CÁLCULO D
CON
CON ENFOQUE
ENFOQUE POR
POR COMPETENCIAS
COMPETENCIAS
David Capistrán/Sandra Gallardo
Departamento de Físico Matemáticas
UASLP
Cálculo D
PRIMERA EDICIÓN
David Capistrán/Sandra Gallardo/Sandra Gallardo
Departamento de Físico Matemáticas
®2024
Fórmulas básicas de álgebra
Operaciones
𝑎 𝑐 𝑎𝑐
∗ =
𝑏 𝑑 𝑏𝑑
𝑎
⁄
𝑎 𝑐 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐
𝑎𝑑
+ =
, 𝑐 𝑏=
𝑏 𝑑
𝑏𝑑
⁄𝑑 𝑏𝑐
𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐,
Ley de los signos
−(−𝑎) = 𝑎,
𝑎 −𝑎
𝑎
=
=
𝑏
𝑏
−𝑏
−
Cero
Si 𝑎 ≠ 0:
0
𝑎
𝑎0 = 1,
= 0,
Para cualquier número 𝑎: 𝑎 ∗ 0 = 0 ∗ 𝑎 = 0
0𝑎 = 0.
Leyes de los exponentes
𝑎𝑚 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 , (𝑎𝑏)𝑚 = 𝑎𝑚 𝑏 𝑚 , (𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚𝑛 , 𝑎
𝑚⁄
𝑛
𝑛
𝑛
= √𝑎𝑚 = ( √𝑎)
𝑚
Si 𝑎 ≠ 0,
𝑎𝑚
= 𝑎𝑚−𝑛 , 𝑎 0 = 1,
𝑎𝑛
Teorema del binomio
(𝑎 ± 𝑏)2 = 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 ,
𝑎−𝑚 =
1
𝑎𝑚
(𝑎 ± 𝑏)3 = 𝑎3 ± 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 ± 𝑏 3
Factorización
𝑎2 − 𝑏 2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)
− 𝑏 3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )
4
4
𝑎 − 𝑏 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎3 + 𝑎2 𝑏 + 𝑎𝑏 2 + 𝑏 3 )
𝑎3
Fórmula cuadrática
Si 𝑎 ≠ 0 y 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, entonces
𝑥=
Propiedades de Logaritmos
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑎
1.- ln(𝑎𝑏) = ln(𝑎) + ln(𝑏)
2.- ln ( ) = ln(𝑎) − ln(𝑏)
4.- log 𝑁 (𝑁) = 1
5.- log 𝑁 (1) = 0
𝑏
3.- ln(𝑎)𝑛 = 𝑛 ∗ ln(𝑎)
Fórmulas trigonometricas e Identidades
Definiciones
Seno : 𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
𝑦
𝑟
=
1
Coseno : 𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
csc 𝜃
𝑥
𝑟
=
1
sec 𝜃
Identidades
𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 = 1
𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 = 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝜃
𝑐𝑠𝑐 2 𝜃 = 1 + 𝑐𝑜𝑡 2 𝜃
𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃
𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 =
1+𝑐𝑜𝑠2𝜃
2
𝑠𝑒𝑛2 𝜃 =
1−𝑐𝑜𝑠2𝜃
2
Tangente : 𝑡𝑎𝑛 𝜃 =
𝑦
𝑥
=
𝑠𝑒𝑛𝜃
cos 𝜃
Derivadas
Definición
𝑑
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑑𝑥
∆𝑥
Derivadas de funciones básicas
1.4.7.-
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
2.-
𝑐=0
(𝑐𝑢𝑛 ) = 𝑐𝑛𝑢𝑛−1
𝑑𝑥
𝑑 𝑢
𝑣𝑢′ −𝑢𝑣′
𝑑𝑥 𝑣
𝑑
𝑣2
𝑢′
𝑑𝑥
𝑑
𝑢
10.13.16.19.22.25.28.-
( )=
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(ln 𝑢) =
𝑑
𝑑𝑥
5.-
𝑢
8.-
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑢
14.-
𝑑𝑥
(𝑐𝑠𝑐𝑢) = −𝑐𝑠𝑐𝑢 𝑐𝑜𝑡𝑢
𝑑𝑢
17.-
𝑑𝑥
𝑢′
20.-
1−𝑢2
(𝑐𝑠𝑐 −1 𝑢) = −
𝑢′
23.-
|𝑥|√𝑢2 −1
2 𝑑𝑢
(𝑡𝑎𝑛ℎ 𝑢) = 𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑢
26.-
𝑑𝑥
(𝑐𝑠𝑐ℎ 𝑢) = −𝑐𝑠𝑐ℎ𝑢 𝑐𝑜𝑡ℎ𝑢
3.-
𝑥=1
(𝑢 ± 𝑣) =
(𝑎𝑢 ) =
𝑑𝑥
𝑑
11.-
(𝑡𝑎𝑛𝑢) = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑢
(𝑡𝑎𝑛−1 𝑢) =
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑑𝑢
±
𝑑𝑣
6.-
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑢
𝑢
𝑎
𝑙𝑛𝑎
𝑑𝑥
𝑑𝑢
9.-
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
12.-
(𝑐𝑜𝑡𝑢) =
15.-
(𝑠𝑒𝑛−1 𝑢) =
18.-
√1−𝑢2
(𝑐𝑜𝑡 −1 𝑢) = −
𝑢′
21.-
1−𝑢2
(𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑢) = 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑢
𝑑𝑢
24.-
𝑑𝑥
(𝑐𝑜𝑡ℎ 𝑢) = −𝑐𝑠𝑐ℎ2 𝑢
𝑑𝑢
27.-
𝑑𝑥
(𝑢𝑣) = 𝑢𝑣 ′ + 𝑣𝑢′
(𝑒 𝑢 ) = 𝑒 𝑢
𝑑𝑥
𝑑
(𝑠𝑒𝑛𝑢) = 𝑐𝑜𝑠𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑢
−𝑐𝑠𝑐 2 𝑢
𝑑𝑥
𝑢′
(𝑐𝑥 𝑛 ) = 𝑐𝑛𝑥 𝑛−1
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
(𝑐𝑜𝑠𝑢) = −𝑠𝑒𝑛𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
(𝑠𝑒𝑐𝑢) = 𝑠𝑒𝑐𝑢 𝑡𝑎𝑛𝑢
(𝑐𝑜𝑠 −1 𝑢) = −
(𝑠𝑒𝑐 −1 𝑢) =
√1−𝑢2
𝑢′
|𝑥|√𝑢2 −1
𝑑𝑢
(𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑢) = 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑢
𝑑𝑥
(𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑢) = −𝑠𝑒𝑐ℎ𝑢 𝑡𝑎𝑛ℎ𝑢
𝑑𝑥
Integrales
2.- ∫ 𝑎𝑥 𝑛 𝑑𝑥 =
3- ∫ 𝑎𝑥 −1 𝑑𝑥 = 𝑎𝑙𝑛𝑥 + 𝑐
5.- ∫
𝑑𝑢
𝑢
6.- ∫
= 𝑙𝑛𝑢 + 𝑐
𝑎𝑢 𝑑𝑢
=
𝑙𝑛𝑎
+𝑐
8.- ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑢 𝑑𝑢 = −𝑐𝑜𝑠𝑢 + 𝑐
10.- ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑡𝑎𝑛𝑢 + 𝑐
12.- ∫ 𝑠𝑒𝑐𝑢 𝑡𝑎𝑛𝑢 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐𝑢 + 𝑐
14.- ∫ 𝑡𝑎𝑛𝑢 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐𝑢| + 𝑐
16.- ∫ 𝑠𝑒𝑐𝑢 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐𝑢 + 𝑡𝑎𝑛𝑢| + 𝑐
18.- ∫
20.- ∫
𝑑𝑢
𝑢√𝑢2 −𝑎2
𝑑𝑢
√𝑢2 +1
1
𝑢
𝑎
𝑎
7.- ∫
𝑒 𝑢 𝑑𝑢
19.- ∫
𝑎2 +𝑏2
𝑒𝑢
=
+ 𝑐 ; 𝑛 ≠ −1
+𝑐
𝑑𝑢
𝑢2 +𝑎2
1
𝑢
𝑎
𝑎
𝑒 𝑎𝑢 (𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑢−𝑏𝑐𝑜𝑠 𝑏𝑢)
= 𝑡𝑎𝑛−1 + 𝑐
21.- ∫ 𝑒 𝑎𝑢 𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑢 𝑑𝑢 =
= 𝐿𝑛(𝑢 + √𝑢2 + 1) + 𝑐
𝑒 𝑎𝑢 (𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑏𝑢+𝑏𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑢)
𝑛+1
+ 𝑐; 𝑛 ≠ −1
9.- ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑢 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛𝑢 + 𝑐
11.- ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 𝑢 𝑑𝑢 = −𝑐𝑜𝑡𝑢 + 𝑐
13.- ∫ 𝑐𝑠𝑐𝑢 𝑐𝑜𝑡𝑢 𝑑𝑢 = −𝑐𝑠𝑐𝑢 + 𝑐
15.- ∫ 𝑐𝑜𝑡𝑢 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑛 𝑢| + 𝑐
17.- ∫ 𝑐𝑠𝑐𝑢 𝑐𝑜𝑡𝑢𝑑𝑢 = − csc 𝑢 + 𝑐
= 𝑠𝑒𝑐 −1 + 𝑐
22.- ∫ 𝑒 𝑎𝑢 𝑐𝑜𝑠 𝑏𝑢 𝑑𝑢 =
𝑛+1
𝑢𝑛
4.- ∫ 𝑢𝑛 𝑑𝑢 =
𝑎𝑢
𝑎𝑥 𝑛+1
+𝑐
𝑎2 +𝑏2
1
2.- ℒ{t 𝑛 } =
𝑠
3- ℒ{𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑡} =
5.- ℒ{𝑒 𝑎𝑡 } =
𝑘
1
9.-
ℒ{𝑒 𝑎𝑡 𝑐𝑜𝑠
, 𝑛 = 1,2,3 …
𝑠
𝑠 2 +𝑘 2
𝑘
6.- ℒ{𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑘𝑡} =
𝑠−𝑎
7.- ℒ{𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑘𝑡} =
𝑛!
𝑠 𝑛+1
4.- ℒ{𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑡} =
𝑠 2 +𝑘 2
𝑠
𝑠 2 −𝑘 2
(𝑠−𝑎)
𝑘𝑡} = (𝑠−𝑎)2
+𝑘 2
+𝑐
Integración por partes ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢
Transformada de Laplace
1.- ℒ{1} =
8.-
ℒ{𝑒 𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑛
10.-
𝑠 2 −𝑘 2
𝑘
𝑘𝑡} = (𝑠−𝑎)2
ℒ{𝑒 𝑎𝑡 t 𝑛 }
=
𝑑𝑥
𝑢′
𝑑𝑢
1.- ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑐
𝑑𝑢
+𝑘 2
𝑛!
,𝑛 =
(𝑠−𝑎)n+1
1,2,3 …
𝑑𝑢
𝑑𝑥
Transformada Inversa de Laplace
1
1.- ℒ −1 { } = 1
2.- ℒ −1 {
𝑠
3- ℒ −1 {
5.-
7.- ℒ
9.-
𝑘
𝑠 2 +𝑘 2
1
ℒ −1 { }
𝑠−𝑎
𝑘
−1
{
} = 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑡
4.-
= 𝑒 𝑎𝑡
6.- ℒ
} = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑘𝑡
𝑠 2 −𝑘 2
(𝑠−𝑎)
−1
ℒ {(𝑠−𝑎)2 2}
+𝑘
= 𝑒 𝑎𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑡
𝑛!
} = t 𝑛 , 𝑛 = 1,2,3 …
𝑠 𝑛+1
𝑠
−1
ℒ { 2 2}
𝑠 +𝑘
𝑘
−1
{
= 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑡
} = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑘𝑡
𝑠 2 −𝑘 2
𝑘
−1
8.- ℒ {(𝑠−𝑎)2 2}
+𝑘
𝑛!
−1
10.- ℒ {(𝑠−𝑎)𝑛+1}
= 𝑒 𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑡
= 𝑒 𝑎𝑡 𝑡 𝑛 , 𝑛 = 1,2,3 …
Transformada de Laplace para
Ecuaciones diferenciales
1.- Si 𝑓, 𝑓′, . . . , 𝑓 (𝑛−1) son continuas en [0, ∞), entonces:
ℒ{ 𝑓 (𝑛) (𝑡)} = 𝑠 𝑛 𝐹(𝑠) − 𝑠 𝑛−1 𝑓(0) − 𝑠 𝑛−2 𝑓 ′ (0) − ⋯ − 𝑓 (𝑛−1) (0)
donde 𝐹(𝑠) = ℒ { 𝑓(𝑡)}.
2.- Si 𝑎𝑛 ℒ {
𝑑 𝑛𝑦
𝑑𝑡 𝑛
} + 𝑎𝑛−1 ℒ {
𝑑 𝑛−1 𝑦
𝑑𝑡 𝑛−1
} + ⋯ + 𝑎0 ℒ{𝑦} = ℒ{𝑔(𝑡)}
𝑎𝑛 [𝑠 𝑛 𝑌(𝑠) − 𝑠 𝑛−1 𝑦(0) − ⋯ − 𝑦 (𝑛−1) (0)] + 𝑎𝑛−1 [𝑠 𝑛−1 𝑌(𝑠) − 𝑠 𝑛−2 𝑦(0) − ⋯ − 𝑦 (𝑛−2) (0)] + ⋯ + 𝑎0 𝑌(𝑠) = 𝐺(𝑠)
donde ℒ{𝑦(𝑡)} = 𝑌(𝑠) y ℒ{𝑔(𝑡)} = 𝐺(𝑠).
