cp3 (1)

CP3 Probabilidades Condicional y Bayes
Raisa Socorro Llanes
8 de enero de 2022
1. 2.76 En un experimento para estudiar la relación que existe entre el hábito de fumar y la hipertensión
arterial se reúnen los siguientes datos para 180 individuos:
No fumadores Fumadores moderados Fumadores empedernidos
H
21
36
30
SH
48
26
19
donde las letras H y SH de la tabla representan Hipertensión y Sin hipertensión, respectivamente.
Si se selecciona uno de estos individuos al azar, calcule la probabilidad de que la persona...
a) sufra hipertensión, dado que es una fumadora empedernida;
El mismo problema nos define los eventos H y SH, definamos entonces NF para el evento de
los no fumadosres, FM para los fumadores moderados y FE para los fumadores empedernidos.
Este inciso nos pide que calculemos la probabilidad de que una persona sufra hipertensión
dado que ya se sabe que es fumadora empedernida. Luego lo que nos piden es la probabilidad
condicional de H dado que sabemos se cumple FE.
E)
P (H/F E) = P (H∩F
FE
30
P (H ∩ F E) = 180
49
P (F E) = 180
30
49
30
P (H/F E) = 180
÷ 180
= 49
b) no fume, dado que no padece hipertensión. En este inciso nos piden que calculemos la probabilidad de que una persona no fume, dado que ya se sabe que no padece hipertensión, es decir
la probabilidad condicional de NF dado que sabemos que se cumple SH.
∩SH)
P (N F/SH) = P (NP F(SH
)
48
P (N F ∩ SH) = 180
93
P (SH) = 180
48
93
18
P (N F/SH) = 180
÷ 180
= 48
93 = 31
2. 2.78 Un fabricante de una vacuna para la gripe está interesado en determinar la calidad de su suero.
Con ese fin tres departamentos diferentes procesan los lotes de suero y tienen tasas de rechazo de
0.10, 0.08 y 0.12, respectivamente. Las inspecciones de los tres departamentos son secuenciales e
independientes.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un lote de suero sobreviva a la primera inspección departamental pero sea rechazado por el segundo departamento?
Nos están diciendo que un suero es procesado por los 3 departamentos, de forma secuencial, es
decir primero es procesado por el departamento A, después por el B y finalmente por el C. Y
que además el resultado obtenido por un departamento no influye en el resultado obtenido en
los anteriores.
Si definimos los eventos como:
A: el suero es rechazado por el departamento A, P (A) = 0,10
B: el suero es rechazado por el departamento B, P (B) = 0,08
1
C: el suero es rechazado por el departamento C, P (C) = 0,12
En este inciso nos piden entonces la probabilidad de que un suero no sea rechazado por el
departamento A, pero si por B.
p(Ac ∩ B) =? Por dato sabemos que son independientes entre sı́, luego:
p(Ac ∩ B) = p(Ac ) × P (B), la p(Ac ) = 1 − p(A) = 0,90, entonces
p(Ac ∩ B) = 0,9 × 0,08 = 0,072
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un lote de suero sea rechazado por el tercer departamento?
En este caso nos piden la probabilidad de que el suero fuera rechazado solamente por el tercer
departamento, es decir:
p(Ac ∩ B c ∩ C) = p(Ac ) × P (B c ) × p(C)
p(Ac ∩ B c ∩ C) = 0,90 × 0,92 × 0,12 = 0,09936
3. 2.89 Una ciudad tiene dos carros de bomberos que operan de forma independiente. La probabilidad
de que un carro especı́fico esté disponible cuando se le necesite es 0.96.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno esté disponible cuando se necesite? Definamos los
siguientes eventos, B1 : disponible el carro de bombero 1, B2 : disponible el carro de bombero
2. Por dato sabemos P (B1 ) = P (B2 ) = 0,96.
En este inciso nos piden la probabilidad de que ninguno de los dos carros de bombero estén
disponibles, y nos dicen además que los carros operan de manera independiente. Nos piden
entonces la probabilidad de que no esté disponible B1 y no esté disponible B2 .
