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SOLUCIONARIO
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TEMA 1. “EL CAPITAL FINANCIERO”
1º) Representar gráficamente los siguientes capitales financieros, si sabemos que están
expresados en euros y en años:
2º) Representar gráficamente los siguientes capitales financieros, si sabemos que están
expresados en euros y en meses:
(500,2) (700,4) (1.000,1)
La solución sería una representación gráfica como la del ejercicio anterior, con la salvedad
de que deberíamos indicar en el eje de ordenadas, que el tiempo se mide en meses.
3º) Indicar cuáles de los siguientes pares de capitales financieros medidos en euros y
meses, será más atractivo desde un punto de vista financiero:
a) (2.000 , 1) y (2.000 , 2).
b) (5.000 , 2) y (6.000 , 2).
c) (6.000 , 2) y (8.000 , 3).
d) (6.000 , 2) y (4.000 , 3).
a) C1 =2 . 000 , t=1
versus C=2. 000 , t=2 .
Será preferido el primero por el principio de subestimación de las necesidades
futuras.
b) C1 =5 . 000 , t=2 versus C=6 . 000 , t=2 .
Será preferido el segundo, ya que es de mayor cuantía estando disponible en el
mismo momento que el primero.
c) C=6 . 000 , t=2 versus C=8 . 000 , t=3 .
A priori, sin conocer la ley financiera que las partes han pactado, no se puede decir
cuál es preferido.
d) C=6 . 000 , t=2 versus C=4 . 000 , t=3 .
Será preferido el primero.
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4º) Imagina que un familiar te propone regalarte 1.000€ hoy mismo o, esa misma
cantidad, dentro de 12 años ¿Qué elegirías? ¿Qué principio financiero define tu
decisión?
Teniendo solo en cuenta variables financieras, elegiríamos recibir el dinero hoy. El
principio es el de subestimación de las necesidades futuras.
5º) Juan presta a Luis 1.500 euros, con un determinado interés dos meses después vuelve
a prestarle otros 500 euros. A los seis meses Luis devuelve a Juan 1.000 euros y dos
meses más tarde otros 1.000 euros, considerando las dos partes saldada la deuda.
a) Representa gráficamente los capitales de Luis y Juan por separado.
b) Identifica los elementos que intervienen.
c) Clasifica la operación financiera.
a)
PRESTACIÓN
CONTRAPRESTACIÓN
b) Origen: Momento 0.
Final: Momento 8.
Duración: Ocho meses.
C0 =1 . 500 ,t=0
Acreedor: Juan.
Deudor: Luis.C =500 , t=2
Prestación:
1
Contraprestación:
C2 =1 . 000 ,t=6
C3 =1 . 000 ,t=8
c) Operación financiera cierta.
Operación financiera a corto plazo.
Operación financiera compuesta.
Operación financiera de capitalización.
Operación financiera de crédito unilateral.
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6º) Un inversor adquiere acciones de la compañía ATT que cotiza en bolsa por 10€, con el
objetivo de venderlas seis meses después.Clasifica la operación financiera en cierta o
aleatoria.
Se trata de una operación financiera aleatoria.
7º)
a) Es una operación financiera ya que hay un intercambio no simultáneo de
capitales financieros.
b) Clasificación:
Operación financiera aleatoria.
Operación financiera a largo plazo.
Operación financiera compuesta.
Operación financiera de capitalización.
Operación financiera de crédito recíproco.
8º)
a) Operación Financiera de descuento.
c) D=C12-C1= 2.000€-1.800€=200€
9º)
a) Operación Financiera de capitalización.
c) I=C18-C0= 3.500€-3.000€=500€.
10º)
Operación financiera de capitalización.
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Tema 2. “EL INTERÉS SIMPLE”
1º) Calcular el interés
que en0capitalización
simple producen 12.000 euros al 6% anual
i
,06
I T =C
⋅3=2 .160 €
0⋅ ⋅n=12 . 000⋅
durante
3 años.
m
1
2º) ¿Qué montante se obtendría en la operación anterior?
Existen dos posibilidades:
a)
Conocidos
intereses
totales: . 160 €
C =C +I los
=12.
000+2 .160=14
b)
C n=C 0(2.3):
1+ ⋅n =12 . 000⋅ 1+
Aplicar
n
0
T
( mi )
( 0 ,106⋅3)=14 . 160 €
3º) Un inversor sabe que ha obtenido en capitalización simple un montante final de 225
euros de los que 50 euros corresponden a intereses. ¿Cuál fue el capital inicial de la
operación?
De (2.4): C =C −I =225−50=175 €
0
n
T
4º) El capital final obtenido en una operación de capitalización simple al 3% anual durante
6 meses fue de 1.500 euros. ¿Cuál fue el capital inicial?
De (2.5) corrigiéndola para meses:
5º) Sabemos que una inversión de 10.000 euros ha producido un capital final de 12.500
euros al 4% anual. ¿Cuánto tiempo se mantuvo la inversión?
De (2.7): n=
12. 500−10 .000
2 .500
=
=6 ,25
10. 000⋅0 ,04
10 . 000⋅0 ,04
años.
Que en meses será:
6,25 años x 12 meses = 75 meses.
Si deseásemos obtener directamente el resultado en meses bastaría con transformar
(2.7) para introducir el tanto equivalente mensual de la siguiente forma:
meses.
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6º) Una inversión ha producido 1.000 euros de intereses durante 8 meses con un capital
inicial de 20.000 euros. ¿A qué tipo de interés anual se pactó la operación en
capitalización simple?
a)
b)
a)
Calcular con tiempo en años.
Calcular con tiempo en meses.
Tiempo en años.8
n=tiempo
=0 ,en
666años el tipo de interés obtenido será también anual:
Si ponemos el
12
años.
IT
i=(2.8): =
Por tanto de
C 0⋅n
b)
i( 12)=
Tiempo en meses.
20 .
IT
1. 000
000⋅8
=0 , 075
12
1. 000
=0 , 00625
C0⋅n 20 . 000⋅8
i = 0,075 anual
7,5% anual
=
Lógicamente,
si el tiempo es mensual el tipo de interés también lo será. Para
i
calcular
anual de (2.10): i=i ⋅12=0 ,00625⋅12=0 , 075
i( 12)= su equivalente
i ⋅m=i
m
anual.
(m)
( 12 )

por tanto
o 7,5%
7º) Un inversor desea abrir una cuenta de ahorro, para lo que acude a tres entidades
financieras que le suministran la siguiente publicidad:
a)
Entidad A, cuenta de ahorro 0,2% mensual (intereses en capitalización simple, sin
cobro de comisiones).
b) Entidad B, cuenta de ahorro 1% semestral (intereses en capitalización simple, sin
cobro de comisiones).
c) Entidad C, cuenta de ahorro 2,5% anual (interés en capitalización simple, sin cobro
de comisiones).
¿Qué entidad financiera elegiría?
Debemos homogeneizar todos los tipos de interés a una misma unidad temporal para
poder comparar. Calculando los tantos equivalentes anuales, el resultado será:
Entidad A: i( m )=
Por tanto
i
m

i=i( m )⋅m
i=0, 002⋅12=0 ,024 anual
Es decir, el 2,4% anual.
Entidad
B: , 01⋅2=0 , 02
i=i ⋅m=0
(m)
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anual
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es decir, el 2% anual.
Entidad C:
i=0,025 anual.
Es decir, el 2,5% anual.
Solución: Elegirá la entidad C.
i
I=C 0⋅los⋅nintereses que producen 10.000 euros al 6% anual en capitalización
8º) Calcular
m 160 días:
simple durante
i
0 ,06
I ci=C 0⋅ ⋅n=10 . 000⋅
⋅160=236 , 01 €
365
365
a) En año civil.
i
0 , 06
b) En
I coaño
=C 0⋅comercial.
⋅n=10 .000⋅
⋅160=266 , 67 €
360
360
9º) Sabemos que un interés calculado en año comercial es superior en 50 euros a otro
calculado en año civil, si el capital invertido asciende a 20.000 euros y la operación
duró 400 días, calcular:
a)
b)
a)
b)
1
⋅I
co−Ide
ci =interés
ElI tipo
72 ci de la operación.
El montante en año comercial.
1
Sabemos
50= ⋅Ique
ci (2.13):
I =3 .600
72
ci
i
i
I ci =C 0⋅ ⋅n
3 .600=20 .000⋅ ⋅400
1
365
I co−I ci=365 ⋅I co
73
1
50= ⋅I co
i = 0,164
Solución: 16,4%
73
=3 . 650 €en año comercial (2.13):
ElI comontante
C n=C 0 +I =20. 000+3 . 650=23 . 650 €
C n=23 . 650 €
Solución: 23.650 euros
10º) Nos dicen que un interés calculado en año comercial es el 7% más grande que otro
calculado en año civil. ¿Es posible?
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I co
No será posible, pues=1,1
la relación que se plantea es:
I ci
I co 73
≠1 , 07
Por la ecuación (2.14)=sabemos
que:
I ci 72
11º) Calcular el efectivo que se entregará en un préstamo de 8.000 euros al 3% de interés
anual anticipado
en capitalización
ia
0 ,03 simple si la operación dura 2 meses.
CSabemos
=C
1−
⋅n
=8
.000⋅
1−
⋅2usando
=7 . 960
€
que
el
efectivo
se
calcula
(2.18):
0
n
m
12
(
)
(
)
Solución: 7.960 euros
12º) Un prestamista dispone de una cierta cantidad de dinero para prestar a 9 meses en
capitalización simple y dispone de dos ofertas:
c) Un cliente le ofrece el 9% de interés vencido.
d) Otro cliente le ofrece el 8% de interés anticipado.
¿A qué cliente elegirá siguiendo solamente criterios de rentabilidad económica?
Sabemos que cada operación tiene un interés anticipado y un vencido equivalente para
cada momento del tiempo; de (2.19) podemos obtener el interés vencido equivalente al
8% anticipado:
i=
i a⋅m
0 ,08⋅12
=
=0 , 0851
m−i a⋅n 12−0 , 08⋅9
i=0,0851
es decir el 8,51% anual.
Solución: Entre el 9% de interés vencido y el 8,51% de interés vencido elegirá la primera
opción.
13º)
Comprobar que 1.500 euros durante 9 meses en capitalización simple proporcionan
la misma rentabilidad al 8% anticipado anual que al 8,51% de interés vencido.
En el ejercicio anterior hemos comprobado que los dos tipos de interés son
equivalentes, comprobaremos que es así:
a)
Interés vencido:
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b)
Por tanto, se prestan 1.500 euros hoy y se recogen 1.595,74 euros a los nueve
meses.
Interés anticipado:
ia
C0 =C
1−
⋅n se calcula:
Sabemos
que
el
efectivo
n
m
(
)
Sabemos el efectivo y queremos calcular cuánto nos deben devolver:
Luego la rentabilidad es la misma, ya que se presta el mismo capital inicial y se
recoge el mismo final.
14º) Comprobar que 1.500 euros durante 18 meses en capitalización simple no
proporcionan la misma rentabilidad al 8% anticipado anual que al 8,51% de interés
vencido.
Procedemos a los mismos
i cálculos que en
0 ,ejercicio
0851 anterior:
C
=C
1+
⋅n
=1
.500⋅
1+
⋅18 =1. 691 , 48 €
- Interés vencido:
n
0
( m)
-
( 12
)
Interés anticipado:
Vemos que en este caso es más rentable la operación a interés anticipado.
15º) Calcular qué tipo de interés anticipado es equivalente al 8,51% vencido en la
operación anterior.
Por (2.20):i a =
i⋅n
0 , 0851⋅12
=
=0 , 075
i⋅n+m 0 , 0851⋅18+12
Solución: ia = 0,075 es decir, el 7,5% de interés anticipado.
16º) Un inversor cree que obtiene siempre la misma rentabilidad prestando al 20% de
interés anticipado y al 25% de interés vencido en capitalización simple. ¿Es cierta
esta creencia? ¿Cuándo realmente son equivalentes?
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No es cierta, pues cada interés anticipado tiene un vencido equivalente en un momento
del tiempo, pero
m ( 0 , 25−0,2 )⋅12
( i −inoa )⋅siempre.
n=
= (2.21):
=12
Serán equivalentes según
i⋅i a
0 , 25⋅0,2
meses.
Solución: En operaciones a 12 meses.
17º) ¿En qué momento serán equivalentes una operación al 8% de interés anticipado y
otra al 7% de interés vencido en capitalización simple?
Solución: Nunca. Ver (2.21).
18º) Calcular los intereses totales obtenidos en una cuenta de ahorros que ha tenido los
siguientes saldos durante los días indicados, si se liquida en capitalización simple al
2% anual (año comercial).
Saldo
500 euros
600 euros
350 euros
25 euros
700 euros
Días
12
5
3
30
50
En los casos en que a distintos capitales se les aplica un mismo tipo de interés es útil
usar métodos abreviados (por ejemplo los números comerciales):
Saldo
500
600
350
25
700
Días
12
5
3
30
50
N.COMERCIAL
6.000
3.000
1.050
750
35.000
∑ NC=45 .800
Podemos usar el multiplicador fijo o el divisor fijo:
i 0 , 02
a)
MultiplicadorM=
fijo: =
m 360
0 , 02
I T =( ∑ NC )⋅M=45. 800⋅
=2 , 54 €
360
b)
m 360
=18 .000
i 0 , 02
Divisor fijo: Df = =
Por (2.29):
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19º) En el extracto de una cuenta de ahorro que nos llega a casa nos indican que la suma
de los números comerciales del periodo de liquidación asciende a 50.000 euros.
K
¿Qué interés nos
abonarán si se aplica un 1,5% anual en capitalización simple? (año
comercial). ∑ NC h
m 360
h=1
Df = =
=24 . 000
I=
i 0 , 015
Df
50 .000
I=
=2, 08 € siendo
(
)
I=2 ,08 €
24 . 000
i
m
1
Df
m
i
1
M
M=financiera es
20º) El M
multiplicador
=
Dffijo
= de una operación
Df de
= 0,05. ¿Cuál es su divisor fijo?
Df =
1
y=20
0 ,05
por tanto
y
Df =20
Solución:
21º) Tres capitales de 5.000, 10.000 y 15.000 euros estaban colocados al 4% anual. Si
produjeron 944,5 euros de intereses, calcula el que le correspondió a cada uno si se
sabe que el primero estuvo colocado la mitad de tiempo que el segundo y éste la
nmitad
3 →n33 de tiempo que el tercero. Año comercial.
NC
Sabemos
por h(2.29)
n∑
3
⋅n 1 +C 2⋅n2 +C3⋅n3 )
m 360
( C 1que:
h=1
nI 2 →
Df
=
=
=9. 000
=
=
2
T
i 0 , 04
Df
Df
n n
n1 → 2 : 3
2 4
(
)
n
n
5 . 000⋅ 3 +10 . 000⋅ 3 +15 .000⋅n3
4
2
( 1 .250⋅n3 + 5. 000⋅n3 +15 . 000⋅n 3 ) 21 . 250⋅n3
IT =
=
=
=
9. 000
9 . 000
9 . 000
21. 250⋅n 3
944 ,5
n3 =
=400
944 , 5=
=2. 36⋅n3
2 ,36
9. 000
días.
Los intereses serán: 400
Del capital
( C ⋅n primero:
) 5. 000⋅
I1=
1
1
Df
=
1
=55 , 55 €
9 . 000
400
2
=222 ,22 €
9 .000
10. 000⋅
Del capital
C ⋅n segundo:
I2=
2
Df
2
=
Del capital tercero:
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Solución : I1= 55,55 euros / I2=222,22euros / I3= 666,67euros
C 0que hizo que sus intereses
C
2⋅Cfueran
22º) Calcular el capital
mitad
sabiendo
0 C 0 la 3⋅C
0 del mismo, 3⋅C
0
Cque
+ I →I = ascendió
→21. a000=C
+ 0=
+ =
→21 . 000=
→
el 0montante
21.000
n =C
0euros.
2
2
2
2
2
2
→42 .000=3⋅C 0 →C 0 =14 . 000
C0 =2 . 300 €
Solución : 14.000
110 euros
C n=2 . 300⋅
=2. 300⋅1,1=2. 530 €
100
=2 .530−2.
300=230
€
23º) I=C
Sabemos
una inversión
de 2.300
euros produce un montante igual al 110% del
n−C 0que
capitali inicial. Si la operación
duró
150
días, ¿a qué tipo de interés se produjo la
i
operación?
(año
civil).
I=C
⋅
⋅n→230=2
.
300⋅
⋅150
0
365
365
i=0,24 Solución: El interés porcentual es de un 24%.
(
12 )
0 , 12
0 ,12
3⋅C =Cque:
⋅( 1+
⋅n ) →3= (1+ si ⋅n ) →3=1+0 , 01⋅n
Sabemos
entonces:
12
12
24º) ¿Cuánto tiempo es preciso ipara que un capital se transforme en otro tres veces
C n=C
mayor al 12% de
interés
anual⋅n
en capitalización
simple? Solución en meses.
0⋅ 1+
C =3⋅C
n
0
0
0
2=0 , 01⋅n→n=
2
=200
0 , 01
meses.
Solución: n=200
meses
25º) ¿Cuánto duró una operación al 3% cuatrimestral en capitalización simple para que
2.000 euros produjeran una diferencia entre intereses comerciales y civiles de 10?
(Solución en días y año comercial).
Sabemos por (2.13):
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i
120
0 , 03
730=2 . 000⋅
⋅n
120
=C(2.11):
⋅n
SiI co
por
0⋅
n=
730=0,5⋅n
730
=1 . 460
0,5
días.
Solución: n=1. 460 días.
26º) Unos capitales de 2.500 euros, 3.000 euros y 250 euros colocados en capitalización
simple3 durante 90, 45 y 15 días producen un interés total de 220 euros. ¿A qué tipo
de interés
∑ NCseh pactó la operación? (Usar año comercial).
IT =
(
h=1
Df
)
363 .750
220=
Df
m
Df =
i
220=
Por tanto
360
1. 653 , 41=
i
( 2 .500⋅90 ) + ( 3 .000⋅45 ) + ( 250⋅15 )
Df
Df =1.653,41
i=0 ,217
Solución: 21,7%.
27º) Dos personas invierten 5.000 euros cada una durante cierto tiempo, una al 4% de
interés simple anual y la otra al 10% de interés simple anual. ¿Al cabo de cuánto
tiempo el montante de la segunda es el doble de la primera? (tiempo en años).
La primera persona:
(
)
(
i
0 , 04
C n =C 0 ¿ 1+ ⋅n =5. 000⋅ 1+
⋅n
1
m
1
( mi )
)
( 0,11⋅n)=5 . 000⋅( 1+0,1⋅n)
C nsegunda
=C 0 ¿ 1+
⋅n =5. 000⋅ 1+
La
persona:
2
Para
dé la relación:
2⋅C nque
=Cse
n2 →2⋅5 . 000⋅( 1+0 , 04⋅n ) =5 . 000⋅( 1+0,1⋅n )
1
1 )
2⋅( 1+0 , 04⋅n )=( 1+0,1⋅n
n=
=50
1=0 ,02⋅n
0 , 02
2+0 , 08⋅n=1+0,1⋅n
n=50
Solución:
años.
28º) Representar gráficamente la función C n=5⋅( 1+ i⋅n )
comentar el resultado.
con i = 0,04 e i = 0,08 y
C n=5⋅( 1+ i⋅n )
Si i = 0,04
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si i = 0,08
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N
0
1
2
3
5
Cn
5
5,2
5,4
5,6
6
n
0
1
2
3
5
Cn
5
5,4
5,8
6,2
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29º) La empresa MECASA de Madrid tiene abierta una cuenta corriente con la entidad
financiera BHT. Durante el último mes de junio se han realizado los siguientes
movimientos en la cuenta:
Concepto
Fecha
Cantidad
Saldo
1 de junio
23.500 euros
Ingreso efectivo a las 10:30
12 de junio
11.000 euros
Ingreso en cuenta de un cheque de
un cliente, pagadero por la entidad BSCF 13 de junio
21.500 euros
Compra de valores bursátiles
16 de junio
25.000 euros
Reintegro
26 de junio
50.000 euros
Cheque anterior devuelto
27 de junio
21.500 euros
Ingreso en efectivo a las 13:00
28 de junio
60.000 euros
Cobro de dividendos
29 de junio
24.000 euros
El BHT remunera los saldos acreedores al 1,5%, y los descubiertos los cobra al 5%. Liquida el
mes de junio la cuenta corriente por el método hamburgués, si además sabemos que en la
liquidación le cobra 3 euros de mantenimiento y 1 euro por haber tenido descubierto
bancario en el periodo de liquidación. Retención fiscal del 19%.
Vamos a calcular el divisor fijo de los saldos deudores y acreedores:
m 360
Df acreedor = =
=24 .000 €
i 0.015
m 360
Df deudor = =
=7 .200 €
i 0 .05
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Ordenados los apuntes cronológicamente por fecha valor.
MOVIMIENTOS
FECHA
1-6
12-6
13-6
27-6
16-6
26-6
28-6
29-6
30-6
CONCEPTO
Saldo
Ingreso
Ingr cheque
Cheque devol
Compr bolsa
Reintegro
Ingreso
Dividendos
Cierre
Inter acreed
Inter deudo
Comis mante
Comis descu
Reten
Liquidación
DEBE
HABER
23.500,00
11.000,00
21.500,00
21.500,00
25.000,00
50.000,00
60.000,00
24.000,00
FECHA VALOR
1-6
12-6
15-6
15-6
16-6
26-6
29-6
29-6
30-6
22,29
SALDO
23.500,00
34.500,00
56.000,00
34.500,00
9.500,00
-40.500,00
19.500,00
43.500,00
DÍAS
11
3
0
1
10
3
0
1
Suma NC =
Nº
COMERCIALE
S
DEUDORES
ACREEDORES
258500
103500
34500
95000
121500
43500
121.500,00
535.000,00
16,87
3
1
4,24
43.497,18
Obtendremos los intereses acreedores y deudores de la siguiente forma:
Iacreedores = 535.000/24.000 = 22,29 euros
Ideudores = 121.500/7200 =16,87 euros


Los intereses acreedores tienen retención fiscal (19%).
La liquidación:
Liquidación: Saldo final+ Iacreedores-Ideudores-comisiones-retención= 43.497,18 euros
Se pone en el debe para equilibrar ambas columnas, que ahora deben sumar igual.
30º) La empresa SOLSA de Madrid tiene abierta una cuenta corriente con la entidad
financiera BHT. Durante el último mes de noviembre se han realizado los siguientes
movimientos en la cuenta:
Concepto
Fecha
Cantidad
Saldo
1 de nov.
3.500 euros
Reintegro
08 de nov.
10.000 euros
Transferencia bancaria a su favor
Procedente de BKY
10 de nov.
20.500 euros
Ingreso cheque (librado BHT)
13 de nov.
25.000 euros
Reintegro
16 de nov.
50.000 euros
Cheque anterior devuelto
17 de nov.
25.000 euros
Ingreso en efectivo a las 13:00
20 de nov.
12.000 euros
Cobro de dividendos
27 de nov.
15.000 euros
El BHT remunera los saldos acreedores al 1,5%, y los descubiertos los cobra al 5%. Liquida el
mes de noviembre de la cuenta corriente por el método hamburgués, si además sabemos
que en la liquidación le cobra 2 euros de mantenimiento y 1,5 euros por haber tenido
descubierto bancario en el periodo de liquidación. Retención fiscal del 19%.
Vamos a calcular el divisor fijo de los saldos deudores y acreedores:
©Ediciones Paraninfo
15

Paraninfo
m 360
Df acreedor = =
=24 .000 €
i 0 .015
MOVIMIENTOS
FECHA
01-nov
08-nov
10-nov
13-nov
17-nov
16-nov
20-nov
27-nov
30-nov
CONCEPTO
Saldo
Reintegro
Transf s/ fav
Ingr cheque
Cheque devol
Reintegro
Ingreso
Dividendos
Cierre
Inter acreed
DEBE
Inter deudo
Comis mante
Comis descu
Reten
Liquidación
52,36
2
1,5
0,64
10.000,00
25.000,00
50.000,00
HABER
3.500,00
20.500,00
25.000,00
12.000,00
15.000,00
3,35
85.056,50
FECHA VALOR
01-nov
08-nov
12-nov
15-nov
15-nov
16-nov
21-nov
27-nov
30-nov
SALDO
3.500,00
-6.500,00
14.000,00
39.000,00
14.000,00
-36.000,00
-24.000,00
-9.000,00
Suma NC
=
DÍAS
7
4
3
0
1
5
6
3
Nº
COMERCIALES
DEUDORES
ACREEDORES
24500
26000
42000
180000
144000
27000
377.000,00
14000
80.500,00
9.053,15
85.056,50
Obtendremos los intereses acreedores y deudores de la siguiente forma:
Iacreedores = 80.500/24.000 =3,35 euros
Ideudores = 377.000/7200 =52,36 euros


Los intereses acreedores tienen retención fiscal (19%).
La liquidación:
Liquidación: Saldo final+ Iacreedores-Ideudores-comisiones-retención= -9.053,15 euros
Se pone en el haber para equilibrar ambas columnas, que ahora deben sumar igual,
o, visto de otra forma, porque habría que hacer un ingreso para saldar con la entidad.
31º) la empresa Tobarsa ha tenido los siguientes movimientos en la cuenta corriente que
posee en el banco BHT durante el mes de enero:
CONCEPTO
Saldo
Transfe s/f BHT
Ingreso efectivo 10:00 AM
Recibo luz
Compra valores
Recibo alquiler de enero a favor de
Tobarsa
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FECHA OPERACIÓN
1-1
5-1
8-1
8-1
9-1
10-1
CANTIDAD en €
10.000,00
3.000,00
2.000,00
350,00
1.000,00
2.000,00
16

Paraninfo
Recibo teléf
Ingreso de cheque a cargo de BHT
Devolución recibo alquiler
12-1
14-1
20-1
300,00
5.000,00
2.000,00
Si las condiciones de la cuenta son las mismas que las del ejercicio 2.30, realiza la
liquidadción del mes de enero.
MOVIMIENTOS
FECHA
1-1
CONCEPTO
Saldo
5-1
8-1
8-1
9-1
10-1
20-1
12-1
14-1
31-1
Transfe s/f BHT
Ingreso efectivo
Recibo luz
Compra valores
Recibo alquiler
Devolución recib
Recibo teléf
Ingreso cheque
Cierre
Inter.acreedores
Reten.Hacienda
Inter.deudores
Comisiones
Liquidación
DEBE
Nº COMERCIALES
HABER
10.000,00
FECHA VALOR
1-1
SALDO
10.000,00
DÍAS
4
3.000,00
2.000,00
5-1
8-1
8-1
9-1
10-1
10-1
12-1
14-1
31-1
13.000,00
15.000,00
14.650,00
13.650,00
15.650,00
13.650,00
13.350,00
18.350,00
SUMA NC =
3
0
1
1
0
2
2
17
350,00
1.000,00
2.000,00
2.000,00
300,00
5.000,00
DEUDORES
0
ACREEDORES
40000
39000
0
14650
13650
0
27300
26700
311950
473250
19,72
3,75
0,00
2,00
18.363,97
Liquidación: Saldo final+ Iacreedores-Ideudore-comisiones-retención= 18.363,97€
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17
Paraninfo
Tema 3. “LA CAPITALIZACIÓN COMPUESTA”
1º)

Alberto Aguilar compra participaciones de un fondo de inversión por valor de
10.000€, el administrativo de la oficina bancaria le dice que si mantiene la inversión
tres años se le garantiza un 4% efectivo anual. ¿Qué montante obtendrá al cabo de
los tres años? ¿Qué interés total habrá obtenido?
El montante: n
3
C n=C 0⋅( 1+i ) =10 . 000⋅( 1 , 04 ) =11 .248 , 64 €
El interés total:
IT =C n−C 0 =11 .248 , 64−10 .000=1 .248 , 64 €
2º)
Solución: 1,248,64€
A. Cañizares es director de una oficina bancaria, desea saber con cuánto dinero abrió
un cliente un depósito a plazo fijo al 3% efectivo anual si después de cinco años le ha
producido un montante de 23.185,48€.
−5
De
(3.2)⋅sabemos
que:
C =C
( 1+i )−n=23.
185 , 48⋅( 1 , 03 ) =20 . 000 €
0
3º)
n
Solución: 20.000€
Un inversor ha recuperado de una operación financiera 15.000€ después de haberla
iniciado con 12.000€. Si la inversión duró cinco años, ¿qué tipo de interés se pactó en
1
la operación?
Cn n
15 . 000 1 5
i=(3.4) sabemos
−1= que:
−1=0 ,0456
De
( ) (
C0
12 .000
)
es decir el 4,56% anual.
4º)
Solución: 4,56% anual.
Sabemos que una operación financiera se pactó al 2% de interés efectivo mensual, si
produjo un montante de 15.000€ con un capital inicial de 10.000€, ¿cuánto duró la
operación?
(Calcular
en meses.)
ln 15. 000−ln
10 .000
n=
Con (3.3) sabemos que: =20 , 47
ln ( 1, 02 )
meses.
5º)
Si el tipo de interés es mensual el tiempo se obtendrá en meses.
Solución: 20,47 meses, es decir, 20 meses y 14 días.
Calcular el montante que se obtendrá al 4% de interés efectivo anual con una
inversión de 20.000€ durante 890 días (usar tantos equivalentes). Año civil.
1
1
Lo primero será
calcular el tanto
efectivo diario, de (3.8) sabemos que:
i( 365 )= (1+i )
365
−1= ( 1+ 0 , 04 )
365
−1= 0 ,0001074
Con (3.6) podemos
hacer:
890
C n=C 0⋅( 1+i ( m) ) n⋅m=20 .000⋅( 1+0 , 0001074 ) =22. 007 , 13 €
Solución: 22.007,13€
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18

Paraninfo
6º)
Calcula el capital inicial de una operación que duró cuatro trimestres al 5% de
efectivo anual si produjo un montante de 12.000 €. (Hacer cálculos en semestres y
usando tanto equivalente semestral.)
Primero expresamos tiempo e interés en semestres:
Tiempo: cuatro trimestres
son 1dos semestres.
1
i 2=( 1+i ) 2−1=( 1 ,05 ) 2 −1=0 , 0246
Interés:
Usando (3.2) teniendo
en cuenta que hablamos
de semestres:
−2
C0 =C n⋅( 1+i ( 2 ))−n =12. 000⋅( 1+0 ,0246 ) =11. 428 , 57 €
7º)
Solución : 11.428,57€
J.P. Fernández tiene que elegir entre dos opciones de inversión para sus 20.000€
ahorrados. La primera le proporciona 22.000€ a los diecinueve meses, la segunda
una rentabilidad semestral del 1,5%. ¿Qué opción elegirá?
Para ver cuál es la más rentable calcularemos en las dos opciones el efectivo anual
equivalente.
1
1
En la primera
partimos
de (3.4) y teniendo en cuenta que el tiempo está en
C n n opción,
22 si
.000
19 −1=0 , 005029
i( 12)=
−1=
meses:
( ) (
C0
20 . 000
)
El 0,5029% mensual.
Su equivalente
anual
siguiendo (3.8):
12
i=( 1+i ( 12 ) )12−1=( 1+ 0 , 005029 ) −1=0 , 062
El 6,2% anual.
En la segunda
opción, a través
de (3.8):
2
2
i=( 1+i (2 )) −1=( 1+0 ,015 ) −1=0 , 030
El 3% anual.
Solución: Elegirá la opción A.
8º) Calcular el montante que producen 10.000€:
a)
Al 2% semestral durante 2 años.
b)
Al 0,3305% mensual durante 2 años.
c)
¿A qué se deben los resultados? ¿Cuáles son sus intereses efectivos anuales
equivalentes?
a)
Partiendo den⋅m(3.6):
C n=C 0⋅( 1+i( 2) )
4
C n=10 . 000⋅( 1 , 02 ) =10 . 824 €
b)
De (3.6):
Solución = 10.824€.
n⋅m
C n=C 0⋅( 1+i( 12 ))
24
C n=10 . 000⋅( 1 , 003305 ) =10 . 824 , 30 €
c)
d)
Solución = 10.824,3€
A que son equivalentes; efectivamente, si calculamos su interés efectivo anual
con (3.8):
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19

Paraninfo
i=( 1+i (2 ))2 −1=( 1+0 ,02 )2 −1=0 ,04
i=( 1+i (12 ))12−1=( 1+0 , 003305 )12−1=0 , 04
9º)
En los dos casos el interés efectivo anual es del 4%.
¿Produce el mismo montante en capitalización compuesta el 12% efectivo anual que
el 1% efectivo mensual? ¿Cuál es su tanto equivalente mensual?
No, los tantos equivalentes en capitalización no son proporcionales al tiempo.
1
1
El equivalente
mensual al 12%
efectivo anual es:
12
12
i( 12)= ( 1+i )
−1= ( 1+ 0 ,12 )
−1=0 , 00948
i =0 , 00948
Solución: ( 12)
, es decir, el 0,948% mensual.
10º) Bautista Flores Tercero acude a tres entidades financieras para informarse sobre lo
que le puede costar un préstamo de 25.000€ con devolución a los dos años y medio
en un solo pago. Las entidades le dan la siguiente información:
a) Entidad A, tanto nominal anual capitalizable semestralmente del 12%.
b) Entidad B, tanto nominal anual capitalizable mensualmente del 12%.
c) Entidad C, tanto nominal anual capitalizable trimestralmente del 12%.
¿Qué opción elegirá?
j(m )
Partiendo
de (3.11):
i( m )=
m
0 ,12
Por tanto: i( 2)= 2 =0 , 06
0 ,12
=0 ,01
Entidad A: i( 12)=
12
0 , 12
=0 , 03
Entidad B: i( 4 )=
4
Entidad C:
A través de (3.8) calculamos
los efectivos anuales:
2
i=
(
1+0
,
06
)
−1=0
,1236
Entidad A:
12
Entidad B: i=( 1+0 , 01 )4 −1=0 , 1268
Entidad C: i=( 1+0 , 03 ) −1=0 , 1255
Solución: Elegirá la entidad A.
11º) ¿Qué es más rentable, una operación al 2% de interés efectivo semestral o una al 4%
de nominal anual capitalizable mensualmente?
Calculamos los tipos de efectivo equivalentes.
© Ediciones Paraninfo
20

Paraninfo
A través de2 (3.8):
i=( 1+i (2 ) ) −1=( 1+0 ,02 )2 −1=0 ,0404
es decir, el 4,04% anual.
0 , 04
j(m )
i
=
=0
,
00333
iA( mtravés
=
12
)
12
mde (3.11):
A través de (3.8):
i=( 1+i 12 )12−1=( 1+0 , 00333 )12−1=0 , 0407
es decir, el 4,07% anual.
Solución: La segunda.
12º) Calcular el tiempo que debe durar una operación financiera al 7% de interés efectivo
anual para que se triplique un capital.
La ecuación
C n (3.3) por las propiedades de los logaritmos también se puede expresar
de lalnsiguiente forma:
n=
n=
( )
C0
ln ( 1+ i )
(
)
3 C0
ln
Por tanto:
C0
ln ( 1, 07 )
=
ln 3
=16 , 23
ln ( 1, 07 )
Solución: 16 años, 2 meses y 22 días.
13º) Sabemos que 10.000€ colocados al 2% semestral en capitalización simple durante un
semestre producen un montante que coincide con el del 2% semestral en
capitalización compuesta durante un semestre. ¿Coincidirían los montantes si la
operación durase un año?
La capitalización simple coincide con la compuesta cuando ambos intereses son
similares para periodos iguales a la unidad.
Si n=1  capitalización compuesta = capitalización simple.
Si n>1  capitalización compuesta > capitalización simple.
Si n<1  capitalización compuesta < capitalización simple.
i =0, 02
El tipo de interés coincidente es semestral ( 2)
, por tanto un año implica n=2
>1.
14º) Calcular el montante que producen 25.000€ si se colocan al 3% anual en
capitalización compuesta durante 3 años y 7 meses:
a) Usando convenio exponencial.
b) Usando convenio lineal.
a)
Convenio exponencial.
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21

Paraninfo
Expresando también
los meses en años
y )usando (3.13):
( 3+7 12
(t+ f )
C n=C 0⋅( 1+ i )
b)
=25 . 000⋅( 1+0 , 03 )
t
3 , 583
=25 . 000⋅( 1+0 , 03 )
3
=27 . 793 ,30 €
( 120 , 03⋅7)=27 . 796 , 24 €
C n=C 0⋅( 1+
i) ⋅( 1+i( m)⋅f )=25 . 000⋅( 1+0 , 03 ) ⋅ 1+
Convenio
lineal:
Solución = Convenio exponencial = 27.793,3€ / convenio lineal = 27.796,24€.
15º) Sabemos que un depósito a plazo fijo acumula los intereses diariamente, si su tipo de
interés efectivo anual es del 3%, ¿cuál es su tanto nominal anual?
Como la capitalización es diaria podemos suponer que la frecuencia de capitalización
es infinita, por tanto, aplicando (3.12):
j ( ∞ ) =ln ( 1+0 ,03 )=0 , 02955
Solución = Tanto instantáneo del 2,955% anual.
16º) La publicidad de un depósito a plazo fijo de un banco nos dice que los intereses se
calculan diariamente y que su tanto instantáneo es del 4% anual. ¿Cuál será el
interés
efectivo
j(∞ )=ln
( 1+i ) anual equivalente?
Usando (3.12):
0 , 04=ln ( 1+i )
Para despejar i:
ln ( 1+i )
0 ,04
=1+i
=
e
e
Por tanto:
1,0408=1+i
i=0,0408
Solución = Efectivo anual del 4,081%.
17º) La empresa BBSA desea colocar sus ahorros en algún tipo de producto financiero
para intentar obtener la máxima rentabilidad posible. Acude a una entidad
financiera , la cual le ofrece los dos siguientes:
a) Producto A, que le proporciona un 8% nominal anual, capitalizable
mensualmente, con una comisión de reembolso al final del mismo (T.A.E del 6%
según la publicidad del folleto publicitario).
b) Producto B, rentabilidad del 6,5 % nominal anual, capitalizable mensualmente, sin
comisiones.
¿Qué opción elegirá?
a) TAE = 6 %
b) J(12) = i(12) · 12  0,065 = i(12) · 12  i(12) = 0,00541666  i = (1,00541666) 12 – 1 =
0,06697
TAE = 6,69 %
Solución: Elegirá la opción del apartado b.
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22

Paraninfo
18º) A la empresa Xa´s le han ofrecido un producto de ahorro con las siguientes
características:
a) Efectivo nominal anual del 12% capitalizable mensualmente.
b) Comisión de reembolso del 1,5% sobre la cantidad reembolsada.
c) T.A.E. del 10, 99%.
Si invierte 10.000 € durante 1 año.
a)¿Qué montante bruto le generará la operación al final del primer año?
b) ¿Qué efectivo se le reembolsará al final del año después de aplicarle la comisión?
c)¿Que significa la T.A.E.?
Si otro banco le ofrece un producto que le genera un 15% anual, T.A.E. del 10% ¿lo debería
elegir?
a) Cn =10.000 ( 1,01) 12 = 11.268,25€
b) Disposición bruta:
Capital final
11.268,25€
- Comisión reembolso -169,02€
Disposición neta 11.099,23€
c) 10.000(1+i) = 11.099,23€  i= 0,1099  TAE= 10,99%
Esta TAE nos indica que 10.000€ al 10,99% le proporcionan una disposición neta
final de 11.099,23€ (es decir, comisiones descontadas).
d) No. TAE = 10% < 10,99%
19º) Un empresario ha recibido de un banco dos propuestas diferentes para un préstamo
de 8.000 €:
a) Devolverlo dentro de 20 meses en un único pago, al 6% de interés efectivo anual, sin
comisiones de amortización ni de apertura.
b) Devolverlo dentro de 20 meses en un único pago al 5,5% de interés efectivo anual,
con una comisión de apertura de 500 y unos gastos de estudios de 100€.
Calcula:
a) El montante que devolvería si elige el primer préstamo.
b) El montante que devolvería si elige el segundo préstamo.
c) La T.A.E. de cada uno de los préstamos bancarios ofertados.
d) ¿Qué opción elegirá?
a)
Cn =C0 (1+i(12))n =8.000 ( 1,0048675)20 = 8000·1,1019869=8.815,89€
1
i( 12) =( 1+i )
b)
12
1
−1=( 1+ 0 , 06 )
12
−1=0 , 0048675
Cn =C0 (1+i(12))n =8.000 ( 1,0044717)20 = 8000·1,0933371=8.746,69€
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23
Paraninfo
1
1
i( 12)= ( 1+i ) 12 −1= ( 1+ 0 , 055 ) 12 −1= 0 , 0044717
c)

c.1) En el primer préstamo bancario no existen comisiones, luego T.A.E. = i
·100=6%
c.2)
Al existir comisiones no coincidirá T.A.E. e interés efectivo anual:
Capital inicial bruto: 8.000 €
Comisión apertura
-500€
Gastos de estudio
-100€
---------------------------------------------Capital inicial neto recibido: 7.400€
Capital final:
8.746,69 dentro de 20 meses
Calculamos el tipo de interés de una operación en capitalización compuesta con las
siguientes características:
8.746,69 = 7.400 (1+i(12))20
Si
aplicamos
( )
Cn
i=
C0
1/n
−1
(
8 .746 , 69
= 7 . 400
directamente
(3.4):
) −1
1/20
=0,008395
Luego el interés mensual es del 0,8395%, pero recordemos que la T.A.E. debe
expresarse en tanto por cien y referida al año, por lo que aplicando (3.15):
TAE = [(1+im)m –1] ·100 = [(1+0, 008395)12 –1] ·100 =10,55 %
TAE = 10,55%
Tema 4 “EL DESCUENTO SIMPLE Y COMPUESTO”
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24

