Prácticas
Normativa y Cálculo de
Errores
Área de Máquinas y Motores Térmicos
Departamento de Ingeniería Eléctrica y Térmica
Universidad de Huelva
Guiones de Prácticas
1. NORMATIVA DE PRÁCTICAS DEL ÁREA DE MÁQUINAS Y MOTORES TÉRMICOS
1. La asistencia a cada una de las sesiones de laboratorio así como la realización y entrega de los informes
prácticos son requisitos indispensables para aprobar la asignatura.
2. La memoria de las prácticas se evaluará sobre un total de 10 puntos. Para aprobar las prácticas es necesario
obtener una calificación igual o superior a 5 puntos.
3. En caso de detectarse informes que hayan sido copiados de otros, la calificación será de 0 puntos,
independientemente de la responsabilidad activa o pasiva de los autores.
4. No se recogerá ninguna memoria de prácticas entregada fuera de plazo.
5. Se proporcionará un guión de cada una de las prácticas. Se recomienda su lectura y comprensión antes de su
realización con objeto de un mejor aprovechamiento de las mismas.
6. Se proporcionará un calendario de las fechas de prácticas. Cada sesión tendrá una duración máxima de 2
horas.
7. La memoria de prácticas podrá realizarse de forma individual o en grupo. En este segundo caso, los
integrantes del grupo no podrán exceder de 4.
2. ESTRUCTURA DE LOS INFORMES
La realización de las prácticas no se limita a la asistencia al laboratorio, sino que se exige además la
redacción de un informe en el que se explique la experiencia desarrollada y se analicen los resultados obtenidos.
Este informe puede ser realizado individualmente o en grupo, siempre que el grupo esté formado por las mismas
personas que realizaron juntas la experiencia.
Se exige que este informe sea presentado en el plazo indicado por el profesor. Así mismo, se exige un
mínimo de limpieza y orden en la presentación. Se valorará muy positivamente la presentación de los informes
realizada por ordenador.
El informe de cada práctica debe contener los siguientes apartados:
•
Una portada, donde aparezca el título de la práctica realizada, fecha de realización y los nombres
completos de los alumnos que forman el grupo, la carrera y el curso.
•
Una breve introducción donde se explique el fenómeno que se pretende analizar, las ecuaciones físicas
características del proceso y una descripción sobre cómo se realizó la experiencia (con sus incidencias
si las hubiera) y el material utilizado.
•
Los datos experimentales obtenidos.
•
Los resultados obtenidos a partir del análisis de los datos experimentales, expresando claramente el
método utilizado para obtener estos resultados, las unidades correspondientes, el error estadístico y el
método utilizado para la estimación de este error.
•
Las representaciones gráficas que plantee el guión de la práctica.
1
Área de Máquinas y Motores Térmicos
•
Una valoración crítica de los resultados obtenidos, comparándolos con los resultados esperados.
•
Una respuesta razonada a las cuestiones que plantee el guión de la práctica.
3. NOCIONES ELEMENTALES DEL CÁLCULO DE ERRORES
La realización de una medida es un proceso mediante el cual se obtienen uno o varios resultados numéricos o
datos experimentales. Todo dato experimental representa un valor concreto de una magnitud física y viene
afectado por una incertidumbre o error, derivado del propio proceso de medida. Por tanto, la expresión correcta
de un resultado experimental consta de tres elementos: el valor numérico, el error y la unidad.
Los errores que afectan a los valores obtenidos en una medida pueden ser de tres tipos: errores sistemáticos,
errores de escala y errores estadísticos. Los errores sistemáticos se deben a calibraciones incorrectas de los
aparatos de medida, o al mal uso de éstos. Son errores difíciles de detectar y muy complicados de tratar
matemáticamente, por lo que deben ser cuidadosamente evitados en todo proceso de medida. Habitualmente se
supone que las medidas son ajenas a este tipo de errores, es decir, se asume que no se han cometido errores
sistemáticos durante el proceso de medida.
Los errores de escala se deben a la precisión de los aparatos. Por ejemplo, no es posible medir la temperatura
con una precisión de 0,01 °C con un termómetro que utilice una escala con divisiones de 1 °C. Se considera que
el valor del error de escala de una medida es igual a la precisión del aparato con el que se realizó dicha medida.
