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Décima tercera edición Estadística y muestreo Ciro Martínez Bencardino ECOE EDICIONES CIRO MARTINEZ BENCARDINO Nacido en Convención (Norte de Santander - Colombia). Economista de la Universidad Jorge Tadeo Lozano de Bogotá, D.C. Bio-estadística (Universidad de los Andes, Bogotá, D.C.). Técnicas Estadísticas (CIENES-Santiago de Chile) y Estadística Laboral (Universidad de Río Piedras y Negociado Laboral de Puerto Rico). Vinculado a la enseñanza de la Estadística en un gran número de instituciones universitarias de Bogotá. Durante muchos años ha trabajado en el campo de la estadística, ocupando diferentes cargos gubernamentales. Entre sus publicaciones destacamos: Estadística comercial; Muestreo, algunos métodos y sus aplicaciones prácticas; Estadística Básica Aplicada; libros editados por Ecoe Ediciones. Décima tercera edición Estadística y muestreo Ciro Martínez Bencardino Catalogación en la publicación – Biblioteca Nacional de Colombia Martínez Bencardino, Ciro Estadística y muestreo / Ciro Martínez Bencardino. -- 13ª. ed. -- Bogotá : Ecoe Ediciones, 2012. 900 p. – (Ciencias exactas. Matemáticas) ISBN 978-958-648-702-3 1. Estadística matemática 2. Muestreo (Estadística) I. Título II. Serie CDD: 519.52 ed. 20 Colección: Textos universitarios Área: Matemáticas Primera edición: Bogotá, D.E., noviembre de 1978 Segunda edición: Bogotá, D.E., enero de 1982 Tercera edición: Bogotá, D.E., enero de 1984 Cuarta edición: Bogotá, D.E., julio de 1987 Quinta edición: Bogotá, D.E., agosto de 1990 Sexta edición: Santa Fe de Bogotá, D.C., julio de 1992 Séptima edición: Santa Fe de Bogotá, D.C., enero de 1995 Octava edición: Santa Fe de Bogotá, D.C., febrero de 1997 Novena edición: Santa Fe de Bogotá, D.C., febrero de 1998 Reimpresión: Santa Fe de Bogotá, D.C., abril de 1999 Décima edición: Bogotá, D.C., octubre de 2000 Onceava edición: Bogotá, D.C., enero de 2002 Reimpresión: Bogotá, D.C., septiembre de 2003 Décimo segunda edición: Bogotá, D.C., septiembre de 2005 Reimpresión: Bogotá, D.C., enero de 2007 Décima tercera edición: Bogotá, D.C., 2012 ISBN:978-958-648-702-3 © © © Ciro Martínez Bencardino e-mail: [email protected] Del contenido del SIL, Ciro Martínez Bencardino ECOE ediciones Ltda. E-mail: [email protected] www.ecoeediciones.com Carrera 19 No. 63C-32, Tel. 2481449 Coordinación editorial: Alexander Acosta Quintero Diagramación: Raúl Enrique Rodríguez Portada: Edwin Nelson Penagos Impresión: Imagen Editorial Impresores [email protected] Impreso y hecho en Colombia CO-BoBN– a746986 A mis padres, hermanos, esposa, hijos y nietos, por ellos vivo, investigo y trabajo. Como un homenaje póstumo a la memoria del doctor Carlos Alzate Giraldo, fundador de ECOE. TABLA DE CONTENIDO ÍNDICE GENERAL PRESENTACIÓN XIX CAPÍTULO 1 CONCEPTOS GENERALES ........................................................................................................... 1 ASPECTOS GENERALES ....................................................................................................................................... 2 Reseña histórica ............................................................................................................................................... 2 Aplicación de la estadística ......................................................................................................................... 2 Finalidad de la estadística ............................................................................................................................ 4 Colectivos investigados por la estadística ............................................................................................. 5 Algunos términos y conceptos que se deben conocer y manejar ............................................7 LA PROYECCIÓN Y PREPARACIÓN DE INVESTIGACIONES ESTADÍSTICAS ...................................10 Planeamiento y preparación de una investigación de tipo estadístico ...................................10 El objeto de la investigación...............................................................................................................11 Las fuentes de información ..................................................................................................................15 Los procedimientos de investigación ................................................................................................17 El material estadístico............................................................................................................................23 El presupuesto de la investigación ....................................................................................................26 Recolección......................................................................................................................................................28 ....................................................................................................................................29 Tabulaciones o procesamiento ................................................................................................................30 Análisis e interpretación .............................................................................................................................30 Publicación ......................................................................................................................................................32 MONOGRAFÍAS Y ENCUESTAS ......................................................................................................................33 Ejercicios para resolver .................................................................................................................................35 SÍNTESIS DE CAPÍTULO ...............................................................................................................................39 CAPÍTULO 2 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS ............................................................................................................. 43 GENERALIDADES .................................................................................................................................................44 ELABORACIÓN DE TABLA DE FRECUENCIAS ...........................................................................................45 Variables discretas, continuas y de atributos ....................................................................................45 Propiedades de las frecuencias ...............................................................................................................51 Ejercicios para resolver .................................................................................................................................54 Recomendaciones en la elaboración de cuadros y tablas ............................................................58 ELABORACIÓN DE GRÁFICAS ........................................................................................................................59 VII VIII CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO ................................................................60 Ejercicios para resolver ................................................................................................................................63 APLICACIONES DE EXCEL.................................................................................................................................64 .........................................................................68 Ejercicios para resolver .................................................................................................................................85 SÍNTESIS DE CAPÍTULO ...............................................................................................................................88 CAPÍTULO 3 MEDIDAS DE POSICIÓN Y DE TENDENCIA ............................................................................ 91 ASPECTOS GENERALES .....................................................................................................................................92 Características, uso, ventajas y desventajas de promedios ..........................................................92 Media aritmética ...............................................................................................................93 Ventajas y desventajas ..........................................................................................................................93 Simple y ponderada ...............................................................................................................................94 Desviaciones y propiedades .................................................................................................................97 Ejercicios para resolver ................................................................................................................................99 Mediana ......................................................................................................................................................... 103 Ventajas y desventajas ........................................................................................................................103 Simple y ponderada .............................................................................................................................104 Propiedades.............................................................................................................................................104 Modo .............................................................................................................................................................. 107 Ventajas y desventajas ........................................................................................................................107 Simple y ponderada .............................................................................................................................107 Datos sin agrupar u originales .........................................................................................................107 Relación entre la Media, Mediana y el Modo. .............................................................................109 Ejercicios para resolver ..............................................................................................................................110 Media Geométrica ..................................................................................................................................... 112 Ventajas y desventajas ........................................................................................................................112 Simple y ponderada .............................................................................................................................112 Aplicaciones ............................................................................................................................................113 Media Armónica ....................................................................................................................................... 114 Ventajas y desventajas ........................................................................................................................115 Simple y ponderada .............................................................................................................................115 Aplicaciones ............................................................................................................................................116 Ejercicios para resolver ..............................................................................................................................117 Media Cuadrática ....................................................................................................................................... 118 Ventajas y desventajas ........................................................................................................................119 Simple y ponderada .............................................................................................................................119 Media Cúbica ............................................................................................................................................... 119 Simple y ponderada .............................................................................................................................120 Relación entre promedios ....................................................................................................................... 121 Centro Recorrido ........................................................................................................................................ 121 Cuartiles, Deciles y Percentiles .............................................................................................................. 122 Ejercicios para resolver ..............................................................................................................................124 SÍNTESIS DE CAPÍTULO .................................................................................................................................. 128 TABLA DE CONTENIDO ANEXOS DE LA UNIDAD 3............................................................................................................................ 130 Aplicaciones con calculadora ................................................................................................................ 130 APLICACIONES DE EXCEL.............................................................................................................................. 131 CAPÍTULO 4 MEDIDAS DE DISPERSIÓN, DE DEFORMACIÓN Y APUNTAMIENTO ................................ 143 CONCEPTOS GENERALES .............................................................................................................................. 144 MEDIDAS DE DISPERSIÓN ............................................................................................................................ 144 .......................................................................................................................................................... 144 Simple y ponderada .............................................................................................................................145 Propiedades.............................................................................................................................................147 Aplicaciones ............................................................................................................................................147 Desviación Típica ........................................................................................................................................ 149 APLICACIONES DE EXCEL Y LA CALCULADORA .................................................................................. 150 Ejercicios para resolver ..............................................................................................................................152 Variación Absoluta .................................................................................................................................... 154 .......................................................................................................................... 154 ............................................................................................................ 155 Desviación Media ....................................................................................................................................... 157 Desviación Mediana ................................................................................................................................. 158 Ejercicios para resolver ..............................................................................................................................159 ! " #$ #$ ............ 163 Recorrido u Oscilación ............................................................................................................................. 166 MEDIDAS DE ASIMETRÍA O DE DEFORMACIÓN ................................................................................ 167 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 169 MEDIDAS DE APUNTAMIENTO ................................................................................................................... 170 Ejercicios para resolver ..............................................................................................................................172 SÍNTESIS DE CAPÍTULO .................................................................................................................................. 176 CAPÍTULO 5 NOCIONES ELEMENTALES DE PROBABILIDAD ................................................................... 177 GENERALIDADES .............................................................................................................................................. 178 # " % ............................................................................ 180 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 184 PERMUTACIONES Y COMBINACIONES ................................................................................................... 188 Uso de la calculadora ............................................................................................................................... 192 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 193 ALGUNAS REGLAS BÁSICAS DE PROBABILIDAD ................................................................................. 