Paraninfo
1º) Calcular la cantidad que se descuenta comercialmente a una letra cuyo nominal es de
2.000€, que vence dentro de 60 días y a la que se le aplica un tanto simple de
descuento del 8% anual. ¿Qué efectivo se entregará? Año comercial.
dC
0 , 08
Siguiendo
DC =N⋅ (4.6):
⋅n=2. 000⋅
⋅60=26 ,67 €
360
360
D =26 , 67 €
Solución = C
ElE=N
efectivo:
−D =2 . 000−26 , 67=1. 973 , 33 €
C
Solución = E=1.973,33€.
2º) Sabemos que en una letra que vencía a los 90 días descontaron 35€ al aplicarle el 9%
de tanto
de descuento
DC⋅360
35⋅360 simple comercial anual. ¿Cuál fue el nominal? Año comercial.
N= (4.8): =
=1 .555 , 56 €
Con
d C⋅n
0 , 09⋅90
Solución = N = 1.555,56€.
3º) ¿A qué tipo de descuento simple comercial se descontó un capital que vencía a los 20
días, siDsu⋅360
nominal era de 3.500€ y el descuento ascendió a 12€? Año comercial.
12⋅360
C
Con
d C =(4.10): =
=0 ,0617
N⋅n
3 . 500⋅20
Solución = 6,17%.
4º) ¿Cuánto duró una operación de descuento si sabemos que el tanto simple comercial
era del
10% anual
y que se descontarán 15€ a un nominal de 2.000€. Año comercial.
DC⋅360
15⋅360
n=
=
=27
Con (4.10):
N⋅d C
2. 000⋅0,1
Solución = 27 días.
5º) Un comerciante tiene concertada con una oficina de Madrid del banco BAZA una línea
de descuento. El día 18 de junio de 2011 procede a la entrega en el banco de una
remesa de efectos para ser descontados con las siguientes características:
Características
Librado
Fecha emisión
Fecha vto.
Plaza
Importe
Domic. y acept. Lasa
09/04/11
28/06/11
Madrid
5.600
No domic. y acept.
Sogesa
21/03/11
17/07/11
Madrid
250
Domic. y acept. Estansa
08/06/11
27/07/11
Madrid
890
No acept. y no Belbesa
29/02/11
15/08/11
Teruel
1.500
Domic.
El tipo de descuento que aplica el banco BAZA en función del número de días de descuento
es (mínimo 14 días):
Tipos de descuento:
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25

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Hasta 30 días
De 31 a 60 días
De 61 a 90 días
De 91 a 180 días
De 181 a 1 año
5,25%
5,50%
6%
6,50%
7,25%
Gastos de correo
Efectos domiciliados aceptados
0,21€
6€)
Efectos domiciliados no aceptados
0,53€
6,1€)
Efectos no domiciliados
0,53€
6,2€)
Comisión de cobro:
0,5% Nominal (min.
1% Nominal (min.
1,5% Nominal (min.
Comisión de timbrado: 0,1€
TIMBRES:
Hasta 500 euros  1,6€
De 501 a 3.000 euros  14€
De 3.001 a 6.000 euros  30€
Comisión por devolución: 5,75% sobre Nominal (min. 12€).
Comisión de gestión protesto ante notario: 12€ por efecto.
Calcular:
a) El efectivo que ingresará el banco al comerciante.
b) Llegado el vencimiento del efecto de Estansa, éste resulta impagado. Calcular la
cantidad que se cargará en la cuenta de garantía del cliente, si este efecto venía con la
cláusula “con gastos”.
c) El 31-10-11 vence la línea de descuento de este comerciante, por lo que procede a
renovarla por un año con un límite de 12.000 euros. Calcular la comisión bancaria
pertinente (comisión de estudio de clasificación comercial 2,5% mínimo 30 euros).
a)
Librado
Plaza
Tipo descto.
Lasa
Madrid
Sogesa
Madrid
Estansa
Madrid
5,50
Belbesa
Teruel
Totales
Descto.
Porcent. cobro
Timbre
11,43
0,5%
1,06
1,50%
5,30
0,5%
13,29
1,50%
Totales : 31,05
59,6
Nominal
Fecha vmto. Días
5.600
250
28/06/11
14
17/07/11
29
890
27/07/11
1.500
8.240
15/08/11
28,00
6,20
6,00
22,50
Importe
0,21
0,53
0,21
0,53
62,70
N.
Comerc.
78.400
5,25
7.250
5,25
39
34.710
58
87.000
207.360
Correo Comis.
0,10
0,10
0,10
0,10
1,48
5,50
Timbrado
30,00
1,60
14,00
14,00
0,4
Liquidación
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26

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Suma nominales ................................8.240,00
- Dscto. Intereses .............................-31,05
- Comisión cobro .............................-62,70
- Correo .............................................-1,48
- Timbres ...........................................-0,40
- Comisión timbrado .......................-59,60
Efectivo
8.084,77€
Solución = 8.084,77€.
b)
c)
La cláusula con gastos indica que hay que protestar el efecto para llevar a cabo la
acción de regreso. Al cliente se le cargará:
Nominal................................................. 890
Comisión devolución............................ + 51,18
Protesto................................................. + 12
TOTAL
= 953,18€
Solución = 953,18€
La comisión de renovación será la de estudio de clasificación comercial:
Límite
línea2,5
x Comisión
=12 . 000⋅
=300 € de estudio =
100
Solución = 300€
6º) Un banco establece las siguientes condiciones para la negociación de una remesa de
efectos:
Descuento: al 10% anual simple.
Comisión de cobro:
Si el vencimiento es inferior a 60 días:
4‰ efectos domiciliados (mínimo 2,5€).
7‰ efectos no domiciliados (mínimo 2,7€).
Si el vencimiento es superior a 60 días:
6‰ efectos domiciliados (mínimo 5€).
12‰ efectos no domiciliados (mínimo 5,5€).
Gastos de correo: 0,50€
Comisión timbrado: 0,3€
Calcular:
a) El líquido entregado en la siguiente remesa si todos los efectos ya vienen timbrados:
Nominal
Días descuento
Domiciliado
10.000
100
SÍ
900
80
NO
6.000
25
SÍ
5.500
25
NO
b) Si el banco le ofrece al cliente aplicar un tanto único del 12% anual simple en la
negociación, ¿es interesante para el librador?
c) ¿Cuál sería el For-Fait ideal de la operación del apartado a?
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27

Paraninfo
a)
Nominal
Dscto.
10.000
900
6.000
5.500
Totales = 22.400
377,64
Día
100
80
25
25
1.000.000
72.000
150.000
137.500
1.359.500
COMISIONES
Porcentaje
comisión cobro
Comisión timbrado timbre
0,6%
60
1,2%
10,8
0,4%
24
0,7%
38,5
133,3
Líquido entregado:
Nominales:
- Dscto. Intereses:
- Comisión cobro:
- Gtos. Correo:
- Comisión timbrado:
- Gtos de timbre:
Efectivo =
N. COMERC.
Tipo
10%
10%
10%
10%
dscto.
277,78
20,00
41,67
38,19
Importe
Correo
0,50
0,50
0,50
0,50
2,00
-
-
22.400
- 377,64
- 133,3
- 2,00
0
0
21.887,06
Si se aplica un Fort-Fait del 12% el líquido entregado sería:
Nominal
Días
Nº COMERC.
Tipo descto. Descuento
10.000
100
1.000.000
12%
333,33
900
80
72.000
12%
24,00
6.000
25
150.000
12%
50,00
5.500
25
137.500
12%
45,83
Totales = 22.400
453,16
b)
Efectivo=∑
Nominales
−∑
Descuentos
=22.400−453,16=21.946,84€
Solución = Le interesa al librador.
c)
Según 4.16:
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28

Paraninfo
Solución = 13,58%
Por tanto, un descuento a un tanto fijo inferior al 13,58% le interesa al librador.
7º) Una empresa presenta a negociación en una entidad bancaria los siguientes efectos ya
timbrados el día 10 de mayo:
Nominal
Vto.
Domiciliado Aceptado
Gastos Correo.
10.000
20 mayo
NO
SÍ
0,80
4.500
30 junio
SÍ
SÍ
0,50
5.300
15 julio
SÍ
SÍ
0,50
2.200
16 agosto
NO
NO
0,80
1.000
19 agosto
SÍ
SÍ
0,50
El banco tiene las siguientes condiciones:
Tipo de descuento:
12% vencimientos hasta 30 días.
15% vencimientos de 30 días a 60 días.
18% vencimientos de 60 días a 90 días.
20% vencimientos más de 90 días.
Comisiones de cobro:
Efecto domiciliado y aceptado
Efecto domiciliado y no aceptado
Efecto no domiciliado y aceptado
Efecto no domiciliado y no aceptado
5‰
Calcular el efectivo recibido por el cliente.
Nominal
Fecha Vcto. Días
10.000
20 Mayo
10
33,33
4.500
30 Junio
51
95,63
5.300
15 Julio
66
174,9
2.200
16 Agosto
98
119,78
1.000
19 Agosto
101
56,11
TOTALES = 23.000
479,75
COMISIONES Y GASTOS
Porcentj. Comis. Cobro Import.
Timbre
0,6%
60,00
0,80
0,5%
22,5
0,50
0,5%
26,5%
0,50
0,8%
17,6
0,80
0,5%
5,00
0,50
131,6
3,10
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7‰
6‰
8‰
Nº COMER
100.000
Tipo Dscto.
12%
Dscto.
229.500
15%
349.800
18%
215.600
20%
101.000
20%
995.900
Correo
COMIS.
-
Timbrado
-
29

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Líquido:
Nominal......................................... 23.000
-Dscto. Intereses........................... –479,75
-Comisión cobro........................... – 131,6
-Gastos correo..............................
– 3,10
EFECTIVO.................................. 22.385,55€
Solución = 22.385,55€
8º) Calcular el For-Fait ideal de la actividad anterior.
Utilizando (4.16):
Solución = Un For-Fait equivalente al 22,21% anual.
9º) La empresa ALBALUM S.A. lleva a su entidad financiera una remesa de efectos de
nominales 2.000, 7.000, 3.000 y 5.500€, que vencen a los 30, 35, 60 y 85 días. La
entidad financiera aplica para descontar comercialmente un tanto de For-Fait del 9%
anual. Calcular el efectivo que le entregarán a la empresa. Año comercial.
Nominal
Días
N.COMERCIALES
2.000
30
60.000
7.000
35
245.000
3.000
60
180.000
5.500
85
467.500
TOTAL = 17.500
952.500
4
dc
0 , 09
DCcantidad
= ∑ NCdescontada
=952.será
500⋅según=238
, 13 €
La
h⋅
360
360 (4.13):
h=1
ElE=N
efectivo:
−D =17 . 500−238 , 13=17 . 261 , 87 €
C
Solución = 17.261,87€
10º) Calcular el tanto de descuento fijo que aplicado a la remesa de la actividad 5 daría los
mismos líquidos (For-Fait ideal). Año comercial.
Solución = For-Fait ideal del 26,95% anual.
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30

Paraninfo
11º) Calcular la cantidad que se descontará a un capital de 5.000€ que vence dentro de 105
días, al N⋅d
8% anual
de
descuento
simple42.
racional
5 .000⋅0
, 08⋅105
000 anual. Año comercial.
r⋅n
D
=
=
=
=114 €
A través
de (4.18):
r
360+ dr⋅n 360+ 0 ,08⋅105
360+ 8,4
Solución = 114€.
12º) ¿Qué efectivo se entregará al descontar una letra que vence dentro de 87 días, de
10.000€ de nominal si se aplica el 8% de tanto simple de interés? Año comercial.
Se habla de descontar una letra a un tanto simple de interés, luego debemos entender
que es el descuento racional, ya que éste al fin y al cabo es una operación invertida de
la capitalización simple.
Si usamos (4.19):
Solución d=c9.810,33€. 0 ,08
DC =N⋅ la⋅n=10.
000⋅ a ⋅87=123
,33 €
13º) Descontar
360 anterior letra
360 un tanto simple comercial de descuento del 8% anual y
calcular su efectivo.
E=N −DC =10 . 000−193 , 33=9. 806 , 67 €
Solución = 9.806,67€.
14º) Capitalizar al 8% de interés simple los efectivos de los ejercicios 12 y 13. ¿Cuál no
alcanza el nominal? i¿Por qué?
0 , 08
C ndescontada
=C 0⋅ 1+ racionalmente:
⋅n =9 . 810 , 33⋅ 1+
⋅87 =10 . 000 €
a)
La
b)
( 360 )
( 360 )
( 360i )
0 ,08
⋅87) =9 . 996 , 27 €
( 360
C ndescontada
=C 0⋅ 1+ comercialmente:
⋅n =9 . 806 , 67⋅ 1+
La
No alcanza el nominal la descontada comercialmente, pues sus intereses de
descuento se calculan sobre el nominal y no sobre el efectivo, como ocurre en el
descuento racional.
Solución = La segunda.
15º) Los descuentos comercial y racional de un efecto han sido, respectivamente, 11 y 10€,
¿cuál D
esc⋅D
el nominal
11⋅10del efecto?
110
r
N=
=
=110 por
€ producto, por lo que a través de (4.23):
Lo más sencillo es usar=la relación
Dc −Dr 11−10
1
Solución = 110€.
16º) Sabemos que si a un nominal lo multiplicamos por 0,14 obtenemos la cantidad
descontada comercialmente. Si también sabemos que esa misma operación, pero
racionalmente, produce un descuento de 28€, ¿cuál es el nominal del efecto? Año
comercial.
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31

Paraninfo
d
En
descuento
D el=N⋅
⋅n comercial:
c
360
D =N⋅0,14
dc
luego
⋅n=0 , 14
360
de ahí deducimos que
d
D c −D
⋅n
r =D
r⋅
Por
(4.22)
obtenemos
360 que:
Dc −Dr =Dr⋅0 , 14
, por tanto,
r =28 €
Sabemos
que D,14
D c −28=28⋅0
⇒ D c =3 , 92+28=31 , 92
dc
D c =N⋅ ⋅n→31, 92=N⋅0 , 14→ N=228 €
360
Si
Solución = 228€.
17º) Sabemos que dividiendo un nominal por 1,07 obtenemos el efectivo de una operación
racionalmente descontada. Si el descuento comercial asciende a 8€, ¿cuál es su
descuento racional? Año comercial.
A través de (4.25):
Solución = 7,48€.
18º) Se descuenta comercialmente un efecto al 12% durante 9 meses, ¿a qué tanto de
interés habrá que descontar racionalmente el mismo para que ambos descuentos
sean360⋅0
iguales?
,12Año comercial.
d
=
=0 , 1318
A rtravés de (4.28) y poniendo
el tiempo en días:
360−0 , 12⋅( 9⋅30 )
Solución = 13,18%.
19º) Se descuenta comercialmente un efecto al 12% durante 6 meses. ¿A qué tanto de
360⋅0
,12 que descontar racionalmente el mismo para que ambos descuentos
interés
habrá
d
=
=0 , 1276
r iguales? Año comercial.
sean
360−0 , 12⋅6⋅30
Solución = 12,76%.
20º) Con los datos del ejercicio 18 descuenta una letra de nominal 1.000€ comercial y
dc
racionalmente.
0 ,12
D
=N⋅
⋅n=1 .000⋅
⋅270=90 €
c
Comercialmente:
360
360
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32

Paraninfo
N⋅d r⋅n
1. 000⋅0 , 1318⋅270
DR =
=
=89 ,96 €
Racionalmente:
360+d r⋅n 360+0 , 1318⋅270
≃~ 90€
Solución: 90€.
El efectivo en sendos casos: E = N – D = 1.000 – 90 = 910€
21º) Con los datos del ejercicio 19 descuenta una letra de nominal 1.000€ comercial y
racionalmente.
¿Qué ocurriría si hubiésemos puesto como tanto racional el 13,18%?
d
0 ,12
Comercialmente:
Dc =N⋅ c ⋅n=1 .000⋅
⋅180=60 €
360
360
N⋅d r⋅n
1. 000⋅0 , 1276⋅180
DR =
=
=59 ,97 €
Racionalmente:
360+d r⋅n 360+0 , 1276⋅180
≃~ 60€
Solución = 60€.
El efectivo en sendos casos: E = N – D = 1.000 – 60 = 940€
22º) Un empresario que tiene un efecto en cartera observa que le es indiferente
descontarlo comercialmente al 10% anual racionalmente al 10,5263% anual ¿Cuándo
vence
el (efecto?
comercial.
360⋅
d r −d c ) Año
360⋅
( 0 , 105263−0,1 )
n=
=
=179
Con (4.29) podemos obtener el tiempo en
días:, 99
dr⋅d c
0 , 105263⋅0,1
días ≃~ 180 días
Solución = 180 días.
23º) Calcular el efectivo entregado y el descuento realizado a un capital de 5.000€ que
vence dentro de 19 meses si se aplica un tanto de descuento compuesto del 8% anual.
(Usar tiempo en meses.)
1
A través de (4.34) calculamos
el tanto de descuento mensual equivalente:
d c ( 12) =1−( 1− 0 ,08 )
12
=0 , 006924
n
Con
(4.30)
expresando
tanto
y el tiempo
la ,misma
E=N⋅
1−d
=5 . 000⋅el( 1−0
,006924
)19=4 en
.381
61 € unidad temporal:
(
c
)
ElDdescuento:
=N−E=5 .000−4 .381 , 61=618 , 39 €
c
Solución = E=4.381,61€ / DC=618,39€.
24º) Calcular el tanto de interés compuesto anual que permitiría obtener el mismo efectivo
0 , 08
en la doperación
anterior si se descontase racionalmente.
c
i=
=
=0 , 08695
La relación
entre,08
el descuento compuesto racional y comercial es (4.41):
1−d c 1−0
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33

Paraninfo
Solución = 8,695% anual.
25º) Comprobar que el capital de la actividad 23 descontado racionalmente al 8,695%
anual da lugar
al mismo efectivo.
(Tiempo en meses.)
1
1
12
12
Habrá
el( 1+
interés
mensual
equivalente:
i( 12)=(que
1+i )hallar
−1=
0 , 08695
) −1=0
,006972
Usando (4.36)
−n donde intereses y tiempo
−19 se miden en meses:
E=N⋅( 1+i ) =5 . 000⋅( 1+0 , 006972 )
=4 . 381, 61 €
Solución = 4.381,61€
26º) Artemio González lleva a su banco una letra que vence dentro de 60 días por un
nominal de 5.500€ para que le gestionen el cobro. El banco le cobra una comisión del
3‰ (mínimo 3€) y unos gastos de correo de 30 céntimos de euro. ¿Cuándo y cuánto le
ingresarán a Artemio? IVA 18%.
En gestión de cobro no hay anticipo, luego le ingresarán el dinero cuando pague el
librado (en principio dentro de 60 días).
( 3⋅5
. 500 ) ingresado:
En cuanto al
efectivo
=16 ,5 €
1 . 000
Comisión:
IVA=0,18⋅16 ,5=2,97 €
Efectivo=N−Comisión−IVA−Gastos=5. 500−16 ,5−2, 97−0,30=5 . 480 ,23
Solución = dentro de 60 días un efectivo de 5.480,23€.
Tema 5 “CONJUNTOS DE CAPITALES”
1º)
Disponemos de tres letras de un cliente que vencen el 10 de mayo, 15 de junio y 18
de julio de nominales 6.000, 4.500 y 3.300€ respectivamente. La empresa le propone
al librado sustituirlos por una única el 12 de junio. Si se pacta un tanto simple del 8%
anual y el día del acuerdo es el 5 de mayo, ¿de qué cuantía debería ser la letra? Año
civil.
3
h=1 C h
Días
N. COMERC
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6.000
5
30.000
4.500
41
184.500
3.300
74
244.200
TOTALES = 13.800.
458.700
El divisor fijo:
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34

Paraninfo
Solución = 13.814,52€.
2º) La empresa Cristalería Escribano tiene que pagar cuatro letras de 5.000, 3.500, 2.000
y 1.000€ de nominales los días 3 de marzo, 14 de abril, 16 de abril y 20 de mayo
respectivamente. Sabe que el día 16 de abril va a recibir un ingreso en su cuenta
corriente de un depósito a plazo fijo que vence por un importe de 11.505€. ¿Podría
pagar todas sus deudas en esta fecha en el importe del depósito bancario si la
compensación se pacta al 6% simple anual? Año civil. Día del acuerdo 1 de marzo.
Ch
Días
N.COMERC
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5.000
2
10.000
3.500
44
154.000
2.000
46
92.000
1.000
80
80.000
365
Df =
=6 . 083 , 33
TOTALES
= 11.500.
336.000
0 ,06
6 .083 ,33⋅11.500−336.000
=11. 531, 97 €
6 .083 ,33−46
'
C K = por (5.4):
Luego
Solución = No tiene suficiente, precisa 11.531,97€.
3º)
¿A qué tipo de interés debería negociar la operación el gerente de Cristalería
Escribano para tener suficiente con el dinero del depósito bancario?
D
Trabajando con (5.4) nuestra incógnita es f :
D
f
Despejando
11. 505⋅D −529: .230=11. 500⋅D −336 . 000
f
365 230
5⋅D
Df =193.
=
f
f
Df =38 . 646
i
365
→i=0 ,0094
Si38 .646=
entonces:
i
Solución = 0,94% anual.
©Ediciones Paraninfo
35

Paraninfo
4º)
Tenemos tres deudas de 2.000, 4.000 y 3.500€, que vencen el 20 de mayo, 1 de abril
y 13 de julio respectivamente. La empresa sabe que dispone de 10.000€ a partir del
15 de agosto. ¿Podría sustituir esas deudas por los 10.000€ si se negocia la operación
al 8% simple anual y se llega al acuerdo el 1 de marzo? Año civil.
Vamos a calcular cuándo es equivalente ese conjunto de capitales a un capital de
10.000€.
Ch
Días
N. COMERC.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2.000
27
54.000
4.000
31
124.000
3.500
103
360.500
365
=4 .562 , 5
Totales:D9.500
538.500
'
f=
C K =10. 000 € .
0 ,08
el capital que sustituye a los demás es
4 .562 , 5⋅( 10 .000−9 . 500 )+538. 500
Aplicando
(5.5):
nK=
=281 , 97
10 . 000
días.
Solución = Hasta el 15 de agosto faltan 136 días, luego puede, ya que vencería más
tarde ese capital (281,97 días).
5º) Se desean sustituir dos capitales de 3.325 y 2.200€, que vencen el 11 de marzo y 16
de abril respectivamente, por un capital de 5.800€. Si se pacta la sustitución al 10%
anual y se llega al acuerdo el 3 de marzo, ¿cuándo será equivalente? Año civil.
Ch
Días
N. COMERC.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3.325
8
26.600
2.200
44
96.800
365
D
=
=3
.
650
Totales: f5.525
123.400
'
C K =5. 800 €
0,1
y
3 .650⋅( 5 .800−5 .525 ) +123 . 400
Aplicando
(5.5):
nK=
=194 ,33
5 . 800
aproximadamente 194 días.
6º)
Solución = Dentro de 194 días, es decir, el 13 de septiembre.
¿Cuándo es equivalente un capital de 6.000€ con respecto a tres capitales de 2.000€
cada uno que
' vencen dentro de 30, 60 y 90 días?
C
El capital K es la suma del conjunto de capitales, luego estamos ante el vencimiento
medio:
Ch
Días
N.COMERC.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2.000
30
60.000
2.000
60
120.000
2.000
90
180.000
6.000
360.000
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36

Paraninfo
360 . 000
(5.6):
n K =Aplicando =60
6 . 000
días.
Solución = dentro de 60 días.
30+60+90
Se
aplicar (5.7)
n Kpodría
=
=60pues todos son de igual cuantía:
3
días.
7º)
Sabemos que la cuantía de un capital que vence dentro de 6 días es el doble que la
de otro capital que vence dentro de 12 días, y éste el triple de la de un tercero que
vence dentro de 20 días. Valorando la operación al 7% de interés simple anual, un
capital de cuantía igual a la suma de las tres anteriores, ¿cuándo será equivalente?
C3 →C ante el caso del
n3 =20
Estamos
vencimiento medio, pues el capital que sustituye al grupo
de
capitales
es
la
suma
de
la cuantía de estos.
C2 =3 C
n2 =12
Planteando
la C
relación de
C =3 C⋅2=6
n capitales:
=6
1
1
Ch
Días
N. COMERC.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6C
6
36C
3C
12
36C
C
20
20C
10C
92C
Sabemos por (5.6) que:
nK=
∑ NC →n =92 C =9,2
C'K
K
10 C
días.
8º)
9º)
Solución = A los 9 días.
¿Qué ocurriría en la actividad anterior si el pacto se hiciese al 9% de interés simple
anual?
Igual solución, ya que el vencimiento medio es independiente del interés.
Un empresario tiene letras pendientes por 6.000€ cada una todos los primeros de
mes de un año. El día 2 de enero, gracias a un premio de lotería, decide cancelar las
once letras pendientes del año. Si se pacta al 10% de descuento simple, ¿cuánto
deberá desembolsar? Tiempo en meses. Usar la propiedad del vencimiento medio.
Una de las propiedades del vencimiento medio se encuentra en que si el capital que
le corresponde a éste es equivalente al conjunto de capitales, dará el mismo
resultado descontarlo a él11⋅12
que descontar cada uno de ellos.
1+2+3+.
..
..+11
2 66 en cuantía podemos usar (5.7):
Como
n = todos los capitales
= son similares
= =6
K
11
©Ediciones Paraninfo
11
11
37
Paraninfo

'
C K =6 .000⋅11=66 . 000 €
El capital
con vencimiento en n K =6 meses sabemos que es
equivalente
a las letras
0,1 pendientes, podemos descontarlo en lugar de hacerlo con el
C'0 K =66 .de
000⋅
1− ⋅6 =62 .700 €
conjunto
capitales:
( 12 )
Solución = 62.700€.
10º) Se pacta sustituir dos letras de 2.500€ y 1.300€ con vencimientos dentro de 15 y 55
días respectivamente, por una dentro de 40 días. Si se negocia un interés simple
racional del 7%, ¿a cuánto ascenderá el capital? Año civil.
A través de (5.8):
Haciendo
cálculos:
C'K =3. 808 , 25
Solución = 3.808,25€.
11º) Se desean sustituir seis letras de 5.250€ cada una, que vencen los 15 de cada mes
desde mayo, por una única de 31.500€, ¿en qué fecha se deberán pagar si hoy es 30
de abril? Interés: 12% anual. Año civil.
La' suma de las letras es 31.500€, luego:
C K =6⋅5 . 250 € =31. 500
Estamos ante el vencimiento medio, por lo que podríamos usar (5.6).
Pero además todas las letras son de igual cuantía por lo que podemos usar (5.7):
nK=
15+ 46+76+ 107+138+168
=91 ,6
6
aproximadamente 92 días.
Solución = 31 de julio.
12º) Un comerciante vende un televisor por 1.000€, pactando con el cliente un único pago
dentro de 155 días. Cinco días después de la venta, el cliente desea aplazar el
importe en diez letras de 100€ cada una. Si el cliente le pide al empresario que entre
letra y letra pasen 30 días, ¿cuándo vencerán? Interés comercial: 5% anual.
10
Deseamos sustituir un pago de 1.000€ que vence dentro de 150 días (desde la
n h por diez letras de 100€, luego podemos aplicar (5.7):
∑
negociación),
m+ ( n+ 30 ) + ( n+60 ) + ( n+ 90 ) + ( n+120 )+ ( n+150 ) + ( n+180 ) +
h=1
nK=
t
→150=
10
+ ( n+210 ) + ( n+240 )+ ( n+290 ) 10 n+1 .350
=
;
10
1. 500=10 n+1. 350→10 n=150
n=15 días.
Solución = Contando desde la negociación a los 15 días, 45 días, 75 días, 105 días...
13º) Sabemos que tres capitales de 2.000, 3.500 y 7.000€ que vencen dentro de 12, 17 y
20 días, fueron sustituidos por un único capital de 12.800 que vence dentro de 30
días. ¿A qué tanto comercial se pactó la operación? Año civil.
© Ediciones Paraninfo
38

Paraninfo
Ch
Días
N. COMERC.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2.000
12
24.000
3.500
17
59.500
7.000
20
140.000
D
⋅
(
12.
800⋅12
.500
)
+223.
500 223.500
f
Totales30=
= 12.500
12 . 800
Podemos
aplicar
384 . 000=300
D(5.4)
+223o.(5.5),
500 usamos esta última:
f
160 .500=300 D f →D f =535
Sabemos que:
Df =
m
365
→535=
→i=0 , 6822
i
i
Solución = Al 68’22% anual.
14º) Un comerciante vende una mercancía por 8.500€, pactando el pago de la misma a
través de doce letras de igual importe, la primera con vencimiento dentro de 30 días
y el resto con una diferencia también mensual entre vencimientos. Ese mismo día
acude a su banco habitual para descontarlas comercialmente. Si se sabe que el banco
le aplica, entre gastos, descuentos y comisiones, un For-Fait ideal del 14% anual, ¿en
cuánto debería incrementar el precio de venta al contado para que el efectivo
entregado por el banco coincidiese con éste? Año comercial. Usar la propiedad del
vencimiento medio.
Sabemos que es similar descontar comercialmente un conjunto de capitales que
descontar el capital equivalente del vencimiento medio.
Ese' capital será:
C K =12⋅L
Siendo L el importe de cada letra.
12⋅13
Y el vencimiento
medio
(en
meses):
1+2+3+. .. .. .+11+12
2
nK=
=
12
12
=
78
=6,5
12
meses.
'
n =6,5 meses es equivalente a doce letras con vencimiento
El capital C K =12⋅L
0 , 14y K
8 .500=12
L⋅ 1− para
⋅6,5
.500=11
, 09 L deseada al descontar:
en
meses vencidos,
que→8
nos
dé la cantidad
( 12
)
L=766,47 € Cada letra debe ser de 766,47€.
Las doce letras:
©Ediciones Paraninfo
39

Paraninfo
12L=9.197 ,64 €
9. 197 ,64
8. 500
−1=1
,082−1=0
, 082
El aumento
del precio
de contado:
Solución = Un aumento del 8,2%.
15º) Se desea fraccionar un pago de 3.000€ en vencimiento dentro de 130 días, por cuatro
que venzan dentro de 5, 20, 50 y 80 días. Calcular el importe de cada pago si se aplica
un interés simple comercial del 10% anual y queremos que los nominales crezcan en
progresión geométrica de razón 1,5. Año civil.
Podemos
aplicar (5.4) o (5.5), usando (5.4):
'
n K =130
C K =3. 000 €
días.
Los capitales nuevos:
C1 =C
n1 =5
C2 =1,5 C
n =20
2
C3 =1,5 2⋅C
C 4 =1,53⋅C
n3 =50
n 4 =80
Df =
365
=3. 650
0 , 10
Ch
Días
N. COMERC.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------C
5
5C
1,5C
20
30C
1,52C
50
112,5C
1,53C 3 .650⋅8 ,80
125C−417 , 5C270C
29. 238 , 75C
3
.000=
=
Totales = 8,125C
3 .650−130
3. 520417,5C
C=361 ,16 €
C1 =361 ,16 €
C2 =361 , 16⋅1,5=541, 74 €
Por
tanto:
C =361
, 16⋅1,52 =812 , 61 €
3
C 4 =361 ,16⋅1,53 =1. 218 , 92 €
16º) Una empresa tiene tres capitales de 25.000, 10.000 y 12.000€ que vencen dentro de
2 años y 6 meses, 3 años y 3 meses y 5 años respectivamente. Si se desean sustituir
por un único capital a los 3 años y el tipo de interés es del 11% anual, ¿a cuánto
ascenderá el capital? Tiempo en meses.
i(12)
1
1
Primero debemos
calcular
equivalente:
12
12el
i( 12)=( 1+i )
−1= ( 1, 11 )
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−1=0 , 008734
40
Paraninfo
C36 =25 .000⋅( 1, 008734 )
Aplicando (5.10):
¿ 45 . 821 ,08 €
(36−30 )
+10. 000⋅( 1 , 008734 )
( 36−39 )

+12 . 000⋅( 1 ,008734 )
( 36−60 )
=
Solución = 45.821,08€.
17º) La empresa Construcciones Bueno tiene cuatro capitales que vencen dentro de 2, 3, 5
y 8 años de 3.000, 1.500, 1.500 y 2.000€ respectivamente. Desea sustituirlos por un
único capital de cuantía 6.500€. Si la operación se pacta al 8% anual, ¿cuándo se
deberá pagar el capital?
Aplicando (5.11):
−n h
−n
Ch
C h⋅( 1+i )
( 1+i ) h
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3.000
(1,08)-2
2.572,02
1.500
(1,08)-3
1.190,75
-5
1.500
(1,08)
1.020,87
2.000
(1,08)-8
1.080,54
8.000
5.864,18
ln 6. 500−ln 5. 864 ,18
n K =Por tanto:
=1 ,337
ln(1 ,08 )
años.
}
}
0,337 
x
x=12⋅0 ,337=4 , 05 meses.
1

12
0,05

x
x=30⋅0 ,05=1 día.
1

30
Solución = Al año, cuatro meses y un día.
18º) Frutas González tiene tres deudas que vencen a los 4, 5 y 6 años de 3.000, 2.500 y
4
5.000€ respectivamente. Si desea sustituirlas
por un único pago de 10.500€ y la
'
CK =
operación se pacta al 7% anual, ¿cuándo
habrá
∑ Cde
h hacerse efectivo el pago?
h=1
Se trata del vencimiento medio, pues
−nh
Ch
−n h
; aplicando (5.12):
C h⋅( 1+i )
( 1+i )
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3.000
(1,07)-4
2.288,67
2.500
(1,07)-5
1.782,47
-6
5.000
(1,07)
3.331,71
ln10 . 500−ln7 . 402 , 85
10.500
7.402,85
nK=
=5 ,165
ln(1 ,07 )
años.
}
}
0,165 
x
x=1,98 meses.
1

12
0,98

x
x=0 , 98⋅30=29 días.
1

30
Solución = A los 5 años, 1 mes y 29 días.
19º) Un inversor tiene en tres cuentas remuneradas a distintos tipos de intereses las
siguientes cantidades durante 2 años:
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41

Paraninfo
Banco A al 3% simple anual, 5.000€.
Banco B al 8% simple anual, 10.000€.
Banco C al 1% simple anual, 8.000€.
¿Cuál ha sido el tanto medio de la inversión?
( 5. 000⋅0 ,03 )+ (10 . 000⋅0 ,08 )+ ( 8. 000⋅0 ,01 )
Aplicando
(5.14):
i=
=0 ,0448
23 . 000
a)
b)
c)
Solución = El 4,48% anual.
20º) Pedro Cuevas ha mantenido durante tres años sus ahorros diversificados en tres
fondos de inversión:
a)
Fondo A, renta fija del 4% anual acumulable, con 8.000€ de inversión.
b)
Fondo B, renta fija asegurando una rentabilidad del 6% anual acumulable.
Inversión 6.000€.
c)
Fondo C, renta fija del 3% anual acumulable. Inversión 15.000€.
Calcular la rentabilidad media de la inversión.
El resultado obtenido
durante
3
3 esos tres años3 ha sido:
8 . 000⋅( 1 ,04 ) +6. 000⋅( 1, 06 ) +15 .000⋅( 1 ,03 ) =32 . 535 ,91 €
Una
' inversión de:
C K =8 .000+6. 000+15 . 000=29. 000 €
habría precisado
un tanto medio i para obtener ese resultado:
3
29 .000⋅( 1+i) =32 .535 , 91
( 1+i )3 =1 , 1219
i=0,039
Solución = Tanto medio del 3,9% anual.
21º) Carmen Fadrique abre un depósito en el banco BSA; durante los dos primeros años le
remunera la inversión al 4% anual, durante los seis meses siguientes al 3,5% anual, y
durante los tres últimos años al 2% anual, ¿qué rentabilidad media habrá obtenido?
Imaginemos
una inversión
2
0,5
3C, el montante final obtenido será:
C⋅(1 , 04 ) ⋅( 1 , 035 ) ⋅( 1, 02 ) =1,1677 C
El interés
5,5medio que daría ese resultado sería:
C⋅(1+i ) =1 ,1677 C
( 1+i )5,5 =1, 1677
simplificando C:
i=0,0286
Solución = El 2,86% anual.
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42

Paraninfo
Tema 6 “RENTAS FINANCIERAS”
1º)
Representar y clasificar la renta financiera de una explotación agrícola que acabamos
de alquilar si sabemos que produce 15.000€ de beneficios cada año (el primero
dentro de un año) y la hemos alquilado durante dieciocho años.
Estamos ante una renta pospagable, inmediata, temporal de 18 años de duración y
de cuantía constante e igual a 15.000€.
2º)
Clasificar la siguiente renta si sabemos que se desea valorar en el momento cero.
Renta prepagable, temporal de 18 periodos, diferida en dos periodos de cuantía
constante e igual a 50€.
También puede verse como:
Renta pospagable, temporal de 18 periodos, diferida en un periodo de cuantía
constante e igual a 50€.
3º)
Representa una renta prepagable, diferida 3 años, de 18 años de duración, de
cuantía constante igual a 600€.
4º)
Calcular el valor actual de una renta unitaria prepagable, inmediata, de 10 periodos,
valorada al 6% cada periodo.
Aplicando (6.8):
−10
1−( 1,06 )
( 1,06 )⋅
=7 ,80 €
0 ,06
ä10 0,06 = ( 1+i )⋅¿ ¿ a10 0,06 =
Solución = 7,80€.
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43

Paraninfo
5º)
Calcular el valor final de la siguiente renta unitaria si se valora cada periodo al 7%.
( 1, 07 )22−1
( 1,07 )⋅
=52 , 43 €
0, 07
S¨ 22 0,07 = ( 1+i )⋅¿ ¿ S22 0,07 =
6º)
Solución = 52,43€.
Calcula el valor actual de la siguiente renta unitaria si se valora cada periodo al 4%.
Plantearla como renta pospagable y prepagable.
Dos opciones:
a)
Como renta pospagable:
1−( 1, 04 )
+1=
0 , 04
a56 0,04
b)
−56
+1=23 , 22 €
Como renta prepagable:
1−( 1 , 04 )
+ ( 1+i )−56=( 1 , 04 )⋅
−56
0 , 04
ä56 0,04 +1⋅( 1+i ) =( 1+i )⋅¿ ¿ a56 0,04
−56
+ ( 1, 04 ) =23 ,22 €
7º)
−56
+
Solución = 23,22€.
Calcula el valor en el periodo 28 de la siguiente renta unitaria si se valora cada
periodo al 8%.
26
Aplicando
(6.26):
( 1+i )2⋅¿ ¿
3 ( 1¨, 08) −1
=( 1 ,08 ) ⋅ S 26 0,08 = =100 , 72S€¨ 26 0,08 =
0, 08
h=2
2
( 1+i ) ⋅( 1+i )⋅¿ ¿
3 ( 1+i )
S26 0,08 =
( 1+i ) ⋅
26
i
−1
=
Solución = 100,72€.
8º)
Clasifica la anterior renta.
Renta unitaria, prepagable de 26 periodos anticipada en dos periodos.
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44

Paraninfo
9º)
Calcular el valor actual de una renta unitaria, cuyo primer término vence dentro de 6
periodos, si se valora al 3% cada periodo y tiene infinitos términos.
Gráficamente:
−5 1
(
1
,03
)
⋅
=28 , 75€
Vista como pospagable
(6.20): 0 , 03
( 1+i ) ⋅¿ aplicamos
¿


−5
a∞ 0,03 =
a∞ 0,03 =
d=5
Vista como prepagable
(6.23):
( 1+i )−6⋅¿aplicamos
¿
( 1+i )−6⋅( 1+i )⋅¿ ¿


ä∞ 0,03 =
ä∞ 0,03 =
a∞ 0,03 = 28,75€
d=6
Solución = 28,75€.
10º) Deseamos adquirir un local para posteriormente arrendarlo. Estimamos que
podemos alquilarlo por una renta de 4.000€ que recibiremos al final de cada año
(pagos por años vencidos) durante 15 años. Si pretendemos obtener una rentabilidad
del 7% anual, ¿cuánto deberíamos pagar por el local?
Aplicando (6.26):
1− (1,07 )
4 . 000⋅
0 , 07
V0 15 0,07 = C⋅¿¿ a15 0,07 =
−15
=36. 431 , 62€
Solución = Deberíamos pagar 36.431,62€ para obtener con el arrendamiento una
rentabilidad del 7% anual.
11º) Rafael Lozano quiere saber qué cantidad debería ingresar en este momento en un
depósito bancario, para que remunerándoselo al 1% semestral pueda obtener los
próximos seis años 400€ al final de cada año.
Lo primero
será calcular el tipo de interés efectivo anual:
i=( 1+i 2 ) 2−1= ( 1+0 , 01 )2−1=0 , 0201
Aplicando (6.26):
V06 0,0201 =
C⋅¿¿
a6 0,0201 =
−6
1− (1,0201 )
400⋅
=2. 239,82 €
0 ,0201
Solución = 2.239,82€.
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45