Contenido
1
Primer Parcial
Competencias
1.1 Definición de Ecuación Diferencial
1.2 Tipos de Soluciones de una Ecuación Diferencial
1.3 Primitivas
1.4 Solucion de Ecuaciones Diferenciales por variables
separables.
1.5 Solucion de Ecuaciones Diferenciales homogeneas.
1.6 Solucion de Ecuaciones Diferenciales Lineales.
1.7 Solucion de Ecuaciones Diferenciales exactas.
1.8 Solucion de Ecuaciones Diferenciales Bernoulli.
1.9 Solución de Ecuaciones Diferenciales por factor Integrante.
1.10 Solución de Ecuaciones Diferenciales por sustitución.
Autoevaluación
2
Segundo Parcial
Competencias
2.1 Crecimiento poblacional
2.2 Ley de Newton de temperatura
2.3 Segunda ley de Newton, cuerpos en movimiento
2.4 Circuitos RL y RC
2.5 Curvas Ortogonales
2.6 Ecuaciones diferenciales de segundo orden reducidas a
primer orden.
2.7 Ecuaciones de primer orden y grado superior.
2.8 Ecuaciones de Lagrange y Clairaut.
Autoevaluación
3
Tercer Parcial
Competencias
3.1 Solución de Ecuaciones Diferenciales homogeneas por
ecuación auxiliar, Caso I Raices reales diferentes, Caso II Raices
reales iguales, Caso III Raíces complejas.
3.2 Solución de Ecuaciones diferenciales no homogeneas por
Coeficientes Constantes.
3.3 Solución de Ecuaciones diferenciales no homogeneas por
Variación de Parámetros.
3.4 Solución de Ecuación Diferencial de Cauchy Euler.
Autoevaluación
4
Cuarto Parcial
Competencias
4.1 Transformada de las funciones más usuales.
4.2 Transformada Inversa.
4.3 Solución de Ecuaciones Diferenciales por Transformada de
Laplace.
4.4 Aplicaciones y solución por transformada de Laplace.
Sistema masa resorte.
Circuitos RLC.
Autoevaluación
5
Apéndices
5.1 Respuesta a los problemas
5.2 Glosario
5.3 Métodos de Integración
5.4 Bibliografía
Introducción
a las
Ecuaciones
Diferenciales
y Métodos
de Solución
Capítulo 1
Competencias a alcanzar
COMPETENCIAS
Comprender la clasificación
de
las
ecuaciones
diferenciales.
Comprender y entender los
diferentes tipos de solución de
una ecuación diferencial.
Ser capaz de comprobar que
una ecuación es una solución
de una ecuación diferencial.
Ser capaz de generar una
ecuación diferencial a partir
de la función primitiva.
Comprender y entender las
soluciones de las ecuaciones
diferenciales de primer orden
y primer grado.
Ser capaz de resolver las
ecuaciones diferenciales por
variables
separables
y
reducibles a ésta forma como
lo
son
las
ecuaciones
homogéneas.
Comprender y resolver una
ecuación diferencial exacta y
las reducibles a ellas por el
factor integrante.
Ser capaz de identificar y
resolver
las
ecuaciones
diferenciales lineales y las
reducibles a lineales como lo
son la ecuación de Bernoulli.
Comprender el concepto
de cambio de variable y
resolver
una
ecuación
diferencial por el método de
sustitución.
ACTIVIDADES DE
APRENDIZAJE
Identificar
en
una
ecuación
diferencial su: tipo, orden y linealidad
de una serie de ejemplos de
ecuaciones diferenciales.
Realizar una serie de ejercicios en
donde se compruebe que una
ecuación es una solución de una
ecuación diferencial.
HABILIDADES Y ACTITUDES
El alumno será capaz de clasificar
las ecuaciones diferenciales por sus
características principales.
El alumno desarrollará la habilidad
de identificar los diferentes tipos de
soluciones
de
una
ecuación
diferencial.
Construir una ecuación diferencial a
partir de la obtención de la función
primitiva.
El alumno a través de su
conocimiento comprobará si una
ecuación es solución de una
ecuación diferencial.
Identificar los diversos métodos de
solución de una ecuación diferencial
de primer orden y primer grado.
El alumno desarrollará la habilidad
de obtener la ecuación diferencial
a partir de la primitiva.
Realizar una serie de ejercicios en
donde se compruebe que una
ecuación diferencial se puede
resolver por variables separables y
cuando se reduce a ésta con un
cambio de variable, como lo son las
ecuaciones homogéneas.
El alumno será capaz de aprender y
comprender los diferentes métodos
de solución de las ecuaciones
diferenciales de primer orden y
primer grado.
Realizar una serie de ejercicios donde
se compruebe y resuelve que es una
ecuación
diferencial
exacta
y
cuando se reduce a ésta utilizando un
factor integrante.
Realizar una serie de ejercicios en
donde se compruebe y resuelva una
ecuación diferencial lineal y cuando
se reduce a lineal con un cambio de
variable, como lo es la ecuación de
Bernoulli.
Realizar una serie de ejercicios
donde se realice un cambio de
variable y se resuelva una ecuación
diferencial por el método de
sustitución.
El alumno será capaz de analizar los
diferentes métodos de solución de
las ecuaciones diferenciales de
primer orden y primer grado, según
sea el caso.
El alumno desarrollará la habilidad
para resolver las ecuaciones
diferenciales de primer orden y
primer grado.
A través de la asimilación de los
conocimientos de los métodos de
solución
las
ecuaciones
diferenciales de primer orden y
primer grado, el alumno utilizará el
mejor método o el método
adecuado de solución de dichas
ecuaciones
diferenciales
y
desarrollará estrategias propias de
resolución de las mismas.
Organizador gráfico
Introducción a las
Ecuaciones
Diferenciales
Definición
Solución de Ecuaciones
Diferenciales de Primer
Orden
Variables
separables
Homogéneas
Clasificación
Lineales
Tipos de
soluciones
Exactas
Primitivas
Factor
Integrante
Sustitución
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 11 de 130
DEFINICIÓN
Una ecuación diferencial es aquella ecuación que contiene derivadas o diferenciales. Orden de una
ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden contenida en la ecuación. Grado de una
ecuación diferencial es la potencia a la que está elevada la derivada de mayor orden, siempre y cuando
la ecuación diferencial esté dada en forma polinomial.
Clasificación de las ecuaciones diferenciales
Tipo
Ordinarias
La ecuación diferencial contiene derivadas de una o más variables
dependientes con respecto a una sola variable independiente.
Parciales
La ecuación diferencial contiene derivadas parciales de una o más
variables dependientes con respecto a dos o más variables
independientes.
Primer Orden
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦’) = 0
Segundo Orden
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦’, 𝑦′′) = 0
Tercer Orden
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦’, 𝑦 ′′ , 𝑦′′′) = 0
Lineales
a) La variable dependiente 𝑦 y todas sus derivadas son de primer grado.
b) Cada coeficiente de 𝑦 y sus derivadas depende solamente de la
variable independiente 𝑥.
No lineales
Las que no cumplen las propiedades anteriores.
Los números pueden ser representados
Orden
Grado
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 12 de 131
Ejemplo 1.1
1.-
𝒅𝒚
2.-
𝝏𝒚
Ecuación diferencial
= 𝟐𝒆−𝒙
𝒅𝒙
𝝏𝒕
=
𝝏𝒙
+ 𝒌𝒚 −
𝝏𝒕
𝝏𝒔
4.- 𝒚𝒚′′ + 𝒙𝟐 𝒚 = 𝒙
5.-
𝝏𝒕
+
𝝏𝒔𝟐
𝒅𝟐 𝒚
6.- 𝒙𝟐
7.-
𝝏𝟐 𝒚
𝒅𝒙𝟐
𝝏𝟒 𝒗
𝝏𝒕𝟒
=𝒄
+𝒙
= 𝒌𝒗 (
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ (𝒙𝟐 + 𝟗)𝒚 = 𝟎
𝝏𝟐 𝒎
𝝏𝒏𝟐
9.-
+𝒚=
Lineal
Ordinaria
1
Si
Parcial
1
Si
Ordinaria
2
Si
Ordinaria
2
No
Parcial
2
Si
Ordinaria
2
Si
Parcial
4
No
Ordinaria
5
No
Ordinaria
1
No
Ordinaria
1
No
𝟐
)
8.- (𝒚𝑽 )𝟑 − 𝒚′′′ + 𝒚′′ − 𝒚𝟐 = 𝟎
𝒚′
Orden
𝝏𝒚
3.- 𝒙𝟐 𝒚′′ + 𝒙𝒚′ + 𝒚 = 𝟎
𝝏𝒚
Tipo
𝒙
𝒚
10.- 𝒔𝒆𝒏 𝒚 + 𝒚 = 𝟎
′
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 13 de 131
ACTIVIDAD DE TRABAJO 1.1
Realiza los siguientes ejercicios.
I.- Clasifique las ecuaciones diferenciales siguientes de acuerdo al tipo, orden y linealidad:
Ecuación diferencial
1.- 𝒚′′ + 𝒙𝒚𝒚′ = 𝒔𝒆𝒏𝒙
2.- 𝟑
𝝏𝟓 𝒙
𝝏𝒕𝟓
+
𝝏𝟐 𝒚
𝝏𝒓𝟐
Tipo
Orden
Lineal
=𝟓
3.- 𝒙𝟑 𝒚𝒚′′′ − 𝒙𝟐 𝒚𝒚′′ + 𝒚 = 𝟎
4.- 𝒚′′ + 𝟐𝒙𝟑 𝒚′ − (𝒙 − 𝟏)𝒚 = 𝒙
𝝏𝒖 𝟐
𝝏𝟐 𝒖
𝝏𝒙
𝝏𝒚𝟐
5.- ( ) +
6.-
𝒅𝟐 𝒚
𝒅𝒙𝟐
−𝟐
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝟑⁄
𝟐
𝒙
𝒚
+𝒚=𝟎
7.- (𝟏 + 𝒚)𝒚′ + 𝟐𝒚 = 𝒆𝒙
8.-
𝝏𝟐 𝒚
𝝏𝒙𝟐
=
𝝏𝟐 𝒚
𝝏𝒕𝟐
9.- 𝒚′′ + 𝟗𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 𝒚
10.-
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= √𝟏 − (
𝒅𝟐 𝒚
𝒅𝒙𝟐
𝟐
)
PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS
Desarrolla e integra la siguiente actividad a tu portafolio de evidencias.
1.- Presenta un mapa conceptual de la clasificación de las ecuaciones diferenciales.
¿?
Tengo claridad sobre la clasificación de las ecuaciones diferenciales?, Entiendo cuando son ordinarias
o parciales?, Entiendo el orden?, Entiendo el grado?, Entiendo cuando es lineal o no lineal?, Soy capaz
de mencionar tres ecuaciones diferenciales que sean, lineales, no lineales, ordinarias?
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 14 de 131
TIPOS DE SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN
DIFERENCIAL
Solución de una ecuación diferencial es una función que no contiene derivadas y que satisface a dicha
ecuación; es decir, al sustituir la función y sus derivadas en la ecuación diferencial resulta una identidad.
Solución general de una ecuación diferencial es la función que satisface a la ecuación y que contiene una
o más constantes arbitrarias (obtenidas de las sucesivas integraciones).
Solución particular de una ecuación diferencial es la función que satisface la ecuación y cuyas constantes
arbitrarias toman un valor específico.
Ejemplo 1.2.1
La función 𝑥 + 𝑦 2 = 𝑐 es la solución general de la ecuación diferencial:
𝑑𝑦
1
=−
𝑑𝑥
2𝑦
Derivando implícitamente 𝑥 + 𝑦 2 = 𝑐 obtenemos 1 + 2𝑦𝑦′ = 0 despejando 𝑦′ obtenemos 𝑦 ′ =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=−
1
2𝑦
al
sustituir en la ecuación diferencial:
−
1
1
=−
2𝑦
2𝑦
∴ Se obtiene una identidad.
Ejemplo 1.2.2
La función 𝑦 = 𝑒 −𝑥 + 8 es la solución particular de la ecuación diferencial 𝑦 ′ + 𝑒 −𝑥 = 0. Derivando la
solución y sustituyéndola en la ecuación diferencial, se obtiene:
𝑦 ′ = −𝑒 −𝑥
Sustituyendo en la ecuación diferencial:
−𝑒 −𝑥 + 𝑒 −𝑥 = 0
∴ Se obtiene la identidad 0 = 0.
