MATEMÁTICA DISCRETA
Clase 1 - Conjuntos
(en revisión y construcción)
UCC
César Germán Maglione
14 de marzo de 2024
C.G.Maglione (UCC)
Clase 1 - Conjuntos
14/03/2024
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Temario
1
Conjuntos, Elementos y Subconjuntos
Especificación de conjuntos
Subconjuntos
Subconjunto - propiedades
Conjunto Universo y Conjunto Vacío
2
Operaciones con conjuntos
Unión e intersección
Complementos, diferencias y diferencias simétricas
Productos Fundamentales
3
Álgebra de Conjuntos, Dualidad
4
Conjuntos Finitos y Principio de Conteo
Conteo de elementos en conjuntos finitos
Principio de inclusión-exclusión
5
Clases, Conjuntos Potencia y Particiones
Conjunto potencia
Particiones
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Clase 1 - Conjuntos
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Conjuntos, Elementos y Subconjuntos
1
Conjuntos, Elementos y Subconjuntos
Especificación de conjuntos
Subconjuntos
Subconjunto - propiedades
Conjunto Universo y Conjunto Vacío
2
Operaciones con conjuntos
Unión e intersección
Complementos, diferencias y diferencias simétricas
Productos Fundamentales
3
Álgebra de Conjuntos, Dualidad
4
Conjuntos Finitos y Principio de Conteo
Conteo de elementos en conjuntos finitos
Principio de inclusión-exclusión
5
Clases, Conjuntos Potencia y Particiones
Conjunto potencia
Particiones
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Clase 1 - Conjuntos
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Conjuntos, Elementos y Subconjuntos
El concepto de conjunto es universal y aparece en todas las ramas
de la matemáticas, física y demás ciencias duras y no duras.
Definición
Un conjunto es una colección bien definida de objetos, que se denominan
elementos o miembros del conjunto.
Notación:
A, B, X, Y, . . . , denotan conjuntos;
a, b, x, y, . . . , denotan elementos de conjuntos.
Algunos sinónimos de “conjunto” son “clase”, “colección” y “familia”
Pertenencia a un conjunto
La pertenencia a un conjunto S se denota con ∈:
a ∈ S: el objeto a pertenece al conjunto S.
a, b ∈ S: los objetos a y b pertenecen al conjunto S.
c∈
/ S: el objeto c no pertenece al conjunto S.
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Conjuntos, Elementos y Subconjuntos
Especificación de conjuntos
Especificación de conjuntos
Hay dos formas:
una es por extensión : enumerando o nombrando sus elementos
separados por comas y escritos entre llaves {., · · · , .}:
A = {1, 3, 5, 7},
√
B = {π, e, 1010 , ± 2, Plutón, casa, estudiantes, a, b, · · · , z},
la otra es por comprensión : indicando las propiedades que
caracterizan o deben satisfacer los elementos del conjunto, P (n):
C = {x|x es un entero par, x > 0}
= {x|x = 2n, n ∈ N}, (¿que se observa aquí?)
Notación: la recta vertical | o la diagonal / se lee “tal que” y la coma “y”.
Observar:
a
A = {x/x es un entero positivo impar, x < 10};
b
B = {2, 4, 6, · · · }, 8 ∈ B, 3 ∈
/ B;
c
E = {x|x2 − 3x + 2 = 0}, F = {2, 1}, G = {1, 2, 2, 1}. Luego, E = F = G.
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Conjuntos, Elementos y Subconjuntos
Subconjuntos
Subconjuntos
Suponga: todo elemento de un conjunto A también es un elemento de
un conjunto B; i.e., si a ∈ A implica que a ∈ B, luego:
A es un subconjunto de B, o también que A está contenido en B o
que B contiene a A:
A ⊆ B o B ⊇ A.
Igualdad de conjuntos
Dos conjuntos A y B son iguales si ambos tienen los mismos elementos
o, equivalentemente, si cada uno está contenido en el otro:
A = B ⇔ A ⊆ B y B ⊆ A.
(⇔ significa “si y solo si”)
Si A no es un subconjunto de B —porque al menos un elemento
de A no pertenece a B— se escribe A ⊈ B.
