Deflexiones

Quinta edición
CAPÍTULO
7
MECÁNICA DE
MATERIALES
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston, Jr.
John T. DeWolf
David F. Mazurek
Notas:
J. Walt Oler
Texas Tech University
Deflexiones
(Integración)
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Quinta
edición
MECÁNICA DE MATERIALES
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
Contenido
Deformación de una viga bajo carga transversal
Ecuación de la curva elástica
Determinación directa de la curva elástica a partir de la
distribución de carga
Vigas estáticamente indeterminadas
Problema modelo 9.1
Problema modelo 9.3
Método de superposición
Problema modelo 9.7
Aplicación de la superposición a vigas estáticamente
indeterminadas
Problema modelo 9.8
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6- 2
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MECÁNICA DE MATERIALES
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
Deformación de una viga bajo carga transversal
• La relación entre el momento flector y la
curvatura de flexión pura sigue siendo válida
en general para cargas transversales.
1

=
M ( x)
EI
• Una viga en voladizo sometida a una carga
concentrada en su extremo libre,
1

=−
Px
EI
• La curvatura varía linealmente con x.
• En el extremo libre A,
• En el soporte B,
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1
B
1
= 0,
ρA
 0,  B =
ρA = 
EI
PL
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Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
Deformación de una viga bajo carga transversal
– Viga de un tramo en voladizo
• Reacciones en A y C
• Diagrama del momento flector
• La curvatura es igual a cero en los puntos donde el
momento flector es cero, es decir, en cada extremo
y en E.
1

=
M ( x)
EI
• La viga es cóncava hacia arriba en el momento de
flexión positivo y cóncava hacia abajo cuando es
negativo.
• La curvatura máxima se produce cuando la
magnitud de momento es un máximo.
• Una ecuación de la forma de viga o curva
elástica es necesaria para determinar la
deformación máxima y la pendiente.
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Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
Ecuación de la curva elástica
• Del cálculo elemental, simplificado para los
parámetros de la viga,
d2y
1

=
dx 2
2 32
  dy  
1 +   
  dx  

d2y
dx 2
• Sustituyendo e integrando,
EI
1

= EI
d2y
dx
2
= M (x)
x
dy
EI   EI
= M ( x )dx + C1
dx 
0
x
x
0
0
EI y =  dx  M ( x ) dx + C1x + C2
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Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
Ecuación de la curva elástica
• Las constantes se determinan por las
condiciones de frontera,
x
x
0
0
EI y =  dx  M ( x ) dx + C1x + C2
• Tres casos para vigas estáticamente
determinadas,
– Viga simplemente apoyada
y A = 0,
yB = 0
– Viga de un tramo en voladizo
y A = 0,
yB = 0
– Viga en voladizo
y A = 0,  A = 0
• Más cargas complicadas requieren integrales
múltiples y la aplicación del requisito para la
continuidad del desplazamiento y la
pendiente.
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Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
Determinación directa de la curva elástica a partir de
la distribución de carga
• Para una viga sujeta a una carga distribuida,
d 2M
dM
= V (x )
dx
dx
=
2
dV
= − w( x )
dx
• Ecuación para el desplazamiento de la viga
d 2M
dx
2
= EI
d4y
dx
4
= − w( x )
Integración desde la ecuación de carga:
EI y( x ) = −  dx  dx  dx  w( x )dx
+ 16 C1x3 + 12 C2 x 2 + C3 x + C4
• Las constantes se determinan a partir de
condiciones de contorno.
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Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
Determinación directa de la curva elástica a partir de
la distribución de carga
• Debe advertirse que entre mas complicado sea el
sistema de cargas, habrá de obtenerse mas
ecuaciones de carga o momento, acompañadas de
condiciones de contorno que permita resolver el
numero elevado de constantes de integración que
aparecen por cada tramo.
• Para una viga sujeta a un sistema de carga
discontinuo, resulta practico la aplicación del
método basado en funciones de singularidad.
• Tómese en cuenta que si se integra desde la
ecuación de carga no aparecerán constantes de
integración sino hasta llegar hasta la ecuación de
momento, en adelante.
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Vigas estáticamente indeterminadas
• Considere una viga empotrada en A y con apoyo
sobre rodillos en B.
• Del diagrama de cuerpo libre, nótese que hay
cuatro componentes de la reacción desconocida.
• Condiciones para el cumplimiento del equilibrio
estático
 Fx = 0  Fy = 0  M A = 0
La viga es estáticamente indeterminada.
• También se tiene la ecuación de deflexión de
una viga,
x
x
0
0
EI y =  dx  M ( x ) dx + C1x + C2
que introduce dos incógnitas, pero
proporciona tres ecuaciones adicionales de las
condiciones de contorno:
At x = 0,  = 0 y = 0
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At x = L, y = 0
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Problema modelo 9.1
SOLUCIÓN:
• Desarrollar una expresión para
M (x) y obtener la ecuación
diferencial de la curva elástica.
W 14  68
I = 723in 4
E = 29  106 psi
P = 50 kips
L = 15 ft
a = 4 ft
Para la porción AB de la viga parcialmente
en voladizo, a) obtener la ecuación de la
curva elástica, b) determinar la deflexión
máxima, c) calcular ymáx.
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• Integrar la ecuación diferencial en
dos ocasiones y establecer
condiciones de contorno para
obtener la curva elástica.
• Localizar el punto de pendiente
cero o el punto de máxima
deflexión.
• Evaluar la deformación máxima
correspondiente.
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Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
Problema modelo 9.1
SOLUCIÓN:
• Desarrollar una expresión para M (x) y
obtener la ecuación diferencial de la curva
elástica.
- Reacciones:
RA =
Pa
 a
 RB = P1 +  
L
 L
- Para los diagramas de cuerpo libre de la
sección AD,
a
M = −P x
L
(0  x  L )
- Para la ecuación diferencial de la curva
elástica,
EI
d2y
dx
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= −P
2
a
x
L
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Problema modelo 9.1
• Integrar la ecuación diferencial en dos
ocasiones y aplicar condiciones de contorno
para obtener la curva elástica.
EI
dy
1 a
= − P x 2 + C1
dx
2 L
1 a
EI y = − P x3 + C1x + C2
6 L
d2y
a
EI 2 = − P x
L
dx
en x = 0, y = 0 : C2 = 0
1 a
1
en x = L, y = 0 : 0 = − P L3 + C1 L C1 = PaL
6 L
6
Sustituyendo,
dy
1 a
1
EI
= − P x 2 + PaL
dx
2 L
6
1 a
1
EI y = − P x3 + PaLx
6 L
6
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2
dy PaL 
 x 
=
1 − 3  
dx 6 EI 
 L  
3
PaL2  x  x  
y=
 −  
6 EI  L  L  
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MECÁNICA DE MATERIALES
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
Problema modelo 9.1
• Localizar el punto de pendiente cero o el
punto de máxima deflexión.
2
dy
PaL 
 xm  
=0=
1 − 3  
dx
6 EI 
 L  
3
PaL2  x  x  
y=
 −  
6 EI  L  L  
xm =
L
= 0.577 L
3
• Evaluar la deformación máxima
correspondiente.

