de los efectos de segundo orden Si el peso de una estructura es alto, con relación a su rigidez lateral, entonces los efectos 𝑃 ∙ ∆ pueden ser excesivos con momentos secundarios mayores al 25% de los momentos primarios y ello puede introducir singularidades en la solución de las ecuaciones de equilibrio, indicando inestabilidad física de la estructura. Con base a investigaciones analíticas realizadas sobre estructuras de hormigón armado se halló que la probabilidad de que una estructura falle aumenta rápidamente cuando el índice de estabilidad 𝑄 excede 0.2, lo que es equivalenrte a una relación de 1.25 entre el momento total y el momento de primer orden. El código ACI en su sección 6.2.6 limita los momentos totales, incluyendo los efectos de segundo orden, en los elementos en compresión, vigas de restricción u otros elementos estructurales a 1.4 veces los momentos debidos a los efectos de primer orden. En la sección 10.13.6, de la edición 2005 del código ACI, existía una verificación de estabilidad que ya no es requerida debido a la imposición de un límite superior al valor del momento secundario. 10.7. Resumen del diseño de columnas esbeltas en pórticos arriostrados a) Longitud de la columna. Se calcula la distancia libre ℓ𝑢 entre los elementos que son capaces de dar soporte lateral a la columna, como por ejemplo las losas o vigas. b) Longitud efectiva. Para columnas en pórticos arriostrados el factor de longitud efectiva 𝑘 es menor o igual a la unidad, pero como valor conservador para el diseño se puede adoptar siempre la unidad. La longitud efectiva de una columna 𝑘 ∙ ℓ𝑢 es definida como la longitud de una columna equivalente doblemente articulada que tiene la misma carga de pandeo. El valor de 𝑘 para una columna elástica está en Ψ de las vigas y las columnas en cada extremo de la columna. 416 función de la rigidez relativa Columnas esbeltas 𝐸𝑐 ∙ 𝐼𝑐 ℓ𝑐 Ψ= 𝐸 ∙𝐼 ∑ 𝑏 𝑏 ℓ𝑏 ∑ (10.27) Donde: 𝐸𝑐 = Módulo de elasticidad del material de la columna. 𝐼𝑐 = Momento de inercia de la columna. ℓ𝑐 = Longitud de la columna medida de centro a centro de los nudos del pórtico. 𝐸𝑏 = Módulo de elasticidad del material de la viga. 𝐼𝑏 = Momento de inercia de la viga. ℓ𝑏 = Longitud de la viga medida de centro a centro de los nudos del pórtico. Los valores de la rigidez 𝐸 ∙ 𝐼 para vigas y columnas pueden ser calculados considerando las recomendaciones que se indican en la sección 6.6.3.1.1 del código ACI y que se encuentran resumidas en la tabla presentada en el acápite 10.4.6 del presente capítulo. Se recomienda considerar, para todos los casos, el valor de cero para el factor 𝛽𝑑 . Teórico Práctico Tipo de apoyo Ψ=0 Ψ=1 Extremo empotrado Ψ=∞ Ψ = 10 Extremo articulado Con los valores de Ψ calculados para ambos extremos de la columna, se entra al nomograma correspondiente a pórticos arriostrados y se halla el valor de 𝑘. Pórticos arriostrados 0.5 ≤ 𝑘 ≤ 1.0 En la práctica 𝑘 ≥ 0.6 para columnas en pórticos arriostrados. Los nomogramas fueron derivados considerando una columna típica interior de un pórtico infinitamente alto y largo en el cual todas las columnas tienen la misma sección y longitud al igual que las vigas. Cargas iguales son aplicadas en la parte superior de cada una de las columnas, mientras las vigas se mantienen descargadas. Se asume que todas las columnas pandean al mismo tiempo. Como resultado de estas suposiciones poco reales, los nomogramas tienden a subestimar el valor de 𝑘 para pórticos elásticos de dimensiones prácticas hasta en un 15% y esto subestima los momentos magnificados 𝑀𝑐 . Pórticos no arriostrados 1.0 ≤ 𝑘 ≤ ∞ En la práctica 𝑘 ≥ 1.2 para columnas en pórticos no arriostrados. c) Determinación del grado de arriostramiento del pórtico. Una columna puede ser considerada como arriostrada en una dirección dada si la estabilidad lateral de la estructura como conjunto está asegurada por muros, riostras, etc. diseñados para resistir todas las fuerzas laterales en esa dirección. Una columna no está arriostrada en una dirección si toda la resistencia de la estructura a cargas laterales es dada por la flexión de las columnas. 417 Diseño de estructuras de hormigón armado En la realidad no existe un pórtico completamente arriostrado y tampoco una frontera clara entre pórticos no arriostrados y arriostrados. Para propósitos de diseño, un piso o un pórtico pueden considerarse arriostrados si los desplazamientos horizontales no reducen significativamente la capacidad de la estructura para resistir cargas verticales. Como el procedimiento de diseño del magnificador de momento del código ACI toma en cuenta la esbeltez de las columnas incrementando los momentos, este criterio puede ser definido de la siguiente manera: Un pórtico puede ser considerado “arriostrado” si los momentos 𝑃 ∙ Δ debido a las deflexiones laterales son pequeños comparados con los momentos de primer orden debido a las cargas laterales. La sección 6.6.4.3(a) del código ACI permite a los diseñadores asumir que un pórtico es arriostrado si el incremento en los momentos de extremo de las columnas debido a los efectos de segundo orden no excede en 5% a los momentos de primer orden. Esta verificación debe ser realizada en los extremos de las columnas donde el momento magnificado es mayor. De manera alternativa la sección 6.6.4.3(b) del código ACI permite asumir que un piso en un pórtico es arriostrado si: 𝑄= ∑ 𝑃𝑢 ∙ ∆0 ≤ 0.05 𝑉𝑢𝑠 ∙ ℓ𝑐 (10.28) Donde: ∑ 𝑃𝑢 = Carga vertical total en todas las columnas y muros del piso en cuestión. 𝑉𝑢𝑠 = Corte horizontal mayorado del piso. ∆0 = Deflexión relativa de primer orden entre la parte superior e inferior de ese piso debido a 𝑉𝑢𝑠 . ℓ𝑐 = Altura del piso medido de centro a centro de los nudos encima y debajo del piso. También se puede determinar si un pórtico o piso es arriostrado comparando la rigidez total lateral de todas las columnas en un piso con la rigidez de los arriostramientos como muros, cajas de ascensores, etc., tal como lo sugiere el código ACI en su sección R6.6.4.1. La sección 6.2.5 del ACI permite considerar que las columnas de un piso están arriostradas contra desplazamientos laterales si se cumple lo siguiente: ∑ 𝑘1 𝑅𝑖𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 ≥ 12.0 ∑ 𝑘1 𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 𝑘1 = 𝑉 ∆ Donde: 𝑉 = Corte en el elemento. ∆= Desplazamiento lateral relativo entre los extremos de la columna debido al corte. d) Radio de giro. Se calcula el radio de giro de la sección transversal de la columna en la dirección estudiada. 418 (10.29) (10.30) Columnas esbeltas Para una sección rectangular Para una sección circular 𝑟 = 0.30 ∙ ℎ 𝑟 = 0.25 ∙ ℎ Para cualquier sección 𝑟 = √𝐴𝑔 𝐼 𝑔 e) Consideraciones de los efectos de esbeltez. Para columnas en pórticos arriostrados, el código ACI en su sección 6.2.5 permite despreciar los efectos de esbeltez si: 𝑘 ∙ ℓ𝑢 𝑀1 ≤ 34 + 12 ∙ ≤ 40 𝑟 𝑀2 (10.26) 𝑀1 = − Simple curvatura 𝑀2 𝑀1 = + Doble curvatura 𝑀2 En columnas de pórticos no arriostrados, la sección 6.2.5 del código ACI permite despreciar los efectos de esbeltez si 𝑘∙ℓ𝑢 ≤ 22. 𝑟 f) Momento mínimo. Para columnas en pórticos arriostrados, el momento de extremo mayor 𝑀2 no debe ser menor a: 𝑀2 𝑚𝑖𝑛 = 𝑃𝑢 ∙ (15 + 0.03 ∙ ℎ) (10.31) Donde: ℎ = Canto de la sección transversal en [𝑚𝑚]. La verificación de la ecuación anterior debe ser realizada para cada eje por separado, para asegurar de esa manera que la columna tiene, por lo menos, la capacidad de soportar el momento mínimo requerido por el código. Para los elementos en que 𝑀2 𝑚𝑖𝑛 excede a 𝑀2 , el valor de 𝐶𝑚 en la ecuación (10.18) debe ser igual a 1.0 o calcularse con base a la relación de los momentos calculados en los extremos 𝑀1 . 𝑀2 g) Ecuación del magnificador de momento. La sección 6.6.4.5 del código ACI indica que las columnas en pórticos arriostrados deben ser diseñadas para la carga axial mayorada 𝑃𝑢 y un momento mayorado magnificado 𝑀𝑐 dado por: 𝑀𝑐 = 𝛿 ∙ 𝑀2 (10.32) Donde: 𝑀2 = Es el momento de extremo mayor. 419 Diseño de estructuras de hormigón armado = Factor de amplificación de momento para tener en cuenta los efectos de la curvatura entre los extremos del elemento en compresión. 𝛿= 𝐶𝑚 ≥ 1.0 𝑃𝑢 1− 0.75 ∙ 𝑃𝑐 𝐶𝑚 = 0.6 − 0.4 ∙ 𝑀1 𝑀2 (10.33) (10.18) 𝑀1 = - (Negativo si la columna se dobla en simple curvatura) 𝑀2 𝑀1 = + (Positivo si la columna se dobla en doble curvatura) 𝑀2 𝜋 2 ∙ (𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 𝑃𝑐 = (𝑘 ∙ ℓ𝑢 )2 (10.17) (𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 = 0.2 ∙ 𝐸𝑐 ∙ 𝐼𝑔 + 𝐸𝑠 ∙ 𝐼𝑠𝑒 1 + 𝛽𝑑𝑛𝑠 (10.19) (𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 = 0.4 ∙ 𝐸𝑐 ∙ 𝐼𝑔 1 + 𝛽𝑑𝑛𝑠 (10.20) (𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 = 𝐸𝑐 ∙ 𝐼 1 + 𝛽𝑑𝑛𝑠 (10.21) El término 𝛽𝑑𝑛𝑠 para elementos a compresión en pórticos arriostrados se calcula con la siguiente ecuación: 𝛽𝑑𝑛𝑠 = 𝑃𝑢 𝑠𝑜𝑠𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎 ≤ 1.0 𝑃𝑢 (10.24) Los valores recomendados para 𝐸 ∙ 𝐼 en la sección 6.6.3.1.1 del código ACI y resumidos en la tabla del acápite 10.4.6 del presente texto no pueden ser utilizados para el cálculo de 𝑃𝑐 . Estos valores representan el promedio de los valores de 𝐸 ∙ 𝐼 para un piso entero y deben ser utilizados para un análisis estructural de primer y/o segundo orden. Si 𝑃𝑢 > 0.75 ∙ 𝑃𝑐 entonces 𝛿 será negativo, por lo tanto se debe aumentar la sección transversal. Si 𝛿 > 1.4 se debe aumentar la sección transversal de la columna debido a que los cálculos llegan a ser muy sensibles a las suposiciones realizadas. El código en su sección 6.2.6 indica que los momentos totales, incluyendo los efectos de segundo orden, de elementos en compresión, vigas de restricción u otros elementos estructurales no deben exceder 1.4 veces los momentos debidos a los efectos de primer orden. 420 Columnas esbeltas h) Seleccionar el refuerzo para la columna. Con base a los diagramas de interacción de columnas cortas se determina si la sección es capaz de resistir la carga 𝑃𝑢 y el momento 𝑀𝑐 . Ejemplo. El pórtico de la figura es un pórtico típico de un edificio industrial que se repite cada 6.0 [𝑚]. Diseñar las columnas CD y DE, considerando que el hormigón tiene un resistencia característica a los 28 días de 20 [𝑀𝑃𝑎] y el acero una tensión mínima de fluencia de 420 [𝑀𝑃𝑎]. Cargas de servicio: Columna CD 𝑃𝐷 = 356 [𝑘𝑁] 𝑃𝐿 = 107 [𝑘𝑁] Columna DE 𝑃𝐷 = 222 [𝑘𝑁] 𝑃𝐿 = 62 [𝑘𝑁] 200 106 365.6 600 400 E F 400 6700 Sección A - A A B A D 600 79 146 5500 A C 58 9100 7600 𝑀𝑢 [𝑘𝑁𝑚] 598.4 𝑃𝑢 [𝑘𝑁] Columnas ED y DC 421 Diseño de estructuras de hormigón armado a) Determinar las cargas en las columnas mediante un análisis estructural. Después de realizado el análisis estructural del pórtico se obtienen los momentos y cargas axiales mayoradas en las columnas ED y DC como se muestra en la figura. b) Escoger la dimensión preliminar de la columna. Se estima la dimensión para la columna CD puesto que es la más solicitada y se utiliza la misma sección transversal para la columna DE. 𝑃𝑢 = 1.2 · 356 + 1.6 · 107 = 598.4 [𝑘𝑁] 𝑃 𝑢 𝐴𝑔 ≥ 7.5 [𝑚𝑚2 ] donde 𝑃𝑢 debe estar en [𝑁] 𝐴𝑔 ≥ 598400 = 79787 [𝑚𝑚2 ] ≈ 290 [𝑚𝑚]𝑥290 [𝑚𝑚] 7.5 Como la columna tiene momentos significativos escogemos, como primera alternativa, una columna cuadrada de 350𝑥350 [𝑚𝑚2 ]. c) Se determina si las columnas son esbeltas. Columna CD ℓ𝑢 = 5.50 [𝑚] 𝑟 = 0.3 ∙ ℎ = 0.3 · 0.35 = 0.105 [𝑚] 𝑘 =? 𝐸𝑐 ∙ 𝐼𝑐 𝐼 ∑ 𝑐 ℓ𝑐 ℓ𝑐 Ψ= = 𝐸 ∙𝐼 𝐼 ∑ 𝑏 𝑏 ∑ 𝑏 ℓ𝑏 ℓ𝑏 ∑ 𝐼𝑏 = 0.35 ∙ 𝐼𝑔 = 0.35 ∙ 1 ∙ 0.40 ∙ 0.603 = 0.00252 [𝑚4 ] 12 𝐼𝑐 = 0.70 ∙ 𝐼𝑔 = 0.70 ∙ 1 ∙ 0.353 = 0.000875 [𝑚4 ] 12 0.000875 0.000875 + 7.30 Ψ𝑠𝑢𝑝 = 5.80 = 0.98 0.00252 9.10 422 Columnas esbeltas Ψ𝑖𝑛𝑓 = 10 𝑘 = 0.86 𝑘 ∙ ℓ𝑢 0.86 ∙ 5.50 = = 45 𝑟 0.105 𝑀1 58 34 + 12 ∙ ( ) = 34 + 12 ∙ ( ) = 38.8 𝑀2 146 Como 45 > 38.8 la columna es esbelta. Columna DE ℓ𝑢 = 6.70 [𝑚] 𝑟 = 0.105 [𝑚] 𝑘 =? 0.000875 Ψ𝑠𝑢𝑝 = 7.30 = 0.36 0.00252 7.60 Ψ𝑖𝑛𝑓 = 0.98 𝑘 = 0.71 𝑘 ∙ ℓ𝑢 0.71 ∙ 6.70 = = 45.3 𝑟 0.105 𝑀1 79 34 + 12 ∙ ( ) = 34 + 12 ∙ (− ) = 25.1 𝑀2 106 Como 45.3 > 25.1 la columna es esbelta. 423 Diseño de estructuras de hormigón armado Columna CD Columna DE E B D A d) F Forma en que pandea la estructura C Verificar si los momentos son menores al mínimo. La sección 6.6.4.5.4 del código ACI requiere que las columnas esbeltas arriostradas sean diseñadas para una mínima excentricidad de (15 + 0.03 · ℎ) [𝑚𝑚]. Para una columna de 350 [𝑚𝑚] esto es 25.5 [𝑚𝑚]. 424 Columnas esbeltas Columna CD 𝑀2 𝑚𝑖𝑛 = 𝑃𝑢 ∙ 𝑒𝑚𝑖𝑛 = 598.4 ∙ Columna DE 𝑀2 𝑚𝑖𝑛 = 𝑃𝑢 ∙ 𝑒𝑚𝑖𝑛 = 365.6 ∙ 25.5 = 15.26 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] 1000 25.5 = 9.32 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] 1000 Como los momentos actuantes exceden los momentos mínimos 𝑀2 𝑚𝑖𝑛 , éstos no son tomados en cuenta. e) Calcular 𝐸 ∙ 𝐼. 0.4 ∙ 𝐸𝑐 ∙ 𝐼𝑔 1 + 𝛽𝑑𝑛𝑠 𝐸𝑐 = 4700 ∙ √𝑓𝑐′ = 𝐸𝑐 = 4700 ∙ √20 = 21019 [𝑀𝑃𝑎] 1 𝐼𝑔 = ∙ 3504 = 1250520833 [𝑚𝑚4 ] 12 (𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 = Columna CD 𝛽𝑑𝑛𝑠 = 1.2 ∙ 356 427.2 1.2 ∙ 𝑃𝑐𝑚 = = = 0.714 ≤ 1.0 1.2 ∙ 356 + 1.6 ∙ 107 598.4 𝑃𝑢 (𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 = 0.4 ∙ 21019 ∙ 1250520833 = 6.13 ∙ 1012 [𝑁 ∙ 𝑚𝑚2 ] 1 + 0.714 Columna DE 𝛽𝑑𝑛𝑠 = 1.2 ∙ 𝑃𝑐𝑚 1.2 ∙ 222 266.4 = = = 0.729 ≤ 1.0 𝑃𝑢 1.2 ∙ 222 + 1.6 ∙ 62 365.6 (𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 = f) 0.4 ∙ 21019 ∙ 1250520833 = 6.08 ∙ 1012 [𝑁 ∙ 𝑚𝑚2 ] 1 + 0.729 Calcular el momento magnificado. 𝑀𝑐 = · 𝑀2 𝛿= 𝐶𝑚 ≥ 1.0 𝑃𝑢 1− 0.75 ∙ 𝑃𝑐 Límites del magnificador de momentos 1.0 ≤ 𝛿 ≤ 1.4 425 Diseño de estructuras de hormigón armado Columna CD 𝑀1 58 = 0.6 − 0.4 ∙ ( ) = 0.44 𝑀2 146 𝜋 2 ∙ (𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 𝜋 2 ∙ 6.13 ∙ 1012 𝑃𝑐 = = = 2704195 [𝑁] = 2704.20 [𝑘𝑁] (𝑘 ∙ ℓ𝑢 )2 (0.86 ∙ 5500)2 0.44 𝛿= = 0.62 598.4 1− 0.75 ∙ 2704.20 𝐶𝑚 = 0.6 − 0.4 ∙ Como 𝛿 ≤ 1.0, entonces se adopta el valor de 1.0 La columna CD es diseñada para las siguientes solicitaciones: 𝑃𝑢 = 598.4 [𝑘𝑁] 𝑀𝑢 = 𝑀𝑐 = 146 [𝑘𝑁𝑚] Columna DE 𝑀1 79 = 0.6 − 0.4 ∙ (− ) = 0.90 𝑀2 106 𝜋 2 ∙ (𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 𝜋 2 ∙ 6.08 ∙ 1012 = = 2651777 [𝑁] = 2651.78 [𝑘𝑁] 𝑃𝑐 = (𝑘 ∙ ℓ𝑢 )2 (0.71 ∙ 6700)2 0.90 𝛿= = 1.10 365.6 1− 0.75 ∙ 2651.78 𝐶𝑚 = 0.6 − 0.4 ∙ Como 1.0 ≤ 𝛿 ≤ 1.4, entonces no es necesario modificar ese valor Esta columna es afectada por su esbeltez 𝑀𝑐 = 1.10 ∙ 106 = 116.6 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] La columna DE es diseñada para las siguientes solicitaciones: 𝑃𝑢 = 365.6 [𝑘𝑁] 𝑀𝑢 = 𝑀𝑐 = 116.6 [𝑘𝑁𝑚] g) Seleccionar el refuerzo de acero. Para hallar el refuerzo de acero se elaboran diagramas de interacción para una columna cuadrada de 350𝑥350 con las siguientes distribuciones de acero: 4𝜙25, 6𝜙22, 6𝜙25 y 10𝜙22. Después de analizar los diagramas de interacción se decide finalmente utilizar para la columna CD 10𝜙22 y para la columna DE 6𝜙22. Columna CD: 350𝑥350 con 10𝜙22 Columna DE: 350𝑥350 con 6𝜙22 426 Columnas esbeltas DIAGRAMA DE INTERACCION COLUMNA DE 350x350 CON 4f25 2000 1500 Resistencia Nominal de Diseño fPn [kN] 1000 500 0 (117, 366) 0 20 40 60 80 100 120 140 -500 -1000 fMn [kN·m] 427 Diseño de estructuras de hormigón armado DIAGRAMA DE INTERACCION COLUMNA DE 350x350 CON 6f22 2000 1500 Resistencia Nominal de Diseño fPn [kN] 1000 500 0 (117, 366) 0 20 40 60 80 -500 -1000 fMn [kN·m] 428 100 120 140 160 Columnas esbeltas DIAGRAMA DE INTERACCION COLUMNA DE 350x350 CON 6f25 2000 1500 Resistencia Nominal de Diseño 1000 fPn [kN] (146, 598) 500 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 -500 -1000 -1500 fMn [kN·m] 429 Diseño de estructuras de hormigón armado DIAGRAMA DE INTERACCION COLUMNA DE 350x350 CON 10f22 2500 2000 Resistencia Nominal de Diseño 1500 1000 fPn [kN] (146, 598) 500 0 0 50 100 -500 -1000 -1500 -2000 fMn [kN·m] 430 150 200 250 Columnas esbeltas 10.8. Comportamiento de las columnas en pórticos no arriostrados 10.8.1. Estática de pórticos no arriostrados ∆ 𝑃1 Articulaciones 𝑃2 𝐻 ) ) 𝐿 ( ( 𝐻 Momentos en las columnas en un pórtico no arriostrado Momento 𝐻 ∙ 𝐿 Momento 𝑃 ∙ ∆ Efecto de articulaciones en las vigas Fig. 10.21. Estática de pórticos no arriostrados La suma de los momentos en la parte superior e inferior de todas las columnas debe equilibrar el momento por carga lateral 𝐻 · 𝐿 más los momentos por cargas verticales ∑ 𝑃 ∙ ∆. Por lo tanto: ∑(𝑀𝑠𝑢𝑝 + 𝑀𝑖𝑛𝑓 ) = 𝐻 ∙ 𝐿 + ∑ 𝑃 ∙ ∆ (10.34) En el pórtico de la figura es importante notar que ambas columnas tienen un mismo desplazamiento ∆ lateral. Por esta razón, no es posible considerar las columnas independientemente en un pórtico no arriostrado cuando se considera el desplazamiento lateral del mismo. Si en un pórtico no arriostrado existen columnas articuladas, como puede ser el caso de edificios construidos con elementos prefabricados, las cargas verticales que actúan sobre estas columnas son incluidas en la ∑ 𝑃 en las siguientes ecuaciones: 𝑄= ∑ 𝑃𝑢 ∙ ∆0 ≤ 0.05 𝑉𝑢𝑠 ∙ ℓ𝑐 ∑(𝑀𝑠𝑢𝑝 + 𝑀𝑖𝑛𝑓 ) = 𝐻 ∙ 𝐿 + ∑ 𝑃 ∙ ∆ (10.28) (10.35) Estas columnas son referidas como columnas apoyadas porque dependen del pórtico para su estabilidad. 431 Diseño de estructuras de hormigón armado En el marco de la figura anterior se observa que los momentos debidos a carga lateral y a los 𝑃 · ∆ pueden añadirse directamente porque los máximos de ambos ocurren en los extremos de las columnas. Por esta razón, el factor equivalente del momento 𝐶𝑚 no se aplica para columnas no arriostradas. Por otro lado el máximo momento es: 𝑀𝑐 = 𝑃 𝑀0 ∙ (1 − 0.18 ∙ 𝑃 ) 𝑃 1−𝑃 𝐸 𝐸 (10.36) 𝑃 El término (1 − 0.18 ∙ 𝑃 ) refleja la forma del diagrama de momentos de primer orden (triangular), el cual 𝐸 difiere del rectangular hallado para la columna doblemente articulada arriostrada. El código ACI omite este término, lo cual es conservador. Es también importante notar que si articulaciones se forman en los extremos de las vigas del marco de la figura, este se vuelve inestable. Por lo tanto, las vigas deben resistir el momento total magnificado de los extremos de las columnas para que el marco se mantenga estable. Las cargas que producen desplazamiento lateral rara vez son sostenidas a menos que éstas provengan de las reacciones horizontales de arcos, pórticos que resisten empuje lateral de tierras, etc. Si una carga sostenida actúa sobre una estructura no arriostrada, las deflexiones se incrementan con el tiempo, lo cual incrementa directamente los momentos 𝑃 · ∆. Este proceso es muy sensible a variaciones pequeñas en las propiedades de los materiales y cargas. Por lo tanto, toda estructura sometida a cargas laterales sostenidas debería ser arriostrada. Más aún, se debería siempre utilizar estructuras arriostradas cuando sea posible sin importar si las cargas laterales son de corta duración o sostenidas. 10.8.2. Diseño de columnas en pórticos no arriostrados La sección 6.2.5 del código ACI constituye la sección donde se estudian los efectos de esbeltez de los elementos a compresión. En la sección 6.2.6 del ACI se indica claramente que, cuando los efectos de esbeltez no pueden ser ignorados como lo permite la sección 6.2.5 del mismo código, todo elemento a compresión, viga de restricción o elemento de soporte debe ser diseñado considerando las cargas últimas provenientes de un análisis de segundo orden. Para el análisis de segundo orden se debe tomar en cuenta el comportamiento no lineal del material, agrietamiento del elemento, efectos de la curvatura y deformaciones del elemento, duración de las cargas, cambios volumétricos del elemento por retracción y fluencia y finalmente la interacción con la fundación. Como alternativa, la sección 6.6.4 permite que el diseño de los mencionados elementos pueda ser realizado utilizando un procedimiento aproximado basado en un magnificador de momentos descrito en las subsiguientes secciones 6.6.4.5 y 6.6.4.6 del código ACI. La sección 6.2.5 del código presenta requerimientos generales para el diseño de columnas esbeltas en pórticos arriostrados y no arriostrados, mientras que en la sección 6.6.4 se exponen métodos para definir si una columna es arriostrada o no arriostrada. Si la columna es arriostrada, el diseño se enmarca en la sección 6.6.4.5, caso contrario se utiliza la sección 6.6.4.6. 432 Columnas esbeltas Las columnas sujetas a desplazamiento lateral generalmente son parte de un sistema estructural que incluye vigas y losas. Una losa de piso es normalmente muy rígida en su propio plano, por lo que todas las columnas en un determinado nivel están sujetas aproximadamente a los mismos desplazamientos laterales. En otras palabras, para que ocurra un desplazamiento lateral en un determinado nivel de la estructura se debe producir un desplazamiento simultáneo de todas las columnas del mismo nivel. Por tanto, en el modo traslacional, todas las columnas de ese nivel deben ser consideradas para evaluar los efectos de esbeltez en pórticos no arriostrados. Es también posible para una columna individual, en un pórtico no arriostrado, pandear aisladamente bajo cargas gravitacionales, puesto que los extremos de la columna pueden ser arriostrados por otras columnas, del mismo nivel, pero que son mucho más rígidas. Esta posibilidad de pandeo en la cual se debe magnificar los momentos debidos a cargas gravitacionales debe ser también investigada para el análisis y diseño de columnas esbeltas en pórticos no arriostrados. El procedimiento del magnificador de momento puede ser todavía utilizado, pero en pórticos no arriostrados se debe separar las cargas actuantes en dos categorías: cargas que no producen un desplazamiento lateral significativo y cargas que producen un desplazamiento lateral significativo. Por tanto, dos análisis de la estructura son necesarios para tomar en cuenta los dos tipos de carga. En general, las cargas gravitacionales que actúan en una estructura más o menos simétrica producirán muy poco desplazamiento lateral y es razonable colocar a éstas cargas en la primera categoría. Por otro lado, las cargas de viento o sismo, que por su naturaleza son principalmente cargas horizontales se las coloca en la segunda categoría, porque éstas son las que producen el mayor desplazamiento lateral de la estructura. Los momentos máximos magnificados producidos por cargas laterales se localizan en los extremos de la columna, mientras que los producidos por cargas gravitacionales se encuentran cerca a la mitad de su altura. Debido a que los momentos magnificados gravitacionales y los momentos magnificados por cargas laterales no se localizan en los mismos puntos, se puede concluir que, en la mayoría de los casos, no se debería magnificar los momentos por cargas gravitacionales cuando se consideran los momentos por cargas laterales. Por tanto, es poco probable que el momento máximo exceda la suma del momento no magnificado gravitacional y el momento magnificado por cargas laterales. De acuerdo a ese razonamiento, el código ACI en su sección 6.6.4.6 indica que los momentos 𝑀1 y 𝑀2 en los extremos de un elemento individual sometido a compresión deben ser tomados como: 𝑀1 = 𝑀1𝑛𝑠 + 𝛿𝑠 · 𝑀1𝑠 (10.37) 𝑀2 = 𝑀2𝑛𝑠 + 𝑠 · 𝑀2𝑠 (10.38) Donde: 𝑀1 = Menor momento mayorado de extremo en el elemento a compresión. 𝑀2 = Mayor momento mayorado de extremo en el elemento a compresión. 𝑀1𝑛𝑠 = Momento mayorado en el extremo del elemento a compresión donde 𝑀1 actúa, debido a cargas que no causan un desplazamiento apreciable, calculado utilizando un análisis elástico de primer orden. 433 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑀2𝑛𝑠 = Momento mayorado en el extremo del elemento a compresión donde 𝑀2 actúa, debido a cargas que no causan un desplazamiento apreciable, calculado utilizando un análisis elástico de primer orden. 𝑀1𝑠 = Momento mayorado en el extremo del elemento a compresión donde 𝑀1 actúa, debido a cargas que causan un desplazamiento apreciable, calculado utilizando un análisis elástico de primer orden. 𝑀2𝑠 = Momento mayorado en el extremo del elemento a compresión donde 𝑀2 actúa, debido a cargas que causan un desplazamiento apreciable, calculado utilizando un análisis elástico de primer orden. 𝛿𝑠 = Factor de amplificación del momento en pórticos no arriostrados contra desplazamiento lateral, para tomar en cuenta el desplazamiento lateral originado por las cargas laterales y gravitacionales. 10.9. Resumen del diseño de columnas esbeltas en pórticos no arriostrados a) Momentos intraslacionales 𝑀𝑛𝑠 . Calcular los momentos intraslacionales 𝑀𝑛𝑠 que resultan de las cargas que no producen una desviación lateral significativa. Esto se realiza con un análisis elástico de primer orden considerando, para todos los elementos, las rigideces dadas en la sección 6.6.3.1.1 del código ACI y que están resumidas en el acápite 10.4.6 del presente texto. En las combinaciones de carga que consideran viento se anula su efecto. 𝑈 = 1.2 ∙ 𝐷 + 1.6 ∙ (𝐿𝑟 𝑜 𝑆 𝑜 𝑅) + (1.0 ∙ 𝐿 𝑜 0.5 ∙ 𝑊) Los momentos 𝑀𝑛𝑠 resultarán de 1.2 ∙ 𝐷 + 1.6 ∙ (𝐿𝑟 𝑜 𝑆 𝑜 𝑅) + 1.0 ∙ 𝐿 (1.3) 𝑈 = 1.2 ∙ 𝐷 + 1.0 ∙ 𝑊 + 1.0 ∙ 𝐿 + 0.5 ∙ (𝐿𝑟 𝑜 𝑆 𝑜 𝑅) Los momentos 𝑀𝑛𝑠 resultarán de 1.2 ∙ 𝐷 + 1.0 ∙ 𝐿 + 0.5 ∙ (𝐿𝑟 𝑜 𝑆 𝑜 𝑅) (1.4) 𝑈 = 0.9 ∙ 𝐷 + 1.0 ∙ 𝑊 (1.6) Los momentos 𝑀𝑛𝑠 resultarán de 0.9 ∙ 𝐷 b) Momentos traslacionales magnificados 𝑠 · 𝑀𝑠 . Calcular los momentos magnificados traslacionales 𝑠 · 𝑀𝑠 considerando alguno de los tres procedimientos descritos en las secciones 6.8, 6.7 o 6.6 del código ACI. Para las combinaciones de carga señaladas en a) los momentos 𝑀𝑠 resultan de las siguientes cargas: 𝑈 = 1.4 ∙ 𝐷 Los momentos 𝑀𝑠 resultarán de 1.4 · 𝐹 si 𝐹 está presente y produce desplazamiento lateral (1.1) 𝑈 = 1.2 ∙ 𝐷 + 1.6 ∙ 𝐿 + 0.5 ∙ (𝐿𝑟 𝑜 𝑆 𝑜 𝑅) (1.2) Los momentos 𝑀𝑠 resultarán de 1.2 · 𝐹 + 1.6 · 𝐻 si 𝐹 y 𝐻 están presentes y ambas producen desplazamiento lateral en el mismo sentido 434 Columnas esbeltas 𝑈 = 1.2 ∙ 𝐷 + 1.6 ∙ (𝐿𝑟 𝑜 𝑆 𝑜 𝑅) + (1.0 ∙ 𝐿 𝑜 0.5 ∙ 𝑊) Los momentos 𝑀𝑠 resultarán de 0.5 ∙ 𝑊 (1.3) 𝑈 = 1.2 ∙ 𝐷 + 1.0 ∙ 𝑊 + 1.0 ∙ 𝐿 + 0.5 ∙ (𝐿𝑟 𝑜 𝑆 𝑜 𝑅) Los momentos 𝑀𝑠 resultarán de 1.0 · 𝑊 (1.4) 𝑈 = 1.2 ∙ 𝐷 + 1.0 ∙ 𝐸 + 1.0 ∙ 𝐿 + 0.2 ∙ 𝑆 Los momentos 𝑀𝑠 resultarán de 1.0 · 𝐸 (1.5) 𝑈 = 0.9 ∙ 𝐷 + 1.0 ∙ 𝑊 (1.6) Los momentos 𝑀𝑠 resultarán de 1.0 · 𝑊 + 1.6 ∙ 𝐻 si 𝐻 está presente y produce desplazamiento lateral 𝑈 = 0.9 ∙ 𝐷 + 1.0 ∙ 𝐸 (1.7) Los momentos 𝑀𝑠 resultarán de 1.0 · 𝐸 + 1.6 · 𝐻 si 𝐻 está presente y produce desplazamiento lateral Cuando la carga de viento 𝑊 corresponda a cargas de viento a nivel de servicio, se debe utilizar 1.6 ∙ 𝑊 en vez de 1.0 ∙ 𝑊 en las ecuaciones (1.4) y (1.6) y 0.8 ∙ 𝑊 en lugar de 0.5 ∙ 𝑊 en la ecuación (1.3). Cuando la carga de terremoto 𝐸 está basada en fuerzas sísmicas para el nivel de servicio, entonces se debe utilizar 1.4 ∙ 𝐸 en vez de 1.0 ∙ 𝐸 en las ecuaciones de (1.5) y (1.7). De acuerdo a las cargas que estén presentes en la estructura se seleccionan las posibles combinaciones y de ahí se obtienen las cargas que producen desplazamiento lateral de la estructura. En orden decreciente de precisión los procedimientos para calcular 𝑠 · 𝑀𝑠 son: Cálculo de 𝒔 · 𝑴𝒔 utilizando un análisis de segundo orden. La sección R6.7.1.2 del código ACI permite utilizar programas computacionales de segundo orden para evaluar la magnificación de los momentos extremos y recomienda la subdivisión de los elementos en su longitud para evaluar la magnificación entre los extremos. Las rigideces 𝐸 · 𝐼 a ser utilizadas en un análisis elástico para diseño por resistencia deben representar las rigideces de los elementos inmediatamente antes de la falla. Esto se hace más evidente en un análisis de segundo orden donde se debe predecir las deformaciones a niveles cercanos a la carga última. Los valores de 𝐸 · 𝐼 no deben estar basados completamente en la relación momento-curvatura para la sección más cargada a lo largo del elemento sino en la relación momento-rotación en el extremo para el elemento completo. En el acápite 10.4.6 del presente texto, que corresponde a lo indicado en la sección 6.6.3.1.1 del código ACI, se presentan las rigideces de los elementos que pueden ser consideradas para un análisis de segundo orden. Cálculo de 𝒔 · 𝑴𝒔 utilizando un análisis directo 𝑷 · ∆. El proceso iterativo de análisis 𝑃 · ∆ para el cálculo de momentos de segundo orden puede ser representado por series infinitas cuya solución es mostrada en la ecuación (10.39) y en la sección 435 Diseño de estructuras de hormigón armado 6.6.4.6.2(a) del código ACI. Esta ecuación predice con bastante precisión los momentos de segundo orden en pórticos no arriostrados hasta valores de 𝛿𝑠 menores o iguales a 1.5. 𝛿𝑠 = 1 ≥ 1.0 1−𝑄 (10.39) 𝑄= ∑ 𝑃𝑢 ∙ ∆0 ≤ 0.05 𝑉𝑢𝑠 ∙ ℓ𝑐 (10.28) Donde: 𝑄 = Índice de estabilidad para un piso. ∑ 𝑃𝑢 = Sumatoria de todas las cargas verticales mayoradas en [𝑁] en un piso en concordancia con el estado de cargas laterales para la cual éste valor es máximo. 𝑉𝑢𝑠 = Corte horizontal mayorado en un piso en [𝑁]. ∆0 = Deflexión lateral en [𝑚𝑚] relativa entre la parte superior e inferior de un piso producida por 𝑉𝑢𝑠 , calculada utilizando un análisis elástico de primer orden y rigideces de los elementos que satisfacen la tabla del acápite 10.4.6 del presente texto. ℓ𝑐 = Longitud en [𝑚𝑚] del elemento sometido a compresión en un pórtico y que se mide de centro a centro de los nudos en el pórtico. Si el 𝛿𝑠 calculado por esta ecuación excede 1.5, entonces 𝑠 · 𝑀𝑠 debe ser calculado utilizando un análisis de segundo orden o el magnificador de momentos para pórticos no arriostrados que se explica a continuación. Cálculo de 𝒔 · 𝑴𝒔 utilizando el magnificador de momentos para pórticos no arriostrados. Para verificar los efectos de la estabilidad de un piso, el valor para 𝑠 es calculado como un valor ∑𝑃 promedio para todo el piso con base al uso de ∑ 𝑃𝑢. Este procedimiento refleja la interacción que existe 𝑐 entre todas las columnas de un mismo piso en los efectos 𝑃 · ∆ debido a que el desplazamiento lateral de todas las columnas en el piso debería ser el mismo en la ausencia de desplazamientos torsionales alrededor de un eje vertical intermedio. El código ACI en su sección 6.6.4.6.2(b) permite la utilización del magnificador de momentos. 𝛿𝑠 = 1 ≥ 1.0 ∑ 𝑃𝑢 1− 0.75 ∙ ∑ 𝑃𝑐 (10.40) Donde: ∑ 𝑃𝑢 = Sumatoria de todas las cargas verticales mayoradas en un piso. ∑ 𝑃𝑐 = Sumatoria de las cargas críticas de pandeo de todas las columnas que resisten desplazamiento lateral en un piso. 𝑃𝑐 = 436 𝜋 2 ∙ (𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 (𝑘 ∙ ℓ𝑢 )2 (10.17) Columnas esbeltas Donde: ℓ𝑢 = Longitud no arriostrada de la columna en compresión, debe tomarse como la distancia libre entre pisos. 𝑘 = Factor de longitud efectiva para columnas en pórticos no arriostrados (𝑘 > 1). La rigidez (𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 de la columna a ser utilizada para la ecuación (10.17) es calculada utilizando las ecuaciones (10.19), (10.20) o (10.21) y el valor de 𝛽𝑑𝑠 se calcula utilizando la ecuación (10.25). Pero, se debe tomar en cuenta que en la mayoría de las estructuras no arriostradas, el corte en los pisos se debe al viento o sismos que son cargas temporales y no sostenidas por lo que 𝛽𝑑𝑠 es generalmente cero. c) Combinar los momentos intraslacionales no magnificados 𝑀𝑛𝑠 con los momentos traslacionales magnificados 𝑠 · 𝑀𝑠 . Se suman los momentos intraslacionales no magnificados 𝑀𝑛𝑠 con los momentos traslacionales magnificados 𝑠 · 𝑀𝑠 . Esta adición se realiza en cada uno de los extremo de la columna en análisis. 𝑀1 = 𝑀1𝑛𝑠 + 𝑠 · 𝑀1𝑠 (10.37) 𝑀2 = 𝑀2𝑛𝑠 + 𝑠 · 𝑀2𝑠 (10.38) El valor más grande que resulta de la suma de los momentos de extremo resultantes es llamado 𝑀2 y el menor 𝑀1 . d) Verificar si hay columnas que pueden pandear en el modo intraslacional. Es factible que una columna individual, dentro de un sistema estructural no arriostrado, pueda pandear en el modo intraslacional, eso significa sin que sus extremos sufran desplazamiento alguno. En ese sentido, toda columna que sea muy esbelta y que forme parte de un sistema no arriostrado debe también ser verificada en el modo intraslacional considerando los criterios expuestos en el acápite 10.7 del presente texto. e) Verificar si el pandeo traslacional puede ocurrir bajo cargas gravitacionales solamente. La posibilidad de que la estructura pudiese presentar una inestabilidad lateral cuando solamente actuaban cargas gravitacionales era investigada de acuerdo a las recomendaciones de la sección 10.13.6 de la edición 2005 del código ACI. Sin embargo, en la sección 6.2.6 de la presente edición se indica que los momentos de segundo orden no deben exceder en 1.4 veces los momentos de primer orden y con ello se hace innecesaria la verificación indicada por el código en la edición 2005. 10.10. Momento mínimo El código ACI especifica un momento mínimo 𝑀2𝑚𝑖𝑛 que debe ser considerado en el diseño de columnas en pórticos arriostrados, pero no así en el diseño de columnas en pórticos no arriostrados. Esto es únicamente un problema para las combinaciones de carga que solamente consideran cargas 437 Diseño de estructuras de hormigón armado gravitacionales actuando en un pórtico no arriostrado ya que estas combinaciones no incluyen 𝑠 · 𝑀𝑠 ; por ello, para estas combinaciones se diseñará para el mayor de 𝑀2 y 𝑀2𝑚𝑖𝑛 . Ejemplo. Los tres primeros pisos de un edificio no arriostrado son mostrados en la siguiente figura. El pórtico consiste en columnas exteriores de 50 [𝑐𝑚]𝑥50 [𝑐𝑚] y columnas interiores de 60 [𝑐𝑚]𝑥60 [𝑐𝑚] y vigas de 90 [𝑐𝑚] de ancho por 60 [𝑐𝑚] de altura. La altura de las columnas de eje a eje de las vigas es de 490 [𝑐𝑚]. Para las columnas del segundo piso, los esfuerzos axiales, momentos flectores y esfuerzos cortantes han sido calculados para las cargas de servicio y son los que se muestran en la tabla de abajo. Solicitación Columnas A2 y E2 Columnas B2 y D2 Columna C2 1548 3367 3060 𝑃𝐿 [𝑘𝑁] [𝑘𝑁] 609 1366 1312 𝑃𝑊 o [𝑘𝑁] ± 85 ± 40 0 𝑉𝑊 [𝑘𝑁] 29 60 60 𝑀2𝐷 𝑀2𝐿 [𝑘𝑁 · 𝑚] [𝑘𝑁 · 𝑚] 218 𝑀2𝑊 [𝑘𝑁 · 𝑚] 142 𝑀1𝐷 [𝑘𝑁 · 𝑚] − 46 𝑀1𝐿 [𝑘𝑁 · 𝑚] 146 𝑀1𝑊 [𝑘𝑁 · 𝑚] − 133 𝑃𝐷 4.9 [𝑚] 3 4.9 [𝑚] 2 4.9 [𝑚] 1 42 Col. B2 A B Col. D2 C 4 vanos de 12.2 [𝑚] cada uno 438 D E Columnas esbeltas Mediante un análisis matricial se obtiene que la deflexión relativa del segundo piso es de 6 [𝑚𝑚] para el corte total producido por una carga de viento de servicio de 238 [𝑘𝑁] y utilizando para la rigidez 𝐸 · 𝐼, de todos los elementos, los valores especificados en la sección 6.6.3.1.1 del código ACI. Diseñar las columnas B2 y D2 utilizando para el cálculo de 𝑠 · 𝑀𝑠 las ecuaciones del análisis directo 𝑃 · ∆ y del magnificador de momentos para pórticos no arriostrados. Comentar los resultados. Propiedades de los materiales: 𝑓𝑐′ = 30 [𝑀𝑃𝑎] y 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] a) Determinar si el piso está arriostrado utilizando el índice de estabilidad. Inicialmente se verifica si es necesario realizar un análisis de pórtico intraslacional o si se puede considerar al piso como arriostrado. De acuerdo a la sección 6.6.4.3(b) del código ACI, se calcula el índice de estabilidad 𝑄 y si éste es menor a 0.05, el pórtico es considerado como arriostrado y solamente es necesaria su verificación en el modo intraslacional. Por otro lado, si 𝑄 es mayor a 0.05, el pórtico es considerado como no arriostrado y su verificación debe ser realizada en los modos traslacional e intraslacional, cuando corresponda. Corte último 𝑉𝑢𝑠 en el piso. 𝑉𝑢𝑠 = 1.6 · 𝑊 = 1.6 · 238 = 380.80 [𝑘𝑁] Deflexión ∆0 correspondiente a 𝑉𝑢 . ∆0 = 1.6 · 6 = 9.6 [𝑚𝑚] Carga axial total ∑ 𝑃𝑢 en el piso debido a la combinación de carga (1.4). ∑ 𝑃𝑢 = 1.2 · 𝐷 + 1.0 · 𝐿 = 1.2 · (2 · 1548 + 2 · 3367 + 3060) + 1.0 · (2 · 609 + 2 · 1366 + 1312) ∑ 𝑃𝑢 = 20730 [𝑘𝑁] Nota: Las cargas axiales producidas por el viento no se consideran porque se anulan. Índice de estabilidad 𝑄 para el piso en consideración. 𝑄= ∑ 𝑃𝑢 ∙ ∆0 20730 ∙ 9.6 = = 0.107 > 0.05 380.80 ∙ 4900 𝑉𝑢𝑠 ∙ ℓ𝑐 Como 𝑄 > 0.05, el piso es considerado como no arriostrado y los efectos de esbeltez deben ser tomados en cuenta para el cálculo y diseño de las columnas de ese nivel. Por tanto, se debe considerar el modo intraslacional y el modo traslacional en el análisis de las columnas. b) Verificar las columnas en el modo intraslacional. Cargas gravitacionales 439 Diseño de estructuras de hormigón armado Todas las columnas en pórticos traslacionales deben ser primero verificadas en el modo intraslacional, bajo cargas gravitacionales solamente. Columnas B2 y D2. 𝑃𝑢 = 1.2 · 𝑃𝐷 + 1.6 · 𝑃𝐿 = 1.2 · 3367 + 1.6 · 1366 = 6226.0 [𝑘𝑁] 𝑀1𝑢 = 1.2 · 𝑀1𝐷 + 1.6 · 𝑀1𝐿 = 1.2 · (−46) + 1.6 · 146 = 178.4 [𝑘𝑁 · 𝑚] 𝑀2𝑢 = 1.2 · 𝑀2𝐷 + 1.6 · 𝑀2𝐿 = 1.2 · (42) + 1.6 · 218 = 399.2 [𝑘𝑁 · 𝑚] Se verifica la esbeltez de las columnas en el modo intraslacional con el objeto de determinar si los efectos de segundo orden en este modo deben ser considerados. Se asume inicialmente el valor de 1 para 𝑘, con lo que se estaría por el lado de la seguridad puesto que el valor de uno es el máximo valor que puede tener 𝑘 en columnas de pórticos arriostrados. 𝑘 ∙ ℓ𝑢 1 ∙ (4.9 − 0.6) = = 23.89 𝑟 0.3 ∙ 0.6 34 + 12 ∙ Como 𝑀1𝑢 178.4 = 34 + 12 ∙ (− ) = 28.64 𝑀2𝑢 399.2 𝑘∙ℓ𝑢 = 23.89 ≤ 28.64 no se necesita considerar efectos de esbeltez en el modo intraslacional. Por 𝑟 lo tanto, las columnas B2 y D2 deben ser diseñadas para soportar una carga axial última 𝑃𝑢 de 6226.0 [𝑘𝑁] y un momento último 𝑀𝑢 de 399.2 [𝑘𝑁 · 𝑚]. c) Verificar las columnas en el modo traslacional. Cargas gravitacionales y viento Tres combinaciones de carga deben ser incluidas cuando se considera el viento. 𝑈 = 1.2 ∙ 𝐷 + 1.6 ∙ (𝐿𝑟 𝑜 𝑆 𝑜 𝑅) + (1.0 ∙ 𝐿 𝑜 0.5 ∙ 𝑊) 𝑈 = 1.2 ∙ 𝐷 + 1.0 ∙ 𝑊 + 1.0 ∙ 𝐿 + 0.5 ∙ (𝐿𝑟 𝑜 𝑆 𝑜 𝑅) 𝑈 = 0.9 ∙ 𝐷 + 1.0 ∙ 𝑊 (1.3) (1.4) (1.6) Se verifica la esbeltez de las columnas en el modo traslacional con el objeto de determinar si los efectos de segundo orden en este modo deben ser considerados. Para la determinación de 𝑘, se debe tomar en cuenta la rigidez rotacional de los nudos extremos de la columna y para ello se calcula primero el Ψ𝑠𝑢𝑝 y Ψ𝑖𝑛𝑓 para utilizar el nomograma de columnas en el modo traslacional. 1 ∙ 0.6 ∙ 0.63 = 0.0108 [𝑚4 ] 12 1 𝐼𝑐 = ∙ 0.9 ∙ 0.63 = 0.0162 [𝑚4 ] 12 𝐼𝑐 = 440 Columnas esbeltas Para el cálculo de Ψ𝑠𝑢𝑝 y Ψ𝑖𝑛𝑓 , las inercias deben ser modificadas de acuerdo a las recomendaciones de la sección 6.6.3.1.1 del código ACI. 0.0108 ∙ 0.7 490 Ψ𝑠𝑢𝑝 = = 3.32 0.0162 2∙ ∙ 0.35 1220 2∙ Ψ𝑖𝑛𝑓 = Ψ𝑠𝑢𝑝 = 3.32 𝑘 = 1.90 𝑘 ∙ ℓ𝑢 1.90 ∙ (4.90 − 0.6) = = 45.39 𝑟 0.3 ∙ 0.6 Columnas B2 y D2 Como 𝑘∙ℓ𝑢 = 45.39 > 22 se debe considerar efectos de esbeltez en el modo traslacional. Los momentos 𝑟 ponderados que resultan de las cargas verticales son: 𝑀1𝑛𝑠 = 1.2 · 𝑀1𝑐𝑚 + 1.0 · 𝑀1𝑐𝑣 = 1.2 · (−46) + 1.0 · 146 = 90.8 [𝑘𝑁 · 𝑚] 𝑀2𝑛𝑠 = 1.2 · 𝑀2𝑐𝑚 + 1.0 · 𝑀2𝑐𝑣 = 1.2 · (42) + 1.0 · 218 = 268.4 [𝑘𝑁 · 𝑚] 441 Diseño de estructuras de hormigón armado El magnificador de momentos afecta los momentos por carga horizontal. 𝑀1𝑠 = 1.6 · 𝑀1𝑊 = 1.6 · (−133) = − 212.8 [𝑘𝑁 · 𝑚] 𝑀2𝑠 = 1.6 · 𝑀2𝑊 = 1.6 · (142) = 227.2 [𝑘𝑁 · 𝑚] Cálculo de 𝛿𝑠 · 𝑀𝑠 utilizando un análisis directo de 𝑃 · ∆. 1 𝛿𝑠 = ≥ 1 1−𝑄 Límites del magnificador de momentos 1.0 ≤ ≤ 1.4. 𝛿𝑠 = 1 = 1.12 1 − 0.107 Como 𝛿𝑠 ≥ 1.0, entonces 𝛿𝑠 ∙ 𝑀𝑠 ≥ 𝑀𝑠 . 𝛿𝑠 ∙ 𝑀1𝑠 = 1.12 ∙ (−212.8) = −238.34 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] 𝛿𝑠 ∙ 𝑀2𝑠 = 1.12 ∙ (227.2) = 254.46 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] Cálculo de 𝛿𝑠 · 𝑀𝑠 utilizando el magnificador de momentos para pórticos no arriostrados. 𝛿𝑠 = 1 ≥1 ∑ 𝑃𝑢 1− 0.75 ∙ ∑ 𝑃𝑐 Límites del magnificador de momentos 1.0 ≤ ≤ 1.4. 𝛿𝑠 ∙ 𝑀𝑠 ≥ 𝑀𝑠 ∑ 𝑃𝑢 = 1.2 · 𝐷 + 1.0 · 𝐿 = 1.2 · (2 · 1548 + 2 · 3367 + 3060) + 1.0 · (2 · 609 + 2 · 1366 + 1312) ∑ 𝑃𝑢 = 20730 [𝑘𝑁] Columnas A2 y E2. 𝐼𝑐 = 0.7 ∙ 𝐼𝑔 = 0.7 ∙ 1 ∙ 0.54 = 3.65 ∙ 10−3 [𝑚4 ] 12 𝐼𝑐 3.65 ∙ 10−3 = = 7.45 ∙ 10−4 [𝑚3 ] ℓ𝑐 4.9 442 Columnas esbeltas Columnas B2, C2 y D2. 𝐼𝑐 = 0.7 ∙ 𝐼𝑔 = 0.7 ∙ 1 ∙ 0.64 = 7.56 ∙ 10−3 [𝑚4 ] 12 𝐼𝑐 7.56 ∙ 10−3 = = 1.54 ∙ 10−3 [𝑚3 ] ℓ𝑐 4.9 Vigas. 𝐼𝑏 = 0.35 ∙ 𝐼𝑔 = 0.35 ∙ 1 ∙ 0.9 ∙ 0.63 = 5.67 ∙ 10−3 [𝑚4 ] 12 𝐼𝑏 5.67 ∙ 10−3 = = 4.65 ∙ 10−4 [𝑚3 ] ℓ𝑏 12.2 Columnas A2 y E2. Ψ𝑠𝑢𝑝 = 2 ∙ 7.44 ∙ 10−4 = 3.20 4.65 ∙ 10−4 Ψ𝑖𝑛𝑓 = 3.20 𝑘 = 1.87 Calculo de la rigidez. Para viento 𝛽𝑑 = 0 (𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 = 0.4 · 𝐸𝑐 · 𝐼𝑔 𝐸𝑐 = 4700 ∙ √𝑓𝑐′ = 4700 ∙ √30 = 25743 [𝑀𝑃𝑎] 1 𝐼𝑔 = ∙ 5004 = 5208333333 [𝑚𝑚4 ] 12 (𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 = 0.4 · 25743 · 5208333333 = 5.36 ∙ 1013 [𝑁 ∙ 𝑚𝑚2 ] 𝑃𝑐 = 𝜋 2 ∙ (𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 𝜋 2 ∙ 5.36 ∙ 1013 = = 8182 [𝑘𝑁] (𝑘 ∙ ℓ𝑢 )2 (1.87 ∙ 4300)2 ∙ 1000 443 Diseño de estructuras de hormigón armado Columnas A2 y E2 Columnas B2, C2 y D2. Ψ𝑠𝑢𝑝 = 2 ∙ 1.54 ∙ 10−3 = 3.31 2 ∙ 4.65 ∙ 10−4 Ψ𝑠𝑢𝑝 = Ψ𝑖𝑛𝑓 = 3.31 𝑘 = 1.90 Calculo de la rigidez. Para viento 𝛽𝑑𝑠 = 0 (𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 = 0.4 · 𝐸𝑐 · 𝐼𝑔 𝐸𝑐 = 4700 ∙ √30 = 25743 [𝑀𝑃𝑎] 𝐼𝑔 = 444 1 ∙ 6004 = 10800000000 [𝑚𝑚4 ] 12 Columnas esbeltas (𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 = 0.4 · 25743 · 10800000000 = 1.11 ∙ 1014 [𝑁 ∙ 𝑚𝑚2 ] 𝑃𝑐 = 𝜋 2 ∙ (𝐸 ∙ 𝐼)𝑒𝑓𝑓 𝜋 2 ∙ 1.11 ∙ 1014 = = 16413 [𝑘𝑁] (𝑘 ∙ ℓ𝑢 )2 (1.90 ∙ 4300)2 ∙ 1000 ∑ 𝑃𝑐 = 2 · 8182 + 3 · 16413 = 65603 [𝑘𝑁] Finalmente los momentos magnificados son: 1 𝛿𝑠 = = 1.73 > 1.4 20730 1− 0.75 ∙ 65603 Como 𝛿𝑠 > 1.4, no es aceptable. 𝛿𝑠 ∙ 𝑀1𝑠 = 1.73 ∙ (−212.8) = −368.14 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] 𝛿𝑠 ∙ 𝑀2𝑠 = 1.73 ∙ (227.2) = 393.06 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] El segundo procedimiento da un valor de 𝛿𝑠 muy conservador, por lo que para este ejercicio no se tomará en cuenta para el diseño de las columnas. Los momentos totales magnificados se obtienen sumando los momentos últimos intraslacionales con los momentos últimos magnificados traslacionales. 𝑀1 = 𝑀1𝑛𝑠 + 𝑠 · 𝑀1𝑠 = 90.8 − 238.34 = −147.54 [𝑘𝑁 · 𝑚] 𝑀2 = 𝑀2𝑛𝑠 + 𝑠 · 𝑀2𝑠 = 268.4 + 254.46 = 522.86 [𝑘𝑁 · 𝑚] La carga axial en la columna B2 considerando la combinación de cargas con viento es: 𝑃𝑢 = 1.2 · 𝑃𝐷 + 1.6 · 𝑃𝑊 + 1.0 · 𝑃𝐿 = 1.2 · 3367 + 1.6 · 40 + 1.0 · 1366 = 5470.40 [𝑘𝑁] En resumen las columnas B2 y D2 se deben diseñar para las siguientes solicitaciones. Modo Intraslacional. 𝑃𝑢 = 6226.0 [𝑘𝑁] 𝑀𝑢 = 399.2 [𝑘𝑁 · 𝑚] Modo Traslacional. 𝑃𝑢 = 5470.4 [𝑘𝑁] 𝑀𝑢 = 522.9 [𝑘𝑁 · 𝑚] 445 Diseño de estructuras de hormigón armado d) Seleccionar el refuerzo de acero. Para hallar el refuerzo de acero se elaboran diagramas de interacción para una columna cuadrada de 600 [𝑚𝑚]𝑥600 [𝑚𝑚] con diferentes distribuciones y diámetros de barras de acero y finalmente se selecciona la columna que tiene 16𝜙30 porque cumple con las solicitaciones requeridas. Columna B2 y D2: 600𝑥600 con 16𝜙30 600 446 Columnas esbeltas DIAGRAMA DE INTERACCION COLUMNA DE 600x600 CON 16f30 8000 (399, 6226) 6000 (523, 5470) Resistencia Nominal de Diseño 4000 fPn [kN] 2000 0 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 -2000 -4000 -6000 fMn [kN·m] 447 Diseño de estructuras de hormigón armado 10.11. Problemas propuestos 1. La columna de la figura se extiende desde el nivel de fundación hasta el segundo nivel de un pórtico arriostrado con una longitud no arriostrada de 6.25 [𝑚]. La columna se flexa en doble curvatura y el factor de longitud efectiva calculado del nomograma respectivo es 𝑘 = 0.90. Un análisis estructural de primer orden indica las siguientes solicitaciones provenientes de las cargas de servicio: Carga muerta: 𝑃 = 670 [𝑘𝑁] 𝑀𝑠𝑢𝑝 = 39.3 [𝑘𝑁 · 𝑚] 𝑀𝑖𝑛𝑓 = 19.7 [𝑘𝑁 · 𝑚] Carga viva: 𝑃 = 400 [𝑘𝑁] 𝑀𝑠𝑢𝑝 = 67.8 [𝑘𝑁 · 𝑚] 𝑀𝑖𝑛𝑓 = 33.9 [𝑘𝑁 · 𝑚] Propiedades de los materiales: 𝑓𝑐′ = 30 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] Utilizando el método del magnificador de momentos, determinar si la columna es adecuada para resistir las solicitaciones. 𝑃 𝑀𝑖𝑛𝑓 380 y 305 380 ℓ𝑢 = 6250 𝐸𝜙10 6𝜙30 y Sección A - A Dimensiones en [mm] 𝑀𝑠𝑢𝑝 𝑃 2. Los tres primeros pisos de un edificio son mostrados en la figura. El pórtico consiste en columnas exteriores de 50𝑥50 [𝑐𝑚2 ] y columnas interiores de 60𝑥60 [𝑐𝑚2 ] y vigas de 90 [𝑐𝑚] de ancho por 60 [𝑐𝑚] de altura. La altura de las columnas de eje a eje de las vigas es de 490 [𝑐𝑚]. Para las columnas del segundo piso, los esfuerzos axiales, momentos flectores y esfuerzos cortantes han sido calculados para las cargas de servicio y son los que se muestran en la tabla de abajo. Solicitación 448 Columnas A2 y E2 Columnas B2 y D2 Columna C2 𝑃𝐷 𝑘𝑁 1548 3367 3060 𝑃𝐿 𝑘𝑁 609 1366 1312 Columnas esbeltas Solicitación Columnas A2 y E2 Columnas B2 y D2 Columna C2 𝑃𝑊 𝑘𝑁 ± 85 ± 40 0 𝑉𝑊 𝑘𝑁 29 60 60 𝑀2𝐷 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 42 𝑀2𝐿 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 218 𝑀2𝑊 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 142 𝑀1𝐷 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 − 46 𝑀1𝐿 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 146 𝑀1𝑊 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 − 133 Un análisis matricial para el corte total producido por un viento de servicio de 238 [𝑘𝑁], utilizando valores de 𝐼 y 𝐸 especificados en la sección 10.11.1 del código ACI, indica que la deflexión relativa del segundo piso es de 6 [𝑚𝑚]. Diseñar las columnas B2 y D2 utilizando para el cálculo de 𝑠 ∙ 𝑀𝑠 las ecuaciones del análisis directo 𝑃 − ∆ y del magnificador de momentos para pórticos no arriostrados. Comentar los resultados. Propiedades de los materiales: 𝑓𝑐′ = 30 [𝑀𝑃𝑎] y 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] 4.9 [𝑚] 3 4.9 [𝑚] 2 4.9 [𝑚] 1 Col. B2 A B Col. D2 C D E 4 vanos de 12.2 [𝑚] cada uno 449 CAPÍTULO 11 VIGAS – RESISTENCIA A TORSIÓN 11. Vigas – Resistencia a torsión 11.1. Introducción En general los elementos de hormigón armado están sujetos a momentos flectores y fuerzas cortantes asociados a ellos. En el caso de columnas, cargas axiales también están presentes. Algunas veces fuerzas de torsión aparecen en los elementos de hormigón armado que tienden a girar a los elementos alrededor de su eje longitudinal. Las fuerzas de torsión rara vez actúan solitariamente, generalmente actúan en forma conjunta con los momentos flectores, fuerzas cortantes y a veces con fuerzas de compresión también. Por muchos años, la torsión fue tomada como un efecto secundario y no fue considerada explícitamente en el diseño, su efecto era absorbido dentro del factor de seguridad global de estructuras calculadas conservadoramente. Con el avance de la tecnología y con nuevos procedimientos refinados de diseño, la consideración de la torsión es necesaria debido a que los factores de seguridad han sido disminuidos ya que se conoce con mayor precisión la capacidad del elemento. Además, con el procedimiento de diseño de los factores de carga y minoración de las resistencias las dimensiones de los elementos de hormigón armado han disminuido por lo que su capacidad inherente para resistir torsión también ha disminuido. El diseño de estructuras especiales como puentes curvos, escaleras helicoidales, etc., hace necesario considerar la torsión ya que ésta es muy importante en el comportamiento de estas estructuras. Existen dos tipos de torsión: primaria y secundaria. La torsión primaria es también llamada torsión de equilibrio o torsión estáticamente determinada y existe cuando las cargas externas no tienen otros caminos alternativos para ser resistidas más que por torsión. Un ejemplo claro es una losa en voladizo. La torsión secundaria es también llamada torsión de compatibilidad o torsión estáticamente indeterminada y se presenta por requerimientos de continuidad, en otras palabras por compatibilidad de deformaciones entre partes adyacentes de una estructura. Para este caso, los momentos de torsión no pueden ser hallados considerando solamente las ecuaciones de equilibrio. Si en el diseño no se toma en cuenta la continuidad, los elementos presentaran un extenso agrietamiento, pero generalmente no colapsaran. Un reajuste interno 451 Diseño de estructuras de hormigón armado de las fuerzas es usualmente posible y las fuerzas hallan otras formas de equilibrio. Un ejemplo de este tipo de torsión es hallado en las vigas perimetrales de losas. 𝑇 𝑇 Fig. 11.1. Ejemplo de torsión primaria en una losa en volado 𝑇 𝑇 Diagrama de momentos en la losa si la viga de borde es torsionalmente rígida Diagrama de momentos en la losa si la viga de borde es torsionalmente flexible Fig. 11.2. Ejemplo de torsión secundaria en una losa de piso con vigas 452 Vigas – Resistencia a torsión Si la viga perimetral es rígida a la torsión y tiene suficiente armadura, los momentos flectores en la losa se aproximaran a aquellos que corresponden a un soporte exterior rígido. Si por el otro lado la viga perimetral es flexible a la torsión y no tiene un refuerzo adecuado, se presentaran fisuras en la viga que reducirán su rigidez a la torsión y los momentos flectores en la losa se aproximaran a aquellos que corresponden a un soporte exterior articulado. Si la losa es diseñada para resistir el diagrama de momentos alterado, no ocurrirá el colapso de la estructura. El código ACI permite despreciar los efectos de la torsión secundaria cuando las tensiones por torsión son pequeñas y estados de equilibrio alternativo son posibles. Por otro lado, cuando la resistencia a torsión es esencial en el diseño como en el caso de vigas curvas, se debe realizar un análisis especial y reforzar la viga para los efectos de torsión. 