ANALISIS SISMICO DE EDIFICIOS

ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
1a EDICIÓN
Dr. Ing. Roberto Aguiar Falconí
Director del Centro de Investigaciones Científicas
Escuela Politécnica del Ejército
Quito - Ecuador
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS, PRIMERA EDICIÓN
Copyright ® 2008 El autor
Edita: Centro de Investigaciones Científicas.
Escuela Politécnica del Ejército.
Av. Gral Rumiñahui s/n
Valle de los Chillos, Ecuador
Registro de Autor: 018400
ISBN-13: ISBN-978-9978-30-104-3
Abril de 2008
A la memoria de mi querido hermano
Humberto Aguiar Falconí
PRESENTACIÓN
El 4 de agosto de 1998 un sismo de magnitud M S = 7.1 , registrado frente a las costas
de Bahía de Caráquez y con una profundidad focal de 37 km., causó el colapso del edificio
Calipso de 6 pisos y dejó tres edificios más muy cerca del fallo, que posterior al sismo fueron
derrocados por sus propietarios, estos son: edificio Karina de 4 pisos; edificio los Corales de 5
pisos y el edificio del Cuerpo de Bomberos. Los tres primeros edificios fueron construidos,
máximo 10 años antes del sismo, de tal manera que se trataba de estructuras modernas y que
fueron diseñadas de acuerdo a las normativas sísmicas vigentes en los años noventa del siglo
pasado.
Otros edificios, como el Hospital Miguel H. Alcívar, el Hotel Italia, el edificio Mendoza,
donde funcionaba una extensión de la Universidad Eloy Alfaro de Manta, tuvieron gran daño.
Diez años después se aprecia que los dos primeros edificios han sido reforzados no así el
tercero que está en venta.
Lo cierto es que el sismo del 4 de agosto de 1998, puso en evidencia la necesidad de
seguir estudiando e investigando sobre como tener estructuras más seguras en el Ecuador,
ante la acción de los terremotos, ya que los edificios modernos de hormigón armado de Bahía
de Caráquez, en forma general no tuvieron un desempeño satisfactorio. El sismo de diseño,
prescrito en el Código Ecuatoriano de la Construcción es más fuerte que el sismo del 4 de
agosto de 1998 y ante el sismo de diseño del Código no puede colapsar ninguna estructura, se
admite daño estructural pero no colapso.
Esta introducción es necesario realizarla ya que este libro se publica a los 10 años
del sismo y quien escribe este texto todavía tiene presente las pérdidas dejadas en la
hermosa ciudad de Bahía de Caráquez y desea que esto no vuelva a suceder. Para ello se
ha escrito esta obra que trata sobre el análisis sísmico de estructuras y para facilitar su
aprendizaje, en cada capítulo se incorporan dos o tres programas de computación en MATLAB
con dos objetivos que son: el primero, que el lector pueda seguir con detalle el proceso de
cálculo y el segundo, que tenga una herramienta que le facilite el trabajo profesional.
En el 2005, los primeros capítulos de este libro, con sus respectivos programas fueron
entregados por el autor a sus estudiantes y paralelamente se estaba realizando el proyecto de
investigación denominado: “Factor de reducción de las fuerzas sísmicas en edificios de
hormigón armado”, los resultados que se obtenían en el proyecto se fueron incorporando al
libro y a los programas, es así como en las primeras versiones de los programas se utilizaba la
propuesta realizada por Aguiar y González para el cálculo del factor de reducción de las
fuerzas sísmicas por ductilidad, conforme la investigación avanzaba y se obtenían mejores
resultados se fueron presentando nuevas versiones de los programas. Por este motivo es que
varios programas terminan con la palabra new.
Al igual que todos mis libros, existe un componente de investigación, el mismo que ha
sido desarrollado por los estudiantes a quienes he dirigido su tesis de grado ya sea a nivel de
pregrado o de post grado. Para el proyecto: “Factor de reducción de las fuerzas sísmicas en
edificios de hormigón armado”, se realizaron 8 tesis de grado, las mismas que están indicadas
en el respectivo libro publicado en el 2007. A más de esos trabajos, para el presente libro fue
muy importante el aporte que se obtuvo con el desarrollo de las siguientes tesis.
•
Campos P., (2006), Análisis del Método de Superposición Modal, Tesis para obtener el
título de Ingeniero Civil. Escuela Politécnica del Ejército.
•
Jiménez M., (2007), Análisis experimental de un disipador de energía visco elástico.
Tesis para obtener el título de Ingeniero Civil. Escuela Politécnica del Ejército.
•
Zevallos M., (2008), Software para el análisis sísmico de estructuras con disipadores
visco elásticos, utilizando espectro o acelerograma, Tesis para obtener el título de
Master en Ciencias. Universidad Técnica de Manabí.
•
Hinostroza M., (2008), Análisis sísmico de estructuras con disipadores visco elásticos.
Tesis para obtener el título de Master en Ciencias. Universidad Técnica de Manabí.
•
Cevallos J., (2008), Análisis sísmico de estructuras con aisladores de base
elastoméricos. Tesis para obtener el título de Master en Ciencias. Universidad Técnica
de Manabí.
•
Cevallos L., (2008), Comparación entre el análisis estático y dinámico de estructuras
con disipadores de energía visco elásticos. Tesis para obtener el título de Master en
Ciencias. Universidad Técnica de Manabí.
•
Carrillo C., (2008), Comparación de la respuesta sísmica incorporando y desacoplando
la mampostería y técnicas de reforzamiento, Tesis para obtener el título de Ingeniero
Civil. Escuela Politécnica del Ejército.
A los diez años del sismo de Bahía de Caráquez de 1998, se está construyendo el
puente sobre el estuario del río Chone que une las ciudades de Bahía de Caráquez con San
Vicente, puente de 1980 m., de longitud, con aisladores de base. De tal manera que ya se
inicia en el Ecuador la construcción de estructuras con sistemas de control, por este motivo es
que los dos últimos capítulos del libro están dedicados al análisis sísmico de estructuras con
aisladores de base elastoméricos y con disipadores de energía visco elásticos,
respectivamente.
En el tema de aisladores de base elastoméricos, el autor del libro, viene trabajando
desde el 2006 en esta temática con el Profesor Peter Dechent de la Universidad de
Concepción de Chile y con el Profesor José Luis Almazán de la Pontificia Universidad Católica
de Santiago de Chile desde el 2007, de tal manera que lo que se expone en dicho capítulo
tiene como referencias a contribuciones científicas realizadas en Chile. De igual forma, en
disipadores de energía visco elásticos, el autor ha trabajado con la Profesora María Ofelia
Moroni, de la Universidad Nacional de Chile.
No podría terminar la presentación del libro, sin mencionar la valiosa información sobre
la determinación de los centros de rigidez, de cortante y de torsión, suministrada por el
Profesor Francisco Crisafulli, de la Universidad Nacional del Cuyo, Argentina, al igual que la
que consta en su tesis doctoral sobre mampostería, que ha sido muy útil para la redacción del
capítulo en que se incorpora la mampostería al análisis sísmico.
La información científica que aparece día a día es tan grande, que hace difícil saber
cuando se termina de escribir un libro pero uno tiene que saber decir, hasta aquí va el libro a
sabiendas que se quedan importantes temas sin ser tratados. Esto lo he vivido algunas veces y
me queda el compromiso de que en un futuro libro, tratar con detenimiento los temas de:
simultaneidad de las acciones sísmicas, de la determinación del centro de resistencia, del
análisis sísmico de estructuras con piso flexible, entre otros.
Por último pero en primer lugar, mi agradecimiento a Dios por que constantemente
siento su presencia y su misericordia, sin su ayuda se que no podría pasar de la primera línea
pero con su ayuda todo se puede. De igual manera a las autoridades de la ESPE y en especial
al Crnl. de E.M.C. Carlos Rodríguez Arrieta, Vicerrector Académico, por el estímulo y apoyo
permanente que recibo. Finalmente, a mi querida y adorada familia por permitirme aportar al
desarrollo de la Ingeniería Estructural, con este nuevo libro.
Dr. Ing. Roberto Aguiar Falconí
Director del Centro de Investigaciones Científicas
Escuela Politécnica del Ejército
1 de Abril de 2008
i
ÍNDICE GENERAL
1
PELIGROSIDAD SÍSMICA
RESUMEN ……………………………………………………………………………....…...... 1
1.1 ORIGEN DE LOS SISMOS …………………………………….....………………….... 1
1.1.1
Deriva Continental………………………………………………………….. 2
1.1.2
Composición de la Tierra …………………………………………………. 3
1.1.3
Placas Tectónicas …………………………………………………………. 4
1.1.4
Cinturón Circunpacífico ……………………………………………………. 5
1.2 SISMICIDAD DEL ECUADOR ……………………………………………………….… 6
1.3 PELIGROSIDAD SÍSMICA ……………………………………………………………. 7
1.3.1
Etapas de cálculo …………………………………………………………. 9
1.3.2
Relación de recurrencia ………………………………………………….. 10
1.3.3
Magnitud Máxima …………………………………………………………. 12
1.3.4
Leyes de atenuación ……………………………………………………
1.3.5
Metodología de evaluación ……………………………………………... 15
14
1.4 ZONIFICACIÓN SÍSMICA DEL CEC-2000 …………………………………………. 17
1.5 FILOSOFÍA DE DISEÑO TRADICIONAL …………………………………...…….… 19
1.6 SISMOS DE ANÁLISIS DE ACUERDO A VISION 2000………..………………….. 20
1.7 ACTIVIDAD DEL VOLCÁN TUNGURAHUA …………..………………………….…. 22
REFERENCIAS ……………………………………………………………………………….22
2
ESPECTROS DE DISEÑO Y FACTOR DE REDUCCIÓN DE LAS
FUERZAS SÍSMICAS
RESUMEN …………………………………………………………………………......…..... 25
ii
2.1 INTRODUCCIÓN …………………………………...………………………………….. 26
2.1.1
Espectros de respuesta ………………………………………………… 26
2.1.2
Espectros de diseño …………………………………………………….. 28
2.2 ESPECTRO ELÁSTICO DEL CEC-2000 ……………….............………………….. 29
2.3 ESPECTROS POR DESEMPEÑO …………………………………………………... 31
2.4 ESPECTRO INELÁSTICO ……..………………………………………………….….. 33
2.5 IRREGULARIDADES EN PLANTA ………………………………..…………………. 34
2.6 IRREGULARIDADES EN ELEVACIÓN ……………………………..………………. 37
2.7 FACTOR R EN VARIOS PAÍSES LATINOAMERICANOS……………………..… 40
2.7.1 Factor R del Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000 …… 41
2.7.2 Factor R de la Norma de Colombia NSR-98 ………………………….. 42
2.7.3 Factor R de la Norma Venezolana COVENIN 1756-98 ……………… 43
2.7.4 Factor R de la Norma de Chile Ch 433-96 …………………………….
43
2.7.5 Factor R de la Normad de Perú E.030 …………………………………
43
2.7.6 Comparación de los factores R …………………………………………
44
2.7.7 Necesidad de Investigación Local ……………………………………….
44
2.8 CUANTIFICACIÓN DEL FACTOR R ………………………………………………. 45
2.9 FACTOR DE REDUCCIÓN POR DUCTILIDAD R µ …………………………….. 46
2.9.1 Aguiar y Guerrero (2006) …………………………………………………. 47
2.9.2 Aguiar y González (2006) ………………………………………………… 48
2.9.3 Aguiar, Romo y Aragón (2007) …………………………………………… 49
2.10 FACTOR DE SOBRE RESISTENCIA RΩ …………………………………………. 52
2.10.1 Aguiar, Guadalupe y Mora (2007) ………………………………………. 53
2.10.2 Aguiar y Guaiña (2008) ………………………………………………….. 55
2.11 FACTOR DE REDUNDANCIA R R …………………………………………………. 56
2.11.1 Recomendación del ATC-19 (1995) ……………………………………. 57
2.11.2 Metodología de Tsopelas y Husain (2004) ……………………………. 57
2.11.3 Aguiar, Guaiña y Bernal (2008) ………………………………………… 59
2.12 PROPUESTA DEL FACTOR R …………………………………………………… 60
iii
REFERENCIAS ……………………………………………………………………………. 62
3
MATRIZ DE RIGIDEZ: LATERAL Y EN COORDENADAS DE PISO
RESUMEN …………………………………………………………………………......…..... 65
3.1 INTRODUCCIÓN ….………………………………...……………………………….... 66
3.2 RELACIÓN ENTRE COORDENADAS DE PISO Y DE PÓRTICO ……………..… 67
3.3 MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS DE PISO ……………………………. 70
3.4 MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL PARA PÓRTICOS SIN MUROS…………...…… 72
3.4.1 Matrices de rigidez de los elementos ………………………………..…
73
3.4.2 Ensamblaje de la matriz de rigidez ……………………………………..
74
3.4.3 Condensación Estática ……………………………………………………
76
3.5 PROGRAMA RLAXINFI …………………………………………………………..…… 77
3.6 MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL PARA PÓRTICOS CON MUROS .…………… 80
3.7 PROGRAMA RLAXINFIMURO……………………………………………………...... 83
3.8 INCORPORACIÓN DE LA MAMPOSTERÍA …………………………………...…… 88
3.8.1 Modelo de Holmes (1961) ……………………………………………….... 89
3.8.2 Modelo de Mainstone (1971) …………………………………………….. 90
3.8.3 Modelo de Bazán y Meli (1980) ………………………………………….. 90
3.8.4 Modelo de Hendry (1981) …………………………………………………. 91
3.8.5 Modelo de Liauw y Kwan (1984) …………………………………………. 91
3.8.6 Modelo de Decanini y Fantin (1986) ……………………………………… 91
3.8.7 Modelo de Paulay y Priestley (1992) …………………………………….. 92
3.8.8 Modelo de FEMA (1997) …………………………………………………… 93
3.8.9 Modelo de Crisafulli (1997) ………………………………………………….94
3.9 MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTO MAMPOSTERÍA ..................................... 95
3.10 PROGRAMA RLAXINFIMAMPOSTERIA ............................................................ 99
3.11 LECCIONES DEJADAS POR SIMO DE PERÚ DE 2007 ……………………….. 102
REFERENCIAS ………………………………………………………………………..…. 104
iv
4
MÉTODO ESTÁTICO Y TORSIÓN ESTÁTICA
RESUMEN …………………………………………………………………………......…....105
4.1 PERÍODO DE VIBRACIÓN EN ESTRUCTURAS SIN MUROS…………..............106
4.1.1
Trabajo de Goel y Chopra (1997) ………………………………………107
4.1.2
Trabajo de Aguiar et al (2006) …………………………………………..108
4.2 CORTANTE BASAL MÍNIMO………………………………………………………….110
4.3 MÉTODO ESTÁTICO …………………………………………………………………..112
4.4 PROGRAMA ANALISISESTATICONEW ……………………………………………112
4.4.1 Listado del programa ANALISISESTATICONEW ………………………116
4.4.2 Uso del programa ANALISISESTATICONEW…………………………...118
4.5 EXCENTRICIDAD ESTÁTICA ……………………………………………………….119
4.6 EXCENTRICIDAD DE DISEÑO ……………………………………………………….120
4.7 EXCENTRICIDAD ESTÁTICA EN ALGUNAS NORMATIVAS …………………….120
4.7.1 Normativas de Venezuela …………………………………………………121
4.7.2 Normativas Americanas ……………………………………………………123
4.7.3 Código Ecuatoriano de la Construcción ………………………………….124
4.8 ANÁLISIS CON DOS GDL POR PLANTA …………………………………………..124
4.9 PROGRAMA ANALISESTATICO2GDL………………………………………………130
4.9.1 Programa ANALISISESTATICO2GDL……………………………………131
4.10 SISMO DE CARIACO ………………………………………………………………..134
REFERENCIAS …………………………………………………………………………..….136
5
ANÁLISIS MODAL PLANO
RESUMEN …………………………………………………………………………......…....137
5.1 MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL …………………………………….........138
5.1.1 Desplazamientos máximos modales ……………………………………..139
5.1.2 Fuerzas máximas modales ………………………………………………..140
5.2 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO …………………………………………………... 141
v
5.3 CRITERIOS DE COMBINACIÓN MODAL………………….……………………….. 143
5.4 CONTROL DEL CORTANTE BASAL MÍNIMO…………………………………….. 152
5.5 CONTROL DE LA DERIVA DE LOS PÓRTICOS…..……………………………….153
5.6 CONTROL DEL EFECTO P − ∆ ……………………………………………………..155
5.7 PROGRAMA MODALPLANONEW …………………………………………………..156
REFERENCIAS …………………………………………………………………………..….163
6 ANÁLISIS SÍSMICO ESPACIAL POR EL
MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL
RESUMEN …………………………………………………………………………......…....165
6.1 INTRODUCCIÓN ...………………………………...………………………………......165
6.2 MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS DE PISO …………………………….166
6.3 MATRIZ DE MASAS …………………….……...…………………………………….. 167
6.4 PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS……………………………………………………..168
6.5 PROGRAMA MODALESPACIAL3GDLNEW………………………………………...179
6.6 EFECTO
p − ∆ ………………………………………………………………………….189
6.7 TORSIÓN ACCIDENTAL ………………………………………………………………192
REFERENCIAS …………………………………………………………………………..… 193
7
TORSIÓN EN EDIFICIOS
RESUMEN …………………………………………………………………………......…... 195
7.1 EDIFICIOS ABIERTOS …….………...………………………………........................195
7.2 CENTRO DE RIGIDEZ EN UNA ESTRUCTURA DE UN PISO…………………...197
7.3 MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS DE PISO …………………………… 199
7.4 ANÁLISIS SÍSMICO DE UNA ESTRUCTURA DE UN PISO …………………….. 204
7.5 ANÁLISIS SÍSMICO DE UNA ESTRUCTURA MONOSIMÉTRICA……………….208
vi
7.6 PROGRAMA BALANCETORSIONALSINAISLAMIENTO …………………………209
7.7 COMENTARIOS ………………………………………………………………………..213
REFERENCIAS …………………………………………………………………………….. 213
8 RESPUESTA EN EL TIEMPO Y CENTROS DE:
RIGIDEZ, CORTE Y DE GIRO
RESUMEN ……………………………………………………………………………………215
8.1 INTRODUCCIÓN ……………………………………………………………………….215
8.2 MATRICES DE RIGIDEZ, MASA Y AMORTIGUAMIENTO ……………………….217
8.3 RESPUESTA EN EL TIEMPO ………………………………………………………..220
8.4 PROGRAMABASERIGIDANEW………………………………………………………221
8.5 CENTRO DE RIGIDEZ EN RANGO ELÁSTICO ……………………………………235
8.5.1
Propuesta de Lin (1951) …………………………………………………235
8.5.2
Propuesta de Vásquez y Ridell (1984) …………………………………235
8.5.3
Propuesta de Cheung y Tso (1986) …………………………………….238
8.6 CENTRO DE GIRO …………………………………………………………………….239
8.7 CENTRO DE CORTE ………………………………………………………………….241
8.7.1
Rigidez “t” ………………………………………………………………….241
8.7.2
Rigidez de piso ……………………………………………………………242
8.7.3
Fórmulas de Wilbur ………………………………………………………242
8.7.4
Fórmulas de Rosenblueth y Esteva …………………………………… 244
REFERENCIAS ……………………………………………………………………………………….245
9 AISLADORES DE BASE ELASTO MÉRICOS
RESUMEN …………………………………………………………………………………...247
9.1 INTRODUCCIÓN ……………………………………………………………………….247
9.2 FUNDAMENTO GENERAL ……………………………………………………………251
vii
9.3 MARCO TEÓRICO ……………………………………………………………………..252
9.4 MÉTODO CUASI-ESTÁTICO …………………………………………………………254
9.4.1 Procedimiento de análisis ………………………………………………….254
9.4.2 Programa CUASIESTATICOAISLAMIENTO…………………………….260
9.5 MÉTODO MASAS CORREGIDAS ……………………………………………………266
9.5.1 Programa MASACORREGIDAAISLAMIENTO ………………………….267
9.6 MÉTODO DINÁMICO EXÁCTO ………………………………………………………272
REFERENCIAS ……………………………………………………………………………...278
10 DISIPADORES DE ENERGÍA VISCO ELÁSTICOS
RESUMEN …………………………………………………………………………………...279
10.1
INTRODUCCIÓN .………………………………………………………………….279
10.2
DISIPADOR VISCO ELÁSTICO ………………………………………………….280
10.3
VENTAJAS DE LOS DISIPADORES ……………………………………………281
10.4
ENSAYOS PRELIMINARES ……………………………………………………...282
10.5
RIGIDEZ EQUIVALENTE DEL DISIPADOR ……………………………………283
10.6
MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL …………………………………………………286
10.6.1 Programa RLVISCOELASTICONEW …………………………………..287
10.7
MÉTODO DE LA ENERGÍA MODAL DE DEFORMACIÓN …………………...293
10.8
ANÁLISIS MODAL ESPECTRAL ………………………………………………...296
10.9
PROGRAMA VISCOELASTICOESPECTRO……………………………………300
10.10
MÉTODO ESTÁTICO ……………………………………………………………..315
10.10.1 Período Fundamental …………………………………………………….315
10.10.2 Descripción del método estático propuesto ……………………………316
10.10.3 Programa VISCOELASTICOESTATICO ………………………………318
REFERENCIAS ……………………………………………………………………………...321
CAPÍTULO 1
PELIGROSIDAD SÍSMICA
RESUMEN
El Ecuador se halla ubicado en una de las zonas de mayor peligrosidad sísmica del
mundo, de tal forma que los proyectistas estructurales tienen que diseñar sus edificios
considerando que lo más importante es la acción sísmica. Es importante crear conciencia de
que los sismos no matan, lo que matan son las estructuras si es que no han sido
diseñadas en forma adecuada. Para tener una verdadera visión del problema se inicia el
capítulo estudiando el origen de los sismos, luego de ello se pasa a ver la sismicidad en el
Ecuador, luego se indica como se realizan los estudios de peligrosidad sísmica y se presenta el
mapa de zonificación del Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000.
Posteriormente se presenta en forma rápida la filosofía de diseño en la forma clásica y
en la nueva forma recomendada por el Comité VISION 2000, en la cual se necesita conocer
los sismos de diseño para cuatro eventos denominados: frecuente, ocasional, raro y muy raro.
Actualmente la mayor parte de las normativas sísmicas establecen un solo sismo de diseño y
es el correspondiente al sismo raro, de tal forma que si se desea realizar un análisis y diseño
sísmico por desempeño, de acuerdo a la nueva visión se debe empezar por definir la forma que
tienen estos cuatro sismos.
La forma de los sismos de análisis y de diseño se lo representa mediante espectros,
tema que es tratado en el próximo capítulo, donde se presenta una forma de hallar los
espectros para los sismos: frecuente, ocasional, raro y muy raro, a partir de los espectros
estipulados en las normativas sísmicas.
1.1 ORIGEN DE LOS SISMOS
Para entender el origen de los sismos, es necesario hablar sobre: deriva continental, la
composición de la tierra y placas tectónicas y las micro placas, temas que son abordados en el
2
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
presente apartado. Por otra parte, se indica los países cuya sismicidad está asociada al
Cinturón Circunpacífico o Cinturón de Fuego del Pacífico.
1.1.1
Deriva Continental
Hace muchos millones de años todos los continentes estaban unidos en una sola
masa, a la que se denominó Pangea, también llamada Pangaea. El único océano que le
rodeaba era el Panthalassa, como se aprecia en la figura 1.1.
Figura 1.1
Pangaea o Pangea y el océano de Panthalassa. Dietz y Holden (1970).
Esta masa empezó a moverse en forma lenta y se fue rompiendo. La primera rotura se
dio en el área de Groenlandia cuando se separa de Europa. Esta rotura originó dos continentes
denominados Laurasia y Gondwana (Canet y Barbat, 1988) como se ilustra en la figura 1.2.
Figura 1.2
Rotura de Pangaea y formación de Laurasia y Gondwana. Dietz y Holden (1970).
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
3
La rotura se da en los perfiles que tienen los continentes actualmente, los mismos que
se han desplazado y rotado, pero este movimiento continúa. Esta teoría fue formulada por
Alfred Wegener (1912), con el nombre de Teoría de la deriva de los continentes.
Numerosos son los estudios que se han realizado para confirmar la teoría de Wegener,
en las últimas décadas. Si se examina con detenimiento, el perfil del continente Americano con
el de África y Europa, y si imaginariamente lo unimos, como un rompecabezas, se observa que
existe una extraordinaria coincidencia, lo cual hace pensar que en un tiempo estuvieron unidos
y luego se separaron quedando a la deriva cada uno de ellos.
Por otra parte, en las costas del Océano Atlántico de América y África, se ha visto que
sus minerales son de la misma naturaleza, no existen regiones montañosas en estas regiones
y lo más sorprendente es que su flora y fauna es muy parecida. Por ejemplo, las lombrices,
caracoles y peces de aguas superficiales, viven en las costas de los dos continentes.
1.1.2 Composición de la Tierra
Es importante destacar que los continentes se han movido en forma muy lenta desde
tiempos muy remotos y que actualmente continúan moviéndose. Para entender esto, es
necesario analizar la composición de la tierra, la misma que tiene un radio que está alrededor
de los 6400 Km.
Figura 1.3
Modelo de las corrientes de convención. Rikitake (1976).
En el centro se tiene un núcleo interno que es sólido pero el material que lo recubre es
líquido y finalmente se tiene la corteza terrestre que es sólida, la misma que tiene un espesor
variable. Es importante destacar que la corteza terrestre se encuentra sobre un manto líquido y
que es más pequeña bajo el mar y más ancha bajo las montañas, todo ello con relación al
grosor de la corteza en el resto del mundo.
4
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Por otra parte, cuando se realizan excavaciones, estas no han llegado más allá de un
kilómetro y lo que se ha observado es que la temperatura y la presión aumentan a medida que
la profundidad crece.
El centro de la tierra está compuesto por materiales y minerales a muy altas
temperaturas, es una gran fuente de calor sobre la que se halla el manto líquido, cuyo material
está en continuo movimiento, el material de abajo, sube y el material de arriba baja, como lo
ilustra la figura 1.3 A esta hipótesis se denomina corriente de convección y es la causa para
que los continentes continúen moviéndose en diferentes direcciones.
Podríamos pensar como será el mundo después de cincuenta millones de años. Es
muy probable que algunos continentes se subdividan, que su posición no sea la que tienen
actualmente.
Figura 1.4
Principales placas tectónicas, en el mundo.
1.1.3 Placas Tectónicas
Debido a las corrientes de convección, los continentes continúan en movimiento. En el
siglo XIX ya se pensó que Groenlandia se movía, hipótesis que ha sido confirmada en el siglo
XX con estudios que demuestran que se separa de Europa.
Las corrientes de convección se producen en la parte superior del manto líquido, en
una capa denominada Astenósfera. En forma figurativa se puede decir que la corteza terrestre
flota sobre la Astenósfera.
El movimiento de la corteza no se da en forma uniforme, en el sentido de que todo se
mueve en la misma dirección y con la misma magnitud, no se presenta así. Existen regiones en
las cuales el movimiento es muy lento del orden de una centésima de milímetro al año y otras
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
5
en las cuales este movimiento es muy rápido con movimientos de más de 10 cm. al año. De
igual forma, existen zonas en las que segmentos de la corteza chocan entre si y otras en que
no existe este choque.
Las principales placas tectónicas, se indican en la figura 1.4 y son las placas de:
Nazca, Sudamérica, Cocos, Norteamericana, Caribe, Africana, Euroasiática, Antártica, Pacífico,
Filipinas, Arábica, Australiana y de la India. Estas placas a su vez contienen micro placas.
Estos movimientos llamados tectónicos son los responsables de la aparición de las
montañas, de los volcanes, de los sismos, de la formación de plegamientos y fallas geológicas
en la tierra.
Investigaciones desarrolladas entre los años 1950 y 1960, encontraron que en el lecho
de los mares, existen largas y espectaculares cadenas montañosas con una forma muy similar
a la columna dorsal de los reptiles, de ahí su nombre de dorsal marino. Por lo tanto, en la tierra
existen dos tipos de montañas, las que se hallan en los continentes y las que se encuentran en
los mares con características diferentes.
Al chocar dos placas, una de las dos cede y se va para abajo con dirección al manto; la
región de la zona de choque se denomina zonas de subducción. Por otra parte, en la zona
donde no existe el choque, que es en los dorsales marinos aparece, una nueva superficie
terrestre. De esta forma se mantiene el equilibrio en el mundo, por las zonas de subducción
desaparece la superficie creada y por los dorsales marinos aparece nuevas superficies.
1.1.4 Cinturón Circunpacífico
En América del Sur, se tiene fundamentalmente el enfrentamiento de la Placa de Nazca
o Placa Oceánica con la Placa de Sudamérica o Placa Continental. Este enfrentamiento
produce el fenómeno de subducción, por el cual la placa de Nazca por ser más rígida y fuerte
se introduce por debajo de la Placa Sudamericana y continua moviéndose hacia el manto.
Como se indicó este choque genera los sismos que es lo que interesa en el presente capítulo.
Sin embargo se debe manifestar que como consecuencia del movimiento continuo de las
placas tectónicas se tienen las erupciones volcánicas y los sismos.
El fenómeno de subducción ha generado una fosa frente a las costas, la misma que
alcanza grandes profundidades. Se puede apreciar en la figura 1.4 que esta fosa continúa
por Centro América, México, Estados Unidos (California), Canadá, Alaska (Aleutian Trench),
Península de Kamtchatka, Japón, Filipinas y Nueva Zelanda. Esta fosa bordea el Océano
Pacífico a manera de un cinturón de ahí su nombre de Cinturón Circunpacífico y es una zona
de alta sismicidad. Por otra parte, en esta zona existe una intensa actividad volcánica de ahí
que también es conocida como Cinturón de Fuego del Pacífico.
En la figura 1.5 se indica con más detalle la fosa de subducción, en la zona de
Colombia, Ecuador y parte de Perú. Nótese que en el fondo del Océano Pacífico existe una
cordillera llamada Dorsal de Carnegie que sigue creciendo e introduciendose bajo el
continente, esto es debido al movimiento de las placas. De igual manera se aprecia con una
pequeña flecha negra la dirección en que se mueve la placa de Nazca frente a Ecuador, se
estima que al año esta placa se mueve con respecto a la placa del continente de 5 a 7 cm.
Se aprecia también la Cordillera de los Andes que atraviesa el Ecuador en el sentido
Norte Sur y con triángulos se indican los nevados activos y pasivos que en ella existen.
6
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Figura 1.5 Dorsal de Carnegie y Cordillera de los Andes
1.2 SISMICIDAD DEL ECUADOR
En el cinturón circunpacífico y concretamente en el Ecuador, el proceso de subducción
de la placa de Nazca, genera una alta sismicidad en su recorrido, buzamiento, hacia el Este.
Por este proceso en la costa ecuatoriana, tienen un hipocentro superficial y en la región oriental
los eventos sísmicos asociados con la subducción pueden tener profundidades focales
mayores a 200 Km. A más de la actividad sísmica asociada a la zona de subducción, existen
sismos que se generan por la activación de fallas geológicas locales.
El sismo que afectó a Bahía de Caráquez el 4 de agosto de 1998, tiene su origen en la
zona de subducción, en cambio el sismo del 2 de octubre de 1995, que causó el colapso del
puente sobre el río Upano tiene su origen en una zona de fallamiento local.
Por otra parte, es importante destacar que el buzamiento de la zona de subducción del
sur del Perú, es diferente del buzamiento que se tiene en el centro y sur del Ecuador y a su vez
es diferente del que se tiene en Colombia.
Por lo general los sismos superficiales son los que causan mayor daño. Por este
motivo, se puede indicar que la Costa Ecuatoriana es la de mayor peligrosidad sísmica,
seguida por la Sierra y finalmente el Oriente. Por lo tanto, desde el punto de vista sísmico no
es lo mismo construir en la ciudad de Esmeraldas, donde la peligrosidad sísmica es muy
grande que en el Tena que tiene una menor amenaza sísmica.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
7
Al analizar la ubicación de los epicentros e hipocentros de los sismos registrados, se
observa que existen zonas en las cuales la actividad sísmica es muy baja, como la región
oriental y otras regiones donde existe una alta concentración denominada nidos sísmicos.
En el Ecuador, existen dos nidos sísmicos localizados el uno en el sector del Puyo y el
otro en Galápagos. El Nido del Puyo, ubicado alrededor de las coordenadas 1.7 Latitud Sur y
77.8 Longitud Oeste, se caracteriza principalmente por un predominio de sismos de magnitud
entre 4.0 y 4.9 con profundidades focales mayores a 100 kilómetros. El Nido de Galápagos,
ubicado por las coordenadas 0.30' de Latitud Sur y 91 Longitud Oeste tuvo una gran actividad
sísmica entre en 11 y 23 de Junio de 1968.
Figura 1.6 Epicentros con magnitud mayor a 4 registrados en 1995 y 1998. (I.G. EPN)
En la figura 1.6 se observa a la izquierda la actividad sísmica en el Ecuador en 1995 y
a la derecha en 1998. En 1995, se aprecia una gran actividad en la región sur oriental, donde
se dio el sismo de Macas. Aguiar (2000). En cambio en 1998 se tiene una gran actividad frente
a la costa de Bahía de Caráquez.
En la figura 1.7 se aprecian los sismos superficiales con magnitud mayor a 6.0 que
se han registrado en el Ecuador entre 1977 y el 2007, se aprecia que en las provincias de la
sierra ecuatoriana prácticamente no se han registrado sismos fuertes, en estos 30 años. Esto
es una alerta que debe llevar a la reflexión de que a lo mejor se está acumulando energía y que
probablemente en un futuro cercano se tenga un sismo muy fuerte ya que históricamente la
sierra se ha visto afectada por sismos severos como el de 1797 que causó gran daño en la
antigua ciudad de Riobamba, el de 1868 que destruyó la ciudad de Ibarra y las ciudades
vecinas. Los sismos históricos a los que se hacen referencia y otros terremotos catastróficos se
indican en la figura 1.8, donde se presentan los epicentros de los sismos con Intensidades, en
la escala de Mercali, mayores a VI, registrados entre 1641 y 1880.
1.3 PELIGROSIDAD SÍSMICA
Se define como Peligrosidad Sísmica, la probabilidad de ocurrencia, dentro de un
período específico de tiempo y dentro de una región determinada, movimientos del suelo cuyos
parámetros: aceleración, velocidad, desplazamiento, magnitud o intensidad son cuantificados.
8
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Para la evaluación se deben analizar los fenómenos que se producen desde el hipocentro
hasta el sitio de interés.
Figura 1.7 Sismos superficiales con magnitud mayor a 6.0 registrados entre 1977 y 2007.
Figura 1.8 Principales terremotos registrados entre 1641 y 1880 con Intensidad mayor a 6.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
9
Para el diseño sísmico de estructuras, fundamentalmente se necesita conocer cual es
la aceleración máxima del suelo que se espera en la zona que se va a implantar el proyecto
durante la vida útil de la estructura. Si adicionalmente, se pueden establecer los otros
parámetros indicados en el párrafo anterior u otros adicionales como el tiempo y contenido de
frecuencias, que de alguna forma se están incorporando en los estudios de peligrosidad
sísmica, es mejor.
1.3.1 Etapas de cálculo
En la figura 1.9, se presentan las etapas que se siguen para la evaluación de la
Peligrosidad sísmica a nivel regional, tendientes a la obtención de parámetros para el diseño
sismo resistente, expresados en términos probabilísticas. Algermissen y Perkins (1972, 1976);
Grases (1975).
Figura 1.9 Etapas de la evaluación de la Peligrosidad Sísmica.
La información sísmica histórica, de eventos que se registraron en el período 1500 1900 es muy importante, por que son cuatro siglos de datos, razón por la cual es fundamental
su estudio. Lamentablemente, los sismos históricos no han sido estudiados con el detenimiento
del caso, primero porque es una tarea que demanda mucho tiempo y segundo por lo difícil que
resulta el conseguir la información. Las crónicas de los sismos históricos en algunos casos son
muy exageradas y tienden a sobredimensionar el daño ocasionado.
Por otra parte, en la mayor parte de países, el catálogo sísmico instrumental tiene
amplia información a partir de los años 1960 y 1970, por la implementación de un mayor
número de estaciones sismográficas. En el período 1900-1960 la información es escasa, no
porque no hayan ocurrido sismos sino porque no existía suficiente instrumentación sísmica.
Egred et al (1981). En consecuencia, antes de empezar un trabajo de peligrosidad sísmica lo
primero que se debe hacer es un estudio de completitud de la información sísmica, se puede
utilizar para el efecto, el procedimiento propuesto por Steep (1972), quien describe un
procedimiento basado en la varianza como parámetro estadístico en los cuales la tasa de
ocurrencia de los sismos es estable para distintos niveles de magnitud.
La información tectónica, geológica, geofísica y geotécnica son un complemento a la
información sísmica instrumental para poder definir un mapa sismotectónico de la región en
estudio.
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
10
1.3.2 Relación de recurrencia
Para la evaluación de la peligrosidad sísmica en cada una de las áreas fuentes es
necesario calcular la relación de recurrencia de la actividad sísmica, propuesta
independientemente por Ishimoto-Ida en 1939 y Richter-Gutenberg en 1944. (Gutemberg y
Richter, 1954, 1956). La misma que tiene la siguiente forma:
log N ( M ) = a − bM
(1.1)
Siendo N(M) el número de sismos anuales de magnitud mayor o igual que M. Las
constantes a y b definen la sismicidad del área. Dowrick (1977).
•
EJEMPLO 1
Encontrar la relación de recurrencia para los sismos registrados en el Ecuador en el
período comprendido entre 1990 y 2005. Del catálogo sísmico, se han obtenido los siguientes
datos:
Tabla 1.1 Sismicidad en el Ecuador en el período 1990-2005.
•
MAGNITUD Mb
NÚMERO DE SISMOS
4.0 - 4.5
4.5 - 5.0
5.0 - 5.5
5.5 - 6.0
6.0 - 6.5
6.5 - 7.0
7.0 – 7.5
7.5 – 8.0
8.0 – 8.5
3566
1317
155
40
23
3
3
2
1
SOLUCIÓN
En la figura 1.10 se indica la distribución de frecuencia de los sismos en el período
1990-2005. Nótese que en 1998 y en el 2005 se tiene una gran cantidad de sismos,
ventajosamente la mayor parte de ellos son de magnitudes comprendidas entre 4.0 y 4.5.
Las ecuaciones que conducen al cálculo de las constantes a y b son:
∑ log Y = N a + b ∑ X
∑ X log Y = a ∑ X + b ∑ X
2
En la tabla 1.2, se indican los valores de las sumatorias con las cuales se plantean las
dos ecuaciones que se requieren para determinar a y b.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
11
500
400
300
200
100
20
04
20
02
20
00
19
98
19
96
19
94
19
92
0
19
90
NUMERO DE SISMOS
SISMICIDAD EN EL ECUADOR DESDE
1990 - AGOSTO DEL 2005
AÑOS
4,0 - 4,5
4,5 - 5,0
5,0 - 5,5
5,5 - 6,0
6,0 - 6,5
6,5 - 7,0
7,0 - 7,5
7,5 - 8,0
8,0 - 8,5
Figura 1.10 Sismicidad anual por rango de magnitud.
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Tabla 1.2 Valores de cálculo de la recta de mínimos cuadrados.
Mb
Número de
Log Y
X
X * log Y
(X)
sismos (Y)
4.0-4.5
3566
3.5522
4.25
15.0968
4.5-5.0
1317
3.1196
4.75
14.8180
5.0-5.5
155
2.1903
5.25
11.4992
5.5-6.0
40
1.6021
5.75
9.2118
6.0-6.5
23
1.3617
6.25
8.5108
6.5-7.0
3
0.4771
6.75
3.2206
7.0-7.5
3
0.4771
7.25
3.4591
7.5-8.0
2
0.3010
7.75
2.3330
8.0-8.5
1
0.0000
8.25
0.0000
Total
5109
13.0812
56.25
68.1494
X2
18.0625
22.5625
27.5625
33.0625
39.0625
45.5625
52.5625
60.0625
68.0625
366.5625
Al reemplazar valores se halla:
13.0812 = 9 a + 56.25 b
68.1494 = 56.25 a + 366.5625 b
La solución del sistema de ecuaciones reporta:
a = 7.12341
b = −0.90719
Log N = 7.12341 − 0.90719 M b
•
EJEMPLO 2
En base a la ecuación de recurrencia encontrada en el ejemplo anterior hallar cuantos
sismos de magnitud 8 se registrarán en el Ecuador en los próximos 16 años, 25 años y 50
años.
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
12
•
SOLUCIÓN
Tabla 1.3 Cálculo del número de sismos en 16, 25 y 50 años.
16 años
log N = 7.12341 − 0.90719 * 8
log N = −0.1342
0.7342
25 años
16
X
N = 0.7342
X=
25
25 * 0.7342
= 1.1473
16
0.7342
X
X=
50 años
16
50
50 * 0.7342
= 2.2945
16
En los próximos 16 y 25 años se espera 1 sismo de magnitud 8 y en los próximos 50
años se esperan 2 sismos de magnitud 8.
A la ecuación (1.1) se le conoce como ley de Richter, la misma que puede escribirse
también de la siguiente forma:
γ = α e−β M
( 1.2 )
Donde γ es la tasa de ocurrencia anual de eventos de magnitud mayor o igual que M.
La relación que existe entre las variables a, b y α, β son las siguientes:
a = log α
β=
1.3.3
b
= b ln 10
log e
( 1.3 )
( 1.4 )
Magnitud máxima
En cada zona fuente, se debe determinar la máxima magnitud Mmax que se espera,
para ello existen diferentes fórmulas empíricas que relacionan la longitud de rotura de la falla
L, con Mmax. Una de las primeras relaciones fue suministrada por Idda en 1959 para fallas
inversas
M max = 5.47 + 1.0 log L
M max = 6.04 + 0.79 log L
( 1.5 )
( 1.6 )
La ecuación ( 1.5 ) es para sismos profundos y la ecuación ( 1.6 ) para sismos
superficiales e intermedios.
En la evaluación de la peligrosidad sísmica de Colombia, utilizaron las ecuaciones
propuestas por Ambrasseys para determinar la magnitud máxima, estas son:
L = e (1.150 M mx −3.35) Limite Inferior
L = e (1.596 M mx −7.56 ) Mejor Ajuste
L = e (1.615 M mx −8.58) Limite Superior
( 1.7 )
( 1.8 )
( 1.9 )
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
13
Se aprecia que la relación entre la Magnitud Máxima Mmax y el logaritmo de la longitud
de rotura es de tipo lineal, de la forma:
M max = A log L + B
( 1.10 )
Donde A y B son constantes que se obtienen por regresión lineal. Es conveniente que
los valores de A y B se obtengan con sismos de una determinada zona geográfica como lo
propone Acharya (1979). Por otra parte, Slemmons (1977) propone calcular la magnitud
máxima en base al tipo de falla.
Para América del Sur, Acharya propone la ecuación (1.11) para encontrar la magnitud
máxima, la misma que fue obtenida a partir de 31 eventos con magnitud superior a 7. Por lo
tanto, para magnitudes inferiores su aplicación es incierta.
M max = 2.30 + 2.83 log L
•
( 1.11 )
EJEMPLO 3
Determinar una relación entre Mmax y la longitud de rotura L, en base a los datos de la
tabla 1.4.
Tabla 1.4
•
Relación entre Magnitud M y Longitud de rotura L.
SISMO
LONGITUD FALLA
(L)
MAGNITUD
(M)
Alaska, 1964
San Francisco, 1906
Mongolia, 1957
Kern Co, 1952
Niigata, 1964
Turkey, 1953
Imperial Valley, 1940
Fairview Peak, 1954
Montana, 1959
San Miguel, 1956
Parkfield, 1966
600
450
280
50
100
50
60
36
30
19
38
8.5
8.3
8.3
7.8
7.5
7.2
7.1
7.1
7.1
6.8
5.5
SOLUCIÓN
La ecuación que se obtiene luego del ajuste por mínimos cuadrados, es:
M max = 4.86 + 1.33 log L
( 1.12 )
El coeficiente de correlación de la ecuación (1.12) es 0.782, que es un valor bajo. En
los estudios de peligrosidad sísmica se puede aplicar una ecuación como las indicadas para
14
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
encontrar la máxima magnitud esperada en la fuente pero es conveniente comparar el valor
obtenido con el registrado instrumentalmente. De igual forma en las ecuaciones que definen la
magnitud máxima se deben indicar parámetros estadísticos como el coeficiente de correlación
y la desviación Standard para incluirlos en la evaluación de la peligrosidad sísmica.
Finalmente, se debe indicar que hay ecuaciones en las cuales se incluye el
desplazamiento permanente D en la determinación de la magnitud máxima. Una de ellas es la
presentada en la ecuación (1.13), en la cual L y D, se expresan en centímetros, Grases (1997).
M max = 1.1 + 0.4 log( L1.58 D 2 )
( 1.13 )
1.3.4 Leyes de atenuación
La fuente de mayor incertidumbre en los estudios de peligrosidad sísmica es la
determinación de la ecuación de atenuación que se va a utilizar. La ecuación o ley de
atenuación es una expresión semiempírica que relaciona Magnitud-Distancia-Intensidad
Sísmica; entendiéndose por estas últimas palabras a la aceleración, velocidad, desplazamiento
e intensidad propiamente dicha de eventos sísmicos; estas relaciones se obtienen de los datos
que existen sobre los parámetros mencionados.
En general, los procedimientos utilizados para obtener las leyes de atenuación,
consiste en ajustar curvas a los datos de movimientos sísmicos ocurridos en diferentes
regiones, por lo que las expresiones así obtenidas reflejan las características geotectónicas de
la región para la cual fueron obtenidas. Mal se haría con importar leyes de atenuación
derivadas de otras regiones para realizar estudios de peligrosidad sísmica.
La filosofía de las leyes de atenuación se puede sintetizar en dos aspectos, que son:
•
A una misma distancia, R se espera tener la misma intensidad sísmica
(aceleración, velocidad, desplazamiento e intensidad propiamente dicha).
•
La intensidad sísmica disminuye conforme la distancia aumenta y viceversa.
Ahora, comparemos que ha sucedido en la realidad; al respecto veamos que pasó con
el sismo de San Fernando del 09-02-71, uno de los eventos mejor documentados, a una
distancia promedio aproximada de 42 Km. del epicentro se registraron aceleraciones
horizontales máximas del suelo que variaron entre 58 y 245 gals. Es decir no se tuvo la misma
intensidad sísmica a igual distancia; existen varios casos similares al descrito.
Lo expuesto tiene como finalidad mostrar la incertidumbre que conlleva el uso de una
ley de atenuación a pesar de que ésta fuera obtenida de registros instrumentales. Para
contrarrestar esto se acostumbra incluir en las fórmulas un término que corresponde a la
desviación estándar σ, el mismo que se calcula suponiendo que los logaritmos naturales de los
cocientes de las intensidades sísmicas predichas a las registradas instrumentalmente tienen
una distribución log normal.
En la tabla 1.5 se indican algunas de las leyes de atenuación que han sido utilizadas en
estudios de peligrosidad sísmica en diferentes regiones del mundo.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
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Tabla 1.5
15
Leyes de atenuación de la aceleración máxima de suelo.
REGIÓN
LEY DE ATENUACÍON
AUTOR
Chile-Argentina
Perú
Perú
Ecuador
Venezuela-Transcurrentes
USA-Transcurrentes
USA-Japón-Europa
ln Amax = 8.54 + 0.57M - 1.73 ln (R+60)
ln Amax = 8.18 + 0.68M - 1.63 ln (R+60)
ln Amax = 4.23 + 0.8M - ln (R+25)
ln Amax = 6.35 + 0.99M - 1.76 ln (R+40) ± 0.6
ln Amax = 3.75 + 0.47M - 0.57 ln (R+10) ± 0.67
ln Amax = 6.98 + 0.5M - 1.25 ln (R+25)
ln Amax = 0.14 IMM + 0.24M - 0.68 log R + β
β=0.60 Costa Occidental USA
β=0.69 Japón
β=0.88 Europa
Saragoni et al (1982)
Saragoni et al (1982)
Casaverde (1980)
Aguiar (1989)
Grases (1997)
Donovan (1973)
Goula (1993)
1.3.5 Metodología de Evaluación
La evaluación de la peligrosidad sísmica se ejecuta utilizando los algoritmos propuestos
por Algermissen (1972, 1976), cuya metodología de cálculo se resume a continuación.
i)
Dividir al País en una cuadrícula de 30 minutos por 30 minutos.
ii)
Determinar en cada área fuente, los coeficientes a y b de la ecuación de
recurrencia, con los datos correspondientes a sismos de magnitud mayor o igual a
Mmin. Siendo Mmin la magnitud mínima seleccionada en el estudio. En la evaluación
de la peligrosidad sísmica de Venezuela se consideró Mmin = 4.0 y en la evaluación
de la peligrosidad sísmica de Colombia Mmin = 3.0.
iii)
Determinar la longitud de rotura de la falla y la máxima magnitud esperada.
iv)
Calcular la frecuencia anual de ocurrencia de aceleraciones en cada vértice de la
cuadrícula. Se puede utilizar el programa de ordenador de Mc Guire (1976) o el
programa Crisis de Ordaz (2000). Previamente se habrá seleccionado una ley de
atenuación de movimiento del suelo.
v)
Obtener la aceleración o velocidad máxima esperada en cada vértice de la retícula,
utilizando el programa: "Line Source Model" de A. Der Kiureghian (1977) o utilizando
una distribución de valores extremos tipo II que fue lo seleccionado para el caso de
Ecuador, por Aguiar en 1982.
La distribución de valores extremos tipo II, aplicada al caso de aceleraciones es de la
siguiente forma:
ln[− ln F ( A)] = − β ln K − β ln Amax
( 1.14 )
Que puede escribirse de la siguiente manera:
F ( A ) = e − ( kA max )
−β
( 1.15 )
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
16
Siendo F(A) la probabilidad de no excedencia de la aceleración máxima Amax. Los
parámetros β y k se obtienen del ajuste por mínimos cuadrados.
vi)
Se dibuja el mapa de isoaceleraciones, si se ha estado trabajando con aceleraciones o
puede ser el mapa de isovelocidades o el parámetro seleccionado para el estudio de la
peligrosidad sísmica.
•
EJEMPLO 4
En la tabla 1.6, se indica las tasas de ocurrencia esperadas en Quito, halladas por
Aguiar (1982), para diferentes aceleraciones del suelo. Esto se obtiene de un estudio de
peligrosidad sísmica y se desea determinar la aceleración máxima del suelo en roca para una
vida útil de la estructura de 50 años y con una probabilidad de excedencia del 10%
Tabla 1.6
Aceleración máxima y tasa media de ocurrencia para Quito.
LUGAR
ACELERACÍON MÁXIMA
(cm/s2)
TASA DE OCURRENCIA
(veces/año)
Quito
50
100
150
200
250
300
400
500
0.382
0.0389
0.0105
0.00392
0.00177
0.000891
0.000269
0.0000996
Con los datos de la Tabla 1.6, se obtuvo que la relación entre el ln A y el ln[-ln F(A)] es
lineal de la forma planteada en la ecuación (1.14), con lo cual se determina:
β=3.543
k=0.025
La ecuación (1.15) es válida para un año. Para el caso de 50 años, tiempo de la vida
útil de las estructuras, lo que cambia es el valor de k, ahora será
k
1
1
. En consecuencia la
50 β
ecuación (1.15), queda:
F ( A) = e
⎞
⎛
⎟
⎜ k
−⎜ 1 Amax ⎟
⎟⎟
⎜⎜
⎠
⎝ 50 β
−β
( 1.16 )
Para el sismo raro o severo, la probabilidad de no excedencia en 50 años se consideró
del 90%. Luego al reemplazar en la ecuación (1.16), se tiene:
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
0.9 = e
⎛
⎞
⎜ k
⎟
−⎜ 1 Amax ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 50 β
⎠
17
−β
De donde:
1
1
⎛
⎞ β 50
Amax = ⎜
⎟
k
⎝ 0.10536 ⎠
1
β
( 1.17 )
Reemplazando los valores de k y β, encontrados para Quito, en la ecuación ( 1.17 ) se
obtiene:
Amax = 227.37 cm/s2 = 0.232 g
1.4
ZONIFICACIÓN SÍSMICA DEL CEC-2000
En la figura 1.11 se presenta el mapa de zonificación sísmica estipulado en el Código
Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000 y que fue obtenido de un estudio de peligrosidad
sísmica para estructuras que tienen una vida útil de 50 años y con una probabilidad de
excedencia del 10%.
Figura 1.11 Zonificación sísmica del Ecuador del CEC-2000.
18
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
En base a estos dos últimos valores se halla el período de retorno que es el tiempo
promedio transcurrido entre dos movimientos sísmicos que tienen la misma aceleración
del suelo. La ecuación que se utiliza para hallar el período de retorno T es la siguiente:
T≈
1
1 − (1 − p )
1
t
( 1.18 )
Donde p es la probabilidad de no excedencia y t es el tiempo de vida útil de la
estructura. Al reemplazar p = 0.10 y t = 50 en ( 1.18 ) se encuentra que el período de retorno
es de 475 años.
La zona de mayor peligrosidad sísmica del Ecuador está definida por una aceleración
máxima del suelo en roca igual a 0.4 g., siendo g., la aceleración de la gravedad y la menor
peligrosidad está caracterizada por 0.15 g. La costa y la sierra están inmersas en la zona de
mayor peligrosidad sísmica.
En la tabla 1.7 se indica las zonas sísmicas en la forma que presenta el CEC-2000, en
la cual se indica únicamente el coeficiente de la aceleración de la gravedad, que se denomina
factor Z .
Zona Sísmica
Factor Z
Tabla 1.7 Zonificación sísmica del Ecuador del CEC-2000
1
2
3
0.15
0.25
0.30
4
0.40
Considerar una aceleración máxima del suelo en roca del 40% de la aceleración
de la gravedad para la sierra ecuatoriana, a criterio del autor de este libro es demasiado
alto. Este valor se debe a que los sismos históricos están sobredimensionados en cuanto a los
daños que ocasionaron. De tal manera que si se elimina la zona 4 de la sierra y se deja todo
como zona 3 sería lo más apropiado.
El comentario realizado en el párrafo anterior, tiene un sustento en el estudio de
peligrosidad sísmica realizado por Aguiar (1982) y que se presenta en la figura 1.12. En este
estudio se determinó la aceleración máxima esperada asociada a un período de retorno de 475
años y la aceleración más probable.
Existe bastante similitud entre la zonificación del CEC-2000, figura 1.11 y la
zonificación de Aguiar (1982) en el primero y por razones de seguridad está ligeramente
mayorado la aceleración máxima del suelo. Se concuerda que la costa ecuatoriana es la de
mayor peligrosidad sísmica y que la región oriental es la de menor peligrosidad. Para que la
aproximación sea adecuada se debe dejar, en la normativa del CEC-2000, a la sierra en la
zona 3 con una aceleración máxima del suelo en roca del 30% de la aceleración de la
gravedad.
En Quito, desde la época de la colonia no se ha tenido un sismo cuyo daño haga
presumir que se tuvo una aceleración máxima del suelo en roca de 0.4 g. Diseñar un edificio
para 0.4 g., considerando un valor apropiado para el factor de reducción de las fuerzas
sísmicas debida a comportamiento no lineal, tema que se verá en el próximo capítulo, implica
tener elementos estructurales de apreciables dimensiones.
Lo que están haciendo algunos proyectistas estructurales es considerar 0.4 g., y el
valor más alto estipulado por el CEC-2000 para el factor de reducción de las fuerzas sísmicas
sin verificar el factor de reducción asignado lo que significa que en la realidad están
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
19
considerando valores más bajos al 0.4 g., ya que el factor de reducción de las fuerzas sísmicas
obtenido en dichas estructuras es menor al que se impusieron, Aguiar (2006).
Figura 1.12 Zonificación sísmica del Ecuador encontrada por Aguiar (1982).
1.5
FILOSOFÍA DE DISEÑO TRADICIONAL
La filosofía de diseño tradicional establece tres niveles de desempeño estructural que
son: i) Servicio, ii) Daño, y iii) Colapso. Ante tres sismos de análisis definidos como: i) Menor,
ii) Moderado, y iii) Severo, como se indica a continuación.
•
En el Estado de Servicio, se espera que ante Sismos Menores, que pueden
ocurrir frecuentemente durante la vida útil de la edificación, no ocurra ningún daño
tanto en los elementos estructurales como en los no estructurales.
•
Para el Estado de Daño, se espera que la estructura trabaje en el límite de su
capacidad resistente elástica, es decir la estructura como tal no sufre daño pero sí
hay daño en los elementos no estructurales. Este comportamiento es esperado
ante Sismos Moderados, que pueden presentarse durante la vida útil de la
edificación.
•
Para el Estado de Colapso, la estructura, ante un Sismo Severo que puede ocurrir
rara vez en el tiempo de vida útil, incursiona en el rango no lineal, experimentando
daño pero en ningún momento la edificación llega al colapso. Se espera cierto
grado de daño en los elementos estructurales y un daño considerable en los
elementos no estructurales.
20
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Los códigos, normalmente presentan los estudios de peligrosidad sísmica para
el Sismo Severo. Esto ha sucedido en el Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000,
en las Especificaciones Sismorresistentes de Venezuela COVENIN 1756-98 y en la Norma
Técnica de Perú de 2003, entre otros. En que se indica las zonificaciones sísmicas para
una vida útil de 50 años y con una probabilidad de excedencia del 10%.
Para poder verificar el comportamiento que tendrá una estructura ante los sismos
denominados menor y moderado, es necesario definir la aceleración de estos eventos, de una
manera similar a la efectuada para el sismo severo. Caso contrario la filosofía clásica de
diseño quedará como un simple enunciado estructural.
No basta indicar que el sismo menor o sismo pequeño se va a presentar durante la
vida útil de la estructura o que es probable que el sismo moderado se registre alguna vez en el
tiempo de vida medio de la edificación.
Tampoco se deben establecer valores generales, como indicar que la aceleración
máxima del suelo en roca, para el sismo pequeño es menor a 0.06 g (6% de la aceleración de
la gravedad) y que la aceleración para el sismo moderado es menor que 0.12 g. Estos valores
pueden ser adecuados para un determinado lugar pero en términos generales no lo son,
puesto que en el mundo existen zonas con diferente peligrosidad sísmica.
1.6
SISMOS DE ANÁLISIS DE ACUERDO A VISION 2000
Tanto el SEAOC ,Structural Engineers Association of California, 1995 como el ATC-33
(1995), en sus documentos VISION 2000 y guía NEHRP, establecen claramente la manera de
cuantificar las características de los sismos que deben considerarse en el análisis sísmico de
estructuras. En primer lugar, se debe indicar que no son tres los sismos de análisis, como se
tenía anteriormente, ahora son cuatro los mismos que están definidos de la siguiente manera:
•
Sismo Frecuente, que debe obtenerse para una vida útil de la estructura de 30
años con una probabilidad de excedencia del 50%. El período de retorno de este
evento es de 43 años. Por lo tanto, este sismo se va a dar por lo menos una vez
durante la vida útil de la estructura.
•
Sismo Ocasional, que se calcula para una vida útil de la estructura de 50 años y
con una probabilidad de excedencia del 50%. El período de retorno es de 72 años.
Por lo tanto, durante la vida útil de la estructura (50 años) es probable que este
sismo se registre alguna vez.
El sismo ocasional es equivalente al sismo moderado y el sismo frecuente es
equivalente al sismo menor.
•
Sismo Raro, también conocido como Sismo Excepcional o como Sismo de
Diseño. En fin existen una serie de nombres que se le dan a este sismo, el mismo
que se obtiene para una vida útil de la estructura de 50 años y con una
probabilidad de excedencia del 10%. En consecuencia, es equivalente al Sismo
Severo. El período de retorno de este evento es de 475 años.
•
Sismo Muy Raro, también denominado Sismo Extremo que se calcula para una
vida útil de la estructura de 100 años con una probabilidad de excedencia del 10%.
Este evento tiene un período de retorno de 970 años.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
21
Para cada uno de estos eventos el Comité VISION 2000 define un nivel de
desempeño de la estructura o un nivel de comportamiento global de la edificación, tema que
será analizado posteriormente.
En 1992 la Sociedad de Ingenieros Estructurales de California se reunieron para
analizar las grandes pérdidas que se han producido en sismos recientes, que estuvieron
diseñados para un solo sismo, con la filosofía de que no colapsen ante un sismo severo pero
se han venido registrando sismos de menor magnitud que no han llevado al colapso de la
estructura pero han producido grandes pérdidas en elementos no estructurales, las mismas
que se agravan cuando se tiene que suspender las labores para reparar estos daños. Estas
pérdidas que representaban varios miles de millones de dólares fue lo que motivo la creación
del Comité VISION 2000 quienes en 1995 presentaron los primeros resultados, que fueron
como una nueva luz para el diseño sísmico de las estructuras en el siglo XXI.
En lo que atañe a lo estudiado en el presente capítulo se ha indicado que para el
análisis y diseño de las estructuras se necesita definir cuatro eventos sísmicos denominados:
frecuente, ocasional, raro y muy raro tema que será tratado en el próximo capítulo después de
que se indique lo que son los espectros de diseño.
Figura 1.13 Fotografías del Volcán Tungurahua. (Instituto Geofísico de la E.P.N.)
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
22
1.7
ACTIVIDAD DEL VOLCÁN TUNGURAHUA
Desde 1998 hasta marzo de 2008, en que se termina de escribir este libro, el volcán
Tungurahua se ha encontrado en permanente actividad. Lo cierto es que ya se llevan 10 años
seguidos, en que hay fumarolas, caídas de ceniza y erupciones del volcán como las que se
aprecian a la izquierda de la figura 1.13, la fotografía superior corresponde a la erupción del 8
de febrero de 2008 y la inferior a la del 5 de marzo de 2007. Estas dos fotografías fueron
tomadas por Patricio Ramón y se encuentran en el portal del Instituto Geofísico de la
Politécnica Nacional, al igual que las fotografías de la derecha en que aparece el cráter del
volcán tomada desde su borde N.E por José Espín y la inferior derecha, en que se observa la
actividad fumarólica del volcán tomada por Jorge Bustillos.
En la primera declaratoria de emergencia del volcán, toda la población de Baños y de
los lugares aledaños fueron evacuados por más de un mes; en los siguientes años nuevamente
se ha declarado en emergencia y la población ha sido evacuada por días. Pero ha habido una
buena parte de la población de Baños que no ha abandonado sus casas a pesar de que el
volcán está erupcionando como sucedió el 6, 7 y 8 de febrero de 2008. Esto demuestra que la
gente ya se acostumbró a la permanente actividad del volcán y no mide el gran peligro que
tienen.
La intensa actividad de este y otros volcanes, como la gran actividad sísmica del
Ecuador, deben servir como alertas para los proyectistas estructurales para construir
edificaciones sismo resistentes, que no colapsen durante un evento telúrico, que no colapsen
con la acumulación de ceniza volcánica en sus techos. Deben ser señales de alerta para
buscar nuevas formas constructivas que sean más seguras ante los embates de la naturaleza.
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Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército, 74 p., Quito.
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ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
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the International Conference on Microzonation for Safer Construction. Research and
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CAPÍTULO 2
ESPECTROS DE DISEÑO Y FACTOR DE
REDUCCIÓN DE LAS FUERZAS SÍSMICAS
RESUMEN
La definición de espectros de respuesta y de diseño, es fundamental en el análisis sísmico
de edificios, razón por la cual se inicia el capítulo con ésta temática. De igual manera es
importante el estudio de los espectros elásticos e inelásticos, saber que con los espectros elásticos
no se espera daño en las estructuras y con los espectros inelásticos si se espera daño.
Es fundamental conocer como las normativas sísmicas obtienen los espectros inelásticos
dividiendo los espectros elásticos para el producto R φ p φ e . Donde R es el factor de reducción de
las fuerzas sísmicas debido a comportamiento inelástico de la estructura; φ p , φ e factores con los
cuales se penaliza las irregularidades en planta y elevación. Estos tres factores son objeto de
estudio, con mucho detenimiento en el presente capítulo, ya que una selección inapropiada de
estas cantidades puede conducir a un diseño con fuerzas sísmicas muy bajas, siendo la estructura
vulnerable ante la acción de los sismos o puede conducir a sobredimensionar la acción sísmica
con lo que se obtiene un diseño muy costoso.
Se analiza, con cierto detenimiento los factores de reducción de las fuerzas sísmicas para
edificios de hormigón armado, compuestos por vigas y columnas, sin muros de corte, de las
normativas sísmicas de: Venezuela, Colombia, Ecuador, Perú y Chile. Para poder comparar el
factor R de estas normativas se debe diferenciar si los espectros formulados son a nivel de
servicio o últimos, se debe tener en cuenta la deriva máxima de piso permitida, si esta deriva es
elástica o inelástica, se debe conocer como se obtienen los desplazamientos inelásticos a partir de
los desplazamientos elásticos. Todas estas variables influyen en el cálculo del factor R .
26
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Posteriormente, se presenta los resultados de un proyecto de investigación, desarrollado
en el Centro de Investigaciones Científicas de la Politécnica del Ejército, que se inició en el 2005 y
finalizó en el 2007, sobre el cálculo del factor R en las estructuras mencionadas en el párrafo
anterior.
Se obtuvo el factor R multiplicando el factor de resistencia por ductilidad R µ también
conocido como factor de reducción por ductilidad; multiplicando por el factor de sobre resistencia
R Ω y por el factor de redundancia R R .
Para el factor R µ se realizaron cuatro trabajos: Aguiar y Guerrero (2006); Aguiar y
González (2006); y dos trabajos por parte de Aguiar, Romo y Aragón (2007,1,2). Este último se
considera el más completo ya que se trabajó con 80 acelerogramas de sismos reales de baja
magnitud y 112 acelerogramas artificiales compatibles con los espectros del Código Ecuatoriano
de la Construcción.
Para hallar los factores R Ω y R R se analizaron 432 estructuras de uno a seis pisos que
responden a la forma como se construye en Ecuador. De tal manera que los resultados obtenidos
son validos para estructuras de menos de 6 pisos. Se entiende que estructuras de más de 7 pisos
se diseñan con muros de corte.
Para el factor R Ω se presentan los resultados encontrados por Aguiar, Mora y Guadalupe
(2007) que es función de la deriva de piso máxima permitida y para el factor R R el trabajo
desarrollado por Aguiar, Guaiña y Bernal (2008).
Finalmente, en base a los trabajos realizados se propone el factor de reducción de las
fuerzas sísmicas, para edificios conformados por vigas y columnas sin muros de corte, para los
cuatro tipos de suelo que contempla el CEC-2000, los mismos que son validos para una deriva de
piso máxima inelástica de 1.5 %.
2.1 INTRODUCCIÓN
Se recomienda la lectura del libro “Dinámica de Estructuras con MATLAB”, Aguiar (2007)
en el que se trata sobre la forma como se obtiene la respuesta en el tiempo de un sistema de un
grado de libertad ante una acción sísmica definida por su acelerograma, luego se presenta como
se halla los espectros de respuesta y finalmente se indica como a partir de estos espectros de
respuesta se halla el espectro de diseño. Se presenta a continuación un breve repaso de lo tratado
en forma extensa en el texto mencionado.
2.1.1 Espectros de respuesta
Se define el espectro de respuesta como la respuesta máxima de un conjunto de
osciladores de 1 gdl que tienen el mismo amortiguamiento, sometidas a una historia de
aceleraciones dadas.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
27
En la figura 2.1 se muestra el esquema de cálculo de los espectros de respuesta. A la
izquierda aparecen un conjunto de osciladores de 1 gdl, todos ellos tienen un coeficiente de
amortiguamiento ξ = 0.05 . Cada uno de estos osciladores, que representan a estructuras de un
piso, va a ser sometido al sismo cuyo acelerograma se indica en la parte inferior izquierda.
Figura 2.1 Esquema de cálculo de los Espectros de Respuesta.
En la parte central de la figura 2.1, se tiene la respuesta en el tiempo de desplazamiento,
se ha colocado únicamente de dos osciladores, el uno tiene un período de 1 s. y el otro un período
de 2 s. Se ha identificado las respuestas máximas en cada uno de ellos, como Sd1 para el sistema
con T=1 s., y Sd2 para el sistema con T=2 s. Nótese que Sd1 es negativo ya que se halla en la
parte inferior y Sd2 es positivo por estar en la parte superior pero para encontrar el espectro se
considera en valor absoluto
En la parte derecha, de la figura 2.1 se han colocado los valores de Sd1 y Sd2 asociados a
períodos de 1 y 2 s., se han colocado además los desplazamientos máximos correspondientes a
los restantes períodos del conjunto de osciladores de un grado de libertad, la gráfica que resulta de
unir las respuestas máximas es el Espectro de Respuesta Elástica de Desplazamientos, ante el
sismo del 9 de Noviembre de 1974. En la parte central de la figura 2.1 se pudo haber colocado las
respuestas máximas de velocidades o de aceleraciones, con lo que se habría hallado los espectros
de respuesta elásticos de velocidad y aceleración, respectivamente.
Por lo tanto, se pueden obtener espectros de respuesta elásticos de desplazamientos,
velocidades y aceleraciones, encontrando las máximas respuestas en valor absoluto de q(t ), q (t )
(t ) . A estas respuestas máximas se las denomina con las letras S d , S v y S a .
y q
S d = q (t ) max
S v = q (t ) max
S a = q(t ) max
( 2.1 )
De estos tres tipos de espectros los que más se utilizan, al menos en Latino América son
los espectros de aceleraciones y son los que vienen definidos en las normativas sísmicas. Estos
espectros han tenido una serie de críticas en el sentido de que no toman en cuenta el tiempo de
duración del sismo, la frecuencia de vibración del sismo, y sobre todo que no describen el daño
esperado en la estructura. Temas que son importantes y que de alguna forma se los incorpora en
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
28
los espectros de energía, pero todavía no existen formulaciones sencillas para el análisis sísmico
de estructuras con espectros de energía.
De igual manera en lugar de trabajar con espectros de aceleraciones se está proponiendo,
desde hace algunos años, el trabajar con espectros de desplazamiento debido a que estos están
más asociados con el daño de las estructuras, existen filosofías de diseño al respecto pero
nuevamente se continúa trabajando con espectros de aceleraciones.
2.1.2
Espectros de diseño
En la figura 2.2 se ilustra la forma como se obtiene un espectro de diseño, para el efecto se
seleccionan registros sísmicos de una determinada región, que se encuentren registrados sobre el
mismo tipo de suelo ya que se ha visto que un mismo sismo puede tener diferentes registros en
suelo duro y en suelo blando a pesar de que los dos sitios están muy cercano.
Es preferible que los registros con los cuales se obtengan los espectros sean de eventos
con magnitudes mayores a cuatro o en su defecto que tengan aceleraciones máximas superiores
al 10% de la aceleración de la gravedad.
Lamentablemente en América Latina no se dispone de una suficiente cantidad de
registros sísmicos, clasificados de acuerdo al tipo de suelo, ni tampoco de registros de
sismos fuertes por lo que toca trabajar con los archivos que se disponen o en su defecto se
pueden generar registros sísmicos artificiales que sean compatibles con la sismicidad local de una
región. Orosco et al (2005).
ESPECTROS RESPUESTA
01b
02a
02b
2000
03a
1800
03b
04a
1600
04b
05a
05b
Aceleración
1400
1200
06a
06b
07a
07b
1000
800
600
400
08a
08b
200
09a
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
Periodo
Figura 2.2 Esquema de obtención de un espectro de diseño
3,5
09b
Media
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
29
Una vez definidos los registros con los cuales se va a obtener un espectro de diseño se
encuentran los espectros de respuesta de cada uno de ellos, para esto previamente se normalizan
a un determinado valor todos los acelerogramas, en el ejemplo indicado en la figura 2.2 se han
normalizado de tal manera que la aceleración máxima del registro sea el 40% de la aceleración de
la gravedad.
Mediante estadísticas se encuentra el espectro medio, como se ilustra en la figura 2.2 con
una línea un poco más gruesa. El espectro medio tiene una probabilidad del 50% de que sus
ordenadas sean excedidas lo cual sería inseguro ya que significa que para un determinado período
habrán sismos cuya aceleración espectral es mayor que la del espectro medio.
Con el propósito de minimizar la aceleración de excedencia de ciertos sismos, se sube la
curva media encontrando la desviación estándar y se puede presentar la curva de valores medios
más una desviación estándar. Lo cierto es que se trabaja en forma probabilística y los espectros
están asociados a una determinada probabilidad de excedencia.
2.2 ESPECTRO ELÁSTICO DEL CEC-2000
En la figura 2.3 se presenta la forma del espectro de diseño elástico del CEC-2000 que
está definido por las siguientes ecuaciones:
T <T∗
T∗ <T <T+
T >T+
Ad = α β Ao
1.25 α Ao S
T
α Ao
Ad =
2
Ad =
( 2.2 )
S
( 2.3 )
( 2.4 )
Donde α es el coeficiente de importancia de la estructura; β , T ∗ , T + , S parámetros que
están definidos en la tabla 2.1 y que dependen del perfil de suelo. A0 es la aceleración máxima del
suelo y está definido en el mapa de peligrosidad sísmica del Ecuador, indicado en el capítulo
anterior, T es el período de vibración de la estructura.
Se recuerda que el valor de A0 del CEC-2000 fue obtenido para un período de retorno de
475 años con una probabilidad de excedencia del 10%. Si se considera α = 1 , se mantiene la
probabilidad de excedencia, este valor se recomienda para viviendas y oficinas. Para
edificaciones esenciales, como hospitales, se considera α = 1.5 , en este caso la probabilidad
de excedencia está alrededor de 2% cantidad muy baja considerando el período de retorno. Para
edificaciones con ocupación especial como Escuelas o locales que albergan a más de 5000
personas el valor de α = 1.3
Es importante que se tenga muy en cuenta que si se trabaja con α = 1.5 se está
incrementando las fuerzas sísmicas en 50% cantidad que es demasiado alta y debido a esto es
que se tiene una probabilidad de excedencia muy baja. El valor máximo de la Norma COVENIN
1756-98 es α = 1.3 para edificaciones esenciales, que es un valor adecuado. Por lo tanto, se
recomienda que para edificaciones esenciales como hospitales se calcule con α = 1.3 y para
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
30
edificios con ocupación especial se tome α = 1.15 para que la probabilidad de excedencia
no sea tan baja. Valores altos de α implican fuerzas sísmicas altas.
Figura 2.3 Espectro Elástico del Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000
Tabla 2.1 Parámetros que definen el espectro elástico del CEC-2000
Perfil de suelo
β
T∗
T+
(s)
(s)
S1
0.50
2.50
2.5
S2
0.52
3.11
3.0
S3
0.82
4.59
2.8
S4
2.00
10.00
2.5
S
1.0
1.2
1.5
2.0
Los cuatro perfiles de suelo del CEC-2000 se determinan de la siguiente manera:
1
Perfil de suelo S1 son suelos cuya velocidad de la onda de corte, V s es mayor a 750 m/s,
con período de vibración menor a 0.2 s. Entre ellos se incluyen:
Roca sana o parcialmente alterada, con resistencia a la compresión no confinada
mayor o igual a 500 KPa = 5 Kg/cm2.
Gravas arenosas, limosas o arcillas densas o secas.
Suelos cohesivos duros con resistencia al corte en condiciones no drenadas
mayores a 100 KPa, con espesores menores a 20 m., y que se encuentran sobre
roca u otro material cuyo V s es mayor a 750 m/s.
Arenas densas con número de golpes del SPT: N>50 con espesores menores a 20
m., y que se encuentren sobre roca u otro material cuyo V s es mayor a 750 m/s.
Suelos y depósitos de origen volcánico firmemente cementados, tobas y
conglomerados con número de golpes del SPT: N>50.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
31
2
Perfil de suelo S2 son suelos con características intermedias entre los suelos S1 y S3.
3
Perfil de suelo S3 son aquellos cuyo período fundamental es mayor a 0.6 s., En la tabla
2.2 se indican las características de los suelos blandos o estratos de gran espesor que son
considerados S3.
Suelos Cohesivos
Tabla 2.2 Características de los suelos tipo S3.
Resistencia al corte
Vs
no drenada
(m/s)
Espesor del
Estrato
Su
Blandos
Semiblandos
Duros
Muy duros
Suelos Granulares
Sueltos
Semidensos
Densos
< 200
200 – 400
400 – 750
> 750
< 25 KPa
25 KPa – 50 KPa
50 KPa – 100 KPa
100 KPa – 200 KPa
> 20 m.
> 25 m.
> 40 m.
> 60 m.
Vs
Valores N del SPT
(m/s)
< 200
200 – 750
> 750
Espesor del
Estrato
4 – 10
10 – 30
> 30
> 40 m.
> 45 m.
> 100 m.
Si el sitio donde las propiedades del suelo son poco conocidas, se podrá considerar
que el perfil de suelo es S3.
4
Perfil de suelo S4 son suelos con condiciones especiales. En este grupo se incluyen los
siguientes:
1
2
3
4
5
Suelos con alto potencial de licuación, susceptibles de colapso y sensitivos.
Turbas, lodos y suelos orgánicos.
Rellenos colocados sin control técnico.
Arcillas y limos de alta plasticidad ( IP > 75 ).
Arcillas suaves y medio duras con espesor mayor a 30 m.
Los perfiles de este grupo incluyen a suelos particulares altamente compresibles, donde
las condiciones geológicas y/o topográficas sean especialmente desfavorables y que
requieran estudios geotécnicos no rutinarios para determinar sus características
mecánicas.
2.3 ESPECTROS POR DESEMPEÑO
En el capítulo anterior se habló que el Comité VISION 2000 establece cuatro sismos
denominados: frecuente, ocasional, raro y muy raro para el análisis y diseño sísmico por
desempeño, los mismos que están indicados en la tabla 2.3. Ahora lo que interesa ilustrar en este
apartado es como se determinan las formas espectrales para los sismos: frecuente,
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
32
ocasional y muy raro habida cuenta que el espectro del sismo raro es el del CEC-2000.
En el capítulo 8 del libro Análisis Sísmico por Desempeño, Aguiar (2003) se indican todos
los estudios que se han realizado para proponer la siguiente metodología para encontrar los
espectros de los sismos: frecuente, ocasional y muy raro, a partir del espectro del sismo raro.
Sismo
Tabla 2.3 Sismos recomendados por el Comité VISION 2000.
Período medio Tasa Anual de
Vida Útil
Probabilidad
T
de Excedencia
t
p
de retorno, r excedencia, 1
∗
P
Frecuente
Ocasional
Raro
Muy raro
•
30 años
50 años
50 años
100 años
50%
50%
10%
10%
43 años
72 años
475 años
970 años
0.02310
0.01386
0.00211
0.00105
Para el Sismo Frecuente se dividen las ordenadas espectrales del Sismo Raro para 3 y
posteriormente se ajusta la forma espectral para un amortiguamiento ξ del 2%.
Multiplicando la forma espectral por f a indicado en la ecuación ( 2.5 )
⎛
1+ ξ
f a = 2 ⎜⎜
0.865
⎝ 1 + 14.68 ξ
⎞
⎟
⎟
⎠
( 2.5 )
La ecuación ( 2.5 ) sirve para obtener espectros para cualquier factor amortiguamiento ξ , a
partir del espectro para ξ = 0.05 . Esta ecuación es propuesta por la Normativa Sísmica de
Chile de (1996) para estructuras con aislamiento de base y se ha verificado que reporta
resultados satisfactorios con sismos registrados en el Ecuador. Aguiar y Álvarez (2007).
Existe otra ecuación más sencilla, que también se puede hallar para pasar del espectro
que está calculado para un ξ = 0.05 a un ξ = 0.02 Esta es:
⎛ 0.05 ⎞
⎟⎟
f a = ⎜⎜
⎝ ξ ⎠
0.4
•
Para el Sismo Ocasional se multiplica el sismo frecuente por 1.4
•
Para el Sismo muy raro se multiplica el sismo raro por 1.3
•
EJEMPLO 1
( 2.6 )
Encontrar los espectros para los sismos: frecuente, ocasional, raro y muy raro; para la
zona de mayor peligrosidad sísmica de Ecuador y en un perfil de suelo S4.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
•
33
SOLUCIÓN
En la figura 2.4 se presentan los espectros requeridos, los mismos que se hallan utilizando
el programa VISION descrito en el capítulo tres del libro: Dinámica de Estructuras con MATLAB.
Aguiar (2007).
2.4 ESPECTRO INELÁSTICO
Al realizar el análisis sísmico con el espectro elástico del CEC-2000 se espera que la
estructura no sufra daño. Por lo tanto, todo el tiempo trabajará en el rango elástico pero esto no es
adecuado ya que el espectro del CEC-2000 tiene un período de retorno de 475 años es decir la
probabilidad de que se registre durante la vida útil de la estructura es muy baja. Sería muy costoso
diseñar una estructura con el espectro elástico, además de ello los elementos estructurales que
resultan serían de grandes dimensiones.
Figura 2.4 Espectros: frecuente, ocasional, raro y muy raro para un perfil S4.
Por consiguiente se diseña las estructuras considerando un espectro inelástico el mismo
que se obtiene dividiendo las ordenadas del espectro elástico para R φ p φ e como lo ilustra la figura
2.5. Donde R es el factor de reducción de las fuerzas sísmicas debido a comportamiento inelástico
34
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
de la estructura; este factor se define en forma muy general en las diferentes normativas sísmicas y
más responde a criterios cualitativos emitidos por expertos, que a criterios cuantitativos, razón por
la cual se dedicará todo un apartado para su estudio en este capítulo. φ p y φ e son factores con
los que se pretende penalizar las irregularidades tanto en planta como en elevación, que tiene una
edificación y son abordados en el siguiente apartado.
2.5 IRREGULARIDADES EN PLANTA
El CEC-2000 considera cinco tipos de irregularidades en planta que a continuación se las
comentan:
1. Irregularidad Torsional.- Existe irregularidad por torsión cuando la máxima deriva de piso
de un extremo de la estructura, calculada incluyendo la torsión accidental y medida
perpendicularmente a un eje determinado, es mayor que 1.2 veces la deriva promedio de
los dos extremos con respecto al mismo eje de referencia. Esto se lo ilustra en la figura 2.6
Figura 2.5 Espectros: Elástico e Inelástico del CEC-2000
La nomenclatura de la figura 2.6 es la siguiente: d 1 , d 2 son los desplazamientos
horizontales de los pisos 1 y 2, ∆ piso 1 , ∆ piso 2 , son las derivas de los pisos 1 y 2.
∆ piso 1 =
d1
H1
∆ piso 2 =
d 2 − d1
H2
Donde ∆ 1 es el mayor valor entre ∆ piso 1 y ∆ piso 2 en el pórtico 1, que es el extremo. ∆ 2
es similar a ∆ 1 pero en el otro pórtico extremo en este caso el pórtico 4. ∆ i es el mayor
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
35
valor entre ∆ 1 y ∆ 2 . Se debe verificar, si:
⎛ ∆ + ∆2 ⎞
∆ i > 1.2 ⎜ 1
⎟
2
⎝
⎠
⇒ φ p = 0.9
Figura 2.6 Irregularidad torsional φ p = 0.9
2. Retrocesos excesivos en las esquinas.- La configuración de una estructura se
considera irregular cuando presenta retrocesos excesivos en sus esquinas. Un retroceso
en una esquina se considera excesivo cuando las proyecciones de la estructura, a ambos
lados del retroceso, son mayores que el 15% de la dimensión de la planta de la estructura
en la dirección del retroceso. En este caso φ p = 0.9 , en la figura 2.7 se muestran los
retrocesos.
Figura 2.7 Retrocesos en las esquinas.
36
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
3. Discontinuidades en el sistema de piso.- La configuración de la estructura se considera
irregular cuando el sistema de piso tiene discontinuidades apreciables o variaciones
significativas en su rigidez, incluyendo las causadas por aberturas, entradas, retrocesos o
huecos, con áreas mayores al 50% del área total de piso o con cambios en la rigidez
efectiva del piso de más del 50% entre niveles consecutivos. Estas discontinuidades se
penalizan con φ p = 0.9 . En la figura 2.8 se ilustran algunos casos en que el área de las
aberturas es mayor del 50%.
Figura 2.8 Discontinuidades en el sistema de piso.
4. Desplazamiento del plano de acción de elementos verticales.- Una estructura se
considera irregular cuando existen discontinuidad en los elementos verticales, tales como
desplazamientos del plano de acción de elementos verticales del sistema resistente. Los
desplazamientos del plano de acción se penalizan con φ p = 0.8 . En La figura 2.9 a la
izquierda se observa que existe continuidad en la columna central, lo cual está correcto; en
cambio, en la figura de la derecha se aprecia que no existe continuidad en la columna
central ya que llega solo al primer piso, lo que es incorrecto y se penaliza con φ p = 0.8 .
Figura 2.9 Desplazamientos del plano de acción de los elementos verticales.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
37
5. Ejes estructurales no paralelos.- La estructura se considera irregular cuando los ejes
estructurales no son paralelos o simétricos con respecto a los ejes ortogonales principales
de la estructura. La penalización de estas estructuras es φ p = 0.9 . En la figura 2.10 a la
izquierda se ve una estructura con los ejes de columnas ortogonales lo que no sucede con
la configuración en planta de la estructura de la izquierda.
Figura 2.10 Desplazamientos del plano de acción de elementos verticales.
En todas las plantas de la estructura, se deberá verificar la existencia de irregularidades en
planta. Finalmente la irregularidad en planta, se calculará con la siguiente ecuación:
φ p = φ pa φ pb
( 2.7 )
Donde φ pa es el mínimo valor de φ pi de cada piso i de la estructura para cuando se
encuentren las irregularidades en planta tipo 1, 2 y/o 3. φ pb es el mínimo valor de φ pi de las
estructuras para cuando se encuentren las irregularidades tipo 4 y/o 5.
2.6 IRREGULARIDADES EN ELEVACIÓN
Los cinco tipos de irregularidades en elevación que considera el CEC-2000, son:
1. Piso flexible (irregularidades en rigidez).- La estructura se considera irregular cuando la
rigidez lateral de un piso es menor que el 70% de la rigidez lateral del piso superior o
menor que el 80% del promedio de la rigidez lateral de los tres pisos superiores. En este
caso φ e = 0.9 . En la figura 2.11 se explica lo expuesto en un edificio de 6 pisos.
38
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Figura 2.11 Piso flexible (irregularidad de rigidez).
2. Irregularidad de la distribución de las masas.- La estructura se considera irregular
cuando la masa de cualquier piso es mayor a 1.5 veces la masa de uno de los pisos
adyacentes, exceptuando el caso de cubiertas que sean más livianas que el piso inferior.
La irregularidad en la distribución de las masas se penaliza con φ e = 0.9 . En la figura 2.12
se ha colocado como ejemplo si la masa del piso D es mayor a 1.5 veces la masa del piso
E o 1.5 veces la masa del piso C, se considera φ e = 0.9 .
Figura 2.12 Irregularidad en la distribución de las masas.
3. Irregularidad Geométrica.- La estructura se considera irregular cuando la dimensión en
planta del sistema resistente en cualquier piso es mayor que 1.3 veces la misma dimensión
en un piso adyacente, exceptuando el cado de los altillos de un solo piso. Cuando la
estructura tiene esta irregularidad geométrica φ e = 0.9 . En la estructura de la figura 2.13 se
aprecia que los dos últimos pisos tienen una dimensión menor a la de los pisos inferiores,
menor en más de un 30%. Por lo tanto para esta estructura φ e = 0.9 .
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
39
Figura 2.13 Irregularidad geométrica.
4. Desalineamientos de ejes verticales.- La estructura se considera irregular cuando
existen desplazamientos en el alineamiento de elementos verticales del sistema resistente,
dentro del mismo plano en el que se encuentran y estos desplazamientos son mayores que
la dimensión horizontal del elemento. Se exceptúa la aplicabilidad de este requisito cuando
los elementos desplazados solo sostienen la cubierta de la estructura sin otras cargas
adicionales de tanques o equipos. El desalineamiento de ejes verticales se penaliza con
φ e = 0.8 . En la figura 2.14 se ilustra el problema.
Figura 2.14 Desalineamiento de ejes verticales.
40
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
5. Piso débil – Discontinuidad en la resistencia.- La estructura se considera irregular
cuando la resistencia del piso es menor del 70% de la del piso inmediatamente superior,
entendiéndose la resistencia del piso como la suma de las resistencias de todos los
elementos que comparten el cortante del piso para la dirección considerada. Para esta
irregularidad se tiene φ e = 0.9 . En la figura 2.15 se observa que la resistencia del piso B
es menor a 0.7 veces la resistencia del piso C.
Al igual que la irregularidad en planta, se debe analizar las irregularidades en elevación en
todos los pisos de la estructura φ ei . La irregularidad en elevación de una estructura se calcula con
la siguiente ecuación:
φ e = φ ea φ eb φ ec
( 2.8 )
Donde: φ ea es el mínimo valor de φ ei para cuando existan irregularidades tipo 1 y/o 5.
φ eb es el mínimo valor de φ ei para cuando existan irregularidades tipo 2 y/o 3. φ ec es el mínimo
valor de φ ei para cuando exista la irregularidad tipo 4.
Figura 2.15 Piso débil – discontinuidad en la resistencia.
2.7 FACTOR R EN VARIOS PAÍSES LATINOAMERICANOS
Una de las debilidades de la mayor parte de normativas sísmicas es que no indican como
se debe evaluar el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R , en parte se debe a que este es
un tema que está actualmente en investigación, a pesar de que se ha venido trabajando desde
hace unos 30 años, pero esto es una razón más para ser cautelosos en la selección del valor
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
41
de reducción de las fuerzas sísmicas.
Algunas normativas presentan este valor para diferentes tipologías estructurales y
responden más al criterio de expertos basados en un comportamiento cualitativo de las
estructuras, pero no indican como se debe evaluar este factor.
Dos debilidades presentan la mayor parte de normativas en cuanto al factor R y son las
siguientes:
•
El factor R depende del período de vibración de la estructura pero muy pocas normas
consideran esta variable y dan un solo valor de R al margen del período.
•
Por otra parte, el factor R depende del tipo de suelo. Chopra (2005), Ordaz y Pérez
(1999), entre otros. De tal forma que se debería especificar el factor R y el tipo de suelo.
2.7.1 Factor R del Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000
Los valores estipulados por el CEC-2000 para el factor de reducción de las fuerzas
sísmicas R son demasiado altos por lo que se recomienda tomar las precauciones del
caso. En la tabla 2.4 se indican estos valores y están asociados a una gran capacidad de
ductilidad de las estructuras.
Tabla 2.4 Valores del coeficiente de reducción de respuesta estructural propuestos por el CEC-2000
Sistema Estructural
R
Estructuras con pórticos espaciales sismo resistentes de
10
hormigón armado o de estructuras de acero laminado en
caliente. Sistemas de pórticos espaciales sismorresistentes de
hormigón o de acero laminado en caliente, con muros
estructurales de hormigón armado (sistemas duales).
Estructuras con pórticos espaciales sismo resistentes y
8
diagonales rigidizadoras. Estructuras con vigas perdidas en las
losas (losa plana) y con muros estructurales.
Estructuras con vigas perdidas en las losas (losas planas) y sin
7
muros estructurales. Estructuras con pórticos espaciales
sismo-resistentes en conjunto con mampostería confinada.
Estructuras de acero laminado en frío. Estructuras de madera
Estructuras de mampostería reforzada
4.5
Estructuras de tierra
1.5
El uso de los factores R del CEC-2000 está condicionado a que se trabaje con las
combinaciones de carga del A.C.I. de 1999, en las que se mayora la acción sísmica. Estas son:
U = 1 .4 D + 1 .7 L
U = (1.4 D + 1.7 L ± 1.87 S ) 0.75
U = 0.9 D ± 1.43 S
42
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Donde U son las combinaciones de carga mayoradas; D la carga muerta, también
conocida como carga permanente; L es la carga viva y S es la carga sísmica. Consecuentemente
la acción sísmica se está mayorando por un factor que está alrededor de 1.4. Con esta
consideración, por ejemplo para una estructura con vigas y columnas el factor de R es
aproximadamente igual a 10/1.4 = 7.1
No se puede trabajar con los factores R del CEC-2000 y con las combinaciones de
carga del A.C.I. 2002, que son las siguientes:
U = 1.2 D + 1.6 L
U = 1.2 D + 1.0 L ± 1.0 S
U = 0 .9 D ± 1 .0 S
Si se trabaja con los valores R del CEC-2000 y las combinaciones de carga del A.C.I.
2002 se está subvalorando la acción sísmica en un 30%, aproximadamente. Se está diseñando
para fuerzas sísmicas muy bajas.
Por otra parte usar los valores R estipulados por el CEC-2000 significa que la estructura
va a tener una capacidad de ductilidad global µ , mayor o igual a 4. Esto implica que la ductilidad
por curvatura de las vigas µ φ sean mayores o iguales a 15. Si la ductilidad por curvatura es menor
a la cantidad indicada el valor R es menor. De tal manera que utilizar los valores R del CEC2000 tiene implícito realizar un nivel de diseño muy riguroso, cumplir con todas las especificaciones
del A.C.I.
2.7.2 Factor R de la Norma de Colombia NSR-98
Para estructuras con pórticos espaciales sismo resistentes de hormigón armado la
Normativa de Colombia NSR-98 establece un valor máximo de R = 7.0 para estructuras muy bien
diseñadas ( µ ≥ 4 ) en las que se espera la máxima disipación de energía cuando incursionen en el
rango no lineal. Por otra parte, en el apartado B.2.4.2, establecen las siguientes combinaciones de
carga.
U = 1 .4 D + 1 .7 L
U = 1.05 D + 1.28 L ± 1.0 S
U = 0 .9 D ± 1 .0 S
Consecuentemente, el espectro de la Norma Colombiana está a nivel de cargas últimas.
Son comparables los dos valores R del CEC-2000 siempre y cuando se mayores la acción
sísmica con los valores R de la norma NSR-98. En estructuras conformadas por vigas y columnas,
sin muros de corte. En otras palabras el factor R de la norma NSR-98 es el mismo que el del
CEC-2000 pero hay una gran diferencia entre estas dos normativas y radica en el hecho de que la
norma NSR-98 estipula una deriva máxima de piso del 1% y el CEC-2000 una del 2%. Ambas
son calculadas inelásticamente. Como se verá posteriormente el factor R depende de la deriva
máxima de piso esperada.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
43
2.7.3 Factor R de la Norma Venezolana COVENIN 1756-98
Para estas mismas estructuras, pórticos conformados por vigas y columnas sin muros de
corte, la Norma Venezolana COVENIN 1756-98 (2001) establece un valor máximo de R = 6 para
el nivel de diseño sísmico más exigente. De tal manera que el valor de R en estructuras con un
diseño sísmico muy exigente está entre 6 y 7. En este caso no se mayora la acción sísmica. En
efecto las combinaciones de carga son:
U = 1.1 D + 1.0 L ± 1.0 S
U = 0.9 D ± 1.0 S
2.7.4 Factor R de la Norma de Chile Ch 433-96
La Norma de Chile Ch 433-96 estipula un valor de R0 igual a 11 para estructuras con
vigas y columnas, pero el factor de reducción de las fuerzas sísmicas se halla con la siguiente
ecuación.
R =1+
T∗
0.1 T0 +
T*
R0
Donde T ∗ es el período con mayor masa traslacional en la dirección de análisis; T0
período que depende del tipo de suelo; R0 es factor de modificación de la respuesta estructural,
depende del sistema estructural y del material empleado y R es el factor de reducción de las
fuerzas sísmicas. Las combinaciones de carga de la norma Ch 433-96, son:
U = 1.4 (D + L ± E )
U = 0.9 D ± 1.4 E
Por otra parte, la deriva de piso máxima permitida es 0.1%. Es deriva elástica, sin
embargo es un valor bastante bajo. De tal manera que mientras más bajo es la deriva de piso
máxima permitida mayor es el factor R
2.7.5
Factor R de la Norma de Perú E.030
Para las estructuras con vigas y columnas, la Norma de Perú indica que el valor de R = 8
pero se debe mayorar la acción sísmica en las combinaciones de carga, como se indica a
continuación:
U = 1.25 (D + L ± E )
U = 0.9 D ± 1.25 E
44
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Por lo tanto, la norma de Perú tiene un espectro a nivel de cargas de servicio. Si se divide
el factor R para 1.25, para no mayorar la acción sísmica en las combinaciones de carga, se halla
que R = 6.4 .
Por otro lado la deriva de piso máxima inelástica permitida es 0.7% que es bastante
baja, ya que es inelástica.
2.7.6
Comparación de los factores R
Como se habrá observado hay una serie de factores que influyen en el factor R . Una
nueva variable es la forma como se hallan los desplazamientos inelásticos ∆ i a partir de los
desplazamientos elásticos ∆ e . De tal manera que existen algunas variables que están
relacionadas con el factor R y en algunas normativas hay cierta inconsistencia entre estas
variables.
En la tabla 2.5, se comparan los factores R , para estructuras conformadas por vigas y
columnas sin muros de corte, de los países que se han presentado, se indica este factor; el tipo de
espectro formulado, si es Último no se mayora la acción sísmica en las combinaciones de carga; la
deriva máxima permitida; que tipo de deriva es la permitida y para el caso de que son derivas
inelásticas se indica la forma como se hallan los desplazamientos inelásticos.
Venezuela
Tabla 2.5 Comparación de variables que intervienen en el factor R
Tipo de
Deriva de
Tipo de
Norma
Factor R
Espectro
Piso
Deriva
COVENIN
6
Último
0.018
Inelástica
Colombia
NSR-98
7
Último
0.01
Inelástica
∆i = R ∆e
Ecuador
CEC-2000
10
Servicio
0.02
Inelástica
Perú
E.030
8
Servicio
0.007
Inelástica
∆i = R ∆e
∆ i = 0.75 R ∆ e
Chile
NCh 433-96
11 ( R0 )
Servicio
0.001
Elástica
País
2.7.7
156-98
Desplazamiento
Inelástico
∆ i = 0.8 R ∆ e
Necesidad de investigación local
En cada País, la arquitectura de los edificios y los materiales empleados en ellos, es
diferente, razón por la cual es necesario estudiar el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R ,
en cada sitio. En la figura 2.16 se presentan 4 fotografías del centro norte de Quito, tomadas desde
el piso 20 del Hotel Colón. La superior izquierda tiene vista hacia la Iglesia de Santa Teresita; la
superior derecha hacia las calles Juan León Mera y 6 de Diciembre pero con dirección al norte; la
inferior izquierda con vista a la González Suárez y la inferior derecha con vista hacia el sector de la
Carolina, fotografías encontradas en (www.skyscrapercity.com)
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
45
Figura 2.16 Fotografías del Centro Norte de Quito. (www.skyscrapercity.com)
En el Ecuador en edificios de 1 a 6 pisos se acostumbra utilizar vigas no muy peraltadas,
vigas que sobresalen ligeramente de la losa, con columnas de sección transversal pequeña y se
emplean estribos de 8 mm., de diámetro eso si espaciadas a 10 cm., en los extremos y 20 cm., en
el centro de luz, además en las columnas es frecuente el uso de estribo doble o estribo más una
vincha. Es este tipo de estructuras en que se ha determinado el factor R y en el siguiente
apartado se presentan los resultados encontrados. Aguiar (2007).
Se analizaron 216 edificios cuadrados, con tres ejes de columnas en cada dirección y 216
edificios cuadrados, con cuatro ejes de columnas. Los edificios son de 1 a 6 pisos con un hormigón
de 210 Kg./cm2 y con un acero de 4200 Kg./cm2; estos son los materiales que normalmente se
utilizan en las construcciones de hormigón armado.
2.8 CUANTIFICACIÓN DEL FACTOR R
A mediados de 1980, se realizaron estudios experimentales, en la Universidad de
Berkeley, California, tendientes a encontrar el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R y es
así como Uang y Bertero (1986) y Whittaker et al (1987) proponen la siguiente relación.
R = R µ RΩ Rξ
( 2.9 )
Donde Rµ es el factor de ductilidad, R Ω es el factor de sobre resistencia y Rξ es el factor
de amortiguamiento. En los estudios experimentales que realizaron en estructuras de acero
encontraron que el factor R varía entre 4.5 y 6.0
Posteriormente, Freeman (1990), Uang (1991) han hecho modificaciones a la ecuación
46
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
(2.9 ) hasta llegar a la propuesta del ATC (1995) en que se cambia el factor de amortiguamiento
Rξ por el factor de redundancia R R que toma en cuenta los ejes de columnas, a mayor número de
ejes de columnas se tendrá un mayor valor de R R , de tal manera que la ecuación ( 2.9 ) queda:
R = R µ RΩ R R
( 2.10 )
Se puede pensar en calcular el factor R en función de los siguientes cuatro factores:
R = R µ Rξ RΩ R R
( 2.11 )
Hay trabajos como el de Riddell y Newmark (1979) que incorporan el amortiguamiento en
el factor de reducción por ductilidad, de tal manera que Rµ Rξ están incorporados en un solo
factor que puede denominarse Rµ ,ξ . Este trabajo de Riddell y Newmark (1979) ha sido incorporado
en el Código Sísmico de Costa Rica de 2002.
2.9 FACTOR DE REDUCCIÓN POR DUCTILIDAD Rµ
Nuevamente se recomienda la lectura del capítulo 3 del libro Dinámica de Estructuras con
MATLAB de Aguiar (2007) donde se demuestra entre otras cosas la regla de igual desplazamiento
y la regla de igual energía que son fundamentales para entender las propuestas que se han
realizado sobre el factor de reducción por ductilidad Rµ . En dicho capítulo se presenta también las
propuestas realizadas a nivel mundial por Newmark y Veletsos (1960), Newmark y Hall (1973),
Riddell y Newmark (1979), Newmark y Hall (1982) que todavía tienen vigencia.
En el artículo, “Factor de reducción de las fuerzas sísmicas por ductilidad” Aguiar (2007)
se presentan 14 trabajos realizados a nivel mundial sobre este factor, siendo el último de ellos el
efectuado por Lobo et al (2002) y también se presentan cuatro trabajos realizados en el Ecuador y
son los realizados por Aguiar y Guerrero (2005); Aguiar y González (2006) y dos trabajos
realizados por Aguiar, Romo y Aragón (2007,1,2).
Se define como Rµ a la relación entre la máxima fuerza elástica Fe con respecto a la
máxima fuerza inelástica F y .
Rµ =
Fe
Fy
( 2.12 )
Pero por otra, también se tiene que el desplazamiento máximo inelástico en un sistema de
un grado de libertad ∆ i es igual a:
∆i =
µ
Rµ
∆e
( 2.13 )
Donde: µ es la demanda de ductilidad, ∆ e es el desplazamiento máximo elástico en un
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
47
sistema de 1 gdl. Rµ es el factor de reducción por ductilidad. De ecuación (2.13 ) se halla:
Rµ =
µ
Cµ
Cµ =
∆i
∆e
De tal manera que hay dos formas de hallar Rµ , en base a fuerzas, con la ecuación (2.12)
o en base a desplazamientos con la ecuación (2.13).
2.9.1
Aguiar y Guerrero (2006)
En base al análisis de 63 acelerogramas con aceleraciones de suelo mayor al 10% de la
aceleración de la gravedad, de sismos registrados en Colombia, Perú, Chile y Argentina, Aguiar y
Guerrero (2006) encontraron una relación para el factor Rµ que es función de la relación entre la
rigidez post fluencia con respecto a la rigidez elástica, que se denomina α . Si α = 0 se tiene el
modelo elasto perfectamente plástico. Las ecuaciones obtenidas en el estudio son las siguientes:
R µ = [c (µ − 1) + 1]
1/ c
T 2.07
0.381
+
2.07
T
1+ T
1.247
0.248
T
+
c=
1.247
T
1+ T
c=
•
para α = 0.0
( 2.14 )
para α = 0.05
EJEMPLO 2
Determinar las curvas del factor de reducción por ductilidad Rµ para un valor α = 0 ,
empleando la propuesta de Aguiar y Guerrero (2006). Para demandas de ductilidad de 1.5, 2.0, 3.0
y 4.0. Comentar los resultados.
•
SOLUCIÓN
En la figura 2.17 se presentan los factores de Rµ encontrados para un modelo elasto
perfectamente plástico, α = 0 . Del análisis de esta figura se realizan los siguientes comentarios:
•
Para períodos entre 0.5 y 1.5 los valores que se obtienen son superiores a la ductilidad.
•
Para períodos mayores a 1.5 prácticamente se cumple la regla de igual desplazamientos,
aunque se aprecia que ligeramente son menores a la ductilidad para períodos altos.
•
El modelo propuesto por Aguiar y Guerrero (2006) no depende del tipo de suelo.
48
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Figura 2.17 Factores Rµ empleando propuesta de Aguiar y Guerrero (2006).
2.9.2 Aguiar y González (2006)
Lamentablemente no se dispone, en el Ecuador, de acelerogramas de eventos sísmicos
fuertes, clasificados de acuerdo al tipo de suelo. Razón por la cual, se procedió a obtener registros
artificiales con las siguientes características: i) La duración de los eventos sísmicos varía entre 20 y
50 s., ii) la fase intensa del sismo es de 10 s., iii) Los acelerogramas que se obtuvieron generan en
forma aproximada los espectros elásticos del CEC-2000 para los cuatro perfiles de suelo y iv) Los
acelerogramas encontrados generan espectros asociados a un valor A0 = 0.4 g. Para cada perfil
de suelo se obtuvo siete acelerogramas sintéticos con los cuales se halló la siguiente ecuación:
Rµ =
µ
⎡⎛ a
⎞⎛ T ⎞
1 + ⎢⎜⎜ b + c ⎟⎟ ⎜ ∗ ⎟
⎠ ⎝T ⎠
⎢⎣⎝ µ
d
⎤
⎥
⎥⎦
−1
( 2.15 )
Las constantes a, b, c, d fueron obtenidas en el estudio y se indican en la tabla 2.5. El
valor de T ∗ es el indicado en la tabla 2.6.
Tabla 2.6 Valores de a, b, c, d encontrados en el estudio. Aguiar y González (2006)
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
Perfil de Suelo
S1
S2
S3
S4
•
a
b
c
d
30.00
71.80
81.04
86.00
1.34
2.00
2.00
2.10
-1.49
-1.50
-2.55
-2.60
0.60
0.50
0.50
0.48
49
EJEMPLO 3
Determinar las curvas del factor de reducción por ductilidad Rµ para un perfil de suelo S1,
empleando la propuesta de Aguiar y González (2006). Para demandas de ductilidad de 1.5, 2.0,
3.0 y 4.0. Comente los resultados.
•
SOLUCIÓN
En la figura 2.18 se presentan los factores de reducción por ductilidad empleando la
recomendación de Aguiar y González para un perfil de suelo S1. Los comentarios que se realizan a
esta figura y en general a esta propuesta son los siguientes:
•
Para períodos altos el valor Rµ es menor que la ductilidad µ . En consecuencia no se
cumple la regla de iguales desplazamientos. El tener valores bajos de Rµ implica tener
fuerzas sísmicas más altas.
•
Se nota que Rµ cambia con el período aunque sea en forma muy pequeña para valores
de períodos altos pero existe ese cambio.
2.9.3 Aguiar, Romo y Aragón (2007)
En base a 112 sismos artificiales compatibles con los espectros del CEC-2000 para los
cuatro perfiles de suelo y con 80 registros de sismos muy pequeños, se obtuvo Rµ siguiendo los
lineamientos propuestos por Chopra (2005). Los resultados obtenidos, son:
⎧ ⎡ ⎛
a
⎪
C µ = ⎨1 + ⎢λ ⎜⎜ b
⎪⎩ ⎢⎣ ⎝ µ
Rµ =
µ
Cµ
c −1
⎞ ⎛ T ⎞ ⎤ ⎫⎪
⎟ ∗ ⎜ψ ∗ ⎟ ⎥ ⎬
⎟ ⎝ T ⎠
⎥⎦ ⎪
⎠
⎭
0.30103
( 2.16 )
50
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Figura 2.18 Factores Rµ para un perfil S1, empleando propuesta de Aguiar y González (2006).
Tabla 2.7 Valores obtenidos en el estudio para diferentes tipos de suelo y ductilidades.
Ductilidad 2
ψ
a
c
Perfil de Suelo
λ
b
0.35
-3.50
1.40
0.17
0.87
S1
0.60
-2.90
1.31
0.17
0.82
S2
3.40
-1.00
1.50
0.21
1.00
S3
2.10
-1.40
1.00
0.12
1.70
S4
Ductilidad 3
1.00
-2.70
1.40
0.04
0.15
S1
1.00
-1.20
1.40
0.05
0.49
S2
3.00
-1.00
1.80
0.07
0.73
S3
15.00
-0.08
1.40
0.07
0.30
S4
Ductilidad 4
1.30
-1.50
1.76
0.03
0.25
S1
7.80
1.00
1.40
0.02
0.50
S2
1.30
-0.20
1.41
0.01
0.93
S3
0.23
-0.60
1.80
0.04
2.91
S4
En la tabla 2.7 se indican el valor de las variables a, b, c, λ , ψ encontrados en el estudio
para ductilidades de 2, 3 y 4 y para los cuatro perfiles de suelo del CEC-2000.
Una forma más compacta del ajuste de los datos, es la ecuación ( 2.17 ) . En este caso se
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
51
tiene una sola variable que es a . Los valores de esta variable se indican en la tabla 2.8.
⎡
a T (1 − 0.165 µ ) ⎤
Rµ = 1 + (µ − 1) ⎢
⎥
⎣ a T (1 − 0.165 µ ) + 4900 ⎦
Variable
a
Tabla 2.8 Valores de la variable a
Suelo S1
Suelo S2
Suelo S3
100500
91000
73600
( 2.17 )
Suelo S4
38900
Por lo tanto, se tienen dos fórmulas que se pueden usar, la ( 2.16 ) y la ( 2.17 ) . La ventaja
de usar ésta última ecuación radica en que se obtiene directamente valores de Rµ para
ductilidades con decimales, ejemplo µ = 2.3 . Si se utiliza la ecuación ( 2.16 ) para encontrar Rµ
para µ = 2.3 se debe calcular primero el valor de Rµ para µ = 2 , luego calcular Rµ para µ = 3 ,
finalmente hay que interpolar para hallar Rµ para µ = 2.3 . En cambio con la ecuación ( 2.17 ) el
cálculo es directo.
En la figura 2.19 se comparan los valores de Rµ que se hallan con las ecuaciones ( 2.14 )
para α = 0 , ( 2.15 ), ( 2.16 ) y ( 2.17 ). Están identificadas en la figura 2.19 como ecuaciones que
van de la ( 1 ) a la ( 4 ). Para los cuatro perfiles de suelo que contempla el CEC-2000.
Como la ecuación ( 2.14 ) no depende del tipo de suelo, su valor no difiere en los cuatro
gráficos. La ecuación ( 2.15 ) proporciona valores bajos de Rµ . Por lo tanto, es una fórmula
bastante conservadora. Las curvas que se hallan con las ecuaciones ( 2.16 ) y ( 2.17 )
prácticamente son las mismas, por lo que se recomienda trabajar con la ( 2.17 ).
Los valores que se hallan con ( 2.16 ) y ( 2.17 ) están entre las que reportan ( 2.14 ) y
(2.15). Dos aspectos positivos de las ecuaciones ( 2.16 ) y ( 2.17 ) son que para un período igual a
cero inician en la unidad y para el rango de períodos largos el valor de R µ ≈ µ , es decir se cumple
con la regla de igual desplazamiento y esto se observó en la mayoría de resultados que el
desplazamiento máximo inelástico es aproximadamente igual al desplazamiento máximo elástico
que es el fundamento de la regla de igual desplazamiento.
52
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Figura 2.19 Factores Rµ encontrados para el Ecuador, para ductilidad 4.
2.10 FACTOR DE SOBRE RESISTENCIA RΩ
Se define el factor de sobre resistencia R Ω como la relación entre el cortante basal último
que es capaz de soportar la estructura VU con relación al cortante basal de diseño V D .
RΩ =
VU
VD
( 2.18 )
En estructuras bien diseñadas este factor debe ser mayor que la unidad ya que
normalmente en el diseño se coloca una mayor cantidad de armadura, existen factores de
seguridad en los modelos constitutivos de los materiales y para facilitar la construcción se
uniformizan las secciones con lo que se coloca una mayor sección.
No siempre colocar más armadura en los elementos estructurales es beneficioso para la
estructura y por ende implica un mayor R Ω . Por ejemplo, si se coloca una mayor cantidad de
armadura longitudinal en vigas, ocasiona que estas secciones tienen una mayor capacidad a
flexión y esto induce a un mayor cortante y si no se tiene una adecuada cantidad de refuerzo
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
53
transversal se va a producir la falla por corte y por ende tendrá menos R Ω .
En el análisis sísmico los elementos no estructurales, normalmente no se consideran pero
la presencia de los mismos incrementa su capacidad y por ende R Ω . Pero nuevamente no se
puede generalizar, ya que por ejemplo, en algunas ocasiones la mampostería genera elementos
cortos en las columnas las mismas que son muy vulnerables con lo que R Ω , disminuye.
Existen varias formas de encontrar R Ω , una de ellas mediante un análisis dinámico no
lineal y otra mediante un análisis no lineal estático. En este capítulo se determina R Ω a partir de la
curva de capacidad sísmica resistente, que relaciona el cortante basal V con el desplazamiento
lateral máximo en el tope de un edificio Dt , la misma que se halla aplicando la técnica del
pushover. Aguiar (2002, 2003).
2.10.1 Aguiar, Guadalupe y Mora (2007)
Aguiar, Guadalupe y Mora (2007) en base al análisis de 432 edificios de hormigón armado
de 1 a 6 pisos, conformados por vigas y columnas, sin muros de corte, determinan R Ω en base a
la deriva máxima de piso γ , de acuerdo a la siguiente metodología.
i.
Se halla la curva de capacidad sísmica resistente V − Dt como se indica a la izquierda de
la figura 2.19.
ii.
A partir de la curva V − Dt se halla la curva cortante basal V con deriva global de la
estructura γ g . Para el efecto el desplazamiento lateral Dt se divide para la altura total del
edificio H . Esta curva V − γ g se indica a la derecha de la figura 2.19.
γg =
Dt
H
Figura 2.19 Relaciones V − Dt y V − γ g .
( 2.19 )
54
iii.
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Se halla la relación cortante basal V con deriva máxima de piso γ . Para el efecto se debe
encontrar una relación entre la deriva de piso γ y la deriva global γ g .
Se define el parámetro β 2 a la relación entre γ / γ g . Este parámetro fue obtenido para
estructuras conformadas por vigas y columnas de hormigón armado, del análisis no lineal
de 120 edificios de 1 a 10 pisos, ante la acción de 32 acelerogramas. Aguiar et al (2006).
Llegando a obtener:
β 2 = −0.0231 N 2 + 0.3018 N + 0.6759
( 2.20 )
γ = β2 γ g
( 2.21 )
Siendo N el número de pisos. El valor de β 2 siempre será mayor a la unidad. De tal
manera que a partir de la curva V − γ g se obtiene la curva V − γ , la misma que se indica
a la izquierda de la figura 2.20.
iv.
Para una determinada deriva máxima de piso γ , se halla un cortante basal V . Si se divide
el cortante basal VU , que es el cortante máximo de la curva de capacidad sísmica
resistente para V se halla R Ω . De tal forma que de la curva V − γ se halla R Ω − γ .
Figura 2.20 Relaciones V − γ y RΩ − γ .
A mayor deriva de piso γ que se espera en una estructura menor será R Ω . En la figura
2.21 se presentan los valores medios encontrados en los edificios de 1 a 6 pisos de 2 y 3 vanos.
De esta gráfica se desprende que no se puede indicar que a mayor número de vanos mayor será
el valor de R Ω o al revés.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
55
Figura 2.21 Valores promedios de R Ω para diferentes valores de γ
2.10.2 Aguiar y Guaiña (2008)
En la figura 2.22 se presentan los valores del factor de sobre resistencia R Ω encontrados
en el estudio en función del período de vibración T de las estructuras, también se ha encontrado la
curva que mejor se ajusta a los resultados obtenidos y estas son las indicadas en la tabla 2.9, la
validez de estas ecuaciones es para estructuras con períodos mayores a 0.35 s., y menores a
1.05 s. Aguiar y Guaiña (2008).
γ
0.5 %
1.0 %
Tabla 2.9 Ecuaciones de ajuste de la sobre resistencia
Ecuación
RΩ = 1.69 +
0.82
T
1.5
−
0.50
Error
10 %
T2
RΩ = 1.43 + 0.0229 T 2 + 0.029 log
T
T
10.4 %
2
1.5 %
RΩ = −2.83 T + 6.27 T − 4.27 T + 2.07
8.0 %
2.0 %
RΩ = −2.34 T 3 + 4.93 T 2 − 3.14 T + 1.70
8.0 %
3
2
56
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Figura 2.22 Variación de la sobre resistencia en función del período de vibración.
2.11 FACTOR DE REDUNDANCIA R R
El factor de redundancia R R mide la capacidad de incursionar la estructura en el
rango no lineal. La capacidad de una estructura en redistribuir las cargas de los elementos con
mayor solicitación a los elementos con menor solicitación. Se evalúa como la relación entre el
cortante basal máximo VU con respecto al cortante basal cuando se forma la primera articulación
plástica V1 .
RR =
VU
V1
( 2.22 )
Con esta definición el factor de redundancia será siempre mayor que la unidad, ya que una
estructura que no tenga redundancia y en la cual se forme la primera rótula plástica, y colapse se
tendrá que VU = V1 .
Si en una estructura se pueden formar una gran cantidad de rótulas plásticas antes de que
colapse tendrá un factor de redundancia alto, para esto en forma intuitiva se ve que es función del
número de ejes de columnas, ya que mientras mayor sea el número de ejes de columnas se tendrá
un mayor número de secciones que pueden rotularse.
En lugar de hablar de rótulas plásticas, parece que es más apropiado hablar de secciones
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
57
que ingresan al rango no lineal; cuyo momento es mayor que el momento de fluencia. La definición
de rótula plástica indica que la sección es incapaz de absorber más momento por lo que empieza
únicamente a rotar, esto responde a un modelo elasto plasto.
2.11.1 Recomendación del ATC-19 (1995)
El ATC-19 (1995) recomienda los valores de R R indicados en la tabla 2.10 los mismos que
están en función del número de ejes de columnas. Para estructuras que tengan 5 o más ejes de
columnas el factor de R R es mayor a la unidad pero no indica que tan mayor.
Tabla 2.10 Valores de R R propuestos por el ATC-19 (1995).
Número de ejes de columnas
RR
2
3
4
0.71
0.86
1.00
El valor de R R se evaluará en cada dirección ya que habrá estructuras que tengan por
ejemplo 4 ejes de columnas en una dirección y 3 ejes de columnas en la dirección perpendicular.
Si una estructura tiene 3 ejes de columnas en cada dirección, en total 9 columnas, el valor
de R R a utilizar, de acuerdo a la tabla 2.10, es 0.86 con lo que se disminuye el factor de reducción
de las fuerzas sísmicas R .
2.11.2 Metodología de Tsopelas y Husain (2004)
Tsopelas y Husain (2004) proponen el cálculo del factor de redundancia R R en base a dos
índices, el uno de naturaleza determinística rS conocido como índice de resistencia y el otro de
carácter probabilística rV que es el índice de variación de redundancia. El índice de resistencia
se evalúa con la ecuación ( 2.22 ). Para el cálculo del índice de variación de redundancia rV , en
dos dimensiones Husain y Tsopelas (2004) deducen la siguiente ecuación:
rV =
1 + (n − 1) ρ
n
( 2.23 )
Donde n es el número de rótulas plásticas para el mecanismo de colapso considerado;
ρ es el coeficiente de correlación promedio de las deformaciones.
58
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
ρ=
n
1
ρ ij
n (n − 1) i , j =1
∑
( 2.24 )
i≠ j
Donde ρ ij es el coeficiente de correlación entre los momentos M i , M j . Siendo M i el
momento de fluencia del elemento estructural donde se formó la rótula plástica i .
El valor de rV varía desde 0 que corresponde a un sistema que tiene mucha redundancia
estructural hasta 1 que es un sistema que no tiene redundancia. En efecto si n = 1 , la ecuación
(2.23) vale la unidad, luego no tiene redundancia.
En la figura 2.23 se indican valores de rV para valores del coeficiente de correlación
promedio de 0; 0.20; 0.40 Se aprecia que a medida que ρ aumenta el valor de rV aumenta es
decir el sistema es menos redundante. Valores altos de ρ implican que hay una gran correlación
entre los momentos M i , M
j
y valores bajos de ρ significa que hay poca correlación entre los
momentos y se incrementa su redundancia debido a su efecto probabilístico.
Figura 2.23 Valores de rV en función del número de rótulas plásticas.
En base a estos dos índices, Tsopelas y Husain (2004) determinan el factor de
redundancia R R con la siguiente ecuación:
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
⎛ 1 − k ν e rV
R R = rS ⎜⎜
⎝ 1− kνe
⎞
⎟⎟
⎠
59
( 2.25 )
Donde ν e es el coeficiente de variación de las fuerzas y varía entre 0.08 y 0.14; k es un
factor de forma de la resistencia que varía entre 1.5 y 2.5. De tal manera que k ν e varía entre 0.12
y 0.35. Tsopelas y Husain (2004).
2.11.3 Aguiar, Guaiña y Bernal (2008)
Aguiar, Guaiña y Bernal (2008) determinan el factor de redundancia R R aplicando la
ecuación (2.22) pero considerando que V1 = VY . Donde VY es el cortante basal de fluencia de la
estructura. Para hallar VU y VY se aplica la técnica del pushover y se encuentra la curva de
capacidad sísmica resistente que relaciona el cortante basal V con el desplazamiento lateral
máximo Dt . Para encontrar el punto de fluencia se aplica el criterio de iguales áreas. Aguiar
(2002). Por lo tanto, el factor de redundancia se encuentra con la siguiente ecuación.
RR =
VU
VY
( 2.26 )
Donde VU es la capacidad máxima al cortante basal que tiene la estructura y VY es el
cortante a nivel de fluencia.
Por otra parte, se considera que una estructura tiene un muy buen comportamiento si se
forma el mecanismo de fallo mostrado en la figura 2.24, en donde se han rotulado todas las vigas
en sus extremos y los pies de las columnas.
Figura 2.24 Mecanismo de colapso, adoptado en el estudio.
60
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Si al aplicar la técnica el pushover en una estructura se forman menos rótulas plásticas
para llegar al fallo, que las del mecanismo de colapso adoptado, el valor de R R obtenido con la
ecuación (2.26) se disminuye en forma proporcional al número de rótulas con las que se llegó al
fallo.
Con la metodología descrita se halló el factor R R en las 432 estructuras que sirvieron
también para hallar R Ω . Los resultados encontrados en función del período de vibración se indican
en la figura 2.25. La ecuación que mejor se ajusta a estos resultados es la siguiente.
R R = −2.99 T 3 + 6.54 T 2 − 3.26 T + 1.30
( 2.27 )
Figura 2.25 Variación del factor de reducción por redundancia con el período.
2.12 PROPUESTA DEL FACTOR R
Al reemplazar el factor de reducción por ductilidad R µ de la ecuación (2.17); el factor de
sobre resistencia R Ω de la tabla 2.9 y el factor de redundancia R R de la ecuación (2.27) en la
expresión ( 2.10 ) se halla el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R para estructuras
conformadas por vigas y columnas, sin muros de corte. Los resultados expresados en forma
gráfica para una capacidad de ductilidad global de la estructura de 4 se indican en la figura 2.26.
En esta figura con una línea horizontal se ha dibujado la recta R = 7 .
En la figura 2.26, se aprecia que el factor R puede ser mayor a 7 si las derivas máximas
permitidas son γ = 0.5 % o γ = 1.0 % pero dependen del período y del tipo de suelo. En efecto en
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
61
un perfil de suelo S3 se tienen valores mayores de 7 sólo para derivas de piso igual a 0.5%.. Lo
importante es notar que si puede ser mayor a 7 el factor R cuando se trabaja con un
espectro de cargas últimas siempre y cuando la deriva máxima permitida sea menor o igual
al 1%, en suelos S1 a S3.
Figura 2.26 Valores del factor de reducción de las fuerzas sísmicas para ductilidad igual a 4.
Para derivas de piso máximas de 1.5 % o 2 % el factor R es menor a 7, para el rango de
períodos considerado.
En base al estudio realizado se propone que para estructuras conformadas por vigas y
columnas sin muros de corte, el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R sea igual a 6
para los perfiles de suelo S1, S2 y S3. Para el perfil de suelo S4 el factor R debe ser igual a
5. Esta propuesta está condicionada a que la deriva máxima calculada en forma inelástica
sea menor a 1.5%.
En el libro: “Factor de reducción de las fuerzas sísmicas en edificios de hormigón armado”,
Aguiar (2007) se presenta un estudio detallado de la investigación realizada en el Centro de
Investigaciones Científicas de la ESPE, sobre el factor de reducción de las fuerzas sísmicas,
trabajo desarrollado entre 2005 y 2007.
62
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
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CEINCI-ESPE
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64
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26. Ordaz M., y Pérez L., (1999), Estimación de espectros de respuesta elastoplástica, Centro
Nacional de Prevención de Desastres. Cuaderno de Investigación 48, 29 p, México.
27. Orosco L., Haarala M., y Barbat A., (2006), “Generación de acelerogramas artificiales
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28. Riddell R., and Newmark N., (1979), Statistical Analysis of the response of nonlinear
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29. SEAOC (1995), “Visión 2000 Report on performance based seismic engineering of
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30. Tsopelas P., and Husain M., (2004), “Measures of Structural Redundancy in Reinforced
Concrete Buildings II: Redundancy Response Modification Factor R R , Journal of Structural
Engineering, 130 (11), 1659-1666.
CAPÍTULO 3
MATRIZ DE RIGIDEZ: LATERAL Y EN COORDENADAS DE PISO
RESUMEN
Uno de los modelos más utilizados para el análisis sísmico espacial de edificios es el
considerar tres grados de libertad por planta, que implica suponer que la losa es
completamente rígida en su plano. Realmente se trata de un pseudo análisis espacial ya que
se trabaja con pórticos planos unidos por una losa rígida pero es muy utilizado en el mundo.
Para este modelo de análisis se determina la matriz de rigidez en coordenadas de piso,
en el presente capítulo.
Para hallar la matriz de rigidez en coordenadas de piso, se necesita conocer la matriz
de rigidez lateral de cada uno de los pórticos, razón por la cual se presenta en forma práctica
el cálculo de la matriz de rigidez lateral para los siguientes casos: sin considerar nudos
rígidos, considerando nudos rígidos y sin nudos rígidos pero considerando el aporte de
la mampostería.
Para facilitar el cálculo se presentan los programas: RLAXINFI, que sirve para pórticos
formados por vigas y columnas sin muros de corte; RLAXINFIMURO que halla la matriz de
rigidez lateral en pórticos con muros de corte y RLAXINFIMAMPOSTERIA que encuentra la
matriz de rigidez lateral en pórticos planos, sin muros de corte pero con el aporte de la
mampostería, la misma que es modelada de acuerdo a la normativa de Perú.
Se presentan nueve modelos para obtener el ancho equivalente de la mampostería
para la diagonal equivalente y de estos se seleccionó el de Paulay y Priestley (1992) que fue
acogido por la Norma de Perú.
Por considerarlo de interés se presentan las lecciones dejadas en el sismo del Perú de
2007 en el Bloque de Enfermería de la Universidad San Luis Gonzaga de la ciudad de Ica,
donde se desacopló la mampostería mediante la construcción de subpórticos conformados por
columnetas y viguetas los mismos que confinan a la mampostería. Pero la falta de anclaje del
hierro longitudinal de las columnetas en la viga principal llevó a que falle las bases del
subpórtico.
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
66
3.1
INTRODUCCIÓN
Para ilustrar el modelo de análisis, en la figura izquierda de 3.1 se tiene una estructura
de un piso sin deformarse. A la derecha de la figura 3.1 se presenta una deformada de la losa
por efecto de la componente horizontal de un sismo, con líneas entrecortadas se ha
representado la posición inicial de la losa y con líneas continuas la posición final. Nótese que
las dimensiones de la losa deformada son las mismas de la losa sin deformación.
Un punto cualquiera de la losa se ha desplazado horizontalmente en la dirección X,
horizontalmente en la dirección Y, además ha rotado con respecto a un eje perpendicular al
plano de la losa. De tal manera que se tienen tres grados de libertad. En teoría estos grados de
libertad pueden ubicarse en cualquier punto de la losa pero para facilitar el cálculo de la matriz
de masas se acostumbra ubicarlo en el Centro de Masa, C.M.
En la figura 3.2 se presenta una estructura de un piso que tiene cuatro pórticos, dos en
sentido X, y dos en sentido Y. Se indican los grados de libertad, ubicados en el C.M., los
mismos que se han identificado con la letra q y el vector que contiene a todos estos grados de
libertad se denomina vector de coordenadas generalizadas q .
Figura 3.1 Hipótesis planteada para los movimientos horizontales del suelo.
Figura 3.2 Sistema de coordenadas de piso Q-q
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
67
Todos los puntos de la losa tendrán el mismo desplazamiento horizontal q1 ; lo propio
con el desplazamiento q 2 y con la rotación de piso q 3 .
3.2
RELACIÓN ENTRE COORDENADAS DE PISO Y DE PÓRTICO
Para ilustrar la relación que existe entre las coordenadas de piso y las coordenadas de
pórtico, se observa la estructura de un piso de la figura 3.2, se ha identificado por 1 y 2, los
pórticos que se encuentran en sentido X, y por A, B, los que se hallan en sentido Y.
Un pórtico cualquiera tendrá, como coordenada principal, un solo grado de libertad que
es el desplazamiento lateral del pórtico, a manera de ejemplo en la figura 3.3 se indican la
coordenada del pórtico 1, algo similar se tienen para los otros pórticos. En este caso la
coordenada lateral se ha colocado al lado derecho pero se pudo haber colocado al lado
izquierdo y con sentido contrario. Se define la orientación positiva del pórtico 1 a la dirección
en que se colocó la coordenada 1.
Figura 3.3 Coordenada lateral del pórtico 1. Sistema P-p.
Ahora tiene importancia la orientación positiva de los pórticos que se ha indicado en la
figura 3.4. Esta orientación es paralela a los ejes de coordenadas X, Y. La orientación de los
pórticos es positiva si están en la dirección de los ejes. El C.M. de ésta estructura se considera
que está ubicada en el centro de gravedad de la misma y tiene coordenadas X CM = 3.0 m.,
YCM = 2.5 m.
A las coordenadas laterales de los pórticos se las agrupa en el vector p y a los
elementos se los identifica con p . La una es negreada y la otra no. Para el pórtico 1, que es de
un piso, se tiene una coordenada p1 que corresponde al desplazamiento horizontal del piso
uno, medida positiva si el desplazamiento es hacia la derecha. Con la letra P1 se identifica la
fuerza horizontal en el piso 1. Si son varios pisos las fuerzas horizontales se agrupan en el
vector P .
La relación entre las coordenadas de piso q y las coordenadas de pórtico p viene
dada por la matriz de compatibilidad de deformaciones A , definida de la siguiente manera:
p= Aq
( 3.1 )
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
68
Figura 3.4 Geometría de la estructura de un piso.
Para encontrar la columnas de la matriz A se dibujaran elementales q i y se miden las
deformaciones p . Estas son positivas si el pórtico se desplaza en sentido de la orientación
positiva.
•
EJEMPLO 1
Determinar la matriz de compatibilidad A de la estructura de un piso indicada en la
figura 3.2.
•
SOLUCIÓN
¾
Primera columna de la matriz A
q1 = 1
y
qi = 0
i ≠1
Figura 3.5 Deformada elemental q1
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
69
Es el centro de masa el que se desplaza horizontalmente, en sentido X, la unidad pero
como la losa es totalmente rígida en el plano, toda la losa se mueve la unidad como se aprecia
en la figura 3.5. Ahora se debe medir las deformaciones en cada uno de los pórticos.
p1(1) = 1
p1( 2) = 1
p1( A) = 0
p1( B ) = 0
Entre paréntesis se ha identificado al pórtico. Para los pórticos en sentido X, los
desplazamientos son positivos y valen la unidad; en cambio, para los pórticos en sentido Y, son
nulos ya que la estructura se mueve como cuerpo rígido en sentido X.
¾
Segunda columna de la matriz A
La deformada elemental se presenta en la figura 3.6; en este caso la losa se mueve
como cuerpo rígido, en sentido Y, la unidad.
q2 = 1
y
qi = 0
i≠2
Figura 3.6 Deformada elemental q 2 .
Luego los desplazamientos laterales de cada uno de los pórticos son:
p1(1) = 0
p1( 2) = 0
p1( A) = 1
p1( B ) = 1
Se deja al lector la obtención de los elementos de la tercera columna de A, los valores
que se obtienen, son:
p1(1) = −2.5
p1( 2 ) = 2.5
p1( A) = −3
Luego la matriz A, resulta:
⎡1
⎢1
A=⎢
⎢0
⎢
⎣0
0
0
1
1
− 2.5⎤
2.5 ⎥⎥
− 3 .0 ⎥
⎥
3.0 ⎦
p1( B ) = 3
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
70
La matriz A es particionada, para el ejemplo se tiene:
⎡ A (1) ⎤
⎢ ( 2) ⎥
⎢A ⎥
A = ⎢ ( A) ⎥
⎢A ⎥
⎢ A(B) ⎥
⎦
⎣
La matriz A del pórtico 1, es:
A (1) = [1
− 2.5]
0
La matriz A de cada pórtico tiene una fila debido a que la estructura es de 1 piso y tiene
3 columnas. Para el caso general la matriz de compatibilidad A tendrá NP filas y 3 por NP
columnas, siendo NP el número de pisos y la forma de esta matriz es:
A
Donde
X,
α
(i )
Senα
r1
⎡Cosα
⎢
......
.......
=⎢
⎢⎣
Cosα
Senα
⎤
...... ⎥⎥
rn ⎥⎦
( 3.2 )
es el ángulo que forma la orientación positiva del pórtico con respecto al eje
r1 es la distancia desde el origen de coordenadas CM hasta el pórtico ( i ) en el piso uno, rn
es la distancia medida en el último piso desde el origen de coordenadas hasta el pórtico. Los
valores de r , tienen signo, serán positivas si la orientación positiva del pórtico rota con
respecto al CM en forma antihorario.
3.3
MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS DE PISO
Para encontrar la matriz de rigidez en coordenadas de piso K E , se considera como
artificio que cada uno de los pórticos, son elementos de una estructura que están unidos entre
si por medio de una losa rígida. Con esta hipótesis, la matriz de rigidez se obtiene empleando
la teoría de Análisis Matricial de Estructural. Aguiar (2004) que establece lo siguiente:
KE =
NP
∑A
(i ) t
K L( i )
A(i )
( 3.3 )
i =1
El procedimiento de cálculo para hallar la matriz de rigidez en coordenadas de piso, es
el siguiente:
i.
Se determina la matriz de rigidez lateral K L de cada uno de los pórticos
planos.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
71
ii.
Se encuentra la matriz de compatibilidad de deformaciones A de cada pórtico,
empleando la ecuación ( 3.2 ).
iii.
Se halla la matriz de rigidez en coordenadas de piso, empleando la ecuación
(3.3).
Se desea ver la contribución de un pórtico cualquiera a la matriz de rigidez en
(i )
coordenadas de piso K E . Sea K L la matriz de rigidez lateral del pórtico y A (i ) la matriz de
compatibilidad.
[
A ( i ) = Cos α I
Sen α I
r
]
Al efectuar el triple producto matricial indicado en ( 3.3 ) se obtiene:
⎡Cosα2 K L( i )
⎢
∆K E = ⎢ Senα Cosα K L( i )
⎢
(i )
(i )
⎢⎣Cosα K L r
Cosα K L( i ) r ( i ) ⎤
⎥
Senα K L( i ) r ( i ) ⎥
2 ⎥
K L( i ) r ( i )
⎥⎦
Senα Cosα K L( i )
Senα2 K L( i )
( 3.4 )
( )
Senα K L( i ) r ( i )
En ( 3.4 ) se ha denominado ∆K E a la contribución de un pórtico a la matriz de rigidez
de la estructura. Para hallar la matriz de rigidez K E total se debe sumar la contribución de los
demás pórticos con lo que se obtiene:
⎡
⎢
KE = ⎢
⎢
⎢
⎣
∑ Cosα K
∑ Senα Cosα K
∑ Cosα K r
2
(i )
L
(i )
L
(i )
(i )
L
∑ Senα Cosα K
∑ Senα K
∑ Senα K r
2
∑ Cosα K r
∑ Senα K r
∑ K (r )
(i )
L
(i )
L
(i )
L
(i )
L
(i )
L
(i )
L
(i )
(i )
⎤
⎥
(i ) ⎥
( 3.5 )
⎥
2 ⎥
⎦
(i )
La sumatoria se extiende a todos los pórticos de la estructura. La matriz de rigidez K E
es de orden 3NP por 3NPy es simétrica con respecto a la diagonal principal. De igual manera
la matriz K E se puede escribir de la siguiente manera:
KE
⎡ K XX
⎢
=⎢
⎢⎣
K XY
K YY
K Xθ ⎤
⎥
K Yθ ⎥
K θθ ⎥⎦
( 3.6 )
Siendo K XX , K YY las matrices de rigidez lateral por traslación; K θθ matriz de rigidez
torsional; K Xθ , K Yθ matrices de rigidez de acoplamiento lateral con torsión; K XY es la matriz
trasnacional de acoplamiento en las direcciones X,Y.
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
72
K XX =
∑ Cosα
2
K Xθ =
K YY =
K L( i )
∑ Cosα K
(i )
L
r (i )
K XY =
∑ Senα
2
K θθ =
K L( i )
K Yθ =
∑ Senα K
∑ Cosα Senα K
(i )
L
∑ K (r )
r (i )
(i )
L
(i ) 2
( 3.7 )
(i )
L
Con respecto a las submatrices de la matriz de rigidez K E es necesario realizar los
siguientes comentarios:
•
Si se desea que la estructura tenga un muy buen comportamiento sísmico. Las
submatrices K XY , K Xθ , K Yθ deben ser nulas. En la medida que no lo sean se deberá
tomar precauciones en el diseño para no tener problemas de torsión.
•
Lo más crítico en las estructuras es la torsión y para evitar este problema es
conveniente que la submatriz K θθ sea lo más grande posible. Si se examina la
ecuación con la cual se evalúa K θθ se aprecia que es función del vector r elevado al
cuadrado. De tal manera, para tener K θθ lo más alto es necesario de que los pórticos
exteriores tengan mayor rigidez lateral.
Si se piensa, desde el punto de vista de cargas verticales, los pórticos centrales serán
los de mayores dimensiones y los exteriores de menores dimensiones pero ahora
desde el punto de vista sísmico y para tener mayor rigidez torsional se recomienda
que los pórticos exteriores tengan mayor rigidez.
3.4
MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL PARA PÓRTICOS SIN MUROS
En el capítulo 4 del libro Dinámica de Estructuras con MATLAB, Aguiar (2007) se
detalla el cálculo de la matriz de rigidez lateral en pórticos planos, considerando varios modelos
de análisis, por lo que se recomienda su lectura.
En éste apartado se presenta el cálculo de la matriz de rigidez lateral de un pórtico
plano sin muros de corte, para un modelo numérico de cálculo en que todos los elementos del
pórtico son axialmente rígidos, de tal manera que los grados de libertad son los
desplazamientos horizontales, uno por cada piso y las rotaciones en cada una de las
juntas.
En la figura 3.7 se presenta un pórtico de dos pisos y dos vanos en el que se ha
considerado que tanto las vigas como las columnas son axialmente rígidas. Las coordenadas
principales, son los desplazamientos horizontales de piso y se han numerado en primer lugar,
posteriormente se han numerado los giros de cada uno de los nudos, que son las coordenadas
secundarias, todo esto se aprecia en la figura izquierda, a la derecha se presenta el pórtico
únicamente con las coordenadas laterales.
Se define la matriz de rigidez lateral K L a la matriz de rigidez asociada a las
coordenadas laterales de piso.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
73
Figura 3.7 Grados de libertad, considerando que todos los elementos son axialmente rígidos y
coordenadas laterales.
3.4.1
Matrices de rigidez de los elementos
Para el modelo de análisis indicado, las matrices de rigidez de los elementos se indican
a continuación. En las figuras 3.8 y 3.9 se indican los sistemas de coordenadas para los
elementos viga y columna.
•
Elemento viga
Figura 3.8 Coordenadas globales para un elemento viga, axialmente rígido.
⎡ 4 EI
⎢
k= ⎢ L
⎢
⎢⎣
2 EI ⎤
L ⎥
⎥
4 EI ⎥
L ⎥⎦
( 3.8 )
Donde E es el módulo de elasticidad del material, I es el momento de inercia, L es
la longitud del elemento. Nótese que en la ecuación ( 3.8 ) no se considera el efecto de corte φ
que se hablará en el próximo apartado.
74
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
•
Elemento columna
⎡12 EI
⎢ L3
⎢
⎢
⎢
k= ⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
−
6 EI
L2
4 EI
L
−
12 EI
L3
6 EI
L2
12 EI
L3
−
6 EI ⎤
L2 ⎥⎥
2 EI ⎥
L ⎥
⎥
6 EI ⎥
L2 ⎥
⎥
4 EI ⎥
L ⎥⎦
( 3.9 )
Figura 3.9 Coordenadas globales para un elemento columna, axialmente rígido.
En las dos ecuaciones no se ha considerado el efecto de corte φ y nudos rígidos, de
tal forma que el modelo sirve para pórticos sin muros de corte, conformados por vigas y
columnas.
3.4.2
Ensamblaje de la matriz de rigidez
La matriz de rigidez de la estructura asociada a todos los grados de libertad, se obtiene
por ensamblaje directo, descrito con detalle en el libro Análisis Matricial de Estructuras, tercera
edición. Aguiar (2004) y se indica en forma resumida en el presente apartado, en base a la
estructura de la figura 3.7. En la figura 3.10 se indica la numeración de los elementos dentro de
un círculo y de los nudos. De esta manera se deben numerar los nudos y elementos para
utilizar el programa RLAXINFI que se presenta en un apartado posterior y que sirve para hallar
la matriz de rigidez lateral de un pórtico plano, sin muros de corte.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
75
Para encontrar la matriz de rigidez de la estructura, por ensamblaje directo, se
encuentra la matriz de rigidez de cada uno de los elementos, si es columna esta es de 4x4 y si
es viga de 2x2.
El Vector de Colocación VC de un elemento está conformado por los grados de libertad
del nudo inicial y del nudo final del elemento. El número de elementos del vector de colocación
es igual al número de coordenadas de miembro, con el que se halla la matriz de rigidez de
miembro.
•
Vectores de colocación VC, de las columnas.
Se considera que el nudo inicial de las columnas se encuentra en la parte inferior y el
nudo final en la parte superior. Con esta indicación y al observar la figura izquierda de 3.7, se
obtienen los siguientes vectores de colocación para cada una de las columnas.
VC (1) = [0 0 1 3]
VC ( 4) = [1 3 2 6]
VC ( 2) = [0 0 1 4]
VC (5) = [1 4 2 7]
VC (3) = [0 0 1 5]
VC ( 6 ) = [1 5 2 8]
Figura 3.10 Numeración de nudos y elementos.
•
Vectores de colocación VC, de las vigas.
El nudo inicial se encuentra a la izquierda y el nudo final a la derecha. Con esta
acotación de la figura izquierda de 4.1 se obtiene:
VC ( 7 ) = [3 4]
VC (8) = [4 5]
VC (9 ) = [6 7]
VC (10) = [7 8]
Para hallar la matriz de rigidez por ensamblaje directo, se obtiene la matriz de rigidez
de cada uno de los elementos y con el respectivo vector de colocación se efectúa el
ensamblaje. Para facilitar el cálculo se coloca el VC encima y a la derecha de la matriz de
rigidez del elemento; cuando una de las componentes de VC es cero se tacha la fila o columna
a la cual está asociada esa coordenada y cuando es diferente de cero se realiza el ensamblaje.
76
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
3.4.3
Condensación Estática
En la figura 3.7 se ha numerado en primer lugar las coordenadas laterales, que son las
coordenadas principales, debido a que ante la componente horizontal de un sismo los
desplazamientos laterales son de mayor magnitud que las rotaciones y cuando la estructura
ingresa al rango no lineal por medio de los desplazamientos laterales se disipa una mayor
cantidad de energía. Cuando se numera en primer lugar las coordenadas laterales la matriz de
rigidez condensada, que es la matriz de rigidez lateral K L , se halla con la siguiente ecuación.
−1
K L = K AA − K AB K BB
K BA
( 3.10 )
Donde K AA , K AB , K BA , K BB son submatrices de la matriz de rigidez K como se
aprecia en la figura 3.11. Siendo na el número de coordenadas principales y nb el número de
coordenadas secundarias. La suma de na y nb es el número de grados de libertad de la
estructura. Para el ejemplo de la figura 3.7 se tiene que na es igual a 2 y nb = 6.
Figura 3.11 Partición de la matriz de rigidez de la estructura.
No es obligatorio numerar primero las coordenadas principales, se pueden numerar
primero las coordinas secundarias y al final las principales. En este caso la matriz de rigidez
lateral vale:
−1
K L = K BB − K BA K AA
K AB
( 3.11 )
De tal forma que existen dos opciones para numerar los grados de libertad de la
estructura que son numerar primero todos las coordenadas principales o numerar al final estas
coordenadas. Lo que no se puede hacer es mezclar la numeración de las coordenadas
principales y secundarias.
Tanto en la ecuación ( 3.10 ) como en la ecuación ( 3.11 ) se debe obtener la matriz
inversa de una matriz. En los problemas de ingeniería se trata de evitar el cálculo de una matriz
inversa ya que demanda mucho tiempo y en lugar de ello se resuelven sistemas de
ecuaciones.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
77
Para cuando se numera primero las coordenadas laterales y se desea resolver un
conjunto de ecuaciones lineales en lugar de calcular la inversa K BB , la ecuación ( 3.10 ) se
escribe de la siguiente manera:
K L = K AA + K AB T
( 3.12 )
Para hallar la matriz T se debe resolver un conjunto de ecuaciones lineales de la
forma:
K BB T = − K BA
( 3.13 )
La matriz T tendrá nb filas y na columnas. Para encontrar la primera columna de la
matriz T se resolverá el sistema de ecuaciones lineales cuyo término independiente es la
primera columna de K BA cambiado de signo, para la segunda columna de T se resuelve el
sistema de ecuaciones cambiando el término independiente a la segunda columna de K BA
cambiado de signo y así sucesivamente. En todos los casos la matriz de coeficientes K BB es
la misma.
Una forma más eficiente de encontrar la matriz de rigidez lateral sin necesidad de
invertir la matriz ni de resolver un sistema de ecuaciones lineales, es aplicando la
triangularización de Gauss pero en este caso es obligatorio que las coordenadas principales se
numeren al final. En el libro Dinámica de Estructuras con MATLAB. Aguiar (2006) está
detallado el procedimiento de cálculo.
3.5
PROGRAMA RLAXINFI
El programa reporta la matriz de rigidez lateral y la graba en consola con el
nombre de KL para que se pueda utilizar en otros cálculos. La forma de uso del programa es:
[KL] = rlaxinfi (Nombre)
•
Nombre. Es el nombre del archivo que contiene la base y la altura de la sección
transversal y la longitud de los elementos.
function[KL]=rlaxinfi(nombre)
%
% Programa para encontrar la matriz de rigidez lateral de un portico plano
% considerando que todos los elementos son axialmente rigidos.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%------------------------------------------------------------% [KL]=rlaxinfi(nombre)
%------------------------------------------------------------% CG Matriz de coordenadas generalizadas
% VC Vector de colocacion
%E
Modulo de elasticidad del material
% SS Matriz de rigidez de la estructura
% b: base de la seccion transversal.
% h: altura de la seccion transversal.
78
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
% long: longitud del elemento.
% nombre Archivo de datos que contiene la base, la altura y la longitud
%
de cada uno de los elementos.
%
nod=input('\n Numero de nudos:');
np=input(' Numero de pisos:');
nr=input(' Numero de nudos restringuidos:');
E=input(' Modulo de elasticidad:');
% Coordenadas Generalizadas
CG=zeros(nod,2);ngl=0;k=nr;
for i=1:np
ngl=ngl+1;
for j=1:nr
k=k+1; CG(k,1)=ngl;
end
end
for i=1:nod-nr
ngl=ngl+1;
k=nr+i; CG(k,2)=ngl;
end
ncol=np*nr; mbr=ncol+(nr-1)*np;nvig=mbr-ncol;
ici=0;icf=nr;
for i=1:ncol
ici=ici+1; icf=icf+1;ini(i)=ici;fin(i)=icf;
end
ii=ncol;
for j=1:np
ici=j*nr;
for i=1:nr-1
ii=ii+1;ici=ici+1;ini(ii)=ici;fin(ii)=ici+1;
end
end
% Arreglo VC. Vectores de colocacion
for i=1:mbr
for k=1:2
VC(i,k)= CG(ini(i),k);
VC(i,k+2) = CG(fin(i),k);
end
end
% Matriz de rigidez de miembro y de la estructura
for i=1:mbr
B(i)=nombre(i,1);H(i)=nombre(i,2);L(i)=nombre(i,3);
end
% Calculo de la matriz de rigidez de la estructura
fprintf ('\n Calcula con: Inercias gruesas, codigo=0. Con inercias agrietadas, codigo=1');
icod=input('\n Ingrese codigo de inercias :');
SS=zeros(ngl,ngl);
for i=1:mbr
b=B(i);h=H(i);long=L(i);iner=b*h^3/12;ei=E*iner;
if i<=ncol
if icod==1
iner=0.8*iner;ei=E*iner;
end
k(1,1)=12*ei/long^3;k(1,2)=-6*ei/long^2;k(1,3)=-k(1,1);k(1,4)=k(1,2);
k(2,1)=k(1,2);k(2,2)=4*ei/long;k(2,3)=-k(1,2);k(2,4)=2*ei/long;
k(3,1)=k(1,3);k(3,2)=k(2,3);k(3,3)=k(1,1);k(3,4)=6*ei/long^2;
k(4,1)=k(1,4);k(4,2)=k(2,4);k(4,3)=k(3,4);k(4,4)=k(2,2);
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
79
else
if icod==1
iner=0.5*iner;ei=E*iner;
end
k=zeros(4,4);k(2,2)=4*ei/long;k(2,4)=2*ei/long;k(4,2)=k(2,4);k(4,4)=k(2,2);
end
for j=1:4
jj=VC(i,j);
if jj==0
continue
end
for m=1:4
mm=VC(i,m);
if mm==0
continue
end
SS(jj,mm)=SS(jj,mm)+k(j,m);
end
end
end
% Matriz de rigidez lateral
na=np;nb=ngl-np;
Kaa=SS(1:na,1:na);Kab=SS(1:na,na+1:ngl);Kba=Kab';Kbb=SS(na+1:ngl,na+1:ngl);
KL=Kaa-Kab*inv(Kbb)*Kba;
fprintf ('\n Matriz de rigidez lateral :');
save c:\KL
%---fin---
•
EJEMPLO 2
Encontrar la matriz de rigidez lateral del pórtico plano de la figura 3.12, de dos
maneras, a saber: i) con inercias gruesas; ii) con inercias agrietadas de acuerdo a lo estipulado
por el CEC-2000. Para los dos casos E = 1738965.21. Presentar el archivo de datos y la forma
de uso del programa RLAXINFI
Figura 3.12 Geometría de pórtico de ejemplo.
