Análisis Sísmico De Edificios - J. Pique Del Pozo H. Scaletti Farina (Libro 9)

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2
CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS
GRADOS DE LIBERTAD
En las secciones iniciales del presente capítulo se fundamentará, basados en los
conceptos básicos del análisis dinámico de edificios, las simplificaciones hechas a
ciertos sistemas. Dichas simplificaciones son aceptadas por muchos reglamentos
modernos de construcción cuando hacen uso de métodos dinámicos de diseño. En
la Secc. 8.2 se verá la diferencia entre un modelo de acoplamiento cercano y lejano,
usando para esto un pórtico de 3 niveles. Después en la Secc. 8.3 y 8.4 con la
finalidad de que los conceptos fundamentales y procedimientos numéricos sean
asimilados con facilidad haremos uso de una estructura sencilla ( pórtico de 2
niveles mostrado en la Fig. 8.3 ). Ello significa que para sistemas más complejos
los conceptos también son válidos, tal como se verá en la Secc 8.4., con la única
diferencia de que en la mayoría de los casos se tendrá que recurrir a programas de
computo avanzados para realizar el análisis, sin embargo, la última palabra la tiene
el Ingeniero a cargo del análisis y no la computadora que no es mas que una
herramienta [ Ref. 11 ]. Finalmente, en la Secc. 8.5 se tocará el tema acerca de los
sistemas continuos que son los que en realidad nos permiten representar a los
sistemas estructurales con su masa y rigidez a lo largo de los elementos que los
componen.
8.1 INTRODUCCIÓN
8.2 MODELOS
Cuando se trata con sistemas estructurales reales es necesario, en general,
considerar varios grados de libertad, cada uno correspondiente a una coordenada
independiente. En general podría pensarse que una estructura real tiene infinitos
grados de libertad, sin embargo es posible reducir su número a uno finito
considerando el hecho que los desplazamientos intermedios de los elementos
pueden ser expresados en función de los desplazamientos de los nudos extremos.
El número de grados de libertad debería ser igual al número de componentes de
desplazamiento necesario para definir adecuadamente la deformada del sistema
bajo el tipo de excitación de interés, y como consecuencia poder determinar las
fuerzas internas de manera suficientemente aproximada.
El modelo más simple de un sistema de varios grados de libertad corresponde a una
serie de masas interconectadas por resortes sin peso, como se muestra en la Fig. 8.1.
Este modelo se denomina un sistema de acoplamiento cercano. Estrictamente sólo es
aplicable a las vibraciones laterales de un pórtico con vigas infinitamente rígidas y
despreciando la deformación axial de las columnas, o también a algún sistema
vibratorio cuyas deformaciones sean principalmente desplazamientos laterales. Por
esa razón también se lo denomina modelo tipo cortante.
En el caso de los edificios sometidos a cargas sísmicas, la excitación principal
son aceleraciones horizontales (y una vertical que es poco importante en general o
que en caso de serlo puede ser tratada independientemente). Esto se traduce en
fuerzas de inercia horizontales que imprimen a la estructura una deformación
lateral y cuyos grados de libertad independientes importantes son los
desplazamientos horizontales de los nudos.
Existen otras consideraciones aplicables a este caso, como el hecho que la masa
está principalmente concentrada en el nivel de cada entrepiso y por consiguiente las
fuerzas de inercia son fuerzas horizontales aplicadas al nivel de cada entrepiso.
Esto sugiere que los grados de libertad dinámicos independientes son aquellos
asociados con la dirección de las fuerzas. Lo cierto es que un edificio sometido a
la acción de un sismo es un sistema de varios grados de libertad por lo que es
importante analizar teóricamente el tratamiento de dichos sistemas.
P3
m3
k3 (u3 − u2 )
k3
P2
m2
m2u&&2
k2
P1
m2
P2
k2 (u2 − u1 )
m1
k1
Fig. 8.1 Modelo de acoplamiento cercano
En una estructura real, sin embargo, las masas están conectadas por elementos
flexibles y el modelo anterior no es aplicable. El modelo real sería uno en que las
3
SECC. 8.3: GRADOS DE LIBERTAD DINÁMICOS
4
CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
masas se encuentran todas interconectadas dando origen a lo que se denomina modelo
de acoplamiento lejano. Este modelo se representa en la Fig. 8.2.
P3
P2
P1
y
z
x
( a ) Modelo de una edificación de 2 niveles.
[Figura obtenida del programa SAP 2000 versión educacional]
m3
L1
L1
L1
z
L2
m2
y
L2
y
m1
x
L2
( b ) Planta de la edificación.
L2
( c ) Pórtico secundario
típico. Elevación “ y ”.
Fig. 8.2 Modelo de acoplamiento lejano
8.3 GRADOS DE LIBERTAD DINÁMICOS
Los grados de libertad dinámicos son aquellos en los cuales se generan las fuerzas
inerciales ( masa por aceleración o momento de inercia por aceleración angular). Por
ende, dichos grados son los que interesarán para realizar el análisis.
En la Fig. 8.3.a se muestra se muestra el modelo de una edificación de 2
niveles, conformada por vigas y columnas. Su planta esta esquematizado en la
Fig. 8.3.b, en ella se resalta las columnas cuyos ejes fuertes son paralelos al eje “ y
”. En la Fig. 8.3.c se muestra un pórtico secundario típico. Finalmente en la Fig.
8.3.d se puede apreciar un pórtico principal típico, el cual será usado, de aquí en
adelante, para poder explicar los conceptos.
z
x
L1
L1
L1
( d ) Pórtico Principal
Típico. Elevación “ x ”.
Fig. 8.3 Edificación de 2 niveles: ( a ) Modelo. ( b ) Planta. ( c ) Pórtico Secundario.
( d ) Pórtico Principal.
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
5
SECC. 8.3: GRADOS DE LIBERTAD DINÁMICOS
Si se quisiera analizar el pórtico plano principal ( ver la Fig. 8.3.d ) considerando
todos sus grados de libertad (GDL) , vemos que este tendría 24 GDL estáticos tal como
se muestra en la Fig. 8.4.
13
14
16
17
15
1
2
3
19
18
4
5
23
22
21
7
6
20
8
24
11
10
9
12
Fig. 8.4 Pórtico plano principal con sus 24 GDL estáticos.
Sin embargo, al ocurrir movimiento lateral, solo serían importantes las fuerzas de
inercias generadas por el peso de cada piso (ver Fig. 8.5 ) en los que además las
deformaciones en su plano son despreciables. Lo cual indicaría que ahora tenemos un
sistema de 2 GDL dinámicos, que son precisamente los desplazamientos laterales 1 y
2.
m2
2
6
CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
Es común que cuando se analicen edificaciones se suponga que los pisos son
diafragmas rígidos en su plano ( Fig. 8.5 ), lo que permitiría expresar el movimiento de
cualquier punto del piso en términos de tres grados de libertad: un giro alrededor de
un eje vertical y dos desplazamientos horizontales. Cuando un pórtico, en este caso el
de la Fig. 8.5, esta ligado a un piso rígido, los valores que tomen los tres GDL
mencionados son los que definirán el desplazamiento lateral en cada nivel. Por otro
lado, debido a que mayor parte de las masas están directamente soportada por los
pisos, es aceptable suponer que las masas están concentradas en los mismos, de
manera que las fuerzas de inercia generadas por desplazamientos laterales se pueda
expresar como productos de la masa en cada piso por sus aceleraciones lineales ( en
dos direcciones horizontales perpendiculares, para nuestro caso ejes “ x e y ” ) y del
momento de inercia de dicha masa por la aceleración angular alrededor del eje vertical
que pasa por el centro de masas.
Según lo anterior, realizar el análisis dinámico de un edificio con modelos que
tiene tres grados de libertad por piso(un giro en planta y un desplazamiento en x e y)
es aceptable. Pero se debe tener presente que la hipótesis de que los pisos se
comportan como diafragmas rígidos implica que las vigas no tienen deformaciones
axiales.
Cuando por simetría los pisos no rotan alrededor de ejes verticales, el edificio o sus
componentes se puede modelar como un sistema de 1 GDL (desplazamiento lateral )
por piso ( u1 y u2 ) como se puede ver en la Fig. 8.6, que es una simplificación del
pórtico plano principal con 2 GDL dinámicos mostrado en la Fig. 8.3. En la Fig. 8.4
se puede observar además que “ k1 y k2 ” son las rigideces laterales de cada piso (el
cálculo aproximado de dichas rigideces fue enseñado en el Cap. 7).
m2
m1
1
u2
k2
m1
u1
k1
Fig. 8.5 Pórtico plano principal con 2 GDL dinámicos.
Fig. 8.6 Simplificación del pórtico plano principal con 2 GDL dinámicos
Lo dicho en el párrafo anterior no implica que los restantes giros y desplazamientos
se anulen, sino que, aunque asuman valores distintos a cero, las fuerzas de inercia son
tan pequeñas que pueden despreciarse.
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
Se ha podido apreciar como se redujo un sistema de 24 GDL, lo cual implicaba
una matriz de rigidez de 24x24, a uno de 2 GDL que implica el trabajar con una
matriz de rigidez de 2x2. En resumen lo hecho fue una “ condensación estática ”,
quedando así matrices de rigideces y de masas que corresponden a los mismos
grados de libertad.
SECC. 8.4: VIBRACIÓN FORZADA Y LIBRE DE SISTEMAS DE VARIOS GDL. AMORTIGUAMIENTO
7
8
CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
8.4 VIBRACIÓN FORZADA Y LIBRE DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS
DE LIBERTAD (GDL). AMORTIGUAMIENTO
En esta sección nuestro estudio estará basado en el sistema simplificado de 2 GDL
Dinámicos visto en la Fig. 8.6, en el que además de las fuerzas inerciales también
se considerarán fuerzas actuantes en cada GDL tal como se puede observar en la
Fig..8.7. Primeramente obtendremos una expresión general para la vibración
forzada del sistema no amortiguado. Luego haremos algunas simplificaciones para
poder obtener la vibración libre (en la Secc. 8.4.2 presentaremos la expresión
general que considera el amortiguamiento). Para poder estudiar las propiedades
básicas de un sistema como el que se muestra en la Fig. 8.7 se hará uso del modelo
tipo cortante (ver Secc. 8.2).
m2
u2
u1
∆1
∆2
m 2 u&&2
m2
k2 ∆2 = k2 (u2 − u1 )
k2
m1u&&1
k2 ∆2 = k2 (u2 − u1 )
P1 f (t )
m1
k1∆1 = k1u1
P2 f (t )
P2 f (t )
k1
k2
P1 f (t )
m1
Fig.8.9 Diagrama de cuerpo libre ( DCL ) del Sistema Simplificado.
De la Fig.8.9 aplicando equilibrio dinámico para el primer y segundo nivel,
resulta:
k1
Fig.8.7 Sistema no amortiguado simplificado mas fuerzas actuantes.
El desplazamiento relativo es esquematizado en la Fig. 8.8 debido a su
importancia mencionada en el Cap..5. Puesto que para poder obtener las fuerzas
del resorte, en el diagrama de cuerpo libre del sistema que se muestra en la Fig.
8.9 se emplea el desplazamiento relativo.
m1u&&1 + k1u1 − k 2 (u 2 − u1 ) = P1 f (t )
→
m2 u&&2 + k 2 (u 2 − u1 ) = P2 f (t )
m2 u&&2 − k 2 u1 + k 2 u 2 = P2 f (t )
→
m1u&&1 + (k1 + k 2 )u1 − k 2 u 2 = P1 f (t )
(8.1)
(8.2)
Ordenando matricialmente las Ecs. (8.1) y (8.2) se tiene:
⎡m1
⎢0
⎣
0 ⎤ ⎧u&&1 ⎫ ⎡k1 + k 2
⎨ ⎬+
m2 ⎥⎦ ⎩u&&2 ⎭ ⎢⎣ − k 2
− k 2 ⎤ ⎧ u1 ⎫ ⎧ P1 ⎫
⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ f (t )
k 2 ⎥⎦ ⎩u 2 ⎭ ⎩ P2 ⎭
O lo que es lo mismo escribir:
∆
MU&& + KU = F f (t )
V
(8.3)
donde:
k
V = k∆
⎧ u&& ⎫
U&& = ⎨ 1 ⎬
⎩u&&2 ⎭
,
⎧u ⎫
U = ⎨ 1⎬
⎩u 2 ⎭
y
⎧P ⎫
F = ⎨ 1⎬
⎩ P2 ⎭
son el vector aceleración, desplazamiento y fuerza (P1 y P2 son constantes) en
ese orden; y
Fig.8.8 Desplazamiento relativo generado en un sistema de 1 GDL
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
SECC. 8.4: VIBRACIÓN FORZADA Y LIBRE DE SISTEMAS DE VARIOS GDL. AMORTIGUAMIENTO
⎡m
M =⎢ 1
⎣0
0⎤
m2 ⎥⎦
y
⎡k + k
K =⎢ 1 2
⎣ − k2
9
− k2 ⎤
k 2 ⎥⎦
Antes de proseguir con la simplificación de la Ec. (8.3) es necesario enfatizar
que de manera análoga, a lo que hemos hecho con 2 GDL, se procede cuando se
tiene un sistema de n GDL (ver Fig. 8.10), el cual tendrá por consiguiente n
frecuencias naturales y n formas modales o modos asociados.
mn
k3 (u3 − u2 )
k3
P2 f (t )
m2
m2u&&2
k2
P1 f (t )
m2
Fig. 8.10 Modelo de acoplamiento cercano para un sistema forzado de “ n ” GDL sin
amortiguamiento
Haciendo el diagrama de cuerpo libre de cada masa (solo se muestra para m2), la
correspondiente ecuación de equilibrio dinámico puede escribirse como:
mi u&&i + k i (u i − u i −1 ) − k i +1 ( u i +1 − u i ) = P i f (t )
Para i = 2
Para i = n
para 1 < i < n
m1 u&&1 + ( k 1 + k 2 ) u1 - k 2 u 2 = P1 f (t )
:
:
(8.4)
m 2 u&&2 - k 2 u 1 + ( k 2 + k 3 ) u 2 - k 3 u 3 = P 2 f (t )
m n u&&n - k n u n -1 + k n u n = P n f (t )
Hay tantas ecuaciones de movimiento como grados de libertad. Luego, expresando
las ecuaciones anteriores en forma matricial se tiene:
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
que es la misma Ec. (8.3) pero aplicado a sistemas de n GDL. Para el modelo
simple considerado, o en general cuando se trata con masas concentradas y usando sus
desplazamientos como grados de libertad, la matriz de masas M es una matriz
diagonal con la masa i ésima , mi , como el elemento diagonal i ésimo .
⎛ m1
⎜
⎜0
⎜0
M =⎜
⎜ :
⎜
⎜0
⎜0
⎝
0
m2
0
:
0
0
0
0
m3
:
0
0
...
0
...
0
..
0
:
:
... mn −1
...
0
0 ⎞
⎟
0 ⎟
0 ⎟
⎟
: ⎟
⎟
0 ⎟
mn ⎟⎠
(8.6)
K es la matriz de rigidez del sistema que relaciona los grados de libertad dinámicos
escogidos a las fuerzas correspondientes. Para el sistema de acoplamiento cercano en
estudio tiene la siguiente forma:
k2 (u2 − u1 )
k1
Para i = 1
(8.5)
P2 f (t )
m1
ordenando: mi u&&i - k i u i −1 + ( k i + k i +1 ) u i - k i +1 u i +1 = P i f ( t )
CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
MU&& + KU = F f (t )
son la matriz masa y de rigidez respectivamente.
Pn f (t )
10
⎛ k1 + k 2
⎜
⎜ − k2
⎜ 0
K =⎜
⎜ :
⎜
⎜ 0
⎜ 0
⎝
− k2
k 2 + k3
− k3
:
0
0
0
− k3
k3 + k4
:
0
0
...
0
...
0
..
0
:
:
... k n −1 + k n
...
− kn
0 ⎞
⎟
0 ⎟
0 ⎟
⎟
: ⎟
⎟
− kn ⎟
k n ⎟⎠
(8.7)
Nótese que en este tipo de modelo el acoplamiento de las n ecuaciones
diferenciales es proporcionado solamente por la matriz de rigidez.
