PPT de clase semana 07(2)

GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ÁLGEBRA
SESIÓN 7: Planos en el espacio. Ecuaciones.
Departamento de Ciencias
INTRODUCCIÓN
Planos en el espacio
En R3 la gráfica de una ecuación de tres
variables x , y , z es una superficie la más
simple es el plano. Llevado a la
localidad se representan los elementos físicos
que hay en ella, vigas, techos, columnas,
edificios, calles, plazas.
¿Cómo calcular la ecuación general del
plano en el espacio?
SABERES PREVIOS
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LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión, el estudiante
reconoce, interpreta y resuelve
situaciones problemáticas de su
carrera, aplicando las ecuaciones de
planos en el espacio y los grafica
haciendo uso de las propiedades de
planos en forma forma ordenada y
correcta.
CONTENIDOS
1. Planos. Ecuaciones de un plano.
2. Relación entre planos.
3. Ángulos entre dos planos.
4. Distancia de un punto al plano.
EL PLANO EUCLIDIANO
Un plano en el espacio queda bien determinado si se conoce
su punto de paso 𝑃0 y un vector perpendicular al plano n,
llamado vector normal al plano.
z
𝑵
P0(x0; y0; z0)
P(x; y; z)
x
y
ECUACIÓN VECTORIAL DE UN PLANO
Gráficamente
Sea 𝜋 el plano que pasa por 𝑃0 ,
y contiene a los vectores no
paralelos 𝑎Ԧ y 𝑏 , su ecuación
vectorial es:
z

P
a
P0
𝜋: 𝑃 = {𝑃0 +𝑟𝑎Ԧ + 𝑠𝑏 /𝑟, 𝑠 ∈ ℛ}
b
y
x
ECUACIÓN PARAMÉTRICA DE UN PLANO
➢ De la ecuación vectorial del plano, si le asignamos coordenadas a los
puntos, se tiene:
➢
𝑃 = 𝑃𝑥,=𝑦, 𝑥,
𝑧 𝑦, 𝑧 𝑃0 = 𝑃0𝑥0=, 𝑦0𝑥,0𝑧,0𝑦0 , 𝑧0
𝑎Ԧ =𝑎Ԧ 𝑎=1 , 𝑎𝑎21,,𝑎𝑎32 , 𝑎3 𝑏 = (𝑏
𝑏 1=, 𝑏(𝑏
2 , 1𝑏,3𝑏)2 , 𝑏3 )
𝜋: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) + 𝑟(𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) + 𝑠(𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 )
 x = x0 + ra1 + sb1