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
80
•
SOLUCIÓN
El archivo de datos que contiene las dimensiones de las secciones y la longitud de los
elementos se ha denominado casa y contiene la siguiente información
% Indique la base, la altura de la sección transversal y la longitud del elemento
0.20
0.30
3.0
0.20
0.30
3.0
0.20
0.30
3.0
0.20
0.30
3.0
0.20
0.30
3.0
0.20
0.30
3.0
0.25
0.25
4.0
0.25
0.25
5.0
0.25
0.25
4.0
0.25
0.25
5.0
>> load c:\casa
>> [KL]=rlaxinfi(casa)
Número de nudos: 9
Número de pisos: 2
Número de nudos restringidos: 3
Módulo de Elasticidad: 1738965.21
Cálculo con Inercias Gruesas, Código = 0. Con Inercias Agrietadas, Código = 1
Ingrese Código de Inercias=0
PROGRAMA REPORTA
⎡1651.00
KL = ⎢
⎣− 684.8
− 684.8 ⎤
480.6⎥⎦
Al calcular con Inercias Agrietadas, se halla:
⎡1243.5
KL = ⎢
⎣ − 492.6
− 492.6⎤
317.9 ⎥⎦
El CEC-2000 contempla las siguientes inercias agrietadas: I V = 0.5 I g ; I C = 0.8 I g .
Donde I g es la inercia gruesa.
3.6
MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL PARA PÓRTICOS CON MUROS
En los muros de corte es fundamental considerar el efecto de corte φ y en las vigas
que llegan a los muros de corte se debe considerar la condición de nudo rígido. Para satisfacer
estas dos condiciones y para mayor exactitud se presentan a continuación la matriz de rigidez
del elemento viga y del elemento columna considerando nudos rígidos y considerando el efecto
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
81
de corte. Se presentan estas matrices para el modelo numérico en el cual todos los elementos
del pórtico son axialmente rígidos.
¾
Elemento Viga
a + c1b'+ c 2 b + c1c 2 t ⎤
⎥
2
k '+2c 2 b'+ c 2 t ⎥⎦
⎡ k + 2c1b + c1 2 t
k= ⎢
⎢⎣
4( EI ) o ⎡ 1 + φ ⎤
L ⎢⎣1 + 4φ ⎥⎦
k' = k
2( EI ) o ⎡1 − 2φ ⎤
a=
L ⎢⎣1 + 4φ ⎥⎦
k=
( 3.14 )
( 3.15 )
( 3.16 )
( 3.17 )
6( EI ) o ⎡ 1 ⎤
⎥
⎢
L2 ⎣1 + 4φ ⎦
b' = b
12( EI ) o ⎡ 1 ⎤
t=
⎥
⎢
L3 ⎣1 + 4φ ⎦
3( EI ) o β
φ=
(GA) o L2
b=
( 3.18 )
( 3.19 )
( 3.20 )
( 3.21 )
Figura 3.13 Coordenadas locales para un elemento A = ∞ , con dos sectores de rigidez infinita.
¾
Elemento Columna
⎡t
⎢
⎢
k= ⎢
⎢
⎢⎣
− (b + c1t )
−t
k + 2c1b + c1 t
2
b + c1t
t
− (b'+ c 2 t )
⎤
⎥
a + c1b'+ c 2 b + c1c 2 t ⎥
⎥
b'+ c 2 t
⎥
2
k '+2c 2 b'+ c 2 t ⎥⎦
( 3.22 )
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
82
Figura 3.14 Coordenadas globales para un elemento vertical, con dos sectores de rigidez infinita.
Tanto en la ecuación ( 3.14 ) como en la ( 3.22 ), c1 es la longitud del nudo rígido en el
nudo inicial, c 2 es la longitud del nudo rígido en el nudo final. Es la distancia desde el borde del
elemento al eje del elemento en sentido perpendicular.
•
EJEMPLO 3
En la figura 3.15 se presenta un pórtico plano con un muro de corte de 30 cm., de
ancho por 4.0 m., de longitud. Las restantes columnas son de 60/60 y las vigas de 40/60. La
primera cantidad es la base y la segunda la altura. Considerar E = 1738965 .21 T / m 2 Se pide:
1) Encontrar la matriz de rigidez de los elementos: columna, muro de corte y viga.
2) Hallar la matriz de rigidez lateral del pórtico indicado con inercias gruesas.
Figura 3.15 Estructura con muro de corte de ejemplo 3
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
•
83
SOLUCIÓN
Las matrices de rigidez de los elementos son:
¾
Elemento Columna
⎡ 13729
⎢− 20593
k=⎢
⎢− 13729
⎢
⎣− 20593
¾
1741600
388200
− 577100
⎤
44135⎥⎦
Elemento Viga derecha
⎡44135
k=⎢
⎣19373
¾
258800
388200
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
1741600⎦
Elemento Viga izquierda
⎡16093
k=⎢
⎣19373
¾
13729
20593
Elemento Muro de Corte
⎡ 258800
⎢− 388200
k=⎢
⎢− 258800
⎢
⎣− 388200
¾
38715
20593
23064
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
38715⎦
⎤
16093⎥⎦
Matriz de rigidez lateral
⎡ 474600
KL = ⎢
⎣− 178150
− 178150⎤
115120 ⎥⎦
El Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000 indica que para estructuras con
muros de corte se considere que la inercia del muro agrietado es igual a 0.6 veces la
inercia del muro obtenido con inercias gruesas. Esto solo en los dos primeros pisos.
I M = 0.6 I g . La inercia del muro, para los pisos superiores es igual a I g . Por lo tanto solo se
admite daño en los dos primeros pisos.
3.7
PROGRAMA RLAXINFIMURO
El programa RLAXINFIMURO obtiene la matriz de rigidez lateral de pórticos
considerando el efecto de corte en los elementos y considerando nudos rígidos. Se puede
utilizar para calcular pórticos formados por vigas y columnas, o también pórticos formados por
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
84
vigas, columnas y muros de corte. Antes de usar el programa se deben tener en cuenta lo
siguiente:
•
•
•
Se deben numerar los nudos de izquierda a derecha y de abajo hacia arriba.
Se debe numerar primero los elementos verticales (columnas y muros) y al final los
elementos horizontales (vigas).
Se debe crear un archivo de datos con la siguiente información de cada uno de los
elementos:
9
9
9
9
9
•
Base de la sección transversal del elemento.
Altura de la sección transversal del elemento.
Longitud del elemento, medida desde eje a eje.
Longitud del nudo rígido en el nudo inicial.
Longitud del nudo rígido en el nudo final.
Se ejecuta el programa RLAXINFIMURO de la siguiente manera:
[KL]=rlaxinfimuro(nombre)
Nombre
Es el nombre del archivo de datos que contiene geometría de cada elemento.
function[KL]=rlaxinfimuro(nombre)
%
% Programa para encontrar la matriz de rigidez lateral de un portico plano
% con MUROS DE CORTE. Considerando que todos los elementos son axialmente
rigidos.
% Con un factor de forma de 1.2
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%------------------------------------------------------------% [KL]=rlaxinfimuro(nombre)
%------------------------------------------------------------% CG Matriz de coordenadas generalizadas
% VC Vector de colocacion
%E
Modulo de elasticidad del material
% SS Matriz de rigidez de la estructura
% b: base de la seccion transversal.
% h: altura de la seccion transversal.
% long: longitud del elemento.
% c1: longitud de nudo rigido en el nudo inicial.
% c2: longitud de nudo rigido en el nudo final.
% L= long-c1-c2
% nombre Archivo de datos que contiene la base, la altura, la longitud,
%
longitud del nudo rigido en nudo inicial y final, de cada uno de
%
los elementos, son 5 datos por elemento.
%
nod=input('\n Numero de nudos:');
np=input(' Numero de pisos:');
nr=input(' Numero de nudos restringuidos:');
E=1738965.21 % Programado para f'c=210, con E=12000 sqrt(f'c);
G=0.4*E; beta=1.2;
% Coordenadas Generalizadas
CG=zeros(nod,2);ngl=0;k=nr;
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
85
for i=1:np
ngl=ngl+1;
for j=1:nr
k=k+1; CG(k,1)=ngl;
end
end
for i=1:nod-nr
ngl=ngl+1;
k=nr+i; CG(k,2)=ngl;
end
ncol=np*nr; mbr=ncol+(nr-1)*np;nvig=mbr-ncol;
ici=0;icf=nr;
for i=1:ncol
ici=ici+1; icf=icf+1;ini(i)=ici;fin(i)=icf;
end
ii=ncol;
for j=1:np
ici=j*nr;
for i=1:nr-1
ii=ii+1;ici=ici+1;ini(ii)=ici;fin(ii)=ici+1;
end
end
% Arreglo VC. Vectores de colocacion
for i=1:mbr
for k=1:2
VC(i,k)= CG(ini(i),k);
VC(i,k+2) = CG(fin(i),k);
end
end
% Matriz de rigidez de miembro y de la estructura
for i=1:mbr
B(i)=nombre(i,1);H(i)=nombre(i,2);LL(i)=nombre(i,3);CNI(i)=nombre(i,4);CNF(i)=nombre(i,5
);
end
% Calculo de la matriz de rigidez de la estructura
fprintf ('\n Calcula con: Inercias gruesas, codigo=0. Con inercias agrietadas, codigo=1');
icod=input('\n Ingrese codigo de inercias :');
SS=zeros(ngl,ngl);
for i=1:mbr
b=B(i);h=H(i);long=LL(i);iner=b*h^3/12;c1=CNI(i);c2=CNF(i);L=long-c1-c2;
if i<=ncol
iner=b*h^3/12;area=b*h;fi=(3*E*iner*beta)/(G*area*L*L);%Elemento columna o muro
de corte
if icod==1
iner=0.8*iner; %inercias agrietadas
end
kf=((4*E*iner)*(1+fi))/(L*(1+4*fi));a=((2*E*iner)*(1-2*fi))/(L*(1+4*fi));
kpf=kf; b=(kf+a)/L; bp=b; t=(b+bp)/L;
k(1,1)=t;k(2,1)=-(b+c1*t);k(3,1)=-t;k(4,1)=-(bp+c2*t);
k(2,2)=kf+2*c1*b+c1*c1*t;k(3,2)=b+c1*t;k(4,2)=a+c1*bp+c2*b+c1*c2*t;
k(3,3)=t;k(4,3)=bp+c2*t;k(4,4)=kpf+2*c2*bp+c2*c2*t;k(1,2)=k(2,1);
k(1,3)=k(3,1);k(1,4)=k(4,1);k(2,3)=k(3,2);k(2,4)=k(4,2);k(3,4)=k(4,3);
else
iner=b*h^3/12;area=b*h;fi=(3*E*iner*beta)/(G*area*L*L);%Elemento viga
if icod==1
iner=0.5*iner;ei=E*iner; %inercias agrietadas
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
86
end
kf=((4*E*iner)*(1+fi))/(L*(1+4*fi));a=((2*E*iner)*(1-2*fi))/(L*(1+4*fi));
kpf=kf;b=(kf+a)/L;bp=b;t=(b+bp)/L;
k=zeros(4,4);k(2,2)=kf+2*c1*b+c1*c1*t;k(2,4)=a+c1*bp+c2*b+c1*c2*t;
k(4,2)=k(2,4);k(4,4)=kpf+2*c2*bp+c2*c2*t;
end
for j=1:4
jj=VC(i,j);
if jj==0
continue
end
for m=1:4
mm=VC(i,m);
if mm==0
continue
end
SS(jj,mm)=SS(jj,mm)+k(j,m);
end
end
end
% Matriz de rigidez lateral
na=np;nb=ngl-np;
Kaa=SS(1:na,1:na);Kab=SS(1:na,na+1:ngl);Kba=Kab';Kbb=SS(na+1:ngl,na+1:ngl);
KL=Kaa-Kab*inv(Kbb)*Kba;
fprintf ('\n Matriz de rigidez lateral :');
save a:\KL
%---fin---
Figura 3.16 Numeración de nudos y elementos de ejemplo 3 para usar programa RLAXINFIMURO.
•
EJEMPLO 4
Presentar el archivo de datos, para encontrar la matriz de rigidez lateral de la estructura
del ejemplo 3.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
•
87
SOLUCIÓN
En la figura 3.16 se indica la forma como debe numerarse los nudos y los elementos
para utilizar el programa RLAXINFIMURO
•
ARCHIVO DE DATOS
0.6000
0.3000
0.6000
0.6000
0.3000
0.6000
0.4000
0.4000
0.4000
0.4000
0.6000
4.0000
0.6000
0.6000
4.0000
0.6000
0.6000
0.6000
0.6000
0.6000
3.0000
3.0000
3.0000
3.0000
3.0000
3.0000
6.0000
6.0000
6.0000
6.0000
0.3000
0.3000
0.3000
0.3000
0.3000
0.3000
0.3000
2.0000
0.3000
2.0000
0.3000
0.3000
0.3000
0.3000
0.3000
0.3000
2.0000
0.3000
2.0000
0.3000
Figura 3.17 Vista en planta de estructura de 2 pisos con muros de corte.
•
EJEMPLO 5
Encontrar la matriz de rigidez, en coordenadas de piso, de la estructura de dos pisos,
cuya configuración en planta se indica en la figura 3.17. Los muros de corte son de 0.30/4.0 m.,
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
88
las columnas de 0.60/0.60 y las vigas de 0.40/0.60 m., en las dos direcciones. Las matrices de
rigidez lateral de los pórticos 1, 3, A y C, que contienen al muro de corte, son:
− 178150 ⎤
115120 ⎥⎦
⎡ 474600
K L(1) = K L( 3) = K L( A) = K L( C ) = ⎢
⎣ − 178150
Las matrices de rigidez lateral de los pórticos 2 y B, son:
⎡ 55629
K L( 2) = K L( B ) = ⎢
⎣− 21912
− 21912⎤
13662 ⎥⎦
El origen de las coordenadas se considera en la intersección de los ejes B y 2.
•
SOLUCIÓN
0.0⎤
⎡ − 6 .0
r (1) = r ( A) = ⎢
⎥
⎣ 0.0 − 6.0⎦
⎡6.0
r ( 3) = r ( C ) = ⎢
⎣0.0
0 .0 ⎤
6.0⎥⎦
⎡0.0
r ( 2) = r ( B ) = ⎢
⎣0.0
0 .0 ⎤
0.0⎥⎦
Al emplear las ecuaciones indicadas en ( 3.7 ) se halla:
⎡ 1004800
K XX = K YY = ⎢
⎣− 378200
− 378200 ⎤
243900⎥⎦
⎡ 68342400
K θθ = ⎢
⎣− 25653600
− 25653600⎤
16577280 ⎥⎦
Las submatrices no indicadas son nulas. Se deja al lector que arme la matriz K E
utilizando la ecuación ( 3.6 ). Esta matriz resulta de 6 por 6.
3.8
INCORPORACIÓN DE LA MAMPOSTERÍA
Cuando se acopla la mampostería a la estructura, es importante considerarle en el
análisis sísmico debido a la gran rigidez que ésta tiene. Existen dos caminos para estudiar el
tema, el primero con micro modelos basados en elementos finitos, que no se aborda en este
apartado y el segundo con macro modelos que son aproximados pero que dan una buena
aproximación.
De igual manera, existen modelos para el análisis elástico y para el análisis inelástico.
Para incorporar la mampostería al análisis sísmico de estructuras. Como todo este libro está
orientado al análisis elástico de estructuras se presenta un macro modelo para el rango
elástico, mediante una diagonal equivalente.
Es importante realizar esta aclaración ya que dentro de los macro modelos para el
rango elástico, existen modelos numéricos de cálculo en base a dos diagonales equivalentes, a
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
89
tres diagonales o a cinco diagonales. König (1991); Chrysostomou (1991), Syrmakezis y
Vratsanou (1986). La selección de estos modelos depende del grado de seguridad que se
desee tener el estudio y de los intereses que persigue el investigador. En Crisafulli (1997) se
tiene un acopio de estos y otros modelos para la incorporación de la mampostería al análisis
estructural mediante micro y macro modelos, para el rango elástico e inelástico.
En la figura 3.18 se presenta un marco con la mampostería, en una posición
deformada. En ella se aprecia que al deformarse la estructura por efecto de una acción
sísmica, una parte de la mampostería trabaja a compresión, que en la figura está achurada, a
esta parte que trabaja a compresión se la modela como una diagonal que tiene un ancho
equivalente a . La otra diagonal de la mampostería trabaja a tracción y como este material
tiene una baja capacidad a tracción, muy probablemente se produzcan fisuras si el movimiento
es intenso.
Lo importante de la figura 3.18, es identificar la nomenclatura utilizada, ya que a
continuación se indican varios modelos para hallar las dimensiones de la diagonal
equivalente, en forma cronológica de publicación.
Figura 3.18 Diagonal equivalente de la mampostería.
3.8.1
Modelo de Holmes (1961)
Holmes (1961) fue el primero en proponer el ancho equivalente a de la diagonal
equivalente, de la siguiente forma.
a=
L
3
( 3.23 )
Donde L es la longitud de la diagonal equivalente. Al estar definido el ancho a se
puede calcular el área de la sección transversal multiplicando por el espesor de la
mampostería.
90
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Posteriormente, Stafford (1962, 1966) define el parámetro adimensional λ h que será
muy utilizado por otros investigadores como una relación entre la rigidez de la mampostería
con respecto a la rigidez del pórtico.
1
⎡ E t.sen 2θ ⎤ 4
λh = H ⎢ m
⎥
⎣ 4 E c I col h ⎦
( 3.24 )
Donde E m es el módulo de elasticidad de la mampostería; t es el espesor de la
mampostería; θ es el ángulo de inclinación de la diagonal; E c es el módulo de elasticidad del
hormigón; I col es el momento de inercia promedio de las columnas adyacentes; h es la altura
de la mampostería; H es la altura del pórtico como se aprecia en la figura 3.18. Si se considera
que H ≈ h y que sen 2θ = 1 la ecuación (3.24) queda:
1
⎡ E t. H 3 ⎤ 4
λh ≈ ⎢ m
⎥
⎣⎢ 4 E c I col ⎦⎥
( 3.25 )
La ecuación (3.25) es adecuada para mamposterías en las cuales θ este alrededor de
los 45 grados.
3.8.2
Modelo de Mainstone (1971)
En este modelo se requiere calcular primero un parámetro λ h con la ecuación ( 3.24).
La propuesta de Mainstone (1971), que tiene un respaldo experimental, es la siguiente:
a = 0.16 λ h −0.30 L
( 3.26 )
Mainstone (1971) propuso también dos ecuaciones más, una para cuando se ingresa al
rango no lineal y otra para el colapso.
Otro parámetro propuesto por Stafford (1962, 1966) y que ha sido muy utilizado por
otros investigadores es la longitud de contacto z , definido con la siguiente ecuación.
z=
3.8.3
π
H
2 λh
( 3.27 )
Modelo de Bazán y Meli (1980)
En este caso, el parámetro λ relaciona la rigidez del pórtico confinante con la rigidez
de la mampostería
λ=
E c . Ac
G m . Am
a = (0.35 + 0.022λ ) h
( 3.28 )
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
91
Las variables todavía no definidas, son: G m el módulo de corte de la mampostería que
es G m = 0.4 E m ; Am es el área en planta de la sección transversal de la mampostería. En la
figura 3.18 se aprecia que l v es la longitud horizontal de la mampostería. Luego Am = l v t . En
el modelo de Bazán y Meli se debe cumplir que 0.9 ≤ λ ≤ 11 . Además se debe verificar que la
relación de aspecto ζ = l v / h debe estar entre 0.75 y 2.5.
3.8.4
Modelo de Hendry (1981)
Hendry (1981) obtiene dos valores de λ h uno que toma en cuenta la rigidez de la
columna λ c y otro que considera la rigidez de la viga λ v . Las ecuaciones de cálculo para
encontrar el ancho equivalente a , son las siguientes:
1
⎡ E t.sen 2θ ⎤ 4
λv = ⎢ m
⎥
⎣⎢ 4 E c I viga h ⎦⎥
zv =
2π
zc =
λv
a=
3.8.5
1
⎡ E t.sen 2θ ⎤ 4
λc = ⎢ m
⎥
⎣ 4 E c I col h ⎦
2π
( 3.29 )
λc
1
2
2
zv + zc
2
Modelo de Liauw y Kwan (1984)
Este modelo mantiene el parámetro λ h de Stafford (1962, 1966) y la propuesta de
Liauw y Kwan (1984) para determinar a es la siguiente.
1
⎡ E t.sen 2θ ⎤ 4
λh = H ⎢ m
⎥
⎣ 4 E c I col h ⎦
a=
0,95h cos θ
( 3.30 )
λh
Por otra parte, en los ensayos experimentales la relación h / lV varío entre 1 y 1.5.
3.8.6
Modelo de Decanini y Fantin (1986)
Una vez que se calcula el parámetro λ h , se ingresa a la figura 3.19 y se obtiene en
ordenadas la relación a / L con la cual se halla el ancho equivalente a .
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
92
1
⎡ E t.sen 2θ ⎤ 4
λh = H ⎢ m
⎥
⎣ 4 E c I col h ⎦
Figura 3.19 Valores de a / L en función de λ h .
Las ecuaciones que definen las dos curvas de la figura 3.19, son las siguientes:
•
Mampostería no agrietada
⎛ 0.748
⎞
a = ⎜⎜
+ 0.085 ⎟⎟ L
⎝ λh
⎠
⎞
⎛ 0.393
a = ⎜⎜
+ 0.130 ⎟⎟ L
⎠
⎝ λh
•
si
λ h ≤ 7.85
( 3.31 )
si
λ h > 7.85
si
λ h ≤ 7.85
Mampostería agrietada
⎛ 0.707
⎞
a = ⎜⎜
+ 0.010 ⎟⎟ L
⎝ λh
⎠
⎞
⎛ 0.470
a = ⎜⎜
+ 0.040 ⎟⎟ L
⎠
⎝ λh
3.8.7
( 3.32 )
si
λ h > 7.85
Modelo de Paulay y Priestley (1992)
El ancho equivalente a propuesto por Paulay y Priestley (1992) ha sido acogido por la
Normativa de Perú de Albañilería E070 y es la siguiente:
a=
L
4
( 3.33 )
Esta ecuación es recomendada para un nivel de fuerzas laterales menor o igual al 50%
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
93
de la capacidad última. En otras palabras para el rango elástico.
3.8.8
Modelo de FEMA (1997)
La Agencia Federal para el Manejo de Emergencias de los Estados Unidos de Norte
América, propone las siguientes ecuaciones:
1
⎡ E t.sen 2θ ⎤ 4
λh = H ⎢ m
⎥
⎣ 4 E c I col h ⎦
( 3.34 )
a = 0.175 (λ h )−0.4 L
Figura 3.20 Variación de a / L empleando algunos modelos de cálculo.
•
EJEMPLO 6
Presentar en un gráfico la relación entre λ y a / L . Empleando los modelos de Holmes
(1961), Mainstone (1971), Liauw y Kwan (1984) para θ = 30.9 y θ = 36.8 , Decanini y Fantin
(1986) con mampostería no agrietada, Paulay y Priestley (1992) y FEMA (1997).
o
•
o
SOLUCIÓN
En la figura 3.20 se aprecia que los resultados obtenidos con las propuestas de:
Mainstone (1971) y FEMA (1997) son muy conservadores, ya que el ancho equivalente es muy
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
94
bajo. Por el otro lado, el modelo de Holmes (1961) reporta los mayores valores para valores de
λ > 3 . Los valores encontrados con los restantes modelos reportan valores intermedios.
•
EJEMPLO 7
Utilizando el modelo de Decanini y Fantin (1986) presentar en un gráfico la relación
entre el ancho equivalente a de la mampostería agrietada con relación a la no agrietada.
•
SOLUCIÓN
En la figura 3.21 se muestra la relación entre el ancho equivalente a agrietado con
relación al no agrietado. Se observa que esta relación disminuye conforme el valor de λ
aumenta. Es importante notar que para λ = 1 el ancho equivalente agrietado es 0.85 del ancho
no agrietado y que para λ = 10 el ancho equivalente agrietado es 0.52 del ancho no agrietado,
la pérdida es notable.
El valor de λ se incrementa si la rigidez de la mampostería es mayor que el hormigón
confinante.
Figura 3.21 Relación entre el ancho equivalente agrietado con relación al no agrietado
3.8.9
Modelo de Crisafulli (1997)
La propuesta de Crisafulli (1997) para encontrar el ancho equivalente, es la siguiente:
ROBERTO AGUIAR FALCONI
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95
1
⎡ E t.sen 2θ ⎤ 4
λ=⎢ m
⎥
⎣ 4 E c I col h ⎦
z=
2π
hz =
λ
z
2
( 3.35 )
a = 2 hz sin θ
3.9
MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTO MAMPOSTERÍA
En la primera figura de 3.22, se presenta un pórtico con mampostería acoplada; en la
segunda se aprecia el ancho equivalente a que se obtiene con cualquiera de los modelos
descritos en el apartado anterior; en la tercera se aprecia el modelo del puntal equivalente que
tiene una rigidez axial EA . Finalmente se presenta el sistema de coordenadas globales para la
diagonal equivalente.
Figura 3.22 Modelo de la diagonal equivalente.
En lugar de considerar la diagonal equivalente de la figura 3.22 se pudo considerar la
otra diagonal como en el caso de la figura 3.18. Cualquiera de los dos casos es valido por que
el sismo actúa en los dos sentidos. La matriz de rigidez de la diagonal equivalente en
coordenadas globales, es la siguiente.
⎡cos 2 θ
⎢
E m . A ⎢cos θ sin θ
K=
⎢
L ⎢− cos 2 θ
⎢
⎣− cos θ sin θ
cos θ sin θ
− cos 2 θ
sin 2 θ
− cos θ sin θ
− cos θ sin θ
− sin 2 θ
cos 2 θ
cos θ sin θ
A = a.t
− cos θ sin θ ⎤
⎥
− sin 2 θ ⎥
⎥
cos θ sin θ ⎥
⎥
sin 2 θ ⎦
( 3.33 )
Una vez definido la matriz de rigidez de la mampostería, por medio del modelo de la
diagonal equivalente se encuentra la matriz de rigidez de la estructura por ensamblaje directo y
luego se aplica la condensación estática para hallar la matriz de rigidez lateral del pórtico,
considerando la mampostería.
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
96
Para hallar la contribución de la diagonal equivalente, en la matriz de rigidez de la
estructura, se debe tener en cuenta que el vector de colocación tiene cuatro elementos y
corresponden a los grados de libertad horizontal y vertical del nudo inicial y final, como se
aprecia en la última gráfica de la figura 3.22
•
EJEMPLO 8
Determinar la matriz de rigidez lateral, del pórtico indicado en la figura 3.23,
incorporando la mampostería en el cálculo. La resistencia a la compresión del hormigón
utilizado es f c' = 210 kg / cm 2 y de la mampostería f m' = 35 kg / cm 2 . Calcular el módulo de
elasticidad del hormigón con la siguiente expresión: E = 12000
f c' y el módulo de elasticidad
de la mampostería E m = 500 f m' . El espesor de la pared es t = 0.15 m. Considerar en el
modelo numérico que las columnas y las vigas son axialmente rígidas. Se pide:
1.- Detallar el cálculo para el Modelo de la Norma del Perú E 070.
2.- Comparar los resultados obtenidos con los diferentes modelos.
Figura 3.23 Descripción de la estructura de ejemplo 6.
•
SOLUCIÓN
En la figura 3.24, a la izquierda se han numerado los elementos, en la forma como hay
que hacerlo para utilizar el programa RLAXINFIMAMPOSTERIA, primero se han numerado las
columnas, luego la viga y finalmente la diagonal equivalente de la mampostería. En el centro de
la figura 3.24 se tienen los grados de libertad considerados cuando las vigas y columnas son
axialmente rígidas y a la derecha se aprecia el pórtico con la coordenada lateral, cuya matriz se
va a calcular.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
97
Figura 3.24 Modelo numérico de cálculo.
Las matrices de rigidez de los elementos, columna, viga y mampostería, son:
•
Elemento Columna (igual para elementos 1 y 2) Obtenido con inercias gruesas y con
L=2.80 m.
⎡ 185.6642
⎢− 259.9298
K =⎢
⎢− 185.6642
⎢
⎣− 259.9298
•
485.2023
259.9298
242.6012
Elemento Viga Obtenido con L=3.50 m.
⎡198.7389
K =⎢
⎣99.3694
•
185.6642
259.9298
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
485.2023⎦
⎤
198.7389⎥⎦
Elemento Diagonal Equivalente
L=
a=
(3.25)2 + (2.70)2
= 4.2252
L 4.2252
=
= 1.0563 m.
4
4
A = a t = 1.0563 ∗ 0.15 = 0.1584 m 2
E m A 175000 ∗ 0.1584
=
= 6562.50
4.2252
L
3.25
2.70
Cosθ =
= 0.7692
Senθ =
= 0.6390
4.2252
4.2252
⎡ 3882.8
⎢ 3225.5
2679.6
K =⎢
⎢− 3882.8 − 3225.5
⎢
⎣− 3225.5 − 2679.6
3882.8
3225.5
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
2679.6⎦
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
98
•
Vectores de colocación
VC (1) = [0
0
1
2]
= [0
0
1
3]
VC (3) = [2
3]
VC ( 4) = [0
0
1
0]
VC
•
( 2)
Matriz de rigidez completa
⎡4254.1
K = ⎢⎢259.9
⎢⎣259.9
•
259.9
683.9
99.4
259.9 ⎤
99.4 ⎥⎥
683.9⎥⎦
Submatrices
K AA = [4254.1]
•
K AB = [259.9
259.9]
t
K BA = K AB
⎡683.9
K BB = ⎢
⎣99.4
99.4⎤
683.9⎥⎦
Matriz de rigidez lateral
K L = [4081 .6]
6000
Rigidez Lateral del Pórtico
[Tn/m]
1. Holmes (1961)
2. Mainstone (1971)
5000
3. Bazan (1980)
4000
4. Hendry (1981)
5. Liauw y Kw an (1984)
3000
6. Decanini y Fantin (1986)
7. Paulay y Priestley (1992)
2000
8. FEMA (1997)
9. Crisafulli (1997)
1000
Valor Medio
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Modelo Matemático
Figura 3.25 Matriz de rigidez lateral encontrada con nueve modelos. Carrillo (2008)
En la figura 3.25 se presentan los valores de la matriz de rigidez lateral, hallada con
cada uno de los modelos indicados en el apartado anterior, para encontrar el ancho de la
diagonal equivalente.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
3.10
99
PROGRAMA RLAXINFIMAMPOSTERIA
La forma de uso del programa es muy similar al del programa RLAXINFI. Debido a que
se debe crear un archivo de datos con la siguiente información:
•
•
Base, altura y longitud de todas las columnas y de todas las vigas. En este orden.
Se debe indicar el nudo inicial, el nudo final y la longitud de la diagonal equivalente.
Por pantalla, se suministra información complementaria como el número de nudos,
número de pisos, módulos de elasticidad del hormigón y de la mampostería, etc.
El ancho de la diagonal equivalente se halla con el modelo de Paulay y Priestley (1992)
que ha sido acogido por la norma de Albañilería del Perú E 070.
function[KL]=rlaxinfimamposteria(nombre)
%
% Programa para encontrar la matriz de rigidez lateral de un portico plano
% considerando que todos los elementos son axialmente rigidos.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
% Incorporacion de Mamposteria en Noviembre de 2007
%
%------------------------------------------------------------% [KL]=rlaxinfimamposteria(nombre)
%------------------------------------------------------------% CG Matriz de coordenadas generalizadas
% VC Vector de colocacion
%E
Modulo de elasticidad del material
% SS Matriz de rigidez de la estructura
% b: base de la seccion transversal.
% h: altura de la seccion transversal.
% long: longitud del elemento.
% t: espesor de la mamposteria
% nombre Archivo de datos que contiene la base, la altura y la longitud
%
de cada uno de los elementos. El nombre debe tener extension .txt.
%
Esto para columnas y vigas. Despues para la mamposteria se debe
%
indicar el nudo inicial, el final y la longitud de la diagonal.
%
%
Se considera el modelo de la Norma de Peru para el ancho
%
equivalente de la mamposteria.
%
nod=input('\n Numero de nudos:');
np=input(' Numero de pisos:');
nr=input(' Numero de nudos restringuidos:');
nd=input(' Numero de diagonales de mamposteria:');
E=input(' Modulo de elasticidad de Hormigon (T/m2):');
Em=input(' Modulo de elasticidad de Mamposteria (T/m2):');
t=input(' Espesor de la Mamposteria (m):');
% Coordenadas Generalizadas
CG=zeros(nod,2);ngl=0;k=nr;
for i=1:np
ngl=ngl+1;
for j=1:nr
100
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
k=k+1; CG(k,1)=ngl;
end
end
for i=1:nod-nr
ngl=ngl+1;
k=nr+i; CG(k,2)=ngl;
end
ncol=np*nr; mbr=ncol+(nr-1)*np;nvig=mbr-ncol;
ici=0;icf=nr;
for i=1:ncol
ici=ici+1; icf=icf+1;ini(i)=ici;fin(i)=icf;
end
ii=ncol;
for j=1:np
ici=j*nr;
for i=1:nr-1
ii=ii+1;ici=ici+1;ini(ii)=ici;fin(ii)=ici+1;
end
end
% Lectura de datos
%
for i=1:mbr
B(i)=nombre(i,1);H(i)=nombre(i,2);L(i)=nombre(i,3);
end
for i=mbr+1:mbr+nd;
ini(i)=nombre(i,1);fin(i)=nombre(i,2);L(i)=nombre(i,3);
end
%
% Arreglo VC. Vectores de colocacion
for i=1:mbr
for k=1:2
VC(i,k)= CG(ini(i),k);
VC(i,k+2) = CG(fin(i),k);
end
end
for i=mbr+1:mbr+nd;
VC(i,1)=CG(ini(i),1);
VC(i,2)=0; VC(i,4)=0;
VC(i,3)=CG(fin(i),1);
end
% Matriz de rigidez de miembro y de la estructura
fprintf ('\n Calcula con: Inercias gruesas, codigo=0. Con inercias agrietadas, codigo=1');
icod=input('\n Ingrese codigo de inercias :');
SS=zeros(ngl,ngl);
for i=1:mbr+nd
if i<=mbr
b=B(i);h=H(i);long=L(i);iner=b*h^3/12;ei=E*iner;
end
long=L(i);
if i<=ncol
if icod==1
iner=0.8*iner;ei=E*iner;
end
k(1,1)=12*ei/long^3;k(1,2)=-6*ei/long^2;k(1,3)=-k(1,1);k(1,4)=k(1,2);
k(2,1)=k(1,2);k(2,2)=4*ei/long;k(2,3)=-k(1,2);k(2,4)=2*ei/long;
k(3,1)=k(1,3);k(3,2)=k(2,3);k(3,3)=k(1,1);k(3,4)=6*ei/long^2;
k(4,1)=k(1,4);k(4,2)=k(2,4);k(4,3)=k(3,4);k(4,4)=k(2,2);
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
101
elseif i>ncol & i <=mbr
if icod==1
iner=0.5*iner;ei=E*iner;
end
k=zeros(4,4);k(2,2)=4*ei/long;k(2,4)=2*ei/long;k(4,2)=k(2,4);k(4,4)=k(2,2);
else
fprintf ('\n Para diagonal equivalente'); i
dx=input('\n ingrese la distancia horizontal de mamposteria:');
area=(long/4)*t; rig=Em*area/long; C=dx/long;
k=zeros(4,4);k(1,1)=rig*C*C; k(3,3)=k(1,1); k(1,3)=-k(1,1); k(3,1)=k(1,3);
end
for j=1:4
jj=VC(i,j);
if jj==0
continue
end
for m=1:4
mm=VC(i,m);
if mm==0
continue
end
SS(jj,mm)=SS(jj,mm)+k(j,m);
end
end
end
% Matriz de rigidez lateral
na=np;nb=ngl-np;
Kaa=SS(1:na,1:na);Kab=SS(1:na,na+1:ngl);Kba=Kab';Kbb=SS(na+1:ngl,na+1:ngl);
KL=Kaa-Kab*inv(Kbb)*Kba;
fprintf ('\n Matriz de rigidez lateral :');
save c:\KL
%---fin---
•
EJEMPLO 9
Presente el archivo de datos, para hallar la matriz de rigidez lateral del pórtico del
ejemplo anterior y la forma de ejecución del programa RLAXINFIMAMPOSTERIA
•
SOLUCIÓN
El archivo de datos contiene la siguiente información:
0.15
0.15
0.15
1
0.25
0.25
0.20
4
2.80
2.80
3.50
4.482
Los datos de las dos primeras filas, corresponden a información de las columnas, los
datos de la tercera fila a la viga y la última fila a la diagonal equivalente. Este archivo ha sido
grabado con el nombre de “ica”
102
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
>> [KL]=rlaxinfimamposteria(ica)
Numero de nudos:4
Numero de pisos:1
Numero de nudos restringuidos:2
Numero de diagonales de mamposteria:1
Modulo de elasticidad de Hormigon (T/m2):1738965.21
Modulo de elasticidad de Mamposteria (T/m2):175000
Espesor de la Mamposteria (m):0.15
Calcula con: Inercias gruesas, codigo=0. Con inercias agrietadas, codigo=1
Ingrese codigo de inercias :0
Para diagonal equivalente
i=
4
ingrese la distancia horizontal de mamposteria:3.25
Con el último dato se halla el Cosθ dividiendo este valor para la longitud de la diagonal
equivalente; con esto se halla la matriz de rigidez en coordenadas globales.
Figura 3.26 Fachada del Bloque de Enfermería de la Universidad San Luis Gonzaga de Ica.
3.11
LECCIONES DEJADAS POR SISMO DE PERÚ DE 2007
En el Ecuador se acopla la mampostería a la estructura, normalmente, para este efecto
en las columnas se dejan los “chicotes”. De tal manera que se deben incorporar en el análisis
sísmico la mampostería. Otra forma de acoplar la mampostería consiste en construir primero
las paredes dejando entrantes y salientes en el sitio de la columna, posteriormente se funden
las columnas, así lo hacen en el Perú.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
103
En el bloque de Enfermería de la Universidad San Luis Gonzaga, ubicada en la ciudad
de Ica, se desacopló la estructura de la mampostería. Para ello se construyó un subpórtico de
confinamiento de las paredes pero este subpórtico está separado de la estructura principal por
medio de una junta de construcción, como se aprecia en la figura 3.26, en que se presenta un
pórtico de la fachada. En el pórtico que contiene una ventana grande, se observa que bajo
ésta, existe un subpórtico formado por columnetas y viguetas. Al construir de esta manera se
desacopla la estructura de la mampostería pero la mampostería está confinada por las
columnetas y viguetas de tal manera que no está suelta la mampostería.
Figura 3.27 Detalle del anclaje de armadura longitudinal de columnetas en viga principal.
En el Ecuador, algunos edificios importantes han sido construidos de esta manera y a
lo mejor cometieron el mismo error de construcción que en el bloque de Enfermería de la
Universidad San Luis Gonzaga, en que no anclaron en forma adecuada los hierros de las
columnetas a la viga principal y durante el sismo se produjo daño en las bases de las
columnetas como se aprecia dentro de un círculo, al dañarse en la base los subpórticos
quedaron simplemente apoyados con gran peligro de voltearse. Los dos ejemplos anteriores
corresponden a la geometría de éste subpórtico, por este motivo es que se denominó Ica al
archivo de datos.
En la figura 3.27 se ilustra la falta de anclaje del hierro de las columnetas en la viga
principal lo que originó la falla. Es importante destacar que en Ica, soldaron las varillas
longitudinales de la columneta a las varillas superiores de la viga. Esta solución de desacoplar
la mampostería de la estructura principal, mediante la construcción de un subpórtico, es muy
buena siempre y cuando el hierro de las columnetas tenga un mayor anclaje, que lleguen hasta
la armadura inferior de la viga principal.
104
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
REFERENCIAS
1. Aguiar R., (2004), Análisis Matricial de Estructuras, Centro de Investigaciones
Científicas. Escuela Politécnica del Ejército, Tercera Edición, 550 p.
2. Aguiar R., (2007), Dinámica de estructuras con MATLAB, Centro de Investigaciones
Científicas y Colegio de Ingenieros Civiles de Pichincha., 292 p. Quito.
3. Bazán E., and Meli R., (1980), “Seismic analysis of structures with masonry walls”,
Proceedings of the Seventh World Conference on Earthquake Engineering, Vol. 5, 633640, Istanbul, Turkey.
4. Carrillo C., (2008) Comprobación de la respuesta sísmica incorporando y desacoplando
la mampostería y técnicas de reforzamiento, Tesis de Grado para obtener el título de
Ing. Civil. Escuela Politécnica del Ejército, 200 p. Quito.
5. Chrysostomou C., (1991), Effects of degrading infill walls on the nonlinear seismic
response of two dimensional steel frames. Ph.D., Thesis, Cornell University.
6. Crisafulli F., (1997), Seismic behaviour of reinforced concrete structures with masonry
infills, A thesis submitted in partial fulfillment of the requirements for the degree of
Doctor of Philosophy in Civil Engineering, University of Canterbury, 404 p.,
Christchurch, New Zealand.
7. Decanini L., y Fantin G., (1986), “Modelos simplificados de la mampostería incluida en
pórticos. Carácteristicas de rigidez y resistencia lateral en estado limite” Jornadas
Argentinas de Ingeniería Estructural, Vol 2, 817-836, Buenos Aires, Argentina.
8. Holmes M., (1961), “Steel frames with brickwork and concrete infilling”, Proceedings of
the Institution of Civil Engineers, Vol. 19, 473-478.
9. Köning G., (1991), “The state of the art in earthquake engineering research”,
Experimental and Numerical Methods in Earthquake Engineering, Edited by, J. Donea
and P. Jones, 1-22.
10. Liauw T., and Kwan K., (1984), “Nonlinear behaviour of non-integral infilled frames”,
Computers & Structures, 18 (3), 551-560.
11. Mainstone R., (1971), “On the stiffnesses and strengths of infilled frames”, Proceedings
of the Institution of Civil Engineers, Supplement IV, 57-90.
12. Paulay T., and Priestley M., (1992), Seismic design of reinforced concrete and masonry
buildings, John Wiley & Sons Inc, 744 p.
13. Stafford S., (1962), “Lateral stiffness of infilled frames”, Proceedings of the American
Society of Civil Engineering, Journal of Structural Division, 88 (ST6), 183-199.
14. Stafford S., (1966), “Behaviour of square infilled frames, Proceedings of the American
Society of Civil Engineering, Journal of Structural Division, 92 (ST1), 381-403.
15. Syrmakezis C. and Vratsanou V., (1986), “Influence of infill walls to R.C. Frames
Response”, Proceedings of the Eighth European Conference on Earthquake
Enginering, Vol 3, 47-53, Lisboa, Portugal.
CAPÍTULO 4
MÉTODO ESTÁTICO Y TORSIÓN ESTÁTICA
RESUMEN
Se presenta la teoría y dos programas de computación para realizar el análisis sísmico
de estructuras que tienen menos de 10 pisos y que son regulares en planta y elevación. En el
primer programa denominado ANALISISESTATICONEW se considera un modelo con un grado
de libertad por planta y en el segundo programa ANALISISESTATICO2GDL se considera un
modelo de dos grados de libertad por planta. En los dos programas el usuario debe ingresar
como dato la matriz de rigidez lateral obtenido con inercias gruesas, de los pórticos en el
sentido de análisis sísmico.
En el programa ANALISISESTATICONEW las fuerzas debido a torsión accidental
se obtienen mayorando un 10% las fuerzas estáticas. Mientras que en el programa
ANALISISESTÁTICO2GDL se calcula las fuerzas en cada uno de los pórticos por efecto de los
momentos de torsión accidental.
En los dos programas la acción sísmica está definida por un espectro de diseño
inelástico, el mismo que se obtiene dividiendo las ordenadas del espectro elástico para el factor
de reducción de las fuerzas sísmicas R indicado en el capítulo 2. Los programas están
realizados para el nivel de diseño de disipación de energía elevada. Posteriormente,
cuando se realicen las combinaciones de carga, el estado de fuerzas S que se obtiene del
análisis sísmico, no se debe ser mayorar y se deberá cumplir que la deriva máxima de piso,
inelástica sea menor al 1.5%.
Se presenta, en primer lugar, un estudio desarrollado en la Universidad Técnica de
Manabí, Aguiar et al (2006) en el que se obtuvo el período de vibración de 36 estructuras de 1
a 6 pisos, empleando una de las fórmulas que recomienda el CEC-2000 para calcular el
período en función de la altura total del edificio, el mismo que es comparado con los que se
encuentran de la solución del problema de vibraciones libres en sistemas de múltiples grados
de libertad sin considerar amortiguamiento, para dos condiciones a saber: con inercias gruesas
y considerando inercias agrietadas y con la recomendada por Goel y Chopra (1997).
106
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Del estudio realizado se recomienda que el período que se halla con la ecuación
T = 0.0731 H 3 / 4 sea multiplicado por 1.3 que es el factor con el cual se corrige la forma
de cálculo. Con el período resultante se procede al cálculo del cortante basal mínimo.
También se ha hallado una ecuación que permite calcular el período considerando inercias
agrietadas.
En este capítulo se estudia con detenimiento la excentricidad estática, en el
capítulo 6, se hace lo propio con la excentricidad accidental y en el capítulo 8, con la forma de
obtener los centros de: rigidez, de corte y de giro. De tal manera que estos tres capítulos y el
capítulo 7 en que resuelve la torsión en un edificio de un piso, son complementarios entre sí
para entender el Método de la Torsión Estática que es fácil en su formulación, como se verá
más adelante pero es bastante complejo, motivo por el cual varias normativas sísmicas lo
abordan de diferente manera.
4.1 PERÍODO DE VIBRACIÓN EN ESTRUCTURAS SIN MUROS
Para pórticos espaciales de hormigón armado, que son las estructuras formadas por
vigas y columnas, sin muros de corte el CEC-2000 recomienda las siguientes ecuaciones para
el cálculo del período fundamental.
T = 0.0731 H 3 / 4
( 4.1 )
Siendo H la altura total del edificio. También puede calcularse el período en función
de los desplazamientos laterales δ i y de las fuerzas aplicadas f i , para el efecto se debe
imponer una distribución aproximada de las fuerzas laterales. La ecuación de cálculo es:
⎞
⎞ ⎛ n
⎛ n
T = 2π ⎜⎜ wi δ i2 ⎟⎟ ÷ ⎜⎜ g
f i δ i ⎟⎟
⎠
⎠ ⎝ i =1
⎝ i =1
∑
∑
( 4.2 )
Donde wi , f i , δ i son el peso reactivo del piso i, la fuerza horizontal aplicada en el piso
i, el desplazamiento lateral del piso i. g es la aceleración de la gravedad.
El período calculado con la ecuación ( 4.2 ) no debe ser mayor en un 30% al
período calculado con la ecuación ( 4.1 ).
La ecuación ( 4.1 ) tiene un respaldo experimental en cambio la ecuación ( 4.2 ) tiene
un respaldo analítico pero en los dos casos se trabaja con inercias gruesas, en las secciones.
Es importante destacar esto ya que ante el sismo estipulado por el CEC-2000 se espera daño
en la estructura razón por la cual el código especifica las siguientes inercias agrietadas con las
cuales se debe realizar el análisis sísmico.
I V = 0.5 I g
I C = 0.8 I g
( 4.3 )
Donde I g es el momento de inercia grueso, calculado con la sección total; I V , I C son
los momentos de inercia agrietados de las vigas y columnas respectivamente. Por lo tanto,
para el análisis sísmico por el método estático, empleando el espectro del CEC-2000 se
debe trabajar con un período, obtenido en una estructura con inercias agrietadas. Se
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
107
sabe que cuando la estructura ingresa al rango no lineal el período de vibración se incrementa,
de tal manera que el período es mayor al que se obtiene con la ecuación ( 4.1 ) o con ( 4.2 ).
4.1.1
Trabajo de Goel y Chopra (1997)
Goel y Chopra (1997) obtienen ecuaciones para encontrar en forma aproximada el
período de vibración, en estructuras sin y con muros de corte. En este apartado se presenta el
primer caso en que la estructura está compuesta únicamente por vigas y columnas, sin muros
de corte. Ellos obtienen períodos que han sido registrados en algunos edificios luego de
eventos sísmicos.
En la tabla 4.1 se presentan parte de los edificios, en los cuales se tienen valores de
períodos registrados, después de los sismos que están indicados en la mencionada tabla. Se
aprecia el número de pisos, la altura total de los edificios y los períodos registrados en las dos
direcciones perpendiculares.
Tabla 4.1 Períodos obtenidos en edificios de H.A. conformados por vigas y columnas
Localización
Número
Altura
Terremoto
Período T
de pisos
(ft)
(s)
Longitudinal
Transversal
Los Angeles
14
148.0
Northridge
-2.28
Los Angeles
5
119.0
Northridge
1.46
1.61
Los Angeles
5
119.0
Whittier
1.40
1.30
Los Angeles
15
274.0
Northridge
3.11
3.19
Los Angeles
9
141.0
Northridge
1.39
1.28
Los Angeles
20
196.8
San Fernando
2.27
2.09
Los Angeles
20
196.8
San Fernando
2.27
2.13
Los Angeles
20
196.8
San Fernando
2.24
1.98
Los Angeles
22
204.3
San Fernando
1.94
2.14
Los Angeles
22
204.3
San Fernando
1.84
2.17
North Hollywood
20
169.0
Northridge
2.60
2.62
Sherman Oaks
13
124.0
San Fernando
1.20
1.40
Sherman Oaks
13
184.5
Whittier
1.90
2.30
Sherman Oaks
13
184.5
Whittier
-2.44
Van Nuys
7
65.7
Whittier
1.40
1.20
Los datos de la tabla 4.1 corresponden a edificios en los cuales se registraron
aceleraciones máximas del suelo mayores a 0.15 g., es decir que provocaron cierto daño en
la estructura. Goel y Chopra (1997) en total trabajaron con 68 valores de períodos que incluye
a registros con aceleraciones menores a 0.15 g. Del análisis de regresión realizado
encontraron la siguiente ecuación para hallar el período.
T = 0.016 H 0.90
( 4.4 )
Donde la altura H se expresa en pies. La relación encontrada por Goel y Chopra
reporta valores superiores de período en relación a la recomendada por el UBC-97 y que ha
sido acogida por varios códigos, entre ellos el CEC-2000. La ecuación del UBC-97 para
edificios de H.A. conformada por vigas y columnas es:
T = 0.030 H 3 / 4
( 4.5 )
108
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
En la figura 4.1 se ha ploteado los períodos encontrados en edificios cuya aceleración
máxima del suelo, debido al sismo, fue superior a 0.15 g., y que constan en la tabla 4.1, con
una línea continua se han unido los períodos longitudinal y transversal registrados en un
edificio. Se ha dibujado además la curva que se obtiene con la ecuación ( 4.4 ) y la que se halla
con la ecuación ( 4.5 ). Esta última se identifica con el título de “códigos”. Se aprecia que mejor
se ajusta la ecuación propuesta por Goel y Chopra; la misma tendencia se tiene con los 68
valores de períodos con los cuales obtuvieron la relación entre la altura del edificio H , y el
período fundamental T.
3,5
Periodo T (s)
3
Goel y Chopra
2,5
2
Códigos
1,5
1
0,5
0
0
100
200
300
400
Altura H (ft)
Figura 4.1 Períodos encontrados en edificios cuya aceleración del suelo es mayor a 0.15 g.
En las ecuaciones ( 4.4 ) y ( 4.5 ) la altura H debe expresarse en pies, si se desea
colocar en metros estas ecuaciones cambian a:
T = 0.0466 H 0.90
( 4.6 )
T = 0.0731 H 3 / 4
Se destaca que para edificios con alturas mayores a 100 ft. La ecuación propuesta por
Goel y Chopra (1997) reporta mayores valores que la que se obtiene con la ecuación que
estipula en CEC-2000. Para edificios cuya altura es menor a 100 ft. Las dos ecuaciones
reportan valores similares.
En la ecuación ( 4.6 ) el período se obtuvo en base a los elementos estructurales y no
estructurales que son los que conforman los edificios. La incorporación de los elementos no
estructurales hace que la estructura sea más rígida y por ende se disminuye el período de
vibración.
4.1.2
Trabajo de Aguiar et al (2006)
Aguiar et al (2006) obtuvieron el período de vibración de 36 edificios de hormigón
armado, conformados por vigas y columnas, sin muros de corte, de 1 a 6 pisos. Se hallaron los
períodos de 246 pórticos, calculado de la siguiente manera:
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
•
109
Con inercias gruesas se obtuvo la matriz de rigidez lateral y luego se obtuvo la
matriz de masas. El período se halla de la solución del problema de valores y
vectores propios. A esta forma de cálculo se denomina Igruesa. En la figura
4.2 se indica los resultados obtenidos, con línea continua se muestra la curva
de valores medios y la ecuación de ajuste es la siguiente:
T = 0.0845 H 0.7751
( 4.7 )
Figura 4.2 Períodos encontrados en el estudio con inercias gruesas y curva de ajuste.
•
En forma similar a la anterior pero considerando inercias agrietadas de acuerdo
a lo recomendado por el CEC-2000. Los resultados obtenidos se presentan en
la figura 4.3. A este caso se denomina Iagrietada, la ecuación hallada del
ajuste es:
T = 0.0901 H 0.8212
( 4.8 )
Figura 4.3 Períodos encontrados en el estudio con inercias agrietadas y curva de ajuste.
110
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
En la figura 4.4 se presentan las curvas que determinan el período en función de la
altura total del edificio, que se hallan con las ecuaciones de Goel y Chopra ( 4.6) que se ha
denominado Chopra, la halladas por Aguiar et al (2006) mediante las ecuaciones ( 4.7 ) para la
Igruesa y la ( 4.8 ) para la Iagrietada. También se presenta la que se halla con la ecuación del CEC2000 que es la ecuación ( 4.1 ) pero multiplicado por 1.3, a esta se denomina UBC-97.
Se aprecia en la figura 4.4 una gran aproximación entre las curvas Igruesa con UBC-97.
Por lo tanto se recomienda calcular el período de vibración con la ecuación ( 4.1 ) y
multiplicar éste valor por 1.3; para el caso en que se trabaje con inercias gruesas. Esta
recomendación ha sido acogida en los programas que se presentan en este capítulo para hallar
el período fundamental de vibración.
Figura 4.4 Períodos medios hallados en el estudio
El incremento del período de vibración conduce a tener valores de C , más bajos,
como se ilustra en la figura 4.5 y por ende a valores de V0 más bajos.
La fórmula propuesta por Goel y Chopra (1997) reporta períodos bajos para edificios
con alturas menores a 20 m. Si se desea trabajar con inercias agrietadas se debe utilizar la
ecuación ( 4.8 ). Por cierto en todos los edificios analizados se consideró que la altura del
primer piso es de 4 m., y la altura de los restantes pisos es de 3.0 m. Por ejemplo los edificios
de 4 pisos tienen una altura total de 13.0 m.
4.2 CORTANTE BASAL MÍNIMO
El cortante basal mínimo V0 de acuerdo al CEC-2000 se determina con la siguiente
ecuación.
V0 =
ZIC
W
R φ p φe
( 4.9 )
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111
Donde Z es el factor de zonificación sísmica, definido en la tabla 4.2; es el coeficiciente
de la aceleración de la gravedad, indicado en el mapa de zonificación sísmica presentado en el
capítulo 1. I es el coeficiente de importancia, C es un coeficiente mostrado en la figura 4.5,
R es el factor de reducción de las fuerzas sísmicas debido a comportamiento inelástico de la
estructura, analizado con detenimiento en el capítulo 2, φ p , φ e factores que toman en cuenta
las irregularidades en planta y elevación. W es el peso total reactivo que se calcula
únicamente con la carga muerta.
Zona Sísmica
Factor Z
Tabla 4.2 Factor Z en función de la zona sísmica.
1
2
3
0.15
0.25
0.30
4
0.40
Figura 4. Coeficiente C
En la figura 4.5 se aprecia que el coeficiente C se calcula con la siguiente ecuación:
C=
1.25 S S
≤β
T
( 4.10 )
El valor de C no es el coeficiente sísmico que relaciona el cortante basal con el peso
total de la estructura. En la tabla 4.3 se señalan los valores de S y β de acuerdo al perfil de
suelo.
Perfil de Suelo
S
β
Tabla 4.3 Perfiles de suelo y valores de S y β .
S1
S2
S3
1.0
1.2
1.5
2.5
3.0
2.8
S4
2.0
2.5
Se destaca que V0 definido en la ecuación ( 4.9 ) representa el cortante basal
mínimo con el cual se deberá controlar el cortante basal que se halla con otros métodos,
como se verá en capítulos posteriores.
4.3 MÉTODO ESTÁTICO
112
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Una vez que se determina el cortante basal con la ecuación ( 4.9 ) se procede a
encontrar las fuerzas laterales Fi en cada uno de los pisos mediante las siguientes
ecuaciones:
Fi =
(V0 − Ft ) wi hi
n
∑w
i
( 4.11 )
hi
i =1
Ft = 0.07 V0 T
( 4.12 )
Donde Ft es la fuerza en el último piso de la estructura con la cual se pretende corregir
la influencia de los modos superiores, ya que la ecuación ( 4.11 ) considera solo el primer modo
de vibración y de forma lineal., wi es el peso reactivo del piso i, hi es la altura desde la base
hasta el piso i. Finalmente T es el período fundamental de la estructura.
El CEC-2000 estipula que cuando el período de vibración es menor o igual a 0.7 s.,
puede considerarse nulo el valor de Ft . De igual manera se deberá controlar que el valor de la
fuerza en el tope Ft no exceda 0.25 V0 .
4.4 PROGRAMA ANALISISESTATICONEW
En este programa se considera que el factor de reducción de las fuerzas sísmicas es
igual a 6 para los perfiles de suelo S1, S2 y S3. Para el perfil de suelo S4 este factor vale 5. Por
lo tanto el factor R programado corresponde al caso de disipación de energía elevada, descrito
en el capítulo 2. Se recuerda que asociado a estos valores la deriva máxima de piso, inelástica,
γ = 1.5% .
Una vez que se hallan las fuerzas laterales se obtienen los desplazamientos laterales
elásticos q en cada piso empleando la ecuación básica de estructuras:
Q=Kq
( 4.13 )
Al considerar un modelo de un grado de libertad por planta, el vector de cargas Q está
compuesto por las fuerzas laterales de cada uno de los pisos y la matriz de rigidez K es igual
a la suma de las matrices de rigidez lateral de cada uno de los pórticos, en la dirección
del análisis sísmico, obtenido con inercias gruesas ya que con estos valores se halla la
deriva de piso.
Los desplazamientos inelásticos q INE , de acuerdo al CEC-2000 se obtienen
multiplicando los desplazamientos elásticos q por el factor de reducción de las fuerzas
sísmicas R .
q INE = R q
( 4.14 )
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
113
Las derivas de piso γ se hallan dividiendo el desplazamiento relativo de piso para la
altura de entrepiso h .
γi =
q INEi − q INEi −1
hi
( 4.15 )
El subíndice i representa el piso i . La deriva máxima de piso γ de todo el edificio, es
el mayor de las derivas de piso.
Finalmente, se destaca que el programa ANALISISESTATICONEW no calcula los
momentos debidos a torsión accidental y por ende las fuerzas laterales debidas a torsión
accidental por lo que las fuerzas estáticas obtenidas debido a traslación se incrementan
en un 10% por la torsión accidental, que se analizará posteriormente.
•
EJEMPLO 1
Realizar un análisis sísmico estático para la estructura de 6 pisos, cuya configuración
en planta es la indicada en la figura 4.6. Si esta se halla sobre un perfil de suelo S2, en la
zona de mayor peligrosidad sísmica del Ecuador. Las dimensiones de las vigas y columnas
se indican en la tabla 4.4 al igual que el peso total reactivo de cada uno de los pisos. La altura
de cada entrepiso es de 3.0 m., El módulo de elasticidad E = 1738965 .21 T / m 2 .
Figura 4.6 Distribución en planta de edificio de 6 pisos.
Se desea realizar el análisis utilizando el programa ANALISISESTATICONEW. Indicar
las fuerzas laterales en centro de masa, sin torsión accidental, los desplazamientos inelásticos,
las derivas de piso y las fuerzas laterales finales considerando en forma aproximada la torsión
accidental.
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
114
•
SOLUCIÓN
Se determina la matriz de rigidez lateral de cada uno de los pórticos, para el presente
ejercicio se ha trabajado con el programa RLAXINFI. Se obtiene con inercias gruesas ya que
sirve para encontrar la deriva de piso, siguiendo el procedimiento del CEC-2000.
Piso
1
2
3
4
5
6
Tabla 4.4 Dimensiones de columnas, vigas y peso total reactivo de piso.
Columnas
Vigas
Peso total
(cm.)
(cm.)
reactivo (T.)
Pórtico 1 y 4
Pórtico 2 y 3
55/55
60/60
30/35
168.75
55/55
60/60
25/35
159.75
55/55
60/60
25/35
150.75
50/50
55/55
25/35
141.75
50/50
55/55
25/30
132.75
45/45
50/50
25/30
123.75
Con los datos de la tabla 4.4, se obtienen dos matrices de rigidez lateral, una para los
pórticos exteriores y otra para los pórticos interiores. Estas son:
¾
Pórtico 1 y 4
¾
Pórtico 2 y 3
La matriz de rigidez K en coordenadas de piso, para el modelo de un grado de
libertad por planta, resulta:
K =
n
∑K
(i )
L
( 4.16 )
i =1
Donde n es el número de pórticos en la dirección del análisis sísmico. La ecuación
(4.16) se habría podido escribir K = K XX . Para el ejemplo se tiene:
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CEINCI-ESPE
115
K = K L(1) + K L( 2 ) + K L(3) + K L( 4)
A continuación se presenta en forma resumida los cálculos realizados.
•
Período
(
)
(
)
C=
1.25 S S
≤β
T
T = 0.0731 H 3 / 4 ∗ 1.3 = 0.0731 ∗ 18 0.75 ∗ 1.3 = 0.8305 s.
•
Coeficiente C
1.25 ∗ 1.21.2
C=
= 1.8733
0.8305
•
Cortante Basal mínimo
V0 =
ZIC
0.4 ∗ 1 ∗ 1.8733
W=
∗ 877.5 = 109.5893
R φ p φe
6 ∗1∗1
Se está colocando los valores que reporta el programa, redondeado a cuatro decimales
y estrictamente no coincide en el tercer o cuarto decimal, debido a que el valor de C está
redondeado.
•
Fuerza en el tope
Ft = 0.07 V0 T = 0.07 ∗ 109.5893 ∗ 0.8305 = 6.3709
V0 − Ft = 103.2184
El cálculo de las fuerzas en cada piso, que se halla con la ecuación (4.11) se resume
en la tabla 4.5
Tabla 4.5 Cálculo de las fuerzas en C.M. sin torsión accidental
Piso
wi
hi
wi hi
Fi
1
2
3
4
5
6
(T.)
123.75
132.75
141.75
150.75
159.75
168.75
(m.)
3.0
6.0
9.0
12.0
15.0
18.0
(Tm.)
371.25
796.50
1275.75
1809.00
2396.25
3037.50
∑=
9686.25
(T.)
3.9564
8.4877
13.5947
19.2771
25.5349
32.3680+6.3709
=38.7389
109.5894
116
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Para hallar los desplazamientos elásticos en la estructura, el vector de cargas Q está
compuesto por las fuerzas indicadas en la última columna de la tabla 4.5. Luego su vector
transpuesto vale: Q t = [3.9564
8.4877 13.5947 19.2771 25.5349 38.7389] . Al resolver
el sistema de ecuaciones planteado en ( 4.13 ) con la matriz de rigidez K =
∑KL
que ya fue
indicada se hallan los desplazamientos elásticos q . Estos son:
⎡0.0061⎤
⎢0.0193⎥
⎢
⎥
⎢0.0353⎥
q=⎢
⎥
⎢0.0516⎥
⎢0.0668⎥
⎢
⎥
⎢⎣0.0799⎥⎦
Son desplazamientos elásticos, debido a que la ecuación (4.13) es la ecuación
matricial de estructuras en el rango elástico. Para hallar los desplazamientos inelásticos, de
acuerdo al CEC-2000 los desplazamientos q se multiplican por el factor de reducción de las
fuerzas sísmicas R = 6 .
Las fuerzas estáticas finales se hallan multiplicando la última columna de la tabla 4.5
por 1.1. A continuación se presentan los resultados que se obtienen con el programa
ANALISISESTATICONEW.
Pisos
1
2
3
4
5
6
Tabla 4.6 Resultados de ejemplo 1.
Fuerza sin
Desplazamientos Deriva de piso
Torsión ( T. )
Inelásticos ( m. )
3.9561
0.0364
0.0121
8.4877
0.1160
0.0265
13.5947
0.2116
0.0319
19.2771
0.3096
0.0326
25.5349
0.4011
0.0305
38.7389
0.4794
0.0261
R=6
γ = 3.26%
Fuerzas
Finales ( T. )
4.3517
9.3364
14.9541
21.2048
28.0884
42.6127
V0 = 109.5893 T .
La deriva de piso máxima es mayor del 1.5%. Por lo que se debe incrementar las
dimensiones de vigas y columnas. Esto se lo realiza en el ejemplo 2.
4.4.1
Listado del programa ANALISISESTATICONEW
function [V]=analisisestaticonew(iejes,alt,peso,KL)
%
% Analisis Estatico de acuerdo al CEC-2000 de edificios aporticados regulares
%
% Factor de reduccion de las fuerzas sismicas esta en funcion del nivel de
% diseño (de la capacidad de ductilidad de la estructura). Son los
% resultados finales del proyecto de investigacion desarrollado en el
% CEINCI-ESPE en 2007 sobre el factor de reduccion de las fuerzas sismicas.
% Esta programado para nivel de diseño sismico elevado (ductilidad=4).
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
%
% Se mayoran las fuerzas sismicas por torsion accidental en 10%.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
% Version de diciembre de 2007
%----------------------------------------------------------------------% [V]=analisisestaticonew(iejes,alt,peso,KL)
%----------------------------------------------------------------------% Ru Factor de reduccion por ductilidad Rs Factor de resistencia
% Rr Factor de redundancia
R Factor de reduccion
% H Altura total de edificio
Z Factor de Zona
% iejes # de ejes de columnas
% alt Vector que contine las alturas a cada piso medido desde el suelo.
% peso Vector que contiene los pesos reactivos de cada piso.
% PESO Peso total Reactivo.
V Cortante Basal
% gama Deriva maxima de piso que el programa calcula.
% KL Matriz que contiene la matriz de rigidez lateral de cada portico
%
en la direccion del analisis sismico con inercias gruesas
%
NP=length(alt); PESO=0;for i=1:NP; PESO=PESO+peso(i);end; H=alt(NP);
fprintf ('\n Codigos para zonas sismicas: 0.15g=1 0.25g=2 0.30g=3 04g=4');
ic=input ('\n Ingrese el codigo de la zona sismica :');
if ic==1; Z=0.15;elseif ic==2; Z=0.25;elseif ic==3;Z=0.30;else;Z=0.40;end
fprintf ('\n Codigos para perfiles de suelo: S1=1 S2=2 S3=3 S4=4');
is=input('\n Indique el codigo del tipo de suelo :');
if is==1
T1=0.50;T2=2.50;beta=2.5;S=1;R=6.0;
elseif is==2
T1=0.52;T2=3.11;beta=3.0;S=1.2;R=6.0;
elseif is==3
T1=0.82;T2=4.59;beta=2.8;S=1.5;R=6.0;
else
T1=2.0;T2=10;beta=2.5;S=2;R=5.0;
end
I=input('\n Indique el factor de importancia :');
% Periodo fundamental, el mismo que se amplifica por inercia agrietada
T=0.0731*H^(0.75);T=1.3*T;
rp=input('Estructura es regular en planta; si(s) o no(n):','s');
if rp=='s';fip=1;else;fip=0.8;end
re=input('Estructura es regular en elevacion; si(s) o no(n):','s');
if rp=='s';fie=1;else;fie=0.8;end
%Coeficiente C
C=(1.25*S^S)/T;
if C >=beta;C=beta;end
if C <= 0.5;C=0.5;end
% Cortante Basal
V=(Z*I*C*PESO)/(R*fip*fie);
% Fuerzas horizontales en cada piso
if T <= 0.7;Ft=0;else;Ft=0.07*T*V;end
Ftmax=0.25*V;sum=0;
if Ft >= Ftmax;Ft=Ftmax;end
for i=1:NP;sum=sum+peso(i)*alt(i);end
for i=1:NP
if i==NP
F(i)=(((V-Ft)*peso(i)*alt(i)/sum)+Ft);
else
117
118
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
F(i)=((V-Ft)*peso(i)*alt(i)/sum);
end
end
% Calculo de la deriva de piso.
Kxx=zeros(NP,NP); % Determinacion de matriz de rigidez espacial
for i=1:iejes
ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;
Kxx=Kxx+KL(ji:jf,1:NP);
end
F=F';
q=Kxx\F;
qine=R*q; % Desplazamientos elasticos e inelastico
for i=1:NP
j=NP+1-i;
if j==1
drift(j)=qine(j)/alt(j);
else
drift(j)=(qine(j)-qine(j-1))/(alt(j)-alt(j-1));
end
end
gama=0;
for i=1:NP;
if gama>=drift(i);
continue
else
gama=drift(i);
end
end
gama=gama*100;
end
fprintf ('\n Valor de reduccion de las fuerzas sismicas R'); R
fprintf ('\n Fuerzas laterales en cada piso sin torsion accidental'); F
fprintf ('\n Cortante Basal '); V
fprintf ('\n Desplazamiento Inelastico'); qine
fprintf ('\n Deriva de piso'); drift
fprintf ('\n Deriva maxima de piso en porcentaje'); gama
if gama >= 1.5
fprintf ('\n Deriva de piso mayor a 1.5% repita el analisis sismico')
end
% Mayoracion de las fuerzas laterales por torsion accidental
F=1.1*F;
fprintf('\n Fuerzas laterales en cada piso con torsion accidental'); F
%---fin
4.4.2
Uso del programa ANALISISESTATICONEW
La forma general de las variables del programa es:
™
ƒ
ƒ
[V]=analisisestaticonew(ejes,altura,peso,KL)
ejes
altura
Es el número de ejes en la dirección del análisis sísmico.
Vector que contiene la altura desde la base a cada piso.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
ƒ
ƒ
peso
KL
119
Vector que contiene los pesos, reactivos, de cada uno de los pisos.
Matriz con las matrices de rigidez lateral de cada pórtico en la dirección de
análisis sísmico.
4.5 EXCENTRICIDAD ESTÁTICA
La excentricidad estática e S es la distancia que existe entre el Centro de Rigidez C.R.,
y el Centro de Masa C.M., esta es la forma como trabajan una buena cantidad de proyectistas
estructurales. Pero también hay gente que en lugar de trabajar con el C.M., en edificios de
varios pisos, trabajan con el Centro de Cortante C.C., de tal manera que para ellos la
excentricidad estática es la distancia entre el C.R. y el C.C. Existen otras propuestas para
encontrar e S . En el presente capítulo se trabaja con la primera forma, dejando constancia de
que en el capítulo 8 se presenta la forma de cálculo del C.R., del C.C. y del Centro de Giro
C.G.
Se define el Centro de Masas C.M., como el lugar geométrico en el cual se supone
que está concentrada la masa en cada uno de los pisos. Por otra parte de define el Centro de
Rigidez C.R., de un nivel como el punto donde al aplicar una fuerza cortante horizontal, el nivel
se traslada sin rotar con respecto al piso inferior. COVENIN 1756-98 (2001).
Para ilustrar lo expuesto en la figura 4.7, se indica el C.M. y el C.R., en un determinado
piso de una estructura. La excentricidad estática se ha definido por e x , e y . En la figura 4.7 se
ha indicado además las fuerzas estáticas Fx que actúa en la dirección X, y la fuerza Fy que
actúa en la dirección Y, debido a la acción sísmica. Son estas fuerzas que actúan en el C.M.
las que provocan la torsión, ya que si actuarían en el C.R. solamente provocarían traslación en
el edificio.
Figura 4.7 Ubicación del Centro de Masa y Centro de Rigidez en un piso de una estructura.
En el análisis sísmico en sentido X, se tienen dos tipos de pórticos en los extremos,
que se los ha denominado: Pórtico Débil, que es el pórtico 1 ya que solo tiene dos ejes de
120
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
columnas y Pórtico Fuerte, que es el pórtico 4 que tiene 4 ejes de columnas. En el sentido Y,
se tendría que el pórtico A es el fuerte y el pórtico D es el débil.
Los pórticos débiles son los que más se van a mover durante un sismo y los pórticos
fuertes se moverán menos pero al estar todos unidos los pórticos débiles son los que tendrán
un mal comportamiento sísmico. En el Método de la Torsión Estática, como se verá
posteriormente es que los pórticos débiles se diseñen para fuerzas un poco más altas y que los
pórticos fuertes para fuerzas un poco más bajas, para tener un cierto balance torsional. Lo ideal
es que una estructura no tenga pórticos débiles ni pórticos fuertes si no que todos tengan
pórticos con rigidez y resistencia parecidas.
Para una estructura de un piso es bastante sencillo, calcular el C.R. en base a la
rigidez lateral de sus elementos, pero para edificios de varios pisos es más complicado y no
siempre existe el C.R. En efecto, el C.R. solo existe en estructuras compensadas. Vásquez y
Riddell (1984).
4.6 EXCENTRICIDAD DE DISEÑO
La excentricidad de diseño e d es igual a la excentricidad estática e s , mayorada por un
factor de amplificación dinámica más la excentricidad accidental que es función de un
porcentaje de la distancia de la planta en la dirección perpendicular a la del análisis sísmico.
ed = α e s + β L
ed = δ e s − β L
( 4.17 )
Donde α es el factor de amplificación dinámica torsional para la zona débil de la
planta del edificio; δ factor de control de diseño de la zona más rígida de la planta para la
dirección considerada. Los valores de α , δ serán analizados en el siguiente apartado; β es el
porcentaje que varía entre el 5% y 15%, para la excentricidad accidental, L es la distancia
perpendicular a la dirección del análisis sísmico.
Al multiplicar la excentricidad de diseño por el cortante de cada piso, se tiene los
momentos de torsión M ti que son aquellos que van a generar fuerzas de torsión
adicionales en cada pórtico. En el programa ANALISISESTATICONEW estas fuerzas se
consideraron en forma aproximada igual al 10% de las fuerzas estáticas. Los momentos de
torsión M ti se evalúan con las siguientes ecuaciones:
M ti = Vi (α e s i + β Li )
M ti = Vi (δ e si − β Li )
( 4.18 )
Donde Vi es el cortante del piso i; e si es la excentricidad estática del piso i; Li es la
distancia perpendicular a la dirección del análisis sísmico en el piso i.
4.7 EXCENTRICIDAD ESTÁTICA EN ALGUNAS NORMATIVAS
Uno de los primeros trabajos para cuantificar el factor de amplificación dinámica α es
el propuesto por Rosenblueth y Elorduy (1969), quienes estudiaron la respuesta elástica en
estructuras de un piso, con una sola excentricidad, ante la acción de un sismo que actúa en
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
121
forma perpendicular a la planta. Pero ellos obtuvieron este factor como la relación entre el
momento de torsión calculado en forma dinámica M Tdin con relación al momento de torsión
hallado en forma estática M Test . El resultado por ellos obtenido se indica en la figura 4.8.
α=
M Tdin
M Test.
( 4.19 )
La crítica que se realiza a la ecuación (4.19) radica en el hecho de que los cortantes
máximos y los momentos torsores máximos en una planta no coinciden en el mismo instante
de tiempo. Luego trabajar solo con momentos de torsión puede llevar a subestimar el
problema.
Figura 4.8 Factor de amplificación dinámica. Rosenblueth y Elorduy (1969). (Figura cortesía de
Crisafulli en 2002).
Desde la última década del siglo pasado y la primera década de este siglo se continúa
trabajando en ésta temática pero con otro enfoque. El actual es cuantificar los efectos de
torsión mediante la respuesta normalizada en desplazamientos de los pórticos extremos, que
corresponden al pórtico débil en el un extremo y al pórtico fuerte en el otro extremo del edificio.
Existen algunas formas de normalizar, una de ellas es dividir la respuesta en desplazamientos
de un pórtico extremo, de la estructura con problemas de torsión, para el desplazamiento
máximo de ese pórtico, ante la misma acción sísmica pero considerando que la estructura no
tiene excentricidad estática, es decir se trata de una estructura completamente simétrica cuyos
modos de vibración son desacoplados. Hernández y López (2007).
4.7.1 Normativas de Venezuela
Con relación a la ecuación (4.17) vale la pena indicar los valores de α y δ que
recomendaba la normativa sísmica de Venezuela de 1982. Para el valor α se tenían tres
valores a saber:
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
122
ƒ
ƒ
ƒ
α = 1.5 Si los pórticos con mayor rigidez lateral están ubicados en el perímetro de la
planta.
α = 5 Si los pórticos con mayor rigidez lateral se encuentran en el centro del edificio.
α = 3 Para los restantes casos.
El primer caso α = 1.5 corresponde a aquel en que la rigidez torsional K θθ es bien alto
el segundo es el caso contrario y el tercero para casos intermedios. Luego α variaba entre 1.5
y 5. El valor de δ = 1 para los tres casos. Grases et al (1987).
En la versión 2001 de la Norma Venezolana se estipulan los valores de α indicados
en la tabla 4.7, con el siguiente significado de las variables:
ε=
e
r
Ω=
rt wθ
=
r
w
( 4.20 )
Donde e es la excentricidad medida entre el C.R. y el C.C.; r es el valor representativo
del radio de giro inercial de las plantas de la edificación; rt valor representativo del radio de
giro torsional del conjunto de las plantas de la edificación; wθ es la frecuencia torsional
desacoplada; w es la frecuencia que puede ser en sentido X o en sentido Y. En la figura 4.9 se
presenta la variación de α y δ .
CASO
0 .5 ≤ Ω ≤ 1
Tabla 4.7 Valores de α y δ de Norma de Venezuela (2001)
VALOR DE
1≤ Ω ≤ 2
Ω≥2
Acotando − 1 ≤ δ ≤ 1
α = 1 + [4 − 16 ε ] Ω
α = 1 + [4 − 16 ε (2 − Ω )] (2 − Ω )4
α =1
δ = 6 (Ω − 1) − 0.6
Figura 4.9 Variación de α y δ de la Norma de Venezuela (2001).
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
123
Las ecuaciones de la tabla 4.7 fueron obtenidas ajustando los desplazamientos de los
pórticos extremos: rígido y flexible y toma en cuenta la excentricidad y la rigidez torsional en el
incremento de los desplazamientos dinámicos con respecto a los desplazamientos estáticos de
una planta simétrica. Hernández y López (2003).
Al analizar la figura 4.9 se puede indicar que para valores de Ω mayores a 1.5 los
valores de α y δ están alrededor de la unidad. Estructuras con Ω alto son torsionalmente
rígidas y son aquellas en las cuales se han colocado los pórticos de mayor rigidez en el
perímetro.
Por el contrario, las estructuras torsionalmente flexibles con valores de Ω bajos
corresponden a aquellas en las cuales los pórticos con mayor rigidez se han colocado en la
parte central del edificio. En este caso los valores de α y δ son diferentes a la unidad,
dependiendo del valor de ε .
Con relación a las ecuaciones indicadas en la tabla 4.7, correspondiente a la Norma de
Venezuela (2001) se deben hacer las siguientes acotaciones:
ƒ
El mayor valor de ε = e / r es 0.2, de tal manera que se evita tener excentricidades
altas.
ƒ
Por otro lado el valor de Ω ≥ 0.5 con lo cual se evita tener edificios con valores de
K θθ muy pequeños.
ƒ
Se limita la relación e / rt ≤ 0.3 para no tener estructuras con una excentricidad
considerable y una rigidez torsional baja.
Si se excede una de estas acotaciones, la Norma de Venezuela (2001) no permite la
aplicación del Método de la Torsión Estática y penaliza el factor de reducción de las fuerzas
sísmicas R ya que se trata de estructuras con un elevado riesgo torsional. Hernández y López
(2003).
4.7.2 Normativas Americanas
Las normativas UBC como el SEAOC de los años ochenta, consideraban que α = 1 ,
δ = 0 y que β = 0.05 . De tal manera que no se amplifica la excentricidad estática para la zona
de los pórticos débiles pero tampoco realizan ninguna reducción de la excentricidad en la zona
de los pórticos fuertes, en la zona rígida.
El UBC (1997), el IBC (2000) y el ICC (2003) determinan el factor de amplificación Ax
mediante la siguiente expresión.
⎛ δ
1.0 ≤ Ax = ⎜ max
⎜ 1.2 δ avg
⎝
2
⎞
⎟ ≤ 3 .0
⎟
⎠
( 4.21 )
Donde δ max es el desplazamiento lateral máximo del piso considerado y δ avg es el
desplazamiento promedio en los puntos extremos (pórticos extremos) de la estructura, para el
piso considerado. El valor de Ax tiene que ser mayor a la unidad y menor que 3.
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
124
Para calcular Ax , de acuerdo a las normativas americanas se debe encontrar los
desplazamientos en cada piso y en cada pórtico, con los cortantes de piso debido al método
estático más los momentos de torsión que se encuentran con la ecuación que se indica
a continuación con α = 1 y β = 0.05 . Con este estado de carga se halla δ max y δ avg , para
luego hallar Ax
M ti = Vi (α e s i + β Li )
Luego se realiza el análisis sísmico aplicando el Método Estático y los momentos
torsores que se hallan con la ecuación (4.18) considerando α = Ax , δ = 1 y β = 0.05 ∗ Ax .
4.7.3 Código Ecuatoriano de la Construcción
El análisis estático se simplifica notablemente cuando el factor de amplificación
dinámica α y el factor de control δ son iguales a la unidad α = δ = 1 . En este caso no es
necesario calcular el centro de rigidez y la excentricidad estática, basta con considerar
que las fuerzas halladas con la ecuación (4.11) actúan en el centro de masa, más un
momento torsor adicional debido a la torsión accidental. El CEC-2000 considera que
α = δ = 1 y β = 0.05 ∗ Ax
La excentricidad accidental se debe a una serie de hipótesis que se consideran
en el cálculo para simplificar el análisis sísmico y que puede llevar a que el C.M., por
ejemplo, no esté en el lugar que se ha calculado si no que esté desfasado. Que la longitud de
la onda sísmica varíe a lo largo del edificio, que la componente rotacional del sismo sea
importante y no se tomó en cuenta. Todas estas omisiones y otras variables aleatorias de
masa, rigidez y resistencia, conducen a que se mayoran las fuerzas sísmicas halladas con la
ecuación ( 4.11 ) por lo que se ha denominado torsión accidental.
Lo importante es tener presente, que las fuerzas laterales que se generan en los
pórticos debido a la torsión accidental se deben incrementar a las fuerzas estáticas
equivalentes por traslación.
Para encontrar los desplazamientos laterales y poder calcular δ max y δ avg se necesita
conocer las fuerzas laterales pero estas se conocen únicamente del efecto de traslación,
método estático. Por lo tanto Ax se debe calcular en forma sucesiva empezando con un
valor Ax = 1 , para este valor se hallan las fuerzas laterales debidas a torsión accidental y las
fuerzas laterales que estás generan. Con las fuerzas laterales de traslación y de torsión se
halla un nuevo Ax y se repite el cálculo hasta lograr una convergencia entre dos valores
consecutivos de Ax . Esto es una propuesta del autor del libro.
4.8 ANÁLISIS CON DOS GDL POR PLANTA
Para poder incluir la torsión accidental es necesario considerar un modelo con dos
grados de libertad por planta, la componente de desplazamiento horizontal y la rotación, con
respecto a un eje perpendicular a la losa. En la figura 4.10 se muestra el modelo numérico de
cálculo, para una estructura de tres pisos. Nótese que en primer lugar se ha numerado todos
los desplazamientos en sentido X, empezando desde el primer piso hasta el último,
posteriormente se ha numerado las rotaciones de piso desde el primer piso.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
125
Figura 4.10 Modelo de dos grados de libertad por planta
Como se vio en el capítulo anterior, los grados de libertad se agrupan en el vector de
coordenadas generalizadas q . Para el ejemplo de la figura 4.10, es:
⎡q1 ⎤
⎢ ⎥
⎢q 2 ⎥
⎢q3 ⎥
q= ⎢ ⎥=
⎢q 4 ⎥
⎢q ⎥
⎢ 5⎥
⎣⎢q 6 ⎦⎥
⎡q X ⎤
⎢" ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣qθ ⎥⎦
Los desplazamientos horizontales de piso se han agrupado en el vector q X , por que
en la figura 4.10 se está realizando el análisis sísmico con respecto a la dirección X. Para esta
dirección la matriz de rigidez, triangular superior, en coordenadas de piso, resulta:
⎡ K XX
KE = ⎢
⎣
K XX =
∑ Cosα
2
K L( i )
K θθ =
K Xθ ⎤
⎥
K θθ ⎦
∑ K (r )
(i )
L
(i ) 2
( 4.22 )
K Xθ =
∑ K (r )
(i )
L
(i )
La sumatoria de las sub matrices se extiende a todos los pórticos en sentido X. Cuando
la estructura es simétrica en planta, la sub matriz K Xθ es nula.
Para encontrar las fuerzas que se generan en los pórticos debido a la torsión accidental
se aplica en cada uno de los pisos un momento de torsión como se ilustra en la figura 4.11.
126
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Este momento de torsión en cada piso se halla considerando β = 0.05 ∗ Ax de acuerdo al
CEC-2000.
Figura 4.11 Problema estático de torsión accidental
Los momentos de torsión accidental de la figura 4.11 se han considerado positivos, en
realidad actúan con cualquier signo. Se toma positivo pero los desplazamientos laterales que
se generan en los pórticos por efecto de estos momentos se obtienen en valor absoluto. Lo
importante es que se mayoran las fuerzas estáticas debidas al desplazamiento lateral.
El vector de cargas generalizadas, Q para el problema de la torsión accidental,
considerando el modelo numérico indicado en la figura 4.10, es:
⎡0 ⎤
Q = ⎢⎢" ⎥⎥
⎢⎣ M T ⎥⎦
( 4.23 )
Donde M T es el vector que contiene los momentos de torsión en cada piso. El
procedimiento de cálculo de las fuerzas generadas por la excentricidad accidental, es el
siguiente:
i.
Se halla la matriz de rigidez en coordenadas de piso, para el modelo de dos grados de
libertad por planta.
ii.
Se inicia el cálculo, considerando Ax = 1
iii.
Se hallan los momentos de torsión accidental, considerando β = 0.05 ∗ Ax
iv.
Se encuentra el vector de coordenadas generalizadas q resolviendo el siguiente
sistema de ecuaciones lineales.
( 4.24 )
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
127
KE q =Q
v.
Se determinan los desplazamientos laterales en cada pórtico, con la siguiente
ecuación.
p (i ) = A(i ) q
A
(i )
⎡Cosα
......
= ⎢⎢
⎢⎣
Cosα
( 4.25 )
r1
⎤
...... ⎥⎥
rn ⎥⎦
Donde A es la matriz de compatibilidad que relaciona las coordenadas de piso con las
coordenadas laterales de los pórticos. El índice i escrito entre paréntesis corresponde
al pórtico i, en la dirección del análisis sísmico. En el capítulo anterior se estudió con
detenimiento la matriz A por lo que se omite las explicaciones. Únicamente se destaca
que como el modelo es de dos grados de libertad por planta la forma de la matriz A ,
para el análisis sísmico en sentido X, es la indicada.
vi.
Con los desplazamientos laterales en cada pórtico, se determina en cada piso el valor
máximo en absoluto δ max con los desplazamientos laterales de todos los pórticos, se
obtiene también en cada piso δ avg con los desplazamientos laterales, en valor
absoluto, de los pórticos extremos y se halla el valor de Ax en cada piso. Luego el
valor de Ax de la estructura es el máximo valor de los encontrados en cada piso.
vii.
Se compara el valor de Ax impuesto en el paso ii., con el valor encontrado, si no son
parecidos se repite el cálculo.
viii.
Una vez encontrado el valor de Ax , se hallan las fuerzas laterales P en cada pórtico,
multiplicando la matriz de rigidez lateral K L por el vector de desplazamientos p .
P ( i ) = K L( i ) p ( i )
( 4.26 )
Al sumar las fuerzas laterales de cada piso, se hallan las fuerzas laterales en el centro
de masa, las mismas que se deben sumar a las fuerzas que se encuentran con la ecuación
(4.11)
Para hallar el momento de torsión accidental se puede trabajar con los cortantes de
piso o con las fuerzas laterales de piso. En la forma descrita se ha trabajado con esta última
opción.
•
EJEMPLO 2
Realizar el análisis sísmico de la estructura del ejemplo 1, si las dimensiones de vigas y
columnas son ahora las indicadas en la tabla 4.8. El peso total reactivo se ha incrementado en
5% debido al aumento de las secciones de los elementos estructurales. Efectuar el análisis
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
128
sísmico con el modelo de dos grados de libertad por planta y empleando el programa
ANALISISESTATICO2GDL. Explicar la forma de uso del programa.
Tabla 4.8 Dimensiones de columnas, vigas y peso total reactivo de piso, de ejemplo 2.
Piso
Columnas
Vigas
Peso total
(cm.)
(cm.)
reactivo (T.)
Pórtico 1 y 4
Pórtico 2 y 3
60/60
70/70
50/55
177.19
1
60/60
70/70
50/55
167.74
2
60/60
70/70
50/55
158.29
3
55/55
65/65
45/50
148.84
4
55/55
65/65
45/50
139.39
5
50/50
60/60
40/50
129.94
6
•
SOLUCIÓN
La determinación de las fuerzas estáticas en el C.M. del Método Estático, fue explicada
con detenimiento en el Ejemplo 1, por lo que se explica ahora como se obtienen las fuerzas
debido a la torsión accidental. El vector transpuesto de fuerzas F t del método estático, es:
F t = [6.2769 11.8843 16.8221 21.0904
24.6892 34.3077 ]
Como se indicó, la torsión accidental se la puede calcular con los cortantes de piso o
con las fuerzas de piso. En este ejercicio se obtiene el momento de torsión M t con las fuerzas
de piso. Así para el primer piso se tiene:
M t1 = F1 ∗ 0.05 ∗ Li ∗ Ax = 6.2769 ∗ 0.05 ∗ 15.0 ∗ 1 = 4.7077 Tm
Se inicia el cálculo con Ax = 1 . Al proceder en forma similar en los restantes pisos, se
obtiene el vector M T indicado en (4.23).
M T = [ 4.7077 8.9132 12.6166 15.8178 18.5169
25.7308]
⎡0 ⎤
Q=⎢
⎥
⎣MT ⎦
En este caso el vector 0 está compuesto por seis ceros.
Por otra parte, la matriz de rigidez K E , obtenida con inercias gruesas, vale:
⎡ K XX
KE = ⎢
⎣ K Xθ
K Xθ ⎤
⎥
K θθ ⎦
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
129
K Xθ = 0
Al aplicar la ecuación (4.24) se hallan los desplazamientos y giros en el C.M. por
torsión accidental. Estas son:
q = [0 0 0 0 0 0 0.0472 0.1248 0.2017 0.2801 0.3465 0.3931] ∗ 10 −3
Por medio de la matriz A se hallan los desplazamientos laterales p en cada uno de
los pórticos, empleando la ecuación (4.25). Estos desplazamientos, son:
•
Pórtico 1 = Pórtico 4
p (1)
⎤
⎡0
⎥
⎢0
⎥
⎢
⎥
⎢0
⎥
⎢
− 7.5
⎡− 0.0004⎤
⎤ ⎢0
⎡1
⎥
⎢− 0.0009⎥
⎥
⎢ 1
⎥
⎢
− 7 .5
⎥
⎢
⎥ ⎢0
⎢
⎥
⎢− 0.0015⎥
⎥ ⎢0
⎢
1
− 7 .5
⎥
−3
=⎢
⎥⎢
⎥ * 10 = ⎢− 0.0021⎥
1
− 7 .5
⎥
⎢
⎥ ⎢0.0472 ⎥
⎢
⎢
⎥
⎢
1
− 0.0026⎥
− 7 .5
⎢0.1248 ⎥
⎥
⎢
⎥⎢
⎢
⎥
1
− 7.5⎦⎥ ⎢0.2017 ⎥
⎣⎢− 0.0029⎦⎥
⎣⎢
⎢0.2801 ⎥
⎥
⎢
⎢0.3465 ⎥
⎢0.3931 ⎥
⎦
⎣
Pero los desplazamientos laterales se consideran en valor absoluto, ya que los
momentos de torsión que actúan en cada piso pueden actuar en sentido horario o antihorario.
Por este motivo es que los desplazamientos laterales del pórtico 1 son iguales a los del pórtico
4, ya que para ambos pórticos el valor de r es 7.5, para el pórtico 1 es negativo y para el pórtico
4 es positivo. Al multiplicar los desplazamientos laterales por la matriz de rigidez lateral del
pórtico se hallan las fuerzas laterales en cada piso P . El vector transpuesto de P resulta.
P (1) t = [0.1203 0.4790 0.8049 0.9018 1.0906 1.5280 ]
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
130
•
p ( 2)
Pórtico 2 = Pórtico 3
⎤
⎡0
⎥
⎢0
⎥
⎢
⎥
⎢0
⎥
⎢
− 2.5
⎡− 0.1180 ⎤
⎡1
⎤ ⎢0
⎥
⎢− 0.3119 ⎥
⎢ 1
⎥
⎥
⎢
− 2.5
⎢
⎢
⎥
⎥ ⎢0
⎥
⎢
⎢
⎥
⎥ ⎢0
1
−
− 2.5
0
.
5043
⎥
−3
=⎢
* 10 −3 = ⎢
⎥ ∗ 10
⎥⎢
⎥
1
2
.
5
−
0
.
0472
−
0
.
7002
⎢
⎢
⎥
⎥⎢
⎥
⎢− 0.8664 ⎥
⎢
⎥ ⎢0.1248 ⎥
1
− 2.5
⎢
⎢
⎥
⎥⎢
⎥
1
− 2.5⎥⎦ ⎢0.2017 ⎥
⎢⎣− 0.9827 ⎥⎦
⎢⎣
⎢0.2801 ⎥
⎥
⎢
⎢0.3465 ⎥
⎢0.3931 ⎥
⎦
⎣
P ( 2 ) t = [0.5807
0.3456 0.1086 0.4583 0.4316 0.5621]
La suma de las fuerzas laterales de los cuatro pórticos, reporta las fuerzas laterales en
el C.M. debido a torsión accidental. Estas son las siguientes:
t
FTOR
= [1.4019 1.6493 1.8270 2.7201 3.0444 4.1802]
Finalmente las fuerzas finales en el C.M. se hallan sumando las fuerzas laterales
debido al Método Estático más las fuerzas laterales debido a la Torsión Estática. Estas
resultan.
FTOTALES = [7.6788 13.5335 18.6491 23.8105 27.7337 38.4880 ]
Se deja al lector la verificación e que el valor de Ax es menor que la unidad para todos
los pisos, razón por la que Ax = 1 , que es el valor impuesto.
4.9 PROGRAMA ANALISISESTATICO2GDL
La forma de uso del programa es:
™
ƒ
ƒ
ƒ
[V]=analisisestatico2gdl(ejes,altura,peso,KL,r)
ejes
altura
peso
Es el número de ejes en la dirección del análisis sísmico.
Vector que contiene la altura desde la base a cada piso.
Vector que contiene los pesos de cada uno de los pisos.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
ƒ
KL
ƒ
r
131
Matriz con las matrices de rigidez lateral de cada pórtico en la dirección de
análisis sísmico. Calculada con inercias gruesas.
Vector con las distancias del centro de masa a cada pórtico. El programa
considera que los C.M., son colineales.
La única diferencia en la entrada de datos con el programa ANALISISESTATICONEW
se da en el vector r, que se debe ingresar.
Para el ejemplo 2, el vector transpuesto de r es:
r t = [−7.5
− 2 .5
2 .5
7.5]
Las matrices de rigidez lateral también cambian ya que se incrementó la sección de las
columnas. Al igual que el vector que contiene a los pesos de cada piso. Se deja al lector la
determinación de estos datos. Los resultados se indican en la tabla 4.9
Pisos
1
2
3
4
5
6
Tabla 4.9 Resultados de ejemplo 2.
Fuerza sin
Desplazamientos Deriva de piso
Torsión ( T. )
Inelásticos ( m. )
6.2769
0.0103
0.0034
11.8843
0.0281
0.0059
16.8221
0.0462
0.0060
21.0904
0.0645
0.0061
24.6892
0.0801
0.0052
34.3077
0.0912
0.0037
R = 6 A x = 1 γ = 0.61%
Fuerzas
Finales ( T. )
7.6788
13.5335
18.6491
23.8105
27.7337
38.4880
La deriva de piso máxima es menor al 1.5%. Se puede pensar en disminuir las
secciones de los elementos estructurales ya que γ = 0.61% .
4.9.1
Programa ANALISISESTATICO2GDL
A continuación se lista el programa ANALISISESTATICO2GDL, cuyas
características principales, son las siguientes:
•
•
•
•
•
Se considera el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R = 6 para los perfiles de
suelo S1, S2 y S3. Para el perfil de suelo S4 el valor de R = 5 . Los resultados que se
hallan del estado de cargas S no deben ser mayorados en las combinaciones de carga.
Determina el factor de amplificación por torsión Ax en forma interactiva.
Se considera que α = δ = 1 por lo que se omite el cálculo de la excentricidad estática.
Determina las fuerzas debidas a torsión accidental, resolviendo un problema estático.
Se trabaja con las formas espectrales del CEC-2000.
function [V]=analisisestatico2gdl(iejes,alt,peso,KL,r)
%
% Analisis Estatico de acuerdo al CEC-2000 de edificios aporticados regulares
%
% Factor de reduccion de las fuerzas sismicas esta en funcion del nivel de
% diseño (de la capacidad de ductilidad de la estructura). Son los
132
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
% resultados finales del proyecto de investigacion desarrollado en el
% CEINCI-ESPE en 2007 sobre el factor de reduccion de las fuerzas sismicas.
% Esta programado para nivel de diseño sismico elevado (ductilidad=4).
%
% Se obtienen las fuerzas laterales debidas a torsion accidental de acuerdo
% al CEC-2000. Se incluye el factor Ax.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%
Version de diciembre de 2007
%----------------------------------------------------------------------% [V]=analisisestatico2gdl(iejes,alt,peso,KL)
%----------------------------------------------------------------------% Ru Factor de reduccion por ductilidad Rs Factor de resistencia
% Rr Factor de redundancia
R Factor de reduccion
% H Altura total de edificio
Z Factor de Zona
% iejes # de ejes de columnas
% alt Vector que contine las alturas a cada piso medido desde el suelo.
% peso Vector que contiene los pesos reactivos de cada piso.
% PESO Peso total Reactivo.
V Cortante Basal
% gama Deriva maxima de piso que el programa calcula.
% KL Matriz que contiene la matriz de rigidez lateral de cada portico
% r Vector que contiene la distancia del portico al centro de masa, de
%
cada uno de los porticos, con signo, positivo antihorario.
%
%
NP=length(alt); PESO=0;for i=1:NP; PESO=PESO+peso(i);end; H=alt(NP);
fprintf ('\n Codigos para zonas sismicas: 0.15g=1 0.25g=2 0.30g=3 04g=4');
ic=input ('\n Ingrese el codigo de la zona sismica :');
if ic==1; Z=0.15;elseif ic==2; Z=0.25;elseif ic==3;Z=0.30;else;Z=0.40;end
fprintf ('\n Codigos para perfiles de suelo: S1=1 S2=2 S3=3 S4=4');
is=input('\n Indique el codigo del tipo de suelo :');
if is==1
T1=0.50;T2=2.50;beta=2.5;S=1;R=6;
elseif is==2
T1=0.52;T2=3.11;beta=3.0;S=1.2;R=6;
elseif is==3
T1=0.82;T2=4.59;beta=2.8;S=1.5;R=6;
else
T1=2.0;T2=10;beta=2.5;S=2;R=5;
end
I=input('\n Indique el factor de importancia :');
% Periodo fundamental, el mismo que se amplifica por inercia agrietada
T=0.0731*H^(0.75);T=1.3*T;
rp=input('Estructura es regular en planta; si(s) o no(n):','s');
if rp=='s';fip=1;else;fip=0.8;end
re=input('Estructura es regular en elevacion; si(s) o no(n):','s');
if rp=='s';fie=1;else;fie=0.8;end
%Coeficiente C
C=(1.25*S^S)/T;
if C >=beta;C=beta;end
if C <= 0.5;C=0.5;end
% Cortante Basal
V=(Z*I*C*PESO)/(R*fip*fie);
% Fuerzas horizontales en cada piso
if T <= 0.7;Ft=0;else;Ft=0.07*T*V;end
Ftmax=0.25*V;sum=0;
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
if Ft >= Ftmax;Ft=Ftmax;end
for i=1:NP;sum=sum+peso(i)*alt(i);end
for i=1:NP
if i==NP
F(i)=(((V-Ft)*peso(i)*alt(i)/sum)+Ft);
else
F(i)=((V-Ft)*peso(i)*alt(i)/sum);
end
end
% Calculo de la deriva de piso.
Kxx=zeros(NP,NP); % Determinacion de matriz de rigidez espacial
for i=1:iejes
ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;
Kxx=Kxx+KL(ji:jf,1:NP);
end
F=F';
q=Kxx\F
qine=R*q; % Desplazamientos elasticos e inelastico
for i=1:NP
j=NP+1-i;
if j==1
drift(j)=qine(j)/alt(j);
else
drift(j)=(qine(j)-qine(j-1))/(alt(j)-alt(j-1));
end
end
gama=0;
for i=1:NP;
if gama>=drift(i);
continue
else
gama=drift(i);
end
end
gama=gama*100;
fprintf ('\n Valor de R'); R
fprintf('\n Fuerzas laterales en cada piso sin torsion accidental'); F
fprintf ('\n Cortante Basal '); V
fprintf ('\n Desplazamiento Inelastico'); qine
fprintf ('\n Deriva de piso'); drift
fprintf ('\n Deriva maxima de piso en porcentaje'); gama
% Calculo de Torsion accidental
% Matriz de rigidez en modelo de 2 gdl por planta
Kxx=zeros(NP,NP);Kteta=zeros(NP,NP);Kxt=zeros(NP,NP);
for k=1:NP;identidad(k,k)=1;end;
for i=1:iejes
for k=1:NP
rtet(k,k)=r(i);
end
rteta=rtet*rtet;
ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;
Kxx=Kxx+KL(ji:jf,1:NP);Kxt=Kxt+KL(ji:jf,1:NP)*rtet;
Kteta=Kteta+KL(ji:jf,1:NP)*rteta;
A(ji:ji+NP-1,:)=[identidad rtet];
end
KE=[Kxx Kxt;Kxt
Kteta];
dist=abs(r(1))+abs(r(iejes));Axmax=1.0; % Se inicia con Ax=1
133
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
134
% Momentos de torsion accidental
for jj=1:10;
for i=1:NP; Momtor(i)=0.05*dist*Axmax*F(i);cero(i)=0;end;Momtor=Momtor';
cero=cero';QE=[cero; Momtor];qe=KE\QE;
for i=1:NP; FTx(i)=0; qmax(i)=0;end; FTx=FTx';
for i=1:iejes
ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;a=A(ji:jf,1:2*NP);p=a*qe;
Klateral=KL(ji:jf,1:NP);FT=abs(Klateral*p);FTx=FTx+FT;
if i==1
for j=1:NP
q1(j)=abs(p(j));
end
elseif i==iejes
for j=1:NP
q2(j)=abs(p(j));
end
end
for j=1:NP
if qmax(j)>=abs(p(j));
continue
else
qmax(j)=abs(p(j));
end
end
end
for j=1:NP
qavg(j)=(q1(j)+q2(j))/2;
Ax(j)=qmax(j)/(1.2*qavg(j));
if Ax(j)<=1; Ax(j)=1; end;
if Ax(j)>3; Ax(j)=3; end;
end
Axmax=max(Ax);
Momtor=Momtor';cero=cero';FTx=FTx';
end
FTx=FTx';FTOTAL=F+FTx;
fprintf('\n Fuerzas laterales en cada piso con torsion accidental'); FTOTAL
fprintf('\n Valor de Ax'); Axmax
%---fin
4.10 SISMO DE CARIACO
El 9 de julio de 1997, un sismo de magnitud M s = 6.8 se registró en Venezuela y
afectó a las poblaciones de Cariaco y Casanay, en el Estado Sucre. Bonilla et al (2000). Hubo
bastante daño en la zona pero únicamente se va a comentar el colapso del edificio
Miramar, ubicado en la ciudad de Cumaná. En la figura 4.12 se aprecia en la parte superior
como era el edificio antes del sismo, estaba compuesto por un sótano destinado a
parqueadero, nivel de planta baja con mezzanine y seis plantas tipo, con 4 apartamentos por
nivel. A la derecha se aprecia que el edificio tenía cinco ejes de columnas en una dirección y
tres ejes de columnas en la otra dirección con luces considerables.
El edificio Miramar tenía como núcleo de escaleras tres muros de 15 cm., de espesor
ubicados en una de las esquinas del edificio como se aprecia en la fotografía tomada antes del
sismo y en la distribución en planta. Además de ello muy cerca se hallaba el núcleo de
ascensores compuesto por muros de 15 cm., de espesor. De tal manera que el Centro de
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
135
Rigidez se hallaba por esta zona, muy distante del Centro de Masa y por lo tanto con
excentricidades muy grandes que fueron la causa principal del colapso del edificio.
Figura 4.12 Edificio Miramar antes, del sismo; distribución en planta y edificio después del sismo.
Evidentemente, los pórticos débiles eran el 5 en un sentido y el A en el otro sentido.
Los pórticos fuertes son el 1 y el C. En la parte inferior de la figura 4.12 se observa que parte
de estos pórticos fuertes fueron los que quedaron en “pie”, ya que la estructura en planta tuvo
grandes rotaciones con respecto a esta zona rígida.
Si se habría desacoplado el núcleo de escaleras de la estructura principal, mediante
una junta de construcción y si en lugar de muros alrededor del núcleo de ascensor se habría
colocado paredes con bloques, no se habría tenido el colapso.
Lo importante es que el lector conozca el problema y procure que el Centro de Masa se
encuentre muy cercano al Centro de Rigidez, esto es factible lograrlo dándole mayor rigidez a
los pórticos débiles, es factible lograrlo con disipadores de energía o con aisladores de base,
que se estudian en los dos últimos capítulos de este libro.
136
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
REFERENCIAS
1. Aguiar R., Briones M., González A., Zambrano J., Marcillo L., Sabando G., Zambrano
E., Sumba M., (2006), “Propuesta para encontrar los períodos de vibración con inercias
agrietadas”, Segundo Congreso Nacional de Investigación Tecnológica e Innovación.
Escuela Politécnica del Litoral, 18 p., Guayaquil.
2. Bonilla R., López O., Castilla E., Torres R., Marinilli A., Annicchiarico W., Garcés F., y
Maldonado Z., (2000), “El terremoto de Cariaco del 9 de julio de 1997”, Instituto de
Materiales y Modelos Estructurales. Universidad Central de Venezuela, 38 (2), 1-50,
Caracas Venezuela.
3. CEC-2000, “Código Ecuatoriano de la Construcción”, XIII Jornadas Nacionales de
Ingeniería Estructural. Pontificia Universidad Católica del Ecuador, 325-350, Quito.
4. Crisafulli F., (2002), Efectos torsionales en estructuras dúctiles sometidas a terremotos,
XVI Curso Internacional de Estructuras. Escuela Politécnica del Ejército, Quito.
5. Goel R., and Chopra A., (1997), “Period formulas for moment-resisting frame buildings”,
Journal of Structural Engineering, 123 (11), 1454-1461.
6. Grases J., López O., Hernández J., (1987), Edificaciones Sismorresistentes. Manual de
aplicación de las Normas. Colegio de Ingenieros de Venezuela. Fundación Juan José
Aguerrevere., Segunda Edición, 269 p. Caracas.
7. Hernández J., y López O., (2003), “Confiabilidad del método de la torsión estática de la
Norma Sismorresistente Venezolana”, Instituto de Materiales y Modelos Estructurales.
Universidad Central de Venezuela, 41 (2-3), 1-27, Caracas Venezuela.
8. Hernández J., y López O., (2007), “Investigación de respuestas sísmicas críticas
incorporando la torsión accidental”, Instituto de Materiales y Modelos Estructurales.
Universidad Central de Venezuela, 45 (3), 22-51, Caracas Venezuela.
9. ICC, (2003), International Building Code, International Code Council Inc., Birmingham
Al USA.
10. IBC (2000), International Building Code, International Code Council Inc., Birmingham Al
USA.
11. Norma COVENIN 1756-98 (Rev. 2001), “Edificaciones Sismorresistentes”, FUNVISIS.
Ministerio de Desarrollo Urbano, 69 p., Caracas.
12. Rosenblueth E., and Elorduy J., (1969), “Response of linear systems to certain transient
disturbances”, Proceedings of the Fourth World Conference on Earthquake
Engineering, Vol 1, A1-185 to A1-196, Santiago de Chile.
13. Uniform Building Code UBC, (1997), International Conference of Building Officials
ICBO, Volume 2, 492p., Whittier, California.
14. Vásquez J., and Riddell R., (1984), “Existence of centers of resistance and torsional
uncoupling of earthquake response of buildings”, Proc., of the 8th World. Conf. in
Earthquake Engrg., Prentice Hall, Inc, IV, 187-194, Englewood Cliffs.
CAPÍTULO 4
MÉTODO ESTÁTICO Y TORSIÓN ESTÁTICA
RESUMEN
Se presenta la teoría y dos programas de computación para realizar el análisis sísmico
de estructuras que tienen menos de 10 pisos y que son regulares en planta y elevación. En el
primer programa denominado ANALISISESTATICONEW se considera un modelo con un grado
de libertad por planta y en el segundo programa ANALISISESTATICO2GDL se considera un
modelo de dos grados de libertad por planta. En los dos programas el usuario debe ingresar
como dato la matriz de rigidez lateral obtenido con inercias gruesas, de los pórticos en el
sentido de análisis sísmico.
En el programa ANALISISESTATICONEW las fuerzas debido a torsión accidental
se obtienen mayorando un 10% las fuerzas estáticas. Mientras que en el programa
ANALISISESTÁTICO2GDL se calcula las fuerzas en cada uno de los pórticos por efecto de los
momentos de torsión accidental.
En los dos programas la acción sísmica está definida por un espectro de diseño
inelástico, el mismo que se obtiene dividiendo las ordenadas del espectro elástico para el factor
de reducción de las fuerzas sísmicas R indicado en el capítulo 2. Los programas están
realizados para el nivel de diseño de disipación de energía elevada. Posteriormente,
cuando se realicen las combinaciones de carga, el estado de fuerzas S que se obtiene del
análisis sísmico, no se debe ser mayorar y se deberá cumplir que la deriva máxima de piso,
inelástica sea menor al 1.5%.
Se presenta, en primer lugar, un estudio desarrollado en la Universidad Técnica de
Manabí, Aguiar et al (2006) en el que se obtuvo el período de vibración de 36 estructuras de 1
a 6 pisos, empleando una de las fórmulas que recomienda el CEC-2000 para calcular el
período en función de la altura total del edificio, el mismo que es comparado con los que se
encuentran de la solución del problema de vibraciones libres en sistemas de múltiples grados
de libertad sin considerar amortiguamiento, para dos condiciones a saber: con inercias gruesas
y considerando inercias agrietadas y con la recomendada por Goel y Chopra (1997).
106
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Del estudio realizado se recomienda que el período que se halla con la ecuación
T = 0.0731 H 3 / 4 sea multiplicado por 1.3 que es el factor con el cual se corrige la forma
de cálculo. Con el período resultante se procede al cálculo del cortante basal mínimo.
También se ha hallado una ecuación que permite calcular el período considerando inercias
agrietadas.
En este capítulo se estudia con detenimiento la excentricidad estática, en el capítulo
seis, se hace lo propio con la excentricidad accidental y en el capítulo 8, con la forma de
obtener los centros de: rigidez, de corte y de giro. De tal manera que estos tres capítulos son
complementarios entre sí para entender el problema de la Torsión Estática que es fácil en su
formulación, como se verá más adelante pero es bastante complejo, motivo por el cual varias
normativas sísmicas lo abordan de diferente manera.
4.1 PERÍODO DE VIBRACIÓN EN ESTRUCTURAS SIN MUROS
Para pórticos espaciales de hormigón armado, que son las estructuras formadas por
vigas y columnas, sin muros de corte el CEC-2000 recomienda las siguientes ecuaciones para
el cálculo del período fundamental.
T = 0.0731 H 3 / 4
( 4.1 )
Siendo H la altura total del edificio. También puede calcularse el período en función
de los desplazamientos laterales δ i y de las fuerzas aplicadas f i , para el efecto se debe
imponer una distribución aproximada de las fuerzas laterales. La ecuación de cálculo es:
⎛ n
⎞ ⎛ n
⎞
T = 2π ⎜⎜ wi δ i2 ⎟⎟ ÷ ⎜⎜ g
f i δ i ⎟⎟
⎝ i =1
⎠ ⎝ i =1
⎠
∑
∑
( 4.2 )
Donde wi , f i , δ i son el peso reactivo del piso i, la fuerza horizontal aplicada en el piso
i, el desplazamiento lateral del piso i. g es la aceleración de la gravedad.
El período calculado con la ecuación ( 4.2 ) no debe ser mayor en un 30% al
período calculado con la ecuación ( 4.1 ).
La ecuación ( 4.1 ) tiene un respaldo experimental en cambio la ecuación ( 4.2 ) tiene
un respaldo analítico pero en los dos casos se trabaja con inercias gruesas, en las secciones.
Es importante destacar esto ya que ante el sismo estipulado por el CEC-2000 se espera daño
en la estructura razón por la cual el código especifica las siguientes inercias agrietadas con las
cuales se debe realizar el análisis sísmico.
I V = 0.5 I g
I C = 0.8 I g
( 4.3 )
Donde I g es el momento de inercia grueso, calculado con la sección total; I V , I C son
los momentos de inercia agrietados de las vigas y columnas respectivamente. Por lo tanto,
para el análisis sísmico por el método estático, empleando el espectro del CEC-2000 se
debe trabajar con un período, obtenido en una estructura con inercias agrietadas. Se
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
107
sabe que cuando la estructura ingresa al rango no lineal el período de vibración se incrementa,
de tal manera que el período es mayor al que se obtiene con la ecuación ( 4.1 ) o con ( 4.2 ).
4.1.1
Trabajo de Goel y Chopra (1997)
Goel y Chopra (1997) obtienen ecuaciones para encontrar en forma aproximada el
período de vibración, en estructuras sin y con muros de corte. En este apartado se presenta el
primer caso en que la estructura está compuesta únicamente por vigas y columnas, sin muros
de corte. Ellos obtienen períodos que han sido registrados en algunos edificios luego de
eventos sísmicos.
En la tabla 4.1 se presentan parte de los edificios, en los cuales se tienen valores de
períodos registrados, después de los sismos que están indicados en la mencionada tabla. Se
aprecia el número de pisos, la altura total de los edificios y los períodos registrados en las dos
direcciones perpendiculares.
Tabla 4.1 Períodos obtenidos en edificios de H.A. conformados por vigas y columnas
Localización
Número
Altura
Terremoto
Período T
de pisos
(ft)
(s)
Longitudinal
Transversal
Los Angeles
14
148.0
Northridge
-2.28
Los Angeles
5
119.0
Northridge
1.46
1.61
Los Angeles
5
119.0
Whittier
1.40
1.30
Los Angeles
15
274.0
Northridge
3.11
3.19
Los Angeles
9
141.0
Northridge
1.39
1.28
Los Angeles
20
196.8
San Fernando
2.27
2.09
Los Angeles
20
196.8
San Fernando
2.27
2.13
Los Angeles
20
196.8
San Fernando
2.24
1.98
Los Angeles
22
204.3
San Fernando
1.94
2.14
Los Angeles
22
204.3
San Fernando
1.84
2.17
North Hollywood
20
169.0
Northridge
2.60
2.62
Sherman Oaks
13
124.0
San Fernando
1.20
1.40
Sherman Oaks
13
184.5
Whittier
1.90
2.30
Sherman Oaks
13
184.5
Whittier
-2.44
Van Nuys
7
65.7
Whittier
1.40
1.20
Los datos de la tabla 4.1 corresponden a edificios en los cuales se registraron
aceleraciones máximas del suelo mayores a 0.15 g., es decir que provocaron cierto daño en
la estructura. Goel y Chopra (1997) en total trabajaron con 68 valores de períodos que incluye
a registros con aceleraciones menores a 0.15 g. Del análisis de regresión realizado
encontraron la siguiente ecuación para hallar el período.
T = 0.016 H 0.90
( 4.4 )
Donde la altura H se expresa en pies. La relación encontrada por Goel y Chopra
reporta valores superiores de período en relación a la recomendada por el UBC-97 y que ha
sido acogida por varios códigos, entre ellos el CEC-2000. La ecuación del UBC-97 para
edificios de H.A. conformada por vigas y columnas es:
T = 0.030 H 3 / 4
( 4.5 )
108
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
En la figura 4.1 se ha ploteado los períodos encontrados en edificios cuya aceleración
máxima del suelo, debido al sismo, fue superior a 0.15 g., y que constan en la tabla 4.1, con
una línea continua se han unido los períodos longitudinal y transversal registrados en un
edificio. Se ha dibujado además la curva que se obtiene con la ecuación ( 4.4 ) y la que se halla
con la ecuación ( 4.5 ). Esta última se identifica con el título de “códigos”. Se aprecia que mejor
se ajusta la ecuación propuesta por Goel y Chopra; la misma tendencia se tiene con los 68
valores de períodos con los cuales obtuvieron la relación entre la altura del edificio H , y el
período fundamental T.
3,5
Periodo T (s)
3
Goel y Chopra
2,5
2
Códigos
1,5
1
0,5
0
0
100
200
300
400
Altura H (ft)
Figura 4.1 Períodos encontrados en edificios cuya aceleración del suelo es mayor a 0.15 g.
En las ecuaciones ( 4.4 ) y ( 4.5 ) la altura H debe expresarse en pies, si se desea
colocar en metros estas ecuaciones cambian a:
T = 0.0466 H 0.90
( 4.6 )
T = 0.0731 H 3 / 4
Se destaca que para edificios con alturas mayores a 100 ft. La ecuación propuesta por
Goel y Chopra (1997) reporta mayores valores que la que se obtiene con la ecuación que
estipula en CEC-2000. Para edificios cuya altura es menor a 100 ft. Las dos ecuaciones
reportan valores similares.
En la ecuación ( 4.6 ) el período se obtuvo en base a los elementos estructurales y no
estructurales que son los que conforman los edificios. La incorporación de los elementos no
estructurales hace que la estructura sea más rígida y por ende se disminuye el período de
vibración.
4.1.2
Trabajo de Aguiar et al (2006)
Aguiar et al (2006) obtuvieron el período de vibración de 36 edificios de hormigón
armado, conformados por vigas y columnas, sin muros de corte, de 1 a 6 pisos. Se hallaron los
períodos de 246 pórticos, calculado de la siguiente manera:
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
•
109
Con inercias gruesas se obtuvo la matriz de rigidez lateral y luego se obtuvo la
matriz de masas. El período se halla de la solución del problema de valores y
vectores propios. A esta forma de cálculo se denomina Igruesa. En la figura
4.2 se indica los resultados obtenidos, con línea continua se muestra la curva
de valores medios y la ecuación de ajuste es la siguiente:
T = 0.0845 H 0.7751
( 4.7 )
Figura 4.2 Períodos encontrados en el estudio con inercias gruesas y curva de ajuste.
•
En forma similar a la anterior pero considerando inercias agrietadas de acuerdo
a lo recomendado por el CEC-2000. Los resultados obtenidos se presentan en
la figura 4.3. A este caso se denomina Iagrietada, la ecuación hallada del
ajuste es:
T = 0.0901 H 0.8212
( 4.8 )
Figura 4.3 Períodos encontrados en el estudio con inercias agrietadas y curva de ajuste.
110
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
En la figura 4.4 se presentan las curvas que determinan el período en función de la
altura total del edificio, que se hallan con las ecuaciones de Goel y Chopra ( 4.6) que se ha
denominado Chopra, la halladas por Aguiar et al (2006) mediante las ecuaciones ( 4.7 ) para la
Igruesa y la ( 4.8 ) para la Iagrietada. También se presenta la que se halla con la ecuación del CEC2000 que es la ecuación ( 4.1 ) pero multiplicado por 1.3, a esta se denomina UBC-97.
Se aprecia en la figura 4.4 una gran aproximación entre las curvas Igruesa con UBC-97.
Por lo tanto se recomienda calcular el período de vibración con la ecuación ( 4.1 ) y
multiplicar éste valor por 1.3; para el caso en que se trabaje con inercias gruesas. Esta
recomendación ha sido acogida en los programas que se presentan en este capítulo para hallar
el período fundamental de vibración.
Figura 4.4 Períodos medios hallados en el estudio
El incremento del período de vibración conduce a tener valores de C , más bajos,
como se ilustra en la figura 4.5 y por ende a valores de V0 más bajos.
La fórmula propuesta por Goel y Chopra (1997) reporta períodos bajos para edificios
con alturas menores a 20 m. Si se desea trabajar con inercias agrietadas se debe utilizar la
ecuación ( 4.8 ). Por cierto en todos los edificios analizados se consideró que la altura del
primer piso es de 4 m., y la altura de los restantes pisos es de 3.0 m. Por ejemplo los edificios
de 4 pisos tienen una altura total de 13.0 m.
4.2 CORTANTE BASAL MÍNIMO
El cortante basal mínimo V0 de acuerdo al CEC-2000 se determina con la siguiente
ecuación.
V0 =
ZIC
W
R φ p φe
( 4.9 )
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
111
Donde Z es el factor de zonificación sísmica, definido en la tabla 4.2; es el coeficiciente
de la aceleración de la gravedad, indicado en el mapa de zonificación sísmica presentado en el
capítulo 1. I es el coeficiente de importancia, C es un coeficiente mostrado en la figura 4.5,
R es el factor de reducción de las fuerzas sísmicas debido a comportamiento inelástico de la
estructura, analizado con detenimiento en el capítulo 2, φ p , φ e factores que toman en cuenta
las irregularidades en planta y elevación. W es el peso total reactivo que se calcula
únicamente con la carga muerta.
Zona Sísmica
Factor Z
Tabla 4.2 Factor Z en función de la zona sísmica.
1
2
3
0.15
0.25
0.30
4
0.40
Figura 4. Coeficiente C
En la figura 4.5 se aprecia que el coeficiente C se calcula con la siguiente ecuación:
C=
1.25 S S
≤β
T
( 4.10 )
El valor de C no es el coeficiente sísmico que relaciona el cortante basal con el peso
total de la estructura. En la tabla 4.3 se señalan los valores de S y β de acuerdo al perfil de
suelo.
Perfil de Suelo
S
β
Tabla 4.3 Perfiles de suelo y valores de S y β .
S1
S2
S3
1.0
1.2
1.5
2.5
3.0
2.8
S4
2.0
2.5
Se destaca que V0 definido en la ecuación ( 4.9 ) representa el cortante basal
mínimo con el cual se deberá controlar el cortante basal que se halla con otros métodos,
como se verá en capítulos posteriores.
4.3 MÉTODO ESTÁTICO
112
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Una vez que se determina el cortante basal con la ecuación ( 4.9 ) se procede a
encontrar las fuerzas laterales Fi en cada uno de los pisos mediante las siguientes
ecuaciones:
Fi =
(V0 − Ft ) wi hi
n
∑w
i
( 4.11 )
hi
i =1
Ft = 0.07 V0 T
( 4.12 )
Donde Ft es la fuerza en el último piso de la estructura con la cual se pretende corregir
la influencia de los modos superiores, ya que la ecuación ( 4.11 ) considera solo el primer modo
de vibración y de forma lineal., wi es el peso reactivo del piso i, hi es la altura desde la base
hasta el piso i. Finalmente T es el período fundamental de la estructura.
El CEC-2000 estipula que cuando el período de vibración es menor o igual a 0.7 s.,
puede considerarse nulo el valor de Ft . De igual manera se deberá controlar que el valor de la
fuerza en el tope Ft no exceda 0.25 V0 .
4.4 PROGRAMA ANALISISESTATICONEW
En este programa se considera que el factor de reducción de las fuerzas sísmicas es
igual a 6 para los perfiles de suelo S1, S2 y S3. Para el perfil de suelo S4 este factor vale 5. Por
lo tanto el factor R programado corresponde al caso de disipación de energía elevada, descrito
en el capítulo 2. Se recuerda que asociado a estos valores la deriva máxima de piso, inelástica,
γ = 1.5% .
Una vez que se hallan las fuerzas laterales se obtienen los desplazamientos laterales
elásticos q en cada piso empleando la ecuación básica de estructuras:
Q=Kq
( 4.13 )
Al considerar un modelo de un grado de libertad por planta, el vector de cargas Q está
compuesto por las fuerzas laterales de cada uno de los pisos y la matriz de rigidez K es igual
a la suma de las matrices de rigidez lateral de cada uno de los pórticos, en la dirección
del análisis sísmico, obtenido con inercias gruesas ya que con estos valores se halla la
deriva de piso.
Los desplazamientos inelásticos q INE , de acuerdo al CEC-2000 se obtienen
multiplicando los desplazamientos elásticos q por el factor de reducción de las fuerzas
sísmicas R .
q INE = R q
( 4.14 )
Las derivas de piso γ se hallan dividiendo el desplazamiento relativo de piso para la
altura de entrepiso h .
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
γi =
q INEi − q INEi −1
hi
113
( 4.15 )
El subíndice i representa el piso i . La deriva máxima de piso γ de todo el edificio, es
el mayor de las derivas de piso.
Finalmente, se destaca que el programa ANALISISESTATICONEW no calcula los
momentos debidos a torsión accidental y por ende las fuerzas laterales debidas a torsión
accidental por lo que las fuerzas estáticas obtenidas debido a traslación se incrementan
en un 10% por la torsión accidental, que se analizará posteriormente.
•
EJEMPLO 1
Realizar un análisis sísmico estático para la estructura de 6 pisos, cuya configuración
en planta es la indicada en la figura 4.6. Si esta se halla sobre un perfil de suelo S2, en la
zona de mayor peligrosidad sísmica del Ecuador. Las dimensiones de las vigas y columnas
se indican en la tabla 4.4 al igual que el peso total reactivo de cada uno de los pisos. La altura
de cada entrepiso es de 3.0 m., El módulo de elasticidad E = 1738965 .21 T / m 2 .
Figura 4.6 Distribución en planta de edificio de 6 pisos.
Se desea realizar el análisis utilizando el programa ANALISISESTATICONEW. Indicar
las fuerzas laterales en centro de masa, sin torsión accidental, los desplazamientos inelásticos,
las derivas de piso y las fuerzas laterales finales considerando en forma aproximada la torsión
accidental.
•
SOLUCIÓN
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
114
Se determina la matriz de rigidez lateral de cada uno de los pórticos, para el presente
ejercicio se ha trabajado con el programa RLAXINFI. Se obtiene con inercias gruesas ya que
sirve para encontrar la deriva de piso, siguiendo el procedimiento del CEC-2000.
Piso
1
2
3
4
5
6
Tabla 4.4 Dimensiones de columnas, vigas y peso total reactivo de piso.
Columnas
Vigas
Peso total
(cm.)
(cm.)
reactivo (T.)
Pórtico 1 y 4
Pórtico 2 y 3
55/55
60/60
30/35
168.75
55/55
60/60
25/35
159.75
55/55
60/60
25/35
150.75
50/50
55/55
25/35
141.75
50/50
55/55
25/30
132.75
45/45
50/50
25/30
123.75
Con los datos de la tabla 4.4, se obtienen dos matrices de rigidez lateral, una para los
pórticos exteriores y otra para los pórticos interiores. Estas son:
¾
Pórtico 1 y 4
¾
Pórtico 2 y 3
La matriz de rigidez K en coordenadas de piso, para el modelo de un grado de
libertad por planta, resulta:
K =
n
∑K
(i )
L
( 4.16 )
i =1
Donde n es el número de pórticos en la dirección del análisis sísmico. La ecuación
(4.16) se habría podido escribir K = K XX . Para el ejemplo se tiene:
K = K L(1) + K L( 2 ) + K L(3) + K L( 4)
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
115
A continuación se presenta en forma resumida los cálculos realizados.
•
Período
(
)
(
)
C=
1.25 S S
≤β
T
C=
1.25 ∗ 1.21.2
= 1.8733
0.8305
T = 0.0731 H 3 / 4 ∗ 1.3 = 0.0731 ∗ 18 0.75 ∗ 1.3 = 0.8305 s.
•
•
Coeficiente C
Cortante Basal mínimo
V0 =
ZIC
0.4 ∗ 1 ∗ 1.8733
W=
∗ 877.5 = 109.5893
R φ p φe
6 ∗1∗1
Se está colocando los valores que reporta el programa, redondeado a cuatro decimales
y estrictamente no coincide en el tercer o cuarto decimal, debido a que el valor de C está
redondeado.
•
Fuerza en el tope
Ft = 0.07 V0 T = 0.07 ∗ 109.5893 ∗ 0.8305 = 6.3709
V0 − Ft = 103.2184
El cálculo de las fuerzas en cada piso, que se halla con la ecuación (4.11) se resume
en la tabla 4.5
Tabla 4.5 Cálculo de las fuerzas en C.M. sin torsión accidental
Piso
wi
hi
wi hi
Fi
1
2
3
4
5
6
(T.)
123.75
132.75
141.75
150.75
159.75
168.75
(m.)
3.0
6.0
9.0
12.0
15.0
18.0
(Tm.)
371.25
796.50
1275.75
1809.00
2396.25
3037.50
∑=
9686.25
(T.)
3.9564
8.4877
13.5947
19.2771
25.5349
32.3680+6.3709
=38.7389
109.5894
116
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Para hallar los desplazamientos elásticos en la estructura, el vector de cargas Q está
compuesto por las fuerzas indicadas en la última columna de la tabla 4.5. Luego su vector
transpuesto vale: Q t = [3.9564
8.4877 13.5947 19.2771 25.5349 38.7389] . Al resolver
el sistema de ecuaciones planteado en ( 4.13 ) con la matriz de rigidez K =
∑KL
que ya fue
indicada se hallan los desplazamientos elásticos q . Estos son:
⎡0.0061⎤
⎢0.0193⎥
⎢
⎥
⎢0.0353⎥
q=⎢
⎥
⎢0.0516⎥
⎢0.0668⎥
⎢
⎥
⎢⎣0.0799⎥⎦
Son desplazamientos elásticos, debido a que la ecuación (4.13) es la ecuación
matricial de estructuras en el rango elástico. Para hallar los desplazamientos inelásticos, de
acuerdo al CEC-2000 los desplazamientos q se multiplican por el factor de reducción de las
fuerzas sísmicas R = 6 .
Las fuerzas estáticas finales se hallan multiplicando la última columna de la tabla 4.5
por 1.1. A continuación se presentan los resultados que se obtienen con el programa
ANALISISESTATICONEW.
Pisos
1
2
3
4
5
6
Tabla 4.6 Resultados de ejemplo 1.
Fuerza sin
Desplazamientos Deriva de piso
Torsión ( T. )
Inelásticos ( m. )
3.9561
0.0364
0.0121
8.4877
0.1160
0.0265
13.5947
0.2116
0.0319
19.2771
0.3096
0.0326
25.5349
0.4011
0.0305
38.7389
0.4794
0.0261
R=6
γ = 3.26%
Fuerzas
Finales ( T. )
4.3517
9.3364
14.9541
21.2048
28.0884
42.6127
V0 = 109.5893 T .
La deriva de piso máxima es mayor del 1.5%. Por lo que se debe incrementar las
dimensiones de vigas y columnas. Esto se lo realiza en el ejemplo 2.
4.4.1
Listado del programa ANALISISESTATICONEW
function [V]=analisisestaticonew(iejes,alt,peso,KL)
%
% Analisis Estatico de acuerdo al CEC-2000 de edificios aporticados regulares
%
% Factor de reduccion de las fuerzas sismicas esta en funcion del nivel de
% diseño (de la capacidad de ductilidad de la estructura). Son los
% resultados finales del proyecto de investigacion desarrollado en el
% CEINCI-ESPE en 2007 sobre el factor de reduccion de las fuerzas sismicas.
% Esta programado para nivel de diseño sismico elevado (ductilidad=4).
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
%
% Se mayoran las fuerzas sismicas por torsion accidental en 10%.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
% Version de diciembre de 2007
%----------------------------------------------------------------------% [V]=analisisestaticonew(iejes,alt,peso,KL)
%----------------------------------------------------------------------% Ru Factor de reduccion por ductilidad Rs Factor de resistencia
% Rr Factor de redundancia
R Factor de reduccion
% H Altura total de edificio
Z Factor de Zona
% iejes # de ejes de columnas
% alt Vector que contine las alturas a cada piso medido desde el suelo.
% peso Vector que contiene los pesos reactivos de cada piso.
% PESO Peso total Reactivo.
V Cortante Basal
% gama Deriva maxima de piso que el programa calcula.
% KL Matriz que contiene la matriz de rigidez lateral de cada portico
%
en la direccion del analisis sismico con inercias gruesas
%
NP=length(alt); PESO=0;for i=1:NP; PESO=PESO+peso(i);end; H=alt(NP);
fprintf ('\n Codigos para zonas sismicas: 0.15g=1 0.25g=2 0.30g=3 04g=4');
ic=input ('\n Ingrese el codigo de la zona sismica :');
if ic==1; Z=0.15;elseif ic==2; Z=0.25;elseif ic==3;Z=0.30;else;Z=0.40;end
fprintf ('\n Codigos para perfiles de suelo: S1=1 S2=2 S3=3 S4=4');
is=input('\n Indique el codigo del tipo de suelo :');
if is==1
T1=0.50;T2=2.50;beta=2.5;S=1;R=6.0;
elseif is==2
T1=0.52;T2=3.11;beta=3.0;S=1.2;R=6.0;
elseif is==3
T1=0.82;T2=4.59;beta=2.8;S=1.5;R=6.0;
else
T1=2.0;T2=10;beta=2.5;S=2;R=5.0;
end
I=input('\n Indique el factor de importancia :');
% Periodo fundamental, el mismo que se amplifica por inercia agrietada
T=0.0731*H^(0.75);T=1.3*T;
rp=input('Estructura es regular en planta; si(s) o no(n):','s');
if rp=='s';fip=1;else;fip=0.8;end
re=input('Estructura es regular en elevacion; si(s) o no(n):','s');
if rp=='s';fie=1;else;fie=0.8;end
%Coeficiente C
C=(1.25*S^S)/T;
if C >=beta;C=beta;end
if C <= 0.5;C=0.5;end
% Cortante Basal
V=(Z*I*C*PESO)/(R*fip*fie);
% Fuerzas horizontales en cada piso
if T <= 0.7;Ft=0;else;Ft=0.07*T*V;end
Ftmax=0.25*V;sum=0;
if Ft >= Ftmax;Ft=Ftmax;end
for i=1:NP;sum=sum+peso(i)*alt(i);end
for i=1:NP
if i==NP
F(i)=(((V-Ft)*peso(i)*alt(i)/sum)+Ft);
else
117
118
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
F(i)=((V-Ft)*peso(i)*alt(i)/sum);
end
end
% Calculo de la deriva de piso.
Kxx=zeros(NP,NP); % Determinacion de matriz de rigidez espacial
for i=1:iejes
ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;
Kxx=Kxx+KL(ji:jf,1:NP);
end
F=F';
q=Kxx\F;
qine=R*q; % Desplazamientos elasticos e inelastico
for i=1:NP
j=NP+1-i;
if j==1
drift(j)=qine(j)/alt(j);
else
drift(j)=(qine(j)-qine(j-1))/(alt(j)-alt(j-1));
end
end
gama=0;
for i=1:NP;
if gama>=drift(i);
continue
else
gama=drift(i);
end
end
gama=gama*100;
end
fprintf ('\n Valor de reduccion de las fuerzas sismicas R'); R
fprintf ('\n Fuerzas laterales en cada piso sin torsion accidental'); F
fprintf ('\n Cortante Basal '); V
fprintf ('\n Desplazamiento Inelastico'); qine
fprintf ('\n Deriva de piso'); drift
fprintf ('\n Deriva maxima de piso en porcentaje'); gama
if gama >= 1.5
fprintf ('\n Deriva de piso mayor a 1.5% repita el analisis sismico')
end
% Mayoracion de las fuerzas laterales por torsion accidental
F=1.1*F;
fprintf('\n Fuerzas laterales en cada piso con torsion accidental'); F
%---fin
4.4.2
Uso del programa ANALISISESTATICONEW
La forma general de las variables del programa es:
™
ƒ
ƒ
[V]=analisisestaticonew(ejes,altura,peso,KL)
ejes
altura
Es el número de ejes en la dirección del análisis sísmico.
Vector que contiene la altura desde la base a cada piso.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
ƒ
ƒ
peso
KL
119
Vector que contiene los pesos, reactivos, de cada uno de los pisos.
Matriz con las matrices de rigidez lateral de cada pórtico en la dirección de
análisis sísmico.
4.5 EXCENTRICIDAD ESTÁTICA
La excentricidad estática e S es la distancia que existe entre el Centro de Rigidez C.R.,
y el Centro de Masa C.M., esta es la forma como trabajan una buena cantidad de proyectistas
estructurales. Pero también hay gente que en lugar de trabajar con el C.M., en edificios de
varios pisos, trabajan con el Centro de Cortante C.C., de tal manera que para ellos la
excentricidad estática es la distancia entre el C.R. y el C.C. Existen otras propuestas para
encontrar e S . En el presente capítulo se trabaja con la primera forma, dejando constancia de
que en el capítulo 8 se presenta la forma de cálculo del C.R., del C.C. y del Centro de Giro
C.G.
Se define el Centro de Masas C.M., como el lugar geométrico en el cual se supone
que está concentrada la masa en cada uno de los pisos. Por otra parte de define el Centro de
Rigidez C.R., de un nivel como el punto donde al aplicar una fuerza cortante horizontal, el nivel
se traslada sin rotar con respecto al piso inferior. COVENIN 1756-98 (2001).
Para ilustrar lo expuesto en la figura 4.7, se indica el C.M. y el C.R., en un determinado
piso de una estructura. La excentricidad estática se ha definido por e x , e y . En la figura 4.7 se
ha indicado además las fuerzas estáticas Fx que actúa en la dirección X, y la fuerza Fy que
actúa en la dirección Y, debido a la acción sísmica. Son estas fuerzas que actúan en el C.M.
las que provocan la torsión, ya que si actuarían en el C.R. solamente provocarían traslación en
el edificio.
Figura 4.7 Ubicación del Centro de Masa y Centro de Rigidez en un piso de una estructura.
Para una estructura de un piso es bastante sencillo, calcular el C.R. en base a la
rigidez lateral de sus elementos, pero para edificios de varios pisos es más complicado y no
120
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
siempre existe el C.R. En efecto, el C.R. solo existe en estructuras compensadas. Vásquez y
Riddell (1984).
4.6 EXCENTRICIDAD DE DISEÑO
La excentricidad de diseño e d es igual a la excentricidad estática e s , mayorada por un
factor de amplificación dinámica más la excentricidad accidental que es función de un
porcentaje de la distancia de la planta en la dirección perpendicular a la del análisis sísmico.
ed = α e s + β L
ed = δ e s − β L
( 4.17 )
Donde α es el factor de amplificación dinámica torsional para la zona débil de la
planta del edificio; δ factor de control de diseño de la zona más rígida de la planta para la
dirección considerada. Los valores de α , δ serán analizados en el siguiente apartado; β es el
porcentaje que varía entre el 5% y 15%, para la excentricidad accidental, L es la distancia
perpendicular a la dirección del análisis sísmico.
Al multiplicar la excentricidad de diseño por el cortante de cada piso, se tiene los
momentos de torsión M ti que son aquellos que van a generar fuerzas de torsión
adicionales en cada pórtico. En el programa ANALISISESTATICONEW estas fuerzas se
consideraron en forma aproximada igual al 10% de las fuerzas estáticas. Los momentos de
torsión M ti se evalúan con las siguientes ecuaciones:
M ti = Vi (α e s i + β Li )
M ti = Vi (δ e si − β Li )
( 4.18 )
Donde Vi es el cortante del piso i; e si es la excentricidad estática del piso i; Li es la
distancia perpendicular a la dirección del análisis sísmico en el piso i.
4.7 EXCENTRICIDAD ESTÁTICA
Uno de los primeros trabajos para cuantificar el factor de amplificación dinámica α es
el propuesto por Rosenbluethh y Elorduy (1969), quienes estudiaron la respuesta elástica en
estructuras de un piso, con una sola excentricidad, ante la acción de un sismo que actúa en
forma perpendicular a la planta. Pero ellos obtuvieron este factor como la relación entre el
momento de torsión calculado en forma dinámica M Tdin con relación al momento de torsión
hallado en forma estática M Test . El resultado por ellos obtenido se indica en la figura 4.8.
α=
M Tdin
M Test.
( 4.19 )
La crítica que se realiza a la ecuación (4.19) radica en el hecho de que los cortantes
máximos y los momentos torsores máximos en una planta no coinciden en el mismo instante
de tiempo. Luego trabajar solo con momentos torsores puede llevar a subestimar el problema
de la torsión.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
121
Figura 4.8 Factor de amplificación dinámica. Rosenbluethh y Elorduy (1969). (Figura cortesía
de Crisafulli en 2002).
Desde la última década del siglo pasado y la primera década de este siglo se continúa
trabajando en ésta temática pero con otro enfoque. El actual es cuantificar los efectos de
torsión mediante la respuesta normalizada en desplazamientos de los pórticos extremos, que
corresponden al pórtico débil en el un extremo y al pórtico fuerte en el otro extremo del edificio.
Existen algunas formas de normalizar, una de ellas es dividir la respuesta en desplazamientos
de un pórtico extremo, de la estructura con problemas de torsión, para el desplazamiento
máximo de ese pórtico, ante la misma acción sísmica pero considerando que la estructura no
tiene excentricidad estática, es decir se trata de una estructura completamente simétrica cuyos
modos de vibración son desacoplados. Hernández y López (2007).
4.7.1 Normativas de Venezuela
Con relación a la ecuación (4.17) vale la pena indicar los valores de α y δ que
recomendaba la normativa sísmica de Venezuela de 1982. Para el valor α se tenían tres
valores a saber:
ƒ
ƒ
ƒ
α = 1.5 Si los pórticos con mayor rigidez lateral están ubicados en el perímetro de la
planta.
α = 5 Si los pórticos con mayor rigidez lateral se encuentran en el centro del edificio.
α = 3 Para los restantes casos.
El primer caso α = 1.5 corresponde a aquel en que la rigidez torsional K θθ es bien alto
el segundo es el caso contrario y el tercero para casos intermedios. Luego α variaba entre 1.5
y 5. El valor de δ = 1 para los tres casos. Grases et al (1987).
En la versión 2001 de la Norma Venezolana se estipulan los valores de α indicados
en la tabla 4.7, con el siguiente significado de las variables:
122
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
ε=
e
r
Ω=
rt wθ
=
r
w
( 4.20 )
Donde e es la excentricidad medida entre el C.R. y el C.C.; r es el valor representativo
del radio de giro inercial de las plantas de la edificación; rt valor representativo del radio de
giro torsional del conjunto de las plantas de la edificación; wθ es la frecuencia torsional
desacoplada; w es la frecuencia que puede ser en sentido X o en sentido Y. En la figura 4.9 se
presenta la variación de α y δ .
CASO
0 .5 ≤ Ω ≤ 1
Tabla 4.7 Valores de α y δ de Norma de Venezuela (2001)
VALOR DE
1≤ Ω ≤ 2
Ω≥2
Acotando − 1 ≤ δ ≤ 1
α = 1 + [4 − 16 ε ] Ω
α = 1 + [4 − 16 ε (2 − Ω )] (2 − Ω )4
α =1
δ = 6 (Ω − 1) − 0.6
Las ecuaciones de la tabla 4.7 fueron obtenidas ajustando los desplazamientos de los
pórticos extremos: rígido y flexible y toma en cuenta la excentricidad y la rigidez torsional en el
incremento de los desplazamientos dinámicos con respecto a los desplazamientos estáticos de
una planta simétrica. Hernández y López (2003).
Figura 4.9 Variación de α y δ de la Norma de Venezuela (2001).
Al analizar la figura 4.9 se puede indicar que para valores de Ω mayores a 1.5 los
valores de α y δ están alrededor de la unidad. Estructuras con Ω alto son torsionalmente
rígidas y son aquellas en las cuales se han colocado los pórticos de mayor rigidez en el
perímetro.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
123
Por el contrario, las estructuras torsionalmente flexibles con valores de Ω bajos
corresponden a aquellas en las cuales los pórticos con mayor rigidez se han colocado en la
parte central del edificio. En este caso los valores de α y δ son diferentes a la unidad,
dependiendo del valor de ε .
Con relación a las ecuaciones indicadas en la tabla 4.7, correspondiente a la Norma de
Venezuela (2001) se deben hacer las siguientes acotaciones:
ƒ
El mayor valor de ε = e / r es 0.2, de tal manera que se evita tener excentricidades
altas.
ƒ
Por otro lado el valor de Ω ≥ 0.5 con lo cual se evita tener edificios con valores de
K θθ muy pequeños.
ƒ
Se limita la relación e / rt ≤ 0.3 para no tener estructuras con una excentricidad
considerable y una rigidez torsional baja.
Si se excede una de estas acotaciones, la Norma de Venezuela (2001) no permite la
aplicación del Método de la Torsión Estática y penaliza el factor de reducción de las fuerzas
sísmicas R ya que se trata de estructuras con un elevado riesgo torsional. Hernández y López
(2003).
4.7.2 Normativas Américanas
Las normativas UBC como el SEAOC de los años ochenta, consideraban que α = 1 ,
δ = 0 y que β = 0.05 . De tal manera que no se amplifica la excentricidad estática para la zona
de los pórticos débiles pero tampoco realizan ninguna reducción de la excentricidad en la zona
de los pórticos fuertes, en la zona rígida.
El UBC (1997), el IBC (2000) y el ICC (2003) determinan el factor de amplificación Ax
mediante la siguiente expresión.
⎛ δ
1.0 ≤ Ax = ⎜ max
⎜ 1.2 δ avg
⎝
2
⎞
⎟ ≤ 3 .0
⎟
⎠
( 4.21 )
Donde δ max es el desplazamiento lateral máximo del piso considerado y δ avg es el
desplazamiento promedio en los puntos extremos (pórticos extremos) de la estructura, para el
piso considerado. El valor de Ax tiene que ser mayor a la unidad y menor que 3.
Para calcular Ax , de acuerdo a las normativas americanas se debe encontrar los
desplazamientos en cada piso y en cada pórtico, con los cortantes de piso debido al método
estático más los momentos de torsión que se encuentran con la ecuación que se indica
a continuación con α = 1 y β = 0.05 . Con este estado de carga se halla δ max y δ avg , para
luego hallar Ax
M ti = Vi (α e s i + β Li )
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
124
Luego se realiza el análisis sísmico aplicando el Método Estático y los momentos
torsores que se hallan con la ecuación (4.18) considerando α = Ax , δ = 1 y β = 0.05 ∗ Ax .
4.7.3 Código Ecuatoriano de la Construcción
El análisis estático se simplifica notablemente cuando el factor de amplificación
dinámica α y el factor de control δ son iguales a la unidad α = δ = 1 . En este caso no es
necesario calcular el centro de rigidez y la excentricidad estática, basta con considerar
que las fuerzas halladas con la ecuación (4.11) actúan en el centro de masa, más un
momento torsor adicional debido a la torsión accidental. El CEC-2000 considera que
α = δ = 1 y β = 0.05 ∗ Ax
La excentricidad accidental se debe a una serie de hipótesis que se consideran
en el cálculo para simplificar el análisis sísmico y que puede llevar a que el C.M., por
ejemplo, no esté en el lugar que se ha calculado si no que esté desfasado. Que la longitud de
la onda sísmica varíe a lo largo del edificio, que la componente rotacional del sismo sea
importante y no se tomó en cuenta. Todas estas omisiones y otras variables aleatorias de
masa, rigidez y resistencia, conducen a que se mayoran las fuerzas sísmicas halladas con la
ecuación ( 4.11 ) por lo que se ha denominado torsión accidental.
Lo importante es tener presente, que las fuerzas laterales que se generan en los
pórticos debido a la torsión accidental se deben incrementar a las fuerzas estáticas
equivalentes por traslación.
Para encontrar los desplazamientos laterales y poder calcular δ max y δ avg se necesita
conocer las fuerzas laterales pero estas se conocen únicamente del efecto de traslación,
método estático. Por lo tanto Ax se debe calcular en forma sucesiva empezando con un
valor Ax = 1 , para este valor se hallan las fuerzas laterales debidas a torsión accidental y las
fuerzas laterales que estás generan. Con las fuerzas laterales de traslación y de torsión se
halla un nuevo Ax y se repite el cálculo hasta lograr una convergencia entre dos valores
consecutivos de Ax . Esto es una propuesta del autor del libro.
4.8 ANÁLISIS CON DOS GDL POR PLANTA
Para poder incluir la torsión accidental es necesario considerar un modelo con dos
grados de libertad por planta, la componente de desplazamiento horizontal y la rotación, con
respecto a un eje perpendicular a la losa. En la figura 4.10 se muestra el modelo numérico de
cálculo, para una estructura de tres pisos. Nótese que en primer lugar se ha numerado todos
los desplazamientos en sentido X, empezando desde el primer piso hasta el último,
posteriormente se ha numerado las rotaciones de piso desde el primer piso.
Como se vio en el capítulo anterior, los grados de libertad se agrupan en el vector de
coordenadas generalizadas q . Para el ejemplo de la figura 4.10, es:
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
⎡q1 ⎤
⎢ ⎥
⎢q 2 ⎥
⎢q3 ⎥
q= ⎢ ⎥=
⎢q 4 ⎥
⎢q ⎥
⎢ 5⎥
⎢⎣q 6 ⎥⎦
125
⎡q X ⎤
⎢" ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣qθ ⎥⎦
Figura 4.10 Modelo de dos grados de libertad por planta
Los desplazamientos horizontales de piso se han agrupado en el vector q X , por que
en la figura 4.10 se está realizando el análisis sísmico con respecto a la dirección X. Para esta
dirección la matriz de rigidez, triangular superior, en coordenadas de piso, resulta:
⎡ K XX
KE = ⎢
⎣
K XX =
∑ Cosα
2
K L( i )
K θθ =
K Xθ ⎤
⎥
K θθ ⎦
∑ K (r )
(i )
L
(i ) 2
( 4.22 )
K Xθ =
∑ K (r )
(i )
L
(i )
La sumatoria de las sub matrices se extiende a todos los pórticos en sentido X. Cuando
la estructura es simétrica en planta, la sub matriz K Xθ es nula.