8.4.1 Vibración Libre de Sistemas de Varios Grados de Libertad
Como en el caso de los sistemas de 1 GDL, es útil estudiar el comportamiento de un
sistema sin amortiguamiento cuando está sometido a una perturbación inicial. Se sabe
además que la vibración libre se da cuando no hay fuerzas actuando sobre los GDL
dinámicos del sistema. Prosiguiendo con el estudio de nuestro modelo de 2 GDL y
haciendo el vector fuerza de la Ec. (8.3) igual a un vector nulo se tiene:
⎧ P ⎫ ⎧0⎫
F = ⎨ 1⎬ = ⎨ ⎬
⎩ P2 ⎭ ⎩0⎭
SECC. 8.4: VIBRACIÓN FORZADA Y LIBRE DE SISTEMAS DE VARIOS GDL. AMORTIGUAMIENTO 11
⇒ MU&& + KU = F f (t ) = 0
∴ MU&& + KU = 0
(8.8)
11
SECC. 8.4.1.1: ECUACIÓN CARACTERÍSTICA
donde 0 representa un vector con n componentes, todas ellas cero. Las condiciones
iniciales son:
U (0) = U
y U& (0) = U&
0
0
Recordemos que en el Cap. 5 se observó que un sistema de 1 GDL sometido a una
perturbación inicial desde su posición de equilibrio estaría forzado a vibrar con un
movimiento periódico de período T o frecuencia circular ω = 2π/T , que es una
característica del sistema ( ω2 = k/M) . Por analogía es interesante averiguar si un
sistema de varios grados de libertad, al que se le imponen un juego inicial de
desplazamientos (o velocidades) vibrará armónicamente, manteniendo la forma
relativa de estos desplazamientos y variando solamente sus amplitudes por un factor de
proporcionalidad. Basado en esto, para nuestro sistema de 2 GDL el vector de
desplazamientos vendría a ser:
⎧ u ⎫ ⎧ x Sen( ω t + φ ) ⎫ ⎧ x1 ⎫
U = ⎨ 1⎬= ⎨ 1
⎬ = ⎨ ⎬Sen( ω t + φ )
⎩u 2 ⎭ ⎩ x 2 Sen( ω t + φ )⎭ ⎩ x 2 ⎭
→ U = X Sen( ω t + φ )
(8.9)
donde “ x1 y x2 ” son los máximos desplazamientos de los pisos 1 y 2
respectivamente (los cuales obviamente no son función del tiempo).
Derivando la Ec. (8.9) dos veces, obtenemos:
U&& = − X ω 2 Sen( ω t + φ )
(8.10)
Reemplazando las Ecs. (8.9) y (8.10) en la Ec. (8.8) se tiene:
(
)
M − X ω 2 Sen( ω t + φ ) + K ( X Sen( ω t + φ )) = 0
Al simplificar la última expresión se obtiene:
K X −ω 2M X = 0
(8.11)
8.4.1.1 Ecuación Característica
El problema, en la Ec. (8.11), es determinar si es que hay valores de ω y
vectores correspondientes X que satisfacen esta ecuación matricial, además de la
solución trivial ω = 0 , X = 0 . Este es un problema matemático llamado de
2
valores característicos o de valores propios [ Ref. 9 ].
Al factorizar el vector de máximos desplazamientos en la Ec. (8.11), el
problema a considerar resulta de la forma:
(K − ω 2 M ) X = 0
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
(8.12)
12
CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
La Ec. (8.12) también es válida para sistemas de n GDL. Observándose que dicha
ecuación representa un sistema de n ecuaciones algebraicas lineales con n incógnitas
(las componentes del vector X ). Como el segundo miembro es igual a cero, éste es un
sistema homogéneo. No tendrá una solución única (la solución trivial X = 0 ) si el
determinante de la matriz de coeficientes K − ω 2 M se hace cero (matriz singular).
La expansión del determinante:
(
⇒
)
K −ω M = 0
2
Si ω es la raíz iésima de la ecuación característica, y es una raíz simple, el rango de
2
i
la matriz ( K − ωi M ) será n - 1 , indicando que el sistema de ecuaciones:
2
( K − ωi M ) X = 0
2
2
(8.14)
(8.15)
Es importante resaltar que si a la componente de X escogida arbitrariamente (el
desplazamiento de la última o la primera masa, por ejemplo) se le hubiera dado un
valor doble que el supuesto, todas las otras componentes del vector hubieran sido
multiplicadas por dos. Por consiguiente el vector X i se define en función de un factor
multiplicador constante y todas sus componentes pueden ser escaladas arbitrariamente
para arriba o para abajo (Es claro que para cualquier vector Y i = a X i ,
K Yi = a K X i = a ω i M X i = ω i M Yi , y entonces Yi también es una solución).
2
2
Para nuestro sistema de 2 GDL, al hallar la solución de la Ecuación
Característica , Ec. (8.13), obtendríamos los siguientes valores característicos:
λ1 =. ω12
y
λi = ω i 2
donde i = 1,..., n
donde
además:
ω 1 < ω 2 < ... < ω n −1 < ω n
y
(8.16)
T1 > T2 > ... > Tn −1 > Tn
Siendo llamado T1 “ Periodo Fundamental ” por ser el mayor periodo
correspondiente a la menor frecuencia angular.
8.4.1.2 Frecuencias y Periodos Naturales
Para ilustrar estos conceptos nos basaremos en nuestro sistema de 2 GDL.
Reemplazando las matrices en la Ec. (8.13) se tiene:
tiene una ecuación que es una combinación lineal de las otras. Esto implica que uno
puede eliminar esta ecuación, dar un valor arbitrario a una de las componentes del
vector X y resolver un sistema de n - 1 ecuaciones con n - 1 ingógnitas (las
componentes restantes de X ) cuyo segundo miembro ya no es cero. Este se obtiene
pasando al segundo miembro los términos que contienen las componentes
seleccionadas de X . Así es posible encontrar las otras n - 1 componentes y definir un
vector
Xi
tal
que:
K X i = ωi M X i
manera dichas frecuencias un significado físico. En general para un sistema de “ n
” GDL se tiene:
(8.13)
resultará en una ecuación algebraica de grado n en ω 2 , llamada la ecuación
característica. Las raíces de esta ecuación serán los valores deseados de ω 2 que
hacen cero el determinante.
13
SECC. 8.4.1.2: FRECUENCIAS Y PERIODOS NATURALES
λ2 = ω 2 2
los cuales son valores positivos (por ser términos cuadráticos) cuyos subíndices
se designan luego de haberlos ordenado de menor a mayor, adquiriendo de esta
⎡k1 + k 2
⎢ −k
2
⎣
− k2 ⎤
⎡m
−ω 2 ⎢ 1
k 2 ⎥⎦
⎣0
0⎤
=0
m2 ⎥⎦
→
k1 + k 2 − ω 2 m1
− k2
− k2
k 2 − ω 2 m2
Al resolver y ordenar el determinante se tiene:
(k + k − ω m )(. k − ω m )− (− k )(. − k ) = 0
2
1
→
2
2
1
2
2
2
2
ω m1 m 2 − ω (m1 k 2 + m 2 (k1 + k 2 ) ) + k1 k 2 = 0
4
2
Cuyas soluciones de la ecuación cuadrática generada son:
2
⎞
⎛
⎛ k1 k 2 ⎛ m2 ⎞ ⎞
k k ⎟
1 ⎜ ⎛⎜ k1 k 2 ⎛ m2 ⎞ ⎞⎟
⎟⎟ − ⎜
⎜⎜1 +
⎟⎟ ⎟ − 4 1 2 ⎟
⎜⎜1 +
λ1 = ω1 = ⎜ ⎜ +
+
⎜m m
m1 ⎠ ⎟⎠
m1 m2 ⎟
2 ⎜ ⎝ m1 m2 ⎝ m1 ⎠ ⎟⎠
2 ⎝
⎝ 1
⎠
⎝
2
⎞
⎛
⎛ k1 k 2 ⎛ m2 ⎞ ⎞
k1 k 2 ⎟
1 ⎜ ⎛⎜ k1 k 2 ⎛ m2 ⎞ ⎞⎟
2
⎜
⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
λ2 = ω 2 = ⎜ ⎜ +
1+
1+
+
+
−4
⎟
⎜ m m ⎜ m ⎟⎟
2 ⎜ ⎝ m1 m2 ⎜⎝ m1 ⎟⎠ ⎟⎠
m1 m2 ⎟
2 ⎝
1 ⎠⎠
⎝ 1
⎠
⎝
2
8.4.1.3 Formas de Modo
Haciendo uso de la Ec. (8.12) factorizada tenemos para ( i = 1 , 2 ):
⎛ k1 + k 2 − ω i 2 m1
⎜
⎜
− k2
⎝
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
⎞⎧ x1i ⎫ ⎧0⎫
− k2
⎟⎨ ⎬ = ⎨ ⎬
2
k 2 − ω i m 2 ⎟⎠⎩ x 2i ⎭ ⎩0⎭
=0
14
CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
Debido a que el sistema presenta un grado de dependencia sólo se puede usar una
ecuación. En general para un sistema de “ n ” GDL se despejan (n-1) valores de “ x ”
en función del restante. Para nuestro caso en particular, usando la primera fila tenemos:
(k + k − ω m )x − (k ) x = 0
2
1
2
i
1
1i
2
(8.17)
2i
Despejando la Ec. (8.17) para:
i =1
→ x11 / x21 = cte
(k + k − ω m ) x
x =
21
2
1
1
11
k2
⎧x ⎫
X 1 = ⎨ 11 ⎬
⎩ x21 ⎭
i=2
→ x12 / x22 = cte
(k + k − ω m ) x
2
x22 =
1
2
2
“ Se debe resaltar que los modos se dan únicamente en el rango elástico, ya que
desaparecerán cuando se entre al rango inelástico ( para sismos severos )”.
8.4.1.4 Normalización de las Formas de Modo
Debido a que las formas modales están siempre definidas en términos de un factor
constante, es posible escalarlas arbitrariamente. Se pueden usar diferentes criterios
para lograr ello.
3.-) Desde el punto de vista del cálculo sin embargo, se prefiere escalar o
normalizar los vectores con respecto a la matriz de masas “ M ” de manera que
1
12
k2
15
1.-) A veces los vectores se escalan de manera que la máxima componente en
términos absolutos se iguala a la unidad.
2.-) En otros casos una componente dada (por ejemplo el desplazamiento de la
masa del último piso) es seleccionada arbitrariamente e igualada a la unidad en
todos los modos. En general, esto se logra haciendo las componentes xri = 1 de
los respectivos modos X i , siendo dicha componente “ r ” arbitraria. Luego los
componentes restantes de cada modo “ i ” serán calculados en función de dicha
componente “ r ”.
2
1
SECC. 8.4.1.4: NORMALIZACIÓN DE LAS FORMAS DE MODO
⎧x ⎫
X 2 = ⎨ 12 ⎬
⎩ x22 ⎭
Φ iT M Φ i = 1
(8.18)
se ve además de la Ec. (8.17) que x1i / x 2i = constante para cualquier valor de la
frecuencia.
para todos los i , en vista de que este producto se repite constantemente en el
denominador de muchas expresiones. Donde Φ i se obtiene al dividir las componentes
de X i obtenidas de la solución del problema de valores característicos entre la raíz
Finalmente, basados en la la Ec. (8.9), los modos ( ver Fig. 8.11 ) vendrían a
ser:
cuadrada de X i M X i . Cuando las formas modales se escalan de esta última forma
se dice que están normalizadas. Entonces:
x21
T
x22
Φi =
x11
x12
⎧x ⎫
X 1 = ⎨ 11 ⎬
⎩ x 21 ⎭
⎧x ⎫
X 2 = ⎨ 12 ⎬
⎩ x22 ⎭
U1 = X 1 Sen(ω1 t + φ )
( a ) Modo 1
ó
X i M Xi
Xi
(8.19)
∑ (m jj ( x ji ) 2 )
n
j =1
Por ejemplo la Ec. (8.15) al premultiplicarla por X Ti ésta queda reducida a:
U 2 = X 2 Sen(ω2 t + φ )
( b ) Modo 2
Φi =
Xi
T
T
X i K X i = ω i2
Asimismo, cabe mencionar que las formas modales normalizadas pueden
ensamblarse como las columnas de una matriz Q que es llamada la matriz modal.
Fig. 8.11 Modos de vibración de la sistema.
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
16
CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
⎡ .
⎢ .
⎢
⎢ .
Q= ⎢
⎢X1
⎢ .
⎢
⎣⎢ .
. ⎤
. ⎥⎥
. ⎥
⎥
Xn⎥
. ⎥
⎥
. ⎦⎥
.
.
.
X2
.
.
17
3.-) Condición de Ortogonalidad; esta propiedad nos indica que las formas
,
,
modales X i X j correspondientes a dos frecuencias naturales ω i ω j , son tales
que:
X i M X j = ∑ xki mk xkj = 0
T
para i ≠ j
(8.20)
Usando la propiedad de la ortogonalidad de los modos, el producto Q M Q es
una matriz identidad (matriz diagonal con todos los términos de la diagonal iguales a la
unidad) y el producto QT K Q es una matriz diagonal cuyo término diagonal iésimo es
Se dice que los vectores X i y X j son ortogonales con respecto a la matriz de
masas M (La sumatoria sólo es válida cuando la matriz de masas es diagonal). Debe
notarse que las formas modales también son ortogonales con respecto a la matriz de
rigidez K , de manera que:
X i K X j = ∑ ∑ k ln x li x nj = 0
T
igual a ω i .
2
l
Propiedades Matemáticas de
Condición de Ortogonalidad
los
Modos
de
Vibración.
2
2.-) Para cada valor propio o característico (frecuencia natural) ω i de multiplicidad
1 hay una forma modal X i definida en función de un factor. Lo que implica que
imponiendo al sistema un juego de desplazamientos con la forma del vector X i , éste
vibrará con la frecuencia ω i .
Para recordar con facilidad la relación entre las frecuencias y los modos, se
hace la siguiente analogía:
Dada(o) un(a):
frecuencia
Baile
↔
Se define su
correspondiente
:
Modo
Forma del Baile
T
para i ≠ j
T
para i ≠ j
T
para i ≠ j
Xi M X j =0
Xi CX j =0
Xi K X j =0
1.-) Si el sistema tiene n grados de libertad, la ecuación característica tendrá n
raíces reales ω 1 a ω n . (Nótese que una raíz puede tener un orden de multiplicidad
-es decir repetirse- mayor que uno. Si el orden de multiplicidad es r, deberían contarse
como r raíces. Este es el caso de un edificio simétrico con la misma rigidez en ambas
direcciones principales). De los “ n ” periodos el mayor es el fundamental.
para i ≠ j
(8.22)
n
en resumen la condición de ortogonalidad establece:
Cuando las matrices K y M son simétricas, como en este caso, y una de ellas es
positivamente definida (K lo es cuando la estructura es estable) varias propiedades del
problemas de valores característicos pueden ser automáticamente garantizadas:
2
(8.21)
k
T
8.4.1.5
SECC. 8.4.1.5: PROPIEDADES MATEMÁTICAS DE LOS MODOS. CONDICIÓN DE ORTOGONALIDAD
(8.23)
siendo C la matriz de constantes de amortiguamiento. La construcción de dicha
matriz es análoga a la de K como se verá en la Secc. 8.4.2, claro esta, en su forma
mas simple.
Nota: Se dice que dos vectores son perpendiculares y no ortogonales para un
sistema de 1, 2 ó 3 GDL.
4.-) Una raíz de la ecuación característica de multiplicidad r tiene asociada
con ella r formas modales independientes que siempre pueden ser escogidas de
modo que satisfagan la condición de ortogonalidad entre ellas. También
satisfarán esta condición con respecto a las formas modales correspondientes a
otras frecuencias.
5.-) El conjunto de n formas modales de X 1 a X n constituye un juego completo
de vectores que definen un espacio vectorial de orden n . Esto implica que cualquier
vector V con n componentes puede ser expresado como una combinación lineal de
las formas modales:
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
18
CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
V = ∑ a1 X i
i=1
(8.24)
Los coeficientes ai se obtienen usando las condiciones de ortogonalidad.
Siendo “ai(t)” una variable dependiente del tiempo que expresa la contribución ó
participación dinámica (ello se verá en el Cap. 9).
Pre-multiplicando ambos lados de la ecuación por la matriz M y el vector X Tj :
n
T
T
X j M V = ∑ ai X j M X i
(8.25)
i =1
MV
ai = XTi
X i M Xi
T
(8.26)
Esta propiedad es extremadamente importante porque permite expresar la solución
de cualquier problema dinámico como una sumatoria donde cada término representa la
contribución de un modo. Permite reducir la solución de un sistema de n grados de
libertad a la solución de n sistemas independientes de 1 GDL, desacoplando así las
ecuaciones de movimiento.