Los errores estadísticos se producen en medidas de magnitudes que no tengan un valor perfectamente
definido. Por ejemplo, si queremos medir el diámetro de un cuerpo de apariencia circular, el valor obtenido
dependerá del lugar concreto del cuerpo en que se realice la medida. Medidas en lugares diferentes pueden dar
lugar a valores ligeramente distintos. Para obtener un valor de este tipo de magnitudes se recurre a la realización
de varias medidas. El valor que se le asigna a la magnitud es la media aritmética ( x ) de los N valores obtenidos,
xi:
x
1 N
xi
N i 1
(1)
El error estadístico o incertidumbre (x) que se le asigna a la magnitud viene dado por la desviación
cuadrática media:
x
1 N
( xi x ) 2
N 1 i 1
(2)
Con frecuencia es necesario obtener el valor de una magnitud de una manera indirecta, es decir, a través de
una relación matemática donde aparecen otras magnitudes que sí se pueden medir directamente. Por ejemplo,
para medir la densidad ρ, se puede medir el volumen V y la masa m de un cuerpo y usar la relación ρ = m/V. En
estos casos se plantea la cuestión de obtener la incertidumbre en la medida indirecta a partir de los errores de las
medidas directas. Este problema se conoce con el nombre de propagación de errores.
Los errores de escala y los errores estadísticos se propagan de manera diferente. Es decir, el método para
calcular el error de una medida indirecta a partir de los errores de escala de las medidas directas no es el mismo
que el utilizado para los errores de tipo estadístico.
2
Guiones de Prácticas
Supongamos que la medida indirecta de la magnitud f viene dada por:
f f ( x1 , x 2 ,..., x N )
(3)
donde x i (i = 1,2,..., N) representa el valor medio de la magnitud xi.
El error de escala Δf de la magnitud f viene dado por:
f
x i
i 1 x i
N
f
(4)
donde Δxi es el error de escala de la magnitud xi.
El error estadístico f de la magnitud f viene dado por:
2
f 2
xi
i 1 xi
2
f
N
(5)
donde xi es el error estadístico en la magnitud xi. Es importante señalar que la fórmula anterior proporciona el
cuadrado del valor del error estadístico. El valor del error, por tanto, será la raíz cuadrada de la expresión
anterior.
Veamos un ejemplo sencillo. Sea una magnitud indirecta y obtenida como suma de dos medidas directas: y =
x1 + x2. Los errores de escala y estadístico de y son, respectivamente:
Δy = Δx1 + Δx2
(6)
y x21 x22
(7)
El error total de una magnitud sujeta a errores de escala y errores estadísticos es la suma de ambos. El
valor final de la medida de una magnitud se expresa en la forma:
(valor promedio error total) unidades
En general, y dado el significado de cota de imprecisión que tiene el error total, la expresión del mismo no
debe tener más de una cifra significativa, excepto en los casos en que ésta sea un 1, o siendo un 2 no llegue a 5
la segunda. En estos casos se utilizan dos cifras significativas. Por su parte, el valor de la medida debe tener sólo
las cifras significativas necesarias para que su última cifra significativa sea del mismo orden que la última del
error. El último dígito que se retiene se redondea aumentando su valor en una unidad si su vecino eliminado es
mayor o igual que cinco. Veamos algunos ejemplos:
3
Área de Máquinas y Motores Térmicos
Valores incorrectos
Valores correctos
3,4218 0,123
6,3 0,09
428,351 0,27
0,01683 0,0058
3,42 0,12
6,30 0,09
428,4 0,3
0,017 0,006
4. AJUSTE DE UNA RECTA POR MÍNIMOS CUADRADOS
Habitualmente, el fruto del trabajo de laboratorio es un conjunto de N pares de datos (xi, yi) siendo x una
variable independiente normalmente bajo control en el laboratorio e y la respuesta del sistema medida
experimentalmente. Es frecuente que el objetivo del trabajo sea determinar la relación funcional entre estas dos
variables x e y. El caso más sencillo corresponde a la situación en la que exista una relación lineal entre las
variables x e y.