Para encontrar las fuerzas que se generan en los pórticos debido a la torsión accidental
se aplica en cada uno de los pisos un momento de torsión como se ilustra en la figura 4.11.
Este momento de torsión en cada piso se halla considerando β = 0.05 ∗ Ax de acuerdo al
CEC-2000.
126
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Figura 4.11 Problema estático de torsión accidental
Los momentos de torsión accidental de la figura 4.11 se han considerado positivos, en
realidad actúan con cualquier signo. Se toma positivo pero los desplazamientos laterales que
se generan en los pórticos por efecto de estos momentos se obtienen en valor absoluto. Lo
importante es que se mayoran las fuerzas estáticas debidas al desplazamiento lateral.
El vector de cargas generalizadas, Q para el problema de la torsión accidental,
considerando el modelo numérico indicado en la figura 4.10, es:
⎡0 ⎤
Q = ⎢⎢" ⎥⎥
⎢⎣ M T ⎥⎦
( 4.23 )
Donde M T es el vector que contiene los momentos de torsión en cada piso. El
procedimiento de cálculo de las fuerzas generadas por la excentricidad accidental, es el
siguiente:
i.
Se halla la matriz de rigidez en coordenadas de piso, para el modelo de dos grados de
libertad por planta.
ii.
Se inicia el cálculo, considerando Ax = 1
iii.
Se hallan los momentos de torsión accidental, considerando β = 0.05 ∗ Ax
iv.
Se encuentra el vector de coordenadas generalizadas q resolviendo el siguiente
sistema de ecuaciones lineales.
KE q =Q
v.
( 4.24 )
Se determinan los desplazamientos laterales en cada pórtico, con la siguiente
ecuación.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
p (i ) = A(i ) q
A
(i )
⎡Cosα
......
= ⎢⎢
⎢⎣
Cosα
127
( 4.25 )
r1
⎤
...... ⎥⎥
rn ⎥⎦
Donde A es la matriz de compatibilidad que relaciona las coordenadas de piso con las
coordenadas laterales de los pórticos. El índice i escrito entre paréntesis corresponde
al pórtico i, en la dirección del análisis sísmico. En el capítulo anterior se estudió con
detenimiento la matriz A por lo que se omite las explicaciones. Únicamente se destaca
que como el modelo es de dos grados de libertad por planta la forma de la matriz A ,
para el análisis sísmico en sentido X, es la indicada.
vi.
Con los desplazamientos laterales en cada pórtico, se determina en cada piso el valor
máximo en absoluto δ max con los desplazamientos laterales de todos los pórticos, se
obtiene también en cada piso δ avg con los desplazamientos laterales, en valor
absoluto, de los pórticos extremos y se halla el valor de Ax en cada piso. Luego el
valor de Ax de la estructura es el máximo valor de los encontrados en cada piso.
vii.
Se compara el valor de Ax impuesto en el paso ii., con el valor encontrado, si no son
parecidos se repite el cálculo.
viii.
Una vez encontrado el valor de Ax , se hallan las fuerzas laterales P en cada pórtico,
multiplicando la matriz de rigidez lateral K L por el vector de desplazamientos p .
P ( i ) = K L( i ) p ( i )
( 4.26 )
Al sumar las fuerzas laterales de cada piso, se hallan las fuerzas laterales en el centro
de masa, las mismas que se deben sumar a las fuerzas que se encuentran con la ecuación
(4.11)
Para hallar el momento de torsión accidental se puede trabajar con los cortantes de
piso o con las fuerzas laterales de piso. En la forma descrita se ha trabajado con esta última
opción.
•
EJEMPLO 2
Realizar el análisis sísmico de la estructura del ejemplo 1, si las dimensiones de vigas y
columnas son ahora las indicadas en la tabla 4.8. El peso total reactivo se ha incrementado en
5% debido al aumento de las secciones de los elementos estructurales. Efectuar el análisis
sísmico con el modelo de dos grados de libertad por planta y empleando el programa
ANALISISESTATICO2GDL. Explicar la forma de uso del programa.
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
128
Tabla 4.8 Dimensiones de columnas, vigas y peso total reactivo de piso, de ejemplo 2.
Piso
Columnas
Vigas
Peso total
(cm.)
(cm.)
reactivo (T.)
Pórtico 1 y 4
Pórtico 2 y 3
60/60
70/70
50/55
177.19
1
60/60
70/70
50/55
167.74
2
60/60
70/70
50/55
158.29
3
55/55
65/65
45/50
148.84
4
55/55
65/65
45/50
139.39
5
50/50
60/60
40/50
129.94
6
•
SOLUCIÓN
La determinación de las fuerzas estáticas en el C.M. del Método Estático, fue explicado
con detenimiento en el Ejemplo 1, por lo que se explica ahora como se obtienen las fuerzas
debido a la torsión accidental. El vector transpuesto de fuerzas F t del método estático, es:
F t = [6.2769 11.8843 16.8221 21.0904
24.6892 34.3077 ]
Como se indicó, la torsión accidental se la puede calcular con los cortantes de piso o
con las fuerzas de piso. En este ejercicio se obtiene el momento de torsión M t con las fuerzas
de piso. Así para el primer piso se tiene:
M t1 = F1 ∗ 0.05 ∗ Li ∗ Ax = 6.2769 ∗ 0.05 ∗ 15.0 ∗ 1 = 4.7077 Tm
Se inicia el cálculo con Ax = 1 . Al proceder en forma similar en los restantes pisos, se
obtiene el vector M T indicado en (4.23).
M T = [ 4.7077 8.9132 12.6166 15.8178 18.5169
25.7308]
⎡0 ⎤
Q=⎢
⎥
⎣MT ⎦
En este caso el vector 0 está compuesto por seis ceros.
Por otra parte, la matriz de rigidez K E , obtenida con inercias gruesas, vale:
⎡ K XX
KE = ⎢
⎣ K Xθ
K Xθ = 0
K Xθ ⎤
⎥
K θθ ⎦
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
129
Al aplicar la ecuación (4.24) se hallan los desplazamientos y giros en el C.M. por
torsión accidental. Estas son:
q = [0 0 0 0 0 0 0.0472 0.1248 0.2017 0.2801 0.3465 0.3931] ∗ 10 −3
Por medio de la matriz A se hallan los desplazamientos laterales p en cada uno de
los pórticos, empleando la ecuación (4.25). Estos desplazamientos, son:
•
Pórtico 1 = Pórtico 4
p (1)
⎤
⎡0
⎥
⎢0
⎥
⎢
⎥
⎢0
⎥
⎢
− 7.5
⎡− 0.0004⎤
⎤ ⎢0
⎡1
⎥
⎢− 0.0009⎥
⎥
⎢ 1
⎥
⎢
− 7 .5
⎥
⎢
⎥ ⎢0
⎢
⎥
⎥
⎢
⎥ ⎢0
⎢
1
0
.
0015
−
− 7 .5
⎥
* 10 −3 = ⎢
=⎢
⎥
⎥⎢
⎥
1
− 7 .5
⎢− 0.0021⎥
⎥ ⎢0.0472 ⎥
⎢
⎢− 0.0026⎥
⎥ ⎢0.1248 ⎥
⎢
1
− 7 .5
⎥
⎢
⎥⎢
⎢
⎥
1
− 7.5⎦⎥ ⎢0.2017 ⎥
⎣⎢− 0.0029⎦⎥
⎣⎢
⎢0.2801 ⎥
⎥
⎢
⎢0.3465 ⎥
⎢0.3931 ⎥
⎦
⎣
Pero los desplazamientos laterales se consideran en valor absoluto, ya que los
momentos de torsión que actúan en cada piso pueden actuar en sentido horario o antihorario.
Por este motivo es que los desplazamientos laterales del pórtico 1 son iguales a los del pórtico
4, ya que para ambos pórticos el valor de r es 7.5, para el pórtico 1 es negativo y para el pórtico
4 es positivo. Al multiplicar los desplazamientos laterales por la matriz de rigidez lateral del
pórtico se hallan las fuerzas laterales en cada piso P . El vector transpuesto de P resulta.
P (1) t = [0.1203 0.4790 0.8049 0.9018 1.0906 1.5280 ]
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
130
•
p ( 2)
Pórtico 2 = Pórtico 3
⎤
⎡0
⎥
⎢0
⎥
⎢
⎥
⎢0
⎥
⎢
− 2.5
⎡− 0.1180 ⎤
⎤ ⎢0
⎡1
⎥
⎢− 0.3119 ⎥
⎥
⎢ 1
⎥
⎢
− 2.5
⎥
⎢
⎥ ⎢0
⎢
⎥
⎢− 0.5043 ⎥
⎥ ⎢0
⎢
1
− 2.5
⎥
−3
−3
* 10 = ⎢
=⎢
⎥ ∗ 10
⎥⎢
⎥
1
− 2.5
⎢− 0.7002 ⎥
⎥ ⎢0.0472 ⎥
⎢
⎢− 0.8664 ⎥
⎥
⎢
1
− 2.5
⎢0.1248 ⎥
⎥
⎢
⎥⎢
⎢
⎥
1
− 2.5⎥⎦ ⎢0.2017 ⎥
⎢⎣− 0.9827 ⎥⎦
⎢⎣
⎢0.2801 ⎥
⎥
⎢
⎢0.3465 ⎥
⎢0.3931 ⎥
⎦
⎣
P ( 2 ) t = [0.5807
0.3456 0.1086 0.4583 0.4316 0.5621]
La suma de las fuerzas laterales de los cuatro pórticos, reporta las fuerzas laterales en
el C.M. debido a torsión accidental. Estas son las siguientes:
t
FTOR
= [1.4019 1.6493 1.8270 2.7201 3.0444 4.1802]
Finalmente las fuerzas finales en el C.M. se hallan sumando las fuerzas laterales
debido al Método Estático más las fuerzas laterales debido a la Torsión Estática. Estas
resultan.
FTOTALES = [7.6788 13.5335 18.6491 23.8105 27.7337 38.4880 ]
Se deja al lector la verificación e que el valor de Ax es menor que la unidad para todos
los pisos, razón por la que Ax = 1 , que es el valor impuesto.
4.9 PROGRAMA ANALISISESTATICO2GDL
La forma de uso del programa es:
™
[V]=analisisestatico2gdl(ejes,altura,peso,KL,r)
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ejes
altura
peso
KL
ƒ
r
Es el número de ejes en la dirección del análisis sísmico.
Vector que contiene la altura desde la base a cada piso.
Vector que contiene los pesos de cada uno de los pisos.
Matriz con las matrices de rigidez lateral de cada pórtico en la dirección de
análisis sísmico. Calculada con inercias gruesas.
Vector con las distancias del centro de masa a cada pórtico. El programa
considera que los C.M., son colineales.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
131
La única diferencia en la entrada de datos con el programa ANALISISESTATICONEW
se da en el vector r, que se debe ingresar.
Para el ejemplo 2, el vector transpuesto de r es:
r t = [−7.5
− 2 .5
2 .5
7.5]
Las matrices de rigidez lateral también cambian ya que se incrementó la sección de las
columnas. Al igual que el vector que contiene a los pesos de cada piso. Se deja al lector la
determinación de estos datos. Los resultados se indican en la tabla 4.9
Pisos
1
2
3
4
5
6
Tabla 4.9 Resultados de ejemplo 2.
Fuerza sin
Desplazamientos Deriva de piso
Torsión ( T. )
Inelásticos ( m. )
6.2769
0.0103
0.0034
11.8843
0.0281
0.0059
16.8221
0.0462
0.0060
21.0904
0.0645
0.0061
24.6892
0.0801
0.0052
34.3077
0.0912
0.0037
R = 6 A x = 1 γ = 0.61%
Fuerzas
Finales ( T. )
7.6788
13.5335
18.6491
23.8105
27.7337
38.4880
La deriva de piso máxima es menor al 1.5%. Se puede pensar en disminuir las
secciones de los elementos estructurales ya que γ = 0.61% .
4.9.1
Programa ANALISISESTATICO2GDL
A continuación se lista el programa ANALISISESTATICO2GDL, cuyas
características principales, son las siguientes:
•
•
•
•
•
Se considera el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R = 6 para los perfiles de
suelo S1, S2 y S3. Para el perfil de suelo S4 el valor de R = 5 . Los resultados que se
hallan del estado de cargas S no deben ser mayorados en las combinaciones de carga.
Determina el factor de amplificación por torsión Ax en forma interactiva.
Se considera que α = δ = 1 por lo que se omite el cálculo de la excentricidad estática.
Determina las fuerzas debidas a torsión accidental, resolviendo un problema estático.
Se trabaja con las formas espectrales del CEC-2000.
function [V]=analisisestatico2gdl(iejes,alt,peso,KL,r)
%
% Analisis Estatico de acuerdo al CEC-2000 de edificios aporticados regulares
%
% Factor de reduccion de las fuerzas sismicas esta en funcion del nivel de
% diseño (de la capacidad de ductilidad de la estructura). Son los
% resultados finales del proyecto de investigacion desarrollado en el
% CEINCI-ESPE en 2007 sobre el factor de reduccion de las fuerzas sismicas.
% Esta programado para nivel de diseño sismico elevado (ductilidad=4).
%
132
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
% Se obtienen las fuerzas laterales debidas a torsion accidental de acuerdo
% al CEC-2000. Se incluye el factor Ax.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%
Version de diciembre de 2007
%----------------------------------------------------------------------% [V]=analisisestatico2gdl(iejes,alt,peso,KL)
%----------------------------------------------------------------------% Ru Factor de reduccion por ductilidad Rs Factor de resistencia
% Rr Factor de redundancia
R Factor de reduccion
% H Altura total de edificio
Z Factor de Zona
% iejes # de ejes de columnas
% alt Vector que contine las alturas a cada piso medido desde el suelo.
% peso Vector que contiene los pesos reactivos de cada piso.
% PESO Peso total Reactivo.
V Cortante Basal
% gama Deriva maxima de piso que el programa calcula.
% KL Matriz que contiene la matriz de rigidez lateral de cada portico
% r Vector que contiene la distancia del portico al centro de masa, de
%
cada uno de los porticos, con signo, positivo antihorario.
%
%
NP=length(alt); PESO=0;for i=1:NP; PESO=PESO+peso(i);end; H=alt(NP);
fprintf ('\n Codigos para zonas sismicas: 0.15g=1 0.25g=2 0.30g=3 04g=4');
ic=input ('\n Ingrese el codigo de la zona sismica :');
if ic==1; Z=0.15;elseif ic==2; Z=0.25;elseif ic==3;Z=0.30;else;Z=0.40;end
fprintf ('\n Codigos para perfiles de suelo: S1=1 S2=2 S3=3 S4=4');
is=input('\n Indique el codigo del tipo de suelo :');
if is==1
T1=0.50;T2=2.50;beta=2.5;S=1;R=6;
elseif is==2
T1=0.52;T2=3.11;beta=3.0;S=1.2;R=6;
elseif is==3
T1=0.82;T2=4.59;beta=2.8;S=1.5;R=6;
else
T1=2.0;T2=10;beta=2.5;S=2;R=5;
end
I=input('\n Indique el factor de importancia :');
% Periodo fundamental, el mismo que se amplifica por inercia agrietada
T=0.0731*H^(0.75);T=1.3*T;
rp=input('Estructura es regular en planta; si(s) o no(n):','s');
if rp=='s';fip=1;else;fip=0.8;end
re=input('Estructura es regular en elevacion; si(s) o no(n):','s');
if rp=='s';fie=1;else;fie=0.8;end
%Coeficiente C
C=(1.25*S^S)/T;
if C >=beta;C=beta;end
if C <= 0.5;C=0.5;end
% Cortante Basal
V=(Z*I*C*PESO)/(R*fip*fie);
% Fuerzas horizontales en cada piso
if T <= 0.7;Ft=0;else;Ft=0.07*T*V;end
Ftmax=0.25*V;sum=0;
if Ft >= Ftmax;Ft=Ftmax;end
for i=1:NP;sum=sum+peso(i)*alt(i);end
for i=1:NP
if i==NP
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
F(i)=(((V-Ft)*peso(i)*alt(i)/sum)+Ft);
else
F(i)=((V-Ft)*peso(i)*alt(i)/sum);
end
end
% Calculo de la deriva de piso.
Kxx=zeros(NP,NP); % Determinacion de matriz de rigidez espacial
for i=1:iejes
ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;
Kxx=Kxx+KL(ji:jf,1:NP);
end
F=F';
q=Kxx\F
qine=R*q; % Desplazamientos elasticos e inelastico
for i=1:NP
j=NP+1-i;
if j==1
drift(j)=qine(j)/alt(j);
else
drift(j)=(qine(j)-qine(j-1))/(alt(j)-alt(j-1));
end
end
gama=0;
for i=1:NP;
if gama>=drift(i);
continue
else
gama=drift(i);
end
end
gama=gama*100;
fprintf ('\n Valor de R'); R
fprintf('\n Fuerzas laterales en cada piso sin torsion accidental'); F
fprintf ('\n Cortante Basal '); V
fprintf ('\n Desplazamiento Inelastico'); qine
fprintf ('\n Deriva de piso'); drift
fprintf ('\n Deriva maxima de piso en porcentaje'); gama
% Calculo de Torsion accidental
% Matriz de rigidez en modelo de 2 gdl por planta
Kxx=zeros(NP,NP);Kteta=zeros(NP,NP);Kxt=zeros(NP,NP);
for k=1:NP;identidad(k,k)=1;end;
for i=1:iejes
for k=1:NP
rtet(k,k)=r(i);
end
rteta=rtet*rtet;
ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;
Kxx=Kxx+KL(ji:jf,1:NP);Kxt=Kxt+KL(ji:jf,1:NP)*rtet;
Kteta=Kteta+KL(ji:jf,1:NP)*rteta;
A(ji:ji+NP-1,:)=[identidad rtet];
end
KE=[Kxx Kxt;Kxt
Kteta];
dist=abs(r(1))+abs(r(iejes));Axmax=1.0; % Se inicia con Ax=1
% Momentos de torsion accidental
for jj=1:10;
for i=1:NP; Momtor(i)=0.05*dist*Axmax*F(i);cero(i)=0;end;Momtor=Momtor';
cero=cero';QE=[cero; Momtor];qe=KE\QE;
133
134
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
for i=1:NP; FTx(i)=0; qmax(i)=0;end; FTx=FTx';
for i=1:iejes
ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;a=A(ji:jf,1:2*NP);p=a*qe;
Klateral=KL(ji:jf,1:NP);FT=abs(Klateral*p);FTx=FTx+FT;
if i==1
for j=1:NP
q1(j)=abs(p(j));
end
elseif i==iejes
for j=1:NP
q2(j)=abs(p(j));
end
end
for j=1:NP
if qmax(j)>=abs(p(j));
continue
else
qmax(j)=abs(p(j));
end
end
end
for j=1:NP
qavg(j)=(q1(j)+q2(j))/2;
Ax(j)=qmax(j)/(1.2*qavg(j));
if Ax(j)<=1; Ax(j)=1; end;
if Ax(j)>3; Ax(j)=3; end;
end
Axmax=max(Ax);
Momtor=Momtor';cero=cero';FTx=FTx';
end
FTx=FTx';FTOTAL=F+FTx;
fprintf('\n Fuerzas laterales en cada piso con torsion accidental'); FTOTAL
fprintf('\n Valor de Ax'); Axmax
%---fin
REFERENCIAS
1. Goel R., and Chopra A., (1997), “Period formulas for moment-resisting frame buildings”,
Journal of Structural Engineering, 123 (11), 1454-1461.
2. Grases J., López O., Henández J., (1987), Edificaciones Sismorresistentes. Manual de
aplicación de las Normas. Colegio de Ingenieros de Venezuela. Fundación Juan José
Aguerrevere., Segunda Edición, 269 p. Caracas.
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Norma Sismorresistente Venezolana”, Instituto de Materiales y Modelos Estructurales.
Universidad Central de Venezuela, 41 (2-3), 1-27, Caracas Venezuela.
4. Hernández J., y López O., (2007), “Investigación de respuestas sísmicas críticas
incorporando la torsión accidental”, Instituto de Materiales y Modelos Estructurales.
Universidad Central de Venezuela, 45 (3), 22-51, Caracas Venezuela.
5. ICC, (2003), International Building Code, International Code Council Inc., Birmingham
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ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
135
6. IBC (2000), International Building Code, International Code Council Inc., Birmingham Al
USA.
7. Rosenblueth E., and Elorduy J., (1969), “Response of linear systems to certain transient
disturbances”, Proceedings of the Fourth World Conference on Earthquake
Engineering, Vol 1, A1-185 to A1-196, Santiago de Chile.
8. Uniform Building Code UBC, (1997), International Conference of Building Officials
ICBO, Volume 2, 492p., Whittier, California.
9. Vásquez J., and Riddell R., (1984), “Existence of centers of resistance and torsional
uncoupling of earthquake response of buildings”, Proc., of the 8th World. Conf. in
Earthquake Engrg., Prentice Hall, Inc, IV, 187-194, Englewood Cliffs.
CAPÍTULO 5
ANÁLISIS MODAL PLANO
RESUMEN
Se presenta el Método de Superposición Modal utilizando el espectro de diseño
inelástico, del Código Ecuatoriana de la Construcción CEC-2000, para el análisis sísmico de
pórticos planos. El análisis modal plano sirve más para ilustrar el Método de
Superposición Modal ya que con el gran avance informático que se tiene, es conveniente
realizar un análisis sísmico espacial.
Se inicia el capítulo presentando el marco teórico del Método de Superposición Modal,
el mismo que es aplicable a un análisis sísmico plano o espacial. Luego se detallan algunos
criterios de combinación modal y se muestran los resultados de un estudio realizado en
estructuras de uno a seis pisos, en el Centro de Investigaciones Científicas de la ESPE, en
base a este estudio se recomienda un criterio de combinación modal, que combina el criterio de
superposición directa y el del valor máximo probable.
Una vez terminado el Método de Superposición Modal, se realizan tres controles, que
son: el primero, verificar que el cortante basal obtenido sea mayor o igual al cortante basal
mínimo; el segundo, tiene que ver con el control de la deriva de piso y el tercero, con el control
del efecto P − ∆ . Como es un análisis sísmico plano no se resuelve el problema de la torsión
accidental.
El marco teórico se lo ilustra con el análisis sísmico de una estructura de dos pisos en
el cual se detallan los cálculos. Se complementa el estudio con la entrega del programa
denominado MODALPLANONEW .
El uso del programa se lo ilustra con el análisis sísmico de un pórtico de una estructura
de seis pisos. El análisis modal se realiza utilizando inercias agrietadas, de acuerdo a lo
estipulado por el CEC-2000 y el control de la deriva máxima de piso se lo hace con inercias
gruesas.
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
138
5.1 MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL
El sistema de ecuaciones diferenciales que gobiernan los problemas de dinámica de
estructuras es el siguiente:
M q + C q + K q = Q
( 5.1 )
son los
Donde M , C , K son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez; q, q , q
vectores de desplazamiento, velocidad y aceleración. Q es el vector de cargas generalizadas.
La ecuación ( 5.1 ) corresponde a un sistema de ecuaciones diferenciales acoplado, para
desacoplarlo se debe realizar el siguiente cambio de variable:
q=Φ X
( 5.2 )
Siendo X el vector de desplazamientos en el nuevo sistema de coordenadas, Φ la
matriz modal, conformada por cada uno de los modos de vibración de la estructura que se
hallan del problema de vibración libre sin amortiguamiento.
[
Φ = φ (1) φ ( 2 ) φ (3) ... ... φ ( n )
]
( 5.3 )
Donde φ (1) es el primer modo de vibración, φ ( 2 ) el segundo modo de vibración, etc. En
las coordenadas X el sistema de ecuaciones diferenciales está desacoplado, por esta razón
se suele denominar a este sistema como coordenadas principales. En este nuevo sistema de
coordenadas se tiene:
+ C ∗ X + K ∗ X = Q ∗
M∗ X
( 5.4 )
De la Dinámica de Estructuras, se conoce que:
M ∗ = Φt M Φ
C ∗ = Φt C Φ
K ∗ = Φt K Φ
Q∗ = Φt Q
( 5.5 )
En el capítulo 7 del libro: Dinámica de Estructuras con MATLAB, Aguiar (2007) se
∗
∗
∗
demuestra que las matrices M , C , K solo tienen valores en la diagonal y valen:
⎡η
⎢
M∗ = ⎢
⎢
⎢
⎣
η
...
⎡Wn1
⎢
C∗ = 2ξ η⎢
⎢
⎢
⎣⎢
⎤
⎡1
⎥
⎢
⎥ =η⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
η⎦
⎣
1
...
Wn 2
...
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
Wnn ⎦⎥
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
1⎦
( 5.6 )
( 5.7 )
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
⎡Wn21
⎢
⎢
∗
K =η ⎢
⎢
⎢
⎣
Wn22
...
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
Wnn2 ⎥⎦
139
( 5.8 )
φ (i ) t M φ (i ) = η
( 5.9 )
Donde W n1 , W n 2 , etc., son las frecuencias naturales de vibración de los modos 1, 2,
etc. ξ es el factor de amortiguamiento de la estructura, que se considera igual en todos los
modos. Para estructuras de hormigón armado se considera ξ = 0.05 . El valor de η está
definido en la ecuación ( 5.9 ) depende de la forma como se normalizan los modos.
El vector de cargas generalizadas Q para el análisis sísmico, vale:
..
Q = −M b U g
Donde b para el análisis sísmico plano, es un vector unitario. En general b asocia los
..
grados de libertad de la estructura con el movimiento del suelo; U g es la aceleración del suelo,
definida en el acelerograma. El vector Q ∗ es:
⎡φ (1) t ⎤
⎢ ( 2) t ⎥
⎢φ ⎥
∗
Q = −⎢
M b U g
... ⎥
⎢
⎥
⎢⎣φ ( n ) t ⎥⎦
( 5.10 )
De tal manera que el sistema de ecuaciones diferenciales, en coordenadas principales
resulta:
⎡η
⎢ η
⎢
⎢
...
⎢
⎣
5.1.1
⎡ .. ⎤
x
⎤⎢ 1⎥
⎥ ⎢ x.. ⎥
⎥ ⎢ 2⎥ + 2ξ η
⎥ ⎢... ⎥
⎥⎢ ⎥
η ⎦ ⎢ .. ⎥
⎢ xn ⎥
⎣ ⎦
⎡Wn1
⎢
Wn 2
⎢
⎢
...
⎢
⎢⎣
⎡ . ⎤
x
⎤ ⎡ x1 ⎤
⎡Wn21
⎤⎢ 1⎥
.
⎢
⎥
⎥⎢ ⎥
⎢
⎥
2
Wn 2
⎥ ⎢ x2 ⎥
⎥ ⎢ x2 ⎥ + η ⎢
= − Q∗
⎢
⎥
⎥
⎢
⎥ ...
⎥
⎢
...
...
⎥⎢ ⎥
⎢
⎥⎢ . ⎥
2
⎢
Wnn ⎥⎦ ⎢ ⎥
Wnn ⎥⎦ ⎣ x n ⎦
⎣
⎢ xn ⎥
⎣ ⎦
Desplazamientos máximos modales
La ecuación diferencial de la fila i, del sistema de ecuaciones diferenciales desacoplado
es:
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
140
η xi + 2 ξ η W ni x i + η W ni2 x i = −φ ( i ) t M b U g
Al dividir todo para η se tiene:
xi + 2 ξ W ni x i + W ni2 x i = −
φ ( i ) t M b Ug
η
Al reemplazar ( 5.9 ) en ésta última ecuación, se tiene:
.
xi + 2 ξ Wni x i + Wni2 xi = −γ i U g
( 5.11 )
Donde γ i es el factor de participación del modo i.
γi =
φ (i )t M b
φ (i ) M φ (i )
( 5.12 )
La expresión ( 5.11 ) corresponde a la ecuación diferencial de un sistema de un grado
de libertad. Ahora bien si U g viene expresado por un espectro de diseño para un valor de
amortiguamiento ξ . La máxima respuesta es:
⎛ T
xi = γ i ⎜⎜ i
⎝ 2π
2
⎞
⎟⎟ Adi
⎠
( 5.13 )
Donde Ti es el período de vibración del modo i; Adi es la aceleración espectral
asociada al período Ti . De la ecuación ( 5.13 ) es importante destacar lo siguiente:
ƒ
La definición de espectro está relacionada a un sistema de un grado de libertad. Por lo
tanto el factor γ i permite pasar la respuesta en desplazamientos, de un sistema de un
grado de libertad a un sistema de múltiples grados de libertad.
ƒ
Se ha utilizado la definición de seudo espectro para encontrar el desplazamiento
espectral S di .
2
⎛T ⎞
S di ≈
= ⎜ i ⎟ Adi
2
Wni ⎝ 2π ⎠
Adi
Para tener la respuesta en las coordenadas q se utiliza la ecuación ( 5.2 ) con lo que
se halla:
2
⎛T ⎞
q (i ) = γ i ⎜ i ⎟ Adi φ (i )
⎝ 2π ⎠
5.1.2
Fuerzas máximas modales
Para encontrar las fuerzas en cada modo de vibración Q (i ) se tiene que:
( 5.14 )
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
141
Q (i ) = K q (i )
2
⎛T ⎞
⎛T ⎞
Q ( i ) = K γ i ⎜ i ⎟ Adi φ (i ) = γ i Adi ⎜ i ⎟
⎝ 2π ⎠
⎝ 2π ⎠
2
K φ (i )
Del problema de vibración libre sin amortiguamiento, se tiene:
(K − λ M )φ = 0
Pero λ
= Wn2
⎛ 2π
= ⎜⎜
⎝ Ti
⇒ K φ = λ Mφ
2
⎞
⎟⎟ .
⎠
Luego:
Q ( i ) = γ i Adi M φ (i )
( 5.15 )
Si se realiza un análisis sísmico en coordenadas de piso, el vector Q es el vector que
contiene las fuerzas y momentos en coordenadas de piso. En cambio si se realiza un análisis
sísmico plano, el vector Q contiene las fuerzas laterales en cada uno de los pisos, que se nota
también con la letra P . Es solo nomenclatura. Aguiar (2004)
5.2 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO
La secuencia de cálculo para realizar un Análisis Sísmico Plano orientado al uso del
espectro de diseño inelástico del CEC-2000, es como sigue:
i.
Se determina la matriz de rigidez lateral del pórtico, trabajando con inercias
agrietadas. El CEC-2000 considera que la inercia de la viga I V = 0.5 I g y que la
inercia de la columna I C = 0.8 I g . Consecuentemente se espera daño en la estructura
ante la acción del sismo estipulado en el CEC-2000 que viene expresado mediante un
espectro de diseño inelástico. Se espera daño ya que este sismo tiene un período de
retorno de 475 años y consecuentemente la probabilidad de ocurrencia es baja.
ii.
Se encuentra la matriz de masas. Para el caso plano la matriz es diagonal y vale:
⎡m1
⎢
⎢
⎢
M=⎢
⎢
⎢
⎢
⎣⎢
m2
....
mi
...
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
m n ⎦⎥
( 5.16 )
Donde m i es la masa del piso i. Para encontrar la matriz de masas se trabaja con
toda la carga muerta y un porcentaje de la carga viva. El porcentaje de la carga viva
142
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
toma en cuenta la probabilidad de que se registre un sismo y en que porcentaje estará
presente la carga viva. Para una vivienda u oficina se considera que ese porcentaje es
del 25%. Para una biblioteca el porcentaje será mayor, lo propio para una bodega.
iii.
Con la matriz de rigidez y la matriz de masas, se determinan los valores propios λ i y
los vectores propios, que son los modos de vibración φ (i ) . Donde i representa el modo.
Se recuerda que el problema de valores y vectores propios está definido por:
(K − λ M )φ = 0
Para el caso plano, K es la matriz de rigidez lateral y como se indicó M es la matriz
de masas. En Matlab se obtienen los valores y vectores propios con la instrucción eig.
El formato de uso es el siguiente:
>> [V,D] = eig (K, M)
En V vienen los vectores propios y en la matriz diagonal de D, los valores propios.
iv.
Con los valores propios se encuentran las frecuencias naturales de vibración W ni y los
períodos de vibración Ti
Wni = λi
v.
Ti =
2π
Wni
( 5.17 )
Se encuentran los factores de participación modal γ i
γi =
φ (i ) t M b
φ (i ) t M φ (i )
Para el análisis sísmico plano en que se considera un grado de libertad por piso, el
vector b es unitario.
vi.
Con cada período se ingresa al espectro de diseño inelástico y se obtiene la
aceleración espectral Adi .
vii.
Se hallan las fuerzas laterales en cada modo de vibración.
P ( i ) = γ i Ad i M φ ( i )
viii.
( 5.18 )
Se encuentran los cortantes en cada piso V i y en cada modo de vibración, a partir de
las fuerzas P ( i ) .
ix.
Se aplica un criterio de combinación modal en los cortantes y se halla la resultante de
los cortantes. En el siguiente apartado se estudiará con cierto detenimiento estos
criterios de combinación modal.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
143
x.
Una vez que se tienen los cortantes resultantes en cada piso se hallan las fuerzas
estáticas máximas equivalentes debido al sismo, definido por el espectro de diseño
inelástico. Estas fuerzas se denominan P
xi.
Se realizan los controles, que se indicarán posteriormente con detalle pero aquí se los
indica cuales son:
ƒ
ƒ
ƒ
Cortante Basal Mínimo.
Efecto P − ∆ .
Control de la deriva máxima.
5.3 CRITERIOS DE COMBINACIÓN MODAL
En el Método de Superposición Modal, se hallan las respuestas en cada modo de
vibración y para encontrar la respuesta resultante, se debe aplicar un criterio de combinación
modal. En la literatura existen una gran cantidad de criterios entre los que se destacan los
siguientes:
•
Criterio del Máximo Valor Probable (SRSS)
Sea r un cierto valor de respuesta que se desea obtener, puede ser un
desplazamiento, un momento, un corte, etc. El criterio del valor máximo probable, es:
N
∑ (r )
r=
2
( 5.19 )
i
i =1
Donde N es el número de modos que se consideran en la respuesta, i es el modo de
vibración. Por su sencillez es uno de los más utilizados. Es apropiado su uso cuando las
frecuencias naturales de vibración se encuentran bastante separadas, más del 10%. Utilizar
este criterio cuando no cumple esta condición puede llevar a subestimar la respuesta.
Este criterio también es conocido por las siglas SRRS (Square Root Sum of Squares)
•
Criterio de la doble suma
Este criterio se usa cuando las frecuencias naturales están bastante cercanas entre si.
r =
2
N
N
N
ri r j
∑ (r ) + ∑∑ 1 + ε
2
i
i =1
ε ij =
i =1 j =1
2
ij
( 5.20 )
1 − ξ Wni − Wnj
ξ Wni + Wnj
Donde Wni , Wnj son las frecuencias de vibración de los modos i, j. ξ es el porcentaje
de amortiguamiento para cada modo de vibración. Tal vez la parte más complicada del método
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
144
es determinar los valores de ξ para cada modo. Una forma más refinada del criterio de la
doble suma se tiene en función del tiempo de duración del sismo que se ha denominado s . En
este caso, se tiene:
ε ij =
Wai − Waj
ξ Wai + ξ 'jWaj
'
i
Wai = Wni 1 − ξ i2
( 5.21 )
2
ξ i' = ξ i +
s Wni
Este criterio considera la proximidad entre los valores de las frecuencias de los modos
que contribuyen a la respuesta, la fracción del amortiguamiento y la duración del sismo.
•
Criterio de la combinación cuadrática completa (CQC)
El criterio CQC (Complete Quadratic Combination), Chopra (2001), considera la
posibilidad de acoplamiento entre los modos de vibración.
r2 =
N
N
∑∑ ρ
ij
ri r j
i =1 j =1
ρ ij =
a=
8 ξ 2 (1 + a ) a 1.5
(1 − a )
2 2
+ 4ξ 2 a(1 + a )
2
( 5.22 )
Wnj
Wni
ρ ij =
(1 − a )
2 2
(
)
8 ξ i ξ j ξ i + aξ j a 1.5
(
) (
)
+ 4ξ i ξ j a 1 + a 2 + 4 ξ i2 + ξ 2j a 2
Cuando las frecuencias están bastante separadas, el criterio de la combinación
cuadrática completa, proporciona valores similares al criterio del máximo valor probable.
•
Superposición directa
La superposición directa de los máximos modales proporciona un límite superior al
valor máximo de la respuesta total. Por lo tanto aplicar este criterio es muy conservador.
r=
N
∑r
i
( 5.23 )
i =1
•
Propuesta de Alejandro Gómez
El criterio propuesto por Alejandro Gómez (2002) integra de alguna manera el criterio
directo con el criterio del valor máximo probable, al margen de la cercanía o no de las
frecuencias naturales. El criterio es el siguiente:
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
r=
•
r12
⎛ N
⎞
+ ⎜⎜
ri ⎟⎟
⎝ i=2 ⎠
∑
145
2
( 5.24 )
Norma Técnica de Perú 2003
En la Norma Técnica de Perú de 2003 se combinan los resultados obtenidos, en cada
uno de los modos de vibración, con la siguiente ecuación:
r = 0.25
N
∑
ri + 0.75
i =1
N
∑r
2
i
( 5.25 )
i =1
En la Normativa de Perú se reconoce que el criterio del valor máximo probable reporta
valores bajos y que el criterio de superposición directa da valores muy altos por lo que lo más
conveniente es combinar estos dos criterios en forma lineal con los coeficientes indicados en la
ecuación ( 5.25 ).
•
Norma Técnica de Guatemala (1996)
Es similar al de la Norma Técnica del Perú (2003) pero ahora la combinación es 50%
del criterio de la suma directa y 50% del criterio del valor máximo probable. Santana
(2008).
r = 0.50
N
∑
ri + 0.50
i =1
•
N
∑ ri2
( 5.26 )
i =1
Laboratorio de Investigación Naval (NRL)
El criterio NRL (Naval Research Laboratory) considera el valor absoluto del modo que
más aporta a la repuesta y lo añade al criterio SRSS. (Iberisa, 2008) Normalmente el modo que
más aporta es el primero de tal manera que puede escribirse de la siguiente manera:
r = r1 +
N
∑ (ri )2 − r 12
( 5.27 )
i =1
Se han presentado ocho criterios, seis de ellos son relativamente fáciles de evaluar y
dos un poco más complejos, por que se debe indicar el valor de ξ .
Ahora se debe recomendar que criterio utilizar, para el efecto se encontró la respuesta
sísmica de estructuras de 1 a 6 pisos de hormigón armado, conformadas únicamente por vigas
y columnas. Respuesta sísmica en términos del cortante basal, en las siguientes condiciones:
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
146
¾
Cortante Basal mínimo en base a lo estipulado por el CEC-2000 para la zona sísmica
de mayor peligrosidad ( 0.4 g ) y sobre un perfil de suelo S1. Se halló la respuesta para
los cuatro perfiles de suelo del código pero en este capítulo solo se indican los
resultados obtenidos para el perfil de suelo S1. En Campos (2006) están los restantes
resultados.
¾
Análisis Lineal en el tiempo, para el efecto se generaron siete acelerogramas con
diferentes duraciones que van desde los 20 segundos hasta los 50 segundos. Para
cada caso se hallo la respuesta en el tiempo se encontró el cortante basal máximo y se
dividió para el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R que se utilizó en los otros
métodos. Esta forma de cálculo del cortante basal es la exacta.
¾
Análisis modal espectral utilizando el espectro de diseño inelástico del CEC-2000,
con inercias agrietadas y aplicando los siguientes criterios de combinación modal:
o
o
o
o
Valor máximo probable.
Superposición Directa.
Criterio de Gómez
Norma Técnica de Perú 2003
Figura 5.1 Valores medios de las respuestas obtenidas del cortante basal en suelo S1.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
147
En la figura 5.1 se indican los valores medios de las respuestas obtenidas, de los
cortantes básales, aplicando las diferentes maneras de cálculo. Del análisis de esta figura se
concluye lo siguiente:
™ El criterio empleado por la Norma Técnica de Perú es la que más se aproxima a la
respuesta elástica paso a paso dividida para el factor de reducción de las fuerzas
sísmicas. Por lo tanto se recomienda el Criterio de la Norma Técnica de Perú de
2003 a ser utilizado para la combinación modal.
™ Los valores de cortante basal que se hallan aplicando la fórmula del CEC-2000 son los
mayores valores obtenidos, en relación a los otros métodos.
™ El criterio del máximo valor probable reporta valores muy bajos al igual que el Criterio
de Gómez (2002).
™ El criterio de superposición directa da valores altos pero menores a los que se hallan
con el cortante basal mínimo.
En todos los casos se realizó un análisis sísmico plano. Por otro lado, Aguiar et al
(2006) realizaron algo similar pero con un modelo de tres grados de libertad por planta y se
llegó a resultados parecidos.
•
EJEMPLO 1
Realizar un análisis modal plano, para el pórtico en sentido X, que tiene dos vanos, de
la estructura de dos pisos, cuya distribución en planta es la indicada en la figura 5.2. La altura
de cada entrepiso es de 3.0 m. Las cargas verticales que gravitan son de 500 kg/m2 para la
carga muerta y 200 kg/m2 para la carga viva, es una construcción destinada a vivienda.
Figura 5.2 Distribución en planta de estructura de dos pisos.
La estructura se halla ubicada en la ciudad de Portoviejo sobre un perfil de suelo S2,
de acuerdo al CEC-2000. El factor de reducción de las fuerzas sísmicas es igual a 6. La matriz
de rigidez lateral considerando inercias agrietadas, que se obtiene con el programa RLAXINFI,
es la siguiente.
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
148
⎡1243.5
KL = ⎢
⎣− 492.6
− 492.6⎤
317.9 ⎥⎦
Para encontrar la matriz de rigidez lateral se trabajó con un módulo de elasticidad igual
a E = 1738965.21 T / m 2 que se halla reemplazando f c' = 210 Kg / cm 2 en E = 12000 f c'
(kg/cm2).
•
SOLUCIÓN
De la figura 5.3 se obtiene que el área cooperante para la carga vertical, vale:
A = 9 ∗ 2 = 18 m 2
Como es vivienda el aporte de la carga viva a la matriz de masas es del 25%. Con esta
acotación en la tabla 5.1 se indican el valor de las cargas totales en el pórtico debido a la carga
muerta y a la carga viva, orientadas al uso del programa MODALPLANONEW, que se indicará
posteriormente.
Figura 5.3 Repartición de cargas verticales al pórtico en sentido X.
Piso
1
2
Tabla 5.1 Valores de la carga muerta, viva y altura desde la base al piso
Carga Muerta Total
Carga Viva Total
Altura
3.00
W D = 0.5 * 18 = 9 T .
W L = 0.25 * 0.2 * 18 = 0.9 T .
W D = 0.5 * 18 = 9 T .
W L = 0.25 * 0.2 * 18 = 0.9 T .
La masa del piso 1 es igual a la masa del piso 2 y tiene un valor de:
m1 = m 2 =
⎡m
M =⎢ 1
⎣0
T s2
9 + 0. 9
= 1.0102
9 .8
m
0 ⎤ ⎡1.0102
⎥=
m 2 ⎦ ⎢⎣ 0.0
⎤
1.0102⎥⎦
0.0
6.00
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
149
Con la matriz de rigidez y con la matriz de masas, se hallan los valores propios y los
modos de vibración. Estos son:
λ1 = 103.8
λ 2 = 1441 .9
⎡− 0.3950⎤
⎥
⎣− 0.9132⎦
φ ( 2) = ⎢
⎡− 0.9132⎤
⎥
⎣0.3950 ⎦
φ (1) = ⎢
Algunos programas de cálculo de valores y vectores propios, reportan los valores
propios sin ordenarlos de menor a mayor. Para el análisis sísmico es fundamental que los
valores propios se encuentren ordenados de menor a mayor.
λ1 ≤ λ 2 ≤ λ 3 ......... ≤ λ n
Con los valores propios se hallan las propiedades dinámicas de la estructura, que son
las frecuencias naturales Wn y los períodos de vibración T .
Wni = λi
Wn1 = 103.8 = 10.188
1
s
Ti =
2π
Wni
T1 =
2π
= 0.6168 s.
10.188
Wn 2 = 1441.9 = 37.9723
T2 =
1
s
2π
= 0.1655 s.
37.9723
Al período T1 se le conoce con el nombre de período fundamental, debido a que el
primer modo tiene una gran influencia en la respuesta sísmica. Son los primeros modos de
vibración los que más aportan a la respuesta de ahí que las normativas sísmicas establecen
un número mínimo de modos a considerar en la respuesta pero es conveniente calcularlos con
todos especialmente cuando se realiza un análisis sísmico plano y no se tienen muchos grados
de libertad.
Los períodos de vibración obtenidos son bastante altos debido a que la matriz de
rigidez se obtuvo con inercias agrietadas.
Una vez hallados los modos de vibración se procede al cálculo de los factores de
participación modal γ
γi =
φ (i )t M b
φ (i )t M φ (i )
Para el ejemplo el vector b tiene dos unos.
γ1 =
φ
0 ⎤ ⎡1⎤
⎡1.0102
− 0.9132] ⎢
1.0102⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦
M b
− 1.3215
⎣0
=
=
= −1.3215
(1)
0 ⎤ ⎡− 0.395 ⎤
1
⎡1.0102
M φ
[− 0.395 − 0.9132] ⎢
1.0102⎥⎦ ⎢⎣− 0.9132⎥⎦
⎣0
(1) t
φ (1) t
[− 0.395
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
150
γ2 =
φ ( 2) t M
φ
( 2) t
M
b
φ
( 2)
[− 0.9132
=
[− 0.9132
0 ⎤ ⎡1⎤
⎡1.0102
0.3950] ⎢
1.0102⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦
⎣0
0 ⎤ ⎡− 0.9132⎤
⎡1.0102
0.3950] ⎢
1.0102⎥⎦ ⎢⎣0.3950 ⎥⎦
⎣0
=
− 0.5235
= −0.5235
1
Pero el factor de participación modal se considera en valor absoluto. Luego
γ 1 = 1.3215
γ 2 = 0.5235
Los factores de participación son adimensionales y lo que indican es que tanto participa
el modo en la respuesta. De igual manera, los factores de participación no son únicos,
dependen del valor de los modos de vibración, lo que si es único son las fuerzas
laterales que se tienen en cada modo de vibración.
Con cada período de vibración se ingresa al espectro inelástico del CEC-2000 y se
determina la aceleración espectral Adi . En el ejemplo el primer período cae en la curva
descendente y el segundo en la plataforma horizontal del espectro. Luego se tiene:
Ad 1 =
1.25 α A0 S S 1.25 ∗ 1 ∗ 0.4 ∗ 9.8 ∗ 1.21.2
m
=
= 1.6478 2
0.6168 ∗ 6
T ∗ R φ p φe
s
Ad 2 =
α β A0 1 * 3 * 0.4 * 9.8
m
=
= 1.96 2
R φ p φe
6
s
En el capítulo 2 se presentó los resultados del proyecto de investigación realizado en el
CEINCI-ESPE sobre el factor de reducción de las fuerzas sísmicas y se estableció que para un
perfil de suelo S2, el valor de R = 6 y que la deriva de piso máxima inelástica es γ = 1.5% .
La estructura es regular en planta y elevación luego φ p = φ e = 1 . Si no fueran
regulares en planta o elevación no se podría realizar un análisis modal plano.
El valor de A0 para la ciudad de Portoviejo es 0.4 g = 0.4 ∗ 9.8 . Por otra parte, el
coeficiente de importancia es α = 1 y el valor de β para suelo tipo S2 vale 3 y el coeficiente S
vale 1.2
Ahora se calculan las fuerzas laterales, en cada modo de vibración.
P (i ) = γ i Adi M φ (i )
0 ⎤ ⎡− 0.3950⎤ ⎡− 0.8689⎤
⎡1.0102
P (1) = 1.3215 * 1.6478 * ⎢
=
∗
1.0102⎥⎦ ⎢⎣− 0.9132⎥⎦ ⎢⎣− 2.0088⎥⎦
⎣ 0
0 ⎤ ⎡− 0.9132⎤ ⎡− 0.9465⎤
⎡1.0102
P ( 2) = 0.5235 * 1.9600 * ⎢
=
∗
1.0102⎥⎦ ⎢⎣0.3950 ⎥⎦ ⎢⎣0.4094 ⎥⎦
⎣ 0
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
151
En la figura 5.4 se presentan las fuerzas laterales, en cada piso y los cortantes
asociados. Para cada modo de vibración, a la izquierda se tiene para el primer modo y a la
derecha para el segundo modo de vibración.
Figura 5.4 Fuerzas laterales y cortantes en cada modo de vibración.
Se aplica el criterio de combinación modal de la Norma de Perú de 2003.
V = 0.25
N
∑V
i =1
i
+ 0.75
N
∑V
2
i
i =1
V1 = 0.25[2.8778 + 0.5370] + 0.75 2.8778 2 + 0.5370 2 = 3.0493 T .
V2 = 0.25[2.0088 + 0.4094] + 0.75 2.0088 2 + 0.4094 2 = 2.1422 T .
A partir de los cortantes obtenidos, luego de aplicar el criterio de combinación modal,
se determinan las fuerzas estáticas por un procedimiento inverso. En la figura 5.5 se indican los
resultados encontrados.
Figura 5.5 Fuerzas estáticas equivalentes obtenidas del análisis modal plano.
El cortante basal hallado del método modal plano es:
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
152
V0 = 3.0493 T .
Ahora se debe realizar los siguientes controles, los mismos que se explican en el
siguiente apartado.
•
•
•
Cortante Basal Mínimo.
Control de la Deriva de los Pórticos.
Control del efecto P − ∆ .
5.4 CONTROL DEL CORTANTE BASAL MÍNIMO
El primer control que se realiza es el del cortante basal mínimo pero calculando con el
período fundamental que se ha encontrado de la solución del problema de valores y vectores
propios.
Vmin =
ZIC
0.4 ∗ 1 ∗ 2.5222
W=
∗ 18 = 3.0266 T .
R φ p φe
6 ∗1∗1
C=
1.25 S S 1.25 ∗ 1.21.2
=
= 2.5222
T
0.6168
El cortante basal mínimo es menor que el cortante basal obtenido del análisis
modal. Luego no se debe encontrar ningún factor para mayorar las fuerzas laterales y se
prosigue con el análisis En la figura 5.6 se muestran las fuerzas estáticas, que son las
indicadas en la figura 5.5 pero ahora se coloca también la geometría de la estructura.
Figura 5.6 Fuerzas estáticas corregidas por cortante basal mínimo.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
153
5.5 CONTROL DE LA DERIVA DE LOS PÓRTICOS
El método de superposición modal proporciona resultados satisfactorios en el rango
elástico pero para el rango inelástico en el que va a trabajar la estructura, ante el sismo raro
que tiene un período de retorno de 475 años, los resultados son aproximados.
Los desplazamientos inelásticos de acuerdo al CEC-2000 se hallan con la siguiente
ecuación:
(
)
q ine = R φ p φ e q
( 5.26 )
Las variables no indicadas, son: q ine vector que contiene los desplazamientos
inelásticos de la estructura y q es el vector que contiene los desplazamientos elásticos, los
mismos que se obtienen de la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales.
K q=Q
( 5.27 )
Donde K es la matriz de rigidez lateral calculada con inercias gruesas y Q es el
vector de cargas generalizado, constituido por las fuerzas laterales que actúan en el pórtico.
En la tabla 5.2 se indica la forma como se obtienen los desplazamientos inelásticos a
partir de los desplazamientos elásticos en las normativas sísmicas de: Venezuela, Colombia,
Ecuador y Perú. Todas estas fórmulas son aproximadas y esto es una debilidad del Método de
Superposición Modal, para el rango inelástico se debe encontrar la respuesta mediante un
Análisis no Lineal pero esto es complicado, razón por la cual se está trabajando en métodos
que no sean tan sencillos como el Método de Superposición Modal ni tan complicados
como el Análisis no Lineal uno de éstos Métodos es el del Espectro de Capacidad.
Tabla 5.2 Cálculo de los desplazamientos inelásticos en otras normativas sísmicas.
PAIS
NORMA
DESPLAZAMIENTO
INELÁSTICO
Venezuela
COVENIN 1756-98
qine = 0.8 R φ p φ e q
(
)
(
)
(
)
Colombia
NSR-98
q ine = R φ p φ e q
Ecuador
CEC-2000
q ine = R φ p φ e q
E.030
qine = 0.75 R φ p φ e q
Perú
(
)
Una vez que se tienen los desplazamientos elásticos, se hallan los inelásticos
empleando la ecuación ( 5.26 ) y finalmente las distorsiones de piso γ i .
Antes de proseguir se debe destacar que en páginas anteriores con la letra γ se
definió al factor de participación modal y ahora la misma letra se utiliza para identificar a la
distorsión de piso. La distorsión de piso se halla dividiendo el desplazamiento relativo de piso,
inelástico para la altura de piso hi .
154
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
γi =
q ine (i ) − q ine (i −1)
hi
( 5.28 )
En cada piso se debe verificar que la deriva de piso sea menor o igual a 1.5%. Por
el valor de R = 6 que se consideró en el análisis sísmico.
Para la estructura de dos pisos que se ha venido resolviendo la matriz de rigidez,
obtenida con inercias gruesas es la siguiente:
⎡1651.0
K =⎢
⎣− 684.8
− 684.8⎤
480.6 ⎥⎦
De la figura 5.6 se aprecia que el vector de cargas generalizadas, vale:
⎡0.9071 ⎤
Q=⎢
⎥
⎣2.1422 ⎦
Luego el sistema de ecuaciones lineales a resolver, es:
⎡1651.0
⎢− 684.8
⎣
− 684.8⎤
480.6 ⎥⎦
⎡q1 ⎤ ⎡0.9071⎤
⎢ ⎥=⎢
⎥
⎣q 2 ⎦ ⎣2.1422⎦
La solución del sistema de ecuaciones, reporta los desplazamientos elásticos.
⎡0.0059 m.⎤
q=⎢
⎥
⎣0.0128 m.⎦
Los desplazamientos inelásticos se hallan multiplicando los desplazamientos elásticos
por el factor R φ p φ e = 6 , de acuerdo al CEC-2000.
⎡0.0352 ⎤
q ine = ⎢
⎥
⎣0.0769 ⎦
Finalmente las derivas de piso, resultan:
0.0769 − 0.0352
= 0.0139
3.00
0.0352
γ1 =
= 0.0117
3.00
γ2 =
La deriva de piso máxima es γ = 1.39% . Se aprecia que los valores son menores a
1.5%.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
155
5.6 CONTROL DEL EFECTO P − ∆
Cuando se tienen desplazamientos laterales significativos, el peso propio tiende a
voltearla, de tal manera que en la estructura deformada, por la acción sísmica, actúan cargas
adicionales los mismos que son tomados en cuenta cuando se analiza con teoría de segundo
orden, en el próximo capítulo se estudiará con detenimiento este efecto P − ∆ . Por ahora nos
limitamos a ver como se efectúa este control por medio del índice de estabilidad de piso θ i .
Pi δ ei
Vi hi
θi =
( 5.29 )
Donde Pi es la carga vertical que gravita desde el piso i hasta el tope, se calcula en
función de la carga muerta D más el porcentaje de la carga viva L; Vi es el cortante de piso;
δ ei es la deriva de piso calculada con los desplazamientos elásticos q , y hi es la altura de
entrepiso. Se destaca que δ ei / hi es la deriva de piso elástica.
El CEC-2000 al igual que la norma NSR-98 de Colombia, establecen que si θ i ≤ 0.10
la estructura no tiene problemas de efecto P − ∆ y se prosigue con el cálculo pero si θ i ≥ 0.30
la estructura debe ser reforzada a menos que se demuestre mediante un análisis de segundo
orden que la estructura sigue siendo estable. Finalmente si 0.10 < θ i < 0.30 tanto las derivas
de piso como las fuerzas estáticas se multiplicarán por.
f P−∆ =
1
1 − θi
( 5.30 )
El control del CEC-2000 fue considerado en el programa MODALPLANONEW.
La normativa sísmica de Venezuela, COVENIN 1756-98 (Rev. 2001) es más exigente
en el control del efecto P − ∆ . Establece que si θ i < 0.08 la estructura no tiene problemas
de efecto P − ∆ pero si θ i > θ max la estructura debe ser reforzada ya que tendrá problemas
por el efecto de segundo orden.
θ max =
0.5
≤ 0.25
R
( 5.31 )
Con relación a la estructura de dos pisos que se está analizando en la tabla 5.3 se
presenta el control del efecto P − ∆ . La deriva de piso elástica se encuentra dividiendo la
deriva de piso inelástica para el factor R de acuerdo al CEC-2000.
Piso
1
2
Tabla 5.3
Fuerza
Horizontal
( T. )
0.9071
2.1422
Cálculo del índice de estabilidad de piso.
Cortante
( T. )
3.0493
2.1422
Peso desde
piso al tope
( T. )
19.80
9.9
Deriva de
piso elástica
θi
0.00195
0.00231
0.01265
0.0107
156
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
5.7 PROGRAMA MODALPLANONEW
El programa MODALPLANONEW realiza el análisis sísmico de un pórtico plano por el
Método de Superposición Modal considerando el espectro inelástico del CEC-2000 pero con
los factores de reducción de las fuerzas sísmicas indicados en el capítulo 2, para los cuatro
tipos de suelo.
Antes de utilizar el programa MODALPLANONEW se debe encontrar la matriz de
rigidez lateral del pórtico de dos formas: la primera considerando inercias agrietadas y la
segunda con inercias gruesas. Cuando se ejecuta el programa RLAXINFI se crea en consola
una matriz que tiene por nombre KL, el usuario debe cambiar este nombre para especificar si
es con inercia agrietada o con inercia gruesa.
Algunos detalles del programa se indican a continuación:
9
El factor de reducción de las fuerzas sísmicas es igual a 6 para perfiles de suelo
S1, S2 y S3. Para un perfil de suelo S4 el factor R = 5 .
9
Asociados con los factores R indicados la deriva máxima de piso debe ser igual a
1.5%.
9
El estado de cargas S., que se obtiene no se debe mayorar en las combinaciones
de carga.
9
Si la estructura es irregular en planta o elevación no se debe realizar un
análisis sísmico plano, si no un análisis sísmico espacial aunque sea con un
modelo de dos grado de libertad por planta, en el que se incluya la torsión
accidental pero si se utiliza el programa MODALPLANONEW se penaliza las
irregularidades en planta o elevación con factores φ p = 0.8 o φ e = 0.8 .
9
El análisis sísmico se realiza con inercias agrietadas de acuerdo al CEC-2000 que
considera para las vigas I V = 0.5 ∗ I g ; para las columnas I C = 0.8 ∗ I g .
9
El período con el cual se halla el cortante basal mínimo es el período asociado al
primer modo de vibración que se encuentra de la solución del problema de valores
y vectores propios.
9
Se utiliza el criterio de combinación modal de la Norma Técnica de Perú de 2003
que se indica nuevamente a continuación:
V = 0.25
N
∑
i =1
Vi + 0.75
N
∑V
2
i
i =1
9
Con inercias agrietadas se hallan las fuerzas estáticas máximas en cada uno de
los pisos. Posteriormente para el control de la deriva de los pórticos se calcula en
base a inercias gruesas.
9
El control del efecto P − ∆ se realiza de acuerdo al CEC-2000. Se destaca que se
obtiene con desplazamientos laterales elásticos.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
function [V]=modalplanonew(alt,pesoD,pesoL,KL,KLG)
%
% Analisis Modal plano empleando el Espectro Inelastico del CEC-2000
% El factor de reduccion de las fuerzas sismicas corresponde al encontrado
% en la investigacion realizada en el CEINCI-ESPE en 2007.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%
Diciembre de 2007
%----------------------------------------------------------------------% [V]=modalplanonew(alt,pesoD,pesoL,KL,KLG)
%----------------------------------------------------------------------% Ru Factor de reduccion por ductilidad Rs Factor de resistencia
% Rr Factor de redundancia
R Factor de reduccion
% H Altura total de edificio
Z Factor de Zona
% alt Vector que contine las alturas a cada piso medido desde la base.
% pesoD Vector que contiene la carga muerta D de cada piso.
% pesoL Vector que contiene el porcentaje de carga viva L de cada piso.
% KL Matriz de rigidez lateral del portico con inercias agrietadas.
% KLG Matriz de rigidez lateral del portico con inercias gruesas.
% PESO Peso total Reactivo.
V Cortante Basal
%
NP=length(alt);H=alt(NP); for i=1:NP-1; j=NP-i+1; alt(j)=alt(j)-alt(j-1);end
%Matriz de masas
for i=1:NP; masaD(i)=pesoD(i)/9.8; masaL(i)=pesoL(i)/9.8;
mas(i)=masaD(i)+masaL(i);end
masa=zeros(NP,NP);for i=1:NP; masa(i,i)=mas(i);end
PESO=0;for i=1:NP; PESO=PESO+pesoD(i);end;
fprintf ('\n Codigos para zonas sismicas: 0.15g=1 0.25g=2 0.30g=3 04g=4');
ic=input ('\n Ingrese el codigo de la zona sismica :');
if ic==1; Ao=0.15*9.8;Z=0.15;elseif ic==2;Ao=0.25*9.8;Z=0.25;
elseif ic==3;Ao=0.30*9.8;Z=0.30;else;Ao=0.40*9.8;Z=0.4;end
fprintf ('\n Codigos para perfiles de suelo: S1=1 S2=2 S3=3 S4=4');
is=input('\n Indique el codigo del tipo de suelo :');
if is==1
T1=0.50;T2=2.50;beta=2.5;S=1;R=6;
elseif is==2
T1=0.52;T2=3.11;beta=3.0;S=1.2;R=6;
elseif is==3
T1=0.82;T2=4.59;beta=2.8;S=1.5;R=6;
else
T1=2.0;T2=10;beta=2.5;S=2;R=5;
end
I=input('\n Indique el factor de importancia :');
% Periodos de vibracion y periodo fundamental
[V,D]=eig(KL,masa);W=sqrt(diag(D));
% Se ordenan las frecuencias y los modos de vibracion de menor a mayor
[Wn,II]=sort(W); for i=1:NP; fi(:,i)=V(:,II(i)); T(i)=2*pi/Wn(i);end;Tf=T(1);
rp=input('Estructura es regular en planta; si(s) o no(n):','s');
if rp=='s';fip=1;else;fip=0.8;end % Se penaliza por hacer una analisis plano
re=input('Estructura es regular en elevacion; si(s) o no(n):','s');
if rp=='s';fie=1;else;fie=0.8;end % Se penaliza por hacer una analisis plano
%Coeficiente C
C=(1.25*S^S)/Tf; if C >=beta; C=beta; end;if C <= 0.5; C=0.5; end
%Factores de participacion modal
for i=1:NP; b(i)=1; end;b=b';NUM=fi'*masa*b;DEN=diag(fi'*masa*fi);
for i=1:NP; gama(i)=abs(NUM(i)/DEN(i));end
157
158
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
R=R*fip*fie;
% Cortante Basal Minimo
Vmin=(Z*I*C*PESO)/R;
%Aceleraciones modales
for i=1:NP
if T(i)<=T1;Ad(i)=I*beta*Ao/R;elseif T(i)>T1 & T(i)<=T2;
Ad(i)=(1.25*I*Ao*S^S)/(T(i)*R);else;Ad(i)=I*Ao/(2*R);end
end
%Fuerzas modales
masafi=masa*fi;gamaAd=(gama.*Ad)';
for i=1:NP;
for j=1:NP;
P(j,i)=gamaAd(i)*masafi(j,i);
end
end
%Cortantes
VV=zeros(NP,NP);
for i=1:NP;
for j=1:NP;k=NP+1-j;
if k==NP;
VV(k,i)=VV(k,i)+P(k,i);
else
VV(k,i)=VV(k+1,i)+P(k,i);
end
end
end
%Criterio de Norma Tecnica de Peru de 2003 se aplica en cortantes
for i=1:NP
RRR(i)=0; RR(i)=0;
for j=1:NP
RRR(i)=RRR(i)+abs(VV(i,j)); RR(i)=RR(i)+VV(i,j)*VV(i,j);
end
Corte(i)=0.25*RRR(i)+0.75*sqrt(RR(i));
end;Corte=Corte';
%Calculo de las Fuerzas Laterales
for i=1:NP
j=NP+1-i;
if j==NP
F(j)=Corte(j);
else
F(j)=Corte(j)-Corte(j+1);
end
end
%Control del Cortante Basal Minimo
V=sum(F);F=F';
if Vmin > V; factor1=Vmin/V; F1=factor1*F; else F1=F; end;
%Control de la deriva de los porticos
q=KLG\F1; qine=R*q; F=F';
for i=1:NP
j=NP+1-i;
if j==1
drift(j)=qine(j)/alt(j);
else
drift(j)=(qine(j)-qine(j-1))/alt(j);
end
end
gamamax=max(drift)*100;
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
159
fprintf ('\n Modos de vibracion');fi
fprintf ('\n Periodos de vibracion');T
fprintf ('\n Factores de participacion');gama
fprintf ('\n Aceleraciones espectrales');Ad
fprintf ('\n Valor de reduccion de las fuerzas sismicas R'); R
fprintf ('\n Cortante Basal Minimo ');Vmin
fprintf ('\n Fuerzas laterales en los porticos sin controles');F'
fprintf ('\n Desplazamientos laterales inelasticos');qine
fprintf ('\n Derivas de piso'); drift'
fprintf ('\n Deriva maxima de piso en porcentaje, sin control de P-Delta');gamamax
%Control de efecto P-Delta
for i=1:NP
j=NP-i+1;
if j==NP
Peso(j)=masa(j,j)*9.8;Corte(j)=F1(j);
else
Peso(j)=masa(j,j)*9.8+Peso(j+1);Corte(j)=F1(j)+F1(j+1);
end
theta(j)=(Peso(j)/Corte(j))*(drift(j)/R);
if theta(j)>=0.30
fprintf ('\n Estructura debe ser reforzada');
elseif theta(j)>=0.10 & theta(j)<0.30
fpd(j)=1/(1-theta(j));
else
fpd(j)=1;
end
end
F2=max(fpd)*F1;V=sum(F);gamamax=max(fpd)*gamamax;
fprintf ('\n Deriva maxima de piso en porcentaje, con control de P-Delta');gamamax
fprintf ('\n Indice de estabilidad de piso');theta'
fprintf ('\n Fuerzas laterales finales luego de controles');F2
%---fin
La forma de ingreso de datos del programa MODALPLANONEW es la siguiente:
[V] = modosplano(altura,pesoD,pesoL,KL;KLG)
•
•
•
•
•
altura Vector que contiene las alturas de piso medidas desde la base.
pesoD Vector con información de los pesos debidos a carga muerta de cada uno de
los pisos, empezando desde el primer piso.
pesoL Vector con información del peso debido a carga viva en cada piso. Pero se
indica la carga considerando el % de aportación de la carga viva.
KL
Matriz de rigidez lateral del pórtico con inercias agrietadas.
KLG Matriz de rigidez lateral del pórtico con inercias gruesas.
El programa, en cada piso, suma la información del peso que se la ha suministrado por
carga muerta más carga viva y luego divide para la gravedad con lo cual se halla la masa de
piso. Por lo tanto, la carga viva que se indica ya debe contemplar el porcentaje debido a
la probabilidad de ocurrencia del sismo.
Por consola reporta lo más importante del análisis sísmico entre lo que se destaca lo
siguiente:
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
160
¾
Modos y períodos de vibración.
¾
Factores de participación modal.
¾
Aceleraciones espectrales.
¾
Factor de reducción de las fuerzas sísmicas R .
¾
Fuerzas laterales en cada piso sin controles de cortante basal mínimo, deriva de los
pórticos y efecto P − ∆ .
¾
Desplazamientos inelásticos en cada uno de los pisos.
¾
Deriva de piso sin control de efecto P − ∆ y con control de efecto P − ∆ .
¾
Índice de estabilidad de piso.
¾
Fuerzas laterales en cada piso luego de efectuar los controles de cortante basal
mínimo, deriva de los pórticos y efecto P − ∆ .
¾
Cortante Basal V
Si el índice de estabilidad de piso θ i > 0.30 el programa le da un mensaje
indicando la necesidad de reforzar la estructura. Si la deriva máxima de piso es mayor al
1.5% se debe reforzar la estructura.
•
EJEMPLO 2
Realizar un análisis sísmico plano, para el pórtico 2 de la estructura de 6 pisos indicada
en la figura 5.7. Esta estructura fue analizada en el capítulo anterior pero con dimensiones de
vigas y columnas diferentes. Las nuevas dimensiones se indican en la tabla 5.4, donde también
se indica la carga muerta y carga viva de cada piso. El módulo de elasticidad con el cual se
realizará el análisis sísmico es E = 1738965 .21 T / m 2 .
Piso
1
2
3
4
5
6
Tabla 5.4 Dimensiones y cargas de estructura de 6 pisos
Columnas
Vigas
Carga
Carga
Peso D
(cm.)
(cm.)
Muerta
Viva
(T.)
(kg/m2)
(kg/m2)
Exteriores
Interiores
60/60
65/65
45/50
735
200
55.125
60/60
65/65
45/50
700
200
52.500
60/60
65/65
45/50
660
200
49.500
55/55
60/60
40/50
610
200
45.750
55/55
60/60
40/50
570
200
42.750
50/50
55/55
40/50
525
200
39.375
0.25
Peso L
(T.)
3.75
3.75
3.75
3.75
3.75
3.75
La estructura se halla ubicada en un perfil de suelo S2, en la zona de mayor
peligrosidad sísmica de Ecuador ( Ao = 0.4 g ). Las dos últimas columnas de la tabla 5.4 se han
hallado multiplicando la carga D y L de las columnas 5 y 6 por el área cooperante de 75 m2.
(15 x 5 ). Además para la carga viva L está multiplicada por 0.25 ya que se trata de una
vivienda. Realizar el análisis sísmico utilizando el programa MODALPLANONEW.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
161
Figura 5.7 Distribución en planta de estructura de seis pisos.
•
SOLUCIÓN
En la figura 5.8 se muestra la geometría del pórtico 2. Se debe hallar la matriz de
rigidez lateral con inercias gruesas y con inercias agrietadas, de tal manera que se debe
ejecutar el programa RLAXINFI dos veces. Los resultados que reporta el programa, son:
Figura 5.8 Geometría del pórtico 2.
162
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
A continuación se indica como se ejecuta el programa MODALPLANONEW
>> pesoD=[ 55.125; 52.50; 49.50; 45.75; 42.75; 39.375]
>> pesoL=[ 3.75; 3.75; 3.75; 3.75; 3.75; 3.75]
>> altura=[ 3.0; 6.0; 9.0; 12.0; 15.0; 18.0]
>>[V]=modalplanonew(altura,pesoD,pesoL,KLA,KLG)
Códigos para zonas sísmicas: 0.15g=1 0.25g=2 0.30g=3 0.4g=4
Indique el código de la zona sísmica: 4
Códigos para perfiles de suelo: S1=1 S2=2 S3=3 S4=4
Indique el código del tipo de suelo: 2
Indique el factor de importancia: 1
Estructura es regular en planta; si(s) o no (n): s
%use minúsculas
Estructura es regular en elevación; si(s) o no (n): s
%use minúsculas
♦
PROGRAMA REPORTA
En la tabla 5.5 se indican los modos de vibración. Nótese que el primer modo no tiene
puntos de inflexión, el segundo modo tiene un punto de inflexión, el tercer modo tiene dos, el
cuarto tiene tres, el quinto tiene cuatro y el sexto tiene cinco puntos de inflexión.
Modo 1
0.1073
0.3141
0.5349
0.7399
0.8979
1.0000
Modo 2
0.3285
0.7643
0.8535
0.4344
-0.3035
-1.0000
Tabla 5.5 Modos de vibración
Modo 3
Modo 4
0.6618
0.8303
0.9302
0.3389
0.0203
-0.8915
-1.0000
-0.0618
-0.6070
1.0000
0.9455
-0.5874
Modo 5
0.9072
-0.4683
-0.3797
1.0000
-0.9018
0.3337
Modo 6
0.8314
-1.0000
0.9329
-0.6918
0.3825
-0.1110
En la tabla 5.6 se indican los períodos de vibración, el primero corresponde al período
fundamental, es bastante alto debido a que se obtuvo con inercias agrietadas. Se presenta
también los factores de participación y las aceleraciones espectrales. La aceleración espectral
del primer modo es la menor debido al período fundamental que es alto; este hecho de que la
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
163
aceleración espectral del primer modo es menor incide en la forma que se tiene de la
distribución de fuerzas laterales.
Tabla 5.6 Valores modales de período, factores de participación y aceleraciones espectrales
Modo
Período
Factores de
Aceleraciones
(s)
Participación
espectrales (m/s2)
0.9052
1.3467
1.1228
1
0.2887
0.5346
1.9600
2
0.1475
0.3084
1.9600
3
0.0905
0.2556
1.9600
4
0.0622
0.1794
1.9600
5
0.0480
0.1212
1.9600
6
En la tabla 5.7 se presenta en la primera columna las fuerzas laterales en cada piso,
sin ningún control. En la columna 2, los desplazamientos laterales inelásticos; en la columna 3
las derivas de piso obtenidos con los datos de la columna 2, se aprecia que la deriva máxima
es γ = 0.88% .
Piso
Fuerzas
Laterales sin
controles (T.)
1
2
3
4
5
6
2.9985
3.8845
3.4045
4.7444
6.1390
10.3712
R=6
γ
Tabla 5.7 Respuestas máximas probables
Desplazamientos
Índices de
Derivas de
Inelásticos
Estabilidad
Piso
( m. )
de piso
Fuerzas
Finales
( T. )
0.0150
0.0050
0.0359
3.1043
0.0411
0.0087
0.0477
4.0216
0.0674
0.0088
0.0333
3.5246
0.0926
0.0084
0.0172
4.9118
0.1132
0.0068
0.0059
6.3557
0.1275
0.0048
0.0031
10.7373
= 0.88% (sin control de P − ∆ ) γ = 0.88% (con control de P − ∆ )
En la columna 4 de la tabla 5.7 se muestran los índices de estabilidad de piso. Nótese
que el mayor valor es 0.0477 menor a 0.1.
REFERENCIAS
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Científicas y Colegio de Ingenieros Civiles de Pichincha., 292 p. Quito.
2. Aguiar R., (2004), Análisis Matricial de Estructuras, Centro de Investigaciones
Científicas, Escuela Politécnica del Ejército, Tercera edición, 550 p.
3. Aguiar R., García J., García L., Hinostroza G., Macías R., Rivera A., y Zevallos M.,
(2006), “Análisis de cuatro criterios de combinación modal”, Segundo Congreso
Nacional de Investigación Tecnológica e Innovación. Escuela Politécnica del Litoral, 10
p., Guayaquil.
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
164
4. Campos P., (2006), Análisis del Método de Superposición Modal, Tesis de Pregrado
para obtener título de Ing. Civil, Escuela Politécnica del Ejército, 223 p., Quito.
5. Chopra A., (2001), Dynamic of Structures: Theory and aplications to earthquake
engineering, 2nd edn., Prentice Hall: Saddle River New York.
6. CEC-2000, “Código Ecuatoriano de la Construcción”, XIII Jornadas Nacionales de
Ingeniería Estructural. Pontificia Universidad Católica del Ecuador, 325-350, Quito.
7. Gómez J., (2002), “Presentación de un nuevo modelo matemático para cálculo de la
respuesta modal total de estructuras de edificios”, XIII Congreso Nacional de Ingeniería
Estructural, Colegio de Ingenieros Civiles de Puebla, 10 p., Puebla, México.
8. Iberisa (2008), “Puente solicitado por un espectro sísmico”, www.iberisa.com.
9. Norma COVENIN 1756-98 (Rev. 2001), “Edificaciones Sismorresistentes”, FUNVISIS.
Ministerio de Desarrollo Urbano, 69 p., Caracas.
10. Norma NCh 433.Of 96, (1996). “Diseño sísmico de edificios”, Instituto de
Normalización. INN-Chile, 42 p, Santiago.
11. Norma E.030, (2003), Reglamento Nacional de Construcciones. Norma Técnica de
Edificaciones. Diseño Sismo resistente, Servicio Nacional de Normalización,
Capacitación e Investigación para la Industria de la Construcción. SENCICO, 36 p.,
Quito.
12. NSR-98, (1998). “Normas colombianas de diseño y construcciones sismo resistente”,
Asociación Colombiana de Ingeniería Sísmica, Tomo 1, Bogotá.
13. Santana G., (2008), “Evaluación del Código Sísmico de Guatemala”,www.disasterinfo.net, 13 p.
CAPÍTULO 6
ANÁLISIS SÍSMICO ESPACIAL POR EL
MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL
RESUMEN
Se presenta el análisis sísmico espacial de edificios considerando tres grados de
libertad por planta, ante la acción de un espectro de diseño inelástico. Con este modelo
numérico es factible realizar el análisis sísmico de estructuras de menos de diez pisos que
sean irregulares en planta y elevación, situados en cualquier zona sísmica, siempre y cuando la
estructura pueda ser modelada como piso rígido. Para edificios de más de diez pisos también
es aplicable el método siempre que la estructura sea regular en planta y elevación.
Se indica el procedimiento de análisis sísmico espacial, aplicando el Método de
Superposición Modal y se presenta el programa denominado MODALESPACIAL3GDLNEW
que sirve para encontrar las fuerzas estáticas equivalentes en cada uno de los pórticos de
acuerdo a lo establecido en el CEC-2000 pero utilizando el factor de reducción de las fuerzas
sísmicas indicado en el capítulo 2, para estructuras conformadas por vigas y columnas sin
muros de corte.
6.1 INTRODUCCIÓN
El modelo numérico de tres grados de libertad por planta, considera que la losa es
totalmente rígida en su plano y para esto debe cumplir las siguientes condiciones:
ƒ
El espesor de la losa tiene que ser mayor o igual a 10 cm., de una losa macisa; si la
losa es alivianada se debe encontrar el peralte equivalente de una losa macisa y
comprobar que este sea mayor a la dimensión anotada.
ƒ
Las relación entre la dimensión larga del edificio con relación a la dimensión corta no
debe ser mayor que 2.5.
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
166
ƒ
La suma de las aberturas de la losa que sean menores al 30% del área total de la
planta.
Si se incumple una de estas condiciones deberá analizarse con un modelo de piso
flexible, concentrando las masas en los nudos.
6.2 MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS DE PISO
En el capítulo 3 se presentó el cálculo de la matriz de rigidez en coordenadas de piso,
K E sin embargo vale la pena recordar los aspectos más importantes del cálculo. La matriz de
rigidez K E se halla con la siguiente ecuación:
KE =
NP
∑A
(i ) t
K L( i )
A(i )
( 6.1 )
i =1
Donde NP es el número total de pórticos de la estructura en sentido X y en sentido
K L(i )
Y.,
es la matriz de rigidez lateral del pórtico i; A (i ) es la matriz de compatibilidad de
deformaciones que relaciona las coordenadas laterales del pórtico, con las coordenadas de
piso. Se obtiene con la siguiente expresión.
[
A ( i ) = Cos α I
Sen α I
r
]
( 6.2 )
Siendo α el ángulo que forma la orientación positiva del pórtico con respecto al eje X;
I es la matriz identidad de orden N por N, donde N es el número de pisos y r es la matriz que
contiene las distancias desde el Centro de Masa, C.M., al pórtico. Los valores del vector r
tienen signo, serán positivos si la orientación positiva del pórtico rota en sentido antihorario con
respecto al C.M., caso contrario será negativo.
Al sistema de coordenadas de piso, se denomina Q − q y al sistema de coordenadas
laterales del pórtico se denomina sistema P − p . La matriz de compatibilidad A se define de
la siguiente forma:
p= Aq
( 6.3 )
Al efectuar el triple producto matricial indicado en ( 6.1 ) con todos los pórticos de la
estructura se halla la matriz de rigidez en coordenadas de piso, la misma que está compuesta
por las siguientes submatrices.
KE
⎡ K XX
⎢
=⎢
⎢⎣
K XY
K YY
K Xθ ⎤
⎥
K Yθ ⎥
K θθ ⎥⎦
( 6.4 )
Siendo K XX , K YY las matrices de rigidez lateral por traslación en sentido X, e Y,
respectivamente; K θθ es la matriz de rigidez torsional; K Xθ , K Yθ matrices de rigidez de
acoplamiento lateral con torsión; K XY es la matriz trasnacional de acoplamiento en las
direcciones X,Y; en estructuras con pórticos ortogonales K XY = 0
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
K XX =
∑ Cosα
2
K Xθ =
K YY =
K L( i )
∑ Cosα K
(i )
L
∑ Senα
2
K Yθ =
r (i )
K XY =
K θθ =
K L( i )
∑ Senα K
∑ Cosα Senα K
(i )
L
167
∑ K (r )
r (i )
(i )
L
(i ) 2
( 6.5 )
(i )
L
De tal manera que existen dos formas de hallar K E la primera empleando la ecuación
(6.1) y la segunda por medio de la ecuación (6.4). La matriz de rigidez K E es de orden 3N por
3N. Como se indicó N es el número de pisos.
6.3 MATRIZ DE MASAS
La matriz de masas M se obtiene de la evaluación de la energía cinética de la
estructura. Aguiar (2007). Si las coordenadas de piso se toman en el C.M., y si los grados de
libertad se numeran en primer lugar todos los desplazamientos en sentido X, luego todos los
desplazamientos en sentido Y, finalmente las rotaciones de piso. Esta matriz resulta.
⎡m
M = ⎢⎢
⎢⎣
m
⎤
⎥
⎥
J ⎥⎦
( 6.6 )
Donde m es la sub matriz de masas y J es la sub matriz de momentos de inercia de
las masas.
⎡m1
⎢
⎢
⎢
m= ⎢
⎢
⎢
⎢
⎣⎢
m2
"
mi
"
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
m n ⎦⎥
( 6.7 )
Siendo m i la masa total del piso i, la misma que se obtiene en base a la carga muerta
D más un porcentaje de la carga viva L. El porcentaje depende del uso de la estructura, así por
ejemplo si se tiene una bodega se puede considerar que este porcentaje es del 50%, depende
de que porcentaje de la carga viva va a estar almacenada frecuentemente en la bodega.
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
168
⎡ J1
⎢
⎢
⎢
J=⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
J2
"
Ji
"
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
J n ⎥⎦
( 6.8 )
Donde J i es el momento de inercia de la masa m i . Para una planta rectangular de
dimensiones a i , bi , el momento de inercia con respecto al C.M., vale:
Ji =
(
mi 2
ai + bi2
12
)
( 6.9 )
Si la losa no es regular o tiene aberturas, el momento de inercia se encuentra
empleando el teorema de los ejes paralelos. Para ello se tiene que dividir la planta de la
estructura en figuras rectangulares y hallar el momento de inercia de cada figura rectangular
con respecto al centro de masa y aplicar el teorema de los ejes paralelos, expresado mediante
la siguiente ecuación.
Ji =
∑
j
J CM j + m j d 2j
( 6.10 )
Donde d j es la distancia desde el centro de masas de la planta rectangular j al centro
de masas total de la planta.
6.4 PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
El procedimiento de análisis sísmico con tres grados de libertad por planta y utilizando
el espectro de diseño inelástico del CEC-2000, con el factor R propuesto en el capítulo 2, para
estructuras sin muros de corte es el siguiente:
i.
Se determina la matriz de rigidez lateral K L de cada uno de los pórticos de la
estructura con inercias agrietadas. Puede utilizarse el programa RLAXINFI, si el
pórtico no tiene muros de corte o el programa RLAXINFIMURO si el pórtico tiene
muros de corte. Estos programas fueron presentados en el capítulo 3.
ii.
Se halla el vector r de cada uno de los pórticos. Este vector contiene las distancias del
centro de masa, al pórtico en cada uno de los pisos.
iii.
Se encuentra la matriz A de cada pórtico, con la ecuación ( 6.2 ).
iv.
Se determinan las submatrices de K E utilizando el formulario (6.5) o la ecuación (6.1).
v.
Se encuentra la matriz de masas M en coordenadas de piso, con ecuación ( 6.6 ).
vi.
Se hallan los valores y vectores propios con K E y con la matriz de masa M .
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
169
vii.
Con los valores propios se determinan las frecuencias y períodos de vibración Ti , en
cada modo.
viii.
Con cada período Ti se ingresa al espectro inelástico y se halla la aceleración
espectral Adi .
Hasta este punto no se ha especificado la dirección del análisis sísmico. Ahora es
necesario definir esta dirección.
Para el análisis sísmico en sentido X, se tiene:
ix.
Se encuentran los factores de participación modal γ ix
γ ix =
φ (i )t M b x
φ (i )t M φ (i )
( 6.11 )
⎡1 ⎤
b x = ⎢⎢0⎥⎥
⎢⎣0⎥⎦
( 6.12 )
Donde 1 es el vector unitario de orden N; 0 es el vector que contiene solo ceros, de
orden N. Siendo N el número de pisos.
x.
Se encuentran las cargas máximas modales en centro de masa Q ( i )
Q ( i ) = γ ix Adi M φ ( i )
( 6.13 )
El vector Q ( i ) está compuesto por las fuerzas horizontales en sentido X, que se
denomina a continuación F X , las fuerzas van desde el primer piso al último piso; luego
las fuerzas horizontales en sentido Y empezando por el primer piso FY y finalmente
los Momentos de Torsión M T , desde el primer piso. El índice que está entre
paréntesis identifica el modo de vibración.
Q
(i )
⎡F X ⎤
= ⎢⎢ FY ⎥⎥
⎢⎣ M T ⎥⎦
xi.
Para el análisis sísmico en sentido X, se trabaja con el subvector F X y se determinan
los cortantes en cada modo de vibración.
xii.
Se aplica un criterio de combinación modal en los cortantes y se halla el cortante
resultante. Se recomienda utilizar el criterio estipulado en la Norma Técnica de Perú de
2003.
xiii.
A partir del cortante resultante se encuentran las fuerzas resultantes F X en el centro
de masa.
170
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
xiv.
Se obtienen las fuerzas debidas a la torsión accidental en centro de masas como se
especificó en el capítulo 4. Se trabaja con matriz de rigidez en coordenadas de piso
encontrada con inercias gruesas.
xv.
Se hallan las fuerzas finales sumando las fuerzas obtenidas del método de
superposición modal con las de torsión accidental. Este instante se tienen las fuerzas
en el C.M. con las cuales se realizan los controles que se indican a continuación.
xvi.
Se efectúa el control del Cortante Basal Mínimo.
xvii.
Se realiza el control de la deriva de la estructura con la matriz de rigidez K E hallada
con inercias gruesas.
γi =
q INE i − q INE i −1
hi
( 6.14 )
Donde q INE es el desplazamiento lateral inelástico el mismo que se halla, de acuerdo
al CEC-2000 multiplicando el desplazamiento elástico q por el factor de reducción de
las fuerzas sísmicas R . q INE i es el desplazamiento inelástico en el piso i, q INE i −1 es
el desplazamiento inelástico en el piso i-1; hi es la altura de piso. Si se trabaja con los
factores R indicados en el capítulo 2, el valor máximo de γ será menor a 1.5%,
caso contrario se debe reforzar la estructura.
xviii.
Se realiza el control del efecto P − ∆ . Para ello se determina el índice de estabilidad
de piso θ i
θi =
Pi =
Pi δ ei
Vi hi
( 6.15 )
NP
∑W j
δ ei = qi − qi −1
j =i
Siendo Pi la carga vertical que gravita desde el piso i hasta el último piso NP ; δ ei es
la deriva de piso calculada con los desplazamientos elásticos q ; Vi es el cortante
del piso i; hi es la altura del piso i; W j es el peso del piso j.
Si θ i < 0.10 no hay problema de efecto P − ∆ , si θ i > 0.30 probablemente la
estructura tenga problemas de inestabilidad por lo que se requiere reforzar la estructura
y si 0.10 ≤ θ i < 0.30 . Las fuerzas laterales deben multiplicarse por el factor f P − ∆ ; lo
propio las derivas de piso.
f P−∆ =
1
1 − θi
( 6.16 )
La mayor parte del procedimiento indicado ha sido ya aplicado en los dos capítulos
anteriores.
Una vez que se termina con el análisis sísmico en sentido X, se procede a realizar el
análisis sísmico en sentido Y, repitiendo el procedimiento a partir del paso ix.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
171
Para el análisis sísmico en sentido Y, se debe calcular los factores de participación
modal γ iy .
γ iy =
φ (i )t M b y
φ (i )t M φ (i )
⎡0⎤
b y = ⎢⎢1 ⎥⎥
⎢⎣0⎥⎦
( 6.17 )
( 6.18 )
Con el factor de participación modal γ iy se hallan las cargas en centro de masa en
cada modo de vibración y posteriormente con las fuerzas en sentido Y que se ha denominado
FY se hallan los cortantes y se procede con el análisis en forma similar a la indicada para el
sentido X.
Realizar el análisis sísmico en sentido X, o en sentido Y, significa considerar que en
esas direcciones viene el sismo pero en la realidad el sismo puede registrarse en cualquier
dirección, esta posibilidad se lo cubre con lo que se denomina Simultaneidad de las acciones
sísmicas. Hernández y López (2003).
•
EJEMPLO 1
Realizar un análisis sísmico en dirección X, considerando tres grados de libertad por
planta, ante el sismo de diseño estipulado en el Código Ecuatoriano de la Construcción, CEC2000, para un perfil de suelo S2 de la ciudad de Quito, de la vivienda de dos pisos cuya
distribución en planta se indica en la figura 6.1 y sobre la cual gravita una carga muerta de 500
Kg/m2 y una carga viva de 200 Kg/m2. Analizar para un valor de reducción de las fuerzas
sísmicas R = 6 .
Figura 6.1 Distribución en planta de estructura de dos pisos.
•
SOLUCIÓN
172
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
En la figura 6.2 se indican los grados de libertad considerados en el análisis sísmico.
Los vectores de coordenadas generalizadas q y de cargas Q son:
Figura 6.2 Grados de libertad considerados en el análisis sísmico.
⎡q1 ⎤
⎢q ⎥
⎢ 2⎥
⎢" ⎥
⎢ ⎥
q3
q = ⎢⎢ ⎥⎥
q
⎢ 4⎥
⎢" ⎥
⎢q ⎥
⎢ 5⎥
⎢⎣q 6 ⎥⎦
⎡Q1 ⎤
⎢Q ⎥
⎢ 2⎥
⎢" ⎥
⎢ ⎥
Q3
Q = ⎢⎢ ⎥⎥ =
Q
⎢ 4⎥
⎢" ⎥
⎢Q ⎥
⎢ 5⎥
⎢⎣Q6 ⎥⎦
⎡F X ⎤
⎢F ⎥
⎢ Y ⎥
⎢⎣ M T ⎥⎦
Donde q1 , q 2 son los desplazamientos horizontales en sentido X, de los pisos 1 y 2;
q 3 , q 4 son los desplazamientos horizontales en sentido Y, de los pisos 1 y 2; q 5 , q 6 son las
rotaciones de piso de los pisos 1 y 2. Por otra parte, Q1 , Q 2 son las fuerzas horizontales en
sentido X, en los pisos 1 y 2; Q3 , Q 4 son las fuerzas horizontales en sentido Y, en los pisos 1 y
2; Q5 , Q6 son los momentos de torsión de los pisos 1 y 2. Al tener 6 grados de libertad se
tendrán 6 modos de vibración.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
173
Las matrices de rigidez lateral con inercias agrietadas de los pórticos, con un módulo
de elasticidad E = 1738965 .21 T / m 2 , son:
− 492.6⎤
317.9 ⎥⎦
⎡1243.5
K L(1) = K L( 2) = ⎢
⎣− 492.6
− 171.7738⎤
124.7962 ⎥⎦
⎡ 404.8093
K L( A) = K L( B ) = K L(C ) = ⎢
⎣− 171.7738
Las distancias desde el C.M. hasta cada uno de los pórticos se indican en la tabla 6.1,
en la última columna se indica la sub matriz r .
Pórtico
Tabla 6.1 Distancia del centro de masa al pórtico y Matriz r
Primer Piso
Segundo Piso
1
-2.0 m.
-2.0 m.
2
2.0 m.
2.0 m.
A
-4.5 m.
-4.5 m.
B
-0.5 m.
-0.5 m.
C
4.5 m.
4.5 m.
Matriz r
⎡− 2
r (1) = ⎢
⎣0
⎡2
r ( 2) = ⎢
⎣0
0⎤
− 2⎥⎦
0⎤
2⎥⎦
0⎤
⎡ − 4 .5
r ( A) = ⎢
− 4.5⎥⎦
⎣0
0⎤
⎡ − 0. 5
r (B ) = ⎢
− 0.5⎥⎦
⎣0
0⎤
⎡ 4 .5
r (C ) = ⎢
4.5⎥⎦
⎣0
El ángulo α para los pórticos 1 y 2 es 0 grados y para los pórticos A, B y C es 90
grados. Con esta acotación las matrices de compatibilidad de cada uno de los pórticos, son:
⎡1
A (1) = ⎢
⎣0
⎡1
A ( 2) = ⎢
⎣0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
−2
0
0⎤
− 2⎥⎦
2
0
0⎤
2⎥⎦
⎡0
A ( A) = ⎢
⎣0
0
0
1
0
0
1
− 4 .5
0⎤
0
− 4.5⎥⎦
⎡0
A (B ) = ⎢
⎣0
0
0
1
0
0
1
− 0 .5
0⎤
0
− 0.5⎥⎦
⎡0
A (C ) = ⎢
⎣0
0
0
1
0
0
1
4.5
0
0⎤
4.5⎥⎦
174
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
La matriz triangular superior, de la matriz de rigidez, que es simétrica, K E calculada
con inercias agrietadas es:
KE
⎡2487.1
⎢
⎢
⎢
=⎢
⎢
⎢
⎢
⎣⎢
− 985.1
635.8
0.0
0.0
1214.4
0.0 ⎤
0.0 ⎥⎥
86.0 ⎥
⎥
86.0
− 62.0 ⎥
26444.0 − 10940⎥
⎥
7629 ⎦⎥
0.0
0 .0
− 515.3
0 .0
0.0
− 202.0
374.4
La matriz de masas resulta:
⎡2.0204
⎢
⎢
⎢
M =⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
2.0204
2.0204
2.0204
16.3316
m1 = m2 =
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
16.3316⎥⎦
(0.5 + 0.25 ∗ 0.2) ∗ 9 ∗ 4 = 2.0204 T s 2
9.8
m
2.0204 2
2
2
4 + 9 = 16.3316 T m s
J1 = J 2 =
12
(
)
En la tabla 6.2 se indican los valores propios, las frecuencias de vibración y los
períodos de cada un de los modos, que se hallan a partir de la solución del problema de
valores y vectores propios.
Modo
1
2
3
4
5
6
Tabla 6.2 Propiedades dinámicas de estructura de 2 pisos
Valor Propio
Frecuencia
Natural (1/s)
64.0
8.00
103.8
10.1866
159.8
12.6411
720.7
26.8469
1441.9
37.9721
1928.1
43.9106
Período
( s.)
0.7854
0.6168
0.4970
0.2340
0.1655
0.1431
En la tabla 6.3 se muestran los modos de vibración. Se aprecia que el primer modo se
desplaza en sentido Y con un ligero acoplamiento torsional; el segundo modo se desplaza en
X; el tercer modo es rotacional con acoplamiento del desplazamiento en la dirección Y; los tres
modos restantes tienen similar comportamiento a los tres primeros.
Tabla 6.3 Modos de vibración
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
Modo 1
0.0000
0.0000
-0.3016
-0.6350
-0.0041
-0.0088
Modo 2
-0.2793
-0.6457
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
Modo 3
0.0000
0.0000
0.0125
0.0247
-0.1031
-0.2247
Modo 4
0.0000
0.0000
-0.6351
0.3017
-0.0080
0.0034
Modo 5
-0.6457
0.2793
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
175
Modo 6
0.0000
0.0000
0.0223
-0.0106
-0.2248
0.1032
En la tabla 6.4 se indican los factores de participación modal, las aceleraciones
espectrales y en la parte inferior los factores que conducen al cálculo del factor de reducción de
las fuerzas sísmicas. Se observa que únicamente los modos 2 y 5 contribuyen a la respuesta
sísmica en sentido X, ya que los restantes factores de participación modal son nulos.
Tabla 6.4 Factores de participación y aceleraciones espectrales en m/s2
Modo 2
Modo 3
Modo 4
Modo 5
Modo 1
γ1 = 0
Ad 1 = 1.2941
γ 2 = 1.8689
γ3 =0
Ad 2 = 1.6478
Ad 3 = 1.96
γ4 =0
γ 5 = 0.7403
Ad 4 = 1.96
R=6
Ad 5 = 1.96
Modo 6
γ6 =0
Ad 6 = 1.96
Las cargas modales que se hallan con la ecuación ( 6.13 ) se indican en la tabla 6.5, se
aprecia que solo existen fuerzas en los dos pisos en sentido X.
Tabla 6.5 Cargas en centro de masa para modos dos y cinco
Segundo Modo
Quinto Modo
-1.7379 T.
-4.0177 T.
0
0
0
0
-1.8929 T.
0.8188 T.
0
0
0
0
En la figura 6.3 se presentan las fuerzas en centro de masa, para el segundo y quinto
modo de vibración, a la izquierda; con los datos de la tabla 6.5; a la derecha de la figura 6.3 se
indica en primer lugar el cortante que se halla luego de aplicar el criterio de combinación modal
de la Norma Técnica de Perú que se indica a continuación y las fuerzas resultantes en centro
de masa.
V = 0.25
N
∑
i =1
Vi + 0.75
N
∑V
2
i
i =1
V2 = 0.25 ∗ (4.0177 + 0.8188) + 0.75 4.0177 2 + 0.8188 2 = 4.2843 T .
V1 = 0.25 ∗ (5.7556 + 1.0741) + 0.75 5.7556 2 + 1.07412 = 6.0986 T .
176
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Figura 6.3 Fuerzas y Cortantes modales y resultante
Con estos datos, los momentos de torsión accidental valen:
M T 1 = 1.8143 ∗ 0.05 ∗ 4 * 1 = 0.36286 Tm.
M T 2 = 4.2843 ∗ 0.05 ∗ 4 * 1 = 0.85686 Tm.
Luego el vector de cargas para la torsión accidental, es:
⎡0.0000 ⎤
⎢0.0000 ⎥
⎥
⎢
⎢0.0000 ⎥
Q=⎢
⎥
⎢0.0000 ⎥
⎢0.36286 ⎥
⎥
⎢
⎣⎢0.85686 ⎦⎥
El vector de coordenadas generalizadas q que se halla de la solución del sistema de
ecuaciones lineales, definido por:
Q = KE q
Donde K E es la matriz de rigidez en coordenadas de piso, hallada con inercias
gruesas debido a que con la torsión accidental se trata de corregir las incertidumbres que se
tiene en la determinación de la excentricidad total. La matriz K E con inercias gruesas, resulta.
KE
⎡ 3302
⎢− 1370
⎢
⎢
0
=⎢
0
⎢
⎢
0
⎢
0
⎢⎣
− 1370
0
961
0
0
0
0
1603
− 709
− 267
0
− 709
556
118
0
− 267
118
34987
0
118
− 93
− 15106
0
0
⎤
⎥
0
⎥
118 ⎥
⎥
− 93 ⎥
− 15106⎥
⎥
11394 ⎥⎦
0
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
177
De la solución del sistema de ecuaciones se obtiene:
⎤
⎡0.0000
⎥
⎢0.0000
⎥
⎢
⎢0.0167 ∗ 10 −3 ⎥
⎥
q=⎢
⎢0.0347 ∗ 10 −3 ⎥
⎥
⎢
⎢0.1003 ∗ 10 −3 ⎥
⎢
−3 ⎥
⎢⎣0.2083 ∗ 10 ⎥⎦
Ahora al multiplicar el vector q por la matriz de compatibilidad de cada uno de los
pórticos se hallan los desplazamientos laterales en cada pórtico p . Finalmente al multiplicar la
matriz de rigidez lateral del pórtico por estos desplazamientos laterales se encuentran las
fuerzas laterales en los pórticos. En el capítulo 4 se detalló este cálculo razón por la cual
únicamente se presentan las fuerzas laterales que se hallan en los pórticos debidos a la torsión
accidental.
•
Fuerzas Laterales por torsión accidental en pórticos
⎡0.0460 T .⎤
P (1) = ⎢
⎥
⎣0.0628 T .⎦
⎡0.0460 T .⎤
P ( 2) = ⎢
⎥
⎣0.0628 T .⎦
Cuando se realiza el análisis sísmico en sentido Y, se incrementarán las fuerzas
laterales de los pórticos en sentido Y. Sin embargo se indican las fuerzas laterales que se
hallan en los pórticos en sentido Y, debido a la torsión accidental.
⎡0.0191 T . ⎤
P ( A) = ⎢
⎥
⎣0.0645 T .⎦
⎡0.0015 T .⎤
P (B) = ⎢
⎥
⎣0.0050 T .⎦
⎡0.0205⎤
P (C ) = ⎢
⎥
⎣0.0695⎦
Al sumar estas fuerzas laterales de los pórticos en sentido X, al vector de cargas Q se
encuentra, el vector de cargas Q considerando la torsión accidental, este resulta:
⎡1.9062 ⎤
⎢4.4100⎥
⎢
⎥
⎢0.0000 ⎥
Q=⎢
⎥
⎢0.0000 ⎥
⎢0.0000 ⎥
⎢
⎥
⎣⎢0.0000 ⎦⎥
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
178
Con el vector de cargas indicado se realiza el control de la deriva de los pórticos, el
control del efecto P − ∆ y se determinan las fuerzas finales en Centro de Masa. Todo esto se
halla con la matriz de rigidez en coordenadas de piso hallado con inercias gruesas.
•
Control de la Deriva Máxima de Piso
El vector de coordenadas generalizadas q inelástico que se encuentra multiplicando el
vector q por el factor R φ p φ e = 6 . El vector q INE en metros para los desplazamientos y
radianes para los giros es el siguiente.
q INE
⎡0.0364⎤
⎢0.0794⎥
⎢
⎥
⎢0.0000⎥
=⎢
⎥
⎢0.0000⎥
⎢0.0000⎥
⎢
⎥
⎢⎣0.0000⎥⎦
Con estas cantidades se halla la deriva de piso.
γ1 =
0.0364
= 0.0121
3
γ2 =
0.0794 − 0.0364
= 0.0143
3
La deriva máxima de piso es 1.43%. Cantidad alta pero es menor al 1.5%.
•
Control del efecto P − ∆
Se determina el índice de estabilidad de piso θ i con las derivas de piso elásticas.
Para esto las derivas de piso inelásticas indicadas en el apartado anterior se deben dividir para
el factor R
En la tabla 6.6 se resume el cálculo del índice de estabilidad θ i cuyos valores son
menores a 0.10, por lo que no se incrementan las fuerzas laterales en sentido X, ni las derivas
de piso. En la tabla 6.6 se indica en primer lugar θ i del piso 2, luego del 1.
Piso
2
1
Tabla 6.6 Cálculo del índice de estabilidad de piso.
Peso
Cortante de
Deriva
Acumulado
Piso
de piso
19.8 T.
39.6 T.
4.4100
6.3162
0.00238
0.00201
Índice de
estabilidad de
piso
0.0107
0.0127
Finalmente las fuerzas finales en centro de masa se reparten a los pórticos, las mismas
que se indican en la figura 6.4 para el pórtico 1, que es igual a la del pórtico 2.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
179
Figura 6.4 Fuerzas estáticas en el pórtico 1 debido a sismo en X.
6.5 PROGRAMA MODALESPACIAL3GDLNEW
El programa MODALESPACIAL3GDLNEW realiza el análisis sísmico de una
estructura compuesta solamente por vigas y columnas, ante el espectro del CEC-2000,
reducido por el factor de reducción de fuerzas sísmicas indicado en el capítulo 2. Este
programa ha sido elaborado con las siguientes condiciones:
•
El centro de masa es colineal en todos los pisos. Por este motivo se ingresa un
solo valor de r por pórtico. Si la ubicación del centro de masa varía de piso a piso
se tendría que ingresar el valor de r en cada piso. Se puede muy fácilmente modificar
el programa para dar como dato la distancia del centro de masa al pórtico en cada piso.
•
El factor de reducción de las fuerzas sísmicas R es el indicado en el capítulo 2. Para
estructuras en suelo S1, S2 o S3 el factor R = 6 . Para suelo S4, R = 5 .
•
La deriva de piso máxima permitida es 1.5%.
•
La Torsión accidental se encuentra moviendo el centro de masa el 5% de la dimensión
perpendicular a la del análisis sísmico. Los desplazamientos debidos a la torsión
accidental se hallan con la matriz de rigidez calculada con inercias gruesas.
•
El efecto P − ∆ se evalúa de acuerdo al CEC-2000. Con derivas de piso elásticas.
•
El criterio de combinación modal utilizado es el de la Norma Sísmica de Perú de 2003.
La forma de uso del programa es la siguiente:
[V]=modalespacial3gdl(ejes,altura,pesoD,pesoL,KLA,KLG,r)
Donde:
ƒ
ejes es el número de ejes que tiene la estructura en la dirección del análisis sísmico.
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
180
ƒ
altura es un vector que contiene la altura medida desde la base a cada uno de los
pisos.
ƒ
pesoD es un vector con información del peso total debido a carga muerta en cada uno
de los pisos.
ƒ
pesoL es un vector que contiene la fracción del peso considerado en el análisis
sísmico, de la carga viva de cada piso.
ƒ
KLA es una matriz compuesta por la matriz de rigidez lateral de todos los pórticos,
calculados con inercias agrietadas. Primero se indican la de los pórticos en sentido X,
luego de los pórticos en sentido Y.
ƒ
KLG es una matriz conformada por la matriz de rigidez lateral de todos los pórticos,
calculados con inercias gruesas. De igual manera primero se indican de los pórticos en
sentido X y después en sentido Y.
ƒ
r es un vector que contiene la distancia del centro de masa a cada uno de los pórticos,
con su respectivo signo, se da un solo valor por pórtico. Primero se indica de los
pórticos en sentido X, luego los de sentido Y.
El Programa Reporta:
¾
Factor de reducción de las fuerzas sísmicas R .
¾
Fuerzas laterales en centro de masa sin torsión accidental y con torsión accidental.
¾
Desplazamiento lateral máximo inelástico en cada piso, en centro de masa, en base a
las fuerzas finales del análisis.
¾
Deriva de piso, evaluada en el centro de masa de cada piso.
¾
Deriva máxima de piso sin y con control de efecto P − ∆ .
¾
Índices de estabilidad θ i en cada piso de la estructura.
¾
Fuerzas estáticas equivalentes en cada uno de los pórticos, considerando la torsión
accidental y luego del control de cortante basal mínimo, deriva de los pórticos y efecto
P−∆
¾
Cortante Basal V
function [V]=modalespacial3gdlnew(iejes,alt,pesoD,pesoL,KL,KLG,r)
%
% Analisis modal espacial considerando tres grado de libertad por planta
% empleando el Espectro Inelastico del CEC-2000
% Factor de reduccion de las fuerzas sismicas de acuerdo a lo encontrado
% en el proyecto de investigacion cientifica finalizado en 2007 en la ESPE.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%
Diciembre de 2007
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
%----------------------------------------------------------------------% [V]=modalespacial3gdlnew(u,iejes,alt,pesoD,pesoL,KL,KLG,r)
%----------------------------------------------------------------------% R Factor de reduccion de las fuerzas sismicas
% Z Factor de Zona
% iejes # de ejes de columnasen direccion de analisis sismico.
% alt Vector que contine las alturas a cada piso medido desde la base.
% pesoD Vector que contiene la carga muerta D de cada piso.
% pesoL Vector que contiene el porcentaje de carga viva L de cada piso.
% KL Matriz que contiene las matrices de rigidez lateral de todos los
%
porticos, con inercias agrietadas. Primero los de sentido X.
% KLG Matriz que contiene las matrices de rigidez lateral de todos los
%
porticos con inercias gruesas. Primero los de sentido X.
% r Vector que contiene la distancia del portico al centro de masa, de
%
cada uno de los porticos, con signo, positivo antihorario.
% PESO Peso total Reactivo.
V Cortante Basal
%
NP=length(alt); for i=1:NP-1; j=NP-i+1; alt(j)=alt(j)-alt(j-1);end;
ntot=input ('\n Numero total de porticos de la estructura :');
fprintf ('\n Codigos para analisis sismico: Sentido X=1 Sentido Y=2');
isismo=input ('\n Ingrese codigo de sentido de analisis sismico :');
if isismo==1;nx=iejes; ny=ntot-nx;else;ny=iejes; nx=ntot-ny;end;
%Submatrices de rigidez: KEE, con inercias agrietadas
Kxx=zeros(NP,NP);Kyy=zeros(NP,NP);Kteta=zeros(NP,NP);cero=zeros(NP,NP);
Kxt=zeros(NP,NP);Kyt=zeros(NP,NP);for k=1:NP;identidad(k,k)=1;end;
for i=1:ntot
for k=1:NP
rtet(k,k)=r(i);
end
rteta=rtet*rtet;
ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;
if i<=nx
Kxx=Kxx+KL(ji:jf,1:NP);Kxt=Kxt+KL(ji:jf,1:NP)*rtet;
Kteta=Kteta+KL(ji:jf,1:NP)*rteta;
A(ji:ji+NP-1,:)=[identidad cero rtet];
else
Kyy=Kyy+KL(ji:jf,1:NP);Kyt=Kyt+KL(ji:jf,1:NP)*rtet;
Kteta=Kteta+KL(ji:jf,1:NP)*rteta;
A(ji:ji+NP-1,:)=[cero identidad rtet];
end
end
%Matriz de rigidez espacial con 3 grados de libertad por planta
KE=[Kxx cero Kxt;cero Kyy
Kyt;Kxt Kyt Kteta];
%Matriz de masas
disty=abs(r(1))+abs(r(nx));distx=abs(r(nx+1))+abs(r(ntot));
for i=1:NP; masaD(i)=pesoD(i)/9.8; masaL(i)=pesoL(i)/9.8;
mas(i)=masaD(i)+masaL(i);end
masa=zeros(NP,NP);for i=1:NP; masa(i,i)=mas(i);end
mj=zeros(NP,NP);for i=1:NP, mj(i,i)=mas(i)*(distx^2+disty^2)/12;end
MASA=[masa cero cero;cero masa cero;cero cero mj];
PESO=0;for i=1:NP; PESO=PESO+pesoD(i);end;
fprintf ('\n Codigos para zonas sismicas: 0.15g=1 0.25g=2 0.30g=3 04g=4');
ic=input ('\n Ingrese el codigo de la zona sismica :');
if ic==1; Ao=0.15*9.8;Z=0.15;elseif ic==2;Ao=0.25*9.8;Z=0.25;
elseif ic==3;Ao=0.30*9.8;Z=0.30;else;Ao=0.40*9.8;Z=0.4;end
fprintf ('\n Codigos para perfiles de suelo: S1=1 S2=2 S3=3 S4=4');
is=input('\n Indique el codigo del tipo de suelo :');
181
182
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
if is==1
T1=0.50;T2=2.50;beta=2.5;S=1;R=6;
elseif is==2
T1=0.52;T2=3.11;beta=3.0;S=1.2;R=6;
elseif is==3
T1=0.82;T2=4.59;beta=2.8;S=1.5;R=6;
else
T1=2.0;T2=10;beta=2.5;S=2;R=5;
end
I=input('\n Indique el factor de importancia :');
% Periodos de vibracion y periodo fundamental
[V,D]=eig(KE,MASA);W=sqrt(diag(D));
% Se ordenan las frecuencias y los modos de vibracion de menor a mayor
[Wn,II]=sort(W);for i=1:3*NP; fi(:,i)=V(:,II(i)); T(i)=2*pi/Wn(i);end;
%Factores de participacion modal
for i=1:NP;bb(i)=1;cer(i)=0;end;bb=bb';cer=cer';
if isismo==1
B=[bb; cer; cer];
else
B=[cer; bb; cer];
end
NUM=fi'*MASA*B;DEN=diag(fi'*MASA*fi);
for i=1:3*NP; gama(i)=abs(NUM(i)/DEN(i));end
if gama(1)==0
Tf=T(2);
else
Tf=T(1);
end
fip=input('\n Indique el factor de irregularidad en planta :');
fie=input('\n Indique el factor de irregularidad en elevacion :');
R=R*fip*fie;
%Coeficiente C
C=(1.25*S^S)/Tf; if C >=beta; C=beta; end;if C <= 0.5; C=0.5; end
fprintf ('\n Valor de reduccion de las fuerzas sismicas R');R
% Cortante Basal Minimo
Vmin=(Z*I*C*PESO)/(R*fip*fie);fprintf ('\n Cortante Basal Minimo ');Vmin
%Aceleraciones modales
for i=1:3*NP
if T(i)<=T1;Ad(i)=I*beta*Ao/R;elseif T(i)>T1 & T(i)<=T2;
Ad(i)=(1.25*I*Ao*S^S)/(T(i)*R);else;Ad(i)=I*Ao/(2*R);end
end
%Fuerzas modales en centro de masas
masafi=MASA*fi;gamaAd=(gama.*Ad)';
for i=1:3*NP;
for j=1:3*NP;
P(j,i)=gamaAd(i)*masafi(j,i);
end
end
%Cortantes modales en centro de masas
VV=zeros(3*NP,3*NP);
for i=1:3*NP;
for j=1:NP;
k=NP+1-j;
if k==NP;
VV(k,i)=VV(k,i)+P(k,i);
VV(k+NP,i)=VV(k+NP,i)+P(k+NP,i);
else
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
VV(k,i)=VV(k+1,i)+P(k,i);
VV(k+NP,i)=VV(k+NP+1,i)+P(k+NP,i);
end
end
end
%Criterio de Norma Tecnica de Peru de 2003 se aplica en cortantes
for i=1:3*NP
RRR(i)=0; RR(i)=0;
for j=1:3*NP
RRR(i)=RRR(i)+abs(VV(i,j)); RR(i)=RR(i)+VV(i,j)*VV(i,j);
end
Corte(i)=0.25*RRR(i)+0.75*sqrt(RR(i));
end;Corte=Corte';
%Calculo de las Fuerzas Laterales en centro de masas
for i=1:NP
j=NP+1-i;
if j==NP
F(j)=Corte(j);F(j+NP)=Corte(j+NP);F(j+2*NP)=0;
else
F(j)=Corte(j)-Corte(j+1);F(j+NP)=Corte(j+NP)-Corte(j+NP+1);
F(j+2*NP)=0;
end
end
F=F';
fprintf ('\n Fuerzas laterales en centro de masa sin torsion accidental');F
%Calculo de la torsion accidental con matriz de rigidez hallada
% con inercias gruesas
Kxx=zeros(NP,NP);Kyy=zeros(NP,NP);Kteta=zeros(NP,NP);
Kxt=zeros(NP,NP);Kyt=zeros(NP,NP);
for i=1:ntot
for k=1:NP
rtet(k,k)=r(i);
end
rteta=rtet*rtet;
ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;
if i<=nx
Kxx=Kxx+KLG(ji:jf,1:NP);Kxt=Kxt+KLG(ji:jf,1:NP)*rtet;
Kteta=Kteta+KLG(ji:jf,1:NP)*rteta;
else
Kyy=Kyy+KLG(ji:jf,1:NP);Kyt=Kyt+KLG(ji:jf,1:NP)*rtet;
Kteta=Kteta+KLG(ji:jf,1:NP)*rteta;
end
end
%Matriz de rigidez espacial con 3 grados de libertad por planta
KEG=[Kxx cero Kxt;cero Kyy
Kyt;Kxt Kyt Kteta];Axmax=1;
for jj=1:10;
if isismo==1
for i=1:NP; Fx(i)=0; Ft(i)=F(i); end; Ft=Ft';
Momtor=0.05*disty*Axmax*Ft;Q=[Fx'; Fx'; Momtor];
else
for i=1:NP; Fy(i)=0; Ft(i)=F(i+NP);end; Ft=Ft';
Momtor=0.05*distx*Axmax*Ft;Q=[Fy'; Fy'; Momtor];
end
q=KEG\Q;
for i=1:NP; FTx(i)=0; FTy(i)=0; MTxy(i)=0; qmax(i)=0; end;
FTx=FTx';FTy=FTy';MTxy=MTxy'; qmax=qmax';
for i=1:ntot
183
184
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;a=A(ji:jf,1:3*NP);p=a*q;
Klateral=KLG(ji:jf,1:NP);FT=abs(Klateral*p);
if isismo==1
if i<=nx
if i==1
for j=1:NP
q1(j)=abs(p(j));
end
elseif i==iejes
for j=1:NP
q2(j)=abs(p(j));
end
end
FTx=FTx+FT;
for j=1:NP
if qmax(j)>=abs(p(j));
continue
else
qmax(j)=abs(p(j));
end
end
else
FTy=FTy+FT;
end
else
if i<=nx
FTx=FTx+FT;
else
if i==ny
for j=1:NP
q1(j)=abs(p(j));
end
elseif i==nx+ny
for j=1:NP
q2(j)=abs(p(j));
end
end
for j=1:NP
if qmax(j)>=abs(p(j));
continue
else
qmax(j)=abs(p(j));
end
end
FTy=FTy+FT;
end
end
end
for j=1:NP
qavg(j)=(q1(j)+q2(j))/2;Ax(j)=qmax(j)/(1.2*qavg(j));
if Ax(j)<=1; Ax(j)=1; end; if Ax(j)>3; Ax(j)=3; end;
end
Axmax=max(Ax);Ft=Ft';FTx=FTx';FTy=FTy'; qmax=qmax';
end
if isismo==1
for i=1:NP
FTy(i)=0;
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
end
else
for i=1:NP
FTx(i)=0;
end
end
MTxy=MTxy';FTx=FTx';FTy=FTy';
FTOR=[FTx;FTy;MTxy];F=F+FTOR;
fprintf ('\n Fuerzas laterales en centro de masas, con torsion accidental');F
%Control del Cortante Basal Minimo
V=0;
if isismo==1
for i=1:NP
V=V+F(i);
end
else
for i=1:NP
V=V+F(i+NP);
end
end
if Vmin > V; factor1=Vmin/V; F=factor1*F; end
%Control de la deriva de la estructura en centro de masas
%Matriz de rigidez de la estructura en coordenadas de piso con inercias gruesas
q=KEG\F; qine=R*q;
fprintf ('\n Desplazamientos laterales inelasticos en Centro de Masas');qine
%Calculo de la deriva de los pisos en centro de masas
for i=1:NP
j=NP+1-i;
if j==1
if isismo==1
drift(j)=qine(j)/alt(j);
else
drift(j)=qine(j+NP)/alt(j);
end
else
if isismo==1
drift(j)=(qine(j)-qine(j-1))/alt(j);
else
drift(j)=(qine(j+NP)-qine(j+NP-1))/alt(j);
end
end
end
fprintf ('\n Derivas de piso evaluadas en centro de masas');drift=drift'
driftmaximo=max(drift);
fprintf ('\n Deriva maxima de piso sin control de P-Delta');driftmaximo
%Control de efecto P-Delta
for i=1:NP
j=NP-i+1;
if j==NP
Peso(j)=masa(j,j)*9.8;
if isismo==1
Corte(j)=F(j);
else
Corte(j)=F(j+NP);
end
else
Peso(j)=masa(j,j)*9.8+Peso(j+1);
185
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
186
if isismo==1
Corte(j)=F(j)+F(j+1);
else
Corte(j)=F(j+NP)+F(j+NP+1);
end
end
theta(j)=(Peso(j)/Corte(j))*(drift(j)/R);
if theta(j)>=0.30
fprintf ('\n Estructura debe ser reforzada');
elseif theta(j)>=0.10 & theta(j)<0.30
fpd(j)=1/(1-theta(j));
else
fpd(j)=1;
end
end
fprintf ('\n Indice de estabilidad de piso');theta=theta'
F=max(fpd)*F;V=sum(F);driftmaximo=max(fpd)*driftmaximo;
fprintf ('\n Deriva maxima de piso con control de P-Delta');driftmaximo
fprintf ('\n Fuerzas laterales finales en centro de masas luego de controles');F
% fuerzas laterales en los porticos,
if isismo==1
for i=1:nx
ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;
a=A(ji:jf,1:3*NP); p=a*q;Klateral=KLG(ji:jf,1:NP);
fprintf ('\n Fuerza lateral en portico :');i
FT=Klateral*p
end
else
for i=nx+1:nx+ny
ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;
a=A(ji:jf,1:3*NP); p=a*q;Klateral=KLG(ji:jf,1:NP);
fprintf ('\n Fuerza lateral en portico :');i
FT=Klateral*p
end
end
%---fin
•
EJEMPLO 2
Presentar la entrada de datos y la forma de ejecución de los programas RLAXINFI y
MODALESPACIAL3GDLMAX para realizar el análisis sísmico en sentido X, de la vivienda de
dos pisos ubicada en la ciudad de Quito sobre un perfil de suelo S2, descrito en el ejemplo 1.
•
SOLUCIÓN
El archivo de datos de las secciones del pórtico en sentido longitudinal se denomina
casa y del pórtico transversal casay, para encontrar la matriz de rigidez lateral. Los dos se
hallan en la partición c.
>> load c:\casa
>> [KL] = rlaxinfi(casa)
Número de nudos: 9
Número de pisos: 2
% Carga del archivo de datos de pórtico en sentido X
% Cálculo de matriz de rigidez de pórtico en sentido X
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
Número de nudos restringidos: 3
Módulo de elasticidad: 1738965.21
Calcula con: Inercias gruesas, código=0. Con inercias agrietadas, código=1
Ingrese código de inercias: 1
% Se obtiene primero con inercias agrietadas.
Matriz de rigidez lateral:
KL =
1.0e+003 *
1.2435 -0.4926
-0.4926 0.3179
>> KL1=KL
>> load c:\casay
>> [KL]=rlaxinfi(casay)
% Carga de archivo de datos de pórtico en sentido Y.
% Cálculo de matriz de rigidez de pórtico en sentido Y
Número de nudos: 6
Número de pisos: 2
Número de nudos restringidos: 2
Módulo de elasticidad: 1738965.21
Calcula con: Inercias gruesas, codigo=0. Con inercias agrietadas, codigo=1
Ingrese codigo de inercias :1 % Se obtiene con inercias agrietadas.
Matriz de rigidez lateral :
KL =
404.8093 -171.7738
-171.7738 124.7962
>> KLA=[KL1; KL1; KL; KL; KL]
% Matrices de rigidez lateral con inercias agrietadas
KLA =
1.0e+003 *
1.2435
-0.4926
1.2435
-0.4926
0.4048
-0.1718
0.4048
-0.1718
0.4048
-0.1718
-0.4926
0.3179
-0.4926
0.3179
-0.1718
0.1248
-0.1718
0.1248
-0.1718
0.1248
>> [KL]=rlaxinfi(casa) % Cálculo de matriz de rigidez con inercias gruesas
Numero de nudos:9
Numero de pisos:2
Numero de nudos restringuidos:3
187
188
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Modulo de elasticidad:1738965.21
Calcula con: Inercias gruesas, codigo=0. Con inercias agrietadas, codigo=1
Ingrese codigo de inercias :0
Matriz de rigidez lateral :
KL =
1.0e+003 *
1.6510 -0.6848
-0.6848 0.4806
>> KL1G=KL
>> [KL]=rlaxinfi(casay) % Cálculo de matriz de rigidez con inercias gruesas
Numero de nudos:6
Numero de pisos:2
Numero de nudos restringuidos:2
Modulo de elasticidad:1738965.21
Calcula con: Inercias gruesas, codigo=0. Con inercias agrietadas, codigo=1
Ingrese codigo de inercias :0
Matriz de rigidez lateral :
KL =
534.4669 -236.2586
-236.2586 185.2500
>> KLG=[KL1G; KL1G; KL; KL; KL]
% Matrices de rigidez lateral con inercias gruesas
KLG =
1.0e+003 *
1.6510
-0.6848
1.6510
-0.6848
0.5345
-0.2363
0.5345
-0.2363
0.5345
-0.2363
-0.6848
0.4806
-0.6848
0.4806
-0.2363
0.1853
-0.2363
0.1853
-0.2363
0.1853
>> pesoD=[18; 18];
>> pesoL=[1.8; 1.8];
>> altura=[3.0; 6.0];
>> r=[-2; 2; -4.5; -0.5; 4.5];
% Pesos debidos a carga muerta por pisos
% Fracción del peso de carga viva por piso
% Altura de los pisos
% Distancia del centro de masa a los pórticos
>> [V]=modalespacial3gdl (2,altura,pesoD,pesoL,KLA,KLG,r)
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
189
Número total de pórticos de la estructura: 5
Códigos para análisis sísmico: Sentido X=1 Sentido Y=2
Ingrese código de sentido de análisis sísmico: 1
Códigos para zonas sísmicas: 0.15g=1 0.25g=2 0.30g=3 04g=4
Ingrese el código de la zona sísmica: 4
Códigos para perfiles de suelo: S1=1 S2=2
Indique el código del tipo de suelo: 2
S3=3
S4=4
Indique el factor de importancia: 1
Indique el factor de irregularidad en planta: 1
Indique el factor de irregularidad en elevación: 1
Los resultados que reporta el programa son los indicados en el ejemplo 2 y se resumen
de la tabla 6.7 a 6.9.
Grado de
Libertad
1
2
3
4
5
6
Tabla 6.7 Vector de cargas y de coordenadas inelásticas en el Centro de Masa.
Fuerzas laterales y
Fuerzas laterales y
Desplazamientos y
momentos, sin torsión
momentos, con torsión
giros inelásticos
accidental
accidental
1.8143 T.
1.9062 T.
0.0364 m.
4.2843 T.
4.4100 T.
0.0794 m.
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
V0 MIN = 6.0533 T .
R=6
Tabla 6.8 Derivas de piso e índice de estabilidad de piso.
Deriva de piso
Índice de estabilidad de
piso θ i
γi
0.0121
0.0760
1
0.0143
0.0643
2
γ = 0.0143 (Deriva de piso máxima considerando el control de efecto P − ∆ .
Piso
Tabla 6.9 Fuerzas laterales máximas probables en los pórticos en sentido X.
Piso
Pórtico 1
Pórtico 2
0.9531 T.
0.9531 T.
1
2.2050 T.
2.2050 T.
2
6.6 EFECTO P − ∆
Con el propósito de entender un poco más sobre el efecto P − ∆ , en la figura 6.5 a la
izquierda, se presenta un sistema de un grado de libertad sobre el que actúa una fuerza
sísmica F . Por efecto de esta fuerza el sistema se desplaza horizontalmente ∆ . El sistema
tiene un peso total P , el mismo que genera un momento de volteo en la estructura deformada,
que vale: P ∆ .
190
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Figura 6.5 Descripción del efecto P − ∆ en un sistema de un grado de libertad.
Este momento de volteo genera un par de cortantes, que se indican a la derecha de la
figura 6.5, los mismos que al multiplicarse por la altura h se oponen al momento de volteo. De
tal manera que existe un momento de volteo de magnitud P ∆ y un momento resistente V h .
La relación de estos momentos define el índice de estabilidad de piso.
θ=
P∆
Vh
En la figura 6.5 se aprecia que ∆ es el desplazamiento relativo del piso con respecto
al suelo. Esto debido a que se trata de una estructura de 1 piso, si fuera de más pisos es el
desplazamiento relativo de piso, también conocido como deriva, a secas. El desplazamiento ∆
es calculado en forma elástica.
En la figura 6.6 se presenta el modelo numérico de cálculo de una estructura de tres
pisos, donde las fuerzas F mostradas a la izquierda, son las fuerzas equivalentes debidas a la
acción sísmica. Estas fuerzas F generan los desplazamientos horizontales de piso q .
Figura 6.6 Cálculo del efecto P − ∆ en una estructura de varios pisos.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
191
La forma de cálculo de estos desplazamientos ha sido ya descrita anteriormente. Sin
embargo se lo repite muy rápidamente. El vector de cargas Q (transpuesto) es
Q t = [F1 F2 F3 ] . Los desplazamientos se hallan de la solución del sistema de ecuaciones
Q = K q . Donde K es la matriz de rigidez de la estructura.
Ahora en la estructura deformada se genera en cada piso unos cortantes V indicados
en la figura 6.5 y 6.6. Estos cortantes producen un nuevo vector de cargas Q P − ∆ .
Q P −∆
⎤
⎡ P1 q1
⎥
⎢
h1
⎥
⎢
V
⎡ 1⎤
⎢ ⎥ ⎢ P2 (q 2 − q1 ) ⎥
= ⎢V2 ⎥ = ⎢
⎥
h2
⎥
⎢⎣V3 ⎥⎦ ⎢
⎢ P (q − q ) ⎥
2
⎥
⎢ 3 3
h3
⎥⎦
⎢⎣
( 6.19 )
Este vector Q P − ∆ produce nuevos desplazamientos en la estructura deformada y por
ende nuevas fuerzas en todos sus elementos. Lo más apropiado es calcular estos
desplazamientos con análisis no lineal.
El efecto P − ∆ es muy importante en estructuras esbeltas, de varios pisos. En
estructuras de pocos pisos y con dimensiones adecuadas el índice de estabilidad de piso será
bajo y se puede ignorar el efecto P − ∆ .
•
EJEMPLO 3
Presentar los resultados del análisis sísmico en sentido Y de la estructura del ejemplo
anterior.
•
SOLUCIÓN
Dos cambios se deben realizar en la entrada de datos, el primero que en sentido Y se
tienen 3 pórticos, y el segundo cambio es referente al código del sentido de análisis sísmico
que ahora es 2.
>> [V]=modalespacial3gdl (4,3,altura,pesoD,pesoL,KLI,KLG,r)
Número total de pórticos de la estructura: 5
Códigos para análisis sísmico: Sentido X=1 Sentido Y=2
Ingrese código de sentido de análisis sísmico: 2
Los restantes datos son los ya indicados.
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
192
6.7 TORSIÓN ACCIDENTAL
En apartados anteriores de este capítulo, se ha visto como se aborda la torsión
accidental a la luz de lo estipulado por el CEC-2000 pero ahora se presentan causas que dan
origen a la torsión accidental. Estas son: a) Variación del Centro de Rigidez; y, b) Variación del
Centro de Masa.
Se obtiene el Centro de Rigidez C.R., para unas determinadas dimensiones de los
elementos estructurales, para un determinado módulo de elasticidad, para una geometría
determinada de los pórticos. Ahora, cuando se construye la estructura las secciones de los
elementos estructurales pueden sufrir ligeras modificaciones, lo propio con la calidad de los
materiales utilizados y la geometría de los pórticos. Este tema de la incertidumbre de la rigidez
en la torsión accidental ha sido estudiado por varios autores entre ellos De La Llera y Chopra
(1994). En efecto, la figura izquierda de 6.7, se indica en que porcentaje varía el C.R., (∆e )CR ,
con respecto a la dimensión perpendicular a la del análisis sísmico B por la incertidumbre de
la rigidez, para estructuras de hormigón armado; se aprecia que el C.R. puede llegar a variar
hasta en un 6% con un valor medio de 1.4%.
Figura 6.7 Variación del Centro de Rigidez y del Centro de Masas.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
193
Por otra parte, existe también incertidumbre en la variación del Centro de Masa C.M.,
debido a que no se cumplen las hipótesis con las cuales se obtuvieron ciertas fórmulas, como
el momento de inercia de la masa, debido también a que en la vida de la estructura las masas
no están distribuidas como se realizó el análisis sísmico. Todo esto conlleva a que el C.M.
experimente una variación y no se halle donde el proyectista estructural ha calculado. En la
figura de la derecha de 6.7. Hernández y López (2003) se observa que la variación del C.M.,
puede llegar a ser hasta del 7% y el valor medio es del 2%.
Si, el C.M., y el C.R., se utilizan para medir la excentricidad estática y si tanto el C.M.,
como el C.R., varían es lógico pensar que se tiene una incertidumbre, la misma que es cubierta
por la torsión accidental.
Otras fuentes de incertidumbre, que dan origen a la torsión accidental, son: a) La
incorporación de la rotación del suelo en el análisis sísmico; b) la respuesta inelástica de una
estructura; c) la determinación del Centro de Resistencia de una estructura en base a la
capacidad sísmica resistente de los pórticos; entre otros. Lo cierto que es un tema que todavía
se sigue investigando. De la Colina y Almeida (2004).
Como se ha indicado en el capítulo 4, la torsión accidental se la cubre por medio del
parámetro β . En la tabla 6.10 se indica este valor de algunas normativas sísmicas. Se destaca
que no se puede comparar a secas los valores de β sino también con los valores de α y δ
que son los factores de amplificación dinámica y el factor de control, es decir la comparación
debe hacerse en la forma total como se obtiene el momento de torsión y por que no decirlo en
la forma como se realiza el análisis sísmico.
Tabla 6.10 Parámetros que definen la excentricidad de diseño.
α
Normativa Sísmica
δ
México (1995)
Nueva Zelanda (1992)
Canadá (1985)
Venezuela (2001)
CEC-2000
1.5
1.0
1.5
1.0
1.0
0.5
Ec. Indicadas en Cap 4
Ec. Indicadas en Cap 4
1.0
1.0
β
0.10
0.10
0.10
0.06
0.05 ∗ Ax
REFERENCIAS
1. Aguiar R., (2007), Dinámica de estructuras con MATLAB, Centro de Investigaciones
Científicas y Colegio de Ingenieros Civiles de Pichincha., 292 p. Quito.
2. CEC-2000, “Código Ecuatoriano de la Construcción”, XIII Jornadas Nacionales de
Ingeniería Estructural. Pontificia Universidad Católica del Ecuador, 325-350, Quito.
3. De la Colina J., and Almeida C., (2004), “Probabilistic study on accidental torsión of
low-rise buildings”, Earthquake Spectra, 20 (1), 25-41.
4. De La Llera J., and Chopra A., (1994), Accidental and natural torsión in earthquake
response and designo f buildings, Earthquake Engineering Research Center. University
of California at Berkeley, UCB/EERC-94-07, 291 p.
5. Gaceta Oficial del Distrito Federal, (1995), Normas Técnicas Complementarias para
diseño por sismo, México.
194
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
6. Hernández J., y López O., (2003), “Evaluación de reglas de combinación de respuestas
estructurales ante dos componentes sísmicas cuasi-horizontales y una cuasi-vertical”,
Instituto de Materiales y Modelos Estructurales. Universidad Central de Venezuela, 41
(1), 1-16, Caracas, Venezuela.
7. Norma COVENIN 1756-98 (Rev. 2001), “Edificaciones Sismorresistentes”, FUNVISIS.
Ministerio de Desarrollo Urbano, 69 p., Caracas.
8. Norma E.030, (2003), Reglamento Nacional de Construcciones. Norma Técnica de
Edificaciones. Diseño Sismo resistente, Servicio Nacional de Normalización,
Capacitación e Investigación para la Industria de la Construcción. SENCICO, 36 p.,
Quito.
9. NRCC., (1990, National Building Code of Canada, Associate Committee on the National
Building Code. National Research Council of Canada, Ottawa.
10. SANZ (1992), Code of practice for general structural design and design loadings for
buildings. NZS 4203: 1992, Standards Association of New Zealand, Wellington.
CAPÍTULO 8
RESPUESTA EN EL TIEMPO Y CENTROS DE: RIGIDEZ, CORTE
Y DE GIRO
RESUMEN
Se presenta el programa denominado BASERIGIDANEW, elaborado en MATLAB que
sirve para encontrar la respuesta en el tiempo de estructuras espaciales de varios pisos, con
base empotrada, en el rango elástico, considerando tres grados de libertad por planta. El
usuario tiene la opción de seleccionar si desea la respuesta en desplazamientos o en fuerzas,
en los pórticos extremos de los pórticos.
De igual forma puede pedir la respuesta para todo el tiempo de duración del sismo o
para cierto intervalo. En ésta último opción se visualiza mejor la respuesta para el intervalo
seleccionado.
Existen tres definiciones que se han venido utilizando para determinar la excentricidad
estática de una estructura, ellas son: el Centro de Rigidez, el Centro de Giro y el Centro de
Corte; cada una de estas definiciones son presentadas en éste capítulo. Se destaca que el
Centro de Rigidez siempre existe en estructuras de un piso, en estructuras de varios pisos solo
existe en estructuras compensadas.
El Centro de Giro, es otra definición utilizada para cuantificar la excentricidad estática y
por ende la torsión en planta de una estructura, se presenta la forma de evaluar y se destaca
que el Centro de Giro depende de las fuerzas aplicadas o de los momentos de torsión
aplicados.
Finalmente se presentan algunas propuestas para hallar el Centro de Corte, todo esto
para determinar la excentricidad estática en el rango elástico.
8.1 INTRODUCCIÓN
En los capítulos anteriores se ha estudiado, el análisis sísmico de estructuras ante un
espectro inelástico; para el efecto, se ha encontrado las respuestas máximas probables
216
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
empleando el Método de Superposición Modal. Ahora interesa ilustrar el cálculo de la
respuesta en el tiempo, en el rango elástico, de una estructura ante un acelerograma.
El objetivo que se persigue, en los próximos capítulos, es ver como influyen los
aisladores de base y/o disipadores de energía en el comportamiento estructural de edificios.
Para ello se necesita conocer en primer lugar su comportamiento con base empotrada, para
comparar este comportamiento con el de estructuras con aisladores de base y/o disipadores de
energía. Por este motivo se cambia la nomenclatura que se ha venido utilizando para
incorporar en el próximo capítulo los aisladores de base. En la figura 8.1 se presenta la nueva
nomenclatura utilizada para definir los grados de libertad.
Figura 8.1 Grados de libertad considerados en el estudio
u al vector que contiene a los grados de libertad del modelo numérico de
( x)
que contiene todos
análisis, adoptado. El mismo que está compuesto por los sub vectores u
Se denomina
los desplazamientos horizontales en sentido X, medidos desde el primer piso hasta el último
( y)
(θ )
que contiene los desplazamientos horizontales en sentido Y, y por último u
que
piso; u
contiene las rotaciones de piso ( torsión).
⎡u ( x ) ⎤
⎥
⎢
u = ⎢u ( y ) ⎥
⎢u (θ ) ⎥
⎦
⎣
u ( x)
⎡u1( x ) ⎤
⎢ ( x) ⎥
u
= ⎢⎢ 2 ⎥⎥
"
⎢
⎥
⎢⎣u n( x ) ⎥⎦
u ( y)
⎡u1( y ) ⎤
⎢ ( y) ⎥
u
= ⎢⎢ 2 ⎥⎥
"
⎢
⎥
⎢⎣u n( y ) ⎥⎦
u (θ )
⎡u1(θ ) ⎤
⎢ (θ ) ⎥
u
= ⎢⎢ 2 ⎥⎥
"
⎢
⎥
⎢⎣u n(θ ) ⎥⎦
El sistema de ecuaciones diferenciales que gobierna el problema dinámico es el
siguiente:
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
+ C ( s ) u + K ( s ) u = − M ( s ) r ( s ) u
g
M ( s) u
217
( 8.1 )
Donde M ( s ) , C ( s ) , K ( s ) son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez,
son los vectores de desplazamiento, velocidad y aceleración,
respectivamente; u, u , u
respectivamente; r (s ) es el vector que relaciona los grados de libertad con el sentido del
g es el vector que contiene la aceleración del registro para el cual se desea
análisis sísmico; u
realizar el análisis sísmico.
t
[
Si se desea realizar un análisis sísmico en sentido X, el vector r (s ) transpuesto, será:
r (s) = 1
0
]
t
[
0 ; para el análisis sísmico en Y, el vector r (s ) es: r ( s ) = 0
1
]
0;
para encontrar la respuesta ante una componente torsional de movimiento de suelo
t
[
r (s) = 0
]
0
1 . Siendo 0, 1 los vectores compuestos por ceros y unos de orden igual
al número de pisos de la estructura. Estos tres casos de posible análisis sísmico se los puede
agrupar de la siguiente manera:
r
(s )
⎡1
⎢
= ⎢0
⎢0
⎣
0⎤
⎥
0⎥
1 ⎥⎦
0
1
0
( 8.2 )
En los capítulos anteriores se tenía M , C , K sin ningún índice ya que no se pensaba
incluir aisladores de base. Ahora se coloca el índice s para hacer referencia que es de la
estructura.
8.2 MATRICES DE RIGIDEZ, MASA Y AMORTIGUAMIENTO
La matriz de rigidez K ( s ) se había denominado en el capítulo 3 como K E y se lo ha
venido utilizando en los capítulos anteriores, razón por la cual se la copia a continuación sin
necesidad de describir las submatrices que contiene. Únicamente es a nivel de recordatorio.
K
( s)
= KE
⎡ K XX
⎢
=⎢
⎢⎣
K Xθ ⎤
⎥
K Yθ ⎥
K θθ ⎥⎦
K XY
K YY
( 8.3 )
La matriz de masa M (s ) también se ha indicado en otros capítulos. Sin embargo se la
presenta nuevamente pensando en el siguiente capítulo en que se realice el análisis sísmico de
estructuras con aisladores de base.
M
( s)
⎡m ( s )
⎢
=⎢
⎢
⎣
m
( s)
⎤
⎥
⎥
(s) ⎥
J ⎦
( 8.4 )
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
218
m (s)
J (s)
⎡m1
⎢
⎢
⎢
=⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
m2
"
mi
"
⎡ J1
⎢
⎢
⎢
=⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
J2
"
Ji
"
Ji =
(
mi 2
ai + bi2
12
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
m n ⎥⎦
( 8.5 )
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
J n ⎥⎦
( 8.6 )
)
( 8.7 )
Donde m i es la masa del piso i; J i es el momento de inercia de la masa con respecto
al Centro de Masa C.M..; a i , bi son las dimensiones en planta de la losa del piso i.
(s )
se halla empleando el algoritmo de Wilson y
La matriz de amortiguamiento C
Penzien (1972) la misma que se obtiene de la siguiente manera.
C
( s)
=
n
∑Ci
( 8.8 )
i =1
Ci =
2 ξ i W ni
M i∗
(M
(s)
)(
φ i φ it M ( s )
M i* = φ it M ( s ) φ i
Siendo
φi ,
)
( 8.9 )
( 8.10 )
el modo de vibración i; W ni es la frecuencia natural del modo i; ξ i es el
factor de amortiguamiento del modo i.
•
EJEMPLO 1
Encontrar la matriz de amortiguamiento C tipo Wilson y Penzien (1972) para la
estructura de dos pisos del capítulo 6, cuyas matrices de rigidez y de masas, se indican a
continuación. Considerar que ξ es igual en todos los modos de vibración y vale 0.05.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
K (s )
⎡2487.1
⎢
⎢
⎢
=⎢
⎢
⎢
⎢
⎣⎢
M (s )
•
⎡2.0204
⎢
⎢
⎢
=⎢
⎢
⎢
⎢
⎣⎢
− 985.1
635.8
0 .0
0.0
1214.4
0 .0
0.0
− 515.3
374.4
219
0.0 ⎤
0.0 ⎥⎥
86.0 ⎥
⎥
86.0
− 62.0 ⎥
26444.0 − 10940⎥
⎥
7629 ⎦⎥
0 .0
0.0
− 202.0
2.0204
2.0204
2.0204
16.3316
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
16.3316⎦⎥
SOLUCIÓN
Para desarrollar el ejemplo y para que se entienda la forma de cálculo de la matriz de
amortiguamiento, se ha desarrollado el programa AMORTIGUAMIENTOGENERAL, que se
indica a continuación. Se deben dar como datos las matrices de rigidez y de masas. Al igual
que el vector zeda. Para este caso el vector zeda transpuesto vale:
zeda t = [0.05 0.05 0.05 0.05 0.05 0.05]
function [C]=amortiguamientogeneral(K,M,zeda)
%
% Calculo de la matriz de amortiguamiento para cualquier estructura
% Empleando el Algoritmo de Wilson y Penzien. El usuario debe dar
% como datos las matrices de rigidez y amortiguamiento, al igual que
% zeda que se considera igual para todos los modos de vibracion.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI ESPE
%
Enero de 2008
% ----------------------------------------------------------------% [C]=amortiguamientogeneral(K,M,zeda)
% ----------------------------------------------------------------% K Matriz de rigidez de la estructura.
% M Matriz de masas de la estructura.
% T Periodos de vibracion.
% C Matriz de amortiguamiento.
% zeda Vector que contiene los coeficientes de amortiguamiento.
%
NP=length (K);C=zeros(NP,NP);
[V,D]=eig(K,M); Wn=sqrt(D); W=diag(Wn);
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
220
for i=1:NP
fi=V(:,i); mi=fi'*M*fi; aux=2*zeda(i)*W(i)/mi;
C=C+aux.*M*fi*fi'*M;
end
fprintf ('\n Matriz de amortiguamiento')
C
% ---fin
⎡ 6.7871
⎢− 2.0455
⎢
⎢ 0 .0
C=⎢
⎢ 0 .0
⎢ 0 .0
⎢
⎣⎢ 0.0
2.9431
0 .0
0 .0
0 .0
4.7268
− 1.4768
− 0.2971
2.3194
0.0935
62.7973
0.0963
− 0.1485
− 19.3506
0 .0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
29.5167 ⎦⎥
8.3 RESPUESTA EN EL TIEMPO
Para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales, definido en ( 8.1 ) por el Método
denominado Procedimiento de Espacio de Estado. Se denomina Q (s ) al término de la derecha.
g
Q ( s) = − M ( s) r ( s) u
Luego la ecuación ( 8.1 ) queda:
+ C ( s ) u + K ( s ) u = Q ( s )
M (s) u
Al multiplicar la ecuación ( 8.11 ) por M ( s )
+ M ( s )
u
−1
−1
( 8.11 )
, por la izquierda, se halla:
−1
C ( s ) u + M ( s ) K ( s ) u = M ( s ) −1 Q ( s )
( 8.12 )
Como artificio numérico de cálculo se introduce la siguiente ecuación:
u − u = 0
( 8.13 )
Se introduce la siguiente notación:
⎡ u⎤
X =⎢ ⎥
⎣ u ⎦
⎡ u ⎤
⇒ X = ⎢ ⎥
⎦
⎣u
( 8.14 )
Con esta notación, las ecuaciones ( 8.13 ) y ( 8.12 ), se convierten en:
X = F X + r
( 8.15 )
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
221
Donde:
⎡ 0
F =⎢
−1
⎢⎣− M ( s ) K ( s )
⎤
⎥
C ( s ) ⎥⎦
I
−M
( s ) −1
⎡ 0
⎤
r=⎢
⎥
−
1
⎢⎣ M ( s ) Q ( s ) ⎥⎦
( 8.16 )
( 8.17 )
La solución del sistema es la siguiente:
X k +1 = A X k + P1 rk +1 + P2 (rk +1 − rk )
( 8.18 )
Siendo:
A = e ∆t F
P1 = F
−1
( 8.19 )
(A − I )
( 8.20 )
⎛ 1
⎞
P2 = F −1 ⎜
P1 − A ⎟
⎝ ∆t
⎠
F
−1
⎡ − K ( s ) −1 C ( s )
=⎢
⎢⎣
I
− K (s)
( 8.21 )
−1
M ( s ) ⎤⎥
⎥⎦
0
En la ecuación ( 8.18 ) el subíndice k corresponde al instante de tiempo k y el subíndice
k+1 al instante de tiempo k+1. En la ecuación ( 8.19 ), ∆t es el incremento de tiempo con el
cual se desea hallar la respuesta en el tiempo. López et al (1988).
8.4 PROGRAMA BASERIGIDANEW
El programa que halla la respuesta en el tiempo de una estructura, ante un sismo
definido por su acelerograma, se denomina BASERIGIDANEW. En este programa se han
obtenido las matrices de rigidez, masa, amortiguamiento y vector de cargas generalizadas en la
forma indicada en los apartados anteriores. La solución dinámica del sistema de ecuaciones
diferenciales se lo ha realizado con el método denominado: Procedimiento de Espacio de
Estado.
222
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Figura 8.2 Geometría en planta que considera el programa BASERIGIDANEW
En zonas de alta peligrosidad sísmica, es conveniente que las estructuras tengan una
configuración en planta rectangular, lo ideal es que sean cuadradas en planta. Si se tiene
geometrías en forma de “C” o de “L”, mediante el empleo de juntas de construcción se pueden
tener bloques rectangulares.
Pero en caso de que se mantenga la planta en forma de “C” o de “L”, hay que
encontrar el centro de masa y evaluar el momento de inercia de la masa J . Este cálculo
demanda cierto tiempo, para evitar esto el programa BASERIGIDANEW lo determina, las
geometrías indicadas en la figura 8.2 de acuerdo al código de la tabla 8.1
Tabla 8.1 Códigos para distintas configuraciones en planta.
PLANTA
CÓDIGO
Rectangular
1
En forma de “L”
2
En forma de “C”
3
Usuario ingresa momentos de inercia
4
La información del tipo de planta se indica por consola, al igual que los datos que
deben indicarse de acuerdo a la nomenclatura de la figura 8.2. Con esta acotación la forma de
entrada de datos es la siguiente:
>> [T]=baserigida(NP,seda,iejes,pesoD,pesoL,KLG,r,sismo,dt)
•
•
•
•
•
•
NP
seda
iejes
pesoD
pesoL
KLG
•
•
•
r
sismo
dt
Número de pisos.
Factor de amortiguamiento de la estructura.
Número de ejes en el sentido de análisis sísmico.
Vector que contiene los pesos, de piso, debido al estado de carga D.
Vector que contiene el porcentaje del peso de piso debido a carga L.
Matriz que contiene las matrices de rigidez de cada uno de los pórticos
con inercias gruesas.
Vector que contiene la distancia del C.M. a cada pórtico, con signo.
Nombre del archivo para el cual se realiza el análisis sísmico.
Incremento de tiempo del acelerograma. Se encuentra la respuesta en el
tiempo para este incremento de tiempo.
Para ejecutar el programa BASERIGIDA se debe tener también instalado el programa
PSE3, que encuentra la respuesta por el Procedimiento de Espacio de Estado.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
223
function [T]=baserigidanew(NP,seda,iejes,pesoD,pesoL,KLG,r,sismo,dt)
%
% Analisis sismico en el tiempo, espacial de estructuras con base empotrada
% por el Metodo de procedimiento de espacio de estado considerando 3 gdl por planta.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi y Cristina Carrillo
%
CEINCI-ESPE
%
Junio de 2007
%---------------------------------------------------------------------------------% [T]=baserigidanew(NP,seda,iejes,pesoD,pesoL,KLG,r,sismo,dt)
%---------------------------------------------------------------------------------%
% seda Factor de amortiguamiento de la superestructura.
% iejes # de ejes de columnas en el sentido de analisis sismico.
% alt Vector que contine las alturas a cada piso medido desde la base.
% pesoD Vector que contiene la carga muerta D de cada piso.
% pesoL Vector que contiene la carga viva L de cada piso.
% KLG Matriz que contiene las matrices de rigidez lateral de todos los
%
porticos con inercias gruesas. Primero los de sentido X.
% r Vector que contiene la distancia del portico al centro de masa, de
%
cada uno de los porticos, con signo, positivo antihorario.
% rs Matriz de colocacion de la aceleracion del suelo en gdl superestructura
% rb Vector de colocacion de la aceleracion del suelo en gdl de la base
% sismo Archivo que contiene el acelerograma
% dt Incremento de tiempo del acelerograma
% ace aceleracion total en la superestructura
% F Fuerza estatica que actua en cada piso de la superestructura
% utot Matriz que contiene los desplazamientos de superestructura en cada
%
incremento de tiempo. En las filas estan los incrementos de tiempo.
