CRONICAS-ALGEBRAICAS

BIBLIOTECA
JUVENIL
ILUSTRADA
Concepcion Ruiz'
Sergio de Regules
Cr6nicas
algebr~icas
y
1
512.009
R8
2002
Ruiz, Concepcion
Cr6nicas algebraicas / Concepcion
Ruiz y Sergio de Regules;
ilus. Mauricio Gomez. - Mexico: SEP : Santillana, 2002.
64 p. : il. - (Libras del Rincon)
ISBN: 970-18-9812-5
SEP (obra completa)
ISBN: 970-18-9828-1
SEP
1. Algebra - Historia. I. Regules, Sergio de. II. Gomez,
Mauricio, il. III. t. IV Ser.
Direccion editorial: Antonio Moreno Paniagua
Prodtlccion
D.R. ©
editorial: Diagrama Casa Editorial, S.c.
Editorial Santillana, SA de C.V, 2002
Av. Universidad
767, co!. Del Valle,
03100, Mexico, D.E
D.R. ©
Secretarfa de Educacion
Pliblica, 2002
Argentina 28, Centro,
06020, Mexico, D.E
ISBN: 970-29-0029-8
Editorial Santillana
ISBN: 970-29-0478-1
Editorial Santillana
ISBN: 970-18-9812-5
SEP Cobra completa)
ISBN: 970-18-9828-1
SEP
Prohibida
su reproduccion
o electronico
por cualquier
sin la autorizacion
Cobra completa)
medio mecanico
de los coeditores.
Contenido
Presentacion
Algebra egipcia y babilonica
El epitafio de Diofanto
Al-]warizmi
Cuatro personajes en busca de una ecuacion
Ecuaciones cuadnHicas
Girolamo Cardano
Ecuaciones de tercero y cuarto grados
Rakes cuadradas de numeros negativos
Los simbolos del algebra
L Que quiere decir algebra?
La dama misteriosa
Breve cronologia del algebra 1
Breve cronologia del algebra 2
La regIa de los signos
No todo 10 que brilla es oro
Rene Descartes
El matematico en la cama
La recta en el plano cartesiano
De Fahrenheit a Celsius
La expansion del universo
Parabolas de papel
Un monton de trigo
Numeros enormes
Usted esta aqui
Lluvia de estrellas
Meridianos y paralelos
] oyas del plano cartesiano
Algebra de cuadritos y bolitas
fndice analitico
5
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26~
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
52
54
56
58
60
62
88y
,
,
,
J
Presentaci6n
La
Biblioteca Juvenil ilustrada presenta en este volumen 27 temas que explican d~"
forma clara y sencilla las bases y 105 origenes del algebra y de la geometria analftica.
En estas paginas tambien se narran varias historias y se presentan personajes divertidos asociados con las matematicas.
El objetivo de la Biblioteca Juvenil Ilustrada es poner en manos de todos 105 jovenes
libros que despierten su interes en las materias mas variadas, desde matemaricas y quimica, hasta gramatica y literatura, desde las leyes del universo hasta 105 problemas mas
cotidianos. Libros que 105 hagan pensar y entusiasmarse, que 105 ayuden a estudiar y a
resolver sus dudas.
Para llevar a cabo este proyecto hemos reunido a mas de 60 autores, todos ellos reconocidos especialistas en sus areas de estudio e investigacion, divulgadores deseosos de conta-
5X
giar su entusiasmo y llevar de la mana a 105 estudiantes por un camino lleno de sorpresas.
La Biblioteca Juvenil Ilustrada
es una vision fantastica de la ciencia, la literatura
y el pensamiento mexicanos, escrita por quienes dia a dia investigan en laboratorios
0
imparten clases en escuelas y universidades.
Esperamos que la Biblioteca Juvenil Ilustrada
contribuya a que 105 estudiantes se
familiaricen con las distintas areas del conocimiento y lleguen a decir "si asi es la
quimica -0 la historia 0 la literatura-,
yo quiero dedicarme a eso en el futuro".
#
ALGEBRA EGIPCIA Y BABILONICA
En 1858 un anticuario escoces llamado Henry Rhind, que habia ido
a Egipto en busca de tesoros de la antigua civilizacian, encontra
en la ciudad de Luxor un libro (escrito, por supuesto, en un rollo
de papiro, el papel que fabricaban y usaban 10s egipcios hace
3600 aflos) al que llama, con muchisima imaginacian y
modestia, "el Papiro de Rhind".
Casi todo 10 que sabemos hoy sobre las matematicas egipcias, y en
especial acerca del algebra, proviene del Papiro de Rhind. Los
arqueologos y antropologos que 10 estudiaron determinaron que
el papiro se habia escrito en el ano 1650 a. de n.e., aproximadamente. Tambien descubrieron que las matem<iticas que contiene ya se conocian en Egipto 200 anos antes, alrededor del ano 1850 a. de n. e.
En el papiro aparece un metodo para
resolver ecuaciones de primer grado
con una sola variable, conocido como
la regIa de la falsa posicion. Es una
ventaja que este metodo ya no se
use, porque resulta un poco
tedioso. Consiste en ir dando
valores a la variable hasta
encontrar uno que resuelva
la ecuacion. Es decir, con el
metodo de la falsa posicion,
jlas ecuaciones se resuelven por
ensayo y error!
"Un monton y un septimo del mismo
manton es igual a 24". El problema consiste,
desde luego, en determinar
monton.
Uno de los mayores problemas que tuvieron los egipcios
para avanzar en el desarrollo del algebra fue que no
empleaban nuestros comodos simbolos, sino que planteaban y resolvian los problemas verbalmente, usando las
palabras dellenguaje cotidiano.
el tamano del
En notacion algebraica moderna el problema
se traduce en esta ecuacion:
x +1 X
7
24
Como los egipcios encontraban la solucion del problema anterior
usando la regIa de la falsa posicion, 10 que hacian era darle distintos valores a x hasta encontrar uno que resolviera la ecuacion.
Por ejemplo, veamos que sucede si Ie damos a x
el valor 7. Al sustituirlo en ellado Izquierdo de
la ecuacion quedaria:
10 cual es igual a 8. Como queremos encontrar un
numero que al sustituirlo de 24, bastara multiplicar
7 x 3. E18 dellado derecho de la ecuacion tambien
se multiplicara por 3 y obtendremos 24, con 10 cual
se cum pIe la ecuacion. De manera que la solucion
es x = 21.
El algebra de Babilonia en el periodo
1800-1600 a. de n.e. era mucho mas
avanzada que la egipcia. Los matematicos
babilonios tambien resolvian ecuaciones de
primer grado utilizando el metodo de la falsa posicion. Para resolver ecuaciones de segundo grado tenian otro metodo general, aunque solo reconocian a los numeros positivos como
soluciones. Asimismo, tenian un metodo para resolver sistemas de
dos ecuaciones con dos incognitas.
Los babilonios, al igual que los egipcios, enunciaban y resolvian
los problemas sin usar simbolos; simplemente los escribian tal
y como los decian.
LQuieres conocer un problema que se
escribio hace 3 600 anos?
"Tengo dos terrenos. En el primero, cada 3
unidades de area producen dos medidas de
cereal. En el segundo, cada 3 unidades de
area producen una y media medidas de cereal. Del primer terreno obtengo 500 medidas
de cereal mas que del segundo. El area de los
dos terrenos juntos es igual a 1800 unidades
de area. L Cual es el area de cada terreno?
Si los terrenos tuviesen igual tamano, 0 sea,
si cada uno tuviera 900 unidades de area,
entonces en el primero se producirian 600
medidas de cereal y en el segundo 450.
Entonces en el primero se obtendrian 150
medidas de cereal mas que en el segundo.
Pero la verdadera diferencia es de 500. Por
cada 3 unidades de area que anado al primero y
resto al segundo, obtengo dos medidas de cereal
mas en el primero y una y media medidas de
cereal menos en el segundo. La diferencia se
agranda entonces en tres y media medidas.
Como debo agrandar la diferencia de 150
medidas de cereal en 350 medidas para llegar
a la verdadera diferencia, entonces debo
anadir 300 unidades de area al primer terreno
y restar 300 unidades de area al segundo.
Por 10 tanto, el primer terreno mide 1200
unidades de area y el segundo mide 600
unidades de area ... ".
Problema babilonico escrito hace aproximadamente 3600 anos. El problema esta resuelto
con la regla de la falsa posicion, y aunque no
es facil seguirlo por la faha de un lenguaje
preciso, 0 sea, un lenguaje algebraico, entenderlo
tampoco es imposible.
EL EPITAFIO DE DIOFANTO
Un dia un caminante que paseaba se topa, alllegar a un
olivar, con una lapida. La piedra tenia algo escrito,
pero no era, como suele suceder con las tumbas,
el par de fechas que indican el nacimiento y la muerte
del ahi enterrado. No: era un texto largo. El tiempo
10 habia borrado en algunas partes, asi que d caminante se acerca
y cuidadosamente empeza a leer:
"Caminante, tu que aciertas a pasar par este lugar, deten tu marcha:
estas ante la tumba de Diofanto. Sera el quien te diga, si 10 sabes
leer, el numero de anos que tuvo su vida.
Su infancia ocup6 la sexta parte de su vida; despues, durante una
doceava parte, su mejilla se cubri6 con el primer bozo. Pas6 aun una
septima parte de su vida antes de desposarse y cinco anos despues,
naci6 un hermoso nino que pereci6, ya adulto, de una muerte desgraciada cuando hubo alcanzado la mitad del total de anos que vivi6
su padre. Este Ie sobrevivi6, llorandole, durante cuatro anos. De todo
esto, transeunte, no te sera dificil deducir su edad".
Quiza muchos seguiriamos de largo sin ocuparnos de la edad que a1canz6 Diofanto,
pero el caminante era curiosa
y pens6: "i.Que tal si traduzco esto al
lenguaje algebraico?". Poco a poco, mientras hacia distintos trazos en la tierra con
la ayuda de una vara, fue ordenando las ideas:
Si Diofanto vivi6 x anos, entonces:
-g x dur6 su infancia.
Ax dur6 su adolescencia.
+x vivi6 aun soltero.
5 anos vivi6 casado sin tener hijos.
i-x disfrut6 la compania de su hijo.
4 anos Ie sobrevivi6.
Para obtener la edad que tenia Diofanto al morir, el caminante
sum6 todas las etapas de la vida del ilustre personaje e igual6 esta
suma al numero de anos que este vivi6, 0 sea, x. Esta es la
ecuaci6n que obtuvo:
1 +-X
1
-x
6
12
1 + 5 +-x
1 +4
+ -x
7
2
x
Se dio cuenta, entonees, de que la edad que tenia Diofamo al
morir podia ealcularse por medio de una eeuaeion de primer
grado. "Claro", exclamo, "i una eeuaeion diofamina!".
Para resolverla deeidio empezar por quitar 10s ineomodos denominadores (hizo bien, a todos nos molestan), multiplieando toda la
eeuaeion por 84, que es el minimo eomun multiplo de 6, 12, 7 Y 2.
+4
x)
14x + 7X + 12x + 420 + 42x + 336 - 84x
Entusiasmado y ealculando mentalmente a toda
velocidad, sumo, por un lado, tados los terminos
que tenian x y, por el otro, todos aquellos que no
tenian incognita.
"Diofamo vivio 84 anos", penso mientras se
levantaba. Se quedo un rata en silencio ante
la tumba, reflexionando ...
75x + 756 - 84x
(Existio este paseante? No sabemos, pera el
epitafio de Diofamo si, y desde haee cerca de
1 800 anos se ha usado como un bonito ejemplo
de problema algebraico.
756
84x - 75x
756 - 9x
Bozo. m. Vello que apuma en los jovenes sobre ellabio superior antes de nacer el bigote.
Desposar. tr. Unir el parroca a los contrayentes autorizando su
matrimonio. Contraer esponsales. Comraer matrimonio.
Epitafio. m. Inscripcion que se pone en una tumba 0 sepultura.
Lapida. f. Losa con una inscripcion en la que se conmemora
algo 0 a alguien.
Perecer. intr. Acabar, terminar, dejar de existir. Morir.
Transeunte. Adj. Que transita 0 pas a por un lugar. Que esta
transitoriamente en un sitio.
AL· JWARIZMI
En 1145 en Toledo, Espana, en un frio salon de la Escuela de Traductores
de Toledo, apenas iluminado por unas cuantas velas, Roberto de Chester,
monje ingles, se afano en la traduccion allatin de un grueso volumen
escrito en arabe. EI titulo de la obra es casi un trabalenguas: Kitab al
muhtasar Ii hisab al-jabr wa'l muqabala. Mas tarde se Ie conocera
L
con el nombre simplificado de Al-jabr wa'l muqabala.
-
EI autor dellibro, Abu ]afar Mohammet ibn Mose AI-]warizmi, fue un matem<itico
arabe que vivi6 del ano 780 al ano 835. Naci6 en]warizm (ciudad que actualmente
se llama ]iva y que esta en Uzbekistan). Trabaj6 como bibliotecario, matem<itico y
astr6nomo en la corte del califa Abdula AI-Mamun y escribi6 muchos textos sabre
matem<iticas y astronomia. De todos ellos el mas importante fue, sin duda, Al-jabr
wa'l muqabala, que es un tratado sobre c6mo plantear y resolver ecuaciones y
aplicarlas en la vida cotidiana.
A la palabra al-jabr se Ie dio el significado de "restauraci6n" y
en el algebra actual podria entenderse como "pasar un termino
al otro lado de la ecuaci6n". La palabra al-muqabiila se entendi6
como "reducci6n" 0 "simplificaci6n", y actualmente tendria el
significado de "eliminar los terminos iguales en ambos lados de
la ecuaci6n".