Consideremos que efectuamos una serie de medidas de las magnitudes x e y, y que al representar
gráficamente los pares de puntos (xi, yi) observamos que se distribuyen, aproximadamente, a lo largo de una
recta, es decir, que:
y = a + bx
(8)
Se denomina ajuste por mínimos cuadrados a la obtención de los parámetros a (ordenada en el origen) y b
(pendiente) de la recta anterior a partir de los pares de puntos obtenidos experimentalmente. La recta anterior se
denomina recta de regresión.
Dado un conjunto de N datos {xi, yi} (i = 1, 2, ... , N), el ajuste por mínimos cuadrados implicará obtener las
siguientes cantidades:
1. La ordenada en el origen (a) y la pendiente de la recta de regresión (b), dadas por las
y i xi2 xi xi y i
a
N xi2 (xi ) 2
b
N xi y i xi y i
N xi2 (xi ) 2
expresiones:
(9)
2. Los errores asociados a la ordenada en el origen ( a) y a la pendiente de la recta de regresión (b), dados por
las expresiones:
( yi bxi a ) 2
xi2
a2
2
2
N 2
N xi (xi )
(10)
( yi bxi a ) 2
N
b2
2
2
N 2
N xi (xi )
(11)
3. El valor del coeficiente de correlación (r), dado por la expresión:
4
Guiones de Prácticas
r
( xi x)( y i y )
( x i x ) 2 ( y i y ) 2
(12)
y que representa una medida de la calidad del ajuste. El valor absoluto de dicho coeficiente varía entre 0 y 1. Un
valor de |r| cercano a la unidad, nos indica que el conjunto de datos está bien representado por una relación
lineal (tanto mejor, cuanto más cercano a la unidad). Por el contrario, un valor cercano a cero, indica que las
magnitudes x e y no están bien representadas por una relación lineal.
En términos prácticos, cuando tengamos que ajustar un conjunto de datos por el método de mínimos
cuadrados, tendremos que seguir los siguientes pasos:
1. Representar gráficamente el conjunto de datos experimentales y comprobar (a simple vista) si dicho conjunto
puede ser representado por una recta.
2. Obtener todos las sumatorias implicados en las expresiones anteriores.
3. Obtener los valores de la ordenada en el origen y la pendiente de la recta de regresión, así como los errores
asociados a los mismos. Dichos valores se expresarán en la forma:
(a a) unidades, (b b) unidades
4. Representar en la gráfica la recta de regresión y = a + bx.
5. Obtener el coeficiente de correlación el ajuste.
5. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
A la hora de analizar los datos obtenidos en una experiencia es habitual representar gráficamente estos datos,
lo que permite expresar la relación entre diferentes magnitudes de una forma muy directa.
Es importante tener en cuenta las siguientes recomendaciones cuando se realiza una representación gráfica:
Las gráficas deben presentarse en papel milimetrado o bien realizarse mediante un programa de
representación gráfica.
Toda gráfica debe tener un título y un código con el que poder referenciarla en el texto. Por ejemplo:
FIG. 1: TEMPERATURA DEL AGUA FRENTE AL TIEMPO DE CALENTAMIENTO
Las magnitudes representadas en la gráfica y sus unidades (indicadas entre paréntesis) deben parecer en
los ejes de coordenadas.
La escala debe elegirse de manera que los datos a representar queden centrados en la representación. No
es necesario que la escala comience en 0 si esto desplaza los valores representados.
Los valores representativos de la escala (10, 20, ... ó 100, 200, ... , etc.) deben señalarse en los ejes.
Los puntos a representar deben señalarse claramente (mediante símbolos apropiados como
círculos, cruces, etc.) en la gráfica, pero no se deben representar las proyecciones de estos puntos en los
5
Área de Máquinas y Motores Térmicos
ejes.
Si los puntos se han ajustado mediante una cierta función (por ejemplo, una recta en un ajuste por
mínimos cuadrados) deberá representarse tanto los puntos como la línea de ajuste.
Sólo se representarán varias líneas en una gráfica cuando los datos se refieran a las mismas magnitudes
y se representen en la misma escala.
En caso de representar varias líneas en una gráfica se deberá indicar en cada una el valor de la magnitud
que la caracterice (por ejemplo, si se representan líneas que corresponden a valores de presión de 1 bar,
2 bar, etc., se debe indicar el valor de la presión en el extremo de cada línea)
6