% p Matriz que contiene la respuesta en el tiempo de cada portico.
%
La fila 1 es para el portico 1, la 2 para el 2, etc.
% A Matriz de paso de coordenadas de piso a coordenadas de portico. Las
%
primeras filas son para el portico 1 las siguientes para el 2, etc.
% NP Numero de pisos
% KS Matriz de rigidez de superestructura en coordenadas de piso.
% MS Matriz de masa de superestructura en coordenadas de piso.
% CS Matriz de amortiguamiento de superestructura en coordenadas de piso.
% qt Matriz que contiene desplazamientos de la base para todos los gdl.
% vt Matriz que contiene velocidades de la base para todos los gdl.
% q Vector que contiene solo historia de desplazamientos de la base.
% Ax Factor de mayoracion de la torsion accidental en edificios con
% irregularidades torsionales
%
%
Programa facilita el calculo del momento de inercia de la masa en:
%
Plantas en forma de L, en forma de C. para ello debe indicar los códigos
%
1 para planta rectangular, 2 para planta en “L”, 3 para planta en “C”
%
y 4 cuando el usuario desea dar los momentos de inercia.
%
ntot=input ('\n Numero total de porticos de la estructura :');
fprintf ('\n Codigos para analisis sismico: Sentido X=1 Sentido Y=2');
isismo=input ('\n Ingrese codigo de sentido de analisis sismico :');
rs=zeros(3*NP,3);
if isismo==1;nx=iejes; ny=ntot-nx; var=2;for j=1:NP; rs(j,1)=1; end;
else;ny=iejes; nx=ntot-ny;var=1;for j=1:NP; rs(j+NP,2)=1; end; end;
%Submatrices de rigidez: KEE, con inercias gruesas
224
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Kxx=zeros(NP,NP);Kyy=zeros(NP,NP);Kteta=zeros(NP,NP);cero=zeros(NP,NP);
Kxt=zeros(NP,NP);Kyt=zeros(NP,NP);for k=1:NP;identidad(k,k)=1;end;
for i=1:ntot
for k=1:NP
rtet(k,k)=r(i);
end
rteta=rtet*rtet;
ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;
if i<=nx
Kxx=Kxx+KLG(ji:jf,1:NP);Kxt=Kxt+KLG(ji:jf,1:NP)*rtet;
Kteta=Kteta+KLG(ji:jf,1:NP)*rteta;
A(ji:ji+NP-1,:)=[identidad cero rtet];
else
Kyy=Kyy+KLG(ji:jf,1:NP);Kyt=Kyt+KLG(ji:jf,1:NP)*rtet;
Kteta=Kteta+KLG(ji:jf,1:NP)*rteta;
A(ji:ji+NP-1,:)=[cero identidad rtet];
end
end
%Matriz de rigidez espacial con 3 grados de libertad por planta
KS=[Kxx cero Kxt;cero Kyy
Kyt;Kxt Kyt Kteta];
fprintf ('\n Matriz de rigidez con base empotrada')
KS
%Matriz de masas
disty=abs(r(1))+abs(r(nx));distx=abs(r(nx+1))+abs(r(ntot));
for i=1:NP; masaD(i)=pesoD(i)/9.8; masaL(i)=pesoL(i)/9.8;
mas(i)=masaD(i)+masaL(i);end
masa=zeros(NP,NP);for i=1:NP; masa(i,i)=mas(i);end
mj=zeros(NP,NP);
fprintf ('\n Si la planta de su estructura es rectangular digite 1, si se trata de una "L"
digite 2,');
fprintf ('\n si es una "C" digite 3 y si no concuerda con ninguna de las anteriores digite
4');
inercia=input('\n Ingrese codigo :');
if inercia==1
for i=1:NP, mj(i,i)=mas(i)*(distx^2+disty^2)/12;end
else
if inercia==2
aa=input ('\n Ingrese a :');
a1=input ('\n Ingrese a1 :');
b=input ('\n Ingrese b :');
b1=input ('\n Ingrese b1 :');
Area1=a1*b; Area2=(aa-a1)*b1; At=Area1+Area2;
x1=a1/2; y1=b/2; x2=a1+(aa-a1)/2; y2=b1/2;
xg=(Area1*x1+Area2*x2)/At; yg=(Area1*y1+Area2*y2)/At;
d1=sqrt((x1-xg)^2+(y1-yg)^2); d2=sqrt((x2-xg)^2+(y2-yg)^2);
for i=1:NP, mj(i,i)=mas(i)*Area1/At*(a1^2+b^2)/12+mas(i)*Area2/At*((aaa1)^2+b1^2)/12+mas(i)*Area1/At*(d1^2)+mas(i)*Area2/At*(d2^2);
end
else
if inercia==3
aa=input ('\n Ingrese a :');
a1=input ('\n Ingrese a1 :');
a2=input ('\n Ingrese a2 :');
b=input ('\n Ingrese b :');
b1=input ('\n Ingrese b1 :');
b2=input ('\n Ingrese b2 :');
Area1=aa*b; Area2=a1*b1; Area3=a2*b2; At=Area1+Area2+Area3;
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
225
x1=aa/2; y1=b/2; x2=aa+a1/2; y2=b-b1/2; x3=aa+a2/2; y3=b2/2;
xg=(Area1*x1+Area2*x2+Area3*x3)/At; yg=(Area1*y1+Area2*y2+Area3*y3)/At;
d1=sqrt((x1-xg)^2+(y1-yg)^2); d2=sqrt((x2-xg)^2+(y2-yg)^2); d3=sqrt((x3xg)^2+(y3-yg)^2);
for i=1:NP,
mj(i,i)=mas(i)*Area1/At*(aa^2+b^2)/12+mas(i)*Area2/At*(a1^2+b1^2)/12+mas(i)*Area3/At*(
a2^2+b2^2)/12+mas(i)*Area1/At*(d1^2)+mas(i)*Area2/At*(d2^2)+mas(i)*Area3/At*(d3^2);
end
else
for i=1:NP
fprintf ('\nIndique el momento de inercia del piso %i',i)
mj(i,i)=input ('\nMomento de inercia: ');
end
end
end
end
mj
MS=[masa cero cero;cero masa cero;cero cero mj];
fprintf ('\n Matriz de masa con base empotrada')
MS
% Matriz de amortiguamiento, tipo Wilson y Penzien (1982)
for i=1:3*NP; zeda(i)=seda; end;zeda=zeda';
CS=zeros(3*NP,3*NP);[V,D]=eig(KS,MS);W=sqrt(diag(D));
% Se ordenan las frecuencias y los modos de vibracion de menor a mayor
[Wn,II]=sort(W); for i=1:3*NP; fi(:,i)=V(:,II(i));end;
T=2*3.141592/Wn(1);
for i=1:3*NP
ff=fi(:,i);mi=ff'*MS*ff;aux=2*zeda(i)*Wn(i)/mi;
CS=CS+aux.*MS*ff*ff'*MS;
end
fprintf ('\n Matriz de amortiguamiento con base empotrada')
CS
% Analisis con desplazamientos o fuerzas
fprintf ('\n Si desea realizar el analisis con desplazamientos digite 1, si desea el analisis
con fuerzas digite 2')
fprintf ('\n Si desea realizar el analisis de Ax digite 3')
dof=input ('\n Ingrese el codigo de desplazamientos, fuerzas o Ax:');
% Determinacion del intervalo de analisis
fprintf ('\n Si desea obtener el grafico del comportamiento de la estructura en un cierto
intervalo de tiempo digite 1,')
fprintf ('\n caso contrario digite 2');
intervalo=input ('\n Ingrese el codigo de intervalo de analisis sismico :');
if intervalo==1
inf=input ('\n Ingrese el limite inferior (segundos) :');
ii=inf/dt;
sup=input ('\n Ingrese el limite superior (segundos) :');
jj=sup/dt;
end
fprintf ('\n Tenga paciencia el programa esta corriendo, se demora unos segundos \n')
if isismo==1
rs=rs(:,1);
else
rs=rs(:,2);
end
Qo=MS*rs*(-1);
% Procedimiento de Espacio de Estado
[qt,vt,q]=pse3(MS,CS,KS,Qo,sismo,dt,var);
226
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
npuntos=length(sismo);
% Respuestas en porticos extremos, en ultimo piso
for i=1:npuntos-1;
t(i)=i*dt;
end
% Matrices de rigidez lateral de porticos extremos
KLGx1=KLG(1:NP,1:NP);
KLGxnx=KLG((NP*(nx-1)+1):NP*nx,1:NP);
KLGy1=KLG(NP*nx+1:NP*(nx+1),1:NP);
KLGynt=KLG(NP*(ntot-1)+1:NP*ntot,1:NP);
% Desplazamientos y Fuerzas de cada portico
for i=1:ntot
ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;a=A(ji:jf,1:3*NP);
for j=1:npuntos-1;
for k=1:3*NP;
dd(k)=qt(j,k);
end
dd=dd';p=a*dd;dd=dd';
desp(j,i)=abs(p(NP));
despNP(j,i)=abs(p(NP));
if i==1 & isismo==1
p1(j)=p(NP);P1=KLGx1*p;
for k=1:NP; PP1(j,k)=P1(k);end
end
if i==nx & isismo==1;
pnx(j)=p(NP); PNX=KLGxnx*p;
for k=1:NP; PPNX(j,k)=PNX(k);end
end
if i==nx+1 & isismo==2;
p2(j)=p(NP); P2=KLGy1*p;
for k=1:NP; PP2(j,k)=P2(k);end
end
if i==ntot & isismo==2;
pnt(j)=p(NP); PNY=KLGynt*p;
for k=1:NP; PPNY(j,k)=PNY(k);end
end
end
end
if isismo==1
desp1=desp(:,1:nx);
despav(:,1)=desp(:,1);
despav(:,2)=desp(:,nx);
else
desp1=desp(:,nx+1:ntot);
despav(:,1)=desp(:,nx+1);
despav(:,2)=desp(:,ntot);
end
despavg=mean(despav,2);
despmax=max(desp1,[],2);
for j=1:npuntos-1
AAx(j,1)=(despmax(j,1)/(1.2*despavg(j,1)))^2;
end
davg=max(despavg)
dmax=max(despmax)
Ax=(dmax/(1.2*davg))^2
Axmax=max(AAx)
% Fuerzas en porticos extremos, ultimo piso
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
227
if isismo==1
for j=1:npuntos-1
F1(j)=PP1(j,NP);
Fnx(j)=PPNX(j,NP);
end
else
for j=1:npuntos-1
F2(j)=PP2(j,NP);
Fny(j)=PPNY(j,NP);
end
end
% Determinacion de intervalos y dibujo de respuestas maximas de
% desplazamiento (m) en el ultimo piso
if intervalo==1 & dof==1
if isismo==1
for n=1:jj-ii
tint(n)=t(ii);
p1int(n)=p1(ii);
pnxint(n)=pnx(ii);
ii=ii+1;
end
p1int=p1int';pnxint=pnxint';
subplot (2,1,1);plot(tint,p1int); ylabel ('Desplazamiento (m)');title('Desplazamiento
ultimo piso. Portico 1');
subplot (2,1,2); plot(tint,pnxint); xlabel ('Tiempo (s)');ylabel ('Desplazamiento (m)');
title ('Desplazamiento ultimo piso. Portico Extremo en sentido X');
else
for n=1:jj-ii
tint(n)=t(ii);
p2int(n)=p2(ii);
pntint(n)=pnt(ii);
ii=ii+1;
end
p2int=p2int';pntint=pntint';
subplot (2,1,1);plot(tint,p2int); ylabel ('Desplazamiento (m)');title('Desplazamiento
ultimo piso. Portico 1');
subplot (2,1,2); plot(tint,pntint); xlabel ('Tiempo (s)');ylabel ('Desplazamiento (m)');
title ('Desplazamiento ultimo piso. Portico Extremo en sentido Y');
end
end
% Dibujo de respuestas maximas en porticos exteriores en ultimo piso
if intervalo==2 & dof==1
if isismo==1
p1=p1';pnx=pnx';
subplot (2,1,1);plot(t,p1); ylabel ('Desplazamiento (m)');title('Desplazamiento ultimo
piso. Portico 1');
subplot (2,1,2); plot(t,pnx); xlabel ('Tiempo (s)');ylabel ('Desplazamiento (m)');
title ('Desplazamiento ultimo piso. Portico Extremo en sentido X');
else
p2=p2';pnt=pnt';
subplot (2,1,1);plot(t,p2); ylabel ('Desplazamiento (m)');title('Desplazamiento ultimo
piso. Portico 1');
subplot (2,1,2); plot(t,pnt); xlabel ('Tiempo (s)');ylabel ('Desplazamiento (m)');
title ('Desplazamiento ultimo piso. Portico Extremo en sentido Y');
end
end
% Determinacion de intervalos y dibujo de respuestas maximas de
228
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
% fuerzas (Ton) en el ultimo piso
if intervalo==1 & dof==2
if isismo==1
for n=1:jj-ii
tint(n)=t(ii);
F1int(n)=F1(ii);
Fnxint(n)=Fnx(ii);
ii=ii+1;
end
F1int=F1int';Fnxint=Fnxint';
subplot (2,1,1);plot(tint,F1int); ylabel ('Fuerza (Tn)');title('Fuerza ultimo piso. Portico
1');
subplot (2,1,2); plot(tint,Fnxint); xlabel ('Tiempo (s)');ylabel ('Fuerza (Tn)');
title ('Fuerza ultimo piso. Portico Extremo en sentido X');
else
for n=1:jj-ii
tint(n)=t(ii);
F2int(n)=F2(ii);
Fnyint(n)=Fny(ii);
ii=ii+1;
end
F2int=F2int';Fnyint=Fnyint';
subplot (2,1,1);plot(tint,F2int); ylabel ('Fuerza (Tn)');title('Fuerza ultimo piso. Portico
1');
subplot (2,1,2); plot(tint,Fnyint); xlabel ('Tiempo (s)');ylabel ('Fuerza (Tn)');
title ('Fuerza ultimo piso. Portico Extremo en sentido Y');
end
end
% Dibujo de respuestas maximas en porticos exteriores en ultimo piso
if intervalo==2 & dof==2
if isismo==1
F1=F1';Fnx=Fnx';
subplot (2,1,1);plot(t,F1); ylabel ('Fuerza (Tn)');title('Fuerza ultimo piso. Portico 1');
subplot (2,1,2); plot(t,Fnx); xlabel ('Tiempo (s)');ylabel ('Fuerza (Tn)');
title ('Fuerza ultimo piso. Portico Extremo en sentido X');
else
F2=F2';Fny=Fny';
subplot (2,1,1);plot (t,F2);ylabel ('Fuerza (Tn)');title('Fuerza ultimo piso. Portico 1');
subplot (2,1,2);plot (t,Fny);xlabel ('Tiempo (s)');ylabel ('Fuerza (Tn)');
title ('Fuerza ultimo piso. Portico Extremo en sentido Y');
end
end
% Determinacion de intervalos y dibujo de respuestas maximas de
% Ax en el ultimo piso
if intervalo==1 & dof==3
for n=1:jj-ii
tint(n)=t(ii);
AAxint(n)=AAx(ii);
ii=ii+1;
end
AAxint=AAxint';
plot(tint,AAxint); ylabel ('Ax');title('Ax');
title ('Ax');
end
% Dibujo de respuestas maximas en porticos exteriores en ultimo piso
if intervalo==2 & dof==3
B=AAx';
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
plot(t,B); ylabel ('Ax');title('Ax');
end
%---fin
™ PROGRAMA PSE3
function [qt,vt,q]=pse3(M,C,K,Qo,p,dt,var)
%
% Procedimiento de Espacio de Estado para sistemas de n grados de libertad
% Programa general en que se requiere la respuesta ante un acelerograma.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI ESPE
%
Marzo de 2007
% ----------------------------------------------------------------% [qt,vt,q]=pse3(M,C,K,Qo,p,dt,var)
% ----------------------------------------------------------------% M Matriz de masas.
% C Matriz de amortiguamiento.
% K Matriz de rigidez.
% Qo Coeficiente del vector de cargas que multiplica a la aceleracion
%
del suelo.
% p Acelerograma para el cual se calcula la respuesta en el tiempo.
%
Previamente el usuario habrá calculado las matrices de masa,
%
amortiguamiento, rigidez, así como el coeficiente Qo.
% F Matriz de orden 2nx2n
% qt Matriz que almacena los desplazamientos en cada grado de libertad
%
en cada instante de tiempo.
% vt Similar a qt pero con las velocidades
% dt Incremento de tiempo con el cual se obtiene la respuesta.
% q Reporta el desplazamiento en la base del aislador.
%
ngl=length(K);
% Matriz F
CERO=zeros(ngl,ngl); IDENT=eye(ngl,ngl);MIK=(-1)*inv(M)*K;MIC=(-1)*inv(M)*C;
F=[CERO IDENT; MIK
MIC];
% Exponencial de la matriz F multiplicado por dt
A=expm(dt*F);
% Matrices P1 y P2
IDEN=eye(2*ngl,2*ngl); P1=inv(F)*(A-IDEN); P2=inv(F)*((1/dt)*P1-A);
% Vector r de cargas sísmicas
for i=1:ngl; NULO(i)=0; end; MIQ=inv(M)*Qo;
% respuesta en el tiempo
n=length(p);
for i=1:2*ngl; Xk(i)=0;end; Xk=Xk';q=Xk(ngl);
for i=1:n-1
t(i)=i*dt;
MCARGA=MIQ*p(i); MCARGA2=MIQ*p(i+1);rk=[NULO'; MCARGA];rk2=[NULO';
MCARGA2];
Xk2=A*Xk+P1*rk2+P2*(rk2-rk);
% Almacena la respuesta en el tiempo en el sentido de analisis.
q(i)=Xk2(ngl-var); Xk=Xk2; v(i)=Xk2(2*ngl-var);
for j=1:ngl
qt(i,j)=Xk2(j); vt(i,j)=Xk2(j+ngl);
end
229
230
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
end
% ---fin
El programa BASERIGIDANEW considera que los valores de ξ i son iguales en todos
los modos de vibración, por esta razón se da como dato un solo valor.
•
EJEMPLO 2
Encontrar la respuesta en el tiempo, de desplazamientos, para el pórtico 1 y para el
pórtico 5, de la estructura cuya configuración en planta se indica en la figura 8.3, que fue
analizada en el capítulo anterior, es una edificación de un piso. Encontrar la respuesta en el
tiempo desde los 0.5 segundos hasta 1.5 segundos, ante la componente E-W del registro de La
Molina, ubicado en Lima, del sismo del 15 de agosto de 2007, que tuvo una magnitud MW = 7.9
la aceleración máxima del registro fue 78.7 gals. El archivo del acelerograma se llama MOLINA
y viene con un dt = 0.01 s.
En la figura 8.4 se indica el acelerograma, que tuvo una duración de tres minutos
aproximadamente. Este sismo tuvo una rotura tectónica muy compleja y es así como se
aprecian dos eventos en uno solo, que se han denominado E1 y E2. En los registros de Lima la
rotura E2 fue mayor que E1, contrario a lo observado en los registros de la ciudad de Ica que
estaban más próximos al epicentro.
A
B
4 .5 0 m
C
4 .5 0 m
1
4 .0 0 m
2
4 .0 0 m
3
4 .0 0 m
4
4 .0 0 m
5
Figura 8.3 Distribución en planta de edificio de un piso.
Si el origen de coordenadas se coloca en la intersección de los ejes A y 5, el centro de
masas tiene las siguientes coordenadas X CM = 3.15 m. YCM . Las distancias r y la rigidez
lateral, hallada con inercias gruesas de cada uno de los pórticos se indica en la tabla 8.2.
Tabla 8.2 Distancia del C.M. a los pórticos y rigidez lateral.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
Pórtico
r
(m)
1
2
3
4
5
A
B
C
-9.20
-5.20
-1.20
2.80
6.80
-3.15
1.35
5.85
Se considera una carga muerta D = 400
231
KL
(T/m)
153.7568
153.7568
365.1317
587.8617
587.8617
521.0324
521.0324
215.0817
kg / m 2 y una carga viva L = 100 kg / m 2 . El
valor de ξ = 0.05
Figura 8.4 Componente E-W del registro de La Molina del sismo del 15 de agosto de 2007.
•
SOLUCIÓN
Se indica la solución, mediante el uso del programa BASERIGIDANEW
>> KLG=[153.7568; 153.7568; 365.1317; 587.8617; 587.8617; 521.0324; 521.0324; 215.0817]
>> pesoD=[36]
>> pesoL=[4.5]
>> r=[-9.2; -5.2; -1.2; 2.8; 6.8; -3.15; 1.35; 5.85]
>> load c:\MOLINA
>> [T] =baserigidanew(1,0.05,5,pesoD,pesoL,KLG,r,MOLINA,0.01)
El primer dato corresponde al número de pisos; el segundo al factor de
amortiguamiento de la estructura; el tercero al número de pórticos en el sentido de análisis
sísmico, en este caso se realiza el análisis con respecto al eje X; el cuarto el vector que
contiene los pesos totales de cada piso debido a carga muerta; el quinto el vector que contiene
los pesos totales de cada piso debido al % de carga viva; el sexto la matriz que contiene a las
matrices de rigidez lateral de cada uno de los pórticos; el séptimo es un vector que contiene la
distancia del centro de masa a los pórticos; el octavo el archivo del acelerograma y el noveno el
incremento de tiempo de ese archivo.
Por pantalla se indica que corresponde a una planta tipo “L”, asignándole el código 2.
Luego se indican las siguientes dimensiones: a = 9.0; a1 = 4.5; b = 16; b1 = 4.0 . También se
debe escoger la opción de que se requiere la respuesta en el intervalo de tiempo que va desde
0.5 s., hasta 1.5 s.
232
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
En la figura 8.5 se indica la respuesta en el tiempo para los pórticos exteriores, en
sentido X, que son el pórtico 1, que es un pórtico débil y el pórtico 5 que es un pórtico fuerte.
Nótese que t = 0.5 s el pórtico 1 se mueve hacia la derecha y en ese mismo instante de tiempo
el pórtico 5 se mueve a la izquierda lo que genera problemas de torsión. Los desplazamientos
son muy pequeños debido a que la aceleración máxima del registro fue menor al 10 de la
aceleración de la gravedad.
El programa calcula el momento de inercia de la masa J con respecto al C.M., para
este caso J = 115 .8004
Figura 8.5 Respuesta en el tiempo del pórtico 1 y del pórtico 5.
•
EJEMPLO 3
Encontrar, paso a paso el momento de inercia J, de la estructura del ejemplo anterior.
•
SOLUCIÓN
Para encontrar el momento de inercia de la masa J con respecto al C.M. se aplica el
teorema de los ejes paralelos.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
i
J CM
=
∑ (J
j
CM
j
+ m j d CM
233
)
( 8.22 )
j
j
i
Donde J CM
es el momento de inercia de la masa en el C.M. en el piso i ; J CM es el
j
momento de inercia de la masa de la figura j en su C.M.; m j es la masa de la figura j ; d CM
es la distancia desde el C.M. de la figura j al C.M. de todo el piso i . En la figura 8.6 se
j
presentan los C.M. de cada figura y las distancias d CM que se han denominado d 1 , d 2 ,
respectivamente. En la tabla 8.3 se presenta el cálculo de J .
Tabla 8.3 Cálculo del momento de inercia de la masa
Fig
.
m
j
(T s2/m)
(
(
j
J CM
j
d CM
j
m j d CM
(T s2 m)
(m)
(T s2 m)
)
1
16 ∗ 4.5 ∗ 0.45
= 3.306
9.8
3.306 2
16 + 4.52 = 76.107
12
2
4.5 ∗ 4 ∗ 0.45
= 0.827
9.8
0.827
4.52 + 4.0 2 = 2.498
12
)
(
(6.8 − 8)2 + (3.15 − 2.25)2
= 1.5
7.439
(6.75 − 3.15)2 + (2 − 6.8)2
= 6.0
29.772
78.605
37.211
J CM = 78.60 + 37.21 = 115.81 T s / m
2
Figura 8.6 Determinación del momento de inercia J.
)
2
234
•
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
EJEMPLO 4
Con relación al ejemplo 2, encontrar la variación del factor de amplificación dinámica
por torsión, Ax , para el intervalo comprendido entre 0.5 y 1.5 s. Ax es el factor adimensional
que viene definido por:
⎛ δ
1.0 ≤ Ax = ⎜ max
⎜ 1.2 δ avg
⎝
2
⎞
⎟ ≤ 3 .0
⎟
⎠
Donde δ max es el desplazamiento lateral máximo del piso considerado y δ avg es el
desplazamiento promedio de los pórticos extremos de la estructura.
•
SOLUCIÓN
En la figura 8.7 se aprecia la variación del factor Ax en el intervalo de 0.5 s., a 1.5 s.
Se aprecia que para 0.5 s., el valor de Ax es mayor que 2, que pone en evidencia una vez más
que la estructura tiene problemas de torsión.
Figura 8.7 Variación de Ax para t = 0.5 s y t = 1.5 s .
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
235
8.5 CENTRO DE RIGIDEZ EN RANGO ELÁSTICO
En capítulos anteriores, se estudió que una forma de cuantificar los efectos de torsión
en un edificio es mediante la excentricidad estática, que es la distancia entre el Centro de
Masas CM., y el Centro de Rigidez C.R. Este apartado está dedicado al estudio del C.R., en el
rango elástico, para ello se hace un recuento histórico y se presentan varias formas de cálculo
aproximadas.
Se define el C.R. como el punto en el cual al aplicar las fuerzas sísmicas la
estructura se desplaza y no rota. Solo hay traslación pura.
8.5.1 Propuesta de Lin (1951)
Lin (1951) propuso la definición del C.R., en estructuras de un piso y se puede calcular
en la forma indicada en el capítulo anterior.
Para estructuras de un piso el C.R., siempre existe pero para estructuras de varios
pisos el C.R. no siempre existe, como se verá en el apartado siguiente.
8.5.2 Propuesta de Vásquez y Ridell (1984)
Vásquez y Ridell (1984) básicamente demuestran que el C.R., existe únicamente
en estructuras compensables. Definen las estructuras compensables como aquellas
estructuras que son simétricas o bien las rigideces de sus elementos son proporcionales entre
si. Además el C.R., es colineal en todos los pisos, para las estructuras compensables.
Lo propuesto por Vásquez y Ridell (1984) se va a demostrar de acuerdo a la forma
como lo hicieron Villafañe y Crisafulli (1986). Para ello se parte de la ecuación básica de
estructuras en el rango elástico y ante cargas estáticas.
Q=Kq
( 8.23 )
Ahora, si se considera un modelo numérico de cálculo de tres grados de libertad por
planta (Piso y rígido) y se considera que cada pórtico es un miembro de la estructura (Análisis
seudo espacial) La ecuación ( 8.23 ) para el caso en que se tienen pórticos ortogonales,
queda:
⎡Q X ⎤ ⎡ K XX
⎢Q ⎥ = ⎢ 0
⎢ Y ⎥ ⎢
⎢⎣Qθ ⎥⎦ ⎢⎣ K Xθ
0
K YY
K Yθ
K Xθ ⎤ ⎡ q X ⎤
⎥
K Yθ ⎥ ⎢⎢qY ⎥⎥
K θθ ⎥⎦ ⎢⎣qθ ⎥⎦
( 8.24 )
La solución de este sistema de ecuaciones lineales. Villafañe y Crisafulli (1986) es la
siguiente:
[
qθ = K θθ *
]
−1
Qθ∗
( 8.25 )
236
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
[
q X = [K XX ]−1 ⎧⎨Q X − K Xθ K θθ *
⎩
[
qY = [K YY ]−1 ⎧⎨QY − K Yθ K θθ *
⎩
]
]
−1
−1
Qθ∗ ⎫⎬
⎭
Qθ∗ ⎫⎬
⎭
( 8.26 )
( 8.27 )
Siendo:
K θθ ∗ = K θθ − K Xθ t K XX −1 K Xθ − K Yθ t K YY −1 K Yθ
Qθ∗ = Qθ − K Xθ t K XX −1 Q X − K Yθ t K YY −1 QY
De la definición del C.R. se desprenden las siguientes condiciones:
a) Las rotaciones son nulas en todos los pisos qθ = 0 .
b) Las fuerzas laterales son nulas en todos los pisos ecepto en aquel piso en el cual se
desea obtener el centro de rigidez.
La ecuación ( 8.25 ) puede escribirse como solución de sistema de ecuaciones lineales
de la siguiente manera.
Qθ∗ = K θθ ∗ qθ
De acuerdo a la condición a) qθ = 0 . Luego para que se cumpla esta condición
Qθ∗ = 0 . Que implica lo siguiente:
Qθ∗ = Qθ − K Xθ t K XX −1 Q X − K Yθ t K YY −1 QY = 0
⇒ Qθ = K Xθ t K XX −1 Q X − K Yθ t K YY −1 QY
¾
( 8.28 )
Cálculo de e y en el piso j
De acuerdo a la condición b) para hallar la excentricidad estática e y en el piso j. Solo
en ese piso actúa la fuerza sísmica en el C.M., que se ha denominado F j en la figura 8.8;
como existe la excentricidad estática que se ha llamado e yj se tiene un momento de torsión de
magnitud F j e yj .
Figura 8.8 Cálculo de e y en el piso j.
Luego, para el cálculo de e yj se tiene:
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
QY = 0
QX
⎡0 ⎤
⎢ ⎥
⎢... ⎥
= ⎢F j ⎥
⎢ ⎥
⎢" ⎥
⎢ ⎥
⎣0 ⎦
237
⎡0
⎤
⎢
⎥
⎢"
⎥
Qθ = ⎢ F j e yj ⎥
⎢
⎥
⎢"
⎥
⎢
⎥
⎣0
⎦
Al reemplazar en la ecuación (8.28) se encuentra:
⎡⎛ n
⎢⎜ K Xθ 1i K XX
⎢⎜⎝ i =1
⎤ ⎢
"
⎥ ⎢
⎥ ⎢⎛ n
e yj ⎥ = ⎢⎜ K Xθ ji K XX
⎥ ⎢⎜⎝ i =1
⎥ ⎢
"
⎥ ⎢
⎦ ⎢ n
⎢⎛⎜ K
Xθ ni K XX
⎢⎜
=
1
i
⎝
⎣
∑
⎡0
⎢
⎢"
⎢F j
⎢
⎢"
⎢
⎣0
∑
∑
Donde K Xθ
ji ,
⎤
0⎥
⎥
⎠
⎥
⎥
⎥
−1 ⎞
⎟ Fj ⎥
ij ⎟
⎥
⎠
⎥
⎥
⎥
−1 ⎞
⎟ 0⎥
⎥
ij ⎟
⎠
⎦
−1 ⎞
⎟
ij ⎟
( 8.29 )
K XX ij representan el elemento i-ésimo de la fila j de las matrices K Xθ
y K XX . Si bien se puede hallar la excentricidad e y del piso j con la siguiente ecuación:
⎛ n
e yj = ⎜ K Xθ
⎜
⎝ i =1
∑
ji
K XX
−1 ⎞
⎟
ij ⎟
⎠
( 8.30 )
Las restantes (n-1) ecuaciones de (8.29) no se cumplen, en forma general.
Vásquez y Ridell (1984) demostraron lo indicado en forma analítica a partir de las ecuaciones
de equilibrio dinámico y concluyeron que solo se cumple en estructuras compensadas
(Proportional Structures).
¾
Cálculo de e x en el piso j
Para el cálculo de la excentricidad e X se procede en forma similar, aplicando una
fuerza en sentido Y, en el piso j, como lo ilustra la figura 8.9. Se llega a lo mismo que el C.R.
solo existe en estructuras compensables y que:
⎛ n
e Xj = ⎜ K Yθ
⎜
⎝ i =1
∑
ji
K YY
−1 ⎞
⎟
ij ⎟
⎠
Figura 8.9 Cálculo de e x en el piso j.
( 8.31 )
238
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Estrictamente Vásquez y Ridell (1984) demuestran que el C.R., solo existe en
estructuras compensables en las cuales el C.R. es colineal en todos los pisos, de tal manera
que se cumple:
K Xθ = eY K XX
K Yθ = e X K YY
( 8.32 )
De donde:
eY [1] = K XX −1 K Xθ
e X [1] = K YY −1 K Yθ
( 8.33 )
Siendo [1] la matriz unitaria. Lo demostrado por Vásquez y Ridell (1984) y también por
Cheung y Tso (1986) es una seria limitación para la definición del Centro de Rigidez como una
medida de la excentricidad de una estructura. Es por esto que mucha gente prefiere calcular la
excentricidad estática a partir de la definición del Centro de Resistencia, tema que no se
aborda en el presente capítulo.
8.5.3
Propuesta de Cheung y Tso (1986)
Definen el Centro de Rigidez C.R. en estructuras conformadas por pórticos ortogonales
como el conjunto de puntos localizados en cada piso en los cuales la aplicación de las cargas
laterales no causa rotación en ninguna planta. Por lo tanto, qθ = 0 , para el efecto parten de
las ecuaciones de equilibrio ( 8.24 ) que nuevamente se escriben pero con qθ = 0 .
⎡Q X ⎤ ⎡ K XX
⎢Q ⎥ = ⎢ 0
⎢ Y ⎥ ⎢
⎢⎣Qθ ⎥⎦ ⎢⎣ K Xθ
¾
0
K YY
K Yθ
K X θ ⎤ ⎡q X ⎤
⎥
K Yθ ⎥ ⎢⎢qY ⎥⎥
K θθ ⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦
Cálculo de vector e y
En este caso la excitación sísmica o las fuerzas laterales actúan en sentido X. De tal
manera que Q X ≠ 0 ; QY = 0 ; Qθ = [Q X ] e y . Donde [Q X ] es una matriz diagonal compuesta
por las fuerzas laterales en cada piso; Q X es el vector de fuerzas horizontales actuando en el
Centro de Masa; e y es un vector que contiene las excentricidades estáticas en cada nivel. La
primera ecuación matricial de ( 8.24 ) considerando qθ = 0 resulta:
Q X = K XX q X
−1
⇒ q X = K XX
QX
De la tercera ecuación de ( 8.24 ) se halla:
Qθ = K Xθ q X = [Q X ] e y
⇒ e y = [Q X ]−1 K Xθ q X
Al reemplazar q X en esta última ecuación se halla:
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
−1
e y = [Q X ]−1 K Xθ K XX
QX
¾
239
( 8.34 )
Cálculo de vector e x
Se procede en forma similar pero la acción sísmica actúa en sentido Y, o las fuerzas
que se apliquen actúan en ésta dirección. De tal manera que se tiene: Q X = 0 ; QY ≠ 0 ;
Qθ = [QY ] e x . Al trabajar con las ecuaciones matriciales dos y tres de ( 8.24 ) se halla:
−1
e x = [QY ]−1 K Yθ K YY
QY
Siendo QY el vector de fuerzas, en el C.M., en sentido Y; [QY
las fuerzas en sentido Y.
( 8.35 )
] la matriz diagonal de
Para aplicar las ecuaciones ( 8.34 ) y ( 8.35 ) primero se debe realizar el análisis
sísmico en sentido X o en sentido Y, para hallar Q X ; [Q X ]; QY ; [QY ] . Si se aplican fuerzas
laterales en el C.M. se obtiene en forma directa estos vectores o matrices.
Con la propuesta de Cheung y Tso (1986) el Centro de Rigidez depende de la
excitación sísmica.
Existen otros modelos para el cálculo del C.R., uno de ellos es el de Humar (1984)
quien define el C.R., en cualquier piso, como el punto en el piso en el cual al aplicar la carga
lateral ese piso no rota pero los demás pisos pueden rotar.
8.6 CENTRO DE GIRO
Como se aprecia en el apartado anterior, el Centro de Rigidez solo existe en cierto tipo
de estructuras, lo que limita su uso, razón por la cual se ha propuesto el Centro de Giro, que
siempre existe para esto se define el Centro de Giro como aquel punto de una planta que
no experimenta desplazamiento alguno ante una acción sísmica determinada.
En esta definición, el Centro de Giro C.G. depende de la acción sísmica, o de las
fuerzas aplicadas o de los momentos de torsión aplicados. Una propuesta es que se apliquen
fuerzas laterales unitarias en cada uno de los pisos y se hallen los desplazamientos y giros
q X , qY , qθ mediante la ecuación ( 8.24 ) y luego se halle el Centro de Giro teniendo en
cuenta la definición dada.
Sean e X , eY las excentricidades del C.G., con respecto al C.M. Para el cálculo de la
eY se considera que solo existen fuerzas laterales en sentido X, aplicadas en el C.M., las
mismas que han generado los desplazamientos y giros q X , qY , qθ . En la figura 8.10 se indica
la fuerza aplicada en el piso j.
240
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Figura 8.10 Cálculo del Centro de Giro
Se debe formular una ecuación para hallar el desplazamiento horizontal en el punto
C.G., e igualar a cero ya que esta es la definición de C.G. En capítulos anteriores se había
definido con la p los desplazamientos laterales de un pórtico cualquiera. Ahora se usará para
determinar los desplazamientos de C.G.
p= Aq
⎡ p1 ⎤ ⎡cos α
⎢ ⎥ ⎢
"
⎢" ⎥ ⎢
⎢p ⎥ = ⎢
cos α
⎢ j⎥ ⎢
⎢" ⎥ ⎢
"
⎢ ⎥ ⎢
cos α
⎣ pn ⎦ ⎣
senα
⎤
⎥
"
⎥
⎥
rj
⎥
⎥
"
⎥
rn ⎦
r1
"
senα
"
senα
⎡q X ⎤
⎢q ⎥
⎢ Y ⎥
⎢⎣qθ ⎥⎦
( 8.36 )
Donde p j es el desplazamiento lateral del C.G.; α es el ángulo que forma el punto
C.G. con el eje de las X. Como se está analizando en sentido X, el valor de α = 0 ; r j es la
distancia del C.G. al C.M., tiene signo, para la figura es negativo. Luego r j = −e yj .
Desarrollando ( 8.36 ) para el piso j y considerando α = 0 se tiene
p j = q xj − e yj qθj
( 8.37 )
Pero por la definición de C.G. p j = 0 . Luego de ( 8.37 ) se halla:
e yj =
q xj
qθj
( 8.38 )
Donde q xj es el desplazamiento horizontal en sentido X, del C.M., en el piso j. qθj es
el giro medido en el C.M. en el piso j.
Para hallar la excentricidad de C.G. e xj se procede en forma similar pero con las
fuerzas aplicadas en sentido Y. Llegando a tener la siguiente expresión:
e xj = −
q yj
qθj
( 8.39 )
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
241
De tal manera que el Centro de Giro, siempre existe ya que se divide el
desplazamiento horizontal de cada piso para el giro de piso, empleando ( 8.38 ) y ( 8.39 ). Se
destaca una vez más que depende de la excitación aplicada.
8.7 CENTRO DE CORTE
Se define el Centro de Corte C.C. como el punto de aplicación de la resultante de
las fuerzas laterales resistidas por cada elemento, o por cada pórtico. En este apartado se
presenta el cálculo del C.C. de las siguientes formas:
¾
Rigidez “t”
¾
Rigidez de piso.
¾
Fórmulas de Wilbur.
¾
Fórmulas de Rosenblueth y Esteva
El Centro de Corte en cada planta se halla por equilibrio de fuerzas y de momentos.
8.7.1
Rigidez “t”
Se define la rigidez “t” en un elemento como la fuerza necesaria que se debe aplicar
para tener un desplazamiento horizontal unitario.
t=
12 EI
h3
( 8.40 )
Donde EI es la rigidez a flexión y h es la longitud o altura del elemento.
El cálculo del C.C. se realiza en dos etapas, en una primera se obtienen las rigideces t
en sentido X, y se halla por equilibrio de fuerzas y momentos el valor de Yc , de acuerdo a la
nomenclatura indicada en la figura 8.11. De la sumatoria de fuerzas en sentido X, se halla
∑t
aplicado en el C.C. y de la sumatoria de momentos con respecto a la intersección de los ejes A
y 3, se halla Yc que es la distancia desde este origen de coordenadas al Centro de Corte.
En una segunda etapa, se hallan las rigideces t en sentido Y, y se procede en forma
similar encontrando X c que es la coordenada en X del C.C. medido a partir de A-3.
En lugar de trabajar con la rigidez t se puede trabajar con las fuerzas horizontales que
actúan en cada elemento. Fuerzas debido a una acción sísmica dada o a unas fuerzas dadas
que actúan en el C.M. Al trabajar con rigideces se encuentra el C.C. independiente de las
fuerzas aplicadas.
242
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Figura 8.11 Esquema de cálculo del C.C. mediante la rigidez t.
8.7.2
Rigidez de piso
Se define la rigidez de piso K p como la relación entre el cortante de piso con respecto
al desplazamiento relativo de piso. Con esta definición K p depende de la excitación sísmica o
de las fuerzas actuantes.
Se procede en forma similar, al cálculo mediante la rigidez t . Con la diferencia de que
ahora se tiene la rigidez de piso en cada pórtico en lugar de la rigidez t en cada elemento.
Por lo tanto, para hallar las coordenadas del C.C. se debe hacer equilibrio de fuerzas y
equilibrio de momentos, en cada una de las direcciones de análisis.
8.7.3
Fórmulas de Wilbur
El formulario que a continuación se presenta es valido para pórticos planos con
elementos de sección constante y se basa en las siguientes hipótesis:
i.
Los giros en todos los nudos de un piso y de los dos pisos adyacentes son iguales, a
excepción de la planta baja en donde puede suponerse empotramiento o articulación
en los apoyos.
ii.
Las fuerzas de corte en los dos entrepisos adyacentes al que interesa son iguales a la
de éste. Bazan y Meli (1983).
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
243
Figura 8.12 Esquema de cálculo del C.C. mediante la rigidez de piso
Con estas acotaciones las fórmulas de Wilbur (1948), son las siguientes:
•
Para el primer piso con columnas empotradas en la base
K1 =
•
48 E
⎡
⎤
⎢ 4h1
⎥
h1 + h2
+
h1 ⎢
⎥
⎢ ∑ Kc1 ∑ kt + ∑ Kc1 ⎥
1
⎢⎣
12 ⎥⎦
Para el primer piso con columnas articuladas en la base
K1 =
•
( 8.41 )
24 E
⎡ 8h1
2 h + h2 ⎤
h1 ⎢
+ 1
⎥
∑ Kt1 ⎦
⎣ ∑ Kc1
( 8.42 )
Para el segundo piso con columnas empotradas en la base
K2 =
48 E
⎤
⎡
⎢ 4 h2
h2 + h3 ⎥
h1 + h2
h2 ⎢
+
+
⎥
∑ Kt 2 ⎥
⎢ ∑ Kc 2 ∑ kt + ∑ Kc1
1
12
⎦⎥
⎣⎢
( 8.43 )
244
•
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Para el segundo piso con columnas articuladas en la base
K2 =
•
48 E
⎡ 4 h2
2h + h2 h2 + h3 ⎤
h2 ⎢
+ 1
+
⎥
∑ Kt1
∑ kt 2 ⎦
⎣ ∑ Kc 2
( 8.44 )
Para entrepisos intermedios
Kn =
48 E
⎡ 4 hn
h + hn hn + h0 ⎤
hn ⎢
+ m
+
⎥
∑ Kt m
∑ Kt n ⎦
⎣ ∑ Kc n
( 8.45 )
Donde K n es la rigidez del entrepiso n ; Kt n es la rigidez (I / L ) de las vigas del nivel
n ; Kc n es la rigidez (I / L ) de las columnas del nivel n ¸ hn es la altura del nivel n ; m, n,0 ,
índices que identifican tres pisos consecutivos desde abajo hacia arriba.
•
Para el último piso
Se emplea la ecuación (8.45) con hm = 2 hm y h0 = 0 . Esto implica suponer que el
cortante del penúltimo piso es el doble del cortante del último piso.
8.7.4
Fórmulas de Rosenblueth y Esteva
Las fórmulas que se indican a continuación son adecuadas para edificios conformados
por vigas y columnas, sin muros de corte. Rosenblueth y Esteva (1962).
•
Para el primer piso con columnas empotradas en la base
K1 =
•
24 E
⎤
⎡
⎥
⎢
2
1
+
h2 ⎢
⎥
⎢ ∑ Kc1 ∑ kt + ∑ Kc1 ⎥
1
⎢⎣
12 ⎥⎦
( 8.46 )
Para entrepisos intermedios
Kn =
24 E
2⎡
2
1
1 ⎤
h ⎢
+
+
⎥
⎣ ∑ Kc n ∑ Kt m ∑ Kt n ⎦
( 8.47 )
El significado de las variables es el indicado en el apartado anterior. Ya que estas
ecuaciones son un caso particular de las de Wilbur, únicamente consideran que la altura de
todos los entrepisos es igual y vale h .
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
245
REFERENCIAS
1. Bazan E., y Meli R., (1983) Manual de diseño sísmico de edificios, de acuerdo con el
reglamento de construcciones para el Distrito Federal, Instituto de Ingeniería.
Universidad Autónoma de México, 238 p., más figuras.
2. Cheung W., and Tso W., (1986), “Eccentricity in irregular multistory buildings”,
Canadian Journal of Civil Engineering, 13, 46-52.
3. Humar J., (1984), “Design for seismic torsional forces”,
Engineering, 11 (2), 150-163.
Canadian Journal of Civil
4. López F., Rodellar J., y Barbat A., (1988), Procedimientos de espacio de estado en
dinámica de estructuras. Universidad Politécnica de Cataluña, Monografía ES 017
1987, Barcelona.
5. Rosenblueth E., y Esteva L., (1962), Diseño sísmico de edificios, Folleto
complementario al Reglamento de Construcciones del Distrito Federal, México.
6. Vásquez J., and Riddell R., (1984), “Existence of centers of resistance and torsional
uncoupling of earthquake response of buildings”, Proc., of the 8th World. Conf. in
Earthquake Engrg., Prentice Hall, Inc, IV, 187-194, Englewood Cliffs.
7. Villafañe E., y Crisafulli F., (1986), “Sobre la introducción de las normas antisísmicas
para el análisis de la torsión en modelos tridimensionales de edificios”, VI Jornadas
Argentinas de Ingeniería Estructural, 14 p., Buenos Aires.
8. Wilbur J., y Norris C., (1948), Elementary Structural Analysis, Mc Graw-Hill Book Co,
Inc. New York.
9. Wilson E., and Penzien J., (1972), “Evaluation of orthogonal damping matrices”,
International Journal for Numerical Methods in Engineering, 4, 5-10.
CAPÍTULO 7
TORSIÓN EN EDIFICIOS
RESUMEN
Una de las fallas frecuentes que se presentan durante la acción de un sismo es la denominada,
edificios abiertos, razón por la cual se inicia este capítulo con la identificación de estos edificios, se
define el problema y se presentan casos de edificios que tuvieron un mal comportamiento durante el
terremoto del 15 de agosto de 2007, ocurrido en el Perú.
Posteriormente se presenta el marco teórico del problema de torsión en edificios de un solo
piso, se muestra como se obtiene el centro de rigidez, la excentricidad estática, se plantea el sistema de
ecuaciones diferenciales que gobiernan el problema dinámico y se resuelve este problema en forma
paramétrica.
Se ha elaborado el programa denominado BALANCETORSIONALSINAISLAMIENTO que
encuentra la respuesta de desplazamientos, en el tiempo, de los pórticos extremos de una estructura de
un piso. De igual manera muestra la respuesta en el Centro de Masas del desplazamiento horizontal con
la rotación de piso y encuentra el Coeficiente de Variación. Este programa tiene como objetivo
fundamental enseñar como afecta la torsión a los edificios.
7.1 EDIFICIOS ABIERTOS
Un edificio abierto, es un edificio esquinero, con paredes medianeras a los dos lados, como el
indicado en la figura 7.1, las paredes están construidas monolíticamente con las columnas. Las fachadas
tienen grandes ventanales y la puerta de ingreso. Lo cierto es que los pórticos posteriores, que
contienen las paredes medianeras tienen mayor rigidez que los pórticos de las fachadas; esto
ocasiona que el Centro de Rigidez C.R. se encuentre a una distancia considerable del Centro de Masa
C.M., como se ilustra en la figura 7.2.
La excentricidad estática, distancia del C.M., al C.R., es la que produce momentos de torsión que
conducen a un mal comportamiento sísmico de la estructura, cuando el proyectista estructural ignora la
mampostería en el análisis sísmico pero en el proceso constructivo le acoplan a la estructura.
Figura 7.1 Vista frontal de un edificio abierto.
Figura 7.2 Vista en planta de edificio abierto.
En la figura 7.3 se presenta un edificio de hormigón armado, ubicado en la ciudad de Pisco,
Perú, que colapsó durante el sismo del 15 de agosto de 2007. Este edificio colapsó por dos problemas
que son: edificio abierto y piso blando. En la figura 7.3, a la izquierda se aprecia la una pared medianera,
acoplada a la estructura, en el sentido largo del edificio y a la derecha se observa la otra pared
medianera en el sentido corto del edificio.
A más de ser edificio abierto, la planta baja estaba destinada a parqueaderos, con lo que se
generó otro problema adicional que se denomina piso blando, ya que esta planta tiene menor rigidez
que las plantas superiores. Lo cierto es que estos dos problemas, de edificio abierto y de piso blando,
llevaron al colapso de este edificio ubicado en Pisco.
En un edificio abierto, se tiene en cualquier sentido, dos tipos de pórticos en sus extremos. Un
pórtico débil que no tiene mampostería y un pórtico fuerte que tiene la mampostería. El pórtico débil se
mueve mucho más que el pórtico fuerte y esto ocasiona que se muevan en desface, es decir mientras el
un pórtico se mueve en determinado sentido el otro lo hace más lentamente o se está moviendo en
sentido contrario, generándose la torsión en planta.
Figura 7.3 Edificio que colapsó durante el sismo del 15 de agosto de 2007 en Pisco.
Lo ideal es que el C.M., coincida con el C.R. En este caso todos los pórticos que están en un
determinado sentido se mueven lo mismo, no hay problema de torsión. Lo indicado en estos dos últimos
párrafos de lo va a ver en forma analítica con el desarrollo de un ejemplo.
7.2 CENTRO DE RIGIDEZ EN ESTRUCTURAS DE UN PISO
Para estructuras de un piso, el C.R. se evalúa a partir de la matriz de rigidez lateral, como es un
piso, esta matriz tiene un solo elemento. Se recuerda que el C.R. es el lugar geométrico donde al
aplicar las fuerzas sísmicas la estructura se traslada y no rota.
•
EJEMPLO 1
Encontrar el C.R., de la estructura en forma de “L” indicada en la figura 7.4. La altura del
entrepiso es de 3.0 m. Las columnas A1, B1, A2 y B2 son de 20/20 cm., y todas las restantes columnas
son de 20/30. La dimensión de 30 cm., es paralela a las luces de 4.5 m. Las vigas son todas de 20/25,
en los dos sentidos. Considerar un módulo de elasticidad E = 1738965.21 T / m 2 .
•
SOLUCIÓN
La matriz de rigidez lateral K L de cada uno de los pórticos, encontrados con el programa
RLAXINFI se indica en la figura 7.5, en forma de vector. Así la matriz de rigidez lateral del pórtico 1 vale
153.7568 T/m2. Conceptualmente es la fuerza necesaria para obtener un desplazamiento unitario.
Sean X CR , YCR las coordenadas del C.R. medidas a partir de un eje de coordenadas cuyo
origen coincide con la intersección de los ejes A y 5.
El C.R. se obtiene del equilibrio de fuerzas y momentos, en sentido X, y en sentido Y. En primer
lugar se colocan las fuerzas en sentido X y se halla la ordenada YCR . Luego las fuerzas en sentido Y y
se halla X CR .
A
B
4 .5 0 m
C
4 .5 0 m
1
4 .0 0 m
2
4 .0 0 m
3
4 .0 0 m
4
4 .0 0 m
5
Figura 7.4 Distribución en planta de edificio analizado de un piso.
ƒ
Sentido X
∑F
∑F
X
= 153.7568 + 153.7568 + 365.1317 + 587.8617 + 587.8617
X
= 2271.1185
La sumatoria de momentos se obtiene con respecto al eje A5.
∑ M = 153.7568 ∗16 + 153.7568 ∗12 + 365.1317 ∗ 8 + 587.8617 ∗ 4 = 2271.1185 ∗ Y
CR
YCR = 5.18 m.
ƒ
Sentido Y
∑ F = 521.0324 + 521.0324 + 215.9817
∑ F = 1387.7551
∑ M = 521.0324 ∗ 4.5 + 215.9817 ∗ 9 = 1387.7551∗ X
Y
Y
X CR = 3.41 m.
CR
Figura 7.5 Coordenadas del Centro de Rigidez.
•
EJEMPLO 2
Determinar la excentricidad estática de la estructura en forma de “L” que se ha venido
resolviendo. Si las coordenadas del C.M., son: X CM = 3.15 m. YCM = 6.80 m.
•
SOLUCIÓN
Se define a la excentricidad estática a la distancia que existe entre el C.M., y el C.R. Se define la
distancia en sentido X, como eX y la excentricidad en sentido Y, como eY .
e X = 3.41 − 3.15 = 0.26 m.
eY = 6.80 − 5.18 = 1.62 m.
7.3 MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS DE PISO
En el capítulo anterior se estudio la matriz de rigidez de la estructura en coordenadas de piso
K E la misma que se va a volver a escribir en función de la excentricidad estática.
KE
⎡ K XX
⎢
=⎢
⎢⎣
K Xθ ⎤
⎥
K Yθ ⎥
K θθ ⎥⎦
K XY
K YY
Para pórticos ortogonales K XY = K YX = 0 . Por otra parte, si se recuerda la forma como se
obtuvo las diferentes submatrices de K E en el capítulo anterior y se tiene presente la forma en que se
encontró el C.R. Se demuestra fácilmente, para el caso de una estructura de un piso, que:
K Xθ
K XX
( 7.1 )
Kθθ = eX2 KYY + eY2 K XX + KθθC . R.
( 7.2 )
eX =
C .R.
El único término nuevo es Kθθ
•
KYθ
KYY
eY =
que es la rigidez Kθθ pero evaluada con respecto al C.R.
EJEMPLO 3
La matriz de rigidez en coordenadas de piso, de la estructura en forma de “L” es:
⎡1848.4
K = ⎢⎢0.0
⎢⎣2991.2
2991.2⎤
320.4 ⎥⎥
62969.0 ⎥⎦
0.0
1257.1
320.4
Se pide encontrar la excentricidad estática y el valor de Kθθ utilizando las ecuaciones (7.1) y
(7.2).
•
SOLUCIÓN
eX =
320.4
= 0.254 m.
1257.1
eY =
2991.2
= 1.618 m.
1848.4
KθθC .R. = 153.7568 ( −10.82 ) + 153.7568 ( −6.82 ) + 365.1317 ( −2.82 ) + 587.8617 (1.18 )
2
2
2
+ 587.8617 ( 5.18 ) + 521.0324 ( −3.41) + 521.0324 (1.09 ) + 215.9817 ( 5.59 )
2
2
2
KθθC . R = 58074.91
Kθθ = ( 0.254 ) *1257.1 + (1.618 ) *1848.4 + 58074.91
2
Kθθ = 62994.98 ≈ 62969.0
2
2
2
•
EJEMPLO 4
En la figura 7.6 se presenta la configuración en planta de una estructura esquinera de un piso, a
la izquierda se la observa sin mampostería y a la derecha con mampostería en los lados que son
colindantes con otras construcciones. Todas las columnas son de 30/30 cm., todas las vigas de 20/25
cm., el módulo de elasticidad del hormigón es E = 1738965 .2 T / m 2 . La mampostería es de 15 cm., de
ancho y tiene un módulo de elasticidad E m = 175000 T / m 2 . La altura del entrepiso es de 3 m. Se pide
calcular el C.M. y el C.R. para los dos casos.
Figura 7.6 Estructura sin mampostería a la izquierda y con mampostería a la derecha.
•
SOLUCIÓN
Para el caso de que no se considera la mampostería en los pórticos, la rigidez lateral se halla
con el programa RLAXINFI. Para el ejemplo la K L = 805.93 T / m . A la izquierda de la figura 7.7 se
indica esta rigidez en cada pórtico y en base a estos valores se ha determinado que el C.M., coincide
con el C.R.
La matriz de rigidez lateral, de un pórtico con mampostería es K L = 9205 .90 T / m Esta matriz
se ha obtenido con el programa RLAXINFIMAMPOSTERIA donde se obtiene la diagonal equivalente
con un ancho igual a la longitud de la diagonal dividido para cuatro. Hay una diferencia muy notable de
valores entre la rigidez lateral de un pórtico sin mampostería y la misma rigidez pero con mampostería.
AL considerar la mampostería el C.M., esta ligeramente desplazado hacia el lugar donde se halla
la mampostería. Para encontrar el C.M. se debe aplicar las siguientes ecuaciones:
xCM =
∑W
J
WJ
xJ
y CM =
∑W
J
yJ
WJ
Donde el subíndice J corresponde al elemento en que se ha dividido la planta, puede ser una
viga, una losa, la mampostería, etc. W J es el peso del elemento J . x J , y J son las coordenadas del
centro de masas de una de las figuras en que se ha dividido la planta con respecto al origen de
coordenadas que se considera como referencia. En la figura 7.8 se indican las coordenadas del C.M. En
esta gráfica también se indica la resultante de las fuerzas en sentido X, y en sentido Y. Estas son
10817.76=805.93+805.93+9205.90. Con estas fuerzas se halla las coordenadas el C.R., por equilibrio de
momentos.
Figura 7.7 C.M. y C.R. en estructura sin mampostería y con mampostería.
En la figura 7.8, se indican las coordenadas del C.M., y C.R., para el edificio abierto, medidas
con respecto al punto o (se encuentra en la parte inferior izquierda). En base a estos resultados, a la
derecha de la figura 7.7 se indica la excentricidad estática.
Figura 7.8 Coordenadas del C.M. y C.R., para el caso del edificio abierto.
•
EJEMPLO 5
Presentar la respuesta en el tiempo del edificio abierto de un piso, indicado a la derecha de la
figura 7.6, ante el acelerograma que se muestra en la figura 7.9 y que corresponde al registro de la
componente N-S del sismo del 15 de Agosto de 2007, de Perú. Este registro fue obtenido en la
Universidad San Luis Gonzaga de la ciudad de Ica, que se halla a 138 km., del epicentro.
Figura 7.9 Componente N-S del registro obtenido en la Universidad San Luis Gonzaga.
Se denomina pórtico con mampostería a los pórticos medianeros, que están colindando con
edificaciones vecinas y que tienen paredes y pórticos sin mampostería a los que no tienen paredes.
Figura 7.10 Respuesta en el tiempo
En la figura 7.10 se ve la respuesta para el tiempo comprendido entre 19.5 s., y 21.5 s.; como
era de esperarse el pórtico sin mampostería se mueve más que el pórtico con mampostería. Pero lo
importante, es notar en el círculo que mientras uno de los pórticos se mueve en un sentido, el otro lo
hace en sentido contrario originando los problemas de torsión. Carrillo (2008).
7.4 ANÁLISIS SÍSMICO DE UNA ESTRUCTURA DE UN PISO
En la figura 7.11 se presenta una estructura de un piso, que tiene tres pórticos en el sentido X, y
4 pórticos en el sentido Y. La rigidez lateral de cada pórtico está representada por un resorte. La planta
es rectangular de dimensiones
. Se indica además el sistema de coordenadas con el cual se ha
venido trabajando y que será modificado en el siguiente apartado.
Figura 7.11 Coordenadas de piso y simbología a utilizar.
El sistema de ecuaciones diferenciales que gobierna el problema dinámico está definida por:
M q&& + C q& + K q = − M r u&&g
( 7.3 )
&& son los vectores
son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez; q, q& , q
Donde
de desplazamiento, velocidad y aceleración. El vector de desplazamientos, transpuesto, contiene
q t = [q x
qy
qθ ] ;
es el vector que relaciona los grados de libertad con el movimiento del suelo.
Así para sismo en sentido X, el vector transpuesto
, para sismo en sentido Y, el 1 va en
la mitad;
es la aceleración del suelo. Estrictamente se debió escribir K E en la ecuación ( 7.3 ). Las
matrices de masa y rigidez son:
( 7.4 )
Como se ha estudiado, la matriz de amortiguamiento se encuentra en función de las matrices de
. Al reemplazar ( 7.1 ) en la matriz
masa y rigidez. Para estructuras con pórticos ortogonales
de rigidez, el sistema de ecuaciones diferenciales ( 7.3 ) para el caso de que el sismo actúa en la
dirección Y, queda:
⎡m 0
⎡q& x ⎤ ⎡k xx
0 ⎤ ⎡q&&x ⎤
⎢
⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢
0 ⎥ ⎢q&& y ⎥ + C ⎢q& y ⎥ + ⎢0
⎢0 m
⎢
⎥
⎢q& ⎥ ⎢e k
2⎥⎢
⎣ θ ⎦ ⎣⎢ y xx
⎣0 0 mρ ⎦ ⎣q&&θ ⎦
e y k xx ⎤ ⎡q x ⎤
⎡m 0
0 ⎤ ⎡0 ⎤
⎥⎢ ⎥
⎢
⎥
e x k yy ⎥ ⎢q y ⎥ = − ⎢0 m
0 ⎥ ⎢⎢1 ⎥⎥ u&&g
⎥
⎢
2⎥⎢ ⎥
kθθ ⎦⎥ ⎢⎣qθ ⎥⎦
⎣ 0 0 mρ ⎦ ⎣ 0 ⎦
0
k yy
e x k yy
Al desarrollar los productos matriciales indicados se tiene:
m q&&x + C (1) + k xx q x + e y k xx qθ = 0
m q&& y + C ( 2) + k yy q y + e x k yy qθ = − m u&&g
m ρ 2 q&&θ + C (3) + e y k xx q x + e x k yy q y + kθθ qθ = 0
son las filas uno, dos y tres que resultan del producto de C q& . Ahora si
Donde
las dos primeras ecuaciones se dividen para
y la tercera ecuación para
. Se tiene:
k
C (1) k xx
+
q x + e y xx qθ = 0
m
m
m
( 2)
k
k
C
yy
yy
+
qθ = − u&&g
q y + ex
q&& y +
m
m
m
k yy
k
k
ρ2
C (3)
+ e y xx q x + e x
q y + θθ qθ = 0
q&&θ +
m lx
m lx
m lx
m lx
lx
q&&x +
Se definen las frecuencias de vibración desacopladas, de la siguiente manera:
( 7.5 )
En función de ( 7.5 ) y de la ecuación ( 7.2 ) el sistema de ecuaciones diferenciales, queda:
q&&x +
C (1)
+ w x2 q x + e y w x2 qθ = 0
m
q&& y +
C ( 2)
+ w 2y q y + e x w 2y qθ = − u&&g
m
ρ2
lx
( 7.6 )
(
)
e x2 k yy + e 2y k xx + wθ2 m ρ 2
ex 2
C (3) e y 2
q&&θ +
+
wx q x +
wy q y +
qθ = 0
m lx lx
lx
m lx
Se normalizan las excentricidades estáticas, como sigue:
( 7.7 )
A los términos de la tercera ecuación diferencial que contienen la aceleración rotacional y la
&&θ y qθ se multiplica y divide por lx y al reemplazar ( 7.7 ) en esta ecuación diferencial se
rotación q
halla:
ρ2
l x q&&θ +
l x2
2
⎤
⎡
⎛ρ⎞
C ( 3)
2
2
2
2
2
2
⎢
⎜
⎟
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
+ e y w x q x + e x w y q y + e x w y + e y w x + ⎜ ⎟ wθ2 ⎥ l x qθ = 0
m lx
⎥
⎢
⎝ lx ⎠
⎦
⎣
Se realiza el siguiente cambio de variable:
q r = l x qθ
( 7.8 )
Con el cambio de variable indicado el sistema de ecuaciones diferenciales definido en ( 7.6 )
queda:
q&&x +
C (1)
+ w x2 q x + eˆ y w x2 q r = 0
m
q&& y +
C ( 2)
+ w 2y q y + eˆ x w 2y q r = − u&&g
m
⎛ρ
⎜⎜
⎝ lx
2
⎡
⎞
⎛ρ
C ( 3)
⎟⎟ q&&r +
+ eˆ y w x2 q x + eˆ x w 2y q y + ⎢eˆ x2 w 2y + eˆ 2y w x2 + ⎜⎜
m lx
⎢
⎠
⎝ lx
⎣
( 7.9 )
2
⎤
⎞
⎟⎟ w 2y Ωθ2 ⎥ q r = 0
⎥
⎠
⎦
Se denomina:
( 7.10 )
Con lo que:
q&&x +
C (1)
+ w x2 q x + eˆ y w x2 q r = 0
m
q&& y +
C ( 2)
+ w 2y q y + eˆ x w 2y q r = − u&&g
m
⎡
⎛ρ
C (3)
1+α 2
q&&r +
+ eˆ y w x2 q x + eˆ x w 2y q y + ⎢eˆ x2 w 2y + eˆ 2y w x2 + ⎜⎜
m lx
12
⎢
⎝ lx
⎣
2
⎤
⎞
⎟⎟ wθ2 ⎥ q r = 0
⎥
⎠
⎦
En forma matricial se puede escribir:
⎡
⎤
⎢ 2
⎡ q& x ⎤ ⎢ w x
0
0 ⎥ ⎡q&&x ⎤
⎥ ⎢ ⎥ Cˆ ⎢ ⎥ ⎢
1
0 ⎥ ⎢q&& y ⎥ + ⎢ q& y ⎥ + ⎢0
m⎢ ⎥ ⎢
⎥
1 + α 2 ⎥ ⎢⎣q&&r ⎥⎦
⎣ q& r ⎦ ⎢
0
2
⎥
⎢eˆ y w x
12 ⎦
⎣
⎡
⎢1
⎢
⎢0
⎢
⎢0
⎢⎣
0
eˆ y w x2
w 2y
eˆ x w 2y
eˆ x w 2y
eˆ x2 w 2y
+
eˆ 2y
w x2
⎛ρ
+ ⎜⎜
⎝ lx
⎞
⎟⎟
⎠
2
⎤
⎥
⎥ ⎡q x ⎤
⎥⎢ ⎥
⎥ ⎢q y ⎥
⎥⎢ ⎥
⎥ ⎣q r ⎦
wθ2 ⎥
⎦
Ĉ es la matriz de amortiguamiento en la cual los elementos de la tercera fila y tercera
columna están divididos para m l x . La primera y segunda fila y sus respectivas columnas de Ĉ están
Donde
divididas para m .
Se definen las siguientes relaciones de frecuencias, desacopladas:
( 7.11 )
Ωx =
wx
wy
( 7.12 )
En función de la relación de frecuencias, el sistema de ecuaciones diferenciales, queda:
⎡
⎢1
⎢
⎢0
⎢
⎢0
⎢⎣
⎡
⎤
⎢ 2
⎡q& x ⎤
⎢Ω x
0
0 ⎥ ⎡q&&x ⎤
⎥ ⎢ ⎥ Cˆ ⎢ ⎥
2⎢
1
0 ⎥ ⎢q&& y ⎥ + ⎢q& y ⎥ + w y ⎢0
m⎢ ⎥
⎥
⎢
1 + α 2 ⎥ ⎢⎣q&&r ⎥⎦
⎣q& r ⎦
⎢eˆ Ω 2
0
12 ⎥⎦
⎢ y x
⎣
0
eˆ y Ω 2x
1
eˆ x
eˆ x
eˆ x2
+
eˆ 2y
Ω 2x
⎛ρ
+ ⎜⎜ s
⎝ lx
⎞
⎟⎟
⎠
2
⎤
⎥
⎥ ⎡ q x ⎤ ⎡0 ⎤
⎥⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎥ ⎢q y ⎥ = ⎢− u&&g ⎥
⎥ ⎢ q ⎥ ⎢0 ⎥
⎦
2⎥ ⎣ r ⎦ ⎣
wθ
⎥
⎦
7.5 ANÁLISIS SÍSMICO DE UNA ESTRUCTURA MONO SIMÉTRICA
Se define una estructura mono simétrica, a aquella que solo tiene una excentricidad estática. Por
lo tanto, en un sentido es completamente simétrica. En la figura 7.12 se indica una estructura mono
simétrica que tiene solo excentricidad e x .
Figura 7.12 Estructura mono simétrica
Para el análisis sísmico en sentido Y, es posible trabajar con los dos grados de libertad que se
indican en la figura 7.12. En este caso el sistema de ecuaciones diferenciales, queda:
⎡1
0 ⎤
⎡1
ˆ
&
&
&
q
q
⎤
⎡
⎤
⎡
⎢
C
y
y
2
⎢
2⎥
+ wy ⎢
+
⎢0 1 + α ⎥ ⎢q&& ⎥ m ⎢q& ⎥
⎣ r⎦
⎣ r⎦
⎢eˆ x
12 ⎦⎥
⎣⎢
⎣
eˆ x
⎛ρ ⎞
eˆ x2 + ⎜⎜ s ⎟⎟
⎝ lx ⎠
2
⎤
⎥ ⎡q y ⎤ ⎡− u&&g ⎤
⎥⎢ ⎥=⎢
⎥ ( 7.13 )
wθ2 ⎥ ⎣q r ⎦ ⎣0 ⎦
⎦
Para poder encontrar las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez, indicadas en la ecuación
( 7.13 ) se necesitan los siguientes datos: α , eˆ x , w y , Ω 0 , ξ . El procedimiento de cálculo de estas
matrices es el siguiente:
1. Se determina la matriz de masas M
0 ⎤
⎡1
⎢
2⎥
M=
⎢0 1 + α ⎥
12 ⎦⎥
⎣⎢
Siendo α = l y / l x , relación de luces de la losa.
2. Se halla la matriz de rigidez K .
⎡1
⎢
K = w 2y ⎢
⎢eˆ x
⎣
ρs
lx
eˆ x
⎛ρ
eˆ x2 + ⎜⎜ s
⎝ lx
= Ω0
⎞
⎟
⎟
⎠
2
⎤
⎥
2⎥
wθ ⎥
⎦
1+α 2
12
wθ = Ω 0 w y
3. Se determina la matriz de amortiguamiento C aplicando el algoritmo de Wilson y Penzien. Para
ello se requiere el factor de amortiguamiento ξ .
4. Se encuentra la respuesta en el tiempo aplicando el Procedimiento de Espacio de Estado o
cualquier otro método de cálculo.
7.6 PROGRAMA BALANCETORSIONALSINAISLAMIENTO
El programa denominado BALANCETORSIONALSINAISLAMIENTO encuentra la respuesta
sísmica en una estructura rectangular, mono simétrica, que solo tiene excentricidad estática e x , con
base empotrada. Realiza el análisis sísmico en sentido Y para el modelo indicado en la figura 7.12. El
programa realiza lo siguiente:
•
Encuentra la respuesta en desplazamientos en una estructura completamente simétrica y halla la
respuesta máxima en absoluto del desplazamiento horizontal, q y max .
•
Para una excentricidad estática dada encuentra la historia en el tiempo de los desplazamientos
de los pórticos extremos, que corresponden al pórtico débil y al pórtico fuerte. Estas respuestas
se normalizan para q y max y los presenta en forma gráfica.
•
Encuentra la respuesta q y , q r en el C.M., para una excentricidad estática determinada, y se
normalizan con respecto a q y max y se grafica en el eje de las X, q y / q y max y en el eje de las
Y, q r / q y max .
•
Halla el coeficiente de correlación de la respuesta normalizada de q y / q y max y de q r / q y max .
La forma de uso del programa es:
¾
[correlacion]=balancetorsionalsinaislamiento(alfa,exs,Ty,omega,seda,sismo,dt)
ƒ
alfa
Es el valor de α = l y / l x
ƒ
ƒ
ƒ
exs
Ty
omega
Es la excentricidad normalizada eˆ x = e x / l x
Es el período de vibración de la estructura en sentido Y.
Es el valor de Ωθ = wθ / w y .
ƒ
ƒ
ƒ
seda
sismo
dt
Es el factor de amortiguamiento ξ que se considera igual en todos los modos.
Archivo que contiene el acelerograma de análisis.
Incremento de tiempo del acelerograma, con este valor se halla la respuesta en
el tiempo.
function [correlacion]=balancetorsionalsinaislamiento(alfa,exs,Ty,omega,seda,sismo,dt)
%
% Balance Torsional en el dominio del tiempo en estructuras retangulares de
% un piso, Mono simetrica
% Respuesta en el tiempo de porticos extremos normalizados con
% respecto a respuesta maxima de desplazamiento, de estructura simetrica.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%
Agosto-2007
%--------------------------------------------------------------------% [correlacion]=balancetorsionalsinaislamiento(alfa,exs,Ty,omega,seda,sismo,dt)
%--------------------------------------------------------------------% alfa : Relacion de lado corto a largo de estructura rectangular
% exs
: excentridad estatica normalizada con respecto a Lx.
% Ty
: Periodo de vibracion de estructura en sentido Y.
% omega : Relacion de frecuencia wteta con respecto a wy.
% sismo : Archivo que contiene acelerograma.
% dt
: Incremento de tiempo en que viene el acelerograma.
% seda : Factor de amortiguamiento (se sonsidera igual en todos los
%
modos)
% uymax : Respuesta maxima en absoluto de estructura completamente
%
simetrica
% urmax : Respuesta maxima en absoluto rotacional de estructura
%
completamente simetrica.
% correlacion : Matriz que reporta los coeficientes de correlacion,
%
interesa entre desplazamiento horizontal y rotacional.
%
% Primero se encuentra la respuesta en el tiempo para estructura simetrica
% Matriz de masas
MS(1,1)=1; MS(1,2)=0; MS(2,1)=0; MS(2,2)=(1+alfa*alfa)/12;
% Matriz de rigidez
wy=2*pi/Ty;factor=wy*wy;
KS(1,1)=factor; KS(1,2)=factor*exs; KS(2,1)=KS(1,2);
KS(2,2)=(exs*exs+((1+alfa*alfa)/12)*omega*omega)*factor;
KSI(1,1)=factor;KSI(1,2)=0.0;KSI(2,1)=0.0; KSI(2,2)=((1+alfa*alfa)/12)*omega*omega*factor;
% Matriz de amortiguamiento tipo Wilson y Penzien
[VS,DS]=eig(KSI,MS); Wn=sqrt(DS); W=diag(Wn); zeda(1)=seda; zeda(2)=seda;
CSI=zeros(2,2);
for i=1:2
fi=VS(:,i); mi=fi'*MS*fi; aux=2*zeda(i)*W(i)/mi;
CSI=CSI+aux.*MS*fi*fi'*MS;
end
% Respuesta en el tiempo por Procedimiento de Espacio de Estado
Qo(1)=-1; Qo(2)=0;var=1;Qo=Qo';
npuntos=length(sismo);
% Procedimiento de Espacio de Estado
[qt,vt,q]=pse3(MS,CSI,KSI,Qo,sismo,dt,var);
% Respuestas en porticos extremos,
for j=1:npuntos-1;
t(j)=j*dt;
uys(j)=qt(j,1);urs(j)=qt(j,2);
dfuerte(j)=uys(j)+0.5*urs(j);
ddebil(j)=uys(j)-0.5*urs(j);
end
dfuermax=max(abs(dfuerte));ddebmax=max(abs(ddebil));
uymax=max(abs(uys));
%
% Respuesta en el tiempo de estructura asimetrica
%
% Matriz de amortiguamiento tipo Wilson y Penzien
[V,D]=eig(KS,MS); Wn=sqrt(D); W=diag(Wn);
CS=zeros(2,2);
for i=1:2
fi=V(:,i); mi=fi'*MS*fi; aux=2*zeda(i)*W(i)/mi;
CS=CS+aux.*MS*fi*fi'*MS;
end
% Procedimiento de Espacio de Estado
[qt,vt,q]=pse3(MS,CS,KS,Qo,sismo,dt,var);
% Respuestas en porticos extremos,
for j=1:npuntos-2;
tt(j)=j*dt;
uy(j)=qt(j,1);uyy(j)=uy(j)/uymax;
ur(j)=qt(j,2);urr(j)=ur(j)/uymax;
dfuertenor(j)=(uy(j)+0.5*ur(j))/dfuermax;
ddebilnor(j)=(uy(j)-0.5*ur(j))/ddebmax;
end
correlacion=corrcoef(uyy,urr); clf;
subplot (2,1,1); plot (tt,dfuertenor); hold on; plot (tt,ddebilnor,':');
xlabel ('Tiempo (s)');ylabel('Desp. Normalizado');
subplot (2,1,2); plot (uyy,urr);
xlabel ('uy/uymax');ylabel('ur/uymax');
% ---fin---
•
EJEMPLO 6
En la figura 7.13, a la izquierda, se presenta un acelerograma sintético cuyo espectro elástico se
indica a la derecha y es aproximado al espectro del Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000
para la zona de mayor peligrosidad sísmica del Ecuador, en un perfil de suelo S1. A este acelerograma
artificial se denominará SISMO. Para este evento se desea encontrar la respuesta en desplazamientos
de los pórticos extremos y la respuesta que relaciona q y / q y max con q r / q y max en el C.M para los
siguientes datos:
α = 0.5; eˆ x = 0.10; T y = 1.0 s; Ωθ = 0.8; ξ = 0.05 .
Figura 7.13 Acelerograma sintético denominado SISMO y espectro de respuesta elástico.
•
SOLUCIÓN
En la figura 7.14 se indica las respuestas que reporta el programa. En la parte superior se
observa los desplazamientos de los pórticos exteriores, normalizados con respecto al desplazamiento
máximo de la estructura simétrica, se aprecia que están desfasados debido a la excentricidad estática.
Figura 7.14 Historia en el tiempo que reporta programa BALANCETORSIONALSINAISLAMIENTO.
En la parte inferior se aprecia que existe acoplamiento entre la respuesta horizontal y rotacional
por la excentricidad estática. En el eje de las X, se tiene el desplazamiento horizontal normalizado,
q y / q y max y en el eje de las Y la rotación normalizado q r / q y max . Se observa claramente que hay
acoplamiento en la respuesta de traslación con la respuesta de rotación.
7.7 COMENTARIOS
El desarrollo matemático presentado en este capítulo tiene muchas aplicaciones entre las que se
destacan las dos siguientes:
•
Sirve para el cálculo de los parámetros α , δ , β que se ha estudiado en capítulos anteriores para
encontrar la excentricidad de diseño. Para el efecto se halla la respuesta en el tiempo en los
pórticos débil y fuerte, normalizados con respecto a los desplazamientos hallados en la
estructura completamente simétrica.
•
Sirve para estudiar un tema muy actual que se conoce con el nombre de Balance Torsional cuyo
objetivo es minimizar los problemas de torsión mediante la colocación de disipadores de energía.
Vial (2003) o mediante aisladores de base. De La Llera et al (2005). Lógicamente, es un inicio
para esta temática mediante el análisis sísmico de la estructura con base empotrada.
REFERENCIAS
1. Carrillo C., (2008) Comprobación de la respuesta sísmica incorporando y desacoplando la
mampostería y técnicas de reforzamiento, Tesis de Grado para obtener el título de Ing. Civil.
Escuela Politécnica del Ejército, 200 p. Quito.
2. Vial I., (2003), Torsional balance of planasymmetric structures with frictional dampers: Analytical
and experimental results”, Tesis de Maestría en Ciencias. Escuela de Ingeniería. Pontificia
Universidad Católica de Chile, 100 p. Santiago de Chile.
3. De la Llera J., Almazán J., Seguín C., (2005), “Control de estructuras asimétricas mediante
aislamiento sísmico”, IX Congreso Chileno de Sismología e Ingeniería Antisísmica. Universidad
Nacional de Concepción, 12 p., Concepción, Chile.
CAPÍTULO 9
AISLADORES DE BASE ELASTO MÉRICOS
RESUMEN
Este capítulo se considera un inicio para aquel lector que desea incursionar en el
análisis sísmico de estructuras con aisladores de base. Por este motivo se presenta como
funcionan las estructuras con aislación sísmica y se indican algunos detalles constructivos.
Posteriormente se presentan tres modelos para el análisis sísmico espacial de
estructuras con aisladores de base sin núcleo de plomo. Estos son el Modelo Cuasi-Estático, el
Modelo con Corrección de Masa y el Modelo Dinámico Exacto. Para este último modelo se
propone una metodología de solución del sistema de ecuaciones diferenciales acopladas.
Para facilitar el análisis se presentan los programas: CUASIESTATICOAISLAMIENTO
y MASACORREGIDAAISLAMIENTO, que hallan la respuesta en el tiempo con los dos
primeros métodos. Se destaca que para utilizar estos programas debe estar en la partición
work de MATLAB el programa PSE3, que fue indicado en el capítulo anterior. Se indica la
forma de uso de éstos programas mediante el desarrollo de ejemplos.
Posteriormente se compara la respuesta en el tiempo de los desplazamientos en un
edificio de tres pisos, con estos tres modelos; tanto a nivel del sistema de base de los
aisladores como a nivel del desplazamiento lateral en el último piso.
9.1 INTRODUCCIÓN
Los aisladores de base, son una excelente opción para el diseño sísmico de
estructuras. Lastimosamente en el Ecuador, al 2007 todavía no existe una sola estructura con
aisladores de base. Recién en el 2008, el Cuerpo de Ingenieros del Ejército está construyendo
el puente que une las ciudades de Bahía de Caráquez con San Vicente con aisladores de base
los mismos que están ubicados bajo el tablero del puente, que dicho sea de paso tiene
aproximadamente dos kilómetros de longitud.
248
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Este capítulo, es un punto de partida para quien se inicia en esta temática de los
aisladores de base y que mejor empezar con los más sencillos de analizarlos como son los
aisladores elastoméricos.
Los aisladores elastoméricos, que se están estudiando, están compuestos por una
serie de láminas de goma intercaladas con láminas de acero a manera de un sandwich, como
se aprecia en la figura 9.1. En la parte superior e inferior del aislador se colocan placas de
anclaje las mismas que van conectadas a la superestructura (la superior) y a la cimentación (la
inferior) por medio de pernos de anclaje.
Figura 9.1 Detalle de un aislador elastomérico.
Durante su construcción, las láminas de goma se intercalan con las láminas de acero,
dentro de un molde de acero que tiene la forma final del aislador y luego se le aplica presión a
una temperatura muy alta, alrededor a los 140 oC, por un tiempo que varía entre 4 y 8 horas,
para que la goma se vulcanice y adquiera el conjunto su propiedad elástica, que le permita ser
muy flexible horizontalmente debido a la goma y muy rígido verticalmente por la presencia de
las láminas de acero, que impiden la deformación lateral de la goma.
Figura 9.2 Edificio San Agustín de la Escuela de Ingeniería de la U. Católica de Chile.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
249
En la figura 9.1 se ha presentado un aislador con un orificio cilíndrico en la parte
central. Ahora bien, no es necesario dejar este orificio se lo puede fabricar todo lleno. Si se deja
el orificio se tiene la posibilidad de colocar un núcleo de plomo para darle mayor eficiencia al
aislador. De igual manera no es necesario que el aislador sea circular puede ser rectangular sin
ningún orificio.
En la figura 9.2 se observa la fachada principal del Edificio San Agustín, de la Escuela
de Ingeniería de la Pontificia Universidad Católica de Santiago de Chile, que está construido
sobre aisladores de base elastoméricos. En la figura 9.3 se muestra uno de los aisladores
utilizados en la estructura se nota la cimentación sobre la cual se asienta el aislador y en la
parte superior se aprecia una losa sobre vigas. Es fundamental la presencia de esta losa sobre
el aislador para que toda la estructura se mueva en forma uniforme.
Figura 9.3 Detalles de la unión entre la cimentación y la estructura mediante un aislador.
En el Edificio San Agustín los aisladores se hallan en un entrepiso de 2 m., de alto,
aproximadamente, esto garantiza un buen mantenimiento de los aisladores ya que están
protegidos.
En la figura 9.4 se aprecia el comportamiento de un aislador, en el laboratorio ante
fuerzas laterales. Nótese el gran desplazamiento lateral del aislador y es así como se va a
comportar una estructura con aisladores de base, durante un sismo. El aislador es el que
experimenta grandes desplazamientos y la estructura se va a mover muy poco. El aislador es
el que experimenta grandes deformaciones y la estructura muy poco. Es muy probable que
después de un sismo el aislador sufrió tanto daño que se requiere cambiarlo, para el efecto en
la construcción se debe tener en cuenta los lugares donde se van a colocar los gatos
hidráulicos para levantar el edificio y proceder a cambiar el aislador.
En la figura 9.4 se nota que el aislador trabaja al corte y que se ha deformado
lateralmente más del 100% de la altura del aislador. Esto es lo bueno de los edificios con
aislación sísmica son los aisladores los que disipan la mayor cantidad de energía y la
superestructura permanece en el rango elástico.
250
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Figura 9.4 Ensayo en laboratorio de un aislador elastomérico.
La construcción del edificio debe ser realizada de acuerdo a la forma como va a
trabajar la estructura con los aisladores de base. Si se espera que la losa de la planta baja va a
tener grandes desplazamientos laterales, se debe en primer lugar permitir que la losa se
desplace lateralmente como se aprecia en la figura 9.5, que corresponde al Edificios San
Agustín, donde la losa sobresale del nivel del terreno y se ha dejado una junta de construcción
adecuada, para la circulación peatonal. En fin hay una serie de detalles que se deben tener en
cuenta durante la construcción de un edificio sobre aisladores de base.
Figura 9.5 Detalles constructivos en un edificio con aisladores de base.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
251
9.2 FUNDAMENTO GENERAL
Se tiene mejor respuesta sísmica en las estructuras con aisladores de base, por las
siguientes razones:
1) Se flexibiliza notablemente a la estructura con los aisladores de base. Si una estructura sin
aisladores de base tiene un período de vibración T al colocarle los aisladores tendrá un
período Ta >> T . El proyectista estructural determina las dimensiones de los aisladores
para que la estructura tenga el período Ta , llamado también período objetivo.
En la figura 9.6 se presentan los espectros de respuesta elásticos de los sismos de: México
1985, Chile 1985 y El Centro 1940. También se ha colocado los períodos fundamentales de
tres estructuras de tres, seis y nueve pisos, sin aisladores de base, construidos con base
empotrada. Ahora bien, si se considera como período objetivo Ta = 2 s. , y para este
período se diseñan los aisladores, las tres estructuras ante los sismos de El Centro y de
Chile tendrán menores respuestas sísmicas ya que las ordenadas espectrales son más
bajas.
En cambio para el sismo de México es preferible no colocar aisladores en la base ya que
se van a incrementar la respuesta sísmica. Esto debe llamar la atención ya que no siempre
son beneficiosas las estructuras con aislación sísmica. Es fundamental conocer las formas
de los espectros para tomar decisiones.
Figura 9.6 Espectros de respuesta elásticos de los sismos de México 1985, Chile 1985 y Centro 1940.
2) Con los aisladores de base se proporciona mayor amortiguamiento a la estructura.
Consecuentemente las ordenadas espectrales van a ser menores y por ende la respuesta
de la estructura es menor.
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
252
9.3 MARCO TEÓRICO
En la figura 9.7, se indica el modelo numérico de cálculo, que considera tres grados de
libertad por planta, medidos en el Centro de Masa C.M., de cada planta, estos son dos
desplazamientos horizontales y una rotación de piso con respecto a un eje perpendicular a la
losa. Es importante notar que los grados de libertad se agrupan en dos vectores que son: q ,
para los grados de libertad del sistema de aislamiento y u para los grados de libertad de la
superestructura.
Figura 9.7 Modelo de tres grados de libertad por planta
⎡q ( x ) ⎤
⎢
⎥
q = ⎢q ( y ) ⎥
⎢q (θ ) ⎥
⎣
⎦
Donde q
en sentido X; q
⎡u ( x ) ⎤
⎢
⎥
u = ⎢u ( y ) ⎥
⎢u (θ ) ⎥
⎣
⎦
( x)
( y)
u ( x)
⎡u1( x ) ⎤
⎢ ( x) ⎥
u
= ⎢⎢ 2 ⎥⎥
"
⎢
⎥
⎢⎣u n( x ) ⎥⎦
u ( y)
⎡u1( y ) ⎤
⎢ ( y) ⎥
u
= ⎢⎢ 2 ⎥⎥
"
⎢
⎥
⎢⎣u n( y ) ⎥⎦
u (θ )
⎡u1(θ ) ⎤
⎢ (θ ) ⎥
u
= ⎢⎢ 2 ⎥⎥
"
⎢
⎥
⎢⎣u n(θ ) ⎥⎦
es la componente de desplazamiento horizontal del sistema de aislamiento
es similar a q
( x)
pero en sentido Y; q
( x)
( y)
(θ )
(θ )
es la rotación de piso con respecto
a un plano perpendicular a la losa. u , u , u , son vectores que contienen a los
desplazamientos horizontales en sentido X de cada uno de los pisos de la superestructura;
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
253
desplazamientos horizontales en sentido Y; rotaciones con respecto a un eje perpendicular a la
losa, respectivamente.
El sistema de ecuaciones diferenciales, está definido por las siguientes ecuaciones,
para el sistema de aislamiento y la superestructura, respectivamente.
t
g − r ( s ) M ( s ) u
M ( t ) q + C ( b ) q + K ( b ) q = − M ( t ) r ( b ) u
[
+ C ( s ) u + K ( s ) u = − M ( s ) r ( s ) q + r ( b ) u
g
M (s) u
Donde M
C
(b )
(t )
( 9.1 )
]
( 9.2 )
es la matriz de masa total de la estructura completa como cuerpo rígido;
es la matriz de amortiguamiento del sistema de aislamiento; K
del sistema de aislamiento; r
(b )
(b )
es la matriz de rigidez
g en los grados de libertad de
es un vector de colocación de u
g es la aceleración del suelo, definida por su acelerograma; M
la base; u
( s)
, C
(s)
K ( s) ,
y
(s)
son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez de la superestructura; r
es la matriz de
g en los grados de libertad de la estructura; u es la aceleración en la
colocación de u
superestructura.
Al despejar de la ecuación (9.1), el vector de aceleraciones del sistema de aislamiento
q , se tiene:
g − M ( t )
q = −r ( b ) u
−1
[C
(b)
]
t
q + K ( b ) q + r ( s ) M ( s ) u
en ecuación (9.2) se encuentra, luego de simplificar
Al sustituir q
g , el siguiente
r (b) u
sistema de ecuaciones diferenciales.
+ C ( s ) u + K ( s ) u = M ( s ) r ( s ) M ( t )
M ( s) u
−1
(C
(b)
)
t
( 9.3 )
q + K ( b ) q + r ( s ) M ( s ) u
Kulkarni y Jangrid (2002) analizan e interpretan la interacción entre el sistema de
aislamiento y la superestructura y concluyen que la flexibilidad de la estructura no influye
mayormente en la respuesta del sistema de aislamiento especialmente cuando el período de
vibración de la superestructura con base empotrada es menor a 1.0 s.; en este caso, se puede
ignorar el término r
se considera
( s) t
de la ecuación ( 9.1). Nótese que únicamente en ésta ecuación
M (s) u
= 0 . En efecto al desarrollar la ecuación (9.3) se tiene:
u
+ C ( s ) u + K ( s ) u = M ( s ) r ( s ) M ( t )
M (s) u
−1
−1
(C
(b)
)
−1
t
− M ( s ) r ( s ) M ( t ) r ( s ) M ( s ) u
+ C ( s ) u + K ( s ) u = M ( s ) r ( s ) M ( t )
M (s) u
⎛⎜ M ( s ) − M ( s ) r ( s ) M
⎝
( t ) −1 ( s ) t
r
t
q + K ( b ) q + M ( s ) r ( s ) M ( t ) r ( s ) M ( s ) u
+ C ( s ) u + K ( s ) u = M ( s ) r ( s ) M
M ( s ) ⎞⎟ u
⎠
~ ( s)
Se denomina Matriz de Masa corregida M
−1
( t ) −1
(C
(C
)
q)
(b)
q + K ( b ) q
(b)
q + K ( b )
, a:
t
−1
~
M ( s) = M (s) − M ( s) r ( s) M (t ) r ( s) M ( s)
( 9.4 )
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
254
Luego, el sistema de ecuaciones diferenciales para la superestructura, queda:
~
+ C ( s ) u + K ( s ) u = M ( s ) r ( s ) a~ (q, q )
M (s) u
−1
a~ (q, q ) = M ( t ) C ( b ) q + K ( b ) q
(
)
( 9.5 )
( 9.6 )
~ (q, q ) es el vector de aceleración de la superestructura.
Donde a
9.4 MÉTODO CUASI-ESTÁTICO
En el Método Cuasi-Estático, De la Llera et al (2005), la respuesta de sistema de
aislamiento se obtiene en forma dinámica con la ecuación (9.7) en que no se toma en cuenta
. Se recomienda utilizar el Procedimiento de Espacio
la aceleración de la superestructura u
de Estado, PEE, para encontrar la respuesta q y q .
g
M ( t ) q + C ( b ) q + K ( b ) q = − M ( t ) r ( b ) u
( 9.7 )
Por otra parte, la respuesta de la superestructura se halla en forma estática mediante
las ecuaciones (9.8) y (9.9)
K ( s ) u = F ( s ) (q, q )
( 9.8 )
F ( s ) (q, q ) = M ( s ) r ( s ) a~ (q, q )
( 9.9 )
La ecuación (9.8) es la ecuación básica de equilibrio de estructuras estáticas pero aquí
se debe calcular en cada incremento de tiempo, F (q, q ) que son las fuerzas que actúan en
la superestructura en cada piso y en cada instante de tiempo de duración del sismo.
(s)
En estos métodos se considera que la masa de la superestructura está rígidamente
vinculada al aislamiento, por este motivo se calcula M
superestructura más la masa del aislamiento.
(b )
como la suma de la masa de la
9.4.1 Procedimiento de análisis
El procedimiento de análisis sísmico empleando el Método Cuasi-Estático, se resume
en los siguientes pasos:
1. Se encuentra la respuesta en el tiempo del sistema de aisladores q , resolviendo el
sistema de ecuaciones diferenciales descrito en ( 9.1 ), que se repite a continuación.
g
M ( t ) q + C ( b ) q + K ( b ) q = − M ( t ) r ( b ) u
2. Se halla el vector de aceleración total de la estructura completa como cuerpo rígido
a~(q, q )
(
−1
a~ (q, q ) = M ( t ) C ( b ) q + K ( b ) q
)
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
3. Se encuentran las fuerzas laterales en cada piso F
255
(s)
F ( s ) = M ( s ) r ( s ) a~ (q, q )
( s)
es la matriz de masa de la superestructura; r
Donde M
g en los grados de libertad de la estructura.
colocación de u
(s)
es la matriz de
4. Se obtienen los desplazamientos laterales y giros en el centro de masas de cada piso,
resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones lineales.
K (s) u = F (s)
Siendo K
( s)
la matriz de rigidez de la superestructura.
5. Se hallan los desplazamientos laterales en cada pórtico p
( j)
.
p ( j) = A( j) u
Donde A
( j)
laterales p
( j)
es la matriz de compatibilidad de deformaciones entre las coordenadas
y las coordenadas del centro de masa
Las matrices A
A
α
( j)
( 9.10 )
( j)
, K
( s)
, M
( s)
u . La j representa el pórtico j.
, para la superestructura son las siguientes.
Senα
r1
⎡Cosα
⎢
......
.......
=⎢
⎢⎣
Cosα
Senα
⎤
...... ⎥⎥
rn ⎥⎦
( 9.11 )
j con el eje de las X.
r1 es la distancia del centro de masas al pórtico j en el primer piso, rn es similar a r1 pero en
Donde
es el ángulo que forma la dirección positiva del pórtico
( j)
el último piso. La matriz A
tiene NP filas y 3 por
pórticos de la estructura. Para el ejemplo se tiene:
NP
K (s) = ∑ A( j)
j =1
( j)
t
NP columnas. Siendo NP el número de
K L( j )
A( j)
Siendo K L la matriz de rigidez lateral del pórtico
de la siguiente manera.
( 9.12 )
j . También se puede obtener K ( s )
256
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
K (s)
⎡ NP
2
( j)
⎢∑ Cosα K L
⎢ j =1
⎢ NP
= ⎢∑ Senα Cosα K L( j )
⎢ j =1
⎢ NP
⎢∑ Cosα K L( j ) r ( j )
⎢⎣ i =1
r
( j)
( j)
⎤
r ( j) ⎥
j =1
⎥
NP
⎥
( j)
( j)
Sen
α
K
r
⎥
∑
L
j =1
⎥
NP
⎥
( j)
( j) 2
⎥
K
r
∑
L
⎥⎦
i =1
NP
∑ Senα Cosα K
j =1
NP
∑ Cosα K
( j)
L
NP
∑ Senα
2
j =1
K L( j )
( )
NP
∑ Senα K
i =1
⎡r1
⎢
⎢
=⎢
⎢
⎢
⎢⎣
( j)
L
r ( j)
"
ri
"
( j)
L
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
rn ⎥⎦
( 9.13)
NP por NP conformada por las distancias
( s)
desde el centro de masa al pórtico, con su respectivo signo. La matriz de masa M
es:
Siendo r
una matriz diagonal de orden
M ( s)
m (s)
J (s)
⎡m ( s )
⎢
=⎢
⎢
⎣
⎡m1
⎢
⎢
⎢
=⎢
⎢
⎢
⎢
⎣⎢
⎡ J1
⎢
⎢
⎢
=⎢
⎢
⎢
⎢
⎣⎢
⎤
⎥
⎥
(s) ⎥
J ⎦
m ( s)
m2
"
mi
"
J2
Ji =
"
Ji
"
(
mi 2
ai + bi2
12
( 9.14 )
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
m n ⎦⎥
( 9.15 )
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
J n ⎦⎥
( 9.16 )
)
( 9.17 )
Donde m i es la masa del piso i; J i es el momento de inercia de la masa con respecto
al C.M.; a i , bi son las dimensiones en planta de la losa del piso i.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
•
257
EJEMPLO 1
Realizar el análisis sísmico de la estructura de un piso indicada en la figura 9.8, ante el
sismo de El Centro de 1940, cuyo acelerograma se muestra en la figura 9.9. Todas las
columnas son iguales y son de 30/30 cm., las vigas también son iguales y son de 20/30 cm.
Las luces de la estructura son de 5.0 m., y la altura del entrepiso es de 3.0 m.
La carga muerta es D = 500 Kg / m . La carga viva L = 200 Kg / m . El centro de
masas C.M. es colineal entre la losa superior al aislamiento de base y la losa del primer piso.
2
2
Figura 9.8 Estructura de análisis de ejemplo 1.
La rigidez de cada aislador es de
k b = 20 T / m. La masa del aislador más la
cimentación más la masa de la losa bajo la cual están los aisladores, es mb = 0.10 T s / m .
2
El amortiguamiento del aislador
ξ b = 0.10 . Presentar en un gráfico la respuesta en el tiempo
para el movimiento horizontal de la base q ( x ) y para el desplazamiento horizontal del primer
( x)
piso u1 .
•
SOLUCIÓN
Al utilizar el programa RLAXINFI, con un módulo de elasticidad del hormigón
E = 1738965.21 T / m 2 . Se halla que la matriz de rigidez lateral de los
pórticos con inercias gruesas. Esta vale: K L = 554.5 T / m . Al ser todos los pórticos iguales,
considerado es
esta es la matriz de rigidez lateral de cada uno de ellos.
258
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Figura 9.9 Acelerograma del sismo de El Centro de 1940.
El peso D del primer piso vale D = 0.5 * 25 = 12.5 T . La estructura en estudio es una
vivienda, se tomará el 25% de la carga viva para el análisis sísmico. Luego
L = 0.25 * 0.2 * 25 = 1.25 T .
La masa que llega a cada aislador proveniente de la superestructura es el peso total
debido a carga muerta más porcentaje de carga viva dividida para la aceleración de la
2
gravedad y dividida para 4 aisladores. mi = (12.5 + 1.25 ) / 9.8 / 4 = 0.35 T s / m . A esta
masa se debe añadir la masa de los aisladores más la cimentación que se considera igual a
0.10 T s 2 / m .
Figura 9.10 Identificación de los pórticos.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
259
La distancia del centro de masas C.M. a cada uno de los pórticos es de 2.5 m., pero
( s)
(b)
y K . Para explicar los signos en la
tienen signo, para hallar las matrices de rigidez K
figura 9.10 se han identificado los pórticos y se ha definido la orientación positiva ya que la
distancia será positiva si la orientación positiva del pórtico rota con relación al C.M. en forma
antihorario.
En la tabla 9.1 se indican los valores del vector r de cada uno de los pórticos y los
valores del ángulo α , que se mide a partir del eje X hasta la orientación positiva del pórtico.
Con estos valores se forma la matriz de compatibilidad A , ecuación ( 9.11 ). Estas son:
Tabla 9.1 Valores r y α de los pórticos para hallar la matriz de compatibilidad A.
Pórtico
Distancia del C.M. al pórtico. r
Ángulo α
-2.5 m.
0
1
2.5 m.
0
2
-2.5 m.
90
A
2.5 m.
90
B
A (1) = [1
− 2.5]
0
A ( 2 ) = [1
2.5]
0
A ( A) = [0
− 2.5]
1
A ( B ) = [0
2.5]
1
La matriz de rigidez de la superestructura
(9.12) o con la ecuación (9.13) es:
K
(s )
⎡1109
= ⎢⎢ 0
⎢⎣ 0
K ( s ) que se encuentra con la ecuación
0
1109
0
⎤
⎥
⎥
13863 ⎥⎦
0
0
K ( s ) al
( s)
igual que todas las matrices que intervienen en el análisis sísmico. La matriz de masa M
El programa CUASIESTATICOAISLAMIENTO calcula esta matriz de rigidez
para el ejemplo., es:
M
( s)
⎡1.4031
= ⎢⎢ 0
⎢⎣ 0
0
1.4031
0
0
0
5.8461
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
Las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez del sistema de aislamiento de base,
para este ejemplo, son diagonales y valen.
M
(t )
⎡1.80
⎤
⎡2.4
⎢
⎥
⎢
(b )
=⎢
1.80
⎥ C =⎢
⎢⎣
⎢⎣
22.5⎥⎦
22.5 = 0.45 ∗ (2.5 2 + 2.5 2 ) ∗ 4
[
]
⎤
⎡80
⎥
⎢
(b)
2.4
80
⎥ K =⎢
⎢⎣
30.0⎥⎦
1000 = 20 ∗ (2.5 2 + 2.5 2 ) ∗ 4
[
]
⎤
⎥
⎥
1000⎥⎦
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
260
Al utilizar el programa CUASIESTÁTICOAISLAMIENTO se halla la respuesta en el
tiempo solicitada. Esta se presenta en la figura 9.11. Es importante notar como el sistema de
aislamiento experimenta grandes desplazamientos laterales, alcanzando los 8 cm., para los
primeros instantes de tiempo. En cambio la estructura prácticamente no se desplaza
lateralmente. Esta es la ventaja de construir estructuras con aisladores de base.
Figura 9.11 Desplazamientos del sistema de aislamiento y del primer piso, en el C.M.
9.4.2 Programa CUASIESTÁTICOAISLAMIENTO
El programa CUASIESTATICOAISLAMIENTO tiene una subrutina que se denomina
PSE3. Por lo tanto, antes de usar el programa se debe verificar que en la carpeta Work de
MATLAB se tenga grabado esta subrutina que fue listada en el capítulo anterior.
Los datos de entrada del programa CUASIESTATICOAISLAMIENTO son:
>> [NP]=cuasiesticoaislamiento(NP,Sedabase,Iejes,PesoD,PesoL,KLG,r,Sismo,dt)
•
•
•
•
NP
Sedabase
Iejes
PesoD
•
PesoL
•
KLG
Número de pisos del edificio.
Factor de amortiguamiento de los aisladores de base.
Número de pórticos de la estructura en el sentido de análisis sísmico.
Vector en el que se indica el peso total de cada uno de los pisos, desde
el primer piso al último, debido a carga muerta D.
Vector en el que se indica el peso de cada planta debido al porcentaje de
carga viva L, que se considera en el análisis de acuerdo al uso de la
estructura.
Matriz que contiene las matrices de rigidez lateral de cada uno de los
pórticos de la estructura.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
•
r
•
Sismo
•
dt
261
Vector que contiene la distancia desde el Centro de Masas a cada pórtico,
con signo. Se da un solo dato por pórtico debido a que el programa
CUASIESTATICOAISLAMIENTO contempla que el centro de masas
es colineal.
Archivo que contiene el acelerograma del sismo que se analiza. Este
archivo tiene una sola columna y el número de filas es igual al número de
puntos del sismo. Se recomienda que esté en m/s2.
Incremento de tiempo del acelerograma. La respuesta en el tiempo de la
estructura se la obtiene para este incremento de tiempo.
En el listado del programa que se indica a continuación, el programa dibuja la
respuesta en el tiempo del último piso de la estructura y del sistema de aislamiento de base,
medido en el Centro de Masa.
El programa puede también hallar la respuesta en el tiempo de los pórticos externos en
el sentido de análisis sísmico, halla la respuesta para el último piso y para el primer piso. Si se
desea esta opción se deberá quitar los % en la parte correspondiente, que está cerca del final y
colocar % en las últimas líneas.
function [NP]=cuasiestaticoaislamiento(NP,sedabase,iejes,pesoD,pesoL,KLG,r,sismo,dt)
%
% Analisis sismico en el tiempo, espacial de estructuras con aislamiento de base
% por el Metodo cuasiestatico, considerando 3 gdl por planta.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%
Marzo-2007
%
Version corregida Julio-2007
%---------------------------------------------------------------------------------% [NP]=cuasiestaticoaislamiento(NP,sedabase,iejes,pesoD,pesoL,KLG,r,sismo,dt)
%---------------------------------------------------------------------------------%
% sedabase Factor de amortiguamiento de los aisladores.
% iejes # de ejes de columnas en el sentido de analisis sismico.
% alt Vector que contine las alturas a cada piso medido desde la base.
% pesoD Vector que contiene la carga muerta D de cada piso.
% pesoL Vector que contiene la carga viva L de cada piso.
% KLG Matriz que contiene las matrices de rigidez lateral de todos los
%
porticos con inercias gruesas. Primero los de sentido X.
% r Vector que contiene la distancia del portico al centro de masa, de
%
cada uno de los porticos, con signo, positivo antihorario. Primero
%
se ingresan las distancias a los porticos en sentido X. luego a los
%
porticos en sentido Y.
%
% rs Matriz de colocacion de la aceleracion del suelo en gdl superestructura
% rb Vector de colocacion de la aceleracion del suelo en gdl de la base
% sismo Archivo que contiene el acelerograma
% dt Incremento de tiempo del acelerograma
% ace aceleracion total en la superestructura
% F Fuerza estatica que actua en cada piso de la superestructura
% u Vector de desplazamientos laterales de cada piso de la superestructura
% umax Vector que contiene los maximos desplazamientos del ultimo piso
% utot Matriz que contiene los desplazamientos de superestructura en cada
%
incremento de tiempo. En las filas estan los incrementos de tiempo.
% p Matriz que contiene la respuesta en el tiempo de cada portico.
%
La fila 1 es para el portico 1, la 2 para el 2, etc.
262
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
% A Matriz de paso de coordenadas de piso a coordenadas de portico. Las
%
primeras filas son para el portico 1 las siguientes para el 2, etc.
% NP Numero de pisos
%
% KS Matriz de rigidez de superestructura en coordenadas de piso.
% MS Matriz de masa de superestructura en coordenadas de piso.
% KB Matriz de rigidez del sistema de aislamiento.
% MB Matriz de masas del sistema de aislamiento.
% CB Matriz de amortiguamiento del sistema de aislamiento.
% qt Matriz que contiene desplazamientos de la base para todos los gdl.
% vt Matriz que contiene velocidades de la base para todos los gdl.
% q Vector que contiene solo historia de desplazamientos de la base.
%
ntot=input ('\n Numero total de porticos de la estructura :');
fprintf ('\n Codigos para analisis sismico: Sentido X=1 Sentido Y=2');
isismo=input ('\n Ingrese codigo de sentido de analisis sismico :');
rs=zeros(3*NP,3);rb=[0;0;0];
if isismo==1;nx=iejes; ny=ntot-nx;rb(1)=1; var=2;for j=1:NP; rs(j,1)=1; end;
else;ny=iejes; nx=ntot-ny;rb(2)=1;var=1;for j=1:NP; rs(j+NP,2)=1; end; end;
%Submatrices de rigidez: KEE, con inercias gruesas
Kxx=zeros(NP,NP);Kyy=zeros(NP,NP);Kteta=zeros(NP,NP);cero=zeros(NP,NP);
Kxt=zeros(NP,NP);Kyt=zeros(NP,NP);for k=1:NP;identidad(k,k)=1;end;
for i=1:ntot
for k=1:NP
rtet(k,k)=r(i);
end
rteta=rtet*rtet;
ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;
if i<=nx
Kxx=Kxx+KLG(ji:jf,1:NP);Kxt=Kxt+KLG(ji:jf,1:NP)*rtet;
Kteta=Kteta+KLG(ji:jf,1:NP)*rteta;
A(ji:ji+NP-1,:)=[identidad cero rtet];
else
Kyy=Kyy+KLG(ji:jf,1:NP);Kyt=Kyt+KLG(ji:jf,1:NP)*rtet;
Kteta=Kteta+KLG(ji:jf,1:NP)*rteta;
A(ji:ji+NP-1,:)=[cero identidad rtet];
end
end
%Matriz de rigidez espacial con 3 grados de libertad por planta
KS=[Kxx cero Kxt;cero Kyy
Kyt;Kxt Kyt Kteta];
fprintf ('\n Matriz de rigidez con base empotrada')
KS
%Matriz de masas de superestructura
disty=abs(r(1))+abs(r(nx));distx=abs(r(nx+1))+abs(r(ntot));
for i=1:NP; masaD(i)=pesoD(i)/9.8; masaL(i)=pesoL(i)/9.8;
mas(i)=masaD(i)+masaL(i);end
masa=zeros(NP,NP);for i=1:NP; masa(i,i)=mas(i);end
mj=zeros(NP,NP);for i=1:NP, mj(i,i)=mas(i)*(distx^2+disty^2)/12;end
MS=[masa cero cero;cero masa cero;cero cero mj];
fprintf ('\n Matriz de masa con base empotrada')
MS
contx=0;conty=0;cont=0;
for i=1:nx
for j=1:ny
contx=contx+1;rx(contx)=r(i);
end
end
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
for i=1:ny
for j=1:nx
conty=conty+1;ry(conty)=r(i+nx);
end
end
% Matriz de rigidez del sistema de aislamiento en coordenadas de piso
nd=nx*ny;
fprintf ('\nSi los aisladores son circulares e iguales digite 1, caso contrario 2')
cod= input ('\nIndique el codigo, sobre si los aisladores son iguales o diferentes: ');
Kx=0; Ky=0; Kt=0; Kxte=0; Kyte=0;
if cod==1
kais=input ('Rigidez del aislador: ');
for i=1:nd
kx(i)=kais; Kx=Kx+kx(i);
end
else
for i=1:nd
fprintf ('\nIndique la rigidez para el aislador %i',i)
kx(i)=input ('\nRigidez del aislador: '); Kx=Kx+kx(i);
end
end
for i=1:nx
for j=1:ny
cont=cont+1;
kxy(i,j)=kx(cont)
end
end
kyx=kxy';cont=0;
for i=1:ny
for j=1:nx
cont=cont+1; ky(cont)=kyx(i,j); Ky=Ky+ky(cont);
end
end
for i=1:nd
Kt=Kt+kx(i)*rx(i)*rx(i);Kxte=Kxte+kx(i)*rx(i);
end
for i=1:nd
Kt=Kt+ky(i)*ry(i)*ry(i);Kyte=Kyte+ky(i)*ry(i);
end
KB=zeros(3); KB(1,1)=Kx; KB(2,2)=Ky; KB(1,3)=Kxte; KB(2,3)=Kyte;KB(3,3)=Kt;
KB(3,1)=KB(1,3); KB(3,2)=KB(2,3);
fprintf ('\n Matriz de rigidez del sistema de aislacion')
KB
% Matriz de masas del sistema de aislamiento en coordenadas de piso
ij=0;M=0;Jm=0;
for i=1:nx
for j=1:ny
ij=ij+1;d(ij)=sqrt(r(i)*r(i)+r(j+nx)*r(j+nx));
end
end
fprintf ('\nSi todas las masas son iguales, digite 1, caso contrario 2')
icod= input ('\nIndique el codigo, sobre las masas: ');
if icod==1
masa=input ('\nIndique la masa sobre el aislador: ');
for i=1:nd
m(i)=masa;M=M+m(i);Jm=Jm+m(i)*d(i)*d(i);
end
263
264
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
else
for i=1:nd
fprintf ('\nIndique la masa sobre el aislador %i',i)
m(i)=input('\nMasa sobre el aislador: ');
M=M+m(i); Jm=Jm+m(i)*d(i)*d(i);
end
end
MB=zeros(3); MB(1,1)=M;MB(2,2)=M;MB(3,3)=Jm;
fprintf ('\n Matriz de masas en coordenadas de piso')
MB
% Matriz de amortiguamiento del aislamiento en coordenadas de piso
% Tipo Wilson y Penzien (1982)
for i=1:3; zed(i)=sedabase; end;
CB=zeros(3,3);[VV,DD]=eig(KB,MB);WW=sqrt(diag(DD));
% Se ordenan las frecuencias y los modos de vibracion de menor a mayor
[Wwn,JJ]=sort(WW);
for i=1:3; fj(:,i)=VV(:,JJ(i));end
for i=1:3
fff=fj(:,i);mi=fff'*MB*fff; aux=2*zed(i)*Wwn(i)/mi;
CB=CB+aux.*MB*fff*fff'*MB;
end
fprintf ('\n Matriz de amortiguamiento del sistema de aislacion')
CB
fprintf ('\n Tenga paciencia el programa esta corriendo, se demora unos segundos')
% Respuesta en el tiempo de aisladores de base
Qo=MB*rb*(-1);
[qt,vt,q]=pse3(MB,CB,KB,Qo,sismo,dt,var);
npuntos=length(sismo);MBI=inv(MB);
for i=1:npuntos-1;
t(i)=i*dt;
for j=1:3
qpb(j)=vt(i,j);qb(j)=qt(i,j);
end
if i==1
qpb=qpb';qb=qb';
end
ace=MBI*(CB*qpb+KB*qb);F=MS*rs*ace;u=KS\F;umax(i)=u(NP);
for j=1:3*NP
utot(i,j)=u(j);
end
end
% Respuestas en porticos extremos, en ultimo piso y en primer piso
for i=1:ntot
ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;a=A(ji:jf,1:3*NP);
for j=1:npuntos-1;
for k=1:3*NP;
dd(k)=utot(j,k);
end
dd=dd';p=a*dd;dd=dd';
if i==1 & isismo==1; p1(j)=p(NP); end
if i==nx & isismo==1; pnx(j)=p(1); end
if i==nx+1 & isismo==2; p2(j)=p(NP); end
if i==ntot & isismo==2; pnt(j)=p(1); end
end
end
hold on
% Dibujo de respuestas maximas en porticos exteriores en ultimo y 1 piso
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
265
%if isismo==1
% p1=p1',pnx=pnx';
%
subplot (2,1,1);plot(t,p1); ylabel ('Desplazamiento (m)');title('Desplazamiento ultimo
%piso. Portico 1');
% subplot (2,1,2); plot(t,pnx); xlabel ('Tiempo (s)');ylabel ('Desplazamiento (m)');
% title ('Desplazamiento primer piso. Portico Extremo en sentido X');
%else
% p2=p2';pnt=pnt';
% subplot (2,1,1);plot (t,p2);ylabel ('Desplazamiento (m)');
% subplot (2,1,2);plot (t,pnt);xlabel ('Tiempo (s)');ylabel ('Desplazamiento (m)');
%end
%Dibujo de respuestas maximas de la base y de ultimo piso
plot (t,q);
plot (t,umax,'r'); xlabel ('Tiempo (s)'); ylabel ('Desplazamiento (m)');
%---fin
•
EJEMPLO 2
Con los datos del ejemplo 1, indicar la forma de ejecutar el programa
CUASIESTATICOAISLAMIENTO.
•
SOLUCIÓN
>> load c:centro
>> KLG=[554.50; 554.50; 554.50; 554.50]
>> r = [-2.5; 2.5; -2.5; 2.5]
>> [NP]=cuasiestaticoaislamiento(1,0.10,2,12.5,1.25,KLG,r,centro,0.02)
Numero total de porticos de la estructura :4
Codigos para analisis sismico: Sentido X=1 Sentido Y=2
Ingrese codigo de sentido de analisis sismico :1
Matriz de rigidez con base empotrada
KS =
1.0e+004 *
0.1109
0
0
0 0.1109
0
0
0 1.3863
Matriz de masa con base empotrada
MS =
1.4031
0
0
0 1.4031
0
0
0 5.8461
Si los aisladores son circulares e iguales digite 1, caso contrario 2
Indique el codigo, sobre si los aisladores son iguales o diferentes: 1
Rigidez del aislador: 20
Matriz de rigidez del sistema de aislacion
266
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
KB =
80 0 0
0 80 0
0 0 1000
Si todas las masas son iguales, digite 1, caso contrario 2
Indique el codigo, sobre las masas: 1
Indique la masa sobre el aislador: 0.45
Matriz de masas en coordenadas de piso
MB =
1.8000
0
0
0 1.8000
0
0
0 22.5000
Matriz de amortiguamiento del sistema de aislacion
CB =
2.4000
0
0
0 2.4000
0
0
0
30.00
El programa presenta la figura 9.11.
9.5 MÉTODO MASAS CORREGIDAS
Únicamente para tener presente las ecuaciones se indica el procedimiento de cálculo a
seguir con el Método de Masas Corregidas.
i.
~ ( s)
Se halla la matriz de masas corregidas M
t
−1
~
M ( s) = M (s) − M ( s) r ( s) M (t ) r ( s) M ( s)
ii.
Se encuentra la respuesta en el sistema de aislamiento q y q , resolviendo la siguiente
ecuación.
g
M ( t ) q + C ( b ) q + K ( b ) q = − M ( t ) r ( b ) u
Para cada instante de tiempo se hallan los vectores q y q , empleando el PEE o
cualquier otro método de análisis dinámico.
iii.
~ (q, q )
Se halla el vector de aceleraciones de la superestructura a
−1
a~ (q, q ) = M ( t ) (C ( b ) q + K ( b ) q )
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
iv.
267
Se encuentra la respuesta dinámica en la superestructura, empleando el PEE.
~
+ C ( s ) u + K ( s ) u = M ( s ) r ( s ) a~ (q, q )
M (s) u
9.5.1 Programa MASACORREGIDAAISLAMIENTO
Los datos de entrada del programa MASACORREGIDAAISLAMIENTO son:
>>[rel]=masacorregidaaislamiento(NP,seda,sedabase,iejes,pesoD,pesoL,KLG,r,sismo,dt)
•
•
•
•
•
•
•
NP
seda
sedabase
iejes
PesoD
PesoL
KLG
•
r
•
Sismo
•
dt
Número de pisos del edificio.
Factor de amortiguamiento de la superestructura.
Factor de amortiguamiento de los aisladores de base.
Número de pórticos de la estructura en el sentido de análisis sísmico.
Vector con los pesos de cada piso debido a carga muerta.
Vector con los pesos de cada pido debido al porcentaje de carga viva.
Matriz que contiene las matrices de rigidez lateral de cada uno de los
pórticos de la estructura.
Vector que contiene la distancia desde el Centro de Masas a cada pórtico,
con signo. Se da un solo dato por pórtico debido a que el programa
MASACORREGIDAAISLAMIENTO
contempla que el centro de
masas es colineal.
Archivo que contiene el acelerograma del sismo que se analiza. Este
archivo tiene una sola columna y el número de filas es igual al número de
puntos del sismo. Se recomienda que esté en m/s2.
Incremento de tiempo del acelerograma. La respuesta en el tiempo de la
estructura se la obtiene para este incremento de tiempo.
Como se aprecia la entrada de datos del programa MASACORREGIDAAISLAMIENTO
es similar al CUASIESTATICOAISLAMIENTO y el reporte de resultados también es similar. De
tal manera que hay dos opciones para la respuesta en el tiempo, la primera que presente los
desplazamientos de los pórticos externos del último y del primer piso. La segunda que presente
los desplazamientos del último piso y del sistema de aislamiento, medidos en el C.M.
function
[rel]=masacorregidaaislamiento(NP,seda,sedabase,iejes,pesoD,pesoL,KLG,r,sismo,dt)
%
% Analisis sismico en el tiempo, espacial de estructuras con aislamiento de base
% por el Metodo de la masa corregida, considerando 3 gdl por planta.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%
Marzo de 2007
%---------------------------------------------------------------------------------% [rel]=masacorregidaaislamiento(NP,seda,sedabase,iejes,pesoD,pesoL,KLG,r,sismo,dt)
%---------------------------------------------------------------------------------%
% rel Relacion entre periodo superestructura con relacion a periodo aislamiento
% seda Factor de amortiguamiento de la superestructura.
% sedabase Factor de amortiguamiento de los aisladores.
268
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
% iejes # de ejes de columnas en el sentido de analisis sismico.
% alt Vector que contine las alturas a cada piso medido desde la base.
% pesoD Vector que contiene la carga muerta D de cada piso.
% pesoL Vector que contiene la carga viva L de cada piso.
% KLG Matriz que contiene las matrices de rigidez lateral de todos los
%
porticos con inercias gruesas. Primero los de sentido X.
% r Vector que contiene la distancia del portico al centro de masa, de
%
cada uno de los porticos, con signo, positivo antihorario.
% rs Matriz de colocacion de la aceleracion del suelo en gdl superestructura
% rb Vector de colocacion de la aceleracion del suelo en gdl de la base
% sismo Archivo que contiene el acelerograma
% dt Incremento de tiempo del acelerograma
% ace aceleracion total en la superestructura
% F Fuerza estatica que actua en cada piso de la superestructura
% u Vector de desplazamientos laterales de cada piso de la superestructura
% umax Vector que contiene los maximos desplazamientos del ultimo piso
% utot Matriz que contiene los desplazamientos de superestructura en cada
%
incremento de tiempo. En las filas estan los incrementos de tiempo.
% p Matriz que contiene la respuesta en el tiempo de cada portico.
%
La fila 1 es para el portico 1, la 2 para el 2, etc.
% A Matriz de paso de coordenadas de piso a coordenadas de portico. Las
%
primeras filas son para el portico 1 las siguientes para el 2, etc.
% NP Numero de pisos
%
% KS Matriz de rigidez de superestructura en coordenadas de piso.
% MS Matriz de masa de superestructura en coordenadas de piso.
% MSC Matriz de masa corregida.
% KB Matriz de rigidez del sistema de aislamiento.
% MB Matriz de masas del sistema de aislamiento.
% CB Matriz de amortiguamiento del sistema de aislamiento.
% qt Matriz que contiene desplazamientos de la base para todos los gdl.
% vt Matriz que contiene velocidades de la base para todos los gdl.
% q Vector que contiene solo historia de desplazamientos de la base.
% qs Matriz que contiene desplazamientos de la estructura para los gdl.
% vs Matriz que contiene velocidades de la estructura para todos los gdl
%
Son matrices porque cada fila corresponde a un instante de tiempo.
%
ntot=input ('\n Numero total de porticos de la estructura :');
fprintf ('\n Codigos para analisis sismico: Sentido X=1 Sentido Y=2');
isismo=input ('\n Ingrese codigo de sentido de analisis sismico :');
rs=zeros(3*NP,3);rb=[0;0;0];
if isismo==1;nx=iejes; ny=ntot-nx;rb(1)=1; var=2;for j=1:NP; rs(j,1)=1; end;
else;ny=iejes; nx=ntot-ny;rb(2)=1;var=1;for j=1:NP; rs(j+NP,2)=1; end; end;
%Submatrices de rigidez: KEE, con inercias gruesas
Kxx=zeros(NP,NP);Kyy=zeros(NP,NP);Kteta=zeros(NP,NP);cero=zeros(NP,NP);
Kxt=zeros(NP,NP);Kyt=zeros(NP,NP);for k=1:NP;identidad(k,k)=1;end;
for i=1:ntot
for k=1:NP
rtet(k,k)=r(i);
end
rteta=rtet*rtet;
ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;
if i<=nx
Kxx=Kxx+KLG(ji:jf,1:NP);Kxt=Kxt+KLG(ji:jf,1:NP)*rtet;
Kteta=Kteta+KLG(ji:jf,1:NP)*rteta;
A(ji:ji+NP-1,:)=[identidad cero rtet];
else
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
Kyy=Kyy+KLG(ji:jf,1:NP);Kyt=Kyt+KLG(ji:jf,1:NP)*rtet;
Kteta=Kteta+KLG(ji:jf,1:NP)*rteta;
A(ji:ji+NP-1,:)=[cero identidad rtet];
end
end
%Matriz de rigidez espacial con 3 grados de libertad por planta
KS=[Kxx cero Kxt;cero Kyy
Kyt;Kxt Kyt Kteta];
fprintf ('\n Matriz de rigidez con base empotrada')
KS
%Matriz de masas de superestructura
disty=abs(r(1))+abs(r(nx));distx=abs(r(nx+1))+abs(r(ntot));
for i=1:NP; masaD(i)=pesoD(i)/9.8; masaL(i)=pesoL(i)/9.8;
mas(i)=masaD(i)+masaL(i);end
masa=zeros(NP,NP);for i=1:NP; masa(i,i)=mas(i);end
mj=zeros(NP,NP);for i=1:NP, mj(i,i)=mas(i)*(distx^2+disty^2)/12;end
MS=[masa cero cero;cero masa cero;cero cero mj];
fprintf ('\n Matriz de masa con base empotrada')
MS
% Matriz de amortiguamiento, tipo Wilson y Penzien (1982)
for i=1:3*NP; zeda(i)=seda; end;zeda=zeda';
CS=zeros(3*NP,3*NP);[V,D]=eig(KS,MS);W=sqrt(diag(D));
% Se ordenan las frecuencias y los modos de vibracion de menor a mayor
[Wn,II]=sort(W); for i=1:3*NP; fi(:,i)=V(:,II(i));end;T1s=2*pi/Wn(1);
for i=1:3*NP
ff=fi(:,i);mi=ff'*MS*ff;aux=2*zeda(i)*Wn(i)/mi;
CS=CS+aux.*MS*ff*ff'*MS;
end
fprintf ('\n Matriz de amortiguamiento con base empotrada')
CS
% Matriz de rigidez del sistema de aislamiento en coordenadas de piso
nd=nx*ny;
fprintf ('\nSi los aisladores son circulares e iguales digite 1, caso contrario 2')
cod= input ('\nIndique el codigo, sobre si los aisladores son iguales o diferentes: ');
Kx=0; Ky=0; Kt=0; Kxte=0; Kyte=0;
if cod==1
kais=input ('Rigidez del aislador: ');
for i=1:nd
kx(i)=kais; ky(i)=kais; Kx=Kx+kx(i); Ky=Ky+ky(i);
end
else
for i=1:nd
fprintf ('\nIndique la rigidez para el aislador %i',i)
kx(i)=input ('\nRigidez del aislador: '); Kx=Kx+kx(i);
ky(i)=kx(i); Ky=Ky+ky(i);
end
end
for i=1:nx
Kt=Kt+kx(i)*r(i)*r(i);Kxte=Kxte+kx(i)*r(i);
end
for i=1:ny
Kt=Kt+ky(i)*r(i+nx)*r(i+nx);Kyte=Kyte+ky(i)*r(i+nx);
end
KB=zeros(3); KB(1,1)=Kx; KB(2,2)=Ky; KB(1,3)=Kxte; KB(2,3)=Kyte;KB(3,3)=Kt;
KB(3,1)=KB(1,3); KB(3,2)=KB(2,3);
fprintf ('\n Matriz de rigidez del sistema de aislacion')
KB
% Matriz de masas del sistema de aislamiento en coordenadas de piso
269
270
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
ij=0;M=0;Jm=0;
for i=1:nx
for j=1:ny
ij=ij+1;
d(ij)=sqrt(r(i)*r(i)+r(j+nx)*r(j+nx));
end
end
fprintf ('\nSi todas las masas son iguales, digite 1, caso contrario 2')
icod= input ('\nIndique el codigo, sobre las masas: ');
if icod==1
masa=input ('\nIndique la masa sobre el aislador: ');
for i=1:nd
m(i)=masa;M=M+m(i);Jm=Jm+m(i)*d(i)*d(i);
end
else
for i=1:nd
fprintf ('\nIndique la masa sobre el aislador %i',i)
m(i)=input('\nMasa sobre el aislador: ');
M=M+m(i); Jm=Jm+m(i)*d(i)*d(i);
end
end
MB=zeros(3); MB(1,1)=M;MB(2,2)=M;MB(3,3)=Jm;
fprintf ('\n Matriz de masas en coordenadas de piso')
MB
% Matriz de amortiguamiento del aislamiento en coordenadas de piso
% Tipo Wilson y Penzien (1982)
for i=1:3; zed(i)=sedabase; end;
CB=zeros(3,3);[VV,DD]=eig(KB,MB);WW=sqrt(diag(DD));
% Se ordenan las frecuencias y los modos de vibracion de menor a mayor
[Wwn,JJ]=sort(WW); for i=1:3; fj(:,i)=VV(:,JJ(i));end; T1b=2*pi/Wwn(1);rel=T1s/T1b;
for i=1:3
fff=fj(:,i);mi=fff'*MB*fff; aux=2*zed(i)*Wwn(i)/mi;
CB=CB+aux.*MB*fff*fff'*MB;
end
fprintf ('\n Matriz de amortiguamiento del sistema de aislacion')
CB
fprintf ('\n Tenga paciencia el programa esta en aislamiento de base, se demora unos
segundos')
% Respuesta en el tiempo de aisladores de base
Qo=MB*rb*(-1);
[qt,vt,q]=pse3(MB,CB,KB,Qo,sismo,dt,var);
% Correccion de masa
npuntos=length(sismo);MBI=inv(MB);MBBI=inv(MB');
MSC=MS-MS*rs*MBBI*rs'*MS; MSSC=zeros(3*NP,3*NP); for i=1:3*NP; MSSC(i,i)=MSC(i,i);
end
for i=1:npuntos-1;
tt(i)=i*dt;
for j=1:3
qpb(j)=vt(i,j);qb(j)=qt(i,j);
end
if i==1
qpb=qpb';qb=qb';
end
ac=MBBI*(CB*qpb+KB*qb);
if isismo==1; acelera(i)=ac(1); else; acelera(i)=ac(2); end
end
fprintf ('\n Tenga paciencia el programa esta en la estructura, se demora unos segundos')
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
271
% Respuesta en el tiempo de superestructura.
Qo=MS*rs;
if isismo==1; Qs=Qo(:,1); else; Qs=Qo(:,2); end
[qs,vs,qq]=pse3(MSSC,CS,KS,Qs,acelera,dt,var);
% Respuestas en porticos extremos, en ultimo piso y en primer piso
for i=1:ntot
ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;a=A(ji:jf,1:3*NP);
for j=1:npuntos-2;
t(j)=j*dt;
for k=1:3*NP;
dd(k)=qs(j,k);
end
dd=dd';p=a*dd;dd=dd';
if i==1 & isismo==1; p1(j)=p(NP); end
if i==nx & isismo==1; pnx(j)=p(1); end
if i==nx+1 & isismo==2; p2(j)=p(NP); end
if i==ntot & isismo==2; pnt(j)=p(1); end
end
end
hold on
% Dibujo de respuestas maximas en porticos exteriores en ultimo y 1 piso
if isismo==1
p1=p1';pnx=pnx';
subplot (2,1,1);plot(t,p1); ylabel ('Desplazamiento (m)');title('Desplazamiento ultimo
piso. Portico 1');
subplot (2,1,2); plot(t,pnx); xlabel ('Tiempo (s)');ylabel ('Desplazamiento (m)');
title ('Desplazamiento primer piso. Portico Extremo en sentido X');
else
p2=p2';pnt=pnt';
subplot (2,1,1);plot (t,p2);ylabel ('Desplazamiento (m)'); title('Desplazamiento ultimo
piso. Portico A');
subplot (2,1,2);plot (t,pnt);xlabel ('Tiempo (s)');ylabel ('Desplazamiento (m)');
title ('Desplazamiento primer piso. Portico Extremo en sentido Y');
end
% Dibujo de respuestas maximas de la base y de ultimo piso
%plot (tt,q);
%plot (t,p1,'r');
%---fin
•
EJEMPLO 3
Resolver el ejemplo 1, utilizando el programa MASACORREGIDAAISLAMIENTO y
presentar la respuesta en los pórticos 1 y 2.
•
SOLUCIÓN
En general, el programa presenta la respuesta en el tiempo de los pórticos exteriores
del último piso y del primer piso. En este caso, se tiene una estructura de un piso con dos
pórticos en cada dirección de análisis. Luego el programa reporta la respuesta en el tiempo de
los pórticos 1 y 2, las mismas que se presentan en la figura 9.12. Como la estructura es
simétrica las dos respuestas son iguales y es igual a la respuesta en el Centro de Masa.
272
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Figura 9.12 Respuesta del pórtico 1, gráfica superior y del pórtico 2, gráfica inferior.
9.6 MÉTODO DINÁMICO EXACTO
Al comportarse en el rango elástico el sistema de aislamiento, el sistema de
ecuaciones diferenciales ( 9.1 ) puede descomponerse en dos problemas, a saber:
g
M ( t ) qb + C ( b ) q b + K ( b ) q b = − M ( t ) r ( b ) u
t
M ( t ) qs + C ( b ) q s + K ( b ) q s = − r ( s ) M ( s ) u
( 9.18 )
( 9.19 )
q b y q s la solución de los sistemas de ecuaciones ( 9.18 ) y ( 9.19 )
respectivamente. De tal manera que el vector q es igual a la suma de estos dos vectores.
Siendo
q = qb + q s
( 9.20)
El procedimiento propuesto para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales
acoplado (9.1) y (9.2). Es el siguiente:
i.
ii.
q b y q b empleando el PEE.
~ (q , q )
En base a q b y q b se encuentra el vector a
b
b
Se resuelve (9.18) y se hallan los vector
(
−1
a~ (q b , q b ) = M ( t ) C ( b ) q b + K ( b ) q b
iii.
Se halla la respuesta en la superestructura
)
u y u empleando el PEE, en:
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
273
~
+ C ( s ) u + K ( s ) u = M ( s ) r ( s ) a~(qb , q b )
M (s) u
iv.
Se encuentra el vector de aceleraciones de la superestructura
ecuación diferencial de paso iii.
(
, a partir de la
u
~ −1
~ −1
= M ( s ) M ( s ) r ( s ) a~ (q b , q b ) − M ( s ) C ( s ) u + K ( s ) u
u
v.
Se resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales ( 9.19 ) y se halla
)
q s empleando el
PEE.
vi.
Una vez conocidos
q b y q s se obtiene el vector q mediante la ecuación ( 9.20 ).
Este momento se tiene el vector q en el sistema de aislamiento y el vector u en la
superestructura con lo que se termina la primera iteración. A partir de este instante el
procedimiento de cálculo se repite en forma cíclica hasta lograr que las respuestas tanto del
sistema de aislamiento como de la superestructura en un ciclo n sean parecidas a las del ciclo
anterior.
vii.
Se determina la aceleración de la superestructura
.
u
−1
~ −1
~ −1
= M ( s ) M ( s ) r ( s ) M ( t ) (C ( b ) q + K ( b ) q ) − M ( s ) (C ( s ) u + K ( s ) u )
u
viii.
Se halla la respuesta en la superestructura
u y u empleando el PEE.
+ C ( s ) u + K ( s ) u = M ( s ) r ( s ) M ( t )
M ( s) u
ix.
−1
(C
Se obtiene la aceleración en la superestructura
(b)
t
)
q + K ( b ) q + r ( s ) M ( s ) u
s pero únicamente con los vectores
u
u y u , ya que se va a determinar q s en el sistema de aislamiento.
~ −1
= − M ( s ) (C ( s ) u + K ( s ) u )
u
x.
Se encuentra
q s aplicando el PEE en:
t
M ( t ) qs + C ( b ) q s + K ( b ) q s = − r ( s ) M ( s ) u
xi.
Se halla el vector q en el sistema de aislamiento empleando ( 9.20 )
q b se determina una sola vez, en el primer paso. Lo que se obtiene en los
ciclos posteriores es el vector q s . Si la respuesta tanto del sistema de aislamiento q como de
la superestructura u no son parecidas a las del ciclo anterior se repite el procedimiento desde
El vector
el paso vii.
274
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Figura 9.13 Distribución en planta de estructura analizada, de tres pisos.
•
EJEMPLO 4
Se analiza la estructura de tres pisos, cuya configuración en planta es la mostrada en
la figura 9.13 y las dimensiones de los elementos estructurales se indican en la tabla 9.2; la
altura de los entrepisos es de 3.0 m. El sistema de aisladores está conformado por una goma
2
que tiene un módulo de corte G a = 7.0 kg / cm y un peso específico de 1.23 T/m3. La
geometría de los aisladores circulares, han sido obtenidos para que el período objetivo sea de
2 segundos y se indica en la tabla 9.3. El factor de amortiguamiento de la superestructura es
ξ ( s ) = 0.05
y de los aisladores ξ
= 0.10 . Se desea encontrar la respuesta en el tiempo
ante el sismo de El Centro de 1940 si este actúa en sentido X, empleando la solución exacta.
(b)
Tabla 9.2 Dimensiones de elementos estructurales y pesos en edificio de tres pisos
PESO
COLUMNAS
VIGAS
Eje
TOTAL
1
2
3
4
Piso
Tn
1
30/30
35/35
35/35
30/30
25/30
141.75
2
30/30
35/35
35/35
30/30
25/30
132.75
3
30/30
35/35
35/35
30/30
25/30
123.75
La tabla 9.3 contiene, el número de aislador, su área cooperante [m2], la masa que
aporta la estructura a cada aislador, los diámetros exterior e interior [cm], la altura del aislador
[cm], el área de corte [cm2], la rigidez del aislador [T/m] y la masa que aporta cada aislador y
finalmente la masa total. En la figura 9.14 se presenta la numeración de los aisladores.
•
SOLUCIÓN
Sea KL1 la matriz de rigidez lateral del pórtico 1, que es igual a la matriz de rigidez
lateral del pórtico 4; KL2 la matriz de rigidez lateral del pórtico 2, que es igual a la matriz de
rigidez lateral del pórtico 3. KLA la matriz de rigidez lateral del pórtico A, que es igual a la
matriz de rigidez lateral de los pórticos B, C y D. Las matrices de rigidez lateral inferior, son las
siguientes.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
⎡3624.0
KL1 = ⎢⎢− 2038.2
2891.2
⎢⎣409.3
− 1353.9
275
⎤
⎥
⎥
1012.1⎥⎦
Tabla 9.3 Dimensiones de aisladores de base y aporte de masas en edificio de tres pisos.
mi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
A
6,25
12,50
12,50
6,25
12,50
25,00
25,00
12,50
12,50
25,00
25,00
12,50
6,25
12,50
12,50
6,25
me
1,1288
2,2577
2,2577
1,1288
2,2577
4,5153
4,5153
2,2577
2,2577
4,5153
4,5153
2,2577
1,1288
2,2577
2,2577
1,1288
De
40
40
40
40
40
55
55
40
40
55
55
40
40
40
40
40
Di
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
Hr
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
Ac
1178,10
1178,10
1178,10
1178,10
1178,10
2297,29
2297,29
1178,10
1178,10
2297,29
2297,29
1178,10
1178,10
1178,10
1178,10
1178,10
Kb
20,62
20,62
20,62
20,62
20,62
40,20
40,20
20,62
20,62
40,20
40,20
20,62
20,62
20,62
20,62
20,62
mb
0,0059
0,0059
0,0059
0,0059
0,0059
0,0115
0,0115
0,0059
0,0059
0,0115
0,0115
0,0059
0,0059
0,0059
0,0059
0,0059
Figura 9.14 Numeración de los aisladores y ubicación del C.M. del sistema de aislación.
⎡6484.9
KL2 = ⎢⎢− 3706.8
⎣⎢844.7
4751.6
− 2132.6
⎤
⎥
⎥
1451.5⎦⎥
mT
1,1347
2,2636
2,2636
1,1347
2,2636
4,5268
4,5268
2,2636
2,2636
4,5268
4,5268
2,2636
1,1347
2,2636
2,2636
1,1347
276
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
⎡5080.3
KLA = ⎢⎢− 2888.8
⎢⎣628.4
3895.0
− 1791.0
⎤
⎥
⎥
1275.3⎥⎦
Se considera que el archivo del sismo de análisis ha sido cargado y se denomina
centro. La forma de correr el programa para la estructura de la figura 2, es como sigue.
En la figura 9.15 se presenta la respuesta en el tiempo del sistema de aislamiento en
sentido X. Se aprecia que únicamente en la segunda iteración la respuesta es diferente a la
que se obtiene en las iteraciones (1), (3) y (4). Las respuestas para las iteraciones (3) y (4) son
prácticamente las mismas.
Figura 9.15 Respuesta del sistema de aislamiento en cuatro iteraciones.
Se puede indicar que con la metodología propuesta en la tercera iteración se tiene
resultados satisfactorios tanto en el sistema de aislamiento como en la superestructura. En la
figura 9.16, se presenta la respuesta de desplazamientos en el tercer piso del pórtico 1 y se
aprecia que las respuestas de las iteraciones (2) y (3), son prácticamente las mismas. Nótese
que la respuesta de la primera iteración reporta resultados muy altos.
•
EJEMPLO 5
Encontrar y comparar las respuestas en el tiempo, del sistema de aislamiento de la
estructura del ejemplo 4, empleando los tres métodos de análisis. En realidad para el sistema
de aislamiento son solo dos ya que para el Método Cuasi estático y de Masa Corregida, el
procedimiento de solución para el sistema de base, es el mismo.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
277
Figura 9.16 Desplazamiento horizontal de tercer piso en las tres primeras iteraciones.
•
SOLUCIÓN
En la figura 9.17 se muestra la respuesta en el tiempo en el sistema de aislamiento,
con los tres métodos. Se aprecia que el Método Dinámico Exacto reporta valores ligeramente
superiores para cuando se tienen las respuestas máximas, que están entre los 3 y 8 segundos.
Después los tres métodos presentan resultados muy similares.
278
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Figura 9.17 Respuestas en sistema de aislamiento con los tres métodos.
•
EJEMPLO 6
Comparar las respuestas en el tiempo, que se hallan en el último piso de la estructura
del ejemplo 4, con los tres métodos de análisis sísmico.
•
SOLUCIÓN
En la figura 9.18 en que se indica la respuesta de desplazamientos, del tercer piso del
pórtico 1. Se aprecia que con el Método de Masa Corregida se tienen las mayores respuestas y
lo contrario sucede con el Método Dinámico Exacto. El Método Cuasi-estático presenta valores
intermedios.
Figura 9.18 Respuesta en tercer piso de pórtico 1 con los tres métodos.
Lo importante es notar que en la superestructura las respuestas que se hallan con los
diferentes métodos son diferentes.
La relación entre el período de vibración de la superestructura con relación al período
de vibración del sistema de aislamiento de base, de la estructura analizada es 0.222. Es
importante tener en cuenta esta relación ya que para relaciones menores a 0.4; la
aproximación entre los métodos es bastante buena.
REFERENCIAS
1. De La Llera J. Almazán J., y Seguín C., (2005), “Control de Estructuras asimétricas
mediante aislamiento sísmico”, IX Congreso Chileno de Sismología e Ingeniería
Antisísmica, 12 p., Concepción.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
2. Kulkarni J., y Jangrid R., (2002), “Rigid body response of base-isolated structures”,
Journal of Structural Control, 9, 171-188.
279
CAPÍTULO 10
DISIPADORES DE ENERGÍA VISCO ELÁSTICOS
RESUMEN
Este capítulo se considera un inicio para aquel lector que desea incursionar en el
análisis sísmico de estructuras con aisladores de base. Por este motivo se presenta como
funcionan las estructuras con aislación sísmica y se indican algunos detalles constructivos.
Posteriormente se presentan tres modelos para el análisis sísmico espacial de
estructuras con aisladores de base sin núcleo de plomo. Estos son el Modelo Cuasi-Estático, el
Modelo con Corrección de Masa y el Modelo Dinámico Exacto. Para este último modelo se
propone una metodología de solución del sistema de ecuaciones diferenciales acopladas.
Para facilitar el análisis se presentan los programas: CUASIESTATICOAISLAMIENTO
y MASACORREGIDAAISLAMIENTO, que hallan la respuesta en el tiempo con los dos
primeros métodos. Se destaca que para utilizar estos programas debe estar en la partición
work de MATLAB el programa PSE3, que fue indicado en el capítulo anterior. Se indica la
forma de uso de éstos programas mediante el desarrollo de ejemplos.
Posteriormente se compara la respuesta en el tiempo de los desplazamientos en un
edificio de tres pisos, con estos tres modelos; tanto a nivel del sistema de base de los
aisladores como a nivel del desplazamiento lateral en el último piso.
10.1 INTRODUCCIÓN
El 4 de agosto de 1988 un sismo superficial de magnitud M S = 7.1 se registró frente a
la costa de Bahía de Caráquez causando gran daño en siete estructuras, dos de ellas de seis
pisos, tres de cinco pisos, una de dos y otra de un piso. De estas siete una colapsó durante el
sismo y tres más fueron derrocadas posteriormente al sismo ya que en la planta baja se habían
rotulado todas las columnas en cabeza y pie. Aguiar et al ( 1998 ). Por otra parte, doce
edificios de cuatro a once pisos sufrieron un daño apreciable en la mampostería y ligero
agrietamiento en los elementos de hormigón armado. Todo esto en la ciudad de Bahía de
Caráquez.
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
280
El reforzamiento estructural de los edificios que fueron afectados por el sismo,
básicamente se lo realizó de dos formas, la primera incorporando elementos estructurales
como muros de corte o columnas y la segunda encamisando las columnas y vigas como lo
muestra la figura 10.1. De esta forma se incrementó la capacidad sísmica resistente de los
edificios.
Figura 10.1 Encamisado de columna y vigas de un edificio de Bahía de Caráquez.
El encamisado de los elementos estructurales tiene gran complejidad ya que se deben
tomar especiales precauciones para garantizar una muy buena adherencia entre el hormigón
viejo y nuevo. La colocación del hormigón en el encamisado, es bastante difícil por las
limitaciones de espacio que se tiene y el poco tiempo con que se cuenta para que se adhiera al
hormigón antiguo.
Una alternativa para reforzar contra sismos los edificios es colocar disipadores de
energía, con esta opción el reforzamiento se lo realiza en menor tiempo, además no se daña el
piso ni los acabados como sucede cuando se encamisa o se coloca un nuevo elemento
estructural.
10.2 DISIPADOR VISCO ELÁSTICO
En este capítulo no se va a mostrar los Disipadores de Energía que se han producido a
nivel mundial, la lista es muy extensa, lo que se presenta es el disipador de energía visco
elástico que ha sido desarrollado en el Centro de Investigaciones Científicas de la Escuela
Politécnica del Ejército en el 2007, el mismo está compuesto por un perfil tubular de lámina
delgada doblado en frío, en su parte central, rodeando al perfil cajón se tiene la goma y
tapando la goma se tiene un perfil canal “U” en cada cara. En la figura 10.2 se tiene una vista
longitudinal del disipador visco elástico, para una mayor fijeza en los extremos se coloca una
placa de acero debidamente empernada y entre la placa y la goma existe una distancia para
permitir las deformaciones por corte de la goma. La goma está vulcanizada a los perfiles de
lámina delgada, de tal manera que ante movimientos sísmicos no se desprenda.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
281
Figura 10.2 Sección transversal de disipador de energía visco elástico.
PERNOS
PERNOS
PERFIL CANAL
PERFIL CAJÓN
PLACAS DE ACERO
PERFIL CANAL
GOMA
Figura 10.3 Vista longitudinal de disipador de energía visco elástico.
10.3 VENTAJAS DE LOS DISIPADORES
La forma del espectro elástico depende del factor de amortiguamiento ξ , si este valor
es pequeño las ordenadas espectrales serán altas y viceversa. En la figura 10.4, se presentan
tres espectros para un acelerograma artificial, para factores de amortiguamiento de 3, 5 y 9%.
Se aprecia que las mayores ordenadas espectrales se obtienen para el espectro
correspondiente a ξ = 0.03 ; en consecuencia si se diseña para ese espectro se tendrán
fuerzas sísmicas muy altas. El caso contrario se tiene con el espectro para
caso las fuerzas sísmicas son bajas.
ξ = 0.09 en este
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
282
Figura 10.4 Espectros de respuesta elásticos para diferentes niveles de amortiguamiento.
La mayor parte de las normativas sísmicas, para estructuras de hormigón armado,
establecen espectros de diseño para ξ = 0.05 . Con este valor de ξ se espera un
considerable agrietamiento en la estructura. Si no se desea ningún daño en la estructura habrá
que considerar un ξ = 0.02 o menor pero esto implica que se debe diseñar para fuerzas
sísmicas muy altas y esto conduce a tener elementos estructurales de dimensiones
considerables, debido a que las ordenadas espectrales son altas.
Finalmente si se utiliza un espectro para un ξ = 0.09 se obtendrán elementos
estructurales de pequeñas dimensiones pero se espera un gran daño en la estructura. Todo
esto en la forma tradicional de diseñar y construir las estructuras.
Con la incorporación de los disipadores de energía lo que se pretende es tener
amortiguamientos altos, debido a la presencia de estos dispositivos de disipación de energía
sísmica. El factor de amortiguamiento de una estructura con disipadores es igual al factor de
amortiguamiento de la estructura más el factor de amortiguamiento de los disipadores. Se
desea que el factor de amortiguamiento de la estructura con disipadores sea muy alto para
tener ordenadas espectrales y fuerzas sísmicas bajas pero en la estructura el factor de
amortiguamiento debe ser bajo para no tener daño y es en los disipadores donde se tienen
factores de amortiguamiento altos.
10.4 ENSAYOS PRELIMINARES
En la figura 10.5 se presentan las curvas de histéresis obtenidas en laboratorio, con el
prototipo indicado en la figura 10.2, para frecuencias de excitación que varían desde 0.05 Hz.,
hasta 0.20 Hz., que demuestran el comportamiento no lineal del material; el área encerrada en
estas curvas es la energía disipada. En base a estas curvas se obtuvo la rigidez equivalente
del disipador y el factor de amortiguamiento equivalente. Aguiar y Jiménez (2007).
A pesar de que el espesor de la goma del prototipo fue de 6 mm., el amortiguamiento
equivalente obtenido es del orden del 0.5%. Al aumentar el espesor de la goma se incrementa
el amortiguamiento. Los ensayos se realizaron para deformaciones de la goma que varían del
10 al 150%. En la medida que se incrementa la deformación al corte de la goma, la rigidez
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
283
equivalente del disipador disminuye y en la medida que se aumenta la frecuencia de la
excitación la rigidez equivalente se incrementa. Chang et al (1992, 1993).
Figura 10.5 Curvas de histéresis para diferentes frecuencias de excitación.
10.5 RIGIDEZ EQUIVALENTE DEL DISIPADOR
En la figura 10.6 se presenta la sección transversal de un disipador de energía visco
elástico, el objetivo que se persigue en éste apartado es presentar los formularios con los
cuales se obtienen la rigidez equivalente de este disipador.
i.