8.4.1.6 Aplicación y Verificación de las Propiedades de las Formas de
Modo de Vibración Libre
Para el sistema mostrado calcule:
b ) Las frecuencias y los periodos.
d ) Normalizar las formas de modo.
e ) Verificar las propiedades.
m2
k2
Datos:
t − s2
m
k 2 = 3 279,88
ó
⎡k1 + k 2
⎢ −k
2
⎣
− k2 ⎤
⎡m
−ω 2 ⎢ 1
k 2 ⎥⎦
⎣0
0⎤
=0
m2 ⎥⎦
→
k1 + k 2 − ω 2 m1
− k2
− k2
k 2 − ω 2 m2
=0
⎡m
M =⎢ 1
⎣0
0⎤
m 2 ⎥⎦
⎡k + k 2
K =⎢ 1
⎣ − k2
→
− k2 ⎤
k 2 ⎥⎦
0 ⎤
⎡11,437
M =⎢
0
11
,
437 ⎥⎦
⎣
→
⎡ 6 969,75 − 3 279,9⎤
K =⎢
⎥
⎣− 3 279,9 3 279,9 ⎦
Luego el determinante de la ecuación característica vendría dado por:
6 969,75 − 11,437ω 2
− 3 279,9
− 3 279,9
3 279,9 − 11,437ω 2
=0
(6 969,75 − 11,437ω 2 ).(3 279,9 − 11,437ω 2 ) − (−3 279,9) 2 = 0
c ) Formas de modo.
y
K −ω 2M = 0
b) Es la solución del determinante la que nos permitirá la obtención de las
frecuencias y los periodos. Luego, operando el determinante:
a ) La ecuación característica.
t
m
a) Sabemos que para este tipo de sistema la ecuación característica, por ser de
vibración libre (ver Secc 8.4.1.1, Ec.(8.13)), viene dada por:
Siendo las matrices K (de rigidez) y M (de masas) al reemplazar los datos:
pero como X Ti M X j = 0 para i diferente de j :
k1 = 3 689,87
19
Solución:
n
m1 = m 2 = peso / g = 11,437
SECC. 8.4.1.6: APLICACIÓN Y VERIFICACIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LAS FORMAS DE MODO
m1
t
m
u2
u1
Resolviendo esta última ecuación, sabiendo que
es el valor
λ =ω2
característico, se tiene:
Cuyas raíces vienen dadas por :
λ 2 − 896,133λ + 92 516,988 = 0
y
λ1 = 119,059
λ 2 = 777,077
Esta última ecuación es llamada el polinomio característico. Polinomio cuyas
raíces nos proporcionarán las frecuencias y periodos, para ello es necesario que
las frecuencias angulares se ordenen de menor a mayor:
k1
IERÍA
SISMORRESISTENTE
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
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20
CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
Frecuencias angulares: ω i = + λi
y ω 2 = 27,876 rad / s
ω1 = 10,91 rad / s
Observe que : ω1 < ω 2 (ordenamiento que se ha hecho para obtener T1>T2 )
Como el periodo natural se define como: Ti =
T1 = 0,576 s
y
SECC. 8.4.1.6: APLICACIÓN Y VERIFICACIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LAS FORMAS DE MODO
21
x1i . En este
Recordar que en la Secc 8.4.1.3 se despejóxen
2 i función de
problema optaremos por despejar en función de
, que es equivalente a lo
hecho en la sección antes mencionada puesto
de
X ique la única finalidad esωobtener
i
manera cualitativa las formas de modo
correspondientes a
. Luego para:
2π
ωi
i =1
T2 = 0,225 s
x11 =
Observe que según la Ec. (8.16): T1 ( PeriodoFundamental ) > T2
1
Frecuencias naturales: f i =
Ti
f1 = 1,74 Hz
y
ω i = ω 1 = 10,91 rad / s
:
→
f 2 = 4,44 Hz
Observe que : f1 < f 2
(k + k − m ω ) x
2
2
1
21
1
x11 = 0,5848
3 279,9
(6 969,75 − 11,437 x 10,91 )
2
x11 = 0,5848
⎧x ⎫
X 1 = ⎨ 11 ⎬
⎩ x 21 ⎭
⎧0,5848⎫
⇒
X1 = ⎨
⎬
⎩ 1 ⎭
∴ U 1 = X 1 Sen(ω 1t + φ 1 )
luego
c) Las Formas de modo se obtendrán a partir de las frecuencias angulares ya
calculadas. De la siguiente igualdad (ver Secc 8.4.1.3) :
⎞⎧ x1i ⎫ ⎧0⎫
− k2
⎟⎨ ⎬ = ⎨ ⎬
2
k 2 − ω i m 2 ⎟⎠⎩ x 2i ⎭ ⎩0⎭
⎛ k 1 + k 2 − ω i 2 m1
⎜
⎜
− k2
⎝
Al usar la primera fila, puesto que la segunda fila es dependiente de la primera
o viceversa, tenemos:
(k + k − ω m )x − (k ) x = 0
i=2
:
2
1
Reemplazando:
x 21 = 1
x 21 = 1
k2
1
x11 =
y
2
i
1
1i
2
2i
2
i
1i
2i
Notar que cada ω i producirá una forma de modo distinta X i , cuyas
componentes, al despejar la última ecuación, serían:
x1i =
(3 279,9) x2i
(6 969,75 − 11,437ω )
2
y
x2i
i
Se suele hacer x 2i = 1 , es decir la componente segunda en cada modo tomará
el valor de uno. En general para sistemas de “ n ” GDL se hace x = 1 siendo
n
dicho valor a elegir arbitrario.
y
x22 = 1
x22 = 1
k2
2 x22
k1 + k 2 − m1ω 2
(
)
x12 = −1,7104
3 279,9
(6 969,75 − 11,437 x 27,876 2 )
x12 = −1,7104
x12 =
→
→ Modo 1
⎧0,5848⎫
U1 = ⎨
⎬Sen(10,91t + φ1 )
⎩ 1 ⎭
⎯
⎯→
ωi = ω 2 = 27,876 rad / s
x12 =
(6 969,75 − 11,437ω ) x − (3 279,9) x = 0
[i = 1]
⎧x ⎫
X 2 = ⎨ 12 ⎬
⎩ x22 ⎭
⎧− 1,7104 ⎫
⇒
X2 = ⎨
⎬
⎩ 1 ⎭
∴ U 2 = X 2 Sen (ω 2t + φ2 )
luego
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
[i = 2]
⎯
⎯→
→ Modo 2
⎧− 1,7104⎫
U2 = ⎨
⎬Sen(27,876t + φ2 )
⎩ 1 ⎭
22
CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
d) La Normalización de las formas de modo será hecha basada en la Secc 8.4.1.4 :
d.1 ) Se deja como ejercicio para el lector.
d.2 ) Haciendo las componentes xri = 1 de los correspondientes modos X i ,
siendo dicha componente “ r ” arbitraria. Luego los componentes restantes de
cada modo “ i ” serán calculados en función de dicha componente “ r ”.
En la parte ( c ) se ha visto cuando x 2i = 1. A continuación veremos el caso
cuando x1i = 1
, para lo cual es necesario dividir su valor actual (positivo o
negativo) al modo correspondiente, obteniendo modos equivalentes “ e ”. Esto se
verá a continuación:
[i = 1]
[i = 2]
X1
(e)
equivalente ( e )
=
X 1 ⎧ x11 x11 ⎫ ⎧ 1 ⎫
=⎨
⎬=⎨
⎬
x11 ⎩ x21 x11 ⎭ ⎩1 0,5848⎭
⎧ x11( e ) ⎫ ⎧ 1 ⎫
= ⎨ (e) ⎬ = ⎨
⎬
⎩ x21 ⎭ ⎩1,7097⎭
→ Modo 2
X2
⇒
23
Observar que Φ i son los modos normalizados con respecto a la matriz de
masas. Trabajando con los vectores normalizados de la parte ( c ) del problema
tenemos para:
→ Modo 1
X1
⇒
SECC. 8.4.1.6: APLICACIÓN Y VERIFICACIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LAS FORMAS DE MODO
X2
(e)
equivalente ( e )
=
1
⎫
X 2 ⎧ x12 x12 ⎫ ⎧
=⎨
⎬=⎨
⎬
x12 ⎩ x22 x12 ⎭ ⎩1 (−1,7104)⎭
⎧ x12 ( e ) ⎫ ⎧ 1 ⎫
= ⎨ (e) ⎬ = ⎨
⎬
⎩ x22 ⎭ ⎩− 0,5848⎭
d.3 ) Normalizando con respecto a la matriz de masas “ M ” :
Φ iT M Φ i = 1
de donde:
- Φi =
Xi
T
X i M Xi
ó Φi =
Xi
∑ (m ( x ) )
n
2
j
ji
j =1
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
24
CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
[i = 1]
⎧ x ⎫ ⎧0,5848⎫
X 1 = ⎨ 11 ⎬ = ⎨
→ Modo 1: con
⎬
⎩ x21 ⎭ ⎩ 1 ⎭
0 ⎞ ⎧0,5848⎫
⎛11,437
T
⎟⎨
X 1 MX 1 = [0,5848 1]⎜⎜
⎬
11,437 ⎟⎠ ⎩ 1 ⎭
⎝ 0
T
X 1 MX 1 = 11,437 x (0,5848) 2 + 11,437 x (1) 2
T
X 1 MX 1 = 15,3484
X1
Φ1 =
luego
=
T
1
X MX 1
⎧0,5848⎫
1
⎬
⎨
15,3484 ⎩ 1 ⎭
25
e) La Verificación de las propiedades de las formas de modo será hecha basada en
la Secc 8.4.1.5. Luego, siendo las matrices de masas ( M ) y rigidez ( K )
simétricas y K corresponde a una estructura estable, podemos garantizar que:
e.1 ) Existen tantas frecuencias angulares como grados de libertad se han
considerado. Es decir, si existen “ n = 2 ” GDL, entonces, existirán “ 2 ”
frecuencias naturales y por ende “ 2 ” periodos siendo el mayor el fundamental.
e.2 ) Para cada frecuencia existe una única forma de modo. Esto se ha podido
observar durante la solución del problema.
e.3 ) Condición de Ortogonalidad; las formas de modo que corresponden a dos
frecuencias naturales son ortogonales (perpendiculares para un sistema uno, dos ó
e tres grados de libertad ).
⎧ϕ ⎫ ⎧ 0,1493 ⎫
Φ1 = ⎨ 11 ⎬ = ⎨
⎬
⎩ϕ 21 ⎭ ⎩0,2553⎭
⇒
SECC. 8.4.1.6: APLICACIÓN Y VERIFICACIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LAS FORMAS DE MODO
T
Φ1 MΦ1 = 1
verificando
Cumpliéndose:
2
Φ1 MΦ1 = ∑ m jj (ϕ j1 ) 2 =11,437 x (0,1493) 2 + 11,437 x (0,2553) 2
T
como
j =1
Φ MΦ1 ≅ 1 (Ok!)
T
X 2 MX 2 = 11,437 x (−1,7104) 2 + 11,437 x (1) 2
T
X 2 MX 2 = 44,8956
⇒
Φ2 =
=
⎧− 1,7104⎫
1
⎬
⎨
44,8956 ⎩ 1 ⎭
⎧ϕ ⎫ ⎧− 0,2553⎫
Φ 2 = ⎨ 12 ⎬ = ⎨
⎬
⎩ϕ 22 ⎭ ⎩ 0,1493 ⎭
verificando
como
T
X 2 MX 2
T
Φ 2 MΦ 2 = 1
j =1
T
para
j≠i
T
para
j≠i
Siendo C la
matriz de constantes
de amortiguamiento. La construcción de dicha matriz es análoga a la de K como se
verá en la siguiente sección. Verificando la condición de ortogonalidad por ejemplo
para:
0 ⎞ ⎧− 1,7104⎫
⎛11,437
T
⎟⎨
X 1 MX 2 = [0,5848 1]⎜⎜
⎬
11,437 ⎟⎠ ⎩ 1 ⎭
⎝ 0
T
X 1 MX 2 = 11,437 x (0,5848) x(−1,7104) + 11,437 x (1x1)
T
→ X 1 MX 2 = 0
Los demás productos con M, C, K y combinaciones de formas modales, de 2 en 2,
son análogos.
e.4 ) Para nuestro caso, no se tienen multiplicidad en la raíces por tratarse de un
sistema sencillo de 2 GDL.
2
INGENIERÍA
SISMORRESISTENTE
Φ 2 MΦ 2 = ∑ m jj (ϕ j 2 ) 2 =11,437
x (−0,2553
) 2 + 11,437 x (0,1493) 2
T
j≠i
Xi K X j =0
⎧ x ⎫ ⎧− 1,7104⎫
[i = 2] → Modo 2 :
con
X 2 = ⎨ 12 ⎬ = ⎨
⎬
⎩ x22 ⎭ ⎩ 1 ⎭
0 ⎞ ⎧− 1,7104⎫
⎛11,437
T
⎟⎨
X 2 MX 2 = [− 1,7104 1]⎜⎜
⎬
11,437 ⎟⎠ ⎩ 1 ⎭
⎝ 0
luego
para
Xi CX j =0
T
1
X2
T
Xi M X j =0
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
SECC. 8.4.2: VIBRACIÓN FORZADA DE SISTEMAS DE VARIOS GDL CON AMORTIGUAMIENTO
25
e.5 ) El conjunto de formas modales constituye un sistema de referencia (espacio
vectorial) con respecto al cual puede expresarse cualquier vector “ V ”. Siendo “ a i (t)
” una variable dependiente del tiempo que expresa la contribución ó participación
dinámica (ello se verá en el siguiente capítulo). Es decir:
26
CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
donde M es la matriz de masas, Q la matriz modal (conteniendo todas las formas
modales como columnas, ver Secc. 8.4.1.4) y B es una matriz diagonal cuyo término
c
c
iésimo es igual a 2 β i ω i (recordar que para 1 GDL se tiene β =
).
=
c crítico 2mω
Otra forma de determinar C es considerar:
n
V = ∑ ai (t ) X i
i =1
C = a0 M + a1 K
(8.30)
Permitiéndonos ésta última propiedad expresar la solución de cualquier problema
dinámico como una sumatoria ( o combinación lineal ) donde cada término representa
la contribución de cada modo.
donde los parámetros ao y a1 se seleccionan de manera que la variación de β
sobre el rango de frecuencias de interés sea pequeño (según la Norma Peruana de de
Diseño Sismorresistenteβ = 5% ).
8.4.2
Considerando amortiguamiento para nuestro sistema simplificado de 2 GDL
Dinámicos visto en la Secc. 8.3, en el que además de las fuerzas inerciales también
posee fuerzas actuando en cada GDL (Fig. 8.12).
Vibración Forzada de Sistemas de Varios GDL Considerando
Amortiguamiento
En toda la presentación anterior se supuso por simplicidad que el sistema no estaba
amortiguado. Sin embargo, las edificaciones en realidad tienen diferentes mecanismos
de disipación de energía mientras vibran bajo la acción de un sismo. Las pérdidas de
energía (y por consiguiente el amortiguamiento) ocurrirá debido a la fricción interna
en las uniones, o entre los muros y los pórticos y si las deformaciones son grandes
debido a deformaciones plásticas.
P2 f (t )
m2
c2
Las ecuaciones de movimiento del sistema considerando el amortiguamiento bajo
una matriz C serán:
MU&& + CU& + KU = F f ( t )
(8.27)
2
a&&i ( t ) + 2 β ω i a& i ( t ) + ω i ai ( t ) = X iT F f ( t )
(8.28)
Si se va a usar análisis modal no es necesario contar con una matriz de
amortiguamiento.
Todo lo que se requiere es introducir la fracción de
amortiguamiento crítico o porcentaje de amortiguamiento β en la iésima ecuación
modal.La determinación de la matriz C sólo es necesaria si no se va a usar análisis
modal y se va a integrar numéricamente todo el conjunto completo de ecuaciones.
Este es el caso si se va a realizar un análisis dinámico nolineal (inelástico) y se desea
agregar a la estructura una cantidad adicional de amortiguamiento además del que
resultará del comportamiento inelástico (lazos histeréticos).
Hay varias técnicas para determinar esta matriz C . Si se conocen todas las formas
de modo y frecuencias naturales la forma más simple es definir:
C = M Q B QT M
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
(8.29)
k2
P1 f (t )
m1
c1
k1
Fig.8.12 Sistema forzado con amortiguamiento.
la ecuación para este sistema amortiguado forzado vendría a estar dado por la
Ec..(8.27). Si en este sistema el amortiguamiento a considerar es en su forma más
simple entonces la construcción de la matriz de amortiguamiento será análoga a la
construcción de la matriz de rigidez, o sea:
SECC. 8.5: SISTEMAS CONTINUOS O DE MASA DISTRIBUIDA: VIGA DE CORTE, VIGA DE FLEXIÓN
27
Si
⎛k + k2
K = ⎜⎜ 1
⎝ − k2
− k2 ⎞
⎟
k 2 ⎟⎠
⇒
⎛ c + c2
C = ⎜⎜ 1
⎝ − c2
− c2 ⎞
⎟
c 2 ⎟⎠
28
CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
8.5 SISTEMAS CONTINUOS O DE MASA DISTRIBUIDA: VIGA DE CORTE
Y VIGA DE FLEXIÓN
Los sistemas estructurales reales son en realidad sistemas continuos con su masa y
rigidez distribuida a lo largo de los elementos. Algunas estructuras, como los pórticos,
poseen características de comportamiento ante las cargas sísmicas que justifican la
reducción del número de grados de libertad. Hay otras que por estar constituidas por
un número pequeño de elementos, como un emparrillado o una chimenea, pueden
representarse adecuadamente por un sistema lineal de masa distribuida como los que se
presentan a continuación. Por último es posible usar los resultados calculados usando
estos modelos para predecir aproximadamente el comportamiento de estructuras más
complejas.
La viga de corte es un elemento ideal que se utiliza para representar sistemas
físicos que se caracterizan por comportarse presentando una deformación lateral
similar a la deformación por corte, o sea únicamente una distorsión lateral. Por
ejemplo, los edificios de altura mediana aporticados a base de elementos de rigidez
similar, cuando son sometidos a cargas laterales experimentan desplazamientos
laterales al nivel de sus entrepisos, manteniéndose éstos prácticamente horizontales.