Paraninfo
12º) Ante la adquisición de un nuevo sistema informático, el gerente de nuestra empresa
se plantea cuál de las tres propuestas elegir:
a)
Un pago de 3.000€ dentro de tres años más 2.000€ cada uno de los dos años
siguientes.
b)
Un pago de 700€ durante ocho años, el primero en estos momentos.
c)
Un pago de 4.000€ en estos momentos, más tres pagos de 100€ anuales (el
primero dentro de tres años) más un pago de 400€ dentro de 8 años.
Si la operación se valora al 9% anual, ¿cuál elegirá?
Propuesta a):
El valor actual de la opción será:
−3
−3
−3
V0 2  0,09 = 3.000⋅( 1,09 ) + ( 1,09 ) ⋅¿ ¿ V0 2 0,09 =
( 1+i) +
V.A.= 3 .000⋅
−2
−3
−3
1−( 1, 09
) )−3+( 1,09 d=3
=3.000⋅
( 1,09
)−3⋅C⋅¿
¿
=5.033,26
€ ¿ a2 0,09 = 3.000⋅( 1,09 ) +( 1,09 ) ⋅2.000⋅¿ ¿
0,09
Propuesta b):
−8
El valor actual será:
V.A.= V¨ 0 8 0,09 =
( 1+i )⋅¿ ¿ C⋅¿¿
a 8 0,09 =
1−( 1,09 )
( 1,09 )⋅700⋅
=4.223 ,07 €
0,09
Propuesta c):
Su valor actual será:
V.A.= 4 . 000+
−8 d=2
−3
1−( 1, 09 )
+400⋅( 1+i ) =4 . 000+ ( 1 , 09 ) ⋅100⋅
+
0 ,09
V0 3 0,09
−8
−2
+400⋅( 1,09 ) =4 .000+213 , 05+200 ,74=4. 413 ,80 €
Solución = Elegirá la propuesta b) al ser más ventajosa.
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46

Paraninfo
13º) ¿De qué dinero dispondremos dentro de ocho años si realizamos aportaciones por
años vencidos de 8.000€ a un depósito bancario que nos proporciona una
rentabilidad media del 3,5% semestral?
Lo primero,
homogeneizar
tipos de interés y periodos de la renta:
2
i=( 1+i 2 ) 2−1=( 1 ,035 ) −1=0 , 07122
(1, 07122 )8−1
8. 000⋅
=82. 441, 39 €
0 ,07122
VF 8 0,07122 = C⋅¿¿ S 8 0,07122 =
Solución: 82.441,39€.
14º) Igual que en el caso anterior, pero las aportaciones son por años anticipados.
V¨ 0 8 0,07122 = ( 1+i )⋅¿ ¿ VF 8 0,07122 = ( 1,07122 )⋅82.441 ,39=88 . 313 ,28 €
Solución: 88.313,28€.
15º) ¿Qué ocurriría en la actividad nº13 si transcurridos los ocho años el ahorrador
mantiene todavía su dinero tres años más sin realizar aportaciones? ¿De qué tipo de
renta financiera hablamos?
Se trata de una renta anticipada tres periodos anuales.
3
h=3
3
VF 8 0,07122 = ( 1+i ) ⋅¿ ¿ VF 8 0,07122 = ( 1,07122 ) ⋅82.441,39=101. 341,52€
Solución = 101.341,52€.
16º) A un gerente se le plantean dos opciones:
a)
Comprar una maquinaria pagando doce letras anuales de 6.800€ (la primera en
este momento).
b)
Alquilar de forma perpetua la misma maquinaria, pagando 1.000€ anuales
(primer pago de alquiler en este momento).
Si la operación se valora al 7% anual, ¿qué opción elegirá?
−12
1−( 1 ,07 )
( 1,07 )⋅6.800⋅
=
Opción a):
V¨ 012 0,07 =
( 1+i )⋅¿ ¿
V012 0,07 =
( 1+i )⋅¿ ¿ C⋅¿¿
a12 0,07 =
=57.790,99€
Opción b):
V¨ 0 ∞ 0,07 =
( 1+i )⋅¿ ¿
V0 ∞ 0,07 =
( 1+i )⋅¿ ¿ C⋅¿¿
a∞ i =
0,07
1,07⋅1.000
=15.285,71€
0,07
Solución: Elegiría la opción b).
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
17º) Un ahorrador ha ingresado en un depósito remunerado al 6% anual 8.800€. ¿Qué
cantidad podrá retirar al final de cada año si desea que justo dentro de 12 años el
depósito quede a cero euros?
1−( 1 , 06 )−12
Aplicando (6.26):
8 . 800=C⋅
→8 .800=8 , 3838⋅C
0 , 06 = C⋅¿¿ a 12 0,06
V0 12 0,06 = 8.800
C=1. 049 , 64 €
Solución = 1.049,64€.
18º) ¿Qué cantidad podrá rescatar cada año el ahorrador anterior, si está dispuesto a
realizar el primer reintegro dentro de dos años?
Gráficamente:
−1
Aplicando (6.33):
−11( 1+i ) ⋅¿ ¿
( 1+i )−1⋅¿ ¿ C⋅¿¿
1−
(
1
,06
)


V0 11 0,06 = =7 ,44 C V0 11 0,06 =
a 11 0,06 =
=( 1 ,06 )−1⋅C⋅
0 ,06
d=1
Puesto que el valor actual ha de ser 8.800:
8 . 800=7 ,44 C→C=1. 182 ,72 €
Solución = 1.182,72€.
19º) Francisco J. Fajardo desea saber qué cantidad debe ingresar en pagos anuales
(primer pago hoy), a un plan de pensiones, para que dentro de 30 años pueda
rescatar 65.000€ si la gestora del plan le promete una rentabilidad media del 4,5%
anual.
NOTA: El rescate se produciría al final del año 30.
Aplicando (6.29):
30
−1 V 
 0,045 =( 1 ,(045
( 1+i )⋅¿ ¿ C⋅¿¿ S 30 0,045 =
V=¨( 1F ,30045
30 0,045 =
)⋅C⋅ 1+i )⋅¿ ¿ C⋅¿¿
=63 F, 752C
0 , 045
Ese valor final deseamos que sea 65.000€, por tanto:
V¨ F 30 0,045 = 65.000 = 63,752C  C = 1.019,57€
Solución = 1.019,57€.
20º) ¿Qué cantidad debería ingresar el ahorrador de la actividad anterior, si lo que desea
es poder obtener después de esos 30 años una renta anual de 15.000€, actualmente
acaba de cumplir 25 años y estima su esperanza de vida en 95 años?
gráficamente:
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
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El valor final de la prestación debe coincidir con el valor actual de la
contraprestación, por tanto:
−40
V¨ F 30 0,045 = 63,752C
1−( 1, 045 )
=15
.
000+15
.000⋅
=291. 023 ,766
El valor actual de la contraprestación:
0 ,045
V . A .=15 . 000+15 .000⋅¿ ¿
a40 0,045
Por tanto:
V¨ F 30 0,045 =V . A .→63 , 752C=291 .023 ,766 →C=4 . 564, 94 €
Solución = 4.564,94€.
21º) ¿Qué rentabilidad está teniendo un empresario, que comenzó un negocio con
35.000€, y que desde el final del primer año le está produciendo 3.500€ por años
vencidos de forma perpetua?
Sabemos que el valor actual de una renta perpetua de cuantía constante es:
V0 ∞ i
=
C
i
35 .000=
Donde:
3. 500
→i=0,1
i
Solución = 10% anual.
Tema 7 “RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Y
ARITMÉTICA”
1º)
Calcula el valor actual y final de una renta variable en progresión geométrica,
inmediata, pospagable y temporal de 12 términos, sabiendo que el valor del primero
es de 200€ y la razón de la progresión del 1,05. El tipo de interés de la operación
financiera es del 4% anual.
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49

Paraninfo
Aplicando (7.2):
−n
1−qn⋅( 1+i )
1−1, 0512⋅( 1 , 04 )
C⋅
=200⋅
1+i−q
1 , 04−1 , 05
V0 (200,q=1,05) 12 0,04 =
−12
=2. 433 ,73 €
Aplicando (7.4) :
( 1,04 )12−1,05 12
200⋅
=3.896 ,48 €
1, 04−1,05
V0 (200,q=1,05) 12 0,04 =
2º)
V =2. 433 ,73 V F =3 . 896 , 48 €
Solución: 0
;
Calcula el valor actual y final de la renta anterior si se valorase al 5% anual.
No se podrá aplicar ni (7.2) ni (7.4) pues q=1+i ; deberemos aplicar (7.7) y (7.8),
así:
Valor actual:
−1
−1
V0 (200,q=1,05) 12 0,05 = C⋅n⋅( 1+i ) =200⋅12⋅( 1 , 05 ) =2. 285 ,71 €
Valor final:
n−1
11
VF (200,q=1,05) 12 0,05 = C⋅n⋅( 1+i ) =200⋅12⋅(1 ,05 ) =4 .104 , 81 €
V =2 .285 , 71 €; V F=4 .104 ,81 €
Solución: 0
3º)
Calcula el valor actual y final de una renta variable en progresión geométrica,
inmediata, prepagable y temporal de 18 términos, sabiendo que el valor del primero
es de 20.000€ y la razón de la progresión del 1,04. El tipo de interés de la operación
financiera es del 7% anual.
Aplicando (7.10):
1−qn⋅( 1+i )−n
( 1+i )⋅C⋅
=
−18
18


(
1+i
⋅
)
¿
¿
1−1
,04
⋅
(
1
,07
)
1+i−q
V=¨(01,07
=
V
=
(20.000,q=1,04) 18 0,07
0 (20.000,q=1,04) 18 0,07
)⋅20 .000⋅
=285 .785 ,58 €
1,07−1,04
Para el valor final (7.12):
18
( 1+i )⋅¿ 18
¿
( 1,07 ) −1 ,04
=( 1,07
)⋅20 .000⋅1 8 0,07 =
=965
.935 ,9118€ 0,07 =
V¨ F (20.000,q=1,04)
VF (20.000,q=1,04)
−n
1−qn⋅( 1+i )
( 1+i )⋅C⋅
=
1+i−q
1 ,07−1,04
V =285 .785 , 58 €
4º)
5º)
V =965 . 935 ,91 €
F
Solución: 0
,
Calcula el valor actual de la renta anterior si la tasa de crecimiento es del 7% anual.
No se podría aplicar (7.10) y habría que aplicar (7.15):
V¨ 0 (20.000,q=1,07) 18 0,07 = C⋅n=20 . 000⋅18=360 .000 €
Solución = 360.000€.
Halla el valor actual del alquiler de una finca que toma la forma de una renta
pospagable variable en progresión geométrica, inmediata y perpetua, sabiendo que
el primer término es de 1.200€ y la razón de la progresión del 1,1. El tipo de interés
efectivo anual es del 12%.
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50

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Aplicando (7.17):
C
1 .200
=
=60 .000 €

V0 (1.200,q=1,1) ∞ 0,12 = 1+i−q 1+0 , 12−1,1
6º)
Solución = 60.000€.
Calcular el valor actual, de la renta anterior si la renta se valora al 6% anual.
No tendría valor actual, pues sería una serie divergente  q>1+i
Solución = Divergente.
7º)
Halla el valor actual de una renta perpetua, prepagable variable en progresión
geométrica e inmediata, sabiendo que el primer término es de 8.000€ y la razón de la
progresión del 1,02. El tipo de interés efectivo anual es del 3%.
8. 000⋅(1 ,03 )
=824 . 000 €
V¨ 0 (8.000,q=1,02) ∞ 0,03 = 1 , 03−1,02
Solución = 824.000€.
8º)
Calcula cuál será el valor de una renta variable en progresión geométrica, diferida,
pospagable y temporal de 10 términos, si el valor del primero es de 6.000€ y la razón
del 1,05 anual, el tipo de interés efectivo anual es del 8% y el diferimiento de la renta
es de tres años.
Aplicando (7.19):

( 1+i )−3⋅¿ ¿ V0 (6.000,q=1,05)10 0,08 = ( 1,08 )−3⋅6.000⋅¿ ¿
1−1, 05V100⋅(6.000,q=1,05)
( 1 ,08 )−10 10 0,08 =
d=3
¿
=38. 978,21 €
1+0, 08−1,05
9º)
Solución = 38.978,21€.
Halla el valor de una renta variable en progresión geométrica, diferida, prepagable y
temporal de diez términos, si el valor del primero es de 15.000€ y la razón del 1,04
anual, el tipo de interés efectivo anual es del 5% y el diferimiento de la renta de 4
años.
Aplicando (7.20):
−10
1−( 1, 05 ) ⋅1, 04 10
( 1,05 ) ⋅1 .500⋅
=11 . 824 , 87€
1+0 , 05−1, 04
V¨ 0 (1.500,q=1,04) 10 0,05 =
−3
d=4
Solución = 11.824,87€
10º) Halla el valor final de una renta variable en progresión geométrica, pospagable,
anticipada y temporal de diez términos, si el valor del primero es de 2.000€ y su
crecimiento anual del 5%, siendo los periodos de anticipación tres años y el tipo de
interés efectivo anual es del 7%.
Aplicando (7.23):
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
Paraninfo
−3
10 = ( 1+i
) ⋅¿ ¿ VF (2.000,q=1,05) 10 0,07 =
V3 F (2.000,q=1,05)
10) 0,07
( 1 ,07
−1 ,0510
h=3
=( 1 ,07 ) ⋅2.000⋅
1+0 ,07−1 ,05
=41 . 437 ,90 €
Solución = 41.437,9€.
11º) ¿Qué precio tendríamos que pagar por un negocio que nos va a proporcionar 5.500€
en este momento, y después ingresos al final de cada año decrecientes de un 2,5%, si
deseamos obtener una rentabilidad del 8,5% anual?
Estamos ante una renta perpetua, prepagable y variable en progresión geométrica:
q=1−0,025=0,975
Aplicando (7.18):
V¨ 0 (5.500,q=0,975) ∞ 0,085 =
5 .500⋅(1, 085 )
=54.250 €
1 ,085−0 ,0975
Solución = 54.250€.
12º) ¿Qué rentabilidad está obteniendo un inversor que ha pagado 70.000€ por un
negocio que le proporciona un ingreso al año, el primero de 6.000€ dentro de 1 año y
después aumentos del 2% anual?
C
6 . 000
=
 1+i−q 1+i−1 ,02
6 . 000
V70
0 (6.000,q=1,02)
.000= ∞ i = →0 , 08571=i−0 ,02
i−0 , 02
Puesto que paga 70.000€:
i=0, 1057
Solución = El 10,57% anual.
13º) Julián desea saber cuánto dinero tendrá que ingresar desde hoy, para que realizando
una aportación al año, que desea ir aumentando un 2,5% anual, en un depósito
bancario que se remunera al 4% anual, pueda obtener en el instante de realizar la
sexta aportación 25.000€.
Gráficamente:
5
Estamos ante una renta5 variable en
progresión
prepagable de 5
( 1 ,04
)5 −1 ,025geométrica
+C⋅q =( 1al, 04
)⋅C⋅del quinto año. +C⋅1 , 0255 =
periodos, más una aportación
final
VF = V¨ F (c,q=1,025) 5 0,04
1 , 04−1 ,025
=7,0417 C
Puesto que desea obtener 25.000€.
25 .000=7 , 0417 C→C=3 . 550 ,28 €
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52

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Por tanto:
Primer año = 3.550,28€
Segundo año = 3.639,03€
Tercer año = 3.730€
Cuarto año = 3.823,26€
Quinto año = 3.918,84€
Sexto año = 4.016,81€
14º) Halla el valor actual de una renta pospagable, variable en progresión aritmética,
inmediata y perpetua sabiendo que el primer término es de 250€ y los siguientes
aumentan en 2,55€ anuales. El tipo de interés efectivo anual estimado es del 4,5%.
Aplicando (7.30):
250
2, 25
+
=6 . 666 , 67 €
2
0
,045

0
,
045
V0 (250,d=2,25) ∞ 0,045 =
Solución = 6.666,67€.
15º) Determina el valor final de una renta variable en progresión aritmética, pospagable,
anticipada y temporal de diez términos sabiendo que el valor del primero es de
4.000€ y los siguientes aumentan en 200 euros anuales. El tipo de interés de la
operación financiera es del 6% anual y el periodo de anticipación de 4 años.
Aplicando (7.36):
[
)]
 0,06
)4⋅¿ ¿ V(F1(4.000,d=200)
)10−1
V4F (4.000,d=200)( 110,06
= ( 1+i200
, 06 )10−110 0,06 =
=( 1 , 06 ) ⋅ 4 . 000⋅
+
⋅
−10 =79. 947 , 40 €
h=4
0 , 06
0 , 06
0 , 06
(
Solución = 79.947,40€
16º) Calcula el valor actual y final de una renta variable en progresión aritmética,
inmediata, prepagable y temporal de 54 periodos, sabiendo que el valor del primero
es de 450 euros y los siguientes aumentan en 25 euros anuales. El tipo de interés
efectivo de la operación financiera es del 8% anual.
El valor actual, aplicando
(7.27):
( 1 , 08 )−54 25
(1 , 08 )−54
1−
1−
−54
¨


(
1+i
⋅
)
¿
¿
=
(
1
,
08
)
⋅
450⋅
+
⋅
−54⋅( 1 , 08 )
=9 . 846 , 81 €
V 0 (450,d=25) 54 0,08 =
V0 (450,d=25) 54 0,08 =
[
0 , 08
0 , 08
(
0 , 08
)]
V =9 .846 , 81€
Solución = 0
;
El valor final, aplicando (7.29):
54
V¨ F (450,d=25) 54 0,08 = ( 1,08 ) ⋅¿ ¿ V¨ 0 (450,d=25) 54 0,08 = 628,316,34€
V =628 . 316 ,34 € .
Solución = F
17º) Determina el valor actual de una renta variable en progresión aritmética, diferida,
pospagable y temporal de 8 términos, sabiendo que el valor del primero es de 15.000
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53

Paraninfo
euros y los siguientes aumentan en 200 euros anuales. El tipo de interés de la
operación financiera es del 2,5% anual y el diferimiento de la renta es de tres años.
Aplicando (7.32):
[
)]
−3
 0,025
 −8
( 1+i
¿ V0 (15.000,d=200)
( 1,=025
)−8) ⋅¿200
V0−3(15.000,d=200) 81−
1−( 1, 025
8 )0,025 =
=( 1 , 025 ) ⋅ 15 .000⋅
+
⋅
−8⋅( 1, 025 )−8 =104 . 360 , 99 €
d=3
0 , 025
0 , 025
0 , 025
(
Solución = 104.360,99€.
18º) Determina el valor actual de una renta prepagable, variable en progresión
aritmética, inmediata y perpetua sabiendo que el primer término es de 2.000 euros y
los siguientes aumentan en 54 euros anuales. El tipo de interés efectivo anual es del
3%.
Aplicando (7.31):
2 . 000⋅( 1 , 03 ) 54⋅1 , 03
+
=130 . 466 , 67 €
0 , 03
0 , 032
V¨ 0 (2.000,d=54) ∞ 0,03 =
Solución = 130.466,67€.
19º) Halla el valor actual de una renta prepagable, variable en progresión aritmética,
diferida y perpetua, sabiendo que el primer término es de 1.500 euros y los
siguientes aumentan en 25 euros anuales. El tipo de interés efectivo anual es del
5,5% y el diferimiento es de 2 años.
Aplicando (7.35):
¨ 1 . 500⋅( 1∞,055
 0,055) =25⋅
( 1+i(1)−2
⋅¿ ¿ ) V¨ 0 (1.500,d=25) ∞ 0,055 =
, 055
V
−20 (1.500,d=25)
=( 1 , 055 ) ⋅
+
=33 .684 ,54 €
d=2
0 ,055
0 ,055 2
[
]
Solución = 33.684,54€.
20º) Halla el valor actual de una renta variable en progresión aritmética, diferida,
prepagable y temporal de 24 términos sabiendo que el valor del primero es de
10.000 euros y los siguientes aumentan en 200 euros anuales. El tipo de interés de la
operación financiera es del 4% anual y el diferimiento de la renta es de 4 años.
Aplicando (7.34):
[
(
)]
−4 −24
−24
¨ 0 (10.000,d=200) 24 0,041−
¨ 0 (10.000,d=200)
¿ V200
((11+i
,04) )⋅¿
1−( 1 ,2404)0,04
−4
V
=
=−24⋅( 1 , 04 )−24 =
=( 1 , 04 ) ⋅( 1, 04 )⋅ 10 . 000⋅
+
⋅
d=4
0 , 04
0 ,04
0 , 04
=161.699,43 €
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54

Paraninfo
Solución = 161.699,43€
21º) Calcula el valor actual de una renta prepagable, variable en progresión aritmética,
diferida y perpetua sabiendo que el primer término es de 8.000 euros y los siguientes
aumentan en 80 euros anuales. El tipo de interés efectivo anual es del 2,5% y el
diferimiento es de 4 años.
Aplicando (7.35):
[
]
¨ 0 (8.000,d=80)
 0,025 80⋅1
( 1+i,025
)−4⋅¿ ¿ V¨ 0 (8.000,d=80) ∞ 0,025 =
8 . 000⋅1∞,025
−4
V
=
=( 1 , 025 ) ⋅
+
=416 . 012, 54 €
d=4
0 ,025
0, 0252
Solución = 416.012,54€
22º) Halla el valor final de una renta variable en progresión aritmética, prepagable y
temporal de doce términos sabiendo que el valor del primero es de 200 euros y los
siguientes aumentan en 10 céntimos de euro anuales. El tipo de interés de la
operación financiera es del 1,8% anual y el periodo de anticipación de 2 años.
Aplicando (7.37):
[
(
)]
¨2 F (200,d=0,1) 12 0,018
 )12−1
( 1+i)12)2−1
⋅¿ ¿ V¨ 0,1
(1 ,=018
(1 , 018
V
F (200,d=0,1) 12 0,018 =
=( 1 , 018 ) ⋅(1 , 018 )⋅ 200⋅
+
⋅
−12 =2 . 805 ,67 €
h=2
0 , 018
0 ,018
0 , 018
Solución: 2.805,67€
23º) Calcular el valor final de la anterior renta si fuese perpetua.
No tiene valor final una renta perpetua, ya que la serie matemática es divergente.
Solución: No es posible  Divergente.
24º) Calcula el valor actual y final de una renta de términos 300, 250, 450 y 800€, que
vencen
dentro
dos,( 1tres,
V 0 =300⋅
( 1 , 03 )−2de+250⋅
,03 )−3cinco
+450⋅y( 1siete
,03 )−5años
+800⋅respectivamente,
( 1, 03 )−7 =1 . 550 ,21si€se valora al 3%
anual.
5
4
2
0
V F=300⋅( 1 , 03 ) +250⋅( 1 ,03 ) +450⋅(1 , 03 ) +800⋅( 1 , 03 ) =1. 906 , 56 €
Solución:
V 0 =1.550 ,21
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;
V F=1.906 ,56 €
55

Paraninfo
Tema 8 “RENTAS FRACCIONADAS”
1º)
Calcula el valor actual y final de una renta temporal, pospagable y constante de 300
euros mensuales durante tres años, sabiendo que el tipo de interés efectivo anual es
del 5%.
Lo primero1 es calcular el
1 interés efectivo mensual:
i( 12)=( 1+i )
12
−1=( 1, 05 )
12
−1=0 , 004074
1−( 1, 004074 )−36
=10. 026 ,69 €
0 , 004074
36
( 1, 004074 ) −1
V0 3.12 0,004074 =
a36 0,004074 = 300⋅
=11. 606 , 76 €
C⋅¿¿
0 ,004074
VF 3.12 0,004074 =
S36 0,004074 =
C⋅¿¿
2º)
300⋅
V 0 =10 .026 ,69 € V F=11 .606 , 76 €
Solución:
,
Halla el valor actual de una renta pospagable, constante de 15.000 euros
semestrales, si su duración es perpetua y el tipo de interés del mercado se estima en
un 6% efectivo anual.
1
1 semestral:
El tipo de interés
efectivo
2
2
i( 12)=( 1+i ) −1= ( 1 , 06 ) −1=0 , 02956
Por tanto:
V0 ∞ 0,2956 =
3º)
C 15.000
=
=507 .390 ,76 €
i 0,02956
Solución: 507.390,76€
Hallar el valor actual de una renta pospagable, inmediata, temporal, de 5 años de
duración y cuantía constante de 300€ al trimestre, si se valora al 8% anual.
(Utilizar factor de transformación de renta sin fraccionar en fraccionada.)
Primero calculamos
el1interés efectivo trimestral:
1
i( 4 )= (1+i ) 4 −1= (1 , 08 ) 4 −1= 0 ,01942
Calculamos el tanto nominal anual:
j( 4 )=i( 4 )⋅4=0 , 0777
−5
1−( 1 ,08 )
0 ,08
i
⋅¿ ¿ con (8.1):
⋅300⋅4⋅
=4 . 932, 69 €
Calculamos la renta
j(4)
0,0777
0 , 08
V0(4) 5 0,08 =
V0 5 0,08 =
4º)
Solución = 4.932,69€
Halla el valor actual de una renta temporal, inmediata, prepagable y constante de
1.400 euros bimestrales durante cuatro años, sabiendo que el tipo efectivo es del 4%
1
anual.
−24
6
El efectivo bimestral:
1+i ⋅¿ ¿
V¨ 0 24 0,006558 =
(
(6 )
)
1− (1,006558 )
( 1 ,006558 )⋅1. 400⋅
0, 006558
i( 6) =( 1+i ) −1=0 , 006558
V0 24 0,006558 =
=
=31.198,70
Solución = 31.198,70€
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56

Paraninfo
5º)
Halla el valor final de una renta temporal, inmediata, prepagable y constante de
1.400 euros mensuales durante cinco años, sabiendo que el tipo de interés del
mercado se estima en un 2% anual.
Calculamos1 el efectivo mensual:
60
i( 12) =( 1+i )
12
−1=0 , 001651
V¨ F 5.12 0,001651 =
(1+i(12))⋅¿ ¿
VF 60 0,001651 =
( 1 ,001651 ) −1
( 1,001651 )⋅1.400⋅
=
0 ,001651
=88.372,14 €
6º)
Solución = 88.372,14€
¿Cuál será el valor actual de una renta prepagable y constante de 50 euros
mensuales si su duración es indefinida y el tipo de interés anual estimado es del 4%?
1
Calculamos1 el efectivo mensual:
i( 12) =( 1+i )
7º)
12
−1=( 1, 04 )
12
−1=0 , 00327
Solución = 15.323,05€
Determina el valor actual de una renta pospagable y constante de 3.000 euros
semestrales
durante seis años sabiendo que el tipo de efectivo anual es del 2%, con
1
un diferimiento
de 5 semestres. (Utiliza el factor de transformación.)
2
i =( 1+i ) −1=0 , 00995
Lo( 2)primero es calcular el tanto nominal semestral:
j ( 2 )=i 2⋅2=0 , 019901
Calculando el valor actual−2,5
según (8.1):
( 1+i )−2,5⋅
( 1+i ) ⋅¿ ¿
−6
1−( 1, 02 ) (2) 
=( 1 , 02 ) V⋅0 6 0,02 = ⋅3.000⋅2⋅
144 , 37 €
V0 6=32.
0,02 =
0 , 019901
0 , 02
d = 2,5
−2,5 (2) 0, 02
8º)
i
⋅¿ ¿
j(2)
V06 0,02 =
Solución = 32.144,37€
Halla el valor actual de una renta pospagable y constante de 200 euros trimestrales,
si su duración es indefinida y el tipo de interés nominal anual es del 2,5%, con un
diferimiento de dos trimestres.
i4 : = 0 , 025 =0 , 00625
j( 4 )=i 4⋅4 →i
Calculamos
4
4
( 1 ,00625 )−2⋅200
=31. 603 , 72 €
( 4)
0 , 00625
V0 ∞ 0,00625 =
V0 ∞ 0,00625 =
d=2
Solución = 31.603,72€
Calcula el valor actual de una renta temporal diferida seis semestres, prepagable,
constante de 800 euros semestrales, sabiendo que el tipo aplicado es del 1%
semestral, durante 25 años. (Utiliza el factor de transformación.)
Necesitamos el equivalente anual y el tanto nominal semestral:
1+i
9º)
−2
⋅¿ ¿
j(2 )=i( 2)⋅2=0 , 01⋅2=0 , 02
2
2
i=( 1+i (2 )) −1=( 1 , 01 ) −1=0 , 0201
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57
Paraninfo
−3

( 1+i ) ⋅( 1+i ( 2))⋅¿ ¿
Calculamos la renta: ( 1+i )−3⋅¿ ¿
¨
(2) 
¨
(2) 
V 0 25 0,0201 =
V 0 25 0,0201 =
V0(2) 25 0,0201 =
i
d=3
=( 1+i )−3⋅ 1+i ⋅ ⋅¿ ¿
(
( 2)
) j(2)
1−( 1 ,0201 )
0 ,0201
−3
 0,0201
=
0201 ) ⋅(1+0 ,01 )⋅
⋅1.600⋅a25 0,0201 =
V25( 1,
0 ,02
0 ,0201
−25
=29. 835 €
Solución = 29.835€
10º) Calcula el valor actual y final de una renta variable en progresión aritmética,
inmediata, pospagable y temporal de 24 trimestres, sabiendo que el valor del
primero es de 500 euros y los siguientes aumentan en 21 euros trimestralmente. El
tipo de interés nominal de la operación financiera es del 2,5% anual.
j( 4 ) 0 , 025
i
Calculamos
j( 4 )=i 4⋅4 →i4 :4 =
=
=0 , 00625
4
4
−24
−24
1−( 1,00625 ) 21
500⋅ con (7.25): +
⋅¿ ¿ 1−( 1 ,00625 ) −
Las rentas se obtendrán
0,00625
0,00625
0,00625
V0 (500,d=21) 24 0,00625 =
−24⋅( 1,00625 )
−24
]
[
=16.338,66 €
Y con (7.26):
VF (500,d=21) 24 0,00625 = 18.973,95€
V 0 =16 .338 ,66 € V F =18 . 973 , 95 €
Solución:
.
11º) Una entidad aseguradora desea saber qué aportaciones tendrán que hacer un nuevo
grupo de partícipes de un plan de pensiones que se van a adherir el 1 de enero, si las
aportaciones se hacen al final de cada mes, se incrementan al principio de cada año
en la inflación media estimada que es del 2% anual, les quedan 20 años para la
jubilación y estima que puede obtener una rentabilidad media en el patrimonio
agrupado del 5% anual, del que se quedará con un 0,5% en concepto de gestión, si
les promete al jubilarse una renta de 610€ mensuales (esperanza de vida del grupo
desde la jubilación de 25 años). NOTA: Interés estimado durante la etapa de
1
1
jubilación 6%
anual.
12 i(12)
12
j(12)
i( 12)=( 1+i ) −1=y( 1, 045 ) : −1=0 , 003674
Necesitamos
j (12)=i( 12)⋅12=0 , 04409
El interés que produce rendimiento al partícipe será el 5% obtenido menos el 0,5% que
se queda la aseguradora.
Para calcular la aportación tendremos que igualar el valor final de las aportaciones y el
actual de la contraprestación de la aseguradora en el momento de la jubilación.
El valor final de las aportaciones en el momento de la jubilación será:
i
⋅¿ ¿
j(12)20
20
0 , 045  ( 1 , 045 ) −( 1 , 02 )
 , 456
V=F(12) (c,q=1,02)⋅12⋅C⋅
VF (c,q=1,02)=453
=C
20 0,045 =
20 0,045
0 , 04409
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1+0 , 045−1, 02
58

Paraninfo
El valor actual, en el momento de la jubilación, de la contraprestación futura de la
aseguradora, suponiendo una media de 25 años de vida después de la jubilación y
estimando que los intereses estarán al 6% anual:
1
i( 12)= ( 1+i )
12
1
−1= ( 1, 06 )
V0 25.12 0,004867 =
12
−1=0 ,004867
1−( 1 , 004867
)
610⋅
=96 . 120 , 3804
0 ,004867
−300
Igualando las dos rentas:
453,456C = 96.120,3804
C = 211,97€
Solución: 211,97€ mensuales el primer año, incrementándose un 2% al
principio de cada año.
12º) Imagina que en la actividad anterior, una vez que ha llegado el momento de la
jubilación los intereses de esa economía no están al 6% anual, sino al 8% anual,
¿quién habría salido ganando con el error de estimación? ¿Cuánto tendrían que
haber pagado mensualmente los partícipes de haber realizado una estimación
correcta?
a)
Si en el momento de la jubilación los intereses son mayores a los estimados el
valor actual de la renta que hay que pagar es menor, con lo que la aseguradora
habrá salido ganando.
b)
−300
1−( 1,00643 )
610⋅
=80 . 964 ,66
Si
V0 300 0,00643 =
0 ,00643
Igualando las rentas:
453,456C = 80.964,66
C = 178,55€
Solución = 178,55€ cada mes del primer año, más un 2% anual adicional cada
nuevo año.
13º) Una empresa cuenta con las siguientes alternativas a la hora de hacer frente al pago
de una nueva inversión.
a)
Pagar 600€ mensuales al principio de cada mes, durante 5 años, con un aumento
del 3,5% el primer día de cada año nuevo.
b)
Pagar un alquiler perpetuo de 90€ mensuales al principio de cada mes.
Si los activos financieros libres de riesgo están dando una rentabilidad del 4% anual y
hoy es 1 de abril, ¿qué opción elegirá?
a)
Alternativa a):
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59
Paraninfo
1
1
12

12
i( 12)=( 1+i ) i −1= ( 1, 04 ) −1=0 , 003273
Calculamos (12) y j(12) :
j( 12)=i( 12)⋅12=0 , 03928
Calculamos el valor actual, para ello1−
dividimos
la renta
( 1+0 , 003273
)−9 en tres tipos:
=5resta
.330,del
05año
€ 1:
En
la renta
corresponde a lo que
(1+ique
( 12) )⋅
V meses
= la parte de=600⋅
0⋅1
0 ,003273
V¨ 0 9 0,0032737
En años la parte de la renta que corresponde a los 4 años siguientes completos:
V 0⋅2 =
V¨ 1(12) (600.1,035.12,q=1,035) 4 0,04 =
9
(
)
9
12
( 1+i )−d 9−
)⋅( 1+
,035 4⋅1, 04−4
( 12 ) )⋅¿ ¿
( =( 9/12
)⋅12(1+i
 0,041−1
iV (12) )⋅0 , 04
=((1+i
1 , 04
0⋅,0032737
⋅7 . 452⋅
=
==
=
1
(600.1,035.12,q=1,035)
4
) ) 12 ⋅( 1+i
⋅¿
¿
(12 ))
0 , 03928
1+0 ,04−1 , 035
−
( 12)
−
¿ ( 1, 04 )
9
j ( 12)

1 (7.452,q=1,035)
⋅29 . 068 ,345=28V.225
, 738 4 0,04 =
1−( 1 , 0032737 )−3
¿
.768,de67la renta:
En
la última=1
parte
V00⋅3meses
,=
0032737
( 1,0032737 )−57⋅600⋅1,0355⋅(1,0032737 )⋅¿ ¿
¨

V 5 3 0,0032737 =
V 0=5 .330,
d = 5705+28. 225 ,738+1 . 768 ,67=35.324 , 46
b)
90
(1+i(12 ))⋅i =27 .581 , 49
Alternativa b): 1+i ⋅¿ ¿
( (12))
( 12 )
¨


V 0 ∞ 0,0032737 =
V0 ∞ 0,0032737 =
V0
Solución: V alternativa A = 35.324,46
0
alternativa B = 27.581,49
Elegirá la B.
14º) Un inventor recibe diez céntimos de euro por cada botella de refresco que se vende
con el sistema de apertura que diseñó. Si las ventas que se estiman para este año
ascienden a 20 millones de botellas, y se supone que en los próximos 15 años en los
que tiene el derecho de patente, las ventas crecerán al 5% cada año, ¿por cuánto
podría vender su derecho de explotación si desea obtener una rentabilidad del 8%
anual, y sabemos que las empresas de refrescos le liquidan diariamente sus
ingresos?
Suponer que las ventas son uniformes a lo largo de cada año.
Gráficamente:
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60
Paraninfo

Nuestra renta del problema
i es financieramente equivalente a la del dibujo 8.21., por
⋅¿ ¿
tanto:
j(365) 15
−15
1−( 1 ,05 ) ⋅(1 , 08 )
0 , 08
(365)i

¿ 2. 000 .15000⋅
=
⋅22= . 975 ,675 , 76=
V0 (2.000.000,q=1,05)
V0 (2.000.000,q=1,05)
0,08 =
15 0,08
1+0 , 08−1 ,05
ln ( 1 , 08 )
j(365)
=
=23 .882.915 ,74 €
* Recordemos que en el tema 5 se vio el tanto nominal instantáneo, es decir, aquel
tanto nominal en que m →∞ :
j(∞ )=ln ( 1+i )
j(365 )

Solución = 23.882.915,74€
©Ediciones Paraninfo
61

Paraninfo
Tema 9 “LOS PRÉSTAMOS I (PROBLEMÁTICA FINANCIERA)”
1º)
2º)
Sabemos que de un préstamo quedan por pagar 1.000, 1.500, 80 y 750 euros dentro
de 1, 2, 3 y 4 años respectivamente. Si la operación se pactó al 12% anual, ¿cuál es el
capital vivo en este momento?
Aplicando (9.3): −1
−2
−3
−4
C K =1. 000⋅( 1 , 12 ) +1. 500⋅( 1 , 12 ) +80⋅( 1, 12 ) +750⋅( 1 ,12 ) =2. 622 ,23 €
Solución = 2.623,23€
Calcular a cuánto ascendió un préstamo cuyo método de devolución es un pago
único dentro de tres años, si se sabe que se han de devolver 15.115,54 euros. Tipo de
interés 8% anual. ¿Qué cantidad de intereses se han pagado?
Aplicando (9.13):
an =P⋅(1+i )n →P=a n⋅( 1+i )−n =15 .116 , 54⋅( 1 ,08 )−3=12 . 000 €
Los
I=aintereses:
−P=15. 116 , 54−12. 000=3. 116 , 54 €
n
3º)
4º)
5º)
Año
0
1
2
3
4
5
6
6º)
Solución = P=12 .000/I =3. 116 , 54
Indicar qué pagos se realizarían en el préstamo anterior si se pactara pagar
periódicamente
los intereses
a1 =a 2=P⋅i=12. 000⋅0
,08=960 €y devolver el principal al final de la operación. Dibuja
una gráfica donde aparezcan estos pagos.
a3 =P⋅(1+i )=12 . 000⋅( 1 , 08 )=12 . 960 €
Solución = a1 =a 2=960 €/ a3 =12 . 960 €
Calcular el término amortizativo con el que se devolvería un préstamo de 20.000
euros al 9% anual, si se desea devolver en seis pagos anuales, por el método francés.
20 .000 (9.14):
Aplicando
a=
a6 0,09 = 4.458,50€
Solución = 4.458,40€
Confeccionar el cuadro de amortización del préstamo anterior.
Término
amortizativo
Cuota
interés
de Cuota
amortización
de Amortización
acumulada
4.458,4
4.458,4
4.458,4
4.458,4
4.458,4
4.458,4
1.800,00
1.560,74
1.299,95
1.015,69
705,85
368,12
2.658,40
2.897,66
3.158,45
3.442,71
3.752,55
4.090,28
2.658,40
5.556,06
8.714,50
12.157,21
15.909,75
20.000,00
Deuda
pendiente
20.000
17.341,60
14.443,94
11.285,50
7.842,79
4.090,25
0
Un préstamo de 50.000 euros se va a devolver en pagos mensuales durante 10 años,
si el tipo de interés es del 7% anual, el método de amortización el francés, calcular:
a)
El término amortizativo de cada mes (la mensualidad).
b)
La deuda pendiente cuando hayan transcurrido exactamente 2 años y medio
(justo después del pago correspondiente).
c)
La deuda pendiente cuando hayan transcurrido exactamente 2 años, seis meses
y quince días.
© Ediciones Paraninfo
62