Por ejemplo, la ecuaci6n
5x2 - 8x + 4
5x2 - 8x - lx = - 5 - 11
(cambiaron de lado los terminos 7x y 4)
4x3 - 6x - 9 = 3x - 4 (se elimin6 de ambos lados el termino 7x
2)
AI-Jwarizmi comienza su libro AI-jabr wa'i muqaoaia asi:
"Este interes por la ciencia, con el que Ala ha dotado al califa Al
Mamun, Caudillo de 105 Creyentes, me ha animado a componer
esta breve obra sobre el calculo por medio de aI-jabr y de
aI-muqaba1a, en la que se contiene todo 10 que es mas facil y
uti! en aritmetica, por ejemplo, todo aquello que se
requiere para calcular herencias, hacer repartos justos y sin equivocos, resolver pleitos, realizar
comercio y transacciones con terceros;
asimismo, todo aquello en donde este implicada la agrimensura, la excavacion de pozos y
canales, la geometria y varios asuntos mas ...".
La Casa de la Sabiduria fue
una academia de ciencias
fundada por el califa
AI-Mamun en el siglo IX. Alli
105 mejores cientificos y
matematicos investigaban
sobre fisica, geometria, aritmetica y astronomia. De este
centro de investigacion salio
la primera expedicion que
realizaron 105 arabes para calcular la circunferencia de la
Tierra. AI-Jwarizmi, quien
pertenecia a la Casa de la
Sabiduria, participo en esta
expedicion y estimo que la
Tierra tenia una circunferencia de 21000 millas arabes.
Pero como 105 historiadores
no estan seguros de cuanto
media una milla arabe, es
dificil estimar cual fue el
valor que obtuvieron.
Algunos matematicos han
intentado convertir este resultado a medidas actuales y
piensan que es alrededor
de 25 000 millas modernas,
o sea, 40 225 kilometros
(muy cercano al valor que
se acepta hoy).
Con el paso de 105 siglos 105 matematicos
reconocieron en AI-Jwarizmi al padre del
algebra. Sus textos se hicieron tan populares
en occidente que casi todos fueron traducidos
allatin, que era el idioma en el que se escribia
la ciencia en la Europa de esa epoca.
Los traductores no encontraron las palabras latinas con el significado
exacto de las palabras arabes aI-jabr y al-muqaba1a, de modo que las
dejaron como estaban y simplemente latinizaron su escritura. Cada
quien latinizo como quiso y en dichas traducciones se encuentran
muchas variaciones de aI-jabr: "aljeber", "algebr", "gebr", "gebra",
entre otras. Todos 105 matematicos renacentistas que se dedicaban
al algebra, y en particular 105 italianos, hicieron en sus trabajos
referencia allibro de AI-Jwarizmi usando alguna de estas variantes.
Al final, la ciencia de las ecuaciones acabo por llamarse algebra.
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Segun el matematico
italiano Girolamo
Cardano (1501-1576),
"este arte, el algebra,
se inicio con Mohammet,
hijo de Moises, El Arabe".
(UATRO PERSONAJESEN BUSCA DE UNA ECUACION
3
24
10 9
58
Personajes principales:
mujer cuadnHica bx joven lineal
C hombre constante una verdadera nulidad.
QK
0
14
X
3
y varios terminos algebraicos mas.
95
7
Par las ventanas del edificio empiezan a asomarse distintas expresiones algebraicas.
X
3
(Dirigiendose alas otras vecinas): jLo mismo de siempre! aX'
jamas termina de arreglarse a tiempo. (Se oyen risas).
• Escena 1
bx
(Gritando): jaX'! ;ax'! jeOrre, aprisa, se
nos hace tarde para el baile de las cuadraticas y
yo solo no puedo ir!
a
,t, (Asomandose a la ventana): i Ya voy, no te
desesperes!
• Escena 4
ax bX, C Y
ax 2:
2,
llegan a lafiesta.
Muy bien, muchachos,
ahara a formarse para entrar.
Los terminos de la ecuaci6n cuadratica general se forman y entran a
la fiesta en este orden:
c y 0 van caminando par la calle y se encuentran a
bx llamando a ax'.
ax
+ bx + C = 0
C (Dirigiendose a bx): LTeayudamos a Hamada?
bx: Por favor, pues sin ax' no puedo ir al
baile. Es la gran fiesta de las ecuaciones de
segundo grado y yo solo, por mas que me disfrace, jamas lograre ser un termino cuadratico.
bX
J
C yO:
jax', por favor, baja ya!
Aunque parezca mentira, muchos siglos antes de esta extrafla obra
de teatro, Al-Jwarizmi escribia acerca de estos mismos personajes:
"Los n~meros que encontramos en e1calculo algebraico son de tres
clases, a saber: mlmeros simples, raices y cuadrados. Un m.lmero que
pertenezca a alguna de esas tres clases puede ser igual a uno de 105
mlmeros de las otras dos, por ejemplo: cuadrados igual a raices,
cuadrados igual a mlmeros simples, raices igual a mlmeros simples ...".
6
Los mimeros simples son, como su nombre 10
indica, simplemente numeros. En ellenguaje
moderno se les llama constantes y muchas veces
se les denota con una c.
3 88
Mas adelante AI-Jwarizmi habla de las ecuaciones de segundo
grado completas:
5x
"Encuentro que esas tres clases de numeros pueden combinarse
entre sf y dar lugar, a su vez, a tres clases compuestas que son
cuadrados y raices igual a numeros simples, cuadrados y numeros
simples igual a raices; cuadrados igual a rafces y numeros simples".
11Y
3X
Y 59z
AI-Jwarizmi llama raices alas expresiones que tienen una variable
elevada a la primera potencia. En ellenguaje actuallas escribimos
como bx y aunque a simple vista se vean muy sencillas, hay muchas
cosas que decir sobre ellas: b es cualquier numero (0 sea, una constante), x es una variable. Es importante no tar que b y x se estin multiplicando. A estas se les llama comunmente terrninos lineales.
Los cuadrados son expresiones
en las que hay una constante
multiplicando a una variable
elevada al cuadrado (0 a la
segunda potencia, es 10
mismo). En notacion moderna
se escriben asf: cr, y se les
llama terminos cuadniticos.
Asf explica las tres formas en las que se puede encontrar una
ecuacion completa de segundo grado:
aX' + bx = c (cuadrados y raices igual a numeros simples)
ax2 + c = bx (cuadrados y numeros simples igual a raices)
ax2 = bx + c (cuadrados igual a raices y numeros simples)
A primera vista pare ceria que este matematico arabe estaba un
poco confundido, pues para nosotros los tres tip os de ecuacion
son exactamente la misma, pero si pensamos que ellos solo
trabajaban con numeros positivos, entonces la clasificacion tiene
una logica impecable: era la unica manera de concebir ecuaciones
de segundo grado con coeficientes negativos cuando no se usa ban
los numeros negativos.
a,x2 + bx + c = 0
Asf, si releemos el fragmento con cuidado veremos que AI-Jwarizmi
habla de los tres posibles casos que tiene una ecuacion de segundo
grado incompleta, es decir, una ecuacion a la que Ie falta alguno de
los tres terminos:
ax' = bx (cuadrados igual a raices)
ax' = c (cuadrados igual a numeros simples)
bx = c (rafces igual a numeros simples)
y hay muchas maneras de resolverlas. La mas usada es la formula
general para ecuaciones de segundo grado. Quiza ya la conozcas
+Vb 4ac
X=-----b
2
2a
-
ECUACIONES CUADRATICAS
Al-]warizmi escribi6 un libro en el cual presenta ejemplos de ecuaciones
de segundo grado, como veremos a continuaci6n:
Debes tamar la mitad del numero de rakes, esto es 5, y multiplicarlo por si mismo, con 10 que obtienes 25, cantidad a la que se Ie
suman! el numero simple 39, y de estos procedimientos resulta
64. Despues tomanis la raiz cuadrada de este numero, que es 8, y
Ie restaras la mitad de las raices, esto es 5, y obtienes asi el 3, que
es el valor buscado.
En la notacion moderna el problema consiste en
resolver la ecuacion
r + lOx - 39
Usemos la formula general. Para hacerlo es necesarin escribir la ecuacion como x> + lOx - 39 = 0
-10:!: ~ 100 + 156
2
X
-10 + ~256
2
X
-10 + 16
2
-b :!: ~b2 - 4ac
x
2a
En la ecuacion, los valores de a, bye
-10 + 16
6
2
-10
- -26 = -13
son:
a=l
b = 10
c = -39
16
2
-10 ±
J (10)2 - 4(1) (-39)
2(1)
La solucion x = -13 no era valida para los arabes
por ser negativa, par 10 que Al-]warizmi no la
contempla cuando resuelve el problema.
Debes tomar la mitad de las rakes, en este easo 5, y multipliearlo
por sf mismo con 10 que te resultani 25, eantidad de la que
restaras el mimero simple 21, y obtienes 4. Tomaras la rafz euadrada de 4, que es 2, y 10 restas del mimero de la mitad de las rakes
que es 5, por 10 que faeilmente se ve que la solucion es 3. Si asf 10
deseas, puedes tambien sumar esa eantidad 2 a la mitad de las
rakes que es 5 y obtendras 7 que tambien es una solueion.
X=
-(-10) +
J (10)2
4(1) (21)
2(1)
-(-10) +
Cuando un problema esta dado en esta forma debes probar la
suma, si el resultado no es satisfaetorio, sin duda el camino eorrecto sera la resta. Este es el unico caso en que hay que to mar la
mitad de las raices y en el que se puede eneontrar solucion por
adicion 0 por sustraecion. Observa con euidado que si en este
caso el cuadrado de la mitad de las raices es menor que el numero
simple, entonees el problema no tiene solucion, y si es exactamente igual al numero simple, la solucion es la mitad de las
rakes sin aumentos 0 disminueiones.
J 100 - 84
2
10 ± fi6
2
+
I
lOx
Las dos soluciones son:
X
14 - 7
- 10 + 4 - ---
X
6
- 10 - 4 - ---
Si utilizamos la incansable formula general para eeuaeiones de
segundo grade
X+
a = 1
b=-l0
c = 21
21
o
2
2
2
2
-3
que son justamente las dos soluciones que Al-]warizmi obtiene
aplicando su metodo. t.. Cual te parece mas facil, el de Al-]warizmi,
o el moderno?
GIROLAMO CARDANO
"Despues de que mi madre probara en vano diversos
abortivos, segun of contar, nacf en el ano 1501,
en el dfa 24 de septiembre, cuando no habfa
transcurrido aun la primera hora de la
noche, 5610 un poco mas de la mitad aunque
sin llegar alas tres cuartas partes ...".
Asi empieza la autobiografia del matematico, medico yastr610go
italiano Girolamo Cardano, quien vivi6 de 1501 a 1576. Sus
contemporaneos y 105 matematicos de 105 siglos siguientes 10
consideraron como el mejor algebrista europeo de su epoca.
Cardano escribi6 muchisimo sabre matematicas, en particular
sobre algebra. Su libro mas importante, publicado en 1545, es el
Ars magna sive de regulis algebraicis, en el que recopila y expone
105metodos para resolver ecuaciones de tercero y cuarto grados.
Cardano no usaba simbolos algebraicos. Describia can palabras, en
italiano, las ecuaciones y todos 105pas as necesarios para resolverlas.
Dicho procedimiento se canace como "algebra ret6rica". Par eso era
muy dificil descifrar sus textos y 5610 unos pocos, 105que escribian
igual que d, podian entenderlos.
EI 6 de octubre de ese ano me metieron en la corcel, en don de, si
no tomo en consideraci6n que me quitaban la libertad, me
trataron cortesmente. EI 22 de diciembre de 1570, a la misma
hora y el mismo dia de la semana en que fui detenido, esto es,
viernes y al caer la noche, regrese a mi casa en libertad vigilada:
mi casa era una segunda corcel para mL La duraci6n de mi
encarcelamiento fue de 77 dias, el periodo de libertad vigilada
dur6 86. En total 163 dias ...
A.Cardano 10 encarcelo la Inquisicion por haberse atrevido a
calcular el horoscopo de Cristo. Muy pocas personas vivieron para
con tar tranquilamente que estuvieron pres os en las mazmorras de
la Inquisicion. Cardano tuvo en esta ocasion la buena fortuna que
Ie falto durante su vida.
Un dia sofia que entraba en un jardin lleno de flores, cuando via pasar por
la calle a una hermosa muchacha y tuvo el impulso de salirle al encuentro
y besarla. Entonces el jardinero cerraba la puerta del jardin. "Empece a rogarle que me abriera, pero nada conseguia", escribe Cardano.
Asi que, afligido y abrazado ala joven, me que de fuera del
jardin. Pocos dias despues vi por la calle una muchacha con la
misma cara y el mismo atavio que la del sueiio. Desde ese
momento pase, no ya a estar enamorado, sino a consumirme de
pasion. Nos casamos de mutuo acuerdo y con el consentimiento
de sus padres. Este infausto matrimonio
fue para mi la causa de
todas las desgracias que a 10 largo de la vida me ocurrieron.
Despues de su encarcelamiento, la Inquisicion Ie prohibio escribir y ensefiar matematicas.
Cardano decidio abandonar la Universidad de Bolonia. En septiembre de 1571 se traslado a
Roma, donde vivio hasta 1576 bajo la proteccion del papa. Girolamo Cardano murio el 21 de
septiembre de 1576, tal como habia predicho en su propio horoscopo. Se cuenta que durante
105 ultimos meses no cornia, y bebio muy poco para que su prediccion se cumpliera.