Esta deformación de todo el pórtico es similar a la de una viga de corte. Los estratos
de suelos sometidos a sismos que experimentan solamente deformaciones laterales son
a veces representados por vigas de corte. De hecho la teoría simplificada de
amplificación de ondas hace uso de estas hipótesis.
8.5.1 Viga de Corte. Ecuación Diferencial
Cuando en un elemento prismático la deformación por corte transversal al eje del
elemento es la única que se supone actuando se tiene una viga de corte.
Fig. 8.13 Viga de Corte
En la Fig. 8.13 se observa una viga que presenta una distribución uniforme del
esfuerzo cortante en su sección transversal. El desplazamiento lateral (en este caso
horizontal) está representado por la letra v . De la Resistencia de Materiales se
conocen las siguientes relaciones que nos permiten establecer la ecuación diferencial
que gobierna el comportamiento de la viga de corte:
2
GA
d v
=-q
d x2
(8.31)
Si se considera la fuerza distribuida, q , aplicada a la viga como compuesta por una
fuerza de inercia más una porción "excitadora":
q(x,t) - ρA
δ 2v
δ t2
(8.32)
obtenemos la ecuación diferencial de movimiento para la viga de corte.
GA δ
δ 2 v = - q(x,t)
A
ρ
δ x2
δ t2
2
v
(8.33)
8.5.1.1 Vibración Libre: Viga en Voladizo
Cuando no existe fuerza pulsante o excitadora, el sistema vibrará libremente. La
ecuación de movimiento se transforma en la siguiente (ecuación homogénea cuyo
segundo miembro igual a cero)
GA δ
δ 2v =0
A
ρ
δ x2
δ t2
2
v
(8.34)
Para determinar las condiciones bajo las cuales esta ecuación tiene solución, se
supondrá la existencia de una vibración que sigue una amplitud o curva determinada
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
INGENIERÍA SISMORRESISTENTE
SECC. 8.5: SISTEMAS CONTINUOS O DE MASA DISTRIBUIDA: VIGA DE CORTE, VIGA DE FLEXIÓN
29
con una frecuencia Ω .Resolviendo el problema resultante para esas incógnitas
obtendremos que la solución corresponderá a las características de la vibración libre.
SECC. 8.5.1.1: VIGA LIBRE: VIGA EN VOLADIZO
29
- desplazamiento en la base cero v(0) = 0
- giro en la parte superior cero, porque el cortante en el extremo es cero y por
consiguiente en este caso eso requiere que la primera derivada del desplazamiento
en ese punto sea cero, o sea v ′(H) = 0 . Se obtiene como solución no trivial:
p = (2n - 1)π/(2H)
(8.39)
o expresado en términos de la frecuencia Ω :
Ω n = [(2n - 1)π/(2H)] G/ρ
(8.40)
Las frecuencias naturales corresponderán a valores sucesivos de n : 1; 2; 3
El término
G/ρ corresponde a la velocidad de propagación de las ondas de
corte, V s , en un estrato de suelo que se modela elásticamente como si fuera una viga
de este tipo para las ondas transversales que causan esa deformación.
Fig. 8.14 Viga de Corte en Voladizo
Supóngase que la viga vibrará siguiendo una función v(x,t) dependiente de la
altura de la viga y del tiempo, que es a su vez función de una "forma" v0 (x)
independiente del tiempo y de una función armónica de frecuencia Ω ,
sen( Ω t +Ψ ) .
v( x , t ) = v o ( x ).sen( Ω t +Ψ )
(8.35)
Los períodos se expresan como:
T n = 2π/Ω
(8.41)
T n = 4H/(2n - 1)V s
(8.42)
El período fundamental, cuando n = 1 viene dado por la expresión:
Sustituyendo esta función y sus derivadas en la ecuación diferencial anterior se
tiene:
T 1 = 4H/ V s
(8.43)
Las formas modales vienen expresadas por (Fig. 8.15)
2
d v + 2 =0
p v0
d x2
von (x) = Bsennπx/2L
(8.36)
donde:
2
p =
ρ Ω2
G
(8.37)
Obsérvese que la solución de esta ecuación diferencial proveerá la forma de la
función v0 (x) que será la que adoptará la viga al vibrar libremente con la frecuencia
Ω incluida en el parámetro p . En buena cuenta representa la forma modal y Ω la
frecuencia modal asociada.
La solución general de la ecuación diferencial Ec. (8.36) es:
v0 = A cos px + Bsenpx
(8.38)
Para el caso de la viga en voladizo las condiciones de borde son (Fig. 8.14):
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
(8.44)
30
CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
Fig. 8.15 Viga de Corte en Voladizo: Modos
viga de corte es sorprendentemente buena. En el Cuadro 8.1 se muestra la
comparación para un pórtico de 12 pisos, sin muros o placas.
8.5.2 Viga de Flexión. Ecuación Diferencial
El elemento básico en flexión es una viga prismática de sección constante sometida a
deformaciones flexionantes. Las relaciones constitutivas son ampliamente conocidas.
Aquí nos limitaremos s listar las ecuaciones aplicables para el comportamiento
dinámico de una viga simple.
La ecuación diferencial de movimiento para la viga de flexión es:
δ 2 (EI δ 2 v ) + m δ 2 v = p
δ x2
δ x2
δ t2
(8.45)
8.5.2.1 Vibración libre: Viga en voladizo
Frecuencias:
(0.597 π )2
L
2
ωn =
2
(2n - 1 ) π 2
4 L2
EI
m
EI
m
n>1
Formas de modo:
von ( x ) = B(cos p n x − senpn x − cos h p n x + sen h p n x )
p4 =
donde:
(8.46)
(8.47)
(8.48)
mΩ 2
EI
Ti
Pórtico de 12
pisos sin placas
Períodos (s)
Viga de corte
en voladizo (V.C.)
Períodos (s)
T1
T2
T3
T4
T5
T6
0,993
0,346
0,197
0,132
0,099
0,076
0,993
0,331
0,199
0,142
0,110
0,090
Cuadro 8.1 Comparación entre períodos de una viga de corte con los de un
pórtico de 12 pisos sin placas o muros de corte [ Ref. 9 ]
Para el caso de la viga en voladizo se obtienen las siguientes expresiones para las
frecuencias y las formas de modo:
ω1 =
31
SECC. 8.5.3: ESTIMACIÓN DE PERIODOS PARA EDIFICIOS
Cuando el pórtico tiene muros de corte o placas la correlación con la viga de corte
ya no se mantiene. En este caso es necesario usar como referencia también la viga de
flexión o de Timoshenko. Que no es otra cosa que una viga en voladizo cuya
deformación proviene primariamente de la flexión. En este caso de edificios con
placas, la deformación lateral tiene una forma más cercana a la de una viga en volado
a flexión. Estos períodos varían inversamente proporcional a (2n-1) al cuadrado del
número del modo, o sea como 9; 25; 49; etc. considerando que el primero es como
1.426. Luego los períodos de los modos 2 al 6 varían inversamente proporcional a
6,31; 17,36; 34,37; 56,82; 84,87. También en la [ Ref. 9 ] se comprobó que los
períodos calculados para un edificio con muros o placas y aquellos que se obtenían
promediando los obtenidos usando la viga de corte y la de flexión eran
suficientemente cercanos como para ser considerados como una buena referencia. En
el Cuadro 8.2 se muestra la comparación mencionada para un edificio de 12 pisos,
pero esta vez con placas o muros de corte.
8.5.3 Estimación de Períodos para Edificios
Una aplicación muy útil de estos sistemas continuos es la estimación aproximada
de los períodos de los modos altos. La Ec. (8.42) indica que los períodos en la
viga de corte varían inversamente a los números impares. Es decir que siguen una
serie inversa a 1; 3; 5; 7.... De esta manera si se considera el período fundamental
de un edificio aquel calculado por métodos rigurosos (véase Ref. 12, Cap. 5),
entonces los períodos de los modos superiores pueden estimarse directamente
dividiendo éste del modo fundamental por los factores mencionados.
En el estudio de la Ref. 9, se demuestra que para pórticos sin muros de
concreto o placas, la correlación entre los períodos exactos y los que predice la
Ti
T1
T2
T3
T4
T5
Pórtico de 12
pisos con placas
Período (s)
0,733
0,212
0,103
0,064
0,045
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
Viga de flexión
en voladizo
(V.F.)
Período (s)
0,733
0,117
0,042
0,021
0,013
Viga de corte
en voladizo
(V.C.)
Período (s)
0,733
0,244
0,147
0,105
0,081
Promedio de
V.F. y V.C.
Período (s)
0,733
0,181
0,095
0,063
0,047
32
CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
Cuadro 8.2 Comparación de períodos promedio entre una viga de corte y una
de flexión con los de un pórtico de 12 pisos con placas o muros de
corte [ Ref. 9 ]
REFERENCIAS
33
REFERENCIAS
1.
2.
Biggs, J.M., "Dynamic Analysis of One-Degree Systems", en Notas del
curso Fundamentals of Earthquake Engineering for Buildings . Massachusetts
Institute of Technology. Cambridge, Massachusetts. 1972
Röesset, J.M. "Structural Dynamics". Notas de clase. Massachusetts Institute
of Technology. Cambridge, Mass. 1974.
3.
Biggs, J.M., Introduction to Structural Dynamics. McGraw-Hill. New York.
1964
4.
Craig Jr., R.R., Structural Dynamics. John Wiley & Sons. New York. 1981
5.
Clough, R.W. & Penzien, J. Dynamics of Structures. McGraw-Hill. New
York. 1975
6.
Okamoto, S. Introduction to Earthquake Engineering. Halsted Press. John
Wiley & Sons. New York. 1973
7.
Hurty, W.C. & Rubinstein, M.F. Dynamics of Structures. Prentice Hall. New
Jersey 1964.
8.
Bathe, K.J., Wilson, E.L. Numerical Methods in Finite Element Analysis,
Prentice-Hall. Englewood Cliffs, New Jersey. 1976
9.
Wilkinson, J.H., The Algebraic Eigenvalue Problem, Clarendon Press.
Oxford. . 1965
Piqué, J., Echarry, A. "A Modal Combination for Dynamic Analysis of
Reinforced Concrete Frames". 9a. Conferencia Mundial de Ingeniería
Antisísmica. Tokyo-Kyoto. Japón. 1988
Bazán, E., Meli, R. Diseño Sísmico de Edificios, Editorial Limusa.
Balderas, México. 2002
10.
11.
12.
Piqué, J., Scaletti, H., Análisis Sísmico de Edificios, Ediciones Capítulo de
Ingeniería Civil. Lima, Perú. 1991
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
34
CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
35
ANEXO - CAP. 8: COCIENTE DE RAYLEIGH
ANEXO
COCIENTE DE RAYLEIGH
Factorizando el vector de máximos desplazamientos en la ecuación
característica, Ec. (8.11), el problema a considerar resulta de la forma:
(K − ω 2 M ) X = 0
(8.49)
reordenando esta última ecuación se tiene:
K X = ω 2M X
(8.50)
Suponiendo que se conoce la solución Xi de la Ec. (8.50), entonces se cumple que:
K X i = ωi M X i
2
(8.51)
y haciendo ω i = λi la Ec. (8.51) queda:
2
K X i = λi M X i
(8.52)
multiplicando la Ec. (8.52) por X iT :
X iT K X i = λ i X iT M X i
(8.53)
despejando la Ec. (8.53) :
λi = ω i 2 =
X iT K X i
X iT M X i
(8.54)
El cociente de Rayleigh nos permite calcular el valor de λi conocido su
correspondiente vector característico X i . Esto se puede apreciar en la Ec. (8.54).
Debido a que la Ec. (8.54) puede ser usada con aproximaciones a los vectores
propios [ Ref. 12 ], entonces, suponiendo que se conoce una forma de modo de
manera aproximada:
X i ←V
Reemplazando la Ec. (8.55) en la Ec. (8.54) se tiene:
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
(8.55)
36
CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
λi = ω i 2 =
VTKV
V MV
∑ M j (v j )
n
(8.56)
T
37
ANEXO - CAP. 8: COCIENTE DE RAYLEIGH
Ti = 2π .
Las fuerzas aplicadas serían:
j =1
= 2π .
n
∑ Fjv j
j =1
KV = F
∑ Pj (v j )
n
2
2
j =1
n
g .∑ Fjv j
(8.62)
j =1
(8.57)
EJEMPLO:
Al reemplazadas deichas fuerzas en la Ec. (8.56) tenemos:
Para el siguiente sistema que se muestra calcule de manera aproximada el periodo:
VTF
VTMV
λi =
(8.58)
m3 = 8
t − s2
m
m2 = 9
t−s
m
La Ec. (8.58) escritas en forma de sumatorias es:
n
λi = n
∑ Fjv j
j =1
(8.59)
∑ M j (v j )
m1 = 10
2
j =1
m3
2
t−s
m
k3 = 8 000
t
m
k2 = 8 000
t
m
m2
2
m1
k1 = 10 000
donde F j y v j son elementos de los vectores columnas F y V , y M j es un
t
m
elemento que pertenece a la diagonal principal de la matriz de masas M.
Solución:
Como λ i = ω i , entonces la Ec. (8.59) quedaría:
2
n
λi = ω i = n
2
Suponiendo de manera aproximada las fuerzas aplicadas, se tiene:
n
∑ Fjv j
j =1
→
∑ M j (v j )
ωi =
2
j =1
∑ Fjv j
j =1
∑ M j (v j )
n
(8.60)
F3 = 30 000 t
2
m3
j =1
F2 = 20 000 t
Si en la Ec. (8.60) se trabaja con pesos en vez de masas, entonces:
m2
n
ωi =
g . ∑ F jV j
j =1
∑ Pj (V j )
n
F1 = 10 000 t
(8.61)
2
j =1
2π
, entonces el periodo correspondiente a la forma
ωi
de modo Xi según la Ec. (8.61) sería:
Y como se conoce que Ti =
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
m1
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38
CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
v3
∆3
v2
∆2
v1
∆1
Resumiendo todos los cálculos en tablas se tiene:
Nivel
j
V'j
v j= ∆ j
kj
Fj supuestas
V’j = Fj acumuladas
(t/m)
(t)
(t)
3
8 000
30 000
30 000
3,75
16,00
2
8 000
20 000
50 000
6,25
12,25
1
10 000
10 000
60 000
6,00
6,00
Nivel
Mj
2
(t-s /m)
∆j =
kj
Mj .vj2
Fj .vj
3
8
2 048,00
480 000
2
9
1 350,56
245 000
1
10
360,00
60 000
∑ = 3 758,56 ∑ = 785 000
Usando la Ec. (8.60): T = 2π
3 758,56
785 000
→
T = 0,435 s
acumuladas
ANÁLISIS SÍSMICO POR
SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL
9.1 ANÁLISIS SÍSMICO
Para lograr el objetivo del diseño estructural asísmico o antisísmico es indispensable
atravesar la etapa del análisis. Esta es, a su vez, posterior a la de estructuración y
determinación de las características elásticas y geométricas de la estructura,
incluyendo la distribución de sus masas. En general el análisis estructural consiste en
la determinación de los efectos que la solicitación aplicada demande de la estructura.
En el caso de los sismos hablamos del análisis sísmico. En este caso la solicitación o
carga sísmica está caracterizada por la norma local correspondiente y viene expresada
en términos de un espectro de diseño. Los efectos que se desean determinar consisten
las en fuerzas y deformaciones resultantes de la carga sísmica. Por fuerzas se entiende
de modo general, tanto fuerzas de distinto tipo: axiales, cortantes, como también
momentos flectores. Por deformaciones se entiende principalmente desplazamientos y
rotaciones de los entrepisos así como distorsiones relativas entre piso y piso.
La práctica actual mundialmente aceptada del diseño antisísmico considera que
las solicitaciones sísmicas sobre la estructura se determinan por medio de un análisis
elástico. Si bien la tendencia moderna incorpora criterios de comportamiento
inelástico como herramientas de disipación de energía, el análisis se hace sobre la
base de que la estructura y sus elementos no exceden su resistencia y mantienen su
forma inicial, hipótesis implícitas en el análisis estructural en el rango elástico. Desde
este punto de vista entonces, se cuenta con dos caminos contemplados en los códigos
de diseño: análisis estático o análisis dinámico.
2
CAP. 9:ANÁLISIS SÍSMICO POR SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL
El análisis estático reduce las acciones sísmicas a fuerzas estáticas equivalentes y
todo el análisis se hace considerando un sólo juego de fuerzas aplicado a la estructura
estáticamente. El edificio puede analizarse tri- o bi- dimensionalmente pero el análisis
sigue siendo estático y único.
Por otro lado el análisis dinámico, también
contemplado en los códigos modernos de diseño sísmico,
considera las
características o propiedades dinámicas de la estructura en la determinación de las
fuerzas sísmicas y en cada efecto particular que desee calcularse. Su aplicación, sin
embargo, no ha estado tan difundida hasta la década de los 80’s en vista de la
complejidad del cómputo involucrado y en la necesidad de disponer de máquinas para
el cómputo y procedimientos para la determinación de las propiedades dinámicas de la
estructura misma, sin mencionar el trabajo posterior para determinar y combinar los
efectos modales.