196 Regla de adición ......................................................................................................................................... 196 Sucesos mutuamente excluyentes ................................................................................................... 196 Regla de la multiplicación ....................................................................................................................... 201 Sucesos independientes y dependientes ....................................................................................... 201 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 204 Probabilidad condicional ........................................................................................................................ 207 IX X CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO TEOREMA DE BAYES ...................................................................................................................................... 209 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 211 SÍNTESIS DE CAPÍTULO .................................................................................................................................. 215 CAPÍTULO 6 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD .................................................................................. 217 CONCEPTOS GENERALES .............................................................................................................................. 218 VARIABLE ALEATORIA DISCRETA................................................................................................................ 219 Distribución Binomial ............................................................................................................................... 219 ................................................................................................ 222 APLICACIÓN CON LA CALCULADORA Y EXCEL ................................................................................... 225 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 230 Distribución de Poisson ........................................................................................................................... 235 ................................................................................................ 236 APLICACIÓN CON LA CALCULADORA Y EXCEL ................................................................................... 237 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 241 Distribución Hipergeométrica ............................................................................................................... 243 ................................................................................................ 244 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 246 VARIABLE ALEATORIA CONTINUA ............................................................................................................. 247 Distribución normal................................................................................................................................... 247 ........................................................................................................................ 248 Condiciones que debe tener en cuenta ......................................................................................... 249 ......................................................................................................... 249 APLICACIÓN DE EXCEL .................................................................................................................................. 253 Ejercicios para resolver.................................................................................................................................... 257 SÍNTESIS DE CAPÍTULO .................................................................................................................................. 271 CAPÍTULO 7 DISTRIBUCIONES MUESTRALES. MUESTREO ALEATORIO ................................................. 273 CONCEPTOS GENERALES .............................................................................................................................. 274 DISTRIBUCIONES MUESTRALES ................................................................................................................. 277 ................................................................................................ 277 Distribución de medias muestrales ..................................................................................................... 278 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 284 Distribución de diferencia entre dos medias muestrales ........................................................... 293 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 297 Distribución de diferencias entre dos proporciones .................................................................... 299 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 302 TAMAÑO DE LA MUESTRA........................................................................................................................... 303 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 309 SÍNTESIS DE CAPÍTULO ............................................................................................................................ 320 TABLA DE CONTENIDO CAPÍTULO 8 PRUEBAS DE HIPÓTESIS Y LÍMITES DE CONFIANZA ...................................................... 323 CONCEPTOS GENERALES .............................................................................................................................. 324 PRUEBA DE HIPÓTESIS ................................................................................................................................... 324 Tipo de error ........................................................................................................................................... 326 Hipótesis nula y alternativa .............................................................................................................. 327 Prueba unilateral y bilateral ............................................................................................................. 328 ......................................................................................... 328 Etapas de la realización de la prueba............................................................................................ 329 Distribución de medias muestrales ..................................................................................................... 332 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 336 Distribución en una proporción ........................................................................................................... 339 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 341 Distribución de diferencias entre dos medias ............................................................................... 343 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 345 Distribución de diferencias entre dos proporciones................................................................. 347 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 349 TEORÍA SOBRE MUESTRAS PEQUEÑAS .................................................................................................. 351 Distribución “t” de student ..................................................................................................................... 351 Distribución de medias muestrales ..................................................................................................... 352 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 357 Distribución en una proporción muestral ........................................................................................ 358 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 359 Distribución de diferencias entre dos medias ................................................................................ 360 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 365 Distribución de diferencias entre dos proporciones .................................................................... 368 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 369 APLICACIÓN CON EXCEL .............................................................................................................................. 369 LÍMITES DE CONFIANZA ............................................................................................................................... 380 Aplicación en las diferentes distribuciones .................................................................................... 381 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 392 APLICACIÓN CON EXCEL .............................................................................................................................. 395 SÍNTESIS DE CAPÍTULO .................................................................................................................................. 401 CAPÍTULO 9 OTRAS PRUEBAS DE HIPÓTESIS ............................................................................................ 403 ASPECTOS GENERALES ................................................................................................................................. 404 PRUEBA DE HIPÓTESIS DE UNA VARIANZA .......................................................................................... 404 Teoría, aplicaciones y procedimientos ........................................................................................... 404 % $ ................................................... 408 Ejercicios para resolver ........................................................................................................................ 410 COMPARACIÓN ENTRE VARIANZAS DE DOS POBLACIONES ........................................................ 410 Distribución F ............................................................................................................................................. 410 ............................................................................................................................ 413 XI XII CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 414 PRUEBA DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE PEARSON......................................................... 414 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 418 PRUEBAS CON OBSERVACIONES APAREADAS .................................................................................... 419 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 423 PRUEBAS NO PARAMÉTRICAS .................................................................................................................... 427 Prueba de chi-cuadrado .......................................................................................................................... 427 Tablas de contingencia............................................................................................................................. 431 Dócimas de homogeneidad y de independencia ........................................................................ 434 APLICACIONES CON EXCEL ......................................................................................................................... 436 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 441 Dócima o pruebas del signo ................................................................................................................ 450 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 455 Correlación por rangos ............................................................................................................................ 460 Prueba T de Wilcoxon ............................................................................................................................. 462 Muestras Pequeñas ..................................................................................................................... 462 Muestra Grande ................................................................................................................................... 464 Prueba U de Mann-Whitney .................................................................................................................. 466 Muestras Grandes ......................................................................................................................... 466 Muestras Pequeñas ...................................................................................................................... 468 Muestras Muy Pequeñas .................................................................................................................. 469 Prueba H de Kruskal y Wallis ................................................................................................................ 470 Teoría y aplicaciones.................................................................................................................... 471 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 472 SÍNTESIS DE CAPÍTULO .................................................................................................................................. 477 CAPÍTULO 10 NÚMEROS ÍNDICES ................................................................................................................ 479 GENERALIDADES .............................................................................................................................................. 480 ÍNDICES SIMPLES ............................................................................................................................................. 480 Encadenamiento de índices ................................................................................................................... 482 ÍNDICES AGREGATIVOS SIMPLES............................................................................................................... 483 ÍNDICES PONDERADOS DE PRECIOS Y CANTIDAD ........................................................................... 484 Índice de Laspeyres, Paasche, Fisher .................................................................................................. 484 Índice de Sidgwick-Drobisch, Marshall-Edgeworth ...................................................................... 485 Índice de Walsh, Keynes ......................................................................................................................... 486 ÍNDICES DE PROMEDIOS PONDERADOS ............................................................................................... 487 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 488 ÍNDICE DE VALOR ............................................................................................................................................ 493 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 493 EMPALME DE DOS O MÁS SERIES............................................................................................................. 494 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 495 ALGUNAS APLICACIONES DE LOS NÚMEROS ÍNDICES.................................................................... 496 Índice de precios al consumidor (IPC) ............................................................................................... 496 Tasa de cambio (TC) ................................................................................................................................. 500 TABLA DE CONTENIDO Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 500 Índices de comercio exterior ................................................................................................................. 504 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 505 Índices de precios implícitos.................................................................................................................. 505 Índice de productividad (IP) ................................................................................................................... 508 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 509 Índice precios del productor (IPP)..................................................................................................... 510 Índice bursátil mundial Dow Jones ..................................................................................................... 511 Indicadores de desempleo ..................................................................................................................... 511 Otros indicadores (OI) ............................................................................................................................. 512 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 513 SÍNTESIS DE CAPÍTULO .................................................................................................................................. 517 CAPÍTULO 11 SERIES CRONOLÓGICAS ......................................................................................................... 519 GENERALIDADES .............................................................................................................................................. 520 COMPONENTES DE UNA SERIE TEMPORAL.......................................................................................... 520 TENDENCIA ........................................................................................................................................................ 521 Método analítico ........................................................................................................................................ 521 Método de mínimos cuadrados ........................................................................................................... 