HOJA 3
TEORÍA Y EJERCICIOS DE LOS INTERVALOS
Alguna vez hemos escuchado que se ha averiado un tramo de una carretera. Por ejemplo, nos
dicen que entre los kilómetros 12 y 18 de la carretera nacional hay retenciones.
Km. 12
Km. 18
A un tramo de la recta numérica se le llama intervalo.
Un intervalo de números reales es el conjunto de números que corresponden a una parte de la
recta numérica comprendida entre dos números, en consecuencia, un intervalo es un
subconjunto del conjunto de los números reales.
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
1. Símbolos
• Desigualdades estrictas.
La desigualdad a < b significa que a es menor que b.
La desigualdad a > b significa que a es mayor que b.
En cualquier caso el vértice del ángulo siempre apunta al menor de los números.
• Desigualdades no estrictas.
La desigualdad a ≤ b significa que a es menor o igual que b.
La desigualdad a ≥ b significa que a es mayor o igual que b.
2. Propiedades básicas
• Reflexiva:
Se cumple siempre que a
• Antisimétrica:
Si
a ≤ b
y
a ≥ b entonces se concluye que a = b.
Cuando a y b no son iguales ponemos a ≠ b.
• Transitiva:
Si
y
b
≤
≤
a
≤
b
a ≤ b
y
c ≤ d , entonces
Ejemplo:
3
≤
a.
c , entonces
se concluye que
a ≤ c.
2. Otras propiedades
• De la suma:
Si
5
y
−2
≤
a + c
1
≤
b + d
entonces 1
≤
6 (sumados).
• De la multiplicación:
o
o
≤
b
y
c > 0
Ejemplo:
Si
a
3
≤
5
Si
≤
b
y
c < 0
Ejemplo:
3
≤
5
a
• De la inversa:
Si
entonces a · c
entonces
entonces
|a| ≤ b
≤
≤
10
−6
b · c.
(si multiplico por 2)
entonces a · c
a ≤ b entonces
• Del valor absoluto: Si
6
≥
≥ − 10
1
1
≤
.
b
a
significa que
b · c.
(si multiplico por − 2)
1
1
≤
5
3
Si 3 ≤ 5 entonces
−b ≤ a ≤ b
INTERVALOS
• El intervalo abierto (a, b), o también ]a, b[
está formado por los números reales comprendidos entre a y b excluidos a y b.
Se expresa: (a, b) = {x ∈\ / a < x < b}
Ejemplo: El intervalo (-1, 3) = {x ∈\ / -1 < x < 3}
-2 -1 0
En cualquiera de estos intervalos a y b se llaman extremos del intervalo.
Se llama longitud o amplitud del intervalo a la diferencia b − a.
1
2
• El intervalo cerrado [a, b]
está formado por los números reales comprendidos entre a y b incluidos a y b.
Se expresa: [a, b] = {x ∈\ / a ≤ x ≤ b}
Ejemplo: El intervalo [-1, 3] = {x ∈\ / -1 ≤ x ≤ 3 }
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TEORÍA Y EJERCICIOS DE LOS INTERVALOS
• El intervalo semiabierto por la izquierda (a, b]
está formado por los números reales comprendidos entre a y b incluido solo b.
Se expresa: (a, b] = {x ∈\ / a < x ≤ b}
Ejemplo: El intervalo (-1, 3] = {x ∈\ / -1 < x ≤ 3 }
-1 0
1
2
3
• El intervalo semiabierto por la derecha [a, b)
está formado por los números reales comprendidos entre a y b incluido solo a.
Se expresa: [a, b) = {x ∈\ / a ≤ x < b}
Ejemplo: El intervalo [-1, 3) = {x ∈\ / -1 ≤ x < 3 }
-1
0
1
2
3
SEMIRRECTAS
Otros intervalos que se consideran en la recta son los intervalos no acotados.
Estos intervalos se llaman por derecho propio semirrectas.
• Semirrecta cerrada no acotada superiormente [a, + ∞)
está formado por los números reales mayores o iguales que a.
Se expresa: [a, + ∞) = {x ∈\ / x ≥ a}
Ejemplo: El intervalo [-1, + ∞) = {x ∈\ / x ≥ -1}
-1
• Semirrecta abierta no acotada superiormente (a, + ∞)
está formado por los números reales mayores que a.
Se expresa: (a, + ∞) = {x ∈\ / x > a}
Ejemplo: El intervalo (-1, + ∞) = {x ∈\ / x > -1}
-1
0
1
2
3
0
1
2
3
-1
0
1
2
3
-1
0
1
2
3
• Semirrecta cerrada no acotada inferiormente (- ∞, a]
está formado por los números reales menores o iguales que a.
Se expresa: (- ∞, a] = {x ∈\ / x ≤ a}
Ejemplo: El intervalo (- ∞, 3] = {x ∈\ / x ≤ 3}
• Semirrecta abierta no acotada inferiormente (- ∞, a)
está formado por los números reales menores que a.
Se expresa: (- ∞, a) = {x ∈\ / x < a}
Ejemplo: El intervalo (- ∞, 3) = {x ∈\ / x < 3}
Otras formas
El conjunto de los números reales \ = (- ∞, + ∞)
El conjunto vacío, que no contiene ningún número se representa con el símbolo ∅.