Con la disponibilidad y potencia de las computadoras modernas, principalmente
las personales, el análisis dinámico de edificios es la herramienta apropiada para la
determinación de las fuerzas sísmicas, v.g.: el análisis dinámico.
En edificaciones particularmente elevadas el análisis dinámico viene a ser la
única herramienta racional de análisis pues los métodos estáticos equivalentes se
tornan demasiado conservadores. La distribución de fuerzas máximas resultante a lo
alto del edificio es bastante diferente de la triangular supuesta en los códigos ( ver la
Fig. 9.1.b).
SECC. 9.2: SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD: VIBRACIÓN FORZADA
3
En la Fig. 9.1.a se puede apreciar también, que los desplazamientos máximos de
cada piso tienen configuraciones que no responden a la de la hipótesis simplificatorias
del análisis estático equivalente.
Asimismo cuando las características de la
estructura estimulan la contribución de modos adicionales al fundamental en la
respuesta, se puede estar subestimando peligrosamente efectos locales en los pisos
bajos y en los más altos. En realidad con la facilidad para realizar este tipo de análisis,
tan difundidos actualmente, tiene poco asidero el seguir utilizando procedimientos
estáticos equivalentes.
9.2 SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD: VIBRACIÓN
FORZADA
Un edificio real es un sistema de varios grados de libertad (esto se vio en el
Cap..8). El establecimiento de las ecuaciones de equilibrio se desarrollará mas
adelante [ Podría consultar también Ref. 11-Cáp.3 y 4 ]. Estas ecuaciones de
movimiento para el sistema de varios grados de libertad, como se vio en el capítulo
anterior, tienen la siguiente forma:
MU&& + CU& + KU = F (t )
(9.1)
El vector de fuerzas F ( t ) puede tener distintas variaciones en el tiempo, pero para
sistemas lineales elásticos siempre es posible expresar estas variaciones como una
superposición de términos de la forma F f (t ) . Por lo tanto la Ec. (9.1) puede
reemplazarse por una más simple:
M U&& + C U& + K U = F f (t )
(9.2)
Donde F representa un vector independiente del tiempo que contiene las
magnitudes de las fuerzas aplicadas en correspondencia con cada grado de libertad (o
en cada piso si se trata de un pórtico plano)
9.3 MÉTODOS DE ANÁLISIS DINÁMICO
La respuesta dinámica de una estructura a una excitación sísmica (caracterizada
usualmente por un movimiento de la base) puede ser obtenida por cualquiera de los
tres métodos generales usados en la solución de sistemas de varios grados de libertad.
Fig. 9.1 Resultados de un análisis dinámico para un edificio de 10 pisos
1) Integración directa en el tiempo de las ecuaciones de movimiento, resolviendo
simultáneamente las n ecuaciones diferenciales a través de un procedimiento
de integración paso a paso.
2) Solución directa en el campo de frecuencias, resolviendo nuevamente n
ecuaciones simultáneas.
3) Análisis Modal.
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
4
CAP. 9:ANÁLISIS SÍSMICO POR SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL
De todos estos procedimientos el primero es el único medio riguroso para tomar en
cuenta comportamiento nolineal. Sin embargo, si se efectúa un análisis lineal será
necesario, definir una matriz C de amortiguamiento (ver Cáp.8). Si el análisis es
estrictamente nolineal, entonces la mayor parte de la disipación de energía será
automáticamente incorporada y la matriz C se hace innecesaria, ya que sólo
representará una pequeña cantidad de amortiguamiento a pequeñas amplitudes debida
a otras causas.
En el tercer procedimiento la solución en cada modo puede nuevamente llevarse a
cabo en el dominio del tiempo o en el de las frecuencias. Las soluciones en el campo
de frecuencias están siempre limitadas a sistemas lineales pero tienen la ventaja que
permiten considerar propiedades dependientes de la frecuencia (una condición
deseable en el caso de los suelos). El comportamiento nolineal puede ser simulado a
través de un procedimiento iterativo en que los valores de la rigidez y el
amortiguamiento son recalculados al final de cada análisis para igualar el nivel de
deformaciones obtenido. [ Ref. 2 ]
SECC. 9.4.1: DESCOMPOSICIÓN MODAL SIN CONSIDERAR AMORTIGUAMIENTO
Usando la propiedad de los modos, que permite expresar cualquier vector del
espacio vectorial, por ellos definido, como una combinación lineal de las formas
modales y ciertos coeficientes, se supondrá que la solución de las ecuaciones de
movimiento viene dada por:
n
U = ∑ a i (t ) X i
Suponiendo que al inicio se ha resuelto el problema de valores propios o
característicos para determinar las frecuencias naturales ωi y las correspondientes
formas de modo . Asimismo se supondrá que las formas de modo X i han sido
normalizadas con respecto a la matriz de masas de manera que el producto
T
X i M X i = 1 (véase Cap. 8).
9.4.1 Descomposición Modal sin considerar Amortiguamiento
Al no considerar el amortiguamiento la Ec. (9.2) quedaría reducida de la siguiente
manera:
M U&& + K U = F f (t )
(9.3)
(9.4)
i =1
derivándola dos veces obtendríamos:
n
U&& = ∑ a&&i (t ) X i
(9.5)
i=1
Al sustituir las Ecs. (9.4) y (9.5) en (9.3) se tendría:
El análisis modal es de lejos el procedimiento más usado en dinámica estructural.
Permite desacoplar las 3n ecuaciones diferenciales de movimiento, reduciendo el
problema a la solución de n ecuaciones independientes de 1 grado de libertad. En la
mayoría de los casos sólo algunos modos contribuyen significativamente a la respuesta
y por lo tanto ni siquiera tienen que resolverse los n sistemas simples.
9.4 DESCOMPOSICIÓN MODAL DE LAS ECUACIONES DE
MOVIMIENTO
La existencia de los modos como un espacio vectorial es extremadamente importante
ya que permite reducir la solución de un sistema de n grados de libertad a la solución
de n sistemas independientes de 1 GDL, desacoplando de esa manera las ecuaciones
de movimiento.
5
⎛ n
⎞
⎛ n
⎞
M ⎜ ∑ a&&i (t ) X i ⎟ + K ⎜ ∑ a i (t ) X i ⎟ = F f (t )
⎝ i =1
⎠
⎝ i =1
⎠
n
∑ [M X i a&&i (t ) + K X i ai (t ) ] = F f (t )
i=1
Al premultiplicar esta última ecuación por X Tj ( para
j = 1,2,K, n ), el cual es
independiente de “ i ” , obtendríamos:
n
X Tj ∑ [M X i a&&i (t ) + K X i ai (t ) ] = X Tj F f (t )
i=1
n
∑ [X Tj M X i a&&i (t ) + X Tj K X i ai (t ) ] = X Tj F f (t )
(9.6)
i=1
Al aplicar las condiciones de ortogonalidad:
X Tj M X i = 0 para j ≠ i pero si
j=i
X iT MX i = 1
(9.7)
X Tj K X i = 0 para j ≠ i pero si
j =i
X iT K X i = ωi 2
(9.8)
en la Ec. (9.6), para “ j = i ” y teniendo además en cuenta las condiciones de
ortogonalidad, quedaría reducida así:
X iT M X i a&&i (t ) + X iT K X i ai (t ) = X iT F f (t )
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
(9.9)
6
CAP. 9:ANÁLISIS SÍSMICO POR SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL
a&&i (t ) + ω i a i (t ) = Γ i f (t )
Al dividir la Ec. (9.9) entre X iT M X i :
a&&i (t ) +
X iT K X i
T
i
X M Xi
2
X iT F
a i (t ) =
T
i
X M Xi
f (t )
(9.10)
Como podrá notarse la Ec. (9.10) aún no esta simplificada del todo. Sin embargo al
observar que hay un término que involucra los modos y las matrices K y M, podríamos
pensar en hacer uso de una expresión ya demostrada en el capítulo anterior, dada por:
K X i = ω i2 M X i la cual al ser premultiplicada por X Tj , con j = i, queda de la
siguiente forma:
T
i
2
i
que representa las “ n ” ecuaciones modales de movimiento para un sistema
forzado sin amortiguamiento.
Es conveniente señalar que con frecuencia también se suele expresar “ U ” como
sigue:
n
U = ∑ d i (t ) Γ i X i
entonces, si la relacionamos con la Ec. (9.4), podremos apreciar con claridad que
(
t
ai ) = d i (t ) Γ i . Donde “ d i (t ) ” es el factor de participación dinámica (dependiente
2
d&&i (t ) + ω i d i (t ) = f (t )
X iT K X i
X iT M X i
(9.11)
Considerando amortiguamiento la Ec. (9.19) sería la misma que la Ec. (9.2), es decir:
n
X iT F
X iT M X i
∑ F j x ji
= n
(9.18)
9.4.2 Descomposición Modal considerando Amortiguamiento
Además, definiendo como factor de participación estática “ Γ i ”, al término que
relaciona los modos y las matrices F y M, según la Ec. (9.10) éste sería:
Γi =
(9.17)
i=1
realizando el despeje de la frecuencia se tendría:
ω i2 =
(9.16)
del tiempo) y “ Γ i ” es el factor de participación estática (independiente del tiempo).
Luego la Ec. (9.16) en función de “ d i (t ) ”quedaría expresada como:
X K Xi = ω X M Xi
T
i
7
SECC. 9.4.: DESCOMPOSICIÓN MODAL CONSIDERANDO AMORTIGUAMIENTO
j =1
∑ m j (x ji )
(9.12)
2
M U&& + C U& + K U = F f(t)
De manera similar a la sección anterior, en ésta, se hará uso de la propiedad de los
modos, que permite expresar cualquier vector del espacio vectorial, por ellos definido,
como una combinación lineal de las formas modales y ciertos coeficientes, se
supondrá para ello que la solución de las ecuaciones de movimiento viene dada por:
j =1
n
Cabe señalar que las Ecs. (9.10) ,(9.11) y (9.12) podrían reducirse aún más puesto
que se normalizaron los modos respecto a la matriz de masas, es decir X iT M X i = 1 ,
según esto se tendría:
T
T
a&&i (t ) + X i K X i a i (t ) = X i F f (t ) .
U = ∑ a i (t ) X i
(9.14)
Γi = X F
(9.15)
(9.20)
i =1
derivando una vez obtendríamos:
n
U& = ∑ a& i (t ) X i
(9.13)
ω i2 = X iT K X i
T
i
(9.19)
(9.21)
i=1
derivando dos veces obtendríamos:
n
U&& = ∑ a&&i (t ) X i
i =1
Finalmente de las Ecs. (9.14) y (9.15) en (9.13) se obtiene:
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
(9.22)
8
CAP. 9:ANÁLISIS SÍSMICO POR SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL
Al sustituir las Ecs. (9.20), (9.21) y (9.22) en (9.19), es decir, sustituyendo este
vector U y sus derivadas U& y U&& , expresadas en función de las formas modales X i ,
las ecuaciones de movimiento que obtendríamos serían:
a&&i (t ) +
β i (%) =
n
∑ [M X i a&&i (t ) + C X i a& i (t ) + K X i ai (t ) ] = F f (t )
i=1
Luego al premultiplicar esta última ecuación por el vector X Tj ( para j = 1,2,K , n ),
el cual es independiente de “ i ” , obtendríamos:
X
C ie
K ie
Fi e
Mi
Mi
M ie
& (t ) +
e ai
(t ) =
e ai
f (t )
(9.29)
Como podrá observarse, a la Ec. (9.29), que representa las “ n ” ecuaciones
modales del movimiento, se le puede hacer una analogía para el caso en el que solo se
tiene 1 GDL. Entonces tendríamos lo siguiente:
⎛ n
⎞
⎛ n
⎞
⎛ n
⎞
M ⎜ ∑ a&&i (t ) X i ⎟ + C ⎜ ∑ a& i (t ) X i ⎟ + K ⎜ ∑ a i (t ) X i ⎟ = F f (t )
⎝ i =1
⎠
⎝ i =1
⎠
⎝ i =1
⎠
T
j
9
SECC. 9.4.2: DESCOMPOSICIÓN MODAL CONSIDERANDO AMORTIGUAMIENTO
⇒
Cie
e
i ( crítico )
C
=
Cie
2 M ieωi
es equivalente a
Ce
X T C Xi
= Ti
= 2 β iω i
Me Xi M Xi
∴ 2 β iω i =
β (%) =
c
ccrítico
=
c
2mω
X iT C X i
X iT M X i
(9.30)
También, recordando que se demostró en la sección anterior:
n
∑ [M X i a&&i (t ) + C X i a& i (t ) + K X i ai (t ) ] = X F f (t )
T
j
i=1
n
∑ [X Tj M X i a&&i (t ) + X Tj C X i a& i (t ) + X Tj K X i ai (t ) ] = X Tj F f (t )
ω i2 =
(9.23)
X iT K X i
X iT M X i
(9.31)
i=1
y que además, el término que involucra a los modos y a las matrices F y M,
llamado factor de participación estática “ Γ i ”, estaba dado por:
Aplicando las condiciones de ortogonalidad:
X Tj M X i = 0 para j ≠ i
pero si
X Tj CX i = 0 para j ≠ i pero si
j =i
j =i
X iT MX i = 1
(9.24)
X iT C X i = 2 β i ω i
(9.25)
( Si C tiene una forma especial )
X K X i = 0 para j ≠ i pero X K X i = ωi
T
j
T
i
2
(9.26)
en la Ec. (9.23), para “ j = i ”, ésta quedaría reducida así:
T
i
T
i
T
i
Γi =
X M X i a&&i (t ) + X C X i a& i (t ) + X K X i a i (t ) = X F f (t )
T
(9.33)
2 β iω i = X iT C X i
(9.34)
ω i2 = X iT K X i
(9.35)
Γ i = X iT F
(9.36)
(9.27)
(9.28)
siendo M ie , Cie , K ie y Fi e escalares, correspondientes a cada modo de vibración
T
a&&i (t ) + X i C X i a& i (t ) + X i K X i a i (t ) = X i F f (t ) .
Escribiendo de otra manera la Ec. (9.27) se tiene:
M ie a&&i (t ) + C ie a& i (t ) + K ie a i (t ) = Fi e f (t )
(9.32)
Y debido a que se normalizaron los modos respecto a la matriz de masas, o sea
X iT M X i = 1 , las Ecs. (9.27), (9.30), (9.31) y (9.32) podrían reducirse, según ello
estas quedarían así:
T
T
i
X iT F
X iT M X i
Entonces, finalmente de las Ecs. (9.34), (9.35) y (9.36) en (9.33) se obtiene:
e
i
“ i ”. Luego, al dividir la Ec. (9.28) entre M resulta :
a&&i (t) + 2 β i ω i a& i (t) + ω i ai (t) = Γ i f (t)
2
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
(9.37)
10
CAP. 9:ANÁLISIS SÍSMICO POR SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL
que representa las “ n ” ecuaciones modales de movimiento para un sistema
forzado considerando amortiguamiento.
Análogamente a la sección anterior, “ U ” se suele expresar como:
n
U = ∑ d i (t) Γ i X i
(9.38)
i=1
se puede apreciar con claridad que ai (t) = d i (t) Γ i al relacionar la Ec. (9.38) con la
Ec. (9.20). Donde “ d i (t) ” , como ya se indico, es el factor de participación dinámica
(dependiente del tiempo) y “ Γ i ” el factor de participación estática (independiente del
tiempo). Entonces la Ec. (9.37) quedaría expresada en función de “ d i (t) ”como sigue:
2
d&&i (t) + 2 β i ω i d& i (t) + ω i d i (t) = f (t)
(9.39)
De las Ecs. (9.38) y (9.39) observamos que la contribución de cada modo X i a la
respuesta está afectada por el factor de participación estática Γi y un factor de
participación dinámica d i (t) que resulta de la solución de una ecuación de un sistema
de un grado de libertad con la frecuencia natural ωi sometida a la función del tiempo
f (t ) .
Si la distribución de fuerzas dinámicas F (o para fuerzas estáticas) es
proporcional en cada masa al producto de la masa por su desplazamiento en el modo
j , es decir F α M X j , únicamente Γ j = X Tj F no será igual a cero y por
consiguiente sólo el modo j será excitado. El sistema vibrará manteniendo constante
la forma del modo j , o sea X j , variando solamente su amplitud, que dependerá de la
función f (t ) . En la mayoría de los casos prácticos el factor de participación estática
Γi tiende a decrecer para los modos más altos, es decir aquellos con valores altos de
frecuencias.
La importancia relativa del factor de participación dinámica d i (t ) para cada modo
será una función de la variación de f (t ) con el tiempo en relación con la frecuencia
natural ωi . Nuevamente, en general, las frecuencias más altas tendrán menor
amplificación y como resultado, la contribución de los modos altos en la respuesta no
será tan significativa. En la mayoría de casos prácticos solamente algunos modos (3 a
5 a lo más) serán suficiente para obtener una respuesta apropiada. (ello considerando
el problema plano; sin embargo si el problema se modela tridimensionalmente habrá
que triplicar este número).