 :  y = y0 + ra2 + sb2
 z = z + ra + sb
0
3
3

𝑟, 𝑠 ∈ ℛ
ECUACIÓN NORMAL DEL PLANO
Sea el plano 𝜋 que pasa por 𝑃0 = (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) cuyo vector
normal es 𝑁 = ( a , b , c ) , su ecuación normal del plano es:
𝑁
𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝜋
𝑃0 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )
𝑃 − 𝑃0 . 𝑁 = 0
ECUACIÓN NORMAL: CASOS
Un vector 𝑁 ∈ ℛ3 es un vector normal a un plano, si 𝑁 es
ortogonal al plano .
I
III
II
𝑁 = 𝑃0 𝑃1 × 𝑃0 𝑃2
𝑁 = 𝑎Ԧ × 𝑏
𝑁
P2
b
P0
a
P0
P1
ECUACIÓN GENERAL DEL PLANO
➢ Sea el plano 𝜋 que pasa por 𝑃0 = 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 cuyo vector normal
es 𝑛 = 𝑎, 𝑏, 𝑐
➢ La ecuación general del plano, se obtiene al reemplazar las
coordenadas de cada punto en la ecuación normal del plano.
Es decir:
( P − P0 ) • n = 0  ( x, y, z ) − ( x0 , y0 , z0 ) • ( a, b, c ) = 0
 : ax + by + zc + d = 0
Ecuación general del plano
Ejemplo: Sea el plano 𝜋 que pasa por 𝑃0 = (3, −5,9). cuyo vector normal es
𝑛 = (1, −2, −4). Hallar la ecuación cartesiana del plano.
Solución
i) Aplicamos la Ecuación normal:
𝑃 − 𝑃0 . 𝑁 = 0
ii) Después de reemplazar y simplificar, se obtiene:
𝑥, 𝑦, 𝑧 − 3, −5,9 ∙ 1, −2, −4 = 0
𝑥 − 3, 𝑦 + 5, 𝑧 − 9 ∙ 1, −2, −4 = 0
⟹ 1. 𝑥 − 3 + −2. 𝑦 + 5 + −4. 𝑧 − 9 = 0
∴ 𝜋: 𝑥 − 2𝑦 − 4𝑧 + 23 = 0
Ecuación general del plano.
ECUACIÓN SIMÉTRICA DEL PLANO
Es aquella ecuación de la forma:
z
p
x y z
 : + + =1
m n p
n
x
Donde los números m, n y p son las
intersecciones del plano con los ejes
coordenados X, Y, Z respectivamente.
m
y
RELACIÓN ENTRE PLANOS
➢ Sean las ecuaciones cartesianas o generales de los planos
𝜋1 : 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 z+𝑑1 = 0 y 𝜋2 : 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 z+𝑑2 = 0
➢ Donde los vectores normales son: 𝑛1 : 𝑎1 , 𝑏1 , 𝑐1 ; 𝑛2 : (𝑎2 , 𝑏2 , 𝑐2 )
PARALELOS
𝜋1 //𝜋2 ⇔ 𝑛//𝑛2 ⟹ 𝑛1 × 𝑛2 =0
PERPENDICULARES
𝜋1 ⊥ 𝜋2 ⇔ 𝑛1 ⊥ 𝑛2 ⇒ 𝑛1 . 𝑛2 = 0
DISTANCIA MÍNIMA ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO
La distancia mínima entre una recta 𝐿 = 𝑃 + 𝑡𝑎/𝑡
Ԧ ∈𝑅 y
un plano 𝜋
P
𝑎Ԧ
𝑛
d(L,π)
d(L,π)=
A
𝜋
Q
𝑄𝑃∙𝑛
𝑛
ÁNGULOS ENTRE DOS PLANOS
➢ Sean las ecuaciones cartesianas o generales de los planos
𝜋1 : 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 z+𝑑1 = 0 y 𝜋2 : 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 z+𝑑2 = 0
➢ Los vectores normales son: 𝑛1 : 𝑎1 , 𝑏1 , 𝑐1 ; 𝑛2 : (𝑎2 , 𝑏2 , 𝑐2 )
𝑛1 .𝑛2
𝜃= arcos(
)
∥𝑛1 ∥ .∥𝑛2 ∥
DISTANCIA MÍNIMA DE UN PUNTO A UN PLANO
Sea el plano 𝜋: Ax + By + Cz + D=0 y un punto 𝑃1 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1
que no pertenece al plano 𝜋 .
n
𝑃1
𝑑 𝑃1 , 𝜋

𝑑 𝑃1 , 𝜋 =
P0
Q
𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶𝑧1 + 𝐷
𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶 2
Distancia de un punto al plano
Ejemplo: Hallar la menor distancia del punto 𝑃1 (1,3,5) y el plano 𝜋 de
ecuación: 4X+Y-3Z+1=0
Solución
➢ Aplicamos la fórmula:
𝑑 𝑃1 , 𝜋
𝐴2 + 𝐵 2 + 𝐶 2
➢ Remplazamos datos en la fórmula y se tiene:
𝑑 𝑃1 , 𝜋 =
𝑃1
𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶𝑧1 + 𝐷
𝑑 𝑃1 , 𝜋 =
𝑑 𝑃1 , 𝜋 =
n
4 1 +1 3 −3 5 +1
4 2 + 1 2 + −3 2
7
26
∴ 𝑑 𝑃1 , 𝜋 = 𝟏, 𝟑𝟕𝟐𝟖 𝒂𝒑𝒓𝒐𝒙.

P0
Q
Ecuación vectorial del plano
Ejemplo: Hallar la ecuación vectorial del plano que contiene a los puntos
A=(1,0,2), B =(0,2,4) y C =(2,-4, 8).
Solución
TRABAJO EN EQUIPO
Instrucciones
1. Esperar que el docente
indique los grupos reducidos
para la actividad.
2. Desarrolle la actividad
asignada
APLICACIÓN TECNOLÓGICA
Se requiere construir una
rampa entre los planos
Z=8 y el plano Z=2 los
cuales sus unidades están
en metros, la rampa unirá
en el intervalo de 3≤y≤6, y
el -4≤X≤4. determine la
ecuación de la rampa la
cual servirá para conocer
la cota para cualquier
apartamiento
y
alejamiento.
Z
Y
X
METACOGNICIÓN
¿Qué dificultades se
presentaron?
¿Qué hemos aprendido en esta
sesión?
¿Cómo se absolvieron las dificultades
las dificultades encontradas?
¿Qué tipos de problemas se
pueden resolver mediante
planos en el espacio?
REFERENCIAS
▪ Eduardo Espinoza Ramos(2007). Geometría Analítica.
▪ Espinoza Ramos, E. (2007) Álgebra lineal. Lima-Perú. Segunda edición.
▪ Grossman, Stanley. (2012). Geometría Analítica
▪ Larson, R. & Edwars, B. (2016) Fundamentos de álgebra lineal. México:
Cengage learning Editores.
▪ Poole, David. (2011) Álgebra lineal, Una introducción moderna. México:
Cengage learning Editores.
GRACIAS