Se determina el Área de corte AC
AC =
( b. L )
4
( 10.1 )
Donde b es el ancho de la goma y L es la longitud de la goma.
ii.
Se halla la rigidez del disipador K '
K'=
G a AC
e
( 10.2 )
284
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Siendo G a el módulo de corte o también conocido como módulo de almacenamiento
de la goma; e es el espesor de la goma.
PERFIL CAJON
e
b
b
GOMA
b
b
PERFIL CANAL
Figura 10.6 Disipador: Perfil cajón – canal
iii.
Se encuentra la rigidez de la diagonal de acero K d como un material compuesto.
Kd =
E
L1 L2
+
A1 A2
( 10.3 )
Donde E es el módulo de elasticidad del perfil cajón o del perfil canal; L1 , L2 son las
longitudes del perfil cajón y de los perfiles canal; A1 , A2 son las áreas transversales de
los perfiles cajón y perfiles canal.
iv.
Se halla la rigidez equivalente K e' para el conjunto compuesto por la diagonal de acero
que tiene rigidez K d y la goma que tiene rigidez K ' . Para el efecto se trabaja con las
flexibilidades pero en el campo de las frecuencias, llegándose a obtener:
ηe =
η
'
(
K
1+
1+η 2
Kd
K e' =
( )K
η (1 + η )
ηe 1 + η 2
)
'
2
e
( 10.4 )
( 10.5 )
Siendo η el factor de pérdida de la goma definido por η = G p / G a , donde G p es el
módulo de pérdida de la goma; η e es el factor de pérdida equivalente.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
•
285
EJEMPLO 1
En el pórtico plano, de un piso y un vano, indicado en la figura 10.7 se ha colocado un
disipador viscoelástico en la diagonal, cuya geometría se indica a la derecha de la figura 10.8 .
Se desea encontrar la rigidez equivalente del disipador si la longitud de la goma es L = 100 cm.
el ancho de la goma b = 14 cm. , el espesor de la goma e = 1 cm. ; la longitud del perfil cajón ;
L1 = 300 cm ; la longitud del perfil canal L2 = 350 cm.
Figura 10.7 Geometría del disipador de energía viscoelástico.
El perfil cajón es de 17.5 x 42.3 y tiene un área transversal de 53.9 cm2 y el perfil canal
es de 17.5 x 14.4 con un área transversal total de 18.3 cm2. El módulo de elasticidad del
material acero es 2100000 kgf/cm2. Por otra parte, para una deformación del 50% los módulos
G a , y G p de la goma, son 6.36 kgf/cm2 y 1.25 kgf/cm2.
•
SOLUCIÓN
G a = 6.36
kgf
cm 2
G p = 1.25
kgf
cm 2
η=
Gp
Ga
= 0.19
Al considerar el 90% de eficiencia, los valores de G a y η son:
G a = 0.9 ∗ 6.36 = 5.72
kgf
cm 2
η = 0.9 ∗ 0.19 = 0.17
Se considera 90% de eficiencia ya que los valores de G a , y G p datos son obtenidos
en laboratorio y adicionalmente se toma en cuenta los efectos de temperatura que pueden
afectar al disipador.
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
286
L = 100 cm
b = 14 cm
e = 1 cm
A = 4 ∗ L ∗ b = 4 ∗ 100 ∗ 14 = 5600 cm 2
K' =
Kd =
ηe =
1+
K e' =
(
G a A 5.72 ∗ 5600
kgf
=
= 32032
e
cm
1.0
E
L1
+
A1
η
'
(
L2
A2
K
1+η 2
Kd
)
=
2100000
kgf
= 85049.56
300 350
cm
+
53.9 18.3
=
0.17
= 0.1225
32032
2
1 + 0.17
1+
85049.56
)
(
(
)
)
)
η e 1 + η 2 K ' 0.1225 1 + 0.17 2
kgf
=
* 32032 = 85049.56
2
2
cm
0.17 1 + 0.1225
η 1 + ηe
(
)
(
10.6 MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL
En varios capítulos de este libro se ha obtenido la matriz de rigidez lateral, de una
estructura conformada por vigas y columnas. Ahora cuando se tiene un disipador de energía
este se modela como un elemento de una armadura plana. Luego el sistema de coordenadas
globales del elemento es el indicado en la figura 10.8 y la matriz de rigidez del elemento es:
⎡cos 2 α
⎢
⎢
k = K e' ⎢
⎢
⎢
⎣
senα cos α
sen 2α
− senα cos α ⎤
⎥
− senα cos α
− sen 2α ⎥
⎥
senα cos α ⎥
cos 2 α
⎥
sen 2α ⎦
− cos 2 α
Donde α es el ángulo que forma la diagonal del disipador con el eje de las X.
Figura 10.8 Elemento Diagonal para el disipador de energía.
( 10.6 )
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
287
10.6.1 Programa RLVISCOELASTICONEW
El programa RLVISCOELASTICONEW determina la matriz de rigidez lateral de un
pórtico plano con disipadores de energía viscoelásticos de las siguientes formas:
ƒ
ƒ
Con disipadores y con inercias gruesas.
Con disipadores y con inercias agrietadas.
Cuando se determina la matriz de rigidez lateral, de la estructura sin disipadores de
energía, se considera, de acuerdo al CEC-2000: I V = 0.5 I g y que I C = 0.8 I g . Donde I V ,
I C son las inercias de la viga y columna, respectivamente; I g es la inercia de la sección
gruesa.
Ahora cuando se obtiene la matriz de rigidez lateral de la estructura con disipadores de
energía y con inercias agrietadas se considera que I V = 0.8 I g y que I C = I g .
Consecuentemente se admite ligero daño únicamente en las vigas, las columnas no se
van a dañar. Esto es debido a que los disipadores de energía mejoran sustancialmente el
desempeño de la estructura.
Antes de emplear el programa RLVISCOELASTICONEW, se debe crear un archivo de
datos con la siguiente información:
o
o
Datos de la base, altura de la sección transversal y longitud de los elementos. Se
empieza a dar los datos de todas las columnas y después de todas las vigas.
Rigidez de la diagonal incluido el disipador de energía, ángulo que forma la diagonal
con respecto al eje de las X. Finalmente se colocará un cero.
Por pantalla se debe indicar el nudo inicial y el nudo final de los elementos que tienen
disipadores.
•
EJERCICIO 2
Determinar la matriz de rigidez lateral, obtenida con inercias gruesas y con inercias
agrietadas, que reporta el programa RLVISCOELASTICONEW para la estructura de hormigón
armado, indicada en la figura 10.9. En la figura 10.10 se indican las secciones transversales de
los perfiles de acero de las diagonales y en la tabla 10.1 se indica las dimensiones de la goma
y las longitudes del tubo cajón y de los perfiles canal.
Se ha utilizado para el Perfil Cajón 2 perfiles U 15 cm., x 5 cm., de 4mm de espesor,
que tiene un área (9.48cm2x2=18.96 cm2) y perfiles canal 10 cm., x 5 cm., de 3mm de
espesor que tiene un área de 5.71 cm2 cada uno, luego el área de los 4 perfiles es 22.84 cm2
como se muestra en la figura 10.10. Son perfiles producidos por DIPAC en Ecuador. El módulo
de elasticidad del material acero es 2100000 kgf/cm2 y el módulo de elasticidad del hormigón
es E = 1738965 .21 T / m 2 .
Considera G a = 5.72 kgf / cm 2 y η = 0.17 cantidades en las que se ha considerado el
90% de eficiencia.
288
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Figura 10.9 Estructura con disipadores de energía visco elástico.
Figura 10.10 Geometría de perfil cajón y perfil canal de las diagonales.
Para utilizar el programa RLVISCOELASTICONEW es obligatorio numerar primero
todas las columnas, luego todas las vigas y finalmente las diagonales, como se muestra en la
figura 10.11. De ahí que en la tabla 10.1 se ha identificado con los números 11 y 12 a las dos
diagonales que contienen a los disipadores de energía.
Tabla 10.1 Dimensiones goma y longitudes de los perfiles
Elemento Longitud
Ancho
Espesor Longitud Longitud
Goma (m)
Goma
Goma
Cajón
de Canal
(m)
(m)
(m)
(m)
11
2.00
0.08
0.01
4.50
3.00
12
2.00
0.08
0.01
4.50
3.83
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
•
289
SOLUCIÓN
Primero se debe encontrar la rigidez equivalente y el factor de perdidas equivalentes
del conjunto diagonal goma. Estos valores se indican en la tabla 10.2
Elemento
11
12
Tabla 10.2 Rigidez equivalente del conjunto perfiles disipador espesor goma 1cm
Longitud Ancho Espesor Longitud Longitud
Ke '
Ke '
Goma (m) Goma
Goma
Cajón
de Canal
(m)
(m)
(m)
(m)
2.00
2.00
0.08
0.08
0.01
0.01
4.50
4.50
3.00
3.83
(kg/cm)
(T/m)
22438
21607
2243.8
2160.7
ηe
0.1023
0.0985
El archivo de datos para el programa RLVISCOELASTICONEW se indica a
continuación y está en concordancia con la numeración de nudos y elementos del pórtico
indicado en la figura 10.11.
Figura 10.11 Numeración de nudos y elementos.
% Indique la base, la altura y la longitud de columnas y vigas
0.20 0.30 3.00
0.20 0.30 3.00
0.20 0.30 3.00
0.20 0.30 3.00
0.20 0.30 3.00
0.20 0.30 3.00
0.25 0.25 4.00
0.25 0.25 5.00
0.25 0.25 4.00
0.25 0.25 5.00
% Rigidez de la diagonal, ángulo de inclinación en grados, coloque 0
2243.8 36.87 0
2160.7 149.04 0
290
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Se ha denominado casad al archivo de datos el mismo que se halla en la partición C.
Para ejecutar el programa se procede de la siguiente manera:
>> load c:\casad
>> [KL]=rlviscoelasticonew (casad)
Numero de nudos: 9
Numero de pisos: 2
Numero de nudos restringuidos: 3
Numero de diagonales: 2
Modulo de elasticidad del hormigón (T/m2): 1738965.21
Diagonal numero, 11
Nudo inicial de diagonal con disipador: 4
Nudo final de diagonal con disipador: 8
Diagonal numero, 12
Nudo inicial de diagonal con disipador: 6
Nudo final de diagonal con disipador: 8
Calcula con: Inercias gruesas, codigo=0. Con inercias agrietadas, codigo=1
Ingrese codigo de inercias :1
El programa reporta:
•
MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL CON INERCIAS GRUESAS, CON DISIPADORES
⎡4675.9
KL = ⎢
⎣− 3709.7
•
− 3709.7 ⎤
3505.5 ⎥⎦
MATRIZ DE RIGIDEZ LATERL CON DISIPADORES E INERCIAS AGRIETADAS
⎡4629.8
KL = ⎢
⎣− 3676.4
− 3676.4⎤
3464.6 ⎥⎦
Para encontrar las dos matrices de rigidez lateral, se debe ejecutar dos veces el
programa. A continuación se presenta el programa RLVISCOELASTICO
function[KL]=rlviscoelasticonew(nombre)
%
% Programa para encontrar la matriz de rigidez lateral de un portico plano
% considerando que todos los elementos son axialmente rigidos.
% Con disipadores de energia viscoelasticos
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%------------------------------------------------------------% [KL]=rlviscoelasticonew(nombre)
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
%------------------------------------------------------------% CG Matriz de coordenadas generalizadas
% VC Vector de colocacion
%E
Modulo de elasticidad del material del portico.
% SS Matriz de rigidez de la estructura
% b: base de la seccion transversal.
% h: altura de la seccion transversal.
% long: longitud del elemento.
% ke Rigidez equivalente de la diagonal con disipador de energia.
% nombre Archivo de datos que contiene la base, la altura y la longitud
%
de cada uno de los elementos. El nombre debe tener extension .txt
%
Para los disipadores de energia se indica la rigidez equivalente
%
del conjunto acero-goma; el angulo de la diagonal en grados y un
%
cero.
%
nod=input('\n Numero de nudos:');
np=input(' Numero de pisos:');
nr=input(' Numero de nudos restringuidos:');
ndiag=input(' Numero de diagonales:');
E=input(' Modulo de elasticidad:');
% Coordenadas Generalizadas
CG=zeros(nod,2);ngl=0;k=nr;
for i=1:np
ngl=ngl+1;
for j=1:nr
k=k+1; CG(k,1)=ngl;
end
end
for i=1:nod-nr
ngl=ngl+1;
k=nr+i; CG(k,2)=ngl;
end
ncol=np*nr; mbr=ncol+(nr-1)*np;nvig=mbr-ncol;mbr1=mbr+ndiag;
ici=0;icf=nr;
for i=1:ncol
ici=ici+1; icf=icf+1;ini(i)=ici;fin(i)=icf;
end
ii=ncol;
for j=1:np
ici=j*nr;
for i=1:nr-1
ii=ii+1;ici=ici+1;ini(ii)=ici;fin(ii)=ici+1;
end
end
% Arreglo VC. Vectores de colocacion
for i=1:mbr
for k=1:2
VC(i,k)= CG(ini(i),k);
VC(i,k+2) = CG(fin(i),k);
end
end
% Arreglo VC de diagonales
for i=1:ndiag
fprintf ('\n Diagonal numero, %d ',mbr+i);
nidiag=input ('\n Nudo inicial de diagonal con disipador:');
nfdiag=input ('Nudo final de diagonal con disipador:');
for k=1:2
291
292
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
VC(mbr+i,k)=CG(nidiag,k);
VC(mbr+i,k+2)=CG(nfdiag,k);
end
end
% Matriz de rigidez de miembro y de la estructura
for i=1:mbr
B(i)=nombre(i,1);H(i)=nombre(i,2);L(i)=nombre(i,3);
end
for i=1:ndiag
kd(i)=nombre(i+mbr,1); alfa(i)=nombre(i+mbr,2);
end
% Calculo de la matriz de rigidez de la estructura
fprintf ('\n Calcula con: Inercias gruesas, codigo=0. Con inercias agrietadas, codigo=1');
icod=input('\n Ingrese codigo de inercias :');
SS=zeros(ngl,ngl);
for i=1:mbr
b=B(i);h=H(i);long=L(i);iner=b*h^3/12;ei=E*iner;
if i<=ncol
if icod==1
iner=1.0*iner;ei=E*iner;
end
k(1,1)=12*ei/long^3;k(1,2)=-6*ei/long^2;k(1,3)=-k(1,1);k(1,4)=k(1,2);
k(2,1)=k(1,2);k(2,2)=4*ei/long;k(2,3)=-k(1,2);k(2,4)=2*ei/long;
k(3,1)=k(1,3);k(3,2)=k(2,3);k(3,3)=k(1,1);k(3,4)=6*ei/long^2;
k(4,1)=k(1,4);k(4,2)=k(2,4);k(4,3)=k(3,4);k(4,4)=k(2,2);
else
if icod==1
iner=0.8*iner;ei=E*iner;
end
k=zeros(4,4);k(2,2)=4*ei/long;k(2,4)=2*ei/long;k(4,2)=k(2,4);k(4,4)=k(2,2);
end
for j=1:4
jj=VC(i,j);
if jj==0
continue
end
for m=1:4
mm=VC(i,m);
if mm==0
continue
end
SS(jj,mm)=SS(jj,mm)+k(j,m);
end
end
end
% Contribucion de las diagonales a la matriz de rigidez
for i=1:ndiag
k=zeros(4,4);k(1,1)=cos(alfa(i)*pi/180)^2*kd(i);k(3,3)=k(1,1); k(1,3)=-k(1,1);
k(3,1)=-k(1,1);
for j=1:4
jj=VC(mbr+i,j);
if jj==0
continue
end
for m=1:4
mm=VC(mbr+i,m);
if mm==0
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
293
continue
end
SS(jj,mm)=SS(jj,mm)+k(j,m);
end
end
end
% Matriz de rigidez lateral
na=np;nb=ngl-np;
Kaa=SS(1:na,1:na);Kab=SS(1:na,na+1:ngl);Kba=Kab';Kbb=SS(na+1:ngl,na+1:ngl);
KL=Kaa-Kab*inv(Kbb)*Kba;
fprintf ('\n Matriz de rigidez lateral :');
save a:\KL
%---fin---
Una vez que se halla la matriz de rigidez lateral del pórtico con disipadores de
energía, se halla la matriz de rigidez de la estructura en coordenadas de piso, en la forma
vista en capítulos anteriores.
10.7 MÉTODO DE LA ENERGÍA MODAL DE DEFORMACIÓN
Una vez que se tiene la matriz de rigidez de la estructura, se encuentra la matriz de
masas y la matriz de amortiguamiento, en coordenadas de piso. Todo esto en la forma como se
ha estudiado en capítulos anteriores. Ahora, se debe encontrar el amortiguamiento equivalente
de la estructura con disipadores de energía ς j en cada modo de vibración, para ello se trabaja
con el método de la energía modal de deformación. Inaudi et al (1993).
⎛
⎞
wj ⎟
ζ j = β j ∩ + ⎜1 − 2 ⎟
∩
2⎜
⎟
wj
wj ⎠
⎝
__
wj
Donde
η⎜
__ 2
( 10.7 )
η es el factor de pérdida de la goma, no es el factor de pérdida equivalente η e .
w j es la frecuencia natural de vibración de la estructura, sin disipadores de energía, en el
∩
modo j;
w j es la frecuencia natural de la estructura con disipadores en el modo j. β j es el
amortiguamiento de la estructura sin disipadores en el modo j.
function[seda]=amortiguamientoviscoelastico(nombre,pesoD,pesoL)
%
% Programa para encontrar el amortiguamiento en cada modo de vibracion
% de una estructura con disipadores de energia viscoelasticos.
% Se aplica el Metodo de Energia Modal de Deformacion
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%------------------------------------------------------------% [seda]=amortiguamientoviscoelastico(nombre,pesoD,pesoL)
%-------------------------------------------------------------
294
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
% seda Vector que contiene los amortiguamientos del sistema.
% CG Matriz de coordenadas generalizadas
% VC Vector de colocacion
%E
Modulo de elasticidad del material del portico.
% SS Matriz de rigidez de la estructura
% b: base de la seccion transversal.
% h: altura de la seccion transversal.
% long: longitud del elemento.
% ke Rigidez equivalente de la diagonal con disipador de energia.
% nombre Archivo de datos que contiene la base, la altura y la longitud
%
de cada uno de los elementos. El nombre debe tener extension .txt
%
Para los disipadores de energia se indica la rigidez, el angulo de
%
la diagonal del disipador y se coloca un cero.
% pesoD Vector que contiene la carga muerta D de cada piso.
% pesoL Vector que contiene el porcentaje de carga viva L de cada piso.
nod=input('\n Numero de nudos:');
np=input(' Numero de pisos:');
nr=input(' Numero de nudos restringuidos:');
ndiag=input(' Numero de diagonales:');
E=input(' Modulo de elasticidad:');
%Matriz de masas
for i=1:np; masaD(i)=pesoD(i)/9.8; masaL(i)=pesoL(i)/9.8;
mas(i)=masaD(i)+masaL(i);end
masa=zeros(np,np);for i=1:np; masa(i,i)=mas(i);end
% Coordenadas Generalizadas
CG=zeros(nod,2);ngl=0;k=nr;
for i=1:np
ngl=ngl+1;
for j=1:nr
k=k+1; CG(k,1)=ngl;
end
end
for i=1:nod-nr
ngl=ngl+1;
k=nr+i; CG(k,2)=ngl;
end
ncol=np*nr; mbr=ncol+(nr-1)*np;nvig=mbr-ncol;mbr1=mbr+ndiag;
ici=0;icf=nr;
for i=1:ncol
ici=ici+1; icf=icf+1;ini(i)=ici;fin(i)=icf;
end
ii=ncol;
for j=1:np
ici=j*nr;
for i=1:nr-1
ii=ii+1;ici=ici+1;ini(ii)=ici;fin(ii)=ici+1;
end
end
% Arreglo VC. Vectores de colocacion
for i=1:mbr
for k=1:2
VC(i,k)= CG(ini(i),k);
VC(i,k+2) = CG(fin(i),k);
end
end
% Arreglo VC de diagonales
for i=1:ndiag
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
fprintf ('\n Diagonal numero, %d ',mbr+i);
nidiag=input ('\n Nudo inicial de diagonal con disipador:');
nfdiag=input ('Nudo final de diagonal con disipador:');
for k=1:2
VC(mbr+i,k)=CG(nidiag,k);
VC(mbr+i,k+2)=CG(nfdiag,k);
end
end
% Matriz de rigidez de miembro y de la estructura
for i=1:mbr
B(i)=nombre(i,1);H(i)=nombre(i,2);L(i)=nombre(i,3);
end
for i=1:ndiag
kd(i)=nombre(i+mbr,1); alfa(i)=nombre(i+mbr,2);
end
% Calculo de la matriz de rigidez de la estructura
SS=zeros(ngl,ngl);
for i=1:mbr
b=B(i);h=H(i);long=L(i);iner=b*h^3/12;ei=E*iner;
if i<=ncol
k(1,1)=12*ei/long^3;k(1,2)=-6*ei/long^2;k(1,3)=-k(1,1);k(1,4)=k(1,2);
k(2,1)=k(1,2);k(2,2)=4*ei/long;k(2,3)=-k(1,2);k(2,4)=2*ei/long;
k(3,1)=k(1,3);k(3,2)=k(2,3);k(3,3)=k(1,1);k(3,4)=6*ei/long^2;
k(4,1)=k(1,4);k(4,2)=k(2,4);k(4,3)=k(3,4);k(4,4)=k(2,2);
else
k=zeros(4,4);k(2,2)=4*ei/long;k(2,4)=2*ei/long;k(4,2)=k(2,4);k(4,4)=k(2,2);
end
for j=1:4
jj=VC(i,j);
if jj==0
continue
end
for m=1:4
mm=VC(i,m);
if mm==0
continue
end
SS(jj,mm)=SS(jj,mm)+k(j,m);
end
end
end
% Matriz de rigidez lateral
na=np;nb=ngl-np;
Kaa=SS(1:na,1:na);Kab=SS(1:na,na+1:ngl);Kba=Kab';Kbb=SS(na+1:ngl,na+1:ngl);
KL=Kaa-Kab*inv(Kbb)*Kba;
% Frecuencia de vibracion de estructura sin disipadores
[V,D]=eig(KL,masa);W=sqrt(diag(D));
% Se ordenan las frecuencias y los modos de vibracion de menor a mayor
[Wsin]=sort(W);
% Contribucion de las diagonales a la matriz de rigidez
for i=1:ndiag
k=zeros(4,4);k(1,1)=cos(alfa(i)*pi/180)^2*kd(i);k(3,3)=k(1,1); k(1,3)=-k(1,1);
k(3,1)=-k(1,1);
for j=1:4
jj=VC(mbr+i,j);
if jj==0
continue
295
296
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
end
for m=1:4
mm=VC(mbr+i,m);
if mm==0
continue
end
SS(jj,mm)=SS(jj,mm)+k(j,m);
end
end
end
% Matriz de rigidez lateral de estructura con disipadores
na=np;nb=ngl-np;
Kaa=SS(1:na,1:na);Kab=SS(1:na,na+1:ngl);Kba=Kab';Kbb=SS(na+1:ngl,na+1:ngl);
KL=Kaa-Kab*inv(Kbb)*Kba;
% Frecuencia de vibracion de estructura con disipadores
[V,D]=eig(KL,masa);W=sqrt(diag(D));
% Se ordenan las frecuencias y los modos de vibracion de menor a mayor
[Wcon]=sort(W);
% Calculo del amortiguamiento del sistema
eta=input('\n Indique el factor de perdida (igual para todos los modos) : ');
beta=input('\n Indique el amortiguamiento de la estructura sin disipadores : ');
fprintf (' Factores de amoriguamiento ');
for i=1:np
aux=Wsin(i)/Wcon(i);
sedaes(i)=beta*aux;
sedadis(i)=(eta/2)*(1-aux*aux);
seda(i)=beta*aux+(eta/2)*(1-aux*aux);
end
fprintf (' Factores de amortiguamiento de estructura ');
sedaes
fprintf (' Factores de amortiguamiento de disipadores ');
sedadis
fprintf (' Factores de amortiguamiento total ');
%---fin---
10.8 ANÁLISIS MODAL ESPECTRAL
Las estructuras con disipadores de energía visco elásticos de goma, tienen comportamiento no
lineal pero se puede analizar con teoría elástica lineal por dos motivos: el primero que las
columnas y vigas van a trabajar en el rango elástico o tendrán una pequeña incursión en el
rango no lineal y segundo que el comportamiento del disipador, indicado en la figura 10.5 a
pesar de que es no lineal se puede modelar como un oscilador Kelvin Voight de la forma:
C q (t ) + K q(t ) = f (t )
( 10.8 )
Donde f (t ) es la fuerza aplicada al oscilador; K es la rigidez del oscilador; C es el
amortiguamiento del oscilador; q(t ), q (t ) son el desplazamiento y velocidad del oscilador. La
ecuación ( 10.8 ) es lineal sin embargo de ello al encontrar las curvas de histéresis que
relacionan el desplazamiento q (t ) con la fuerza f (t ) se halla un comportamiento no lineal
similar al de la figura 10.5.
Por todo esto, se puede aplicar el Método de Superposición Modal, descrito en
capítulos anteriores, para el análisis sísmico utilizando un espectro de diseño. Como este
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
297
método ha sido ya explicado con mucho detenimiento se realiza un ejemplo orientado al uso
del programa VISCOELASTICOESPECTRO.
•
EJEMPLO 3
Realizar un análisis sísmico seudo espacial, considerando tres grados de libertad por
planta de la estructura de tres pisos, cuya configuración en planta se indica en la figura 10.12.
Si tiene disipadores viscoelásticos, en todos los vanos de 2.0 m., de los pórticos exteriores. La
rigidez equivalente de estos disipadores es K e' = 1333.84739 T/m. y el factor de pérdida de la
goma η = 0.15642 .
Figura 10.12 Distribución en planta de estructura de 3 pisos.
En la figura 10.13 se indica a la izquierda, la geometría de un pórtico exterior que
contiene los disipadores viscoelásticos (1, 5, A, E) y a la derecha, la de un pórtico interior que
no contiene disipadores (2, 3, 4, B, C, D).
Las dimensiones de todas las columnas del primer piso son de 35/35; las del segundo
y tercer piso de 30/30. Por otra parte, todas las vigas son de 25/40. El módulo de elasticidad
del hormigón es E = 1738965 .21 T / m 2 .
El amortiguamiento de la estructura sin disipadores de energía es β j = 0.03 se
considera igual en todos los modos de vibración. Realizar el análisis sísmico si la estructura
se halla en la zona de mayor peligrosidad sísmica del Ecuador sobre un perfil de suelo
298
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
S4. Considerar que se trata de una vivienda, cuya carga viva es 0.2 T / m 2 y cuya carga
muerta es 0.6 T / m 2 , en cada piso.
Figura 10.13 Pórtico exterior y pórtico interior.
•
SOLUCIÓN
Antes de utilizar el programa VISCOELASTICOESPECTRO se debe encontrar las
matrices de rigidez lateral de los pórticos, para las siguientes casos:
¾
Estructura sin disipadores con inercias agrietadas (Para el pórtico de la derecha de
I C = I g . Se ha denominado K LA 2 a
la figura 10.13). Se considera I V = 0.8 I g
esta matriz.
⎡ 6863.9
K L = ⎢⎢− 2836.6
⎢⎣ 311.6
4542.2
− 2225.1
⎤
⎥=K
LA 2
⎥
1954.1⎥⎦
Para el programa VISCOELASTICOESPECTRO se debe dar como dato una matriz
que contiene a todas las matrices de rigidez lateral con inercias agrietadas y sin disipadores de
energía, empezando por los pórticos en sentido X. Se denomina KLS a esta matriz, la misma
que se obtiene en MATLAB de la siguiente forma:
>> KLS = [ K LA 2 ; K LA 2 ; K LA 2 ; K LA 2 ; K LA 2 ; K LA 2 ; K LA 2 ; K LA 2 ; K LA 2 ; K LA 2 ]
¾
Estructura con disipadores con inercias agrietadas (Para el pórtico de la izquierda
de la figura 10.3. A esta matriz se denomina K LDA1 y para el pórtico derecha de la
figura 10.3, que ya fue calculada)
⎡ 8505.6
K L = ⎢⎢− 3657.5
⎢⎣ 311.6
6183.8
− 3046.0
⎤
⎥=K
LDA1
⎥
⎥
2774.9⎦
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
299
Se denomina KL a la matriz de rigidez que contiene a todas las matrices de rigidez
lateral, con inercias agrietadas, de todos los pórticos en la estructura con disipadores de
energía.
>> KL = [ K LDA1 ; K LA2 ; K LA2 ; K LA2 ; K LDA1; K LDA1 ; K LA 2 ; K LA 2 ; K LA 2 ; K LDA1 ]
¾
Estructura con disipadores con inercias gruesas (Para los dos pórticos de la figura
10.3. Sea K LD1 la matriz de rigidez lateral del pórtico con disipadores y K L 2 la matriz
de rigidez lateral del pórtico sin disipadores).
⎡ 8588.9
K L = ⎢⎢− 3631.5
⎢⎣ 270.0
⎡ 6947.2
K L = ⎢⎢− 2810.7
⎢⎣ 270.0
6283.1
− 3106.7
⎤
⎥=K
LD1
⎥
⎥
2868.0⎦
4641.4
− 2285.8
⎤
⎥=K
L2
⎥
2047.1⎥⎦
Sea KLG la matriz que contiene a las matrices de rigidez lateral con inercias gruesas,
de todos los pórticos de la estructura con disipadores de energía.
>> KLG = [ K LD1 ; K L 2 ; K L 2 ; K L 2 ; K LD1 ; K LD1 ; K L 2 ; K L 2 ; K L 2 ; K LD1 ]
™ Ahora se debe encontrar el vector que contiene a los pesos de la estructura debido a
carga muerta y al 25% de la carga viva. Se denominan a estos vectores PesoD y
PesoL, respectivamente.
D = 0.6 * 12 * 12 = 86.4 T
L = 0.25 * 0.2 * 12 * 12 = 7.2 T
PesoD = [86.4; 86.4; 86.4]
PesoL = [7.2;7.2;7.2]
™ Se debe hallar la matriz r con la distancia del Centro de Masas C.M. al pórtico. Para
cada pórtico se da una fila de datos que corresponde al valor de distancia del C.M. al
pórtico en cada piso. En el ejemplo el C.M. se halla en el centro de gravedad de la
planta.
>>
r = [−6 − 6 − 6; − 4 − 4 − 4; 0 0 0; 4 4 4; 6 6 6;
− 6 − 6 − 6; − 4 − 4 − 4; 0 0 0; 4 4 4; 6 6 6]
™ Se determina el vector que contiene la altura desde la base a cada piso. Para el
ejemplo la altura de piso es de 3.0 m. Se denomina altura a este vector.
>> altura =[3; 6; 9]
300
9
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Resultados
En la tabla 10.3 se presenta las respuestas máximas probables que reporta el
programa en el Centro de Masas. Se indican las fuerzas laterales sin el efecto de la torsión
accidental; las fuerzas laterales con la torsión accidental, los desplazamientos inelásticos
hallados de acuerdo al CEC-2000, la deriva máxima de piso γ i , el índice de estabilidad de piso
θ i y las fuerzas finales.
Piso
1
2
3
Fuerzas
sin Torsión
(T.)
9.1788
16.6329
28.0822
Tabla 10.3 Respuestas máximas en el Centro de Masas
Desplazamientos
Fuerzas
γi
θi
Inelásticos
con Torsión
(m.)
(T.)
9.7379
0.0154
0.0051
0.0106
17.5579
0.0388
0.0078
0.0062
29.6448
0.0534
0.0049
0.0031
Fuerzas
Finales
(T.)
9.7379
17.5579
29.6448
El programa VISCOELASTICOESPECTRO también reporta los desplazamientos
laterales en cada uno de los pórticos.
10.9 PROGRAMA VISCOELASTICOESPECTRO
Como se ha indicado el programa VISCOELASTICOESPECTRO sirve para el análisis
sísmico de estructuras espaciales con disipadores de energía visco elásticos de goma, ante el
espectro de diseño inelástico del CEC-2000. En el programa se ha considerado lo siguiente:
•
El factor de reducción de las fuerzas sísmicas R es 6 para los perfiles de suelo S1, S2
y S3. Para el perfil de suelo S4 es 5.
•
En estructuras con disipadores de energía, la inercia agrietada de vigas y columnas es
igual a I V = 0.8 I g ; I C = I g . Donde I g es la inercia gruesa. De tal manera que se
admite un ligero daño en las vigas. Los disipadores de energía deben trabajar en rango
elástico.
•
Para encontrar el amortiguamiento equivalente de la estructura con disipadores de
energía se ha utilizado el Método de la Energía Modal de Deformación. Para el efecto
se debe calcular la matriz de rigidez de la estructura en coordenadas de piso de dos
formas, sin disipadores de energía y con disipadores de energía. Para los dos casos se
ha trabajado con inercias agrietadas en las vigas.
•
Con los amortiguamientos equivalentes de la estructura en cada modo de vibración se
encontró el amortiguamiento promedio ξ y para este amortiguamiento se halló el
espectro con el que se realiza el análisis sísmico. La ecuación utilizada para el efecto
es:
⎛
1+ ξ
f a = 2 ⎜⎜
0.865
⎝ 1 + 14.68 ξ
⎞
⎟
⎟
⎠
( 10.9 )
Donde f a es el factor por el cual se debe multiplicar las ordenadas del espectro
elástico del CEC-2000. El espectro del CEC-2000 está obtenido para un ξ = 0.05 . La
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
301
ecuación ( 10.9 ) fue presentada en el capítulo 2 y sirve para encontrar formas
espectrales para cualquier factor de amortiguamiento ξ a partir de un espectro cuyo
ξ = 0.05 .
•
Una vez que se tiene el espectro para el ξ promedio se dividen las ordenadas
espectrales para el factor R .
•
El programa permite analizar estructuras con Centros de Masa que no sean colineales.
Pero lo que se deben tener pórticos ortogonales.
•
El programa sirve para el análisis sísmico de estructuras sin orificios ya que el
momento de inercia de la masa J i , de cada planta se halló con la siguiente ecuación.
Ji =
[
mi 2
ai + bi2
12
]
( 10.10 )
Donde a i , bi son las dimensiones en planta de la losa y mi es la masa total del piso. Si
se tienen orificios en la losa es conveniente que el usuario calcule manualmente J i e
ingrese esta cantidad como dato para lo que debe modificar el programa pero es muy
sencillo.
•
El usuario tiene la posibilidad de escoger entre nueve criterios de combinación modal,
el que más le convenga. Los criterios fueron indicados en el capítulo 65 Se
recomienda trabajar con el criterio de la normativa de Perú de 2003, que es una
combinación lineal de los criterios del valor máximo probable y de la superposición
directa.
•
El detalle del método de superposición modal que realiza el programa se describió en
los capítulos 5 y 6 de este libro.
La forma de uso del programa es la siguiente:
>> [seda]=viscoelasticoespectro(ejes,altura,PesoD,PesoL,KLS,KL,KLG,r)
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ejes
es el número de ejes de la estructura en la dirección analizada.
altura vector que contiene la altura desde el piso a cada uno de los pisos de la
estructura.
PesoD vector con los pesos totales de cada uno de los pisos, debido a carga muerta.
PesoL vector con los pesos totales de cada uno de los pisos, debidos al 25% de la
carga viva.
KLS
matriz que contiene las matrices de rigidez lateral K L de la estructura sin
disipadores de energía, hallada con inercias agrietadas.
KL
similar a KLS pero en la estructura con disipadores de energía y con inercias
agrietadas.
KLG similar a KLS pero en la estructura con disipadores de energía y con inercias
gruesas.
r
matriz que contiene la distancia del centro de masas a cada uno de los pórticos.
Cada fila es para un pórtico. Y en cada fila se debe indicar esta distancia para
cada piso, con su signo.
302
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
function [seda]=viscoelasticoespectro(iejes,alt,pesoD,pesoL,KLs,KL,KLG,r)
%
% Programa para el analisis sismico de estructuras con disipadores
% viscoelasticos, se realiza analisis modal espacial considerando tres
% grado de libertad por planta empleando el Espectro Inelastico del CEC-2000
% y el factor de reduccion de las fuerzas sismicas hallados en el proyecto
% de investigacion desarrollado en CEINCI-ESPE en 2005-2007
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi y Marcos Zevallos Loor
% CEINCI-ESPE
% Febrero de 2008
%----------------------------------------------------------------------% [seda]=viscoelasticoespectro(iejes,alt,pesoD,pesoL,KLs,KL,KLG,r)
%----------------------------------------------------------------------%
%H
Altura total de edificio Z Factor de Zona
% iejes # de ejes de columnas en el sentido de analisis sismico
% alt Vector que contine las alturas a cada piso medido desde la base.
% pesoD Vector que contiene la carga muerta D de cada piso.
% pesoL Vector que contiene el porcentaje de carga viva L de cada piso.
% KLS Matriz de rigidez de estructura sin disipadores de energia con
%
inercias agrietadas. Iv = 0.8 Ig; Ic = 1.0 Ig. De todos porticos.
% KL Matriz que contiene las matrices de rigidez lateral de los porticos
%
con disipadores de energia, con inercias agrietadas.Iv = 0.8 Ig; Ic = 1.0 Ig.
% KLG Matriz que contiene las matrices de rigidez lateral de los porticos
%
en un solo sentido, con inercias gruesas.
%r
Matriz que contiene la distancia del portico al centro de masa, de
%
cada uno de los porticos, con signo, positivo antihorario.
%
Para cada piso se indica el valor de r. La primera fila
%
corresponde al portico 1, se dan los r de cada piso.
% PESO Peso total Reactivo.
V Cortante Basal
eta = input ('\n Factor de perdida de la goma (igual para todos los modos) :');
bbeta = input ('\n El amortiguamiento de la estructura sin disipadores :');
ntot = input ('\n Número total de pórticos de la estructura:');
%
NP=length(alt); for i=1:NP-1; j=NP-i+1; alt(j)=alt(j)-alt(j-1);end
fprintf ('\n Si el analisis es en sentido X, el codigo es 1; para sentido Y es 2');
isismo= input ('\ Indique el codigo del sentido de analisis sismico');
if isismo==1;
nx=iejes;
ny=ntot-nx;
else
ny=iejes;
nx=ntot-ny;
end
%Submatrices de rigidez: KEE, con inercias agrietadas sin disipadores
Kxxs=zeros(NP,NP);Kyys=zeros(NP,NP);Ktetas=zeros(NP,NP);
ceros=zeros(NP,NP);Kxts=zeros(NP,NP);Kyts=zeros(NP,NP);
for k=1:NP;
identidad(k,k)=1;
end;
for i=1:ntot
for k=1:NP
rtet(k,k)=r(i,k);
end
rteta=rtet*rtet;
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;
if i<=nx
Kxxs=Kxxs+KLs(ji:jf,1:NP);
Kxts=Kxts+KLs(ji:jf,1:NP)*rtet;
Ktetas=Ktetas+KLs(ji:jf,1:NP)*rteta;
A(ji:ji+NP-1,:)=[identidad ceros rtet];
else
Kyys=Kyys+KLs(ji:jf,1:NP);
Kyts=Kyts+KLs(ji:jf,1:NP)*rtet;
Ktetas=Ktetas+KLs(ji:jf,1:NP)*rteta;
A(ji:ji+NP-1,:)=[ceros identidad rtet];
end
end
%Matriz de rigidez espacial con 3 grados de libertad por planta sin disipadores
KEs=[Kxxs ceros Kxts;ceros Kyys Kyts;Kxts Kyts Ktetas];
%Submatrices de rigidez: KEE, con inercias agrietadas con disipadores
Kxx=zeros(NP,NP);Kyy=zeros(NP,NP);Kteta=zeros(NP,NP);
cero=zeros(NP,NP);Kxt=zeros(NP,NP);Kyt=zeros(NP,NP);
for i=1:ntot
for k=1:NP
rtet(k,k)=r(i,k);
end
rteta=rtet*rtet;
ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;
if i<=nx
Kxx=Kxx+KL(ji:jf,1:NP);
Kxt=Kxt+KL(ji:jf,1:NP)*rtet;
Kteta=Kteta+KL(ji:jf,1:NP)*rteta;
A(ji:ji+NP-1,:)=[identidad cero rtet];
else
Kyy=Kyy+KL(ji:jf,1:NP);
Kyt=Kyt+KL(ji:jf,1:NP)*rtet;
Kteta=Kteta+KL(ji:jf,1:NP)*rteta;
A(ji:ji+NP-1,:)=[cero identidad rtet];
end
end
%Matriz de rigidez espacial con 3 grados de libertad por planta con disipadores
KE=[Kxx cero Kxt;cero Kyy Kyt;Kxt Kyt Kteta];
%----------------------------------------------------------% Calculo de matriz de masa. Unicamente para plantas llenas
%----------------------------------------------------------for i=1:NP;
disty(i)=abs(r(1,i))+abs(r(nx,i));distx(i)=abs(r(nx+1,i))+abs(r(ntot,i));
end
for i=1:NP;
masaD(i)=pesoD(i)/9.8;
masaL(i)=pesoL(i)/9.8;
mas(i)=masaD(i)+masaL(i);
end
masa=zeros(NP,NP);
for i=1:NP;
masa(i,i)=mas(i);
end
mj=zeros(NP,NP);
for i=1:NP;
mj(i,i)=mas(i)*(distx(i)^2+disty(i)^2)/12;
end
303
304
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
MASA=[masa cero cero;cero masa cero;cero cero mj];
%---------------------------------------------------PESO=0;
for i=1:NP;
PESO=PESO+pesoD(i);
end;
H=alt(NP);
% Frecuencia de vibracion de estructura sin disipadores
% Periodos de vibracion y periodo fundamental
[Vs,Ds]=eig(KEs,MASA);Wns=sqrt(diag(Ds));
% Se ordenan las frecuencias y los modos de vibracion de menor a mayor
[Wsin,II]=sort(Wns);
for i=1:3*NP;
fii(:,i)=Vs(:,II(i));
Tsin(i)=2*pi/Wsin(i);
end;
fprintf ('\n Frecuencia de vibracion de estructura sin disipadores ');
Wsin
fprintf ('\n Periodos de vibracion de estructura sin disipadores ');
Tsin
% Frecuencia de vibracion de estructura con disipadores
% Periodos de vibracion y periodo fundamental
[Vcon,D]=eig(KE,MASA);Wnc=sqrt(diag(D));
% Se ordenan las frecuencias y los modos de vibracion de menor a mayor
[Wcon,II]=sort(Wnc);
for i=1:3*NP;
fiii(:,i)=Vcon(:,II(i));
Tcon(i)=2*pi/Wcon(i);
end;
fprintf ('\n Frecuencia de vibracion de estructura con disipadores ');
Wcon
fprintf ('\n Periodos de vibracion de estructura con disipadores ');
Tcon
% Calculo del amortiguamiento del sistema
for i=1:NP
aux=Wsin(i)/Wcon(i);
seda(i)=bbeta*aux+(eta/2)*(1-aux*aux);
end
fprintf (' Factores de amoriguamiento ');
zeda=mean(seda)
zzeda=zeda;
BO=2*((1+zeda)/(1+(14.68*zeda^0.865)))
ic=input ('\n Códigos para zonas sismicas: 0.15g=1 0.25g=2 0.30g=3 0.40g=4:');
if ic==1; Ao=0.15*9.8;Z=0.15;elseif ic==2;Ao=0.25*9.8;Z=0.25;
elseif ic==3;Ao=0.30*9.8;Z=0.30;else;Ao=0.40*9.8;Z=0.4;end
is= input ('\n Códigos para perfiles de suelos: S1 = 1; S2 = 2; S3 = 3; S4 = 4:');
if is==1
T1=0.50;T2=2.50;beta=2.5;S=1;R=6;
elseif is==2
T1=0.52;T2=3.11;beta=3.0;S=1.2;R=6;
elseif is==3
T1=0.82;T2=4.59;beta=2.8;S=1.5;R=6;
else
T1=2.0;T2=10;beta=2.5;S=2;R=5;
end
I=input ('\n Factor de importancia:');
% Periodos de vibracion y periodo fundamental
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
[V,D]=eig(KE,MASA);W=sqrt(diag(D));
% Se ordenan las frecuencias y los modos de vibracion de menor a mayor
[Wn,II]=sort(W); for i=1:3*NP; fi(:,i)=V(:,II(i)); T(i)=2*pi/Wn(i);end
%Factores de participacion modal
for i=1:NP;bb(i)=1;cer(i)=0;end;bb=bb';cer=cer';
if isismo==1
B=[bb; cer; cer];
else
B=[cer; bb; cer];
end
NUM=fi'*MASA*B;DEN=diag(fi'*MASA*fi);
for i=1:3*NP; gama(i)=abs(NUM(i)/DEN(i));end
if gama(1)==0
Tf=T(2);
else
Tf=T(1);
end
fip=input ('\n Factor de irregularidad en planta:');
fie=input ('\n Factor de irregularidad en elevación:');
R=R*fip*fie;
%Coeficiente C
C=BO*(1.25*S^S)/Tf; if C >=BO*beta; C=BO*beta; end;if C <= BO*0.5; C=BO*0.5; end
fprintf ('\n Valores de R, C');
R, C,
% Cortante Basal Minimo
Vmin=(Z*I*C*PESO)/(R*fip*fie);fprintf ('\n Cortante Basal Mínimo ');
Vmin
%
%Aceleraciones modales
for i=1:3*NP
if T(i)<=T1;
Ad(i)=BO*I*beta*Ao/R;
elseif T(i)>T1 & T(i)<=T2;
Ad(i)=BO*(1.25*I*Ao*S^S)/(T(i)*R);
else
Ad(i)=BO*I*Ao/(2*R);
end
end
%Fuerzas modales en centro de masas
masafi=MASA*fi;gamaAd=(gama.*Ad)';
for i=1:3*NP;
for j=1:3*NP;
P(j,i)=gamaAd(i)*masafi(j,i);
end
end
%Cortantes modales en centro de masas
VV=zeros(3*NP,3*NP);
for i=1:3*NP;
for j=1:NP;
k=NP+1-j;
if k==NP;
VV(k,i)=VV(k,i)+P(k,i);
VV(k+NP,i)=VV(k+NP,i)+P(k+NP,i);
else
VV(k,i)=VV(k+1,i)+P(k,i);
VV(k+NP,i)=VV(k+NP+1,i)+P(k+NP,i);
end
305
306
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
end
end
%Criterio de de criterio que se aplica en cortantes
fprintf ('\n Codigos Para Criterios de Combinacion Modal');
fprintf ('\n Máximo Valor Probable = 1');
fprintf ('\n Superposición Directa = 2');
fprintf ('\n Propuesta de Alejandro Gómez = 3');
fprintf ('\n Norma Tecnica de Peru de 2003 = 4');
fprintf ('\n Método NRL-SUM (Naval Research Laboratory) = 5');
fprintf ('\n Combinacion Cuadratica Completa = 6');
fprintf ('\n Grouping Method = 7');
fprintf ('\n Doble Suma = 8');
fprintf ('\n Norma de Guatemala 1996 = 9');
fprintf ('\n ');
cm=input ('\n Criterio de Combinación Modal Escogido:');
%Criterio del Maximo Valor Probable
if cm==1
for i=1:3*NP
RR(i)=0;
for j=1:3*NP
RR(i)=RR(i)+VV(i,j)*VV(i,j);
end
Corte(i)=sqrt(RR(i));
end;
Corte=Corte'
%Criterio de Superposición directa
elseif cm==2
for i=1:3*NP
RRR(i)=0;
for j=1:3*NP
RRR(i)=RRR(i)+abs(VV(i,j));
end
Corte(i)=RRR(i);
end;
Corte=Corte'
%Propuesta de Alejandro Gómez
elseif cm==3
for i=1:3*NP
RRR(i)=0;
for j=1:1
RRR(i)=RRR(i)+abs(VV(i,j));
end
end
for i=1:3*NP
RR(i)=0;
for j=2:3*NP
RR(i)=RR(i)+abs(VV(i,j));
end
end
for i=1:3*NP
Corte(i)=sqrt(RRR(i)*RRR(i)+RR(i)*RR(i));
end
Corte=Corte'
%Criterio de Norma Tecnica de Peru de 2003
elseif cm==4
for i=1:3*NP
RRR(i)=0; RR(i)=0;
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
for j=1:3*NP
RRR(i)=RRR(i)+abs(VV(i,j));
RR(i)=RR(i)+VV(i,j)*VV(i,j);
end
Corte(i)=0.25*RRR(i)+0.75*sqrt(RR(i));
end;
Corte=Corte'
%Propuesta de NRL-SUM
elseif cm==5
for i=1:3*NP
RRR(i)=0;
for j=1:1
RRR(i)=RRR(i)+abs(VV(i,j));
end
end
for i=1:3*NP
RR(i)=0;
for j=2:3*NP
RR(i)=RR(i)+VV(i,j)*VV(i,j);
end
end
for i=1:3*NP
Corte(i)=RRR(i)+ sqrt(RR(i));
end
Corte=Corte'
%Criterio Combinacion Cuadratica Completa
elseif cm==6
for i = 1:3*NP
for j = 1:3*NP
b(i,j)=Wn(i)/Wn(j);
zeda(i,j)=zzeda;
end
end
for i = 1:3*NP
for j = 1:3*NP
uno(i,j)=8*((zeda(i)*zeda(j))^0.5);
dos(i,j)=zeda(i)+(b(i,j)*zeda(j));
tres(i,j)= (b(i,j))^1.5;
num(i,j) = uno(i,j)*dos(i,j)*tres(i,j);
cuatro(i,j)=(1-(b(i,j)^2))^2;
cinco(i,j)=(4*zeda(i)*zeda(j))*b(i,j)*(1+(b(i,j)^2));
seis(i,j)=4*(((zeda(i)^2)+(zeda(j)^2))*(b(i,j)^2));
den(i,j)= cuatro(i,j)+ cinco(i,j)+ seis(i,j);
p(i,j)=num(i,j)/den(i,j);
end
end
for m=1:3*NP
suma(m)=0;
end
for m=1:3*NP
for i=1:3*NP
for j=1:3*NP
suma(m)=suma(m)+(p(i,j)*VV(m,i)*VV(m,j));
end
end
307
308
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
suma(m)=sqrt(suma(m));
end
Corte = suma';
%Criterio Grouping Method
elseif cm==7
for i = 1:3*NP
for j = 1:3*NP
b(i,j)= (Wn(j)-Wn(i))/Wn(i);
zeda(i,j)=zzeda;
if b(i,j)> 0.1
p(i,j)=0.0;
else
p(i,j)=1.0;
end
end
end
for m=1:3*NP
suma(m)=0;
end
for m=1:3*NP
for i=1:3*NP
for j=1:3*NP
suma(m)=suma(m)+(p(i,j)*abs(VV(m,i))*abs(VV(m,j)));
end
end
suma(m)=sqrt(suma(m));
end
Corte = suma';
%Criterio Doble Suma
elseif cm==8
for i = 1:3*NP
for j = 1:3*NP
zeda(i,j)=zzeda;
end
end
for i = 1:3*NP
for j = 1:3*NP
uno(i,j)=((1-zeda(i))^0.5);
dos(i,j)=Wn(i)-Wn(j);
tres(i,j)= zeda(i);
cuatro(i,j)=Wn(i)+Wn(j);
num(i,j) = uno(i,j)*dos(i,j);
den(i,j)= tres(i,j)*cuatro(i,j);
p(i,j)=num(i,j)/den(i,j);
end
end
for m=1:3*NP
suma(m)=0;
end
for m=1:3*NP
for i=1:3*NP
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
for j=1:3*NP
suma(m)=suma(m)+((VV(m,i)*VV(m,j))/(1+((p(i,j))^2)));
end
end
suma(m)=sqrt(suma(m));
end
Corte = suma';
%Normas Estructurales de Diseño y Construcción de Guatemala 1996
elseif cm==9
for i=1:3*NP
RRR(i)=0; RR(i)=0;
for j=1:3*NP
RRR(i)=RRR(i)+abs(VV(i,j));
RR(i)=RR(i)+VV(i,j)*VV(i,j);
end
Corte(i)=0.5*(RRR(i)+sqrt(RR(i)));
end;
Corte=Corte'
end
%-------------------------------------------------------------------------%Calculo de las Fuerzas Laterales en centro de masas sin torsion accidental
%-------------------------------------------------------------------------for i=1:NP
j=NP+1-i;
if j==NP
F(j)=Corte(j);F(j+NP)=Corte(j+NP);F(j+2*NP)=0;
else
F(j)=Corte(j)-Corte(j+1);
F(j+NP)=Corte(j+NP)-Corte(j+NP+1);
F(j+2*NP)=0;
end
end
F=F';
disp ('FUERZAS LATERALES EN CENTRO DE MASAS, SIN TORSION ACCIDENTAL');
if isismo==1
FSTL=F(1:NP);
elseif isismo==2
TV1=NP+1;
TV2=TV1+NP-1;
FSTL=F(TV1:TV2);
end
disp(FSTL)
%----------------------------------------------% Calculo de factor Ax
%----------------------------------------------%----------------------------------------------%Calculo de la torsion accidental primera etapa
%----------------------------------------------for k=1:NP
Ax(k)=1;
end
Ax=Ax';
%----------------------------------------------%Calculo de las interaciones 101
%-----------------------------------------------
309
310
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
for jjj=1:101
if isismo==1
for i=1:NP;
Fx(i)=0;
Ft(i)=F(i);
end;
Ft=Ft';
for i=1:NP
Momtor(i)=0.05*Ax(i,1)*disty(i)*Ft(i);
end
Q=[Fx'; Fx'; Momtor'];
else
for i=1:NP;
Fy(i)=0;
Ft(i)=F(i+NP);
end;
Ft=Ft';
for i=1:NP
Momtor(i)=0.05*Ax(i,1)*distx(i)*Ft(i);
end
Q=[Fy'; Fy'; Momtor'];
end
q=KE\Q;
for i=1:NP;
FTx(i)=0;
FTy(i)=0;
MTxy(i)=0;
end;
FTx=FTx';
FTy=FTy';
MTxy=MTxy';
DESP=zeros(NP,ntot);
for i=1:ntot
ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;a=A(ji:jf,1:3*NP);p=a*q;
for k=1:NP
DESP(k,i)=abs(p(k));
end
end
if isismo==1
for i=1:NP
FTy(i)=0;
end
else
for i=1:NP
FTx(i)=0;
end
end
for i=1:NP
for j=1:ntot
DESP1(j,1)=DESP(i,j);
end
if isismo==1
DESP2(i,1)=(DESP1(1,1)+DESP1(nx,1))/2;
DESP3(i,1)=max(DESP1);
elseif isismo==2
DESP2(i,1)=(DESP1((nx+1),1)+DESP1(ntot,1))/2;
DESP3(i,1)=max(DESP1);
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
end
Ax(i,1)=(DESP3(i,1)/(1.2*DESP2(i,1)))^2;
end
Ax=Ax;
end
%----------------------------------------------%Fin de las interaciones 101
%----------------------------------------------for i=1:NP
if Ax(i,1)<=1
Ax(i,1)=1;
elseif Ax(i,1)>=3
Ax(i,1)=3;
else
Ax(i,1)=Ax(i,1);
end
end
Ax=Ax';
%----------------------------------------------%Calculo de la torsion accidental segunda etapa
%----------------------------------------------if isismo==1
for i=1:NP;
Fx(i)=0;
Ft(i)=F(i);
end;
Ft=Ft';
Momtor=0.05*Ax(i)*disty(i)*Ft;Q=[Fx'; Fx'; Momtor'];
else
for i=1:NP;
Fy(i)=0;
Ft(i)=F(i+NP);
end;
Ft=Ft';
Momtor=0.05*Ax(i)*distx(i)*Ft;Q=[Fy'; Fy'; Momtor'];
end
q=KE\Q;
for i=1:NP;
FTx(i)=0;
FTy(i)=0;
MTxy(i)=0;
end;
for i=1:ntot
ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;a=A(ji:jf,1:3*NP);p=a*q;
Klateral=KL(ji:jf,1:NP);FT=abs(Klateral*p);
if i<=nx
FTx=FTx+FT;
else
FTy=FTy+FT;
end
end
if isismo==1
for i=1:NP
FTy(i)=0;
end
else
for i=1:NP
311
312
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
FTx(i)=0;
end
end
FTOR=[FTx;FTy;MTxy];
F=F+FTOR;
disp('FUERZAS LATERALES EN CENTRO DE MASAS, CON TORSION ACCIDENTAL');
FCTL=F(1:NP);
if isismo==1
FCTL=F(1:NP);
elseif isismo==2
TV1=NP+1;
TV2=TV1+NP-1;
FCTL=F(TV1:TV2);
end
disp(FCTL)
%--------------------------------%Control del Cortante Basal Minimo
%--------------------------------V=0;
if isismo==1
for i=1:NP
V=V+F(i);
end
else
for i=1:NP
V=V+F(i+NP);
end
end
if Vmin > V;
factor1=Vmin/V;
F=factor1*F;
end
%-------------------------------------------------------------%Control de la derivas de la estructura en centro de masas
%Matriz de rigidez lateral de los porticos con inercias gruesas
%-------------------------------------------------------------KxxG=zeros(NP,NP);KyyG=zeros(NP,NP);KtetaG=zeros(NP,NP);
KxtG=zeros(NP,NP);KytG=zeros(NP,NP);cero=zeros(NP,NP);
for i=1:ntot
for k=1:NP
rtet(k,k)=r(i,k);
end
rteta=rtet*rtet;
ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;
if i<=nx
KxxG=KxxG+KLG(ji:jf,1:NP);KxtG=KxtG+KLG(ji:jf,1:NP)*rtet;
KtetaG=KtetaG+KLG(ji:jf,1:NP)*rteta;
else
KyyG=KyyG+KLG(ji:jf,1:NP);KytG=KytG+KLG(ji:jf,1:NP)*rtet;
KtetaG=KtetaG+KLG(ji:jf,1:NP)*rteta;
end
end
%-------------------------------------------------------------%Matriz de rigidez espacial con 3 grados de libertad por planta
%--------------------------------------------------------------
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
KEG=[KxxG cero KxtG;cero KyyG KytG;KxtG KytG KtetaG];
q=KEG\F;
qine=R*q;
disp('DESPLAZAMIENTOS LATERALES INELASTICOS EN CENTRO DE MASAS');
if isismo==1
qine=qine(1:NP);
elseif isismo==2
TV1=NP+1;
TV2=TV1+NP-1;
qine=qine(TV1:TV2);
end
disp(qine)
%----------------------------------------------------%Calculo de la derivas de los pisos en centro de masas
%----------------------------------------------------for i=1:NP
j=NP+1-i;
if j==1
if isismo==1
drift(j)=qine(j)/alt(j);
else
drift(j)=qine(j)/alt(j);
%drift(j)=qine(j+np)/alt(j);
end
else
if isismo==1
drift(j)=(qine(j)-qine(j-1))/alt(j);
else
drift(j)=(qine(j)-qine(j-1))/alt(j);
%drift(j)=(qine(j+np)-qine(j+np-1))/alt(j);
end
end
end
disp('DERIVAS DE PISO EVALUADAS EN CENTRO DE MASAS');
deriva = drift';
deriva=deriva(1:NP);
disp(deriva)
driftmaximo=max(drift);
disp('DERIVA MAXIMA DE PISO');
disp(driftmaximo)
if driftmaximo>=0.015
disp('NO PASA LA DERIVA DE PISO, MAYOR A 1.5% (REFORZAR ESTRUCTURA)');
end
%-------------------------%Control de efecto P-Delta
%-------------------------for i=1:NP
j=NP-i+1;
if j==NP
Peso(j)=masa(j,j)*9.8;
if isismo==1
Corte(j)=F(j);
else
Corte(j)=F(j+NP);
end
else
Peso(j)=masa(j,j)*9.8+Peso(j+1);
313
314
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
if isismo==1
Corte(j)=F(j)+F(j+1);
else
Corte(j)=F(j+NP)+F(j+NP+1);
end
end
theta(j)=(Peso(j)/Corte(j))*(drift(j)/R);
if theta(j)>=0.30
fprintf ('\n Estructura debe ser reforzada');
elseif theta(j)>=0.10 & theta(j)<0.30
fpd(j)=1/(1-theta(j));
else
fpd(j)=1;
end
end
theta;
theta = theta';
fprintf ('\n ');
disp(' INDICE DE ESTABILIDAD DE PISO')
theta=theta(1:NP);
disp(theta)
%----------------------------------------------------------------%Fuerzas laterales finales en centro de masas luego de controles
%----------------------------------------------------------------F=max(fpd)*F;
disp('FUERZAS LATERALES FINALES EN CENTRO DE MASAS,
CONTROLES');
FF=F;
if isismo==1
FF=FF(1:NP);
elseif isismo==2
TV1=NP+1;
TV2=TV1+NP-1;
FF=FF(TV1:TV2);
end
disp(FF)
LUEGO
DE
V=sum(FF);
disp('CORTANTE BASAL');
disp(V)
%-----------------------------------------------------------------------% fuerzas laterales en los Porticos
%-----------------------------------------------------------------------for i=1:ntot
ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;
a=A(ji:jf,1:3*NP); p=a*q;Klateral=KLG(ji:jf,1:NP);
FT=Klateral*p;
fprintf ('\n FUERZA LATERAL EN PORTICO :')
disp(i)
disp(FT)
end
% fin
Después en el transcurso del programa, por pantalla el programa solicita información
adicional como la zona sísmica en la cual está la estructura, el tipo de suelo, el factor de
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
315
importancia, el factor de amortiguamiento de la goma, el factor de irregularidad en planta y en
elevación y el criterio de combinación modal.
El programa reporta los desplazamientos, fuerzas, derivas, índice de estabilidad de
piso en el centro de masas. También las fuerzas laterales en cada pórtico pero el usuario con
la omisión del punto y coma puede solicitar la información que desee. La variable seda que se
encuentra en la instrucción.
10.10 MÉTODO ESTÁTICO
El Método de Superposición Modal, descrito en el apartado anterior para el análisis
sísmico de estructuras con disipadores de energía demanda cierto tiempo en encontrar las
matrices de rigidez lateral de la estructura sin disipadores, de la estructura con disipadores, de
la estructura con inercias agrietadas y con inercias gruesas. Para evitar esto se tiene método
estático que es aproximado pero puede utilizarse a nivel de prediseño.
10.10.1 Período Fundamental
Se encontró el período de vibración en 108 edificios de 1 a 6 pisos, con disipadores de
energía visco elásticos del tipo que se ha venido estudiando en este capítulo. Para el efecto se
halló la matriz de rigidez con inercias agrietadas y la matriz de masas, en coordenadas de piso;
luego se hallo el período fundamental mediante la solución del problema de valores y vectores
propios. García (2008)
Figura 10.14 Períodos de vibración encontrados en el estudio.
Los resultados obtenidos en el estudio se indican en la figura 10.14. Con estos valores
se encontró la ecuación de mejor ajuste que es la siguiente.
T = 0.0865 H 0.6993
( 10.11 )
Donde H es la altura total del edificio en metros y T el período fundamental de la
estructura con disipadores de energía visco elásticos.
316
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
En la figura 10.15 se presenta la ecuación que el CEC-2000 recomienda para hallar el
período fundamental en estructuras conformadas por vigas y columnas sin disipadores de
energía, esta es T = 0.0731 H 0.75 ha sido identificada como (1). Con el número (2) se identifica
a la ecuación ( 10.10 ) que es la propuesta del estudio y con ( 3) a la ecuación del CEC-2000
multiplicada por 1.3, la razón está indicada en el capítulo 4. El factor 1.3 también es
recomendado por el CEC-2000 para tener una ecuación más exacta. Lo importante es notar
que la ecuación propuesta para hallar el período fundamental en estructuras con disipadores
visco elásticos se aproxima bastante bien a la ecuación del CEC-2000 sin el factor 1.3.
Figura 10.15 Comparación de períodos con propuesta.
10.10.2 Descripción del Método Estático Propuesto
Para estructuras con disipadores de energía visco elásticos de goma, como el
estudiado en el presente capítulo se propone el siguiente procedimiento de análisis para
hallar las fuerzas estáticas en el Centro de Masa debido a una acción sísmica definida por un
espectro de diseño.
i.
Se halla el período fundamental de la estructura con disipadores de energía, mediante
la ecuación (10.11).
ii.
Se determina el amortiguamiento equivalente de la estructura con disipadores de
energía visco elásticos. Para el efecto se repite la ecuación (10.7)
⎛
⎞
wj ⎟
ζ j = β j ∩ + ⎜1 − 2 ⎟
∩
2⎜
⎟
wj
wj ⎠
⎝
__
wj
η⎜
__ 2
Se trabaja solo con el primer modo de vibración, razón por la cual se omitirá el índice
j . Se denomina rw a la relación de la frecuencia natural de vibración de la estructura
sin disipadores con respecto a la frecuencia natural de vibración de la estructura con
disipadores visco elástico. De tal manera que:
ζ = β rw +
(1 − r )
2
η
2
w
( 10.12 )
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
317
Siendo β el factor de amortiguamiento de la estructura (de las vigas y columnas); η
es el factor de pérdida de la goma.
En base a lo expuesto en el capítulo 2 y a la ecuación (10.11) se tiene:
rw =
wj
wˆ j
=
2π
(
)
1.3 ∗ 0.0731H 0.75
= 0.91024 H −0.0507
2π
( 10.13 )
0.0865H 0.6993
iii.
Se halla f a con la ecuación (10.9). f a es el factor por el cual se deben multiplicar las
ordenadas del espectro para un 5% de amortiguamiento.
iv.
Se determina el coeficiente C con la siguiente expresión que fue indicada en el
capítulo 4.
⎛ 1.25 S S
C =⎜
⎜ T
⎝
⎞
⎟ fa ≤ β
⎟
⎠
( 10.14 )
Donde S es el factor de amplificación por efecto del tipo de suelo; T es el período
fundamental; β es un factor que depende del tipo de suelo al igual que S .
v.
Se encuentra el cortante basal V 0
V0 =
ZIC
W
R φ p φe
( 10.15 )
Donde Z es el factor de zonificación sísmica, I es el coeficiente de importancia, C es
el coeficiente definido en (10.14), R es el factor de reducción de las fuerzas sísmicas
que están indicados en el capítulo 2, φ p , φ e factores que toman en cuenta las
irregularidades en planta y elevación. W es el peso total reactivo. Los valores de
Z , S , β fueron indicados en el capítulo 2.
vi.
Se hallan las fuerzas estáticas en cada piso.
Fi =
(V0 − Ft ) wi hi
n
∑w
i
( 10.16 )
hi
i =1
Ft = 0.07 V0 T
( 10.17 )
Donde Ft es la fuerza en el último piso; wi es el peso reactivo del piso i, hi es la
altura desde la base hasta el piso i.
vii.
Las fuerzas laterales obtenidas se incrementan en un 10% por efecto de la
torsión accidental.
318
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
viii.
Se efectúa el control de la deriva de piso inelástica γ , en la forma indicada en
capítulos anteriores para verificar que γ sea menor al 1.5%. Para esto se necesita la
matriz de rigidez de lateral de los pórticos con inercias gruesas.
ix.
Se efectúa el control del efecto P − ∆ en la forma indicada en los capítulos anteriores.
10.10.3 Programa VISCOELASTICOESTATICO
El programa VISCOELASTICOESTATICO efectúa el análisis sísmico en estructuras
regulares en planta y elevación con disipadores de energía visco elásticos de goma,
siguiendo los lineamientos descritos en el apartado anterior y considerando los factores de
reducción de las fuerzas sísmicas indicados en el capítulo 2. La forma de uso del programa es
la siguiente:
>> [V]=viscoelasticoestatico(ejes,altura,Peso,KL)
•
•
ejes
altura
•
•
Peso
KL
es el número de ejes de la estructura en la dirección del análisis sísmico.
es el nombre de un vector que contiene la altura de cada piso, medida desde
la base hasta el piso.
vector que contiene los pesos totales de cada piso, debidos a carga muerta.
Matriz que contiene a las matrices de rigidez lateral de los pórticos con inercias
gruesas. Pero solo en el sentido de análisis.
function [V]=viscoelasticoestatico(iejes,alt,peso,KL)
%
% Analisis Estatico de acuerdo al CEC-2000 de edificios aporticados regulares
%
% Factor de reduccion de las fuerzas sismicas de acuerdo a Proyecto de
% Investigacion desarrollado en CEINCI-ESPE 2005-2007.
% Periodo de vibracion de estructuras con disipadores de energia el
% obtenido por Aguiar y Garcia (2008)
%
% Se mayoran las fuerzas sismicas por torsion accidental en 10%.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%
Marzo de 2008
%----------------------------------------------------------------------% [V]=analisisestaticonew(iejes,alt,peso,KL)
%----------------------------------------------------------------------% R Factor de reduccion de las fuerzas sismicas
% H Altura total de edificio
Z Factor de Zona
% iejes # de ejes de columnas en direccion de analisis sismico
% alt Vector que contine las alturas a cada piso medido desde el suelo.
% peso Vector que contiene los pesos reactivos de cada piso.
% PESO Peso total Reactivo.
V Cortante Basal
% gama Deriva maxima de piso que el programa calcula.
% KL Matriz que contiene la matriz de rigidez lateral de cada portico
%
en la direccion del analisis sismico con inercias gruesas es para
%
deriva de piso.
%
NP=length(alt); PESO=0;for i=1:NP; PESO=PESO+peso(i);end; H=alt(NP);
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
fprintf ('\n Codigos para zonas sismicas: 0.15g=1 0.25g=2 0.30g=3 04g=4');
ic=input ('\n Ingrese el codigo de la zona sismica :');
if ic==1; Z=0.15;elseif ic==2; Z=0.25;elseif ic==3;Z=0.30;else;Z=0.40;end
fprintf ('\n Codigos para perfiles de suelo: S1=1 S2=2 S3=3 S4=4');
is=input('\n Indique el codigo del tipo de suelo :');
if is==1
T1=0.50;T2=2.50;beta=2.5;S=1;R=6.0;
elseif is==2
T1=0.52;T2=3.11;beta=3.0;S=1.2;R=6.0;
elseif is==3
T1=0.82;T2=4.59;beta=2.8;S=1.5;R=6.0;
else
T1=2.0;T2=10;beta=2.5;S=2;R=5.0;
end
I=input('\n Indique el factor de importancia :');
% Periodo fundamental,
T=0.0865*H^(0.6993);
rp=input('Estructura es regular en planta; si(s) o no(n):','s');
if rp=='s';fip=1;else;fip=0.8;end
re=input('Estructura es regular en elevacion; si(s) o no(n):','s');
if rp=='s';fie=1;else;fie=0.8;end
rw=0.91024*H^(-0.0507)
eta=input ('Factor de perdida de la goma :');
bbeta=input ('Amortiguamiento de la estructura sin disipadores :');
% amortiguamiento equivalente de la estructura con disipadores
seda=bbeta*rw+(eta/2)*(1-rw*rw);
% factor fa para reducir el espectro por el amortiguamiento
BO=2*((1+seda)/(1+(14.68*seda^0.865)));
%Coeficiente C
C=(1.25*S^S)/T;
if C >=beta;C=beta;end
if C <= 0.5;C=0.5;end
C=C*BO;
% Cortante Basal
V=(Z*I*C*PESO)/(R*fip*fie);
% Fuerzas horizontales en cada piso
if T <= 0.7;Ft=0;else;Ft=0.07*T*V;end
Ftmax=0.25*V;sum=0;
if Ft >= Ftmax;Ft=Ftmax;end
for i=1:NP;sum=sum+peso(i)*alt(i);end
for i=1:NP
if i==NP
F(i)=(((V-Ft)*peso(i)*alt(i)/sum)+Ft);
else
F(i)=((V-Ft)*peso(i)*alt(i)/sum);
end
end
% Calculo de la deriva de piso.
Kxx=zeros(NP,NP); % Determinacion de matriz de rigidez espacial
for i=1:iejes
ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;
Kxx=Kxx+KL(ji:jf,1:NP);
end
F=F';
q=Kxx\F;
qine=R*q; % Desplazamientos elasticos e inelastico
for i=1:NP
319
320
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
j=NP+1-i;
if j==1
drift(j)=qine(j)/alt(j);
else
drift(j)=(qine(j)-qine(j-1))/(alt(j)-alt(j-1));
end
end
gama=0;
for i=1:NP;
if gama>=drift(i);
continue
else
gama=drift(i);
end
end
gama=gama*100;
end
%-------------------------%Control de efecto P-Delta
%-------------------------for i=1:NP
j=NP-i+1;
if j==NP
Corte(j)=F(j);
else
peso(j)=peso(j)+peso(j+1);
Corte(j)=F(j)+F(j+1);
end
theta(j)=(peso(j)/Corte(j))*(drift(j)/R);
if theta(j)>=0.30
fprintf ('\n Estructura debe ser reforzada');
elseif theta(j)>=0.10 & theta(j)<0.30
fpd(j)=1/(1-theta(j));
else
fpd(j)=1;
end
end
FPD=max(fpd);
fprintf ('\n Valor de reduccion de las fuerzas sismicas R'); R
fprintf('\n Fuerzas laterales en cada piso sin torsion accidental'); F
fprintf ('\n Cortante Basal '); V
fprintf ('\n Desplazamiento Inelastico'); qine
fprintf ('\n Deriva de piso'); drift
fprintf ('\n Deriva maxima de piso en porcentaje'); gama
if gama >= 1.5
fprintf ('\n Deriva de piso mayor a 1.5% repita el analisis sismico')
end
fprintf ('\n Indice de estabilidad de piso'); theta
% Mayoracion de las fuerzas laterales por torsion accidental
F=1.1*F;
fprintf('\n Fuerzas laterales en cada piso con torsion accidental'); F
F=FPD*F;
fprintf ('\n Fuerzas finales en centro de masa');F
%---fin
•
EJEMPLO 4
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
321
Realizar el análisis sísmico de la estructura del ejemplo 3, empleando el Método
Estático, con el programa VISCOELASTICOESTATICO.
•
SOLUCIÓN
Las matrices de rigidez lateral, con inercias gruesas, del pórtico con disipador de
energía y del pórtico sin disipador son las siguientes:
⎡ 8588.9
K L = ⎢⎢− 3631.5
⎢⎣ 270.0
⎡ 6947.2
K L = ⎢⎢− 2810.7
⎢⎣ 270.0
6283.1
− 3106.7
⎤
⎥=K
LD1
⎥
2868.0⎥⎦
4641.4
− 2285.8
⎤
⎥=K
L2
⎥
2047.1⎥⎦
>> KL = [ K LD1 ; K L 2 ; K L 2 ; K L 2 ; K LD1 ]
>> Peso = [86.4; 86.4; 86.4]
>> altura = [3.0; 6.0; 9.0]
>> [V]=viscoelasticoestatico(5,altura,Peso,KL)
El programa reporta los resultados indicados en la tabla 10.4
Piso
1
2
3
Tabla 10.4 Respuestas máximas en el Centro de Masas con Método Estático
Desplazamientos
Fuerzas
Fuerzas
Fuerzas
γi
θi
Inelásticos
Finales
sin Torsión con Torsión
(m.)
(T.)
(T.)
(T.)
8.5863
9.445
0.0139
0.0046
0.0094
9.445
17.1727
18.890
0.0352
0.0071
0.0057
18.890
25.7590
28.3349
0.0480
0.0043
0.0029
28.3349
REFERENCIAS
1. Aguiar R., Torres M., Romo M., y Caiza P., (1998), El sismo de Bahía, Centro de
Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército, 125 p., Quito.
2. Aguiar R., y Jiménez M., (2007), “Estudio experimental de un disipador visco elástico
con goma de 6 milímetros”, XIX Jornadas Nacionales de Ingeniería Estructural.
Universidad Nacional del Chimborazo, 10 p., Riobamba.
3. Chang K., Soong T., Oh S., Lai M., (1992), “Effect of ambient temperature on
viscoelastically damped structure”, Journal of Structural Engineering, ASCE, 118 (7),
1955-1973.
322
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
4. Chang K., Soong T., Lai M., Nielsen E., (1993) “Development of a design procedure for
structures with added viscoelastic dampers”, Proc. ATC-17-1 Seminar on Seismic
Isolation, Passive Energy Dissipation and Active Control, A.T.C., Vol 2, 473-484,
Redwood City, California.
5. CEC-2000, “Código Ecuatoriano de la Construcción”, XIII Jornadas Nacionales de
Ingeniería Estructural. Pontificia Universidad Católica del Ecuador, 325-350, Quito.
6. García L., (2008), Comparación entre el Método Estático y el Método Dinámico de
estructuras con disipadores de energía visco elásticos, Tesis de Maestría en Ciencias.
Universidad Técnica de Manabí, Portoviejo.
7. Inaudi J., Zambrano A., and Kelly J., (1993), On the analysis of structures with
viscoelastic dampers, Earthquake Engineering Research Center. UBC/EERC-93/06,
119 p.
8. Norma E.030, (2003), Reglamento Nacional de Construcciones. Norma Técnica de
Edificaciones. Diseño Sismo resistente, Servicio Nacional de Normalización,
Capacitación e Investigación para la Industria de la Construcción. SENCICO, 36 p.,
Quito.
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
1a EDICIÓN
Dr. Ing. Roberto Aguiar Falconí
Director del Centro de Investigaciones Científicas
Escuela Politécnica del Ejército
Quito - Ecuador
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS, PRIMERA EDICIÓN
Copyright ® 2008 El autor
Edita: Centro de Investigaciones Científicas.
Escuela Politécnica del Ejército.
Av. Gral Rumiñahui s/n
Valle de los Chillos, Ecuador
Registro de Autor: 018400
ISBN-13: ISBN-978-9978-30-104-3
Abril de 2008
A la memoria de mi querido hermano
Humberto Aguiar Falconí
PRESENTACIÓN
El 4 de agosto de 1998 un sismo de magnitud M S = 7.1 , registrado frente a las costas
de Bahía de Caráquez y con una profundidad focal de 37 km., causó el colapso del edificio
Calipso de 6 pisos y dejó tres edificios más muy cerca del fallo, que posterior al sismo fueron
derrocados por sus propietarios, estos son: edificio Karina de 4 pisos; edificio los Corales de 5
pisos y el edificio del Cuerpo de Bomberos. Los tres primeros edificios fueron construidos,
máximo 10 años antes del sismo, de tal manera que se trataba de estructuras modernas y que
fueron diseñadas de acuerdo a las normativas sísmicas vigentes en los años noventa del siglo
pasado.
Otros edificios, como el Hospital Miguel H. Alcívar, el Hotel Italia, el edificio Mendoza,
donde funcionaba una extensión de la Universidad Eloy Alfaro de Manta, tuvieron gran daño.
Diez años después se aprecia que los dos primeros edificios han sido reforzados no así el
tercero que está en venta.
Lo cierto es que el sismo del 4 de agosto de 1998, puso en evidencia la necesidad de
seguir estudiando e investigando sobre como tener estructuras más seguras en el Ecuador,
ante la acción de los terremotos, ya que los edificios modernos de hormigón armado de Bahía
de Caráquez, en forma general no tuvieron un desempeño satisfactorio. El sismo de diseño,
prescrito en el Código Ecuatoriano de la Construcción es más fuerte que el sismo del 4 de
agosto de 1998 y ante el sismo de diseño del Código no puede colapsar ninguna estructura, se
admite daño estructural pero no colapso.
Esta introducción es necesario realizarla ya que este libro se publica a los 10 años
del sismo y quien escribe este texto todavía tiene presente las pérdidas dejadas en la
hermosa ciudad de Bahía de Caráquez y desea que esto no vuelva a suceder. Para ello se
ha escrito esta obra que trata sobre el análisis sísmico de estructuras y para facilitar su
aprendizaje, en cada capítulo se incorporan dos o tres programas de computación en MATLAB
con dos objetivos que son: el primero, que el lector pueda seguir con detalle el proceso de
cálculo y el segundo, que tenga una herramienta que le facilite el trabajo profesional.
En el 2005, los primeros capítulos de este libro, con sus respectivos programas fueron
entregados por el autor a sus estudiantes y paralelamente se estaba realizando el proyecto de
investigación denominado: “Factor de reducción de las fuerzas sísmicas en edificios de
hormigón armado”, los resultados que se obtenían en el proyecto se fueron incorporando al
libro y a los programas, es así como en las primeras versiones de los programas se utilizaba la
propuesta realizada por Aguiar y González para el cálculo del factor de reducción de las
fuerzas sísmicas por ductilidad, conforme la investigación avanzaba y se obtenían mejores
resultados se fueron presentando nuevas versiones de los programas. Por este motivo es que
varios programas terminan con la palabra new.
Al igual que todos mis libros, existe un componente de investigación, el mismo que ha
sido desarrollado por los estudiantes a quienes he dirigido su tesis de grado ya sea a nivel de
pregrado o de post grado. Para el proyecto: “Factor de reducción de las fuerzas sísmicas en
edificios de hormigón armado”, se realizaron 8 tesis de grado, las mismas que están indicadas
en el respectivo libro publicado en el 2007. A más de esos trabajos, para el presente libro fue
muy importante el aporte que se obtuvo con el desarrollo de las siguientes tesis.
•
Campos P., (2006), Análisis del Método de Superposición Modal, Tesis para obtener el
título de Ingeniero Civil. Escuela Politécnica del Ejército.
•
Jiménez M., (2007), Análisis experimental de un disipador de energía visco elástico.
Tesis para obtener el título de Ingeniero Civil. Escuela Politécnica del Ejército.
•
Zevallos M., (2008), Software para el análisis sísmico de estructuras con disipadores
visco elásticos, utilizando espectro o acelerograma, Tesis para obtener el título de
Master en Ciencias. Universidad Técnica de Manabí.
•
Hinostroza M., (2008), Análisis sísmico de estructuras con disipadores visco elásticos.
Tesis para obtener el título de Master en Ciencias. Universidad Técnica de Manabí.
•
Cevallos J., (2008), Análisis sísmico de estructuras con aisladores de base
elastoméricos. Tesis para obtener el título de Master en Ciencias. Universidad Técnica
de Manabí.
•
Cevallos L., (2008), Comparación entre el análisis estático y dinámico de estructuras
con disipadores de energía visco elásticos. Tesis para obtener el título de Master en
Ciencias. Universidad Técnica de Manabí.
•
Carrillo C., (2008), Comparación de la respuesta sísmica incorporando y desacoplando
la mampostería y técnicas de reforzamiento, Tesis para obtener el título de Ingeniero
Civil. Escuela Politécnica del Ejército.
A los diez años del sismo de Bahía de Caráquez de 1998, se está construyendo el
puente sobre el estuario del río Chone que une las ciudades de Bahía de Caráquez con San
Vicente, puente de 1980 m., de longitud, con aisladores de base. De tal manera que ya se
inicia en el Ecuador la construcción de estructuras con sistemas de control, por este motivo es
que los dos últimos capítulos del libro están dedicados al análisis sísmico de estructuras con
aisladores de base elastoméricos y con disipadores de energía visco elásticos,
respectivamente.
En el tema de aisladores de base elastoméricos, el autor del libro, viene trabajando
desde el 2006 en esta temática con el Profesor Peter Dechent de la Universidad de
Concepción de Chile y con el Profesor José Luis Almazán de la Pontificia Universidad Católica
de Santiago de Chile desde el 2007, de tal manera que lo que se expone en dicho capítulo
tiene como referencias a contribuciones científicas realizadas en Chile. De igual forma, en
disipadores de energía visco elásticos, el autor ha trabajado con la Profesora María Ofelia
Moroni, de la Universidad Nacional de Chile.
No podría terminar la presentación del libro, sin mencionar la valiosa información sobre
la determinación de los centros de rigidez, de cortante y de torsión, suministrada por el
Profesor Francisco Crisafulli, de la Universidad Nacional del Cuyo, Argentina, al igual que la
que consta en su tesis doctoral sobre mampostería, que ha sido muy útil para la redacción del
capítulo en que se incorpora la mampostería al análisis sísmico.
La información científica que aparece día a día es tan grande, que hace difícil saber
cuando se termina de escribir un libro pero uno tiene que saber decir, hasta aquí va el libro a
sabiendas que se quedan importantes temas sin ser tratados. Esto lo he vivido algunas veces y
me queda el compromiso de que en un futuro libro, tratar con detenimiento los temas de:
simultaneidad de las acciones sísmicas, de la determinación del centro de resistencia, del
análisis sísmico de estructuras con piso flexible, entre otros.
Por último pero en primer lugar, mi agradecimiento a Dios por que constantemente
siento su presencia y su misericordia, sin su ayuda se que no podría pasar de la primera línea
pero con su ayuda todo se puede. De igual manera a las autoridades de la ESPE y en especial
al Crnl. de E.M.C. Carlos Rodríguez Arrieta, Vicerrector Académico, por el estímulo y apoyo
permanente que recibo. Finalmente, a mi querida y adorada familia por permitirme aportar al
desarrollo de la Ingeniería Estructural, con este nuevo libro.
Dr. Ing. Roberto Aguiar Falconí
Director del Centro de Investigaciones Científicas
Escuela Politécnica del Ejército
1 de Abril de 2008
i
ÍNDICE GENERAL
1
PELIGROSIDAD SÍSMICA
RESUMEN ……………………………………………………………………………....…...... 1
1.1 ORIGEN DE LOS SISMOS …………………………………….....………………….... 1
1.1.1
Deriva Continental………………………………………………………….. 2
1.1.2
Composición de la Tierra …………………………………………………. 3
1.1.3
Placas Tectónicas …………………………………………………………. 4
1.1.4
Cinturón Circunpacífico ……………………………………………………. 5
1.2 SISMICIDAD DEL ECUADOR ……………………………………………………….… 6
1.3 PELIGROSIDAD SÍSMICA ……………………………………………………………. 7
1.3.1
Etapas de cálculo …………………………………………………………. 9
1.3.2
Relación de recurrencia ………………………………………………….. 10
1.3.3
Magnitud Máxima …………………………………………………………. 12
1.3.4
Leyes de atenuación ……………………………………………………
1.3.5
Metodología de evaluación ……………………………………………... 15
14
1.4 ZONIFICACIÓN SÍSMICA DEL CEC-2000 …………………………………………. 17
1.5 FILOSOFÍA DE DISEÑO TRADICIONAL …………………………………...…….… 19
1.6 SISMOS DE ANÁLISIS DE ACUERDO A VISION 2000………..………………….. 20
1.7 ACTIVIDAD DEL VOLCÁN TUNGURAHUA …………..………………………….…. 22
REFERENCIAS ……………………………………………………………………………….22
2
ESPECTROS DE DISEÑO Y FACTOR DE REDUCCIÓN DE LAS
FUERZAS SÍSMICAS
RESUMEN …………………………………………………………………………......…..... 25
ii
2.1 INTRODUCCIÓN …………………………………...………………………………….. 26
2.1.1
Espectros de respuesta ………………………………………………… 26
2.1.2
Espectros de diseño …………………………………………………….. 28
2.2 ESPECTRO ELÁSTICO DEL CEC-2000 ……………….............………………….. 29
2.3 ESPECTROS POR DESEMPEÑO …………………………………………………... 31
2.4 ESPECTRO INELÁSTICO ……..………………………………………………….….. 33
2.5 IRREGULARIDADES EN PLANTA ………………………………..…………………. 34
2.6 IRREGULARIDADES EN ELEVACIÓN ……………………………..………………. 37
2.7 FACTOR R EN VARIOS PAÍSES LATINOAMERICANOS……………………..… 40
2.7.1 Factor R del Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000 …… 41
2.7.2 Factor R de la Norma de Colombia NSR-98 ………………………….. 42
2.7.3 Factor R de la Norma Venezolana COVENIN 1756-98 ……………… 43
2.7.4 Factor R de la Norma de Chile Ch 433-96 …………………………….
43
2.7.5 Factor R de la Normad de Perú E.030 …………………………………
43
2.7.6 Comparación de los factores R …………………………………………
44
2.7.7 Necesidad de Investigación Local ……………………………………….
44
2.8 CUANTIFICACIÓN DEL FACTOR R ………………………………………………. 45
2.9 FACTOR DE REDUCCIÓN POR DUCTILIDAD R µ …………………………….. 46
2.9.1 Aguiar y Guerrero (2006) …………………………………………………. 47
2.9.2 Aguiar y González (2006) ………………………………………………… 48
2.9.3 Aguiar, Romo y Aragón (2007) …………………………………………… 49
2.10 FACTOR DE SOBRE RESISTENCIA RΩ …………………………………………. 52
2.10.1 Aguiar, Guadalupe y Mora (2007) ………………………………………. 53
2.10.2 Aguiar y Guaiña (2008) ………………………………………………….. 55
2.11 FACTOR DE REDUNDANCIA R R …………………………………………………. 56
2.11.1 Recomendación del ATC-19 (1995) ……………………………………. 57
2.11.2 Metodología de Tsopelas y Husain (2004) ……………………………. 57
2.11.3 Aguiar, Guaiña y Bernal (2008) ………………………………………… 59
2.12 PROPUESTA DEL FACTOR R …………………………………………………… 60
iii
REFERENCIAS ……………………………………………………………………………. 62
3
MATRIZ DE RIGIDEZ: LATERAL Y EN COORDENADAS DE PISO
RESUMEN …………………………………………………………………………......…..... 65
3.1 INTRODUCCIÓN ….………………………………...……………………………….... 66
3.2 RELACIÓN ENTRE COORDENADAS DE PISO Y DE PÓRTICO ……………..… 67
3.3 MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS DE PISO ……………………………. 70
3.4 MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL PARA PÓRTICOS SIN MUROS…………...…… 72
3.4.1 Matrices de rigidez de los elementos ………………………………..…
73
3.4.2 Ensamblaje de la matriz de rigidez ……………………………………..
74
3.4.3 Condensación Estática ……………………………………………………
76
3.5 PROGRAMA RLAXINFI …………………………………………………………..…… 77
3.6 MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL PARA PÓRTICOS CON MUROS .…………… 80
3.7 PROGRAMA RLAXINFIMURO……………………………………………………...... 83
3.8 INCORPORACIÓN DE LA MAMPOSTERÍA …………………………………...…… 88
3.8.1 Modelo de Holmes (1961) ……………………………………………….... 89
3.8.2 Modelo de Mainstone (1971) …………………………………………….. 90
3.8.3 Modelo de Bazán y Meli (1980) ………………………………………….. 90
3.8.4 Modelo de Hendry (1981) …………………………………………………. 91
3.8.5 Modelo de Liauw y Kwan (1984) …………………………………………. 91
3.8.6 Modelo de Decanini y Fantin (1986) ……………………………………… 91
3.8.7 Modelo de Paulay y Priestley (1992) …………………………………….. 92
3.8.8 Modelo de FEMA (1997) …………………………………………………… 93
3.8.9 Modelo de Crisafulli (1997) ………………………………………………….94
3.9 MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTO MAMPOSTERÍA ..................................... 95
3.10 PROGRAMA RLAXINFIMAMPOSTERIA ............................................................ 99
3.11 LECCIONES DEJADAS POR SIMO DE PERÚ DE 2007 ……………………….. 102
REFERENCIAS ………………………………………………………………………..…. 104
iv
4
MÉTODO ESTÁTICO Y TORSIÓN ESTÁTICA
RESUMEN …………………………………………………………………………......…....105
4.1 PERÍODO DE VIBRACIÓN EN ESTRUCTURAS SIN MUROS…………..............106
4.1.1
Trabajo de Goel y Chopra (1997) ………………………………………107
4.1.2
Trabajo de Aguiar et al (2006) …………………………………………..108
4.2 CORTANTE BASAL MÍNIMO………………………………………………………….110
4.3 MÉTODO ESTÁTICO …………………………………………………………………..112
4.4 PROGRAMA ANALISISESTATICONEW ……………………………………………112
4.4.1 Listado del programa ANALISISESTATICONEW ………………………116
4.4.2 Uso del programa ANALISISESTATICONEW…………………………...118
4.5 EXCENTRICIDAD ESTÁTICA ……………………………………………………….119
4.6 EXCENTRICIDAD DE DISEÑO ……………………………………………………….120
4.7 EXCENTRICIDAD ESTÁTICA EN ALGUNAS NORMATIVAS …………………….120
4.7.1 Normativas de Venezuela …………………………………………………121
4.7.2 Normativas Americanas ……………………………………………………123
4.7.3 Código Ecuatoriano de la Construcción ………………………………….124
4.8 ANÁLISIS CON DOS GDL POR PLANTA …………………………………………..124
4.9 PROGRAMA ANALISESTATICO2GDL………………………………………………130
4.9.1 Programa ANALISISESTATICO2GDL……………………………………131
4.10 SISMO DE CARIACO ………………………………………………………………..134
REFERENCIAS …………………………………………………………………………..….136
5
ANÁLISIS MODAL PLANO
RESUMEN …………………………………………………………………………......…....137
5.1 MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL …………………………………….........138
5.1.1 Desplazamientos máximos modales ……………………………………..139
5.1.2 Fuerzas máximas modales ………………………………………………..140
5.2 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO …………………………………………………... 141
v
5.3 CRITERIOS DE COMBINACIÓN MODAL………………….……………………….. 143
5.4 CONTROL DEL CORTANTE BASAL MÍNIMO…………………………………….. 152
5.5 CONTROL DE LA DERIVA DE LOS PÓRTICOS…..……………………………….153
5.6 CONTROL DEL EFECTO P − ∆ ……………………………………………………..155
5.7 PROGRAMA MODALPLANONEW …………………………………………………..156
REFERENCIAS …………………………………………………………………………..….163
6 ANÁLISIS SÍSMICO ESPACIAL POR EL
MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL
RESUMEN …………………………………………………………………………......…....165
6.1 INTRODUCCIÓN ...………………………………...………………………………......165
6.2 MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS DE PISO …………………………….166
6.3 MATRIZ DE MASAS …………………….……...…………………………………….. 167
6.4 PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS……………………………………………………..168
6.5 PROGRAMA MODALESPACIAL3GDLNEW………………………………………...179
6.6 EFECTO
p − ∆ ………………………………………………………………………….189
6.7 TORSIÓN ACCIDENTAL ………………………………………………………………192
REFERENCIAS …………………………………………………………………………..… 193
7
TORSIÓN EN EDIFICIOS
RESUMEN …………………………………………………………………………......…... 195
7.1 EDIFICIOS ABIERTOS …….………...………………………………........................195
7.2 CENTRO DE RIGIDEZ EN UNA ESTRUCTURA DE UN PISO…………………...197
7.3 MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS DE PISO …………………………… 199
7.4 ANÁLISIS SÍSMICO DE UNA ESTRUCTURA DE UN PISO …………………….. 204
7.5 ANÁLISIS SÍSMICO DE UNA ESTRUCTURA MONOSIMÉTRICA……………….208
vi
7.6 PROGRAMA BALANCETORSIONALSINAISLAMIENTO …………………………209
7.7 COMENTARIOS ………………………………………………………………………..213
REFERENCIAS …………………………………………………………………………….. 213
8 RESPUESTA EN EL TIEMPO Y CENTROS DE:
RIGIDEZ, CORTE Y DE GIRO
RESUMEN ……………………………………………………………………………………215
8.1 INTRODUCCIÓN ……………………………………………………………………….215
8.2 MATRICES DE RIGIDEZ, MASA Y AMORTIGUAMIENTO ……………………….217
8.3 RESPUESTA EN EL TIEMPO ………………………………………………………..220
8.4 PROGRAMABASERIGIDANEW………………………………………………………221
8.5 CENTRO DE RIGIDEZ EN RANGO ELÁSTICO ……………………………………235
8.5.1
Propuesta de Lin (1951) …………………………………………………235
8.5.2
Propuesta de Vásquez y Ridell (1984) …………………………………235
8.5.3
Propuesta de Cheung y Tso (1986) …………………………………….238
8.6 CENTRO DE GIRO …………………………………………………………………….239
8.7 CENTRO DE CORTE ………………………………………………………………….241
8.7.1
Rigidez “t” ………………………………………………………………….241
8.7.2
Rigidez de piso ……………………………………………………………242
8.7.3
Fórmulas de Wilbur ………………………………………………………242
8.7.4
Fórmulas de Rosenblueth y Esteva …………………………………… 244
REFERENCIAS ……………………………………………………………………………………….245
9 AISLADORES DE BASE ELASTO MÉRICOS
RESUMEN …………………………………………………………………………………...247
9.1 INTRODUCCIÓN ……………………………………………………………………….247
9.2 FUNDAMENTO GENERAL ……………………………………………………………251
vii
9.3 MARCO TEÓRICO ……………………………………………………………………..252
9.4 MÉTODO CUASI-ESTÁTICO …………………………………………………………254
9.4.1 Procedimiento de análisis ………………………………………………….254
9.4.2 Programa CUASIESTATICOAISLAMIENTO…………………………….260
9.5 MÉTODO MASAS CORREGIDAS ……………………………………………………266
9.5.1 Programa MASACORREGIDAAISLAMIENTO ………………………….267
9.6 MÉTODO DINÁMICO EXÁCTO ………………………………………………………272
REFERENCIAS ……………………………………………………………………………...278
10 DISIPADORES DE ENERGÍA VISCO ELÁSTICOS
RESUMEN …………………………………………………………………………………...279
10.1
INTRODUCCIÓN .………………………………………………………………….279
10.2
DISIPADOR VISCO ELÁSTICO ………………………………………………….280
10.3
VENTAJAS DE LOS DISIPADORES ……………………………………………281
10.4
ENSAYOS PRELIMINARES ……………………………………………………...282
10.5
RIGIDEZ EQUIVALENTE DEL DISIPADOR ……………………………………283
10.6
MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL …………………………………………………286
10.6.1 Programa RLVISCOELASTICONEW …………………………………..287
10.7
MÉTODO DE LA ENERGÍA MODAL DE DEFORMACIÓN …………………...293
10.8
ANÁLISIS MODAL ESPECTRAL ………………………………………………...296
10.9
PROGRAMA VISCOELASTICOESPECTRO……………………………………300
10.10
MÉTODO ESTÁTICO ……………………………………………………………..315
10.10.1 Período Fundamental …………………………………………………….315
10.10.2 Descripción del método estático propuesto ……………………………316
10.10.3 Programa VISCOELASTICOESTATICO ………………………………318
REFERENCIAS ……………………………………………………………………………...321
CAPÍTULO 1
PELIGROSIDAD SÍSMICA
RESUMEN
El Ecuador se halla ubicado en una de las zonas de mayor peligrosidad sísmica del
mundo, de tal forma que los proyectistas estructurales tienen que diseñar sus edificios
considerando que lo más importante es la acción sísmica. Es importante crear conciencia de
que los sismos no matan, lo que matan son las estructuras si es que no han sido
diseñadas en forma adecuada. Para tener una verdadera visión del problema se inicia el
capítulo estudiando el origen de los sismos, luego de ello se pasa a ver la sismicidad en el
Ecuador, luego se indica como se realizan los estudios de peligrosidad sísmica y se presenta el
mapa de zonificación del Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000.
Posteriormente se presenta en forma rápida la filosofía de diseño en la forma clásica y
en la nueva forma recomendada por el Comité VISION 2000, en la cual se necesita conocer
los sismos de diseño para cuatro eventos denominados: frecuente, ocasional, raro y muy raro.
Actualmente la mayor parte de las normativas sísmicas establecen un solo sismo de diseño y
es el correspondiente al sismo raro, de tal forma que si se desea realizar un análisis y diseño
sísmico por desempeño, de acuerdo a la nueva visión se debe empezar por definir la forma que
tienen estos cuatro sismos.
La forma de los sismos de análisis y de diseño se lo representa mediante espectros,
tema que es tratado en el próximo capítulo, donde se presenta una forma de hallar los
espectros para los sismos: frecuente, ocasional, raro y muy raro, a partir de los espectros
estipulados en las normativas sísmicas.
1.1 ORIGEN DE LOS SISMOS
Para entender el origen de los sismos, es necesario hablar sobre: deriva continental, la
composición de la tierra y placas tectónicas y las micro placas, temas que son abordados en el
2
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
presente apartado. Por otra parte, se indica los países cuya sismicidad está asociada al
Cinturón Circunpacífico o Cinturón de Fuego del Pacífico.
1.1.1
Deriva Continental
Hace muchos millones de años todos los continentes estaban unidos en una sola
masa, a la que se denominó Pangea, también llamada Pangaea. El único océano que le
rodeaba era el Panthalassa, como se aprecia en la figura 1.1.
Figura 1.1
Pangaea o Pangea y el océano de Panthalassa. Dietz y Holden (1970).
Esta masa empezó a moverse en forma lenta y se fue rompiendo. La primera rotura se
dio en el área de Groenlandia cuando se separa de Europa. Esta rotura originó dos continentes
denominados Laurasia y Gondwana (Canet y Barbat, 1988) como se ilustra en la figura 1.2.
Figura 1.2
Rotura de Pangaea y formación de Laurasia y Gondwana. Dietz y Holden (1970).
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
3
La rotura se da en los perfiles que tienen los continentes actualmente, los mismos que
se han desplazado y rotado, pero este movimiento continúa. Esta teoría fue formulada por
Alfred Wegener (1912), con el nombre de Teoría de la deriva de los continentes.
Numerosos son los estudios que se han realizado para confirmar la teoría de Wegener,
en las últimas décadas. Si se examina con detenimiento, el perfil del continente Americano con
el de África y Europa, y si imaginariamente lo unimos, como un rompecabezas, se observa que
existe una extraordinaria coincidencia, lo cual hace pensar que en un tiempo estuvieron unidos
y luego se separaron quedando a la deriva cada uno de ellos.
Por otra parte, en las costas del Océano Atlántico de América y África, se ha visto que
sus minerales son de la misma naturaleza, no existen regiones montañosas en estas regiones
y lo más sorprendente es que su flora y fauna es muy parecida. Por ejemplo, las lombrices,
caracoles y peces de aguas superficiales, viven en las costas de los dos continentes.
1.1.2 Composición de la Tierra
Es importante destacar que los continentes se han movido en forma muy lenta desde
tiempos muy remotos y que actualmente continúan moviéndose. Para entender esto, es
necesario analizar la composición de la tierra, la misma que tiene un radio que está alrededor
de los 6400 Km.
Figura 1.3
Modelo de las corrientes de convención. Rikitake (1976).
En el centro se tiene un núcleo interno que es sólido pero el material que lo recubre es
líquido y finalmente se tiene la corteza terrestre que es sólida, la misma que tiene un espesor
variable. Es importante destacar que la corteza terrestre se encuentra sobre un manto líquido y
que es más pequeña bajo el mar y más ancha bajo las montañas, todo ello con relación al
grosor de la corteza en el resto del mundo.
4
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Por otra parte, cuando se realizan excavaciones, estas no han llegado más allá de un
kilómetro y lo que se ha observado es que la temperatura y la presión aumentan a medida que
la profundidad crece.
El centro de la tierra está compuesto por materiales y minerales a muy altas
temperaturas, es una gran fuente de calor sobre la que se halla el manto líquido, cuyo material
está en continuo movimiento, el material de abajo, sube y el material de arriba baja, como lo
ilustra la figura 1.3 A esta hipótesis se denomina corriente de convección y es la causa para
que los continentes continúen moviéndose en diferentes direcciones.
Podríamos pensar como será el mundo después de cincuenta millones de años. Es
muy probable que algunos continentes se subdividan, que su posición no sea la que tienen
actualmente.
Figura 1.4
Principales placas tectónicas, en el mundo.
1.1.3 Placas Tectónicas
Debido a las corrientes de convección, los continentes continúan en movimiento. En el
siglo XIX ya se pensó que Groenlandia se movía, hipótesis que ha sido confirmada en el siglo
XX con estudios que demuestran que se separa de Europa.
Las corrientes de convección se producen en la parte superior del manto líquido, en
una capa denominada Astenósfera. En forma figurativa se puede decir que la corteza terrestre
flota sobre la Astenósfera.
El movimiento de la corteza no se da en forma uniforme, en el sentido de que todo se
mueve en la misma dirección y con la misma magnitud, no se presenta así. Existen regiones en
las cuales el movimiento es muy lento del orden de una centésima de milímetro al año y otras
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
5
en las cuales este movimiento es muy rápido con movimientos de más de 10 cm. al año. De
igual forma, existen zonas en las que segmentos de la corteza chocan entre si y otras en que
no existe este choque.
Las principales placas tectónicas, se indican en la figura 1.4 y son las placas de:
Nazca, Sudamérica, Cocos, Norteamericana, Caribe, Africana, Euroasiática, Antártica, Pacífico,
Filipinas, Arábica, Australiana y de la India. Estas placas a su vez contienen micro placas.
Estos movimientos llamados tectónicos son los responsables de la aparición de las
montañas, de los volcanes, de los sismos, de la formación de plegamientos y fallas geológicas
en la tierra.
Investigaciones desarrolladas entre los años 1950 y 1960, encontraron que en el lecho
de los mares, existen largas y espectaculares cadenas montañosas con una forma muy similar
a la columna dorsal de los reptiles, de ahí su nombre de dorsal marino. Por lo tanto, en la tierra
existen dos tipos de montañas, las que se hallan en los continentes y las que se encuentran en
los mares con características diferentes.
Al chocar dos placas, una de las dos cede y se va para abajo con dirección al manto; la
región de la zona de choque se denomina zonas de subducción. Por otra parte, en la zona
donde no existe el choque, que es en los dorsales marinos aparece, una nueva superficie
terrestre. De esta forma se mantiene el equilibrio en el mundo, por las zonas de subducción
desaparece la superficie creada y por los dorsales marinos aparece nuevas superficies.
1.1.4 Cinturón Circunpacífico
En América del Sur, se tiene fundamentalmente el enfrentamiento de la Placa de Nazca
o Placa Oceánica con la Placa de Sudamérica o Placa Continental. Este enfrentamiento
produce el fenómeno de subducción, por el cual la placa de Nazca por ser más rígida y fuerte
se introduce por debajo de la Placa Sudamericana y continua moviéndose hacia el manto.
Como se indicó este choque genera los sismos que es lo que interesa en el presente capítulo.
Sin embargo se debe manifestar que como consecuencia del movimiento continuo de las
placas tectónicas se tienen las erupciones volcánicas y los sismos.
El fenómeno de subducción ha generado una fosa frente a las costas, la misma que
alcanza grandes profundidades. Se puede apreciar en la figura 1.4 que esta fosa continúa
por Centro América, México, Estados Unidos (California), Canadá, Alaska (Aleutian Trench),
Península de Kamtchatka, Japón, Filipinas y Nueva Zelanda. Esta fosa bordea el Océano
Pacífico a manera de un cinturón de ahí su nombre de Cinturón Circunpacífico y es una zona
de alta sismicidad. Por otra parte, en esta zona existe una intensa actividad volcánica de ahí
que también es conocida como Cinturón de Fuego del Pacífico.
En la figura 1.5 se indica con más detalle la fosa de subducción, en la zona de
Colombia, Ecuador y parte de Perú. Nótese que en el fondo del Océano Pacífico existe una
cordillera llamada Dorsal de Carnegie que sigue creciendo e introduciendose bajo el
continente, esto es debido al movimiento de las placas. De igual manera se aprecia con una
pequeña flecha negra la dirección en que se mueve la placa de Nazca frente a Ecuador, se
estima que al año esta placa se mueve con respecto a la placa del continente de 5 a 7 cm.
Se aprecia también la Cordillera de los Andes que atraviesa el Ecuador en el sentido
Norte Sur y con triángulos se indican los nevados activos y pasivos que en ella existen.
6
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Figura 1.5 Dorsal de Carnegie y Cordillera de los Andes
1.2 SISMICIDAD DEL ECUADOR
En el cinturón circunpacífico y concretamente en el Ecuador, el proceso de subducción
de la placa de Nazca, genera una alta sismicidad en su recorrido, buzamiento, hacia el Este.
Por este proceso en la costa ecuatoriana, tienen un hipocentro superficial y en la región oriental
los eventos sísmicos asociados con la subducción pueden tener profundidades focales
mayores a 200 Km. A más de la actividad sísmica asociada a la zona de subducción, existen
sismos que se generan por la activación de fallas geológicas locales.
El sismo que afectó a Bahía de Caráquez el 4 de agosto de 1998, tiene su origen en la
zona de subducción, en cambio el sismo del 2 de octubre de 1995, que causó el colapso del
puente sobre el río Upano tiene su origen en una zona de fallamiento local.
Por otra parte, es importante destacar que el buzamiento de la zona de subducción del
sur del Perú, es diferente del buzamiento que se tiene en el centro y sur del Ecuador y a su vez
es diferente del que se tiene en Colombia.
Por lo general los sismos superficiales son los que causan mayor daño. Por este
motivo, se puede indicar que la Costa Ecuatoriana es la de mayor peligrosidad sísmica,
seguida por la Sierra y finalmente el Oriente. Por lo tanto, desde el punto de vista sísmico no
es lo mismo construir en la ciudad de Esmeraldas, donde la peligrosidad sísmica es muy
grande que en el Tena que tiene una menor amenaza sísmica.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
7
Al analizar la ubicación de los epicentros e hipocentros de los sismos registrados, se
observa que existen zonas en las cuales la actividad sísmica es muy baja, como la región
oriental y otras regiones donde existe una alta concentración denominada nidos sísmicos.
En el Ecuador, existen dos nidos sísmicos localizados el uno en el sector del Puyo y el
otro en Galápagos. El Nido del Puyo, ubicado alrededor de las coordenadas 1.7 Latitud Sur y
77.8 Longitud Oeste, se caracteriza principalmente por un predominio de sismos de magnitud
entre 4.0 y 4.9 con profundidades focales mayores a 100 kilómetros. El Nido de Galápagos,
ubicado por las coordenadas 0.30' de Latitud Sur y 91 Longitud Oeste tuvo una gran actividad
sísmica entre en 11 y 23 de Junio de 1968.
Figura 1.6 Epicentros con magnitud mayor a 4 registrados en 1995 y 1998. (I.G. EPN)
En la figura 1.6 se observa a la izquierda la actividad sísmica en el Ecuador en 1995 y
a la derecha en 1998. En 1995, se aprecia una gran actividad en la región sur oriental, donde
se dio el sismo de Macas. Aguiar (2000). En cambio en 1998 se tiene una gran actividad frente
a la costa de Bahía de Caráquez.
En la figura 1.7 se aprecian los sismos superficiales con magnitud mayor a 6.0 que
se han registrado en el Ecuador entre 1977 y el 2007, se aprecia que en las provincias de la
sierra ecuatoriana prácticamente no se han registrado sismos fuertes, en estos 30 años. Esto
es una alerta que debe llevar a la reflexión de que a lo mejor se está acumulando energía y que
probablemente en un futuro cercano se tenga un sismo muy fuerte ya que históricamente la
sierra se ha visto afectada por sismos severos como el de 1797 que causó gran daño en la
antigua ciudad de Riobamba, el de 1868 que destruyó la ciudad de Ibarra y las ciudades
vecinas. Los sismos históricos a los que se hacen referencia y otros terremotos catastróficos se
indican en la figura 1.8, donde se presentan los epicentros de los sismos con Intensidades, en
la escala de Mercali, mayores a VI, registrados entre 1641 y 1880.
1.3 PELIGROSIDAD SÍSMICA
Se define como Peligrosidad Sísmica, la probabilidad de ocurrencia, dentro de un
período específico de tiempo y dentro de una región determinada, movimientos del suelo cuyos
parámetros: aceleración, velocidad, desplazamiento, magnitud o intensidad son cuantificados.
8
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Para la evaluación se deben analizar los fenómenos que se producen desde el hipocentro
hasta el sitio de interés.
Figura 1.7 Sismos superficiales con magnitud mayor a 6.0 registrados entre 1977 y 2007.
Figura 1.8 Principales terremotos registrados entre 1641 y 1880 con Intensidad mayor a 6.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
9
Para el diseño sísmico de estructuras, fundamentalmente se necesita conocer cual es
la aceleración máxima del suelo que se espera en la zona que se va a implantar el proyecto
durante la vida útil de la estructura. Si adicionalmente, se pueden establecer los otros
parámetros indicados en el párrafo anterior u otros adicionales como el tiempo y contenido de
frecuencias, que de alguna forma se están incorporando en los estudios de peligrosidad
sísmica, es mejor.
1.3.1 Etapas de cálculo
En la figura 1.9, se presentan las etapas que se siguen para la evaluación de la
Peligrosidad sísmica a nivel regional, tendientes a la obtención de parámetros para el diseño
sismo resistente, expresados en términos probabilísticas. Algermissen y Perkins (1972, 1976);
Grases (1975).
Figura 1.9 Etapas de la evaluación de la Peligrosidad Sísmica.
La información sísmica histórica, de eventos que se registraron en el período 1500 1900 es muy importante, por que son cuatro siglos de datos, razón por la cual es fundamental
su estudio. Lamentablemente, los sismos históricos no han sido estudiados con el detenimiento
del caso, primero porque es una tarea que demanda mucho tiempo y segundo por lo difícil que
resulta el conseguir la información. Las crónicas de los sismos históricos en algunos casos son
muy exageradas y tienden a sobredimensionar el daño ocasionado.
Por otra parte, en la mayor parte de países, el catálogo sísmico instrumental tiene
amplia información a partir de los años 1960 y 1970, por la implementación de un mayor
número de estaciones sismográficas. En el período 1900-1960 la información es escasa, no
porque no hayan ocurrido sismos sino porque no existía suficiente instrumentación sísmica.
Egred et al (1981). En consecuencia, antes de empezar un trabajo de peligrosidad sísmica lo
primero que se debe hacer es un estudio de completitud de la información sísmica, se puede
utilizar para el efecto, el procedimiento propuesto por Steep (1972), quien describe un
procedimiento basado en la varianza como parámetro estadístico en los cuales la tasa de
ocurrencia de los sismos es estable para distintos niveles de magnitud.
La información tectónica, geológica, geofísica y geotécnica son un complemento a la
información sísmica instrumental para poder definir un mapa sismotectónico de la región en
estudio.
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
10
1.3.2 Relación de recurrencia
Para la evaluación de la peligrosidad sísmica en cada una de las áreas fuentes es
necesario calcular la relación de recurrencia de la actividad sísmica, propuesta
independientemente por Ishimoto-Ida en 1939 y Richter-Gutenberg en 1944. (Gutemberg y
Richter, 1954, 1956). La misma que tiene la siguiente forma:
log N ( M ) = a − bM
(1.1)
Siendo N(M) el número de sismos anuales de magnitud mayor o igual que M. Las
constantes a y b definen la sismicidad del área. Dowrick (1977).
•
EJEMPLO 1
Encontrar la relación de recurrencia para los sismos registrados en el Ecuador en el
período comprendido entre 1990 y 2005. Del catálogo sísmico, se han obtenido los siguientes
datos:
Tabla 1.1 Sismicidad en el Ecuador en el período 1990-2005.
•
MAGNITUD Mb
NÚMERO DE SISMOS
4.0 - 4.5
4.5 - 5.0
5.0 - 5.5
5.5 - 6.0
6.0 - 6.5
6.5 - 7.0
7.0 – 7.5
7.5 – 8.0
8.0 – 8.5
3566
1317
155
40
23
3
3
2
1
SOLUCIÓN
En la figura 1.10 se indica la distribución de frecuencia de los sismos en el período
1990-2005. Nótese que en 1998 y en el 2005 se tiene una gran cantidad de sismos,
ventajosamente la mayor parte de ellos son de magnitudes comprendidas entre 4.0 y 4.5.
Las ecuaciones que conducen al cálculo de las constantes a y b son:
∑ log Y = N a + b ∑ X
∑ X log Y = a ∑ X + b ∑ X
2
En la tabla 1.2, se indican los valores de las sumatorias con las cuales se plantean las
dos ecuaciones que se requieren para determinar a y b.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
11
500
400
300
200
100
20
04
20
02
20
00
19
98
19
96
19
94
19
92
0
19
90
NUMERO DE SISMOS
SISMICIDAD EN EL ECUADOR DESDE
1990 - AGOSTO DEL 2005
AÑOS
4,0 - 4,5
4,5 - 5,0
5,0 - 5,5
5,5 - 6,0
6,0 - 6,5
6,5 - 7,0
7,0 - 7,5
7,5 - 8,0
8,0 - 8,5
Figura 1.10 Sismicidad anual por rango de magnitud.
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Tabla 1.2 Valores de cálculo de la recta de mínimos cuadrados.
Mb
Número de
Log Y
X
X * log Y
(X)
sismos (Y)
4.0-4.5
3566
3.5522
4.25
15.0968
4.5-5.0
1317
3.1196
4.75
14.8180
5.0-5.5
155
2.1903
5.25
11.4992
5.5-6.0
40
1.6021
5.75
9.2118
6.0-6.5
23
1.3617
6.25
8.5108
6.5-7.0
3
0.4771
6.75
3.2206
7.0-7.5
3
0.4771
7.25
3.4591
7.5-8.0
2
0.3010
7.75
2.3330
8.0-8.5
1
0.0000
8.25
0.0000
Total
5109
13.0812
56.25
68.1494
X2
18.0625
22.5625
27.5625
33.0625
39.0625
45.5625
52.5625
60.0625
68.0625
366.5625
Al reemplazar valores se halla:
13.0812 = 9 a + 56.25 b
68.1494 = 56.25 a + 366.5625 b
La solución del sistema de ecuaciones reporta:
a = 7.12341
b = −0.90719
Log N = 7.12341 − 0.90719 M b
•
EJEMPLO 2
En base a la ecuación de recurrencia encontrada en el ejemplo anterior hallar cuantos
sismos de magnitud 8 se registrarán en el Ecuador en los próximos 16 años, 25 años y 50
años.
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
12
•
SOLUCIÓN
Tabla 1.3 Cálculo del número de sismos en 16, 25 y 50 años.
16 años
log N = 7.12341 − 0.90719 * 8
log N = −0.1342
0.7342
25 años
16
X
N = 0.7342
X=
25
25 * 0.7342
= 1.1473
16
0.7342
X
X=
50 años
16
50
50 * 0.7342
= 2.2945
16
En los próximos 16 y 25 años se espera 1 sismo de magnitud 8 y en los próximos 50
años se esperan 2 sismos de magnitud 8.
A la ecuación (1.1) se le conoce como ley de Richter, la misma que puede escribirse
también de la siguiente forma:
γ = α e−β M
( 1.2 )
Donde γ es la tasa de ocurrencia anual de eventos de magnitud mayor o igual que M.
La relación que existe entre las variables a, b y α, β son las siguientes:
a = log α
β=
1.3.3
b
= b ln 10
log e
( 1.3 )
( 1.4 )
Magnitud máxima
En cada zona fuente, se debe determinar la máxima magnitud Mmax que se espera,
para ello existen diferentes fórmulas empíricas que relacionan la longitud de rotura de la falla
L, con Mmax. Una de las primeras relaciones fue suministrada por Idda en 1959 para fallas
inversas
M max = 5.47 + 1.0 log L
M max = 6.04 + 0.79 log L
( 1.5 )
( 1.6 )
La ecuación ( 1.5 ) es para sismos profundos y la ecuación ( 1.6 ) para sismos
superficiales e intermedios.
En la evaluación de la peligrosidad sísmica de Colombia, utilizaron las ecuaciones
propuestas por Ambrasseys para determinar la magnitud máxima, estas son:
L = e (1.150 M mx −3.35) Limite Inferior
L = e (1.596 M mx −7.56 ) Mejor Ajuste
L = e (1.615 M mx −8.58) Limite Superior
( 1.7 )
( 1.8 )
( 1.9 )
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
13
Se aprecia que la relación entre la Magnitud Máxima Mmax y el logaritmo de la longitud
de rotura es de tipo lineal, de la forma:
M max = A log L + B
( 1.10 )
Donde A y B son constantes que se obtienen por regresión lineal. Es conveniente que
los valores de A y B se obtengan con sismos de una determinada zona geográfica como lo
propone Acharya (1979). Por otra parte, Slemmons (1977) propone calcular la magnitud
máxima en base al tipo de falla.
Para América del Sur, Acharya propone la ecuación (1.11) para encontrar la magnitud
máxima, la misma que fue obtenida a partir de 31 eventos con magnitud superior a 7. Por lo
tanto, para magnitudes inferiores su aplicación es incierta.
M max = 2.30 + 2.83 log L
•
( 1.11 )
EJEMPLO 3
Determinar una relación entre Mmax y la longitud de rotura L, en base a los datos de la
tabla 1.4.
Tabla 1.4
•
Relación entre Magnitud M y Longitud de rotura L.
SISMO
LONGITUD FALLA
(L)
MAGNITUD
(M)
Alaska, 1964
San Francisco, 1906
Mongolia, 1957
Kern Co, 1952
Niigata, 1964
Turkey, 1953
Imperial Valley, 1940
Fairview Peak, 1954
Montana, 1959
San Miguel, 1956
Parkfield, 1966
600
450
280
50
100
50
60
36
30
19
38
8.5
8.3
8.3
7.8
7.5
7.2
7.1
7.1
7.1
6.8
5.5
SOLUCIÓN
La ecuación que se obtiene luego del ajuste por mínimos cuadrados, es:
M max = 4.86 + 1.33 log L
( 1.12 )
El coeficiente de correlación de la ecuación (1.12) es 0.782, que es un valor bajo. En
los estudios de peligrosidad sísmica se puede aplicar una ecuación como las indicadas para
14
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
encontrar la máxima magnitud esperada en la fuente pero es conveniente comparar el valor
obtenido con el registrado instrumentalmente. De igual forma en las ecuaciones que definen la
magnitud máxima se deben indicar parámetros estadísticos como el coeficiente de correlación
y la desviación Standard para incluirlos en la evaluación de la peligrosidad sísmica.
Finalmente, se debe indicar que hay ecuaciones en las cuales se incluye el
desplazamiento permanente D en la determinación de la magnitud máxima. Una de ellas es la
presentada en la ecuación (1.13), en la cual L y D, se expresan en centímetros, Grases (1997).
M max = 1.1 + 0.4 log( L1.58 D 2 )
( 1.13 )
1.3.4 Leyes de atenuación
La fuente de mayor incertidumbre en los estudios de peligrosidad sísmica es la
determinación de la ecuación de atenuación que se va a utilizar. La ecuación o ley de
atenuación es una expresión semiempírica que relaciona Magnitud-Distancia-Intensidad
Sísmica; entendiéndose por estas últimas palabras a la aceleración, velocidad, desplazamiento
e intensidad propiamente dicha de eventos sísmicos; estas relaciones se obtienen de los datos
que existen sobre los parámetros mencionados.
En general, los procedimientos utilizados para obtener las leyes de atenuación,
consiste en ajustar curvas a los datos de movimientos sísmicos ocurridos en diferentes
regiones, por lo que las expresiones así obtenidas reflejan las características geotectónicas de
la región para la cual fueron obtenidas. Mal se haría con importar leyes de atenuación
derivadas de otras regiones para realizar estudios de peligrosidad sísmica.
La filosofía de las leyes de atenuación se puede sintetizar en dos aspectos, que son:
•
A una misma distancia, R se espera tener la misma intensidad sísmica
(aceleración, velocidad, desplazamiento e intensidad propiamente dicha).
•
La intensidad sísmica disminuye conforme la distancia aumenta y viceversa.
Ahora, comparemos que ha sucedido en la realidad; al respecto veamos que pasó con
el sismo de San Fernando del 09-02-71, uno de los eventos mejor documentados, a una
distancia promedio aproximada de 42 Km. del epicentro se registraron aceleraciones
horizontales máximas del suelo que variaron entre 58 y 245 gals. Es decir no se tuvo la misma
intensidad sísmica a igual distancia; existen varios casos similares al descrito.
Lo expuesto tiene como finalidad mostrar la incertidumbre que conlleva el uso de una
ley de atenuación a pesar de que ésta fuera obtenida de registros instrumentales. Para
contrarrestar esto se acostumbra incluir en las fórmulas un término que corresponde a la
desviación estándar σ, el mismo que se calcula suponiendo que los logaritmos naturales de los
cocientes de las intensidades sísmicas predichas a las registradas instrumentalmente tienen
una distribución log normal.
En la tabla 1.5 se indican algunas de las leyes de atenuación que han sido utilizadas en
estudios de peligrosidad sísmica en diferentes regiones del mundo.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
Tabla 1.5
15
Leyes de atenuación de la aceleración máxima de suelo.
REGIÓN
LEY DE ATENUACÍON
AUTOR
Chile-Argentina
Perú
Perú
Ecuador
Venezuela-Transcurrentes
USA-Transcurrentes
USA-Japón-Europa
ln Amax = 8.54 + 0.57M - 1.73 ln (R+60)
ln Amax = 8.18 + 0.68M - 1.63 ln (R+60)
ln Amax = 4.23 + 0.8M - ln (R+25)
ln Amax = 6.35 + 0.99M - 1.76 ln (R+40) ± 0.6
ln Amax = 3.75 + 0.47M - 0.57 ln (R+10) ± 0.67
ln Amax = 6.98 + 0.5M - 1.25 ln (R+25)
ln Amax = 0.14 IMM + 0.24M - 0.68 log R + β
β=0.60 Costa Occidental USA
β=0.69 Japón
β=0.88 Europa
Saragoni et al (1982)
Saragoni et al (1982)
Casaverde (1980)
Aguiar (1989)
Grases (1997)
Donovan (1973)
Goula (1993)
1.3.5 Metodología de Evaluación
La evaluación de la peligrosidad sísmica se ejecuta utilizando los algoritmos propuestos
por Algermissen (1972, 1976), cuya metodología de cálculo se resume a continuación.
i)
Dividir al País en una cuadrícula de 30 minutos por 30 minutos.
ii)
Determinar en cada área fuente, los coeficientes a y b de la ecuación de
recurrencia, con los datos correspondientes a sismos de magnitud mayor o igual a
Mmin. Siendo Mmin la magnitud mínima seleccionada en el estudio. En la evaluación
de la peligrosidad sísmica de Venezuela se consideró Mmin = 4.0 y en la evaluación
de la peligrosidad sísmica de Colombia Mmin = 3.0.
iii)
Determinar la longitud de rotura de la falla y la máxima magnitud esperada.
iv)
Calcular la frecuencia anual de ocurrencia de aceleraciones en cada vértice de la
cuadrícula. Se puede utilizar el programa de ordenador de Mc Guire (1976) o el
programa Crisis de Ordaz (2000). Previamente se habrá seleccionado una ley de
atenuación de movimiento del suelo.
v)
Obtener la aceleración o velocidad máxima esperada en cada vértice de la retícula,
utilizando el programa: "Line Source Model" de A. Der Kiureghian (1977) o utilizando
una distribución de valores extremos tipo II que fue lo seleccionado para el caso de
Ecuador, por Aguiar en 1982.
La distribución de valores extremos tipo II, aplicada al caso de aceleraciones es de la
siguiente forma:
ln[− ln F ( A)] = − β ln K − β ln Amax
( 1.14 )
Que puede escribirse de la siguiente manera:
F ( A ) = e − ( kA max )
−β
( 1.15 )
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
16
Siendo F(A) la probabilidad de no excedencia de la aceleración máxima Amax. Los
parámetros β y k se obtienen del ajuste por mínimos cuadrados.
vi)
Se dibuja el mapa de isoaceleraciones, si se ha estado trabajando con aceleraciones o
puede ser el mapa de isovelocidades o el parámetro seleccionado para el estudio de la
peligrosidad sísmica.
•
EJEMPLO 4
En la tabla 1.6, se indica las tasas de ocurrencia esperadas en Quito, halladas por
Aguiar (1982), para diferentes aceleraciones del suelo. Esto se obtiene de un estudio de
peligrosidad sísmica y se desea determinar la aceleración máxima del suelo en roca para una
vida útil de la estructura de 50 años y con una probabilidad de excedencia del 10%
Tabla 1.6
Aceleración máxima y tasa media de ocurrencia para Quito.
LUGAR
ACELERACÍON MÁXIMA
(cm/s2)
TASA DE OCURRENCIA
(veces/año)
Quito
50
100
150
200
250
300
400
500
0.382
0.0389
0.0105
0.00392
0.00177
0.000891
0.000269
0.0000996
Con los datos de la Tabla 1.6, se obtuvo que la relación entre el ln A y el ln[-ln F(A)] es
lineal de la forma planteada en la ecuación (1.14), con lo cual se determina:
β=3.543
k=0.025
La ecuación (1.15) es válida para un año. Para el caso de 50 años, tiempo de la vida
útil de las estructuras, lo que cambia es el valor de k, ahora será
k
1
1
. En consecuencia la
50 β
ecuación (1.15), queda:
F ( A) = e
⎞
⎛
⎟
⎜ k
−⎜ 1 Amax ⎟
⎟⎟
⎜⎜
⎠
⎝ 50 β
−β
( 1.16 )
Para el sismo raro o severo, la probabilidad de no excedencia en 50 años se consideró
del 90%. Luego al reemplazar en la ecuación (1.16), se tiene:
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
0.9 = e
⎛
⎞
⎜ k
⎟
−⎜ 1 Amax ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 50 β
⎠
17
−β
De donde:
1
1
⎛
⎞ β 50
Amax = ⎜
⎟
k
⎝ 0.10536 ⎠
1
β
( 1.17 )
Reemplazando los valores de k y β, encontrados para Quito, en la ecuación ( 1.17 ) se
obtiene:
Amax = 227.37 cm/s2 = 0.232 g
1.4
ZONIFICACIÓN SÍSMICA DEL CEC-2000
En la figura 1.11 se presenta el mapa de zonificación sísmica estipulado en el Código
Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000 y que fue obtenido de un estudio de peligrosidad
sísmica para estructuras que tienen una vida útil de 50 años y con una probabilidad de
excedencia del 10%.
Figura 1.11 Zonificación sísmica del Ecuador del CEC-2000.
18
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
En base a estos dos últimos valores se halla el período de retorno que es el tiempo
promedio transcurrido entre dos movimientos sísmicos que tienen la misma aceleración
del suelo. La ecuación que se utiliza para hallar el período de retorno T es la siguiente:
T≈
1
1 − (1 − p )
1
t
( 1.18 )
Donde p es la probabilidad de no excedencia y t es el tiempo de vida útil de la
estructura. Al reemplazar p = 0.10 y t = 50 en ( 1.18 ) se encuentra que el período de retorno
es de 475 años.
La zona de mayor peligrosidad sísmica del Ecuador está definida por una aceleración
máxima del suelo en roca igual a 0.4 g., siendo g., la aceleración de la gravedad y la menor
peligrosidad está caracterizada por 0.15 g. La costa y la sierra están inmersas en la zona de
mayor peligrosidad sísmica.
En la tabla 1.7 se indica las zonas sísmicas en la forma que presenta el CEC-2000, en
la cual se indica únicamente el coeficiente de la aceleración de la gravedad, que se denomina
factor Z .
Zona Sísmica
Factor Z
Tabla 1.7 Zonificación sísmica del Ecuador del CEC-2000
1
2
3
0.15
0.25
0.30
4
0.40
Considerar una aceleración máxima del suelo en roca del 40% de la aceleración
de la gravedad para la sierra ecuatoriana, a criterio del autor de este libro es demasiado
alto. Este valor se debe a que los sismos históricos están sobredimensionados en cuanto a los
daños que ocasionaron. De tal manera que si se elimina la zona 4 de la sierra y se deja todo
como zona 3 sería lo más apropiado.
El comentario realizado en el párrafo anterior, tiene un sustento en el estudio de
peligrosidad sísmica realizado por Aguiar (1982) y que se presenta en la figura 1.12. En este
estudio se determinó la aceleración máxima esperada asociada a un período de retorno de 475
años y la aceleración más probable.
Existe bastante similitud entre la zonificación del CEC-2000, figura 1.11 y la
zonificación de Aguiar (1982) en el primero y por razones de seguridad está ligeramente
mayorado la aceleración máxima del suelo. Se concuerda que la costa ecuatoriana es la de
mayor peligrosidad sísmica y que la región oriental es la de menor peligrosidad. Para que la
aproximación sea adecuada se debe dejar, en la normativa del CEC-2000, a la sierra en la
zona 3 con una aceleración máxima del suelo en roca del 30% de la aceleración de la
gravedad.
En Quito, desde la época de la colonia no se ha tenido un sismo cuyo daño haga
presumir que se tuvo una aceleración máxima del suelo en roca de 0.4 g. Diseñar un edificio
para 0.4 g., considerando un valor apropiado para el factor de reducción de las fuerzas
sísmicas debida a comportamiento no lineal, tema que se verá en el próximo capítulo, implica
tener elementos estructurales de apreciables dimensiones.
Lo que están haciendo algunos proyectistas estructurales es considerar 0.4 g., y el
valor más alto estipulado por el CEC-2000 para el factor de reducción de las fuerzas sísmicas
sin verificar el factor de reducción asignado lo que significa que en la realidad están
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
19
considerando valores más bajos al 0.4 g., ya que el factor de reducción de las fuerzas sísmicas
obtenido en dichas estructuras es menor al que se impusieron, Aguiar (2006).
Figura 1.12 Zonificación sísmica del Ecuador encontrada por Aguiar (1982).
1.5
FILOSOFÍA DE DISEÑO TRADICIONAL
La filosofía de diseño tradicional establece tres niveles de desempeño estructural que
son: i) Servicio, ii) Daño, y iii) Colapso. Ante tres sismos de análisis definidos como: i) Menor,
ii) Moderado, y iii) Severo, como se indica a continuación.
•
En el Estado de Servicio, se espera que ante Sismos Menores, que pueden
ocurrir frecuentemente durante la vida útil de la edificación, no ocurra ningún daño
tanto en los elementos estructurales como en los no estructurales.
•
Para el Estado de Daño, se espera que la estructura trabaje en el límite de su
capacidad resistente elástica, es decir la estructura como tal no sufre daño pero sí
hay daño en los elementos no estructurales. Este comportamiento es esperado
ante Sismos Moderados, que pueden presentarse durante la vida útil de la
edificación.
•
Para el Estado de Colapso, la estructura, ante un Sismo Severo que puede ocurrir
rara vez en el tiempo de vida útil, incursiona en el rango no lineal, experimentando
daño pero en ningún momento la edificación llega al colapso. Se espera cierto
grado de daño en los elementos estructurales y un daño considerable en los
elementos no estructurales.
20
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Los códigos, normalmente presentan los estudios de peligrosidad sísmica para
el Sismo Severo. Esto ha sucedido en el Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000,
en las Especificaciones Sismorresistentes de Venezuela COVENIN 1756-98 y en la Norma
Técnica de Perú de 2003, entre otros. En que se indica las zonificaciones sísmicas para
una vida útil de 50 años y con una probabilidad de excedencia del 10%.
Para poder verificar el comportamiento que tendrá una estructura ante los sismos
denominados menor y moderado, es necesario definir la aceleración de estos eventos, de una
manera similar a la efectuada para el sismo severo. Caso contrario la filosofía clásica de
diseño quedará como un simple enunciado estructural.
No basta indicar que el sismo menor o sismo pequeño se va a presentar durante la
vida útil de la estructura o que es probable que el sismo moderado se registre alguna vez en el
tiempo de vida medio de la edificación.
Tampoco se deben establecer valores generales, como indicar que la aceleración
máxima del suelo en roca, para el sismo pequeño es menor a 0.06 g (6% de la aceleración de
la gravedad) y que la aceleración para el sismo moderado es menor que 0.12 g. Estos valores
pueden ser adecuados para un determinado lugar pero en términos generales no lo son,
puesto que en el mundo existen zonas con diferente peligrosidad sísmica.
1.6
SISMOS DE ANÁLISIS DE ACUERDO A VISION 2000
Tanto el SEAOC ,Structural Engineers Association of California, 1995 como el ATC-33
(1995), en sus documentos VISION 2000 y guía NEHRP, establecen claramente la manera de
cuantificar las características de los sismos que deben considerarse en el análisis sísmico de
estructuras. En primer lugar, se debe indicar que no son tres los sismos de análisis, como se
tenía anteriormente, ahora son cuatro los mismos que están definidos de la siguiente manera:
•
Sismo Frecuente, que debe obtenerse para una vida útil de la estructura de 30
años con una probabilidad de excedencia del 50%. El período de retorno de este
evento es de 43 años. Por lo tanto, este sismo se va a dar por lo menos una vez
durante la vida útil de la estructura.
•
Sismo Ocasional, que se calcula para una vida útil de la estructura de 50 años y
con una probabilidad de excedencia del 50%. El período de retorno es de 72 años.
Por lo tanto, durante la vida útil de la estructura (50 años) es probable que este
sismo se registre alguna vez.
El sismo ocasional es equivalente al sismo moderado y el sismo frecuente es
equivalente al sismo menor.
•
Sismo Raro, también conocido como Sismo Excepcional o como Sismo de
Diseño. En fin existen una serie de nombres que se le dan a este sismo, el mismo
que se obtiene para una vida útil de la estructura de 50 años y con una
probabilidad de excedencia del 10%. En consecuencia, es equivalente al Sismo
Severo. El período de retorno de este evento es de 475 años.
•
Sismo Muy Raro, también denominado Sismo Extremo que se calcula para una
vida útil de la estructura de 100 años con una probabilidad de excedencia del 10%.
Este evento tiene un período de retorno de 970 años.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
21
Para cada uno de estos eventos el Comité VISION 2000 define un nivel de
desempeño de la estructura o un nivel de comportamiento global de la edificación, tema que
será analizado posteriormente.
En 1992 la Sociedad de Ingenieros Estructurales de California se reunieron para
analizar las grandes pérdidas que se han producido en sismos recientes, que estuvieron
diseñados para un solo sismo, con la filosofía de que no colapsen ante un sismo severo pero
se han venido registrando sismos de menor magnitud que no han llevado al colapso de la
estructura pero han producido grandes pérdidas en elementos no estructurales, las mismas
que se agravan cuando se tiene que suspender las labores para reparar estos daños. Estas
pérdidas que representaban varios miles de millones de dólares fue lo que motivo la creación
del Comité VISION 2000 quienes en 1995 presentaron los primeros resultados, que fueron
como una nueva luz para el diseño sísmico de las estructuras en el siglo XXI.
En lo que atañe a lo estudiado en el presente capítulo se ha indicado que para el
análisis y diseño de las estructuras se necesita definir cuatro eventos sísmicos denominados:
frecuente, ocasional, raro y muy raro tema que será tratado en el próximo capítulo después de
que se indique lo que son los espectros de diseño.
Figura 1.13 Fotografías del Volcán Tungurahua. (Instituto Geofísico de la E.P.N.)
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
22
1.7
ACTIVIDAD DEL VOLCÁN TUNGURAHUA
Desde 1998 hasta marzo de 2008, en que se termina de escribir este libro, el volcán
Tungurahua se ha encontrado en permanente actividad. Lo cierto es que ya se llevan 10 años
seguidos, en que hay fumarolas, caídas de ceniza y erupciones del volcán como las que se
aprecian a la izquierda de la figura 1.13, la fotografía superior corresponde a la erupción del 8
de febrero de 2008 y la inferior a la del 5 de marzo de 2007. Estas dos fotografías fueron
tomadas por Patricio Ramón y se encuentran en el portal del Instituto Geofísico de la
Politécnica Nacional, al igual que las fotografías de la derecha en que aparece el cráter del
volcán tomada desde su borde N.E por José Espín y la inferior derecha, en que se observa la
actividad fumarólica del volcán tomada por Jorge Bustillos.
En la primera declaratoria de emergencia del volcán, toda la población de Baños y de
los lugares aledaños fueron evacuados por más de un mes; en los siguientes años nuevamente
se ha declarado en emergencia y la población ha sido evacuada por días. Pero ha habido una
buena parte de la población de Baños que no ha abandonado sus casas a pesar de que el
volcán está erupcionando como sucedió el 6, 7 y 8 de febrero de 2008. Esto demuestra que la
gente ya se acostumbró a la permanente actividad del volcán y no mide el gran peligro que
tienen.
La intensa actividad de este y otros volcanes, como la gran actividad sísmica del
Ecuador, deben servir como alertas para los proyectistas estructurales para construir
edificaciones sismo resistentes, que no colapsen durante un evento telúrico, que no colapsen
con la acumulación de ceniza volcánica en sus techos. Deben ser señales de alerta para
buscar nuevas formas constructivas que sean más seguras ante los embates de la naturaleza.
REFERENCIAS
1. Aguiar R., (2000), Sismo de Macas de 1995 y la reconstrucción, Centro de
Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército, 74 p., Quito.
2. Aguiar R., (1989), “Leyes de atenuación; una contribución a la zonificación sísmica del
Ecuador”, IV Encuentro Nacional de Ingeniería Estructural. Escuela Politécnica del
Ejército, 3, 364-397, Quito.
3. Aguiar R., (1982), Cuantificación de la amenaza sísmica del Ecuador en términos
probabilísticos y mapa de zonificación. Tesis de Grado para obtener título de Master en
Ciencias. Universidad Central de Venezuela, 187 p., Caracas.
4. Acharya H., (1979), “Regional variations in the rupture-length magnitude relationships
and their dynamical significance”, Bulletin of the Seismological Society of America, 69
(6), 2063-3084.
5. Algermissen S.T., Perkins D., (1972), “A technique for seismic zoning: general
considerations and parameters microzonation”, Conference Seattle.
6. Algermissen S.T., Perkins D., (1976), A probabilistic estimate of maximum acceleration
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ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
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CAPÍTULO 2
ESPECTROS DE DISEÑO Y FACTOR DE
REDUCCIÓN DE LAS FUERZAS SÍSMICAS
RESUMEN
La definición de espectros de respuesta y de diseño, es fundamental en el análisis sísmico
de edificios, razón por la cual se inicia el capítulo con ésta temática. De igual manera es
importante el estudio de los espectros elásticos e inelásticos, saber que con los espectros elásticos
no se espera daño en las estructuras y con los espectros inelásticos si se espera daño.
Es fundamental conocer como las normativas sísmicas obtienen los espectros inelásticos
dividiendo los espectros elásticos para el producto R φ p φ e . Donde R es el factor de reducción de
las fuerzas sísmicas debido a comportamiento inelástico de la estructura; φ p , φ e factores con los
cuales se penaliza las irregularidades en planta y elevación. Estos tres factores son objeto de
estudio, con mucho detenimiento en el presente capítulo, ya que una selección inapropiada de
estas cantidades puede conducir a un diseño con fuerzas sísmicas muy bajas, siendo la estructura
vulnerable ante la acción de los sismos o puede conducir a sobredimensionar la acción sísmica
con lo que se obtiene un diseño muy costoso.
Se analiza, con cierto detenimiento los factores de reducción de las fuerzas sísmicas para
edificios de hormigón armado, compuestos por vigas y columnas, sin muros de corte, de las
normativas sísmicas de: Venezuela, Colombia, Ecuador, Perú y Chile. Para poder comparar el
factor R de estas normativas se debe diferenciar si los espectros formulados son a nivel de
servicio o últimos, se debe tener en cuenta la deriva máxima de piso permitida, si esta deriva es
elástica o inelástica, se debe conocer como se obtienen los desplazamientos inelásticos a partir de
los desplazamientos elásticos. Todas estas variables influyen en el cálculo del factor R .
26
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Posteriormente, se presenta los resultados de un proyecto de investigación, desarrollado
en el Centro de Investigaciones Científicas de la Politécnica del Ejército, que se inició en el 2005 y
finalizó en el 2007, sobre el cálculo del factor R en las estructuras mencionadas en el párrafo
anterior.
Se obtuvo el factor R multiplicando el factor de resistencia por ductilidad R µ también
conocido como factor de reducción por ductilidad; multiplicando por el factor de sobre resistencia
R Ω y por el factor de redundancia R R .
Para el factor R µ se realizaron cuatro trabajos: Aguiar y Guerrero (2006); Aguiar y
González (2006); y dos trabajos por parte de Aguiar, Romo y Aragón (2007,1,2). Este último se
considera el más completo ya que se trabajó con 80 acelerogramas de sismos reales de baja
magnitud y 112 acelerogramas artificiales compatibles con los espectros del Código Ecuatoriano
de la Construcción.
Para hallar los factores R Ω y R R se analizaron 432 estructuras de uno a seis pisos que
responden a la forma como se construye en Ecuador. De tal manera que los resultados obtenidos
son validos para estructuras de menos de 6 pisos. Se entiende que estructuras de más de 7 pisos
se diseñan con muros de corte.
Para el factor R Ω se presentan los resultados encontrados por Aguiar, Mora y Guadalupe
(2007) que es función de la deriva de piso máxima permitida y para el factor R R el trabajo
desarrollado por Aguiar, Guaiña y Bernal (2008).
Finalmente, en base a los trabajos realizados se propone el factor de reducción de las
fuerzas sísmicas, para edificios conformados por vigas y columnas sin muros de corte, para los
cuatro tipos de suelo que contempla el CEC-2000, los mismos que son validos para una deriva de
piso máxima inelástica de 1.5 %.
2.1 INTRODUCCIÓN
Se recomienda la lectura del libro “Dinámica de Estructuras con MATLAB”, Aguiar (2007)
en el que se trata sobre la forma como se obtiene la respuesta en el tiempo de un sistema de un
grado de libertad ante una acción sísmica definida por su acelerograma, luego se presenta como
se halla los espectros de respuesta y finalmente se indica como a partir de estos espectros de
respuesta se halla el espectro de diseño. Se presenta a continuación un breve repaso de lo tratado
en forma extensa en el texto mencionado.
2.1.1 Espectros de respuesta
Se define el espectro de respuesta como la respuesta máxima de un conjunto de
osciladores de 1 gdl que tienen el mismo amortiguamiento, sometidas a una historia de
aceleraciones dadas.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
27
En la figura 2.1 se muestra el esquema de cálculo de los espectros de respuesta. A la
izquierda aparecen un conjunto de osciladores de 1 gdl, todos ellos tienen un coeficiente de
amortiguamiento ξ = 0.05 . Cada uno de estos osciladores, que representan a estructuras de un
piso, va a ser sometido al sismo cuyo acelerograma se indica en la parte inferior izquierda.
Figura 2.1 Esquema de cálculo de los Espectros de Respuesta.
En la parte central de la figura 2.1, se tiene la respuesta en el tiempo de desplazamiento,
se ha colocado únicamente de dos osciladores, el uno tiene un período de 1 s. y el otro un período
de 2 s. Se ha identificado las respuestas máximas en cada uno de ellos, como Sd1 para el sistema
con T=1 s., y Sd2 para el sistema con T=2 s. Nótese que Sd1 es negativo ya que se halla en la
parte inferior y Sd2 es positivo por estar en la parte superior pero para encontrar el espectro se
considera en valor absoluto
En la parte derecha, de la figura 2.1 se han colocado los valores de Sd1 y Sd2 asociados a
períodos de 1 y 2 s., se han colocado además los desplazamientos máximos correspondientes a
los restantes períodos del conjunto de osciladores de un grado de libertad, la gráfica que resulta de
unir las respuestas máximas es el Espectro de Respuesta Elástica de Desplazamientos, ante el
sismo del 9 de Noviembre de 1974. En la parte central de la figura 2.1 se pudo haber colocado las
respuestas máximas de velocidades o de aceleraciones, con lo que se habría hallado los espectros
de respuesta elásticos de velocidad y aceleración, respectivamente.
Por lo tanto, se pueden obtener espectros de respuesta elásticos de desplazamientos,
velocidades y aceleraciones, encontrando las máximas respuestas en valor absoluto de q(t ), q (t )
(t ) . A estas respuestas máximas se las denomina con las letras S d , S v y S a .
y q
S d = q (t ) max
S v = q (t ) max
S a = q(t ) max
( 2.1 )
De estos tres tipos de espectros los que más se utilizan, al menos en Latino América son
los espectros de aceleraciones y son los que vienen definidos en las normativas sísmicas. Estos
espectros han tenido una serie de críticas en el sentido de que no toman en cuenta el tiempo de
duración del sismo, la frecuencia de vibración del sismo, y sobre todo que no describen el daño
esperado en la estructura. Temas que son importantes y que de alguna forma se los incorpora en
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
28
los espectros de energía, pero todavía no existen formulaciones sencillas para el análisis sísmico
de estructuras con espectros de energía.
De igual manera en lugar de trabajar con espectros de aceleraciones se está proponiendo,
desde hace algunos años, el trabajar con espectros de desplazamiento debido a que estos están
más asociados con el daño de las estructuras, existen filosofías de diseño al respecto pero
nuevamente se continúa trabajando con espectros de aceleraciones.
2.1.2
Espectros de diseño
En la figura 2.2 se ilustra la forma como se obtiene un espectro de diseño, para el efecto se
seleccionan registros sísmicos de una determinada región, que se encuentren registrados sobre el
mismo tipo de suelo ya que se ha visto que un mismo sismo puede tener diferentes registros en
suelo duro y en suelo blando a pesar de que los dos sitios están muy cercano.
Es preferible que los registros con los cuales se obtengan los espectros sean de eventos
con magnitudes mayores a cuatro o en su defecto que tengan aceleraciones máximas superiores
al 10% de la aceleración de la gravedad.
Lamentablemente en América Latina no se dispone de una suficiente cantidad de
registros sísmicos, clasificados de acuerdo al tipo de suelo, ni tampoco de registros de
sismos fuertes por lo que toca trabajar con los archivos que se disponen o en su defecto se
pueden generar registros sísmicos artificiales que sean compatibles con la sismicidad local de una
región. Orosco et al (2005).
ESPECTROS RESPUESTA
01b
02a
02b
2000
03a
1800
03b
04a
1600
04b
05a
05b
Aceleración
1400
1200
06a
06b
07a
07b
1000
800
600
400
08a
08b
200
09a
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
Periodo
Figura 2.2 Esquema de obtención de un espectro de diseño
3,5
09b
Media
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
29
Una vez definidos los registros con los cuales se va a obtener un espectro de diseño se
encuentran los espectros de respuesta de cada uno de ellos, para esto previamente se normalizan
a un determinado valor todos los acelerogramas, en el ejemplo indicado en la figura 2.2 se han
normalizado de tal manera que la aceleración máxima del registro sea el 40% de la aceleración de
la gravedad.
Mediante estadísticas se encuentra el espectro medio, como se ilustra en la figura 2.2 con
una línea un poco más gruesa. El espectro medio tiene una probabilidad del 50% de que sus
ordenadas sean excedidas lo cual sería inseguro ya que significa que para un determinado período
habrán sismos cuya aceleración espectral es mayor que la del espectro medio.
Con el propósito de minimizar la aceleración de excedencia de ciertos sismos, se sube la
curva media encontrando la desviación estándar y se puede presentar la curva de valores medios
más una desviación estándar. Lo cierto es que se trabaja en forma probabilística y los espectros
están asociados a una determinada probabilidad de excedencia.
2.2 ESPECTRO ELÁSTICO DEL CEC-2000
En la figura 2.3 se presenta la forma del espectro de diseño elástico del CEC-2000 que
está definido por las siguientes ecuaciones:
T <T∗
T∗ <T <T+
T >T+
Ad = α β Ao
1.25 α Ao S
T
α Ao
Ad =
2
Ad =
( 2.2 )
S
( 2.3 )
( 2.4 )
Donde α es el coeficiente de importancia de la estructura; β , T ∗ , T + , S parámetros que
están definidos en la tabla 2.1 y que dependen del perfil de suelo. A0 es la aceleración máxima del
suelo y está definido en el mapa de peligrosidad sísmica del Ecuador, indicado en el capítulo
anterior, T es el período de vibración de la estructura.