11.2. Torsión en elemento de hormigón sin refuerzo Si el material es elástico la teoría de torsión de St. Venant indica que tensiones de corte producidas por torsión están distribuidas en la sección transversal de la forma que se muestra en la figura 11.3 (b). 𝑥 𝑇 𝜎 = −𝜏 𝜎=𝜏 𝜏 𝜎 = −𝜏 𝜏 𝑇 𝜎=𝜏 𝑦 𝜏𝑚𝑎𝑥 𝜏 𝜏 a) Tensiones de corte torsionales 𝜏 y tensiones principales y torsionales 𝜎 b) Tensiones de corte torsionales en la sección transversal Fig. 11.3. Distribución de tensiones en una viga de material elástico 11.3. Tensiones causadas por torsión Las tensiones de corte más grandes se presentan en la mitad de las caras más anchas. Si el material se deforma inelásticamente, como se espera que ocurra con el hormigón, la distribución de tensiones será parecida a la que se muestra con línea segmentada. 453 Diseño de estructuras de hormigón armado Tensiones de corte en pares actúan en un elemento en o cerca de la superficie más ancha como se ve la figura 11.3 (a). Las tensiones principales de compresión y tracción corresponden a un elemento a 45° de la dirección del corte cerca de las superficies de las caras. Estas tensiones inclinadas son de la misma clase que aquellas causadas por esfuerzos de corte transversales. Cuando la tensión diagonal excede la resistencia a la tracción del hormigón, una fisura se forma en el punto más débil y se extiende inmediatamente a través del elemento. El valor del momento de torsión que corresponde a la formación de esta fisura diagonal es conocido como el torque de agrietamiento 𝑇𝑐𝑟 . Existen varias maneras de analizar elementos sujetos a torsión. La distribución no lineal de tensiones de la figura 11.3 (b) es analizada mejor utilizando la analogía del enrejado espacial en un tubo de pared delgada. Utilizando esta analogía, las tensiones de corte son asumidas constantes en un espesor finito 𝑡 alrededor del perímetro del elemento, permitiendo que el elemento sea representado por un tubo equivalente como se muestra en la siguiente figura. Dentro de las paredes del tubo, el torque es resistido por un flujo de corte 𝑞 que tiene unidades de fuerza por longitud. En la analogía, 𝑞 es asumido constante alrededor del perímetro del tubo. 𝑇 𝑞 𝑡 Flujo de corte 𝑇 𝑞 𝐴𝑜 𝑦𝑜 𝑥𝑜 𝑥𝑜 y 𝑦𝑜 son medidos desde los centros del espesor de la pared Fig. 11.4. Flujo de corte en un tubo de pared delgada sujeto a torsión Sumando momentos alrededor del eje del tubo se halla la relación entre el torque y el flujo de corte. Pero el producto 𝑥𝑜 · 𝑦𝑜 representa el área delimitada por el flujo de corte que puede ser expresada como 𝐴𝑜 . 𝑇 = 2 ∙ 𝑞 ∙ 𝑥𝑜 ∙ 𝑦𝑜 𝑥𝑜 + 2 ∙ 𝑞 ∙ 𝑦𝑜 ∙ = 2 ∙ 𝑞 ∙ 𝑥𝑜 ∙ 𝑦𝑜 2 2 (11.1) 𝑇 = 2 ∙ 𝑞 ∙ 𝐴𝑜 (11.2) 𝑇 2 ∙ 𝐴𝑜 (11.3) 𝑞= 454 Vigas – Resistencia a torsión Nota: Como 𝐴𝑜 es un área que viene de la sumatoria del momento del flujo de corte, entonces es aplicable tanto para secciones huecas como para secciones sólidas. Para un espesor de pared 𝑡, la tensión unitaria de corte que actúa dentro de las paredes del tubo es: 𝜏= 𝑇 𝑞 = 𝑡 2 ∙ 𝐴𝑜 ∙ 𝑡 (11.4) Como se muestra en la figura 11.3 (a), la tensión principal de tracción es 𝜎 = 𝜏. Por lo tanto, el hormigón se fisura solamente cuando 𝜎 = 𝜏 = 𝑓𝑡′ (resistencia a la tracción de hormigón). Considerando que el hormigón está bajo esfuerzos biaxiales de tracción y compresión, 𝑓𝑡′ puede ser calculado conservadoramente como 0.33 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ en vez del valor típicamente usado para el módulo de rotura del hormigón que es tomado como 𝑓𝑟 = 0.62 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ y por tanto, el momento de torsión que produce la primera fisura tiene el siguiente valor: 𝑇𝑐𝑟 = 𝜏 ∙ 2 ∙ 𝐴𝑜 ∙ 𝑡 = 0.33 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ (2 ∙ 𝐴𝑜 ∙ 𝑡) (11.5) El área 𝐴𝑜 representa el área encerrada por el flujo de corte y debe ser una fracción del área encerrada por el perímetro exterior de la sección transversal total de hormigón 𝐴𝑐𝑝 . El valor de 𝑡, en general, puede ser aproximado como una fracción de la relación 𝐴𝑐𝑝 /𝑝𝑐𝑝 donde 𝑝𝑐𝑝 es el perímetro de la sección transversal. Para elementos sólidos de sección transversal rectangular, el valor de 𝑡 es aproximadamente de 1/6 a 1/4 de la menor dimensión. 1 𝑏 Si 𝑡 = 4 ∙ 𝑏 y la sección tiene un ℎ = 0.5 entonces, 𝑏 𝑏 3 ℎ 3 7 21 𝐴𝑜 = (𝑏 − ) ∙ (ℎ − ) = 𝑏 ∙ ∙ (ℎ − ) = 𝑏 ∙ ℎ ∙ ∙ = ∙𝑏∙ℎ 4 4 4 8 4 8 32 𝐴𝑐𝑝 = 𝑏 ∙ ℎ 𝐴𝑜 = 21 ∙ 𝑏 ∙ ℎ ≈ 0.66 ∙ 𝑏 ∙ ℎ = 0.66 ∙ 𝐴𝑐𝑝 32 3 𝐴 Para el mismo elemento, 𝑡 se aproxima a 4 ∙ 𝑝𝑐𝑝 entonces, 𝑐𝑝 3 𝐴𝑐𝑝 𝑇𝑐𝑟 = 0.33 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ (2 ∙ 𝐴𝑜 ∙ 𝑡) = 0.33 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ (2 ∙ 0.66 ∙ 𝐴𝑐𝑝 ∙ ∙ ) 4 𝑝𝑐𝑝 𝐴2𝑐𝑝 ′ 𝑇𝑐𝑟 = 0.33 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐 ∙ ( ) [𝑁 ∙ 𝑚𝑚] 𝑝𝑐𝑝 (11.6) 455 Diseño de estructuras de hormigón armado Esta ecuación da una estimación razonable del torque que produce el agrietamiento en secciones sólidas o huecas de elementos de hormigón armado sin importar la forma de su sección transversal. 11.4. Torsión en elementos de hormigón armado Para resistir momentos de torsión mayores a la torsión de fisuración 𝑇𝑐𝑟 , el elemento de hormigón armado debe ser reforzado con estribos cerrados no muy espaciados y barras longitudinales. Ensayos de laboratorio han demostrado que las barras longitudinales por si solas aumentan muy poco la resistencia de la torsión (menos de 15%). Esto puede entenderse ya que la única manera en la que las barras longitudinales pueden contribuir a la resistencia a la torsión es por una acción de barra trabada, la cual es particularmente débil y no confiable si las fisuras longitudinales a lo largo de las barras no son restringidas mediante refuerzo transversal. 𝑇 ℎ 𝑦𝑜 𝑥𝑜 𝑇 𝑏 Refuerzo torsional Fisuras producidas por torsión Fig. 11.5. Efectos de la torsión en elementos de hormigón armado Cuando un elemento de hormigón armado tiene refuerzo adecuado, éste se agrietará para un momento de torsión igual o un poco mayor al 𝑇𝑐𝑟 donde las fisuras formarán un patrón helicoidal. Después del agrietamiento, la resistencia a torsión del hormigón se reduce a la mitad de la de un elemento sin agrietamiento, por lo tanto, el refuerzo de acero debe resistir la diferencia de momento de torsión. La redistribución de la resistencia interna puede observarse en la siguiente figura que muestra la interacción torque – giro. En la figura 11.6, el giro 𝛽 es un giro continuo para el torque que produce el agrietamiento 𝑇𝑐𝑟 hasta que las fuerzas internas se transfieren desde el hormigón hasta el acero. A medida que la sección se aproxima a su resistencia última, la capa de hormigón por afuera de los estribos se desprende y cae contribuyendo menos a la resistencia del elemento. 456 Vigas – Resistencia a torsión Ensayos de laboratorio han demostrado que después del agrietamiento, el área encerrada por el flujo de corte está definida por las dimensiones 𝑥𝑜 y 𝑦𝑜 que son medidas entre líneas centrales del refuerzo más exterior (estribos) en vez de la línea central de las paredes del tubo como se vio en secciones sin refuerzo. 𝐴𝑜ℎ = 𝑥𝑜 · 𝑦𝑜 (11.7) 𝑝ℎ = 2 · (𝑥𝑜 + 𝑦𝑜 ) (11.8) 𝑻 𝑇𝑐𝑟 𝛽 Fig. 11.6. Curva torque – giro para elementos de hormigón armado Para facilitar el análisis de elementos de hormigón armado a torsión, es conveniente tratar el elemento como un enrejado espacial consistente en diagonales de hormigón en forma de espiral, estribos transversales de acero y barras longitudinales de acero. Se supone que el hormigón no soporta tracción y que el refuerzo fluye. Después de que el agrietamiento por torsión se ha producido, la resistencia torsional del elemento proviene principalmente de los estribos cerrados, del refuerzo longitudinal dispuesto en el perímetro de la sección y de las diagonales de hormigón que trabajan a compresión. El hormigón que queda fuera de los estribos, y que pertenece al recubrimiento propio del elemento, es relativamente inefectivo. Por tanto, el área encerrada por la trayectoria del flujo de cortante alrededor del perímetro del tubo 𝐴𝑜 se define después de la fisuración en términos de 𝐴𝑜ℎ que es el área encerrada por el eje del refuerzo transversal exterior para torsión. En la siguiente figura se muestra la analogía de la cercha espacial que es utilizada para el análisis y diseño de elementos de hormigón armado sometidos a torsión. 457 Diseño de estructuras de hormigón armado Estribos Fisuras 𝑥𝑜 𝑇 𝑦𝑜 𝑉1 𝑉2 o 𝑉4 Barras longitudinales 𝑉3 Bielas de hormigón en compresión 𝑠 𝑦𝑜 · 𝑐𝑜𝑠 𝑁/4 𝑦𝑜 𝑉4 𝐴𝑡 · 𝑓𝑦𝑡 𝐴𝑡 · 𝑓𝑦𝑡 𝑦𝑜 𝑉4 𝐴𝑡 · 𝑓𝑦𝑡 𝐴ℓ · 𝑓𝑦 𝑁/4 𝑦𝑜 · 𝑐𝑜𝑡 Equilibrio de las fuerzas verticales en una cara del elemento fisurado Equilibrio de las fuerzas horizontales en una cara del elemento fisurado Fig. 11.7. Analogía de la cercha espacial para el análisis de los efectos de torsión en elementos de hormigón armado La analogía de la cercha espacial representa una simplificación del comportamiento actual bastante razonable ya que la resistencia a la torsión del elemento está controlada por la resistencia del refuerzo transversal independientemente de la resistencia del hormigón. 𝑉4 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜃 𝑉4 · 𝑐𝑜𝑡𝜃 𝑉4 Polígono de fuerzas en equilibrio Fig. 11.8. Polígono de fuerzas en equilibrio de una de las caras del elemento 458 Vigas – Resistencia a torsión El momento de torsión 𝑇 es resistido por la suma de los cortantes en cada una de las cuatro paredes del tubo hueco equivalente. La contribución de los cortes a la resistencia del momento de torsión es: 𝑦𝑜 2 𝑥𝑜 𝑇2 = 𝑉2 ∙ 2 𝑦𝑜 𝑇3 = 𝑉3 ∙ 2 𝑥𝑜 𝑇4 = 𝑉4 ∙ 2 𝑇1 = 𝑉1 ∙ (11.9) (11.10) (11.11) (11.12) Si se realiza el equilibrio en cada pared del tubo hueco puede hallarse el valor de 𝑉1, 𝑉2 , 𝑉3 y 𝑉4 . Como ejemplo se analizará la pared correspondiente a 𝑉4 . 𝑉4 = 𝑛 ∙ 𝐴𝑡 ∙ 𝑓𝑦𝑡 𝑛 = 𝑦𝑜 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝜃 𝑠 (11.13) (11.14) Donde: 𝑛 = Número de estribos cortados por una fisura diagonal. 𝐴𝑡 = Área de una rama del estribo cerrado en [𝑚𝑚2 ]. 𝑓𝑦𝑡 = Tensión de fluencia del estribo en [𝑀𝑃𝑎]. 𝑉4 = 𝐴𝑡 ∙ 𝑓𝑦𝑡 ∙ 𝑦𝑜 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝜃 𝑠 (11.15) Remplazando 𝑉4 en la ecuación de 𝑇4 se tiene: 𝑇4 = 𝑉4 ∙ 𝑥𝑜 𝐴𝑡 ∙ 𝑓𝑦𝑡 ∙ 𝑥𝑜 ∙ 𝑦𝑜 = ∙ 𝑐𝑜𝑡𝜃 2∙𝑠 2 (11.16) Si se sigue el mismo procedimiento para las demás paredes y se suma los respectivos 𝑇𝑖 se tiene la capacidad nominal de la sección. 4 𝑇𝑛 = ∑ 𝑇𝑖 = 𝑖=1 2 ∙ 𝐴𝑡 ∙ 𝑓𝑦𝑡 ∙ 𝑥𝑜 ∙ 𝑦𝑜 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝜃 𝑠 (11.17) Pero 𝐴𝑜ℎ = 𝑥𝑜 · 𝑦𝑜 𝑇𝑛 = 2 ∙ 𝐴𝑜ℎ ∙ 𝐴𝑡 ∙ 𝑓𝑦𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝜃 𝑠 (11.18) 459 Diseño de estructuras de hormigón armado Los puntales diagonales de compresión que se forman paralelamente a las fisuras de torsión son necesarios para el equilibrio de la sección transversal. La componente horizontal de compresión de los puntales en la pared vertical debe estar en equilibrio con la fuerza axial Δ𝑁4 . Δ𝑁4 = 𝑉4 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝜃 = 𝐴𝑡 ∙ 𝑓𝑦𝑡 ∙ 𝑦𝑜 ∙ 𝑐𝑜𝑡 2 𝜃 𝑠 (11.19) Sumando las fuerzas axiales de las cuatro caras se tiene que el incremento total de la fuerza axial en el elemento es: 4 Δ𝑁 = ∑ Δ𝑁𝑖 = 𝑖=1 Δ𝑁 = 𝐴𝑡 ∙ 𝑓𝑦𝑡 ∙ 2 ∙ (𝑥𝑜 + 𝑦𝑜 ) ∙ 𝑐𝑜𝑡 2 𝜃 𝑠 𝐴𝑡 ∙ 𝑓𝑦𝑡 ∙ 𝑝ℎ ∙ 𝑐𝑜𝑡 2 𝜃 𝑠 (11.20) (11.21) Donde 𝑝ℎ = 2 · (𝑥𝑜 + 𝑦𝑜 ) es el perímetro de la línea central de los estribos cerrados. Barras longitudinales son necesarias para resistir el incremento de fuerza axial ∆𝑁. Si ese acero es diseñado para fluir, se tiene: 𝐴ℓ ∙ 𝑓𝑦 = ∆𝑁 = 𝐴ℓ = 𝐴𝑡 ∙ 𝑓𝑦𝑡 ∙ 𝑝ℎ ∙ 𝑐𝑜𝑡 2 𝜃 𝑠 𝑓𝑦𝑡 𝐴𝑡 ∙ 𝑝ℎ ∙ ∙ 𝑐𝑜𝑡 2 𝜃 𝑠 𝑓𝑦 (11.22) Donde: 𝐴ℓ = Área total del refuerzo longitudinal para resistir la torsión en [𝑚𝑚2 ]. 𝑓𝑦 = Tensión de fluencia de las barras longitudinales en [𝑀𝑃𝑎]. Se ha visto experimentalmente que después del agrietamiento, el área efectiva encerrada por el flujo de corte es algo menor que el valor 𝐴𝑜ℎ = 𝑥𝑜 · 𝑦𝑜 , por lo que es recomendable utilizar un valor reducido 𝐴𝑜 = 0.85 · 𝐴𝑜ℎ para las ecuaciones anteriores. En experimentos también se ha encontrado que el espesor del tubo equivalente para cargas próximas a la última es: 𝐴𝑜ℎ 𝑝ℎ (11.23) 𝐴𝑜ℎ = 𝑥𝑜 · 𝑦𝑜 (11.7) 𝑡= 460 Vigas – Resistencia a torsión 𝑝ℎ = 2 · (𝑥𝑜 + 𝑦𝑜 ) (11.8) 11.5. Torsión y corte En general un elemento sujeto a torsión también debe resistir fuerzas cortantes y momentos flectores. En un elemento sin agrietamiento, las fuerzas cortantes y de torsión producen tensiones de corte. En elementos agrietados, el corte y la torsión incrementan las fuerzas en los puntales diagonales y éstos incrementan el ancho de las fisuras diagonales que a su vez incrementan las fuerzas requeridas en los refuerzos transversales. Tensión de corte por fuerzas cortantes: 𝜏= 𝑉 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 (11.24) Tensión de corte por torsión: 𝜏𝑡 = 𝑇 2 ∙ 𝐴𝑜 ∙ 𝑡 (11.25) Como se aprecia en la siguiente figura, para secciones huecas, estas tensiones se adicionan directamente en un lado del elemento. Por lo tanto, para una sección de hormigón armado agrietada con 𝐴𝑜 = 0.85 · 𝐴𝑜ℎ y 𝑡 = 𝐴𝑜ℎ /𝑃ℎ la máxima tensión de corte es: 𝜏 = 𝜏𝑣 + 𝜏𝑡 = 𝑉 𝑇 ∙ 𝑝ℎ + 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 1.7 ∙ 𝐴2𝑜ℎ (11.26) Para elementos de sección sólida, 𝑡 está distribuida predominantemente alrededor del perímetro mientras que la sección completa contribuye a resistir 𝑣 . Resultados experimentales han demostrado que la ecuación anterior es un poco conservadora para secciones sólidas por lo que se sugiere utilizar la siguiente ecuación: 𝑉 2 𝑇 ∙ 𝑝ℎ 𝜏 = √( ) +( ) 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 1.7 ∙ 𝐴2𝑜ℎ 2 (11.27) Estas dos últimas ecuaciones estiman las tensiones de corte en el hormigón bajo cargas de servicio y cargas últimas. 461 Diseño de estructuras de hormigón armado Tensiones por torsión Tensiones por corte Tensiones por torsión Secciones Huecas Tensiones por corte Secciones Sólidas Fig. 11.9. Flujo de tensiones por corte y torsión en secciones sólidas y huecas 11.6. Provisiones del código ACI para el diseño a torsión El código indica que se debe satisfacer la siguiente ecuación: 𝜙 ∙ 𝑇𝑛 ≥ 𝑇𝑢 (11.28) Donde: 𝑇𝑢 = Momento torsor último proveniente de las cargas mayoradas. 𝑇𝑛 = Resistencia nominal a la torsión del elemento. 𝜙 = Factor de reducción de la resistencia (0.75). 2 ∙ 𝐴𝑜 ∙ 𝐴𝑡 ∙ 𝑓𝑦𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝜃 𝑠 2 ∙ 𝐴𝑜 ∙ 𝐴ℓ ∙ 𝑓𝑦 1 𝑇𝑛 = ∙ 𝑝ℎ 𝑐𝑜𝑡𝜃 𝐴𝑜 = 0.85 · 𝐴𝑜ℎ 𝑇𝑛 = (11.29) (11.30) (11.31) Fig. 11.10. Determinación del área 𝑨𝒐𝒉 para diferentes secciones de hormigón armado 462 Vigas – Resistencia a torsión De acuerdo a la sección 9.4.4.3 del código ACI, las secciones localizadas a una distancia menor al canto útil de la sección 𝑑 desde la cara del soporte pueden ser diseñadas para el mismo momento torsor 𝑇𝑢 calculado a una distancia 𝑑, reconociendo el efecto beneficioso de la compresión en el soporte. Sin embargo si un torque concentrado es aplicado dentro de esta distancia, la sección crítica debe ser tomada en la cara del soporte. Vigas de secciones T y cajón Para secciones T, una porción de la parte proyectada del ala contribuye a la capacidad a torsión antes del agrietamiento, pero si el ala esta reforzada con estribos cerrados, entonces también contribuye a la resistencia a torsión después de su agrietamiento. 4 · ℎ ≤ ℎ𝑤 ℎ ℎ𝑤 𝑏𝑤 Fig. 11.11. Contribución de las alas en la capacidad de torsión de vigas T El área 𝐴𝑐𝑝 para secciones cajón, con o sin alas, representa el área encerrada por el perímetro externo al igual que para secciones sólidas. Después del agrietamiento por torsión, el torsor es resistido por la sección 𝐴𝑜ℎ . Para secciones con alas, el código ACI no requiere que la sección utilizada para establecer 𝐴𝑐𝑝 coincida con la usada para establecer 𝐴𝑜ℎ . Momento de torsión mínimo o umbral de torsión La sección 9.5.4.1 del código ACI permite despreciar los efectos de torsión cuando el momento último de torsión 𝑇𝑢 es menor al momento de umbral de torsión 𝜙 ∙ 𝑇𝑡ℎ definido en la sección 22.7.4 del mismo código. Para elementos vaciados monolíticamente con la losa, el ancho de la proyección del ala utilizado para el cálculo de 𝐴𝑐𝑝 y 𝑝𝑐𝑝 debe satisfacer lo requerido en el anterior punto (vigas de sección T y cajón). Para secciones huecas, el área total de la sección 𝐴𝑔 debe ser utilizada en lugar de 𝐴𝑐𝑝 en todas las ecuaciones para hallar el umbral de torsión; y para definir los bordes exteriores de la sección se debe tomar en cuenta también lo indicado en el punto anterior (vigas de sección T y cajón). 463 Diseño de estructuras de hormigón armado Umbral de torsión para secciones transversales sólidas Tipo de elemento 𝑻𝒕𝒉 [𝑵 ∙ 𝒎𝒎] 𝐴2𝑐𝑝 ) 𝑝𝑐𝑝 (11.32) 𝐴2𝑐𝑝 𝑓𝑝𝑐 ) ∙ √1 + 𝑝𝑐𝑝 0.33 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ (11.33) 𝐴2𝑐𝑝 𝑁𝑢 ) ∙ √1 + 𝑝𝑐𝑝 0.33 ∙ 𝐴𝑔 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ (11.34) 0.083 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ ( Elementos no preesforzados Elementos preesforzados Elementos no preesforzados sometidos a fuerza axial. 𝑁𝑢 es positiva si es compresión y negativa si es tracción. 0.083 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ ( 0.083 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ ( Umbral de torsión para secciones transversales huecas Tipo de elemento 𝑻𝒕𝒉 [𝑵 ∙ 𝒎𝒎] 𝐴𝑔2 ) 𝑝𝑐𝑝 (11.32𝑎) 𝐴𝑔2 𝑓𝑝𝑐 ′ 0.083 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐 ∙ ( ) ∙ √1 + 𝑝𝑐𝑝 0.33 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ (11.33𝑎) 𝐴𝑔2 𝑁𝑢 ′ 0.083 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐 ∙ ( ) ∙ √1 + 𝑝𝑐𝑝 0.33 ∙ 𝐴𝑔 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ (11.34𝑎) Elementos no preesforzados Elementos preesforzados Elementos no preesforzados sometidos a fuerza axial. 𝑁𝑢 es positiva si es compresión y negativa si es tracción. 0.083 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ ( En elementos preesforzados, 𝑓𝑝𝑐 es el esfuerzo de compresión, después de que han ocurrido todas las pérdidas de preesforzado, en el centroide de la sección transversal que resiste las cargas externas aplicadas externamente. Para el caso de elementos aislados con alas y para elementos vaciados monolíticamente con la losa, la parte proyectada del ala utilizada en el cálculo de 𝐴𝑐𝑝 y 𝑝𝑐𝑝 debe cumplir con lo indicado anteriormente. Si el parámetro 𝐴2𝑐𝑝 /𝑝𝑐𝑝 calculado para la viga con alas es menor al de la viga sin alas, entonces para el cálculo de 𝐴𝑐𝑝 y 𝑝𝑐𝑝 se deben ignorar las partes proyectadas del ala. Torsión de equilibrio vs. Torsión de compatibilidad Si el máximo momento de torsión 𝑇𝑢 en un elemento es requerido para mantener el equilibrio (torsión de equilibrio) y excede el menor valor especificado para la torsión mínima (𝑇𝑢 ≥ 𝜙 ∙ 𝑇𝑡ℎ ), entonces el elemento debe ser diseñado para resistir la totalidad del momento de torsión 𝑇𝑢 . En estructuras hiperestáticas donde la reducción del momento de torsión en un elemento puede ocurrir por la redistribución de las fuerzas internas después del agrietamiento (torsión secundaria), la sección 22.7.3.2 464 Vigas – Resistencia a torsión del código ACI permite que el máximo momento por torsión 𝑇𝑢 pueda ser reducido al valor de 𝜙 ∙ 𝑇𝑐𝑟 , donde la fisuración por torsión 𝑇𝑐𝑟 se encuentra definida en la sección 22.7.5 del código ACI y que se resume en la siguiente tabla. Sin embargo, los correspondientes momentos flectores y cortantes redistribuidos en los elementos resistentes contiguos deben ser utilizados para el diseño de esos elementos. Para secciones huecas, el área 𝐴𝑐𝑝 no debe ser reemplazada por el área total de la sección 𝐴𝑔 , tal como ocurría para el cálculo del torsor mínimo (umbral de torsión). El valor reducido de 𝑇𝑢 , permitido por el código ACI, trata de aproximar la resistencia al agrietamiento por torsión de la viga de soporte para cargas combinadas de flexión y torsión. Las grandes rotaciones que ocurren esencialmente por un momento de torsión constante, darán como resultado una apreciable redistribución de las fuerzas internas justificando el uso del valor reducido para el diseño del elemento sometido a torsión y de los elementos soportados. Torsión de fisuración para secciones huecas y sólidas Tipo de elemento 𝑻𝒄𝒓 [𝑵 ∙ 𝒎𝒎] 𝐴2𝑐𝑝 ′ 0.33 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐 ∙ ( ) 𝑝𝑐𝑝 (11.35) 𝐴2𝑐𝑝 𝑓𝑝𝑐 ) ∙ √1 + 𝑝𝑐𝑝 0.33 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ (11.36) 𝐴2𝑐𝑝 𝑁𝑢 ) ∙ √1 + 𝑝𝑐𝑝 0.33 ∙ 𝐴𝑔 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ (11.37) Elementos no preesforzados 0.33 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ ( Elementos preesforzados Elementos no preesforzados sometidos a fuerza axial. 𝑁𝑢 es positiva si es compresión y negativa si es tracción. 0.33 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ ( En elementos no pretensados, las secciones localizadas a una distancia menor al canto útil del elemento 𝑑 desde la cara del soporte deben ser diseñadas para un torsor 𝑇𝑢 no menor al calculado para la distancia 𝑑. Si existe un momento torsor concentrado dentro de la distancia 𝑑, la sección crítica para el diseño debe ser considerada en la cara del soporte. Por otro lado, en elementos pretensados, las secciones localizadas a una distancia menor a la mitad de la altura total del elemento ℎ desde la cara del soporte deben ser diseñadas para un torsor 𝑇𝑢 no menor al calculado para la distancia ℎ/2. Si existe un momento torsor concentrado dentro de la distancia ℎ/2, la sección crítica para el diseño debe ser considerada en la cara del soporte. Limitaciones de la tensión de corte Basado en observaciones empíricas, el ancho de las fisuras diagonales producidas por una combinación de corte y torsión bajo cargas de servicio puede ser restringido indirectamente limitando la tensión de corte producida por cargas mayoradas de corte y torsión. 𝑉𝑐 𝑣𝑚𝑎𝑥 = 𝜙 ∙ ( + 0.66 ∙ √𝑓𝑐′ ) 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 𝑣𝑚𝑎𝑥 = 𝜏 (11.38) (11.39) 465 Diseño de estructuras de hormigón armado Combinando la ecuación (11.38) con la ecuación (11.26) se obtiene una relación que limita las dimensiones de la sección transversal de una sección hueca. 𝑉𝑢 𝑇𝑢 ∙ 𝑝ℎ 𝑉𝑐 + ≤𝜙∙( + 0.66 ∙ √𝑓𝑐′ ) 2 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 1.7 ∙ 𝐴𝑜ℎ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 (11.40) Del mismo modo, para secciones sólidas, si la ecuación (11.27) es combinada con la ecuación (11.38) se obtiene otra relación que limita las dimensiones de la sección llena. 2 2 𝑉 𝑇 ∙𝑝 𝑉 √( 𝑢 ) + ( 𝑢 ℎ2 ) ≤ 𝜙 ∙ ( 𝑐 + 0.66 ∙ √𝑓𝑐′ ) 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 1.7 ∙ 𝐴𝑜ℎ (11.41) Si estas relaciones no se cumplen, las dimensiones de la sección transversal o la resistencia del hormigón deben ser incrementadas. Si el espesor de la pared alrededor del perímetro de una sección hueca de hormigón armado varía y es menor a 𝐴𝑜ℎ /𝑝ℎ , entonces utilizar 𝑡 en el segundo término del lado izquierdo de la ecuación (11.40) para hallar la ecuación (11.42). Donde el espesor 𝑡 es el espesor de la pared de la sección hueca en el lugar donde las tensiones son verificadas. 𝑉𝑢 𝑇𝑢 𝑉𝑐 + ≤𝜙∙( + 0.66 ∙ √𝑓𝑐′ ) 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 1.7 ∙ 𝐴𝑜ℎ ∙ 𝑡 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 (11.42) Refuerzo para torsión. La resistencia nominal a la torsión de una sección de hormigón armado está dada por el menor valor que se obtiene de las siguientes dos ecuaciones: 2 ∙ 𝐴𝑜 ∙ 𝐴𝑡 ∙ 𝑓𝑦𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝜃 𝑠 2 ∙ 𝐴𝑜 ∙ 𝐴ℓ ∙ 𝑓𝑦 1 ∙ 𝑇𝑛 = 𝑝ℎ 𝑐𝑜𝑡𝜃 𝑇𝑛 = (11.29) (11.30) El código ACI recomienda que el ángulo 𝜃 se mantenga entre 30° y 60°, pero se sugiere 𝜃 = 45° para hormigón armado. La sección 22.7.6.1.2 del código permite que el ángulo 𝜃 tenga los siguientes valores: a) 45° para elementos de hormigón no pretensado o elementos de hormigón pretensado con 𝐴𝑝𝑠 ∙ 𝑓𝑠𝑒 < 0.4 ∙ (𝐴𝑝𝑠 ∙ 𝑓𝑝𝑢 + 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ). b) 37.5° para elementos de hormigón pretensado con una fuerza efectiva de pretensado 𝐴𝑝𝑠 ∙ 𝑓𝑠𝑒 ≥ 0.4 ∙ (𝐴𝑝𝑠 ∙ 𝑓𝑝𝑢 + 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ). Para hallar las armaduras transversal y longitudinal del elemento, se reemplazan las ecuaciones (11.29) y (11.30) en la ecuación (11.28) que expresa que la resistencia nominal de diseño a la torsión 𝜙 · 𝑇𝑛 debe ser siempre mayor o igual al momento torsor último 𝑇𝑢 . 466 Vigas – Resistencia a torsión 𝜙 ∙ 𝑇𝑛 ≥ 𝑇𝑢 (11.28) De las ecuaciones (11.29) y (11.30) se desprenden las siguientes dos ecuaciones. 𝑇𝑢 ∙ 𝑠 2 ∙ 𝜙 ∙ 𝐴𝑜 ∙ 𝑓𝑦𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝜃 𝑇𝑢 ∙ 𝑝ℎ ∙ 𝑐𝑜𝑡𝜃 𝐴ℓ ≥ 2 ∙ 𝜙 ∙ 𝐴𝑜 ∙ 𝑓𝑦 (11.43) 𝐴𝑡 ≥ (11.44) Donde: 𝐴𝑡 = Área de una rama de un estribo cerrado que resiste la torsión con un espaciamiento 𝑠. 𝐴ℓ = Área total del refuerzo longitudinal para resistir torsión. La tensión de fluencia del refuerzo transversal 𝑓𝑦𝑡 es limitada por la sección 20.2.2.4 del código ACI a un máximo de 420 [𝑀𝑃𝑎] por razones de control del ancho del agrietamiento diagonal. Para el armado de un elemento de hormigón, el refuerzo por torsión debe ser combinado con el refuerzo por corte. Si se considera un estribo típico de dos brazos, la adición del área de los estribos por torsión y corte se la realiza considerando que el refuerzo por torsión 𝐴𝑡 es para un solo brazo, mientras que el refuerzo por corte 𝐴𝑣 es para dos brazos. 𝐴𝑣+𝑡 𝐴𝑣 2 ∙ 𝐴𝑡 = + 𝑠 𝑠 𝑠 (11.45) Los estribos para ser efectivos en torsión deben ser necesariamente cerrados porque de esa manera pueden proveer la capacidad a tracción requerida cuando atraviesan las fisuras diagonales de todas las caras del elemento. Los estribos en forma de U utilizados comúnmente para corte no pueden utilizarse como refuerzo para torsión. Por otro lado, la utilización de estribos cerrados de una sola pieza puede muchas veces dificultar el armado de vigas en la obra, por lo que en muchos lugares se ha adoptado, como práctica común, la utilización de estribos cerrados de dos piezas. Confinamiento por la losa Confinamiento por la losa Viga perimetral con losa en un lado Viga interior con losa en ambos lados Sin confinamiento, utilizar ganchos de 135° Viga rectangular aislada Fig. 11.12. Disposición de los estribos para torsión en vigas 467 Diseño de estructuras de hormigón armado Debido a que el hormigón fuera de una caja de refuerzo mal detallada tiende a caerse cuando el elemento es solicitado por torsión, el refuerzo transversal debe ser anclado dentro del núcleo central de hormigón. El código ACI en su sección 9.7.6.3.1 requiere que los extremos de los estribos sean anclados utilizando un gancho estándar de 135° alrededor de una barra longitudinal, a menos que el hormigón alrededor del anclaje no pueda desprenderse porque está restringido por un ala o losa. En ese caso se puede utilizar un gancho estándar de 90°. La superposición invertida de dos estribos en U no debe utilizarse como refuerzo transversal para torsión. Cuando las alas de una viga son tomadas en cuenta en el cálculo de la resistencia a torsión de vigas con secciones T o L, se debe armar adecuadamente el ala para tal propósito y colocar estribos cerrados como se muestra en la siguiente figura. Fig. 11.13. Detalle de la armadura en la losa para vigas de sección T y L El espaciamiento 𝑠 de los estribos cerrados, para satisfacer la ecuación anterior, es seleccionado al tanteo con base al diámetro de las barras estándar. Para el control del agrietamiento en espiral, el máximo espaciamiento de los estribos 𝑠𝑚𝑎𝑥 para torsión no debe exceder 𝑃ℎ /8 o 300 [𝑚𝑚]. La sección 9.6.4.1 del código ACI requiere un mínimo de armadura por torsión en todas aquellas partes de un elemento de hormigón armado donde los momentos últimos de torsión 𝑇𝑢 exceden el torsor mínimo dado por las ecuaciones (11.32), (11.33) y (11.34). La siguiente ecuación estima el área mínima de refuerzo por torsión que requiere el código. (𝐴𝑣 + 2 ∙ 𝐴𝑡 )𝑚𝑖𝑛 = 0.062 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑠 𝑏𝑤 ∙ 𝑠 ≥ 0.35 ∙ 𝑓𝑦𝑡 𝑓𝑦𝑡 (11.46) El área de refuerzo longitudinal 𝐴ℓ que se requiere para resistir la torsión es la dada por las ecuaciones (11.22) o (11.44), donde 𝜃 debe ser el mismo ángulo que se utilizó para calcular 𝐴𝑡 . El valor 𝐴𝑡 /𝑠 en la ecuación (11.22) debe ser tomado como el valor calculado utilizando la ecuación de 𝐴𝑡 sin modificación por el requerimiento mínimo de acero transversal. 468 Vigas – Resistencia a torsión 𝑓𝑦𝑡 𝐴𝑡 ∙ 𝑝ℎ ∙ ∙ 𝑐𝑜𝑡 2 𝜃 𝑠 𝑓𝑦 𝑇𝑢 ∙ 𝑠 𝐴𝑡 = 2 ∙ 𝜙 ∙ 𝐴𝑜 ∙ 𝑓𝑦𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝜃 𝐴𝑡 𝑇𝑢 = 𝑠 2 ∙ 𝜙 ∙ 𝐴𝑜 ∙ 𝑓𝑦𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝜃 𝐴ℓ = (11.22) (11.43) (11.47) Si se reemplaza la ecuación (11.47) en la ecuación (11.22) y se procede a simplificar términos semejantes, se obtiene la ecuación para la armadura longitudinal de torsión 𝐴ℓ . 𝐴ℓ = 𝑇𝑢 ∙ 𝑝ℎ ∙ 𝑐𝑜𝑡𝜃 2 ∙ 𝜙 ∙ 𝐴𝑜 ∙ 𝑓𝑦 (11.48) La sección 9.5.4.5 del código ACI permite que la fracción de 𝐴ℓ en la zona comprimida por flexión sea reducida por una cantidad igual a 𝑀𝑢 /(0.9 · 𝑑 · 𝑓𝑦 ), donde 𝑀𝑢 es el momento mayorado en la sección en combinación con 𝑇𝑢 . La reducción no debe dejar un área del refuerzo longitudinal en la zona comprimida menor al área mínima 𝐴𝑙𝑚𝑖𝑛 , ni tampoco afectar a los requerimientos de mínimo diámetro y máximo espaciamiento del refuerzo que se explican más adelante. En experimentos de laboratorio, se ha comprobado que elementos, con una cuantía de refuerzo menor al 1% en volumen, han fallado en torsión pura para el momento de torsión que produce la primera fisura. En el código de 1989 y anteriores, se presentaba una relación que aproximadamente requería 1% de acero longitudinal en vigas cargadas en torsión pura y una cantidad menor para vigas sometidas a corte y torsión. La siguiente ecuación es una simplificación para el cálculo de la armadura longitudinal y en ella se requiere aproximadamente una cuantía del 0.5% en volumen. 𝐴ℓ𝑚𝑖𝑛 = 𝑓𝑦𝑡 𝑓𝑦𝑡 0.42 ∙ √𝑓𝑐′ 𝐴𝑡 0.175 ∙ 𝑏𝑤 0.42 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝐴𝑐𝑝 − ( ) ∙ 𝑝ℎ ∙ ( ) ≤ ∙ 𝐴𝑐𝑝 − ( ) ∙ 𝑝ℎ ∙ ( ) 𝑓𝑦 𝑠 𝑓𝑦 𝑓𝑦 𝑓𝑦𝑡 𝑓𝑦 (11.49) Donde: 𝑓𝑦𝑡 = Tensión de fluencia de los estribos transversales cerrados en [𝑀𝑃𝑎]. 𝑏𝑤 = Ancho del alma en [𝑚𝑚]. El espaciamiento de las barras longitudinales no debe exceder 300 [𝑚𝑚] y éstas deben ser distribuidas alrededor del perímetro de la sección transversal para controlar el agrietamiento, considerando que en cada esquina de los estribos debe existir por lo menos una barra longitudinal. El diámetro de las barras debe ser mayor a 10 [𝑚𝑚] o 0.042 veces el espaciamiento del refuerzo transversal. Se debe colocar por lo menos una barra en cada esquina de los estribos. Para que las barras longitudinales puedan desarrollar su resistencia a la fluencia, se debe prestar atención especial a sus anclajes en los extremos. El refuerzo requerido por torsión puede ser combinado con el refuerzo requerido por otras solicitaciones siempre y cuando el área colocada sea la suma de las áreas requeridas individualmente y que los requerimientos más restrictivos de espaciamiento y colocado sean cumplidos. 469 Diseño de estructuras de hormigón armado Según la sección 9.7.5.3 del código ACI, el refuerzo para torsión debe ser colocado por lo menos a una distancia 𝑏𝑡 + 𝑑 más allá del punto donde teóricamente deja de ser requerido, donde 𝑏𝑡 es el ancho de la parte de la sección transversal que contiene los estribos cerrados para torsión. El punto teórico donde el refuerzo por torsión deja de ser necesario es aquel en el cual el momento de torsión último es menor a un cuarto del momento de torsión que produce la primera fisura (𝑇𝑢 < 0.25 ∙ 𝜙 ∙ 𝑇𝑐𝑟 ). Diseño por torsión Para realizar un diseño apropiado a torsión, es conveniente seguir los siguientes pasos: a) Se calcula el momento de torsión último 𝑇𝑢 . Con base a las diferentes combinaciones de carga, se determina el momento de torsión último 𝑇𝑢 en la o las secciones del elemento a diseñar. b) Se verifica si se puede despreciar la torsión. Si 𝑇𝑢 < 0.25 ∙ 𝜙 ∙ 𝑇𝑐𝑟 entonces la torsión puede ser despreciada. Para el cálculo de 𝐴𝑐𝑝 y 𝑝𝑐𝑝 en secciones T y L se debe considerar las porciones de sus alas de la siguiente manera. 4 · ℎ ≤ ℎ𝑤 ℎ ℎ𝑤 𝑏𝑤 Si el momento de torsión es debido a compatibilidad y no a equilibrio, el máximo momento de torsión mayorado puede ser reducido, pero los momentos flectores y cortantes en los elementos resistentes deben ser ajustados. Si el momento de torsión es debido a equilibrio, entonces no puede ser reducido. c) Se verifica las dimensiones de la sección transversal. Se debe verificar que la sección transversal tenga las dimensiones suficientes para resistir el momento de torsión y la fuerza cortante en el punto considerado, caso contrario las dimensiones deben ser aumentadas. 470 Vigas – Resistencia a torsión Secciones huecas. 𝑉𝑢 𝑇𝑢 ∙ 𝑝ℎ 𝑉𝑐 + ≤𝜙∙( + 0.66 ∙ √𝑓𝑐′ ) 2 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 1.7 ∙ 𝐴𝑜ℎ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 (11.40) Secciones sólidas. 2 2 𝑉 𝑇 ∙𝑝 𝑉 √( 𝑢 ) + ( 𝑢 ℎ2 ) ≤ 𝜙 ∙ ( 𝑐 + 0.66 ∙ √𝑓𝑐′ ) 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 1.7 ∙ 𝐴𝑜ℎ d) (11.41) Se calcula el refuerzo transversal. Se calcula independientemente el área de refuerzo transversal necesario para resistir torsión 𝐴𝑡 y corte 𝐴𝑣 , para después combinarlas. Refuerzo transversal por torsión 𝑇𝑢 ∙ 𝑠 𝐴𝑡 ≥ 2 ∙ 𝜙 ∙ 𝐴𝑜 ∙ 𝑓𝑦𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝜃 (11.43) Refuerzo transversal por corte (𝑉𝑢 − 𝜙 ∙ 𝑉𝑐 ) 𝐴𝑣 ≥ 𝜙 ∙ 𝑓𝑦𝑡 ∙ 𝑑 (5.17) Adición del refuerzo por corte y del refuerzo por torsión 𝐴𝑣+𝑡 𝐴𝑣 2 ∙ 𝐴𝑡 = + 𝑠 𝑠 𝑠 e) (11.45) Se verifica si el refuerzo transversal es mayor al mínimo. Se verifica si el refuerzo transversal calculado es mayor al mínimo requerido para corte y torsión, y si se cumple con el espaciamiento máximo. (𝐴𝑣 + 2 ∙ 𝐴𝑡 )𝑚𝑖𝑛 = 0.062 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑠 𝑏𝑤 ∙ 𝑠 ≥ 0.35 ∙ 𝑓𝑦𝑡 𝑓𝑦𝑡 (11.46) Para torsión: 𝑠 ≤ 0.125 ∙ 𝑝ℎ o 300 [𝑚𝑚] Para corte: 𝑉 Si 𝜙𝑢 − 𝑉𝑐 = 𝑉𝑠 ≤ 0.33 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 𝑠 ≤ 0.5 ∙ 𝑑 o 600 [𝑚𝑚] 471 Diseño de estructuras de hormigón armado Para corte: 𝑉 Si 𝜙𝑢 − 𝑉𝑐 = 𝑉𝑠 > 0.33 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 𝑠 ≤ 0.25 ∙ 𝑑 o 300 [𝑚𝑚] f) Refuerzo longitudinal requerido por torsión. Se calcula el refuerzo longitudinal requerido por torsión con cualquiera de las ecuaciones (11.22) o (11.44), el cual es después añadido al refuerzo requerido por flexión. 𝑓𝑦𝑡 𝐴𝑡 ∙ 𝑝ℎ ∙ ∙ 𝑐𝑜𝑡 2 𝜃 𝑠 𝑓𝑦 𝑇𝑢 ∙ 𝑝ℎ ∙ 𝑐𝑜𝑡𝜃 𝐴ℓ = 2 ∙ 𝜙 ∙ 𝐴𝑜 ∙ 𝑓𝑦 𝐴ℓ = 𝐴ℓ𝑚𝑖𝑛 = (11.22) (11.44) 𝑓𝑦𝑡 𝑓𝑦𝑡 0.42 ∙ √𝑓𝑐′ 𝐴𝑡 0.42 ∙ √𝑓𝑐′ 0.175 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝐴𝑐𝑝 − ( ) ∙ 𝑝ℎ ∙ ( ) ≤ ∙ 𝐴𝑐𝑝 − ( ) ∙ 𝑝ℎ ∙ ( ) 𝑓𝑦 𝑠 𝑓𝑦 𝑓𝑦 𝑓𝑦𝑡 𝑓𝑦 (11.49) Se debe cuidar que la distancia máxima entre barras longitudinales sea menor o igual a 300 [𝑚𝑚] y que su diámetro sea mayor a 10 [𝑚𝑚] o 0.042 veces el espaciamiento entre estribos. g) Colocación del refuerzo por torsión. Colocar el refuerzo para torsión a una distancia 𝑏𝑡 + 𝑑 más allá del punto donde teóricamente deja de ser requerido (𝑇𝑢 < 0.25 ∙ 𝜙 ∙ 𝑇𝑐𝑟 ). Ejemplo. Una viga de 8.50 [𝑚] de luz soporta una losa de 1.70 [𝑚] en voladizo. La viga resultante de sección L soporta una carga viva de 13 [𝑘𝑁/𝑚] a lo largo de su línea central, más una carga viva de 2.40 [𝑘𝑁/𝑚2 ] sobre la superficie superior de la losa. La profundidad efectiva al centro de gravedad del acero de flexión es 540 [𝑚𝑚] y la distancia desde la cara externa de la viga al centro de gravedad del estribo es de 40 [𝑚𝑚]. Diseñar el refuerzo por torsión y corte para la viga si el hormigón tiene una resistencia característica a los 28 días de 35 [𝑀𝑃𝑎] y el acero una tensión mínima de fluencia de 420 [𝑀𝑃𝑎]. 8500 1850 1700 150 610 𝑑 = 540 [𝑚𝑚] 300 472 Vigas – Resistencia a torsión Peso unitario del hormigón: 𝑐 = 24 [𝑘𝑁/𝑚3] Para hormigón de peso unitario normal 𝜆 = 1.0 a) Cálculo del momento de torsión. Cargas sobre la losa Carga muerta: 𝑤𝐷 = 1.2 · 24 · 1.70 · 0.15 = 7.34 [𝑘𝑁/𝑚] Carga viva: 𝑤𝐿 = 1.6 · 2.40 · 1.7 = 6.53 [𝑘𝑁/𝑚] 𝑤𝐷 + 𝑤𝐿 = 13.87 [𝑘𝑁/𝑚] con 1.00 [𝑚] de excentricidad Cargas directas en la viga Carga muerta: 𝑤𝐷 = 1.2 · 24 · 0.30 · 0.61 = 5.27 [𝑘𝑁/𝑚] Carga viva: 𝑤𝐿 = 1.6 · 13 = 20.80 [𝑘𝑁/𝑚] 𝑤𝐷 + 𝑤𝐿 = 26.07 [𝑘𝑁/𝑚] La carga total distribuida sobre la viga es igual a 39.94 [𝑘𝑁/𝑚] (13.87 [𝑘𝑁/𝑚] + 26.07 [𝑘𝑁/𝑚]) y actúa en forma conjunta con un momento de torsión uniformemente distribuido de 13.87 [𝑘𝑁 · 𝑚/𝑚] que resulta de multiplicar la carga 13.87 [𝑘𝑁 · 𝑚] que actúa sobre la losa por su excentricidad de 1.00 [𝑚]. Diagramas de corte y momento de torsión 𝑑 169.7 148.1 𝜙 · 𝑉𝑐 = 119.8 + “𝑉𝑢 ” [𝑘𝑁] 1250 𝑑 58.9 51.4 + “𝑇𝑢 ” [𝑘𝑁 · 𝑚] 4250 473 Diseño de estructuras de hormigón armado b) Se verifica si se puede despreciar la torsión. 300 𝑎 150 610 45° 300 Condiciones para el valor de 𝑎: 𝑎 ≤ 4 · ℎ = 600 [𝑚𝑚] 𝑎 ≤ ℎ − ℎ = 460 [𝑚𝑚] Por tanto, 𝑎 = 460 [𝑚𝑚] 𝐴𝑐𝑝 = 610 · 300 + 460 · 150 = 252000 [𝑚𝑚2 ] 𝑝𝑐𝑝 = 2 · (610 + 300 + 460) = 2740 [𝑚𝑚] De acuerdo al código ACI, el momento de torsión puede despreciarse si: 𝑇𝑢 ≤ 𝜙 ∙ 0.083 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ ( 𝐴2𝑐𝑝 2520002 ) = 0.75 ∙ 0.083 ∙ 1 ∙ √35 ∙ ( ) = 8535400 [𝑁 ∙ 𝑚𝑚] 𝑝𝑐𝑝 2740 𝑇𝑢 ≤ 8.54 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] Como el momento de torsión último, cuyo valor es de 51.4 [𝑘𝑁 · 𝑚], es mayor a 8.54 [𝑘𝑁 · 𝑚], éste no puede ser despreciado. Además, como el momento de torsión es de equilibrio no puede ser reducido. c) Verificación de las dimensiones de la sección transversal. Antes de proceder al cálculo del refuerzo por torsión, la sección debe ser verificada para determinar si es adecuada para resistir las tensiones de corte producidas por el momento de torsión y la fuerza cortante. 2 2 𝑉 𝑇 ∙𝑝 𝑉 √( 𝑢 ) + ( 𝑢 ℎ2 ) ≤ 𝜙 ∙ ( 𝑐 + 0.66 ∙ √𝑓𝑐′ ) 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 1.7 ∙ 𝐴𝑜ℎ 474 Vigas – Resistencia a torsión Para la verificación de la sección a corte y torsión no se considerara la contribución de la parte del ala que se proyecta fuera del alma y tampoco se proveerá refuerzo alguno para torsión en ella. 𝑉𝑢 = 148100 [𝑁] 𝑏𝑤 · 𝑑 = 300 · 540 = 162000 [𝑚𝑚2 ] 𝑇𝑢 = 51.4 · 106 [𝑁 · 𝑚𝑚] 𝑥𝑜 = 300 − 2 · 40 = 220 [𝑚𝑚] 𝑦𝑜 = 610 − 2 · 40 = 530 [𝑚𝑚] 𝑝ℎ = 2 · (𝑥𝑜 + 𝑦𝑜 ) = 2 · (220 + 530) = 1500 [𝑚𝑚] 𝐴𝑜ℎ = 𝑥𝑜 · 𝑦𝑜 = 220 · 530 = 116600 [𝑚𝑚2 ] 𝑉𝑐 = 0.17 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 = 0.17 ∙ 1 ∙ √35 ∙ 300 ∙ 540 = 162929 [𝑁] 2 148100 2 51.4 ∙ 106 ∙ 1500 162929 √( ) +( + 0.66 ∙ √35) ) ≤𝜙∙( 2 162000 1.7 ∙ 116600 162000 Como 3.46 [𝑀𝑃𝑎] ≤ 3.67 [𝑀𝑃𝑎], la sección tiene dimensiones adecuadas d) Cálculo del refuerzo transversal. Se calculan los valores del refuerzo transversal por torsión 𝐴𝑡 y por corte 𝐴𝑣 considerando un ángulo = 45°. 𝐴𝑜 = 0.85 · 𝐴𝑜ℎ = 0.85 · 116600 = 99110 [𝑚𝑚2 ] 𝐴𝑡 = 𝑇𝑢 ∙ 𝑠 51.4 ∙ 106 ∙ 𝑠 = = 0.823 ∙ 𝑠 2 ∙ 𝜙 ∙ 𝐴𝑜 ∙ 𝑓𝑦𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝜃 2 ∙ 0.75 ∙ 99110 ∙ 420 ∙ 𝑐𝑜𝑡45° 𝐴𝑡 = 0.823 · 𝑠 para una rama de un estribo cerrado o 1.646 · 𝑠 para dos ramas. La capacidad al corte de la sección de hormigón es: 162929 = 122.20 [𝑘𝑁] 1000 (𝑉𝑢 − 𝜙 ∙ 𝑉𝑐 ) ∙ 𝑠 (148.10 − 122.20) ∙ 1000 ∙ 𝑠 𝐴𝑣 = = = 0.152 ∙ 𝑠 𝜙 ∙ 𝑓𝑦𝑡 ∙ 𝑑 0.75 ∙ 420 ∙ 540 𝐴𝑣 = 0.152 · 𝑠 que debe ser colocado en dos ramas verticales. 𝜙 ∙ 𝑉𝑐 = 𝜙 ∙ 0.17 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 = 0.75 ∙ Añadir el área de estribos de corte y torsión. 𝐴𝑣+𝑡 𝐴𝑣 𝐴𝑡 0.152 ∙ 𝑠 1.646 ∙ 𝑠 𝑚𝑚2 = +2∙ = + = 1.798 [ ] 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠 𝑚𝑚 475 Diseño de estructuras de hormigón armado e) Refuerzo mínimo transversal. Se verifica si el área transversal es mayor a la mínima requerida. (𝐴𝑣 + 2 ∙ 𝐴𝑡 )𝑚𝑖𝑛 𝑏𝑤 𝑏𝑤 = 0.062 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ ≥ 0.35 ∙ 𝑓𝑦𝑡 𝑓𝑦𝑡 𝑠 (𝐴𝑣 + 2 ∙ 𝐴𝑡 )𝑚𝑖𝑛 300 𝑚𝑚2 𝑚𝑚2 = 0.062 ∙ √35 ∙ = 0.262 [ ] ≥ 0.250 [ ] 𝑠 𝑚𝑚 𝑚𝑚 420 𝑚𝑚2 𝑚𝑚2 Como 1.798 [ 𝑚𝑚 ] > 0.262 [ 𝑚𝑚 ], la armadura mínima no controla. Se selecciona el diámetro del estribo. Para Para Para 𝜙 8 𝑚𝑚 𝜙 10 𝑚𝑚 𝜙 12 𝑚𝑚 𝐴𝑣+𝑡 = 100.6 [𝑚𝑚2 ] 𝐴𝑣+𝑡 = 157.0 [𝑚𝑚2 ] 𝐴𝑣+𝑡 = 226.2 [𝑚𝑚2 ] (dos ramas) (dos ramas) (dos ramas) 𝑠 = 56 [𝑚𝑚] 𝑠 = 87 [𝑚𝑚] 𝑠 = 126 [𝑚𝑚] Espaciamiento máximo. 𝑠≤ 𝑝ℎ 1500 = = 188 [𝑚𝑚] ≤ 300 [𝑚𝑚] 8 8 Para corte. 𝑉𝑠 = 𝑉𝑢 148.1 − 𝑉𝑐 = − 162.93 = 34.54 [𝑘𝑁] 𝜙 0.75 0.33 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 = 0.33 ∙ √35 ∙ 300 ∙ 540 = 316.27 [𝑘𝑁] 1000 Como 𝑉𝑠 = 37.8 [𝑘𝑁] ≤ 316.27 [𝑘𝑁] la separación máxima de los estribos es: 𝑠≤ 𝑑 540 = = 270 [𝑚𝑚] ≤ 600 [𝑚𝑚] 2 2 Por lo tanto 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 188 [𝑚𝑚] Se utilizan estribos cerrados 𝜙12 𝑐/125 f) Refuerzo longitudinal por torsión. Se calcula el refuerzo longitudinal que se requiere como complemento al refuerzo transversal hallado. 476 Vigas – Resistencia a torsión 𝐴ℓ = 𝑓𝑦𝑡 𝐴𝑡 ∙ 𝑝ℎ ∙ ∙ 𝑐𝑜𝑡 2 𝜃 𝑠 𝑓𝑦 𝐴𝑡 = 0.823 (Valor calculado en el inciso d) 𝑠 2 2 2 ℓ = 0.823 ∙ 1500 ∙ 𝑐𝑜𝑡 45° = 1235 [𝑚𝑚 ] = 12.4 [𝑐𝑚 ] 𝐴ℓ𝑚𝑖𝑛 = 𝑓𝑦𝑡 𝑓𝑦𝑡 0.42 ∙ √𝑓𝑐′ 𝐴𝑡 0.42 ∙ √𝑓𝑐′ 0.175 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝐴𝑐𝑝 − ( ) ∙ 𝑝ℎ ∙ ( ) ≤ ∙ 𝐴𝑐𝑝 − ( ) ∙ 𝑝ℎ ∙ ( ) 𝑓𝑦 𝑠 𝑓𝑦 𝑓𝑦 𝑓𝑦𝑡 𝑓𝑦 𝐴ℓ𝑚𝑖𝑛 = 0.42 ∙ √35 0.42 ∙ √35 300 ∙ 252000 − 0.823 ∙ 1500 ≤ ∙ 252000 − 0.175 ∙ ∙ 1500 420 420 420 𝐴ℓ𝑚𝑖𝑛 = 256 [𝑚𝑚2 ] ≤ 1303 [𝑚𝑚2 ] Por tanto: 𝐴ℓ𝑚𝑖𝑛 = 2.56 [𝑐𝑚2 ] Como la armadura mínima 𝐴ℓ𝑚𝑖𝑛 es menor a la requerida, entonces controla la armadura longitudinal 𝐴ℓ . 𝐴ℓ = 12.4 [𝑐𝑚2 ] Por las dimensiones de la viga se requieren por lo menos 6 barras. Condiciones para el diámetro de la barra 𝑑𝑏 : 𝑑𝑏 ≥ 100 [𝑚𝑚] 𝑑𝑏 ≥ 0.042 ∙ 𝑠 = 0.042 ∙ 125 = 5.2 [𝑚𝑚] Se utilizan 6𝜙16 cuya área de 12.06 [𝑐𝑚2 ] es aproximadamente igual a la requerida de 𝐴ℓ = 12.4 [𝑐𝑚2 ]. 3.05 [𝑐𝑚2 ] 2𝜙16 3.05 [𝑐𝑚2 ] 3.05 [𝑐𝑚2 ] 2𝜙16 2𝜙16 𝐸𝜙12 𝑐/125 3.05 [𝑐𝑚2 ] 477 Diseño de estructuras de hormigón armado 11.7. Problemas propuestos 1. Una viga en voladizo de 2500 [𝑚𝑚] de largo y de 450 [𝑚𝑚] de ancho soporta además de su peso propio una carga concentrada localizada a 110 [𝑚𝑚] del eje vertical de la misma. La carga concentrada está compuesta por las siguientes cargas de servicio: 70 [𝑘𝑁] de carga muerta y 90 [𝑘𝑁] de carga viva. Diseñar el refuerzo necesario para flexión, corte y torsión. Utilizar un acero con tensión de fluencia de 420 [𝑀𝑃𝑎] y un hormigón con resistencia característica a los 28 días de 25 [𝑀𝑃𝑎]. La deflexión inmediata por carga viva no debe exceder ℓ/360. Dibujar la sección transversal crítica detallando la posición y diámetro de las armaduras encontradas. La distribución de la armadura debe tener en cuenta el control de agrietamiento. 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑐′ = 25 [𝑀𝑃𝑎] 𝑐 = 24 [𝑘𝑁/𝑚3 ] 2500 Dimensiones en [𝑚𝑚] 𝑃𝐷 + 𝑃𝐿 110 ℎ 450 Sección Transversal 2. Una escalera helicoidal tiene sus dos extremos empotrados y tiene un desarrollo de 270°. Por requerimientos arquitectónicos el ancho de la escalera ha sido fijado en 2000 [𝑚𝑚] y su radio, al centro del ancho de la escalera, es de 1950 [𝑚𝑚]. La altura de piso a piso es de 3500 [𝑚𝑚]. El hormigón tiene una resistencia característica a los 28 días de 20 [𝑀𝑃𝑎] y el acero una tensión mínima de fluencia de 420 [𝑀𝑃𝑎]. Considerar para el diseño todas las cargas muertas que a su juicio sean necesarias y una carga viva de servicio de 2.85 [𝑘𝑁/𝑚2 ]. a) Dibujar los diagramas de esfuerzos (𝑃𝑥 , 𝑀𝑦 , 𝑀𝑧 , 𝑉𝑦 , 𝑉𝑧 y 𝑇𝑥 ) para las cargas últimas. b) Determinar la altura mínima ℎ de la sección transversal de tal modo que las tensiones de corte producidas por las fuerzas cortantes y de torsión estén dentro de los límites especificados por el código ACI. c) Determinar las armaduras transversal y longitudinal que requiere la sección transversal para resistir los momentos torsores 𝑇𝑥 y los esfuerzos cortantes 𝑉𝑦 y 𝑉𝑧 . Realizar el diseño en diferentes puntos a lo largo del desarrollo de la escalera. 478 Vigas – Resistencia a torsión d) Determinar las armaduras longitudinales que requiere la sección transversal para resistir la fuerza axial 𝑃𝑥 y los momentos flectores 𝑀𝑦 y 𝑀𝑧 . Realizar el diseño en diferentes puntos a lo largo del desarrollo de la escalera. e) Dibujar la sección o secciones transversales críticas detallando la armadura transversal y longitudinal. Sección transversal de la escalera helicoidal Z X Y ℎ 2000 [𝑚𝑚] 3. La vista en planta de una columna con su viga de borde se muestran abajo. El ancho de la viga de borde es el mismo que el de la columna (450 [𝑚𝑚]). 450 450 𝑓𝑐′ = 30 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] a) Si la viga de borde es sujeta a un torque de compatibilidad de 22.6 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] en la sección crítica, ¿Qué tan alta debe ser esta viga para que los efectos de la torsión sean ignorados? b) Si la viga de borde tiene 610 [𝑚𝑚] de alto y 450 [𝑚𝑚] de ancho y está sujeta a un torque de compatibilidad de 22.6 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] en la sección crítica, ¿Cuál es el torque de diseño 𝑇𝑢 ? ¿Cuál es el área de refuerzo por torsión transversal (𝐴𝑡 /𝑠) que se necesita en la sección crítica para la viga del inciso b)? 479 CAPÍTULO 12 LOSAS ARMADAS EN DOS DIRECCIONES 12. Losas armadas en dos direcciones 12.1. Introducción Las losas son los elementos estructurales más complejos de uso común en el diseño de estructuras de hormigón armado. El análisis de estos elementos es complejo por las siguientes razones: a) Aunque se asume un comportamiento lineal, elástico, homogéneo e isotrópico, muy pocas soluciones exactas están disponibles para los casos más comunes. b) Las losas reales de hormigón armado están agrietadas y tienen un refuerzo de acero con disposiciones no uniformes, por lo que plantear una solución exacta es imposible. Sin embargo, el grado elevado de indeterminación de las losas hace posible una gran cantidad de redistribución inelástica de momentos. Esto a su vez posibilita el desarrollo de varios métodos aproximados para el análisis y diseño de losas. En la actualidad las losas que trabajan en dos direcciones pueden ser analizadas por uno o más de los siguientes procedimientos: Análisis elástico exacto de casos simples. Adaptación de los resultados del análisis elástico para diseñar las losas utilizando la experiencia (métodos de diseño directo). Método del pórtico equivalente para losas irregulares. Teoría de las líneas de fisura. Método de las franjas. Programas de análisis estructural utilizando elementos tipo barra. 481 Diseño de estructuras de hormigón armado Método de los elementos finitos. 12.2. Análisis exacto de losas Para realizar un análisis exacto de losas es importante definir primero las suposiciones sobre las cuales se va a trabajar. Las suposiciones que se adoptan comúnmente son las siguientes: a) La placa es horizontal y las cargas actúan en forma vertical y perpendicular al plano de la misma. b) El material que compone la placa es homogéneo y la placa tiene un espesor uniforme. c) La placa tiene un espesor intermedio (no muy delgado, ni tampoco muy grueso). El comportamiento de una placa depende primordialmente de su espesor, puesto que en placas muy delgadas la acción principal es la de membrana, mientras que en placas muy gruesas es el esfuerzo cortante. En consecuencia, en placas de espesor intermedio la acción más importante es la flexión. d) Las secciones planas antes de la aplicación de las cargas se mantienen planas una vez aplicadas las mismas, por tanto se asume una distribución lineal de las deformaciones en todo el espesor de la placa. e) El material tiene un comportamiento lineal y elástico para que la ley de Hooke se cumpla. f) Las deflexiones de la losa son pequeñas, por lo que el equilibrio se lo realiza sobre la geometría original. Para estudiar el comportamiento de una losa se va a analizar un elemento diferencial 𝑑𝑥 · 𝑑𝑦 sometido a una carga 𝑞 uniformemente distribuida. El elemento tiene un comportamiento elástico lineal y se asume que sus deflexiones son pequeñas y por ello se realiza el equilibrio en la posición original. Se realiza el equilibrio del elemento de placa. ∑ 𝐹𝑣 = 0 + 𝑞 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 + (𝑉𝑦 + 𝑞 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 + 𝑞+ 482 𝜕𝑉𝑦 𝜕𝑉𝑥 ∙ 𝑑𝑦) ∙ 𝑑𝑥 + (𝑉𝑥 + ∙ 𝑑𝑥) ∙ 𝑑𝑦 − 𝑉𝑥 ∙ 𝑑𝑦 − 𝑉𝑦 ∙ 𝑑𝑥 = 0 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑉𝑦 𝜕𝑉𝑥 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 + ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 = 0 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑉𝑦 𝜕𝑉𝑥 + =0 𝜕𝑦 𝜕𝑥 (12.1) Losas armadas en dos direcciones 𝑑𝑥 𝑚𝑦𝑥 ∙ 𝑑𝑥 𝑚𝑦 ∙ 𝑑𝑥 Z X 𝑉𝑦 ∙ 𝑑𝑥 𝑚𝑥 ∙ 𝑑𝑦 𝑑𝑦 (𝑚𝑥𝑦 + 𝑚𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑉𝑥 ∙ 𝑑𝑦 (𝑉𝑥 + 𝑞 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 𝜕𝑉𝑥 ∙ 𝑑𝑥) ∙ 𝑑𝑦 𝜕𝑥 (𝑚𝑥 + (𝑉𝑦 + 𝜕𝑚𝑥𝑦 ∙ 𝑑𝑥) ∙ 𝑑𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑚𝑥 ∙ 𝑑𝑥) ∙ 𝑑𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑉𝑦 ∙ 𝑑𝑦) ∙ 𝑑𝑥 𝜕𝑦 (𝑚𝑦 + 𝜕𝑚𝑦 ∙ 𝑑𝑦) ∙ 𝑑𝑥 𝜕𝑦 Y (𝑚𝑦𝑥 + 𝜕𝑚𝑦𝑥 ∙ 𝑑𝑦) ∙ 𝑑𝑥 𝜕𝑦 Fig. 12.1. Equilibrio del elemento de placa ∑ 𝑀𝑥 = 0 + 𝜕𝑚𝑦 𝜕𝑉𝑦 𝜕𝑚𝑥𝑦 ∙ 𝑑𝑦) ∙ 𝑑𝑥 + 𝑚𝑦 ∙ 𝑑𝑥 + (𝑉𝑦 + ∙ 𝑑𝑦) ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 − (𝑚𝑥𝑦 + ∙ 𝑑𝑥) ∙ 𝑑𝑦 + ⋯ 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝜕𝑉𝑥 𝑑𝑦 … + 𝑚𝑥𝑦 ∙ 𝑑𝑦 + 𝑞 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ ( ) − 𝑉𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ ( ) + (𝑉𝑥 + ∙ 𝑑𝑥) ∙ 𝑑𝑦 ∙ ( ) = 0 2 2 𝜕𝑥 2 − (𝑚𝑦 + 483 Diseño de estructuras de hormigón armado − 𝜕𝑚𝑦 𝜕𝑉𝑦 𝜕𝑚𝑥𝑦 𝑑𝑦 2 𝜕𝑉𝑥 𝑑𝑦 2 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 + 𝑉𝑦 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 + ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 2 − ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 + 𝑞 ∙ 𝑑𝑥 ∙ + ∙ 𝑑𝑥 ∙ =0 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑥 2 2 − 𝜕𝑚𝑦 𝜕𝑚𝑥𝑦 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 + 𝑉𝑦 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 − ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 = 0 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝑉𝑦 = 𝜕𝑚𝑦 𝜕𝑚𝑥𝑦 + 𝜕𝑦 𝜕𝑥 ∑ 𝑀𝑦 = 0 (12.2) + 𝜕𝑉𝑥 𝑑𝑥 𝜕𝑚𝑥 ∙ 𝑑𝑥) ∙ 𝑑𝑦 − (𝑉𝑥 + ∙ 𝑑𝑥) ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑥 − 𝑞 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ ( ) − 𝑚𝑦𝑥 ∙ 𝑑𝑥 + ⋯ 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 𝜕𝑚𝑦𝑥 𝜕𝑉𝑦 𝑑𝑥 … + (𝑚𝑦𝑥 + ∙ 𝑑𝑦) ∙ 𝑑𝑥 − (𝑉𝑦 + ∙ 𝑑𝑦) ∙ 𝑑𝑥 ∙ ( ) = 0 𝜕𝑦 𝜕𝑦 2 −𝑚𝑥 ∙ 𝑑𝑦 + (𝑚𝑥 + 𝜕𝑉𝑦 𝜕𝑚𝑥 𝜕𝑉𝑥 𝑑𝑥 2 𝜕𝑚𝑦𝑥 𝑑𝑥 2 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 − 𝑉𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑥 − ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑥 2 − 𝑞 ∙ 𝑑𝑦 ∙ + ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 − ∙ 𝑑𝑦 ∙ =0 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 2 2 𝜕𝑚𝑦𝑥 𝜕𝑚𝑥 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 − 𝑉𝑥 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 + ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 = 0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑉𝑥 = 𝜕𝑚𝑥 𝜕𝑚𝑦𝑥 + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 (12.3) Derivando las ecuaciones (12.2) y (12.3) se obtienen las ecuaciones (12.4) y (12.5) que luego son reemplazadas en la ecuación (12.1) para obtener la ecuación (12.6). 