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Conjuntos, Elementos y Subconjuntos
Subconjunto - propiedades
Subconjunto - propiedades
Notación: una línea vertical “|” o una diagonal “/” sobre un símbolo indica el opuesto o
negativo del símbolo.
Propiedad 1: La declaración A ⊆ B no excluye la posibilidad de que A = B. De hecho:
∀A ⇒ A ⊆ A, ya que todo elemento de A pertenece a A.
Si A ⊆ B y A ̸= B, entonces se dice que A es un subconjunto propio de B: A ⊂ B.
Propiedad 2: Suponga que todo elemento de un conjunto A pertenece a un conjunto B y
que todo elemento de B pertenece a un conjunto C. Entonces todo elemento de A también
pertenece a C. En otras palabras, si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C.
Teorema
Sean A, B y C tres conjuntos cualesquiera. Entonces:
1
A⊆A
2
Si A ⊆ B y B ⊆ A ⇒ A = B
3
Si A ⊆ B y B ⊆ C ⇒ A ⊆ C
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Conjuntos, Elementos y Subconjuntos
Conjunto Universo y Conjunto Vacío
Todos los conjuntos que se estudian en cualquier aplicación de la
teoría de conjuntos pertenecen a un gran conjunto fijo denominado
universo o conjunto universal :
U := conjunto universal.
Dados un conjunto y una propiedad P , puede no haber elementos
que tengan la propiedad P . Un conjunto que no tiene elementos se
denomina conjunto vacío o conjunto nulo y se denota por
∅ = {}.
Ejemplo: S = {x|x es un entero positivo ∧ P (x) : x2 = 3}
Sólo hay un conjunto vacío: si S y T son vacíos, entonces S = T , ya que tienen
exactamente los mismos elementos, a saber, ninguno.
El conjunto vacío también se considera como un subconjunto de cualquier otro
conjunto.
Observar que: {0} =
̸ ∅, y ∅ =
̸ {∅}, ya que {∅} es un conjunto con un
elemento, a saber, el conjunto vacío. (y: #∅ = 0)
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Conjuntos, Elementos y Subconjuntos
Conjunto Universo y Conjunto Vacío
Teorema
Para cualquier conjunto A, se tiene ∅ ⊆ A ⊆ U .
A y B son conjuntos ajenos o disjuntos , si no tienen
elementos en común.
Ejemplo: A = {1, 2}, B = {4, 5, 6}, C = {5, 6, 7, 8}; A y B son
disjuntos; A y C son disjuntos; B y C no. Observar que si A y B
son disjuntos, entonces ninguno es un subconjunto del otro (a
menos que... uno sea el conjunto vacío).
Símbolos especiales
N = conjunto de números naturales o enteros positivos: 1, 2, 3, . . . ;
Z = conjunto de todos los enteros: . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . ;
R = conjunto de números reales;
C = conjunto de números complejos.
Observe que N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C.
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Operaciones con conjuntos
1
Conjuntos, Elementos y Subconjuntos
Especificación de conjuntos
Subconjuntos
Subconjunto - propiedades
Conjunto Universo y Conjunto Vacío
2
Operaciones con conjuntos
Unión e intersección
Complementos, diferencias y diferencias simétricas
Productos Fundamentales
3
Álgebra de Conjuntos, Dualidad
4
Conjuntos Finitos y Principio de Conteo
Conteo de elementos en conjuntos finitos
Principio de inclusión-exclusión
5
Clases, Conjuntos Potencia y Particiones
Conjunto potencia
Particiones
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Operaciones con conjuntos
Unión e intersección
Unión e intersección
La unión de dos conjuntos A y B, que se denota por A ∪ B, es el
conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B:
A ∪ B = {x|x ∈ A o x ∈ B}.
(Aquí “o” se usa en el sentido incluyente de y/o.)
La intersección de dos conjuntos A y B, que se denota por A ∩ B ,
es el conjunto de los elementos que pertenecen tanto a A como a B:
A ∩ B = {x|x ∈ A y x ∈ B}.