Paraninfo
d)
La cuota de amortización del mes 54.
e)
La cuota de interés del pago correspondiente al mes 31.
Lo primero1 será
calcular1 12el interés efectivo mensual:
12
i( 12= = ( 1+ i )
a)
−1=( 1 , 07 )
P
Aplicando
(9.14):
a=
a120 0,0056541
b)
−1=0 , 0056541
=
50 .000
=575 ,02 €
86 ,954
Solución = 575,02€
1−( 1 ,0056541 )−90
Aplicaremos
el
método
prospectivo
(9.3):
=575
,02⋅
=40. 472 ,59 €
C =a⋅¿ ¿
30
0 ,0056541
a90 0,0056541
(1, 005641 )30−1
=50. 000⋅(1usado
, 005641
−575 , 02⋅ (9.20):
=40 . 472 , 59 €
SiC30
hubiésemos
el) retrospectivo
0 ,005641
30
Solución = 40.472,59€ 0,5
c)
d)
C30 +0,5=C 30⋅( 1 , 005641) =40 .586 , 85 €
Solución = 40.586,85€
Sabemos
por (9.16):
I =C ⋅i=50.
000⋅0 ,530056541=282 ,71 €
A154= A0 1⋅( 1 , 0056541 )
a1 =I 1 + A1 → A 1=a1 −I 1 =575 , 02−282 ,71=292 ,31 €
Para
obtener
A =292,
31⋅la( 1primera:
, 0056541 )53 =394 , 11 €
54
e)
Solución = 394,11€
Hay dos formas:
30
AAtravés
las cuotas
= A ⋅de
1+i
=346de
, 18amortización:
€
31
1
(
Por tanto:
12
)
I 31=a31− A31=575 , 02−346 ,18=228 , 84 €
La otra forma es a través del cálculo de la deuda en el periodo 30:
C30 =a⋅¿ ¿
a90 0,0056541 = 40.472,59€
De (9.8):
I 31=C 30⋅i 12=228 , 84 €
Solución = 228,84€
7º)
Calcular el término amortizativo con el que se devolvería un préstamo de 40.000
euros al 9% anual, si se desean devolver en cuotas semestrales durante 4 años con
pagos constantes.
©Ediciones Paraninfo
63

Paraninfo
1
Lo primero
es obtener
2
i2
i 2=( 1+i ) −1=0 , 04403
a=
8º)
:
40 . 000
a8 0,04403 = 6.040,39€
Solución = 6.040,39€
I 1 =C 0⋅i( 2)=40en
. 000⋅0
, 04403=1.761
,23 €la fila seis del cuadro de amortización.
Confeccionar
el préstamo
anterior
a=6. 040
.040 ,39
Tenemos:
A 1 =a1−I 1=6
A 6 , 39−1 .761,23=4 . 279 ,17
Calculamos
A = A ⋅ 1+i 5:=5 .307 ,93 €
6
1
(
(2)
)
Podemos calcular
I6
I 6 =a6 − A6 =732 , 46 €:
I 6 732, 46
I
=C
⋅i
→C
=
=
=16 . 635
Podemos
calcular
del periodo
5: , 23 €
6
5 ( 2)
5 la deuda
i (2) 0 ,04403
La deuda pendiente:
C6 =C 5 − A6 =11 .327 , 30
El total amortizado:
M 6 =P−C 6 =28. 672 , 70 €
9º)
Calcular el primer y segundo término amortizativo con el que se devolvería un
préstamo de1−70.000
( 1 , 04 )−6euros
1−anual,
( 1 , 04 )−6si se desea−6devolver en seis pagos anuales
500al 4%
( 1 , 04 ) =
que
se van1⋅incrementando
pago.
70 .000=a
+ 500⋅ euros cada −6⋅
, 04
0 , 04 0 , 04
Aplicando0(9.22):
(
)
a1 =12 .160 , 48 €
a2 =a 1 +d=12 . 160 , 48+500=12 . 660 , 48 €
Solución = 12.160,48 y 12.610,48
10º) Un préstamo de 40.000 euros al 3% anual se desea devolver en pagos trimestrales
que se van incrementando 10 euros cada pago durante 8 años. calcular:
a)
El pago correspondiente a los tres años y medio. Solución = 1.390,1.
b)
La deuda a los 2 años y medio. Solución = 29.578,78.
c)
Todos los elementos del cuadro de amortización del pago del trimestre quince.
i
Lo primero
1 es calcular 1 4 :
i 4 =( 1+i )
a)
4
−1= ( 1 , 03 )
4
−1=0 , 007417
El primer pago:
40 .000=a1⋅¿ ¿
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a32 0,007417
+
10
⋅¿ ¿
0,007417
−32
[ a32 0,007417
−32⋅( 1,007417 )
]=
64

Paraninfo
a1 =1.260 ,1€
El pago que corresponde a los tres años y medio:
a14 =a1 +13 d=1. 390 , 1
Solución = 1.390,1
b)
c)
C10=a11⋅¿ ¿
a15=1 . 400 ,a1 
22 0,007417
I 15 =14 , 72
=A29.578,78
15 =1 .215 ,38
Solución
= 29.578,78
M 15=16 .310
, 77
Trimestre quince:
C15=23.689 ,23
+
10
⋅¿ ¿
0,007417
−22
[ a22 0,007417
−22⋅( 1,007417 )
]=
11º) Calcular el primer y segundo término amortizativo con el que se devolvería un
préstamo de 100.000 euros al 10% nominal anual, si se desea devolver en seis pagos
100 .que
000⋅(se
1,1−1
02 )
anuales
van,incrementando
a1 =
=21 . 959 ,28 €un 2% cada pago.
6
−6
Aplicando
1−1 , 02(9.29):
⋅( 1,1 )
a2 =21 . 959 ,28⋅1, 02=22. 398 , 47 €
Solución: a1 =21 . 959, 28 /a2=22. 398 , 47
12º) Calcular el primer y segundo término amortizativo con el que se devolvería un
préstamo
70.000
P⋅( 1+ide
) 70
. 000⋅( 1euros
, 02 ) al 2% anual, si se desea devolver en veintiséis pagos
a1 =
=se van incrementando
=2 . 746 2%
,15 cada
€
anuales
que
pago.
n
26
Puesto que q=1+i :
a2 =a 1⋅q=2 . 801, 08 €
Solución: a1 =2 .746 , 15 €/ a 2=2. 801 ,08
13º) Un préstamo de 80.000 euros al 6% anual se desea devolver en pagos mensuales que
vayan decreciendo un 1% cada pago durante 3 años. calcular:
a)
El pago correspondiente a los dos años y medio. Solución: 2.139,99€.
b)
La deuda a los 2 años y medio. Solución: 12.191,17€.
c)
Todos ilos elementos del cuadro de amortización del mes doce.
1 (12)
1
Calculamos 12 :
12
i( 12)= ( 1+i )
−1= ( 1, 06 )
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−1=0 ,004867
65

Paraninfo
yq:
q=1−0,01=0,99
a)
P⋅( 1 (9.29):
+i−q ) 80 .000⋅( 1+0 , 004867−0 ,99 )
Aplicando
a=
=
=2 .864 ,12 €
1
1−q n⋅(1+i )−n
1−0 ,99 36⋅( 1, 004867 )−36
29 y medio (9.30):
A los dos años
a30=a1⋅0 , 99 =2 .139 , 99 €
b)
1−0 ,99 6⋅( 1, 004867 )−6
C30 =a31⋅= 2.139,99€
=2. 864 ,12⋅0 ,9930⋅5 ,75438=
Solución
1+0 ,004867−0, 99
La deuda será (9.32):
¿ 12. 191 ,17 €
Solución =1112.191,17€
c)
a12=a1⋅q =2 .564 ,36 €
ElI interés:
=C ⋅i
⋅(1, 004867 )−25
=53.657 , 69
1+0 , 004867−0 ,99
C
11
Calculamos
I 12=53 . 657 , 69⋅i: ( 12 )=261 , 18
A 12=a 12−I 12=2 . 303 ,17
C12=C 11− A12=51 .354 ,52
M 12=P−C 12=80 .000−51. 354 , 52=28 . 645 , 48
1−0 , 99
C1211=2.11864( 12)
, 12⋅0, 9911⋅
25
14º) Confecciona el cuadro de amortización de un préstamo de 12.000 euros a devolver
en un año con pagos mensuales, si se devuelve cada periodo la misma parte del
principal, y se paga un interés del 6% nominal anual.
Año
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Término
amortizativo
1.720,00
1.660,00
1.600,00
1.540,00
1.480,00
1.420,00
1.360,00
1.300,00
1.240,00
1.180,00
© Ediciones Paraninfo
Cuota
interés
720,00
660,00
600,00
540,00
480,00
420,00
360,00
300,00
240,00
180,00
de Cuota
de
amortización
1.000,0
1.000,0
1.000,0
1.000,0
1.000,0
1.000,0
1.000,0
1.000,0
1.000,0
1.000,0
Amortización
acumulada
1.000,0
2.000,0
3.000,0
4.000,0
5.000,0
6.000,0
7.000,0
8.000,0
9.000,0
10.000,0
Deuda
pendiente
12.000
11.000
10.000
9.000
8.000
7.000
6.000
5.000
4.000
3.000
2.000
66

Paraninfo
11
12
1.120,00
1.060,00
120,00
60,00
1.000,0
1.000,0
11.000,0
12.000,0
1.000
0
15º) Un préstamo de 60.000 euros al 8% nominal anual se desea devolver en pagos
mensuales durante 10 años, devolviendo todos los meses la misma cantidad de
principal. Calcular:
a)
La deuda a los siete meses.
b)
El pago correspondiente al mes octavo.
C7 =( 120−7 )⋅A=56 .500 €
a)
Solución = 56.600€
P
n
j(12) 0 ,08, por tanto:
aritmética
decreciente
de razón
j(12)=i
=
=0 , 00666
( 12)⋅12→i (12 ) =
12
12
d= los
⋅i términos amortizativos varían en progresión
b) Sabemos que en estos préstamos
El interés del primer periodo:
I 1 =C 0⋅i(12 )=60 .000⋅i( 12)=400 €
Por
tanto:
a1 =I
1 + A=400+
60 . 000
=900 €
120
60 . 000
120
Ela8pago
del mes octavo:
=a1 −7⋅
⋅i (12 )=876 ,66 €
Solución = 876,66€
16º) A la empresa GOMASA se le presentan dos posibilidades a la hora de amortizar un
préstamo de 25.000 euros en siete pagos anuales:
a. Devolverlo al 10% anual a la entidad financiera BHK, con pagos constantes.
b. Devolverlo al 10% anual a la entidad financiera BHK, pagando solamente los
intereses hasta el último periodo, y constituir un fondo de reconstitución del
principal en la entidad BZZ, que le remunera sus inversiones al 12% anual.
¿Qué opción debería elegir GOMASA? ¿A cuánto ascenderían los pagos por el método
a y b? Construir el cuadro de reconstitución del principal.
a)
Debería elegir la25
opción
b), tal y como vimos en el apartado 9.11 del tema.
. 000⋅0,1
=
=5 .135 , 14 €
P a:
b)
Método
−7
a=
a7 0,1
a=5.135,14€
1−( 1,1 )
25 . 000⋅0 , 12
( 1 ,12 ) −1
=
=2. 477 , 94 €
P b: Aplicando
Método
(9.39):
−7
F=
S7 0,12
Falta el pago periódico de intereses:
©Ediciones Paraninfo
67

Paraninfo
c)
Años
0
1
2
3
4
5
6
7
Cuadro:
Aportación
fondo
2.477,94
2.477,94
2.477,94
2.477,94
2.477,94
2.477,94
2.477,94
al Interés
fondo
0
297,35
630,38
1.003,39
1.421,15
1.889,03
2.413,07
del Total
reconstituido
2.477,94
5.253,23
8.361,56
11.842,89
15.741,98
20.108,96
25.000
Pendiente
de
reconstituir
25.000
22.522,06
19.746,77
16.638,44
13.157,11
9.258,02
4.891,04
-
17º) Una entidad financiera ofertó, dentro de sus modalidades de amortización de
préstamos hipotecarios, una hipoteca con las siguientes características:
“Hipoteca con vencimiento de 15 años que invierte en un fondo a 10 años con las partes
de amortización del principal. Las cuotas de la hipoteca son constantes en 10 años. A los 10
años se revisa la hipoteca condicionada a la revalorización del fondo.
Se parte de una hipoteca normal con las siguientes hipótesis:

Vencimiento: 15 años.

Periodo de inversión en el Fondo: 10 años.

Cuotas de la hipoteca son constantes durante los diez años de inversión del índice,
correspondiendo a Principal e Intereses (Euribor + Spread, siempre sobre el 100% del
principal).

La parte que correspondería a amortización del principal, es invertida en depósito
estructurado de capital garantizado que invierte en un índice de renta variable.
A los diez años el valor de la inversión es revisada:

Si el fondo se ha revalorizado un 7,3% anual de media (break-even de la operación),
durante los diez años, la hipoteca se extingue.

Si el fondo se ha revalorizado menos de 7,3%, pero más de 0%, la revalorización es
utilizada para amortizar parte del principal restante y así reducir la duración de la
misma.

Si el índice se ha revalorizado por encima de 7,3%, la hipoteca no sólo se extingue
sino que además se le pagaría al prestatario la revalorización adicional.

Si el fondo no se revalorizara nada, el prestatario siempre tendría su hipoteca inicial a
quince años con cuotas constantes ya que el principal está garantizado.
© Ediciones Paraninfo
68

Paraninfo
La hipoteca puede ser con intereses fijos o variables. Se podrá hacer con cualquier índice
de renta variable de mercado. (Un índice cuya revalorización media anual durante diez años
sea de al menos un 7,3% anual, permitirá la amortización anticipada de la hipoteca).
Información
de
Interés
Se trata de una hipoteca con un coste mensual similar al de la hipoteca tradicional. A
diferencia de ésta, la parte de cuota correspondiente a amortización del principal se invierte
en
un
fondo
de
inversión
garantizado.
Muy atractiva comercialmente, ya que antes del vencimiento el prestatario puede haber
amortizado su hipoteca con los beneficios del fondo. “
Fuente: Caja Madrid Empresas.
a)
¿A qué modalidad de amortización de préstamo de los vistos en la unidad se
aproxima esta novedosa hipoteca?
b)
Realiza un análisis de las diferentes posibilidades que se pueden dar de
acuerdo a la evolución que tenga el fondo o depósito garantizado en el que
se van realizando las inversiones.
Nota: Durante la oferta de esta hipoteca el EURIBOR a un año se encontraba en el
entorno del 4%. Es aconsejable, por motivos didácticos y de sencillez, realizar el
análisis tomando un interés fijo durante todo el periodo de vigencia de la misma.
a)
b)
Amosrtización por sistema americano con fondo de constitución.
Aunque la idea es buena, se plantea una duda. Aunque pagamos una cuota de
acuerdo con el método francés (constante), realmente la parte de anmortización
del préstamo que se hace con esa cuota va destinada a invertirse en un fondo o
depósito garantizado, sirviendo la parte de intereses para hacer frente a los del
sistema americano.pero del pago constante, la cantidad derivada a intereses cada
vez es menor, luego el préstamo americano irá creciendo, ya que no seremos
capaces de pagar toda su cuota de interés excepto en la primera cuota.Si el fondo
no se revaloriza nada, recuperaremos las cantidades invertidas que podremos
destinar a disminuir el capital vivo, pero éste habrá aumentado en la cuantía de los
intereses acumulados a los que no se han ido haciendo frente.
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69

Paraninfo
Tema 10 “LOS PRÉSTAMOS II. EL ARRENDAMIENTO FINANCIERO O
LEASING”
1º) Un préstamo de 50.000 euros se va a devolver en pagos mensuales durante 10 años
con un periodo de carencia total de 2 años. Si el tipo de interés es del 7% anual, el
método de amortización el francés, calcular:
a) El término amortizativo durante el periodo de carencia. Solución: Nada.
b) El término amortizativo de cada mes (la mensualidad) después de los dos años.
c) La deuda pendiente cuando hayan transcurrido exactamente 2 años y medio
(justo después del pago correspondiente).
d) La deuda pendiente cuando hayan transcurrido exactamente 2 años seis
meses y quince días.
e) La cuota de amortización del mes 54.
f) La cuota de interés del pago correspondiente al mes 31.
a)
b)
No se paga nada.
i
1
Calculamos 12
el (12) :
i( 12)= ( 1+i )
1
−1= ( 1, 07 )
12
−1= 0 ,0056541
24 la deuda ascenderá a:
Al
dos años
C cabo
=P⋅de1+i
=57 . 245 €
(
24
(12 )
)
C24
La
anualidad:
a=
=
a120-24 0,0056541
c)
57 . 245⋅0 , 0056541
=774 , 35 €
1−( 1, 0056541 )−96
−90
Solución = 774,35€
1−( 1, 0056541 )
774, 35⋅
=54 .502 , 36€
Por el método prospectivo:
C30 =a⋅¿ ¿
a90 0,0056541 =
0 ,0056541
0,5
Solución
= 54.502,36€
C
=C
⋅ 1+i
=54 . 656 , 23 €
d)
e)
f)
30 +0,5
30
(
(12 )
)
I 25 =C24⋅i (12 )=323 ,67 €
Solución
= 25
54.656,23€
a=I 25 + A
→AA25 =a−I 25=450 , 68 €
Necesitamos
A = A ⋅ 1+i
54
25
(
25
( 54−25) cuota de amortización):
(primera
=530 ,74 €
( 12 )
)
Solución: 530,74€
A 31
SiA calculamos
la
: )=466 ,19 €
= A ⋅ 1+i ( 31−25
31
25
(
© Ediciones Paraninfo
( 12)
)
70

Paraninfo
a=I 31 + A31 → I 31=a− A 31=774 , 35−466 ,19=308 , 16 €
Si
Solución = 308,16€
2) ¿Cuáles serían los términos amortizativos durante el periodo de carencia y después
del mismo en el préstamo anterior, si durante esta se pagasen intereses?
Durante el periodo de carencia:
a=P⋅i( 12)=50 . 000⋅i( 12 )=282 , 71 €
Después:
a=
50. 000
50 .000⋅0 , 005654
=676 , 35 €
−96
1−
(
1
,
005654
)
a96 ┐0,005654 =
Solución: Antes 282,71€, después 676,35€
3º) ¿Cuál de los siguientes préstamos elegirías si deseas financiación para la compra de
una motocicleta?
a) Un nominal del 8% anual capitalizable semestralmente.
b)
Un nominal del 8% anual capitalizable trimestralmente.
c)
Un nominal del 8% anual capitalizable mensualmente.
d)
Un efectivo anual del 8%.
e)
Un efectivo mensual del 0,60%.
Calcularemos uno homogéneo como es el interés efectivo anual:
a)
i( 12)=
j(12) 0 , 08
=
=0 , 04
2
2
2
i=( 1 , 04 ) −1=0 , 0816 → 8,16% anual.
b)
i( 4 )=
j( 4 ) 0 ,08
=
=0 ,02
4
4
4
i=( 1 , 02 ) −1=0 , 0824 → 8,24%
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71

Paraninfo
c)
i( 12)=
j(12) 0 , 08
=
=0 , 006666
12
12
i=( 1 , 006666 )12−1=0 , 08299→ 8.299% anual.
d)
i=0, 08→8%
e)
i=( 1+i (12 ))12−1=( 1 ,006 ) −1⇒ 7 , 44 %
12
Solución: Préstamo e.
4º)
J.F. ha firmado un préstamo hipotecario para la compra de un piso con el banco BZZ
por una cuantía de 125.000 euros, que va a amortizar con pagos mensuales durante
22 años. Ha negociado un tipo de interés sobre el EURIBOR a un año, calculando el
interés aplicable sobre este índice más un 0,90%.
a.
b.
c.
a)
Calcular cuál será la mensualidad a pagar si deciden devolver el préstamo con
pagos constantes y en el momento de la concesión el EURIBOR a un año está en
el 4,10%.
Si la revisión del interés se hace cada año, ¿cuál será la nueva mensualidad si en
el momento de la primera revisión el índice de referencia está en el 4,45%?
NOTA: La entidad redondea el EURIBOR al octavo de punto porcentual más
próximo.
¿Cuál será la nueva mensualidad si en el momento de la segunda revisión, el
índice de referencia está en el 3,55%? NOTA: La entidad redondea el EURIBOR al
octavo de punto porcentual más próximo.
El tipo de interés será:
EURIBOR + 0,9% = 4,1% + 0,9% = 5%
1
1
El mensual:
12
12
i( 12)=( 1+i )
−1=( 1, 05 )
−1=0 , 004074
=
125. 000
Por
a=tanto:
a22·12 0,004074
b)
125 . 000⋅0 , 004074
=773 , 78 €
1−( 1 ,004074 )−264
Solución = 773,78€
En la revisión anual:
Redondeo del EURIBOR al octavo de punto porcentual más próximo: 4,45% 
4,5%
EURIBOR redondeado + 0,9% = 4,5% + 0,9% = 5,4 %
1
El mensual:
12
i( 12)=( 1+i )
−1=0 , 004392322
Habrá que calcular la deuda en ese momento:
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72

Paraninfo
a264-12 0,004074
121 .753, 19⋅0 ,004392322
121. 753 ,19
= al nuevo interés:
=799. 84 €
Para
a= amortizar la deuda pendiente
−252
a252 0,0044717
c)
1−( 1,004392322 )
Solución = 799,84€
El interés a aplicar será:
Redondeando el EURIBOR: 3,55%  3,50%.
EURIBOR + 0,9% = 3,5% + 0,9% = 4,4%.
El mensual1 12equivalente:1 12
i( 12)= ( 1+i )
−1=( 1, 044 )
−1=0 , 00359473
Debemos conocer la deuda en1−
el (momento
de)−240
la segunda revisión (mes 24 desde
1,004392322
,84⋅prospectivo:
=118 .493 , 78€
el inicio), aplicando el=799
método
C24 =a⋅¿ ¿
0, 004392322
a240 0,0044717
Si hay que devolver esa deuda al118
4,4%
.493anual:
, 78⋅0 , 003594736
119. 067 , 83
=
=737 ,79 €
a=
−240
a240 0,0036748
5 º)
1−( 1 , 003594736 )
Solución = 737,79€
J.C. ha firmado un préstamo hipotecario para la compra de un piso con el banco BZZ por una
cuantía de 100.000 euros, que va a amortizar con pagos mensuales durante 15 años. Ha
negociado un tipo de interés sobre el EURIBOR a un año, calculando el interés aplicable
sobre este índice más un 1,1% con revisiones anuales. Calcular:
a) La mensualidad que amortiza el préstamo, si sigue el método francés y el EURIBOR
se encuentra en el 4%.
b)La entidad le dice que para estar más tranquilo con las revisiones de tipos de interés,
puede acogerse a la modalidad de pago fijo, de forma que siempre se paga la misma
cantidad, ajustando la operación con la variación del número de mensualidades a
pagar. Si llegada la primera revisión el EURIBOR está al 3,20%, ¿en cuánto tiempo
amortizará ahora el préstamo?
c) ¿Y si al año siguiente está al 4,55%?
(NOTA: La entidad redondea el EURIBOR al octavo de punto porcentual más próximo.)
1. El interés aplicable:
EURIBOR + 1,1% = 4% + 1,1% = 5,1%
1
1
El mensual:
i( 12) =( 1+i ) 12 −1=( 1, 051
) 12.−1=0
0041537
100
000⋅0,, 0041537
P
=
=789 , 99 €
a=
−180
a180 0,0041537
1−( 1 , 0041537 )
Solución: 789,99€
2. El interés será:
Redondeando: 3,25%
EURIBOR + 1,1% = 3,25 + 1,1% = 4,35%.
El nuevo interés mensual:
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73
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1
i( 12) =( 1+i )
12

−1=0 , 00355467
−168
1−( 1,004153 )
,99⋅
=95doce:
.400 , 77 €
Calculamos la deuda=789
pendiente
después del pago
C12=a⋅¿ ¿
0,004153
a180 0,004153
Ahora debemos amortizar
esa deuda
1−( 1,00355467
)−n a un i=0 , 0435 en n meses, pagando la
95.400cantidad
,77=789 mensual:
,99⋅
misma
95.400,77=789,99⋅¿ ¿ 0 ,00355467
an 0,003634
−n .
−n
0 ,4249695=1−1 ,00355467 →−0,57073=−1 ,00355467
0 ,57073=1,00355467−n →ln 0 ,57073=−n⋅ln 1,00355467
−0 , 56083=−n⋅3 ,548371→n=158 , 055
meses.
Solución = En 158 meses.
3. El interés aplicable:
Redondeando el EURIBOR al octavo punto más próximo = 4,50%.
EURIBOR + 1,1% = 4,50 + 1,1 = 5,60.
i(12)=0, 004551
Necesitamos la deuda pendiente después del pago número veinticuatro, si
tenemos en cuenta que la nueva duración era de 158 meses, para calcular la
deuda pendiente tomaremos una renta de 146 periodos (158-12):
C24 =789 ,99⋅¿ ¿
−146
1−( 1 ,00355467
)
=789 ,99⋅
a147,29 0,003634 = =89. 858 , 54€
0,00355467
−n
1−( 1 ,004551 )
=789
,99⋅término amortizativo:
Si amortizamos esa deuda con el
mismo
0 ,004551
89.858,54=789,99⋅¿ ¿
an 0,0044717
−n
−0 , 48234=−1 , 004551 →n=160 ,57
meses.
Solución = Faltarán 160 meses y 15 días .
6º) Calcular la TAE que obliga a publicar el Banco de España en las siguientes
operaciones de préstamos:
a. Una entidad A presta a una persona B una suma de
150.000 euros, comprometiéndose ésta a devolver
180.000 euros dentro de dieciocho meses.
b. Una entidad A presta a una persona B 150.000 euros,
reteniéndole por el cobro de una comisión de apertura
2.500 euros. La persona B se compromete a pagar
180.000 euros por devolución de capital y pago de
intereses dentro de 548 días.
c. Una entidad A presta a una persona B una suma de
150.000 euros, comprometiéndose ésta a devolver
90.000 euros al cabo de un año y 90.000 euros al cabo
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74

Paraninfo
de dos años por reembolso del capital prestado y pago
de intereses.
d. Una entidad A presta a una persona B una suma de
150.000 euros, comprometiéndose ésta a realizar los
siguientes pagos por reembolso de capital y cargas
financieras para cancelarlo:
Al mes: 30.000 euros.
A los dos meses: 30.000 euros.
A los tres meses: 20.000 euros.
A los cuatro meses: 50.000 euros.
A los cinco meses: 25.000 euros.
e. Una entidad A presta a una persona B 150.000 euros,
reteniéndole por el cobro de una comisión de apertura
2.500 euros, por gastos de estudio 1.000 euros, por
Corredor de Comercio 500 euros, por prima de seguro
obligatoria para cubrir riesgos de muerte, desempleo,
etc. del prestatario 150 euros, comprometiéndose B a
18
18
devolver180
180.000
euros
dentro
1,2=(1+i (12 )) →1 , 0101=1+i
.000=150
.000⋅
(1+i( 12)de
) 548 días.
( 12 )
i. , 1292
i =0 , 010→i= 1+i 12−1=0
(
( 12)
(12 )
)
TAE = 12,92%
180 .000=147 .500⋅( 1+i( 365 )) 548
ii. Principal =
,00036=1+i
, 000363
-1Comisión
apertura
2.500
( 365) →i=(365)-=0
365
Prestación
147.500
i= 1+i = −1=0 , 14183
(
(365)
150.000
)
−2
1−( 1+i )
TAE = 14,183%
1 ,666=
→1 , 666 i=1− (150
1+i.000=90
)−2
.000⋅¿ ¿
i
1 ,666 i−1+ ( 1+i )−2 =0
iii.
a2 i =
1−( 1+i )−2
90 . 000⋅
i
Resolviendo con Excel: i=0 ,13066
−1
TAE = 13,066%
iv.
150 .000=30 .000⋅( 1+i( 12 )) +30. 000⋅( 1+i( 12) )−2 +20 . 000⋅( 1+i( 12))−3 +
−4
−5
+50 .000⋅( 1+i( 12 )) +25 . 000⋅( 1+i( 12))
i( 12)=0, 01079
Por Excel obtendríamos
TAE = 13,74%
- Comisión apertura:
- Gastos estudio:
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i(12) i=(1+i (12 ))12−1=0 , 1374
:
v. Principal:
- 2.500
- 1.000
150.000
75

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- Prima seguro:
- 150
obligatorio
180 .000=146 .350⋅( 1+i( 365)) 548
Prestación:
146.350
( 365) de Comercio no entra, pues no lo cobra la entidad (aunque
El1 ,0003777=1+i
gasto de Corredor
se
lo=0
retenga)
siguiendo el dictado de la Circular 8/90 del Banco de España, lo
i( 365)
, 0003777
que nos indica
que
el coste real del préstamo todavía será mayor que la TAE.
365
i=( 1+i(365) ) −1=14 , 78 %
TAE = 14,78%
7º) Una entidad A presta a una persona B 100.000 euros, siendo las condiciones de los
préstamos las siguientes:
1.
2.
3.
Devolver 53.780,5 euros en dos semestres consecutivos.
Comisión de apertura de 2.000 euros y de gastos de estudio de 2.500 euros,
devolviendo 53.780,5 euros en los dos semestres consecutivos.
Calcular para cada operación:
a) La TAE según el Banco de España. Solución: 1º = 10,25; 2º = 17,28%.
b) El tipo de interés nominal. Solución: 10% ambos préstamos.
c) El tipo de interés efectivo anual. Solución: 10,25% ambos préstamos.
−2
Realizar el1−
cuadro
de los dos tipos de préstamos.
( 1+i( 2)de
) amortización
100.000=53.780,5⋅¿
¿

1 ,8594=
a. a.)
a2 i(2).
i
(2)
Resolviendo
i =0 , 05 la ecuación:
( 2)
Por tanto: 2
2
i=( 1+i(2 )) −1=( 1 , 05 ) −1=0 , 1025
TAE = 10,25%
j(2 )=0 , 05⋅2=0,1→
b.) i= 1+i 2 −1=0 ,1025→10
10% nominal
, 25 % anual.
( (2 ))
c.)
de interes efectivo anual.
Cuando no hay comisiones  TAE = i.
2.) Principal:
100.000
- Comisión apertura:
-2.000
- Gastos estudio:
-2.500
PRESTACIÓN =
95.500
95 .500=53.780 ,5⋅¿ ¿
1.
a2 i(2).
Con
uso de Excel obtenemos:
i =0,083
( 2)
Por tanto:
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2
i=( 1+i(2 )) −1=0 ,1728

TAE = 17,28%
b.) El interés nominal se calcula a través del efectivo semestral de la operación pura
(sin gastos). Sin gastos hemos visto el apartado primero que el efectivo semestral
es:
i =0,05
( 2)
Por tanto:
j(2 )=0 , 05⋅2=0,1→
10%.
Solución: Nominal del 10%.
El efectivo
anual será
i= 1+i c.)2 −1=
( 1 , 05 )2 −1=0
, 1025el equivalente al efectivo semestral:
(
(2 )
)
Solución = Efectivo anual del 10,25%.
4. El cuadro de amortización se calcula a través del efectivo anual, o el efectivo
del subperiodo, pero nunca se usa la TAE si existen gastos, ya que ésta
solamente es un instrumento que intenta homogeneizar el coste del
préstamo, incluyendo no sólo intereses, sino también gastos.
Por tanto, el cuadro de amortización será para los dos préstamos el mismo:
Periodo
0
1
2
Término
Cuota
amortizativo interés
53.780,5
53.780,5
5.000
2.560,9
Capital
Amortización Deuda
amortizativo acumulada
pendiente
periodo
100.000
48.780,5
48.780,5
51.219,5
51.219,5
100.000
0
8º) La sociedad V.S.A. es una pequeña empresa que ha decidido adquirir una nueva
maquinaria que le permitirá una mayor agilidad en el trabajo; para ello concierta con
el banco R la concesión de un préstamo por un importe de 3 millones de euros, con las
siguientes características:
a)
Fecha de ejecución: 16-08-2011.
b)
Tipo nominal anual: 8%.
c)
Duración: 3 años.
d)
Cuotas periódicas: 6 cuotas semestrales de igual cuantía.
e)
Comisiones: Apertura 2%, gastos de estudio 0,25%.
f)
Notario: 0,3%.
Se pide:
i. Elaborar el cuadro de amortización.
ii. Calcular la TAE y el tipo de interés efectivo anual de la operación.
iii. En la liquidación del cuarto periodo, ¿qué TAE aparecerá en el
documento de adeudo que recibe la empresa en su domicilio?
iv. El 16-08-2013 el empresario recibe una oferta del Banco J, que le
anima a cancelar el préstamo con el banco actual y abrir uno nuevo
por la deuda pendiente con ellos (subrogación por cambio de
acreedor). Las características del nuevo préstamo son:
Tipo de interés nominal anual: 0%.
Cuantía: Deuda Viva del préstamo anterior.
Comisión de estudio: 5%.
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77

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1.
Año
0
1
2
3
4
5
6
Comisión de apertura: 2,5%.
Duración: 1 año con dos pagos semestrales.
Si usted es empleado de banco R, ¿qué le argumentaría al cliente para retenerlo?
v. A pesar de nuestros brillantes argumentos al cliente, deslumbrado por
el hecho de que el banco J no le cobra intereses, decide cancelar el
préstamo. Calcula la comisión que le tendremos que cobrar si la tarifa
bancaria indica un 3% sobre la cancelación total o parcial.
Término
Cuota
de
amortizativo interés
572.286
120.000,00
572.286
101.908,56
572.286
83.093,46
572.286
63.525,76
572.286
43.175,35
572.286
3 . 00022.010,93
.000⋅0 , 04
P
=
a=
an i(2)
Cuota
de
amortización
452.286,00
470.377,44
489.192,54
508.760,24
529.110,65
550.275,07
Amortización
acumulada
452.286,00
922.663,44
1.411.855,98
1.920.616,22
2.449.726,87
3.000.000,00
Deuda
pendiente
3.000.000
2.547.714,00
2.077.336,56
1.588.144,02
1.079.383,78
550.273,13
0
a6 0,04 = 572.286€ cada semestre.
2. El efectivo anual:
2
i=( 1+0 , 04 ) −1=0 , 0816→
Solución = 8,16% efectivo anual.
La TAE:
Principal =
- C. apertura =
- C. estudio =
Prestación:
2.933 .500=572 .286⋅¿ ¿
3.000.000
- 60.000
- 7.500
−6
1−( 1+i( 2) )
2.933.500
=572
.286⋅
i( 2)
a6 i(2)
Resolviendo
i =0 , 0469 la ecuación con la utilización de Excel:
( 2)
La equivalencia anual:
2
i=( 1+i 2 ) 2−1=( 1 ,0469 ) −1=0 , 09609
TAE = 9,609%
3. Tal y como indica el Banco de España en la Circular 8/90 ya será el 8,16%, pues es el
efectivo que iguala la deuda pendiente con las contraprestaciones.
4. Calculamos la deuda pendiente:
C 4 =572.286⋅¿ ¿ 
a2 0,04 = 1.079.383
Ahora calculamos la TAE del nuevo préstamo:
Principal:
1.079.383
- C. estudio:
- 53.969
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
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- C. apertura:
- 26.985
Prestación:
998.429
1 .079 . 383
a1 =a
=539.
691 , 5 por dos pagos (sin intereses):
La
contraprestación
está formada
2=
2
−2
Por tanto, la TAE será:
998.429=539.691,5⋅¿ ¿
a2 i(2)
1−( 1+i( 2))
=539 . 691, 5⋅
i(2)
Calculando
por tanteo o usando Excel:
i =0,05359
( 2)
Luego el equivalente
anual:
2
2
i=( 1+i(2 )) −1=( 1 , 05359 ) −1=0 , 11
TAE = 11%
No le interesa cambiar, pues el nuevo préstamo tiene una TAE del 11%, mientras
el suyo se está amortizando en estos momentos con una TAE del 8,16%.
5. Deuda viva =1.079.385
Comisión 3% =
32.382
Desembolso total =
1.111.767€
9º) Juan Luis acude a una entidad financiera para, inmediatamente después de realizar el
pago mensual con el que está devolviendo un préstamo personal, amortizar
anticipadamente 5.000 euros del principal, ya que tiene algo ahorrado. Si los pagos
ascienden a 500 euros todos los meses y todavía le quedan 55 mensualidades para
finalizar el préstamo, ¿a qué nuevas mensualidades tendrá que hacer frente si paga un
interés nominal anual del 12%? ¿Qué desembolso hará este mes si la comisión de
cancelación anticipada que
el banco es del 2,5%?
1−aplica
(1,01 )−55
=500⋅
=21. 073, 57 €
Calculamos la deuda
después de la mensualidad:
C x =500⋅¿ ¿
a55 0,01
0,01
Si 'amortiza anticipadamente 5.000€, la nueva deuda será:
C x =21. 073 ,57−5 .000=16. 073 , 57€
−55
1−( 1,01 )
La nueva mensualidad: =a⋅
0,01
16 .073,57=a⋅¿ ¿
a55 0,01
a=381 ,36 €
Solución = 381,36€
b)
Comisión cancelación anticipada............................................. 125€
2,5% sobre 5.000€
Cuota mensual......................................................................... 500€
Amortización parcial anticipada.......................................... 5.000€
Total =
5.625€
Solución = 5.625€
10º) Una entidad financiera ha firmado un importante préstamo con una multinacional por
un millón de euros, con la duración de 24 meses a un nominal del 6% anual. Tiene la
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79

Paraninfo
sospecha de que dentro de doce meses la multinacional amortizará anticipadamente
el préstamo, y su gabinete de estudios económicos le indica que en esas fechas los
tipos de interés de préstamos similares podrían estar al 5% nominal. Si la entidad
financiera no quiere perder la posibilidad de seguir obteniendo una rentabilidad del
6% en tan jugoso negocio,
¿qué comisión de cancelación debería poner en las
0 , 06
j(12)=0 , 06→i
=
=0
,
005
condiciones
del préstamo?
( 12)
12
1. 000 . 000⋅0 , 005
1−( 1, 005 )
P
=
=44
.320hace
, 61 €frente el cliente:
Calculamos
el término
amortizativo
al que
a=
−24
a24 0,005
Si el banco cree que después del pago del mes doce el cliente podría amortizar
anticipadamente el préstamo, y no deseamos perder la posibilidad de obtener esos
pagos en el futuro aun estando ahora
los004166
intereses
1−( 1,
)−12 al 5%, deberíamos ver cuánto valen
=44 .320 ,61⋅
=517.718, 92 €
esos pagos al interés vigente:
0 ,004166
V⋅P=a⋅¿ ¿
0 , 05
i( 12)a=12 0,004166
=0. , 004166
12
siendo
−12
1−( 1 ,01 ) que amortizar:
Vemos cuál es la deuda
actual
=44 .320
,61⋅ que habría=498
.831 ,90 €
C12=a⋅¿ ¿
a12 0,01
0 ,01
Si queremos recuperar 517.718,92:
498 .831,90⋅( 1+C ) =517.718 ,92
C=0 , 0378→ Comisión del 3,78%
Solución = 3,78%
11º)
Entrada = 540 €
Dos pagos mensuales: P1=P2=630 €
Comisión de apertura=36€
La equivalencia financiera quedará:
1.800=
1.224=
576+
630
630
+
1+i12 (1+i 12 )2
630 630
+
=630 (1+i 12 )−1 +630(1+ i12 )−2
2
1+i 12 (1+i 12 )
Cambio de variable:
© Ediciones Paraninfo
80

Paraninfo
(1+i12) -1 = a
1.224=630·a + 630·a2
Ecuación de segundo grado:
630•a2 +630•a – 1.224 =0
Resolviendo la ecuación de segundo grado se obtienen dos soluciones:
a1=0,98080
a2<0  rechazada por no tener significado económico.
Tomando a1 y deshaciendo el cambio de variable:
1
0,98080=(1+i )-1  0,98082 = (1+i12 )
12
1+i 12=
1
=1, 019555
0 , 98082
Por tanto i12 0,19555
Buscamos el interés equivalente anual:
i= (1+i)12 -1 = 0,26162
T.A.E =26,162%
El banco nos ofrece un interés efectivo anual sin gastos del 8 %, por tanto en este caso
i=T.A.E
T.A.E= 8%
Debe elegir la entidad financiera.
12º) Calcula el valor del préstamo, de la nuda propiedad y del usufructo de la operación
del ejercicio 4, si se están negociando, dos años después de la concesión de éste,
−4
préstamos similares al 10% anual.
1−( 1,10 )
=4.458
,40⋅
=14caso
.132,53
Valor
del préstamo
por (9.53), siendo en este
una€ renta de términos constantes:
V⋅P =a⋅¿
¿
2
a6-2 0,1.
0,1
Valor de la nuda propiedad, por (9.54), sabiendo que en el préstamo
(1+i) francés las cuotas
de amortización varían en progresión geométrica de razón
:
©Ediciones Paraninfo
81

Paraninfo
El usufructo a través de (9.56):
U 2 =V⋅P2 −N⋅P2 =14 . 132, 53−11. 329 ,57=2 .802 , 96
Solución V⋅P2 =14 . 132, 53/ N⋅P2 =11 .329 , 57/U 2 =2 .802 , 96
13º) Calcula el valor del préstamo del ejercicio número siete, si han pasado 18 meses
desde su concesión y el interés de operaciones similares está al 8% nominal anual.
j(2) el
0 , 08
Calculamos
efectivo mensual
al que vamos a valorar la operación:
'
i(' 2)=
= interés
=0 , 04
i( 2)=0,04
2
2
−5
1−( 1,04 )
=26 .890, 74 €
El
valor
del¿ préstamo=6.040,39⋅
por (9.56):
V⋅P
=a⋅¿
0,04
3
a8-3 0,04.
Solución = 26.890,74
14º) Calcula el valor de la nuda propiedad y el usufructo de la actividad anterior.
Al tratarse de un préstamo francés, las cuotas de amortización varían en progresión
geométrica de razón
q=( 1+i )=( 1 ,04403 )
.
Calculamos la primera cuota de amortización:
I 1 =C 0⋅i( 2)=P⋅i( 2)=40 . 000⋅0 , 04403=1 . 761, 23 €
A 1 =a−I 1 =6 . 040 , 39−1 .761 , 23=4 . 279, 17 €
Luego:
3
3
A 4 = A 1⋅( 1 , 04403 ) =4 . 279 , 17⋅( 1 , 04403 ) =4 . 869 , 66
−n
5
−5
1−qn⋅(1+i '2 )
1−( 1 , 04403 ) ⋅( 1 , 04 )
La
propiedad
vendrá
dada
por:
NPnuda
=
A
⋅
=4
.
869
,
66⋅
=23 .593 , 96 €
3
4
1+0 , 04−1 , 04403
1+ i'2 −q
Por tanto, el usufructo:
U 3 =VP3 −NP 3=26. 890 , 74−23 .593 , 96=3 .296 , 78 €
Solución:
© Ediciones Paraninfo
N⋅P3 =23 .593 , 96 €/ U 3 =3. 296 , 78 €
82