𝜕𝑉𝑦 𝜕 2 𝑚𝑦 𝜕 2 𝑚𝑥𝑦 = + 𝜕𝑦 𝜕𝑦 2 𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑦 (12.4) 𝜕𝑉𝑥 𝜕 2 𝑚𝑥 𝜕 2 𝑚𝑦𝑥 = + 𝜕𝑥 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑦 (12.5) 𝑞+ 𝜕 2 𝑚𝑦 𝜕 2 𝑚𝑥𝑦 𝜕 2 𝑚𝑥 𝜕 2 𝑚𝑥𝑦 + + + =0 𝜕𝑦 2 𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑦 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑦 (12.6) Como 𝑚𝑥𝑦 = 𝑚𝑦𝑥 , la ecuación (12.6) puede ser simplificada y así obtener la ecuación (12.7). 𝜕 2 𝑚𝑥𝑦 𝜕 2 𝑚𝑦 𝜕 2 𝑚𝑥 + 2 ∙ + = −𝑞 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑦 𝜕𝑦 2 484 (12.7) Losas armadas en dos direcciones Esta ecuación fue hallada considerando solamente el equilibrio y es independiente del estado de elasticidad o plasticidad del material, del módulo de Poisson y si la placa es isotrópica u ortotrópica. Ahora, se impone la condición de que las secciones planas se mantienen planas y se hallan los desplazamientos de la placa. X Posición original 𝑢 𝜕𝑤 𝜕𝑥 Z Fig. 12.2. Desplazamiento del elemento de placa 𝑢 = −𝑧 ∙ 𝜕𝑤 𝜕𝑥 (12.8) Similarmente se puede hallar que el desplazamiento 𝑣 es: 𝑣 = −𝑧 ∙ 𝜕𝑤 𝜕𝑦 (12.9) Donde: 𝑢 = Desplazamiento en la dirección de X. 𝑣 = Desplazamiento en la dirección de Y. 𝑤 = Desplazamiento en la dirección de Z. Con base a los desplazamientos de la placa, se pueden hallar las deformaciones 𝜀𝑥𝑥 , 𝜀𝑦𝑦 y 𝜀𝑥𝑦 . 485 Diseño de estructuras de hormigón armado Y 𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜀𝑥𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑣 𝜀𝑥𝑦 X 𝜕𝑥 𝜕𝑢 Fig. 12.3. Deformación angular en el elemento de placa 𝜕2𝑤 𝜕𝑢 = −𝑧 ∙ 2 𝜀𝑥𝑥 = 𝜕𝑥 𝜕𝑥 (12.10) 𝜀𝑦𝑦 = 𝜕𝑣 𝜕2𝑤 = −𝑧 ∙ 2 𝜕𝑦 𝜕𝑦 (12.11) 𝜀𝑥𝑦 = 1 𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕2𝑤 1 𝜕2𝑤 𝜕2𝑤 ∙ ( + ) = ∙ (−𝑧 ∙ −𝑧∙ ) = −𝑧 ∙ 2 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑦 2 𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑦 𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑦 (12.12) Si se expresan las tensiones en función de las deformaciones se obtienen las siguientes ecuaciones: 𝜀𝑥𝑥 = 1 ∙ (𝜎𝑥𝑥 −∙ 𝜎𝑦𝑦 ) 𝐸 (12.13) 𝜀𝑦𝑦 = 1 ∙ (𝜎𝑦𝑦 − 𝜈 ∙ 𝜎𝑥𝑥 ) 𝐸 (12.14) 𝜀𝑥𝑦 = 𝜎𝑥𝑦 = 2∙𝐺 2∙ (12.15) 486 𝜎𝑥𝑦 1+𝜈 = ∙ 𝜎𝑥𝑦 𝐸 𝐸 2 ∙ (1 + 𝜈) Losas armadas en dos direcciones 𝜎𝑦𝑦 𝜎𝑥𝑥 𝜎𝑥𝑥 𝜎𝑦𝑦 Fig. 12.4. Esfuerzos normales en el elemento de placa Ordenando las deformaciones en forma matricial. 𝜀𝑥𝑥 1 1 𝜀 { 𝑦𝑦 } = ∙ [−𝜐 𝐸 𝜀𝑥𝑦 0 −𝜐 1 0 𝜎𝑥𝑥 0 𝜎 0 ] ∙ { 𝑦𝑦 } 𝜎𝑥𝑦 1+𝜐 (12.16) Despejando las tensiones obtenemos. 𝜎𝑥𝑥 = 𝐸 ∙ (𝜀𝑥𝑥 + 𝜐 ∙ 𝜀𝑦𝑦 ) 1 − 𝜐2 (12.17) 𝜎𝑦𝑦 = 𝐸 ∙ (𝜀𝑦𝑦 + 𝜐 ∙ 𝜀𝑥𝑥 ) 1 − 𝜐2 (12.18) 𝜎𝑥𝑦 = 𝐸 ∙𝜀 1 + 𝜐 𝑥𝑦 (12.19) Reemplazando los términos de las deformaciones en las ecuaciones de las tensiones se obtienen las siguientes ecuaciones: 𝜎𝑥𝑥 = − 𝐸∙𝑧 𝜕2𝑤 𝜕2𝑤 ∙ [ + 𝜐 ∙ ] 1 − 𝜐 2 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 (12.20) 487 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝜎𝑦𝑦 = − 𝐸∙𝑧 𝜕2𝑤 𝜕2𝑤 ∙ [ + 𝜐 ∙ ] 1 − 𝜐 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑥 2 (12.21) 𝜎𝑥𝑦 = − 𝐸 ∙ 𝑧 𝜕2𝑤 ∙ 1 + 𝜐 𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑦 (12.22) Si se expresan los momentos 𝑚𝑥 , 𝑚𝑦 y 𝑚𝑥𝑦 en términos de las tensiones se obtienen las siguientes ecuaciones: 𝑡 2 𝜕2𝑤 𝜕2𝑤 + 𝜐 ∙ ) 𝜕𝑦 2 𝜕𝑥 2 (12.23) 𝜕2𝑤 𝜕2𝑤 𝑚𝑦 = ∫ 𝑧 ∙ 𝜎𝑦𝑦 𝑑𝑧 = −𝐷 ∙ ( 2 + 𝜐 ∙ 2 ) 𝑡 𝜕𝑦 𝜕𝑥 − (12.24) 𝑚𝑥 = ∫ 𝑧 ∙ 𝜎𝑥𝑥 𝑑𝑧 = −𝐷 ∙ ( − 𝑡 2 𝑡 2 2 𝑡 2 𝑚𝑥𝑦 = ∫ 𝑧 ∙ 𝜎𝑥𝑦 𝑑𝑧 = −𝐷 ∙ (1 − 𝜈) ∙ − 𝑡 2 𝜕2𝑤 𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑦 (12.25) Donde: 𝐷= 𝐸∙𝐼 𝐸 ∙ 𝑡3 = (1 − 𝜈 2 ) 12 ∙ (1 − 𝜈 2 ) (12.26) Finalmente, substituyendo las ecuaciones (12.23), (12.24) y (12.25) en la ecuación original de equilibrio se obtiene la ecuación que define el comportamiento de las placas de espesor intermedio. −𝑞 = 𝜕 2 𝑚𝑥𝑦 𝜕 2 𝑚𝑦 𝜕 2 𝑚𝑥 + 2 ∙ + 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑦 𝜕𝑦 2 −𝑞 = −𝐷 ∙ ( (12.27) 𝜕4𝑤 𝜕4𝑤 𝜕4𝑤 𝜕4𝑤 𝜕4𝑤 (1 + 𝜈 ∙ − 2 ∙ 𝐷 ∙ − 𝜈) ∙ − 𝐷 ∙ + 𝜈 ∙ ) ( ) 𝜕𝑥 4 𝜕𝑥 2 ∙ 𝜕𝑦 2 𝜕𝑥 2 ∙ 𝜕𝑦 2 𝜕𝑦 4 𝜕𝑥 2 ∙ 𝜕𝑦 2 𝑞 𝜕4𝑤 𝜕4𝑤 𝜕4𝑤 = + 2 ∙ + 𝐷 𝜕𝑥 4 𝜕𝑥 2 ∙ 𝜕𝑦 2 𝜕𝑦 4 (12.28) Para resolver la ecuación de la placa se deben considerar las diferentes condiciones de borde que ésta pueda presentar. Por lo tanto, se pueden distinguir los siguientes tipos de borde en una placa. a) Borde empotrado 𝑤=0 488 Losas armadas en dos direcciones 𝜕𝑤 𝜕𝑤 = 0 o 𝜕𝑦 = 0 como sea apropiado 𝜕𝑥 b) Borde libre 𝑚𝑥 = 0, 𝑉𝑥 = 0 y 𝑚𝑥𝑦 = 0 si el borde en 𝑥 está libre 𝑚𝑦 = 0, 𝑉𝑦 = 0 y 𝑚𝑥𝑦 = 0 si el borde en 𝑦 está libre c) Borde simplemente apoyado 𝑤=0 𝑚𝑥 = 0 o 𝑚𝑦 = 0 como sea apropiado Nota: Existen momentos de torsión en bordes simplemente apoyados La ecuación que gobierna el comportamiento de las placas puede ser resuelta con las condiciones de contorno apropiadas y utilizando alguna de las siguientes técnicas: Solución exacta (Solamente aplicable en casos excepcionales). Utilización de series. Métodos numéricos (Diferencias finitas, Elementos finitos, etc.). Soluciones aproximadas (Analogía del enrejado). 12.2.1. Análisis de resultados típicos En el presente acápite se muestran resultados típicos obtenidos con la ecuación (12.28) en losas cuadradas y rectangulares sometidas a carga uniformemente repartida y que tienen diferentes condiciones de borde. En las figuras que siguen se puede distinguir tres tipos de apoyos: simplemente apoyado, libre y empotrado. El borde simplemente apoyado permite el giro, pero no los desplazamientos laterales, el borde libre permite el giro y desplazamientos laterales y el borde empotrado no permite giro, ni tampoco desplazamientos laterales. Tipos de bordes: Borde simplemente apoyado Borde libre Borde empotrado 489 Diseño de estructuras de hormigón armado Para 𝑎/𝑏 = 1 𝑎 (0.0479𝑞𝑏 2 ) 0.0368𝑞𝑏 2 𝑏 promedio 0.0236𝑞𝑏 2 𝑏/2 𝑎 Sección transversal Fig. 12.5. Losa cuadrada simplemente apoyada en sus cuatro lados Para 𝑎/𝑏 = 2 𝑎 (0.1016𝑞𝑏 2 ) 0.0964𝑞𝑏 2 𝑏 0.0174𝑞𝑏 2 (0.0464𝑞𝑏2 ) Fig. 12.6. Losa rectangular simplemente apoyada en sus cuatro lados Los valores que se muestran sin paréntesis corresponden a los resultados encontrados considerando un coeficiente de Poisson 𝜐 igual a 0, mientras los valores entre paréntesis fueron hallados para un coeficiente de Poisson 𝜐 igual a 0.3. Los diagramas que se muestran representan la variación de los momentos a través de la sección transversal y no a lo largo de esa línea. 490 Losas armadas en dos direcciones El efecto del coeficiente de Poisson 𝜐 sobre la magnitud de los momentos flectores en cualquier punto de la losa puede ser fácilmente calculado utilizando las siguientes ecuaciones. 𝑚𝑥 = 𝑚𝑥𝜈=0 + 𝜐 ∙ 𝑚𝑦𝜐=0 (12.29) 𝑚𝑦 = 𝑚𝑦𝜈=0 + 𝜐 ∙ 𝑚𝑥𝜐=0 (12.30) Ejemplo. En la losa de la anterior figura se muestran los valores de los momentos flectores para un coeficiente de Poisson 𝜈 igual a 0. Tomando en cuenta esos momentos, calcular los momentos 𝑚𝑥 y 𝑚𝑦 en el centro de la losa considerando un coeficiente de Poisson 𝜈 igual a 0.3. 𝑚𝑦 = 0.0964 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 + 0.3 ∙ 0.0174 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 = 0.1016 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 𝑚𝑥 = 0.0174 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 + 0.3 ∙ 0.0964 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 = 0.0464 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 Solo se necesita conocer la solución de los momentos flectores para un coeficiente de Poisson 𝜈 de 0 y a partir de eso se pueden calcular nuevos momentos para cualquier otro valor del coeficiente de Poisson. Para 𝑎/𝑏 = 1 𝑎 0.0513 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 0.0175 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 𝑏 promedio 0.0290 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 promedio 0.0096 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 Fig. 12.7. Losa cuadrada empotrada en sus cuatro lados 491 Diseño de estructuras de hormigón armado Para 𝑎/𝑏 = 2 𝑎 0.0829 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 0.039 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 𝑏 0.0571 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 0.004 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 Fig. 12.8. Losa rectangular empotrada en sus cuatro lados Para 𝑎/𝑏 = 1 𝑎 0.0840 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 0.0318 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 𝑏 0.0243 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 Fig. 12.9. Losa cuadrada empotrada en un lado y apoyada en tres lados 492 Losas armadas en dos direcciones Para 𝑎/𝑏 = 1 𝑎 0.0647 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 0.0284 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 𝑏 0.0158 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 Fig. 12.10. Losa cuadrada empotrada en dos lados y apoyada en dos lados Para 𝑎/𝑏 = 1 𝑎 0.0694 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 𝑏 0.0252 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 0.4 ∙ 𝑎 Fig. 12.11. Losa cuadrada empotrada en dos lados y libre en dos lados 493 Diseño de estructuras de hormigón armado Para 𝑎/𝑏 = 1 𝑎 0.0596 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 𝑎/3 0.0617 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 𝑏 0.0551 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 0.0168 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 Fig. 12.12. Losa cuadrada empotrada en tres lados y apoyada en un lado Para 𝑎/𝑏 = 1 𝑎 0.083 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 0.060 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 𝑏 0.055 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 0.0417 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 0.0283 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 Fig. 12.13. Losa cuadrada empotrada en tres lados y libre en un lado 494 Losas armadas en dos direcciones Para 𝑎/𝑏 = 1 𝑎 0.086 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 0.112 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 𝑏 0.0165 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 Fig. 12.14. Losa cuadrada apoyada tres lados y libre en un lado Observaciones: a) Comportamiento de la losa simplemente apoyada. Para entender mejor el comportamiento de losas que trabajan en dos direcciones, se analizará la losa de la siguiente figura que presenta sus cuatro lados simplemente apoyados. 𝑎 Y X 𝑏 Fig. 12.15. Losa cuadrada simplemente apoyada con carga uniformemente repartida Si una losa que actúa en dos direcciones es analizada como una losa en una dirección, entonces se debe calcular esa losa para el siguiente momento. 𝑚𝑚𝑎𝑥 = 𝑞 ∙ 𝑏2 8 (12.31) Si se idealiza la losa como dos fajas que se cruzan, cada una de las fajas debe resistir la mitad del momento. 495 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑚𝑚𝑎𝑥 = 1 𝑞 ∙ 𝑏2 ∙ = 0.0625 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 8 2 (12.32) Pero, en realidad el momento máximo para una losa apoyada en sus cuatro lados es 0.0368 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 , porque los momentos torsores transfieren el momento de una sección a otra. Hay que notar que existen unos momentos diagonales en las esquinas que provocan que éstas se levanten. Si este movimiento es restringido se forman fisuras diagonales y para evitar que estas fisuras tengan un ancho muy notorio, se debe colocar una malla de acero diagonal u ortogonal tal como se muestra en la siguiente figura. Armadura inferior Armaduras superior e inferior Armadura superior Fig. 12.16. Detalle de armadura en esquina de una losa simplemente apoyada b) Comportamiento de una losa simplemente apoyada con la relación 𝑎/𝑏 = 2. 𝑎 Y X 𝑏 Fig. 12.17. Losa rectangular simplemente apoyada con carga uniformemente repartida 496 Losas armadas en dos direcciones 0.0964 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 Fig. 12.18. Distribución del momento en la dirección más corta A medida que la relación a/b tiende a un valor muy grande, el momento máximo en la dirección corta tiende al valor límite de 0.125 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2. 0.0257 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 0.0174 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 Fig. 12.19. Distribución del momento en la dirección más larga Los momentos en la dirección larga son mayores cerca de los apoyos que a medio tramo, porque a medio tramo las deflexiones no cambian mucho en la dirección de X. c) Comportamiento de la losa empotrada. Con base a los diagramas de distribución de momentos mostrados en las figuras anteriores, es posible hallar la forma y los valores correspondientes a los momentos flectores para distintas secciones en la losa. 497 Diseño de estructuras de hormigón armado A 0.0513𝑞𝑏 2 0.0513 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 0.0175 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 0.0175 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 0.0513 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 A Sección A - A Fig. 12.20. Diagrama de momentos para una losa empotrada en sus cuatro lados Se debe notar que los momentos dependen de las condiciones de borde. La rigidez del soporte depende de la rigidez a la flexión 𝐸 ∙ 𝐼 y de la rigidez a la torsión 𝐺 ∙ 𝐽 de las vigas de borde. Las vigas de borde con una rigidez a la flexión 𝐸 ∙ 𝐼 grande pero con una rigidez a la torsión 𝐺 ∙ 𝐽 pequeña representan a bordes articulados, mientras que vigas de borde con 𝐸 ∙ 𝐼 y 𝐺 ∙ 𝐽 grandes representan bordes empotrados. d) Equilibrio general de la losa simplemente apoyada con carga uniformemente distribuida. Si se considera el equilibrio de la losa simplemente apoyada en sus cuatro lados sometida a una carga uniformemente distribuida se puede observar que las vigas de borde deben soportar parte del momento para mantener el equilibrio de la estructura. 𝑎 0.0368 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 𝑏 a) Momento promedio a medio tramo 498 𝑎 ∫ 𝑚𝑦 𝑑𝑥 0.0236 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 = 0 𝑎 2 Losas armadas en dos direcciones 𝑎 1 1 0.50 ∙ 𝑞 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 𝑏/2 Momento en losa Momentos en las vigas de borde b) Reacciones que soportan las vigas de borde Fig. 12.21. Equilibrio de una losa cuadrada simplemente apoyada El diagrama de cuerpo libre de media losa muestra las cargas y reacciones que en ella se presentan. Es importante notar que no existen fuerzas cortantes a medio tramo de la losa puesto que éstas son cero por la simetría de la estructura. ∑ 𝑀𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 = 0 → (Alrededor del eje 1-1) 𝑞∙𝑎∙𝑏 𝑏 ∙ ( ) = 0.0236 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏 2 ∙ 𝑎 + 2 ∙ 𝑀𝑣𝑖𝑔𝑎 2 4 0.125 ∙ 𝑞 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 2 = 0.0236 ∙ 𝑞 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 2 + 2 ∙ 𝑀𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑀𝑣𝑖𝑔𝑎 = 0.0507 ∙ 𝑞 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 2 (12.33) Como se puede apreciar en el diagrama de cuerpo libre de la losa, las vigas de borde deben absorber una parte del momento estático. El momento estático 0.125 ∙ 𝑞 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 2 debe mantenerse en ambas direcciones de la losa y para cualquier condición de apoyo que ésta presente. 12.3. Losas en dos direcciones soportadas en sus cuatro lados Las losas soportadas en sus cuatro lados distribuyen la carga en sus dos direcciones, por lo tanto cuando éstas son cargadas se doblan formando una superficie semiesférica en vez de una cilíndrica como en el caso de losas apoyadas en dos de sus lados paralelos (losas armadas en una sola dirección). Esto significa que la losa en cualquier punto presenta flexión en ambas direcciones principales y como los momentos flectores son proporcionales a las curvaturas, entonces también existen momentos en ambas direcciones. Para resistir estos momentos, la losa debe estar reforzada en ambas direcciones por al menos dos capas de barras perpendiculares, en consecuencia la losa debe ser diseñada para resistir una porción de la carga en cada dirección. 499 Diseño de estructuras de hormigón armado Las losas que tienen acción en dos direcciones son aquellas apoyadas sobre muros, vigas de acero o vigas de hormigón armado de gran canto vaciadas monolíticamente con la losa. Si las vigas de hormigón armado son de pequeño canto o no existen como en el caso de losas planas y entramados en dos direcciones sin vigas, la deformación del sistema de piso a lo largo de las líneas de las columnas altera significativamente la distribución de momentos en el mismo panel. En este acápite se considera un método de cálculo de losas en dos direcciones apoyadas sobre soportes continuos con la suficiente rigidez para no desplazarse significativamente. 𝑠1 𝑙1 ℓ𝑎 ℓ𝑏 a) Flexión de las franjas centrales de la losa 𝑙1 𝑠2 𝑙2 𝑠1 𝑠2 𝑙2 ℓ𝑎 ℓ𝑏 b) Modelo de emparrillado de la losa Fig. 12.22. Losa en dos direcciones simplemente apoyada en sus cuatro lados La figura 12.22 (a) muestra las dos franjas centrales de una losa rectangular de dimensiones ℓ𝑎 y ℓ𝑏 . Si la losa soporta una carga uniformemente repartida 𝑤 por metro cuadrado de losa, cada franja actúa como una viga simplemente apoyada con su respectiva porción de la carga distribuida 𝑤. Debido a que estas franjas imaginarias son parte de la misma losa monolítica, sus deflexiones deben ser las mismas en el punto de intersección. Si la parte de la carga 𝑤 soportada en la dirección corta es 𝑤𝑎 y en la dirección larga es 𝑤𝑏 se puede plantear la siguiente ecuación. 500 Losas armadas en dos direcciones 5 𝑤𝑎 ∙ ℓ4𝑎 5 𝑤𝑏 ∙ ℓ4𝑏 ∙ = ∙ 384 𝐸 ∙ 𝐼 384 𝐸 ∙ 𝐼 𝑤𝑎 ∙ ℓ4𝑎 = 𝑤𝑏 ∙ ℓ4𝑏 𝑤𝑎 = ( ℓ𝑏 4 ) ∙ 𝑤𝑏 ℓ𝑎 (12.34) 𝓵𝒃 /𝓵𝒂 𝒘𝒂 1 𝑤𝑏 1.5 5 ∙ 𝑤𝑏 2 16 ∙ 𝑤𝑏 3 81 ∙ 𝑤𝑏 4 256 ∙ 𝑤𝑏 Cuando la losa es cuadrada las cargas en ambas franjas se reparten en forma equitativa, mientras que cuando la losa es rectangular y dependiendo de la relación ℓ𝑏 /ℓ𝑎 , la carga en la franja más corta es mucho mayor que en la franja más larga. Cuando la relación de luces ℓ𝑏 /ℓ𝑎 no es superior a 2, se recomienda que la losa sea diseñada para trabajar en dos direcciones y si ésta es superior a 2, la mayor parte de la carga es resistida en la dirección más corta y es más económico diseñar la losa para que trabaje en una sola dirección (dirección más corta). La carga total 𝑤 se distribuye en las franjas corta y larga en una proporción que depende de la relación de luces entre las mismas, pero por la condición de equilibrio la suma de las cargas de las franjas (𝑤𝑎 + 𝑤𝑏 ) debe dar como resultado el valor total de la carga 𝑤. 𝑤𝑎 + 𝑤𝑏 = 𝑤 (12.35) 𝑤𝑏 = 𝑤 − 𝑤𝑎 (12.36) Reemplazando la ecuación (12.36) en la ecuación (12.34) se puede hallar la proporción de la carga 𝑤 que se distribuye en la dirección más corta. 𝑤𝑎 = ( ℓ𝑏 4 ℓ𝑏 4 ℓ𝑏 4 ) ∙ (𝑤 − 𝑤𝑎 ) = ( ) ∙ 𝑤 − ( ) ∙ 𝑤𝑎 ℓ𝑎 ℓ𝑎 ℓ𝑎 ℓ 4 ( 𝑏) ∙ 𝑤 ℓ 𝑤𝑎 = 𝑎 ℓ 4 1 + ( 𝑏) ℓ𝑎 (12.37) 501 Diseño de estructuras de hormigón armado Reemplazando la ecuación (12.37) en la ecuación (12.36) se puede hallar la proporción de la carga 𝑤 que se distribuye en la dirección más larga. ℓ 4 ℓ 4 ℓ 4 ( 𝑏) ∙ 𝑤 𝑤 + ( 𝑏) ∙ 𝑤 − ( 𝑏) ∙ 𝑤 ℓ ℓ𝑎 ℓ𝑎 𝑤𝑏 = 𝑤 − 𝑎 4 = 4 ℓ ℓ 1 + ( 𝑏) 1 + ( 𝑏) ℓ𝑎 ℓ𝑎 𝑤 𝑤𝑏 = ℓ 4 1 + ( 𝑏) ℓ𝑎 (12.38) 𝓵𝒃 𝓵𝒂 𝒘𝒂 𝒘𝒃 1 0.5𝑤 0.5𝑤 1.5 0.835𝑤 0.165𝑤 2 0.941𝑤 0.059𝑤 3 0.988𝑤 0.012𝑤 4 0.996𝑤 0.004𝑤 A medida que la relación ℓ𝑏 /ℓ𝑎 sube, la carga que se distribuye en la dirección más corta 𝑤𝑎 tiende al valor de 𝑤, mientras que la carga en la dirección más larga 𝑤𝑏 tiende a 0. Los resultados obtenidos mediante el análisis del comportamiento de dos fajas transversales que se cruzan muestran de una manera aproximada la distribución de las cargas en la dirección larga y corta, pero el comportamiento real es mucho más complicado por la presencia de momentos torsores. Si se calcula una losa cuadrada que está apoyada en sus cuatro lados utilizando diferentes criterios, se puede observar el contraste que existe entre los resultados de los momentos flectores. La teoría de la elasticidad presenta los momentos más bajos cuando la losa es analizada en dos direcciones, mientras que si la losa es analizada en una sola dirección los momentos son más altos. a) Losa calculada en una sola dirección. ℓ𝑎 = ℓ𝑏 = ℓ 𝑤𝑎 = 𝑤 𝑚𝑥 = 502 1 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2 = 0.125 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2𝑏 = 0.125 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2 8 𝑎 𝑏 Losas armadas en dos direcciones b) Losa calculada como dos franjas ortogonales en dos direcciones. ℓ𝑎 = ℓ𝑏 = ℓ 𝑤𝑎 = 0.5 ∙ 𝑤 𝑤𝑏 = 0.5 ∙ 𝑤 1 𝑤 𝑚𝑥 = ∙ 𝑤𝑎 ∙ ℓ2𝑏 = 0.125 ∙ ∙ ℓ2𝑏 = 0.0625 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2 8 2 1 𝑤 𝑚𝑦 = ∙ 𝑤𝑏 ∙ ℓ2𝑎 = 0.125 ∙ ∙ ℓ2𝑎 = 0.0625 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2 8 2 c) Losa calculada con la teoría de elasticidad para diferentes valores de 𝜈. ℓ𝑎 = ℓ𝑏 = ℓ 𝑚𝑥 = 0.0368 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2 para 𝜈 = 0 𝑚𝑥 = 0.0479 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2 para 𝜈 = 0.3 𝑚𝑦 = 0.0368 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2 para 𝜈 = 0 𝑚𝑦 = 0.0479 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2 para 𝜈 = 0.3 Donde: 𝜈 = Coeficiente de Poisson. Los momentos torsores disminuyen el momento flector de un valor de 0.0625 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2 , hallado con la idealización de la losa como dos franjas ortogonales, a 0.0479 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2 para la solución exacta considerando un coeficiente de Poisson 𝜈 de 0.3, lo que significa una reducción del 25%. El momento máximo en una losa se presenta donde la curvatura es más pronunciada. En la figura 12.22 (b) se observa que la franja central 𝑠1 a medio tramo es la que resistirá mayor momento flector. Si la carga es incrementada hasta que el punto medio de la franja alcanza su capacidad máxima, la losa puede fallar siempre y cuando esta franja central estuviese aislada y sea la única en la dirección más corta. Pero, como la losa es una estructura continua, existe la posibilidad de una redistribución de esfuerzos internos que evita que la losa colapse cuando una de sus partes ha sido sobre esforzada. Las franjas adyacentes (paralelas y perpendiculares) tomarán la carga que la franja 𝑠1 no puede resistir hasta el momento en que éstas mismas no puedan resistir más carga. Esta redistribución inelástica continuará hasta que en una superficie significativa de la parte central de la losa todo el acero en ambas direcciones haya fluido. Solamente cuando esta condición ocurre, la losa perderá su estabilidad y finalmente colapsará. Con este razonamiento, que está confirmado mediante ensayos, no es necesario diseñar la losa para el máximo momento absoluto de 0.0479 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2 en cada una de las dos direcciones, sino para un momento promedio más pequeño de 0.036 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2 que es un 25% menor. El mayor momento en la losa ocurre a medio tramo de la franja más pequeña 𝑠1, pero es evidente que la curvatura y por lo tanto el momento en la franja más larga 𝑙1 , perpendicular a 𝑠1, es menor que el momento en la franja corta considerando el punto de intersección de las franjas. 503 Diseño de estructuras de hormigón armado ℓ𝑏 ℓ𝑏 ℓ𝑎 ℓ𝑎 Y Y X X a) Losa analizada en una sola dirección b) Losa analizada como dos franjas ortogonales ℓ𝑏 ℓ𝑎 Y X c) Losa analizada con la teoría de la elasticidad Fig. 12.23. Criterios diferentes para el análisis de una losa apoyada en sus cuatro lados ℓ𝑏 2 1 ℓ𝑎 𝑀𝑎 a lo largo de 1-1 2 1 Variación de 𝑀𝑎 a través de 2-2 ℓ𝑏 2 ℓ𝑎 1 2 1 Variación de 𝑀𝑏 a través de 1-1 𝑀𝑏 a lo largo de 2-2 Fig. 12.24. Momentos y variación de momentos en una losa apoyada en sus cuatro lados 504 Losas armadas en dos direcciones La variación de los momentos a través del ancho y largo de una losa rectangular es considerada de una manera aproximada en cualquier método de diseño práctico analizando y diseñando la losa para un momento reducido en los cuartos de luz más alejados de cada dirección. Se ha demostrado que losas con relaciones de luz ℓ𝑏 /ℓ𝑎 menores o iguales a 2 pueden ser consideradas como losas que trabajan en dos direcciones. Para relaciones de luz ℓ𝑏 /ℓ𝑎 mayores a 2, la franja más corta soporta casi la totalidad de la carga, por lo que es más conveniente diseñar esta losa para que trabaje en una sola dirección. La armadura principal es colocada paralelamente a la longitud más corta, mientras que en la otra dirección se coloca la armadura por retracción y temperatura. 12.4. Análisis por el método de los coeficientes La determinación precisa de los momentos para losas en dos direcciones con diferentes condiciones de apoyo es muy complicada y poco práctica para propósitos de diseño. Por esta razón, se han desarrollado varios métodos simplificados para la determinación de los momentos, cortantes y reacciones en este tipo de losas. El código ACI presenta un método unificado para el diseño de losas en dos direcciones sobre apoyos rígidos o flexibles, para losas planas o con vigas intermedias, etc. Pero, para el caso de losas en dos direcciones sobre apoyos continuos rígidos en sus cuatro lados es más práctico utilizar el método presentado en el código ACI – 63. Si bien este método no es ya parte del código desde el año 1971, su uso es permitido cuando el actual código en su sección 8.2.1 indica que un sistema de losa puede ser diseñado con cualquier método que satisfaga las condiciones de equilibrio y de compatibilidad geométrica y además que la resistencia nominal de diseño en cada sección sea mayor o igual a la resistencia requerida y que todos los requerimientos para el estado límite de servicio también se cumplan. El método utiliza coeficientes para una variedad de condiciones de apoyo. Estos coeficientes están basados en un análisis elástico, pero consideran la redistribución inelástica de esfuerzos. 𝑀𝑎 = 𝐶𝑎 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2𝑎 (12.39) 𝑀𝑏 = 𝐶𝑏 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2𝑏 (12.40) Donde: 𝐶𝑎 y 𝐶𝑏 = Coeficientes de momento para la dirección 𝑎 y 𝑏 respectivamente. 𝑤 = Carga uniformemente repartida en [𝑘𝑁/𝑚2 ]. ℓ𝑎 y ℓ𝑏 = Longitud de la luz libre en la dirección corta y larga respectivamente. El método divide cada panel en franjas centrales y de columna para cada una de las direcciones. La franja central es de un ancho igual a la mitad de la luz libre en la dirección considerada, mientras que el ancho de las franjas extremas o de columna es igual a un cuarto de la misma luz. 505 Diseño de estructuras de hormigón armado ℓ𝑏 /4 ℓ𝑏 /2 ℓ𝑏 /4 ℓ𝑎 /4 ℓ𝑎 /2 ℓ𝑎 /4 Fig. 12.25. División del panel de una losa para su análisis y diseño en dos direcciones La franja central es diseñada para resistir todo el momento de diseño que indican las tablas. Para las franjas de extremo se asume que este momento decrece linealmente desde el valor máximo en el extremo de la franja central hasta un tercio de este valor en el extremo del panel. La distribución de los momentos en la dirección más corta se muestra en la figura siguiente donde se observa que la franja central es solicitada para 𝑀𝑎 𝑚𝑎𝑥 y las franjas extremas por una variación lineal de 𝑀𝑎 𝑚𝑎𝑥 a 1/3 ∙ 𝑀𝑎 𝑚𝑎𝑥 . La distribución de los momentos en la dirección más larga es similar. ℓ𝑏 2 𝑀𝑎 𝑚𝑎𝑥 a lo largo de 1-1 3 1 ℓ𝑎 2 ⅓ ∙ 𝑀𝑎 𝑚𝑎𝑥 1 ℓ𝑏 /4 ⅓ ∙ 𝑀𝑎 𝑚𝑎𝑥 𝑀𝑎 𝑚𝑎𝑥 ℓ𝑏 /2 3 ℓ𝑏 /4 𝑀𝑎 𝑚𝑎𝑥 a lo largo de 3-3 Variación de 𝑀𝑎 𝑚𝑎𝑥 a través de 2-2 Fig. 12.26. Variación del momento en la dirección más corta El análisis realizado es para un panel central aislado simplemente apoyado en sus cuatro lados, pero en un sistema real de losa de piso se tienen muchos paneles con diferentes condiciones de apoyo, por lo que se debe considerar la condición de apoyo de cada uno de los lados del panel porque de acuerdo a esa condición los momentos positivos a medio tramo y los negativos en los apoyos continuos o empotrados pueden ser hallados. En la siguiente figura se muestra una parte de un sistema de piso típico de un edificio que está compuesto por losas y vigas que coinciden con los ejes de las columnas. Los espacios delimitados por las vigas son llamados paneles y en el piso se pueden distinguir tres tipos de paneles que son identificados con las letras A (panel de esquina), B (panel de borde) y C (panel interior). 506 Losas armadas en dos direcciones A B C Fig. 12.27. Tipos de paneles en un piso típico de edificio El panel A tiene dos bordes externos discontinuos mientras que sus otros dos bordes son continuos. El panel B tiene un borde discontinuo y tres continuos. El panel C tiene todos sus bordes continuos. En bordes continuos de las losas, los momentos son negativos, como en el caso de apoyos interiores de vigas continuas. También, la magnitud de los momentos positivos depende de las condiciones de continuidad de sus cuatro bordes. En las siguientes tablas se presentan los coeficientes 𝐶𝑎 y 𝐶𝑏 para los momentos positivos, momentos negativos y reacciones en paneles con distintas condiciones de apoyo en sus bordes. 507 Diseño de estructuras de hormigón armado Coeficientes para momentos negativos en losas Relación ℓ𝑎 𝑚= ℓ𝑏 1.00 0.95 0.90 0.85 0.80 0.75 0.70 0.65 0.60 0.55 0.50 Caso 1 Caso 2 𝐶𝑎 𝑛𝑒𝑔 0.045 𝐶𝑏 𝑛𝑒𝑔 0.045 𝐶𝑎 𝑛𝑒𝑔 0.050 𝐶𝑏 𝑛𝑒𝑔 0.041 𝐶𝑎 𝑛𝑒𝑔 0.055 𝐶𝑏 𝑛𝑒𝑔 0.037 𝐶𝑎 𝑛𝑒𝑔 0.060 𝐶𝑏 𝑛𝑒𝑔 0.031 𝐶𝑎 𝑛𝑒𝑔 0.065 𝐶𝑏 𝑛𝑒𝑔 0.027 𝐶𝑎 𝑛𝑒𝑔 0.069 𝐶𝑏 𝑛𝑒𝑔 0.022 𝐶𝑎 𝑛𝑒𝑔 0.074 𝐶𝑏 𝑛𝑒𝑔 0.017 𝐶𝑎 𝑛𝑒𝑔 0.077 𝐶𝑏 𝑛𝑒𝑔 0.014 𝐶𝑎 𝑛𝑒𝑔 0.081 𝐶𝑏 𝑛𝑒𝑔 0.010 𝐶𝑎 𝑛𝑒𝑔 0.084 𝐶𝑏 𝑛𝑒𝑔 0.007 𝐶𝑎 𝑛𝑒𝑔 0.086 𝐶𝑏 𝑛𝑒𝑔 0.006 Caso 3 0.076 Caso 4 Caso 5 Caso 6 0.050 0.075 0.071 0.050 0.055 0.072 0.070 0.083 0.057 0.083 0.086 0.051 0.085 0.088 0.044 0.086 0.091 0.038 0.087 0.093 0.031 0.088 0.095 0.024 0.089 0.096 0.008 0.094 0.022 0.082 0.011 0.092 0.028 0.062 0.015 0.089 0.035 0.079 0.019 0.085 0.043 0.080 0.024 0.081 0.050 0.067 0.029 0.076 0.056 0.075 0.034 0.071 0.061 0.079 0.040 0.066 0.065 0.071 0.045 0.060 0.006 Caso 7 0.019 0.090 0.097 0.014 Caso 8 Caso 9 0.033 0.061 0.061 0.033 0.038 0.065 0.056 0.029 0.043 0.068 0.052 0.025 0.049 0.072 0.046 0.021 0.055 0.075 0.041 0.017 0.061 0.078 0.036 0.014 0.068 0.081 0.029 0.011 0.074 0.083 0.024 0.008 0.080 0.085 0.018 0.006 0.085 0.086 0.014 0.005 0.089 0.088 0.010 0.003 𝑀𝑎 𝑛𝑒𝑔 = 𝐶𝑎 𝑛𝑒𝑔 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2𝑎 (12.41) 𝑀𝑏 𝑛𝑒𝑔 = 𝐶𝑏 𝑛𝑒𝑔 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2𝑏 (12.42) 508 Losas armadas en dos direcciones Coeficientes para momentos positivos debidos a carga muerta en losas Relación ℓ𝑎 𝑚= ℓ𝑏 Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5 Caso 6 Caso 7 Caso 8 Caso 9 1.00 𝐶𝑎 𝐷 0.036 0.018 0.018 0.027 0.027 0.033 0.027 0.020 0.023 𝐶𝑏 𝐷 0.036 0.018 0.027 0.027 0.018 0.027 0.033 0.023 0.020 𝐶𝑎 𝐷 0.040 0.020 0.021 0.030 0.028 0.036 0.031 0.022 0.024 𝐶𝑏 𝐷 0.033 0.016 0.025 0.024 0.015 0.024 0.031 0.021 0.017 𝐶𝑎 𝐷 𝐶𝑏 𝐷 0.045 0.022 0.025 0.033 0.029 0.039 0.035 0.025 0.026 0.029 0.014 0.024 0.022 0.013 0.021 0.028 0.019 0.015 𝐶𝑎 𝐷 0.050 0.024 0.029 0.036 0.031 0.042 0.040 0.029 0.028 𝐶𝑏 𝐷 0.026 0.012 0.022 0.019 0.011 0.017 0.025 0.017 0.013 𝐶𝑎 𝐷 0.056 0.026 0.034 0.039 0.032 0.045 0.045 0.032 0.029 𝐶𝑏 𝐷 0.023 0.011 0.020 0.016 0.009 0.015 0.022 0.015 0.010 𝐶𝑎 𝐷 0.061 0.028 0.040 0.043 0.033 0.048 0.051 0.036 0.031 𝐶𝑏 𝐷 0.019 0.009 0.018 0.013 0.007 0.012 0.020 0.013 0.007 𝐶𝑎 𝐷 0.068 0.030 0.046 0.046 0.035 0.051 0.058 0.040 0.033 𝐶𝑏 𝐷 0.016 0.007 0.016 0.011 0.005 0.009 0.017 0.011 0.006 𝐶𝑎 𝐷 0.074 0.032 0.054 0.050 0.036 0.054 0.065 0.044 0.034 𝐶𝑏 𝐷 0.013 0.006 0.014 0.009 0.004 0.007 0.014 0.009 0.005 𝐶𝑎 𝐷 0.081 0.034 0.062 0.053 0.037 0.056 0.073 0.048 0.036 𝐶𝑏 𝐷 0.010 0.004 0.011 0.007 0.003 0.006 0.012 0.007 0.004 𝐶𝑎 𝐷 0.088 0.035 0.071 0.056 0.038 0.058 0.081 0.052 0.037 𝐶𝑏 𝐷 0.008 0.003 0.009 0.005 0.002 0.004 0.009 0.005 0.003 𝐶𝑎 𝐷 0.095 0.037 0.080 0.059 0.039 0.061 0.089 0.056 0.038 𝐶𝑏 𝐷 0.006 0.002 0.007 0.004 0.001 0.003 0.007 0.004 0.002 0.95 0.90 0.85 0.80 0.75 0.70 0.65 0.60 0.55 0.50 𝑀𝑎 𝑝𝑜𝑠 𝐷 = 𝐶𝑎 𝐷 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2𝑎 (12.43) 𝑀𝑏 𝑝𝑜𝑠 𝐷 = 𝐶𝑏 𝐷 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2𝑏 (12.44) 509 Diseño de estructuras de hormigón armado Coeficientes para momentos positivos debidos a carga viva en losas Relación ℓ𝑎 𝑚= ℓ𝑏 Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5 Caso 6 Caso 7 Caso 8 Caso 9 1.00 𝐶𝑎 𝐿 0.036 0.027 0.027 0.032 0.032 0.035 0.032 0.028 0.030 𝐶𝑏 𝐿 0.036 0.027 0.032 0.032 0.027 0.032 0.035 0.030 0.028 𝐶𝑎 𝐿 0.040 0.030 0.031 0.035 0.034 0.038 0.036 0.031 0.032 𝐶𝑏 𝐿 0.033 0.025 0.029 0.029 0.024 0.029 0.032 0.027 0.025 𝐶𝑎 𝐿 0.045 0.034 0.035 0.039 0.037 0.042 0.040 0.035 0.036 𝐶𝑏 𝐿 0.029 0.022 0.027 0.026 0.021 0.025 0.029 0.024 0.022 𝐶𝑎 𝐿 0.050 0.037 0.040 0.043 0.041 0.046 0.045 0.040 0.039 𝐶𝑏 𝐿 0.026 0.019 0.024 0.023 0.019 0.022 0.026 0.022 0.020 𝐶𝑎 𝐿 0.056 0.041 0.045 0.048 0.044 0.051 0.051 0.044 0.042 𝐶𝑏 𝐿 0.023 0.017 0.022 0.020 0.016 0.019 0.023 0.019 0.017 𝐶𝑎 𝐿 0.061 0.045 0.051 0.052 0.047 0.055 0.056 0.049 0.046 𝐶𝑏 𝐿 0.019 0.014 0.019 0.016 0.013 0.016 0.020 0.016 0.013 𝐶𝑎 𝐿 0.068 0.049 0.057 0.057 0.051 0.060 0.063 0.054 0.050 𝐶𝑏 𝐿 0.016 0.012 0.016 0.014 0.011 0.013 0.017 0.014 0.011 𝐶𝑎 𝐿 0.074 0.053 0.064 0.062 0.055 0.064 0.070 0.059 0.054 𝐶𝑏 𝐿 0.013 0.010 0.014 0.011 0.009 0.010 0.014 0.011 0.009 𝐶𝑎 𝐿 0.081 0.058 0.071 0.067 0.059 0.068 0.077 0.065 0.059 𝐶𝑏 𝐿 0.010 0.007 0.011 0.009 0.007 0.008 0.011 0.009 0.007 𝐶𝑎 𝐿 0.088 0.062 0.080 0.072 0.063 0.073 0.085 0.070 0.063 𝐶𝑏 𝐿 0.008 0.006 0.009 0.007 0.005 0.006 0.009 0.007 0.006 𝐶𝑎 𝐿 0.095 0.066 0.088 0.077 0.067 0.078 0.092 0.076 0.067 𝐶𝑏 𝐿 0.006 0.004 0.007 0.005 0.004 0.005 0.007 0.005 0.004 0.95 0.90 0.85 0.80 0.75 0.70 0.65 0.60 0.55 0.50 𝑀𝑎 𝑝𝑜𝑠 𝐿 = 𝐶𝑎 𝐿 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2𝑎 (12.45) 𝑀𝑏 𝑝𝑜𝑠 𝐿 = 𝐶𝑏 𝐿 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2𝑏 (12.46) 510 Losas armadas en dos direcciones Relación de la carga 𝑾 que se transmite en las direcciones 𝓵𝒂 y 𝓵𝒃 para calcular el cortante en la losa y las reacciones en los apoyos Relación ℓ𝑎 𝑚= ℓ𝑏 Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5 Caso 6 Caso 7 Caso 8 Caso 9 1.00 𝑊𝑎 0.50 0.50 0.17 0.50 0.83 0.71 0.29 0.33 0.67 𝑊𝑏 0.50 0.50 0.83 0.50 0.17 0.29 0.71 0.67 0.33 𝑊𝑎 0.55 0.55 0.20 0.55 0.86 0.75 0.33 0.38 0.71 𝑊𝑏 0.45 0.45 0.80 0.45 0.14 0.25 0.67 0.62 0.29 𝑊𝑎 𝑊𝑏 0.60 0.60 0.23 0.60 0.88 0.79 0.38 0.43 0.75 0.40 0.40 0.77 0.40 0.12 0.21 0.62 0.57 0.25 𝑊𝑎 0.66 0.66 0.28 0.66 0.90 0.83 0.43 0.49 0.79 𝑊𝑏 0.34 0.34 0.72 0.34 0.10 0.17 0.57 0.51 0.21 𝑊𝑎 0.71 0.71 0.33 0.71 0.92 0.86 0.49 0.55 0.83 𝑊𝑏 0.29 0.29 0.67 0.29 0.08 0.14 0.51 0.45 0.17 𝑊𝑎 0.76 0.76 0.39 0.76 0.94 0.88 0.56 0.61 0.86 𝑊𝑏 0.24 0.24 0.61 0.24 0.06 0.12 0.44 0.39 0.14 𝑊𝑎 0.81 0.81 0.45 0.81 0.95 0.91 0.62 0.68 0.89 𝑊𝑏 0.19 0.19 0.55 0.19 0.05 0.09 0.38 0.32 0.11 𝑊𝑎 0.85 0.85 0.53 0.85 0.96 0.93 0.69 0.74 0.92 𝑊𝑏 0.15 0.15 0.47 0.15 0.04 0.07 0.31 0.26 0.08 𝑊𝑎 0.89 0.89 0.61 0.89 0.97 0.95 0.76 0.80 0.94 𝑊𝑏 0.11 0.11 0.39 0.11 0.03 0.05 0.24 0.20 0.06 𝑊𝑎 0.92 0.92 0.69 0.92 0.98 0.96 0.81 0.85 0.95 𝑊𝑏 0.08 0.08 0.31 0.08 0.02 0.04 0.19 0.15 0.05 𝑊𝑎 0.94 0.94 0.76 0.94 0.99 0.97 0.86 0.89 0.97 𝑊𝑏 0.06 0.06 0.24 0.06 0.01 0.03 0.14 0.11 0.03 0.95 0.90 0.85 0.80 0.75 0.70 0.65 0.60 0.55 0.50 En todas las tablas el borde achurado significa que la losa continúa a través o se encuentra empotrada en el apoyo, mientras que el borde con doble línea punteada indica un apoyo donde la resistencia torsional es despreciable (borde apoyado). 511 Diseño de estructuras de hormigón armado 12.5. Espesor mínimo de losas con y sin vigas interiores 12.5.1. Losa sin vigas interiores Cuando la losa de piso no tiene vigas interiores o tiene vigas planas con altura igual al de la losa o cuando la inercia de las vigas no es significativamente grande (𝛼𝑓𝑚 ≤ 0.2), entonces se puede asumir el sistema de piso sin vigas y aplicar la sección 8.3.1.1 del código ACI donde se indica que para losas sin vigas interiores que se extiendan entre soportes y que tienen una relación ℓ𝑛𝑏 /ℓ𝑛𝑎 ≤ 2, el mínimo espesor debe ser el indicado en la Tabla 8.3.1.1, pero no debe ser menor a los siguientes valores: Losas sin ábacos como los definidos en la sección 8.2.4 del código deben tener un espesor mínimo de 120 [𝑚𝑚]. Losas con ábacos como los definidos en la sección 8.2.4 del código deben tener un espesor mínimo de 100 [𝑚𝑚]. Espesor mínimo de losas sin vigas interiores* Tensión de fluenciab 𝒇𝒚 en [𝑴𝑷𝒂] 280 420 520 Con ábacosa Sin ábacos Paneles Exteriores Sin vigas de borde Con vigas de bordec ℓ𝑛 33 ℓ𝑛 30 ℓ𝑛 28 ℓ𝑛 36 ℓ𝑛 33 ℓ𝑛 31 Paneles Interiores ℓ𝑛 36 ℓ𝑛 33 ℓ𝑛 31 Paneles Exteriores Sin vigas de borde Con vigas de borde ℓ𝑛 36 ℓ𝑛 33 ℓ𝑛 31 ℓ𝑛 40 ℓ𝑛 36 ℓ𝑛 34 Paneles Interiores ℓ𝑛 40 ℓ𝑛 36 ℓ𝑛 34 Tabla 8.3.1.1 del código ACI * Para losas en dos direcciones, ℓ𝑛 es la luz libre en la dirección larga, medida entre caras de los apoyos en losas sin vigas y entre caras de vigas, para losas con vigas u otros apoyos. a La geometría del ábaco para ser considerado como tal debe cumplir con lo especificado en la sección 8.2.4 del ACI. b Para valores intermedios de la tensión de fluencia se puede utilizar una interpolación lineal. c El valor de 𝛼𝑓 para la viga de borde debe ser mayor o igual a 0.8. 12.5.2. Losa con vigas interiores La sección 8.3.1.2 del código ACI indica que para losas con vigas en todos sus lados y que se apoyan entre soportes, el mínimo espesor debe ser: 512 Losas armadas en dos direcciones a) Para 𝛼𝑓𝑚 ≤ 0.2 se aplica la tabla anterior de espesores mínimos de losas sin vigas interiores (Tabla 8.3.1.1 del código ACI). b) Para 0.2 < 𝛼𝑓𝑚 ≤ 2 el espesor no debe ser menor a: 𝑓𝑦 ℓ𝑛 ∙ (0.8 + 1400) ℎ= 36 + 5 ∙ 𝛽 ∙ (𝛼𝑓𝑚 − 0.2) ≥ 125 [𝑚𝑚] (12.47) c) Para 𝛼𝑓𝑚 > 2 el espesor no debe ser menor a: 𝑓𝑦 ℓ𝑛 ∙ (0.8 + 1400) ℎ= 36 + 9 ∙ 𝛽 ≥ 90 [𝑚𝑚] (12.48) d) En bordes discontinuos, la viga de borde debe tener un 𝛼𝑓 ≥ 0.80 o el espesor mínimo de la losa ℎ, calculado con las ecuaciones (12.47) y (12.48), debe ser incrementado en por lo menos 10% en el panel que tenga un borde discontinuo. Donde: 𝛼𝑓𝑚 = Valor promedio de los 𝛼𝑓 de todas las vigas que conforman los bordes del panel. 𝐼𝑏 𝐼𝑠 (12.49) ℓ𝑛𝑏 ℓ𝑛𝑎 (12.50) 𝛼𝑓 = 𝛽= 𝐼𝑏 = Inercia de la viga. 𝐼𝑠 = Inercia de la losa. ℓ𝑛𝑏 = Longitud libre en la dirección larga. ℓ𝑛𝑎 = Longitud libre en la dirección corta. ℓ𝑛 = Longitud libre en la dirección larga, medida desde las caras de los soportes en losas sin vigas y desde las caras de las vigas u otros soportes para los demás casos. 513 Diseño de estructuras de hormigón armado ℓ2 /2 ℓ2 /2 ℎ𝑤 ≤ 4 ∙ ℎ ℎ𝑤 ≤ 4 ∙ ℎ ℎ ℎ𝑤 𝑏𝑤 Sección para el cálculo de 𝑰𝒃 en vigas interiores ℓ2 /2 ℓ2 /2 ℎ ℎ𝑤 𝑏𝑤 Sección para el cálculo de 𝑰𝒔 en vigas interiores Fig. 12.28. Secciones transversales para el cálculo de inercias en viga y losa Es común calcular el espesor de una losa, con vigas entre soportes interiores, considerando el perímetro del panel como se muestra en la siguiente ecuación: ℎ≈ 𝑃 2 ∙ (ℓ𝑛𝑎 + ℓ𝑛𝑏 ) [𝑚𝑚] = 180 180 (12.51) Donde: 𝑃 = Perímetro del panel en [𝑚𝑚]. Ejemplo. Un sistema de piso de hormigón armado está compuesto por paneles rectangulares con dimensiones externas de 6.5 [𝑚] por 8 [𝑚]. El ancho de las vigas es de 300 [𝑚𝑚] y su altura de 600 [𝑚𝑚] y se encuentran sobre todas las líneas de las columnas por lo que las dimensiones libres del panel son de 5.9 [𝑚] por 7.4 [𝑚]. La carga viva de servicio sobre el piso es de 6.5 [𝑘𝑁/𝑚2 ] distribuida uniformemente sobre su superficie. Considerando que la resistencia característica del hormigón a los 28 días es de 20 [𝑀𝑃𝑎] y el acero tiene una tensión de fluencia de 420 [𝑀𝑃𝑎], calcular el espesor de la losa y el refuerzo necesario para el panel de la esquina. 514 Losas armadas en dos direcciones B A 6200 5900 1 7700 Panel de esquina 7400 2 a) Determinación del espesor. ℎ≈ 𝑃 2 ∙ (5900 + 7400) = = 148 [𝑚𝑚] 180 180 ℎ = 150[𝑚𝑚] 450 150 450 300 Momento de inercia de la viga de borde 𝐼𝑏 = 80.118 ∙ 108 [𝑚𝑚4 ] 515 Diseño de estructuras de hormigón armado 450 450 150 450 300 Momento de inercia de la viga interior 𝐼𝑏 = 95.585 ∙ 108 [𝑚𝑚4 ]. 𝛽= 7400 = 1.25 5900 Eje 1: 80.118 ∙ 108 = 7.12 1 ∙ 4000 ∙ 1503 12 Eje A: 80.118 ∙ 108 𝛼𝑓 = = 8.77 1 3 ∙ 3250 ∙ 150 12 𝛼𝑓 = Eje 2: 𝛼𝑓 = 95.585 ∙ 108 = 4.41 1 ∙ 7700 ∙ 1503 12 Eje B: 𝛼𝑓 = 95.585 ∙ 108 = 5.48 1 3 ∙ 6200 ∙ 150 12 𝛼𝑓𝑚 = 6.45 > 2 ℎ= 𝑓𝑦 ℓ𝑛 ∙ (0.8 + 1400) 36 + 9 ∙ 𝛽 = 420 7400 ∙ (0.8 + 1400) 36 + 9 ∙ 1.25 = 172 [𝑚𝑚] ≥ 90 [𝑚𝑚] Se adopta ℎ = 175 [𝑚𝑚]. Se podría recalcular 𝛼𝑓𝑚 , pero se puede observar que su valor será otra vez mayor a 2 dando como resultado la misma altura de losa ℎ, por lo tanto no es necesario calcular nuevamente 𝛼𝑓𝑚 . 516 Losas armadas en dos direcciones b) Cálculo de las solicitaciones máximas. Solicitaciones de servicio. 𝑤𝐿 = 6.5 [𝑘𝑁/𝑚2 ] 𝑤𝐷 = 0.175 · 24 = 4.2 [𝑘𝑁/𝑚2 ] Solicitaciones últimas. 𝑤𝐿𝑢 = 1.6 · 6.5 = 10.40 [𝑘𝑁/𝑚2 ] 𝑤𝐷𝑢 = 1.2 · 4.2 = 5.04 [𝑘𝑁/𝑚2 ] 𝑤𝑢 = 15.44 [𝑘𝑁/𝑚2 ] c) Cálculo de los momentos. ℓ𝑎 5.9 = = 0.80 ℓ𝑏 7.4 Momentos negativos en bordes continuos. 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 ] 𝑚 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑏 = −0.029 ∙ 15.44 ∙ 7.42 = −24.52 [ ] 𝑚 𝑀𝑎 = −0.071 ∙ 15.44 ∙ 5.92 = −38.16 [ Momentos positivos. 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 ] 𝑚 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑎+𝐿 = 0.048 ∙ 10.40 ∙ 5.92 = 17.38 [ ] 𝑚 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑎+ = 24.22 [ ] 𝑚 𝑀𝑎+𝐷 = 0.039 ∙ 5.04 ∙ 5.92 = 6.84 [ 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 ] 𝑚 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑏+𝐿 = 0.020 ∙ 10.40 ∙ 7.42 = 11.39 [ ] 𝑚 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑏+ = 15.81 [ ] 𝑚 𝑀𝑏+𝐷 = 0.016 ∙ 5.04 ∙ 7. 42 = 4.42 [ 1 Momentos negativos en bordes discontinuos (Se toma como 3 de los momentos positivos). 1 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑎− = − ∙ 24.22 = −8.07 [ ] 3 𝑚 517 Diseño de estructuras de hormigón armado 1 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑏− = − ∙ 15.81 = −5.27 [ ] 3 𝑚 d) Diseño de la armadura. En la dirección corta. 𝑑 = ℎ − 25 = 175 − 25 = 150 [𝑚𝑚] 𝑎 𝑗 ∙ 𝑑 = 𝑑 − ≈ 0.925 ∙ 𝑑 2 Se asume que 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 y que la falla es por tracción. 𝐴𝑠 = 𝑀𝑢 𝜙 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑗 ∙ 𝑑 A medio tramo se tiene: 𝑀𝑎+ = 24.22 [ 𝐴𝑠 = 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 ] 𝑚 24.22 ∙ 10002 𝑚𝑚2 𝑐𝑚2 = 462 [ ] = 4.62 [ ] 0.9 ∙ 420 ∙ 0.925 ∙ 150 𝑚 𝑚 𝑐𝑚2 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0.0018 ∙ 𝑏 ∙ ℎ = 0.0018 ∙ 100 ∙ 17.5 = 3.15 [ ] 𝑚 𝜙 10 𝑐/150 → 𝐴𝑠 = 5.24 [𝑐𝑚2 /𝑚] 𝜙 12 𝑐/250 → 𝐴𝑠 = 4.52 [𝑐𝑚2 /𝑚] Se verifica la sección para 𝜙 12 𝑐/250 → 𝐴𝑠 = 4.52 [𝑐𝑚2 /𝑚] 𝑎= 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 452 ∙ 420 = = 11 [𝑚𝑚] ′ 0.85 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 0.85 ∙ 20 ∙ 1000 𝑑 = 𝑑𝑡 = 175 − 20 − 6 = 149 [𝑚𝑚] 𝑎 11 = = 0.074 𝑑𝑡 149 𝑎𝑡𝑐 = 0.375 ∙ 𝛽1 = 0.319 𝑑𝑡 𝑎 𝑎 Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑡𝑐 el acero fluye y la sección falla a tracción 𝑡 518 𝑡 Losas armadas en dos direcciones 𝑎 453 ∙ 420 11 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 𝜙 ∙ 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ∙ (𝑑 − ) = 0.9 ∙ ∙ (149 − ) = 24.57 [ ] 2 2 1000 2 𝑚 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 24.57 [ 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 ] ≥ 𝑀𝑎+ = 24.22 [ ] 𝑚 𝑚 En bordes continuos se tiene: 𝑀𝑎− = 38.16 [ 𝐴𝑠 = 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 ] 𝑚 𝑚𝑚2 𝑐𝑚2 38.16 ∙ 10002 = 728 [ ] = 7.28 [ ] 𝑚 𝑚 0.9 ∙ 420 ∙ 0.925 ∙ 150 𝑐𝑚2 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0.0018 ∙ 𝑏 ∙ ℎ = 0.0018 ∙ 100 ∙ 17.5 = 3.15 [ ] 𝑚 𝜙 10 𝑐/100 → 𝐴𝑠 = 7.85 [𝑐𝑚2 /𝑚] 𝜙 12 𝑐/150 → 𝐴𝑠 = 7.54 [𝑐𝑚2 /𝑚] Se verifica la sección para 𝜙 12 𝑐/150 → 𝐴𝑠 = 7.54 [𝑐𝑚2 /𝑚] 𝑎= 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 754 ∙ 420 = = 19 [𝑚𝑚] ′ 0.85 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 0.85 ∙ 20 ∙ 1000 𝑑 = 𝑑𝑡 = 175 − 20 − 6 = 149 [𝑚𝑚] 𝑎 19 = = 0.128 𝑑𝑡 149 𝑎𝑡𝑐 = 0.375 ∙ 𝛽1 = 0.319 𝑑𝑡 𝑎 𝑎 Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑡𝑐 el acero fluye y la sección falla a tracción. 𝑡 𝑡 𝑎 754 ∙ 420 19 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 𝜙 ∙ 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ∙ (𝑑 − ) = 0.9 ∙ ∙ (149 − ) = 39.76 [ ] 2 2 1000 2 𝑚 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 39.76 [ 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 ] ≥ 𝑀𝑎− = 38.16 [ ] 𝑚 𝑚 519 Diseño de estructuras de hormigón armado En bordes discontinuos se tiene: 𝑀𝑎− = 8.07 [ 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 ] 𝑚 Debido a que el valor del momento en bordes discontinuos fue hallado como ⅓ de los momentos positivos, la armadura será aproximadamente igual a ⅓ de la armadura positiva. 𝐴𝑠 = 1 𝑐𝑚2 ∙ 4.53 = 1.51 [ ] 3 𝑚 𝑐𝑚2 ] 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0.0018 ∙ 𝑏 ∙ ℎ = 0.0018 ∙ 100 ∙ 17.5 = 3.15 [ 𝑚 Se adopta la armadura mínima. 𝜙 10 𝑐/250 → 𝐴𝑠 = 3.14 [𝑐𝑚2 /𝑚] 𝜙 12 𝑐/350 → 𝐴𝑠 = 3.23 [𝑐𝑚2 /𝑚] Se verifica la sección para 𝜙 10 𝑐/250 → 𝐴𝑠 = 3.14 [𝑐𝑚2 /𝑚]. 𝑎= 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 314 ∙ 420 = = 8 [𝑚𝑚] ′ 0.85 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 0.85 ∙ 20 ∙ 1000 𝑎 8 = = 0.053 𝑑𝑡 150 𝑎𝑡𝑐 = 0.375 ∙ 𝛽1 = 0.319 𝑑𝑡 𝑎 𝑎 Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑡𝑐 el acero fluye y la sección falla a tracción. 𝑡 𝑡 𝑎 314 ∙ 420 8 𝑚 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 𝜙 ∙ 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ∙ (𝑑 − ) = 0.9 ∙ ∙ (150 − ) = 17.33 [𝑘𝑁 ∙ ] 2 2 1000 2 𝑚 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 17.33 [ 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 ] ≥ 𝑀𝑎− = 8.07 [ ] 𝑚 𝑚 En la dirección larga. 𝑑 = ℎ − 20 − 12 − 6 = 175 − 38 = 137 [𝑚𝑚] (Solamente para el 𝑀𝑏+ ) 𝑗∙𝑑 =𝑑− 520 𝑎 ≈ 0.925 ∙ 𝑑 2 Losas armadas en dos direcciones Se asume que 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 y que la falla es por tracción. 𝐴𝑠 = 𝑀𝑢 𝜙 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑗 ∙ 𝑑 A medio tramo se tiene: 𝑀𝑏+ = 15.81 [ 𝐴𝑠 = 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 ] 𝑚 15.81 ∙ 10002 𝑚𝑚2 𝑐𝑚2 = 330 [ ] = 3.30 [ ] 0.9 ∙ 420 ∙ 0.925 ∙ 137 𝑚 𝑚 𝑐𝑚2 ] 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0.0018 ∙ 𝑏 ∙ ℎ = 0.0018 ∙ 100 ∙ 17.5 = 3.15 [ 𝑚 𝜙 10 𝑐/220 → 𝐴𝑠 = 3.57 [𝑐𝑚2 /𝑚] 𝜙 12 𝑐/300 → 𝐴𝑠 = 3.77 [𝑐𝑚2 /𝑚] Se verifica la sección para 𝜙 12 𝑐/300 → 𝐴𝑠 = 3.77 [𝑐𝑚2 /𝑚] 𝑎= 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 377 ∙ 420 = = 9 [𝑚𝑚] ′ 0.85 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 0.85 ∙ 20 ∙ 1000 𝑎 9 = = 0.066 𝑑𝑡 137 𝑎𝑡𝑐 = 0.375 ∙ 𝛽1 = 0.319 𝑑𝑡 𝑎 𝑎 Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑡𝑐 el acero fluye y la sección falla a tracción. 