ARITMÉTICA

4
TEORÍA DE CONJUNTOS II
¾¾ Aplica las operaciones entre conjuntos.
¾¾ Diferencia las operaciones entre conjuntos.
Helico curiosities
George Cantor
Nació en San Petersburgo (Rusia). Su madre era rusa y su padre un comerciante danés. En 1856 la familia se trasladó a Wiasbadem (Alemania); tuvo
seis hermanos.
Su padre quería que estudiase ingeniería, pues había demanda de ingenieros
y estaban bien pagados, sin embargo a Cantor no le gustó la idea y estudió
matemáticas.
Estudió en el politécnico de Zurich y en Berlín. En 1869 entró como profesor
a la universidad de Valle. Cantor estudió los conjuntos infinitos.
Demostró que no todos los conjuntos infinitos son del mismo tamaño donde
los conjuntos que todos diríamos que tienen más elementos, tienen los mismos. Por ejemplo hay el mismo número de pares que de naturales, hay el
mismo número de enteros que de naturales, hay el mismo número de racionales que de naturales. Sin embargo hay más números reales que de naturales.
Sus teorías fueron muy controvertidas en su época y tuvo enfrentamientos con otros matemáticos.
Cantor padeció transtornos maniaco-depresivos, en varias etapas de su vida. Solo al final de su vida se empezó a
valorar su trabajo.
Murió en 1918 en un sanatorio mental.
Responde.
1.
¿Qué demostró George Cantor acerca del tamaño de los conjuntos infinitos?
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
2.
¿Consideras que elegir estudiar matemáticas en lugar de ingeniería a pesar de que el trabajo como ingeniero
fuera mejor remunerado fue una buena decisión? ¿Por qué?
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
7
ARITHMETIC
Helico theory
TEORÍA DE CONJUNTOS II
Dados los conjuntos A y B, contenidos en el conjunto
universal U.
UNIÓN (∪)
La unión de dos conjuntos o más es aquel conjunto conformado por la agrupación de todos los elementos de los
conjuntos que intervienen.
Notación
A ∩ B = {x / x ∈ A ∧ x ∈B}
Gráficamente
I.
U
A
B Si A y B son dos conjuntos disjuntos A ∩ B = ∅
Notación
∅ : conjunto vacío
A ∪ B = {x / x ∈ A ∨ x ∈B}
II.
Observation
A
v: Se lee “o”
III.
U
U
B
A
B
Gráficamente
I.
II.
U
U
B
A
A
Si B ⊂ A, entonces
A ∩B=B
A∩B
B
Ejemplo
Halle la intersección de A y B si
A = {x / x ∈}
A y B disjuntos
A y B no disjuntos
III.
B = {x / x ∈, x ≤ 5}
Resolución
U
Gráficamente
A
B
10
B
B incluido en A
Ejemplo
A = {1; 2; 3; 5; 6}
B = {3; 5; 6; 8; 10}
Resolución
.1
.2
.3
.5
.6
U
B
.8
.10
A ∪ B={1; 2; 3; 4; 5; 6: 8; 10}
INTERSECCIÓN (∩)
La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto
formado por elementos que pertenecen a A y B a la vez.
8
9
3 8
5 7
6
B por extensión
B = {1; 2; 3; 4; 5}
 : números naturales
Halle la unión de A y B si
A
1
4
2
=A
Entonces A ∩ B = {1; 2; 3; 4; 5} = B
DIFERENCIA ENTRE DOS CONJUNTOS (–)
El conjunto diferencia en ese orden A – B, está formado
por elementos exclusivos de A, es decir, no deben pertenecer a B.
Notación
A – B = {x / x ∈ A ∧ x ∉ B}
I.
A
U
B
A y B no disjuntos
MATHEMATICS • VOLUME 2 • 1st GRADE OF SECONDARY
II.
U
A
III.
U
B
A
Ejemplo
Halle la diferencia simétrica de B y D si
B = {7; 6; 8; 3; 2}
B
D = {6; 2; 3}
A–B
A–B
Complete y sombree.
B
B⊂A
A y B disjuntos
D
Ejemplo
B A D= {
}
Halle la diferencia entre los conjuntos A y B, A – B
y B – A si
A = {2; 5; 6; 7; 8}
B = {2; 5; 10; 15}
COMPLEMENTO DEL CONJUNTO A (A')
El completo del conjunto A está formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal, pero no al conjunto A.
Resolución
A
.6
.7
.8
.2
.5
. 10
B
U
A
. 15
B– A ={10; 15}
A – B ={6; 7; 8}
Región pintada
es
el complemento de A
Ejemplo
Sean los conjuntos A y U.
DIFERENCIA SIMÉTRICA (∆)
La diferencia de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o B, pero no
a ambos.
U : conjunto universal
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}
A = {1; 3; 4; 7; 8}
El complemento de A es A' = {2; 5; 6}.
Notación
Gráficamente
A ∆ B = {x / x ∈ A ∪ B ∧ x ∉ A ∩ B}
Gráficamente
I.
A
U
.6
U
B
.2
A ∆ B = (A ∪ B) – (A ∩ B)
A
.1 .3 .4
.7 .8
.5
Ejemplo
Halle el complemento de B si
U
II.
B = {3; 5; 8; 10; 15; 20}
U
III.
A
A
B
U = {1; 2; 3; 5; 8; 10; 11; 15; 20; 21}
U
B
A ∆ B = A – B Ejemplo
A∆B = A∪ B
B' = {1; 2; 11; 21}
Halle la diferencia simétrica de B y C si
Halle  ∆ .
C = {5; 8; 7; 6}
 : números naturales
B
C
2
3
5
8
Ejemplo
B = {2; 3; 5; 8}
7
6
 : números enteros
A ∆ B = {2; 3; 7; 6}
 = {1; 2; 3; 4;...}
 = {...–3; –2; –1; 0; 1; 2;...}
 ∆  = {...–3; –2; –1; 0}
9
ARITHMETIC
Helico synthesis
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Unión (∪)
A ∪ B = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B}
Intersección (∩)
A ∩ B = {x / x ∈ A ∧ x ∈ B}
Diferencia (–)
A – B = {x / x ∈ A ∧ x ∉ B}
Diferencia simétrica (∆)
A ∆ B= {x / x ∈ A ∪ B ∧ x ∉ A ∩ B}
Solved problems
1.
Un club de natación tiene 38 nadadores de estilo libre, 15 de estilo mariposa y 20 de estilo pecho. Si
el número total de nadadores es 58 y solo 3 de ellos
practican los tres estilos, ¿cuántos practican exactamente un solo estilo?
Resolución
L(38)
Se tiene los conjuntos
A = {x / x ∈  ∧ x < 3}
B = {x / x ∈  ∧ x < 8}
C = {x /x ∈  ∧ x > 9}
Halle [(A – C) ∪ ( – B)] ∩ B.
a
b
x
z
3
M(15)
y
Resolución
A
c
B
C
3
P(20)
8
9
A–C=A
a + x + z = 35 ... (1)
b + x + y = 12 ... (2)
c + y + z = 17 ... (3)
[A ∪ ( – B)] ∩ B = A
3
Sumando (1), (2) y (3)
8 –B
Rpta.: A
(a + b + c) + 2(x + y + z) = 64
Del dato (a + b + c) + (x + y + z)=58 – 3 = 55
x+y+z = 9
a + b + c = 46
Rpta.: 46
10
2.
MATHEMATICS • VOLUME 2 • 1st GRADE OF SECONDARY
3.
De un grupo de 45 cachimbos, se sabe que 14 alumnos no tienen 17 años; 20 alumnos no tienen 16
años; 8 alumnos y 3 alumnas no tienen ni 17 ni 16
años. ¿Cuántas alumnas tienen 16 o 17 años?
5.
En un salón de 40 alumnos, se sabe que a 25 les gusta el curso de Matemática y a 20 les gusta el curso
de Historia. ¿A cuántos les gusta ambos cursos si a
5 de ellos no les gusta ninguno de los dos?
Resolución
Resolución
Con 17 años Con 16 años Ni 17 ni 16
Hombres 20 – 8 = 12
Mujeres
14 – 8 = 6
8
b
3
a
¾¾
20 alumnos no tienen 16 años, entonces
20 – 8 = 12 tienen 17 años.
¾¾
14 alumnos no tienen 17 años, entonces 14 – 8 = 6
tienen 16 años.
¾¾ Las alumnas que tienen 17 o 16 años son
45 – 12 – 6 – 8 – 3 = 16.
40
M(25)
H(20)
x
20 – x
5
25 + 20 – x + 5 = 40
50 – x = 40
x = 10
Rpta.: 10
Rpta.:16
4.
Si
n(A ∪ B) = 36
n(A – B) = 18
n(B – A) = 15
calcule n(A) + n(B).
Resolución
A
B
18
x
15
36
18 + x + 15 = 36
x=3
n(A) = 18 + 3 = 21
n(B) = 15 + x = 18
n(A) + n(B) = 21 + 18
n(A) + n(B) = 39
Rpta.: 39
11
ARITHMETIC
Session 1
Helico practice
Aplico lo aprendido
1.
Demuestro mis conocimientos
3.
Si
Halle la diferencia simétrica de A y B si
A = {1; 2; 3; 2}
A = {2; 4; 6; 14}
B = {1; 4; 5; 6; 7}
B = {3; 1; 9; 5; 4}
escriba verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
Resolución
a. 1 ∈ A ∩ B
(
)
b. 1 ∈ A ∆ B
(
)
c. n(A – B) = 4
(
)
d. n(A ∪ B) = 7
(
)
e. n(B – A) = 3
(
)
Resolución
2.
En los conjuntos
3
+
4.
Dados
E = {x / x ∈  , x < 5}
A = {1; 2; 3; 4; 5}
F = {2; 8; 20; 27; 50}
B = {2; 4; 6; 8}
halle n(E ∪ F).
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
Resolución
halle A' ∩ B'
Resolución
12
MATHEMATICS • VOLUME 2 • 1st GRADE OF SECONDARY
5.
7.