Puesto que este arte sobrepasa cualquier humana sutileza y el
ingenio del talento de 105 mortales es un verdadero regalo del
cielo y el hecho de entenderlo una prueba clara de 105 alcances de
la mente humana. Cualquiera que se aplique a el pronto sabra que
no hay nada que no pueda ser entendido ...
ECUACIONES DE TERCERO Y CUARTO GRADOS
La invencion de las formulas para resolver ecuaciones de tercero y cuarto
grados es resultado de un deporte muy original que solian practicar
los matematicos italianos del siglo XVI. Les gustaba organizar torneos para ver quien era mas habil para resolver problemas de
algebra. Muchas veces hacian apuestas de joyas, dinero
y caballos, que el ganador se llevaba.
Esta historia empieza con Scipione del Ferro, un matematico de
la Universidad de Bolonia. Del Ferro habia encontrado la solucion
general de todas las ecuaciones de tercer grado que tenian esta
forma:
+ pX + q
o
La mantuvo en secreta durante muchos afios para veneer
a todos sus adversarios en 105 torneos de algebra. Pero,
estando ya muy enfermo y a punto de morir, Del Ferro Ie
confio la formula a uno de sus estudiantes, Antonio Maria
del Fiore. Este la utilizo en una contienda algebraica con
el matematico mas veloz de aquella epoca. Se trataba de Niccolo
Fontana, a quien todos llamaban Tartaglia, que en italiano
quiere decir "tartamudo", porque al parecer 10 era.
Durante 105 ocho dias que duro la disputa, Del Fiore trabajo
afanosamente en 105 problemas que Tartaglia Ie habia planteado.
Se cuenta que este, por su parte, trabajo solo dos horas en 105 que
Del Fiore Ie habia propuesto a el. Al final del plazo, Tartaglia habia
resuelto todos 105 problemas, Del Fiore ninguno.
Asi, Del Fiore entendio que no bastaba saberse
una formula: tambien habia que saber de donde venia y en que casas podia aplicarse, asi como
poder demostrarla, cosas que el confiado
Del Fiore no sabia y Tartaglia 51. Porque resulta
que Tartaglia habia encontrado, en secreto, como
Del Ferro, la formula para resolver ecuaciones de
tercer grado.
Durante muchos afios Tartaglia fue reconocido como el gran
maestro en 105 tomeos de algebra, hasta que su fama Hego a oidos
de otro matematico Italiano de no malos bigotes, Hamado
Girolamo (ardano.
(ardano invito a Tartaglia a reunirse con d. La version de Tartaglia
de 10 que ocurrio ese 25 de marzo de 1539 esm narrada en uno de
105muchos escritos suyos en 105que hay pasajes autobiograficos.
(ardano: Juro por 105 Santos Evangelios y por mi fe como
caballero no haeer publicos tus descubrimientos, si me ]05
cuentas. Del mismo modo promcto y ascguro par mi fe de buen
crisliano que ]05 escribire de manera cifrada, de tal forma que
nadie que 105 lea tras mi muerle pueda comprenderJos. Si yo,
en opinion vucstra soy un hombre honesto, decidmclo y, si no
10 pensais asi, demos cntonces por terminada csta conversacion.
Tartaglia: 5i no confiara yo en vucstros juramentos, entonces yo
misl1l0 mereeeria ser consideraclo un aleo y me entregaria a ]as
Santas Cortes.
Aunque (ardano juro no revelar el secreto de la
solucion de Tartaglia, la publico unos cuantos afios
despues, en 1545, en su libro Ars Magna. Tartaglia,
que habia estado a punto de escribir su propio libro,
paso el res to de su vida maldieiendo a (ardano, a pesar
de que (ardano si menciona en su libro que Tartaglia
descubrio la formula.
Scipione del Ferro, de Bolonia, hace mas de treinta anos invento esta
regIa y ]a comunico a Antonio Maria del Fiore, de Yenecia, quien
celebro un certamen con Niccolo Tartaglia, de Brescia, 10 que dio
ocasion a que Niccolo por si mismo la descubriera, el cual me la dio
ami, suprimida ]a demostracion, como consecuencia de mis
ruegos. Pertrechado de este auxilio, busque la demostracion
por varios caminos, 10 que fue muy difkil.
(ardano tambien narra en su libro la historia de
la formula para resolver eeuaeiones de euarto grado.
La habia descubierto su alumna Ludovieo Ferrari,
jugador empedemido que siempre andaba metido
en peleas caHejeras. Ferrari no tuvo tiempo de
publicar su deseubrimiento. Murio a 105 43 anos,
envenenado por su hermana, a quien Ie habia
robado la parte que Ie correspondia de una herencia.
Pero si se 10 conto a Cardano, quien, haciendo
alarde de una integridad poco comun, Ie dio el
eredito a su difunto alumno.
En cuanto a Tartaglia, pese a la jugarreta de publicar
su secreto, se podria decir que en el fondo (ardano
Ie hizo un beneficio. En su Ars Magna y pese a la
furia de Tartaglia, (ardano dio a eonoeer al mundo
el avanee mas grande en algebra clesde la epoca de
AI-Jwarizmi: las formulas para resolver ecuaciones
de tereero y cuarto grados.
RAicES CUADRADAS DE NUMEROS NEGATIVOS
Sir Arthur Conan Doyle fue un escritor ingles que vivi6 de
1858 a 1930. Sus personajes mas conocidos son nada mas y
nada menos que el brillante detective Sherlock Holmes y su
inseparable amigo, el doctor John Watson. LTesuena la frase
"elemental, mi querido Watson"?
Si nunca has leido un libro de Sherlock
Holmes, te recomendamos que dejes inmediatamente de leer este y corras a bus car uno.
Aqui te damos algunos titulos para empezar:
Estudio en escarlata
EI signa de los cuatro
Las aventuras de Sherlock Holmes
EI regreso de Sherlock Holmes
Holmes, el detective mas famoso de la literatura, es un
hombre frio y calculador, capaz de examinar la escena
del crimen mas espeluznante con toda serenidad.
Watson, en cambio, es calido y un poco
ingenuo. Nunca deja de asombrarse de
los extraordinarios conocimientos de
su amigo. Holmes conoce la quimica
y los efectos de los venenos mas exoticos
y sabe distinguir de que parte de
Londres proviene ellodo de la huella
"~1.o-;i,?\" f!">..
". de un zapato. Pero su fuerte es la
fi.- -~
logica. Cuando H~lmes resuelve un
~ "." e ....• ~It<
caso, su expOSlClOn de los hechos
~~
-- " .."'-'"
resulta tan irrefutable como dos
"c,
• -:.1
por dos son cuatro, y tres por tres
".
son nueve. Si no fuera porque
a Holmes solo Ie interesan los
conocimientos que pueden
servirle para desenmarafiar
crimenes (aunque hace una
excepcion con la mllsica), seria
un gran cientifico 0 matem<itico.
:v.
Una de las frases mas celebres de Sherlock Holmes, que aparece
en EI signa de cuatro, es casi una receta para la exploracion cientifica: "Cuando se ha eliminado 10 imposible, 10
que queda, por improbable que sea, es la verdad".
Esta es la historia de una verdad que durante siglos parecia imposible. La historia, esta vez, empieza contigo.
Un dia amaneces y 10 llnico que se te antoja hacer,
quien sabe por que, es resolver esta ecuacion:
por 10 que
+V16
~.iIt.
*I~n~
~
~"i<),l
La ecuacion tiene dos soluciones: x = 4 Yx = -4.
Y en efecto, si elevamos 4 al cuadrado, el resultado es 16. Si elevamos -4 al cuadrado, el resultado
tambien es 16.
Luego, como te sientes muy satisfecho, te da por
resolver otra ecuacion en apariencia tan sencilla
como la anterior:
x2 + 16 = 0
Estas tan preocupado,
otra ecuacion:
que intentas resolver
3x2 + 5x + 4 = 0
Para eso hay una formula general, como sabes
bien:
4(3)(4)
Rafael Bombelli, quien continuo el trabajo de algebra de
Girolamo Cardano, fue de 105
primeros en sefialar que las
rakes cuadradas de numeros
negativos eran indispensables
para resolver ecuaciones de
segundo, tercero y cuarto
grades en las que aparecia un
numero negativo en la raiz.
Con el tiempo, 105 matematicos
inventaron un nuevo numero:
la raiz cuadrada de -1, Y Ie
Hamaron i (que es la inicial de
imaginario). Asi,
i =V-I
-5 ± V 25 - 48
6
-5±0J
6
Intentas seguir el mismo procedimiento que en la
ecuacion anterior:
V-16
LRaiz cuadrada de -I6?, te dices, horrorizado.
con razon: i la ecuacion te pide encontrar un
numero que al elevarlo al cuadrado de -16!
Misterio. LSenl.hora de Hamar a Sherlock
Holmes?
Y
iOtra vez hay que sacarle la raiz cuadrada a un
numero negativo! Entonces te dices 10 que te
han ensefiado en la escuela: la ecuacion,
simplemente, no tiene solucion, y todos contentos. Pero en la noche no puedes dormir: no te
gusta que haya ecuaciones que no tienen solucion.
Decides par fin llamar a Inglaterra para localizar
a Sherlock Holmes, quien de inmediato te informa
que 105 misterios matematicos muchas veces se
pueden resolver recurriendo a la historia.
-Durante muchos siglos 105 matematicos
hicieron 10 mismo que tu -dice Holmes-. Cada
vez que se encontraban un numero negativo
dentro de una raiz cuadrada, afirmaban que la
ecuacion no tenia solucion.
Rene Descartes llama a i
numero imaginario. Asi se
podia definir la raiz cuadrada
de cualquier numero negativo,
V-4 =V(-I)(4) =
(yCi) &4) = (i) (2)
= 2i
V-25 =V(-1)(25) =
(V-I) (V25) = (i)
(5) = 5i
Las raices cuadradas de
numeros negativos seran
siempre multiplos de i.
Los SiMBOLOS DEL ALGEBRA
Desde los tiempos egipcios y babil6nicos, el algebra se escribia tal y
como se decia, por eso a esta etapa se Ie llama la del algebra ret6rica.
Con el surgimiento de la imprenta en Europa, los matematicos
empezaron a utilizar abreviaturas primero y despues simbolos para
representar los problemas algebraicos. Al principio cada uno tenia
sus propios simbolos; pero poco a poco, los mas titiles empezaron a
ser usados por todos, hasta llegar a 105 que tenemos hoy.
42 P 31 egault 10°
10 que nosotros escribimos como:
4,xZ + 3x
Trouame.Ln o.che.gi_to al
SUO quadrat °facia. 12.
En 1514 el matematico
escribia:
ho1andes Vander Hoecke
4Se. - 51Pri, - 30N.dit is
ghelijc 45 3/5
4,xZ -
5Ix - 30 = 45 3/5
= 10
cub9 p: 6 reb9 aequalis 20
10 que nosotros escribimos como:
x3 + 6x = 20
Troullme uno numero che azontoli la
~·u -pad'
P
ghiste, cioe.6.
p
~
10 que nosotros escribimos como:
v:;- -
10 que nosotros escribimos como:
,xZ+6x+9=,xZ+3x+24
12L M IQ P 48 aequalia
144 M 24L P 2Q
3(}) + 4 egales It 2(j) + 4
R242 P 41 P 21 P 1
iguala a 100
R242 P 41 de un lado
y 99 m 21 del otro
3r+4=2x+4
42 P 41 iguala a
9.801 m 3961 p 42
4001 de un lado
y 9.801 delotro
4Q + 8N
aequatur 2
En la parte de la izquierda: con la notacion algebraic a de Nicolas
Chuquet una ecuacion de segundo grado resuelta por d. En la
parte de la derecha: la traducci6n con la notacion actual.
Las palabras que aqui estan en espanol, en el original estan en
frances, pues Nicolas Chuquet era frances. jCosa curiosa!
aaa -3.bba
tt - 3/ra = 2t!
yyex: ey - (ex/b)y + ay - ae
y = cy - (ex/b)y = ay - ae
Y asi, pensando que los franceses suelen escribir en frances,
viene a la cabeza este verso espanol:
Admirose un portugues
de que ya en su tiema inJancia
todos los nirws de Francia
supiesen hablar Jrances:
jarte diabolica est
dijo torciendo el mostacho
que para hablar en gabacho
un hidalgo en Portugal
llega a viejo y 10 habla mal
yaqui 10 parla un muchacho.
i,QUE QUiERE DECIR ALGEBRA?
En un capitulo de Don Quijote de la Mancha, Miguel de Cervantes narra
10 que ocurrio cuando unos amigos bien intencionados del ingenioso
hidalgo idearon un plan para convencer a don Quijote de dejarse de
historias de caballeros andantes. El bachiller Sanson Carrasco y su
escudero, Tome Cecial, se disfrazarr, uno de Caballero de los Espejos
y el otro de su criado. Luego Ie salen al paso a don Quijote con la
saludable intencion de darle una paliza para obligarlo a regresar a su
casa, ipero es don Quijote quien hace caer del caballo al bachiller,
pensando que ataca a un fiero adversario con poderes magicos!