𝑡 𝑡 𝑎 377 ∙ 420 9 𝑚 ∙ (137 − ) = 18.88 [𝑘𝑁 ∙ ] 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 𝜙 ∙ 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ∙ (𝑑 − ) = 0.9 ∙ 2 2 1000 2 𝑚 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 18.88 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑚 ] ≥ 𝑀𝑏+ = 15.81 [𝑘𝑁 ∙ ] 𝑚 𝑚 En bordes continuos se tiene: 𝑀− 𝑏 = 24.52 [ 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 ] 𝑚 𝑑 = ℎ − 25 = 175 − 25 = 150[𝑚𝑚] (Solamente para el 𝑀𝑏− ) 521 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝐴𝑠 = 24.52 ∙ 10002 𝑚𝑚2 𝑐𝑚2 = 468 [ ] = 4.68 [ ] 0.9 ∙ 420 ∙ 0.925 ∙ 150 𝑚 𝑚 𝑐𝑚2 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0.0018 ∙ 𝑏 ∙ ℎ = 0.0018 ∙ 100 ∙ 17.5 = 3.15 [ ] 𝑚 𝜙 10 𝑐/150 → 𝐴𝑠 = 5.24 [𝑐𝑚2 /𝑚] 𝜙 12 𝑐/250 → 𝐴𝑠 = 4.53 [𝑐𝑚2 /𝑚] Se verifica la sección para 𝜙 12 𝑐/250 → 𝐴𝑠 = 4.53 [𝑐𝑚2 /𝑚] 𝑎= 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 453 ∙ 420 = = 11 [𝑚𝑚] ′ 0.85 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 0.85 ∙ 20 ∙ 1000 𝑑 = 𝑑𝑡 = 175 − 20 − 6 = 149 [𝑚𝑚] 𝑎 11 = = 0.074 𝑑𝑡 149 𝑎𝑡𝑐 = 0.375 ∙ 𝛽1 = 0.319 𝑑𝑡 𝑎 𝑎 Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑡𝑐 el acero fluye y la sección falla a tracción. 𝑡 𝑡 453 ∙ 420 11 𝑚 𝑎 ∙ (149 − ) = 24.57 [𝑘𝑁 ∙ ] 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 𝜙 ∙ 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ∙ (𝑑 − ) = 0.9 ∙ 2 1000 2 𝑚 2 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 24.57 [ 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 ] ≥ 𝑀𝑏− = 24.52 [ ] 𝑚 𝑚 En bordes discontinuos se tiene: 𝑀𝑏− = 5.27 [ 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 ] 𝑚 Debido a que el valor del momento en bordes discontinuos fue hallado como ⅓ de los momentos positivos, la armadura será aproximadamente igual a ⅓ de la armadura positiva. 1 𝑐𝑚2 𝐴𝑠 = ∙ 3.77 = 1.26 [ ] 3 𝑚 𝑐𝑚2 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0.0018 ∙ 𝑏 ∙ ℎ = 0.0018 ∙ 100 ∙ 17.5 = 3.15 [ ] 𝑚 Se adopta la armadura mínima. 522 Losas armadas en dos direcciones 𝜙 10 𝑐/250 → 𝐴𝑠 = 3.14 [𝑐𝑚2 /𝑚] 𝜙 12 𝑐/350 → 𝐴𝑠 = 3.23 [𝑐𝑚2 /𝑚] Se verifica la sección para 𝜙 10 𝑐/250 → 𝐴𝑠 = 3.14 [𝑐𝑚2 /𝑚]. 𝑎= 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 314 ∙ 420 = = 8 [𝑚𝑚] ′ 0.85 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 0.85 ∙ 20 ∙ 1000 8 𝑎 = = 0.053 𝑑𝑡 150 𝑎𝑡𝑐 = 0.375 ∙ 𝛽1 = 0.319 𝑑𝑡 𝑎 𝑎 Como 𝑑 ≤ 𝑑𝑡𝑐 el acero fluye y la sección falla a tracción. 𝑡 𝑡 𝑎 314 ∙ 420 8 𝑚 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 𝜙 ∙ 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ∙ (𝑑 − ) = 0.9 ∙ ∙ (150 − ) = 17.33 [𝑘𝑁 ∙ ] 2 2 1000 2 𝑚 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 17.33 [ 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 ] ≥ 𝑀𝑏− = 5.27 [ ] 𝑚 𝑚 Los aceros seleccionados hasta el momento corresponden a las franjas centrales en ambas direcciones. Para las franjas de extremo (franjas de la columna), se asume que los momentos decrecen linealmente desde el valor completo en el borde interno de la franja de la columna hasta un tercio de ese valor en el borde de la viga de soporte. Para simplificar la colocación de la armadura, un espaciamiento uniforme puede ser utilizado para las franjas de la columna. El momento promedio en las franjas de las columnas es 1 2 1 ∙ (1 + 3) ∙ 𝑀𝑚𝑎𝑥 = 3 ∙ 𝑀𝑚𝑎𝑥 , donde 𝑀𝑚𝑎𝑥 es el momento máximo correspondiente a la franja central, 2 por lo tanto se puede colocar el mismo diámetro de barra utilizado para la franja central pero con un espaciamiento de 3/2 mayor con la condición de que ese espaciamiento no supere el espaciamiento máximo de dos veces el espesor de la losa. 523 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝜙 12𝑐/300 𝜙 12𝑐/350 3700 𝜙 12𝑐/150 𝜙 12𝑐/250 𝜙 12𝑐/250 ℓ𝑛𝑏 = 7400 7700 𝜙 10𝑐/250 𝜙 12𝑐/350 1850 𝜙 10𝑐/250 ℓ𝑛𝑎 = 5900 Refuerzo de esquina tanto en la parte superior como en la inferior según ACI 13.3.6. 1850 6200 Para el presente ejercicio se realizará una variación en el espaciamiento solamente de las barras positivas en la dirección corta correspondientes a las franjas de la columna a 𝜙12 𝑐/350 que tiene una cuantía superior a la mínima y cuyo espaciamiento es igual al máximo permitido (2 ∙ ℎ). En la dirección larga no se justifica aumentar el espaciamiento en las franjas de las columnas y se utilizará el mismo que el de la franja central puesto que la separación de la armadura es de 300[𝑚𝑚]. Las reacciones de la losa son también calculadas y de acuerdo a la tabla correspondiente se obtiene que el 71% de la carga es transmitida en la dirección corta, mientras que el 29% en la dirección larga. La carga total en el panel se obtiene multiplicando el área total libre por la carga última. Carga total = 5.90 ∙ 7.40 ∙ 15.44 = 674.11[𝑘𝑁] Carga sobre las vigas largas = 0.71∙674.11 𝑘𝑁 = 32.34 [ 𝑚 ] 2∙7.40 Carga sobre las vigas cortas = 0.29∙674.11 𝑘𝑁 = 16.57 [ 𝑚 ] 2∙5.90 El corte que se transmite de la losa a las vigas es numéricamente igual a las cargas determinadas sobre las vigas. Para propósitos de diseño, este corte puede ser reducido considerando si se calcula el corte 524 Losas armadas en dos direcciones correspondiente a una distancia 𝑑 desde la cara de las vigas. Para el presente problema no se hará reducción alguna del corte y se verificará la losa para el corte máximo calculado. 𝜙 ∙ 𝑉𝑐 = 𝜙 ∙ 0.17 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 = 0.75 ∙ 0.17 ∙ 1 ∙ √20 ∙ 𝜙 ∙ 𝑉𝑐 = 85.53 [ 1000 ∙ 150 𝑘𝑁 = 85.53 [ ] 1000 𝑚 𝑘𝑁 𝑘𝑁 ] ≥ 32.34 [ ] 𝑚 𝑚 El espesor es suficiente para resistir el corte que se produce en la unión de la losa con la cara interior de las vigas a lo largo del perímetro cuando la totalidad de la carga actúa sobre el panel, por tanto no es necesario colocar ningún tipo de refuerzo para corte. 12.6. Consideraciones para el refuerzo de losas en dos direcciones 12.6.1. Ábacos Los ábacos son porciones más gruesas de la losa que circunscriben las columnas y generalmente son utilizados por las siguientes razones: a) El espesor mínimo requerido de losa para limitar deflexiones puede ser reducido en un 10% si la losa tiene ábacos que cumplen los requerimientos de la sección 8.2.4 del código ACI. El ábaco rigidiza la losa en la región de momentos máximos (momentos negativos sobre los apoyos) y por tanto reduce la deflexión. b) Un ábaco con las dimensiones mínimas indicadas por la sección 8.2.4 del código ACI puede ser considerado para reducir la cantidad de refuerzo negativo sobre las columnas porque el brazo del refuerzo negativo aumenta. c) Un ábaco provee una profundidad adicional en la región de las columnas y por tanto aumenta el área del perímetro de la sección crítica a corte. La sección 8.2.4 del código ACI indica que cuando se emplee un ábaco para reducir la cantidad de refuerzo por momento negativo sobre la columna de una losa plana, el ábaco debe proyectarse bajo la losa al menos un cuarto del espesor de la losa y debe extenderse, en cada dirección, desde la línea central de apoyo una distancia no menor a un sexto de la longitud del vano medida al centro de los apoyos en esa dirección. Para calcular el refuerzo requerido para la losa, el espesor del ábaco bajo la losa no debe considerarse mayor a un cuarto de la distancia desde el extremo del ábaco a la cara de la columna o de su capitel. 525 Diseño de estructuras de hormigón armado ℎ Losa Abaco ≥ ℓ𝑎 6 ≥ ℎ𝑑 ≥ ℓ𝑏 6 ℓ𝑎 ℎ 4 ℓ𝑏 Fig. 12.29. Dimensiones mínimas de un ábaco 12.6.2. Capiteles Algunas veces la parte superior de una columna se remata con un ensanche tronco cónico con el propósito de aumentar el perímetro crítico para corte alrededor de la columna y para reducir la luz nominal ℓ𝑛 en las losas. La sección 26.5.7.2(b) del código ACI requiere que el capitel sea vaciado al mismo tiempo que la losa y eso hace que el tiempo requerido y el costo para armar el encofrado aumenten. Por tanto, otras alternativas como la utilización de ábacos o refuerzo de corte son preferidas antes que capiteles. El diámetro efectivo del capitel es definido en la sección 8.4.1.4 del código y es ilustrado en la figura 12.30. Este diámetro efectivo es medido en la base de la losa o ábaco, si éste existe y tiene mayor espesor que la losa, y es utilizado para definir el ancho efectivo para la transferencia de momentos y para definir la luz libre ℓ𝑛 . El hormigón que queda fuera de la línea de 45° de la figura 12.30 puede ser considerado para incrementar la resistencia al corte. Diámetro efectivo Losa Abaco 45° 45° Columna Capitel Fig. 12.30. Diámetro efectivo de capiteles 526 Losas armadas en dos direcciones 12.6.3. Refuerzo La sección 8.6.1 del código ACI presenta los requerimientos mínimos para el refuerzo en losas. Para sistemas de losas que trabajan en dos direcciones, el área de refuerzo de acero debe determinarse con base a los momentos flectores en las secciones críticas, pero éste no debe ser menor al área requerida por la sección 24.4.3.2 (refuerzo mínimo por retracción y temperatura). El espaciamiento del refuerzo en las secciones críticas no debe exceder de 2 veces el espesor de la losa, excepto para aquellas partes de la superficie de la losa nervada. El refuerzo de la losa nervada localizado sobre los casetones de poliestireno expandido debe colocarse cumpliendo los requerimientos de la sección 24.4.3.2 (refuerzo mínimo por retracción y temperatura). Como se aprecia en la figura 12.31, el refuerzo para momento positivo, perpendicular a un borde discontinuo, debe extenderse hasta el borde de la losa y terminar con una longitud embebida recta o en gancho, de por lo menos 150 [𝑚𝑚] en las vigas, muros o columnas perimetrales. De la misma forma, el refuerzo para momento negativo perpendicular a un borde discontinuo debe anclarse, en general, con gancho dentro de las vigas, muros o columnas perimetrales para que pueda desarrollar su capacidad a tracción en la cara del apoyo. En un borde discontinuo, cuando la losa no está apoyada en una viga perimetral o muro; o cuando la losa se proyecta en voladizo más allá del apoyo, se permite el anclaje del refuerzo dentro de la losa de modo que pueda desarrollar su capacidad a tracción en la cara del apoyo donde se inicia el voladizo. Gancho para anclaje de barra 150 Anclaje del refuerzo dentro de la losa Longitud mínima embebida en viga, muro o columna Fig. 12.31. Detalle de anclaje del refuerzo positivo y negativo en borde discontinuo 527 Diseño de estructuras de hormigón armado En las losas con vigas entre los apoyos, que tengan un valor de 𝛼𝑓 mayor de 1.0, debe proporcionarse refuerzo especial en las esquinas exteriores, tanto en la parte inferior como en la superior de la losa de acuerdo con los siguientes criterios: a) El refuerzo especial tanto en la parte superior como en la inferior de la losa debe ser suficiente para resistir un momento igual al momento positivo máximo (por metro de ancho) de la losa. b) Debe suponerse que el momento actúa alrededor de un eje perpendicular a la diagonal que parte de la esquina en la parte superior de la losa y alrededor de un eje paralelo a la diagonal en la parte inferior de la losa. 1 c) El refuerzo especial debe colocarse a partir de la esquina a una distancia en cada dirección igual a 5 de la longitud de la luz más grande. d) El refuerzo especial debe colocarse en una banda paralela a la diagonal en la parte superior de la losa, y en una banda perpendicular a la diagonal en la parte inferior de la losa. Alternativamente, el refuerzo especial puede ser colocado en dos capas paralelas a los bordes de la losa tanto en la parte superior como en la parte inferior de la losa. ℓ𝑛𝑎 ℓ𝑛𝑎 ℓ𝑛𝑎 5 ℓ𝑛𝑎 5 ℓ𝑛𝑎 5 ℓ𝑛𝑎 5 ℓ𝑛𝑏 ℓ𝑛𝑏 ℓ𝑛𝑎 > ℓ𝑛𝑏 Refuerzo inferior en la esquina de la losa ℓ𝑛𝑎 > ℓ𝑛𝑏 Refuerzo superior en la esquina de la losa Fig. 12.32. Colocación del refuerzo en esquinas de una losa soportada por vigas 528 Losas armadas en dos direcciones ℓ𝑛𝑎 ℓ𝑛𝑎 ℓ𝑛𝑎 5 ℓ𝑛𝑎 5 ℓ𝑛𝑎 5 ℓ𝑛𝑎 5 ℓ𝑛𝑏 ℓ𝑛𝑏 ℓ𝑛𝑎 > ℓ𝑛𝑏 Refuerzo inferior en la esquina de la losa ℓ𝑛𝑎 > ℓ𝑛𝑏 Refuerzo superior en la esquina de la losa Fig. 12.33. Alternativa de colocación para el refuerzo en esquinas de una losa soportada por vigas 12.6.4. Anclajes y puntos de corte del refuerzo Para losas sin vigas, la sección 8.7.4.1.3(a) del código ACI permite que las barras sean cortadas de acuerdo a las indicaciones de la figura 12.34. Cuando las luces de vanos adyacentes tienen longitudes desiguales, la extensión de las barras superiores (barras para momento negativo) más allá de los soportes es hallada considerando la longitud del mayor vano. En pórticos donde las losas en dos direcciones actúan como elementos principales del sistema resistente para cargas laterales, las longitudes del refuerzo deben determinarse por medio del análisis estructural, pero no deben ser menores a las presentadas en la figura 12.34. Todas las barras inferiores que quedan dentro de una franja de columna en cada dirección, deben extenderse en forma continua o estar empalmadas con empalmes de tracción Clase A, o con dispositivos mecánicos o soldadas. Los empalmes deben ubicarse en los lugares indicados por la figura 12.34 y por lo menos dos barras inferiores de la franja de columna, en cada dirección, deben pasar a través del núcleo de la columna y estar ancladas en los apoyos exteriores. 529 Diseño de estructuras de hormigón armado Franja Ubicación Arriba 𝑨𝒔 mínimo en la sección Sin ábacos Con ábacos 0.30 ∙ ℓ𝑛 0.30 ∙ ℓ𝑛 0.33 ∙ ℓ𝑛 0.33 ∙ ℓ𝑛 0.20 ∙ ℓ𝑛 0.20 ∙ ℓ𝑛 0.20 ∙ ℓ𝑛 0.20 ∙ ℓ𝑛 𝟓𝟎% restante Franja de columnas Mínimo dos barras ancladas Abajo 𝟏𝟎𝟎% 150 Barras contínuas 150 En esta región solo empalmes Clase B 0.22 ∙ ℓ𝑛 Arriba 0.22 ∙ ℓ𝑛 0.22 ∙ ℓ𝑛 0.22 ∙ ℓ𝑛 𝟏𝟎𝟎% Franja central 150 Abajo 𝟓𝟎% Máx. 0.15 ∙ ℓ𝑛 150 restante 𝑐1 Luz libre ℓ𝑛 Máx. 0.15 ∙ ℓ𝑛 𝑐1 150 Luz libre ℓ𝑛 CL CL Apoyo exterior sin continuidad de la losa Apoyo interior con continuidad de la losa 𝑐1 CL Apoyo exterior sin continuidad de la losa Fig. 12.34. Extensiones mínimas del refuerzo en losas sin vigas 12.7. Resistencia al corte de losas en dos direcciones Las losas en dos direcciones y las cimentaciones pueden presentar los siguientes dos tipos de fallas por corte: 530 Losas armadas en dos direcciones a) Corte en una dirección o corte tipo viga que involucra una grieta inclinada que se extiende a lo largo de todo el ancho de la losa. b) Corte en dos direcciones o punzonamiento que involucra una falla con superficie de forma piramidal o tronco cónica alrededor de la columna. Generalmente la capacidad de la losa ante la falla por corte en dos direcciones es mucho menor a la capacidad ante la falla por corte en una dirección. Sin embargo, es conveniente siempre verificar ambos tipos de falla en el diseño. 12.7.1. Corte en una dirección En el caso de una losa con carga uniforme, la sección crítica para corte en una dirección está localizada a una distancia 𝑑 desde la cara del soporte o a una distancia 𝑑 desde la cara del ábaco o de otro cambio de espesor. Aunque, el corte en una dirección casi nunca es crítico para losas planas en dos direcciones, durante el diseño se debe realizar su verificación asumiendo que el ancho total del panel de la losa resiste el corte en la dirección considerada. El área tributaria para calcular la resistencia al corte en una dirección se ilustra en la figura 12.39. La resistencia al corte se calcula como en el caso de vigas utilizando las siguientes ecuaciones: 𝜙 · 𝑉𝑛 ≥ 𝑉𝑢 𝑉𝑛 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠 (5.10) (5.11) 𝑉𝑐 = 0.17 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 (5.12) Donde: 𝑉𝑛 = Resistencia nominal al corte de la viga. 𝜙 = Factor de reducción de la resistencia (0.75). 𝑉𝑢 = Corte último. 𝑉𝑐 = Fuerza de corte resistida por el hormigón. 𝑉𝑠 = Fuerza de corte resistida por los estribos. 12.7.2. Corte en dos direcciones Sección crítica para columnas interiores. Primero se considera el caso de la transferencia de corte sin transferencia apreciable de momento y posteriormente se analizará el caso donde también existe transferencia de momento. El código ACI asume que la sección crítica se desarrolla en una sección vertical y alrededor de la columna a una distancia de 0.5 ∙ 𝑑 desde sus caras de tal modo que su perímetro 𝑏𝑜 es mínimo. 531 Diseño de estructuras de hormigón armado 0.5 ∙ 𝑑 0.5 ∙ 𝑑 𝑑 2 𝑑 2 Perímetro crítico para el corte 0.5 ∙ 𝑑 0.5 ∙ 𝑑 𝑑 2 𝑑 2 Fig. 12.35. Ubicación del perímetro crítico para el corte en dos direcciones 𝑑1 Cualquier dimensión 𝑑2 Cualquier dimensión 0.5 ∙ 𝑑2 0.5 ∙ 𝑑1 Fig. 12.36. Secciones críticas para corte en losas con ábacos 532 Losas armadas en dos direcciones Sección crítica para columnas con ábacos en la losa. En losas con ábacos que se proyectan por debajo de la misma, es necesario considerar dos secciones críticas como se muestra en la figura 12.36. En el caso de que las dimensiones del ábaco no cumplan con las mínimas requeridas por el código (figura 12.29), éste solamente puede ser considerado para propósitos de reducción del esfuerzo cortante. Sección crítica para columnas con agujeros cerca de sus caras. Cuando existen agujeros en la losa que están localizados a menos de diez veces el espesor de la misma desde la cara de la columna, el código ACI requiere que el perímetro crítico se reduzca de acuerdo a lo que se muestra en la figura 12.37. Aberturas No efectivo 𝑑 2 Sección crítica 𝑑 2 𝑑 2 Sección crítica Fig. 12.37. Efecto de aberturas dentro o próximas al perímetro crítico para corte Sección crítica para columnas de borde y esquina. El cálculo del perímetro crítico para columnas de borde y esquina no está claramente definido en el código ACI, pero Mac Gregor y Wight en su libro “Reinforced Concrete – Mechanics and Design” presentan los siguientes criterios: a) Comúnmente, los bordes del perímetro crítico alrededor de la columna no son considerados más allá de la cara exterior de la columna. En la figura 12.38 la sección crítica para las columnas de borde y esquina estaría definida por las líneas T-U-V-W y T-U-V, respectivamente. b) Se asume que los bordes del perímetro crítico, perpendiculares al borde de la losa, pueden extenderse más allá de la columna hasta los puntos definidos por la intersección de unas líneas que se proyectan a 45° desde las esquinas de la columna. En la figura 12.38, la sección crítica para las columnas de borde y esquina estaría definida por las líneas S-U-V-X y S-U-W, respectivamente. 533 Diseño de estructuras de hormigón armado c) En 1978, el comité 426 del código ACI sugirió que las caras laterales del perímetro podrían ser consideradas efectivas más allá de las caras exteriores de la columna cuando la losa se proyecta en voladizo por lo menos una distancia igual al mayor de cuatro veces el espesor de la losa (4 ∙ ℎ) o dos veces la longitud de desarrollo (2 ∙ ℓ𝑑 ) del refuerzo a flexión perpendicular al borde. En la figura 12.38 se aprecia que cuando las distancias A y B no exceden el mayor valor de 4 ∙ ℎ o 2 ∙ ℓ𝑑 , entonces la sección crítica, para las columnas de borde y esquina, estaría definida por las líneas RU-V-Y y R-U-X, respectivamente. Pero, si las distancias A y B exceden el mayor valor de 4 ∙ ℎ o 2 ∙ ℓ𝑑 , entonces la sección crítica, para las columnas de borde y esquina, estaría definida por una sección alrededor de las columnas distanciada 𝑑/2 de sus caras. R S T A U Y R X W S T 𝑑 2 𝑑 2 V U Borde de la losa A B X V W a) Perímetros críticos si A y B no exceden el mayor valor de 4 ∙ ℎ o 2 ∙ ℓ𝑑 Borde de la losa A A 𝑑 2 𝑑 2 B b) Perímetros críticos si A excede el mayor valor de 4 ∙ ℎ o 2 ∙ ℓ𝑑 , pero B no lo hace Fig. 12.38. Perímetro crítico para columnas de borde y esquina Áreas tributarias para el corte en losas en dos direcciones Para losas en dos direcciones sometidas a cargas uniformemente repartidas, las áreas tributarias para calcular 𝑉𝑢 estan circundadas por líneas donde el corte es cero. Para paneles interiores, estas líneas pueden ser asumidas que pasan por el centro del panel. Para paneles de borde y esquina, los coeficientes que se presentan a continuación corresponden a líneas donde el corte es cero en los siguientes puntos: 534 Losas armadas en dos direcciones a) 0.44 ∙ ℓ𝑖 desde el centro de la columna exterior para losas planas sin vigas de borde. b) 0.45 ∙ ℓ𝑖 desde el centro de la columna exterior para losas con vigas de borde. c) 0.50 ∙ ℓ𝑖 desde el centro de columnas para todos los demás paneles. Donde ℓ𝑖 se define como la distancia entre ejes de columnas. ℓ3 0.44 ∙ ℓ3 ℓ5 ℓ4 0.56 ∙ ℓ3 0.50 ∙ ℓ4 0.50 ∙ ℓ4 0.56 ∙ ℓ5 0.44 ∙ ℓ5 A Área tributaria para corte en dos direcciones en la columna A1 Area tributaria para corte en dos direcciones en la columna A2 Área tributaria para corte en dos direcciones en la columna A3 𝑑 0.44 ∙ ℓ6 ℓ6 Sección crítica para corte en una dirección en la columna A4 Área tributaria para corte en dos direcciones en la columna B2 0.56 ∙ ℓ6 B 0.50 ∙ ℓ7 ℓ7 Área tributaria para corte en una dirección en la columna C2 Secciones críticas para corte en una dirección en la columna C2 𝑑 Area tributaria para corte en una dirección en la columna C2 𝑑 C 0.50 ∙ ℓ7 0.56 ∙ ℓ8 ℓ8 0.44 ∙ ℓ8 D 1 2 3 4 Fig. 12.39. Secciones críticas y áreas tributarias para la verificación al corte en losas planas armadas en dos direcciones 535 Diseño de estructuras de hormigón armado Ecuaciones para el diseño del corte en losas en dos direcciones sin transferencia de momento apreciable. Cuando las cargas en paneles adyacentes no están balanceadas o cuando actúan cargas laterales en edificios no arriostrados con losas planas, existe una transferencia de momentos flectores y fuerzas cortantes desde la losa hacia las columnas. En el caso de columnas interiores de edificios arriostrados con losas planas, el estado de carga más desfavorable para corte generalmente no conlleva una transferencia apreciable de momento entre losa y columnas. De manera similar, las columnas generalmente transfieren poco o nada de momento hacia las cimentaciones. Para el diseño del corte en dos direcciones donde la transferencia del momento entre losa y columnas es insignificante se utilizan las siguientes ecuaciones: 𝜙 · 𝑉𝑛 ≥ 𝑉𝑢 (5.10) 𝑉𝑛 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠 (5.11) Donde: 𝑉𝑛 = Resistencia nominal al corte de la viga. 𝜙 = Factor de reducción de la resistencia (0.75). 𝑉𝑢 = Corte último. 𝑉𝑐 = Fuerza de corte resistida por el hormigón. 𝑉𝑠 = Fuerza de corte resistida por los estribos o por la armadura de corte dispuesta. En la mayoría de las losas no se coloca armadura para corte, entonces 𝑉𝑠 es igual a cero y la resistencia al corte del hormigón 𝑉𝑐 en dos direcciones se calcula con las ecuaciones de la siguiente tabla. Cálculo de 𝑽𝒄 para cortante en dos direcciones El menor de: 2 0.17 ∙ (1 + ) ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑜 ∙ 𝑑 𝛽 (12.52) 𝛼𝑠 ∙ 𝑑 0.083 ∙ ( + 2) ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑜 ∙ 𝑑 𝑏𝑜 (12.53) 0.33 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑜 ∙ 𝑑 (12.54) Donde: 𝛽 = Relación entre la dimensión mayor y menor de la columna. 𝑏𝑜 = Perímetro de la sección crítica para corte. 𝛼𝑠 = 40 para columnas interiores. 𝛼𝑠 = 30 para columnas de borde. 𝛼𝑠 = 20 para columnas de esquina. 536 Losas armadas en dos direcciones Perímetro crítico para corte 𝑑/2 𝑑/2 𝛽= 𝑏𝑛 𝑑/2 𝑎𝑛 𝑑/2 𝑎𝑛 𝑏𝑛 Donde: 𝑎𝑛 > 𝑏𝑛 𝑎𝑛 es perpendicular a 𝑏𝑛 𝑑/2 Fig. 12.40. Definición de para columnas de forma irregular Ejemplo. Un sistema de piso de hormigón armado está compuesto por una losa plana de 150 [𝑚𝑚] de espesor y sin vigas entre sus columnas. El canto útil 𝑑 es 124 [𝑚𝑚] para la armadura perpendicular al lado más largo de la columna y 112 [𝑚𝑚] para la armadura en la otra dirección. La losa soporta una carga muerta de servicio de 0.7 [𝑘𝑁/𝑚2 ] y una viva de 1.92 [𝑘𝑁/𝑚2 ]. La resistencia característica del hormigón es de 20 [𝑀𝑃𝑎]. Los momentos que se transfieren desde la losa a las columnas o viceversa son insignificantes. Verificar si la losa tiene una adecuada resistencia al corte. a) Calcular la carga última. 𝑤𝑢 = 1.2 ∙ (0.70 + 0.15 ∙ 24) + 1.6 ∙ 1.92 = 8.23 [ 𝑘𝑁 ] 𝑚2 b) Verificar el corte en una dirección. Corte por el eje F-F. 𝑑 = 112 [𝑚𝑚] 𝑏𝑤 = 3.08 + 2.75 = 5.83 [𝑚] 𝐴 𝑇 = (3.08 + 2.75) ∙ (3.00 − 0.30 − 0.112) = 15.09 [𝑚2 ] 𝑉𝑢 = 15.09 ∙ 8.23 = 124.19 [𝑘𝑁] 𝑉𝑐 = 0.17 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 = 0.17 ∙ 1 ∙ √20 ∙ 5830 ∙ 112 = 496.42 [𝑘𝑁] 1000 537 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑉𝑠 = 0 𝜙 ∙ 𝑉𝑛 = 𝜙 ∙ (𝑉𝑐 + 𝑉𝑠 ) = 0.75 ∙ (496.42 + 0) = 372.32 [𝑘𝑁] 𝜙 · 𝑉𝑛 > 𝑉𝑢 Bien ! 372.32 [𝑘𝑁] ≥ 124.19 [𝑘𝑁] 5.50 2.42 5.50 5.50 3.08 2.75 2.75 3.08 2.42 A Área tributaria para corte en dos direcciones en la columna A1 Area tributaria para corte en dos direcciones en la columna A2 Area tributaria para corte en dos direcciones en la columna A3 𝑑 2.64 6.0 Sección crítica para corte en una dirección en la columna A4 𝐴 𝑇 = 36.78 [𝑚2 ] 3.36 0.059 B 3.00 0.30𝑥0.60 G 6.0 F 0.112 0.124 C 𝐴 𝑇 = 15.75 [𝑚2 ] 𝐴 𝑇 = 15.09 [𝑚2 ] 3.00 F 3.36 6.0 G D 538 1 2 2.64 3 4 Losas armadas en dos direcciones Corte por el eje G-G. 𝑑 = 124 [𝑚𝑚] 𝑏𝑤 = 3.00 + 3.36 = 6.36 [𝑚] 𝐴 𝑇 = (3.00 + 3.36) ∙ (2.75 − 0.15 − 0.124) = 15.75 [𝑚2 ] 𝑉𝑢 = 15.75 ∙ 8.23 = 129.62 [𝑘𝑁] 𝑉𝑐 = 0.17 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 = 0.17 ∙ 1 ∙ √20 ∙ 6360 ∙ 124 = 599.57 [𝑘𝑁] 1000 𝑉𝑠 = 0 𝜙 ∙ 𝑉𝑛 = 𝜙 ∙ (𝑉𝑐 + 𝑉𝑠 ) = 0.75 ∙ (599.57 + 0) = 449.68 [𝑘𝑁] 𝜙 · 𝑉𝑛 > 𝑉𝑢 449.68 [𝑘𝑁] ≥ 129.62 [𝑘𝑁] Bien ! c) Verificar el corte en dos direcciones. 𝑑= 124+112 = 118 [𝑚𝑚] (Se toma el promedio de los cantos útiles) 2 𝐴 𝑇 = (3.08 + 2.75) ∙ (3.36 + 3.00) − (0.418 ∙ 0.718) = 36.78 [𝑚2 ] 𝑉𝑢 = 36.78 ∙ 8.23 = 302.70 [𝑘𝑁] 𝛽= 0.6 =2 0.3 𝑏𝑜 = 2 ∙ (300 + 118 + 600 + 118) = 2272 [𝑚𝑚] 2 2272 ∙ 118 2 𝑉𝑐 = 0.17 ∙ (1 + ) ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑜 ∙ 𝑑 = 0.17 ∙ (1 + ) ∙ 1 ∙ √20 ∙ = 407.65 [𝑘𝑁] 2 1000 𝛽 𝛼𝑠 = 40 para columnas interiores. 𝛼𝑠 ∙ 𝑑 40 ∙ 118 2272 ∙ 118 𝑉𝑐 = 0.083 ∙ ( + 2) ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑜 ∙ 𝑑 = 0.083 ∙ ( + 2) ∙ 1 ∙ √20 ∙ 𝑏𝑜 2272 1000 𝑉𝑐 = 405.76 [𝑘𝑁] 539 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑉𝑐 = 0.33 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑜 ∙ 𝑑 = 0.33 ∙ 1 ∙ √20 ∙ 2272 ∙ 118 = 395.66 [𝑘𝑁] 1000 Por tanto, la resistencia del hormigón 𝑉𝑐 es tomada como el menor valor de los tres hallados anteriormente. 𝑉𝑐 = 395.66 [𝑘𝑁] 𝑉𝑠 = 0 𝜙 ∙ 𝑉𝑛 = 𝜙 ∙ (𝑉𝑐 + 𝑉𝑠 ) = 0.75 ∙ (395.66 + 0) = 296.75 [𝑘𝑁] 𝜙 ∙ 𝑉𝑛 > 𝑉𝑢 No cumple ! 296.75 [𝑘𝑁] ≥ 302.70 [𝑘𝑁] Debido a que la resistencia nominal de diseño a corte no es mayor a la fuerza cortante mayorada, se debe revisar el diseño para cumplir con esa condición. En este caso, se opta por aumentar la resistencia cilíndrica del hormigón a 25 [𝑀𝑃𝑎]. 𝑉𝑐 = 0.33 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑜 ∙ 𝑑 = 0.33 ∙ 1 ∙ √25 ∙ 2272 ∙ 118 = 442.36 [𝑘𝑁] 1000 𝜙 ∙ 𝑉𝑛 = 𝜙 ∙ (𝑉𝑐 + 𝑉𝑠 ) = 0.75 ∙ (442.36 + 0) = 331.77 [𝑘𝑁] 𝜙 ∙ 𝑉𝑛 > 𝑉𝑢 331.77 [𝑘𝑁] ≥ 302.70 [𝑘𝑁] Bien ! Refuerzo para corte. Cuando 𝜙 ∙ 𝑉𝑐 es menor a 𝑉𝑢 , la capacidad de corte de la losa puede ser incrementada utilizando los siguientes métodos: a) Aumentar la resistencia cilíndrica del hormigón. b) Aumentar el espesor de la losa en todo el panel. c) Utilizar ábacos para incrementar el espesor de la losa sobre las columnas. d) Agrandar el perímetro crítico 𝑏𝑜 incrementando las dimensiones de la columna o utilizando capiteles en la parte superior de las columnas. e) Añadir refuerzo para corte. 540 Losas armadas en dos direcciones No es frecuente la utilización del refuerzo para corte en losas, pero en la eventualidad de usarlo se puede seleccionar uno de los tres tipos de refuerzo mostrados en la siguiente figura. La sección 8.7.6 del código ACI permite emplear refuerzo de cortante consistente en barras o alambres y estribos de una o varias ramas en losas y zapatas con 𝑑 mayor o igual a 150 [𝑚𝑚], pero no menor de 16 veces el diámetro de la barra de refuerzo al cortante. 𝑑 ≥ 150 [𝑚𝑚] ≥ 16 ∙ 𝑑𝑠 (12.55) Donde: 𝑑𝑠 = Diámetro de la barra de refuerzo al cortante. Cuando se requiere emplear refuerzo de cortante, el diseño se realiza siguiendo las siguientes ecuaciones: 𝜙 · 𝑉𝑛 ≥ 𝑉𝑢 (5.10) 𝑉𝑛 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠 (5.11) 𝑉𝑠 = 𝐴𝑣 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑑 𝑠 (5.15) Donde: 𝑉𝑛 = Resistencia nominal al corte de la viga. 𝜙 = Factor de reducción de la resistencia (0.75). 𝑉𝑢 = Fuerza cortante mayorada en la sección. 𝑉𝑐 = Fuerza de corte resistida por el hormigón. 𝑉𝑠 = Fuerza de corte resistida por los estribos. 𝐴𝑣 = Área de la sección transversal de todas las ramas de refuerzo en una línea periférica que es geométricamente similar al perímetro de la sección de la columna. Para elementos armados en dos direcciones que tienen refuerzo a cortante, la máxima resistencia nominal a cortante proporcionada por el hormigón 𝑉𝑐 y que se calcula en las secciones críticas no debe exceder los valores de la siguiente tabla. 𝑽𝒄 máximo para elementos en dos direcciones con refuerzo a cortante 𝑽𝒄 máximo en las secciones críticas 𝑽𝒄 máximo en las secciones críticas Tipo de refuerzo definidas por la sección 22.6.4.1 del definidas por la sección 22.6.4.2 del a cortante código ACI código ACI Estribos 0.17 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑜 ∙ 𝑑 (12.56𝑎) 0.17 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑜 ∙ 𝑑 (12.56𝑏) Pernos con cabeza para cortante 0.25 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑜 ∙ 𝑑 (12.56𝑐) 0.17 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑜 ∙ 𝑑 (12.56𝑑) 541 Diseño de estructuras de hormigón armado La sección 22.6.4.1 del ACI indica que se debe verificar la sección crítica cuyo perímetro 𝑏𝑜 sea un mínimo y ésta no necesita estar localizada a una distancia menor a 0.5 ∙ 𝑑 de las siguientes secciones críticas: a) Los bordes o las esquinas de las columnas, cargas concentradas o áreas de reacción. b) Los cambios de espesor de la losa o zapata, tales como los bordes de capiteles, ábacos o descolgados para cortante. Para columnas cuadradas o rectangulares, cargas concentradas o áreas de reacción, se permite calcular las secciones críticas para cortante en dos direcciones de acuerdo a los incisos a) y b) anteriores suponiendo lados rectos. En el caso de columnas de sección poligonal o circular, el código ACI permite que éstas sean consideradas como columnas cuadradas de área equivalente para los efectos de calcular el perímetro crítico para cortante en dos direcciones de acuerdo a los incisos a) y b) anteriores. La sección 22.6.4.2 del ACI indica que para elementos armados en dos direcciones a los que se les ha proporcionado estribos de una o varias ramas o pernos con cabeza como refuerzo a cortante, se debe considerar la verificación de una sección crítica con perímetro 𝑏𝑜 localizada a una distancia de 0.5 ∙ 𝑑 fuera de la línea periférica más externa del refuerzo a cortante. La forma de la sección crítica a utilizar debe consistir en un polígono con el menor perímetro 𝑏𝑜 posible. La distancia entre la cara de la columna y la primera línea de las ramas de los estribos que rodean la columna debe ser menor o igual a 0.5 ∙ 𝑑. Además, el espaciamiento entre las ramas adyacentes de los estribos en la primera línea de refuerzo para cortante no debe exceder 2 ∙ 𝑑 medido en una dirección paralela a la cara de la columna. También, el espaciamiento entre las otras líneas sucesivas de refuerzo para cortante que rodean la columna no debe exceder de 0.5 ∙ 𝑑 en una dirección perpendicular a la cara de la columna. Finalmente, el refuerzo para cortante en las losas debe amarrar el refuerzo de flexión longitudinal y desarrollarse adecuadamente de acuerdo a la sección 25.7.1.1 del código ACI. Para elementos armados en dos direcciones que tienen refuerzo a cortante, la máxima fuerza cortante mayorada 𝑉𝑢 calculada en las secciones críticas no debe exceder los valores de la siguiente tabla. 𝑽𝒖 máximo para elementos en dos direcciones con refuerzo a cortante 542 Tipo de refuerzo a cortante 𝑽𝒖 máximo en las secciones críticas definidas por la sección 22.6.4.1 del código ACI Estribos 𝜙 ∙ 0.50 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑜 ∙ 𝑑 (12.57𝑎) Pernos con cabeza para cortante 𝜙 ∙ 0.66 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑜 ∙ 𝑑 (12.57𝑏) Losas armadas en dos direcciones Planta 𝑑/2 Sección crítica fuera de la zona de refuerzo de cortante de la losa 𝑑/2 𝑑/2 𝑑/2 𝑑/2 𝑑/2 Sección crítica a través del refuerzo de cortante de la losa (primera fila de ramas de los estribos) 𝑑/2 Elevación 𝑑 𝑑 ≤ 2 ∙ 𝑑 ≤ 𝑑/2 ≤ 2 ∙ 𝑑 ≤ 𝑑/2 𝑠 ≤ 𝑑/2 Columna exterior 𝑠 ≤ 𝑑/2 Columna interior Planta Sección crítica Elevación Fig. 12.41. Refuerzo para corte en losas 543 Diseño de estructuras de hormigón armado Transferencia del corte y momento en las conexiones columna – losa. El procedimiento del código ACI para el diseño de la transferencia del corte y momento en las conexiones columna – losa asume que los esfuerzos cortantes en una sección crítica localizada a una distancia de 𝑑/2 de la cara de la columna producidos por la fuerza cortante última 𝑉𝑢 pueden ser adicionados a los esfuerzos cortantes, en la misma sección, producidos por la transferencia de momentos. La falla se produce cuando el esfuerzo cortante máximo alcanza un valor límite. 𝑣= 𝑉𝑢 𝑏𝑜 ∙ 𝑑 a) Esfuerzos de corte debido a 𝑉𝑢 Z 𝑣= 𝛾𝑣 ∙ 𝑀𝑠𝑐 ∙ 𝑐 𝐽𝑐 Z b) Esfuerzos de corte debido al momento no balanceado (𝑀𝑠𝑐 = 𝑀𝑢1 – 𝑀𝑢2 ) c) Esfuerzos totales de corte Fig. 12.42. Esfuerzos de corte debido a la transferencia de fuerzas cortantes y momentos flectores en una columna interior 𝑣𝑢 = 𝑉𝑢 𝛾𝑣 ∙ 𝑀𝑠𝑐 ∙ 𝑐 ± 𝑏𝑜 ∙ 𝑑 𝐽𝑐 𝛾𝑣 = 1 − 𝛾𝑓 544 (12.58) (12.59) Losas armadas en dos direcciones Donde: 𝑉𝑢 = Fuerza cortante transferida que actúa en el centro de gravedad de la sección crítica. 𝛾𝑣 = Fracción del momento que se transfiere por esfuerzos de corte en la sección crítica. 𝛾𝑓 = Fracción del momento que se transfiere por esfuerzos de flexión en la sección crítica. 𝐽𝑐 = Propiedad de la sección similar al momento polar de inercia de la sección crítica a corte alrededor de su centro de gravedad. 𝑀𝑠𝑐 = Momento mayorado de la losa que es resistido por la columna en el nudo. También se lo conoce como momento no balanceado (𝑀𝑠𝑐 = 𝑀𝑢1 – 𝑀𝑢2 ). 𝑐 = Distancia perpendicular desde el eje Z-Z que pasa por el centro de gravedad del perímetro crítico al punto donde se quiere calcular el esfuerzo de corte. 𝑣= 𝑉𝑢 𝑏𝑜 ∙ 𝑑 a) Esfuerzos de corte debido a 𝑉𝑢 Z 𝑣= 𝛾𝑣 ∙ 𝑀𝑠𝑐 ∙ 𝑐 𝐽𝑐 Z S b) Esfuerzos de corte e debido al momento no balanceado 𝑀𝑠𝑐 = 𝑀𝑢1 − 𝑀𝑢2 c c i ó n c de corte c) Esfuerzos totales r Fig. 12.43. Esfuerzosí de corte debido a la transferencia de fuerzas cortantes y momentos flectores en una columna de borde t i c requiere que una porción del momento total no balanceado, 𝛾𝑓 ∙ 𝑀𝑠𝑐 , La sección 8.4.2.3.2 del código ACI en la conexión es transferida por flexión desde la losa a la columna. En el diseño de una conexión de losa a con columna de borde es usual 0colocar acero de flexión en un ancho efectivo de losa 𝑏𝑙𝑜𝑠𝑎 igual a . 2 0 ∙ l 545 Diseño de estructuras de hormigón armado 3 ∙ ℎ + 𝑐2 centrado desde el eje de la columna. El refuerzo ya calculado por flexión en esa región puede ser utilizado para ese propósito. Pero, por ensayos de laboratorio se ha demostrado que solamente las barras que ingresan dentro de la columna logran fluir para el momento último, por tal motivo el acero colocado en el ancho efectivo de losa 𝑏𝑙𝑜𝑠𝑎 no logra transferir el momento esperado. El resto del momento no balanceado, 𝛾𝑣 ∙ 𝑀𝑠𝑐 , es asumido que se transfiere, de la losa a la columna, por esfuerzos de corte en la sección crítica debido al momento y corte. 𝛾𝑓 = 1 (12.60) 2 𝑏 1+3∙√ 1 𝑏2 Donde: 𝑏𝑙𝑜𝑠𝑎 = Ancho efectivo de losa que resiste 𝛾𝑓 ∙ 𝑀𝑠𝑐 . ℎ = Espesor de la losa o ábaco. 𝑐1 = Dimensión de una columna rectangular o rectangular equivalente, de un capitel o de una ménsula, medida en la dirección de la luz para la cual se determinan los momentos. 𝑐2 = Dimensión de una columna rectangular o rectangular equivalente, de un capitel o de una ménsula, medida en la dirección perpendicular a 𝑐1 . 𝑏1 = Ancho total de la sección crítica medido perpendicularmente al eje donde el momento actúa. 𝑏2 = Ancho total de la sección crítica medido paralelamente al eje donde el momento actúa. 1,00 0,90 0,80 0,70 0,60 gf 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0,00 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0 35,0 40,0 45,0 Relación b1/b2 Fig. 12.44. Variación de la fracción del momento no balanceado transferido por flexión en función de las dimensiones de la columna 546 50,0 Losas armadas en dos direcciones Para una sección crítica cuadrada 𝑏1 = 𝑏2, se tiene que: 𝛾𝑓 = 0.60 𝛾𝑣 = 1 − 𝛾𝑓 = 1 − 0.60 = 0.40. Esto significa que 60% del momento último no balanceado es transferido de la losa a la columna por flexión y 40% por esfuerzos de corte excéntricos. La sección 8.4.2.3.4 del código ACI permite, para losas no preesforzadas con momentos no balanceados transferidos entre la losa y columna, aumentar 𝛾𝑓 de acuerdo a los criterios de la siguiente tabla: Localización de la columna Dirección de la luz 𝒗𝒖𝒈 𝜺𝒕 (dentro de 𝒃𝒍𝒐𝒔𝒂) 𝜸𝒇 máximo modificado Esquina Ambas direcciones ≤ 0.5 ∙ 𝜙 ∙ 𝑣𝑐 ≥ 0.004 𝑎 ≤ 0.429 ∙ 𝛽1 𝑑𝑡 1.0 Perpendicular al borde ≤ 0.75 ∙ 𝜙 ∙ 𝑣𝑐 ≥ 0.004 𝑎 ≤ 0.429 ∙ 𝛽1 𝑑𝑡 1.0 ≤ 0.4 ∙ 𝜙 ∙ 𝑣𝑐 ≥ 0.010 𝑎 ≤ 0.231 ∙ 𝛽1 𝑑𝑡 2 𝑏 1+3∙√ 1 𝑏2 ≥ 0.010 1.25 Borde Paralelo al borde Interior Ambas direcciones ≤ 0.4 ∙ 𝜙 ∙ 𝑣𝑐 𝑎 ≤ 0.231 ∙ 𝛽1 𝑑𝑡 1.25 2 𝑏 1+3∙√ 1 𝑏2 ≤ 1.0 ≤ 1.0 Nota: No se permiten ajustes al valor de 𝛾𝑓 en sistemas de losas preesforzadas. Donde: 𝑣𝑢𝑔 = Esfuerzo cortante mayorado en la sección crítica para acción en dos direccones sin incluir la transferencia de momento Aunque el requerimiento de 𝜀𝑡 ≥ 0.010 para incrementar hasta 1 el valor de 𝛾𝑓 está solamente especificado por la sección 8.4.2.3.4 del ACI para conexiones interiores, es recomendable utilizar ese límite para todas las conexiones losa-columna. Este requerimiento asegura que la zona de transferencia de la losa tiene una ductilidad adecuada para permitir la redistribución de cargas fuera de la conexión en la eventualidad de una sobrecarga. Los esfuerzos de corte que resultan de la fuerza cortante última 𝑉𝑢 y del momento último no balanceado 𝛾𝑣 ∙ (𝑀𝑢1 − 𝑀𝑢2 ) son mostrados en las figuras 12.42 y 12.43 para una columna interior y una de borde, respectivamente. 547 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑣𝑢 ≤ 𝜙 ∙ 𝑣𝑛 𝜙 ∙ 𝑣𝑛 = (12.61) 𝜙 ∙ (𝑉𝑐 + 𝑉𝑠 ) 𝑏𝑜 ∙ 𝑑 (12.62) Donde: 𝑉𝑐 = Fuerza de corte resistida por el hormigón. 𝑉𝑠 = Fuerza de corte resistida por estribos o armadura de corte en la losa alrededor de la columna. Cálculo de 𝑽𝒄 para cortante en dos direcciones El menor de: 2 0.17 ∙ (1 + ) ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑜 ∙ 𝑑 𝛽 (12.52) 𝛼𝑠 ∙ 𝑑 0.083 ∙ ( + 2) ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑜 ∙ 𝑑 𝑏𝑜 (12.53) 0.33 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑜 ∙ 𝑑 (12.54) Donde: 𝛽 = Relación entre la dimensión mayor y menor de la columna. 𝑏𝑜 = Perímetro de la sección crítica para corte. 𝛼𝑠 = 40 para columnas interiores. 𝛼𝑠 = 30 para columnas de borde. 𝛼𝑠 = 20 para columnas de esquina. Propiedades del perímetro crítico en las conexiones columna – losa. El procedimiento actual del código ACI para la transferencia de corte y momento en las conexiones losacolumna se aplica para conexiones de la losa con columnas interiores, de borde y esquina. Columna interior 𝐽𝑐 = (𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 ) de las caras C y D más 𝐴 ∙ 𝑥 2 de las caras A y B. 𝑏1 ∙ 𝑑3 𝑑 ∙ 𝑏13 𝑏1 2 𝐽𝑐 = 2 ∙ +2∙ + 2 ∙ 𝑏2 ∙ 𝑑 ∙ ( ) 12 12 2 Donde: 𝑏1 = 𝑐1 + 𝑑 Ancho del perímetro de corte perpendicular al eje de flexión. 𝑏2 = 𝑐2 + 𝑑 Ancho del perímetro de corte paralelo al eje de flexión. 𝑐1 = Ancho de la columna perpendicular al eje de flexión. 𝑐2 = Ancho de la columna paralelo al eje de flexión. 548 (12.63) Losas armadas en dos direcciones Si grandes aberturas están presentes, adyacentes a la columna, el perímetro de corte será discontinuo como se muestra en la figura 12.37. Si esto ocurre, el cálculo de la posición del centro de gravedad y de 𝐽𝑐 debe incluir el efecto de las aberturas. Columna de borde. En el caso de una columna de borde, el centro de gravedad del perímetro crítico está más cerca de la cara interior de la columna que de su cara exterior. Como resultado, los esfuerzos de corte debido al momento son mayores en las esquinas exteriores del perímetro crítico. Si 𝑀𝑢 es grande y 𝑉𝑢 es pequeño, entonces un esfuerzo de corte negativo puede ocurrir en esos puntos. Si 𝑀𝑢 , debido a la combinación de cargas laterales y gravitacionales es positivo, en vez de ser negativo, en esta unión, los esfuerzos más grandes de corte ocurrirán en las esquinas exteriores. Momentos con respecto de un eje paralelo al borde (eje Z-Z). Para un perímetro crítico de tres lados, como se muestra en la figura 12.45(b) considerando como 𝑏1 la longitud del lado perpendicular al borde, la posición del eje centroidal Z-Z es: 𝑐𝐴 = 𝑐𝐴 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝐴 á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 𝑏 2 ∙ 𝑏1 ∙ 𝑑 ∙ 21 2 ∙ 𝑏1 ∙ 𝑑 + 𝑏2 ∙ 𝑑 (12.64) 𝐽𝑐 = (𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 ) de las caras C y D, más 𝐴 ∙ 𝑥 2 de las caras C y D, más 𝐴 ∙ 𝑥 2 de la cara A. 𝐽𝑐 = 2 ∙ 2 𝑑 ∙ 𝑏13 𝑏1 𝑏1 ∙ 𝑑3 +2∙ + 2 ∙ 𝑏1 ∙ 𝑑 ∙ ( − 𝑐𝐴 ) + 𝑏2 ∙ 𝑑 ∙ 𝑐𝐴2 12 2 12 (12.65) Momentos con respecto de un eje perpendicular al borde (eje W-W). Para un perímetro crítico de tres lados, como se muestra en la figura 12.45(b) considerando como 𝑏1 la longitud del lado perpendicular al borde, la posición del eje centroidal W-W es: 𝑐𝐶𝐵 = 𝑐𝐴𝐷 = 𝑏2 2 Frecuentemente, los momentos con respecto a un eje perpendicular a un borde son transferidos desde la losa a la columna. En este caso la ecuación (12.58) se transforma en: 𝑣𝑢 = 𝑉𝑢 𝛾𝑣 ∙ 𝑀𝑢1 ∙ 𝑐 𝛾𝑣 ∙ 𝑀𝑢2 ∙ 𝑐 ± ± 𝑏𝑜 ∙ 𝑑 𝐽𝑐1 𝐽𝑐2 (12.66) 549 Diseño de estructuras de hormigón armado Donde, 𝑀𝑢1 y 𝐽𝑐1 estan referidos a los momentos provenientes de la luz perpendicular al borde y 𝑀𝑢2 y 𝐽𝑐2 a los momentos provenientes de la luz paralela al borde. El valor de 𝐽𝑐1 se calcula con la ecuación (12.65), mientras que para 𝐽𝑐2 se requiere una nueva ecuación. 𝑐𝐶𝐵 = 𝑐𝐴𝐷 = 𝑏2 2 𝐽𝑐2 = 𝐴 ∙ 𝑥 2 de las caras C y D más (𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 ) de la cara A. 2 𝐽𝑐2 = 2 ∙ 𝑏1 ∙ 𝑑 ∙ 𝑐𝐶𝐵 + 𝑏2 ∙ 𝑑3 𝑏23 ∙ 𝑑 + 12 12 (12.67) Columna de esquina Para un perímetro crítico de dos lados, como se muestra en la figura 12.45(c) con dimensiones 𝑏1 y 𝑏2 , la ubicación del eje centroidal Z-Z es: 𝑐𝐴𝐵 = 𝑏 𝑏1 ∙ 𝑑 ∙ 21 𝑏1 ∙ 𝑑 + 𝑏2 ∙ 𝑑 𝐽𝑐 = (𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 ) de la cara C más 𝐴 ∙ 𝑥 2 de la cara C más 𝐴 ∙ 𝑥 2 de la cara A. 2 𝑏1 ∙ 𝑑3 𝑑 ∙ 𝑏13 𝑏1 2 𝐽𝑐 = + + 𝑏1 ∙ 𝑑 ∙ ( − 𝑐𝐴𝐵 ) + 𝑏2 ∙ 𝑑 ∙ 𝑐𝐴𝐵 12 12 2 550 (12.68) Losas armadas en dos direcciones 𝑏1 X 𝑏2 C B 𝑑 A D X a) Perímetro crítico de una columna interior 𝑏1 𝑏2 Z C W ” 𝑑 A W D Z b) Perímetro crítico de una columna de borde V 𝑏2 𝑏1 W Z C ” U U A Z 𝑑 W V c) Perímetro crítico de una columna de esquina Fig. 12.45. Perímetros de corte críticos 551 Diseño de estructuras de hormigón armado Columnas circulares En columnas circulares, para el cálculo de corte y momento se recomienda que el perímetro crítico este basado en uno para columna cuadrada con el mismo centro de gravedad y la misma longitud de perímetro. 0.866 ∙ 𝑑𝑐 𝑑 2 Columna circular 𝑑𝑐 Columna cuadrada equivalente Perímetro crítico de corte a) Perímetro crítico para columna circular interior Borde de losa Columna circular Columna cuadrada equivalente Perímetro crítico de corte b) Perímetro crítico para columna circular de borde Fig. 12.46. Perímetros de críticos para la transferencia de momento y corte en columnas circulares Corte en losas Cuando se diseña una losa en dos direcciones o una zapata con poco o nada de momento transferido desde la losa a la columna, es habitual seleccionar el espesor de la losa considerando que 𝑉𝑢 ≈ (0.85 𝑎 1.0) ∙ 𝜙 ∙ 𝑉𝑐 a menos de que haya aberturas adyacentes a la columna. La presencia de aberturas adyacentes a la columna reduce el perímetro crítico y si estas aberturas no están colocadas de manera simétrica alrededor de la columna también introducen una excentricidad entre la línea de acción del corte y el centro de gravedad del perímetro crítico. 552 Losas armadas en dos direcciones Alrededor de una columna de borde que soporta una losa en dos direcciones sujeta a cargas gravitacionales, los esfuerzos de corte resultantes de la transferencia de momento pueden ser de la misma magnitud que los esfuerzos de corte directo. Por tanto, el espesor de la losa debería ser seleccionado considerando 𝑉𝑢 ≈ (0.50 𝑎 0.55) ∙ 𝜙 ∙ 𝑉𝑐 . El momento no balanceado a ser transferido puede ser reducido haciendo que la losa sobrepase el centro de la columna en volado. El momento que produce la losa en volado contrarresta en algo el momento no balanceado a ser transferido. En pórticos no arriostrados con losas planas, el corte inducido por los momentos, que a su vez son producidos por las cargas laterales, incrementará los esfuerzos de corte en cualquiera de las caras (interna o externa) de la columna de borde y eso puede causar problemas serios en el perímetro crítico de la losa alrededor de la columna. Ejemplo. Una columna de 300 [𝑚𝑚] por 400 [𝑚𝑚] esta localizada 100 [𝑚𝑚] del borde de una losa plana sin vigas de borde. La losa tiene un espesor de 165 [𝑚𝑚], con un canto útil promedio de 140 [𝑚𝑚]. El hormigón tiene una resistencia característica a los 28 días de 25 [𝑀𝑃𝑎] y el acero una tensión de fluencia de 420 [𝑀𝑃𝑎]. El método del diseño directo da un valor de 205 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] para el momento estático 𝑀𝑜 en el panel exterior. El corte del panel exterior es 139 [𝑘𝑁]. La porción de la losa por fuera de la línea central de la columna produce un corte último de 18 [𝑘𝑁] que actúa en la cara de la columna o a 150 [𝑚𝑚] del centro de la columna. El momento alrededor del eje W-W (eje perpendicular al borde) es menos crítico que el momento alrededor del eje Z-Z (eje paralelo al borde). Verificar la resistencia de la losa alrededor del perímetro crítico debido a los esfuerzos de corte que se producen por efectos combinados de la fuerza cortante y la transferencia del momento entre la losa y la columna de borde. Z 321 100 300 149 D A 70 Perímetro crítico Borde libre de la losa 400 400 𝑏2 = 540 100 𝑑 = 70 2 300 70 C B 𝑏1 = 470 Z 553 Diseño de estructuras de hormigón armado a) Localización del perímetro crítico para corte. El perímetro crítico para corte está localizado a una distancia de 𝑑/2 desde las caras de la columna, excepto en el borde exterior donde solamente existe una distancia de 100 [𝑚𝑚] al borde de la losa. b) Calcular el centro de gravedad del perímetro crítico para corte. 𝑏1 470 2 ∙ 470 ∙ 140 ∙ 2 2 𝑐𝐴 = = = 149 [𝑚𝑚] 2 ∙ 𝑏1 ∙ 𝑑 + 𝑏2 ∙ 𝑑 2 ∙ 470 ∙ 140 + 540 ∙ 140 2 ∙ 𝑏1 ∙ 𝑑 ∙ c) Calcular el momento alrededor del centro de gravedad del perímetro crítico para corte. Para la porción de la losa entre la línea central de las columnas de borde y la línea central de las primeras columnas interiores, 𝑀𝑜 = 205 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] y 𝑉𝑢 = 139 [𝑘𝑁]. La sección 8.10.7.3 del código ACI define el momento a ser transferido como 0.3 ∙ 𝑀𝑜 = 61.5 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]. Se asumirá que este momento actúa en el centro de gravedad del perímetro de corte y que 𝑉𝑢 del panel externo también actúa en ese punto. La porción de la losa ubicada por fuera de la línea central de la columna tiene un corte 𝑉𝑢𝑐 = 18 [𝑘𝑁] actuando a 221 [𝑚𝑚] desde el centro de gravedad del perímetro de corte. El momento total alrededor del centro de gravedad del perímetro de corte es: 𝑀𝑠𝑐 = 61.5 − 18 ∙ 0.221 = 57.52 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] El corte total a ser transferido es: 𝑉𝑢 = 139 + 18 = 157 [𝑘𝑁] d) Calcular 𝜙 ∙ 𝑉𝑐 y 𝑉𝑢 /𝜙 ∙ 𝑉𝑐 . El valor de 𝑉𝑐 es el valor más pequeño de: 2 2 1480 ∙ 140 𝑉𝑐 = 0.17 ∙ (1 + ) ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑜 ∙ 𝑑 = 0.17 ∙ (1 + ) ∙ 1 ∙ √25 ∙ = 440.96 [𝑘𝑁] 𝛽 1.33 1000 𝜙 ∙ 𝑉𝑐 = 0.75 ∙ 440.96 = 330.72 [𝑘𝑁] 𝛽= 400 = 1.33 300 𝑏𝑜 = 2 ∙ 470 + 540 = 1480 [𝑚𝑚] 𝛼𝑠 ∙ 𝑑 30 ∙ 140 1480 ∙ 140 𝑉𝑐 = 0.083 ∙ ( + 2) ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑜 ∙ 𝑑 = 0.083 ∙ ( + 2) ∙ 1 ∙ √25 ∙ 𝑏𝑜 1480 1000 𝑉𝑐 = 416.00 [𝑘𝑁] 554 Losas armadas en dos direcciones 𝜙 ∙ 𝑉𝑐 = 0.75 ∙ 416.00 = 312.00 [𝑘𝑁] 𝛼𝑠 = 30 para columnas de borde 𝑉𝑐 = 0.33 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏𝑜 ∙ 𝑑 = 0.33 ∙ 1 ∙ √25 ∙ 𝜙 ∙ 𝑉𝑐 = 0.75 ∙ 341.88 = 256.41 [𝑘𝑁] 1480 ∙ 140 = 341.88 [𝑘𝑁] 1000 Por tanto: 𝜙 ∙ 𝑉𝑐 = 256.41 [𝑘𝑁] 𝑉𝑢 157 = = 0.612 𝜙 ∙ 𝑉𝑐 256.41 e) Determinar la fracción del momento transferido por flexión 𝛾𝑓 . 