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 15 de 131
Ejemplo 1.2.3
La función 𝑦 = 3𝑥 2 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 es la solución general de la ecuación diferencial 𝑦′′ = 6, porque
𝑦 ′ = 6𝑥 + 𝑐1
Y
𝑦 ′′ = 6
Sustituyendo en la ecuación diferencial:
∴6=6
Ejemplo 1.2.4
La función 𝑦 = 𝑒 𝑥 (3 cos 2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑥) es la solución particular de la ecuación diferencial 𝑦′′ − 2𝑦 ′ + 5𝑦 = 0,
porque
𝑦 ′ = 𝑒 𝑥 (−6 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 2 cos 2𝑥) + 𝑒 𝑥 (3 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + sen 2𝑥) = 𝑒 𝑥 (5 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 − 5 sen 2𝑥)
𝑦 ′′ = 𝑒 𝑥 (−10 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 − 10 cos 2𝑥) + 𝑒 𝑥 (5 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 − 5 sen 2𝑥) = 𝑒 𝑥 (−5 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 − 15 sen 2𝑥)
Sustituyendo en la ecuación diferencial:
[𝑒 𝑥 (−5 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 − 15 sen 2𝑥)] − 2[𝑒 𝑥 (5 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 − 5 sen 2𝑥)] + 5[𝑒 𝑥 (3 cos 2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑥)] = 0
∴0=0
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 16 de 131
ACTIVIDAD DE TRABAJO 1.2
Realiza los siguientes ejercicios.
I.- Demostrar si las siguientes funciones son soluciones de la correspondiente ecuación diferencial
1.- 𝑦 = 𝑐𝑒 𝑥
de
𝑦′ − 𝑦 = 0
2.- 𝑦 = 2𝑒 −2𝑥 + 𝑒 𝑥
de
𝑦 ′ + 2𝑦 = 𝑒 𝑥
3.- 𝑦 = 8𝑙𝑛𝑥 + 𝑐
de
𝑦′ = √
de
de
de
𝑦′′
de
𝑦 ′ − 𝑦𝑡𝑎𝑛𝑥 = 0
de
𝑦 ′ = 3𝑦 2
de
𝑦 ′ = 25 + 𝑦 2
de
𝑦′ = √
1
3
4.- 𝑦 = 𝑐1
+ 𝑐2
5.- 𝑦 = 8𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
6.- 𝑦 =
𝑒 −𝑥
7.- 𝑦 =
𝑒 2𝑥
3𝑥
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
8.- 𝑦 = −
3
3𝑥+2
9.- 𝑦 = 5 tan 5𝑥
10.- 𝑦 = (√𝑥 + 𝑐)
2
64
𝑥2
𝑦′
− − 2𝑦 = 0
𝑦′′ − 2𝑦 ′ + 𝑦 = 0
𝑥𝑦 ′ + 𝑦 = cos 𝑥
𝑦
𝑥
PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS
Desarrolla e integra la siguiente actividad a tu portafolio de evidencias.
1.- Realiza un resumen del tipo de solución de una ecuación diferencial.
¿?
Comprendo el cómo demostrar si una expresión es solución de una ecuación diferencial?, Soy capaz
de demostrarlo?, Comprendo cuando es una solución general?, Comprendo cuando es una solución
particular?
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 17 de 131
PRIMITIVAS
Definición
La primitiva es la ecuación diferencial de la cual se origina la solución general.
Ejemplo 1.3.1
Hallar la primitiva a partir de la solución general 𝑦 = 𝑥 + 𝑐𝑥 2 :
Derivando la solución general se obtiene:
𝑦 ′ = 1 + 2𝑐𝑥.
Despejamos 𝑐 de la solución general dada y la sustituimos en la derivada obtenida 𝑐 =
𝑦′ = 1 + 2 (
𝑦−𝑥
𝑥2
:
𝑦−𝑥
)𝑥
𝑥2
Se obtiene la ecuación diferencial de primer orden: 𝑦 ′ = 1 + 2 (
𝑦−𝑥
𝑥
)
Ejemplo 1.3.2
Hallar la primitiva a partir de la solución general 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 :
Dado que hay tres constantes en la solución general se deriva tres veces y se obtiene:
𝑦 ′ = 2𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑦 ′′ = 2𝑎, 𝑦 ′′′ = 0
Se obtiene la ecuación diferencial de tercer orden: 𝑦 ′′′ = 0
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 18 de 131
Ejemplo 1.3.3
Hallar la primitiva a partir de la solución general 𝑐𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 :
Derivando en forma implícita la solución general:
2𝑐𝑥 + 2𝑦𝑦 ′ = 0.
Despejamos 𝑐 de la solución general dada y la sustituimos en la derivada obtenida 𝑐 =
1−𝑦 2
𝑥2
:
1 − 𝑦2
1 1 − 𝑦2
( 2 ) 𝑥 + 𝑦𝑦 ′ = 0 → 𝑦 ′ = − (
)
𝑥
𝑦
𝑥
Por lo tanto la ecuación diferencial de primer orden es : 𝑦 ′ =
𝑦 2 −1
𝑥𝑦
Ejemplo 1.3.4
Hallar la primitiva a partir de la solución general 𝑦 = 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑥 3
Derivando dos veces la solución general:
𝑦 ′ = 𝑐1 + 3𝑐2 𝑥 2 y 𝑦 ′′ = 6𝑐2 𝑥
Resolvemos el sistema de ecuaciones para 𝑐1 y 𝑐2 a partir de las derivadas:
𝑐2 =
Sustituyendo en la solución general 𝑦 = (𝑦 ′ −
𝑦′′
6𝑥
𝑥𝑦′′
2
y 𝑐1 = 𝑦 ′ −
𝑥𝑦′′
2
𝑦′′
) 𝑥 + ( ) 𝑥3
6𝑥
La ecuación diferencial de segundo orden es: 𝑥 2 𝑦 ′′ − 3𝑥𝑦 ′ + 3𝑦 = 0
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 19 de 131
ACTIVIDAD DE TRABAJO 1.3
Realiza los siguientes ejercicios.
I.- Obtener la ecuación diferencial a partir de la primitiva:
1
1.- 𝑦 = 𝑐1 𝑒 5𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 5𝑥
2.- 𝑦 = 𝑒 −3𝑥 + 𝑐
3.- 𝑦 = 8𝑙𝑛𝑥 + 𝑐
4.- 𝑦 = 𝑐1 𝑒 −𝑥 + 𝑐2 𝑒 2𝑥
5.- 𝑦 = 𝑐1 𝑒 3𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 3𝑥 + 𝑐3 𝑒 −𝑥
6.- 𝑥 = 𝑙𝑛 √
7.- 𝑦 = 𝑥 + 5𝑙𝑛(𝑥 + 1) + 𝑐
8.- 𝑐 = 𝑥 2 + 4𝑥𝑦 − 2𝑦 4
10.- 𝑦 =
3
5
2
4
𝑦−2
𝑦+2
9.- 𝑐 =
𝑥4
4
+𝑐
+ 𝑥𝑦 3
1
𝑥(−𝑥+𝑐)
PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS
Desarrolla e integra la siguiente actividad a tu portafolio de evidencias.
1.- Realiza un resumen del tipo de solución de una ecuación diferencial.
¿?
Comprendo el cómo demostrar si una expresión es solución de una ecuación diferencial?, Soy capaz
de demostrarlo?, Comprendo cuando es una solución general?, Comprendo cuando es una solución
particular?
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 20 de 131
ECUACIONES DIFERENCIALES DE
VARIABLES SEPARABLES
Definición
Una ecuación diferencial de variables separables tiene la forma 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 + 𝑔(𝑦)𝑑𝑦 = 0,
donde cada diferencial tiene como coeficiente una función de su propia variable, o una
constante.
MÉTODO DE SOLUCIÓN: integración directa.
∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑦)𝑑𝑦 = 0
Cuando no pueden separarse las variables de una ecuación y no pueden agruparse en términos, en cada
uno de los cuales estén las mismas variables, habrá que usar otros métodos para encontrar la solución.
Ejemplo 1.4.1
Resolver 𝑒 𝑥+𝑦 𝑦′ = 𝑥, con las condiciones iniciales 𝑦 = 𝑙𝑛 2 cuando 𝑥 = 0.
1. Separar las variables usando las propiedades de las funciones involucradas y los artificios algebraicos
necesarios:
𝑒 𝑥 𝑒𝑦
2. Integrar cada miembro de la ecuación:
𝑑𝑦
= 𝑥,
𝑑𝑥
𝑒 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑥𝑒 −𝑥 𝑑𝑥
∫ 𝑒 𝑦 𝑑𝑦 = ∫ 𝑥𝑒 −𝑥 𝑑𝑥
𝑒 𝑦 = −𝑥𝑒 − 𝑥 − 𝑒 − 𝑥 + 𝑐, solución general en la forma implícita porque no está despejada la variable
dependiente 𝑦, pero:
𝑦 = 𝑙𝑛| 𝑒 − 𝑥 (−𝑥 − 1) + 𝑐| , solución general en forma explícita:
𝑦 = 𝑓 (𝑥)
3. Aplicar las condiciones iniciales: 𝑦(0) = 𝑙𝑛 2 en la solución general, ya sea en su forma explícita o implícita.
En la forma implícita: 𝑒 𝑙𝑛2 = −0 − 1 + 𝑐
2 = −1 + 𝑐
𝑐 = 3
∴ 𝑒 𝑦 = −𝑥𝑒 − 𝑥 − 𝑒 − 𝑥 + 3, solución particular en forma implícita.
∴ 𝑦 = 𝑙𝑛 |𝑒 − 𝑥 (−𝑥 − 1) + 3|, solución particular en forma explicita
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 21 de 131
Ejemplo 1.4.2
Resolver 𝑥𝑦𝑦′ = 1 + 𝑦 2 , para 𝑦 = 3 cuando 𝑥 = 1, o bien, 𝑦(1) = 3.
1. Separar variables:
𝑑𝑦
= 1 + 𝑦2
𝑑𝑥
𝑦
𝑑𝑥
∫
𝑑𝑦 = ∫
1 + 𝑦2
𝑥
𝑥𝑦
2. Integrando
1
𝑙𝑛 |1 + 𝑦 2 | = 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑙𝑛 𝑐
2
1
(𝑙𝑛 |1 + 𝑦 2 |)2 = 𝑙𝑛 𝑐𝑥
Aplicando exponencial:
1
(1 + 𝑦 2 )2 = 𝑐𝑥
∴ 𝑐𝑥 2 − 𝑦 2 = 1, solución general implícita.
3. Aplicar las condiciones iniciales 𝑦(1) = 3
𝑐(1) − 9 = 1
𝑐 = 10
∴10𝑥 2 − 𝑦 2 = 1, solución particular.
Ejemplo 1.4.3
Resolver 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑦𝑑𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦𝑑𝑦 = 0
1. Separar variables:
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑦
𝑑𝑥 =
𝑑𝑦
cos 𝑥
𝑐𝑜𝑠 2 𝑦
2. Integrando
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑦
𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑦
cos 𝑥
𝑐𝑜𝑠 2 𝑦
1
−𝑙𝑛|𝑐𝑜𝑠 𝑥| + 𝑐 =
cos 𝑦
∫
𝑙𝑛|𝑐𝑜𝑠 𝑥| + sec 𝑦 = 𝑐, solución general.
Ejemplo 1.4.4
Resolver (1 + 𝑥)𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥 = 0
1. Separar variables:
1
1
𝑑𝑥 = 𝑑𝑦
1 +𝑥
𝑦
2. Integrando
∫
Cálculo D
1
1
𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑦
1 +𝑥
𝑦
Capistrán/Gallardo
Página 22 de 131
𝑙𝑛|1 + 𝑥| + 𝑐 = 𝑙𝑛𝑦
𝑦 = 𝑐(1 + 𝑥), solución general.
Ejemplo 1.4.5
Resolver
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=−
𝑥
𝑦
, para 𝑦(4) = 3.
1. Separar variables:
𝑦𝑑𝑦 = −𝑥𝑑𝑥
2. Integrando
∫ 𝑦𝑑𝑦 = − ∫ 𝑥𝑑𝑥
𝑦2
𝑥2
= − +𝑐
2
2
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑐 , solución general
3. Condiciones iniciales
16 + 9 = 𝑐 = 25
𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 , solución particular.
Ejemplo 1.4.6
Resolver 𝑥𝑦 4 𝑑𝑥 + (𝑦 2 + 2)𝑒 −3𝑥 𝑑𝑦 = 0
1. Separando variables:
(𝑦 2 + 2)
𝑥
𝑑𝑦 = − −3𝑥 𝑑𝑥
𝑦4
𝑒
2. Integrando ambos lados:
∫
(𝑦 2 + 2)
𝑥
𝑑𝑦 = − ∫ −3𝑥 𝑑𝑥
4
𝑦
𝑒
∫(𝑦 −2 + 2𝑦 −4 )𝑑𝑦 = − ∫ 𝑥𝑒 3𝑥 𝑑𝑥
1
𝑦
Cálculo D
+
2
3𝑦 3
1
1
3
9
= [ 𝑥𝑒 3𝑥 − 𝑒 3𝑥 ] + 𝑐 , solución general en forma implícita.
Capistrán/Gallardo
Página 23 de 131
ACTIVIDAD DE TRABAJO 1.4
Realiza los siguientes ejercicios.
I.- Hallar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales
1.-
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑠𝑒𝑛5𝑥
4.- 𝑥𝑦′ = 4𝑦
7.-
𝑑𝑦
𝑑𝑥
10.-
= (𝑥 + 1)2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2.- (𝑥 + 1)
5.8.-
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥+6
𝑥2 𝑦
1+𝑥
𝑦+1
𝑥
3.- 𝑑𝑥 + 𝑒 3𝑥 𝑑𝑦 = 0
6.-
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦3
𝑥2
9.- (4𝑦 + 𝑥 2 𝑦)𝑑𝑦 − (2𝑥 + 𝑥𝑦 2 )𝑑𝑥 = 0
= 𝑦4 − 4
PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS
Desarrolla e integra la siguiente actividad a tu portafolio de evidencias.