Si
A = {3; 5; 7; 9}
B = {2; 3; 5; 7; 11}
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11}
halle el complemento de A ∆ B.
Resolución
El Perú ocupa el sexto lugar en el ranking de países
con mayor recepción de turistas en Latinoamérica,
la biodiversidad y diversos climas hacen de nuestro
país un atractivo lugar para los turistas, además de
situarse una de las siete maravillas del mundo, es
por esta razón que una delegación de 48 deportistas
decide pasar sus vacaciones en nuestro país pero aun
no han decidido si irán a Cusco y/o Iquitos, si se
sabe que 8 eligieron Iquitos pero no Cusco y 10 no
eligieron ninguno de los dos destinos. ¿Cuántos de
ellos eligieron como destino a Cusco?
Resolución
Asumo mi reto
6.
Famosas son las peñas criollas en nuestra capital,
sus orígenes se remontan a mediados del siglo pasado cuando músicos elegían una casa a la que llamaban “anfitriona” para juntarse por las noches, si
en una de estas reuniones se juntan 42 artistas de los
que se sabe que 20 bailan, 18 cantan y, 8 cantan y
bailan. Halle el número de artistas que no cantan ni
bailan.
Resolución
13
ARITHMETIC
GRADE
Helico workshop
Aplico lo aprendido
1.
Demuestro mis conocimientos
3.
Si
Dados los conjuntos A y B
A = {1; 3; 5; 7; 9; 12}
A = {x2 – 1 / x ∈ +, 1 ≤ x < 4}
B = {3; 9; 8; 10; 11}
B = {2; 3; 5; 9; 11}
escriba verdadero (V) o falso (F), según corresponda.
halle A ∆ B.
a. 8 ∈ A ∪ B
(
)
Resolución
b. 12 ∈ A ∩ B
(
)
c. n(A ∪ B) = 11
(
)
d. A ∩ B = {3; 9; 7}
(
)
e. n(A – B) = 4
(
)
Resolución
2.
Dados los conjuntos A y B
4.
Halle n[(A ∪ B)'] si
A = {x2 / x ∈ +, x < 5}
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
B = {2; 3; 4; 5}
B = {2; 4; 6; 8; 10}
halle n(A ∩ B).
Resolución
14
= {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
Resolución
MATHEMATICS • VOLUME 2 • 1st GRADE OF SECONDARY
5.
7.
Si
A = {1; 3; 5; 7}
B = {1; 2; 3; 5; 7; 11}
U = {1; 2; 3; ...; 12}
halle A ∆ B.
Resolución
Se estima que cada año cientos de personas deciden
emigrar a países más desarrollados como EEUU y
Canadá debido a la pobreza y falta de oportunidades
en países de Centroamérica como El Salvador,
Honduras y Guatemala, si 600 personas deciden
postular para obtener una visa pero para ello
necesitan dominar uno o dos de los dos idiomas
nativos de estos países: inglés y francés. Se sabe
que 100 no dominan ninguno de estos dos idiomas,
450 dominan francés y 50 dominan ambos idiomas.
¿Cuántos postulantes solo dominan inglés?
Resolución
Asumo mi reto
6.
Álvaro tiene 18 años y todos los días sale temprano a
trabajar en el mercado con sus padres, que tienen un
negocio de venta de comida además de ayudar a sus
padres también apoya con los quehaceres del hogar,
y organiza su tiempo para estudiar idiomas que es
lo que realmente le apasiona, si el estudia 21 días
inglés y 17 días alemán durante 25 días en el mes,
¿cuántos días estudió ambos idiomas?
Resolución
15
ARITHMETIC
Helico trial
1.
Se encuestaron a 120 personas sobre la preferencia
de dos canales de televisión A y B.
¾¾
12 personas ven ambos canales.
¾¾
18 no ven ninguno de los dos canales.
¾¾
Los que ven el canal A exceden en 26 a los que
ven el canal B.
2.
Halle la operación que representa la región sombreada.
A
B
C
¿Cuántos ven solo el canal A?
A) (A ∪ B) ∪ C
B) (A – B) ∪ (B – C)
A) 90
D) 32
C) (A – B) ∪ (B ∩ C)
D) (A ∪ B) – (A ∩ B)
C) 36
D) 58
GRADE
Helico challenge
Nivel I
1.
Halle B – A si
Nivel II
3.
Si
n(A) = 12
A={0; 1; 2} y B={1; 2; 5}
n(B) = 15
Resolución
n(A ∪ B) = 20
halle n(A ∩ B).
Resolución
2.
Si
4.
Si
A={x / x ∈ , 0 < x ≤ 3}
n(M) = 15
B={x – 1 / x ∈ , 1 < x ≤ 4}
n(N) = 18
halle n(A ∆ B).
n(M ∩ N) = 9
Resolución
halle n(M ∪ N).
Resolución
16
MATHEMATICS • VOLUME 2 • 1st GRADE OF SECONDARY
Nivel III
5.
por los deportes como ella, ya en el lugar se dio
cuenta de que habían 80 alumnos matriculados de
donde los deportes de preferencia eran atletismo y
natación, observó que 30 no practican ni atletismo ni
natación, 20 practican atletismo y 6 practican
natación y atletismo. ¿Cuántos practican solo uno de
estos deportes?
Eliza tiene 14 años de edad,
en la escuela se destaca por
ser muy activa y tener mucha
preferencia por los deportes,
le encanta jugar voleibol,
básquet, futbol, y compite con
sus amigos para ver quien
puede ser más rápido
corriendo; cuando veía su
teleserie favorita en un corte comercial se enteró
sobre los cursos de verano que ofrece el Instituto
Nacional de Deporte (IPD) y rápidamente esto captó
su atención es por ello que pidió a su mamá acudir a
las instalaciones para conocer de las diferentes
disciplinas que ofrecían para jóvenes apasionados
Resolución
Helico homework
Nivel I
1.
Nivel III
¿Qué operación representa la región sombreada?
4.
n(A) = 24
Manuel del Valle es el gerente de recursos humanos de una empresa de productos alimenticios, como
parte de su gestión para promover un ambiente sano
de trabajo y lograr la cooperación y entendimiento
de todos los trabajadores de la empresa ha decidido
planificar una serie de paseos de esparcimiento y entretenimiento para los empleados siendo así que en
la primera programación asisten 80 obreros de los
que 60 son del área de producción, 52 se encargan
del empaquetado y 8 no son del área de producción
ni se encargan del empaquetado. ¿Cuántos son de
producción y se encargan del empaquetado?
n(B) = 30
A) 40
B) 41
n(A ∩ B) = 15
halle n(A ∪ B).
C) 50
D) 51
A
B
C
A) (A ∪ B) – (A ∩ C)
B) (A ∪ B) – C
C) (A ∪ B) ∩ C
D) (A ∩ C) – B
Nivel II
2.
3.
Si
A) 37
B) 38
C) 39
D) 40
Dados los conjuntos
n(A ∪ B) = 30
n(A – B) = 13
n(B – A) = 11
calcule n(A) + n(B).
5.
La delincuencia en Lima se ha incrementado alarmantemente, la Policía Nacional del Perú (PNP) y las autoridades municipales hacen esfuerzos conjuntos para combatir
contra este flagelo social, se reporta que en los últimos
meses el robo de equipos móviles ha sido el preferido
por los delincuentes de los que de 65 asaltos 38 personas
tenían smartphone y 40 tenían un iPad, ¿cuántas personas
tenían un smartphone y un iPad? (Considera que todas las
personas asaltadas tienen al menos un dispositivo)
A) 6
B) 24
A) 13
B) 42
C) 36
D) 30
C) 52
D) 62
17
ARITHMETIC
Continuamos aprendiendo
Helico practice
Aplico lo aprendido
1.
El conjunto A está formado por todos los números
pares positivos menores de 20 y el conjunto B está
formado por todos los números múltiplos de 3
menores de 30. ¿Cuántos elementos tiene A ∩ B?
Demuestro mis conocimientos
3.
Si
n(M) = 6
n(N) = 7
n(M ∩ N) = 4
Resolución
halle n(M ∪ N).
Resolución
2.
Si
n(A) = 7
n(B) = 8
n(A ∪ B) = 10
halle n(A ∆ B).
Resolución
18
4.
En un salón de 35 alumnos se sabe que 25 desaprobaron el examen de aritmética; 18 desaprobaron
el examen de Álgebra. ¿Cuántos aprobaron los dos
cursos si 10 desaprobaron Aritmética y Álgebra?
Resolución
MATHEMATICS • VOLUME 2 • 1st GRADE OF SECONDARY
5.
De 100 deportistas se observa que
¾¾ 50 prefieren fútbol
¾¾ 45 prefieren básquet
¾¾ 8 prefieren ambos deportes
¿Cuántos deportistas no prefieren ninguno de estos
dos deportes?
Resolución
7.
Todos los años el mes de febrero se viste de corazones
por ser conocido como el mes del amor, debido a esta
celebración todos los negocios y centros comerciales
se preparan para esta festividad, pues miles de parejas y futuras parejas buscaran conseguir los mejores
regalos y detalles para demostrar sus sentimientos a
su persona especial. Es por esta razón que Miguel se
entera de que habrá dos grandes ferias si una de ellas
estará disponible durante 18 días y la otra durante 20
días. ¿Cuántos días podrá ir a visitar ambas ferias el
mismo día?
Resolución
Asumo mi reto
6.
La editorial Perú informado desea poner a la venta
un nuevo diario y para ello realiza un estudio estadístico sobre las preferencias de sus potenciales
lectores respecto a diarios que serán su futura competencia, luego de realizado el estudio de los encuestados se observó que el 25% solo leen Expreso,
40% leen Caribeña y 10% leen los dos. ¿Qué tanto
porciento representa las personas que leen solo uno
de los diarios?
Resolución
19
ARITHMETIC
GRADE
Helico workshop
Demuestro mis conocimientos
Aplico lo aprendido
1.
El conjunto E está formado por todos los números
impares positivos menores de 24 y el conjunto F
está formado por todos los números múltiplos de 4
menores de 33. ¿Cuántos elementos tiene E ∪ F?