𝛾𝑓 = 1 2 𝑏 1+ ∙√ 1 3 𝑏2 = 1 2 470 1+3∙√ 540 = 0.617 Para columnas de borde con momentos no balanceados alrededor de un eje paralelo al borde, el valor de 𝑉 𝑢 𝛾𝑓 puede incrementarse hasta 1, siempre que la condición 𝜙∙𝑉 ≤ 0.75 en el borde del apoyo se cumpla. 𝑐 𝑉 𝑢 Como 𝜙∙𝑉 = 0.612 ≤ 0.75 se adopta 𝛾𝑓 = 1 y se calcula el refuerzo necesario. 𝑐 f) Calcular el refuerzo para el momento transferido por flexión. Ancho efectivo para flexión: 𝑐2 + 3 ∙ ℎ = 400 + 3 ∙ 165 = 895 [𝑚𝑚] Momento transferido: 1.0 ∙ 57.52 = 57.52 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] Asumir que 𝑗 ∙ 𝑑 = 0.925 ∙ 𝑑 = 0.925 ∙ 140 = 130 [𝑚𝑚] Se asume que 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 y que la falla es por tracción 𝜙 = 0.9 𝐴𝑠 = 𝛾𝑓 ∙ 𝑀𝑠𝑐 𝜙 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑗 ∙ 𝑑 A medio tramo 𝛾𝑓 ∙ 𝑀𝑠𝑐 = 57.52 [𝑘𝑁 · 𝑚] 555 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝐴𝑠 = 𝛾𝑓 ∙ 𝑀𝑠𝑐 57.52 ∙ 10002 = = 1175 [𝑚𝑚2 ] = 11.75 [𝑐𝑚2 ] 𝜙 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑗 ∙ 𝑑 0.9 ∙ 420 ∙ 0.925 ∙ 140 Se verifica la sección para 11𝜙12 𝑎= → 𝐴𝑠 = 12.44 [𝑐𝑚2 ] 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 1244 ∙ 420 = = 27 [𝑚𝑚] ′ 0.85 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 0.85 ∙ 25 ∙ 895 𝐴𝑠 = 57.52 ∙ 10002 = = 1203 [𝑚𝑚2 ] = 12.03 [𝑐𝑚2 ] 𝑎 27 𝜙 ∙ 𝑓𝑦 ∙ (𝑑 − 2) 0.9 ∙ 420 ∙ (140 − ) 2 𝛾𝑓 ∙ 𝑀𝑠𝑐 Se utilizan 11𝜙12 → 𝐴𝑠 = 12.44 [𝑐𝑚2 ] 𝑎 𝑎 27 = = = 0.193 𝑑 𝑑𝑡 140 𝛽1 = 1.05 − 0.007 ∙ 𝑓𝑐′ = 1.05 − 0.007 ∙ 25 = 0.875 > 0.85 → 𝛽1 = 0.85 𝑎𝑏 600 = 0.85 ∙ = 0.5 𝑑 600 + 420 𝑎𝑡𝑐 = 0.375 ∙ 0.85 = 0.319 𝑑𝑡 Para que 𝜀𝑡 ≥ 0.010 se debe verificar que 𝑎 ≤ 0.231 ∙ 𝛽1 = 0.231 ∙ 0.85 = 0.196. 𝑑𝑡 𝑎 Como 𝑑 = 0.193 ≤ 0.196 entonces la conexión tiene la suficiente ductilidad y el incremento de 𝛾𝑓 hasta 𝑡 el valor de 1 puede ser realizado. 𝑎 Como 𝑑 = 0.193 ≤ 0.319 el acero fluye y la sección falla a tracción. 𝑡 𝑎 1244 ∙ 420 27 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 𝜙 ∙ 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ∙ (𝑑 − ) = 0.9 ∙ ∙ (140 − ) = 59.48 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] 2 2 1000 2 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 59.96 [𝑘𝑁 · 𝑚] ≥ 𝛾𝑓 ∙ 𝑀𝑠𝑐 = 57.52 [𝑘𝑁 · 𝑚] En los casos cuando 𝜀𝑡 es menor a 0.010, se puede ajustar el valor de 𝛾𝑓 de modo de cumplir con el requerimiento de ductilidad de la conexión. Por ejemplo, se va a resolver el presente ejercicio suponiendo que no se hubiese cumplido con el requerimiento de ductilidad o que quisiéramos tener una mayor ductilidad. En ese caso, el factor 𝛾𝑓 no hubiese podido ser incrementado hasta 1.0, entonces se puede asumir que éste factor puede ser incrementado hasta un valor entre 0.617 y 1.0. Arbitrariamente, se decide proveer, como armadura para el momento, 8𝜙12 con un área de 9.05 [𝑐𝑚2 ]. 556 Losas armadas en dos direcciones 𝑎= 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 905 ∙ 420 = = 20 [𝑚𝑚] ′ 0.85 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 0.85 ∙ 25 ∙ 895 𝑎 𝑎 20 = = = 0.143 𝑑 𝑑𝑡 140 𝑎 Para que 𝜀𝑡 ≥ 0.010 se debe verificar que 𝑑 ≤ 0.231 ∙ 𝛽1 = 0.231 ∙ 0.85 = 0.196 𝑡 𝑎 Como 𝑑 = 0.143 ≤ 0.196 entonces la conexión tiene más ductilidad de la requerida. 𝑡 𝑎𝑡𝑐 = 0.375 ∙ 0.85 = 0.319 𝑑𝑡 𝑎 Como 𝑑 = 0.193 ≤ 0.319 el acero fluye y la sección falla a tracción. 𝑡 𝑎 905 ∙ 420 20 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 𝜙 ∙ 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ∙ (𝑑 − ) = 0.9 ∙ ∙ (140 − ) = 44.47 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] 2 2 1000 2 𝜙 · 𝑀𝑛 = 𝛾𝑓 · 𝑀𝑠𝑐 → 𝛾𝑓 = 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 44.47 = = 0.77 𝑀𝑠𝑐 57.52 El momento transferido por corte es: 𝛾𝑣 ∙ 𝑀𝑠𝑐 = (1 − 𝛾𝑓 ) ∙ 𝑀𝑠𝑐 = (1 − 0.77) ∙ 57.52 = 13.23 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] g) Calcular el momento torsional de inercia 𝐽𝑐 . 𝐽𝑐 = 2 ∙ 2 𝑏1 ∙ 𝑑3 𝑑 ∙ 𝑏13 𝑏1 +2∙ + 2 ∙ 𝑏1 ∙ 𝑑 ∙ ( − 𝑐𝐴 ) + 𝑏2 ∙ 𝑑 ∙ 𝑐𝐴2 12 12 2 𝐽𝑐 = 2 ∙ 2 470 ∙ 1403 140 ∙ 4703 470 +2∙ + 2 ∙ 470 ∙ 140 ∙ ( − 149) + 540 ∙ 140 ∙ 1492 12 12 2 (12.65) 𝐽𝑐 = 5289192533 [𝑚𝑚4 ] h) Calcular los esfuerzos de corte. 𝑣𝑢 = 𝛾𝑣 ∙ 𝑀𝑠𝑐 ∙ 𝑐 𝑉𝑢 ± 𝑏𝑜 ∙ 𝑑 𝐽𝑐 𝑣𝑢 = 157000 13230000 ∙ 𝑐 ± 1480 ∙ 140 5289192533 (12.55) 557 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑣𝑢 = 0.758 ± 0.002501 ∙ 𝑐 El esfuerzo de corte en la cara AB es (𝑐𝐴𝐵 = 149 [𝑚𝑚]): 𝑣𝑢 = 0.758 + 0.002501 ∙ 149 = 1.13 [𝑀𝑃𝑎] El esfuerzo de corte en la cara CD es (𝑐𝐶𝐷 = 321 [𝑚𝑚]): 𝑣𝑢 = 0.758 − 0.002501 ∙ 321 = −0.045 [𝑀𝑃𝑎] El esfuerzo nominal de corte es: 𝜙 ∙ 𝑣𝑐 = 𝜙 ∙ 𝑉𝑐 256410 = = 1.24 [𝑀𝑃𝑎] 𝑏𝑜 ∙ 𝑑 1480 ∙ 140 Como 𝜙 ∙ 𝑣𝑐 ≥ 𝑣𝑢 , la resistencia del hormigón al corte es adecuada y por tanto se utiliza la columna de 300 [𝑚𝑚]𝑥400 [𝑚𝑚] con 8𝜙12 𝑐/125 centradas con respecto del eje de la columna. Hay que recordar que la cantidad total del acero debe quedar contenida dentro del ancho efectivo (𝑐2 + 3 ∙ ℎ) que en este caso vale 895 [𝑚𝑚]. Z 321 𝑐𝐶𝐷 D 149 𝑐𝐴𝐵 A 70 Perímetro crítico 400 𝑏2 = 540 100 𝑑 = 70 2 300 70 C B 𝑏1 = 470 Z 558 Losas armadas en dos direcciones 139 [𝑘𝑁] 18 [𝑘𝑁] 61.5 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] 221 Momento proveniente del Método del Diseño Directo 149 157 [𝑘𝑁] 57.52 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] Momento alrededor del centro de gravedad del perímetro de corte 221 12.8. Losas planas soportadas sobre pilares Las losas de hormigón armado sobre vigas pueden ser analizadas como placas elásticas, pero existen dos desventajas principales para la utilización de este método cuando la losa está sobre pilares o apoyos flexibles. a) La distribución elástica de momentos flectores es impráctica para propósitos de diseño actuales debido a las siguientes razones: o o No se puede hacer variar el acero de refuerzo con tanta precisión. Las losas reales no se comportan como placas elásticas ya que el agrietamiento ocurre rápidamente y las losas son capaces de una enorme redistribución de momentos. La forma real de los momentos en una losa de hormigón armado no corresponde a la solución elástica. b) La distribución elástica de momentos encontrada anteriormente no es correcta para losas que están apoyadas en soportes flexibles o sobre apoyos puntuales. La distribución elástica trabaja bastante bien para losas en dos direcciones apoyadas en sus cuatro lados, pero no para losas planas sobre soportes aislados con o sin capiteles. Como resultado de esa falencia, el diseño de losas en los años 1900 fue realizado utilizando diferentes métodos para cada tipo de losa. 559 Diseño de estructuras de hormigón armado Las losas planas sobre apoyos aislados eran diseñadas de acuerdo a sistemas patentados y experimentados con pruebas de carga, mientras que las losas en dos direcciones apoyadas sobre soportes continuos eran diseñadas utilizando procedimientos de análisis elástico. Una consecuencia desfavorable de esto fue la impresión errónea de que las losas planas no obedecían las mismas leyes de la estática como lo hacían las losas en dos direcciones. No existía, en ese entonces, equipos precisos para medir deformaciones y poder comparar los resultados de los ensayos con las predicciones analíticas. Las personas que habían patentado sus diseños como Turner atribuían propiedades mágicas a sus diseños. Esta confusión fue de alguna manera resuelta en 1914 por J. R. Nichols quien demostró que las losas planas también deben obedecer las leyes de la estática. Nichols considera un panel cuadrado central como el de la siguiente figura y asume que es un panel típico de toda una configuración de losa donde todos los demás paneles están igualmente cargados. Por lo tanto, la línea central del panel y los bordes del mismo son líneas de simetría a lo largo de las cuales no hay una fuerza cortante neta, ni un momento torsor neto resultante. La única fuerza neta que actúa a lo largo de la línea a-b será el momento 𝑀1 . Similarmente la única fuerza neta que actúa a lo largo del borde c-d-e-f será el momento 𝑀2 . Se asume que no hay momentos de torsión en los lugares donde se han anulado las columnas. La losa es cargada con una fuerza total hacia abajo 𝑊1 , la cual debe ser resistida por una fuerza cortante hacia arriba 𝑊1 . Debido a que la línea e-d es una línea de simetría no hay una fuerza cortante neta ahí, por lo tanto la fuerza de corte resistente 𝑊1 debe provenir de los lugares donde se han removido las columnas. Si el corte es considerado que se distribuye uniformemente a lo largo del perímetro de la porción cortada, entonces su 𝑐 resultante está localizada a 𝜋 de los bordes del panel. ℓ𝑛 2 ℓ1 = ℓ a f e ℓ2 = ℓ ℓ 2 𝑐 2 d c b CL Fig. 12.47. Panel tipo considerado por Nichols para su análisis 560 Losas armadas en dos direcciones 𝑊1 𝑀2 𝑀1 𝑊1 ℓ 2 𝑐 2 𝑐 𝜋 Fig. 12.48. Diagrama de cuerpo libre de mitad del panel de losa La carga uniformemente distribuida sobre la losa, puede ser tratada como se muestra en la siguiente 2∙𝑐 figura, donde el centroide de cada área sombreada está a 3∙𝜋 del borde e-d. Si a un rectángulo de losa cargado uniformemente, que representa mitad del panel, se le restan dos cuartos de circunferencia igualmente cargados con una carga de sentido contrario, se obtiene el resultado deseado. ℓ𝑛 2 a f e 𝑤 ℓ 2 𝑐 2 d c b Fig. 12.49. Diagrama de cuerpo libre de mitad del panel de losa 561 Diseño de estructuras de hormigón armado Si se toma momentos a lo largo de e-d e igualamos los momentos por las cargas con los momentos de la resistencia. ℓ ℓ 1 2∙𝑐 𝑐 𝑐2 ℓ 1 𝑐2 𝑤 ∙ ℓ ∙ ∙ − ∙ (𝑤 ∙ 𝜋 ∙ ) ∙ ( ) = 𝑀1 + 𝑀2 + [𝑤 ∙ ℓ ∙ − ∙ (𝑤 ∙ 𝜋 ∙ )] ∙ 2 4 2 4 3∙𝜋 4 𝜋 2 2 𝑤∙ ℓ3 𝑐3 ℓ2 ∙ 𝑐 𝑐3 𝑐3 −𝑤∙ = 𝑀1 + 𝑀2 + 𝑤 ∙ −𝑤∙ +𝑤∙ 8 12 12 8 2∙𝜋 𝑀1 + 𝑀2 = 𝑤 ∙ ℓ3 ℓ2 ∙ 𝑐 𝑐3 𝑐3 −𝑤∙ −𝑤∙ +𝑤∙ 8 12 8 2∙𝜋 𝑀1 + 𝑀2 = 𝑤 ∙ ℓ3 ℓ2 ∙ 𝑐 𝑐3 −𝑤∙ +𝑤∙ 8 24 2∙𝜋 𝑀1 + 𝑀2 = 𝑤 ∙ 1 𝑐 3 4 𝑐 ℓ3 ∙ [1 + ∙ ( ) − ∙ ] 3 ℓ 𝜋 ℓ 8 ℓ3 2 𝑐 2 𝑀1 + 𝑀2 = 𝑤 ∙ ∙ (1 − ∙ ) 3 ℓ 8 (12.69) ℓ𝑛 2 a f e 𝑀− 𝑀− ℓ 2 𝑀− 𝑀+ 𝑀+ 𝑐 2 ℓ d c 𝑀+ + 𝑀 − = 𝑤 ∙ b ℓ3 2 𝑐 2 ∙ (1 − ∙ ) 8 3 ℓ 𝑀+ + 𝑀− = 𝑤 ∙ ℓ2 8 Fig. 12.50. Comparación del momento estático en el panel de losa con el de una viga 562 Losas armadas en dos direcciones Esta derivación no indica nada sobre la distribución de los momentos a lo largo de los bordes c-d-e-f o ab, pero deben estar de acuerdo con la estática que se presenta en vigas. Las comparaciones iniciales de estos resultados con los ensayos de carga sobre las losas diseñadas por Turner no arribaron a conclusiones satisfactorias, por lo que el problema fue aclarado posteriormente en el año 1921 con el trabajo teórico de Westergaard y los ensayos experimentales realizados por Slater. Si se comparan los resultados teóricos de Westergaard con la fórmula hallada por Nichols se observa que los mismos guardan mucha similitud y eso corrobora el planteamiento inicial realizado por Nichols. 𝑐 Para ℓ = 0.15 𝑀− 0.032 0.09 0.09 0.04 0.03 0.04 𝑀+ Franja Columna Franja Central Franja Columna Fig. 12.51. Resultados teóricos obtenidos por Westergaard en un panel de losa Si se toma el promedio de los momentos obtenidos tanto en la franja central como en las franjas de las columnas se puede realizar un análisis comparativo con la ecuación de Nichols. Momento positivo 𝑀+ Momento en franja central Momento en franjas de la columna Momento promedio ℓ ∙ (0.03 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2 ) 2 ℓ ∙ (0.04 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2 ) 2 3 0.035 ∙ 𝑤 · ℓ 563 Diseño de estructuras de hormigón armado Momento negativo 𝑀− Momento en franja central Momento en franjas de la columna Momento promedio ℓ ∙ (0.032 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2 ) 2 ℓ ∙ (0.09 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2 ) 2 3 0.061 ∙ 𝑤 · ℓ 𝑀+ + 𝑀− = 0.035 ∙ 𝑤 · ℓ2 + 0.061 ∙ 𝑤 · ℓ2 = 0.096 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2 𝑀+ + 𝑀− = 0.096 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2 La solución de Westergaard no presenta los momentos a través de la línea central de la columna en las columnas, por tanto éstos deben ser inferidos utilizando los momentos a lo largo de la línea central de la columna. Si se utiliza la ecuación de Nichols para estimar el momento total del mismo panel, se obtiene: 𝑀+ + 𝑀− = 𝑤 ∙ 2 ℓ3 2 𝑐 2 ℓ3 2 ∙ (1 − ∙ ) = 𝑤 ∙ ∙ (1 − ∙ 0.15) 3 ℓ 3 8 8 𝑀+ + 𝑀− = 0.101 ∙ 𝑤 ∙ ℓ2 Los resultados no son exactamente los mismos porque a diferencia de la suposición que Nichols realiza en su derivación sobre la inexistencia de momentos de torsión a lo largo de los bordes de la sección, éstos si existen una vez de que se remueven las columnas. Sin embargo, estos resultados soportan lo afirmado por Nichols de que las losas planas sobre pilares también obedecen las leyes de la estática. A pesar de todo, el artículo del año 1921 de Westergaard y Slater no resolvió la disputa y debido a la influencia política de ingenieros como Turner se alcanzó a un “compromiso” en la discusión de la suma de los momentos positivos y negativos. 2 𝑐 2 𝑀+ + 𝑀− = 0.09 ∙ 𝑤 ∙ ℓ3 ∙ (1 − ∙ ) 3 ℓ (12.70) Se debe notar que este “compromiso” requiere que una losa plana sobre pilares sea diseñada para tan solo el 72% del momento estático real, mientras que las losas en dos direcciones apoyadas en sus cuatro lados debían ser diseñadas considerando el momento total estático. Como resultado de todo lo expresado anteriormente, el diseño de losas era complicado y un poco confuso en la época del código ACI – 63. Para losas en dos direcciones apoyadas a lo largo de sus bordes, tres métodos estaban disponibles y todos ellos basados en un análisis elástico. 564 Losas armadas en dos direcciones a) Destesio y Von Buren (adoptado en 1936). b) Westergaard y Slater (adoptado en 1947). c) Marcus y Rogers (adoptado en 1963). Para losas planas apoyadas sobre pilares, dos métodos estaban disponibles. a) Procedimientos empíricos.- Basados en general en el trabajo de Turner, modificado por las investigaciones de Westergaard y Slater. Se requería que la losa sea diseñada para un momento del 72% del momento real estático. b) Métodos elásticos.- Basados en el trabajo de Westergaard y Slater, pero modificado por el “compromiso” de diseñar para el 72% del momento real estático. Estos momentos eran evidentemente insatisfactorios y en el año 1960 se realizaron ensayos extensivos en todo tipo de losas en la Universidad de Illinois y en la Asociación del Cemento Portland (PCA por sus siglas en inglés) con los siguientes objetivos: a) Eliminar la distinción abrupta en los procedimientos de diseño para losas en dos direcciones y losas planas. b) Determinar la distribución real de momentos en losas pertenecientes a sistemas típicos de piso. c) Elaborar guías de diseño para sistemas poco comunes. Los resultados fueron presentados en el código ACI – 71 donde por primera vez se detallan dos procedimientos aplicables a todo tipo de losas. a) Método de diseño directo.- Comparable con los procedimientos antiguos de diseño empírico más racional, pero no todavía completamente racional. b) Método del pórtico equivalente.- Comparable con los procedimientos elásticos presentes en códigos anteriores, pero aplicable a losas irregulares. 12.9. Método del diseño directo Este método fue adoptado de procedimientos antiguos de diseño y su aplicación está restringida a los siguientes casos: a) Debe haber por lo menos tres tramos continuos en cada dirección, por lo que el sistema de piso más pequeño que se pueda analizar es aquel compuesto por nueve paneles (3 en cada dirección). 565 Diseño de estructuras de hormigón armado b) Los paneles deben ser rectangulares con la relación de la dimensión larga a la corta no mayor a 2. Si la relación entre luces es mayor a 2, se diseña la losa en una sola dirección. c) Las longitudes de luces contiguas, medidas de centro a centro de los apoyos, en cada dirección no deben diferir en más de ⅓ de la dimensión de la luz mayor. Esta restricción se la realiza para evitar que dos vanos contiguos tengan luces muy diferentes que puedan hacer variar significativamente la distribución de momentos. d) Las columnas pueden estar desviadas un máximo de 10% de la luz (en la dirección del desvío) desde cualquier eje entre líneas centrales de columnas sucesivas. e) Todas las cargas deben ser solamente gravitacionales y uniformemente distribuidas sobre todo el panel. La carga viva de servicio (no mayorada) no debe exceder en más de dos veces la carga muerta. f) Para un panel con vigas en todos sus lados soportados por pilares, la rigidez relativa de las vigas en dos direcciones perpendiculares no debe ser menor a 0.2, ni mayor a 5.0. Esta restricción se debe a que la distribución elástica de los momentos difiere significativamente de lo indicado por el método del diseño directo a menos que se cumpla con los límites de rigidez indicados. 0.2 ≤ 𝛼𝑓1 ∙ ℓ22 ≤ 5.0 𝛼𝑓2 ∙ ℓ12 (12.71) Donde 𝛼𝑓1 y 𝛼𝑓2 se calculan de acuerdo a la siguiente ecuación: 𝛼𝑓 = 𝐸𝑐𝑏 ∙ 𝐼𝑏 𝐸𝑐𝑠 ∙ 𝐼𝑠 (12.72) El código ACI en su sección R8.10.1.2 permite que el diseñador utilice el método de diseño directo aún si la estructura no cumple con las limitaciones descritas, siempre que se pueda demostrar por medio del análisis que la limitación infringida no se aplica a esa estructura. Resumen del método de diseño directo para losas Calcular 𝑴𝒐 Distribuir 𝑴𝒐 en 𝑴+ y 𝑴− Distribuir 𝑴+ y 𝑴− a las franjas de columna y central y a vigas si éstas existen 566 𝑴𝒐 Secciones de Momento Negativo 𝑀− Franja de columna Viga Losa Franja Central Secciones de Momento Positivo 𝑀+ Franja de columna Viga Losa Franja Central Losas armadas en dos direcciones 12.9.1. Definición de la luz libre La luz libre ℓ𝑛 para el cómputo de los momentos estáticos es aquella luz medida, entre caras de soportes rectangulares, en la dirección del cálculo. En el caso de que se presenten soportes con secciones transversales diferentes a la rectangular o cuadrada, se debe proceder a medir la luz libre suponiendo una sección cuadrada equivalente para todos los soportes con secciones diferentes. ℓ𝑛 0.89 · 𝑐 𝑐 𝑐 ℓ1 Fig. 12.52. Luz libre de cálculo 12.9.2. Cálculo del momento estático El momento estático 𝑀𝑜 para los paneles de losas sometidos a cargas uniformemente repartidas por unidad de área guarda estrecha relación con el momento estático conocido para el caso de vigas contínuas sometidas a cargas uniformemente repartidas por unidad de longitud, por lo que su cálculo es realizado utilizando la misma ecuación. 𝑀3 𝑀𝑜 𝑀1 𝑀2 ℓ𝑛 Fig. 12.53. Representación general del momento estático 𝑴𝒐 567 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑀𝑜 = 𝑀2 + 𝑀1 + 𝑀3 2 (12.73) ℓ2𝑛 8 (12.74) 𝑀𝑜 = 𝑤 ∙ ℓ2 ∙ Donde: 𝑤 = Carga uniformemente distribuida por unidad de área. ℓ2 = Longitud en la dirección transversal a la considerada. ℓ𝑛 = Luz libre en la dirección considerada (de cara a cara de los soportes). 12.9.3. Distribución del momento estático La distribución del momento estático 𝑀𝑜 entre su parte positiva y negativa depende de las rigideces de sus apoyos extremos, por lo tanto se debe considerar que ésta distribución para paneles interiores es muy diferente a la de paneles exteriores. Tramo interior La distribución de momentos en las luces interiores es similar a la variación elástica del momento a lo largo del centro de una losa cuadrada con soportes rígidos. CL 0.65 · 𝑀𝑜 0.35 · 𝑀𝑜 ℓ𝑛 Fig. 12.54. Distribución de momentos para paneles interiores Tramo exterior La distribución de los momentos positivos y negativos para un panel exterior es realizada considerando los efectos de la rigidez torsional de la viga de borde más la rigidez a la flexión de las columnas exteriores. 568 Losas armadas en dos direcciones CL − 𝑀𝑖𝑛𝑡 − 𝑀𝑒𝑥𝑡 𝑀+ ℓ𝑛 Fig. 12.55. Distribución de momentos para paneles exteriores En la siguiente figura se puede apreciar que la rigidez del extremo externo del panel depende de la rigidez de todos los elementos que concurren en el nudo. Por ejemplo, la viga de borde aporta con su rigidez a la torsión mientras que la columna exterior con su rigidez a la flexión. Viga de Borde Losa y Viga Columna Exterior Fig. 12.56. Elementos que aportan a la rigidez equivalente de la columna Los valores para los momentos negativos interiores, los momentos positivos a medio tramo y los momentos negativos exteriores en paneles exteriores son presentados en la sección 8.10.4.2 del código ACI y resumidos en la siguiente tabla: 569 Diseño de estructuras de hormigón armado Distribución de momentos en tramos exteriores de paneles externos Posición del momento Borde externo no restringido Losa con vigas entre todos los soportes Momento mayorado negativo interior 0.75 Momento mayorado positivo Momento mayorado negativo exterior Losa sin vigas entre los soportes interiores Borde externo restringido Sin viga de borde Con viga de borde 0.70 0.70 0.70 0.65 0.63 0.57 0.52 0.50 0.35 0 0.16 0.26 0.30 0.65 12.9.4. Momentos en las franjas de la columna y central Los momentos negativos y positivos deben ser distribuidos entre las franjas de columna y central considerando la existencia de vigas interiores entre soportes. Cuando la losa es completamente plana (entramado sin vigas), entonces las franjas centrales tienden a absorber la mayor cantidad de los momentos dejando a las franjas de las columnas con una menor porción. En el caso de losas con vigas interiores, las franjas de las columnas absorben una mayor porción de los momentos porque las vigas interiores aumentan considerablemente la rigidez de la losa en esas zonas, por lo que las franjas centrales quedan con la menor porción de los momentos. Menor de ℓ1 ℓ2 y 2 2 Fig. 12.57. Ancho de la franja de la columna para losas planas 570 Losas armadas en dos direcciones Menor de ℓ1 ℓ2 y 2 2 La franja de la columna incluye la viga interior Fig. 12.58. Ancho de la franja de la columna para losas con vigas entre soportes Los momentos positivos y negativos son ahora distribuidos a las franjas de la columna y central. Las losas que tienen vigas rígidas a la flexión atraen más momento hacia las franjas de las columnas, mientras que losas planas, sin vigas interiores, atraen más momento hacia las franjas centrales. 𝛼𝑓1 = 𝐸𝑐𝑏 ∙ 𝐼𝑏 𝐸𝑐𝑠 ∙ 𝐼𝑠 (12.72) Donde: 𝐸𝑐𝑏 = Módulo de elasticidad del hormigón de la viga. 𝐸𝑐𝑠 = Módulo de elasticidad del hormigón de la losa. 𝐼𝑠 = Momento de inercia de la losa. 𝐼𝑏 = Momento de inercia de la viga. Momentos negativos y positivos en la franja de la columna a) Las franjas de las columnas deben ser diseñadas para resistir los siguientes porcentajes de los momentos interiores negativos mayorados. ℓ ℓ1 Se permite interpolación lineal entre los valores de la tabla. Las losas rectangulares largas ( 2 = 0.5) con vigas entre soportes deben absorber el 90% de los momentos negativos en la franja de la columna. Las 571 Diseño de estructuras de hormigón armado ℓ losas cuadradas planas y sin vigas interiores (ℓ2 = 1.0) deben absorber el 75% de los momentos 1 negativos en la franja de la columna. Tipo de losa 𝜶𝒇𝟏 ∙ Sin viga interior en la dirección 𝓵𝟏 Con viga interior en la dirección 𝓵𝟏 𝓵𝟐 /𝓵𝟏 𝓵𝟐 𝓵𝟏 𝟎. 𝟓 𝟏. 𝟎 𝟐. 𝟎 0 75% 75% 75% ≥1 90% 75% 45% b) Las franjas de las columnas deben ser diseñadas para resistir los siguientes porcentajes de los momentos exteriores negativos mayorados. Tipo de losa 𝜷𝒕 Sin viga interior en la dirección 𝓵𝟏 0 Con viga interior en la dirección 𝓵𝟏 𝜶𝒇𝟏 ∙ 𝓵𝟐 𝓵𝟏 0 ≥ 2.5 0 ≥1 ≥ 2.5 𝓵𝟐 /𝓵𝟏 𝟎. 𝟓 𝟏. 𝟎 𝟐. 𝟎 100% 100% 100% 75% 75% 75% 100% 100% 100% 90% 75% 45% Donde: 𝛽𝑡 = 0 significa que la losa no tiene viga de borde. 𝛽𝑡 > 0 significa que la losa tiene viga de borde. Se permite la interpolación lineal entre los valores de la tabla. 𝛽𝑡 = 𝐸𝑐𝑏 ∙ 𝐶 2 ∙ 𝐸𝑐𝑠 ∙ 𝐼𝑠 𝑥 𝑥3 ∙ 𝑦 𝐶 = ∑ (1 − 0.63 ∙ ) ∙ 𝑦 3 Donde: 𝐶 = Rigidez torsional de la viga de borde. 572 (12.75) (12.76) Losas armadas en dos direcciones 𝐸𝑐𝑏 = Módulo de elasticidad del hormigón de la viga. 𝐸𝑐𝑠 = Módulo de elasticidad del hormigón de la losa. 𝐼𝑠 = Rigidez a la flexión de la losa. 𝑥 = Dimensión más pequeña de los rectángulos en que se divide la sección de la viga. 𝑦 = Dimensión más grande de los rectángulos en que se divide la sección de la viga. Si no se tiene una viga de borde muy rígida, las franjas de la columna absorben casi todo el momento negativo exterior en los paneles externos. c) Las franjas de las columnas deben ser diseñadas para resistir los siguientes porcentajes de los momentos positivos mayorados. 𝓵𝟐 /𝓵𝟏 𝓵𝟐 𝓵𝟏 Tipo de losa 𝜶𝒇𝟏 ∙ Sin viga interior en la dirección 𝓵𝟏 0 Con viga interior en la dirección 𝓵𝟏 ≥1 𝟎. 𝟓 𝟏. 𝟎 𝟐. 𝟎 60% 60% 60% 90% 75% 45% ℓ Se permite interpolación lineal entre los valores de la tabla. Las losas rectangulares largas (ℓ2 = 0.5) con 1 vigas entre soportes deben absorber el 90% de los momentos positivos en la franja de la columna. Las ℓ losas cuadradas planas y sin vigas interiores (ℓ2 = 1.0) deben absorber el 60% de los momentos positivos 1 en la franja de la columna. Para losas con vigas entre soportes, la porción de la losa, que se proyecta más allá del alma de las vigas, en las franjas de las columnas debe resistir la porción de los momentos de la franja de la columna no resistida por las vigas. Momentos en las vigas. Las vigas entre los soportes deben resistir el 85% de los momentos de la franja de la columna si ℓ ℓ 𝛼𝑓1 ∙ ℓ2 ≥ 1. Para 0 ≤ 𝛼𝑓1 ∙ ℓ2 ≤ 1 se puede interpolar el porcentaje entre 0% y 85% para determinar el 1 1 porcentaje del momento de la franja de la columna que debe ser resistido por la viga. Además de los ℓ momentos calculados de acuerdo a la rigidez 𝛼𝑓1 ∙ ℓ2 , las vigas deben resistir los momentos producidos 1 por aquellas cargas puntuales o distribuidas aplicadas directamente sobre ellas, incluyendo el peso de su propia alma que se proyecta por encima o por debajo de la losa. 573 Diseño de estructuras de hormigón armado Franja central Franja de columna Franja central ℓ2 85% 15% Fig. 12.59. Distribución de momentos en la franja de columna cuando hay vigas Momentos mayorados en las franjas centrales. La porción de los momentos mayorados negativos y positivos no resistidos por las franjas de las columnas debe ser resistida por las correspondientes mitades de las franjas centrales. Cada franja central debe ser diseñada para resistir la suma de los momentos asignados a sus dos mitades de franja central. 574 Losas armadas en dos direcciones Modificación de los momentos mayorados. El código ACI en su sección 8.10.4.3 permite que los momentos mayorados positivos y negativos sean modificados hasta en un 10% siempre que el momento estático total 𝑀𝑜 , en la dirección considerada, no sea menor que el inicialmente calculado para el tramo. Ejemplo. Utilizando el Método de Diseño Directo analizar la siguiente losa de piso en la dirección que se muestra. Las dimensiones están en [𝑚𝑚]. 6000 6000 ℓ2 = 6000 6000 A 6000 ½ Franja central ½ Franja central Franja de columna ½ Franja central ½ Franja central B 6000 C D 3000 3000 3000 575 Diseño de estructuras de hormigón armado 125 3000 Datos: Columnas exteriores de 0.6 [𝑚]𝑥0.4 [𝑚]. Columnas interiores de 0.6 [𝑚]𝑥0.6 [𝑚]. Vigas de borde de 0.2 [𝑚]𝑥0.5 [𝑚]. Cargas de servicio. 𝑤𝐷 + 𝑤𝑂𝑊 = 4.70 [ 𝑤𝐿 = 3.60 [ a) 𝑘𝑁 ] 𝑚2 𝑘𝑁 ] 𝑚2 Cálculo de la carga última. 𝑤𝑢 = 1.2 · 4.7 + 1.6 · 3.6 = 11.40 [ b) 𝑘𝑁 ] 𝑚2 Cálculo de 𝑀𝑜 . Paneles interiores ℓ𝑛 = 6 − 0.3 − 0.3 = 5.40 [𝑚] 𝑀𝑜 = 1 1 ∙ 𝑤𝑢 ∙ ℓ2 ∙ ℓ2𝑛 = ∙ 11.40 ∙ 6.0 ∙ 5.42 = 249.3 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] 8 8 Paneles exteriores ℓ𝑛 = 6 − 0.3 − 0.2 = 5.50 [𝑚] 𝑀𝑜 = 576 1 1 ∙ 𝑤𝑢 ∙ ℓ2 ∙ ℓ2𝑛 = ∙ 11.40 ∙ 6.0 ∙ 5.52 = 258.6 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] 8 8 Losas armadas en dos direcciones Determinación de 𝑀+ y 𝑀− . c) Paneles interiores 𝑀+ = 0.35 · 𝑀𝑜 = 0.35 · 249.3 = 87.3 [𝑘𝑁 · 𝑚] 𝑀− = 0.65 · 𝑀𝑜 = 0.65 · 249.3 = 162.1 [𝑘𝑁 · 𝑚] CL 162.1 87.3 5.40 Paneles exteriores Se escoge los valores de la tabla para losa sin vigas entre soportes interiores con viga de borde. 𝑀+ = 0.50 · 𝑀𝑜 = 0.50 · 258.6 = 129.3 [𝑘𝑁 · 𝑚] 𝑀− = 0.30 · 𝑀𝑜 = 0.30 · 258.6 = 77.6 [𝑘𝑁 · 𝑚] en borde exterior 𝑀− = 0.70 · 𝑀𝑜 = 0.70 · 258.6 = 181.0 [𝑘𝑁 · 𝑚] en borde interior CL 181.0 77.6 129.3 5.50 d) Momentos en las franjas de la columna y central. ℓ2 = 1 porque es panel cuadrado ℓ1 ℓ 𝛼𝑓1 ∙ ℓ2 = 0 porque la losa no tiene vigas interiores 1 577 Diseño de estructuras de hormigón armado Momentos Interiores Negativos − Momento interior negativo en la franja de la columna 0.75 · 𝑀𝑖𝑛𝑡 − 0.75 · 𝑀𝑖𝑛𝑡 = 0.75 · 162.1 = 121.6 [𝑘𝑁 · 𝑚] − 0.75 · 𝑀𝑖𝑛𝑡 = 0.75 · 181.0 = 135.8 [𝑘𝑁 · 𝑚] − Momento interior negativo en la franja central (1 − 0.75) · 𝑀𝑖𝑛𝑡 − 0.25 · 𝑀𝑖𝑛𝑡 = 0.25 · 162.1 = 40.5 [𝑘𝑁 · 𝑚] − 0.25 · 𝑀𝑖𝑛𝑡 = 0.25 · 181.0 = 45.3 [𝑘𝑁 · 𝑚] Momentos Exteriores Negativos 0.575 0.125 0.50 Dimensiones en [m] 45° 0.20 𝑥 𝑥3 ∙ 𝑦 𝐶 = ∑ (1 − 0.63 ∙ ) ∙ 𝑦 3 Se divide la viga en rectángulos. (𝑥1 , 𝑦1 ) = (0.2, 0.5) (𝑥2 , 𝑦2 ) = (0.125, 0.375) 𝐶 = (1 − 0.63 ∙ 0.2 0.23 ∙ 0.5 0.125 0.1253 ∙ 0.375 )∙ + (1 − 0.63 ∙ )∙ = 0.00119 [𝑚4 ] 0.5 3 0.375 3 (𝑥1 , 𝑦1 ) = (0.2, 0.375) (𝑥2 , 𝑦2 ) = (0.125, 0.575) 𝐶 = (1 − 0.63 ∙ 0.2 0.23 ∙ 0.375 0.125 0.1253 ∙ 0.575 )∙ + (1 − 0.63 ∙ )∙ = 0.000987 [𝑚4 ] 0.375 3 0.575 3 Por tanto, 𝐶 = 0.00119 [𝑚4 ]. 𝐼𝑠 = 578 1 1 ∙ ℓ2 ∙ ℎ 3 = ∙ 6.0 ∙ 0.1253 = 0.000976 [𝑚4 ] 12 12 Losas armadas en dos direcciones 𝛽𝑡 = 𝐶 2 ∙ 𝐼𝑠 𝛽𝑡 = 0.00119 = 0.61 2 ∙ 0.000976 Tipo de losa 𝜷𝒕 Sin viga interior en la dirección 𝓵𝟏 0 𝟎. 𝟔𝟏 𝜶𝒇𝟏 ∙ 𝓵𝟐 𝓵𝟏 𝓵𝟐 /𝓵𝟏 𝟏. 𝟎 100% 0 ≥ 2.5 𝟗𝟒% 75% Se realiza la interpolación lineal entre los valores extremos de 𝛽𝑡 y se obtiene como resultado que la franja de la columna debe absorber el 94% de los momentos negativos exteriores. − Momento exterior negativo en la franja de la columna 0.94 · 𝑀𝑒𝑥𝑡 − 0.94 · 𝑀𝑒𝑥𝑡 = 0.94 · 77.6 = 72.9 [𝑘𝑁 · 𝑚] − Momento exterior negativo en la franja central 0.06 · 𝑀𝑒𝑥𝑡 − 0.06 · 𝑀𝑒𝑥𝑡 = 0.06 · 77.6 = 4.7 [𝑘𝑁 · 𝑚] Momentos Positivos. Panel exterior. Momento positivo en la franja de la columna 0.60 · 𝑀+ 0.60 · 𝑀+ = 0.60 · 129.3 = 77.6 [𝑘𝑁 · 𝑚] Momento positivo en la franja central (1 − 0.60) · 𝑀+ 0.40 · 𝑀+ = 0.40 · 129.3 = 51.7 [𝑘𝑁 · 𝑚] Panel interior. Momento positivo en la franja de la columna 0.60 · 𝑀+ 0.60 · 𝑀+ = 0.60 · 87.3 = 52.4 [𝑘𝑁 · 𝑚] Momento positivo en la franja central (1 − 0.60) · 𝑀+ 0.40 · 𝑀+ = 0.40 · 87.3 = 34.9 [𝑘𝑁 · 𝑚] En la siguiente figura se realiza un resumen de los resultados obtenidos por el Método del Diseño Directo. 579 Diseño de estructuras de hormigón armado 6000 6000 ℓ2 = 6000 4.7 72.9 4.7 51.7 77.6 51.7 45.3 135.8 45.3 6000 A 40.5 121.6 40.5 34.9 52.4 34.9 40.5 121.6 40.5 6000 B 45.3 135.8 45.3 51.7 77.6 51.7 4.7 72.9 4.7 6000 C D 3000 3000 3000 Franja Central Franja de Columna Franja Central 12.10. Método del pórtico equivalente Este método es similar a los métodos de análisis elástico que presentaba el código en ediciones anteriores. En líneas generales este método sigue los siguientes pasos: a) Idealización de un sistema de losa tridimensional a través de pórticos bidimensionales en las dos direcciones principales. b) Determinación de la rigidez de los elementos del pórtico. c) Análisis de los pórticos con métodos comunes de análisis de estructuras hiperestáticas. d) Distribución de los momentos positivos y negativos en las franjas de la columna y franja central utilizando los mismos coeficientes del Método de Diseño Directo 580 Losas armadas en dos direcciones 12.10.1. Idealización del sistema Se procede a reducir un sistema tridimensional que está compuesto por losas, columnas y vigas a un conjunto de pórticos bidimensionales en ambas direcciones. Cada pórtico bidimensional está compuesto por un conjunto de columnas, vigas y uno o dos mitades de paneles a los costados de los ejes longitudinales. ℓ𝑎 Pórtico Interior ℓ𝑎 2 ℓ𝑏 2 ℓ𝑏 ℓ𝑐 Pórtico Exterior ℓ𝑐 2 Fig. 12.60. División de la estructura en pórticos bidimensionales 12.10.2. Rigidez de los elementos del pórtico Este paso es el más complicado del método del pórtico equivalente puesto que en él se debe calcular la rigidez de cada uno de los elementos del pórtico seleccionado. Rigidez de vigas-losa El código ACI en su sección 8.11.3 permite determinar el momento de inercia del sistema de vigas-losa, en cualquier sección transversal del nudo o capitel de la columna, utilizando el área bruta de hormigón. 581 Diseño de estructuras de hormigón armado Sin embargo, hay que tomar en cuenta la variación del momento de inercia a lo largo de los ejes de los sistemas de vigas-losa. La rigidez de las vigas-losa, desde el centro de la columna hasta la cara de la columna, es ajustada tomando en cuenta el incremento en su rigidez dentro de la región de la conexión con la columna. En los casos en que las columnas presenten capiteles o ensanchamientos en sus extremos superiores, el momento de inercia de las vigas-losa debe considerar las diferencias de espesor dentro del ancho 𝑐1 tal como se muestra en la siguiente figura. Las dimensiones 𝑐2 y ℓ2 se miden transversalmente a la dirección del vano para el cual se determinan los momentos. ℓ1 𝑐1 𝑐1 𝐼𝑠 𝑐 (1 − 2 ) ℓ2 𝐼𝑠 𝐼𝑠 𝑐 (1 − 2 ) ℓ2 Fig. 12.61. Variación de la inercia de la losa 𝑰𝒔 Rigidez de los elementos de soporte El código ACI en su sección 8.11.4 permite determinar el momento de inercia de las columnas, en cualquier sección transversal fuera de nudos o capiteles de columnas, utilizando el área bruta de hormigón. Sin embargo, hay que tomar en cuenta la variación del momento de inercia a lo largo de los ejes de las columnas. 582 Losas armadas en dos direcciones Momento de la losa Columna ℓ2 (Tramo perpendicular) Fig. 12.62. Rigidez de los elementos de soporte La rigidez de la columna equivalente está en función de la rigidez de la columna real y de la rigidez de la losa o viga transversal. 1 1 1 = + 𝐾𝑒𝑐 ∑ 𝐾𝑐 𝐾𝑡 (12.77) 1 𝐾𝑡 + ∑ 𝐾𝑐 = 𝐾𝑒𝑐 𝐾𝑡 ∙ ∑ 𝐾𝑐 𝐾𝑒𝑐 = 𝐾𝑡 ∙ ∑ 𝐾𝑐 𝐾𝑡 + ∑ 𝐾𝑐 𝐾𝑒𝑐 = ∑ 𝐾𝑐 ∑𝐾 1+ 𝐾 𝑐 𝑡 (12.78) La columna equivalente es más flexible (menos rígida) que la real. En un pórtico bidimensional real, los momentos en un vano no pueden pasar al vano adyacente si las columnas son muy rígidas. Sin embargo, la transmisión de momentos en un sistema de losa es posible debido al ancho de la misma losa. Las cargas en un panel pueden producir momentos en paneles adyacentes aunque las columnas sean muy rígidas porque esta transmisión se produce en la misma losa. Si el sistema de losa es idealizado como un pórtico bidimensional, éste efecto puede ser considerado utilizando una rigidez reducida equivalente para la columna. 583 Diseño de estructuras de hormigón armado Viga No hay transmisión de momentos Columna Pórtico bidimensional Línea central del panel Transmisión de momentos alrededor de las columnas ℓ2 ℓ1 Línea central del panel Losa plana sin vigas entre columnas Fig. 12.63. Transmisión de momentos entre vanos contiguos Rigidez de la columna 𝑲𝒄 La rigidez de la columna es calculada de la manera convencional, utilizando la inercia real de la columna para el tramo entre las losas superior e inferior y asumiendo una inercia infinita para los tramos de la columna dentro de las losas. 584 Losas armadas en dos direcciones ℎ 2 𝐼𝑐 = ∞ 𝐼𝑐 = 𝐼𝑟𝑒𝑎𝑙 de la sección ℎ 2 𝐼𝑐 = ∞ Fig. 12.64. Variación de la inercia de la columna Rigidez de la viga transversal o del elemento sometido a torsión 𝑲𝒕 La rigidez de la viga transversal o del elemento sometido a torsión está definida en la sección R8.11.5 del código ACI. Esta rigidez está basada en una distribución asumida lineal de los momentos torsores y un ángulo de giro promedio a lo largo de la viga transversal. 𝐾𝑡 = ∑ 9 ∙ 𝐸𝑐𝑠 ∙ 𝐶 𝑐 3 ℓ2 ∙ (1 − 2 ) ℓ2 (12.79) Donde: 𝐶 = Constante torsional de la sección transversal en [𝑚𝑚4 ]. 𝐸𝑐𝑠 = Módulo de elasticidad de la losa de hormigón en [𝑀𝑃𝑎]. ℓ2 = Longitud de la luz en el sentido transversal de ℓ1 medida de centro a centro de los soportes en [𝑚𝑚]. 𝑐2 = Dimensión en [𝑚𝑚] de la columna rectangular o de la columna equivalente rectangular o capitel, medida transversalmente a la dirección de la luz para la cual el momento se está calculando. 585 Diseño de estructuras de hormigón armado La sumatoria se aplica a columnas que tienen vigas transversales en ambos lados. Para el caso de columnas en esquina la sumatoria no es aplicable. Cuando hay vigas entre columnas en la dirección del 𝐼 pórtico equivalente, 𝐾𝑡 debe ser multiplicado por la relación 𝐼𝑠𝑏. 𝑠 𝐾𝑡𝑎 = 𝐼𝑠𝑏 ∙ 𝐾𝑡 𝐼𝑠 𝐾𝑡𝑎 = 𝐼𝑠𝑏 ∙∑ 𝐼𝑠 (12.80) 9 ∙ 𝐸𝑐𝑠 ∙ 𝐶 𝑐 3 ℓ2 ∙ (1 − 2 ) ℓ2 (12.81) Donde: 𝐼𝑠𝑏 = Inercia de la viga con losa. 𝐼𝑠 = Inercia de la losa. Línea central del panel A ℓ2 ℓ1 A Línea central del panel ℓ2 ℓ2 Momento de Inercia 𝐼𝑠 Momento de Inercia 𝐼𝑠𝑏 Sección A - A Fig. 12.65. Secciones a considerar para el cálculo de 𝑰𝒔 e 𝑰𝒔𝒃 586 Losas armadas en dos direcciones Constante torsional 𝑪 La constante torsional 𝐶 para vigas de sección T o L es la suma de los valores de rectángulos individuales que forman la sección. Se incluye para el cálculo la porción efectiva de losa con un ancho igual a la proyección de la viga a 45° debajo de la losa, o el ancho de la columna en el plano del pórtico, se toma el mayor valor de la parte de la losa proyectada que no sobrepase cuatro veces el espesor de la misma. 𝑥1 𝑦1 𝑦1 Para entrepiso sin vigas 𝑥1 𝑦2 𝑦2 𝑥2 𝑥2 𝑦1 𝑦1 𝑥1 𝑥1 Para losa con vigas entre columnas 𝑦1 𝑥1 = ℎ𝑓 𝑥2 = ℎ𝑤 𝑦2 = 𝑏𝑤 Para losa con ábaco sobre columnas Fig. 12.66. Secciones a considerar para el cálculo de 𝑪 587 Diseño de estructuras de hormigón armado Para el caso de una sección compuesta por dos rectángulos, la constante 𝐶 puede ser calculada con la siguiente ecuación: 𝐶 = (1 − 0.63 ∙ 𝑥1 𝑥13 ∙ 𝑦1 𝑥2 𝑥23 ∙ 𝑦2 )∙ + (1 − 0.63 ∙ ) ∙ 𝑦1 3 𝑦2 3 (12.82) Secciones críticas para el momento negativo Después de que las rigidices han sido calculadas y el pórtico analizado, los momentos negativos son corregidos a la cara del soporte para columnas interiores y a un punto un poco diferente para columnas exteriores. Este ajuste corrige los momentos a los valores utilizados en el método del diseño directo. Luego, los momentos son distribuidos a las franjas de la columna y franja centrales de acuerdo a los coeficientes utilizados en el método del diseño directo o con otro método adecuado. 𝑐1 ≤ 0.175 · ℓ1 2 𝑥 2 Sección para el momento exterior negativo 𝑥 Sección para el momento interior negativo 𝑐1 𝑐1 2 Columna Exterior Columna Interior Fig. 12.67. Secciones críticas para el momento negativo Ejemplo. Analizar con el Método del Pórtico Equivalente la losa que fue calculada anteriormente con el Método de Diseño Directo. Datos: Columnas exteriores de 0.6 [𝑚]𝑥0.4 [𝑚] Columnas interiores de 0.6 [𝑚]𝑥0.6 [𝑚] Vigas de borde de 0.2 [𝑚]𝑥0.5 [𝑚] 588 Losas armadas en dos direcciones ℓ2 = 6.0 [𝑚] a) Idealización del sistema. 6000 6000 6000 3000 125 Dimensiones en [𝑚𝑚] b) 3000 Rigidez de los elementos del pórtico equivalente. Rigidez de la columna equivalente. 𝐾𝑒𝑐 = ∑ 𝐾𝑐 ∑𝐾 1+ 𝐾 𝑐 𝑡 𝐾𝑡 = ∑ 9 ∙ 𝐸𝑐𝑠 ∙ 𝐶 𝑐 3 ℓ2 ∙ (1 − 2 ) ℓ2 Columna exterior de 0.6 [𝑚]𝑥0.4 [𝑚]. 𝐶 = 0.00119 [𝑚4 ] (Calculado en el ejemplo del Método del Diseño Directo) 9 ∙ 𝐸𝑐𝑠 ∙ 0.00119 = 4.90 ∙ 10−3 ∙ 𝐸𝑐𝑠 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] 0.6 3 6 ∙ (1 − ) 6 1 1 𝐼𝑐 = ∙ 𝑏 ∙ ℎ3 = ∙ 0.6 ∙ 0.43 = 0.0032 [𝑚4 ] 12 12 𝐾𝑡 = 2 ∙ 𝐾𝑐 = 4 ∙ 𝐸𝑐 ∙ 𝐼𝑐 4 ∙ 0.0032 ∙ 𝐸𝑐 = = 4.27 ∙ 10−3 ∙ 𝐸𝑐 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] ℓ𝑐 3 ∑ 𝐾𝑐 = 2 ∙ 4.27 ∙ 10−3 ∙ 𝐸𝑐 = 8.53 ∙ 10−3 ∙ 𝐸𝑐 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] 589 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝐸𝑐𝑠 = 𝐸𝑐 𝐾𝑒𝑐 = 8.53 ∙ 10−3 ∙ 𝐸𝑐 = 3.11 ∙ 10−3 ∙ 𝐸𝑐 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] 8.53 ∙ 10−3 ∙ 𝐸𝑐 1+ 4.90 ∙ 10−3 ∙ 𝐸𝑐𝑠 Columna interior de 0.6 [𝑚]𝑥0.6 [𝑚]. 0.125 Dimensiones en [𝑚] 0.60 𝐶 = (1 − 0.63 ∙ 𝐾𝑡 = 2 ∙ 𝐼𝑐 = 0.125 0.1253 ∙ 0.6 )∙ = 0.00034 [𝑚4 ] 0.6 3 9 ∙ 𝐸𝑐𝑠 ∙ 0.00034 0.6 3 6 ∙ (1 − 6 ) = 1.40 ∙ 10−3 ∙ 𝐸𝑐𝑠 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] 1 1 ∙ 𝑏 ∙ ℎ3 = ∙ 0.6 ∙ 0.63 = 0.0108 [𝑚4 ] 12 12 𝐾𝑐 = 4 ∙ 𝐸𝑐 ∙ 𝐼𝑐 4 ∙ 0.0108 ∙ 𝐸𝑐 = = 1.44 ∙ 10−2 ∙ 𝐸𝑐 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] ℓ𝑐 3 ∑ 𝐾𝑐 = 2 ∙ 1.44 ∙ 10−2 ∙ 𝐸𝑐 = 2.88 ∙ 10−2 ∙ 𝐸𝑐 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] 𝐸𝑐𝑠 = 𝐸𝑐 𝐾𝑒𝑐 = 590 2.88 ∙ 10−2 ∙ 𝐸𝑐 = 1.33 ∙ 10−3 ∙ 𝐸𝑐 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] 2.88 ∙ 10−2 ∙ 𝐸𝑐 1+ 1.40 ∙ 10−3 ∙ 𝐸𝑐𝑠 Losas armadas en dos direcciones Rigidez de la losa. 𝐼𝑠 = 1 1 ∙ ℓ2 ∙ ℎ 3 = ∙ 6.0 ∙ 0.1253 = 0.00098 [𝑚4 ] 12 12 𝐾𝑠 = c) 4 ∙ 𝐸𝑐𝑠 ∙ 𝐼𝑠 4 ∙ 0.00098 ∙ 𝐸𝑐𝑠 = = 6.51 ∙ 10−4 ∙ 𝐸𝑐𝑠 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] ℓ1 ℓ1 Análisis del pórtico utilizando el método de Cross. Carga última. 𝑤𝐷 + 𝑤𝑂𝑊 = 4.70 [ 𝑤𝐿 = 3.60 [ 𝑘𝑁 ] 𝑚2 𝑘𝑁 ] 𝑚2 𝑤𝑢 = 1.2 · 4.7 + 1.6 · 3.6 = 11.40 [ 𝑤𝑢 = 11.40 · 6 = 68.40 [ 𝑘𝑁 ] 𝑚 𝑘𝑁 ] 𝑚2 𝐹𝐷𝐴𝐵 = 6.51 ∙ 10−4 = 0.173 3.11 ∙ 10−3 + 6.51 ∙ 10−4 𝐹𝐷𝐵𝐴 = 6.51 ∙ 10−4 = 0.247 6.51 ∙ 10−4 + 1.33 ∙ 10−3 + 6.51 ∙ 10−4 𝐹𝐷𝐵𝐶 = 𝐹𝐷𝐶𝐵 = 𝐹𝐷𝐶𝐷 = 𝐹𝐷𝐵𝐴 = 0.247 𝐹𝐷𝐷𝐶 = 𝐹𝐷𝐴𝐵 = 0.173 FD MF Dist. Dist. Dist. Dist. Σ M+ Mcara A 𝟎. 𝟏𝟕𝟑 205.2 −35.5 0.0 0.0 2.2 −0.4 0.3 0.0 171.7 B 𝟎. 𝟐𝟒𝟕 −205.2 0.0 −17.8 4.4 0.0 0.5 −0.2 0.1 −218.1 C 𝟎. 𝟐𝟒𝟕 205.2 0.0 0.0 4.4 −2.2 0.5 −0.3 0.1 207.8 112.9 133.6 𝟎. 𝟐𝟒𝟕 −205.2 0.0 0.0 −4.4 2.2 −0.5 0.3 −0.1 −207.8 𝟎. 𝟐𝟒𝟕 205.2 0.0 17.8 −4.4 0.0 −0.5 0.2 −0.1 218.1 100.0 −157.3 149.3 D 𝟎. 𝟏𝟕𝟑 −205.2 35.5 0.0 0.0 −2.2 0.4 −0.3 0.0 −171.7 112.9 −149.3 157.3 −133.6 591 Diseño de estructuras de hormigón armado ℎ 2 𝑤𝑢 𝑀𝐴 𝑅𝐴 𝑀𝐵 Cara del soporte ℓ1 1 ℓ12 1 62 ∙ [𝑀𝐴 + 𝑀𝐵 + 𝑤𝑢 ∙ ] = ∙ [171.7 − 218.1 + 68.4 ∙ ] = 197.5 [𝑘𝑁] ℓ1 2 6 2 ℎ ℎ2 𝑀𝑐𝑎𝑟𝑎 = 𝑀𝐴 + 𝑤𝑢 ∙ − 𝑅𝐴 ∙ 2 8 0.42 0.4 𝑀𝑐𝑎𝑟𝑎 = 171.7 + 68.4 ∙ − 197.5 ∙ = 133.6 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] 2 8 𝑅𝐴 = Momentos Interiores Negativos. − Momento interior negativo en la franja de la columna 0.75 · 𝑀𝑖𝑛𝑡 − 0.75 · 𝑀𝑖𝑛𝑡 = 0.75 · 149.3 = 112.0 [𝑘𝑁 · 𝑚] − 0.75 · 𝑀𝑖𝑛𝑡 = 0.75 · 157.3 = 118.0 [𝑘𝑁 · 𝑚] − Momento interior negativo en la franja central (1 − 0.75) · 𝑀𝑖𝑛𝑡 − 0.25 · 𝑀𝑖𝑛𝑡 = 0.25 · 149.3 = 37.3 [𝑘𝑁 · 𝑚] − 0.25 · 𝑀𝑖𝑛𝑡 = 0.25 · 157.3 = 39.3 [𝑘𝑁 · 𝑚] Momentos Exteriores Negativos. 0.575 0.125 0.50 0.20 592 Losas armadas en dos direcciones 𝑥 𝑥3 ∙ 𝑦 𝐶 = ∑ (1 − 0.63 ∙ ) ∙ 𝑦 3 Se divide la viga en dos rectángulos. (𝑥1 , 𝑦1 ) = (0.2, 0.5) (𝑥2 , 𝑦2 ) = (0.125, 0.375) 𝐶 = (1 − 0.63 ∙ 0.2 0.23 ∙ 0.5 0.125 0.1253 ∙ 0.375 )∙ + (1 − 0.63 ∙ )∙ = 0.00119 [𝑚4 ] 0.5 3 3 0.375 (𝑥1 , 𝑦1 ) = (0.2, 0.375) (𝑥2 , 𝑦2 ) = (0.125, 0.575) 0.23 ∙ 0.375 0.125 0.1253 ∙ 0.575 0.2 𝐶 = (1 − 0.63 ∙ )∙ + (1 − 0.63 ∙ )∙ = 0.000987 [𝑚4 ] 0.575 3 3 0.375 Por lo tanto, 𝐶 = 0.00119 [𝑚4 ] 𝐼𝑠 = 1 1 ∙ ℓ2 ∙ ℎ 3 = ∙ 6.0 ∙ 0.1253 = 0.000976 [𝑚4 ] 12 12 𝛽𝑡 = 𝐶 0.00119 = = 0.61 2 ∙ 𝐼𝑠 2 ∙ 0.000976 Tipo de losa 𝜷𝒕 Sin viga interior en la dirección 𝓵𝟏 0 𝟎. 𝟔𝟏 𝜶𝒇𝟏 ∙ 𝓵𝟐 𝓵𝟏 𝓵𝟐 /𝓵𝟏 𝟏. 𝟎 100% 0 ≥ 2.5 𝟗𝟒% 75% Se realiza la interpolación lineal entre los valores extremos de 𝛽𝑡 y se obtiene como resultado que la franja de la columna debe absorber el 94% de los momentos negativos exteriores − Momento exterior negativo en la franja de la columna 0.94 · 𝑀𝑒𝑥𝑡 − 0.94 · 𝑀𝑒𝑥𝑡 = 0.94 · 133.6 = 125.6 [𝑘𝑁 · 𝑚] − Momento exterior negativo en la franja central 0.06 · 𝑀𝑒𝑥𝑡 − 0.06 · 𝑀𝑒𝑥𝑡 = 0.06 · 133.6 = 8.0 [𝑘𝑁 · 𝑚] 593 Diseño de estructuras de hormigón armado Momentos Positivos. Panel exterior. Momento positivo en la franja de la columna 0.60 · 𝑀+ 0.60 · 𝑀+ = 0.60 · 112.9 = 67.7 [𝑘𝑁 · 𝑚] Momento positivo en la franja central (1 − 0.60) · 𝑀+ 0.40 · 𝑀+ = 0.40 · 112.9 = 45.2 [𝑘𝑁 · 𝑚] Panel interior. Momento positivo en la franja de la columna 0.60 · 𝑀+ 0.60 · 𝑀+ = 0.60 · 100.0 = 60.0 [𝑘𝑁 · 𝑚] Momento positivo en la franja central (1 − 0.60) · 𝑀+ 0.40 · 𝑀+ = 0.40 · 100.0 = 40.0 [𝑘𝑁 · 𝑚] En la siguiente figura se realiza un resumen de los resultados obtenidos por el Método del Pórtico Equivalente. 594 Losas armadas en dos direcciones 6000 6000 ℓ2 = 6000 8.0 125.6 8.0 45.2 67.7 45.2 39.3 118.0 39.3 6000 A 37.3 112.0 37.3 40.0 60.0 40.0 37.3 112.0 37.3 6000 B 39.3 118.0 39.3 45.2 67.7 45.2 8.0 125.6 8.0 6000 C D 3000 3000 3000 Franja Central Franja de Columna Franja Central En la siguiente figura se comparan los resultados obtenidos por el Método del Pórtico Equivalente con los del Método del Diseño Directo. 595 Diseño de estructuras de hormigón armado 6000 6000 ℓ2 = 6000 Método Pórtico Equivalente 8.0 125.6 8.0 45.2 67.7 45.2 39.3 118.0 39.3 6000 A 37.3 112.0 37.3 40.0 60.0 40.0 34.9 52.4 34.9 40.5 121.6 40.5 6000 B Método Diseño Directo 45.3 135.8 45.3 51.7 77.6 51.7 4.7 72.9 4.7 6000 C D Método MPE 𝑴𝒐 596 3000 3000 Franja Central Franja de Columna Franja Central Panel Exterior [𝒌𝑵 · 𝒎] Panel Interior [𝒌𝑵 · 𝒎] MA MAB MB MB MBC MC −133.6 112.9 −157.3 −149.3 100 −149.3 Mo MDD 3000 258.4 −77.6 129.3 258.6 249.3 −181.0 −162.1 87.3 249.4 −162.1 Losas armadas en dos direcciones En el panel exterior, con el Método del Pórtico Equivalente el momento negativo en A es 72% mayor, el momento positivo en el tramo AB es 13% menor y el momento negativo en B es también 13% menor con respecto a los resultados obtenidos por el Método del Diseño Directo. En el panel interior, con el Método del Pórtico Equivalente el momento negativo en B es 8% menor, el momento positivo en el tramo BC es 15% mayor y el momento negativo en C es 8% menor con respecto a los resultados obtenidos por el Método del Diseño Directo. En cualquier panel, el Método del Pórtico Equivalente y el Método del Diseño Directo dan como resultado el mismo momento estático, la diferencia se encuentra en la distribución que éste tiene con respecto a su parte negativa y positiva en el panel bajo consideración. 12.11. Método de los elementos finitos Para la resolución del problema con el método de los elementos finitos se utilizará el programa de análisis estructural SAP2000. Datos: 125 3000 Dimensiones generales. Espesor de la losa igual a 125 [𝑚𝑚] Columnas exteriores de 0.6 [𝑚]𝑥0.4 [𝑚] Columnas interiores de 0.6 [𝑚]𝑥0.6 [𝑚] Columnas de esquina de 0.6 [𝑚]𝑥0.6 [𝑚] Vigas de borde de 0.2 [𝑚]𝑥0.5 [𝑚] Distancia entre cara superior del piso y cara inferior del techo igual a 3000 [𝑚𝑚] Características de los materiales. 𝑘𝑁 𝛾𝑐 = 24 [𝑚3 ] Peso unitario del hormigón armado 𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] 𝜐 = 0.2 Resistencia característica del hormigón a los 28 días Tensión de fluencia del acero Coeficiente de Poisson 597 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝐸𝑐 = 21538 [𝑀𝑃𝑎] −5 𝛼𝑐 = 1 ∙ 10 1 [℃] Módulo de elasticidad del hormigón Coeficiente de expansión térmica del hormigón Cargas de servicio. 𝑘𝑁 Carga de peso propio: 𝑤𝑂𝑊 = 3.00 [𝑚2 ] 𝑘𝑁 Carga muerta: 𝑤𝐷 = 1.70 [𝑚2 ] 𝑘𝑁 Carga viva: 𝑤𝐿 = 3.60 [𝑚2 ] Geometría de la losa Elemento 598 Color Franjas Centrales Naranja Franjas de Columna Azul Columnas Exteriores Verde Columnas Interiores y de Esquina Gris Viga de Borde Rojo Losas armadas en dos direcciones Para la modelación de la losa se ha utilizado elementos de cuatro nudos de un metro de lado. Solamente alrededor de los soportes se ha discretizado la malla considerando las dimensiones de las columnas de borde, centrales y de esquina. Modelo de la losa de piso en elementos finitos 2 1 𝒌𝑵∙𝒎 Momentos en la dirección 2 en [ 𝒎 ] 599 Diseño de estructuras de hormigón armado En la siguiente figura se realiza un resumen de los resultados obtenidos por el Método de los Elementos Finitos transformando los momentos de [𝑘𝑁 ∙ 𝑚/𝑚] a [𝑘𝑁 ∙ 𝑚]. Para hallar los momentos en [𝑘𝑁 ∙ 𝑚], dentro los límites del ancho de las franjas de la columna y franjas centrales se realiza un promedio de los momentos que están expresados en [𝑘𝑁 ∙ 𝑚/𝑚] y ese valor es multiplicado por el ancho de franja respectivo. 6000 6000 ℓ2 = 6000 33.0 85.5 33.0 60.0 67.5 60.0 36.0 90.0 36.0 6000 A 36.0 90.0 36.0 48.0 60.0 48.0 36.0 90.0 36.0 6000 B 36.0 90.0 36.0 60.0 67.5 60.0 33.0 85.5 33.0 6000 C D 3000 3000 3000 Franja Central Franja de Columna Franja Central En la siguiente tabla se presenta una comparación de los resultados obtenidos por los tres procedimientos. Se debe tomar en cuenta que en los métodos de diseño directo y del pórtico equivalente los momentos están expresados en [𝑘𝑁 · 𝑚] para las franjas de columna y las franjas centrales, mientras que los 600 Losas armadas en dos direcciones 𝑘𝑁·𝑚 resultados del SAP 2000, originalmente se presenta en [ 𝑚 ], pero luego fueron transformados en [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] para propósitos de comparación. Panel Exterior [𝒌𝑵 · 𝒎] Panel Interior [𝒌𝑵 · 𝒎] Método MA MAB MB MB MBC MC MPE −133.6 112.9 −157.3 −149.3 100 −149.3 Mo 258.4 MDD −77.6 129.3 Mo 249.3 −181.0 −162.1 87.3 258.6 MEF −118.5 127.5 Mo −162.1 249.4 −126.0 −126.0 108.0 249.8 −126.0 234.0 El en panel exterior el Método de los Elementos Finitos (MEF) da como resultado un valor que es un 3.4% menor al valor del momento estático y en el panel interior un 6.1% menor al valor del momento estático, pero ambos resultados son aceptables para propósitos de diseño. 12.12. Problemas propuestos 1. Teniendo como dato los valores de los diagramas de momento para = 0, determine los valores para = 0.25 y dibuje los respectivos diagramas de momento a lo largo de las secciones A-A y B-B 𝑎 indicando los valores máximos. Para todas las losas = 1. 