P (B1c ∩ B2c ) y como son independientes
P (B1c ∩ B2c ) = P (B1c ) × P (B2c ) = 0,04 × 0,04 = 0,0016
También es correcto, aunque más largo el razonamiento si partimos de que:
P (B1c ∩ B2c ) = P ((B1 ∪ B2 )c ) = 1 − P (B1 ∪ B2 ) = 1 − 0,9984 = 0,0016
P (B1 ∪B2 ) = P (B1 )+P (B2 )−P (B1 ∩B2 ) = 0,96+0,96−0,9216 = 0,9984
P (B1 ∩B2 ) = P (B1 )×P (B2 ) = 0,96×0,96 = 0,9216, por se independientes
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un carro de bomberos esté disponible cuando se le necesite? En
este inciso nos piden la p(B1 ∪ B2 ). Se puede calcular como está calculado en el inciso anterior
(dentro del recuadro), o se puede más sencillo partiendo que en el inciso anterior se calculó
P (B1c ∩ B2c ) y cómo P (B1c ∩ B2c ) = P ((B1 ∪ B2 )c ) = 1 − P (B1 ∪ B2 ), despejando esta última
expresión P (B1 ∪ B2 ) = 1 − P (B1c ∩ B2c ) = 0,9984
4. 2.96 La policı́a planea hacer respetar los lı́mites de velocidad usando un sistema de radar en 4 diferentes puntos a las orillas de la ciudad. Las trampas de radar en cada uno de los sitios L1 , L2 , L3 y
L4 operarán 40 %, 30 %, 20 % y 30 % del tiempo. Si una persona que excede el lı́mite de velocidad
cuando va a su trabajo tiene probabilidades de 0.2, 0.1, 0.5 y 0.2, respectivamente, de pasar por esos
lugares, ¿cuál es la probabilidad de que reciba una multa por conducir con exceso de velocidad?
Designemos A1 , A2 , A3 y A4 representan los eventos en los que una persona está acelerando al pasar
por las ubicaciones respectivas y usemos R para representar el evento en que las trampas de radar
están operando, lo que resulta en una multa por exceso de velocidad. Tenemos los siguientes datos:
P (A1 ) = 0,2
P (A2 ) = 0,1
P (A3 ) = 0,5
P (A4 ) = 0,2
En este caso una persona pasa por una sola de las trampas a la vez, luego A1 , A2 , A3 , A4 forman
una partición.
P (R/A1 ) = 0,4
P (R/A2 ) = 0,3
P (R/A3 ) = 0,2
2
P (R/A4 ) = 0,3
Figura 1: A1 , A2 , A3 y A4 los eventos en los que una persona está acelerando al pasar por las ubicaciones
L1 , L2 , L3 , L4 respectivamente vaya a exceso de velocidad y conforman una partición, mientras que los
multados se presentan como R y es un evento que no forma parte de la partición.
Entonces, la probabilidad de que reciba una multa por exceso de velocidad: P (R) = P (A1 ) ×
P (R/A1 ) + P (A2 ) × P (R/A2 ) + P (A3 ) × P (R/A3 ) + P (A4 ) × P (R/A4 )
P (R) = 0,2 × 0,4 + 0,1 × 0,3 + 0,5 × 0,2 + 0,2 × 0,3 = 0, 27
5. 2.98 Remı́tase al ejercicio 2.95. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona a la que se le diagnostica
cáncer realmente tenga la enfermedad?
El ejercicio 2.97 dice:
En cierta región del paı́s se sabe por experiencia que la probabilidad de seleccionar un adulto mayor
de 40 años de edad con cáncer es 0.05. Si la probabilidad de que un doctor diagnostique de forma
correcta que una persona con cáncer tiene la enfermedad es 0.78, y la probabilidad de que diagnostique de forma incorrecta que una persona sin cáncer tiene la enfermedad es 0.06, ¿cuál es la
probabilidad de que a un adulto mayor de 40 años se le diagnostique cáncer? Designemos el evento
A como adulto mayor de 40 años con cáncer P (A) = 0,05, a B como el evento en que un doctor
diagnostique la enfermedad y tenemos por dato P (B/A) = 0,78 y P (B/Ac ) = 0,06.