1.- Realiza un resumen de los métodos de solución de Integrales: sustitución, por partes, fracciones
parciales, y un resumen de fórmulas básicas.
¿?
Entiendo el cómo identificar si una ecuación diferencial es separable?, Soy capaz de separarla
correctamente?, Comprendo y recuerdo los métodos de integración?, Comprendo cuando es una
solución implícita o explícita? Soy capaz de encontrar la solución explicita a partir de la solución
implícita?
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 24 de 131
ECUACIONES DIFERENCIALES
HOMOGÉNEAS
Definición
La ecuación diferencial homogénea es de la forma:
𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0
donde 𝑀 y 𝑁 tienen la propiedad de que para toda 𝑡 > 0, la sustitución de 𝑥 por 𝑡𝑥 y la de
𝑦 por 𝑡𝑦 hace que 𝑀 y 𝑁 sean del mismo grado 𝑛.
𝑀(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = 𝑡 𝑛 𝑀(𝑥, 𝑦)
𝑁(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = 𝑡 𝑛 𝑀(𝑥, 𝑦)
Este tipo de ecuaciones puede reducirse a ecuaciones de variables separables mediante sustituciones
apropiadas.
MÉTODO DE SOLUCIÓN:
Usando sustituciones algebraicas apropiadas, las ecuaciones diferenciales homogéneas se convierten en
ecuaciones de variables separables. Una de las sustituciones más comunes es:
𝑦 = 𝑢𝑥 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢
O puede usarse también:
𝑥 = 𝑣𝑦 𝑑𝑥 = 𝑣𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑣
Ejemplo 1.5.1
Resolver (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑑𝑥 + (𝑥 2 − 𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0
1. Verificar que sea homogénea:
(𝑥 2 + 𝑦 2 ) todos los términos son de grado 2
(𝑥 2 − 𝑥𝑦) todos los términos son de grado 2
∴La ecuación diferencial es homogénea de grado 2
2. Cambio de variable:
𝑦 = 𝑢𝑥 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢
Sustituyendo: [𝑥 2 + (𝑢𝑥)2 ]𝑑𝑥 + [𝑥 2 − 𝑥(𝑢𝑥)](𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢) = 0
Simplificando: [𝑥 2 (1 + 𝑢)]𝑑𝑥 + 𝑥 3 (1 − 𝑢)𝑑𝑢 = 0 Ecuación diferencial de variables separables
3. Separando e Integrando ambos lados:
(1 − 𝑢)
𝑥2
𝑑𝑥 = − ∫
𝑑𝑢
𝑥3
1+𝑢
𝑙𝑛𝑥 + 𝑐 = 𝑢 − 2𝑙𝑛(𝑢 + 1)
𝑦
Sustituyendo: 𝑢 =
∫
𝑥
𝑦
𝑦
𝑥
𝑥
2
𝑙𝑛𝑥 + 𝑐 = − 𝑙𝑛 ( + 1) , solución general en forma implícita.
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 25 de 131
Ejemplo 1.5.2
Resolver (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 = 0
1. Verificar que sea homogénea:
(𝑥 − 𝑦) todos los términos son de grado 1
𝑥 el término es de grado 1
∴La ecuación diferencial es homogénea de grado 1
2. Cambio de variable:
𝑦 = 𝑢𝑥 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢
Sustituyendo: [𝑥 − (𝑢𝑥)]𝑑𝑥 + 𝑥(𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢) = 0
Simplificando: 𝑥𝑑𝑥 + 𝑥 2 𝑑𝑢 = 0 Ecuación diferencial de variables separables
3. Separando e Integrando ambos lados:
1
∫ 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑑𝑢
𝑥
𝑙𝑛𝑥 + 𝑐 = −𝑢
𝑦
Sustituyendo: 𝑢 =
𝑥
𝑙𝑛𝑥 + 𝑐 = −
𝑦
𝑥
, despejando: 𝑦 = −𝑥(𝑙𝑛𝑥 + 𝑐) solución general en forma implícita.
Ejemplo 1.5.3
Resolver 𝑥𝑑𝑥 + (𝑦 − 2𝑥)𝑑𝑦 = 0
1. Verificar que sea homogénea:
𝑥 el término es de grado 1
(𝑦 − 2𝑥) todos los términos son de grado 1
∴La ecuación diferencial es homogénea de grado 1
2. Cambio de variable:
𝑥 = 𝑣𝑦 𝑑𝑥 = 𝑣𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑣
Sustituyendo: 𝑣𝑦(𝑣𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑣) + (𝑦 − 2𝑣𝑦)𝑑𝑦 = 0
Simplificando: 𝑣𝑦 2 𝑑𝑣 = −(𝑣 2 − 2𝑣 + 1)𝑦𝑑𝑦 Ecuación diferencial de variables separables
3. Separando e Integrando ambos lados:
𝑣
𝑣
1
∫ 2
𝑑𝑣 = ∫
𝑑𝑣 = − ∫ 𝑑𝑦
(𝑣 − 2𝑣 + 1)
(𝑣 − 1)2
𝑦
1
𝑙𝑛(𝑣 − 1) −
+ 𝑐 = −𝑙𝑛𝑦
𝑣−1
𝑥
Sustituyendo: 𝑣 =
𝑦
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 26 de 131
𝑙𝑛 (
𝑥
𝑦
− 1) − 𝑥
𝑦
1
−1
+ 𝑐 = −𝑙𝑛𝑦, simplificando: 𝑙𝑛 (
𝑥−𝑦
𝑦
)−
𝑦
𝑥 −𝑦
+ 𝑐 = −𝑙𝑛𝑦 solución general en forma implícita.
Ejemplo 1.5.4
Resolver (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑑𝑥 − 𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0
1. Verificar que sea homogénea:
(𝑥 2 + 𝑦 2 ) ambos términos son de grado 2
𝑥𝑦 término de grado 2
∴La ecuación diferencial es homogénea de grado 2
2. Cambio de variable:
𝑦 = 𝑢𝑥 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢
2
2
[𝑥
(𝑢𝑥)
]𝑑𝑥
Sustituyendo:
+
− 𝑥(𝑢𝑥)(𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢) = 0
Simplificando: 𝑑𝑥 = 𝑥𝑢𝑑𝑢 Ecuación diferencial de variables separables
3. Separando e Integrando ambos lados:
1
∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢𝑑𝑢
𝑥
𝑢2
𝑙𝑛𝑥 =
+𝑐
2
𝑦
Sustituyendo: 𝑢 =
𝑥
𝑙𝑛𝑥 =
Cálculo D
𝑦 2
𝑥
( )
2
+ 𝑐, simplificando: 𝑦 = 𝑥√(𝑙𝑛𝑥 2 + 𝑐) solución general en forma implícita.
Capistrán/Gallardo
Página 27 de 131
ACTIVIDAD DE TRABAJO 1.5
Realiza los siguientes ejercicios.
I.- Encontrar la solución de la ecuación diferencial.
1.-(𝑦 2 + 𝑥𝑦)𝑑𝑥 − 𝑥 2 𝑑𝑦 = 0
3.-
𝑑𝑦
𝑑𝑥
5.- 𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2.- 𝑦𝑑𝑥 = (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑦
𝑥+3𝑦
4.- 𝑥𝑦 2
3𝑥+𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦 3 − 𝑥 3 ; 𝑦(1) = 2
− 𝑦 = √𝑥 2 + 𝑦 2
PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS
Desarrolla e integra la siguiente actividad a tu portafolio de evidencias.
1.- Realiza un resumen los pasos que hay que seguir para obtener la solución de una ecuación diferencial
homogénea, cuando es más conveniente usar el cambio de variable 𝑦 = 𝑢𝑥 o 𝑥 = 𝑣𝑦?
¿?
Soy capaz de visualizar y verificar si una ecuación diferencial es homogénea?, Soy capaz de identificar
cual cambio de variable me conviene más?, Comprendo cómo llegar a la ecuación diferencial
separable?, Soy capaz de encontrar la solución general de la ecuación y dejarla en términos de las
variables originales?
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 28 de 131
ECUACION DIFERENCIAL LINEAL
Se vio en la introducción que las condiciones para que una ecuación diferencial fuese lineal son: a) la
variable dependiente 𝑦 y todas sus derivadas son de primer grado, y b) cada coeficiente depende
solamente de la variable independiente 𝑥 (o constante).
Definición
La forma general de una ecuación lineal de primer orden es 𝑦′ + 𝑓 (𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥).
Si 𝑟(𝑥) es idénticamente igual a cero, entonces la ecuación se llama lineal homogénea
(no en el sentido de polinomio homogéneo, sino como el nombre que da el álgebra lineal
a las ecuaciones igualadas a cero); si 𝑟(𝑥) ≠ 0 entonces es lineal no homogénea.
MÉTODO DE SOLUCIÓN:
Si 𝑔(𝑥) = 0 ⇒ es de variables separables.
Si 𝑔(𝑥) ≠ 0 ⇒ Método del factor integrante.
Y la forma de la solución es:
Para 𝑔(𝑥) ≠ 0
1. Encontrar factor integrante 𝜇(𝑥) = 𝑒 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
2.- Multiplicar el factor integrante por la ecuación diferencial 𝑦′ + 𝑓 (𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥).
1
3.- Despejando 𝑦 =
∫ 𝜇(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝜇(𝑥)
Ejemplo 1.6.1
Resolver
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 3𝑦 = 0
Verificar que sea lineal: a) la variable dependiente 𝑦 y todas sus derivadas son de primer grado, y b) cada
coeficiente depende solamente de la variable independiente 𝑥 (o constante).
1. Factor integrante:
∴La ecuación diferencial es lineal
𝑓(𝑥) = −3
𝑔(𝑥) = 0 ∴ también es de variables separables
Factor integrante: 𝜇(𝑥) = 𝑒 ∫ −3𝑑𝑥 = 𝑒 −3𝑥
2. Multiplicando la ecuación diferencial por el factor integrante:
𝑑𝑦
𝑒 −3𝑥 [
− 3𝑦 = 0]
𝑑𝑥
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 29 de 131
3. Despejando 𝑦 y resolviendo:
𝑦=
𝑑 −3𝑥
[𝑒 𝑦] = 0
𝑑𝑥
1
𝑒 −3𝑥
∫ 𝑒 −3𝑥 (0)𝑑𝑥 = 𝑐𝑒 3𝑥 → 𝑦 = 𝑐𝑒 3𝑥 Solución general
Ejemplo 1.6.2
Resolver 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 4𝑦 = 𝑥 6 𝑒 𝑥
Verificar que sea lineal: a) la variable dependiente 𝑦 y todas sus derivadas son de primer grado, y b) cada
coeficiente depende solamente de la variable independiente 𝑥 (o constante).
∴La ecuación diferencial es lineal
1. Factor integrante:
4
𝑥
𝑔(𝑥) = 𝑥 5 𝑒 𝑥
𝑓(𝑥) = −
4
Factor integrante: 𝜇(𝑥) = 𝑒 ∫ −𝑥𝑑𝑥 = 𝑒 −4𝑙𝑛𝑥 = 𝑒 𝑙𝑛𝑥
−4
=
1
𝑥4
2. Multiplicando la ecuación diferencial por el factor integrante:
1 𝑑𝑦 4
[
− 𝑦 = 𝑥 5𝑒 𝑥 ]
𝑥 4 𝑑𝑥 𝑥
𝑑 1
[ 𝑦] = 𝑥𝑒 𝑥
𝑑𝑥 𝑥 4
3. Despejando 𝑦 y resolviendo:
1
𝑦= 1
∫ 𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 4 [𝑥𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 + 𝑐] → 𝑦 = 𝑥 4 [𝑥𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 + 𝑐] Solución general
( ⁄𝑥 4 )
Ejemplo 1.6.3
Resolver (𝑥 2 − 9)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑥𝑦 = 0
Verificar que sea lineal: a) la variable dependiente 𝑦 y todas sus derivadas son de primer grado, y b) cada
coeficiente depende solamente de la variable independiente 𝑥 (o constante).
∴La ecuación diferencial es lineal
1. Factor integrante:
𝑥
𝑥2 − 9
𝑔(𝑥) = 0 ∴ también es de variables separables
𝑓(𝑥) =
𝑥
1
Factor integrante: 𝜇(𝑥) = 𝑒 ∫𝑥2−9𝑑𝑥 = 𝑒 2𝑙𝑛(𝑥
Cálculo D
2 −9)
= 𝑒 𝑙𝑛(𝑥
1
2 −9)2
Capistrán/Gallardo
= √𝑥 2 − 9
Página 30 de 131
2. Multiplicando la ecuación diferencial por el factor integrante:
√𝑥 2 − 9 [
3. Despejando 𝑦 y resolviendo:
𝑦=
𝑑𝑦
𝑥
+ (𝑥 2
𝑦 = 0]
− 9)
𝑑𝑥
𝑑
[√𝑥 2 − 9𝑦] = 0
𝑑𝑥
1
√𝑥 2 −9
1
𝑐
∫(0)𝑑𝑥 = √𝑥2−9 [𝑐] → 𝑦 = √𝑥2 −9 Solución general
Ejemplo 1.6.4
Resolver 𝑦′ + 3𝑥 2 𝑦 = 𝑥 2
Verificar que sea lineal: a) la variable dependiente 𝑦 y todas sus derivadas son de primer grado, y b) cada
coeficiente depende solamente de la variable independiente 𝑥 (o constante).