Í
11
SECC. 9.5: ANÁLISIS MODAL PARA EXCITACIONES SÍSIMICAS
La determinación de d i ( t ) requiere la solución de la ecuación de movimiento
para un sistema de 1 GDL. Esta puede efectuarse tanto en el campo del tiempo como
en el campo de frecuencias.
Debe tenerse en cuenta que la aplicación del análisis modal requiere no solamente
que el problema sea lineal (ya que está basado en la superposición) sino también la
existencia de una matriz de amortiguamiento C apropiada que satisfaga la condición
de ortogonalidad. Si se usa un modelo de acoplamiento cercano (ver Cáp. 8) cada
masa estará conectada a la superior e inferior por un amortiguador y la matriz de
amortiguamiento tendría una forma similar a la de la matriz de rigidez:
⎡c1 + c2
⎢ −c
2
⎢
⎢ 0
C=⎢
⎢ :
⎢ 0
⎢
⎣⎢ 0
− c2
0
− c3
c2 + c3
− c3 c3 + c4
:
:
− cn −1
0
0
0
0 ..
0 ..
− c4 ..
:
cn −1 + cn
− cn
0 ⎤
0 ⎥⎥
0 ⎥
⎥
: ⎥
− cn ⎥
⎥
cn ⎦⎥
(9.40)
Otra forma de hacerlo es calcular una matriz de amortiguamiento con la siguiente
expresión
C = M Q B QT M
(9.41)
donde M es la matriz de masas, Q la matriz modal (conteniendo todas las formas
modales como columnas) y B es una matriz diagonal cuyo término iésimo es igual a
2β iωi (ver Cáp. 8).
En la mayoría de los casos, cuando se usa análisis modal, la matriz de
amortiguamiento ni siquiera se ensambla, sino que se comienza definiendo los
porcentajes modales de amortiguamiento β i y se los incorpora directamente en las
ecuaciones modales, Ec. (9.39).
9.5 ANÁLISIS MODAL PARA EXCITACIONES SÍSMICAS
En esta sección veremos cuando un sistema de varios grados de libertad está sometido
a una excitación sísmica, la que es representada usualmente como una aceleración
horizontal en la base.
Por simplicidad, para un mejor entendimiento de la expresión general,
demostraremos la expresión general basándonos en un sistema de vibración libre de
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
12
CAP. 9:ANÁLISIS SÍSMICO POR SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL
13
SECC. 9.5: ANÁLISIS MODAL PARA EXCITACIONES SÍSMICAS
2 GDL dinámicos en el que no se considerará el amortiguamiento. Además, en dicho
sistema se indicarán los desplazamientos absolutos “ u ” y relativos “ y ” (Fig. 9.2.a).
optaremos por trabajar con los desplazamientos relativos a la base, lo cual es
conveniente, puesto que las Ecs. (9.42) y (9.43) quedarán expresadas de una forma
ya tratada en el Cap. 8. El fundamento de lo dicho nuevamente será dado en breve
una vez que se obtengan las ecuaciones de movimiento en función de “ y ”.
u2
Observando la Fig. 9.2.b, vemos que los desplazamientos absolutos y lo
relativos a la base están relacionados mediante:
u1
u i = u G (t ) + y i
y2
y1
∆1
m2
k2
m 2 u&&2
u&&i = u&&G (t ) + &y&i
m2
k2∆2 = k2 ( y2 − y1 )
k2
m1
donde, para nuestro caso, “ i ” va de 1 a 2, puesto que estamos analizando un
sistema de 2 GDL dinámicos. Derivando dos veces la Ec. (9.44) tenemos:
∆2
m2
m1u&&1
m1
k2∆2 = k2 ( y2 − y1 )
m1 (u&&G (t ) + &y&1 ) + k1 y1 − k 2 ( y 2 − y1 ) = 0
m1
m 2 (u&&G (t ) + &y&2 ) + k 2 ( y 2 − y1 ) = 0
k1
luego, al reordenar estas ecuaciones se tiene:
u G (t )
m1 &y&1 + (k 1 + k 2 ) y1 − k 2 y 2 = −m1u&&G (t )
(9.46)
m 2 &y&2 − k 2 y1 + k 2 y 2 = −m 2 u&&G (t )
(9.47)
Fig.9.2.b
Fig.9.2.a
Movimiento
de la Base
Sistema
simplificado
(9.45)
Al reemplazar las Ecs. (9.44) y (9.45) en (9.42) y también en (9.43) se tiene:
k1∆1 = k1 y1
k1
(9.44)
Fig.9.2 (a) Sistema simplificado no forzado de 2 GDL dinámicos
(b) Movimiento de la base debido a una exitación sismica.
De la Fig. 9.2.b aplicando equilibrio dinámico para el primer y segundo nivel,
en ese orden, resulta:
m1u&&1 + k1 y1 − k 2 ( y 2 − y1 ) = 0
→
m1u&&1 + (k 1 + k 2 ) y1 − k 2 y 2 = 0
(9.42)
m 2 u&&2 + k 2 ( y 2 − y1 ) = 0
→
m 2 u&&2 − k 2 y1 + k 2 y 2 = 0
(9.43)
Como se pude observar las Ecs. (9.42) y (9.43) están en función de
desplazamientos absolutos “ u ” y desplazamientos relativos a la base “ y ”. Entre lo
absoluto y relativo podría optarse por escoger cualquiera de los dos. Sin embargo
Í
Ya reordenadas es fácil darse cuenta ahora que, como ya se dijo, fue
conveniente colocar las ecuaciones en función de los desplazamientos relativos a la
base ya que ecuaciones similares fueron tratadas en el Cap. 8, solo que en este caso
la fuerza, es decir el término −m i u&&G (t ) , depende de la masa “ m i ”y de la
aceleración del suelo o de la base “ u&&G (t ) ” . Expresado de otra manera, podemos
decir que las Ecs. (9.46) y (9.47) tienen por vector fuerza a “ F(t) ”dado por:
⎧ P f (t ) ⎫ ⎧ − m1 u&&G (t ) ⎫
F (t ) = ⎨ 1
⎬
⎬=⎨
⎩ P2 f (t )⎭ ⎩− m2 u&&G (t )⎭
Entonces, un sistema equivalente al sistema libre de la Fig. 9.2 vendría a estar
dado por el sistema forzado que se muestra en la Fig. 9.3:
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
14
CAP. 9:ANÁLISIS SÍSMICO POR SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL
⎧ &y& ⎫
Y&& = ⎨ 1 ⎬
⎩ &y&2 ⎭
∆1
∆2
⎡m
M =⎢ 1
⎣0
m 2 &y&2
m2
P2 f (t ) = − m 2 u&&G (t )
m1 &y&1
k1
⎧1⎫
I =⎨ ⎬
⎩1⎭
0⎤
m2 ⎥⎦
y
⎡k + k
K =⎢ 1 2
⎣ − k2
− k2 ⎤
k 2 ⎥⎦
Una expresión más general, para el sistema forzado con amortiguamiento de
2 GDL dinámicos que se muestra a continuación:
k2∆2 = k2 ( y2 − y1 )
P1 f (t ) = − m1 u&&G (t )
m1
e
son la matriz masa y de rigidez respectivamente.
k2∆2 = k2 ( y2 − y1 )
k2
⎧y ⎫
Y =⎨ 1⎬
⎩y2 ⎭
,
Son los vectores aceleración y desplazamiento relativos a la base, y el vector
columna 1 , en ese orden; además:
y2
y1
15
SECC. 9.5: ANÁLISIS MODAL PARA EXCITACIONES SÍSMICAS
k1∆1 = k1 y1
P2 f (t ) = −m2u&&G (t )
m2
c2
Fig. 9.3 Diagrama de cuerpo libre ( DCL ) del sistema simplificado forzado sin
amortiguamiento, expresado en desplazamientos relativos a la base “ y ”
k2
P1 f (t ) = −m1u&&G (t )
m1
Ordenando matricialmente las Ecs. ( 6.46) y ( 6.47 ) se tiene:
⎡m1
⎢0
⎣
0 ⎤ ⎧ &y&1 ⎫ ⎡k1 + k 2
⎨ ⎬+
m2 ⎥⎦ ⎩ &y&2 ⎭ ⎢⎣ − k 2
c1
− k 2 ⎤ ⎧ y1 ⎫ ⎧ − m1 u&&G (t ) ⎫
⎬
⎨ ⎬=⎨
k 2 ⎥⎦ ⎩ y 2 ⎭ ⎩−m 2 u&&G (t )⎭
k1
La ecuación anterior se suele escribir de la siguiente manera:
⎡m1
⎢0
⎣
0 ⎤ ⎧ &y&1 ⎫ ⎡k 1 + k 2
⎨ ⎬+
m 2 ⎥⎦ ⎩ &y&2 ⎭ ⎢⎣ − k 2
− k 2 ⎤ ⎧ y1 ⎫
⎡m1
⎨ ⎬ = −⎢
⎥
k 2 ⎦⎩ y 2 ⎭
⎣0
0 ⎤ ⎧1⎫
⎨ ⎬u&&G (t )
m 2 ⎥⎦ ⎩1⎭
Fig. 9.4 Sistema forzado con amortiguamiento de 2 GDL dinámico (con fuerzas
que dependen de las masas y de la acleración de la base), el cual es la
equivalencia del problema original mostrado en la “ Fig. 9.2 ”(un
sistema de vibración Libre de “ n ” GDL con amortiguamiento cuando
está sometida a una aceleración en el suelo o la base).
(9.48)
su notación matricial de una manera mas concisa sería:
M Y&& + K Y = − M I u&&G (t )
(9.49)
1
Se debe de tener bien claro, para lo concerniente al tema, que I es un vector columna cuyos elementos
son todos unos. No debemos confundirlo con la matriz identidad.
donde:
Í
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
16
CAP. 9:ANÁLISIS SÍSMICO POR SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL
es la siguiente expresión:
M Y&& + C Y& + K Y = − M I u&&G ( t )
⎛ n
⎞
⎛ n
⎞
⎛ n
⎞
M ⎜ ∑ a&&i (t) X i ⎟ + C ⎜ ∑ a& i (t) X i ⎟ + K ⎜ ∑ a i (t) X i ⎟ = − M I u&&G ( t )
⎝ i =1
⎠
⎝ i =1
⎠
⎝ i =1
⎠
(9.50)
Se debe enfatizar que la Ec. (9.50), expresada en desplazamientos relativos,
representa la ecuación para cuando se tiene un sistema de vibración libre de “ n ” GDL
con amortiguamiento cuando está sometido a una aceleración en la base (ver Fig. 9.2 ,
9.3 y 9.4).
Además, se debe recordar al lector que en el Cap. 8 se explicó como es que se
forma la matriz de amortiguamiento “ C ”. Además se muestran las condiciones que
debe cumplir dicha matriz para poder ser incluida en la Ec. (9.49) para finalmente
tomar la forma de la Ec. (9.50).
De la Ec. (9.50) con Y , Y& e Y&& los vectores de desplazamiento, velocidad y
aceleración relativos a la base ( Y = U − I uG ) e I vector cuyos elementos son
todos iguales a la unidad, y u&&G (t) la aceleración del suelo, procederemos a aplicar
descomposición modal presentada en la sección anterior.
Basados en la forma que tiene la Ec. (9.50), de forma análoga que en secciones
anteriores, se hará uso de la propiedad de los modos, puesto que, como ya se sabe, nos
permite expresar cualquier vector del espacio vectorial, por ellos definido, como una
combinación lineal de las formas modales y ciertos coeficientes. Para tal propósito se
supondrá que la solución de las ecuaciones de movimiento viene dada por:
17
SECC. 9.5: ANÁLISIS MODAL PARA EXCITACIONES SÍSMICAS
n
∑ [M X i a&&i (t) + C X i a& i (t) + K X i ai (t) ] = − M I u&&G ( t )
i=1
Luego al premultiplicar esta última ecuación por el vector
X Tj ( para
j = 1,2,K, n ), el cual es independiente de “ i ” , obtendríamos:
n
X Tj ∑ [M X i a&&i ( t ) + C X i a& i ( t ) + K X i ai ( t ) ] = − X Tj M I u&&G ( t )
i= 1
n
∑ [X Tj M X i a&&i ( t ) + X Tj C X i a& i ( t ) + X Tj K X i ai ( t ) ] = − X Tj M I u&&G ( t )
(9.54)
i= 1
Al aplicar las condiciones de ortogonalidad:
X Tj M X i = 0 para j ≠ i pero si
j =i
X iT M X i = 1
(9.55)
X Tj CX i = 0 para j ≠ i pero si
j =i
X iT C X i = 2 β i ω i
(9.56)
( Si C tiene una forma especial )
X Tj K X i = 0 para j ≠ i pero X iT K X i = ωi 2
(9.57)
n
Y = ∑ a i (t ) X i
i =1
(9.51)
en la Ec. (9.54), para “ j = i ” , ahora, esta sería:
X iT M X i a&&i (t) + X iT C X i a& i (t) + X iT K X i a i (t) = − X iT M I u&&G ( t )
derivando una vez obtendríamos:
(9.58)
n
Y& = ∑ a& i (t ) X i
i=1
(9.52)
derivando dos veces obtendríamos:
M ie a&&i (t) + C ie a& i (t) + K ie a i (t) = − Fi e u&&G (t )
n
Y&& = ∑ a&&i (t ) X i
i =1
De manera similar a lo hecho en secciones anteriores, al escribir la Ec. (9.58) de
otra manera se tiene:
(9.53)
al ser sustituidas las Ecs. (9.51), (9.52) y (9.53) en la Ec. (9.50), es decir,
sustituyendo este vector Y y sus derivadas Y&& y Y&& , expresadas en función de las
formas modales X i , las ecuaciones de movimiento que obtendríamos serían:
(9.59)
siendo M ie , Cie , K ie y Fi e escalares, correspondientes a cada modo de vibración
“ i ”. Luego, dividiendo la Ec. (9.59) entre M ie resulta :
a&&i (t) +
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
C ie
K ie
Fi e
Mi
Mi
M ie
& (t) +
e ai
(t) = −
e ai
u&&G (t )
(9.60)
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18
CAP. 9:ANÁLISIS SÍSMICO POR SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL
Siendo la Ec. (9.60) la que representa las “ n ” ecuaciones modales del
movimiento. Al observarla, vemos que posible realizar una analogía de ésta con el
caso cuando solo se tenía 1 GDL, o sea:
β i (%) =
e
i
e
i ( crítico )
C
C
=
C ie
2 M ie ω i
β (%) =
es equivalente a
c
c
=
c crítico 2mω
19
SECC. 9.5: ANÁLISIS MODAL PARA EXCITACIONES SÍSMICAS
a&&i (t) + 2 β iω i a& i (t) + ω i ai (t) = − Γ i u&&G (t )
2
(9.68)
que representa las “ n ” ecuaciones modales de movimiento para un sistema
forzado considerando amortiguamiento.
“ Y ” se suele expresar, al igual que en las secciones anteriores , como:
n
⇒
Ce
X T C Xi
= Ti
= 2β iω i
Me Xi M Xi
∴ 2β iω i =
X iT C X i
(9.61)
Y = ∑ d i (t ) Γ i X i
(9.62)
Al relacionar la Ec. (9.69) con la Ec. (9.51), vemos que a i ( t ) = di ( t ) Γi . Donde
“ d i (t ) ” , es el factor de participación dinámica (dependiente del tiempo) y “ Γ i ” el
factor de participación estática (independiente del tiempo). Luego la Ec. (9.68) en
función de “ d i (t ) ”quedaría expresada como:
X iT M X i
Se demostró también en la Secc. 9.4.1 que:
ω i2 =
X iT K X i
X iT M X i
2
d&&i (t ) + 2 β iω i d& i (t ) + ω i d i (t ) = − u&&G (t )
y que además, según la Secc. 9.4.2 , el factor de participación estática “ Γ i ”,
término que relaciona los modos y las matrices F y M, estaba dado por:
XTF
Γi = T i
Xi M Xi
(9.70)
En resumen la respuesta estará dada por:
n
Y = ∑ d i (t) Γ i X i
(9.71)
2
d&&i (t) + 2 β i ωi d&&i (t) + ω i d i (t) = -u&&G (t) para i = 1,2,..., n
(9.72)
i=1
solo que en este caso F = M I
Γ i = X Ti MI
quedando entonces, expresado como:
ó
T
X i MJ
(9.73)
1
(si el modelaje es tridimensional )
n
X TM I
Γi = Ti
=
Xi M Xi
∑m x
j
Hay dos formas de realizar el análisis modal:
ji
j =1
n
∑
(9.63)
m j (x ji )
a)
2
j =1
Teniendo en cuenta que las Ecs. (9.58), (9.59), (9.60) y (9.61) podrían reducirse
debido a que los modos fueron normalizados respecto a la matriz de masas, o sea
X iT M X i = 1 , según esto, dichas ecuaciones se escribirán así:
a&&i (t) + X i C X i a& i (t) + X i K X i ai (t) = − X i MI u&&G (t ) .