𝑏 𝑎 =0 = 0.25 𝑎 B B 0.0647 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏2 0.0284 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏2 𝑏 y 0.0158qb2 x A A 𝑏 B 601 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑎 =0 𝑎 = 0.25 B 0.060 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏2 0.083 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏2 0.055 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏2 0.009 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏2 A 𝑏 0.027 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏2 y A 𝑏 0.0417 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏2 B x 𝑎 =0 𝑎 B = 0.25 0.086 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏2 0.112 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏2 A 𝑏 A 𝑏 0.0165 ∙ 𝑞 ∙ 𝑏2 y B x 2. Utilizando el método de los coeficientes, diseñar el panel de borde considerando el peso propio y una carga viva de servicio de 5 [ Datos: 𝑘𝑁 ]. Las vigas son de 300 [𝑚𝑚] de ancho y 600 [𝑚𝑚] de altura. 𝑚2 D C 𝑓𝑐′ = 25 [𝑀𝑃𝑎] 5800 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] 5500 Dimensiones en [𝑚𝑚] 1 3800 3500 Panel de borde 2 602 Losas armadas en dos direcciones 3. Diseñar la losa de la figura utilizando el método del diseño directo. Utilizando los momentos del análisis realizado, hallar la armadura necesaria en todos los paneles en la dirección N-S o E-O (escoger una sola dirección) y dibujarla indicando su posición y distribución en los mismos. Todas las columnas tienen un diámetro de 0.4 [𝑚]. Cargas de servicio: 𝑘𝑁 𝑤𝐷 = 2.0 [𝑚2 ] debido al peso de la tabiquería y contrapiso 𝑘𝑁 𝑤𝐿 = 2.5 [ 2 ] 𝑚 Propiedades de los materiales: 𝑓𝑐′ = 20 [MPa] 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] 4.0 3.5 4.5 4.0 N 4.0 3.5 Dimensiones en [𝑚] 4. Utilizando el método del diseño directo calcular la armadura en los paneles B1-C2, B2-C3 y B3-C4 de la losa de piso de la figura y en las vigas a lo largo del eje B. Asumir que la carga viva de servicio es 𝑘𝑁 𝑘𝑁 de 3 [𝑚2 ] y la carga muerta de servicio es de 2 [𝑚2 ]. 603 Diseño de estructuras de hormigón armado Datos: Columnas: 250 [𝑚𝑚]𝑥250 [𝑚𝑚] Vigas interiores: 250 [𝑚𝑚]𝑥450 [𝑚𝑚] Vigas perimetrales: 200 [𝑚𝑚]𝑥450 [𝑚𝑚] Espesor de la losa: 200 [𝑚𝑚] 6.0 A 1 6.0 6.0 2 3 4 N 6.0 B 6.0 C 6.0 D Dimensiones en [𝑚] 5. Repetir el problema anterior utilizando el método de los coeficientes y comparar los resultados. 6. Realizar el análisis de la losa (hallar los momentos flectores) utilizando el método de los coeficientes, el método del diseño directo y un programa de análisis estructural. Utilizando una tabla comparar los momentos en la losa y comentar los resultados. Todas las columnas tienen un diámetro de 300 [𝑚𝑚] y las vigas son de sección rectangular de 300 [𝑚𝑚] 𝑥 500 [𝑚𝑚]. El espesor de la losa es de 120 [𝑚𝑚] y la altura libre de piso es de 3.0 [𝑚]. 604 Losas armadas en dos direcciones Cargas de servicio: 𝑘𝑁 𝑤𝐷 = 2.0 [𝑚2 ] debido al peso de la tabiquería y contrapiso 𝑘𝑁 𝑤𝐿 = 2.5 [ 2 ] 𝑚 Propiedades de los materiales: 𝑓𝑐′ = 20 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] 4.0 3.5 4.5 4.0 N 4.0 3.5 Dimensiones en [𝑚] 605 CAPÍTULO 13 ANÁLISIS Y DISEÑO DE REGIONES CON DISCONTINUIDAD 13. Análisis y diseño de regiones con discontinuidad 13.1. Introducción Cuando ciertas regiones de elementos estructurales no pueden ser diseñadas a flexión y corte, utilizando los procedimientos comunes, debido a que alguna de las suposiciones no se cumple adecuadamente, entonces es necesario la utilización de otros procedimientos de diseño. Los elementos estructurales de hormigón pueden ser divididos, para propósitos de diseño, en dos porciones o regiones conocidas como regiones B y regiones D. Las regiones B son llamadas así porque en ellas la suposición correspondiente al principio de Bernoulli se cumple a satisfacción, esto quiere decir que las secciones planas antes de la flexión se mantienen planas después de ella. En este sentido, la deformación longitudinal en el hormigón y en el acero en varios puntos a través de la sección transversal es proporcional a la distancia desde el eje neutro. Esto permite considerar, para el diseño de la sección, una variación lineal de las deformaciones en toda la altura del elemento. Las regiones D son llamadas así porque son regiones de discontinuidad donde la suposición correspondiente al principio de Bernoulli no se cumple como es el caso de ménsulas, vigas de gran canto con o sin aberturas, vigas con extremos entallados, vigas con apoyos indirectos, zonas de anclajes de vigas postesadas, muros de cortante con aberturas, tableros en pilas de un puente y cabezales de pilotes (figura 13.1). Los procedimiento empíricos y semi empíricos de diseño tienen sus limitaciones, por tanto es necesario el desarrollo de nuevos procedimientos de diseño como es el caso de los modelos de puntales y tensores. Este tipo de modelos han constituido una valiosa herramienta de diseño desde los orígenes del hormigón armado, según lo demuestra el empleo de modelos reticulados para el diseño al corte, por ejemplo, en los trabajos de Ritter (1899), Mörsch (1909, 1912, 1922) y Rausch (1938, 1953) entre otros. Es particularmente importante utilizar los modelos de puntales y tensores en el caso de las regiones con discontinuidad (regiones D), las cuales no han sido tratadas adecuadamente en los códigos, aun cuando un diseño y detallado incorrectos de estas regiones ha llevado a la falla de algunas estructuras. El desarrollo de modelos de puntales y tensores presenta una oportunidad inmejorable de avanzar hacia la unificación 607 Diseño de estructuras de hormigón armado del diseño de estructuras de hormigón armado, abarcando tanto las regiones D como las regiones B con modelos similares. Además, la aplicación de modelos de puntales y tensores enfatiza el detalle en la colocación del acero que es una parte fundamental dentro del diseño de estructuras de hormigón armado. ℎ ℎ1 ℎ ℎ2 ℎ1 ℎ2 ℎ ℎ1 h ℎ2 1 ℎ1 ℎ ℎ2 a) Discontinuidades geométricas ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ 2∙ℎ ℎ b) Discontinuidades geométricas y por carga Fig. 13.1. Regiones D y tipos de discontinuidades Una discontinuidad en la distribución de esfuerzos ocurre donde existe un cambio en la geometría del elemento estructural o cuando hay una reacción o carga concentrada. El principio de St. Venant indica que 608 Análisis y diseño de regiones con discontinuidad los esfuerzos por carga axial y momento flector se asemejan a una distribución lineal a partir de una distancia de aproximadamente igual a la altura total del elemento ℎ desde el punto de discontinuidad. En la figura 13.1a se muestran discontinuidades geométricas típicas y en la figura 13.1b una combinación de discontinuidades geométricas con discontinuidades de carga. Las regiones sombreadas en la figura 13.1 son las que se llaman regiones D y en ellas la suposición de que las secciones planas se mantienen planas antes y después de la aplicación de las cargas no se cumple. 13.2. Procedimientos de dimensionamiento según los códigos actuales Cuando se ejecuta el diseño de una estructura en hormigón armado, generalmente se realiza primero el análisis de los esfuerzos (momentos, cortantes y normales) en forma continua en toda la estructura, pero el diseño y verificación de los diferentes elementos como vigas, columnas, losas, etc., se lo realiza en forma discreta por secciones. Además, las recomendaciones incluidas en los códigos en cuanto al detallado de la armadura pretenden garantizar la seguridad global de la estructura. El peligro de realizar el diseño y verificación de una estructura con un procedimiento discreto por secciones y no continuo es que existe la posibilidad de ignorar el flujo general de las fuerzas (el camino de las cargas) y no cubrir algunas regiones críticas. En particular las regiones con discontinuidades de carga y/o geometría (regiones D), a excepción de algunos casos particulares (por ejemplo, esquinas de pórticos o ménsulas) no se dimensionan, sino que son cubiertas por las reglas o recomendaciones de detalle de las armaduras. Debido a estos inconvenientes es que diferentes códigos han tomado conciencia de la necesidad de tener procedimientos de diseño que puedan tomar en cuenta estas particularidades. En este sentido, es que los modelos de puntales y tensores han ganado aceptación y un nuevo impulso para su desarrollo. Sin embargo, la mayoría de los códigos continúan con los conceptos tradicionales y sólo han agregado un nuevo capítulo o apéndice, sin integrar el nuevo concepto en la totalidad del código. Una excepción es el caso del diseño al corte, para el cual desde hace ya muchos años se ha estado utilizando un modelo reticulado (cercha bidimensional) para considerar la contribución de las armaduras, 13.3. Regiones B y regiones D Como ya se mencionó en la introducción, los elementos estructurales de hormigón, para propósitos de diseño, se pueden dividir en regiones B y regiones D. A las regiones B pertenecen todas las regiones que tienen un comportamiento tipo viga donde la hipótesis de distribución lineal de las deformaciones de la teoría de flexión es aplicable; mientras que a las regiones D pertenecen todas las regiones que presentan perturbaciones de esfuerzos y son en general aquellas que se encuentran contiguas a los cambios abruptos de cargas concentradas y reacciones; o aquellas que presentan cambios repentinos de geometría tales como huecos o cambios de sección transversal. Para analizar las secciones transversales en este tipo de regiones no es correcto asumir una distribución lineal de deformaciones. Para el diseño en hormigón armado de las regiones B se aplica la teoría de flexión tradicional y el enfoque de diseño usual para el corte. Por el contrario, en las regiones D un gran porcentaje de la carga es transmitida directamente a los apoyos por las fuerzas de compresión en el plano del hormigón y las fuerzas de tracción en la armadura, por lo cual es necesario utilizar otro enfoque de diseño. Las regiones D 609 Diseño de estructuras de hormigón armado se pueden analizar usando reticulados (cerchas planas o espaciales) hipotéticos compuestos por puntales de hormigón comprimidos y tensores de acero traccionados, que se encuentran en uniones llamadas nodos. Estos reticulados se conocen como modelos de puntales y tensores (Strut and Tie Models). 𝑉 𝑏 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑐′ 0.25 𝑎 𝑉 𝑉 𝑎 0.20 𝑉 𝑉 0.15 Modelo de puntales y tensores 0.10 Modelo seccional 0.05 1 2 3 4 5 6 7 𝑎/𝑑 Fig. 13.2. Resistencia de vigas de hormigón que fallan en corte para diferentes relaciones 𝒂/𝒅 La figura 13.2 extractada del libro “Estructuras de Concreto Presforzado” de Collins y Mitchell (1991) compara las resistencias empíricas al corte de vigas simplemente apoyadas con diferentes relaciones longitud de corte/profundidad 𝑎/𝑑, comprendidas entre 1 y 7. El comportamiento como región B controla la resistencia de vigas con relaciones 𝑎/𝑑 mayores a 2.5 como lo indica la línea aproximadamente horizontal a la derecha de 𝑎/𝑑 = 2.5, mientras que el comportamiento como región D controla la resistencia de vigas con relaciones 𝑎/𝑑 menores a aproximadamente 2.5 como lo representa la línea de fuerte pendiente a la izquierda de 𝑎/𝑑 = 2.5. El Comité ACI 318 limitó las longitudes máximas de 610 Análisis y diseño de regiones con discontinuidad regiones D aisladas y superpuestas a valores de 𝑑 y 2 ∙ 𝑑, respectivamente. Los modelos de puntales y tensores también se pueden usar para el diseño de regiones B, pero el término 𝑉𝑐 no está incluido en la ecuación tradicional del código ACI para la resistencia al corte. Los modelos de puntales y tensores bidimensionales se utilizan para representar estructuras planas tales como vigas de gran altura, ménsulas y uniones; mientras que los modelos de puntales y tensores tridimensionales se usan para estructuras tales como cabezales para dos o más filas de pilotes. Región D puntal 𝑎 ℎ 𝑎 a) Tramo de corte, 𝑎 < 2 ∙ ℎ (viga de canto alto) Región D ℎ puntal ≥ 25° 𝑎 =2∙ℎ 𝑎 =2∙ℎ b) Tramo de corte, 𝑎 = 2 ∙ ℎ, límite para una viga de canto alto Región D Región B Región D ℎ ℎ ℎ 𝑎 > 2∙ℎ 𝑎 >2∙ℎ c) Tramo de corte, 𝑎 > 2 ∙ ℎ, viga esbelta Fig. 13.3. Descripción de viga de canto alto y viga esbelta 611 Diseño de estructuras de hormigón armado Cada luz de corte en la viga de la figura 13.3a es una región D. Si dos regiones D se sobreponen o se juntan como en la figura 13.3b, éstas pueden ser consideradas como una sola región D para propósitos de diseño. La máxima relación de la luz versus la altura de estas regiones D es aproximadamente igual a dos. Por tanto, el mínimo ángulo entre tensores y puntales es 𝑡𝑎𝑛−1 (1/2) = 26.5°, que en el código ACI es redondeado a 25°. Si existe una región B entre dos regiones D en un tramo de corte, como se muestra en la figura 13.3c, la resistencia del tramo de corte es controlado por la resistencia de la región B, si ambas regiones tienen el refuerzo y la geometría similares. Esto es cierto debido a que la resistencia al corte de una región B es menor a la de una región D comparable. Tramos de corte que contienen regiones B, como en el caso de vigas esbeltas, son diseñados para corte utilizando los procedimientos tradicionales ignorando las regiones D. 13.4. Componentes de los modelos con puntales y tensores El modelo de puntales y tensores de una viga de gran altura de un solo tramo, ilustrado en la figura 13.4, se compone de dos puntales inclinados y un tensor horizontal unidos en tres nodos. Los nodos se ubican dentro de zonas nodales que transfieren las fuerzas de los puntales a los tensores y reacciones. Se asume que los modelos de puntales y tensores fallan debido a la fluencia de los tensores, aplastamiento de los puntales, falla de las zonas nodales que conectan los puntales y los tensores, o falla de anclaje de los tensores. Se asume que los puntales y las zonas nodales llegan a su capacidad cuando las tensiones de compresión que actúan en los extremos de los puntales o en las caras de las zonas nodales llegan a la correspondiente resistencia efectiva a la compresión 𝑓𝑐𝑒 . 𝑃 Puntal en forma de botella Zona Nodal Puntal prismático idealizado Tensor Fig. 13.4. Modelo de puntales y tensores para una viga de gran altura 612 Análisis y diseño de regiones con discontinuidad De acuerdo al principio de St. Venant y a análisis elásticos de tensiones realizados en estructuras, se ha estimado que el efecto localizado de una carga concentrada o una discontinuidad geométrica desaparece a una distancia de alrededor de una profundidad del elemento a partir de la carga o discontinuidad. Por este motivo se asume que las regiones D se extienden aproximadamente a una distancia igual a la profundidad del elemento a partir de la carga o discontinuidad. Si dos regiones D, cada una de ellas de una longitud menor o igual a 𝑑, se encuentran o superponen, se considera que éstas actúan como una región D combinada. Para un tramo de corte en una viga de gran altura, la región D combinada tiene una profundidad igual a 𝑑 y una longitud de hasta 2 ∙ 𝑑 hacia un lado o hacia dos lados de la perturbación. Esto establece el menor ángulo que puede existir entre un puntal y un 𝑑 tensor unido a un extremo del puntal como tan−1 (2∙𝑑 ) = 26.5°, redondeado a 25°. (Sección 23.2.7 del código ACI). Un modelo de puntales y tensores es un sistema de fuerzas que está en equilibrio con respecto a un sistema de fuerzas externas. El límite inferior del teorema de plasticidad establece que la capacidad de ese sistema de fuerzas es un límite inferior de la resistencia de la estructura siempre y cuando ningún elemento es esforzado más allá de su capacidad. Pero, esto supone que la capacidad de deformación no es excedida en ningún punto antes de que el sistema de fuerzas asumido se forme. Por esta razón, las fuerzas resultantes en los elementos del modelo de puntales y tensores deberían estar próximas a las fuerzas reales internas finales. Un diseño estructural estáticamente admisible y seguro satisface los requisitos de una solución límite inferior en la teoría de plasticidad. Esto implica que la carga de falla calculada mediante el modelo de puntales y tensores subestima la carga de falla real. Para que esto sea cierto, la estructura debe tener ductilidad suficiente para acomodar cualquier redistribución de fuerzas necesaria. 13.5. Reglas de diseño para los modelos de puntales y tensores Los principales componentes a definir y especificar para el diseño de puntales y tensores son los siguientes: Geometría de los modelos de puntales y tensores. Resistencias efectivas del hormigón y factores 𝜙 a utilizar. Forma y resistencia de los puntales de compresión. Resistencia y anclaje de los tensores. Geometría y resistencia de las zonas nodales. Requisitos de detallado. Las definiciones de estos elementos difieren considerablemente en los distintos códigos y documentos usados para el diseño. La resistencia efectiva del hormigón y los factores de reducción de la resistencia para los modelos puntal-tensor del actual código ACI originalmente se derivaron usando los factores de carga y resistencia del Capítulo 9 del código ACI - 1999. 613 Diseño de estructuras de hormigón armado 13.5.1. Geometría de los modelos de puntales y tensores Los modelos de puntales y tensores son reticulados hipotéticos, construidos dentro del elemento o región de hormigón armado, capaces de transmitir las fuerzas desde los puntos de aplicación de las cargas hacia los apoyos o regiones adyacentes. El capítulo 23 del código ACI está formulado bajo la hipótesis de que en el diseño se usarán modelos de puntales y tensores. La selección del modelo es la etapa más importante porque de ella dependen tanto el análisis como el diseño de ese elemento. Las secciones R23.2.1, R23.2.2 y R23.2.3 del código ACI contienen un procedimiento paso a paso para diseñar un modelo de puntales y tensores. Generalmente, el punto de partida es el cálculo de las reacciones para la estructura o elemento a diseñar, considerando todas las cargas aplicadas. En términos generales, el modelo de puntales y tensores que minimiza la cantidad de armadura se aproxima al modelo ideal. Para el caso de las estructuras bidimensionales, algunos autores recomiendan realizar un análisis por elementos finitos para determinar las trayectorias de los esfuerzos para una situación de carga dada. Luego, los puntales se alinean a ±15° de las fuerzas de compresión resultantes de dicho análisis, y los tensores a ±15° de las fuerzas de tracción resultantes. Durante el desarrollo de un modelo de puntales y tensores, para una aplicación determinada, a menudo resulta útil seleccionar ubicaciones iniciales tentativas para los nodos y utilizar estas ubicaciones en el ciclo inicial de cálculo de las fuerzas en los miembros. Si se pueden conseguir fotografías del patrón de agrietamiento en estructuras similares, es posible ubicar los puntales y tensores dentro de la estructura de manera tal que los puntales se ubiquen entre las fisuras. Los puntales no deben atravesar regiones fisuradas. La sección 23.2 del código ACI presenta varios requisitos fundamentales que debe satisfacer un modelo de puntales y tensores: 1. Primero y principal, el modelo de puntales y tensores debe estar en equilibrio con las cargas aplicadas mayoradas y las reacciones (sección 23.2.4 del código ACI). El cálculo de las reacciones y las fuerzas en los puntales y tensores es estático, por lo tanto produce un campo de fuerzas estáticamente admisible. 2. Durante las primeras etapas del diseño de una región D puede ser suficiente considerar sólo los ejes de los puntales y tensores. Sin embargo, al diseñar un modelo de puntales y tensores, generalmente es necesario considerar los anchos de los puntales, tensores, zonas nodales y regiones de apoyo. (sección 23.2.2 del código ACI) 3. Los puntales, en el modelo planteado, no deben cruzarse, ni superponerse (sección 23.2.6 del código ACI). Los anchos de los puntales se eligen de manera tal que soporten las fuerzas a las que están sometidos considerando la resistencia efectiva del hormigón. Si los puntales se superpusieran, las partes superpuestas de los puntales resultarían sobrecargadas. 614 Análisis y diseño de regiones con discontinuidad 4. Los tensores pueden cruzar otros tensores o puntales (sección 23.2.5 del código ACI). 5. El menor ángulo entre un puntal y un tensor unidos en un nodo se ha fijado en 25°. (sección 23.2.7 del código ACI). La limitación en el ángulo es para prevenir modelar la región de corte de vigas esbeltas utilizando puntales con inclinaciones menores a 25° con respecto al acero longitudinal. 6. Las resistencias nominales de diseño 𝜙 ∙ 𝐹𝑛 de los puntales, tensores y zonas nodales deben ser iguales o mayores que las fuerzas últimas 𝐹𝑢 en dichos elementos (sección 23.3.1). Si en cualquier sección transversal la resistencia es mayor o igual que la resistencia requerida por el análisis del punto 1 se dice que la estructura tiene una distribución de resistencias segura. 13.5.2. Resistencia efectiva del hormigón y factores de reducción de resistencia Una vez que se delinea el modelo inicial de puntales y tensores se procede a calcular las reacciones debido al peso propio y cargas aplicadas. Después de calcular las reacciones se calculan las fuerzas últimas 𝐹𝑢 en todos los puntales, tensores y zonas nodales usando un análisis elástico lineal. Luego, los puntales, tensores y zonas nodales se dimensionan utilizando la siguiente ecuación: 𝜙 ∙ 𝐹𝑛 ≥ 𝐹𝑢 (13.1) Donde: 𝐹𝑢 = Fuerza en el puntal, tensor o la que actúa en una cara de la zona nodal debido a las cargas últimas. 𝐹𝑛 = Resistencia nominal del puntal, tensor o zona nodal. 𝜙 = Factor de reducción de la resistencia igual a 0.75 para estos modelos. 13.5.3. Forma y resistencia de los puntales de compresión En un modelo de puntales y tensores, los puntales representan un campo de esfuerzos de compresión cuya dirección, en forma predominante, coincide con el eje longitudinal del puntal. Los puntales, en general, son idealizados como elementos prismáticos o elementos con una variación uniforme de sección (figura 13.5). La forma de los puntales es variable y en los modelos se los idealiza generalmente como miembros uniformemente ahusados o prismáticos. En la figura 13.4 se puede apreciar cómo los puntales en forma de botella son idealizados como puntales prismáticos en los sectores de corte en la viga de gran altura. En este modelo de puntales y tensores, el hormigón comprimido a la mitad de la longitud de los puntales tiende a expandirse lateralmente. Si hay lugar para que efectivamente ocurra esta expansión se dice que los puntales son en forma de botella. En los modelos bidimensionales la mayoría de los puntales serán en forma de botella. 615 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑃 Puntal prismático 𝑃 Puntal en forma de botella Fig. 13.5. Tipos de puntales en compresión La resistencia nominal a la compresión de un puntal sin refuerzo longitudinal debe ser calculada en ambos extremos y controla el menor valor. 𝐹𝑛𝑠 = 𝑓𝑐𝑒 ∙ 𝐴𝑐𝑠 (13.2) Donde: 𝐴𝑐𝑠 = Área de la sección transversal en el extremo del puntal bajo consideración. 𝑓𝑐𝑒 = Resistencia efectiva a la compresión del hormigón del puntal. 𝑓𝑐𝑒 = 0.85 ∙ 𝛽𝑠 ∙ 𝑓𝑐′ ≤ 0.85 ∙ 𝛽𝑛 ∙ 𝑓𝑐′ (13.3) Valores de 𝜷𝒔 para diferentes condiciones de puntales Condición Para puntales de sección transversal uniforme en toda su longitud Valor de 𝜷𝒔 1.0 Para puntales en forma de botella Con refuerzo que satisface la sección 23.5.1 del código ACI 0.75 Sin refuerzo que satisface la sección 23.5.1 del código ACI 0.60 ∙ 𝜆 Para puntales en elementos a tracción o para las alas traccionadas de elementos 0.40 Para todos los demás casos 0.60 ∙ 𝜆 616 Análisis y diseño de regiones con discontinuidad Valores de 𝝀 para distintos tipos de hormigón Tipo de hormigón Valor de 𝝀 Hormigón de peso unitario normal 1.00 Hormigón con arena ligera 0.85 Hormigones ligeros 0.75 El valor de 𝛽𝑠 = 1 se aplica a un puntal equivalente al diagrama rectangular de compresión en vigas o columnas. Si se utiliza 𝛽𝑠 = 0.75, entonces se debe prever un refuerzo transversal al eje del puntal con el objetivo de resistir los esfuerzos de tracción que se generan por la dispersión de los esfuerzos de compresión en el puntal. Se puede asumir que los esfuerzos de compresión se dispersan con una pendiente de 2 longitudinal por 1 transversal con respecto del eje del puntal. 1 Agritamiento longitudinal por esfuerzos de tracción 2 Dispersión asumida de los esfuerzos de compresión Fig. 13.6. Agrietamiento longitudinal en el puntal debido a esfuerzos de tracción generados por la dispersión de los esfuerzos de compresión en el puntal Cuando la resistencia característica del hormigón 𝑓𝑐′ no excede los 40 [𝑀𝑃𝑎], el requerimiento de la armadura, de la sección 23.5.1 del código ACI, para que 𝛽𝑠 sea 0.75 puede ser satisfecho con diferentes capas de refuerzo de tal manera que se satisfaga la siguiente ecuación: ∑ 𝐴𝑠𝑖 ⋅ sen(𝛾𝑖 ) ≥ 0.003 𝑏𝑠 ∙ 𝑠𝑖 (13.4) 617 Diseño de estructuras de hormigón armado Donde: 𝐴𝑠𝑖 = Área del refuerzo (vertical u horizontal) que cruza el eje del puntal con un ángulo de 𝛾𝑖 . 𝑠𝑖 = Separación horizontal o vertical del refuerzo de acero. 𝑏𝑠 = Ancho del puntal o espesor del elemento que lo contiene. Límite del borde del puntal 𝐴𝑠1 Eje del puntal Límite del borde del puntal 𝐴𝑠2 𝛾1 𝑠2 𝛾2 𝑠1 Fig. 13.7. Refuerzo vertical y horizontal cruzando un puntal El refuerzo que cruza el puntal puede ser colocado en dos direcciones ortogonales formando ángulos 𝛾1 y 𝛾2 con respecto al eje del puntal o en una sola dirección con un ángulo 𝛾 con respecto del eje del puntal. Si el refuerzo es solamente colocado en una sola dirección, 𝛾 no debe ser menor de 40°. Si se comprueba mediante análisis y ensayos de laboratorio, se puede permitir una resistencia mayor de los puntales debido al refuerzo de confinamiento. Se puede utilizar refuerzo de compresión para incrementar la resistencia de los puntales siempre y cuando este refuerzo se encuentre paralelo al eje del puntal y dentro de los límites de los bordes de la misma. Además, éste debe tener buenos anclajes y estar encerrado dentro de estribos o espirales que satisfagan la sección 10.7.6.1.5 del código ACI. En esos casos la resistencia de los puntales puede calcularse con la siguiente ecuación: 618 Análisis y diseño de regiones con discontinuidad 𝐹𝑛𝑠 = 𝑓𝑐𝑒 ∙ 𝐴𝑐𝑠 + 𝐴′𝑠 ∙ 𝑓𝑠′ (13.5) Donde: 𝐴′𝑠 = Área efectiva del refuerzo a compresión a lo largo del puntal. 𝑓𝑠′ = Esfuerzo en el refuerzo de compresión al nivel de resistencia nominal axial del puntal, se lo puede tomar igual a 𝑓𝑦 para refuerzo con tensión de fluencia de 280 [𝑀𝑃𝑎] o 420 [𝑀𝑃𝑎]. 13.5.4. Resistencia y anclaje de los tensores La resistencia nominal de un tensor compuesto por barras de acero pasivo y por cables de acero de pretensado es: 𝐹𝑛𝑡 = 𝐴𝑡𝑠 ∙ 𝑓𝑦 + 𝐴𝑡𝑝 ∙ (𝑓𝑠𝑒 + ∆𝑓𝑝 ) (13.6) Donde: 𝐴𝑡𝑠 = Area de refuerzo no pretensado en el tensor. 𝑓𝑦 = Tensión de fluencia del refuerzo no pretensado. 𝐴𝑡𝑝 = Area del refuerzo pretensado en el tensor. 𝑓𝑠𝑒 = Tensión efectiva en el acero de pretensado después de las pérdidas. ∆𝑓𝑝 = Incremento de la tensión del acero de pretensado debido a las cargas últimas. El término (𝑓𝑠𝑒 + ∆𝑓𝑝 ) no debe exceder la resistencia de fluencia especificada para el acero de pretensado 𝑓𝑝𝑦 . Se permite tomar para ∆𝑓𝑝 el valor de 420 [𝑀𝑃𝑎] cuando el refuerzo de pretensado es adherido y 70 [𝑀𝑃𝑎] cuando el refuerzo de pretensado es no adherido. Estas aproximaciones son razonables para el cambio de tensión ∆𝑓𝑝 en la armadura pretensada a medida que el miembro se carga hasta el punto de falla. Cuando no hay acero de pretensado la anterior ecuación se simplifica a: 𝐹𝑛𝑡 = 𝐴𝑡𝑠 ∙ 𝑓𝑦 (13.7) Se asume que el tensor está formado por la armadura más un prisma de hormigón hipotético concéntrico con el eje de la fuerza de tracción. Por lo tanto, la sección 23.8.1 del código ACI requiere que la armadura de los tensores se distribuya de manera aproximadamente uniforme en el ancho del tensor 𝑤𝑡 . Esto puede implicar la colocación de la armadura en varias capas como se ilustra en la figura 13.8b, y no concentrarla en la cara traccionada de la viga como se ilustra en la figura 13.8a. El eje de los aceros que componen el refuerzo en un tensor debe coincidir con el eje del tensor propuesto en el modelo de puntales y tensores. El ancho efectivo del tensor asumido para el diseño 𝑤𝑡 puede variar, dependiendo de la distribución del refuerzo del tensor, entre los siguientes límites: 619 Diseño de estructuras de hormigón armado a) Si las barras del tensor son dispuestas en una sola capa, el ancho efectivo del tensor puede ser tomado como el diámetro de la barra más dos veces el recubrimiento a la superficie de las barras (figura 13.8a). b) Un límite superior práctico para el ancho del tensor puede ser tomado como el ancho correspondiente al ancho en una zona nodal hidrostática, calculado con la siguiente ecuación: 𝑤𝑡𝑚𝑎𝑥 = 𝐹𝑛𝑡 𝐹𝑢 = 𝑓𝑐𝑒 ∙ 𝑏𝑤 𝜙 ∙ 𝑓𝑐𝑒 ∙ 𝑏𝑤 (13.8) Donde: 𝑤𝑡𝑚𝑎𝑥 = Ancho efectivo máximo del tensor. 𝑏𝑤 = Espesor efectivo del tensor. 𝑓𝑐𝑒 = Resistencia a la compresión efectiva aplicable en la zona nodal. 𝐹𝑛𝑡 = Resistencia nominal del tensor. 𝐹𝑢 = Fuerza última actuando en el tensor. 𝜙 = Factor de reducción de la resistencia para modelos de puntales y tensores 0.75. Si el ancho del tensor excede el valor calculado con el inciso a), el refuerzo de acero debe ser distribuido de manera aproximadamente uniforme en el ancho y espesor del tensor (figura 13.8b). Generalmente el principal problema en el diseño de tensores es el anclaje de los mismos en una zona nodal. Se permite que el refuerzo sea anclado utilizando dispositivos mecánicos, dispositivos de anclaje de postesado, ganchos estándar o longitudes de desarrollo rectas. El prisma hipotético de hormigón concéntrico con el tensor no resiste ninguna parte de la fuerza en el tensor. En las verificaciones para la etapa de servicio la menor deformación del tensor debida a este hormigón puede reducir el alargamiento del tensor, produciendo menor deflexión en el miembro. El refuerzo del tensor debe ser anclado, antes de que abandone la zona nodal extendida, en el punto definido por la intersección del centro de gravedad de las barras del tensor y las extensiones de las líneas externas del puntal o del área de apoyo. En la figura 13.8 esto ocurre en el punto donde la línea exterior de la zona nodal extendida es cruzada por la línea que define el centro de gravedad del tensor (sección crítica). El anclaje de las barras puede ser conseguido por adherencia desarrollando el refuerzo a través de la zona nodal, por lo que las barras se extienden más allá de esa zona. Si el refuerzo es anclado utilizando ganchos a 90°, éstos deben estar confinados dentro del refuerzo que se extiende en la viga desde el elemento de soporte para evitar agrietamiento a lo largo del borde exterior del gancho. Las longitudes de desarrollo de las barras de refuerzo que componen los tensores pueden ser reducidas mediante ganchos, dispositivos mecánicos, confinamiento adicional o utilizando varias capas con barras de menor diámetro que requieren longitudes de desarrollo más cortas. 620 Análisis y diseño de regiones con discontinuidad 𝑤𝑠 = 𝑤𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + ℓ𝑏 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑤𝑡 ∙ cos 𝜃 ℓ𝑏 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐶 𝑤𝑡 𝜃 Zona nodal extendida 𝑇 𝜃 Zona nodal Sección crítica para el desarrollo de las armaduras del tensor 𝐶 ℓ𝑏 ℓ𝑎𝑛𝑐 a) Una capa de armadura 𝑤𝑡 ∙ cos 𝜃 𝐶 ∙ 𝑐𝑜𝑠 ℓ𝑏 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃 Zona nodal extendida 𝑤𝑡 𝑇 Zona nodal 𝜃 𝐶 ℓ𝑏 ℓ𝑎𝑛𝑐 Sección crítica para el desarrollo de las armaduras del tensor b) Armadura distribuída Fig. 13.8. Zona nodal extendida mostrando el efecto de la distribución de la fuerza 621 Diseño de estructuras de hormigón armado Cuando existen tensores a ambos lados de una zona nodal, ésta debe ser capaz de resistir la diferencia entre las fuerzas de ambos tensores. Cuando en una zona nodal se anclan dos o más tensores, la fuerza de los tensores en cada dirección debe ser desarrollada en los puntos donde el centro de gravedad del refuerzo de los tensores abandona la zona nodal extendida. 13.5.5. Geometría y resistencia de las zonas nodales Una zona nodal es el volumen de hormigón alrededor de un nodo y que se supone es el responsable de transferir las fuerzas de los tensores y puntales a través del nodo. En los primeros modelos de puntales y tensores se utilizaron zonas nodales hidrostáticas, las cuales posteriormente fueron superadas y reemplazadas por las zonas nodales extendidas. Los nodos en elementos bidimensionales pueden clasificarse como: a) b) c) d) 𝐶 − 𝐶 − 𝐶 si todos los elementos que llegan al nodo están en compresión. 𝐶 − 𝐶 − 𝑇 si uno de los elementos que llega al nodo está en tracción. 𝐶 − 𝑇 − 𝑇 si dos de los elementos que llegan al nodo están en tracción. 𝑇 − 𝑇 − 𝑇 si todos los elementos que llegan al nodo están en tracción. Un nodo es un punto en el modelo de puntales y tensores donde los ejes de los puntales, tensores y las cargas concentradas se interceptan. Todas las fuerzas que concurren en el nodo deben estar en equilibrio (Σ𝐹𝑥 = 0, Σ𝐹𝑦 = 0 𝑦 Σ𝐹𝑧 = 0). 𝐶 𝐶 𝑇 𝐶 𝐶 𝐶 a) Nodo 𝐶 − 𝐶 − 𝐶 𝑇 b) Nodo 𝐶 − 𝐶 − 𝐶 𝑇 𝐶 𝑇 𝑇 c) Nodo 𝐶 − 𝑇 − 𝑇 𝑇 d) Nodo 𝑇 − 𝑇 − 𝑇 Fig. 13.9. Clasificación de los nodos 622 Análisis y diseño de regiones con discontinuidad Una zona nodal hidrostática tiene sus caras orientadas en forma perpendicular al eje de los puntales y tensores que actúan en el nodo y tiene esfuerzos iguales en sus caras cargadas. La figura 13.10a muestra una zona nodal 𝐶 − 𝐶 − 𝐶. Si los esfuerzos en las caras de la zona nodal son los mismos en los tres puntales, las relaciones de las longitudes de los lados de la zona nodal 𝑤𝑛1 : 𝑤𝑛2 : 𝑤𝑛3 estan en la misma proporción que las tres fuerzas 𝐶1 : 𝐶2 : 𝐶3 . Las caras de una zona nodal hidrostática son perpendiculares a los ejes de los puntales y tensores que actúan en la zona nodal. A este tipo de zonas nodales se las llama zonas nodales hidrostáticas porque los esfuerzos en el plano son los mismos en todas las direcciones. En este caso, el círculo de Mohr para los esfuerzos en el plano se reduce a un punto. Siendo precisos, esta terminología es incorrecta, porque los esfuerzos en el plano no son iguales a los esfuerzos fuera del plano. Una zona nodal 𝐶 − 𝐶 − 𝑇 puede ser representada como una zona nodal hidrostática si se asume que el tensor se extiende a través del nodo y es anclado con una placa en el lado externo del nodo, como muestra la figura 13.10b, siempre y cuando el tamaño de la placa produzca esfuerzos de contacto iguales a los esfuerzos en los puntales. La placa de apoyo de la figura 13.10b es utilizada para representar al anclaje real del tensor. La fuerza del tensor puede ser anclada por una placa, o utilizando la longitud recta de desarrollo o ganchos como se ve en la figura 13.10c. Las áreas sombreadas en gris de la figura 13.8 son zonas nodales extendidas. Una zona nodal extendida es la porción del elemento limitado por la zona nodal y por la intersección del ancho efectivo del puntal 𝑤𝑠 con el ancho efectivo del tensor 𝑤𝑡 . 𝑤𝑛2 𝐶2 𝐶 𝑇 𝑤𝑛1 𝐶1 𝑤𝑛3 𝐶3 𝐶 b) Fuerza de tracción anclada por una placa a) Geometría 𝐶 ℓ𝑎 𝑇 𝐶 Sección crítica para el desarrollo del refuerzo de los tensores c) Fuerza de tracción anclada por longitud de adherencia Fig. 13.10. Nodos hidrostáticos 623 Diseño de estructuras de hormigón armado En la zona nodal mostrada en la figura 13.11a, la reacción 𝑅 equilibra las componentes verticales de las fuerzas 𝐶1 y 𝐶2 , pero frecuentemente el cálculo se simplifica si la reacción 𝑅 es descompuesta en 𝑅1 , que equilibra la componente vertical de 𝐶1 , y en 𝑅2 que equilibra la componente vertical de 𝐶2 . 𝐶1 𝐶2 𝑅 a) Zona nodal 𝐶1 𝐶2 𝐵 𝐴 𝑅1 𝑅2 𝑅 b) Zona nodal subdividida Fig. 13.11. Subdivisión de la zona nodal La resistencia nominal a la compresión de una zona nodal es: 𝐹𝑛𝑛 = 𝐴𝑛𝑧 ∙ 𝑓𝑐𝑒 624 (13.9) Análisis y diseño de regiones con discontinuidad Donde: 𝐴𝑛𝑧 = Área de la cara de la zona nodal o de una sección a través de la zona nodal considerando los incisos a) y b). a) 𝐴𝑛𝑧 será el area de la cara de la zona nodal sobre la cual 𝐹𝑢𝑠 actúa, si la cara es perpendicular a la línea de acción de 𝐹𝑢𝑠 . Si la zona nodal se ha delimitado aplicando un criterio diferente al del inciso a), es posible que la interfase entre el nodo y el puntal no sea perpendicular al eje del puntal y por tanto las tensiones axiales en el puntal, solicitado exclusivamente a compresión, generarán sobre la interfase tanto tensiones de corte como tensiones normales. Por tanto, en estos casos 𝐴𝑛𝑧 se halla de acuerdo al inciso b). b) 𝐴𝑛𝑧 será el área de la sección a través de la zona nodal tomada perpendicular a la línea de acción de la fuerza resultante de la sección. Si se asume que los esfuerzos principales en los puntales y tensores actúan en forma paralela al eje de los mismos, los esfuerzos en las caras perpendiculares a estos ejes son esfuerzos principales y el inciso a) controla. Si por el contrario, la cara de la zona nodal no es perpendicular a la del eje del puntal (figura 13.8b), existirán esfuerzos de corte y esfuerzos normales en la cara de la zona nodal. Típicamente, estos esfuerzos son reemplazados por los esfuerzos normales (esfuerzos principales de compresión) que actúan en la sección transversal 𝐴𝑐𝑠 del puntal, tomada perpendicular al eje del puntal como indica el inciso a). En algunos casos, el inciso b) controla porque se requiere que los esfuerzos sean verificados en una sección a través de una zona nodal subdividida. Los esfuerzos son verificados en la menor sección que sea perpendicular a una fuerza resultante en la zona nodal. En la figura 13.11b, la cara vertical que divide la zona nodal en dos partes es esforzada por la fuerza resultante que actúa a lo largo de A-B. El diseño de la zona nodal es gobernado por la sección crítica del inciso a) o b), la que produzca el mayor esfuerzo. 𝑓𝑐𝑒 = Resistencia efectiva a la compresión del hormigón en la cara de una zona nodal. 𝑓𝑐𝑒 = 0.85 ∙ 𝛽𝑛 ∙ 𝑓𝑐 ’ (13.10) Valores de 𝜷𝒏 para diferentes condiciones de las zonas nodales Condición Valor de 𝜷𝒏 Para zonas nodales rodeadas por puntales y/o áreas de apoyo (Nodo 𝐶 − 𝐶 − 𝐶) 1.00 Para zonas nodales que anclan un tensor (Nodo 𝐶 − 𝐶 − 𝑇) 0.80 Para zonas nodales que anclan dos o más tensores (Nodos 𝐶 − 𝑇 − 𝑇 y 𝑇 − 𝑇 − 𝑇) 0.60 625 Diseño de estructuras de hormigón armado En un modelo tridimensional de puntales y tensores, el área de cada cara de una zona nodal no debe ser menor a la dada por 𝐴𝑛𝑧 considerando los incisos a) y b), y la forma de cada cara de las zonas nodales será similar a la forma de la proyección de los extremos de los puntales sobre las caras correspondientes de la zona nodal. 13.5.6. Requisitos de detallado Efectos de la armadura mínima de confinamiento según ensayos. Es importante disponer con mallas de armadura en las caras laterales de las regiones D para controlar y restringir la aparición de las fisuras longitudinales cerca de los extremos de los puntales en forma de botella, y también para proporcionar cierta ductilidad a los puntales. De acuerdo a numerosos ensayos realizados en vigas con diferentes cuantías de armadura vertical (estribos) se sugiere que en vigas con estribos verticales exclusivamente la totalidad de la capacidad plástica se puede alcanzar con una cuantía de armadura de estribos de 0.0025. Armadura mínima requerida en los puntales en forma de botella. En la sección 23.4.3 del código ACI se permite utilizar para 𝛽𝑠 un valor de 0.75 para el cálculo de la resistencia efectiva a la compresión de puntales en forma de botella con armadura que satisface la sección 23.5.1. Si no se provee esta armadura el valor de 𝛽𝑠 se reduce a 0.6 · 𝜆. La sección 23.5.1 del código ACI requiere que el eje del puntal sea atravesado por armadura transversal de manera de resistir la fuerza de tracción que se produce debido a la dispersión de la fuerza de compresión en el puntal. La misma sección 23.5.1 del código ACI permite que el calculista compute la armadura necesaria ya sea mediante un modelo de puntales y tensores ideal localizado dentro del puntal, como se ilustra en la figura 13.6, o bien, para el caso de vigas con hormigón de resistencia menor o igual a 40 [𝑀𝑃𝑎], la sección 23.5.3 permite aproximar los resultados del modelo de puntales y tensores usando la ecuación empírica (13.4). Esta ecuación se derivó asumiendo que la tensión normal 𝜎1 , que actúa en la fisura resultante de una capa de armadura de confinamiento es: 𝜎1 = 𝐴𝑠1 ∙ 𝑓𝑠1 ∙ sen 𝛾1 𝑏𝑠 ∙ 𝑠1 (13.11) Donde 𝐴𝑠1 es la sección de las barras en una dirección y el ángulo 𝛾1 es el ángulo entre la fisura y la fuerza en la barra en cuestión. La dirección de la barra se selecciona de manera tal que una fuerza de tracción en la barra provoque una fuerza de compresión en el hormigón perpendicular a la fisura. A fin de simplificar la presentación de la anterior ecuación, el código ACI la presenta sin el término 𝑓𝑠1 . La sección 23.5.3 del código permite satisfacer este requisito, cuando 𝑓𝑐′ es menor o igual a 40 [𝑀𝑃𝑎], mediante capas de armadura que cruzan el puntal y que satisfacen la ecuación (13.4). ∑ 626 𝐴𝑠𝑖 ⋅ sen(𝛾𝑖 ) ≥ 0.003 𝑏𝑠 ∙ 𝑠𝑖 (13.4) Análisis y diseño de regiones con discontinuidad Donde: 𝐴𝑠𝑖 = Area del refuerzo (vertical u horizontal) que cruza el eje del puntal con un ángulo de 𝛾𝑖 . 𝑠𝑖 = Separación horizontal o vertical del refuerzo de acero. 𝑏𝑠 = Ancho del puntal o espesor del elemento que lo contiene. La sección 23.5.3 de ACI establece que esta armadura generalmente se dispone en forma de malla en dos direcciones ortogonales en cada cara, pero permite colocarla en una sola dirección, en cada cara, para casos tales como las ménsulas o cartelas. Mínima armadura de corte en vigas de gran altura La sección 9.9.3.1 del código ACI requiere cuantías mínimas de armadura de corte vertical y horizontal de 0.0025 · 𝑏𝑤 ∙ 𝑠1 y 0.0025 · 𝑏𝑤 ∙ 𝑠2 , respectivamente, en vigas de gran altura. Estas cantidades mínimas proveen una capacidad de corte considerable. Cada 0.001 · 𝑏𝑤 ∙ 𝑠 de armadura de corte vertical corresponde a una resistencia al corte, 𝑉𝑠 correspondiente a una tensión de corte 𝑣 igual a 0.42 [𝑀𝑃𝑎], calculada usando la ecuación (5.15). La armadura de corte horizontal es mucho menos eficiente para transferir corte. La capacidad adicional provista por la armadura de corte vertical no está implícitamente incluida en el cálculo de resistencia usando las ecuaciones (13.1) y (13.2), ésta es tomada en cuenta mediante el aumento de 𝛽𝑠 . Para algunas regiones D, como por ejemplo las de una viga de gran altura, resulta factible proveer mallas ortogonales de armadura próximas a las caras de la viga. En otros casos, tales como ménsulas o extremos entallados, es más sencillo colocar la armadura en una sola dirección, horizontal en el caso de una ménsula. La sección 23.5.3.1 de ACI permite armadura de confinamiento unidireccional que puede utilizarse en ménsulas o casos similares. Si se la coloca en una sola capa, la armadura se coloca en una dirección que forme un ángulo de al menos 40° respecto del eje del puntal. En algunas estructuras tridimensionales, como por ejemplo los cabezales para más de dos pilotes, a menudo no resulta posible colocar armadura de corte en el modelo de puntales y tensores. En estos casos la sección 23.4.3 del código ACI requiere reducir la resistencia de los puntales utilizando para 𝛽𝑠 un valor de 0.6 · 𝜆. En una región D la mínima armadura de corte tiene dos funciones estructurales: resistir la tracción transversal en las áreas en forma de botella próximas a los extremos del puntal una vez que se produce la fisuración por compresión diametral, y proveer ductilidad a los puntales y zonas nodales mediante confinamiento. En la ecuación (13.4) la armadura mínima se da en términos de cantidades equivalentes perpendiculares al eje del puntal. En el diseño esta limitación de la fisuración se logra disponiendo armadura de corte mínima que satisfaga: 627 Diseño de estructuras de hormigón armado ∑ ρvi ∙ sen(𝛾𝑖 ) ≥ 0.003 (13.12) Donde: ρvi = Cuantía para la armadura de corte que forma un ángulo 𝛾𝑖 respecto del eje del puntal. 13.6. Estado límite de servicio En el último párrafo de la sección R23.2.3 del código ACI, se menciona el estado límite de servicio. Si bien los modelos de puntales y tensores son utilizados para determinar los diferentes estados límites en regiones de discontinuidad, el calculista debe tener presente también los requerimientos de servicio. Las deflexiones, para vigas de canto alto o elementos similares, pueden ser estimadas usando un análisis elástico del modelo de puntales y tensores. Las rigideces axiales para el modelo de puntales y tensores pueden ser modeladas como regiones fisuradas (para la zona de los tensores) con rigideces axiales iguales a 𝐴𝑠 ∙ 𝐸𝑠 /ℓ𝑐𝑟 y regiones no fisuradas (para las regiones de los puntales en compresión) con rigideces axiales iguales 𝐴𝑠 ∙ 𝐸𝑠 /ℓ𝑢𝑛𝑐𝑟 , donde ℓ𝑐𝑟 y ℓ𝑢𝑛𝑐𝑟 son las porciones de la longitud de puntal que se puede asumir poseen una rigidez de sección fisurada y la fracción que posee rigidez de sección no fisurada, respectivamente. Esto permite modelar el alargamiento del tensor de manera más sencilla. Además, el ancho de las fisuras en la zona de los tensores puede ser verificado con lo dispuesto en el numeral 9.3.4 del texto (sección 24.3.2 del código ACI) asumiendo que el tensor es envuelto por un prisma de hormigón cuya área está en correspondencia con lo dispuesto en o el numeral 13.5.4 del presente texto (sección R23.8.1 del código ACI). 13.7. Vigas de canto alto La sección 9.9.1.1 del código ACI indica que vigas de canto alto son elementos cargados en una de sus caras y soportados en la cara opuesta, de tal forma que puntales de compresión pueden desarrollarse entre las cargas y las reacciones de los soportes; y además cumplen con cualquiera de las siguientes condiciones: a) Luz libre ℓ𝑛 igual o menor a cuatro veces la altura total del elemento. b) Regiones cargadas con cargas concentradas dentro de dos veces la altura del elemento desde la cara del soporte. Las vigas de canto alto deben ser diseñadas ya sea tomando en cuenta la distribución no lineal de deformaciones en toda la altura de su sección o utilizando los modelos de puntales y tensores descritos en el capítulo 23 del código ACI. La posibilidad de pandeo lateral del elemento también debe ser considerada para el diseño de vigas de canto alto. 628 Análisis y diseño de regiones con discontinuidad La sección 9.9.2.1 del código ACI, indica que la resistencia al corte 𝑉𝑛 de las vigas de canto alto no debe exceder el siguiente valor: 𝑉𝑛 ≤ 0.83 ∙ √𝑓𝑐´ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 (13.13) El área del refuerzo de corte perpendicular a la luz, 𝐴𝑣 , y del refuerzo paralelo a la luz, 𝐴𝑣ℎ , no debe ser menor a los siguientes valores: 𝐴𝑣 = 0.0025 · 𝑏𝑤 ∙ 𝑠1 𝑠1 ≤ 𝑑 𝑜 300 [𝑚𝑚] 5 (13.14) 𝐴𝑣ℎ = 0.0025 · 𝑏𝑤 ∙ 𝑠2 𝑠2 ≤ 𝑑 𝑜 300 [𝑚𝑚] 5 (13.15) Donde: 𝐴𝑣 = Area del refuerzo de corte dispuesto perpendicular al refuerzo por flexión, dentro de la distancia 𝑠1. 𝐴𝑣ℎ = Area del refuerzo de corte dispuesto paralelo al refuerzo por flexión, dentro de la distancia 𝑠2. 𝑏𝑤 = Ancho del alma. 𝑑 = Distancia desde la fibra extrema más comprimida al centro de gravedad del refuerzo longitudinal por flexión. 𝑠1 = Espaciamiento del refuerzo vertical. 𝑠2 = Espaciamiento del refuerzo horizontal. Para satisfacer los requerimientos de refuerzo mínimo vertical y horizontal expresados por las ecuaciones (13.14) y (13.15), se permite colocar el refuerzo indicado por la ecuación (13.4). Las vigas de gran canto generalmente son utilizadas para soportar la carga de una o más columnas y transmitirla lateralmente a otras columnas. Es común la utilización de este tipo de vigas cuando por alguna razón se desea discontinuar las columnas de un piso a otro por razones arquitectónicas o de utilización de espacio. El diseño de una viga de canto alto utilizando los modelos de puntales y tensores involucra el bosquejo de una cercha que transmite las cargas desde sus puntos de aplicación hasta los soportes. Una vez que se ha hallado un modelo de cercha satisfactorio, los nodos y elementos de la cercha son detallados para que éstos puedan resistir las fuerzas. Las dimensiones de la viga deben ser tales que la cercha quepa adecuadamente considerando los recubrimientos apropiados. Las vigas continuas de canto alto, son elementos en general muy rígidos y por tal razón son muy sensibles a asentamientos diferenciales de sus apoyos o a posibles acortamientos diferenciales (fluencia) de sus soportes. El primer paso en el diseño de estas vigas es estimar las reacciones y dibujar los diagramas de envolventes de momentos y cortantes. 