∴La ecuación diferencial es lineal
1. Factor integrante:
𝑓(𝑥) = 3𝑥 2
𝑔(𝑥) = 𝑥 2
Factor integrante: 𝜇(𝑥) = 𝑒 ∫ 3𝑥
2 𝑑𝑥
= 𝑒𝑥
3
2. Multiplicando la ecuación diferencial por el factor integrante:
𝑑𝑦
3
𝑒𝑥 [
+ 3𝑥 2 𝑦 = 𝑥 2 ]
𝑑𝑥
𝑑 𝑥3
3
[𝑒 𝑦] = 𝑥2 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
3. Despejando 𝑦 y resolviendo:
3
3
3
1
1
1
𝑦 = 𝑥3 ∫ 𝑥 2 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥3 [𝑒 𝑥 + 𝑐] → 𝑦 = + 𝑐𝑒 −𝑥 Solución general
𝑒
Cálculo D
3𝑒
Capistrán/Gallardo
3
Página 31 de 131
ACTIVIDAD DE TRABAJO 1.6
Realiza los siguientes ejercicios.
I.- Encontrar la solución de la ecuación diferencial.
1.-
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2.- 𝑥 2
+ 2𝑥𝑦 = 𝑥 3
3.-
𝑑𝑦
5.-
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑥𝑦 = 1
= 2𝑦 + 𝑥 2 + 5
4.- (𝑥 + 4𝑦 2 )𝑑𝑦 + 2𝑦𝑑𝑥 = 0
= 𝑥+𝑦
6.- 𝑥𝑑𝑦 = (𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥
7.- (1 + 𝑥 2 )𝑑𝑦 + (𝑥𝑦 + 𝑥 3 + 𝑥)𝑑𝑥 = 0
9.- (1 − 𝑥 3 )
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3𝑥 2 𝑦
8.- (1 + 𝑒 𝑥 )
10.- cos 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑒 𝑥𝑦 = 0
+ 𝑦𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 1
PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS
Desarrolla e integra la siguiente actividad a tu portafolio de evidencias.
1.- Realiza un resumen los pasos que hay que seguir para obtener la solución de una ecuación diferencial
lineal, cuando es más conveniente resolverla por variables separables o lineal si 𝑟(𝑥) = 0?
¿?
Soy capaz de visualizar y verificar si una ecuación diferencial es lineal?, Soy capaz de identificar cual es
𝑓(𝑥) y 𝑟(𝑥)?, Comprendo cómo llegar al factor integrante 𝑢(𝑥)?, Soy capaz de encontrar la solución
general de la ecuación lineal?
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 32 de 131
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
Definición
La igualdad 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 es una ecuación diferencial exacta.
La condición necesaria y suficiente para que la ecuación diferencial 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 +
𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 sea exacta es que:
𝜕𝑀 𝜕𝑁
=
𝜕𝑦
𝜕𝑥
MÉTODO DE SOLUCIÓN:
1. Dada la ecuación diferencial se demuestra si es exacta.
𝜕𝑀(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑁(𝑥, 𝑦)
=
𝜕𝑦
𝜕𝑥
2. Se integra 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 con respecto a 𝑥.
3. Se integra 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 con respecto a 𝑦, solo los términos que no contengan la variable 𝑥 ∗ .
4. La solución de la ecuación diferencial es
∗
∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + ∫ 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 𝑐
Ejemplo 1.7.1
Resolver 𝑥 2 𝑦 3 𝑑𝑥 + 𝑥 3 𝑦 2 𝑑𝑦 = 0
1.- Verificar que sea exacta:
𝜕(𝑥 2 𝑦 3 )
𝜕(𝑥 3 𝑦 2 )
=
= 3𝑥 2 𝑦 2
𝜕𝑦
𝜕𝑥
∴La ecuación diferencial es exacta
1
2. ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 2 𝑦 3 𝑑𝑥 = 𝑥 3 𝑦 3
3
∗
3. ∫ 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 0𝑑𝑥 = 𝑐
4. Solución:
1
3
Cálculo D
𝑥 3𝑦3 = 𝑐 → 𝑦 =
Capistrán/Gallardo
𝑐
𝑥
Solución general
Página 33 de 131
Ejemplo 1.7.2
Resolver 2𝑥𝑦𝑑𝑥 + (𝑥 2 − 1)𝑑𝑦 = 0
1.- Verificar que sea exacta:
𝜕(2𝑥𝑦)
𝜕(𝑥 2 − 1)
=
= 2𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑥
∴La ecuación diferencial es exacta
2. ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 = ∫ 2𝑥𝑦𝑑𝑥 = 𝑥 2 𝑦
∗
3. ∫ 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = ∫(𝑥 2 − 1)𝑑𝑦 = − 𝑦
4. Solución:
𝑥2𝑦 − 𝑦 = 𝑐 → 𝑦 =
𝑐
𝑥2 −1
Solución general
Ejemplo 1.7.3
Resolver (𝑠𝑒𝑛 𝑦 − 𝑦𝑠𝑒𝑛 𝑥)𝑑𝑥 + (cos 𝑥 + 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑦 − 𝑦)𝑑𝑦 = 0
1.- Verificar que sea exacta:
𝜕(𝑠𝑒𝑛 𝑦 − 𝑦𝑠𝑒𝑛 𝑥)
𝜕(cos 𝑥 + 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑦 − 𝑦)
=
= cos 𝑦 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑥
∴La ecuación diferencial es exacta
2. ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 = ∫(𝑠𝑒𝑛 𝑦 − 𝑦𝑠𝑒𝑛 𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥
∗
1
3. ∫ 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = ∫(cos 𝑥 + 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑦 − 𝑦)𝑑𝑥 = − 𝑦 2
2
4. Solución:
1
𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑦 2 = 𝑐 Solución general
2
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 34 de 131
ACTIVIDAD DE TRABAJO 1.7
Realiza los siguientes ejercicios.
I.- Encontrar la solución de la ecuación diferencial.
1.-(5𝑥 + 4𝑦)𝑑𝑥 + (4𝑥 − 8𝑦 3 )𝑑𝑦 = 0
1
𝑑𝑦
𝑥
𝑑𝑥
3.- (2𝑦 − + 3 cos 𝑥)
+
𝑦
𝑥2
+ 4𝑥 3 − 3𝑦𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0
2.- (2𝑥𝑦 2 − 3)𝑑𝑥 + (2𝑥 2 𝑦 + 4)𝑑𝑦 = 0
𝑦
4.- (1 + ln 𝑥 + ) 𝑑𝑥 + (1 + ln 𝑥)𝑑𝑦 = 0
𝑥
5.- (𝑦 3 − 𝑦 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑥)𝑑𝑥 + (3𝑥𝑦 2 + 2𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑦=0
6.- (𝑥 3 + 𝑦 3 )𝑑𝑥 + 3𝑥𝑦 2 𝑑𝑦=0
7.- (6𝑥𝑦 − 2𝑦 2 )𝑑𝑥 + (3𝑥 2 − 4𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0
8.- 𝑒 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥𝑒 𝑦 𝑑𝑦 = 0
9.- (2𝑦 − 2𝑥𝑦 3 + 4𝑥 + 6)𝑑𝑥 + (2𝑥 − 3𝑥 2 𝑦 2 − 1)𝑑𝑦 = 0
10.- (2𝑥 + 6𝑥 2 𝑦)𝑑𝑥 + (2𝑥 3 − 2𝑦)𝑑𝑦 = 0
PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS
Desarrolla e integra la siguiente actividad a tu portafolio de evidencias.
1.- Realiza un resumen los pasos que hay que seguir para obtener la solución de una ecuación diferencial
exacta, si no fuera exacta que haría?
¿?
Soy capaz de visualizar y verificar si una ecuación diferencial es exacta?, Soy capaz de derivar
correctamente 𝑀(𝑥, 𝑦) y 𝑁(𝑥, 𝑦)?, Comprendo que términos debo de integrar y cuales no para llegar a
la solución general?, Soy capaz de encontrar la solución general de la ecuación exacta en forma
explicita?
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 35 de 131
ECUACION DIFERENCIAL DE BERNOULLI
Definición
Es una ecuación de la forma:
𝑦 ′ + 𝑓 (𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥)𝑦 𝑛 , 𝑛 ≠ 0,1
Para 𝑛 = 0,1 la ecuación es lineal.
MÉTODO DE SOLUCIÓN:
1. Convertirla en lineal mediante la sustitución: 𝑢 = 𝑦1−𝑛
2.- Resolver la ecuación diferencial lineal.
3.- Escribir la ecuación diferencial en términos de las variables originales 𝑥 y 𝑦.
Ejemplo 1.8.1
Resolver 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑦 = 𝑥 2𝑦2
1.- Escribirla como una ecuación de Bernoulli y hacer el cambio de variable:
𝑑𝑦 𝑦
+ = 𝑥𝑦 2
𝑑𝑥 𝑥
∴ 𝑢 = 𝑦1−2 = 𝑦−1
𝑦 = 𝑢−1 y
Sustituyendo en la ecuación:
− 𝑢−2
Simplificando:
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= − 𝑢−2
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑢 𝑢−1
+
= 𝑥(𝑢−1 )2
𝑑𝑥
𝑥
1
− 𝑢 = −𝑥 Ecuación diferencial lineal
𝑥
2. Resolver la ecuación
1
Factor integrante 𝜇(𝑥) = 𝑒 ∫ −𝑥𝑑𝑥 = 𝑒 − ln 𝑥 =
1
𝑥
1 𝑑𝑢 1
[ − 𝑢 = −𝑥]
𝑥 𝑑𝑥 𝑥
𝑑 1
[ 𝑢] = −1
𝑑𝑥 𝑥
𝑢=−
1
1
𝑥
( )
∫ 𝑑𝑥 = −𝑥(𝑥 + 𝑐) ∴ 𝑢 = −𝑥(𝑥 + 𝑐) Solución general
3. Cambio de variable 𝑢 = 𝑦 −1
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 36 de 131
𝑦 −1 = −𝑥(𝑥 + 𝑐) ∴ 𝑦 =
1
−𝑥(𝑥+𝑐)
Solución general
Ejemplo 1.8.2
Resolver 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+𝑦 =
1
𝑦2
1.- Escribirla como una ecuación de Bernoulli y hacer el cambio de variable:
𝑑𝑦 𝑦
+ = 𝑥𝑦 −2
𝑑𝑥 𝑥
∴ 𝑢 = 𝑦1+2 = 𝑦3
1
𝑦 = 𝑢3 y
Sustituyendo en la ecuación:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
3
2
𝑢 −3
𝑑𝑢
𝑑𝑥
1
1 −2
1 −2 𝑑𝑢 𝑢3
𝑢 3
+
= 𝑥 (𝑢3 )
3
𝑑𝑥 𝑥
Simplificando:
𝑑𝑢
𝑑𝑥
3
3
𝑥
𝑥
+ 𝑢 = Ecuación diferencial lineal
2. Resolver la ecuación
3
Factor integrante 𝜇(𝑥) = 𝑒 ∫𝑥𝑑𝑥 = 𝑒 3 ln 𝑥 = 𝑥 3
𝑥3 [
𝑑𝑢 3
3
+ 𝑢= ]
𝑑𝑥 𝑥
𝑥
𝑑 3
[𝑥 𝑢] = 3𝑥 2
𝑑𝑥
𝑢=
1
𝑥3
1
∫ 3𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑥3 (𝑥 3 + 𝑐) ∴ 𝑢 =
(𝑥 3 +𝑐)
𝑥3
Solución general
3. Cambio de variable 𝑢 = 𝑦 3
𝑦3 =
(𝑥 3 +𝑐)
𝑥3
3
∴𝑦=
√𝑥 3 +𝑐
𝑥
Solución general
Ejemplo 1.8.3
Resolver
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦(𝑥𝑦 3 − 1)
1.- Escribirla como una ecuación de Bernoulli y hacer el cambio de variable:
𝑑𝑦
+ 𝑦 = 𝑥𝑦 4
𝑑𝑥
∴ 𝑢 = 𝑦1−4 = 𝑦−3
1
𝑦 = 𝑢−3 y
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
𝑑𝑦
𝑑𝑥
1
4
= − 𝑢 −3
3
𝑑𝑢
𝑑𝑥
Página 37 de 131
Sustituyendo en la ecuación:
−
Simplificando:
𝑑𝑢
𝑑𝑥
1
1 4
1 −4 𝑑𝑢
𝑢 3
+ 𝑢−3 = 𝑥 (𝑢−3 )
3
𝑑𝑥
− 3𝑢 = −3𝑥 Ecuación diferencial lineal
2. Resolver la ecuación
Factor integrante 𝜇(𝑥) = 𝑒 ∫ −3𝑑𝑥 = 𝑒 −3𝑥
𝑒 −3𝑥 [
𝑑𝑢
− 3𝑢 = −3𝑥]
𝑑𝑥
𝑑 −3𝑥
[𝑒 𝑢] = −3𝑥𝑒 −3𝑥
𝑑𝑥
𝑢=
1
𝑒 −3𝑥
1
1
1
∫ −3𝑥𝑒 −3𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 −3𝑥 (𝑥𝑒 −3𝑥 + 3 𝑒 −3𝑥 + 𝑐) ∴ 𝑢 = 𝑥 + 3 + 𝑐𝑒 3𝑥 Solución general
3. Cambio de variable 𝑢 = 𝑦 3
1
𝑦 −3 = 𝑥 + + 𝑐𝑒 3𝑥 ∴ 𝑦 =
3
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
1
3
1
3
Solución general
√𝑥+ +𝑐𝑒 3𝑥
Página 38 de 131
ACTIVIDAD DE TRABAJO 1.8
Realiza los siguientes ejercicios.