Paraninfo
15º) Confecciona el cuadro de amortización de un préstamo de 15.000€, a devolver en
cuatro años, mediante pagos constantes, por el método alemán al 6% de interés
anticipado.
0 ,06
a=15.
000⋅ (9.50): 4 =4 .104 , 88 €
Aplicando
1− (1−0 , 06 )
Cuota
de Amortizació Amort.
Deuda
Period Término
amor.
interés
n
acumulada
pendiente
o
0
900,00
15.000,00
1
4.104,88
695,43
3.409,45
3.409,45
11.590,55
2
4.104,88
477,81
3.627,07
7.036,53
7.963,47
3
4.104,88
246,29
3.858,59
10.895,12
4.104,88
4
4.104,88
0,00
4.104,88
15.000,00
0,00
Solución = anualidad: 4.104,88€
16º) Confecciona el cuadro de amortización de un préstamo de 20.000€, a devolver en
cinco años, mediante pagos constantes por el método alemán al 5% de interés
vencido.
0,05
Sid=
vamos =0,04761904
a aplicar (9.50) precisamos obtener d, por (9.45):
1,05
0 ,04761904
=4 . 399 , 52 €
1−( 1−0 , 04761904 )5
a=20
.000⋅
Por
tanto:
Podríamos haber obtenido la cuota aplicando (952):
20 .000⋅( 1−0 , 04761904 )
a=
a5 0,05
Perio
do
0
1
2
3
4
5
=4.399,52€
Término
amor.
Cuota
de Amortizaci Amort.
Deuda
interés
ón
acumulada
pendiente
952,38
20.000,00
4.399,52
780,02
3.619,50
3.619,50
16.380,50
4.399,52
599,05
3.800,47
7.419,97
12.580,03
4.399,52
409,03
3.990,49
11.410,46
8.589,54
4.399,52
209,50
4.190,02
15.600,48
4.399,52
4.399,52
0,00
4.399,52
20.000,00
0,00
Solución = anualidad: 4.399,52€
17º) Redactar el cuadro de leasing por el que se financia una máquina industrial cuyo coste
ascendió a 50.000€, si la duración del coste del contrato es de 4 años, pagos semestrales,
prepagables. El tipo de interés nominal es del 10% anual, el valor residual es igual a un
importe semestral y la entidad financiera desea que éste sea todo el capital. IVA 18%.
Aplicando (9.58):
©Ediciones Paraninfo
83

Paraninfo
i 0 , 05
d=
=
=0 ,047619047
Para1+i
confeccionar
1 , 05 el cuadro hay que usar el tipo de interés anticipado:
Periodo
Cuota
bruta
IVA
Cuota neta
Carga
financiera
Recup.
coste
Recup. coste
acumulado
Deuda
pendiente
0
1
2
3
4
5
6
7
8.693,90
8.693,90
8.693,90
8.693,90
8.693,90
8.693,90
8.693,90
8.693,90
18,0%
18,0%
18,0%
18,0%
18,0%
18,0%
18,0%
18,0%
7.367,71
7.367,71
7.367,71
7.367,71
7.367,71
7.367,71
7.367,71
7.367,71
2.131,61
1.869,81
1.594,92
1.306,28
1.003,20
684,98
350,84
0,00
5.236,09
5.497,90
5.772,79
6.061,43
6.364,50
6.682,73
7.016,86
7.367,71
5.236,09
10.733,99
16.506,78
22.568,21
28.932,71
35.615,43
42.632,29
50.000,00
44.763,91
39.266,01
33.493,22
27.431,79
21.067,29
14.384,57
7.367,71
0,00
Solución = término amortizativo sin IVA: 7.367,71€
18º) Redacta el cuadro de leasing por el que se adquiere un equipo de producción, si el coste
fue de 100.000€, el tipo de interés nominal de la operación del 12%, las cuotas son
prepagables y anuales, el valor residual es el importe de una cuota más y la operación dura 4
años. IVA 18%. Construir con interés anticipado.
100. 000
Aplicando
(9.58):
a=
=29 .395,93 €
ä4 0,12.
i
1+i
En
tipo de interés a aplicar en el cuadro será:
d=cuanto
=0al,1071428
Period
o
Cuota
bruta
IVA
Cuota
neta
Carga
financiera
Recup.
coste
Recup. coste acumulado
Deuda
pendiente
0
34687,20
29.395,93
8.472,48
20.923,45
20.923,44
79.076,56
1
34687,20
29.395,93
5.961,67
23.434,26
44.357,70
55.642,30
2
34687,20
29.395,93
3.149,56
26.246,37
70.604,07
29.395,93
3
34687,20
18,0
%
18,0
%
18,0
%
18,0
%
29.395,93
0,00
29.395,93
100.000,00
0,00
Solución = Anualidad sin IVA: 29.395,93€
20º) Redacta el cuadro de leasing por el que se adquiere un edificio de 600.000€, si el
contrato tiene una duración de 10 años, los pagos son anuales y prepagables. El tipo de
interés efectivo anual del 8%, el valor residual asciende a 150.000€. IVA 8%. Construir con
interés anticipado.
© Ediciones Paraninfo
84
Paraninfo

−9
600 .000−150 .000⋅( 1, 08 )
Aplicando
(9.59):
a=
ä9 0,08 = 77.810,99€
0, 08
1, 08
Eld=
tipo de=0,074074
interés para calcular el cuadro:
Period
o
Cuota bruta
IVA
Cuota neta
Carga financiera
Recup. coste
Recup. coste
acumulado
Deuda
pendiente
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
84.035,87
84.035,87
84.035,87
84.035,87
84.035,87
84.035,87
84.035,87
84.035,87
84.035,87
8,0%
8,0%
8,0%
8,0%
8,0%
8,0%
8,0%
8,0%
8,0%
8,0%
77.810,99
77.810,99
77.810,99
77.810,99
77.810,99
77.810,99
77.810,99
77.810,99
77.810,99
150.000,00
41.775,12
38.892,25
35.778,75
32.416,17
28.784,59
24.862,48
20.626,59
16.051,84
11.111,11
0,00
36.035,87
38.918,74
42.032,24
45.394,82
49.026,40
52.948,51
57.184,40
61.759,15
66.699,88
150.000,00
36.035,87
74.954,61
116.986,85
162.381,66
211.408,06
264.356,58
321.540,97
383.300,12
450.000,00
600.000,00
563.964,13
525.045,39
483.013,15
437.618,34
388.591,94
335.643,42
278.459,03
216.699,88
150.000,00
0,00
162.000,00
Solución = anualidad sin IVA: 77.810,99€. Última cuota sin IVA: 150.000€.
Tema 11 “LOS EMPRÉSTITOS”
1º)
Redacta el cuadro de amortización de un empréstito, por los dos métodos vistos en
la teoría, de 1.000 títulos de 55 euros de nominales, que se amortiza a la par
mediante una renta anual, constante, inmediata, de 6 términos, al 4 % de interés
anual.
( 1. 000⋅55 )⋅0 , 04
NC
=
=10
. 491el, 90
€
Por
para
método
de capitalización de residuos:
a=(10.2) obtenemos a, necesario
−6
an i.
1−( 1 ,04 )
Cuadro por método capitalización de residuos:
©Ediciones Paraninfo
85

Paraninfo
Término
amortizativo
( h)
Ah
10.450,00
10.505,00
10.489,60
10.516,00
10.472,00
10.524,80
2.200,00
1.870,00
1.524,60
1.166,00
792,00
404,80
8.291,90
8.665,48
8.999,00
9.361,25
9.711,61
10.119,97
8.250,00
8.635,00
8.965,00
9.350,00
9.680,00
10.120,00
Nk
Mk
R
150
157
163
170
176
184
150
307
470
640
816
1.000
Nv
1.000
850
693
530
360
184
0
R · (1 + i)
0
43,576
31,695
35,355
11,705
32,869
S46 0,04
4
Periodo
0
1
2
3
4
5
6
I
41,900
30,476
33,995
11,255
31,605
Amortización
práctica
N 2 =N 1 ( 1+i )=150 ,76⋅( 1 ,04 )=156 , 792
( 1. 000 )⋅de
02,04
2 de redondeo
Por
el1.método
las=150
amortizaciones
teóricas, aplicando (10.12):
000
=
, 76
N
=N
(
1+i
)
=150
,
76⋅
(
1
,
04
) =163
, 064
N 13= 1
6
(
1
,04
)
−1
3
3
N 4 =N 1 ( 1+i ) =150
, 76⋅( 1 , 04 ) =169 , 586

N 5 =N 1 ( 1+i ) =150 ,76⋅( 1 , 04 ) =176 ,37
Sabemos que:5
N 6 =N 1 ( 1+i ) =150 , 76⋅( 1, 04 )5=183 , 425
Redondeando los títulos podríamos obtener el cuadro de amortización:
Periodo
0
1
2
3
4
5
6
ah
Ih
Ah
Nh
Mh
10.505,00
10.502,80
10.487,40
10.513,80
10.469,80
10.467,60
2.200,00
1.867,80
1.522,40
1.163,80
789,80
402,60
8.305,00
8.635,00
8.965,00
9.350,00
9.680,00
10.065,00
151
157
163
170
176
183
151
308
471
641
817
1.000
© Ediciones Paraninfo
N Vivos
1.000
849
692
529
359
183
0
86

Paraninfo
2º)
Una sociedad emitió un empréstito de 20.000 obligaciones de 5 euros de nominal,
siendo la emisión y el reembolso a la par en cinco años, mediante anualidades
constantes. Los cupones son pagados periódica y anualmente a un tipo efectivo
anual del 6%. Determina:
a) Anualidad teórica.
b) Número de obligaciones amortizadas en el tercer año.
c) Intereses del año segundo.
d) Número de obligaciones vivas al final del cuarto año.
e) Número total de obligaciones amortizadas después del cuarto sorteo.
( 20 .000⋅5 a)⋅0través
, 06 de (10.2):
NC
a)
La anualidad
la obtendremos
=
=23 . 739 ,64 €
a=
−5
a5 0,06
b)
c)
1−( 1 , 06 )
A 1 =a−I 1 =a−N v0⋅C⋅i=23 .739 , 64−( 20 .000⋅5⋅0 , 06 )=17 .739 , 64
Solución
A 1 = 23.739,64€
N 1 = =3 .547 , 93
C obtener las amortizaciones en el primer año:
Podemos
2
2
N 3 =N 1⋅( 1+i ) =3 .547 , 93⋅( 1, 06 ) =3 . 986 , 45
Solución
= 3.986 títulos.
I 2 =N 1v⋅C⋅i
Porv (10.3)
v sabemos que:
N 1 =N 0 −N 1 =20 . 000−3 . 548=16 . 452
Luego:
I 2 =16 . 452⋅5⋅0 , 06=4 . 935 , 6
d)
e)
−4
Solución = 4.935,6.
1−( 1 , 06 )
. 000⋅
=4 . 479 ,17
v
Podemos
aplicar (10.5) al ser =20
de anualidades
constantes:
N 4 =20.000⋅¿
¿
1−( 1 , 06 )−5
a1 0,06 / a5 0,06
Solución = 4.479 títulos.
v
Lógicamente:
M 4 =N−N 4 =20 . 000−4 . 479=15 . 521
Solución = 15.521.
3º) Confecciona el cuadro de amortización del empréstito anterior por los dos métodos
explicados en el tema.
a)
Método de capitalización de residuos.
Periodo
0
1
Término
amortizativo
( h)
Ah
23.735,00
6.000,00
17.739,64
©Ediciones Paraninfo
I
Amortización
práctica
17.735,00
87

Paraninfo
2
3
4
5
23.740,90
23.742,60
23.736,50
23.744,00
4.935,90
3.807,60
2.611,50
1.344,00
18.808,66
19.935,92
21.129,11
22.400,00
18.805,00
19.935,00
21.125,00
22.400,00
Nk
Mk
Nv
R⋅( 1+i )
3.547
3.761
3.987
4.225
4.480
3.547
7.308
11.295
15.520
20.000
20.000
16.453
12.692
8.705
4.480
0
R
4,640
3,658
0,918
4,113
4,918
3,878
0,973
4,360
b)
Periodo
0
1
2
3
4
5
0
Redondeo de amortizaciones teóricas.
ah
Ih
Ah
Nh
Mh
23.740,00
23.740,60
23.737,30
23.741,50
23.738,70
6.000,00
4.935,60
3.807,30
2.611,50
1.343,70
17.740,00
18.805,00
19.930,00
21.130,00
22.395,00
3.548
3.761
3.986
4.226
4.479
3.548
7.309
11.295
15.521
20.000
N Vivos
20.000
16.452
12.691
8.705
4.479
0
4º) Confecciona por los dos métodos vistos en el tema, el cuadro de amortización de un
empréstito de 40.000 obligaciones con nominal 25 euros, emitidas a la par y
reembolsables con una prima constante de 2,5 euros en cinco años, mediante
anualidades constantes si el tipo de interés efectivo anual al que se remuneran las
obligaciones es del 3,5%.
Lo primero
será adaptarlo a un empréstito básico:
v
a=N
C
'=C+P=25+2,5=27
,5)
K −1⋅C⋅i+ N K⋅( C+ P
C⋅i 25⋅0 , 035
C ' 27 ,5
C '⋅i'=C⋅i→i
'= =de variable:=0 , 0318
Realizando
el cambio
a)
Método de capitalización
los residuos:
( 40 de
. 000⋅27
, 5 )⋅0 , 0318
N⋅C ' obtener el
=
=241
. 438 , 33
Precisamos
término
amortizativo
(10.14):
a=
−5
1−( 1 , 0318 )
a5 0,0318.
Periodo
0
1
Término
amortizativo
( h)
Ah
241.415,00
35.000,00
206.438,33
© Ediciones Paraninfo
I
Amortización
práctica
206.415,00
88

Paraninfo
2
3
4
5
241.447,25
241.434,50
241.454,00
241.442,87
28.432,25
21.654,50
14.661,50
7.445,37
213.030,16
219.799,47
226.796,92
233.997,52
213.015,00
219.780,00
226.792,50
233.997,50
Nk
Mk
Nv
R⋅( 1+i )
7.506
7.746
7.992
8.247
8.509
7.506
15.252
23.244
31.491
40.000
40.000
32.494
24.748
16.756
8.506
0
R
b)
0
24,074
15,638
20,089
4,560
0,016
23,332
15,156
19,469
4,420
0,016
Método de redondeo de 40.
las 000⋅0
amortizaciones
, 03181 teóricas:
=
=7 . 506 ,84
40 ⋅
. (000
N
=N
1+i
'
)
=7
.
745
,7
Obtenemos
la
primera
por
(10.15):
5
N 12 = 1
N 3 =N 1⋅( 1+i ' )2 =7
 . 992
( 1 , 03181 ) −1
S5 0,03181
N 4 =N 1⋅( 1+i' )3=8 .246
El resto:
N 5 =N 1⋅( 1+i ' )4 =8. 509
Periodo
0
1
2
3
4
5
ah
Ih
241.442,50
35.000
241.446,37 28.431,37
241.433,62, 21.653,62
241.425,62 14.660,62
241.442,87
7.445,37
Ah
Nh
Mh
206.442,50
213.015,00
219,780,00
226.765,00
233.997,50
7.507
7.746
7.992
8.246
8.509
7.507
15.253
23.245
31.491
40.000
N Vivos
40.000
32.493
24.747
16.755
8.509
0
5º) Redacta el cuadro de amortización de un empréstito de 1.200 títulos dc 10 euros de
nominal
cada uno
que , se
C '=C+P=10⋅1
, 05=10
5 € amortiza al 105% mediante 4 anualidades constantes,
siendo el efectivo
anual
dcl
el 6% anual.
C⋅i 10⋅0 , 06empréstito
0,6
C '⋅i'=C⋅i→i
= de variables
= preciso
=0 , 05714
Realizamos
el'=
cambio
para normalizarlo:
C'
a.
10 , 5
10 ,5
Método de capitalización de los residuos:
an i’.
©Ediciones Paraninfo
89
Paraninfo
Periodo
a
Ih
Ah
0
1
2
3
4
3.607,50
3.610,50
3.614,40
3.618,60
720,00
555,00
380,40
195,60
2.892,49
3.062,77
3.239,77
3.422,99
Amortización
práctica
2.887,50
3.055,50
3.234,00
3.423,00
Nh
Mh
275
291
308
326
275
566
874
1.200
Nv

R
R (1 +
i)
1.20 0
4,991 5,276
925 7,266 7,682
634 5,772 6,102
326 0
0
0
Método
residuos:
N 2 =N 1⋅de
( 1+icapitalización
' )=291
, 21 )⋅0de
( 1. 200
, 05714
N (10.15):
=
=275 , 47
Aplicando
N 1=
N
=N ⋅( 1+i ' )2 =307 , 85 4
b.
3
( 1, 05714 ) −1
1
Sn i’)3=325 , 45
N 4 =N 1⋅( 1+i'
Periodo
0
1
2
3
4
a
Ih
Ah
Nh
Mh
3.607,50
3.610,50
3.614,40
3.618,60
720,00
555,00
380,40
195,60
2.887,50
3.055,50
3.234,00
3.423,00
275
291
308
326
275
566
874
1.200
N vivos
1.200
925
634
326
0
6º) Elabora el cuadro de amortización del empréstito de la Actividad 1, por los dos métodos vistos en la teoría, en el supuesto de pagarse cupones mensuales al tipo
nominal del 6%.
Para los
empréstitos
j(12)
0 , 06 con interés fraccionado necesitamos el interés efectivo anual y el
efectivo
subperiodo:
i( 12)= del =
=0 , 005
12
12
12
Eli=efectivo
1+i anual:
−1=0 , 06167
(
a.
(12 )
)
( 1. 000⋅55 )⋅0 , 06167
NC de capitalización
= de residuos:−6 =11. 243 , 97
Método
a=
1−( 1 ,06167 )
a6 0,06167.
Periodo
0
1
2
3
Término
amortizativo
I SEMESTRE
Ih
Ah
11.202,28
11.270,58
11.249,95
275,00
235,95
194,15
3.392,28
2.910,58
2.394,95
7.851,70
8.377,67
8.867,78
© Ediciones Paraninfo
Amortizació
n práctica
7.810,00
8.360,00
8.855,00
90

Paraninfo
4
5
6
11.253,79
11.223,71
11.269,71
Nh
Mh
Nv
142
152
161
171
181
193
142
294
455
626
807
1.000
1.000
858
706
545
374
193
0
b.
149,88
102,85
53,08
1.848,79
1.268,71
654,71
9.408,75
9.979,24
10.615,00
R
0
41,695
17,665
12,780
3,750
24,243
0,003
N 2 =N 1⋅( 1+i )=142 , 75⋅( 1+0 , 06167 )=151, 56
1. 000⋅0 ,06167 2
2
N⋅( 1+i
=
=142,
N
=N
)
=142
,75⋅
(1+ 0 ,06167
) =16075, 91
Aplicando
(10.12):
N31 = 1
6
(
1
,06167
)
−1
3
3
N 4 =N 1⋅( 1+i ) =142 , 75⋅( 1+0 , 06167 ) =170 , 83
S6 0,06167
.
4
4
5
El resto de títulos:
5
9.405,00
9.955,00
10.615,00
R⋅( 1+i )
0
44,267
18,755
13,568
3,982
25,739
0,003
títulos.
N 5 =N 1⋅( 1+i ) =142 , 75⋅( 1+0 , 06167 ) =181, 37
N 6 =N 1⋅(1+i ) =142 ,75⋅( 1+ 0 , 06167 ) =192, 55
N 1 =143
N 2 =152
N 3 =161
N 4 =171
N 5 =181
Redondeando:
N 6 =192
Periodo
0
1
2
3
4
5
6
ah
Int.
subp
Ih
Ah
Nh
Mh
N vivos
11.257,2
8
11.267,1
8
11.246,5
6
11.250,4
275,00
235,68
193,88
149,60
102,58
52,80
3.392,28
2.907,18
2.391,56
1.845,40
1.265,32
651,32
7.865,00
8.360,00
8.855,00
9.405,00
9.955,00
10.560,0
0
143
152
161
171
181
192
143
295
456
627
808
1.000
1.000
857
705
544
373
192
0
©Ediciones Paraninfo
91

Paraninfo
0
11.220,3
2
11.211,3
2
7º) Elabora el cuadro de amortización del empréstito de la Actividad 2, por los dos métodos explicados en el tema, en el supuesto de pagarse cupones semestrales al tipo
efectivo anual del 4,5%.
i
1
1
Precisamos2el (2) :
2
i( 2) =( 1+i ) −1=( 1 , 045 ) −1= 0 , 0222524
a.
( 20 .000⋅5 )⋅0 , 045
NC de capitalización
=
=22 .779 , 16 €
Método
de los −5
residuos:
a=
1−( 1 , 045 )
a5 0,045
Término
amortizativo
I SEMESTRE
Ih
Ah
22.775,00
22.782,63
22.777,90
22.779,70
22.781,00
2.225,24
1.818,58
1.393,45
949,29
485,10
4.500,00
3.677,63
2.817,90
1.919,70
981,00
18.279,16
19.105,89
19,962,19
20.861,76
21.800,00
Nh
Mh
Nv
R
3.655
3.821
3.992
4.172
4.360
3.655
7.476
11.468
15.640
20.000
20.000
16.345
12.524
8.532
4.360
0
4,164
0,890
2,194
1,757
Periodo
0
1
2
3
4
5
b.
Amortizació
n práctica
18.275,00
19.105,00
19.960,00
20.860,00
21.800,00
R⋅( 1+i )
0
4,351
0,930
2,293
1,836
0
Método de redondeo
las)⋅0amortizaciones
teóricas:
( 20de
.000
, 045
N (10.12):=
=3
.655
,
83
Aplicando
N 1=
5
( 1 , 045 ) −1
S5 0,045.
Periodo
a
0
1
2
3
4
22.780,00 2.225,24
22.777,40 1.818,47
22.777,90 1.393,45
22.779,70 949,29
© Ediciones Paraninfo
I
Ih
semestre
4.500,00
3.677,40
2.817,90
1.919,70
Ah
Nh
Mh
N vivos
18.280,0
19.100,0
19.960,0
20.860,0
3.656
3.820
3.992
4.172
3.656
7.476
11.468
15.640
20.000
16.344
12.524
8.532
4.360
92

Paraninfo
5
8º)
22.781,00
485,10
981,00 21.800,0
4.360
20.000
0
Redacta el cuadro dc amortización de un empréstito de 1.300 títulos dc 50 euros de
nominal cada uno, que se amortiza en 5 anualidades constantes, si los términos
amortizativos crecen 100 euros cada periodo, y el efectivo anual del empréstito es el
6% anual. (Usar los dos métodos vistos en el tema.)
a.
Método de capitalización
100 de los residuos:
+
⋅¿ ¿
Aplicando (10.18):
−5⋅( 1, 06 )−5
0,06
1. 300⋅50=a⋅¿ ¿
a5 0,06
[ a5 0,06
].
a
Despejando 1 :
a1 =15 .242 ,40 €
El resto de términos amortizativos se pueden conseguir aplicando la expresión
(10.19):
Periodo
0
1
2
3
4
5
Nh
Ih
Ah
15.200,00
15.372,00
15.443,00
15.516,00
15.688,00
3.900,00
3.222,00
2.493,00
1.716,00
888,00
11.342,40
12.165,34
12.965,66
13.843,00
14.799,98
11.300,00
12.150,00
12.950,00
13.800,00
14.800,00
Mh
Nv
R
R⋅( 1+i )
0
42,400
15,344
15,665
43,005
0
44,944
16,265
16,605
45,585
Término
amortizativo
1.300
226
1.074
469
831
728
572
v
296
I 1 =N1.004
0⋅C⋅i=1 .300⋅50⋅0 , 06=3. 900
1.300
0
226
243
259
276
296
b.
Amortización
práctica
A 1 =a1 −I 1=15 . 242 , 40−3 . 900=11 . 342, 4
Método
A 1 de redondeo
d de las amortizaciones
100 teóricas:
N1+i
184) + =226 , 84⋅( 1 , 06 ) +
N
=N
⋅
(
=242 , 46
N
=
=226
,
2
1
1
Calculamos
: c
50
C
d
100
N 3 =N 2⋅(1+i ) + =242 , 46⋅( 1 , 06 ) +
=259
c
50
d
100
N 4 =N 3⋅( 1+i ) + =259⋅( 1 ,06 )+
=276 ,54
c
50
d
100
El resto
sigue
la progresión expresada por =295
(10.20):
N 5 =N
,14
4⋅( 1+i ) + =276 ,54⋅( 1 ,06 ) +
c
50
©Ediciones Paraninfo
93

Paraninfo
Procediendo al redondeo y realizando el cuadro:
Periodo
0
1
2
3
4
5
9º)
A
Ih
Ah
Nh
Mh
15.250,00
15.319,00
15.443,00
15.566,00
15.635,00
3.900,00
3.219,00
2.493,00
1.716,00
885,00
11.350,00
12.100,00
12.950,00
13.850,00
14.750,00
227
242
259
277
295
227
469
728
1.005
1.300
N vivos
1.300
1.073
831
572
295
0
Redacta el cuadro de amortización de un empréstito de 5.000 títulos, de 10 euros de
nominal cada obligación, que se amortiza en cinco años al 6% efectivo anual, con una
PR=0,5
prima
de amortización del 5%, si se desean amortizar cada año igual número de
títulos.
C '=C+PR=10+0,5=10 ,5
C⋅i 10⋅0 , 06
C ' 10 ,5
C '⋅i'=C⋅i→i
'= un=cambio de=0
,0571428
Debemos
realizar
variable
para trabajar con la prima:
N
n
5 . 000
5
Cada
se =1.
amortizarán:
N h = periodo
=
000
títulos.
El cuadro será:
Periodo
0
1
2
3
4
5
a
Ih
Ah
Nh
Mh
13.500,00
12.900,00
12.300,00
11.700,00
11.100,00
3.000,00
2.400,00
1.800,00
1.200,00
600,00
10.500,00
10.500,00
10.500,00
10.500,00
10.500,00
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
2.000
3.000
4.000
5.000
N vivos
5.000
4.000
3.000
2.000
1.000
0
10º) Redacta el cuadro de amortización de un empréstito de 1.200 títulos dc 50 euros de
nominal cada uno que se amortiza al 105% mediante 4 anualidades constantes si los
términos amortizativos crecen 100 euros cada periodo, siendo el efectivo anual del
empréstito el 6% anual. (Usar los dos métodos vistos en el tema.)
Debemos realizar el cambio de variable para trabajar con la prima:
a.
Método de capitalización de los residuos:
Aplicando (10.18):
© Ediciones Paraninfo
94

Paraninfo
a4 0,057142
[ a4 0,057142.
].
a
Despejando 1 :
a1 =17 . 919 , 40
Aplicando (10.19) obtendríamos el resto de los términos amortizativos.
Periodo
0
1
2
3
4
Nh
272
290
309
329
b.
Ih
Ah
17.880,00
18.009,00
18.136,00
18.259,50
3.600,00
2.784,00
1.914,00
987,00
14.319,40
15.277,06
16.260,43
17.272,50
14.280,00
15.225,00
16.222,50
17.272,50
Mh
Nv
R
R⋅( 1+i )
272
562
871
1.200
1.200
928
638
329
0
0
39,402
52,056
37,932
0,001
0
41,654
55,030
40,100
0,001
Término
amortizativo
Amortización
práctica
Método de redondeo de las amortizaciones teóricas:
N
Calculamos 1 :
d
100
N 2 =N 1⋅( 1+i ' ) + =272, 75⋅( 1 , 05714 )+
=290 ,24
c'
52 , 5
d
100
N 3 =N 2⋅(1+i ' ) + =290 , 24⋅( 1, 05714 ) +
=308 , 73
c'
52 , 5
Obtenemos el resto
d a través de (10.20):100
N 4 =N 3⋅( 1+i' ) + =308 , 73⋅( 1, 05714 )+
=328 ,27
c'
52 , 5
©Ediciones Paraninfo
95

Paraninfo
El cuadro sería:
Periodo
0
1
2
3
4
A
Ih
Ah
Nh
Mh
17.935,50
18.006,00
18.133,50
18.204,00
3.600,00
2.781,00
1.911,00
984,00
14.332,50
15.225,00
16.222,50
17.220,00
273
290
309
328
273
563
872
1.200
N vivos
1.200
927
637
328
0
11º) Redacta el cuadro dc amortización de un empréstito de 1.000 títulos dc 20 euros de
nominal cada uno que se amortiza en 5 anualidades constantes, si los términos
amortizativos crecen un 2,5% cada periodo y el efectivo anual del empréstito es el 4
% aunal.
Método de capitalización de residuos:
Aplicando (10.21):
El resto de términos amortizativos se pueden obtener por (10.22):
a2 =4 .388 , 78
a 4 =4 . 610 , 96
a3 =4. 498 , 50
a5 =4 .726 ,24
Ih
Ah
4.280,00
4.380,80
4.492,00
4.612,80
4.742,40
800,00
660,80
512,00
352,80
182,40
3.481,74
3.729,79
3.996,69
4.275,52
4.559,98
3.480,00
3.720,00
3.980,00
4.260,00
4.560,00
Nh
Mh
Nv
R
R⋅( 1+i )
174
186
199
213
174
360
559
772
1.000
826
640
441
228
1,740
9,793
16,688
15,521
0
1,810
10,185
17,355
16,142
Periodo
0
1
2
3
4
5
Término
amortizativo
© Ediciones Paraninfo
Amortización
práctica
96

Paraninfo
228
1.000
0
12º) Redacta el cuadro dc amortización de un empréstito de 1.200 títulos dc 50 euros de
PR=C⋅0,1=50⋅0,1=5
€ se amortiza al 110% mediante 5 anualidades si los términos
nominal
cada uno que
amortizativos
crecen€ un 2% cada periodo, siendo el efectivo anual dcl empréstito el
C '=C+PR=50+5=55
5% anual.
C⋅i 50⋅0 , 05
C '⋅i'=C⋅i→i
'= adaptar
=
=0 , 045454
Lo
primero será
c' 55 el empréstito:
1−1 , 025⋅(1 , 045454 )−5
1. 200⋅55=a1⋅
1+0 , 045454−1, 02
Aplicando (10.21):
a1 =14 . 488 , 56 €
El resto de términos amortizativos se obtendrían por (10.22):
a2 =14 . 778 ,33
a 4 =15 .375 , 37
a3 =15 . 073 , 89
a5 =15 . 682, 88
Ih
Ah
14.440,00
14.800,00
15.065,00
15.402,00
15.697,00
3.000,00
2.480,00
1.920,00
1.322,50
682,50
11.488,56
12.349,10
13.184,33
14.093,99
15.015,01
11.440,00
12.320,00
13.145,00
14.080,00
15.015,00
Nh
Mh
Nv
R
R⋅( 1+i )
208
224
239
256
273
208
432
671
927
1.200
1.200
992
768
529
273
0
48,563
29,104
39,327
13,991
50,770
30,427
41,114
14,627
Periodo
0
1
2
3
4
5
Término
amortizativo
Amortización
práctica
0
13º) Confecciona por los métodos vistos en el tema, el cuadro de amortización de un
empréstito de 40.000 obligaciones de 25 euros nominales, emitidas y amortizadas a
©Ediciones Paraninfo
97

Paraninfo
la par en seis años, mediante anualidades constantes. La sociedad emisora premió
con 1.000 euros cada uno de los 50 primeros títulos amortizados cada año. El tipo de
interés efectivo anual fue del 4,25%.

Método de capitalización
de)⋅los
residuos:
( 40 . 000⋅25
0 ,0425
NC calculamos
=
=192. 317
€ a través de (10.2):
Primero
el
término
amortizativo
sin,31
lote
a=
−6
1−( 1 , 0425 )
an i.
El término amortizativo final será:
aT =asin lote + L=192. 317 , 31+ ( 50. 000 ) =242 ,317 , 31 €
El cuadro será:
Periodo
0
1
2
3
4
5
6

a
Ih
Ah
Lote
Nh
Mh
242.325,0
0
242.307,4
4
242.320,0
0
242.324,9
4
242.310,5
6
242.315,1
9
42.500,00
36.132,44
29.495,00
22.574,94
15.360,56
7.840,19
149.825,0
0
156.175,0
0
162.825,0
0
169.750,0
0
176.950,0
0
184.475,0
0
50.000,00
50.000,00
50.000,00
50.000,00
50.000,00
50.000,00
5.993
6.247
6.513
6.790
7.078
7.379
5.993
12.240
18.753
25.543
32.621
40.000
N vivos
40.000
34.007
27.760
21.247
14.457
7.379
0
Método de redondeo de las (amortizaciones
40 . 000 )⋅0 , 0425 teóricas:
40
.
000
=
=5 . 992 ,69
Aplicando
(10.12):
N 1=
6
S6 0,0425
( 1 , 0425 ) −1
El resto por (10.11):
N 2 =6.247 ,38
N 3 =6.512 , 89
N 4 =6. 789 ,69
N 5 =7.078 , 25
N 6 =7.379 , 08
Redondeando los títulos y confeccionando el cuadro:
Periodo
0
1
2
3
Término
amortizativo
242.300,00
242.333,50
242.295,00
© Ediciones Paraninfo
Ih
Ah
42.500,00
36.133,50
29.495,00
149.817,31
156.201,86
162.824,24
Amortizació
n práctica
LOTE
149.800,00
156.200,00
162.800,00
50.000,00
50.000,00
50.000,00
98

Paraninfo
4
5
6
242.326,00
242.311,63
242.341,25
22.576,00
15.361,63
7.841,25
169.766,58
176.972,97
184.500,01
Nh
Mh
Nv
R
5.992
12.240
18.752
25.542
32.620
40.000
40.000
34.008
27.760
21.248
14.458
7.380
0
5.992
6.248
6.512
6.790
7.078
7.380
169.750,00
176.950,00
184.500,00
50.000,00
50.000,00
50.000,00
R⋅( 1+i )
17,310
1,856
24,245
16,585
22,975
18,046
1,935
25,275
17,290
23,951
0
14º) Confecciona por el método de capitalización de residuos el cuadro de amortización
de un empréstito de 40.000 obligaciones de 25 euros nominales, emitidas a la par y
amortizadas al 110% en seis años, mediante anualidades constantes. La sociedad
emisora premió con 1.000 euros cada uno de los últimos 20 títulos amortizados cada
año, que sin embargo lo serán por su valor nominal. El tipo de interés efectivo anual
fue del 5%.