Se recuerda que el valor de A0 del CEC-2000 fue obtenido para un período de retorno de
475 años con una probabilidad de excedencia del 10%. Si se considera α = 1 , se mantiene la
probabilidad de excedencia, este valor se recomienda para viviendas y oficinas. Para
edificaciones esenciales, como hospitales, se considera α = 1.5 , en este caso la probabilidad
de excedencia está alrededor de 2% cantidad muy baja considerando el período de retorno. Para
edificaciones con ocupación especial como Escuelas o locales que albergan a más de 5000
personas el valor de α = 1.3
Es importante que se tenga muy en cuenta que si se trabaja con α = 1.5 se está
incrementando las fuerzas sísmicas en 50% cantidad que es demasiado alta y debido a esto es
que se tiene una probabilidad de excedencia muy baja. El valor máximo de la Norma COVENIN
1756-98 es α = 1.3 para edificaciones esenciales, que es un valor adecuado. Por lo tanto, se
recomienda que para edificaciones esenciales como hospitales se calcule con α = 1.3 y para
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
30
edificios con ocupación especial se tome α = 1.15 para que la probabilidad de excedencia
no sea tan baja. Valores altos de α implican fuerzas sísmicas altas.
Figura 2.3 Espectro Elástico del Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000
Tabla 2.1 Parámetros que definen el espectro elástico del CEC-2000
Perfil de suelo
β
T∗
T+
(s)
(s)
S1
0.50
2.50
2.5
S2
0.52
3.11
3.0
S3
0.82
4.59
2.8
S4
2.00
10.00
2.5
S
1.0
1.2
1.5
2.0
Los cuatro perfiles de suelo del CEC-2000 se determinan de la siguiente manera:
1
Perfil de suelo S1 son suelos cuya velocidad de la onda de corte, V s es mayor a 750 m/s,
con período de vibración menor a 0.2 s. Entre ellos se incluyen:
Roca sana o parcialmente alterada, con resistencia a la compresión no confinada
mayor o igual a 500 KPa = 5 Kg/cm2.
Gravas arenosas, limosas o arcillas densas o secas.
Suelos cohesivos duros con resistencia al corte en condiciones no drenadas
mayores a 100 KPa, con espesores menores a 20 m., y que se encuentran sobre
roca u otro material cuyo V s es mayor a 750 m/s.
Arenas densas con número de golpes del SPT: N>50 con espesores menores a 20
m., y que se encuentren sobre roca u otro material cuyo V s es mayor a 750 m/s.
Suelos y depósitos de origen volcánico firmemente cementados, tobas y
conglomerados con número de golpes del SPT: N>50.
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CEINCI-ESPE
31
2
Perfil de suelo S2 son suelos con características intermedias entre los suelos S1 y S3.
3
Perfil de suelo S3 son aquellos cuyo período fundamental es mayor a 0.6 s., En la tabla
2.2 se indican las características de los suelos blandos o estratos de gran espesor que son
considerados S3.
Suelos Cohesivos
Tabla 2.2 Características de los suelos tipo S3.
Resistencia al corte
Vs
no drenada
(m/s)
Espesor del
Estrato
Su
Blandos
Semiblandos
Duros
Muy duros
Suelos Granulares
Sueltos
Semidensos
Densos
< 200
200 – 400
400 – 750
> 750
< 25 KPa
25 KPa – 50 KPa
50 KPa – 100 KPa
100 KPa – 200 KPa
> 20 m.
> 25 m.
> 40 m.
> 60 m.
Vs
Valores N del SPT
(m/s)
< 200
200 – 750
> 750
Espesor del
Estrato
4 – 10
10 – 30
> 30
> 40 m.
> 45 m.
> 100 m.
Si el sitio donde las propiedades del suelo son poco conocidas, se podrá considerar
que el perfil de suelo es S3.
4
Perfil de suelo S4 son suelos con condiciones especiales. En este grupo se incluyen los
siguientes:
1
2
3
4
5
Suelos con alto potencial de licuación, susceptibles de colapso y sensitivos.
Turbas, lodos y suelos orgánicos.
Rellenos colocados sin control técnico.
Arcillas y limos de alta plasticidad ( IP > 75 ).
Arcillas suaves y medio duras con espesor mayor a 30 m.
Los perfiles de este grupo incluyen a suelos particulares altamente compresibles, donde
las condiciones geológicas y/o topográficas sean especialmente desfavorables y que
requieran estudios geotécnicos no rutinarios para determinar sus características
mecánicas.
2.3 ESPECTROS POR DESEMPEÑO
En el capítulo anterior se habló que el Comité VISION 2000 establece cuatro sismos
denominados: frecuente, ocasional, raro y muy raro para el análisis y diseño sísmico por
desempeño, los mismos que están indicados en la tabla 2.3. Ahora lo que interesa ilustrar en este
apartado es como se determinan las formas espectrales para los sismos: frecuente,
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
32
ocasional y muy raro habida cuenta que el espectro del sismo raro es el del CEC-2000.
En el capítulo 8 del libro Análisis Sísmico por Desempeño, Aguiar (2003) se indican todos
los estudios que se han realizado para proponer la siguiente metodología para encontrar los
espectros de los sismos: frecuente, ocasional y muy raro, a partir del espectro del sismo raro.
Sismo
Tabla 2.3 Sismos recomendados por el Comité VISION 2000.
Período medio Tasa Anual de
Vida Útil
Probabilidad
T
de Excedencia
t
p
de retorno, r excedencia, 1
∗
P
Frecuente
Ocasional
Raro
Muy raro
•
30 años
50 años
50 años
100 años
50%
50%
10%
10%
43 años
72 años
475 años
970 años
0.02310
0.01386
0.00211
0.00105
Para el Sismo Frecuente se dividen las ordenadas espectrales del Sismo Raro para 3 y
posteriormente se ajusta la forma espectral para un amortiguamiento ξ del 2%.
Multiplicando la forma espectral por f a indicado en la ecuación ( 2.5 )
⎛
1+ ξ
f a = 2 ⎜⎜
0.865
⎝ 1 + 14.68 ξ
⎞
⎟
⎟
⎠
( 2.5 )
La ecuación ( 2.5 ) sirve para obtener espectros para cualquier factor amortiguamiento ξ , a
partir del espectro para ξ = 0.05 . Esta ecuación es propuesta por la Normativa Sísmica de
Chile de (1996) para estructuras con aislamiento de base y se ha verificado que reporta
resultados satisfactorios con sismos registrados en el Ecuador. Aguiar y Álvarez (2007).
Existe otra ecuación más sencilla, que también se puede hallar para pasar del espectro
que está calculado para un ξ = 0.05 a un ξ = 0.02 Esta es:
⎛ 0.05 ⎞
⎟⎟
f a = ⎜⎜
⎝ ξ ⎠
0.4
•
Para el Sismo Ocasional se multiplica el sismo frecuente por 1.4
•
Para el Sismo muy raro se multiplica el sismo raro por 1.3
•
EJEMPLO 1
( 2.6 )
Encontrar los espectros para los sismos: frecuente, ocasional, raro y muy raro; para la
zona de mayor peligrosidad sísmica de Ecuador y en un perfil de suelo S4.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
•
33
SOLUCIÓN
En la figura 2.4 se presentan los espectros requeridos, los mismos que se hallan utilizando
el programa VISION descrito en el capítulo tres del libro: Dinámica de Estructuras con MATLAB.
Aguiar (2007).
2.4 ESPECTRO INELÁSTICO
Al realizar el análisis sísmico con el espectro elástico del CEC-2000 se espera que la
estructura no sufra daño. Por lo tanto, todo el tiempo trabajará en el rango elástico pero esto no es
adecuado ya que el espectro del CEC-2000 tiene un período de retorno de 475 años es decir la
probabilidad de que se registre durante la vida útil de la estructura es muy baja. Sería muy costoso
diseñar una estructura con el espectro elástico, además de ello los elementos estructurales que
resultan serían de grandes dimensiones.
Figura 2.4 Espectros: frecuente, ocasional, raro y muy raro para un perfil S4.
Por consiguiente se diseña las estructuras considerando un espectro inelástico el mismo
que se obtiene dividiendo las ordenadas del espectro elástico para R φ p φ e como lo ilustra la figura
2.5. Donde R es el factor de reducción de las fuerzas sísmicas debido a comportamiento inelástico
34
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
de la estructura; este factor se define en forma muy general en las diferentes normativas sísmicas y
más responde a criterios cualitativos emitidos por expertos, que a criterios cuantitativos, razón por
la cual se dedicará todo un apartado para su estudio en este capítulo. φ p y φ e son factores con
los que se pretende penalizar las irregularidades tanto en planta como en elevación, que tiene una
edificación y son abordados en el siguiente apartado.
2.5 IRREGULARIDADES EN PLANTA
El CEC-2000 considera cinco tipos de irregularidades en planta que a continuación se las
comentan:
1. Irregularidad Torsional.- Existe irregularidad por torsión cuando la máxima deriva de piso
de un extremo de la estructura, calculada incluyendo la torsión accidental y medida
perpendicularmente a un eje determinado, es mayor que 1.2 veces la deriva promedio de
los dos extremos con respecto al mismo eje de referencia. Esto se lo ilustra en la figura 2.6
Figura 2.5 Espectros: Elástico e Inelástico del CEC-2000
La nomenclatura de la figura 2.6 es la siguiente: d 1 , d 2 son los desplazamientos
horizontales de los pisos 1 y 2, ∆ piso 1 , ∆ piso 2 , son las derivas de los pisos 1 y 2.
∆ piso 1 =
d1
H1
∆ piso 2 =
d 2 − d1
H2
Donde ∆ 1 es el mayor valor entre ∆ piso 1 y ∆ piso 2 en el pórtico 1, que es el extremo. ∆ 2
es similar a ∆ 1 pero en el otro pórtico extremo en este caso el pórtico 4. ∆ i es el mayor
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
35
valor entre ∆ 1 y ∆ 2 . Se debe verificar, si:
⎛ ∆ + ∆2 ⎞
∆ i > 1.2 ⎜ 1
⎟
2
⎝
⎠
⇒ φ p = 0.9
Figura 2.6 Irregularidad torsional φ p = 0.9
2. Retrocesos excesivos en las esquinas.- La configuración de una estructura se
considera irregular cuando presenta retrocesos excesivos en sus esquinas. Un retroceso
en una esquina se considera excesivo cuando las proyecciones de la estructura, a ambos
lados del retroceso, son mayores que el 15% de la dimensión de la planta de la estructura
en la dirección del retroceso. En este caso φ p = 0.9 , en la figura 2.7 se muestran los
retrocesos.
Figura 2.7 Retrocesos en las esquinas.
36
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
3. Discontinuidades en el sistema de piso.- La configuración de la estructura se considera
irregular cuando el sistema de piso tiene discontinuidades apreciables o variaciones
significativas en su rigidez, incluyendo las causadas por aberturas, entradas, retrocesos o
huecos, con áreas mayores al 50% del área total de piso o con cambios en la rigidez
efectiva del piso de más del 50% entre niveles consecutivos. Estas discontinuidades se
penalizan con φ p = 0.9 . En la figura 2.8 se ilustran algunos casos en que el área de las
aberturas es mayor del 50%.
Figura 2.8 Discontinuidades en el sistema de piso.
4. Desplazamiento del plano de acción de elementos verticales.- Una estructura se
considera irregular cuando existen discontinuidad en los elementos verticales, tales como
desplazamientos del plano de acción de elementos verticales del sistema resistente. Los
desplazamientos del plano de acción se penalizan con φ p = 0.8 . En La figura 2.9 a la
izquierda se observa que existe continuidad en la columna central, lo cual está correcto; en
cambio, en la figura de la derecha se aprecia que no existe continuidad en la columna
central ya que llega solo al primer piso, lo que es incorrecto y se penaliza con φ p = 0.8 .
Figura 2.9 Desplazamientos del plano de acción de los elementos verticales.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
37
5. Ejes estructurales no paralelos.- La estructura se considera irregular cuando los ejes
estructurales no son paralelos o simétricos con respecto a los ejes ortogonales principales
de la estructura. La penalización de estas estructuras es φ p = 0.9 . En la figura 2.10 a la
izquierda se ve una estructura con los ejes de columnas ortogonales lo que no sucede con
la configuración en planta de la estructura de la izquierda.
Figura 2.10 Desplazamientos del plano de acción de elementos verticales.
En todas las plantas de la estructura, se deberá verificar la existencia de irregularidades en
planta. Finalmente la irregularidad en planta, se calculará con la siguiente ecuación:
φ p = φ pa φ pb
( 2.7 )
Donde φ pa es el mínimo valor de φ pi de cada piso i de la estructura para cuando se
encuentren las irregularidades en planta tipo 1, 2 y/o 3. φ pb es el mínimo valor de φ pi de las
estructuras para cuando se encuentren las irregularidades tipo 4 y/o 5.
2.6 IRREGULARIDADES EN ELEVACIÓN
Los cinco tipos de irregularidades en elevación que considera el CEC-2000, son:
1. Piso flexible (irregularidades en rigidez).- La estructura se considera irregular cuando la
rigidez lateral de un piso es menor que el 70% de la rigidez lateral del piso superior o
menor que el 80% del promedio de la rigidez lateral de los tres pisos superiores. En este
caso φ e = 0.9 . En la figura 2.11 se explica lo expuesto en un edificio de 6 pisos.
38
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Figura 2.11 Piso flexible (irregularidad de rigidez).
2. Irregularidad de la distribución de las masas.- La estructura se considera irregular
cuando la masa de cualquier piso es mayor a 1.5 veces la masa de uno de los pisos
adyacentes, exceptuando el caso de cubiertas que sean más livianas que el piso inferior.
La irregularidad en la distribución de las masas se penaliza con φ e = 0.9 . En la figura 2.12
se ha colocado como ejemplo si la masa del piso D es mayor a 1.5 veces la masa del piso
E o 1.5 veces la masa del piso C, se considera φ e = 0.9 .
Figura 2.12 Irregularidad en la distribución de las masas.
3. Irregularidad Geométrica.- La estructura se considera irregular cuando la dimensión en
planta del sistema resistente en cualquier piso es mayor que 1.3 veces la misma dimensión
en un piso adyacente, exceptuando el cado de los altillos de un solo piso. Cuando la
estructura tiene esta irregularidad geométrica φ e = 0.9 . En la estructura de la figura 2.13 se
aprecia que los dos últimos pisos tienen una dimensión menor a la de los pisos inferiores,
menor en más de un 30%. Por lo tanto para esta estructura φ e = 0.9 .
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
39
Figura 2.13 Irregularidad geométrica.
4. Desalineamientos de ejes verticales.- La estructura se considera irregular cuando
existen desplazamientos en el alineamiento de elementos verticales del sistema resistente,
dentro del mismo plano en el que se encuentran y estos desplazamientos son mayores que
la dimensión horizontal del elemento. Se exceptúa la aplicabilidad de este requisito cuando
los elementos desplazados solo sostienen la cubierta de la estructura sin otras cargas
adicionales de tanques o equipos. El desalineamiento de ejes verticales se penaliza con
φ e = 0.8 . En la figura 2.14 se ilustra el problema.
Figura 2.14 Desalineamiento de ejes verticales.
40
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
5. Piso débil – Discontinuidad en la resistencia.- La estructura se considera irregular
cuando la resistencia del piso es menor del 70% de la del piso inmediatamente superior,
entendiéndose la resistencia del piso como la suma de las resistencias de todos los
elementos que comparten el cortante del piso para la dirección considerada. Para esta
irregularidad se tiene φ e = 0.9 . En la figura 2.15 se observa que la resistencia del piso B
es menor a 0.7 veces la resistencia del piso C.
Al igual que la irregularidad en planta, se debe analizar las irregularidades en elevación en
todos los pisos de la estructura φ ei . La irregularidad en elevación de una estructura se calcula con
la siguiente ecuación:
φ e = φ ea φ eb φ ec
( 2.8 )
Donde: φ ea es el mínimo valor de φ ei para cuando existan irregularidades tipo 1 y/o 5.
φ eb es el mínimo valor de φ ei para cuando existan irregularidades tipo 2 y/o 3. φ ec es el mínimo
valor de φ ei para cuando exista la irregularidad tipo 4.
Figura 2.15 Piso débil – discontinuidad en la resistencia.
2.7 FACTOR R EN VARIOS PAÍSES LATINOAMERICANOS
Una de las debilidades de la mayor parte de normativas sísmicas es que no indican como
se debe evaluar el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R , en parte se debe a que este es
un tema que está actualmente en investigación, a pesar de que se ha venido trabajando desde
hace unos 30 años, pero esto es una razón más para ser cautelosos en la selección del valor
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
41
de reducción de las fuerzas sísmicas.
Algunas normativas presentan este valor para diferentes tipologías estructurales y
responden más al criterio de expertos basados en un comportamiento cualitativo de las
estructuras, pero no indican como se debe evaluar este factor.
Dos debilidades presentan la mayor parte de normativas en cuanto al factor R y son las
siguientes:
•
El factor R depende del período de vibración de la estructura pero muy pocas normas
consideran esta variable y dan un solo valor de R al margen del período.
•
Por otra parte, el factor R depende del tipo de suelo. Chopra (2005), Ordaz y Pérez
(1999), entre otros. De tal forma que se debería especificar el factor R y el tipo de suelo.
2.7.1 Factor R del Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000
Los valores estipulados por el CEC-2000 para el factor de reducción de las fuerzas
sísmicas R son demasiado altos por lo que se recomienda tomar las precauciones del
caso. En la tabla 2.4 se indican estos valores y están asociados a una gran capacidad de
ductilidad de las estructuras.
Tabla 2.4 Valores del coeficiente de reducción de respuesta estructural propuestos por el CEC-2000
Sistema Estructural
R
Estructuras con pórticos espaciales sismo resistentes de
10
hormigón armado o de estructuras de acero laminado en
caliente. Sistemas de pórticos espaciales sismorresistentes de
hormigón o de acero laminado en caliente, con muros
estructurales de hormigón armado (sistemas duales).
Estructuras con pórticos espaciales sismo resistentes y
8
diagonales rigidizadoras. Estructuras con vigas perdidas en las
losas (losa plana) y con muros estructurales.
Estructuras con vigas perdidas en las losas (losas planas) y sin
7
muros estructurales. Estructuras con pórticos espaciales
sismo-resistentes en conjunto con mampostería confinada.
Estructuras de acero laminado en frío. Estructuras de madera
Estructuras de mampostería reforzada
4.5
Estructuras de tierra
1.5
El uso de los factores R del CEC-2000 está condicionado a que se trabaje con las
combinaciones de carga del A.C.I. de 1999, en las que se mayora la acción sísmica. Estas son:
U = 1 .4 D + 1 .7 L
U = (1.4 D + 1.7 L ± 1.87 S ) 0.75
U = 0.9 D ± 1.43 S
42
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Donde U son las combinaciones de carga mayoradas; D la carga muerta, también
conocida como carga permanente; L es la carga viva y S es la carga sísmica. Consecuentemente
la acción sísmica se está mayorando por un factor que está alrededor de 1.4. Con esta
consideración, por ejemplo para una estructura con vigas y columnas el factor de R es
aproximadamente igual a 10/1.4 = 7.1
No se puede trabajar con los factores R del CEC-2000 y con las combinaciones de
carga del A.C.I. 2002, que son las siguientes:
U = 1.2 D + 1.6 L
U = 1.2 D + 1.0 L ± 1.0 S
U = 0 .9 D ± 1 .0 S
Si se trabaja con los valores R del CEC-2000 y las combinaciones de carga del A.C.I.
2002 se está subvalorando la acción sísmica en un 30%, aproximadamente. Se está diseñando
para fuerzas sísmicas muy bajas.
Por otra parte usar los valores R estipulados por el CEC-2000 significa que la estructura
va a tener una capacidad de ductilidad global µ , mayor o igual a 4. Esto implica que la ductilidad
por curvatura de las vigas µ φ sean mayores o iguales a 15. Si la ductilidad por curvatura es menor
a la cantidad indicada el valor R es menor. De tal manera que utilizar los valores R del CEC2000 tiene implícito realizar un nivel de diseño muy riguroso, cumplir con todas las especificaciones
del A.C.I.
2.7.2 Factor R de la Norma de Colombia NSR-98
Para estructuras con pórticos espaciales sismo resistentes de hormigón armado la
Normativa de Colombia NSR-98 establece un valor máximo de R = 7.0 para estructuras muy bien
diseñadas ( µ ≥ 4 ) en las que se espera la máxima disipación de energía cuando incursionen en el
rango no lineal. Por otra parte, en el apartado B.2.4.2, establecen las siguientes combinaciones de
carga.
U = 1 .4 D + 1 .7 L
U = 1.05 D + 1.28 L ± 1.0 S
U = 0 .9 D ± 1 .0 S
Consecuentemente, el espectro de la Norma Colombiana está a nivel de cargas últimas.
Son comparables los dos valores R del CEC-2000 siempre y cuando se mayores la acción
sísmica con los valores R de la norma NSR-98. En estructuras conformadas por vigas y columnas,
sin muros de corte. En otras palabras el factor R de la norma NSR-98 es el mismo que el del
CEC-2000 pero hay una gran diferencia entre estas dos normativas y radica en el hecho de que la
norma NSR-98 estipula una deriva máxima de piso del 1% y el CEC-2000 una del 2%. Ambas
son calculadas inelásticamente. Como se verá posteriormente el factor R depende de la deriva
máxima de piso esperada.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
43
2.7.3 Factor R de la Norma Venezolana COVENIN 1756-98
Para estas mismas estructuras, pórticos conformados por vigas y columnas sin muros de
corte, la Norma Venezolana COVENIN 1756-98 (2001) establece un valor máximo de R = 6 para
el nivel de diseño sísmico más exigente. De tal manera que el valor de R en estructuras con un
diseño sísmico muy exigente está entre 6 y 7. En este caso no se mayora la acción sísmica. En
efecto las combinaciones de carga son:
U = 1.1 D + 1.0 L ± 1.0 S
U = 0.9 D ± 1.0 S
2.7.4 Factor R de la Norma de Chile Ch 433-96
La Norma de Chile Ch 433-96 estipula un valor de R0 igual a 11 para estructuras con
vigas y columnas, pero el factor de reducción de las fuerzas sísmicas se halla con la siguiente
ecuación.
R =1+
T∗
0.1 T0 +
T*
R0
Donde T ∗ es el período con mayor masa traslacional en la dirección de análisis; T0
período que depende del tipo de suelo; R0 es factor de modificación de la respuesta estructural,
depende del sistema estructural y del material empleado y R es el factor de reducción de las
fuerzas sísmicas. Las combinaciones de carga de la norma Ch 433-96, son:
U = 1.4 (D + L ± E )
U = 0.9 D ± 1.4 E
Por otra parte, la deriva de piso máxima permitida es 0.1%. Es deriva elástica, sin
embargo es un valor bastante bajo. De tal manera que mientras más bajo es la deriva de piso
máxima permitida mayor es el factor R
2.7.5
Factor R de la Norma de Perú E.030
Para las estructuras con vigas y columnas, la Norma de Perú indica que el valor de R = 8
pero se debe mayorar la acción sísmica en las combinaciones de carga, como se indica a
continuación:
U = 1.25 (D + L ± E )
U = 0.9 D ± 1.25 E
44
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Por lo tanto, la norma de Perú tiene un espectro a nivel de cargas de servicio. Si se divide
el factor R para 1.25, para no mayorar la acción sísmica en las combinaciones de carga, se halla
que R = 6.4 .
Por otro lado la deriva de piso máxima inelástica permitida es 0.7% que es bastante
baja, ya que es inelástica.
2.7.6
Comparación de los factores R
Como se habrá observado hay una serie de factores que influyen en el factor R . Una
nueva variable es la forma como se hallan los desplazamientos inelásticos ∆ i a partir de los
desplazamientos elásticos ∆ e . De tal manera que existen algunas variables que están
relacionadas con el factor R y en algunas normativas hay cierta inconsistencia entre estas
variables.
En la tabla 2.5, se comparan los factores R , para estructuras conformadas por vigas y
columnas sin muros de corte, de los países que se han presentado, se indica este factor; el tipo de
espectro formulado, si es Último no se mayora la acción sísmica en las combinaciones de carga; la
deriva máxima permitida; que tipo de deriva es la permitida y para el caso de que son derivas
inelásticas se indica la forma como se hallan los desplazamientos inelásticos.
Venezuela
Tabla 2.5 Comparación de variables que intervienen en el factor R
Tipo de
Deriva de
Tipo de
Norma
Factor R
Espectro
Piso
Deriva
COVENIN
6
Último
0.018
Inelástica
Colombia
NSR-98
7
Último
0.01
Inelástica
∆i = R ∆e
Ecuador
CEC-2000
10
Servicio
0.02
Inelástica
Perú
E.030
8
Servicio
0.007
Inelástica
∆i = R ∆e
∆ i = 0.75 R ∆ e
Chile
NCh 433-96
11 ( R0 )
Servicio
0.001
Elástica
País
2.7.7
156-98
Desplazamiento
Inelástico
∆ i = 0.8 R ∆ e
Necesidad de investigación local
En cada País, la arquitectura de los edificios y los materiales empleados en ellos, es
diferente, razón por la cual es necesario estudiar el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R ,
en cada sitio. En la figura 2.16 se presentan 4 fotografías del centro norte de Quito, tomadas desde
el piso 20 del Hotel Colón. La superior izquierda tiene vista hacia la Iglesia de Santa Teresita; la
superior derecha hacia las calles Juan León Mera y 6 de Diciembre pero con dirección al norte; la
inferior izquierda con vista a la González Suárez y la inferior derecha con vista hacia el sector de la
Carolina, fotografías encontradas en (www.skyscrapercity.com)
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
45
Figura 2.16 Fotografías del Centro Norte de Quito. (www.skyscrapercity.com)
En el Ecuador en edificios de 1 a 6 pisos se acostumbra utilizar vigas no muy peraltadas,
vigas que sobresalen ligeramente de la losa, con columnas de sección transversal pequeña y se
emplean estribos de 8 mm., de diámetro eso si espaciadas a 10 cm., en los extremos y 20 cm., en
el centro de luz, además en las columnas es frecuente el uso de estribo doble o estribo más una
vincha. Es este tipo de estructuras en que se ha determinado el factor R y en el siguiente
apartado se presentan los resultados encontrados. Aguiar (2007).
Se analizaron 216 edificios cuadrados, con tres ejes de columnas en cada dirección y 216
edificios cuadrados, con cuatro ejes de columnas. Los edificios son de 1 a 6 pisos con un hormigón
de 210 Kg./cm2 y con un acero de 4200 Kg./cm2; estos son los materiales que normalmente se
utilizan en las construcciones de hormigón armado.
2.8 CUANTIFICACIÓN DEL FACTOR R
A mediados de 1980, se realizaron estudios experimentales, en la Universidad de
Berkeley, California, tendientes a encontrar el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R y es
así como Uang y Bertero (1986) y Whittaker et al (1987) proponen la siguiente relación.
R = R µ RΩ Rξ
( 2.9 )
Donde Rµ es el factor de ductilidad, R Ω es el factor de sobre resistencia y Rξ es el factor
de amortiguamiento. En los estudios experimentales que realizaron en estructuras de acero
encontraron que el factor R varía entre 4.5 y 6.0
Posteriormente, Freeman (1990), Uang (1991) han hecho modificaciones a la ecuación
46
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
(2.9 ) hasta llegar a la propuesta del ATC (1995) en que se cambia el factor de amortiguamiento
Rξ por el factor de redundancia R R que toma en cuenta los ejes de columnas, a mayor número de
ejes de columnas se tendrá un mayor valor de R R , de tal manera que la ecuación ( 2.9 ) queda:
R = R µ RΩ R R
( 2.10 )
Se puede pensar en calcular el factor R en función de los siguientes cuatro factores:
R = R µ Rξ RΩ R R
( 2.11 )
Hay trabajos como el de Riddell y Newmark (1979) que incorporan el amortiguamiento en
el factor de reducción por ductilidad, de tal manera que Rµ Rξ están incorporados en un solo
factor que puede denominarse Rµ ,ξ . Este trabajo de Riddell y Newmark (1979) ha sido incorporado
en el Código Sísmico de Costa Rica de 2002.
2.9 FACTOR DE REDUCCIÓN POR DUCTILIDAD Rµ
Nuevamente se recomienda la lectura del capítulo 3 del libro Dinámica de Estructuras con
MATLAB de Aguiar (2007) donde se demuestra entre otras cosas la regla de igual desplazamiento
y la regla de igual energía que son fundamentales para entender las propuestas que se han
realizado sobre el factor de reducción por ductilidad Rµ . En dicho capítulo se presenta también las
propuestas realizadas a nivel mundial por Newmark y Veletsos (1960), Newmark y Hall (1973),
Riddell y Newmark (1979), Newmark y Hall (1982) que todavía tienen vigencia.
En el artículo, “Factor de reducción de las fuerzas sísmicas por ductilidad” Aguiar (2007)
se presentan 14 trabajos realizados a nivel mundial sobre este factor, siendo el último de ellos el
efectuado por Lobo et al (2002) y también se presentan cuatro trabajos realizados en el Ecuador y
son los realizados por Aguiar y Guerrero (2005); Aguiar y González (2006) y dos trabajos
realizados por Aguiar, Romo y Aragón (2007,1,2).
Se define como Rµ a la relación entre la máxima fuerza elástica Fe con respecto a la
máxima fuerza inelástica F y .
Rµ =
Fe
Fy
( 2.12 )
Pero por otra, también se tiene que el desplazamiento máximo inelástico en un sistema de
un grado de libertad ∆ i es igual a:
∆i =
µ
Rµ
∆e
( 2.13 )
Donde: µ es la demanda de ductilidad, ∆ e es el desplazamiento máximo elástico en un
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
47
sistema de 1 gdl. Rµ es el factor de reducción por ductilidad. De ecuación (2.13 ) se halla:
Rµ =
µ
Cµ
Cµ =
∆i
∆e
De tal manera que hay dos formas de hallar Rµ , en base a fuerzas, con la ecuación (2.12)
o en base a desplazamientos con la ecuación (2.13).
2.9.1
Aguiar y Guerrero (2006)
En base al análisis de 63 acelerogramas con aceleraciones de suelo mayor al 10% de la
aceleración de la gravedad, de sismos registrados en Colombia, Perú, Chile y Argentina, Aguiar y
Guerrero (2006) encontraron una relación para el factor Rµ que es función de la relación entre la
rigidez post fluencia con respecto a la rigidez elástica, que se denomina α . Si α = 0 se tiene el
modelo elasto perfectamente plástico. Las ecuaciones obtenidas en el estudio son las siguientes:
R µ = [c (µ − 1) + 1]
1/ c
T 2.07
0.381
+
2.07
T
1+ T
1.247
0.248
T
+
c=
1.247
T
1+ T
c=
•
para α = 0.0
( 2.14 )
para α = 0.05
EJEMPLO 2
Determinar las curvas del factor de reducción por ductilidad Rµ para un valor α = 0 ,
empleando la propuesta de Aguiar y Guerrero (2006). Para demandas de ductilidad de 1.5, 2.0, 3.0
y 4.0. Comentar los resultados.
•
SOLUCIÓN
En la figura 2.17 se presentan los factores de Rµ encontrados para un modelo elasto
perfectamente plástico, α = 0 . Del análisis de esta figura se realizan los siguientes comentarios:
•
Para períodos entre 0.5 y 1.5 los valores que se obtienen son superiores a la ductilidad.
•
Para períodos mayores a 1.5 prácticamente se cumple la regla de igual desplazamientos,
aunque se aprecia que ligeramente son menores a la ductilidad para períodos altos.
•
El modelo propuesto por Aguiar y Guerrero (2006) no depende del tipo de suelo.
48
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Figura 2.17 Factores Rµ empleando propuesta de Aguiar y Guerrero (2006).
2.9.2 Aguiar y González (2006)
Lamentablemente no se dispone, en el Ecuador, de acelerogramas de eventos sísmicos
fuertes, clasificados de acuerdo al tipo de suelo. Razón por la cual, se procedió a obtener registros
artificiales con las siguientes características: i) La duración de los eventos sísmicos varía entre 20 y
50 s., ii) la fase intensa del sismo es de 10 s., iii) Los acelerogramas que se obtuvieron generan en
forma aproximada los espectros elásticos del CEC-2000 para los cuatro perfiles de suelo y iv) Los
acelerogramas encontrados generan espectros asociados a un valor A0 = 0.4 g. Para cada perfil
de suelo se obtuvo siete acelerogramas sintéticos con los cuales se halló la siguiente ecuación:
Rµ =
µ
⎡⎛ a
⎞⎛ T ⎞
1 + ⎢⎜⎜ b + c ⎟⎟ ⎜ ∗ ⎟
⎠ ⎝T ⎠
⎢⎣⎝ µ
d
⎤
⎥
⎥⎦
−1
( 2.15 )
Las constantes a, b, c, d fueron obtenidas en el estudio y se indican en la tabla 2.5. El
valor de T ∗ es el indicado en la tabla 2.6.
Tabla 2.6 Valores de a, b, c, d encontrados en el estudio. Aguiar y González (2006)
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
Perfil de Suelo
S1
S2
S3
S4
•
a
b
c
d
30.00
71.80
81.04
86.00
1.34
2.00
2.00
2.10
-1.49
-1.50
-2.55
-2.60
0.60
0.50
0.50
0.48
49
EJEMPLO 3
Determinar las curvas del factor de reducción por ductilidad Rµ para un perfil de suelo S1,
empleando la propuesta de Aguiar y González (2006). Para demandas de ductilidad de 1.5, 2.0,
3.0 y 4.0. Comente los resultados.
•
SOLUCIÓN
En la figura 2.18 se presentan los factores de reducción por ductilidad empleando la
recomendación de Aguiar y González para un perfil de suelo S1. Los comentarios que se realizan a
esta figura y en general a esta propuesta son los siguientes:
•
Para períodos altos el valor Rµ es menor que la ductilidad µ . En consecuencia no se
cumple la regla de iguales desplazamientos. El tener valores bajos de Rµ implica tener
fuerzas sísmicas más altas.
•
Se nota que Rµ cambia con el período aunque sea en forma muy pequeña para valores
de períodos altos pero existe ese cambio.
2.9.3 Aguiar, Romo y Aragón (2007)
En base a 112 sismos artificiales compatibles con los espectros del CEC-2000 para los
cuatro perfiles de suelo y con 80 registros de sismos muy pequeños, se obtuvo Rµ siguiendo los
lineamientos propuestos por Chopra (2005). Los resultados obtenidos, son:
⎧ ⎡ ⎛
a
⎪
C µ = ⎨1 + ⎢λ ⎜⎜ b
⎪⎩ ⎢⎣ ⎝ µ
Rµ =
µ
Cµ
c −1
⎞ ⎛ T ⎞ ⎤ ⎫⎪
⎟ ∗ ⎜ψ ∗ ⎟ ⎥ ⎬
⎟ ⎝ T ⎠
⎥⎦ ⎪
⎠
⎭
0.30103
( 2.16 )
50
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Figura 2.18 Factores Rµ para un perfil S1, empleando propuesta de Aguiar y González (2006).
Tabla 2.7 Valores obtenidos en el estudio para diferentes tipos de suelo y ductilidades.
Ductilidad 2
ψ
a
c
Perfil de Suelo
λ
b
0.35
-3.50
1.40
0.17
0.87
S1
0.60
-2.90
1.31
0.17
0.82
S2
3.40
-1.00
1.50
0.21
1.00
S3
2.10
-1.40
1.00
0.12
1.70
S4
Ductilidad 3
1.00
-2.70
1.40
0.04
0.15
S1
1.00
-1.20
1.40
0.05
0.49
S2
3.00
-1.00
1.80
0.07
0.73
S3
15.00
-0.08
1.40
0.07
0.30
S4
Ductilidad 4
1.30
-1.50
1.76
0.03
0.25
S1
7.80
1.00
1.40
0.02
0.50
S2
1.30
-0.20
1.41
0.01
0.93
S3
0.23
-0.60
1.80
0.04
2.91
S4
En la tabla 2.7 se indican el valor de las variables a, b, c, λ , ψ encontrados en el estudio
para ductilidades de 2, 3 y 4 y para los cuatro perfiles de suelo del CEC-2000.
Una forma más compacta del ajuste de los datos, es la ecuación ( 2.17 ) . En este caso se
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
51
tiene una sola variable que es a . Los valores de esta variable se indican en la tabla 2.8.
⎡
a T (1 − 0.165 µ ) ⎤
Rµ = 1 + (µ − 1) ⎢
⎥
⎣ a T (1 − 0.165 µ ) + 4900 ⎦
Variable
a
Tabla 2.8 Valores de la variable a
Suelo S1
Suelo S2
Suelo S3
100500
91000
73600
( 2.17 )
Suelo S4
38900
Por lo tanto, se tienen dos fórmulas que se pueden usar, la ( 2.16 ) y la ( 2.17 ) . La ventaja
de usar ésta última ecuación radica en que se obtiene directamente valores de Rµ para
ductilidades con decimales, ejemplo µ = 2.3 . Si se utiliza la ecuación ( 2.16 ) para encontrar Rµ
para µ = 2.3 se debe calcular primero el valor de Rµ para µ = 2 , luego calcular Rµ para µ = 3 ,
finalmente hay que interpolar para hallar Rµ para µ = 2.3 . En cambio con la ecuación ( 2.17 ) el
cálculo es directo.
En la figura 2.19 se comparan los valores de Rµ que se hallan con las ecuaciones ( 2.14 )
para α = 0 , ( 2.15 ), ( 2.16 ) y ( 2.17 ). Están identificadas en la figura 2.19 como ecuaciones que
van de la ( 1 ) a la ( 4 ). Para los cuatro perfiles de suelo que contempla el CEC-2000.
Como la ecuación ( 2.14 ) no depende del tipo de suelo, su valor no difiere en los cuatro
gráficos. La ecuación ( 2.15 ) proporciona valores bajos de Rµ . Por lo tanto, es una fórmula
bastante conservadora. Las curvas que se hallan con las ecuaciones ( 2.16 ) y ( 2.17 )
prácticamente son las mismas, por lo que se recomienda trabajar con la ( 2.17 ).
Los valores que se hallan con ( 2.16 ) y ( 2.17 ) están entre las que reportan ( 2.14 ) y
(2.15). Dos aspectos positivos de las ecuaciones ( 2.16 ) y ( 2.17 ) son que para un período igual a
cero inician en la unidad y para el rango de períodos largos el valor de R µ ≈ µ , es decir se cumple
con la regla de igual desplazamiento y esto se observó en la mayoría de resultados que el
desplazamiento máximo inelástico es aproximadamente igual al desplazamiento máximo elástico
que es el fundamento de la regla de igual desplazamiento.
52
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Figura 2.19 Factores Rµ encontrados para el Ecuador, para ductilidad 4.
2.10 FACTOR DE SOBRE RESISTENCIA RΩ
Se define el factor de sobre resistencia R Ω como la relación entre el cortante basal último
que es capaz de soportar la estructura VU con relación al cortante basal de diseño V D .
RΩ =
VU
VD
( 2.18 )
En estructuras bien diseñadas este factor debe ser mayor que la unidad ya que
normalmente en el diseño se coloca una mayor cantidad de armadura, existen factores de
seguridad en los modelos constitutivos de los materiales y para facilitar la construcción se
uniformizan las secciones con lo que se coloca una mayor sección.
No siempre colocar más armadura en los elementos estructurales es beneficioso para la
estructura y por ende implica un mayor R Ω . Por ejemplo, si se coloca una mayor cantidad de
armadura longitudinal en vigas, ocasiona que estas secciones tienen una mayor capacidad a
flexión y esto induce a un mayor cortante y si no se tiene una adecuada cantidad de refuerzo
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
53
transversal se va a producir la falla por corte y por ende tendrá menos R Ω .
En el análisis sísmico los elementos no estructurales, normalmente no se consideran pero
la presencia de los mismos incrementa su capacidad y por ende R Ω . Pero nuevamente no se
puede generalizar, ya que por ejemplo, en algunas ocasiones la mampostería genera elementos
cortos en las columnas las mismas que son muy vulnerables con lo que R Ω , disminuye.
Existen varias formas de encontrar R Ω , una de ellas mediante un análisis dinámico no
lineal y otra mediante un análisis no lineal estático. En este capítulo se determina R Ω a partir de la
curva de capacidad sísmica resistente, que relaciona el cortante basal V con el desplazamiento
lateral máximo en el tope de un edificio Dt , la misma que se halla aplicando la técnica del
pushover. Aguiar (2002, 2003).
2.10.1 Aguiar, Guadalupe y Mora (2007)
Aguiar, Guadalupe y Mora (2007) en base al análisis de 432 edificios de hormigón armado
de 1 a 6 pisos, conformados por vigas y columnas, sin muros de corte, determinan R Ω en base a
la deriva máxima de piso γ , de acuerdo a la siguiente metodología.
i.
Se halla la curva de capacidad sísmica resistente V − Dt como se indica a la izquierda de
la figura 2.19.
ii.
A partir de la curva V − Dt se halla la curva cortante basal V con deriva global de la
estructura γ g . Para el efecto el desplazamiento lateral Dt se divide para la altura total del
edificio H . Esta curva V − γ g se indica a la derecha de la figura 2.19.
γg =
Dt
H
Figura 2.19 Relaciones V − Dt y V − γ g .
( 2.19 )
54
iii.
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Se halla la relación cortante basal V con deriva máxima de piso γ . Para el efecto se debe
encontrar una relación entre la deriva de piso γ y la deriva global γ g .
Se define el parámetro β 2 a la relación entre γ / γ g . Este parámetro fue obtenido para
estructuras conformadas por vigas y columnas de hormigón armado, del análisis no lineal
de 120 edificios de 1 a 10 pisos, ante la acción de 32 acelerogramas. Aguiar et al (2006).
Llegando a obtener:
β 2 = −0.0231 N 2 + 0.3018 N + 0.6759
( 2.20 )
γ = β2 γ g
( 2.21 )
Siendo N el número de pisos. El valor de β 2 siempre será mayor a la unidad. De tal
manera que a partir de la curva V − γ g se obtiene la curva V − γ , la misma que se indica
a la izquierda de la figura 2.20.
iv.
Para una determinada deriva máxima de piso γ , se halla un cortante basal V . Si se divide
el cortante basal VU , que es el cortante máximo de la curva de capacidad sísmica
resistente para V se halla R Ω . De tal forma que de la curva V − γ se halla R Ω − γ .
Figura 2.20 Relaciones V − γ y RΩ − γ .
A mayor deriva de piso γ que se espera en una estructura menor será R Ω . En la figura
2.21 se presentan los valores medios encontrados en los edificios de 1 a 6 pisos de 2 y 3 vanos.
De esta gráfica se desprende que no se puede indicar que a mayor número de vanos mayor será
el valor de R Ω o al revés.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
55
Figura 2.21 Valores promedios de R Ω para diferentes valores de γ
2.10.2 Aguiar y Guaiña (2008)
En la figura 2.22 se presentan los valores del factor de sobre resistencia R Ω encontrados
en el estudio en función del período de vibración T de las estructuras, también se ha encontrado la
curva que mejor se ajusta a los resultados obtenidos y estas son las indicadas en la tabla 2.9, la
validez de estas ecuaciones es para estructuras con períodos mayores a 0.35 s., y menores a
1.05 s. Aguiar y Guaiña (2008).
γ
0.5 %
1.0 %
Tabla 2.9 Ecuaciones de ajuste de la sobre resistencia
Ecuación
RΩ = 1.69 +
0.82
T
1.5
−
0.50
Error
10 %
T2
RΩ = 1.43 + 0.0229 T 2 + 0.029 log
T
T
10.4 %
2
1.5 %
RΩ = −2.83 T + 6.27 T − 4.27 T + 2.07
8.0 %
2.0 %
RΩ = −2.34 T 3 + 4.93 T 2 − 3.14 T + 1.70
8.0 %
3
2
56
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Figura 2.22 Variación de la sobre resistencia en función del período de vibración.
2.11 FACTOR DE REDUNDANCIA R R
El factor de redundancia R R mide la capacidad de incursionar la estructura en el
rango no lineal. La capacidad de una estructura en redistribuir las cargas de los elementos con
mayor solicitación a los elementos con menor solicitación. Se evalúa como la relación entre el
cortante basal máximo VU con respecto al cortante basal cuando se forma la primera articulación
plástica V1 .
RR =
VU
V1
( 2.22 )
Con esta definición el factor de redundancia será siempre mayor que la unidad, ya que una
estructura que no tenga redundancia y en la cual se forme la primera rótula plástica, y colapse se
tendrá que VU = V1 .
Si en una estructura se pueden formar una gran cantidad de rótulas plásticas antes de que
colapse tendrá un factor de redundancia alto, para esto en forma intuitiva se ve que es función del
número de ejes de columnas, ya que mientras mayor sea el número de ejes de columnas se tendrá
un mayor número de secciones que pueden rotularse.
En lugar de hablar de rótulas plásticas, parece que es más apropiado hablar de secciones
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
57
que ingresan al rango no lineal; cuyo momento es mayor que el momento de fluencia. La definición
de rótula plástica indica que la sección es incapaz de absorber más momento por lo que empieza
únicamente a rotar, esto responde a un modelo elasto plasto.
2.11.1 Recomendación del ATC-19 (1995)
El ATC-19 (1995) recomienda los valores de R R indicados en la tabla 2.10 los mismos que
están en función del número de ejes de columnas. Para estructuras que tengan 5 o más ejes de
columnas el factor de R R es mayor a la unidad pero no indica que tan mayor.
Tabla 2.10 Valores de R R propuestos por el ATC-19 (1995).
Número de ejes de columnas
RR
2
3
4
0.71
0.86
1.00
El valor de R R se evaluará en cada dirección ya que habrá estructuras que tengan por
ejemplo 4 ejes de columnas en una dirección y 3 ejes de columnas en la dirección perpendicular.
Si una estructura tiene 3 ejes de columnas en cada dirección, en total 9 columnas, el valor
de R R a utilizar, de acuerdo a la tabla 2.10, es 0.86 con lo que se disminuye el factor de reducción
de las fuerzas sísmicas R .
2.11.2 Metodología de Tsopelas y Husain (2004)
Tsopelas y Husain (2004) proponen el cálculo del factor de redundancia R R en base a dos
índices, el uno de naturaleza determinística rS conocido como índice de resistencia y el otro de
carácter probabilística rV que es el índice de variación de redundancia. El índice de resistencia
se evalúa con la ecuación ( 2.22 ). Para el cálculo del índice de variación de redundancia rV , en
dos dimensiones Husain y Tsopelas (2004) deducen la siguiente ecuación:
rV =
1 + (n − 1) ρ
n
( 2.23 )
Donde n es el número de rótulas plásticas para el mecanismo de colapso considerado;
ρ es el coeficiente de correlación promedio de las deformaciones.
58
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
ρ=
n
1
ρ ij
n (n − 1) i , j =1
∑
( 2.24 )
i≠ j
Donde ρ ij es el coeficiente de correlación entre los momentos M i , M j . Siendo M i el
momento de fluencia del elemento estructural donde se formó la rótula plástica i .
El valor de rV varía desde 0 que corresponde a un sistema que tiene mucha redundancia
estructural hasta 1 que es un sistema que no tiene redundancia. En efecto si n = 1 , la ecuación
(2.23) vale la unidad, luego no tiene redundancia.
En la figura 2.23 se indican valores de rV para valores del coeficiente de correlación
promedio de 0; 0.20; 0.40 Se aprecia que a medida que ρ aumenta el valor de rV aumenta es
decir el sistema es menos redundante. Valores altos de ρ implican que hay una gran correlación
entre los momentos M i , M
j
y valores bajos de ρ significa que hay poca correlación entre los
momentos y se incrementa su redundancia debido a su efecto probabilístico.
Figura 2.23 Valores de rV en función del número de rótulas plásticas.
En base a estos dos índices, Tsopelas y Husain (2004) determinan el factor de
redundancia R R con la siguiente ecuación:
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
⎛ 1 − k ν e rV
R R = rS ⎜⎜
⎝ 1− kνe
⎞
⎟⎟
⎠
59
( 2.25 )
Donde ν e es el coeficiente de variación de las fuerzas y varía entre 0.08 y 0.14; k es un
factor de forma de la resistencia que varía entre 1.5 y 2.5. De tal manera que k ν e varía entre 0.12
y 0.35. Tsopelas y Husain (2004).
2.11.3 Aguiar, Guaiña y Bernal (2008)
Aguiar, Guaiña y Bernal (2008) determinan el factor de redundancia R R aplicando la
ecuación (2.22) pero considerando que V1 = VY . Donde VY es el cortante basal de fluencia de la
estructura. Para hallar VU y VY se aplica la técnica del pushover y se encuentra la curva de
capacidad sísmica resistente que relaciona el cortante basal V con el desplazamiento lateral
máximo Dt . Para encontrar el punto de fluencia se aplica el criterio de iguales áreas. Aguiar
(2002). Por lo tanto, el factor de redundancia se encuentra con la siguiente ecuación.
RR =
VU
VY
( 2.26 )
Donde VU es la capacidad máxima al cortante basal que tiene la estructura y VY es el
cortante a nivel de fluencia.
Por otra parte, se considera que una estructura tiene un muy buen comportamiento si se
forma el mecanismo de fallo mostrado en la figura 2.24, en donde se han rotulado todas las vigas
en sus extremos y los pies de las columnas.
Figura 2.24 Mecanismo de colapso, adoptado en el estudio.
60
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Si al aplicar la técnica el pushover en una estructura se forman menos rótulas plásticas
para llegar al fallo, que las del mecanismo de colapso adoptado, el valor de R R obtenido con la
ecuación (2.26) se disminuye en forma proporcional al número de rótulas con las que se llegó al
fallo.
Con la metodología descrita se halló el factor R R en las 432 estructuras que sirvieron
también para hallar R Ω . Los resultados encontrados en función del período de vibración se indican
en la figura 2.25. La ecuación que mejor se ajusta a estos resultados es la siguiente.
R R = −2.99 T 3 + 6.54 T 2 − 3.26 T + 1.30
( 2.27 )
Figura 2.25 Variación del factor de reducción por redundancia con el período.
2.12 PROPUESTA DEL FACTOR R
Al reemplazar el factor de reducción por ductilidad R µ de la ecuación (2.17); el factor de
sobre resistencia R Ω de la tabla 2.9 y el factor de redundancia R R de la ecuación (2.27) en la
expresión ( 2.10 ) se halla el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R para estructuras
conformadas por vigas y columnas, sin muros de corte. Los resultados expresados en forma
gráfica para una capacidad de ductilidad global de la estructura de 4 se indican en la figura 2.26.
En esta figura con una línea horizontal se ha dibujado la recta R = 7 .
En la figura 2.26, se aprecia que el factor R puede ser mayor a 7 si las derivas máximas
permitidas son γ = 0.5 % o γ = 1.0 % pero dependen del período y del tipo de suelo. En efecto en
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
61
un perfil de suelo S3 se tienen valores mayores de 7 sólo para derivas de piso igual a 0.5%.. Lo
importante es notar que si puede ser mayor a 7 el factor R cuando se trabaja con un
espectro de cargas últimas siempre y cuando la deriva máxima permitida sea menor o igual
al 1%, en suelos S1 a S3.
Figura 2.26 Valores del factor de reducción de las fuerzas sísmicas para ductilidad igual a 4.
Para derivas de piso máximas de 1.5 % o 2 % el factor R es menor a 7, para el rango de
períodos considerado.
En base al estudio realizado se propone que para estructuras conformadas por vigas y
columnas sin muros de corte, el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R sea igual a 6
para los perfiles de suelo S1, S2 y S3. Para el perfil de suelo S4 el factor R debe ser igual a
5. Esta propuesta está condicionada a que la deriva máxima calculada en forma inelástica
sea menor a 1.5%.
En el libro: “Factor de reducción de las fuerzas sísmicas en edificios de hormigón armado”,
Aguiar (2007) se presenta un estudio detallado de la investigación realizada en el Centro de
Investigaciones Científicas de la ESPE, sobre el factor de reducción de las fuerzas sísmicas,
trabajo desarrollado entre 2005 y 2007.
62
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
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9. Aguiar R., (2003), Análisis Sísmico por Desempeño, Centro de Investigaciones Científicas,
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9. Aguiar R., Álvarez M., (2007), “Obtención de espectros para diferentes factores de
amortiguamiento”, XIX Jornadas Nacionales de Ingeniería Estructural. Universidad
Nacional del Chimborazo, 1-11, Riobamba. Se publicará también en la Revista Técnica de
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Escuela Politécnica Nacional, 10 p.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
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63
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Engineering, 130 (11), 1659-1666.
CAPÍTULO 3
MATRIZ DE RIGIDEZ: LATERAL Y EN COORDENADAS DE PISO
RESUMEN
Uno de los modelos más utilizados para el análisis sísmico espacial de edificios es el
considerar tres grados de libertad por planta, que implica suponer que la losa es
completamente rígida en su plano. Realmente se trata de un pseudo análisis espacial ya que
se trabaja con pórticos planos unidos por una losa rígida pero es muy utilizado en el mundo.
Para este modelo de análisis se determina la matriz de rigidez en coordenadas de piso,
en el presente capítulo.
Para hallar la matriz de rigidez en coordenadas de piso, se necesita conocer la matriz
de rigidez lateral de cada uno de los pórticos, razón por la cual se presenta en forma práctica
el cálculo de la matriz de rigidez lateral para los siguientes casos: sin considerar nudos
rígidos, considerando nudos rígidos y sin nudos rígidos pero considerando el aporte de
la mampostería.
Para facilitar el cálculo se presentan los programas: RLAXINFI, que sirve para pórticos
formados por vigas y columnas sin muros de corte; RLAXINFIMURO que halla la matriz de
rigidez lateral en pórticos con muros de corte y RLAXINFIMAMPOSTERIA que encuentra la
matriz de rigidez lateral en pórticos planos, sin muros de corte pero con el aporte de la
mampostería, la misma que es modelada de acuerdo a la normativa de Perú.
Se presentan nueve modelos para obtener el ancho equivalente de la mampostería
para la diagonal equivalente y de estos se seleccionó el de Paulay y Priestley (1992) que fue
acogido por la Norma de Perú.
Por considerarlo de interés se presentan las lecciones dejadas en el sismo del Perú de
2007 en el Bloque de Enfermería de la Universidad San Luis Gonzaga de la ciudad de Ica,
donde se desacopló la mampostería mediante la construcción de subpórticos conformados por
columnetas y viguetas los mismos que confinan a la mampostería. Pero la falta de anclaje del
hierro longitudinal de las columnetas en la viga principal llevó a que falle las bases del
subpórtico.
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
66
3.1
INTRODUCCIÓN
Para ilustrar el modelo de análisis, en la figura izquierda de 3.1 se tiene una estructura
de un piso sin deformarse. A la derecha de la figura 3.1 se presenta una deformada de la losa
por efecto de la componente horizontal de un sismo, con líneas entrecortadas se ha
representado la posición inicial de la losa y con líneas continuas la posición final. Nótese que
las dimensiones de la losa deformada son las mismas de la losa sin deformación.
Un punto cualquiera de la losa se ha desplazado horizontalmente en la dirección X,
horizontalmente en la dirección Y, además ha rotado con respecto a un eje perpendicular al
plano de la losa. De tal manera que se tienen tres grados de libertad. En teoría estos grados de
libertad pueden ubicarse en cualquier punto de la losa pero para facilitar el cálculo de la matriz
de masas se acostumbra ubicarlo en el Centro de Masa, C.M.
En la figura 3.2 se presenta una estructura de un piso que tiene cuatro pórticos, dos en
sentido X, y dos en sentido Y. Se indican los grados de libertad, ubicados en el C.M., los
mismos que se han identificado con la letra q y el vector que contiene a todos estos grados de
libertad se denomina vector de coordenadas generalizadas q .
Figura 3.1 Hipótesis planteada para los movimientos horizontales del suelo.
Figura 3.2 Sistema de coordenadas de piso Q-q
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
67
Todos los puntos de la losa tendrán el mismo desplazamiento horizontal q1 ; lo propio
con el desplazamiento q 2 y con la rotación de piso q 3 .
3.2
RELACIÓN ENTRE COORDENADAS DE PISO Y DE PÓRTICO
Para ilustrar la relación que existe entre las coordenadas de piso y las coordenadas de
pórtico, se observa la estructura de un piso de la figura 3.2, se ha identificado por 1 y 2, los
pórticos que se encuentran en sentido X, y por A, B, los que se hallan en sentido Y.
Un pórtico cualquiera tendrá, como coordenada principal, un solo grado de libertad que
es el desplazamiento lateral del pórtico, a manera de ejemplo en la figura 3.3 se indican la
coordenada del pórtico 1, algo similar se tienen para los otros pórticos. En este caso la
coordenada lateral se ha colocado al lado derecho pero se pudo haber colocado al lado
izquierdo y con sentido contrario. Se define la orientación positiva del pórtico 1 a la dirección
en que se colocó la coordenada 1.
Figura 3.3 Coordenada lateral del pórtico 1. Sistema P-p.
Ahora tiene importancia la orientación positiva de los pórticos que se ha indicado en la
figura 3.4. Esta orientación es paralela a los ejes de coordenadas X, Y. La orientación de los
pórticos es positiva si están en la dirección de los ejes. El C.M. de ésta estructura se considera
que está ubicada en el centro de gravedad de la misma y tiene coordenadas X CM = 3.0 m.,
YCM = 2.5 m.
A las coordenadas laterales de los pórticos se las agrupa en el vector p y a los
elementos se los identifica con p . La una es negreada y la otra no. Para el pórtico 1, que es de
un piso, se tiene una coordenada p1 que corresponde al desplazamiento horizontal del piso
uno, medida positiva si el desplazamiento es hacia la derecha. Con la letra P1 se identifica la
fuerza horizontal en el piso 1. Si son varios pisos las fuerzas horizontales se agrupan en el
vector P .
La relación entre las coordenadas de piso q y las coordenadas de pórtico p viene
dada por la matriz de compatibilidad de deformaciones A , definida de la siguiente manera:
p= Aq
( 3.1 )
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
68
Figura 3.4 Geometría de la estructura de un piso.
Para encontrar la columnas de la matriz A se dibujaran elementales q i y se miden las
deformaciones p . Estas son positivas si el pórtico se desplaza en sentido de la orientación
positiva.
•
EJEMPLO 1
Determinar la matriz de compatibilidad A de la estructura de un piso indicada en la
figura 3.2.
•
SOLUCIÓN
¾
Primera columna de la matriz A
q1 = 1
y
qi = 0
i ≠1
Figura 3.5 Deformada elemental q1
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
69
Es el centro de masa el que se desplaza horizontalmente, en sentido X, la unidad pero
como la losa es totalmente rígida en el plano, toda la losa se mueve la unidad como se aprecia
en la figura 3.5. Ahora se debe medir las deformaciones en cada uno de los pórticos.
p1(1) = 1
p1( 2) = 1
p1( A) = 0
p1( B ) = 0
Entre paréntesis se ha identificado al pórtico. Para los pórticos en sentido X, los
desplazamientos son positivos y valen la unidad; en cambio, para los pórticos en sentido Y, son
nulos ya que la estructura se mueve como cuerpo rígido en sentido X.
¾
Segunda columna de la matriz A
La deformada elemental se presenta en la figura 3.6; en este caso la losa se mueve
como cuerpo rígido, en sentido Y, la unidad.
q2 = 1
y
qi = 0
i≠2
Figura 3.6 Deformada elemental q 2 .
Luego los desplazamientos laterales de cada uno de los pórticos son:
p1(1) = 0
p1( 2) = 0
p1( A) = 1
p1( B ) = 1
Se deja al lector la obtención de los elementos de la tercera columna de A, los valores
que se obtienen, son:
p1(1) = −2.5
p1( 2 ) = 2.5
p1( A) = −3
Luego la matriz A, resulta:
⎡1
⎢1
A=⎢
⎢0
⎢
⎣0
0
0
1
1
− 2.5⎤
2.5 ⎥⎥
− 3 .0 ⎥
⎥
3.0 ⎦
p1( B ) = 3
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
70
La matriz A es particionada, para el ejemplo se tiene:
⎡ A (1) ⎤
⎢ ( 2) ⎥
⎢A ⎥
A = ⎢ ( A) ⎥
⎢A ⎥
⎢ A(B) ⎥
⎦
⎣
La matriz A del pórtico 1, es:
A (1) = [1
− 2.5]
0
La matriz A de cada pórtico tiene una fila debido a que la estructura es de 1 piso y tiene
3 columnas. Para el caso general la matriz de compatibilidad A tendrá NP filas y 3 por NP
columnas, siendo NP el número de pisos y la forma de esta matriz es:
A
Donde
X,
α
(i )
Senα
r1
⎡Cosα
⎢
......
.......
=⎢
⎢⎣
Cosα
Senα
⎤
...... ⎥⎥
rn ⎥⎦
( 3.2 )
es el ángulo que forma la orientación positiva del pórtico con respecto al eje
r1 es la distancia desde el origen de coordenadas CM hasta el pórtico ( i ) en el piso uno, rn
es la distancia medida en el último piso desde el origen de coordenadas hasta el pórtico. Los
valores de r , tienen signo, serán positivas si la orientación positiva del pórtico rota con
respecto al CM en forma antihorario.
3.3
MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS DE PISO
Para encontrar la matriz de rigidez en coordenadas de piso K E , se considera como
artificio que cada uno de los pórticos, son elementos de una estructura que están unidos entre
si por medio de una losa rígida. Con esta hipótesis, la matriz de rigidez se obtiene empleando
la teoría de Análisis Matricial de Estructural. Aguiar (2004) que establece lo siguiente:
KE =
NP
∑A
(i ) t
K L( i )
A(i )
( 3.3 )
i =1
El procedimiento de cálculo para hallar la matriz de rigidez en coordenadas de piso, es
el siguiente:
i.
Se determina la matriz de rigidez lateral K L de cada uno de los pórticos
planos.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
71
ii.
Se encuentra la matriz de compatibilidad de deformaciones A de cada pórtico,
empleando la ecuación ( 3.2 ).
iii.
Se halla la matriz de rigidez en coordenadas de piso, empleando la ecuación
(3.3).
Se desea ver la contribución de un pórtico cualquiera a la matriz de rigidez en
(i )
coordenadas de piso K E . Sea K L la matriz de rigidez lateral del pórtico y A (i ) la matriz de
compatibilidad.
[
A ( i ) = Cos α I
Sen α I
r
]
Al efectuar el triple producto matricial indicado en ( 3.3 ) se obtiene:
⎡Cosα2 K L( i )
⎢
∆K E = ⎢ Senα Cosα K L( i )
⎢
(i )
(i )
⎢⎣Cosα K L r
Cosα K L( i ) r ( i ) ⎤
⎥
Senα K L( i ) r ( i ) ⎥
2 ⎥
K L( i ) r ( i )
⎥⎦
Senα Cosα K L( i )
Senα2 K L( i )
( 3.4 )
( )
Senα K L( i ) r ( i )
En ( 3.4 ) se ha denominado ∆K E a la contribución de un pórtico a la matriz de rigidez
de la estructura. Para hallar la matriz de rigidez K E total se debe sumar la contribución de los
demás pórticos con lo que se obtiene:
⎡
⎢
KE = ⎢
⎢
⎢
⎣
∑ Cosα K
∑ Senα Cosα K
∑ Cosα K r
2
(i )
L
(i )
L
(i )
(i )
L
∑ Senα Cosα K
∑ Senα K
∑ Senα K r
2
∑ Cosα K r
∑ Senα K r
∑ K (r )
(i )
L
(i )
L
(i )
L
(i )
L
(i )
L
(i )
L
(i )
(i )
⎤
⎥
(i ) ⎥
( 3.5 )
⎥
2 ⎥
⎦
(i )
La sumatoria se extiende a todos los pórticos de la estructura. La matriz de rigidez K E
es de orden 3NP por 3NPy es simétrica con respecto a la diagonal principal. De igual manera
la matriz K E se puede escribir de la siguiente manera:
KE
⎡ K XX
⎢
=⎢
⎢⎣
K XY
K YY
K Xθ ⎤
⎥
K Yθ ⎥
K θθ ⎥⎦
( 3.6 )
Siendo K XX , K YY las matrices de rigidez lateral por traslación; K θθ matriz de rigidez
torsional; K Xθ , K Yθ matrices de rigidez de acoplamiento lateral con torsión; K XY es la matriz
trasnacional de acoplamiento en las direcciones X,Y.
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
72
K XX =
∑ Cosα
2
K Xθ =
K YY =
K L( i )
∑ Cosα K
(i )
L
r (i )
K XY =
∑ Senα
2
K θθ =
K L( i )
K Yθ =
∑ Senα K
∑ Cosα Senα K
(i )
L
∑ K (r )
r (i )
(i )
L
(i ) 2
( 3.7 )
(i )
L
Con respecto a las submatrices de la matriz de rigidez K E es necesario realizar los
siguientes comentarios:
•
Si se desea que la estructura tenga un muy buen comportamiento sísmico. Las
submatrices K XY , K Xθ , K Yθ deben ser nulas. En la medida que no lo sean se deberá
tomar precauciones en el diseño para no tener problemas de torsión.
•
Lo más crítico en las estructuras es la torsión y para evitar este problema es
conveniente que la submatriz K θθ sea lo más grande posible. Si se examina la
ecuación con la cual se evalúa K θθ se aprecia que es función del vector r elevado al
cuadrado. De tal manera, para tener K θθ lo más alto es necesario de que los pórticos
exteriores tengan mayor rigidez lateral.
Si se piensa, desde el punto de vista de cargas verticales, los pórticos centrales serán
los de mayores dimensiones y los exteriores de menores dimensiones pero ahora
desde el punto de vista sísmico y para tener mayor rigidez torsional se recomienda
que los pórticos exteriores tengan mayor rigidez.
3.4
MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL PARA PÓRTICOS SIN MUROS
En el capítulo 4 del libro Dinámica de Estructuras con MATLAB, Aguiar (2007) se
detalla el cálculo de la matriz de rigidez lateral en pórticos planos, considerando varios modelos
de análisis, por lo que se recomienda su lectura.
En éste apartado se presenta el cálculo de la matriz de rigidez lateral de un pórtico
plano sin muros de corte, para un modelo numérico de cálculo en que todos los elementos del
pórtico son axialmente rígidos, de tal manera que los grados de libertad son los
desplazamientos horizontales, uno por cada piso y las rotaciones en cada una de las
juntas.
En la figura 3.7 se presenta un pórtico de dos pisos y dos vanos en el que se ha
considerado que tanto las vigas como las columnas son axialmente rígidas. Las coordenadas
principales, son los desplazamientos horizontales de piso y se han numerado en primer lugar,
posteriormente se han numerado los giros de cada uno de los nudos, que son las coordenadas
secundarias, todo esto se aprecia en la figura izquierda, a la derecha se presenta el pórtico
únicamente con las coordenadas laterales.
Se define la matriz de rigidez lateral K L a la matriz de rigidez asociada a las
coordenadas laterales de piso.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
73
Figura 3.7 Grados de libertad, considerando que todos los elementos son axialmente rígidos y
coordenadas laterales.
3.4.1
Matrices de rigidez de los elementos
Para el modelo de análisis indicado, las matrices de rigidez de los elementos se indican
a continuación. En las figuras 3.8 y 3.9 se indican los sistemas de coordenadas para los
elementos viga y columna.
•
Elemento viga
Figura 3.8 Coordenadas globales para un elemento viga, axialmente rígido.
⎡ 4 EI
⎢
k= ⎢ L
⎢
⎢⎣
2 EI ⎤
L ⎥
⎥
4 EI ⎥
L ⎥⎦
( 3.8 )
Donde E es el módulo de elasticidad del material, I es el momento de inercia, L es
la longitud del elemento. Nótese que en la ecuación ( 3.8 ) no se considera el efecto de corte φ
que se hablará en el próximo apartado.
74
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
•
Elemento columna
⎡12 EI
⎢ L3
⎢
⎢
⎢
k= ⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
−
6 EI
L2
4 EI
L
−
12 EI
L3
6 EI
L2
12 EI
L3
−
6 EI ⎤
L2 ⎥⎥
2 EI ⎥
L ⎥
⎥
6 EI ⎥
L2 ⎥
⎥
4 EI ⎥
L ⎥⎦
( 3.9 )
Figura 3.9 Coordenadas globales para un elemento columna, axialmente rígido.
En las dos ecuaciones no se ha considerado el efecto de corte φ y nudos rígidos, de
tal forma que el modelo sirve para pórticos sin muros de corte, conformados por vigas y
columnas.
3.4.2
Ensamblaje de la matriz de rigidez
La matriz de rigidez de la estructura asociada a todos los grados de libertad, se obtiene
por ensamblaje directo, descrito con detalle en el libro Análisis Matricial de Estructuras, tercera
edición. Aguiar (2004) y se indica en forma resumida en el presente apartado, en base a la
estructura de la figura 3.7. En la figura 3.10 se indica la numeración de los elementos dentro de
un círculo y de los nudos. De esta manera se deben numerar los nudos y elementos para
utilizar el programa RLAXINFI que se presenta en un apartado posterior y que sirve para hallar
la matriz de rigidez lateral de un pórtico plano, sin muros de corte.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
75
Para encontrar la matriz de rigidez de la estructura, por ensamblaje directo, se
encuentra la matriz de rigidez de cada uno de los elementos, si es columna esta es de 4x4 y si
es viga de 2x2.
El Vector de Colocación VC de un elemento está conformado por los grados de libertad
del nudo inicial y del nudo final del elemento. El número de elementos del vector de colocación
es igual al número de coordenadas de miembro, con el que se halla la matriz de rigidez de
miembro.
•
Vectores de colocación VC, de las columnas.
Se considera que el nudo inicial de las columnas se encuentra en la parte inferior y el
nudo final en la parte superior. Con esta indicación y al observar la figura izquierda de 3.7, se
obtienen los siguientes vectores de colocación para cada una de las columnas.
VC (1) = [0 0 1 3]
VC ( 4) = [1 3 2 6]
VC ( 2) = [0 0 1 4]
VC (5) = [1 4 2 7]
VC (3) = [0 0 1 5]
VC ( 6 ) = [1 5 2 8]
Figura 3.10 Numeración de nudos y elementos.
•
Vectores de colocación VC, de las vigas.
El nudo inicial se encuentra a la izquierda y el nudo final a la derecha. Con esta
acotación de la figura izquierda de 4.1 se obtiene:
VC ( 7 ) = [3 4]
VC (8) = [4 5]
VC (9 ) = [6 7]
VC (10) = [7 8]
Para hallar la matriz de rigidez por ensamblaje directo, se obtiene la matriz de rigidez
de cada uno de los elementos y con el respectivo vector de colocación se efectúa el
ensamblaje. Para facilitar el cálculo se coloca el VC encima y a la derecha de la matriz de
rigidez del elemento; cuando una de las componentes de VC es cero se tacha la fila o columna
a la cual está asociada esa coordenada y cuando es diferente de cero se realiza el ensamblaje.
76
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
3.4.3
Condensación Estática
En la figura 3.7 se ha numerado en primer lugar las coordenadas laterales, que son las
coordenadas principales, debido a que ante la componente horizontal de un sismo los
desplazamientos laterales son de mayor magnitud que las rotaciones y cuando la estructura
ingresa al rango no lineal por medio de los desplazamientos laterales se disipa una mayor
cantidad de energía. Cuando se numera en primer lugar las coordenadas laterales la matriz de
rigidez condensada, que es la matriz de rigidez lateral K L , se halla con la siguiente ecuación.
−1
K L = K AA − K AB K BB
K BA
( 3.10 )
Donde K AA , K AB , K BA , K BB son submatrices de la matriz de rigidez K como se
aprecia en la figura 3.11. Siendo na el número de coordenadas principales y nb el número de
coordenadas secundarias. La suma de na y nb es el número de grados de libertad de la
estructura. Para el ejemplo de la figura 3.7 se tiene que na es igual a 2 y nb = 6.
Figura 3.11 Partición de la matriz de rigidez de la estructura.
No es obligatorio numerar primero las coordenadas principales, se pueden numerar
primero las coordinas secundarias y al final las principales. En este caso la matriz de rigidez
lateral vale:
−1
K L = K BB − K BA K AA
K AB
( 3.11 )
De tal forma que existen dos opciones para numerar los grados de libertad de la
estructura que son numerar primero todos las coordenadas principales o numerar al final estas
coordenadas. Lo que no se puede hacer es mezclar la numeración de las coordenadas
principales y secundarias.
Tanto en la ecuación ( 3.10 ) como en la ecuación ( 3.11 ) se debe obtener la matriz
inversa de una matriz. En los problemas de ingeniería se trata de evitar el cálculo de una matriz
inversa ya que demanda mucho tiempo y en lugar de ello se resuelven sistemas de
ecuaciones.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
77
Para cuando se numera primero las coordenadas laterales y se desea resolver un
conjunto de ecuaciones lineales en lugar de calcular la inversa K BB , la ecuación ( 3.10 ) se
escribe de la siguiente manera:
K L = K AA + K AB T
( 3.12 )
Para hallar la matriz T se debe resolver un conjunto de ecuaciones lineales de la
forma:
K BB T = − K BA
( 3.13 )
La matriz T tendrá nb filas y na columnas. Para encontrar la primera columna de la
matriz T se resolverá el sistema de ecuaciones lineales cuyo término independiente es la
primera columna de K BA cambiado de signo, para la segunda columna de T se resuelve el
sistema de ecuaciones cambiando el término independiente a la segunda columna de K BA
cambiado de signo y así sucesivamente. En todos los casos la matriz de coeficientes K BB es
la misma.
Una forma más eficiente de encontrar la matriz de rigidez lateral sin necesidad de
invertir la matriz ni de resolver un sistema de ecuaciones lineales, es aplicando la
triangularización de Gauss pero en este caso es obligatorio que las coordenadas principales se
numeren al final. En el libro Dinámica de Estructuras con MATLAB. Aguiar (2006) está
detallado el procedimiento de cálculo.
3.5
PROGRAMA RLAXINFI
El programa reporta la matriz de rigidez lateral y la graba en consola con el
nombre de KL para que se pueda utilizar en otros cálculos. La forma de uso del programa es:
[KL] = rlaxinfi (Nombre)
•
Nombre. Es el nombre del archivo que contiene la base y la altura de la sección
transversal y la longitud de los elementos.
function[KL]=rlaxinfi(nombre)
%
% Programa para encontrar la matriz de rigidez lateral de un portico plano
% considerando que todos los elementos son axialmente rigidos.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%------------------------------------------------------------% [KL]=rlaxinfi(nombre)
%------------------------------------------------------------% CG Matriz de coordenadas generalizadas
% VC Vector de colocacion
%E
Modulo de elasticidad del material
% SS Matriz de rigidez de la estructura
% b: base de la seccion transversal.
% h: altura de la seccion transversal.
78
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
% long: longitud del elemento.
% nombre Archivo de datos que contiene la base, la altura y la longitud
%
de cada uno de los elementos.
%
nod=input('\n Numero de nudos:');
np=input(' Numero de pisos:');
nr=input(' Numero de nudos restringuidos:');
E=input(' Modulo de elasticidad:');
% Coordenadas Generalizadas
CG=zeros(nod,2);ngl=0;k=nr;
for i=1:np
ngl=ngl+1;
for j=1:nr
k=k+1; CG(k,1)=ngl;
end
end
for i=1:nod-nr
ngl=ngl+1;
k=nr+i; CG(k,2)=ngl;
end
ncol=np*nr; mbr=ncol+(nr-1)*np;nvig=mbr-ncol;
ici=0;icf=nr;
for i=1:ncol
ici=ici+1; icf=icf+1;ini(i)=ici;fin(i)=icf;
end
ii=ncol;
for j=1:np
ici=j*nr;
for i=1:nr-1
ii=ii+1;ici=ici+1;ini(ii)=ici;fin(ii)=ici+1;
end
end
% Arreglo VC. Vectores de colocacion
for i=1:mbr
for k=1:2
VC(i,k)= CG(ini(i),k);
VC(i,k+2) = CG(fin(i),k);
end
end
% Matriz de rigidez de miembro y de la estructura
for i=1:mbr
B(i)=nombre(i,1);H(i)=nombre(i,2);L(i)=nombre(i,3);
end
% Calculo de la matriz de rigidez de la estructura
fprintf ('\n Calcula con: Inercias gruesas, codigo=0. Con inercias agrietadas, codigo=1');
icod=input('\n Ingrese codigo de inercias :');
SS=zeros(ngl,ngl);
for i=1:mbr
b=B(i);h=H(i);long=L(i);iner=b*h^3/12;ei=E*iner;
if i<=ncol
if icod==1
iner=0.8*iner;ei=E*iner;
end
k(1,1)=12*ei/long^3;k(1,2)=-6*ei/long^2;k(1,3)=-k(1,1);k(1,4)=k(1,2);
k(2,1)=k(1,2);k(2,2)=4*ei/long;k(2,3)=-k(1,2);k(2,4)=2*ei/long;
k(3,1)=k(1,3);k(3,2)=k(2,3);k(3,3)=k(1,1);k(3,4)=6*ei/long^2;
k(4,1)=k(1,4);k(4,2)=k(2,4);k(4,3)=k(3,4);k(4,4)=k(2,2);
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
79
else
if icod==1
iner=0.5*iner;ei=E*iner;
end
k=zeros(4,4);k(2,2)=4*ei/long;k(2,4)=2*ei/long;k(4,2)=k(2,4);k(4,4)=k(2,2);
end
for j=1:4
jj=VC(i,j);
if jj==0
continue
end
for m=1:4
mm=VC(i,m);
if mm==0
continue
end
SS(jj,mm)=SS(jj,mm)+k(j,m);
end
end
end
% Matriz de rigidez lateral
na=np;nb=ngl-np;
Kaa=SS(1:na,1:na);Kab=SS(1:na,na+1:ngl);Kba=Kab';Kbb=SS(na+1:ngl,na+1:ngl);
KL=Kaa-Kab*inv(Kbb)*Kba;
fprintf ('\n Matriz de rigidez lateral :');
save c:\KL
%---fin---
•
EJEMPLO 2
Encontrar la matriz de rigidez lateral del pórtico plano de la figura 3.12, de dos
maneras, a saber: i) con inercias gruesas; ii) con inercias agrietadas de acuerdo a lo estipulado
por el CEC-2000. Para los dos casos E = 1738965.21. Presentar el archivo de datos y la forma
de uso del programa RLAXINFI
Figura 3.12 Geometría de pórtico de ejemplo.
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
80
•
SOLUCIÓN
El archivo de datos que contiene las dimensiones de las secciones y la longitud de los
elementos se ha denominado casa y contiene la siguiente información
% Indique la base, la altura de la sección transversal y la longitud del elemento
0.20
0.30
3.0
0.20
0.30
3.0
0.20
0.30
3.0
0.20
0.30
3.0
0.20
0.30
3.0
0.20
0.30
3.0
0.25
0.25
4.0
0.25
0.25
5.0
0.25
0.25
4.0
0.25
0.25
5.0
>> load c:\casa
>> [KL]=rlaxinfi(casa)
Número de nudos: 9
Número de pisos: 2
Número de nudos restringidos: 3
Módulo de Elasticidad: 1738965.21
Cálculo con Inercias Gruesas, Código = 0. Con Inercias Agrietadas, Código = 1
Ingrese Código de Inercias=0
PROGRAMA REPORTA
⎡1651.00
KL = ⎢
⎣− 684.8
− 684.8 ⎤
480.6⎥⎦
Al calcular con Inercias Agrietadas, se halla:
⎡1243.5
KL = ⎢
⎣ − 492.6
− 492.6⎤
317.9 ⎥⎦
El CEC-2000 contempla las siguientes inercias agrietadas: I V = 0.5 I g ; I C = 0.8 I g .
Donde I g es la inercia gruesa.
3.6
MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL PARA PÓRTICOS CON MUROS
En los muros de corte es fundamental considerar el efecto de corte φ y en las vigas
que llegan a los muros de corte se debe considerar la condición de nudo rígido. Para satisfacer
estas dos condiciones y para mayor exactitud se presentan a continuación la matriz de rigidez
del elemento viga y del elemento columna considerando nudos rígidos y considerando el efecto
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
81
de corte. Se presentan estas matrices para el modelo numérico en el cual todos los elementos
del pórtico son axialmente rígidos.
¾
Elemento Viga
a + c1b'+ c 2 b + c1c 2 t ⎤
⎥
2
k '+2c 2 b'+ c 2 t ⎥⎦
⎡ k + 2c1b + c1 2 t
k= ⎢
⎢⎣
4( EI ) o ⎡ 1 + φ ⎤
L ⎢⎣1 + 4φ ⎥⎦
k' = k
2( EI ) o ⎡1 − 2φ ⎤
a=
L ⎢⎣1 + 4φ ⎥⎦
k=
( 3.14 )
( 3.15 )
( 3.16 )
( 3.17 )
6( EI ) o ⎡ 1 ⎤
⎥
⎢
L2 ⎣1 + 4φ ⎦
b' = b
12( EI ) o ⎡ 1 ⎤
t=
⎥
⎢
L3 ⎣1 + 4φ ⎦
3( EI ) o β
φ=
(GA) o L2
b=
( 3.18 )
( 3.19 )
( 3.20 )
( 3.21 )
Figura 3.13 Coordenadas locales para un elemento A = ∞ , con dos sectores de rigidez infinita.
¾
Elemento Columna
⎡t
⎢
⎢
k= ⎢
⎢
⎢⎣
− (b + c1t )
−t
k + 2c1b + c1 t
2
b + c1t
t
− (b'+ c 2 t )
⎤
⎥
a + c1b'+ c 2 b + c1c 2 t ⎥
⎥
b'+ c 2 t
⎥
2
k '+2c 2 b'+ c 2 t ⎥⎦
( 3.22 )
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
82
Figura 3.14 Coordenadas globales para un elemento vertical, con dos sectores de rigidez infinita.
Tanto en la ecuación ( 3.14 ) como en la ( 3.22 ), c1 es la longitud del nudo rígido en el
nudo inicial, c 2 es la longitud del nudo rígido en el nudo final. Es la distancia desde el borde del
elemento al eje del elemento en sentido perpendicular.
•
EJEMPLO 3
En la figura 3.15 se presenta un pórtico plano con un muro de corte de 30 cm., de
ancho por 4.0 m., de longitud. Las restantes columnas son de 60/60 y las vigas de 40/60. La
primera cantidad es la base y la segunda la altura. Considerar E = 1738965 .21 T / m 2 Se pide:
1) Encontrar la matriz de rigidez de los elementos: columna, muro de corte y viga.
2) Hallar la matriz de rigidez lateral del pórtico indicado con inercias gruesas.
Figura 3.15 Estructura con muro de corte de ejemplo 3
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
•
83
SOLUCIÓN
Las matrices de rigidez de los elementos son:
¾
Elemento Columna
⎡ 13729
⎢− 20593
k=⎢
⎢− 13729
⎢
⎣− 20593
¾
1741600
388200
− 577100
⎤
44135⎥⎦
Elemento Viga derecha
⎡44135
k=⎢
⎣19373
¾
258800
388200
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
1741600⎦
Elemento Viga izquierda
⎡16093
k=⎢
⎣19373
¾
13729
20593
Elemento Muro de Corte
⎡ 258800
⎢− 388200
k=⎢
⎢− 258800
⎢
⎣− 388200
¾
38715
20593
23064
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
38715⎦
⎤
16093⎥⎦
Matriz de rigidez lateral
⎡ 474600
KL = ⎢
⎣− 178150
− 178150⎤
115120 ⎥⎦
El Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000 indica que para estructuras con
muros de corte se considere que la inercia del muro agrietado es igual a 0.6 veces la
inercia del muro obtenido con inercias gruesas. Esto solo en los dos primeros pisos.
I M = 0.6 I g . La inercia del muro, para los pisos superiores es igual a I g . Por lo tanto solo se
admite daño en los dos primeros pisos.
3.7
PROGRAMA RLAXINFIMURO
El programa RLAXINFIMURO obtiene la matriz de rigidez lateral de pórticos
considerando el efecto de corte en los elementos y considerando nudos rígidos. Se puede
utilizar para calcular pórticos formados por vigas y columnas, o también pórticos formados por
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
84
vigas, columnas y muros de corte. Antes de usar el programa se deben tener en cuenta lo
siguiente:
•
•
•
Se deben numerar los nudos de izquierda a derecha y de abajo hacia arriba.
Se debe numerar primero los elementos verticales (columnas y muros) y al final los
elementos horizontales (vigas).
Se debe crear un archivo de datos con la siguiente información de cada uno de los
elementos:
9
9
9
9
9
•
Base de la sección transversal del elemento.
Altura de la sección transversal del elemento.
Longitud del elemento, medida desde eje a eje.
Longitud del nudo rígido en el nudo inicial.
Longitud del nudo rígido en el nudo final.
Se ejecuta el programa RLAXINFIMURO de la siguiente manera:
[KL]=rlaxinfimuro(nombre)
Nombre
Es el nombre del archivo de datos que contiene geometría de cada elemento.
function[KL]=rlaxinfimuro(nombre)
%
% Programa para encontrar la matriz de rigidez lateral de un portico plano
% con MUROS DE CORTE. Considerando que todos los elementos son axialmente
rigidos.
% Con un factor de forma de 1.2
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%------------------------------------------------------------% [KL]=rlaxinfimuro(nombre)
%------------------------------------------------------------% CG Matriz de coordenadas generalizadas
% VC Vector de colocacion
%E
Modulo de elasticidad del material
% SS Matriz de rigidez de la estructura
% b: base de la seccion transversal.
% h: altura de la seccion transversal.
% long: longitud del elemento.
% c1: longitud de nudo rigido en el nudo inicial.
% c2: longitud de nudo rigido en el nudo final.
% L= long-c1-c2
% nombre Archivo de datos que contiene la base, la altura, la longitud,
%
longitud del nudo rigido en nudo inicial y final, de cada uno de
%
los elementos, son 5 datos por elemento.
%
nod=input('\n Numero de nudos:');
np=input(' Numero de pisos:');
nr=input(' Numero de nudos restringuidos:');
E=1738965.21 % Programado para f'c=210, con E=12000 sqrt(f'c);
G=0.4*E; beta=1.2;
% Coordenadas Generalizadas
CG=zeros(nod,2);ngl=0;k=nr;
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
85
for i=1:np
ngl=ngl+1;
for j=1:nr
k=k+1; CG(k,1)=ngl;
end
end
for i=1:nod-nr
ngl=ngl+1;
k=nr+i; CG(k,2)=ngl;
end
ncol=np*nr; mbr=ncol+(nr-1)*np;nvig=mbr-ncol;
ici=0;icf=nr;
for i=1:ncol
ici=ici+1; icf=icf+1;ini(i)=ici;fin(i)=icf;
end
ii=ncol;
for j=1:np
ici=j*nr;
for i=1:nr-1
ii=ii+1;ici=ici+1;ini(ii)=ici;fin(ii)=ici+1;
end
end
% Arreglo VC. Vectores de colocacion
for i=1:mbr
for k=1:2
VC(i,k)= CG(ini(i),k);
VC(i,k+2) = CG(fin(i),k);
end
end
% Matriz de rigidez de miembro y de la estructura
for i=1:mbr
B(i)=nombre(i,1);H(i)=nombre(i,2);LL(i)=nombre(i,3);CNI(i)=nombre(i,4);CNF(i)=nombre(i,5
);
end
% Calculo de la matriz de rigidez de la estructura
fprintf ('\n Calcula con: Inercias gruesas, codigo=0. Con inercias agrietadas, codigo=1');
icod=input('\n Ingrese codigo de inercias :');
SS=zeros(ngl,ngl);
for i=1:mbr
b=B(i);h=H(i);long=LL(i);iner=b*h^3/12;c1=CNI(i);c2=CNF(i);L=long-c1-c2;
if i<=ncol
iner=b*h^3/12;area=b*h;fi=(3*E*iner*beta)/(G*area*L*L);%Elemento columna o muro
de corte
if icod==1
iner=0.8*iner; %inercias agrietadas
end
kf=((4*E*iner)*(1+fi))/(L*(1+4*fi));a=((2*E*iner)*(1-2*fi))/(L*(1+4*fi));
kpf=kf; b=(kf+a)/L; bp=b; t=(b+bp)/L;
k(1,1)=t;k(2,1)=-(b+c1*t);k(3,1)=-t;k(4,1)=-(bp+c2*t);
k(2,2)=kf+2*c1*b+c1*c1*t;k(3,2)=b+c1*t;k(4,2)=a+c1*bp+c2*b+c1*c2*t;
k(3,3)=t;k(4,3)=bp+c2*t;k(4,4)=kpf+2*c2*bp+c2*c2*t;k(1,2)=k(2,1);
k(1,3)=k(3,1);k(1,4)=k(4,1);k(2,3)=k(3,2);k(2,4)=k(4,2);k(3,4)=k(4,3);
else
iner=b*h^3/12;area=b*h;fi=(3*E*iner*beta)/(G*area*L*L);%Elemento viga
if icod==1
iner=0.5*iner;ei=E*iner; %inercias agrietadas
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
86
end
kf=((4*E*iner)*(1+fi))/(L*(1+4*fi));a=((2*E*iner)*(1-2*fi))/(L*(1+4*fi));
kpf=kf;b=(kf+a)/L;bp=b;t=(b+bp)/L;
k=zeros(4,4);k(2,2)=kf+2*c1*b+c1*c1*t;k(2,4)=a+c1*bp+c2*b+c1*c2*t;
k(4,2)=k(2,4);k(4,4)=kpf+2*c2*bp+c2*c2*t;
end
for j=1:4
jj=VC(i,j);
if jj==0
continue
end
for m=1:4
mm=VC(i,m);
if mm==0
continue
end
SS(jj,mm)=SS(jj,mm)+k(j,m);
end
end
end
% Matriz de rigidez lateral
na=np;nb=ngl-np;
Kaa=SS(1:na,1:na);Kab=SS(1:na,na+1:ngl);Kba=Kab';Kbb=SS(na+1:ngl,na+1:ngl);
KL=Kaa-Kab*inv(Kbb)*Kba;
fprintf ('\n Matriz de rigidez lateral :');
save a:\KL
%---fin---
Figura 3.16 Numeración de nudos y elementos de ejemplo 3 para usar programa RLAXINFIMURO.
•
EJEMPLO 4
Presentar el archivo de datos, para encontrar la matriz de rigidez lateral de la estructura
del ejemplo 3.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
•
87
SOLUCIÓN
En la figura 3.16 se indica la forma como debe numerarse los nudos y los elementos
para utilizar el programa RLAXINFIMURO
•
ARCHIVO DE DATOS
0.6000
0.3000
0.6000
0.6000
0.3000
0.6000
0.4000
0.4000
0.4000
0.4000
0.6000
4.0000
0.6000
0.6000
4.0000
0.6000
0.6000
0.6000
0.6000
0.6000
3.0000
3.0000
3.0000
3.0000
3.0000
3.0000
6.0000
6.0000
6.0000
6.0000
0.3000
0.3000
0.3000
0.3000
0.3000
0.3000
0.3000
2.0000
0.3000
2.0000
0.3000
0.3000
0.3000
0.3000
0.3000
0.3000
2.0000
0.3000
2.0000
0.3000
Figura 3.17 Vista en planta de estructura de 2 pisos con muros de corte.
•
EJEMPLO 5
Encontrar la matriz de rigidez, en coordenadas de piso, de la estructura de dos pisos,
cuya configuración en planta se indica en la figura 3.17. Los muros de corte son de 0.30/4.0 m.,
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
88
las columnas de 0.60/0.60 y las vigas de 0.40/0.60 m., en las dos direcciones. Las matrices de
rigidez lateral de los pórticos 1, 3, A y C, que contienen al muro de corte, son:
− 178150 ⎤
115120 ⎥⎦
⎡ 474600
K L(1) = K L( 3) = K L( A) = K L( C ) = ⎢
⎣ − 178150
Las matrices de rigidez lateral de los pórticos 2 y B, son:
⎡ 55629
K L( 2) = K L( B ) = ⎢
⎣− 21912
− 21912⎤
13662 ⎥⎦
El origen de las coordenadas se considera en la intersección de los ejes B y 2.
•
SOLUCIÓN
0.0⎤
⎡ − 6 .0
r (1) = r ( A) = ⎢
⎥
⎣ 0.0 − 6.0⎦
⎡6.0
r ( 3) = r ( C ) = ⎢
⎣0.0
0 .0 ⎤
6.0⎥⎦
⎡0.0
r ( 2) = r ( B ) = ⎢
⎣0.0
0 .0 ⎤
0.0⎥⎦
Al emplear las ecuaciones indicadas en ( 3.7 ) se halla:
⎡ 1004800
K XX = K YY = ⎢
⎣− 378200
− 378200 ⎤
243900⎥⎦
⎡ 68342400
K θθ = ⎢
⎣− 25653600
− 25653600⎤
16577280 ⎥⎦
Las submatrices no indicadas son nulas. Se deja al lector que arme la matriz K E
utilizando la ecuación ( 3.6 ). Esta matriz resulta de 6 por 6.
3.8
INCORPORACIÓN DE LA MAMPOSTERÍA
Cuando se acopla la mampostería a la estructura, es importante considerarle en el
análisis sísmico debido a la gran rigidez que ésta tiene. Existen dos caminos para estudiar el
tema, el primero con micro modelos basados en elementos finitos, que no se aborda en este
apartado y el segundo con macro modelos que son aproximados pero que dan una buena
aproximación.
De igual manera, existen modelos para el análisis elástico y para el análisis inelástico.
Para incorporar la mampostería al análisis sísmico de estructuras. Como todo este libro está
orientado al análisis elástico de estructuras se presenta un macro modelo para el rango
elástico, mediante una diagonal equivalente.
Es importante realizar esta aclaración ya que dentro de los macro modelos para el
rango elástico, existen modelos numéricos de cálculo en base a dos diagonales equivalentes, a
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
89
tres diagonales o a cinco diagonales. König (1991); Chrysostomou (1991), Syrmakezis y
Vratsanou (1986). La selección de estos modelos depende del grado de seguridad que se
desee tener el estudio y de los intereses que persigue el investigador. En Crisafulli (1997) se
tiene un acopio de estos y otros modelos para la incorporación de la mampostería al análisis
estructural mediante micro y macro modelos, para el rango elástico e inelástico.
En la figura 3.18 se presenta un marco con la mampostería, en una posición
deformada. En ella se aprecia que al deformarse la estructura por efecto de una acción
sísmica, una parte de la mampostería trabaja a compresión, que en la figura está achurada, a
esta parte que trabaja a compresión se la modela como una diagonal que tiene un ancho
equivalente a . La otra diagonal de la mampostería trabaja a tracción y como este material
tiene una baja capacidad a tracción, muy probablemente se produzcan fisuras si el movimiento
es intenso.
Lo importante de la figura 3.18, es identificar la nomenclatura utilizada, ya que a
continuación se indican varios modelos para hallar las dimensiones de la diagonal
equivalente, en forma cronológica de publicación.
Figura 3.18 Diagonal equivalente de la mampostería.
3.8.1
Modelo de Holmes (1961)
Holmes (1961) fue el primero en proponer el ancho equivalente a de la diagonal
equivalente, de la siguiente forma.
a=
L
3
( 3.23 )
Donde L es la longitud de la diagonal equivalente. Al estar definido el ancho a se
puede calcular el área de la sección transversal multiplicando por el espesor de la
mampostería.
90
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Posteriormente, Stafford (1962, 1966) define el parámetro adimensional λ h que será
muy utilizado por otros investigadores como una relación entre la rigidez de la mampostería
con respecto a la rigidez del pórtico.
1
⎡ E t.sen 2θ ⎤ 4
λh = H ⎢ m
⎥
⎣ 4 E c I col h ⎦
( 3.24 )
Donde E m es el módulo de elasticidad de la mampostería; t es el espesor de la
mampostería; θ es el ángulo de inclinación de la diagonal; E c es el módulo de elasticidad del
hormigón; I col es el momento de inercia promedio de las columnas adyacentes; h es la altura
de la mampostería; H es la altura del pórtico como se aprecia en la figura 3.18. Si se considera
que H ≈ h y que sen 2θ = 1 la ecuación (3.24) queda:
1
⎡ E t. H 3 ⎤ 4
λh ≈ ⎢ m
⎥
⎣⎢ 4 E c I col ⎦⎥
( 3.25 )
La ecuación (3.25) es adecuada para mamposterías en las cuales θ este alrededor de
los 45 grados.
3.8.2
Modelo de Mainstone (1971)
En este modelo se requiere calcular primero un parámetro λ h con la ecuación ( 3.24).
La propuesta de Mainstone (1971), que tiene un respaldo experimental, es la siguiente:
a = 0.16 λ h −0.30 L
( 3.26 )
Mainstone (1971) propuso también dos ecuaciones más, una para cuando se ingresa al
rango no lineal y otra para el colapso.
Otro parámetro propuesto por Stafford (1962, 1966) y que ha sido muy utilizado por
otros investigadores es la longitud de contacto z , definido con la siguiente ecuación.
z=
3.8.3
π
H
2 λh
( 3.27 )
Modelo de Bazán y Meli (1980)
En este caso, el parámetro λ relaciona la rigidez del pórtico confinante con la rigidez
de la mampostería
λ=
E c . Ac
G m . Am
a = (0.35 + 0.022λ ) h
( 3.28 )
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
91
Las variables todavía no definidas, son: G m el módulo de corte de la mampostería que
es G m = 0.4 E m ; Am es el área en planta de la sección transversal de la mampostería. En la
figura 3.18 se aprecia que l v es la longitud horizontal de la mampostería. Luego Am = l v t . En
el modelo de Bazán y Meli se debe cumplir que 0.9 ≤ λ ≤ 11 . Además se debe verificar que la
relación de aspecto ζ = l v / h debe estar entre 0.75 y 2.5.
3.8.4
Modelo de Hendry (1981)
Hendry (1981) obtiene dos valores de λ h uno que toma en cuenta la rigidez de la
columna λ c y otro que considera la rigidez de la viga λ v . Las ecuaciones de cálculo para
encontrar el ancho equivalente a , son las siguientes:
1
⎡ E t.sen 2θ ⎤ 4
λv = ⎢ m
⎥
⎣⎢ 4 E c I viga h ⎦⎥
zv =
2π
zc =
λv
a=
3.8.5
1
⎡ E t.sen 2θ ⎤ 4
λc = ⎢ m
⎥
⎣ 4 E c I col h ⎦
2π
( 3.29 )
λc
1
2
2
zv + zc
2
Modelo de Liauw y Kwan (1984)
Este modelo mantiene el parámetro λ h de Stafford (1962, 1966) y la propuesta de
Liauw y Kwan (1984) para determinar a es la siguiente.
1
⎡ E t.sen 2θ ⎤ 4
λh = H ⎢ m
⎥
⎣ 4 E c I col h ⎦
a=
0,95h cos θ
( 3.30 )
λh
Por otra parte, en los ensayos experimentales la relación h / lV varío entre 1 y 1.5.
3.8.6
Modelo de Decanini y Fantin (1986)
Una vez que se calcula el parámetro λ h , se ingresa a la figura 3.19 y se obtiene en
ordenadas la relación a / L con la cual se halla el ancho equivalente a .
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
92
1
⎡ E t.sen 2θ ⎤ 4
λh = H ⎢ m
⎥
⎣ 4 E c I col h ⎦
Figura 3.19 Valores de a / L en función de λ h .
Las ecuaciones que definen las dos curvas de la figura 3.19, son las siguientes:
•
Mampostería no agrietada
⎛ 0.748
⎞
a = ⎜⎜
+ 0.085 ⎟⎟ L
⎝ λh
⎠
⎞
⎛ 0.393
a = ⎜⎜
+ 0.130 ⎟⎟ L
⎠
⎝ λh
•
si
λ h ≤ 7.85
( 3.31 )
si
λ h > 7.85
si
λ h ≤ 7.85
Mampostería agrietada
⎛ 0.707
⎞
a = ⎜⎜
+ 0.010 ⎟⎟ L
⎝ λh
⎠
⎞
⎛ 0.470
a = ⎜⎜
+ 0.040 ⎟⎟ L
⎠
⎝ λh
3.8.7
( 3.32 )
si
λ h > 7.85
Modelo de Paulay y Priestley (1992)
El ancho equivalente a propuesto por Paulay y Priestley (1992) ha sido acogido por la
Normativa de Perú de Albañilería E070 y es la siguiente:
a=
L
4
( 3.33 )
Esta ecuación es recomendada para un nivel de fuerzas laterales menor o igual al 50%
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
93
de la capacidad última. En otras palabras para el rango elástico.
3.8.8
Modelo de FEMA (1997)
La Agencia Federal para el Manejo de Emergencias de los Estados Unidos de Norte
América, propone las siguientes ecuaciones:
1
⎡ E t.sen 2θ ⎤ 4
λh = H ⎢ m
⎥
⎣ 4 E c I col h ⎦
( 3.34 )
a = 0.175 (λ h )−0.4 L
Figura 3.20 Variación de a / L empleando algunos modelos de cálculo.
•
EJEMPLO 6
Presentar en un gráfico la relación entre λ y a / L . Empleando los modelos de Holmes
(1961), Mainstone (1971), Liauw y Kwan (1984) para θ = 30.9 y θ = 36.8 , Decanini y Fantin
(1986) con mampostería no agrietada, Paulay y Priestley (1992) y FEMA (1997).
o
•
o
SOLUCIÓN
En la figura 3.20 se aprecia que los resultados obtenidos con las propuestas de:
Mainstone (1971) y FEMA (1997) son muy conservadores, ya que el ancho equivalente es muy
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
94
bajo. Por el otro lado, el modelo de Holmes (1961) reporta los mayores valores para valores de
λ > 3 . Los valores encontrados con los restantes modelos reportan valores intermedios.
•
EJEMPLO 7
Utilizando el modelo de Decanini y Fantin (1986) presentar en un gráfico la relación
entre el ancho equivalente a de la mampostería agrietada con relación a la no agrietada.
•
SOLUCIÓN
En la figura 3.21 se muestra la relación entre el ancho equivalente a agrietado con
relación al no agrietado. Se observa que esta relación disminuye conforme el valor de λ
aumenta. Es importante notar que para λ = 1 el ancho equivalente agrietado es 0.85 del ancho
no agrietado y que para λ = 10 el ancho equivalente agrietado es 0.52 del ancho no agrietado,
la pérdida es notable.
El valor de λ se incrementa si la rigidez de la mampostería es mayor que el hormigón
confinante.
Figura 3.21 Relación entre el ancho equivalente agrietado con relación al no agrietado
3.8.9
Modelo de Crisafulli (1997)
La propuesta de Crisafulli (1997) para encontrar el ancho equivalente, es la siguiente:
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
95
1
⎡ E t.sen 2θ ⎤ 4
λ=⎢ m
⎥
⎣ 4 E c I col h ⎦
z=
2π
hz =
λ
z
2
( 3.35 )
a = 2 hz sin θ
3.9
MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTO MAMPOSTERÍA
En la primera figura de 3.22, se presenta un pórtico con mampostería acoplada; en la
segunda se aprecia el ancho equivalente a que se obtiene con cualquiera de los modelos
descritos en el apartado anterior; en la tercera se aprecia el modelo del puntal equivalente que
tiene una rigidez axial EA . Finalmente se presenta el sistema de coordenadas globales para la
diagonal equivalente.
Figura 3.22 Modelo de la diagonal equivalente.
En lugar de considerar la diagonal equivalente de la figura 3.22 se pudo considerar la
otra diagonal como en el caso de la figura 3.18. Cualquiera de los dos casos es valido por que
el sismo actúa en los dos sentidos. La matriz de rigidez de la diagonal equivalente en
coordenadas globales, es la siguiente.
⎡cos 2 θ
⎢
E m . A ⎢cos θ sin θ
K=
⎢
L ⎢− cos 2 θ
⎢
⎣− cos θ sin θ
cos θ sin θ
− cos 2 θ
sin 2 θ
− cos θ sin θ
− cos θ sin θ
− sin 2 θ
cos 2 θ
cos θ sin θ
A = a.t
− cos θ sin θ ⎤
⎥
− sin 2 θ ⎥
⎥
cos θ sin θ ⎥
⎥
sin 2 θ ⎦
( 3.33 )
Una vez definido la matriz de rigidez de la mampostería, por medio del modelo de la
diagonal equivalente se encuentra la matriz de rigidez de la estructura por ensamblaje directo y
luego se aplica la condensación estática para hallar la matriz de rigidez lateral del pórtico,
considerando la mampostería.
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
96
Para hallar la contribución de la diagonal equivalente, en la matriz de rigidez de la
estructura, se debe tener en cuenta que el vector de colocación tiene cuatro elementos y
corresponden a los grados de libertad horizontal y vertical del nudo inicial y final, como se
aprecia en la última gráfica de la figura 3.22
•
EJEMPLO 8
Determinar la matriz de rigidez lateral, del pórtico indicado en la figura 3.23,
incorporando la mampostería en el cálculo. La resistencia a la compresión del hormigón
utilizado es f c' = 210 kg / cm 2 y de la mampostería f m' = 35 kg / cm 2 . Calcular el módulo de
elasticidad del hormigón con la siguiente expresión: E = 12000
f c' y el módulo de elasticidad
de la mampostería E m = 500 f m' . El espesor de la pared es t = 0.15 m. Considerar en el
modelo numérico que las columnas y las vigas son axialmente rígidas. Se pide:
1.- Detallar el cálculo para el Modelo de la Norma del Perú E 070.
2.- Comparar los resultados obtenidos con los diferentes modelos.
Figura 3.23 Descripción de la estructura de ejemplo 6.
•
SOLUCIÓN
En la figura 3.24, a la izquierda se han numerado los elementos, en la forma como hay
que hacerlo para utilizar el programa RLAXINFIMAMPOSTERIA, primero se han numerado las
columnas, luego la viga y finalmente la diagonal equivalente de la mampostería. En el centro de
la figura 3.24 se tienen los grados de libertad considerados cuando las vigas y columnas son
axialmente rígidas y a la derecha se aprecia el pórtico con la coordenada lateral, cuya matriz se
va a calcular.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
97
Figura 3.24 Modelo numérico de cálculo.
Las matrices de rigidez de los elementos, columna, viga y mampostería, son:
•
Elemento Columna (igual para elementos 1 y 2) Obtenido con inercias gruesas y con
L=2.80 m.
⎡ 185.6642
⎢− 259.9298
K =⎢
⎢− 185.6642
⎢
⎣− 259.9298
•
485.2023
259.9298
242.6012
Elemento Viga Obtenido con L=3.50 m.
⎡198.7389
K =⎢
⎣99.3694
•
185.6642
259.9298
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
485.2023⎦
⎤
198.7389⎥⎦
Elemento Diagonal Equivalente
L=
a=
(3.25)2 + (2.70)2
= 4.2252
L 4.2252
=
= 1.0563 m.
4
4
A = a t = 1.0563 ∗ 0.15 = 0.1584 m 2
E m A 175000 ∗ 0.1584
=
= 6562.50
4.2252
L
3.25
2.70
Cosθ =
= 0.7692
Senθ =
= 0.6390
4.2252
4.2252
⎡ 3882.8
⎢ 3225.5
2679.6
K =⎢
⎢− 3882.8 − 3225.5
⎢
⎣− 3225.5 − 2679.6
3882.8
3225.5
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
2679.6⎦
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
98
•
Vectores de colocación
VC (1) = [0
0
1
2]
= [0
0
1
3]
VC (3) = [2
3]
VC ( 4) = [0
0
1
0]
VC
•
( 2)
Matriz de rigidez completa
⎡4254.1
K = ⎢⎢259.9
⎢⎣259.9
•
259.9
683.9
99.4
259.9 ⎤
99.4 ⎥⎥
683.9⎥⎦
Submatrices
K AA = [4254.1]
•
K AB = [259.9
259.9]
t
K BA = K AB
⎡683.9
K BB = ⎢
⎣99.4
99.4⎤
683.9⎥⎦
Matriz de rigidez lateral
K L = [4081 .6]
6000
Rigidez Lateral del Pórtico
[Tn/m]
1. Holmes (1961)
2. Mainstone (1971)
5000
3. Bazan (1980)
4000
4. Hendry (1981)
5. Liauw y Kw an (1984)
3000
6. Decanini y Fantin (1986)
7. Paulay y Priestley (1992)
2000
8. FEMA (1997)
9. Crisafulli (1997)
1000
Valor Medio
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Modelo Matemático
Figura 3.25 Matriz de rigidez lateral encontrada con nueve modelos. Carrillo (2008)
En la figura 3.25 se presentan los valores de la matriz de rigidez lateral, hallada con
cada uno de los modelos indicados en el apartado anterior, para encontrar el ancho de la
diagonal equivalente.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
3.10
99
PROGRAMA RLAXINFIMAMPOSTERIA
La forma de uso del programa es muy similar al del programa RLAXINFI. Debido a que
se debe crear un archivo de datos con la siguiente información:
•
•
Base, altura y longitud de todas las columnas y de todas las vigas. En este orden.
Se debe indicar el nudo inicial, el nudo final y la longitud de la diagonal equivalente.
Por pantalla, se suministra información complementaria como el número de nudos,
número de pisos, módulos de elasticidad del hormigón y de la mampostería, etc.
El ancho de la diagonal equivalente se halla con el modelo de Paulay y Priestley (1992)
que ha sido acogido por la norma de Albañilería del Perú E 070.
function[KL]=rlaxinfimamposteria(nombre)
%
% Programa para encontrar la matriz de rigidez lateral de un portico plano
% considerando que todos los elementos son axialmente rigidos.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
% Incorporacion de Mamposteria en Noviembre de 2007
%
%------------------------------------------------------------% [KL]=rlaxinfimamposteria(nombre)
%------------------------------------------------------------% CG Matriz de coordenadas generalizadas
% VC Vector de colocacion
%E
Modulo de elasticidad del material
% SS Matriz de rigidez de la estructura
% b: base de la seccion transversal.
% h: altura de la seccion transversal.
% long: longitud del elemento.
% t: espesor de la mamposteria
% nombre Archivo de datos que contiene la base, la altura y la longitud
%
de cada uno de los elementos. El nombre debe tener extension .txt.
%
Esto para columnas y vigas. Despues para la mamposteria se debe
%
indicar el nudo inicial, el final y la longitud de la diagonal.
%
%
Se considera el modelo de la Norma de Peru para el ancho
%
equivalente de la mamposteria.
%
nod=input('\n Numero de nudos:');
np=input(' Numero de pisos:');
nr=input(' Numero de nudos restringuidos:');
nd=input(' Numero de diagonales de mamposteria:');
E=input(' Modulo de elasticidad de Hormigon (T/m2):');
Em=input(' Modulo de elasticidad de Mamposteria (T/m2):');
t=input(' Espesor de la Mamposteria (m):');
% Coordenadas Generalizadas
CG=zeros(nod,2);ngl=0;k=nr;
for i=1:np
ngl=ngl+1;
for j=1:nr
100
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
k=k+1; CG(k,1)=ngl;
end
end
for i=1:nod-nr
ngl=ngl+1;
k=nr+i; CG(k,2)=ngl;
end
ncol=np*nr; mbr=ncol+(nr-1)*np;nvig=mbr-ncol;
ici=0;icf=nr;
for i=1:ncol
ici=ici+1; icf=icf+1;ini(i)=ici;fin(i)=icf;
end
ii=ncol;
for j=1:np
ici=j*nr;
for i=1:nr-1
ii=ii+1;ici=ici+1;ini(ii)=ici;fin(ii)=ici+1;
end
end
% Lectura de datos
%
for i=1:mbr
B(i)=nombre(i,1);H(i)=nombre(i,2);L(i)=nombre(i,3);
end
for i=mbr+1:mbr+nd;
ini(i)=nombre(i,1);fin(i)=nombre(i,2);L(i)=nombre(i,3);
end
%
% Arreglo VC. Vectores de colocacion
for i=1:mbr
for k=1:2
VC(i,k)= CG(ini(i),k);
VC(i,k+2) = CG(fin(i),k);
end
end
for i=mbr+1:mbr+nd;
VC(i,1)=CG(ini(i),1);
VC(i,2)=0; VC(i,4)=0;
VC(i,3)=CG(fin(i),1);
end
% Matriz de rigidez de miembro y de la estructura
fprintf ('\n Calcula con: Inercias gruesas, codigo=0. Con inercias agrietadas, codigo=1');
icod=input('\n Ingrese codigo de inercias :');
SS=zeros(ngl,ngl);
for i=1:mbr+nd
if i<=mbr
b=B(i);h=H(i);long=L(i);iner=b*h^3/12;ei=E*iner;
end
long=L(i);
if i<=ncol
if icod==1
iner=0.8*iner;ei=E*iner;
end
k(1,1)=12*ei/long^3;k(1,2)=-6*ei/long^2;k(1,3)=-k(1,1);k(1,4)=k(1,2);
k(2,1)=k(1,2);k(2,2)=4*ei/long;k(2,3)=-k(1,2);k(2,4)=2*ei/long;
k(3,1)=k(1,3);k(3,2)=k(2,3);k(3,3)=k(1,1);k(3,4)=6*ei/long^2;
k(4,1)=k(1,4);k(4,2)=k(2,4);k(4,3)=k(3,4);k(4,4)=k(2,2);
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
101
elseif i>ncol & i <=mbr
if icod==1
iner=0.5*iner;ei=E*iner;
end
k=zeros(4,4);k(2,2)=4*ei/long;k(2,4)=2*ei/long;k(4,2)=k(2,4);k(4,4)=k(2,2);
else
fprintf ('\n Para diagonal equivalente'); i
dx=input('\n ingrese la distancia horizontal de mamposteria:');
area=(long/4)*t; rig=Em*area/long; C=dx/long;
k=zeros(4,4);k(1,1)=rig*C*C; k(3,3)=k(1,1); k(1,3)=-k(1,1); k(3,1)=k(1,3);
end
for j=1:4
jj=VC(i,j);
if jj==0
continue
end
for m=1:4
mm=VC(i,m);
if mm==0
continue
end
SS(jj,mm)=SS(jj,mm)+k(j,m);
end
end
end
% Matriz de rigidez lateral
na=np;nb=ngl-np;
Kaa=SS(1:na,1:na);Kab=SS(1:na,na+1:ngl);Kba=Kab';Kbb=SS(na+1:ngl,na+1:ngl);
KL=Kaa-Kab*inv(Kbb)*Kba;
fprintf ('\n Matriz de rigidez lateral :');
save c:\KL
%---fin---
•
EJEMPLO 9
Presente el archivo de datos, para hallar la matriz de rigidez lateral del pórtico del
ejemplo anterior y la forma de ejecución del programa RLAXINFIMAMPOSTERIA
•
SOLUCIÓN
El archivo de datos contiene la siguiente información:
0.15
0.15
0.15
1
0.25
0.25
0.20
4
2.80
2.80
3.50
4.482
Los datos de las dos primeras filas, corresponden a información de las columnas, los
datos de la tercera fila a la viga y la última fila a la diagonal equivalente. Este archivo ha sido
grabado con el nombre de “ica”
102
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
>> [KL]=rlaxinfimamposteria(ica)
Numero de nudos:4
Numero de pisos:1
Numero de nudos restringuidos:2
Numero de diagonales de mamposteria:1
Modulo de elasticidad de Hormigon (T/m2):1738965.21
Modulo de elasticidad de Mamposteria (T/m2):175000
Espesor de la Mamposteria (m):0.15
Calcula con: Inercias gruesas, codigo=0. Con inercias agrietadas, codigo=1
Ingrese codigo de inercias :0
Para diagonal equivalente
i=
4
ingrese la distancia horizontal de mamposteria:3.25
Con el último dato se halla el Cosθ dividiendo este valor para la longitud de la diagonal
equivalente; con esto se halla la matriz de rigidez en coordenadas globales.
Figura 3.26 Fachada del Bloque de Enfermería de la Universidad San Luis Gonzaga de Ica.
3.11
LECCIONES DEJADAS POR SISMO DE PERÚ DE 2007
En el Ecuador se acopla la mampostería a la estructura, normalmente, para este efecto
en las columnas se dejan los “chicotes”. De tal manera que se deben incorporar en el análisis
sísmico la mampostería. Otra forma de acoplar la mampostería consiste en construir primero
las paredes dejando entrantes y salientes en el sitio de la columna, posteriormente se funden
las columnas, así lo hacen en el Perú.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
103
En el bloque de Enfermería de la Universidad San Luis Gonzaga, ubicada en la ciudad
de Ica, se desacopló la estructura de la mampostería. Para ello se construyó un subpórtico de
confinamiento de las paredes pero este subpórtico está separado de la estructura principal por
medio de una junta de construcción, como se aprecia en la figura 3.26, en que se presenta un
pórtico de la fachada. En el pórtico que contiene una ventana grande, se observa que bajo
ésta, existe un subpórtico formado por columnetas y viguetas. Al construir de esta manera se
desacopla la estructura de la mampostería pero la mampostería está confinada por las
columnetas y viguetas de tal manera que no está suelta la mampostería.
Figura 3.27 Detalle del anclaje de armadura longitudinal de columnetas en viga principal.
En el Ecuador, algunos edificios importantes han sido construidos de esta manera y a
lo mejor cometieron el mismo error de construcción que en el bloque de Enfermería de la
Universidad San Luis Gonzaga, en que no anclaron en forma adecuada los hierros de las
columnetas a la viga principal y durante el sismo se produjo daño en las bases de las
columnetas como se aprecia dentro de un círculo, al dañarse en la base los subpórticos
quedaron simplemente apoyados con gran peligro de voltearse. Los dos ejemplos anteriores
corresponden a la geometría de éste subpórtico, por este motivo es que se denominó Ica al
archivo de datos.
En la figura 3.27 se ilustra la falta de anclaje del hierro de las columnetas en la viga
principal lo que originó la falla. Es importante destacar que en Ica, soldaron las varillas
longitudinales de la columneta a las varillas superiores de la viga. Esta solución de desacoplar
la mampostería de la estructura principal, mediante la construcción de un subpórtico, es muy
buena siempre y cuando el hierro de las columnetas tenga un mayor anclaje, que lleguen hasta
la armadura inferior de la viga principal.
104
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
REFERENCIAS
1. Aguiar R., (2004), Análisis Matricial de Estructuras, Centro de Investigaciones
Científicas. Escuela Politécnica del Ejército, Tercera Edición, 550 p.
2. Aguiar R., (2007), Dinámica de estructuras con MATLAB, Centro de Investigaciones
Científicas y Colegio de Ingenieros Civiles de Pichincha., 292 p. Quito.
3. Bazán E., and Meli R., (1980), “Seismic analysis of structures with masonry walls”,
Proceedings of the Seventh World Conference on Earthquake Engineering, Vol. 5, 633640, Istanbul, Turkey.
4. Carrillo C., (2008) Comprobación de la respuesta sísmica incorporando y desacoplando
la mampostería y técnicas de reforzamiento, Tesis de Grado para obtener el título de
Ing. Civil. Escuela Politécnica del Ejército, 200 p. Quito.
5. Chrysostomou C., (1991), Effects of degrading infill walls on the nonlinear seismic
response of two dimensional steel frames. Ph.D., Thesis, Cornell University.
6. Crisafulli F., (1997), Seismic behaviour of reinforced concrete structures with masonry
infills, A thesis submitted in partial fulfillment of the requirements for the degree of
Doctor of Philosophy in Civil Engineering, University of Canterbury, 404 p.,
Christchurch, New Zealand.
7. Decanini L., y Fantin G., (1986), “Modelos simplificados de la mampostería incluida en
pórticos. Carácteristicas de rigidez y resistencia lateral en estado limite” Jornadas
Argentinas de Ingeniería Estructural, Vol 2, 817-836, Buenos Aires, Argentina.
8. Holmes M., (1961), “Steel frames with brickwork and concrete infilling”, Proceedings of
the Institution of Civil Engineers, Vol. 19, 473-478.
9. Köning G., (1991), “The state of the art in earthquake engineering research”,
Experimental and Numerical Methods in Earthquake Engineering, Edited by, J. Donea
and P. Jones, 1-22.
10. Liauw T., and Kwan K., (1984), “Nonlinear behaviour of non-integral infilled frames”,
Computers & Structures, 18 (3), 551-560.
11. Mainstone R., (1971), “On the stiffnesses and strengths of infilled frames”, Proceedings
of the Institution of Civil Engineers, Supplement IV, 57-90.
12. Paulay T., and Priestley M., (1992), Seismic design of reinforced concrete and masonry
buildings, John Wiley & Sons Inc, 744 p.
13. Stafford S., (1962), “Lateral stiffness of infilled frames”, Proceedings of the American
Society of Civil Engineering, Journal of Structural Division, 88 (ST6), 183-199.
14. Stafford S., (1966), “Behaviour of square infilled frames, Proceedings of the American
Society of Civil Engineering, Journal of Structural Division, 92 (ST1), 381-403.
15. Syrmakezis C. and Vratsanou V., (1986), “Influence of infill walls to R.C. Frames
Response”, Proceedings of the Eighth European Conference on Earthquake
Enginering, Vol 3, 47-53, Lisboa, Portugal.
CAPÍTULO 4
MÉTODO ESTÁTICO Y TORSIÓN ESTÁTICA
RESUMEN
Se presenta la teoría y dos programas de computación para realizar el análisis sísmico
de estructuras que tienen menos de 10 pisos y que son regulares en planta y elevación. En el
primer programa denominado ANALISISESTATICONEW se considera un modelo con un grado
de libertad por planta y en el segundo programa ANALISISESTATICO2GDL se considera un
modelo de dos grados de libertad por planta. En los dos programas el usuario debe ingresar
como dato la matriz de rigidez lateral obtenido con inercias gruesas, de los pórticos en el
sentido de análisis sísmico.
En el programa ANALISISESTATICONEW las fuerzas debido a torsión accidental
se obtienen mayorando un 10% las fuerzas estáticas. Mientras que en el programa
ANALISISESTÁTICO2GDL se calcula las fuerzas en cada uno de los pórticos por efecto de los
momentos de torsión accidental.
En los dos programas la acción sísmica está definida por un espectro de diseño
inelástico, el mismo que se obtiene dividiendo las ordenadas del espectro elástico para el factor
de reducción de las fuerzas sísmicas R indicado en el capítulo 2. Los programas están
realizados para el nivel de diseño de disipación de energía elevada. Posteriormente,
cuando se realicen las combinaciones de carga, el estado de fuerzas S que se obtiene del
análisis sísmico, no se debe ser mayorar y se deberá cumplir que la deriva máxima de piso,
inelástica sea menor al 1.5%.
Se presenta, en primer lugar, un estudio desarrollado en la Universidad Técnica de
Manabí, Aguiar et al (2006) en el que se obtuvo el período de vibración de 36 estructuras de 1
a 6 pisos, empleando una de las fórmulas que recomienda el CEC-2000 para calcular el
período en función de la altura total del edificio, el mismo que es comparado con los que se
encuentran de la solución del problema de vibraciones libres en sistemas de múltiples grados
de libertad sin considerar amortiguamiento, para dos condiciones a saber: con inercias gruesas
y considerando inercias agrietadas y con la recomendada por Goel y Chopra (1997).
106
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Del estudio realizado se recomienda que el período que se halla con la ecuación
T = 0.0731 H 3 / 4 sea multiplicado por 1.3 que es el factor con el cual se corrige la forma
de cálculo. Con el período resultante se procede al cálculo del cortante basal mínimo.
También se ha hallado una ecuación que permite calcular el período considerando inercias
agrietadas.
En este capítulo se estudia con detenimiento la excentricidad estática, en el capítulo
seis, se hace lo propio con la excentricidad accidental y en el capítulo 8, con la forma de
obtener los centros de: rigidez, de corte y de giro. De tal manera que estos tres capítulos son
complementarios entre sí para entender el problema de la Torsión Estática que es fácil en su
formulación, como se verá más adelante pero es bastante complejo, motivo por el cual varias
normativas sísmicas lo abordan de diferente manera.
4.1 PERÍODO DE VIBRACIÓN EN ESTRUCTURAS SIN MUROS
Para pórticos espaciales de hormigón armado, que son las estructuras formadas por
vigas y columnas, sin muros de corte el CEC-2000 recomienda las siguientes ecuaciones para
el cálculo del período fundamental.
T = 0.0731 H 3 / 4
( 4.1 )
Siendo H la altura total del edificio. También puede calcularse el período en función
de los desplazamientos laterales δ i y de las fuerzas aplicadas f i , para el efecto se debe
imponer una distribución aproximada de las fuerzas laterales. La ecuación de cálculo es:
⎛ n
⎞ ⎛ n
⎞
T = 2π ⎜⎜ wi δ i2 ⎟⎟ ÷ ⎜⎜ g
f i δ i ⎟⎟
⎝ i =1
⎠ ⎝ i =1
⎠
∑
∑
( 4.2 )
Donde wi , f i , δ i son el peso reactivo del piso i, la fuerza horizontal aplicada en el piso
i, el desplazamiento lateral del piso i. g es la aceleración de la gravedad.
El período calculado con la ecuación ( 4.2 ) no debe ser mayor en un 30% al
período calculado con la ecuación ( 4.1 ).
La ecuación ( 4.1 ) tiene un respaldo experimental en cambio la ecuación ( 4.2 ) tiene
un respaldo analítico pero en los dos casos se trabaja con inercias gruesas, en las secciones.
Es importante destacar esto ya que ante el sismo estipulado por el CEC-2000 se espera daño
en la estructura razón por la cual el código especifica las siguientes inercias agrietadas con las
cuales se debe realizar el análisis sísmico.
I V = 0.5 I g
I C = 0.8 I g
( 4.3 )
Donde I g es el momento de inercia grueso, calculado con la sección total; I V , I C son
los momentos de inercia agrietados de las vigas y columnas respectivamente. Por lo tanto,
para el análisis sísmico por el método estático, empleando el espectro del CEC-2000 se
debe trabajar con un período, obtenido en una estructura con inercias agrietadas. Se
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
107
sabe que cuando la estructura ingresa al rango no lineal el período de vibración se incrementa,
de tal manera que el período es mayor al que se obtiene con la ecuación ( 4.1 ) o con ( 4.2 ).
4.1.1
Trabajo de Goel y Chopra (1997)
Goel y Chopra (1997) obtienen ecuaciones para encontrar en forma aproximada el
período de vibración, en estructuras sin y con muros de corte. En este apartado se presenta el
primer caso en que la estructura está compuesta únicamente por vigas y columnas, sin muros
de corte. Ellos obtienen períodos que han sido registrados en algunos edificios luego de
eventos sísmicos.
En la tabla 4.1 se presentan parte de los edificios, en los cuales se tienen valores de
períodos registrados, después de los sismos que están indicados en la mencionada tabla. Se
aprecia el número de pisos, la altura total de los edificios y los períodos registrados en las dos
direcciones perpendiculares.
Tabla 4.1 Períodos obtenidos en edificios de H.A. conformados por vigas y columnas
Localización
Número
Altura
Terremoto
Período T
de pisos
(ft)
(s)
Longitudinal
Transversal
Los Angeles
14
148.0
Northridge
-2.28
Los Angeles
5
119.0
Northridge
1.46
1.61
Los Angeles
5
119.0
Whittier
1.40
1.30
Los Angeles
15
274.0
Northridge
3.11
3.19
Los Angeles
9
141.0
Northridge
1.39
1.28
Los Angeles
20
196.8
San Fernando
2.27
2.09
Los Angeles
20
196.8
San Fernando
2.27
2.13
Los Angeles
20
196.8
San Fernando
2.24
1.98
Los Angeles
22
204.3
San Fernando
1.94
2.14
Los Angeles
22
204.3
San Fernando
1.84
2.17
North Hollywood
20
169.0
Northridge
2.60
2.62
Sherman Oaks
13
124.0
San Fernando
1.20
1.40
Sherman Oaks
13
184.5
Whittier
1.90
2.30
Sherman Oaks
13
184.5
Whittier
-2.44
Van Nuys
7
65.7
Whittier
1.40
1.20
Los datos de la tabla 4.1 corresponden a edificios en los cuales se registraron
aceleraciones máximas del suelo mayores a 0.15 g., es decir que provocaron cierto daño en
la estructura. Goel y Chopra (1997) en total trabajaron con 68 valores de períodos que incluye
a registros con aceleraciones menores a 0.15 g. Del análisis de regresión realizado
encontraron la siguiente ecuación para hallar el período.
T = 0.016 H 0.90
( 4.4 )
Donde la altura H se expresa en pies. La relación encontrada por Goel y Chopra
reporta valores superiores de período en relación a la recomendada por el UBC-97 y que ha
sido acogida por varios códigos, entre ellos el CEC-2000. La ecuación del UBC-97 para
edificios de H.A. conformada por vigas y columnas es:
T = 0.030 H 3 / 4
( 4.5 )
108
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
En la figura 4.1 se ha ploteado los períodos encontrados en edificios cuya aceleración
máxima del suelo, debido al sismo, fue superior a 0.15 g., y que constan en la tabla 4.1, con
una línea continua se han unido los períodos longitudinal y transversal registrados en un
edificio. Se ha dibujado además la curva que se obtiene con la ecuación ( 4.4 ) y la que se halla
con la ecuación ( 4.5 ). Esta última se identifica con el título de “códigos”. Se aprecia que mejor
se ajusta la ecuación propuesta por Goel y Chopra; la misma tendencia se tiene con los 68
valores de períodos con los cuales obtuvieron la relación entre la altura del edificio H , y el
período fundamental T.
3,5
Periodo T (s)
3
Goel y Chopra
2,5
2
Códigos
1,5
1
0,5
0
0
100
200
300
400
Altura H (ft)
Figura 4.1 Períodos encontrados en edificios cuya aceleración del suelo es mayor a 0.15 g.
En las ecuaciones ( 4.4 ) y ( 4.5 ) la altura H debe expresarse en pies, si se desea
colocar en metros estas ecuaciones cambian a:
T = 0.0466 H 0.90
( 4.6 )
T = 0.0731 H 3 / 4
Se destaca que para edificios con alturas mayores a 100 ft. La ecuación propuesta por
Goel y Chopra (1997) reporta mayores valores que la que se obtiene con la ecuación que
estipula en CEC-2000. Para edificios cuya altura es menor a 100 ft. Las dos ecuaciones
reportan valores similares.
En la ecuación ( 4.6 ) el período se obtuvo en base a los elementos estructurales y no
estructurales que son los que conforman los edificios. La incorporación de los elementos no
estructurales hace que la estructura sea más rígida y por ende se disminuye el período de
vibración.
4.1.2
Trabajo de Aguiar et al (2006)
Aguiar et al (2006) obtuvieron el período de vibración de 36 edificios de hormigón
armado, conformados por vigas y columnas, sin muros de corte, de 1 a 6 pisos. Se hallaron los
períodos de 246 pórticos, calculado de la siguiente manera:
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
•
109
Con inercias gruesas se obtuvo la matriz de rigidez lateral y luego se obtuvo la
matriz de masas. El período se halla de la solución del problema de valores y
vectores propios. A esta forma de cálculo se denomina Igruesa. En la figura
4.2 se indica los resultados obtenidos, con línea continua se muestra la curva
de valores medios y la ecuación de ajuste es la siguiente:
T = 0.0845 H 0.7751
( 4.7 )
Figura 4.2 Períodos encontrados en el estudio con inercias gruesas y curva de ajuste.
•
En forma similar a la anterior pero considerando inercias agrietadas de acuerdo
a lo recomendado por el CEC-2000. Los resultados obtenidos se presentan en
la figura 4.3. A este caso se denomina Iagrietada, la ecuación hallada del
ajuste es:
T = 0.0901 H 0.8212
( 4.8 )
Figura 4.3 Períodos encontrados en el estudio con inercias agrietadas y curva de ajuste.
110
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
En la figura 4.4 se presentan las curvas que determinan el período en función de la
altura total del edificio, que se hallan con las ecuaciones de Goel y Chopra ( 4.6) que se ha
denominado Chopra, la halladas por Aguiar et al (2006) mediante las ecuaciones ( 4.7 ) para la
Igruesa y la ( 4.8 ) para la Iagrietada. También se presenta la que se halla con la ecuación del CEC2000 que es la ecuación ( 4.1 ) pero multiplicado por 1.3, a esta se denomina UBC-97.
Se aprecia en la figura 4.4 una gran aproximación entre las curvas Igruesa con UBC-97.
Por lo tanto se recomienda calcular el período de vibración con la ecuación ( 4.1 ) y
multiplicar éste valor por 1.3; para el caso en que se trabaje con inercias gruesas. Esta
recomendación ha sido acogida en los programas que se presentan en este capítulo para hallar
el período fundamental de vibración.
Figura 4.4 Períodos medios hallados en el estudio
El incremento del período de vibración conduce a tener valores de C , más bajos,
como se ilustra en la figura 4.5 y por ende a valores de V0 más bajos.
La fórmula propuesta por Goel y Chopra (1997) reporta períodos bajos para edificios
con alturas menores a 20 m. Si se desea trabajar con inercias agrietadas se debe utilizar la
ecuación ( 4.8 ). Por cierto en todos los edificios analizados se consideró que la altura del
primer piso es de 4 m., y la altura de los restantes pisos es de 3.0 m. Por ejemplo los edificios
de 4 pisos tienen una altura total de 13.0 m.
4.2 CORTANTE BASAL MÍNIMO
El cortante basal mínimo V0 de acuerdo al CEC-2000 se determina con la siguiente
ecuación.
V0 =
ZIC
W
R φ p φe
( 4.9 )
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
111
Donde Z es el factor de zonificación sísmica, definido en la tabla 4.2; es el coeficiciente
de la aceleración de la gravedad, indicado en el mapa de zonificación sísmica presentado en el
capítulo 1. I es el coeficiente de importancia, C es un coeficiente mostrado en la figura 4.5,
R es el factor de reducción de las fuerzas sísmicas debido a comportamiento inelástico de la
estructura, analizado con detenimiento en el capítulo 2, φ p , φ e factores que toman en cuenta
las irregularidades en planta y elevación. W es el peso total reactivo que se calcula
únicamente con la carga muerta.
Zona Sísmica
Factor Z
Tabla 4.2 Factor Z en función de la zona sísmica.
1
2
3
0.15
0.25
0.30
4
0.40
Figura 4. Coeficiente C
En la figura 4.5 se aprecia que el coeficiente C se calcula con la siguiente ecuación:
C=
1.25 S S
≤β
T
( 4.10 )
El valor de C no es el coeficiente sísmico que relaciona el cortante basal con el peso
total de la estructura. En la tabla 4.3 se señalan los valores de S y β de acuerdo al perfil de
suelo.
Perfil de Suelo
S
β
Tabla 4.3 Perfiles de suelo y valores de S y β .
S1
S2
S3
1.0
1.2
1.5
2.5
3.0
2.8
S4
2.0
2.5
Se destaca que V0 definido en la ecuación ( 4.9 ) representa el cortante basal
mínimo con el cual se deberá controlar el cortante basal que se halla con otros métodos,
como se verá en capítulos posteriores.
4.3 MÉTODO ESTÁTICO
112
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Una vez que se determina el cortante basal con la ecuación ( 4.9 ) se procede a
encontrar las fuerzas laterales Fi en cada uno de los pisos mediante las siguientes
ecuaciones:
Fi =
(V0 − Ft ) wi hi
n
∑w
i
( 4.11 )
hi
i =1
Ft = 0.07 V0 T
( 4.12 )
Donde Ft es la fuerza en el último piso de la estructura con la cual se pretende corregir
la influencia de los modos superiores, ya que la ecuación ( 4.11 ) considera solo el primer modo
de vibración y de forma lineal., wi es el peso reactivo del piso i, hi es la altura desde la base
hasta el piso i. Finalmente T es el período fundamental de la estructura.
El CEC-2000 estipula que cuando el período de vibración es menor o igual a 0.7 s.,
puede considerarse nulo el valor de Ft . De igual manera se deberá controlar que el valor de la
fuerza en el tope Ft no exceda 0.25 V0 .
4.4 PROGRAMA ANALISISESTATICONEW
En este programa se considera que el factor de reducción de las fuerzas sísmicas es
igual a 6 para los perfiles de suelo S1, S2 y S3. Para el perfil de suelo S4 este factor vale 5. Por
lo tanto el factor R programado corresponde al caso de disipación de energía elevada, descrito
en el capítulo 2. Se recuerda que asociado a estos valores la deriva máxima de piso, inelástica,
γ = 1.5% .
Una vez que se hallan las fuerzas laterales se obtienen los desplazamientos laterales
elásticos q en cada piso empleando la ecuación básica de estructuras:
Q=Kq
( 4.13 )
Al considerar un modelo de un grado de libertad por planta, el vector de cargas Q está
compuesto por las fuerzas laterales de cada uno de los pisos y la matriz de rigidez K es igual
a la suma de las matrices de rigidez lateral de cada uno de los pórticos, en la dirección
del análisis sísmico, obtenido con inercias gruesas ya que con estos valores se halla la
deriva de piso.
Los desplazamientos inelásticos q INE , de acuerdo al CEC-2000 se obtienen
multiplicando los desplazamientos elásticos q por el factor de reducción de las fuerzas
sísmicas R .
q INE = R q
( 4.14 )
Las derivas de piso γ se hallan dividiendo el desplazamiento relativo de piso para la
altura de entrepiso h .
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
γi =
q INEi − q INEi −1
hi
113
( 4.15 )
El subíndice i representa el piso i . La deriva máxima de piso γ de todo el edificio, es
el mayor de las derivas de piso.
Finalmente, se destaca que el programa ANALISISESTATICONEW no calcula los
momentos debidos a torsión accidental y por ende las fuerzas laterales debidas a torsión
accidental por lo que las fuerzas estáticas obtenidas debido a traslación se incrementan
en un 10% por la torsión accidental, que se analizará posteriormente.
•
EJEMPLO 1
Realizar un análisis sísmico estático para la estructura de 6 pisos, cuya configuración
en planta es la indicada en la figura 4.6. Si esta se halla sobre un perfil de suelo S2, en la
zona de mayor peligrosidad sísmica del Ecuador. Las dimensiones de las vigas y columnas
se indican en la tabla 4.4 al igual que el peso total reactivo de cada uno de los pisos. La altura
de cada entrepiso es de 3.0 m., El módulo de elasticidad E = 1738965 .21 T / m 2 .
Figura 4.6 Distribución en planta de edificio de 6 pisos.
Se desea realizar el análisis utilizando el programa ANALISISESTATICONEW. Indicar
las fuerzas laterales en centro de masa, sin torsión accidental, los desplazamientos inelásticos,
las derivas de piso y las fuerzas laterales finales considerando en forma aproximada la torsión
accidental.
•
SOLUCIÓN
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
114
Se determina la matriz de rigidez lateral de cada uno de los pórticos, para el presente
ejercicio se ha trabajado con el programa RLAXINFI. Se obtiene con inercias gruesas ya que
sirve para encontrar la deriva de piso, siguiendo el procedimiento del CEC-2000.
Piso
1
2
3
4
5
6
Tabla 4.4 Dimensiones de columnas, vigas y peso total reactivo de piso.
Columnas
Vigas
Peso total
(cm.)
(cm.)
reactivo (T.)
Pórtico 1 y 4
Pórtico 2 y 3
55/55
60/60
30/35
168.75
55/55
60/60
25/35
159.75
55/55
60/60
25/35
150.75
50/50
55/55
25/35
141.75
50/50
55/55
25/30
132.75
45/45
50/50
25/30
123.75
Con los datos de la tabla 4.4, se obtienen dos matrices de rigidez lateral, una para los
pórticos exteriores y otra para los pórticos interiores. Estas son:
¾
Pórtico 1 y 4
¾
Pórtico 2 y 3
La matriz de rigidez K en coordenadas de piso, para el modelo de un grado de
libertad por planta, resulta:
K =
n
∑K
(i )
L
( 4.16 )
i =1
Donde n es el número de pórticos en la dirección del análisis sísmico. La ecuación
(4.16) se habría podido escribir K = K XX . Para el ejemplo se tiene:
K = K L(1) + K L( 2 ) + K L(3) + K L( 4)
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
115
A continuación se presenta en forma resumida los cálculos realizados.
•
Período
(
)
(
)
C=
1.25 S S
≤β
T
C=
1.25 ∗ 1.21.2
= 1.8733
0.8305
T = 0.0731 H 3 / 4 ∗ 1.3 = 0.0731 ∗ 18 0.75 ∗ 1.3 = 0.8305 s.
•
•
Coeficiente C
Cortante Basal mínimo
V0 =
ZIC
0.4 ∗ 1 ∗ 1.8733
W=
∗ 877.5 = 109.5893
R φ p φe
6 ∗1∗1
Se está colocando los valores que reporta el programa, redondeado a cuatro decimales
y estrictamente no coincide en el tercer o cuarto decimal, debido a que el valor de C está
redondeado.
•
Fuerza en el tope
Ft = 0.07 V0 T = 0.07 ∗ 109.5893 ∗ 0.8305 = 6.3709
V0 − Ft = 103.2184
El cálculo de las fuerzas en cada piso, que se halla con la ecuación (4.11) se resume
en la tabla 4.5
Tabla 4.5 Cálculo de las fuerzas en C.M. sin torsión accidental
Piso
wi
hi
wi hi
Fi
1
2
3
4
5
6
(T.)
123.75
132.75
141.75
150.75
159.75
168.75
(m.)
3.0
6.0
9.0
12.0
15.0
18.0
(Tm.)
371.25
796.50
1275.75
1809.00
2396.25
3037.50
∑=
9686.25
(T.)
3.9564
8.4877
13.5947
19.2771
25.5349
32.3680+6.3709
=38.7389
109.5894
116
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Para hallar los desplazamientos elásticos en la estructura, el vector de cargas Q está
compuesto por las fuerzas indicadas en la última columna de la tabla 4.5. Luego su vector
transpuesto vale: Q t = [3.9564
8.4877 13.5947 19.2771 25.5349 38.7389] . Al resolver
el sistema de ecuaciones planteado en ( 4.13 ) con la matriz de rigidez K =
∑KL
que ya fue
indicada se hallan los desplazamientos elásticos q . Estos son:
⎡0.0061⎤
⎢0.0193⎥
⎢
⎥
⎢0.0353⎥
q=⎢
⎥
⎢0.0516⎥
⎢0.0668⎥
⎢
⎥
⎢⎣0.0799⎥⎦
Son desplazamientos elásticos, debido a que la ecuación (4.13) es la ecuación
matricial de estructuras en el rango elástico. Para hallar los desplazamientos inelásticos, de
acuerdo al CEC-2000 los desplazamientos q se multiplican por el factor de reducción de las
fuerzas sísmicas R = 6 .
Las fuerzas estáticas finales se hallan multiplicando la última columna de la tabla 4.5
por 1.1. A continuación se presentan los resultados que se obtienen con el programa
ANALISISESTATICONEW.
Pisos
1
2
3
4
5
6
Tabla 4.6 Resultados de ejemplo 1.
Fuerza sin
Desplazamientos Deriva de piso
Torsión ( T. )
Inelásticos ( m. )
3.9561
0.0364
0.0121
8.4877
0.1160
0.0265
13.5947
0.2116
0.0319
19.2771
0.3096
0.0326
25.5349
0.4011
0.0305
38.7389
0.4794
0.0261
R=6
γ = 3.26%
Fuerzas
Finales ( T. )
4.3517
9.3364
14.9541
21.2048
28.0884
42.6127
V0 = 109.5893 T .
La deriva de piso máxima es mayor del 1.5%. Por lo que se debe incrementar las
dimensiones de vigas y columnas. Esto se lo realiza en el ejemplo 2.
4.4.1
Listado del programa ANALISISESTATICONEW
function [V]=analisisestaticonew(iejes,alt,peso,KL)
%
% Analisis Estatico de acuerdo al CEC-2000 de edificios aporticados regulares
%
% Factor de reduccion de las fuerzas sismicas esta en funcion del nivel de
% diseño (de la capacidad de ductilidad de la estructura). Son los
% resultados finales del proyecto de investigacion desarrollado en el
% CEINCI-ESPE en 2007 sobre el factor de reduccion de las fuerzas sismicas.
% Esta programado para nivel de diseño sismico elevado (ductilidad=4).
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
%
% Se mayoran las fuerzas sismicas por torsion accidental en 10%.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
% Version de diciembre de 2007
%----------------------------------------------------------------------% [V]=analisisestaticonew(iejes,alt,peso,KL)
%----------------------------------------------------------------------% Ru Factor de reduccion por ductilidad Rs Factor de resistencia
% Rr Factor de redundancia
R Factor de reduccion
% H Altura total de edificio
Z Factor de Zona
% iejes # de ejes de columnas
% alt Vector que contine las alturas a cada piso medido desde el suelo.
% peso Vector que contiene los pesos reactivos de cada piso.
% PESO Peso total Reactivo.
V Cortante Basal
% gama Deriva maxima de piso que el programa calcula.
% KL Matriz que contiene la matriz de rigidez lateral de cada portico
%
en la direccion del analisis sismico con inercias gruesas
%
NP=length(alt); PESO=0;for i=1:NP; PESO=PESO+peso(i);end; H=alt(NP);
fprintf ('\n Codigos para zonas sismicas: 0.15g=1 0.25g=2 0.30g=3 04g=4');
ic=input ('\n Ingrese el codigo de la zona sismica :');
if ic==1; Z=0.15;elseif ic==2; Z=0.25;elseif ic==3;Z=0.30;else;Z=0.40;end
fprintf ('\n Codigos para perfiles de suelo: S1=1 S2=2 S3=3 S4=4');
is=input('\n Indique el codigo del tipo de suelo :');
if is==1
T1=0.50;T2=2.50;beta=2.5;S=1;R=6.0;
elseif is==2
T1=0.52;T2=3.11;beta=3.0;S=1.2;R=6.0;
elseif is==3
T1=0.82;T2=4.59;beta=2.8;S=1.5;R=6.0;
else
T1=2.0;T2=10;beta=2.5;S=2;R=5.0;
end
I=input('\n Indique el factor de importancia :');
% Periodo fundamental, el mismo que se amplifica por inercia agrietada
T=0.0731*H^(0.75);T=1.3*T;
rp=input('Estructura es regular en planta; si(s) o no(n):','s');
if rp=='s';fip=1;else;fip=0.8;end
re=input('Estructura es regular en elevacion; si(s) o no(n):','s');
if rp=='s';fie=1;else;fie=0.8;end
%Coeficiente C
C=(1.25*S^S)/T;
if C >=beta;C=beta;end
if C <= 0.5;C=0.5;end
% Cortante Basal
V=(Z*I*C*PESO)/(R*fip*fie);
% Fuerzas horizontales en cada piso
if T <= 0.7;Ft=0;else;Ft=0.07*T*V;end
Ftmax=0.25*V;sum=0;
if Ft >= Ftmax;Ft=Ftmax;end
for i=1:NP;sum=sum+peso(i)*alt(i);end
for i=1:NP
if i==NP
F(i)=(((V-Ft)*peso(i)*alt(i)/sum)+Ft);
else
117
118
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
F(i)=((V-Ft)*peso(i)*alt(i)/sum);
end
end
% Calculo de la deriva de piso.
Kxx=zeros(NP,NP); % Determinacion de matriz de rigidez espacial
for i=1:iejes
ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;
Kxx=Kxx+KL(ji:jf,1:NP);
end
F=F';
q=Kxx\F;
qine=R*q; % Desplazamientos elasticos e inelastico
for i=1:NP
j=NP+1-i;
if j==1
drift(j)=qine(j)/alt(j);
else
drift(j)=(qine(j)-qine(j-1))/(alt(j)-alt(j-1));
end
end
gama=0;
for i=1:NP;
if gama>=drift(i);
continue
else
gama=drift(i);
end
end
gama=gama*100;
end
fprintf ('\n Valor de reduccion de las fuerzas sismicas R'); R
fprintf ('\n Fuerzas laterales en cada piso sin torsion accidental'); F
fprintf ('\n Cortante Basal '); V
fprintf ('\n Desplazamiento Inelastico'); qine
fprintf ('\n Deriva de piso'); drift
fprintf ('\n Deriva maxima de piso en porcentaje'); gama
if gama >= 1.5
fprintf ('\n Deriva de piso mayor a 1.5% repita el analisis sismico')
end
% Mayoracion de las fuerzas laterales por torsion accidental
F=1.1*F;
fprintf('\n Fuerzas laterales en cada piso con torsion accidental'); F
%---fin
4.4.2
Uso del programa ANALISISESTATICONEW
La forma general de las variables del programa es:
™
ƒ
ƒ
[V]=analisisestaticonew(ejes,altura,peso,KL)
ejes
altura
Es el número de ejes en la dirección del análisis sísmico.
Vector que contiene la altura desde la base a cada piso.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
ƒ
ƒ
peso
KL
119
Vector que contiene los pesos, reactivos, de cada uno de los pisos.
Matriz con las matrices de rigidez lateral de cada pórtico en la dirección de
análisis sísmico.
4.5 EXCENTRICIDAD ESTÁTICA
La excentricidad estática e S es la distancia que existe entre el Centro de Rigidez C.R.,
y el Centro de Masa C.M., esta es la forma como trabajan una buena cantidad de proyectistas
estructurales. Pero también hay gente que en lugar de trabajar con el C.M., en edificios de
varios pisos, trabajan con el Centro de Cortante C.C., de tal manera que para ellos la
excentricidad estática es la distancia entre el C.R. y el C.C. Existen otras propuestas para
encontrar e S . En el presente capítulo se trabaja con la primera forma, dejando constancia de
que en el capítulo 8 se presenta la forma de cálculo del C.R., del C.C. y del Centro de Giro
C.G.
Se define el Centro de Masas C.M., como el lugar geométrico en el cual se supone
que está concentrada la masa en cada uno de los pisos. Por otra parte de define el Centro de
Rigidez C.R., de un nivel como el punto donde al aplicar una fuerza cortante horizontal, el nivel
se traslada sin rotar con respecto al piso inferior. COVENIN 1756-98 (2001).
Para ilustrar lo expuesto en la figura 4.7, se indica el C.M. y el C.R., en un determinado
piso de una estructura. La excentricidad estática se ha definido por e x , e y . En la figura 4.7 se
ha indicado además las fuerzas estáticas Fx que actúa en la dirección X, y la fuerza Fy que
actúa en la dirección Y, debido a la acción sísmica. Son estas fuerzas que actúan en el C.M.
las que provocan la torsión, ya que si actuarían en el C.R. solamente provocarían traslación en
el edificio.
Figura 4.7 Ubicación del Centro de Masa y Centro de Rigidez en un piso de una estructura.
Para una estructura de un piso es bastante sencillo, calcular el C.R. en base a la
rigidez lateral de sus elementos, pero para edificios de varios pisos es más complicado y no
120
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
siempre existe el C.R. En efecto, el C.R. solo existe en estructuras compensadas. Vásquez y
Riddell (1984).
4.6 EXCENTRICIDAD DE DISEÑO
La excentricidad de diseño e d es igual a la excentricidad estática e s , mayorada por un
factor de amplificación dinámica más la excentricidad accidental que es función de un
porcentaje de la distancia de la planta en la dirección perpendicular a la del análisis sísmico.
ed = α e s + β L
ed = δ e s − β L
( 4.17 )
Donde α es el factor de amplificación dinámica torsional para la zona débil de la
planta del edificio; δ factor de control de diseño de la zona más rígida de la planta para la
dirección considerada. Los valores de α , δ serán analizados en el siguiente apartado; β es el
porcentaje que varía entre el 5% y 15%, para la excentricidad accidental, L es la distancia
perpendicular a la dirección del análisis sísmico.
Al multiplicar la excentricidad de diseño por el cortante de cada piso, se tiene los
momentos de torsión M ti que son aquellos que van a generar fuerzas de torsión
adicionales en cada pórtico. En el programa ANALISISESTATICONEW estas fuerzas se
consideraron en forma aproximada igual al 10% de las fuerzas estáticas. Los momentos de
torsión M ti se evalúan con las siguientes ecuaciones:
M ti = Vi (α e s i + β Li )
M ti = Vi (δ e si − β Li )
( 4.18 )
Donde Vi es el cortante del piso i; e si es la excentricidad estática del piso i; Li es la
distancia perpendicular a la dirección del análisis sísmico en el piso i.