I.- Encontrar la solución de la ecuación diferencial.
1.-𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
3.- (1 + 𝑥 2 )
5.-
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2.-
− (1 − 𝑥)𝑦 = 𝑥𝑦 2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥𝑦(𝑦 3 + 1)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
4.- 𝑥 2
+ 𝑥𝑦 2 = 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 2𝑥𝑦 = 3𝑦 4
1
2
6.-𝑦 ′ + 𝑥𝑦 = 𝑥𝑦 −2
+ 𝑦 = −2𝑥𝑦 2
𝑥
PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS
Desarrolla e integra la siguiente actividad a tu portafolio de evidencias.
1.- Realiza un resumen de los pasos que hay que seguir para obtener la solución de una ecuación
diferencial de Bernoulli, cual es el valor de 𝑛 para que sea lineal o separable?
¿?
Soy capaz de visualizar si una ecuación diferencial es de Bernoulli?, Soy capaz de hacer el cambo de
variable correcto con respecto a 𝑢?, Sé cómo sustituir y llegar a una ecuación diferencial lineal respecto
a 𝑢?, Soy capaz de encontrar la solución general de la ecuación respecto a 𝑢? Soy capaz de regresar
a las variables originales y despejar 𝑦?
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 39 de 131
ECUACION DIFERENCIAL POR SUSTITUCIÓN
Definición
Una ecuación diferencial de la forma
𝑑𝑦
= 𝑓 (𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶)
𝑑𝑥
Se puede siempre reducir a una ecuación con variables separables por medio de la
sustitución 𝑢 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶, 𝐵 ≠ 0.
MÉTODO DE SOLUCIÓN:
1. Hacer el cambio de variable: 𝑢 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶
2.- Resolver la ecuación diferencial de variables separables.
3.- Escribir la ecuación diferencial en términos de las variables originales 𝑥 y 𝑦.
Ejemplo 1.9.1
Resolver
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (−5𝑥 + 𝑦)2 − 4
1.- Hacer el cambio de variable:
𝑢 = −5𝑥 + 𝑦 ∴
𝑑𝑦 𝑑𝑢
=
+5
𝑑𝑥 𝑑𝑥
Sustituyendo en la ecuación:
𝑑𝑢
+ 5 = 𝑢2 − 4
𝑑𝑥
Simplificando:
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 𝑢2 − 9 Ecuación diferencial de variables separables
2. Resolver la ecuación
∫
1
6
𝑑𝑢
= ∫ 𝑑𝑥
𝑢2 − 9
1
𝑙𝑛(𝑢 − 3) − 𝑙𝑛(𝑢 + 3) = 𝑥 + 𝑐 Solución general
6
3. Cambio de variable 𝑢 = −5𝑥 + 𝑦
1
6
Cálculo D
1
6
−5𝑥+𝑦−3
𝑙𝑛(−5𝑥 + 𝑦 − 3) − 𝑙𝑛(−5𝑥 + 𝑦 + 3) = 𝑥 + 𝑐 ∴ 𝑥 = 𝑙𝑛 √
6
Capistrán/Gallardo
−5𝑥+𝑦+3
+ 𝑐 Solución general
Página 40 de 131
Ejemplo 1.9.2
Resolver
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (𝑥 + 𝑦 + 1)2
1.- Hacer el cambio de variable:
𝑢 =𝑥+𝑦+1 ∴
𝑑𝑦 𝑑𝑢
=
−1
𝑑𝑥 𝑑𝑥
Sustituyendo en la ecuación:
𝑑𝑢
− 1 = 𝑢2
𝑑𝑥
Simplificando:
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 𝑢2 + 1 Ecuación diferencial de variables separables
2. Resolver la ecuación
∫
𝑑𝑢
= ∫ 𝑑𝑥
𝑢2 + 1
𝑡𝑎𝑛−1 (𝑢) = 𝑥 + 𝑐 Solución general
3. Cambio de variable 𝑢 = 𝑥 + 𝑦 + 1
𝑡𝑎𝑛−1 (𝑥 + 𝑦 + 1) = 𝑥 + 𝑐 ∴ 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛(𝑥 + 𝑐) − 𝑥 − 1 Solución general
Ejemplo 1.9.3
Resolver
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1−𝑥−𝑦
𝑥+𝑦
1.- Hacer el cambio de variable:
𝑢 =𝑥+𝑦 ∴
𝑑𝑦 𝑑𝑢
=
−1
𝑑𝑥 𝑑𝑥
Sustituyendo en la ecuación:
𝑑𝑢
1−𝑢
−1 =
𝑑𝑥
𝑢
Simplificando:
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
1
𝑢
Ecuación diferencial de variables separables
2. Resolver la ecuación
∫ 𝑢𝑑𝑢 = ∫ 𝑑𝑥
𝑢2
2
= 𝑥 + 𝑐 Solución general
3. Cambio de variable 𝑢 = 𝑥 + 𝑦
(𝑥 + 𝑦)2 = 2𝑥 + 𝑐 ∴ 𝑦 = √2𝑥 + 𝑐 − 𝑥 Solución general
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 41 de 131
ACTIVIDAD DE TRABAJO 1.9
Realiza los siguientes ejercicios.
I.- Encontrar la solución de la ecuación diferencial.
1.-
𝑑𝑦
3.-
𝑑𝑦
5.-
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2 + √𝑦 − 2𝑥 + 3
2.-
𝑑𝑦
= 1 + 𝑒 𝑦−𝑥+1
4.-
𝑑𝑦
= cos(𝑥 + 𝑦)
6.-
𝑑𝑦
8.-
𝑑𝑦
7.- (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥 + 𝑦 − 4)𝑑𝑦 = 0
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
= 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 𝑦)
=
3𝑥+2𝑦
3𝑥+2𝑦+2
= 𝑡𝑎𝑛2 (𝑥 + 𝑦)
=
𝑦−𝑥+1
𝑦−𝑥−6
PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS
Desarrolla e integra la siguiente actividad a tu portafolio de evidencias.
1.- Realiza un resumen de los pasos que hay que seguir para obtener la solución de una ecuación
diferencial por sustitución.
¿?
Soy capaz de visualizar si una ecuación diferencial es por sustitución?, Soy capaz de hacer el cambo de
variable correcto con respecto a 𝑢?, Sé cómo sustituir y llegar a una ecuación diferencial de variables
separables?, Soy capaz de encontrar la solución general de la ecuación respecto a 𝑢? Soy capaz de
regresar a las variables originales y despejar 𝑦?
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 42 de 131
ECUACION DIFERENCIAL
INTEGRANTE
POR
FACTOR
Definición
Si existe una función 𝐹(𝑥, 𝑦) tal que 𝐹(𝑥, 𝑦)𝑀𝑑𝑥 + 𝐹(𝑥, 𝑦)𝑁𝑑𝑦 = 0 es exacta, entonces 𝐹(𝑥, 𝑦)
se llama factor de integración de la ecuación diferencial 𝑀𝑑𝑥 + 𝑁𝑑𝑦 = 0.
MÉTODO DE SOLUCIÓN:
1. Buscar el factor integrante:
Si el factor es sólo función de 𝑥.
⇒ 𝐹(𝑥) = 𝑒 ∫ 𝑝 (𝑥) 𝑑𝑥
donde 𝑝( 𝑥) =
𝑀𝑦 −𝑁𝑥
𝑁
Si el factor es sólo función de 𝑦.
⇒ 𝐹(𝑦) = 𝑒 ∫ 𝑝 (𝑦) 𝑑𝑦
donde 𝑝( 𝑦) =
𝑁𝑥 −𝑀𝑦
𝑀
2.- Multiplicar la ecuación diferencial por 𝐹(𝑥) o 𝐹(𝑦) y demostrar que es exacta.
3.- Resolver la ecuación diferencial exacta.
Ejemplo 1.10.1
Resolver (𝑥𝑦 2 − 𝑦 3 )𝑑𝑥 + (1 − 𝑥𝑦 2 )𝑑𝑦 = 0
1.- Factor integrante:
𝑀𝑦 = 2𝑥𝑦 − 3𝑦 2 ,
𝑁𝑥 = −𝑦 2
2
2
𝑀𝑦 − 𝑁𝑥 (2𝑥𝑦 − 3𝑦 ) − (−𝑦 ) 2𝑥𝑦 − 2𝑦 2 2𝑦(𝑥 − 𝑦)
𝑝( 𝑥) =
=
=
=
(1 − 𝑥𝑦 2 )
𝑁
1 − 𝑥𝑦 2
1 − 𝑥𝑦 2
𝑁𝑥 − 𝑀𝑦 (−𝑦 2 ) − (2𝑥𝑦 − 3𝑦 2 ) −2𝑥𝑦 + 2𝑦 2 −2𝑦(𝑥 − 𝑦)
2
𝑝( 𝑦) =
=
= 2
= 2
=−
(𝑥𝑦 2 − 𝑦 3 )
𝑀
𝑦 (𝑥 − 𝑦)
𝑦 (𝑥 − 𝑦)
𝑦
Encontramos 𝐹(𝑦):
𝐹(𝑦) = 𝑒 ∫ 𝑝 (𝑦) 𝑑𝑦 = 𝑒
2
∫ −𝑦 𝑑𝑦
= 𝑒 −2𝑙𝑛𝑦 =
1
𝑦2
2. Multiplicar la ecuación diferencial por 𝐹(𝑦):
1
[(𝑥𝑦 2 − 𝑦 3 )𝑑𝑥 + (1 − 𝑥𝑦 2 )𝑑𝑦 = 0]
𝑦2
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 43 de 131
(𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥 + (
1
𝑦2
− 𝑥) 𝑑𝑦 = 0 Ecuación diferencial exacta
𝑀𝑦 = 𝑁𝑥 = −1 ∴ 𝐸𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎
3. Resolver
1
∫(𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥 + ∫ (𝑦2 − 𝑥) 𝑑𝑦 = 𝑐 ∴
𝑥2
2
1
− 𝑥𝑦 − = 𝑐 Solución general
𝑦
Ejemplo 1.10.2
Resolver 𝑦𝑑𝑥 + (𝑥 2 𝑦 − 𝑥)𝑑𝑦 = 0
1.- Factor integrante:
𝑀𝑦 = 1 ,
𝑁𝑥 = 2𝑥𝑦 − 1
𝑀𝑦 − 𝑁𝑥 (1) − (2𝑥𝑦 − 1) −2𝑥𝑦 + 2
2(1 − 𝑥𝑦)
2
𝑝( 𝑥) =
=
= 2
=
=−
(𝑥 2 𝑦 − 𝑥)
(𝑥 𝑦 − 𝑥) −𝑥(1 − 𝑥𝑦)
𝑁
𝑥
𝑁𝑥 − 𝑀𝑦 (2𝑥𝑦 − 1) − (1) 2𝑥𝑦 − 2 2(𝑥𝑦 − 1)
𝑝( 𝑦) =
=
=
=
𝑀
𝑦
𝑦
𝑦
Encontramos 𝐹(𝑥):
2
𝐹(𝑥) = 𝑒 ∫ 𝑝( 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑒 ∫ −𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 −2𝑙𝑛𝑥 =
1
𝑥2
2. Multiplicar la ecuación diferencial por 𝐹(𝑥):
1
[𝑦𝑑𝑥 + (𝑥 2 𝑦 − 𝑥)𝑑𝑦 = 0]
𝑥2
𝑦
𝑥2
1
𝑑𝑥 + (𝑦 − ) 𝑑𝑦 = 0 Ecuación diferencial exacta
𝑥
𝑀𝑦 = 𝑁𝑥 =
1
∴ 𝐸𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎
𝑥2
3. Resolver
𝑦
1
𝑦
∫ 𝑥2 𝑑𝑥 + ∫ (𝑦 − 𝑥) 𝑑𝑦 = 𝑐 ∴ − 𝑥 +
𝑦2
2
= 𝑐 Solución general
Ejemplo 1.10.3
Resolver (𝑦 2 + 2𝑥𝑦)𝑑𝑥 − 𝑥 2 𝑑𝑦 = 0
1.- Factor integrante:
𝑀𝑦 = 2𝑦 + 2𝑥 ,
𝑁𝑥 = −2𝑥
𝑀𝑦 − 𝑁𝑥 (2𝑦 + 2𝑥 ) − (−2𝑥) 2𝑦 + 4𝑥 2(𝑦 + 2𝑥)
𝑝( 𝑥) =
=
=
=
(−𝑥 2 )
(−𝑥 2 )
𝑁
−𝑥 2
𝑁𝑥 − 𝑀𝑦 (−2𝑥) − (2𝑦 + 2𝑥) −2𝑦 − 4𝑥 −2(𝑦 + 2𝑥)
2
𝑝( 𝑦) =
=
= 2
=
=−
𝑀
𝑦 2 + 2𝑥𝑦
𝑦 + 2𝑥𝑦
𝑦(𝑦 + 2𝑥)
𝑦
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 44 de 131
Encontramos 𝐹(𝑦):
𝐹(𝑦) = 𝑒 ∫ 𝑝 (𝑦) 𝑑𝑦 = 𝑒
2
∫ −𝑦 𝑑𝑥
= 𝑒 −2𝑙𝑛𝑦 =
1
𝑦2
2. Multiplicar la ecuación diferencial por 𝐹(𝑥):
1
[(𝑦 2 + 2𝑥𝑦)𝑑𝑥 − 𝑥 2 𝑑𝑦 = 0]
𝑦2
(1 +
2𝑥
𝑦
) 𝑑𝑥 −
𝑥2
𝑦2
𝑑𝑦 = 0 Ecuación diferencial exacta
𝑀𝑦 = 𝑁𝑥 = −
2𝑥
∴ 𝐸𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎
𝑦2
3. Resolver
∫ (1 +
Cálculo D
2𝑥
𝑦
) 𝑑𝑥 − ∫
𝑥2
𝑦2
𝑑𝑦 = 𝑐 ∴ 𝑥 +
Capistrán/Gallardo
𝑥2
𝑦
= 𝑐 Solución general
Página 45 de 131
ACTIVIDAD DE TRABAJO 1.10
Realiza los siguientes ejercicios.