3.
Si
n(M) = 5
n(N) = 8
Resolución
n(M ∪ N)] = 10
halle n(M ∩ N).
Resolución
2.
Si
n(A) = 9
n(B) = 5
n(A – B) = 5
halle n(A ∪ B).
Resolución
20
4.
En una encuesta realizada a 30 personas se sabe que
a 18 personas no les gusta Coca Cola; a 16 personas
no les gusta Inca Kola, además a 8 personas no les
gusta Coca Cola ni Inca Kola. ¿A cuántas personas
les gusta las dos gaseosas?
Resolución
MATHEMATICS • VOLUME 2 • 1st GRADE OF SECONDARY
5.
Si se tiene la siguiente información respecto a 90
estudiantes preuniversitarios:
¾¾ 60 postularán a San Marcos.
¾¾ 50 postularán a la UNI.
¾¾ 30 postularán a ambas universidades.
¿Cuántos postularán a la universidad San Marcos o
a la UNI?
Resolución
7.
La temporada de invierno en Huancayo va desde el
11 de junio al 27 de julio donde las temperaturas
oscilan entre los 5 °C a los 20 °C pero el mes de
febrero del año de 2016, los pobladores experimentaron inusuales cambios en el clima que registraron
temperaturas inferiores a las de la época de invierno
con días de lluvia y granizo, en dicho mes ocurrió
además que 17 días llovió y 20 días granizó, entonces ¿Cuántos días llovió y granizó?
Resolución
Asumo mi reto
6.
Por un encargo de la editorial La Garita que desea
poner a la venta una nueva revista de espectáculos
llamada Aires de Diva, una reconocida encuestadora
realizó un estudio a miles personas a nivel nacional
acerca de las revistas que actualmente por lo que
luego tomaron una muestra de 130 personas de las
que se sabe que 50 leen solamente la revista Gente,
70 leen solamente la revista Caretas y 8 no lee
ninguna de esas revistas. ¿Cuántas personas leen las
dos revistas?
Resolución
21
ARITHMETIC
Helico trial
Si
A = {x – 1 / x ∈+ ∧ x2 < 121}
B = {x = 2n / n ∈ ∧ n3 < 216}
C = {x = 2n / n ∈ ∧ 0 < x4 < 625}
1.
2.
¾¾ 15 atletas practican fútbol y natación.
¾¾ 52 son atletas.
¾¾ todos los futbolistas son atletas y 12 son deportistas que solo practican el atletismo.
¾¾ 31 deportistas no practican natación.
halle n(A ∩ B ∩ C).
A) 3
B) 8
C) 16
D) 64
De un grupo de deportistas se observó que
¿Cuántos deportistas son atletas y nadadores, pero
no futbolistas?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 3
GRADE
Helico challenge
Nivel I
1.
Un conjunto C está formado por los 5 primeros números primos y otro conjunto D, por los 7 primeros
números impares. ¿Cuántos elementos tiene C ∩ D?
Nivel II
3.
Resolución
En el salón del primer año 15 alumnos aprobaron
solo Geometría, 8 alumnos aprobaron solo Aritmética. ¿Cuántos aprobaron los dos cursos a la vez si en
total son 30 alumnos, además ningún alumno desaprobó?
Resolución
2.
Si
n(A) = 10
n(B) = 15
n(A ∪ B) = 18
halle n(A ∩ B).
Resolución
22
4.
Jimmy es una persona que solo gusta de beber café o
leche. Si en el mes de junio tomó 24 días café y 18
días tomo leche, ¿cuántos días durante ese mes había
tomado café y leche el mismo día?
Resolución
MATHEMATICS • VOLUME 2 • 1st GRADE OF SECONDARY
Nivel III
5.
que 9 son de Lima y proponen una programación
en inglés y el doble de estas son de provincia y
proponen una programación en quechua. Si 30 son
de Lima, ¿Cuántas de estas empresas postulantes
son de provincia y ofrecen una programación en
inglés?
El Ministerio de Transportes
y comunicaciones convocó a
dos concursos para otorgar
frecuencias de radiodifusión
al servicio del país para zonas
rurales ubicadas en los departamentos de Ancash, Apurímac, Cajamarca, Cusco,
Huancavelica, Huánuco, Junín, La Libertad, San
Martín, Piura, Ucayali, Arequipa, Ayacucho, Madre de Dios, Puno y Lima, por esa razón se presentaron 50 empresas de telecomunicaciones de las
Resolución
Helico homework
Nivel I
1.
Nivel III
4.
En los conjuntos
A = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
B = {4; 6; 8}
C = {3; 6; 9}
halle n[(A – B) ∩ C].
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
Nivel II
2.
De 90 estudiantes se sabe
¾¾
30 practican solo fútbol.
¾¾
22 practican fútbol y básquet.
¾¾
20 no practican ninguno de estos deportes.
Marta Cruz Gutiérrez es la creadora del programa
de lectura veloz Lectura Significativa y estará dando
demostraciones sobre las ventajas de adquirir su
programa, no solo por la velocidad con la que se
puede leer sino también por el grado de comprensión
de la lectura, para ello dará dos conferencias en
distintas universidades de nuestro país a nivel
nacional durante el mes de agosto de modo que
24 días hablara sobre las desventajas de no contar
con una técnica de lectura veloz que tienen los
jóvenes profesionales en un entorno laboral cada
vez más desafiante y con mayor necesidad de
adquirir conocimiento en el menor tiempo; y 18 días
específicamente sobre los beneficios y características
de su programa. ¿Cuántos días deberá dar dos
conferencias si se sabe que debe realizar al menos
una cada día?
¿Cuántos practican básquet?
A) 7
B) 8
A) 22
C) 10
D) 11
B) 30
C) 32
D) 40
3.
En una reunión de científicos, 47 eran matemáticos,
40 solo físicos y 4 eran de otra ciencia. ¿Cuántos
científicos se reunieron?
A) 83
B) 70
C) 100
D) 91
5.
El alcalde de la Municipalidad Distrital de Ate ha
autorizado el primer matrimonio civil comunitario
del año 2021, luego de aproximadamente un año y
medio de haberse registrado el primer caso de la
Covid 19 en nuestro país y rápidamente captó la
atención de muchas parejas que deseaban contar con
esta oportunidad; si se cuenta ya con 64 asistentes
de los que 15 mujeres están registradas como futuras
novias y 20 varones son invitados. ¿Cuántas mujeres
invitadas hay en el matrimonio?
A) 8
B) 12
C) 14
D) 16
23
5
TEORÍA DE CONJUNTOS III
¾¾ Representa de manera adecuada los conjuntos y sus cardinales.
¾¾ Plantea situaciones conjuntistas de manera gráfica y realiza
operaciones con sus cardinales.
Helico curiosities
Conjuntos numéricos
1.
El conjunto de los números naturales (). Conformado por los números empleados en la operación de contar.
 = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10... ∞}
2.
El conjunto de los números enteros ()
 = {–∞ ... –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5... ∞}
3.
El conjunto de los números racionales ()
 = {x/x = a ; (a, b) ∈ , b ≠ 0}
b
4.
El conjunto de los números irracionales (')
' = {...–p; – 5; 2; 3; e; p ...}
' = {x/x ∉ }
5.
El conjunto de los números Reales (R)
 = {... –7 ; –p; 2; 5 ; p; 27 }
2
2
3
 = {x/x ∈  o x ∈ '}
6.
El conjunto de los números complejos ()
 = {a + b(i) / a∈, b∈, i = –1}
7.
El conjunto de los números imaginarios, raíces indicadas de índice par de números negativos.

–9, –16, 4 –16,
24




Números
imaginarios
⊂⊂⊂⊂
MATHEMATICS • VOLUME 2 • 1st GRADE OF SECONDARY
Helico theory
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Gráficos
Recordemos
Unión
A ∪ B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B}
Intersección
A ∩ B = {x/x ∈ A ∧ x ∈ B}
Diferencia
A – B = {x/x ∈ A ∧ x ∉ B}
Complemento
Ac = {x/x ∉ A ∧ x ∈ U}
I.
Para 3 conjuntos
A
B
Gráficamente
A∪B
A∩B
A–B
A∆B
A
A
A
A
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
B
B
II. Para 4 conjuntos
A
B
C
B
B
A
A
B
B
INTERPRETACIÓN DE LAS OPERACIONES
I∪F = U
UNIÓN
15 estudian Inglés o Francés
I
F
INTERSECCIÓN
I
F
I∪F
I∩F
DIFERENCIA
I–F
15 estudian Inglés pero no Francés
I
I∪F
15 estudian Inglés y Francés
DIFERENCIA
F
Lewis Carroll
1832–1898
F–I
I–F
COMPLEMENTO F'= Fc DIFERENCIA ASIMÉTRICA
A∆B
15 no estudian Francés
15 o estudian Francés, o
estudian Inglés
I
Es un diagrama usado para
agrupar cosas de una manera
sí/no.
15 estudian Francés, pero no Inglés
I
F
F–I
DIAGRAMAS DE
CARROLL
F
I
c
F'= F
F
A∆B
Representa
a los
hombres
solteros
que son
delgados
Soltero
Delgado
Gordito
Representa a las mujeres
casadas que son gorditas
25
ARITHMETIC
Helico synthesis
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Unión (∪)
Diagrama de Venn
Intersección (∩)
Diagrama de Carroll
Diferencia (–)
Diferencia simétrica ()
Complemento (Ac)
Solved problems
1.
Se hizo una encuesta a 50 personas sobre preferencias respecto a dos revistas A y B. Se observa que
los que leen las dos revistas son el doble de los que
leen solo A, el triple de los que leen solo B y el
cuádruplo de los que no leen ninguna de las dos revistas. ¿Cuántas personas leen la revista A?
Resolución
A una ceremonia asistieron 24 señoritas con cartera, 28 varones con corbata, 40 portaban casaca, 17
varones con corbata no tenían casaca, 9 señoritas
portaban casaca pero no tenían cartera. ¿Cuántos
varones con casaca no llevaron corbata, si 16 señoritas no llevaron cartera ni casaca y 28 señoritas no
llevaron casaca?