PaL2
3
ymáx =
0.577 − (0.577)
6 EI

PaL2
ymáx = 0.0642
6 EI
ymax = 0.0642
(50 kips )( 48in )(180 in )
(
)(
6 29 106 psi 723in 4
2
)
ymáx = 0.238in
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Problema modelo 9.3
SOLUCIÓN:
• Desarrollar la ecuación diferencial
para la curva elástica (será
funcionalmente dependiente de la
reacción en A).
Para la viga uniforme, determinar la
reacción en A, obtener la ecuación de
la curva elástica y hallar la pendiente
en A. (Nótese que la viga es
estáticamente indeterminada de
primer grado.)
• Integrar dos veces y aplicar
condiciones de contorno para resolver
la reacción en A y para obtener la
curva elástica.
• Evaluar la pendiente en A.
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Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
Problema modelo 9.3
• Considerar el momento en acción en la
sección D,
MD = 0
1  w0 x 2  x
RA x −
−M =0
2  L  3
w0 x3
M = RA x −
6L
• Ecuación diferencial para la curva elástica,
d2y
w0 x3
EI 2 = M = R A x −
6L
dx
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Problema modelo 9.3
• Doble integración
4
dy
1
2 w0 x
EI
= EI = R A x −
+ C1
dx
2
24 L
5
1
3 w0 x
EI y = RA x −
+ C1x + C2
6
120L
2
EI
d y
w0 x
=
M
=
R
x
−
A
6L
dx 2
3
• Aplicar condiciones de contorno:
en x = 0, y = 0 : C2 = 0
w0 L3
1
2
en x = L,  = 0 :
RA L −
+ C1 = 0
2
24
w0 L4
1
3
en x = L, y = 0 :
RA L −
+ C1 L + C2 = 0
6
120
• Resolver para la reacción en A
1
1
RA L3 − w0 L4 = 0
3
30
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RA =
1
w0 L 
10
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MECÁNICA DE MATERIALES
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
Problema modelo 9.3
• Sustituir C1, C2 y RA en la ecuación de la
curva elástica,
5
1 1
 3 w0 x  1

EI y =  w0 L  x −
−
w0 L3  x
6  10
120L  120


y=
(
w0
− x5 + 2 L2 x3 − L4 x
120EIL
• Diferenciar una vez para encontrar la
pendiente,
=
en x = 0,
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(
dy
w0
=
− 5 x 4 + 6 L2 x 2 − L4
dx 120EIL
)
w0 L3
A =
120EI
9- 17
)