521 Cálculo, aplicaciones, estimativos. .................................................................................................. 521 ........................................................................ 524 ........................................................................................................................ 526 APLICACIÓN DE EXCEL .................................................................................................................................. 527 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 529 Estimaciones mensuales con base en datos anuales ............................................................... 533 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 536 Método de los semipromedios ............................................................................................................ 536 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 537 Método de los promedios móviles ..................................................................................................... 538 APLICACIÓN DE EXCEL ................................................................................................................................. 541 Tendencia parabólica ................................................................................................................................ 543 Cálculo, aplicaciones, estimativos. .................................................................................................. 543 ........................................................................ 546 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 547 Tendencia exponencial ............................................................................................................................. 549 Cálculo, aplicaciones, estimativos ................................................................................................... 549 ........................................................................ 551 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 553 OTROS MÉTODOS............................................................................................................................................ 555 Curva exponencial, curva logística y de ................................................................555 &' * ............................................................................................. 555 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 556 Variaciones estacionales .......................................................................................................................... 558 ÍNDICE ESTACIONAL ..................................................................................................................................... 559 XIII XIV CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO MÉTODO DE RAZÓN ...................................................................................................................................... 559 MÉTODO DE LAS RAZONES AL PROMEDIO MÓVIL .......................................................................... 562 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 566 SÍNTESIS DE CAPÍTULO ............................................................................................................................ 567 CAPÍTULO 12 REGRESIÓN Y CORRELACIÓN ................................................................................................ 569 ASPECTOS GENERALES .................................................................................................................................. 570 REGRESIÓN Y CORRELACIÓN ..................................................................................................................... 570 APLICACIÓN DE EXCEL .................................................................................................................................. 573 Diagrama de dispersión .......................................................................................................................... 575 REGRESIÓN Y CORRELACIÓN LÍNEAL...................................................................................................... 578 Método de los mínimos cuadrados ................................................................................................. 580 Ecuación de la recta, cálculo de los parámetros, estimaciones ............................................ 580 !" # ......................................................... 581 " " # .................................................... 581 APLICACIÓN DE EXCEL .................................................................................................................................. 582 % * ........................................................................ 593 Estimativos de x en función de y viceversa ...................................................................................... 595 Uso de la calculadora ............................................................................................................................... 597 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 602 REGRESIÓN PARABÓLICA SIMPLE ............................................................................................................. 622 $% " "............................................ 622 & !" ' " " " # " .............................................................................................................................. 627 REGRESIÓN PARABÓLICA PONDERADA ................................................................................................. 630 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 633 REGRESIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA ....................................................................................... 634 $% " "............................................ 634 & !" ' " " " # ............................................................................................................................... 636 REGRESIÓN Y CORRELACIÓN MÚLTIPLE ................................................................................................ 637 Método de los mínimos cuadrados ................................................................................................. 640 Método de Jordan-Gauss ................................................................................................................... 643 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 645 COEFICIENTE DE CORRELACIÓN POR RANGOS .................................................................................. 647 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 649 SÍNTESIS DE CAPÍTULO .................................................................................................................................. 655 CAPÍTULO 13 ALGUNOS MÉTODOS DE MUESTREO ................................................................................... 657 GENERALIDADES ............................................................................................................................................. 658 Población o universo ............................................................................................................................... 658 TABLA DE CONTENIDO Unidad y elemento ................................................................................................................................... 658 % ....................................................................................................................... 660 Características ............................................................................................................................................ 661 Investigación total y parcial .................................................................................................................. 661 MUESTREO NO ALEATORIO ........................................................................................................................ 663 Muestreo opinático, circunstancial, por cuotas, a juicio.......................................................... 663 MUESTREO ALEATORIO ................................................................................................................................ 663 Marco .............................................................................................................................................................. 666 Falseamiento del esquema de selección ......................................................................................... 666 Sustitución de unidades ......................................................................................................................... 667 Dominio de estudio ................................................................................................................................. 668 Métodos de selección ............................................................................................................................. 668 APLICACIÓN DE EXCEL Y CALCULADORA EN NÚMEROS................................................................ 670 Objeto del muestreo aleatorio .............................................................................................................. 677 Ejercicios para resolver ............................................................................................................................ 680 APLICACIÓN DE MÉTODOS Y TÉCNICAS DE MUESTREO ......................................................... 687 Muestreo aleatorio simple (M.A.S) ..................................................................................................... 687 Tamaño de la muestra ....................................................................................................................... 687 Cálculo de algunos estimativos ...................................................................................................... 691 Estimación de promedios y totales .................................................................................................... 693 Estimación de proporciones y totales ............................................................................................... 696 Estimación de proporciones y totales en conglomerados ....................................................... 697 $ ' ...... 698 Estimación de promedios y totales mediante la regresión ..................................................... 699 Estimación de promedios, proporciones y totales en dominio de estudio ....................... 703 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 708 MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO MAE ..................................................................................... 718 Asignación igual ......................................................................................................................................... 721 Cálculo de los tamaños muestrales .............................................................................................. 722 ( ............................................................................... 725 Muestra asignación igual ........................................................................................................................ 726 Estimación de promedios y totales ................................................................................................ 727 Estimación de una proporción y total .......................................................................................... 730 Estimación para la razón, promedio y el total .......................................................................... 731 Estimación de promedios y totales mediante la regresión lineal simple ............................ 735 Estimación de una proporción y el total en conglomerados .................................................... 738 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 740 Asignación proporcional ........................................................................................................................ 744 Tamaño de la muestra ....................................................................................................................... 745 Encuesta preliminar – Asignación proporcional ....................................................................... 746 Muestra de asignación proporcional.............................................................................................. 748 Estimación de promedios y totales ................................................................................................ 749 Estimación de proporciones y totales ........................................................................................... 750 Estimación de proporciones y totales en conglomerados ..................................................... 750 Estimación indirecta del promedio y el total a través del método de la razón ............. 751 Estimación indirecta del promedio y total mediante la regresión lineal ......................... 753 XV XVI CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO Asignación óptima ................................................................................................................................... 757 Tamaño de la Muestra ....................................................................................................................... 757 MÉTODO DE NEYMAN ................................................................................................................................. 763 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 764 MUESTREO SISTEMÁTICO ........................................................................................................................... 773 MUESTREO POR CONGLOMERADOS ..................................................................................................... 777 MUESTREO BIETÁPICO .................................................................................................................................. 783 MUESTREO POR CONGLOMERADOS DE DOS ETAPAS .................................................................... 784 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 789 MUESTREO POR FASES MÚLTIPLES ......................................................................................................... 791 MÉTODOS MIXTOS ........................................................................................................................................ 792 APÉNDICE................................................................................................................................ 793 GLOSARIO ........................................................................................................................................................... 794 TABLAS ................................................................................................................................................................. 817 RESUMEN DE FÓRMULAS ............................................................................................................................ 865 BIBLIOGRAFÍA......................................................................................................................... 873 TABLA DE CONTENIDO ÍNDICE DE TABLAS TABLAS Áreas bajo la curva normal de probabilidad ...................................................................................... 817 Distribución “t” de student ................................................................................................................................ 820 Distribución binomial .......................................................................................................................................... 822 Distribución de ji cuadrado. Áreas bajo la curva normal de probabilidad ...................................... 828 ....................................................................................................................................... 830 +/ ..................................................................................................................................................... 831 Distribución de poisson ...................................................................................................................................... 837 !$ :;< => *?.................................................................................................... 838 @* :;< => *? ............................................................................................................................ 839 @* ::"[< =\ *? ........................................................................................................................ 840 % =? % ..................... * ]<" ><" \<" ^<" ;<" ]_<" ` z ;_<{ &* :;< ......................................................................................................................... 841 XII. % =? % ..................... * ]<" ><" \<" ^<" ;<" ]_<" ` z ;_<{ &* ::"[< ..................................................................................................................... 842 XIII. Probabilidades asociadas con valores tan pequeños como los valores observados de U en la prueba de Mann-Whitney ...................................................................................................................... 843 XIV. Tabla de los valores críticos de U en la prueba de Mann-Whitney. Valores críticos de % z _"__] % z _"__>{ ................................................................................................................................................................. 846 XV. Percentillas de las distribuciones (x2/g.L.) .................................................................................................... 