629 Diseño de estructuras de hormigón armado Con base a la ecuación (13.13) y considerando que 𝑉𝑢 ≤ 𝜙 · 𝑉𝑐 se puede obtener una primera aproximación de las dimensiones para la sección transversal de la viga de canto alto. La parte más crítica del diseño de vigas de canto alto es la selección de la cercha más adecuada para resistir las cargas. La dirección de los puntales de compresión en cada luz de corte debe estar en concordancia con la dirección general de los esfuerzos principales de compresión en esa misma zona. Cuando es posible la utilización de diferentes tipos de cerchas, la cercha más adecuada (óptima) será la que requiere la menor cantidad de volumen de acero. Una vez seleccionada la geometría de la cercha, se debe realizar la resolución de la misma para obtener los esfuerzos en cada uno de los elementos que la componen. Algunas veces la cercha a resolver parecerá indeterminada, pero puede ser resuelta asumiendo que los estribos fluyen y que las barras longitudinales también fluyen en los puntos de máximo momento flector. Con esta suposición es posible hallar el valor de las demás fuerzas en los elementos y proceder al dimensionamiento de los puntales de compresión. Para determinar de una manera precisa el ancho de los puntales de compresión, es importante dibujar la viga de canto alto y la cercha a escala. Una vez realizada esta operación se deberán recalcular las fuerzas en los elementos y dimensionar nuevamente los puntales de compresión. Los nuevos anchos de los puntales pueden hacer necesario dibujar la viga y la cercha nuevamente. Este proceso se repite hasta que se converge a una solución satisfactoria, generalmente es necesario un par de ciclos. Después de que la geometría y dimensiones de los puntales de compresión han sido determinadas, se selecciona el refuerzo para los tensores. Ejemplo. Diseñar la viga simplemente apoyada cargada con dos cargas vivas concentradas de servicio de 600 [𝑘𝑁] cada una en un tramo libre de 3.60 [𝑚], como se ilustra en la figura. La viga tiene un ancho de 350 [𝑚𝑚] y una altura total de 1.20 [𝑚]. La longitud de la placa de apoyo bajo cada una de las cargas concentradas es de 400 [𝑚𝑚] y su ancho es el mismo de la viga, es decir 350 [𝑚𝑚]. Despreciar el peso propio de la viga. 600 [𝑘𝑁] 600 [𝑘𝑁] 1200 1200 1200 350 400 630 3600 400 Análisis y diseño de regiones con discontinuidad Datos: 𝑃𝐿 = 600 [𝑘𝑁] 𝑏 = 350 [𝑚𝑚] 𝑓𝑐′ = 28 [𝑀𝑃𝑎] ℎ = 1200 [𝑚𝑚] 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] Las dimensiones de la sección están en [𝑚𝑚] Parámetros del modelo de puntales y tensores Resistencia a la compresión del hormigón 𝑓𝑐𝑒 = 0.85 ∙ 𝛽𝑠 ∙ 𝑓𝑐′ ≤ 0.85 ∙ 𝛽𝑛 ∙ 𝑓𝑐′ Puntales Tipo Cordón no figurado (prismático) Puntal inclinado botella) (en forma de 𝜷𝒔 𝒇𝒄𝒆 [𝑴𝑷𝒂] 1.0 23.80 0.75 17.85 Zonas Nodales Tipo 𝜷𝒏 𝒇𝒄𝒆 [𝑴𝑷𝒂] Nudo 𝐶 − 𝐶 − 𝐶 1.0 23.80 Nudo 𝐶 − 𝐶 − 𝑇 0.8 19.04 Nudo 𝐶 − 𝑇 − 𝑇 0.6 14.28 Diseño a flexión Para desarrollar el modelo de puntales y tensores es conveniente conocer la profundidad del bloque de compresión y por ello se realiza un prediseño con la teoría de flexión. Para el cálculo del canto útil de la sección 𝑑, se va a suponer que se disponen dos capas de barras de diámetro 25 [𝑚𝑚] para el momento positivo. a) Calcular 𝑀𝑢 . 𝑃𝑢 = 1.6 ∙ 600 = 960 [𝑘𝑁] 1400 960 [𝑘𝑁] 960 [𝑘𝑁] 1200 960 [𝑘𝑁] 1400 960 [𝑘𝑁] 631 Diseño de estructuras de hormigón armado 960 𝑉𝑢 [𝑘𝑁] 960 𝑀𝑢 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] 1344 b) Calcular 𝑑. 𝑑 = 1200 − 40 − 10 − 25 − 25/2 = 1113 [𝑚𝑚] c) Calcular 𝐴𝑠 . 𝜙 ⋅ 𝑓𝑦 2 ⋅ 𝐴 2 − 𝜙 ⋅ 𝑓𝑦 ⋅ 𝑑 ⋅ 𝐴𝑠 + 𝑀𝑢 = 0 1.7 ∙ 𝑓𝑐′ ⋅ 𝑏 𝑠 9.5294 · 𝐴𝑠 2 − 420714 · 𝐴𝑆 + 1344000000 = 0 Dos soluciones: 𝐴𝑠 = 40682 [𝑚𝑚2 ] = 406.82 [𝑐𝑚2 ] Solución físicamente incorrecta 𝐴𝑠 = 3467 [𝑚𝑚2 ] = 34.67 [𝑐𝑚2 ] Si se utilizaran 8𝜙25 con 𝐴𝑠 = 39.27 [𝑐𝑚2 ] Se verifica que los 8𝜙25 entran en dos filas en el ancho de la viga 𝑎= 𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦 3927 ⋅ 420 = = 198 [𝑚𝑚] ′ 0.85 ⋅ 𝑓𝑐 ⋅ 𝑏 0.85 ⋅ 28 ⋅ 350 𝑑𝑡 = 1200– 40– 10– 25/2 = 1138 [𝑚𝑚] 1 = 1.05 − 0.007 · 𝑓𝑐′ = 1.05 − 0.007 · 28 = 0.854 > 0.85 ⇒ 1 = 0.85 𝑎𝑏 600 600 = 𝛽1 ∙ = 0.85 ⋅ = 0.5 𝑑 600 + 𝑓𝑦 600 + 420 632 Análisis y diseño de regiones con discontinuidad 𝑎 𝑎𝑏 = 0.178 ≤ = 0.500 ⇒ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 𝑑 𝑑 𝑎 𝑎𝑡𝑐 = 0.174 ≤ = 0.319 ⇒ 𝜙 = 0.9 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑐= 𝑎 175 = = 206 [𝑚𝑚] 𝛽1 0.85 d) Calcular el momento nominal 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 . 𝑎 198 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 𝜙 ∙ 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ∙ (𝑑 − ) = 0.9 ∙ 3927 ∙ 420 ∙ (1113 − ) 2 2 𝜙 · 𝑀𝑛 = 1505187684 [𝑁 · 𝑚𝑚] = 1505.18 [𝑘𝑁 · 𝑚] ≥ 𝑀𝑢 = 1344 [𝑘𝑁 · 𝑚] Modelo de puntales y tensores a) Idealización del modelo. 960 [𝑘𝑁] 960 [𝑘𝑁] 1200 1200 125 985 54.6° 90 400 500 700 1200 700 700 200 De acuerdo al diseño por flexión, la profundidad del eje neutro 𝑐 es de 206 [𝑚𝑚], entonces para el modelo de puntales y tensores se prueba con un puntal horizontal de un ancho de 250 [𝑚𝑚] y por tanto su eje está a 125 [𝑚𝑚] de la fibra superior de la viga. El tensor, desde la fibra inferior de la viga, se acomoda a 90 [𝑚𝑚]. 633 Diseño de estructuras de hormigón armado b) Resolución de la cercha idealizada. 960 [𝑘𝑁] 960 [𝑘𝑁] 7 2 −682 −1178 1 960 4 −1364 −1178 682 −682 5 −1178 960 1364 −1178 682 3 8 6 960 960 c) Verificación de la resistencia de los puntales y zonas nodales. Geometría del nodo 2 350 400 400 250 180 578 400 Geometría del nodo 3 La verificación de las resistencias de los puntales y zonas nodales se debería realizar comparando el área de puntal o zona nodal disponible con el área requerida. En este ejemplo, debido a que el ancho de la viga y el ancho de las placas de apoyo y apoyos son iguales, es decir 350 [𝑚𝑚], la verificación se hará comparando el ancho de puntal o zona nodal disponible 𝑤𝑑𝑖𝑠𝑝 con el requerido 𝑤𝑟𝑒𝑞 . Por lo tanto, para los puntales y nodos, 𝑤𝑟𝑒𝑞 se calculará usando la siguiente ecuación: 𝑤𝑟𝑒𝑞 = 634 𝐹𝑢 𝜙 ∙ 𝑓𝑐𝑒 ∙ 𝑏 Análisis y diseño de regiones con discontinuidad Nodo 1. 430 𝑧 𝑤𝑡 = 180 𝑧′ 𝜃 ℓ𝑏 = 400 𝑧 = √4002 + 1802 = 439 [𝑚𝑚] 𝑧 ′ = ℓ𝑏 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑤𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 400 ∙ 𝑠𝑒𝑛(54.6°) + 180 ∙ 𝑐𝑜𝑠(54.6°) = 430 [𝑚𝑚] Por lo tanto para puntal 1 − 2 𝑤𝑑𝑖𝑠𝑝 = 430 [𝑚𝑚] Nodo 𝟐. 350 250 𝑧 ′ = 430 Para el puntal 2 − 4, 𝑤𝑑𝑖𝑠𝑝 = 250 [𝑚𝑚] (del diseño a flexión) 𝑧 ′ = 430 [𝑚𝑚] Por lo tanto, el ancho de la zona nodal es √4302 − 2502 = 350 [𝑚𝑚] 635 Diseño de estructuras de hormigón armado Nodo 𝟒. ℓ𝑏 = 400 𝑧′ 𝑤𝑡 = 250 𝑧 𝜃 471 𝑧 = √4002 + 2502 = 472 [𝑚𝑚] 𝑧 ′ = ℓ𝑏 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑤𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 400 ∙ 𝑠𝑒𝑛(54.6°) + 250 ∙ 𝑐𝑜𝑠(54.6°) = 471 [𝑚𝑚] Por lo tanto para puntal 3 − 4 𝑤𝑑𝑖𝑠𝑝 = 471 [𝑚𝑚] Nodo 𝟑. 471 𝜃 180 𝜃 578 Por lo tanto, el ancho de la zona nodal es: 471 = 578 [𝑚𝑚] sen(54.6°) 636 Análisis y diseño de regiones con discontinuidad 𝜽 𝑭𝒖 𝒘𝒓𝒆𝒒 𝒘𝒅𝒊𝒔𝒑 Verifica [°] [𝒌𝑵] [𝒎𝒎] [𝒎𝒎] Si/No 0.75 54.6 −1178 251 430 Si 2– 4 1.00 0 −682 109 250 Si 4– 5 1.00 0 −1364 218 250 Si 3– 4 0.75 54.6 −1178 251 471 Si Elemento 𝜷𝒔 1– 2 Nota: 𝑤𝑟𝑒𝑞 = 𝐹𝑢 𝐹𝑢 = 𝜙 ∙ 𝑓𝑐𝑒 ∙ 𝑏 𝜙 ∙ 0.85 ∙ 𝛽𝑠 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑏 Nodo Tipo 𝜷𝒏 1 𝐶−𝐶−𝑇 0.8 2 3 4 Nota: 𝑤𝑟𝑒𝑞 = Solución propuesta 𝐶−𝐶−𝑇 𝐶−𝑇−𝑇−𝑇 𝐶−𝐶−𝐶−𝐶 0.8 0.6 1.0 Fuerza 𝑭𝒖 𝒘𝒓𝒆𝒒 𝒘𝒅𝒊𝒔𝒑 Verifica [°] [𝒌𝑵] [𝒎𝒎] [𝒎𝒎] Si/No 𝑅 −960 192 400 Si 𝐵(1 − 2) −1178 236 430 Si 𝑇(1 − 3) 682 136 180 Si 𝐵(2 − 1) −1178 236 430 Si 𝐵(2 − 4) −682 136 250 Si 𝑇(2 − 3) 960 192 1400 Si 𝐵(3 − 4) −1178 314 471 Si 𝑇(3 − 2) 960 256 1400 Si 𝑇(3 − 1) 682 182 180 Si 𝑇(3 − 6) 1364 364 180 No 𝑉 −960 154 400 Si 𝐵(4 − 2) −682 109 250 Si 𝐵(4 − 3) −1178 189 471 Si 𝐵(4 − 5) −1364 218 250 Si Solución propuesta Distribuir la armadura 𝐹𝑢 𝐹𝑢 = 𝜙 ∙ 𝑓𝑐𝑒 ∙ 𝑏 𝜙 ∙ 0.85 ∙ 𝛽𝑛 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑏 d) Verificación de la resistencia de apoyo en los puntos de carga y reacción. 𝑅 = 𝑉 = 960 [𝑘𝑁] Como la placa de carga es de 400𝑥350 [𝑚𝑚2 ] 637 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝐴𝑎 = 140000 [𝑚𝑚2 ] La tensión de compresión es: 𝜎𝑎 = 𝑉 960000 = = 6.86 [𝑀𝑃𝑎] 𝐴𝑎 140000 Para el nodo 4 (𝐶 − 𝐶 − 𝐶) 𝜙 ∙ 𝑓𝑐𝑒 = 𝜙 ∙ 0.85 ∙ 𝛽𝑛 ∙ 𝑓𝑐′ = 0.75 ∙ 0.85 ∙ 1 ∙ 28 = 17.85 [𝑀𝑃𝑎] > 6.86 [𝑀𝑃𝑎] Bien ! Para el nodo 1 (𝐶 − 𝐶 − 𝑇) 𝜙 ∙ 𝑓𝑐𝑒 = 𝜙 ∙ 0.85 ∙ 𝛽𝑛 ∙ 𝑓𝑐′ = 0.75 ∙ 0.85 ∙ 0.8 ∙ 28 = 14.28 [𝑀𝑃𝑎] > 6.86 [𝑀𝑃𝑎] Bien ! e) Armadura requerida en los tensores. 𝑨𝒔 𝒅𝒊𝒔𝒑 Verifica [𝒄𝒎𝟐 ] Solución propuesta [𝒄𝒎𝟐 ] Si/No 960 30.48 8 𝐸𝜙16 32.16 Si 0 682 21.65 6𝜙25 29.45 Si 0 1364 43.30 9𝜙25 44.18 Si 𝜽 𝑭𝒖 𝑨𝒔 𝒓𝒆𝒒 [°] [𝒌𝑵] −−− 90 1 –3 −−− 3 –6 −−− Elemento 𝜷𝒔 2 –3 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞 = 𝐹𝑢 𝜙 ∙ 𝑓𝑦 Tensor 𝟏– 𝟑. 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞 = 21.65 [𝑐𝑚2 ] Utilizar 6𝜙25 (𝐴𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑝 = 29.45 [𝑐𝑚2 ]) en dos filas Es necesario anclar las barras mediante ganchos, barras con cabeza, anclajes mecánicos o prolongación recta de las barras. ℓ𝑑ℎ = ( 0.24 ∙ 𝑓𝑦 ∙ Ψ𝑒 ∙ Ψ𝑐 ∙ Ψ𝑟 Ψ𝑒 = 1 Ψ𝑐 = 0.7 Ψ𝑟 = 1 638 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ) ∙ 𝑑𝑏 ≥ 8 ∙ 𝑑𝑏 ≥ 150 [𝑚𝑚] Las barras no tienen revestimiento epóxico. El recubrimiento de los ganchos cumple con la sección 25.4.3.2 del código ACI. El confinamiento no cumple con la sección 25.4.3.2 del código ACI. (7.17) Análisis y diseño de regiones con discontinuidad El hormigón es de peso unitario normal. 𝜆=1 ℓ𝑑ℎ = ( 0.24 ∙ 420 ∙ 1 ∙ 0.7 ∙ 1 1 ∙ √28 ) ∙ 𝑑𝑏 = 13.33 ∙ 𝑑𝑏 ℓ𝑑ℎ = 13.33 ∙ 25 = 333 [𝑚𝑚] El anclaje disponible es: ℓ𝑑ℎ 𝑑𝑖𝑠𝑝 = Longitud de la zona nodal extendida - recubrimiento - diámetro de la armadura horizontal de corte 90 ℓ𝑑ℎ 𝑑𝑖𝑠𝑝 = 400 + 𝑡𝑎𝑛(54.6°) – 40 – 16 = 408 [𝑚𝑚] > ℓ𝑑ℎ = 333 [𝑚𝑚] Bien ! 430 𝜃 180 90 400 90/𝑡𝑎𝑛(𝜃) Tensor 𝟑– 𝟔. 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞 = 43.30 [𝑐𝑚2 ] Utilizar 6𝜙25 + 3𝜙25 (𝐴𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑝 = 44.18 [𝑐𝑚2 ]) en dos filas Es conveniente distribuir la armadura uniformemente en un área de hormigón al menos igual a la fuerza de tracción en el tensor dividida por la tensión de compresión limitante aplicable para el nodo. En este ejemplo, 𝐴= 𝐹𝑢 𝐹𝑢 1364000 = = 95518 [𝑚𝑚2 ] ′ = 𝑓𝑐𝑒 0.85 ∙ 𝛽𝑛 ∙ 𝑓𝑐 0.85 ∙ 0.6 ∙ 28 𝑤= 𝐴 95518 = = 273 [𝑚𝑚] 𝑏 350 639 Diseño de estructuras de hormigón armado Por lo tanto, se distribuye la armadura verticalmente en una altura de 273 [𝑚𝑚]. Para anclar las restantes 3𝜙25 se verificará una longitud de desarrollo recta. Para el caso de barras con 𝑑𝑏 > 20 [𝑚𝑚], con espaciamiento libre entre ellas no menor a 2 · 𝑑𝑏 y recubrimiento mínimo no menor a 𝑑𝑏 . ℓ𝑑 = ( 𝑓𝑦 ∙ Ψ𝑡 ∙ Ψ𝑒 1.7 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ 420 ∙ 1 ∙ 1 ) ∙ 25 = 1167 [𝑚𝑚] ) ∙ 𝑑𝑏 = ( 1.7 ∙ 1 ∙ √28 Se asumió que: Ψ𝑡 = 1 (No es vaciado más de 300 [𝑚𝑚] de hormigón fresco por debajo de las barras). Ψ𝑒 = 1 (Las barras no tienen protección epóxica). 𝜆 = 1 (Se utiliza hormigón de densidad normal). El anclaje disponible es: 430 471 𝜃 𝜃 180 𝜃 400 150 90 578 90/𝑡𝑎𝑛(𝜃) ℓ𝑑ℎ 𝑑𝑖𝑠𝑝 = Distancia desde la sección crítica al borde de la viga – recubrimiento – diámetro de la armadura horizontal de corte 90 ℓ𝑑ℎ 𝑑𝑖𝑠𝑝 = 550 + 578 + 𝑡𝑎𝑛(54.6°) – 40 – 16 = 1136 [𝑚𝑚] < ℓ𝑑 = 1167 [𝑚𝑚] No cumple ! Se debe utilizar barras de menor diámetro para que éstas puedan ser desarrolladas de forma recta. 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞 = 43.30 [𝑐𝑚2 ] Utilizar 6𝜙25 + 6𝜙20 (𝐴𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑝 = 48.30 [𝑐𝑚2 ]) en dos capas. Por lo tanto, se distribuye la armadura verticalmente en una altura de 273 [𝑚𝑚]. Para anclar las restantes 6𝜙20 se verificará una longitud de desarrollo recta. 640 Análisis y diseño de regiones con discontinuidad Para el caso de barras con 𝑑𝑏 ≤ 20 [𝑚𝑚], con espaciamiento libre entre ellas no menor a 2 · 𝑑𝑏 y recubrimiento mínimo no menor a 𝑑𝑏 . ℓ𝑑 = ( 𝑓𝑦 ∙ Ψ𝑡 ∙ Ψ𝑒 2.1 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ 420 ∙ 1 ∙ 1 ) ∙ 20 = 756 [𝑚𝑚] ) ∙ 𝑑𝑏 = ( 2.1 ∙ 1 ∙ √28 90 ℓ𝑑ℎ 𝑑𝑖𝑠𝑝 = 550 + 578 + 𝑡𝑎𝑛(54.6°) – 40 – 16 = 1136 [𝑚𝑚] > ℓ𝑑 = 756 [𝑚𝑚] Bien ! Por lo tanto, colocar las 6𝜙25 en dos filas, la primera de 4𝜙25 y la segunda de 2𝜙25 con una separación (vertical) de 50 [𝑚𝑚] terminadas con gancho de 90°. Las 6𝜙20 colocarlas en las caras de la viga con una separación (vertical) de 25 [𝑚𝑚] y extendidas en la totalidad de la longitud de la viga. Tensor 𝟐– 𝟑. 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞 = 30.48 [𝑐𝑚2 ] Utilizar 8𝐸𝜙16 (𝐴𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑝 = 32.16 [𝑐𝑚2 ]) Para el caso de vigas de gran canto el código ACI en su sección 9.9.3.1 indica que el área de refuerzo por corte perpendicular a la luz, 𝐴𝑣 no debe ser menor a 0.0025 · 𝑏𝑤 · 𝑠1 , donde 𝑠1 es espaciamiento del refuerzo vertical que no debe exceder 𝑑/5 o 300 [𝑚𝑚]. 𝑠1 ≤ 1113 = 223 [𝑚𝑚] < 300 [𝑚𝑚] 5 𝐴𝑣 𝑚𝑖𝑛 = 0.0025 𝑏𝑤 ∙ 𝑠1 Se utilizarán ocho estribos cerrados 𝜙16 𝑐/100, para que los mismos queden dentro del ancho del tensor. 𝐴𝑣 2∙201 = = 0.01149 ≥ 𝐴𝑣 𝑚𝑖𝑛 = 0.0025 𝑏𝑤 ∙𝑠1 350∙100 Bien ! Para el resto de la viga se utilizarán estribos cerrados 𝜙16 𝑐/200. 𝐴𝑣 2 ∙ 201 = = 0.0057 ≥ 𝐴𝑣 𝑚𝑖𝑛 = 0.0025 𝑏𝑤 ∙ 𝑠1 350 ∙ 200 Bien ! 641 Diseño de estructuras de hormigón armado f) Armadura para los puntales en forma de botella. Puntales 𝟏– 𝟐 y 𝟑– 𝟒 en forma de botella. La sección 23.5.1 del código ACI especifica que los puntales deben ser cruzados por capas o mallas de armadura paralelas al plano del elemento. Además, debido a que el ancho del alma es mayor a 200 [𝑚𝑚], es conveniente colocar una capa o malla de armadura próxima a cada cara. ∑ 𝐴𝑠𝑖 ⋅ sen(𝛾𝑖 ) ≥ 0.003 𝑏𝑠 ∙ 𝑠𝑖 Si solo se coloca armadura horizontal en ambas caras del elemento con 𝛾2 = 54.6° 2 ∙ 𝐴𝑠2 0.003 ≥ 350 ∙ 𝑠2 sen(54.6°) 𝐴𝑠2 ≥ 0.644 ∙ 𝑠2 Para el caso de vigas de gran canto el código ACI en su sección 9.9.3.1 indica que el área de refuerzo por corte paralelo a la luz, 𝐴𝑠2 no debe ser menor a 0.0025 · 𝑏𝑤 · 𝑠2, donde 𝑠2 es el espaciamiento del refuerzo horizontal que no debe exceder 𝑑/5 o 300 [𝑚𝑚]. 𝑠2 ≤ 1113 = 223 [𝑚𝑚] ≤ 300 [𝑚𝑚] 5 𝐴𝑣ℎ 𝑚𝑖𝑛 = 0.0025 𝑏𝑤 ∙ 𝑠2 Para 𝑠2 = 200 [𝑚𝑚] ⇒ 𝐴𝑠2 = 175 [𝑚𝑚2 ] ⟹ 𝜙16 𝑐/200 (𝐴𝑠2 = 2.01 [𝑐𝑚2 ]) 𝐴𝑣ℎ 2 ∙ 201 = 350 ∙ 200 = 0.0057 ≥ 𝐴𝑣ℎ 𝑚𝑖𝑛 = 0.0025 𝑏𝑤 ∙ 𝑠2 Bien ! Para 𝑠2 = 175 [𝑚𝑚] ⇒ 𝐴𝑠2 = 153 [𝑚𝑚2 ] ⟹ 𝜙12 𝑐/175 (𝐴𝑠2 = 1.13 [𝑐𝑚2 ]) 𝐴𝑣ℎ 2 ∙ 113 = = 0.0037 ≥ 𝐴𝑣ℎ 𝑚𝑖𝑛 = 0.0025 𝑏𝑤 ∙ 𝑠2 350 ∙ 175 Bien ! Cualquiera de las dos opciones cumple con el requerimiento mínimo de armadura. Se escoge como separación 175 [𝑚𝑚], entonces se utiliza 𝜙12 𝑐/175. 642 Análisis y diseño de regiones con discontinuidad g) Disposición de la armadura. 10𝜙12𝑐/175 125 300 6𝜙25 6𝜙20 350 100 200 3𝐸𝜙16𝑐/200 200 8𝐸𝜙16𝑐/100 200 7𝐸𝜙16𝑐/200 200 8𝐸𝜙16𝑐/100 100 3𝐸𝜙16𝑐/200 h) Modelo opcional. El modelo de puntales y tensores resuelto es uno entre varios modelos que se podrían haber seleccionado. En el modelo supuesto se consideró que la transferencia de cargas se lograba mediante la formación de un reticulado compuesto por dos puntales inclinadas próximas a cada apoyo. Este modelo se seleccionó por su sencillez y porque gracias al tensor vertical 2– 3 se obtienen estribos a lo largo de la longitud de corte, lo cual es muy importante desde el punto de vista de seguridad. Opcionalmente se podría haber seleccionado otro modelo de puntales y tensores. En la siguiente figura se muestra un modelo de puntales y tensores donde se considera que en cada extremo de la viga la carga es transferida al apoyo por medio de un solo puntal inclinado. Este modelo no requiere estribos verticales a lo largo de la longitud de corte (es decir, entre la placa de carga y el apoyo de la viga) para mantener el equilibrio. En ausencia de estribos verticales en la región de corte es muy probable esperar grandes fisuras con cargas muy por debajo de la carga última y, por lo tanto, no se recomienda utilizar este modelo para el diseño. Sin embargo, se podría argumentar a favor de un modelo similar a este, siempre que se disponga armadura vertical mínima de estribos. 643 Diseño de estructuras de hormigón armado 960 [𝑘𝑁] 960 [𝑘𝑁] 1200 1200 125 985 35.13° 90 400 i) 1200 3600 1400 200 Conclusiones. El análisis y diseño del modelo de puntales y tensores seleccionado resultó relativamente rápido y sencillo. La utilización de puntales y tensores proporciona un método que permite comprender y evaluar el flujo de fuerzas y los mecanismos resistentes. Además, éste método constituye una valiosa herramienta para lograr una buena disposición y colocado de la armadura en los elementos de hormigón armado. 13.8. Ménsulas cortas Una ménsula corta es un elemento que se proyecta, en voladizo, una distancia pequeña desde una columna o muro y soporta en su extremo una carga o varias cargas. Las ménsulas cortas son generalmente construidas en forma monolítica con la columna o muro de donde se proyectan. En ensayos de laboratorio, las ménsulas cortas mostraron los siguientes tipos de fallas: fluencia del tensor en tracción, falla del anclaje del tensor en tracción ya sea dentro de la columna o en el punto de aplicación de la carga, falla del puntal de compresión por aplastamiento o corte y fallas locales debajo de las placas de apoyo. Si el tensor de la ménsula es anclado en el extremo libre utilizando un gancho hacia abajo, el hormigón que recubre el gancho puede desprenderse produciendo la falla, es por ello que se recomienda soldar el extremo del tensor a una barra o perfil de acero. El doblado de las barras del tensor en un gancho horizontal de 180° es también posible, pero es difícil de realizar y puede ser necesario un recubrimiento adicional. Si el borde exterior vertical de la ménsula no es muy profundo, existe la posibilidad de que una fisura vertical pueda extenderse en toda la profundidad. Por esta razón la sección 16.5.2.2 del código requiere que la profundidad del borde externo de la ménsula no sea menor a 0.5 ∙ 𝑑. 644 Análisis y diseño de regiones con discontinuidad a) Falla por desprendimiento del borde exterior de la ménsula ≥ 𝑑/2 𝑑 b) Falla por agrietamiento en toda la profundidad de la ménsula Fig. 13.12. Falla de ménsulas cortas debido a malos detalles constructivos 645 Diseño de estructuras de hormigón armado Las ménsulas cortas con una relación de luz de corte entre canto útil menor a 2 (𝑎/𝑑 < 2) pueden ser diseñadas con el capítulo 23 del código ACI. 𝑉𝑢 𝑎 𝑁𝑢𝑐 ℎ 𝜙 ∙ 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 Plano de corte 𝑑 Puntal de compresión Fig. 13.13. Acción estructural de una ménsula corta La sección en la cara del soporte debe ser diseñada para resistir simultáneamente un corte 𝑉𝑢 , un momento 𝑉𝑢 ∙ 𝑎 + 𝑁𝑢𝑐 ∙ (ℎ − 𝑑) y una fuerza horizontal de tracción 𝑁𝑢𝑐 . Ejemplo. Diseñar una ménsula que se proyecta a partir de una columna cuadrada de 350 [𝑚𝑚] de lado usando el método de puntales y tensores. La ménsula soporta la fuerza de reacción 𝑉𝑢 , de una viga premoldeada igual a 250 [𝑘𝑁] actuando a una distancia de 75 [𝑚𝑚] de la cara de la columna. Asumir que en la parte superior de la ménsula se desarrolla una fuerza de tracción horizontal 𝑁𝑢𝑐 , igual a 50 [𝑘𝑁], la cual toma en cuenta las deformaciones por fluencia lenta y retracción. Considerar un hormigón de peso normal con una resistencia característica a la compresión 𝑓𝑐′ , igual a 35 [𝑀𝑃𝑎]. La resistencia a la fluencia del acero 𝑓𝑦 , es igual a 420 [𝑀𝑃𝑎]. 646 Análisis y diseño de regiones con discontinuidad 𝑉𝑢 = 250 [𝑘𝑁] 𝑁𝑢𝑐 = 50 [𝑘𝑁] 75 𝑎𝑣 𝑏 = 350 350 𝐴 350 𝐴 Sección A - A La totalidad de la estructura considerada constituye una región perturbada debido a que presenta cambios abruptos en su geometría y está próxima a fuerzas concentradas. La estructura se diseñará usando el método de puntales y tensores de acuerdo con el capítulo 23 del código ACI. El procedimiento paso a paso es el siguiente: - Determinar las dimensiones de la placa de apoyo. - Seleccionar las dimensiones de la ménsula. - Establecer el modelo de puntales y tensores. - Determinar las fuerzas requeridas en el reticulado. - Seleccionar la armadura de los tensores. - Diseñar las zonas nodales y verificar los anclajes. - Verificar los puntales. - Calcular la armadura mínima requerida para limitar la fisuración. - Disposición de la armadura. a) Determinar las dimensiones de la placa de apoyo. La zona nodal debajo de la placa de apoyo constituye un nodo solicitado por compresión y tracción (𝐶 − 𝐶 − 𝑇). La correspondiente resistencia efectiva a la compresión es: 𝑓𝑐𝑒 = 0.85 ∙ 𝛽𝑛 ∙ 𝑓𝑐′ = 0.85 ∙ 0.80 ∙ 35 = 23.8 [𝑀𝑃𝑎] 𝜙 ∙ 𝑓𝑐𝑒 = 0.75 ∙ 23.8 = 17.85 [𝑀𝑃𝑎] 647 Diseño de estructuras de hormigón armado Si se selecciona una placa de apoyo de 300 [𝑚𝑚] de largo por 100 [𝑚𝑚] de ancho, la superficie de la placa de apoyo es 30000 [𝑚𝑚2 ], y la tensión de apoyo vale: 𝜎𝑎 = 𝑉 250000 = = 8.33 [𝑀𝑃𝑎] 𝐴𝑎 30000 Bien ! 𝜙 ∙ 𝑓𝑐𝑒 = 17.85 [𝑀𝑃𝑎] > 8.33 [𝑀𝑃𝑎] b) Seleccionar las dimensiones de la ménsula. Para poder utilizar el capítulo 23 del código ACI, la sección 16.5.1.1 requiere una relación longitud de corte/profundidad (𝑎𝑣 /𝑑) menor o igual a 1. Para la ménsula seleccionamos una profundidad total en la cara de la columna igual a 450 [𝑚𝑚]. Además, la sección 16.5.2.2 del código ACI requiere que la profundidad en la parte exterior de esta área de apoyo sea al menos la mitad de la profundidad en la cara de la columna. Para satisfacer este requisito seleccionamos una profundidad de 225 [𝑚𝑚] en el extremo libre de la ménsula. En la siguiente figura se muestran las dimensiones seleccionadas para la ménsula, incluyendo su placa de apoyo. La relación 𝑎𝑣 /𝑑 correspondiente es igual a 75/410 = 0.18, considerando que el eje del tensor superior está a 40 [𝑚𝑚] de la superficie de la ménsula. 50 100 225 25 Placa de apoyo de 100 𝑥 300 [𝑚𝑚2 ] 225 225 648 350 Análisis y diseño de regiones con discontinuidad c) Establecer el modelo de puntales y tensores. A fin de satisfacer los requisitos del código se seleccionó el modelo de puntales y tensores sencillo ilustrado en la siguiente figura. La armadura principal del tensor consistirá en barras 𝜙12 dispuestas en una sola fila. Estas barras estarán soldadas a un perfil de acero estructural de 3½”𝑥3½”𝑥½”. Con el objeto de considerar las excentricidades de las cargas y las tolerancias de fabricación, la posición de 𝑉𝑢 se traslada 25 [𝑚𝑚], desde el centro de la placa de apoyo hacia el borde exterior de la ménsula. Por lo tanto, la nueva posición de la carga con respecto de la cara de la columna es 25 + 0.5 ∙ 100 + 25 = 100 [𝑚𝑚]. Seleccionamos un modelo de puntales y tensores sencillo. En la siguiente figura se indica su geometría. Se asume que el centro del tensor 𝐶 − 𝐵 está ubicado a una distancia de 40 [𝑚𝑚] a partir de la parte superior de la ménsula, considerando una fila de barras de acero y aproximadamente 25 [𝑚𝑚] de recubrimiento de hormigón. Por lo tanto, el canto útil 𝑑 vale 450– 40 = 410 [𝑚𝑚]. Se asume que el tensor horizontal 𝐷 − 𝐴 está ubicado sobre la recta horizontal que atraviesa el extremo inclinado de la ménsula. La posición del eje del puntal 𝐷 − 𝐷 ′ se puede hallar calculando el ancho del puntal 𝑤𝑠 , el cual se puede obtener planteando la ecuación de momentos respecto del nodo 𝐴 de la siguiente manera: 250000 ∙ (8 + 100 + 300) + 50000 ∙ 410 = 𝐹𝐷𝐷′ ∙ (300 − 122500000 = 𝐹𝐷𝐷′ ∙ (300 − 𝑤𝑠 ) 2 𝑤𝑠 ) 2 𝐹𝐷𝐷′ = 𝜙 ∙ 𝑓𝑐𝑒 ∙ 𝑏 ∙ 𝑤𝑠 = 17.85 ∙ 350 ∙ 𝑤𝑠 = 6247.5 ∙ 𝑤𝑠 𝐹𝐷𝐷′ = Fuerza de compresión requerida en el puntal 𝐷 − 𝐷 ′ 𝑏 = Dimensión fuera del plano de la ménsula 𝜙 = 0.75 𝛽𝑛 = 0.80 (El nudo 𝐷 en un nudo 𝐶 − 𝐶 − 𝐶 − 𝑇) 𝑓𝑐𝑒 = 0.85 ∙ 𝛽𝑛 ∙ 𝑓𝑐′ = 0.85 ∙ 0.80 ∙ 35 = 23.8 [𝑀𝑃𝑎] 𝜙 ∙ 𝑓𝑐𝑒 = 0.75 ∙ 23.8 = 17.85 [𝑀𝑃𝑎] 122500000 = 6247.5 ∙ 𝑤𝑠 ∙ (300 − 𝑤𝑠 ) 2 𝑤𝑠 2 − 600 ∙ 𝑤𝑠 + 39215.68 = 0 649 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑤𝑠 = 75 [𝑚𝑚] 𝐹𝐷𝐷′ = 468563 [𝑁] = 468.56 [𝑘𝑁] Posición de la resultante 250 [𝑘𝑁] 8 𝛼 𝛼 = 11.31° 100 50 [𝑘𝑁] 40 𝐶 𝐵 𝑑 = 410 57.37° 70.46° 𝐷 𝐴 𝐷′ 𝐴′ 300 50 𝜙 ∙ 𝑓𝑐𝑒 75 d) Determinar las fuerzas requeridas en el reticulado. Las fuerzas requeridas en todos los miembros del reticulado se determinan en base a consideraciones estáticas; estas fuerzas se resumen en la siguiente tabla. Un signo positivo indica que el miembro está traccionado y un signo negativo indica que el miembro está comprimido. 650 Elemento 𝑪−𝑫 𝑪−𝑩 𝑩−𝑫 𝑩−𝑨 𝑫−𝑨 𝑫 − 𝑫′ Fuerza [𝑘𝑁] −265.28 138.72 −257.28 216.67 50.00 −468.56 Análisis y diseño de regiones con discontinuidad e) Seleccionar la armadura de los tensores. Tensor 𝑪 − 𝑩. 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞 = 𝐹𝑢 138720 = = 440 [𝑚𝑚2 ] 𝜙 ∙ 𝑓𝑦 0.75 ∙ 420 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞 = 4.40 [𝑐𝑚2 ] Según la sección 16.5.5.1(c) del código ACI, es necesario colocar una mínima cantidad de acero de tracción en la ménsula para prevenir la posibilidad de una falla repentina si aparece una fisura debido a las cargas que actúan sobre ella. 𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 = 0.04 ∙ 𝑓`𝑐′ 35 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 = 0.04 ∙ ∙ 350 ∙ 410 = 478 [𝑚𝑚2 ] 𝑓𝑦 420 𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 = 4.78 [𝑐𝑚2 ] Utilizar 5𝜙12 (𝐴𝑠𝑐 = 𝐴 𝑑𝑖𝑠𝑝 = 5.65 [𝑐𝑚2 ]) en una sola fila El tensor 𝐵 − 𝐴 está más traccionado que el tensor 𝐶 − 𝐵. Sin embargo, esta fuerza del tensor debe ser resistida por la armadura longitudinal de la columna. Por lo tanto, todas las barras (5𝜙12) son prolongadas hacia abajo en la columna sólo para tener suficiente longitud de desarrollo. Tensor 𝑫 − 𝑨. 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞 = 50000 𝐹𝑢 = = 159 [𝑚𝑚2 ] 𝜙 ∙ 𝑓𝑦 0.75 ∙ 420 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞 = 1.59 [𝑐𝑚2 ] Utilizar 1𝐸𝜙12 (𝐴𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑝 = 2.26 [𝑐𝑚2 ]) adicional a los estribos de la columna en la posición 𝐷 − 𝐴. f) Diseñar las zonas nodales y verificar los anclajes. El ancho 𝑤𝑠 de la zona nodal 𝐷 ya fue seleccionado en el inciso c) de manera de satisfacer la tensión límite en dicha zona nodal. Por lo tanto en esta sección sólo verificaremos la zona nodal 𝐶. Para satisfacer la tensión límite en la zona nodal 𝐶 es necesario que el ancho efectivo del tensor, 𝑤𝑡 , sea al menos igual a: 𝑤𝑡 = 𝐹𝐶𝐵 138720 = = 22 [𝑚𝑚] 𝜙 ∙ 𝑓𝑐𝑒 ∙ 𝑏𝑤 17.85 ∙ 350 651 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝐹𝐶𝐵 = Fuerza de tracción requerida en el tensor 𝐶 − 𝐵. 𝑏𝑤 = Dimensión fuera del plano de la ménsula. 𝜙 = 0.75 𝛽𝑛 = 0.80 (El nudo 𝐶 es un nudo 𝐶 − 𝐶 − 𝑇) 𝑓𝑐𝑒 = 0.85 ∙ 𝛽𝑛 ∙ 𝑓𝑐′ = 0.85 ∙ 0.80 ∙ 35 = 23.8 [𝑀𝑃𝑎] 𝜙 ∙ 𝑓𝑐𝑒 = 0.75 ∙ 23.8 = 17.85 [MPa] Este límite se satisface fácilmente puesto que el ancho de tensor disponible es de 2 ∙ 40 [𝑚𝑚] = 80 [𝑚𝑚], porque según la sección R23.8.1 del código ACI si las barras del tensor son dispuestas en una sola capa, el ancho efectivo del tensor puede ser tomado como el diámetro de la barra más dos veces el recubrimiento a la superficie de las barras. Para anclar el tensor 𝐶 − 𝐵 soldar las 5𝜙12 a un perfil de acero de 3½”𝑥 3½”𝑥½”. El ancho efectivo para el tensor 𝐷 − 𝐴 es asumido como 80 [𝑚𝑚] para propósitos de dibujar la zona nodal 𝐷. g) Verificar los puntales. El puntal 𝐶 − 𝐷 se verificará con base a las dimensiones determinadas por las zonas nodales 𝐶 y 𝐷. Las demás puntales se verifican calculando los anchos de las mismas y verificando si entran en el espacio disponible. La resistencia nominal del puntal 𝐶 − 𝐷 está limitada a 𝐹𝑛𝑠 = 𝑓𝑐𝑒 ∙ 𝐴𝑠 𝑓𝑐𝑒 = 0.85 ∙ 𝛽𝑠 ∙ 𝑓𝑐′ = 0.85 ∙ 0.75 ∙ 35 = 22.31 [𝑀𝑃𝑎] El ancho más pequeño del puntal 𝐶 − 𝐷 se encuentra en el extremo 𝐷 y se lo calcula considerando el ancho del puntal 𝐷 ′ − 𝐷. 𝑧 ′ 75 = ∙ sen(70.46°) = 35 [𝑚𝑚] 2 2 𝑧 ′ = 70 [𝑚𝑚] El valor de 𝑧 ′ = 70 [𝑚𝑚] representa el valor disponible del ancho del puntal 𝐶 − 𝐷 en el extremo 𝐷. 652 Análisis y diseño de regiones con discontinuidad 𝐹 265280 𝑤𝑠 𝑟𝑒𝑞 = 𝜙∙𝑓𝐶𝐷∙𝑏 = 16.73 ∙ 350 = 45 [mm] < 𝑤𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑝 = 70 [mm] 𝑐𝑒 𝑤 Bien ! 𝐹𝐶𝐷 = 265.28 [𝑘𝑁] fuerza de compresión requerida en el puntal 𝐶 − 𝐷 𝑏𝑤 = 350 [𝑚𝑚] dimensión fuera del plano de la ménsula 𝜙 = 0.75 𝛽𝑠 = 0.75 (Colocar armadura mínima de acuerdo a la sección 23.5.1 del código ACI) 𝑓𝑐𝑒 = 0.85 ∙ 𝛽𝑠 ∙ 𝑓𝑐′ = 0.85 ∙ 0.75 ∙ 35 = 22.31 [𝑀𝑃𝑎] 𝜙 ∙ 𝑓𝑐𝑒 = 0.75 ∙ 22.31 = 16.73 [𝑀𝑃𝑎] Como se ha asumido 𝛽𝑠 = 0.75 se colocará la armadura mínima requerida por la sección 23.5.1 del código ACI. Los cálculos se incluyen en la sección siguiente. La resistencia efectiva a la compresión del puntal 𝐵 − 𝐷 también está limitada a 𝑓𝑐𝑒 = 0.85 ∙ 𝛽𝑠 ∙ 𝑓𝑐′. En consecuencia el ancho requerido para el puntal 𝐵 − 𝐷 es: 𝑤𝑠 𝑟𝑒𝑞 = 257280 𝐹𝐵𝐷 = = 44 [𝑚𝑚] 𝜙 ∙ 𝑓𝑐𝑒 ∙ 𝑏𝑤 16.73 ∙ 350 Se adopta 𝑤𝑠 = 50 [𝑚𝑚] 𝐹𝐵𝐷 = 257.28 [𝑘𝑁] fuerza de compresión requerida en el puntal 𝐵 − 𝐷 𝑏𝑤 = 350 [𝑚𝑚] dimensión fuera del plano de la ménsula 𝜙 = 0.75 𝛽𝑠 = 0.75 (Colocar armadura mínima de acuerdo a la sección 23.5.1 del código ACI) 𝑓𝑐𝑒 = 0.85 ∙ 𝛽𝑠 ∙ 𝑓𝑐 ’ = 0.85 ∙ 0.75 ∙ 35 = 22.31 [𝑀𝑃𝑎] 𝜙 ∙ 𝑓𝑐𝑒 = 0.75 ∙ 22.31 = 16.73 [𝑀𝑃𝑎] Para el puntal 𝐵 − 𝐷 se adopta un ancho de 50 [𝑚𝑚] porque existe suficiente espacio. El ancho requerido para el puntal 𝐷 − 𝐷 ′ ya fue determinado en el inciso c), habiéndose obtenido un ancho de 75 [𝑚𝑚]. Como se ilustra en la siguiente figura, todos los anchos de los puntales caben dentro de los límites de la región de la ménsula. En consecuencia esta solución es aceptable. 653 Diseño de estructuras de hormigón armado 100 𝑙𝑏 = 87 37 50 75 Zona Nodal 𝐶 Perfil de acero 3½”𝑥3½”𝑥½” 𝐶 𝐵 80 𝐷 𝐴 80 𝐷′ 𝐴′ Zona Nodal Extendida 𝐶 50 70 75 h) Calcular la armadura mínima requerida para limitar la fisuración. La sección 16.5.5.2 del código ACI requiere zunchos o estribos cerrados paralelos a la armadura requerida para el tensor 𝐶 − 𝐵, uniformemente distribuidos en dos tercios de la profundidad efectiva 𝑑 del tensor 2 𝐶 − 𝐵, es decir, 3 ∙ 410 = 273 [𝑚𝑚]. Se adopta 270 [𝑚𝑚]. La sección de estos estribos debe ser mayor que: 𝐴ℎ ≥ 0.5 ∙ (𝐴𝑠𝑐 − 𝐴𝑛 ) Donde 𝐴𝑛 es la sección de armadura que resiste la fuerza de tracción 𝑁𝑢𝑐 . 𝐴ℎ ≥ 0.5 ∙ (Asc − 𝐴ℎ ≥ 2.12 [𝑐𝑚2 ] 654 𝑁𝑢𝑐 50000 ) = 212 [mm2 ] ) = 0.5 ∙ (565 − 𝜙 ∙ 𝑓𝑦 0.85 ∙ 420 Análisis y diseño de regiones con discontinuidad Se utilizarán 3 estribos cerrados 𝜙10, 𝐴𝑣 = 3 ∙ 2 ∙ 0.79 = 4.71 [𝑐𝑚2 ], con una separación media de 270 = 90 [𝑚𝑚]. 3 Como para los puntales diagonales usamos 𝛽𝑠 = 0.75 la armadura mínima provista también debe satisfacer la siguiente relación: ∑ 𝐴𝑠𝑖 ∙ sen 𝛾𝑖 ≥ 0.003 𝑏𝑠 ∙ 𝑠𝑖 Donde 𝛾𝑖 es el ángulo formado por el eje de la armadura mínima y el eje del puntal. De acuerdo con la sección 23.5.3.1 de código ACI, 𝛾𝑖 no debe ser menor a 40° porque solamente se provee armadura horizontal. Con base a la armadura provista y al ángulo del puntal 𝐵 − 𝐷, es decir el menor ángulo entre un puntal y la armadura mínima, se calcula la condición de armadura mínima. ∑ 𝐴𝑠𝑖 2 ∙ 79 ∙ sen 𝛾𝑖 = ∙ sen(57.37°) = 0.0042 ≥ 0.003 𝑏𝑠 ∙ 𝑠𝑖 350 ∙ 90 Como esta cantidad de armadura satisface ambos requisitos, disponemos 3 estribos cerrados 𝜙10 con una separación de 90 [𝑚𝑚], distribuidos en una profundidad de 270 [𝑚𝑚] desde del tensor 𝐶 − 𝐵. i) Disposición de la armadura. Placa de apoyo 100𝑥300 [𝑚𝑚2 ] 5𝜙12 Perfil de acero 3½”𝑥3½”𝑥½” 25 3𝐸𝜙10𝑐/90 𝐴 𝐴 225 500 225 3𝜙12 Nota: No se detalla la armadura de la columna 1𝐸𝜙12 225 350 655 Diseño de estructuras de hormigón armado 5𝜙12 350 Sección A - A 13.9. Vigas con bordes entallados Algunas veces los bordes de vigas prefabricadas de hormigón armado o pretensado son entallados con la finalidad de que éstas se apoyen sobre otros elementos sin incrementar la altura total de la estructura. Una reducción de la altura de la viga cerca de los soportes produce una concentración de esfuerzos y por tanto, esa zona requiere un análisis especial de tensiones y un cuidadoso detalle en la colocación de la armadura. Si se realiza un mal dimensionamiento y colocado de la armadura en esa zona, se produce un agrietamiento poco deseado y un posible colapso de la estructura. Para el diseño de los bordes entallados es recomendable utilizar modelos de puntales y tensores. En la figura 13.14 se observan cuatro posibles modelos para diseñar esa zona. Por ensayos en laboratorio se ha confirmado que el agrietamiento se inicia en la esquina interior del borde entallado (Punto 𝐴) de la figura 13.14a. Los modelos de puntales y tensores en las figuras 13.14b a 13.14d tienen un tensor vertical 𝐵 − 𝐶 antes del entallamiento y un puntal inclinada 𝐴 − 𝐵 sobre la reacción. La componente horizontal de la fuerza de compresión en el puntal 𝐴 − 𝐵 es equilibrada por la fuerza de tracción en el tensor 𝐴 − 𝐷. Los tres modelos difieren en la manera en que se ancla el tensor 𝐴 − 𝐷 en el nodo 𝐷. El modelo de la figura 13.14c tiene la ventaja de que la fuerza en el tensor 𝐶 − 𝐸 es menor y por lo tanto más fácil de anclar que la correspondiente fuerza del tensor 𝐶 − 𝐹 de la figura 13.14b. En la figura 13.14d, el tensor 𝐴 − 𝐷 es anclado por el puntal 𝐵 − 𝐷 que estará cruzado por fisuras como se muestra en la figura 13.14a. Esto sugiere que el modelo de la figura 13.14d no es un modelo factible. El modelo de puntales y tensores de la figura 13.14e tiene un tensor inclinado 𝐵 − 𝐶 y un puntal vertical 𝐴 − 𝐵 sobre la reacción. Se debe tener especial cuidado para anclar el tensor 𝐵 − 𝐶 en su borde superior. Se acostumbra colocar estribos horizontales en 𝐴 para resistir las fuerzas de tracción que se generan por la restricción de las deformaciones por retracción de la viga. En ensayos realizados sobre vigas con extremos entallados y diseñadas con los modelos de las figuras 13.14b y 13.14c se observó que éstas se comportan igualmente bien que vigas diseñadas con el modelo de la figura 13.14e. 656 Análisis y diseño de regiones con discontinuidad Cuando se realiza el diseño de un extremo entallado, es una buena práctica procurar que la altura de la parte extendida del extremo sea al menos la mitad de la altura total de la viga. La parte extendida de la viga debe tener un espesor tal que el puntal de compresión inclinada 𝐴 − 𝐵 en el soporte no debe tener un ángulo menor a 45° con respecto a la horizontal. Esto se debe a que de otra manera, las fuerzas del puntal y el tensor que concurren en el punto 𝐴 son muy grandes para ser absorbidas dentro de la estructura de una manera sencilla. En el detallado de la armadura se debe tener especial cuidado con el anclaje de las barras en el extremo exterior del entallado de la viga. 𝐴 𝑎) 𝐵 𝐵 𝐸 𝐴 𝐴 𝐷 𝐶 𝐹 𝐷 𝑐) 𝐵 𝐸 𝐵 𝐸 𝐷 𝐴 𝐷 𝐹 𝐶 𝑑) 𝐺 𝐸 𝐶 𝑏) 𝐴 𝐹 𝐶 𝐹 𝑒) Fig. 13.14. Modelos de puntales y tensores para bordes entallados Ejemplo. El extremo entallado de una viga debe ser diseñado para transmitir una carga vertical última de 260 [𝑘𝑁] y una fuerza última horizontal de 50 [𝑘𝑁] en el soporte. La reacción vertical se asume que actúa a 50 [𝑚𝑚] desde el extremo izquierdo de la viga. La viga es de 400 [𝑚𝑚] de ancho y está fabricada con un hormigón con densidad normal de 21 [𝑀𝑃𝑎] de resistencia característica a los 28 días y acero de 420 [𝑀𝑃𝑎] de tensión de fluencia. 657 Diseño de estructuras de hormigón armado Angular 4”𝑥4”𝑥5/8” 400 222.25 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] 50 [𝑘𝑁] 750 50 [𝑘𝑁] 350 260 [𝑘𝑁] 260 [𝑘𝑁] 400 50 100 750 a) Definir la región D y calcular las fuerzas que actúan en los límites de la región. Se asume que la extensión de la región D equivale a la altura del elemento más la parte entallada que se extiende 750 [𝑚𝑚] + 150 [𝑚𝑚] = 900 [𝑚𝑚]. Se calculan las solicitaciones que actúan en el extremo derecho del elemento realizando el equilibrio de las fuerzas. b) Diseño a flexión. Para desarrollar el modelo de puntales y tensores es conveniente conocer la profundidad del bloque de compresión y por ello se realiza un prediseño con la teoría de flexión. Para el cálculo del canto útil de la sección 𝑑, se va a suponer que se dispone una capa de barras de diámetro 25[𝑚𝑚] para el momento positivo. 𝑑 = 750 − 40 − 10 − 25 = 688 [𝑚𝑚] 2 𝜙 ∙ 𝑓𝑦 2 ∙ 𝐴 2 − 𝜙 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑑 ∙ 𝐴𝑠 + 𝑀𝑢 = 0 1.7 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑏 𝑠 11.1176 · 𝐴𝑠 2 − 260064 · 𝐴𝑠 + 222250000 = 0 Dos soluciones son posibles desde el punto de vista matemático, pero solamente una es adecuada para la solución del área de acero requerida. 𝐴𝑠 = 22504 [𝑚𝑚2 ] = 225.04 [𝑐𝑚2 ] 𝐴𝑠 = 888 [𝑚𝑚2 ] = 8.88 [𝑐𝑚2 ] Si se utilizan 2𝜙25 se tiene un área 𝐴𝑠 = 9.82 [𝑐𝑚2 ] 658 Solución inadeacuada ! Análisis y diseño de regiones con discontinuidad Se verifica que los 2𝜙25 entran en una fila en el ancho de la viga 𝑎= 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 982 ∙ 420 = = 58 [𝑚𝑚] ′ 0.85 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝑏 0.85 ∙ 21 ∙ 400 𝑑𝑡 = 750 − 40 − 10 − 25/2 = 688[𝑚𝑚] 1 = 1.05 − 0.007 · 𝑓𝑐′ = 1.05 − 0.007 · 21 = 0.903 > 0.85 ⇒ 1 = 0.85 𝑎𝑏 600 600 = 𝛽1 ∙ = 0.85 ⋅ = 0.5 𝑑 600 + 𝑓𝑦 600 + 420 𝑎 𝑎𝑏 = 0.084 ≤ = 0.500 ⇒ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 𝑑 𝑑 𝑎𝑡𝑐 𝑎 = 0.084 ≤ = 0.319 ⇒ 𝜙 = 0.9 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑎 58 𝑐= = = 68 [𝑚𝑚] 𝛽1 0.85 𝑎 68 𝜙 ∙ 𝑀𝑛 = 𝜙 ∙ 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ∙ (𝑑 − ) = 0.9 ∙ 982 ∙ 420 ∙ (688 − ) 2 2 𝜙 · 𝑀𝑛 = 242762184 [𝑁 · 𝑚𝑚] = 243 [𝑘𝑁 · 𝑚] ≥ 𝑀𝑢 = 222.25 [𝑘𝑁 · 𝑚] c) Establecer el modelo de puntales y tensores. Posición de la resultante 50 𝐵 353 [𝑘𝑁] 25 [𝑘𝑁] 𝐹 350 𝐴 59.04° 𝐷 50 350 260 [𝑘𝑁] 50 [𝑘𝑁] 10 260 [𝑘𝑁] 353 [𝑘𝑁] 𝐸 𝐶 50 100 70 𝑒 70 𝐺 610 25 [𝑘𝑁] 70 − 𝑒 La posición de los nudos 𝐷 y 𝐸 son localizados una vez que se resuelve la cercha 659 Diseño de estructuras de hormigón armado De acuerdo al diseño por flexión, la profundidad del eje neutro 𝑐 es de 68 [𝑚𝑚], entonces para el modelo de puntales y tensores se prueba con un puntal horizontal de un ancho de 100 [𝑚𝑚] y por tanto su eje está a 50 [𝑚𝑚] de la fibra superior de la viga. El tensor, desde la fibra inferior de la viga, se acomoda a 70 [𝑚𝑚]. d) Determinar las fuerzas en el modelo de puntales y tensores. Las fuerzas en los distintos elementos de la cercha son determinadas por los métodos de los nudos y las secciones. 𝐵 𝐴 𝜃1 206 −300 260 𝐷 −332 50 [𝑘𝑁] 10 260 [𝑘𝑁] 50 328 [𝑘𝑁] 260 50 350 𝐻 −156 −303 350 𝐹 𝜃2 -368 −298 260 𝐶 206 50 100 70 261 𝐸 260 [𝑘𝑁] 𝜃3 378 [𝑘𝑁] 𝜃4 350 349 𝜃1 = 59.04° 𝜃2 = 51.66° 610 𝐺 𝐼 70 70 𝜃3 = 61.01° 𝜃4 = 45° (Se impone este valor) Nudo 𝐴. ∑ 𝐹𝑦 = 0 ∑ 𝐹𝑥 = 0 𝐹𝐴𝐵 = −303 [𝑘𝑁] 𝐹𝐴𝐷 = 206 [𝑘𝑁] Nudo 𝐵 ∑ 𝐹𝑦 = 0 ∑ 𝐹𝑥 = 0 𝐹𝑏𝑐 = 260 [𝑘𝑁] 𝐹𝑏𝑓 = −156 [𝑘𝑁] Por el método de las secciones se determina que las fuerzas 𝐹𝐷𝐸 y 𝐹𝐹𝐺 en las barras 𝐷𝐸 y 𝐹𝐺 respectivamente, soportan la totalidad de la fuerza cortante de 260 [𝑘𝑁]. Nudo 𝐷 𝐹𝐶𝐷 = √2062 + 2602 = 332 [𝑘𝑁] en compresión Por relación de triángulos se obtiene la distancia 𝑒 660 Análisis y diseño de regiones con discontinuidad 𝑒 = 330 ∙ 206 = 261 [𝑚𝑚] 260 Nudo 𝐶 ∑ 𝐹𝑥 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 0 𝐹𝐶𝐸 = 206 [𝑘𝑁] 𝐹𝐶𝐵 = 260 [𝑘𝑁] Nudo 𝐸 ∑ 𝐹𝑥 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 0 𝐹𝐸𝐺 = 350 [𝑘𝑁] 𝐹𝐸𝐹 = −298 [𝑘𝑁] Nudo 𝐹 ∑ 𝐹𝑥 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 0 𝐹𝐹𝐻 = −300 [𝑘𝑁] 𝐹𝐹𝐺 = 260 [𝑘𝑁] Nudo 𝐺 ∑ 𝐹𝑦 = 0 ∑ 𝐹𝑥 = 0 𝐹𝐺𝐻 = −368 [𝑘𝑁] 𝐹𝐺𝐼 = 610 [𝑘𝑁] e) Determinar las dimensiones de la plancha de apoyo. Se selecciona un angular de 4”𝑥4”𝑥5/8” para colocarlo en el borde exterior de la parte entallada y en todo el ancho de la viga. 𝐴𝑎 = 400 ∙ 102 = 40800 [𝑚𝑚2 ] La tensión de compresión vale 𝜎𝑎 = 𝑉 260000 ∙ = 6.37 [𝑀𝑃𝑎] 𝐴𝑎 40800 𝜙 ∙ 𝑓𝑐𝑒 = 𝜙 ∙ 0.85 ∙ 𝛽𝑛 ∙ 𝑓𝑐′ = 0.75 ∙ 0.85 ∙ 0.8 ∙ 21 = 10.71 [𝑀𝑃𝑎] > 6.37 [𝑀𝑃𝑎] Bien ! 𝛽𝑛 = 0.8 porque el nudo 𝐴 es 𝐶 − 𝐶 − 𝑇 661 Diseño de estructuras de hormigón armado f) Diseño de los tensores. 𝑨𝒔 𝒅𝒊𝒔𝒑 Verifica [𝒄𝒎𝟐 ] Si/No 4𝜙6 8.04 Si 6.54 4𝜙16 8.04 Si 11.11 6𝜙16 12.06 Si 4 𝐸𝜙12 9.05 Si 3 𝐸𝜙16 12.06 Si 4 𝐸𝜙12 9.05 Si 3 𝐸𝜙16 12.06 Si 4 𝐸𝜙12 9.05 Si 3 𝐸𝜙16 12.06 Si 𝜽 𝑭𝒖 𝑨𝒔 𝒓𝒆𝒒 [°] [𝒌𝑵] [𝒄𝒎𝟐 ] −−− 0 206 6.54 𝐶– 𝐸 −−− 0 206 𝐸– 𝐺 −−− 0 350 Elemento 𝜷𝒔 𝐴– 𝐷 𝐶– 𝐵 𝐸– 𝐷 𝐺– 𝐹 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞 = −−− −−− −−− 90 90 90 260 260 260 8.25 8.25 8.25 Solución propuesta 𝐹𝑢 𝜙 ∙ 𝑓𝑦 Tensor 𝑨– 𝑫. 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞 = 6.54 [𝑐𝑚2 ] Utilizar 4𝜙16 (𝐴𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑝 = 8.04 [𝑐𝑚2 ]) en una sola fila Es necesario anclar las barras mediante ganchos, barras con cabeza, anclajes mecánicos o prolongación recta de las barras. En el extremo A, las barras son soldadas al angular (4”𝑥4”𝑥5/8”) y en el extremo D, las barras serán ancladas mediante una prolongación recta de las mismas. ℓ𝑑 = ( 𝑓𝑦 ∙ Ψ𝑡 ∙ Ψ𝑒 2.1 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ Ψ𝑡 = 1.3 Ψ𝑒 = 1 𝜆=1 662 ) ∙ 𝑑𝑏 (7.11) Más de 300 [𝑚𝑚] de hormigón fresco es vaciado en el elemento debajo de la longitud de desarrollo. Las barras no tienen revestimiento epóxico. El hormigón es de peso unitario normal. Análisis y diseño de regiones con discontinuidad ℓ𝑑 = 420 ∙ 1.3 ∙ 1 2.1 ∙ 1 ∙ √21 ∙ 16 = 908[𝑚𝑚] Se proveerá una longitud ℓ𝑑 = 950 [𝑚𝑚] más allá del punto 𝐷, que se asume es el punto de anclaje. Tensor 𝑬– 𝑪. 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞 = 6.54 [𝑐𝑚2 ] Utilizar 4𝜙16 (𝐴𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑝 = 8.04 [𝑐𝑚2 ]) en una o dos filas Al igual que las barras del tensor 𝐴 − 𝐷, es necesario anclar las barras mediante ganchos, barras con cabeza, anclajes mecánicos o prolongación recta de las barras. En el extremo 𝐶, las barras no tienen suficiente espacio para ser prolongadas, por tanto se las podría soldar a un angular o disponer de algún tipo de gancho. Se decide utilizar dos filas de barras dobladas en U colocadas de forma horizontal. En el extremo 𝐸, las barras serán ancladas mediante una prolongación recta de las mismas. ℓ𝑑 = ( 𝑓𝑦 ∙ Ψ𝑡 ∙ Ψ𝑒 2.1 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ (7.11) Menos de 300 [𝑚𝑚] de hormigón fresco es vaciado en el elemento debajo de la longitud de desarrollo. Las barras no tienen revestimiento epóxico. El hormigón es de peso unitario normal. Ψ𝑡 = 1 Ψ𝑒 = 1 𝜆 =1 ℓ𝑑 = ( ) ∙ 𝑑𝑏 420 ∙ 1 ∙ 1 2.1 ∙ 1 ∙ √21 ) ∙ 16 = 698 [𝑚𝑚] Se proveerá una longitud ℓ𝑑 = 750 [𝑚𝑚] más allá del punto 𝐸, que se asume es el punto de anclaje. Tensor 𝑬– 𝑮. 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞 = 11.11 [𝑐𝑚2 ] Utilizar 6𝜙16 (𝐴𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑝 = 12.06 [𝑐𝑚2 ]) en una o dos filas Al igual que las barras del tensor 𝐸 − 𝐶, es necesario anclar las barras mediante ganchos, barras con cabeza, anclajes mecánicos o prolongación recta de las barras. En el extremo 𝐸, las barras no tienen suficiente espacio para ser prolongadas, por tanto se dispondrá de un gancho a 90°. Se decide utilizar barras dobladas en L dispuestas en dos filas. En el extremo 𝐺, las barras serán ancladas mediante una prolongación recta de las mismas y se empalmarán con las barras provenientes del cálculo de la viga a medio tramo. 663 Diseño de estructuras de hormigón armado Ψ𝑒 = 1 Ψ𝑐 = 0.7 Ψ𝑟 = 1 𝜆 = 1 ℓ𝑑ℎ = ( Las barras no tienen revestimiento epóxico. El recubrimiento de los ganchos cumple con la sección 25.4.3.2 del código ACI. El confinamiento no cumple con la sección 25.4.3.2 del código ACI. El hormigón es de peso unitario normal. 0.24 ∙ 420 ∙ 1 ∙ 0.7 ∙ 1 1 ∙ √21 ) ∙ 𝑑𝑏 = 15.40 ∙ 𝑑𝑏 ℓ𝑑ℎ = 15.40 ∙ 16 = 246 [𝑚𝑚] El anclaje disponible es: Para simplificar el cálculo, ℓ𝑑ℎ se toma desde el punto 𝐸. ℓ𝑑ℎ 𝑑𝑖𝑠𝑝 = Longitud de la zona nodal extendida – recubrimiento – diámetro de la armadura horizontal de corte ℓ𝑑ℎ 𝑑𝑖𝑠𝑝 = 261 + 70– 40– 16 = 275[𝑚𝑚] > ℓ𝑑ℎ = 246 [𝑚𝑚] Tensor 𝑩– 𝑪. 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞 = 8.25 [𝑐𝑚2 ] Por requerimiento de espacio se decide utilizar 3 𝐸𝜙16 (𝐴𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑝 = 12.06 [𝑐𝑚2 ]) Tensor 𝑬– 𝑫. 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞 = 8.25 [𝑐𝑚2 ] Por requerimiento de espacio se decide utilizar 3 𝐸𝜙16 (𝐴𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑝 = 12.06 [𝑐𝑚2 ]) Tensor 𝑭– 𝑮. 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞 = 8.25 [𝑐𝑚2 ] Por requerimiento de espacio se decide utilizar 3 𝐸𝜙16 (𝐴𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑝 = 12.06 [𝑐𝑚2 ]) 664 Bien ! Análisis y diseño de regiones con discontinuidad g) Verificación de los puntales. Nodo 𝑨. 120 𝑧′ 𝑤𝑡 = 100 𝑧 𝜃1 ℓ𝑏 = 80 𝜃1 = 59.04° 𝑧 = √802 + 1002 = 128 [𝑚𝑚] 𝑧 ′ = ℓ𝑏 ∙ sen 𝜃1 + 𝑤𝑡 ∙ cos 𝜃1 = 80 ∙ sen(59.04°) + 100 ∙ cos(59.04°) = 120 [𝑚𝑚] Por lo tanto para puntal 𝐴 − 𝐵 𝑤𝑑𝑖𝑠𝑝 = 120 [𝑚𝑚] 𝜽 𝑭𝒖 𝒘𝒓𝒆𝒒 𝒘𝒅𝒊𝒔𝒑 Verifica [°] [𝒌𝑵] [𝒎𝒎] [𝒎𝒎] Si/No 0.75 59.04 −303 75 120 Si 𝐵 –𝐹 1.00 0 −156 29 100 Si Adoptar 100 𝐶 –𝐷 0.75 51.66 −332 83 100 Si Adoptar 100 𝐸 –𝐹 0.75 61.01 −298 74 100 Si Adoptar 100 Elemento 𝜷𝒔 𝐴 –𝐵 Nota: 𝑤𝑟𝑒𝑞 = Solución propuesta 𝐹𝑢 𝐹𝑢 = 𝜙 ∙ 𝑓𝑐𝑒 ∙ 𝑏 𝜙 ∙ 0.85 ∙ 𝛽𝑠 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑏 665 Diseño de estructuras de hormigón armado Nodo Tipo 𝜷𝒏 𝐴 𝐶−𝐶−𝑇 0.8 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 Nota: 𝑤𝑟𝑒𝑞 = 666 𝐶−𝐶−𝑇 𝐶−𝑇−𝑇 𝐶−𝑇−𝑇 𝐶−𝑇−𝑇−𝑇 𝐶−𝐶−𝐶−𝑇 𝐶−𝑇−𝑇−𝑇 0.8 0.6 0.6 0.6 0.8 0.6 𝑭𝒖𝒆𝒓𝒛𝒂 𝑭𝒖 𝒘𝒓𝒆𝒒 𝒘𝒅𝒊𝒔𝒑 Verifica Si/No [°] [𝒌𝑵] [𝒎𝒎] [𝒎𝒎] 𝑉 −260 61 100 Si 𝐵(𝐴 − 𝐵) −303 71 120 Si 𝑇(𝐴 − 𝐷) 206 48 100 Si 𝐵(𝐵 − 𝐴) −303 71 120 Si 𝐵(𝐵 − 𝐹) −156 36 100 Si 𝑇(𝐵 − 𝐶) 260 61 140 Si 𝐵(𝐶 − 𝐷) −332 103 100 No 𝑇(𝐶 − 𝐵) 260 81 140 Si 𝑇(𝐶 − 𝐸) 206 64 140 Si 𝐵(𝐷 − 𝐶) −332 103 100 No 𝑇(𝐷 − 𝐴) 206 64 100 Si 𝑇(𝐷 − 𝐸) 260 81 140 Si 𝐵(𝐸 − 𝐹) −298 93 100 Si 𝑇(𝐸 − 𝐶) 206 64 140 Si 𝑇(𝐸 − 𝐷) 260 81 140 Si 𝑇(𝐸 − 𝐺) 350 109 140 Si 𝐵(𝐹 − 𝐵) −156 36 100 Si 𝐵(𝐹 − 𝐸) −298 70 100 Si 𝐵(𝐹 − 𝐻) −300 70 100 Si 𝑇(𝐹 − 𝐺) 260 61 140 Si 𝐵(𝐺 − 𝐻) −368 115 120 Si 𝑇(𝐺 − 𝐸) 350 109 140 Si 𝑇(𝐺 − 𝐹) 260 81 140 Si 𝑇(𝐺 − 𝐼) 610 190 140 No 𝐹𝑢 𝐹𝑢 = 𝜙 ∙ 𝑓𝑐𝑒 ∙ 𝑏 𝜙 ∙ 0.85 ∙ 𝛽𝑛 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ 𝑏 Solución propuesta Adoptar 110 Adoptar 110 Adoptar 120 Distribuir la armadura Análisis y diseño de regiones con discontinuidad Puntales 𝑨 − 𝑩, 𝑪 − 𝑫 y 𝑬 − 𝑭 en forma de botella. La sección 23.5.1 del código ACI especifica que los puntales deben ser cruzados por capas o mallas de armadura paralelas al plano del elemento. Además, debido a que el ancho del alma es mayor a 20 [𝑚𝑚], es conveniente colocar una capa o malla de armadura próxima a cada cara. ∑ 𝐴𝑠𝑖 ⋅ sen(𝛾𝑖 ) ≥ 0.003 𝑏𝑠𝑖 Puntal 𝑨 − 𝑩. Si se coloca armadura horizontal y vertical en ambas caras del elemento, entre el puntal y las respectivas armaduras, se forman los siguientes ángulos: 𝛾1 = 30.96° 𝛾2 = 59.04° Angulo entre el eje del puntal y la barra vertical Angulo entre el eje del puntal y la barra horizontal 2 ∙ 𝐴𝑠1 2 ∙ 𝐴𝑠2 ∙ sen(30.96°) + ∙ sen(59.04°) ≥ 0.003 400 ∙ 𝑠1 400 ∙ 𝑠2 𝑨𝒔𝟏 𝑨𝒂𝟐 𝒔𝟏 𝒔𝟐 𝟐 ∑ 𝐴𝑠𝑖 ⋅ sen(𝛾𝑖 ) ≥ 0.003 𝑏𝑠𝑖 𝝓 𝟐 [𝒎𝒎 ] 𝝓 [𝒎𝒎 ] [𝒎𝒎] [𝒎𝒎] 12 113 12 113 100 100 0.00775 Si 12 113 12 201 100 100 0.01152 Si 16 201 16 113 100 100 0.01001 Si 16 201 16 201 100 100 0.01379 Si Puntal 𝑪 − 𝑫. Si se coloca armadura horizontal y vertical en ambas caras del elemento, entre el puntal y las respectivas armaduras, se forman los siguientes ángulos: 𝛾1 = 38.34° 𝛾2 = 51.66° Angulo entre el eje del puntal y la barra vertical Angulo entre el eje del puntal y la barra horizontal 2 ∙ 𝐴𝑠1 2 ∙ 𝐴𝑠2 ∙ sen(38.34°) + ∙ sen(51.66°) ≥ 0.003 400 ∙ 𝑠1 400 ∙ 𝑠2 667 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑨𝒔𝟏 𝑨𝒔𝟐 𝒔𝟏 𝒔𝟐 ∑ 𝐴𝑠𝑖 ⋅ sen(𝛾𝑖 ) ≥ 0.003 𝑏𝑠𝑖 𝝓 [𝒎𝒎𝟐 ] 𝝓 [𝒎𝒎𝟐 ] [𝒎𝒎] [𝒎𝒎] 12 113 12 113 100 100 0.00794 Si 12 113 12 201 100 100 0.01139 Si 16 201 16 113 100 100 0.01067 Si 16 201 16 201 100 100 0.01412 Si Puntal 𝑬 − 𝑭. Si se coloca armadura horizontal y vertical en ambas caras del elemento, entre el puntal y las respectivas armaduras, se forman los siguientes ángulos: 𝛾1 = 28.99° Angulo entre el eje del puntal y la barra vertical 𝛾2 = 61.01° Angulo entre el eje del puntal y la barra horizontal 2 ∙ 𝐴𝑠1 2 ∙ 𝐴𝑠2 ∙ sen(28.99°) + ∙ sen(61.01°) ≥ 0.003 400 ∙ 𝑠1 400 ∙ 𝑠2 𝑨𝒔𝟏 668 𝑨𝒔𝟐 𝒔𝟏 𝒔𝟐 𝟐 ∑ 𝐴𝑠𝑖 ⋅ sen(𝛾𝑖 ) ≥ 0.003 𝑏𝑠𝑖 𝝓 𝟐 [𝒎𝒎 ] 𝝓 [𝒎𝒎 ] [𝒎𝒎] [𝒎𝒎] 12 113 12 113 100 100 0.00768 Si 12 113 12 201 100 100 0.01153 Si 16 201 16 113 100 100 0.00981 Si 16 201 16 201 100 100 0.01366 Si Análisis y diseño de regiones con discontinuidad h) Disposición de la armadura. 4𝐸𝜙16𝑐/40 3𝐸𝜙16𝑐/30 3𝐸𝜙16𝑐/70 30 40 161 3𝐸𝜙16𝑐/70 209 2𝜙16 60 2𝜙12 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑈 350 50 350 4𝜙16 4𝜙12 4𝜙16 70 2𝜙16 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑈 6𝜙16 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝐿 1𝐸𝜙16 50 100 70 261 2𝜙16 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑈 6𝜙16 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝐿 1𝐸𝜙16 349 70 barra U i) Modelo opcional. El modelo de puntales y tensores resuelto es uno entre varios modelos que se podrían haber seleccionado. En el modelo supuesto se consideró que la transferencia de cargas se lograba mediante la formación de un reticulado compuesto por un puntal horizontal, tres puntales inclinadas y seis tensores. Este modelo es hipostático, pero gracias a que se halla la distancia 𝑒 con base a las fuerzas en el reticulado, es posible solucionarlo sin hallar incongruencias.en las fuerzas. Este modelo fue seleccionado por su sencillez y porque gracias los tensores verticales 𝐵 − 𝐶, 𝐷 − 𝐸 y 𝐹 − 𝐺 se obtienen estribos a lo largo de la longitud de corte, lo cual es muy importante desde el punto de vista de seguridad. Opcionalmente se podría haber seleccionado otro modelo de puntales y tensores. En la siguiente figura se muestra un modelo de puntales y tensores donde el tensor 𝐷 − 𝐸 es reemplazado por el 𝐷 − 𝐺 y el puntal 𝐹 − 𝐸 por la 𝐹 − 𝐷. Este modelo es isostático y la distancia 𝑒 puede ser cualquier distancia. Este modelo no requiere estribos verticales a lo largo de la distancia entre los puntos 𝐶 y 𝐺 para mantener el equilibrio. Para evitar la formación de fisuras con cargas muy por debajo de la carga última, se podría disponer armadura vertical mínima de estribos. 