Resolución
U= 50
A = 18x
2.
U=
B
H = M =
6x
12x
4x
3x
rb
ata
Co
=
28
Casaca = 40
17
11 x 9 12
Cartera = 24
12
6x + 12x + 4x + 3x = 50 → x = 2
16
n(A) = 18(2) = 36
Rpta.: 36
40 = 11 + 9 + 12 + x → x = 8
Rpta.: 8
26
MATHEMATICS • VOLUME 2 • 1st GRADE OF SECONDARY
3.
De los residentes de un edificio se ha observado
que 29 de ellos trabajan y 56 son mujeres, de los
cuales 12 estudian pero no trabajan. De los varones
32 trabajan o estudian y 21 no trabajan ni estudian,
¿cuántas mujeres no estudian ni trabajan, si 36
varones no trabajan?
Resolución
21
E
9)
T(2
12
n(A – B) = 21
n(B – C) = 25
n(C – A) = 32
3n(A ∩ B ∩ C) = n(A ∪ B ∪ C)'
Resolución
H
15
17
12
Dados los conjuntos A, B y C contenidos en el
universo de 98 elementos, tal que
Halle n(A ∩ B ∩ C)'
36
32
5.
M(56)
Diagrama de Venn - Euler para visualizar:
Planteando tenemos
98 = 4x + 21 + 25 + 32
20 = 4x
5=x
98
x
A
x = 56 – 24
B
25
x = 32
Rpta.: 32
21
4.
En una academia de 100 alumnos, se rindieron 3
simulacros con los siguientes resultados: 40 aprobaron el primero; 39 el segundo; y 48 el tercero.
10 aprobaron 3 simulacros. 21 ninguno; 9 los dos
primeros, pero no el tercero; 19 el tercero, pero no
los dos primeros.
¿Cuántos aprobaron por lo menos dos exámenes?
x
32
3x
C
Piden n(A ∩ B ∩ C)'
n[U – (A ∩ B ∩ C)] = 98 – 5 = 93
Rpta.: 93
Resolución
P = 40
S = 39
9
x
21
10
y
19
T = 48
U = 100
x + y + 10 + 19 = 48
x + y + 19 = 38
Rpta.: 38
27
ARITHMETIC
Session 1
Helico practice
Aplico lo aprendido
1.
Demuestro mis conocimientos
¿Qué operaciones representa cada una de las regiones
sombreadas?
A
B
A
3.
Dados
R = {x/x es divisor positivo de 6}
B
S = {x/x es divisor positivo de 12}
T = {x2/x es divisor positivo de 18}
Determine (R ∩ S) – T.
C
I
C
Resolución
II
Resolución
2.
Dados los conjuntos
A = {1; 2; 5; 8; 10}
B = {2; 3; 6; 8}
C = {x/x ∈ A; x < 7}
4.
¿Qué operaciones representan cada una de las regiones
sombreadas?
U
U
A
B
Halle el cardinal de (B ∪ C)∩A.
B
C
Resolución
I
Resolución
28
A
II
MATHEMATICS • VOLUME 2 • 1st GRADE OF SECONDARY
5.
Sean los conjuntos A, B y C
se cumple
n(A ∩ B ∩ C) = 5
n(A ∩ B) = 8
n(A ∪ B ∪ C)' = 7
n(A) = 15
n(B) = 16
n(C) = 18
n(A ∩ C) = 9
n[(B – ( A ∪ C))] = 4
Halle el cardinal del conjunto universal.
Resolución
7.
Guillermo y su familia están muy
felices porque el acaba de ingresar a la Universidad Nacional
de Ingeniería, a la carrera profesional de ingeniería eléctrica y
en su primer día de clases observa 8 alumnos del curso de
Física que también están matriculados en el curso de Matemática, 9 alumnos del curso de
Matemática están con el en el curso de Química General y 11 alumnos del curso de Física están con el
en el curso de Química General. Si además observó
que en la lista que figura en la entrada de cada salón
de clases hay 30 alumnos por aula. ¿Cuántos alumnos en total estudian con Guillermo, si el era el único que estaba matriculado en los tres cursos?
Resolución
Asumo mi reto
6.
Debido a un fallo en
el sistema de matricula para el ciclo
académico 2022 - II,
Lucia no puede realizar el pago de créditos extra para poder
matricularse,
por ello su facultad ha dispuesto aperturar 3 cajas
para específicamente el pago de créditos extra para
los cursos de Dibujo Técnico, Geometría descriptiva
y Economía general, si observa que hay 30 alumnos
en la cola para el pago de Dibujo técnico, 36 en la
cola de Geometría descriptiva y 42 en la cola de
Economía general, además 8 alumnos tenían separado un lugar en la cola de Dibujo técnico y Geometría
descriptiva; 9 alumnos tenían separado un lugar en
la cola de Dibujo técnico y Economía general; y 7
alumnos tenían un lugar separado en la cola de Geometría descriptiva y Economía general; además ella
y otra amiga tenían un lugar separado en las 3 colas.
¿Cuántos alumnos estaban haciendo cola en total?
Resolución
29
ARITHMETIC
GRADE
Helico workshop
Demuestro mis conocimientos
Aplico lo aprendido
1.
¿Qué operaciones representa cada una de las regiones
sombreadas?
A
B
A
3.
Dados
A = {x/x es divisor positivo de 15}
B = {x/x es divisor positivo de 18}
B
C = {x2/x es divisor positivo de 6}
Determine (B ∩ C) – A
C
I
Resolución
C
II
Resolución
2.
Dados los conjuntos
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}
4.
¿Qué operaciones representa cada una de las regiones
sombreadas?
B = {2; 3; 6; 9}
A
C = {x/x ∈ A; x ≤ 5}
B
Halle el cardinal de (A ∩ B) ∪ C.
Resolución
Resolución
30
C
A
B
C
MATHEMATICS • VOLUME 2 • 1st GRADE OF SECONDARY
5.
Sean los conjuntos A, B y C
n(U) = 50
n(A) = 30
n(B) = 20
n(C) = 15
n(A ∩ B ∩ C) = 3
n(A ∩ B) = 8
n(B ∩ C) = 7
n(A ∩ C) = 5
Halle n(A ∪ B ∪ C)'.
Resolución
7.
Como proyecto para el curso de aritmética que se
presentará en el día del logro en el 1° de Secundaria
sección "F" del colegio Fe y Alegría, Cesar realizará una encuesta a 200 personas sobre cual es su
periódico de preferencia para mantenerse informado
sobre los acontecimientos de nuestro país, por lo que
decide esperar al ingreso y a la salida del colegio
para hacer la consulta a todo padre de familia que
fuera a recoger a su hijo; si 120 respondieron que
leían Ojo, 100 leían Correo, 80 La República, 60
leen Ojo y Correo, 30 leen Ojo y La República, 40
leen Correo y La República, y 10 respondieron leer
los tres periódicos, ¿cuántas personas no leen ninguno de estos tres periódicos?
Resolución
Asumo mi reto
6.
Debido a un fallo en el
sistema de matricula para
el ciclo académico 2018 II, Fidel no puede realizar
el pago de créditos extra
para poder matricularse,
por ello su facultad ha
dispuesto aperturar 3 cajas para específicamente el
pago de créditos extra para los cursos de Máquinas
eléctricas, Medidas eléctricas y Circuitos electrónicos, si observa que hay 26 alumnos en la cola para
el pago de Máquinas eléctricas, 28 en la cola de Medidas eléctricas y 37 en la cola de Circuitos electrónicos , además 9 alumnos tenían separado un lugar
en la cola de Máquinas eléctricas y Medidas eléctricas; 10 alumnos tenían separado un lugar en la cola
de Máquinas eléctricas y Circuitos electrónicos; y
13 alumnos tenían un lugar separado en la cola de
Medidas eléctricas y Circuitos electrónicos; además
el y tres amigos tenían un lugar separado en las 3
colas. ¿Cuántos alumnos estaban haciendo cola en
total?
Resolución
31
ARITHMETIC
Helico trial
1.
Dados dos conjuntos A y B, se tiene
2.
Se tienen tres conjuntos A, B y C; tal que se cumple
n(A ∆ B) – n(A ∩ B) = 68
¾¾
n(A ∪ B) = 86
¾¾ n(A' ∩ B') = 100
Halle n(A ∩ B).
¾¾
n(C') = 190
n[(A ∪ B) – C] = 6n(C)
A∩C=C
A) 9
B) 18
¾¾
C) 8
D) 14
Halle n(U).
A) 205
B) 210
C) 208
D) 206
GRADE
Helico challenge
Nivel I
1.
Nivel II
Dados los conjuntos
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
3.
Dados los conjuntos:
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
B = {1; 3; 5; 6; 7; 8}
A = {3; 6; 9}
C = {x/x ∈ B; 2 < x < 8}
C = {1; 4; 9}
Halle el cardinal de (A ∩ B)' ∪ C.
Determine
Resolución
[(Ac ∩ C)]
Resolución
2.
¿Qué representa la región sombreada?
A
B
C
Resolución
4.
Si n(P) = 18
n(Q) = 19
n(R) = 23
n(P ∩ Q) = 5
n(Q ∩ R) = 6
n(R ∩ P) = 6
n(P ∩ Q ∩ R) = 3
Halle n(P ∪ Q ∪ R).
Resolución
32
MATHEMATICS • VOLUME 2 • 1st GRADE OF SECONDARY
Nivel III
5.
y 28 probaron tallarines con ceviche. ¿Cuántos comensales solo comieron uno de los tres platos si 5 de
ellos comieron los tres platos?
Gran acogida ha tenido el restaurante TanTa de
nuestro famoso y reconocido chef peruano Gaston
Acurio, no es novedad ver que se formen colas de
clientes que desean disfrutar los deliciosos platos
que ahí se sirven, en un momento dado de un total de
120 clientes se pudo observar que la mitad compraron ceviche, la tercera parte consumieron cau cau y
la mitad pidieron tallarines, Además 18 comensales
pidieron cau cau y ceviche, 20 cau cau y tallarines
Resolución
Helico homework
Nivel I
1.