Apenas Ie vio caido Sancho, cuando se des1izo del
alcornoque y a toda prisa vino donde su senor estaba,
el cual, apeandose de Rocinante, fue sobre el de 10s
Espejos, y, quitcindole 1as 1azadas del yelmo para ver si
era muerto y para que Ie diese el aire si acaso estaba
vivo; y vio ... ~quien podria decir 10 que vio, sin causar
admiracion, maravilla y espanto a 10s que 10 oyeren? Vio,
dice 1ahistoria, el rostro mesmo, 1a mesma figura, el
mesmo aspecto, 1a mesma fisonomia, la mesma efigie,
la pespetiva mesma del bachiller Sanson Carrasco; y, asi
como 1a vio, en altas voces dijo:
-Soy de parecer, senor
mio, que, pOl'si 0 par no,
vuesa merced hinque y
meta la espada por la boca
a este que parece el bachiller
Sans6n Carrasco; quizi Illatar;!
en el a a1guno de SllS enemigos 10s encantadores.
-jAcude,
Sancho, y mira 10 que has de
ver y no 10 has de creer! jAguija, hijo, y
advierte 10 que puede 1a magia, 10 que
pueden 10s hechiceros y 10s encantadores!
-No dices mal -dijo don Quijote-,
porque de 10s enemigos, 10s menos.
Y, sacando 1a espada para poner en efecto el aviso y consejo de Sancho, llego el
escudero del de los Espejos, ya sin 1as
narices que tan feo Ie habian hecho y
a gran des voces dijo:
Llego Sancho, y, como vio el rostro del
bachiller Carrasco, comenzo a hacerse mil
cruces y a santiguarse otras tantas. En
todo esto, no daba muestras de estar vivo
el derribado caballero, y Sancho dijo a
don Quijote:
-Mire vuesa merced 10 que hace, senor
don Quijote, que ese que tiene a 10s pies
es el bachiller Sanson Carrasco, su
amigo, y yo soy su escudero.
EI ingenioso hidalgo Don Quijote de la Mancha.
Segunda parte. Capitulo XIV.
Luego de las explicaciones con las que Carrasco
y Tome Cecial tratan, sin exito, de aclarar el
asunto, "mohinos y malandantes, se apartaron
de don Quijote y Sancho, con intenci6n de
bus car algun lugar donde bizmarle y entablarle
las costillas":
En esto fueron razonando
los dos, hasta que llegaron
a un pueblo donde fue
ven tura hallar un algebrista, con quien se curo
el Sanson desgraciado.
EI ingenioso hidalgo Don
Quijote de la Mancha. Segunda
parte. Capitulo xv.
Este significado de la palabra algebra no es una invenci6n del
maestro Cervantes. Se usa des de el siglo XIII y aun esta vigente:
Del Diccionario de la Real Academia de la
Lengua
Algebra. (del arabe aI-gabr, la restauraci6n).
1. Parte de las matematicas, que trata de
la cantidad considerada en general, sirviendose para representarla de letras u otros
signos especiales. 2. Arte de restituir a su
lugar 105 huesos dislocados.
Algebrista. Persona que estudia, profesa 0
sabe el algebra matematica. 2. Cirujano
dedicado especialmente a la curaci6n de
dislocaciones de huesos. 3. Alcahuete.
LA DAMA MISTERIOSA
En 1704 se publico en Inglaterra el primer numero de una revista
anuaillamada Diario de las damas. Era una revista novedosa. Contenia
acertijos, poemas y problemas matem<Hicosque las lectoras tenian
que resolver. Muchas mujeres colaboraban tanto con preguntas como
con respuestas.
En 1754 una desconocida llamada Maria Atkinson envio a la
revista un problema de geometria. Entre los lectores que
resolvieron el problema se encontraba cierto caballero que tuvo el
atrevimiento de preguntar la edad de la autora. Maria Ie contesto
con este acertijo:
Cinco veces siete y siete veces tres
sumareis a mis aiios y la suma que tendreis
excede a ocho ochos
como el doble de mi edad supera a veintiseis.
La edad de Maria esta escondida en este acertijo. Decimos que es
la incognita del acertijo incognito, es decir, "no conocido".
Sacar de su escondite la edad de Maria
es muy facil usando ellenguaje del algebra.
L Como traducimos los versos de Maria en
versos matematicos?
Como la edad de Maria es la incognita y en
matematicas las incognitas se denotan con una
letra, la llamaremos x.
(""
,~
Cinco veces siefe y siefe veces tres
(\
\\
.,,,J-'
\,
(5 x 7) y (7 x 3)
(~
sumareis a mis aiios
Ahora Maria nos pide sumar a su edad el resultado de la operacion
del primer verso:
y la suma que tendreis excede
a ocho ochos
y los dos ultimos versos dicen que ambas diferencias son iguales;
de modo que el acertijo de Maria quiere decir que:
2x - 26 = (x + 56) - 64
"Ocho ochos" es 10 mismo que 8 X 8 = 64. Lo que dice este
verso es que la cantidad (x + 56) es mayor que 64. La diferencia entre ambos numeros [0 sea, que tanto es mayor (x + 56)
que 64] se puede escribir en lenguaje matematico as!:
(x + 56) - 64
LCuanto vale esta diferencia?
Eso 10 dice en el siguiente
verso.
como el doble de mi edad
supera a veintiseis.
El doble de la edad de Maria es 2x y es mayor que 26. La diferencia entre 2x y 26 se puede escribir as!:
Esta es una ecuacion con una incognita x. Se dice que es de
primer grado porque el maximo exponente con el que aparece la
incognita es 1 (x' = x).
Para quitarle el disfraz a x hay que resolver esta eeuacion:
En primer lugar, simplifiquemos la ecuacion.
Ahara pasemos todas las x de un lado y todas las eonstantes
(aquellos terminos que no tienen x) del otro.
Volvamos a simplificar. Como 2x - x = x, Y -8 + 26 = 18
Entonees queda:
Maria Atkinson tenia 18 anos cuando envio el aeertijo al Diario de las
damas. Cuando el distinguido caballero deseubrio la edad de nuestra
heroina, replica: "Una esplendida edad para casarse, senorita".
BREVE CRONOLOGiA DEL ALGEBRA 1
El algebra que estudiamos en secundaria es muy antigua,
echa una miradita:
5;910 XVIII
PITAGOR
Q. de n.e.
Desde esta epoca, los matematicos mesopotamicos y babilonicos
sabian resolver ecuaciones de primero y segundo grados. Ademas
resolvian tambien algunos sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos incognitas.
5;910 XVI Q. de n.e.
Los egipcios desarrollaron un algebra rudimentaria que
usaron para resolver problemas cotidianos, como distribucion de viveres y de materiales. Sabian resolver ecuaciones
de primer grado. No tenian notacion simbolica, pero utilizaron el jeroghfico hau (que quiere decir monton 0 pila)
para designar la incognita.
5;910 III
Q. de n.e.
El matematico griego Arquimedes extendio la numeracion
griega para poder escribir numeros muy grandes. Su contribucion a la matematica fue enorme, baste quiza decir que
demostro que el numero 1t (pi) esta entre los numeros 3 + 10/71
Y 3 + 10179 (0 sea, entre 3.14084 y 3.14285).
5i910 III a. de n.e.
El matematico griego Euclides establecio 105 fundamentos de la geometria clasica. Dedico una parte del
libro IX de 105 Elementos al estudio de 105
numeros pares e impares, y ellibro VIII alas
potencias enteras de las fracciones.
Comienzos de la era cristiana
En esta epoca se compilo ellibro Jiu zhang suan shu
(EI arte del calculo en nueve capitulos), obra
de 105 matematicos chinos en la que se plantean
divers os metodos para resolver ecuaciones de
primero y segundo grados, asi como sistemas de dos
ecuaciones con dos incognitas. Con su abaco (suan zi)
tenian la posibilidad de representar numeros positivos
y negativos.
5i910 II
El matematico griego Nicomaco de Gerasa publico su Introduccion a la aritmetica y en ella expuso varias reglas para el
buen usa de 105 numeros.
5i910 III
El matematico griego Diofanto de Alejandria publico su Aritmetica, en la cual, por primera vez en
la historia de las matematicas griegas, se trataron
de manera sistematica no solo las ecuaciones de
primer grado, sino tambien las de segundo.
Introdujo un simbolismo algebraico muy elemental al designar la incognita con un signo que es la
primera silaba de la palabra griega arithmos, que
significa numero. Los problemas de algebra que
propuso prepararon el terreno de 10 que siglos mas
tarde sena "la teona de ecuaciones". A pesar de 10
rudimentario de su notacion simbolica y de 10
poco elegantes que eran 105 metodos que usaba, se
Ie puede considerar como uno de 105 precursores
del algebra modema.
Aiio 628
El matemarico y astronomo indio Brahmagupta describio metodos
de cakulo muy cercanos a 105 que usamos hoy y dio las reglas
algebraicas fundamentales tanto para numeros positivos como
para negativos.
Aiios 820-850
Epoca en la que trabajo el matematico y astronomo musulman
AI-Jwarizmi, cuyas obras fueron fundamentales para el
conocimiento y la propagacion de 105 numeros, de 105 metodos
de cakulo y de 105 procedimientos algebraic os de origen indio
en tierras del Islam y en Europa Occidental. Su nombre latinizado
dio origen a la palabra algoritmo que, usada primero para referirse
a 105 metodos de cakulos numericos en oposicion a 105 metodos
de cakulo con abaco, adquirio finalmente su sentido actual de
"procedimiento sistematico de caleulo". En cuanto a la palabra
algebra, deriva del titulo de su obra mas importante, que presenta
las reglas fundamentales del algebra, Al-jabr wa'l muqdbala.
BREVE CRONOLOGiA DEL ALGEBRA 2
Siglo x a 1637.
5;910 X
En este siglo vivio el gran algebrista musulman Abu Kamil, continuador de los trabajos de
Al-Jwarizmi y cuyos avances en el algebra serian aprovechados en el siglo XIII por el
matemarico italiano Fibonacci. Durante este sigl0, el matematico musulman Abul Wafa al
Bujzani hizo comentarios sobre 105 trabajos de Diofanto y AI-Jwarizmi y, gracias a ello, 10s
europeos conocieron la Arithmetica de Diofanto.
Finales del siglo X Epoca del matematico musulman
Al Karaji, quien al apoyarse en 10s trabajos de Diofanto y de
Abu Kamil, desarrollo un algebra con la cual, ademas de las formas habituales de las ecuaciones de segundo grado, resolvio ecuaciones de grado 2v. Gracias a su trabajo, el algebra arabe que se
desarrollo mas adelante tuvo un simbolismo matematico
y se separo de las soluciones geometricas.
SigioXIL :.
•.c judio convertido a1islam As
e
Samaw at ihn Yahya a1
Maghribi, basado en
los trabajos de Al
Karaji, hizo grandes
avances en el algebra.
1202. Despues de viajar a1norte de Africa y a
Oriente, donde aprendio el manejo del sistema
de numeracion indoarabigo, Leonardo de Pisa,
mejor conocido como Fibonacci, publico ef
Liber Abaci (Tratado del Abaco), obra que en
los tres sigfos siguientes fue fa fuente principal para todos
aquellos estudiosos de fa aritmetica y el algebra.
1484. El matematico frances Nicolas Chuquet
introdujo en Europa Occidental el uso de los
mimeros negativos, y una notacion exponencial
muy parecida a la que usamos hoy, en la cual se
utilizan indistintamente exponentes positivos
y negativos.
1489. El matematico aleman Johann Widmann
d'Eger invento los simbolos
y - para sustituir las letras p y m que a su vez eran las iniciales de las palabras piu (mas) y minus
(menos) que se utilizaban para expresar la suma
y la resta.
1525. El matemarico aleman Christoph Rudolff introdujo
simbolo de la raiz cuadrada:
+
el
~
como una manera estilizada de la letra r de radical 0 raiz.
1545-1560.
os matematicos italiano Girolamo C dano y
a ",J ')
Hi se dieron cuenta de que el uso de los
numeros imaginarios era esencial para pod r re 01 r las
ecuaciones de segundo, tercero y cuarto gr do .
1557. EI matematico ingIes Robert Recorde invento
el simbolo de la igualdad (=).
1591. El matematico frances Fran~ois
Viete desarrollo una notacion algebraica muy comoda: representaba las
incOgnitas con vocales y las constantes con consonantes.
1637. El matematico frances Rene Descartes fusiono la
geometria y el algebra inventando la geometria analitica.
Creo la notacion algebraica moderna, en la cuallas
constantes estan representadas por las primeras letras del
alfabeto a, b, c... y las variables 0 incognitas por las
Ultimas, x, y, z. Introdujo tambien la notacion exponencial
que usamos actualmente.
LA REGLA DE LOS SIGNOS
La famosa Real Sociedad de Londres, institucion dedicada a prom over
las ciencias, se fundo en el sigl0 XVII. Una de las obligaciones de los
sabios que la integraban era usar, al explicar sus trabajos, un lenguaje
sencillo y como ellos decian: "aproximar todas las cosas a la sencillez
de las matematicas". Si los adelantos cientificos pudieran explicarse con
la claridad de una demostracion matematica, ~ualquiera los entenderia.
Eso esperaban los sabios de la Real Sociedad.
He aqui una demostraci6n matem<itica que ilustra muy bien la
claridad que tanto les gustaba a los fundadores de la Real Sociedad.
Vamos a demostrar que si a y b son dos numeros positivos
cualesquiera, entonces:
(-a)(-b) = ab, es decir que si multiplicamos
vos, el resultado es un numero positivo.
dos numeros negati-
Cuando aprendemos la regIa de los signos en la
escuela, 10 que mas trabajo cuesta es entender por
que el producto de dos numeros negativos es un
numero positivo. Por 10 general, uno se 10 aprende
de memoria y se calla, pero este resultado se puede
demostrar y eso es 10 que vamos a hacer.