(9.64)
2 β iω i = X iT C X i
(9.65)
ω i2 = X iT K X i
(9.66)
Γ i = X iT M I
(9.67)
T
(9.69)
i= 1
T
T
Entonces en la Ec. (9.64) al reemplazar las Ecs. (9.65), (9.66) y (9.67), se tiene:
Í
Se puede resolver cada ecuación modal tanto en el dominio del tiempo como
en el de frecuencias es decir integrada directamente o haciendo un cambio de
variables de t a ω y resuelta en ese campo mediante el uso de las
transformadas de Fourier.
Es más usual lo primero en que la solución de la ecuación modal o sea toda
la historia en el tiempo de d i (t) es almacenada. Luego los modos se
superponen apropiadamente en cada intervalo de tiempo y el tiempo-historia
para cada efecto se revisa para encontrar su máximo valor. Esta superposición
tiene que ser repetida independientemente para cada efecto ya que los
coeficientes que afectan las respuestas modales (o sea las contribuciones de
cada modo a cada respuesta en particular) variarán de un efecto al otro. Por
ejemplo los desplazamientos de un piso relativo al terreno, la aceleración
absoluta de una masa o la fuerza cortante en una columna. Por consiguiente
1
Esto se verá mas adelante en la Secc. 9.7.1.
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
20
CAP. 9:ANÁLISIS SÍSMICO POR SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL
SECC. 9.6: ANÁLISIS DINÁMICO MODAL ESPECTRAL
21
este proceso es tedioso si se desea determinar muchas respuestas, como por
ejemplo todas las fuerzas en los elementos de un edificio. Nótese, sin
embargo, que la determinación de todas las fuerzas, momentos, cortes en una
estructura es un problema estático una vez que se aplica a cada pórtico un
juego de desplazamientos iguales a la forma modal X i . Estos valores
modales después serán multiplicados por d i (t) y Γ i .
b)
El análisis modal puede también llevarse a cabo manteniendo para cada
modo sólo la máxima respuesta d i,máx . Esto es particularmente conveniente
cuando se usa un espectro de respuesta para representar el movimiento, en
vez de un registro -que es precisamente el caso de los análisis sísmicos
especificados en los códigos de diseño- ya que el valor d i,máx se lee
directamente del espectro para el amortiguamiento deseado,
d i,máx = S d ( ω i , β i ) ; véase Cap. 5. Este procedimiento es el que se conoce
precisamente como análisis modal espectral.
Para ilustrar el primer procedimiento supongamos que el edificio de la Fig. 9.11
está siendo sometido a una aceleración de la base de 1.0 m/s² que actúa durante medio
segundo.
Fig. 9.5 Desplazamiento del piso superior. 1er y 2do modo
Pulso de 1m/s2 y td = 0.55 s en la base
9.6 ANÁLISIS DINÁMICO MODAL ESPECTRAL
Para simplificar el análisis supongamos que no hay amortiguamiento. La solución
de la Ec. (9.72) para el caso sin amortiguamiento y en que u&&G = 1 está dada por:
En este caso particular del análisis modal la respuesta máxima correspondiente al
modo i estará expresada como sigue:
(1 - cos ωi t)
(9.74)
Y i , máx = S di Γi X i
(9.75)
donde S di es el valor leído del espectro de respuesta que se está usando y que
puede ser el valor máximo de la solución de la ecuación modal:
d i (t) =
d i (t) =
1
ωi
2
1
ωi
2
para t ≤ t d
[ cos ωi (t - t d ) - cos ωi t]
para t > t d
Luego el desplazamiento para cada modo está dado por las siguientes expresiones,
aplicando la Ec. (9.71):
0.017000 (1 − cos 9.074 t )
− 0.000600 (1 − cos 33.05 t )
para t < 0.5
(9.76)
0.000017 (1 − cos 65.84 t )
Cuando t > 0.5 las expresiones se modifican de acuerdo a la Ec. (9.75).
La respuesta del desplazamiento del piso superior debido a los dos primeros modos
puede observarse en la Fig. 9.5. El modo 3 no tiene significación práctica.
2
d&&i (t) + 2 β i ω i d& i (t) + ω i d i (t) = - u&&G (t) con i = 1,2,...,n
(9.78)
ó el valor leído de un espectro teórico suavizado como los que se consignan en las
normas de diseño. Lo cierto es que en ambos casos del espectro se obtienen los
valores máximos de la aceleración, desplazamiento o velocidad para una frecuencia
determinada y un amortiguamiento fijo que son el dato de entrada para la expresión
(9.77)
El factor de participación estática tiene la expresión presentada anteriormente para
el caso de una excitación sísmica:
Γ i = X Ti MI ó X Ti MJ
(si el modelaje es tridimensional)
INGENIERÍA SISMORRESISTENTE
(9.77)
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
(9.79)
22
CAP. 9:ANÁLISIS SÍSMICO POR SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL
Nótese que los máximos para otros efectos como fuerzas en los elementos se
determinan para cada modo de un análisis estático, obteniendo los valores del juego
de desplazamientos Xi y multiplicándolos por S d y Γi .
9.6.1 Combinación Modal
En el análisis modal espectral la determinación del efecto debido a la
superposición de todos los modos sólo puede ser hecha de forma aproximada
combinando (ya no superponiendo) las respuestas o participaciones modales. Como es
poco probable que todas las respuestas máximas de los modos coincidan en el tiempo,
sumar los valores absolutos de los valores modales máximos sería demasiado
conservador. El procedimiento establece que se deben calcular los efectos modales
para la respuesta que se desee: desplazamientos, fuerzas globales, efectos locales en
los elementos, y combinarlos siguiendo diversos criterios. Tradicionalmente se
calculaba la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los máximos efectos (RCSC)
pero modernamente se están usando otras aproximaciones, cada una tratando de
acercarse a la respuesta predicha por el análisis tiempo-historia.
SECC 6.6.1: COMBINACIÓN MODAL
Para concluir quizás debería recordarse que como el análisis modal espectral
involucra claramente una aproximación en la combinación de los efectos modales, el
grado de precisión que se tiene en el uso del espectro suavizado o de un registro
sísmico en particular no parece justificar la necesidad de mayor precisión.
En forma sintetizada, un esquema que contiene los pasos para realizar el análisis
dinámico modal espectral estaría dado por:
Análisis Dinámico Modal Espectral
Modelación de la Estructura
Definición de las matrices de masas y rigidez
Solución del Problema de Valores Característicos
Determinación de las frecuencias y periodos
El Reglamento Nacional de Construcciones a través de su Norma de Diseño Sismo
Resistente [ Ref. 10 ] prescribe(ordena) para el caso en que se use análisis dinámico
modal espectral que los modos se combinen usando el promedio ponderado de la raíz
cuadrada de la suma de las respuestas al cuadrado (RCSC) con la suma de los valores
absolutos (Σ ABS).
Cálculo de los Factores de Participación Estática
0.25 ∑ ABS + 0.75 RCSC
(9.80)
Leer Espectros de Diseño:
Aceleraciones o Desplazamientos
Tradicionalmente se había usado sólo la RCSC pero se ha demostrado que es
insegura para edificios de más de 8 pisos [ Ref. 7 ]. La de la Norma Peruana de
1997 [ Ref. 8 ] sin embargo, se ha evaluado que es conservadora. Por otro lado, en la
Norma E-030 de 1997: Diseño Sismorresistente [ Ref. 10 ], se ha adoptado:
Cálculo de las Respuestas Modales
0.25 ∑ ABS + 0.75 RCSC
Combinación de las respuestas Modales para la
determinación de cada efecto
Fuerzas y deformaciones
(9.83)
También se está usando en otros países la llamada "Combinación Cuadrática
Completa", (CQC) (del Inglés: Complete Quadratic Combination) que es más
laboriosa de implementar pero que según sus promotores es más precisa que todas las
conocidas [ Ref. 9 ]. Esta expresada de la siguiente forma:
Rk =
∑ ∑ R ki ρ ij R kj
(9.84)
donde R representa las respuestas modales, desplazamientos o fuerzas. Y los
coeficientes de correlación están dados por:
ρij =
8 β 2 ( 1+r) r 3 / 2
( 1+ r 2 )2 + 4 β 2 r( 1+r )2
r=
ωj
ωi
(9.85)
Í
23
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
24
CAP. 9:ANÁLISIS SÍSMICO POR SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL
9.7 ANÁLISIS DINÁMICO SEUDO TRIDIMENSIONAL
Consideremos la edificación aporticada de 4 niveles mostrada en la Fig. 9.6. En
dicha figura se puede observar los elementos diafragmas rígidos, que juegan un papel
de suma importancia, puesto que distribuyen la fuerza horizontal, producida por el
movimiento en la base (excitación sísmica), sobre los elementos verticales. La
magnitud de la fracción de dicha fuerza sísmica que será tomada por cada elemento
vertical es función directa de sus rigideces, o sea, mientras mayor sea la rigidez del
elemento vertical tomará mayor fracción de la fuerza sísmica. Como ejemplo se podría
citar a los muros de corte, los cuales absorben, por no decir toda, gran parte de la
fuerza sísmica. Ello debido a su gran rigidez (esto se vio en el capítulo de rigideces).
25
SECC. 9.7: ANÁLISIS DINÁMICO SEUDO TRIDIMENSIONAL
significa que realmente de debe de hacerse 4 análisis: 2 en la dirección “ x ” y 2 en
la dirección “ y ”.
vp
θp
up
u&&G , y (t )
C.M
Diafragmas Rígidos
eacc eacc
y
u&&G , x (t )
x
Fig. 9.7 Vista de planta del piso “ p ” de la edificación de 4 niveles , donde se
muestra los sentidos de la eccentricidad “ eacc ” en dirección del eje
“ x ” (de manera similar se da en la dirección y).
La irregularidad torsional es el principal problema debido a que los giros en
planta tienen resultados adversos. Por esto debe tratarse que el giro en planta tienda
a cero. Magnitudes de giros tales como 10 -2 rad son malas [ Ref. 13 ].
u&&G , y (t )
z
y
x
u&&G , x (t )
Fig. 9.6 Vista tridimensional de una edificación de 4 niveles . Se indican los
diafragmas rígidos y la aceleración de la base en ambas direcciones.
La vista de planta del piso “ p ”de la Fig. 9.6 se muestra en la Fig. 9.7. En dicha
vista no sólo se aprecia 1 GDL como en el caso del análisis en el plano (como se
vio el Cap. 8) sino mas bien se observa 3 GDL que corresponden a los
dezplazamientos “ up ” y “ vp ”, y al giro del diafragma “ θ p ” (con respecto a un
eje perpendicular al plano que lo contiene). Además, el centro de masas ( C.M. )
debido a la excentricidad accidental “ eacc ” se mueve en ambas sentidos tal como
se muestra en la Fig. 9.7. Por ello, para obtener los mayores valores se deberá
resolver para dichos sentidos y escoger aquel que produzca los mayores efectos.
También se debe acotar que la excentricidad no solo se da en la dirección “ x ”
(en el cual se moverá en los dos sentidos ya indicados) sino también en la dirección
del eje “ y ” (en él que, de manera análoga, se moverá en ambos sentidos). Lo dicho
Í
Para realizar el análisis de un modelo seudo tridiemnsional se supone a la
estructura como un ensamble de pórticos planos, los cuales se encuentran
interconectados por un diafragma rígido. Lo que importa es el desplazamiento
horizontal a lo largo del alineamiento del pórtico (no el perpendicular a su plano).
Dicho desplazamiento puede describirse en función en de las tres componetes de
desplazamiento ( u o , vo y θ o ) que definen el movimiento del diafragma [ Ref. 11].
Para explicar tal relación entre dichos desplazamientos nos basaremos en la
Fig. 9.8:
vo
(xo , y o )
y
( xi , y i )
αi
x
Fig. 9.8.a Planta genérica
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
θo
uo
ui
26
CAP. 9:ANÁLISIS SÍSMICO POR SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL
vo
alineamien to
(xo , y o )
θo
αi
(xo , y o )
ui ' '
ui '
αi
αi
uo
(1)
(2)
T
vo
(9.90)
θo
ri
( xi , y i )
αi
Vi = k Li G i .u o
Luego de haber visto que es posible realizar el análisis considerando solo 3
GDL, los cuales definen el desplazamiento del diafragma, proseguiremos a definir
el momento polar de inercia “ J ”, el cual representa una medida de inercia
rotacional. Para efecto del análisis se descompondrá en la suma de momentos
polares de inercia. Veamos primeramente la expresión general para una placa de
masa “ Mp ” situada en e plano xy (ver Fig. 9.9 ), luego veremos lo concerniente a
nuestro caso.
ui
x
27
Para una explicación más detallada véase Ref. 11 y 13.
uo
(xi , yi ) ri
y
SECC. 9.7: ANÁLISIS DINÁMICO SEUDO TRIDIMENSIONAL
J Mp = m p ( I x + I y )
ui ' ' '
(3)
n
r
Fig. 9.8.b Relación entre las coordenadas que describen el desplazamiento del
diafragma y el desplazamiento ( ui ) del pórtico “ i ”.
Debido a que no importa el desplazamiento perpendicular a su plano sino mas
bien el desplazamiento a lo largo de su alineamiento ( ui ) de la Fig. 9.8.b se tiene
que:
u i = u i ' +u i ' ' +u i ' ' '
u i = u o cos α i + vo sen α i + θ o ri
y
ri = (x i − xo ) senα i − ( y i − y o ) cos α i
M
(J )
A
Dicha expresión general correspondiente a la Fig. 9.9 es:
(9.86)
(9.87)
J Mp = ∫ r 2 dM p
Para nuestro caso, como se dijo , se obtendrá el momento polar de inercia
sumando aquellos según como se muestra en la Fig. 9.10:
y
dM p
(9.88)
La fuerza “ Vi ” producida en el pórtico, función de su rigidez lateral (kLi) y de
su desplazamiento (ui), tambien puede ser calculada en función de las coordenadas
que definen el desplazamiento del diafragma.:
Vi = k Li ui
J Mp =
Fig. 9.9 Esquema para el hallar la expresión del Momento Polar de Inercia de
una Placa de masa “ Mp ” situada en el plano xy.
De la Fig. 9.8.b.(3) usando relaciones vectoriales se tiene que:
ri = T .n = (x i − xo , y i − y o )(. senα i ,− cos α i )
dM p
x
La Ec. (9.86) escrita vectorialmente es:
⎧u o ⎫
⎪ ⎪
ui = (cos α i , senα i , ri )⎨vo ⎬ = G i .u o
⎪θ ⎪
⎩ o⎭
J Mp = m p ( J )
(9.89)
r
x
=
J Mp = ∫ r 2 dM p =
Jx
+
+
Jy
Fig. 9.10 Esquema para el hallar la expresión del momento polar de inercia de
una placa de masa “ Mp ” situada en el plano xy.
usando la Ec. (9.87):
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28
CAP. 9:ANÁLISIS SÍSMICO POR SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL
En el análisis dinámico seudo tridimensional la dirección del sismo se toma a
través del factor de participación. O sea:
Para cada
modo
Γi , x
→ Sismo actuando en " x"
Γi , y
→ Sismo actuando en " y"
Al trabajar por separado en cada dirección se tiene para:
fuerzas solo en “ x ” :
M Y&& + C Y& + K Y = − M J x uG , x
(9.93)
fuerzas solo en “ y ” :
M Y&& + C Y& + K Y = − M J y u G , y
(9.94)
Γ i ,θ
9.7.1 Análisis Modal Seudo Tridimensional
Para este análisis los vectores desplazamientos y aceleraciones son:
Yi = S di Γi X i
U&& = S Γ X
i
ai
i
donde:
(9.91)
i
Sabemos por lo visto en las secciones iniciales del presente capítulo que para un
análisis plano el factor de participación es:
Γi =
y
⎧0⎫
⎪:⎪
⎪ ⎪
⎪0⎪
⎪ ⎪
⎪1⎪
⎪ ⎪
J y = ⎨:⎬
⎪1⎪
⎪ ⎪
⎪0⎪
⎪ ⎪
⎪:⎪
⎪⎩0⎪⎭
“n“
componentes
“n“
componentes
“3n“
“n“
componentes
9.8 EJEMPLO DE APLICACIÓN
X T M Xi
El edificio cuya planta y elevaciones se muestran en la Fig. 9.11 ha sido modelado
considerando tres grados de libertad por piso: dos desplazamientos horizontales u ,
v , y un giro en planta θ . Esto da origen a 12 grados de libertad dinámicos: 4 pisos x 3
GDL por piso.
i
Para el análisis seudotridimensional se tiene:
X TM Jx
i
X TM Xi
Γi ,y =
y
i
XTM Jy
i
(9.92)
X TM Xi
i
⎡M x
M = ⎢⎢ [0]
⎢⎣ [0]
⎡m1
⎢0
Mx = My = ⎢
⎢ :
⎢
⎣0
[0] [0]⎤
[0]⎥⎥
My
[0]
0
m2
:
0
Usando el programa "A3s" 1, versión 4 (1991) desarrollado por el Dr. Hugo
Scaletti de la Universidad Nacional de Ingeniería se ha efectuado un análisis dinámico
seudo-tridimensional, modelando el edificio a base de pórticos y muros o placas.