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Operaciones con conjuntos
Unión e intersección
Supongamos que:
S =A∪B y A∩B =∅,
Entonces S se denomina unión disjunta de A y B.
Ejemplo:
a
Sean A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7}, C = {2, 3, 8, 9}, entonces:
b
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},
A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 8, 9},
B ∪ C = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A ∩ B = {3, 4},
A ∩ C = {2, 3},
B ∩ C = {3}.
Sean U el conjunto de estudiantes en una universidad, M el
conjunto de estudiantes varones y F el conjunto de estudiantes
mujeres. U es la unión disjunta de M y F ; es decir, U = M ∪ F y
M ∩ F = ∅ Esto se debe a que cualquier estudiante en U está en
M o en F , y resulta evidente que ningún estudiante pertenece
tanto a M como a F ; es decir, M y F son disjuntos.
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Operaciones con conjuntos
Unión e intersección
Propiedad 1: Todo elemento x en A ∩ B pertenece tanto a A como a B; así, x pertenece
a A y x pertenece a B. Entonces, A ∩ B es un subconjunto de A y de B; a saber, A ∩ B ⊆ A
y A ∩ B ⊆ B.
Propiedad 2: Un elemento x pertenece a la unión A ∪ B si x pertenece a A o x pertenece
a B; así, cualquier elemento en A pertenece a A ∪ B, y cualquier elemento en B pertenece a
A ∪ B. Es decir, A ⊆ A ∪ B y B ⊆ A ∪ B.
Teorema 2.1
Para dos conjuntos A y B arbitrarios, se tiene:
A∩B ⊆A⊆A∪B y
A ∩ B ⊆ B ⊆ A ∪ B.
La inclusión de conjuntos se relaciona con las operaciones de unión e intersección:
Teorema 2.2
Las siguientes expresiones son equivalentes:
A ⊆ B, A ∩ B = A, A ∪ B = B.
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Operaciones con conjuntos
Complementos, diferencias y diferencias simétricas
Complementos y diferencias
El complemento absoluto o, simplemente, el complemento
de un conjunto A, denotado por Ac , es el conjunto de elementos
que pertenecen a U , pero que no pertenecen a A:
Ac = {x|x ∈ U , x ∈
/ A}. (A′ , o Ā)
El complemento relativo de un conjunto B respecto de un
conjunto A o, la diferencia de A y B, denotado por A \ B , es
el conjunto de elementos que pertenecen a A, pero que no
pertenecen a B:
A \ B = {x|x ∈ A, x ∈
/ B}. (A − B, A ∼ B)
La diferencia simétrica de los conjuntos A y B, denotada por
A ⊖ B, consta de los elementos que pertenecen a A o a B pero no a
ambos:
A ⊖ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) o A ⊖ B = (A \ B) ∪ (B \ A).
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Operaciones con conjuntos
Complementos, diferencias y diferencias simétricas
Ejemplos
Suponga que U = N = {1, 2, 3, . . . } es el conjunto universo. Sean
A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7}, C = {2, 3, 8, 9}, E = {2, 4, 6, . . . }.
(Aquí E es el conjunto de enteros pares.) Entonces:
AC = {5, 6, 7, . . . }, B C = {1, 2, 8, 9, 10, . . . }, E C = {1, 3, 5, 7, . . . }
Es decir, E C es el conjunto de enteros positivos impares. También:
A \ B = {1, 2},
A \ C = {1, 4},
B \ C = {4, 5, 6, 7},
A \ E = {1, 3},
B \ A = {5, 6, 7},
C \ A = {8, 9},
C \ B = {2, 8, 9},
E \ A = {6, 8, 10, 12, . . . }.
Además:
A ⊖ B = (A \ B) ∪ (B \ A) = {1, 2, 5, 6, 7},
B ⊖ C = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9},
A ⊖ C = (A \ C) ∪ (B \ C) = {1, 4, 8, 9},
A ⊖ E = {1, 3, 6, 8, 10, . . . }.
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Operaciones con conjuntos
Complementos, diferencias y diferencias simétricas
Ejemplos
Suponga que U = N = {1, 2, 3, . . . } es el conjunto universo. Sean
A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7}, C = {2, 3, 8, 9}, E = {2, 4, 6, . . . }.