I.- Encontrar la solución de la ecuación diferencial.
1.-(𝑥 2 − 𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑦 = 0
2.- (𝑥 2 + 𝑥𝑦)𝑑𝑦 + (3𝑥𝑦 + 𝑦 2 )𝑑𝑥 = 0
3.-(2𝑥𝑦 + 𝑦 4 )𝑑𝑥 + (3𝑥 2 + 6𝑥𝑦 3 )𝑑𝑦 = 0
4.- (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 + (1 − 𝑥)𝑑𝑦 = 0
5.- 3𝑦𝑑𝑥 + 4𝑦𝑑𝑦 = 0
6.-4𝑦𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑦 = 0
7.- 3𝑥 2 𝑦𝑑𝑥 + 𝑦𝑑𝑦 = 0
8.-𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥𝑑𝑥 − 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑦 = 0
9.- 𝑥 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0
10.-(𝑦 + 𝑥 + 2)𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 = 0
PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS
Desarrolla e integra la siguiente actividad a tu portafolio de evidencias.
1.- Realiza un resumen de los pasos que hay que seguir para obtener la solución de una ecuación
diferencial por factor integrante.
¿?
Soy capaz de visualizar si una ecuación diferencial es por factor integrante?, Soy capaz de buscar el
factor integrante respecto a 𝑥 o 𝑦?, Sé cómo multiplicar el factor integrante y demostrar que la ecuación
diferencial que queda es exacta?, Soy capaz de encontrar la solución general de la ecuación
diferencial exacta?
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 46 de 131
AUTOEVALUACIÓN
Realiza los siguientes ejercicios.
Clasificación de Ecuaciones Diferenciales
1.- Defina una Ecuación Diferencial Ordinaria?
2.- Defina orden de una Ecuación Diferencial?
3.- Defina linealidad de una Ecuación Diferencial?
4.- Clasifique la ecuación diferencial
a) (𝑥 − 1)𝑦 ′′ + 𝑦(𝑦′)3 − 𝑥 = 0
b) (𝑥 2 − 1)𝑦 ′′′ + 𝑦′ − 𝑥 = 0
𝑦
c) 𝑥(𝑥 2 − 1)𝑦 ′′′ + (𝑥𝑦′)2 =
d) 𝑦 ′′ + 𝑥𝑦𝑦 ′ = 𝑠𝑒𝑛𝑥
e) 𝑥 3 𝑦𝑦 ′′′ − 𝑥 2 𝑦𝑦 ′′ + 𝑦 = 0
𝑑𝑢 2
𝑑2𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑦 2
f) ( ) +
=
𝑥
𝑥
𝑦
Solución de una Ecuación diferencial
5.- Defina solución de una Ecuación Diferencial.
6.- Defina solución general.
7.- Defina solución particular.
8.- Si 𝑦 = 𝑐1 𝑒 3𝑥 + 𝑐2 𝑒 −𝑥 − 2𝑥 es una familia de soluciones de dos parámetros de la ED de segundo orden
𝑦 ′′ – 2𝑦 ′ − 3𝑦 = 6𝑥 + 4. A) Demuestre que es solución, b) Determine una solución particular de segundo
orden que consiste en esta ecuación diferencial y en las condiciones iniciales dadas, 𝑦 (0) = 1, 𝑦 ′ (0) = −3.
9.- Compruebe que la familia uniparamétrica 𝑦 2 − 2𝑦 = 𝑥 2 – 𝑥 + 𝑐 es una solución implícita de la ecuación
diferencial (2𝑦 − 2)𝑦 ′ = 2𝑥 − 1.
10.- Comprobar solución de Ecuaciones diferenciales
a) 𝑦 = 𝑐𝑒 𝑥 de 𝑦´ − 𝑦 = 0
64𝑥
b) 𝑦 = 8𝑙𝑛𝑥 + 𝑐 de 𝑦´ = √
𝑥3
c) 𝑦 =
de 𝑦´´ − 2𝑦´ + 𝑦 = 0
d) 𝑦 = 1 + 𝑐√1 − 𝑥 2 de (1 − 𝑥 2 )𝑦´ + 𝑥𝑦 = 𝑥
11.- Dada la ecuación, la solución y las condiciones iniciales, determinar el valor de las constantes.
a) 𝑦𝑦´ + 6𝑥 = 0
𝑦 2 = −6𝑥 2 + 𝑐
𝑦(0) = 4
1
2𝑥
2
2𝑥
b) 𝑦𝑦´ = 𝑒 + 1
𝑦 = 𝑒 + 2𝑥 + 𝑐
𝑦(0) =
8𝑒 𝑥
+ 𝑥𝑒 𝑥
Escoger la opción correcta:
c)𝑥𝑦´ = 7
𝑦(1) = 7
2
A) 𝑦 = 7 ln 𝑥 + 𝑐
7
B) 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑐
𝑐=7
7
𝑐=
C) 𝑦 = ln 𝑥 + 𝑐
D) 𝑦 = ln 𝑐𝑥 7
A) 𝑦 2 = 2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐
𝑐=7
𝑐 = 𝑒 −7
𝑐=9
B) ln 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐
𝑐 = 𝑙𝑛3
2
d) 𝑦𝑦´ = 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝜋
𝑦( ) = 3
2
C)
𝑦2
2
= 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐
D) ln 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐
2
𝑐=
7
2
𝑐 = ln 𝑥 − 1
Métodos de Solución
Variables Separables
12.- Definición Ecuación diferencial de Variables Separables.
13.- Resolver
a) 𝑦´ = 4𝑥 − 6
𝑦
b) 𝑦´ =
2
1+𝑥
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 47 de 131
c) 𝑦´ =
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
𝑦
d) 𝑦´ = 4 − 9𝑥 2 − 6𝑥 5
e) 𝑦´ = ln 𝑥 − 9𝑥 2
𝑦(1) = 2
𝑦(1) = 7
Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
14.Definición
Ecuación
diferencial
Homogénea.
15.- Resolver
a) 𝑥𝑦´ = 𝑦 − 𝑥
b) 𝑦´ =
𝑦 2 +𝑥 2
𝑥
2𝑥𝑦
𝑦
𝑦
𝑥
c) 𝑦´ = +
d) (3𝑦 2 + 𝑥 2 )𝑦´ + 2𝑥𝑦 + 3𝑥 2 = 0
e) (3𝑥𝑦 2 + 𝑥 3 )𝑦´ = 3𝑦 3 + 𝑥 2 𝑦
𝑦(1) = 2
𝑥
Ecuaciones Diferenciales Lineales
16.- Definición de Ecuación diferencial Lineal.
17.- Resolver
𝑦
a) (3 − 8) 𝑑𝑥 + 3𝑑𝑦 = 0
𝑥
𝑑𝑦
𝑥
Ecuaciones Diferenciales (Bernoulli)
22.- Definición de Ecuación Diferencial de
Bernoulli.
23.- Resolver
1
2
a) 𝑦´ + 𝑦 = 𝑥 4 𝑦 4
𝑥
𝑦
b) (𝑥 + ) 𝑑𝑥 − 𝑑𝑦 = 0
c)
Ecuaciones Diferenciales (Factor integrante)
20.- Definición de Factor Integrante.
21.- Resolver
a) 𝑥 −2 𝑦 −5 𝑑𝑥 + 𝑥 −3 𝑦 −4 𝑑𝑦 = 0
b) (𝑦 + 𝑥 + 2)𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 = 0
c) (𝑥𝑦 + 𝑦 + 𝑦 2 )𝑑𝑥 + (𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑦 = 0
d) (2𝑥𝑦 + 𝑦 4 )𝑑𝑥 + (3𝑥 2 + 6𝑥𝑦 5 )𝑑𝑦 = 0
𝑦
1
e) ( 2 + 2) 𝑑𝑥 + (1 + ln 𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0
3
b) 𝑦´ + 𝑥𝑦 = 𝑥𝑦 −2
1
c) 𝑦´ + 𝑦 = 4𝑥 3 𝑦 −1
𝑥
+ 𝑦 = 𝑒 2𝑥
d) 𝑦´ + (𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥
e) 𝑥𝑦´ + 4𝑦 = 9𝑥 5 + 2𝑥 3
𝑥
𝑑𝑥
1
d) 𝑦´ − 𝑥𝑦 = 2𝑥𝑦 ⁄2
e) 3𝑥𝑦´ − 2𝑦 = 𝑥 3 𝑦 −2
Ecuaciones Diferenciales Exactas
18.- Definición de Ecuación Diferencial Exacta.
19.- Resolver
a) (2𝑥 − 5𝑦 + 2)𝑑𝑥 + (1 − 6𝑦 − 5𝑥)𝑑𝑦 = 0
b) (16𝑥𝑦 − 3𝑥 2 )𝑑𝑥 + (8𝑥 2 + 2𝑦)𝑑𝑦 = 0
c) (𝑒 𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 + (𝑒 𝑦 + 𝑥)𝑑𝑦 = 0
𝑦
𝑦 𝑦
d) (1 − 3 𝑒 ⁄𝑥 ) 𝑑𝑥 + (1 + 𝑒 ⁄𝑥 ) 𝑑𝑦 = 0
Ecuaciones Diferenciales (Sustitución)
24.- Definición de Factor por sustitución.
25.- Resolver
𝑑𝑦
a) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦)
e) (𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑦)𝑑𝑥 − (𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑦)𝑑𝑦 = 0 𝑦(0) = 𝜋
𝜋
f) [𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦) − 1]𝑑𝑥 + 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦)𝑑𝑦 = 0 𝑦(0) =
d)
𝑥
2
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
b)
c)
e)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1−𝑥−𝑦
𝑥+𝑦
= 𝑡𝑎𝑛2 (𝑥 + 𝑦)
= 2 + √𝑦 − 2𝑥 + 3
= 1 + 𝑒 𝑦−𝑥+5
Página 48 de 131
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden,
Reducción
de orden
Segundo
Parcial
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 49 de 131
Competencias a alcanzar
COMPETENCIAS
Comprender y entender la
formulación de un modelo
matemático.
Comprender y resolver los
diversos sistemas físicos que se
pueden modelar utilizando
una ecuación diferencial de
primer orden.
Comprender el concepto y la
importancia
de
las
trayectorias ortogonales de
una familia de curvas.
Comprender y entender las
soluciones de las ecuaciones
diferenciales de segundo
orden que realizando un
cambio
de
variable
adecuado, se reduce a una
ecuación
diferencial
de
primer grado.
Adquirir la habilidad de
aprender
los
diferentes
métodos de solución de las
ecuaciones diferenciales de
primer orden y grado superior,
según sea el caso o tipo de
ecuación diferencial.
Ser capaz de resolver las
ecuaciones diferenciales de
primer orden y grado
superior, según sea el caso:
ecuaciones solubles para 𝑝,
solubles para 𝑥, ecuación
de Clairaut y Lagrange.
Cálculo D
ACTIVIDADES DE
APRENDIZAJE
Identificar las características de un
modelo matemático que genere
ecuaciones diferenciales de primer
orden, realizando una investigación
de ejemplos de sistemas físicos.
Analizar y plantear los sistemas físicos
que se pueden resolver mediante una
ecuación diferencial de primer orden
como son los casos de: dinámica
poblacional, decaimiento radiactivo,
ley de enfriamiento de Newton,
cuerpos en movimiento y circuitos
eléctricos RL y RC.
Realizar una serie de ejercicios y
problemas en donde se compruebe
que se obtienen las trayectorias
ortogonales de una familia de
curvas, entendiendo su significado.
Realizar una serie de ejercicios en
donde se compruebe y resuelva una
ecuación diferencial de segundo
orden por reducción de orden, según
la ecuación no contenga la variable
independiente
o
la
variable
dependiente.
Identificar los diversos métodos de
solución de una ecuación diferencial
de primer orden y grado superior.
Realizar una serie de ejercicios en
donde se compruebe que soluciones
de primer orden y orden superior.
Realizar una serie de ejercicios
donde se compruebe y resuelve que
es una ecuación diferencial soluble
para 𝑝 y 𝑥 y las ecuaciones de
Clairaut y Lagrange.