Nivel III
¿Qué representa la región sombreada?
4.
U
A
B
C
I. (B – A) – C
II. (A ∪ C)' ∩ B
III. (A ∪ B) – C
A) Solo II
B) Solo III
C) I y II
D) I y III
Nivel II
2.
Dados los conjuntos
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13}
A = {3; 5; 6; 7; 9; 11}
B = {1; 4; 5; 8; 12}
C = {1; 2; 3; 5; 7; 11; 13}
Determine (Cc – A) ∩ Bc.
3.
A) {10}
B) {9}
C) {7}
D) {11}
Ignacio inicio hace pocos días a trabajar en el restaurante de comida criolla Lima con Ají y en el mes de
julio a vísperas de celebrarse un año más de la independencia de nuestro país el restaurante se encuentra
más abarrotado que nunca, cierto día del total de
clientes se pudo observar que 60 compraron ceviche, 40 consumieron cau cau y 50 pidieron tallarines
rojos. Además al tomar los pedidos se percató que
18 comensales pidieron cau cau y ceviche, 20 cau
cau y tallarines rojos, y 28 probaron tallarines con
ceviche. ¿Cuántos comensales solo comieron uno de
los tres platos si 5 de ellos comieron los tres platos?
A) 33
B) 35
C) 36
5.
D) 37
Durante la atención en la sucursal de un banco
Manuel al igual que otras personas esperaban poder
ser atendidas en el menor tiempo posible, en un
momento dado se percató que habían 36 personas
esperando a ser atendidas en ventanilla, 42 personas
esperando en la cola de plataforma y 24 esperando
a ser atendidos por un asesor económico particular
del banco. Halle el mínimo número de personas que
espera ser atendida en el banco.
A) 1
B) 17
C) 20
D) 42
Dados los conjuntos
U = {x/x ∈ +; x < 12}
A = {2x/x ∈ +; x < 5}
B = {3x/x ∈ +; x < 4}
C = {1; 5; 6; 9; 10; 11}
Determine (Ac ∩ Bc) – C.
A) {10}
B) {9}
C) {7}
D) {11}
33
ARITHMETIC
Continuamos aprendiendo
Helico practice
Aplico lo aprendido
1.
De un grupo de 65 alumnos
¾¾
30 prefieren Lenguaje
¾¾
40 prefieren Matemática
¾¾
5 prefieren otros cursos
Demuestro mis conocimientos
3.
De 75 alumnos de un aula, 45 usan reloj; 25 solo
usan anteojos; 30 usan anteojos y reloj. ¿Cuántos no
usan anteojos ni reloj?
Resolución
¿Cuántos prefieren Matemática y Lenguaje?
Resolución
2.
De un grupo de 14 personas se sabe lo siguiente: 7
practican el deporte A, 8 practican el deporte B, 2 no
practican ninguno de estos dos deportes, entonces,
el número de personas que practican el deporte A o
el deporte B es
Resolución
4.
Se encuestaron a 180 amas de casa sobre sus preferencias por los canales de televisión A, B, C obteniendo los siguientes resultados
¾¾
110 ven el canal A.
¾¾
120 ven el canal B.
¾¾
130 ven el canal C.
¾¾
66 ven los canales A y C.
¾¾
78 ven los canales A y B.
¾¾
90 ven los canales B y C.
¾¾ 52 ven los tres canales.
Responda a las siguientes preguntas
a. ¿Cuántas amas de casa ven solamente el canal C?
b. ¿Cuántas amas de casa ven solamente uno de
estos canales?
Resolución
34
MATHEMATICS • VOLUME 2 • 1st GRADE OF SECONDARY
5.
De un grupo de 60 turistas que viajó al interior del
país se obtuvo la siguiente información
¾¾
20 personas visitaron solo Cusco.
¾¾
16 personas visitaron solo Iquitos.
¾¾
8 personas visitaron solo Huaraz y el mismo
número visitaron Cusco y Huaraz.
7.
De un grupo de 52 turistas que visitaron el centro
turístico de Marcahuasi que se encuentra ubicado en
una zona de la cordillera de los andes a 2 horas de
Lima, se sabe que 10 hombres tienen 17 años, 12
mujeres tienen 18 años, el número de mujeres que
tienen 17 es el doble que el de hombres que tienen 18.
¿Cuántos de los turistas varones tienen 18 años?
¾¾ 7 personas visitaron Huaraz e Iquitos.
¾¾
4 personas visitaron Iquitos y Cusco.
¾¾
3 personas visitaron las tres ciudades.
¿Cuántas personas visitaron Cusco o Huaraz?
Resolución
Resolución
Asumo mi reto
6.
En el campeonato estudiantil para
padres de familia de la IE 20342,
Jose alumno del 2° grado sección
H, observó 60 deportistas de los
que 24 de ellos practican fútbol; 26
practican básquet y 25 practican
Voleibol; 13 practican fútbol y
básquet; 10 practican básquet y
Voleibol; 9 practican fútbol y Voleibol. Si 6 practican los tres deportes, ¿Puedes ayudar a José a calcular cuántos no
practican ninguno de estos deportes?
Resolución
35
ARITHMETIC
GRADE
Helico workshop
Aplico lo aprendido
1.
En una reunión de profesores de ciencias; 47 eran de
matemática; 40 eran solo de Física; 4 no enseñaban
ninguno de estos cursos. ¿Cuántos profesores integraban la reunión?
Demuestro mis conocimientos
3.
Resolución
2.
En un aula de 28 alumnos se sabe lo siguiente: 18 conocen Huancayo, 16 conocen Cusco, 5 no conocen
ninguno de estas dos ciudades, entonces, el número
de alumnos que conocen Huancayo es
Resolución
En una ciudad de 120 personas: a 30 personas no les
gusta la carne ni el pescado; a 60 personas les gusta la
carne y a 50 personas les gusta el pescado. ¿A cuántas
personas no les gusta el pescado?
Resolución
4.
En una encuesta realizada a un grupo de estudiantes
de un instituto de idiomas se obtuvo el siguiente
resultado
¾¾
28 estudian Español.
¾¾
30 estudian Alemán.
¾¾ 42 estudian Francés.
¾¾
8 estudian Español y Alemán.
¾¾
10 estudian Español y Francés.
¾¾
5 estudian Alemán y Francés.
¾¾
3 estudian los tres idiomas.
¿Cuántos estudiantes toman el Francés como único
idioma de estudio?
Resolución
36
MATHEMATICS • VOLUME 2 • 1st GRADE OF SECONDARY
5.
De un grupo de 59 personas se observa lo siguiente:
8 personas leen solo “El Comercio”
16 personas leen solo “La República”
20 personas leen solo “Expreso”
7 personas leen “El Comercio” y “La República”
8 personas leen “El Comercio” y “Expreso”
3 personas leen “La República”, “Expreso” y “El
Comercio”.
2 personas no leen ninguno de estos diarios
7.
Para la fiesta de 15 años de Jennifer se organizó
una ceremonia de celebración muy privada solo para
familiares y amigos más cercanos, cuando llegó el
momento de presentarse ella observó que de los 40
asistentes 12 mujeres están bailando y 9 varones no
están bailando y se preguntó ¿Cuántas mujeres no
están bailando?
¿Cuántas personas leen Expreso?
Resolución
Resolución
Asumo mi reto
6.
El profesor Luis del curso de aritmética ha dejado
una tarea en el capítulo de Conjuntos visto esta semana, la tarea consiste en llevar a cabo una encuesta
a los estudiantes de la institución educativa sobre la
gaseosa favorita que consumen durante la hora del
recreo, y Carlitos aprovecha cada recreo para llevar
a cabo dicha encuesta, si él preguntó a 65 alumnos y
obtuvo la siguiente información: 26 prefieren Fanta,
31 prefieren Pepsi y 33 prefieren Sprite; 14 prefieren Fanta y Sprite; 17 prefieren Sprite y Pepsi; 8
prefieren Fanta y Pepsi. Si 5 prefieren las tres bebidas ¿Cuántas personas no prefieren ninguna de estas
bebidas?
Resolución
37
ARITHMETIC
Helico trial
1.
De una muestra de 400 personas se observa que
¾¾
50 hombres cantantes no son ciegos.
¾¾
80 mujeres son cantantes o ciegas, pero no mudas.
¾¾
40 personas son mudas y ciegas.
¾¾
30 personas son mudas, pero no ciegas.
¾¾
60 hombres son ciegos, pero no mudos.
2.
¿Cuántos hombres menores de edad no nacieron
hoy?
¿Cuántas personas no son cantantes, tampoco mudos
ni ciegos?
A) 160
B) 140
C) 180
D) 200
En la maternidad se observó que de las 47 personas
presentes, 29 eran hombres de los cuales 19 no eran
mayores de edad. Si 11 personas nacieron hoy y las
mujeres mayores de edad son tantas como las menores
de edad, de estas, las que nacieron hoy representan el
20 % del número de hombres mayores de edad.
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
GRADE
Helico challenge
Nivel I
1.
De 50 estudiantes encuestados
Nivel II
3.
¾¾
20 practican solo fútbol.
De un grupo de estudiantes que llevan por lo menos
uno de los tres cursos que se indican se sabe que
¾¾
12 practican fútbol y natación.
¾¾
70 estudian Inglés.
¾¾
10 no practican ninguno de estos deportes.
¾¾
40 estudian Química.
¿Cuántos practican natación y cuántos sólo natación?
¾¾ 40 estudian Matemática.
Resolución
¾¾
15 estudian Matemática y Química.
¾¾
20 estudian Matemática e Inglés.
¾¾
25 estudian Inglés y Química.
¾¾
5 estudian los tres cursos.
¿Cuántos son los alumnos en total?
Resolución
2.
De 300 alumnas que salieron al recreo: 90 bebieron
Inca Kola; 60 bebieron Coca Cola; 10 bebieron ambas bebidas. ¿Cuántas alumnas bebieron solo una de
estas bebidas?