En general, para hacer una demostraci6n los matemMicos
usan resultados que ya estan demostrados. Para demostrar que
(-a)(-b) = ab usaremos los siguientes resultados:
a + (-a)
o
(Si sumamos cualquier numero con
su negativo, el resultado
siempre es 0).
Ahora tomamos dos numeros
reales cualesquiera a y b, y
construimos el numero x as!:
x = ab + (-a)(b)
+ (-a)( -b)
Si a es cualquier numero real, entonces:
resultado 1:
a x 0 0
0 X a -0
(Si multiplicamos cualquier
numero por 0, el resultado
siempre es 0).
Observa que -a aparece en el segundo y en
el tercer sumando, por 10 que podemos factorizarlo
x
ab + (- a) [(b) + (- b)]
o
(b) + (-b)
Ahora volvamos a to mar el mimero x. Como b aparece en los dos
primeros sumandos, esta vez factorizamos b. Entonces:
[a
ab + (-a)(O)
o
(-a)(-b)
Por el resultado 1,10 que hay dentro de los corchetes es igual a 0,
de modo que:
x
( -a)(O)
(-a)](b)
(O)(b) + (-a)(-b)
Y como el producto de cualquier mimero multiplicado
igual a 0, entonces:
por 0 es
0+ (-a)(-b)
Es decir:
(-a)(-b)
X
ab + 0
x = ab
X
ab
ypar otro:
X
De modo que, como dos cosas iguales a una
tercera son iguales entre si, entonces,
(-a)(-b)
ab
(-a)(-b)
He ahi el resultado: el producto de dos mimeros negativos es un numero positivo. Para demostrarlo
solo ha sido necesario suponer que los resultados 1y 2 ya estaban demostrados y hacer ciertas operaciones con el numero x que definimos a partir de a y b. Ahara ya sabes de donde viene el resultado
mas dificil de las reglas de 10s signos. Puedes dormir tranquilo.
No TODO LO QUE BRILLA ES ORO
Las demostraciones matematicas, cuando estan bien hechas, tienen la
gracia de ser indiscutibles. Por eso les gustaban tanto a los miembros de
la Real Sociedad de Londres. Pero, icuidado! No todo 10 que
parece demostraci6n matematica 10 es. En la demostraci6n de
que (-a) (-b) = ab cada paso es una operaci6n correcta, pero si
un paso no 10 fuera -si en el proceso hubiera un error 0
una trampa-, la demostraci6n se derrumbaria.
Todos sabemos, desde chicos, que el mimero 1 y el mimero 2 son
el mismo, 0 sea que 1 = 2. Que es exactamente 10 mismo tener un
hermano que dos 0 un chocolate que dos.
t. Acaso 10 dudas?
Vamos a demostrarlo. Sf, vamos a demostrar que 1 = 2.
ab
1) Tomemos dos mimeros a y b que cumplan
que a = 1 Y b = 1, entonces:
a
b
(a + b)(a - b) = b(a - b)
2) Ahora multiplicamos
igualdad por a:
(a)a
ambos lados de esta
(a)b
En el lado Izquierdo factorizamos una diferencia de cuadrados y
en el derecho factorizamos b. Si aun no sabes factorizar, no importa.
Para que veas que esta bien hecho basta que hagas las multiplicaciones para que puedas comprobar que:
(a + b)(a - b) = a2 - b2
ab
yque:
b(a - b)
ab - b2
5) Ahara, como el termino (a - b) aparece en ambos lados de la
igualdad, dividimos los dos lados entre (a - b) y nos queda:
(a + b)
b + b
b
b 2b
b
2
;ASt hemos demostrado que 1 = 21
LQue tal? LNo nos crees? No, [verdad?
Tienes razon: el resultado es
absurdo. Por supuesto que el
numero 1 y el numero 2, NO
son iguales. Claro que no es
10 mismo tener uno que
dos hermanos. Uno puede
creer que el producto de
dos numeros negativos
sea un numero positivo.
5i, pero creer que 1 = 2 es
demasiado, aunque nos 10
hayan demostrado.
Entonces, [donde esta el
problema? El problema es que la
demostracion no es tal, tiene un
error muy grave. El error -10 que hace
que no sea una demostracionse encuentra en el
paso 5, donde dividimos ambos lados de la igualdad entre (a - b).
Habiamos supuesto que a = b, de manera que a - b = O. Asi, dividir
entre (a - b) es 10 mismo que dividir entre 0 y en matematicas esta
prohibidisimo dividir entre O. LPor que? Veras: la division es la
opera cion inversa de la multiplicacion. Decir que 28 7 4 = 7 es 10
mismo que decir 4 X 7 = 28. Al dividir 15 7 3 estamos buscando
un numero que multiplicado por 3 de 15. 5i dividimos, par ejemplo,
10 entre 0, estamos pidiendo un numero que multiplicado por a de
10. Como cualquier numero multiplicado por 0 da 0, la operacion
no tiene resultado. Al introducir una division entre 0 en nuestra
"falsa demostracion", hemos obtenido un resultado absurdo.
Por eso hay que tener cuidado: no todo 10 que brilla es oro.
Cuando una demostracion matematica esta bien hecha, 10
demostrado es absolutamente verdad sin que nos quepa ninguna
duda, pero no cualquier procedimiento es una demostracion
matematica.
seARlES
-La matemcHica es la ciencia del orden y la medida,
de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos
faciles ...".
Rene du Perron Descartes fue un fil6sofo y matematico frances del
siglo XVII. SU personalidad y su forma de concebir el mundo
quedan muy bien descritos por esta frase suya:
"...desprendete de todas las
impresiones de los sentidos y
de la imaginacion:l y no te ties
sino de la razon ...".
Rene Descartes tenia poca paciencia pero era un caballero. Pese a ser bajo de estatura
y delicado de salud, era valiente y sabia defenderse. Uno de sus bi6grafos cuenta que
un dia Descartes se embarc6 hacia Frisia Oriental, al norte de Europa, acompaliado
unicamente por un ayuda de camara. Los marineros pensaron que era un rico mercader y quisieron robarlo, matarlo y echar su cadaver al mar. Descartes, al saberse en
peligro, se puso en pie subitamente, desenfund6 la espada y con una expresi6n de
furia 105 amenaz6 de muerte. El resto del viaje transcurri6 sin incidentes.
Descartes naci6 en el poblado frances de La Haye el 31 de marzo
de 1596; su madre muri6 al poco tiempo y 10 educaron su abuela
materna y una nana. A 105 10 alios ingres6 al internado jesuita de
La Fleche, donde permaneci6 hasta 105 16 alios; como era delicado
de salud siempre tenia permiso de levantarse a la hora que
quisiera, ademas de que dormia en una habitaci6n privada. En el
internado recibi6 una excelente educaci6n en fisica y matematicas
y ademas estudi6 humanidades, filosofia y ley6 a 105 clasicos.
A 105 20 alios se recibi6
de licenciado en derecho en
la Universidad de Poitiers,
aunque jamas ejerci6 la
carrera. Despues se dedic6 a
viajar par Holanda, Dinamarca
y Alemania, y en 1619 se
enro16 en el ejercito del
duque de Baviera.
oeo despues empez6 a publicar obras encaminadas a ayudar a los
fil6 ofas, r a el mismo, a pensar con claridad, asi como a explicar
al!ffinos fen6menos naturales, como la luz. En 1628 se fue a vivir a
Holanda. En 1633, al enterarse de que Galileo habia sido condenado por sostener la teoria de Copernico (que dice que la Tierra gira
alrededor del Sol y no a la inversa como sostenia la Iglesia en
aquella epoca), renunci6 a publicar su Teoria de Ia Luz, porque la
teona copernicana era indispensable para sus explicaciones fisicas.
En 1637 publico un valumen can
cuatra abras: Discurso del Metodo,
La Di6ptrica, Los Meteoros
y La Geometria, de tadas ellas
la mas famasa, sin duda,
es la primera.
Descartes solia dormir 10 horas cada dia, Ie gustaba
trabajar en la cama por la manana, desayunaba a
mediodia y dedicaba algunashoras a la conversaci6n, a
cuidar su jardin y a dar paseos a caballo. Retomaba el
trabajo a las cuatro de la tarde y trabajaba hasta bien
entrada la noche.
En 1649 la reina Cristina de Suecia 10 invit6 a Estocolmo, pues habia seguido con mucho cuidado
sus trabajos y queria que Descartes en persona Ie ensenara filosofia y matematicas. Descartes se
sinti6 halagado pero al mismo tiempo pensaba que viajar a un lugar tan frio podria afectar su
salud. Temia viajar a ml pais al que se referian como la tierra de 10s osos entre la roca y el hielo.
Finalmente se decidi6 a emprender la aventura y se encontr6 a una reina de 23 alios que pedia
que sus lecciones de filosofia fueran a las cinco de la manana en una biblioteca muy £ria. Suecia,
en donde 10s pensa~ientos de los hombres se congelan durante 10s meses de invierno, fue
demasiado para Descartes. Muri6 de neumonia elll de febrero de 1650.
No es suficientc tener una mcnte
brillantc, 10 principal cs usarla
bien ...
Si verdaderamente
quieres
encontrar la verdad, al menos
una vez en la vida ticnes que
dudar de todo ...
Portada del libro de
Descartes, Discurso del
metoda.
Poco despues empezo a publicar obras encaminadas a ayudar a 105
filosofos, yael mismo, a pensar con claridad, asf como a explicar
algunos fenomenos naturales, como la luz. En 162 se fue a \ivir a
Holanda. En 1633, al enterarse de que GaWeo habfa sido condenado por sostener la teoria de Copemico (que dice que la Tierra gira
alrededor del Sol y no a la inversa como sostenia la Iglesia en
aquella epoca), renuncio a publicar su Te01ia de !a Luz, porque la
teoria copernicana era indispensable para sus explicaciones ffsicas.
En 1637 publico un volumen con
cuatro obras: Discurso del Metodo,
La Di6ptrica, Los Meteoros
y La Geometria, de todas ellas
la mas famosa, sin duda,
es la primera.
Descartes soba dormir 10 horas cada dia, Ie gustaba
trabajar en la cama por la manana, desayunaba a
mediodia y dedicaba algunas horas a la conversacion, a
cuidar su jardin y a dar pase~s a caballo. Retomaba el
trabajo alas cuatro de la tarde y trabajaba hasta bien
entrada la noche.
En 1649 la reina Cristina de Suecia 10 invito a Estocolmo, pues habia seguido can mucho cuidado
sus trabajos y queria que Descartes en persona Ie ensenara filosofia y matematicas. Descartes se
sintio halagado pero al mismo tiempo pensaba que viajar a un lugar tan frio podria afectar su
salud. Temia viajar a un pais al que se referian como la tierra de 105 0505 entre la roca y el hielo.
Finalmente se decidio a emprender la aventura y se encontro a una reina de 23 anos que pedia
que sus lecciones de filosoffa fueran a las cinco de la manana en una biblioteca muy fria. Suecia,
en donde 105 pensamientos de 105 hombres se congelan durante 105 meses de invierno, fue
demasiado para Descartes. Murio de neumonia elll de febrero de 1650.
No es suficientc tener una mente
brillante, 10 principal es usarla
bien ...
Si verdaderamente quieres
encontrar la verdad, al menos
una vez en la vida tienes que
dudar de todo ...
Portada dellibro de
Descartes, Discurso del
metoda.
EL MATEMATICO EN LA CAMA
Rene Descartes era un poco perezoso. De nifio su padre
10 inscribi6 en una de las mejores escuelas de Francia:
el internado de La Fleche, donde estuvo hasta los
16 afios. Como era delicado de salud, Rene tenia
autorizaci6n para quedarse en la cama hasta la
hora que quisiera. La costumbre de levantarse tarde,
que Descartes adquiri6 en la escuela, 10 acompafi6 toda su
vida y el matem:Hico frances hizo en la cama una buena parte de sus
grandes contribuciones alas matematicas y a la filosofia.
Se cuenta en particular que Descartes invent6 las coordenadas
cartesianas un dia en que estaba acostado, contemplando absorto
los "ires y venires" de una mosca que se paseaba por e1 techo de
su cuarto.
La descripci6n de la trayectoria
de una mosca en el techo es un
problema matematico que no
carece de interes.
(
'""
I
1
\ ...,L
:\
-
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I
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38
•
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L, /
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••••••
/
\
-
C
'- 1--,
I
En esa epoca Descartes se interesaba especialmente en e1 estudio de las curvas y la manera de
describirlas matematicamente. El paseo de la
mosca en e1 techo se podia describir por
medio de una curva en un plano. Los puntos de la curva eran las posiciones que
iba ocupando la mosca en su andar.
\
,
•••••••
.."...
Para describir la curva
matematicamente, se dijo
Descartes, bastaria tener
una manera de especificar la posici6n de cada
punta en e1 plano. Luego traz6
mentalmente la siguiente figura en el techo de su cuarto:
El plano cartesiano. El eje
horizontal se llama eje de las
abscisas (0 eje x) y e1vertical
se llama eje de las ordenadas
(oejey).
~
Descartes invento una manera de ubicar cualquier
punta respecto a estes ejes de referencia. La posicion de la mosca se puede expresar par medio de
dos numeros: la distancia al eje vertical y la distancia al eje horizontal.
En el plano cartesiano, el punta donde se cruzan 105 ejes se llama
origen y Descartes decidio que su posicion es (0, 0). En el eje x,
a la derecha del origen, Descartes coloco 105 numeros positivos
en orden ascendente y a la izquierda puso 105 negativos en orden
descendente. En el eje y la direccion positiva es hacia arriba y la
negativa hacia abajo.