850 XVI. Distribución F .......................................................................................................................................................... 851 XVII. @ * ....................................................................... 859 XVIII. Prueba de Wilcoxon ............................................................................................................................................. 860 I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII. IX. X. XI. XIX. Distribución binomial .......................................................................................................................................... 861 FÓRMULAS XX. XXI. XXII. XXIII. XXIV. Fórmulas aplicadas en las medidas de posición, dispersión, asimetría y apuntamiento 865 Fórmulas aplicadas a la regresión y correlación ...................................................................................... 867 Fórmulas para series de tiempo ..................................................................................................................... 869 Fórmulas aplicadas en los números índices .............................................................................................. 870 Fórmulas para inferencia estadística ............................................................................................................ 871 XVII XVIII CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO CONTENIDO DEL SIL 1. Solucionario de los ejercicios para resolver en el libro - Capítulos 1 al 13 2. Aplicación de EXCEL en los procesos Estadística 3. Resumen de fórmulas de aplicación en la Estadística Descriptiva y en la Inferencia 4. Teoría y aplicaciones, sobre: Desarrollo de un sistema de ecuaciones; Sumatoria " TABLA DE CONTENIDO PRESENTACIÓN Gracias a la generosidad de profesores y estudiantes que lo han preferido como texto o como fuente de consulta, se ofrece esta nueva Edición, con nueva presentación mucho más cómoda y fácil de manejar, con una revisión y actualización de los contenidos, así como de estilo, que esperamos sea del agrado de todos aquellos que de alguna manera tendrán la oportunidad de consultarla. En esta décima tercera edición se suprimieron algunos temas que han perdido vigencia en los programas, en contraprestación se incluyeron y mejoraron otros, manteniendo las exigencias y la actualización en la enseñanza de esta materia de acuerdo a los diferentes niveles, así como en los objetivos que se exigen en las carreras intermedias y profesionales. En esta ocasión se ha suprimido el CD que siempre lo acompañaba, ahora se ofrece la consulta a la Página web www.ecoeediciones.com donde encontrará entre otros, a) Proceso continuado de la aplicación del Excel en todos los temas de esta publicación. b) Solucionario con todo el proceso que conlleva el desarrollo de los problemas propuestos, c) Además incluye un tema que fue suprimido pero que lo seguimos considerándolo importante en proceso integral del conocimiento de esta materia, como son la Sumatoria, Productoria, y el uso de los Porcentajes, Tasas y Razones aprendizaje de esta valiosa herramienta, de ahí la equivocación de algunos que la consideran “elemental”, comentarios que nos alegra, pues no está dirigido a profesionales de la Estadística con grandes conocimientos matemáticos, por el contrario se pretende ayudar a aquellos que apenas se inician en perder el interés sobre aquellos temas que tienen gran importancia en su aplicación en tantos campos del conocimiento. que los programas de computador la han desplazado, este último solo permite observar la base de datos en su conjunto y los resultados obtenidos que son los requeridos, pero elimina los procedimientos que fueron aplicados para su obtención. Sea la oportunidad para manifestar nuevamente, mis más sinceros agradecimientos a profesores y estudiantes que me han hecho llegar comentarios, críticos algunos, que han sido de gran ayuda al mejoramiento de los contenidos en cada edición, como aquellos que reconocen esta labor, lo que me da aliento para seguir en esta tarea de divulgación. El Autor. XIX CAPÍTULO UNO CONCEPTOS GENERALES 1 Conceptos generales TÉRMINOS Y DEFINICIONES El ser humano aprende en la medida en que participa en el descubrimiento y la invención. Debe tener la libertad para opinar, para equivocarse, métodos y caminos para explorar Ernesto Sábato CONTENIDO ! generales. " # $ # % & # ' % *# + % ; Sistema de Información en Línea SIL. COMPETENCIAS $ < ! $ % # % = > # % ' & # $ # % 1 2 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO ASPECTOS GENERALES RESEÑA HISTÓRICA La estadística # $ # ? H JK%KUVW%X Y ! ;Z [\% La estadística W * ]^__ ` WkJ{%|{V}{%||KX # * #% Z# } ! # ! } $ % ~ estadística, Y $ } * # % APLICACIÓN DE LA ESTADÍSTICA # % = } %= ! $ % ! Estadística. ~ estadística ! $ ! % ! # % * # % $ %W Estadística Descriptiva o Deductiva% $ $ ! Estadística Inductiva o Inferencia. Estadística # # } % # Y# } # $ # $! $ CAPÍTULO UNO CONCEPTOS GENERALES $ # % La estadística descriptiva o deductiva } # J %X $ % ! $$ $ % La estadística analítica o inductiva $ $ # % + estadística } # $ ! $ % La estadística descriptiva-analítica # < $ ! $ de los mismos. ! estadística! ! } ! % ` estadística % < \ # \ % EstadísticasJ X%* $ $% estadísticas son % * < Estadísticas o fuentes primarias%* ! ! $ # %* $ % 3 4 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO # : personales J %XY unipersonales J #$ XY J X% Estadísticas o fuentes secundarias. ! $ %* %* fuentes secundarias< } % % Estadísticas o series temporales%` } %~ } ! # >% < atemporales o aisladas. Las estadísticas, ! internas o externas.~ < % %~externas, < % Clases de estadísticas.* # < # % Estadístico. $ $ # % ! # # % FINALIDAD DE LA ESTADÍSTICA ! $ %~ ! # ! \ # %= # ! \ % } < Y %= estadística, # < Conocer la realidad en una observación o fenómeno. W # % # $ $ $ % CAPÍTULO UNO CONCEPTOS GENERALES Determinar lo típico o normal de esa observación% la # promedio! # %* #WK {%K l Y # K Y $ {%K% Determinar los cambios que presenta el fenómeno. $ # ! %~ % Relacionar dos o más fenómenos%' $ $ # $%l las % Determinar las causas que originan el fenómeno. ~ % # l % Hacer estimativos sobre el comportamiento futuro del fenómeno% %~ > l > % Obtener conclusiones de un grupo menor (muestra), para hacerlas extensivas a un grupo mayor (población). W m > ser $ la % W$ estadística ! % COLECTIVOS INVESTIGADOS POR LA ESTADÍSTICA ~ # # %~ $ < % ~ $ # manifestarse al exterior para poder ser observados m %* < \ # Y 5 6 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO Y * # =\ Y # %W$ # en al %+ < ! # \ las $ $ } #% " # # # < Colectivos. ~ # % * l al % Frecuente repetición. W # %= % % Distinta frecuencia. * ! $ ## # %* $ # $ #% Manifestarse al exterior. % = # % Distantes en el tiempo. ~ # # ia # #%= ! % Distantes en el espacio. Banco Comercial, %~ #%* % W # er # % * # % * CAPÍTULO UNO CONCEPTOS GENERALES < % Aquellos fenómenos que son accidentales, l # . ALGUNOS TÉRMINOS Y CONCEPTOS QUE SE DEBEN CONOCER Y MANEJAR W $ ! $ el desarrollo # % ^ ! } $ $ %* $ # |{U $$ ! % Población% } # \% ! la m % ~ #\ ! población la población o población objetivo. Per # $ $ # % Los elementos o unidades %W$elemento J X J X unidad conglomerados. *\\ ta o \ Y \ %* \ $ > > ! $ > % Marco< marco, marco muestral o marco de referencia, a la unidades o elementos l % Características< } # # % 7 8 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO } # < ELEMENTOS Personas Personas Personas ' Z CARACTERÍSTICAS Salarios Z Cargos ^ Las características J X% m % W ! Y cuantitativos o variables < % palabras < } % caracteres cualitativos o atributos. ~ <variables discretas continuas%~ ! } \ <{KU % del \ $K % \ > <K> # %~ discretas continuas $ $ la $ $ < {>${K># realidad esa d % * # J X referiremos a distribuciones unidimensionales o univariante%* # J Y Y X distribuciones bidimensionales o bivariante% $ # $distribución es pluridimensional o multivariante. Investigación total. ' !censo o investigación exhaustiva! % < Poblaciones % Tiempo % Costos # % Recursos humanos % Destrucción % CAPÍTULO UNO CONCEPTOS GENERALES Homogeneidad # $ % Muestra o investigación parcial. * %~ la % = seleccionadas al azar, ! < las tablas de números aleatorios, la selección sistemática o cualquier otro método que sea al azar. + no probabilística \ % Y % caprichosa, voluntaria #los } Muestra circunstancial o errática. = % # |{U % s = s & * & * = $ Por fases * $ & W s No s = s ^ _ Parámetros. * ! # población% !les denomina valor verdadero # $ $ J %X%* # $ %W valor estadístico de la población. Estimador o Estadígrafo% ~ ! # muestra, se denomina estadígrafo%' J&X\ # ! general, alores # % !Estimador Puntual promedio, varianza, proporción, % $ error, es estimador por intervalos, $ $ % ~ estimador parámetro error de muestreo, > # #} i % 9 10 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO Errores ajenos al muestreo< J X $ < } % LA PROYECCIÓN Y PREPARACIÓN DE INVESTIGACIONES ESTADÍSTICAS # # ! Y % El método estadístico r $ ! # Y # $ \ método experimental # % W $ !$ < > % JX J X # . desarrollo. # JX< W% = % # % W$ J! $X %; '% = "%= PLANEAMIENTO Y PREPARACIÓN DE UNA INVESTIGACIÓN DE TIPO ESTADÍSTICO # fije % ~ # al % # < CAPÍTULO UNO CONCEPTOS GENERALES {X KX~ UX ~ X ~ X X El objeto de la investigación ! ! % < Y < los Y # < ! < % En el al !! a < X ' i X ' X ' X ~ # # ! $ los $ < \ % ' # # % Se organiza una estadística de natalidad%* %= J X $ % l Y $ % Se prospecta una estadística de salarios% i ien $ % X ' < <! < ! ! $ _ ~ A quién la %^ < Unidad de vivienda< $ % 11 12 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO Hogar< $ \ l J Xse % ~ # %' # %~ < clara, adecuada, mensurable y comparable. b) Determinar la naturaleza cuantitativa y cualitativa del objeto de la investigación: o sea, i \ J X #J{KUX J + _ W X J ! # X J! X J X % X Determinar la posibilidad de investigación< Y si i % # Y # Y arrio # # \ d) Limitar el objeto investigable: %A % \ ! % = $ la # < = <~ *<~ ~ $%H serle f% Estadística de salarios%~ {>$ %* los # %Y Y # los salarios femeninos {>% CAPÍTULO UNO CONCEPTOS GENERALES Estadística de créditos bancarios%* ! } % ! # } # ! %= # ! $ %W # } el $ < ! % La Estadística # $ %~Estadística la ! ! del Y# l % *\ $ ! $ = _ % # % % <espacio, el tiempo, el número de casos combinación de los tres anteriores. % # $ %+ $ # } $ $ %~ $ %= # # \ % ! \ } f # % % Limitación del tiempo% ! Y las Y Y } % % \ % # # # $ % ~ # %~ # $ } %~ # m $ $ % ! # se denomina “el momento estadístico“; ! i % 13 14 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO %W $ Y $ J ! # #las # >XY } J # %X% $ # $ i % Limitación del número de casos. ~ Y l \ %~$ # \ %W# \ # ! % # } \ Y # % ! \ indagarse. Limitación coordinada del espacio, del tiempo y del número de casos< \ $ i # !\ ! j % l } ! las e # % * < los ! $ % $ # ! % ~ $ < % * $ # $ Y ' _ & } \ ! Y $ > $ % $ # # % CAPÍTULO UNO CONCEPTOS GENERALES i > %' } % # de lo anormal o # % Las fuentes de información Z ! % W < } } # % i $ < Directa e Indirecta Investigaciones directas e indirectas%' } # ! \ % l \ % Z $% _ # } ! ! $ % # # %' $ %' % ' # Y Y ! # % * $ % * $ # > # %H # %= # $ # % * # % Muchas veces, se estima y otras se calcula%* } %* Y 15 16 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO Y Y % ! Y} Y Y } l Y Y %= $! ! !% ~ # directa # %* Y Y # \ } # Y Y ara % * # indirecta, ! } %~ } Y # Y l #! Y? Y % fuente o fuentes % Las mejores son las fuentes directas%= %+ # # # \ % # # se r % '# # < % \ $ # del # % % $ %" } ! las % W Primaria ! Secundaria l % ! Interna la Externa f % ~ % CAPÍTULO UNO CONCEPTOS GENERALES Los procedimientos de investigación ! # ! d \ < ! ! $ } # * < Claridad y publicidad% < % ~ %~ # # $ $ < \ % Sencillez%* % $ $ $%~ Y # $! ! % Utilidad% # $ i !%De o modoallaremos $ # #% $ $ # & # + # $ continua, periódica o aislada% } # % # # # $% = # # $$ >\ Y %* series cronológicas o series de tiempo. W Y # ! !% ~ \ ` <ocasional, periódica continua. Es ocasional %+ costo de la vida o de los 17 18 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO Y Y Y % * ! % * intencionales o aisladas. Es periódica l % ~ # Y # Y Y # Y # Y l ! $'%% Y # # % Es continua $ % ~ $J la XY $ # l ! $ J X #% l % * > l # < = % " # ! % = > $ l #} Y > >% ~ > %~ $ # %= # % ~ # %~ # % ~ % #} %' % ~ # discontinuas } #Y # %= $ #} %H ! # % _ \ ! % CAPÍTULO UNO CONCEPTOS GENERALES # \ \ > el > # % # KK \ } % = \ # %* % = % % < ! ~ ! < el %W % Entidad< \ % W < Principales desventajas de las entidades públicas: _ # < % " $ % Principales ventajas de las entidades privadas: * $ # ! ! % \ $ < % ~ \} < # #Y$ } % # + " _ _ W} r %W! * # % ' laW =\ # * Y # } # $ \ las % 19 20 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO ! J } X ^% _ $ % Personal% ! er } %* $\ # %W # % < ~ # % ~ # # % W # ! $ % ! d % ' mejores } dad. Sistemas de investigación< < ~ automáticas $ % * Y # $ J X%* $ $ %~ # $ de l %~ # # r # $ $ < ; W * # =\ ' % l i % CAPÍTULO UNO CONCEPTOS GENERALES ~ intencionales l < % ! % ~ \ # $ # % $ %~ # # % ~ $ # ! # % ~ combinadas automáticas e intencionales% > # # % $ $ _ #% W # extensivas e intensivas ! %~ \ % # Y < extensiva%~ # % } r se le llama intensiva%~ #las % # % % Investigaciones completas, incompletas y más que completas, $ ` >! # $ # ! % Son completas %_ } Y ( X %~ ! # # Y # $ de & Z % 21 22 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO Son incompletas # } %* # r # al Y >% ! # % Son más que completas ma error. = # < \ Y % % Investigaciones representativas y no representativas% # # %$ # % ~ f$ # \ # } %_ l } $ #% # # % Investigaciones obligatorias voluntarias%* l Y ! # % # $Y # e # ello. * ! \ dejar % ~ voluntarias l } \ a las # #%~ r lar. = $ $ $ $ % W <correo, entrega personal del cuestionario la entrevistaY <internet, teléfono, fax panel. CAPÍTULO UNO CONCEPTOS GENERALES %* entrevista $ $ < \ \ % < $ $ % La organización%! Y! # % < centralista descentralista. La centralización% ! %~ ! } l i % \ el #%* # l $ en $ % La descentralización%' } # # % $ \ %~ # } # $% El material estadístico $ \ i % \ %= < impreso e instrumental. & % Material impreso%* i % } # $ % ~ < Colectivos. ' # } % el \ % 23 24 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO la \ la % } f % Individuales%' # < $ ! % < # # $ } % Contenido de un formulario. < El encabezamiento < < + _ }* " ' _ & %+\ $% <{% %K% # % # ! <_ } %_ %W$$ i % El cuerpo # %W$ % del Y %' al % ! preguntas particulares % % ! Y % > %_ control, , abiertas, cerradas múltiple o dicotómicas. ~ cerradas Yabiertas Yselección múltiple Y control Y % ~ < Y el Y $$ $ Y % CAPÍTULO UNO CONCEPTOS GENERALES Las observaciones< l \ } # % Las instrucciones< ar % = J al X ! J{X JKX % % \ \ $ > <{KU % %W} ! % ~ # % ~ ! < % ! % Trazado y redacción de los formularios. W > % ~ > < ' sucinto % ' indiscreta % ' ser claro $ % Y % Categoría \ J#X JX % ' juicios personales importancia o la bondad de J >XYJ X% Otros aspectos< % <clase de papel, forma de impresión J X > Y 25 26 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO ! %T % = \ } % Todo formulario antes de imprimirlo, debe ser ensayado con una recolección real de datos. Por la $ > > %= l de las ins} %~ encuesta preliminar o piloto% <material de recolección material de elaboración. Equipos% $ \ \ % $ } $ # J& *=***W* *= %X \ % J # %X % ! # %* ! $ ! %* } %* # $ %~ %!la # \ los $ % El presupuesto de la investigación $ Y < % W # $ " = _ W CAPÍTULO UNO CONCEPTOS GENERALES & % % J X %* %= % W los \ _ # % La preparación%+ _ # $ % \ ! ! # r \ # # ! ! i % # # % % # % W ! la % $ los < } Adiestramiento y elección $ % Ensayo de investigación sobre el terreno% ! % Elección y preparación de la fuente informativa% %* l # % Preparación del material de la encuesta%~ # % Propaganda% ~ i # $ \ 27 28 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO Y ! # i ! # ria. ~ listado de informantes o marco de referencia Y % cartografía % Financiación% ~ $ % ' ! % Z $ < el calendario de trabajo ! Y ` %~formulación de hipótesis Y el examen de la documentación l Y $ \ # Y unidad de investigación, es ! < % ~ # %Z # } J X J # X% RECOLECCIÓN = % ' # %* $ $ $ $ falsas. ~ $ % = %~ } %* $ $ %= <> % * J X CAPÍTULO UNO CONCEPTOS GENERALES l % ~ < ' ~ \ CRÍTICA Y CODIFICACIÓN ' % Y $ ! ! % Es un conjunto de operaciones de revisión y corrección de la información recolectada, que nos permita agruparla y procesarla, de tal manera que nos facilite la elaboración de cuadros, gráficas y análisis, necesarios en la publicación. f } # } Y # < % ~ l } %W$ ! ! % ' # } las % ~ %= < * Casado ^i { 2 3 ' * O ro \ V # % 29 30 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO EJEMPLO A EJEMPLO B CLASIFICACIÓN POR PROFESIÓN CLASIFICACIÓN POR CATEGORÍAS SOCIO-PROFESIONALES W { W W K W J i X ... {= ... K K UW s TABULACIONES O PROCESAMIENTO = $ $< ' . '\ % ' % l $ } % ' listados } l %+ los cuadros análisis de % Z# # # % <*W**=**& & * *= %= $ medidas, $ # % ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN $ $ $ Y $ $ l i % ! $} % r estadígrafos o estimadores, puntuales # parámetros # CAPÍTULO UNO CONCEPTOS GENERALES dispersión y los promedios, incluyendo en éstos los porcentajes y proporciones. % ' \ # < X W$ # r % X W$ ! % i % $ } [% Cómo investigar en educación # $ < {%# X X $ K% X* X $ X * X ~ # X* X * ! U%; # < X X * X $ X * %= < X* > X > X * 31 32 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO X * X* X * X* X # %W$ < X f X X X * $ $ # %; < X* X * X * X $ X~ PUBLICACIÓN % ! $ < = % Z % # > > % = % * $ \ $ % CAPÍTULO UNO CONCEPTOS GENERALES ' $ > $ ! % % \ # % ! $ $ $ % ! % MONOGRAFÍAS Y ENCUESTAS W extensivas e intensivas, \ ! Monografías Encuestas. ~ # _ * !" ~=J{}{KX X_X%* # ~= # moral, % %~ $ # es % # # %' # # \ grande, el \ ! % W # %_ % # ! ! Y %* ## J X # las % El estudio de un sujeto elegido como tipo%+ $ ! % $ $ } # \ ! % < % 33 34 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO %W\ % % $ representativo $Yla % $ $ !