Resolución
38
MATHEMATICS • VOLUME 2 • 1st GRADE OF SECONDARY
4.
De un grupo de 75 amas de casa que realizan sus
compras en el mercado se observa lo siguiente
¾¾
10 compran solo arroz.
¾¾
18 compran solo fideos.
¾¾
24 compran solo aceite.
¾¾
6 compran arroz y fideos.
¾¾
9 compran arroz y aceite.
Nivel III
5.
¾¾ 4 compran arroz, fideos y aceite.
¾¾
2 no compran ninguno de estos víveres.
En la feria de orientación vocacional para los postulantes a la UNMSM, Jazmín y sus amigas ingresaron a un aula donde recibirían charlas sobre la carrera de administración de negocios internacionales,
el aula estaba llena y observaron que había en total
65 personas, de los cuales 30 son hombres; 40 son
mayores de edad y 12 mujeres son menores de edad,
¿cuántos hombres no son mayores de edad?
Resolución
¿Cuántas amas de casa compran aceite o fideos?
Resolución
Helico homework
Nivel I
1.
De un total de 60 deportistas que practican fútbol o natación se sabe que 38 practican fútbol,
32 practican natación, ¿cuántos practican ambos
deportes?
3.
Una encuesta realizada entre 82 madres de familia
arrojó el siguiente resultado
¾¾
¾¾ 47 saben repostería.
¾¾
58 saben tejido.
19 saben costura y repostería.
A) 8
B) 10
¾¾
C) 12
D) 14
¾¾ 28 saben costura y tejido.
¾¾
Nivel II
2.
43 saben costura.
Entre 125 personas que consumen hamburguesas se
observaron las siguientes preferencias en cuanto al
consumo de mayonesa y kétchup; 50 consumen solo
mayonesa; 45 consumen solo kétchup; 10 no consumen ninguna de estas salsas. ¿Cuántos consumen
ambas salsas?
A) 30
B) 20
C) 35
D) 25
30 saben repostería y tejido.
¾¾ 11 saben las tres ocupaciones.
¿Cuántas amas de casa saben solo una de las tres
especialidades?
A) 18
B) 27
C) 31
D) 40
39
ARITHMETIC
Nivel III
4.
La tienda de venta y reparación de celulares Mobile
Store ha recibido un lote de 140 celulares con los
defectos A; B y C y luego de realizar el chequeo respectivo a cada uno de ellos, se observó lo siguiente:
5.
¾¾
40 tienen el defecto C.
¾¾
60 tienen el defecto A.
Para la fiesta de 15 años de Jennifer se organizo
una ceremonia de celebración muy privada solo para
familiares y amigos más cercanos, cuando llego el
momento de presentarse ella observó que de los 40
asistentes 12 mujeres están bailando y 9 varones no
están bailando y se preguntó ¿Cuántas mujeres no
están bailando?
¾¾
70 tienen el defecto B.
A) 7
B) 15
¾¾
20 tienen los defectos A y C.
C) 20
D) 25
¾¾
25 tienen los defectos B y C.
¾¾ 30 tienen los defectos A y B.
¾¾
26 tienen solamente el defecto A.
a.
¿Cuántos celulares tienen los 3 defectos?
b.
¿Cuántos celulares no tienen defecto?
A) 8 y 31
B) 16 y 29
C) 9 y 32
D) 7 y 34
40
6
RELACIONES BINARIAS
¾¾ Determina y reconoce relaciones binarias en base a un producto
cartesiano de acuerdo a una propiedad previamente definida.
¾¾ Aplica y resuelve problemas.
Helico curiosities
Ciudad capital de mi país
Se tiene dos conjuntos
A
B
• Inglaterra
París •
Santiago •
• Perú
Bogotá •
• Chile
• Argentina
Buenos Aires •
• Cuba
Lima •
• Colombia
La Habana •
• Francia
Berlín •
A simple vista se puede observar una relación entre los conjuntos A y B, donde la condición sería: “________________
capital de _____________________”.
Observamos
París capital de Francia →
(París, Francia)
Santiago capital de Chile
→
(Santiago, Chile)
Bogotá capital de Colombia
→
(Bogotá, Colombia)
Buenos Aires capital de Argentina →
Lima capital de Perú→
La Habana capital de Cuba
→
(Buenos Aires, Argentina)
(Lima, Perú)
(La Habana, Cuba)
Luego podemos decir que hemos formado una relación R
R= {(París, Francia); (Santiago, Chile); (Bogotá, Colombia); (Buenos Aires, Argentina); (Lima, Perú); (La Habana, Cuba)}
41
ARITHMETIC
Helico theory
RELACIONES BINARIAS
I.
Par ordenado
Ejemplo
Es un conjunto ordenado formado por dos elementos
y tiene la forma de
(a, b)
Sean los conjuntos: A = {Juan, Luis, Roger}
2.a componente
1.a componente
¾¾
B = {2; 3; 7}
donde A×B= {(Juan, 2); (Juan, 3); (Juan, 7), (Luis, 2);
(Luis, 3); (Luis, 7); (Roger, 2); (Roger, 3); (Roger, 7)}
¾¾
Igualdad de dos pares ordenados
Diagramas de representación
Sea
Dos pares ordenado serán iguales si y solo si sus
componentes respectivas son iguales, es decir
A×B= {(3; a), (3; b), (3; c), (7; a), (7; b), (7; c)}
1.
Si (a, b) = (c, d) ⇔ a= c ∧ b = d
Diagrama sagital A×B
¾¾
(4; 7) = (4; 7)
¾¾
(2; 3) = ( 4 ;
¾¾
(x+1, 2) = (5, y–1) ⇔ x+1= 5 ∧ 2= y – 1
¾¾
B
A
Ejemplos
9)
•b
7•
x= 4
y= 3
(m+n, 3) = (7, n) ⇔ m+n= 7 ∧ 3= n
•a
3•
2.
m= 4
Diagrama de doble entrada A×B
B
a
b
c
3
(3; a)
(3; b)
(3; c)
7
(7; a)
(7; b)
(7; c)
A
Observation
Son: (a, b) ≠ (b, a)
Porque son diferentes las componentes respectivas.
•c
3.
Diagrama cartesiano A×B
Escriba verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
B
a.
c
(3; c)
(7; c)
b
(3; b)
(7; b)
a
(3; a)
(7; a)
(n, 3) = (4, n – 1)(
0
)
b.
(3 ; 5) = (1; 5)
(
)
c.
(a + 1, 8) = (1 + a, 8)(
)
d.
(6, b +1) = (60, 1 + b)(
)
3
II. Producto cartesiano
Dados dos conjuntos A y B no vacíos, llamaremos
conjunto producto cartesiano A×B al conjunto de
todos los pares ordenados (a, b), tales que
A×B = {(a, b) / a ∈A ∧ b ∈B}
42
7
Remember
A×B ≠ B×A
Además
n(A×B) = n(A) × n(B)
A
MATHEMATICS • VOLUME 2 • 1st GRADE OF SECONDARY
Noción de relación
Denominamos relación R a un subconjunto del producto cartesiano A×B; es decir, R ⊂ A×B.
Observation
Si se tiene un solo conjunto A, entonces el conjunto producto cartesiano será A×A o A2, donde
Ejemplo
R ⊂ A×A
Dados: A= {1; 2} y B= {2; 4; 6}
Luego: A×B= {(1; 2), (1; 4), (1; 6), (2; 2), (2; 4),
(2; 6)}
¾¾
Clases de relaciones
1.
Relación reflexiva: Sea R subconjunto de
A×A; se dice que R es una relación reflexiva
si ∀ a ∈A, ∃ (a, a) ∈R.
Mostramos algunas relaciones
R1= {(1; 2), (1; 6), (2; 2), (2; 4)}
Ejemplo
R2= {(1; 4), (2; 4)}
Sea: A= {1; 2; 3}
R3= ∅
Además R ⊂ A×A
Donde: R={(1; 1), (2; 2), (3; 3)} → R es reflexiva
Observation
El número de relaciones que se pueden formar en un conjunto producto cartesiano A×B, será
2n(A)×n(B)
¾¾
Dominio y rango de una relación
A.
Dominio: Conjunto formado por todas las primeras componentes de los pares ordenados que
participan de la relación. [Dom(R)]
2.
Ejemplo
Sea: A= {2; 5; 8}
Además R ⊂ A×A
Donde: R={(2; 5), (5; 2), (8; 8)} → R es simétrica
Ejemplos
¾¾
R1= {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a),
(3, b)}
→ Dom(R1)= {1; 2; 3}
¾¾
¾¾
B.
3.
Relación transitiva: Una relación R será relación transitiva si (a, b) ∈R ∧ (b, c) ∈R →
(a, c) ∈R.
R2= {(Rosa, 3), (Rosa, 5), (Rosa, 7)}
Ejemplo
→ Dom(R2)= {Rosa}
Sea: A= {1; 2; 3}
R3= { } → Dom(R3)= ∅
Además R ⊂ A×A
Rango: Conjunto formado por todas las segundas componentes de los pares ordenados que
participan de la relación. [Ran(R)]
Ejemplos
¾¾
Relación simétrica: Sea R subconjunto de
A×A se dice que R es una relación simétrica si
∀ (a, b) ∈R → (b, a)∈R.
R1= {(Ana, José); (Rosa, Fabián); (María,
Juan)}
Donde: R={(1; 3), (3; 2), (1; 2)} → R es transitiva
Observation
Sea: R ⊂ A×A
Se dirá que R es una relación de equivalencia, cuando es
reflexiva, simétrica y transitiva a la vez.
→ Ran(R1)= {José, Fabián, Juan}
¾¾
R2= { } → Ran(R2)= ∅
43
ARITHMETIC
Helico synthesis
RELACIÓN BINARIA (R)
Igualdad de dos pares ordenados (a, b)=(c, d)
Par ordenado (a, b)
Conjunto producto cartesiano A × B
Diagramas de A × B
Sagital
Doble entrada
Dominio (Dom(R))
Elementos de R
Rango (Ran(R))
Relación reflexiva
Clases de R
Relación simétrica
Relación transitiva
44
Cartesiano
MATHEMATICS • VOLUME 2 • 1st GRADE OF SECONDARY
Solved problems
1.