4.7 EXCENTRICIDAD ESTÁTICA
Uno de los primeros trabajos para cuantificar el factor de amplificación dinámica α es
el propuesto por Rosenbluethh y Elorduy (1969), quienes estudiaron la respuesta elástica en
estructuras de un piso, con una sola excentricidad, ante la acción de un sismo que actúa en
forma perpendicular a la planta. Pero ellos obtuvieron este factor como la relación entre el
momento de torsión calculado en forma dinámica M Tdin con relación al momento de torsión
hallado en forma estática M Test . El resultado por ellos obtenido se indica en la figura 4.8.
α=
M Tdin
M Test.
( 4.19 )
La crítica que se realiza a la ecuación (4.19) radica en el hecho de que los cortantes
máximos y los momentos torsores máximos en una planta no coinciden en el mismo instante
de tiempo. Luego trabajar solo con momentos torsores puede llevar a subestimar el problema
de la torsión.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
121
Figura 4.8 Factor de amplificación dinámica. Rosenbluethh y Elorduy (1969). (Figura cortesía
de Crisafulli en 2002).
Desde la última década del siglo pasado y la primera década de este siglo se continúa
trabajando en ésta temática pero con otro enfoque. El actual es cuantificar los efectos de
torsión mediante la respuesta normalizada en desplazamientos de los pórticos extremos, que
corresponden al pórtico débil en el un extremo y al pórtico fuerte en el otro extremo del edificio.
Existen algunas formas de normalizar, una de ellas es dividir la respuesta en desplazamientos
de un pórtico extremo, de la estructura con problemas de torsión, para el desplazamiento
máximo de ese pórtico, ante la misma acción sísmica pero considerando que la estructura no
tiene excentricidad estática, es decir se trata de una estructura completamente simétrica cuyos
modos de vibración son desacoplados. Hernández y López (2007).
4.7.1 Normativas de Venezuela
Con relación a la ecuación (4.17) vale la pena indicar los valores de α y δ que
recomendaba la normativa sísmica de Venezuela de 1982. Para el valor α se tenían tres
valores a saber:
ƒ
ƒ
ƒ
α = 1.5 Si los pórticos con mayor rigidez lateral están ubicados en el perímetro de la
planta.
α = 5 Si los pórticos con mayor rigidez lateral se encuentran en el centro del edificio.
α = 3 Para los restantes casos.
El primer caso α = 1.5 corresponde a aquel en que la rigidez torsional K θθ es bien alto
el segundo es el caso contrario y el tercero para casos intermedios. Luego α variaba entre 1.5
y 5. El valor de δ = 1 para los tres casos. Grases et al (1987).
En la versión 2001 de la Norma Venezolana se estipulan los valores de α indicados
en la tabla 4.7, con el siguiente significado de las variables:
122
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
ε=
e
r
Ω=
rt wθ
=
r
w
( 4.20 )
Donde e es la excentricidad medida entre el C.R. y el C.C.; r es el valor representativo
del radio de giro inercial de las plantas de la edificación; rt valor representativo del radio de
giro torsional del conjunto de las plantas de la edificación; wθ es la frecuencia torsional
desacoplada; w es la frecuencia que puede ser en sentido X o en sentido Y. En la figura 4.9 se
presenta la variación de α y δ .
CASO
0 .5 ≤ Ω ≤ 1
Tabla 4.7 Valores de α y δ de Norma de Venezuela (2001)
VALOR DE
1≤ Ω ≤ 2
Ω≥2
Acotando − 1 ≤ δ ≤ 1
α = 1 + [4 − 16 ε ] Ω
α = 1 + [4 − 16 ε (2 − Ω )] (2 − Ω )4
α =1
δ = 6 (Ω − 1) − 0.6
Las ecuaciones de la tabla 4.7 fueron obtenidas ajustando los desplazamientos de los
pórticos extremos: rígido y flexible y toma en cuenta la excentricidad y la rigidez torsional en el
incremento de los desplazamientos dinámicos con respecto a los desplazamientos estáticos de
una planta simétrica. Hernández y López (2003).
Figura 4.9 Variación de α y δ de la Norma de Venezuela (2001).
Al analizar la figura 4.9 se puede indicar que para valores de Ω mayores a 1.5 los
valores de α y δ están alrededor de la unidad. Estructuras con Ω alto son torsionalmente
rígidas y son aquellas en las cuales se han colocado los pórticos de mayor rigidez en el
perímetro.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
123
Por el contrario, las estructuras torsionalmente flexibles con valores de Ω bajos
corresponden a aquellas en las cuales los pórticos con mayor rigidez se han colocado en la
parte central del edificio. En este caso los valores de α y δ son diferentes a la unidad,
dependiendo del valor de ε .
Con relación a las ecuaciones indicadas en la tabla 4.7, correspondiente a la Norma de
Venezuela (2001) se deben hacer las siguientes acotaciones:
ƒ
El mayor valor de ε = e / r es 0.2, de tal manera que se evita tener excentricidades
altas.
ƒ
Por otro lado el valor de Ω ≥ 0.5 con lo cual se evita tener edificios con valores de
K θθ muy pequeños.
ƒ
Se limita la relación e / rt ≤ 0.3 para no tener estructuras con una excentricidad
considerable y una rigidez torsional baja.
Si se excede una de estas acotaciones, la Norma de Venezuela (2001) no permite la
aplicación del Método de la Torsión Estática y penaliza el factor de reducción de las fuerzas
sísmicas R ya que se trata de estructuras con un elevado riesgo torsional. Hernández y López
(2003).
4.7.2 Normativas Américanas
Las normativas UBC como el SEAOC de los años ochenta, consideraban que α = 1 ,
δ = 0 y que β = 0.05 . De tal manera que no se amplifica la excentricidad estática para la zona
de los pórticos débiles pero tampoco realizan ninguna reducción de la excentricidad en la zona
de los pórticos fuertes, en la zona rígida.
El UBC (1997), el IBC (2000) y el ICC (2003) determinan el factor de amplificación Ax
mediante la siguiente expresión.
⎛ δ
1.0 ≤ Ax = ⎜ max
⎜ 1.2 δ avg
⎝
2
⎞
⎟ ≤ 3 .0
⎟
⎠
( 4.21 )
Donde δ max es el desplazamiento lateral máximo del piso considerado y δ avg es el
desplazamiento promedio en los puntos extremos (pórticos extremos) de la estructura, para el
piso considerado. El valor de Ax tiene que ser mayor a la unidad y menor que 3.
Para calcular Ax , de acuerdo a las normativas americanas se debe encontrar los
desplazamientos en cada piso y en cada pórtico, con los cortantes de piso debido al método
estático más los momentos de torsión que se encuentran con la ecuación que se indica
a continuación con α = 1 y β = 0.05 . Con este estado de carga se halla δ max y δ avg , para
luego hallar Ax
M ti = Vi (α e s i + β Li )
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
124
Luego se realiza el análisis sísmico aplicando el Método Estático y los momentos
torsores que se hallan con la ecuación (4.18) considerando α = Ax , δ = 1 y β = 0.05 ∗ Ax .
4.7.3 Código Ecuatoriano de la Construcción
El análisis estático se simplifica notablemente cuando el factor de amplificación
dinámica α y el factor de control δ son iguales a la unidad α = δ = 1 . En este caso no es
necesario calcular el centro de rigidez y la excentricidad estática, basta con considerar
que las fuerzas halladas con la ecuación (4.11) actúan en el centro de masa, más un
momento torsor adicional debido a la torsión accidental. El CEC-2000 considera que
α = δ = 1 y β = 0.05 ∗ Ax
La excentricidad accidental se debe a una serie de hipótesis que se consideran
en el cálculo para simplificar el análisis sísmico y que puede llevar a que el C.M., por
ejemplo, no esté en el lugar que se ha calculado si no que esté desfasado. Que la longitud de
la onda sísmica varíe a lo largo del edificio, que la componente rotacional del sismo sea
importante y no se tomó en cuenta. Todas estas omisiones y otras variables aleatorias de
masa, rigidez y resistencia, conducen a que se mayoran las fuerzas sísmicas halladas con la
ecuación ( 4.11 ) por lo que se ha denominado torsión accidental.
Lo importante es tener presente, que las fuerzas laterales que se generan en los
pórticos debido a la torsión accidental se deben incrementar a las fuerzas estáticas
equivalentes por traslación.
Para encontrar los desplazamientos laterales y poder calcular δ max y δ avg se necesita
conocer las fuerzas laterales pero estas se conocen únicamente del efecto de traslación,
método estático. Por lo tanto Ax se debe calcular en forma sucesiva empezando con un
valor Ax = 1 , para este valor se hallan las fuerzas laterales debidas a torsión accidental y las
fuerzas laterales que estás generan. Con las fuerzas laterales de traslación y de torsión se
halla un nuevo Ax y se repite el cálculo hasta lograr una convergencia entre dos valores
consecutivos de Ax . Esto es una propuesta del autor del libro.
4.8 ANÁLISIS CON DOS GDL POR PLANTA
Para poder incluir la torsión accidental es necesario considerar un modelo con dos
grados de libertad por planta, la componente de desplazamiento horizontal y la rotación, con
respecto a un eje perpendicular a la losa. En la figura 4.10 se muestra el modelo numérico de
cálculo, para una estructura de tres pisos. Nótese que en primer lugar se ha numerado todos
los desplazamientos en sentido X, empezando desde el primer piso hasta el último,
posteriormente se ha numerado las rotaciones de piso desde el primer piso.
Como se vio en el capítulo anterior, los grados de libertad se agrupan en el vector de
coordenadas generalizadas q . Para el ejemplo de la figura 4.10, es:
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
⎡q1 ⎤
⎢ ⎥
⎢q 2 ⎥
⎢q3 ⎥
q= ⎢ ⎥=
⎢q 4 ⎥
⎢q ⎥
⎢ 5⎥
⎢⎣q 6 ⎥⎦
125
⎡q X ⎤
⎢" ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣qθ ⎥⎦
Figura 4.10 Modelo de dos grados de libertad por planta
Los desplazamientos horizontales de piso se han agrupado en el vector q X , por que
en la figura 4.10 se está realizando el análisis sísmico con respecto a la dirección X. Para esta
dirección la matriz de rigidez, triangular superior, en coordenadas de piso, resulta:
⎡ K XX
KE = ⎢
⎣
K XX =
∑ Cosα
2
K L( i )
K θθ =
K Xθ ⎤
⎥
K θθ ⎦
∑ K (r )
(i )
L
(i ) 2
( 4.22 )
K Xθ =
∑ K (r )
(i )
L
(i )
La sumatoria de las sub matrices se extiende a todos los pórticos en sentido X. Cuando
la estructura es simétrica en planta, la sub matriz K Xθ es nula.
Para encontrar las fuerzas que se generan en los pórticos debido a la torsión accidental
se aplica en cada uno de los pisos un momento de torsión como se ilustra en la figura 4.11.
Este momento de torsión en cada piso se halla considerando β = 0.05 ∗ Ax de acuerdo al
CEC-2000.
126
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Figura 4.11 Problema estático de torsión accidental
Los momentos de torsión accidental de la figura 4.11 se han considerado positivos, en
realidad actúan con cualquier signo. Se toma positivo pero los desplazamientos laterales que
se generan en los pórticos por efecto de estos momentos se obtienen en valor absoluto. Lo
importante es que se mayoran las fuerzas estáticas debidas al desplazamiento lateral.
El vector de cargas generalizadas, Q para el problema de la torsión accidental,
considerando el modelo numérico indicado en la figura 4.10, es:
⎡0 ⎤
Q = ⎢⎢" ⎥⎥
⎢⎣ M T ⎥⎦
( 4.23 )
Donde M T es el vector que contiene los momentos de torsión en cada piso. El
procedimiento de cálculo de las fuerzas generadas por la excentricidad accidental, es el
siguiente:
i.
Se halla la matriz de rigidez en coordenadas de piso, para el modelo de dos grados de
libertad por planta.
ii.
Se inicia el cálculo, considerando Ax = 1
iii.
Se hallan los momentos de torsión accidental, considerando β = 0.05 ∗ Ax
iv.
Se encuentra el vector de coordenadas generalizadas q resolviendo el siguiente
sistema de ecuaciones lineales.
KE q =Q
v.
( 4.24 )
Se determinan los desplazamientos laterales en cada pórtico, con la siguiente
ecuación.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
p (i ) = A(i ) q
A
(i )
⎡Cosα
......
= ⎢⎢
⎢⎣
Cosα
127
( 4.25 )
r1
⎤
...... ⎥⎥
rn ⎥⎦
Donde A es la matriz de compatibilidad que relaciona las coordenadas de piso con las
coordenadas laterales de los pórticos. El índice i escrito entre paréntesis corresponde
al pórtico i, en la dirección del análisis sísmico. En el capítulo anterior se estudió con
detenimiento la matriz A por lo que se omite las explicaciones. Únicamente se destaca
que como el modelo es de dos grados de libertad por planta la forma de la matriz A ,
para el análisis sísmico en sentido X, es la indicada.
vi.
Con los desplazamientos laterales en cada pórtico, se determina en cada piso el valor
máximo en absoluto δ max con los desplazamientos laterales de todos los pórticos, se
obtiene también en cada piso δ avg con los desplazamientos laterales, en valor
absoluto, de los pórticos extremos y se halla el valor de Ax en cada piso. Luego el
valor de Ax de la estructura es el máximo valor de los encontrados en cada piso.
vii.
Se compara el valor de Ax impuesto en el paso ii., con el valor encontrado, si no son
parecidos se repite el cálculo.
viii.
Una vez encontrado el valor de Ax , se hallan las fuerzas laterales P en cada pórtico,
multiplicando la matriz de rigidez lateral K L por el vector de desplazamientos p .
P ( i ) = K L( i ) p ( i )
( 4.26 )
Al sumar las fuerzas laterales de cada piso, se hallan las fuerzas laterales en el centro
de masa, las mismas que se deben sumar a las fuerzas que se encuentran con la ecuación
(4.11)
Para hallar el momento de torsión accidental se puede trabajar con los cortantes de
piso o con las fuerzas laterales de piso. En la forma descrita se ha trabajado con esta última
opción.
•
EJEMPLO 2
Realizar el análisis sísmico de la estructura del ejemplo 1, si las dimensiones de vigas y
columnas son ahora las indicadas en la tabla 4.8. El peso total reactivo se ha incrementado en
5% debido al aumento de las secciones de los elementos estructurales. Efectuar el análisis
sísmico con el modelo de dos grados de libertad por planta y empleando el programa
ANALISISESTATICO2GDL. Explicar la forma de uso del programa.
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
128
Tabla 4.8 Dimensiones de columnas, vigas y peso total reactivo de piso, de ejemplo 2.
Piso
Columnas
Vigas
Peso total
(cm.)
(cm.)
reactivo (T.)
Pórtico 1 y 4
Pórtico 2 y 3
60/60
70/70
50/55
177.19
1
60/60
70/70
50/55
167.74
2
60/60
70/70
50/55
158.29
3
55/55
65/65
45/50
148.84
4
55/55
65/65
45/50
139.39
5
50/50
60/60
40/50
129.94
6
•
SOLUCIÓN
La determinación de las fuerzas estáticas en el C.M. del Método Estático, fue explicado
con detenimiento en el Ejemplo 1, por lo que se explica ahora como se obtienen las fuerzas
debido a la torsión accidental. El vector transpuesto de fuerzas F t del método estático, es:
F t = [6.2769 11.8843 16.8221 21.0904
24.6892 34.3077 ]
Como se indicó, la torsión accidental se la puede calcular con los cortantes de piso o
con las fuerzas de piso. En este ejercicio se obtiene el momento de torsión M t con las fuerzas
de piso. Así para el primer piso se tiene:
M t1 = F1 ∗ 0.05 ∗ Li ∗ Ax = 6.2769 ∗ 0.05 ∗ 15.0 ∗ 1 = 4.7077 Tm
Se inicia el cálculo con Ax = 1 . Al proceder en forma similar en los restantes pisos, se
obtiene el vector M T indicado en (4.23).
M T = [ 4.7077 8.9132 12.6166 15.8178 18.5169
25.7308]
⎡0 ⎤
Q=⎢
⎥
⎣MT ⎦
En este caso el vector 0 está compuesto por seis ceros.
Por otra parte, la matriz de rigidez K E , obtenida con inercias gruesas, vale:
⎡ K XX
KE = ⎢
⎣ K Xθ
K Xθ = 0
K Xθ ⎤
⎥
K θθ ⎦
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
129
Al aplicar la ecuación (4.24) se hallan los desplazamientos y giros en el C.M. por
torsión accidental. Estas son:
q = [0 0 0 0 0 0 0.0472 0.1248 0.2017 0.2801 0.3465 0.3931] ∗ 10 −3
Por medio de la matriz A se hallan los desplazamientos laterales p en cada uno de
los pórticos, empleando la ecuación (4.25). Estos desplazamientos, son:
•
Pórtico 1 = Pórtico 4
p (1)
⎤
⎡0
⎥
⎢0
⎥
⎢
⎥
⎢0
⎥
⎢
− 7.5
⎡− 0.0004⎤
⎤ ⎢0
⎡1
⎥
⎢− 0.0009⎥
⎥
⎢ 1
⎥
⎢
− 7 .5
⎥
⎢
⎥ ⎢0
⎢
⎥
⎥
⎢
⎥ ⎢0
⎢
1
0
.
0015
−
− 7 .5
⎥
* 10 −3 = ⎢
=⎢
⎥
⎥⎢
⎥
1
− 7 .5
⎢− 0.0021⎥
⎥ ⎢0.0472 ⎥
⎢
⎢− 0.0026⎥
⎥ ⎢0.1248 ⎥
⎢
1
− 7 .5
⎥
⎢
⎥⎢
⎢
⎥
1
− 7.5⎦⎥ ⎢0.2017 ⎥
⎣⎢− 0.0029⎦⎥
⎣⎢
⎢0.2801 ⎥
⎥
⎢
⎢0.3465 ⎥
⎢0.3931 ⎥
⎦
⎣
Pero los desplazamientos laterales se consideran en valor absoluto, ya que los
momentos de torsión que actúan en cada piso pueden actuar en sentido horario o antihorario.
Por este motivo es que los desplazamientos laterales del pórtico 1 son iguales a los del pórtico
4, ya que para ambos pórticos el valor de r es 7.5, para el pórtico 1 es negativo y para el pórtico
4 es positivo. Al multiplicar los desplazamientos laterales por la matriz de rigidez lateral del
pórtico se hallan las fuerzas laterales en cada piso P . El vector transpuesto de P resulta.
P (1) t = [0.1203 0.4790 0.8049 0.9018 1.0906 1.5280 ]
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
130
•
p ( 2)
Pórtico 2 = Pórtico 3
⎤
⎡0
⎥
⎢0
⎥
⎢
⎥
⎢0
⎥
⎢
− 2.5
⎡− 0.1180 ⎤
⎤ ⎢0
⎡1
⎥
⎢− 0.3119 ⎥
⎥
⎢ 1
⎥
⎢
− 2.5
⎥
⎢
⎥ ⎢0
⎢
⎥
⎢− 0.5043 ⎥
⎥ ⎢0
⎢
1
− 2.5
⎥
−3
−3
* 10 = ⎢
=⎢
⎥ ∗ 10
⎥⎢
⎥
1
− 2.5
⎢− 0.7002 ⎥
⎥ ⎢0.0472 ⎥
⎢
⎢− 0.8664 ⎥
⎥
⎢
1
− 2.5
⎢0.1248 ⎥
⎥
⎢
⎥⎢
⎢
⎥
1
− 2.5⎥⎦ ⎢0.2017 ⎥
⎢⎣− 0.9827 ⎥⎦
⎢⎣
⎢0.2801 ⎥
⎥
⎢
⎢0.3465 ⎥
⎢0.3931 ⎥
⎦
⎣
P ( 2 ) t = [0.5807
0.3456 0.1086 0.4583 0.4316 0.5621]
La suma de las fuerzas laterales de los cuatro pórticos, reporta las fuerzas laterales en
el C.M. debido a torsión accidental. Estas son las siguientes:
t
FTOR
= [1.4019 1.6493 1.8270 2.7201 3.0444 4.1802]
Finalmente las fuerzas finales en el C.M. se hallan sumando las fuerzas laterales
debido al Método Estático más las fuerzas laterales debido a la Torsión Estática. Estas
resultan.
FTOTALES = [7.6788 13.5335 18.6491 23.8105 27.7337 38.4880 ]
Se deja al lector la verificación e que el valor de Ax es menor que la unidad para todos
los pisos, razón por la que Ax = 1 , que es el valor impuesto.
4.9 PROGRAMA ANALISISESTATICO2GDL
La forma de uso del programa es:
™
[V]=analisisestatico2gdl(ejes,altura,peso,KL,r)
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ejes
altura
peso
KL
ƒ
r
Es el número de ejes en la dirección del análisis sísmico.
Vector que contiene la altura desde la base a cada piso.
Vector que contiene los pesos de cada uno de los pisos.
Matriz con las matrices de rigidez lateral de cada pórtico en la dirección de
análisis sísmico. Calculada con inercias gruesas.
Vector con las distancias del centro de masa a cada pórtico. El programa
considera que los C.M., son colineales.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
131
La única diferencia en la entrada de datos con el programa ANALISISESTATICONEW
se da en el vector r, que se debe ingresar.
Para el ejemplo 2, el vector transpuesto de r es:
r t = [−7.5
− 2 .5
2 .5
7.5]
Las matrices de rigidez lateral también cambian ya que se incrementó la sección de las
columnas. Al igual que el vector que contiene a los pesos de cada piso. Se deja al lector la
determinación de estos datos. Los resultados se indican en la tabla 4.9
Pisos
1
2
3
4
5
6
Tabla 4.9 Resultados de ejemplo 2.
Fuerza sin
Desplazamientos Deriva de piso
Torsión ( T. )
Inelásticos ( m. )
6.2769
0.0103
0.0034
11.8843
0.0281
0.0059
16.8221
0.0462
0.0060
21.0904
0.0645
0.0061
24.6892
0.0801
0.0052
34.3077
0.0912
0.0037
R = 6 A x = 1 γ = 0.61%
Fuerzas
Finales ( T. )
7.6788
13.5335
18.6491
23.8105
27.7337
38.4880
La deriva de piso máxima es menor al 1.5%. Se puede pensar en disminuir las
secciones de los elementos estructurales ya que γ = 0.61% .
4.9.1
Programa ANALISISESTATICO2GDL
A continuación se lista el programa ANALISISESTATICO2GDL, cuyas
características principales, son las siguientes:
•
•
•
•
•
Se considera el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R = 6 para los perfiles de
suelo S1, S2 y S3. Para el perfil de suelo S4 el valor de R = 5 . Los resultados que se
hallan del estado de cargas S no deben ser mayorados en las combinaciones de carga.
Determina el factor de amplificación por torsión Ax en forma interactiva.
Se considera que α = δ = 1 por lo que se omite el cálculo de la excentricidad estática.
Determina las fuerzas debidas a torsión accidental, resolviendo un problema estático.
Se trabaja con las formas espectrales del CEC-2000.
function [V]=analisisestatico2gdl(iejes,alt,peso,KL,r)
%
% Analisis Estatico de acuerdo al CEC-2000 de edificios aporticados regulares
%
% Factor de reduccion de las fuerzas sismicas esta en funcion del nivel de
% diseño (de la capacidad de ductilidad de la estructura). Son los
% resultados finales del proyecto de investigacion desarrollado en el
% CEINCI-ESPE en 2007 sobre el factor de reduccion de las fuerzas sismicas.
% Esta programado para nivel de diseño sismico elevado (ductilidad=4).
%
132
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
% Se obtienen las fuerzas laterales debidas a torsion accidental de acuerdo
% al CEC-2000. Se incluye el factor Ax.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%
Version de diciembre de 2007
%----------------------------------------------------------------------% [V]=analisisestatico2gdl(iejes,alt,peso,KL)
%----------------------------------------------------------------------% Ru Factor de reduccion por ductilidad Rs Factor de resistencia
% Rr Factor de redundancia
R Factor de reduccion
% H Altura total de edificio
Z Factor de Zona
% iejes # de ejes de columnas
% alt Vector que contine las alturas a cada piso medido desde el suelo.
% peso Vector que contiene los pesos reactivos de cada piso.
% PESO Peso total Reactivo.
V Cortante Basal
% gama Deriva maxima de piso que el programa calcula.
% KL Matriz que contiene la matriz de rigidez lateral de cada portico
% r Vector que contiene la distancia del portico al centro de masa, de
%
cada uno de los porticos, con signo, positivo antihorario.
%
%
NP=length(alt); PESO=0;for i=1:NP; PESO=PESO+peso(i);end; H=alt(NP);
fprintf ('\n Codigos para zonas sismicas: 0.15g=1 0.25g=2 0.30g=3 04g=4');
ic=input ('\n Ingrese el codigo de la zona sismica :');
if ic==1; Z=0.15;elseif ic==2; Z=0.25;elseif ic==3;Z=0.30;else;Z=0.40;end
fprintf ('\n Codigos para perfiles de suelo: S1=1 S2=2 S3=3 S4=4');
is=input('\n Indique el codigo del tipo de suelo :');
if is==1
T1=0.50;T2=2.50;beta=2.5;S=1;R=6;
elseif is==2
T1=0.52;T2=3.11;beta=3.0;S=1.2;R=6;
elseif is==3
T1=0.82;T2=4.59;beta=2.8;S=1.5;R=6;
else
T1=2.0;T2=10;beta=2.5;S=2;R=5;
end
I=input('\n Indique el factor de importancia :');
% Periodo fundamental, el mismo que se amplifica por inercia agrietada
T=0.0731*H^(0.75);T=1.3*T;
rp=input('Estructura es regular en planta; si(s) o no(n):','s');
if rp=='s';fip=1;else;fip=0.8;end
re=input('Estructura es regular en elevacion; si(s) o no(n):','s');
if rp=='s';fie=1;else;fie=0.8;end
%Coeficiente C
C=(1.25*S^S)/T;
if C >=beta;C=beta;end
if C <= 0.5;C=0.5;end
% Cortante Basal
V=(Z*I*C*PESO)/(R*fip*fie);
% Fuerzas horizontales en cada piso
if T <= 0.7;Ft=0;else;Ft=0.07*T*V;end
Ftmax=0.25*V;sum=0;
if Ft >= Ftmax;Ft=Ftmax;end
for i=1:NP;sum=sum+peso(i)*alt(i);end
for i=1:NP
if i==NP
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
F(i)=(((V-Ft)*peso(i)*alt(i)/sum)+Ft);
else
F(i)=((V-Ft)*peso(i)*alt(i)/sum);
end
end
% Calculo de la deriva de piso.
Kxx=zeros(NP,NP); % Determinacion de matriz de rigidez espacial
for i=1:iejes
ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;
Kxx=Kxx+KL(ji:jf,1:NP);
end
F=F';
q=Kxx\F
qine=R*q; % Desplazamientos elasticos e inelastico
for i=1:NP
j=NP+1-i;
if j==1
drift(j)=qine(j)/alt(j);
else
drift(j)=(qine(j)-qine(j-1))/(alt(j)-alt(j-1));
end
end
gama=0;
for i=1:NP;
if gama>=drift(i);
continue
else
gama=drift(i);
end
end
gama=gama*100;
fprintf ('\n Valor de R'); R
fprintf('\n Fuerzas laterales en cada piso sin torsion accidental'); F
fprintf ('\n Cortante Basal '); V
fprintf ('\n Desplazamiento Inelastico'); qine
fprintf ('\n Deriva de piso'); drift
fprintf ('\n Deriva maxima de piso en porcentaje'); gama
% Calculo de Torsion accidental
% Matriz de rigidez en modelo de 2 gdl por planta
Kxx=zeros(NP,NP);Kteta=zeros(NP,NP);Kxt=zeros(NP,NP);
for k=1:NP;identidad(k,k)=1;end;
for i=1:iejes
for k=1:NP
rtet(k,k)=r(i);
end
rteta=rtet*rtet;
ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;
Kxx=Kxx+KL(ji:jf,1:NP);Kxt=Kxt+KL(ji:jf,1:NP)*rtet;
Kteta=Kteta+KL(ji:jf,1:NP)*rteta;
A(ji:ji+NP-1,:)=[identidad rtet];
end
KE=[Kxx Kxt;Kxt
Kteta];
dist=abs(r(1))+abs(r(iejes));Axmax=1.0; % Se inicia con Ax=1
% Momentos de torsion accidental
for jj=1:10;
for i=1:NP; Momtor(i)=0.05*dist*Axmax*F(i);cero(i)=0;end;Momtor=Momtor';
cero=cero';QE=[cero; Momtor];qe=KE\QE;
133
134
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
for i=1:NP; FTx(i)=0; qmax(i)=0;end; FTx=FTx';
for i=1:iejes
ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;a=A(ji:jf,1:2*NP);p=a*qe;
Klateral=KL(ji:jf,1:NP);FT=abs(Klateral*p);FTx=FTx+FT;
if i==1
for j=1:NP
q1(j)=abs(p(j));
end
elseif i==iejes
for j=1:NP
q2(j)=abs(p(j));
end
end
for j=1:NP
if qmax(j)>=abs(p(j));
continue
else
qmax(j)=abs(p(j));
end
end
end
for j=1:NP
qavg(j)=(q1(j)+q2(j))/2;
Ax(j)=qmax(j)/(1.2*qavg(j));
if Ax(j)<=1; Ax(j)=1; end;
if Ax(j)>3; Ax(j)=3; end;
end
Axmax=max(Ax);
Momtor=Momtor';cero=cero';FTx=FTx';
end
FTx=FTx';FTOTAL=F+FTx;
fprintf('\n Fuerzas laterales en cada piso con torsion accidental'); FTOTAL
fprintf('\n Valor de Ax'); Axmax
%---fin
REFERENCIAS
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Journal of Structural Engineering, 123 (11), 1454-1461.
2. Grases J., López O., Henández J., (1987), Edificaciones Sismorresistentes. Manual de
aplicación de las Normas. Colegio de Ingenieros de Venezuela. Fundación Juan José
Aguerrevere., Segunda Edición, 269 p. Caracas.
3. Hernández J., y López O., (2003), “Confiabilidad del método de la torsión estática de la
Norma Sismorresistente Venezolana”, Instituto de Materiales y Modelos Estructurales.
Universidad Central de Venezuela, 41 (2-3), 1-27, Caracas Venezuela.
4. Hernández J., y López O., (2007), “Investigación de respuestas sísmicas críticas
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5. ICC, (2003), International Building Code, International Code Council Inc., Birmingham
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ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
135
6. IBC (2000), International Building Code, International Code Council Inc., Birmingham Al
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7. Rosenblueth E., and Elorduy J., (1969), “Response of linear systems to certain transient
disturbances”, Proceedings of the Fourth World Conference on Earthquake
Engineering, Vol 1, A1-185 to A1-196, Santiago de Chile.
8. Uniform Building Code UBC, (1997), International Conference of Building Officials
ICBO, Volume 2, 492p., Whittier, California.
9. Vásquez J., and Riddell R., (1984), “Existence of centers of resistance and torsional
uncoupling of earthquake response of buildings”, Proc., of the 8th World. Conf. in
Earthquake Engrg., Prentice Hall, Inc, IV, 187-194, Englewood Cliffs.
CAPÍTULO 5
ANÁLISIS MODAL PLANO
RESUMEN
Se presenta el Método de Superposición Modal utilizando el espectro de diseño
inelástico, del Código Ecuatoriana de la Construcción CEC-2000, para el análisis sísmico de
pórticos planos. El análisis modal plano sirve más para ilustrar el Método de
Superposición Modal ya que con el gran avance informático que se tiene, es conveniente
realizar un análisis sísmico espacial.
Se inicia el capítulo presentando el marco teórico del Método de Superposición Modal,
el mismo que es aplicable a un análisis sísmico plano o espacial. Luego se detallan algunos
criterios de combinación modal y se muestran los resultados de un estudio realizado en
estructuras de uno a seis pisos, en el Centro de Investigaciones Científicas de la ESPE, en
base a este estudio se recomienda un criterio de combinación modal, que combina el criterio de
superposición directa y el del valor máximo probable.
Una vez terminado el Método de Superposición Modal, se realizan tres controles, que
son: el primero, verificar que el cortante basal obtenido sea mayor o igual al cortante basal
mínimo; el segundo, tiene que ver con el control de la deriva de piso y el tercero, con el control
del efecto P − ∆ . Como es un análisis sísmico plano no se resuelve el problema de la torsión
accidental.
El marco teórico se lo ilustra con el análisis sísmico de una estructura de dos pisos en
el cual se detallan los cálculos. Se complementa el estudio con la entrega del programa
denominado MODALPLANONEW .
El uso del programa se lo ilustra con el análisis sísmico de un pórtico de una estructura
de seis pisos. El análisis modal se realiza utilizando inercias agrietadas, de acuerdo a lo
estipulado por el CEC-2000 y el control de la deriva máxima de piso se lo hace con inercias
gruesas.
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
138
5.1 MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL
El sistema de ecuaciones diferenciales que gobiernan los problemas de dinámica de
estructuras es el siguiente:
M q + C q + K q = Q
( 5.1 )
son los
Donde M , C , K son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez; q, q , q
vectores de desplazamiento, velocidad y aceleración. Q es el vector de cargas generalizadas.
La ecuación ( 5.1 ) corresponde a un sistema de ecuaciones diferenciales acoplado, para
desacoplarlo se debe realizar el siguiente cambio de variable:
q=Φ X
( 5.2 )
Siendo X el vector de desplazamientos en el nuevo sistema de coordenadas, Φ la
matriz modal, conformada por cada uno de los modos de vibración de la estructura que se
hallan del problema de vibración libre sin amortiguamiento.
[
Φ = φ (1) φ ( 2 ) φ (3) ... ... φ ( n )
]
( 5.3 )
Donde φ (1) es el primer modo de vibración, φ ( 2 ) el segundo modo de vibración, etc. En
las coordenadas X el sistema de ecuaciones diferenciales está desacoplado, por esta razón
se suele denominar a este sistema como coordenadas principales. En este nuevo sistema de
coordenadas se tiene:
+ C ∗ X + K ∗ X = Q ∗
M∗ X
( 5.4 )
De la Dinámica de Estructuras, se conoce que:
M ∗ = Φt M Φ
C ∗ = Φt C Φ
K ∗ = Φt K Φ
Q∗ = Φt Q
( 5.5 )
En el capítulo 7 del libro: Dinámica de Estructuras con MATLAB, Aguiar (2007) se
∗
∗
∗
demuestra que las matrices M , C , K solo tienen valores en la diagonal y valen:
⎡η
⎢
M∗ = ⎢
⎢
⎢
⎣
η
...
⎡Wn1
⎢
C∗ = 2ξ η⎢
⎢
⎢
⎣⎢
⎤
⎡1
⎥
⎢
⎥ =η⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
η⎦
⎣
1
...
Wn 2
...
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
Wnn ⎦⎥
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
1⎦
( 5.6 )
( 5.7 )
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
⎡Wn21
⎢
⎢
∗
K =η ⎢
⎢
⎢
⎣
Wn22
...
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
Wnn2 ⎥⎦
139
( 5.8 )
φ (i ) t M φ (i ) = η
( 5.9 )
Donde W n1 , W n 2 , etc., son las frecuencias naturales de vibración de los modos 1, 2,
etc. ξ es el factor de amortiguamiento de la estructura, que se considera igual en todos los
modos. Para estructuras de hormigón armado se considera ξ = 0.05 . El valor de η está
definido en la ecuación ( 5.9 ) depende de la forma como se normalizan los modos.
El vector de cargas generalizadas Q para el análisis sísmico, vale:
..
Q = −M b U g
Donde b para el análisis sísmico plano, es un vector unitario. En general b asocia los
..
grados de libertad de la estructura con el movimiento del suelo; U g es la aceleración del suelo,
definida en el acelerograma. El vector Q ∗ es:
⎡φ (1) t ⎤
⎢ ( 2) t ⎥
⎢φ ⎥
∗
Q = −⎢
M b U g
... ⎥
⎢
⎥
⎢⎣φ ( n ) t ⎥⎦
( 5.10 )
De tal manera que el sistema de ecuaciones diferenciales, en coordenadas principales
resulta:
⎡η
⎢ η
⎢
⎢
...
⎢
⎣
5.1.1
⎡ .. ⎤
x
⎤⎢ 1⎥
⎥ ⎢ x.. ⎥
⎥ ⎢ 2⎥ + 2ξ η
⎥ ⎢... ⎥
⎥⎢ ⎥
η ⎦ ⎢ .. ⎥
⎢ xn ⎥
⎣ ⎦
⎡Wn1
⎢
Wn 2
⎢
⎢
...
⎢
⎢⎣
⎡ . ⎤
x
⎤ ⎡ x1 ⎤
⎡Wn21
⎤⎢ 1⎥
.
⎢
⎥
⎥⎢ ⎥
⎢
⎥
2
Wn 2
⎥ ⎢ x2 ⎥
⎥ ⎢ x2 ⎥ + η ⎢
= − Q∗
⎢
⎥
⎥
⎢
⎥ ...
⎥
⎢
...
...
⎥⎢ ⎥
⎢
⎥⎢ . ⎥
2
⎢
Wnn ⎥⎦ ⎢ ⎥
Wnn ⎥⎦ ⎣ x n ⎦
⎣
⎢ xn ⎥
⎣ ⎦
Desplazamientos máximos modales
La ecuación diferencial de la fila i, del sistema de ecuaciones diferenciales desacoplado
es:
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
140
η xi + 2 ξ η W ni x i + η W ni2 x i = −φ ( i ) t M b U g
Al dividir todo para η se tiene:
xi + 2 ξ W ni x i + W ni2 x i = −
φ ( i ) t M b Ug
η
Al reemplazar ( 5.9 ) en ésta última ecuación, se tiene:
.
xi + 2 ξ Wni x i + Wni2 xi = −γ i U g
( 5.11 )
Donde γ i es el factor de participación del modo i.
γi =
φ (i )t M b
φ (i ) M φ (i )
( 5.12 )
La expresión ( 5.11 ) corresponde a la ecuación diferencial de un sistema de un grado
de libertad. Ahora bien si U g viene expresado por un espectro de diseño para un valor de
amortiguamiento ξ . La máxima respuesta es:
⎛ T
xi = γ i ⎜⎜ i
⎝ 2π
2
⎞
⎟⎟ Adi
⎠
( 5.13 )
Donde Ti es el período de vibración del modo i; Adi es la aceleración espectral
asociada al período Ti . De la ecuación ( 5.13 ) es importante destacar lo siguiente:
ƒ
La definición de espectro está relacionada a un sistema de un grado de libertad. Por lo
tanto el factor γ i permite pasar la respuesta en desplazamientos, de un sistema de un
grado de libertad a un sistema de múltiples grados de libertad.
ƒ
Se ha utilizado la definición de seudo espectro para encontrar el desplazamiento
espectral S di .
2
⎛T ⎞
S di ≈
= ⎜ i ⎟ Adi
2
Wni ⎝ 2π ⎠
Adi
Para tener la respuesta en las coordenadas q se utiliza la ecuación ( 5.2 ) con lo que
se halla:
2
⎛T ⎞
q (i ) = γ i ⎜ i ⎟ Adi φ (i )
⎝ 2π ⎠
5.1.2
Fuerzas máximas modales
Para encontrar las fuerzas en cada modo de vibración Q (i ) se tiene que:
( 5.14 )
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
141
Q (i ) = K q (i )
2
⎛T ⎞
⎛T ⎞
Q ( i ) = K γ i ⎜ i ⎟ Adi φ (i ) = γ i Adi ⎜ i ⎟
⎝ 2π ⎠
⎝ 2π ⎠
2
K φ (i )
Del problema de vibración libre sin amortiguamiento, se tiene:
(K − λ M )φ = 0
Pero λ
= Wn2
⎛ 2π
= ⎜⎜
⎝ Ti
⇒ K φ = λ Mφ
2
⎞
⎟⎟ .
⎠
Luego:
Q ( i ) = γ i Adi M φ (i )
( 5.15 )
Si se realiza un análisis sísmico en coordenadas de piso, el vector Q es el vector que
contiene las fuerzas y momentos en coordenadas de piso. En cambio si se realiza un análisis
sísmico plano, el vector Q contiene las fuerzas laterales en cada uno de los pisos, que se nota
también con la letra P . Es solo nomenclatura. Aguiar (2004)
5.2 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO
La secuencia de cálculo para realizar un Análisis Sísmico Plano orientado al uso del
espectro de diseño inelástico del CEC-2000, es como sigue:
i.
Se determina la matriz de rigidez lateral del pórtico, trabajando con inercias
agrietadas. El CEC-2000 considera que la inercia de la viga I V = 0.5 I g y que la
inercia de la columna I C = 0.8 I g . Consecuentemente se espera daño en la estructura
ante la acción del sismo estipulado en el CEC-2000 que viene expresado mediante un
espectro de diseño inelástico. Se espera daño ya que este sismo tiene un período de
retorno de 475 años y consecuentemente la probabilidad de ocurrencia es baja.
ii.
Se encuentra la matriz de masas. Para el caso plano la matriz es diagonal y vale:
⎡m1
⎢
⎢
⎢
M=⎢
⎢
⎢
⎢
⎣⎢
m2
....
mi
...
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
m n ⎦⎥
( 5.16 )
Donde m i es la masa del piso i. Para encontrar la matriz de masas se trabaja con
toda la carga muerta y un porcentaje de la carga viva. El porcentaje de la carga viva
142
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
toma en cuenta la probabilidad de que se registre un sismo y en que porcentaje estará
presente la carga viva. Para una vivienda u oficina se considera que ese porcentaje es
del 25%. Para una biblioteca el porcentaje será mayor, lo propio para una bodega.
iii.
Con la matriz de rigidez y la matriz de masas, se determinan los valores propios λ i y
los vectores propios, que son los modos de vibración φ (i ) . Donde i representa el modo.
Se recuerda que el problema de valores y vectores propios está definido por:
(K − λ M )φ = 0
Para el caso plano, K es la matriz de rigidez lateral y como se indicó M es la matriz
de masas. En Matlab se obtienen los valores y vectores propios con la instrucción eig.
El formato de uso es el siguiente:
>> [V,D] = eig (K, M)
En V vienen los vectores propios y en la matriz diagonal de D, los valores propios.
iv.
Con los valores propios se encuentran las frecuencias naturales de vibración W ni y los
períodos de vibración Ti
Wni = λi
v.
Ti =
2π
Wni
( 5.17 )
Se encuentran los factores de participación modal γ i
γi =
φ (i ) t M b
φ (i ) t M φ (i )
Para el análisis sísmico plano en que se considera un grado de libertad por piso, el
vector b es unitario.
vi.
Con cada período se ingresa al espectro de diseño inelástico y se obtiene la
aceleración espectral Adi .
vii.
Se hallan las fuerzas laterales en cada modo de vibración.
P ( i ) = γ i Ad i M φ ( i )
viii.
( 5.18 )
Se encuentran los cortantes en cada piso V i y en cada modo de vibración, a partir de
las fuerzas P ( i ) .
ix.
Se aplica un criterio de combinación modal en los cortantes y se halla la resultante de
los cortantes. En el siguiente apartado se estudiará con cierto detenimiento estos
criterios de combinación modal.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
143
x.
Una vez que se tienen los cortantes resultantes en cada piso se hallan las fuerzas
estáticas máximas equivalentes debido al sismo, definido por el espectro de diseño
inelástico. Estas fuerzas se denominan P
xi.
Se realizan los controles, que se indicarán posteriormente con detalle pero aquí se los
indica cuales son:
ƒ
ƒ
ƒ
Cortante Basal Mínimo.
Efecto P − ∆ .
Control de la deriva máxima.
5.3 CRITERIOS DE COMBINACIÓN MODAL
En el Método de Superposición Modal, se hallan las respuestas en cada modo de
vibración y para encontrar la respuesta resultante, se debe aplicar un criterio de combinación
modal. En la literatura existen una gran cantidad de criterios entre los que se destacan los
siguientes:
•
Criterio del Máximo Valor Probable (SRSS)
Sea r un cierto valor de respuesta que se desea obtener, puede ser un
desplazamiento, un momento, un corte, etc. El criterio del valor máximo probable, es:
N
∑ (r )
r=
2
( 5.19 )
i
i =1
Donde N es el número de modos que se consideran en la respuesta, i es el modo de
vibración. Por su sencillez es uno de los más utilizados. Es apropiado su uso cuando las
frecuencias naturales de vibración se encuentran bastante separadas, más del 10%. Utilizar
este criterio cuando no cumple esta condición puede llevar a subestimar la respuesta.
Este criterio también es conocido por las siglas SRRS (Square Root Sum of Squares)
•
Criterio de la doble suma
Este criterio se usa cuando las frecuencias naturales están bastante cercanas entre si.
r =
2
N
N
N
ri r j
∑ (r ) + ∑∑ 1 + ε
2
i
i =1
ε ij =
i =1 j =1
2
ij
( 5.20 )
1 − ξ Wni − Wnj
ξ Wni + Wnj
Donde Wni , Wnj son las frecuencias de vibración de los modos i, j. ξ es el porcentaje
de amortiguamiento para cada modo de vibración. Tal vez la parte más complicada del método
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
144
es determinar los valores de ξ para cada modo. Una forma más refinada del criterio de la
doble suma se tiene en función del tiempo de duración del sismo que se ha denominado s . En
este caso, se tiene:
ε ij =
Wai − Waj
ξ Wai + ξ 'jWaj
'
i
Wai = Wni 1 − ξ i2
( 5.21 )
2
ξ i' = ξ i +
s Wni
Este criterio considera la proximidad entre los valores de las frecuencias de los modos
que contribuyen a la respuesta, la fracción del amortiguamiento y la duración del sismo.
•
Criterio de la combinación cuadrática completa (CQC)
El criterio CQC (Complete Quadratic Combination), Chopra (2001), considera la
posibilidad de acoplamiento entre los modos de vibración.
r2 =
N
N
∑∑ ρ
ij
ri r j
i =1 j =1
ρ ij =
a=
8 ξ 2 (1 + a ) a 1.5
(1 − a )
2 2
+ 4ξ 2 a(1 + a )
2
( 5.22 )
Wnj
Wni
ρ ij =
(1 − a )
2 2
(
)
8 ξ i ξ j ξ i + aξ j a 1.5
(
) (
)
+ 4ξ i ξ j a 1 + a 2 + 4 ξ i2 + ξ 2j a 2
Cuando las frecuencias están bastante separadas, el criterio de la combinación
cuadrática completa, proporciona valores similares al criterio del máximo valor probable.
•
Superposición directa
La superposición directa de los máximos modales proporciona un límite superior al
valor máximo de la respuesta total. Por lo tanto aplicar este criterio es muy conservador.
r=
N
∑r
i
( 5.23 )
i =1
•
Propuesta de Alejandro Gómez
El criterio propuesto por Alejandro Gómez (2002) integra de alguna manera el criterio
directo con el criterio del valor máximo probable, al margen de la cercanía o no de las
frecuencias naturales. El criterio es el siguiente:
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
r=
•
r12
⎛ N
⎞
+ ⎜⎜
ri ⎟⎟
⎝ i=2 ⎠
∑
145
2
( 5.24 )
Norma Técnica de Perú 2003
En la Norma Técnica de Perú de 2003 se combinan los resultados obtenidos, en cada
uno de los modos de vibración, con la siguiente ecuación:
r = 0.25
N
∑
ri + 0.75
i =1
N
∑r
2
i
( 5.25 )
i =1
En la Normativa de Perú se reconoce que el criterio del valor máximo probable reporta
valores bajos y que el criterio de superposición directa da valores muy altos por lo que lo más
conveniente es combinar estos dos criterios en forma lineal con los coeficientes indicados en la
ecuación ( 5.25 ).
•
Norma Técnica de Guatemala (1996)
Es similar al de la Norma Técnica del Perú (2003) pero ahora la combinación es 50%
del criterio de la suma directa y 50% del criterio del valor máximo probable. Santana
(2008).
r = 0.50
N
∑
ri + 0.50
i =1
•
N
∑ ri2
( 5.26 )
i =1
Laboratorio de Investigación Naval (NRL)
El criterio NRL (Naval Research Laboratory) considera el valor absoluto del modo que
más aporta a la repuesta y lo añade al criterio SRSS. (Iberisa, 2008) Normalmente el modo que
más aporta es el primero de tal manera que puede escribirse de la siguiente manera:
r = r1 +
N
∑ (ri )2 − r 12
( 5.27 )
i =1
Se han presentado ocho criterios, seis de ellos son relativamente fáciles de evaluar y
dos un poco más complejos, por que se debe indicar el valor de ξ .
Ahora se debe recomendar que criterio utilizar, para el efecto se encontró la respuesta
sísmica de estructuras de 1 a 6 pisos de hormigón armado, conformadas únicamente por vigas
y columnas. Respuesta sísmica en términos del cortante basal, en las siguientes condiciones:
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
146
¾
Cortante Basal mínimo en base a lo estipulado por el CEC-2000 para la zona sísmica
de mayor peligrosidad ( 0.4 g ) y sobre un perfil de suelo S1. Se halló la respuesta para
los cuatro perfiles de suelo del código pero en este capítulo solo se indican los
resultados obtenidos para el perfil de suelo S1. En Campos (2006) están los restantes
resultados.
¾
Análisis Lineal en el tiempo, para el efecto se generaron siete acelerogramas con
diferentes duraciones que van desde los 20 segundos hasta los 50 segundos. Para
cada caso se hallo la respuesta en el tiempo se encontró el cortante basal máximo y se
dividió para el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R que se utilizó en los otros
métodos. Esta forma de cálculo del cortante basal es la exacta.
¾
Análisis modal espectral utilizando el espectro de diseño inelástico del CEC-2000,
con inercias agrietadas y aplicando los siguientes criterios de combinación modal:
o
o
o
o
Valor máximo probable.
Superposición Directa.
Criterio de Gómez
Norma Técnica de Perú 2003
Figura 5.1 Valores medios de las respuestas obtenidas del cortante basal en suelo S1.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
147
En la figura 5.1 se indican los valores medios de las respuestas obtenidas, de los
cortantes básales, aplicando las diferentes maneras de cálculo. Del análisis de esta figura se
concluye lo siguiente:
™ El criterio empleado por la Norma Técnica de Perú es la que más se aproxima a la
respuesta elástica paso a paso dividida para el factor de reducción de las fuerzas
sísmicas. Por lo tanto se recomienda el Criterio de la Norma Técnica de Perú de
2003 a ser utilizado para la combinación modal.
™ Los valores de cortante basal que se hallan aplicando la fórmula del CEC-2000 son los
mayores valores obtenidos, en relación a los otros métodos.
™ El criterio del máximo valor probable reporta valores muy bajos al igual que el Criterio
de Gómez (2002).
™ El criterio de superposición directa da valores altos pero menores a los que se hallan
con el cortante basal mínimo.
En todos los casos se realizó un análisis sísmico plano. Por otro lado, Aguiar et al
(2006) realizaron algo similar pero con un modelo de tres grados de libertad por planta y se
llegó a resultados parecidos.
•
EJEMPLO 1
Realizar un análisis modal plano, para el pórtico en sentido X, que tiene dos vanos, de
la estructura de dos pisos, cuya distribución en planta es la indicada en la figura 5.2. La altura
de cada entrepiso es de 3.0 m. Las cargas verticales que gravitan son de 500 kg/m2 para la
carga muerta y 200 kg/m2 para la carga viva, es una construcción destinada a vivienda.
Figura 5.2 Distribución en planta de estructura de dos pisos.
La estructura se halla ubicada en la ciudad de Portoviejo sobre un perfil de suelo S2,
de acuerdo al CEC-2000. El factor de reducción de las fuerzas sísmicas es igual a 6. La matriz
de rigidez lateral considerando inercias agrietadas, que se obtiene con el programa RLAXINFI,
es la siguiente.
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
148
⎡1243.5
KL = ⎢
⎣− 492.6
− 492.6⎤
317.9 ⎥⎦
Para encontrar la matriz de rigidez lateral se trabajó con un módulo de elasticidad igual
a E = 1738965.21 T / m 2 que se halla reemplazando f c' = 210 Kg / cm 2 en E = 12000 f c'
(kg/cm2).
•
SOLUCIÓN
De la figura 5.3 se obtiene que el área cooperante para la carga vertical, vale:
A = 9 ∗ 2 = 18 m 2
Como es vivienda el aporte de la carga viva a la matriz de masas es del 25%. Con esta
acotación en la tabla 5.1 se indican el valor de las cargas totales en el pórtico debido a la carga
muerta y a la carga viva, orientadas al uso del programa MODALPLANONEW, que se indicará
posteriormente.
Figura 5.3 Repartición de cargas verticales al pórtico en sentido X.
Piso
1
2
Tabla 5.1 Valores de la carga muerta, viva y altura desde la base al piso
Carga Muerta Total
Carga Viva Total
Altura
3.00
W D = 0.5 * 18 = 9 T .
W L = 0.25 * 0.2 * 18 = 0.9 T .
W D = 0.5 * 18 = 9 T .
W L = 0.25 * 0.2 * 18 = 0.9 T .
La masa del piso 1 es igual a la masa del piso 2 y tiene un valor de:
m1 = m 2 =
⎡m
M =⎢ 1
⎣0
T s2
9 + 0. 9
= 1.0102
9 .8
m
0 ⎤ ⎡1.0102
⎥=
m 2 ⎦ ⎢⎣ 0.0
⎤
1.0102⎥⎦
0.0
6.00
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
149
Con la matriz de rigidez y con la matriz de masas, se hallan los valores propios y los
modos de vibración. Estos son:
λ1 = 103.8
λ 2 = 1441 .9
⎡− 0.3950⎤
⎥
⎣− 0.9132⎦
φ ( 2) = ⎢
⎡− 0.9132⎤
⎥
⎣0.3950 ⎦
φ (1) = ⎢
Algunos programas de cálculo de valores y vectores propios, reportan los valores
propios sin ordenarlos de menor a mayor. Para el análisis sísmico es fundamental que los
valores propios se encuentren ordenados de menor a mayor.
λ1 ≤ λ 2 ≤ λ 3 ......... ≤ λ n
Con los valores propios se hallan las propiedades dinámicas de la estructura, que son
las frecuencias naturales Wn y los períodos de vibración T .
Wni = λi
Wn1 = 103.8 = 10.188
1
s
Ti =
2π
Wni
T1 =
2π
= 0.6168 s.
10.188
Wn 2 = 1441.9 = 37.9723
T2 =
1
s
2π
= 0.1655 s.
37.9723
Al período T1 se le conoce con el nombre de período fundamental, debido a que el
primer modo tiene una gran influencia en la respuesta sísmica. Son los primeros modos de
vibración los que más aportan a la respuesta de ahí que las normativas sísmicas establecen
un número mínimo de modos a considerar en la respuesta pero es conveniente calcularlos con
todos especialmente cuando se realiza un análisis sísmico plano y no se tienen muchos grados
de libertad.
Los períodos de vibración obtenidos son bastante altos debido a que la matriz de
rigidez se obtuvo con inercias agrietadas.
Una vez hallados los modos de vibración se procede al cálculo de los factores de
participación modal γ
γi =
φ (i )t M b
φ (i )t M φ (i )
Para el ejemplo el vector b tiene dos unos.
γ1 =
φ
0 ⎤ ⎡1⎤
⎡1.0102
− 0.9132] ⎢
1.0102⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦
M b
− 1.3215
⎣0
=
=
= −1.3215
(1)
0 ⎤ ⎡− 0.395 ⎤
1
⎡1.0102
M φ
[− 0.395 − 0.9132] ⎢
1.0102⎥⎦ ⎢⎣− 0.9132⎥⎦
⎣0
(1) t
φ (1) t
[− 0.395
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
150
γ2 =
φ ( 2) t M
φ
( 2) t
M
b
φ
( 2)
[− 0.9132
=
[− 0.9132
0 ⎤ ⎡1⎤
⎡1.0102
0.3950] ⎢
1.0102⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦
⎣0
0 ⎤ ⎡− 0.9132⎤
⎡1.0102
0.3950] ⎢
1.0102⎥⎦ ⎢⎣0.3950 ⎥⎦
⎣0
=
− 0.5235
= −0.5235
1
Pero el factor de participación modal se considera en valor absoluto. Luego
γ 1 = 1.3215
γ 2 = 0.5235
Los factores de participación son adimensionales y lo que indican es que tanto participa
el modo en la respuesta. De igual manera, los factores de participación no son únicos,
dependen del valor de los modos de vibración, lo que si es único son las fuerzas
laterales que se tienen en cada modo de vibración.
Con cada período de vibración se ingresa al espectro inelástico del CEC-2000 y se
determina la aceleración espectral Adi . En el ejemplo el primer período cae en la curva
descendente y el segundo en la plataforma horizontal del espectro. Luego se tiene:
Ad 1 =
1.25 α A0 S S 1.25 ∗ 1 ∗ 0.4 ∗ 9.8 ∗ 1.21.2
m
=
= 1.6478 2
0.6168 ∗ 6
T ∗ R φ p φe
s
Ad 2 =
α β A0 1 * 3 * 0.4 * 9.8
m
=
= 1.96 2
R φ p φe
6
s
En el capítulo 2 se presentó los resultados del proyecto de investigación realizado en el
CEINCI-ESPE sobre el factor de reducción de las fuerzas sísmicas y se estableció que para un
perfil de suelo S2, el valor de R = 6 y que la deriva de piso máxima inelástica es γ = 1.5% .
La estructura es regular en planta y elevación luego φ p = φ e = 1 . Si no fueran
regulares en planta o elevación no se podría realizar un análisis modal plano.
El valor de A0 para la ciudad de Portoviejo es 0.4 g = 0.4 ∗ 9.8 . Por otra parte, el
coeficiente de importancia es α = 1 y el valor de β para suelo tipo S2 vale 3 y el coeficiente S
vale 1.2
Ahora se calculan las fuerzas laterales, en cada modo de vibración.
P (i ) = γ i Adi M φ (i )
0 ⎤ ⎡− 0.3950⎤ ⎡− 0.8689⎤
⎡1.0102
P (1) = 1.3215 * 1.6478 * ⎢
=
∗
1.0102⎥⎦ ⎢⎣− 0.9132⎥⎦ ⎢⎣− 2.0088⎥⎦
⎣ 0
0 ⎤ ⎡− 0.9132⎤ ⎡− 0.9465⎤
⎡1.0102
P ( 2) = 0.5235 * 1.9600 * ⎢
=
∗
1.0102⎥⎦ ⎢⎣0.3950 ⎥⎦ ⎢⎣0.4094 ⎥⎦
⎣ 0
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
151
En la figura 5.4 se presentan las fuerzas laterales, en cada piso y los cortantes
asociados. Para cada modo de vibración, a la izquierda se tiene para el primer modo y a la
derecha para el segundo modo de vibración.
Figura 5.4 Fuerzas laterales y cortantes en cada modo de vibración.
Se aplica el criterio de combinación modal de la Norma de Perú de 2003.
V = 0.25
N
∑V
i =1
i
+ 0.75
N
∑V
2
i
i =1
V1 = 0.25[2.8778 + 0.5370] + 0.75 2.8778 2 + 0.5370 2 = 3.0493 T .
V2 = 0.25[2.0088 + 0.4094] + 0.75 2.0088 2 + 0.4094 2 = 2.1422 T .
A partir de los cortantes obtenidos, luego de aplicar el criterio de combinación modal,
se determinan las fuerzas estáticas por un procedimiento inverso. En la figura 5.5 se indican los
resultados encontrados.
Figura 5.5 Fuerzas estáticas equivalentes obtenidas del análisis modal plano.
El cortante basal hallado del método modal plano es:
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
152
V0 = 3.0493 T .
Ahora se debe realizar los siguientes controles, los mismos que se explican en el
siguiente apartado.
•
•
•
Cortante Basal Mínimo.
Control de la Deriva de los Pórticos.
Control del efecto P − ∆ .
5.4 CONTROL DEL CORTANTE BASAL MÍNIMO
El primer control que se realiza es el del cortante basal mínimo pero calculando con el
período fundamental que se ha encontrado de la solución del problema de valores y vectores
propios.
Vmin =
ZIC
0.4 ∗ 1 ∗ 2.5222
W=
∗ 18 = 3.0266 T .
R φ p φe
6 ∗1∗1
C=
1.25 S S 1.25 ∗ 1.21.2
=
= 2.5222
T
0.6168
El cortante basal mínimo es menor que el cortante basal obtenido del análisis
modal. Luego no se debe encontrar ningún factor para mayorar las fuerzas laterales y se
prosigue con el análisis En la figura 5.6 se muestran las fuerzas estáticas, que son las
indicadas en la figura 5.5 pero ahora se coloca también la geometría de la estructura.
Figura 5.6 Fuerzas estáticas corregidas por cortante basal mínimo.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
153
5.5 CONTROL DE LA DERIVA DE LOS PÓRTICOS
El método de superposición modal proporciona resultados satisfactorios en el rango
elástico pero para el rango inelástico en el que va a trabajar la estructura, ante el sismo raro
que tiene un período de retorno de 475 años, los resultados son aproximados.
Los desplazamientos inelásticos de acuerdo al CEC-2000 se hallan con la siguiente
ecuación:
(
)
q ine = R φ p φ e q
( 5.26 )
Las variables no indicadas, son: q ine vector que contiene los desplazamientos
inelásticos de la estructura y q es el vector que contiene los desplazamientos elásticos, los
mismos que se obtienen de la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales.
K q=Q
( 5.27 )
Donde K es la matriz de rigidez lateral calculada con inercias gruesas y Q es el
vector de cargas generalizado, constituido por las fuerzas laterales que actúan en el pórtico.
En la tabla 5.2 se indica la forma como se obtienen los desplazamientos inelásticos a
partir de los desplazamientos elásticos en las normativas sísmicas de: Venezuela, Colombia,
Ecuador y Perú. Todas estas fórmulas son aproximadas y esto es una debilidad del Método de
Superposición Modal, para el rango inelástico se debe encontrar la respuesta mediante un
Análisis no Lineal pero esto es complicado, razón por la cual se está trabajando en métodos
que no sean tan sencillos como el Método de Superposición Modal ni tan complicados
como el Análisis no Lineal uno de éstos Métodos es el del Espectro de Capacidad.
Tabla 5.2 Cálculo de los desplazamientos inelásticos en otras normativas sísmicas.
PAIS
NORMA
DESPLAZAMIENTO
INELÁSTICO
Venezuela
COVENIN 1756-98
qine = 0.8 R φ p φ e q
(
)
(
)
(
)
Colombia
NSR-98
q ine = R φ p φ e q
Ecuador
CEC-2000
q ine = R φ p φ e q
E.030
qine = 0.75 R φ p φ e q
Perú
(
)
Una vez que se tienen los desplazamientos elásticos, se hallan los inelásticos
empleando la ecuación ( 5.26 ) y finalmente las distorsiones de piso γ i .
Antes de proseguir se debe destacar que en páginas anteriores con la letra γ se
definió al factor de participación modal y ahora la misma letra se utiliza para identificar a la
distorsión de piso. La distorsión de piso se halla dividiendo el desplazamiento relativo de piso,
inelástico para la altura de piso hi .
154
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
γi =
q ine (i ) − q ine (i −1)
hi
( 5.28 )
En cada piso se debe verificar que la deriva de piso sea menor o igual a 1.5%. Por
el valor de R = 6 que se consideró en el análisis sísmico.
Para la estructura de dos pisos que se ha venido resolviendo la matriz de rigidez,
obtenida con inercias gruesas es la siguiente:
⎡1651.0
K =⎢
⎣− 684.8
− 684.8⎤
480.6 ⎥⎦
De la figura 5.6 se aprecia que el vector de cargas generalizadas, vale:
⎡0.9071 ⎤
Q=⎢
⎥
⎣2.1422 ⎦
Luego el sistema de ecuaciones lineales a resolver, es:
⎡1651.0
⎢− 684.8
⎣
− 684.8⎤
480.6 ⎥⎦
⎡q1 ⎤ ⎡0.9071⎤
⎢ ⎥=⎢
⎥
⎣q 2 ⎦ ⎣2.1422⎦
La solución del sistema de ecuaciones, reporta los desplazamientos elásticos.
⎡0.0059 m.⎤
q=⎢
⎥
⎣0.0128 m.⎦
Los desplazamientos inelásticos se hallan multiplicando los desplazamientos elásticos
por el factor R φ p φ e = 6 , de acuerdo al CEC-2000.
⎡0.0352 ⎤
q ine = ⎢
⎥
⎣0.0769 ⎦
Finalmente las derivas de piso, resultan:
0.0769 − 0.0352
= 0.0139
3.00
0.0352
γ1 =
= 0.0117
3.00
γ2 =
La deriva de piso máxima es γ = 1.39% . Se aprecia que los valores son menores a
1.5%.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
155
5.6 CONTROL DEL EFECTO P − ∆
Cuando se tienen desplazamientos laterales significativos, el peso propio tiende a
voltearla, de tal manera que en la estructura deformada, por la acción sísmica, actúan cargas
adicionales los mismos que son tomados en cuenta cuando se analiza con teoría de segundo
orden, en el próximo capítulo se estudiará con detenimiento este efecto P − ∆ . Por ahora nos
limitamos a ver como se efectúa este control por medio del índice de estabilidad de piso θ i .
Pi δ ei
Vi hi
θi =
( 5.29 )
Donde Pi es la carga vertical que gravita desde el piso i hasta el tope, se calcula en
función de la carga muerta D más el porcentaje de la carga viva L; Vi es el cortante de piso;
δ ei es la deriva de piso calculada con los desplazamientos elásticos q , y hi es la altura de
entrepiso. Se destaca que δ ei / hi es la deriva de piso elástica.
El CEC-2000 al igual que la norma NSR-98 de Colombia, establecen que si θ i ≤ 0.10
la estructura no tiene problemas de efecto P − ∆ y se prosigue con el cálculo pero si θ i ≥ 0.30
la estructura debe ser reforzada a menos que se demuestre mediante un análisis de segundo
orden que la estructura sigue siendo estable. Finalmente si 0.10 < θ i < 0.30 tanto las derivas
de piso como las fuerzas estáticas se multiplicarán por.
f P−∆ =
1
1 − θi
( 5.30 )
El control del CEC-2000 fue considerado en el programa MODALPLANONEW.
La normativa sísmica de Venezuela, COVENIN 1756-98 (Rev. 2001) es más exigente
en el control del efecto P − ∆ . Establece que si θ i < 0.08 la estructura no tiene problemas
de efecto P − ∆ pero si θ i > θ max la estructura debe ser reforzada ya que tendrá problemas
por el efecto de segundo orden.
θ max =
0.5
≤ 0.25
R
( 5.31 )
Con relación a la estructura de dos pisos que se está analizando en la tabla 5.3 se
presenta el control del efecto P − ∆ . La deriva de piso elástica se encuentra dividiendo la
deriva de piso inelástica para el factor R de acuerdo al CEC-2000.
Piso
1
2
Tabla 5.3
Fuerza
Horizontal
( T. )
0.9071
2.1422
Cálculo del índice de estabilidad de piso.
Cortante
( T. )
3.0493
2.1422
Peso desde
piso al tope
( T. )
19.80
9.9
Deriva de
piso elástica
θi
0.00195
0.00231
0.01265
0.0107
156
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
5.7 PROGRAMA MODALPLANONEW
El programa MODALPLANONEW realiza el análisis sísmico de un pórtico plano por el
Método de Superposición Modal considerando el espectro inelástico del CEC-2000 pero con
los factores de reducción de las fuerzas sísmicas indicados en el capítulo 2, para los cuatro
tipos de suelo.
Antes de utilizar el programa MODALPLANONEW se debe encontrar la matriz de
rigidez lateral del pórtico de dos formas: la primera considerando inercias agrietadas y la
segunda con inercias gruesas. Cuando se ejecuta el programa RLAXINFI se crea en consola
una matriz que tiene por nombre KL, el usuario debe cambiar este nombre para especificar si
es con inercia agrietada o con inercia gruesa.
Algunos detalles del programa se indican a continuación:
9
El factor de reducción de las fuerzas sísmicas es igual a 6 para perfiles de suelo
S1, S2 y S3. Para un perfil de suelo S4 el factor R = 5 .
9
Asociados con los factores R indicados la deriva máxima de piso debe ser igual a
1.5%.
9
El estado de cargas S., que se obtiene no se debe mayorar en las combinaciones
de carga.
9
Si la estructura es irregular en planta o elevación no se debe realizar un
análisis sísmico plano, si no un análisis sísmico espacial aunque sea con un
modelo de dos grado de libertad por planta, en el que se incluya la torsión
accidental pero si se utiliza el programa MODALPLANONEW se penaliza las
irregularidades en planta o elevación con factores φ p = 0.8 o φ e = 0.8 .
9
El análisis sísmico se realiza con inercias agrietadas de acuerdo al CEC-2000 que
considera para las vigas I V = 0.5 ∗ I g ; para las columnas I C = 0.8 ∗ I g .
9
El período con el cual se halla el cortante basal mínimo es el período asociado al
primer modo de vibración que se encuentra de la solución del problema de valores
y vectores propios.
9
Se utiliza el criterio de combinación modal de la Norma Técnica de Perú de 2003
que se indica nuevamente a continuación:
V = 0.25
N
∑
i =1
Vi + 0.75
N
∑V
2
i
i =1
9
Con inercias agrietadas se hallan las fuerzas estáticas máximas en cada uno de
los pisos. Posteriormente para el control de la deriva de los pórticos se calcula en
base a inercias gruesas.
9
El control del efecto P − ∆ se realiza de acuerdo al CEC-2000. Se destaca que se
obtiene con desplazamientos laterales elásticos.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
function [V]=modalplanonew(alt,pesoD,pesoL,KL,KLG)
%
% Analisis Modal plano empleando el Espectro Inelastico del CEC-2000
% El factor de reduccion de las fuerzas sismicas corresponde al encontrado
% en la investigacion realizada en el CEINCI-ESPE en 2007.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%
Diciembre de 2007
%----------------------------------------------------------------------% [V]=modalplanonew(alt,pesoD,pesoL,KL,KLG)
%----------------------------------------------------------------------% Ru Factor de reduccion por ductilidad Rs Factor de resistencia
% Rr Factor de redundancia
R Factor de reduccion
% H Altura total de edificio
Z Factor de Zona
% alt Vector que contine las alturas a cada piso medido desde la base.
% pesoD Vector que contiene la carga muerta D de cada piso.
% pesoL Vector que contiene el porcentaje de carga viva L de cada piso.
% KL Matriz de rigidez lateral del portico con inercias agrietadas.
% KLG Matriz de rigidez lateral del portico con inercias gruesas.
% PESO Peso total Reactivo.
V Cortante Basal
%
NP=length(alt);H=alt(NP); for i=1:NP-1; j=NP-i+1; alt(j)=alt(j)-alt(j-1);end
%Matriz de masas
for i=1:NP; masaD(i)=pesoD(i)/9.8; masaL(i)=pesoL(i)/9.8;
mas(i)=masaD(i)+masaL(i);end
masa=zeros(NP,NP);for i=1:NP; masa(i,i)=mas(i);end
PESO=0;for i=1:NP; PESO=PESO+pesoD(i);end;
fprintf ('\n Codigos para zonas sismicas: 0.15g=1 0.25g=2 0.30g=3 04g=4');
ic=input ('\n Ingrese el codigo de la zona sismica :');
if ic==1; Ao=0.15*9.8;Z=0.15;elseif ic==2;Ao=0.25*9.8;Z=0.25;
elseif ic==3;Ao=0.30*9.8;Z=0.30;else;Ao=0.40*9.8;Z=0.4;end
fprintf ('\n Codigos para perfiles de suelo: S1=1 S2=2 S3=3 S4=4');
is=input('\n Indique el codigo del tipo de suelo :');
if is==1
T1=0.50;T2=2.50;beta=2.5;S=1;R=6;
elseif is==2
T1=0.52;T2=3.11;beta=3.0;S=1.2;R=6;
elseif is==3
T1=0.82;T2=4.59;beta=2.8;S=1.5;R=6;
else
T1=2.0;T2=10;beta=2.5;S=2;R=5;
end
I=input('\n Indique el factor de importancia :');
% Periodos de vibracion y periodo fundamental
[V,D]=eig(KL,masa);W=sqrt(diag(D));
% Se ordenan las frecuencias y los modos de vibracion de menor a mayor
[Wn,II]=sort(W); for i=1:NP; fi(:,i)=V(:,II(i)); T(i)=2*pi/Wn(i);end;Tf=T(1);
rp=input('Estructura es regular en planta; si(s) o no(n):','s');
if rp=='s';fip=1;else;fip=0.8;end % Se penaliza por hacer una analisis plano
re=input('Estructura es regular en elevacion; si(s) o no(n):','s');
if rp=='s';fie=1;else;fie=0.8;end % Se penaliza por hacer una analisis plano
%Coeficiente C
C=(1.25*S^S)/Tf; if C >=beta; C=beta; end;if C <= 0.5; C=0.5; end
%Factores de participacion modal
for i=1:NP; b(i)=1; end;b=b';NUM=fi'*masa*b;DEN=diag(fi'*masa*fi);
for i=1:NP; gama(i)=abs(NUM(i)/DEN(i));end
157
158
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
R=R*fip*fie;
% Cortante Basal Minimo
Vmin=(Z*I*C*PESO)/R;
%Aceleraciones modales
for i=1:NP
if T(i)<=T1;Ad(i)=I*beta*Ao/R;elseif T(i)>T1 & T(i)<=T2;
Ad(i)=(1.25*I*Ao*S^S)/(T(i)*R);else;Ad(i)=I*Ao/(2*R);end
end
%Fuerzas modales
masafi=masa*fi;gamaAd=(gama.*Ad)';
for i=1:NP;
for j=1:NP;
P(j,i)=gamaAd(i)*masafi(j,i);
end
end
%Cortantes
VV=zeros(NP,NP);
for i=1:NP;
for j=1:NP;k=NP+1-j;
if k==NP;
VV(k,i)=VV(k,i)+P(k,i);
else
VV(k,i)=VV(k+1,i)+P(k,i);
end
end
end
%Criterio de Norma Tecnica de Peru de 2003 se aplica en cortantes
for i=1:NP
RRR(i)=0; RR(i)=0;
for j=1:NP
RRR(i)=RRR(i)+abs(VV(i,j)); RR(i)=RR(i)+VV(i,j)*VV(i,j);
end
Corte(i)=0.25*RRR(i)+0.75*sqrt(RR(i));
end;Corte=Corte';
%Calculo de las Fuerzas Laterales
for i=1:NP
j=NP+1-i;
if j==NP
F(j)=Corte(j);
else
F(j)=Corte(j)-Corte(j+1);
end
end
%Control del Cortante Basal Minimo
V=sum(F);F=F';
if Vmin > V; factor1=Vmin/V; F1=factor1*F; else F1=F; end;
%Control de la deriva de los porticos
q=KLG\F1; qine=R*q; F=F';
for i=1:NP
j=NP+1-i;
if j==1
drift(j)=qine(j)/alt(j);
else
drift(j)=(qine(j)-qine(j-1))/alt(j);
end
end
gamamax=max(drift)*100;
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
159
fprintf ('\n Modos de vibracion');fi
fprintf ('\n Periodos de vibracion');T
fprintf ('\n Factores de participacion');gama
fprintf ('\n Aceleraciones espectrales');Ad
fprintf ('\n Valor de reduccion de las fuerzas sismicas R'); R
fprintf ('\n Cortante Basal Minimo ');Vmin
fprintf ('\n Fuerzas laterales en los porticos sin controles');F'
fprintf ('\n Desplazamientos laterales inelasticos');qine
fprintf ('\n Derivas de piso'); drift'
fprintf ('\n Deriva maxima de piso en porcentaje, sin control de P-Delta');gamamax
%Control de efecto P-Delta
for i=1:NP
j=NP-i+1;
if j==NP
Peso(j)=masa(j,j)*9.8;Corte(j)=F1(j);
else
Peso(j)=masa(j,j)*9.8+Peso(j+1);Corte(j)=F1(j)+F1(j+1);
end
theta(j)=(Peso(j)/Corte(j))*(drift(j)/R);
if theta(j)>=0.30
fprintf ('\n Estructura debe ser reforzada');
elseif theta(j)>=0.10 & theta(j)<0.30
fpd(j)=1/(1-theta(j));
else
fpd(j)=1;
end
end
F2=max(fpd)*F1;V=sum(F);gamamax=max(fpd)*gamamax;
fprintf ('\n Deriva maxima de piso en porcentaje, con control de P-Delta');gamamax
fprintf ('\n Indice de estabilidad de piso');theta'
fprintf ('\n Fuerzas laterales finales luego de controles');F2
%---fin
La forma de ingreso de datos del programa MODALPLANONEW es la siguiente:
[V] = modosplano(altura,pesoD,pesoL,KL;KLG)
•
•
•
•
•
altura Vector que contiene las alturas de piso medidas desde la base.
pesoD Vector con información de los pesos debidos a carga muerta de cada uno de
los pisos, empezando desde el primer piso.
pesoL Vector con información del peso debido a carga viva en cada piso. Pero se
indica la carga considerando el % de aportación de la carga viva.
KL
Matriz de rigidez lateral del pórtico con inercias agrietadas.
KLG Matriz de rigidez lateral del pórtico con inercias gruesas.
El programa, en cada piso, suma la información del peso que se la ha suministrado por
carga muerta más carga viva y luego divide para la gravedad con lo cual se halla la masa de
piso. Por lo tanto, la carga viva que se indica ya debe contemplar el porcentaje debido a
la probabilidad de ocurrencia del sismo.
Por consola reporta lo más importante del análisis sísmico entre lo que se destaca lo
siguiente:
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
160
¾
Modos y períodos de vibración.
¾
Factores de participación modal.
¾
Aceleraciones espectrales.
¾
Factor de reducción de las fuerzas sísmicas R .
¾
Fuerzas laterales en cada piso sin controles de cortante basal mínimo, deriva de los
pórticos y efecto P − ∆ .
¾
Desplazamientos inelásticos en cada uno de los pisos.
¾
Deriva de piso sin control de efecto P − ∆ y con control de efecto P − ∆ .
¾
Índice de estabilidad de piso.
¾
Fuerzas laterales en cada piso luego de efectuar los controles de cortante basal
mínimo, deriva de los pórticos y efecto P − ∆ .
¾
Cortante Basal V
Si el índice de estabilidad de piso θ i > 0.30 el programa le da un mensaje
indicando la necesidad de reforzar la estructura. Si la deriva máxima de piso es mayor al
1.5% se debe reforzar la estructura.
•
EJEMPLO 2
Realizar un análisis sísmico plano, para el pórtico 2 de la estructura de 6 pisos indicada
en la figura 5.7. Esta estructura fue analizada en el capítulo anterior pero con dimensiones de
vigas y columnas diferentes. Las nuevas dimensiones se indican en la tabla 5.4, donde también
se indica la carga muerta y carga viva de cada piso. El módulo de elasticidad con el cual se
realizará el análisis sísmico es E = 1738965 .21 T / m 2 .
Piso
1
2
3
4
5
6
Tabla 5.4 Dimensiones y cargas de estructura de 6 pisos
Columnas
Vigas
Carga
Carga
Peso D
(cm.)
(cm.)
Muerta
Viva
(T.)
(kg/m2)
(kg/m2)
Exteriores
Interiores
60/60
65/65
45/50
735
200
55.125
60/60
65/65
45/50
700
200
52.500
60/60
65/65
45/50
660
200
49.500
55/55
60/60
40/50
610
200
45.750
55/55
60/60
40/50
570
200
42.750
50/50
55/55
40/50
525
200
39.375
0.25
Peso L
(T.)
3.75
3.75
3.75
3.75
3.75
3.75
La estructura se halla ubicada en un perfil de suelo S2, en la zona de mayor
peligrosidad sísmica de Ecuador ( Ao = 0.4 g ). Las dos últimas columnas de la tabla 5.4 se han
hallado multiplicando la carga D y L de las columnas 5 y 6 por el área cooperante de 75 m2.
(15 x 5 ). Además para la carga viva L está multiplicada por 0.25 ya que se trata de una
vivienda. Realizar el análisis sísmico utilizando el programa MODALPLANONEW.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
161
Figura 5.7 Distribución en planta de estructura de seis pisos.
•
SOLUCIÓN
En la figura 5.8 se muestra la geometría del pórtico 2. Se debe hallar la matriz de
rigidez lateral con inercias gruesas y con inercias agrietadas, de tal manera que se debe
ejecutar el programa RLAXINFI dos veces. Los resultados que reporta el programa, son:
Figura 5.8 Geometría del pórtico 2.
162
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
A continuación se indica como se ejecuta el programa MODALPLANONEW
>> pesoD=[ 55.125; 52.50; 49.50; 45.75; 42.75; 39.375]
>> pesoL=[ 3.75; 3.75; 3.75; 3.75; 3.75; 3.75]
>> altura=[ 3.0; 6.0; 9.0; 12.0; 15.0; 18.0]
>>[V]=modalplanonew(altura,pesoD,pesoL,KLA,KLG)
Códigos para zonas sísmicas: 0.15g=1 0.25g=2 0.30g=3 0.4g=4
Indique el código de la zona sísmica: 4
Códigos para perfiles de suelo: S1=1 S2=2 S3=3 S4=4
Indique el código del tipo de suelo: 2
Indique el factor de importancia: 1
Estructura es regular en planta; si(s) o no (n): s
%use minúsculas
Estructura es regular en elevación; si(s) o no (n): s
%use minúsculas
♦
PROGRAMA REPORTA
En la tabla 5.5 se indican los modos de vibración. Nótese que el primer modo no tiene
puntos de inflexión, el segundo modo tiene un punto de inflexión, el tercer modo tiene dos, el
cuarto tiene tres, el quinto tiene cuatro y el sexto tiene cinco puntos de inflexión.
Modo 1
0.1073
0.3141
0.5349
0.7399
0.8979
1.0000
Modo 2
0.3285
0.7643
0.8535
0.4344
-0.3035
-1.0000
Tabla 5.5 Modos de vibración
Modo 3
Modo 4
0.6618
0.8303
0.9302
0.3389
0.0203
-0.8915
-1.0000
-0.0618
-0.6070
1.0000
0.9455
-0.5874
Modo 5
0.9072
-0.4683
-0.3797
1.0000
-0.9018
0.3337
Modo 6
0.8314
-1.0000
0.9329
-0.6918
0.3825
-0.1110
En la tabla 5.6 se indican los períodos de vibración, el primero corresponde al período
fundamental, es bastante alto debido a que se obtuvo con inercias agrietadas. Se presenta
también los factores de participación y las aceleraciones espectrales. La aceleración espectral
del primer modo es la menor debido al período fundamental que es alto; este hecho de que la
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
163
aceleración espectral del primer modo es menor incide en la forma que se tiene de la
distribución de fuerzas laterales.
Tabla 5.6 Valores modales de período, factores de participación y aceleraciones espectrales
Modo
Período
Factores de
Aceleraciones
(s)
Participación
espectrales (m/s2)
0.9052
1.3467
1.1228
1
0.2887
0.5346
1.9600
2
0.1475
0.3084
1.9600
3
0.0905
0.2556
1.9600
4
0.0622
0.1794
1.9600
5
0.0480
0.1212
1.9600
6
En la tabla 5.7 se presenta en la primera columna las fuerzas laterales en cada piso,
sin ningún control. En la columna 2, los desplazamientos laterales inelásticos; en la columna 3
las derivas de piso obtenidos con los datos de la columna 2, se aprecia que la deriva máxima
es γ = 0.88% .
Piso
Fuerzas
Laterales sin
controles (T.)
1
2
3
4
5
6
2.9985
3.8845
3.4045
4.7444
6.1390
10.3712
R=6
γ
Tabla 5.7 Respuestas máximas probables
Desplazamientos
Índices de
Derivas de
Inelásticos
Estabilidad
Piso
( m. )
de piso
Fuerzas
Finales
( T. )
0.0150
0.0050
0.0359
3.1043
0.0411
0.0087
0.0477
4.0216
0.0674
0.0088
0.0333
3.5246
0.0926
0.0084
0.0172
4.9118
0.1132
0.0068
0.0059
6.3557
0.1275
0.0048
0.0031
10.7373
= 0.88% (sin control de P − ∆ ) γ = 0.88% (con control de P − ∆ )
En la columna 4 de la tabla 5.7 se muestran los índices de estabilidad de piso. Nótese
que el mayor valor es 0.0477 menor a 0.1.
REFERENCIAS
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Científicas y Colegio de Ingenieros Civiles de Pichincha., 292 p. Quito.
2. Aguiar R., (2004), Análisis Matricial de Estructuras, Centro de Investigaciones
Científicas, Escuela Politécnica del Ejército, Tercera edición, 550 p.
3. Aguiar R., García J., García L., Hinostroza G., Macías R., Rivera A., y Zevallos M.,
(2006), “Análisis de cuatro criterios de combinación modal”, Segundo Congreso
Nacional de Investigación Tecnológica e Innovación. Escuela Politécnica del Litoral, 10
p., Guayaquil.
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
164
4. Campos P., (2006), Análisis del Método de Superposición Modal, Tesis de Pregrado
para obtener título de Ing. Civil, Escuela Politécnica del Ejército, 223 p., Quito.
5. Chopra A., (2001), Dynamic of Structures: Theory and aplications to earthquake
engineering, 2nd edn., Prentice Hall: Saddle River New York.
6. CEC-2000, “Código Ecuatoriano de la Construcción”, XIII Jornadas Nacionales de
Ingeniería Estructural. Pontificia Universidad Católica del Ecuador, 325-350, Quito.
7. Gómez J., (2002), “Presentación de un nuevo modelo matemático para cálculo de la
respuesta modal total de estructuras de edificios”, XIII Congreso Nacional de Ingeniería
Estructural, Colegio de Ingenieros Civiles de Puebla, 10 p., Puebla, México.
8. Iberisa (2008), “Puente solicitado por un espectro sísmico”, www.iberisa.com.
9. Norma COVENIN 1756-98 (Rev. 2001), “Edificaciones Sismorresistentes”, FUNVISIS.
Ministerio de Desarrollo Urbano, 69 p., Caracas.
10. Norma NCh 433.Of 96, (1996). “Diseño sísmico de edificios”, Instituto de
Normalización. INN-Chile, 42 p, Santiago.
11. Norma E.030, (2003), Reglamento Nacional de Construcciones. Norma Técnica de
Edificaciones. Diseño Sismo resistente, Servicio Nacional de Normalización,
Capacitación e Investigación para la Industria de la Construcción. SENCICO, 36 p.,
Quito.
12. NSR-98, (1998). “Normas colombianas de diseño y construcciones sismo resistente”,
Asociación Colombiana de Ingeniería Sísmica, Tomo 1, Bogotá.
13. Santana G., (2008), “Evaluación del Código Sísmico de Guatemala”,www.disasterinfo.net, 13 p.
CAPÍTULO 6
ANÁLISIS SÍSMICO ESPACIAL POR EL
MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL
RESUMEN
Se presenta el análisis sísmico espacial de edificios considerando tres grados de
libertad por planta, ante la acción de un espectro de diseño inelástico. Con este modelo
numérico es factible realizar el análisis sísmico de estructuras de menos de diez pisos que
sean irregulares en planta y elevación, situados en cualquier zona sísmica, siempre y cuando la
estructura pueda ser modelada como piso rígido. Para edificios de más de diez pisos también
es aplicable el método siempre que la estructura sea regular en planta y elevación.
Se indica el procedimiento de análisis sísmico espacial, aplicando el Método de
Superposición Modal y se presenta el programa denominado MODALESPACIAL3GDLNEW
que sirve para encontrar las fuerzas estáticas equivalentes en cada uno de los pórticos de
acuerdo a lo establecido en el CEC-2000 pero utilizando el factor de reducción de las fuerzas
sísmicas indicado en el capítulo 2, para estructuras conformadas por vigas y columnas sin
muros de corte.
6.1 INTRODUCCIÓN
El modelo numérico de tres grados de libertad por planta, considera que la losa es
totalmente rígida en su plano y para esto debe cumplir las siguientes condiciones:
ƒ
El espesor de la losa tiene que ser mayor o igual a 10 cm., de una losa macisa; si la
losa es alivianada se debe encontrar el peralte equivalente de una losa macisa y
comprobar que este sea mayor a la dimensión anotada.
ƒ
Las relación entre la dimensión larga del edificio con relación a la dimensión corta no
debe ser mayor que 2.5.
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
166
ƒ
La suma de las aberturas de la losa que sean menores al 30% del área total de la
planta.
Si se incumple una de estas condiciones deberá analizarse con un modelo de piso
flexible, concentrando las masas en los nudos.
6.2 MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS DE PISO
En el capítulo 3 se presentó el cálculo de la matriz de rigidez en coordenadas de piso,
K E sin embargo vale la pena recordar los aspectos más importantes del cálculo. La matriz de
rigidez K E se halla con la siguiente ecuación:
KE =
NP
∑A
(i ) t
K L( i )
A(i )
( 6.1 )
i =1
Donde NP es el número total de pórticos de la estructura en sentido X y en sentido
K L(i )
Y.,
es la matriz de rigidez lateral del pórtico i; A (i ) es la matriz de compatibilidad de
deformaciones que relaciona las coordenadas laterales del pórtico, con las coordenadas de
piso. Se obtiene con la siguiente expresión.
[
A ( i ) = Cos α I
Sen α I
r
]
( 6.2 )
Siendo α el ángulo que forma la orientación positiva del pórtico con respecto al eje X;
I es la matriz identidad de orden N por N, donde N es el número de pisos y r es la matriz que
contiene las distancias desde el Centro de Masa, C.M., al pórtico. Los valores del vector r
tienen signo, serán positivos si la orientación positiva del pórtico rota en sentido antihorario con
respecto al C.M., caso contrario será negativo.
Al sistema de coordenadas de piso, se denomina Q − q y al sistema de coordenadas
laterales del pórtico se denomina sistema P − p . La matriz de compatibilidad A se define de
la siguiente forma:
p= Aq
( 6.3 )
Al efectuar el triple producto matricial indicado en ( 6.1 ) con todos los pórticos de la
estructura se halla la matriz de rigidez en coordenadas de piso, la misma que está compuesta
por las siguientes submatrices.
KE
⎡ K XX
⎢
=⎢
⎢⎣
K XY
K YY
K Xθ ⎤
⎥
K Yθ ⎥
K θθ ⎥⎦
( 6.4 )
Siendo K XX , K YY las matrices de rigidez lateral por traslación en sentido X, e Y,
respectivamente; K θθ es la matriz de rigidez torsional; K Xθ , K Yθ matrices de rigidez de
acoplamiento lateral con torsión; K XY es la matriz trasnacional de acoplamiento en las
direcciones X,Y; en estructuras con pórticos ortogonales K XY = 0
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
K XX =
∑ Cosα
2
K Xθ =
K YY =
K L( i )
∑ Cosα K
(i )
L
∑ Senα
2
K Yθ =
r (i )
K XY =
K θθ =
K L( i )
∑ Senα K
∑ Cosα Senα K
(i )
L
167
∑ K (r )
r (i )
(i )
L
(i ) 2
( 6.5 )
(i )
L
De tal manera que existen dos formas de hallar K E la primera empleando la ecuación
(6.1) y la segunda por medio de la ecuación (6.4). La matriz de rigidez K E es de orden 3N por
3N. Como se indicó N es el número de pisos.
6.3 MATRIZ DE MASAS
La matriz de masas M se obtiene de la evaluación de la energía cinética de la
estructura. Aguiar (2007). Si las coordenadas de piso se toman en el C.M., y si los grados de
libertad se numeran en primer lugar todos los desplazamientos en sentido X, luego todos los
desplazamientos en sentido Y, finalmente las rotaciones de piso. Esta matriz resulta.
⎡m
M = ⎢⎢
⎢⎣
m
⎤
⎥
⎥
J ⎥⎦
( 6.6 )
Donde m es la sub matriz de masas y J es la sub matriz de momentos de inercia de
las masas.
⎡m1
⎢
⎢
⎢
m= ⎢
⎢
⎢
⎢
⎣⎢
m2
"
mi
"
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
m n ⎦⎥
( 6.7 )
Siendo m i la masa total del piso i, la misma que se obtiene en base a la carga muerta
D más un porcentaje de la carga viva L. El porcentaje depende del uso de la estructura, así por
ejemplo si se tiene una bodega se puede considerar que este porcentaje es del 50%, depende
de que porcentaje de la carga viva va a estar almacenada frecuentemente en la bodega.
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
168
⎡ J1
⎢
⎢
⎢
J=⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
J2
"
Ji
"
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
J n ⎥⎦
( 6.8 )
Donde J i es el momento de inercia de la masa m i . Para una planta rectangular de
dimensiones a i , bi , el momento de inercia con respecto al C.M., vale:
Ji =
(
mi 2
ai + bi2
12
)
( 6.9 )
Si la losa no es regular o tiene aberturas, el momento de inercia se encuentra
empleando el teorema de los ejes paralelos. Para ello se tiene que dividir la planta de la
estructura en figuras rectangulares y hallar el momento de inercia de cada figura rectangular
con respecto al centro de masa y aplicar el teorema de los ejes paralelos, expresado mediante
la siguiente ecuación.
Ji =
∑
j
J CM j + m j d 2j
( 6.10 )
Donde d j es la distancia desde el centro de masas de la planta rectangular j al centro
de masas total de la planta.
6.4 PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
El procedimiento de análisis sísmico con tres grados de libertad por planta y utilizando
el espectro de diseño inelástico del CEC-2000, con el factor R propuesto en el capítulo 2, para
estructuras sin muros de corte es el siguiente:
i.
Se determina la matriz de rigidez lateral K L de cada uno de los pórticos de la
estructura con inercias agrietadas. Puede utilizarse el programa RLAXINFI, si el
pórtico no tiene muros de corte o el programa RLAXINFIMURO si el pórtico tiene
muros de corte. Estos programas fueron presentados en el capítulo 3.
ii.
Se halla el vector r de cada uno de los pórticos. Este vector contiene las distancias del
centro de masa, al pórtico en cada uno de los pisos.
iii.
Se encuentra la matriz A de cada pórtico, con la ecuación ( 6.2 ).
iv.
Se determinan las submatrices de K E utilizando el formulario (6.5) o la ecuación (6.1).
v.
Se encuentra la matriz de masas M en coordenadas de piso, con ecuación ( 6.6 ).
vi.
Se hallan los valores y vectores propios con K E y con la matriz de masa M .
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
169
vii.
Con los valores propios se determinan las frecuencias y períodos de vibración Ti , en
cada modo.
viii.
Con cada período Ti se ingresa al espectro inelástico y se halla la aceleración
espectral Adi .
Hasta este punto no se ha especificado la dirección del análisis sísmico. Ahora es
necesario definir esta dirección.
Para el análisis sísmico en sentido X, se tiene:
ix.
Se encuentran los factores de participación modal γ ix
γ ix =
φ (i )t M b x
φ (i )t M φ (i )
( 6.11 )
⎡1 ⎤
b x = ⎢⎢0⎥⎥
⎢⎣0⎥⎦
( 6.12 )
Donde 1 es el vector unitario de orden N; 0 es el vector que contiene solo ceros, de
orden N. Siendo N el número de pisos.
x.
Se encuentran las cargas máximas modales en centro de masa Q ( i )
Q ( i ) = γ ix Adi M φ ( i )
( 6.13 )
El vector Q ( i ) está compuesto por las fuerzas horizontales en sentido X, que se
denomina a continuación F X , las fuerzas van desde el primer piso al último piso; luego
las fuerzas horizontales en sentido Y empezando por el primer piso FY y finalmente
los Momentos de Torsión M T , desde el primer piso. El índice que está entre
paréntesis identifica el modo de vibración.
Q
(i )
⎡F X ⎤
= ⎢⎢ FY ⎥⎥
⎢⎣ M T ⎥⎦
xi.
Para el análisis sísmico en sentido X, se trabaja con el subvector F X y se determinan
los cortantes en cada modo de vibración.
xii.
Se aplica un criterio de combinación modal en los cortantes y se halla el cortante
resultante. Se recomienda utilizar el criterio estipulado en la Norma Técnica de Perú de
2003.
xiii.
A partir del cortante resultante se encuentran las fuerzas resultantes F X en el centro
de masa.
170
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
xiv.
Se obtienen las fuerzas debidas a la torsión accidental en centro de masas como se
especificó en el capítulo 4. Se trabaja con matriz de rigidez en coordenadas de piso
encontrada con inercias gruesas.
xv.
Se hallan las fuerzas finales sumando las fuerzas obtenidas del método de
superposición modal con las de torsión accidental. Este instante se tienen las fuerzas
en el C.M. con las cuales se realizan los controles que se indican a continuación.
xvi.
Se efectúa el control del Cortante Basal Mínimo.
xvii.
Se realiza el control de la deriva de la estructura con la matriz de rigidez K E hallada
con inercias gruesas.
γi =
q INE i − q INE i −1
hi
( 6.14 )
Donde q INE es el desplazamiento lateral inelástico el mismo que se halla, de acuerdo
al CEC-2000 multiplicando el desplazamiento elástico q por el factor de reducción de
las fuerzas sísmicas R . q INE i es el desplazamiento inelástico en el piso i, q INE i −1 es
el desplazamiento inelástico en el piso i-1; hi es la altura de piso. Si se trabaja con los
factores R indicados en el capítulo 2, el valor máximo de γ será menor a 1.5%,
caso contrario se debe reforzar la estructura.
xviii.
Se realiza el control del efecto P − ∆ . Para ello se determina el índice de estabilidad
de piso θ i
θi =
Pi =
Pi δ ei
Vi hi
( 6.15 )
NP
∑W j
δ ei = qi − qi −1
j =i
Siendo Pi la carga vertical que gravita desde el piso i hasta el último piso NP ; δ ei es
la deriva de piso calculada con los desplazamientos elásticos q ; Vi es el cortante
del piso i; hi es la altura del piso i; W j es el peso del piso j.
Si θ i < 0.10 no hay problema de efecto P − ∆ , si θ i > 0.30 probablemente la
estructura tenga problemas de inestabilidad por lo que se requiere reforzar la estructura
y si 0.10 ≤ θ i < 0.30 . Las fuerzas laterales deben multiplicarse por el factor f P − ∆ ; lo
propio las derivas de piso.
f P−∆ =
1
1 − θi
( 6.16 )
La mayor parte del procedimiento indicado ha sido ya aplicado en los dos capítulos
anteriores.
Una vez que se termina con el análisis sísmico en sentido X, se procede a realizar el
análisis sísmico en sentido Y, repitiendo el procedimiento a partir del paso ix.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
171
Para el análisis sísmico en sentido Y, se debe calcular los factores de participación
modal γ iy .
γ iy =
φ (i )t M b y
φ (i )t M φ (i )
⎡0⎤
b y = ⎢⎢1 ⎥⎥
⎢⎣0⎥⎦
( 6.17 )
( 6.18 )
Con el factor de participación modal γ iy se hallan las cargas en centro de masa en
cada modo de vibración y posteriormente con las fuerzas en sentido Y que se ha denominado
FY se hallan los cortantes y se procede con el análisis en forma similar a la indicada para el
sentido X.
Realizar el análisis sísmico en sentido X, o en sentido Y, significa considerar que en
esas direcciones viene el sismo pero en la realidad el sismo puede registrarse en cualquier
dirección, esta posibilidad se lo cubre con lo que se denomina Simultaneidad de las acciones
sísmicas. Hernández y López (2003).
•
EJEMPLO 1
Realizar un análisis sísmico en dirección X, considerando tres grados de libertad por
planta, ante el sismo de diseño estipulado en el Código Ecuatoriano de la Construcción, CEC2000, para un perfil de suelo S2 de la ciudad de Quito, de la vivienda de dos pisos cuya
distribución en planta se indica en la figura 6.1 y sobre la cual gravita una carga muerta de 500
Kg/m2 y una carga viva de 200 Kg/m2. Analizar para un valor de reducción de las fuerzas
sísmicas R = 6 .
Figura 6.1 Distribución en planta de estructura de dos pisos.
•
SOLUCIÓN
172
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
En la figura 6.2 se indican los grados de libertad considerados en el análisis sísmico.
Los vectores de coordenadas generalizadas q y de cargas Q son:
Figura 6.2 Grados de libertad considerados en el análisis sísmico.
⎡q1 ⎤
⎢q ⎥
⎢ 2⎥
⎢" ⎥
⎢ ⎥
q3
q = ⎢⎢ ⎥⎥
q
⎢ 4⎥
⎢" ⎥
⎢q ⎥
⎢ 5⎥
⎢⎣q 6 ⎥⎦
⎡Q1 ⎤
⎢Q ⎥
⎢ 2⎥
⎢" ⎥
⎢ ⎥
Q3
Q = ⎢⎢ ⎥⎥ =
Q
⎢ 4⎥
⎢" ⎥
⎢Q ⎥
⎢ 5⎥
⎢⎣Q6 ⎥⎦
⎡F X ⎤
⎢F ⎥
⎢ Y ⎥
⎢⎣ M T ⎥⎦
Donde q1 , q 2 son los desplazamientos horizontales en sentido X, de los pisos 1 y 2;
q 3 , q 4 son los desplazamientos horizontales en sentido Y, de los pisos 1 y 2; q 5 , q 6 son las
rotaciones de piso de los pisos 1 y 2. Por otra parte, Q1 , Q 2 son las fuerzas horizontales en
sentido X, en los pisos 1 y 2; Q3 , Q 4 son las fuerzas horizontales en sentido Y, en los pisos 1 y
2; Q5 , Q6 son los momentos de torsión de los pisos 1 y 2. Al tener 6 grados de libertad se
tendrán 6 modos de vibración.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
173
Las matrices de rigidez lateral con inercias agrietadas de los pórticos, con un módulo
de elasticidad E = 1738965 .21 T / m 2 , son:
− 492.6⎤
317.9 ⎥⎦
⎡1243.5
K L(1) = K L( 2) = ⎢
⎣− 492.6
− 171.7738⎤
124.7962 ⎥⎦
⎡ 404.8093
K L( A) = K L( B ) = K L(C ) = ⎢
⎣− 171.7738
Las distancias desde el C.M. hasta cada uno de los pórticos se indican en la tabla 6.1,
en la última columna se indica la sub matriz r .
Pórtico
Tabla 6.1 Distancia del centro de masa al pórtico y Matriz r
Primer Piso
Segundo Piso
1
-2.0 m.
-2.0 m.
2
2.0 m.
2.0 m.
A
-4.5 m.
-4.5 m.
B
-0.5 m.
-0.5 m.
C
4.5 m.
4.5 m.
Matriz r
⎡− 2
r (1) = ⎢
⎣0
⎡2
r ( 2) = ⎢
⎣0
0⎤
− 2⎥⎦
0⎤
2⎥⎦
0⎤
⎡ − 4 .5
r ( A) = ⎢
− 4.5⎥⎦
⎣0
0⎤
⎡ − 0. 5
r (B ) = ⎢
− 0.5⎥⎦
⎣0
0⎤
⎡ 4 .5
r (C ) = ⎢
4.5⎥⎦
⎣0
El ángulo α para los pórticos 1 y 2 es 0 grados y para los pórticos A, B y C es 90
grados. Con esta acotación las matrices de compatibilidad de cada uno de los pórticos, son:
⎡1
A (1) = ⎢
⎣0
⎡1
A ( 2) = ⎢
⎣0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
−2
0
0⎤
− 2⎥⎦
2
0
0⎤
2⎥⎦
⎡0
A ( A) = ⎢
⎣0
0
0
1
0
0
1
− 4 .5
0⎤
0
− 4.5⎥⎦
⎡0
A (B ) = ⎢
⎣0
0
0
1
0
0
1
− 0 .5
0⎤
0
− 0.5⎥⎦
⎡0
A (C ) = ⎢
⎣0
0
0
1
0
0
1
4.5
0
0⎤
4.5⎥⎦
174
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
La matriz triangular superior, de la matriz de rigidez, que es simétrica, K E calculada
con inercias agrietadas es:
KE
⎡2487.1
⎢
⎢
⎢
=⎢
⎢
⎢
⎢
⎣⎢
− 985.1
635.8
0.0
0.0
1214.4
0.0 ⎤
0.0 ⎥⎥
86.0 ⎥
⎥
86.0
− 62.0 ⎥
26444.0 − 10940⎥
⎥
7629 ⎦⎥
0.0
0 .0
− 515.3
0 .0
0.0
− 202.0
374.4
La matriz de masas resulta:
⎡2.0204
⎢
⎢
⎢
M =⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
2.0204
2.0204
2.0204
16.3316
m1 = m2 =
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
16.3316⎥⎦
(0.5 + 0.25 ∗ 0.2) ∗ 9 ∗ 4 = 2.0204 T s 2
9.8
m
2.0204 2
2
2
4 + 9 = 16.3316 T m s
J1 = J 2 =
12
(
)
En la tabla 6.2 se indican los valores propios, las frecuencias de vibración y los
períodos de cada un de los modos, que se hallan a partir de la solución del problema de
valores y vectores propios.
Modo
1
2
3
4
5
6
Tabla 6.2 Propiedades dinámicas de estructura de 2 pisos
Valor Propio
Frecuencia
Natural (1/s)
64.0
8.00
103.8
10.1866
159.8
12.6411
720.7
26.8469
1441.9
37.9721
1928.1
43.9106
Período
( s.)
0.7854
0.6168
0.4970
0.2340
0.1655
0.1431
En la tabla 6.3 se muestran los modos de vibración. Se aprecia que el primer modo se
desplaza en sentido Y con un ligero acoplamiento torsional; el segundo modo se desplaza en
X; el tercer modo es rotacional con acoplamiento del desplazamiento en la dirección Y; los tres
modos restantes tienen similar comportamiento a los tres primeros.
Tabla 6.3 Modos de vibración
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
Modo 1
0.0000
0.0000
-0.3016
-0.6350
-0.0041
-0.0088
Modo 2
-0.2793
-0.6457
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
Modo 3
0.0000
0.0000
0.0125
0.0247
-0.1031
-0.2247
Modo 4
0.0000
0.0000
-0.6351
0.3017
-0.0080
0.0034
Modo 5
-0.6457
0.2793
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
175
Modo 6
0.0000
0.0000
0.0223
-0.0106
-0.2248
0.1032
En la tabla 6.4 se indican los factores de participación modal, las aceleraciones
espectrales y en la parte inferior los factores que conducen al cálculo del factor de reducción de
las fuerzas sísmicas. Se observa que únicamente los modos 2 y 5 contribuyen a la respuesta
sísmica en sentido X, ya que los restantes factores de participación modal son nulos.
Tabla 6.4 Factores de participación y aceleraciones espectrales en m/s2
Modo 2
Modo 3
Modo 4
Modo 5
Modo 1
γ1 = 0
Ad 1 = 1.2941
γ 2 = 1.8689
γ3 =0
Ad 2 = 1.6478
Ad 3 = 1.96
γ4 =0
γ 5 = 0.7403
Ad 4 = 1.96
R=6
Ad 5 = 1.96
Modo 6
γ6 =0
Ad 6 = 1.96
Las cargas modales que se hallan con la ecuación ( 6.13 ) se indican en la tabla 6.5, se
aprecia que solo existen fuerzas en los dos pisos en sentido X.
Tabla 6.5 Cargas en centro de masa para modos dos y cinco
Segundo Modo
Quinto Modo
-1.7379 T.
-4.0177 T.
0
0
0
0
-1.8929 T.
0.8188 T.
0
0
0
0
En la figura 6.3 se presentan las fuerzas en centro de masa, para el segundo y quinto
modo de vibración, a la izquierda; con los datos de la tabla 6.5; a la derecha de la figura 6.3 se
indica en primer lugar el cortante que se halla luego de aplicar el criterio de combinación modal
de la Norma Técnica de Perú que se indica a continuación y las fuerzas resultantes en centro
de masa.
V = 0.25
N
∑
i =1
Vi + 0.75
N
∑V
2
i
i =1
V2 = 0.25 ∗ (4.0177 + 0.8188) + 0.75 4.0177 2 + 0.8188 2 = 4.2843 T .
V1 = 0.25 ∗ (5.7556 + 1.0741) + 0.75 5.7556 2 + 1.07412 = 6.0986 T .
176
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Figura 6.3 Fuerzas y Cortantes modales y resultante
Con estos datos, los momentos de torsión accidental valen:
M T 1 = 1.8143 ∗ 0.05 ∗ 4 * 1 = 0.36286 Tm.
M T 2 = 4.2843 ∗ 0.05 ∗ 4 * 1 = 0.85686 Tm.
Luego el vector de cargas para la torsión accidental, es:
⎡0.0000 ⎤
⎢0.0000 ⎥
⎥
⎢
⎢0.0000 ⎥
Q=⎢
⎥
⎢0.0000 ⎥
⎢0.36286 ⎥
⎥
⎢
⎣⎢0.85686 ⎦⎥
El vector de coordenadas generalizadas q que se halla de la solución del sistema de
ecuaciones lineales, definido por:
Q = KE q
Donde K E es la matriz de rigidez en coordenadas de piso, hallada con inercias
gruesas debido a que con la torsión accidental se trata de corregir las incertidumbres que se
tiene en la determinación de la excentricidad total. La matriz K E con inercias gruesas, resulta.
KE
⎡ 3302
⎢− 1370
⎢
⎢
0
=⎢
0
⎢
⎢
0
⎢
0
⎢⎣
− 1370
0
961
0
0
0
0
1603
− 709
− 267
0
− 709
556
118
0
− 267
118
34987
0
118
− 93
− 15106
0
0
⎤
⎥
0
⎥
118 ⎥
⎥
− 93 ⎥
− 15106⎥
⎥
11394 ⎥⎦
0
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
177
De la solución del sistema de ecuaciones se obtiene:
⎤
⎡0.0000
⎥
⎢0.0000
⎥
⎢
⎢0.0167 ∗ 10 −3 ⎥
⎥
q=⎢
⎢0.0347 ∗ 10 −3 ⎥
⎥
⎢
⎢0.1003 ∗ 10 −3 ⎥
⎢
−3 ⎥
⎢⎣0.2083 ∗ 10 ⎥⎦
Ahora al multiplicar el vector q por la matriz de compatibilidad de cada uno de los
pórticos se hallan los desplazamientos laterales en cada pórtico p . Finalmente al multiplicar la
matriz de rigidez lateral del pórtico por estos desplazamientos laterales se encuentran las
fuerzas laterales en los pórticos. En el capítulo 4 se detalló este cálculo razón por la cual
únicamente se presentan las fuerzas laterales que se hallan en los pórticos debidos a la torsión
accidental.
•
Fuerzas Laterales por torsión accidental en pórticos
⎡0.0460 T .⎤
P (1) = ⎢
⎥
⎣0.0628 T .⎦
⎡0.0460 T .⎤
P ( 2) = ⎢
⎥
⎣0.0628 T .⎦
Cuando se realiza el análisis sísmico en sentido Y, se incrementarán las fuerzas
laterales de los pórticos en sentido Y. Sin embargo se indican las fuerzas laterales que se
hallan en los pórticos en sentido Y, debido a la torsión accidental.
⎡0.0191 T . ⎤
P ( A) = ⎢
⎥
⎣0.0645 T .⎦
⎡0.0015 T .⎤
P (B) = ⎢
⎥
⎣0.0050 T .⎦
⎡0.0205⎤
P (C ) = ⎢
⎥
⎣0.0695⎦
Al sumar estas fuerzas laterales de los pórticos en sentido X, al vector de cargas Q se
encuentra, el vector de cargas Q considerando la torsión accidental, este resulta:
⎡1.9062 ⎤
⎢4.4100⎥
⎢
⎥
⎢0.0000 ⎥
Q=⎢
⎥
⎢0.0000 ⎥
⎢0.0000 ⎥
⎢
⎥
⎣⎢0.0000 ⎦⎥
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
178
Con el vector de cargas indicado se realiza el control de la deriva de los pórticos, el
control del efecto P − ∆ y se determinan las fuerzas finales en Centro de Masa. Todo esto se
halla con la matriz de rigidez en coordenadas de piso hallado con inercias gruesas.
•
Control de la Deriva Máxima de Piso
El vector de coordenadas generalizadas q inelástico que se encuentra multiplicando el
vector q por el factor R φ p φ e = 6 . El vector q INE en metros para los desplazamientos y
radianes para los giros es el siguiente.
q INE
⎡0.0364⎤
⎢0.0794⎥
⎢
⎥
⎢0.0000⎥
=⎢
⎥
⎢0.0000⎥
⎢0.0000⎥
⎢
⎥
⎢⎣0.0000⎥⎦
Con estas cantidades se halla la deriva de piso.
γ1 =
0.0364
= 0.0121
3
γ2 =
0.0794 − 0.0364
= 0.0143
3
La deriva máxima de piso es 1.43%. Cantidad alta pero es menor al 1.5%.
•
Control del efecto P − ∆
Se determina el índice de estabilidad de piso θ i con las derivas de piso elásticas.
Para esto las derivas de piso inelásticas indicadas en el apartado anterior se deben dividir para
el factor R
En la tabla 6.6 se resume el cálculo del índice de estabilidad θ i cuyos valores son
menores a 0.10, por lo que no se incrementan las fuerzas laterales en sentido X, ni las derivas
de piso. En la tabla 6.6 se indica en primer lugar θ i del piso 2, luego del 1.
Piso
2
1
Tabla 6.6 Cálculo del índice de estabilidad de piso.
Peso
Cortante de
Deriva
Acumulado
Piso
de piso
19.8 T.
39.6 T.
4.4100
6.3162
0.00238
0.00201
Índice de
estabilidad de
piso
0.0107
0.0127
Finalmente las fuerzas finales en centro de masa se reparten a los pórticos, las mismas
que se indican en la figura 6.4 para el pórtico 1, que es igual a la del pórtico 2.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
179
Figura 6.4 Fuerzas estáticas en el pórtico 1 debido a sismo en X.
6.5 PROGRAMA MODALESPACIAL3GDLNEW
El programa MODALESPACIAL3GDLNEW realiza el análisis sísmico de una
estructura compuesta solamente por vigas y columnas, ante el espectro del CEC-2000,
reducido por el factor de reducción de fuerzas sísmicas indicado en el capítulo 2. Este
programa ha sido elaborado con las siguientes condiciones:
•
El centro de masa es colineal en todos los pisos. Por este motivo se ingresa un
solo valor de r por pórtico. Si la ubicación del centro de masa varía de piso a piso
se tendría que ingresar el valor de r en cada piso. Se puede muy fácilmente modificar
el programa para dar como dato la distancia del centro de masa al pórtico en cada piso.
•
El factor de reducción de las fuerzas sísmicas R es el indicado en el capítulo 2. Para
estructuras en suelo S1, S2 o S3 el factor R = 6 . Para suelo S4, R = 5 .
•
La deriva de piso máxima permitida es 1.5%.
•
La Torsión accidental se encuentra moviendo el centro de masa el 5% de la dimensión
perpendicular a la del análisis sísmico. Los desplazamientos debidos a la torsión
accidental se hallan con la matriz de rigidez calculada con inercias gruesas.
•
El efecto P − ∆ se evalúa de acuerdo al CEC-2000. Con derivas de piso elásticas.
•
El criterio de combinación modal utilizado es el de la Norma Sísmica de Perú de 2003.
La forma de uso del programa es la siguiente:
[V]=modalespacial3gdl(ejes,altura,pesoD,pesoL,KLA,KLG,r)
Donde:
ƒ
ejes es el número de ejes que tiene la estructura en la dirección del análisis sísmico.
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
180
ƒ
altura es un vector que contiene la altura medida desde la base a cada uno de los
pisos.
ƒ
pesoD es un vector con información del peso total debido a carga muerta en cada uno
de los pisos.
ƒ
pesoL es un vector que contiene la fracción del peso considerado en el análisis
sísmico, de la carga viva de cada piso.
ƒ
KLA es una matriz compuesta por la matriz de rigidez lateral de todos los pórticos,
calculados con inercias agrietadas. Primero se indican la de los pórticos en sentido X,
luego de los pórticos en sentido Y.
ƒ
KLG es una matriz conformada por la matriz de rigidez lateral de todos los pórticos,
calculados con inercias gruesas. De igual manera primero se indican de los pórticos en
sentido X y después en sentido Y.
ƒ
r es un vector que contiene la distancia del centro de masa a cada uno de los pórticos,
con su respectivo signo, se da un solo valor por pórtico. Primero se indica de los
pórticos en sentido X, luego los de sentido Y.
El Programa Reporta:
¾
Factor de reducción de las fuerzas sísmicas R .
¾
Fuerzas laterales en centro de masa sin torsión accidental y con torsión accidental.
¾
Desplazamiento lateral máximo inelástico en cada piso, en centro de masa, en base a
las fuerzas finales del análisis.
¾
Deriva de piso, evaluada en el centro de masa de cada piso.
¾
Deriva máxima de piso sin y con control de efecto P − ∆ .
¾
Índices de estabilidad θ i en cada piso de la estructura.
¾
Fuerzas estáticas equivalentes en cada uno de los pórticos, considerando la torsión
accidental y luego del control de cortante basal mínimo, deriva de los pórticos y efecto
P−∆
¾
Cortante Basal V
function [V]=modalespacial3gdlnew(iejes,alt,pesoD,pesoL,KL,KLG,r)
%
% Analisis modal espacial considerando tres grado de libertad por planta
% empleando el Espectro Inelastico del CEC-2000
% Factor de reduccion de las fuerzas sismicas de acuerdo a lo encontrado
% en el proyecto de investigacion cientifica finalizado en 2007 en la ESPE.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%
Diciembre de 2007
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
%----------------------------------------------------------------------% [V]=modalespacial3gdlnew(u,iejes,alt,pesoD,pesoL,KL,KLG,r)
%----------------------------------------------------------------------% R Factor de reduccion de las fuerzas sismicas
% Z Factor de Zona
% iejes # de ejes de columnasen direccion de analisis sismico.
% alt Vector que contine las alturas a cada piso medido desde la base.
% pesoD Vector que contiene la carga muerta D de cada piso.
% pesoL Vector que contiene el porcentaje de carga viva L de cada piso.
% KL Matriz que contiene las matrices de rigidez lateral de todos los
%
porticos, con inercias agrietadas. Primero los de sentido X.
% KLG Matriz que contiene las matrices de rigidez lateral de todos los
%
porticos con inercias gruesas. Primero los de sentido X.
% r Vector que contiene la distancia del portico al centro de masa, de
%
cada uno de los porticos, con signo, positivo antihorario.
% PESO Peso total Reactivo.
V Cortante Basal
%
NP=length(alt); for i=1:NP-1; j=NP-i+1; alt(j)=alt(j)-alt(j-1);end;
ntot=input ('\n Numero total de porticos de la estructura :');
fprintf ('\n Codigos para analisis sismico: Sentido X=1 Sentido Y=2');
isismo=input ('\n Ingrese codigo de sentido de analisis sismico :');
if isismo==1;nx=iejes; ny=ntot-nx;else;ny=iejes; nx=ntot-ny;end;
%Submatrices de rigidez: KEE, con inercias agrietadas
Kxx=zeros(NP,NP);Kyy=zeros(NP,NP);Kteta=zeros(NP,NP);cero=zeros(NP,NP);
Kxt=zeros(NP,NP);Kyt=zeros(NP,NP);for k=1:NP;identidad(k,k)=1;end;
for i=1:ntot
for k=1:NP
rtet(k,k)=r(i);
end
rteta=rtet*rtet;
ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;
if i<=nx
Kxx=Kxx+KL(ji:jf,1:NP);Kxt=Kxt+KL(ji:jf,1:NP)*rtet;
Kteta=Kteta+KL(ji:jf,1:NP)*rteta;
A(ji:ji+NP-1,:)=[identidad cero rtet];
else
Kyy=Kyy+KL(ji:jf,1:NP);Kyt=Kyt+KL(ji:jf,1:NP)*rtet;
Kteta=Kteta+KL(ji:jf,1:NP)*rteta;
A(ji:ji+NP-1,:)=[cero identidad rtet];
end
end
%Matriz de rigidez espacial con 3 grados de libertad por planta
KE=[Kxx cero Kxt;cero Kyy
Kyt;Kxt Kyt Kteta];
%Matriz de masas
disty=abs(r(1))+abs(r(nx));distx=abs(r(nx+1))+abs(r(ntot));
for i=1:NP; masaD(i)=pesoD(i)/9.8; masaL(i)=pesoL(i)/9.8;
mas(i)=masaD(i)+masaL(i);end
masa=zeros(NP,NP);for i=1:NP; masa(i,i)=mas(i);end
mj=zeros(NP,NP);for i=1:NP, mj(i,i)=mas(i)*(distx^2+disty^2)/12;end
MASA=[masa cero cero;cero masa cero;cero cero mj];
PESO=0;for i=1:NP; PESO=PESO+pesoD(i);end;
fprintf ('\n Codigos para zonas sismicas: 0.15g=1 0.25g=2 0.30g=3 04g=4');
ic=input ('\n Ingrese el codigo de la zona sismica :');
if ic==1; Ao=0.15*9.8;Z=0.15;elseif ic==2;Ao=0.25*9.8;Z=0.25;
elseif ic==3;Ao=0.30*9.8;Z=0.30;else;Ao=0.40*9.8;Z=0.4;end
fprintf ('\n Codigos para perfiles de suelo: S1=1 S2=2 S3=3 S4=4');
is=input('\n Indique el codigo del tipo de suelo :');
181
182
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
if is==1
T1=0.50;T2=2.50;beta=2.5;S=1;R=6;
elseif is==2
T1=0.52;T2=3.11;beta=3.0;S=1.2;R=6;
elseif is==3
T1=0.82;T2=4.59;beta=2.8;S=1.5;R=6;
else
T1=2.0;T2=10;beta=2.5;S=2;R=5;
end
I=input('\n Indique el factor de importancia :');
% Periodos de vibracion y periodo fundamental
[V,D]=eig(KE,MASA);W=sqrt(diag(D));
% Se ordenan las frecuencias y los modos de vibracion de menor a mayor
[Wn,II]=sort(W);for i=1:3*NP; fi(:,i)=V(:,II(i)); T(i)=2*pi/Wn(i);end;
%Factores de participacion modal
for i=1:NP;bb(i)=1;cer(i)=0;end;bb=bb';cer=cer';
if isismo==1
B=[bb; cer; cer];
else
B=[cer; bb; cer];
end
NUM=fi'*MASA*B;DEN=diag(fi'*MASA*fi);
for i=1:3*NP; gama(i)=abs(NUM(i)/DEN(i));end
if gama(1)==0
Tf=T(2);
else
Tf=T(1);
end
fip=input('\n Indique el factor de irregularidad en planta :');
fie=input('\n Indique el factor de irregularidad en elevacion :');
R=R*fip*fie;
%Coeficiente C
C=(1.25*S^S)/Tf; if C >=beta; C=beta; end;if C <= 0.5; C=0.5; end
fprintf ('\n Valor de reduccion de las fuerzas sismicas R');R
% Cortante Basal Minimo
Vmin=(Z*I*C*PESO)/(R*fip*fie);fprintf ('\n Cortante Basal Minimo ');Vmin
%Aceleraciones modales
for i=1:3*NP
if T(i)<=T1;Ad(i)=I*beta*Ao/R;elseif T(i)>T1 & T(i)<=T2;
Ad(i)=(1.25*I*Ao*S^S)/(T(i)*R);else;Ad(i)=I*Ao/(2*R);end
end
%Fuerzas modales en centro de masas
masafi=MASA*fi;gamaAd=(gama.*Ad)';
for i=1:3*NP;
for j=1:3*NP;
P(j,i)=gamaAd(i)*masafi(j,i);
end
end
%Cortantes modales en centro de masas
VV=zeros(3*NP,3*NP);
for i=1:3*NP;
for j=1:NP;
k=NP+1-j;
if k==NP;
VV(k,i)=VV(k,i)+P(k,i);
VV(k+NP,i)=VV(k+NP,i)+P(k+NP,i);
else
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
VV(k,i)=VV(k+1,i)+P(k,i);
VV(k+NP,i)=VV(k+NP+1,i)+P(k+NP,i);
end
end
end
%Criterio de Norma Tecnica de Peru de 2003 se aplica en cortantes
for i=1:3*NP
RRR(i)=0; RR(i)=0;
for j=1:3*NP
RRR(i)=RRR(i)+abs(VV(i,j)); RR(i)=RR(i)+VV(i,j)*VV(i,j);
end
Corte(i)=0.25*RRR(i)+0.75*sqrt(RR(i));
end;Corte=Corte';
%Calculo de las Fuerzas Laterales en centro de masas
for i=1:NP
j=NP+1-i;
if j==NP
F(j)=Corte(j);F(j+NP)=Corte(j+NP);F(j+2*NP)=0;
else
F(j)=Corte(j)-Corte(j+1);F(j+NP)=Corte(j+NP)-Corte(j+NP+1);
F(j+2*NP)=0;
end
end
F=F';
fprintf ('\n Fuerzas laterales en centro de masa sin torsion accidental');F
%Calculo de la torsion accidental con matriz de rigidez hallada
% con inercias gruesas
Kxx=zeros(NP,NP);Kyy=zeros(NP,NP);Kteta=zeros(NP,NP);
Kxt=zeros(NP,NP);Kyt=zeros(NP,NP);
for i=1:ntot
for k=1:NP
rtet(k,k)=r(i);
end
rteta=rtet*rtet;
ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;
if i<=nx
Kxx=Kxx+KLG(ji:jf,1:NP);Kxt=Kxt+KLG(ji:jf,1:NP)*rtet;
Kteta=Kteta+KLG(ji:jf,1:NP)*rteta;
else
Kyy=Kyy+KLG(ji:jf,1:NP);Kyt=Kyt+KLG(ji:jf,1:NP)*rtet;
Kteta=Kteta+KLG(ji:jf,1:NP)*rteta;
end
end
%Matriz de rigidez espacial con 3 grados de libertad por planta
KEG=[Kxx cero Kxt;cero Kyy
Kyt;Kxt Kyt Kteta];Axmax=1;
for jj=1:10;
if isismo==1
for i=1:NP; Fx(i)=0; Ft(i)=F(i); end; Ft=Ft';
Momtor=0.05*disty*Axmax*Ft;Q=[Fx'; Fx'; Momtor];
else
for i=1:NP; Fy(i)=0; Ft(i)=F(i+NP);end; Ft=Ft';
Momtor=0.05*distx*Axmax*Ft;Q=[Fy'; Fy'; Momtor];
end
q=KEG\Q;
for i=1:NP; FTx(i)=0; FTy(i)=0; MTxy(i)=0; qmax(i)=0; end;
FTx=FTx';FTy=FTy';MTxy=MTxy'; qmax=qmax';
for i=1:ntot
183
184
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;a=A(ji:jf,1:3*NP);p=a*q;
Klateral=KLG(ji:jf,1:NP);FT=abs(Klateral*p);
if isismo==1
if i<=nx
if i==1
for j=1:NP
q1(j)=abs(p(j));
end
elseif i==iejes
for j=1:NP
q2(j)=abs(p(j));
end
end
FTx=FTx+FT;
for j=1:NP
if qmax(j)>=abs(p(j));
continue
else
qmax(j)=abs(p(j));
end
end
else
FTy=FTy+FT;
end
else
if i<=nx
FTx=FTx+FT;
else
if i==ny
for j=1:NP
q1(j)=abs(p(j));
end
elseif i==nx+ny
for j=1:NP
q2(j)=abs(p(j));
end
end
for j=1:NP
if qmax(j)>=abs(p(j));
continue
else
qmax(j)=abs(p(j));
end
end
FTy=FTy+FT;
end
end
end
for j=1:NP
qavg(j)=(q1(j)+q2(j))/2;Ax(j)=qmax(j)/(1.2*qavg(j));
if Ax(j)<=1; Ax(j)=1; end; if Ax(j)>3; Ax(j)=3; end;
end
Axmax=max(Ax);Ft=Ft';FTx=FTx';FTy=FTy'; qmax=qmax';
end
if isismo==1
for i=1:NP
FTy(i)=0;
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
end
else
for i=1:NP
FTx(i)=0;
end
end
MTxy=MTxy';FTx=FTx';FTy=FTy';
FTOR=[FTx;FTy;MTxy];F=F+FTOR;
fprintf ('\n Fuerzas laterales en centro de masas, con torsion accidental');F
%Control del Cortante Basal Minimo
V=0;
if isismo==1
for i=1:NP
V=V+F(i);
end
else
for i=1:NP
V=V+F(i+NP);
end
end
if Vmin > V; factor1=Vmin/V; F=factor1*F; end
%Control de la deriva de la estructura en centro de masas
%Matriz de rigidez de la estructura en coordenadas de piso con inercias gruesas
q=KEG\F; qine=R*q;
fprintf ('\n Desplazamientos laterales inelasticos en Centro de Masas');qine
%Calculo de la deriva de los pisos en centro de masas
for i=1:NP
j=NP+1-i;
if j==1
if isismo==1
drift(j)=qine(j)/alt(j);
else
drift(j)=qine(j+NP)/alt(j);
end
else
if isismo==1
drift(j)=(qine(j)-qine(j-1))/alt(j);
else
drift(j)=(qine(j+NP)-qine(j+NP-1))/alt(j);
end
end
end
fprintf ('\n Derivas de piso evaluadas en centro de masas');drift=drift'
driftmaximo=max(drift);
fprintf ('\n Deriva maxima de piso sin control de P-Delta');driftmaximo
%Control de efecto P-Delta
for i=1:NP
j=NP-i+1;
if j==NP
Peso(j)=masa(j,j)*9.8;
if isismo==1
Corte(j)=F(j);
else
Corte(j)=F(j+NP);
end
else
Peso(j)=masa(j,j)*9.8+Peso(j+1);
185
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
186
if isismo==1
Corte(j)=F(j)+F(j+1);
else
Corte(j)=F(j+NP)+F(j+NP+1);
end
end
theta(j)=(Peso(j)/Corte(j))*(drift(j)/R);
if theta(j)>=0.30
fprintf ('\n Estructura debe ser reforzada');
elseif theta(j)>=0.10 & theta(j)<0.30
fpd(j)=1/(1-theta(j));
else
fpd(j)=1;
end
end
fprintf ('\n Indice de estabilidad de piso');theta=theta'
F=max(fpd)*F;V=sum(F);driftmaximo=max(fpd)*driftmaximo;
fprintf ('\n Deriva maxima de piso con control de P-Delta');driftmaximo
fprintf ('\n Fuerzas laterales finales en centro de masas luego de controles');F
% fuerzas laterales en los porticos,
if isismo==1
for i=1:nx
ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;
a=A(ji:jf,1:3*NP); p=a*q;Klateral=KLG(ji:jf,1:NP);
fprintf ('\n Fuerza lateral en portico :');i
FT=Klateral*p
end
else
for i=nx+1:nx+ny
ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;
a=A(ji:jf,1:3*NP); p=a*q;Klateral=KLG(ji:jf,1:NP);
fprintf ('\n Fuerza lateral en portico :');i
FT=Klateral*p
end
end
%---fin
•
EJEMPLO 2
Presentar la entrada de datos y la forma de ejecución de los programas RLAXINFI y
MODALESPACIAL3GDLMAX para realizar el análisis sísmico en sentido X, de la vivienda de
dos pisos ubicada en la ciudad de Quito sobre un perfil de suelo S2, descrito en el ejemplo 1.
•
SOLUCIÓN
El archivo de datos de las secciones del pórtico en sentido longitudinal se denomina
casa y del pórtico transversal casay, para encontrar la matriz de rigidez lateral. Los dos se
hallan en la partición c.
>> load c:\casa
>> [KL] = rlaxinfi(casa)
Número de nudos: 9
Número de pisos: 2
% Carga del archivo de datos de pórtico en sentido X
% Cálculo de matriz de rigidez de pórtico en sentido X
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
Número de nudos restringidos: 3
Módulo de elasticidad: 1738965.21
Calcula con: Inercias gruesas, código=0. Con inercias agrietadas, código=1
Ingrese código de inercias: 1
% Se obtiene primero con inercias agrietadas.
Matriz de rigidez lateral:
KL =
1.0e+003 *
1.2435 -0.4926
-0.4926 0.3179
>> KL1=KL
>> load c:\casay
>> [KL]=rlaxinfi(casay)
% Carga de archivo de datos de pórtico en sentido Y.
% Cálculo de matriz de rigidez de pórtico en sentido Y
Número de nudos: 6
Número de pisos: 2
Número de nudos restringidos: 2
Módulo de elasticidad: 1738965.21
Calcula con: Inercias gruesas, codigo=0. Con inercias agrietadas, codigo=1
Ingrese codigo de inercias :1 % Se obtiene con inercias agrietadas.
Matriz de rigidez lateral :
KL =
404.8093 -171.7738
-171.7738 124.7962
>> KLA=[KL1; KL1; KL; KL; KL]
% Matrices de rigidez lateral con inercias agrietadas
KLA =
1.0e+003 *
1.2435
-0.4926
1.2435
-0.4926
0.4048
-0.1718
0.4048
-0.1718
0.4048
-0.1718
-0.4926
0.3179
-0.4926
0.3179
-0.1718
0.1248
-0.1718
0.1248
-0.1718
0.1248
>> [KL]=rlaxinfi(casa) % Cálculo de matriz de rigidez con inercias gruesas
Numero de nudos:9
Numero de pisos:2
Numero de nudos restringuidos:3
187
188
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Modulo de elasticidad:1738965.21
Calcula con: Inercias gruesas, codigo=0. Con inercias agrietadas, codigo=1
Ingrese codigo de inercias :0
Matriz de rigidez lateral :
KL =
1.0e+003 *
1.6510 -0.6848
-0.6848 0.4806
>> KL1G=KL
>> [KL]=rlaxinfi(casay) % Cálculo de matriz de rigidez con inercias gruesas
Numero de nudos:6
Numero de pisos:2
Numero de nudos restringuidos:2
Modulo de elasticidad:1738965.21
Calcula con: Inercias gruesas, codigo=0. Con inercias agrietadas, codigo=1
Ingrese codigo de inercias :0
Matriz de rigidez lateral :
KL =
534.4669 -236.2586
-236.2586 185.2500
>> KLG=[KL1G; KL1G; KL; KL; KL]
% Matrices de rigidez lateral con inercias gruesas
KLG =
1.0e+003 *
1.6510
-0.6848
1.6510
-0.6848
0.5345
-0.2363
0.5345
-0.2363
0.5345
-0.2363
-0.6848
0.4806
-0.6848
0.4806
-0.2363
0.1853
-0.2363
0.1853
-0.2363
0.1853
>> pesoD=[18; 18];
>> pesoL=[1.8; 1.8];
>> altura=[3.0; 6.0];
>> r=[-2; 2; -4.5; -0.5; 4.5];
% Pesos debidos a carga muerta por pisos
% Fracción del peso de carga viva por piso
% Altura de los pisos
% Distancia del centro de masa a los pórticos
>> [V]=modalespacial3gdl (2,altura,pesoD,pesoL,KLA,KLG,r)
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
189
Número total de pórticos de la estructura: 5
Códigos para análisis sísmico: Sentido X=1 Sentido Y=2
Ingrese código de sentido de análisis sísmico: 1
Códigos para zonas sísmicas: 0.15g=1 0.25g=2 0.30g=3 04g=4
Ingrese el código de la zona sísmica: 4
Códigos para perfiles de suelo: S1=1 S2=2
Indique el código del tipo de suelo: 2
S3=3
S4=4
Indique el factor de importancia: 1
Indique el factor de irregularidad en planta: 1
Indique el factor de irregularidad en elevación: 1
Los resultados que reporta el programa son los indicados en el ejemplo 2 y se resumen
de la tabla 6.7 a 6.9.
Grado de
Libertad
1
2
3
4
5
6
Tabla 6.7 Vector de cargas y de coordenadas inelásticas en el Centro de Masa.
Fuerzas laterales y
Fuerzas laterales y
Desplazamientos y
momentos, sin torsión
momentos, con torsión
giros inelásticos
accidental
accidental
1.8143 T.
1.9062 T.
0.0364 m.
4.2843 T.
4.4100 T.
0.0794 m.
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
V0 MIN = 6.0533 T .
R=6
Tabla 6.8 Derivas de piso e índice de estabilidad de piso.
Deriva de piso
Índice de estabilidad de
piso θ i
γi
0.0121
0.0760
1
0.0143
0.0643
2
γ = 0.0143 (Deriva de piso máxima considerando el control de efecto P − ∆ .
Piso
Tabla 6.9 Fuerzas laterales máximas probables en los pórticos en sentido X.
Piso
Pórtico 1
Pórtico 2
0.9531 T.
0.9531 T.
1
2.2050 T.
2.2050 T.
2
6.6 EFECTO P − ∆
Con el propósito de entender un poco más sobre el efecto P − ∆ , en la figura 6.5 a la
izquierda, se presenta un sistema de un grado de libertad sobre el que actúa una fuerza
sísmica F . Por efecto de esta fuerza el sistema se desplaza horizontalmente ∆ . El sistema
tiene un peso total P , el mismo que genera un momento de volteo en la estructura deformada,
que vale: P ∆ .
190
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Figura 6.5 Descripción del efecto P − ∆ en un sistema de un grado de libertad.
Este momento de volteo genera un par de cortantes, que se indican a la derecha de la
figura 6.5, los mismos que al multiplicarse por la altura h se oponen al momento de volteo. De
tal manera que existe un momento de volteo de magnitud P ∆ y un momento resistente V h .
La relación de estos momentos define el índice de estabilidad de piso.
θ=
P∆
Vh
En la figura 6.5 se aprecia que ∆ es el desplazamiento relativo del piso con respecto
al suelo. Esto debido a que se trata de una estructura de 1 piso, si fuera de más pisos es el
desplazamiento relativo de piso, también conocido como deriva, a secas. El desplazamiento ∆
es calculado en forma elástica.
En la figura 6.6 se presenta el modelo numérico de cálculo de una estructura de tres
pisos, donde las fuerzas F mostradas a la izquierda, son las fuerzas equivalentes debidas a la
acción sísmica. Estas fuerzas F generan los desplazamientos horizontales de piso q .
Figura 6.6 Cálculo del efecto P − ∆ en una estructura de varios pisos.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
191
La forma de cálculo de estos desplazamientos ha sido ya descrita anteriormente. Sin
embargo se lo repite muy rápidamente. El vector de cargas Q (transpuesto) es
Q t = [F1 F2 F3 ] . Los desplazamientos se hallan de la solución del sistema de ecuaciones
Q = K q . Donde K es la matriz de rigidez de la estructura.
Ahora en la estructura deformada se genera en cada piso unos cortantes V indicados
en la figura 6.5 y 6.6. Estos cortantes producen un nuevo vector de cargas Q P − ∆ .
Q P −∆
⎤
⎡ P1 q1
⎥
⎢
h1
⎥
⎢
V
⎡ 1⎤
⎢ ⎥ ⎢ P2 (q 2 − q1 ) ⎥
= ⎢V2 ⎥ = ⎢
⎥
h2
⎥
⎢⎣V3 ⎥⎦ ⎢
⎢ P (q − q ) ⎥
2
⎥
⎢ 3 3
h3
⎥⎦
⎢⎣
( 6.19 )
Este vector Q P − ∆ produce nuevos desplazamientos en la estructura deformada y por
ende nuevas fuerzas en todos sus elementos. Lo más apropiado es calcular estos
desplazamientos con análisis no lineal.
El efecto P − ∆ es muy importante en estructuras esbeltas, de varios pisos. En
estructuras de pocos pisos y con dimensiones adecuadas el índice de estabilidad de piso será
bajo y se puede ignorar el efecto P − ∆ .
•
EJEMPLO 3
Presentar los resultados del análisis sísmico en sentido Y de la estructura del ejemplo
anterior.
•
SOLUCIÓN
Dos cambios se deben realizar en la entrada de datos, el primero que en sentido Y se
tienen 3 pórticos, y el segundo cambio es referente al código del sentido de análisis sísmico
que ahora es 2.
>> [V]=modalespacial3gdl (4,3,altura,pesoD,pesoL,KLI,KLG,r)
Número total de pórticos de la estructura: 5
Códigos para análisis sísmico: Sentido X=1 Sentido Y=2
Ingrese código de sentido de análisis sísmico: 2
Los restantes datos son los ya indicados.
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
192
6.7 TORSIÓN ACCIDENTAL
En apartados anteriores de este capítulo, se ha visto como se aborda la torsión
accidental a la luz de lo estipulado por el CEC-2000 pero ahora se presentan causas que dan
origen a la torsión accidental. Estas son: a) Variación del Centro de Rigidez; y, b) Variación del
Centro de Masa.
Se obtiene el Centro de Rigidez C.R., para unas determinadas dimensiones de los
elementos estructurales, para un determinado módulo de elasticidad, para una geometría
determinada de los pórticos. Ahora, cuando se construye la estructura las secciones de los
elementos estructurales pueden sufrir ligeras modificaciones, lo propio con la calidad de los
materiales utilizados y la geometría de los pórticos. Este tema de la incertidumbre de la rigidez
en la torsión accidental ha sido estudiado por varios autores entre ellos De La Llera y Chopra
(1994). En efecto, la figura izquierda de 6.7, se indica en que porcentaje varía el C.R., (∆e )CR ,
con respecto a la dimensión perpendicular a la del análisis sísmico B por la incertidumbre de
la rigidez, para estructuras de hormigón armado; se aprecia que el C.R. puede llegar a variar
hasta en un 6% con un valor medio de 1.4%.
Figura 6.7 Variación del Centro de Rigidez y del Centro de Masas.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
193
Por otra parte, existe también incertidumbre en la variación del Centro de Masa C.M.,
debido a que no se cumplen las hipótesis con las cuales se obtuvieron ciertas fórmulas, como
el momento de inercia de la masa, debido también a que en la vida de la estructura las masas
no están distribuidas como se realizó el análisis sísmico. Todo esto conlleva a que el C.M.
experimente una variación y no se halle donde el proyectista estructural ha calculado. En la
figura de la derecha de 6.7. Hernández y López (2003) se observa que la variación del C.M.,
puede llegar a ser hasta del 7% y el valor medio es del 2%.
Si, el C.M., y el C.R., se utilizan para medir la excentricidad estática y si tanto el C.M.,
como el C.R., varían es lógico pensar que se tiene una incertidumbre, la misma que es cubierta
por la torsión accidental.
Otras fuentes de incertidumbre, que dan origen a la torsión accidental, son: a) La
incorporación de la rotación del suelo en el análisis sísmico; b) la respuesta inelástica de una
estructura; c) la determinación del Centro de Resistencia de una estructura en base a la
capacidad sísmica resistente de los pórticos; entre otros. Lo cierto que es un tema que todavía
se sigue investigando. De la Colina y Almeida (2004).
Como se ha indicado en el capítulo 4, la torsión accidental se la cubre por medio del
parámetro β . En la tabla 6.10 se indica este valor de algunas normativas sísmicas. Se destaca
que no se puede comparar a secas los valores de β sino también con los valores de α y δ
que son los factores de amplificación dinámica y el factor de control, es decir la comparación
debe hacerse en la forma total como se obtiene el momento de torsión y por que no decirlo en
la forma como se realiza el análisis sísmico.
Tabla 6.10 Parámetros que definen la excentricidad de diseño.
α
Normativa Sísmica
δ
México (1995)
Nueva Zelanda (1992)
Canadá (1985)
Venezuela (2001)
CEC-2000
1.5
1.0
1.5
1.0
1.0
0.5
Ec. Indicadas en Cap 4
Ec. Indicadas en Cap 4
1.0
1.0
β
0.10
0.10
0.10
0.06
0.05 ∗ Ax
REFERENCIAS
1. Aguiar R., (2007), Dinámica de estructuras con MATLAB, Centro de Investigaciones
Científicas y Colegio de Ingenieros Civiles de Pichincha., 292 p. Quito.
2. CEC-2000, “Código Ecuatoriano de la Construcción”, XIII Jornadas Nacionales de
Ingeniería Estructural. Pontificia Universidad Católica del Ecuador, 325-350, Quito.
3. De la Colina J., and Almeida C., (2004), “Probabilistic study on accidental torsión of
low-rise buildings”, Earthquake Spectra, 20 (1), 25-41.
4. De La Llera J., and Chopra A., (1994), Accidental and natural torsión in earthquake
response and designo f buildings, Earthquake Engineering Research Center. University
of California at Berkeley, UCB/EERC-94-07, 291 p.
5. Gaceta Oficial del Distrito Federal, (1995), Normas Técnicas Complementarias para
diseño por sismo, México.
194
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
6. Hernández J., y López O., (2003), “Evaluación de reglas de combinación de respuestas
estructurales ante dos componentes sísmicas cuasi-horizontales y una cuasi-vertical”,
Instituto de Materiales y Modelos Estructurales. Universidad Central de Venezuela, 41
(1), 1-16, Caracas, Venezuela.
7. Norma COVENIN 1756-98 (Rev. 2001), “Edificaciones Sismorresistentes”, FUNVISIS.
Ministerio de Desarrollo Urbano, 69 p., Caracas.
8. Norma E.030, (2003), Reglamento Nacional de Construcciones. Norma Técnica de
Edificaciones. Diseño Sismo resistente, Servicio Nacional de Normalización,
Capacitación e Investigación para la Industria de la Construcción. SENCICO, 36 p.,
Quito.
9. NRCC., (1990, National Building Code of Canada, Associate Committee on the National
Building Code. National Research Council of Canada, Ottawa.
10. SANZ (1992), Code of practice for general structural design and design loadings for
buildings. NZS 4203: 1992, Standards Association of New Zealand, Wellington.
CAPÍTULO 7
TORSIÓN EN EDIFICIOS
RESUMEN
Una de las fallas frecuentes que se presentan durante la acción de un sismo es la denominada,
edificios abiertos, razón por la cual se inicia este capítulo con la identificación de estos edificios, se
define el problema y se presentan casos de edificios que tuvieron un mal comportamiento durante el
terremoto del 15 de agosto de 2007, ocurrido en el Perú.
Posteriormente se presenta el marco teórico del problema de torsión en edificios de un solo
piso, se muestra como se obtiene el centro de rigidez, la excentricidad estática, se plantea el sistema de
ecuaciones diferenciales que gobiernan el problema dinámico y se resuelve este problema en forma
paramétrica.
Se ha elaborado el programa denominado BALANCETORSIONALSINAISLAMIENTO que
encuentra la respuesta de desplazamientos, en el tiempo, de los pórticos extremos de una estructura de
un piso. De igual manera muestra la respuesta en el Centro de Masas del desplazamiento horizontal con
la rotación de piso y encuentra el Coeficiente de Variación. Este programa tiene como objetivo
fundamental enseñar como afecta la torsión a los edificios.
7.1 EDIFICIOS ABIERTOS
Un edificio abierto, es un edificio esquinero, con paredes medianeras a los dos lados, como el
indicado en la figura 7.1, las paredes están construidas monolíticamente con las columnas. Las fachadas
tienen grandes ventanales y la puerta de ingreso. Lo cierto es que los pórticos posteriores, que
contienen las paredes medianeras tienen mayor rigidez que los pórticos de las fachadas; esto
ocasiona que el Centro de Rigidez C.R. se encuentre a una distancia considerable del Centro de Masa
C.M., como se ilustra en la figura 7.2.
La excentricidad estática, distancia del C.M., al C.R., es la que produce momentos de torsión que
conducen a un mal comportamiento sísmico de la estructura, cuando el proyectista estructural ignora la
mampostería en el análisis sísmico pero en el proceso constructivo le acoplan a la estructura.
Figura 7.1 Vista frontal de un edificio abierto.
Figura 7.2 Vista en planta de edificio abierto.
En la figura 7.3 se presenta un edificio de hormigón armado, ubicado en la ciudad de Pisco,
Perú, que colapsó durante el sismo del 15 de agosto de 2007. Este edificio colapsó por dos problemas
que son: edificio abierto y piso blando. En la figura 7.3, a la izquierda se aprecia la una pared medianera,
acoplada a la estructura, en el sentido largo del edificio y a la derecha se observa la otra pared
medianera en el sentido corto del edificio.
A más de ser edificio abierto, la planta baja estaba destinada a parqueaderos, con lo que se
generó otro problema adicional que se denomina piso blando, ya que esta planta tiene menor rigidez
que las plantas superiores. Lo cierto es que estos dos problemas, de edificio abierto y de piso blando,
llevaron al colapso de este edificio ubicado en Pisco.
En un edificio abierto, se tiene en cualquier sentido, dos tipos de pórticos en sus extremos. Un
pórtico débil que no tiene mampostería y un pórtico fuerte que tiene la mampostería. El pórtico débil se
mueve mucho más que el pórtico fuerte y esto ocasiona que se muevan en desface, es decir mientras el
un pórtico se mueve en determinado sentido el otro lo hace más lentamente o se está moviendo en
sentido contrario, generándose la torsión en planta.
Figura 7.3 Edificio que colapsó durante el sismo del 15 de agosto de 2007 en Pisco.
Lo ideal es que el C.M., coincida con el C.R. En este caso todos los pórticos que están en un
determinado sentido se mueven lo mismo, no hay problema de torsión. Lo indicado en estos dos últimos
párrafos de lo va a ver en forma analítica con el desarrollo de un ejemplo.
7.2 CENTRO DE RIGIDEZ EN ESTRUCTURAS DE UN PISO
Para estructuras de un piso, el C.R. se evalúa a partir de la matriz de rigidez lateral, como es un
piso, esta matriz tiene un solo elemento. Se recuerda que el C.R. es el lugar geométrico donde al
aplicar las fuerzas sísmicas la estructura se traslada y no rota.
•
EJEMPLO 1
Encontrar el C.R., de la estructura en forma de “L” indicada en la figura 7.4. La altura del
entrepiso es de 3.0 m. Las columnas A1, B1, A2 y B2 son de 20/20 cm., y todas las restantes columnas
son de 20/30. La dimensión de 30 cm., es paralela a las luces de 4.5 m. Las vigas son todas de 20/25,
en los dos sentidos. Considerar un módulo de elasticidad E = 1738965.21 T / m 2 .
•
SOLUCIÓN
La matriz de rigidez lateral K L de cada uno de los pórticos, encontrados con el programa
RLAXINFI se indica en la figura 7.5, en forma de vector. Así la matriz de rigidez lateral del pórtico 1 vale
153.7568 T/m2. Conceptualmente es la fuerza necesaria para obtener un desplazamiento unitario.
Sean X CR , YCR las coordenadas del C.R. medidas a partir de un eje de coordenadas cuyo
origen coincide con la intersección de los ejes A y 5.
El C.R. se obtiene del equilibrio de fuerzas y momentos, en sentido X, y en sentido Y. En primer
lugar se colocan las fuerzas en sentido X y se halla la ordenada YCR . Luego las fuerzas en sentido Y y
se halla X CR .
A
B
4 .5 0 m
C
4 .5 0 m
1
4 .0 0 m
2
4 .0 0 m
3
4 .0 0 m
4
4 .0 0 m
5
Figura 7.4 Distribución en planta de edificio analizado de un piso.
ƒ
Sentido X
∑F
∑F
X
= 153.7568 + 153.7568 + 365.1317 + 587.8617 + 587.8617
X
= 2271.1185
La sumatoria de momentos se obtiene con respecto al eje A5.
∑ M = 153.7568 ∗16 + 153.7568 ∗12 + 365.1317 ∗ 8 + 587.8617 ∗ 4 = 2271.1185 ∗ Y
CR
YCR = 5.18 m.