% = $$ } % ! $ < l # $ % W # %~ # \ } \ %~ # } # # $ . DIFERENCIAS DE LA ESTADÍSTICA CON LA MONOGRAFÍA ~ # % ~ # % ~ # ! %~ # \ % $ $ $ # #% La Encuesta%= # = $%* # Y! $ } l %' $ % # # %~gene} < %W encuesta. La Encuesta # !} # \ # % \ ! Y # # % W < privadas y públicas, \ parlamentarias y estadísticas. CAPÍTULO UNO CONCEPTOS GENERALES ~ privadas # } \ %* # %~ # el % ~ públicas , en parlamentarias estadísticas } $ $ %W#el W %= } man. ~ # ! %* } ## % ~ # % } <orales escritos. ~ %~ # % ~ \ % } ! % ! ! J X } % ~ # # } %= % ~ # } > # la \ % EJERCICIOS PARA RESOLVER ~ # Sistema de Información en Línea SIL. {%$ ! # K% ! ! 35 36 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO U% _ # % %& # # % %= !\ # $ % ' # # % |%' # % % ~ # % % V%*> $ % V%{+ < a) P>% X; % X_ >% XGrande. X_ % V%K ~ < X* % X % X % X % V%U+ !< X\ $ % X\ {%% X\ $ % X\ $ % {% \< X ~ # # % X ~ # # % XW $ # % X * % X + ! % CAPÍTULO UNO CONCEPTOS GENERALES {{%*> $ < {{%{~ < X % X % X' % X % {{%KW # X % X % X % X % {{%U < X_ % X& % X& % X _ % {{% > $ # < XW $ # % X $ % X W $$ # % X % {K% \< X X ' ! % % X W $ % X* ! % e) Al > ! % X % X # \ ! % {U% * Y %$ = # # # {% & ! > % {%+ # < X* X= X` % X XT % 37 38 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO {%+ < X % X= % XW !% X % X' % {|%= < X+ % X+ % X+ % X + # \% X % {% # < X= $ % X % X # % X^ % X= % {V%' # $< X~ % X~ % X~ % X~ % X~ % K%~ # < X= % X* % X' % X~ $$ % X $ % K{%* verdadero $ % $ subrayada % X= $ # población. X # cuantitativas. X~ # descriptiva, # % X + diferente al ser % e) La inferencia, $ $ % KK% % X " % CAPÍTULO UNO CONCEPTOS GENERALES X& % XZ # % KU% JUX $ Y$ Y$ Y$ # Y$ Y$ X* U %~ <{U #Y# V Y | Y % X # %~ ! \ ! # < Y| V Y % Y % X >{K> K > { ># lW *.A. K%' < X= $ X W X = X & K%! < X # X " # X # X X & X # X" # X+ X= X #% Síntesis de capítulo ! estadística estadísticasY ! $ $ $ % ~ # <X $ descriptivo # X inferencia # o $ % * ! # # < % * # < X 39 40 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO YX YX % ! # # Y \ \ < Y Y Y Y Y % # < " Y Y Y % * # Y $ < Y # Y Y $Y Y Y J # X% % % + < Fijar los ! # % ' % * ! % % ' > %' > % * %Z % % CAPÍTULO UNO CONCEPTOS GENERALES ' % ^ \ % % ~ \ < $ % # % * $ % $% W$ % = % ~ # # ! %W## # $ ! $ % $ % = ! # # # % %^ ! < ! ! % # $ % ~ > # \ ! %* ! $ # el ! # $ % 41 CAPÍTULO UNO CONCEPTOS GENERALES 2 Distribuciones de frecuencias formar los hombres capaces de hacer cosas nuevas y no de repetir simplemente lo que otras generaciones han hecho. Jean Piaget CONTENIDO % $ # # % $ % ; $% *# # % ; en el Sistema de Información en Línea SIL. COMPETENCIAS $ < * $ % W ! % = $ ' $% 43 44 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO GENERALIDADES La distribución de frecuencias! % ! $ \ % * $ ! $% Por población o universo, } # # \ ! % ! } %~ unidad o elemento características. investigación exhaustiva%* investigación parcial o muestra. La muestra, azar % * \ # \% ~ elementos cualitativos o cuantitativos~ ! atributos Y < Y % ~ cuantitativos denominados variables # \ % < \ % ~ discretas y continuas. $ $ % Las variables discretas ! % <\ $ $ Y\ % Las variables continuas! ! } % < # Y } % Nota< * $ > ! $ $ # # % CAPÍTULO DOS DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS ELABORACIÓN DE TABLA DE FRECUENCIAS VARIABLE DISCRETA W # % n = n = > % N = N = > % Xi = xi = _ % J \ X fi = ni = " % fi n / = hi = " Fi = Ni = " % Hi = Hi = " Xi = yi = _ % X’i -{ - X’i = i % % y’i -{ - y’i = _ % = m c = W m = \ % Se ha considerado conveniente presentar las dos simbologías más utilizadas en los textos de Estadística, de tal manera que el estudiante pueda consultar o aplicar indistintamente cualquiera de ellas. Ejemplo 1.* K% \ %= } K% >U %NK%nU ~ %* { U\ # < } {= 3 2 = 2 3 = 2 = 3 = 3 |{ { 9 {{ {{= 3 {K= 3 {U { {= 3 {= 2 {| {= 2 {V K= 2 K{ 22 23 K{ K= 3 K K|= 2 K= 3 29{ U= 2 $ } namos datos originales o no ordenados% $ > # %= U } KK% Y tabulación o procesamiento de datos. 45 46 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO \ } {KU% ! JX J{KUXY $ frecuencias o frecuencias absolutas. * } I-I-I-I I-I-I-I I-I-I-I III ${ K%{ $ $ W+~W_ IIIIIIIIIIIIIIIIIIII% ! &; &; '=_W* 'W[W* ##<IZI A IIII I IZIIZI I–I {% { I-I-I-I IZI 2 | I-I-I-I II IZI I– 3 I-I-I-I III IZI I–I I-I-I-I I IZI I U U U {K%{ } U} Y Y | Y Y % * ! {U # {| #YKUY K| YK } < K%U ' } K%K K|V% K%K' &; '=_W* '"+*W* { 3 { CAPÍTULO DOS DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS ~ < Las frecuencias absolutas acumuladas $ $ %* #< V V|{ {K KU = f1 = F1 + f2 = F2 + f3 = F3 + f4 = F4 + f5 {U {U{|U UKUU UK| K{ Ejemplo 2. %K%U < Solución 2 9 U K| VARIABLE CONTINUA Ejemplo 3. U Y % x3V 47 48 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO $ # % <Vmin|%~ $ # % |% $#; V|| _ #<m = número de intervalos y C = amplitud del intervalo = i m < +\ { m { m { &! * m{UUn ' % W m m =w log n $ m < } \ %* \ {%W {% $m{UUUKVz m%~ % * % C o i $ %= } $< i =C = Rango m ; < | I |U% * \ > %* C | |{ %* \ > % CAPÍTULO DOS DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS = m C = i C= X $ X #V| || C= = |U i |Uz m * C >! Y\ C $ %~ } # # % | # C % %* y’i { y’i X’i { X’i %W y’i { X’i { # yi’ Xi’ # Y # C i % $ % ~ $ < K% Distribución de frecuencias - variable continua y’i ni hi Ni Hi yi y’i ni { 3 { 3 { {K K 9 U K{| K| {| | |{| K 23 || | |{ {U K| V K {V 3 { U { V y’ { y’{ 2 y’2 3 y’3 y’ y’ U { } y1 y2 y3 y4 y5 y6 } X’!"i fi fi ni X1 X’!"i fi / Fi Hi # { $ #$ xi %El 0,1 se omitirá para el cálculo de las marcas de clase y de los diferentes estadígrafos o medidas que se requiera calcular. < 49 50 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO K% } W+~W_ y’i ni A { 3 I–I III {K IZI I I-I-I-I I K{| IZI I–I I-I-I-I III |{| IZI I I-I-I-I I |{ I III {V 3 I–I U U III U Las marcas de clase U < X* < X* ! # % X* # # % Nota: ! $ $ < CAPÍTULO DOS DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS K% W ' ! < Propiedades de las frecuencias ~ % ~ n. ~ % ~ { \ n. 51 52 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO \ {% Ejemplo 3. % _ # #%%*> % Solución: % + J X = J X % ^ ^ %W {% = K% % # U% _ {% = J X K% % # $ % U% _ % {% = Y Y K% % # $ \ U% _ % {% % K% % % U% % % % % {% _ 2. Peso en Kg. U% ~ % {% % K% \ + % U% % Ejemplo 4. > A X V J X% Solución: %' %' %' % %' % %' % JA) JA) JV) JV) JA) Ejemplo 5. *>C D % J } CAPÍTULO DOS DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS Solución: %' %' %' \ %' % JC) JC) JD) JC) Ejemplo 6. ~ <“Una vez recolectados los datos en forma ordenada, es necesario presentarlos en forma tal que se facilite su comprensión y su posterior análisis y utilización. # $ % discreta mediante diagramas de frecuencias, tanto para absolutas o relativas”. % " JniX\\ Jrrll X% xK| x{K % \ %! x % %! y2 n % W$ ! n2 % ! h2 h y| n| h| % % = y xU x2 JHiX JNi). h > h|J X%!H < H| Solución: x{U x2 U % x{ = 3 x2 = 3 x3 {K x = 3 x x = 2 x| x x9 = 2 x{ = 9 x{{ {K x{K = 2 x{U x{ = 3 x{ = 3 x{ = 2 x{| x{ = 2 x{V {{ xK { X x = 3 xK| = 3 x{K = 2 X y2 = 2 = X2 y X y| X | d) n2 {{ f 2 n = 3 = f n| | f | e) h2 KK a) / f2 n KK xK{ = 2 x22 = 9 x23 xK{ xK{{ xK xK| = 3 xK = 2 x29| xU = 2 xU{ | x32 = 9 x33 { xU xU = 2 xU {{ xU| = 2 xU x39 x xU h / f n x{ xK xU = 9 x = 2 x {{ x x| x = 9 xV { x = 9 yi ni hi Ni Hi { 2 3 | 9 {{ {K {{ 3 2 | 2 KK {K { { {K { { K{ K 29 U{ U } U K K | V { } Xi fi fi n / Fi Ni/n x2 = 3 h| { / f | n { 53 54 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO X h > h| h| > h = $H < H| $ H > H| EJERCICIOS PARA RESOLVER ~ # Sistema de Información en Línea SIL. {% \ < KK||K|| % <ni h i N i y Hi . K% '! >X % a. HUNUnn %= # } % %\ \ % d. Si H|HU Y Y. %Z{{ZU %~ {% Falso ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) U% ; ! % % yi ni Hi { {K K } UK U } } } } } } Xi fi Fi n / * ` { %~ <&#{ Y* YW#K{ Y {| Y K{ Y Y {U % X $ X$ > X ! $ X$ # X $ # X % X $£ X \ CAPÍTULO DOS DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS % +$ %* U > { %~ U > < K|{||U||||K|K| ~ \ >{K> * & % X$ X$ X$ # X~ # X$ X! X X= ! { % !% |% % V% ' # % % X W J %X% X ~ # U % X \ % X % X = % X ~ > % X ~ > % ! < X' X" X^ X" + U \ JX# < U|{{U{|{{KU{K{ % {% Y # % 55 56 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO {{%' %= ! % \ # % % ~ > % % {K% ! % {U% ~ J # X =$ < * % {% ~ J X \ K{{%' < * % {% + ; < U UY |Y {Y {Y| VY amas. X$ X$ X$ # X ' # % X ' % {% \ %~ <{ U YU | YV { Y K Y Y Y % X $ X$ CAPÍTULO DOS DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS X X$ X < y3 n2 H f2 X3 h F n f n {|% J ¤X < || |V | | V K V U V | | { | | U | |U U V U { U{ U { V V U | m <m{UUn ' < y3 y H NC X3 X F n F i {% < y2 = 22 n{ y’ n{ = n c n2 = n = n{ m n3 = nU X2 = 22 n{ X’ f{ = f i f2 = f = f{ m f3 = fU % {V% *\ * m {UUn$ # < a) n XnK Xn{% X ~ # % K% ! < X' \ XK X{K K{% < X ~ X~ { X* ¥h{¥{ X\ ! % KK% ' < a) m h{K hK X H =K H{K h Xm Hh = H H2 H3H{V 57 58 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO KU% {! < X * K X_ U X { RECOMENDACIONES EN LA ELABORACIÓN DE CUADROS O TABLAS PARA INFORMES ~ $ medidas de posición, dispersión, asimetríaapuntamiento $ # % W # } % $ % # <!$% # \ # \% % #% # ! % = % $ # $ % * $ # $ ! \ \% $ ¦ # &WH*+~W* &WH*+~W* s &WH*+~W* \ \ \ s Pie ^ % CAPÍTULO DOS DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS ~ # < Z! {%' s K%' s * s Z ! ~ < X X X` $% X~ texto o textual Y # % % X~cuadros o tablas $ %~ % ELABORACIÓN DE GRÁFICAS Z # ! } # medio de % W ! $% ~ $$ % ~ $ % ~ $ % ~ $ % ~ $ $ % ~ $ % ~ $ # $ $ % * $ $ $ % 59 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO $ # %~ ## % ~ # $ % ~# J X % ~ # J X% # ~ %~ % $ $ # $ % $ Y $ # % Z $ <! # # diagramas de frecuencias y de dispersión, los histogramas, polígonos y ojivas% $ $ % & res, de barras, de líneas, pictogramas, cartogramas muchas más. GRÁFICAS APLICADAS AL DESARROLLO DE LA TEORÍA ESTADÍSTICA Diagramas de frecuencias.* %* # % diagramas de frecuencias. Ejemplo 1% K%{ " K%{ Diagrama de frecuencias absolutas Diagrama de frecuencias absolutas acumuladas 8 7 6 Frecuencias absolutas acumuladas Frecuencias absolutas 60 5 4 3 2 1 0 1 2 3 No. de hijos 4 yi 30 25 20 15 10 5 0 1 2 3 No. de hijos 4 yi CAPÍTULO DOS DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS Histograma.* $ $ % ~ $ } histogramas de frecuencias% > $ \ $J" %K%KX%* $ > % $ J" %K%UX >%= $ < n W = i Ci J^ K% K%{X $$ < " K%K K% y’i-1 – y’i ni hi Ni Hi {} 3 { 3 { {}K K 9 U K{}| K| {| | |{}| K 23 || |{} {U K| V {}V 3 { U { U } { } X’i-1 - X’i fi fi n / Fi Fi n Z 8 7 6 5 4 3 2 1 / 0 46 54 62 70 78 86 94 " K%U K%V $ EDAD (AÑOS) No. OBREROS {{}K K{}K | K{}U{ 32 U{{} K 160 Z 60 40 20 0 16 19 22 25 28 31 (Edad - años) 34 37 40 ’−1 − ’ 61 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO " K% K%{ $Z AMPLITUD FRECUENCIAS ALTURA Ci ni ni / Ci 9 {{ 3 | { 3 32 { 9 K K i fi fi/i ’−1 − ’ 0 16 19 22 25 28 31 34 37 40 (Edad - años) Ojiva.~ $ } !ojiva ascendente. Para Y #%J" K%X% = $ polígono de frecuencias % " K% 30 Frecuencias 25 20 15 10 5 ’−1 − ’ 0 46 54 62 70 78 86 94 Polígono de frecuencias% # %* } $ } nemos el polígono de frecuenciasJ %K% K%|X% " K% " K%| =# =#Z n n 8 8 7 7 6 6 Frecuencias Frecuencias 62 5 4 5 4 3 3 2 2 1 1 ’−1 − ’ 0 46 54 62 70 78 86 94 ’−1 − ’ 0 46 54 62 70 78 86 94 CAPÍTULO DOS DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS EJERCICIOS PARA RESOLVER ~ # Sistema de Información en Línea SIL. K%; < aX W $ ordenada. X # % X $ # $ % X* $ $ % K% %V % K% %{U % K|% %{ % K% %{ % KV% # < U% ! < X& X^ X_ XZ X=# X W % U{% % * < X X $ V ¤ X # % UK% ~ J ¤X < 63 64 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO X * % X # % UU% J X < % APLICACIONES DE LA FUNCIÓN EXCEL EN LA ELABORACIÓN DE TABLAS O CUADROS W } % { J *_~< W # } X% = & &{ # ~W* JX } {KU < " %{%+ ' CAPÍTULO DOS DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS ` $ % { *_~ % Z W«~_*_*''W* W«~_*_*'W*%* W«~_*_* ' 'W* $ ~_ =_* ]~ &=~&* ~_ _;% W $ Z;;W&_W* =W;WW«~_*_* ~_W=W;% #W«~_*_*''W* $ < " %K%* W$ ' " %U% Z 65 66 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO \ ' %{ Z_*`;W&W% $ Z_*`;W&W < ;W`';W'W 'U<'K ;W` ' ~W** &|<&{J %{X ;W`'*W~_'W ~_# % {| $ % * $ $]~ Z_*`;W&W $W;;W*%= $ ;W;`;«"_% " ~_W=W;% " %%' Z % + ~_ W=W;Y $ {| K| $ ;W;`;«"_% W W~W'";+_W* > Z_*`;W&W `;«"_W'W;;W*% CAPÍTULO DOS DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS " %%; Z % ~ % ` ${%Z Nota: J{X ~ # $ $ '_W`;W&W ' ";+_W* =;+W~* > ~_ =;W[ W+&+~W'% JKX \ % 67 68 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO JUX Z_*`;W&W $ %* $ $ *;_* J"_~W*XJ~+&W*X % GRÁFICAS UTILIZADAS EN LA PRESENTACIÓN DE INFORMES ~ $ +W'; %W $ $ !X +W';% El EX~ `;«"_* ! < COLUMNAS; BARRAS; LINEAL; CIRCULAR; DISPERSIÓN; ÁREAS; ANILLOS RADIAL; SUPERFICIE; BURBUJAS; COTIZACIONES ' JX$ % Ejemplo 1.= `;«"_W J X #%{ } % K%{%W ] J K{{X "W+~W' W # ' # _ # = # Total &;'W~+&* {%K | {%U 5.100 {V {{| KUU {U|U KV V 100,00 ' $]~ J X % W ~'W* +~*;+~*% <Facultades y Número de alumnos. = ~_ > `;«"_*_*;W;% + $ $ `;«"_* $ \ CAPÍTULO DOS DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS " %%_ ` $% ~ "_~W*~+&W*%' Y WK<% * _='`;«"_ ~_!% $ ~+&W* '_*®* J{VX % ' ! $ Z;;W&_W*'`;«"_ >'_*®=;*W_ ";&W%' # $ # $ % W`;`W;+_W; % $ % Z[W +^W< & $ Z[W ' `;«"_ ~_ $ > '_*® +_W_YZ~_&^;`;«"_ Z[W+^W% [ [ $% $ {K% ~ < 69 70 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO " %|%` $ " %% ` $ CAPÍTULO DOS DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS " $ ~_$ $ =_W; < GRÁFICO CIRCULAR O PASTEL $_;+~W; JX # JX W;_+*+W~_W_^* $W;;W* #{ % ^ $ # } ${ # $ # % %^$< $ % W ~'W* &;'W~+&*% +~* "W+~W'* _*;W; ~_ >`;«"_* $% * _;+~W; *+_= ' `;«"_% JX ~_W=W; '# `;«"_'W;;W* < 71 72 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO " %V%_ ` $% * Z[W +^W `;«"_W % " %{%; * " %{%; * CAPÍTULO DOS DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS " %{{% = * _+W ' 'W* #% W~+&* % " $ ! % " %{K%` $ Z % 73 74 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO ` $%U%` $ % GRÁFICO DE LÍNEAS * *;_*'_&=*;_*;~`_W* _&= JXX J> # %X JHX =;'+_J ¤X²*J ¤X%; horizontal o abscisa variable tiempo JHXproducción y/o costo. K%K= J ¤X ] AÑOS K K K K| K KV K{ PRODUCCIÓN (ciento mill $) K U U K | |K | COSTO (ciento mill $) {{ K { K U { K + ]~ =;'+_** $% _*;W;~_ ` $ $ ~ W*% W $ JX J|X % CAPÍTULO DOS DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS " %{U%_ ` $% Nota:_ W®* $ \ Z;;W&_W* ' `;«"_ > '_*® *~_W;'W* " %{%; * 75 76 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO _+W*'~[Z;_W~ *~_W; ;_`''W* '_W; W®*% " %{%* ' % " %{%* W> ]%J= W %X CAPÍTULO DOS DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS " %{|%# ` $%J= W X% " > % " %{%; ` $~#% ~ $ ! % 77 78 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO ` $U%` $~#% NUBE DE PUNTOS O DIAGRAMAS DE DISPERSIÓN $ W«~_*_*';`;*_J # {X $ $ J # X$ % K%K J $ V|X =;'+_* $% $_*;W;`;«"_ ]H '_*=;*_~_ J{X*+_='`;«"_ % " %{V%_ ` $% CAPÍTULO DOS DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS ' < " %K%* ; % W # $ < " %K{%_ # ` $% 79 80 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO ` $%%` $' ]H OTRAS GRÁFICAS (NO SE ENCUENTRAN EN EL PROGRAMA EXCEL) CAPÍTULO DOS DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS Pictogramas NÚMERO DE COOPERATIVAS 06 LÍNEA DE ACTIVIDAD Cartogramas 11 81 82 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO $ $ Y escala aritmética J X Y escala logarítmica los # % # # #Y Y # # VK {K { % $ escala aritméticaJ X en la logarítmica \ % $ # ! % = $semilogarítmico < X * $ # $ # J X% X * $ # % X * $ # $ $ % X * # J²X% X & $ % X ~ J # X % X~ # J X% $ # ! J X $ # % # Y % CAPÍTULO DOS DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS * ! $ # ! ! $ # $ % $ } ! ! KU } % ~ $ ` $ % = # $ < ~ # $ # % J $ X \ % = % J %^%X } $ \ \ $ % % ^ > > < % J X $ a3 % $ 33 , Y $² $ > $ ²{K3Y ¤ ² $ > $²3%' $ < 83 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO ` $W ` $ 110 110 100 100 90 90 80 80 Precios (miles $) Precios (miles $) $ > $ \ % 70 60 50 40 70 60 50 40 30 30 20 20 10 10 0 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 Años 0 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 Años * `;«"_W \ > >K{{ % $ $ % ` $ 110 Precios (miles $) 84 100 ^ } # } %~ $ % 90 80 2005 2006 2007 2008 2009 Años 2010 2011 CAPÍTULO DOS DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS EJERCICIOS PARA RESOLVER ~ # Sistema de Información en Línea SIL. U% # %* $ % X + % X % X # #% X $ $ % X $ >#W % X ~ # % U% J¤X J; & XKK < Depreciación ¤KU Seguros Mantenimiento K{K Parqueadero U Gasolina Impuestos U| ¤{ $ U%! $ U|%; ¤ < AÑOS 2006 2007 2008 2009 2010 2011 yi K% {% % {%K % %KU U% ; ¤ < AÑOS 2007 2008 2009 2010 2011 yi {K { | K K xi { {| { K K UV% = % * $ < OPINIÓN W CONGRESO % KKK ||| PRESIDENTE % UK { { { 85 86 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO % $ % AÑOS 2007 2008 2009 2010 2011 = J %X U | | |K ^ J %X K U K {% < y’ {i’ ni {K K{UK UK{U U{ {K U K { 22 { {{ * < X+ X+ # K% * # # < 2010 2011 VARIACIÓN % 2010 – 2011 ¤{K%% ¤{{%U% V {%|% {%{% UKV K% U% {%K% {%% K U% {% U| ARTÍCULOS ^#JX W $ J X < U% %* { > %~ < ' * $ ; { V{ { KK{ < X + $ X + $ X + $ % ~ J X U % K U K { K 32 { K { K { U K K U U { { K K { V { K 32 { K CAPÍTULO DOS DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS * < X+ XZ # $% % + >#] KJ X% VARIABLE ^ 2006 {V%{{ {%|| 2007 {% {K%V 2008 {U%U {%K| 2009 K{%U {%| 2010 K|%UK K%V 2011 U%K K%UK * < X % XZ# $ % % % yi : ni: 2 | { { { l2 |% +! #< K Y YU Y Y{{ #%* { < X+ $ X+ $ % % ~ {\ J>X < 2 3 2 3 2 3 2 2 3 { 2 3 | 2 2 { 3 2 2 3 3 3 { * % V% ~ U { < U K { { K { V{ |K |U 39 K { | | 93 K | { V |K $ J # X% % + J X J> X < 87 88 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO ALMACENES MAÑANA (9 – 1) TARDE (1 – 5) NOCHE (5 – 10) KK U UU K U UK UV { 32,9 K ^ JKX $ $ # {% J ¤X ># $ % # AÑOS 2007 2008 2009 2010 2011 ^ = K U U | K | { U K% + {K $% DEPORTES ALUMNOS W {U | ! K U K Tenis U% ' # % Síntesis de capítulo '$ cuadros o tablas, %{ # % + cuadro Y > % CAPÍTULO DOS DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS \ al cuadro % La ! > $ % # $ { # # <diagramas Yhistogramas, polígonosojivas % $ pictogramas, barras, cartogramas % # % 89 CAPÍTULO UNO CONCEPTOS GENERALES 3 Medidas de posición y de tendencia central Los sabios son los que buscan sabiduría: los necios piensan ya haberla encontrado. Napoleón Bonaparte CONTENIDO ! generales. " } = <& & & & ! W } $ \ % ' = % *# + % ; en el Sistema de Información en Línea SIL. COMPETENCIAS $ < % % * % 91 92 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO ASPECTOS GENERALES # estadística # descriptiva ! $ medidas de posición dispersión % Las medidas de posición o de tendencia central, !promedios } # % # } madores o estadígrafos% # parámetros o valores estadísticos % * % Y ! % ' ² # $ $ $$ % CARACTERÍSTICAS, USO, VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE POSICIÓN. +promedio ] # % W < ' % ' % ' $ % $ \ # $ % ' $ % ' ! CAPÍTULO TRES MEDIDAS DE POSICIÓN Y DE TENDENCIA CENTRAL ! # % W ! % ' # % ' $ $ $ % El promedio ! %* # %~ # media aritmética. MEDIA ARITMÉTICA: X = Es la medida de posición o promedio$ $ %* ! > Ventajas El promedio aritmético # $ $ % # ! n {²n % $ $ de tendencia central o de posición\ < { K ! $K % ! % % $ $ $ !