Método de capitalización de residuos.
Tomaremos para el cálculo de la anualidad el lote neto y supondremos que todas
las obligaciones se amortizan con la prima:
Lneto = L – Primas no pagadas = ( 20⋅1 .000 )−( 2,5⋅20 )=19 .950 €
Siendo:
CPR=C⋅0,1=25⋅0,1=2,5
'=C+PR=25+2,5=27 ,5€
C⋅i 25⋅0de
, 05variable:
Realizamos
C '⋅i'=C⋅i→i el
'=cambio
=
=0 , 045454545454
C ' 27 ,5
40 . 000⋅27
,5
Aplicando
(10.2):
a=
=
( 40 . 000⋅27 , 5 )⋅0 , 045454545454
=213. 578 , 7298 €
a6 i’.=
1−( 1 , 045454545454 )−6
El término final con lote será:
a=asin lote + L neto=213. 578 ,7298+ 19. 950=233. 528 , 7298 €
Periodo
0
1
2
3
El cuadro confeccionado será:
Ih
Término
amortizativo
233.520,00
233.537,50
233.518,75
©Ediciones Paraninfo
50.000,00
42.565,00
34.791,25
Ah
163.528,734
9
170.097,866
9
Amortizació
n práctica
LOTE
163.520,00
170.972,50
178.727,50
20.000,00
20.000,00
20.000,00
99

Paraninfo
4
5
6
233.532,50
233.532,75
233.533,75
26.665,00
18.167,75
9.286,25
Nh
Mh
Nv
5.948
12.167
18.668
25.465
32.571
40.000
40.000
34.052
27.833
21.332
14.535
7.429
0
5.948
6.219
6.501
6.797
7.106
7.429
178.737,868
5
186.874,574
6
195.367,380
9
204.244,973
9
186.867,50
195.365,00
204.247,50
20.000,00
20.000,00
20.000,00
R
R⋅( 1+i )
8,7349
0,3669
10,3685
7,0746
2,3809
0
9,13194
0,38357
10,8397
7,396
2,489
Observaciones: La cumplimentación del cuadro debe seguir las reglas del visto en el
libro de texto.
15º) Realiza el cuadro de amortización de un empréstito con lotes, de 20.000 obligaciones
de 25 euros nominales, emitidas y amortizadas a la par en cuatro años, mediante
anualidades constantes y siendo el tipo efectivo anual el 6%. El importe del lote para
el primer año es de 1.000 euros que se incrementará en progresión aritmética de
razón 300 euros cada periodo.300
+ ⋅¿ ¿
Aplicamos (10.24):
−4
( 20 .000⋅25 ) +1.000⋅¿ ¿
a4 0,06.
0,06
[ a4 0,06.
−4⋅( 1,06 )
a⋅¿ ¿
]=
a4 0,06.
El término amortizativo que permite devolver la deuda y pagar los lotes es:
a=145. 723 , 92 €
El cuadro:
Ih
Ah
145.700,00
145.743,00
145.713,50
145.742,00
30.000,00
23.118,00
15.838,50
8.142,00
114.723,92
121.331,27
128.292,06
135.700,00
Nh
Mh
Nv
R
R⋅( 1+i )
4.588
4.588
20.000
15.412
23,916
0
25,351
Periodo
0
1
2
3
4
Término
amortizativo
© Ediciones Paraninfo
Amortizació
n práctica
LOTE
114.700,00
121.325,00
128.275,00
135.700,00
1.000,00
1.300,00
1.600,00
1.900,00
100

Paraninfo
4.853
5.131
5.428
9.441
14.572
20.000
10.559
5.428
0
6,268
17,060
6,644
18,084
16º) Confecciona el cuadro de amortización de un empréstito de 5.000 obligaciones de 10
euros de nominal, que se amortiza en cuatro años al 7% anual, si las obligaciones son
cupón cero y se desean hacer pagos constantes todos los años.
Aplicamos (10.25):
( 5.00010 )=a⋅¿ ¿ 
a4 0,07.
Despejando a:
a
−1 14 .761 , 40
−1
a=N 1⋅C⋅( 1+i€ ) →N 1= ⋅( 1+i ) =
⋅( 1 ,07 ) =
a=14.761,40
c
10
Sabemos que el primer término amortizativo tendrá la siguiente estructura:
N 1 =1. 379 ,57
N 2 =N 1⋅( 1 , 07 )−1 =1. 289 , 31
N 3 =N 2⋅(1 , 07 )−2 =1 .204 , 97
−3
Aplicando
ser de
N =N ⋅( 1 (10.31)
, 07 ) =1al.126
, 14pagos constantes el empréstito:
4
3
Con lo que podemos obtener el cuadro tal y como explicamos en la teoría:
Periodo
0
1
2
3
4
Término
amortizativo
14.766
14.757,76
14.761,77
14.759,56
Títulos
Amortización
Número
de
amortizados en acumulada de títulos vivos
el periodo
títulos
5.000
1.380
1.380
3.620
1.289
2.669
2.331
1.205
3.874
1.126
1.126
5.000
0
17º) Confecciona el cuadro de
amortización
de un empréstito de 15.000 obligaciones, que
1−
(1 , 02años
)3⋅( 1, al
03 )−3
se
amortiza
en
tres
3%
anual,
si las obligaciones son cupón cero con un
( 15 .000⋅15 )=a ⋅
nominal de 151 euros
y se desea que los pagos crezcan un 2% cada periodo.
1+0 , 03−1,02
Aplicando
a1 =78 . 004la, 88expresión (10.25):
a2 =a 1⋅q=79 . 564 , 98
El resto de
2 anualidades:
a3 =a1⋅q =81. 156 , 27
El número de títulos amortizados cada periodo lo obtendremos por (10.27):
©Ediciones Paraninfo
101

Paraninfo
Redondeando las amortizaciones teóricas podríamos obtener el cuadro de
amortización:
Periodo
Término
amortizativo
0
1
2
3
78.007,05
79.567,50
81.151,37
Títulos
Amortización
Número
de
amortizados en acumulada de títulos vivos
el periodo
títulos
15.000
5.049
5.049
9.951
5.000
10.049
4.951
4.951
15.000
0
18º) Elabora el cuadro de amortización de un empréstito de 25.000 obligaciones de 10
euros de nominal, si fueron emitidas con una prima de emisión del 3% y se amortizan
en cinco años mediante anualidades constantes, con importes de reembolso de 11,
13, 15, 17 y 20 euros respectivamente.
a=N
La
prima
emisión
1⋅Pde
1 =N
1⋅11 no afecta a la resolución del empréstito, pues únicamente supone
un ingreso inferior para el emisor, 11⋅N
pero a la hora de la devolución debe hacerlo por el
1 más prima).
valor
de
amortización
(nominal
o
nominal
a=N 2⋅P2 =N 2⋅13=N 1⋅11→ N 2 =
N
13
Si las anualidades son constantes; poniendo
todas en función de 1 :
11⋅N 1
a=N 3⋅P 3=N 3⋅15=N 1⋅11→ N 3 =
15
11⋅N 1
a=N 4⋅P4 =N 4⋅17=N 1⋅11→ N 4 =
17
11⋅N 1
a=N 5⋅P5 =N 5⋅20=N 1⋅11→ N 5 =
20
5
N= ∑ N h
h=1
Sabemos
que:
25 .000=N
1 + N 2 + N 3 + N 4 +N 5=N 1 +
© Ediciones Paraninfo
11⋅N 1 11⋅N 1 11⋅N 1 11⋅N 1
+
+
+
13
15
17
20
102
1. 657 . 500⋅103 56 . 100⋅N 1 48 . 620⋅N 1 42. 900⋅N 1 36 . 465⋅N 1
=
+
+
+
+
66 . 300
66 . 300
66 .300
66. 300
66 . 300
66 . 300⋅N 1
+
66 . 300
Paraninfo
1. 657 . 500⋅103 =56 . 100⋅N 1 +48. 620⋅N 1 +42 . 900⋅N 1 +36 . 465⋅N 1 +66 . 300⋅N 1 .
Resolviendo la3 ecuación:
1. 657 . 500⋅10 =250 .385⋅N 1 → N 1 =6 . 619 ,80

11⋅6 .619,80
13
Por
N 2 =tanto, el resto
=5.601,37
de títulos amortizados:
N 4=
11⋅6. 619 , 80
=4 . 283 , 4
17
Redondeando las amortizaciones teóricas y confeccionando el cuadro:
Periodo
0
1
2
3
4
5
Término
amortizativo
72.820
72.813
72.825
72.811
72.820
Títulos
Amortización
Número
de
amortizados en acumulada de títulos vivos
el periodo
títulos
25.000
6.620
6.620
18.380
5.601
12.221
12.779
4.855
17.076
7.924
4.283
21.359
3.641
3.641
25.000
0
19º) Elabora el cuadro de amortización de un empréstito de 25.000 obligaciones de 10
euros de nominal, si fueron emitidas con una prima del 4% y se amortizan en tres
años mediante anualidades constantes con primas de reembolso del 102,105 y 110%
respectivamente,
si el ,tipo
de ,interés
es del 7% efectivo anual.
C'1 =C+ PR 1=10+10⋅0
02=10
2€
Aplicaremos
la expresión (10.32):
'
C2 =C +PR 2 =10+10⋅0 , 05=10 , 5 €
N=N 1 +N 2 +N 3 ;
25 .000=N 1 +1 , 03809⋅N 1 +1, 05696⋅N 1
N 1 =8 .077 ,37
N 2 =8 .385 , 08
Sabemos que:
N 3 =8 .537 ,54
©Ediciones Paraninfo
103

Paraninfo
Redondeando los títulos amortizados, podemos obtener el cuadro de amortización
como vimos en la teoría:
Periodo
0
1
2
3
Término
amortizativo
(a)

Cuota I de Amortización
interés ( h )  del periodo 
Nº
títulos
amortizados

99.885,4
99.888,6
99.894,6
17.500
11.846,1
5.976,6
8.077
8.385
8.538
82.385,4
88.042,5
93.918
Amortización
Nº
Títulos
acumulada de vivos
títulos


25.000
8.077
16.923
16.462
8.538
25.000
0
© Ediciones Paraninfo
104

Paraninfo
Tema 12 “SELECCIÓN DE INVERSIONES”
1º)
El mayorista Frutas González tiene estudiados tres proyectos de inversión diferentes
que le generarán según sus estimaciones los siguientes flujos de caja anuales:
Proyecto 1
Proyecto 2
Proyecto 3
Periodo 0
-1.000
-500
-2.000
Periodo 1
300
500
500
Periodo 2
400
0
1.000
Periodo 3
200
0
500
Periodo 4
100
0
5.000
Ordenar los proyectos de más a menos rentables según los siguientes criterios:
a)
Criterio del flujo neto de caja por unidad monetaria invertida.
b)
Criterio del flujo neto de caja medio anual por unidad monetaria invertida.
c)
Plazo de recuperación.
d)
Valor actual neto o valor capital (coste de capital 7% anual).
e)
Tasa interna de retorno (TIR).
a)
Proyecto 1
Proyecto 2
Proyecto 3
b)
Proyecto 1
Proyecto 2
Proyecto 3
Criterio del flujo neto de caja por unidad monetaria invertida:
∑ Qh
A
1.000
500
7.000
1.000
500
2.000
r
3,5
1
1
?
?
1
?  En principio la rentabilidad de los proyectos 1 y 2 sería de cero, ya que
solamente se recupera el capital invertido, con lo que sería indiferente su
realización según este criterio. La empresa debería saber si las estimaciones han
sido basadas en criterios optimistas o pesimistas para quizás arriesgarse o no con
los proyectos 1 y 2, en caso de tener fondos suficientes para cubrirlos.
Criterio del flujo neto de caja medio por unidad monetaria:
∑ Qh
∑ Qh
1.000
500
7.000
250
500
1.750
n
A
1.000
500
2.000
c)
Criterio del plazo de recuperación:
Proyecto 1
Proyecto 2
Proyecto 3
Plazo
recuperación
4 años
1 año
3 años
d)
Orden
rm
Orden
0,25
1
0,875
3
1
2
de Orden
3
1
2
Valor actual neto:
©Ediciones Paraninfo
105

Paraninfo
Proyecto 1:
VAN =−500+
Proyecto
2:
500
=−32, 71
1 ,07
Proyecto 3:
Proyecto 1
Proyecto 2
Proyecto 3
e)
VAN
-130,70
-32,71
3.080,77
Orden
NO REALIZAR
NO REALIZAR
1
La tasa de300
retorno
400interna:
200
100
1.
000=
+
+
+
Proyecto 1:
2
3
4
1+i
( 1+i )
( 1+i )
( 1+i )
300 400
200
100
+
+
+
2
3
1+i ( 1+i ) ( 1+i ) ( 1+i )4
500 1 .000 500
5 . 000
2. 000=
+
+
+
2
3
1+ i ( 1+i ) ( 1+i ) ( 1+i )4
1. 000= 2:
Proyecto
Proyecto 3:
i=0 , 477 →TIR=47 , 7 %
TIR
Proyecto 1
Proyecto 2
Proyecto 3
0
0
47,7%
COSTE
CAPITAL
7%
7%
7%
DEL Orden
NO REALIZAR
NO REALIZAR
REALIZAR
1
La única inversión en que la TIR > Coste de capital es la tercera.
© Ediciones Paraninfo
106

Paraninfo
2º)
La empresa SUSA ha obtenido los beneficios contables de dos de sus proyectos
finalizados. Calcular en cada uno de ellos la tasa de rendimiento contable que ha
obtenido.
Bº contable
año 1
5.000€
8.000€
Proyecto 1
Proyecto 2
5 .350
Proyecto 1:
r conta =
700
8 . 100
Proyecto 2:
r conta =
3º)
800
4
Bº contable Bº contable
año 2
año 3
200€
100€
100€
0
Bº contable Inversión
año 4
50€
700€
0
800€
=1 , 91
2
=5 ,06
Solución = Proyecto 1: 1,91 / Proyecto 2: 5,06/.
La empresa AJASA se está planteando la construcción de un stand en una feria
industrial de seis meses de duración. Los pagos estimados de esa inversión serían un
desembolso inicial antes de comenzar la feria (hoy) de 30.000€ a la empresa
organizadora, y pagos al final de cada mes al personal encargado y a los proveedores
de 8.000€. AJASA espera vender productos industriales cobrados al contado, de
18.000€ cada mes. Determinar si es o no rentable acudir a esta feria con las
estimaciones hechas a través del:
a)
Criterio de flujo neto de caja por unidad monetaria invertida.
b)
Criterio de plazo de recuperación.
c)
Valor actual neto o valor capital (coste de capital para la empresa del 6% anual).
d)
Tasa interna de rentabilidad.
NOTA: Tomar periodo de análisis mensual.
Primero estimamos los flujos de caja que generará el proyecto:
Mes 0
PAGOS
-30.000
COBROS Flujos de -30.000
caja
Mes 1º
-8.000
18.000
10.000
Mes 2º
-8.000
18.000
10.000
Mes 3º
-8.000
18.000
10.000
Mes 4º
-8.000
18.000
10.000
Mes 5º
-8.000
18.000
10.000
Mes 6º
-8.000
18.000
10.000
Aplicamos los distintos criterios:
60. 000
a)
Flujo
de caja –aplicamos (11.1)-:
r= neto =2
30 . 000
b)
Solución: r=2>1  Interesa la inversión  Rentable.
Plazo de recuperación –aplicamos (11.3)-:
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107
Paraninfo
P=
c)

30 . 000
=3
10 . 000
Solución: Se recupera la inversión realizada en el tercer mes, y después se siguen
obteniendo flujos de caja, luego es rentable.
Valor actual neto:
1
Debemos hallar
el efectivo mensual equivalente al 6% anual:
2
−6
i( 2) = ( 1+i ) −1=0 , 00486755
VAN=−30 .000+10 . 000⋅¿ ¿
d)
1−( 1,004867 )
=−30 . 000+10.000⋅
=
0 ,004867
a6 i(12).
=28 .990 ,94
Solución: VAN >0  Rentable la inversión.
La tasa de retorno interna:
30 .000=10 .000⋅¿ ¿ 
a6 i(12).
i =0 ,2429
(12)
12
i=( 1+i(12 ))12−1=( 1 ,2429 ) −1=12, 59
4º)
TIR = 1.259%
Solución: TIR>6 % de coste de capital  Rentable la inversión.
Calcula el plazo de recuperación descontado con la inversión anterior si el coste de
capital de la empresa fuese del 1,7% mensual.
Aplicando (11.7):
−P
30 .000=10 .000⋅¿ ¿ 1−( 1,017 )
3=
aP 0,017.
0 ,017
3 = aP 0,017.
−P
−P
0 , 051=1− (1 ,07 ) →−0 ,949=−( 1 , 017 )
ln 0 , 949=−P⋅ln 1 ,017
P=3, 10
5º)
meses.
Solución = 3 meses y 3 días.
La multinacional ANDREA está estudiando un proyecto de inversión del que ha
estimado las siguientes características financieras:
1)
Implica un desembolso inicial de 90.000€ en maquinaria.
2)
Supondrá unas ventas mensuales de 15.000€ que se cobrarán el último día de
cada mes, las primeras ventas se conseguirán al principio del 3 er mes.
3)
Los costes de personal ascenderán a 250€, que se pagarán también al final de
cada mes.
4)
Los pagos a proveedores se estiman en 600€ mensuales, que se pagarán según lo
negociado con ellos el último día de cada mes.
5)
La maquinaria se amortizará linealmente en 3 años, con una estimación
despreciable de su valor residual. Una vez amortizada se seguirá usando
indefinidamente en la empresa.
6)
El tipo impositivo de la empresa es el 35%, y se paga cada 12 meses (a contar
desde el comienzo del proyecto).
© Ediciones Paraninfo
108

Paraninfo
a)
b)
Calcula los flujos netos de caja que se obtendrían.
Si la empresa tiene un coste de capital del 4% anual, determinar si es rentable el
proyecto a través del criterio del VAN.
NOTA: Suponer que en principio este proyecto de inversión tiene una duración
ilimitada.
a)
Lo que haremos es obtener los flujos netos de caja que genera el proyecto:
CONCEPTO
Periodo Periodo Periodo
0
1
2
DESEMBOLSO -90.000 INICIAL
Ventas
mensuales
Personal
-250
-250
Pagos
a
-600
-600
proveedores
PAGO
IMPUESTO
TOTAL CASH- -90.000 -850
-850
FLOW
Periodo Periodo Periodo Periodo ...
3
4
5
6
15.000
15.000
15.000
15.000
-250
-600
-250
-600
-250
-600
-250
-600
-
-
-
-
-
14.150
14.150
14.150
14.150
La amortización es un gasto, pero no un pago, luego no entra en el flujo de caja
estimado.
Sin embargo, sí disminuye
el beneficio
y por tanto los impuestos a
( Re c .adquisición−V⋅R
) ( 90.que
000−0
)
pagar.
corresponde
A= Calculamos la amortización
=
=30 . 000a cada año:
n
3
El pago de impuestos de esos tres primeros años será:

El primer año:
t 1 =0 , 35⋅( Ingresos−gastos )=0 ,35⋅( 150. 000−3 .000−7 .200−30 . 000 )=
=38 . 430 €
El segundo y tercer año:
t 2 y 3 =0
,35⋅( Ingresos−gastos )=0 , 35⋅( 180 . 000−3 . 000−7 . 200−30 . 000 )=

=48. 930 €
t=0,35⋅
Del( 180
cuarto
en adelante: )=169.800⋅0,35=59.430 €
.000−3.000−7.200
CONCEPTO
DESEMBOLSO
INICIAL
VENTAS
MENSUALES
Personal
Proveedores
Pago
Impuesto
Total CashFlow
...
Periodo
12
-
Periodo
13
-
15.000
15.000
-250
-600
-38.430
-
-24.280
©Ediciones Paraninfo
...
Periodo
24
-
...
Periodo
36
-
Periodo
37
-
15.000
15.000
15.000
-250
-600
-250
-600
-48.930
-250
-600
-48.930
-
-250
-600
14.150
-34.780
-34.780
14.150
-
109

Paraninfo
CONCEPTO
…
Desembolso
inicial
Ventas
mensuales
Personal
Periodo 48
Periodo
49
…
Periodo 60
15.000
15.000
15.000
-250
-250
-250
Proveedore
s
-600
-600
-600
Pago
impuesto
Total cashFlow
-59.430
-
-59.430
-45.280
14.150
-45.280
b)
Lo calcularemos actualizando cada concepto (ventas, pagos a personal, etc.):
1
El tipo de interés
mensual:
i( 2) = ( 1+i )
VAN (ventas)=
12
−1= 0 ,0032737
15.000 · a∞ i(12) = 4.552.062,16
d=2 ¿
VAN ( personal)=−250⋅¿

VAN ( proveed)=−600⋅¿ ¿ a∞ i(12). =-76.365,26
a∞( 1 i(12)
= -183.276,62
VAN (impuesto )=−38 . 430⋅
, 04. )−1
−48 . 930⋅( 1 , 04 )−2−48 .930⋅( 1 ,04 )−3 −
---59.430 · a∞ 0,04. = 1.446.515,39
VAN
=−90
. 000+VAN ( ventas)+VAN ( personal )+VAN ( proveed)+VAN (impuestos )=
d=3
6º)
7º)
= 2.755.904,89
VAN > 0  Interesa realizar el proyecto.
Un director financiero nos dice en una reunión donde se está analizando un proyecto
de inversión que, según sus cálculos, puesto que la empresa está pagando un 12%
por cada unidad monetaria invertida en el activo, el proyecto en estudio interesa si
se mide por el VAN, ya que es positivo, pero no lo es si se mide por la TIR, ya que
ésta es del 10%. ¿Es correcto el razonamiento de este director financiero?
No lo es, ya que el tratarse de una única inversión VAN y TIR deben coincidir.
Si K = 12% y TIR = 10%  No interesa si usamos para seleccionar la inversión la TIR.
Si K = 12% y TIR = 10%  VAN < 0  No interesa la inversión.
Solución = Ha cometido algún error el director financiero.
Una empresa se está planteando cambiar la planta de producción actual por una
nueva, que le permitirá fabricar, además del producto actual, uno nuevo, y mejorar
la eficiencia, al disminuir los costes de personal.
Las características financieras del proyecto son:

Vender hoy la actual planta por 800.000€ que le serán descontados de la compra
de la nueva, que asciende a 1 millón de euros (pago en el momento de la compra
por cheque bancario).
© Ediciones Paraninfo
110

Paraninfo
Ventas de 15 unidades físicas todos los días del nuevo producto, a un precio de
10€/unidad durante el primer año; después la empresa estima que las ventas
crecerán un 2% cada año.

La política comercial de la empresa es cobrar a los 60 días.

Compra todos los principios de mes de materias primas por valor de 800€ que se
pagan a los proveedores a los 60 días. El coste de las compras aumentará un 2%
cada año.

Disminución de gastos en personal de 1.500€ (la nómina se paga siempre al final
de mes).

Amortización de la nueva planta en 25 años, por el método lineal, considerando
el valor residual nulo.
Si el coste de capital de esa empresa es del 6% anual, ¿cuál será el VAN del proyecto?
¿Interesa la inversión?
NOTA: Tomad
1 la inversión de duración perpetua. No tendremos en cuenta el efecto de
los
impuestos.
i( 12)=( 1 , 06 ) 12−1=0 , 004867551
Calcularemos el valor actual actualizando cada uno de los conceptos que suponen
j(∞ )=ln
( 1+i )=ln
( 1 , 06 )=0 ,0582689
cobros
o pagos.
Precisamos:
j(12)=i( 12)⋅12=0 , 0584106

a)
Flujo de caja en el momento cero:
b)
Ventas diarias = 150€ durante el primer año.
Aplicando la teoría de las rentas:
Q0 =800 . 000−1 .000 . 000=−200.000 €
VAN ( ventas)=
V(365) (365·150,q=1,02) ∞ 0,06 =
−2= 2 meses
d
0,06
=( 1,004867551 ) ⋅¿−2¿ (365)
=( 1,004867551 ) ⋅ V (54.750,,q=1,02)
⋅¿ ¿ ∞ 0,06 =
0,0582689
0 ,06
1
=( 1, 004867551 ) ⋅
⋅54V.750⋅
(54.750,,q=1,02) ∞ 0,06 = =1 . 395. 792 ,68
0 , 0582689
1+0, 06−1,02
−2
c)
d)
e)
Aplicando
la=teoría de las rentas a los pagos por compras:
VAN
( compras)
0,06
1
=−( 1,004867551 )−1⋅
⋅800⋅12⋅
V(12) (800·12,,q=1,02) ∞ 0,06 = =−245 .336 ,36
1+0,06−1,02
--- d = 10 ,0584106
mes
VAN ( personal)=1.500⋅¿ ¿
a∞ I(12).= 308.163,18
La amortización es un gasto pero no un pago.
El VAN será:
VAN =−200 .000+1. 395.792 , 68−245 . 336 ,36+308. 163 , 18=1.258 . 619 ,50
8º)
Solución: VAN = 1.258.619,50, interesa la inversión.
Una empresa que tiene 500.000€ debe elegir entre dos proyectos de inversión, con
las siguientes características.
©Ediciones Paraninfo
111

Paraninfo
Alternativa A: Desembolso inicial de 100.000€, produciendo al final del primer año
125.000€.
Alternativa B: Desembolso inicial de 500.000€, produciendo al final del primer año
550.000€.
a)
Si el coste de capital de la empresa es del 8% y la empresa decide seleccionar por
los métodos VAN y TIR, ¿cuál elegirá?
b)
¿Qué ocurriría si el coste de capital fuese el 2% anual? ¿Cuál debería elegir?
c)
¿En qué punto de K coincidirían ambos criterios?
d)
¿De qué características debería ser una inversión adicional para que invirtiendo
en el proyecto A más en esa inversión, obtuviésemos un resultado similar en VAN
y TIR al que obtendríamos si invertimos en B sea cual sea el coste de capital?
e)
Si la empresa dispone de una inversión adicional con esas características, si el
coste de capital fuese del 2% anual, ¿qué debería elegir?
f)
¿Y si en el apartado anterior el coste de capital es el 8%?
a)
K = 0,08.
125 . 000
VAN=−100A:
.000+
=15. 740 ,74
Alternativa
( 1 , 08 )
VAN
La
TIR:=0→100 .000=
125 .000
→1, 25=1+i→i=0 , 25
(1+i )
TIR = 25%.
550 . 000
VAN =−500B:.000+
=9 .259 , 26
Alternativa
( 1 , 08 )
La
TIR:=0→500 .000=
VAN
b)
550 .000
→1,1=1+i→i=0,1
1+i
TIR = 10%.
Solución: Con K = 0,08 elegiríamos el proyecto A tanto por VAN como por TIR.
K = 0,02.
125 . 000
VAN =−100A:.000+
=22. 549 , 02
Alternativa
( 1 , 02 )
La TIR sigue siendo550
la misma:
. 000 25%.
VAN
=−500
.000+
=39. 215 , 68
Alternativa B:
( 1 , 02 )
c)
La TIR sigue siendo la misma: 10%.
Solución: Por VAN elegiríamos la alternativa B, por TIR la A. La empresa, si tiene
recursos suficientes debe elegir la alternativa B, ya que el VAN mide la
rentabilidad absoluta.
El punto donde
K F coinciden los VAN se llama punto de Fisher, si denotamos al coste de
capital por
:
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112

Paraninfo
Solución: Con un coste de capital del 6,25%.
d)
Proyecto B
Proyecto A
Proyecto
adicional
e)
Desembolso
inicial
500.000
100.000
400.000
Periodo 1
550.000
125.000
425.000
Solución: Una inversión que suponga un desembolso de 400.000€, y un flujo neto
de caja positivo de 425.000
550.000 al final del primer año.
=−500
.000+
=39 .215 , 68
SiVAN
realiza
el
proyecto
B:
B
1 ,02
125. 000
VAN A =−100 . 000+
=22 .549 , 02
1, 02
425 . 000
SiVAN
realiza=−400
el proyecto
. 000+A más la adicional:
=16 . 666 ,66
nuevo
1,02
VAN TOTAL =39. 215 , 68
f)
Solución = Indiferente
B que A más el nuevo proyecto adicional.
550.000
=−500 .000+
=9. 259 ,26
SiVAN
K =B0,08.
1,08
125.000
VAN A =−100 . 000+
=15.740 ,74
1, 08
Si realiza A más la inversión adicional:
425 .000
VAN nuevo =−400 .000+
=−6.481, 48
1 ,08
VAN TOTAL =9 .259 , 26
Interesa realizar sólo el proyecto A, ya que la inversión adicional resta valor al
conjunto.
9º)
Un director financiero sabe que una inversión precisa un desembolso inicial de
20.000€, y que posteriormente generará al final de cada año unos flujos netos de
caja positivos de 3.500€ durante cinco años consecutivos. Sin conocer el coste de
©Ediciones Paraninfo
113

Paraninfo
capital de esta empresa, ¿interesa la inversión si seguimos el criterio de selección del
VAN? ¿Y si seguimos el de la TIR?
No interesa, ya que en el caso más positivo para unan empresa, que es aquel en que K =
Q1
Q2
∑
Qn A > Q
=−A h+,∑
Qheste caso los flujos de caja no
y en
n
( 1+0( 3.500⋅5=17
) (1+ 0 ) . 500<20( 1+0
)
h=1
.000 ) .
llegan a cubrir A
VANpara
=−A
+ la inversión
+
+. ..rentable
. ..+
0%,
que
sea
2
n
SiVAN
K = >0
0. → A < ∑ Q
h=1
h
n
A > ∑ Q h →TIR<0
h=1
Si
10º) La empresa Sugar, SA, planea dos proyectos de inversión que son excluyentes, es
decir, no puede elegir los dos por problemas financieros.
a)
El proyecto Alfa que se está estudiando consiste en fabricar una nueva línea de
productos que supondrá un desembolso inicial de 500.000€ en el momento
actual, unos pagos de 25.000€ al final de cada año durante ocho años y unos
cobros de 125.000€ al final también de cada año durante el mismo periodo de
tiempo.
b)
El proyecto Beta supone modificar la forma de producción actual para ahorrar
costes, lo que conllevaría un desembolso inicial de 1.100.000€ en el momento
actual y unos ahorros de costes, que se traducen en disminución de pagos por
valor de 100.000€ al final de cada año, durante veinte.
a)
¿Qué proyecto seleccionaría si usa como criterio de selección el VAN y el coste
de capital es del 6%? ¿Y si usa la TIR?
b)
¿Qué ocurriría si el coste de capital de esta empresa fuese el 3% anual?
c)
Representa gráficamente en un mismo eje cartesiano qué ocurriría con el VAN de
los dos proyectos de inversión si vamos modificando el valor de K. NOTA: Dos
valores a K entre 0 y 12.
d)
¿Cómo se llama el punto donde coinciden el VAN de los dos proyectos de
inversión? ¿Cuál es esa tasa de descuento?
a)
K = 0,06.
Proyecto
Alfa: 000+100.000⋅¿ ¿
VAN ( alfa)=−500.
a8 0,06 = 120.979,38
Proyecto
Beta: .000+100 .000⋅¿ ¿
VAN ( Beta )=−1.100
a20 0,06
= 46.992,12
TIR( ALFA) 12 %>TIR( BETA
) ~6,5 %
Si usa TIR 
~
Solución = Proyecto Alfa.
b)
K = 0,03.
Proyecto
Alfa: .000+100 .000⋅¿ ¿
VAN ( Alfa)=−500
a8 0,03. = 201.969,22
Proyecto
Beta: .000+100 .000⋅¿ ¿
VAN ( Beta )=−1.100
a20 0,03. = 387.747,48
La TIR:
Alfa:
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114
Paraninfo
VAN =0→500 .000=100 .000⋅¿ ¿
a8 i.
TIR = 12%
Beta:
VAN =0→1. 100 . 000=100 . 000⋅¿ ¿
c)
d)

a20 i.
TIR = 7%
Elegiría por TIR el proyecto Alfa, por VAN el Beta.
Sería una representación gráfica en un eje cartesiano, colocando en abscisas K y
en
ordenadas
VAN.
VAN
( Alfa)=VAN ( Beta )
.
−500 .000+100 . 000⋅¿ ¿  =−1 .100 . 000+100 . 000⋅¿ ¿ 
a8 KF.
a20 KF.
600 .000+100. 000⋅¿ ¿  −100.000⋅¿ ¿ 
a8 KF.
a20 KF. = 0
600 .000+100. 000⋅¿ ¿ 

( a8 KF. - a20 KF.) = 0
K
Dando valores a F para obtener un valor de cero:
K F =0 , 05
11º) Una empresa tiene recursos ociosos actualmente por valor de 4 millones de euros y
se plantea cómo utilizarlos.
a)
Alternativa A, comprar un edificio nuevo, que supondría:

La venta del actual por 5 millones de euros, que se cobraría en 5 pagos anuales
de 1 millón de euros cada año (el primer cobro en el momento de la venta).

Compra del nuevo edificio por 10 millones de euros, pagándose el 50% en el
momento de la compra y el resto en diez pagos anuales de 500.000€ al final de
cada año.

Un ahorro de gastos de mantenimiento, que se traduce en un ahorro de pagos
de 500 euros al final de cada mes durante diez años.

Venta del nuevo edificio dentro de 50 años por 15 millones de euros.
b)
Alternativa B, invertirlo en activos financieros libres de riesgo a largo plazo
(obligaciones a diez años), que actualmente dan una rentabilidad del 5% anual.
Si el coste de capital de la empresa se encuentra actualmente en el 4% anual, ¿qué
opción elegirá si usa como criterio el VAN?
a)
Alternativa A:
i(12)
Precisamos
:
1
i( 12) =( 1+i )
12
−1=0 , 00327374
Calcularemos el VAN actualizando concepto a concepto:
Venta del edificio:
VAN=1.000.000⋅¿ ¿ 
ä5 0,04. = 4.629.895,22
Compra del nuevo:
VAN =−5 .000 . 000−500 . 000⋅¿ ¿
a10 0,04. = -9.055.447,89
Ahorro de gastos de mantenimiento:
VAN =500⋅¿ ¿
a120 I(12). = 49.551,25
Venta del edificio:
−50
VAN =15.000.000 (1, 04 ) =2. 110.689 , 23
El proyecto en conjunto:
VAN =4 . 629 . 895 ,22−9 .055 .447 , 89+49. 551 ,25+2.110 .689 , 23=
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115

Paraninfo
=−2.265.312 ,19
b)
12)
Rentabilidad activos libres de riesgo = 5% > coste de capital = 4%.
VAN > 0.
Solución = Elegirá la opción b.
P =134.020,89
i= 0,06676
n=216 meses
 Análisis de AL-Basit Bank:
i12=0,0054
La cuota con este banco es la siguiente:
P·i 12
−n
a= 1−(1+i12 )
=
134020 , 89 · 0 ,0054
=1052, 62
1−(1 , 0054 )−256
€
 Análisis de e-bankplus:
1º) Deuda pendiente:
−204
1−(1+i)
i
C204 =a·
=1052, 62 ·
−204
1−(1 ,0054 )
0 , 0054
=129 . 954 , 33
€
2º) Cálculo de la cuota:
P =129.954,33€
i12= 0,00416
n=204 meses
P·i 12
−n
a= 1−(1+i12 )
=
129954 ,33 · 0 , 00416
=946 , 91
1−(1 , 00416 )−204
€
 Analizamos la inversión:
Comisión bancaria (1 % de 129.954,33) = 1.299,54 €
Gastos
= 1.080 €
Total desembolso actual
2.379,54 €
i= 0,035  i12=0,002871
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116

Paraninfo
Ahorro mensual = 1.052,62 – 946,91 = 105,71 €
El problema de inversión se podría plantear de la siguiente forma:
V . A . N = - 2.379,54 + 105,71·
−204
1−(1,002871 )
0, 002871
=13.924 ,75
Puesto que el resultado es positivo interesa el cambio de hipoteca.o es positivo
interesa el cam
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117

Paraninfo
Tema 13 Clasificación de las fuentes de financiación.Fuentes de
financiación a largo y corto plazo.
1) Calcula el coste financiero que está teniendo para una empresa aplazar sus pagos
sin intereses 90 días, cuando el proveedor ofrece un descuento del 3% si se paga al
contado.
Nominal  Q
Si paga al contado el efectivo será: (1-0,03)·Q = 0,97· Q
La equivalencia financiera será la siguiente:
0,97· Q (1+i(365))90 = Q
0,97· (1+i(365))90 = 1  (1+i(365))90 = 1,030927835
(1+i(365)) = (1,030927835)1/90  i(365) = 0,000338493
i=(1+i(365))365-1 = (1,000338493)365-1 =0,1314
Solución = 13,14%.
2) Calcula el coste financiero que está teniendo para una empresa aplazar sus pagos
sin intereses a 90 días, cuando el proveedor ofrece un descuento por pronto pago
del 3% si se paga al contado dentro de los diez primeros días.
Nominal  Q
Si paga al contado el efectivo será: (1-0,03)·Q = 0,97· Q
La empresa, desde un punto de vista financiero, aplazará al máximo posible el pago
(diez días por tanto), y la equivalencia financiera será la siguiente:
0,97· Q (1+i(365))80 = Q
0,97· (1+i(365))80 = 1  (1+i(365))80 = 1,030927835
(1+i(365)) = (1,030927835)1/80  i(365) = 0,000380813
i=(1+i(365))365-1 = (1,000380813)365-1 =0,149
Solución = 14,9%.
3) Una empresa presenta el siguiente balance:
ACTIVO
PASIVO
213.000 Elementos transporte
Capital Social
200.000
400.000 Edificios
Reservas
800.000
250.000 Terrenos
Deudas con entida. crto.
20.000
28.000 Clientes
Proveedores
10.000
100.000 Mercaderías
39.000 Tesorería
Total activo = 1.030.000
Total pasivo = 1.030.000
El capital social está formado por un millón de acciones, y la empresa decide realizar una
ampliación de una acción nueva por cada diez antiguas, emitiéndolas al 150% del nominal.
Calcular:
a) Calcular el valor contable (o en libros) de las acciones antes y después de la ampliación.
b) El coste del derecho de suscripción por pérdida de valor contable.
c) Comentar los efectos que tendría para un inversor poseedor de 200.000 acciones acudir
a la ampliación desde el punto de vista del desembolso monetario y de la participación
en el capital de la sociedad.
a) Valor contable antes y después de la ampliación:
Antes de la ampliación:
Vc. (ex ante) = (Capital Social + Reservas ) / Nº acciones = (200.000 + 800.000) /
1.000.000 = 1€
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118
Paraninfo

Después de la ampliación.
Nominal = Capital Social/ Nº acciones = 200.000 / 1.000.000 = 0,2€
Precio de acciones nuevas = 1,5 · 0,2 = 0,3€
Aumento de capital social = 100.000 acciones nuevas · 0,3 € = 30.000€
Capital social (ex post) = 200.000 + 30.000 = 230.000€
Vc. (ex post) = (Capital social nuevo + Reservas)/ (acciones antiguas + nuevas) =
(230.000 + 800.000 ) / 1.100.000 = 0,936€
Solución: Vc (ex ante)= 1 euro, Vc (ex post)= 0,936
b) Coste del derecho:
C.Dr. =Vc (ex ante) - Vc (ex post)= 1-0,936= 0,064€
Si aplicamos la fórmula directamente:
C. Dr. = (Vc – E)/(1+N) = (1-0,3)/(1+10) = 0,0636 € 0,064€
Solución = C. Dr. = 0,064
c) Un poseedor de 200.000 acciones que acuda a la ampliación podrá comprar 20.000
acciones nuevas, debiendo presentar 200.000 derechos y pagar el 150% del nominal
por cada una de las acciones nuevas:
Desembolso = 20.000 acciones · 0,2 ·1,5 = 6.000€
Además, mantendrá su porcentaje de participación en el capital social de la empresa:
Porcentaje de control (ex ante) = 200.000 acciones/1.000.000 = 0,2  20%
Porcentaje de control (ex post) = 220.000 acciones/ 1.100.000 = 0,2  20%
4) Una empresa presenta el siguiente pasivo:
Capital Social 100.000
Reservas
100.000
Deudas
50.000
Total pasivo = 250.000
Tiene 100.000 acciones y desea ampliar su capital por emisión de nuevas acciones en la
proporción de una acción nueva por cada cinco antiguas, emitiendo acciones al 150% del
nominal.
a) Calcula el coste del derecho de suscripción con la fórmula y por el método de
observar la disminución del valor contable de la acción.
b) A un accionista poseedor de 25.000 acciones:
- ¿Cuántos derechos le corresponden?
- ¿Cuántas acciones tiene que suscribir para no perder porcentaje de control en la
empresa?
- Por cada acción que desee suscribir, ¿cuántos derechos tiene que presentar?
¿cuánto le cuesta cada nueva acción?
- Un nuevo accionista querría comprar 100 acciones, si le venden cada derecho a 0,2
euros, ¿cuánto le costará cada nueva acción?
a) Valor contable antes y después de la ampliación:
 Antes de la ampliación:
Vc. (ex ante) = (Capital Social + Reservas ) / Nº acciones = (100.000 + 100.000) /
100.000 = 2€
 Después de la ampliación:
Nominal = Capital Social/ Nº acciones = 100.000 / 100.000 = 1€
Precio de acciones nuevas = 1,5 · 1 = 1,5€
©Ediciones Paraninfo
119
Paraninfo

Nº de acciones nuevas = 100.000 acciones/ 5 = 20.000 acciones nuevas
Aumento de capital social = 20.000 acciones nuevas · 1,5 € = 30.000€
Capital social (ex post) = 100.000 + 30.000 = 130.000€
Vc. (ex post) = (Capital social nuevo + Reservas)/ (acciones antiguas + nuevas) =
(130.000 + 100.000) / 120.000 = 1,92€
Coste del derecho:
C.Dr. =Vc (ex ante) - Vc (ex post)= 2 -1,92= 0,08€
Si aplicamos la fórmula directamente:
C.Dr = (Vc – E)/(1+N) = (2-1,5)/(1+5) = 0,08 € 0,08€
Solución: = 0,08 €
b) 25.000. \ 5.000. \ 5 derechos. Coste = E = 1,5€
Un nuevo accionista que desee comprar 100 acciones tendrá un coste de adquisición por
acción, si los derechos se los venden a 20 céntimos de euro, de:
Coste acción = E+ N·CDr = 1,5 + (5 ·0,20) = 2,50€
5) Una empresa que tiene 100.000 acciones emitidas presenta el siguiente pasivo:
PASIVO
Capital Social
1.000.000
Reservas
400.000
PyG (bº)
100.000
Deudas
400.000
Total pasivo =
1.900.000
Desea ampliar capital en la proporción de una acción nueva por cada cinco antiguas
con cargo a la cuenta de reservas (ampliación totalmente liberada). Las nuevas
acciones tendrán un nominal de 10€ cada una.
Calcular:
a) Coste del derecho de suscripción (comprobarlo con la variación en el valor
contable).
b) Ha supuesto la ampliación una fuente de financiación. Representa cómo
quedaría el pasivo.
c) Con qué fin se están utilizando últimamente las ampliaciones totalmente
liberadas.
a) Valor contable antes y después de la ampliación:
 Antes de la ampliación:
Vc. (ex ante) = (Capital Social + Reservas+ PYG ) / Nº acciones = (1.000.000 +
400.000+100.000) / 100.000 = 15€
 Después de la ampliación.
Nominal de las nuevas acciones = 10€
Precio de acciones nuevas  Al ser totalmente liberadas, habrá aumento del capital social
con cargo a las reservas, pero no habrá ningún tipo de aportación exterior.
Aumento de capital social = (20.000 acciones nuevas ·10€ nominal) = 200.000€
por tanto se aplicará a la ampliación la mitad de las reservas.
Capital social (ex post) = 1.000.000 + 200.000 =1.200.000€
Vc. (ex post) = (Capital social nuevo + Reservas + PyG)/ (acciones antiguas + nuevas)
= (1.200.000 +200.000+ 100.000 ) /120.000 = 12,5€
Coste del derecho:
C.Dr. =Vc (ex ante) - Vc (ex post)= 15 – 12,5 = 2,5€
Si aplicamos la fórmula directamente:
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120
Paraninfo

C.Dr = (Vc – E)/(1+N) = (15 – 0)/(1+5) = 2,5€
Solución: C.Dr = 2,5€
b) El pasivo quedará:
Capital Social
1.200.000
Reservas
200.000
PyG
100.000
Deudas
400.000
TOTAL PASIVO 1.900.000 €
6) Calcula el valor teórico de mercado de los derechos que proceden de una ampliación
de capital de dos acciones nuevas por cada cinco antiguas, de 10 euros de valor
nominal, si las acciones cotizan antes de la ampliación al 190% del nominal, y las
nuevas se emitirán al 150%.
Precio de mercado P= 1,9 ·10= 19€
Efectivo a pagar  E = 1,5 ·10 = 15€
A=5
M=2
N= A/M = 5/2=2,5
V.Dr. = (P-E) / N+1 = (19-15) / (1+2,5) = 1,14€
Solución = 1,14 euros.
7) Un accionista poseedor en la anterior ampliación de 50.000 acciones desea suscribir
30.000 acciones. ¿Cuánto tendrá que desembolsar si se venden los derechos a su valor
teórico en el mercado?
Si tiene 50.000 acciones será poseedor de 50.000 derechos. Como hay que entregar 2,5
derechos por acción, tendrá derecho a 20.000 acciones, de las que tendrá que desembolsar
el efectivo:
20.000 acciones · 15€ = 300.000€
Si desea adquirir 10.000 acciones adicionales, precisará comprar en el mercado los derechos
precisos, además de pagar el efectivo por cada acción, así:
Coste de acción adicional = E+V.Dr.·N = 15+(1,14·2,5) = 17,85€
Por tanto, las 10.000 adicionales le costarán:
10.000 acciones ·17,85€ = 178.500€
Solución = Por las primeras 20.000 desembolsa 300.000€, por las 10.000 restantes 178.500€.
8) D. Rafael Lozano tiene contratado con el banco T una póliza de crédito con las siguientes
características:
Límite del crédito: 25.000€.
Interés nominal anual acreedor: 1%.
Interés nominal anual deudor: 8%.
Interés nominal anual para excedidos:15%.
Comisión de disponibilidad por periodo de liquidación: 0,5%.
Comisión de apertura: 0,5% sobre límite del crédito.
Gastos de estudio: 0,5% sobre límite del crédito.
Comisión por excedidos: 1,5%.
Retención de Hacienda 19%.
©Ediciones Paraninfo
121