ƒ
Sentido Y
∑ F = 521.0324 + 521.0324 + 215.9817
∑ F = 1387.7551
∑ M = 521.0324 ∗ 4.5 + 215.9817 ∗ 9 = 1387.7551∗ X
Y
Y
X CR = 3.41 m.
CR
Figura 7.5 Coordenadas del Centro de Rigidez.
•
EJEMPLO 2
Determinar la excentricidad estática de la estructura en forma de “L” que se ha venido
resolviendo. Si las coordenadas del C.M., son: X CM = 3.15 m. YCM = 6.80 m.
•
SOLUCIÓN
Se define a la excentricidad estática a la distancia que existe entre el C.M., y el C.R. Se define la
distancia en sentido X, como eX y la excentricidad en sentido Y, como eY .
e X = 3.41 − 3.15 = 0.26 m.
eY = 6.80 − 5.18 = 1.62 m.
7.3 MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS DE PISO
En el capítulo anterior se estudio la matriz de rigidez de la estructura en coordenadas de piso
K E la misma que se va a volver a escribir en función de la excentricidad estática.
KE
⎡ K XX
⎢
=⎢
⎢⎣
K Xθ ⎤
⎥
K Yθ ⎥
K θθ ⎥⎦
K XY
K YY
Para pórticos ortogonales K XY = K YX = 0 . Por otra parte, si se recuerda la forma como se
obtuvo las diferentes submatrices de K E en el capítulo anterior y se tiene presente la forma en que se
encontró el C.R. Se demuestra fácilmente, para el caso de una estructura de un piso, que:
K Xθ
K XX
( 7.1 )
Kθθ = eX2 KYY + eY2 K XX + KθθC . R.
( 7.2 )
eX =
C .R.
El único término nuevo es Kθθ
•
KYθ
KYY
eY =
que es la rigidez Kθθ pero evaluada con respecto al C.R.
EJEMPLO 3
La matriz de rigidez en coordenadas de piso, de la estructura en forma de “L” es:
⎡1848.4
K = ⎢⎢0.0
⎢⎣2991.2
2991.2⎤
320.4 ⎥⎥
62969.0 ⎥⎦
0.0
1257.1
320.4
Se pide encontrar la excentricidad estática y el valor de Kθθ utilizando las ecuaciones (7.1) y
(7.2).
•
SOLUCIÓN
eX =
320.4
= 0.254 m.
1257.1
eY =
2991.2
= 1.618 m.
1848.4
KθθC .R. = 153.7568 ( −10.82 ) + 153.7568 ( −6.82 ) + 365.1317 ( −2.82 ) + 587.8617 (1.18 )
2
2
2
+ 587.8617 ( 5.18 ) + 521.0324 ( −3.41) + 521.0324 (1.09 ) + 215.9817 ( 5.59 )
2
2
2
KθθC . R = 58074.91
Kθθ = ( 0.254 ) *1257.1 + (1.618 ) *1848.4 + 58074.91
2
Kθθ = 62994.98 ≈ 62969.0
2
2
2
•
EJEMPLO 4
En la figura 7.6 se presenta la configuración en planta de una estructura esquinera de un piso, a
la izquierda se la observa sin mampostería y a la derecha con mampostería en los lados que son
colindantes con otras construcciones. Todas las columnas son de 30/30 cm., todas las vigas de 20/25
cm., el módulo de elasticidad del hormigón es E = 1738965 .2 T / m 2 . La mampostería es de 15 cm., de
ancho y tiene un módulo de elasticidad E m = 175000 T / m 2 . La altura del entrepiso es de 3 m. Se pide
calcular el C.M. y el C.R. para los dos casos.
Figura 7.6 Estructura sin mampostería a la izquierda y con mampostería a la derecha.
•
SOLUCIÓN
Para el caso de que no se considera la mampostería en los pórticos, la rigidez lateral se halla
con el programa RLAXINFI. Para el ejemplo la K L = 805.93 T / m . A la izquierda de la figura 7.7 se
indica esta rigidez en cada pórtico y en base a estos valores se ha determinado que el C.M., coincide
con el C.R.
La matriz de rigidez lateral, de un pórtico con mampostería es K L = 9205 .90 T / m Esta matriz
se ha obtenido con el programa RLAXINFIMAMPOSTERIA donde se obtiene la diagonal equivalente
con un ancho igual a la longitud de la diagonal dividido para cuatro. Hay una diferencia muy notable de
valores entre la rigidez lateral de un pórtico sin mampostería y la misma rigidez pero con mampostería.
AL considerar la mampostería el C.M., esta ligeramente desplazado hacia el lugar donde se halla
la mampostería. Para encontrar el C.M. se debe aplicar las siguientes ecuaciones:
xCM =
∑W
J
WJ
xJ
y CM =
∑W
J
yJ
WJ
Donde el subíndice J corresponde al elemento en que se ha dividido la planta, puede ser una
viga, una losa, la mampostería, etc. W J es el peso del elemento J . x J , y J son las coordenadas del
centro de masas de una de las figuras en que se ha dividido la planta con respecto al origen de
coordenadas que se considera como referencia. En la figura 7.8 se indican las coordenadas del C.M. En
esta gráfica también se indica la resultante de las fuerzas en sentido X, y en sentido Y. Estas son
10817.76=805.93+805.93+9205.90. Con estas fuerzas se halla las coordenadas el C.R., por equilibrio de
momentos.
Figura 7.7 C.M. y C.R. en estructura sin mampostería y con mampostería.
En la figura 7.8, se indican las coordenadas del C.M., y C.R., para el edificio abierto, medidas
con respecto al punto o (se encuentra en la parte inferior izquierda). En base a estos resultados, a la
derecha de la figura 7.7 se indica la excentricidad estática.
Figura 7.8 Coordenadas del C.M. y C.R., para el caso del edificio abierto.
•
EJEMPLO 5
Presentar la respuesta en el tiempo del edificio abierto de un piso, indicado a la derecha de la
figura 7.6, ante el acelerograma que se muestra en la figura 7.9 y que corresponde al registro de la
componente N-S del sismo del 15 de Agosto de 2007, de Perú. Este registro fue obtenido en la
Universidad San Luis Gonzaga de la ciudad de Ica, que se halla a 138 km., del epicentro.
Figura 7.9 Componente N-S del registro obtenido en la Universidad San Luis Gonzaga.
Se denomina pórtico con mampostería a los pórticos medianeros, que están colindando con
edificaciones vecinas y que tienen paredes y pórticos sin mampostería a los que no tienen paredes.
Figura 7.10 Respuesta en el tiempo
En la figura 7.10 se ve la respuesta para el tiempo comprendido entre 19.5 s., y 21.5 s.; como
era de esperarse el pórtico sin mampostería se mueve más que el pórtico con mampostería. Pero lo
importante, es notar en el círculo que mientras uno de los pórticos se mueve en un sentido, el otro lo
hace en sentido contrario originando los problemas de torsión. Carrillo (2008).
7.4 ANÁLISIS SÍSMICO DE UNA ESTRUCTURA DE UN PISO
En la figura 7.11 se presenta una estructura de un piso, que tiene tres pórticos en el sentido X, y
4 pórticos en el sentido Y. La rigidez lateral de cada pórtico está representada por un resorte. La planta
es rectangular de dimensiones
. Se indica además el sistema de coordenadas con el cual se ha
venido trabajando y que será modificado en el siguiente apartado.
Figura 7.11 Coordenadas de piso y simbología a utilizar.
El sistema de ecuaciones diferenciales que gobierna el problema dinámico está definida por:
M q&& + C q& + K q = − M r u&&g
( 7.3 )
&& son los vectores
son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez; q, q& , q
Donde
de desplazamiento, velocidad y aceleración. El vector de desplazamientos, transpuesto, contiene
q t = [q x
qy
qθ ] ;
es el vector que relaciona los grados de libertad con el movimiento del suelo.
Así para sismo en sentido X, el vector transpuesto
, para sismo en sentido Y, el 1 va en
la mitad;
es la aceleración del suelo. Estrictamente se debió escribir K E en la ecuación ( 7.3 ). Las
matrices de masa y rigidez son:
( 7.4 )
Como se ha estudiado, la matriz de amortiguamiento se encuentra en función de las matrices de
. Al reemplazar ( 7.1 ) en la matriz
masa y rigidez. Para estructuras con pórticos ortogonales
de rigidez, el sistema de ecuaciones diferenciales ( 7.3 ) para el caso de que el sismo actúa en la
dirección Y, queda:
⎡m 0
⎡q& x ⎤ ⎡k xx
0 ⎤ ⎡q&&x ⎤
⎢
⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢
0 ⎥ ⎢q&& y ⎥ + C ⎢q& y ⎥ + ⎢0
⎢0 m
⎢
⎥
⎢q& ⎥ ⎢e k
2⎥⎢
⎣ θ ⎦ ⎣⎢ y xx
⎣0 0 mρ ⎦ ⎣q&&θ ⎦
e y k xx ⎤ ⎡q x ⎤
⎡m 0
0 ⎤ ⎡0 ⎤
⎥⎢ ⎥
⎢
⎥
e x k yy ⎥ ⎢q y ⎥ = − ⎢0 m
0 ⎥ ⎢⎢1 ⎥⎥ u&&g
⎥
⎢
2⎥⎢ ⎥
kθθ ⎦⎥ ⎢⎣qθ ⎥⎦
⎣ 0 0 mρ ⎦ ⎣ 0 ⎦
0
k yy
e x k yy
Al desarrollar los productos matriciales indicados se tiene:
m q&&x + C (1) + k xx q x + e y k xx qθ = 0
m q&& y + C ( 2) + k yy q y + e x k yy qθ = − m u&&g
m ρ 2 q&&θ + C (3) + e y k xx q x + e x k yy q y + kθθ qθ = 0
son las filas uno, dos y tres que resultan del producto de C q& . Ahora si
Donde
las dos primeras ecuaciones se dividen para
y la tercera ecuación para
. Se tiene:
k
C (1) k xx
+
q x + e y xx qθ = 0
m
m
m
( 2)
k
k
C
yy
yy
+
qθ = − u&&g
q y + ex
q&& y +
m
m
m
k yy
k
k
ρ2
C (3)
+ e y xx q x + e x
q y + θθ qθ = 0
q&&θ +
m lx
m lx
m lx
m lx
lx
q&&x +
Se definen las frecuencias de vibración desacopladas, de la siguiente manera:
( 7.5 )
En función de ( 7.5 ) y de la ecuación ( 7.2 ) el sistema de ecuaciones diferenciales, queda:
q&&x +
C (1)
+ w x2 q x + e y w x2 qθ = 0
m
q&& y +
C ( 2)
+ w 2y q y + e x w 2y qθ = − u&&g
m
ρ2
lx
( 7.6 )
(
)
e x2 k yy + e 2y k xx + wθ2 m ρ 2
ex 2
C (3) e y 2
q&&θ +
+
wx q x +
wy q y +
qθ = 0
m lx lx
lx
m lx
Se normalizan las excentricidades estáticas, como sigue:
( 7.7 )
A los términos de la tercera ecuación diferencial que contienen la aceleración rotacional y la
&&θ y qθ se multiplica y divide por lx y al reemplazar ( 7.7 ) en esta ecuación diferencial se
rotación q
halla:
ρ2
l x q&&θ +
l x2
2
⎤
⎡
⎛ρ⎞
C ( 3)
2
2
2
2
2
2
⎢
⎜
⎟
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
+ e y w x q x + e x w y q y + e x w y + e y w x + ⎜ ⎟ wθ2 ⎥ l x qθ = 0
m lx
⎥
⎢
⎝ lx ⎠
⎦
⎣
Se realiza el siguiente cambio de variable:
q r = l x qθ
( 7.8 )
Con el cambio de variable indicado el sistema de ecuaciones diferenciales definido en ( 7.6 )
queda:
q&&x +
C (1)
+ w x2 q x + eˆ y w x2 q r = 0
m
q&& y +
C ( 2)
+ w 2y q y + eˆ x w 2y q r = − u&&g
m
⎛ρ
⎜⎜
⎝ lx
2
⎡
⎞
⎛ρ
C ( 3)
⎟⎟ q&&r +
+ eˆ y w x2 q x + eˆ x w 2y q y + ⎢eˆ x2 w 2y + eˆ 2y w x2 + ⎜⎜
m lx
⎢
⎠
⎝ lx
⎣
( 7.9 )
2
⎤
⎞
⎟⎟ w 2y Ωθ2 ⎥ q r = 0
⎥
⎠
⎦
Se denomina:
( 7.10 )
Con lo que:
q&&x +
C (1)
+ w x2 q x + eˆ y w x2 q r = 0
m
q&& y +
C ( 2)
+ w 2y q y + eˆ x w 2y q r = − u&&g
m
⎡
⎛ρ
C (3)
1+α 2
q&&r +
+ eˆ y w x2 q x + eˆ x w 2y q y + ⎢eˆ x2 w 2y + eˆ 2y w x2 + ⎜⎜
m lx
12
⎢
⎝ lx
⎣
2
⎤
⎞
⎟⎟ wθ2 ⎥ q r = 0
⎥
⎠
⎦
En forma matricial se puede escribir:
⎡
⎤
⎢ 2
⎡ q& x ⎤ ⎢ w x
0
0 ⎥ ⎡q&&x ⎤
⎥ ⎢ ⎥ Cˆ ⎢ ⎥ ⎢
1
0 ⎥ ⎢q&& y ⎥ + ⎢ q& y ⎥ + ⎢0
m⎢ ⎥ ⎢
⎥
1 + α 2 ⎥ ⎢⎣q&&r ⎥⎦
⎣ q& r ⎦ ⎢
0
2
⎥
⎢eˆ y w x
12 ⎦
⎣
⎡
⎢1
⎢
⎢0
⎢
⎢0
⎢⎣
0
eˆ y w x2
w 2y
eˆ x w 2y
eˆ x w 2y
eˆ x2 w 2y
+
eˆ 2y
w x2
⎛ρ
+ ⎜⎜
⎝ lx
⎞
⎟⎟
⎠
2
⎤
⎥
⎥ ⎡q x ⎤
⎥⎢ ⎥
⎥ ⎢q y ⎥
⎥⎢ ⎥
⎥ ⎣q r ⎦
wθ2 ⎥
⎦
Ĉ es la matriz de amortiguamiento en la cual los elementos de la tercera fila y tercera
columna están divididos para m l x . La primera y segunda fila y sus respectivas columnas de Ĉ están
Donde
divididas para m .
Se definen las siguientes relaciones de frecuencias, desacopladas:
( 7.11 )
Ωx =
wx
wy
( 7.12 )
En función de la relación de frecuencias, el sistema de ecuaciones diferenciales, queda:
⎡
⎢1
⎢
⎢0
⎢
⎢0
⎢⎣
⎡
⎤
⎢ 2
⎡q& x ⎤
⎢Ω x
0
0 ⎥ ⎡q&&x ⎤
⎥ ⎢ ⎥ Cˆ ⎢ ⎥
2⎢
1
0 ⎥ ⎢q&& y ⎥ + ⎢q& y ⎥ + w y ⎢0
m⎢ ⎥
⎥
⎢
1 + α 2 ⎥ ⎢⎣q&&r ⎥⎦
⎣q& r ⎦
⎢eˆ Ω 2
0
12 ⎥⎦
⎢ y x
⎣
0
eˆ y Ω 2x
1
eˆ x
eˆ x
eˆ x2
+
eˆ 2y
Ω 2x
⎛ρ
+ ⎜⎜ s
⎝ lx
⎞
⎟⎟
⎠
2
⎤
⎥
⎥ ⎡ q x ⎤ ⎡0 ⎤
⎥⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎥ ⎢q y ⎥ = ⎢− u&&g ⎥
⎥ ⎢ q ⎥ ⎢0 ⎥
⎦
2⎥ ⎣ r ⎦ ⎣
wθ
⎥
⎦
7.5 ANÁLISIS SÍSMICO DE UNA ESTRUCTURA MONO SIMÉTRICA
Se define una estructura mono simétrica, a aquella que solo tiene una excentricidad estática. Por
lo tanto, en un sentido es completamente simétrica. En la figura 7.12 se indica una estructura mono
simétrica que tiene solo excentricidad e x .
Figura 7.12 Estructura mono simétrica
Para el análisis sísmico en sentido Y, es posible trabajar con los dos grados de libertad que se
indican en la figura 7.12. En este caso el sistema de ecuaciones diferenciales, queda:
⎡1
0 ⎤
⎡1
ˆ
&
&
&
q
q
⎤
⎡
⎤
⎡
⎢
C
y
y
2
⎢
2⎥
+ wy ⎢
+
⎢0 1 + α ⎥ ⎢q&& ⎥ m ⎢q& ⎥
⎣ r⎦
⎣ r⎦
⎢eˆ x
12 ⎦⎥
⎣⎢
⎣
eˆ x
⎛ρ ⎞
eˆ x2 + ⎜⎜ s ⎟⎟
⎝ lx ⎠
2
⎤
⎥ ⎡q y ⎤ ⎡− u&&g ⎤
⎥⎢ ⎥=⎢
⎥ ( 7.13 )
wθ2 ⎥ ⎣q r ⎦ ⎣0 ⎦
⎦
Para poder encontrar las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez, indicadas en la ecuación
( 7.13 ) se necesitan los siguientes datos: α , eˆ x , w y , Ω 0 , ξ . El procedimiento de cálculo de estas
matrices es el siguiente:
1. Se determina la matriz de masas M
0 ⎤
⎡1
⎢
2⎥
M=
⎢0 1 + α ⎥
12 ⎦⎥
⎣⎢
Siendo α = l y / l x , relación de luces de la losa.
2. Se halla la matriz de rigidez K .
⎡1
⎢
K = w 2y ⎢
⎢eˆ x
⎣
ρs
lx
eˆ x
⎛ρ
eˆ x2 + ⎜⎜ s
⎝ lx
= Ω0
⎞
⎟
⎟
⎠
2
⎤
⎥
2⎥
wθ ⎥
⎦
1+α 2
12
wθ = Ω 0 w y
3. Se determina la matriz de amortiguamiento C aplicando el algoritmo de Wilson y Penzien. Para
ello se requiere el factor de amortiguamiento ξ .
4. Se encuentra la respuesta en el tiempo aplicando el Procedimiento de Espacio de Estado o
cualquier otro método de cálculo.
7.6 PROGRAMA BALANCETORSIONALSINAISLAMIENTO
El programa denominado BALANCETORSIONALSINAISLAMIENTO encuentra la respuesta
sísmica en una estructura rectangular, mono simétrica, que solo tiene excentricidad estática e x , con
base empotrada. Realiza el análisis sísmico en sentido Y para el modelo indicado en la figura 7.12. El
programa realiza lo siguiente:
•
Encuentra la respuesta en desplazamientos en una estructura completamente simétrica y halla la
respuesta máxima en absoluto del desplazamiento horizontal, q y max .
•
Para una excentricidad estática dada encuentra la historia en el tiempo de los desplazamientos
de los pórticos extremos, que corresponden al pórtico débil y al pórtico fuerte. Estas respuestas
se normalizan para q y max y los presenta en forma gráfica.
•
Encuentra la respuesta q y , q r en el C.M., para una excentricidad estática determinada, y se
normalizan con respecto a q y max y se grafica en el eje de las X, q y / q y max y en el eje de las
Y, q r / q y max .
•
Halla el coeficiente de correlación de la respuesta normalizada de q y / q y max y de q r / q y max .
La forma de uso del programa es:
¾
[correlacion]=balancetorsionalsinaislamiento(alfa,exs,Ty,omega,seda,sismo,dt)
ƒ
alfa
Es el valor de α = l y / l x
ƒ
ƒ
ƒ
exs
Ty
omega
Es la excentricidad normalizada eˆ x = e x / l x
Es el período de vibración de la estructura en sentido Y.
Es el valor de Ωθ = wθ / w y .
ƒ
ƒ
ƒ
seda
sismo
dt
Es el factor de amortiguamiento ξ que se considera igual en todos los modos.
Archivo que contiene el acelerograma de análisis.
Incremento de tiempo del acelerograma, con este valor se halla la respuesta en
el tiempo.
function [correlacion]=balancetorsionalsinaislamiento(alfa,exs,Ty,omega,seda,sismo,dt)
%
% Balance Torsional en el dominio del tiempo en estructuras retangulares de
% un piso, Mono simetrica
% Respuesta en el tiempo de porticos extremos normalizados con
% respecto a respuesta maxima de desplazamiento, de estructura simetrica.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%
Agosto-2007
%--------------------------------------------------------------------% [correlacion]=balancetorsionalsinaislamiento(alfa,exs,Ty,omega,seda,sismo,dt)
%--------------------------------------------------------------------% alfa : Relacion de lado corto a largo de estructura rectangular
% exs
: excentridad estatica normalizada con respecto a Lx.
% Ty
: Periodo de vibracion de estructura en sentido Y.
% omega : Relacion de frecuencia wteta con respecto a wy.
% sismo : Archivo que contiene acelerograma.
% dt
: Incremento de tiempo en que viene el acelerograma.
% seda : Factor de amortiguamiento (se sonsidera igual en todos los
%
modos)
% uymax : Respuesta maxima en absoluto de estructura completamente
%
simetrica
% urmax : Respuesta maxima en absoluto rotacional de estructura
%
completamente simetrica.
% correlacion : Matriz que reporta los coeficientes de correlacion,
%
interesa entre desplazamiento horizontal y rotacional.
%
% Primero se encuentra la respuesta en el tiempo para estructura simetrica
% Matriz de masas
MS(1,1)=1; MS(1,2)=0; MS(2,1)=0; MS(2,2)=(1+alfa*alfa)/12;
% Matriz de rigidez
wy=2*pi/Ty;factor=wy*wy;
KS(1,1)=factor; KS(1,2)=factor*exs; KS(2,1)=KS(1,2);
KS(2,2)=(exs*exs+((1+alfa*alfa)/12)*omega*omega)*factor;
KSI(1,1)=factor;KSI(1,2)=0.0;KSI(2,1)=0.0; KSI(2,2)=((1+alfa*alfa)/12)*omega*omega*factor;
% Matriz de amortiguamiento tipo Wilson y Penzien
[VS,DS]=eig(KSI,MS); Wn=sqrt(DS); W=diag(Wn); zeda(1)=seda; zeda(2)=seda;
CSI=zeros(2,2);
for i=1:2
fi=VS(:,i); mi=fi'*MS*fi; aux=2*zeda(i)*W(i)/mi;
CSI=CSI+aux.*MS*fi*fi'*MS;
end
% Respuesta en el tiempo por Procedimiento de Espacio de Estado
Qo(1)=-1; Qo(2)=0;var=1;Qo=Qo';
npuntos=length(sismo);
% Procedimiento de Espacio de Estado
[qt,vt,q]=pse3(MS,CSI,KSI,Qo,sismo,dt,var);
% Respuestas en porticos extremos,
for j=1:npuntos-1;
t(j)=j*dt;
uys(j)=qt(j,1);urs(j)=qt(j,2);
dfuerte(j)=uys(j)+0.5*urs(j);
ddebil(j)=uys(j)-0.5*urs(j);
end
dfuermax=max(abs(dfuerte));ddebmax=max(abs(ddebil));
uymax=max(abs(uys));
%
% Respuesta en el tiempo de estructura asimetrica
%
% Matriz de amortiguamiento tipo Wilson y Penzien
[V,D]=eig(KS,MS); Wn=sqrt(D); W=diag(Wn);
CS=zeros(2,2);
for i=1:2
fi=V(:,i); mi=fi'*MS*fi; aux=2*zeda(i)*W(i)/mi;
CS=CS+aux.*MS*fi*fi'*MS;
end
% Procedimiento de Espacio de Estado
[qt,vt,q]=pse3(MS,CS,KS,Qo,sismo,dt,var);
% Respuestas en porticos extremos,
for j=1:npuntos-2;
tt(j)=j*dt;
uy(j)=qt(j,1);uyy(j)=uy(j)/uymax;
ur(j)=qt(j,2);urr(j)=ur(j)/uymax;
dfuertenor(j)=(uy(j)+0.5*ur(j))/dfuermax;
ddebilnor(j)=(uy(j)-0.5*ur(j))/ddebmax;
end
correlacion=corrcoef(uyy,urr); clf;
subplot (2,1,1); plot (tt,dfuertenor); hold on; plot (tt,ddebilnor,':');
xlabel ('Tiempo (s)');ylabel('Desp. Normalizado');
subplot (2,1,2); plot (uyy,urr);
xlabel ('uy/uymax');ylabel('ur/uymax');
% ---fin---
•
EJEMPLO 6
En la figura 7.13, a la izquierda, se presenta un acelerograma sintético cuyo espectro elástico se
indica a la derecha y es aproximado al espectro del Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000
para la zona de mayor peligrosidad sísmica del Ecuador, en un perfil de suelo S1. A este acelerograma
artificial se denominará SISMO. Para este evento se desea encontrar la respuesta en desplazamientos
de los pórticos extremos y la respuesta que relaciona q y / q y max con q r / q y max en el C.M para los
siguientes datos:
α = 0.5; eˆ x = 0.10; T y = 1.0 s; Ωθ = 0.8; ξ = 0.05 .
Figura 7.13 Acelerograma sintético denominado SISMO y espectro de respuesta elástico.
•
SOLUCIÓN
En la figura 7.14 se indica las respuestas que reporta el programa. En la parte superior se
observa los desplazamientos de los pórticos exteriores, normalizados con respecto al desplazamiento
máximo de la estructura simétrica, se aprecia que están desfasados debido a la excentricidad estática.
Figura 7.14 Historia en el tiempo que reporta programa BALANCETORSIONALSINAISLAMIENTO.
En la parte inferior se aprecia que existe acoplamiento entre la respuesta horizontal y rotacional
por la excentricidad estática. En el eje de las X, se tiene el desplazamiento horizontal normalizado,
q y / q y max y en el eje de las Y la rotación normalizado q r / q y max . Se observa claramente que hay
acoplamiento en la respuesta de traslación con la respuesta de rotación.
7.7 COMENTARIOS
El desarrollo matemático presentado en este capítulo tiene muchas aplicaciones entre las que se
destacan las dos siguientes:
•
Sirve para el cálculo de los parámetros α , δ , β que se ha estudiado en capítulos anteriores para
encontrar la excentricidad de diseño. Para el efecto se halla la respuesta en el tiempo en los
pórticos débil y fuerte, normalizados con respecto a los desplazamientos hallados en la
estructura completamente simétrica.
•
Sirve para estudiar un tema muy actual que se conoce con el nombre de Balance Torsional cuyo
objetivo es minimizar los problemas de torsión mediante la colocación de disipadores de energía.
Vial (2003) o mediante aisladores de base. De La Llera et al (2005). Lógicamente, es un inicio
para esta temática mediante el análisis sísmico de la estructura con base empotrada.
REFERENCIAS
1. Carrillo C., (2008) Comprobación de la respuesta sísmica incorporando y desacoplando la
mampostería y técnicas de reforzamiento, Tesis de Grado para obtener el título de Ing. Civil.
Escuela Politécnica del Ejército, 200 p. Quito.
2. Vial I., (2003), Torsional balance of planasymmetric structures with frictional dampers: Analytical
and experimental results”, Tesis de Maestría en Ciencias. Escuela de Ingeniería. Pontificia
Universidad Católica de Chile, 100 p. Santiago de Chile.
3. De la Llera J., Almazán J., Seguín C., (2005), “Control de estructuras asimétricas mediante
aislamiento sísmico”, IX Congreso Chileno de Sismología e Ingeniería Antisísmica. Universidad
Nacional de Concepción, 12 p., Concepción, Chile.
CAPÍTULO 8
RESPUESTA EN EL TIEMPO Y CENTROS DE: RIGIDEZ, CORTE
Y DE GIRO
RESUMEN
Se presenta el programa denominado BASERIGIDANEW, elaborado en MATLAB que
sirve para encontrar la respuesta en el tiempo de estructuras espaciales de varios pisos, con
base empotrada, en el rango elástico, considerando tres grados de libertad por planta. El
usuario tiene la opción de seleccionar si desea la respuesta en desplazamientos o en fuerzas,
en los pórticos extremos de los pórticos.
De igual forma puede pedir la respuesta para todo el tiempo de duración del sismo o
para cierto intervalo. En ésta último opción se visualiza mejor la respuesta para el intervalo
seleccionado.
Existen tres definiciones que se han venido utilizando para determinar la excentricidad
estática de una estructura, ellas son: el Centro de Rigidez, el Centro de Giro y el Centro de
Corte; cada una de estas definiciones son presentadas en éste capítulo. Se destaca que el
Centro de Rigidez siempre existe en estructuras de un piso, en estructuras de varios pisos solo
existe en estructuras compensadas.
El Centro de Giro, es otra definición utilizada para cuantificar la excentricidad estática y
por ende la torsión en planta de una estructura, se presenta la forma de evaluar y se destaca
que el Centro de Giro depende de las fuerzas aplicadas o de los momentos de torsión
aplicados.
Finalmente se presentan algunas propuestas para hallar el Centro de Corte, todo esto
para determinar la excentricidad estática en el rango elástico.
8.1 INTRODUCCIÓN
En los capítulos anteriores se ha estudiado, el análisis sísmico de estructuras ante un
espectro inelástico; para el efecto, se ha encontrado las respuestas máximas probables
216
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
empleando el Método de Superposición Modal. Ahora interesa ilustrar el cálculo de la
respuesta en el tiempo, en el rango elástico, de una estructura ante un acelerograma.
El objetivo que se persigue, en los próximos capítulos, es ver como influyen los
aisladores de base y/o disipadores de energía en el comportamiento estructural de edificios.
Para ello se necesita conocer en primer lugar su comportamiento con base empotrada, para
comparar este comportamiento con el de estructuras con aisladores de base y/o disipadores de
energía. Por este motivo se cambia la nomenclatura que se ha venido utilizando para
incorporar en el próximo capítulo los aisladores de base. En la figura 8.1 se presenta la nueva
nomenclatura utilizada para definir los grados de libertad.
Figura 8.1 Grados de libertad considerados en el estudio
u al vector que contiene a los grados de libertad del modelo numérico de
( x)
que contiene todos
análisis, adoptado. El mismo que está compuesto por los sub vectores u
Se denomina
los desplazamientos horizontales en sentido X, medidos desde el primer piso hasta el último
( y)
(θ )
que contiene los desplazamientos horizontales en sentido Y, y por último u
que
piso; u
contiene las rotaciones de piso ( torsión).
⎡u ( x ) ⎤
⎥
⎢
u = ⎢u ( y ) ⎥
⎢u (θ ) ⎥
⎦
⎣
u ( x)
⎡u1( x ) ⎤
⎢ ( x) ⎥
u
= ⎢⎢ 2 ⎥⎥
"
⎢
⎥
⎢⎣u n( x ) ⎥⎦
u ( y)
⎡u1( y ) ⎤
⎢ ( y) ⎥
u
= ⎢⎢ 2 ⎥⎥
"
⎢
⎥
⎢⎣u n( y ) ⎥⎦
u (θ )
⎡u1(θ ) ⎤
⎢ (θ ) ⎥
u
= ⎢⎢ 2 ⎥⎥
"
⎢
⎥
⎢⎣u n(θ ) ⎥⎦
El sistema de ecuaciones diferenciales que gobierna el problema dinámico es el
siguiente:
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
+ C ( s ) u + K ( s ) u = − M ( s ) r ( s ) u
g
M ( s) u
217
( 8.1 )
Donde M ( s ) , C ( s ) , K ( s ) son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez,
son los vectores de desplazamiento, velocidad y aceleración,
respectivamente; u, u , u
respectivamente; r (s ) es el vector que relaciona los grados de libertad con el sentido del
g es el vector que contiene la aceleración del registro para el cual se desea
análisis sísmico; u
realizar el análisis sísmico.
t
[
Si se desea realizar un análisis sísmico en sentido X, el vector r (s ) transpuesto, será:
r (s) = 1
0
]
t
[
0 ; para el análisis sísmico en Y, el vector r (s ) es: r ( s ) = 0
1
]
0;
para encontrar la respuesta ante una componente torsional de movimiento de suelo
t
[
r (s) = 0
]
0
1 . Siendo 0, 1 los vectores compuestos por ceros y unos de orden igual
al número de pisos de la estructura. Estos tres casos de posible análisis sísmico se los puede
agrupar de la siguiente manera:
r
(s )
⎡1
⎢
= ⎢0
⎢0
⎣
0⎤
⎥
0⎥
1 ⎥⎦
0
1
0
( 8.2 )
En los capítulos anteriores se tenía M , C , K sin ningún índice ya que no se pensaba
incluir aisladores de base. Ahora se coloca el índice s para hacer referencia que es de la
estructura.
8.2 MATRICES DE RIGIDEZ, MASA Y AMORTIGUAMIENTO
La matriz de rigidez K ( s ) se había denominado en el capítulo 3 como K E y se lo ha
venido utilizando en los capítulos anteriores, razón por la cual se la copia a continuación sin
necesidad de describir las submatrices que contiene. Únicamente es a nivel de recordatorio.
K
( s)
= KE
⎡ K XX
⎢
=⎢
⎢⎣
K Xθ ⎤
⎥
K Yθ ⎥
K θθ ⎥⎦
K XY
K YY
( 8.3 )
La matriz de masa M (s ) también se ha indicado en otros capítulos. Sin embargo se la
presenta nuevamente pensando en el siguiente capítulo en que se realice el análisis sísmico de
estructuras con aisladores de base.
M
( s)
⎡m ( s )
⎢
=⎢
⎢
⎣
m
( s)
⎤
⎥
⎥
(s) ⎥
J ⎦
( 8.4 )
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
218
m (s)
J (s)
⎡m1
⎢
⎢
⎢
=⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
m2
"
mi
"
⎡ J1
⎢
⎢
⎢
=⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
J2
"
Ji
"
Ji =
(
mi 2
ai + bi2
12
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
m n ⎥⎦
( 8.5 )
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
J n ⎥⎦
( 8.6 )
)
( 8.7 )
Donde m i es la masa del piso i; J i es el momento de inercia de la masa con respecto
al Centro de Masa C.M..; a i , bi son las dimensiones en planta de la losa del piso i.
(s )
se halla empleando el algoritmo de Wilson y
La matriz de amortiguamiento C
Penzien (1972) la misma que se obtiene de la siguiente manera.
C
( s)
=
n
∑Ci
( 8.8 )
i =1
Ci =
2 ξ i W ni
M i∗
(M
(s)
)(
φ i φ it M ( s )
M i* = φ it M ( s ) φ i
Siendo
φi ,
)
( 8.9 )
( 8.10 )
el modo de vibración i; W ni es la frecuencia natural del modo i; ξ i es el
factor de amortiguamiento del modo i.
•
EJEMPLO 1
Encontrar la matriz de amortiguamiento C tipo Wilson y Penzien (1972) para la
estructura de dos pisos del capítulo 6, cuyas matrices de rigidez y de masas, se indican a
continuación. Considerar que ξ es igual en todos los modos de vibración y vale 0.05.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
K (s )
⎡2487.1
⎢
⎢
⎢
=⎢
⎢
⎢
⎢
⎣⎢
M (s )
•
⎡2.0204
⎢
⎢
⎢
=⎢
⎢
⎢
⎢
⎣⎢
− 985.1
635.8
0 .0
0.0
1214.4
0 .0
0.0
− 515.3
374.4
219
0.0 ⎤
0.0 ⎥⎥
86.0 ⎥
⎥
86.0
− 62.0 ⎥
26444.0 − 10940⎥
⎥
7629 ⎦⎥
0 .0
0.0
− 202.0
2.0204
2.0204
2.0204
16.3316
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
16.3316⎦⎥
SOLUCIÓN
Para desarrollar el ejemplo y para que se entienda la forma de cálculo de la matriz de
amortiguamiento, se ha desarrollado el programa AMORTIGUAMIENTOGENERAL, que se
indica a continuación. Se deben dar como datos las matrices de rigidez y de masas. Al igual
que el vector zeda. Para este caso el vector zeda transpuesto vale:
zeda t = [0.05 0.05 0.05 0.05 0.05 0.05]
function [C]=amortiguamientogeneral(K,M,zeda)
%
% Calculo de la matriz de amortiguamiento para cualquier estructura
% Empleando el Algoritmo de Wilson y Penzien. El usuario debe dar
% como datos las matrices de rigidez y amortiguamiento, al igual que
% zeda que se considera igual para todos los modos de vibracion.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI ESPE
%
Enero de 2008
% ----------------------------------------------------------------% [C]=amortiguamientogeneral(K,M,zeda)
% ----------------------------------------------------------------% K Matriz de rigidez de la estructura.
% M Matriz de masas de la estructura.
% T Periodos de vibracion.
% C Matriz de amortiguamiento.
% zeda Vector que contiene los coeficientes de amortiguamiento.
%
NP=length (K);C=zeros(NP,NP);
[V,D]=eig(K,M); Wn=sqrt(D); W=diag(Wn);
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
220
for i=1:NP
fi=V(:,i); mi=fi'*M*fi; aux=2*zeda(i)*W(i)/mi;
C=C+aux.*M*fi*fi'*M;
end
fprintf ('\n Matriz de amortiguamiento')
C
% ---fin
⎡ 6.7871
⎢− 2.0455
⎢
⎢ 0 .0
C=⎢
⎢ 0 .0
⎢ 0 .0
⎢
⎣⎢ 0.0
2.9431
0 .0
0 .0
0 .0
4.7268
− 1.4768
− 0.2971
2.3194
0.0935
62.7973
0.0963
− 0.1485
− 19.3506
0 .0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
29.5167 ⎦⎥
8.3 RESPUESTA EN EL TIEMPO
Para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales, definido en ( 8.1 ) por el Método
denominado Procedimiento de Espacio de Estado. Se denomina Q (s ) al término de la derecha.
g
Q ( s) = − M ( s) r ( s) u
Luego la ecuación ( 8.1 ) queda:
+ C ( s ) u + K ( s ) u = Q ( s )
M (s) u
Al multiplicar la ecuación ( 8.11 ) por M ( s )
+ M ( s )
u
−1
−1
( 8.11 )
, por la izquierda, se halla:
−1
C ( s ) u + M ( s ) K ( s ) u = M ( s ) −1 Q ( s )
( 8.12 )
Como artificio numérico de cálculo se introduce la siguiente ecuación:
u − u = 0
( 8.13 )
Se introduce la siguiente notación:
⎡ u⎤
X =⎢ ⎥
⎣ u ⎦
⎡ u ⎤
⇒ X = ⎢ ⎥
⎦
⎣u
( 8.14 )
Con esta notación, las ecuaciones ( 8.13 ) y ( 8.12 ), se convierten en:
X = F X + r
( 8.15 )
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
221
Donde:
⎡ 0
F =⎢
−1
⎢⎣− M ( s ) K ( s )
⎤
⎥
C ( s ) ⎥⎦
I
−M
( s ) −1
⎡ 0
⎤
r=⎢
⎥
−
1
⎢⎣ M ( s ) Q ( s ) ⎥⎦
( 8.16 )
( 8.17 )
La solución del sistema es la siguiente:
X k +1 = A X k + P1 rk +1 + P2 (rk +1 − rk )
( 8.18 )
Siendo:
A = e ∆t F
P1 = F
−1
( 8.19 )
(A − I )
( 8.20 )
⎛ 1
⎞
P2 = F −1 ⎜
P1 − A ⎟
⎝ ∆t
⎠
F
−1
⎡ − K ( s ) −1 C ( s )
=⎢
⎢⎣
I
− K (s)
( 8.21 )
−1
M ( s ) ⎤⎥
⎥⎦
0
En la ecuación ( 8.18 ) el subíndice k corresponde al instante de tiempo k y el subíndice
k+1 al instante de tiempo k+1. En la ecuación ( 8.19 ), ∆t es el incremento de tiempo con el
cual se desea hallar la respuesta en el tiempo. López et al (1988).
8.4 PROGRAMA BASERIGIDANEW
El programa que halla la respuesta en el tiempo de una estructura, ante un sismo
definido por su acelerograma, se denomina BASERIGIDANEW. En este programa se han
obtenido las matrices de rigidez, masa, amortiguamiento y vector de cargas generalizadas en la
forma indicada en los apartados anteriores. La solución dinámica del sistema de ecuaciones
diferenciales se lo ha realizado con el método denominado: Procedimiento de Espacio de
Estado.
222
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Figura 8.2 Geometría en planta que considera el programa BASERIGIDANEW
En zonas de alta peligrosidad sísmica, es conveniente que las estructuras tengan una
configuración en planta rectangular, lo ideal es que sean cuadradas en planta. Si se tiene
geometrías en forma de “C” o de “L”, mediante el empleo de juntas de construcción se pueden
tener bloques rectangulares.
Pero en caso de que se mantenga la planta en forma de “C” o de “L”, hay que
encontrar el centro de masa y evaluar el momento de inercia de la masa J . Este cálculo
demanda cierto tiempo, para evitar esto el programa BASERIGIDANEW lo determina, las
geometrías indicadas en la figura 8.2 de acuerdo al código de la tabla 8.1
Tabla 8.1 Códigos para distintas configuraciones en planta.
PLANTA
CÓDIGO
Rectangular
1
En forma de “L”
2
En forma de “C”
3
Usuario ingresa momentos de inercia
4
La información del tipo de planta se indica por consola, al igual que los datos que
deben indicarse de acuerdo a la nomenclatura de la figura 8.2. Con esta acotación la forma de
entrada de datos es la siguiente:
>> [T]=baserigida(NP,seda,iejes,pesoD,pesoL,KLG,r,sismo,dt)
•
•
•
•
•
•
NP
seda
iejes
pesoD
pesoL
KLG
•
•
•
r
sismo
dt
Número de pisos.
Factor de amortiguamiento de la estructura.
Número de ejes en el sentido de análisis sísmico.
Vector que contiene los pesos, de piso, debido al estado de carga D.
Vector que contiene el porcentaje del peso de piso debido a carga L.
Matriz que contiene las matrices de rigidez de cada uno de los pórticos
con inercias gruesas.
Vector que contiene la distancia del C.M. a cada pórtico, con signo.
Nombre del archivo para el cual se realiza el análisis sísmico.
Incremento de tiempo del acelerograma. Se encuentra la respuesta en el
tiempo para este incremento de tiempo.
Para ejecutar el programa BASERIGIDA se debe tener también instalado el programa
PSE3, que encuentra la respuesta por el Procedimiento de Espacio de Estado.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
223
function [T]=baserigidanew(NP,seda,iejes,pesoD,pesoL,KLG,r,sismo,dt)
%
% Analisis sismico en el tiempo, espacial de estructuras con base empotrada
% por el Metodo de procedimiento de espacio de estado considerando 3 gdl por planta.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi y Cristina Carrillo
%
CEINCI-ESPE
%
Junio de 2007
%---------------------------------------------------------------------------------% [T]=baserigidanew(NP,seda,iejes,pesoD,pesoL,KLG,r,sismo,dt)
%---------------------------------------------------------------------------------%
% seda Factor de amortiguamiento de la superestructura.
% iejes # de ejes de columnas en el sentido de analisis sismico.
% alt Vector que contine las alturas a cada piso medido desde la base.
% pesoD Vector que contiene la carga muerta D de cada piso.
% pesoL Vector que contiene la carga viva L de cada piso.
% KLG Matriz que contiene las matrices de rigidez lateral de todos los
%
porticos con inercias gruesas. Primero los de sentido X.
% r Vector que contiene la distancia del portico al centro de masa, de
%
cada uno de los porticos, con signo, positivo antihorario.
% rs Matriz de colocacion de la aceleracion del suelo en gdl superestructura
% rb Vector de colocacion de la aceleracion del suelo en gdl de la base
% sismo Archivo que contiene el acelerograma
% dt Incremento de tiempo del acelerograma
% ace aceleracion total en la superestructura
% F Fuerza estatica que actua en cada piso de la superestructura
% utot Matriz que contiene los desplazamientos de superestructura en cada
%
incremento de tiempo. En las filas estan los incrementos de tiempo.
% p Matriz que contiene la respuesta en el tiempo de cada portico.
%
La fila 1 es para el portico 1, la 2 para el 2, etc.
% A Matriz de paso de coordenadas de piso a coordenadas de portico. Las
%
primeras filas son para el portico 1 las siguientes para el 2, etc.
% NP Numero de pisos
% KS Matriz de rigidez de superestructura en coordenadas de piso.
% MS Matriz de masa de superestructura en coordenadas de piso.
% CS Matriz de amortiguamiento de superestructura en coordenadas de piso.
% qt Matriz que contiene desplazamientos de la base para todos los gdl.
% vt Matriz que contiene velocidades de la base para todos los gdl.
% q Vector que contiene solo historia de desplazamientos de la base.
% Ax Factor de mayoracion de la torsion accidental en edificios con
% irregularidades torsionales
%
%
Programa facilita el calculo del momento de inercia de la masa en:
%
Plantas en forma de L, en forma de C. para ello debe indicar los códigos
%
1 para planta rectangular, 2 para planta en “L”, 3 para planta en “C”
%
y 4 cuando el usuario desea dar los momentos de inercia.
%
ntot=input ('\n Numero total de porticos de la estructura :');
fprintf ('\n Codigos para analisis sismico: Sentido X=1 Sentido Y=2');
isismo=input ('\n Ingrese codigo de sentido de analisis sismico :');
rs=zeros(3*NP,3);
if isismo==1;nx=iejes; ny=ntot-nx; var=2;for j=1:NP; rs(j,1)=1; end;
else;ny=iejes; nx=ntot-ny;var=1;for j=1:NP; rs(j+NP,2)=1; end; end;
%Submatrices de rigidez: KEE, con inercias gruesas
224
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Kxx=zeros(NP,NP);Kyy=zeros(NP,NP);Kteta=zeros(NP,NP);cero=zeros(NP,NP);
Kxt=zeros(NP,NP);Kyt=zeros(NP,NP);for k=1:NP;identidad(k,k)=1;end;
for i=1:ntot
for k=1:NP
rtet(k,k)=r(i);
end
rteta=rtet*rtet;
ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;
if i<=nx
Kxx=Kxx+KLG(ji:jf,1:NP);Kxt=Kxt+KLG(ji:jf,1:NP)*rtet;
Kteta=Kteta+KLG(ji:jf,1:NP)*rteta;
A(ji:ji+NP-1,:)=[identidad cero rtet];
else
Kyy=Kyy+KLG(ji:jf,1:NP);Kyt=Kyt+KLG(ji:jf,1:NP)*rtet;
Kteta=Kteta+KLG(ji:jf,1:NP)*rteta;
A(ji:ji+NP-1,:)=[cero identidad rtet];
end
end
%Matriz de rigidez espacial con 3 grados de libertad por planta
KS=[Kxx cero Kxt;cero Kyy
Kyt;Kxt Kyt Kteta];
fprintf ('\n Matriz de rigidez con base empotrada')
KS
%Matriz de masas
disty=abs(r(1))+abs(r(nx));distx=abs(r(nx+1))+abs(r(ntot));
for i=1:NP; masaD(i)=pesoD(i)/9.8; masaL(i)=pesoL(i)/9.8;
mas(i)=masaD(i)+masaL(i);end
masa=zeros(NP,NP);for i=1:NP; masa(i,i)=mas(i);end
mj=zeros(NP,NP);
fprintf ('\n Si la planta de su estructura es rectangular digite 1, si se trata de una "L"
digite 2,');
fprintf ('\n si es una "C" digite 3 y si no concuerda con ninguna de las anteriores digite
4');
inercia=input('\n Ingrese codigo :');
if inercia==1
for i=1:NP, mj(i,i)=mas(i)*(distx^2+disty^2)/12;end
else
if inercia==2
aa=input ('\n Ingrese a :');
a1=input ('\n Ingrese a1 :');
b=input ('\n Ingrese b :');
b1=input ('\n Ingrese b1 :');
Area1=a1*b; Area2=(aa-a1)*b1; At=Area1+Area2;
x1=a1/2; y1=b/2; x2=a1+(aa-a1)/2; y2=b1/2;
xg=(Area1*x1+Area2*x2)/At; yg=(Area1*y1+Area2*y2)/At;
d1=sqrt((x1-xg)^2+(y1-yg)^2); d2=sqrt((x2-xg)^2+(y2-yg)^2);
for i=1:NP, mj(i,i)=mas(i)*Area1/At*(a1^2+b^2)/12+mas(i)*Area2/At*((aaa1)^2+b1^2)/12+mas(i)*Area1/At*(d1^2)+mas(i)*Area2/At*(d2^2);
end
else
if inercia==3
aa=input ('\n Ingrese a :');
a1=input ('\n Ingrese a1 :');
a2=input ('\n Ingrese a2 :');
b=input ('\n Ingrese b :');
b1=input ('\n Ingrese b1 :');
b2=input ('\n Ingrese b2 :');
Area1=aa*b; Area2=a1*b1; Area3=a2*b2; At=Area1+Area2+Area3;
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
225
x1=aa/2; y1=b/2; x2=aa+a1/2; y2=b-b1/2; x3=aa+a2/2; y3=b2/2;
xg=(Area1*x1+Area2*x2+Area3*x3)/At; yg=(Area1*y1+Area2*y2+Area3*y3)/At;
d1=sqrt((x1-xg)^2+(y1-yg)^2); d2=sqrt((x2-xg)^2+(y2-yg)^2); d3=sqrt((x3xg)^2+(y3-yg)^2);
for i=1:NP,
mj(i,i)=mas(i)*Area1/At*(aa^2+b^2)/12+mas(i)*Area2/At*(a1^2+b1^2)/12+mas(i)*Area3/At*(
a2^2+b2^2)/12+mas(i)*Area1/At*(d1^2)+mas(i)*Area2/At*(d2^2)+mas(i)*Area3/At*(d3^2);
end
else
for i=1:NP
fprintf ('\nIndique el momento de inercia del piso %i',i)
mj(i,i)=input ('\nMomento de inercia: ');
end
end
end
end
mj
MS=[masa cero cero;cero masa cero;cero cero mj];
fprintf ('\n Matriz de masa con base empotrada')
MS
% Matriz de amortiguamiento, tipo Wilson y Penzien (1982)
for i=1:3*NP; zeda(i)=seda; end;zeda=zeda';
CS=zeros(3*NP,3*NP);[V,D]=eig(KS,MS);W=sqrt(diag(D));
% Se ordenan las frecuencias y los modos de vibracion de menor a mayor
[Wn,II]=sort(W); for i=1:3*NP; fi(:,i)=V(:,II(i));end;
T=2*3.141592/Wn(1);
for i=1:3*NP
ff=fi(:,i);mi=ff'*MS*ff;aux=2*zeda(i)*Wn(i)/mi;
CS=CS+aux.*MS*ff*ff'*MS;
end
fprintf ('\n Matriz de amortiguamiento con base empotrada')
CS
% Analisis con desplazamientos o fuerzas
fprintf ('\n Si desea realizar el analisis con desplazamientos digite 1, si desea el analisis
con fuerzas digite 2')
fprintf ('\n Si desea realizar el analisis de Ax digite 3')
dof=input ('\n Ingrese el codigo de desplazamientos, fuerzas o Ax:');
% Determinacion del intervalo de analisis
fprintf ('\n Si desea obtener el grafico del comportamiento de la estructura en un cierto
intervalo de tiempo digite 1,')
fprintf ('\n caso contrario digite 2');
intervalo=input ('\n Ingrese el codigo de intervalo de analisis sismico :');
if intervalo==1
inf=input ('\n Ingrese el limite inferior (segundos) :');
ii=inf/dt;
sup=input ('\n Ingrese el limite superior (segundos) :');
jj=sup/dt;
end
fprintf ('\n Tenga paciencia el programa esta corriendo, se demora unos segundos \n')
if isismo==1
rs=rs(:,1);
else
rs=rs(:,2);
end
Qo=MS*rs*(-1);
% Procedimiento de Espacio de Estado
[qt,vt,q]=pse3(MS,CS,KS,Qo,sismo,dt,var);
226
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
npuntos=length(sismo);
% Respuestas en porticos extremos, en ultimo piso
for i=1:npuntos-1;
t(i)=i*dt;
end
% Matrices de rigidez lateral de porticos extremos
KLGx1=KLG(1:NP,1:NP);
KLGxnx=KLG((NP*(nx-1)+1):NP*nx,1:NP);
KLGy1=KLG(NP*nx+1:NP*(nx+1),1:NP);
KLGynt=KLG(NP*(ntot-1)+1:NP*ntot,1:NP);
% Desplazamientos y Fuerzas de cada portico
for i=1:ntot
ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;a=A(ji:jf,1:3*NP);
for j=1:npuntos-1;
for k=1:3*NP;
dd(k)=qt(j,k);
end
dd=dd';p=a*dd;dd=dd';
desp(j,i)=abs(p(NP));
despNP(j,i)=abs(p(NP));
if i==1 & isismo==1
p1(j)=p(NP);P1=KLGx1*p;
for k=1:NP; PP1(j,k)=P1(k);end
end
if i==nx & isismo==1;
pnx(j)=p(NP); PNX=KLGxnx*p;
for k=1:NP; PPNX(j,k)=PNX(k);end
end
if i==nx+1 & isismo==2;
p2(j)=p(NP); P2=KLGy1*p;
for k=1:NP; PP2(j,k)=P2(k);end
end
if i==ntot & isismo==2;
pnt(j)=p(NP); PNY=KLGynt*p;
for k=1:NP; PPNY(j,k)=PNY(k);end
end
end
end
if isismo==1
desp1=desp(:,1:nx);
despav(:,1)=desp(:,1);
despav(:,2)=desp(:,nx);
else
desp1=desp(:,nx+1:ntot);
despav(:,1)=desp(:,nx+1);
despav(:,2)=desp(:,ntot);
end
despavg=mean(despav,2);
despmax=max(desp1,[],2);
for j=1:npuntos-1
AAx(j,1)=(despmax(j,1)/(1.2*despavg(j,1)))^2;
end
davg=max(despavg)
dmax=max(despmax)
Ax=(dmax/(1.2*davg))^2
Axmax=max(AAx)
% Fuerzas en porticos extremos, ultimo piso
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
227
if isismo==1
for j=1:npuntos-1
F1(j)=PP1(j,NP);
Fnx(j)=PPNX(j,NP);
end
else
for j=1:npuntos-1
F2(j)=PP2(j,NP);
Fny(j)=PPNY(j,NP);
end
end
% Determinacion de intervalos y dibujo de respuestas maximas de
% desplazamiento (m) en el ultimo piso
if intervalo==1 & dof==1
if isismo==1
for n=1:jj-ii
tint(n)=t(ii);
p1int(n)=p1(ii);
pnxint(n)=pnx(ii);
ii=ii+1;
end
p1int=p1int';pnxint=pnxint';
subplot (2,1,1);plot(tint,p1int); ylabel ('Desplazamiento (m)');title('Desplazamiento
ultimo piso. Portico 1');
subplot (2,1,2); plot(tint,pnxint); xlabel ('Tiempo (s)');ylabel ('Desplazamiento (m)');
title ('Desplazamiento ultimo piso. Portico Extremo en sentido X');
else
for n=1:jj-ii
tint(n)=t(ii);
p2int(n)=p2(ii);
pntint(n)=pnt(ii);
ii=ii+1;
end
p2int=p2int';pntint=pntint';
subplot (2,1,1);plot(tint,p2int); ylabel ('Desplazamiento (m)');title('Desplazamiento
ultimo piso. Portico 1');
subplot (2,1,2); plot(tint,pntint); xlabel ('Tiempo (s)');ylabel ('Desplazamiento (m)');
title ('Desplazamiento ultimo piso. Portico Extremo en sentido Y');
end
end
% Dibujo de respuestas maximas en porticos exteriores en ultimo piso
if intervalo==2 & dof==1
if isismo==1
p1=p1';pnx=pnx';
subplot (2,1,1);plot(t,p1); ylabel ('Desplazamiento (m)');title('Desplazamiento ultimo
piso. Portico 1');
subplot (2,1,2); plot(t,pnx); xlabel ('Tiempo (s)');ylabel ('Desplazamiento (m)');
title ('Desplazamiento ultimo piso. Portico Extremo en sentido X');
else
p2=p2';pnt=pnt';
subplot (2,1,1);plot(t,p2); ylabel ('Desplazamiento (m)');title('Desplazamiento ultimo
piso. Portico 1');
subplot (2,1,2); plot(t,pnt); xlabel ('Tiempo (s)');ylabel ('Desplazamiento (m)');
title ('Desplazamiento ultimo piso. Portico Extremo en sentido Y');
end
end
% Determinacion de intervalos y dibujo de respuestas maximas de
228
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
% fuerzas (Ton) en el ultimo piso
if intervalo==1 & dof==2
if isismo==1
for n=1:jj-ii
tint(n)=t(ii);
F1int(n)=F1(ii);
Fnxint(n)=Fnx(ii);
ii=ii+1;
end
F1int=F1int';Fnxint=Fnxint';
subplot (2,1,1);plot(tint,F1int); ylabel ('Fuerza (Tn)');title('Fuerza ultimo piso. Portico
1');
subplot (2,1,2); plot(tint,Fnxint); xlabel ('Tiempo (s)');ylabel ('Fuerza (Tn)');
title ('Fuerza ultimo piso. Portico Extremo en sentido X');
else
for n=1:jj-ii
tint(n)=t(ii);
F2int(n)=F2(ii);
Fnyint(n)=Fny(ii);
ii=ii+1;
end
F2int=F2int';Fnyint=Fnyint';
subplot (2,1,1);plot(tint,F2int); ylabel ('Fuerza (Tn)');title('Fuerza ultimo piso. Portico
1');
subplot (2,1,2); plot(tint,Fnyint); xlabel ('Tiempo (s)');ylabel ('Fuerza (Tn)');
title ('Fuerza ultimo piso. Portico Extremo en sentido Y');
end
end
% Dibujo de respuestas maximas en porticos exteriores en ultimo piso
if intervalo==2 & dof==2
if isismo==1
F1=F1';Fnx=Fnx';
subplot (2,1,1);plot(t,F1); ylabel ('Fuerza (Tn)');title('Fuerza ultimo piso. Portico 1');
subplot (2,1,2); plot(t,Fnx); xlabel ('Tiempo (s)');ylabel ('Fuerza (Tn)');
title ('Fuerza ultimo piso. Portico Extremo en sentido X');
else
F2=F2';Fny=Fny';
subplot (2,1,1);plot (t,F2);ylabel ('Fuerza (Tn)');title('Fuerza ultimo piso. Portico 1');
subplot (2,1,2);plot (t,Fny);xlabel ('Tiempo (s)');ylabel ('Fuerza (Tn)');
title ('Fuerza ultimo piso. Portico Extremo en sentido Y');
end
end
% Determinacion de intervalos y dibujo de respuestas maximas de
% Ax en el ultimo piso
if intervalo==1 & dof==3
for n=1:jj-ii
tint(n)=t(ii);
AAxint(n)=AAx(ii);
ii=ii+1;
end
AAxint=AAxint';
plot(tint,AAxint); ylabel ('Ax');title('Ax');
title ('Ax');
end
% Dibujo de respuestas maximas en porticos exteriores en ultimo piso
if intervalo==2 & dof==3
B=AAx';
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
plot(t,B); ylabel ('Ax');title('Ax');
end
%---fin
™ PROGRAMA PSE3
function [qt,vt,q]=pse3(M,C,K,Qo,p,dt,var)
%
% Procedimiento de Espacio de Estado para sistemas de n grados de libertad
% Programa general en que se requiere la respuesta ante un acelerograma.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI ESPE
%
Marzo de 2007
% ----------------------------------------------------------------% [qt,vt,q]=pse3(M,C,K,Qo,p,dt,var)
% ----------------------------------------------------------------% M Matriz de masas.
% C Matriz de amortiguamiento.
% K Matriz de rigidez.
% Qo Coeficiente del vector de cargas que multiplica a la aceleracion
%
del suelo.
% p Acelerograma para el cual se calcula la respuesta en el tiempo.
%
Previamente el usuario habrá calculado las matrices de masa,
%
amortiguamiento, rigidez, así como el coeficiente Qo.
% F Matriz de orden 2nx2n
% qt Matriz que almacena los desplazamientos en cada grado de libertad
%
en cada instante de tiempo.
% vt Similar a qt pero con las velocidades
% dt Incremento de tiempo con el cual se obtiene la respuesta.
% q Reporta el desplazamiento en la base del aislador.
%
ngl=length(K);
% Matriz F
CERO=zeros(ngl,ngl); IDENT=eye(ngl,ngl);MIK=(-1)*inv(M)*K;MIC=(-1)*inv(M)*C;
F=[CERO IDENT; MIK
MIC];
% Exponencial de la matriz F multiplicado por dt
A=expm(dt*F);
% Matrices P1 y P2
IDEN=eye(2*ngl,2*ngl); P1=inv(F)*(A-IDEN); P2=inv(F)*((1/dt)*P1-A);
% Vector r de cargas sísmicas
for i=1:ngl; NULO(i)=0; end; MIQ=inv(M)*Qo;
% respuesta en el tiempo
n=length(p);
for i=1:2*ngl; Xk(i)=0;end; Xk=Xk';q=Xk(ngl);
for i=1:n-1
t(i)=i*dt;
MCARGA=MIQ*p(i); MCARGA2=MIQ*p(i+1);rk=[NULO'; MCARGA];rk2=[NULO';
MCARGA2];
Xk2=A*Xk+P1*rk2+P2*(rk2-rk);
% Almacena la respuesta en el tiempo en el sentido de analisis.
q(i)=Xk2(ngl-var); Xk=Xk2; v(i)=Xk2(2*ngl-var);
for j=1:ngl
qt(i,j)=Xk2(j); vt(i,j)=Xk2(j+ngl);
end
229
230
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
end
% ---fin
El programa BASERIGIDANEW considera que los valores de ξ i son iguales en todos
los modos de vibración, por esta razón se da como dato un solo valor.
•
EJEMPLO 2
Encontrar la respuesta en el tiempo, de desplazamientos, para el pórtico 1 y para el
pórtico 5, de la estructura cuya configuración en planta se indica en la figura 8.3, que fue
analizada en el capítulo anterior, es una edificación de un piso. Encontrar la respuesta en el
tiempo desde los 0.5 segundos hasta 1.5 segundos, ante la componente E-W del registro de La
Molina, ubicado en Lima, del sismo del 15 de agosto de 2007, que tuvo una magnitud MW = 7.9
la aceleración máxima del registro fue 78.7 gals. El archivo del acelerograma se llama MOLINA
y viene con un dt = 0.01 s.
En la figura 8.4 se indica el acelerograma, que tuvo una duración de tres minutos
aproximadamente. Este sismo tuvo una rotura tectónica muy compleja y es así como se
aprecian dos eventos en uno solo, que se han denominado E1 y E2. En los registros de Lima la
rotura E2 fue mayor que E1, contrario a lo observado en los registros de la ciudad de Ica que
estaban más próximos al epicentro.
A
B
4 .5 0 m
C
4 .5 0 m
1
4 .0 0 m
2
4 .0 0 m
3
4 .0 0 m
4
4 .0 0 m
5
Figura 8.3 Distribución en planta de edificio de un piso.
Si el origen de coordenadas se coloca en la intersección de los ejes A y 5, el centro de
masas tiene las siguientes coordenadas X CM = 3.15 m. YCM . Las distancias r y la rigidez
lateral, hallada con inercias gruesas de cada uno de los pórticos se indica en la tabla 8.2.
Tabla 8.2 Distancia del C.M. a los pórticos y rigidez lateral.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
Pórtico
r
(m)
1
2
3
4
5
A
B
C
-9.20
-5.20
-1.20
2.80
6.80
-3.15
1.35
5.85
Se considera una carga muerta D = 400
231
KL
(T/m)
153.7568
153.7568
365.1317
587.8617
587.8617
521.0324
521.0324
215.0817
kg / m 2 y una carga viva L = 100 kg / m 2 . El
valor de ξ = 0.05
Figura 8.4 Componente E-W del registro de La Molina del sismo del 15 de agosto de 2007.
•
SOLUCIÓN
Se indica la solución, mediante el uso del programa BASERIGIDANEW
>> KLG=[153.7568; 153.7568; 365.1317; 587.8617; 587.8617; 521.0324; 521.0324; 215.0817]
>> pesoD=[36]
>> pesoL=[4.5]
>> r=[-9.2; -5.2; -1.2; 2.8; 6.8; -3.15; 1.35; 5.85]
>> load c:\MOLINA
>> [T] =baserigidanew(1,0.05,5,pesoD,pesoL,KLG,r,MOLINA,0.01)
El primer dato corresponde al número de pisos; el segundo al factor de
amortiguamiento de la estructura; el tercero al número de pórticos en el sentido de análisis
sísmico, en este caso se realiza el análisis con respecto al eje X; el cuarto el vector que
contiene los pesos totales de cada piso debido a carga muerta; el quinto el vector que contiene
los pesos totales de cada piso debido al % de carga viva; el sexto la matriz que contiene a las
matrices de rigidez lateral de cada uno de los pórticos; el séptimo es un vector que contiene la
distancia del centro de masa a los pórticos; el octavo el archivo del acelerograma y el noveno el
incremento de tiempo de ese archivo.
Por pantalla se indica que corresponde a una planta tipo “L”, asignándole el código 2.
Luego se indican las siguientes dimensiones: a = 9.0; a1 = 4.5; b = 16; b1 = 4.0 . También se
debe escoger la opción de que se requiere la respuesta en el intervalo de tiempo que va desde
0.5 s., hasta 1.5 s.
232
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
En la figura 8.5 se indica la respuesta en el tiempo para los pórticos exteriores, en
sentido X, que son el pórtico 1, que es un pórtico débil y el pórtico 5 que es un pórtico fuerte.
Nótese que t = 0.5 s el pórtico 1 se mueve hacia la derecha y en ese mismo instante de tiempo
el pórtico 5 se mueve a la izquierda lo que genera problemas de torsión. Los desplazamientos
son muy pequeños debido a que la aceleración máxima del registro fue menor al 10 de la
aceleración de la gravedad.
El programa calcula el momento de inercia de la masa J con respecto al C.M., para
este caso J = 115 .8004
Figura 8.5 Respuesta en el tiempo del pórtico 1 y del pórtico 5.
•
EJEMPLO 3
Encontrar, paso a paso el momento de inercia J, de la estructura del ejemplo anterior.
•
SOLUCIÓN
Para encontrar el momento de inercia de la masa J con respecto al C.M. se aplica el
teorema de los ejes paralelos.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
i
J CM
=
∑ (J
j
CM
j
+ m j d CM
233
)
( 8.22 )
j
j
i
Donde J CM
es el momento de inercia de la masa en el C.M. en el piso i ; J CM es el
j
momento de inercia de la masa de la figura j en su C.M.; m j es la masa de la figura j ; d CM
es la distancia desde el C.M. de la figura j al C.M. de todo el piso i . En la figura 8.6 se
j
presentan los C.M. de cada figura y las distancias d CM que se han denominado d 1 , d 2 ,
respectivamente. En la tabla 8.3 se presenta el cálculo de J .
Tabla 8.3 Cálculo del momento de inercia de la masa
Fig
.
m
j
(T s2/m)
(
(
j
J CM
j
d CM
j
m j d CM
(T s2 m)
(m)
(T s2 m)
)
1
16 ∗ 4.5 ∗ 0.45
= 3.306
9.8
3.306 2
16 + 4.52 = 76.107
12
2
4.5 ∗ 4 ∗ 0.45
= 0.827
9.8
0.827
4.52 + 4.0 2 = 2.498
12
)
(
(6.8 − 8)2 + (3.15 − 2.25)2
= 1.5
7.439
(6.75 − 3.15)2 + (2 − 6.8)2
= 6.0
29.772
78.605
37.211
J CM = 78.60 + 37.21 = 115.81 T s / m
2
Figura 8.6 Determinación del momento de inercia J.
)
2
234
•
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
EJEMPLO 4
Con relación al ejemplo 2, encontrar la variación del factor de amplificación dinámica
por torsión, Ax , para el intervalo comprendido entre 0.5 y 1.5 s. Ax es el factor adimensional
que viene definido por:
⎛ δ
1.0 ≤ Ax = ⎜ max
⎜ 1.2 δ avg
⎝
2
⎞
⎟ ≤ 3 .0
⎟
⎠
Donde δ max es el desplazamiento lateral máximo del piso considerado y δ avg es el
desplazamiento promedio de los pórticos extremos de la estructura.
•
SOLUCIÓN
En la figura 8.7 se aprecia la variación del factor Ax en el intervalo de 0.5 s., a 1.5 s.
Se aprecia que para 0.5 s., el valor de Ax es mayor que 2, que pone en evidencia una vez más
que la estructura tiene problemas de torsión.
Figura 8.7 Variación de Ax para t = 0.5 s y t = 1.5 s .
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
235
8.5 CENTRO DE RIGIDEZ EN RANGO ELÁSTICO
En capítulos anteriores, se estudió que una forma de cuantificar los efectos de torsión
en un edificio es mediante la excentricidad estática, que es la distancia entre el Centro de
Masas CM., y el Centro de Rigidez C.R. Este apartado está dedicado al estudio del C.R., en el
rango elástico, para ello se hace un recuento histórico y se presentan varias formas de cálculo
aproximadas.
Se define el C.R. como el punto en el cual al aplicar las fuerzas sísmicas la
estructura se desplaza y no rota. Solo hay traslación pura.
8.5.1 Propuesta de Lin (1951)
Lin (1951) propuso la definición del C.R., en estructuras de un piso y se puede calcular
en la forma indicada en el capítulo anterior.
Para estructuras de un piso el C.R., siempre existe pero para estructuras de varios
pisos el C.R. no siempre existe, como se verá en el apartado siguiente.
8.5.2 Propuesta de Vásquez y Ridell (1984)
Vásquez y Ridell (1984) básicamente demuestran que el C.R., existe únicamente
en estructuras compensables. Definen las estructuras compensables como aquellas
estructuras que son simétricas o bien las rigideces de sus elementos son proporcionales entre
si. Además el C.R., es colineal en todos los pisos, para las estructuras compensables.
Lo propuesto por Vásquez y Ridell (1984) se va a demostrar de acuerdo a la forma
como lo hicieron Villafañe y Crisafulli (1986). Para ello se parte de la ecuación básica de
estructuras en el rango elástico y ante cargas estáticas.
Q=Kq
( 8.23 )
Ahora, si se considera un modelo numérico de cálculo de tres grados de libertad por
planta (Piso y rígido) y se considera que cada pórtico es un miembro de la estructura (Análisis
seudo espacial) La ecuación ( 8.23 ) para el caso en que se tienen pórticos ortogonales,
queda:
⎡Q X ⎤ ⎡ K XX
⎢Q ⎥ = ⎢ 0
⎢ Y ⎥ ⎢
⎢⎣Qθ ⎥⎦ ⎢⎣ K Xθ
0
K YY
K Yθ
K Xθ ⎤ ⎡ q X ⎤
⎥
K Yθ ⎥ ⎢⎢qY ⎥⎥
K θθ ⎥⎦ ⎢⎣qθ ⎥⎦
( 8.24 )
La solución de este sistema de ecuaciones lineales. Villafañe y Crisafulli (1986) es la
siguiente:
[
qθ = K θθ *
]
−1
Qθ∗
( 8.25 )
236
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
[
q X = [K XX ]−1 ⎧⎨Q X − K Xθ K θθ *
⎩
[
qY = [K YY ]−1 ⎧⎨QY − K Yθ K θθ *
⎩
]
]
−1
−1
Qθ∗ ⎫⎬
⎭
Qθ∗ ⎫⎬
⎭
( 8.26 )
( 8.27 )
Siendo:
K θθ ∗ = K θθ − K Xθ t K XX −1 K Xθ − K Yθ t K YY −1 K Yθ
Qθ∗ = Qθ − K Xθ t K XX −1 Q X − K Yθ t K YY −1 QY
De la definición del C.R. se desprenden las siguientes condiciones:
a) Las rotaciones son nulas en todos los pisos qθ = 0 .
b) Las fuerzas laterales son nulas en todos los pisos ecepto en aquel piso en el cual se
desea obtener el centro de rigidez.
La ecuación ( 8.25 ) puede escribirse como solución de sistema de ecuaciones lineales
de la siguiente manera.
Qθ∗ = K θθ ∗ qθ
De acuerdo a la condición a) qθ = 0 . Luego para que se cumpla esta condición
Qθ∗ = 0 . Que implica lo siguiente:
Qθ∗ = Qθ − K Xθ t K XX −1 Q X − K Yθ t K YY −1 QY = 0
⇒ Qθ = K Xθ t K XX −1 Q X − K Yθ t K YY −1 QY
¾
( 8.28 )
Cálculo de e y en el piso j
De acuerdo a la condición b) para hallar la excentricidad estática e y en el piso j. Solo
en ese piso actúa la fuerza sísmica en el C.M., que se ha denominado F j en la figura 8.8;
como existe la excentricidad estática que se ha llamado e yj se tiene un momento de torsión de
magnitud F j e yj .
Figura 8.8 Cálculo de e y en el piso j.
Luego, para el cálculo de e yj se tiene:
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
QY = 0
QX
⎡0 ⎤
⎢ ⎥
⎢... ⎥
= ⎢F j ⎥
⎢ ⎥
⎢" ⎥
⎢ ⎥
⎣0 ⎦
237
⎡0
⎤
⎢
⎥
⎢"
⎥
Qθ = ⎢ F j e yj ⎥
⎢
⎥
⎢"
⎥
⎢
⎥
⎣0
⎦
Al reemplazar en la ecuación (8.28) se encuentra:
⎡⎛ n
⎢⎜ K Xθ 1i K XX
⎢⎜⎝ i =1
⎤ ⎢
"
⎥ ⎢
⎥ ⎢⎛ n
e yj ⎥ = ⎢⎜ K Xθ ji K XX
⎥ ⎢⎜⎝ i =1
⎥ ⎢
"
⎥ ⎢
⎦ ⎢ n
⎢⎛⎜ K
Xθ ni K XX
⎢⎜
=
1
i
⎝
⎣
∑
⎡0
⎢
⎢"
⎢F j
⎢
⎢"
⎢
⎣0
∑
∑
Donde K Xθ
ji ,
⎤
0⎥
⎥
⎠
⎥
⎥
⎥
−1 ⎞
⎟ Fj ⎥
ij ⎟
⎥
⎠
⎥
⎥
⎥
−1 ⎞
⎟ 0⎥
⎥
ij ⎟
⎠
⎦
−1 ⎞
⎟
ij ⎟
( 8.29 )
K XX ij representan el elemento i-ésimo de la fila j de las matrices K Xθ
y K XX . Si bien se puede hallar la excentricidad e y del piso j con la siguiente ecuación:
⎛ n
e yj = ⎜ K Xθ
⎜
⎝ i =1
∑
ji
K XX
−1 ⎞
⎟
ij ⎟
⎠
( 8.30 )
Las restantes (n-1) ecuaciones de (8.29) no se cumplen, en forma general.
Vásquez y Ridell (1984) demostraron lo indicado en forma analítica a partir de las ecuaciones
de equilibrio dinámico y concluyeron que solo se cumple en estructuras compensadas
(Proportional Structures).
¾
Cálculo de e x en el piso j
Para el cálculo de la excentricidad e X se procede en forma similar, aplicando una
fuerza en sentido Y, en el piso j, como lo ilustra la figura 8.9. Se llega a lo mismo que el C.R.
solo existe en estructuras compensables y que:
⎛ n
e Xj = ⎜ K Yθ
⎜
⎝ i =1
∑
ji
K YY
−1 ⎞
⎟
ij ⎟
⎠
Figura 8.9 Cálculo de e x en el piso j.
( 8.31 )
238
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Estrictamente Vásquez y Ridell (1984) demuestran que el C.R., solo existe en
estructuras compensables en las cuales el C.R. es colineal en todos los pisos, de tal manera
que se cumple:
K Xθ = eY K XX
K Yθ = e X K YY
( 8.32 )
De donde:
eY [1] = K XX −1 K Xθ
e X [1] = K YY −1 K Yθ
( 8.33 )
Siendo [1] la matriz unitaria. Lo demostrado por Vásquez y Ridell (1984) y también por
Cheung y Tso (1986) es una seria limitación para la definición del Centro de Rigidez como una
medida de la excentricidad de una estructura. Es por esto que mucha gente prefiere calcular la
excentricidad estática a partir de la definición del Centro de Resistencia, tema que no se
aborda en el presente capítulo.
8.5.3
Propuesta de Cheung y Tso (1986)
Definen el Centro de Rigidez C.R. en estructuras conformadas por pórticos ortogonales
como el conjunto de puntos localizados en cada piso en los cuales la aplicación de las cargas
laterales no causa rotación en ninguna planta. Por lo tanto, qθ = 0 , para el efecto parten de
las ecuaciones de equilibrio ( 8.24 ) que nuevamente se escriben pero con qθ = 0 .
⎡Q X ⎤ ⎡ K XX
⎢Q ⎥ = ⎢ 0
⎢ Y ⎥ ⎢
⎢⎣Qθ ⎥⎦ ⎢⎣ K Xθ
¾
0
K YY
K Yθ
K X θ ⎤ ⎡q X ⎤
⎥
K Yθ ⎥ ⎢⎢qY ⎥⎥
K θθ ⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦
Cálculo de vector e y
En este caso la excitación sísmica o las fuerzas laterales actúan en sentido X. De tal
manera que Q X ≠ 0 ; QY = 0 ; Qθ = [Q X ] e y . Donde [Q X ] es una matriz diagonal compuesta
por las fuerzas laterales en cada piso; Q X es el vector de fuerzas horizontales actuando en el
Centro de Masa; e y es un vector que contiene las excentricidades estáticas en cada nivel. La
primera ecuación matricial de ( 8.24 ) considerando qθ = 0 resulta:
Q X = K XX q X
−1
⇒ q X = K XX
QX
De la tercera ecuación de ( 8.24 ) se halla:
Qθ = K Xθ q X = [Q X ] e y
⇒ e y = [Q X ]−1 K Xθ q X
Al reemplazar q X en esta última ecuación se halla:
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
−1
e y = [Q X ]−1 K Xθ K XX
QX
¾
239
( 8.34 )
Cálculo de vector e x
Se procede en forma similar pero la acción sísmica actúa en sentido Y, o las fuerzas
que se apliquen actúan en ésta dirección. De tal manera que se tiene: Q X = 0 ; QY ≠ 0 ;
Qθ = [QY ] e x . Al trabajar con las ecuaciones matriciales dos y tres de ( 8.24 ) se halla:
−1
e x = [QY ]−1 K Yθ K YY
QY
Siendo QY el vector de fuerzas, en el C.M., en sentido Y; [QY
las fuerzas en sentido Y.
( 8.35 )
] la matriz diagonal de
Para aplicar las ecuaciones ( 8.34 ) y ( 8.35 ) primero se debe realizar el análisis
sísmico en sentido X o en sentido Y, para hallar Q X ; [Q X ]; QY ; [QY ] . Si se aplican fuerzas
laterales en el C.M. se obtiene en forma directa estos vectores o matrices.
Con la propuesta de Cheung y Tso (1986) el Centro de Rigidez depende de la
excitación sísmica.
Existen otros modelos para el cálculo del C.R., uno de ellos es el de Humar (1984)
quien define el C.R., en cualquier piso, como el punto en el piso en el cual al aplicar la carga
lateral ese piso no rota pero los demás pisos pueden rotar.
8.6 CENTRO DE GIRO
Como se aprecia en el apartado anterior, el Centro de Rigidez solo existe en cierto tipo
de estructuras, lo que limita su uso, razón por la cual se ha propuesto el Centro de Giro, que
siempre existe para esto se define el Centro de Giro como aquel punto de una planta que
no experimenta desplazamiento alguno ante una acción sísmica determinada.
En esta definición, el Centro de Giro C.G. depende de la acción sísmica, o de las
fuerzas aplicadas o de los momentos de torsión aplicados. Una propuesta es que se apliquen
fuerzas laterales unitarias en cada uno de los pisos y se hallen los desplazamientos y giros
q X , qY , qθ mediante la ecuación ( 8.24 ) y luego se halle el Centro de Giro teniendo en
cuenta la definición dada.
Sean e X , eY las excentricidades del C.G., con respecto al C.M. Para el cálculo de la
eY se considera que solo existen fuerzas laterales en sentido X, aplicadas en el C.M., las
mismas que han generado los desplazamientos y giros q X , qY , qθ . En la figura 8.10 se indica
la fuerza aplicada en el piso j.
240
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Figura 8.10 Cálculo del Centro de Giro
Se debe formular una ecuación para hallar el desplazamiento horizontal en el punto
C.G., e igualar a cero ya que esta es la definición de C.G. En capítulos anteriores se había
definido con la p los desplazamientos laterales de un pórtico cualquiera. Ahora se usará para
determinar los desplazamientos de C.G.
p= Aq
⎡ p1 ⎤ ⎡cos α
⎢ ⎥ ⎢
"
⎢" ⎥ ⎢
⎢p ⎥ = ⎢
cos α
⎢ j⎥ ⎢
⎢" ⎥ ⎢
"
⎢ ⎥ ⎢
cos α
⎣ pn ⎦ ⎣
senα
⎤
⎥
"
⎥
⎥
rj
⎥
⎥
"
⎥
rn ⎦
r1
"
senα
"
senα
⎡q X ⎤
⎢q ⎥
⎢ Y ⎥
⎢⎣qθ ⎥⎦
( 8.36 )
Donde p j es el desplazamiento lateral del C.G.; α es el ángulo que forma el punto
C.G. con el eje de las X. Como se está analizando en sentido X, el valor de α = 0 ; r j es la
distancia del C.G. al C.M., tiene signo, para la figura es negativo. Luego r j = −e yj .
Desarrollando ( 8.36 ) para el piso j y considerando α = 0 se tiene
p j = q xj − e yj qθj
( 8.37 )
Pero por la definición de C.G. p j = 0 . Luego de ( 8.37 ) se halla:
e yj =
q xj
qθj
( 8.38 )
Donde q xj es el desplazamiento horizontal en sentido X, del C.M., en el piso j. qθj es
el giro medido en el C.M. en el piso j.
Para hallar la excentricidad de C.G. e xj se procede en forma similar pero con las
fuerzas aplicadas en sentido Y. Llegando a tener la siguiente expresión:
e xj = −
q yj
qθj
( 8.39 )
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
241
De tal manera que el Centro de Giro, siempre existe ya que se divide el
desplazamiento horizontal de cada piso para el giro de piso, empleando ( 8.38 ) y ( 8.39 ). Se
destaca una vez más que depende de la excitación aplicada.
8.7 CENTRO DE CORTE
Se define el Centro de Corte C.C. como el punto de aplicación de la resultante de
las fuerzas laterales resistidas por cada elemento, o por cada pórtico. En este apartado se
presenta el cálculo del C.C. de las siguientes formas:
¾
Rigidez “t”
¾
Rigidez de piso.
¾
Fórmulas de Wilbur.
¾
Fórmulas de Rosenblueth y Esteva
El Centro de Corte en cada planta se halla por equilibrio de fuerzas y de momentos.
8.7.1
Rigidez “t”
Se define la rigidez “t” en un elemento como la fuerza necesaria que se debe aplicar
para tener un desplazamiento horizontal unitario.
t=
12 EI
h3
( 8.40 )
Donde EI es la rigidez a flexión y h es la longitud o altura del elemento.
El cálculo del C.C. se realiza en dos etapas, en una primera se obtienen las rigideces t
en sentido X, y se halla por equilibrio de fuerzas y momentos el valor de Yc , de acuerdo a la
nomenclatura indicada en la figura 8.11. De la sumatoria de fuerzas en sentido X, se halla
∑t
aplicado en el C.C. y de la sumatoria de momentos con respecto a la intersección de los ejes A
y 3, se halla Yc que es la distancia desde este origen de coordenadas al Centro de Corte.
En una segunda etapa, se hallan las rigideces t en sentido Y, y se procede en forma
similar encontrando X c que es la coordenada en X del C.C. medido a partir de A-3.
En lugar de trabajar con la rigidez t se puede trabajar con las fuerzas horizontales que
actúan en cada elemento. Fuerzas debido a una acción sísmica dada o a unas fuerzas dadas
que actúan en el C.M. Al trabajar con rigideces se encuentra el C.C. independiente de las
fuerzas aplicadas.
242
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Figura 8.11 Esquema de cálculo del C.C. mediante la rigidez t.
8.7.2
Rigidez de piso
Se define la rigidez de piso K p como la relación entre el cortante de piso con respecto
al desplazamiento relativo de piso. Con esta definición K p depende de la excitación sísmica o
de las fuerzas actuantes.
Se procede en forma similar, al cálculo mediante la rigidez t . Con la diferencia de que
ahora se tiene la rigidez de piso en cada pórtico en lugar de la rigidez t en cada elemento.
Por lo tanto, para hallar las coordenadas del C.C. se debe hacer equilibrio de fuerzas y
equilibrio de momentos, en cada una de las direcciones de análisis.
8.7.3
Fórmulas de Wilbur
El formulario que a continuación se presenta es valido para pórticos planos con
elementos de sección constante y se basa en las siguientes hipótesis:
i.
Los giros en todos los nudos de un piso y de los dos pisos adyacentes son iguales, a
excepción de la planta baja en donde puede suponerse empotramiento o articulación
en los apoyos.
ii.
Las fuerzas de corte en los dos entrepisos adyacentes al que interesa son iguales a la
de éste. Bazan y Meli (1983).
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
243
Figura 8.12 Esquema de cálculo del C.C. mediante la rigidez de piso
Con estas acotaciones las fórmulas de Wilbur (1948), son las siguientes:
•
Para el primer piso con columnas empotradas en la base
K1 =
•
48 E
⎡
⎤
⎢ 4h1
⎥
h1 + h2
+
h1 ⎢
⎥
⎢ ∑ Kc1 ∑ kt + ∑ Kc1 ⎥
1
⎢⎣
12 ⎥⎦
Para el primer piso con columnas articuladas en la base
K1 =
•
( 8.41 )
24 E
⎡ 8h1
2 h + h2 ⎤
h1 ⎢
+ 1
⎥
∑ Kt1 ⎦
⎣ ∑ Kc1
( 8.42 )
Para el segundo piso con columnas empotradas en la base
K2 =
48 E
⎤
⎡
⎢ 4 h2
h2 + h3 ⎥
h1 + h2
h2 ⎢
+
+
⎥
∑ Kt 2 ⎥
⎢ ∑ Kc 2 ∑ kt + ∑ Kc1
1
12
⎦⎥
⎣⎢
( 8.43 )
244
•
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Para el segundo piso con columnas articuladas en la base
K2 =
•
48 E
⎡ 4 h2
2h + h2 h2 + h3 ⎤
h2 ⎢
+ 1
+
⎥
∑ Kt1
∑ kt 2 ⎦
⎣ ∑ Kc 2
( 8.44 )
Para entrepisos intermedios
Kn =
48 E
⎡ 4 hn
h + hn hn + h0 ⎤
hn ⎢
+ m
+
⎥
∑ Kt m
∑ Kt n ⎦
⎣ ∑ Kc n
( 8.45 )
Donde K n es la rigidez del entrepiso n ; Kt n es la rigidez (I / L ) de las vigas del nivel
n ; Kc n es la rigidez (I / L ) de las columnas del nivel n ¸ hn es la altura del nivel n ; m, n,0 ,
índices que identifican tres pisos consecutivos desde abajo hacia arriba.
•
Para el último piso
Se emplea la ecuación (8.45) con hm = 2 hm y h0 = 0 . Esto implica suponer que el
cortante del penúltimo piso es el doble del cortante del último piso.
8.7.4
Fórmulas de Rosenblueth y Esteva
Las fórmulas que se indican a continuación son adecuadas para edificios conformados
por vigas y columnas, sin muros de corte. Rosenblueth y Esteva (1962).
•
Para el primer piso con columnas empotradas en la base
K1 =
•
24 E
⎤
⎡
⎥
⎢
2
1
+
h2 ⎢
⎥
⎢ ∑ Kc1 ∑ kt + ∑ Kc1 ⎥
1
⎢⎣
12 ⎥⎦
( 8.46 )
Para entrepisos intermedios
Kn =
24 E
2⎡
2
1
1 ⎤
h ⎢
+
+
⎥
⎣ ∑ Kc n ∑ Kt m ∑ Kt n ⎦
( 8.47 )
El significado de las variables es el indicado en el apartado anterior. Ya que estas
ecuaciones son un caso particular de las de Wilbur, únicamente consideran que la altura de
todos los entrepisos es igual y vale h .
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
245
REFERENCIAS
1. Bazan E., y Meli R., (1983) Manual de diseño sísmico de edificios, de acuerdo con el
reglamento de construcciones para el Distrito Federal, Instituto de Ingeniería.
Universidad Autónoma de México, 238 p., más figuras.
2. Cheung W., and Tso W., (1986), “Eccentricity in irregular multistory buildings”,
Canadian Journal of Civil Engineering, 13, 46-52.
3. Humar J., (1984), “Design for seismic torsional forces”,
Engineering, 11 (2), 150-163.
Canadian Journal of Civil
4. López F., Rodellar J., y Barbat A., (1988), Procedimientos de espacio de estado en
dinámica de estructuras. Universidad Politécnica de Cataluña, Monografía ES 017
1987, Barcelona.
5. Rosenblueth E., y Esteva L., (1962), Diseño sísmico de edificios, Folleto
complementario al Reglamento de Construcciones del Distrito Federal, México.
6. Vásquez J., and Riddell R., (1984), “Existence of centers of resistance and torsional
uncoupling of earthquake response of buildings”, Proc., of the 8th World. Conf. in
Earthquake Engrg., Prentice Hall, Inc, IV, 187-194, Englewood Cliffs.
7. Villafañe E., y Crisafulli F., (1986), “Sobre la introducción de las normas antisísmicas
para el análisis de la torsión en modelos tridimensionales de edificios”, VI Jornadas
Argentinas de Ingeniería Estructural, 14 p., Buenos Aires.
8. Wilbur J., y Norris C., (1948), Elementary Structural Analysis, Mc Graw-Hill Book Co,
Inc. New York.
9. Wilson E., and Penzien J., (1972), “Evaluation of orthogonal damping matrices”,
International Journal for Numerical Methods in Engineering, 4, 5-10.
CAPÍTULO 9
AISLADORES DE BASE ELASTO MÉRICOS
RESUMEN
Este capítulo se considera un inicio para aquel lector que desea incursionar en el
análisis sísmico de estructuras con aisladores de base. Por este motivo se presenta como
funcionan las estructuras con aislación sísmica y se indican algunos detalles constructivos.
Posteriormente se presentan tres modelos para el análisis sísmico espacial de
estructuras con aisladores de base sin núcleo de plomo. Estos son el Modelo Cuasi-Estático, el
Modelo con Corrección de Masa y el Modelo Dinámico Exacto. Para este último modelo se
propone una metodología de solución del sistema de ecuaciones diferenciales acopladas.
Para facilitar el análisis se presentan los programas: CUASIESTATICOAISLAMIENTO
y MASACORREGIDAAISLAMIENTO, que hallan la respuesta en el tiempo con los dos
primeros métodos. Se destaca que para utilizar estos programas debe estar en la partición
work de MATLAB el programa PSE3, que fue indicado en el capítulo anterior. Se indica la
forma de uso de éstos programas mediante el desarrollo de ejemplos.
Posteriormente se compara la respuesta en el tiempo de los desplazamientos en un
edificio de tres pisos, con estos tres modelos; tanto a nivel del sistema de base de los
aisladores como a nivel del desplazamiento lateral en el último piso.
9.1 INTRODUCCIÓN
Los aisladores de base, son una excelente opción para el diseño sísmico de
estructuras. Lastimosamente en el Ecuador, al 2007 todavía no existe una sola estructura con
aisladores de base. Recién en el 2008, el Cuerpo de Ingenieros del Ejército está construyendo
el puente que une las ciudades de Bahía de Caráquez con San Vicente con aisladores de base
los mismos que están ubicados bajo el tablero del puente, que dicho sea de paso tiene
aproximadamente dos kilómetros de longitud.
248
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Este capítulo, es un punto de partida para quien se inicia en esta temática de los
aisladores de base y que mejor empezar con los más sencillos de analizarlos como son los
aisladores elastoméricos.
Los aisladores elastoméricos, que se están estudiando, están compuestos por una
serie de láminas de goma intercaladas con láminas de acero a manera de un sandwich, como
se aprecia en la figura 9.1. En la parte superior e inferior del aislador se colocan placas de
anclaje las mismas que van conectadas a la superestructura (la superior) y a la cimentación (la
inferior) por medio de pernos de anclaje.
Figura 9.1 Detalle de un aislador elastomérico.
Durante su construcción, las láminas de goma se intercalan con las láminas de acero,
dentro de un molde de acero que tiene la forma final del aislador y luego se le aplica presión a
una temperatura muy alta, alrededor a los 140 oC, por un tiempo que varía entre 4 y 8 horas,
para que la goma se vulcanice y adquiera el conjunto su propiedad elástica, que le permita ser
muy flexible horizontalmente debido a la goma y muy rígido verticalmente por la presencia de
las láminas de acero, que impiden la deformación lateral de la goma.
Figura 9.2 Edificio San Agustín de la Escuela de Ingeniería de la U. Católica de Chile.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
249
En la figura 9.1 se ha presentado un aislador con un orificio cilíndrico en la parte
central. Ahora bien, no es necesario dejar este orificio se lo puede fabricar todo lleno. Si se deja
el orificio se tiene la posibilidad de colocar un núcleo de plomo para darle mayor eficiencia al
aislador. De igual manera no es necesario que el aislador sea circular puede ser rectangular sin
ningún orificio.
En la figura 9.2 se observa la fachada principal del Edificio San Agustín, de la Escuela
de Ingeniería de la Pontificia Universidad Católica de Santiago de Chile, que está construido
sobre aisladores de base elastoméricos. En la figura 9.3 se muestra uno de los aisladores
utilizados en la estructura se nota la cimentación sobre la cual se asienta el aislador y en la
parte superior se aprecia una losa sobre vigas. Es fundamental la presencia de esta losa sobre
el aislador para que toda la estructura se mueva en forma uniforme.
Figura 9.3 Detalles de la unión entre la cimentación y la estructura mediante un aislador.
En el Edificio San Agustín los aisladores se hallan en un entrepiso de 2 m., de alto,
aproximadamente, esto garantiza un buen mantenimiento de los aisladores ya que están
protegidos.
En la figura 9.4 se aprecia el comportamiento de un aislador, en el laboratorio ante
fuerzas laterales. Nótese el gran desplazamiento lateral del aislador y es así como se va a
comportar una estructura con aisladores de base, durante un sismo. El aislador es el que
experimenta grandes desplazamientos y la estructura se va a mover muy poco. El aislador es
el que experimenta grandes deformaciones y la estructura muy poco. Es muy probable que
después de un sismo el aislador sufrió tanto daño que se requiere cambiarlo, para el efecto en
la construcción se debe tener en cuenta los lugares donde se van a colocar los gatos
hidráulicos para levantar el edificio y proceder a cambiar el aislador.
En la figura 9.4 se nota que el aislador trabaja al corte y que se ha deformado
lateralmente más del 100% de la altura del aislador. Esto es lo bueno de los edificios con
aislación sísmica son los aisladores los que disipan la mayor cantidad de energía y la
superestructura permanece en el rango elástico.
250
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Figura 9.4 Ensayo en laboratorio de un aislador elastomérico.
La construcción del edificio debe ser realizada de acuerdo a la forma como va a
trabajar la estructura con los aisladores de base. Si se espera que la losa de la planta baja va a
tener grandes desplazamientos laterales, se debe en primer lugar permitir que la losa se
desplace lateralmente como se aprecia en la figura 9.5, que corresponde al Edificios San
Agustín, donde la losa sobresale del nivel del terreno y se ha dejado una junta de construcción
adecuada, para la circulación peatonal. En fin hay una serie de detalles que se deben tener en
cuenta durante la construcción de un edificio sobre aisladores de base.
Figura 9.5 Detalles constructivos en un edificio con aisladores de base.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
251
9.2 FUNDAMENTO GENERAL
Se tiene mejor respuesta sísmica en las estructuras con aisladores de base, por las
siguientes razones:
1) Se flexibiliza notablemente a la estructura con los aisladores de base. Si una estructura sin
aisladores de base tiene un período de vibración T al colocarle los aisladores tendrá un
período Ta >> T . El proyectista estructural determina las dimensiones de los aisladores
para que la estructura tenga el período Ta , llamado también período objetivo.
En la figura 9.6 se presentan los espectros de respuesta elásticos de los sismos de: México
1985, Chile 1985 y El Centro 1940. También se ha colocado los períodos fundamentales de
tres estructuras de tres, seis y nueve pisos, sin aisladores de base, construidos con base
empotrada. Ahora bien, si se considera como período objetivo Ta = 2 s. , y para este
período se diseñan los aisladores, las tres estructuras ante los sismos de El Centro y de
Chile tendrán menores respuestas sísmicas ya que las ordenadas espectrales son más
bajas.
En cambio para el sismo de México es preferible no colocar aisladores en la base ya que
se van a incrementar la respuesta sísmica. Esto debe llamar la atención ya que no siempre
son beneficiosas las estructuras con aislación sísmica. Es fundamental conocer las formas
de los espectros para tomar decisiones.
Figura 9.6 Espectros de respuesta elásticos de los sismos de México 1985, Chile 1985 y Centro 1940.
2) Con los aisladores de base se proporciona mayor amortiguamiento a la estructura.
Consecuentemente las ordenadas espectrales van a ser menores y por ende la respuesta
de la estructura es menor.
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
252
9.3 MARCO TEÓRICO
En la figura 9.7, se indica el modelo numérico de cálculo, que considera tres grados de
libertad por planta, medidos en el Centro de Masa C.M., de cada planta, estos son dos
desplazamientos horizontales y una rotación de piso con respecto a un eje perpendicular a la
losa. Es importante notar que los grados de libertad se agrupan en dos vectores que son: q ,
para los grados de libertad del sistema de aislamiento y u para los grados de libertad de la
superestructura.
Figura 9.7 Modelo de tres grados de libertad por planta
⎡q ( x ) ⎤
⎢
⎥
q = ⎢q ( y ) ⎥
⎢q (θ ) ⎥
⎣
⎦
Donde q
en sentido X; q
⎡u ( x ) ⎤
⎢
⎥
u = ⎢u ( y ) ⎥
⎢u (θ ) ⎥
⎣
⎦
( x)
( y)
u ( x)
⎡u1( x ) ⎤
⎢ ( x) ⎥
u
= ⎢⎢ 2 ⎥⎥
"
⎢
⎥
⎢⎣u n( x ) ⎥⎦
u ( y)
⎡u1( y ) ⎤
⎢ ( y) ⎥
u
= ⎢⎢ 2 ⎥⎥
"
⎢
⎥
⎢⎣u n( y ) ⎥⎦
u (θ )
⎡u1(θ ) ⎤
⎢ (θ ) ⎥
u
= ⎢⎢ 2 ⎥⎥
"
⎢
⎥
⎢⎣u n(θ ) ⎥⎦
es la componente de desplazamiento horizontal del sistema de aislamiento
es similar a q
( x)
pero en sentido Y; q
( x)
( y)
(θ )
(θ )
es la rotación de piso con respecto
a un plano perpendicular a la losa. u , u , u , son vectores que contienen a los
desplazamientos horizontales en sentido X de cada uno de los pisos de la superestructura;
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
253
desplazamientos horizontales en sentido Y; rotaciones con respecto a un eje perpendicular a la
losa, respectivamente.
El sistema de ecuaciones diferenciales, está definido por las siguientes ecuaciones,
para el sistema de aislamiento y la superestructura, respectivamente.
t
g − r ( s ) M ( s ) u
M ( t ) q + C ( b ) q + K ( b ) q = − M ( t ) r ( b ) u
[
+ C ( s ) u + K ( s ) u = − M ( s ) r ( s ) q + r ( b ) u
g
M (s) u
Donde M
C
(b )
(t )
( 9.1 )
]
( 9.2 )
es la matriz de masa total de la estructura completa como cuerpo rígido;
es la matriz de amortiguamiento del sistema de aislamiento; K
del sistema de aislamiento; r
(b )
(b )
es la matriz de rigidez
g en los grados de libertad de
es un vector de colocación de u
g es la aceleración del suelo, definida por su acelerograma; M
la base; u
( s)
, C
(s)
K ( s) ,
y
(s)
son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez de la superestructura; r
es la matriz de
g en los grados de libertad de la estructura; u es la aceleración en la
colocación de u
superestructura.
Al despejar de la ecuación (9.1), el vector de aceleraciones del sistema de aislamiento
q , se tiene:
g − M ( t )
q = −r ( b ) u
−1
[C
(b)
]
t
q + K ( b ) q + r ( s ) M ( s ) u
en ecuación (9.2) se encuentra, luego de simplificar
Al sustituir q
g , el siguiente
r (b) u
sistema de ecuaciones diferenciales.
+ C ( s ) u + K ( s ) u = M ( s ) r ( s ) M ( t )
M ( s) u
−1
(C
(b)
)
t
( 9.3 )
q + K ( b ) q + r ( s ) M ( s ) u
Kulkarni y Jangrid (2002) analizan e interpretan la interacción entre el sistema de
aislamiento y la superestructura y concluyen que la flexibilidad de la estructura no influye
mayormente en la respuesta del sistema de aislamiento especialmente cuando el período de
vibración de la superestructura con base empotrada es menor a 1.0 s.; en este caso, se puede
ignorar el término r
se considera
( s) t
de la ecuación ( 9.1). Nótese que únicamente en ésta ecuación
M (s) u
= 0 . En efecto al desarrollar la ecuación (9.3) se tiene:
u
+ C ( s ) u + K ( s ) u = M ( s ) r ( s ) M ( t )
M (s) u
−1
−1
(C
(b)
)
−1
t
− M ( s ) r ( s ) M ( t ) r ( s ) M ( s ) u
+ C ( s ) u + K ( s ) u = M ( s ) r ( s ) M ( t )
M (s) u
⎛⎜ M ( s ) − M ( s ) r ( s ) M
⎝
( t ) −1 ( s ) t
r
t
q + K ( b ) q + M ( s ) r ( s ) M ( t ) r ( s ) M ( s ) u
+ C ( s ) u + K ( s ) u = M ( s ) r ( s ) M
M ( s ) ⎞⎟ u
⎠
~ ( s)
Se denomina Matriz de Masa corregida M
−1
( t ) −1
(C
(C
)
q)
(b)
q + K ( b ) q
(b)
q + K ( b )
, a:
t
−1
~
M ( s) = M (s) − M ( s) r ( s) M (t ) r ( s) M ( s)
( 9.4 )
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
254
Luego, el sistema de ecuaciones diferenciales para la superestructura, queda:
~
+ C ( s ) u + K ( s ) u = M ( s ) r ( s ) a~ (q, q )
M (s) u
−1
a~ (q, q ) = M ( t ) C ( b ) q + K ( b ) q
(
)
( 9.5 )
( 9.6 )
~ (q, q ) es el vector de aceleración de la superestructura.
Donde a
9.4 MÉTODO CUASI-ESTÁTICO
En el Método Cuasi-Estático, De la Llera et al (2005), la respuesta de sistema de
aislamiento se obtiene en forma dinámica con la ecuación (9.7) en que no se toma en cuenta
. Se recomienda utilizar el Procedimiento de Espacio
la aceleración de la superestructura u
de Estado, PEE, para encontrar la respuesta q y q .
g
M ( t ) q + C ( b ) q + K ( b ) q = − M ( t ) r ( b ) u
( 9.7 )
Por otra parte, la respuesta de la superestructura se halla en forma estática mediante
las ecuaciones (9.8) y (9.9)
K ( s ) u = F ( s ) (q, q )
( 9.8 )
F ( s ) (q, q ) = M ( s ) r ( s ) a~ (q, q )
( 9.9 )
La ecuación (9.8) es la ecuación básica de equilibrio de estructuras estáticas pero aquí
se debe calcular en cada incremento de tiempo, F (q, q ) que son las fuerzas que actúan en
la superestructura en cada piso y en cada instante de tiempo de duración del sismo.
(s)
En estos métodos se considera que la masa de la superestructura está rígidamente
vinculada al aislamiento, por este motivo se calcula M
superestructura más la masa del aislamiento.
(b )
como la suma de la masa de la
9.4.1 Procedimiento de análisis
El procedimiento de análisis sísmico empleando el Método Cuasi-Estático, se resume
en los siguientes pasos:
1. Se encuentra la respuesta en el tiempo del sistema de aisladores q , resolviendo el
sistema de ecuaciones diferenciales descrito en ( 9.1 ), que se repite a continuación.
g
M ( t ) q + C ( b ) q + K ( b ) q = − M ( t ) r ( b ) u
2. Se halla el vector de aceleración total de la estructura completa como cuerpo rígido
a~(q, q )
(
−1
a~ (q, q ) = M ( t ) C ( b ) q + K ( b ) q
)
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
3. Se encuentran las fuerzas laterales en cada piso F
255
(s)
F ( s ) = M ( s ) r ( s ) a~ (q, q )
( s)
es la matriz de masa de la superestructura; r
Donde M
g en los grados de libertad de la estructura.
colocación de u
(s)
es la matriz de
4. Se obtienen los desplazamientos laterales y giros en el centro de masas de cada piso,
resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones lineales.
K (s) u = F (s)
Siendo K
( s)
la matriz de rigidez de la superestructura.
5. Se hallan los desplazamientos laterales en cada pórtico p
( j)
.
p ( j) = A( j) u
Donde A
( j)
laterales p
( j)
es la matriz de compatibilidad de deformaciones entre las coordenadas
y las coordenadas del centro de masa
Las matrices A
A
α
( j)
( 9.10 )
( j)
, K
( s)
, M
( s)
u . La j representa el pórtico j.
, para la superestructura son las siguientes.
Senα
r1
⎡Cosα
⎢
......
.......
=⎢
⎢⎣
Cosα
Senα
⎤
...... ⎥⎥
rn ⎥⎦
( 9.11 )
j con el eje de las X.
r1 es la distancia del centro de masas al pórtico j en el primer piso, rn es similar a r1 pero en
Donde
es el ángulo que forma la dirección positiva del pórtico
( j)
el último piso. La matriz A
tiene NP filas y 3 por
pórticos de la estructura. Para el ejemplo se tiene:
NP
K (s) = ∑ A( j)
j =1
( j)
t
NP columnas. Siendo NP el número de
K L( j )
A( j)
Siendo K L la matriz de rigidez lateral del pórtico
de la siguiente manera.
( 9.12 )
j . También se puede obtener K ( s )
256
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
K (s)
⎡ NP
2
( j)
⎢∑ Cosα K L
⎢ j =1
⎢ NP
= ⎢∑ Senα Cosα K L( j )
⎢ j =1
⎢ NP
⎢∑ Cosα K L( j ) r ( j )
⎢⎣ i =1
r
( j)
( j)
⎤
r ( j) ⎥
j =1
⎥
NP
⎥
( j)
( j)
Sen
α
K
r
⎥
∑
L
j =1
⎥
NP
⎥
( j)
( j) 2
⎥
K
r
∑
L
⎥⎦
i =1
NP
∑ Senα Cosα K
j =1
NP
∑ Cosα K
( j)
L
NP
∑ Senα
2
j =1
K L( j )
( )
NP
∑ Senα K
i =1
⎡r1
⎢
⎢
=⎢
⎢
⎢
⎢⎣
( j)
L
r ( j)
"
ri
"
( j)
L
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
rn ⎥⎦
( 9.13)
NP por NP conformada por las distancias
( s)
desde el centro de masa al pórtico, con su respectivo signo. La matriz de masa M
es:
Siendo r
una matriz diagonal de orden
M ( s)
m (s)
J (s)
⎡m ( s )
⎢
=⎢
⎢
⎣
⎡m1
⎢
⎢
⎢
=⎢
⎢
⎢
⎢
⎣⎢
⎡ J1
⎢
⎢
⎢
=⎢
⎢
⎢
⎢
⎣⎢
⎤
⎥
⎥
(s) ⎥
J ⎦
m ( s)
m2
"
mi
"
J2
Ji =
"
Ji
"
(
mi 2
ai + bi2
12
( 9.14 )
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
m n ⎦⎥
( 9.15 )
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
J n ⎦⎥
( 9.16 )
)
( 9.17 )
Donde m i es la masa del piso i; J i es el momento de inercia de la masa con respecto
al C.M.; a i , bi son las dimensiones en planta de la losa del piso i.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
•
257
EJEMPLO 1
Realizar el análisis sísmico de la estructura de un piso indicada en la figura 9.8, ante el
sismo de El Centro de 1940, cuyo acelerograma se muestra en la figura 9.9. Todas las
columnas son iguales y son de 30/30 cm., las vigas también son iguales y son de 20/30 cm.
Las luces de la estructura son de 5.0 m., y la altura del entrepiso es de 3.0 m.
La carga muerta es D = 500 Kg / m . La carga viva L = 200 Kg / m . El centro de
masas C.M. es colineal entre la losa superior al aislamiento de base y la losa del primer piso.
2
2
Figura 9.8 Estructura de análisis de ejemplo 1.
La rigidez de cada aislador es de
k b = 20 T / m. La masa del aislador más la
cimentación más la masa de la losa bajo la cual están los aisladores, es mb = 0.10 T s / m .
2
El amortiguamiento del aislador
ξ b = 0.10 . Presentar en un gráfico la respuesta en el tiempo
para el movimiento horizontal de la base q ( x ) y para el desplazamiento horizontal del primer
( x)
piso u1 .
•
SOLUCIÓN
Al utilizar el programa RLAXINFI, con un módulo de elasticidad del hormigón
E = 1738965.21 T / m 2 . Se halla que la matriz de rigidez lateral de los
pórticos con inercias gruesas. Esta vale: K L = 554.5 T / m . Al ser todos los pórticos iguales,
considerado es
esta es la matriz de rigidez lateral de cada uno de ellos.
258
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Figura 9.9 Acelerograma del sismo de El Centro de 1940.
El peso D del primer piso vale D = 0.5 * 25 = 12.5 T . La estructura en estudio es una
vivienda, se tomará el 25% de la carga viva para el análisis sísmico. Luego
L = 0.25 * 0.2 * 25 = 1.25 T .
La masa que llega a cada aislador proveniente de la superestructura es el peso total
debido a carga muerta más porcentaje de carga viva dividida para la aceleración de la
2
gravedad y dividida para 4 aisladores. mi = (12.5 + 1.25 ) / 9.8 / 4 = 0.35 T s / m . A esta
masa se debe añadir la masa de los aisladores más la cimentación que se considera igual a
0.10 T s 2 / m .
Figura 9.10 Identificación de los pórticos.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
259
La distancia del centro de masas C.M. a cada uno de los pórticos es de 2.5 m., pero
( s)
(b)
y K . Para explicar los signos en la
tienen signo, para hallar las matrices de rigidez K
figura 9.10 se han identificado los pórticos y se ha definido la orientación positiva ya que la
distancia será positiva si la orientación positiva del pórtico rota con relación al C.M. en forma
antihorario.
En la tabla 9.1 se indican los valores del vector r de cada uno de los pórticos y los
valores del ángulo α , que se mide a partir del eje X hasta la orientación positiva del pórtico.
Con estos valores se forma la matriz de compatibilidad A , ecuación ( 9.11 ). Estas son:
Tabla 9.1 Valores r y α de los pórticos para hallar la matriz de compatibilidad A.
Pórtico
Distancia del C.M. al pórtico. r
Ángulo α
-2.5 m.
0
1
2.5 m.
0
2
-2.5 m.
90
A
2.5 m.
90
B
A (1) = [1
− 2.5]
0
A ( 2 ) = [1
2.5]
0
A ( A) = [0
− 2.5]
1
A ( B ) = [0
2.5]
1
La matriz de rigidez de la superestructura
(9.12) o con la ecuación (9.13) es:
K
(s )
⎡1109
= ⎢⎢ 0
⎢⎣ 0
K ( s ) que se encuentra con la ecuación
0
1109
0
⎤
⎥
⎥
13863 ⎥⎦
0
0
K ( s ) al
( s)
igual que todas las matrices que intervienen en el análisis sísmico. La matriz de masa M
El programa CUASIESTATICOAISLAMIENTO calcula esta matriz de rigidez
para el ejemplo., es:
M
( s)
⎡1.4031
= ⎢⎢ 0
⎢⎣ 0
0
1.4031
0
0
0
5.8461
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
Las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez del sistema de aislamiento de base,
para este ejemplo, son diagonales y valen.
M
(t )
⎡1.80
⎤
⎡2.4
⎢
⎥
⎢
(b )
=⎢
1.80
⎥ C =⎢
⎢⎣
⎢⎣
22.5⎥⎦
22.5 = 0.45 ∗ (2.5 2 + 2.5 2 ) ∗ 4
[
]
⎤
⎡80
⎥
⎢
(b)
2.4
80
⎥ K =⎢
⎢⎣
30.0⎥⎦
1000 = 20 ∗ (2.5 2 + 2.5 2 ) ∗ 4
[
]
⎤
⎥
⎥
1000⎥⎦
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
260
Al utilizar el programa CUASIESTÁTICOAISLAMIENTO se halla la respuesta en el
tiempo solicitada. Esta se presenta en la figura 9.11. Es importante notar como el sistema de
aislamiento experimenta grandes desplazamientos laterales, alcanzando los 8 cm., para los
primeros instantes de tiempo. En cambio la estructura prácticamente no se desplaza
lateralmente. Esta es la ventaja de construir estructuras con aisladores de base.
Figura 9.11 Desplazamientos del sistema de aislamiento y del primer piso, en el C.M.
9.4.2 Programa CUASIESTÁTICOAISLAMIENTO
El programa CUASIESTATICOAISLAMIENTO tiene una subrutina que se denomina
PSE3. Por lo tanto, antes de usar el programa se debe verificar que en la carpeta Work de
MATLAB se tenga grabado esta subrutina que fue listada en el capítulo anterior.
Los datos de entrada del programa CUASIESTATICOAISLAMIENTO son:
>> [NP]=cuasiesticoaislamiento(NP,Sedabase,Iejes,PesoD,PesoL,KLG,r,Sismo,dt)
•
•
•
•
NP
Sedabase
Iejes
PesoD
•
PesoL
•
KLG
Número de pisos del edificio.
Factor de amortiguamiento de los aisladores de base.
Número de pórticos de la estructura en el sentido de análisis sísmico.
Vector en el que se indica el peso total de cada uno de los pisos, desde
el primer piso al último, debido a carga muerta D.
Vector en el que se indica el peso de cada planta debido al porcentaje de
carga viva L, que se considera en el análisis de acuerdo al uso de la
estructura.
Matriz que contiene las matrices de rigidez lateral de cada uno de los
pórticos de la estructura.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
•
r
•
Sismo
•
dt
261
Vector que contiene la distancia desde el Centro de Masas a cada pórtico,
con signo. Se da un solo dato por pórtico debido a que el programa
CUASIESTATICOAISLAMIENTO contempla que el centro de masas
es colineal.
Archivo que contiene el acelerograma del sismo que se analiza. Este
archivo tiene una sola columna y el número de filas es igual al número de
puntos del sismo. Se recomienda que esté en m/s2.
Incremento de tiempo del acelerograma. La respuesta en el tiempo de la
estructura se la obtiene para este incremento de tiempo.
En el listado del programa que se indica a continuación, el programa dibuja la
respuesta en el tiempo del último piso de la estructura y del sistema de aislamiento de base,
medido en el Centro de Masa.
El programa puede también hallar la respuesta en el tiempo de los pórticos externos en
el sentido de análisis sísmico, halla la respuesta para el último piso y para el primer piso. Si se
desea esta opción se deberá quitar los % en la parte correspondiente, que está cerca del final y
colocar % en las últimas líneas.
function [NP]=cuasiestaticoaislamiento(NP,sedabase,iejes,pesoD,pesoL,KLG,r,sismo,dt)
%
% Analisis sismico en el tiempo, espacial de estructuras con aislamiento de base
% por el Metodo cuasiestatico, considerando 3 gdl por planta.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%
Marzo-2007
%
Version corregida Julio-2007
%---------------------------------------------------------------------------------% [NP]=cuasiestaticoaislamiento(NP,sedabase,iejes,pesoD,pesoL,KLG,r,sismo,dt)
%---------------------------------------------------------------------------------%
% sedabase Factor de amortiguamiento de los aisladores.
% iejes # de ejes de columnas en el sentido de analisis sismico.
% alt Vector que contine las alturas a cada piso medido desde la base.
% pesoD Vector que contiene la carga muerta D de cada piso.
% pesoL Vector que contiene la carga viva L de cada piso.
% KLG Matriz que contiene las matrices de rigidez lateral de todos los
%
porticos con inercias gruesas. Primero los de sentido X.
% r Vector que contiene la distancia del portico al centro de masa, de
%
cada uno de los porticos, con signo, positivo antihorario. Primero
%
se ingresan las distancias a los porticos en sentido X. luego a los
%
porticos en sentido Y.
%
% rs Matriz de colocacion de la aceleracion del suelo en gdl superestructura
% rb Vector de colocacion de la aceleracion del suelo en gdl de la base
% sismo Archivo que contiene el acelerograma
% dt Incremento de tiempo del acelerograma
% ace aceleracion total en la superestructura
% F Fuerza estatica que actua en cada piso de la superestructura
% u Vector de desplazamientos laterales de cada piso de la superestructura
% umax Vector que contiene los maximos desplazamientos del ultimo piso
% utot Matriz que contiene los desplazamientos de superestructura en cada
%
incremento de tiempo. En las filas estan los incrementos de tiempo.
% p Matriz que contiene la respuesta en el tiempo de cada portico.
%
La fila 1 es para el portico 1, la 2 para el 2, etc.
262
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
% A Matriz de paso de coordenadas de piso a coordenadas de portico. Las
%
primeras filas son para el portico 1 las siguientes para el 2, etc.
% NP Numero de pisos
%
% KS Matriz de rigidez de superestructura en coordenadas de piso.
% MS Matriz de masa de superestructura en coordenadas de piso.
% KB Matriz de rigidez del sistema de aislamiento.
% MB Matriz de masas del sistema de aislamiento.
% CB Matriz de amortiguamiento del sistema de aislamiento.
% qt Matriz que contiene desplazamientos de la base para todos los gdl.
% vt Matriz que contiene velocidades de la base para todos los gdl.
% q Vector que contiene solo historia de desplazamientos de la base.
%
ntot=input ('\n Numero total de porticos de la estructura :');
fprintf ('\n Codigos para analisis sismico: Sentido X=1 Sentido Y=2');
isismo=input ('\n Ingrese codigo de sentido de analisis sismico :');
rs=zeros(3*NP,3);rb=[0;0;0];
if isismo==1;nx=iejes; ny=ntot-nx;rb(1)=1; var=2;for j=1:NP; rs(j,1)=1; end;
else;ny=iejes; nx=ntot-ny;rb(2)=1;var=1;for j=1:NP; rs(j+NP,2)=1; end; end;
%Submatrices de rigidez: KEE, con inercias gruesas
Kxx=zeros(NP,NP);Kyy=zeros(NP,NP);Kteta=zeros(NP,NP);cero=zeros(NP,NP);
Kxt=zeros(NP,NP);Kyt=zeros(NP,NP);for k=1:NP;identidad(k,k)=1;end;
for i=1:ntot
for k=1:NP
rtet(k,k)=r(i);
end
rteta=rtet*rtet;
ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;
if i<=nx
Kxx=Kxx+KLG(ji:jf,1:NP);Kxt=Kxt+KLG(ji:jf,1:NP)*rtet;
Kteta=Kteta+KLG(ji:jf,1:NP)*rteta;
A(ji:ji+NP-1,:)=[identidad cero rtet];
else
Kyy=Kyy+KLG(ji:jf,1:NP);Kyt=Kyt+KLG(ji:jf,1:NP)*rtet;
Kteta=Kteta+KLG(ji:jf,1:NP)*rteta;
A(ji:ji+NP-1,:)=[cero identidad rtet];
end
end
%Matriz de rigidez espacial con 3 grados de libertad por planta
KS=[Kxx cero Kxt;cero Kyy
Kyt;Kxt Kyt Kteta];
fprintf ('\n Matriz de rigidez con base empotrada')
KS
%Matriz de masas de superestructura
disty=abs(r(1))+abs(r(nx));distx=abs(r(nx+1))+abs(r(ntot));
for i=1:NP; masaD(i)=pesoD(i)/9.8; masaL(i)=pesoL(i)/9.8;
mas(i)=masaD(i)+masaL(i);end
masa=zeros(NP,NP);for i=1:NP; masa(i,i)=mas(i);end
mj=zeros(NP,NP);for i=1:NP, mj(i,i)=mas(i)*(distx^2+disty^2)/12;end
MS=[masa cero cero;cero masa cero;cero cero mj];
fprintf ('\n Matriz de masa con base empotrada')
MS
contx=0;conty=0;cont=0;
for i=1:nx
for j=1:ny
contx=contx+1;rx(contx)=r(i);
end
end
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
for i=1:ny
for j=1:nx
conty=conty+1;ry(conty)=r(i+nx);
end
end
% Matriz de rigidez del sistema de aislamiento en coordenadas de piso
nd=nx*ny;
fprintf ('\nSi los aisladores son circulares e iguales digite 1, caso contrario 2')
cod= input ('\nIndique el codigo, sobre si los aisladores son iguales o diferentes: ');
Kx=0; Ky=0; Kt=0; Kxte=0; Kyte=0;
if cod==1
kais=input ('Rigidez del aislador: ');
for i=1:nd
kx(i)=kais; Kx=Kx+kx(i);
end
else
for i=1:nd
fprintf ('\nIndique la rigidez para el aislador %i',i)
kx(i)=input ('\nRigidez del aislador: '); Kx=Kx+kx(i);
end
end
for i=1:nx
for j=1:ny
cont=cont+1;
kxy(i,j)=kx(cont)
end
end
kyx=kxy';cont=0;
for i=1:ny
for j=1:nx
cont=cont+1; ky(cont)=kyx(i,j); Ky=Ky+ky(cont);
end
end
for i=1:nd
Kt=Kt+kx(i)*rx(i)*rx(i);Kxte=Kxte+kx(i)*rx(i);
end
for i=1:nd
Kt=Kt+ky(i)*ry(i)*ry(i);Kyte=Kyte+ky(i)*ry(i);
end
KB=zeros(3); KB(1,1)=Kx; KB(2,2)=Ky; KB(1,3)=Kxte; KB(2,3)=Kyte;KB(3,3)=Kt;
KB(3,1)=KB(1,3); KB(3,2)=KB(2,3);
fprintf ('\n Matriz de rigidez del sistema de aislacion')
KB
% Matriz de masas del sistema de aislamiento en coordenadas de piso
ij=0;M=0;Jm=0;
for i=1:nx
for j=1:ny
ij=ij+1;d(ij)=sqrt(r(i)*r(i)+r(j+nx)*r(j+nx));
end
end
fprintf ('\nSi todas las masas son iguales, digite 1, caso contrario 2')
icod= input ('\nIndique el codigo, sobre las masas: ');
if icod==1
masa=input ('\nIndique la masa sobre el aislador: ');
for i=1:nd
m(i)=masa;M=M+m(i);Jm=Jm+m(i)*d(i)*d(i);
end
263
264
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
else
for i=1:nd
fprintf ('\nIndique la masa sobre el aislador %i',i)
m(i)=input('\nMasa sobre el aislador: ');
M=M+m(i); Jm=Jm+m(i)*d(i)*d(i);
end
end
MB=zeros(3); MB(1,1)=M;MB(2,2)=M;MB(3,3)=Jm;
fprintf ('\n Matriz de masas en coordenadas de piso')
MB
% Matriz de amortiguamiento del aislamiento en coordenadas de piso
% Tipo Wilson y Penzien (1982)
for i=1:3; zed(i)=sedabase; end;
CB=zeros(3,3);[VV,DD]=eig(KB,MB);WW=sqrt(diag(DD));
% Se ordenan las frecuencias y los modos de vibracion de menor a mayor
[Wwn,JJ]=sort(WW);
for i=1:3; fj(:,i)=VV(:,JJ(i));end
for i=1:3
fff=fj(:,i);mi=fff'*MB*fff; aux=2*zed(i)*Wwn(i)/mi;
CB=CB+aux.*MB*fff*fff'*MB;
end
fprintf ('\n Matriz de amortiguamiento del sistema de aislacion')
CB
fprintf ('\n Tenga paciencia el programa esta corriendo, se demora unos segundos')
% Respuesta en el tiempo de aisladores de base
Qo=MB*rb*(-1);
[qt,vt,q]=pse3(MB,CB,KB,Qo,sismo,dt,var);
npuntos=length(sismo);MBI=inv(MB);
for i=1:npuntos-1;
t(i)=i*dt;
for j=1:3
qpb(j)=vt(i,j);qb(j)=qt(i,j);
end
if i==1
qpb=qpb';qb=qb';
end
ace=MBI*(CB*qpb+KB*qb);F=MS*rs*ace;u=KS\F;umax(i)=u(NP);
for j=1:3*NP
utot(i,j)=u(j);
end
end
% Respuestas en porticos extremos, en ultimo piso y en primer piso
for i=1:ntot
ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;a=A(ji:jf,1:3*NP);
for j=1:npuntos-1;
for k=1:3*NP;
dd(k)=utot(j,k);
end
dd=dd';p=a*dd;dd=dd';
if i==1 & isismo==1; p1(j)=p(NP); end
if i==nx & isismo==1; pnx(j)=p(1); end
if i==nx+1 & isismo==2; p2(j)=p(NP); end
if i==ntot & isismo==2; pnt(j)=p(1); end
end
end
hold on
% Dibujo de respuestas maximas en porticos exteriores en ultimo y 1 piso
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
265
%if isismo==1
% p1=p1',pnx=pnx';
%
subplot (2,1,1);plot(t,p1); ylabel ('Desplazamiento (m)');title('Desplazamiento ultimo
%piso. Portico 1');
% subplot (2,1,2); plot(t,pnx); xlabel ('Tiempo (s)');ylabel ('Desplazamiento (m)');
% title ('Desplazamiento primer piso. Portico Extremo en sentido X');
%else
% p2=p2';pnt=pnt';
% subplot (2,1,1);plot (t,p2);ylabel ('Desplazamiento (m)');
% subplot (2,1,2);plot (t,pnt);xlabel ('Tiempo (s)');ylabel ('Desplazamiento (m)');
%end
%Dibujo de respuestas maximas de la base y de ultimo piso
plot (t,q);
plot (t,umax,'r'); xlabel ('Tiempo (s)'); ylabel ('Desplazamiento (m)');
%---fin
•
EJEMPLO 2
Con los datos del ejemplo 1, indicar la forma de ejecutar el programa
CUASIESTATICOAISLAMIENTO.
•
SOLUCIÓN
>> load c:centro
>> KLG=[554.50; 554.50; 554.50; 554.50]
>> r = [-2.5; 2.5; -2.5; 2.5]
>> [NP]=cuasiestaticoaislamiento(1,0.10,2,12.5,1.25,KLG,r,centro,0.02)
Numero total de porticos de la estructura :4
Codigos para analisis sismico: Sentido X=1 Sentido Y=2
Ingrese codigo de sentido de analisis sismico :1
Matriz de rigidez con base empotrada
KS =
1.0e+004 *
0.1109
0
0
0 0.1109
0
0
0 1.3863
Matriz de masa con base empotrada
MS =
1.4031
0
0
0 1.4031
0
0
0 5.8461
Si los aisladores son circulares e iguales digite 1, caso contrario 2
Indique el codigo, sobre si los aisladores son iguales o diferentes: 1
Rigidez del aislador: 20
Matriz de rigidez del sistema de aislacion
266
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
KB =
80 0 0
0 80 0
0 0 1000
Si todas las masas son iguales, digite 1, caso contrario 2
Indique el codigo, sobre las masas: 1
Indique la masa sobre el aislador: 0.45
Matriz de masas en coordenadas de piso
MB =
1.8000
0
0
0 1.8000
0
0
0 22.5000
Matriz de amortiguamiento del sistema de aislacion
CB =
2.4000
0
0
0 2.4000
0
0
0
30.00
El programa presenta la figura 9.11.
9.5 MÉTODO MASAS CORREGIDAS
Únicamente para tener presente las ecuaciones se indica el procedimiento de cálculo a
seguir con el Método de Masas Corregidas.
i.
~ ( s)
Se halla la matriz de masas corregidas M
t
−1
~
M ( s) = M (s) − M ( s) r ( s) M (t ) r ( s) M ( s)
ii.
Se encuentra la respuesta en el sistema de aislamiento q y q , resolviendo la siguiente
ecuación.
g
M ( t ) q + C ( b ) q + K ( b ) q = − M ( t ) r ( b ) u
Para cada instante de tiempo se hallan los vectores q y q , empleando el PEE o
cualquier otro método de análisis dinámico.
iii.
~ (q, q )
Se halla el vector de aceleraciones de la superestructura a
−1
a~ (q, q ) = M ( t ) (C ( b ) q + K ( b ) q )
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
iv.
267
Se encuentra la respuesta dinámica en la superestructura, empleando el PEE.
~
+ C ( s ) u + K ( s ) u = M ( s ) r ( s ) a~ (q, q )
M (s) u
9.5.1 Programa MASACORREGIDAAISLAMIENTO
Los datos de entrada del programa MASACORREGIDAAISLAMIENTO son:
>>[rel]=masacorregidaaislamiento(NP,seda,sedabase,iejes,pesoD,pesoL,KLG,r,sismo,dt)
•
•
•
•
•
•
•
NP
seda
sedabase
iejes
PesoD
PesoL
KLG
•
r
•
Sismo
•
dt
Número de pisos del edificio.
Factor de amortiguamiento de la superestructura.
Factor de amortiguamiento de los aisladores de base.
Número de pórticos de la estructura en el sentido de análisis sísmico.
Vector con los pesos de cada piso debido a carga muerta.
Vector con los pesos de cada pido debido al porcentaje de carga viva.
Matriz que contiene las matrices de rigidez lateral de cada uno de los
pórticos de la estructura.
Vector que contiene la distancia desde el Centro de Masas a cada pórtico,
con signo. Se da un solo dato por pórtico debido a que el programa
MASACORREGIDAAISLAMIENTO
contempla que el centro de
masas es colineal.
Archivo que contiene el acelerograma del sismo que se analiza. Este
archivo tiene una sola columna y el número de filas es igual al número de
puntos del sismo. Se recomienda que esté en m/s2.
Incremento de tiempo del acelerograma. La respuesta en el tiempo de la
estructura se la obtiene para este incremento de tiempo.
Como se aprecia la entrada de datos del programa MASACORREGIDAAISLAMIENTO
es similar al CUASIESTATICOAISLAMIENTO y el reporte de resultados también es similar. De
tal manera que hay dos opciones para la respuesta en el tiempo, la primera que presente los
desplazamientos de los pórticos externos del último y del primer piso. La segunda que presente
los desplazamientos del último piso y del sistema de aislamiento, medidos en el C.M.
function
[rel]=masacorregidaaislamiento(NP,seda,sedabase,iejes,pesoD,pesoL,KLG,r,sismo,dt)
%
% Analisis sismico en el tiempo, espacial de estructuras con aislamiento de base
% por el Metodo de la masa corregida, considerando 3 gdl por planta.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%
Marzo de 2007
%---------------------------------------------------------------------------------% [rel]=masacorregidaaislamiento(NP,seda,sedabase,iejes,pesoD,pesoL,KLG,r,sismo,dt)
%---------------------------------------------------------------------------------%
% rel Relacion entre periodo superestructura con relacion a periodo aislamiento
% seda Factor de amortiguamiento de la superestructura.
% sedabase Factor de amortiguamiento de los aisladores.
268
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
% iejes # de ejes de columnas en el sentido de analisis sismico.
% alt Vector que contine las alturas a cada piso medido desde la base.
% pesoD Vector que contiene la carga muerta D de cada piso.
% pesoL Vector que contiene la carga viva L de cada piso.
% KLG Matriz que contiene las matrices de rigidez lateral de todos los
%
porticos con inercias gruesas. Primero los de sentido X.
% r Vector que contiene la distancia del portico al centro de masa, de
%
cada uno de los porticos, con signo, positivo antihorario.
% rs Matriz de colocacion de la aceleracion del suelo en gdl superestructura
% rb Vector de colocacion de la aceleracion del suelo en gdl de la base
% sismo Archivo que contiene el acelerograma
% dt Incremento de tiempo del acelerograma
% ace aceleracion total en la superestructura
% F Fuerza estatica que actua en cada piso de la superestructura
% u Vector de desplazamientos laterales de cada piso de la superestructura
% umax Vector que contiene los maximos desplazamientos del ultimo piso
% utot Matriz que contiene los desplazamientos de superestructura en cada
%
incremento de tiempo. En las filas estan los incrementos de tiempo.
% p Matriz que contiene la respuesta en el tiempo de cada portico.
%
La fila 1 es para el portico 1, la 2 para el 2, etc.
% A Matriz de paso de coordenadas de piso a coordenadas de portico. Las
%
primeras filas son para el portico 1 las siguientes para el 2, etc.
% NP Numero de pisos
%
% KS Matriz de rigidez de superestructura en coordenadas de piso.
% MS Matriz de masa de superestructura en coordenadas de piso.
% MSC Matriz de masa corregida.
% KB Matriz de rigidez del sistema de aislamiento.
% MB Matriz de masas del sistema de aislamiento.
% CB Matriz de amortiguamiento del sistema de aislamiento.
% qt Matriz que contiene desplazamientos de la base para todos los gdl.
% vt Matriz que contiene velocidades de la base para todos los gdl.
% q Vector que contiene solo historia de desplazamientos de la base.
% qs Matriz que contiene desplazamientos de la estructura para los gdl.
% vs Matriz que contiene velocidades de la estructura para todos los gdl
%
Son matrices porque cada fila corresponde a un instante de tiempo.
%
ntot=input ('\n Numero total de porticos de la estructura :');
fprintf ('\n Codigos para analisis sismico: Sentido X=1 Sentido Y=2');
isismo=input ('\n Ingrese codigo de sentido de analisis sismico :');
rs=zeros(3*NP,3);rb=[0;0;0];
if isismo==1;nx=iejes; ny=ntot-nx;rb(1)=1; var=2;for j=1:NP; rs(j,1)=1; end;
else;ny=iejes; nx=ntot-ny;rb(2)=1;var=1;for j=1:NP; rs(j+NP,2)=1; end; end;
%Submatrices de rigidez: KEE, con inercias gruesas
Kxx=zeros(NP,NP);Kyy=zeros(NP,NP);Kteta=zeros(NP,NP);cero=zeros(NP,NP);
Kxt=zeros(NP,NP);Kyt=zeros(NP,NP);for k=1:NP;identidad(k,k)=1;end;
for i=1:ntot
for k=1:NP
rtet(k,k)=r(i);
end
rteta=rtet*rtet;
ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;
if i<=nx
Kxx=Kxx+KLG(ji:jf,1:NP);Kxt=Kxt+KLG(ji:jf,1:NP)*rtet;
Kteta=Kteta+KLG(ji:jf,1:NP)*rteta;
A(ji:ji+NP-1,:)=[identidad cero rtet];
else
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
Kyy=Kyy+KLG(ji:jf,1:NP);Kyt=Kyt+KLG(ji:jf,1:NP)*rtet;
Kteta=Kteta+KLG(ji:jf,1:NP)*rteta;
A(ji:ji+NP-1,:)=[cero identidad rtet];
end
end
%Matriz de rigidez espacial con 3 grados de libertad por planta
KS=[Kxx cero Kxt;cero Kyy
Kyt;Kxt Kyt Kteta];
fprintf ('\n Matriz de rigidez con base empotrada')
KS
%Matriz de masas de superestructura
disty=abs(r(1))+abs(r(nx));distx=abs(r(nx+1))+abs(r(ntot));
for i=1:NP; masaD(i)=pesoD(i)/9.8; masaL(i)=pesoL(i)/9.8;
mas(i)=masaD(i)+masaL(i);end
masa=zeros(NP,NP);for i=1:NP; masa(i,i)=mas(i);end
mj=zeros(NP,NP);for i=1:NP, mj(i,i)=mas(i)*(distx^2+disty^2)/12;end
MS=[masa cero cero;cero masa cero;cero cero mj];
fprintf ('\n Matriz de masa con base empotrada')
MS
% Matriz de amortiguamiento, tipo Wilson y Penzien (1982)
for i=1:3*NP; zeda(i)=seda; end;zeda=zeda';
CS=zeros(3*NP,3*NP);[V,D]=eig(KS,MS);W=sqrt(diag(D));
% Se ordenan las frecuencias y los modos de vibracion de menor a mayor
[Wn,II]=sort(W); for i=1:3*NP; fi(:,i)=V(:,II(i));end;T1s=2*pi/Wn(1);
for i=1:3*NP
ff=fi(:,i);mi=ff'*MS*ff;aux=2*zeda(i)*Wn(i)/mi;
CS=CS+aux.*MS*ff*ff'*MS;
end
fprintf ('\n Matriz de amortiguamiento con base empotrada')
CS
% Matriz de rigidez del sistema de aislamiento en coordenadas de piso
nd=nx*ny;
fprintf ('\nSi los aisladores son circulares e iguales digite 1, caso contrario 2')
cod= input ('\nIndique el codigo, sobre si los aisladores son iguales o diferentes: ');
Kx=0; Ky=0; Kt=0; Kxte=0; Kyte=0;
if cod==1
kais=input ('Rigidez del aislador: ');
for i=1:nd
kx(i)=kais; ky(i)=kais; Kx=Kx+kx(i); Ky=Ky+ky(i);
end
else
for i=1:nd
fprintf ('\nIndique la rigidez para el aislador %i',i)
kx(i)=input ('\nRigidez del aislador: '); Kx=Kx+kx(i);
ky(i)=kx(i); Ky=Ky+ky(i);
end
end
for i=1:nx
Kt=Kt+kx(i)*r(i)*r(i);Kxte=Kxte+kx(i)*r(i);
end
for i=1:ny
Kt=Kt+ky(i)*r(i+nx)*r(i+nx);Kyte=Kyte+ky(i)*r(i+nx);
end
KB=zeros(3); KB(1,1)=Kx; KB(2,2)=Ky; KB(1,3)=Kxte; KB(2,3)=Kyte;KB(3,3)=Kt;
KB(3,1)=KB(1,3); KB(3,2)=KB(2,3);
fprintf ('\n Matriz de rigidez del sistema de aislacion')
KB
% Matriz de masas del sistema de aislamiento en coordenadas de piso
269
270
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
ij=0;M=0;Jm=0;
for i=1:nx
for j=1:ny
ij=ij+1;
d(ij)=sqrt(r(i)*r(i)+r(j+nx)*r(j+nx));
end
end
fprintf ('\nSi todas las masas son iguales, digite 1, caso contrario 2')
icod= input ('\nIndique el codigo, sobre las masas: ');
if icod==1
masa=input ('\nIndique la masa sobre el aislador: ');
for i=1:nd
m(i)=masa;M=M+m(i);Jm=Jm+m(i)*d(i)*d(i);
end
else
for i=1:nd
fprintf ('\nIndique la masa sobre el aislador %i',i)
m(i)=input('\nMasa sobre el aislador: ');
M=M+m(i); Jm=Jm+m(i)*d(i)*d(i);
end
end
MB=zeros(3); MB(1,1)=M;MB(2,2)=M;MB(3,3)=Jm;
fprintf ('\n Matriz de masas en coordenadas de piso')
MB
% Matriz de amortiguamiento del aislamiento en coordenadas de piso
% Tipo Wilson y Penzien (1982)
for i=1:3; zed(i)=sedabase; end;
CB=zeros(3,3);[VV,DD]=eig(KB,MB);WW=sqrt(diag(DD));
% Se ordenan las frecuencias y los modos de vibracion de menor a mayor
[Wwn,JJ]=sort(WW); for i=1:3; fj(:,i)=VV(:,JJ(i));end; T1b=2*pi/Wwn(1);rel=T1s/T1b;
for i=1:3
fff=fj(:,i);mi=fff'*MB*fff; aux=2*zed(i)*Wwn(i)/mi;
CB=CB+aux.*MB*fff*fff'*MB;
end
fprintf ('\n Matriz de amortiguamiento del sistema de aislacion')
CB
fprintf ('\n Tenga paciencia el programa esta en aislamiento de base, se demora unos
segundos')
% Respuesta en el tiempo de aisladores de base
Qo=MB*rb*(-1);
[qt,vt,q]=pse3(MB,CB,KB,Qo,sismo,dt,var);
% Correccion de masa
npuntos=length(sismo);MBI=inv(MB);MBBI=inv(MB');
MSC=MS-MS*rs*MBBI*rs'*MS; MSSC=zeros(3*NP,3*NP); for i=1:3*NP; MSSC(i,i)=MSC(i,i);
end
for i=1:npuntos-1;
tt(i)=i*dt;
for j=1:3
qpb(j)=vt(i,j);qb(j)=qt(i,j);
end
if i==1
qpb=qpb';qb=qb';
end
ac=MBBI*(CB*qpb+KB*qb);
if isismo==1; acelera(i)=ac(1); else; acelera(i)=ac(2); end
end
fprintf ('\n Tenga paciencia el programa esta en la estructura, se demora unos segundos')
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
271
% Respuesta en el tiempo de superestructura.
Qo=MS*rs;
if isismo==1; Qs=Qo(:,1); else; Qs=Qo(:,2); end
[qs,vs,qq]=pse3(MSSC,CS,KS,Qs,acelera,dt,var);
% Respuestas en porticos extremos, en ultimo piso y en primer piso
for i=1:ntot
ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;a=A(ji:jf,1:3*NP);
for j=1:npuntos-2;
t(j)=j*dt;
for k=1:3*NP;
dd(k)=qs(j,k);
end
dd=dd';p=a*dd;dd=dd';
if i==1 & isismo==1; p1(j)=p(NP); end
if i==nx & isismo==1; pnx(j)=p(1); end
if i==nx+1 & isismo==2; p2(j)=p(NP); end
if i==ntot & isismo==2; pnt(j)=p(1); end
end
end
hold on
% Dibujo de respuestas maximas en porticos exteriores en ultimo y 1 piso
if isismo==1
p1=p1';pnx=pnx';
subplot (2,1,1);plot(t,p1); ylabel ('Desplazamiento (m)');title('Desplazamiento ultimo
piso. Portico 1');
subplot (2,1,2); plot(t,pnx); xlabel ('Tiempo (s)');ylabel ('Desplazamiento (m)');
title ('Desplazamiento primer piso. Portico Extremo en sentido X');
else
p2=p2';pnt=pnt';
subplot (2,1,1);plot (t,p2);ylabel ('Desplazamiento (m)'); title('Desplazamiento ultimo
piso. Portico A');
subplot (2,1,2);plot (t,pnt);xlabel ('Tiempo (s)');ylabel ('Desplazamiento (m)');
title ('Desplazamiento primer piso. Portico Extremo en sentido Y');
end
% Dibujo de respuestas maximas de la base y de ultimo piso
%plot (tt,q);
%plot (t,p1,'r');
%---fin
•
EJEMPLO 3
Resolver el ejemplo 1, utilizando el programa MASACORREGIDAAISLAMIENTO y
presentar la respuesta en los pórticos 1 y 2.
•
SOLUCIÓN
En general, el programa presenta la respuesta en el tiempo de los pórticos exteriores
del último piso y del primer piso. En este caso, se tiene una estructura de un piso con dos
pórticos en cada dirección de análisis. Luego el programa reporta la respuesta en el tiempo de
los pórticos 1 y 2, las mismas que se presentan en la figura 9.12. Como la estructura es
simétrica las dos respuestas son iguales y es igual a la respuesta en el Centro de Masa.
272
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Figura 9.12 Respuesta del pórtico 1, gráfica superior y del pórtico 2, gráfica inferior.
9.6 MÉTODO DINÁMICO EXACTO
Al comportarse en el rango elástico el sistema de aislamiento, el sistema de
ecuaciones diferenciales ( 9.1 ) puede descomponerse en dos problemas, a saber:
g
M ( t ) qb + C ( b ) q b + K ( b ) q b = − M ( t ) r ( b ) u
t
M ( t ) qs + C ( b ) q s + K ( b ) q s = − r ( s ) M ( s ) u
( 9.18 )
( 9.19 )
q b y q s la solución de los sistemas de ecuaciones ( 9.18 ) y ( 9.19 )
respectivamente. De tal manera que el vector q es igual a la suma de estos dos vectores.
Siendo
q = qb + q s
( 9.20)
El procedimiento propuesto para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales
acoplado (9.1) y (9.2). Es el siguiente:
i.
ii.
q b y q b empleando el PEE.
~ (q , q )
En base a q b y q b se encuentra el vector a
b
b
Se resuelve (9.18) y se hallan los vector
(
−1
a~ (q b , q b ) = M ( t ) C ( b ) q b + K ( b ) q b
iii.
Se halla la respuesta en la superestructura
)
u y u empleando el PEE, en:
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
273
~
+ C ( s ) u + K ( s ) u = M ( s ) r ( s ) a~(qb , q b )
M (s) u
iv.
Se encuentra el vector de aceleraciones de la superestructura
ecuación diferencial de paso iii.
(
, a partir de la
u
~ −1
~ −1
= M ( s ) M ( s ) r ( s ) a~ (q b , q b ) − M ( s ) C ( s ) u + K ( s ) u
u
v.
Se resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales ( 9.19 ) y se halla
)
q s empleando el
PEE.
vi.
Una vez conocidos
q b y q s se obtiene el vector q mediante la ecuación ( 9.20 ).
Este momento se tiene el vector q en el sistema de aislamiento y el vector u en la
superestructura con lo que se termina la primera iteración. A partir de este instante el
procedimiento de cálculo se repite en forma cíclica hasta lograr que las respuestas tanto del
sistema de aislamiento como de la superestructura en un ciclo n sean parecidas a las del ciclo
anterior.
vii.
Se determina la aceleración de la superestructura
.
u
−1
~ −1
~ −1
= M ( s ) M ( s ) r ( s ) M ( t ) (C ( b ) q + K ( b ) q ) − M ( s ) (C ( s ) u + K ( s ) u )
u
viii.
Se halla la respuesta en la superestructura
u y u empleando el PEE.
+ C ( s ) u + K ( s ) u = M ( s ) r ( s ) M ( t )
M ( s) u
ix.
−1
(C
Se obtiene la aceleración en la superestructura
(b)
t
)
q + K ( b ) q + r ( s ) M ( s ) u
s pero únicamente con los vectores
u
u y u , ya que se va a determinar q s en el sistema de aislamiento.
~ −1
= − M ( s ) (C ( s ) u + K ( s ) u )
u
x.
Se encuentra
q s aplicando el PEE en:
t
M ( t ) qs + C ( b ) q s + K ( b ) q s = − r ( s ) M ( s ) u
xi.
Se halla el vector q en el sistema de aislamiento empleando ( 9.20 )
q b se determina una sola vez, en el primer paso. Lo que se obtiene en los
ciclos posteriores es el vector q s . Si la respuesta tanto del sistema de aislamiento q como de
la superestructura u no son parecidas a las del ciclo anterior se repite el procedimiento desde
El vector
el paso vii.
274
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
Figura 9.13 Distribución en planta de estructura analizada, de tres pisos.
•
EJEMPLO 4
Se analiza la estructura de tres pisos, cuya configuración en planta es la mostrada en
la figura 9.13 y las dimensiones de los elementos estructurales se indican en la tabla 9.2; la
altura de los entrepisos es de 3.0 m. El sistema de aisladores está conformado por una goma
2
que tiene un módulo de corte G a = 7.0 kg / cm y un peso específico de 1.23 T/m3. La
geometría de los aisladores circulares, han sido obtenidos para que el período objetivo sea de
2 segundos y se indica en la tabla 9.3. El factor de amortiguamiento de la superestructura es
ξ ( s ) = 0.05
y de los aisladores ξ
= 0.10 . Se desea encontrar la respuesta en el tiempo
ante el sismo de El Centro de 1940 si este actúa en sentido X, empleando la solución exacta.
(b)
Tabla 9.2 Dimensiones de elementos estructurales y pesos en edificio de tres pisos
PESO
COLUMNAS
VIGAS
Eje
TOTAL
1
2
3
4
Piso
Tn
1
30/30
35/35
35/35
30/30
25/30
141.75
2
30/30
35/35
35/35
30/30
25/30
132.75
3
30/30
35/35
35/35
30/30
25/30
123.75
La tabla 9.3 contiene, el número de aislador, su área cooperante [m2], la masa que
aporta la estructura a cada aislador, los diámetros exterior e interior [cm], la altura del aislador
[cm], el área de corte [cm2], la rigidez del aislador [T/m] y la masa que aporta cada aislador y
finalmente la masa total. En la figura 9.14 se presenta la numeración de los aisladores.
•
SOLUCIÓN
Sea KL1 la matriz de rigidez lateral del pórtico 1, que es igual a la matriz de rigidez
lateral del pórtico 4; KL2 la matriz de rigidez lateral del pórtico 2, que es igual a la matriz de
rigidez lateral del pórtico 3. KLA la matriz de rigidez lateral del pórtico A, que es igual a la
matriz de rigidez lateral de los pórticos B, C y D. Las matrices de rigidez lateral inferior, son las
siguientes.
ROBERTO AGUIAR FALCONI
CEINCI-ESPE
⎡3624.0
KL1 = ⎢⎢− 2038.2
2891.2
⎢⎣409.3
− 1353.9
275
⎤
⎥
⎥
1012.1⎥⎦
Tabla 9.3 Dimensiones de aisladores de base y aporte de masas en edificio de tres pisos.
mi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
A
6,25
12,50
12,50
6,25
12,50
25,00
25,00
12,50
12,50
25,00
25,00
12,50
6,25
12,50
12,50
6,25
me
1,1288
2,2577
2,2577
1,1288
2,2577
4,5153
4,5153
2,2577
2,2577
4,5153
4,5153
2,2577
1,1288
2,2577
2,2577
1,1288
De
40
40
40
40
40
55
55
40
40
55
55
40
40
40
40
40
Di
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
Hr
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
Ac
1178,10
1178,10
1178,10
1178,10
1178,10
2297,29
2297,29
1178,10
1178,10
2297,29
2297,29
1178,10
1178,10
1178,10
1178,10
1178,10
Kb
20,62
20,62
20,62
20,62
20,62
40,20
40,20
20,62
20,62
40,20
40,20
20,62
20,62
20,62
20,62
20,62
mb
0,0059
0,0059
0,0059
0,0059
0,0059
0,0115
0,0115
0,0059
0,0059
0,0115
0,0115
0,0059
0,0059
0,0059
0,0059
0,0059
Figura 9.14 Numeración de los aisladores y ubicación del C.M. del sistema de aislación.
⎡6484.9
KL2 = ⎢⎢− 3706.8
⎣⎢844.7
4751.6
− 2132.6
⎤
⎥
⎥
1451.5⎦⎥
mT
1,1347
2,2636
2,2636
1,1347
2,2636
4,5268
4,5268
2,2636
2,2636
4,5268
4,5268
2,2636
1,1347
2,2636
2,2636
1,1347
276
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS
⎡5080.3
KLA = ⎢⎢− 2888.8
⎢⎣628.4
3895.0
− 1791.0
⎤
⎥
⎥
1275.3⎥⎦
Se considera que el archivo del sismo de análisis ha sido cargado y se denomina
centro. La forma de correr el programa para la estructura de la figura 2, es como sigue.
En la figura 9.15 se presenta la respuesta en el tiempo del sistema de aislamiento en
sentido X. Se aprecia que únicamente en la