(Aquí E es el conjunto de enteros pares.) Entonces:
AC = {5, 6, 7, . . . }, B C = {1, 2, 8, 9, 10, . . . }, E C = {1, 3, 5, 7, . . . }
Es decir, E C es el conjunto de enteros positivos impares. También:
A \ B = {1, 2},
A \ C = {1, 4},
B \ C = {4, 5, 6, 7},
A \ E = {1, 3},
B \ A = {5, 6, 7},
C \ A = {8, 9},
C \ B = {2, 8, 9},
E \ A = {6, 8, 10, 12, . . . }.
Además:
A ⊖ B = (A \ B) ∪ (B \ A) = {1, 2, 5, 6, 7},
B ⊖ C = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9},
A ⊖ C = (A \ C) ∪ (B \ C) = {1, 4, 8, 9},
A ⊖ E = {1, 3, 6, 8, 10, . . . }.
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Operaciones con conjuntos
Productos Fundamentales
Productos Fundamentales
Considere n conjuntos distintos A1 , A2 , . . . , An . Un producto fundamental de los
conjuntos es un conjunto de la forma
A∗1 ∩ A∗2 ∩ · · · ∩ A∗n , donde A∗i = A o A∗i = Ac
Hay m = 2n de estos productos fundamentales.
Cualesquiera dos productos fundamentales arbitrarios son disjuntos.
El conjunto universo U es la unión de todos los productos fundamentales.
Así, U es la unión disjunta de los productos fundamentales.
P1 = A ∩ B ∩ C,
c
P2 = A ∩ B ∩ C ,
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P3 = A ∩ B c ∩ C,
c
c
P4 = A ∩ B ∩ C ,
P5 = Ac ∩ B ∩ C,
c
c
P6 = A ∩ B ∩ C ,
Clase 1 - Conjuntos
P7 = Ac ∩ B c ∩ C,
P 8 = Ac ∩ B c ∩ C c
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Álgebra de Conjuntos, Dualidad
1
Conjuntos, Elementos y Subconjuntos
Especificación de conjuntos
Subconjuntos
Subconjunto - propiedades
Conjunto Universo y Conjunto Vacío
2
Operaciones con conjuntos
Unión e intersección
Complementos, diferencias y diferencias simétricas
Productos Fundamentales
3
Álgebra de Conjuntos, Dualidad
4
Conjuntos Finitos y Principio de Conteo
Conteo de elementos en conjuntos finitos
Principio de inclusión-exclusión
5
Clases, Conjuntos Potencia y Particiones
Conjunto potencia
Particiones
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Álgebra de Conjuntos, Dualidad
Leyes del álgebra de conjuntos
Los conjuntos bajo las operaciones de unión , intersección y
complemento satisfacen varias leyes o identidades:
Cada ley en la tabla 1-1 se deduce a partir de una ley lógica equivalente.
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Clase 1 - Conjuntos
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Álgebra de Conjuntos, Dualidad
Dualidad
Las identidades en la tabla 1-1 están dispuestas por pares.
los pares de leyes en la tabla 1-1 son duales entre sí.
Principio de dualidad: si cualquier ecuación E es una identidad,
entonces su dual E ∗ también es una identidad.
Suponga que E es una ecuación de álgebra de conjuntos. El dual E ∗ de
E es la ecuación que se obtiene al sustituir cada aparición de ∪, ∩, U y
∅ en E por ∩, ∪, ∅ y U , respectivamente.
Ejemplo:
E : (U ∩ A) ∪ (B ∩ A) = A −→ E ∗ : (∅ ∪ A) ∩ (B ∪ A) = A
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Clase 1 - Conjuntos
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Conjuntos Finitos y Principio de Conteo
1
Conjuntos, Elementos y Subconjuntos
Especificación de conjuntos
Subconjuntos
Subconjunto - propiedades
Conjunto Universo y Conjunto Vacío
2
Operaciones con conjuntos
Unión e intersección
Complementos, diferencias y diferencias simétricas
Productos Fundamentales
3
Álgebra de Conjuntos, Dualidad
4
Conjuntos Finitos y Principio de Conteo
Conteo de elementos en conjuntos finitos
Principio de inclusión-exclusión
5
Clases, Conjuntos Potencia y Particiones
Conjunto potencia
Particiones
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Clase 1 - Conjuntos
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Conjuntos Finitos y Principio de Conteo
Conjuntos finitos/infinitos/numerables/no numerables
Los conjuntos son finitos o infinitos.
Un conjunto S es finito si S es vacío o contiene exactamente m elementos,
donde m es un entero positivo; en caso contrario, S es infinito.
Ejemplo:
a
El conjunto A de las letras del alfabeto español y el conjunto D de los días de la
semana son conjuntos finitos; A tiene 29 elementos y D tiene 7 elementos.
b
Sea E el conjunto de enteros positivos pares, y sea I el intervalo unitario:
E = {2, 4, 6, . . . }, I = [0, 1] = {x| 0 ≤ x ≤ 1}. (E y I son infinitos).
Un conjunto S es numerable si S es finito o si es posible disponer los
elementos de S como una sucesión, en cuyo caso se dice que S es
infinito numerable; en caso contrario, se dice que S es no numerable.
El conjunto E anterior de enteros positivos pares es infinito numerable, mientras es
posible demostrar que el intervalo unitario I = [0, 1] es no numerable.
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Clase 1 - Conjuntos
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Conjuntos Finitos y Principio de Conteo
Conteo de elementos en conjuntos finitos
Conteo - Cardinalidad
Denotamos el número de elementos en un conjunto S con
cardinalidad de S : −→ n(S), |S|, o #(S) o card(S)
Lema 4.1
Suponga que S es la unión disjunta de los conjuntos finitos A y B.
Entonces S es finito y
n(S) = n(A ∪ B) = n(A) + n(B).
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Clase 1 - Conjuntos
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22 / 32
Conjuntos Finitos y Principio de Conteo
Conteo de elementos en conjuntos finitos
Recordar: Dado dos conjuntos arbitrarios A y B, el conjunto A es la
unión disjunta de A \ B y A ∩ B. Así, el lema 1.6 proporciona el:
Corolario 4.1
Sean A y B conjuntos finitos. Entonces:
n(A \ B) = n(A) − n(A ∩ B).
Ejemplo:
Suponga que en un curso de arte A hay 25 estudiantes, de los cuales 10
llevan un curso B de biología. Entonces el número de estudiantes en el
curso A que no están en el curso B es:
n(A \ B) = n(A) − n(A ∩ B) = 25 − 10 = 15.
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Clase 1 - Conjuntos
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23 / 32
Conjuntos Finitos y Principio de Conteo
Conteo de elementos en conjuntos finitos
Recordar: Dado cualquier conjunto A, el conjunto universo U es la
unión disjunta de A y Ac . Luego, por el lema 1.6:
Corolario 4.2
Sea A un subconjunto de un conjunto universo U. Entonces:
n(Ac ) = n(U ) − n(A)
Ejemplo:
Suponga que en un curso U con 30 estudiantes hay 18 estudiantes de
tiempo completo. Entonces en el curso U hay 30 − 18 = 12 estudiantes
de tiempo parcial.
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Clase 1 - Conjuntos
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24 / 32
Conjuntos Finitos y Principio de Conteo
Principio de inclusión-exclusión
Principio de inclusión-exclusión
¿Qué pasa con #(A ∪ B) cuando A y B (finitos) no son disjuntos?
Teorema 4.1
Suponga que A y B son conjuntos finitos. Entonces A ∪ B y A ∩ B son
finitos y
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).
Es decir, el número de elementos en A o en B (o en ambos) se
encuentra, primero, al sumar n(A) y n(B) (inclusión) y luego al restar
n(A ∩ B) (exclusión), ya que sus elementos se contaron dos veces.
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Conjuntos Finitos y Principio de Conteo
Principio de inclusión-exclusión
Principio de inclusión-exclusión
¿Qué pasa si consideramos tres conjuntos?
Corolario 4.3
Suponga que A, B y C son conjuntos finitos. Entonces A ∪ B ∪ C es
finito y
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C)
− n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C).
Para generalizar aún más este resultado a cualquier número de
conjuntos finitos se aplica la inducción matemática.
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Clase 1 - Conjuntos
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26 / 32
Conjuntos Finitos y Principio de Conteo
Principio de inclusión-exclusión
Ejemplo/ejercicio
Suponga que una lista A contiene los 30 estudiantes de un curso de
matemáticas, y otra lista B contiene los 35 estudiantes de un curso de
inglés, y que en ambas listas hay 20 nombres. Encuentre el número de
estudiantes:
a
sólo en la lista A (es decir sólo toman clase de matemáticas),
b
sólo en la lista B (es decir, sólo toman clase de inglés),
c
en la lista A o en la lista B (o en ambas),
d
exactamente en una lista (es decir, sólo estudian matemáticas o
sólo estudian inglés).
Solución:
a
La lista A contiene 30 nombres, 20 de ellos están en la lista B; así, 30 − 20 = 10
nombres están sólo en la lista A.
b
De manera semejante, 35 − 20 = 15 nombres están sólo en la lista B.
c
Se busca n(A ∪ B). Por el principio de inclusión-exclusión,
#(A ∪ B) = #(A) + #(B) − #(A ∩ B) = 30 + 35 − 20 = 45. En otras palabras, se
combinan las dos listas y luego se eliminan los 20 nombres que aparecen dos veces.
d
Por los incisos a) y b), 10 + 15 = 25 nombres están sólo en una lista; es decir,
#(A ⊖ B) = 25.
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Conjuntos Finitos y Principio de Conteo
Principio de inclusión-exclusión
Ejemplo/ejercicio
Suponga que una lista A contiene los 30 estudiantes de un curso de
matemáticas, y otra lista B contiene los 35 estudiantes de un curso de
inglés, y que en ambas listas hay 20 nombres. Encuentre el número de
estudiantes:
a
sólo en la lista A (es decir sólo toman clase de matemáticas),
b
sólo en la lista B (es decir, sólo toman clase de inglés),
c
en la lista A o en la lista B (o en ambas),
d
exactamente en una lista (es decir, sólo estudian matemáticas o
sólo estudian inglés).
Solución:
a
La lista A contiene 30 nombres, 20 de ellos están en la lista B; así, 30 − 20 = 10
nombres están sólo en la lista A.
b
De manera semejante, 35 − 20 = 15 nombres están sólo en la lista B.
c
Se busca n(A ∪ B). Por el principio de inclusión-exclusión,
#(A ∪ B) = #(A) + #(B) − #(A ∩ B) = 30 + 35 − 20 = 45. En otras palabras, se
combinan las dos listas y luego se eliminan los 20 nombres que aparecen dos veces.
d
Por los incisos a) y b), 10 + 15 = 25 nombres están sólo en una lista; es decir,
#(A ⊖ B) = 25.
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Clase 1 - Conjuntos
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Clases, Conjuntos Potencia y Particiones
1
Conjuntos, Elementos y Subconjuntos
Especificación de conjuntos
Subconjuntos
Subconjunto - propiedades
Conjunto Universo y Conjunto Vacío
2
Operaciones con conjuntos
Unión e intersección
Complementos, diferencias y diferencias simétricas
Productos Fundamentales
3
Álgebra de Conjuntos, Dualidad
4
Conjuntos Finitos y Principio de Conteo
Conteo de elementos en conjuntos finitos
Principio de inclusión-exclusión
5
Clases, Conjuntos Potencia y Particiones
Conjunto potencia
Particiones
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Clases, Conjuntos Potencia y Particiones
Clases de conjuntos
Dado un conjunto S:
¿se puede formar nuevos conjuntos a partir de sus elementos?
¡Si! −→ conjunto de conjuntos!
Clases de conjuntos o colección de conjuntos [{, . . . }, . . . ].
Si se quiere considerar algunos de los conjuntos en una clase de
conjuntos dada, entonces se tiene una subclase o subcolección.
Ejemplo:
Suponga que S = {1, 2, 3, 4}.
1 Sea A la clase de subconjuntos de S que contiene exactamente tres
elementos de S. Entonces A = [{1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}].
2 Sea B la clase de subconjuntos de S, donde cada uno contiene al 2
y a otros dos elementos de S. Entonces
B = [{1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {2, 3, 4}]. Así, B es una subclase de A, ya
que cada elemento de B también es un elemento de A.
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Clases, Conjuntos Potencia y Particiones
Clases de conjuntos
Dado un conjunto S:
¿se puede formar nuevos conjuntos a partir de sus elementos?
¡Si! −→ conjunto de conjuntos!
Clases de conjuntos o colección de conjuntos [{, . . . }, . . . ].
Si se quiere considerar algunos de los conjuntos en una clase de
conjuntos dada, entonces se tiene una subclase o subcolección.
Ejemplo:
Suponga que S = {1, 2, 3, 4}.
1 Sea A la clase de subconjuntos de S que contiene exactamente tres
elementos de S. Entonces A = [{1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}].
2 Sea B la clase de subconjuntos de S, donde cada uno contiene al 2
y a otros dos elementos de S. Entonces
B = [{1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {2, 3, 4}]. Así, B es una subclase de A, ya
que cada elemento de B también es un elemento de A.
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Clases, Conjuntos Potencia y Particiones
Conjunto potencia
Conjunto potencia
Dado un conjunto S, la clase de todos los subconjuntos de S se
denomina conjunto potencia de S y se denota P (S). Si S es finito,
entonces también P (S) lo es.
El número de elementos en P (S) es:
#(P (S)) = 2#(S) .
Ejemplo:
Suponga que S = {1, 2, 3}. Entonces
P (S) = [∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, S].
Observe que el conjunto vacío ∅ pertenece a P (S), ya que ∅ es un
subconjunto de S. En forma semejante, S pertenece a P (S). Como era
de esperar, P (S) tiene #(P (S)) = 23 = 8 elementos.
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Clases, Conjuntos Potencia y Particiones
Particiones
Partición
Definición:
Sea S un conjunto no vacío. Una partición de S es una subdivisión de S
en subconjuntos no vacíos que no se traslapan.
Con más precisión: una partición de S es una colección {Ai } de
subconjuntos no vacíos llamados celdas de S tal que:
i. Cada a en S pertenece a uno de los Ai .
ii. Los conjuntos {Ai } son mutuamente disjuntos:
Aj ̸= Ak ⇒ Aj ∩ Ak = ∅.
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Clases, Conjuntos Potencia y Particiones
Particiones
Ejemplo/ejercicio
Considere las siguientes colecciones de subconjuntos de
S = {1, 2, . . . , 8, 9} y decida cuál constituye una partición de S:
i) [{1, 3, 5}, {2, 6}, {4, 8, 9}],
ii) [{1, 3, 5}, {2, 4, 6, 8}, {5, 7, 9}],
iii) [{1, 3, 5}, {2, 4, 6, 8}, {7, 9}].
Entonces i) no es una partición de S puesto que 7 está en S y no
pertenece a ninguno de los subconjuntos. Además, ii) no es una
partición de S puesto que {1, 3, 5} y {5, 7, 9} no son ajenos. Por otra
parte, iii) es una partición de S.
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Clases, Conjuntos Potencia y Particiones
Particiones
Ejemplo/ejercicio
Considere las siguientes colecciones de subconjuntos de
S = {1, 2, . . . , 8, 9} y decida cuál constituye una partición de S:
i) [{1, 3, 5}, {2, 6}, {4, 8, 9}],
ii) [{1, 3, 5}, {2, 4, 6, 8}, {5, 7, 9}],
iii) [{1, 3, 5}, {2, 4, 6, 8}, {7, 9}].
Entonces i) no es una partición de S puesto que 7 está en S y no
pertenece a ninguno de los subconjuntos. Además, ii) no es una
partición de S puesto que {1, 3, 5} y {5, 7, 9} no son ajenos. Por otra
parte, iii) es una partición de S.
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