669 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝐵 −156 350 −303 𝐴 260 𝜃1 𝜃5 𝐹 350 −190 206 𝐷 260 [𝑘𝑁] 198 𝜃2 𝜃3 𝐶 50 100 70 206 𝐸 261 260 [𝑘𝑁] 124 −332 10 50 328 [𝑘𝑁] −300 50 50 [𝑘𝑁] 𝐻 −368 𝐺 349 378 [𝑘𝑁] 𝜃4 610 𝐼 70 70 𝜃1 = 59.04° 𝜃2 = 51.66° 𝜃3 = 43.40° 𝜃4 = 45° Se impone este valor 𝜃5 = 40.68° 13.10. Resistencia al aplastamiento Cuando cargas concentradas provenientes de columnas o vigas actúan sobre superficies pequeñas de muros o pedestales, se debe verificar que los esfuerzos transversales de tracción que se desarrollan por debajo del apoyo de la carga no produzcan una falla por hendidura del hormigón. El código ACI en su sección 22.8.3.2 presenta la ecuación para calcular el esfuerzo admisible de aplastamiento para situaciones “normales” como el caso de columnas sobre pedestales, apoyos de vigas o de equipos. Sin embargo, en el caso de las zonas de anclaje para cables de pretensado o postensado se deben seguir las recomendaciones de la sección 25.9.1.1. La ecuación de aplastamiento presentada en el código ACI tiene como base los ensayos realizados por Hawkins en bloques de hormigón simple cargados a través de placas rígidas. Para evitar la falla por aplastamiento del bloque se puede reforzar el hormigón o limitar el esfuerzo a un valor por debajo del que produce la fisura. La sección 22.8.3.2 del código ACI sigue la segunda opción. 𝐴2 𝑓𝑏 = 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ √ ≤ 1.7 ∙ 𝑓𝑐′ 𝐴1 670 (13.16) Análisis y diseño de regiones con discontinuidad Donde: 𝐴1 = Área efectiva de apoyo de la carga en [𝑚𝑚2 ]. 𝐴2 = Área de la base inferior del tronco mayor de la pirámide, cono o cuña ahusada, contenida en su totalidad dentro del apoyo y que tenga por base superior el área efectiva de apoyo 𝐴1 y pendientes laterales 𝑉: 𝐻 = 1: 2 en [𝑚𝑚2 ]. 𝑓𝑏 = Esfuerzo admisible de aplastamiento [𝑀𝑃𝑎]. 𝑃𝑢 2 1 Elevación 45° 𝐴2 𝐴1 45° Planta Fig. 13.15. Determinación del área 𝑨𝟐 debajo de una carga 𝐵𝑛 = 𝑓𝑏 ∙ 𝐴1 (13.17) 𝜙 ∙ 𝐵𝑛 = 𝜙 ∙ 𝑓𝑏 ∙ 𝐴1 (13.18) 𝜙 · 𝐵𝑛 ≥ 𝐵𝑢 (13.19) Donde: 𝐵𝑛 = Resistencia nominal al aplastamiento del hormigón en [𝑁]. 671 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝜙 = Factor de reducción de la resistencia (0.65). 𝐵𝑢 = Carga última de aplastamiento en [𝑁]. La distribución tronco piramidal con pendiente 𝑉: 𝐻 = 1: 2, para hallar el área 𝐴2 , no representa la distribución real del esfuerzo por debajo de la carga, cuya pendiente es más pronunciada. Sin embargo, esta distribución tiene la finalidad de asegurar que el área cargada 𝐴1 , que es la zona de altos esfuerzos, tenga una cierta cantidad de material a su alrededor. El área 𝐴1 representa el área efectivamente cargada, pero no debe ser mayor que el área de la plancha de apoyo y en ningún caso mayor al área de la sección transversal del pedestal de apoyo. Ejemplo. Determinar la máxima carga que puede aplicarse sobre el pedestal de la figura para evitar una falla por aplastamiento del hormigón. Datos: 𝑓𝑐′ = 25 [𝑀𝑃𝑎] Placa de apoyo de 300[𝑚𝑚]𝑥300[𝑚𝑚] 200 300 2 Elevación 200 200 300 200 𝐴1 45° 𝐴2 Planta 672 1 Análisis y diseño de regiones con discontinuidad A1 = 300 ∙ 200 = 60000 [𝑚𝑚2 ] A2 = 700 ∙ 600 = 420000 [𝑚𝑚2 ] 420000 𝐴2 𝑓𝑏 = 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ √ = 0.85 ∙ 25 ∙ √ ≤ 1.7 ∙ 25 𝐴1 60000 𝑓𝑏 = 56.22 [𝑀𝑃𝑎] ≤ 42.5[𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑏 = 42.50 [𝑀𝑃𝑎] 𝐵𝑢 = 𝜙 ∙ 𝐵𝑛 = 𝜙 ∙ 𝑓𝑏 ∙ 𝐴1 = 0.65 ∙ 42.5 ∙ 60000 = 1657.50 [𝑘𝑁] 1000 13.11. Problemas propuestos 1. Para la viga de canto alto de la siguiente figura dibujar el modelo de puntal-tensor despreciando los efectos de los estribos y el peso propio de la viga. La carga puntual última que soporta la viga es de 6000 [𝑘𝑁]. Diseñar el tensor y verificar la resistencia tanto de los nudos como de los puntales considerndo que el espesor de la viga y columnas es de 600 [𝑚𝑚]. Datos: 𝑓𝑐′ = 30 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] 𝑏 = 600 [𝑚𝑚] 2500 6000 [𝑘𝑁] 1000 4000 1000 800 9000 673 Diseño de estructuras de hormigón armado 2. El extremo entallado de una viga debe ser diseñado para transmitir una carga vertical última de 500 [𝑘𝑁]. La reacción vertical se asume que actúa a 100 [𝑚𝑚] desde el extremo izquierdo de la viga. La viga es de 400 [𝑚𝑚] de ancho y está fabricada con un hormigón con densidad normal de 25 [𝑀𝑃𝑎] de resistencia característica a los 28 días y acero de 420 [𝑀𝑃𝑎] de tensión de fluencia. Datos: fc′ = 25 [MPa] fy = 420 [MPa] b = 400 [mm] 300 600 500 [𝑘𝑁] 100 3. Diseñar la ménsula que se proyecta a partir de la columna usando el método de puntales y tensores. La ménsula soporta la fuerza de reacción Vu , de una viga premoldeada igual a 300 [kN] actuando a una distancia de 80 [mm] de la cara de la columna. Asumir que en la parte superior de la ménsula se desarrolla una fuerza de tracción horizontal Nuc , igual a 75 [kN], la cual toma en cuenta las deformaciones por fluencia lenta y retracción. Considerar un hormigón de peso normal con una resistencia característica a la compresión fc′ , igual a 30 [MPa]. La resistencia a la fluencia del acero fy , es igual a 420 [MPa]. 𝑉𝑢 = 300 [𝑘𝑁] 𝑁𝑢𝑐 = 75 [𝑘𝑁] 80 𝑎𝑣 𝑏 = 400 400 𝐴 674 400 𝐴 Sección A - A Análisis y diseño de regiones con discontinuidad 4. Dos muros de 2500[𝑚𝑚] de ancho descansan sobre un mismo muro de 9000[𝑚𝑚] de ancho y 6000 [𝑚𝑚] de alto. Considerando el modelo de puntal-tensor mostrado en la siguiente figura y despreciando los efectos del peso propio de los muros, diseñar los tensores y verificar la resistencia tanto de los nudos como de los puntales. El ancho de todos los muros es de 600 [𝑚𝑚]. Datos: 𝑓𝑐′ = 30 [𝑀𝑃𝑎] 𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎] 𝑏 = 600 [𝑚𝑚] 2000 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] 2000 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] 2500 250 2500 250 250 250 𝑇 𝑇 𝑇 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 6000 𝑇 9000 675 CAPÍTULO 14 MUROS DE CORTE 14. Muros de corte 14.1. Introducción Desde hace ya varios siglos que la humanidad tiene conocimiento de los terremotos y de sus devastadoras consecuencias. El terremoto en si causa pocas fatalidades comparado con el gran número de víctimas que se producen a causa del colapso de las estructuras hechas por el hombre. El diseño de estructuras en zonas sísmicas ha ido cobrando gran importancia a medida que las áreas urbanas han crecido y se han densificado. Por tanto, los terremotos se han transformado en una creciente y evidente amenaza en vastas áreas de nuestro planeta. Para que las estructuras sean duraderas es necesario que éstas sean capaces de resistir tanto las acciones de uso propio como las externas, en donde las fuerzas generadas por los sismos, en ciertos países, representan la acción externa más importante. Una de las formas más usuales y eficaces para resistir las fuerzas sísmicas es mediante la utilización de muros de hormigón armado. Estos muros son llamados comúnmente “muros de corte” aunque, en la mayoría de los casos, la acción principal que resisten es de flexión. Estos muros son generalmente dispuestos en las dos direcciones principales de la estructura de manera de poder absorber las fuerzas inerciales que se generan por la aceleración del suelo durante un terremoto. En la siguiente figura se puede apreciar la forma en que dos muros, de diferente altura, responden ante fuerzas laterales. El muro de baja altura resiste las fuerzas laterales por medio de un mecanismo de puntales y tensores, mientras que el muro alto las resiste como una viga en voladizo. La resistencia y el comportamiento de muros de baja altura están generalmente controlados por corte. Estos muros se encuentran en edificaciones de uno o dos pisos y tienen relaciones de altura a largo iguales o menores a 2 (ℎ𝑤 /ℓ𝑤 ≤ 2). El diseño de estos muros puede ser realizado considerando los requerimientos del capítulo 11 del código ACI o con el método de puntal-tensor que está descrito en el capítulo 23. 677 Diseño de estructuras de hormigón armado ℓ𝑤 ℓ𝑤 ℓ𝑤 ℎ𝑤 ℎ𝑤 Puntal ℎ𝑤 Tirante Puntal a) Muro de corte bajo b) Muro de corte intermedio c) Muro de corte esbelto ℎ𝑤 ≤2 ℓ𝑤 ℎ𝑤 2< <3 ℓ𝑤 ℎ𝑤 ≥3 ℓ𝑤 Fig. 14.1. Tipos de muros de corte Si el muro se encuentra en una edificación de más de tres o cuatro pisos, entonces las cargas laterales son resistidas mayormente por flexión considerando el muro como una viga en voladizo. Los muros con relaciones altura a largo mayores o iguales a 3 (ℎ𝑤 /ℓ𝑤 ≥ 3) son diseñados considerando las provisiones del capítulo 22 del código ACI. Los muros de altura intermedia, donde la relación altura a largo se encuentra entre 2 y 3 (2 < ℎ𝑤 /ℓ𝑤 < 3), resisten las fuerzas laterales por una acción combinada de corte y flexión. Sin embargo, para su diseño se consideran generalmente las provisiones del capítulo 22 del código ACI. Otra manera, no muy eficiente, de resistir las fuerzas inerciales producidas por un terremoto, es mediante la interacción de vigas y columnas. En una estructura, compuesta solamente por marcos tridimensionales, las columnas y vigas deben flexionarse en doble curvatura y sus nudos deben ser lo suficientemente rígidos para mantener un ángulo recto en todo momento. En la siguiente figura, se puede apreciar la forma en que un marco bidimensional responde ante solicitaciones laterales. Un marco de hormigón armado, para resistir las fuerzas laterales, debe experimentar grandes desplazamientos y por ello sus elementos (vigas y columnas) se ven obligados a doblarse en doble curvatura. 678 Muros de corte En un marco resistente a momentos, tanto las vigas, como las columnas contribuyen a la deflexión lateral del marco. Si se aísla un nudo del marco, es posible realizar el equilibrio de las fuerzas y de esa manera determinar el desplazamiento relativo del punto A con respecto al punto B. A B a) Pórtico deformado Δ𝐴𝐵 A 𝑉 ℓ 𝑉∙ℓ 𝐿 2 B 𝑉 𝑉∙ℓ 𝐿 2 𝐿 2 b) Interacción viga-columna Fig. 14.2. Desplazamiento de un pórtico no arriostrado debido a cargas laterales 679 Diseño de estructuras de hormigón armado ΔT Δ1 Δ2 Δ1 + Δ2 𝑃 𝑃 A 𝜃 𝐿𝑐 𝐿𝑐 𝑀𝑏 D C 𝜃 𝐿𝑏 𝐿𝑐 𝐿𝑏 2 ∙ 𝑃 ∙ 𝐿𝑐 𝐿𝑏 B 𝐿𝑐 2 ∙ 𝑃 ∙ 𝐿𝑐 𝐿𝑏 P 2 ∙ 𝑃 ∙ 𝐿𝑐 𝐿𝑏 Fig. 14.3. Equilibrio de fuerzas y diagrama de cuerpo libre Los desplazamientos, del punto A con respecto al punto C, debido a la flexión de la columna y viga se representan con las variables ∆1 y ∆2 , respectivamente. Δ1 = P ∙ L3c 3 ∙ Ec ∙ I c Δ2 = Lc ∙ θ (14.1) (14.2) La rigidez de la viga de longitud 𝐿𝑏 esta dada por la siguiente ecuación: 𝑀𝑏 = 3 ∙ 𝐸𝑏 ∙ 𝐼𝑏 ∙𝜃 𝐿𝑏 (14.3) Realizando la sumatoria de momentos en C desde el apoyo D, se obtiene que el momento 𝑀𝑏 . 𝑀𝑏 = 2 ∙ 𝑃 ∙ 𝐿𝑐 (14.4) Se igualan las ecuaciones (14.3) y (14.4); y se despeja el valor del ángulo 𝜃. 𝜃= 680 2 ∙ 𝑃 ∙ 𝐿𝑐 ∙ 𝐿𝑏 3 ∙ 𝐸𝑏 ∙ 𝐼𝑏 (14.5) Muros de corte Se reemplaza la ecuación (14.5) en la ecuación (14.2) para obtener el valor de Δ2 . Δ2 = 2 ∙ P ∙ L2c ∙ Lb 3 ∙ Eb ∙ I b (14.6) El desplazamiento relativo del punto A con respecto del punto C es la suma de Δ1 y Δ2 . Δ1 + Δ2 = P ∙ L3c 2 ∙ P ∙ L2c ∙ Lb + 3 ∙ Ec ∙ I c 3 ∙ Eb ∙ I b (14.7) En consecuencia, el desplazamiento relativo del punto A con respecto al punto B es el doble del desplazamiento relativo entre los puntos A y C. ΔT = 2 ∙ (Δ1 + Δ2 ) = 2 ∙ P ∙ L3c 4 ∙ P ∙ L2c ∙ Lb + 3 ∙ Eb ∙ I b 3 ∙ Ec ∙ I c (14.8) Si se consideran que los pisos tienen una altura de ℓ (𝐿𝑐 = 0.5 · ℓ), que las columnas están espaciadas una distancia de dos veces la altura de piso (𝐿𝑏 = ℓ) y que la fuerza cortante en el piso vale 𝑉 (𝑃 = 𝑉), se obtiene el siguiente resultado: ΔT = V ∙ ℓ3 V ∙ ℓ3 + 12 ∙ Ec ∙ Ic 3 ∙ Eb ∙ Ib (14.9) El primer término de la ecuación (14.9) representa la contribución de la flexión de la columna al desplazamiento relativo entre los puntos A y C, mientras que el segundo término representa la contribución de la flexión de la viga al desplazamiento relativo entre los mismos dos puntos. En el caso de que 𝐸𝑐 · 𝐼𝑐 = 𝐸𝑏 · 𝐼𝑏 , se puede observar que la porción del desplazamiento horizontal relativo entre A y C debido a la deflexión de la viga representa el 80% del desplazamiento total. En consecuencia, en edificaciones altas compuestas solamente por marcos, es imposible hacer las vigas lo suficientemente rígidas para cumplir las limitaciones que imponen los códigos para los desplazamientos laterales. Por tanto, en esos casos es necesario utilizar muros de corte u otros dispositivos de arriostramiento. 14.2. Interacción entre muros de corte y marcos La repartición de la carga lateral entre muros y pórticos dentro de un edificio se la puede encontrar realizando un modelo tridimensional de la estructura en un software de análisis estructural. Sin embargo, cuando la edificación es regular, tanto en planta como en elevación, se puede asimilar la estructura como una serie de pórticos planos en ambos sentidos y simplificar su análisis con modelos bidimensionales (figura 14.4. a). En la siguiente figura se muestra un sistema estructural compuesto por un pórtico y un muro sometido a una serie de cargas laterales. Para simplificar su análisis, es posible agrupar todas las columnas en una sola columna equivalente conectada al muro por elementos horizontales que representan los diafragmas rígidos de piso. Estos elementos, dependiendo de las características del diafragma de piso, pueden estar o no articulados en ambos extremos (figura 14.4. b). 681 Diseño de estructuras de hormigón armado ℓ1 ℓ2 ℓ3 ℓ4 ℓ5 𝐹𝑛−1 𝐹𝑛−1 𝐹𝑛−1 𝐹𝑛−2 𝐹𝑛−2 𝐹𝑛−2 𝐹7 𝐹7 𝐹7 𝐹6 𝐹6 𝐹6 𝐹5 𝐹5 𝐹5 𝐹4 𝐹4 𝐹4 𝐹3 𝐹3 𝐹2 𝐹2 𝐹3 Muro 2 𝐹𝑛 Muro 2 𝐹𝑛 Muro 1 𝐹𝑛 𝐹2 𝑘 Articulación 𝐹1 a) Pórtico plano con muro de corte 𝐹1 𝐹1 ℎ1 ℎ1 b) Modelo simplificado c) Modelo más simplificado Fig. 14.4. Modelos simplificados para el análisis de la interacción entre pórticos y muros de corte A medida que aumentan las rigideces de las columnas y vigas en los pórticos, la contribución de los muros de corte en el sistema resistente a cargas laterales disminuye. Además, la rigidez de los pórticos afecta directamente el desplazamiento del muro a nivel de techo. Si los pórticos son muy rígidos, el desplazamiento del muro a nivel de techo es muy pequeño y el muro puede analizarse como una viga empotrada en su base y apoyada en su extremo superior. Sin embargo, si los pórticos son muy flexibles, el muro se comporta como una viga empotrada en su base y libre en su extremo superior. Por tanto, el muro podría analizarse como una viga empotrada en su base y con un apoyo tipo resorte en su extremo superior, cuya rigidez depende de la rigidez de los pórticos (figura 14.4. c). Los límites del diagrama de momento para el muro se encuentran entre el diagrama de momento de una viga empotrada en un extremo y libre en el otro; y el de una viga empotrada en un extremo y apoyada en el otro. Por otro lado, la suma de los cortes en los pórticos y el muro en un determinado piso debe ser igual al corte producido por las cargas laterales. En el siguiente ejemplo se muestra la interacción entre pórticos y un muro de corte dentro de un mismo plano. 682 Muros de corte Ejemplo. En el sistema estructural de la figura, se desea investigar la interacción entre los pórticos y el muro de corte y para ello se harán variar las secciones de las columnas, mientras se mantienen constantes las dimensiones de las vigas y del muro de corte. Datos: Vigas: 25𝑥30 Columnas:30𝑥30, 30𝑥40, 30𝑥50, 30𝑥60, 30𝑥70, 30𝑥80 y 30𝑥90 Muro: 30𝑥200 3@4[𝑚] 70 [𝑘𝑁] 2[𝑚] 2@4[𝑚] 70 [𝑘𝑁] 50 [𝑘𝑁] 40 [𝑘𝑁] 40 [𝑘𝑁] 30 [𝑘𝑁] Muro 2 50 [𝑘𝑁] Muro 2 60 [𝑘𝑁] Muro 1 60 [𝑘𝑁] 21 [𝑚] 0≤𝑘≤∞ 30 [𝑘𝑁] 20 [𝑘𝑁] 20 [𝑘𝑁] 10 [𝑘𝑁] 10 [𝑘𝑁] Se realiza el modelo de la estructura con la ayuda de un software de análisis estructural y se corren las diferentes alternativas. Los resultados se resumen en las siguientes tablas y figuras. 683 Diseño de estructuras de hormigón armado Momentos y cortantes en el muro en función de la rigidez de los pórticos Cota Pórtico Flexible Pórtico Flexible C30x30 C30x30 C30x40 C30x40 [𝒎] 𝑴 [𝒌𝑵 ∙ 𝒎] 𝑽 [𝒌𝑵] 𝑴 [𝒌𝑵 ∙ 𝒎] 𝑽 [𝒌𝑵] 𝑴 [𝒌𝑵 ∙ 𝒎] 𝑽 [𝒌𝑵] 21 0 70 87.52 −20.48 82.20 −24.76 18 −210 70 148.95 −20.48 156.48 −24.76 18 −210 130 252.88 41.93 255.08 38.33 15 −600 130 127.08 41.93 140.09 38.33 15 −600 180 239.26 84.39 247.38 79.06 12 −1140 180 −13.91 84.39 10.19 79.06 12 −1140 220 104.06 122.14 124.02 115.49 9 −1800 220 −262.36 122.14 −222.46 115.49 9 −1800 250 −147.10 158.69 −110.39 151.41 6 −2550 250 −623.18 158.69 −564.62 151.41 6 −2550 270 −524.28 198.62 −467.74 192.04 3 −3360 270 −1120.13 198.62 −1043.86 192.04 3 −3360 280 −1057.08 244.16 −981.57 238.97 0 −4200 280 −1789.55 244.16 −1698.47 238.97 Momentos y cortantes en el muro en función de la rigidez de los pórticos 684 Cota C30x50 C30x50 C30x60 C30x60 C30x70 C30x70 [𝒎] 𝑴 [𝒌𝑵 ∙ 𝒎] 𝑽 [𝒌𝑵] 𝑴 [𝒌𝑵 ∙ 𝒎] 𝑽 [𝒌𝑵] 𝑴 [𝒌𝑵 ∙ 𝒎] 𝑽 [𝒌𝑵] 21 78.54 −27.52 66.28 −31.97 65.28 −29.03 18 161.10 −27.52 162.20 −31.97 152.38 −29.03 18 255.85 36.09 240.61 28.80 228.19 27.41 15 147.59 36.09 154.21 28.80 145.97 27.41 15 251.37 75.51 243.18 62.91 232.21 60.80 12 24.83 75.51 54.44 62.91 49.82 60.80 12 135.67 110.91 151.79 91.90 144.09 88.21 9 −197.05 110.91 −123.63 91.90 −120.55 88.21 9 −87.31 146.25 −25.63 122.62 −25.48 117.24 6 −526.06 146.25 −393.48 122.62 −377.20 117.24 6 −430.68 187.26 −306.51 161.38 −293.22 152.90 Muros de corte Momentos y cortantes en el muro en función de la rigidez de los pórticos Cota C30x50 C30x50 C30x60 C30x60 C30x70 C30x70 [𝒎] 𝑴 [𝒌𝑵 ∙ 𝒎] 𝑽 [𝒌𝑵] 𝑴 [𝒌𝑵 ∙ 𝒎] 𝑽 [𝒌𝑵] 𝑴 [𝒌𝑵 ∙ 𝒎] 𝑽 [𝒌𝑵] 3 −992.47 187.26 −790.64 161.38 −751.91 152.90 3 −930.76 234.66 −733.19 196.61 −696.65 180.94 0 −1634.73 234.66 −1323.02 196.61 −1239.47 180.94 Momentos y cortantes en el muro en función de la rigidez de los pórticos Cota C30x80 C30x80 C30x90 C30x90 Pórtico Rígido Pórtico Rígido [𝒎] 𝑴 [𝒌𝑵 ∙ 𝒎] 𝑽 [𝒌𝑵] 𝑴 [𝒌𝑵 ∙ 𝒎] 𝑽 [𝒌𝑵] 𝑴 [𝒌𝑵 ∙ 𝒎] 𝑽 [𝒌𝑵] 21 24.81 −24.81 64.67 −19.89 0 −102.02 18 139.31 −24.81 124.32 −19.89 306.06 −102.02 18 213.34 26.51 196.97 26.11 306.06 −42.02 15 133.81 26.51 118.65 26.11 432.12 −42.02 15 217.78 58.91 200.48 57.03 432.12 7.98 12 41.04 58.91 29.38 57.03 408.18 7.98 12 132.43 84.94 117.86 81.62 408.18 47.98 9 −122.38 84.94 −127.00 81.62 264.24 47.98 9 −30.58 112.06 −38.69 106.58 264.24 77.98 6 −366.42 112.06 −358.42 106.58 30.29 77.98 6 −286.06 143.80 −281.28 134.04 30.29 97.98 3 −717.45 143.80 −683.39 134.04 −263.65 97.98 3 −664.71 165.35 −633.90 150.14 −263.65 107.98 0 −1160.77 165.35 −1083.87 150.14 −587.59 107.98 Como se puede apreciar en los gráficos de las figuras 14.5 y 14.6, las fuerzas cortantes y los momentos flectores en el muro se encuentran entre los dos límites que suponen tener un pórtico sumamente flexible y un pórtico sumamente rígido. Si se visualiza el sistema estructural como solamente el muro de corte con su base empotrada y en su extremo superior un resorte de rigidez 𝑘, entonces dependiendo de la rigidez lateral de las columnas y vigas, la rigidez del resorte puede variar entre 0 (pórtico muy flexible) hasta ∞ (pórtico muy rígido). 685 Diseño de estructuras de hormigón armado 21 18 Cota de cada piso [m] 15 12 Pórtico Flexible C30x30 C30x40 C30x50 C30x60 C30x70 C30x80 C30x90 Pórtico Rígido 9 6 3 0 300 250 200 150 100 50 0 -50 -100 -150 Corte [kN] Fig. 14.5. Variación del diagrama de corte en el muro en función de la rigidez del pórtico 21 Cota de cada piso [m] Pórtico Flexible C30x30 C30x40 C30x50 C30x60 C30x70 C30x80 C30x90 Pórtico Rígido 18 15 12 9 6 3 0 -5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 Momento [kN∙m] Fig. 14.6. Variación del diagrama de momento en el muro en función de la rigidez del pórtico 686 Muros de corte 14.3. Muros de corte acoplados En un mismo plano de elevación, una edificación puede tener dos o más muros que se encuentran conectados a nivel de los pisos por medio de vigas de acople, de tal manera que el conjunto de muros tiende a trabajar como una unidad cuando es solicitado por cargas laterales. Dependiendo de la rigidez de las vigas de acople, los muros de corte trabajarán de forma separada o de manera conjunta. ℓ 𝐹𝑛 ℓ 𝐹𝑛 ℓ 𝐹𝑛 ℓ 𝐹𝑛 𝑉𝑏𝑛 𝐹𝑛−1 𝐹𝑛−1 𝐹𝑛−1 𝐹𝑛−1 𝐹𝑛−2 𝐹𝑛−2 𝐹𝑛−2 𝐹𝑛−2 𝑉𝑏𝑛−1 𝑉𝑏𝑛−2 𝐹7 𝐹7 𝐹7 𝐹7 𝐹6 𝐹6 𝐹6 𝐹6 𝐹5 𝐹5 𝐹5 𝐹5 𝑉𝑏7 𝑉𝑏6 𝐹4 Cachos rígidos 𝐹3 𝐹3 Muro 2 𝐹4 Muro 1 𝐹3 Muro 2 𝐹4 Muro 1 𝑉𝑏5 𝐹4 𝑉𝑏4 𝐹3 Cacho rígido 𝑉𝑏3 𝐹2 𝐹2 𝐹1 𝐹1 𝐹2 𝐹2 𝐹1 𝐹1 Articulación 𝑉𝑏2 ℎ2 ℎ1 𝑉𝑏1 Empotramiento 𝑀𝑤1 a) Muros desacoplados 𝑀𝑤2 𝑇 ′ 𝑀𝑤1 𝐶 ′ 𝑀𝑤2 b) Muros acoplados Fig. 14.7. Influencia de la rigidez de las vigas de acople en las reacciones de los muros Cuando los muros están desacoplados o cuando la rigidez de la viga de acople es muy pequeña en comparación con la inercia de los muros, entonces se pueden modelar las vigas de acople con doble articulación y en ese sentido el momento producido por las cargas laterales 𝑀𝑜 , a cota cero de los muros, es resistido por la flexión de los dos muros en forma proporcional a sus rigideces. Las vigas de acople no rigidizan el sistema y el corte que resisten es muy pequeño o nulo si sus extremos son articulados. 687 Diseño de estructuras de hormigón armado 𝑛 𝑀𝑜 = ∑ 𝐹𝑖 ∙ ℎ𝑖 = 𝑀𝑤1 + 𝑀𝑤2 (14.10) 𝑖=1 Cuando los muros están acoplados mediante vigas con suficiente rigidez como para modificar el comportamiento del sistema, entonces se puede considerar que las vigas de acople están empotradas en los muros y en ese sentido el momento producido por las cargas laterales 𝑀𝒐 , a nivel de la base de los muros, es resistido por una combinación de corte en las vigas de acople y flexión de los dos muros en forma proporcional a sus rigideces. El corte en las vigas de acople es transmitido en cada nivel de los muros como cargas axiales que, a cota cero de los muros, se convierten en un par de fuerzas axiales de compresión y tracción que resisten un momento equivalente a 𝑇 · ℓ o 𝐶 · ℓ. 𝑛 𝑇 = 𝐶 = ∑ 𝑉𝑏𝑖 (14.11) 𝑖=1 𝑛 ′ ′ +𝑇∙ℓ + 𝑀𝑤2 𝑀𝑜 = ∑ 𝐹𝑖 ∙ ℎ𝑖 = 𝑀𝑤1 (14.12) 𝑖=1 Cuando se analiza un sistema de muros con vigas de acople, la rigidez de las mismas afecta directamente la distribución de los momentos entre los muros. Sin embargo, existe un punto para el cual a mayor rigidez de las vigas de acople la distribución de momentos entre muros se mantiene inalterable. Ejemplo. Analizar el comportamiento de los muros de la siguiente figura considerando que la distancia entre ejes de muros es de 4 [𝑚] y el largo efectivo ℓ𝑏 de las vigas de acople, medido entre bordes de muros, es de 2 [𝑚]. Ambos muros tienen un largo ℓ𝑤 de 2 [𝑚] y una altura ℎ𝑤 de 30 [𝑚]. El espesor del muro izquierdo es de 40 [𝑐𝑚] mientras que el del muro derecho es de 20 [𝑐𝑚] por tanto, la inercia del muro izquierdo duplica a la del muro derecho. Las vigas de acople, en todos los niveles, tienen la misma sección transversal rectangular de base 𝑏𝑏 y altura ℎ𝑏 . Cargas puntuales laterales de 10 [𝑘𝑁] son aplicadas en cada nivel de piso para simular el efecto sísmico. Para estudiar el comportamiento de los muros y conocer los efectos que las vigas de acople inducen sobre ellos se hará variar la relación altura vs. largo ℎ𝑏 /ℓ𝑏 desde 0 (sin viga de acople) hasta 1 (viga de acople rígida). El momento total 𝑀𝑜 que debe resistir el sistema de los muros acoplados es: 𝑛 𝑀𝑜 = ∑ 𝐹𝑖 ∙ ℎ𝑖 𝑖=1 𝑀𝑜 = 1650 [𝑘𝑁 · 𝑚] 688 (14.12) Muros de corte 4 [𝑚] ℓ = 4 [𝑚] 10 [𝑘𝑁] 10 [𝑘𝑁] Piso 10 3 [𝑚] 10 [𝑘𝑁] 10 [𝑘𝑁] Piso 9 2 [𝑚] 10 [𝑘𝑁] 2 [𝑚] Vigas de acople 2 [𝑚] 10 [𝑘𝑁] Piso 8 Muros de corte 10 [𝑘𝑁] 10 [𝑘𝑁] Piso 7 ℓ𝑤 ℓ𝑏 10 [𝑘𝑁] Piso 6 10 [𝑘𝑁] Piso 5 Cachos rígidos ℓ𝑤 10 [𝑘𝑁] ℎ𝑏 10 [𝑘𝑁] ℎ𝑤 = 30 [𝑚] 10 [𝑘𝑁] Piso 4 10 [𝑘𝑁] 10 [𝑘𝑁] Piso 3 10 [𝑘𝑁] 10 [𝑘𝑁] Piso 2 10 [𝑘𝑁] 10 [𝑘𝑁] Piso 1 10 [𝑘𝑁] Geometría de los muros acoplados Modelo estructural para el análisis 689 Diseño de estructuras de hormigón armado Distribución del momento basal Mo entre los muros 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 Momento muro izquierdo Momento muro derecho 0.4 Momento de acoplamiento 0.3 0.2 0.1 0.0 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 Relación alto/largo (hb/𝓁b) de las vigas de acople Fig. 14.8. Distribución del momento basal entre muros acoplados en función de la rigidez de las vigas de acoplamiento En la figura 14.8 se observa que cuando no hay vigas de acoplamiento (ℎ𝑏 /ℓ𝑏 = 0) o cuando los extremos de las vigas no se conectan rígidamente a los muros, los muros trabajan independientemente y el muro de la izquierda absorbe el 66.66% del momento basal, mientras que el de la derecha el 33.33%. Esta diferencia se debe a que el muro de la izquierda tiene el doble de rigidez que el de la derecha. A medida que la rigidez de las vigas de acoplamiento aumenta, ambos muros se descargan llegando el muro de la izquierda y derecha a absorber un 13% y 6.5% del momento basal, respectivamente. El momento de acoplamiento entre los muros aumenta y debe resistir el 80.5% restante del momento basal. Como se puede apreciar, la distribución del momento basal entre los muros es muy sensible al aumento de rigidez de las vigas de acoplamiento hasta una relación ℎ𝑏 /ℓ𝑏 de aproximadamente 0.4. Valores de ℎ𝑏 /ℓ𝑏 por encima de 0.4 ya no afectan significativamente la distribución de los momentos entre los muros acoplados. Según el Código Canadiense del Hormigón, para el diseño sísmico, los muros se consideran acoplados cuando el momento de acoplamiento 𝑇 · ℓ o 𝐶 · ℓ alcanza el 66% del momento basal 𝑀𝑜 . En la figura 14.8, esto ocurre cuando ℎ𝑏 /ℓ𝑏 es aproximadamente 0.26. Si 𝑇 · ℓ o 𝐶 · ℓ es menor al 66% de 𝑀𝑜 , los muros son llamados parcialmente acoplados. 690 Muros de corte 1.0 Distribución del corte basal Vo entre los muros 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 Corte muro izquierdo 0.2 Corte muro derecho 0.1 0.0 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 Relación alto/largo (hb/𝓁b) de las vigas de acople Fig. 14.9. Distribución del corte basal entre muros acoplados en función de la rigidez de las vigas de acoplamiento En la figura 14.9 se observa que cuando la rigidez de las vigas de acoplamiento es pequeña (ℎ𝑏 /ℓ𝑏 ≤ 0.10) o cuando los extremos de las vigas no se conectan rígidamente a los muros, el muro de la izquierda absorbe el 66,66% del corte basal, mientras que el de la derecha el 33,33%. Esta diferencia se debe a que el muro de la izquierda tiene el doble de rigidez que el de la derecha. A medida que la rigidez de las vigas de acoplamiento aumenta, el muro de la izquierda se descarga un poco hasta absorber aproximadamente el 60%, mientras que el de la derecha aumenta su contribución hasta un 40%. Como se puede apreciar, el aumento de rigidez de las vigas de acoplamiento tiene poco impacto sobre la distribución del corte basal en los muros. En consecuencia, se puede distribuir el corte basal entre todos los muros en forma proporcional a sus rigideces sin considerar la influencia de las vigas de acoplamiento. 691 Diseño de estructuras de hormigón armado Cota de las vigas de acople desde el nivel de piso [m] 30 V20x20 V20x80 V20x140 V20x200 27 24 V20x40 V20x100 V20x160 V20x60 V20x120 V20x180 21 18 15 12 9 6 3 0 0 10 20 30 40 50 60 70 Variación del corte en las vigas de acople con respecto a la altura del muro [kN] Fig. 14.10. Variación del corte en las vigas de acople en función de la cota del edificio La figura 14.10 muestra la variación de la fuerza cortante en las vigas de acople para cada nivel de la estructura y en función de su rigidez. Se puede observar la sensibilidad que este esfuerzo de corte tiene con respecto a la rigidez de las vigas de acople. A medida que aumenta la rigidez de las vigas, el máximo corte va bajando de nivel de piso y estabilizándose en un determinado nivel. En este caso, el máximo corte se produce a los 6 [𝑚] de alto. Típicamente, la máxima fuerza cortante en las vigas de acople ocurre a un tercio de la altura del muro medido desde la base. Las figuras 14.11 y 14.12 muestran la variación de la relación entre el corte de las vigas de acople y el corte a nivel de cada piso producido por las cargas laterales. En la figura 14.11 es interesante notar que cuando las vigas de acople tienen una relación ℎ𝑏 /ℓ𝑏 ≥ 0.60, la fuerza cortante en cada viga se encuentra entre el 40% y el 60% del corte a nivel de cada piso. En la figura 14.12 se puede apreciar que cuando la rigidez de las vigas de acople aumenta, el corte en las vigas para los nieles del tramo central tiende a converger a la abscisa 0.6, mientras que en los niveles inferiores y superiores, el corte tiende a la abscisa 0.4. Por tanto, se puede concluir que las vigas de acople con relaciones ℎ𝑏 /ℓ𝑏 ≥ 0.60, deben ser diseñadas para tener una resistencia al corte aproximadamente igual al 60% del corte a nivel del piso donde se localizan. 692 Muros de corte Corte en vigas de acople/Corte de cada piso 1.6 1.4 30 [m] 21 [m] 12 [m] 3 [m] 1.2 1.0 27 [m] 18 [m] 9 [m] 24 [m] 15 [m] 6 [m] 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Relación alto/largo (hb/𝓁b) de las vigas de acople Fig. 14.11. Variación del corte en las vigas de acople en función del corte en cada piso Cota de las vigas de acople desde el nivel de piso [m] 30 27 24 21 V20x20 V20x80 V20x140 V20x200 18 15 V20x40 V20x100 V20x160 V20x60 V20x120 V20x180 12 9 6 3 0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 Corte en vigas de acople/Corte de cada piso Fig. 14.12. Variación del corte en las vigas de acople en función de su rigidez y posición con respecto al nivel de la base del muro 693 Diseño de estructuras de hormigón armado En las siguientes tablas se presenta un resumen de los resultados obtenidos de los diferentes análisis realizados sobre la estructura del ejemplo. Viga de Base Altura acople V20x20 V20x40 V20x60 V20x80 V20x100 V20x120 V20x140 [𝒎𝒎] 200 200 200 200 200 200 200 [𝒎𝒎] 200 400 600 800 1000 1200 1400 Viga de acople Sección V20x20 V20x40 V20x60 V20x80 V20x100 V20x120 V20x140 ℎ𝑏 /ℓ𝑏 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 𝑴𝒊𝒛𝒒 𝑴𝒅𝒆𝒓 [𝒌𝑵 ∙ 𝒎] [𝒌𝑵 ∙ 𝒎] 516.91 510.77 297.01 293.46 219.53 216.99 185.76 183.78 168.81 167.18 159.30 157.92 153.47 152.26 𝑽𝒊𝒛𝒒 𝑽𝒅𝒆𝒓 𝑵𝒊𝒛𝒒 [𝒌𝑵] 51.36 50.83 50.61 50.49 50.41 50.36 50.32 [𝒌𝑵] 48.64 49.17 49.39 49.51 49.59 49.64 49.68 [𝒌𝑵] 155.58 264.88 303.37 320.12 328.50 333.20 336.07 𝑵𝒅𝒆𝒓 𝜟𝒕𝒆𝒄𝒉𝒐 [𝒌𝑵] [𝒎𝒎] −155.58 27.51 −264.88 10.45 −303.37 7.20 −320.12 6.21 −328.50 5.80 −333.20 5.60 −336.07 5.49 Valores normalizados con respecto a la viga de acople V20x20 𝑴𝒊𝒛𝒒 𝑽𝒊𝒛𝒒 𝑵𝒊𝒛𝒒 Inercia 𝑴𝒅𝒆𝒓 𝑽𝒅𝒆𝒓 𝑵𝒅𝒆𝒓 𝜟𝒕𝒆𝒄𝒉𝒐 1 8 27 64 125 216 343 1.00 0.57 0.42 0.36 0.33 0.31 0.30 1.00 0.57 0.42 0.36 0.33 0.31 0.30 1.00 0.99 0.99 0.98 0.98 0.98 0.98 1.00 1.01 1.02 1.02 1.02 1.02 1.02 1.00 1.70 1.95 2.06 2.11 2.14 2.16 1.00 1.70 1.95 2.06 2.11 2.14 2.16 1.00 0.38 0.26 0.23 0.21 0.20 0.20 Con base a los resultados del análisis realizado a los muros acoplados con vigas se pueden deducir las siguientes conclusiones: a) Las vigas de acople son útiles para disminuir los momentos flectores a nivel de la base de los muros. b) Las vigas de acople producen un aumento significativo de los esfuerzos normales a nivel de la base de los muros, tanto de compresión como de tracción. c) Las vigas de acople no tienen un efecto apreciable en los esfuerzos de corte a nivel de la base de los muros. d) Las vigas de acople disminuyen significativamente los desplazamiento horizontales de los muros a nivel del techo. 694 Muros de corte Valores normalizados de las acciones en los muros acoplados 3 2 Momento en la base Corte en la base 2 Normal en la base Desplazamiento de techo 1 1 0 0 50 100 150 200 250 300 350 Variación de la inercia normalizada de las vigas de acople Fig. 14.13. Influencia de la rigidez de las vigas de acople sobre el desplazamiento del techo y sobre el momento, corte y fuerza normal a nivel de la base de los muros Cota [𝒎] 30 27 24 21 18 15 12 9 6 3 V20x20 15.88 16.35 17.05 17.74 18.18 18.13 17.32 15.47 12.23 7.22 V20x40 12.92 15.56 19.66 24.41 29.21 33.47 36.45 37.02 33.44 22.74 Corte en las vigas de acople [𝒌𝑵] V20x60 V20x80 V20x100 8.31 6.33 5.38 12.36 11.22 10.80 18.07 17.55 17.40 24.42 24.29 24.25 30.94 31.13 31.15 37.27 37.93 38.04 42.92 44.47 44.84 46.83 50.10 51.18 46.47 52.62 55.44 35.78 44.49 50.03 V20x120 4.85 10.62 17.35 24.24 31.15 38.07 44.94 51.58 56.81 53.59 V20x140 4.54 10.53 17.33 24.23 31.15 38.07 44.98 51.74 57.52 55.96 695 Diseño de estructuras de hormigón armado Piso Piso 10 Piso 9 Piso 8 Piso 7 Piso 6 Piso 5 Piso 4 Piso 3 Piso 2 Piso 1 9 Valor normalizado del corte en las vigas de acople 8 V20x20 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 Corte normalizado en las vigas de acople V20x40 V20x60 V20x80 V20x100 V20x120 0.81 0.52 0.40 0.34 0.31 0.95 0.76 0.69 0.66 0.65 1.15 1.06 1.03 1.02 1.02 1.38 1.38 1.37 1.37 1.37 1.61 1.70 1.71 1.71 1.71 1.85 2.06 2.09 2.10 2.10 2.10 2.48 2.57 2.59 2.59 2.39 3.03 3.24 3.31 3.33 2.73 3.80 4.30 4.53 4.65 3.15 4.96 6.16 6.93 7.42 Piso 10 Piso 9 Piso 8 Piso 7 Piso 6 Piso 5 Piso 4 Piso 3 Piso 2 Piso 1 V20x140 0.29 0.64 1.02 1.37 1.71 2.10 2.60 3.34 4.70 7.75 7 6 5 4 3 2 1 0 0 50 100 150 200 250 300 Variación de la inercia normalizada de las vigas de acople Fig. 14.14. Influencia de la rigidez de las vigas de acople sobre su mismo esfuerzo cortante 696 350 Muros de corte Altura de los muros desde el nivel de piso [m] 30 V20x20 27 V20x40 24 V20x60 21 V20x80 V20x100 18 V20x120 15 V20x140 12 9 6 3 0 0 10 20 30 40 50 60 70 Variación del corte en las vigas de acople [kN] Fig. 14.15. Variación del corte en las vigas de acople con respecto a la cota de los muros 30 Cota de los muros desde el nivel de piso [m] 27 V20x20 24 V20x40 21 V20x60 18 V20x80 15 V20x100 V20x120 12 V20x140 Mo 9 6 3 0 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 Momento de acoplamiento de los muros con respecto a su altura [kN·m] Fig. 14.16. Variación en altura de los momentos de acoplamiento entre los dos muros 697 Diseño de estructuras de hormigón armado 30 Cota de los muros desde el nivel de piso [m] 27 V20x20 24 V20x40 21 V20x60 18 V20x80 15 V20x100 V20x120 12 V20x140 Mo 9 6 3 0 -200 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 Distribución del momento en los dos muros [kN·m] Fig. 14.17. Variación en altura de la suma de los momentos en los dos muros 30 V20x20 Cota de los muros desde el nivel de piso [m] 27 V20x40 24 V20x60 21 V20x80 V20x100 18 V20x120 15 V20x140 12 9 6 3 0 0 50 100 150 200 Distribución de los momentos de extremo en las vigas de acople [kN·m] Fig. 14.18. Distribución de los momentos de extremo en las vigas de acople 698 250 Muros de corte 14.4. Diseño de muros estructurales 14.4.1. Geometría del edificio Durante la concepción arquitectónica del edificio, es conveniente que el Arquitecto trabaje en forma conjunta con el Ingeniero Estructural a fin de determinar el mejor sistema estructural del edificio. También, en el caso de utilizarse muros estructurales se deben considerar los siguientes puntos: a) El edificio debe ser lo suficientemente rígido para resistir las cargas de servicio sin presentar deflexiones o vibraciones excesivas. b) Los muros estructurales deben tener la suficiente carga vertical para prevenir el levantamiento de su fundación. c) La distribución en planta de los muros estructurales debe minimizar la distancia entre los centros de masa y rigidez para disminuir los efectos torsionales indeseables. d) Los muros estructurales deben tener adecuada resistencia al corte y a las solicitaciones de flexocompresión que las cargas mayoradas le impongan. e) El espesor del muro y de su recubrimiento puede estar prescrito por los requerimientos contra incendios. 14.4.2. Diafragmas Los diafragmas son los responsables de transmitir las cargas laterales a los muros. Las losas de piso y techo pueden ser consideradas diafragmas horizontales siempre que tengan la suficiente resistencia y rigidez para transmitir las cargas laterales. 14.4.3. Distribución de los muros en planta En general, para la distribución de los muros en planta, se trata de minimizar la excentricidad entre el centro de masa CM (centro geométrico de la losa de piso) y el centro de rigidez CR proporcionado por los muros de corte y los pórticos resistentes a momento. Debido a que durante el análisis sísmico se considera que las cargas laterales actúan en el centro de masa, la excentricidad con respecto al centro de rigidez origina un momento torsional que produce esfuerzos de corte adicionales en el sistema estructural resistente a fuerzas laterales. Cuando una estructura es sometida a grandes desplazamientos durante la ocurrencia de un terremoto, se produce el agrietamiento de sus diferentes elementos ocasionando la disminución de sus rigideces en cantidades variables; lo que finalmente se traduce en un desplazamiento del CR con respecto a su posición inicial. Como este desplazamiento es difícil de cuantificar, los códigos de diseño especifican una excentricidad mínima en las dos direcciones principales que deben ser añadidas a las excentricidades calculadas. 699 Diseño de estructuras de hormigón armado 14.4.4. Distribución de las fuerzas de corte de un piso a los muros estructurales En la siguiente figura se muestra la planta de un edificio donde se tienen los muros estructurales que forman el sistema resistente a las fuerzas laterales. Para el análisis de la distribución de las fuerzas de corte en los muros estructurales se realizan las siguientes simplificaciones: a) Se considera que la losa de piso trabaja como un diafragma de gran rigidez en su plano y baja rigidez a la flexión, de tal modo que los muros estructurales no están acoplados, pero mantienen el mismo desplazamiento lateral. b) Se desprecia la rigidez del muro cuando éste se flexiona por su eje débil, considerando solamente su rigidez cuando éste se flexiona por su eje fuerte. c) Se asume que los muros son esbeltos y por ello se desprecia la contribución de la rigidez por corte. d) Se considera que el muro no está agrietado y por ello se utiliza la sección bruta del muro para el cálculo de su momento de inercia. Y 𝑋𝑚 𝐼𝑦𝑛 𝑋𝑟 Muro n 𝑉𝑥 𝑥𝑖 𝑒𝑦 𝐼𝑥𝑚 CR CM 𝑌𝑟 𝑒𝑥 𝐼𝑥𝑖 𝐼𝑦𝑗 Muro i 𝑌𝑚 Muro m X 𝑦𝑗 O 𝑉𝑦 Muro j Fig. 14.19. Excentricidad del centro de rigidez CR con respecto al centro de masa CM 700 Muros de corte Las fuerzas de corte pueden provenir tanto por la acción sísmica, como por la del viento. Cuando los cortes provienen de la acción del viento, entonces hay que considerar que éste puede impactar a la edificación por cualquier dirección y sentido. Por tanto, es muy probable que las fuerzas de corte 𝑉𝑥 y 𝑉𝑦 se presenten simultáneamente. Por otro lado, si los cortes provienen de la acción sísmica, la mayoría de los códigos requieren que la estructura sea analizada sólo para acciones sísmicas independientes según cada una de las dos direcciones horizontales principales y perpendiculares o aproximadamente perpendiculares entre sí. En ese caso, 𝑉𝑥 y 𝑉𝑦 actúan independientemente. Sin embargo, si la estructura presenta notorias irregularidades torsionales o si tiene en ambas direcciones marcos rígidos con columnas comunes a dos líneas resistentes que se intersectan, se debe hacer actuar la acción sísmica en un 100% en una dirección y en un 30% en la dirección perpendicular a la anterior, y viceversa. Los mayores esfuerzos resultantes de las dos combinaciones anteriores son los que se deben considerar para el diseño del sistema resistente a fuerzas laterales. La distribución de las fuerzas de corte cuando CM coincide con CR es la siguiente: ′ 𝑉𝑥𝑗 = 𝐼𝑦𝑗 ∙𝑉 ∑𝑛 𝐼𝑦𝑛 𝑥 (14.13𝑎) ′ 𝑉𝑦𝑖 = 𝐼𝑥𝑖 ∙𝑉 ∑𝑚 𝐼𝑥𝑚 𝑦 (14.13𝑏) Donde: 𝑉𝑥 = Fuerza de corte en la dirección del eje X a nivel del piso considerado. 𝑉𝑦 = Fuerza de corte en la dirección del eje Y a nivel del piso considerado. 𝐼𝑦𝑗 = Momento de inercia por el eje Y del muro 𝑗. 𝐼𝑦𝑛 = Momento de inercia por el eje Y del muro 𝑛. 𝐼𝑥𝑖 = Momento de inercia por el eje X del muro 𝑖. 𝐼𝑥𝑚 = Momento de inercia por el eje X del muro 𝑚. 𝑛 = Número de muros que resisten por su eje fuerte la fuerza de corte 𝑉𝑥 . 𝑚 = Número de muros que resisten por su eje fuerte la fuerza de corte 𝑉𝑦 . Si existe una excentricidad entre el CM y el CR, o si una excentricidad mínima es especificada por el código de diseño, entonces se deben considerar los efectos de la torsión. Para hallar el CR se fija un origen de coordenadas en el punto O y se toman las distancias desde ese origen hasta los centros de gravedad de cada muro. Para hallar 𝑌𝑟 se consideran solamente los muros que resisten 𝑉𝑥 a través de la flexión por su eje fuerte 𝐼𝑦𝑗 . De la misma forma, para hallar 𝑋𝑟 se consideran solamente los muros que resisten 𝑉𝑦 a través de la flexión por su eje fuerte 𝐼𝑥𝑖 . ∑𝑛𝑗=1 𝐼𝑦𝑗 ∙ 𝑦𝑗 ∑𝑛𝑗=1 𝐼𝑦𝑗 (14.14𝑎) ∑𝑚 𝑖=1 𝐼𝑥𝑖 ∙ 𝑥𝑖 𝑋𝑟 = ∑𝑚 𝑖=1 𝐼𝑥𝑖 (14.14𝑏) 𝑌𝑟 = 701 Diseño de estructuras de hormigón armado Donde: 𝑌𝑟 = Ordenada del CR con respecto a los ejes cartesianos que pasan por O. 𝑋𝑟 = Abscisa del CR con respecto a los ejes cartesianos que pasan por O. 𝑦𝑗 = Ordenada del centro de gravedad del muro 𝑗 con respecto a los ejes cartesianos que pasan por O. 𝑥𝑖 = Abscisa del centro de gravedad del muro 𝑖 con respecto a los ejes cartesianos que pasan por O. Las excentricidades con respecto a los ejes ortogonales son: 𝑒𝑦 = 𝑌𝑟 − 𝑌𝑚 (14.15𝑎) 𝑒𝑥 = 𝑋𝑟 − 𝑋𝑚 (14.15𝑏) Donde: 𝑌𝑚 = Ordenada del CM con respecto a los ejes cartesianos que pasan por O. 𝑋𝑚 = Abscisa del CM con respecto a los ejes cartesianos que pasan por O. 𝑒𝑥 = Distancia desde el CM al CR en la dirección paralela al eje X. 𝑒𝑦 = Distancia desde el CM al CR en la dirección paralela al eje Y. Dependiendo de los signos de las excentricidades, la posición del CR con respecto a los ejes cartesianos X e Y queda definida de la siguiente manera: Si 𝑒𝑥 > 0 y 𝑒𝑦 > 0 el CR se encuentra ubicado en el primer cuadrante. Si 𝑒𝑥 < 0 y 𝑒𝑦 > 0 el CR se encuentra ubicado en el segundo cuadrante. Si 𝑒𝑥 < 0 y 𝑒𝑦 < 0 el CR se encuentra ubicado en el tercer cuadrante. Si 𝑒𝑥 > 0 y 𝑒𝑦 < 0 el CR se encuentra ubicado en el cuarto cuadrante. Si 𝑒𝑥 = 0 y 𝑒𝑦 = 0 el CR coincide con el CM. La torsión que sufre el piso, se halla multiplicando las fuerzas de corte por sus correspondientes excentricidades de acuerdo a las siguientes ecuaciones: 𝑇𝑥 = 𝑉𝑥 ∙ 𝑒𝑦 (14.16𝑎) 𝑇𝑦 = −𝑉𝑦 ∙ 𝑒𝑥 (14.16𝑏) Se toma como positivo el momento de torsión en sentido contrario a las manecillas del reloj y por ello es necesario introducir un signo negativo en la ecuación de 𝑇𝑦 porque un cortante 𝑉𝑦 positivo con una excentricidad 𝑒𝑥 también positiva, generan un momento de torsión negativa (giro en el sentido de las manecillas del reloj). 702 Muros de corte La torsión es resistida por los muros que se flexionan por su eje fuerte y la rigidez torsional del sistema es calculada considerando la rigidez lateral de cada muro que se flexiona por su eje fuerte multiplicada por la distancia perpendicular del eje débil del muro al CR. Los muros dispuestos en el perímetro de la estructura son más efectivos para resistir la torsión que los que se encuentran más cerca del CR. La rigidez torsional del sistema puede ser expresada con la siguiente relación: 𝑚 𝑛 𝐾𝑡 = ∑ 𝐼𝑥𝑖 ∙ (𝑋𝑟 − 𝑥𝑖 𝑖=1 )2 2 + ∑ 𝐼𝑦𝑗 ∙ (𝑌𝑟 − 𝑦𝑗 ) (14.17) 𝑗=1 Con base a la rigidez torsional del sistema, es posible calcular el corte que se induce en cada muro debido al momento total de torsión (𝑇𝑥 + 𝑇𝑦 ) considerando una distribución de éste proporcional a la rigidez de cada muro. 𝐼𝑦𝑗 ∙ (𝑌𝑟 − 𝑦𝑗 ) ] ∙ (𝑇𝑥 + 𝑇𝑦 ) 𝐾𝑡 (14.18𝑎) 𝐼𝑥𝑖 ∙ (𝑥𝑖 − 𝑋𝑟 ) ′′ 𝑉𝑦𝑖 =[ ] ∙ (𝑇𝑥 + 𝑇𝑦 ) 𝐾𝑡 (14.18𝑏) ′′ 𝑉𝑥𝑗 =[ Finalmente, el corte en cada muro se halla sumando el corte producido directamente por la fuerza de corte en la dirección considerada y el corte inducido por el momento total de torsión. ′ ′′ 𝑉𝑥𝑗 = 𝑉𝑥𝑗 + 𝑉𝑥𝑗 = 𝐼𝑦𝑗 ∙ (𝑌𝑟 − 𝑦𝑗 ) 𝐼𝑦𝑗 ∙ 𝑉𝑥 + [ ] ∙ (𝑇𝑥 + 𝑇𝑦 ) ∑𝑛 𝐼𝑦𝑛 𝐾𝑡 (14.19𝑎) ′ ′′ 𝑉𝑦𝑖 = 𝑉𝑦𝑖 + 𝑉𝑦𝑖 = 𝐼𝑥𝑖 𝐼𝑥𝑖 ∙ (𝑥𝑖 − 𝑋𝑟 ) ∙ 𝑉𝑦 + [ ] ∙ (𝑇𝑥 + 𝑇𝑦 ) ∑𝑚 𝐼𝑥𝑚 𝐾𝑡 (14.19𝑏) Ejemplo. Para el piso de figura, hallar el corte en los muros considerando las siguientes condiciones: a) b) c) d) 100% de 𝑉𝑥 . 100% de 𝑉𝑦 100% de 𝑉𝑥 y 30% de 𝑉𝑦 . 30% de 𝑉𝑥 y 100% de 𝑉𝑦 . 703 Diseño de estructuras de hormigón armado Y 12500 12500 𝐼𝑦1 𝐼𝑦3 ❶ ❸ 𝑋𝑟 24850 7000 ❷ 𝑉𝑥 𝑒𝑥 𝑒𝑦 𝐼𝑥2 CR ❶ X CM 𝐼𝑥1 𝑌𝑟 7000 𝐼𝑦2 150 ❷ O 𝑉𝑦 Dirección X Datos: 𝑉𝑥 = 60 [𝑘𝑁] 𝑉𝑦 = 60 [𝑘𝑁] 𝑋𝑚 = 12500 [𝑚𝑚] 𝑌𝑚 = 7000 [𝑚𝑚] ℎ = 300 [𝑚𝑚] Muro 𝒉 𝓵𝒘 𝒚𝒋 𝑰𝒚𝒋 𝑰𝒚𝒋 ∙ 𝒚𝒋 𝑰𝒚𝒋 ∙ (𝒀𝒓 − 𝒚𝒋 )𝟐 Nº [𝒎𝒎] [𝒎𝒎] [𝒎𝒎] [𝒎𝒎𝟒 ] [𝒎𝒎𝟓 ] [𝒎𝒎𝟔 ] 1 2 3 4 300 300 300 6000 6000 6000 13850 150 13850 5.40𝐸 + 12 5.40𝐸 + 12 5.40𝐸 + 12 7.48𝐸 + 16 8.10𝐸 + 14 7.48𝐸 + 16 1.13𝐸 + 20 4.50𝐸 + 20 1.13𝐸 + 20 𝟏. 𝟔𝟐𝑬 + 𝟏𝟑 𝟏. 𝟓𝟎𝑬 + 𝟏𝟕 𝟔. 𝟕𝟔𝑬 + 𝟐𝟎 5 704 Dirección Y Muros de corte Muro 𝒉 𝓵𝒘 𝒙𝒊 𝑰𝒙𝒊 𝑰𝒙𝒊 ∙ 𝒙𝒊 𝑰𝒙𝒊 ∙ (𝑿𝒓 − 𝒙𝒊 )𝟐 Nº [𝒎𝒎] [𝒎𝒎] [𝒎𝒎] [𝒎𝒎𝟒 ] [𝒎𝒎𝟓 ] [𝒎𝒎𝟔 ] 1 2 3 4 300 300 10000 6000 24850 150 2.50𝐸 + 13 5.40𝐸 + 12 6.21𝐸 + 17 8.10𝐸 + 14 4.81𝐸 + 20 2.23𝐸 + 21 𝟑. 𝟎𝟒𝑬 + 𝟏𝟑 𝟔. 𝟐𝟐𝑬 + 𝟏𝟕 𝟐. 𝟕𝟏𝑬 + 𝟐𝟏 5 𝑌𝑟 = ∑𝑛𝑗=1 𝐼𝑦𝑗 ∙ 𝑦𝑗 1.50 ∙ 1017 = = 9283 [𝑚𝑚] ∑𝑛𝑗=1 𝐼𝑦𝑗 1.62 ∙ 1013 𝑋𝑟 = ∑𝑚 6.22 ∙ 1017 𝑖=1 𝐼𝑥𝑖 ∙ 𝑥𝑖 = = 20463 [𝑚𝑚] ∑𝑚 3.04 ∙ 1013 𝑖=1 𝐼𝑥𝑖 𝑌𝑟 = 9283 [𝑚𝑚] 𝑋𝑟 = 20463 [𝑚𝑚] 𝑒𝑦 = 𝑌𝑟 − 𝑌𝑚 = 9283 − 7000 = 2283 [𝑚𝑚] 𝑒𝑥 = 𝑋𝑟 − 𝑋𝑚 = 20463 − 12500 = 7963 [𝑚𝑚] 𝑒𝑦 = 2283 [𝑚𝑚] 𝑒𝑥 = 7963 [𝑚𝑚] a) Para la condición de 100% de 𝑉𝑥 y 0% de 𝑉𝑦 se tiene los siguientes resultados: 𝑉𝑥 = 60 [𝑘𝑁] 𝑉𝑦 = 0 [𝑘𝑁] 𝑇𝑥 = 137.00 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] 𝑇𝑦 = 0 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] 705 Dirección X Diseño de estructuras de hormigón armado Muro V'xj V''xj Vxj Nº [𝒌𝑵] [𝒌𝑵] [𝒌𝑵] 20.00 20.00 20.00 −1.00 2.00 −1.00 19.00 22.00 19.00 Total 𝟔𝟎. 𝟎𝟎 𝟎. 𝟎𝟎 𝟔𝟎. 𝟎𝟎 Muro V'yi V''yi Vyi Nº [𝒌𝑵] [𝒌𝑵] [𝒌𝑵] 1 2 3 4 Dirección Y 5 0.00 0.00 4.44 −4.44 4.44 −4.44 𝟎. 𝟎𝟎 𝟎. 𝟎𝟎 𝟎. 𝟎𝟎 1 2 3 4 5 Total b) Para la condición de 0% de 𝑉𝑥 y 100% de 𝑉𝑦 se tiene los siguientes resultados: 𝑉𝑥 = 0 [𝑘𝑁] 𝑉𝑦 = 60 [𝑘𝑁] Dirección X 𝑇𝑥 = 0.00 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] 𝑇𝑦 = −477.75 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] Muro V'xj V''xj Vxj Nº [𝒌𝑵] [𝒌𝑵] [𝒌𝑵] 1 2 3 4 0.00 0.00 0.00 3.48 −6.96 3.48 3.48 −6.96 3.48 𝟎. 𝟎𝟎 𝟎. 𝟎𝟎 𝟎. 𝟎𝟎 5 Total 706 Dirección Y Muros de corte Muro V'yi V''yi Vyi Nº [𝒌𝑵] [𝒌𝑵] [𝒌𝑵] 1 2 3 4 49.34 10.66 −15.48 15.48 33.86 26.14 𝟔𝟎. 𝟎𝟎 𝟎. 𝟎𝟎 𝟔𝟎. 𝟎𝟎 5 Total c) Para la condición de 100% de 𝑉𝑥 y 30% de 𝑉𝑦 se tiene los siguientes resultados: 𝑉𝑥 = 60 [𝑘𝑁] 𝑉𝑦 = 18 [𝑘𝑁] Dirección X 𝑇𝑥 = 137.00 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] 𝑇𝑦 = −143.33 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] Muro V'xj V''xj Vxj Nº [𝒌𝑵] [𝒌𝑵] [𝒌𝑵] 20.00 20.00 20.00 0.05 −0.09 0.05 20.05 19.91 20.05 Total 𝟔𝟎. 𝟎𝟎 𝟎. 𝟎𝟎 𝟔𝟎. 𝟎𝟎 Muro V'yi V''yi Vyi Nº [𝒌𝑵] [𝒌𝑵] [𝒌𝑵] 1 2 3 4 Dirección Y 5 1 2 3 4 14.80 3.20 −0.20 0.20 14.60 3.40 𝟏𝟖. 𝟎𝟎 𝟎. 𝟎𝟎 𝟏𝟖. 𝟎𝟎 5 Total 707 Diseño de estructuras de hormigón armado d) Para la condición de 30% de 𝑉𝑥 y 100% de 𝑉𝑦 se tiene los siguientes resultados: 𝑉𝑥 = 18 [𝑘𝑁] 𝑉𝑦 = 60 [𝑘𝑁] Dirección X 𝑇𝑥 = 41.10 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] 𝑇𝑦 = −477.75 [𝑘𝑁 ∙ 𝑚] Muro V'xj V''xj Vxj Nº [𝒌𝑵] [𝒌𝑵] [𝒌𝑵] 6.00 6.00 6.00 3.18 −6.36 3.18 9.18 −0.36 9.18 Total 𝟏𝟖. 𝟎𝟎 𝟎. 𝟎𝟎 𝟏𝟖. 𝟎𝟎 Muro V'yi V''yi Vyi Nº [𝒌𝑵] [𝒌𝑵] [𝒌𝑵] 1 2 3 4 Dirección Y 5 1 2 3 4 49.34 10.66 −14.15 14.15 35.19 24.81 𝟔𝟎. 𝟎𝟎 𝟎. 𝟎𝟎 𝟔𝟎. 𝟎𝟎 5 Total 708 Muros de corte Dirección X Resumen de las solicitaciones en los muros 𝑽𝒙 [𝒌𝑵] 𝟔𝟎 𝟎 𝟔𝟎 𝟏𝟖 𝑽𝒚 [𝒌𝑵] 𝟎 𝟔𝟎 𝟏𝟖 𝟔𝟎 Muro Vxj Vxj Vxj Vxj Nº [𝒌𝑵] [𝒌𝑵] [𝒌𝑵] [𝒌𝑵] 19.00 22.00 19.00 3.48 −6.96 3.48 20.05 19.91 20.05 9.18 −0.36 9.18 Total 𝟔𝟎. 𝟎𝟎 𝟎. 𝟎𝟎 𝟔𝟎. 𝟎𝟎 𝟏𝟖. 𝟎𝟎 Muro Vyi Vyi Vyi Vyi Nº [𝒌𝑵] [𝒌𝑵] [𝒌𝑵] [𝒌𝑵] 1 2 3 4 Dirección Y 5 1 2 3 4 4.44 −4.44 33.86 26.14 14.60 3.40 35.19 24.81 𝟎. 𝟎𝟎 𝟔𝟎. 𝟎𝟎 𝟏𝟖. 𝟎𝟎 𝟔𝟎. 𝟎𝟎 5 Total 14.4.5. Fundaciones para muros Para la verificación de los esfuerzos inducidos en el suelo, su deformación y la estabilidad general de las cimentaciones se utilizarán todas las combinaciones de cargas de servicio. Para el diseño estructural de la cimentación de los muros, se utilizarán todas las combinaciones de cargas mayoradas consideradas en el diseño del resto de la estructura. Las fundaciones deben ser dimensionadas de manera que tengan un comportamiento satisfactorio bajo cargas estáticas y sísmicas, comprobándose que la presión de contacto entre el suelo y la fundación sea tal que las deformaciones inducidas sean aceptables para la estructura. En general, bajo condiciones de cargas de servicio, se debe verificar que el 100% del área de la cimentación quede en contacto con el suelo (sin esfuerzos de tracción). Sin embargo, al