7
-
~
La distancia x al eje vertical es 3 y la distancia y al
eje horizontal es 5. La
posicion de la mosca es
(3,5).
6
-5
: ~-- - "1 - - - 4
-3
I
I
~
I
2
I
2
3
4
5
I
6
7
8
X
I
I
•- -"
I
T ocr
I
I I
..J _ I_·~
I
I
I
I
La mosca de Descartes paso de
0,1) a (2, 4), (3,5), (4,4) Y (5, 2).
En el plano cartesiano las coordenadas de un punto
pueden tener valores positivos 0 negativos, segun
en que region del plano se encuentre el punto. Las
moscas estan en el primer cuadrante y tienen ambas
coordenadas positivas. Las arafias estan en el
segundo cuadrante y tienen la coordenada x negativa
y la coordenada y positiva. Los escarabajos estan
en el tercer cuadrante y sus coordenadas son ambas
negativas. Las catarinas estan en el cuarto cuadrante
y tienen la coordenada x positiva y la coordenada
y negativa.
LA RECTA EN EL PLANO CARTESIANO
La curva mas sencilla de todas no es nada curva: es la recta, una sucesi6n
de puntos alineados hasta el infinito. A muchas curvas en el plano cartesiano se les puede asociar con una ecuaci6n algebraica que establece una
relaci6n entre las coordenadas x y y de los puntos que la forman. La recta es, despues del
punto, el objeto geometrico mas simple y seria
de esperar que Ie correspondiera una ecuaci6n
simple. Vamos aver si es verdad ...
I
I
I
He aqul una recta inclinada 45° respecto a la horizontal. AqUl solo
vemos un segmento de la recta: una recta se extiende al infinito
por ambos lados.
AqUl esta la misma recta, pero en un sistema
de coordenadas cartesianas. A cada valor de x,
la recta Ie hace corresponder un valor de y, el
cual se obtiene extendiendo una vertical desde
x hasta la recta y luego una horizontal des de
la recta hasta el eje y.
En esta recta, por ejemplo, x = 1
se asocia con y = 1 Y por ello
decimos que el punto (1, 1) es
un punto de la recta; x = 2 se
asocia con y = 2 Y aSl (2, 2) es
otro punto de la recta, y x = -1
se asocia con y = -1 por 10 que
el punto (-1, -1) tambien esta
en la recta.
La relacion entre x y y que define esta recta es
simplemente y = x, es decir que todos 105 puntos
que la forman tienen sus coordenadas iguales.
I
I
-7 -6 -5 -4 -3
Si graficas la ecuacion y = lx, obtienes una recta
mas inclinada que la anterior. En cambio y
da una recta menDs inclinada y, por otro lado,
y = -x da una recta inclinada hacia el otro lado.
=!x
Familia de rectas cuya ecuaci6n
es de la forma y = mx. El valor m
es una medida de la inclinaci6n de la recta y se
llama pendiente. Si la pendiente es positiva, la
recta se inclina hacia la derecha y si es negativa, se
inclina hacia la izquierda.
Cuando haces variar el valor
de b obtienes un conjullto de
rectas paralelas.
1
Y=ZX
La ecuaci6n y = mx + b, se llama ecuaci6n can6nica de la recta
y es la mas practica para graficar rectas .
•
Familia de rectas cuya ecuaci6n es de la forma y = x + b. Observa
que todas estas rectas tienen la misma pendiente (m = 1) y par
eso son paralelas. En 10 que difieren es en el punta en el que
cortan al eje y.
y=x+3
y=x+2
y=x+l
y=x
y=x-l
y=x-2
El numero b de la ecuaci6n
se llama ordenada al origen
porque es igual al valor que
toma y (la ordenada) cuando
x = 0, es decir, b da la coordenada y, el punta donde la recta
intersecta al eje y.
La ecuaci6n de la recta tambien se puede expresar de la forma:
Ax + By + C = 0, forma a la que se Ie llama ecuaci6n general.
Alga fundamental es que no importa en que forma este la
ecuaci6n, una recta siempre estara representada par una ecuaci6n
de primer grado can dos variables, es deeir, una ecuaci6n en la
que ambas variables estan elevadas a la 1. Par eso alas ecuaciones
de primer grado tambien se les llama ecuaeiones lineales.
Y= mx+
I
Hacienda variar m y b en
la ecuaci6n y = mx + b
puedes obtener
cualquier recta en el
plano cartesiano.
DE FAHRENHEIT A CELSIUS
LPor que en Estados Unidos de America y Gran Bretana el agua hierve a
212 grados y en el res to del mundo hierve a lOa? Otro misterio: Lpor
que cuando en todo el mundo el agua se congela a a grados, en Gran
Bretana y Estados Unidos de America 10 hace a 32?
"Elemental, mi querido Watson", diria Sherlock Holmes. Resulta
que en Estados Unidos de America y Gran Bretafta la temperatura
se mide en la escala Fahrenheit y en el res to del mundo se mide
en la escala Celsius.
De modo que 32
grados Fahrenheit
es 10 mismo que a
grados Celsius y 212
grados Fahrenheit
equivale a 100 grados
Celsius. Para saber a
cuantos grados Celsius corresponden otras temperaturas en
la escala Fahrenheit podemos
trasladar los datos de la tabla
anterior al plano cartesiano.
EI agua se
congela a
Elagua
hierve a
100
CD
Si en el eje x ponemos la
escala de Fahrenheit y en el
eje y la escala de Celsius,
obtenemos los puntos (32, 0)
CD
Con esta recta puedes convertir
cualquier temperatura
Fahrenheit a grados Celsius.
Y (212, 100).
CD
Ahora trazamos la recta que une estas puntas. Con esta recta podemos
estimar a simple vista a cuantos grados Celsius equivalen distintas
temperaturas en grados Fahrenheit. Pem en geometria analitica hay
una manera de calcular la equivalencia exactamente para cualquier
temperatura. Para eso vamos a usar la ecuaci6n de la recta.
y=mx+b
En este caso hay que reemplazar y por la temperatura
Celsius y x por la temperatura en grados Fahrenheit:
0C=
o
mP+ b
en grados
En la ecuaci6n de la recta, m es una medida de la inclinaci6n 0 pendiente. La pendiente dice cuanto sube 0 baja la recta conforme se avanza en la direcci6n
horizontal. La podemos calcular tomando dos puntos cualesquiera y dividiendo
la distancia vertical entre eUos (que sera la diferencia en el eje y),
entre la distancia horizontal (diferencia en el eje x).
La pendiente de la recta es una medida
de la inclinaci6n. Se puede calcular tomando dos puntos de la recta y dividiendo
la distancia vertical entre la distancia
horizontal.
J2 - Jl
En nuestro caso, para calcular
la pendiente usaremos la diferencia en la temperatura
Celsius de los dos puntos
(100 - 0 = 100) Y la diferencia
en la temperatura Fahrenheit
(212 - 32 = 180). Tendremos:
nl = _10_0
__
212
0__ 100 _ 10 _ 2
32 - 180 - 18 - 9
Xl - Xl
Para calcular la ordenada al
origen, b, basta sustituir los
valores de C y F de cualquiera
de los puntos en la ecuaci6n de
la recta. Tomemos, por ejemplo, el punta (32,0). Tenemos
F = 32 Y C = O. Volvamos a la
ecuaci6n de esta recta:
c= mP+ b
Ya estamos listos para encontrar la ecuaci6n que
convierte grados Fahrenheit a grados Celsius.
Debemos sustituir los val ores de m y b en la
ecuaci6n general:
c = 5 P+ (- 2
9
y factorizar
X
9
32) =2p - 2 X 32
9
9
C = .2 (F - 32)
Esta es la ecuaci6n que permite pasar
de grados Fahrenheit a grados Celsius.
Dice que para obtener la equivalencia
en grados Celsius de una temperatura
expresada en la escala Fahrenheit se
toma la temperatura Fahrenheit, se Ie
resta 32 y el total se multiplica por
t.
9
Sustituyendo:
0=2 X 32+ b
9
Punto de congelacion
del agua.
Punto de ebullicion
del agua.
Temperatura normal
del cuerpo humano.
c == ~ (F - 32)
o
LA EXPANSION DEL UNIVERSO
La primera curva que te enseflaron en la escuela es la recta (Ios matematicos llaman "curva" a cualquier linea, de modo que la recta tambien
es una curva). Es la mas sencilla y la mas modesta. Una curva en el
plano cartesiano de las coordenadas x, y indica cierta
relacion entre x y y. Cuando lacurva es una recta,
decimos que y es proporcional a x. La relacion de
proporcionalidad es una de las mas simples. Pues
bien, pese a toda esta sencillez y modestia, la recta
desempeflo un papel fundamental en uno de los
descubrimientos cientificos mas trascendentales del
siglo xx: la expansion del universo.
En 1929 Edwin Hubble
observa que las galaxias se alejan
unas de otras: el universo se expande.
Edwin Hubble, astranomo estadounidense, usa
los telescopios del observatorio de Monte
Wilson para determinar las distancias a las que
se encontraban 25 galaxias lejanas. Dnos afios
antes, Hubble y otro astranomo, Vesto Slipher,
habian medido las velocidades con que esas
galaxias se movian por el espacio. En 1929,
Hubble relaciona las dos investigaciones e hizo
una grafica de las distancias y las velocidades de
las galaxias. Lo que descubria 10 deja pasmado:
una linea recta.
Relacian entre la velocidad con
que se aleja una galaxia y la
distancia a la que se encuentra:
una linea recta. Cuanto mas
lejos esta una galaxia, mas
rapido se aleja.
Hasta entonces todos 105 astronomos
habian dado por sentado que el universo
habia sido siempre del mismo tamano.
Las galaxias debian moverse al azar: unas
alejandose, otras acercandose, y otras en
diferentes direcciones. Pero la recta de
Hubble indicaba una misteriosa relacion
de proporcionalidad entre velocidad y
distancia.
A
Imaginate que A, Bye son tres ciudades que se encuentran
sobre una circunferencia. Supan que estas en la ciudad A.
La ciudad B esta a 100 kilometros de distancia y la ciudad C
esta a 200 kilometros. En eso, la circunferencia empieza a
aumentar de tamano, duplicando su radio en una hara. La
distancia entre las tres ciudades tambien se duplica. Al cabo
de una hora B estara a 200 kilometros yea 400 kilometros. La ciudad B se habra alejado 100 kilometros y la
ciudad C 200 kilometros. Dicho de otro modo, B se habra
alejado de A a 100 kilometros par hora, mientras que C se
habra alejado a 200 kilometros por hora. En un espacio en expansion,
mientras mas lejos del observador esta un punto, mas rapido parece
alejarse.
Luego de mucho pensar, Hubble consiguio leer
el secreta que estaba escrito en su grafica: el
universo se esta expandiendo.
La grafica de Hubble es una recta que pasa por
el origen. Su ecuacion sera de la forma:
pero en este caso y = velocidad de alejamiento y
x = distancia. Ahora llamemos v a la velocidad
de alejamiento de una galaxia y d a la distancia
a la que se encuentra. La pendiente de la recta se
denota por medio de la letra H y se llama constante
de Hubble. Esta es la ecuacion de la grafica:
v
Hd
Circunferencia que
se expande
c
Esta ecuacion se llama ley de Hubble. La
constante de Hubble es una medida de la velocidad con que se expande el universo.
Si el universo esta en expansion, uno puede preguntarse que
pas aria si echamos la pelicula en reversa y retrocedemos en el
tiempo. El universo se ira haciendo mas pequeno hasta reducirse
a un punto. jLa ley de Hubble tambien implica que el universo
no ha existido par siempre! Los astronomos pueden calcular la
antiguedad del universo usando la constante de Hubble. Con
las mediciones que se han realizado hasta hoy, se caleula que
el universo tiene entre 10 000 Y 20 000 millones de anos de
antiguedad. (Quien se hubiera imaginado que una modesta
recta pudiera decir cosas tan profundas?
I PARABOLAS DE PAPEL
.;'
Los chorros de una fuente trazan en el aire una curva muy
elegante. Es la misma que describe una bala
de cation en vuelo. Los ffsicos y los
matem<iticos buscaron la forma exacta de
esa curva durante mucho tiempo. Dnos
pensaron que era un segmento de circu10; otros que era una recta ascendente,
seguida de un segmento de circulo, seguido de
una recta descendente. Galileo Galilei descubrio la forma verdadera
de la trayectoria de un proyectil en el siglo XVII: era una parabola.
.. .•. ---
..... "
().
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I-
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,
\
j
Toma una hoja de papel tamaflo carta. Doblala a la
_ mitad y rompela en dos, cortando por el doblez.
Toma una de las mitades y
dibuja un punto encima del
borde inferior, a unos
2 cm por encima
del punto medio.
I
•
Haz un doblez tomando el borde inferior y llevandolo hasta el
punto que marcaste, como se ve en esta figura:
Al final tendras una hoja surcada de dobleces
rectos. La figura que forman es una parabola.
Marcala bien con un lapiz. EI punta que usaste
para hacer los dobleces se llama foco y es un elemen to muy importante de la definici6n formal
de la parabola. Prueba a hacer otras parabolas
de papel con el foco en distintas posiciones.
Desdobla la hoja. Haz otros dobleces llevando
el borde inferior hasta el punta marcado con
diferentes angulos y desdoblando cada vez.
La parabola. Esta curva
aparece en muchos
fen6menos naturales,
como el vuelo de
un proyectil.