El ejercicio 2.97 nos pide ¿Cuál es la probabilidad de que una persona a la que se le diagnostica
cáncer realmente tenga la enfermedad?
Es decir P (A/B) =?
P (A/B) = P P(A∩B)
(B) , primero comprobemos si se puede aplicar Bayes. En este caso podemos afirmar
que el espacio muestral de las personas mayores de 40 años se puede dividir en dos eventos exhaustivos y excluyentes los que tienen cancer (A) y los que no (Ac ), A y Ac forman una partición, además
están aquellos a los que el doctor les diagnostica cancer correcta o incorrectamente B.
3
Figura 2: A son los pacientes que tienen cancer , y Ac los que no, y conforman una partición, mientras
que los que diagnosticados con cáncer por el doctor se definen como el evento B y es un evento que no
forma parte de la partición.
Luego se cumplen las premisas del teorema de Bayes y como lo que nos piden calcular es la probabilidad de que la persona tenga cáncer (A) dado que es diagnosticada con con cáncer (D), nos piden
P (A/B) y aplicando Bayes nos queda como:
P (A)×P (B/A)
0,05×0,78
0,039
0,39
P (A/B) = P (A)×P (B/A)+P
(Ac )×P (B/Ac ) = 0,05×0,78+0,95×0,06 = 0,039+0,057 = 0,096 = 0,40625
6. 2.98 Si en el ejercicio 2.96 la persona es multada por conducir con exceso de velocidad en su camino
al trabajo, ¿cuál es la probabilidad de que pase por el sistema de radar que se ubica en L2 ?
En este caso nos piden calcular la probabilidad de que una persona multada por exceso de velocidad, haya sido detectado por el radar ubicado en L2 , para que esto sucede debió entonces pasar
con exceso de velocidad por ese radar, es decir que tendrı́a que ocurrir A2 . Luego en este caso nos
están pidiendo calcular la probabilidad condicional de A2 dado que ocurre R, es decir es multado.
Entonces, como sabemos del ejercicio 2.96 que A1 , A2 , A3 , A4 forman una partición y sabemos que
se cumple R entonces podemos utilizar el teorema de Bayes.
(A2 )×P (R/A2 )
P (A2 /R) = P (A1 )×P (R/A1 )+P (A2 )×PP(R/A
2 )+P (A3 )×P (R/A3 )+P (A4 )×P (R/A4 )
0,1×0,3
P (A2 /R) = 0,2×0,4+0,1×0,3+0,5×0,2+0,2×0,3
0,03
P (A2 /R) = 0,08+0,03+0,10+0,06
= 0,03
0,27 = 0,11
7. 2.99 Suponga que los cuatro inspectores de una fábrica de pelı́cula colocan la fecha de caducidad en
cada paquete de pelı́cula al final de la lı́nea de montaje. John,quien coloca la fecha de caducidad en
20 % de los paquetes, no logra ponerla en uno de cada 200 paquetes; Tom, quien la coloca en 60 %
de los paquetes, no logra ponerla en uno de cada 100 paquetes; Jeff, quien la coloca en 15 % de los
paquetes, no lo hace una vez en cada 90 paquetes; y Pat, que fecha 5 % de los paquetes, falla en
uno de cada 200 paquetes. Si un cliente se queja de que su paquete de pelı́cula no muestra la fecha
de caducidad, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido inspeccionado por John? En este caso los
paquetes son fechados por uno y solo uno de los inspectores, y entre ellos fechan todos los paquetes
de la fábrica. Si designamos los siguientes eventos:
A: paquetes fechados por John
B: paquetes fechados por Tom
C: paquetes fechados por Jeff
D: paquetes fechados por Pat
4
A partir de los datos del problema tenemos que P (A) = 0,2,P (B) = 0,6,P (C) = 0,15 y P (D) = 0,05.