ENTORNOS
Se llama entorno de centro a y de radio r, y se escribe E(a, r) al intervalo que tiene como
longitud 2r y en cuyo centro está el número a. Resumiendo, el entorno E(a, r) se puede
expresar de varias formas:
1) El intervalo abierto (a − r, a + r)
2) El conjunto numérico {x∈\/ a − r < x < a + r}
3) Los valores que cumplen la ecuación |x − a| < r
4) Los valores cuya distancia en la recta al número a es menor que r.
OPERACIONES CON INTERVALOS
• Unión de intervalos
Son los números que pertenecen al menos a uno de los intervalos.
Puede ser otro intervalo o no serlo. Se expresa con el símbolo ∪.
Ejemplos: [-3, 2) ∪ (-1, 4] = [-3, 4]
(-1, 2) ∪ (2, 3) no es intervalo
-3
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1
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HOJA 3
TEORÍA Y EJERCICIOS DE LOS INTERVALOS
• Intersección de intervalos
Son los números que pertenecen a la vez a ambos intervalos.
Puede ser otro intervalo o el conjunto vacío. Se expresa con el símbolo ∩.
Ejemplos: [-3, 2) ∩ (-1, 4] = (-1, 2)
(-1, 2) ∩ (2, 3) = ∅
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
4
0
1
2
3
• Resta de intervalos
Son los números que pertenecen a un intervalo pero no al otro.
Puede ser otro intervalo o no serlo. Se expresa con el símbolo − .
Ejemplos: [-3, 2) − (-1, 4] = [-3, −1]
(-1, 2) − (0, 1) = (-1, 0] ∪ [1, 2)
(0, 1) − (-1, 2) = ∅
-3
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-1
0
1
2
3
4
-1
0
1
2
Ejercicios
1. Halla el punto medio del intervalo: [-6, -2’5]. Pon el intervalo como entorno de ese punto.
2. Halla y representa en la recta numérica los siguientes intervalos:
a) (1, 5) ∩ [4, 6]
b) [-4, 7] ∪ (4, 8]
c) (-3, 6] – [2, 7]
d) [-2, 7) ∪ (0, 3)
e) [-2, 7) − (4, 13)
f) [-2, 0’5) ∩ [−0’5, 13)
3. Escribe en forma de intervalo y representa los números que cumplen las condiciones
indicadas en cada caso.
a) Todos los números reales comprendidos entre -2 y 4, ambos incluidos.
b) Todos los números mayores que 0.
c) Todos los números menores que 3.
d) Todos los números comprendidos entre 4 y 8, incluido el 4.
e) Todos los números menores o iguales que -5.
f) Todos los números comprendidos entre -1 y 2, incluyendo el-1 y no el 2.
4. Considera los siguientes números: 1, -1‘5, 3, 0,
a) Indica cuáles pertenecen al intervalo [-1, 2]
b) ¿Cuáles pertenecen al intervalo (2, +∞)?
1’3,
2,
-0’85,
2’6,
0’46
5. Escribe en forma algebraica y representa los siguientes intervalos.
a) (-3, 5]
d) (-6, 2)
b) (0, 12)
e) [8, 13]
c) [1, 2’5]
f) [-10, 10)
6. Representa y expresa algebraicamente las siguientes semirrectas.
a) (- ∞, -1)
d) (- ∞ ,7)
b) [-9 , +∞)
e) (- ∞, 3’5]
c) ( 4 , +∞)
f) [5 , +∞)
7. Expresa mediante intervalos y algebraicamente los conjuntos numéricos dados:
a)
d)
0
-8
1
-7
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-6
2
3
-5
-4
4
-3
b)
e)
-8
-7
-0.25
0
-6
-5
0.25
-4
-3
0.5
c)
f)
-3
-2
-1
0
1
2
200 300 400 500 600 700 8
HOJA 3
TEORÍA Y EJERCICIOS DE LOS INTERVALOS
8. Halla el intervalo correspondiente a estas inecuaciones:
3
7
≤x≤6
b)
c) −11 < x ≤ −1
a) x ≤
2
3
5
2
e) x <
f) −4 < x <
g) x > 7
7
2
d) −
3
3
≤x<
4
8
h) −5 ≤ x ≤ 15
9. Halla el intervalo correspondiente a estas inecuaciones:
a) x – 1 > 0
b) x + 1 < 2
c) −2 ≤ x + 3 ≤ 1
d) −2 ≤ 3 − x < 4
e) 2x – 4 ≤ 0
f) 1 − 2x ≥ 5
g) −7 < 2x + 3 < 5
h) 5 > 3 − 2x ≥ 1
10. Halla el intervalo correspondiente a estas inecuaciones:
a) | x | < 1
b) | x | ≤ 4
b) | − x + 1 | ≤ 2
d)
x−3 <7
e) 2x + 5 ≤ 2
f) 3 x − 3 < 18
g)
x
2
e)
≤3
2x − 8
3
<
1
3
f)
x+5
<1
2
11. Expresa, mediante intervalos abiertos los entornos de centro a y radio r que se indican:
b) a = 4 ; r = 10-2
c) a = 10 ; r = 10-1
a) a = 5 ; r = 0, 01
1
d) a = 3 ; r =
e) a = 7 ; r = 0,05
f) a = 6 ; r = 0,02
50
12. Escribir en forma de entorno las desigualdades siguientes:
a) x − 3
< 2′5
b) − 0′8 < x < 2
c)
−2
7
< x <
3
5
13. Escribir como una desigualdad en valor absoluto los siguientes intervalos:
a) E(2, 5)
b) (2, 12 )
c) 0 ≤ x ≤ 6
d) ⎣⎡ − 4, 2⎦⎤
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e) − 3 < x < 5
f) −3 < x < 0