La parabola es la curva que forman todos los puntos que tienen
cierta propiedad particular. Para especificarla necesitamos una
recta, a la que llamaremos D. Tambien necesitamos un punto F
que no este en la recta. La recta D se llama directriz y el punto F
se llama [oco de la parabola. Los puntos P de la parabola son los
que satisfacen la condici6n de estar a la misma distancia de la
directriz que del foco.
Mucho tiempo antes de Galileo, en el siglo II a. de n.e., el
matematico griego Apolonio de Perga escribi6 un libro acerca de
las propiedades de las parabolas y sus curvas hermanas, las elipses
y las hiperbolas, sin imaginarse que un dia tendrian aplicaciones
en fisica. Muchos resultados matematicos sirven para explicar
fen6menos fisicos, pero a veces transcurren siglos des de que se
descubre un resultado hasta que se aplica en fisica.
I UN MONTON DE TRIGO
Sissa, el persa, supuesto inventor del ajedrez, quiso ofrecer su invento
a su soberano, el sha, quien se aburria como una ostra. EI rey qued6
encantado con el juego y en recompensa Ie ofreci6 a Sissa cumplirle
cualquier deseo. Sissa aprovech6 para darle al rey una lecci6n
de humildad y pidi6 10 siguiente: que el soberano Ie diera dos
granos de trigo por la primera casilla del tablero, cuatro granos
por la segunda, ocho por la tercera, 16 por la cuarta, yasi
sucesivamente, hasta completar las 64 casillas.
El rey debe haber pensado que el jueguito le saba barato y muy
contento orden a que se cumpliera la petician de Sissa. Al poco
tiempo el visir, que era una especie de ministro de finanzas del
reino, le indica al sha que era imposible satisfacer la demanda.
Numero
de casilla
-iNo puede ser! -exclama el sha, indignado-.
(En todo mi reino no hay trigo suficiente para
llenar un tablerito de ajedrez? jQue vengan mis
matematicos a hacer las cuentas!
Numero
de granos
de trigo
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
2048
4096
8192
16384
32768
65536
131072
262144
524288
1048576
2097152
4194304
Expresion
matemtitica
Numero
de casilla
Numero
de granos
de trigo
8388608
16777216
33554432
67108864
134217728
268435456
536870912
1073741824
2147483648
4294967296
8589934592
17 179 869 184
33 359 738 368
67719476 736
137 438 953 472
274877 906944
549 755 813 888
1 099 511 627 776
2 199023 255 552
4 398 046 511104
8796093022
208
17592 186 044 416
35184372 088 832
70368744177
664
140 737 488 355 328
281474976710 656
562 949 953 421 312
1125 899 906 842 624
2 251 799 813 685 248
4 503 599 627 370 496
9 007 199 254740 992
18 014 398 509 481 994
36 028 797 018 963 988
72 057 594 037 927 976
144115188075855952
288 230 376 151 711 904
576 460 752 303 423 808
1152 921 504 606 847616
2 305 843 009 213 695 232
4 611 686 018 427 390 464
9 223 372 036 854 780 928
18446 744 073 709 561 856
Expresi6n
matemtitica
1
Los matemtiticos tuvieron cuidado de sefialarle
al rey que el ultimo numero de la tabla -un
numero gigantescoera tan s610 el numero de
granos de trigo que habia que poner en la ultima
casilla. De modo que el total que se Ie debia a
Sissa era ila suma de todos los numeros de la
tabla! Es decir, 36 893 487 597 663 112 812.
(En cuantos costales crees que cabrian todos
estos granos de trigo? Si te pusieras a contarlos
a raz6n de un grano por segundo sin parar,
terminarias al cabo de:
36 893 487 597 663 112 812 segundos
o sea, un bill6n ciento setenta y tres mil cincuenta y cinco millones
setecientos noventa y seis mil cuatrocientos setenta y seis afios.
Los astr6nomos calculan que la Tierra tiene una antiguedad de
4 500 000 000 afios. El tiempo necesario para contar todos los
granos de trigo que pidi6 Sissa al sha es aproximadamente igual a
i 260 veces la edad de la Tierra!
NUMEROS ENORMES
Toma una hoja de papel, dob1a1a a 1a mitad, vuelve a dob1arla a 1a mitad,
haz10 otra vez y otra vez y otra vez y otra vez hasta que ya no puedas
dob1arla mas. L Cuantos dob1eces 10graste hacer? Nosotros 10 intentamos y
no pasamos de seis. Es muy difici1 dob1ar una hoja de papel por 1a mitad
mas de nueve veces, pero si se pudiera, 1a hoja iria aumentando de grosor
muy rapidamente.
Numero de doblez
?[
o
Grosor original
2 veces el
grosor original
Numero de
dobleces
Espesor de
la hoja
0.1 mm
4
-,-
8
Una hoja de papel eomlin y eorriente tiene
un espesor de 0.1 mm. Si 1a doblas por la mitad
una vez, Lque espesor tendnl.?, LYsi la doblas dos
y tres veees? LCuantas veees tendrias que doblarla
para que tuviera un espesor de 1 em?, LY para que
tuviera un espesor de mas de 10 km?
5
3.2 mm
6
6.4mm
7
12.8 mm = 1.28 em
1 667772 mm que es
aproximadamente
1.67 km
3 355 443 mm 0 sea
eerea de 3.3 km
Con siete
dob1eees 1a
hoja tend ria
un espesor
de 1.28 em
Y ibastarian
tan 561027
dob1eees
para que el
espesor de 1a
hoja rebasara
10510 km!
En un canal de Xochimilco crece una hoja de lirio acmitico, al
dfa siguiente hay dos y al siguiente cuatro. Al dfa numero 18 el
canal esta repleto de lirios al grado de que ya no cabe ni uno mas.
(En que dfa estaba el canallleno de lirios hasta la mitad? (En
que dfa estaba lleno a la cuarta parte? (Cuantos dfas mas
tardarfa esta poblacion de lirios en llenar otro
canal del mismo tamafio? (Cuantos dfas
tardarfa en llenar cuatro canales?
La poblacion de lirios se duplica de un dfa a
otro. Esto quiere decir que si a 105 18 dfas el
canal estaba lleno, a 105 17 estaba a la mitad de
su capacidad liriofora y a 105 16 a la cuarta parte.
A 105 18 dfas tenemos un canallleno de lirios. Podrfas pensar que
para llenar otro canal se necesitarfan otros 18 dfas, ipero no! La
poblacion se duplica de un dfa para otro, asi que para llenar otro
canal del mismo tamafio basta un dfa mas, 19 dfas en total. (En
cuantos dfas se habran llenado cuatro canales? Tan solo en otro
dia mas, 0 sea, en 20 dfas.
gra(icaae
la funcion
y - 2n
Grafica de la funcion exponencial y = 2n, que
describe el aumento del
grosor de una hoja de
papel doblada a la mitad
muchas veces y el crecimiento de la poblacion de
lirios xochimilcas. El crecimiento exponencial produce numeros enormes.
.•.
~
.
~
~
1
Los matematicos dicen que el grosor de
la hoja de papel y la poblacion de lirios
crecen exponencialmente. El universo
esta lleno de procesos en 105 que las
cantidades crecen de esta manera. Pero
10 exponencial no solo atafie a 10 que
crece, tambien hay decrecimiento 0
disminucion exponencial. Los recursos
naturales, desde el petroleo hasta la
superficie de Tierra de que dispone una
poblacion para vivir, se consumen
exponencialmente. Esto quiere decir que
hay muy poco tiempo entre el momenta
en que nos damos cuenta de que nos
estamos acabando un recurso y el
momenta en que ya es demasiado tarde
para actuar.
USTED ESTA AQui
Cada quien observa el mundo conforme su propia forma de
pensar y desde su propia posicion y tiempo. La forma de pensar
es a veces dificH de explicar y casi nunca logramos que los demas
la compartan 0 siquiera la entiendan. En cambio cuando se trata
simplemente de la posicion, la orientacion y el instante desde
los que miramos el mundo, expresar nuestro punto de vista
es facilisimo: solo hay que decir donde estamos parados, hacia
donde estamos mirando y que hora es. Para eso hace falta un
sistema de referencia.
Un sistema de referencia sirve para indicar posiciones, para orientarse, para hacerse una idea del tamafio de las cosas 0 para indicar
cuando ocurri6 un suceso.
En los pIanos de un lugar publico, como un
centro comercial 0 un museo, el punto
de referencia es el sitio donde se
encuentra el plano (y, por 10 tanto, la
persona que 10 consulta).
Punto de referencia temporal:
por convenci6n, el dia empieza alas 12 de la noche
(las "cero horas"). En el
pasado se usaron otros sistemas. Para los babilonios el dia empezaba
al salir el Sol. En la
tradici6n judia se iniciaba un nuevo dia al caer
la noche. En Europa,
durante el siglo XIV, los dias
se median de un mediodia al
siguiente.
LA COSTA
La figura humana en un plano arquitectonico
de tamafio para establecer la escala.
es una referencia
En un mapa son importantes la posicion, la orientacion y la escala. La posicion (latitud y longitud)
se mide respecto al Ecuador y al Meridiano de
Greenwich. La orientacion se mide respecto a la
direccion norte. La escala la da el patron de
referencia que se ve en una esquina del mapa.
-
-C,tit-ud"N- - - - - - - - - -
A veces 10 importante es la orientacion. Las construcciones que usa ban los astronomos antiguos
para estudiar los movimientos del cielo tenian
que estar orientadas de una manera muy precisa
respecto a ciertos puntos importantes del horizonte (por ejemplo, los puntos por donde salia el
Sol en los solsticios). En este plano se indica
como referencia la direccion norte.
+
t
scala 1:31 0 0 000
310
3fO km
Los movimientos de los
planetas en el cielo son
complicadisimos si tomamos
como punto de referencia
la Tierra. En 1543 Nicolas
Copernico publico un libro
en el cual afirmaba que el
Sol era el centro del sistema
planetario. Con el Sol como
punto de referencia, los
movimientos de los planetas
se hacen mas sencillos. En
matematicas se usa mucho el
truco de cambiar de sistema
de referencia para simplificar
los calculos.
Tropico d
--------
San Luis Po si
c~~':'"!"_~
LLUVIA DE ESTRELLAS
Un dicho famoso afirma que todo es segun el color del cristal con que se
mira. Cuando uno estudia el movimiento de 105 objetos, se podria decir
que todo es segun el sistema de referencia desde donde se mira. Un
peaton para do en la calle ve 105 edificios, la calzada y 105 postes de luz
en reposo (es decir, inmoviles);pero 105 coches en movimiento. Un
conductor, en cambio, ve su coche en reposo y la ciudad en
movimiento ..
Desde la Tierra vemos moverse al Sol, pero si nos paramos en
el Sol (0 por 10 menos nos ponemos en reposo respecto a el)
veremos a nuestro planeta girar alrededor de su eje y formar
una 6rbita en forma de elipse alrededor del Sol.
En su movimiento alrededor del Sol, la Tierra atraviesa a
veces regiones donde hay nubes de polvo que dejan 105
cometas a su paso.
5i estuvieras en reposo respecto a una de esas nubes de
desechos cometarios, verias algo semejante a esto:
5i ahora te lanzas a toda
velocidad contra la nube,
veras una cosa asi:
Cada linea es la trayectoria de un grano de polvo
cometario visto desde tu
sistema de referencia.
5ucede una cosa parecida
cuando vas en coche y
esta lloviendo.
La Tierra se despiaza respecto a Ia nube. Lo que vemos cuando el
pianeta atraviesa una region de poIvo de cometa es una lluvia
de estrellas. Por supuesto, 10 que "llueve" no son
estrellas, sino pedacitos de cometa que se
queman por friccion en Ia atmosfera ai
Ianzarse Ia Tierra contra ellos.
La lluvia de estrellas llamada Ias Leonidas ocurre'
a mediados de noviembre, cuando Ia Tierra
cruza Ia orbita del
cometa TempeI- Tuttle.
Como en esas fechas
Ia Tierra va avanzando en direccion a Ia
consteiacion de Leo,
desde la superficie
vemos estrellas fugaces
salir radialmente de esa
constelacion en todas
direcciones.
Una lluvia de estrellas se hace mas intensa
en afios cercanos a un paso del cometa que
Ia produce por Ias regiones intemas del Sistema
Solar. El cometa Tempel-Tuttle paso cerca de
nosotros en 1998 y volvera a pasar en 2033.
EI pun to del que parecen salir las estrellas
fugaces se llama radiante de la lluvia de
estrellas. La consteiacion de Leo es el
radiante de las Leonidas. Otras lluvias
de estrellas muy vistosas son las Perseidas,
que ocurre a principios de agosto, y Ias
Geminidas, que se ve a mediados de
diciembre.
MERIDIANOS Y PARALELOS
La red de paralelos y meridianos es un sistema de referencias que sirve
para ubicar puntos en una esfera. Originalmente la
inventaron los astronomos para situar estrellas en
la esfera celeste. Claudio Tolomeo, astronomo y
cartografo que vivio en Alejandria en el siglo
II, tomo la red de meridianos y paralelos de
la astronomia, la perfecciono y la aplico a la
superficie de la Tierra.
En su libro Geographia, en el cual explica como representar
la superficie esferica de la Tierra en un mapa plano, aparece
por primera vez la convencion de poner el norte arriba y el
este a la derecha, que seguimos utilizando en la actualidad.
En el siglo II, Claudio Tolomeo explico como
proyectar la superficie esferica de la Tierra en un
mapa plano. Este mapa de 1561 es imitacion de uno
de los de Tolomeo.