Calcule xy si los siguientes pares ordenados son
iguales
4.
Calcule a+b si los siguientes pares ordenados son
iguales
A = (x + y, 18) y B = (24, x – y)
A = (2a+1; 23)
Resolución
B = (31; 3b – 1)
Resolución
Como (x + y, 18) = (24, x – y)
x + y = 24 ∧ x – y= 18 → x = 21
y=3
2a + 1 = 31
3b – 1 = 23
2a = 30
3b = 24
a = 15 b = 8
Nos piden: xy= 21· 3= 63
∴ a+b = 23
Rpta.: 63
2.
5. Si
Si M = {x ∈ /2 ≤ x < 6}
N = {x ∈ impares / x < 5}
Rpta.: 23
A = {2; 4; 6; 8; 10}
R = {(a, b) / a, b ∈ A ∧ a < b}
halle n(M×N).
halle el cardinal de R.
Resolución
Resolución
M= {2; 3; 4; 5}
R = {(2; 4), (2; 6), (2; 8), (2; 10), (4; 6), (4; 8),
N= {1; 3}
M×N= {(2; 1), (2; 3), (3; 1), (3; 3), (4; 1), (4; 3),
(5; 1), (5; 3)}
(4; 10), (6; 8), (6; 10), (8; 10)}
∴ n(R) = 10
→ n(M×N)= 8
Rpta.: 10
También sabemos que: n(M×N) = n(M)× n(N)
n(M×N)= 4×2= 8
3.
Rpta.: 8
Dadas las siguientes relaciones
R1= {(x, y) ∈2 / x2 + y2 = 5}
R2= {(x, y) ∈2 / x + y = 3}
calcule la diferencia entre la suma de elementos del
dominio y del rango de R1∩R2.
Resolución
R1= {(–1; –2), (–2; –1), (1; 2), (2; 1)}
R2= {(1; 2), (2; 1), (–1; 4), (4; –1)}
Luego: R1 ∩ R2= {(1; 2), (2; 1)}
Suma de elementos del dominio= 3
Suma de elementos del rango= 3
Nos piden: 3 – 3 = 0
Rpta.: 0
45
ARITHMETIC
Session 1
Helico practice
Aplico lo aprendido
1.
Calcule m × n, si (m2, n – m) = (36; 5).
Demuestro mis conocimientos
3.
Dados los conjuntos
A = {x ∈ +/3 < x ≤ 9}
Resolución
B = {x ∈ +/4 ≤ x < 15}
¿Cuántos elementos posee A × B?
Resolución
2.
Para el concurso de Huaylas se ha seleccionado a los
alumnos Juan, Pedro, Miguel, John y las alumnas
Rosa, Ana y Luz. ¿Cuántas son las parejas posibles
a formarse?
Resolución
4.
Dados los conjuntos
A = {3; 4; 5; 6}
B = {2; 5; 7; 9}
considere la relación
R = {(a, b) ∈ A × B / a ∙ b = N.° impar}. Halle
el rango de R.
Resolución
46
MATHEMATICS • VOLUME 2 • 1st GRADE OF SECONDARY
5.
Si A= {2; 3; 5; 7} y B = {2; 4; 6}, halle el dominio
de R= {(x, y) ∈A × B /x > y}.
Resolución
7.
Luego de competir contra José,
ahora te toca competir contra
Ximena y deben de resolver el
siguiente problema:
Dado los conjuntos
A = {1; 2; 3; 4}
B = {1; 2; 3}
se considera la relación definida por
R = {(a; b) ∈ A × B / b = a + 2}
Calcule los elementos de R.
Resuélvelo correctamente antes que tu contrincante
y continuarás en la siguiente ronda.
Resolución
Asumo mi reto
6.
Se está llevando el primer campeonato de aritmética
organizado por la profesora Margot con los alumnos
del aula 1.° Felicidad, en esta ronda tienes que competir con José y debes resolver el siguiente problema.
Dados los conjuntos: A = {2; 4; 5} y B = {3; 4},
y la relación R: A × B, definida por "...es mayor
que ...".
I. Elabore un diagrama sagital y un diagrama cartesiano.
II. Determine R por extensión.
III. Halle Dom(R) y Ran(R).
Resolución
47
ARITHMETIC
GRADE
Helico workshop
Aplico lo aprendido
1.
Si (4a + b, b3) = (11; 27), calcule a + b.
Demuestro mis conocimientos
3.
Dados los conjuntos
C = {x ∈ +/4 < x ≤ 11}
Resolución
D = {x ∈ +/2 ≤ x < 10}
¿Cuántos elementos posee C × D?
Resolución
2.
Para definir el destino y el día de un paseo se debe
elegir entre el Parque de las Leyendas, el Zoológico de Huachipa, El Real Felipe y el Parque de las
Aguas ¿Cuántas opciones se tiene si el paseo puede
ser cualquier día de la semana?
Resolución
4.
Dados los conjuntos
E = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
F = {3; 5; 7; 9}
Considere la relación
R = {(a, b) ∈ E × F/ a ∙ b = N.° par}. Halle el rango de R.
Resolución
48
MATHEMATICS • VOLUME 2 • 1st GRADE OF SECONDARY
5.
Si A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} y B = {1; 2; 3; 4}.
Halle el dominio de R = {(x, y) ∈ A × B/ x = y + 1}
Resolución
7.
Luego de competir contra
Carlitos, ahora te toca competir contra Valeria y deben resolver el siguiente problema:
Dados los conjuntos
A = {2; 4; 6; 8}
B = {1; 2; 3}
se define la relación R
R = {(x; y) ∈ A × B / x = y + 3}
Halle los elementos de R.
Resuelve correctamente antes que tu contrincante y
continúa a la siguiente ronda.
Resolución
Asumo mi reto
6.
Se está llevando a cabo la mini
primera olimpiada de aritmética
organizada por el profesor Walter con los alumnos del aula 1.°
Amabilidad, en esta ronda te a
tocado competir con Carlitos y
debes resolver el siguiente problema:
Dados los conjuntos A={2; 3; 5} y B={4; 6; 11}
y la relación R: A × B, definida por “.... es menor
que...”
I. Elabore un diagrama sagital y un diagrama cartesiano.
II. Determine R por extensión.
III. Determine Dom(R) y Ran(R).
Resolución
49
ARITHMETIC
Helico trial
1.
Sea el conjunto M = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Considere la
relación S ⊂ M×M, tal que (a, b) ∈ S ⇔ a + b = 8.
Halle n(S).
A) 7
B) 8
C) 4
D) 6
2.
Sea A = {1; 2; 3}, se define la relación
R = {(a, b) ∈ A×A / a + b = 3 ∨ a = b}
Halle Dom(R) ∩ Ran(R).
A) {2}
B) {1; 2}
C) {1; 3}
D) A
GRADE
Helico challenge
Nivel II
Nivel I
1.
Sean los pares ordenados
3.
I. (10; –x) = (2x; –5)
II. (x + 2; y) = (7; x + 3)
Sean los conjuntos: A = {2; 8; 5} y B = {2; 3; 4; 5}
y la relación R: A×B, definida por "... es mayor
de ..."
Calcula x + y.
I. Elabore un diagrama sagital y un diagrama
cartesiano.
Resolución
II. Determine R por extensión.
III. Halle el Dom(R) y Ran(R).
Resolución
2.
Carlos debe asistir a una cena de gala razón por la
cual revisa su ropero y observa que tiene 5 trajes y
9 camisas diferentes. ¿Cuántas opciones tiene para
vestir en dicha cena?
Resolución
50
4.
Dado el conjunto A = {2; 3; 5; 13; 15; 14}
R: A → A
R = {(x, y) ∈ A × A / x + y ≤ 10}
Determine el número de elementos de R.
Resolución
MATHEMATICS • VOLUME 2 • 1st GRADE OF SECONDARY
Nivel III
5.
Resolución
Rodrigo necesita urgente ayuda, el quiere salir este
fin de semana a jugar futbol con sus amigos al parque zonal Sinchi Roca y además, el quiere refrescarse en las piscinas que hay ahí, sin embargo sus ultimas notas en el curso de aritmética no le favorecen
por ello para demostrarle a su papá que ha estado
estudiando debe desarrollar el siguiente problema:
Sea la relación R definida en los números naturales
por el conjunto A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.
R = {(a; b) ∈ A × A /a + b ≤ 4}
halle Dom(R).
Ayuda a Rodrigo a dar respuesta al ejercicio.
Helico homework
Nivel I
1.
Nivel III
n
Calcule m , si (3m, m – n) = (21; 5).
4.
C) 36
Luego de la clase de relaciones binarias del curso de
aritmética el profesor dejo como actividad inventar
un problema del tema donde se busque hallar el dominio de una relación, si Miguelito con ayuda de su
papá desarrollaron el siguiente problema:
D) 16
Si A = {8; 9; 10; 12; 13} y B = {5; 7; 9; 11}.
A) 25
B) 49
Halle el dominio de R = {(x, y) ∈ A × B / x ≤ y}.
Nivel II
2.
Ayuda a Miguelito a dar respuesta al ejercicio.
+
Dado el conjunto G = {x ∈  / 2 ≤ x ≤ 12} con la
relación R = {(a, b) ∈ G × G/a = 3b}, halle n(R).
A) {7; 8; 9}
B) {8; 9; 10}
C) {8; 9; 11}
D) {8; 10; 11}
A) 3
B) 2
C) 5
D) 4
3.
Dados los conjuntos
E = {x ∈ +/5 < x ≤ 11}
P = {x ∈ +/8 ≤ x < 17}
5.
Lucia y Mariana se reúnen para inventar un problema de relaciones binarias, si Lucia propuso al
conjunto M y Mariana al conjunto N, dando origen
el siguiente problema:
Dados los conjuntos
M = {1; 2; 4; 5; 7}
N = {3; 5; 7; 9; 11}
Considere la relación R = {(a, b) ∈ M × N/a∙b = 3̊}
¿Cuántos elementos posee E × P?