% Desventajas > \ $ # % ! promedio aritmético, la medianamodo ! \ % 93 94 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO + Y! % # % a ay ax M[x] M[y] x y M[x] *suma de todos los valores observados, divididos por el número total de observaciones' % Media aritmética simple * < Ejemplo 1%W ! {+ K U \ $< Ejemplo 2%W J K+ KX U % % Media aritmética ponderada. * tabla de frecuencias, %% Ejemplo 3%* { <KKKK% ~ ! $< W ! { } $ % CAPÍTULO TRES MEDIDAS DE POSICIÓN Y DE TENDENCIA CENTRAL ; # < !* } Ejemplo 4. U $ ! $ < U Ejemplo 5.W $ ! % * % Cálculo de la Media, utilizando Frecuencias Relativas ! $ < 95 96 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO Ejemplo 6. JK%{ K%X ! # # % DESVIACIONES * Desviaciones con respecto a la media aritmética ! datos sin agrupardatos agrupados Zi o di Ejemplo 7.= <{ {KK% % Ejemplo 8.* JK%{X KKU $< CAPÍTULO TRES MEDIDAS DE POSICIÓN Y DE TENDENCIA CENTRAL Ejemplo 9. = $ %~ ! K%KVU% PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA * & ! # # $% a) La suma de las desviaciones respecto a la media, siempre serán iguales a cero. Aplicación Nota: * \ # { KKUUUU % b) La media aritmética de una variable por una constante, es igual a la constante por la media aritmética de la variable. Aplicación 97 98 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO ~ $¶ ! % c) La media aritmética de una constante es igual a la constante %* $ JX J= X d) La media aritmética de una variable más una constante, es igual a la media aritmética de la variable. $ Aplicación e) La media aritmética de la suma de dos variables, es igual a la suma de las dos medias correspondiente a las dos variables.W $ % f) La media aritmética de dos muestras, es igual, a la media ponderada de las submuestras, siendo sus ponderaciones los tamaños de esas submuestras. Aplicación Muestra Submuestra 1 Submuestra 2 CAPÍTULO TRES MEDIDAS DE POSICIÓN Y DE TENDENCIA CENTRAL Muestra Submuestra 1 Submuestra 2 EJERCICIOS PARA RESOLVER ~ # Sistema de Información en Línea SIL. {% ! ! ! % Xi yi < { K U fi ni < { { { K% * < X ! % X % X ! % X % U% < X ' %~ % X + & Y %$ % % % * | #KK #} { #% % ' {| { %* {K $ 99 100 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO |% + K {V # {U # {|U # %$ % * $ V%~ _ |U __U%* K| _%$ __ V% ! K # # %* #K %$ \ {% + { % %* {U $ {{% # V{ VU%~ {K |K % * U {K # \ U # {%$ U {K% ~ ! ¤VK%% ~ ! ¤V|%¤%%' % {U% W ¤VU% K{% = > ¤|%%W %$ {% W|{K%* |$ \ W {% U {|>{ KK$ %$ % {% #¤{%| # ¤{|%¤{V%|$ # {|% * $ {V {|%~ # { K {V { {| %$ {%'{ ! < X ! ¤UKK|KUJ& X% X ¤U X~ CAPÍTULO TRES MEDIDAS DE POSICIÓN Y DE TENDENCIA CENTRAL * U % {V% ~ % J& X % | %~[ ¤V% % * ! $ ! \ % # K% ' ciertas o falsas % K{% *> <X %~K U %~ $V%X* H6|H3U y6 y4X #¤U% ¤|% ¤% ¤|%%X= ! %X| \ {% KK %X* K ! ! % KK% cierto o falso <X~ %X+ $ ! %X= # % KU% + Y ! <{ Y U U Y { Y | Y { Y V % X$ X$ X$ X! X$ X $ % K ¤%% <X YX $ ¤K% %$ K% ¤K%% ¤U%Y U#%$ $ 101 102 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO K% +! # # %* > J& ¤X # < * <X~ ! %X~ %X$ $ = ! K|% + \ # %' > < ' # >% K% ' $ {K % ¤K%%* $ ¤% $ %$ $ KV% + ! ¤V%% ~ ¤|K%|U ¤{%|%% $ $ ! U% %~ ¤VK% ¤|% $ \ %* $ ! ¤V%$ { !% U{% + J& ¤X% ¤ |U { |{ | ~ { {$ ¤K%%$ $ UK% % X! ! CAPÍTULO TRES MEDIDAS DE POSICIÓN Y DE TENDENCIA CENTRAL X! ! X* ! = ! ! UU% + $#< ¤K%Y{%K¤%Y¤{%²K%¤²%X$ X$ U% W # \ <UY{YUKYUY%X$ XW \ YUKYYKYUY{$ MEDIANA ME ! Mediamedida de tendencia central%* # $ < *aquel valor de la variable que supera a no más de la mitad de las observaciones, al mismo tiempo, es superado por no más de la mitad de las observaciones” %* Me Ventajas # \ ! % ~ $% muestreo ! % Z \ tendencia central es la mediana $ Desventajas media aritmética. * % $ ! $ % ! % 103 104 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO Cálculo en datos sin agrupar u originales a) Número impar de observaciones.! % Ejemplo 1%* <x{=2 x2{ x3 x{K impar n < K{K{ La mediana $ Me XNúmero par de observaciones.W \ % $ % Ejemplo 2.* #< Y $ } < Cálculo en datos agrupados o en tablas de frecuencias ^ % Variable discreta Variable continua CAPÍTULO TRES MEDIDAS DE POSICIÓN Y DE TENDENCIA CENTRAL Pasos a seguir en el cálculo de la Mediana Variable discreta Ejemplo 3 mediana KU K% ! ! % { { { { { K K K K K K U U U U U U U U La mediana {£{£ K { { { { { K K K K K 2 2 U U U U U U U Mediana ' <^ Pasos a seguir en el cálculo de la mediana en la Variable continua ' <^ 105 106 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO W # $ Pasos a seguir en el cálculo de la Mediana X % X~ n²K% X % * Nj{ Nj% $ Nj{ Nj. X n²K Nj{(Nj{ = n²KXY $Nj{ < n²K% % CAPÍTULO TRES MEDIDAS DE POSICIÓN Y DE TENDENCIA CENTRAL 107 MODO – MODA O VALOR MODAL MD * “el valor de la variable que más se repite” o “aquel valor que presenta la máxima frecuencia”%= dos Modas es Bimodal$ plurimodal o multimodal%\ # % Modo, Moda o valor Modal \ $ %* {%V ¶ = % Desventajas modo medida de tendencia central% asimétrica Modo$ modo aritmético modo. En series plurimodales % * % Ventajas * $ % % % % Datos sin agrupar u originales Ejemplo 1. <{{{{K{K %n{ Media → x = ∑ x = 90 = 9 i 10 n Mediana → Ordenamos los datos de mayor a menor o de menor a mayor 5 5 5 5 8 10 10 12 12 18 Me n + 1 10 + 1 a = = 5, 5 La mediana se encuentra entre la 5 a y la 6a observación 2 2 x j −1 + x j 8 + 10 Me = Me = Siendo: =9 2 2 Moda → Corresponderá a 5, siendo el valor de la variable que más se repite → M d = x j = 5 Posición: 108 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO Ejemplo 2. JUX % Caso 1 { {K { {K {K 8 ≅ 9, 6 9 Mediana → Ordenamos los datos de mayor a menoor o de menor a mayor Media → x = Posición: Moda → n +1 9 +1 = = 5a 2 2 5 5 5 8 10 12 12 12 18 ncontramos en esta serie de 9 datos, que el 5 y el 12 se repiten veces n mero mayor de repetición por lo tanto ayy dos modas y en este caso se dice que es bimodal. Si ay mas de dos modas se abla de Plurimodal o Multimodal. Md = 5 y M d = 12 Caso 2 {U {K { {K { {{ 80 =8 10 Mediana → Ordenamos los datos de mayor a menor o de menor a mayor 10 + 11 = 10, 5 Me = 2 Moda → No hay, dado que ninguno de los valores de la variable se repite más de una vez. Media → x = Datos agrupados Moda $ a %Z % a) Variable discreta X Variable continua CAPÍTULO TRES MEDIDAS DE POSICIÓN Y DE TENDENCIA CENTRAL $ $ &% ~ nj, nj{ } nj{. Modo nj{$ <nj{. nj{<nj <nj{ Modo > % \ & $ % a) X X d) Z & } %W %= < } ni/ci } & $ JyiX% $< Md = yJU Relación entre la Media, Mediana y el Modo. * % Mx = Me = Md Mx <Me <Md Mx >Me >Md 109 110 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO # & # % ! # #% W < Md = Mx – 3(Mx – Md ) EJERCICIOS PARA RESOLVER ~ # Sistema de Información en Línea SIL. U% \ %JnKX U% ! < %JnX U|% \ <K% K% U% U%K % % % |% %X~ X& X& X! X$ $ U% ~| < * % UV% + $ J ²X < % <* KV ² % > \ < CAPÍTULO TRES MEDIDAS DE POSICIÓN Y DE TENDENCIA CENTRAL {% & #% K% # #$ % a) Me | Md X | Me | Md | X Me | Md X | Me | Md U% $ \ %$ XX|XUU{U % < X~ ! % X~ % % % + {K + ¤<{%|K|{%V|K%{ |K{|K% $ = ! |% * $ < U Me = UKY Md KU $ # <X X~ $ > ! 111 112 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO % + \ V ! <|VU{|K|$ V% * J X $ JX $ J}X* #$ #<{K}{}{K}{}}{% % % % MEDIA GEOMÉTRICA MG MO G * # $ Media aritmética.* ! $ ! # % La Media geométricamo “la raíz enésima del producto de los valores que toma la variable” ·productoria # #% Ventajas * # $ % * > % % * % * $ ! % * # ! % Desventajas $% * $ % * $ % CAPÍTULO TRES MEDIDAS DE POSICIÓN Y DE TENDENCIA CENTRAL Cálculo en datos sin agrupar. Ejemplo 1.* JnX <xi <K%* ! Solución: <X* $ # %X* $ $ # %X*# n $ $% " %^ < ; $ M = anti % Cálculo en datos agrupados. Ejemplo 2. Ejemplo 3. 113 114 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO Ejemplo 4.~ ! U\ ! M = * \ % . Solución: J \ { X Ejemplo 5.* # {VV| {K K{{%$ $ J X # & Ejemplo 6.* ¤% K K%%* # U{ K%U{ K{{% Solución: MEDIA ARMÓNICA: MH M{ $ %^ > ! % * <dada una serie de datos, el inverso de la media armónica, es igual a la media aritmética del inverso de los valores de la variable. CAPÍTULO TRES MEDIDAS DE POSICIÓN Y DE TENDENCIA CENTRAL Ventajas * $ % ' $ % Desventajas % $ # $ $ % Datos no agrupados Ejemplo 1.* { < xi K K K K % * ! $ < M–{<Mx Datos agrupados Ejemplo 2% variable discreta & $< {}^W;_W~'_*;W K}^W;_W~_+W ~ } ! % " 115 116 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO H media armónica la velocidad media %* < Si = Vi ti Si= espacio Vi= velocidad ti= tiempo Vm= velocidad media Ejemplo 3. { % % % %$ $ Solución: A continuación veremos una forma errónea en la aplicación de la media aritmética. En este caso en particular, debe aplicarse la media armónica Ejemplo 4. + {K {K %+ {K #%* K % Solución: * ! # * {#J{K²{K{X } |#J{K²|XYK #{|#Y {| } #{ # K K & < ~ } % \ { } {|# # K # K % CAPÍTULO TRES MEDIDAS DE POSICIÓN Y DE TENDENCIA CENTRAL EJERCICIOS PARA RESOLVER ~ # Sistema de Información en Línea SIL. {% ! < K Z ! ! < U{UKKV $ ! U% <K{KK X ! ! % M{ > M > M { X % $ < M{ > Me > M d o M{ < Me < M d % ~ J ¤X K{{ < y’| n{ N2 K n3 K y{U X{U X’| f{ F2 K f3 K * ! ! % % + %~ {K Y {K{ YK %W! | % + V%* \ K U % |% + #%' K \ # %$ % + W W % V% ~ W #%+ WU W %' % % ' {U < U | {U 117 118 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO K\ V%Z % {% * $ K% + { { Y { { #% * K % U% + Y < * \ %~ U % ~ ¤{%\ % X $ \ X $ % %* < y2 nl N2K n3K yK % * {{ $ % + ¤{% %' > %* > ¤{%K ¤{%¤U%%$ # |% < * % MEDIA CUADRÁTICA: M2 * % %~ $ # $ % # ! % * la raíz cuadrada de la media aritmética, de los cuadrados de los valores que toma la variable”. CAPÍTULO TRES MEDIDAS DE POSICIÓN Y DE TENDENCIA CENTRAL Ventajas % Desventajas * $ # $ % * ! demasiado grandes. Datos sin agrupar Ejemplo 1.* <xiK $ \ % Ejemplo 2. ! $ % MEDIA CÚBICA: M3 %* “la raíz cúbica de la media aritmética de los cubos de los valores de la variable 119 120 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO Datos sin agrupar Ejemplo 1% & $ xi K% ^< UU ¸ U|V ¸ | % * ! <M{¸M¸M{¸M2¸M3 $ $ % Datos agrupados Ejemplo 2. $ & \ %^ < Ejemplo 3. ! \ | ! %* $ \ % Solución: CAPÍTULO TRES MEDIDAS DE POSICIÓN Y DE TENDENCIA CENTRAL RELACIÓN ENTRE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL O PROMEDIOS. X ! = Me = Md ' Simétrica > Me >Md * ' Asimétrica positiva < Me < Md ' Asimétrica negativa ~ $ # % X* ! Mediana MediaModo $ \ % – Md = 3( MeX Md = 3 Md K X > $ % M{¸M¸M{¸M2¸M3 CENTRO RECORRIDO CR ! % J' X J^ X J^ X Ejemplo 1. * < xi = K{K|{* $< Ejemplo 2. * % 121 122 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES $ \ ! % Cuartiles, en el Deciles Percentiles o Centiles. $ <Q{primer cuartil, Q2 segundo cuartilQ3 tercer cuartil. El primer cuartil, K |% El segundo cuartil, % & En los deciles, el séptimo decil, | U% H percentil cuarenta % % Datos no agrupados Ejemplo 1. <{{{K{K{U{KKK{KK X= %X XUV % aX ~ % {{{K{K{U{{KKKKKn{ a) Para el primer cuartil CAPÍTULO TRES MEDIDAS DE POSICIÓN Y DE TENDENCIA CENTRAL Datos agrupados * < a) Cuartil tres%~ #< % JVXNj-{ |VNj%W % Variable Discret ¹Q3 = yj K% yj Nj si variable discreta. Variable continua. Mediana, < K Nj XDecil seis' #< Nj {UNj V% W % XPercentilil %~ < posición. W $ %Nj {V Nj |V 123 124 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO EJERCICIOS MISCELÁNEOS PARA RESOLVER ~ # SIL. % + ># # \ {# J\ X< }U { } {K K }{ { X* ># # $ # # X* J X ! # * >#! ! # V% < X X' X' X! $ |% < |{% + ># ! ¤{%K%V%~ ¤|%U ¤{%UK% % X$ $ ! ># X* ¤U% ! $ $ ># |K% ! %$ # Y! |U% ¦ < $ \ ! % CAPÍTULO TRES MEDIDAS DE POSICIÓN Y DE TENDENCIA CENTRAL |% < x{ x2{ x3 x x x{K X &¸&O¸&l¸&2¸&3 X * ! %$ # ! ! |% * ># < W;`* &; *W~W;_&*+W~ ' 2 {%VU% * {%{% {%U|% {%U% W K % {{ V% * < X % X %$ $ |% $ W{K K#>Y { K{# >%* $ KK|#%$ KU#> ||% ' # ! \ % ' W< { 2 3 | 9 { W+*< 3 2 { 3 2 ¤{%% ¤K|%$ $ %$ $ {# |% * ¤{%K%% K # %~ U % +> ! ¤|% %$ $ |V% ~ U' \K{K{{ # 125 126 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO < X ~ % X ~ \ $ ! % {% % # $ % % ~ < % % ~ #! % % K% % + $ % % + $ % K% < % % % % U% * ! \ ! %$ \ % ¤{V%% < JX YJX $ ¤% %$ % ' #UW %* \ ¤%WK %$ % * W U K%' ! W U|% CAPÍTULO TRES MEDIDAS DE POSICIÓN Y DE TENDENCIA CENTRAL |% * y2 = 22 y’ nln3Kn m nn{ C n2n{ nln = 2 n2| * \ % % ' !< a) x X x| &eK &o &d &2|K &—lU &3| V%'\ {K{K ! \ $ % V% verdadero # %* $ $ % X W más de un % X + más de una media ! % X ~media cúbica #! % X ~ origen de trabajo % X J X es impar % f) La media < % g) La moda $ % V{% + $ K U$ ¤{%K%UK $ ¤% $ %$ $ VK% nK JWX < 127 128 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO X ! % X J X% % X J X% VU% < X ~ ! X <Md = 3Me}KMl X ~ < $ \ % V% ' \ \ 3 657 ! | % * \ % V% * ! \ ! %$ V% $ % xi< K { K { K V|% Z $ y’i { y’i K{ — { — { {{ — { {{ — { {{ — 22 X’i — X’i ni 3 | { U fi V% Síntesis de capítulo ~ } % W % = } $ % CAPÍTULO TRES MEDIDAS DE POSICIÓN Y DE TENDENCIA CENTRAL Z } } % * $ % W < % $ } %Z $ ! % } % $ # % Reglas para el uso de los promedios ! % = % ! le mediana o el modo. + % $ > ! % $ mediana o el modo. ! % % J X % $ ! % ! 129 130 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO ANEXOS A LA UNIDAD 3 * $ # ]~ $ $ $ % APLICACIONES CON LA CALCULADORA Calculadora CASIO fxF Primero.* MODE ] #SD Segundo. * $ *Z_" DEL ] . Tercero.* J X% Ejemplo 1. <xi<{KU|_ e DT DT DATA {K# % Ejemplo 2.= n xi <K{ ni <U{{KV ~ $ < 2 *Z_" Y DATA # % *Z_" Y 3 e ~ $ DT H $ < { J xi2 yi2 ni *Z_" =;` 2 J xi yi ni 3 J n { J x W *Z_" 2 J x 3 J x y n n – { Calculadora CASIO fxUMS G Primero.W MODE COMP SD ;` { 2 3 2 SD $%^ { % Segundo% *Z_" MODE J~;X { SCL . Tercero%~ % Cuarto%~ < 131 CAPÍTULO TRES MEDIDAS DE POSICIÓN Y DE TENDENCIA CENTRAL { Con *Z_" Con *Z_" { 2 2 J xi2 yi2 ni J yi ni xi 3 J n { J 2 J x y n x J xn – { 3 Calculadora CASIO fx|MS Primero. W &=~H MODE { COMP 2 MODE SD ;` W* { 2 3 = { SD Segundo%= ' < DT { DT # % #< 2 Y 3 Y % # % Tercero%~ < Con *Z_" { #<{ xi2 2 xi 3 n Con *Z_" 2 #<{ x 2 x n 3 x n – { Calculadora CASIO fxUTL &' { COMP 2 SD 3 ;` 2 } %~ $#< Con *Z_" { x ¹& ! Con *Z_" 2 xn +' # Con *Z_" 3 xn – {¹' # W ;~ A C ;~ A xi2 ;~ xi ;~ C n % TRABAJO EN EXCEL PARA EL CÁLCULO DE LA MEDIA = $ < Z~_W«~_*_*''W*%= W«~_*_*''W* W«~_*_*'W*J^ # KX 132 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO " %{%& Z~_\W«~_*_*''W*% $ *W' *_W'*;_=_^W% " %K%" $ ~ ~_W=W; $ < CAPÍTULO TRES MEDIDAS DE POSICIÓN Y DE TENDENCIA CENTRAL " %U% # ' %{}~ *_~ %~ *_~ {{ #% %{%= _ No. Facultad Orden Sexo No. Hermanos No. Libros leídos Promedio calificación matemáticas Actualmente Calificaciones Edad/años Estatura/Cm trabaja ICFES Peso/Kg 1 2 1 3 4 2,6 1 410 18 140 2 2 2 2 2 4,1 1 360 20 158 46 48 11 2 1 8 5 3,6 1 320 20 168 65 16 2 1 0 4 3,8 1 300 19 166 64 17 2 1 6 2 3,1 1 270 21 168 60 75 3 2 3 3 3,1 1 280 19 154 50 147 3 1 1 8 5 1 310 17 174 83 148 2 2 4 2 4,2 2 310 16 182 70 149 1 1 6 3 2,6 1 320 20 178 88 150 3 1 2 4 2,8 1 400 24 165 70 151 1 2 0 6 3,4 2 380 20 165 58 152 1 2 0 3 2,8 1 310 20 171 59 153 1 2 3 5 4,2 2 350 22 169 64 154 2 2 4 8 4,1 2 400 23 172 68 155 2 1 2 2 4 2 400 24 163 72 156 3 2 6 2 4 2 380 20 165 58 157 1 1 5 2 3,6 2 420 26 178 88 158 1 1 6 2 3,2 1 300 20 182 84 159 3 2 2 6 3,8 2 315 19 180 70 160 1 1 4 4 4,2 1 310 18 174 81 276 1 1 0 2 4 2 350 19 162 69 277 1 1 0 6 3,8 2 320 20 168 68 133 134 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO 276 1 1 0 2 4 2 350 19 162 69 277 1 1 0 6 3,8 2 320 20 168 68 376 2 1 0 4 3,8 1 300 19 166 64 377 2 1 6 2 3,1 1 270 21 168 60 378 1 2 3 6 3,9 2 260 27 165 68 379 2 2 0 2 3,9 2 290 26 171 66 380 3 1 0 3 4,1 1 380 30 169 72 381 2 2 8 7 3,9 2 410 24 168 70 382 3 1 0 10 4,4 2 420 25 180 84 383 1 1 1 3 4,2 1 390 22 174 80 384 2 2 6 6 4 2 370 23 166 68 385 3 1 0 11 3,9 2 290 24 162 60 386 3 2 0 8 3,9 2 300 19 151 66 387 2 2 2 2 4 1 330 18 158 60 388 1 2 3 2 3,3 2 310 17 159 58 399 1 1 2 2 4,5 1 300 28 150 56 400 3 2 0 6 3,6 2 280 17 148 46 408 1 1 0 3 3,5 2 270 17 163 65 440 1 1 4 3 2,7 2 320 15 168 76 441 3 1 0 3 3 2 290 17 171 82 442 3 1 0 6 3 2 410 18 174 86 443 1 1 4 2 3,6 1 400 19 176 84 444 2 2 7 4 3,8 1 380 20 180 70 445 3 2 2 2 4,5 2 360 17 178 69 814 2 2 3 10 2 1 280 18 165 60 815 2 2 2 8 4,3 2 270 18 160 61 816 1 1 0 2 4 2 350 19 162 69 817 1 1 0 6 3,8 2 320 20 168 68 818 1 2 2 2 3,6 1 320 17 174 68 819 3 1 3 2 4,6 2 410 16 176 69 820 2 2 1 6 1,8 1 240 17 172 69 821 3 1 3 5 3,1 2 280 17 169 76 822 3 1 8 5 1,9 2 250 16 164 70 828 2 2 0 6 4 2 370 17 174 69 869 1 1 6 3 2,6 1 320 20 178 88 870 3 1 2 4 2,8 1 400 24 165 70 871 1 2 0 6 3,4 2 380 20 165 58 997 1 1 0 6 3,8 2 320 20 168 68 998 1 2 2 2 3,6 1 320 17 174 68 999 3 1 3 2 4,6 2 410 16 176 69 1000 2 2 1 6 1,8 1 240 17 172 69 1068 3 2 2 2 3,4 2 300 26 172 70 1069 2 1 6 6 3,6 1 310 21 164 68 1075 1 2 3 2 2,6 1 270 15 165 60 1082 3 2 3 8 3,6 1 320 32 165 64 1083 1 1 6 10 2,9 2 370 30 162 70 1084 1 2 0 8 3,4 2 400 28 163 58 1085 1 2 3 6 2,6 1 270 15 168 56 1096 1 2 2 2 3,6 1 320 17 174 68 1097 3 1 3 2 4,6 2 410 16 176 69 $ %U%*W' *_W'*;_=_^W $ } < ~ ;W`';W'W &;'Z;&W* 'K<'%' % % CAPÍTULO TRES MEDIDAS DE POSICIÓN Y DE TENDENCIA CENTRAL " %% # ' J= W X Z ~_ ;+~* ~W =;_&;W "_~W % #=_*'*W~_'W % ;W` ' *W~_'W &U% W ;*+&'*W' *_W*Y_^~'"_WW=W;W ~W &'_W V # % ! ¶}*_&&WH;H¶}*_&&; ~_ % \ { \ $ % " ~_ W=W;% W ~_ W=W; % $ # U % ~ % & # & W #&# &$ *# &;'Z;&W*% 135 136 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO " % ; No. Hermanos Media # Mediana Moda ' $ ^ # ; &# &$ * & J{X & J{X JVX KVU| {K|{U 2 KVKVV UU K|{V {K|||K {K {K {U {K KVV{ " %%_ " <= J; # Y ¶}! ¶}! X % * $ '_W ;W~ '_*=;} *_ $&;' Z;&W* %{%$ < * ~'W % &+* ~_ % ' $ _*;W;"+_% %{%; $ No. Libros leídos Promedio matemáticas Actualmente trabaja ICFES Estatura/Cm Peso/Kg Media K|VV {{ UVKVU {{{U U{V| KUVUU {VUUU |{{|K|K| # ||KV{ V{ {V|K{ {U|VVUV {UU|K| {KVV KKKVK{ K|{KV| Mediana 2 U 2 U{ K { Moda 2 U 2 U{ K { ' $ KK{||V K{UV{ K|K|V ||{{|| K|VU {UVU |U|VUUKU{ VV{|K ^ {{ |VKU KVUKKU KK|K{{V {V|K| {|VK{ KU{{ |{{U }U|UV|K UU|K }{V|UV }KKUKK{ V{|K| {UVU|K }K|{ # {VV{ |{|{V }K|UK }U||K UKU {KUVVV }VV{ U ; {K {K U { { { K &# { { K { { &$ {K {K 2 K 33 {V * KV {K| UU{ {{ U|V{ KKU {UU |UKV {VV {VV {VV {VV {VV {{ {{ {{ & J{X {K {K 2 K 33 {V & J{X { { K { { {{ {|U{ U|U|V KK{K K{KU K{UK UU{ U{|VK JVX CAPÍTULO TRES Nota. # "W+~} W'*];WW[W% # % MEDIDAS DE POSICIÓN Y DE TENDENCIA CENTRAL No. Hermanos Medidas 137 138 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO " %%& % &W;_%* %{ % =;W[ JX $ &'_WK% %|% " %|$ J\ X CAPÍTULO TRES MEDIDAS DE POSICIÓN Y DE TENDENCIA CENTRAL Nota: =*__ '_*=;*_ % $ $ ; W ~W&'_WW&'WH&'_W`&;_W ! $%' # % MEDIANA- ME < X \ _&=W;% &'_WW % Ejemplo: U {K L { U Me X \ =W; % ! Y # % Ejemplo: U {K { U O P &J{K{X²K{ " %%& J= W X 139 140 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO " %%& J= W X $&'W$&'_'W* &;{! %{ &;'Z;&W*%~ ! &'_WW K%% < # % $%{% MODO = MODA = VALOR MODAL: MD * $ %= $&'W _&'W~ =~+;_&'W~%* +_&'W~ % _&'W~=~+;_&'W~ &'W % ~ $&'_W&'_WW <J" % 9). < &'W $ ! %% % CAPÍTULO TRES MEDIDAS DE POSICIÓN Y DE TENDENCIA CENTRAL " %V%& MEDIA GEOMÉTRICA : MG = MO * #! % n ––––––––––––– " Mo = eX{.X2................ Xn n n ––– Mo = e i={ ·xi " %{% &J\ X 141 142 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO &'_W &'_WWH &'W% Z ~_ fx W`; W *W' *_W &'_W`&;_W ~_W=W;% MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA = $&'_W=';W'W < JyiX< J>XY JniX\ %= $ < *+&W=;'+JWK<WVYK<VX²*+&WJK<VX " %{{%& W ! = 2i ni y = K n __ CAPÍTULO UNO 4 CONCEPTOS GENERALES Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento Estudia no para saber algo más sino para saberlo mejor. Ya que el saber más que los otros es fácil. Lo difícil es saber algo mejor que los otros a CONTENIDO Aplicaciones prácticas de las medidas de Dispersión o de deformación, Asimetría y de Apuntamiento. ' } caciones. & <^ ' } # =} taje típico, Rango o recorrido. Medidas de asimetría. Medidas de apuntamiento. Síntesis de la unidad. Ejercicios para Resolver, resueltos en el Sistema de Información en Línea SIL. COMPETENCIAS El estudiante deberá estar en capacidad de: Seleccionar, comprender y aplicar cada una de las medidas, en casos que lo ameriten. Manejar los conceptos, fórmulas, usos e importancia que cada una de estas medidas lo exige, no sólo en los talleres, sino en casos reales. Comprender sus aplicaciones y agilizar sus cálculos. Entender los conceptos, las ventajas y desventajas en su aplicación. 143 144 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO CONCEPTOS GENERALES Estos primeros cuatro capítulos han sido dedicados a la estadística descriptiva. Comenzamos con el manejo de términos y conceptos, luego, el uso de la simbología para hablar un mismo lenguaje, lo cual $Y promedios y ahora, el cálculo de las medidas de dispersión, que será el tema de este capítulo. Al calcular un promedio, por ejemplo la media aritmética, no sabemos hasta donde se dá la repre} sentatividad para ese conjunto de datos, sin embargo es posible determinar si hay concentración de datos alrededor del promedio, el cual nos indicaría una buena aplicación, por el contrario una gran dispersión # # datos. Aún más, las medidas de dispersión son indicadas cuando queremos evaluar dos o más promedios. = # # U% MEDIDAS DE DISPERSIÓN Supongamos que dos distribuciones de edades tienen igual media, pero diferentes grados de dispersión, $ $% UK}K{K} {K¸ } Y K>$ % VARIANZA : S2 ó ¼2 Las medidas de dispersión más conocidas y utilizadas son la varianza y la desviación típica o estándar. Esta última, es la raíz cuadrada de aquélla. La varianza< la media aritmética de los cuadrados de las diferencias (desviaciones) entre los valores que toma la variable y su media aritmética. Su símbolo es SK ¼KJ al cuadrado) en la población. CAPÍTULO CUATRO MEDIDAS DE DISPERSION, DE DEFORMACION Y APUNTAMIENTO ato a a Jxi x )K {X S2 = ––––––––– n J XY xiK n x K KX S2 = ––––––––– n x K K UX S2 = ––––i x n JXi )K ¼K = ––––––––– N Xi K N K ¼K = ––––––––– N 2 X i K ¼K = –––––– N Veamos con un ejercicio cómo se aplican las fórmulas anteriormente presentadas, obteniéndose un resultado igual a la aplicación en cada uno de ellos. Ejemplo 1% J X ! x{= xK= U Jxi x )K {X S2 = ––––––––– n xU= { x4 = x= { K d i S K =––––– n Procedimiento de cálculo Se calcula la media aritmética, por cualquiera de los procedimientos que han visto. En la primera fórmula, se establecen las diferencias entre los valores de la variable con respecto a su <Jx{ x–)KJxK x–)KJxU x–)K y así sucesivamente. = xiK, se debe tener presente que corresponde a la suma de x{K + xKK + xUK y así sucesivamente. 145 146 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO ato a a o Las fórmulas son casi iguales a las anteriores, salvo que los valores están ponderados, es decir, multiplicados por las frecuencias absolutas o las relativas. Ejemplo 2. Calculemos la varianza para la siguiente distribución, aplicando las tres fórmulas anteriores. Siendo el procedimiento igual tanto al trabajar con variable discreta o continua. 1) 6 2 = Σ( \ − \ ) 2 Q 523,75 = = 26,1875 Q 2 62 = ΣG2 I Q 2) 6 2 = Σ \ 2 Q − Q \ 2 4.875 − 20 (14,75) 2 = = 26,1875 Q 20 62 = Σ;2 I − Q;2 Q 3) 6 2 = Σ \2 Q − \ 2 = 4.875 − 14,752 = 26,1875 Q 20 62 = Σ;2 I −;2 Q Hay dos fórmulas más, conocidas como métodos abreviados, utilizando las desviaciones con res} J X $ desarrollados. Se pudo observar en el ejercicio anterior que en el cálculo de la varianza, utilizando las diferentes fórmulas, producen el mismo resultado cuando son aplicadas en un mismo conjunto de observaciones. CAPÍTULO CUATRO MEDIDAS DE DISPERSION, DE DEFORMACION Y APUNTAMIENTO Propiedades de la varianza a: La varianza debe ser siempre un valor positivo. SK¥% a:~ % V[ ]M[ – M(K)]KM[ – ]K a: La varianza de una constante más una variable, es igual a la varianza de la variable. V[y+ ]V[y ] + V[ ]V[y] V[x+ ]V[x] +V[ ] V[x] Válido también para la diferencia: V[x – ]V[x] – V[ ]V[x] a ta: La varianza de una constante por una variable, es igual al producto de la constante al cuadrado por la varianza de la variable. V[ y]KKV[y]KKSKy ta: = $ $ submuestras, se aplica la siguiente fórmula: S{Kn{+ SKKnK+... Jx–{–x–)K n{Jx–K–x–)K nK+... K S ––––––––––––+ –––––––––––––––––––––– n{+ nK+... n{+ nK+... –x n + –x n +... { { K K –x –––––––––––– sabiendo que: n{+ nK+... Ejercicios de aplicación de las propiedades Ejemplo 4. Primera propiedad: supongamos que se tienen dos distribuciones A y B y se desea aplicar la fórmula de la varianza en ambos casos. a) xi : 8 2 10 6 4 –x b) yi : ni : 0 4 1 6 2 5 3 3 4 2 –y { K Las varianzas serán: xiK n x K KK JXK a) S2= –––––––––– = ––––––––– = 8 n 2 xK n x K S = ––––––––––– n yiKni n y K KJ{XK b) S2= –––––––––– = –––––––––––– = 8 = {K| {U n K Observemos que en ambos casos se cumple la primera propiedad, la varianza de una variable siempre será mayor a cero J*K¥X%= $ % Ejemplo 5. La segunda propiedad, no requiere que se haga un ejercicio de aplicación, pues si consideramos $ cuatro y la varianza será igual a cero, pues ninguna nota será superior o inferior a cuatro es decir, no hay variación. Ejemplo 6. Tercera propiedad: consideremos que las dos variables del ejemplo 4 están dadas en la misma unidad de medida, por ejemplo en kilogramos, y se requiere que el resultado se dé en libras J K XY $< xi : { 4 K {K 8 x {K y SKUK K 147 148 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO J{KXK S2= –––––––––––= UK K V[ +y] K S2 KKJXUK K Algo similar ocurre al trabajar con datos agrupados. Observe que el resultado obtenido, siempre será expresado en las mismas unidades, pero al cuadrado. Con los datos del ejemplo 4–b se harán los calculos Ejemplo 7. Cuarta propiedad: si procedemos a sumarle una determinada cantidad a cada valor observado, $xi<{U|{{{VJ X La media será: –x {{ Se podrá comprobar aplicando la fórmula: En datos agrupados al aplicar la cuarta propiedad, se tendrá que: yi ni { K U 4 4 U K K Ejemplo 8. Quinta propiedad< J X siguientes: –x = –x = { n = n = K s K= 8 s K= {U { K { K { K * K quinta propiedad. = 1 1 + 2 2 = 6 (5) + 1,65 ( 20 ) = 2,52 25 CAPÍTULO CUATRO MEDIDAS DE DISPERSION, DE DEFORMACION Y APUNTAMIENTO 1 + 2 1 2 2 2 + ( 1 − )2 1 + ( 2 − )2 2 2 = 2 = (5) 8 + 1,53 (20) (6 − 2,52) 2 5 + (1,65 − 2,52) 2 20 + 25 25 2 = 2,824 + 60,552 + 15,138 = 2,824 + 3,027 = 5,851 25 !"#%#&'*+;#%<!= La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza, considerada siempre con signo positivo. Es la medida de dispersión más extensamente aplicada. =+ 2 = + 26,19 = 5,12 La desviación típica o estándar será la medida que más se va a utilizar de aquí en adelante, no sólo en este capítulo, sino en todos los siguientes de este libro. La varianza se expresa siempre en unidades diferentes a las originales, es decir, si la $ kg al cuadrado, sucediendo exactamente igual con cualquiera de las unidades de medidas que utilicemos. Esta es la razón por la cual siempre estamos utilizando la desviación típica o desviación estándar, pues el resultado se expresa en las mismas unidades de la variable. Supongamos que se tiene una población normalmente distribuida, con media: ÀU¼K {¼U| De acuerdo con la desigualdad de Tchebycheff, puede deducirse para cualquier distribución normal o simétrica que la media aritmética es más o menos.... Si se toma una sola vez la desviación típica al lado y lado de la media, el intervalo obtenido, incluye U % μ ± 1σ ⇒ 30 ± 1(3,87) 33,87 ⎫ 26,13⎬⎭ 68,3 μ ± 1,5σ ⇒ 30 ± 1,5 (3,87) 35,805⎫ 86,6 24,1 5⎬⎭ μ ± 2σ ⇒ 30 ± 2 (3,87) 37,74⎫ 22,26⎬⎭ 5,5 μ ± 3σ ⇒ 30 ± 3 (3,87) 41,46⎫ 18,3 ⎬⎭ ,7 149 150 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO # | $ ) y, cual es su % ` $ media aritmética, la mediana y el modo son iguales, corresponderán al valor central de la distribución = Me = Md 3σ 2σ 1σ 1σ 2σ 3σ 68,3 5,5 ,7 APLICACIONES DEL EXCEL Varianza (aplicada a la muestra) S2 = 3 2 El procedimiento es exactamente igual a los aplicados para calcular: Media, Mediana, Moda y Media Geométrica%* ^W; %{% ~ &;'Z;} &W*~_W=W; Observemos que el valor de la varianza por este método es el mismo obtenido por el anterior método de cálculo. <K{ %* ^W;= la población total, se utiliza la función VARM. En este caso aplicamos VARM. CAPÍTULO CUATRO MEDIDAS DE DISPERSION, DE DEFORMACION Y APUNTAMIENTO " %{%W ^ Desviación típica estándar =3 *;# ^ <*Â*K, siguiendo el mismo procedimiento que hemos venido utilizando, pero esta vez, buscamos la función DESVEST y de esta manera se obtienen los resultados siguientes: " %K%$' # 151 152 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO Al observar este resultado se ve claramente que es la raíz cuadrada de la varianza, es decir que !?@Q @ WW[?\ WQ Nota: &;'~W"+_ $} larse de la mism que las anteriores. En Excel 2010 es posible encontrar nuevas funciones de desviación estándar. Si los datos represen} '*^*= la población total se utiliza la función DESVESTM. En este caso aplicamos DESVESTM. USO DE LA CALCULADORA El cálculo de la desviación típica por medio del uso de la calculadora, se sigue el mismo procedimiento $Xi XiK n y X J $ {UX%* # Jn¥UX K ¼ que corresponde a desviación típica sin corregir. x n En algunas, el valor de ¼ se obtiene oprimiendo *Z_" K Y $< *Z_" K =_* y seleccione la opción deseada y ese resultado obtenido al ser elevado al cuadrado corresponde al valor de la varianza x¼Kn EJERCICIOS PARA RESOLVER La gran mayoría de los ejercicios de este libro, se encuentran resueltos en el Sistema de Información en Línea SIL. {% ! U $ K%* # % K% J X # # ! {K K% Desgraciadamente la publicación apareció con dos manchas de tinta caídas en las columnas de las frecuencias absolutas, lo cual impidió comprobar directamente lo que en el artículo se decía. Sin embargo, se le pregunta ahora a usted, ¿pueden aceptarse dichos valores de la media y la varianza, teniendo en cuenta lo que puede verse en la tabla? Conteste si puede ser posible o no y porqué. yi : ni: { {{ U| {{ V {K V {K U% < VÆ{²X Çsabiendo que Sx % yi. 4. Con los siguientes datos: y{²Jx KX*xK* <V[Y ] % {U y {U { M [X ] + | {K # U {K # %* \ { $ $ media y su desviación típica? CAPÍTULO CUATRO MEDIDAS DE DISPERSION, DE DEFORMACION Y APUNTAMIENTO % ' #U> ¤% # ¤{K% # U> ¤% ¤U%%! # |% ~ \ { ! % \ % 8. Si un conjunto de n valores de xi<Èxi{xiK KS K K%* el valor de n. V% ~ { U {% estándar del conjunto. {% *\ KV{ {V{U% Comprobar que ambas series tienen la misma varianza y distintas medias. {{% Z # \ ! V ! |K% {K% # $|{|V # V|Y UK{ %' # | estudiantes. ¿Cuáles serían estas medidas, si todos los cursos tienen el mismo número de estudiantes? {U% ~ W K{{ a un país X por vía marítima fueron: EDAD (AÑOS): }{ PASAJEROS: {{}K K{}U U{} {} {} {}| |{} {}V U | |U U { { {U X % X W {> ! X " # y JX V| . {% n valores de X, se sabe ÈxiK{%UÈxinsK{%K% Se pide encontrar n. {% * {| | %= #V %* # % {% ' x<UK{ Kx J ) es –y Kx– <syKsxK {|% ; > % X ! |V|V*% X * % c) La desviación mediana es menor o igual a la desviación media, a su vez, es menor que la desviación típica 153 154 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO {% + # \ # | % # {V% * W *K{*KK en la misma unidad de medida. ¿En cuál de ellas hay una mayor variabilidad absoluta? K% * $ tienen mayor variabilidad absoluta? Si no se puede responder ¿qué medida de dispersión utilizaría usted? K{% * $ # misma distribución, pero en minutos? KK% medida, ¿cuál será la desviación típica para el conjunto A + B? sAKKKsBK{y–A {Ky–B VnA KnBU KU% = ! VARIACIÓN ABSOLUTA Dos o más varianzas y dos o más desviaciones típicas se pueden comparar entre sí, si las variables están dadas en las mismas unidades de medidas, en caso contrario, $ % COEFICIENTE DE VARIACIÓN CV Más conocido como variación relativa. En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos, sin embargo podemos encontrar, al hacerlo, que ambas series están expresadas en diferentes $ # %= darse el caso de que estén expresadas en la misma unidad, pero nos interesa determinar la variación % = . Si es { $ ! % S CV –– –x J X S CVd –– –x { J X De acuerdo a la fórmula anterior, es el cociente entre la desviación típica estándar y su media aritmética, como en ocasiones se expresa en porcentajes, por esa razón aparece multiplicado por {%" ¶ = J{VX distribuciones de frecuencias. S {K –x {| {K CVd –––––{U|{ {| La aplicación de esta fórmula presenta el inconveniente de que varía para distribuciones que tienen diferentes medias aritméticas e igual varianza, es decir, que con igual dispersión tienen diferentes % CAPÍTULO CUATRO MEDIDAS DE DISPERSION, DE DEFORMACION Y APUNTAMIENTO Ejemplo 1. Si consideramos dos distribuciones cuyas medias aritméticas son: –x Kx– Uademás sus desviaciones típicas o estándar son idénticas, S KS K { K { K encontramos que presentan diferente variación relativa a pesar de tener la misma desviación. o : S{ K ––––{{ CV{d{ –– –x K { SK K CVKdK –– –– – x K U Ejemplo 2%= K%! ! o : S CVd–– CVd ––{K{K –x { 4 ! variabilidad tan alta que presenta. Ejemplo 3. Multiplicando por 4 cada uno de los valores de la variable xi<UK xi<{KK% % o : [ 4( [ ) [2 16 ( [ 2 ) 3 2 0 5 10 12 8 0 20 40 9 4 0 25 38 144 64 0 400 608 Σ 2 1 = 2 [ ] = [4 ] = 1 = − 2 = 38 − 2,5 2 4 2 [ ] [1 = 10 = 2,5 4 [ 2 = 40 = 10 4 0 2 1 = 9,5 − 6, 25 = 3,25 1 = 3,25 = 1,80 [ 4 ] = 16 (3,25) = 52 608 − 10 2 = 152 − 100 = 52 4 1,8 = 0,72 = 72% 2,5 = 4 (2,5) = 10 = [2 2 = [ 4 ] = 52 7,21 = 0,72 = 72% 10 2 = 7,21 1 = 2 PUNTAJE TÍPICO O ESTANDARIZADO: z ó "t # $ de correlación, mide la desviación de una observación con respecto a la media aritmética en unidades de desviación típica, determinando la posición de una observación dada, dentro de un conjunto de observaciones. 155 156 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO = − ó = − El puntaje típico sirve para comparar dos o más datos individuales, aunque pertenezcan a \ ² % Tanto el puntaje “t” o “z” es muy utilizado en las pruebas educacionales y psicológicas, aunque hoy en día es muy frecuente en otros tipos de experimentos. Ejemplo 1 Supongamos que una persona presenta exámenes de admisión para la Facultad de Economía, *[!