La solución del problema de valores propios o característicos da como resultado
las frecuencias (períodos ya ordenados de mayor a menor), formas de modo y factores
de participación. A continuación se presentan los valores numéricos para los 8
primeros modos, de un total de 12. Los modos son vectores con tres componentes por
piso o nivel, cada una correspondiendo a los grados de libertad dinámicos. Su
dimensión real es (12x1) en este caso ó (3nx1). La primera columna (u) corresponde a
sus componentes en la dirección X , la segunda columna (v) a las componentes en la
dirección Y y la tercera a las componentes de giro ( θ ). Las filas corresponden a cada
piso . Las formas de modo están normalizadas, es decir X Ti M X i = 1 .
siendo definida la matriz de masas M como:
y
⎧ u1 ⎫
⎧1⎫
⎪:⎪
⎪:⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪u n ⎪
⎪1⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ v1 ⎪
⎪0⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
Y = ⎨ : ⎬, J x = ⎨: ⎬
⎪0⎪
⎪v ⎪
⎪ ⎪
⎪ n⎪
⎪0⎪
⎪θ 1 ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪:⎪
⎪:⎪
⎪⎩0⎪⎭
⎪⎩θ n ⎪⎭
XTM I
i
Γ i ,x =
29
SECC. 9.8: EJEMPLO DE APLICACIÓN
J o ⎥⎦
0⎤
0 ⎥⎥
:. : ⎥
⎥
0 mn ⎦
..
..
además Jo es la matriz de momentos polares de inercia de la masa.
Í
1
Este programa usa como separador decimal el punto y no la coma.
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
30
CAP. 9:ANÁLISIS SÍSMICO POR SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL
SECC. 9.8: EJEMPLO DE APLICACIÓN
Fig. 9.11 Edificio de 4 pisos. Ejemplo de aplicación
Fig. 9.11 Edificio de 4 pisos. Ejemplo de aplicación.
(b) Elevaciones
(a) Planta
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
31
32
CAP. 9:ANÁLISIS SÍSMICO POR SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL
MODO 1
T = .6925 seg f = 1.4441 Hertz,
ω = 9.074 rad/seg
Nivel
4
3
2
1
u
v
.203504 -.000071
.163405 -.000070
.107715 -.000059
.045146 -.000040
Factores de Participación:
6.959185 -.003430
MODO 2
T = .1901 seg f=5.2606 Hertz
ω = 33.053 rad/seg
u
v
θ
Nivel
-.000023
-.000028
-.000023
-.000015
.238364
.021132
-.146275
-.125810
.000998
.000981
.000940
.000697
.000319
.000294
.000297
.000230
4
3
2
1
MODO 3
T = .0954 seg f = 10.4788 Hertz
ω = 65.840 rad/seg
-2.639089
.052041
.546903
MODO 4
T = .0945 seg f=10.5837 Hertz
ω = 66.500 rad/seg
Nivel
u
v
θ
u
v
θ
4
3
2
1
-.101434
.054347
.013816
-.086816
.140142
.130545
.102608
.058343
.007967
.007733
.006220
.003793
.187837
-.107718
-.009803
.148186
.079009
.073480
.056968
.031241
.004222
.004060
.002995
.001410
Factores de Participación:
-.679863 6.050405
MODO 7
T = .0319 seg f = 31.3972 Hertz
ω = 197.274 rad/seg
θ
-.043786
12.184690
1.232911 3.368265 5.948236
MODO 5
T = .0670 seg f = 14.9365 Hertz
ω = 93.849 rad/seg
MODO 6
T = .0581 seg f=17.1984 Hertz
ω = 108.061 rad/seg
Nivel
u
v
θ
u
v
θ
4
3
2
1
-.109810
.110824
-.142864
.138948
.017752
.015356
.011724
.004663
-.004659
-.004346
-.003359
-.002505
-.019704
.018992
-.025454
.029646
-.058716
-.048260
-.036213
-.018933
.027787
.025470
.019961
.011124
Factores de Participación:
.764115
.680903
-6.989503
.193751 -2.210295 39.458440
INGENIERÍA SISMORRESISTENTE
33
SECC. 9.8: EJEMPLO DE APLICACIÓN
u
v
-.000582 .187761
.000247 .074525
.000776- .118627
-.002348- .149932
Factores de Participación:
-.019667
-1.828819
MODO 8
T = .0216 seg f= 46.3189 Hertz
ω = 291.030 rad/seg
θ
u
v
θ
.007484
.005383
-.005540
-.007965
.000295
.000050
-.111400
.002601
.236363
-.062996
-.080886
.101583
-.016025
-.006327
.007818
.018901
-2.461876
.020819
.368742 6.904037
Las masas y el momento polar de inercia de las mismas son las siguientes: (t - s 2 /m)
Nivel
xo
yo
Masa (x ó y)
Jo
4
3
2
1
8.50
8.50
8.50
8.50
4.10
4.87
4.87
6.50
6.40E+00
1.84E+01
1.84E+01
1.48E+01
2.16E+02
6.14E+02
6.14E+02
5.00E+02
donde xo e yo corresponden a las coordenadas del centro de masas. (m)
Con estos valores se ha formado la matriz (M) de masas, que es una matriz
diagonal de 12x12. Los cuatro primeros términos corresponden a la masa de cada piso
en la dirección X , o sea M x , los siguientes 4 son las mismas masas que
corresponden a la dirección Y , o sea M y y los últimos 4 son los momentos polares
de inercia de la masa, J 0 .
⎡M x
M = ⎢⎢ [0]
⎢⎣ [0]
[0] [0]⎤
M y [0]⎥⎥
[0] J o ⎥⎦
Los factores de participación Γ i se han calculado aplicando la expresión (9.16)
Γ i = X Ti MJ
(9.16)
donde J es un vector con unos y ceros dependiendo de donde proviene el sismo que
se está considerando. Recuérdese que al momento de desacoplar las ecuaciones de
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
34
CAP. 9:ANÁLISIS SÍSMICO POR SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL
movimiento mediante la descomposición modal, éstas (las ecuaciones de movimiento)
se plantean por separado para cada dirección de la aceleración de la base. Por
consiguiente si el sismo es en la dirección X habrá que colocar 1s en los primeros
n componentes de J y el resto cero. Si el sismo es en la dirección Y , serán 1s desde
n + 1 hasta 2n y el resto cero. Veamos:
⎧ {1}⎫
⎧{0}⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪
J x = ⎨{0}⎬, J y = ⎨ {1}⎬
⎪{0}⎪
⎪{0}⎪
⎩ ⎭
⎩ ⎭
y
⎧{0}⎫
⎪ ⎪
J θ = ⎨{0}⎬
⎪ {1}⎪
⎩ ⎭
35
SECC. 9.8.2: DESPLAZAMIENTOS
Por ejemplo, para determinar el desplazamiento en el piso superior cuando el
sismo actúa en la dirección X se aplicará la expresión (9.77) para cada modo.
Los valores espectrales del desplazamiento S d se leen del espectro de
desplazamientos, o como en este caso en que se tiene como dato el espectro de
aceleraciones S a , se calcula S d usando la relación que existe entre ellos mediante
2
S d = S a / ω (véase Cap. 5).
Las valores para cada modo son:
Por ejemplo Γ 1x , el factor de participación estática para el primer modo cuando el
sismo actúa en la dirección X es:
Γ 1x = X T1 M J x
(9.95)
J x = [(1111) (0 0 0 0) (0 0 0 0)]
(9.96)
T
Al efectuar el producto matricial debido a que sólo los cuatro primeros términos de
J son 1s, el resto no contribuye, por lo que (9.25) equivale a multiplicar solamente
los cuatro primeros términos de la matriz de masa por las componentes de la forma
modal correspondientes a la dirección X .
Modo
1
2
3
4
5
6
7
8
ω
Sa
2
rad/s
9.074
33.053
65.840
66.500
93.849
108.061
197.274
291.030
m/ s
8.060E-01
1.330E+00
1.330E+00
1.330E+00
1.330E+00
1.330E+00
1.330E+00
1.330E+00
Γi
Sd
m
9.790E-03
1.217E-03
3.068E-04
3.008E-04
1.510E-04
1.139E-04
3.418E-05
1.570E-05
xi
6.959185
-2.639089
-.679863
1.232911
.764115
.193751
-.019667
.020819
yi
m
.203504 .013865
.238364 -.000766
-.101434 .000021
.187837 .000070
-.109810 .000041
-.019704 .000000
-.000582 .000000
.000295 .000000
4
∑ ABS = .014763
i =1
RCSC
Γ 1x = ∑ u i m i
Γ 1x = 6.4 x.203504+18.4 x.163405+18.4 x.107715+14.8 x.045146 = 6.95919
Aplicando la combinación del RNC, o sea el promedio ponderado de ambos
valores se tiene:
9.8.1 Cálculo de Respuestas Modales
Para proseguir con el análisis sísmico usando el análisis dinámico modal espectral, es
necesario considerar el sismo mediante un espectro de diseño. En este caso se ha
usado el espectro de las Normas Peruanas (8) RNC, con un factor de reducción por
ductilidad Rd = 3. Este espectro considera un porcentaje de amortiguamiento ( β ) del
5%.
9.8.2 Desplazamientos
Los desplazamientos correspondientes a cada modo se obtienen aplicando la Ec. (9.77)
Y i = S di Γ i X i
(9.77)
y luego combinando estas contribuciones usando la combinación estipulada en el
RNC.
Í
= .013886
0.25 ∑ ABS + 0.75RCSC) = 0.0141 m
(9.97)
De manera análoga se obtiene, para los restantes pisos (niveles), los
correspondientes desplazamientos para el sismo en la dirección X (en metros):
r
y
Nivel
x
4
3
2
1
1.411E-02
1.120E-02
7.593E-03
3.336E-03
5.598E-05
5.216E-05
4.118E-05
2.351E-05
5.033E-06
5.077E-06
4.166E-06
2.648E-06
Como puede observarse, los desplazamientos en la dirección Y debidos al sismo
en la dirección X son muy pequeños, igualmente los giros en planta. Indicando que
hay poca influencia de la torsión. Los desplazamientos reales, de acuerdo a la Norma,
serán los calculados en el análisis anterior multiplicados por 0.75 Rd , o sea por 2.25 .
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
36
CAP. 9:ANÁLISIS SÍSMICO POR SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL
En este caso el máximo
2.25 x 1.43 cm = 3.22 cm .
desplazamiento
del
piso
superior
será
Fuerzas Concentradas (en toneladas)
y
Nivel
x
r
4 1.264E+01 1.561E+00 4.443E+00
3 2.096E+01 4.085E+00 1.187E+01
2 1.936E+01 3.211E+00 9.324E+00
1 1.297E+01 1.458E+00 4.627E+00
∑ = 65.93 t
Cortantes en Cada Nivel (en toneladas)
y
x
r
Nivel
4 1.264E+01 1.561E+00 4.443E+00
3 2.953E+01 5.613E+00 1.631E+01
2 3.849E+01 8.757E+00 2.541E+01
1 4.597E+01 1.017E+01 2.990E+01
Nótese primeramente que la distribución de las fuerzas en altura no es triangular.
Asimismo se puede observar que el cortante en la base calculado superponiendo
directamente los cortantes que se obtienen en cada modo (como debe ser), son
menores que si se calcularan sumando las fuerzas resultantes en cada piso, como se
haría en el análisis estático. La fuerza cortante en la base es de 45.97 toneladas,
mientras que si se suman las fuerzas de cada piso se obtiene 65.93 t. Recuerde que la
combinación es la última operación que se realiza para obtener cualquier efecto.
Las fuerzas pueden obtenerse de dos maneras:
a)
determinar los cortantes habrá que calcularlos para cada modo, con
cualquiera de los procedimientos mencionados. Recuérdese que la solución
del pórtico o del edificio para cada modo es un problema estático, de manera
que aplicando al pórtico los desplazamientos de un modo se pueden
determinar todos los efectos, tanto globales como locales y luego combinar la
contribución de cada modo para cada efecto por separado.
de
9.8.3 Fuerzas
Se pueden determinar las fuerzas globales, como cortes y fuerzas aplicadas en cada
piso, para todo el edificio o para cada pórtico, o también los efectos locales, o sea
momentos, cortes, fuerzas axiales en cada viga y columna. En cada caso, como se ha
visto previamente en la teoría, es necesario efectuar la combinación de las
contribuciones modales para cada efecto por separado. Es teóricamente incorrecto
obtener efectos modales de cortantes, calculándolos a partir de las fuerzas aplicadas ya
combinadas. Los resultados son muy distintos, como puede apreciarse de los valores
que se presentan a continuación.
Efectos Globales - Sismo actuando según la Dirección X
Determinando las aceleraciones modales para cada modo y multiplicando por
las masas o,
b) Determinando los desplazamientos de cada modo y multiplicando por la
matriz de rigidez lateral. En cada caso se usará la que corresponda, la de todo
el edificio si se desean valores globales, o la de cada pórtico -con los
desplazamientos de cada pórtico- si se desean los efectos por pórtico. Para
37
SECC. 9.8.3: FUERZAS
A continuación se ilustra el primer procedimiento; es decir, determinando las
fuerzas en función de las aceleraciones para cada modo. Las aceleraciones modales se
obtienen aplicando la siguiente expresión:
(9.98)
Y&&i = S ai Γ i X i
y luego combinando estas contribuciones usando el procedimiento estipulado en el
RNC (8).
Por ejemplo, para determinar la fuerza global que se presenta en el piso superior de
todo el edificio cuando el sismo actúa en la dirección X se aplicará la expresión
(9.28) para determinar la contribución de la aceleración en cada modo y luego la
fuerza correspondiente.
Los valores espectrales de la aceleración Sa se leen directamente del espectro de
aceleraciones Sa .
Los valores para cada modo son:
Modo
1
2
3
4
5
6
7
8
ω
Sa
Γi
xi
rad/s
m/ s
9.074
33.053
65.840
66.500
93.849
108.061
197.274
291.030
.806
1.330
1.330
1.330
1.330
1.330
1.330
1.330
u&&i
Fi
2
2
6.959185 .203504
-2.639089 .238364
-.679863 -.101434
1.232911 .187837
.764115 -.109810
.193751 -.019704
-.019667 -.000582
.020819 .000295
m/s
t
1.141475
-.836655
.091718
.308010
-.111597
-.005078
.000015
.000008
7.305439
-5.354591
.586998
1.971263
-.714220
-.032496
.000097
.000052
∑ ABS =15.9650
RCSC
=9.3167
Aplicando la combinación de la Norma Peruana (8), o sea el promedio ponderado
de ambos valores se tiene
0.25 ∑ ABS + 0.75RCSC) = 10.98 toneladas
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
(9.99)
38
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CAP. 9:ANÁLISIS SÍSMICO POR SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL
Obsérvese que esta fuerza está constituida por contribuciones importantes del
primero, segundo y cuarto modos. La fuerza debida al 2° modo es el 70% del 1° Y la
del 4° modo es el 27% de la del 1o. Por lo tanto se aprecia que para la determinación
de fuerzas que actúan sobre la estructura el análisis dinámico es una herramienta más
adecuada considerando acciones que un análisis estático no puede representar.
En el caso de la determinación de desplazamientos sin embargo la contribución de
los modos superiores es prácticamente despreciable. En la primera parte de este
ejemplo para determinar el desplazamiento del piso superior, se puede observar que el
desplazamiento del 2o. modo solo representa el 5% del 1o. Por lo tanto bastaría
considerar los desplazamientos debidos únicamente al primero y ahorrarse la
combinación modal.
REFERENCIAS
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REFERENCIAS
1.
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curso Fundamentals of Earthquake Engineering for Buildings .
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2.
Röesset, J.M. Structural Dynamics. Notas de clase. Massachusetts
Institute of Technology. Cambridge, Mass. 1974.
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Clough, R.W. & Penzien, J. Dynamics of Structures. McGraw-Hill. New
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Okamoto, S. Introduction to Earthquake Engineering. Halsted Press.
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7.
Piqué, J., Echarry, A. A modal combination for Dynamic Analysis of
Reinforced Concrete Frames. 9a. Conferencia Mundial de Ingeniería
Antisísmica. Tokyo-Kyoto. Japón. 1988
8.
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Diseño Sismo Resistente. Lima, 1977
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Wilson, E.L., Der Kiureghian, A., Bayo, E.P. A Replacemente for the
SRSS Method in Seismic Analysis Journal of Earthquake Engineering
and Structural Dynamics, Vol. 9, 187'194. 1981
10.
SENCICO, Ministerio Transportes Comunicaciones Vivienda y
Construcción. Norma Técnica de Edificación, NTE E-030 Diseño
Sismorresistente. Lima, 1997
11.
Piqué, J., Scaletti, H., Análisis Sísmico de Edificios, Ediciones Capítulo
de Ingeniería Civil. Lima, Perú. 1991
12.
Bazán, E., Meli, R. Diseño Sísmico de Edificios, Editorial Limusa.
Balderas, México. 2002
13.
Scaletti, H., "Análisis Sísmico Seudo Tridimensional" en Notas del curso
de Análisis Estructural II . Universidad Nacional de Ingeniería. Lima,
Perú. 2003
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO