pineda-enteros aritmetica modular grupos finitos

Enteros, aritmética modular y grupos finitos Enteros, aritmética modular y grupos finitos Av. San Rafael Atlixco, No. 186 Col. Vicentina, Del. Iztapalapa C.P. 09340, México, D.F. Tel. 58044600 Mario Pineda Ruelas i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page i — #1 i i Enteros, aritmética modular y grupos finitos Mario Pineda Ruelas Departamento de Matemáticas, uam-i i i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page ii — #2 i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page iii — #3 i i Enteros, aritmética modular y grupos finitos Mario Pineda Ruelas Departamento de Matemáticas, uam-i Universidad Autónoma Metropolitana i i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page iv — #4 i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page i — #5 i i Dedico este trabajo a Josué, porque encontró en estos temas gusto y preocupación. Enero del 2010 A doña Irma, la que inventó mi ser. Enero del 2015 i i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page ii — #6 i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page iii — #7 i i Prefacio Este libro que hojeas por primera vez estimado lector, es una recopilación de lo que el hombre ha creado durante miles de años; la aritmética. En él encontrarás un estudio sistemático y formal de lo que en tu vida cotidiana ya sabı́as: sumar, restar, multiplicar y dividir con números enteros. Por ejemplo calculas longitudes, áreas o volúmenes sin saberlo; hago como 45 minutos a mi casa desde la UAM-I, no caben todas las sillas en este salón, debo partir un pastel en 12 partes iguales, etc.. Has estado involucrado tal vez sin reflexionarlo en la geometrı́a, el análisis y en las estructuras algebraicas que describen tu mundo cercano e imaginario. Estas notas no son un recetario de teoremas, lemas o corolarios, es una mirada formal a uno de los edificios más bellos en los que está parada toda la matemática. Cultivarás si te lo propones, la belleza, intensidad, ingenio, sorpresa y pasión por los temas que aquı́ te propongo. De acuerdo a mi experiencia en las aulas, estoy convencido que los jóvenes estudiantes de cursos de matemáticas, tienen el talento necesario para entender una demostración, con el riesgo de que hasta les guste y les pueda crear vicio por la justificación y se conviertan en seres cautelosos; ası́ es el espı́ritu de poetas, filósofos, escritores, pintores, fı́sicos, quı́micos, computólogos y matemáticos, entre otros. Es un hecho, los jóvenes estudiantes fracasan en clase no porque esperemos en deması́a de ellos, sino porque de ellos esperamos muy poco. Nuestro reto como instructores consiste en sembrar en ellos la belleza, intensidad, ingenio, sorpresa y la pasión de las matemáticas, aunque no se vayan a dedicar a ellas. El profesor deberá ir mas allá de la simple exposición de los temas. Estas notas y otras, podrán lograr muy poco si la actitud del expositor o el instructor no demuestra interés hacia el aprendizaje de sus escuchas. El tratamiento del primer capı́tulo es tradicional y seguramente el lector podrá encontrar algo distinto de lo que se trata en los textos convencionales. Para estudiar una introducción a la teorı́a de grupos, uno debe conocer i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page iv — #8 iv i i Prefacio muy bien al grupo por excelencia: Z. El capı́tulo 2 esencialmente es una recopilación del legado de Gauss. La importancia de calcular raı́z cuadrada en un campo de caracterı́stica 0 tuvo un papel importante pen el desarrollo de las matemáticas. Los griegos intuı́an la existencia de 2 pero no comprendı́an su significado. Con el desarrollo de la matemática y con el descubrimiento p de los campos finitos, ahora la pregunta natural es ¿qué significado tiene n en un campo con p elementos Fp , donde p es un número primo impar? En los números reales R es fácil saber si un número es o no un cuadrado; basta con que éste sea positivo. En un campo finito no es tan evidente. El sı́mbolo de Legendre resuelve en buena medida cómo identificar cuadrados y hasta ahı́ nos quedamos porque no existe hasta ahora, un patrón o modelo que identifique en dónde se encuentran. En R, casi la mitad de los números son un cuadrado, con la diferencia que en un campo finito, los cuadrados tienen una distribución no tan buena como en R. No es fácil saber cuál es la distribución de los cuadrados en Fp . En el capı́tulo 4 hacemos un estudio del anillo de los enteros gaussianos Z[i], el cual es un ejemplo de una estructura algebraica que contiene al anillo Z. Ahı́ notaremos que lo que aprendimos de Z en el capı́tulo 1, se puede extender a los nuevos enteros (gaussianos). Este capı́tulo es una invitación para aquellos interesados en incursionar en temas avanzados de teorı́a algebraica de los números, pero antes deberán estudiar anillos y campos, pasando por la teorı́a de Galois. Cuando estudiamos la historia del álgebra moderna uno se enfrenta a dos preguntas ineludibles: ¿qué es un grupo? ¿qué es la teorı́a de grupos? Dependiendo de la respuesta (que depende del tiempo en que la ubiquemos), es el camino que elegimos para escribir sobre la teorı́a de grupos. Ası́, si respondemos que los grupos son permutaciones (teorema de Cayley), entonces le damos más significado aritmético: recordemos los problemas que plantearon Galois y Abel al tratar de resolver ecuaciones polinomiales. Galois asociaba un grupo (no sabı́a lo que era un grupo, sólo lo intuı́a) a una ecuación polinomial y deducı́a la posible solubilidad del polinomio en términos de las propiedades del grupo asociado. Sin embargo, otro punto de vista aceptado en la actualidad, y parece que con éxito, es el geométrico a través de las simetrı́as. No tengo dudas en que ésta es una de las razones por las cuales otras disciplinas como la fı́sica y la quı́mica han adoptado a la teorı́a de grupos como un recurso importante en algunas de sus investigaciones. He elegido el primer punto de vista y con ello, presento la evolución de una teorı́a: desde la definición de grupo, pasando por el i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page v — #9 i v teorema de Lagrange y planteando la pregunta guı́a: ¿para qué divisores del orden de un grupo finito existen subgrupos de ese tamaño? Ası́ llegamos a los subgrupos de Sylow. En alguna de las secciones estudiamos las simetrı́as de un cuadrado y creo que ese es el momento oportuno de introducir los grupos dihédricos como grupos de simetrı́as de polı́gonos regulares. Si el lector lo decide, puede utilizar esta sección para dar comienzo al estudio de la teorı́a de grupos. No está por demás recordarlo pero, la filosofı́a de un curso introductorio de teorı́a de grupos finitos debe ser el presentar ese gran proyecto de finales del siglo xix: “It would be of the greatest interest if it were possible to give an overview of the entire collection of finite simple groups” Serı́a del mayor interés si fuera posible dar una descripción de la colección completa de los grupos finitos simples Ası́ comienza el artı́culo [15] de Otto Hölder escrito en 1892, año en que nació el programa propuesto por el profesor Hölder que ha llevado poco más de 110 años para ser considerado completamente resuelto. Es una labor titánica establecer el Teorema de Clasificación de los Grupos Simples Finitos que, de acuerdo al profesor Daniel Gorestein, la prueba contiene más de 10 000 páginas que son resultado de las investigaciones de más de 100 investigadores durante 110 años. En estas notas, damos algunas familias infinitas de grupos simples finitos, por ejemplo los grupos cı́clicos finitos y los grupos alternantes An , para n 5. Tres consejos prácticos para los jóvenes lectores: • Comprender los conceptos y definiciones es fundamental, no debe quedar duda alguna. • Leer una demostración sin los detalles técnicos. Una vez comprendida la filosofı́a de una demostración, intentar los detalles. • Trabajar en equipo es recomendable pues de esta manera se adquiere compromiso. Este trabajo fue arbitrado por tres profesionales de la matemática a los cuales agradezco su minuciosa lectura de mi obra. Los errores que ésta aún contenga, son de mi propiedad intelectual. Gracias señores árbitros. Mario Pineda Ruelas, Departamento de Matemáticas, Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa. Septiembre del 2011, México. i i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page vi — #10 i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page vii — #11 i Contenido i i Prefacio iii Capı́tulo 1. Los enteros Z 1.1. Algoritmo de la división 1.2. Máximo común divisor 1.3. Mı́nimo común múltiplo 1.4. Teorema Fundamental de la Aritmética 1.5. Sobre la factorización única y los números primos 1.6. Otras factorizaciones 1 1 7 13 15 18 21 Capı́tulo 2. Enteros módulo n, Zn 2.1. Congruencias 2.2. La congruencia ax ⌘ b (mod m) 2.3. Sistemas de congruencias de grado 1 2.4. La ecuación '(x) = n 2.5. La congruencia f (x) ⌘ 0 (mod m) 2.6. Lema de Hensel 2.7. La congruencia f (x) ⌘ 0 (mod p) 33 33 40 42 51 52 56 58 Capı́tulo 3. Cuadrados en Fp 3.1. Sı́mbolo de Legendre 3.2. Ley de reciprocidad cuadrática 3.3. Sı́mbolo de Jacobi 67 69 73 88 Capı́tulo 4. Los enteros gaussianos Z[i] 4.1. Divisibilidad en Z[i] 4.2. Factorización única en Z[i] 4.3. Números primos en Z[i] 4.4. Factorización explı́cita de un entero gaussiano 95 96 103 106 110 Capı́tulo 5. 115 Grupos i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page viii — #12 viii 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7. 5.8. 5.9. i i i i Contenido Grupos y subgrupos Subgrupos normales y anormales Homomorfismos de grupos Productos directos Teoremas de Sylow Importancia de los grupos simples finitos Grupo simétrico Grupos y geometrı́a El concepto de grupo abstracto: Teorema de Cayley 115 137 144 155 165 176 180 194 202 Bibliografı́a 207 Índice 209 i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 1 — #13 Capı́tulo i i 1 Los enteros Z 1.1. Algoritmo de la división En este trabajo N, Z, Q, R y C denotan a los números naturales, enteros, racionales, reales y complejos respectivamente. Por principio, no consideramos al número 0 como número natural y definimos N0 = N [ {0}. Asumimos que Z = {0, n, n : n 2 N}. Una de las herramientas más útiles en las matemáticas es el Principio de Inducción Matemática (PI) y su equivalente el Principio del Buen Orden (PBO). El PI nos brinda un método para hacer demostraciones de afirmaciones que involucran a los números naturales. Concretamente, el PI y el PBO afirman lo siguiente: Principio de Inducción Matemática: Sea S ✓ N tal que S satisface las siguientes propiedades: 1. 1 2 S. 2. Si 1, 2, . . . n 2 S, entonces n + 1 2 S. Entonces S = N. Observamos que si X = {x1 , x2 , . . . , xr } es un conjunto finito, entonces en X [ N también se cumple un Principio de Inducción. Simplemente definimos en X [ N un orden: xi  xj si i  j y xi < n para i = 1, 2, . . . , r y n 2 N. Lo anterior significa que hemos impuesto una formación en los elementos de X [ N = {x1 , . . . , xr , 1, 2, . . . }. Ahora reetiquetamos los elementos de X [ N de la siguiente manera: sea xr+i = i para i 2 N. Entonces X [ N = {x1 , . . . , xr , xr+1 , . . . }. Ası́: sea S ✓ X [ N tal que: 1. x1 2 S. 2. si x1 , . . . , xn 2 S, entonces xn+1 2 S. Entonces S = X [ N. En particular, el PI es válido en N0 . Para una espléndida exposición del PI el lector puede consultar el célebre libro de I. S. Sominski [23]. i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 2 — #14 2 i i Los enteros Z Principio del Buen Orden(PBO): cualquier subconjunto S 6= ; de N contiene un elemento m que satisface m  n para todo elemento n 2 S. Una observación simple pero muy útil es que el entero m es único. Al igual que como lo hicimos con el PI, podemos extender el PBO a otros conjuntos que contienen a N: si X = {x1 , x2 , . . . , xr } es un conjunto finito, definimos en X [ N un orden: xi  xj si i  j y xi < n para i = 1, 2, . . . , r y n 2 N. Reetiquetamos los elementos de X [N tal como lo hicimos en la discusión anterior y ya podemos plantear un PBO en X [N: cualquier subconjunto S 6= ; de X [N contiene un elemento xm que satisface xm  xn para todo elemento xn 2 S. Teorema 1.1.1. Sea NX = X [ N como en la discusión anterior. Entonces el Principio del Buen Orden es equivalente al Principio de Inducción. Demostración. Supongamos que el PBO se cumple. Sea S ✓ X [ N que satisface las condiciones 1 y 2 del PI y S c su complemento con respecto a N [ X. Si S c 6= ;, entonces existe xm 2 S c tal que xm  xn , para todo xn 2 S c y xm 6= x1 pues x1 2 S. Observemos en particular que xm 1 62 S c pues xm es el menor elemento de S c . Por lo tanto xm 1+1 = xm 2 S. Esto último no es posible pues xm 2 S c . Ası́, S c = ; y S = X [ N. Ahora supongamos el PI válido y sea S un subconjunto no vacı́o de X [ N. Vamos a suponer que el conjunto S no contiene un elemento xm tal que xm  x para todo x 2 S. Es claro que x1 62 S pues de lo contrario S tendrı́a un elemento menor. Sea C = {xn 2 X [ N : xn < x, para cualquier x 2 S}. Es claro que x1 2 C pues x1 < x para todo x 2 S. Mostraremos que si xk 2 C, entonces xk+1 2 C y luego usaremos el PI para concluir que C = X [ N. Si xk 2 C y xk+1 62 C, entonces para algún xl 2 S se tiene xl  xk+1 . Puesto que S no tiene un elemento menor, existe xt 2 S tal que xt < xl  xk+1 . Ası́ que xt < xk+1 y en consecuencia xt  xk . Esto último no es posible pues xk < xl . Este absurdo nace de suponer que xk+1 62 C. Por lo tanto xk+1 2 C y por el PI tenemos que C = X [ N. Particularmente, si x 2 S, se tiene que x 2 C. Esto significa que x < x, lo cual no es posible. Por lo tanto, S debe contener un elemento xm tal que xm  x para todo x 2 S. ⇤ Lector, ¿recuerda cuando en la escuela primaria ejecutaba divisiones con enteros?. Bueno, el siguiente resultado, que es uno de las herencias más importantes de las culturas ancestrales, nos justifica formalmente por i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 3 — #15 1.1 Algoritmo de la división i 3 qué podı́amos hacer nuestras divisiones tal como nos los enseñaron nuestros profesores. Teorema 1.1.2 (algoritmo de la división). Sean a, b 2 Z con a 6= 0. Existen enteros q y r únicos tales que b = aq + r donde 0  r < |a|. Demostración. Consideremos el conjunto S = {b am : m 2 Z}. Sea S0 = S \ N0 . Es claro que S0 6= ;. Por el PBO S0 contiene un elemento r que satisface r  n para todo n 2 S0 . Lo anterior nos asegura que r = b aq para algún q 2 Z. Ahora mostraremos la unicidad de q y r. Supongamos que b = aq1 + r1 = aq2 + r2 con 0  r1 < |a| y 0  r2 < |a|. Notemos que la igualdad a(q1 q2 ) = r2 r1 implica |a||q1 y como |a| < r2 r1 < |a|, tenemos que |a| < |a||q1 q2 | = |r2 r1 | q2 | < |a|. cancelando |a| obtenemos 1 < |q1 q2 | < 1 y ası́ q1 = q2 . De lo anterior, r1 = r2 . Por último, como a 6= 0 entonces a 1 ó a  1. Si a 1, tenemos que b a(q + 1) = b aq a < b aq = r, ası́ b a(q + 1) < 0 y por lo tanto r < a = |a|. El caso a  que b a(q 1) < 0. 1 es similar, se sigue al considerar ⇤ El algoritmo de la división puede ser usado para obtener un importante resultado sobre la representación de números naturales. Teorema 1.1.3. Si a > 1, entonces cualquier entero x > 0 tiene una expresión única de la forma x = b0 + b1 a + · · · + bn an con n 0, 0 < bn < a y 0  bi < a para 0  i  n 1. Demostración. La existencia de tal expresión la justificaremos con inducción sobre x. Si x = 1 el resultado es evidente. Supongamos que cualquier entero positivo m < x puede ser representado de manera única en la forma r 0 + r1 a + · · · + r k 1 a k 1 + r k a k , i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 4 — #16 i Los enteros Z 4 donde 0  ri < a, 0ik y rk > 0. Por el algoritmo de la división x = qa+r y 0  r < a. Si q = 0, entonces x = r es la representación que buscamos. Si q = x entonces r = 0, a = 1 es imposible pues por hipótesis a > 1. Lo anterior nos permite suponer que 0 < q < x. Por hipótesis de inducción tenemos q = r 0 + r 1 a + · · · + rk con 0  ri < a y rk > 0. Entonces x = aq + r = rk ak+1 + rk 1a k 1a k 1 + rk a k , + · · · + r1 a 2 + r0 a + r y con un cambio de ı́ndices apropiado obtenemos que x = b 0 + b1 a + · · · + b n a n . Por último mostraremos la unicidad de esta representación: Concretamente, demostraremos que si x = b0 + b1 a + · · · + bn a n = c 0 + c 1 a + · · · + c j a j entonces n = j y bi = ci para i = 1, 2, . . . , n.. Si nuestra afirmación es falsa tenemos que 0 = h0 + h1 a + · · · + h s a s , con |hi | < a para 0  i  s y hi = ci hi  a 1 y ası́ as  |hs as | = |h0 + h1 a + · · · + hs hs 6= 0, bi . Puesto que |hi | < a, entonces 1a s 1  |h0 | + |h1 |a + · · · + |hs  (a = (a lo cual es absurdo. 1) + (a s>0 1 |a | s 1 1)a + · · · + (a 1)(1 + a + · · · + as 1 1)as ) = as 1 1 ⇤ La expresión x = b0 + b1 a + · · · + bn an se conoce como la representación en base a de x. Ejemplo 1.1.4. El ejemplo natural es a = 10. Cualquier número natural tiene una representación única n = a0 + a1 10 + a2 102 + · · · + ar 10r . i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 5 — #17 1.1 Algoritmo de la división i 5 Ejemplo 1.1.5. Si a = 2, entonces el número 1475 que está en base 10 lo podemos escribir como: 1475 = 1·20 +1·21 +0·22 +0·23 +0·24 +0·25 +1·26 +1·27 +1·28 +0·29 +1·210 Si x 2 R, definimos la función bxc como el mayor entero menor o igual a x. La función bxc satisface que bxc  x < bxc+1. De lo anterior podemos concluir fácilmente bxc 1  x 1 < bxc  x, es decir, x 1 < bxc  x. La función b c se conoce como la función mayor entero menor o igual que o función piso. El siguiente resultado nos da una caracterización del cociente q en el algoritmo de la división. Teorema 1.1.6. Sean a, b 2 Z como en el algoritmo de la división. ⌫ b 1. Si a 1, entonces q = . a ⌫ b 2. Si a  1 y r = 0, entonces q = . a⌫ b 3. Si a  1 y r > 0, entonces q = + 1. a Demostración. Si a 1, entonces aq  aq + r = b < aq + a = a(q + 1). De esta forma obtenemos que q y por lo tanto b =q yq= a De lo anterior se⌫sigue la primera afirmación. Si a  1 y r = 0, entonces b r . Por último, si a  1 y r > 0, entonces 1 < < 0. a a obtenemos q y por lo tanto i i b <q+1 a ⌫ b + 1 = q. a 1<q+ r b = <q a a ⇤ i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 6 — #18 i i Los enteros Z 6 Ahora ya podemos comenzar propiamente nuestro estudio de la teorı́a de la divisibilidad en Z. Sean a, b 2 Z. De acuerdo al algoritmo de la división, si a 6= 0, entonces b = aq + r con 0  r < |a|. Si r = 0 entonces diremos que a divide a b o que b es múltiplo de a o que a es un divisor de b. Escribiremos a | b si a divide a b y a - b en caso contrario. El concepto de divisibilidad se puede adoptar casi en cualquier conjunto en el que se pueda sumar y multiplicar. Por ejemplo en anillos y campos. La definición es prácticamente la misma: Si D es un anillo conmutativo y a, b 2 D con a 6= 0, diremos que a divide a b en D si b = aq para algún q 2 D. Es importante hacer notar que la noción de divisibilidad depende no solo de los elementos a, b que se elijan, sino que también depende del conjunto en el cual se trabaje. Por ejemplo, 7 divide a 6 en Q y 7 no divide a 6 en Z. Teorema 1.1.7. Sean a, b, c 2 Z. Las siguientes afirmaciones son ciertas: 1. Si a 6= 0, entonces a | 0, 1 | a, a | a. 2. Si a | b y b | c, entonces a | c. 3. Si a | x1 , a | x2 , . . . , a | xn , entonces a 4. Si b 6= 0 y a | b, entonces |a|  |b|. 5. Si a | b y b | a, entonces |a| = |b|. 6. Si a | b y c | d, entonces ac|bd. n X i=1 ↵i xi para todo ↵i 2 Z. Demostración. Las afirmaciones 1,2,3,5 y 6 son consecuencia directa de la definición de divisibilidad. Para la afirmación 4, si b 6= 0 y a | b entonces b = aq, por tanto |b| = |a||q|. Pero b 6= 0 implica que |q| 1 lo cual quiere decir que |a|  |a||q| = |b|. Esto último significa que cualquier entero distinto de 0 solo admite un número finito de divisores. ⇤ Con respecto a la afirmación 3 del teorema anterior, proponemos una versión elemental: si a | x1 y a | x2 , entonces a | x1 + x2 . Pregunta: ¿es cierta la afirmación inversa?, es decir, si a | x1 +x2 , entonces ¿a | x1 y a | x2 ? La respuesta es no, por ejemplo, si n > 1, entonces n | 1 + (n 1), n - 1 y n - n 1. La afirmación correcta es: si a | x1 + x2 y a | x1 , entonces a | x2 . Dejamos al lector que justifique esta afirmación. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 7 — #19 1.2 Máximo común divisor i 7 1.2. Máximo común divisor Consideremos los enteros 42 y 56. Observamos que 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 son los divisores positivos de 42. Los números 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56 son los divisores positivos de 56. Notamos que 42 y 56 comparten los divisores 1, 2, 14 y el mayor de ellos es 14. Como es de esperarse, un divisor en común de los enteros a, b es un entero c tal que c | a y c | b. El divisor en común positivo y mayor lo llamaremos el máximo común divisor de a y b. Este entero lo denotaremos como mcd(a, b). En nuestro caso mcd(42, 56) = 14. Observamos que si a = 0, entonces a admite como divisores a todos los enteros, excepto 0. Por tanto, si a = b = 0, entonces a y b no tienen un divisor en común más grande. Por tanto, para que exista el máximo común divisor de los enteros a, b, es necesario que al menos a 6= 0 ó b 6= 0. Por otro lado, por la afirmación 1 del Teorema 1.1.7, 1 | a y 1 | b, entonces mcd(a, b) 1. En el caso particular que mcd(a, b) = 1, diremos que a y b son primos relativos. En el siguiente resultado mostraremos dos de las propiedades más importantes del mcd en Z. Teorema 1.2.1. Si a, b 2 Z con a ó b distinto de 0, entonces se cumple: 1. Existen x0 , y0 2 Z tal que mcd(a, b) = ax0 + by0 . 2. Si c 2 Z y c | a, c | b, entonces c | mcd(a, b). Demostración. 1. Sea g = mcd(a, b). Consideremos el conjunto S = {ax + by > 0}. Si a 6= 0, entonces x = a e y = b implican que S \ N 6= ;, ası́ que por el PBO existen x0 , y0 2 Z tales que d = ax0 + by0 es el menor entero positivo en S. Si d - a entonces por el algoritmo de la división a = dq + r y 0 < r < d. Ası́ r=a dq = a q(ax0 + by0 ) = a qax0 qby0 = a(1 qx0 ) + b( qy0 ). Por tanto r 2 S lo cual es absurdo. De lo anterior se sigue que d es un divisor común de a y b y ası́ d  g. Finalmente, como g | a y g | b, entonces g | ax0 , g | by0 y ası́ g | d. Por tanto g = d. La segunda afirmación del teorema es muy sencilla pues si c | a y c | b entonces c | ax0 + by0 y por tanto c | g. ⇤ En la prueba anterior de paso obtuvimos que el mcd(a, b) es la mı́nima combinación lineal positiva de los enteros a y b. Notemos también que los i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 8 — #20 i Los enteros Z 8 enteros x0 , y0 no necesariamente son únicos, por ejemplo: 2 = mcd(2, 4) = 2( 1) + 4(1) = 2(5) + 4( 2). Corolario 1.2.2 (teorema de Euclides). Si a | bc y mcd(a, b) = 1, entonces a | c. ⇤ Una función f (x1 , x2 , . . . , xn ) 2 Z[x1 , x2 , . . . , xn ] es conocida como ecuación diofantina. Estas ecuaciones llevan el nombre de diofantinas en honor a Diofanto de Alejandrı́a 1. A continuación estudiamos la ecuación diofantatina más sencilla. Teorema 1.2.3. Sean a, b, c 2 Z con a 6= 0 ó b 6= 0, g = mcd(a, b). La ecuación ax + by = c tiene solución en los enteros x, y si y solo si g | c. Si ax + by = c es soluble en Z y x0 , y0 es una solución particular, entonces cualquier solución x, y tiene la forma x = x0 b1 t, y = y0 + a1 t, donde a = ga1 , b = gb1 y t 2 Z. Demostración. Aprovechamos el teorema 1.2.1. Sean x0 , y0 2 Z tales que ax0 + by0 = c. Entonces a = ga1 , b = gb1 y ax0 + by0 = ga1 x0 + gb1 y0 = g(a1 x0 + b1 y0 ) = c. Por tanto g | c. Recı́procamente, supongamos que g | c y g = ak0 + bl0 . Entonces c = gt para algún t 2 Z. Ası́ c = gt = a(k0 t) + b(l0 t) y una solución es x = k0 t, y = l0 t. Para la segunda afirmación, si x, y es cualquier solución, entonces ax0 + by0 = ax + by = c, de donde a(x0 x) = b(y y0 ). Por lo tanto a1 (x0 x) = b1 (y y0 ). Por lo anterior b1 | x0 x y a1 | y y0 pues mcd(a1 , b1 ) = 1. Ası́ x0 x = b1 t para algún t 2 Z y x = x0 b1 t. Puesto que a1 (x0 concluimos que y = y0 + a1 t. x) = a1 b1 t = b1 (y y0 ), ⇤ 1Diofanto nació en Alejandrı́a entre los años 200 y 214 d.C. Se sabe con certeza que vivió 84 años gracias al célebre epitafio redactado en forma de problema. Murió entre 284 y 298 d.C. Diofanto es reconocido fundamentalmente por su obra Arithmetica, obra que consta de 13 libros de los cuales solo se conocen 6. En la edición de 1621 comentada por Bachet de Méziriac, es donde Pierre de Fermat hace sus comentarios al margen del libro, que serı́a publicado en 1670 por el hijo de Fermat. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 9 — #21 1.2 Máximo común divisor i 9 Corolario 1.2.4. Sean a, b 2 Z con a 6= 0 ó b 6= 0. Entonces mcd(a, b) = 1 si y solo si la ecuación ax + by = 1 es soluble en los enteros x, y. ⇤ Corolario 1.2.5. Sean a1 , a2 , . . . , as 2 Z \ {0}. Para 1  j  s, s ⇣Y ⌘ mcd(aj , m) = 1 si y solo si mcd ai , m = 1. ⇤ i=1 Corolario 1.2.6. Sean a, b 2 Z con a 6= 0 ó b 6= 0. mcd(a, b) = 1 si y solo mcd(ak , bl ) = 1 para todo k, l 2 N . Entonces ⇤ Si a y b son divisores del entero c, entonces no necesariamente el producto ab es un divisor de c. Por ejemplo, 2 | 8 y 8 | 8, pero ( 2)(8) - 8. Aún ası́, tenemos el siguiente resultado: Corolario 1.2.7. Si a | c, b | c y mcd(a, b) = 1, entonces ab | c. Demostración. Supongamos que 1 = ax0 + by0 , c = at1 = bt2 , para ciertos x0 , y0 , t1 , t2 2 Z. Entonces c = cax0 + cby0 = abt2 x0 + abt1 y0 = ab(t2 x0 + t1 y0 ) ⇤ y por tanto ab | c. Corolario 1.2.8. Si c 6= 0, entonces mcd(ca, cb) = |c| mcd(a, b). Demostración. Sea d = mcd(ca, cb), d0 = |c| mcd(a, b) y mcd(a, b) = ax0 + by0 . Como ca = dt0 y cb = dt1 tenemos que |c|a = ±dt0 y |c|b = ±dt1 , ası́ d | |c|ax0 y d | |c|by0 . Por tanto d | |c|(ax0 + by0 ), de donde d | d0 . El caso d0 | d es análogo. ⇤ ⇣a b ⌘ Corolario 1.2.9. Si g = mcd(a, b), entonces mcd , = 1. g g Demostración. Escribimos g = ax0 + by0 , entonces 1 = observamos que a b , son enteros. g g a b x 0 + y0 y g g ⇤ Dejamos al lector la demostración de las siguientes propiedades elementales del mcd: 1. mcd(a, b) = mcd(b, a). 2. mcd(a, b) = mcd(|a|, |b|). 3. mcd(a, b) = |a| si y solo si a | b. i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 10 — #22 i i Los enteros Z 10 4. Si a 6= 0, entonces mcd(a, 0) = |a|. Teorema 1.2.10. Sean a, b con a 6= 0 ó b 6= 0. Sea d 2 Z un divisor común de a y b con la siguiente propiedad: si c | a y c | b, implica que c | d. Entonces d = ± mcd(a, b). Demostración. Si escribimos g = mcd(a, b), entonces g es un divisor común de a y b. Por tanto g | d. Ahora, si escribimos g = ax0 + by0 , entonces d | ax0 + by0 . Por la afirmación 5 del teorema 1.1.7, |g| = |d|. ⇤ Notemos que las condiciones sobre d en el teorema 1.2.10 junto con la condición d > 0 pueden ser tomadas como la definición de mcd. Sin embargo esta definición también depende del orden en Z y de que cualquier entero diferente de 0 solo tiene un número finito de divisores. Debido a esto, en otro tipo de estructuras algebraicas, el teorema 1.2.10 es la definición de mcd y ésta aparece en casi todos los textos clásicos de álgebra moderna. Un dominio entero es un conjunto D 6= ; en el cual se puede sumar y multiplicar. La suma satisface cuatro propiedades: 1. Si a, b, c 2 D, entonces a + (b + c) = (a + b) + c. 2. Si a, b 2 D, entonces a + b = b + a. 3. D contiene un elemento distinguido e con la propiedad e + a = a para cualquier a 2 D. El elemento e se llama neutro aditivo. 4. Si a 2 D, entonces existe b 2 D tal que a + b = e. Existencia de inversos aditivos. El producto o multiplicación satisface: 1. Si a, b, c 2 D, entonces a(bc) = (ab)c. 2. Si a, b 2 D, entonces ab = ba. 3. Si a, b, c 2 D \ {e}, entonces ab = ac implica b = c. Adicionalmente, ambas operaciones tienen algo que ver una con la otra por medio de la propiedad distributiva: si a, b, c 2 D, entonces a(b + c) = ab+ac. Notamos que al producto no se le pide que satisfaga la existencia de un neutro y no necesariamente existen los inversos multiplicativos. Como ejemplos de dominios enteros tenemos los siguientes: Ejemplo 1.2.11. Z es un dominio entero. Ejemplo 1.2.12. Q, R ó C son dominios enteros. p Ejemplo 1.2.13. El conjunto A = {m + n 10 : m, n 2 Z} es un dominio entero contenido en R y las operaciones que le dan estructura de dominio entero son la suma y producto usuales de R. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 11 — #23 1.2 Máximo común divisor i 11 Al final del capı́tulo daremos un ejemplo similar al ejemplo 1.2.13 para incentivar una discusión acerca de la factorización y su relación con la existencia del mcd. En los “Elementos” [6], uno de los documentos testimoniales más importantes en la literatura matemática, Euclides2 hizo una recopilación del conocimiento de la geometrı́a y la aritmética de su época. En el libro ix aparece por primera vez la aplicación más importante del célebre algoritmo de la división. Teorema 1.2.14 (algoritmo de Euclides). Sean a, b 2 Z con a 6= 0 ó b 6= 0. Apliquemos el algoritmo de la división tal como se indica a continuación: a = bq1 + r1 , b = r1 q 2 + r2 , r1 = r2 q 3 + r3 , .. .. . . r k 2 = r k 1 q k + rk , rk 1 = rk qk+1 , 0 < r1 < |b|, 0 < r2 < r1 , 0 < r3 < r2 , 0 < rk < rk 1, Si rk es el último residuo distinto de 0, entonces rk = mcd(a, b). Demostración. Si a = 0 y b 6= 0, entonces mcd(0, b) = |b| y por lo tanto el teorema es válido. Por lo anterior podemos suponer que a 6= 0 6= b. Vamos a mostrar algo más general: si a = bq + r, entonces mcd(a, b) = mcd(b, r). En efecto, si g = mcd(a, b) y g1 = mcd(b, r), entonces g | a y g | b y por tanto g | a bq, es decir, g | r. Por lo anterior, g | b y g | r y ası́ g | g1 . Análogamente g1 | g. Finalmente notemos que rr | rk 1 , ası́ que mcd(rk , rk 1 ) = rk y por lo tanto rk = mcd(rk , rk 1) = · · · = mcd(r1 , r2 ) = mcd(b, r1 ) = mcd(a, b). ⇤ 2 Euclides. Fundador de la escuela de matemáticas de la Universidad de Alejandrı́a, recibió probablemente su formación matemática en la Academia Platónica de Atenas; desgraciadamente poco se sabe de su vida. Algunos historiadores lo ubican 300 a.C. Su obra más sobresaliente es Los elementos el cual es resultado de una recopilación sistemática de trabajos anteriores sobre geometrı́a, teorı́a de números y álgebra elemental. i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 12 — #24 i i Los enteros Z 12 Ejemplo 1.2.15. Cálculemos mcd(37, 125): 125 = 37 · 3 + 14, 37 = 14 · 2 + 9, 14 = 9 · 1 + 5, 9 = 5 · 1 + 4, 5 = 4 · 1 + 1, 4 = 1 · 4 + 0. Por tanto mcd(37, 125) = 1. Sin temor a equivocarnos, el algoritmo de Euclides es uno de los resultados más apreciados por su simplicidad y por su vigencia. Este ha servido como ejemplo teórico para producir algoritmos en computación. A continuación enunciamos algunos resultados que involucran al mcd. Teorema 1.2.16. Si a, b 2 Z y k 2 N son tales que ak | bk , entonces a | b. Demostración. Si g = mcd(a, b), entonces a = ga1 , b = gb1 . De acuerdo al corolario 1.2.9, mcd(a1 , b1 ) = 1. Por el corolario 1.2.2, mcd(ak1 , bk1 ) = 1. Por tanto ak1 g k | bk1 g k y ası́ ak1 | bk1 . De lo anterior mcd(ak1 , bk1 ) = |ak1 | = 1. Como a1 = ±1, obtenemos que a = ±g y a | b. ⇤ Lema 1.2.17. Si a, b, d 2 Z son tales que mcd(a, b) = 1 y d | a + b, entonces mcd(d, a) = mcd(d, b) = 1. Demostración. Si mcd(a, d) = g, entonces g | a y g | d. De lo anterior obtenemos que g | a + b y g | b. Por lo tanto g | mcd(a, b) y g = 1. De manera similar se prueba que mcd(b, d) = 1. ⇤ Teorema 1.2.18. Sean a, b 2 Z tales que mcd(a, b) = 1. Dado el entero m 6= 0, la sucesión {a + bk}k2Z contiene una infinidad de números primos relativos con m. Demostración. Sea A = {x 2 N : mcd(x, a) = 1, x | m}. Puesto que 1 2 A y m admite solo un número finito de divisores, A es un conjunto finito. Sea c = max{x 2 A}. Consideremos el entero g = mcd(a + bc, m). Dado que c 2 A y mcd(a, b) = 1, tenemos que mcd(a, bc) = 1. Como g | a + bc, por el lema 1.2.17 concluimos lo siguiente: mcd(g, a) = mcd(g, bc) = mcd(a, bc) = mcd(g, c) = 1. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 13 — #25 1.3 Mı́nimo común múltiplo i 13 Además, c | m, g | m y mcd(g, c) = 1, entonces gc | m y ası́ gc 2 A. Puesto que c es el elemento mayor en A, necesariamente g = 1, es decir, mcd(a + bc, m) = 1. Con c y m como antes, consideremos la sucesión {k = c + lm}l2Z . Mostraremos que mcd(a + kb, m) = 1. Sea g = mcd(a + bk, m) = mcd(a + bc + blm, m). Entonces g | a + bc con mcd(a, bc) = 1. Aplicando nuevamente el lema 1.2.17, mcd(g, a) = mcd(g, bc) = 1. De mcd(g, bc) = 1 y por el corolario 1.2.5 es fácil ver que mcd(g, c) = 1. Puesto que g | m, c | m y mcd(g, c) = 1, entonces por el corolario 1.2.7 obtenemos que gc | m y por tanto g = 1. ⇤ El teorema anterior es una versión débil del famoso teorema de Dirichlet, el cual asegura que la sucesión {a + bk} contiene una infinidad de primos (aún no hemos definido qué es un número primo). Desafortunadamente para demostrar el teorema de Dirichlet se necesita mucho más que una introducción a la teorı́a de números. 1.3. Mı́nimo común múltiplo Sean a1 , . . . , ak 2 Z \ {0}. Cualquier entero x tal que ai | x, (i = 1, . . . , k) lo llamaremos múltiplo común de los ai ’s. Consideremos el conjunto S = {x 2 N : ai | x}. k Y Observamos que el entero ai 2 S, y por lo tanto S 6= ;. Por el PBO i=1 existe N 2 S tal que N  x para todo x 2 S. Al número N lo llamaremos el mı́nimo común múltiplo (mcm) de los enteros a1 , . . . , ak y lo denotaremos como mcm(a1 , . . . , ak ). ¿Por qué pedir que los ai ’s sean diferentes de 0? De manera similar al mcd, el mcm tiene la siguiente propiedad universal que lo caracteriza. Teorema 1.3.1. Sean a1 , . . . , ak 2 Z \ {0} y N = mcm(a1 , . . . , ak ). Si c es cualquier múltiplo común de los ai ’s, entonces N | c. Demostración. Supongamos que existe un múltiplo común M de los ai ’s tal que N - M . Por el algoritmo de la división tenemos que M = N q +r con 0 < r < N . Como M, N son múltiplos en común de los ai ’s, entonces existen enteros xi , yi tales que M = xi ai , N = yi ai con i = 1, . . . , k. Por lo i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 14 — #26 i i Los enteros Z 14 anterior r es un múltiplo común positivo de los ai ’s y r < N , ası́ que N no es el mı́nimo. ⇤ Lema 1.3.2. Sean a1 , a2 enteros diferentes de 0. El número |a1 a2 | mcd(a1 , a2 ) tiene las siguientes propiedades : |a1 a2 | 1. 2 N. mcd(a1 , a2 ) |a1 a2 | 2. ai , i = 1, 2. mcd(a1 , a2 ) |a1 a2 | 3. Si x 2 Z satisface que a1 | x y a2 | x, entonces x. mcd(a1 , a2 ) Demostración. Primero observemos que mcd(a1 , a2 ) | |a1 |. Por lo tanto mcd(a1 , a2 ) | |a1 a2 |. La segunda afirmación es consecuencia de las siguientes igualdades: |a1 a2 | |a2 | |a1 | = ±a1 = ±a2 . mcd(a1 , a2 ) mcd(a1 , a2 ) mcd(a1 , a2 ) Para la tercera afirmación consideremos d = mcd(a1 , a2 ) con a1 = dq1 , a2 = dq2 , x = a1 r = a2 t, y mcd(q1 , q2 ) = 1. Puesto que a1 r = dq1 r = a2 t = dq2 t, entonces q1 | q2 t, ası́ q1 | t y t = q1 s. De la igualdad a1 a2 x = a2 t = dq2 t = s(dq1 q2 ) = s d se sigue el resultado. ⇤ Enseguida tenemos una consecuencia inmediata. Teorema 1.3.3. Si N = mcm(a1 , a2 ), entonces N = |a1 a2 | . mcd(a1 , a2 ) Demostración. De acuerdo a la afirmación 2 del lema 1.3.2, el número |a1 a2 | es un múltiplo común de a1 , a2 . Aplicando el teorema 1.3.1 mcd(a1 , a2 ) |a1 a2 | obtenemos que N . Por otro lado, si x = N en la afirmación 3 mcd(a1 , a2 ) |a1 a2 | del teorema anterior, entonces N. Por tanto mcd(a1 , a2 ) i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 15 — #27 1.4 Teorema Fundamental de la Aritmética i 15 |a1 a2 | = N, mcd(a1 , a2 ) o equivalentemente mcm(a1 , a2 ) mcd(a1 , a2 ) = |a1 a2 |. Corolario 1.3.4. Si mcd(a, b) = 1, entonces mcm(a, b) = |ab|. Demostración. Se sigue de la fórmula mcm(a, b) mcd(a, b) = |ab|. ⇤ ⇤ Puesto que mcm(4, 4, 12) mcd(4, 4, 12) 6= |4 · 4 · ( 12)|, el teorema 1.3.3 no es válido para más de dos enteros. Corolario 1.3.5. Si m es un entero diferente de cero, entonces mcm(ma, mb) = |m| mcm(a, b). Demostración. Se sigue del corolario 1.2.8 y del teorema 1.3.3. ⇤ ¿Para calcular el mcm de dos enteros es necesario un algoritmo, como el algoritmo de Euclides? 1.4. Teorema Fundamental de la Aritmética En los enteros diferentes de 0 definimos una relación: a ⇠ b si y solo si a | b y b | a. El lector puede verificar que ⇠ es de equivalencia. Si a ⇠ b entonces por la afirmación 5 del teorema 1.1.7 es claro que b = ±a. Ası́, cada clase de equivalencia contiene exactamente dos elementos, a saber, a = {a, a}. Lo anterior puede ser una buen razón para estudiar divisibilidad o algunas cuestiones aritméticas solo en enteros positivos. Cualquier entero a 6= 0, ±1 tiene al menos cuatro divisores: ±1, ±a. Si un número a con |a| > 1 tiene exactamente estos cuatro divisores, entonces diremos que a es un número primo. Si a es primo, entonces evidentemente a es primo, ası́ que por esta razón será suficiente estudiar los números primos positivos. Reservamos las letras p, q para referirnos a números primos. Establecemos el siguiente convenio: p es primo si y solo si p > 1 y sus únicos divisores positivos son 1 y p. Si un entero positivo n no es primo, entonces diremos que es compuesto, es decir, n es compuesto si n se puede escribir como n = ab con 1 < a, b < n. Lema 1.4.1. Cualquier entero m > 1 admite al menos un divisor primo. i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 16 — #28 i i Los enteros Z 16 Demostración. Si m es primo no hay nada que demostrar. Ası́ que podemos suponer que m es compuesto. De lo anterior, m admite un divisor positivo 1 < a1 < m. Si a1 es primo terminamos. Si no lo es, a1 admite un divisor a2 con 1 < a2 < a1 . Si a2 es primo terminamos. Si no, continuamos con este proceso el cual debe ser finito pues estamos encontrando una sucesión de enteros 1 < . . . < a2 < a1 < m la cual es finita. ⇤ Corolario 1.4.2. Si m > 2, entonces existe un primo p tal que m < p < m! Demostración. El número z = m! 1 > 1 tiene un divisor primo p  z. Si p  m, entonces p | 1, lo cual es imposible. Por tanto m < p  m! 1 < m!. ⇤ Teorema 1.4.3 (teorema de Euclides). Existe un número infinito de números primos. Demostración. Considera m suficientemente grande en el corolario anterior. ⇤ Observación: una lectura rápida al lema 1.4.1 nos dice que cualquier entero m 6= 0, ±1 lo podemos escribir escribir, en teorı́a, como un producto finito de primos (no necesariamente diferentes). Lema 1.4.4. Si p es un primo tal que p | ab, entonces p | a ó p | b. Demostración. Supongamos que p - a. Vamos a mostrar que p | b. Si p - a, entonces mcd(p, a) = 1. Aplicando el corolario 1.2.2 tenemos p | b. ⇤ En estos momentos tal vez sea difı́cil apreciar una de las propiedades más importantes de Z. Esta se refiere a la factorización única de sus elementos. Notemos que si p, q son primos positivos y p | q, entonces p = q. Teorema 1.4.5 (Teorema Fundamental de la Aritmética). Todo entero 6= 0, ±1 se puede escribir en forma única (salvo el orden) como un producto finito de números primos. Demostración. De acuerdo al lema 1.4.1 y la observación al final de su prueba, solo debemos justificar la unicidad. Supongamos que m = p1 p 2 · · · p k = q 1 q 2 · · · q s . i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 17 — #29 1.4 Teorema Fundamental de la Aritmética i 17 Afirmamos que pi = qj y k = s. En efecto, pues si en la factorización de m suponemos que k < s, entonces sabiendo que p1 | q1 q2 · · · qs obtenemos que p1 = qj para algún 1  j  s. Ordenando los primos si es necesario, podemos suponer que p1 = q1 . En la expresión p1 p2 · · · pk = q1 q2 · · · qs cancelamos p1 y q1 para obtener que p 2 · · · pk = q 2 · · · q s . Siguiendo este proceso llegamos a: p1 = q 1 , p2 = q2 , . . . , pk = qk . Ası́ que 1 = qk+1 qk+2 ...qs lo cual no es posible porque los qi son primos. Similarmente k > s nos conduce a un absurdo y por lo tanto k = s. ⇤ Teorema 1.4.6. Sean a, b > 1 y ab = xn con mcd(a, b) = 1 para cierto x 2 Z. Entonces a = y n y b = z n para ciertos enteros y, z. Demostración. Si x = p1 p2 · · · pr , entonces ab = xn = pn1 pn2 · · · pnr . En la lista {pn1 , pn2 , . . . , pnr } se encuentran exactamente los factores de a y b. Pues bien, vamos a encontrarlos. Como pn1 | ab y mcd(a, b) = 1 tenemos que pn1 | a ó pn1 | b pero no a ambos. Supongamos que pn1 | a. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que después de reordenar las potencias pn1 , pn2 , . . . , pnr , tenemos que pn1 , pn2 , . . . .pnk son los que dividen a a y pnk+1 , pnk+2 , . . . , pnr son los que dividen a b. Por lo tanto a = pn1 pn2 · · · pnk y b = pnk+1 pnk+2 · · · pnr . ⇤ El teorema anterior pareciera ocioso, pero en realidad es muy valioso. Existen anillos (anillos de enteros) en donde 1.4.6 no se cumple debido a que en esos anillos no es posible la factorización única como producto de elementos primos o irreducibles. Una aplicación elemental del teorema 1.4.6 es el siguiente: Corolario 1.4.7. Si n 2 N, entonces n(n + 1) no es un cuadrado. Demostración. Si n(n + 1) = a2 , entonces n = r2 y n + 1 = s2 para ciertos r, s 2 N. Esto es debido a que mcd(n, n + 1) = 1. Notemos que s2 r2 = (s + r)(s r) = 1. Lo anterior implica que n = 0. ⇤ ¿Cómo averiguar si un número entero positivo es compuesto o primo? La respuesta final no ha sido encontrada. Se conocen algunas técnicas que sirven como prueba de primalidad tal como lo anuncia el siguiente resultado. i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 18 — #30 18 i i Los enteros Z Teorema 1.4.8. Si m es p compuesto, entonces m admite al menos un divisor primo p tal que p  m. Demostración. Supongamos que p m = p 1 · · · ps y p 1  . . .  ps . Entonces claramente p21  m y ası́ p1  m. ⇤ El enunciado equivalente al del teorema p 1.4.8 nos asegura que: si un entero m no admite un divisor primo p  m, entonces m es un número primo. En la práctica, cuando tratamos de encontrar algún divisor de un m entero positivo m, intuimos que éste debe estar entre 2 y . Concretamente 2 tenemos: Teorema 1.4.9. Si el entero m es compuesto, entonces cualquier divim sor a 6= 1, m debe satisfacer 1 < a  . 2 Demostración. La justificación es bastante fácil. Si m = ab y m a 6= 1, m, entonces b 2. Por lo tanto 2a  ab = m y ası́ a  . ⇤ 2 p Si buscamos un divisor p primo de m, obtenemos primero m y con una lista de primos p  m, verificamos si alguno de ellos divide a m. Alternativamente, si solo buscamos h mun i divisor, con ensayo-error podemos verificar entre los enteros 2, 3, . . . , . ¿Cuál es el inconveniente de estos 2 métodos? La respuesta es simple: intente usar cualquiera de ellos con un entero de 10 dı́gitos solo usando lápiz y papel. Una computadora serı́a la opción. En tal caso intente con un entero de 150 dı́gitos. Permı́tame decirle lector, que el antiquı́simo problema de encontrar divisores de un entero es un problema tan actual, que existen investigaciones bastante serias y complicadas al respecto. Al lector interesado le sugerimos consultar [3]; ahı́ podrá ver qué antecedentes teóricos son necesarios para poder adentrarse en el tema. 1.5. Sobre la factorización única y los números primos Ya vimos qué tan complejo puede resultar encontrar divisores de un entero. Un problema ı́ntimamente relacionado es el de construir números primos consecutivos por medio de alguna fórmula o algoritmo eficiente. Un método relativamente fácil para encontar números primos consecutivos fue dado por Eratóstenes.3 Consideremos la sucesión 2, 3, 4, . . . . Denotamos 3Eratóstenes (276 a.C-194 a.C). Poeta, historiador, geógrafo, matemático, astrónomo y atleta nacido en Cirene, ciudad de la costa sur del Mediterráneo. Su celebridad se debe i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 19 — #31 1.5 Sobre la factorización única y los números primos i 19 por p1 = 2 el cual es el primer número primo. Quitemos de la sucesión 2, 3, . . . todos lo números mayores que p1 y que son múltiplos de 2. El primero de los números restantes que no fue removido es p2 = 3. Nuevamente quitemos de la sucesión todos los números mayores que p2 y que son múltiplos de p2 . El primero de los números que no fue removido es p3 = 5. Supongamos que después del k-ésimo paso encontramos el k-ésimo primo pk . Quitemos de la sucesión todos los números mayores que pk y que son divisibles por pk . En particular p1000 = 7919. El método descrito anteriormente es conocido como la criba de Eratóstenes. El nombre de criba refleja con precisión y belleza el objetivo del algoritmo ideado por éste extraordinario hombre: una criba es un aro o rectángulo de madera en donde una de sus tapas está cubierta de una fina red. Cribar significa, de acuerdo al Diccionario de la Real Academia Española, limpiar de impurezas con una criba. Los pueblos de la antiguedad usaban una criba para limpiar el trigo de impurezas. ¿Ha visto el lector cómo limpia un albañil la arena que va a utilizar para preparar una mezcla con cemento? En la tabla 1 hemos reproducido la criba de Eratóstenes hasta el número 400. Resaltan en negro los números primos. Observamos que cada 14 números consecutivos existe al menos un primo. Los renglones que contienen los números de 201 a 210 y 321 a 330 nos dictan el por qué cada 14 números consecutivos. Podemos conjeturar que si continuamos con la lista de manera similar, cada 14 números consecutivos, encontraremos al menos un número primo. Sea n 2 N con n 2. Observemos la siguiente sucesión: n! + 2, n! + 3, . . . , n! + n Lo primero que salta a la vista es que si 2  k  n, entonces k | n! + k. Lo anterior significa que la sucesión anterior está formada por n 2 números compuestos. ¿Y si n es suficientemente grande? ¿no que existe una infinidad de números primos? ¿en dónde se encuentran ubicados? La verdad es que la distribución de los primos es un problema bastante complicado y el lector interesado deberá incursionar en el lugar adecuado: la teorı́a analı́tica de los números. a haber calculado la longitud de la circunferencia de la tierra con un error de tan solo 90 km. También fue célebre en matemáticas por la invención de la criba que lleva su nombre y que sirve para encontrar números primos. Fue el tercer director de la Biblioteca de Alejandrı́a, cargo que ocupó por más de cuarenta años. i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 20 — #32 i i Los enteros Z 20 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121 131 141 151 161 171 181 191 201 211 221 231 241 251 261 271 281 291 301 311 321 331 341 351 361 371 381 391 2 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 112 122 132 142 152 162 172 182 192 202 212 222 232 242 252 262 272 282 292 302 312 322 332 342 352 362 372 382 392 3 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103 113 123 133 143 153 163 173 183 193 203 213 223 233 243 253 263 273 283 293 303 313 323 333 343 353 363 373 383 393 4 14 24 34 44 54 64 74 84 94 104 114 124 134 144 154 164 174 184 194 204 214 224 234 244 254 264 274 284 294 304 314 324 334 344 354 364 374 384 394 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 105 115 125 135 145 155 165 175 185 195 205 215 225 235 245 255 265 275 285 295 305 315 325 335 345 355 365 375 385 395 6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 106 116 126 136 146 156 166 176 186 196 206 216 226 236 246 256 266 276 286 296 306 316 326 336 346 356 366 376 386 396 7 17 27 37 47 57 67 77 87 97 107 117 127 137 147 157 167 177 187 197 207 217 227 237 247 257 267 277 287 297 307 317 327 337 347 357 367 377 387 397 8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 108 118 128 138 148 158 168 178 188 198 208 218 228 238 248 258 268 278 288 298 308 318 328 338 348 358 368 378 388 398 9 19 29 39 49 59 69 79 89 99 109 119 129 139 149 159 169 179 189 199 209 219 229 239 249 259 269 279 289 299 309 319 329 339 349 359 369 379 389 399 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 Tabla 1 i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 21 — #33 1.6 Otras factorizaciones i 21 1.6. Otras factorizaciones Desde varios puntos de vista, la factorización, no solo de enteros, es un problema importante en casi toda la matemática: factorizamos enteros, polinomios, matrices, etc. De las estructuras algebraicas más importantes que destaca en toda la matemática es el anillo de los números enteros Z. Razones puede haber hasta sentimentales, por ejemplo, desde nuestros inicios de la instrucción escolar aparece Z. No dudo en afirmarlo: es el prototipo de estructura algebraica que es una de las fuentes más importantes que provee problemas de investigación, gracias a que guarda muchos secretos. Posiblemente D. Hilbert4 fue el primer matemático en dar ejemplos de estructuras algebraicas simples que no tienen la propiedad de la factorización única. Ejemplo 1.6.1. Sea S4 = {4n + 1 : n 2 N}. Ası́ por ejemplo 17, 49, 121 2 S. El conjunto S4 es cerrado bajo productos pues (4n + 1)(4m + 1) es de la forma 4k + 1. Algunos elementos de S4 : 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, . . . Una definición apropiada de número compuesto en S4 : x 2 S4 es compuesto si x = ab para ciertos a, b 2 S4 . Por tanto, un número x 2 S4 es primo si para cualquier a, b 2 S4 se tiene que x 6= ab. Por ejemplo, 9, 77, 49, 121 son algunos primos en S4 y cualquier primo de la forma 4n + 1 es primo en S4 . Observemos la siguiente factorización en S4 : 5929 = 77 · 77 = 49 · 121. Por tanto S no tiene factorización única. ⇢✓ ◆ a a Ejemplo 1.6.2. Ahora con matrices. Sea S = :a2Z . a a Con el producto usual de matrices, si (x) denota cualquier elemento tı́pico de S, el lector puede verificar fácilmente que (y)(z) = (2yz). Diremos que (x) 2 S es compuesto si (x) = (y)(z) y (y), (z) 2 S. En caso contrario diremos que (x) es primo. Observamos que la matriz (1) no tiene la 4David Hilbert nació el 23 de enero de 1862 en Könisberg, Prusia Oriental hoy Rusia y murió el 14 de febrero de 1943 en Gotinga, Alemania. Sin duda, Hilbert fue uno de los matemáticos que más ha influido en la geometrı́a después de Euclides; fundador de la lógica matemática y la teorı́a de la demostración, entre otras. Proporcionó los fundamentos de la mecánica cuántica y la relatividad general. En 1900 propone una lista de 23 problemas que habrı́an de marcar el rumbo de las matemáticas durante la primera mitad del siglo XX. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 22 — #34 i Los enteros Z 22 propiedad esperada pues (x)(1) = (2x) 6= (x), de hecho S no tiene un elemento identidad. Observamos que si x = 2t, entonces (x) = (2t) = (1)(t) es compuesto. Si x = 2t + 1, entonces claramente no existen (y), (z) 2 S tal que (x) = (y)(z). Ası́ que (x) es primo si y solo si x es impar. Como caso particular, el siguiente ejemplo ✓ 4 4 4 4 ◆ = ✓ 1 1 1 1 ◆✓ 2 2 2 2 ◆ = ✓ 1 1 1 1 ◆✓ 2 2 2 2 ◆ nos hace sospechar que en S no existe la factorización única. Sea x = 2n q con q impar. Es claro que: 1. Si x = 2q, entonces (x) = (1)(q) = ( 1)( q). 2. Si x = 2n q y n > 1, entonces (x) = (1)n (q) = (1)n 1( 1)( q). La única matriz que se puede factorizar en forma única es ( 2) = ( 1)(1). Ejemplo 1.6.3. El matemático francés Claude Gaspar Bachet (15811638) se preguntaba cuántas soluciones enteras tiene la ecuación x2 y 3 = k con k 2 Z. Existen técnicas elementales para dar respuesta a la existencia de soluciones para ciertos valores de k. El caso que queremos estudiar es x2 y 3 = 19. Consideremos el conjunto p p Z[ 19] = {a + b 19 : a, b 2 Z}. p Es muy fácil notar que Z[ 19] espcerrado bajo la suma y producto de números complejos. Por lo tanto Z[ 19] es un p anillo. Si b = 0 y a 2 Z, p entonces Z ⇢ Z[ 19]. Los únicos números de Z[ 19] que tienen inverso multiplicativo son {1, 1}. El teorema 1.4.6 lo podemos reescribir como: “En Z, si ab = xn y mcd(a, b) = 1, entonces a = y n y b = z n para ciertos x, y 2 Z”. De hecho, en cualquier estructura aritmética en donde se cumpla la factorización única en “primos” es válida la siguiente afirmación: “Si A satisface la factorización única, entonces ab = xn y mcd(a, b) = 1 implica ap= y n y b = z n para ciertos x, y 2 A” Si Z[ 19] fuera de factorización única, entonces la factorización p p x2 + 19 = (x + 19)(x 19) = y 3 p p p implica que x+ 19 y x 19 son cubos en 19]psiempre y cuando el p Z[ lector asuma sin demostración que mcd(x+ 19, x 19) = 1. Primero p p supongamos que x + 19 = (a + b 19)3 . La igualdad anterior nos lleva i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 23 — #35 1.6 Otras factorizaciones i 23 al sistema x = a3 57ab2 1 = 3a2 b 19b3 el cual involucra solo enteros. Por tanto debemos resolverlo en Z. Hagamos un análisis de la segunda ecuación. Observamos que b | 1 y ası́, b = ±1. Por tanto a 62 Z y el sistema no es soluble en Z, por lo cual x2 y 3 = 19 no es soluble en los enteros x, y. Perop182 73 = p 19, ası́ que algo hicimos mal. Justamente suponer que x + 19 y x 19 es un cubo es lo incorrecto. Tener la propiedad de la factorización única es una herramienta indispensable para, entre otras cosas, resolver ecuaciones polinomiales. PROBLEMAS 1. Usa el PBO para demostrar que la fórmula n X i=1 i= n(n + 1) es válida para 2 todos los números naturales. 2. Estimado lector ¿recuerdas las siguientes fórmulas?: 1 a) n(n + 1)(2n + 1). 6 1 b) (n + 1)(2n + 1)(2n + 3). 3 3 c) (9n 1). 8 Muestra que para n 2 N cada una de ellas es un entero. 3. Desigualdad de Bernoulli. Sea x 1 un número real. Demuestra que si n 2 N, entonces (1 + x)n 1 + nx. ¿Qué sucede si x < 1? n ⇣ n(n + 1) ⌘2 X 4. Demuestra que i3 = . 2 i=1 5. Demuestra que si n > 1, entonces n3 = a2 b2 para ciertos enteros a, b 2 Z. Primero experimenta con algunos valores de n. ¿Qué pasa con n = 1? 2n 2n X 1 X ( 1)i+1 6. Demuestra que = . i i i=n+1 i=1 7. Demuestra que mcd(a, b, c) = mcd(mcd(a, b), c). Concluye que existen x, y, z 2 Z tal que mcd(a, b, c) = ax + by + cz. 8. Escribe como Z-combinación lineal el mcd de los siguientes números: a) 17 y 43 b) 130 y 45 i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 24 — #36 i i Los enteros Z 24 c) 39 y 0 d) 15 y 18 e) 14, 21 y 35 f) n y n + 1 g) n y n + 2 9. Sea g = mcd(a, b). Demuestra la igualdad entre los siguientes conjuntos: {ax + by : x, y 2 Z} = {gt : t 2 Z}. 10. Sean a, b 2 Z con a 6= 0. Muestra que las siguientes afirmaciones son equivalentes: a) a | b. b) mcd(a, b) = |a|. c) mcm(a, b) = |b|. 11. Si a, b 2 N y mcd(a, b) = 1, muestra que mcd(2a + b, a + 2b) = 1 o 3. 12. En el corolario 1.2.2 la hipótesis mcd(a, b) = 1 es indispensable. Por ejemplo 4 | 2 · 2 y 4 - 2. Muestra que si a | bc, entonces a | mcd(a, b) mcd(a, c). 13. Muestra que 2 | n si y solo si 2 divide al dı́gito de las unidades de n. 14. Muestra que 5 | n si y solo si el dı́gito de las unidades de n es 0 ó 5. 15. Sea n 2 N. Muestra que 2n | k si y solo si 2n divide al entero formado por los n primeros dı́gitos de k. Sugerencia: si k = ar ar 1 . . . a0 , entonces k = a0 + a1 10 + · · · + ar 10r . 16. Muestra que si k 2 N, entonces 9 | 10k 1. 17. Muestra que 3 | k si y solo si 3 divide a la suma de los dı́gitos de k. 18. Muestra que 9 | k si y solo si 9 divide a la suma de los dı́gitos de k. 19. Muestra que si k es par y positivo, entonces 11 | 10k 1. 20. Muestra que si k es impar y positivo, entonces 11 | 10k + 1. n X 21. Sea k = a0 + a1 10 + · · · + an 10n . Muestra que 11 | k si y solo si 11 ( 1)i ai . i=0 22. Un número palindrómico es un entero positivo que se lee igual de atras hacia adelante, por ejemplo 1342431. Muestra que cualquier número palindrómico k es de la forma k = 11t, para alguna t 2 N. ¿Será cierta la afirmación inversa? 23. Sean a, b 2 N tal que mcd(a, b) = 1 y a | n, b | n. Muestra que ab | n. 24. En base al problema anterior deduce: a) Un criterio de divisibilidad por 10. b) Un criterio de divisibilidad por 15. c) Un criterio de divisibilidad por 18. d) Un criterio de divisibilidad por 45. e) Un criterio de divisibilidad por 2n 3. f) Un criterio de divisibilidad por 2n 9. g) Un criterio de divisibilidad por 2n 5. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 25 — #37 1.6 Otras factorizaciones i 25 25. Sea n = a0 + a1 10 + · · · + ar 10r la representación decimal de n. Escribimos n = 102 a + b, donde b = a0 + a1 10 es el número formado por los dos primeros dı́gitos de n. a) Muestra que 7 | n si y solo si 7 | 5a b. b) Muestra que 13 | n si y solo si 13 | 4a b. c) Muestra que 17 | n si y solo si 17 | 2a b. 26. Considera la sucesión {2n 3 : n 2} = {1, 5, 13, 29, 61, 125, . . . }. Muestra que ésta contiene una infinidad de números divisibles por 5 y una infinidad de números divisibles por 13, pero no contiene un número divisible por 5 · 13. 27. Sea n 2 N. Muestra usando inducción que 3 | 22n + 5. 28. Muestra que el producto de dos enteros de la forma 4k + 1 es de la misma forma. ¿Cómo es el producto de un entero de la forma 4k + 1 por otro de la forma 4k + 3? Si dos enteros son de la forma 4k + 3 ¿de qué forma es su producto?. 29. Encuentra todas las soluciones enteras de las siguientes ecuaciones: a) 3x + 7y = 2 b) 2x 5y = 7 c) 2x + 5y 11z = 1 d) x 14y 7z = 4 30. Usa el algoritmo de la división para mostrar que el cuadrado de cualquier entero es de la forma 3k o bien 3k + 1 pero no de la forma 3k + 2. 31. Muestra que el cuadrado de cualquier entero deja residuo 0 o 1 al ser dividido por 4. Concluye que la sucesión: 11, 111, 1111, 11111, . . . , 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. i i no contiene términos que sean un cuadrado. Sugerencia: cualquier término de la sucesión es de la forma 4k + 3. Sean a, b 2 N. Muestra que si n es impar, entonces a + b | an + bn . Muestra que si a, b 2 N y a 6= b, entonces a + b - a2 + b2 . Si n es par ¿será cierto que a + b - an + bn ? Muestra que la ecuación xn + y n = z n 1 tiene una infinidad de soluciones 2 enteras. Sugerencia: [(an + bn )n 1 ]n 1 = (an + bn )n 2n+1 . Muestra que la ecuación xn + y n = z n+1 tiene una infinidad de soluciones enteras. Sugerencia: [a(an + bn )]n + [b(an + bn )]n . Muestra que si n 2 Z, entonces 3n2 1 no es un cuadrado. Sean a, b 2 Z ambos impares. Muestra que 8 | a2 b2 . Escribe una definición de mcd y mcm para un conjunto finito de enteros a1 , . . . , a k . Demuestra las siguientes afirmaciones: i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 26 — #38 i i Los enteros Z 26 a) Sea m = |a1 a2 · · · an | = 6 0. Muestra que m = mcm(a1 , a2 , . . . , an ) mcd ⇣m m m⌘ , ,..., . a1 a2 an b) Sea m > 0 un múltiplo común de a1 , a2 , . . . , an . Muestra que: ⇣m m m⌘ m = mcm(a1 , a2 , . . . , an ) si y solo si mcd , ,..., = 1. a1 a2 an 40. Prueba que si a 6= 0 6= b y mcd(a, b) = mcm(a, b), entonces |a| = |b|. 41. Supongamos que mcd(a, b) = 1 y d | ab. Muestra que si u = mcd(a, d) y v = mcd(b, d), entonces uv = d. 42. Muestra que no existen x, y 2 Z tal que x + y = 80 y mcd(x, y) = 13. 43. Prueba que las ecuaciones x + y = l y mcd(x, y) = g tienen solución común si y solo si g | l. 44. Prueba que el sistema de ecuaciones mcd(x, y) = g mcm(x, y) = l es soluble en los enteros x, y si y solo si g | l. 45. Muestra que si a1 , . . . , am 2 Z y m > 1 con al menos un ai 6= 0, entonces existen t1 , . . . , tm 2 Z tal que mcd(a1 , . . . , am ) = a1 t1 + · · · + am tm . 46. Sean a1 , . . . , an , c 2 Z. Muestra que cualquier solución z1 , z2 , . . . , zn 2 Z de la ecuación a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = c está dada por z1 = y1 + an t1 , z2 = y2 + an t2 , . . . , zn zn = y n 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. i i a 2 t2 ··· = yn an 1 + a n tn 1, 1 tn 1 , 2 Z es una solución particular y t1 , . . . , tn 1 2 Z. a1 a2 Muestra que si mcd(a1 , b1 ) = mcd(a2 , b2 ) = 1 y + 2 Z, entonces b1 b2 |b1 | = |b2 |. Muestra que mcd(ab, m) = 1 si y solo si mcd(a, m) = mcd(b, m) = 1. Muestra que mcd(a, b) = 1 y 3 - a + b implica mcd(a + b, a2 ab + b2 ) = 1. Si p es primo y a 2 Z, ¿qué posibles valores toma mcd(a, p)? Supongamos que p, q son números primos tal que p | q. Demuestra que |p| = |q|. Encuentra k enteros consecutivos todos ellos compuestos. La definición que dimos de número primo es: p 6= 0, ±1 es primo si p = ab, entonces a = ±1 ó b = ±1. Muestra que esta definición es equivalente a la siguiente: p 6= 0, ±1 es primo si p | ab, entonces p | a ó p | b. Muestra que si n > 1 es compuesto, entonces existen a 6= 0, b 6= 0 tal que n | ab y n - a y n - b. donde y1 , y2 , . . . , yn 47. a 1 t1 1 1 , yn i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 27 — #39 1.6 Otras factorizaciones i 27 55. Sea n 2 N tal que n es compuesto. Muestra que el número Mn = 2n 1 es compuesto. Muestra que si Mn = 2n 1 es primo, entonces n es primo. Los números primos de esta forma son conocidos como primos de Mersenne. Se sabe que el Fraile Marin Mersenne en el siglo xvii hizo una serie de postulados acerca de estos números que llevan su nombre. En la actualidad solo se conocen 47 de ellos, siendo el mayor M43112609 , el cual tiene cerca de 13 millones de dı́gitos. En general, muestra que n > 1 y an 1 es primo, entonces a = 2 y n es primo. 56. Muestra que si 2n + 1 es primo, entonces n es potencia de 2. Los números n primos de la forma 22 + 1 se conocen como primos de Fermat.5 Fermat conjeturó que todos los números de esta forma eran primos. Sin embargo, 5 Leonard Euler mostró en 1732 que 22 + 1 = 4294967297 = 641 · 6700417. En general, muestra que si a 2 y an + 1 es primo, entonces a es par y n es una potencia de 2. r Y i 57. Sea n = p↵ i con pi 6= pj (i 6= j) . Muestra que la suma de todos los divisores i=1 positivos de n es 58. Sean a = r Y i=1 max{↵i , i }, r Y p↵i +1 1 i i=1 i p↵ i (↵i pi 1 . 0) y b = r Y pi i ( i 0) . Si µi = min{↵i , i=1 entonces mcd(a, b) = r Y i=1 pµi i y mcm(a, b) = r Y i }, i = pi i . i=1 59. Usa el problema anterior para verificar las siguientes relaciones: a) mcd(x, mcm(y, z)) = mcm(mcd(x, y), mcd(x, z)) b) mcm(x, mcd(y, z)) = mcd(mcm(x, y), mcm(x, z)) c) mcm(x, y, z) mcd(x, y, z)  |xyz|. La igualdad se obtiene si y solo si x, y, z son primos relativos por pares. 60. Muestra que existe una infinidad de primos de la forma 4n + 1. 61. Muestra que existe una infinidad de primos de la forma 3n + 2. n 1 n+1 62. Sea n > 1. Muestra que (22 + 22 + 1) es un número compuesto. 3 63. Muestra que existe una infinidad de primos de la forma 4n + 3. Sugerencia: supongamos que {p1 , p2 , . . . , pr } son todos y pi 6= 3 para i = 1, . . . r. El número 5Pierre de Fermat (1601-1665) nació en Beaumont-de Lomange, Francia. Estudió leyes en Touluse y en sus ratos de ocio se dedicó a la literatura y a las matemáticas. Contribuyó a la evolución de la geometrı́a analı́tica, el cálculo diferencial e integral, la teorı́a de números y la teorı́a de las probabilidades. Los principales escritos de Fermat fueron publicados después de su muerte bajo el tı́tulo Varia Opera Mathematica. i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 28 — #40 65. 66. 67. 68. i Los enteros Z 28 64. i n = 4(p1 p2 · · · pr ) + 3 > 1. Luego factoriza n y observa que al menos uno de sus factores primos qi 62 {p1 , p2 , . . . , pr }. Encuentra 30 primos de la forma n2 + 1. Existe una conjetura famosa que afirma: existe una infinidad de primos de la forma n2 + 1. Para x > 0 sea ⇡(x) = el número de primos p tal que p  x. Ası́ ⇡(4) = 2, ⇡(9) = 4, etc.. Paul Erdös demostró de una manera elemental que para x 2 N, lnx ⇡(x) . Usa la desigualdad anterior para mostrar que el n-ésimo primo 2ln2 pn obtenido en la criba de Eratóstenes satisface que pn < 22n . n Considera la sucesión de números 22 + 1 con n 2 N. Prueba que: n m a) Si n < m, entonces 22 + 1 es divisor de 22 1. n m b) Si n 6= m, entonces mcd(22 + 1, 22 + 1) = 1. c) Utiliza b) para mostrar que existe una infinidad de números primos. Si a 2 Z y a 6= 0, entonces las únicas soluciones racionales de la ecuación xm = a son necesariamente enteras. Criba geométrica de Eratóstenes. Consideremos en el plano cartesiano los con⇢ 1 juntos A = (0, ) : m = 1, 2, . . . , B = {(n + 1, 0) : n = 1, 2, . . .} , donde m cada punto del conjunto A esta conectado por una recta con cada punto del conjunto B tal como se indica en la figura 1.1: Figura 1.1 a) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos (n + 1, 0) y 1 (0, ). m 1 1 b) Muestra que la intersección de la recta y = x+ con y = 1 m(n + 1) m es el conjunto de puntos {((m + 1)(n + 1), 1)}. Concluye en este inciso que las abscisas de estos puntos son números compuestos. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 29 — #41 1.6 Otras factorizaciones i 29 c) Muestra que si x es compuesto, entonces x = (m + 1)(n + 1), para ciertos naturales m, n. d) Muestra que si x es compuesto, entonces existen m, n 2 N tales que el punto 1 1 (x, 1) es la intersección de las rectas y = x+ y y = 1. m(n + 1) m 69. Consideremos la siguiente colección de números: N1 = 2, N2 = N1 + 1, N3 = N1 N2 + 1, .. . Nk = N1 N2 · · · Nk 1 + 1. Demuestra que si i 6= j, entonces mcd(Ni , Nj ) = 1. 70. Usa el problema anterior para mostrar que existe una infinidad de números primos. 71. Sean p1 , p2 , . . . , pn los primeros números primos. Ası́, p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, etc. Muestra que el (n + 1)-ésimo primo satisface que pn+1 < pnn + 1. 72. Supongamos que p1 , p2 , . . . , pn son los primeros n números primos. ası́ p1 = 2, p2 = 3, etc. Sea M = p1 · p2 · · · pn + 1. Puesto que M > 1, entonces M admite al menos un divisor primo p. Demuestra que si M = p, entonces M es el (n + 1)-ésimo primo. Si M es compuesto y p denota al menor primo p tal que p | M , entonces ¿p = pn+1 ? Finalmente, use el problema anterior n 1 para concluir que pn < 22 . De esta manera, podemos afirmar que existen al n 1 k 1 menos n + 1 primos menores que 22 . p1 = 2 < 22 + 1. Sup. pk < 22 + 1. Si M = p1 p2 · · · pk + 1, entonces cualquier divisor primo p de M satisface p 6= pi para i = 1, ..., k y p  M . Casi estoy seguro que el menor divisor primo de M 1 2 k es precisamente pk+1 . Entonces pk+1 < p1 p2 · · · pk + 1  22 · 22 · · · 22 + 1  2 k k+1 k+1 2 22+2 +...+2 + 1 = 22 + 1 < 22 + 1. 73. Muestra que no existe un número primo de la forma 8n + 1. 74. Muestra que no existe un número primo de la forma n4 + 4. 75. Muestra que para cada n 2 N, n4 20n2 + 4 es un número compuesto. 76. Muestra que si n > 11, entonces n = m + r con m, r ambos compuestos. Sugerencia: si n = 2t + 1, entonces n = 2(t 4) + 9. 77. Sean p, q primos tal que p, q 5. Experimenta con cualquier par de ellos y muestra que 24 | p2 q 2 . ¿Puedes hacer una prueba en general? 78. Muestra que el único primo de la forma n3 1 es 7. 79. Muestra que si p es primo, entonces p | np n para todo n 2 Z. 80. Sean p, q primos diferentes. Entonces mcd(pn , q m ) = 1 para n, m 2 N. 81. Muestra que si p es primo y p > 3, entonces p = 6n + 1 o 6n + 5. i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 30 — #42 i i Los enteros Z 30 82. Usa el problema anterior para mostrar que si p 5 un número primo, entonces p2 + 2 es un número compuesto. 83. Muestra que si p y p2 + 8 son números primos, entonces p3 + 4 también es un número primo. Por ejemplo, 3 y 32 + 8 son primos y por tanto 33 + 4 es primo. 84. Muestra que 3, 5, 7 son los únicos tres primos consecutivos impares. Sugerencia: considera la terna de números n, n + 2, n + 4. 85. Muestra que si p es primo y mcd(j, p) = 1, entonces mcd(kp + j, p) = 1 para todo k 2 Z. 86. Concluye la demostración del teorema 1.4.6. 87. Muestra con un ejemplo que la hipótesis mcd(a, b) = 1 en el teorema 1.4.6 es necesaria. 88. Usa el teorema 1.4.6 para mostrar que el producto de dos números naturales consecutivos no es el cuadrado de un número natural. 89. Muestra que si mcd(a, b) = 1 y p es un primo impar tal que p - a + b, entonces a p + bp mcd(a + b, ) = 1. a+b 90. a) Sea f (x) = x2 + x + 11. Verifica que f (n) es un número primo para n = 0, 1, . . . , 9 y f (10) no es primo. b) Sea f (x) = x2 + x + 17. Verifica que f (n) es un número primo para n = 0, 1, . .p. , 15 y f (16) no es primo. 91. Muestra que 3 2 es un número irracional. ¿Puedes generalizar? p 92. Muestra que si p es primo y n 2 N, entonces n p es irracional. p p 93. Si p1 , p2 son primos, entonces p1 + p2 es un número irracional. p 94. Si p1 , p2 son primos diferentes, entonces p1 p2 es un número irracional. 95. Muestra que no existe un polinomio f (x) 2 Z[x] \ Z tal que f (n) es un número primo para toda n 2 N. 96. Muestra que la ecuación an + bn = cn no tiene soluciones enteras positivas a y b impares y n par. Sugerencia: an n 1 = (a 2 n 1)(a 2 + 1) y los factores son números pares consecutivos, uno de ellos divisible por 4. 1 1 1 97. Demuestra que (486) 5 + (2048) 5 = (33614) 5 . 98. Fermat observó que el problema de factorizar un entero positivo n era equivalente a resolver la ecuación n = x2 y 2 . Supongamos que n = ab es impar y 1 < a < b < n. Demuestra que la ecuación n = x2 y 2 es soluble en los enteros x, y. 99. De acuerdo al ejemplo 1.6.2, demuestra que (x) 2 S es primo si y solo si x es impar. ↵r 1 ↵2 100. Supongamos que n = p↵ 1 p2 · · · pr . Responde y justifica: a) Si r = 1 y ↵1 > 1 ¿cuántos divisores positivos tiene n?. b) Si r = 2 y ↵1 , ↵2 = 1 ¿cuántos divisores positivos tiene n?. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 31 — #43 1.6 Otras factorizaciones i 31 c) Si r = 2 y ↵1 = 1, ↵2 > 1 ¿cuántos divisores positivos tiene n?. d) Si r = 2 y ↵1 , ↵2 > 1 ¿cuántos divisores positivos tiene n?. e) Si r > 2 y ↵i > 1 para i = 1, . . . , r ¿cuántos divisores positivos tiene n?. 101. En 1752 el matemático prusiano Christian Goldbach comunicó a Euler la siguiente conjetura: cualquier entero positivo impar se puede escribir como p + 2a2 , donde p es un primo o bien 1 y a 0. Demuestra que el entero 5777 no satisface la afirmación de Goldbach y por tanto su conjetura es falsa. 102. Identidad de Euler de los cuatro cuadrados. Sean a, b, c, d, e, f, g, h 2 N y considere los números a2 + b2 + c2 + d2 y e2 + f 2 + g 2 + h2 . Demuestra que (a2 + b2 + c2 + d2 )(e2 + f 2 + g 2 + h2 ) = p2 + q 2 + r2 + s2 . Si suponemos que cualquier número primo es suma de cuatro cuadrados, concluya usanto la factorización única de Z, que cualquier entero positivo es suma de cuatro cuadrados. Sugerencia: Use los siguientes valores: p = ae + bf + cg + dh, q = af be + ch r = ag bh s = ah + bg i i dg, ce + df, de cf. i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 32 — #44 i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 33 — #45 Capı́tulo i i 2 Enteros módulo n, Zn 2.1. Congruencias La intención de este capı́tulo es construir un conjunto finito, conocido como anillo de enteros módulo n, en el cual podremos sumar y multiplicar de acuerdo a ciertas reglas establecidas. El estudio de esta clase de conjuntos ha merecido la atención de destacados matemáticos desde hace más de 250 años. Sea n un entero diferente de 0. Definimos en Z la siguiente relación: a ⇠ b si y solo si n | a b. Si los enteros a, b están relacionados escribiremos a ⌘ b (mod n) y diremos que a es congruente con b módulo n. Es fácil verificar que ⌘ satisface: 1. Para a 2 Z, se cumple que a ⌘ a (mod n). 2. Si a ⌘ b (mod n), entonces b ⌘ a (mod n). 3. Si a ⌘ b (mod n) y b ⌘ c (mod n), entonces a ⌘ c (mod n). De lo anterior concluimos que ⇠ es una relación de equivalencia y por tanto, Z queda partido en subconjuntos ajenos dos a dos y no vacı́os. Veamos un ejemplo. Si n = 6, entonces a ⌘ b (mod 6) si y solo si 6 | a b. Si denotamos por a la clase de equivalencia del entero a, entonces 0 = {x 2 Z : x ⌘ 0 (mod 6)} = {6t : t 2 Z} 2 = {x 2 Z : x ⌘ 1 (mod 6)} = {6t + 2 : t 2 Z} 1 = {x 2 Z : x ⌘ 1 3 = {x 2 Z : x ⌘ 1 4 = {x 2 Z : x ⌘ 1 5 = {x 2 Z : x ⌘ 1 (mod 6)} = {6t + 1 : t 2 Z} (mod 6)} = {6t + 3 : t 2 Z} (mod 6)} = {6t + 4 : t 2 Z} (mod 6)} = {6t + 5 : t 2 Z} No hay más clases de equivalencia debido al siguiente hecho general: dado n, cualquier entero es congruente con su residuo al ser dividido por n. Por i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 34 — #46 i i Enteros módulo n, Zn 34 el algoritmo de la división el entero a tiene la forma a = nq + r donde 0  r < |n|, ası́ que a ⌘ r (mod n). Por tanto, podemos elegir como representantes de las clases a los posibles residuos al dividir por n. Ası́ las cosas, ponemos en un solo conjunto a todas las clases de equivalencia y definimos al anillo de enteros módulo n como: Zn = {0, 1, . . . , |n| 1}. Vale la pena mencionar que fue Gauss 1 el primero en estudiar sistemáticamente a los enteros módulo n e introducir la notación ⌘. El siguiente resultado será la base de las operaciones que vamos a introducir en Zn . 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Teorema 2.1.1. Sean a, b, c 2 Z, n, d 2 Z \ {0}. Entonces Si a ⌘ b (mod n) y c ⌘ d (mod n), entonces a + c ⌘ b + d (mod n). Si a + c ⌘ b + c (mod n), entonces a ⌘ b (mod n) (Cancelación para la suma). Si a ⌘ b (mod n), entonces ax ⌘ bx (mod n) para toda x 2 Z. Si a ⌘ b (mod n) y c ⌘ d (mod n), entonces ax+cy ⌘ bx+dy (mod n), para todo x, y 2 Z. Si a ⌘ b (mod n) y c ⌘ d (mod n), entonces ac ⌘ bd (mod n). En particular am ⌘ bm (mod n) para todo m 2 N. Si d | n y a ⌘ b (mod n), entonces a ⌘ b (mod d). Si f (x) 2 Z[x] y a ⌘ b (mod n), entonces f (a) ⌘ f (b) (mod n). Demostración. Las afirmaciones 1,2 y 3 son consecuencia directa de la definición. La afirmación 4 es consecuencia de 3 y 1 en ese orden. Para la afirmación 5 tenemos que a b = nt y c d = nt1 para ciertos enteros 1Karl-Friedrich Gauss nace en Gotinga, Alemania el 30 de abril de 1777. Hijo de padres humildes, ingresa a la Universidad de Gotinga en 1795 recibiendo el apoyo económico del duque Carlos Guillermo. El 30 de marzo de 1796 obtiene, a partir de ecuaciones ciclotómicas, la construcción del polı́gono regular de 17 lados con solo regla y compás. Es en este momento cuando decide ser matemático. En 1798 recibe su doctorado en la Universidad de Helmsted bajo la dirección del profesor Johann Friedrich Pfa↵. En 1801 publica su gran tratado Disquisitiones Aritmeticæ, en el que presenta un resumen de trabajos de sus predecesores, formula conceptos y cuestiones que indicarán, durante más de un siglo, las lı́neas maestras de la investigación en teorı́a de números. Entre sus alumnos más notables destacan Dedekind y Riemann. Muere durante el sueño el 23 de febrero de 1855. Este espacio es muy breve para describir la grandeza cientı́fica de Gauss. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 35 — #47 2.1 Congruencias i 35 t, t1 . Por lo tanto (a b)(c d) = ac bd + d( a + b) + b(d c) = n2 tt1 . Puesto que n | d( a + b) + b(d c), entonces n | ac bd. La afirmación 6 también se obtiene directamente de la definición de congruencia. La afirmación 7 se deja como ejercicio para el lector. ⇤ Teorema 2.1.2 (Cancelación para el producto). Si g = mcd(a, m), m entonces ax ⌘ ay (mod m) si y solo si x ⌘ y (mod ). g Demostración. Si ax ⌘ ay (mod m), entonces a(x y) = mt para algún t 2 Z. Por tanto a m (x y) = t. g g ⇣m a⌘ m a m De lo anterior (x y). Como mcd , = 1, entonces x yy g g g g g m m por lo tanto x ⌘ y (mod ). Recı́procamente, si x y = t, entonces g g a a(x y) = m t y ası́ ax ⌘ ay (mod m). ⇤ g Teorema 2.1.3. Sean m1 , . . . , mr enteros diferentes de 0. Entonces x⌘y (mod mi ) si y solo si x ⌘ y (mod mcm(m1 , . . . , mr )). Demostración. Como mi | x y, entonces x y es un múltiplo común de los mi ’s. Por el teorema 1.3.1, mcm(m1 , . . . , mr ) | x y. La otra implicación es consecuencia de la afirmación 6 del teorema 2.1.1. ⇤ Teorema 2.1.4. Si x ⌘ y (mod m), entonces mcd(x, m) = mcd(y, m). Demostración. Por hipótesis que mcd(x, m) | x y mcd(x, m) lo tanto mcd(x, m) | mcd(y, m). mcd(y, m) | mcd(x, m) y se obtiene x y = mt para algún t 2 Z. Puesto | m, entonces mcd(x, m) | y. Por De la misma forma se prueba que la igualdad. ⇤ Si x = 2, y = 4 y m = 7, entonces mcd(2, 7) = mcd(4, 7), pero 2 6⌘ 4 (mod 7). Ası́ que la afirmación inversa del teorema anterior no es válida. Antes de continuar, vamos a convenir que los módulos que usaremos en el resto de este capı́tulo son enteros positivos. Esto no es una imposición, simplemente observen que si dividimos un entero a entre n ó n, los posibles residuos son exactamente los mismos. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 36 — #48 i Enteros módulo n, Zn 36 Diremos que el conjunto de enteros {x1 , . . . , xs } es un sistema completo de residuos módulo m si: dado cualquier y 2 Z, existe un único xi 2 {x1 , . . . , xs } tal que y ⌘ xi (mod m). Si {x1 , . . . , xs } satisface la definición anterior escribiremos SCR(m) = {x1 , . . . , xs }. Notemos que si xi , xj 2 SCR(m) con i 6= j, entonces xi 6⌘ xj (mod m). Por tanto, en un SCR(m) cualesquiera dos elementos diferentes son incongruentes módulo m. Si m > 1, el conjunto {0, 1, . . . , m 1} es un SCR(m). Teorema 2.1.5. Si {x1 , . . . , xs } y {y1 , . . . , yt } son SCR(m), entonces s = t. Demostración. Supongamos que s < t . Para cada xi 2 {x1 , . . . , xs } existe un único yj 2 {y1 , . . . , yt } tal que xi ⌘ yj (mod m). Reacomodando los elementos de {y1 , . . . , yt } podemos suponer que xi ⌘ yi (mod m). Sea yj con s + 1  j  t. Puesto que {x1 , ..., xs } es un SCR(m), entonces existe un único xr 2 {x1 , . . . , xs } tal que yj ⌘ xr (mod m). De lo anterior se sigue que yj ⌘ xr ⌘ yr (mod m) y j 6= r, lo cual es absurdo. De la misma forma t < s es imposible. Por tanto s = t. ⇤ Corolario 2.1.6. Si m > 1, entonces |SCR(m)| = m. Demostración. {0, 1, . . . , m 1} es un SCR(m). ⇤ El siguiente resultado es útil para identificar cuándo un conjunto de enteros es un SCR(m). Teorema 2.1.7. Si el conjunto {x1 , . . . , xm } satisface que xi 6⌘ xj (mod m) para i 6= j, entonces {x1 , . . . , xm } es un SCR(m). Demostración. Como xi 6⌘ xj (mod m) para i 6= j, entonces xi y xj dejan diferente residuo al ser divididos por m. Reordenando los xi de tal manera que xi = mqi + i obtenemos que xi ⌘ i (mod m). Si y 2 Z, entonces y = mq + j con 0  j < m. De lo anterior se sigue que y ⌘ xj (mod m). ⇤ Si tenemos a la mano un SCR(m), entonces podemos construir otros SCR(m). Corolario 2.1.8. Si mcd(a, m) = 1 y {x1 , . . . , xm } es un SCR(m), entonces el conjunto {ax1 , . . . , axm } es un SCR(m). Demostración. Si para algún par de ı́ndices i, j se cumple axi ⌘ axj (mod m), entonces usando el teorema de cancelación para el producto 2.1.2 i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 37 — #49 2.1 Congruencias i 37 obtenemos que xi ⌘ xj (mod m) y esto último solo es posible cuando i = j. ⇤ La diferencia entre Zm y SCR(m) salta a la vista. Por un lado, los elementos de Zm son clases de equivalencia o conjuntos, mientras que los elementos de SCR(m) son enteros. Si de cada clase en Zm elegimos un representante, entonces este nuevo conjunto será un SCR(m). Diremos que el conjunto de enteros {x1 , . . . , xs } es un sistema reducido de residuos módulo m si: para i = 1, . . . , s se cumple mcd(xi , m) = 1 y dado cualquier y 2 Z con mcd(y, m) = 1, entonces existe un único xi 2 {x1 , . . . , xs } tal que y ⌘ xi (mod m). Si el conjunto {x1 , . . . , xs } satisface la definición anterior, escribiremos SRR(m) = {x1 , . . . , xs }. Observemos que si i 6= j, entonces xi 6⌘ xj (mod m). Es muy impportante notar que la hipótesis mcd(xi , m) = 1 es indispensable, pues de lo contrario, cualquier SCR(m) tambı́en serı́a un SRR(m). Ejemplo 2.1.9. SCR(6) = {0, 1, 2, 3, 4, 5} y SRR(6) = {1, 5}. ¿Nota la diferencia?. En analogı́a con los sistemas completos de residuos, cualesquiera dos sistemas reducidos de residuos módulo m tienen la misma cardinalidad. Teorema 2.1.10. Si {x1 , . . . , xs } y {y1 , . . . , yt } son SRR(m), entonces s = t. Demostración. Supongamos que s < t. Como mcd(yj , m) = 1, entonces existe un único xi 2 {x1 , . . . , xs } tal que yj ⌘ xi (mod m). Reacomodando los ı́ndices si es necesario, podemos suponer que xj ⌘ yj (mod m). Si s + 1  i  t, entonces yi ⌘ xr ⌘ yr (mod m) para algún 1  r  s y por tanto {y1 , . . . , yt } no es un SRR(m). Si t < s, repetimos el argumento para llegar a que {x1 , . . . , xs } no es un SRR(m). Por tanto s = t. ⇤ Definimos la función ' de Euler evaluada en el entero positivo m como la cardinalidad de cualquier SRR(m), es decir, '(m) = |SRR(m)|. Según el teorema anterior, cualesquiera dos SRR(m) tienen la misma cardinalidad, ası́ que la definición de la función ' es consistente. El problema ahora es, dado m, cómo encontrar al menos un SRR(m) o más aún, cómo identificar un SRR(m) sin recurrir a la definición formal. Lema 2.1.11. Si m > 1, entonces {1  x < m : mcd(x, m) = 1} es un SRR(m). i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 38 — #50 38 i Enteros módulo n, Zn Demostración. Si y 2 Z es tal que mcd(y, m) = 1, entonces y = mt + r con 1  r < m y mcd(r, m) = 1. Es claro que r 2 {1  x < m : mcd(x, m) = 1} y y ⌘ r (mod m). ⇤ Ahora ya podemos hacer varias cosas, por ejemplo podemos calcular algunos valores '(m). Ası́ tenemos que '(4) = 2, '(13) = 12, '(18) = 6, etc.. Corolario 2.1.12. {x1 , . . . , x'(m) } es SRR(m) si mcd(xi , m) = 1 y xi 6⌘ xj (mod m) para i 6= j. Demostración. Se deja como ejercicio para el lector. ⇤ Corolario 2.1.13. Si {x1 , . . . , x'(m) } es un SRR(m) y a 2 Z es tal que mcd(a, m) = 1, entonces {ax1 , . . . , ax'(m) } es un SRR(m). Demostración. Es claro que mcd(axi , m) = 1 y axi 6⌘ axj (mod m) para i 6= j. ⇤ Hagamos un alto para agarrar sabor a lo que hemos hecho y a lo que sigue. En el anillo de enteros módulo m definimos una suma y un producto. Para a, b 2 Zm : 1. a + b = a + b. 2. ab = ab. Veamos un ejemplo. Sea Z12 = {0, 1, 2, 3, . . . , 11}. Ası́ 5+8 = 5 + 8 = 1 y 5 · 8 = 5 · 8 = 4. La clase 0 satisface 0 + i = i. Podemos adoptar a 0 como el neutro aditivo en Z12 . Aún hay más: 1 + 11 = 2 + 10 = 3 + 9 = 4 + 8 = 5 + 7 = 6 + 6 = 0, lo que significa que todos tienen inverso aditivo. Además, la clase 1 tiene la propiedad 1 · i = i. Ası́ que podemos adoptar a 1 como neutro multiplicativo en Z12 . El lector puede verificar fácilmente que: 1 · 1 = 5·5 = 7·7 = 11·11 = 1. Esto significa que las clases 1, 5, 7, 11 tienen inverso multiplicativo y curiosamente cada clase es su propio inverso. En realidad esto es pura coincidencia porque en general no es ası́. Algo más acerca de la suma y producto en Zm : ¿todos los elementos de Zm tienen inverso aditivo? ¿si cambiamos el representante de las clases al sumar o multiplicar obtenemos el mismo resultado? es decir, ¿las operaciones no dependen del representante? ¿quiénes son los que tienen inverso multiplicativo en Zm ? Para responder la primera pregunta observamos que si i 2 Zm , entonces la clase m i es el inverso aditivo de i. Felizmente las afirmaciones 1 y i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 39 — #51 2.1 Congruencias i 39 5 del teorema 2.1.1 nos aseguran que la suma y producto no dependen del representante. El siguiente resultado es de suma importancia pues nos caracteriza a los elementos de Zm que tienen inverso multiplicativo. Teorema 2.1.14 (Teorema de Euler2). Si a y m son primos relativos, entonces a'(m) ⌘ 1 (mod m). Demostración. Sea {x1 , . . . , x'(m) } un SRR(m). Por el Corolario 2.1.13 el conjunto {ax1 , . . . , ax'(m) } también es un SRR(m). Puesto que cada xi es congruente a algún axj módulo m, tenemos que '(m) Y i=1 Pero '(m) xi ⌘ Y i=1 '(m) axi ⌘ a '(m) Y xi (mod m). i=1 ⇣ '(m) Y ⌘ xi , m = 1, a'(m) ⌘ 1 (mod m). mcd i=1 entonces haciendo uso del teorema de cancelación para el producto 2.1.2, ⇤ El teorema de Euler asegura que si mcd(a, m) = 1, entonces aa'(m) 1 ⌘ 1 (mod m). Por supuesto que estamos reconociendo que la clase de a'(m) 1 es precisamente el inverso multiplicativo de la clase a. También observe que si para algún r 2 N se cumple ar ⌘ 1 (mod m), entonces a y m son primos relativos. Ası́ que el Teorema de Euler es un si y solo si. Corolario 2.1.15 (Teorema Pequeño de Fermat). Si p es primo y a 2 Z es tal que mcd(a, p) = 1, entonces ap 1 ⌘ 1 (mod p). Demostración. Si p es primo, '(p) = p 1. ⇤ 2 Leonhard Euler nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza. Ingresa a la Universidad de Basilea para estudiar teologı́a y hebreo, pero sus conocimientos y aptitudes en matemáticas atraen la atención de Johan Bernoulli quien le dedica una sesión semanal para responder a sus preguntas. Euler publicó su primera memoria a los dieciocho años y en sus escritos nunca dejó de considerar la potencia deductiva de la inteligencia como la supremacı́a indiscutible, y aún cuando los resultados del cálculo contradijeran el sentido común, no dudaba en adoptarlos. En todas las ramas de las matemáticas puede encontrarse su nombre. Sus contribuciones principales están en: el cálculo, las ecuaciones diferenciales, la geometrı́a analı́tica de curvas y superficies, la teorı́a de números y el cálculo de variaciones. El 7 de septiembre de 1783, después de haber hablado sobre temas populares de la época, como el descubrimiento de Urano, dejó de calcular y vivir. i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 40 — #52 i i Enteros módulo n, Zn 40 Corolario 2.1.16. Zn es un campo si y solo si n es primo. Demostración. Supongamos que Zn es un campo. Cualquier a 2 Zn , a 6= 0 tiene inverso multiplicativo, es decir, la congruencia ax ⌘ 1 (mod n) tiene solución única. En particular, si a 6= n es un divisor positivo de n tenemos que mcd(a, n) = 1 y 1 = ax + ny para ciertos enteros x, y. Por tanto a | 1 y a = 1. Lo anterior significa que n es primo. Recı́procamente, si n > 2 es primo, entonces cualquier a 2 Zn con a 6= 0 satisface mcd(a, n) = 1. Por el corolario anterior podemos escribir aan an 2 2 ⌘1 (mod n), lo que significa que es el inverso multiplicativo de a, es decir, cualquier elemento 6= 0 tiene inverso multiplicativo y ası́ Zn es un campo. Es claro que la afirmación del corolario también es válida si n = 2. ⇤ De ahora en adelante, si n es primo, escribiremos Fn en lugar de Zn . 2.2. La congruencia ax ⌘ b (mod m) Ahora comienza propiamente nuestro estudio de raı́ces de polinomios. Sea m > 0. Si f (x) = a0 + a1 x + ... + an xn y ai 2 Z, entonces escribiremos f (x) 2 Z[x]. Si a 2 Z satisface que f (a) ⌘ 0 (mod m) entonces diremos que a es una raı́z de f (x) módulo m. Un hecho importante es que dos raı́ces a, b son la “misma” raı́z si éstas satisfacen a ⌘ b (mod m). Lo anterior está garantizado por la afirmación 7 del teorema 2.1.1. Más adelante haremos algunas consideraciones sobre el grado de un polinomio. Lema 2.2.1. Sean f (x) = ax + b 2 Z[x] y mcd(m, a) = 1. Entonces f (x) ⌘ 0 (mod m) tiene solución única. Demostración. Según el teorema de Euler 2.1.14, a'(m) ⌘ 1 (mod m). Entonces a'(m) b ⌘ b (mod m). Ponemos x = a'(m) 1 b y por tanto ax + b ⌘ 0 (mod m). Si x1 es otra solución, entonces ax1 + b ⌘ ax + b (mod m). Cancelando obtenemos que x1 ⌘ x (mod m). ⇤ Para estudiar el caso general en que mcd(a, m) > 1 primero veremos un criterio que nos asegure cuándo la congruencia ax ⌘ b (mod m) es soluble. Lema 2.2.2. Consideremos la congruencia ax ⌘ b (mod m) y sea g = mcd(a, m). Entonces ax ⌘ b (mod m) es soluble si y solo si g | b. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 41 — #53 2.2 La congruencia ax ⌘ b (mod m) i 41 Demostración. Supongamos que a = gt0 , m = gt1 y sea x0 tal que ax0 ⌘ b (mod m). Entonces ax0 b = mt para cierto entero t. Por tanto b = ax0 mt = g(t0 x0 t1 t), y g | b. Recı́procamente, para ciertos enteros t, y0 , y1 tenemos que b = gt y g = ay0 + my1 . Ası́ b = gt = a(y0 t) + m(y1 t) y x = y0 t es solución de ax ⌘ b (mod m). ⇤ El siguiente resultado es la versión general del lema 2.2.1. Teorema 2.2.3. Sea g = mcd(a, m) y supongamos que la congruencia ax ⌘ b (mod m) es soluble. Entonces ax ⌘ b (mod m) tiene exactamente g soluciones incongruentes. Demostración. Sea a = ga0 , m = gm0 . Si u es solución de ax ⌘ b (mod m), entonces m | au b, m a b a b m u y u es solución de x ⌘ (mod ). De esta mag g g g g g nera, u es solución de ax ⌘ b (mod m) si y solo si u es solución de a b m x ⌘ (mod ). Si seguimos llamando u a la única solución de g g g ası́ que a b x⌘ g g entonces u + t (mod m ), g m también resuelve las congruencias g a b x⌘ g g (mod m ) g y ax ⌘ b (mod m). Un simple cálculo muestra que si t1 , t2 2 {0, 1, . . . , g entonces m m u + t1 6⌘ u + t2 (mod m), g g 1} con t1 6= t2 , y por lo tanto ax ⌘ b (mod m) tiene al menos g soluciones incongruentes. Solo nos falta probar que cualquier solución de ax ⌘ b (mod m) es de la m forma u + t . g i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 42 — #54 i i Enteros módulo n, Zn 42 Si denotamos por x1 a cualquier solución de ax ⌘ b (mod m), entonces x1 también es solución de a b x⌘ g g Por lo anterior u ⌘ x1 (mod t 2 Z. (mod m ). g m m ), y por lo tanto, x1 = u + t para algún g g ⇤ El lema 2.2.1 nos proporciona un método seguro para resolver esta última congruencia. Sin embargo, para valores muy grandes de m éste puede ser poco eficaz. 2.3. Sistemas de congruencias de grado 1 Otra manera de resolver ax ⌘ b (mod m) consiste en descomponer m r Y como producto de factores primos. Si m = p↵i i , de acuerdo al teorema i=1 2.1.3, resolver ax ⌘ b (mod m) es equivalente a resolver el sistema de congruencias ax ⌘ b (mod p↵i i ). Es claro que si para alguna i, ax ⌘ b (mod p↵i i ) no es soluble, entonces ax ⌘ b (mod m) no es soluble. Con lo anterior tenemos dos problemas a la vista, uno de ellos es resolver un sistema de congruencias donde los módulos son potencias de primos, y el segundo problema consiste en resolver una congruencia donde el módulo es una potencia de un primo. Por el momento estudiaremos un sistema de congruencias relativamente simple y a la vez más general. Teorema 2.3.1. Sean m1 , . . . , mr 2 N tal que mcd(mi , mj ) = 1 para i 6= j. Para i = 1, . . . , r sea xi solución de bi x ⌘ ai (mod mi ). Entonces el sistema b1 x ⌘ a 1 (mod m1 ) br x ⌘ a r (mod mr ) b2 x ⌘ a2 (mod m2 ) .. .. . . es soluble. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 43 — #55 2.3 Sistemas de congruencias de grado 1 43 r Y mi . Consideremos la congruencia auxi- Demostración. Sea m = i i=1 liar m x⌘1 mi (mod mi ) r X m m si ⌘ 1 (mod mi ). Entonces x = si xi resuelve cada mi mi i=1 una de las congruencias del sistema. ⇤ y sea si tal que En [19] página 279, los profesores P. Samuel y O. Zariski afirman que el calendario solar chino fue elaborado entre los siglos IV y VII d.C y se usó para encontrar perı́odos en común a varios ciclos de fenómenos astronómicos. Este calendario da una regla para resolver un sistema lineal de congruencias. Corolario 2.3.2. [Teorema chino del residuo3] Sean m1 , . . . , mr 2 N tal que mcd(mi , mj ) = 1 para i 6= j. Si a1 , . . . , ar 2 Z, entonces el sistema de congruencias x ⌘ a1 (mod m1 ) x ⌘ ar (mod mr ) x ⌘ a2 (mod m2 ) .. .. . . tiene solución única, es decir, cualquier par de soluciones son congruentes módulo mcm(m1 , . . . , mr ). Demostración. Con la notación del teorema anterior, xi = ai es solución de x ⌘ ai (mod mi ). La solución del sistema está dado por r X m x= si ai . ⇤ mi i=1 3En el libro Arithmetic in nine sections (1257 a.C) escrito por el matemático chino Sun-tzi se puede leer el siguiente problema: existe un número indeterminado de objetos que cuando es dividido por 3 deja 2, por 5 deja 3 y por 7 deja 2. ¿Cuál es el menor número? Es posible que este problema sea el primer testimonio del Teorema Chino del Residuo. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 44 — #56 i Enteros módulo n, Zn 44 Ejemplo 2.3.3. Consideremos el sistema 3x ⌘ 1 8x ⌘ (mod 7) 2 x⌘2 (mod 6) (mod 5) Rescatando las hipótesis del teorema 2.3.1 tenemos que x1 x2 x3 s1 s2 s3 = 2 = 1 =2 = 4 = 1 =2 es solución de 3x ⌘ 1 (mod 7) ” 8x ⌘ 2 (mod 6) ” x ⌘ 2 (mod 5) ” ( 6)(5)x ⌘ 1 (mod 7) ” (7)(5)x ⌘ 1 (mod 6) ” (7)( 6)x ⌘ 1 (mod 5) Por tanto x = ( 6)(5)( 2)( 4) + (7)(5)( 1)( 1) + (7)( 6)(2)(2) = es solución del sistema. 373 Notemos que la hipótesis mcd(mi , mj ) = 1 (i 6= j) en el teorema 2.3.1 y por tanto también en el teorema chino del residuo es indispensable pues de esta forma aseguramos la solución del sistema. Si al contrario, para algún par de ı́ndices i 6= j, mcd(mi , mj ) > 1, entonces todo puede suceder. Por ejemplo, si el sistema x⌘1 x⌘3 (mod 6) (mod 15) tuviera solución, entonces x = 6t + 1 = 15t1 + 3 para ciertos enteros t, t1 . De lo anterior se sigue que x deja residuo 1 y 0 al ser dividido por 3, lo cual es imposible por el algoritmo de la división. Por tanto el sistema no es soluble. En la misma dirección tenemos que x = 18 es solución del sistema x⌘0 x⌘3 (mod 6) (mod 15). Más adelante seguiremos con el estudio de congruencias polinomiales y por el momento completaremos nuestro trabajo mostrando una generalización del teorema chino del residuo y algunas propiedades de la función ' de Euler. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 45 — #57 2.3 Sistemas de congruencias de grado 1 i 45 Lema 2.3.4. Sean m1 , m2 2 N y a1 , a2 2 Z. Entonces el sistema x ⌘ a1 x ⌘ a2 (mod m1 ) (mod m2 ) tiene solución si y solo si mcd(m1 , m2 ) | a1 a2 . Demostración. Sea b 2 Z una solución del sistema. Para i = 1, 2, tenemos que mi | b ai . Por otro lado mcd(m1 , m2 ) | mi , entonces mcd(m1 , m2 ) | (b a2 ) (b a1 ), y por tanto mcd(m1 , m2 ) | a1 a2 . Recı́procamente, supongamos que mcd(m1 , m2 ) | a1 a2 . Puesto que mcd(m1 , m2 ) = m1 x1 + m2 x2 para ciertos enteros x1 , x2 , entonces podemos escribir: a1 a2 = mcd(m1 , m2 )t = m1 x1 t + m2 x2 t, para algún t 2 Z. Definimos x12 = a1 x12 ⌘ a1 m1 x1 t = a2 + m2 x2 t. Es claro que (mod m1 ) x12 ⌘ a2 (mod m2 ). Si X es cualquier otra solución del sistema, entonces X X x12 ⌘ 0 x12 ⌘ 0 (mod m1 ) (mod m2 ) si y solo si X ⌘ x12 (mod mcm(m1 , m2 )). ⇤ Notamos que la afirmación solo si del lema anterior nos describe explı́citamente un método para resolver un sistema particular de dos congruencias. Ejemplo 2.3.5. Consideremos el sistema de congruencias x ⌘ 27 x⌘2 x ⌘ 22 (mod 15) (mod 20) (mod 10). La idea principal consiste en resolver primero el sistema formado por las dos primeras congruencias. Conociendo la solución general de éste, procedemos a resolver un nuevo sistema de dos congruencias. Si m1 = 15, m2 = 20, m3 = 10, a1 = 27, a2 = 2, a3 = 22, observamos que mcd(mi , mj ) | ai aj . i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 46 — #58 i i Enteros módulo n, Zn 46 En particular, el sistema formado por las dos primeras congruencias debe tener solución. Resolvamos: x ⌘ 27 x⌘2 (mod 15) (mod 20). Puesto que mcd(15, 20) = 5 = 20(1) + 15( 1), entonces 27 2 = (20(1) + 15( 1))5 y por tanto x12 = 27 + 15(5) = 2 + 20(5) = 102 es una solución particular. La solución general tiene la forma X = 102 + mcm(15, 20)t = 102 + 60t, lo que significa X ⌘ 102 (mod 60). Ahora resolvemos el sistema x ⌘ 102 x ⌘ 22 (mod 60) (mod 10). Vemos que 80 = 102 22 = mcd(60, 10)8 = 60(8)+10( 40) y ası́ obtenemos la solución particular 102 + 60( 8) = 22 + 10( 40) = 378. Por lo tanto, la solución general toma la forma X= 378 + mcm(60, 10)t = 378 + 60t. Se puede verificar fácilmente que cualquier entero de esta forma es solución del sistema original. Siguiendo las ideas del ejemplo anterior podemos formalizar el caso de un sistema con tres congruencias, que será fundamental para el caso general. Corolario 2.3.6. Sean m1 , m2 , m3 2 N y a1 , a2 , a3 2 Z. Entonces el sistema x ⌘ a1 (mod m1 ) x ⌘ a3 (mod m3 ) x ⌘ a2 (mod m2 ) tiene solución si y solo si mcd(mi , mj ) | ai ai ai Demostración. Si el sistema tiene solución, entonces mcd(mi , mj ) | aj para i, j = 1, 2, 3. Recı́procamente, supongamos que mcd(mi , mj ) | aj y resolvamos las dos primeras congruencias del sistema: x ⌘ a1 x ⌘ a2 i i aj para i, j = 1, 2, 3. (mod m1 ) (mod m2 ). i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 47 — #59 2.3 Sistemas de congruencias de grado 1 i 47 Denotemos por x12 la solución del sistema anterior. Ahora intentemos resolver x ⌘ x12 x ⌘ a3 (mod mcm(m1 , m2 )) (mod m3 ). Para asegurar que el sistema es soluble debemos mostrar que mcd(mcm(m1 , m2 ), m3 ) | x12 a3 y luego utilizar el lema 2.3.4. En el curso de la prueba del lema 2.3.4 vimos que x12 = a1 m1 x1 t = a2 + m2 x2 t, ası́ x12 a3 = (a1 a3 ) + m1 x1 t = (a2 a3 ) + m2 x2 t. (2) Pero a1 a3 = mcd(m1 , m3 )t1 , a2 a3 = mcd(m2 , m3 )t2 y m1 = mcd(m1 , m3 )t3 , m2 = mcd(m2 , m3 )t4 , para ciertos enteros t1 , t2 , t3 , t4 . Sustituyendo las igualdades anteriores en (1) tenemos que mcd(m1 , m3 ) | x12 Ası́, x12 lo tanto a3 y mcd(m2 , m3 ) | x12 a3 . a3 es un múltiplo común de mcd(m1 , m3 ) y mcd(m2 , m3 ). Por mcm(mcd(m1 , m3 ), mcd(m2 , m3 )) | x12 a3 . De acuerdo al problema 59 inciso a) al final del capı́tulo 1, tenemos la igualdad mcd(mcm(m1 , m2 ), m3 ) = mcm(mcd(m1 , m3 ), mcd(m2 , m3 )). Por tanto el sistema x ⌘ x12 x ⌘ a3 i i (mod mcm(m1 , m2 )) (mod m3 ) i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 48 — #60 i Enteros módulo n, Zn 48 es soluble por un entero x123 . Es claro que x123 es solución del sistema original y cualquier solución X satisface X ⌘ x123 (mod mcm(m1 , m2 , m3 )). ⇤ Teorema 2.3.7 (Teorema chino del residuo generalizado). Consideremos los enteros m1 , . . . , mr 2 N y {a1 , a2 , . . . , ar } ⇢ Z. Entonces el sistema x ⌘ a1 (mod m1 ) x ⌘ ar (mod mr ) x ⌘ a2 (mod m2 ) .. .. . . es soluble si y solo si mcd(mi , mj ) | ai aj . Demostración. Si x es solución del sistema, entonces mi | x ai y mj | x aj . Como mcd(mi , mj ) | mi , mj , tenemos que mcd(mi , mj ) | x ai (x aj ) y terminamos. Para la otra implicación haremos inducción sobre el número de congruencias que intervienen en el sistema. Si r = 2, aplicamos el lema 2.3.4. Sea xr 1 una solución del sistema de congruencias x ⌘ a1 (mod m1 ) x ⌘ a2 .. .. . . x ⌘ ar Cualquier solución Xr Xr 1 1 (mod m2 ) 1 (mod mr 1 ). debe satisfacer que ⌘ xr 1 (mod mcm(m1 , . . . , mr 1 )). Ahora, consideremos el sistema x ⌘ xr x ⌘ ar 1 (mod mcm(m1 , . . . , mr 1 )) (mod mr ). Enseguida aplica las ideas del corolario 2.3.6. ⇤ Teorema 2.3.8. Si mcd(m, n) = 1, entonces '(mn) = '(m)'(n). Demostración. Tenemos tres sistemas reducidos de residuos involucrados: i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 49 — #61 2.3 Sistemas de congruencias de grado 1 i 49 SRR(mn) = {x1 , . . . , xt }, SRR(m) = {r1 , . . . , rk }, SRR(n) = {s1 , . . . , sj }, donde t = '(mn), k = '(m) y j = '(n). Si construimos una función biyectiva f : {x1 , . . . , xt } ! {r1 , . . . , rk } ⇥ {s1 , . . . , sj }, la afirmación del teorema es evidente. Para i = 1, . . . , t tenemos que mcd(xi , mn) = 1 y por lo tanto mcd(xi , m) = mcd(xi , n) = 1. Ası́, existe r↵ 2 SRR(m) tal que xi ⌘ r↵ (mod m). De la misma manera podemos escoger un único s 2 SRR(n) tal que xi ⌘ s (mod n). Definimos f (xi ) = (r↵ , s ). Puesto que r↵ , s son únicos, entonces f es una función. Para mostrar que f es inyectiva supongamos que f (xi ) = f (xj ) = (r↵ , s ). Por la forma en que construimos la pareja (r↵ , s ) notamos que x i ⌘ r↵ (mod m) y xi ⌘ s (mod n), xj ⌘ r↵ (mod m) y xj ⌘ s (mod n). De lo anterior xi ⌘ xj (mod m) y xi ⌘ xj (mod n). Por hipótesis tenemos mcd(m, n) = 1, ası́ que xi ⌘ xj (mod mn) y como xi , xj 2 SRR(mn) concluimos que xi = xj y f es inyectiva. Para la suprayectividad consideremos (r, s) 2 SRR(m) ⇥ SRR(n). Estudiaremos el sistema x⌘r x⌘s (mod m) (mod n). El teorema chino del residuo nos asegura que el sistema tiene solución única x. Por el teorema 2.1.4 tenemos que mcd(x, m) = mcd(r, m) = mcd(x, n) = mcd(s, n) = 1, entonces mcd(x, mn) = 1 y por tanto existe un único xi 2 SRR(mn) tal que x ⌘ xi (mod mn). Claramente f (xi ) = (r, s) y f es suprayectiva. Por lo tanto t = kj. ⇤ Como aplicación del teorema anterior, si m = 27 35 712 , entonces '(m) = r Y '(27 )'(35 )'(712 ). En general, si m = p↵i i con pi 6= pj (i 6= j) es la i=1 factorización en primos del entero m, tenemos que '(m) = k Y '(p↵i i ). i=1 i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 50 — #62 i i Enteros módulo n, Zn 50 Por tanto, para calcular '(m) es necesario conocer la factorización del entero m (teóricamente es posible) y todo se reduce a calcular la función ' en potencias de primos. El siguiente resultado nos resuelve el problema. Lema 2.3.9. Si p es primo, entonces '(pn ) = pn pn 1. Demostración. Notemos primero que si 0  j  p 1, entonces para todo k 2 Z tenemos que mcd(pk + j, p) = 1. Apliquemos directamente la definición de la función ' contando cuántos enteros entre 1 y pn existen y que son primos relativos con pn . En la siguiente tabla hemos escrito la lista de enteros consecutivos desde 1 hasta pn : 1 p+1 2p + 1 .. . (p (pn 1)p + 1 .. . 1 2 p+2 2p + 2 .. . (p 1)p + 1 (pn 1)p + 2 .. . 1 3 p+3 2p + 3 .. . (p 1)p + 2 (pn 1)p + 3 .. . 1 ··· ··· ··· .. . p 2p 3p .. . ··· .. . pp .. . 1) + 3 · · · pn 1 p. Observamos que en cada renglón, los primeros p 1 números son de la forma pk + j con 0  j  p 1 y mcd(pk + j, pn ) = 1. Como hay pn 1 renglones, entonces en todo el arreglo existen pn 1 (p 1) enteros primos relativos con pn . ⇤ En el siguiente ejemplo notaremos otra propiedad importante de la función '. Ejemplo 2.3.10. Con una calculadora de bolsillo se puede varificar fácilmente que: '(27 35 712 ) = '(27 )'(35 )'(712 ) = (27 26 )(35 34 )(712 711 ) 1 5 1 12 1 = 27 (1 )3 (1 )7 (1 ) 2 3 7 1 1 1 = 27 35 712 (1 )(1 )(1 ) 2 3 7 = 123 005 542 028 544. De cualquier forma, el número '(27 35 712 ) es bastante respetable. Veremos en el siguiente resultado que la conclusión del ejemplo anterior no es i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 51 — #63 2.4 La ecuación '(x) = n i 51 una mera coincidencia. La justificación ya está puesta sobre la mesa si el lector siguió el ejemplo anterior. Y 1 Teorema 2.3.11. Si n > 1, entonces '(n) = n (1 ). p p|n Demostración. Sea n = k Y i=1 '(n) = '( k Y p↵i i ) = 1 k Y 1 p↵i i (1 p↵i i donde pi 6= pj si i 6= j. Entonces k Y '(p↵i i ) 1 k (p↵i i p↵i i 1 )= 1 k Y ↵ Y 1 )= pi i (1 pi 1 = k Y 1 Y 1 ) = n (1 pi p|n 1 ). p ⇤ 2.4. La ecuación '(x) = n Como una aplicación de lo que hemos estudiado acerca de la función ', resolveremos la ecuación '(x) = n (n 2 N). Claramente si n > 1 es impar, entonces '(x) = n no es soluble. Vale la pena mencionar que en la actualidad no se conoce un método que pueda ayudar a resolver directamente la ecuación '(x) = n. El método que proponemos es conveniente solo para valores Q “pequeños” de n, como se verá en el ejemplo. Supongamos que x = p↵i i . Entonces podemos escribir Y ↵ pi 1 '(x) = pi i = n. pi Y ↵ di Si definimos di = pi 1, de la igualdad pi i = n observamos que di | n pi y Y n x= Q pi . di Q Puesto que di 6= dj para i 6= j y di | n, entonces di es un producto de divisores de n (no necesariamente todos) tal que di + 1 es un primo pi . De Y ↵ 1 n n i la igualdad Q = pi , vemos que cualquier divisor primo de Q di di necesariamente debe ser igual a algún pi . Esta última afirmación es una condición más para x. i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 52 — #64 i i Enteros módulo n, Zn 52 Ejemplo 2.4.1. Encontraremos las soluciones de la ecuación '(x) = 4, claro, si es que existen. Los números di tal que di + 1 = pi son d1 = 1, d2 = 2, d3 = 4. Por tanto p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5. Al considerar los Q 4 posibles di tales que Q es un entero, podemos eliminar aquellos en di 4 los cuales Q no es un entero. Recordemos que solo debemos tomar en di 4 cuenta aquellos números de la forma Q tales que cualquier divisor primo di de éste sea algún pi . Con lo anterior construimos la siguiente tabla. 4 4 = 4 y ası́ x = p1 = 8 d1 d1 4 4 =2 ” x = p2 = 6 d2 d2 4 4 =1 ” x = p3 = 5 d3 d3 4 4 =2 ” x= p1 p2 = 12 d1 d2 d1 d2 4 4 =1 ” x= p1 p3 = 10 d1 d3 d1 d2 Por tanto las soluciones son x = 8, 6, 5, 12, 10. 2.5. La congruencia f (x) ⌘ 0 (mod m) En esta sección seguiremos con nuestro estudio de las raı́ces de una congruencia de la forma f (x) ⌘ 0 (mod m). El objetivo del siguiente resultado consiste en mostrar que la solubilidad de f (x) ⌘ 0 (mod m) depende esencialmente de la solubilidad de f (x) ⌘ 0 (mod p↵i i ) donde k Y m= p↵i i . i=1 Teorema 2.5.1. Si m = p↵1 1 · · · p↵k k y f (x) 2 Z[x] no es un polinomio constante, entonces f (x) ⌘ 0 (mod m) tiene solución si y solo si para cada i = 1, . . . , k, la congruencia f (x) ⌘ 0 (mod p↵i i ) es soluble. Más aún, si ti denota el número de soluciones de f (x) ⌘ 0 (mod p↵i i ), entonces f (x) ⌘ 0 (mod m) tiene exactamente t1 t2 · · · tk soluciones incongruentes. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 53 — #65 2.5 La congruencia f (x) ⌘ 0 (mod m) i 53 Demostración. Si f (x) ⌘ 0 (mod m) tiene solución, entonces por la afirmación 6 del teorema 2.1.1, cada una de las congruencias f (x) ⌘ 0 (mod p↵i i ) es soluble. Recı́procamnete, si xi denota una solución de f (x) ⌘ 0 (mod p↵i i ), entonces el teorema chino del residuo asegura que el sistema x ⌘ x1 (mod p↵1 1 ) x ⌘ x2 .. .. . . (mod p↵2 2 ) x ⌘ xk (mod p↵k k ) tiene solución única x, pues cada una de las congruencias del sistema tiene solución única. Por lo anterior tenemos que f (x) ⌘ f (xi ) ⌘ 0 (mod p↵i i ) y aplicando el teorema 2.1.3 llegamos a f (x) ⌘ 0 (mod m). Para terminar nuestro resultado solo nos resta contar las soluciones de la congruencia original. Consideremos los siguientes conjuntos: T1 = {x11 , x21 , . . . , xt1 1 }, T2 = {x12 , x22 , . . . , xt2 2 }, .. .. . . Tk = {x1k , x2k , . . . , xtk k }, donde Ti es el conjunto de soluciones de f (x) ⌘ 0 (mod p↵i i ). Consideremos un elemento tı́pico (xi1 1 , xi2 2 , . . . , xik k ) 2 T1 ⇥T2 ⇥· · ·⇥Tk . Con las entradas construimos el siguiente sistema de congruencias: i i x ⌘ xi1 1 (mod p↵1 1 ) x ⌘ xi2 2 .. .. . . (mod p↵2 2 ) x ⌘ xik k (mod p↵k k ). i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 54 — #66 i i Enteros módulo n, Zn 54 Por el teorema chino del residuo el sistema tiene solución única x. Aplicando el teorema 2.1.3 al sistema anterior obtenemos que f (x) ⌘ f (xi1 1 ) ⌘ 0 (mod p↵1 1 ) f (x) ⌘ f (xik k ) ⌘ 0 (mod p↵k k ), f (x) ⌘ f (xi2 2 ) ⌘ 0 (mod p↵2 2 ) .. .. . . y por lo tanto f (x) ⌘ 0 (mod mcm(p↵1 1 , . . . , p↵k k ) = m). Ahora elegimos dos elementos distintos en T1 ⇥ · · · ⇥ Tk : (x1 , . . . , xk ) y (x01 , . . . , x0k ). Claramente, estos elementos satisfacen que : 1. f (xi ) ⌘ f (x0i ) ⌘ 0 (mod p↵i i ) 2. xi ⌘ 6 x0i (mod p↵i i ) para alguna i. Supongamos que y es solución del sistema x ⌘ x1 (mod p↵1 1 ) x ⌘ x2 .. .. . . (mod p↵2 2 ) x ⌘ xk (mod p↵k k ) x ⌘ x01 (mod p↵1 1 ) x ⌘ x02 .. .. . . (mod p↵2 2 ) x ⌘ x0k (mod p↵k k ). y que y 0 resuelve el sistema Si y ⌘ y 0 (mod m), entonces necesariamente y ⌘ y 0 (mod p↵i i ). Por tanto, en la i-ésima congruencia tendrı́amos xi ⌘ x0i (mod p↵i i ). Ası́ que y 6⌘ y 0 (mod m) y de esta manera hemos probado que f (x) ⌘ 0 (mod m) tiene al menos t1 t2 · · · tk soluciones incongruentes. Para ver que son exactamente todas, debemos elegir cualquier solución z de f (x) ⌘ 0 (mod m) y ver que z proviene de algún elemento de T1 ⇥ T2 ⇥ · · · ⇥ Tk . En efecto, z = p↵i i qi + ri con 0  ri < p↵i i para 1  i  k. Ası́ que z ⌘ ri (mod p↵i i ) y por tanto f (z) ⌘ f (ri ) ⌘ 0 (mod p↵i i ). Por lo i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 55 — #67 2.5 La congruencia f (x) ⌘ 0 (mod m) i 55 anterior, ri es algún xji y z es solución del sistema x ⌘ r1 (mod p↵1 1 ) x ⌘ rk (mod p↵k k ). x ⌘ r2 (mod p↵2 2 ) .. .. . . y por tanto hay exactamente t1 t2 · · · tk soluciones incongruentes de f (x) ⌘ 0 (mod m). ⇤ Una conclusión importante que podemos leer en el enunciado del teorema 2.5.1 es que para resolver una congruencia de la forma f (x) ⌘ 0 (mod m) es necesario saber resolver una congruencia de la forma f (x) ⌘ 0 (mod p↵ ), con p primo. Antes de mostrar el resultado principal de esta sección hagamos algunas consideraciones. Si a, b 2 Z, n 2 N, por el teorema del binomio de Newton podemos escribir (a + b)n = an + nan 1 b + b2 Q(a, b), donde Q(a, b) depende de a, b. Si f (x) = c0 + c1 x + c2 x2 + · · · + cn xn 2 Z[x], entonces la derivada formal de f (x) es por definición f 0 (x) = c1 + 2c2 x + · · · + ncn xn 1 . Con un cálculo elemental el lector puede verificar fácilmente que f (a + b) = f (a) + bf 0 (a) + b2 Q(a, b), donde Q(a, b) es una expresión que depende de a, b. En seguida mostraremos que una solución de una congruencia polinomial f (x) ⌘ 0 (mod ps ) se puede escribir en términos de alguna solución de f (x) ⌘ 0 (mod ps 1 ). Con repetidas aplicaciones de este argumento, la solución de la congruencia módulo ps puede ser reducida a una congruencia módulo p. Esto no es todo, pues pensar ahora cómo construir una solución módulo ps no es tan inmediato. Veremos en el lema de Hensel que bajo cierta condición se puede hacer la construcción. Teorema 2.5.2. Las soluciones de f (x) ⌘ 0 (mod ps ) dependen de las soluciones de f (x) ⌘ 0 (mod ps 1 ), con s > 1. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 56 — #68 i Enteros módulo n, Zn 56 Demostración. Sea z solución de f (x) ⌘ 0 (mod ps ). Haremos depender a z de alguna solución de f (x) ⌘ 0 (mod ps 1 ). Observemos primero que z es solución de f (x) ⌘ 0 (mod ps 1 ) y por lo tanto el conjunto de soluciones A = {X1 , . . . , Xj } de la congruencia f (x) ⌘ 0 (mod ps 1 ) no es vacı́o. Por lo anterior, existe X 2 A tal que z ⌘ X (mod ps 1 ). Ası́ z = X + tps 1 (1) para alguna t 2 Z. Por tanto, dada una solución z de la congruencia f (x) ⌘ 0 (mod ps ), existe una solución X de f (x) ⌘ 0 (mod ps 1 ) tal que z = X + tps 1 . De esta manera, cada solución de f (x) ⌘ 0 (mod ps ) depende de alguna solución de f (x) ⌘ 0 (mod ps 1 ). ⇤ Ahora pensemos en lo siguiente: dada una solución X de f (x) ⌘ 0 (mod ps 1 ) ¿qué podemos hacer para levantar X a una solución de f (x) ⌘ 0 (mod ps )? 2.6. Lema de Hensel La respuesta a la interrogante planteada al final de la sección anterior la tenemos en el siguiente resultado. Teorema 2.6.1 (Lemma de Hensel). Sea X solución de f (x) ⌘ 0 (mod ps 1 ) tal que p - f 0 (X). Entonces existe t 2 Z tal que X + tps 1 es solución de f (x) ⌘ 0 (mod ps ). Demostración. Por hipótesis f (X) = M ps entonces f (X + tps 1 ) = M ps 1 + tps 1 0 f (X) + t2 (ps 1 para algún M 2 Z, 1 2 ) Q(X, tps 1 ), y como s > 1 tenemos que (ps 1 2 ) ⌘0 Si pretendemos que f (X + tps preocuparnos porque M ps 1 + tps o equivalentemente 1 0 f (X) = ps 1 (mod ps ). 1) ⌘ 0 (mod ps ), entonces debemos (M + tf 0 (X)) ⌘ 0 M + tf 0 (X) ⌘ 0 (mod ps ), (mod p). Por hipótesis p - f 0 (X), ası́ mcd(p, f 0 (X)) = 1 y por lo tanto la congruencia tf 0 (X) ⌘ M (mod p) tiene solución única en la variable t. ⇤ i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 57 — #69 2.6 Lema de Hensel i 57 Ejemplo 2.6.2. Consideremos el polinomio f (x) = 1 + 3x2 + x3 . Es claro que X = 1 satisface f (1) ⌘ 0 (mod 5) y 5 - f 0 (1). Para construir una solución módulo 52 debemos resolver la congruencia 1 + tf 0 (1) ⌘ 0 (mod 5). Es claro que t = 1 es solución y por tanto X + 5t = 6 resuelve 1 + 3x2 + x3 ⌘ 0 (mod 52 ). ¿Podemos construir ahora una solución módulo 53 ? En este caso 5 - f 0 (6) y f (6) = 13 · 52 . Ası́ que M = 13 y la solución de la congruencia M + tf 0 (6) ⌘ 0 (mod 5) es t = 13. Por tanto X + t52 = 81 es la solución de f (x) ⌘ 0 (mod 53 ). Notemos que f 0 (81) = 20169 y por tanto 5 - f 0 (81). Ası́, podemos construir una solución de f (x) ⌘ 0 (mod 54 ). En este caso, f (81) = 4409 · 53 , M = 4409. Por tanto, una solución de la congruencia 4409 + 20169t ⌘ 0 (mod 5) es t = 1. Ası́, una solución módulo 54 es X = 81 125 = 44, es decir, 1 + 3( 44)2 + ( 44)3 ⌘ 79375 ⌘ 0 (mod 54 ). Pareciera que podemos seguir con esta construcción módulo 5n . Tenemos que justificar que en cada solución X que obtenemos módulo 5n se cumple la condición 5 - f 0 (X). Para finalizar el ejemplo, notemos que el conjunto de soluciones que hemos generado son: x0 = 1, x1 = 6, x2 = 81, x3 = 44 y satisfacen xn ⌘ xn 1 (mod 5n ), para n = 0, 1, 2, 3. En general, dado un primo p, una sucesión de enteros {x0 , x1 , . . . , xn , . . . } que satisface xn ⌘ xn 1 (mod pn ) se le conoce como entero p-ádico y el conjunto de enteros p-ádicos es un anillo conocido como el anillo de enteros p-ádicos. Existe otro caso en que podemos construir una raı́z de f (x) ⌘ 0 (mod ps ) a partir de una raı́z de f (x) ⌘ 0 (mod ps 1 ). Si la hipótesis p - f 0 (X) de lema de Hensel la sustituimos por la hipótesis p | f 0 (X) y p | M , entonces tf 0 (X) ⌘ M (mod p) tiene p soluciones incongruentes pues mcd(p, f 0 (X)) = p. Lo anterior significa que cualquier valor de t nos sirve para construir una solución de f (x) ⌘ 0 (mod ps ). Sin embargo, si p - f 0 (X) y p - M , entonces es claro que no existe t tal que M + tf 0 (X) ⌘ 0 (mod p). En el lema de Hensel la hipótesis p - f 0 (X) se ve obscura, es decir, ¿existen ejemplos en donde esta hipótesis no se cumple? Teorema 2.6.3 (Lema débil de Hensel ). Sean p un primo impar y n 2 N. Entonces x2 ⌘ a (mod pn ) es soluble si y solo si x2 ⌘ a (mod p) es soluble. Demostración. Si b satisface b2 ⌘ a (mod pn ), entonces es claro que b2 ⌘ a (mod p). Supongamos ahora que x2 ⌘ a (mod p) es soluble. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 58 — #70 i Enteros módulo n, Zn 58 Construiremos una solución de x2 ⌘ a (mod pn ) usando inducción sobre n. Sea b tal que b2 ⌘ a (mod p). Entonces b2 = a + tp, para alguna t 2 Z. Consideremos la congruencia 2by ⌘ 1 (mod p). Ésta tiene solución única c en la variable y pues mcd(2b, p) = 1. Ası́ que 2bc = pr + 1 para algún r 2 Z. Si definimos b1 = b ptc, entonces b21 = b2 2bptc + p2 t2 c2 = b2 (pr + 1)pt + p2 t2 c2 = b2 p2 rt pt + p2 t2 c2 . Si reducimos b21 módulo p2 observaremos que b21 ⌘ a (mod p2 ). Por lo tanto, hemos construido explı́citamente una solución de x2 ⌘ a (mod p2 ) a partir de una solución de x2 ⌘ a (mod p). Ahora supongamos que hemos construido una solución de x2 ⌘ a (mod ps ) a partir de una solución de x2 ⌘ a (mod p). Lo que sigue es repetir lo que hicimos para construir una solución de x2 ⌘ a (mod p2 ). Sea bs 1 tal que b2s 1 ⌘ a (mod ps ). Entonces b2s 1 = a+ts 1 ps , para algún ts 1 2 Z. Resolvemos la congruencia 2bs 1 y ⌘ 1 (mod p) y llamemos cs 1 a la solución, es decir, 2bs 1 cs 1 ⌘ 1 (mod p). Escribimos 2bs 1 cs 1 = 1 + pr, para alguna r 2 Z. Entonces bs = bs 1 ps ts 1 cs 1 satisface que b2s = (bs = b2s = b2s = b2s ⌘a ⌘a 1 p s ts 1 cs 1 ) 2 1 cs 1 (1 + pr)ps ts 1 + p2s t2s 1 c2s 1 1 ps ts 1 ps+1 rts 1 + p2s t2s 1 c2s 1 1 ps+1 rts 1 + p2s t2s 1 c2s 1 s+1 1 2bs (mod p 1p s 2 ts 1 cs 1 + p2s t2s ). ⇤ El lema débil de Hensel funciona muy bien para primos impares. Lo que sospechamos ahora es que con p = 2 es donde deben estar los ejemplos. Observamos que x2 ⌘ 13 (mod 22 ) tiene como soluciones a x = 1, 3, pero x2 ⌘ 13 (mod 23 ) no es soluble. La invención de este ejemplo tiene su fundamento teórico, vea los incisos b) y c) del problema 49 al final del capı́tulo. 2.7. La congruencia f (x) ⌘ 0 (mod p) Si K es un campo, definimos el anillo de polinomios con coeficientes en K como K[x] = {a0 + a1 x + · · · + an xn : ai 2 K, n 2 N0 }. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 59 — #71 2.7 La congruencia f (x) ⌘ 0 (mod p) i 59 Si f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn 2 K[x], decimos que f (x) es de grado n si an 6= 0. La expresión gr(f (x)) = n indica que f (x) es un polinomio de grado n. Si f (x), g(x) 2 K[x], decimos que f (x) divide a g(x) si existe q(x) 2 K[x] tal que g(x) = f (x)q(x). Indicamos este hecho escribiendo f (x) | g(x). Toda la teorı́a de divisibilidad que desarrollamos en Z es válida en el anillo K[x]. Dos propiedades que se desprenden directamente de la definición de gr son: 1. gr(f (x) + g(x))  max{gr(f (x)), gr(g(x))}. 2. gr(f (x)g(x)) = gr(f (x)) + gr(g(x)). Teorema 2.7.1 (algoritmo de la división). Si f (x), g(x) 2 K[x] con g(x) 6= 0, entonces existen q(x), r(x) 2 K[x] tales que f (x) = g(x)q(x) + r(x), con r(x) = 0 ó gr(r(x)) < gr(g(x)). Demostración. La existencia de la expresión la haremos por inducción sobre el grado de f (x). Si gr(f (x)) < gr(g(x)), entonces q(x) = 0 y r(x) = f (x) nos da la expresión que buscamos. Si gr(f (x)) = gr(g(x)) = 0, entonces f (x), g(x) 2 K ⇤ . En este caso q(x) = f (x)g(x) 1 y r(x) = 0. Supongamos que gr(f (x)) = n, gr(g(x)) = m. Por lo anterior, podemos suponer que 1  m  n. Nuestra hipótesis de inducción consiste en suponer que el teorema es cierto para g(x) y cualquier polinomio f (x) de grado < n. Escribimos f (x) = a0 + a1 x + . . . + an xn y g(x) = b0 + b1 x + . . . + bm xm . Puesto que an 6= 0 y bm 6= 0, el polinomio f1 (x) = f (x) an bm1 xn m g(x) es un elemento de K[x] y el coeficiente de xn es an (an bm1 )bm = 0. Por lo tanto gr(f1 (x)) < n. Aplicamos la hipótesis de inducción a f1 (x) y g(x) para obtener f1 (x) = g(x)q1 (x) + r(x), donde r(x) = 0 ó gr(r(x)) < gr(g(x)). De la igualdad f1 (x) = f (x) an bm1 xn m g(x) = g(x)q1 (x) + r(x), se sigue que f (x) = g(x)(an bm1 xn m + q1 (x)) + r(x). an bm1 xn m Si escribimos q(x) = + q1 (x), entonces f (x) = g(x)q(x) + r(x) y ası́ obtenemos la expresión deseada. Ahora vamos a mostrar la unicidad i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 60 — #72 i i Enteros módulo n, Zn 60 de la expresión. Supongamos que f (x) = g(x)q(x) + r(x) = g(x)q1 (x) + r1 (x), con gr(r(x)) < gr(g(x)) y gr(r1 (x)) < gr(g(x)). De la igualdad r(x) r1 (x) = (q1 (x) q(x))g(x), se sigue que gr(r(x) Notemos que si q1 (x) r1 (x)) = gr((q1 (x) q(x))g(x)). q(x) 6= 0, entonces gr((q1 (x) gr(r(x) r1 (x)) = gr(q1 (x) q(x))+gr(g(x)) q(x)) 0y gr(g(x)) > gr(r(x) r1 (x)), lo cual es imposible pues gr(r(x) r1 (x))  max{gr(r(x)), gr(r1 (x))}. Ası́ que necesariamente q1 (x) q(x) = 0 y r(x) = r1 (x). ⇤ El anillo de residuos Zn es un campo si y solo si n es un número primo (ver problema 5), al que denotaremos de ahora en adelante como Fp . Ası́ que podemos considerar polinomios con coeficientes en Fp y dar una definición apropiada para el grado de una congruencia polinomial. Si f (x) = a0 +a1 x+· · ·+an xn 2 Fp [x] y p - an , entonces decimos que f (x) ⌘ 0 (mod p) es una congruencia de grado n. Si p | an , sea j el mayor entero positivo para el cual p - aj . Diremos entonces que f (x) ⌘ 0 (mod p) es una congruencia de grado j. Indicaremos con gr(f (x)) el grado de f (x) módulo p. Un polinomio es mónico si gr(f (x)) = j y aj ⌘ 1 (mod p). Teorema 2.7.2 (Teorema del residuo). Si p es primo y f (x) 2 Fp [x] no es el polinomio cero, entonces existe r(x) 2 Fp [x] mónico con las siguientes propiedades: (1) gr(r(x))  p 1 (2) f (x) ⌘ 0 (mod p) y r(x) ⌘ 0 (mod p) tienen exactamente las mismas soluciones. Demostración. Por el algoritmo de la división, dividimos f (x) entre el polinomio xp x, f (x) = q(x)(xp x) + R(x), donde gr(R(x))  p 1 ó R(x) es el polinomio idénticamente cero. Por el Terorema Pequeño de Fermat 2.1.15, xp x ⌘ 0 (mod p) para todo x 2 Z. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 61 — #73 2.7 La congruencia f (x) ⌘ 0 (mod p) i 61 Esto demuestra que f (x) ⌘ R(x) (mod p) para todo x 2 Z y por lo tanto f (x) ⌘ 0 (mod p) y R(x) ⌘ 0 (mod p) tienen exactamente las mismas soluciones. Supongamos que R(x) = b0 + b1 x + · · · + bs xs y p - bs . De acuerdo al lema 2.2.1, existe un único b 2 Z tal que bbs ⌘ 1 (mod p). Es claro que R(x) ⌘ 0 (mod p) y bR(x) ⌘ 0 (mod p) tienen las mismas soluciones. El polinomio r(x) = bR(x) satisface la segunda afirmación del teorema. ⇤ Teorema 2.7.3 (Teorema del factor). Sean p primo y f (x) 2 Fp [x]\Fp . Si a 2 Fp es tal que f (a) ⌘ 0 (mod p), entonces x a | f (x). Demostración. Se sigue directamente del teorema del residuo. ⇤ Si f (x) = x2 1, entonces el grado de f (x) módulo 8 es 2 y con un cálculo elemental se puede verificar que f (x) ⌘ 0 (mod 8) tiene cuatro soluciones incongruentes en Z8 , a saber 1, 3, 5, 7. Esto choca con lo que hemos aprendido en cursos básicos de álgebra. Un polinomio de grado n con coeficientes en R ó C tiene a lo más n raı́ces en R ó C. El siguiente resultado muestra que cuando el módulo es un primo p, entonces el número de raı́ces de la congruencia polinomial f (x) ⌘ 0 (mod p) no excede al grado del polinomio. Más aún, el teorema del residuo nos asegura que el número de raı́ces no excede p 1. Teorema 2.7.4 (Lagrange). Sea f (x) 2 Fp [x]. Si n = gr(f (x)), entonces el número de soluciones de la congruencia f (x) ⌘ 0 (mod p) no es mayor que n. Demostración. La prueba es por inducción sobre el grado de f (x) módulo p. Si n = 1, entonces la congruencia f (x) ⌘ 0 (mod p) tiene la forma ax ⌘ b (mod p). Por el lema 2.2.1, ésta tiene solución única. Supongamos que el teorema es válido para todas las congruencias polinomiales de grado menor que n. Sea f (x) de grado n módulo p. Si f (x) no tiene soluciones en Fp , entonces el teorema es válido. Denotemos por A = {r1 , . . . , rs } al conjunto de soluciones de f (x) ⌘ 0 (mod p) y supongamos que A 6= ;. Dividimos f (x) entre el polinomio x r1 para obtener f (x) = (x r1 )q(x) + R(x), donde R(x) es el polinomio idénticamente 0 ó gr(R(x)) = 0. Si gr(R(x)) = 0, entonces R(x) es constante. Pero f (r1 ) ⌘ R(r1 ) ⌘ 0 (mod p), ası́ R(x) es idénticamente 0. Por lo tanto f (x) = (x r1 )q(x) y gr(q(x)) = n 1. i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 62 — #74 i i Enteros módulo n, Zn 62 Observa que si i > 1, entonces q(ri ) ⌘ 0 (mod p). Aplicamos la hipótesis de inducción a q(x). Ası́ s 1  n 1 y s  n. ⇤ Corolario 2.7.5. Si f (x) ⌘ 0 (mod p) tiene más de gr(f (x)) soluciones, entonces cualquier entero es solución. Es siguiente resultado es una de las pruebas de primalidad con muchas aplicaciones teóricas; pero poco práctico computacionalmente. Teorema 2.7.6 (Teorema de Wilson). El entero n es primo si y solo si (n 1)! ⌘ 1 (mod n). Demostración. De acuerdo al Teorema Pequeño de Fermat 2.1.15, si n es primo, entonces f (x) = xn tiene n 1 1 soluciones x = 1, 2, . . . , n h(x) = (x 1)(x 1⌘0 2) · · · (x (mod n) 1. Consideremos el polinomio (n 1)) ⌘ 0 (mod n). Claramente esta congruencia polinomial también tiene n x = 1, 2 . . . , n 1. Observemos que g(x) = f (x) h(x) ⌘ 0 1 soluciones (mod n) es una congruencia de grado a lo más n 2 y tiene n 1 soluciones incongruentes. Por lo tanto 0 también es solución de g(x) ⌘ 0 (mod n) y ası́ 0 ⌘ g(0) ⌘ 1 ( 1)n 1 (n 1)! (mod n). Si n es impar, entonces ( 1)n 1 = 1 y por lo tanto (n 1)! ⌘ 1 (mod n). Si n = 2, es evidente que (2 1)! ⌘ 1 (mod 2). Recı́procamente, supongamos (n 1)! ⌘ 1 (mod n) y sea d 6= n un divisor de n. Por la afirmación 6 del teorema 2.1.1 (n 1)! ⌘ 1 (mod d). Pero (n 1)! ⌘ 0 (mod d) porque d | n y d < n. Ası́ que 1 ⌘ 0 (mod d) y d = ±1. Por tanto n es primo. ⇤ PROBLEMAS 1. Muestra que dos enteros son congruentes módulo n si y solo si dejan el mismo residuo al ser divididos por n. 2. Muestra que: a) Si a ⌘ b (mod n) y c ⌘ d (mod n), entonces a + c ⌘ b + d (mod n). i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 63 — #75 2.7 La congruencia f (x) ⌘ 0 (mod p) 3. 4. 5. 6. i 63 b) Si a ⌘ b (mod n), entonces para x, y 2 Z, ax ⌘ bx (mod n). c) Si a ⌘ b (mod n) y c ⌘ d (mod n), entonces ax + cy ⌘ bx + dy (mod n). d) Si f (x) 2 Z[x] y a ⌘ b (mod n), entonces f (a) ⌘ f (b) (mod n). Muestra que si a 2 N, entonces a2 ⌘ 0, 1 (mod 4). ¿Por qué 602 915 no es un cuadrado? Muestra que: a) Si n es impar, entonces n2 ⌘ 1 (mod 8). En particular, el polinomio x2 1 2 Z8 [x] es de grado 2 y tiene 4 raı́ces distintas. b) Si a 2 Z, entonces 6 | a3 a. c) Encuentra enteros a, b tales que a | 2b 1. Sea j 2 Zn y a 2 j. Muestra que si mcd(j, n) = d, entonces mcd(a, n) = d. n X1 Sea n 2 N impar. Muestra que i ⌘ 0 (mod n). ¿Qué pasa si n es par? i=0 7. Encuentra un SCR(19) formado por múltiplos de 4. 8. Usando la definición de SRR(m) muestra que {1, 2, 4, 5, 7, 8} es un sistema reducido de residuos módulo 9. 9. Muestra con un ejemplo que si {x1 , . . . , x'(m) } = SRR(m), {y1 , . . . , y'(n) } = SRR(n) y mcd(m, n) = 1, entonces no necesariamente el conjunto {xi yj : 1  i  '(m), 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. i i 1  j '(n)} es un sistema reducido de residuos módulo mn. Evalúa '(25), '(129), '(527), '(1128), '(5766), '(19997). Muestra que '(m) = '(2m) si y solo si m es impar. Encuentra todas las soluciones de '(x) = 26 y '(x) = 24. Muestra que si p es primo y 2p+1 es compuesto, entonces la ecuación '(x) = 2p no tiene solución. Muestra que si p y 2p+1 son primos (por ejemplo 11 y 23), entonces '(x) = 2p es soluble. Analiza los casos p = 2 y p 6= 2 y cuenta todas las soluciones. Muestra que 14 es el menor entero positivo para el cual '(x) = 14 no es soluble. Muestra que si mcd(n, 7) = 1, entonces 7 | n6 1. Muestra que si mcd(n, 7) = 1, entonces 7 | n12 1. Muestra que 5 | n13 n para todo n 2 N. Sean a, b 2 Z y p un primo impar tal que p - a y p - b. Muestra que si ap ⌘ bp (mod p), entonces a ⌘ b (mod p). Encuentra el inverso aditivo de todos los elementos en: F5 , F11 , Z14 , Z16 . Sea Un = {a 2 Zn : ax ⌘ 1 (mod n) es soluble}. Muestra que: a) Si a, b 2 Un , entonces ab 2 Un . b) Si a 2 Un y b es solución de ax ⌘ 1 (mod n), entonces b 2 Un . c) |Un | = '(n). Muestra que si n es compuesto, entonces '(n) < n 1. i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 64 — #76 i i Enteros módulo n, Zn 64 d) Muestra que p es primo si y solo si Up = {1, 2, . . . , p 1}. 22. Si a 2 Un , entonces decimos que a es una unidad de Zn . Encuentra todas las unidades en: F5 , F17 , Z14 y Z16 . 23. Sea n impar. Muestra que 2 2 Un y si a 2 Zn , entonces a se puede escribir como una diferencia de cuadrados. P 24. Muestra que si n 1, entonces d|n '(d) = n. Sugerencia: inducción sobre el número de factores primos de n. 25. Muestra que si p es primo, entonces xp ⌘ x (mod p) para toda x 2 Z. 26. Verifica por medio de ejemplos que dado m > 1, entonces para todo entero x se cumple: xm '(m) ⌘ xm (mod m). 27. Muestra que si n tiene k factores primos impares, entonces 2k | '(n). 28. Muestra que si d | n y 0 < d < n, entonces d '(d) < n '(n). 29. Muestra que si p es primo y h + k = p 1 con h, k positivos, entonces h!k! + ( 1)h ⌘ 0 30. Muestra que si p es primo, entonces (p (mod p). 1)! ⌘ p 1 (mod p 1 X i). i=1 31. Supongamos que p es primo. Encuentra mcd(p!, (p 1)! 1). 32. Sean p1 , p2 , p3 primos diferentes. Encuentra enteros consecutivos n, n+1, n+2 tal que p21 | n, p22 | n + 1, p23 | n + 2. 33. Considera la siguiente colección de congruencias: a) x ⌘ 3 (mod 7) b) x ⌘ 2 (mod 11) c) x ⌘ 7 (mod 12) d) x ⌘ 4 (mod 13) e) x ⌘ 8 (mod 14) f) x ⌘ 5 (mod 15) g) x ⌘ 2 (mod 17) h) x ⌘ 1 (mod 18). Resuelve el sistema de congruencias para cada una de las siguientes elecciones: — a) y b). — a), c) y d). — b), d), y g). — a), e) y f). — a), b), d), g), h). 34. Resuelve cada una de las siguientes congruencias: a) 132x ⌘ 22 (mod 194) b) 84x ⌘ 156 (mod 605) c) 16x ⌘ 3 (mod 24) i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 65 — #77 2.7 La congruencia f (x) ⌘ 0 (mod p) i 65 d) 5x ⌘ 1 (mod 18). 35. Resuelve el sistema de congruencias: 3x ⌘ 5 11x ⌘ 3 (mod 22) (mod 28) 36. Encuentra R(x) en el teorema del residuo 2.7.2 en cada uno de los siguientes casos: a) 3x5 + x4 + 2x3 + 5x + 6 ⌘ 0 (mod 5) b) 2x4 3x + 2 ⌘ 0 (mod 7) c) x4 5x3 + x2 3x + 2 ⌘ 0 (mod 11) d) x4 + 1 ⌘ 0 (mod 13). 37. Demuestra el teorema del factor 2.7.3. 38. Supongamos que la congruencia polinomial f (x) ⌘ 0 (mod m) tiene m soluciones incongruentes, Demuestra que cualquier entero es solución. 39. Demuestra el corolario 2.7.5. 40. Muestra que si f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn ⌘ 0 (mod p) tiene más de n soluciones incongruentes, entonces p | aj para 0  j  n. 41. Usa el teorema del factor para factorizar los siguientes polinomios: a) x2 13 b) x2 5x + 6 c) x2 + 2x 2 d) x3 + x + 2 e) x3 2 f) x3 + 2x2 3x 1. en cada uno de los anillos F2 [x], F5 [x], F7 [x], F11 [x]. 42. El polinomio f (x) 2 Fp [x] \ Fp es irreducible si: siempre que tengamos una factorización f (x) = h(x)g(x), entonces alguno de los factores es un polinomio constante. Considera la siguiente lista de polinomios: a) x2 13 b) x2 5x + 6 c) x2 + 2x 2 d) x3 + x + 2 e) x3 2 f) x3 + 2x2 3x 1. ¿Cuáles de ellos son irreducibles cuando son considerados en F2 [x], F5 [x], F7 [x], F11 [x]? 43. Un polinomio no constante en Fp [x] es irreducible o no lo es. Si no es irreducible, entonces diremos que es reducible. Use como guı́a la definición de polinomio irreducible (ver problema anterior) para dar la definición de polinomio reducible en Fp [x]. i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 66 — #78 66 i i Enteros módulo n, Zn 44. Usa el teorema de Wilson para mostrar que si p es un primo de la forma 4n+1, entonces x2 + 1 ⌘ 0 (mod p) tiene solución. 45. Sea f (x) cualquiera de los siguientes polinomios: a) x3 x + 3 b) x3 + x2 4 c) x2 + x + 7 d) x4 + x + 1. Resuelve la congruencia f (x) ⌘ 0 (mod m) para cada uno de los siguientes valores de m: m = 3, m = 9, m = 27. 46. ¿Cuántas soluciones tiene cada una de las siguientes congruencias? a) x3 x + 1 ⌘ 0 (mod 35 · 132 ). b) x3 x + 1 ⌘ 0 (mod 53 · 7). c) x3 + 5x 3 ⌘ 0 (mod 310 · 55 ). 47. Continúa con el ejemplo 2.6.2 y construye soluciones módulo 55 , 56 , 57 . Verifica que satisfacen xn ⌘ xn 1 (mod 5n ) para n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 48. Resuelve x3 + 64x2 + x + 30 ⌘ 0 (mod 216). 49. Muestra que la ecuación x2 10y 2 = ±3 no tiene soluciones enteras x, y. 50. Supongamos que a es impar. Muestra que: a) x2 ⌘ a (mod 2) tiene exactamente una solución. b) x2 ⌘ a (mod 22 ) es soluble si y solo si a ⌘ 1 (mod 4). En este caso existen dos soluciones. c) x2 ⌘ a (mod 23 ) tiene solución si y solo si a ⌘ 1 (mod 23 ). En este caso existen exactamente cuatro soluciones. d) Si s 3 y x2 ⌘ a (mod 2s ) tiene una solución cs , entonces x2 ⌘ a (mod 2s+1 ) tiene una solución de la forma cs+1 = cs + t2s 1 . e) Para s 3, x2 ⌘ a (mod 2s ) tiene solución si y solo si a ⌘ 1 (mod 8). En este caso existen cuatro soluciones. 51. Construya varios ejemplos de congruencias cuadráticas en las cuales x2 ⌘ a (mod 22 ) sea soluble y x2 ⌘ a (mod 23 ) no sea soluble. 52. Supongamos que en el problema 49 ponemos como hipótesis a par. ¿Cuáles de las afirmaciones a), b), c), d), e), siguen siendo válidas? i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 67 — #79 Capı́tulo i i 3 Cuadrados en Fp En el capı́tulo 2 hicimos un estudio de las soluciones del polinomio f (x) 2 Zm [x]. El objetivo de esta sección es estudiar el caso particular de un polinomio de grado 2 en Fp [x] con p un número primo impar. Si f (x) = ax2 + bx + c 2 C[x] ó R[x], entonces sabemos que f (z0 ) = 0 si y solo si p b ± b2 4ac z0 = . 2a Intentemos usar la fórmula para un polinomio cuadrático en F5 [x]. Sea f (x) = x2 2x 2. Entonces f (z) = 0 si y solo si p p p 2 ± ( 2)2 4( 2) 2 ± 12 2± 2 z= = ⌘ 2 2 p 21 p ⌘ (2 ± 2)2 ⌘ (2 ± 2)3 (mod 5). p En realidad fue fácil efectuar las operaciones, excepto calcular 2. ¿Qué p significa 2 en F5 ? o alternativamente ¿existe x 2 F5 tal que x2 ⌘ 2 (mod 5)? Por ensayo error, podemos verificar fácilmente que no existe x 2 F5 tal que x2 ⌘ 2 (mod 5), es decir, la congruencia f (x) = x2 2 ⌘ 0 (mod 5) no tiene solución en F5 . Sin embargo, en F7 verificamos que 32 ⌘ 42 ⌘ 2 (mod 7). De paso observamos que por el teorema del factor podemos factorizar: x2 2 ⌘ (x 3)(x 4) (mod 7). En estos casos es relativamente fácil el ensayo error. Pero ¿y si p es un primo grande? La fórmula involucra suma, resta, cociente y raı́z cuadrada. En Fp es fácil sumar, dividir, pero ¿cómo encontramos x 2 Fp tal que x2 ⌘ b2 4ac (mod p)? o menos aún ¿cómo detectar si f (x) ⌘ 0 (mod p) tiene solución en Fp . En este capı́tulo veremos que resolver una congruencia cuadrática de la forma ax2 + bx + c ⌘ 0 (mod p) i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 68 — #80 i Cuadrados en Fp 68 es equivalente a resolver y 2 a ⌘ 0 (mod p). Esto nos conducirá a la definición de residuo cuadrático en Fp y a la definición del sı́mbolo de Legendre1. Después estudiaremos las propiedades del sı́mbolo de Legendre para llegar finalmente a la importante ley de reciprocidad cuadrática de Gauss. Por último revisaremos el sı́mbolo de Jacobi el cual es una generalización del sı́mbolo de Legendre. Sean a 2 Z y p un primo impar tal que mcd(a, p) = 1. Entonces ax2 + bx + c ⌘ 0 2 4a(ax + bx + c) ⌘ 0 4a2 x2 + 4abx + b2 ⌘ b2 2 (2ax + b) ⌘ b 2 (mod p) si y solo si (mod p) si y solo si 4ac (mod p) si y solo si 4ac (mod p). Si y = 2ax + b, a0 = b2 4ac, entonces (2ax + b)2 ⌘ b2 4ac (mod p) es lo mismo que y 2 ⌘ a0 (mod p). Comparemos las soluciones: x0 es solución de ax2 + bx + c ⌘ 0 (mod p), si y solo si y0 = 2ax0 + b es solución de y 2 ⌘ a0 (mod p). Sean p un primo impar y a 2 Z tal que mcd(a, p) = 1. Diremos que a es un residuo cuadrático módulo p si y solo si x2 ⌘ a (mod p) es soluble. En caso contrario diremos que a es un no residuo cuadrático módulo p. Ejemplo 3.0.1. 4 es un residuo cuadrático módulo 7 pues x2 ⌘ 4 (mod 7) es soluble con x0 = 2. Ejemplo 3.0.2. 2 no es un residuo cuadrático módulo 5 pues x2 ⌘ (mod 5) no es soluble para ningún valor de x 2 F5 . 2 1Adrien-Marie Legendre nació en 1752 en Toulouse, Francia. Su nombre va unido a un gran número de proposiciones, lo que atestigua la diversidad de sus investigaciones. Aunque sobresalió particularmente en teorı́a de números, contribuyó también de manera original en otros campos: ecuaciones diferenciales, cálculo de variaciones, teorı́a de funciones, geometrı́a euclidiana e integrales elı́pticas. Sus trabajos matemáticos fueron durante mucho tiempo los clásicos por excelencia: elementos de geometrı́a(1794); ensayo sobre la teorı́a de números(1798); tratado de las funciones elı́pticas y de las integrales eulerianas(1825-1832) y teorı́a de números(1830). i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 69 — #81 3.1 Sı́mbolo de Legendre i 69 3.1. Sı́mbolo de Legendre El sı́mbolo de Legendre simplemente (casi nada) nos ayudará a detectar si una clase en Fp es o no el cuadrado de alguna clase. Para p un primo impar y a 2 Z tal que mcd(a, p) = 1 definimos el sı́mbolo de Legendre como ⇣a⌘ ⇢ 1 si a es residuo cuadrático módulo p, = 1 si a no es residuo cuadrático módulo p. p Podemos reescribir la definición anterior como: ⇣a⌘ p = ⇢ 1 si x2 1 si x2 a⌘0 a⌘0 (mod p) es soluble, (mod p) no es soluble. El siguiente resultado describe algunas de las propiedades más importantes del sı́mbolo de Legendre: Teorema 3.1.1. Sean a, b 2 Z, p primo impar con mcd(ab, p) = 1. Entonces: ⇣ a2 ⌘ ⇣1⌘ 1. = 1, = 1. p p ⇣a⌘ ⇣ b ⌘ 2. Si a ⌘ b (mod p), entonces = . p p ⇣a⌘ p 1 3. ⌘ a 2 (mod p) (teorema de Euler). p ⇣ ab ⌘ ⇣ a ⌘⇣ b ⌘ 4. = . p p p ⇣ 1⌘ p 1 5. = ( 1) 2 . p Demostración. La afirmación 1 es evidente. Vayamos a la afirmación 2: c 2 Z es solución de x2 ⌘ a (mod p) si y solo si c2 ⌘ a ⌘ b (mod p). Por tanto, a es un cuadrado si y solo si b es un cuadrado módulo p y en ⇣a⌘ ⇣ b ⌘ este caso = = 1, lo cual es equivalente a afirmar que x2 ⌘ a p p (mod p) no es soluble si y solo si x2 ⌘⇣b (mod p) no es soluble. Para la a⌘ afirmación 3 supongamos primero que = 1. Entonces existe x0 2 Z p i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 70 — #82 i i Cuadrados en Fp 70 tal que x20 ⌘ a (mod p). Puesto que mcd(x0 , p) = 1, usando el Teorema Pequeño de Fermat tenemos que p 1 p 1 x20 2 ⌘ a 2 ⌘ xp0 1 ⌘ 1 (mod p), ⇣a⌘ p 1 y por lo tanto ⌘ a 2 (mod p). p ⇣a⌘ Para concluir la afirmación 3 ahora supongamos que = 1. Si p p - r, entonces la congruencia lineal rx ⌘ a (mod p) tiene solución única r0 . Es claro que r 6= r0 pues de lo contrario x2 ⌘ a (mod p) serı́a soluble. Ası́ que el conjunto {1, 2, . . . , p 1} lo podemos partir en parejas {r, r0 } que satisfacen rr0 ⌘ a (mod p) y r 6⌘ r0 (mod p). De acuerdo al teorema de Wilson 2.7.6 obtenemos que Y p 1 1 ⌘ (p 1)! = (rr0 ) ⌘ a 2 (mod p). ⇣a⌘ r,r 0 2F⇤p ⇣a⌘ ası́ que, = 1, entonces ⇣ a ⌘⇣ b ⌘ p p ⌘ ⇣ ab ⌘ p ⌘a p 1 2 ⌘ 1 (mod p). Para la p p afirmación 4 usamos la afirmación 3: ⇣ a ⌘⇣ b ⌘ ⇣ ab ⌘ p 1 p 1 p 1 ⌘ a 2 b 2 ⌘ (ab) 2 ⌘ (mod p), p p p Por lo tanto, si (mod p). La afirmación 5 ahora es fácil: por 3 tenemos ⇣ 1⌘ p 1 ⌘ ( 1) 2 (mod p). p ⇤ La afirmación 2 del teorema anterior tiene una interpretación interesante: si el representante de una clase en Fp es un cuadrado, entonces cualquier número en esa clase también es un cuadrado. Equivalentemente, si el representante de una clase en Fp no es un cuadrado, entonces cualquier otro número en esa clase no es un cuadrado. Corolario 3.1.2. Si p es un primo impar, entonces ⇢ ⇣ 1⌘ p 1 1 si p ⌘ 1 (mod 4) 2 = ( 1) = 1 si p ⌘ 3 (mod 4) p i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 71 — #83 3.1 Sı́mbolo de Legendre i 71 p 1 Demostración. Observe que si p es de la forma 4n+1, entonces 2 p 1 es par. Si p es de la forma 4n + 3, entonces es impar. ⇤ 2 ⇣ 1⌘ 600 Ejemplo 3.1.3. Si p = 601, entonces = ( 1) 2 = 1, por lo 601 tanto x2 ⌘ 1 (mod 601) es soluble. ¿Puede el lector factorizar el polinomio x2 + 1 en F601 [x]? ⇣ 1⌘ Ejemplo 3.1.4. Si p = 47, entonces = 1, ası́ que x2 ⌘ 1 47 (mod 47) no tiene solución en el campo F47 . De nuestra experiencia en cursos básicos de matemáticas sabemos que el polinomio f (x) = x2 + 1 no tiene soluciones en los campos Q ó R. Podemos plantear la siguiente pregunta: ¿para cuáles primos p el polinomio f (x) = x2 + 1 es irreducible en Fp [x]? El corolario 3.1.2 nos afirma que: si p = 4n + 1, entonces f (x) = x2 + 1 ⌘ 0 (mod p) es soluble y si p = 4n + 3, entonces f (x) = x2 + 1 ⌘ 0 (mod p) no es soluble. Observe que el corolario 3.1.2 solo nos indica la posible solubilidad de una congruencia cuadrática, pero no nos indica cómo encontrar la posible solución, en caso de que exista. Teorema 3.1.5. Si p = 2 o p es un primo positivo de la forma 4n + 1, entonces la congruencia x2 + 1 ⌘ 0 (mod p) es soluble. Demostración. Vamos a proponer una solución. Si p = 2, entonces x = 1 es solución. Por el teorema de Wilson 2.7.6 podemos escribir (p 1)! como: ⇣ ⌘ p 1 ⌘⇣ p + 1 1 · 2···j ··· · · · (p j) · · · (p 1) ⌘ 1 (mod p). 2 2 p 1 p+1 Observemos que si 1  j  , entonces  p j  p 1 y que 2 2 p j ⌘ j (mod p). Ahora reescribimos el producto anterior como: p 1 1⌘ 2 Y p 1 j(p j=1 Por lo tanto x = j) ⌘ p 1 2 Y 2 Y j=1 p 1 j 2 ⌘ ( 1) j es una solución. p 1 2 2 Y j=1 p 1 2 ⇣Y ⌘2 j2 ⌘ j (mod p). j=1 ⇤ j=1 i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 72 — #84 i i Cuadrados en Fp 72 Observe lector que en la prueba del teorema anterior es importante que el primo p sea positivo, simplemente note el uso del factorial (Teorema de Wilson). Establecimos como convenio al principio de la sección 1.4 del capı́tulo 1 que los numeros primos son positivos, pero tambiés hay primos negativos, de hecho p es primo si y solo si p lo es. Existen grandes diferencias entre p y p que ahora podemos comenzar a notar con ayuda del teorema anterior. Por ejemplo si p = 13, entonces en x2 +1 ⌘ (mod 13) es soluble con x = 5 y x = 8, pero 13 es un primo de la forma 4k + 3. Ası́ que el teorema anterior no es válido para primos negativos. La versión para p < 0 es la siguiente: Teorema 3.1.6. Si p = 2 o p es un primo negativo de la forma 4n+3, entonces la congruencia x2 + 1 ⌘ 0 (mod p) es soluble. Demostración. p es de la forma 4n + 3 si y solo si 4t + 1. Por lo tanto p | x2 + 1 si y solo si p | x2 + 1. p es de la forma ⇤ PROBLEMAS 1. Use el teorema de Euler (afirmación 3 del teorema 3.1.1) para mostrar que si p es un primo impar, p 6= 3, entonces p es un cuadrado en F3 si y solo si p = 3n + 1 para algún n 2 Z. 2. Sea f (x) 2 Fp [x] un polinomio de grado 2 ó 3. Muestra que si f (x) no tiene raı́ces módulo p, entonces f (x) es irreducible en Fp [x]. 3. En los siguientes campos finitos, muestra con una lista todos los residuos cuadráticos y todos los residuos no cuadráticos: a) F17 . b) F13 . c) F23 . d) F31 . 4. Sean p un primo impar y a 2 Z tal que mcd(a, p) = 1 y x2 ⌘ a (mod p) es soluble. Entonces la congruencia x2 ⌘ a (mod p) tiene dos soluciones incongruentes. 5. De acuerdo con el problema anterior, si p es un primo de la forma 4n + 1, entonces la congruencia x2 ⌘ 1 (mod p) debe tener dos soluciones incongruentes. El teorema 3.1.5 proporciona explı́citamente una de ellas. ¿Puedes proporcionar la otra solución? 6. Muestra que si la congruencia x2 ⌘ 1 (mod p) es soluble, entonces p = 2 o bien p es un primo de la forma 4n + 1. Observa el corolario 3.1.2. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 73 — #85 3.2 Ley de reciprocidad cuadrática i 73 7. Sea K cualquier campo. Concluimos de la definición de polinomio irreducible que si f (x) 2 K[x] es irreducible, entonces por el teorema del factor f (x) no tiene raı́ces en K. Si f (x) es reducible o factorizable con polinomios de K[x] entonces ¿f (x) debe tener al menos una raı́z en K? 2 8. Muestra ⇣ a ⌘ que el número de soluciones de x ⌘ a (mod p) está dado por 1+ . p 9. Encuentra todos los valores de c para que la congruencia 3x2 2x + c ⌘ 0 (mod 11) sea soluble. 10. Consideremos el campo finito Fp . Muestra que para cada entero n > 1 existe f (x) 2 Fp [x] irreducible de grado n. 11. Sean p = 4n + 1 un número primo y ↵ 2 F⇤p . Muesra que ↵ es un cuadrado en Fp si y sólo si ↵ no es un cuadrado. 12. Sean p = 4n + 3 un número primo y ↵ 2 F⇤p . Muesra que ↵ es un cuadrado en Fp si y sólo si ↵ es un cuadrado. 13. Supongamos que x2 ⌘ a (mod p) es soluble. Muestra que: a) Si p = 4n + 3, entonces x = ±an+1 son las soluciones de x2 ⌘ a (mod p). b) Si p = 4(2n + 1) + 1, entonces x = ±an+1 ó x = ±22n+1 an+1 son las soluciones. 3.2. Ley de reciprocidad cuadrática Investigar si un entero n es un cuadrado en el campo Fp no es una tarea fácil. Hasta ahora, solo contamos con la afirmación 3 del teorema 3.1.1. Vamos a describir cuál es el objetivo de esta sección. Sea n 2 Z \ {0, 1, 1} y supongamos que n = (n)2↵ p↵1 1 · · · p↵r r , donde los pi ’s son primos impares, pi 6= pj si i 6= j y (n) = ±1 según si n > 0 ó n < 0. Adicionalmente consideremos un primo impar p. Queremos averiguar si n es o no un cuadrado en Fp . De acuerdo a la afirmación 4 del teorema 3.1.1 tenemos que r ⇣ ↵i ⌘ ⇣ n ⌘ ⇣ (n)2↵ p↵1 · · · p↵r ⌘ ⇣ ±1 ⌘⇣ 2↵ ⌘ Y pi r 1 = = . p p p p p i=1 Ahora analicemos cada factor de acuerdo a su exponente en la factorización. Si ↵i = 2t+1, entonces por las afirmaciones 4 y 1, en ese orden, del teorema 3.1.1 tenemos que ⇣ p↵ i ⌘ i p i i = ⇣ p2t+1 ⌘ i p = ⇣ p2t ⌘⇣ p ⌘ i i p p = ⇣p ⌘ i p . i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 74 — #86 i i Cuadrados en Fp 74 Si ↵i = 2t, entonces claramente ⇣ p2t ⌘ i = 1. Lo mismo sucede con ⇣ 2↵ ⌘ . p p Ası́ que el único exponente que nos interesa es el 1. Por tal motivo, nuestro estudio está concentrado en estudiar el valor de los siguientes sı́mbolos: ⇣ 1⌘ ⇣2⌘ ⇣q ⌘ , , , p p p donde q es un primo de p. Recordemos que el corolario 3.1.2 nos ⇣ distinto 1⌘ da respuesta para . Nuestro siguiente resultado, el lema de Gauss, p aparte de ser otra alternativa al teorema de Euler (afirmación 3 del teorema 3.1.1), será de gran utilidad para resolver el problema de encontrar el valor ⇣2⌘ del sı́mbolo . Antes de ver la prueba comenzaremos con un ejemplo. p Sea p = 17, a = 6. Consideremos el conjunto S = {1 · a, 2 · a, . . . , p 1 2 · a} = {1 · 6, 2 · 6, 3 · 6, 4 · 6, 5 · 6, 6 · 6, 7 · 6, 8 · 6}. Reduciendo los elementos de S módulo 17 obtenemos el siguiente conjunto: S 0 = {6, 12, 1, 7, 13, 2, 8, 14}. Por medio del teorema de Euler podemos verificar que ⇣6⌘ 17 1 ⌘ 6 2 ⌘ 1 (mod 17). 17 17 Por otro lado, S 0 contiene 3 elementos que exceden la cantidad = 8.5, a 2 ⇣6⌘ saber: 12, 13, 14. Coincidentemente ( 1)3 = 1 = . 17 Teorema 3.2.1 (Lema de Gauss). Sean p primo impar y a 2 Z tal que mcd(a, p) = 1. Consideremos el conjunto n p 1 o S = 1a, 2a, . . . , a . 2 Para i = 1, . . . , p 1 2 escribimos ia = pqi + ri con 0 < ri < p. Sea S 0 = {r1 , r2 , . . . , r p i i 1 2 } i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 75 — #87 3.2 Ley de reciprocidad cuadrática i 75 el conjunto de residuos módulo p de los elementos de S. Si n es el número p de elementos de S 0 que exceden la cantidad , entonces 2 ⇣a⌘ = ( 1)n . p Demostración. Primero observemos que ri 6⌘ rj (mod p) para i 6= j, ası́ que S 0 está formado por elementos incongruentes dos a dos y por p 1 lo tanto los elementos de S 0 son distintos, es decir, |S 0 | = . Sean 2 p p t1 , t2 , . . . , tn 2 S 0 tal que ti > , y s1 , . . . , sm 2 S 0 tal que si < . Entonces 2 2 S 0 = {t1 , t2 , . . . , tn , s1 , . . . , sm } y 1 p p , si 6= , tj 6= 2 2 2 pues p es primo impar. Ası́, los números n+m= p p t1 , p t2 , . . . , p tn son diferentes y satisfacen que p . 2 Por lo tanto p t1 , p t2 , . . . , p tn , s1 , s2 , . . . , sm son mayores que cero y p menores que . Afirmamos que ellos son diferentes. Si p ti = p tj con 2 i 6= j, entonces ti = tj , lo cual es absurdo. Si p ti = sj , entonces existen p 1 x0 , y0 tales que 1  x0 , y0  y satisfacen 2 ti ⌘ x0 a (mod p), sj ⌘ y0 a (mod p). 0<p ti < Entonces sj = p de donde ti ⌘ p x 0 a ⌘ y0 a p | a( y0 (mod p), x0 ) y por lo tanto p | (x0 + y0 ), lo cual es imposible pues 2  x0 + y0  p 1. Hasta este momento podemos concluir que los siguientes conjuntos coinciden: n o n p 1o p t1 , p t2 , . . . , p tn , s1 , . . . , sm = 1, 2, . . . , , 2 i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 76 — #88 i Cuadrados en Fp 76 p 1 donde n + m = . Para finalizar la prueba multiplicamos todos los 2 elementos de ambos conjuntos y reducimos módulo p. Será útil recordar que los elementos si , tj recorren el conjunto S = {r1 , r2 , . . . , r p 1 }. Ası́ 2 tenemos que ✓ ◆ n m Y Y p 1 != (p tj ) sj 2 j=1 ⌘ ( 1)n n Y j=1 m Y tj j=1 p 1 ⌘ ( 1)n 2 Y y puesto que mcd ⇣⇣ p 2 1⌘ ja j=1 ⌘ ( 1)n a sj j=1 p 1 2 ⇣p 2 1⌘ ! (mod p) ⌘ !, p = 1, cancelamos para obtener 1 ⌘ ( 1)n a p 1 2 (mod p). De lo anterior concluimos que ⇣a⌘ p 1 ⌘ a 2 ⌘ ( 1)n p y por lo tanto ⇣a⌘ p (mod p) ⇤ = ( 1)n . Siguiendo las ideas de la prueba del lema de Gauss tenemos el siguiente resultado: Lema 3.2.2. Sean p un primo impar y a entero positivo tal que p - a. p 1 2 j X ia k Consideremos n y S como en el lema de Gauss. Si t = , entonces p i=1 (a i i 1) p2 1 8 ⌘t n (mod 2). i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 77 — #89 3.2 Ley de reciprocidad cuadrática i 77 Demostración. Sean t1 , t2 , . . . , tn , s1 , s2 , . . . , sm como en el lema de Gauss. Sabemos que: n o n p 1o p t1 , p t2 , . . . , p tn , s1 , . . . , sm = 1, 2, . . . , . 2 Sumando los elementos de cada conjunto tenemos que n X (p ti ) + i=1 pero p 1 m X si = i=1 2 X i, i=1 p 1 2 X i= p2 8 i=1 y n X (p ti ) + i=1 Ası́ que, m X 1 n X si = np i=1 p2 1 = np 8 ti + i=1 n X ti + i=1 m X m X si . i=1 si . i=1 En el mismo orden de ideas, si dividimos ia entre p y usamos el teorema p 1 1.1.6 tenemos para i = 1, . . . , que 2 j ia k ia = p + Ri , p donde los Ri son exactamente los elementos t1 , . . . , tn , s1 , . . . , sm . Por lo tanto a ⇣ p2 8 1⌘ p 1 = 2 X ia i=1 p 1 = 2 ⇣j X ia k i=1 = pt + p n X i=1 i i ⌘ p + Ri = p ti + m X p 1 2 j X ia k i=1 p p 1 + 2 X Ri i=1 si . i=1 i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 78 — #90 i Cuadrados en Fp 78 Puesto que a ⇣ p2 1⌘ 8 n m X X pt + ti + si i=1 i=1 ⇣ ⇣ p2 np 1⌘ 8 n X = (a ti + i=1 1) y por lo tanto (a 1) p2 1 8 p2 p2 1 8 , entonces m ⌘ X si = p(t n) + 2 i=1 De esta manera hemos obtenido que (a 1) = p(t n) + 2 n X n X ti . i=1 ti , i=1 1 8 ⌘ p(t Como p ⌘ 1 (mod 2), entonces (a n) 1) (mod 2). p2 1 8 ⌘t Ahora resolvamos nuestro problema de conocer ⇤ n (mod 2) ⇣2⌘ p Teorema 3.2.3. Si p es un primo impar, entonces . ⇣2⌘ p = ( 1) p2 1 8 . Demostración. Si en el lema 3.2.2 ponemos a = 2, entonces p 1 t= 2 j X 2i k i=1 ası́ que p = p2 j2k p 1 8 ⌘ + j4k p n⌘n + ··· + jp p 1k = 0, (mod 2). p2 1 Por lo tanto y n tienen la misma paridad. Aplicando el lema de 8 Gauss obtenemos que ⇣2⌘ p2 1 = ( 1)n = ( 1) 8 . ⇤ p x2 Podemos caracterizar los primos p para los cuales el polinomio f (x) = 2 es reducible o irreducible en Fp [x]. Corolario 3.2.4. Si p es un primo impar, entonces ⇣2⌘ ⇢ 1 si p ⌘ 1, 7 (mod 8), = 1 si p ⌘ 3, 5 (mod 8). p i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 79 — #91 3.2 Ley de reciprocidad cuadrática i 79 Demostración. Si p es un primo impar, entonces p = 8q + r, donde p2 1 r = 1, 3, 5, 7. Si r = 1 ó 7, entonces es par. Si r = 3 ó 5, entonces 8 2 p 1 es impar. ⇤ 8 ⇣ 1⌘ Hasta ahora sabemos qué decidir con respecto a los sı́mbolos p ⇣2⌘ y . Solo nos queda resolver lo siguiente: si q es un primo impar y p ⇣p⌘ q 6= p ¿qué podemos decir acerca de ?. Nuestro siguiente resultado q está encaminado a resolver esta incógnita. Lema 3.2.5 (Lema de Eisenstein). Si p y q son primos distintos impares, entonces p 1 q 1 2 j 2 j p 1q 1 X qi k X pi k = + . 2 2 p q i=1 i=1 Demostración. Primero veamos una interpretación geométrica del p 1q 1 número . En el plano cartesiano R ⇥ R consideremos el 2 2 ⇣p ⌘ ⇣ q ⌘ rectángulo cuyos vértices se encuentran en los puntos (0, 0), , 0 , 0, 2 2 ⇣p q ⌘ y , . Consideremos todos los puntos dentro de este rectángulo, sin los 2 2 Figura 3.1 lados, y cuyas coordenadas son enteros. Es claro que el número de tales i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 80 — #92 i i Cuadrados en Fp 80 p 1q 1 puntos es . Entonces lo que vamos a hacer es contar los puntos 2 2 con ambas coordenadas enteras que están dentro de este rectángulo haciendo uso de la función b c. Reproduciremos la prueba que dio Eisenstein y la cual es de naturaleza puramente geométrica. Como p y q son impares, entonces queremos contar los puntos de la forma (m, n) con m, n 2 N sujetos a la condición 1m p 1 1n q 1 . 2 2 Primero veremos que sobre la diagonal no hay puntos de los que buscamos. q La ecuación de la diagonal es (ver figura 3.1) y = x donde p p q 0<x< y 0<y< . 2 2 p qi Si x = i 2 N es tal que 0 < i < , entonces y = y el punto 2 p ⇣ qi ⌘ qi correspondiente sobre la diagonal es i, . Notemos que 62 N pues p p p q 6= p y 0 < i < . Por lo tanto la diagonal no contiene puntos con ambas 2 coordenadas enteras. Todo lo anterior nos reduce el trabajo a contar solo en el triángulo inferior y en el triángulo superior. ⇣p ⌘ ⇣p q ⌘ Consideremos el triángulo con vértices en (0, 0), ,0 , , . Para 2 2 2 p 1 i = 1, 2, . . . , , consideremos la lı́nea vertical en x = i dentro de 2 ⇣ qi ⌘ este triángulo. Este segmento empieza en (i, 0) y termina en i, . p Recordemos que no debemos considerar estos puntos terminales. Debemos qi contar el número de enteros mayores que cero y menores que . Puesto p j qi k ⇣ j qi k⌘ qi que 62 N, entonces sı́ es un entero y el punto i, es uno de p p p los que andamos buscando y más aún, nos cuenta el número de enteros qi mayores que cero y menores que . Por tanto, el número de puntos en la p lı́nea x = i con ambas coordenadas enteros y dentro del triángulo inferior es j qi k p 1 . Si movemos la lı́nea desde i = 1 hasta i = , entonces es claro que p 2 el número de puntos con ambas coordenadas enteras y dentro del triángulo i i , i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 81 — #93 3.2 Ley de reciprocidad cuadrática i 81 inferior es p 1 2 j X qi k i=1 p . Ya obtuvimos uno de los sumandos de la afirmación del lema y solo nos falta contar en el triángulo superior. Para esto consideramos ahora las rectas horizontales q 1 y = j, j = 1, 2, . . . , 2 dentro del rectángulo cuyos vértices son ⇣ q⌘ ⇣p q ⌘ (0, 0), 0, , , . 2 2 2 De la misma manera que contamos en el triángulo inferior, encontramos que el número de puntos con ambas coordenadas enteras dentro del triángulo superior es q 1 2 j X pi k i=1 Por lo tanto, q . p 1 q 1p 2 1 2 = 2 j X qi k i=1 p q 1 + 2 j X pi k i=1 q . ⇤ El siguiente resultado, uno importantes en teorı́a de números, ⇣ qde ⌘ los⇣ más p⌘ nos afirma que los sı́mbolos y guardan una sorprendente relación p q conocida como reciprocidad cuadrática. Teorema 3.2.6. [Ley de reciprocidad cuadrática] Si p, q son primos impares distintos, entonces ⇣ p ⌘⇣ q ⌘ p 1 q 1 = ( 1) 2 2 . q p Demostración. Aplicamos el lema 3.2.2 con p y a = q. Puesto que q es impar, q 1 ⌘ 0 (mod 2), ası́ que 0 ⌘ t n (mod 2) o equivalentemente t ⌘ n (mod 2). Por el lema de Gauss ⇣q⌘ = ( 1)n = ( 1)t , p i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 82 — #94 i Cuadrados en Fp 82 p 1 donde t = 2 j X qi k i=1 p . Intercambiando los papeles de q y p obtenemos que ⇣p⌘ q q 1 0 donde t = 2 j X pi k i=1 q . Por lo tanto, 0 = ( 1)t , ⇣ q ⌘⇣ p ⌘ p q 0 = ( 1)t ( 1)t = ( 1) p 1 q 1 2 2 . ⇤ Corolario 3.2.7. Si p, q son primos impares diferentes, entonces ⇣ p ⌘⇣ q ⌘ ⇢ 1 si p ó q ⌘ 1 (mod 4), = 1 si p y q ⌘ 3 (mod 4). q p 1 es un número par 2 ⇣ ⌘⇣ ⌘ p q sin importar cualidad alguna del primo q. Por tanto = 1. De la q p misma manera se obtiene el otro caso. ⇤ Demostración. Si p ⌘ 1 (mod 4), entonces p Corolario 3.2.8. Si p, q son primos impares diferentes, entonces 8 ⇣q ⌘ si p ó q ⌘ 1 (mod 4), < ⇣p⌘ > p = ⇣q ⌘ > q : si p y q ⌘ 3 (mod 4). p Demostración. Es una simple reformulación del corolario anterior. ⇤ Corolario 3.2.9. Sean p, q primos impares diferentes. Entonces 1. Si p ó q ⌘ 1 (mod 4), entonces q es un cuadrado en Fp si y solo si p es un cuadrado en Fq . 2. Si p ⌘ q ⌘ 3 (mod 4), entonces q es un cuadrado en Fp si y solo si p no es un cuadrado en Fq . Demostración. Es una simple reformulación de los corolarios 3.2.7 y 3.2.8 . ⇤ El lector podrá coincidir con nosotros en que el corolario 3.2.9 es el que justifica propiamente el nombre de ley de reciprocidad cuadrática. Aprovechando el espacio, vale la pena mencionar que la primera demostración i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 83 — #95 3.2 Ley de reciprocidad cuadrática i 83 completa de la ley de reciprocidad cuadrática fue dada por Gauss el cual consideró esta ley tan importante que dio ocho demostraciones diferentes. En términos de irreducibilidad o reducibilidad de polinomios podemos traducir la ley de reciprocidad. Consideremos los polinomios cuadráticos x2 p 2 Fq [x] y x2 q 2 Fp [x]: si p ó q ⌘ 1 (mod 4), entonces x2 p 2 Fq [x] es reducible si y solo si x2 q 2 Fp [x] es reducible y si p ⌘ q ⌘ 3 (mod 4), entonces x2 p 2 Fq [x] es reducible si y solo si x2 q 2 Fp [x] es irreducible. Es importante que el lector se familiarice con los conceptos de reducibilidad e irreducibilidad. Ejemplo 3.2.10. ¿Es irreducible x2 + 23 en F41 [x]? ⇣ 23 ⌘ ⇣ 1 ⌘⇣ 23 ⌘ ⇣ 41 ⌘ ⇣ 18 ⌘ ⇣ 32 ⌘⇣ 2 ⌘ ⇣ 2 ⌘ = = = = = = 1. 41 41 41 23 23 23 23 23 La respuesta a la pregunta es: no es irreducible. Podemos verificar por ensayo-error que x = 10 es una solución de x2 + 23 ⌘ 0 (mod 41). ¿Cuál es la otra solución? Ejemplo 3.2.11. ¿Es irreducible x2 + 189 en F491 [x]? ⇣ 189 ⌘ ⇣ 1 ⌘⇣ 32 ⌘⇣ 3 ⌘⇣ 7 ⌘ ⇣ 1 ⌘⇣ 3 ⌘⇣ 7 ⌘ = = = 491 491 491 491 491 491 491 491 ⇣ 491 ⌘⇣ 7 ⌘ ⇣ 2 ⌘⇣ 7 ⌘ ⇣ 2 ⌘ ⇣ 491 ⌘ ( 1)( 1) = = ( 1) = 3 491 3 491 3 7 ⇣ 2 ⌘⇣ 1 ⌘ ( 1) = ( 1)( 1)(1) = 1. 3 7 Por lo tanto, x2 ⌘ 189 (mod 491) es soluble y ası́ x2 + 189 es reducible en F491 [x]. ¿Cuál es la factorización de x2 + 189 en F491 [x]? Ejemplo 3.2.12. ¿Para qué clase de primos p es 3 residuo cuadrático (por supuesto p primo distinto de 3)? Sabemos que ⇣ 3 ⌘⇣ p ⌘ p 1 3 1 p 1 = ( 1) 2 2 = ( 1) 2 . p 3 ⇣p⌘ Multiplicando ambos lados por obtenemos 3 ⇣3⌘ ⇣p⌘ p 1 = ( 1) 2 . p 3 i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 84 — #96 i i Cuadrados en Fp 84 Si pretendemos que situaciones: ( 1) p 1 2 ⇣3⌘ p = = 1, entonces esto se da exactamente en dos ⇣p⌘ = 1 ó ( 1) p 1 2 = ⇣p⌘ = 1. 3 3 De acuerdo a la afirmación 5 del teorema 3.1.1 tenemos que ⇢ p 1 1, p ⌘ 1 (mod 4) ( 1) 2 = 1, p ⌘ 3 (mod 4). Si p es impar y p 6= 3, entonces por el teorema de Euler 3.1.1 ⇣p⌘ ⇢ 1, p ⌘ 1 (mod 3) = 1, p ⌘ 2 (mod 3). 3 Por tanto ó p ⌘ 1 p ⌘ 1 (mod 4) (mod 3) p ⌘ 3 ⌘ 1 (mod 4) p ⌘ 2 ⌘ 1 (mod 3). En el primer caso p ⌘ 1 (mod 12) y en el segundo caso p ⌘ ⇣3⌘ Concluimos que = 1 si y solo si p ⌘ ±1 (mod 12). p 1 (mod 12). Un teorema famoso de Dirichlet nos asegura que si mcd(a, b) = 1, entonces la sucesión {a + bt}t2N contiene una infinidad de primos. En particular, existe una infinidad de primos de la forma 5t ± 1 y 5t ± 2. La prueba del teorema de Dirichlet está fuera del objetivo de estas notas. El siguiente ejemplo aparece en el espléndido libro de W, Sierpiński, Theorem 4, Chapter IX [20] y es una aplicación importante de la ley de reciprocidad cuadrática y del corolario 3.2.4. Ejemplo 3.2.13. Mostraremos que existe una infinidad de primos de la forma 5t 1. Sean n > 1 y N = 5(n!)2 1. Observemos que N ⌘ 4 (mod 5) y por tanto N no es de la forma 5t + 1. Si todos los divisores primos de n fueran de la forma 5t + 1, entonces N ⌘ 1 (mod 5), lo cual no es posible. Por lo tanto, N tiene al menos un divisor primo p de la forma 5t±1 ó 5t±2. Si p  n, entonces p | 5(n!)2 y ası́ p | 1. Por lo anterior p > n. Recuerda lector que p no es de la forma 5t + 1, ası́ que p = 5t 1 ó p = 5t ± 2. ⇣ 5(n!)2 ⌘ Como 5(n!)2 ⌘ 1 (mod p), tenemos que = 1 y en consecuencia p i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 85 — #97 3.2 Ley de reciprocidad cuadrática ⇣5⌘ = 1. Por la ley de reciprocidad cuadrática concluimos que i 85 ⇣p⌘ = 1. p 5 A continuación veremos que p no puede ser de la forma 5t ± 2, pero esto último es evidente porque si p = 5t ± 2, de acuerdo al corolario 3.2.4 ⇣ p ⌘ ⇣ ±2 ⌘ ⇣ ±1 ⌘⇣ 2 ⌘ ⇣ 2 ⌘ = = = = 1. 5 5 5 5 5 Ası́ que necesariamente p = 5t 1. De paso notemos que como p es un primo impar, entonces t debe ser par, ası́ que t = 2r y por tanto p = 10r 1, su último dı́gito es 9: Existe una infinidad de primos tales que su último dı́gito es 9. Usando las mismas ideas, se puede mostrar que existe una infinidad de primos de la forma p = 5t ± 2, simplemente consideras los primeros n números primos p1 , p2 , . . . , pn y N = p2 p3 . . . pn 2. Ejemplo 3.2.14. Este ejemplo lo vamos a inciar con una pregunta: ¿existen p, q primos tales que p = q +4a para alguna a 2 N? La respuesta es sı́. Veamos como lo justificamos. Sea q cualquier primo impar. Es claro que mcd(q, 4) = 1, ası́, por el teorema de Dirichlet (mencionado previamente al ejemplo 3.2.13), la sucesión {q + 4a}n2N contiene una infinidad de primos. vamos a mostrar que cada primo p en la sucesión, satisface ⇣ a ⌘ ⇣Ahora a⌘ p 1q+1 p 1q+1 = . Primero notemos que ⌘ (mod 2). p q 2 2 2 2 ⇣ a ⌘ ⇣ 4a ⌘ ⇣ p q ⌘ ⇣ q ⌘ ⇣ 1 ⌘⇣ q ⌘ = = = = = p p p p p p ⇣p⌘ ⇣p q ⌘ p 1 p 1 q 1 p 1 q+1 ( 1) 2 ( 1) 2 2 = ( 1) 2 2 = q q ⇣ 4a ⌘ ⇣ a ⌘ = . q q Nota importante: el sı́mbolo de Legendre solo nos indica si la congruencia x2 +a ⌘ 0 (mod p) tiene alguna solución en el campo Fp y no nos provee de algún método para encontrarla. Imaginemos por ejemplo si p tiene 150 dı́gitos y a tiene 100 dı́gitos y no es primo. Lo primero que debemos intentar es factorizar el entero a. ¿Puede el lector factorizar enteros eficientemente? Calcular un sı́mbolo de Legendre trae cargando un problema tremendo: la factorización de un entero como producto de primos. La computadora más eficiente no podrı́ factorizar un entero de 300 dı́gitos y esto involucra directamente a la computación. i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 86 — #98 i i Cuadrados en Fp 86 PROBLEMAS 1. Calcula el valor de los siguientes sı́mbolos de Legendre: ⇣2⌘ a) 97 ⇣ 14 ⌘ b) 97 ⇣ 38 ⌘ c) 29 ⇣ 135 ⌘ d) 67 ⇣ 79 ⌘ e) 97 ⇣ 23 ⌘ f) 59 2. Decide si la congruencia x2 + 23 ⌘ 0 (mod 41) tiene alguna solución en el campo F41 . 3. Usa el lema de Gauss para decidir si el polinomio x2 + 3 es reducible o irreducible en el anillo F13 [x]. Usa el teorema del factor para factorizar el polinomio x2 + 3 en F13 [x]. 4. Usando las propiedades del sı́mbolo de Legendre y la ley de reciprocidad cuadrática decide si el polinomio x2 + 135 es irreducible o reducible en el anillo de polinomios F67 [x]. 5. Considera ti , sj tal como aparecen en el lema de Gauss. Considera las congruencias ti ⌘ xa (mod p) y sj ⌘ ya (mod p). Supongamos que para algunos i, j se cumple p ti = sj . Muestra que existen x0 , y0 tales que p 1 1  x0 , yo  2 y ti ⌘ x0 a (mod p), sj ⌘ y0 a (mod p). Concluye que p | x0 + y0 y 2  x0 + y0  p 1. 6. Sean impares distintos, a 2 Z con mcd(a, p) = mcd(a, q) = 1 y ⇣ a ⌘ p, ⇣q aprimos ⌘ = = 1. Muestra que el polinomio f (x) = x2 a es irreducible en p q Zpq [x], es decir, x2 ⌘ a (mod pq) no tiene solución en Zpq . 7. Supongamos que p es un primo impar y mcd(a, p) = 1 es tal que a es solución de x2 ⌘ b (mod p). Muestra que p a también es solución de x2 ⌘ b (mod p) y a 6⌘ p a (mod p). i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 87 — #99 3.2 Ley de reciprocidad cuadrática i 87 8. Sean p un primo impar y a 2 Z con mcd(a, p) = 1. Muestra que a p 1 2 ⌘ ±1 (mod p). 9. Sean a, b enteros tales que mcd(ab, p) = 1. Muestra que: a) Si a, b son residuos cuadráticos módulo p, entonces ab es residuo cuadrático módulo p. b) Si a, b no son residuos cuadráticos módulo p, entonces ab es residuo cuadrático módulo p. c) ¿Qué pasa si a es residuo cuadrático y b no es residuo cuadrático? d) De la lista de enteros a, b, ab o uno es residuo cuadrático o los tres lo son. p 1 10. Muestra que en {1, 2, . . . , p 1} existen residuos cuadráticos. 2 p 1⇣ X ai ⌘ 11. Sea a 2 Z tal que mcd(a, p) = 1. Muestra que = 0. p i=1 12. Si p 6= 3 es un primo impar, prueba que: ⇣ p ⌘ ⇢ 1 si p ⌘ 1 (mod 3) = 1 si p ⌘ 1 (mod 3). 3 13. En relación al ejemplo 3.2.12, completa la siguiente afirmación: ⇣3⌘ ⇢ 1 si p ⌘ 1, 11 (mod 12) = 1 si p ⌘ 5, 7 (mod 12). p 14. Consideremos la congruencia ax2 + bx + c ⌘ 0 (mod p) y definamos el número = b2 4ac. Muestra que: ⇣ ⌘ a) ax2 + bx + c ⌘ 0 (mod p) no tiene solución si y solo si = 1. p 2 b) ax + bx + c ⌘ 0 (mod p) tiene una única solución si y solo si p | . ⇣ ⌘ c) ax2 + bx + c ⌘ 0 (mod p) tiene dos soluciones si y solo si = 1. p ⇣a⌘ 15. Intenta definir . Reproduce toda la teorı́a de esta sección. 2 16. En el lema de Eisenstein contamos puntos con ambas coordenadas enteras en el triángulo superior e inferior como se muestra en la figura 3.1. En el curso de la demostración primero contamos los puntos en el triángulo inferior y luego repetimos el argumento para el triángulo superior. Esto nos sugiere que no hay la misma cantidad de estos puntos en ambos triángulos. Encuentra primos p 1 q 1 2  2  X X qi pi p, q distintos tales que = . p q i=1 i=1 i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 88 — #100 88 i i Cuadrados en Fp 3.3. Sı́mbolo de Jacobi ⇣a⌘ El sı́mbolo de Legendre fue definido solo cuando p es un primo p impar y p - a. Jacobi2 extendió el sı́mbolo de Legendre a otra clase de denominadores. Sean a, b enteros con b impar positivo y mcd(a, b) = 1. Supongamos que b = p1 p2 · · · pr , donde⇣ los pi no necesariamente son a⌘ distintos. Definimos el sı́mbolo de Jacobi como b J r ⇣ ⌘ ⇣a⌘ Y a = , b J pi i=1 ⇣a⌘ donde cada es el sı́mbolo de Legendre en el primo pi . Si b = p es un pi primo, entonces el sı́mbolo de Jacobi y el sı́mbolo de Legendre coinciden. Con a y b como antes, diremos que a es un residuo cuadrático módulo b si x2 ⌘ a (mod b) tiene solución en el anillo Zb . Una nota importante: recordamos que en la definición tenemos que x2 ⌘ a ⇣ a ⌘del sı́mbolo de Legendre ⇣a⌘ (mod p) es soluble si y solo = 1. Ahora, = 1 no necesariamente p b J garantiza que a es un cuadrado en Zb . Por ejemplo, si a es residuo cuadrático módulo b, entonces ⇣ a ⌘a es residuo cuadrático ⇣ a ⌘ módulo pi para cada primo pi | b, por lo cual = 1 y por tanto = 1. Sin embargo, pi b J ⇣a⌘ puede suceder que = 1 y a no ser un cuadrado en Zb . Por ejemplo b J ⇣2⌘ ⇣ 2 ⌘⇣ 2 ⌘ = = ( 1)( 1) = 1 33 J 3 11 y se puede verificar fácilmente que x2 ⌘ 2 (mod 33) no tiene solución en el anillo Z33 . El sı́mbolo de Jacobi tiene las siguientes propiedades elementales. 2Carl Gustav Jacob Jacobi nació en Berlı́n en 1804. Estudió en la Universidad de Berlı́n. Su padre, rico banquero, le procuró cuanto era necesario para completar su formación filológica y matemática. Profesor nato, conoció una carrera brillante como docente y como investigador, pero renunció a sus funciones en 1842 por razones de salud y se retiró a Berlı́n con una pensión del gobierno prusiano. Jacobi es célebre en matemáticas principalmente por sus trabajos sobre las funciones elı́pticas y los determinantes funcionales, llamados también Jacobianos. Jacobi se interesó también por el cálculo de variaciones y su principal descubrimiento se refiere a la existencia de puntos conjugados. Finalmente, en teorı́a de números él es el que da la primera demostración sobre las leyes de reciprocidad bicuadrática y cúbica. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 89 — #101 3.3 Sı́mbolo de Jacobi i 89 Lema 3.3.1. Sean b, b0 son enteros positivos impares y a, a0 2 Z tales que mcd(a, b) = mcd(a0 , b0 ) = mcd(aa0 , bb0 ) = 1. Entonces, ⇣a⌘ ⇣ a0 ⌘ 1. Si a ⌘ a0 (mod b), entonces = . b J b J ⇣ aa0 ⌘ ⇣ a ⌘ ⇣ a0 ⌘ 2. = . b J b J b J ⇣ a ⌘ ⇣a⌘ ⇣ a ⌘ 3. = . bb0 J b J b0 J ⇣ a2 ⌘ ⇣a⌘ 4. = 2 = 1. b J b J ⇣ a2 a0 ⌘ ⇣ a0 ⌘ 5. = . b2 b0 J b0 J Demostración. Para la afirmación 1, si a ⌘ a0 (mod b), entonces a ⌘ a0 (mod p) con p primo y p | b. Por la afirmación 2 del teorema 3.1.1 ⇣ a ⌘ ⇣ a0 ⌘ ⇣a⌘ ⇣ a0 ⌘ tenemos que = y ası́ = . La afirmación 2 se sigue p p b J b J de: ⇣ aa0 ⌘ ⇣ aa0 ⌘⇣ aa0 ⌘ ⇣ aa0 ⌘ ⇣ a ⌘ ⇣ a0 ⌘ = ··· = . b J p1 p2 pr b J b J La afirmación 3 la dejamos como ejercicio para el lector. La afirmación 4 se sigue de observar que ⇣ a2 ⌘ ⇣a⌘ ⇣a⌘ ⇣a⌘ ⇣ a 2⌘ Y ⇣ a2 ⌘ = =1 y = = = 1. b J p b2 J b J b J b J p|b Finalmente, de la siguiente igualdad ⇣ a2 a0 ⌘ ⇣ a2 a0 ⌘ ⇣ a2 a0 ⌘ ⇣ a2 ⌘ ⇣ a0 ⌘ ⇣ a2 ⌘ ⇣ a0 ⌘ ⇣ a0 ⌘ = = = , b2 b 0 J b2 J b 0 J b 2 J b2 J b0 J b 0 J b0 J se sigue la afirmación 5. ⇤ Lema 3.3.2. Sean r, s enteros impares. Entonces 1. 2. i i rs 1 2 r 2 s2 8 ⌘ 1 r 1 2 ⌘ r2 + 1 8 s 1 2 + (mod 2). s2 1 8 (mod 2). i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 90 — #102 i Cuadrados en Fp 90 Demostración. Puesto que (r 1)(s entonces, 1) ⌘ rs r s+1 1+1⌘0 (mod 4), rs 1 ⌘ (r 1) + (s 1) (mod 4). Dividiendo entre 2 ambos lados de la congruencia obtenemos la afirmación 1. Para la segunda afirmación notemos primero que r2 Por tanto 1⌘0 (mod 4) (r2 1)(s2 y y s2 1) ⌘ 0 1⌘0 (mod 4). (mod 16) r2 s2 1 ⌘ (r2 1) + (s2 1) (mod 16). El resultado se sigue al dividir ambos lados entre 8. ⇤ Corolario 3.3.3. Sean r1 , r2 , . . . , rn enteros impares. Entonces n Y ri 1 n X ri 1 1. ⌘ i=1 (mod 2). 2 2 i=1 2. n X r2 1 i i=1 8 ⌘ n Y ri2 i=1 8 1 (mod 2). Demostración. Usar el lema 3.3.2 e inducción sobre n. ⇤ El siguiente resultado es propiamente una generalización de la ley de reciprocidad cuadrática de Gauss y que bien podrı́amos llamar ley de reciprocidad cuadrática de Jacobi. Teorema 3.3.4. Si b es entero positivo impar, entonces: ⇣ 1⌘ b 1 1. = ( 1) 2 . b J ⇣2⌘ b2 1 2. = ( 1) 8 . b J 3. Si a 2 N es impar y mcd(a, b) = 1, entonces ⇣a⌘ ⇣ b ⌘ a 1 b 1 = ( 1) 2 2 . b J a J i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 91 — #103 3.3 Sı́mbolo de Jacobi i 91 Demostración. Sea b = p1 p2 · · · pr . De acuerdo a la afirmación 1 del corolario 3.3.3 obtenemos que ⇣ 1⌘ ⇣ 1 ⌘⇣ 1 ⌘ ⇣ 1⌘ p1 1 pr 1 = ··· = ( 1) 2 · · · ( 1) 2 b J p1 p2 pr = ( 1) Pr i=1 pi 1 2 = ( 1) b 1 2 . Para la afirmación 2 usaremos el teorema 3.2.3 que asegura ⇣2⌘ p2 1 = ( 1) 8 . p Ası́ tenemos que ⇣2⌘ ⇣ 2 ⌘⇣ 2 ⌘ ⇣2⌘ Pr p2i 1 p2 p2 1 1 r 1 = ··· = ( 1) 8 · · · ( 1) 8 = ( 1) i=1 8 . b J p 1 p2 pr La afirmación 2 del corolario 3.3.3 nos asegura que los siguientes números r r X p2i 1 Y p2i 1 ⌘ (mod 2) 8 8 i=1 i=1 tienen la misma paridad. Por lo tanto Qr 2 ⇣2⌘ Pr p2i 1 i=1 pi i=1 8 8 = ( 1) = ( 1) b J 1 = ( 1) b2 1 8 . Para la afirmación 3 supongamos que a = q1 q2 · · · ql . De acuerdo a la ley de reciprocidad cuadrática (teorema 3.2.6) tenemos que para i 6= j, ⇣ q ⌘⇣ p ⌘ q i 1 pj 1 j i = ( 1) 2 2 , pj qi entonces l Y r ⇣ ⇣a⌘ ⇣ b ⌘ Pl Pr Y q i 1 pj 1 qi ⌘⇣ pj ⌘ = = ( 1) i=1 j=1 2 2 . b J a J pj qi i=1 j=1 Usando la afirmación 1 del corolario 3.3.3 obtenemos que l X r X pj i=1 j=1 y por lo tanto i i 1 qi 2 1 2 ⌘ r a 2 1 X pj j=1 1 2 ⌘ a 1b 2 ⇣a⌘ ⇣ b ⌘ a 1 b 1 = ( 1) 2 2 . b J a J 1 2 (mod 2) ⇤ i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 92 — #104 i Cuadrados en Fp 92 El sı́mbolo de Jacobi tiene prácticamente las mismas propiedades que el sı́mbolo de Legendre y una diferencia entre ellos es que mientras el sı́mbolo de Legendre detecta si un entero es un cuadrado en un campo finito con p elementos, el sı́mbolo de Jacobi no necesariamente mide lo mismo. Pero entonces ¿para qué sirve esta generalización del sı́mbolo de Legendre? Teorema 3.3.5 (Test de Solovay-Strassen). Si el entero positivo n es primo, entonces para todo a 2 Z con mcd(a, n) = 1 se cumple que ⇣a⌘ n 1 a 2 ⌘ (mod n). n J Demostración. La prueba no está a nuesro alcance. El lector interesado puede consultar [22]. ⇤ El teorema 3.3.5 nos da una respuesta a la pregunta ¿para qué sirve esta generalización del sı́mbolo de Legendre? Entre otras cosas, puede ser usado como una prueba de primalidad. Concretamente, Solovay y Strassen [22] muestran que si n es primo, entonces el conjunto ⇣a⌘ n 1 G = {a 2 Z : 0 < a < n, mcd(a, n) = 1, ⌘a 2 (mod n)} n J coincide con {1, 2, . . . , n 1}. Mientras que si n es compuesto, entonces n |G| < . Como mencionamos anteriormente, la prueba está fuera de nuestro 2 alcance. PROBLEMAS 1. Calcula los siguientes sı́mbolos de Jacobi: ⇣ 18 ⌘ a) 35 J ⇣ 126 ⌘ b) 315 J ⇣ 186 ⌘ c) 234 J n 2. Sea Fn = 22 + 1 el n-ésimo número de Fermat. Muestra que i i ⇣ 3 ⌘ = Fn J 1. i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 93 — #105 3.3 Sı́mbolo de Jacobi i 93 3. Supongamos que b > 0 es libre de cuadrados y b = p1 p2 · · · pr es la factorización de b. Supongamos que exactamente dos ı́ndices i, j satisfacen que ⇣a⌘ ⇣a⌘ ⇣a⌘ = = 1 y = 1 para k 6= i, j. pi pj pk ⇣a⌘ Muestra que = 1 y x2 ⌘ a (mod b) no es soluble. b J ⇣a⌘ 4. Prueba que si = 1, entonces a no es residuo cuadrático módulo b. b J 5. Muestra que f (x) = x2 2 es irreducible en Z33 [x]. 6. Demuestra la afirmación 3 del lema 3.3.1. 7. Demuestra el corolario 3.3.3. 8. Sea f (x) 2 Z[x]. Decimos que un primo p divide a f (x) si existe un entero n tal que p | f (n). Describe todos los divisores primos de x2 + 1 y x2 2. 9. Sea p un primo impar. Verifica que : ⇣2⌘ ⇣8 p⌘ ⇣ p ⌘ ⇣ 8 ⌘ ⇣ 2 ⌘ = = = = . p p p 8 J p 8 J p 8 J 10. Usando las ideas del ejemplo 3.2.13 demuestra que existe una infinidad de primos de la forma p = 5t ± 2. i i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 94 — #106 i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 95 — #107 Capı́tulo i i 4 Los enteros gaussianos Z[i] Dentro de la teorı́a de números existen ciertas estructuras algebraicas llamadas anillos de enteros y juegan un papel muy importante en esta teorı́a. Un ejemplo de anillo de enteros es Z con toda la aritmética que desarrollamos en el capı́tulo 1. Recordemos algunos hechos sobresalientes sobre Z: 1. El algoritmo de la división depende esencialmente de la función valor absoluto | | : Z ! N. 2. 1 y 1 dividen a cualquier entero y son los únicos enteros que tienen inverso multiplicativo. 3. Si p es un número primo, entonces formalmente p también es un número primo. ¿Tendrá alguna relación con la afirmación 2? 4. Z es de factorización única. En este capı́tulo nos proponemos estudiar otro importante anillo de enteros: el anillo de los enteros gaussianos o enteros de Gauss. Definimos a los enteros gaussianos como el conjunto Z[i] = {a + bi : a, b 2 Z} donde i2 = 1. Claramente Z ✓ Z[i] ✓ C. Observamos que los enteros gaussianos son números complejos en donde la parte real y la parte imaginaria son enteros. El estudio de los enteros gaussianos es importante para nosotros por dos razones (entre muchas otras): primeramente resulta interesante ver hasta que punto las propiedades de Z son susceptibles a generalizaciones en Z[i], y segundo porque algunas propiedades de los enteros racionales son consecuencia directa de las propiedades de los enteros gaussianos. i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 96 — #108 i i Los enteros gaussianos Z[i] 96 4.1. Divisibilidad en Z[i] Equipamos a Z[i] con dos operaciones: suma y producto de números complejos. Con este producto, podemos entonces definir en Z[i] el concepto de divisibilidad para lo cual necesitamos antes un algoritmo de la división (aunque no es necesario). Para esto, debemos contar con una función que juegue el papel del valor absoluto en Z. Para z = a + bi definimos el conjugado de z como z̄ = a bi. Se deja al lector verificar que: 1. z z̄ = a2 + b2 . 2. z1 z2 = z̄1 z̄2 . La función N : Z[i] ! N0 definida como N(z) = z z̄ tiene las siguientes propiedades: 1. N(z) = 0 si y solo si z = 0. 2. N(z1 z2 ) = N(z1 )N(z2 ). La función N se conoce como la norma de Z[i] y las propiedades anteriores no deben ser extrañas para aquel lector que conoce a los números complejos. La función norma ¿tendrá alguna relación con la función valor absoluto de Z?. Teorema 4.1.1 (algoritmo de la división). Sean z, w 2 Z[i] con w 6= 0. Existen k, 2 Z[i] tales que z = wk + y 0  N( ) < N(w). Demostración. Sean z = a + bi, w = c + di 2 Z[i]. Entonces z z w̄ (a + bi)(c di) ac + bd bc ad = = = 2 + 2 i. 2 2 w ww̄ c +d c + d2 c + d2 ac + bd bc ad Si A = 2 yB= 2 , entonces A, B 2 Q. Sean x, y los enteros 2 c +d c + d2 más próximos a A y B respectivamente. Formalmente x, y satisfacen que: 1 1 |A x|  y |B y|  . 2 2 Por lo tanto z N( (x + yi)) = N(A + Bi (x + yi)) w = N((A x) + (B y)i) = (A i i x)2 + (B y)2 < 1. i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 97 — #109 4.1 Divisibilidad en Z[i] Si definimos k = x + yi y i 97 =z w(x + yi), entonces z = wk + y z N( ) = N(z w(x + yi)) = N(w)N( (x + yi)) < N(w). ⇤ w Observe el lector que la demostración del algoritmo de la división en Z[i] puede ser aplicada directamente a cualquier caso particular. Ejemplo 4.1.2. Sea z = 21 + 5i y w = 2 3i. Entonces 21 + 5i 27 73 = + i 2 3i 13 13 Por tanto x = 2, y = 6. Ası́ k = 2 + 6i, = 1 i. Es claro que 21 + 5i = (2 3i)(2 + 6i) + ( 1 i) con N( 1 i) < N(2 3i). En base al algoritmo de la división tenemos la definición de divisibilidad. Sean z, w 2 Z[i] con w 6= 0 y tal que z = wk + . Diremos que w divide a z si = 0. Si w divide a z escribiremos w | z y w - z en caso contrario. Teorema 4.1.3. Sean z1 , z2 , z3 2 Z[i]. 1. Si z1 6= 0, entonces z1 | 0, 1 | z1 , z1 | z1 . 2. Si z1 | z2 y z2 | z3 , entonces z1 | z3 . 3. Si z1 | x1 , z1 | x2 , . . . , z1 | xn , entonces z1 4. Si z1 | z2 , entonces z̄1 | z̄2 . 5. Si z1 | z2 , entonces N(z1 ) | N(z2 ). n X i=1 ai xi para todo ai 2 Z[i]. Demostración. Se deja como ejercicio para el lector. ⇤ Puesto que cualquier entero racional en un entero gaussiano, entonces para a, b 2 Z la definición de divisibilidad en Z[i] queda establecida como: a | b si existe z 2 Z[i] tal que b = az. El siguiente resultado consiste en mostrar que realmente z 2 Z y por tanto la definición de divisibilidad en Z es consecuencia de la definición de divisibilidad en Z[i]. Teorema 4.1.4. Sean a, b 2 Z tal que a | b en Z[i], a 6= 0. Entonces a | b en Z. Demostración. Sea z 2 Z[i] tal que b = az y z = x + yi. Entonces b = ax + ayi. Dos números complejos son iguales si y solo si coinciden en su parte real y en su parte imaginaria. Entonces ay = 0 y a 6= 0 implica que y = 0. Por tanto z 2 Z. ⇤ i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 98 — #110 i i Los enteros gaussianos Z[i] 98 El siguiente resultado nos hace ver la dependencia entre la divisibilidad de Z[i] y la divisibilidad de Z. Teorema 4.1.5. c + di | a + bi si y solo si c2 + d2 | ac + bd y c2 + d2 | bc ad. Demostración. Si c + di | a + bi, entonces a + bi = (c + di)(x + yi) para algún x + yi 2 Z[i]. Multiplicando ambos lados por c que (c di)(a + bi) = (ac + bd) + (cb di obtenemos ad)i = (c2 + d2 )x + (c2 + d2 )yi. Igualando parte real y parte imaginaria se obtiene el resultado. Con un argumento similar se obtiene el recı́proco. ⇤ Ejemplo 4.1.6. 1 + i | 2 porque 2 | 2 y 2 | 2. Ejemplo 4.1.7. 1 + i - 1 + 2i porque 2 - 3. Ejemplo 4.1.8. 2 3i | 2 16i porque 13 | 52 y 13 | 26. Ciertos enteros gaussianos dividen a cualquier elemento de Z[i]. Por ejemplo, de acuerdo a la afirmación 1 del teorema 4.1.3, el número 1 divide a cualquier entero gaussiano. Un entero gaussiano z 2 Z[i] le llamaremos unidad si z | w para toda w 2 Z[i]. Podemos caracterizar las unidades con la ayuda de la función norma. Teorema 4.1.9. z 2 Z[i] es unidad si y solo si N(z) = 1. Demostración. Si z es unidad, entonces en particular z | 1 y por tanto 1 = zw para algún w 2 Z[i]. De lo anterior, 1 = N(1) = N(zw) = N(z)N(w). Puesto que N(z) | 1 y N(z) 2 N, entonces N(z) = 1. Recı́procamente, si N(z) = z z̄ = 1, para todo w 2 Z[i] se tiene que z(z̄w) = w. Ası́ z | w. ⇤ Corolario 4.1.10. Las unidades de Z[i] son 1, 1, i, i. Demostración. Las soluciones de a2 + b2 = 1 en Z son ±1, 0 y 0, ±1. ⇤ i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 99 — #111 4.1 Divisibilidad en Z[i] i 99 Una observación sumamente importante es que precisamente las unidades de Z[i] son los únicos elementos de Z[i] que tienen inverso multiplicativo. El conjunto de unidades de Z[i] lo denotaremos como U (Z[i]). Concretamente ¿quién es U (Z)? Sean z, w 2 Z[i]. Diremos que z y w son asociados si z | w y w | z. Notemos que si z y w son asociados, entonces z = wu donde u es alguna unidad. Por el corolario 4.1.10 cada entero gaussiano distinto de 0 tiene exactamente cuatro asociados. 5 Ejemplo 4.1.11. 3 + 5i y 5 3i | 3 + 5i. Ejemplo 4.1.12. Si z = z, z, iz, iz. 3i son asociados pues 3 + 5i | 5 3i y 4 + 2i, entonces los asociados de z son Notemos que si z, w son asociados, entonces necesariamente N(z) = N(w). Sin embargo, si dos enteros gaussianos tienen la misma norma, no necesariamente son asociados. Por ejemplo N(1 2i) = N(1 + 2i) = 5 y 1 2i - 1 + 2i. Recordemos que si a, b son enteros, entonces mcd(a, b) fue definido en el capı́tulo 1 como el mayor divisor en común entre los enteros a, b y puesto que 1 | a y 1 | b, entonces mcd(a, b) 1. Esta definición se apoya fundamentalmente en que los enteros Z son un conjunto totalmente ordenado, es decir, dados los enteros a, b, sucede una y solo una de las siguientes afirmaciones: 1. a = b 2. a < b 3. a > b Como sabemos, al conjunto Z[i] es imposible dotarlo de un orden que restringido a Z coincida con el orden de Z. El orden en Z no es lo que nos da la posibilidad de hablar del mcd, es la función valor absoluto. En el anillo Z[i] es la función norma la que nos permitirá desarrollat una teorı́a del mcd en Z[i], tal como lo hicimos en Z. Un divisor en común de z, w 2 Z[i] es lo que esperamos; es un elemento 2 Z[i] tal que | z y | w. Por ejemplo, 3 2i | 6 17i y 3 2i | 18 + i. Teorema 4.1.13 (Algoritmo de Euclides). Sean z, w 2 Z[i], con w 6= 0. Entonces existe 2 Z[i] tal que: i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 100 — #112 i Los enteros gaussianos Z[i] 100 1. | z y | w. 2. = zz0 + ww0 , para ciertos z0 , w0 2 Z[i]. 3. Si 0 | z y 0 |w, entonces 0 | . Demostración. Aplicando repetidas veces el algoritmo de la división obtenemos: z = wk1 + 1 N( 1 ) < N(w), w= 1 k2 + 2 N( 2 ) < N( 1 ), = 2 k3 + 3 N( 3 ) < N( 2 ), .. . = = n 1 kn 1 .. . n 2 n 1 + n n kn+1 + 0. N( n ) < N( n 1 ), Notemos que N(w) > N( 1 ) > N( 2 ) > · · · > N( n ) > 0 es una sucesión decreciente de enteros positivos y por tanto, en algún momento obtenemos un residuo n+1 = 0. Es claro que n | n 1 y por tanto n | n 2 . Continuando con este proceso llegamos a que n es un divisor común de z, w. Ası́ que n satisface la afirmación 1 del teorema. Despejando i (1  i  n) en la i-ésima igualdad y sustituyendo en la anterior se llega a que n también satisface la afirmación 2. El lector puede verificar fácilmente, usando la afirmación 2, que n también satisface la afirmación 3 y por lo tanto el gaussiano que buscamos es = n . ⇤ El gaussiano del teorema anterior lo llamaremos máximo común divisor de z y w y lo denotaremos como = mcd(z, w). La manera apropiada para definir dos enteros gaussianos primos relativos es la siguiente: z1 y z2 son primos relativos si y solo si mcd(z1 , z2 ) = u donde u es alguna unidad de Z[i]. Corolario 4.1.14. Si satisface el teorema 4.1.13. = mcd(z, w) y u 2 U (Z[i]), entonces u Demostración. Es un fácil ejercicio para el lector. ⇤ ¿Qué significado tiene el corolario anterior?. La respuesta salta a la vista, los enteros gaussianos z, w tienen varios mcd; son exactamente cuatro. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 101 — #113 4.1 Divisibilidad en Z[i] i 101 En este sentido, cuando hagamos referencia a mcd(z, w) nos referiremos a cualquiera de los cuatro números que satisfacen el teorema 4.1.13. Ejemplo 4.1.15. Calcular mcd(6 17i, 18 + i). Primero dividimos para encontrar el primer cociente y el primer residuo: 6 17i (6 17i)(18 i) 91 312i = = = 18 + i (18 + i)(18 i) 325 i+ 91 + 13i . 325 Por tanto, 6 17i = i(18 + i) + (5 + i). (1) Nuevamente 18 + i (18 + i)(5 i) 91 13i 1 i = = =3+ 5+i (5 + i)(5 i) 26 2 y entonces obtenemos que 18 + i = 3(5 + i) + (3 Por otro lado 5 + i = (1 + i)(3 6 17i = (2) 2i), juntando (1) y (2) se tiene que i(18 + i) + (5 + i) 18 + i = 3(5 + i) + (3 5 + i = (1 + i)(3 Por lo tanto mcd(6 2i). 17i, 18 + i) = 3 2i) 2i). 2i y sus asociados. Ejemplo 4.1.16. Calcular mcd(7 + 11i, 3 + 5i). Razonando de manera análoga al ejemplo anterior tenemos que 7 + 11i = 2(3 + 5i) + (1 + i) 3 + 5i = (4 + i)(1 + i) + 0. Por lo tanto mcd(7 + 11i, 3 + 5i) = 1 + i y sus asociados. La teorı́a del mcd de un conjunto finito de enteros gaussianos se puede establecer fácilmente considerando formas lineales, justamente como lo hicimos para los enteros racionales. Teorema 4.1.17. Sean z1 , z2 , . . . , zn 2 Z[i] no todos cero. 2 Z[i] con las siguientes propiedades: 1. | zi para i = 1, . . . , n. 2. Si 0 | zi , (i = 1, . . . , n), entonces 0 | . i i Existe i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 102 — #114 i Los enteros gaussianos Z[i] 102 Demostración. Consideremos los conjuntos A = {a1 z1 + a2 z2 + . . . + an zn : ai 2 Z[i]}, B = {N(x) : x 2 A \ {0}}. Puesto que B \ N 6= ;, entonces por el PBO existe positiva mı́nima. Como 2 A, entonces 2 A de norma = a 1 z1 + a 2 z 2 + . . . + a n z n , para ciertos a1 , a2 , . . . , an 2 Z[i]. Vamos a mostrar que para toda x 2 A, | x. Para x 2 A tenemos que x = x 1 z1 + x 2 z2 + . . . + x n z n . Aplicando el algoritmo de la división, x= k+r con 0  N(r) < N( ). Pero r=x k = (x1 a1 k)z1 + (x2 a2 k)z2 + . . . + (xn an k)zn , ası́ que r 2 A. Si 0 < N(r) < N( ), entonces no es el elemento de A de norma positiva mı́nima. Por lo tanto N(r) = 0 y | x. En particular n X zi 2 A, y ası́ | zi . Es claro que si 0 | zi , entonces 0 ai zi y por tanto 0 i=1 | . ⇤ El gaussiano del teorema anterior lo podemos llamar máximo común divisor de los gaussianos z1 , z2 , . . . , zn y lo denotamos mcd(z1 , z2 , . . . , zn ). Las siguientes afirmaciones son las versiones equivalentes de lo que sucede en Z. Teorema 4.1.18. Sean a, b, c, d 2 Z[i]. Entonces: 1. Si a 6= 0 ó b 6= 0, entonces la ecuación ax + by = c tiene solución en los enteros gaussianos x, y si y solo si mcd(a, b) | c. 2. Si a 6= 0 ó b 6= 0, entonces mcd(a, b) = 1 si y solo si la ecuación ax + by = 1 es soluble en los enteros gaussianos x, y. 3. Sean a1 , a2 , . . . , as , m 2 Z[i] \ {0}. Entonces mcd(aj , m) = 1 si y solo si s ⇣Y ⌘ mcd ai , m = 1, para 1  j  s. i=1 i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 103 — #115 4.2 Factorización única en Z[i] i 103 4. Si a 6= 0 ó b 6= 0, entonces mcd(a, b) = 1 si y solo si mcd(ak , bl ) = 1 para todo k, l 2 N . 5. (Teorema de Euclides) Si a | bc y mcd(a, b) = 1, entonces a | c. 6. Si a | c, b | c y mcd(a, b) = 1, entonces ab | c. 7. Si c 6= 0, entonces mcd(ca, cb) = c mcd(a, b). ⇣a b ⌘ 8. Si g = mcd(a, b), entonces mcd , = 1. g g Demostración. Se deja como ejercicio para el lector. ⇤ Supongamos que z, w 2 Z[i] \ {0}. Un múltiplo común de z, w es un entero gaussiano tal que z | y w | . Es claro que zw es un múltiplo común de z y w. En general, si z1 , z2 , . . . , zn 2 Z[i] \ {0}, el conjunto M = {x 2 Z[i] \ {0} : zi | x, es no vacı́o pues n Y i=1 i = 1, . . . , n} zi 2 M . Con lo anterior hemos justificado que al menos existe un múltiplo común de z1 , z2 , . . . , zn . Teorema 4.1.19. Sean z1 , z2 , . . . , zn 2 Z[i] \ {0}. Existe m 2 Z[i] con las siguientes propiedades: 1. zi | m para i = 1, . . . , n. 2. Si m0 2 M , entonces m | m0 . Demostración. Sea H = {N(x) : x 2 M }. Notemos que ; = 6 H ✓ N. Por el PBO existe h 2 H de norma mı́nima. Ası́, h = N(m) para algún m 2 M . Claramente m satisface la afirmación 1. Sea m0 2 M . Aplicando el algoritmo de la división m0 = km + r 0  N(r) < N(m). con Si N(r) 6= 0, entonces r = m0 km 2 M lo cual es absurdo por la elección de m. Por lo tanto r = 0 y m | m0 . ⇤ El gaussiano m del teorema anterior lo podemos llamar mı́nimo común múltiplo de z1 , z2 , . . . , zn y lo denotamos como mcm(z1 , z2 , . . . , zn ). 4.2. Factorización única en Z[i] Cualquier par de enteros gaussianos z, w tienen por lo menos cuatro divisores en común, a saber: 1, i i 1, i, i. i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 104 — #116 i i Los enteros gaussianos Z[i] 104 Si z, w solo comparten estos cuatro divisores entonces es claro que z y w son primos relativos. Si z 6= 0 no es asociado de 1, entonces z también admite como divisores a sus asociados. Por lo tanto, cada entero gaussiano z tiene al menos a 1, 1, i, i, z, z, iz, iz como divisores. Recordemos que un número primo p de Z es aquel que es diferente de 0, ±1 y solo admite como divisores a 1, 1, p, p. En analogı́a con Z, si ⇡ 2 Z[i] \ {0}, no es unidad y solo admite como divisores a las unidades y a sus asociados, entonces diremos que ⇡ es primo. Para evitar confusiones en el lenguaje, llamaremos primos racionales a los números primos de Z y simplemente primo a los de Z[i]. El siguiente resultado es consecuencia de la definición de primo. Lema 4.2.1. Si N(⇡) > 1 y ⇡ no es producto de enteros gaussianos de norma mayor que 1, entonces ⇡ es primo. Demostración. La hipótesis ⇡ no es producto de enteros gaussianos de norma mayor que 1 significa que en cualquier factorización de ⇡, al menos uno de sus factores es una unidad. Ası́ que ⇡ = u para algún u 2 U (Z[i]). Por tanto | ⇡ y = u 1 ⇡, lo que además significa que es un asociado de ⇡. Por tanto ⇡ es primo. ⇤ Interpretemos el lema anterior: si N(⇡) > 1 y ⇡ = ↵ N(↵) = 1 ó N( ) = 1, entonces ⇡ es primo. implica que El objetivo final de este capı́tulo es identificar a los primos en Z[i] y dar un método para factorizar enteros gaussianos. El siguiente resultado nos proporciona un método elemental para identificar algunos de ellos. Teorema 4.2.2. Sea z 2 Z[i] tal que N(z) es un primo racional. Entonces z es primo. Demostración. Supongamos que N(z) = p y z = z1 z2 . Entonces p = N(z) = N(z1 )N(z2 ). Ası́ que N(z1 ) = 1 ó N(z2 ) = 1 y por tanto z1 ó z2 es unidad. Por lo anterior z es primo. ⇤ Ejemplo 4.2.3. 1 i i 2i es primo pues N(1 2i) = 5. i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 105 — #117 4.2 Factorización única en Z[i] i 105 Ejemplo 4.2.4. 1 + 2i es primo pues N(1 + 2i) = 5. Ejemplo 4.2.5. 3 2i es primo pues N(3 2i) = 13. Ejemplo 4.2.6. 3 + 2i es primo pues N(3 + 2i) = 13. Notemos que los ejemplos anteriores tienen la peculiaridad siguiente: (1 2i)(1 + 2i) = 5 y (3 2i)(3 + 2i) = 13 y 5, 13 son primos racionales de la forma 4n + 1. El comentario anterior sugiere que posiblemente existe alguna relación entre los primos racionales y los primos de Z[i]. Lema 4.2.7. Sea n 2 Z tal que n visto como entero gaussiano es primo. Entonces n es primo racional. Demostración. Si n es primo, entonces sus únicos divisores son 1, 1, i, i, n, n, in, in. El resultado se sigue al observar que los únicos divisores racionales de n son 1, 1, n, n. Por lo tanto n es primo racional. ⇤ Lema 4.2.8. Cada entero gaussiano z con N(z) > 1 tiene una representación como producto finito de primos. Demostración. Inducción sobre N(z). Si N(z) = 2, entonces por el teorema 4.2.2 se tiene que z es primo y en este caso el lema queda demostrado. Supongamos el lema válido para cualquier gaussiano w con 2  N(w) < N(z). Si z es primo entonces concluimos. Si z no es primo, entonces z = z1 z2 con 1 < N(z1 ) < N(z) y 1 < N(z2 ) < N(z). Haciendo uso de la hipótesis de inducción obtenemos que z2 = ⇡10 ⇡20 · · · ⇡t0 z1 = ⇡1 ⇡2 · · · ⇡r , donde los ⇡i , ⇡j0 son primos. Por lo tanto z = ⇡1 · · · ⇡r ⇡10 · · · ⇡t0 . ⇤ Por definición, cualquier primo ⇡ tiene como únicos divisores a 1, 1, i, i, ⇡, ⇡, i⇡, i⇡. Lema 4.2.9. Si ⇡ es primo y ⇡ | ab, entonces ⇡ | a ó ⇡ | b. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 106 — #118 i Los enteros gaussianos Z[i] 106 Demostración. Supongamos ⇡ - a. Si = mcd(⇡, a), entonces es alguno de los elementos del conjunto {1, 1, i, i, ⇡, ⇡, i⇡, i⇡} y ası́ 2 U (Z[i]). Por la afirmación 5 del teorema 4.1.18 concluimos que ⇡ | b. ⇤ Como caso particular del lema anterior, si ⇡1 , ⇡2 , ⇡3 son primos y ⇡1 | ⇡2 ⇡3 , entonces ⇡1 es asociado de ⇡2 ó ⇡3 . Esto es fundamental para el siguiente resultado. Teorema 4.2.10 (Teorema Fundamental de la Aritmética en Z[i]). La representación de un entero gaussiano z 6= 0 y no unidad como producto finito de primos es única salvo el orden de los primos y asociados. Demostración. Sea z 2 Z[i] con N(z) > 1. Supongamos que z tiene dos factorizaciones: z = ⇡1 ⇡2 · · · ⇡r = ⇡10 ⇡20 · · · ⇡t0 , (1) con r < t. De (1) se observa que ⇡1 | ⇡10 ⇡20 · · · ⇡t0 y por lo tanto ⇡1 es asociado de algún ⇡j0 . Sin pérdida de generalidad podemos suponer que ⇡1 es asociado de ⇡10 . Cancelando ⇡1 y ⇡10 en (1) obtenemos que u1 ⇡2 ⇡3 · · · ⇡r = ⇡20 ⇡30 · · · ⇡t0 , donde u1 es alguna unidad. El argumento puede ser repetido r-veces para llegar finalmente a que Por consiguiente 0 0 u1 u2 · · · ur = ⇡r+1 ⇡r+2 · · · ⇡t0 . 0 1 = N(u1 )N(u2 ) · · · N(ur ) = N(⇡r+1 )N(⇡r+2 ) · · · N(⇡t0 ), lo cual es absurdo pues N(⇡i0 ) > 1. Por lo tanto r t. Si ahora suponemos que t < r y usamos el mismo argumento obtenemos un absurdo y por lo tanto t = r y de paso mostramos que la factorización es única. ⇤ 4.3. Números primos en Z[i] De los problemas importantes en la teorı́a de números destaca la factorización de un entero. Si conociéramos una lista completa de los números primos racionales, seguramente podrı́amos factorizar cualquier entero. Afortunadamente no es ası́, es más, no sabemos ni siquiera cómo generarlos a todos. Se sabe por lo menos, que no existe un polinomio en una variable que reproduzca solo primos racionales. Al respecto existe cualquier i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 107 — #119 4.3 Números primos en Z[i] i 107 número de conjeturas. Por citar una de ellas: Existe una infinidad de primos racionales de la forma x2 + 1. Para empezar a resolver el problema de factorizar un entero gaussiano, primero nos proponemos reconocer lo más explı́citamente posible a los primos en Z[i]. En relación con el comentario anterior, el problema 6, sección 3.1 del capı́tulo 3 asegura que x2 ⌘ 1 (mod p) es soluble si y solo si p = 2 ó p es un primo de la forma 4n + 1. Lema 4.3.1. Si p es un primo racional de la forma 4n + 1, entonces p visto como entero gaussiano no es un primo. Demostración. Si a solución de la ecuación x2 ⌘ 1 (mod p), entonces p | a2 + 1 y por lo tanto p | (a + i)(a i). Si p fuera un primo gaussiano, de acuerdo al lema 4.2.9 entonces p | a + i ó p | a i. Supongamos que p | a + i. Entonces existe c + di 2 Z[i] tal que a + i = p(c + di). Igualando parte real y parte imaginaria obtenemos que a = pc. Por lo anterior p | a y ası́ p | a2 . Puesto que p | a2 + 1, entonces p | 1, lo cual es imposible. Un argumento similar nos muestra que p - a i. ⇤ Teorema 4.3.2 (Teorema de Fermat). Si p es primo racional de la forma 4n + 1, entonces p puede ser expresado en forma única como suma de dos cuadrados. Demostración. Por el lema anterior tenemos p = ↵ N( ) > 1. De lo anterior se sigue que con N(↵), N(p) = N(↵)N( ) = p2 y por lo tanto N(↵) = N( ) = p. Si ↵ = m + ni, entonces N(↵) = (m + ni)(m ni) = m2 + n2 = p. Debemos aclarar en qué sentido debemos entender la unicidad. Observe que p = m2 + n2 = (±m)2 + (±n)2 . Ası́ que si m, n > 0, entonces la representación debe ser única. En efecto, supongamos que p = m2 + n2 = x2 + y 2 , con m, n, x, y > 0. Como p es primo, necesariamente se cumple que mcd(m, n) = mcd(x, y) = 1. i i (1) i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 108 — #120 i Los enteros gaussianos Z[i] 108 Observemos el siguiente desarrollo: p(y 2 n2 ) = (m2 + n2 )(y 2 n2 ) = m2 y 2 m2 n2 + n2 y 2 n4 + n2 x 2 = m2 y 2 n2 x2 + n2 (y 2 + x2 ) = m2 y 2 n2 x 2 + n2 p = m2 y 2 n2 x2 = (my n2 x 2 n2 (m2 + n2 ) n2 p nx)(my + nx). Podemos deducir entonces que my ⌘ ±nx (mod p). Por otro lado tenemos que p2 = (x2 + y 2 )(m2 + n2 ) = x2 (m2 + n2 ) + y 2 (m2 + n2 ) = x2 m2 ± 2xmyn + y 2 n2 + m2 y 2 ⌥ 2xmyn + n2 x2 = (xm ± yn)2 + (my ⌥ nx)2 . Ahora fijemos nuestra atención en my nx. Analicemos dos casos. Primero, si my = nx, entonces x | my y m | nx. Ası́, por (1) tenemos que x | m y m | x. Como x, m > 0, concluimos que x = m y y = n. Segundo, si my 6= nx, de las relaciones my ⌘ ±nx (mod p) y deducimos que |my ⌥ nx| = p Por lo tanto y = m y x = n. p2 = (xm ± yn)2 + (my ⌥ nx)2 y xm ± yn = 0. ⇤ Antes de continuar debemos hacer una aclaración importante: un primo racional de la forma 4n + 3 no puede ser suma de dos cuadrados. La justificación es porque el cuadrado de un entero es congruente con 0 ó 1 módulo 4 y por tanto, la suma de dos cuadrados es congruente con 0 ó 1 ó 2 módulo 4, pero en ningún caso congruente con 3. Corolario 4.3.3. Si p es como en el Teorema de Fermat y p = a2 +b2 , entonces p = (a + bi)(a bi). Demostración. Es evidente. ⇤ El siguiente resultado nos indica exactamente quiénes son o de dónde provienen los primos en Z[i]. Teorema 4.3.4. Los primos en Z[i] son: 1. 1 + i y sus asociados. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 109 — #121 4.3 Números primos en Z[i] i 109 2. Los factores a + bi de primos racionales de la forma 4n + 1 y sus asociados. 3. Los primos racionales de la forma 4n + 3 y sus asociados. Demostración. Puesto que N(1 + i) = 2, entonces por el teorema 4.2.2, 1 + i es primo. Para la afirmación 2 consideremos un primo racional p de la forma 4n + 1. Por el corolario 4.3.3 tenemos que p = a2 + b2 = (a + bi)(a bi), y ası́ p = N(a + bi) = N(a bi) con lo cual a + bi y a bi son primos. Para la afirmación 3 consideremos un primo racional p de la forma 4n + 3 y supongamos que p = (a + bi)(c + di) con N(a + bi) > 1 y N(c + di) > 1. Claramente la igualdad N(p) = p2 = (a2 + b2 )(c2 + d2 ) implica que p = a2 + b2 ó p = c2 + d2 lo cual es imposible para un primo racional de esta forma. Por lo tanto p es primo. Solo nos queda mostrar que éstos son todos los primos. Sea ⇡ cualquier primo. Entonces N(⇡) = ⇡¯ ⇡ = 2 p↵1 1 p↵2 2 · · · p↵s s q1 1 q2 2 · · · qr r donde los pi y qj son primos racionales de la forma 4n + 1 y 4n + 3 respectivamente. Por lo tanto ⇡¯ ⇡ = (1 + i) (1 i) ⇡1↵1 ⇡¯1 ↵1 ⇡2↵2 ⇡¯2 ↵2 · · · ⇡s↵s ⇡¯s ↵s q1 1 · · · qr r . En virtud de la unicidad de la factorización tenemos que ⇡ es asociado de algún primo de la lista 1 + i, 1 i, ⇡1 , ⇡¯1 , . . . , ⇡s , ⇡¯s , q1 , . . . , qr . Por lo tanto, cualquier primo de Z[i] es alguno de los considerados en este teorema. ⇤ Ejemplo 4.3.5. 23 es primo en Z[i]. Ejemplo 4.3.6. 17 = 42 + 12 = (4 + i)(4 son primos gaussianos. 5 i) y por lo tanto 4 + i y 4 Ejemplo 4.3.7. 29 = 52 + 22 = (5 + 2i)(5 2i son primos en Z[i]. i 2i). Por tanto 5 + 2i y Ejemplo 4.3.8. 3 es primo en Z[i]. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 110 — #122 i Los enteros gaussianos Z[i] 110 4.4. Factorización explı́cita de un entero gaussiano La parte final de este capı́tulo consiste en desarrollar un método por medio del cual se pueda dar la factorización explı́cita de un gaussiano. Sea N(z) = n. Cualquier factor primo del número z es un factor primo de su norma n = z z̄. Los factores primos gaussianos del entero n pueden encontrarse fácilmente obteniendo sus factores primos racionales. Sea n = 2↵ p↵1 1 p↵2 2 · · · p↵r r q1 1 · · · qs s , (1) donde los pi y qj son primos racionales de la forma 4n + 1 y 4n + 3 respectivamente. Si pi = ⇡i ⇡¯i con i = 1, . . . , r, entonces n = (i)↵ (1 i)2↵ ⇡1↵1 ⇡¯1 ↵1 ⇡2↵2 ⇡¯2 ↵2 · · · ⇡r↵r ⇡¯r ↵r q1 1 · · · qs s . (2) De la igualdad n = z z̄ se obtiene que 0 0 0 z = i (1 + i) ⇡1a1 ⇡¯1 a1 ⇡2a2 ⇡¯2 a2 · · · ⇡rar ⇡¯r ar q1µ1 · · · qsµs , (3) donde 2 {1, 2, 3, 4} y , a1 , a01 , . . . , ar , a0r , µ1 , . . . , µs 0. Pero N(⇡j ) = pj y N(qi ) = qi2 , ası́ que tomando normas en (3) obtenemos que a +a01 a2 +a02 p2 n = N(z) = 2 p11 0 · · · par r +ar q12µ1 q22µ2 · · · qs2µs . Comparando los exponentes de esta última expresión con (1) = ↵, a1 + a01 = ↵1 , . . . , ar + a0r = ↵r , 2µ1 = 1 , . . . , 2µs = s. Resumiendo: Teorema 4.4.1. Si un entero positivo n es norma de algún gaussiano, entonces en la factorización de n en primos racionales, los primos de la forma 4n + 3 aparecen con exponente par. Demostración. 2µi = i ⇤ para i = 1, . . . , s. Nuestro trabajo aún está incompleto pues solo hemos encontrado los exponentes de los primos racionales de la forma 4n + 3. Para obtener la factorización completa de z debemos determinar los números aj , a0j . k Sea kj el mayor entero positivo para el cual pj j | z. Afirmamos que: ⇢ aj = ↵ j kj k si pj j ⇡j | z entonces, a0j = kj , ⇢ aj = kj kj si pj ⇡j - z entonces, a0j = ↵j kj . i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 111 — #123 4.4 Factorización explı́cita de un entero gaussiano i 111 Demostraremos esta afirmación. Según nuestra definición de kj tenemos z que k no puede ser dividido simultáneamente por ⇡j y ⇡¯j porque si esto pj j z sucediera y debido a que mcd(⇡, ⇡ ¯ ) = 1, entonces ⇡j ⇡¯j debe dividir a k , pj j z k +1 es decir pj j | z. Resumiendo, si ⇡j es divisor de k , entonces ⇡¯j no es pj j z k k divisor de k . Por otro lado, pj j = ⇡j j ⇡¯j kj y haciendo uso de la expresión j pj 0 0 0 z = i (1 + i) ⇡1a1 ⇡¯1 a1 ⇡2a2 ⇡¯2 a2 · · · ⇡rar ⇡¯r ar q1µ1 · · · qsµs , concluimos que a0j = kj y aj = ↵j kj . Un razonamiento similar muestra z que si ⇡j no divide a k , entonces aj = kj y a0j = ↵j kj . Por último, pj j el exponente puede ser calculado fácilmente haciendo una simple división de z y el producto de los factores primos para los cuales sus exponentes ya han sido encontrados. Ejemplo 4.4.2. Sea z = 22 + 7i. Entonces N(z) = 484 + 49 = 533 = 13 · 41. Escribimos p1 = 13 = 22 + 32 y p2 = 41 = 42 + 52 . Por lo tanto ↵1 = 1, ↵2 = 1 y 0 0 z = i ⇡1a1 ⇡¯1 a1 ⇡2a2 ⇡¯2 a2 , donde ⇡1 = 2 + 3i, ⇡¯1 = 2 3i, ⇡2 = 4 + 5i, ⇡¯2 = 4 5i. Solo nos falta encontrar los exponentes a1 , a01 , a2 , a02 . Como p1 - z y p2 - z, entonces k1 = k2 = 0. Ahora veamos si ⇡1 | z ó ⇡¯1 | z: z 22 + 7i = =5 ⇡1 2 + 3i 4i, ası́ que ⇡¯1 - z y por lo tanto a1 = 1 y a01 = 0. Análogamente, de la igualdad z 22 + 7i = =3 ⇡2 4 + 5i 2i se obtiene que ⇡¯2 - z y por tanto a2 = 1 0 y a02 = 0. Hasta ahora tenemos la siguiente expresión z = i (2 + 3i)(4 + 5i). i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 112 — #124 i i Los enteros gaussianos Z[i] 112 Con una simple división vemos que = 3 y ası́ tenemos 3 z = i (2 + 3i)(4 + 5i). Ejemplo 4.4.3. Sea z = 19 + 17i. Razonando como en el ejemplo anterior tenemos que N(z) = 361 + 289 = 2 · 52 · 13. Si escribimos p1 = 5 = 12 + 22 y p2 = 13 = 22 + 32 , entonces 0 0 z = i (1 + i)⇡1a1 ⇡¯1 a1 ⇡2a2 ⇡¯2 a2 donde ⇡1 = 1 + 2i, ⇡¯1 = 1 2i, ⇡2 = 2 + 3i y ⇡¯2 = 2 3i. Puesto que 5 - z y 13 - z, entonces k1 = k2 = 0. Además ⇡1 - z y ⇡2 - z, ası́ que a1 = 0, a01 = 2, a2 = 0 y a02 = 1. Por lo tanto z = i (1 2i)2 (2 3i)(1 + i). Con una simple división llegamos a que z = 2 (1 2i) (2 3i)(1 + i) y por tanto = 2 y z = i2 (1 2i)2 (2 1, 3i)(1 + i). PROBLEMAS 1. Sigue la demostración del teorema 4.1.1 para encontrar el cociente y el residuo en las siguientes parejas de enteros gaussianos: a) 2 4i y 7 32i. b) 5 + i y 9 + 2i. c) 13 + 4i y 1 i. d) 21 i y 5 i. 2. Demuestra el teorema 4.1.3. 3. Demuestra que: a) z z̄ = a2 + b2 . b) z1 z2 = z̄1 z̄2 . c) N(z) = 0 si y solo si z = 0. d) N(z1 z2 ) = N(z1 )N(z2 ). 4. Demuestra el corolario 4.1.14. 5. Muestra que un entero gaussiano diferente de 0 solo tiene un número finito de divisores. 6. Muestra que Z solo tiene dos unidades. 7. ¿Cuáles de las siguientes parejas son asociados? i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 113 — #125 4.4 Factorización explı́cita de un entero gaussiano 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. i i i i 113 a) 3 + 4i y 4 + 3i. b) 4 + 7i y 4 + 7i. c) i y 1. Muestra que mcd(z, w) es el divisor en común de norma mayor. Calcula el mcd de: a) 1 + i y 1 i. b) 13 + 4i y 4 + 5i. c) 21 i y 5 i. Muestra que z, w son primos relativos si y solo si existen a1 , a2 2 Z[i] tal que a1 z + a2 w = u donde u es alguna unidad de Z[i]. Demuestra el teorema 4.1.18. En el algoritmo de la división muestra que k y no necesariamente son únicos. Resuelve en Z[i] la ecuación N(z) = 2. Sean p un primo racional de la forma 4n + 1 y p = ⇡¯ ⇡ su factorización en Z[i]. Muestra que ⇡ y ⇡ ¯ son primos relativos. Deduce el algoritmo de la división de Z a partir del algoritmo de la división de Z[i]. Muestra que la función norma no es suprayectiva. Factoriza los siguientes enteros gaussianos: a) 12 + 3i b) 4 2i c) 10 + 100i d) 14 34i En general no es cierto que si z = x + yi y z̄ = x yi, entonces z y z̄ son primos relativos. Encuentra un ejemplo. Sea ⇡ 2 Z[i] un primo gaussiano. Muestra que ⇡ divide exactamente a un primo racional. Sean ⇡ = 1 + 2i y µ = 1 + i. a) Muestra que mcd(⇡, µ) = 1. b) Usando el lenguaje de las congruencias, demuestra que (1 + i)N(⇡) 1 ⌘ 1 (mod 5) c) (1 + i)N(⇡) 1 ⌘ 1 (mod ⇡) d) Observa que 1 + i es un primo gaussiano y la afirmación (1 + i)N(⇡) 1 ⌘ 1 (mod ⇡) sugiere una generalización del Teorema Pequeño de Fermat. e) Usando el lenguaje de las congruencias, muestra que cualquier entero gaussiano es congruente con 0 ó 1 módulo 1 + i. Sugerencia: a + bi ⌘ a b (mod 1+i) porque i ⌘ 1 (mod 1+i). Ahora reduce módulo 2 y considera que 2 = (1 + i)(1 i). La tabla 1 muestra los factores Gaussianos irreducibles de los primeros 16 primos racionales de la forma 4n + 1 junto con sus conjugados. Por ejemplo, en la primera entrada del primer y segundo renglón aparecen los factores de i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 114 — #126 i i Los enteros gaussianos Z[i] 114 5 = (2+i)(2 i) y enseguida sus conjugados. Grafica en el plano complejo todos estos primos y observa cómo están distribuidos. ¿Se nota alguna regularidad en su distribución? 1 2+i 2 i 3 + 2i 3 2i 4+i 4 i 5 + 2i 5 2i 6+i 6 i 5 + 4i 5 4i 7 + 2i 7 2i 6 + 5i 6 5i 8 + 3i 8 3i 8 + 5i 8 5i 9 + 4i 9 4i 10 + i 10 i 10 + 3i 10 3i 8 + 7i 8 7i 11 + 4i 11 4i 10 + 7i 10 7i 1 2 i 2+i 3 2i 3 + 2i 4 i 4+i 5 2i 5 + 2i 6 i 6+i 5 4i 5 + 4i 7 2i 7 + 2i 6 5i 6 + 5i 8 3i 8 + 3i 8 5i 8 + 5i 9 4i 9 + 4i 10 i 10 + i 10 3i 10 + 3i 8 7i 8 + 7i 11 4i 11 + 4i 10 7i 10 + 7i i 1 + 2i 1 + 2i 2 + 3i 2 + 3i 1 + 4i 1 + 4i 2 + 5i 2 + 5i 1 + 6i 1 + 6i 4 + 5i 4 + 5i 2 + 7i 2 + 7i 5 + 6i 5 + 6i 3 + 8i 3 + 8i 5 + 8i 5 + 8i 4 + 9i 4 + 9i 1 + 10i 1 + 10i 3 + 10i 3 + 10i 7 + 8i 7 + 8i 4 + 11i 4 + 11i 7 + 10i 7 + 10i 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 4 4 2 2 5 5 3 3 5 5 4 4 1 1 3 3 7 7 4 4 7 7 i 2i 2i 3i 3i 4i 4i 5i 5i 6i 6i 5i 5i 7i 7i 6i 6i 8i 8i 8i 8i 9i 9i 10i 10i 10i 10i 8i 8i 11i 11i 10i 10i Tabla 1 i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 115 — #127 Capı́tulo i i 5 Grupos 5.1. Grupos y subgrupos En este último capı́tulo estudiaremos una de las estructuras algebraicas más importantes y bellas en la matemática moderna: los grupos. Hace aproximadamente 150 años, el concepto de grupo ya lo manejaba Galois, aunque aún no se habı́a dado la definición formal. En ese entonces, el interés era el estudio de las relaciones algebraicas o aritméticas por medio de sustituciones (hoy permutaciones) de las raı́ces de una ecuación polinomial y es ası́ como nace el concepto de grupo. Con el paso del tiempo otras disciplinas como la fı́sica y la quı́mica, han encontrado en la teorı́a de grupos una herramienta fundamental para su desarrollo. He decidido introducir el concepto de grupo por medio de una lista de axiomas, para después brindar al lector una variedad de ejemplos que ocurren con sorprendente frecuencia en casi toda la matemática. Reconozco que esta manera de hacerlo es frı́a y tal vez va en contra de la propia filosofı́a del trabajo matemático: en matemáticas no inventamos ideas y después las estudiamos, sino al contrario, a partir de ejemplos o casos especiales comenzamos a crear una teorı́a. A manera de justificación, introduzco el concepto de grupo de manera axiomática porque tramposamente ya se lo que viene: la teorı́a ya está desarrollada, al menos la que quiero presentarles. Pero si el lector desea deleitarse con el estudio de las simetrı́as de un cuadrado a manera de introducción al concepto de grupo, puede ir directamente a la sección 5.9 y de todas formas regresará aquı́. Sea A un conjunto no vacı́o. Una operación binaria sobre A es simplemente una función f : A ⇥ A ! A. Esta operación binaria es común llamarla producto o suma, según sea el conjunto A. Si f es un producto entonces f ((x, y)) es el producto de x, y y en este caso escribiremos f ((x, y)) = xy. Si f es la suma, entonces escribiremos f ((x, y)) = x + y. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 116 — #128 116 i Grupos Por ejemplo, la suma y producto usual de números reales son ejemplos de operaciones binarias en R. Sea G un conjunto no vacı́o. Diremos que G es un grupo si G tiene una operación binaria (producto) que satisface los siguientes axiomas: A1 Asociatividad. Para todos a, b, c 2 G, a(bc) = (ab)c. A2 Existencia de neutro. Existe e 2 G tal que ex = xe = x para todo x 2 G. A3 Existencia de inverso. Para cada x 2 G existe y 2 G tal que xy = yx = e. Si la operación binaria en G es una suma entonces los axiomas que definen en G una estructura de grupo quedan descritos como: A1 Asociatividad. Para todo a, b, c 2 G, a + (b + c) = (a + b) + c. A2 Existencia de neutro. Existe e 2 G tal que e + x = x + e = x para todo x 2 G. A3 Existencia de inverso. Para cada x 2 G existe y 2 G tal que x + y = y + x = e. Notemos que esencialmente no hay diferencia alguna entre ambas definiciones. El elemento e se llama el neutro de G y el elemento y del axioma A3 se llama el inverso de x y es común denotarlo como y = x 1 ó y = x según, si la operación es producto o suma. Hagamos una reflexión acerca del axioma de asociatividad. Pensemos en la suma en R. Por ejemplo, si escribimos 2 + 3 + 5, ¿cómo efectua esta operación nuestro cerebro? Por más vueltas que le demos al asunto, nuestra conclusión debe ser que, solo podemos elegir dos de estos enteros y sumarlos. Al resultado le sumaremos el tercer entero. Esta incapacidad cerebral de poder sumar tres enteros a la vez, está reflejada en la asociatividad. Prácticamente este axioma nos revela una incapacidad biológica para poder ejecutar operaciones elementales con más de dos números. Esto es maravilloso. Teorema 5.1.1. Si G es un grupo, entonces e y x 1 son únicos. Si ax = ay, entonces x = y. Análogamente, si xa = ya, entonces x = y. Demostración. Si e, e0 son dos neutros de G, entonces e0 = e0 e = e. Sean x 2 G y y, y 0 inversos de x. Entonces y = ey = (y 0 x)y = y 0 (xy) = y 0 e = y 0 . Finalmente supongamos que ax = ay. Entonces x = ex = (a i i 1 a)x = a 1 (ax) = a 1 (ay) = (a 1 a)y = ey = y. ⇤ i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 117 — #129 5.1 Grupos y subgrupos i 117 En resumidas cuentas, en cualquier grupo, el neutro, el inverso son únicos y tal como lo asegura el teorema anterior, las leyes de cancelación izquierda y derecha son válidas. Podemos intentar resolver algunas ecuaciones sencillas en un grupo: Teorema 5.1.2. Sean G un grupo y a, b 2 G. La ecuación ax = b tiene solución única. Demostración. Sea x = a 1 b. Es claro que este valor de x resuelve nuestra ecuación. Para ver que x es única suponemos que existe alguna y 2 G tal que ay = b. Por la ley de cancelación por la izquierda la igualdad ay = ax = b implica que x = y. ⇤ b Teorema 5.1.3. Si G es un grupo y a, b 2 G, entonces (ab) 1 = 1 = ⇤ 1a 1. Demostración. Es claro que (ab)(ab) (b 1 a 1 )(ab) = b 1 (a 1 a)b = b 1 = e y también 1 (e)b = b 1 b = e, ası́ que por la unicidad del elemento inverso necesariamente (ab) b 1a 1. Note el lector que en la definición de grupo no pedimos la conmutatividad de la operación. Diremos que un grupo G es abeliano (conmutativo) si ab = ba para todo a, b 2 G. El orden de un grupo G es sencillamente la cardinalidad de G y lo denotaremos como o(G). Si o(G) < 1, entonces diremos que G es un grupo finito, en caso contrario diremos que G es un grupo infinito. Sean G un grupo, a 2 G y n 2 N. Definimos a0 = e. Asumiendo que n a ha sido definido, entonces escribimos an+1 = an a. Si n < 0, entonces definimos an = (a 1 ) n . Teorema 5.1.4. En cualquier grupo, si n, m 2 Z se cumple que an am = an+m (an )m = anm y si G es abeliano (ab)n = an bn . Demostración. Es un fácil ejercicio de inducción para el lector. ⇤ Ahora vamos a proporcionar una lista de ejemplos. i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 118 — #130 118 i i Grupos Ejemplo 5.1.5. Si G = Z, entonces con la suma usual de enteros, Z es un grupo abeliano infinito en donde el neutro es e = 0 y los inversos están dados por x 1 = x. Lo mismo sucede si G = Q, R, C. Ejemplo 5.1.6. Grupo de residuos módulo n > 0. Sea Zn = {0, 1, . . . , n 1} con operación la suma de clases. Entonces Zn es un grupo, en donde e = 0. Si i 2 Zn , el inverso de la clase i es n i. El grupo Zn es un grupo abeliano finito y o(Zn ) = n. En el resto del capı́tulo vamos a denotar simplemente Zn = {0, 1, . . . , n 1}, con el entendido que los elementos de Zn no son números, son clases de equivalencia. Ejemplo 5.1.7. Sea U (Zn ) = {a 2 Z : 1  a  n, mcd(a, n) = 1}. Entonces U (Zn ) es un grupo abeliano con el producto módulo n. Es claro que o(U (Zn )) = '(n). El grupo U (Zn ) es conocido como el grupo de unidades de Zn . Ejemplo 5.1.8. Si Q⇤ = Q \ {0}, entonces con operación binaria el producto usual de números racionales es un grupo abeliano, donde e = 1 y ⇣a⌘ 1 b = . b a Ejemplo 5.1.9. Grupo simétrico. Sea In = {1, 2, . . . , n}. Consideremos el siguiente conjunto Sn = { : I n ! I n : Si es una función biyectiva}. 2 Sn , la notación que usaremos para describir a ✓ ◆ 1 2 ··· n = . (1) (2) · · · (n) es El conjunto Sn es un grupo en donde la operación es la composición usual de funciones y el neutro es precisamente la función identidad, la cual 1 es la denotaremos como ". Si 2 Sn es tal que (i) = j, entonces 1 función inversa de tal que (j) = i. Si n > 2, entonces Sn es un grupo no abeliano. A los elementos de Sn los llamaremos permutaciones. Más adelante dedicaremos una sección de este trabajo al estudio del grupo Sn , tal vez el más importante de todos los grupos. Ejemplo 5.1.10. R2 es un grupo abeliano con la suma usual de parejas ordenadas y donde e = (0, 0), (a, b) 1 = ( a, b). ¿Existirá otra operación en R2 de tal forma que R2 tenga estructura de grupo? . i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 119 — #131 5.1 Grupos y subgrupos i 119 Ejemplo 5.1.11. Sea R2 = {(x, y) : x, y 2 R} el plano euclidiano. Un movimiento de R2 es una función biyectiva f : R2 ! R2 . El conjunto de movimientos de R2 forma un grupo G no abeliano con operación binaria la composición usual de funciones. El grupo G se conoce como el grupo de movimientos de R2 . Ejemplo 5.1.12. Grupo Lineal General. Consideremos el conjunto de matrices ⇢✓ ◆ a b GL(2, R) = : a, b, c, d 2 R, ad bc 6= 0 . c d ✓ ◆ a b Entonces 2 GL(2, R) es una matriz invertible que define una c d función biyectiva (transformación lineal) T : R2 ! R2 dada por ✓ ◆ ✓ ◆✓ ◆ x a b x T = = (ax + by, cx + dy). y c d y La operación de grupo en GL(2, R) es el producto usual de matrices (recuerde que el producto ✓ ◆de matrices invertibles es invertible) donde e es 1 0 la matriz identidad . Los elementos de GL(2, R) consecuentemente 0 1 se denominan movimientos lineales de R2 . Ejemplo 5.1.13. Grupo Lineal Especial. Consideremos el conjunto de matrices SL(2, R) = {(aij ) 2 GL(2, R) : det(aij ) = 1}. Con el producto usual de matrices SL(2, R) es un grupo en donde el neutro es la matriz identidad. Ejemplo 5.1.14. Grupo de Traslaciones. Sean a, b 2 R. Definimos la función Ta,b : R2 ! R2 como Ta,b (x, y) = (x + a, y + b). Si Ta,b (x, y) = Ta,b (x0 , y 0 ), entonces de la definición de Ta,b se sigue que x = x0 , y = y 0 . Ası́ que, Ta,b es una función inyectiva. Claramente Ta,b es suprayectiva. Sea T (R2 ) = {Ta,b | a, b 2 R}. Entonces T (R2 ) es un grupo con la composición usual de funciones, donde e es la función T0,0 . Los elementos de T (R2 ) se conocen con el nombre de traslaciones de R2 . Podemos visualizar geométricamente una traslación como un movimiento de todo el plano euclideano a través de un vector cuyo punto inicial es (0, 0) y punto final (a, b). i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 120 — #132 120 i i Grupos Ejemplo 5.1.15. Grupo booleano. Sea A 6= ; un conjunto. Consideremos el conjunto formado por los subconjuntos de A, el cual denotaremos como P (A) = {X ✓ A}. El conjunto P (A) es conocido con el nombre de conjunto potencia de A. La función f : A ⇥ A ! A definida como f (X, Y ) = (X \Y )[(Y \X) es una operación binaria en P (A). Observamos que f (;, X) = X para cualquier X 2 P (A). También f (X, Y ) = f (Y, X) y f (X, X) = ;. De cursos elementales de álgebra sabemos que la diferencia simétrica es asociativa. Por tanto, P (A) es un grupo abeliano, en donde e = ; y el inverso de X es X. Ejemplo 5.1.16. Denotemos por Mm⇥n (R) al conjunto de matrices de tamaño m ⇥ n con entradas en R. Entonces Mm⇥n (R) es un grupo abeliano con la suma usual de matrices, en donde 0 1 0 ··· 0 B .. C e = @ ... .A y 0 ··· 0 a11 B a21 B B .. @ . ··· ··· am1 · · · 1 a1n a2n C C .. C . A amn 1 0 B B =B @ 0 a11 a21 .. . ··· ··· am1 · · · 1 a1n a2n C C .. C . A amn Ejemplo 5.1.17. Sea K es cualquier campo o cualquier anillo. Entonces Mm⇥n (K) es un grupo abeliano tal como se explicó en el ejemplo anterior. Ejemplo 5.1.18. Sea C([a, b]) = {f : [a, b] ! R : f es continua}. Entonces C([a, b]) es un grupo con la suma usual de funciones, e = 0 (función idénticamente cero) y f 1 = f . Recuerda que la suma de funciones continuas es continua. Ejemplo 5.1.19. Sean G, G0 grupos y G ⇥ G0 el producto cartesiano de G y G0 . Definimos la función f : (G ⇥ G0 ) ⇥ (G ⇥ G0 ) ! G ⇥ G0 como f ((g, g 0 ), (h, h0 )) = (gh, g 0 h0 ), donde obviamente g, h 2 G y g 0 , h0 2 G0 . Entonces f es una operación binaria en G ⇥ G0 y con simple inspección se observa que G ⇥ G0 es un grupo con e = (eG , eG0 ) y (x, y) 1 = (x 1 , y 1 ), donde eG y eG0 denotan el neutro de G y G0 respectivamente. El grupo i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 121 — #133 5.1 Grupos y subgrupos i 121 G ⇥ G0 se conoce con el nombre de producto directo externo de los grupos G, G0 . Más adelante regresaremos al estudio de estos grupos. Ejemplo 5.1.20. Si V es un espacio vectorial sobre un campo K, entonces V es un grupo abeliano con la suma usual de vectores. Ejemplo 5.1.21. Grupo de los cuaterniones. Considera el conjunto H = {a + bi + cj + dk : a, b, c, d 2 R} sujeto a las siguientes reglas: i2 = j 2 = k 2 = 1 y ij = k, ji = k, jk = i, kj = i, ki = j, ik = j. En el caso particular c = d = 0, observamos que C ⇢ H. En H definimos la suma: (a + bi + cj + dk) + (e + f i + gj + hk) = (a + e) + (b + f )i + (c + g)j + (d + h)k. Entonces H es un grupo abeliano. El lector puede observar que esencialmente H es muy parecido al R-espacio vectorial R4 . También puede notar que H es un C-espacio vectorial de dimensión 2, es decir, H ⇡ C ⇥ C. Ejemplo 5.1.22. Sea Q8 = {1, 1, i, i, j, j, k, k} donde i, j, k satisfacen las reglas de multiplicación del ejemplo anterior. El conjunto Q8 es un grupo no abeliano, en donde e = 1. El lector puede verificar fácilmente que i 1 = i, j 1 = j, k 1 = k, 1 1 = 1. La lista anterior de ejemplos no es exhaustiva: los grupos están involucrados en varias ramas de la matemática, de ahı́ su importancia. Como podemos observar, en algunos ejemplos aparecen subconjuntos que tienen estructura de grupo. En seguida, vamos a buscar la manera de poder identificar subconjuntos de un grupo G que reflejen la estructura aritmética de G. Si G es un grupo con operación binaria f y H ✓ G es no vacı́o, entonces f restringida a H ⇥ H puede que no sea una operación binaria de H. Por ejemplo, si G = Z, entonces Z con la suma es un grupo abeliano. Consideremos H = {2n + 1 : n 2 Z} ⇢ Z. Es claro que H no es cerrado bajo sumas. Este fenómeno sugiere una consideración sensible. Diremos que H es un subgrupo de G si se satisfacen los siguientes axiomas: S1 La operación binaria f de G es una operación binaria de H, es decir, para x, y 2 H se tiene que f ((x, y)) = xy 2 H. S2 Si e es el neutro de G, entonces e 2 H. i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 122 — #134 122 i i Grupos S3 Si h 2 H, entonces h 1 2 H. Escribiremos H  G para indicar que H es subgrupo de G. La notación H < G indicará que H es un subgrupo propio de G. Observemos que si H es subgrupo de G, no es necesario justificar la unicidad de e y x 1 puesto que ya lo justificamos para G en el teorema 5.1.1. Con la definición de subgrupo a la mano, es natural preguntarse si cualquier grupo G contiene subgrupos. Cualquier grupo contiene al menos dos subgrupos: {e} y G. Estos dos subgrupos se conocen como los subgrupos triviales de G. Prácticamente la definición de subgrupo es la misma que la definición de grupo: son exactamente tres axiomas. El siguiente resultado de esta sección es un criterio para identificar cuándo un subconjunto no vacı́o del grupo G es un subgrupo de G. Teorema 5.1.23. Sean G un grupo y ; = 6 H ✓ G. Entonces H  G si 1 y solo si para a, b 2 H se tiene que ab 2 H. Demostración. Si H es subgrupo de G, entonces para a, b 2 H se tiene que a, b 1 2 H y por lo tanto ab 1 2 H. Supongamos ahora que todo par de elementos a, b 2 H satisface ab 1 2 H. En particular, e = aa 1 2 H. Por tanto, e, b 2 H implica b 1 = eb 1 2 H. Finalmente, como b 1 2 H, tenemos que a(b 1 ) 1 = ab 2 H. Ası́ H  G. ⇤ Corolario 5.1.24. Sean G un grupo y ; 6= H ✓ G. Si H es finito y cerrado bajo productos, entonces H  G. a 1 Demostración. Solo tenemos que verificar que si a 2 H, entonces 2 H. Sea a 2 H. Consideremos el conjunto Ca = {am : m 2 N}. Por hipótesis, H es cerrado bajo productos. Ası́ que Ca ✓ H. Por ser H finito tenemos que ai = aj para ciertos enteros distintos i, j 2 N. Sin pérdida de generalidad, podemos elegir i > j de tal forma que i j 1 > 0. Por lo tanto ai j = e y a 1 = ai j 1 2 Ca ✓ H. ⇤ La condición H finito en el corolario 5.1.24 es necesaria. Por ejemplo, en el grupo multiplicativo de los números racionales Q⇤ , el subconjunto H = {2n + 1 : n 2 Z} es infinito y cerrado bajo productos, pero no es subgrupo de Q⇤ . i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 123 — #135 5.1 Grupos y subgrupos i 123 Ejemplo 5.1.25. El grupo aditivo de los números racionales Q es subgrupo de los grupos R y C. Ejemplo 5.1.26. Sean n 2 N y nZ = {nx : x 2 Z}. Entonces nZ  Z. Ejemplo 5.1.27. Sean Z8 = {0, 1, . . . , 7} y H = {0, 4}. Entonces H < Z8 . Ejemplo 5.1.28. Considere el grupo Zn y sea j 2 Zn . El conjunto H = {rj : r 2 N} es subgrupo de Zn . Ejemplo 5.1.29. En el grupo multiplicativo de los números complejos C⇤ = C \ {0}, el conjunto µn = {x 2 C : xn = 1} es un subgrupo de C⇤ . Este es un ejemplo de un grupo de orden infinito en el que se aplica muy bien el teorema 5.1.23. Ejemplo 5.1.30. Sea GRCp = {a 2 F⇤p : x2 ⌘ a (mod p) es soluble}, con p un primo impar. Observe que si c 2 F⇤p es tal que c2 ⌘ a (mod p), entonces x = c 1 satisface (c 1 )2 ⌘ (c2 ) 1 ⌘ a 1 (mod p). Lo anterior significa que si a 2 Fp es un cuadrado, entonces a 1 también es un cuadrado. Puesto que el producto de dos cuadrados es un cuadrado, entonces GRCp es un subgrupo multiplicativo de F⇤p . Ejemplo 5.1.31. En el grupo GL(2, R) consideremos el conjunto ⇢✓ ◆ a b H= : a, b, d 2 R, ad 6= 0 . 0 d Entonces H  GL(2, R). Ejemplo 5.1.32. El conjunto K = grupo H del ejemplo anterior. S3 . ⇢✓ 1 b 0 1 ◆ :b2R Ejemplo 5.1.33. SL(2, R) < GL(2, R). ⇢✓ ◆ ✓ ◆ 1 2 3 1 2 3 Ejemplo 5.1.34. H = , 1 2 3 1 3 2 es subgrupo del es un subgrupo de Sea G un grupo y H1 , H2  G. Puesto que e 2 H1 y e 2 H2 , entonces H1 \ H2 6= ;. Más aún, si x, y 2 H1 \ H2 , entonces xy 1 2 H1 \ H2 . Por tanto H1 \ H2  G. En general tenemos: i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 124 — #136 124 i Grupos Teorema 5.1.35. Sea S = {H↵ \ : H↵  G, ↵ 2 I}, donde I es algún ⇤ conjunto de ı́ndices. Entonces S = H↵  G. ↵2I Demostración. Es un fácil ejercicio para el lector. ⇤ El resultado anterior nos dice que la intersección de cualquier familia de subgrupos es subgrupo. Aprovechamos lo anterior para describir una forma de producir subgrupos de un grupo dado G. Sea ; 6= A ✓ G. Definimos S(A) = {H  G : A ✓ H}. Entonces por el teorema anterior, el conjunto \ hAi = H H2S(A) es un subgrupo de G. Notemos que hAi es el menor subgrupo de G que contiene al conjunto A. El subgrupo hAi se llama el subgrupo de G generado por el conjunto A. En el caso que hAi = G diremos que A es un conjunto de generadores de G. Si A = {a}, entonces hai se llama el subgrupo cı́clico de G generado por a. Particularmente, si G = hai diremos que G es un grupo cı́clico. Tenemos una caracterización de hai. Lema 5.1.36. Si G es un grupo y a 2 G, entonces hai = {an : n 2 Z}. Demostración. Vamos a mostrar la igualdad entre los conjuntos hai y {an : n 2 Z}. Primero observemos que a 2 {an : n 2 Z}  G. Entonces {an : n 2 Z} 2 S({a}) y por tanto hai ⇢ {an : n 2 Z}. Por otro lado, an 2 hai para cualquier n 2 Z pues a 2 hai. Ası́ {an : n 2 Z} ⇢ hai y hai = {an : n 2 Z}. ⇤ Si G es un grupo aditivo y a 2 G, entonces la versión aditiva equivalente del lema 5.1.36 es: hai = {na : n 2 Z}. En el caso particular de Z tenemos que hni = nZ. Fue relativamente fácil dar una descripción de hai. Debo decirle al lector que si |A| 2, es mucho más complicado dar una caracterización de hAi. Teorema 5.1.37. Si G = hai, entonces cualquier subgrupo de G es cı́clico. Demostración. Sean G = {an : n 2 Z} y H  G. Si H = {e} ó H = G, entonces la afirmación es obviamente cierta. Por lo anterior, podemos suponer que H 6= {e}, G y H = {ai : para ciertos i 2 Z}. Notemos i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 125 — #137 5.1 Grupos y subgrupos i 125 que en la descripción de H hemos escrito para ciertos i 2 Z pues estamos suponiendo que H 6= G. Sea j 2 N el menor entero positivo tal que aj 2 H. Vamos a mostrar que H = haj i = {atj : t 2 Z}. Si ak 2 H, aplicamos el algoritmo de la división para escribir k = jq + r con 0  r < j. Ası́ ak = ajq+r = ajq ar y ak jq = ar 2 H. Puesto que j es el menor entero positivo tal que aj 2 H, entonces r = 0 y ak = ajq . ⇤ Ejemplo 5.1.38. En el grupo Z9 tenemos h3i = {0, 3, 6}. Ejemplo 5.1.39. En el ejemplo 5.1.29, el subgrupo µn = {x 2 C : xn = 2⇡i 1} de C⇤ es cı́clico y µn = he n i. Corolario 5.1.40. Si H  Z, entonces H = hni = nZ para algún n 2 N0 . Demostración. Si H = {0}, entones H = 0Z. Si H = Z, entonces H = 1Z. Supongamos que H es un subgrupo propio contenido en Z y sea x 2 H. Puesto que H es subgrupo, entonces x 2 H. Ası́ que H contiene números positivos y negativos. Por lo anterior, H \ N 6= ;. Por el PBO podemos elegir el elemento menor positivo n en H. Para esta n consideremos el subgrupo nZ = {nt : t 2 Z}. Es claro que nZ ⇢ H. Para la otra contención elegimos cualquier elemento x 2 H. Por el algoritmo de la división x = nq + r con 0  r < n. Observemos que x, nq 2 H y por tanto r = x nq 2 H. Si 0 < r, como r 2 H entonces n no es el menor entero positivo en H. Ası́ que necesariamente r = 0 y por tanto x = nq 2 nZ. En conclusión, cualquier subgrupo de Z es de la forma nZ, para alguna n 2 N0 y es cı́clico. ⇤ Ejemplo 5.1.41. El grupo Z solo tiene dos generadores. En efecto, si Z = hai, entonces para n 2 Z, existe t 2 Z tales que at = n. Lo anterior significa que a | n. En particular a | 1 y ası́, a = ±1. Por tanto Z = h1i = h 1i. Notemos que en el ejemplo 5.1.38, el número o(h3i) es un divisor de o(Z9 ). Este hecho no es una coincidencia. Probaremos que el orden de un grupo finito es dividido por el orden de cualquier subgrupo. Sean G un grupo finito y H  G. Para a 2 G definimos la clase izquierda de a módulo H como aH = {ah : h 2 H}. Esta definición también aplica si o(G) = 1. i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 126 — #138 126 i i Grupos Ejemplo 5.1.42. En el grupo Z consideremos el subgrupo 7Z y sea x 2 Z. Entonces la clase izquierda de x módulo 7Z es x + 7Z = {x + 7n : n 2 Z}. Ejemplo 5.1.43. En el grupo Z9 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} consideremos el subgrupo H = {0, 3, 6} y a = 5. Entonces la clase izquierda de 5 módulo H es 5 + H = {5 + 0, 5 + 3, 5 + 6} = {5, 8, 2}. Ejemplo 5.1.44. Consideremos el grupo Z16 y el subgrupo H = {4, 8, 12, 0}. Entonces la clase izquierda de 8 módulo H es 8 + H = {8 + 4, 8 + 8, 8 + 12, 8 + 0} = {12, 0, 4, 8}. En el ejemplo 5.1.43 observamos que la clase 5 + H no es subgrupo de Z9 . En el ejemplo 5.1.44 observamos que la clase 8 + H sı́ es subgrupo del grupo Z16 . En ambos casos la cardinalidad de la clase coincide con el orden del subgrupo H. El lector no debe confundirse si en los enunciados usamos notación aditiva o multiplicativa. Lema 5.1.45. Sean G un grupo (finito o infinito), H  G y a 2 G. Entonces las siguientes afirmaciones son ciertas: 1. aH = H si y solo si a 2 H. 2. o(H) = |aH|. 3. a 1 bH = H si y solo si aH = bH. Demostración. Para justificar la afirmación 1 primero supongamos que aH = H. Sea ah cualquier elemento de aH. Como ah 2 H, entonces ah = h1 , para cierto elemento h1 2 H. Por tanto a = h1 h 1 2 H. Recı́procamente, si a 2 H, entonces aH ⇢ H porque H es cerrado bajo productos. Para cualquier h 2 H podemos escribir h = a(a 1 h). Ası́ que H ⇢ aH y por tanto aH = H. Para la afirmación 2 consideremos un conjunto I de ı́ndices y H = {hi : i 2 I}. Entonces aH = {ahi : hi 2 H}. La función f : H ! aH definida como f (hi ) = ahi es biyectiva y por tanto los conjuntos H y aH tienen la misma cardinalidad. Finalmente, para la afirmación 3 primero supongamos que a 1 bH = H. Entonces a 1 b 2 H y ası́ a 1 b = h, para cierto elemento h 2 H. Por lo anterior, b = ah y bH ⇢ aH. De la misma igualdad a 1 b = h tenemos a = bh 1 2 bH y por tanto aH ⇢ bH. Inversamente, si aH = bH, entonces i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 127 — #139 5.1 Grupos y subgrupos i 127 b = ah, para algún h 2 H. Ası́ que a 1 tenemos a 1 bH = H. 1b = h 2 H. Aplicando la afirmación ⇤ En el ejemplo 5.1.44 observamos que la clase 8 + H coincide con el subgrupo H. Este fenómeno fue justificado en la afirmación 1 del lema anterior. Podemos ser más atrevidos e intentar comparar dos clases izquierdas arbitrarias. Lema 5.1.46. Sean G un grupo y aH, bH clases izquierdas. Entonces aH \ bH = ; ó aH = bH. Demostración. Supongamos que la primera afirmación no se cumple, es decir, aH \bH 6= ;. Vamos T a mostrar que entonces la segunda afirmación es la buena. Si x 2 aH bH, entonces existen h1 , h2 2 H de tal forma que x = ah1 = bh2 . Por tanto a = bh2 h1 1 2 bH y ası́, para todo h 2 H, ah = bh2 h1 1 h 2 bH. De esta forma aH ⇢ bH. El mismo argumento nos lleva a justificar que bH ⇢ aH. Por tanto aH = bH. ⇤ Resumiendo, tenemos que dos clases izquierdas son ajenas o son iguales. De acuerdo al lema anterior, el lector debe notar que el conjunto de clases izquierdas {aH}a2G produce una partición del grupo G. Lo anterior significa: 1. Cada [ clase aH 6= ; pues al menos a 2 aH. 2. aH = G. a2G Como sabemos, una partición produce una relación de equivalencia y una relación de equivalencia nos lleva a una partición. En particular, la relación de equivalencia que hemos producido en G por medio de la partición de las clases izquierdas formadas con un subgrupo dado H es la siguiente: si a, b 2 G, entonces a ⇠ b si y solo si aH = bH. Vamos a denotar G/H = {aH : a 2 G} y nos referimos a G/H como el conjunto de clases izquierdas de G módulo H. Ejemplo 5.1.47. Consideremos el grupo F⇤7 = F7 \{0} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, en donde la operación es la multiplicación módulo 7. Si H = {1, 2, 4}, entonces H  F⇤7 . A continuación damos una lista de los elementos de F⇤7 /H: 1H = {1, 2, 4}, 4H = {4, 1, 2}, i i 2H = {2, 4, 1}, 5H = {5, 3, 6}, 3H = {3, 6, 5} 6H = {6, 5, 3}. i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 128 — #140 128 i i Grupos Observamos que cualesquiera dos clases o coinciden o son ajenas. Además, la unión de ellas reproduce al grupo F⇤7 . Ejemplo 5.1.48. Consideremos el grupo de los enteros Z y el subgrupo 6Z. Algunos elementos de Z/6Z son: 0 + 6Z = {6n : n 2 Z}, 1 + 6Z = {1 + 6n : n 2 Z}, 4 + 6Z = {4 + 6n : n 2 Z}, 5 + 6Z = {5 + 6n : n 2 Z}, 2 + 6Z = {2 + 6n : n 2 Z}, 6 + 6Z = {6 + 6n : n 2 Z}, 8 + 6Z = {8 + 6n : n 2 Z}. 3 + 6Z = {3 + 6n : n 2 Z}, 7 + 6Z = {7 + 6n : n 2 Z}, Observamos que algunas clases se están repitiendo, por ejemplo 0 + 6Z = 6 + 6Z, 1 + 6Z = 7 + 6Z, 2 + 6Z = 8 + 6Z. Esencialmente esto se debe al algoritmo de la división y por tanto Z/6Z = {0 + 6Z, 1 + 6Z, 2 + 6Z, 3 + 6Z, 4 + 6Z, 5 + 6Z}. Denotaremos como [G : H] al número de clases izquierda de G módulo H, es decir, G/H = [G : H]. El número [G : H] lo llamaremos el ı́ndice de H en G. A continuación formalizamos algunas de las observaciones de los dos ejemplos anteriores. Teorema 5.1.49 (Teorema de Lagrange1). Sean G un grupo finito y H  G. Entonces o(H) | o(G), más aún, o(G) = o(H)[G : H] o o(G) equivalentemente = [G : H] o(H) 1Joseph Louis Lagrange nació el 25 de enero de 1736 en Turı́n, capital del reino de Cerdeña. Cursa sus primeros estudios en Turı́n; después de la lectura ocasional de una memoria sobre álgebra del astrónomo Halley, se orienta hacia las matemáticas. Lagrange reside en Berlı́n desde 1766 hasta 1787 y es donde redactará cerca de ciento cincuenta memorias consagradas a las matemáticas y a la mecánica. La gran obra de Lagrange durante este perı́odo es su mecánica analı́tica, una obra maestra de matemática pura que presenta a la mecánica por medio de un método puramente algebraico, sin la ayuda de ninguna figura. En el campo de las matemáticas puras, merecen el primer lugar sus trabajos sobre la resolución algebraica de ecuaciones. En 1766, Lagrange demuestra la existencia de raı́ces de la ecuación de Pell, en 1768 ofrece una solución completa de la ecuación de segundo grado (enteros solamente). Se interesa también por la descomposición de números y en 1770 demuestra el enunciado de Fermat: Todo entero positivo es la suma de a lo más cuatro cuadrados. En 1773 da la primera demostración del teorema de Wilson. Muere en el año 1813. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 129 — #141 5.1 Grupos y subgrupos i 129 Demostraci Són. Si {aH} es la partición de G módulo H, entonces la unión G = aH es ajena. Por la afirmación 1 del lema 5.1.45 si t = o(H) entontes t = |aH| = o(H) para cualquier a 2 G. Por P tanto o(G) = |aH| = tq, donde q es el número de clases izquierdas. Ası́ o(H) | o(G) donde q es el número de clases izquierdas, es decir, q = [G : H]. ⇤ Si definimos una clase derecha como Ha = {ah : h 2 H}, entonces todo lo que hemos formalizado con clases izquierdas se puede copiar verbatim con clases derechas. De la misma manera que definimos el orden de un grupo podemos definir el orden de un elemento. Sean G un grupo y a 2 G. De acuerdo al lema 5.1.36, hai = {an : n 2 N} es un subgrupo de G. Si o(hai) = r < 1, entonces diremos que el orden del elemento a es r. Si o(hai) = 1 diremos que a es de orden infinito. En pocas palabras, el orden de a 2 G es el orden del grupo cı́clico generado por a. Cualquiera que sea el caso, escribiremos o(a) para indicar el orden de a. Dependiendo del grupo G, un elemento puede ser de orden finito o infinito. Si G es finito y a 2 G, entonces por el teorema de Lagrange o(a) | o(G) y por tanto o(a) < 1. Si G es un grupo infinito, puede suceder que a es de orden finito o infinito, todo depende de la aritmética de G. Observe que el orden de un elemento a es el menor entero positivo n tal que an = e. Es claro que el orden del neutro de un grupo G es 1 y cualquier elemento de orden 1 necesariamente debe ser el neutro. Ejemplo 5.1.50. Sean G un grupo y a 2 G tal que o(a) = n. Si am = e, entonces n | m. En efecto, pues por el algoritmo de la división m = nq + r con 0  r < n. Por tanto am = anq+r = (an )q ar = ar = e. Puesto que n es el menor entero positivo con la propiedad an = e, necesariamente r = 0 y n | m. Ejemplo 5.1.51. Sea n 2 Z. Puesto que hni = nZ es un subgrupo de Z de orden infinito, tenemos que cualquier elemento distinto de 0 es de orden infinito. Ejemplo 5.1.52. En el grupo de enteros módulo n, el orden de cualquier elemento debe ser un divisor de n. Ejemplo 5.1.53. Consideremos el grupo multiplicativo C⇤ . De acuerdo al ejemplo 5.1.29, el subgrupo µn de C⇤ es cı́clico finito. Cualquier x 2 µn i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 130 — #142 130 i i Grupos es de orden finito. Ası́ que el grupo puede ser infinito y contener elementos de orden finito. En este ejemplo, C⇤ contiene subgrupos finitos de todos los órdenes. ¿Por qué? Ejemplo 5.1.54. En el grupo multiplicativo R⇤ = R \ {0}, el subgrupo {1, 1} tiene un elemento de orden 1 y un elemento de orden 2. e. Corolario 5.1.55. Sean G un grupo finito y a 2 G. Entonces ao(G) = Demostración. Por el teorema de Lagrange o(a) | o(G). Si r = o(G), entonces r = o(a)q para algún q 2 N. Por tanto ar = (ao(a) )q = eq = e. ⇤ Corolario 5.1.56 (Teorema de Fermat). Si p es primo, a 2 F⇤p , entonces ap 1 = 1. Demostración. Es suficiente notar que F⇤p es un grupo de orden p 1 con el producto de enteros módulo p, en donde el neutro es la clase 1. ⇤ Corolario 5.1.57 (Teorema de Euler). Para a 2 Un se tiene que a'(n) ⌘ 1 (mod n). Demostración. El conjunto Un = {a 2 Zn : ax ⌘ 1 (mod n) es soluble} es un grupo con el producto de clases residuales módulo n y o(Un ) = '(n). ⇤ Si conocemos el entero o(a) podemos preguntarnos cuál es el orden de am para m 2 N. El siguiente resultado nos da la respuesta. Teorema 5.1.58. Sean G un grupo y a 2 G con o(a) = r < 1. r Entonces para m 2 N tenemos que o(am ) = . mcd(r, m) Demostración. Será fundamental tener en cuenta que r es el menor entero positivo con la propiedad ar = e y aj 6= e para 1  j < r. La prueba la haremos en tres casos: primero el caso m | r, luego el caso mcd(r, m) = 1 y finalmente el caso general mcd(r, m) = d. Si m | r, entonces r = mq para algún q 2 N. Por tanto mcd(r, m) = m y r r = . mcd(r, m) m En este caso debemos probar que r o(am ) = = q. m i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 131 — #143 5.1 Grupos y subgrupos i 131 Notemos primero que (am )q = ar = e, ası́ o(am )  q. Si o(am ) < q, entonces (am )q = amq = ar 6= e lo cual no es posible pues r es el orden de a. Por tanto r r o(an ) = q = = . m mcd(r, m) Ahora supongamos mcd(m, r) = 1. Según la afirmación del teorema, debemos mostrar que o(am ) = r. Sean x, y 2 Z tal que mx + yr = 1. Multiplicando esta última igualdad por o(am ) obtenemos mxo(am ) + yro(am ) = o(am ), de donde ao(a m) = (am )xo(a y ası́ el número o(a) satisface que m) · (ar )yo(a o(am ) m) =e r. Por otro lado (am )r = (ar )m = em = e implica que r o(am ) y por lo tanto r = o(am ). Para el caso general, si mcd(m, r) = d, entonces m = dq0 , r = dq1 con r mcd(q0 , q1 ) = 1. En este caso debemos probar que o(am ) = . Puesto d que d | r, entonces por el primer caso de estudio, tenemos o(ad ) = q1 . De acuerdo al segundo caso, puesto que mcd(q0 , q1 ) = 1 tenemos (o(ad ))q0 = q1 . r Pero q1 = y por tanto d r r o(adq0 ) = o(am ) = q1 = = . ⇤ d mcd(r, m) Corolario 5.1.59. Si G es cı́clico de orden finito m, entonces G tiene '(m) generadores, donde ' es la función ' de Euler. Demostración. Sean a 2 G un generador y t 2 N tal que mcd(t, m) = 1. Entonces m o(at ) = = m. mcd(t, m) Por tanto G = hat i. Ası́, G tiene al menos '(m) generadores. Ahora veamos que todos los generadores de G se encuentran en el conjunto {at : mcd(t, m) = 1}. Elegimos cualquier generador x 2 G. Entonces x = as , para algún s 2 N y o(x) = o(as ) = m. Pero m o(as ) = =m mcd(s, m) i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 132 — #144 132 i i Grupos si y solo si mcd(s, m) = 1. Por tanto x = as con mcd(s, m) = 1 y G tiene exactamente '(m) generadores. ⇤ Prevenimos al lector que las fórmulas o(a + b) = o(a) + o(b) y o(ab) = o(a)o(b) no son válidas en general. Ası́ que debe ser cuidadoso cuando trabaje con el orden de una suma o un producto de elementos. Vea el ejercicio 28. Teorema 5.1.60. Sean G un grupo, a, b 2 G de orden finito tales que ab = ba y mcd(o(a), o(b)) = 1. Entonces o(ab) = o(a)o(b). Demostración. Sea o(a) = m y o(b) = n. Como ab = ba, para k 2 Z se cumple que (ab)k = ak bk y por lo tanto (ab)mn = e. Vamos a mostrar que si (ab)k = e, entonces mn | k. En particular tendrı́amos que (ab)o(ab) = e, ası́ que mn | o(ab) y terminamos. Si (ab)k = e, entonces tenemos ak = b k y por tanto amk = b mk = e. Puesto que o(b) = n y b mk = e, llegamos a que n | mk. Usando la hipótesis mcd(m, n) = 1 concluimos que n | k. Usando exactamente las mismas ideas podemos justificar que m | k. Por lo anterior, como mcd(m, n) = 1, entonces mn | k. Nos hemos auxiliado de los corolarios 1.2.2 y 1.2.7. ⇤ Ejemplo 5.1.61. Sea p un primo y µp el grupo de raı́ces p-ésimas de 2⇡i 1. Si denotamos al generador de µp por x = e p , entonces es claro que p o(x) = p. Si n 2 N es primo relativo con p, entonces o(xn ) = = p. mcd(n, p) Concluimos este ejemplo afirmando que cualquier elemento y 2 µp \ {1} es un generador del grupo µp . Este es el momento adecuado para hacer una breve reflexión sobre el teorema de Lagrange 5.1.49. Este resultado afirma que si tenemos un grupo finito G y H  G, entonces el número o(H) es un divisor de o(G). Podemos pensar en lo siguiente: si G un grupo finito de orden n y d | n, entonces ¿G contiene un subgrupo H de orden d? La afirmación inversa del teorema de Lagrange no es válida en toda generalidad, por ejemplo, el siguiente conjunto de permutaciones A4 = i i n✓ ◆ ✓ 1 2 3 4 1 , 1 2 3 4 1 ✓ ◆ ✓ 1 2 3 4 1 , 4 2 1 3 2 ◆ ✓ 2 3 4 1 , 3 4 2 1 ◆ ✓ 2 3 4 1 , 4 3 1 4 ◆ ✓ 2 3 4 1 , 4 2 3 3 ◆ ✓ 2 3 4 1 , 1 3 2 2 ◆ 2 3 4 , 2 4 1 ◆ 2 3 4 , 3 1 4 i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 133 — #145 5.1 Grupos y subgrupos ✓ i 133 ◆ ✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆o 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 , , , 3 1 2 4 4 3 2 1 3 4 1 2 2 1 4 3 es un grupo de orden 12 y no contiene algún subgrupo de orden 6. El grupo A4 es conocido como grupo alternante y está contenido en S4 . A4 es el ejemplo de grupo más pequeño en el cual no se cumple la afirmación inversa del teorema de Lagrange. Sin embargo, no todo está perdido, en su momento estudiaremos los teoremas que nos garantizan que para ciertos divisores del orden del grupo, existen subgrupos del orden adecuado. Estos teoremas se conocen como los teoremas de Sylow los cuales vienen a resolver en buena medida la afirmación inversa del teorema de Lagrange. Por lo pronto proporcionamos la siguiente versión del teorema inverso de Lagrange. Teorema 5.1.62 (Teorema inverso de Lagrange para grupos cı́clicos finitos). Sean G un grupo cı́clico finito de orden n y d | n, d > 0. Entonces G contiene un único subgrupo H de orden d. Demostración. Supongamos que G =< x >= {e, x, x2 , . . . , xn 1 } y n = dq. Si H = {xtq : t 2 Z} = hxq i , entonces H  G. Para t 2 Z existen únicos q1 , r1 enteros tales que t = dq1 + r1 con 0  r1 < d. Es fácil verificar que: 1. xtq = xr1 q . 2. Si 0  r1 6= r2 < d, entonces xr1 q 6= xr2 q . Por lo anterior, o(H) = d. Para la unicidad, supongamos que hai tiene orden d. Entonces a = xm , para algún m 2 N. Por tanto ad = xmd = e. De acuerdo al ejemplo 5.1.50, n | md pues o(x) = n. Sea k 2 Z tal que n m = k = qk. Ası́, a = xm = (xq )k = xkq 2 H y hai  H. Por lo anterior d hai = H. ⇤ Corolario 5.1.63. Si G es un grupo cı́clico, entonces cualquier subgrupo de G es cı́clico. Demostración. Cualquier subgrupo de G es obtenido como en el teorema anterior. ⇤ El teorema 5.1.62 también es válido para grupos abelianos finitos. Posponemos la prueba para más adelante. i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 134 — #146 134 i i Grupos PROBLEMAS 1. Sean G un conjunto y ab el producto de a, b 2 G. En cada uno de los siguientes casos decide si el correspondiente G tiene estructura de grupo: a) Z donde ab = 0. b) Z donde ab = a b. c) Z donde ab = a + b + 1. d) Z donde ab = a. e) Z donde ab = a + b + ab. f) El conjunto de todos los enteros impares con operación suma de enteros. g) El conjunto de todos los enteros impares con operación producto de enteros. h) Los números racionales positivos con la suma. i) Los números racionales positivos con el producto. j) Q \ (0, 1) con el producto usual de números racionales. k) Q donde ab = max{a, b}. l) Los números irracionales con la suma usual de R. m) Los números irracionales con el producto usual de R. p n) {a + b 2 : a, b 2 Q, a 6= 0 ó b 6= 0} con el producto usual de R. o) R2 \ {(0, 0)} con la operación (a, b)(c, d) = (ac bd, ad + bc). 2. Sea A 2 Mn⇥m (R) y denotemos Sol(A) = {X 2 Rn : AX = 0}. Demuestra que Sol(A) es un grupo abeliano infinito. La operación en Sol(A) es la suma usual de vectores en Rn . 3. De acuerdo al teorema 5.1.1, en cualquier grupo se cumplen las dos leyes de cancelación. En N se cumplen las leyes de cancelación para la suma (también para el producto) y sin embargo N no es un grupo. Supongamos que G es un conjunto finito no vacı́o, con una operación binaria asociativa y tal que en G se cumplen las dos leyes de cancelación. Demuestra que G es un grupo. Sugerencia: Es fundamental la hipótesis G finito y no vacı́o pues de esta forma podemos elegir g 2 G y n, m 2 N tal que n > m y g n = g m . Muestra que ag n m = a para cualquier a 2 G. Por analogı́a g n m a = a. Es aquı́ donde se usan las leyes de cancelación. Por tanto g n m es el neutro en G. 4. Demuestra el teorema 5.1.4. 5. Muestra que el ejemplo 5.1.11 es en realidad un grupo no abeliano. 6. En cada uno de los siguientes conjuntos define una operación binaria de tal forma que tenga estructura de grupo: a) {0, 1}. b) {0, 1, 2}. c) {1, 1}. d) {a, b, c}. e) {a, b}. f) {0, 1, 1}. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 135 — #147 5.1 Grupos y subgrupos i 135 7. Sean G un grupo y H1 , H2 subgrupos de G. Muestra que H1 [ H2  G si y solo si uno de ellos está contenido en el otro. 8. Considera el grupo Z. ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos son subgrupos de Z? a) 6Z \ 12Z. b) 6Z \ 5Z. c) 4Z [ 7Z. d) 3Z [ 6Z. 9. Consideremos el grupo Z. Encuentra el subgrupo generado por cada uno de los siguientes conjuntos: a) {3, 5}. b) { 1, 1}. c) {9, 12}. d) {3, 4, 6}. 10. Sean a, b 2 Z \ {0}. Si g = mcd(a, b), entonces el subgrupo generado por a, b es gZ. ax + b 11. Sea R = R[{1}. Considera las funciones f : R ! R de la forma f (x) = cx + d con ad bc = 1. Muestra que el conjunto de todas estas funciones es un grupo con la operación composición. 12. Muestra que si m | n, entonces nZ  mZ. 13. Sean G un grupo y a1 , a2 , . . . , an 2 G. Muestra que (a1 a2 · · · an ) 1 = an 1 an 1 1 · · · a1 1 . 14. Muestra que si G = hai, entonces G = ha 1 i. 15. Sean A un conjunto arbitrario y SA = {f : A ! A : f es biyectiva}. Muestra que SA es un grupo con la composición usual de funciones. 16. Muestra que Sn es un grupo de orden n!. 17. Muestra que Sn 1  Sn . 18. Muestra que si n < m, entonces Sn  Sm . 19. Muestra que { 2 Sn : (n) = n}  Sn . El subrupo { 2 Sn : (n) = n} se conoce con el nombre estabilizador de n y puede ser definido para cualquier 1  i  n. 20. Considera el grupo GL(n, R) tal como en el ejemplo 5.1.12. Muestra que SL(n, R)  GL(n, R). 21. Encuentra todos los subgrupos de Z8 . 22. Sea G cualquier grupo. De acuerdo al ejemplo 5.1.53, G puede ser de orden infinito y contener elementos de orden finito. Sea t(G) = {x 2 G : o(x) < 1}. Muestre que si G es abeliano, entonces t(G)  G. El subgrupo t(G) es conocido como el subgrupo de torsión de G. 23. En el grupo GL(2, Q), el subconjunto t(GL(2, Q)) no es subgrupo de GL(2, Q). i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 136 — #148 136 i i Grupos 24. Sean p un número primo y G un grupo de orden p. Usa el teorema de Lagrange para demostrar que G es cı́clico. 25. Sea G un grupo no cı́clico de orden 4. Muestra que G es abeliano. 26. Encuentra diferentes en Z12 , F13 , Z18 . ✓ ◆todos los subgrupos cı́clicos D ✓1 b ◆ E 1 b 27. Sea 2 GL(2, R). Encuentra . 0 1 0 1 ✓ ◆ ✓ ◆ 0 1 0 1 28. En el grupo GL(2, Q) considera A = yB= . Muestra 1 0 1 1 que o(A) = 4, o(B) = 3 pero o(AB) = 1. 29. Muestra que todo grupo cı́clico es abeliano y da un ejemplo de un grupo abeliano que no sea cı́clico. 30. Muestra que un grupo que tiene solo un número finito de subgrupos debe ser finito. 31. Sea µn = {x 2 C : xn = 1}. Muestra que µn es un grupo finito de orden n. Si d | n, entonces µd  µn . 32. Considera el conjunto µ1 = {z 2 C : z n = 1, n 2 N}. Muestra que µ1 es un subgrupo infinito de C⇤ y cada elemento de µ1 es de orden finito. 33. Conjetura de Artin. Sea p un número primo. Muestra que F⇤p es un grupo cı́clico de orden p 1. ¿Puede el lector encontrar un generador tı́pico para cualquier primo p? 34. Sean a, b, c, d 2 G. La ecuación axbcx = cabx tiene solución única en G. 35. Sea Un = {a 2 Zn : ax ⌘ 1 (mod n) es soluble}. Muestra que Un es un grupo abeliano de orden '(n). 36. Sean G un grupo y a 2 G de orden finito r. Muestra que r es el menor entero positivo tal que ar = e. 37. Sea G un grupo y a 2 G. Muestra con un ejemplo que si H < G, entonces no necesariamente aH es subgrupo de G. 38. Sean G un grupo infinito y H  G. Muestra que si a 2 G, entonces |aH| = o(H). 39. Sean G un grupo, H  G y a 2 G. Definimos la clase derecha de a módulo H como Ha = {ha : h 2 H}. Demuestra el teorema de Lagrange usando clases derechas módulo H. 40. En Z9 encuentra todas las clases izquierdas y todas las clases derechas módulo H = {0, 3, 6}. ¿Puedes dar una biyección entre el conjunto de clases izquierdas y el conjunto de clases derechas módulo H? 41. Sean G un grupo y H  G. Muestra que existe una biyección entre el conjunto de clases izquierdas y el conjunto de clases derechas módulo H. 42. Considera el grupo R2 = R ⇥ R. Muestra que la recta L = {(a, 5a) : a 2 R} es subgrupo de R2 . Encuentra la clase (1, 2) + L. Describe geométricamente el conjunto R2 /L. ¿Cualquier recta contenida en R2 es subgrupo de R2 ? i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 137 — #149 5.2 Subgrupos normales y anormales i 137 43. Sean a, b elementos de orden finito en un grupo finito G. Encuentra el orden de ab. 44. Sea G un grupo finito de orden n. Si x 2 G es tal que xr = e y mcd(r, n) = 1, entonces x = e. 45. Una de las expresiones más bellas en matemáticas es x2 = 1. Las raı́ces cuadradas de 1 son de tal importancia que, por ejemplo, sirven para construir al campo de los números complejos C. La ecuación x2 = 1 no tiene solución en R y en C tiene dos soluciones. En un campo finito Fp también tiene dos soluciones si y solo si p es un primo de la forma 4n + 1. Si p es la forma 4n + 3, entonces x2 = 1 no es soluble en Fp . Use el ejemplo 5.1.21 para demostrar que x2 = 1 tiene una infinidad de soluciones en H, de hecho, {(b, c, d) 2 R3 : b2 + c2 + d2 = 1} es el conjunto de soluciones de la ecuación. Fantástico, pues justamente el conjunto de soluciones no es otra cosa que la superficie de la esfera unitaria en R3 . Sugerencia: supongamos que (a + bi + cj + dk)2 = 1. Usa las reglas de multiplicar del ejemplo 5.1.21 para mostrar que: a) a2 b2 c2 d2 = 1 y 2ab = 2ac = 2ad = 0. b) Concluye que necesariamente a = 0. ¿Qué pasarı́a si a 6= 0? 5.2. Subgrupos normales y anormales En esta sección vamos a estudiar una clase importante de subgrupos de un grupo G. Si A, B son subconjuntos de G definimos el producto de los conjuntos A, B como AB = {ab : a 2 A, b 2 B} donde ab indica el producto de los elementos a, b con la operación de grupo de G. De esta forma si {Ai }ni=1 en una familia finita de subconjuntos de G, entonces n Y Ai = {a1 a2 · · · an : ai 2 Ai }. Notemos que los elementos a1 a2 · · · an y i=1 a2 a1 · · · an pueden ser diferentes pues no estamos suponiendo que el grupo G es abeliano. Como caso particular de nuestra definición de producto de conjuntos tenemos que si a, b 2 G y H  G entonces aHb = {ahb : h 2 H}. El lector puede verificar fácilmente que si H  G entonces HH = H y como caso particular tenemos: Lema 5.2.1. Si H  G y a 2 G, entonces aHa 1  G. Demostración. Veamos que aHa 1 es cerrado bajo productos. Si elegimos dos elementos tı́picos ah1 a 1 , ah2 a 1 2 aHa 1 , entonces (ah1 a i i 1 )(ah2 a 1 ) = a(h1 h2 )a 1 2 aHa 1 . i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 138 — #150 138 i Grupos Ahora, si aha 1 2 aHa tanto aHa 1  G. 1, entonces (aha 1) 1 = ah 1a 1 2 aHa 1. Por ⇤ Sean H1 , H2 subgrupos de G. Decimos que H1 es conjugado de H2 si existe a 2 G tal que H1 = aH2 a 1 . Es claro que dado un subgrupo H, entonces todos los subgrupos conjugados de H son {aHa 1 }a2G . En particular, nos interesan aquellos subgrupos H que coinciden con todos sus conjugados, es decir, aHa 1 = H para todo a 2 G. Los subgrupos de G con esta propiedad los llamaremos subgrupos normales de G y los demás subgrupos serán los subgrupos anormales o no-normales. Escribiremos H /G para indicar que H es un subgrupo normal de G y H 6 G para indicar que para alguna a 2 G, aHa 1 6= H. Lema 5.2.2. Sean G un grupo y H  G. Entonces H / G si y solo si para a 2 G, aH = Ha. Demostración. Si H / G, entonces {aha 1 : h 2 H} = H para a 2 G. Vamos a mostrar la doble contención entre los conjuntos aH y Ha. Sea ah 2 aH. Entonces aha 1 2 aHa 1 = H. Por tanto, aha 1 = h1 , para algún h1 2 H, ası́ ah = h1 a 2 Ha y en consecuencia aH ⇢ Ha. La contención Ha ⇢ aH se justifica de manera similar y de esta forma aH = Ha. Es un fácil ejercicio mostrar que si aH = Ha para toda a 2 G, entonces H / G. ⇤ ◆ ✓ ◆o n✓ 1 2 3 1 2 3 Ejemplo 5.2.3. Con el subgrupo H = ,  1 2 3 3 2 1 ✓ ◆ 1 2 3 S3 y la permutación = , tenemos 2 3 1 ◆ ✓ ◆o n✓ ◆ ✓ ◆o n✓ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 H= , 6= , =H 2 3 1 1 3 2 2 3 1 2 1 3 y por tanto H 6 S3 . En el lenguaje de las clases izquierdas y derechas estamos afirmando que H / G si la clase izquierda aH coincide con la clase derecha Ha para todo a 2 G. El siguiente resultado puede resultar de gran utilidad para identificar subgrupos normales. Teorema 5.2.4. H / G si y solo si aHa 1 ✓ H para todo a 2 G. Demostración. Si H / G, entonces para todo a 2 G, aH = Ha. Sea ah 2 aH = Ha. Entonces existe h1 2 H tal que ah = h1 a. Por tanto i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 139 — #151 5.2 Subgrupos normales y anormales i 139 aha 1 = h 2 H. Recı́procamente, supongamos aHa 1 ✓ H para todo a 2 G. Es suficiente mostrar que H ⇢ aHa 1 . Sea h 2 H. Puesto que a 1 ha 2 a 1 Ha ✓ H, entonces h = a(a y ası́ H ✓ aHa 1. 1 ha)a Por tanto H = aHa 1 1 2 aHa 1 y H / G. ⇤ Una reinterpretación del lema 5.2.2 es que el producto de dos clases izquierdas es una clase izquierda. Corolario 5.2.5. Si H / G, entonces para a, b 2 G se tiene que (aH)(bH) = abH. Demostración. (aH)(bH) = a(Hb)H = a(bH)H = abH. ⇤ El corolario anterior es altamente sugestivo pues propiamente define una operación binaria en el conjunto de clases laterales izquierdas. Sea H / G. En el conjunto G/H = {aH : a 2 G} definimos el producto de dos clases izquierdas como (aH)(bH) = abH. Observamos que: 1. Para a 2 G se cumple aHeH = aH. Esto sugiere que la clase izquierda eH = H funciona muy bien como neutro en G/H. 2. Para a 2 G se cumple que aHa 1 H = eH. Esto sugiere que (aH) 1 = a 1 H. Para un subgrupo normal, el producto entre clases izquierdas impone en el conjunto G/H una estructura de grupo con operación binaria el producto de clases laterales izquierdas. Solo nos queda preguntarnos si la operación es una función que está bien definida, es decir, si aH = bH y a1 H = b1 H entonces ¿aa1 H = bb1 H?. Primero observemos lo siguiente: aa1 H = a(a1 H) = a(b1 H) = (aH)b1 = (bH)b1 = b(Hb1 ) = b(b1 H) = bb1 H. Ası́, aHa1 H = aa1 H = bb1 H = bHb1 H y por lo tanto la operación entre clases izquierdas no depende del representante. Resumiendo: si H / G, entonces G/H es un grupo el cual llamaremos grupo cociente de G módulo H. Corolario 5.2.6 (Corolario al teorema de Lagrange). Si G es un grupo o(G) finito y H / G, entonces o(G/H) = . o(H i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 140 — #152 140 i i Grupos Demostración. Recordemos que [G : H] es el número de elementos en G/H. El resultado se sigue de aplicar directamente el teorema de Lagrange 5.1.49. ⇤ Ejemplo 5.2.7. En el ejemplo 5.2.3, vimos que H 6 S3 . Enseguida escribimos los elementos del grupo S3 simplemente para que el lector coincida con las operaciones que aquı́ presentamos. ✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆ n 1 2 3 1 2 3 1 2 3 S3 = , 2= , 3= , 1 = 1 2 3 1 3 2 3 2 1 ✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆o 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , 5= , 6= . 4 = 2 1 3 2 3 1 3 1 2 El lector puede verificar fácilmente que el conjunto de clases izquierdas es S3 /H = { 1 H, 2 H, 4 H}. Notamos que no aparecen las clases 3 H, 5 H, 6 H porque 1H = 3 H, 2H = 5 H, 4H = 6 H. Ahora multiplicamos las clases 1 H, 2 H para obtener ◆ ✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆o n✓ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( 1 H)( 2 H) = , , , 62 S3 /H. 1 3 2 2 3 1 3 1 2 2 1 3 Por lo tanto, el producto de clases izquierdas no es una clase izquierda, lo que significa en este caso, es que el producto de clases izquierdas no está bien definido pues H 6 S3 . Ejemplo 5.2.8. En S3 considera el subgrupo H = { 1 , 5 , 6 }. Si i = 1, 5, 6, entonces por la afirmación 1 del lema 5.1.45 y un cálculo elemental observamos que i H = H y 1 H = 5 H = 6 H. Ası́ las cosas tenemos ◆ ✓ ◆ ✓ ◆o n✓ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , , = 5 H = 6 H, 1H = 1 2 3 2 3 1 3 1 2 ◆ ✓ ◆ ✓ ◆o n✓ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , , = H 2, 2H = 1 3 2 3 2 1 2 1 3 ✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆ n o 1 2 3 1 2 3 1 2 3 H = , , = H 3, 3 1 3 2 3 2 1 2 1 3 ◆ ✓ ◆ ✓ ◆o n✓ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , , = H 4. 4H = 1 3 2 3 2 1 2 1 3 i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 141 — #153 5.2 Subgrupos normales y anormales Por tanto H / S3 y S3 /H = { producto de clases izquierdas. i 141 1 H, 2 H} es un grupo con la operación Ejemplo 5.2.9. El grupo W = {z 2 C : |z| = 1} es un subgrupo normal de C⇤ . El subgrupo W lo podemos identificar geométricamente con la circunferencia de radio 1 en el plano complejo. El lector puede observar que si un grupo G es abeliano, entonces cualquier subgrupo H es normal en G: xHx 1 = xx 1 H = H. Sin embargo, puede suceder que todos los subgrupos de un grupo dado son normales y el grupo en cuestión no es abeliano. Examinemos el siguiente ejemplo: Ejemplo 5.2.10. El grupo Q8 = {1, 1, i, i, j, j, k, k} del ejemplo 5.1.22, no es abeliano. Los subgrupos no triviales de Q8 son: h 1i = { 1, 1}, hii = {i, 1, i, 1}, hji = {j, 1, j, 1}, hki = {k, 1, k, 1}. Observamos que jhii = hiij = ( j)hii = hii( j) = khii = hiik = ( k)hii = hii( k) = { k, j, k, j}, y por tanto hii / Q8 . Análogamente h 1i, hji, hki / Q8 . Aquı́ estamos suponiendo algo que no hemos demostrado: Los únicos subgrupos de Q8 son: {1}, hii, hji, hki, Q8 . El grupo Q8 del ejemplo anterior pertenece a una familia de grupos conocidos en la literatura como grupos hamiltonianos. Un grupo G es hamiltoniano si no es abeliano y todos sus subgrupos son normales en G. Otro aspecto importante que debemos anotar es que la normalidad no es una cualidad transitiva, es decir, si H / K y K / G, entonces no necesariamente H / G. Vea el ejercicio 17 de la siguiente sección de problemas. Después de haber definido el grupo cociente, nuestra siguiente pregunta es ¿cómo son los subgrupos de G/H?. El siguiente resultado responde la pregunta. Teorema 5.2.11. Sean G un grupo y H / G. Los subgrupos de G/H son de la forma {aH : a 2 N } donde N  G es tal que H  N. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 142 — #154 142 i Grupos Demostración. Si N  G es tal que H ✓ N , definimos el conjunto Hc = {aH : a 2 N }. Observe que Hc ✓ G/H. Para aH, bH 2 Hc tenemos que ab ab 1 H = aHb 1 H 2 Hc . 1 2N y Por lo tanto Hc  G/H. ¿Serán todos los subgrupos de G/H?. Vamos a mostrar que cualquier subgrupo de G/H lo podemos construir a partir de algún subgrupo N de G que contiene a H. Sea K  G/H. Entonces los elementos de K son clases izquierdas. Sea N = {a 2 G : aH 2 K}. Notemos que si a 2 H, entonces aH = H 2 K porque K es subgrupo de G/H y por tanto a 2 N . Puesto que K  G/H, tenemos que aHb Por lo anterior ab 1 1 H = ab 2 N y H  N  G. 1 H 2 K. ⇤ El siguiente resultado es la suma de la teorı́a que hemos desarrollado en esta sección. Teorema 5.2.12. Sean G un grupo y H  G. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. H / G. 2. Si a 2 G, entonces aHa 1 = H. 3. Si a 2 G, entonces aH = Ha. 4. Los siguientes conjuntos coinciden: {aH : a 2 G} = {Ha : a 2 G}. 5. Para a 2 G, se cumple que aHa 1 ✓ H. Demostración. Se deja como ejercicio para el lector. ⇤ En la siguiente sección estudiaremos otras caracterizaciones de los subrupos normales. PROBLEMAS 1. Consideremos S3 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } como en el ejemplo 5.2.7. a) Muestra que o( 2 ) = 2, o( 3 ) = 2, o( 4 ) = 2, o( 5 ) = 3, o( 6 ) = 3. b) Muestra que H = { 1 , 2 } 6 S3 . c) Muestra que 5 3 5 1 = 4 y por tanto 5 h 3 i 5 1 = h 4 i. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 143 — #155 5.2 Subgrupos normales y anormales 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. i 143 d) Muestra que 5 4 5 1 = 2 y por tanto 5 h 4 i 5 1 = h 2 i. En S3 considera los subgrupos N = { 1 , 2 } y K = { 1 , 3 } tal como en el ejemplo 5.2.7. Prueba que HK no es subgrupo de S3 . Sea H  G. Muestra que y 1 x 2 H si y solo si yH = xH. Prueba que si H  G y n 2 N, entonces H n = HH · · · H = H. Considera el grupo aditivo de los enteros Z y el subgrupo 3Z. Muestra que o(Z/3Z) = 3. Muestra que si n 2 N, entonces o(Z/nZ) = n. Muestra que Z/nZ = Z/( n)Z. Sean G y K grupos. Considera el producto directo G ⇥ K como en el ejemplo 5.1.19. Escribimos G0 = {(g, eK ) : g 2 G} y G1 = {(eG , g1 ) : g1 2 K} donde eG es la identidad de G y eK es la identidad de K. Muestra que G0 / G ⇥ K y G1 / G ⇥ K. Describe G ⇥ K/G0 y G ⇥ K/G1 . Sean G y K grupos. Si N / G y H / K, entonces N ⇥ H / G ⇥ K. Considera el grupo aditivo de los números racionales Q. Muestra que Z / Q y Q/Z es un grupo infinito en el cual todo elemento es de orden finito. Sean p un número primo y na o Z(p1 ) = + Z 2 Q/Z : b = pi para algún i 2 N . b Muestra que Z(p1 ) es un subgrupo de Q/Z y Z(p1 ) =< 1 +Z:n2N>. pn 12. Sea G el grupo de las traslaciones de la forma (x, y) ! (x + a, y + b) y H las traslaciones de la forma (x, y) ! (x + a, y). Muestra que H  G. ¿Es H / G? Describe el⇢✓ conjunto ◆ de todas las clases izquierdas módulo H. a b 13. Sean G = : ad 6= 0 con operación de grupo el producto usual de 0 d ⌧✓ ◆ 1 b matrices y H = . Muestra que: 0 1 a) H / G. b) G/H es un grupo abeliano. 14. Sea G un grupo abeliano. Si H  G, entonces H / G. 15. Considera el grupo Q8 como en el ejemplo 5.2.10. a) Encuentra los subgrupos cı́clicos hji, hki, h 1i de Q8 . b) Demuestra que hji, hki, h 1i / Q8 . c) Demuestra que los subgrupos de Q8 son:{1}, h 1i, hii, hji, hki, Q8 . d) Encuentra el orden de los subgrupos de Q8 . e) Observa que todos los subgrupos propios de Q8 son cı́clicos. i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 144 — #156 144 i i Grupos 16. Sean G un grupo y a, b 2 G. Definimos el conmutador de a, b como [a, b] = aba 1 b 1 . El subgrupo conmutador de G es [G, G] = h[a, b] : a, b 2 Gi. Muestra que: a) [G, G] / G. b) G/[G, G] es un grupo abeliano. c) G es abeliano si y solo si [G, G] = {eG }. d) Si H / G y G/H es abeliano, entonces [G, G] ✓ H. 17. Sean G = S3 ⇥ S3 y H = { 1 , 5 , 6 } como en el ejemplo 5.2.7. Muestra que: a) H ⇥ H es un grupo abeliano. b) H ⇥ H / G. c) Si K = {( 1 , 1 ), ( 5 , 5 ), ( 6 , 6 )}, entonces K / H ⇥ H, pero K 6 G. 18. Completa la demostración del corolario 5.2.6. 19. Si N / G y M / G, entonces N \ M / G. Más aún, si N < G y M / G, entonces N \ M / N. 20. Sea G = GL(2, R). Muestra que [G, G] = SL(2, R). 21. Muestra que si [G : H] = 2, entonces H / G. En particular, si G = S3 y H = h 5 i como en el ejemplo 5.2.7, entonces H / S3 . 5.3. Homomorfismos de grupos Uno de los conceptos más importantes en el álgebra moderna abstracta es el de homomorfismo. Como los grupos son conjuntos con una aritmética, resulta natural pensar en aquellas funciones entre dos grupos que preservan la aritmética de cada grupo. Sean G, G1 grupos. Una función f : G ! G1 es un homomorfismo2 entre los grupos G y G1 si f (ab) = f (a)f (b) para todo par de elementos a, b 2 G. Aclaramos que ab es el producto en G, mientras que f (a)f (b) es el producto en G1 . Si f es un homomorfismo inyectivo diremos entonces que f es un monomorfismo. Si f es un homomorfismo suprayectivo, lo llamaremos epimorfismo y si f es un homomorfismo biyectivo entonces diremos que f es un isomorfismo. El concepto de isomorfismo es extremadamente valioso pues éste refleja la misma estructura algebraica de un grupo en contextos completamente diferentes. Dos grupos G, G1 son isomorfos si existe un isomorfismo f : G ! G0 . Escribiremos G ⇡ G1 para indicar que G es isomorfo a G1 . En la siguiente lista de ejemplos invitamos al lector a explicar los detalles. 2del griego homós = mismo, morphé = forma i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 145 — #157 5.3 Homomorfismos de grupos i 145 Ejemplo 5.3.1. Sea f : G ! G definida como f (a) = e para todo a 2 G. Entonces f es un homomorfismo de G en G. Ejemplo 5.3.2. La función identidad id : G ! G es un isomorfismo. Ejemplo 5.3.3. Sean V, W espacios vectoriales y T : V ! W cualquier transformación lineal de V en W . Entonces T es un homomorfismo de grupos. Ejemplo 5.3.4. Sean R el grupo aditivo de los números reales y R⇤ el grupo multiplicativo de los números reales diferentes de cero. Si definimos f : R ! R⇤ como f (a) = ea donde e es la base del logaritmo natural, entonces f es un monomorfismo. Ejemplo 5.3.5. Considera el intervalo (0, 1) con su estructura multiplicativa y el grupo aditivo R. Si a 2 (0, 1) es un número real fijo, entonces f : (0, 1) ! R definida como f (x) = loga (x) es un epimorfismo de grupos. Ejemplo 5.3.6. Para n 2 N definimos f : Z ! nZ como f (a) = na. Entonces f es un isomorfismo de grupos. Ejemplo 5.3.7. Sea GL(n, R) = {(aij ) 2 Mn⇥n (R) : det(aij ) 6= 0}. La función f : GL(n, R) ! R⇤ definida como f ((aij )) = det((aij )) es un epimorfismo de grupos. ¿Es f un monomorfismo? Ejemplo 5.3.8. Si G es un grupo abeliano, entonces la función f : G ! G definida como f (a) = a 1 es un isomorfismo de G en G y f = f 1 . Ejemplo 5.3.9. Considera el grupo cociente Z/nZ y el grupo Zn de enteros módulo n. La función f : Z/nZ ! Zn definida como f (i + nZ) = i es un isomorfismo de grupos. Ejemplo 5.3.10. Sea C([a, b]) el grupo de las funciones continuas en el intervalo cerrado [a, b](ver ejemplo 5.1.18). Si c 2 [a, b] es un número real fijo, entonces la función 'c : G ! R definida como 'c (f ) = f (c) es un epimorfismo de grupos. Ejemplo 5.3.11. Sean G un grupo y a 2 G un elemento fijo. La función f : G ! G definida como f (x) = axa 1 es un isomorfismo de grupos. El isomorfismo f se llama automorfismo interior de G. Ejemplo 5.3.12. Si G es un grupo y H / G, la función ⌘ : G ! G/H definida como ⌘(a) = aH, es un epimorfismo de grupos. El epimorfismo ⌘ se conoce como el homomorfismo natural entre G y G/H. i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 146 — #158 146 i i Grupos A continuación estudiamos algunas de las propiedades básicas de los homomorfismos. los 1. 2. 3. 4. Teorema 5.3.13. Si f : G ! G1 es un homomorfismo y eG , eG1 son neutros de G y G1 respectivamente, entonces: f (eG ) = eG1 . f (x 1 ) = f (x) 1 . Si H  G, entonces f (H)  G1 . Si ker(f ) = {x 2 G : f (x) = eG1 }, entonces ker(f ) / G. Demostración. Observamos que f (eG ) = f (eG eG ) = f (eG )f (eG ), ası́ por cancelación, f (eG ) = eG1 . Para la afirmación 2 tenemos la igualdad f (xx 1 ) = f (x)f (x 1 ) = eG1 . Por la unicidad del inverso, necesariamente f (x 1 ) = f (x) 1 . Para la afirmación 3 consideremos H  G. Entonces f (H) = {f (a) : a 2 H}. Para f (a), f (b) 2 f (H) tenemos que f (a)f (b) 1 = f (a)f (b 1 ) = f (ab 1 ) 2 f (H), por lo tanto f (H)  G1 . Para la afirmación 4, primero observamos que si b 2 ker(f ), entonces f (b) = eG1 y f (b 1 ) = f (b) 1 = (eG1 ) 1 = eG1 , ası́ b 1 2 ker(f ). Adicionalmente, si a 2 ker(f ), entonces f (ab 1 ) = f (a)f (b 1 ) = eG1 , de donde ab 1 2 ker(f ). Por consiguiente ker(f )  G. Lo anterior significa que un homomorfismo de grupos manda subgrupos en subgrupos. Para la afirmación 4 sean a 2 ker(f ) y g 2 G. Entonces f (gag 1 ) = f (g)f (a)f (g 1 ) = eG1 . Por lo tanto g ker(f )g 1 ✓ ker(f ) y ker(f ) / G. ⇤ El grupo ker(f ) se conoce con el nombre de núcleo de f y f (H) es la imágen de H bajo f . El subgrupo ker(f ) proporciona una descripción muy concreta de la imagen inversa de un elemento del grupo G1 . Teorema 5.3.14. Sea f : G ! G1 un homomorfismo. Si g 2 G y g1 2 G1 son tales que f (g) = g1 , entonces f 1 (g1 ) = g ker(f ). Demostración. Puesto que f 1 (g1 ) = {a 2 G : f (a) = g1 }, entonces g 2 f 1 (g1 ). Primero mostraremos la contención f 1 (g1 ) ⇢ g ker(f ). Si i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 147 — #159 5.3 Homomorfismos de grupos i 147 a 2 f 1 (g1 ), debemos mostrar que a = gb para algún b 2 ker(f ). Como f (a) = g1 , entonces f (g 1 a) = f (g) 1 f (a) = g1 1 g1 = eG1 , por tanto g 1 a 2 ker(f ), y ası́ a 2 g ker(f ). De lo anterior f 1 (g1 ) ⇢ g ker(f ). Para la contención g ker(f ) ⇢ f 1 (g1 ) sea b 2 ker(f ). Entonces f (gb) = f (g)f (b) = g1 eG1 = g1 y de esta forma gb 2 f g ker(f ). 1 (b 1 ). Ası́ obtenemos la igualdad f 1 (g 1) = ⇤ Corolario 5.3.15. Un homomorfismo f : G ! G1 es monomorfismo si y solo si ker(f ) = {eG }. Demostración. Supongamos que f es un monomorfismo. Es claro que {eG } ⇢ ker(f ). Si g 2 ker(f ), entonces f (g) = f (eG ) = eG1 , por la inyectividad g = eG y ası́ ker(f ) = {eG }. Ahora supongamos que ker(f ) = {eG }. Vamos a mostrar que f es inyectiva. Si f (g1 ) = f (g2 ), entonces f (g1 g2 1 ) = f (g1 )f (g2 1 ) = f (g1 )f (g2 ) 1 = eG1 . Por tanto g1 g2 1 2 ker(f ) = {eG }. De lo anterior se sigue que g1 = g2 y f es inyectiva. ⇤ El objetivo final en esta sección es dar una exposición de los célebres teoremas de Noether3, mejor conocidos como los teoremas de isomorfismos. Recordemos que si G es un grupo y H /G, entonces como se vio en el ejemplo 5.3.12, existe el epimorfismo natural ⌘ : G ! G/H dado por ⌘(a) = aH. Lema 5.3.16. Sean G un grupo y H / G. Entonces H es el núcleo de algún homomorfismo de grupos. 3Emmy Amalie Noether nace el 23 de marzo en Erlangen, Baviera. Es hija del matemático Max Noether. El medio matemático que le brindaba su padre y los amigos de éste, hace que ella oriente su pasión y estudio hacia las matemáticas. En 1907 obtiene su doctorado en Gotinga bajo la tutela de Paul Albert Gordan. Trabajó como ayudante de Hilbert sin recibir salario. Su talento cientı́fico estuvo marcado por sus grandes aportes a la matemática y la fı́sica. Este espacio es insuficiente para relatar vida y obra de la mujer más importante en la ciencia. Los lectores interesados están obligados a deleitarse con el libro Emmy Noether, 1882-1935 de Auguste Dick en Birkhauser, Boston 1981. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 148 — #160 148 i Grupos Demostración. Recordemos que el neutro en el grupo G/H es precisamente la clase H. Consideremos el homomorfismo natural ⌘ : G ! G/H. Entonces ker(⌘) = {a 2 G : ⌘(a) = aH = H} = {a 2 G : a 2 H} = H. ⇤ Notemos que si H es el núcleo de algún homomorfismo de grupos f : G ! G1 , entonces por la afirmación 4 del teorema 5.3.13 H / G. Teorema 5.3.17 (Primer teorema de isomorfismos). Sea f : G ! G1 homomorfismo de grupos. Entonces G/ ker(f ) ⇡ f (G). Demostración. La idea de la prueba es proporcionar un isomorfismo : G/ ker(f ) ! f (G). ¿Cuáles son los ingredientes con los que contamos?. El siguiente diagrama nos proporciona una idea clara de lo que pretendemos: f G @ -f (G) ✓ G1 ⌘@ ✓ @ R @ G/ ker(f ) Escribimos N = ker(f ) y definimos : G/N ! f (G) como (gN ) = f (g). Primero veamos que es una función bien definida, es decir, si gN = g1 N, entonces f (g) = f (g1 ). En efecto, si gN = g1 N, tenemos que g1 1 gN = N y por tanto g1 1 g 2 N, ası́ f (g1 1 g) = f (g1 ) 1 f (g) = eG1 . Por lo anterior f (g1 ) = f (g). Ahora observamos que (gN ) = f (g) = f (g1 ) = (g1 N ) y de esta forma no depende de g sino de la clase lateral gN . El argumento anterior nos está afirmando que es realmente una función. En matemáticas es común decir que está bien definida. Vea el párrafo que precede al corolario 5.2.6. Ahora veamos que es un homomorfismo de grupos: (gN g1 N ) = (gg1 N ) = f (gg1 ) = f (g)f (g1 ) = (gN ) (g1 N ). Como cualquier función que tiene como contradominio a su imagen es suprayectiva, entonces f : G ! f (G) es suprayectiva y por tanto es suprayectiva. Para la inyectividad supongamos que (gN ) = (g1 N ). i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 149 — #161 5.3 Homomorfismos de grupos i 149 Entonces f (g) = f (g1 ) y ası́ f (g1 1 g) = eG1 . Por lo tanto, g1 1 g 2 ker(f ) = N y g1 1 gN = N . Por lo anterior gN = g1 N . Observe que hemos usado la afirmación 3 del lema 5.1.45. ⇤ Reescribimos el primer teorema de isomorfismos como: Corolario 5.3.18. Si f : G ! G1 es un epimorfismo de grupos, entonces G/ ker(f ) ⇡ G1 . ⇤ Demostración. Es evidente pues f (G) = G1 . Corolario 5.3.19. Dos subgrupos cı́clicos de orden n son isomorfos. Demostración. Supongamos G = hai y o(G) = n. f : Z ! G definida como f (m) = am es homomorfismo pues La función f (m + k) = am+k = am ak = f (m)f (k). Obviamente f es suprayectiva y ker(f ) = {k 2 Z : f (k) = ak = eG } = {nq : q 2 Z} = nZ. Por el primer teorema de isomorfismos Z/nZ ⇡ G. Cualquier otro grupo cı́clico G1 del mismo orden n satisface que G1 ⇡ Z/nZ. ⇤ Resumiendo todo lo anterior tenemos el siguiente resultado. Teorema 5.3.20 (Teorema de clasificación de los grupos cı́clicos). Si G es un grupo cı́clico, entonces para algúna n 2 N, n  2, tenemos que G es isomorfo a Z/Zn ó G ⇡ Z. Demostración. Si G es finito, entonces el corolario anterior justifica la primera afirmación. Si G es infinto, G = hai = {an : n 2 Z} y la función f : G ! Z definida como f (aj ) = j es un isomorfismo. ⇤ Ejemplo 5.3.21. Consideremos el grupo multiplicativo de los números reales positivos (0, 1). La función f : C⇤ ! (0, 1) definida como f (z) = |z| es un epimorfismo en donde ker(f ) = {z 2 C : |z| = 1}. De acuerdo al primer teorema de isomorfismos, los grupos C⇤ / ker(f ) y (0, 1) son isomorfos. Ejemplo 5.3.22. Con respecto al problema anterior, definamos S 1 = {z 2 C : |z| = 1}. Geométricamente S 1 es la circunferencia de radio 1 en el plano complejo y S 1 es un subgrupo multiplicativo de C⇤ . Consideremos la función f : R ! S 1 definida como f (x) = e2⇡ix = cos 2⇡x + i sen 2⇡x. Puesto que f (x + y) = f (x)f (y), entonces f es homomorfismo de grupos. Es claro que f es suprayectiva y ker(f ) = Z. Por tanto R/Z ⇡ S 1 . i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 150 — #162 150 i Grupos Ejemplo 5.3.23. La función f : Z ! 3Z/6Z definida como f (n) = 3n + 6Z es un epimorfismo de grupos cuyo núcleo es 2Z. Por tanto Z/2Z ⇡ 3Z/6Z. En general, el producto de dos subgrupos no necesariamente es subgrupo. Vea la definición de producto al principio de la sección 5.2. El siguiente resultado nos da una condición necesaria y suficiente para que un producto de subgrupos sea subgrupo. Lema 5.3.24. Sean G un grupo y H, K  G. Entonces HK  G si y solo si HK = KH. Demostración. Puesto que K, H ✓ HK, si HK es subgrupo de G, entonces KH ✓ HK. No podemos usar el mismo argumento para mostrar la contención HK ✓ KH pues no podemos suponer que KH  G. Sea g 2 HK. Entonces g 1 = ab 2 HK, para algún a 2 H, b 2 K. Por tanto g = b 1 a 1 2 KH. Ası́ HK = KH. Supongamos ahora que HK = KH. Primero mostraremos que el conjunto HK es cerrado bajo productos. En efecto, si h1 k1 , h2 k2 2 HK, entonces k1 h2 2 KH = HK y por tanto k1 h2 = h3 k3 , para ciertos elementos h3 2 H y k3 2 K. Ası́ h1 (k1 h2 )k2 = h1 (h3 k3 )k2 = (h1 h3 )(k3 k2 ) 2 HK. También (hk) 1 =k 1h 1 2 KH = HK. Por tanto HK  G. ⇤ Como aplicación del lema anterior tenemos el siguiente resultado: Corolario 5.3.25. Sean G un grupo y H, K  G. Si H / G, entonces HK  G. Demostración. La hipótesis H /G implica que kH = Hk para k 2 K. Por tanto [ [ KH = kH = Hk = HK. k2K k2K Por el corolario anterior HK  G. ⇤ Lema 5.3.26. Si G es un grupo y N, H  G con N /G, entonces N /N H y N \ H / H. Demostración. Primero observemos que N  N H  G. Para mostrar que N / N H elegimos nh 2 N H. Entonces nhN = n(hN ) = n(N h) = (nN )h = (N n)h = N nh. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 151 — #163 5.3 Homomorfismos de grupos i 151 Para la segunda afirmación primero observamos que N \ H  H. Para la normalidad usaremos el Teorema 5.2.4. Sean a 2 N \ H y h 2 H. Entonces hah 1 2 H porque a 2 H. También hah 1 2 N pues N / G. Por tanto hah 1 2 N \ H. Puesto que a la elegimos de manera arbitraria, h(N \ H)h 1 ✓ N \ H y N \ H / H. ⇤ Teorema 5.3.27 (Segundo teorema de isomorfismos). Sean G un grupo y N, H  G con N / G. Entonces H/H \ N ⇡ N H/N . Demostración. De acuerdo al lema anterior N / N H y por tanto tiene sentido pensar en el grupo N H/N . Definimos f : H ! N H/N como f (h) = hN . Por un lado tenemos que f (h1 h2 ) = h1 h2 N = h1 N h2 N = f (h1 )f (h2 ), ası́ que f es homomorfismo de grupos. También f es suprayectiva pues si x 2 N H/N , entonces x = gN con g 2 N H. Ası́ g = nh para algúnos n 2 N, h 2 H. De lo anterior f (h) = hN = hnN = gN. Por último tenemos que ker(f ) = {x 2 H : xN = N } = {x 2 H : x 2 N } = H \ N. Resumiendo, f es un epimorfismo cuyo núcleo es H \ N . Aplicando el primer teorema de isomorfismos obtenemos el resultado. ⇤ Como caso particular tenemos la conocida fórmula del producto en el caso particular cuando G es finito y se cumplen las mismas hipótesis del segundo teorema de isomorfismos. Corolario 5.3.28 (Fórmula del producto). Si G es finito y N, H  G cumplen las hipótesis del teorema 5.3.27, entonces |HN ||H \ N | = |H||N |. Demostración. Como H/H \ N ⇡ N H/N , entonces por el corolario al teorema de Lagrange 5.2.6 tenemos que H/H \ N = N H/N y por tanto |HN ||H \ N | = |H||N |. ⇤ La fórmula del producto es válida en general, es decir, sin la hipótesis N / G. Vea el problema 23 de la siguiente sección de problemas. El tercer teorema de isomorfismos viene siendo un análogo a una propiedad de las fracciones de números reales. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 152 — #164 152 i Grupos Teorema 5.3.29 (Tercer teorema de isomorfismos). Si K / G, H / G y K  H, entonces H/K / G/K y (G/K)/(H/K) ⇡ G/H. Demostración. Claramente H/K  G/K. Veamos que H/K es un subgrupo normal de G/K. Sean aK 2 G/K y hK 2 H/K. Entonces aK(hK)a 1 K = aKK(ha 1 K) = aK(ha 1 K) = K(aha 1 K) = aha 1 K 2 H/K pues aha 1 2 H. Ası́ que H/K / G/K. Finalmente, definimos f : G/K ! G/H como f (aK) = aH. Veamos que f es una función bien definida. Si aK = bK, entonces b 1 aK = K y b 1 a 2 K  H. Por tanto b 1 aH = H y aH = bH. Verificar que f es epimorfismo es fácil, pues si aH 2 G/H, entonces aK 2 G/K y f (aK) = aH. Ahora calculemos el núcleo de f : ker(f ) = {aK : f (aK) = aH = H} = {aK : a 2 H} = H/K. Aplicando el primer teorema de isomorfismos se sigue el resultado. ⇤ Corolario 5.3.30 (Teorema de Poincaré4). Si G es abeliano finito y K  H  G, entonces [G : K] = [G : H][H : K]. Demostración. Se sigue al considerar que (G/K)/(H/K) ⇡ G/H. ⇤ El teorema de Poincaré puede ser descrito en forma general: si G es un grupo finito y K  H  G, entonces [G : K] = [G : H][H : K]. PROBLEMAS 1. Proporciona un ejemplo de un grupo G y un subgrupo propio H de G tal que G ⇡ H. 4Jules Henri Poincaré nació el 29 de abril de 1854 en la ciudad de Nancy, Francia. Poincaré fue un destacado matemático, fı́sico teórico, ingeniero y filósofo de la ciencia. Es reconocido como el último universalista por su dominio sobresaliente de varios campos del conocimiento. Sus aportaciones fundamentales se encuentran en las matemáticas puras y aplicadas, en la fı́sica matemática y en la mecánica celeste. La siguiente cita de un discurso en su funeral lo describe perfectamente: fue un matemático, geómetra, filósofo y hombre de letras que era una especie de poeta de lo infinito, una especie de bardo de la ciencia. Muere en Paris el 17 de julio a la edad de 58 años. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 153 — #165 5.3 Homomorfismos de grupos i 153 2. Sean G un grupo y H1 , H2 subgrupos normales de G tales que G/H1 ⇡ G/H2 . ¿Existe alguna relación entre H1 y H2 ? 3. En S3 considera los subgrupos H = { 1 , 2 } y K = { 1 , 3 }. Prueba que HK no es subgrupo de S3 . 4. En el grupo C⇤ la ecuación xn = 1 tiene n-soluciones distintas para cada n 2 N. Consideremos el grupo cı́clico Z18 . ¿Para qué valores de n la ecuación xn = 1 tiene solución? 5. Sea f : G ! G1 un isomorfismo de grupos. Demuestra que: a) Si G es abeliano, entonces G1 es abeliano. b) Si G es cı́clico entonces G1 es cı́clico. c) Si o(G) = n, entonces o(G1 ) = n. d) Si G es finito y H1  G1 es de orden d, entonces H = f 1 (H1 )  G y o(H) = d. 6. Muestra que S3 y Z6 no son isomorfos. 7. Sea f : G ! G1 un homomorfismo de grupos. a) Si f es monomorfismo, entonces o(f (a)) = o(a). b) Si f es homomorfismo y o(a) < 1, entonces o(f (a)) | o(a). 8. Sea f : G ! G1 homomorfismo de grupos. Si H1 / G1 y H = {x 2 G : f (x) 2 H1 }, entonces H / G. 9. Sea f : G ! G1 un epimorfismo de grupos con ker(f ) = K. Sean N1 / G1 y N = {x 2 G : f (x) 2 N1 }. Muestra que G/N ⇡ G1 /N1 . A partir de esta afirmación deduce el tercer teorema de isomorfismos. 10. Demuestra el teorema de Poincaré en su forma general: si G es un grupo finito y K  H  G, entonces [G : K] = [G : H][H : K]. Nota: no es posible usar el tercer teorema de ismorfismos porque no se asume la hipótesis H / G y K / H. 11. Considera el grupo de Klein de orden 4 ◆ ✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆o n✓ 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 V4 = , , , . 1 2 3 4 2 1 4 3 3 4 1 2 4 3 2 1 12. 13. 14. 15. 16. 17. i i a) Muestra que los elementos de V4 distintos de " son de orden 2. b) Muestra que Z4 6⇡ V4 . c) Encuentra H  Z4 y K  V4 tales que Z4 /H ⇡ V4 /K. d) Muestra que V4 ⇡ Z2 ⇥ Z2 . Sean f, h : G ! G1 homomorfismos de grupos tales que ker(f ) = ker(h). Prueba o da un contraejemplo a la afirmación f = h. Si N1 / G1 y N2 / G2 , entonces (G1 ⇥ G2 )/(N1 ⇥ N2 ) ⇡ G1 /N1 ⇥ G2 /N2 . Muestra que Z/3Z ⇡ 9Z/27Z. Muestra que F2 ⇡ 4Z/8Z. Sean m, n, t 2 N tales que m = nt. Muestra que Z/nZ ⇡ tZ/mZ. Consideremos el grupo multiplicativo F⇤17 y la función f : F⇤17 ! F⇤17 definida como f (a) = a2 . Muestra que: i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 154 — #166 154 18. 19. 20. 21. i i Grupos a) La congruencia x2 ⌘ a (mod 17) tiene exactamente dos soluciones incongruentes o ninguna. b) {a2 : a 2 F⇤17 }  F⇤17 . c) f es homomorfismo de grupos. d) F⇤17 /{1, 16} ⇡ {1, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16} = GRC17 (vea el ejemplo 5.1.30). Sea p un primo impar. Consideremos el grupo multiplicativo F⇤p y la función f : F⇤p ! F⇤p definida como f (a) = a2 . Muestra que: a) La congruencia x2 ⌘ a (mod p) tiene exactamente dos soluciones incongruentes. b) {a2 : a 2 F⇤p }  F⇤p . c) f es homomorfismo de grupos. d) ker(f ) = {1, p 1}. e) F⇤p /{1, p 1} ⇡ {a2 : a 2 F⇤p } = GRCp (vea el ejemplo 5.1.30). p 1 f) Concluye que existen cuadrados en el grupo F⇤p . 2 Consideremos el grupo aditivo Z12 y el grupo multiplicativo F⇤13 . Muestra que Z12 ⇡ F⇤13 . Sea p un número primo. Muestra que Zp 1 ⇡ F⇤p . Sugerencia: Has ejemplos con primos de la forma 4k + 1 y 4k + 3. Consideremos el anillo de enteros gaussianos Z[i] y el conjunto G = {2n 3m : m, n 2 Z}. 22. 23. 24. 25. i i a) Muestra que Z[i] es un grupo con la suma usual de números complejos. b) Muestra que G es un grupo con el producto usual de Z. c) Muestra que Z[i] ⇡ G. Sea G un grupo cı́clico infinito. Muestra que G tiene exactamente dos generadores. Fórmula del producto. Sean G un grupo finito y N, H  G. Entonces |HN ||H \ N | = |H||N |. Consideremos el grupo Q/Z (vea el problema 10 de la Sección 5.2). Muestra que: a) Cualquier clase x + Z 2 Q/Z tiene un único representante x en el intervalo (0, 1). b) Existen elementos en Q/Z de cualquier orden finito. c) El subgrupo de torsión de R/Z es Q/Z. d) Sea T = {z 2 C⇤ : |z| = 1}. Muestra que T < C⇤ . Geométricamente T es el cı́rculo unitario en el plano complejo, por esta razón, al grupo T suele llamársele el grupo circular. e) Muestra que 2⇡Z < R y que Z ⇡ 2⇡Z. f) Muestra que R/Z ⇡ T. Sea G un grupo. Muestra que: i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 155 — #167 5.4 Productos directos i 155 a) Aut(G) = {f : G ! G : f es isomorfismo} es un grupo con la composición usual de funciones. b) Sea g 2 G. Muestra que la función f : G ! G definida como f (x) = gxg 1 es un automorfismo de G. El automorfismo f se conoce como automorfismo interior de G. c) o(Aut(Z)) = 2. Sugerencia: Si f 2 Aut(G) y G = hai, entonces G = hai = hf (a)i. El grupo Z tiene exactamente dos generadores. d) Si f 2 Aut(Zn ), entonces f (x) = ax para algún a 2 U (Zn ). Encuentra o(Aut(Zn )). e) Muestra que Aut(V4 ) ⇡ S3 (ve el problema 11 de esta sección). 5.4. Productos directos En esta sección vamos a introducir una forma de construir grupos a partir de una familia de grupos. Sean G1 , . . . , Gn grupos con neutros e1 , . . . , en respectivamente. Consideremnos el producto cartesiano G = G1 ⇥ · · · ⇥ Gn . Definimos f : G ⇥ G ! G como f ((g1 , . . . , gn ), (g10 , . . . , gn0 )) = (g1 g10 , . . . , gn gn0 ). Es fácil verificar que f es una operación binaria asociativa en G. Con esta operación G tiene estructura de grupo con elemento neutro (e1 , e2 , . . . , en ), donde ei es el neutro del grupo Gi . El grupo G se conoce con el nombre de producto directo externo de los grupos G1 , . . . , Gn . Una consecuencia inmediata de la definición de producto directo es que si 2 Sn , entonces la función h : G 1 ⇥ G2 ⇥ · · · ⇥ G n ! G (1) ⇥G (2) ⇥ ··· ⇥ G (n) definida como h((g1 , g2 , . . . , gn )) = (g (1) , g (2) , . . . , g (n) ) es un isomorfismo de grupos. Reflexionemos un poco. A partir de un conjunto finito de grupos, hemos construido un nuevo grupo; el producto directo externo. Ahora, dado un grupo G ¿cuándo podemos escribir al grupo G como producto directo de dos o más subgrupos de G?. Cuando esto es posible diremos que G es el producto directo interno. El siguiente resultado proporciona las condiciones para realizar grupos como el producto directo interno de ciertos subgrupos. Teorema 5.4.1. Sean G un grupo y H, K  G. Si H, K satisfacen que: 1. H \ K = {e}, 2. HK = G, 3. xy = yx para todo x 2 H, y 2 K, i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 156 — #168 156 i Grupos entonces la función f : H ⇥ K isomorfismo. ! G definida como f (x, y) = xy es un Demostración. Sean (x, y), (x1 , y1 ) 2 H ⇥ K. Usando la condición 3 tenemos que f ((x, y)(x1 , y1 )) = f ((xx1 , yy1 )) = (xx1 )(yy1 ) = (xy)(x1 y1 ) = f ((x, y))f ((x1 , y1 )), y por tanto f es homomorfismo. Por la condición 2, f es epimorfismo y f es monomorfismo por la condición 1. Por tanto G ⇡ H ⇥ K. ⇤ Si G, H, K satisfacen el teorema anterior, podemos identificar (h, k) 2 H ⇥ K con el producto hk. Es en este sentido el isomorfismo G ⇡ H ⇥ K y el siguiente resultado le da sustento al isomorfismo del teorema anterior. Corolario 5.4.2. Si G es el producto directo interno de los subgrupos H, K  G, entonces cada elemento g 2 G se puede escribir en forma única como g = hk con h 2 H y k 2 K. Demostración. Supongamos que g = hk = h1 k1 con h, h1 2 H, k, k1 2 K. Entonces h1 1 h = k1 k 1 2 H \ K = {e}. Por tanto, h = h1 y k = k1 . ⇤ Ejemplo 5.4.3. El espacio vectorial R2 sobre el campo R es un grupo abeliano. Si H = {(x, 0) : x 2 R}, K = {(0, y) : y 2 R}, entonces 1. H \ K = {(0, 0)}, 2. H + K = R2 , 3. (x, 0) + (0, y) = (0, y) + (0, x) para todo (x, 0) 2 H, (0, y) 2 K. Por tanto R2 ⇡ H ⇥ K. El teorema 5.4.1 admite una fácil generalización para un número finito de subgrupos. Corolario 5.4.4. Sean G un grupo y H1 , H2 , . . . , Hn  G que satisfacen las condiciones: 1. Hi \ H1 · · · Hi 1 Hi+1 · · · Hn = {e} para i = 1, 2, . . . , n. 2. H1 H2 · · · Hn = G. 3. Para hi 2 Hi , hj 2 Hj se cumple que hi hj = hj hi , con i 6= j. Entonces f : H1 ⇥ H2 ⇥ · · · ⇥ Hn ! G definida como f ((h1 , h2 , . . . , hn )) = h1 h2 · · · hn es un isomorfismo. En este caso G ⇡ H1 ⇥ · · · ⇥ Hn . Demostración. Siga la demostración del teorema 5.4.1. i i ⇤ i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 157 — #169 5.4 Productos directos i 157 Es importante notar que si G es el producto interno de los subgrupos H1 , . . . , Hn , entonces cada elemento g 2 G tiene una única expresión de la forma g = h1 h2 · · · hn , con hi 2 Hi (i = 1, . . . , n). Vea el corolario 5.4.2. Corolario 5.4.5. Sean m, n 2 N tal que mcd(m, n) = 1. Si G es un grupo cı́clico de orden mn, entonces G ⇡ Zm ⇥ Zn . Demostración. Si G = hai, entonces de acuerdo al teorema 5.1.58, los subgrupos H = han i y K = ham i satisfacen que mn mn o(H) = o(an ) = = =m mcd(mn, n) n y mn mn o(K) = o(am ) = = = n. mcd(mn, m) m Vamos a mostrar que los subgrupos H, K cumplen las hipótesis del teorema 5.4.1. Si g 2 H \ K, entonces por el teorema de Lagrange 5.1.49 o(g) | m y o(g) | n. Por hipótesis, existen enteros x, y tales que mx + ny = 1. Por tanto o(g) | mx + ny y ası́ o(g) = 1 y g = e. De lo anterior, H \ K = {e}. Sea g = ar 2 G. Puesto que mx + ny = 1, tenemos mxr + nyr = r y g = ar = (am )xr (an )yr , donde (am )xr 2 K y (an )yr 2 H. Si escribimos h = (an )yr y k = (am )xr , entonces G = HK. Finalmente, como G es abeliano, xy = yx para todo x 2 H, y 2 K. Por tanto G ⇡ H ⇥ K. Puesto que H es cı́clico de orden m y K es cı́clico de orden n, entonces H ⇡ Zm y K ⇡ Zn . De esta forma obtenemos el resultado. ⇤ Corolario 5.4.6. Si G es un grupo cı́clico de orden n=p↵1 1 p↵2 2 · · · p↵s s y mcd(pi , pj ) = 1 para i 6= j, entonces G ⇡ Zp↵1 ⇥ Zp↵2 ⇥ ... ⇥ Zp↵s s . 1 2 Demostración. Es un fácil ejercicio de inducción. ⇤ Ejemplo 5.4.7. Z14 ⇡ Z2 ⇥ F7 . Ejemplo 5.4.8. Z21 ⇡ F3 ⇥ F7 . Ejemplo 5.4.9. Z18 ⇡ F2 ⇥ Z32 . Lema 5.4.10. Si G es cı́clico y H  G, entonces G/H es cı́clico. Demostración. Sea G = hai. Afirmamos que haHi = G/H. En efecto, si gH 2 G/H, entonces g = ar y por tanto gH = ar H 2 haHi. Por lo anterior, G/H ⇢ haHi. La contención haHi ⇢ G/H es evidente. Ası́ que haHi = G/H. ⇤ i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 158 — #170 158 i i Grupos En general, si G es un grupo finito, H / G y g 2 G, no necesariamente o(g) = o(gH). Lo único que podemos asegurar es que o(gH) | o(g) ¿por qué?. Por ejemplo, si H = {0, 5, 10, 15}  Z20 , podemos verificar fácilmente que o(2) = 10 y o(2 + H) = 5. En este orden de ideas, si G es un grupo finito, H / G y g 2 G ¿habrá alguna relación entre los números o(g) y o(gH)? Sea G un grupo y H < G. Diremos que H es un subrupo maximal de G si no existe K < G tal que H < K < G. Por ejemplo, en el grupo Z20 , podemos observar que h2i es maximal y o(h2i) = 10 y h4i no lo es, pues h4i < h2i < Z20 . Lema 5.4.11. Si G es un grupo abeliano finito y H  G es cı́clico maximal, entonces para g 2 G se cumple que o(gH) = o(g). Demostración. Supongamos que H = hg0 i y o(g) = r. Observa que si escribimos H = {g0j : 0  j < z}, entonces |gH| = o(g0 ). Denotemos z = |gH| = o(g0 ). Para d 2 Z observamos que gH = gg0d H. Ası́ (gH)z = (gg0d )z H = H, por lo que g z g0dz 2 H y z | r pues, de acuerdo al ejemplo 5.1.50, también (gH)r = g r H = H. Ası́, g z = g0 dz . Puesto que g0 = g0 dz para cualquier d 2 Z, podemos suponer que g z = g0 y 0  < z. La idea de la prueba consiste en mostrar que = 0 pues de esta forma g z = e y r | z. Usaremos el teorema 5.1.58. r r Como o(g) = r y z | r, entonces o(g z ) = = . Puesto que mcd(z, r) z z o(g0 ) = z, entonces o(g0 ) = . Recordemos que o(g0 ) es máximo mcd(z, ) pues H = hg0 i es máximo, ası́ r  z. De la igualdad o(g z ) = o(g0 ) tenemos z2 que r =  z, por lo cual z  mcd( , z). Si > 0, entonces mcd( , z) mcd( , z)  y z  mcd( , z)  , lo cual no es posible pues 0  < z. Por tanto = 0 y r | z. ⇤ Sea G un grupo y A = {g1 , g2 , . . . , gs } ✓ G. Recordemos que el subgrupo generado por el conjunto A lo hemos definido como: \ hAi = hg1 , g2 , . . . , gs i = H. A✓HG i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 159 — #171 5.4 Productos directos i 159 En particular, {g1 , g2 , . . . , gs }i ✓ hg1 i ⇥ hg2 i ⇥ · · · ⇥ hgs i, y por tanto hg1 , g2 , . . . , gs i  hg1 i ⇥ hg2 i ⇥ · · · ⇥ hgs i. Por ejemplo, en el grupo Z, es relativamente fácil notar que h2, 4i ( h2i⇥h4i. De hecho, h2, 4i = h2i < h2i ⇥ h4i. Finalmente, es claro que si o(gi ) = ri , entonces tenemos que o(hg1 , g2 , . . . gs i)  o(hg1 i ⇥ hg2 i ⇥ · · · ⇥ hgs i) = r1 r2 · · · rs . Teorema 5.4.12 (Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos). Si G es un grupo abeliano finito, entonces G es isomorfo a un producto directo de subgrupos cı́clicos. Demostración. Si G es cı́clico no hay nada que demostrar. Ası́ que podemos suponer que G es abeliano y no cı́clico. Haremos la prueba por inducción sobre o(G). Si n = 1, entonces G = {e} y no hay nada que demostrar. Supongamos que n > 1 y el resultado cierto para todos los grupos abelianos de orden menor que n. Consideremos el número r = max{o(g) : g 2 G}. 2. Para el valor r existe g0 2 G tal que o(g0 ) = r. Sea o(G) n H0 = hg0 i. Puesto que o(G/H0 ) = = < n, entonces por hipótesis o(H0 ) r de inducción y el lema 5.4.10 Notemos que r G/H0 ⇡ F1 ⇥ F2 ⇥ · · · ⇥ Fs , donde los Fi son subgrupos cı́clicos de G/H0 . Supongamos que para i = 1, . . . , s escribimos Fi = hgi H0 i para ciertos elementos gi 2 G. Vamos a utilizar el teorema 5.4.1 para mostrar que G ⇡ hg0 i ⇥ hg1 , . . . , gs i. Primero veremos que hg0 i \ hg1 , . . . , gs i = {e}. Sea ri = o(gi ). Por el lema 5.4.11, o(gi ) = o(gi H0 ). Es claro que o(G/H0 ) = r1 r2 · · · rs < n y cualquier elemento de G/H0 tiene la forma (g1 H0 )↵1 · · · (gs H0 )↵s = g1↵1 · · · gs↵s H0 , con 0  ↵i < ri . De acuerdo a la nota que aparece en seguida del corolario 5.4.4, si g1↵1 · · · gs↵s 2 H0 = hg0 i es porque ↵1 = ↵2 = ... = ↵s = 0. Sea g 2 hg0 i \ hg1 , . . . , gs i. Entonces g = g1↵1 · · · gs↵s = g0↵0 2 hg0 i = H0 , y i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 160 — #172 160 i Grupos ası́ g = e. Para ver que los subgrupos hg0 i y hg1 , g2 , . . . , gs i satisfacen la condición 2 del teorema 5.4.1 observamos que hg0 ihg1 , g2 , . . . , gs i ⇢ G. Para la otra contención sea g 2 G. Entonces gH0 = (g1 H0 )n1 (g2 H0 )n2 · · · (gs H0 )ns = g1n1 g2n2 · · · gsns H0 y como g 2 gH0 tenemos que g = g0n0 g1n1 · · · gsns ; de esta manera G ✓ hg0 ihg1 , . . . , gs i. Por lo tanto G = hg0 ihg1 , g2 , . . . , gs i. La condición 3 del teorema 5.4.1 la satisfacen los subgrupos hg0 i y hg1 , g2 , . . . , gs i pues G es abeliano. Ası́ G ⇡ hg0 i ⇥ hg1 , . . . , gs i. La parte final de la demostración es fácil puesto que hg1 , . . . , gs i es un grupo abeliano de orden menor que n, entonces por hipótesis de inducción hg1 , . . . , gs i ⇡ hx1 i ⇥ · · · ⇥ hxt i y por tanto ⇤ G ⇡ hg0 i ⇥ hx1 i ⇥ · · · ⇥ hxt i. Corolario 5.4.13. Si G es un grupo abeliano finito, entonces G ⇡ Zp↵1 ⇥ · · · ⇥ Zp↵s s , donde p1 , . . . , ps son números primos no necesariamente 1 distintos. Demostración. Usando el teorema fundamental de los grupos abelianos finitos y el corolario 5.4.6 descomponemos cada subgrupo cı́clico que aparece en el teorema anterior. ⇤ Sean p1 , . . . , pr los números primos diferentes que aparecen en el corolario anterior y Zpai,1 , Zpai,2 , . . . , Z ai,j(i) los subgrupos cı́clicos correspondieni pi i tes a las potencias de los pi ’s (no necesariamente diferentes) que aparecen en la descomposición de G. Definimos la parte pi -primaria de G como G(pi ) = Zpai,1 ⇥ Zpai,2 ⇥ · · · ⇥ Z i i ai,j(i) pi . Es claro que G(pi ) es subgrupo de G y a pi i,m Las potencias elementales de G. G ⇡ G(p1 ) ⇥ G(p2 ) ⇥ · · · ⇥ G(pr ). con 1  m  j(i), 1  i  r se llaman divisores Ejemplo 5.4.14. Si G = Z15 ⇥ Z18 , entonces Z15 ⇥ Z18 ⇡ Z3 ⇥ Z5 ⇥ Z2 ⇥ Z32 i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 161 — #173 5.4 Productos directos i 161 y por tanto la parte 3-primaria de G es Z3 ⇥ Z32 , la parte 2-primaria es Z2 y la parte 5-primaria de G es Z5 . Los divisores elementales de G son 2, 3, 32 , 5. Observemos que si solo conocemos los divisores elementales de G, entonces, salvo isomorfismos, podemos recuperar al grupo. La descomposición de G es única salvo isomorfismos. Detengámonos un momento en la expresión G(p) = Zpa1 ⇥ Zpa2 ⇥ · · · ⇥ Zpaj y consideremos un elemento tı́pico (b1 , b2 , . . . , bj ) 2 G(p). Definimos n = max{as : 1  s  j}. Entonces para i = 1, 2, . . . j tenemos que bi 2 Zpai y p↵i bi = 0. Escribimos n = ai + hi . Ası́ pn (a1 , a2 , . . . , aj ) = (ph1 pa1 b1 , ph2 pa2 b2 , . . . , phj paj bj ) = (0, . . . , 0). Lo anterior significa que o(b1 , b2 , . . . , bj )) | pn . Hemos demostrado que G(p) ✓ {a 2 G : pr a = 0 para algún r 0}. Lema 5.4.15. Sean G un grupo abeliano finito y p un número primo tal que p | o(G). Entonces G(p) = {a 2 G : pr a = 0 para algún r 0}. Demostración. Ya mostramos que si (b1 , . . . , br ) 2 G(p), necesariamente o((b1 , . . . , br )) | pn . Por tanto, si q es un número primo y p 6= q, entonces G(p) \ G(q) = {0}. Sea a 2 G tal que pr a = 0 para algún r 0. Puesto que G ⇡ G(p1 ) ⇥ G(p2 ) ⇥ · · · ⇥ G(pr ), y el producto es directo, entonces necesariamente a se encuentra en uno y solo un G(Pi ) = G(p). ⇤ Vamos a usar ésta caracterización de G(p) para demostrar que la descomposición de G en el teorema fundamental de los grupos abelianos finitos, es única salvo isomorfismos. Teorema 5.4.16. Sean G y G0 grupos abelianos finitos. Entonces G ⇡ G0 si y solo si G(p) ⇡ G0 (p), para cada primo p que divide a o(G). Demostración. Si f : G ! G0 es un homomorfismo de grupos y x 2 G(p), entonces para algún r 0 tenemos que pr x = 0 y f (pr x) = pr f (x) = 0. Por lo anterior f (G(p)) ✓ G0 (p). En particular, si f es isomorfismo, la función f 1 : G0 ! G es homomorfismo y f 1 (G0 (p)) ✓ G(p). i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 162 — #174 162 i Grupos Recı́procamente, sea fpi : G(pi ) ! G0 (pi ) un isomorfismo. Entonces la función f : G ! G0 definida como f (b1 , b2 , . . . , br ) = (fp1 (b1 ), fp2 (b2 ), . . . , fpr (br )) ⇤ es un isomorfismo. 5 Corolario 5.4.17. [Teorema de Cauchy ] Si G es un grupo abeliano finito y p es un primo tal que p | o(G), entonces G contiene un elemento de orden p. Demostración. Sea G(p) = Zpa1 ⇥Zpa2 ⇥· · ·⇥Zpar la parte p-primaria de G. El elemento (pa1 1 , pa2 1 , . . . , par 1 , 0, . . . , 0) satisface que p(pa1 1 , pa2 1 , . . . , par Por lo tanto o((pa1 1 , 0, . . . , 0) = (pa1 , pa2 , . . . , par , 0, . . . , 0) = (0, . . . , 0). 1 , pa2 1 , . . . , par 1 , 0, . . . , 0)) o((p a1 1 a2 1 ,p ,...,p ar 1 | p y puesto que p es primo, , 0, . . . , 0)) = p. ⇤ El corolario anterior es otra forma del teorema inverso de Lagrange. Corolario 5.4.18 (Teorema inverso de Lagrange para grupos abelianos finitos). Si G es un grupo abeliano finito de orden n y d | n, entonces G contiene al menos un subgrupo H de orden d. Demostración. Supongamos que n = p↵1 1 p↵2 2 · · · p↵s s , donde pi 6= pj si i 6= j. Entonces d = p1 1 p2 2 · · · ps s , con 0  i  ↵i . Para 1  j  s, consideremos la parte pj -primaria de G: G(pj ) = Zp↵j,1 ⇥ Zp↵j,2 ⇥ · · · ⇥ Z j donde ↵j = mos rj X i=1 ↵j,i . Escribimos j j = rj X i=1 ↵j,r pj j , 0 0  ↵ . Defini↵j,i , para 0  ↵j,i j,i Hj = Hj,1 ⇥ Hj,2 ⇥ · · · ⇥ Hj,rj  G(pj ), 5Augustin Luis Cauchy nace el 21 de agosto de 1789 en Paris, Francia. Produjo 789 trabajos en matemáticas que en 1970 fueron publicados en 27 volúmenes. Su nombre está indisolublemente ligado al cálculo diferencial e integral, a las ecuaciones diferenciales, a la teorı́a de las funciones de variable compleja. Fue el primero en hacer un estudio riguroso sobre las condiciones de convergencia de series infinitas y tambien es el primero en dar una definición rigurosa de la integral. Su célebre texto COURS D’ANALYSE lo escribe para sus estudiantes y es ahı́ donde, de manera rigurosa, trata temas fundamentales del cálculo. En tan solo un año (1845 -1846), Cauchy escribe 25 artı́culos sobre sustituciones, concepto previo al de grupo. Muere el 23 de mayo de 1857 cerca de Paris. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 163 — #175 5.4 Productos directos i 163 ↵0 donde Hj,i = hxj,i i y o(xj,i ) = pj j,i . Es claro que Pr j o(Hj ) = pj i=1 ↵0j,i = pj j . Ahora observamos que el grupo H 0 = H1 ⇥ H2 ⇥ · · · ⇥ Hs satisface que 1. H 0  G(p1 ) ⇥ G(p2 ) ⇥ · · · ⇥ G(ps ). 2. o(H 0 ) = p1 1 p2 2 · · · ps s = d. Sabemos que G ⇡ G(p1 ) ⇥ G(p2 ) ⇥ · · · ⇥ G(ps ) por medio de algún 1 (H 0 ) = H, entonces H  G y o(H) = d. isomorfismo . Si ⇤ PROBLEMAS 1. Muestra que si G1 ⇥ G2 es un grupo cı́clico, entonces G1 y G2 son cı́clicos. ¿Es cierto que si G1 y G2 son cı́clicos, entonces G1 ⇥ G2 es cı́clico? 2. Sean G1 , G2 , . . . , Gn grupos y 2 Sn . Muestra que G1 ⇥ · · · ⇥ G n ⇡ G (1) ⇥ ··· ⇥ G (n) . 3. Supongamos que G ⇡ H ⇥ K es un producto directo interno. Demuestra que H / G y K / G. 4. Demuestra el corolario 5.4.4. 5. Demuestra el corolario 5.4.6. 6. Escribe todos los elementos y su tabla de multiplicar para cada uno de los siguientes grupos: a) Z2 ⇥ Z3 . b) Z3 ⇥ Z5 . c) Z2 ⇥ Z4 . 7. En el espacio vectorial Rn sobre el campo R, considera los siguientes subconjuntos: H = {(0, x2 , . . . , xn ) : xi 2 R}, K = {(x1 , 0, . . . , 0) : x1 2 R}. Muestra que H, K /Rn . Aplica el teorema 5.4.1 para concluir que Rn ⇡ H ⇥K. 8. Muestra que Zm ⇥ Zm no es isomorfo a Zm2 . 9. Sean G un grupo y D = {(g, g) : g 2 G}. Muestra que: a) Si G es abeliano, entonces D / G ⇥ G. El subgrupo D se conoce como el subgrupo diagonal de G. b) Si G es abeliano, entonces (G ⇥ G)/D ⇡ G. 10. En el grupo S3 considera el subgrupo diagonal D como en el problema anterior. Muestra que D 6 S3 ⇥ S3 . i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 164 — #176 164 i i Grupos 11. Si reemplazamos el enunciado del lema 5.4.10 por: G es un grupo finito y H  G cı́clico maximal, entonces para g 2 G se cumple que o(gH) = o(g) ¿seguirá siendo cierta la afirmación? 12. Sean G y G0 grupos abelianos finitos. Demuestra que la función f (b1 , b2 , . . . , br ) = (fp1 (b1 ), fp2 (b2 ), . . . , fpr (br )) que aparece en el teorema 5.4.16 es un isomorfismo. 13. Sea G un grupo abeliano finito. Muestra que los divisores elementales de G están determinados en forma única por G. 14. Determina todos los grupos abelianos de orden 64. ¿Cuántos son cı́clicos? 15. Un grupo abeliano G tiene divisores elementales 2, 23 , 5, 5, 52 . Determina: a) El orden del grupo G. b) Si G tiene subgrupos de orden 31,25,10,40,47,120. c) Los divisores elementales de un subgrupo de orden 20. 16. Sea G un grupo abeliano de orden 128. Elabora una lista de los posibles divisores elementales. ¿Cuántos grupos abelianos de orden 128 existen? ¿Cuáles de ellos son cı́clicos? 17. Encuentra todos los grupos abelianos de los siguientes órdenes (salvo isomorfismos): a) 32. b) 36. c) 215. d) 34. e) 17. 18. Escribe como producto directo de grupos cı́clicos los siguientes grupos: a) Z18 . b) Z3 ⇥ Z30 . c) Z125 . d) Z128 . e) Z30 ⇥ Z20 . f) Z7 ⇥ Z23 . 19. Sea G un grupo abeliano de orden 144. a) ¿Cuántos subgrupos de orden 8 tiene G? b) ¿Cuántos subgrupos de orden 9 tiene G? 20. Considera todos los grupos abelianos de orden n. ¿Cuáles de ellos son cı́clicos? 21. Sea (a, b) 2 Zn ⇥ Zm con o(a) = r y o(b) = s. Demuestra que o((a, b)) = mcm(r, s). En particular, si hai = Zn y hbi = Zm y mcd(n, m) = 1, entonces h(a, b)i = Zn ⇥ Zm es cı́clico de orden nm. En este caso Zn ⇥ Zm ⇡ Znm . 22. Sean p, q primos diferentes. Prueba que cualquier grupo abeliano de orden pq es cı́clico. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 165 — #177 5.5 Teoremas de Sylow i 165 23. Encuentra elementos x, y 2 F2 ⇥ Z de orden infinito tal que x + y es de orden finito. 24. Encuentra el subgrupo de torsión de los grupos F2 ⇥ Z y Z6 ⇥ Fp ⇥ Z, donde p es cualquier número primo. 25. En el corolario 5.4.18, justifica por qué el subgrupo H no necesariamente es único. 26. En G = F3 ⇥ Z9 definimos la siguiente operación (a, b) ? (a1 , b1 ) = (a + a1 , b + b1 + 3a1 b). a) Demuestra que G es un grupo no abeliano. b) Encuentra al neutro e identifica al inverso de (a, b). 5.5. Teoremas de Sylow El teorema de Lagrange establece que si G es un grupo finito, entonces o(H) | o(G) para todo subgrupo H de G. El recı́proco de este teorema es falso; se pueden dar ejemplos de grupos finitos los cuales no poseen subgrupos que corresponden a ciertos divisores de o(G). Por ejemplo, el grupo alternante A4 no tiene subgrupos de orden 6, también, el grupo A5 es de orden 60 y no tiene subgrupos de orden 30 ó 20 ó 15. Más adelante estudiaremos con más detalle al grupo A4 . En general, si p es un primo tal que p↵ | o(G) y p↵+1 - o(G) entonces G contiene al menos un subgrupo de orden p↵ . Este hecho fue descubierto en 1872 por el noruego L. Sylow y es uno de los ejemplos más sobresalientes en donde se muestra la conexión entre la aritmética de Z y las propiedades estructurales de un grupo. Sea G un grupo finito con o(G) = p↵ t0 y mcd(p, t0 ) = 1. Un subgrupo de G de orden p↵ lo llamaremos p-subgrupo de Sylow de G. ¿Qué podemos preguntarnos con esta definición?. Dado un grupo finito, ¿éste contiene al menos un p-subgrupo de Sylow? Si el grupo G tiene varios p-subgrupos de Sylow ¿existe alguna relación entre ellos? ¿cuántos p-subgrupos de Sylow tiene G, en caso de tener al menos uno? El objetivo de esta sección es dar respuesta a estas preguntas. Sea G un grupo. Definimos el centro de G como Z(G) = {g 2 G : gx = xg para toda x 2 G}. Si g 2 Z(G) y x 2 G, entonces x 1 gx = g 2 Z(G). Por tanto Z(G) / G. Más aún, si H  Z(G), entonces H / G. Ejemplo 5.5.1. Un grupo G es abeliano si y solo si Z(G) = G. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 166 — #178 166 i Grupos ✓ 1 1 1 0 ◆ ✓ 1 0 1 1 ◆ Ejemplo 5.5.2. Sean A = y B = 2 GL(2, R). ✓ ◆ a b Entonces C = 2 Z(GL(2, R)) si y solo si CX = XC para cualquier c d X 2 GL(2, R). En particular, AC = CA y CB = BC. Entonces ✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆ a a+b a+c b+d a+b b a b = y = . c c+d c d c+d d a+c b+d De lo anterior se sigue que a = d y b = c = 0. Por tanto ◆ n✓ o a 0 Z(GL(2, R)) = :a2R . 0 a Ejemplo 5.5.3. Consideremos el grupo S3 = { 1 , 2 , 3 , 4 , tal como en el ejemplo 5.2.7. Observemos los siguientes productos: 2 3 2 5 = = 5, 3 2 3, 5 2 Por lo tanto Z(S3 ) = { = = 6, 2 4 4, 2 6 = = 6, 4 2 4, 6 2 = = 5, 6} 5, 3. 1 }. Sea A ✓ G. Definimos el normalizador de A como N (A) = {g 2 G : gAg 1 = A}. Tenemos las siguientes propiedades del normalizador de un subconjunto del grupo G. Teorema 5.5.4. Sean G un grupo y A ✓ G. Entonces 1. N (A)  G. 2. Si A  G, entonces A / N (A). 3. Si A = {g}, entonces N (g) = {x 2 G : xgx 1 = g}. Demostración. Para la afirmación 1 sean g, g1 2 N (A). Entonces 1 (gg1 )A(gg1 ) = g(g1 Ag1 1 )g 1 = gAg 1 = A. Por tanto N (A) es cerrado bajo productos. Ahora veamos que N (A) contiene a los inversos. Si g 2 N (A), entonces g 1 Ag = g 1 (gAg 1 )g = (g 1 g)A(g 1 g) = A. Ası́ que N (A)  G. Para la segunda afirmación, vemos que si g 2 A  G, entonces gAg 1 = A y por tanto A  N (A). Por la definición de N (A) es claro que A / N (A). La tercera afirmación es consecuencia directa de la definición de normalizador. ⇤ i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 167 — #179 5.5 Teoremas de Sylow i 167 Corolario 5.5.5. H / G si y solo si N (H) = G. ⇤ Demostración. Es un fácil ejercicio para el lector. Palabras de precaución: dado un subgrupo H  G, éste no necesariamente es normal en G. La idea de introducir el concepto de normalizador es precisamente para ver cuál es el subgrupo de G más pequeño en donde H es normal. A continuación vamos a dar una estimación de o(N (g)). Sea G un grupo y g, g1 2 G. Diremos que g es conjugado de g1 si existe x 2 G tal que g = xg1 x 1 . Indicaremos este hecho escribiendo g ⇠ g1 . Lema 5.5.6. La relación ⇠ es de equivalencia. Demostración. Denotemos como e al neutro del grupo G. La relación ⇠ es reflexiva porque g = ege 1 ; es simétrica porque si g = xg1 x 1 , entonces x 1 gx = g1 . Es transitiva porque si g = xg1 x 1 y g1 = yg2 y 1 , entonces g = (xy)g2 (xy) 1 . ⇤ Si [g] denota la clase de equivalencia de g, entonces [g] = {xgx 1 : x 2 G}. Llamaremos a [g] la clase de conjugación de g. En particular, si G es un grupo finito, G tiene un número finito de clases de conjugación y por lo tanto cada clase de conjugación es finita. No todas las clases de equivalencia tienen la misma cardinalidad. Podemos verificar fácilmente que g 2 Z(G) si y solo si |[g]| = 1. Si g 62 Z(G), entonces |[g]| 2 pues al menos e, g 2 [g]. Lema 5.5.7. Sea G un grupo finito de orden n. Si g 2 G y h = |[g]|, n entonces o(N (g)) = . h Demostración. Primero notemos que [g] tiene la forma [g] = {g1 gg1 1 , g2 gg2 1 , . . . , gh ggh 1 }, donde g1 , g2 , . . . , gh 2 G son diferentes. Si x 2 gi N (g) \ gj N (g) con i 6= j, entonces existen m, n 2 N (g) tales que x = gi m = gj n. 1 Por lo anterior gj gi = nm 1 2 N (g). De la siguiente igualdad N (g) = {y 2 G : ygy 1 1 1 = g} = {y 2 G : yg = gy}, tenemos que gj gi g = ggj gi , de donde gi ggi De lo anterior se deduce que 1 = gj ggj 1 y por tanto i = j. gi N (g) \ gj N (g) = ;. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 168 — #180 168 i Grupos 1 Si x 2 G, entonces xgx algún i, 2 [g]. De esta forma obtenemos que para xgx 1 = gi ggi 1 . Por lo tanto (gi 1 x)g(gi 1 x) 1 = g, ası́ gi 1 x 2 N (g) y consecuentemente x 2 gi N (g). Hemos probado que cualquier x 2 G pertenece a algún gi N (g). Por lo tanto G = g1 N (g) [ · · · [ gh N (g). Finalmente notamos que n = h · o(N (g)). ⇤ Ahora estamos en el momento preciso de mostrar la existencia de los p-subgrupos de Sylow. Teorema 5.5.8 (Primer teorema de Sylow). Sea G un grupo finito con o(G) = p↵ t y mcd(p, t) = 1. Entonces G contiene al menos un p-subgrupo de Sylow. Demostración. La prueba la haremos por inducción sobre n = o(G). Si n = 2 entonces G ⇡ F2 y la afirmación del teorema es evidente pues G mismo es su propio 2-subgrupo de Sylow. Supongamos que el resultado es cierto para todo grupo finito de orden menor que n. Concluiremos la inducción considerando tres casos y apoyándonos en el subgrupo Z(G): 1. p | o(Z(G)). 2. p - o(Z(G)) y 1 < o(Z(G)) < t. 3. p - o(Z(G)) y (o(Z(G)) = 1 ó o(Z(G)) = t). Si p | o(Z(G)), como Z(G) es abeliano, por el corolario 5.4.18, Z(G) contiene un elemento x de orden p. Puesto que hxi / G podemos realizar el siguiente cálculo o(G/hxi) = o(G) p↵ t = = p↵ o(hxi) p 1 t < n, y mcd(p, t) = 1. Por lo anterior, G/hxi contiene un subgrupo de orden p↵ 1 de la forma H/hxi donde H es algún subgrupo de G que contiene a hxi. Calculemos o(H): o(H/hxi) = i i o(H) = p↵ o(hxi) 1 i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 169 — #181 5.5 Teoremas de Sylow i 169 y ası́ o(H) = p↵ . En este caso, G contiene al menos un subgrupo de tamaño p↵ . Para el caso 2 supongamos que p - o(Z(G)) y 1 < o(Z(G)) < t. Notemos primero que ⇣ G ⌘ o = p ↵ t1 < n Z(G) y mcd(t1 , p) = 1. Por hipótesis de inducción, G/Z(G) contiene un subgrupo de orden p↵ de la forma H/Z(G) y Z(G)  H. Por lo tanto o(H) = p↵ o(Z(G)) < p↵ t = n, pues 1 < o(Z(G)) < t. Nuevamente, haciendo uso de nuestra hipótesis de inducción, tenemos que H contiene un subgrupo H0 de orden p↵ . Para demostrar el caso 3, vamos ahora a suponer que p - o(Z(G)) y (o(Z(G)) = t ó o(Z(G)) = 1). Consideremos la siguiente descomposición de G G = C1 [ C2 [ · · · [ Cl , donde los Ci son las clases de conjugación descritas en el lema 5.5.6. Podemos reacomodar las clases de tal forma que para 1  i  s, Ci = {gi }, donde gi 2 Z(G). Notemos entonces que el nuevo arreglo de G es G = C1 [ C2 [ · · · [ Cs [ Cs+1 [ · · · [ Cl donde Z(G) = {g1 , . . . , gs }. Observamos que para 1  i  s, |Ci | = 1 y para s < i  l, |Ci | 2. En seguida vamos a mostrar que p no divide a |Ci | para toda i > s. Supongamos que para toda i > s, p | |Ci |. Entonces n= s X i=1 |Ci | + |Cs+1 [ · · · [ Cl | = o(Z(G)) + |Cs+1 | + · · · + |Cl | = o(Z(G)) + pw. Como p | n, tenemos que p | o(Z(G)), lo cual no es posible pues estamos en el caso p - o(Z(G)). Por lo tanto p - |Ci | para algún s < i  l. Sea x 2 Ci y consideremos el normalizador N (x). De acuerdo al lema 5.5.7 tenemos que |N (x)| = p↵ t t = p↵ < p↵ t. |Ci | |Ci | Por lo tanto el subgrupo N (x) contiene un subgrupo de orden p↵ que a su vez es subgrupo de G. ⇤ i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 170 — #182 170 i i Grupos La ecuación s X n= |Ci | + |Cs+1 [ · · · [ Cl | = o(Z(G)) + |Cs+1 | + · · · + |Cl | i=1 descrita en el primer teorema de Sylow es conocida como la ecuación de clase del grupo G. Ésta puede ser usada para deducir varios resultados importantes en teorı́a de grupos. Diremos que un grupo finito es un pgrupo si o(G) = pr , para algún r 2 N. Ası́ tenemos el siguiente resultado: Teorema 5.5.9. Sean p un número primo y G un p-grupo finito. Entonces o(Z(G)) > 1. Demostración. Supongamos que o(G) = pr , para algún r 2 N. Vamos a aprovechar la ecuación de clase: pr = o(Z(G)) + |Cs+1 | + · · · + |Cl |, donde Ci = [gi ] es como en el lema 5.5.6 y gi 62 Z(G) para i = s + 1, . . . , l. pr De acuerdo al lema 5.5.7, o(N (gi )) = donde hi = |[gi ]|. Entonces hi necesariamente p | |Ci | para i = s + 1, . . . , l. Por lo tanto p | o(Z(G)) y ası́ o(Z(G)) > 1. ⇤ Genial, cualquier p-grupo finito tiene centro no trivial y por tanto, un p-grupo tiene al menos tres subgrupos normales, ¿por qué? Lema 5.5.10. Si H  Z(G), entonces H / G. Demostración. Los elementos del subgrupo H conmutan con los elementos de G, entonces para x 2 G se tiene que xHx 1 = xx 1 H = H. ⇤ El análogo al primer teorema de Sylow para p-grupos finitos es el siguiente: Corolario 5.5.11. Si o(G) = pr , entonces G contiene un subgrupo normal H de orden pk para 1  k  r. Demostración. Inducción sobre r. Si r = 1, entonces H = G. Para p fijo, supongamos cierto el resultado para todos los p-grupos de orden menor a pr . Por el teorema anterior, o(Z(G)) = pi para algún i 1. De acuerdo al lema 5.5.10 tenemos que Z(G) / G, ası́ el grupo G/Z(G) tiene orden pr i < pr . Si k  i, aplicamos la hipótesis de inducción a Z(G), y en este caso Z(G) contiene un subgrupo H de orden pk . Por el lema 5.5.10, H / G. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 171 — #183 5.5 Teoremas de Sylow i 171 Si k > i, elegimos s tal que 1  s  r i y k = s + i. Por hipótesis de inducción, el grupo G/Z(G) contiene un subgrupo H ⇤ = H/Z(G) / G/Z(G) de orden ps y Z(G)  H  G. Es claro que o(H) = pk y H / G. ⇤ Después de haber justificado formalmente que un grupo finito contiene al menos un p-subgrupo de Sylow, resulta natural preguntarse si dos psubgrupos de Sylow guardan alguna relación entre ellos. Antes mostraremos una generalización del teorema de Lagrange. Sean G un grupo, H, K  G y g, g1 2 G. Diremos que g es conjugado de g1 módulo (H, K), si existe h 2 H y k 2 K tales que g = hg1 k. Escribimos g ⇠ g1 para indicar que g es conjugado de g1 módulo (H, K). Observemos que si g ⇠ g1 módulo (H, K), entonces no necesariamente g ⇠ g1 módulo (K, H). Sin embargo, esta nueva conjugación tiene las siguientes propiedades: Lema 5.5.12. Sean G un grupo y H, K  G. La relación ⇠ módulo (H, K) satisface: 1. Para todo g 2 G se cumple g ⇠ g módulo (H, K). 2. Si g ⇠ g1 módulo (H, K), entonces g1 ⇠ g módulo (H, K). 3. Si g ⇠ g1 y g1 ⇠ g2 módulo (H, K), entonces g ⇠ g2 módulo (H, K). Demostración. La afirmación 1 es evidente. Si g = hg1 k para ciertos elementos h 2 H, k 2 K, entonces g1 = h 1 gk 1 y por tanto g1 ⇠ g módulo (H, K). La afirmación 3 es sencilla de justificar pues si g = hg1 k y g1 = h1 g2 k1 para ciertos elementos h, h1 2 H, k, k1 2 K, entonces g = (hh1 )g2 (k1 )k y por tanto g ⇠ g2 módulo (H, K). ⇤ Puesto que ⇠ es de equivalencia, entonces ⇠ induce una partición en G y si o(G) < 1, tenemos que G solo tiene un número finito de clases de equivalencia módulo (H, K). El lector debe recordar el producto de subconjuntos de un grupo: HgK = {hgk : h 2 H, k 2 K}. Ası́, la clase de equivalencia [g] de g 2 G módulo (H, K) está descrita precisamente como: HgK = {hgk : h 2 H, k 2 K}. Por tanto, tenemos la siguiente descomposición de G en clases de equivalencia G = Hg1 K [ Hg2 K [ · · · [ Hgw K. A continuación vamos a descomponer el orden de un grupo finito en términos de las cardinalidades de las clases de equivalencia módulo (H, K). i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 172 — #184 172 i Grupos Teorema 5.5.13 (Lema de Frobenius o Cauchy6). Sean G un grupo finito de orden n y H, K  G con o(H) = n1 y o(K) = n2 . Si ri = l X n1 n2 |gi 1 Hgi \ K|, entonces n = . ri i=1 Demostración. Sean [g1 ], . . . , [gl ] las clases de equivalencia de G tal como están descritas en el lema 5.5.12. Es claro que [gi ] = Hgi K, Hgi K \ Hgj K = ; (i 6= j), G= l [ Hgi K. i=1 Por lo tanto, o(G) = l X i=1 |Hgi K| = n. Si Hgi K = {xi , . . . , xw }, entonces gi 1 Hgi K = {gi 1 x1 , . . . , gi 1 xw }, por lo cual |Hgi K| = |gi 1 Hgi K|. De la misma manera observamos que |gi 1 Hgi | = |H|. Por otro lado, gi 1 Hgi es un subgrupo de G, ası́ que de acuerdo al ejercicio 23 de la sección 5.3 |(gi 1 Hgi )K| = Por lo tanto, n = l X i=1 |gi 1 Hgi ||K| |H||K| n1 n2 = = . 1 ri ri |gi Hgi \ K| |Hgi K| = l X i=1 1 |gi Hgi K| = l X n1 n2 i=1 ri . ⇤ Teorema 5.5.14 (Segundo teorema de Sylow). Sea G como en el primer teorema de Sylow. Si H, K son p-subgrupos de Sylow de G, entonces existe g 2 G tal que H = gKg 1 , esto es, cualesquiera dos p-subgrupos de Sylow son conjugados. 6Este lema también es conocido en la literatura como lema de Burnside. William Burnside demostró este famoso resultado en su libro On the theory of groups of finite order (Theorem III pp. 122) y lo atribuyó a Frobenius. Sin embargo, aparentemente el lema ya era conocido por A. Cauchy en 1845. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 173 — #185 5.5 Teoremas de Sylow i 173 Demostración. Sea {Hgi K}li=1 la partición de G módulo (H, K). l [ Puesto que G = Hgi K y o(H) = o(K) = p↵ , entonces i=1 n= l X p2↵ i=1 1 ri = p↵ t, donde ri = |gi Hgi \ K|. Recordemos que gi 1 Hgi \ K es subgrupo de K. Por el teorema de Lagrange ri = o(gi 1 Hgi \ K) = p i para algún 0  i  ↵. Observemos el siguiente desarrollo: p↵ t = l X p2↵ i=1 ri = ⇣ p↵ p↵ p2↵ p2↵ p2↵ p↵ ⌘ + + ··· + = p↵ + + ··· + . r1 r2 rl r1 r2 rl p ↵ p↵ p↵ + + · · · + . Tenr1 r2 rl  ↵. Como p - t, entonces necesaria- Cancelando en ambos lados p↵ tenemos que t = gamos presente que ri = p i y 0  i p↵ mente alguna fracción = 1 y ası́ p↵ = ri . Por lo tanto ri i =↵ y gi 1 Hgi \ K = K. Esto último quiere decir que gi 1 Hgi ✓ K, pero o(H) = o(gi 1 Hgi ) = o(K), entonces gi 1 Hgi = K y K, H son conjugados. ⇤ Corolario 5.5.15. Sea H un p-subgrupo de Sylow de G. Entonces H es el único p-subgrupo de Sylow de G si y solo si H / G. Demostración. Supongamos que H /G y sea K cualquier p-subgrupo de Sylow. Entonces para alguna g 2 G se tiene que g 1 Hg = K. Por hipótesis, H / G, entonces g 1 Hg = H. Por lo tanto H = K. Para la otra implicación observemos que para g 2 G, el subgrupo g 1 Hg es de orden p↵ , es decir, g 1 Hg es un p- subgrupo de Sylow. Como H / G, tenemos que H = g 1 Hg para todo g 2 G. Ası́, H es el único p-subgrupo de Sylow. ⇤ Lema 5.5.16. Sean H un p-subgrupo de Sylow de G y N (H) el normalizador de H. Entonces el número de p-subgrupos de Sylow de G es [G : N (H)]. Demostración. Consideremos la siguiente descomposición de G: G = g1 N (H) [ g2 N (H) [ · · · [ gl N (H) i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 174 — #186 174 i Grupos con l = [G : N (H)] y gi 6= gj para i 6= j. Puesto que o(H) = o(gi Hgi 1 ), entonces los siguientes subgrupos son p-subgrupos de Sylow: g1 Hg1 1 , g2 Hg2 1 , . . . , gl Hgl 1 . Mostraremos que éstos son diferentes y después veremos que cualquier psubgrupo de Sylow de G ya está contemplado en la lista anterior. Supongamos que para i 6= j se cumple que gi Hgi 1 = gj Hgj 1 . Entonces (gj 1 gi )H(gj 1 gi ) 1 = H, 1 y ası́ gj gi 2 N (H). Por lo tanto gi 2 gj N (H). De lo anterior gi N (H) ✓ gj N (H). Puesto que |N (H)| = |gi N (H)| = |gj N (H)|, tenemos la igualdad gi N (H) = gj N (H), lo cual no es posible. De esta forma tenemos que los p-subgrupos g1 Hg1 1 , g2 Hg2 1 , . . . , gl Hgl 1 son diferentes. Para ver que son todos, sea K cualquier p-subgrupo de Sylow de G. Entonces por el segundo teorema de Sylow K = gHg 1 para algún elemento g 2 G. Recordemos que G = g1 N (H) [ g2 N (H) [ · · · [ gl N (H). Por lo tanto para un único 1  i  l se tiene que g 2 gi N (H). Ası́ g = gi n para algún n 2 N (H). De lo anterior deducimos que K = (gi n)H(gi n) 1 = gi (nHn 1 )gi 1 = gi Hgi 1 . ⇤ Es importante saber que si H es un p-subgrupo de Sylow de G, entonces el número [G : N (H)] cuenta cuántos p-subgrupos de Sylow contiene el grupo G. En particular, si H / G, entonces N (H) = G y ası́ [G : N (H)] = [G : G] = 1. Esta es otra forma de justificar el corolario 5.5.15. El problema de aplicar el lema anterior para contar cuántos p-subgrupos de Sylow contiene un grupo finito G, radica en que es difı́cil encontrar el normalizador N (H). A pesar de esto, podemos dar más pistas. Teorema 5.5.17 (Tercer teorema de Sylow). Si t denota el número de p-subgrupos de Sylow de G, entonces t | o(G) y t ⌘ 1 (mod p). Demostración. Como consecuencia del lema anterior t = [G : N ] donde N es el normalizador de algún p-subgrupo de Sylow de G. Solo queda mostrar que t ⌘ 1 (mod p). Sea H un p-subgrupo de Sylow. Con i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 175 — #187 5.5 Teoremas de Sylow i 175 los subgrupos H y N (H) consideremos la descomposición de G como en el lema 5.5.12: G = Hg1 N (H) [ Hg2 N (H) [ . . . [ Hgw N (H). Puesto que e 2 Hgi N (H) para algún i, entonces podemos suponer sin pérdida de generalidad que g1 = e y por tanto Hg1 N (H) = N (H). Sea o(N (H)) = r = p↵ m0 con mcd(m0 , p) = 1. De acuerdo al teorema 5.5.13 tenemos que w X p↵ r ↵ n = to(N (H)) = tr = tp m0 = , ri i=1 1 donde ri = |gi Hgi \ N (H)|. En particular r1 = |H \ N (H)| = o(H) = p↵ . w X r Observemos que tm0 = y por tanto ri i=1 w w w w X X X X 1 1 p↵ p↵ ↵ tm0 = r = p m0 = m0 = m0 (1 + ). ri ri ri ri i=1 Ası́ t = 1 + w X i=2 i=1 i=1 i=2 p↵ y por lo tanto solo nos queda mostrar que para i ri 2 se cumple ri = p i y i < ↵. Es claro que ri = p i pues gi 1 Hgi \ N (H)  H y o(H) = p↵ . Supongamos que para algún i 2, ri = p↵ . Entonces 1 gi Hgi \ N (H) es un p-subgrupo de Sylow contenido en N (H). Puesto que también H es un p-subgrupo de Sylow contenido en N (H) y H / N (H), aplicando el corolario 5.5.15, gi 1 Hgi \ N (H) = H. De esta forma gi 1 Hgi ✓ H. Por lo tanto, gi 1 Hgi = H pues ambos tienen la misma cardinalidad. De la igualdad anterior se sigue que gi 2 N (H) y ası́ Hgi N (H) = Hg1 N (H) = HeN (H) = HN (H) = N (H). Esto último no es posible pues la familia {Hgi N (H)}w i=1 es una partición de G y nosotros hemos mostrado que para alguna i 2 se cumple que Hgi N (H) = Hg1 N (H) = N (H). Por lo tanto, para toda i 2, ri = p w ↵ X p t=1+ se sigue que t ⌘ 1 (mod p). ri i y i < ↵. De la igualdad ⇤ i=2 i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 176 — #188 176 i i Grupos Diremos que un grupo finito G es simple si sus únicos subgrupos normales son {e} y él mismo. Ejemplo 5.5.18. Sea G cualquier grupo de orden 28. El número t de 7-subgrupos de Sylow de G es un divisor de 28 y este número se encuentra en {1, 2, 4, 7, 14, 28}. Además t ⌘ 1 (mod 7). El único número del conjunto {1, 2, 4, 7, 14, 28} que satisface el tercer teorema de Sylow es 1. Por lo tanto, cualquier grupo de orden 28 no es simple pues tiene un 7 subgrupo de Sylow y como es único, es normal en G. Si denotamos con la misma variable t al número de 2-subgrupos de Sylow de G, entonces t = 1, 7. Por tanto, cualquier grupo de orden 28 tiene un único subgrupo de orden 7 y 1 ó 7 2-subgrupos de Sylow. Cualquiera que sea el caso, G no es simple. Ejemplo 5.5.19. Si G es finito, M / G maximal, entonces G/M es simple. En efecto, recordemos que M es maximal si M  K / G, entonces M = K ó K = G. Si K/M / G/M , por la maximalidad de M tenemos que M  K  G y M = K ó K = G. Cualquiera que sea el caso, K/M = {e} ó K/M = G/M , es decir, G/M es simple. Ası́, con subrupos maximales normales podemos construir grupos simples. Ejemplo 5.5.20. A5 es simple. Ver el teorema 5.7.28. Ejemplo 5.5.21. Sea p un número primo. Consideremos el grupo abeliano finito Fp . Vamos a mostrar que Fp es simple. Como Fp es abeliano, todos sus subgrupos son normales. Lo que vamos a mostrar es que cualquier subgrupo distinto de {0} debe ser Fp . Sea H  Fp tal que H 6= {0}. Por el teorema de Lagrange 5.1.49, tenemos que o(H) | p. Por tanto o(H) = 1, p, pero H 6= {0}, ası́ o(H) = p y Fp es simple. Ejemplo 5.5.22. Sea n 2 N compuesto, digamos que n = dt con 1 < d, t < n. El grupo Zn es cı́clico y d | n. De acuerdo al teorema inverso de Lagrange para grupos cı́clicos finitos 5.1.62, Zn contiene un único subgrupo H de orden d y por tanto Zn no es simple. 5.6. Importancia de los grupos simples finitos Es obligado y necesario hablar de la importancia de los grupos simples, cuya similitud con los números primos es incuestionable. Expliquemos: Si G es un grupo finito, podemos considerar la siguiente cadena de subgrupos de G: {e} = H0 / H1 / H2 / . . . / Hr 1 / Hr = G, i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 177 — #189 5.6 Importancia de los grupos simples finitos i 177 de tal manera que no podamos insertar un subgrupo H en Hi 1 / H / Hi , para i = 1, . . . , r. Lo anterior significa que cada Hi es un subgrupo normal maximal en Hi+1 y de acuerdo al ejemplo 5.5.19, el cociente Hi+1 /Hi es un grupo simple. Una cadena de subgrupos H0 , . . . , Hr que satisface lo anterior se conoce como serie de composición del grupo G. Teorema 5.6.1. Cualquier grupo finito contiene al menos una serie de composición. Demostración. La prueba es un bello ejercicio de inducción sobre el orden de G. Si G = {e}, entonces {e} = H0 = G es una serie de composición de G. Supongamos que o(G) > 1. Consideremos S = {o(H) : H / G, H 6= G}. Puesto que G es finito, elegimos H / G de orden máximo en S. Ası́, o(H) < o(G) y por hipótesis de inducción H posee al menos una serie de composición {e} = H0 / H1 / H2 / . . . / Hr 1 = H. Por lo tanto, G posee al menos la serie de composición {e} = H0 / H1 / H2 / . . . / Hr 1 ⇤ = Hr = H / G. Lo sorprendente de cada serie de composición de un grupo finito G es que cada grupo factor Hi /Hi 1 es un grupo simple y además: r Y o(G) = o(Hi /Hi 1 ). i=1 Teorema 5.6.2 (Jordan-Hölder). Sea G un grupo finito con dos series de composición {e} = H0 / H1 / H2 / . . . / Hr 1 / Hr = G, {e} = K0 / K1 / K2 / . . . / Ks 1 / Ks = G. Entonces r = s y existe 2 Sr+1 tal que K (i) /K (i 1) ⇡ Hi /Hi Demostración. Ver [17] Theorem 5.12. 1. ⇤ Ası́, cualquier grupo finito contiene una factorización (serie de composición) única. Aunque los grupos factores Hi /Hi 1 no determinan a G, ellos ejercen control sobre la estructura bruta de G. La pregunta natural que ahora surge es ¿quiénes son los grupos simples finitos? Una vez que los conozcamos a todos, podremos juntarlos y construir todos los grupos finitos. Es en este sentido que el teorema de Jordan-Hölder es la versión para grupos finitos del teorema fundamental de la aritmética en Z. Aunque i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 178 — #190 178 i i Grupos ya se sabe quiénes son todos los grupos simples finitos, escapa al objetivo de estas notas una demostración del mismo y por tal motivo no daremos la definición de grupo tipo Lie y grupo esporádico. Invito al lector a leer el estupendo artı́culo del profesor R. Solomon [21]. Teorema 5.6.3 (Teorema de clasificación). Cada grupo simple finito es isomorfo a uno de los siguientes grupos: 1. 2. 3. 4. Un grupo de orden primo. Un grupo alternante An con n 6= 4. Un grupo de tipo Lie. Uno de los 26 grupos esporádicos. Desafortunadamente no podemos dar una cita al teorema de clasificación para que el lector interesado pudiera ver la prueba porque aún, hasta donde sabemos, no se ha podido recolectar por completo, ésta se encuentra esparcida en la literatura. Lo que es cierto, es que el teorema de clasificación es el resultado más importante en la teorı́a de grupos finitos y con el tiempo ha aumentado su importancia en otras ramas de las matemáticas. ¿Qué está detrás de los grupos simples finitos? Estamos en el año 1831, 61 años antes que apereciera el famoso artı́culo de O. Hölder [15]. Es Evariste Galois el que tiene el honor de haber encontrado la solución al problema de resolver ecuaciones polinomiales por medio de operaciones elementales (sumas, restas, productos, divisiones y extracción de raı́ces). Galois tuvo la genial idea de asociar a un polinomio un grupo de permutaciones de sus raı́ces. Este grupo preserva relaciones algebraicas entre las mismas y, en particular, mide la posibilidad de resolver la ecuación por medio de operaciones elementales. Esto se refleja en la estructura del grupo asociado al polinomio en cuestión. En una serie de artı́culos publicados por Galois en el Bulletin des Sciences mathématiques, astronomiques, physiques et chimiques del Barón de Férussac, en la Mémoire: Sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux, la Proposition V puede leerse (en lenguaje moderno) como: Teorema 5.6.4 (Teorema de Galois). Sea f (x) un polinomio con coeficientes en un campo F y suponga que f (x) tiene solo raı́ces simples en cualquier campo que contenga a F . La ecuación f (x) = 0 es soluble por radicales sobre F si y solo si el grupo de Galois G(f, F ) asociado al polinomio i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 179 — #191 5.6 Importancia de los grupos simples finitos i 179 f (x) contiene una sucesión de subgrupos {e} = H0 / H1 / H2 / . . . / Hr y el ı́ndice [Hi : Hi 1] 1 / Hr = G(f, F ) es un número primo para i = 1, . . . , r. Notamos que la propiedad [Hi : Hi 1 ] es primo significa que Hi 1 es un subgrupo normal maximal de Hi , es decir, el grupo cociente Hi /Hi 1 es un grupo simple. Fantástico, en la época de Galois, aún no se conocı́a el concepto de grupo. El lector interesado en la prueba del teorema de Galois puede ver [18], Theorem 98. PROBLEMAS 1. Muestra que cualquier grupo de orden pn contiene al menos un subgrupo normal de orden pn 1 . 2. Usa el teorema 5.5.9 para mostrar que si G es un p-grupo finito que no es un campo, entonces G no es simple. 3. Supongamos que pi | o(G). Muestra que G contiene al menos un subgrupo de orden pi . 4. Prueba que cualquier grupo de orden 50 tiene al menos un subgrupo normal no trivial y por tanto no es simple. 5. Sean G un grupo finito y H  G. Muestra que si o(H) = pk , entonces H está contenido en algún p-subgrupo de Sylow de G. 6. Sea G un grupo de orden 6. Muestra que si G no es cı́clico, entonces G ⇡ S3 . En pocas palabras, solo existen dos grupos (salvo isomorfismos) de orden 6. 7. Sean p > 2 un número primo y n 2 N. Muestra que si G es un grupo de orden 2pn , entonces G no es simple. 8. Sean p > 5 un número primo y G un grupo de orden 6p. Muestra que G no es simple. 9. Muestra que cualquier grupo de orden 56 no es simple. 10. Muestra que cualquier grupo de orden 42 no es simple. 11. Encuentra el número de los 2-subgrupos de Sylow de S4 . 12. Sea p un número primo tal que p | 12. Encuentra el número de p-subgrupos de Sylow de A4 . ¿Es alguno normal en A4 ?. 13. Sea G un grupo de orden 15. Muestra que G es cı́clico. 14. Sea G un grupo de orden pq, donde p, q son primos diferentes, p < q y q no es congruente con 1 módulo p. Muestra que G es cı́clico. Si q es congruente con 1 módulo p, entonces existe un único grupo no abeliano de orden pq. 15. Sean p 6= q primos y G un grupo de orden p2 q. Muestra que G no es simple. 16. Sea G un grupo de orden 30. i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 180 — #192 180 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. i i Grupos a) Encuentra el número de los 3-subgrupos de Sylow y 5-subgrupos de Sylow de G. b) Muestra que si el 3-subgrupo de Sylow es normal en G, entonces el 5subgrupo de Sylow no es normal en G e inversamente. c) Muestra que G contiene un subgrupo normal de orden 15. Sean p 6= q números primos y G un grupo de orden pq n para algn n 2 N. Muestra que para cualquier divisor d de pq n , G contiene un subgrupo de orden pq n d ó . d Proporciona un ejemplo de un grupo G en donde ser conjugados módulo (H, K) no es lo mismo que ser conjugados módulo (K, H). Proporciona un ejemplo de un grupo G en donde ser conjugados módulo (H, K) es lo mismo que ser conjugados módulo (K, H). Muestra que el teorema de Lagrange es un caso particular del teorema 5.5.13. Muestra que cualquier grupo abeliano finito G contiene un único p-subgrupo de Sylow. Muestra que G es isomorfo al producto directo de sus p-subgrupos de Sylow. ¿Puedes decir concretamente de qué forma son estos p-subgrupos? Sean H, K p-subgrupos de Sylow de un grupo G. ¿Existe alguna relación entre N (H) y N (K)? Encuentra un ejemplo de un grupo G y un subgrupo H tal que N (H) = G. 5.7. Grupo simétrico Consideremos un conjunto arbitrario X = {a, b, c, . . . }. Una permutación de X es una función biyectiva : X ! X. Sea SX = { permutaciones de X}. Puesto que la composición de funciones biyectivas es biyectiva y la función inversa de una función biyectiva es biyectiva, entonces SX es un grupo con operación binaria la composición de funciones donde " es la función identidad en X. Formalmente tenemos que f : SX ⇥ SX ! SX definida como f (( , )) = es la operación binaria que hace de SX un grupo. La expresión es la composición de las permutaciones y , es decir, ( )(x) = ( (x)) para toda x 2 X. La composición es la evaluación de derecha a izquierda, tal como siempre se componen las funciones. En esta sección escribiremos en lugar de . En particular, para n 2 N0 definimos 1 = y una vez que hemos definido n 1 , tenemos n 1 . Con la notación que hemos convenido desde el ejemplo que n = 5.1.9, la composición queda descrita como: i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 181 — #193 5.7 Grupo simétrico = = ✓ ✓ i 181 1 (1) 1 ( (1)) 2 ··· (2) · · · n (n) 2 ··· ( (2)) · · · ◆✓ 1 (1) 2 ··· (2) · · · ◆ n . ( (n)) n (n) ◆ Como caso particular de la discusión anterior, si X es un conjunto finito de cardinalidad n, entonces escribimos Sn en lugar de SX y nos referimos al grupo Sn con el nombre de grupo simétrico en n letras. Por el momento vamos a suponer que X = {x1 , x2 , . . . , xn }. Teorema 5.7.1. Sn es un grupo de orden n! Demostración. Si 2 Sn , entonces (x1 ) puede ser cualquiera de los elementos x1 , x2 , . . . , xn . Supongamos que (x1 ) = xi . Puesto que es inyectiva entonces (x2 ) puede ser cualquiera de los elementos x1 , . . . , xi 1 , xi+1 , . . . , xn . Supongamos que (x2 ) = xj . Entonces (x3 ) puede ser cualquiera de los n 2 elementos que quedan al omitir xi , xj del conjunto {x1 , x2 , . . . , xn }. Por tanto (x1 ) puede ser elegido de n maneras, (x2 ) puede ser elegido de n 1 formas, y en general (xj ) puede ser elegido de n (j 1) maneras. Por tanto, existen n! maneras de elegir a . ⇤ Si X = {x1 , . . . , xn }, entonces la cardinalidad de X no es afectada por la naturaleza de sus elementos, ası́ que podemos suponer que X = {1, 2, . . . , n}. Por tanto, un elemento 2 Sn es una permutación de los n enteros 1, 2, . . . , n y es cómodo describir a escribiendo 1, 2, . . . , n y debajo de ellos su imagen bajo . Ejemplo 5.7.2. Si 2 S5 es tal que (1) = 1, (4) = 2 y (5) = 5, entonces escribimos ✓ ◆ 1 2 3 4 5 = . 1 3 4 2 5 (2) = 3, (3) = 4, Ejemplo 5.7.3. Sea 2 S6 definida como (1) = 3, (2) = 5, (3) = 6, (4) = 2, (5) = 1 y (6) = 4. Entonces ✓ ◆ 1 2 3 4 5 6 = . 3 5 6 2 1 4 i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 182 — #194 182 i i Grupos 1 . Primero recordemos que 2 Sn , podemos describir fácilmente 1 ( (j)) = ( )(j) = j para todo j 2 X. Si (j) = i, entonces j = 1 (i), es decir, mientras que 1 manda j en i, regresa i en j. ✓ ◆ 1 2 3 4 5 6 Ejemplo 5.7.4. Sea = 2 S6 . Entonces 3 5 6 2 1 4 ✓ ◆ 1 2 3 4 5 6 1 = . 5 4 1 6 2 3 Si 1 Sean i1 , i2 , . . . , ir elementos diferentes de X. El arreglo (i1 , . . . , ir ) denota el elemento de Sn que manda i1 en i2 , i2 en i3 , . . . , ir 1 en ir , ir en i1 y cualquier otro elemento lo manda en sı́ mismo. La permutación (i1 , i2 , . . . , ir ) la llamaremos ciclo de longitud r y en el caso particular r = 2 diremos que (i1 , i2 ) es una transposición. Notemos que el orden de las entradas de un ciclo no es única, por ejemplo (3, 1, 4) = (4, 3, 1) = (1, 4, 3), pero (3, 1, 4) 6= (3, 4, 1). En general tenemos que (i1 , i2 , . . . , ir ) = (i2 , i3 , . . . , ir , i1 ) = · · · = (ir , i1 , . . . , ir 2 , ir 1 ). ✓ ◆ 1 2 3 4 5 Ejemplo 5.7.5. (1, 3, 5) 2 S5 es la permutación . 3 2 5 4 1 ✓ ◆ 1 2 3 4 5 6 7 8 Ejemplo 5.7.6. (7, 2, 4) = 2 S8 . 1 4 3 7 5 6 2 8 ✓ ◆ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ejemplo 5.7.7. (6, 8, 9) = 2 S9 . 1 2 3 4 5 8 7 9 6 Sean , 2 Sn . Diremos que y son permutaciones ajenas si para cualquier j 2 X tal que (j) 6= j implica que (j) = j. En pocas palabras, los elementos que mueve son dejados fijos por . Ejemplo 5.7.8. (7, 2, 4) y (6, 8, 9) son permutaciones ajenas en S9 y ✓ ◆ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (7, 2, 4)(6, 8, 9) = (6, 8, 9)(7, 2, 4) = . 1 4 3 7 5 8 2 9 6 Ejemplo 5.7.9. Las permutaciones ✓ ◆ ✓ ◆ 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 , 3 2 5 4 1 3 4 1 2 5 i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 183 — #195 5.7 Grupo simétrico i 183 no son ajenas y ✓ ◆✓ ◆ ✓ ◆✓ ◆ 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6= . 3 2 5 4 1 3 4 1 2 5 3 4 1 2 5 3 2 5 4 1 Lema 5.7.10. Si , . 2 Sn son permutaciones ajenas, entonces = Demostración. Sea i 2 {1, 2, . . . , n}. Si (i) = j 6= i, entonces (j) 6= j pues es inyectiva ( (i) = j = (j)). Puesto que y son permutaciones ajenas, (i) = i y (j) = j. Ası́ (i) = ( (i)) = (j) = j = (i) = ( (i)) = Si (i) = i, entonces (i) = j 6= i pues sigue igual que en el caso anterior. Teorema 5.7.11. Si producto de ciclos ajenos. l (i (i). y son ajenas. El resultado se ⇤ 2 Sn , entonces se puede expresar como un Demostración. Sea i1 2 X y l el menor entero positivo tal que 1 ) = i1 . Consideremos el conjunto y supongamos que {i1 , (i1 ), 2 (i1 ) = i2 , 2 (i1 ), . . . , l 1 (i1 ) = i3 , . . . , (i1 )} l 1 (i1 ) = il . Sea k 2 X tal que k 6= ij para 1  j  l. Entonces para alguna t 2 Z se tiene que t (k) = k y por lo tanto los ciclos (k, (k), 2 (k), . . . , t 1 (k)), . . . , (i1 , (i1 ), 2 (i1 ), . . . , l 1 (i1 )) son ajenos, pues de lo contrario, si r (k) = w (i1 ), entonces r w (k) = i1 y esto contradice la elección de k. Sea j 2 X tal que j 6= r (i) y j 6= r (k) para cualquier r 2 Z. Entonces el ciclo (j, (j), 2 (j), . . . , s 1 (j)), i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 184 — #196 184 i Grupos con s elegido de tal manera que (i, (i), 2 (i), . . . , l 1 s (j) = j, es ajeno con los ciclos (i)), . . . , (k, (k), 2 (k), . . . , t 1 (k)). El proceso que acabamos de describir es finito y el producto de estos ciclos ajenos es . ⇤ Veamos con un ejemplo que la demostración del teorema 5.7.11 es un algoritmo que se puede aplicar directamente a cualquier permutación particular. Ejemplo 5.7.12. Consideremos la siguiente permutación ✓ ◆ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = . 4 6 7 3 2 9 1 8 5 Para descomponer simplemente observemos que la clave está en el segundo renglón de la demostración del teorema. En nuestro caso y por lo tanto el primer ciclo en la descomposición de es (1, (1) = 4, 2 (1) = 3, 3 4 (1) =1 (1) = 7) = (1, 4, 3, 7). El siguiente ciclo es (2, (2) = 6, 2 (2) = 9, 3 (2) = 5) = (2, 6, 9, 5). El lector puede verificar fácilmente que (1, 4, 3, 7)(2, 6, 9, 5) = . Corolario 5.7.13. Cualquier permutación es producto de transposiciones. Demostración. Consideremos el r-ciclo (i1 , i2 , . . . , ir ). Un simple cálculo nos muestra que (i1 , i2 , . . . , ir ) = (i1 , ir )(i1 , ir 1 ) · · · (i1 , i3 )(i1 , i2 ). ⇤ Corolario 5.7.14. Las transposiciones (1, 2), (1, 3), . . . , (1, n) generan Sn . Demostración. Es suficiente expresar la transposición (i, j) en términos de (1, 2), (1, 3),. . . ,(1, n). Esto último es claro pues (i, j) = (1, i)(1, j)(1, i). La afirmación anterior proviene del siguiente producto: ✓ ◆ ✓ ◆ 1 ... i ... j ... n 1 ... i ... j ... n = · 1 ... j ... i ... n i ... 1 ... j ... n ✓ ◆ ✓ ◆ 1 ... i ... j ... n 1 ... i ... j ... n · ⇤ j ... i ... 1 ... n i ... 1 ... j ... n i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 185 — #197 5.7 Grupo simétrico i 185 Es posible que alguna permutación pueda ser expresada en diferentes maneras como un producto de transposiciones. Por ejemplo, es fácil verificar que el 4-ciclo (1, 2, 3, 4) = (1, 4)(1, 3)(1, 2) = (4, 3)(4, 2)(4, 1). En este sentido, la factorización de un r-ciclo no es única. Sin embargo, el número de transposiciones en cualquier factorización de es siempre par o siempre impar. Este hecho es de vital importancia pues nos ayudará a definir uno de los subgrupos más importantes de Sn , el grupo alternante An y ese será el motivo de nuestra siguiente discusión. En lo que sigue vamos a suponer n 3 puesto que los grupos simétricos S1 y S2 tienen una estructura aritmética elemental. Consideremos n variables independientes x1 , . . . , xn . Para 1  i < j  Y n definimos el discriminante n = (xi xj ). Ilustremos con un par 1i<jn de ejemplos. Ejemplo 5.7.15. Si n = 3, entonces 3 = (x1 x2 )(x1 x3 )(x2 x3 ). Ejemplo 5.7.16. Si n = 4, entonces 4 = (x1 x2 )(x1 x3 )(x1 x4 )(x2 x3 )(x2 Lema 5.7.17. El número de factores en n es x4 )(x3 n2 n 2 x4 ). . Demostración. Observamos primero que si desplegamos los factores de n tenemos que Y 1i<jn (xi xj ) = n Y (x1 i=2 n Y i=n 2 xi ) n Y (x2 i=3 (xn 3 xi ) xi ) · · · n Y i=n 1 (xn 2 xi ) n Y (xn 1 xn ). i=n Ahora contemos el número de factores en cada producto. El primer producto tiene n 1 factores, el segundo producto tiene n 2 factores, el tercero tiene n 3, el (n 3)-ésimo producto tiene n (n 3) factores, i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 186 — #198 186 i Grupos el penúltimo tiene n (n 2) factores y el último producto tiene solo un factor. Ası́ que, el número total de factores es: (n 1) + (n 2) + · · · + 3 + 2 + 1 = 2 Sn definimos Para ( n) = Y (x (n 1)n 2 x (i) (j) ) i<j = n2 n 2 ⇤ . con 1  i, j  n. Para ilustrar esta definición consideremos el siguiente ejemplo. Ejemplo 5.7.18. Sea 4 = (x1 x2 )(x1 = (1, 3)(2, 4) 2 S4 . Entonces x3 )(x1 x4 )(x2 x3 )(x2 x4 )(x3 x4 ) y por tanto ( 4) = (x3 x4 )(x3 x1 )(x3 = (x1 x2 )[ (x1 x2 )(x4 x3 )][ (x1 x1 )(x4 x4 )][ (x2 [ (x2 x4 )](x3 x2 )(x1 x3 )] x4 ) = Si = (i, j) es cualquier transposición, entonces ( n ) = solo intercambia i con j y los demás los deja fijos. Escribiremos de n y no habrá peligro de confusión. Lema 5.7.19. Si x2 ) 4. pues en lugar n 2 Sn , entonces ( ) = ± . Demostración. Sean i, j 2 X. Un factor tı́pico de ( ) es de la forma x (i) x (j) . Si (i) < (j), entonces x (i) x (j) es un factor Y que aparece en el producto (xi xj ). Si por el contrario, (i) > (j), i<j entonces x (i) x (j) no es un factor en y sin embargo (x (i) x (j) ) sı́ es un factor en . Sea m el número de veces que (j) < (i), entonces ( ) = ( 1)m = ± . ⇤ Para 2 Sn definimos el signo de como ⇢ 1 si ( ) = sgn( ) = 1 si ( ) = Lema 5.7.20. Si i i 2 Sn , entonces ( )= . ( ). i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 187 — #199 5.7 Grupo simétrico i 187 Demostración. De la igualdad = (x1 x2 ) Y x1 ) Y ) = (x x (2) = (x = Y (1) (x xj ) (x1 x2 ) Y (i) (x (x (1) Y (x (2) ) (i) (xi . x (j) ) i<j (1) ) x x2 ) i<j Por tanto ( xj ) (x1 se sigue que = (x2 (xi i<j x x (2) ) x (i) (j) ) i<j (x (j) ) (1) = x (2) ) ⇤ ( ). i<j Lema 5.7.21. Si , ⌧ 2 Sn , entonces 1. sgn(") = 1. 2. sgn( ⌧ ) = sgn( )sgn(⌧ ). 3. sgn( 1 ) = sgn( ) 1 = sgn( ). Demostración. La primera afirmación es trivial pues "( ) = la segunda afirmación usamos el lema 5.7.20. Ası́ tenemos que . Para ⌧ ( ) = (⌧ ( )) = [sgn(⌧ ) ] = sgn(⌧ ) ( ) = sgn(⌧ ))sgn( ) = sgn( )sgn(⌧ ) . Para la tercera afirmación hacemos uso de 1 y 2. De la igualdad sgn( )sgn( se sigue que sgn( ) y sgn( 1 ) = sgn( 1) 1 ) = sgn(") = 1, son ambos 1 o ambos 1. ⇤ Diremos que 2 Sn es una permutación par si sgn( ) = 1 y que es una permutación impar si sgn( ) = 1. En virtud de la afirmación 2 del lema anterior tenemos que el producto de dos permutaciones pares es par, el producto de dos permutaciones impares es par y el producto de una i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 188 — #200 188 i Grupos permutación par con una impar es una permutación impar. La permutación identidad " ¿es par o impar?. De acuerdo a la afirmación 3 del lema 5.7.21, cualquier permutación y su inversa ambas son pares o ambas son impares. 1 es par. Ası́ que " = Ejemplo 5.7.22. Sean = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 14) y = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15). Entonces ( 15 ) = 15 y ( 15 ) = 15 . Teorema 5.7.23. Sea 2 Sn . El número de términos en cualquier factorización de como producto de transposiciones es siempre par o siempre es impar, de hecho, este número es par o impar según si es una permutación par o impar. Demostración. Consideremos dos factorizaciones = 1 2··· s = ⌧1 ⌧2 · · · ⌧r , donde cada i y cada ⌧j son transposiciones. Puesto que una transposición es una permutación impar, por la afirmación 2 del lema 5.7.21 tenemos que sgn( ) = ( 1)s = ( 1)r . Por lo tanto s es par si y solo si r es par y, s es impar si y solo si r es impar. ⇤ Corolario 5.7.24. El r-ciclo (i1 , i2 . . . , ir ) es par(impar) si y solo si r es impar(par). Demostración. De la descomposición (i1 , i2 , . . . , ir ) = (i1 , ir )(i1 , ir 1 ) · · · (i1 , i3 )(i1 , i2 ), y debido a que sgn( )sgn(⌧ ) = sgn(⌧ )sgn( ), concluimos que sgn((i1 , i2 , . . . , ir )) = r Y sgn((i1 , ij )) = ( 1)r 1 . j=2 Por tanto, (i1 , i2 , . . . , ir ) es par si y solo si r es impar. ⇤ La clasificación de las permutaciones en pares e impares nos conduce a la definición de uno de los subgrupos más importantes de Sn . Consideremos el conjunto An = { 2 Sn : es par}. De acuerdo al lema 5.7.21, An es un subgrupo de Sn . El grupo An se conoce con el nombre de grupo alternante. Consideremos el grupo {1, 1} y la función f : Sn ! {1, 1} definida como ⇢ 1 si es par, f( ) = 1 si es impar. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 189 — #201 5.7 Grupo simétrico i 189 Entonces f es un epimorfismo de grupos y ker(f ) = An . Por lo anterior, An no solo es un subgrupo de Sn sino que An / Sn , ¿por qué?. Podemos decir más: por el primer teorema de isomorfismos 5.3.17 obtenemos que o(An ) = o(Sn ) n! = , o({1, 1}) 2 o alternativamente [Sn : An ] = 2. La afirmación anterior significa que An es un subgrupo maximal de Sn . Teorema 5.7.25. Cualquier elemento de An es un ciclo de longitud 3 o es producto de ciclos de longitud 3. En pocas palabras, An está generado por ciclos de longitud 3. Demostración. Sea (a, b, c) cualquier ciclo de longitud 3. igualdad (a, b, c) = (a, c)(a, b) De la se sigue que (a, b, c) 2 An y por tanto An contiene al subgrupo H generado por los 3-ciclos. Para la contención An ✓ H debemos considerar dos casos: El producto de dos transposiciones ajenas (a, b) y (c, d). En este caso podemos escribir: (a, b)(c, d) = (a, c, d)(a, b, d). El segundo caso a considerar es el producto de dos transposiciones (a, b) y (a, c) con b 6= c. Escribimos (a, b)(a, c) = (a, c, b). Cada que 2 An es producto de un número par de transposiciones, digamos = (↵1 ↵2 )(↵3 ↵4 ) · · · (↵2k 1 ↵2k ), donde cada ↵i es una transposición. Si escribimos ↵2j entonces = (↵1 ↵2 )(↵3 ↵4 ) · · · (↵2k y por tanto An ✓ H. Lema 5.7.26. Si = (a, b, c), ↵ 2 An tal que 0 = ↵ ↵ 1 . i i 0 1 ↵2k ) = k Y 1 ↵2j = (xj , yj , zj ), (xj , yj , zj ), j=1 ⇤ = (x, y, z) 2 An , entonces existe i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 190 — #202 190 i Grupos ✓ ◆ ✓ ◆ a b c x y z 1 Demostración. Si ↵ = , entonces ↵ = . El x y z a b c lector puede verificar fácilmente que ✓ ◆ ✓ ◆✓ ◆✓ ◆ x y z a b c a b c x y z 0 = = = ↵ ↵ 1. y z x x y z b c a a b c Queda implı́cito en la demostración que a, b, c son distintos, y lo mismo para x, y, z. ⇤ Fabuloso, cualesquiera dos ciclos de longitud 3 son conjugados en An , ¿y en Sn ?. Veamos una consecuencia inmediata. Corolario 5.7.27. Supongamos que n 5. Si H / An y H contiene al menos un ciclo de longitud 3, entonces H = An . Demostración. Supongamos que ↵ = (a, b, c) 2 H y sea = (i, j, k) cualquier ciclo de longitud 3. Mostraremos que 2 H. En efecto, elegimos 2 Sn tales que (a) = i, (b) = j, (c) = b. Entonces 1 (i) = a, 1 (j) = b, 1 (k) = c. Ası́ tenemos que (a, b, c) 1 = (i, j, k). Si 2 An , entonces por el lema 5.7.26 tenemos que 2 H y por lo tanto H = An . Si es impar, elegimos cualquier transposición (x, y) tales que x, y 6= i, j, k. Ahora (x, y) es par y (x, y)(a, b, c)(x, y) 1 = (i, j, k) 2 H. ⇤ Ahora veamos cómo utilizar las ideas que hemos desarrollado hasta ahora para demostrar que An es simple, pero como aperitivo, antes mostraremos que A5 es simple. No te preocupes lector por los casos n = 2, 3, 4, más adelante los comentaremos. Teorema 5.7.28. A5 es un grupo simple. Demostración. Primero observemos que (a, b, c) 1 = (a, c, b). Sea H / A5 y H 6= {"}. Vamos a mostrar que necesariamente H contiene algún 3-ciclo y luego usaremos la normalidad de H, el lema 5.7.26 y el corolario 5.7.27. Sea 2 H \ {"}. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que es alguna de las siguientes permutaciones: (a, b, c), i i (a, b)(c, d), (a, b)(a, c), (a, b, c, d, e). i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 191 — #203 5.7 Grupo simétrico i 191 Si = (a, b, c), entonces por la normalidad de H y el corolario 5.7.27 tenemos que H = A5 . Si = (a, b)(c, d), definimos la permutación ↵ = (a, b)(c, e). El lector puede verificar fácilmente que (c, e, d) = ↵ ↵ 1 1 2 H y como en el caso anterior, H = A5 . El caso = (a, b)(a, c) = (a, c, b) es evidente pues es un 3-ciclo. Si = (a, b, c, d, e), definimos ↵ = (a, c, b). El lector puede verificar fácilmente que (a, c, d) = ↵ ↵ 1 1 2 H. Por lo tanto A5 es simple. ⇤ Antes de enunciar el teorema principal de esta sección hagamos unas cuantas consideraciones. Sea 2 Sn . Diremos que i es un punto fijo de si (i) = i. Observamos que una transposición tiene n 2 puntos fijos y un ciclo de longitud 3 contiene n 3 puntos fijos. En particular en An , cualquier elemento o es un ciclo de longitud 3 o es producto de 3-ciclos y por tanto, éstos dejan n 3 ó n 6 ó n 9 ó en general n 3t puntos fijos y el número máximo de puntos fijos lo tiene cualquier 3-ciclo. Teorema 5.7.29. Si n 5, entonces An es un grupo simple. Demostración. Sea H / An+1 y H 6= {"}. Vamos a mostrar por medio de inducción sobre n que H = An+1 suponiendo que An es simple. Identificamos al grupo An con el subgrupo { 2 An+1 : (n + 1) = n + 1}. Si mostramos que H \ An = An , entonces la conclusión es fácil porque An contiene un 3-ciclo; por tanto H contiene un 3-ciclo y por el corolario 5.7.27 tenemos que H = An+1 . Estamos suponiendo que H / An+1 , ası́ H \ An / An . Puesto que An es simple por hipótesis de inducción, entonces H \ An = {"} ó H \ An = An . Cuidado, porque si H \ An = An cabe la posibilidad que H = An . Para no distraer la demostración asumamos que An 6 An+1 , al final lo justificaremos. Sea 2 H \ An . Hagamos algunas consideraciones acerca de : las posibilidades para la descomposición de como producto de ciclos ajenos son: 1. = (a1 , a2 , a3 ). 2. = (a1 , a2 , a3 )(a4 , a5 , a6 )⇡, porque n 6, 3. = (a1 , a2 , a3 )(b1 , b2 )(b3 , b4 ), porque n 6, 4. = (b1 , b2 )(b3 , b4 )(b5 , b6 ), porque n 6, donde ⇡ es un producto de ciclos ajenos, tal vez trivial. Notemos que en el caso 1 tendrı́amos H = An+1 y terminamos. En cualquiera de las posibilidades 2,3,4 mueve al menos 6 puntos. Puesto que 62 An , entonces i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 192 — #204 192 i i Grupos existe r tal que (n + 1) = r 6= n + 1. Sea i, j, k, l distintos tal que (i) = j, Podemos ver a (k) = l. como: = ✓ ... ... i j j ⇤ ◆ l r n+1 . ⇤ ⇤ r k l Vamos a construir una permutación 2 An+1 tal que 2 H \ An y 6 ". Sea = (l, k, j, i)(n + 1, r) (n + 1, r)(i, j, k, l). Entonces es una = permutación par y por tanto 2 An+1 . Hagamos algunas evaluaciones: (r) = ✓ ... ... i j ⇤ ⇤ k ⇤ ◆ l r n+1 , ⇤ n+1 ⇤ (r) = ✓ ... ... i j ⇤ k k ⇤ ◆ l r n+1 , ⇤ n+1 ⇤ (n + 1) = Por lo tanto ✓ ... ... i j ⇤ ⇤ 2 An porque (i) = ✓ ... ... i j k ⇤ k ⇤ ◆ l r n+1 . ⇤ ⇤ n+1 (n + 1) = n + 1. También k ⇤ ◆ l r n+1 . ⇤ ⇤ n+1 Notemos que 6= " porque i 6= k. También 2 H porque y son conjugadas por una permutación par y H / An+1 . Por lo tanto 2 H \ An y ası́ H \ An 6= {"}. Lo anterior significa que H \ An = An porque An es simple, es decir, H contiene al menos un 3-ciclo. Ası́ H = An+1 . ¿Por qué An = { 2 An+1 : (n + 1) = n + 1} 6 An+1 ?. La respuesta es muy sencilla. Sean 2 An \ {"} y i, j tales que (i) = j, con i 6= j. Si = (n + 1, j, i) (i, j, n + 1), entonces y son permutaciones conjugadas. Pero 62 An porque (n + 1) = i 6= n + 1. Ası́ An 6 An+1 y H 6= An . ⇤ i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 193 — #205 5.7 Grupo simétrico i 193 Con respecto a la parte final de la demostración del teorema anterior debemos mencionar que hay muchas formas de ver al grupo An sumergido en An+1 . Para 1  i  n + 1 definimos stab(i) = { 2 An+1 : (i) = i}. Entonces stab(i) es un subgrupo de An+1 conocido como el estabilizador de i y stab(i) ⇡ An . Finalmente, stab(i) 6 An y la justificación es exactamente la misma que aparece en la parte final de la prueba del teorema anterior. Para el lector debe ser claro que los grupos A2 y A3 son cı́clicos y por tanto son simples de acuerdo al ejemplo 5.5.21 o al teorema de clasificación 5.6.3. Podrá observar al releer el teorema de clasificación, que hemos resuelto sus afirmaciones 1 y 2. Las afirmaciones 3 y 4 están muy lejos de ser resueltas con la teorı́a que hasta ahora hemos desarrolado. 5.7.1. Para un estudio de S4 y A4 . El grupo S4 está formado por las siguientes permutaciones: ✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆ 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 "= , 1= , 2= , 1 2 3 4 1 3 4 2 1 4 2 3 ✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆ 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 , 4= , 5= , 3 = 3 2 4 1 4 2 1 3 2 4 3 1 ✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆ 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 , 7= , 8= , 6 = 4 1 3 2 2 3 1 4 3 1 2 4 ✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆ 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 = , = , = , 9 10 11 4 3 2 1 3 4 1 2 2 1 4 3 ✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆ 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 , 13 = , 14 = , 12 = 1 2 4 3 1 4 3 2 1 3 2 4 ✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆ 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 , 16 = , 17 = , 15 = 4 2 3 1 3 2 1 4 2 1 3 4 ✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆ 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 , 19 = , 20 = , 18 = 2 3 4 1 3 1 4 2 2 4 1 3 ✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆ 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 , 22 = , 23 = . 21 = 4 1 2 3 3 4 2 1 4 3 1 2 La descomposición de cada i i i como producto de transposiciones es: i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 194 — #206 194 1. 2. 3. 4. 5. 6. i i Grupos 1 = (2, 3, 4) = (2, 4)(2, 3), 2 = (2, 4, 3) = (2, 3)(2, 4), 3 = (1, 3, 4) = (1, 4)(1, 3) , 4 = (1, 4, 3) = (1, 3)(1, 4), 5 = (1, 2, 4) = (1, 4)(1, 2), 6 = (1, 4, 2) = (1, 2)(1, 4), 7 = (1, 2, 3) = (1, 3)(1, 2), 8 = (1, 3, 2) = (1, 2)(1, 3), 9 = (1, 4)(2, 3), 10 = (1, 3)(2, 4), 11 = (1, 2)(3, 4), 12 = (3, 4), 13 = (2, 4), 14 = (2, 3), 16 = (1, 3), 17 = (1, 2), 18 = (1, 2, 3, 4) = (1, 4)(1, 3)(1, 2), 19 = (1, 3, 4, 2) = (1, 2)(1, 4)(1, 3), 20 = (1, 2, 4, 3) = (1, 3)(1, 4)(1, 3), 21 = (1, 4, 3, 2) = (1, 2)(1, 3)(1, 4), 22 = (1, 3, 2, 4) = (1, 4)(1, 2)(1, 3), 23 = (1, 4, 2, 3) = (1, 3)(1, 2)(1, 4). 15 = (1, 4), De la lista anterior podemos verificar que: A4 = {", 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 }. V = {", 9 , 10 , 11 } es un grupo abeliano de S4 y A4 , en donde cada elemento 6= " es de orden 2. V = {", 9 , 10 , 11 } / S4 . V = {", 9 , 10 , 11 } / A4 . {"} / h(1, 3)(2, 4)i / V / A4 / S4 es una serie de composición. A4 no contiene un subgrupo de orden 6. 5.8. Grupos y geometrı́a La geometrı́a a lo largo de la historia de la matemática ha sido el lugar idóneo en el que han nacido las ideas más importantes para el desarrollo de la misma matemática. Por ejemplo, el sistema axiomático propuesto por Euclides fue pieza fundamental que perfiló a la geometrı́a desde el mundo griego hasta nuestros dı́as fundamentado en la idea intuitiva de lo que es una simetrı́a: la admiración por ciertas formas geométricas bien estructuradas y que los condujo al descubrimiento de los únicos cinco sólidos regulares. Cuando el hombre descubre lo que es una simetrı́a, no se conforma solo con intuirla, sino que intenta formalizarla hasta lo que hoy en dı́a conocemos. Otro gran momento de la geometrı́a fue su maridaje con el álgebra, en donde sin duda el único juez fue Descartes, y gracias a ese maridaje, se desató la gestación del cálculo. Apurando un poco al tiempo, las geometrı́as i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 195 — #207 5.8 Grupos y geometrı́a i 195 no euclidianas del siglo XIX condujeron a una espectacular revolución en la fundamentación de las matemáticas y sin temor a equivocarnos, podemos afirmar que casi la totalidad de las matemáticas antiguas y modernas están impregnadas en su esencia por el sentido geométrico. Ası́, diferentes ramas de la matemática han tenido como eje rector el concepto de simetrı́a: la topologı́a, las ecuaciones diferenciales, el análisis funcional, la teorı́a de variable compleja, y sobre todo el álgebra. Como lo advertimos en la introducción, no podrı́amos dejar pasar el momento de relacionar la geometrı́a con la teorı́a de grupos. Pues bien, éste es el momento. Comenzaremos estudiando otro subgrupo importante de Sn el cual tiene su origen en la geometrı́a. Consideremos el cuadrado P4 ⇢ R2 con vértices en v1 , v2 , v3 , v4 y centrado en el origen. v4 6 v3 - v1 v2 Queremos construir una función : R2 ! R2 tal que (P4 ) se vea igual a P4 y que mande vértices adyacentes en vértices adyacentes. Por ejemplo, ⇡ si rotamos todo el plano radianes en el sentido contrario al movimiento 2 de las manecillas de un reloj, entonces P4 queda transformado como se ve en la siguiente figura: v3 6 v2 - v4 v1 Se ve idéntico al original. Además manda vértices adyacentes en vértices adyacentes. Podemos ver a como la siguiente permutación: i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 196 — #208 196 i i Grupos = ✓ v1 v2 v3 v4 v2 v3 v4 v1 ◆ Es claro que 4 (vi ) = ( ( ( (vi )))) = vi = "(vi ). Más aún, el lector puede verificar fácilmente que , 2 , 3 , 4 son permutaciones diferentes y todas satisfacen nuestro requerimento: i (P4 ) = P4 y manda vértices adyacentes en vértices adyacentes. ¿Serán todas?. La respuesta es no. En la figura original, consideremos la diagonal que pasa por los vértices v1 y v3 : v4 6 v3 - v1 v2 Ahora giramos ⇡ radianes en el espacio tridimensional sin mover la diagonal y observamos la nueva figura: v2 6 v3 - v1 v4 Luce idéntica a la original, si no fuera por las etiquetas de los vértices. Esta acción la podemos mirar como una permutación: ✓ ◆ v1 v2 v3 v4 = v1 v4 v3 v2 Observamos que si repetimos la acción dos veces llegaremos al cuadrado original, es decir, 2 (vi ) = ( (vi )) = vi = "(vi ). Veamos la aplicación de los dos movimientos : ✓ ◆ ✓ ◆ v1 v2 v3 v4 v1 v2 v3 v4 = , = . v2 v1 v4 v3 v4 v3 v2 v1 i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 197 — #209 5.8 Grupos y geometrı́a i 197 Vea las figuras del principio de la siguiente página. 6 v3 v4 6 v1 v2 - v2 - v1 v4 v3 Consideremos el siguiente conjunto: D8 = {", 4 , 2 , 3 , 4 , , 2 , 3 }={ El lector puede verificar fácilmente que = 2 = " tenemos que 3 = 1 y = 3 = 1 1 =( ) i j 1. 1 : 0  i < 4, j = 0, 1}. = ( ) 1 . De la relación Ası́ la siguiente relación = . (1) De lo anterior se puede deducir que 3 = . La relación (1) es de gran importancia para verificar que D8 es cerrado bajo la composición de funciones. Por ejemplo, estudiemos la composición de algunos elementos del conjunto D8 : 1. 2. 3. 4. ( ( ( ( )( 2 ) = ( )( 3 ) = )( 2 ) = ( 2 )( 2 ) = 3 )( 2 5 = 3 = )= = 1 = ( ) = ( ) = 3 )( 2 ) = 5 = = 3 . 2 = 2 3 = = ( 1 1 2 3 2 2 3) = 3. = 2. = ". El conjunto D8 es cerrado bajo la composición, todos sus elementos tienen un inverso que pertenece a D8 y ası́, D8 es un grupo de orden 8. En la tabla anterior se observa que D8 no es abeliano. Cualquier función que el lector encuentre y que satisfaga nuestros requerimentos originales, ya está incluida en los elementos del grupo D8 . El grupo D8 se conoce como el grupo de simetrı́as del cuadrado o también como el grupo diédrico de orden 8. i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 198 — #210 198 i i Grupos " " " 2 3 3 3 3 3 " 2 3 2 3 2 3 " 3 2 2 3 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2 " 3 2 2 2 2 2 3 3 " 2 2 3 2 3 " " 2 " Ahora generalicemos el grupo de simetrı́as de la exposición anterior. Una isometrı́a es una función biyectiva f : R2 ! R2 que preserva distancias entre puntos, es decir, d(P1 , P2 ) = d(f (P1 ), f (P2 )). Por ejemplo, si escribimos en coordenadas polares los puntos P1 = (x, y) = (r cos ✓, r sen ✓), P2 = (x1 , y1 ) = (r1 cos ✓1 , r1 sen ✓1 ), entonces la distancia entre ellos la podemos escribir como d(P1 , P2 ) = r2 + r12 Ahora, la función f : R2 ! 2rr1 cos(✓ ✓1 ). R2 definida como ⇡ ⇡ f ((x, y)) = (r cos(✓ + ), r sen(✓ + )) 2 2 ⇡ es una isometrı́a pues simplemente estamos rotando al plano cartesiano 2 radianes. De la igualdad ⇡ ⇡ r2 + r12 2rr1 cos(✓ ✓1 ) = r2 + r12 2rr1 cos((✓ + ) (✓1 + )), 2 2 concluimos que d(P1 , P2 ) = d(f (P1 ), f (P2 )). Si denotamos por Isom(R2 ) = {f : R2 ! R2 : f es isometrı́a}, entonces Isom(R2 ) es un grupo con la composición de funciones. El grupo Isom(R2 ) se conoce como el grupo de isometrı́as de R2 . Sea P ✓ R2 . Una simetrı́a del conjunto P , es una isometrı́a f de R2 tal que f (P ) = P . Por ⇡ ⇡ ejemplo, la función f ((x, y)) = (r cos(✓ + ), r sen(✓ + )) es una simetrı́a 2 2 del cuadrado. Si denotamos por Sym(P ) = {f 2 Isom(R2 ) : f (P ) = P }, entonces claramente Sym(P ) es un subgrupo de Isom(R2 ). El grupo Sym(P ) se conoce como el grupo de simetrı́as de P . En particular, el i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 199 — #211 5.8 Grupos y geometrı́a i 199 grupo de simetrı́as de un polı́gono regular de n lados recibe el nombre de grupo diédrico. Consideremos un polı́gono regular Pn ⇢ R2 (n 3) de n lados centrado en el origen. Tenemos dos simetrı́as naturales del polı́gono Pn . La primera 2⇡ que llamaremos , es rotar nuestro polı́gono radianes en el sentido n contrario al movimiento de las manecillas de un reloj. Si denotamos por {1, 2, . . . , n} al conjunto de vértices de Pn , entonces (1) = 2, (2) = 3, (3) = 4, . . . , (n Usando notación más cómoda ✓ 1 2 3 ··· = 2 3 4 ··· n 1) = n, (n) = 1. ◆ 1 n . n 1 Si componemos consigo misma notamos que n regresa el polı́gono a su posición original, es decir n = ". Por otro lado, para 1  j < n tenemos que j también es una simetrı́a y j (1) = j + 1. Por tanto, , 2 , . . . , n 1 , n son simetrı́as diferentes. La segunda simetrı́a de Pn y que llamaremos , la construimos de la misma manera que lo hicimos para el cuadrado, solo que aquı́ será importante la paridad de n. Si n es par (por ejemplo un hexágono), trazamos la diagonal desde el vértice 1 pasando por el origen (0, 0). Esta diagonal tocará otro vértice de Pn . Por ejemplo, en un hexágono la diagonal que consideramos va de 1 a 4. Ahora giramos en el espacio ⇡ radianes, como si diéramos vuelta a una hoja de un cuaderno abierto, y observamos el siguiente efecto: 5 4 6 3 3 1 2 ! 2 5 1 En nuestro caso particular podemos describir a i i 4 6 como: i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 200 — #212 200 i i Grupos ✓ = ◆ 1 2 3 4 5 6 . 1 6 5 4 3 2 En el caso n impar (por ejemplo un pentágono) trazamos la lı́nea desde el vértice 1 pasando por el origen hacia el lado opuesto. En este caso, sabemos de la geometrı́a euclidiana que esta lı́nea es perpendicular al lado opuesto. Ahora giramos ⇡ radianes en el espacio. Antes de ver un ejemplo le pido al lector que intente ver los siguientes pentágonos como pentágonos regulares. Ahora si, vamos al ejemplo: q q b a r b a r 1 @ 2 B B B B B 3 B 1 @ @ @ @ @ @ ⇥ B ! ⇥ @ @ ⇥ ⇥ ⇥ ⇥ 5 ⇥4 Es evidente que ahora 5 B B B B B 4 B B @ @ @ @ @ ⇥ ⇥ ⇥ @ @ ⇥ ⇥ ⇥ ⇥ 2 3 es la permutación: = ✓ ◆ 1 2 3 4 5 . 1 5 4 3 2 En nuestro ejemplo del pentágono, el lector puede verificar fácilmente que: = 6 ✓ ◆ 1 2 3 4 5 , 2 1 5 4 3 6 y geométricamente lo que tenemos es: i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 201 — #213 q q b a r b a r 5.8 Grupos y geometrı́a 201 2 1 @ 2 B B B B B B i @ @ @ @ @ ! @ ⇥ B ⇥ 3 4 ⇥ @ @ ⇥ ⇥ ⇥ ⇥ 5 1 B B B B B B @ @ @ @ @ ⇥ B ⇥ 5 4 ⇥ @ @ ⇥ ⇥ ⇥ ⇥ 3 En general, si n es par, dos vértices se quedan sin mover, y si n es impar solo uno. Ası́, si n es par, entonces ✓ ◆ 1 2 3 · · · n2 + 1 · · · n 1 n = , 1 n n 1 · · · n2 + 1 · · · 3 2 y si n es impar, tenemos que ✓ ◆ 1 2 3 ··· n 1 n = . 1 n n 1 ··· 3 2 Un simple cálculo nos muestra que o( ) = 2 y por lo tanto, si n es par, entonces = = ✓ ✓ 6 1 2 3 ··· n 1 n 2 3 4 ··· n 1 1 2 3 ··· 2 1 n ··· n 2 n 2 ◆✓ 6 1 2 3 ··· 1 n n 1 ··· ◆ + 1 ··· n 1 n , + 2 ··· 4 3 n 2 n 2 + 1 ··· n 1 n + 1 ··· 3 2 ◆ y si n es impar obtenemos que = = ✓ ✓ 1 2 3 ··· 2 3 4 ··· 1 2 3 ··· 2 1 n ··· ◆✓ 1 2 3 ··· 1 n n 1 ··· ◆ n 1 n . 4 3 n 1 n n 1 Cualquiera que sea el caso, ( n )2 = ". De la igualdad 1 n 3 2 1 = ◆ se sigue que 1 1 =( ) 1= = Definimos el grupo diédrico de orden 2n como D2n = { i i i j 1 = n 1 . : 0  i < n, j = 0, 1}. i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 202 — #214 202 i i Grupos Lo sorprendente del grupo D2n es que, para describir todas las simetrı́as de un polı́gono regular, basta y sobra con las permutaciones , . Observemos lo siguiente: puesto que o(h i) = n, tenemos que [D2n : h i] = 2. Por tanto h i / D2n . Lo anterior significa que D2n no es simple. Conclusión final. En R2 tenemos polı́gonos regulares de cualquier número de lados y son fáciles de construir: simplemente resuelva la ecuación xn = 1 en C y grafique las soluciones. En R3 es otra historia. Se sabe que solo existen 5 poliedros regulares: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. La construcción de sus grupos de simetrı́as está fuera del alcance de estas notas. El lector interesado puede deleitarse con este tema en [11]. 5.9. El concepto de grupo abstracto: Teorema de Cayley Históricamente, no fue sino hasta principios del siglo XX cuando el concepto de grupo abstracto fue totalmente aceptado y reconocido por los matemáticos. En un principio la teorı́a de grupos solo estudiaba grupos de permutaciones (sustituciones). Después, el concepto de grupo abstracto fue introducido con el propósito de deducir de la manera más simple y directa las propiedades de los grupos de permutaciones. De esta forma, resultó más o menos natural buscar la posibilidad de apropiar el concepto de grupo de permutaciones al concepto de grupo abstracto. Fue A. Cayley7 en 1854 el primero en dar una definición suficientemente general del concepto de grupo. Teorema 5.9.1 (Teorema de Cayley). Sea G un grupo. Entonces G es isomorfo a un subgrupo de algún grupo de permutaciones. 7Arthur Cayley nació el 16 de agosto de 1821 en Richmond, Surrey, Inglaterra, dentro de una familia de talento. Ingresa en el Trinity College de Cambridge en 1838 donde se diploma con grandes honores en el año 1842 y es nombrado asistente tutor durante un perı́odo de tres años. Después de dejar la enseñanza se consagra a sus investigaciones al mismo tiempo que practica su profesión de abogado. Cayley contribuyó de una manera original a numerosos temas matemáticos: la geometrı́a analı́tica de n dimensiones, las transformaciones lineales que son el origen de su teorı́a de matrices, la teorı́a de superficies y determinantes, etc.. Murió el 20 de enero de 1895 en Cambridge y legó a la posteridad una obra tan extensa como la de Euler y Cauchy. i i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 203 — #215 5.9 El concepto de grupo abstracto: Teorema de Cayley i 203 Demostración. Sea a 2 G. Si G = {xi }i2I , entonces para cada a 2 G podemos escribir G = {axi }i2I . La función 'a : G ! G definida como 'a (xi ) = axi es biyectiva y por tanto es una permutación de G. De esta manera tenemos que 'a 2 SG . Sea T = {'a }a2G . Con la composición de funciones tenemos las siguientes propiedades del conjunto T: 1. Para 'a , 'b 2 T y x 2 G se cumple que 'a 'b (x) = 'a (bx) = (ab)x = 'ab (x), por lo tanto 'a 'b = 'ab 2 T . 2. Para x 2 G tenemos que 'a 'a 1 (x) = aa 1 x = x y por tanto 'a 'a 1 = ". Entonces necesariamente ('a ) 1 = 'a 1 2 T. 3. Si a, b 2 G con a 6= b y e denota al neutro de G, entonces 'a (e) = a 6= b = 'b (e), ası́ 'a 6= 'b . Por 1 y 2, T  SG . Sea f : G ! SG definida como f (a) = 'a . Por la afirmación 1, f es un homomorfismo de grupos y por la afirmación 3 f es inyectiva. Por lo tanto G ⇡ T . ⇤ Es común llamar a la función 'a traslación izquierda por a de G y la función f : G ! SG del teorema de Cayley se le conoce como representación regular de G. Como caso particular, si o(G) = n, entonces tenemos que SG = Sn y G es isomorfo a algún subgrupo de Sn . Básicamente lo que hicimos en el teorema de Cayley es representar al grupo G como permutaciones. Existen otras representaciones para los grupos, por ejemplo: representaciones como matrices, representaciones lineales, etc. El lector interesado puede iniciar la lectura en representaciones de grupos finitos en el espléndido libro clásico [5]. Ejemplo 5.9.2. Consideremos el grupo Z/7Z = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} e indexemos sus elementos. Por ejemplo, ai = i para 0  i  6. Entonces las correspondientes ai son funciones biyectivas de Z/7Z en sı́ mismo y están dadas por la regla i (j) = i + j módulo 7. Es claro que a0 es la permutación ✓ ◆ 0 1 2 3 4 5 6 . 0 1 2 3 4 5 6 Siguiendo la regla i (j) = i + j tenemos la siguiente identificación: i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 204 — #216 204 i i Grupos a1 a3 a5 ✓ ◆ 0 1 2 3 4 5 6 = , 1 2 3 4 5 6 0 ✓ ◆ 0 1 2 3 4 5 6 = , 3 4 5 6 0 1 2 ✓ ◆ 0 1 2 3 4 5 6 = , 5 6 0 1 2 3 4 a2 a4 a6 ✓ ◆ 0 1 2 3 4 5 6 = , 2 3 4 5 6 0 1 ✓ ◆ 0 1 2 3 4 5 6 = , 4 5 6 0 1 2 3 ✓ ◆ 0 1 2 3 4 5 6 = . 6 0 1 2 3 4 5 El conjunto T = { a0 , a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 } es subgrupo de S7 . El lector puede verificar que T es cı́clico y T = h a1 i. Ejemplo 5.9.3. Para n 2 N tenemos que D2n  Sn . Ejemplo 5.9.4. Si n 2 N, entonces U (Zn ) es isomorfo a algún subgrupo de S'(n) . En particular, si p es un número primo, Z⇤p  Sp 1 . Ejemplo 5.9.5. Para n 2 N, el grupo simétrico Sn contiene un subgrupo isomorfo a Zn . Observemos que fue importante tener una lista de los elementos del grupo. En general, si el grupo G es de orden n, entonces para poder aplicar la demostración del teorema de Cayley es necesario escribir G = {x1 , . . . , xn }. Comentario final: Históricamente los grupos surgieron como grupos de permutaciones en el estudio de las raı́ces de polinomios. Con el curso del tiempo, se tuvo la necesidad de abstraer el concepto y gracias a esto, la teorı́a de grupos ha sido acogida como una herramienta fundamental en distintas disciplinas como la fı́sica, la quı́mica y la biologı́a, solo por citar algunas. PROBLEMAS 1. Expresa como producto de ciclos ajenos cada una de las siguientes permutaciones e indica cuáles son pares y cuáles son impares: ✓ ◆ 1 2 3 4 5 6 7 8 a) . 2 7 4 8 3 6 5 1 i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 205 — #217 5.9 El concepto de grupo abstracto: Teorema de Cayley b) 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. ✓ ✓ 1 7 2 4 3 1 4 5 5 8 1 4 2 6 3 9 4 2 5 7 (a, b, c), i 6 2 7 6 i 205 ◆ 8 . 3 ◆ 9 . 5 ✓ ◆ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 d) . 6 3 5 1 4 9 7 2 8 Encuentra el orden de cada una de las permutaciones del problema 1. Escribe todos los elementos de S2 y A2 . Considera los grupos S3 y A3 . ¿El grupo A3 es simple? a) Elabora una lista de todos los elementos y escrı́belos en forma cı́clica. b) Encuentra la familia de subgrupos de S3 y A3 . En S4 encuentra el subgrupo generado por (1, 2) y (2, 3). Sea V4 = {Id, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)} el grupo de Klein de orden 4. Muestra que V4 / A4 . Muestra que S4 /V4 ⇡ S3 . Sea ↵ = (a, b, c, d, e) 2 A5 . Muestra que ↵ 1 = (a, e, d, c, b, a). Muestra que cualquier factorización de " 2 Sn tiene un número par de transposiciones. De esta manera " 2 An . Sea = (i1 , i2 , . . . , im ) un ciclo de longitud m. ¿Para qué valores de m es una permutación impar? Muestra que si es cualquier transposición, entonces ( n ) = n. Muestra que si es cualquier transposición, entonces Sn = hAn , i. Muestra que A4 no tiene un subgrupo de orden 6. Determina cuáles de las siguientes permutaciones pertenecen a An : a) (1, 2, 3)(5, 4, 2). b) (1, 3, 2, 4)(3, 4). c) (3, 4, 1)(2, 5). d) (1, 3, 5, 7)(2, 4, 6, 8, 9). e) (1, 3, 4, 6)(2, 4, 6, 8). Prueba que cada elemento del grupo D8 manda pares de vértices adyacentes en pares de vértices adyacentes. Encuentra Z(D8 ). Proporciona una función f : R2 ! R2 , para cada elemento de D8 tal que restringida a P4 coincida con algún elemento del grupo D8 . Construye el grupo de simetrı́as D6 de un triángulo equilátero siguiendo la construcción del grupo D8 . Observa que D6 ⇡ S3 . En el inicio de la demostración del teorema 5.7.28 hemos escrito: Sin pérdida de generalidad podemos suponer que es alguna de las siguientes permutaciones: c) i i 6 1 7 3 8 8 (a, b)(c, d), (a, b)(a, c), (a, b, c, d, e). i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 206 — #218 206 i i Grupos ¿Puede el lector decir por qué? 20. Sabemos que el grupo diédrico D2n es el grupo de simetrı́as de un polı́gono regular con n lados. ¿Cómo es el grupo de simetrı́as de un polı́gono que no es regular? En este orden de ideas, considera un triángulo P que tiene exactamente dos lados iguales. Muestra que Sym(P ) es un grupo con dos elementos y por lo tanto es isomorfo a F2 . ¿Cuál es el grupo de simetrı́as de un triángulo que tiene sus tres lados diferentes? 21. Supongamos que P es un rectángulo que no es un cuadrado. Demuestra que Sym(P ) ⇡ V4 . 22. Sigue la parte final de la demostración del teorema 5.7.28 para mostrar que stab(i) 6 An para cualquier n. 23. Muestra que si n > 4, entonces Sn tiene un único subgrupo normal no trivial. 24. Escribe los siguientes grupos como grupos de permutaciones: a) El grupo diédrico D8 = ha, b : a2 = b4 = (ab)2 = "i. b) El grupo cı́clico µ7 = {x 2 C : x7 = 1}. c) El grupo abeliano (Z/14Z)⇤ . d) El grupo Z/nZ. i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 207 — #219 i i Bibliografı́a [1] Barrera Mora F., Villa Salvador G.D. Teorı́a de Ecuaciones Polinomiales. VII Coloquio del Departamento de Matemáticas del CINVESTAV 1991. [2] Beaumont R. A., Pierce R. S. The algebraic fundations of mathematics. AddisonWesley 1963. [3] Bressoud D. W. Factorization and primality testing. Springer-Verlag, Undergraduate Text in Mathematics 1989. [4] Burnside W. Theory of groups of finite order. Dover 1955. [5] Curtis W. CH., Reiner I., Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras. Pure and Applied Mathematics Vol IX. John Wiley and Sons 1962. [6] Euclides. Elementos. Libro IX. Editorial Gredos, Madrid. 1991. [7] Hall, Marshal, Jr., The theory of groups. AMS Chelsea Publishing, 2nd edition. Providence, RI, 2000. [8] Hardy G.H., Wright E. M.. An introduction to the theory of numbers. Oxford University Press 1979. [9] http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies. Espléndido sitio para consultar biografı́as de matemáticos. [10] Ireland K., Rosen M. A classical introduction to modern number theory. Springer Verlag GTM 84 , 1982. [11] Joyner D. Adventures in Group Theory: Rubik’s cube, Merlin’s machine and other mathematical toys. The Johns Hopkins University Press, 2002. [12] Lagrange J.L. Réflexions sur la résolution algébrique des équations, Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, 1770/71. Oeuvres de Lagrange, III, 205421. [13] Mollin R.A. Algebraic Number Theory. CRC Press series on discrete mathematics and its applications, 1999. [14] Niven I., Zuckerman S., Montgomery H. L., An Introduction to the Theory of Numbers. 5th ed., John Wiley, New York, (1991). [15] Hölder O. Die einfachen Gruppen in ersten und zweiten Hundert der Ordnungszahlen. Math. Annalen 40 (1892), 5588. [16] Ribenboim P. El famoso polinomio generador de primos de Euler y el número de clase de los cuerpos cuadráticos imaginarios. Revista Colombiana de Matemáticas. Vol. 21 (1987), 263-284. [17] Rotman J. An Introduction to the Theory of Groups. Springer Verlag GTM 148, 1995. i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 208 — #220 208 i i Bibliografı́a [18] [19] [20] [21] Rotman J. Galois Theory. Springer Verlag, Universitext, second edition, 1998. Samuel P., Zariski O. Commutative Algebra I. Springer Verlag GTM 28, 1975. Sierspiński W. it Elementary Theory of Numbers. North-Holland, Amsterdan (1988). Solomon R. A brief history of the classification of the finite simple groups. Bulletin of the American Mathematical Society, Vol. 38. Number 3, pages 315-352. 2001. [22] Solovay R.M., Strassen V. A fast Monte-Carlo test for primality. SIAM Journal of computing 6(1) pages 84-85. 1977. [23] Sominski I. S. Método de inducción matemática. Editorial Limusa, 2002. [24] Vinogradov, Ivan M., Fundamentos de la teorı́a de números. Editorial MIR, Moscú, 1977. i i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 209 — #221 i i Índice ⇣a⌘ , 88 b J (i1 , i2 ), 182 (i1 , i2 , . . . , ir ), 182 An , 188 Aut(G), 155 Aut(Zn ), 155 C([a, b]), 120 D8 , 197 D2n , 202 G/H, 127 GL(2, R), 119 GRCp , 123, 154 H  G, 122 H 6 G, 138 H / G, 138 H ⇥ K, 156 Isom(R2 ), 198 N (A), 166 N (g), 166, 167 P4 , 195 Pn , 199 SL(2, R), 119 SX , 180 Sn , 118, 181 Sym(P ), 198 T (R2 ), 119 Ta,b , 119 U (Z[i]), 99 Un , 64 V4 , 153, 205 Z(G), 165 ker(f ), 146 hAi, 124 hai, 124 i i mcd(a, b), 7 mcm(a, b), 13 ( n ), 186 ' de Euler, 37 aH, 125 o(G), 117 o(a), 129 p-grupo, 170 C⇤ , 123, 125, 129, 136, 141 Fp , 60 F⇤p , 70 H, 121 N0 , 1 Q⇤ , 118 R⇤ , 130, 145 Z[i], 95 Zn , 33, 34 Z⇤p , 130 SCR(m), 36 SRR(m), 37 [G : H], 128 ⇣ 1⌘ , 70 p ⇣2⌘ , 78 ⇣p a⌘ , 69 p a | b, a - b, 6 Algoritmo de Euclides en Z, 11 de Euclides en Z[i], 99 de la división en K[x], 59 de la división en Z, 3 i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 210 — #222 210 de la división en Z[i], 96 Anillo de enteros módulo n, 34 de polinomios, 58 de enteros gaussianos, 95, 154 asociados en Z[i], 99 automorfismo interior, 145, 155 campo finito, 40 Fn , 40 Cancelación para la suma módulo n, 34 Cauchy, Augustin Louis, 162 Cayley, Arthur, 202 centro de un grupo, 165 ciclo de longitud r, 182 clase de conjugación, 167 clase derecha, 129 clase izquierda, 125 Congruencias, 33 x2 ⌘ 1 (mod p), 71 ax ⌘ b (mod m), 40 f (x) ⌘ 0 (mod m), 52 f (x) ⌘ 0 (mod ps ), 55 f (x) ⌘ 0 (mod p), 58 x2 ⌘ 2 (mod p), 78 Conjetura de Artin, 136 conjugado en Z[i], 96 conjugados módulo (H, K), 171 conjunto potencia, 120 Criba de Eratóstenes, 19 geométrica, 28 Cuadrados en Zp , 67 Cuaterniones, 121 discriminante, 185 divisibilidad en K[x], 59 en Z, 6 en Z[i], 97 divisor, 6 en común en Z, 7 en común en Z[i], 99 i i i i Índice divisores elementales, 160 Dominio entero, 10 ecuación '(x) = n, 51 ax + by = 1, 9 ax + by = c, 8, 102 x2 y 3 = 19, 22 diofantina, 8 ecuación de clase, 170 elementos conjugados, 167 Enteros módulo n, 33 epimorfismo, 144 Eratóstenes, de Cirene, 19 estabilizador, 135, 193 Euclides, de Alejandrı́a, 11 Euler, Leonhard, 39 Fórmula del producto, 151 Factorización de un entero gaussiano, 110 Fermat, Pierre de, 27 función bxc, 5 ' de Euler, 37 Gauss, Karl-Friedrich, 34 generadores de un grupo, 124 grado de un polinomio en K[x], 59 Grupo, 115 Q⇤ , 118 An es simple, 191 Q8 , 121 R2 , 118 Z, 118 Zn , 118 ı́ndice, 128 abeliano, 117 alternante, 188 booleano, 120 cı́clico, 124 circular, 154 cociente, 139 de isometrı́as de R2 , 198 de Klein de orden 4, 153 i i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 211 — #223 i 211 de Klein de orden 4, 205 de matrices, 120 de movimientos de R2 , 119 de simetrı́as de un conjunto, 198 de simetrı́as del cuadrado, 197 de Traslaciones, 119 de unidades de Zn , 118 diédrico, 199 diédrico de orden 2n, 202 diédrico de orden 8, 197 finito, 117 hamiltoniano, 141 infinito, 117 inverso, 116 isomorfos, 144 Lineal Especial, 119 Lineal General, 119 neutro, 116 orden, 117 simétrico, 118, 181 simple, 176 subgrupo trivial, 122 homomorfismo de grupos, 144 homomorfismo natural, 145 inverso aditivo en Zm , 38 aditivo en un dominio entero, 10 isometrı́a de R2 , 198 isomorfismo, 144 Jacobi, Carl Gustav Jacob, 87 Lagrange, Joseph Louis, 128 Legendre, Adrien-Marie, 68 Lema de Eisenstein, 79 de Gauss, 74 Ley de Reciprocidad Cuadrática de Gauss, 68 de Jacobi, 90 Ley de reciprocidad cuadrática de Gauss, 81 Máximo i i común divisor en Z, 7 común divisor en Z[i], 100 Mı́nimo común múltiplo en Z, 13 en Z[i], 103 múltiplo común en Z, 13 en Z[i], 103 monomorfismo, 144 núcleo, 146 Número compuesto, 15 primo, 15 Números primos en Z[i], 106 neutro aditivo, 10 Noether, Emmy Amalie, 147 norma en Z[i], 96 normalizador, 166 operación binaria, 115 orden elemento de orden finito, 129 elemento de orden infinito, 129 parte pi -primaria, 160 permutación, 118, 180 impar, 187 par, 187 permutaciones ajenas, 182 Poincaré, Henri Jules, 152 polinomio irreducible en Zp [x], 65 reducible en Zp [x] , 65 primo en Z[i], 104 primos racionales, 104 primos relativos en Z, 7 en Z[i], 100 Principio de inducción, 1 del Buen Orden, 1 producto de clases izquierdas, 139 producto de conjuntos, 137 producto directo externo, 155 i i i i “TeoClasica” — 2022/12/16 — 16:09 — page 212 — #224 212 producto directo externo de grupos, 121 producto directo interno, 155 punto fijo, 191 representación en base a, 4 representación regular, 203 residuo cuadrático en Fp , 68 cuadrático en Zb , 88 Sı́mbolo de Legendre, 69 sı́mbolo de Jacobi, 88 serie de composición, 177 signo de , 186 simetrı́a, 198 Sistema completo de residuos módulo m, 36 de congruencias de grado 1, 42 reducido de residuos módulo m, 37 Subgrupo, 121 µn , 123 nZ, 123 SL(2, R), 123 cı́clico, 124 generado por un conjunto, 124 subgrupo conmutador, 144 Subgrupo de Sylow, 165 subgrupo de torsión, 135 subgrupo diagonal, 163 subgrupo maximal, 158 subgrupos conjugados, 138 subgrupos normales, 138 Teorema Chino del Residuo, 43 chino del residuo generalizado, 48 clasificación de los grupos cı́clicos, 149 Corolario al Teorema de Lagrange, 139 de Cancelación para el producto en Zn , 35 i i i i Índice de Cauchy, 162 de Clasificación de los grupos simples finitos, 178 de Euclides, 8, 16 de Euler, 69 de Fermat, 107, 130 de Galois, 178 de Lagrange, 61, 128 de Poincaré, 152 de Wilson, 62 del Factor, 61 del residuo, 60 fundamental de los grupos abelianos finitos, 159 Inverso de Lagrange para grupos abelianos finitos, 162 Inverso de Lagrange para grupos cı́clicos finitos, 133 Lema débil de Hensel, 57 Lema de Frobenius o Cauchy, 172 Lema de Hensel, 56 Pequeño de Fermat, 39 segundo teorema de isomorfismos, 151 Segundo teorema de Sylow, 172 de Cayley, 202 de Euler, 39 Fundamental de la Aritmética en Z, 16 Fundamental de la Aritmética en Z[i], 106 Primer teorema de isomorfismos, 148 Primer teorema de Sylow, 168 tercer teorema de isomorfismos, 152 Tercer teorema de Sylow, 174 Teoremas de Sylow, 165 Test de Solovay-Strassen, 91 transposición, 182 traslación izquierda, 203 unidad de Zn , 64 en Z[i], 98 i i

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