Paraninfo
Liquida la cuenta corriente de crédito, si el periodo de liquidación es mensual y se han
realizado las siguientes operaciones:
Fecha operación
Concepto
Cantidad
Fecha valor
01/04/2012
Apertura (gastos)
Calcular ¿?
01/04/2012
04/04/2012
Cheq. pagado ventanilla
14.000
04/04/2012
10/04/2012
Cargo por transferencia
26.000
10/04/2012
18/04/2012
Cargo por transferencia
18.000
18/04/2012
21/04/2012
Disposición en efectivo
12.000
21/04/2012
24/04/2012
Ingreso en efectivo
45.000
25/04/2012
28/04/2012
Compra de divisas
60.000
28/04/2012
28/04/2012
Transf. s/ favor desde 55.000
29/04/2012
otra entidad
Solución = 31.503,37€ a favor de la entidad.
MOVIMIENTOS
FECHA
CONCEPTO
DEBE
1-4
Apertura
250,00
4-4
Cheque
14.000,00
10-4
Transf.
18-4
Transf.
21-4
Retira
efectivo
24-4
Ingrs. Efect.
28-4
Divisas
28-4
Transf.
30-4
Cierre
HABER
Nº COMERCIALES
SALDO
TIPO
DÍ
AS
1-4
250,00
D
3
750,00
4-4
14.250,00
D
6
85.500,00
26.000,00
10-4
40.250,00
D
8
200.000,00
122.000,00
18.000,00
18-4
58.250,00
D
3
75.000,00
99.750,00
12.000,00
21-4
70.250,00
D
4
100.000,00
181.000,00
25-4
25.250,00
D
3
75.000,00
750,00
28-4
85.250,00
D
1
25.000,00
60.250,00
29-4
30.250,00
D
1
25.000,00
5.250,00
30-4
Suma
días=
Suma NC
=
586.250,00
469.000,00
36.000,00
Inter.
acreedo.=
0,00
45.000,00
60.000,00
55.000,00
FECHA
VALOR
Inter.
acreed.
Inter.
deudo.
130,28
Inter. exced.
195,42
Comis.
exced.
903,75
Comis.
disponb.
23,92
Reten.
0,00
Liquidación
ACREEDORES
DEUDORES
EXCEDIDOS
29
31.503,37
131.503,3
7
Comis. disp.
%=
0,5
Tipo int.
acree.=
1
© Ediciones Paraninfo
131.503,3
7
Df
acreed.=
122

Paraninfo
Tipo int.
deud.=
8
Df
deudor.
=
4.500,00
Inter.
deud.=
130,28
Tipo int.
exced.=
15
Df
excedid
os=
2.400,00
Inter.
excedid.=
195,42
Saldo M.
Disp.=
20.215,52
Comis.
dispo.=
23,92
Saldo M. no
Disp.=
4.784,48
Liquidación= Saldo+Inter. acreedo.-Inter. deud.-Inter. excedidos-Comisiones=
31,503,37 a favor de la
entidad
9) D. A. Cañizares tiene contratado con el banco T una póliza de crédito con las siguientes
características:
Límite del crédito: 12.000€.
Interés nominal anual acreedor: 1,5%.
Interés nominal anual deudor: 8%.
Interés nominal anual para excedidos: 15%.
Comisión de disponibilidad por periodo de liquidación: 0,5%.
Comisión de apertura: 0,5 sobre límite del crédito.
Gastos de estudio: 0,5% sobre límite del crédito.
Comisión por excedidos: 1,5%.
Retención de Hacienda 19%.
Liquida la cuenta corriente de crédito, si el periodo de liquidación es mensual y se han
realizado las siguientes operaciones:
Fecha operación
Concepto
Cantidad
Fecha valor
01/04/2012
Apertura (gastos)
Calcular ¿?
01/04/2012
07/04/2012
Cheq. pagado ventanilla
18.000
07/04/2012
10/04/2012
Cargo por transferencia
2.000
10/04/2012
12/04/2012
Cargo por transferencia
4.000
12/04/2012
20/04/2012
Disposición en efectivo
12.000
20/04/2012
24/04/2012
Ingreso en efectivo
65.000
25/04/2012
27/04/2012
Compra de divisas
30.000
27/04/2012
28/04/2012
Disposición efectivo 25.000
28/04/2012
otra entidad
FECHA
CONCEPTO
MOVIMIENTOS
DEBE
HABER
1-4
7-4
10-4
12-4
Apertura
Cheque
Transf.
Transf.
120,00
18.000,00
2.000,00
4.000,00
©Ediciones Paraninfo
FECHA
VALOR
1-4
7-4
10-4
12-4
SALDO
TIPO
DÍAS
120,00
18.120,00
20.120,00
24.120,00
D
D
D
6
3
2
D
8
Nº COMERCIALES
ACREEDORES
DEUDORES
720,00
36.000,00
24.000,00
96.000,00
EXCEDIDOS
18.360,00
16.240,00
96.960,00
123

Paraninfo
20-4
24-4
27-4
28-4
30-4
Retira efectiv.
Ingrs. efect.
Divisas
Retira efectiv.
Cierre
Inter. acreed.
Inter. deudo.
Inter. exced.
Comis. dispon.
Comis. exced.
Reten.
Liquidación
12.000,00
Comis. disp.
%=
Tipo int.
acree.=
Tipo int.
deud.=
Tipo int.
exced.=
0,5
Saldo M.
Disp.=
Saldo M.no
Disp.=
65.000,00
30.000,00
25.000,00
20-4
25-4
27-4
28-4
30-4
2,41
36.120,00
28.880,00
1.120,00
26.120,00
Suma días=
Suma NC =
D
H
D
D
5
2
1
2
29
60.000,00
120.600,00
1.120,00
24.000,00
28.240,00
241.840,00
280.400,00
57.760,00
57.760,00
53,74
116,83
18,30
361,8
0,46
26.668,72
1,5
Df. acreed.=
24.000,00
Inter. acreedo.=
2,41
8
Df. deudor.=
4.500,00
Inter. deud.=
53,74
15
Df.
excedidos=
2.400,00
Inter. excedid.=
116,83
8.339,31
Comis.
dispo.=
18,30
3.660,69
Liquidación= Saldo+Inter. acreedo.-Inter. deud.-Inter. excedidos-Comisiones=
26,668,72 a favor de la entidad
Solución: 26.668,72€ a favor de la entidad.
10) El señor A. M. tiene contratado con el banco T una póliza de crédito con las siguientes
características:
Límite del crédito: 15.000€.
Interés nominal anual acreedor: 1,5%.
Interés nominal anual deudor: 8%.
Interés nominal anual para excedidos: 15%.
Comisión de disponibilidad por periodo de liquidación: 0,5%.
Comisión de apertura: 0,5 sobre límite del crédito.
Gastos de estudio: 0,5% sobre límite del crédito.
Comisión por excedidos: 1,5%.
Retención de Hacienda 19%.
Liquida la cuenta corriente de crédito, si el periodo de liquidación es mensual y se han
realizado las siguientes operaciones:
Fecha operación
© Ediciones Paraninfo
Concepto
Cantidad
Fecha valor
124

Paraninfo
01/05/2012
07/05/2012
08/05/2012
11/05/2012
12/05/2012
20/05/2012
24/05/2012
25/05/2012
28/05/2012
Apertura (gastos)
Cheq. pagado ventanilla
Ingreso efectivo
Cargo por transferencia
Cargo por transferencia
Disposición en efectivo
Ingreso en efectivo
Compra de valores
Disposición efectivo
CONCEPTO
FECHA
DEBE
Apertura
Cheque
1-5
7-5
150,00
18.000,00
Ingreso
Transf.
Transf.
Retira efectiv.
8-5
11-5
12-5
20-5
2.000,00
4.000,00
5.000,00
Ingrs. efect.
Valores
24-5
25-5
40.000,00
Retira efectiv.
28-5
25.000,00
Cierre
31-5
MOVIMIENTOS
HABER
Inter. acreed.
25.000,00
7.000,00
Calcular ¿?
18.000
25.000
2.000
4.000
5.000
7.000
40.000
25.000
FECHA
VALOR
1-5
7-5
SALDO
TIPO
DÍAS
150,00
18.150,00
D
D
6
1
8-5
11-5
12-5
20-5
6.850,00
4.850,00
850,00
4.150,00
H
H
H
D
3
1
8
5
25-5
25-5
2.850,00
37.150,00
H
D
0
3
28-5
62.150,00
D
3
31-5
Suma
días=
Suma NC
=
1,34
Inter. deudo.
Inter. exced.
Comis. exced.
Comis.
disponb.
Reten.
Liquidación
28,14
87,94
707,25
53,89
Comis. disp.
%=
Tipo int.
acree.=
0,5
1,5
Df.
acreed.=
24.000,00
Tipo int.
deud.=
Tipo int.
exced.=
8
Df.
deudor.=
Df.
excedido
s=
4.500,00
0,25
15
©Ediciones Paraninfo
01/05/2012
07/05/2012
08/05/2012
11/05/2012
12/05/2012
20/05/2012
25/05/2012
25/05/2012
28/05/2012
ACREEDOR
ES
20.550,00
4.850,00
6.800,00
Nº COMERCIALES
DEUDO EXCEDIDOS
RES
900,00
15.000, 3.150,00
00
20.750,
00
45.000,
00
45.000,
00
30
32.200,00
66.450,00
141.450,00
126.650 211.050,00
,00
63.026,13
2.400,00
Inter. 1,34
acreedo
.=
Inter. 28,14
deud.=
Inter. 87,94
excedid.
=
125

Paraninfo
Saldo M.
Disp.=
Saldo M.no
Disp.=
4.221,67
10.778,33
Comis.
dispo.=
53,89
Liquidación= Saldo+Inter. acreedo.-Inter. deud.-Inter. excedidosComisiones=
63,026,13 a favor de
la entidad
Solución: 63.026,13€ a favor de la entidad.
Tema 14 “PERIODO MEDIO DE MADURACIÓN CAPITAL CIRCULANTE
O FONDO DE MANIOBRA. RATIOS FINANCIEROS”
© Ediciones Paraninfo
126

Paraninfo
1) La sociedad anónima La Veleta, presenta las siguientes datos en sus Balances y
Cuentas de PYG:
Balance de situación
31/12/2011
31/12/2012
Materias primas
200
250
Productos en curso
800
850
Productos terminados
300
400
Clientes
2.000
3.000
Cuenta de PYG
31/12/2011
31/12/2012
Compra de materias primas
30.000
35.000
Devolución de compras
200
250
Venta de productos terminales
90.000
105.000
Rappels por ventas
(100)
(500)
De la contabilidad analítica de la empresa, sabemos que la mano de obra directa
del periodo 2012 ha ascendido a 12.000 euros, y los gastos generales de
fabricación a 2.000 euros.
Calcula el PMM del ejercicio 2012.
Solución:
Vamos a hacer los cálculos previos precisos con los costes que necesitamos:
Compras de materias primas......................................................... 35.000
- Devolución de compras............................................................. (250)
- + Ei .............................................................................................. 200
- - Ef......... .................................................................................... (250)
Consumo de mat. Primas .. ............................................................ 34.700
+ Mano de obra directa.................................................................. 12.000
COSTE PRIMARIO O BÁSICO................................................... 46.700
+ Gastos generales de fabricación.................................................... 2.000
COSTE DE LA PROD. DEL PERIODO........................................ 48.700
+ Ei....................................................................................................... 800
- Ef .. ................................................................................................... (850)
COSTE DE LA PROD. TERMINADA.......................................... 48.650
+ Ei....................................................................................................... 300
- Ef .. ................................................................................................... (400)
COSTE DE LA PROD. VENDIDA
48.550
a)
Periodo
medio
34 .700
−E =200+34 . 750−250=34 . 700
C⋅MP=E
+ de aprovisionamiento:
R1 =
D1=
(
=154 , 2
200Compras netas
250+
2
i
)
f
365
=2,36
154,2
días.
©Ediciones Paraninfo
127
Paraninfo
b)

48 . 650
825
Periodo
fabricación:
R2 = medio
=58de, 96
D 2=
365
=6,19
58,96
días.
c)
48 . 550
350
R3 = medio
=138
71
Periodo
de, venta:
D3=
365
=2,63
138,71
días.
d)
104 .500
2 .500
Periodo
de,cobro:
R4 = medio
=41
8
D 4=
365
=8,73
41,8
días.
PMM = 19,91 días.
Solución = PMM aproximadamente 20 días.
2º)
Sabemos que una empresa presenta las siguientes características económicofinancieras:
a)
Compra diariamente materias primas por valor de 10€.
b)
El coste de la producción terminada anual asciende a 18.000€.
c)
El coste de la producción vendida anual asciende a 25.000€.
d)
Sus ventas ascienden al año a 55.000€.
e)
En la cuenta devolución de compras y operaciones similares aparece un importe
de 2.000€.
f)
Las existencias iniciales de materias primas ascendían a 20€.
g)
Las existencias finales de materias primas ascendían a 300€.
h)
Pago a los proveedores en un plazo de 60 días.
i)
Cobro a los clientes a 30 días.
j)
El periodo medio de tiempo que pasa una materia prima en el almacén es de 15
días.
k)
El periodo medio de tiempo de fabricación es de 8 días.
l)
El periodo medio de tiempo que transcurre entre la finalización de la producción
y la venta del producto es de 20 días.
m) El saldo medio de tesorería necesario para el normal funcionamiento de la
empresa es de 50€.
¿Cuál es el capital circulante o fondo de rotación necesario de esta empresa?
Sabemos que:
C . C . N=ACN−PCP
Calculamos los ACN:
−E f =20+ ( 365⋅10 ) −300=3 . 370 €
M⋅P=Ei +
C⋅¿¿
de
Compras anuales
3. 370
MP=15⋅
=138 , 49 €
365
EMMP=D1⋅¿ ¿
Consumo diario de
© Ediciones Paraninfo
128
Paraninfo
Coste Produc . Vendida Anual
25. 000
EMMT=D3⋅
=20⋅.000 ) =1 .369 , 86 €
(
55
.000−2
Vtas
.
Netas
Anuales
365 =4 .356 ,16 €
SMC=D 4⋅ 365
=30⋅
365
365
SMT=50 €
PCP=
¿

Compras Netas Anuales
=
365
Periodo medio de pago
Periodo medio de pago ·
Compras
ACN=EMMP +EMPC+EMPT +SMC+SMT=6 . 309, 03 €
PCP=600
€
60⋅10=600
€
C .C .N = ACN−PCP=6 .309 ,03−600=5 .709 , 03 €
diarias =
Solución = 5.709,03€.
3º)
Sabemos que el balance de la empresa anterior es el siguiente:
ACTIVO
220.000€ Activo fijo
20.000€ Activo circulante
TOTAL ACTIVO = 240.000€
a)
b)
c)
PASIVO
Neto patrimonial
150.000€
Pasivo fijo
71.352,87€
Pasivo circulante
18.647,13€
TOTAL PASIVO =
240.000€
Calcula el capital circulante o fondo de rotación existente.
Si la empresa desea adecuarlo al existente, ¿qué variables del capital circulante
podría utilizar y en qué sentido debería modificarlas?
Si finalmente opta por modificar el periodo medio de cobro a los clientes, ¿cuál
debería ser éste para que el capital circulante necesario coincidiera con el
existente?
a)
El capital circulante existente es:
b)
Sabemos que el capital circulante necesario se obtiene de:
CCN =ACN −PCP
C . C .= A c−Pc =20 . 000−18 . 647 ,13=1. 352 , 87 €
Si la empresa lo quiere adecuar al existente debería disminuirlo, para lo que:
a. Puede rebajar el ACN:
1)
Con un periodo medio de aprovisionamiento, fabricación, venta o
cobro más bajo.
b. Podría aumentar el periodo medio de pago a los proveedores.
C . C . N = ACN−PCP
c.
©Ediciones Paraninfo
129
Vtas . Netas Anuales
SMC=D 4⋅
365
Paraninfo
Vtas . Netas Anuales
0=D 4⋅
365
D 4=0

Si
Solución = Cobrar al contado.
4º)
La empresa Delta SA presenta la siguiente estadística de costes:
Compras de materias primas
100.000
+ Ei de materias primas
10.000
- Ef de materias primas
(20.000)
Consumo de materias primas o coste de las compras
90.000
Mano de obra directa en el proceso de producc. 200.000
Coste primario o básico
290.000
Gastos generales de fabricac.
115.000
Coste industrial de la producc. del periodo
405.000
+Ei de Prodtos. en curso
20.000
- Ef de Prodtos. en curso
(10.000)
Coste de la producción terminada
415.000
+ Ei de Prodts. terminados
5.000
-Ef de Prodts. terminados
(-25.000)
Coste de la producción vendida
395.000
Se pide:
a) Calcula el PMM a través del método de las rotaciones, sabiendo que el saldo medio
de clientes asciende a 20.000€ y las ventas netas de la empresa fueron de 600.000€
anuales.
b) Calcula el capital circulante necesario, si se sabe que:
1) La tesorería media que posee la empresa tanto en caja como en cuentas corrientes,
asciende a 30.000€.
2) La deuda media con Hacienda y con los empleados asciende a 20.000€ en cada
caso.
3) El periodo medio de pago a los proveedores es de 75 días.
a)
C . M . P . 90 .000
=6
EMMP 15. 000
10. 000+20 . 000
EMMP=
=15. 000
2
Rotaciones
R1 = y PMM:=
1)
PMA=
365
=60 ,8
6
415 . 000
=27días.
,67
15 .000
20. 000+10 . 000
EMPC=
=15 . 000
2
R2 =
2)
© Ediciones Paraninfo
130
Paraninfo

Coste P . V . 395. 000
días.=26 , 3
=
EMPT
15. 000
5 . 000+25 .000
EMPT =
=15. 000
2
R3 =
3)
PMV =
365
=13,8
26 ,3
Vtas . Netas Anuales 600. 000
=30
días. =
SaldoMedioClientes 20. 000
360
PMC=
=12
30
R4 =
4)
días.
PMM=PMA+PMF +PMV +PMC=60 , 8+13 , 19+13 ,8+12=99 , 79
b)
días.
ACN =EMMP + EMPC+ EMPT + EMC+ EMT =15 . 000⋅3+20 . 000+
+30 . 000=95 . 000 €
365
365
365⋅Saldo MP
PMP
=
=
=
PCP=DMH
+
DME
+
DMP=20
.000+
20.
000+20
.
548=60
. 548
Rotac . Proveed .
M . P . anual
Compras
M . P.
€. anual
Compras
SMP
PMP⋅Compras M . P . anual
750⋅100 . 000
=Saldo M . P.=
=20 . 547 , 95
365
365
≃
≃ 20.548
CCN =ACN −PCP=95 . 000−60. 548=34 . 452 €
CCN =34 . 452 €
5º)
El analista financiero de la empresa ADULT SA tiene la siguiente información de su
empresa, proveniente de distintos departamentos:
o El consumo anual de materias primas del año ha ascendido a 50.000€.
o El coste total de la producción terminada es de 75.000€.
o El coste de las ventas del año es de 77.000€.
o Las ventas anuales han ascendido a 105.000€.
o Las existencias medias de materias primas en el almacén han ascendido a
1.000€.
o Las existencias medias de productos en curso en el almacén han ascendido a
2.000€.
o Las existencias medias de productos terminados en el almacén han ascendido a
500€.
El saldo medio de tesorería necesario para el normal funcionamiento se ha
estimado en 1.000€.
o El periodo medio de cobro según el departamento comercial es de 60 días.
En cuanto al resto de variables relacionadas con la financiación espontánea, se sabe
que:
1) Se han realizado compras diarias de materias primas por 100€ durante el año,
concediéndonos el proveedor un aplazamiento en el pago de 30 días.
2) Se han realizado compras diarias de material auxiliar por 60€ durante el año,
concediéndonos el proveedor un aplazamiento en el pago de 25 días.
3) La deuda media con los empleados asciende a 3.000€.
©Ediciones Paraninfo
131
365 365
ParaninfoD1= R1 =50 =7,3
75 .000
Calcula:
R2 =
=37 , 5
a) El PMM.
2. 000
b) El capital
365circulante necesario.
a)

50. 000=9 ,73
D 2=
R
1 = 37 , 5 =50
1 . 000
77 . 000
R3 =
=2 , 37
500
D 4=60 días.
PMM=79 , 40
b)
6º)
días.
ACN=1 .000+2.000+500+17.260
,27+1.000=21.760 ,27
Solución
=
79
días.
( = ACN−PCP
) +( 60⋅25 )+3.000=7 .500 €
PCP=
C
. C . N 100⋅30
PCP=7.500
€
SMC
=
D 4=287 , 67⋅60=17. 260 ,27 €
Vtas. diarias ·
C .C .N =21.760 ,27−7.500=14 .260 ,27€
Solución = 14.260,27€.
La empresa Asesores Financieros de la CAM, ha recibido una consulta de la empresa
andaluza Enseres SA, que en breves días se constituirá, para saber cuál debería ser la
cantidad a aportar de fondos propios a la sociedad para obtener un correcto
equilibrio financiero. Asesores Financieros ha recibido la siguiente información de
Enseres SA:
a. La inversión en inmovilizado de la empresa se ha estimado en dos millones de
euros (de los que 500.000€ pertenecen al valor de los terrenos).
b. La empresa ha conseguido un préstamo de la Caja de Ahorros de Aragón por
500.000€, a devolver en 15 años.
c. Han estimado los siguientes costes diarios:
Concepto
Coste diario
Compras de materias primas diarias 2.755,75
Compras de material auxiliar
1.376,05
*
Deuda media con los empleados
27.614
d. Además, la empresa estima que:
*
Aplazamiento
20 días
20 días
Esta deuda se puede calcular en la realidad como la deuda con los empleados a principio de mes + la deuda a
0+Sueldo
2
final de mes dividido entre dos. Si la empresa paga a final de mes:
© Ediciones Paraninfo
132

Paraninfo






El consumo de materias primas anual ascenderá a un millón de
euros.
El coste de la producción terminada anual será de 2 millones de
euros.
El coste de la producción vendida se estima en un millón de euros.
Las ventas anuales ascenderán a 255.000€.
Rappels sobre ventas de 5.000€.
El saldo medio de tesorería necesario para el normal funcionamiento
de la empresa se estima en 22.400€.
Calcula:
a) El periodo medio de maduración.
b) El fondo de rotación necesario.
c) El capital social que deben aportar los accionistas si desean tener estabilidad
financiera de acuerdo con el coeficiente básico de financiación, si la empresa no
piensa pedir ningún préstamo más a largo plazo (suponemos que las
amortizaciones técnicas coinciden con las financieras).
d) Si la empresa sólo dispone de 1.950.000€ para comenzar la actividad, ¿qué podría
365 365
hacer
D 2= para=cumplir
=36 el
,5 coeficiente de financiación básico? ¿cuál debería ser el
10 de cobro si elige esta variable para adecuarse a los recursos
periodoR 2medio
propios365
de que
365dispone?
a)
b)
365 =365 =73
D3=
D1= R 3 =
5 =36 ,5
R 1 10
365 365
D 4=
= =73
R4 5
Coste Producc . Terminada
2 . 000. 000
EMPC=D2⋅
=36,5⋅
=200 .000€
365
365
Coste Prod . Vendida
1.000 . 000
EMPT=D
=73⋅
=200 .000€
PMM =363⋅, 5+36
,
5+73+73=219
365
365
días.
Solución = 219
Vtasdías.
. Anuales Netas
250 .000
SMC=D
4⋅ −PCP
=73⋅
=50 . 000€
CCN =ACN
365
3651 . 000. 000
ACN =EMMP
+ SMC
MP=36
,5⋅ + SMT =100 . 000 €
SMT=22
. 400€ + EMPC + EMPT
EMMP=D1⋅¿ ¿
365
ACN=572. 400
C. diario de
PCP:
Deuda media: Periodo medio de pago. Compras diarias.
Por tanto:
©Ediciones Paraninfo
133

Paraninfo
N + PF
AF+CCN
Solución
C bf = = 462.150€
c)
N +500+. 000
N≥CCN
AF (no despreciable).
1=
2
.
000.
000+462.
150 equilibrio financiero el C bf =1 :
Si deseamos que exista
N=1 . 962. 150 €
d)
Además, sabemos que:
N≥CCN + AF
(no despreciable).
N=1 . 962. 150 € >462 .150+500 . 000=962. 150 €
Solución = Aportar unos recursos propios de 1.962.150€.
Debe disminuir su CCN, hay varias posibilidades:
1) Disminuir el ACN bajando D1, D2, D3 O D4.
2) 1Aumentar
el PCP,
.950. 000+500
. 000 aumentando los periodos medios de pago. También puede
aumentar
los
PF.
1=
C =1 con N = 1.950.000€.
2
.000.
000+CCN
Calculamos el CCN para que bf
CCN =450 . 000 €
250 . 000
450 . 000=100
. 000+200.. 000+22 . 400+D 4⋅
−110 . 250
CCN=ACN−PCP
Sabemos
que . 000+200
365
250 . 000
37 . 850=D 4⋅
365
D 4=55
días.
Solución = Disminuir D1, D2, D3 o D4, o bien aumentar los periodos medios de
pago. También aumentar PF. Se consigue con un periodo medio de pago de 55
días.
7º)
La empresa “Z” S.A., dedicada a la fabricación y venta de componentes eléctricos se
constituyó el 1/01/2011, presenta a 31 de diciembre de 2011 el siguiente balance de
situación:
Activo:
Gastos de constitución
Terrenos y bienes Naturales
Construcciones
Maquinaria
Mobiliario
(A.A.I.M)
Aplicaciones informáticas
Equipos para procesos de información
Participaciones en empresas del grupo
© Ediciones Paraninfo
15.000
400.000
1.000.000
200.000
30.000
(100.000)
10.000
30.000
200.000
134

Paraninfo
Créditos a empresas del grupo
Prodtos. terminados
Prodtos. en curso
Materias primas
Envases y embalajes
Subproductos
Acciones por desm. Exigidos
Clientes
Bancos
TOTAL ACTIVO
Pasivo:
Capital Social
Reserva Legal
Reservas voluntarias
Reservas estatutarias
PyG
Restdos. Negatv. de E.A.
Obligaciones y bonos a l.p.
Obligaciones y bonos a c.p.
Deudas a c.p. con entdes. de crédito
Proveedores
TOTAL PASIVO
100.000
25.000
10.000
20.000
25.000
20.000
10.000
80.000
63.000
2.138.000€
1.080.000
120.000
168.000
120.000
300.000
(70.000)
100.000
100.000
150.000
70.000
2.138.000€
De su contabilidad de costes la empresa ha recogido la siguiente información anual:
a) Compra de materias primas por 100.000€.
b) Ei de materias primas. 10.000€.
c) Existencias de prodtos. en curso a 1-1-2011 de 20.000€.
d) Ei de prdtos. terminados 5.000€.
e) Pagos de salarios (Mano de obra directa al producto): 200.000€.
f) Gastos generales de fabricación (mano de obra indirecta, material auxiliar,
amortización de las máquinas...) 115.000€.
g) Ventas de mercaderías anuales: 650.000€.
h) Rappels s/ ventas: 50.000 pts.
Se pide:
Realiza la estadística de costes de esta empresa (hasta el coste de la producción
vendida).
Calcular el P.M.M. de la empresa, sabiendo además que el saldo medio que
normalmente tiene la empresa en la cuenta de “clientes” es de 20.000€.
3) Realiza la clasificación funcional del balance según el P.M.M. a 31-12-2011, si
se dispone de la siguiente información complementaria:
 El saldo de la cuenta “Créditos a empresas del grupo” tiene el siguiente
vencimiento:
 El 18 de febrero 30.000€.
 El 23 de septiembre 70.000€.
 A pesar de que el periodo medio de cobro a los clientes es el que has calculado,
en el saldo de éstos se incluye un crédito a un ente público, por importe de
10.000€, el cual no se cobrará hasta el 4 de octubre de 2012.
 Se estima que el reparto de la cuenta de PYG será el siguiente:
©Ediciones Paraninfo
135

Paraninfo
 A sanear pérdidas 70.000€.
 A reservas voluntarias 130.000€.
 A dividendos 100.000 pts.
Respecto a los dividendos está previsto que sean repartidos el 15 de febrero.
 Las obligaciones y bonos a c.p. tienen el siguiente el siguiente vencimiento:
 50.000 € el 3 de febrero de 2012
 El resto el 3 de noviembre de 2012
 El vencimiento de las deudas registradas a c.p es el siguiente:
 El 10 de febrero de 2012 80000€.
 El 6 de diciembre de 2012 70.000€.
 En el saldo de proveedores se incluye la deuda con un suministrador, por importe
de 30.000€, que se abonará el 6 de noviembre de 2012.
4)
Calcula el capital circulante necesario de esta empresa si sabemos que:
 La tesorería media que posee la empresa tanto en caja como en bancos
asciende a 30.000€.
 La deuda media con Hacienda asciende a 20.000€.
 La deuda media con los empleados asciende a 10.000€.
 La deuda media financiera asciende a 10.000€.
 El periodo medio de pago a los proveedores es de 75 días.
5)
Examina el coeficiente básico de financiación e interpreta su resultado.
6)
En caso de existir algún tipo de desequilibrio financiero, ¿cómo podría actuar la
empresa sobre el fondo de rotación para corregirlo? ¿con qué otras variables
puede solucionarlo?
7)
Imaginemos que la empresa decide usar el plazo de pago a proveedores para
corregir sus problemas de financiación:
 ¿Debería aumentarlo o disminuirlo? Razone la respuesta.
 Calcular el nuevo periodo medio de pago a proveedores que solucionaría
el problema.
1)
Compra de MP ................................................................ 100.000€.
E
+ i de M.P. .............................................................…. 10.000€.
E
- f de M.P. .............................................................…. (20.000)€.
CONSUMO DE M.P.
90.000€.
M.O.D .........................................…..................………. 200.000€.
COSTE PRIMARIO ..................................................... 290.000€.
G.G.Fón. .............................................................…........ 115.000€.
COSTE PROD. DEL PERIODO .................................. 405.000€.
E
+ i de PC .....................................................….....…... 20.000€.
E
- f de PC .....................................................….....…. (10.000)€.
COSTE PROD. TERMINADA
415.000€.
E
i
+
de PT .....................................................….....…..... 5.000€.
E
- f de PT .....................................................….....….. (25.000)€.
COSTE PROD. VENDIDA
© Ediciones Paraninfo
395.000€.
136
Paraninfo
C . M . P . 90 .000
R1 =
=
=6 ;
EMMP
15.
000
2) PMM:
10. 000+20 . 000

P.M.A.:
EMMP=
=15. 000
2

365
PMA= =60 ,8
6
CosteP .T . 415. 000
R2 =
= días. =27 , 67 .
EMPC
15 . 000
20. 000+10 . 000
P.M.F.:
EMPC=
=15 . 000
2
P. M . F .=


365
=13,19
27,67
días.
CosteP . V . 395 .000
R3 =
=
=26 , 3
EMPT
15 .000
5. 0900+25 . 000
P.M.V.:
EMPT =
=15. 000
2
PMV =
365
=13, 8
26 ,3
días.

Vtas . Netas Anuales 650. 000−50. 000 600 . 000
P.M.C.:
R4 =
=
=
=30
SM Clientes
20. 000
20 . 000
PMC=
365
=12
30
días.
PMM=99 , 79 ~ 100 días.
3) Clasificación funcional del balance:
ACTIVO
A) INMOVILIZADO..............................................................................
1.865.000
I)
a)
Realizable.........................................................1.850.000
Material:...............................................................1.560.000
T. y b. Naturales......................................................400.000
Construcciones ....................................................1.000.000
Maquinaria .............................................................200.000
Mobiliario .................................................................30.000
Equipo para procesos de información .....................30.000
©Ediciones Paraninfo
137

Paraninfo
b)
c)
II)
(AAIM) ..................................................................(100.000)
Inmaterial: ................................................................10.000
Aplicación informática ..............................................10.000
Financiero: ..............................................................280.000
Créditos a empresas del grupo .................................70.000
Participaciones en empresas del grupo .................200.000
Clientes .....................................................................10.000
No realizable.........................................................15.000
Gastos de constitución .............................................15.000
B)
CIRCULANTE: .............................................................................
273.000
I)
II)
III)
Disponible:.................................................................63.000
Bancos ......................................................................63.000
Realizable: ..............................................................110.000
Clientes .....................................................................70.000
Acctas. desemb. Exig. ...............................................10.000
Créditos a empresas del grupo .................................30.000
Existencias: .............................................................100.000
Existencias ..............................................................100.000
..........................PASIVO...................................... 2.138.000
A) FONDOS PROPIOS: ..................................................................
1.618.000
I)
II)
Aportac. Exterior .................................................1.080.000
Autofinanciación:................................................... 538.000
R. legal.....................................................................120.000
R. Volunt..................................................................168.000
R. Estatutaria...........................................................120.000
R.N.E.A....................................................................(70.000)
PYG..........................................................................200.000
B)
Acreedores
l.p. ............................................................................... 250.000
a)
a
Afectos a la explotación..........................................250.000
Oblig y b. a l.p..........................................................100.000
Obl y b. a c.p..............................................................50.000
Deuda a c.p. ant. de crédito......................................70.000
Proveed.....................................................................30.000
C) Acreed. a c.p. …………………………………..……………….. 270.000
I)
Bancario:.................................................................130.000
Ob. y b. a c.p..............................................................50.000
Deuda a c.p. en ent. de créditos...............................80.000
© Ediciones Paraninfo
138

Paraninfo
II)
III)
De provisión:.............................................................40.000
Proveed.....................................................................40.000
Resto........................................................................100.000
Divid.........................................................................100.000
Por tanto, abreviándolo en las masas fundamentales:
AF
= 1.865.000
N = 1.618.000
AC
= 273.0000
PF
PC
= 250.000
= 270.000
ACN =EMMP +EMPC+EMPT +SM .Clientes+SMT =15. 000+15. 000+
2.138.000
PASIVO = 2.138.000
15ACTIVO
.000+20.=000+30
. 000=95.000 €
PCP=DMH+DMEMP+DMF +DMP=20 . 000+10 .000+10 . 000+20 . 548=
4) C . C . N .= ACN −PCP
60 .548 €
M . P.⋅PMP=
100 . 000
⋅75
365
DMP = Compras diarias
~ 20.547,94 ~ 20.548.
C . C . N =95 . 000−60 . 548 € =34 . 452 €
Neto+PF
CCN +AF
= 34.452€
1 . 618.C.C.N.
000+250
. 000 1. 868 .000
C . b . f ón=
=
=0 , 98
34 . 452+1 . 865 .000 1. 899 . 452
5) Coeficiente
básico de función:
C . b . f ón <1
C . b . f ón=
La empresa tendrá problemas financieros pues está financiando con deuda a c.p.
el CCN y/o el A F que nunca se convierten o tardan mucho tiempo en convertirse
en liquidez.
6) La empresa debería disminuir el CCN, para ello puede:
a)
Aumentar PCP.
b)
Disminuir ACTN.
También se puede aumentar N y/o PF.
7)
a)
Debería aumentar el P.M.P. para así aumentar PCP y conseguir disminuir el
CCN.
©Ediciones Paraninfo
139

Paraninfo
b)
¿PMP?
C . b . f ón=1→ N + P F =CCN + AF
1. 868 . 000=CCN 2 +1. 865 . 000
C . C . N 2=3 . 000 pts
 Así no habría problema financiero.
CCN −CCN 2 =34 . 452−3 . 000=31 . 452
Disminución de CCN = 31.452
 Aumento PCP = 31.452
Aumentar DMP = 31.452.
DMP=DMP+ ADMP=20 .548+31 . 452=52 . 000
DMP 2 =
¿ PMP
Compras M.P. diarias
~ 190 días.
3 .000=ACTN−60.548
Debería tener un P.M.P. de
63.548=ACTN
190 días.
63.548=EMMP+EMPC+EMPT+SM
Clientes+SMT
63.548=0+15.000+15.000+SMC+30.000
8) CCN =ACTN −PCP
S . M .C .=3 .548
Vtas. Netas 60. 000
=
=16 , 9
SMC
3. 548
365
~ 17;
PMC= =21
17
días.
R4 =
PMC nuevo =21 días
9)
=
63 . 000
=0 ,2333
270 . 000
Ratio de disponibilidad
=
63 . 000+110 .000
=0 ,64
270 . 000
Ratio de tesorería o liquidez a corto plazo
© Ediciones Paraninfo
140

Paraninfo
=
AC 273 .000
=
=1, 01
PC 270 .000
Ratio de solvencia
Sin disponer de más
datos
sobre
2. 138
.000−15
. 000las ratios propias del sector, parece que la
empresa va muy justa
= en el pago de deudas
=4 ,08 a corto plazo;
270 .000+250. 000
Ratio de garantía
Los acreedores pueden estar tranquilos,
520 .000 pues los activos reales son cuatro veces
superiores al exigible de la empresa.
=
=0, 32
1. 618. 000
Ratio de endeudamiento total
Nivel aceptable de endeudamiento
(aun sin conocer la media de endeudamiento
270.000
del sector).
=
=0 ,167
1.618 .000
250.000
Ratio de endeudamiento a c.p. =
=0, 154
1.618. 000
Ratio de endeudamiento a l.p.
Ratio de estructura del pasivo:
R1 =0, 117
R3
R2 =0 , 126
o ratio de autonomía financiera = 0,75
8º)
9º)
Ve al Registro Mercantil de tu provincia, o acude a la página web
WWW.REGISTRADORES.ORG, solicita las cuentas anuales de alguna empresa inscrita
no excesivamente grande (a ser posible que sea conocida por ti y de tu localidad), y
realiza un análisis financiero mediante ratios. Si es posible, solicitad entre varios
compañeros empresas del mismo sector y analizar su situación.
Calcula el punto muerto de una empresa que tiene unos costes fijos de 50.000€
anuales, si sabemos que vende sus productos a 12€ y el coste variable unitario de
fabricación
4€.
C F es50de
. 000
¿
Q
=
=
=6hace
.250que el beneficio sea nulo (punto muerto) es:
El nivel de ventas que
P−CV 12−4
unidades físicas.
Solución = 6.250 unidades físicas.
10º) Si la empresa anterior obtiene en el año un nivel de ventas de 5.000 unidades físicas,
¿tendrá beneficios o pérdidas? Razona la respuesta. ¿Cuáles?
¿
Pérdidas, ya que
el nivel de ventas es inferior a Q .
¿
Q=5.000<Q =6.250
u. físicas.
Rtdo=I T −CT =( 12⋅5 .000 )−( 50 .000+4⋅5. 000 )=−10 .000 €
Solución = -10.000€.
11º) Una empresa tiene unos costes fijos de 12.000€ mensuales, si los costes variables
unitarios ascienden a 3€, ¿cuál debería ser el precio de venta para que se empezasen
a obtener beneficios con 3.000 unidades vendidas al mes?
©Ediciones Paraninfo
141

Paraninfo
Solución = P=7 € .
12º) Calcula
punto muerto de una empresa que tiene unos costes fijos anuales de
C F el500.
000
¿
500.000€,
y
de contribución unitario en su producto de 50€.
Q = = un margen
=10. 000
m
50
unidades físicas.
Solución = 10.000 unidades físicas.
13º) ¿Cuándo alcanzará el punto muerto una empresa que soporta 25.000€ de costes
fijos, si vende sus productos a 25€ y tiene unos costes variables unitarios de 27€?
Razona la respuesta.
P<CV .
Solución = Nunca, siempre tendrá pérdidas ya que
14º) La empresa Buenas-Pizzas, SA quiere abrir uno de sus centros en Guadalajara, para lo
que hace algunos cálculos sobre los costes que puede tener, así como el nivel de
ventas con que se puede encontrar. En los estudios realizados por sus economistas
llega a la conclusión de que para abrir la tienda precisa de las siguientes inversiones y
los siguientes gastos:
Vehículos: 30.000€.
Local alquilado: 2.000€/ mensuales.
Maquinaria:20.000€.
Mano de obra fija: 10.000€ mensuales.
Luz y agua no relacionada directamente con producción: 200€ (tomar como coste
fijo).
Materia primas: 1€/pizza.
Envases de cartón: 0,1€/pizza.
Luz y agua relacionada con la fabricación de pizzas: 0,05€/ pizza.
Se estima que el inmovilizado de la empresa sufrirá una depreciación mensual del
1% (la consideraremos coste fijo).
Se pide:
a) Calcular los costes fijos mensuales de esta empresa.
b) Calcular sus costes variables unitarios.
c) Calcular sus costes variables totales mensuales, si se fabrican:
1) Dos mil pizzas mensuales.
2) Mil pizzas mensuales.
3) Tres mil pizzas mensuales
d) Dibujar una gráfica en la que aparezcan los costes fijos, los variables totales y los
costes totales.
e) Si la empresa quiere vender sus pizzas a 6€/unidad, calcula el punto muerto.
Dibújalo gráficamente. Calcula el margen de contribución unitario.
f) Si la empresa quiere alcanzar el punto muerto con menor nivel de ventas, ¿qué
tendrá que hacer con el precio?
g) Si Buenas-Pizzas quiere alcanzar el punto muerto con 1.170 pizzas mensuales,
¿qué precio tendrá que fijar por pizza?
a) Finalmente la empresa fija el precio del apartado anterior. Si vende en un mes
3.000 pizzas, ¿ tendrá beneficio o pérdida? Razona la respuesta. ¿Qué beneficio o
© Ediciones Paraninfo
142