Halle el rango de R.
A) 48
B) 56
Ayuda a las compañeras a dar respuesta a este problema.
C) 36
A) {3; 5; 9}
B) {5; 9; 11}
D) 54
C) {3; 9}
D) {3; 7; 9}
51
ARITHMETIC
Continuamos aprendiendo
Helico practice
Aplico lo aprendido
1.
Sea R la relación definida en M, donde
Demuestro mis conocimientos
3.
M = {1; 3; 5; 7}
Si: R = {(5; 3), (7; 2b), (6; c), (3; a)} es una relación simétrica, calcule (a + b + c).
R = {(a; 1), (3; b), (c; 5), (7; d)}
Resolución
es una relación reflexiva. Calcule a × b+c × d.
Resolución
2.
Sea la relación R definida en A,
4.
Halle el valor de m y n para que la relación
donde: A = {2; 4; 5}
R = {(2; a), (m; 3b), (n; 6), (a; b + 1)}
R = {(2; a), (2a + 1; b), (b – 1; c)} es una relación
reflexiva, indique (a × b × c).
sea una relación simétrica, e indique (m + n).
Resolución
52
Resolución
MATHEMATICS • VOLUME 2 • 1st GRADE OF SECONDARY
5.
La relación R
R = {(8; b), (5 – a; 4), (8 – b; 8), (4; 3)} es simétrica,
calcule a × b.
Resolución
7.
Durante el desarrollo de la tarea de aritmética Manuel, Jaime y Miguel no logran ponerse de acuerdo
sobre si la siguiente relación es reflexiva, simétrica
o transitiva; si Manuel dice que es simétrica, Jaime
dice que es reflexiva y Miguel dice que es transitiva,
dadas la siguientes condiciones
Sea la relación R definida en A, donde
A = {1; 2; 3}
R = {(1; 1), (2; 2), (1; 2), (2; 1), (3; 3), (3; 1), (1; 3)}
Determina quién o quiénes tienen la razón.
Resolución
Asumo mi reto
6.
Con el número de mascotas de Rosa, Carmen, María y Lucía se formó el siguiente conjunto A={1;
2; 3; 4}. Y con el se busca determinar cual de la
siguientes relaciones es reflexiva en A.
R1 = {(1; 1), (2; 2), (4; 4)}
R2 = {(1; 1), (3; 3), (4; 4)}
R3 = {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4)}
Determina la o las relaciones reflexivas.
Resolución
53
ARITHMETIC
GRADE
Helico workshop
Aplico lo aprendido
1.
Sea N = {1; 2; 3} se define R en N × N.
Demuestro mis conocimientos
3.
Si R = {(x; 2), (1; y), (z, 3), (1; 3)} es reflexiva.
Si R = {(4; n), (7; 3p), (9; q), (5; 2m)} es una relación simétrica, calcule (m + n + p), m∈ ; p∈ .
Calcule (x+y) × z.
Resolución
Resolución
2.
Sea la relación R definida en A,
donde: A = {3; 6; 7}
R = {(p; 7), (p – 4; q), (2q; r)} es una relación
reflexiva, indique (p × q × r).
Resolución
54
4.
Halle el valor de m y n para que la relación
R = {(a; 5), (6;4), (n; 6), (3m – 1; a)} sea una relación
simétrica, indique (m + n).
Resolución
MATHEMATICS • VOLUME 2 • 1st GRADE OF SECONDARY
5.
Halle el valor de x e y para que la relación
R = {(6; x), (3; 5), (3; 2), (3; 6), (6; y)} sea una
relación transitiva, indique (x + y).
Resolución
7.
Durante el desarrollo de la tarea de aritmética Sofía,
Elena y Alejandra no logran ponerse de acuerdo sobre si la siguiente relación es reflexiva, simétrica o
transitiva; si Sofía dice que es simétrica, Elena dice
que es reflexiva y Alejandra dice que es transitiva,
dadas la siguientes condiciones
Sea la relación R definida en B, donde
B = {2; 3; 5}
R = {(2; 3), (3; 2), (3; 3), (2; 2), (3; 3), (2; 5), (5; 5)}
Determina quién o quiénes tienen la razón.
Resolución
Asumo mi reto
6.
Con la finalidad de incentivar a
sus hermanos menores en el desarrollo de una pregunta sobre
clases de relaciones binarias,
Diana dará S/5 al primero de sus
hermanos que responda correctamente cuales de las siguientes
relaciones son reflexivas, si se tiene que A={1; 2;
3} y
R1 = {(1; 2), (3; 2), (2; 2), (2; 3)}
R2 = {(1; 2), (2; 3), (1; 3)}
R3 = {(1; 1), (2; 2), (2; 3), (3; 2), (3; 3)}
R4 = {(1; 1), (1; 2), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (3; 1), (3; 3)}
Determina cuales son relaciones reflexivas
Resolución
55
ARITHMETIC
Helico trial
1.
Si A = {x ∈  / –2<x<2}
2.
Dados los conjuntos
E = {x / x es un numero primo menor que 25}
B = {x ∈  / –2<x<2}
¿Cuántas relaciones de A en B existen?
F = {x / x ∈ ∧ x2<50}
A) 8
B) 16
además n(E) = x
C) 32
D) 64
n(F) = y
calcule p + q si (x+q, y – q) = (p, q).
A) 14
B) 15
C) 17
D) 16
GRADE
Helico challenge
Nivel I
1.
4.
Halle el valor de a y b para que la relación
R = {(7; a), (9; 11), (7; 11), (b; 5), (9; 5)} sea una
relación transitiva, indique (a + b).
Sea la relación R definida en A,
donde: A = {1; 3; 5}
Resolución
R = {(1; a – 2), (c; 2b + 1), (a; b + 1)} es una relación reflexiva, indique (a + b + c).
Resolución
2.
Si
R = {(3a+ 1; 4), (6; 2b – 1), (4; 7), (5; 2c)} es una
relación simétrica, calcule (a + b + c).
Resolución
Nivel III
5.
En el proceso clasificatorio del mundial de fútbol
Rusia 2018, el hincha israelita observó en un reporte
una porción del fixture que decía... (Perú; Chile),
(Chile, Colombia), (Perú; XXXXX),… ¿Qué valor
debe tener XXXXX para que dicha porción represente una relación transitiva?
Nivel II
3.
Halle el valor de m, n y p para que la relación
R = {(2; m), (2; 3), (3; 3), (n; 7), (7; 3), (3; p), (3; 2)}
sea una relación simétrica y reflexiva, e indique
(m + n + p).
Resolución
Resolución
56
MATHEMATICS • VOLUME 2 • 1st GRADE OF SECONDARY
Helico homework
Nivel I
1.
Sea la relación R definida en A,
Nivel III
4.
donde n(A) = 4
R = {(8; a), (a+3; b), (b – 5; c), (c/2; d)} es una
relación reflexiva, calcule (a + b + c + d).
A) 29
B) 28
C) 36
D) 42
Ayuda a desarrollar el problema a Martín y marca la
alternativa correcta.
A) 18
B) 20
Nivel II
2.
C) 21
Como si
R = {(a; 7), (13; d), (b + 1; 11), (3; 5c + 3)} es
una relación simétrica, calcule (a + b + c + d).
3.
Para poder salir a jugar futbol con sus amigos, Martin debe terminar toda su tarea de aritmética, si aún
le falta desarrollar el siguiente problema que dice
Halle el valor de a y b para que la relación
R = {(3; 3), (4; 5), (4; a), (5; 3), (4; 4), (b; 5)} sea
una relación transitiva y reflexiva, indique (a × b).
5.
D) 15
R = {(8; 13), (a; 11), (7; a), (7; b), (13; 11)} sea
una relación transitiva, indique (a + b).
Como parte de una apuesta tres amigos deciden
apostar el valor de m, n y p soles; y deciden utilizar
dichas cantidades en el siguiente problema de relaciones dado
R = {(7; 7), (7; m), (n; 3), (3; 3), (3; 4), (3; 7), (p; 4)}
sea una relación simétrica y reflexiva, indique si el
que resuelve primero el problema se llevará la suma
de (m + n + p) soles. ¿Cuánto gana el primero en
resolverlo?
A) 23
B) 12
A) 12
B) 13
C) 15
D) 19
C) 11
D) 15
A) 30
B) 35
C) 27
D) 28
Halle el valor de a y b para que la relación:
57
ARITHMETIC
Bibliography and web bibliography
Chapter 4
¾¾
COVEÑAS, Manuel. Matemática. 1.er año. Editorial Coveñas.
¾¾ HERNÁNDEZ, Hernán. Aritmética. Colección Pre-U.
¾¾
Operaciones con conjuntos - Reunión, intersección, diferencia y complemento - Matemática
•
¾¾
https://www.youtube.com/watch?v=NzcyLx0U0jM
Operación con Conjuntos - Complemento
•
https://www.youtube.com/watch?v=H3L5hySKvjg
Chapter 5
¾¾
GARCÍA, Jimmy. Aritmética. Editorial Rodo
¾¾
SILVA, Mario. Aritmética: Teoría y practica. Editorial San Marcos.
¾¾
Problemas con tres conjuntos - Operaciones con conjuntos
•
¾¾
https://www.youtube.com/watch?v=qUdapLBV-M8
Operaciones con tres conjuntos - Reunión, intersección, diferencia y complemento - Diagrama de Venn
•
https://www.youtube.com/watch?v=yZ-6-YQdpVA
Chapter 6
¾¾ FARFÁN ALARCÓN, Óscar. Aritmética. Editorial San Marcos.
¾¾ LONDOÑO, Nelson. Aritmética. Editorial Osco RR.
¾¾
Relaciones binarias
•
¾¾
Producto cartesiano A×B, B×A, hallar el producto cartesiano de A×B
•
58
https://www.youtube.com/watch?v=qA1v4iv3OXs
https://www.youtube.com/watch?v=xSisIO7Dv_Y