El sistema de referencia de los meridianos y los paralelos
sirve para expresar la posicion de un punto en la
superficie de la Tierra. Los paralelos son circulos
concentric os paralelos al ecuador y parten a la Tierra
en rebanadas. Los meridianos son semicirculos que van
de polo a polo y parten a la Tierra en gajos. La posicion
de un punto se especifica par medio de dos angulos: la
latitud y la longitud. Por ejemplo, la posicion de la Ciudad
de Mexico es 19° 26' latitud norte, 99° 7' longitud oeste.
El Ecuador es el paralelo de latitud 0°. El Polo Norte es el pun to
de latitud 90° norte y el Polo Sur el pun to de latitud 90° sur.
75°
60°
45°
30°
15°
0°
15°
El Ecuador y los tr6picos fueron los primeros tres
paralelos que se reconocieron. Los astr6nomos
los usaron originalmente para estudiar los
movimientos del Sol en el cielo, pero los cart6grafos los trasladaron a la superficie de la Tierra
para usarlos como referencia. El Ecuador es el
paralelo en el que 105 rayos del Sol caen perpendicularmente al mediodia en el equinoccio de
primavera y el de otono. El tr6pico de Cancer es
el paralelo en el que el Sol cae perpendicularmente a mediodia en el solsticio de verano. El
tr6pico de Capricornio recibe los rayos del Sol
directamente en el solsticio de invierno. Los
tr6picos son los paralelos de latitud 23° 27' norte
y sur.
La longitud se mide respecto a
un meridiano principal (el
meridiana de longitud 0°) que se
escoge arbitrariamente. Tolomeo
10 puso cerca de las Islas Canarias.
Mas tarde otros cart6grafos 10 ubicaron
en Roma, ]erusalen, San Petersburgo, Paris,
Copenhague y Filadelfia. Hoy, y desde 1884, el
meridiano 0 es por convenci6n el que pasa por
Greenwich, Londres.
El Sistema Mundial de Localizaci6n (Global Positioning System,
en ingles) es una red de satelites que sirve para determinar con
mucha precisi6n posiciones en la superficie de la Tierra. Los
satelites transmiten senales de radio a la Tierra. Un aparato especial recoge estas senales y calcula la latitud, longitud y altitud en
las cuales se encuentra el usuario a partir de las direcciones des de
donde recibe las senales de los distintos satelites del sistema. Un
receptor GPS comercial puede determinar posiciones con mucha
exactitud. Un coche equipado con receptor GPS y una base
de datos con map as urbanos puede ser muy util para saber en
que parte de una ciudad desconocida te encuentras y c6mo llegar
desde ahi adonde quieras ir. Cada vez es mas dificil perderse.
JOYAS DEL PLANO CARTESIANO
El plano cartesiano no solo sirve para trazar rectas, circulos 0 parabolas.
En el vive una gran variedad de seres matemMicos fantasticos a los que
se les han dado nombres insolitos -y dificHes de pronunciar- como
epitrocoide, hipotrocoide, lemniscata, trisectriz, cardioide y nefroide.
Cuatro miembros de la familia de las epitrocoides,
plano cartesiano:
flores del
Muchos habitantes del plano cartesiano tienen
dos personalidades: la algebraica y la geometrica.
En su forma algebraica se nos presentan como
ecuaciones, en la geometrica como graficas.
Esta senora se llama trifolium,
que quiere decir "tres hojas".
La curva del diablo. Parad6jicamente la curva del diablo tiene una
ecuaci6n divina:
Existen curvas que tambien
viven en el plano cartesiano y
cuyas ecuaciones tienen una
cara completamente distinta.
Par ejemplo, la enredada
ecuaci6n r = a(l + 2senG/2) es
en realidad esta curva:
La nefroide de Freeth (trata de decirlo diez veces
seguidas sin equivocarte). Nefroide quiere decir
"can forma de rift6n".
,
Algebra de
cuadritos y bolitas
Juego 1
Se te dificulta el algebra. l.Te cuesta trabajo interpretar todas esas x, y y z? Prueba
estos juegos de intuicion. En cada caso se trata de resolver sistemas de ecuaciones,
pero se trata de unos sistemas de ecuaciones muy ... l.como decirlo? ... originales.
i Prohibido resolverlos usando algebra!
e++++ =.+ •
• +.+.=++++.+.+.
e+e+e+e++++++++=?
(Puedes disefiar tu propio juego de algebra de cuadritos y bolitas?
(Que tendrias que hacer? Piensa: (se vale poner cualquier cosa en
el primer renglon? (Seran independientes el segundo y el tercero
Juego 4
Estos juegos de adivinar numeros son muy buenos para
impresionar a 105 incautos. Veamos:
• piensa un numero
.sumale 5
• multiplica eI resultado por 2
• a 10 que quedo restale 4
• divide eI resultado entre 2
• a 10 que quedo restale el numero
que pensaste
• piensa un numero
• sumale 5
• multiplica el
resultado por 2 bolitas
Un mago nunca revela sus secretos, pero nosotros si te 10 vamos a
revelar: el resultado de todas estas operaciones siempre es 3, sin
importar en que numero hayas pensado al principio. Vamos aver
como:
Piensa un mirnero
Surnale 5
Multiplica por 2
Resta 4
Divide entre 2
Resta el nurnero
que pensaste
lCuanto queda?
7-4 10-7 15-12 38-35
333
3
El truco funciona en estos cuatro casos, pero eso no demuestra
matematicamente que funcione siempre. Para eso tendriamos que
arreglarnoslas para hacer el truco empezando no con un numero
particular, sino con un numero cualquiera. Vamos a probar usando un • para representar ese numero sin identidad y • para representar 105 numeros que si conocemos:
•••••••
• a 10 que quedo
restale 4
• divide el resultado
entre 2
• a 10 que quedo restale
el numero que pensaste
El resultado siempre es 3. Aunque parezca mentira, esta es una
demostracion matematica correcta porque no importa que numero
represente el ., se ve clara mente que el resultado siempre sera 3.
Esta demostracion con figuras se puede traducir sin dificultad al
lenguaje algebraico: basta sustituir • por x y las bolitas por 105
numeros correspondientes.
piensa un numero
sumale 5
multiplica el resultado por 2
a 10 que quedo resta1e 4
divide el resultado entre 2
a 10 que quedo resta1e el
numero que pensaste
x
x+5
2(x + 5) = 2x + 10
2x + 10 - 4 = 2x + 6
(2x + 6)/2 = X + 3
(Ya te convenciste? El resultado siempre es 3.
jNo se 10 digas a tus amigos cuando les hagas el truco!
,
Indice analitico
b
a
Abdula AI-Mamun 10
Abu Kamil30
Abul Wafa al Bujzani 30
adicion 15
Africa 30
ajedrez 48
Al Karaji 30
Al Mamun 11
Al Samaw al ibn Yabya al
Maghribi 30
Alejandria 44
Alemania 36
algebra 11
algebra retorica 16, 30
Al-jabr w'al muqabala lO, 11
al-jabr 10
AI-Jwarizmi lO-15, 19,30
altitud 57
Apolonio de Perga 47
Aritmetica 30
Ars magna 16, 17, 19
Atkinson, Maria 26, 27
Babilonia 6
Bombelli, Rafael 21, 31
Buteo, Jean 22
cd
Caballero de los Espejos 24
Canarias, Islas 57
Cardamo, Girolamo 11, 17, 21,
22,31
cardioide, 58
Carrasco, Sanson 24
Casa de la Sabiduria 11
Cecial, Tome 24
Cervantes, Miguel de 24, 25
Chester, Roberto de lO
Chuquet, Nicolas 22, 23, 31
Ciudad de Mexico 56
Conan Doyle, Sir Arthur 20
constante de Hubble 45
constantes 13
coordenadas cartesianas 38,
39,40,44
Copernico, Nicolas, 37, 53
Cristina de Suecia 37
cuadrados 12-15
curva del diablo 59
curva 38, 40, 44, 46, 47
demostracion matematica 34, 35
denominador 9
Descartes, Rene 21, 23, 31,
36,37,38,39
Diario de las damas 26
Dinamarca 36
Diofanto 8, 9, 30
directriz 47
Discurso del metoda 37
division 35
e
EI ingenioso hidalgo Don
Quijote de la Mancha 24, 25
ecuacion canonica de la recta
41,42
ecuacion divina 58
ecuacion diofantina 9
ecuacion general 41
ecuaciones de grade 2n 30
ecuaciones de primer grade 6,
7,8,41
ecuaciones de segundo grade
7,12,13,14,31
ecuaciones de tercer y cuarto
grados 18, 19,31
ecuaciones lineales 37
ecuador 57
Egipto 6,7
eje de las ordenadas 38
eje de las abscisas 38
eje x 39
eje y 39
EI regreso de Sherlock Holmes 20
EI signa de los cuatro 20
elipses 47
epitrocoide 58
equincoccio de verano 57
equinoccio de primavera 57
escala de Celsius 42, 43
escala de Fahrenheit 42,43
escala 57
Escuela de Traductores de
Toledo lO
Estados Unidos de America 42
Estocolmo 37
Estudio en escarlata 20
Europa 31, 36, 52
factorizar 32, 33
falsa demostracion 34,35
Ferrari, Ludovico 19
Ferro, Scipione del 18, 19
Fibonacci 30
Filadelfia 57
Fiore, Antonio Maria del 18,
19
foco de la parabola 4 7 '!7~
Fontana, Niccolo 18, 19
formula general para ecuaciones
de segundo grado 13, 14, 15
Francia 23
Frisia Oriental 36
galaxia 44, 45
Galilei, Galileo 37, 46
gebra 11
geometria analitica 31
Ghaligai, Francesco 22
Global Positioning System 57
Gosselin 23
Gran Bretana 42
Greenwich 57
Harriot, Thomas 23
hipotrocoide 58
Hoecke, Vender 22
Holanda 36, 37
Holmes, Sherlock 20,21,42
Hubble, Edwin 44, 45
imprenta 22
incognita 9, 26, 27, 31
Jerusalen 57
Imn
La Di6ptrica 37
La Fleche 36, 38
La Geometria 37
La Haye 36
Las aventuras de Sherlock
Holmes 20
latitud 53, 56, 57
lemniscata 58
ley de Hubble 45
Liber Abaci 30
Londres 20, 57
longitud 53, 56, 57
Los Meteoros 37
Luxor 6
meridiano 0 57
meridianos 56, 57
multiplicacion 35
nefroide de Freeth 59
nefroide 58
notacion exponencial 31
numero imaginario 21
numeros negativos 13, 10,21,
31,32,33,35,39
numeros positivos 13,31,32,
33,35,39
numeros simples 12, 13
011
orientacion 53
origen 39,45
Pacioli, Luca 22
Papiro de Rhind 6
parabola 46, 47,58
paralelos 56, 57
Paris 57
pendiente 43
plano cartesiano 38, 39, 40,
41,44,58,59
polo norte 57
polo sur 57
Portugal 23
producto 33, 35
proporcionalidad 44
punto de referencia temporal 52
punto 40
50137,52,53,57
solsticio de invierno 57
Stevin, Simon 23
Suecia 37
sumando 32
sustraccion 15
Tartaglia 18, 22
Teoria de la luz 37
terminos lineales 13
Tierra 11,37,49, 52, 53, 56,
57
Tolomeo, Claudio 56, 57
Tratado del abaca 30
trifolium 58
trisectriz 58
tropico de cancer 57
rsf uv
rakes 12-15
raiz cuadrada 14, 20, 21
Real Sociedad de Londres 32,
34
Recorde, Robert 31
recta 40, 41, 44, 45, 46, 47, 58
red de meridian os y paralelos
56
regIa de la falsa posicion 6, 7
Rhind, Henry 6
Rocinante 25
Roma 57
Rudolff, Christoph 31
San Petersburgo 57
Sissa, el persa 48, 49
Sistema Mundial de
Localizacion 57
Slipher, Vesto 44, 45
Universidad de Babilonia 17, 18
universo 44, 45
Viete, Franc;:ois 23, 31
Wallis, John 23
Watson, John 20
Widmann d'Eger, Johann 31
91~]J'~IIIUlj~ljlll
CnJl1icas a(~e{Jraicas presenta textos que explican con c1aridad y humor el
inicio del <1lgebra en Egipto y Babilonia, asi como las contribuciones
<lrabes
alas marel1l<1ticas y la forma de resolver distintos
tipos de ecuaciones.
Ofrece rambicn varias historias y anccdoras
diverridas
de personajes
asociados con las matem,lticas,
como Diofanto,
AI-Jwarizmi,
Girolal1lo Cardal1lo \" Rene Descartes.
Ruiz estudi{) en Ia Faculrad de Ciencias de la L:\\\1. Es jcfa de
Ia sala de matem,lticas
de Universum,
\;Iuseo de las Ciencias de la L:\.\\1.
Cola bora en \"arias revistas de dindgaci(')J] y de ensei"ianza. Es coautora
del
libro J-) !Jiro!)() IIhltemdtico.
C(l/lce{Jci(JI1
Ser<~i() de I~egll{es,
fisico egresado de la Facultad de Ciencias de la L:\.\\I,
trabaja en la Direcci{)Jl General de Dindgaci{)Jl de Ia Ciencia de la l i:\.\\1 Y
es auror de varios articulos y libros de divulgaci{)Jl cientifica. En I SlXSl gaIH')
el premio Puebla de Cuento de Ciencia
gobierllo del estado de Puebla.
Ficci{)fl ororgado
por el Conacyt
programa
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santillana
SECRETARIA DE
EDUCAoON
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COMISI6N
NACIONAL
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GRATUITOS