Paraninfo
pérdida?
a)
Cálculo de los costes fijos:
Inversión en Activo fijo:
Vehículos: 30.000€
Maquinaria: 20.000€
Total: 50.000€
Costes fijos:
Depreciación ..........................500€
Alquiler ...............................2.000€
Mano de obra fija .............10.000€
Luz y agua ..............................200€
C F=
b)
c)
d)
12.700€
Cálculo de los costes variables unitarios:
Materias primas..........................1€
Envases...................................................0,1€
CVT=C
V⋅Q
Luz
y agua..............................................0,05€
CV =
CVT=1,15⋅2.000=2.300
€ 1,15€ / pizza.
CVT=1,15⋅1.000=1.150 €
CVT:
CVT=1,15⋅3.000=3.450€
CF
¿
PQ==
6€.
P−CV
Q¿ =
12.700
=2.618 , 5
6−1 ,15
¿
Q =2.617
pizzas / mes.
pizzas.
m=P−C v =6−1 ,15=4 , 85 €
e)
f)
Debe aumentar el precio de venta.
12. 700
1.170=
→1 .170 P−1.345 ,5=12.700
1.170.
P−1 ,15
P=12 € / pizza.
g)
¿
Beneficio, ya que Q>Q =1.170 .
Bº =IT −CT= (12⋅3. 000 ) −( 12. 700+1 ,15⋅3. 000 ) =19. 850 €
15º) La empresa “DULCE-SOL SA” comienza este año su actividad, que consiste en fabricar
y comercializar dulces. El gerente se encuentra en la necesidad de elegir entre dos
tipos de producción:
©Ediciones Paraninfo
143

Paraninfo
Producc. Tipo A: Consiste en un sistema de producción total por parte de la empresa,
es decir, la empresa fabrica los dulces, los envasa y los distribuye. Esta forma de
producción implica las siguientes inversiones y gastos:
Maquinaria: 200.000€.
Fábricas: 500.000€.
Vehículos de reparto: 100.000€.
Edificios: 200.000€.
Mater. Prima: 0,33€/unidad.
M. Obra fija: 350.000€.
Luz: 0,1€/unid.
Agua: 0,05€/unidad.
Luz general (no relacionada con producción): 1.500€ (tomar como coste fijo).
Agua general: 150€ (tomar como coste fijo).
Se estima una depreciación del inmovilizado para el primer año del 15% (tomarla
como coste fijo).
Producc. Tipo B: Consiste en subcontratar las actividades de producción a otra
empresa, la cual nos cobra por cada dulce 0,75€, de forma que DULCE-SOL sólo
envasa los productos con su nombre y los distribuye. Esta forma de producción
implica las siguientes inversiones y gastos:
Vehículos: 100.000€.
Edificios: 200.000€.
M.O. fija: 150.000€.
M.Prima (plástico del envase): 0,01€/unidad.
Luz: 0,01€/unidad.
Luz general: 1.500€ (tomar como coste fijo).
Agua general: 1.500€ (tomar como coste fijo).
Se estima una depreciación del inmovilizado para el primer año del 15% (tomar como
coste fijo).
1) Si la empresa produce 600.000 unidades y el precio de venta es de
1€ por unidad, calcular para el tipo de producción A y B:
a) Los ingresos totales.
b) Los costes fijos y variables totales.
c) Los costes totales.
d) El margen de contribución unitario.
a) El beneficio o pérdida de la empresa.
2) Calcular el punto muerto de los tipos de producción A y B.
3) Si la empresa estima que va a producir 900.000 unidades, ¿qué tipo de
producción
le
aconsejaríamos?
PRODUCCIÓN A.
Inversión en inmovilizado:
Maquinaria:
Fábricas:
Vehículos:
Edificios:
Activo fijo = 1.000.000€
Costes fijos:
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200.000€
500.000€
100.000€
200.000€
144

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Depreciación inmovilizado.....150.000€
M.O. fija..................................350.000€
Luz...............................................1.500€
Agua...............................................150€
CF
= 501.650€
Cv :
Materias primas.......................................0,33€
Luz.......................................................... 0,1€
Agua........................................................ 0,05€
Cv
0,048€
PRODUCCIÓN B:
Inversiones:
Vehículos: 100.000€
Edificios: 200.000€
Activo fijo = 300.000€
Costes fijos:
Depreciación inmovilizado ..... 45.000€
M.O. fija .................................150.000€
Luz ..............................................1.500€
Agua............................................1.500€
CF
198.000€
Cv :
Adquisición producto ...................0,75€
Plástico .........................................0,01€
Luz ................................................0,01€
Cv =
0,77€
1)
a)
Ingresos totales:
I T =P⋅Q=1⋅600. 000=600 .000 €
b)
CF=501. 650 €
CVT=C V⋅Q=0 , 48⋅600 . 000=288 . 000 €
Producción A:
CVT =C V⋅Q=0 ,77⋅600 .000=462 . 000 €
Producción
B:
CF=198. 000 €
c)
Producción A:
CT=CF +CVT =501 .650+ 288. 000=789. 650 €
Producción B:
CT=CF +CVT =198 . 000+462 . 000=660 . 000 €
d)
Producción A:
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145
Paraninfo
m=P−C V =1−0 , 48=0 , 52 €

Producción B:
m=P−C V =1−0 , 77=0 ,23 €
e)
Producción A:
Bº =IT −CT=600. 000−789. 650=−189. 650 €
Producción B:
Bº =IT −CT=600. 000−660. 000=−60 . 000 €
2)
Producción A:
C 501. 650
Q¿ = F =
=964 .711 , 54
m
0 , 52
u.f.
C 198. 000
Producción
Q¿ = F = B:
=860 .869 , 56
m
0 , 23
u.físicas.
3)
La producción B, ¿ya que todavía no ha superado con el tipo de producción A su
punto muerto ( Q =964.711,54 unidades) y por tanto todavía tendría pérdidas.
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146
Paraninfo

Tema 15 “MEDIOS Y DOCUMENTOS DE COBRO Y DE PAGO”
1) D. A. Cañizares Sánchez, con domicilio en C/ Maravillas, 23, Talavera de la Reina
(Toledo), compró el 12 de febrero de 2011 una partida de grabadoras de discos compactos
por valor de 4.500€ a Manuel Sáez Sáez, propietario del establecimiento Electrotol, de la
C/Azules, 12, Talavera de la Reina (Toledo). Para pagar la deuda acuerdan girar una letra a
1 mes vista, emitiéndose la letra el día de la venta. La letra se domicilia en el BSCH, urbana
12 de Talavera de la Reina (Toledo), C/Portugal, 34, c/c 4569 7845 56 1258777897 y se
emite con la cláusula “sin gastos”.
D. Manuel Sáez entregó la letra a su proveedor Tecnoci SA, c/ Ceniza, 24, Toledo, para saldar
parte de la deuda que con éste tiene. Tecnoci presentó la letra a aceptación a D. A.
Cañizares, procediendo éste a la firma de la letra el 15 de febrero de 2011.
a) Completa la letra.
b) Si D. A. Cañizares Sánchez no pagase la letra, y su tenedor decidiese emprender la acción
de
regreso
contra D. Manuel Sáez que fue quien se la endosó, ¿debería levantar protesto?
Solución:
a)
b) No, ya que se emite con la cláusula “sin gastos”.
2) Julián Tébat Tébat, con domicilio en la c/ Salvador, 24 de Ciudad Real, contrata los
servicios de un fontanero para que le haga reparaciones en casa, D. José Tez Pez, c/ Pío
Baroja, 23 de Madrid. D. José le exige un adelanto, y llegan al acuerdo de librar una letra
para que la pueda descontar si lo desea. Julián, que no se fía mucho, decide no aceptarla en
estos momentos.
Veinte días después, sin que D. José haya realizado ningún trabajo en casa de Julián, se
presenta en casa de éste para el cobro de la letra Juan Sánchez, al que D. José endosó la
letra para satisfacer una deuda.
a) Está obligado al pago de la letra D. Julián. ¿Y si la hubiese aceptado?
b) ¿Qué cláusula debería haber puesto en la letra para evitar que una tercera persona
se viese implicada en la relación cambial?
Solución: a) No, ya que no la aceptó. Si la hubiese aceptado sí estaría obligado, ya
que es una orden incondicional de pago. b) No a la orden.
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Paraninfo

3) La empresa Malta SL, c/ Marbella, 54, Barcelona, compra a Tendras SL con domicilio en
c/ Luz, 56, Zamora, un conjunto de productos de piel, y acuerdan librar una letra por el
importe de la factura que asciende a 5.500€.
El 12 de junio de 2011 se emite la letra a 2 meses vista, señalando como persona a cobrar la
Caja Rural de Murcia, lugar donde Tendras SL posee una cuenta corriente y suele
presentarlas en gestión de cobro.
Dos días después de la emisión, la Caja Rural la presenta a aceptación, que realiza el gerente
de Malta, D. Gabriel Guz Metier, que domicilia su pago en la Caja Duero, c/ Desamparados, 14
(urbana 23), Barcelona, c/c 4569 4578 10 452121789475.
Rellena la letra de cambio.
Solución:
4) Don Rafael Lozano Lozano, con domicilio en la calle Hernan Cortés, 25 de Cuenca,
compró el día 04 de abril de 2011 un artículo en el establecimiento que posee don
Julián Ruiz Ruiz en el número 23 de la calle Alvarado de Cuenca, por un valor de 2.300€.
Don Rafael Lozano Lozano aceptó una letra pagadera a 30 días fecha en su c/c 4598 7878 12
4579623154, del Banco Pastor (urbana 3) de la calle Badajoz, 45 de Cuenca.
Don Julián Ruiz Ruiz descontó la letra en el Banco Bilbao Vizcaya Argentaria de la calle
Azorín, 34 de Cuenca, expresando su deseo de que fuese protestada en caso de falta de
pago. EI BBVA endosó la letra al Banco de Castilla, 19 días después, domicilio c/ Uruguay, 15
de Cuenca.
La letra fue avalada por doña Mª Dolores Ortega Ortega, esposa de don Rafael.
Confecciona la letra de cambio.
Solución:
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
5) Carmen Fadrique Barcenilla de Valladolid emite un cheque con fecha 12 de abril de 2011
por valor de 359€ nominativo a favor de Carmen Escribano Ruiz, expresando su deseo de,
que sea para abonar en cuenta. Confecciónalo.
Solución:
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
6) El cheque es un documento pagadero a la vista, es decir que se puede pagar después de
su emisión independientemente del momento en que se ha datado. También hay que
tener en cuenta que la orden de pago del cheque solo es revocable una vez que han
transcurrido los plazos legales de reclamación del cheque.
El procedimiento por tanto para asegurarnos de que no vamos a tener u doble cobro
fraudulento sería el siguiente:
1) Esperar a que se cumpla el plazo legal de presentación del cheque (15, 20 o 60
días naturales dependiendo del lugar de emisión del cheque).
2) Comprobar que no ha sido pagado el cheque que parece haberse extraviado.
3) Revocar la orden de pago del cheque comunicándolo a nuestra entidad
financiera (sólo posible una vez que han transcurrido los plazos legales, nunca
antes).
4) Emitir el nuevo cheque.
7)
a) Recibo
b) Letras de cambio
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
8)
a) Compra a MARTINSA
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
b) Venta a Rodrigo SL
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
c) Venta a KARTIKA
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
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
El reverso de las tres letras de cambio es idéntico:
9) ¿Qué diferencias observas entre una tarjeta bancaria y una tarjeta comercial?
Las tarjetas bancarias son emitidas por entidades financieras (bancos, cajas de
ahorros, etc.), y con ellas se puede pagar, bien a débito, bien a crédito, en cualquier
establecimiento, mientras que con las tarjetas comerciales sólo se puede pagar en el
establecimiento emisor de las mismas.
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
10) Para poder realizar correctamente una transferencia bancaria, es necesario el número
de cuenta bancaria del beneficiario, que está compuesto por 20 dígitos. Averigua a
qué hace referencia esos dígitos.
Los 4 primero números al banco en el que se tiene la cuenta, los 4 siguientes a la oficina
bancaria, los dos siguientes son un dígito de control, que le dará al empleado de banca
un error si nos hemos equivicado en algún dígito, y los 10 siguientes el número personal
de la cuenta bancaria.
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158
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
Tema 16 “EL SERVICIO DE CAJA. GESTIÓN DE COBROS Y PAGOS”
1) ¿Qué es un descuadre de caja? Indica a qué se puede deber.
Es la diferencia existente entre el importe de dinero físico que tenemos en la caja, y
el importe que refleja el libro de registro de caja. Los motivos pueden ser:
a) Error en el recuento físico de los billetes y monedas de la caja.
b) Error al transcribir los movimientos al libro registro de la caja.
2) Realiza las anotaciones pertinentes en el libro registro de caja de la empresa SABANA
SA, si sabemos que durante los dos días siguientes se han realizado estas operaciones:
Día 02/04/2012:
 El recuento de caja a primera hora del día 02/04/2012 ha sido de 800€ (dos billetes
de 200€ , 1 de 100€, 3 monedas de 50 céntimos de euro y seis de 25 céntimos de
euro).
 Se anticipan 100€ a un empleado.
 Un cliente paga la factura nº 145 con un cheque al portador que queda en la caja.
Cheque
nº 3241.01.2 de BZZ.
 Se cobra la factura nº 14/2012 que ascendía a 350€.
 Se paga la factura nº 35/2012 del proveedor ALSAM, cuyo importe asciende a 200€.
 Se paga la factura de enero de nº 132 del proveedor Hnos. Toledo, que asciende a
40€.
 Se cobra la factura nº 456/2012 por importe de 300€ que queda en caja.
 Como al día siguiente vencen las nóminas de los empleados y no están domiciliadas,
la empresa saca de la cuenta corriente nº 0123 0123 11 1256889745 la cantidad de
3.000€, que deja en la caja.
03/04/2012
 Se paga la factura nº 124/2012 del proveedor AYUSO SA, que asciende a 34€.
 Cobramos la factura nº 132/2012 que ascendía a 150€.
 Llevamos el cheque al portador con que había pagado un cliente al banco BZK.
 Pagamos a los empleados 3.000€.
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
Paraninfo

Al realizar el recuento de caja al cierre del día la cantidad de dinero en ella asciende a
1.473€. Después de verificar los documentos de cobro y pago comprobamos que la
factura nº 124/2012 de Ayuso por la que habíamos anotado un pago de 34€ asciende
realmente a 37€. Realizamos la corrección en caja.
LIBRO REGISTRO DE CAJA
Fecha
Concepto
operaci
ón
2-4
Saldo inicial
2-4
Anticipo empleado
2-4
Cobro fact. nº145 250,0
cheque
0
nº3241.01.02 Banco
BZZ
Cobro fact. Nº 14
350,0
0
Pago fact. nº 35
ALSAM
Pago fact. Nº 132
Hnos. Toledo
Cobro fact. nº 456
300,0
0
Dispos
c/c 3.000,
nº
00
0123012311125688
89745
Pago fact. Nº 124
AYUSO
Cobro fact:132
150,0
0
Cheque
nº
3241.01.02 a Banco
BZK
Pago efectivo a
empleados
Rectificación pago
fact.
nº 124
AYUSO
2-4
2-4
2-4
2-4
2-4
3-4
3-4
3) Realiza las
pertinentes
registro de
empresa
sabemos
día 3 de
realizado






Cobro
s
3-4
3-4
3-4
Pagos
Saldo
100,0
0
800,0
0
700,0
0
950,0
0
0,00
200,0
0
40,00
34,00
250,0
0
3.000,
00
3,00
1.300,
00
1.100,
00
1.060,
00
1.360,
00
4.360,
00
4.326,
00
4.476,
00
4.226,
00
1.226,
00
1.223,
00
anotaciones
en el libro
caja de la
LUXOR SA, si
que durante el
marzo se han
estas
operaciones:
El recuento de caja a primera hora del día 3 de marzo ha sido de 600€ (un billete de
100€, 8 de 50€, 9 billetes de 10€, 1 billete de 5€, 1 moneda de dos euros, 3 monedas
de 50 céntimos de euro y seis de 25 céntimos de euro).
Un cliente paga la factura nº 45/2012 por 120€ en efectivo.
Se paga la factura nº 12/2012 del proveedor Assuan SA, cuyo importe asciende a
220€.
Se paga la factura de enero de nº 132 del proveedor Karnak SL, que asciende a 80€.
Se cobra la factura nº 46/2012 por importe de 2.000€ que queda en caja.
La empresa no desea tener tanto dinero en la caja, e ingresa esa mañana 1.200€ en la
cuenta corriente del banco ALBASIT SA nº 0123 0123 11 1256889745.
© Ediciones Paraninfo
160

Paraninfo

Se paga 120€ a una empresa de mensajería para que lleve un paquete a un cliente.
LIBRO REGISTRO DE CAJA
Fecha
Concepto
operació
n
3-3
Saldo inicial
3-3
Cobro factura
nº 45/2012
3-3
Factura
nº
12/2012
de
Assuan SA
3-3
Factura
nº
132/2012
de
Karnak SL
3-3
Cobro la factura
nº 46/2012
3-3
Traspaso
a
cuenta ALBASIT
SA
nº 0123
0123
11
1256889745
3-3
Pago por Caja
Mensajería
Cobro
s
Pagos
Saldo
600€
720€
120€
220€
500€
80€
420€
2.000€
2.420€
1.200€ 1.220€
120€
1.100€
4) La empresa Montesa ha tenido los siguientes movimientos en su cuenta corriente nº
4506 4897 10 1245697788 perteneciente al banco BJH en el mes de marzo:



1/03 Saldo del mes anterior
60.000€
4/03 Cargo de letra de pago de maquinaria
298€
4/03 Transferencia a n/ favor de la cuenta 4522 1221 12 4555554784
11.300€
 (cobro factura nº 24)
 7/03 Cargo por luz y agua domiciliados
100€
 8/03 Cargo domiciliación del teléfono
250€
 10/03 Cargo cheque al portador nº 289476.01.04
22.000€
 (pago factr. Nº: 486 de Ensel)
 20/03 Pago a la Seguridad social
8.100€
 28/03 Abono de nóminas a empleados
16.500€
Realiza las anotaciones pertinentes en el libro registro de movimientos bancarios.
©Ediciones Paraninfo
161

Paraninfo
Banco o Caja: BJH
Código cuenta:45064897101245697788
Titular
de
la
cuenta:
Montesa
Hoja nº: 1
Fecha
Fech Concepto
Entrada Salidas
operaci a
s
ón
valo
r
01-mar 01Saldo
mes
mar
anterior
04-mar 04Cargo
letra
298,00
mar
maquinaria
04-mar 06Transf. n/favor c/c 11.300,
mar 4522122112455555 00
4784
07-mar 07Luz y agua
100,00
mar
08-mar 08Telf.
250,00
mar
10-mar 10Cargo cheque
22.000,
mar nº 289476.01.04
00
factr.nº 486 Ensel)
20-mar 20Pago Seg. Social
8.100,0
mar
0
28-mar 28Abono nóminas
16.500,
mar
00
SA
Saldo
60.000,
00
59.702,
00
71.002,
00
70.902,
00
70.652,
00
48.652,
00
40.552,
00
24.052,
00
5) La empresa Almenara ha tenido los siguientes movimientos en su cuenta corriente nº
4506 4797 70 1244227788 perteneciente al banco BJH en el mes de mayo:












1/05 Saldo del mes anterior
25.000€
4/05 Mensualidad Préstamo hipotecario
298€
4/05 Cargo por luz y agua domiciliados
100€
6/05 Cargo domiciliación del teléfono
250€
10/05 Cargo cheque al portador nº 289476.01.04
22.000€
(pago factr. Nº: 486 de Ensel)
14/05 Ingreso cheque procedente de banco BSF
10.500€
15/05 Cargo por Transferencia a favor de Proveedor Tébat
5.000€
20/05 Transferencia a n/ favor de la cuenta 4522 1221 12 4555554784
11.300€
(cobro factura nº 24)
Se ordena pagar nomina de los empleados cuando se tenga saldo positivo
9.052€
20/05 Pago a la Seguridad social
7.100€
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162

Paraninfo
Realiza las anotaciones pertinentes en el libro registro de movimientos bancarios.
Banco o Caja: BJH
Código cuenta: 4506 4797 70 1244227788
Titular
de
la
cuenta:
Hoja nº: 1
Fecha
Fecha Concepto
Entrada
operació valor
s
n
01-05
01-05
Saldo mes
anterior
04-05
04-05 Préstamo
04-05
04-05 Luz y agua
06-05
06-05 Teléfono
10/05
10/05 Cheque
ventanilla
15/05
15/05 Cargo Transf.
Tébat
14/05
16/05 Ingreso
10.500
cheque
20/05
20/05 Seg. Social
20/05
22/05 Transf.
11.300
n/favor
22/05
22/05 Nóminas
Almenara
Salidas
SA
Saldo
25.000,00
298
100
250
22.000
24.702
24.602
24.352
2.352
5.000
-2.648
7.852
7.100
752
12.052
9.052
3.000
6) Señala cuales de las siguientes afirmaciones son recomendables para una gestión de
cuentas bancarias correcta.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Mantener cheques firmados en blanco en los cajones.
Emitir cheques cruzados.
Emitir cheques al portador.
Emitir cheques sin tener saldo en la cuenta, pero poniendo una fecha de emisión
posterior.
Inutilizar espacios en blanco con líneas contínuas.
Proteger las cifras con cruces, almohadillas, etc. al principio y al final de la cifra
en números.
Son propias de una gestión correcta b, e y f.
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
Paraninfo
7) La empresa AUSTRAL SA tiene los siguientes efectos a pagar en los próximos meses,
anótalos en el libro de registro de efectos a pagar.




Letra emitida por TENSA, aceptada el 18/05/2012, vencimiento el 06/08/2012, por
un nominal de 12.100€ (domiciliada en nuestra c/c del Banco H).
Letra emitida por ACUSTIC, aceptada el 12/06/2012, vencimiento el 28/08/2012, por
un nominal de 9.100€ (domiciliada en nuestra c/c del banco Z).
Letra emitida por TENERSA, aceptada el 15/07/2012, vencimiento el 19/08/2012, por
un nominal de 2.100€ (sin domiciliar, pagadera al presentarla en las oficinas de la
empresa).
Pagaré a cargar en la c/c de la sociedad en el banco Z, a favor de MOVIL SA por 622€,
emitido el 28//07/2012 y vencimiento el 19/09/2012.
LIBRO DE REGISTRO DE EFECTOS A PAGAR
Fecha
Vencimiento Librador Impor
acepta
te
ción
18/05/ 06/08/12
TENSA
12.10
12
0,00
12/06/ 28/08/12
ACUSTIC 9.100,
12
00
15/07/ 19/08/12
TENERS 2.100,
12
A
00
28/07/ 19/09/12
622,0
12
0
Domicili
ación
Observaci
ones
BANCO
H
BANCO Z
NO
Pago en
oficinas
BANCO Z Pagaré a
fav. Movil
SA
8) La empresa CARRUSEL SA tiene los siguientes efectos a pagar en los próximos meses,
anótalos en el libro de registro de efectos a pagar.


Letra emitida por MENSA, aceptada el 18/04/2012, vencimiento el 16/09/2012, por
un nominal de 2.100€ (domiciliada en nuestra c/c del Banco A).
Pagaré a cargar en la c/c de la sociedad en el banco Z, a favor de MOVIL SA por 142€,
emitido el 28//04/2012 y vencimiento el 9/09/2012.

Letra emitida por GASMAN, aceptada el 2/06/2012, vencimiento el 18/09/2012, por
un nominal de 5.100€ (domiciliada en nuestra c/c del banco Z).

Pagaré a cargar en la c/c de la sociedad en el banco A, a favor de TUNDRA SA por
1.122€, emitido el 8//07/2012 y vencimiento el 19/09/2012.
© Ediciones Paraninfo
164

Paraninfo

Letra emitida por MANERSA, aceptada el 15/08/2012, vencimiento el 19/09/2012,
por un nominal de 12.100€ (sin domiciliar, pagadera al presentarla en las oficinas de
la empresa).
LIBRO DE REGISTRO DE EFECTOS A PAGAR
Fecha
Vencimi Librador Impor Domiciliac
aceptac ento
te
ión
ión
18/04/2 16/09/20 MENSA
2.100 Banco A
012
12
€
28//04/ 9/09/201
142€
Banco Z
2012
2
2/06/20
12
8//07/2
012
18/09/20 GASMAN 5.100
12
€
19/09/20
1.122
12
€
15/08/2 19/09/20 MANERS
012
12
A
8)
12.10
0€
Banco Z
Banco A
No
Observacio
nes
Pagaré
a
fav. Movil
SA
Pagaré
a
fav.Tundra
SA
Pagar
en
oficinas
Un comerciante tiene la siguiente remesa de efectos comerciales por cobrar.
Además, sabemos que tiene concertada con una oficina de Madrid del banco
BAZA una línea de descuento. El día 18 de junio de 2011, procede a la entrega
en el banco de una parte de la remesa para ser descontada o gestionado su
cobro, quedándose con los dos últimos en caja.
9)
Características
Librado Fecha emisión Fecha vto. Fecha acepto Plaza
Importe
Domic. y acept.
Lasa
09/04/11
28/06/11
09/04/11
Madrid
5.600€ descontar
No domic. y acept. Sogesa 21/03/11
17/07/11
25/03/11
Madrid
250€
descontar
Domic. y acept.
Estansa
08/06/11
27/07/11
15/06/11
Madrid
890€ descontar
No Domic.y
Belbesa
29/02/11
15/08/11
--------Teruel 1.500€
descontar
no acept
Domiciliado y no Serna SL
06/06/11
18/08/11
-------Zaragoza 3.000€
gesttion cobro
aceptado
Domic. y acept.
Electrotec 04/04/11
20/09/11
01/06/11
Valladolid
2.500€ gesttion cobro
No Domiciliado
Sursa
08/05/11
10/08/11 ---------- Toledo
1.100€
caja
y no acept.
©Ediciones Paraninfo
165

Paraninfo
No Domiciliado
y no acept
Melba
08/04/11
12/08/11
---------- Huesca 1.500€ caja
Anota la remesa de efectos por cobrar de este comerciante en el libro de registro de efectos
a cobrar.
Fecha de Librado
libramiento Nombr
e
09/04/11
21/03/11
08/06/11
29/02/11
06/06/11
04/04/11
08/05/11
08/04/11
Import
Población e
Lasa
Madrid
Sogesa
Madrid
Estansa
Madrid
Belbesa
Teruel
Serna
Zaragoza
Electrotec
Valladolid
Sursa
Toledo
Melba
Huesca
Aceptación Domiciliado Descontado
Fecha
Entida
d
5.600€
09/04/11
SI
250€
25/03/11
NO
890€
15/06/11
SI
1.500€
-----
NO
SL 3.000€
-----
SI
2.500€
01/06/11
SI
1.100€
-----
NO
1.500€
-----
NO
18/06/1
1
18/06/1
1
18/06/1
1
18/06/1
1
Gestión de cobro
Fecha
Entida
d
18/06/1
1
18/06/1
1
BAZA
BAZA
En
carter
a
BAZA
BAZA
BAZA
BAZA
CAJA
CAJA
10) La empresa SERNA SL tiene los siguientes efectos por cobrar, anótalos en el libro de
registro de efectos a cobrar:
 Letra de cambio girada a MEBAR de Sevilla, el 12/01/2012, por un nominal de 800
euros. La letra está domiciliada, se aceptó el 15/ 01/2012 y se descontó el
05/02/2012 en la entidad BFR.
 Letra de cambio girada a SOLBER de Madrid, el 25/01/2012, por un nominal de 1.100
euros. La letra está domiciliada, se aceptó el 03/02/2012 y se llevó en gestión de
cobro el mismo día a la entidad BK.
 Letra de cambio girada a VALLS y Compañía de Madrid, el 05/02/2012, por un
nominal de 650 euros. La letra está domiciliada, se aceptó el 06/02/2012 y se llevó
en gestión de cobro el 08/02/2012 a la entidad BFR.
 Letra de cambio girada a CETIEN de Madrid, el 16/02/2012, por un nominal de 160
euros. La letra no está domiciliada, se aceptó el 18/02/2012 y se encuentra en la caja
de la oficina.
© Ediciones Paraninfo
166

Paraninfo
Fecha de Librado
libramiento Nombre
12/01/12
25/01/12
05/02/12
16/02/12
Población
Importe
MEBAR
800
SEVILLA
SOLBER
1.100
MADRID
VALLS Y COMPAÑÍA 650
MADRID
CETIEN
160
MADRID
©Ediciones Paraninfo
Aceptación
Domiciliado
Descontado
Fecha Entidad
05-feb
BFR
Gestión de cobro
Fecha
Entidad
15/01/12
SÍ
03/02/12
SÍ
03/02/12
BK
06/02/12
SÍ
08/02/12
BFR
18/02/12
NO
En
cartera
CAJA
167
Paraninfo
Tema 17 “EL PRESUPUESTO DE TESORERÍA”

1) Diferencia el presupuesto de capital del presupuesto de explotación.
El presupuesto de capital hace referencia a las decisiones de inversiones de largo plazo de la
empresa, que no son cíclicas. El presupuesto de explotación hace referencia al ciclo dineromercancía- dinero, que se caracteriza, salvo raras excepciones, por su carácter cíclico.
2) ¿Qué es un presupuesto de tesorería?
Es el presupuesto que recoje la corriente de cobros y pagos de la empresa, tanto en su
vertiente de explotación como de capital.
3) ¿Con qué tres situaciones presupuestarias nos podemos encontrar en la tesorería de la
empresa?
Nos podemos encontrar con equilibrio de tesorería, déficit de tesorería o superávit de
tesorería.
4) ¿De qué manera puede una empresa intentar solucionar su déficit presupuestario de
tesorería?
La empresa puede recurrir a productos financieros (créditos, préstamos, descuento de papel
comercial, etc.), o cambiar sus políticas comerciales (retrasar el pago a proveedores,
disminuir el periodo medio de cobro a clientes, etc.).
5) La empresa TENT SA es un mayorista de productos alimenticios que realiza
mensualmente su presupuesto de tesorería para evitar desequilibrios financieros
importantes en el corto plazo. Si actualmente nos encontramos a 1 de enero, confecciona
el presupuesto del próximo semestre si se dispone de la siguiente información:
a) Actualmente se dispone de 2.500€ entre la caja y las cuentas corrientes de la
sociedad.
b) La empresa estima vender 12.000, 11.000, 12.500, 8.500, 8.900 y 12.000€ en cada
uno de los próximos seis meses respectivamente. De igual forma, se sabe que en los
meses de noviembre y diciembre anteriores vendió 13.000 y 5.900€
respectivamente.
c) La empresa aplaza el cobro de sus clientes en 60 días, sin embargo la mitad de esos
créditos los documenta en letras de cambio que lleva a descontar en ese mismo mes
a la entidad financiera BASA. La empresa calcula que de media en el banco le
ingresan, fruto del descuento el 85% del valor del crédito, considerando el resto
como gastos financieros.
d) Estima que comprará a sus proveedores mercancías por valor de 8.800, 7.900,
11.200, 11.200, 9.900 y 7.000€ en cada uno de los próximos seis meses
respectivamente. Las compras del mes anterior ascendieron a 1.200€. Sus
proveedores le ofrecen un aplazamiento de 30 días.
e) Los gastos de teléfono, que llegan mensualmente, se estiman en 55€ para los
próximos recibos.
© Ediciones Paraninfo
168

Paraninfo
f) Los gastos de luz se reciben mensuales, y la empresa estima un coste de 850€ para
cada uno de los próximos seis meses.
g) Los sueldos se pagan a final de mes junto con la Seguridad Social y ascienden a 700€
y a 120€ respectivamente.
h) Cada mes vence la cuota del préstamo a 8 años con que se financió la compra de la
maquinaria (98€ de amortización del principal y 2€ de intereses).
i) El 18 de marzo repartirá dividendos a cuenta por 895€ a sus dos accionistas.
j) El 20 de enero se debe pagar a Hacienda en concepto de IVA 800€. Además, la
empresa estima para la liquidación del 20 de abril una devolución de 155€.
k) En mayo tiene pensado reemplazar un vehículo, vendiendo el actual por 7.000€
(cobro en dos pagos de igual cuantía en este mes y junio) y adquiriendo uno nuevo
por 14.000€. Éste se pagará en diez mensualidades de igual cuantía.
l) Para las necesidades básicas cotidianas, la empresa desea tener 1.000€ disponibles
cada mes.
CONCEPTO
Ciclo de explotación
Cobros explotación
Ventas
Descuento de efectos
Subvenciones de explotación
Préstamos a corto plazo
Créditos bancarios
Otros
Pagos explotación
Compras
Devol. subvenc. explotación
Devol. prést. a c.p.
Devol. créditos
Personal
Tributos
Gastos financieros
Suministros
Otros
Ciclo de capital
Cobros ciclo capital
Venta inmov.
Ampliación capital
Venta de valores mobiliarios
Emisión emprést.
Deudas a l.p.
Subv. de capital
Otros
Pagos ciclos capital
Compra inmov.
Compra de valores mobilir.
Devoluc. Capital
Amortiza. emprést.
©Ediciones Paraninfo
Enero
7.775,00
12.500,00
6.500,00
6.000,00
PRESUPUESTO DE TESORERÍA
Febrero
Marzo
Abril
Mayo
Junio
-3.000,00 1.587,50
-3.757,50 -2.992,50 -2.375,00
8.450,00 12.250,00
9.905,00 10.700,00
10.250,00
2.950,00 6.000,00
5.500,00 6.250,00 4.250,00
5.500,00 6.250,00
4.250,00 4.450,00 6.000,00
4.725,00 11.450,00
1.200,00
8.800,00
10.662,50
7.900,00
155,00
13.662,50
11.200,00
13.692,50
11.200,00
12.625,00
9.900,00
98,00
98,00
98,00
98,00
98,00
98,00
820,00
800,00
902,00
850,00
55,00
820,00
820,00
820,00
820,00
827,00
850,00
55,00
939,50
850,00
55,00
-895,00
820,00
0,00
639,50
850,00
55,00
669,50
850,00
55,00
2.100,00
3.500,00
3.500,00
902,00
850,00
55,00
2.100,00
3.500,00
3.500,00
1.400,00
1.400,00
1.400,00
1.400,00
895,00
169

Paraninfo
Amortiz. Deudas l.p.
Otros
Diferencia periodo
Saldo periodo anterior
SALDO FINAL
Desequilibrio
7.775,00
2.500,00
10.275,00
9.275,00
-3.000,00
10.275,00
7.275,00
6.275,00
895,00
692,50
7.275,00
7.967,50
6.967,50
-3.757,50
7.967,50
4.210,00
3.210,00
-892,50
4.210,00
3.317,50
2.317,50
-275,00
3.317,50
3.042,50
2.042,50
6) ¿Qué análisis podemos hacer de la situación de la tesorería de la empresa anterior si
aplicamos los ratios de tesorería vistos en la unidad?
Si calculásemos las ratios de Cash-Flow operativo observaríamos que en febrero, abril, mayo
y junio son fuertemente negativos. La situación de la tesorería durante todo el semestre se
salva
gracias
a
un
buen
Inflow operativo en el mes de enero, que unido al saldo existente hace que haya reservas de
liquidez suficientes para ir siendo consumidas durante el resto de meses.
La empresa debería solucionar ese déficit permanente de explotación, que le permitiría
aprovechar la tesorería excedentaria de enero para obtener algo de rentabilidad, y no para
esperar a ser consumida durante los siguientes meses.
En cuanto al ratio de Cash-Flow no operativo, indicar que ha sido beneficioso para la
empresa, ya que ha sido positivo en aquellos meses que más se necesitaba, sin embargo
esto no tiene por qué volver a repetirse, lo que supone mayor razón, para solucionar el
problema del déficit de explotación.
8) ¿Cuál es la principal diferencia entre los ratios que analizan el cash-flow operativo y el
no operativo?
Que aquél es cíclico, y sus desequilibrios, de no corregirse, se repetirán periódicamente,
mientras que éste podría tener un carácter definitivo.
9) La empresa Walking SA, que se dedica a fabricar zapatos, va asolicitar un préstamo
bancario de 220.000€ en ALBASIT Bank.Dentro de la documentación que éste le solicita, se
encuentra la presentación de un presupuesto de tesorería mensual, en el que se
demuestre la capacidad de la empresa para devolver mensualmente los pagos del
préstamo que ascenderán a 1.000€ mensuales, de los que 150€ lo serán en concepto de
intereses. Si actualmente nos encontramos en el 1 de abril, confecciona el presupuesto del
próximo trimestre si se dispone de la siguiente información:
a) Actualmente se dispone de 2.000€ entre la caja y las cuentas corrientes de la
sociedad.
b) La empresa estima vender 15.000, 21.000, y 12.000€ en cada uno de los próximos
tres meses respectivamente. De igual forma, se sabe que en el mes previo vendió
7.900€.
c) La empresa aplaza el cobro de sus clientes en 30 días, sin embargo la mitad de esos
créditos los documenta en letras de cambio que lleva a descontar en ese mismo mes
a la entidad financiera BASA. La empresa calcula que de media en el banco le
ingresan, fruto del descuento, el 85% del valor del crédito, que clasifica como gastos
financieros.
d) Estima que comprará a sus proveedores mercancías por valor de 7.200, 9.900 y
7.800€ en cada uno de los próximos tres meses respectivamente. Las compras del
mes anterior ascendieron a 3.200€. Sus proveedores le ofrecen un aplazamiento de
30 días.
© Ediciones Paraninfo
170

Paraninfo
e) Los gastos de teléfono, que llegan mensualmente, se estiman en 45€ para los
próximos recibos.
f) Los gastos de luz se reciben mensuales, y la empresa estima un coste de 1.250€ para
cada uno de los próximos tres meses.
g) Los sueldos se pagan a final de mes junto con la Seguridad Social y ascienden a
2.000€ y a 720€ respectivamente.
h) Cada mes vence la cuota del préstamo a 18 años con que se financió la compra de
maquinaria (198€ de amortización del principal y 20€ de intereses).
i) El 20 de abril se debe pagar a Hacienda en concepto de IVA 600€.
j) Con el dinero del préstamo solicitado, tiene pensado financiar la compra de equipos
informáticos nuevos, estimando que, por la venta de los antiguos obtendrá 30.000€,
que cobrará en junio.
k) Las amortizaciones técnicas del segundo trimestre, ascienden a 500€ mensuales.
l) Para las necesidades básicas cotidianas, la empresa desea tener 1.000€ disponibles
cada mes.
CONCEPTO
Ciclo de explotación
Cobros explotación
Ventas
Descuento de efectos
Subvenciones
de
explotación
Préstamos a corto plazo
Créditos bancarios
Otros
Pagos explotación
Compras
Devol
subvenc
explotación
Devol prést a c.p.
Devol créditos
Personal
Tributos
Gastos financieros
Sumnistros
Otros
Ciclo de capital
Cobros ciclo capital
Venta inmov
Ampliación capital
©Ediciones Paraninfo
PRESUPUESTO DE TESORERÍA.
Abril
Mayo
Junio
1.292,00
3.992,00 467,00
11.450,00 18.000,00 16.500,00
3.950,00
7.500,00 10.500,00
7.500,00
10.500,00 6.000,00
10.158,00
3.200,00
14.008,00 16.033,00
7.200,00 9.900,00
1.048,00
1.048,00
1.048,00
2.720,00
600,00
1.295,00
1.295,00
2.720,00
2.720,00
1.745,00
1.295,00
1.070,00
1.295,00
0,00
220.000,0
0
0,00
0,00
30.000,00
30.000,00
30.000,00
171

Paraninfo
Venta
de
valores
mobiliarios
Emisión emprést.
Deudas a l.p.
220.000,00
Subv de capital
Otros
Pagos ciclos capital
220.000,0 0,00
0
Compra inmov.
220.000,00
Compra
de
valores
mobilir
Devoluc. Capital
Amortiza emprést.
Amortiz. Deudas l.p.
Otros
Diferencia periodo
1.292,00
3.992,00
Saldo periodo anterior
2.000,00
3.292,00
SALDO FINAL
3.292,00
7.284,00
Desequilibrio
2.292,00
6.284,00
0,00
30.467,00
7.284,00
37.751,00
36.751,00
Los gastos financieros incluyen, el 15% de los gastos de los derechos de cobro descontados,
y los intereses del antiguo y del nuevo préstamo.
10) Analiza la situación financiera de la empresa utilizando los ratios vistos en la unidad.
En principio el ratio del cash-flow de explotación es positivo, sin embargo llama
poderosamente la atención el descenso que sufre la tesorería en el mes de junio.Nos falta
información para realizar un análisis más riguroso sobre lo que está sucediendo, pero, es
llamativo, el hecho de que haya un descenso importante de las ventas en el mes de junio,
que no va a acompañado de un descenso de los gastos de personal, y más en concreto, de
las compras a proveedores. Entre otros motivos nos podemos encontrar:
d) Un descenso inesperado de las ventas en junio, al que la empresa no ha podido
ajustarse.
e) Una disminución esperada de las ventas en junio, pero un aumento de las compras
en ese mes para asegurarse el abastecimiento en los meses de verano, por
ejemplo.
Necesitaríamos tener una visión más amplia de la empresa, para realizar
recomendaciones que mejoren la tesorería, por ejemplo, su estacionalidad en las
ventas, el abastecimiento en los meses de verano, las posibles expectativas de subida
de precio de las materias primas, etc,.Sin embargo, si la situación de junio es normal, y
está justificada para la empresa, quizás debería tener más margen de tesorería en ese
mes, lo que podría conseguir descontando más derechos de cobro en junio, realizando
ofertas en ese mes por pronto pago o, aplazando el pago de las compras de mayo algo
más de tiempo.
Con respecto a los flujos de caja relacionados con las operaciones de capital, sólo han
sufrido movimientos netos con el cobro de la venta del inmovilizado que, además, se ha
© Ediciones Paraninfo
172
Paraninfo

producido el mes que más justa se encontraba la tesorería que genera el ciclo de
explotación.
©Ediciones Paraninfo
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