También sabemos que existen un conjunto de paquetes no etiquetados, vamos a designar este evento
como E y conocemos también por dato que:
1
P (E/A) = 200
1
P (E/B) = 100
1
P (E/C) = 90
1
P (E/D) = 200
Figura 3: A, B, C y D son los paquetes que deben ser fechados por cada inspector y conforman una
partición, mientras que los no etiquetados se presentan como E y es un evento que no forma parte de la
partición.
En este caso nos piden la probabilidad de que un paquete no fechado, haya sido por un error de
John, es decir P (A/E) =?. Podemos aplicar el teorema de Bayes ya que nos piden la probabilidad de
una de las particiones (A) dado que se sabe que ocurrió el evento que no forma parte de la partición.
P (A)×P (E/A)
P (A/E) = P (A)×P (E/A)+P (B)×P (E/B)+P
(C)×P (E/C)+P (D)×P (E/D)
0,2× 1
200
P (A/E) = 0,2× 1 +0,6× 1 +0,15×
1
+0,05× 1
200
100
90
200
P (A/E) = 0,1124
8. 2.100 Una empresa telefónica regional opera tres estaciones de retransmisión idénticas en diferentes
sitios. A continuación se muestra el número de desperfectos en cada estación reportados durante un
año y las causas de éstos.
Estación A B C
Problemas con el suministro de electricidad
2 1 1
Falla de la computadora
4 3 2
Fallas del equipo eléctrico
5 4 2
Fallas ocasionadas por otros errores humanos
7 5 5
Suponga que se reporta una falla y que se descubre que fue ocasionada por otros errores humanos.
¿Cuál es la probabilidad de que provenga de la estación C? Vamos a representar los eventos de la
siguiente forma:
P E: Problemas con el suministro de electricidad.
F C: Falla de la computadora.
F E: Fallas del equipo eléctrico.
F H: Fallas ocasionadas por otros errores humanos.
5
Figura 4: A, B y C son las transmisiones generadas con fallas por cada una de las estaciones y conforman
una partición, mientras que las fallas de los diferentes tipos se presentan como P E, F C, F E, F H y son
eventos que no forman parte de esta partición.
Aquı́ nos piden la probabilidad de P (C/F H)
18
P (A) = 41
13
P (B) = 41
10
P (C) = 41
7
P (F H/A) = 18
5
P (F H/B) = 13
5
P (F H/C) = 10
(C)×P (F H/C)
P (C/F H) = P (A)×P (F H/A)+PP (B)×P
(F H/B)+P (C)×P (F H/C)
10
×5
10
P (C/F H) = 18 × 7 + 41
13
× 5 + 10 × 5
41
P (C/F H) =
P (C/F H) =
18
41
5
41
7
5
+ 41
+ 51
41
5
5
41
17
17
41
13
41
10
=
9. 2.90 La contaminación de los rı́os de Estados Unidos ha sido un problema por muchos años. Considere
los siguientes eventos:
A: el rı́o está contaminado.
B: al probar una muestra de agua se detecta contaminación.
C: se permite pescar.
Suponga que
P (A) = 0,3, P (B/A) = 0,75, P (B/Ac ) = 0,20, P (C/A ∩ B) = 0,20, P (C/Ac ∩ B) = 0,15,
P (C/A ∩ B c ) = 0,80 y P (C|Ac ∩ B c ) = 0,90.
a) Calcule P (A∩B ∩C). P (A∩B ∩C) = P (A)×P (B/A)×P (C/A∩B) = 0,3×0,75×0,20 = 0,045
b) Calcule P (B c ∩ C). Esto se cumple sin importar el valor del evento A luego:
P (B c ∩ C) = P (A ∩ B c ∩ C) + P (Ac ∩ B c ∩ C) = 0,06 + 0,504 = 0,564
P (A ∩ B c ∩ C) = P (A) × P (B c /A) × P (C/B c ∩ A) = 0,3 × 0,25 × 0,8 = 0,06
P (B c /A) = 1 − P (B/A) = 1 − 0,75 = 0,25
P (Ac ∩ B c ∩ C) = P (Ac ) × P (B c /Ac ) × P (C/B c ∩ Ac ) = 0,7 × 0,8 × 0,9 = 0,504
P (B c /Ac ) = 1 − P (B/Ac ) = 1 − 0,20 = 0,80
c) Calcule P (C).