% $ WV $ { $ {K%* $ > = 85 − 90 − 5 = = − 0,50 10 10 = 60 − 55 = 5 = 0,42 12 12 ~ > K $ % En una distribución normal la media de la variable Z valey su varianza es igual a{% # ' % Ejemplo 2% # { | %$ |U # |%! % a) Dispersión absoluta b) Dispersión relativa X* | # |$ ! su puntuación relativa superior? o : a) Dispersión absoluta: S{K S{ SKK|| SK| En estadística hubo una mayor dispersión absoluta: S{ > SK 8 ¥| b) Dispersión relativa En álgebra hubo una mayor dispersión relativa: CVK > CV{ ¹{{¥{K X= < * $ K¥U| CAPÍTULO CUATRO MEDIDAS DE DISPERSION, DE DEFORMACION Y APUNTAMIENTO DESVIACIÓN MEDIA : a Es otro estadígrafo de dispersión de menor importancia, en relación a la varianza y la desviación típica. *media de las desviaciones respecto a la media aritmética, tomadas en valor absoluto. Ejemplo 1. Con los siguientes datos no agrupados, calcular la desviación media: x{ xKU xU{ x4 x{ { { K –4 {K Ejemplo 2. Con los datos agrupados, que se presentan a continuación, calcular la Desviación Media. El procedimiento de cálculo para datos agrupados es el siguiente: * ! ' & |V|V # % Da|V|VS # {K ' $ Da |V|VJ{KXV igual a: 157 158 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO Dado que la distribución anterior no es simétrica, Y sin embargo, vemos que la relación se cumple aproximadamente, por ser la distribución ligeramente asimétrica. La desviación media Y distribución de frecuencias será necesario suponer que la media aritmética representa adecuadamente a los valores de la variable. El valor obtenido al calcular la desviación media siempre será menor al de la desviación típica Da < S COEFICIENTE DE DESVIACIÓN MEDIA : a Esta medida de dispersión es muy parecida en su presentación y cálculo al , con la diferencia de considerar a la Desviación mediaJDa) en vez de la Desviación típicaJS). También se puede expresar en términos porcentuales. Ejemplo 1.' J X medida de dispersión: o : {< K< DESVIACIÓN MEDIANA : e Corresponde a los denominados estadígrafos o medidas de dispersión, siendo su uso más bien limitado. *Media de los valores absolutos de las diferencias entre los valores que toma la variable y su mediana. Sus fórmulas son: = = Σ − Σ − = Σ − N La desviación mediana, será menor o igual a la Desviación media y ésta a la vez, será menor que la Desviación típica: D ]Da < S Ejemplos 1. Con los siguientes datos calcular la desviación mediana. o : a) x{ xKU xU{ x4 x{ Se calcula primero la mediana para ello ordenamos los valores de menor a mayor. {U 5 {~ &e CAPÍTULO CUATRO MEDIDAS DE DISPERSION, DE DEFORMACION Y APUNTAMIENTO xi xi Me xi Me { U { –4 K { 4 K { {K xi Me De n {K De K Ejemplo 2. Con datos agrupados, se pide calcular la desviación media −1 < ← ← → 2 6 < 10 Σ = = 15 = = 15 Continuación: − − − = Σ − = 75 = 3,75 20 = − − Σ − N − EJERCICIOS PARA RESOLVER La gran mayoría de los ejercicios de este libro, se encuentran resueltos en el Sistema de Información en Línea SIL. K% + K Y K UY $ {% \ % K% ; ! %J= cálculo de la media y la varianza, hacerlo mediante el método que usted conoce). X ⇒ ⇒ ⇒ 159 160 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO K% Z \ ! ! es 4. K|% * < 2 [1 = 120 [2 = 125 Q1 = 70 Q2 = 30 61 = 36 62 = 3 * % K% * xl xK xU... xn ! { # U%* yi, de cada uno de los elementos relacionados con la media xi mediante la ecuación. yixiK $ ! yi obtenidos? KV% ~ %* < y2 = 50 n1 = 4 N2 = 20 n3 = 25 \ = 62,4 X2 = 50 f1 = 4 F2 = 20 f3 = 25 ; = 62,4 U% $ >K{{#< &'_'W* Salario medio semanal Desviación típica del salario semanal "«;_WW ¤VU% ¤V% "«;_W ¤{%K% ¤V|% a) ¿En cuál de las fábricas los jornales fueron absolutamente más variables? b) ¿Relativamente más variables? U{% * >{ ¤{%| # ¤V % * # ¤{U % gastos de esta empresa. UK% = M[4 + X ]{{KM [XKÇKUK % UU% U $ # {VUU $ ¤V%| ¤|%|%$ variabilidad? U% + ! JWX se sabe que las distribuciones de la duración en horas de esas bombillas son tales que tienen las siguientes medias y varianzas. _= A B &'_W ^W;_WW |% % CAPÍTULO CUATRO MEDIDAS DE DISPERSION, DE DEFORMACION Y APUNTAMIENTO Se pide: a) Comparar ambas distribuciones en cuanto a su variabilidad absoluta y relativa. X * |U quiere saber cuál tipo de bombilla tiene mejor posición relativa. U% + ! ¤U%% J ¤X # ¤U%J ¤X% X ! { %$ $ una vez pagado el impuesto? X ~ ! ¤K%% J ¤X % $ % % U% ~ \ ciudad de Cúcuta. NO. DE CUARTOS: NO. DE VIVIENDAS: variación. K 4 { { 8 {K { 8 # U|% ~ \ < yi {{Ux{%| ~ {% ¤{K%% a) ¿Cuál será el nuevo promedio de ingreso mensual de los trabajadores si la empresa acepta la petición? X U%$ $ U% < Σ Σ 2 = 1.500 → Σ = 40.000 → Σ 2 → N = 100 , UV% W <x– USCVKK% * $ # < $ % % a) 4 | { xi : { { {K K 8 yi : { 4 { Xl XK 161 162 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO Se pide: b) Determinar en cada una de las submuestras la mejor posición de los siguientes valores x y{% X % {% < , −1 − , Σ ’ −1 − ’ K% | U ¤K|% ¤UK%% X * | % X* U$ | U% * { | V% de variación para el conjunto. %~ J X \ K{{% ' gastos se agruparon en cuatro clases de amplitud constante, de la cual se sabe: , 4 * % % < , −1 − , Σ −1 − % J %²K) de láminas de acero. Obtenga la desviación mediana: CAPÍTULO CUATRO MEDIDAS DE DISPERSION, DE DEFORMACION Y APUNTAMIENTO RESISTENCIA: % DE LÁMINAS: {K K KU ? U ? {K < KV %²K. |% ~ \ U $% No. DE COMPRADORES No. DE BARRIOS {U { { KK K UK U U K 4 | a) Calcule la desviación mediana. X % c ) Si la empresa considera que el número de compradores por barrio es el doble. ¿Cuál será la 48. Con los siguientes datos se pide: −1 − . KX X * J{X JKX $ $ . X J{X % X JKX % X JX Σ −1 − V% < K{KK% Calcular la desviación típica, desviación media y mediana. Observar que 78 9 % <|V {% <|V RECORRIDO INTERCUARTÍLICO, DESVIACIÓN CUARTIL Y COEFICIENTE DE DESVIACIÓN CUARTIL Se considera una serie de medidas de dispersión cuando se ha trabajado con cuartiles, deciles o percentiles. Entre los más importantes se tienen: El recorrido intercuartílico QR QU:{ El recorrido interdecil, corresponde a la diferencia entre el noveno y el primer decil. DR DV{ % 163 164 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO La desviación cuartil o semi-recorrido intercuartílico, se obtiene, mediante el cálculo del recorrido # K% Q :{ QD U K # | $ % El , es aplicado, especialmente, en aquellas distribuciones cuyos $ dispersión, no necesaria para posteriores cálculos. CQ QU:{ QU+ Q{ El recorrido interdecil se calcula estableciendo la diferencia entre el noveno y el primer decil, lo $ VV % DD DU{ PD PVV#{ Ejemplo 1. Con la siguiente distribución calcular el recorrido intercuartílico, la desviación cuartil y el % o : \ ,−1 − \ , Q 1 30,1 38 38,1 46 46,1 54 54,1 62 62,1 70 70,1 78 78,1 86 86,1 94 6 14 nj → 36 50 43 nj → 32 18 9 6 20 56 106 149 181 199 208 208 - )fi FI i È Σ , ; −1 − ; , ← Nj-1 ← Nj ← Nj-1 ← Nj Primer cuartil Q = 208 = 52 no está, en la columna de N , por lo tanto se toma a N KN % i i { i 4 4 Q Siendo que 1 −1 < se tendrá: 4 1 = , −1 + ⎡ − ⎢4 ⎢ ⎢⎣ −1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦ ⎡ 5K − 20 ⎤ = 53,11 ⎣ 36 ⎥⎦ 1 = 46 + 8 ⎢ Tercer cuartil 3 = 3 ( 208) acumuladas, 4 4 { en la columna de las frecuencias absolutas 3 se tendrá: se toma a Nj {{V¸{Nj{{¥{%W Nj {¸ 4 CAPÍTULO CUATRO MEDIDAS DE DISPERSION, DE DEFORMACION Y APUNTAMIENTO 3 = , ⎡3 − ⎢4 ⎢ ⎢⎣ −1 + −1 ⎤ ⎥ R ⎥ ⎥⎦ ⎡156 − 149 ⎤ ⎥⎦ = 71,75 32 ⎣ 3 = 70 + 8 ⎢ Recorrido intercuartílico: QD QU:{ QD |{| U{{{ Q :{ Desviación cuartil será igual a: Q U DK K será igual a: CQ QU:{ = QU+ Q{ QD K 71,75 − 53,11 = 9,32 2 71,75 − 53,11 18,64 = = 0,1439 71,75 + 53,11 124,86 14,39% Ejemplo 2. Con la misma distribución anterior calculemos el recorrido interdecil, la desviación interdecil % Primer decil: = 208 K 10 10 por lo tanto Nj {K¸KNj¥K $ $< 1 = , −1 + ⎡ − ⎢ 10 ⎢ ⎢⎣ ⎤ −1 ⎥ 1 = ⎥ ⎥⎦ Reemplazando en la fórmula anterior se tendrá: Noveno decil: 9 = 9 ( 208) = 187,2 S 10 10 9 = 9 = , −1 + + ⎡9 − ⎢ 10 ⎢ ⎢⎣ ⎡9 ⎢ 10 − ⎢ ⎢ ⎣ El recorrido interdecil: ⎡ − 10 + ⎢⎢ ⎢⎣ ⎤ ⎥ ⎥⎦ 9 = 78 + 8 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦ ⎡ 20,8 − 20 ⎤ ⎥⎦ = 46,18 ⎣ 36 1 = 46 + 8 ⎢ −1 = 181 < 187, 2 −1 ⎥ −1 = 199 > 187,2 se tendrá que: ⎡ 187,2 − 181 ⎤ ⎥⎦ = 80,76 ⎢⎣ 18 ⎤ −1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ DR DV{ DR| {U 165 166 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO DV{ La desviación interdecil: DDK K El CD DV{ = 80,76 − 46,18 = 17,29 2 : = DV+ D{ 2 80,76 − 46,18 17,29 = = 13,62 {UK 80,76 + 46,18 126,94 RECORRIDO U OSCILACIÓN ! # $ %* la repetición o frecuencia de los valores que toma la variable, de ahí su gran inestabilidad, especialmente > % ; xmax xmin J X $#< ym – yl . = y ,m – y ,o Ejemplo 1%* <J X x{xKxUx4x{K ; xmax xmin;{K Ejemplo 2. Tomemos una distribución de frecuencias para una variable discreta \ Q 2 4 6 8 10 Σ 3 5 6 4 2 20 ; I Recorrido = \ − \1 Recorrido = 10 2 = 8 Recorrido = ; − ;1 Ejemplo 3. En el caso de una variable continua el procedimiento es casi igual al anterior. \ ,−1 − \ , Q 3,1 7 7,1 11 11,1 15 15,1 20 20,1 23 6 4 12 8 5 Σ , ; −1 − ; 35 , I Recorrido = \ , − \0, Recorrido = 23 3 = 20 Recorrido = ; − ;0 CAPÍTULO CUATRO MEDIDAS DE DISPERSION, DE DEFORMACION Y APUNTAMIENTO MEDIDAS DE ASIMETRÍA O DE DEFORMACIÓN " ¶ = % + ! Y recordemos que en este caso Mx = Me = Md , estas medidas son iguales, por lo tanto consideramos que la distribución tiene la forma de una campana, denominada de Gauss o normal, ya que el promedio se ubica en todo el centro de ella. Si las frecuencias son considerablemente altas, la distribución deja de ser simétrica y hablamos de distribuciones asimétricas positivas o negativas J X igual valor. $ $ se ubica el Modo. Si Ml > Me > Md se dice que la distribución es asimétrica negativa, ya que la curva presenta un alargamiento hacia la derecha. Si por el contrario Mx = Me = Md , el alargamiento es hacia la izquierda y se dice que es asimétrica positiva. Las fórmulas utilizadas para calcular el grado de asimetría son: {X = 1 − = 3( 1 − ) = 3 3 En la última se utiliza el momento de orden 3 con respecto a la media 3 = Σ 3 3 = Σ( − )3 El grado de asimetría, también se puede calcular aplicando la fórmula establecida por Bowley, 2 2 3 1 , para ello es necesario, trabajar con cuartiles. siendo: 3 1 Si As* ! Si As¥W ! Si As¸W ! , ya que el signo nos indicará hacia que lado se presenta la deformación o alargamiento de la distribución y el valor será el grado de asimetría, entre más grande sea este valor, más grande será la asimetría. Ejemplo 1. Con los siguientes datos de una distribución de frecuencias, se puede calcular la asimetría y su grado, por las fórmulas anteriormente establecidas. 167 168 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO (yi - y) (yi - y) 2 → → 3 (yi - y)3ni 1 2 106 20 1 5,3 4 5,3 4 2,47 2 2 5,32 ) 1 5,57 15,07 3 3 684 20 1,3 2,47 0,53 2 34,2 28,09 6,11 3 (5,3 5) 2,47 5 0,9 2,47 111,42 20 5,57 3 2 2 6,11 3 (0,3) 2,47 ∑(yi - y)3ni 0,37 6 2 2 1 3( 4 1 2 3 5,3 1 2 3 2,47 0,36 3 N 3 Siendo: M{ > Me > Md U ¥ ¥ La distribución es asimétrica positiva La asimetria, también es calculada mediante la aplicación de la fórmula de Bowley, donde 3 1 3 2 2 1 Veamos cómo se calcula con los datos de la distribución anterior: 20 5 4 4 → 1 1 5 4 6 3 8 2 7 → 3 ( 20) 4 1 15 18 4) 2 (5) 1 0,33 3 (7 4) Nota: la aplicación de las anteriores medidas es preferible hacerla con la variable continua, usando los intervalos de clase. 2 → (7 15 10 169 CAPÍTULO CUATRO MEDIDAS DE DISPERSION, DE DEFORMACION Y APUNTAMIENTO Nota: Los resultados obtenidos en la aplicación de las fórmulas anteriores, arrojan resultados diferentes sin que esto tenga importancia alguna. Ejemplo 2% ' > # estadígrafos de posición son: –x {V|M {V{M {| e o d : – – Aplicando la fórmula empírica: x –Md U J x 4e ) {V|}{|KK|ËK{U UJ{V|X}{V{KU~ > #% Ejemplo 3. Tomando una distribución ligeramente asimétrica. Calcular el modo sabiendo que su media U K o : –x –M U J –x 4 ) d e U–Md } U–M UJKXM –x UJ –x 4 ) d d Md V e Ejemplo 4% # = % yi : { K U 4 ni : K 8 U | o : x2 = 5 6 7 5 Σ 30 35 30 175 180 Σ = 2 2 N Σ = Σ = = 112 = 3,73 30 2 − − 2 2 = 2 3,73 − 2 = 1,07 1,62 2 N − 2 =2 = 496 − 3,732 = 2,62 ⇒ 30 = Σ = 1,62 = − EJERCICIOS PARA RESOLVER La gran mayoría de los ejercicios de este libro, se encuentran resueltos en el Sistema de Información en Línea SIL. K% !< 2 ⎛Σ[ ⎞ Σ [2 a) En toda serie de datos es mayor o igual a ⎜ ⎟ Q ⎝ Q ⎠ b) Si para dos distribuciones –x {x–Ky S{K > SKK entonces CV{¸CVK 170 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO X * # % d) Si las frecuencias de una distribución se multiplican por 8, la varianza queda multiplicada por % e) La varianza está expresada en las mismas unidades de la variable. U% !< X % X $ ! ;<. c) Si una distribución es simétrica o moderadamente asimétrica, entre –x ÌKS $V observaciones. d) La desviación típica no se mide en las mismas unidades de la variable. % \ #= % –x V%|KM V%|KS{%K{| e % # # fórmulas vistas. a) \ Q 5 7 9 11 13 15 b) \ Q 3 39 10 8 7 3 5 7 9 11 13 15 Σ 70 ; I c) \ Q 3 7 8 9 30 3 5 7 9 11 13 15 5 10 20 20 10 5 Σ 60 Σ 70 ; I ; I Haga los respectivos histogramas y dibuje los polígonos de frecuencias. MEDIDAS DE APUNTAMIENTO : Ap urtosis o estadígrafos de apuntamiento% + # distribuciones, es su grado de agudeza en la cima de la curva que las representa. Esta agudeza que se observa en la región del Modo, comparada con las condiciones halladas para el mismo sitio en la curva normal, es lo que se llama urtosis o curtosis. Si la curva es más plana que la normal, la distribución se le considera achatada o planticúrtica y si es más aguda se le denomina apuntada o leptocúrtica. Si la curva es normal se dice que es mesocúrtica. La curtosis es una medida de altura de la curva y por tanto está representada por el cuarto momento de la media. En la misma forma que para la asimetría, su cálculo se efectúa en función de la desviación típica y de los momentos unidimensionales de orden cuatro con respecto a la media aritmética: = 4 = 4 4 4 4 Σ( − )4 4 = Σ( − )4 N = Σ 4 N CAPÍTULO CUATRO MEDIDAS DE DISPERSION, DE DEFORMACION Y APUNTAMIENTO =3 >3 <3 → → → Ejemplo 1. Calcular el grado de apuntamiento en la siguiente distribución: K{¸U \ % Ejemplo 2. Con los siguientes datos: Se pide calcular: X~ #% X~ % 171 172 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO o : EJERCICIOS MISCELÁNEOS La gran mayoría de los ejercicios de este libro, se encuentran resueltos en el Sistema de Información en Línea SIL. < K U K | UK | K K U U { K Se pide: a) Trabajando con los datos originales calcular la desviación típica, desviación mediana y el % b) Agrupar los datos en una tabla de frecuencias, teniendo en cuenta que la amplitud es constante J Xm % |% * < –y USKU J%X < CAPÍTULO CUATRO MEDIDAS DE DISPERSION, DE DEFORMACION Y APUNTAMIENTO a) ¿Cuál de las dos distribuciones presenta una menor variabilidad absoluta? b) ¿Cuál de ellas presenta una mayor variabilidad relativa? X * J X $ %X # JX b) Calcular el grado de apuntamiento en esa distribución, determinando si es normal, achatada o apuntada. V% * < n n n n n n n n N f f f f f f f X X # X % % < , , 1 a) Varianza b) Desviación típica X d) Desviación media e) Desviación mediana {% { <X #YX % K%* < l) Corresponde a datos agrupados , , 1 ’ ’ 1 Se pide determinar: a) En cuál distribución se observa una mayor variabilidad absoluta? b) En cuál distribución se observa una menor variabilidad relativa? X * { $ relativa? 173 174 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO U% * | JWX K% X ! # | X ! # { | observaciones? % \ JWX <J {X X ~ ! ! $ #J X! b) Calcule el grado de apuntamiento. % ~ $ siguientes estadísticas: MEDIDAS TURNO I TURNO II \ U K Salario medio mensual V|% {%KU% Varianza {% VK% a) Comparar los salarios en los dos turnos en cuanto a variabilidad absoluta y relativa. X { % X $ > ¤KK% | % { % % grado de simetría o asimetría, indicando hacia qué lado, lo mismo que el grado de apuntamiento. Además calcular: \ ,−1 − \ , Q 2,1 6 6,1 10 10,1 14 14,1 18 18,1 22 22,1 26 Σ 3 12 25 11 7 2 60 ; ’−1 − ; ’ ) X b) El puntaje típico, si se tiene queun valor de y{K c) La desviación media y mediana |% W > $ K $ ¤%% ~ ¤{% U% X $ $ > X >$ $ % <xi<K{ < a) Desviación media b) Desviación mediana CAPÍTULO CUATRO MEDIDAS DE DISPERSION, DE DEFORMACION Y APUNTAMIENTO c) Desviación típica X d) Comprobar que De Da< S V% <x Æ{{ÇCVy–y 8 Z x |% * {x V[x]%Z x – y |{% = ! # ! |K% 's obreros del mismo y trabajo muestran los siguientes resultados en un período determinado OBREROS &'_'W* A B Tiempo promedio para el desarrollo de su trabajo K U Desviación típica 8 a) ¿Cuál grupo es el más regular en el desarrollo de su trabajo? b) ¿Cuál grupo es el más rápido en terminar el trabajo? |U% + #< # & $ U U _! U ' K X! # Recurrimos a los profesores que en un análisis han podido reunir más información sobre el rendimiento del curso donde se encuentra el estudiante. = <#U & $ K _! UK ' % W$ # <| % b) ¿Su opinión se mantiene igual respecto al rendimiento de este estudiante? |%* W K\ > siguientes resultados: NÚMERO DE RECLAMACIONES NÚMERO DE USUARIOS K { { K 8 U 4 4 U K | { Se pide hallar: a) El promedio de reclamos b) La varianza y su desviación típica X 175 176 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO ESTADÍSTICA Y MUESTREO Síntesis de capítulo Síntesis de capítulo En el resumen del capítulo anterior, se decía que no basta con calcular el promedio para describir el comportamiento de un conjunto de datos, sino que además, en numerosos casos, requiere de la aplicación de alguna de las medidas de dispersión, las que nos determinan la extensión que ocupan los valores de la variable respecto al valor promedio elegido. Supongamos que dos personas conocedoras de estadística se dedican a lanzar dardos y en el primer lanzamiento ambos lo colocan el tercer círculo uno arriba y el otro abajo, es de imaginar que ambos se sientan satisfechos del lanzamiento, pues lograron la misma distancia con respecto al centro. Se puede sacar como conclusión que el punto central fue para ellos menos importante y la atención se centró más en la distancia o dispersión que a dar en el blanco o punto central. El cálculo de un promedio para dos grupos puede ser igual, como por ejemplo el promedio de # U| # {{$ U # U$ K! le recomendaría a su hermano si hubiese necesidad de elegir uno de ellos? En este ejemplo Y # % Son varias las medidas o varios los procedimientos que nos indican el mayor o menor grado de dispersión, siendo la más conocida la desviación estándar o desviación típica. La varianza es el procedimiento que nos permite llegar a la desviación típica, con el inconveniente que no se expresa en la misma unidad de medida de la variable, ya que siempre corresponde al cuadrado de ella, así se tendrá: metros, kilos, horas al cuadrado, en cambio la desviación estándar % expresa en porcentajes, permite realizar mejor la comparación de la dispersión entre dos o más distribuciones, cuando las variables están expresadas en unidades de medidas diferentes. Decimos que una distribución es simétrica, cuando la media, mediana y la moda calculada en una variable son iguales. El grado de simetría o asimetría en una distribución se obtiene # % + siendo considerada no normal, ya que no tiene la forma de campana de Gauss que siempre utilizamos para indicar una distribución simétrica. Finalmente recordemos que los valores observados, si bien es cierto se repiten, en conjunto son diferentes si las comparamos entre sí, por lo tanto esta dispersión no puede pasar desapercibida y su información radica cuando tiende a agruparse alrededor del promedio, de ahí que no solo \ $ > ! estudiar la variación, cuando encontramos diferentes distribuciones con diversos grados de %^ # > %

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