Usando un razonamiento similar al del inciso anterior, podemos decir que:
P (C) = P (A ∩ B ∩ C) + P (Ac ∩ B ∩ C) + P (A ∩ B c ∩ C) + P (Ac ∩ B c ∩ C) = 0,045 + 0,021 +
6
0,06 + 0,504 = 0,630
P (A ∩ B ∩ C) = 0,045, calculado en el inciso a
P (A ∩ B c ∩ C) = 0,06, calculado en el inciso b
P (Ac ∩ B c ∩ C) = 0,504, calculado en el inciso b
P (Ac ∩ B ∩ C) = P (Ac ) × P (B/Ac ) × P (C/Ac ∩ B) = 0,7 × 0,20 × 0,15 = 0,021
d ) Calcule la probabilidad de que el rı́o esté contaminado, dado que está permitido pescar y que
la muestra probada no cdetectó contaminación.
∩C)
0,06
P (A/B c ∩ C) = P P(A∩B
(B c ∩C) = 0,564 = 0,1064
P (A ∩ B c ∩ C) = 0,06, calculado en el inciso b
P (B c ∩ C) = 0,564, calculado en el inciso b
10. 2.101 Una cadena de tiendas de pintura produce y vende pintura de látex y semiesmaltada. De
acuerdo con las ventas a largo plazo, la probabilidad de que un cliente compre pintura de látex es
0.75. De los que compran pintura de látex, 60 % también compra rodillos. Sin embargo, sólo 30 %
de los que compran pintura semiesmaltada compra rodillos. Un comprador que se selecciona al azar
adquiere un rodillo y una lata de pintura. ¿Cuál es la probabilidad de que sea pintura de látex?
Definamos el evento A como aquel en que el cliente compra pintura de látex y Ac como los que
compran pintura semiesmaltada, ya que el espacio muestral son los clientes que compran pintura.
Y definamos además como B el evento de los que compran rodillo.
Figura 5: A, Ac son los clientes que compran pintura y conforman una partición, mientras que los que
compran rodillo se definen como el evento B y es un evento que no forma parte de la partición.
Por dato tenemos P (A) = 0,75, P (B/A) = 0,6 y P (B/Ac ) = 0,3 y nos están pidiendo P (A/B) =?
Se puede aplicar el teorema de Bayes luego:
P (A)×P (B/A)
P (A/B) = P (A)×P (B/A)+P
(Ac )×P (B/Ac )
0,75×0,6
0,45
0,45
= 0,45+0,075
= 0,525
= 0,8571
P (A/B) = 0,75×0,6+0,25×0,3
11. Se sabe que un ordenador se bloquea por problemas de memoria el 65 % de las veces, por problemas
de software el 45 %, y se sabe además que ambos sucesos son independientes. Responda:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se bloquee porque ocurra simultáneamente un problema de
memoria y de software?
7
Definamos los siguientes eventos:
A: el ordenador se bloquea por problemas de memoria, P (A) = 0,65
B: el ordenador se bloquea por problemas de software, P (B) = 0,45
En este caso nos preguntan P (A ∩ B) y como nos dan de datos que son independientes, pues
se puede calcular:
P (A ∩ B) = P (A) × P (B) = 0,65 × 0,45 = 0,2925
b) ¿Cuál es la probabilidad de que se bloquee porque ocurra un problema de memoria y no de
software?
Ahora nos piden P (A ∩ B c ) = P (A) × P (B c ) = 0,65 × 0,55 = 0,3575
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