Capistrán/Gallardo
HABILIDADES Y ACTITUDES
El alumno será capaz de aprender
y
comprender
los
modelos
matemáticos de diversos sistemas
físicos que se pueden plantear
como ecuaciones diferentes de
primer orden.
El alumno será capaz de describir
matemáticamente a través de una
ecuación diferencial de primer
orden casos y problemas de
sistemas físicos típicos.
A través de la asimilación de los
conocimientos de los métodos de
solución
las
ecuaciones
diferenciales de primer orden, el
alumno utilizará lo aprendido e
incorporará condiciones iniciales a
la solución de dichas ecuaciones
diferenciales producto de modelar
sistemas físicos adecuados a los
temas trabajados en clase.
El alumno desarrollará la habilidad
de
obtener
las
trayectorias
ortogonales a una familia de
curvas.
El alumno será capaz de aprender y
comprender los diferentes métodos
de solución de las ecuaciones
diferenciales de segundo orden por
reducción de grado.
El alumno será capaz de aprender y
comprender los diferentes métodos
de solución de las ecuaciones
diferenciales de primer orden y
grado superior.
El alumno desarrollará la habilidad
para resolver las ecuaciones
diferenciales
de
Clairaut
y
Lagrange.
Página 50 de 131
Organizador gráfico
Aplicacion de las Ecuaciones
Diferenciales de primer Orden
Curvas Ortogonales
Crecimiento
Poblacional
Ley de
Temperatura
Cuerpos en
movimiento
Circuitos RL y
RC
Cálculo D
Reducción de Orden
Ecuaciones
diferenciales de
segundo orden
reducidas a
primer orden
Capistrán/Gallardo
Ecuaciones de
primer orden y
grado superior
Ecuaciones
diferenciales de
Clairaut y
Lagrange
Página 51 de 131
Modelos Matemáticos
Con frecuencia es deseable describir en términos matemáticos el comportamiento de algunos sistemas o
fenómenos de la vida real, sean físicos, sociológicos o hasta económicos. La descripción matemática de
un sistema de fenómenos se llama modelo matemático y se construye con ciertos objetivos.
Puesto que con frecuencia las hipótesis acerca de un sistema implican una razón de cambio de una o más
de las variables, el enunciado matemático de todas esas hipótesis puede ser una o más ecuaciones que
contengan derivadas. En otras palabras, el modelo matemático puede ser una ecuación diferencial o un
sistema de ecuaciones diferenciales.
Con frecuencia, el modelo matemático de un sistema físico inducirá la variable tiempo 𝑡. Una solución del
modelo expresa el estado del sistema; en otras palabras, los valores de la variable dependiente (o variables)
para los valores adecuados de 𝑡 que describen el sistema en el pasado, presente y futuro.
Crecimiento Poblacional
El problema con valores iniciales,
𝑑𝑃
= 𝑘𝑃, 𝑃(𝑡0 ) = 𝑃0
𝑑𝑡
donde 𝑘 es una constante de proporcionalidad, sirve como modelo para diferentes fenómenos que tienen
que ver con crecimiento o decaimiento. Veremos que en las aplicaciones biológicas la razón de
crecimiento de ciertas poblaciones (bacterias, pequeños animales) en cortos periodos de tiempo es
proporcional a la población presente en el tiempo 𝑡. Si se conoce la población en algún tiempo inicial
arbitrario 𝑡0 , la solución de la ecuación se puede utilizar para predecir la población en el futuro, es decir, a
tiempos 𝑡 > 𝑡0 . La constante de proporcionalidad 𝑘 en la ecuación se determina a partir de la solución del
problema con valores iniciales, usando una medida posterior de 𝑃 al tiempo 𝑡1 > 𝑡0 . En física y química la
ecuación se ve en la forma de una reacción de primer orden, es decir, una reacción cuya razón, o
velocidad, 𝑑𝑃/𝑑𝑡 es directamente proporcional a la cantidad 𝑃 de sustancia que no se ha convertido o que
queda al tiempo 𝑡. La descomposición, o decaimiento, de U-238 (uranio) por radiactividad en Th-234 (torio)
es una reacción de primer orden.
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 52 de 131
Ejemplo 2.1.1
Inicialmente un cultivo tiene un número 𝑃0 de bacterias. En 𝑡 = 1 ℎ se determina que el número de bacterias
3
es 𝑃0 . Si la razón de crecimiento es proporcional al número de bacterias 𝑃(𝑡) presentes en el tiempo 𝑡,
2
determine el tiempo necesario para que se triplique el número de bacterias.
1. Resolver la ecuación diferencial:
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑘𝑃 la ecuación diferencial es de variables separables
𝑑𝑃
∫ 𝑃 = ∫ 𝑘𝑑𝑡 ⟹ 𝑃(𝑡) = 𝑐𝑒 𝑘𝑡 solución general
𝑃(𝑡0 ) = 𝑐𝑒 0 = 𝑃0 ∴ 𝑐 = 𝑃0 condiciones iniciales
𝑃(𝑡) = 𝑃0 𝑒 𝑘𝑡 solución particular
2. Encontrar el valor de la constante 𝑘:
Despejando 𝑘
3
𝑃(1) = 𝑃0 𝑒 𝑘(1) = 𝑃0
2
3
𝑘 = 𝐿𝑛 ( ) ≅ 0.4055
2
3. Encontrar el tiempo 𝑡:
3𝑃0 = 𝑃0 𝑒 0.4055(𝑡) ⟹ 𝑡 =
𝐿𝑛 3
≅ 2.71 ℎ
0.4055
Ejemplo 2.1.2
Un material radiactivo se desintegra a una razón proporcional a la cantidad presente. Si inicialmente hay
40 𝑚𝑔 de material y al cabo de una hora se observa que ha perdido 8% de la cantidad inicial, hallar:
a) La cantidad de masa en cualquier momento 𝑡.
b) La masa del material después de 3 horas.
c) El tiempo que transcurre hasta la desintegración de la mitad de la cantidad inicial.
1. La cantidad de masa en cualquier momento 𝑡:
𝑑𝑀
𝑑𝑡
= 𝑘𝑀 Resolviendo la Ecuación Diferencial
𝑀(𝑡) = 𝑐𝑒 𝑘𝑡 solución general
𝑀(𝑡0 ) = 𝑐𝑒 0 = 𝑀0 ∴ 𝑐 = 𝑀0 condiciones iniciales
𝑀(𝑡) = 𝑀0 𝑒 𝑘𝑡 solución particular
Condiciones iniciales
𝑃(0) = 40 𝑚𝑔
𝑃(1) = 36.8 𝑚𝑔
𝑀(1) = 40𝑒 𝑘(1) = 36.8
Despejando 𝑘
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 53 de 131
36.8
𝑘 = 𝐿𝑛 (
) ≅ −0.0834
40
2. La masa del material después de 3 horas:
𝑀(𝑡) = 40𝑒 −0.0834𝑡
𝑀(3) = 40𝑒 −0.0834(3) = 31.15 𝑚𝑔
3. El tiempo que transcurre hasta la desintegración de la mitad de la cantidad inicial:
20 = 40𝑒 −0.0834(𝑡)
Despejando 𝑡
𝐿𝑛(1/2)
𝑡 =
≅ 8.31 ℎ
−0.0834
Ejemplo 2.1.3
Un reactor de cría convierte uranio 238 relativamente estable en el isótopo plutonio 239. Después de 15 𝑎ñ𝑜𝑠,
se ha determinado que 0.043% de la cantidad inicial 𝐴0 de plutonio se ha desintegrado. Determine la vida
media de ese isótopo, si la razón de desintegración es proporcional a la cantidad que queda.
1. Resolver la ecuación diferencial:
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 𝑘𝐴 Ecuación diferencial de variables separables
𝐴(𝑡) = 𝐴0 𝑒 𝑘𝑡
Condiciones iniciales:
2. Encontrar el valor de la constante 𝑘:
𝑃(15) = 𝐴0 𝑒 𝑘(15) = 0.99957𝐴0
𝑘=
𝐿𝑛(0.99957)
≅ −0.00002867
15
3. Encontrar el tiempo 𝑡 (vida media):
1
𝐿𝑛 ( )
1
2
𝐴0 = 𝐴0 𝑒 0.00002867(𝑡) ⟹ 𝑡 =
≅ 24,174.35 𝑎ñ𝑜𝑠
2
0.00002867
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 54 de 131
ACTIVIDAD DE TRABAJO 2.1
Realiza los siguientes ejercicios.
I.- Hallar la solución de cada problema en forma clara y ordenada
1.- Se sabe que la población de una comunidad crece con una razón proporcional al número de personas
presentes en el tiempo 𝑡. Si la población inicial 𝑃0 se duplicó en 5 𝑎ñ𝑜𝑠, ¿En cuánto tiempo se triplicará y
cuadruplicará?
2.- Suponga que se sabe que la población de la comunidad del problema 1 es de 10 000 después de tres
años. ¿Cuál era la población inicial 𝑃0 ? ¿Cuál será la población en 10 𝑎ñ𝑜𝑠? ¿Qué tan rápido está creciendo
la población en 𝑡 = 10?
3.- La población de un pueblo crece con una razón proporcional a la población en el tiempo 𝑡. La población
inicial de 500 aumenta 15% en 10 𝑎ñ𝑜𝑠. ¿Cuál será la población pasados 30 𝑎ñ𝑜𝑠? ¿Qué tan rápido está
creciendo la población en 𝑡 = 30?
4.- La población de bacterias en un cultivo crece a una razón proporcional a la cantidad de bacterias
presentes al tiempo 𝑡. Después de tres horas se observa que hay 400 bacterias presentes. Después de 10
horas hay 2 000 bacterias presentes. ¿Cuál era la cantidad inicial de bacterias?
5.- El uranio se descompone a una velocidad proporcional a la cantidad presente. Si inicialmente hay 10 𝑔
y después de 2 horas se ve que ha perdido el 5% de su masa original, hallar: a. La ecuación que representa
la cantidad restante en cualquier tiempo 𝑡. b. La cantidad de uranio después de 5 horas.
6.- En una reacción química, la sustancia 𝑀 se transforma en otra sustancia a una velocidad proporcional
a la cantidad de 𝑀 no transformada todavía. Si al inicio de la reacción había 200 𝑔 de 𝑀 y una hora más
tarde 75 𝑔, calcular el porcentaje de 𝑀 transformada después de 2 horas.
PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS
Desarrolla e integra la siguiente actividad a tu portafolio de evidencias.
1.- Realiza un resumen de como poder plantear y resolver los problemas de Crecimiento Poblacional.
¿?
Entiendo el cómo plantear el problema?, Soy capaz de entender las condiciones iniciales y utilizarlas?,
Comprendo y recuerdo que debo de hacer para resolver los problemas?, Comprendo si los resultados
son coherentes? Soy capaz de buscar en mi procedimiento posibles fallas en el planteamiento?
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 55 de 131
LEY DE NEWTON DEL
ENFRIAMIENTO/CALENTAMIENTO
La formulación matemática de la ley empírica de Newton del enfriamiento/calentamiento de un objeto,
se expresa con la ecuación diferencial lineal de primer orden,
𝑑𝑇
= 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑚 )
𝑑𝑡
donde 𝑘 es una constante de proporcionalidad, 𝑇(𝑡) es la temperatura del objeto para 𝑡 = 0, y 𝑇𝑚 es la
temperatura ambiente, es decir, la temperatura del medio que rodea al objeto.
Ejemplo 2.2.1
Al sacar un pastel del horno, su temperatura es 300° 𝐹. Tres minutos después su temperatura es de 200° 𝐹.
¿Cuánto tiempo le tomará al pastel enfriarse hasta la temperatura ambiente de 700 𝐹?
1. Resolver la ecuación diferencial:
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑚 ) la ecuación diferencial es de variables separables
∫
𝑑𝑇
(𝑇−𝑇𝑚 )
= ∫ 𝑘𝑑𝑡 ⟹ 𝑇(𝑡) = 𝑇𝑚 + 𝑐𝑒 𝑘𝑡 solución general
𝑇(𝑡0 ) = 𝑇𝑚 + 𝑐𝑒 0 = 𝑇0 ∴ 𝑐 = 𝑇0 − 𝑇𝑚 condiciones iniciales
𝑇(𝑡) = 𝑇𝑚 + (𝑇0 − 𝑇𝑚 )𝑒 𝑘𝑡 solución particular
2. Datos iniciales::
𝑇0 = 300° 𝐹, 𝑇𝑚 = 700 𝐹, 𝑇(3) = 200° 𝐹
𝑇(3) = 70 + (300 − 70)𝑒 𝑘(3) = 200
Despejando 𝑘
𝑘=
Por lo tanto:
𝐿𝑛 (
200 − 70
)
300 − 70 ≅ −0.19018
3
𝑇(𝑡) = 70 + 230𝑒 −0.19018𝑡
3. Encontrar el tiempo 𝑡:
70 = 70 + 230𝑒 −0.19018𝑡 ⟹ 𝑡 = ∞
Lo que significa que en un tiempo “muy lejano” alcanzara la temperatura ambiente.
Si quisiéramos saber cuánto tardaría en alcanzar “casi” la temperatura ambiente de 𝑇𝑚 = 710 𝐹
1
ln (
)
230 = 28.35 𝑚𝑖𝑛
71 = 70 + 230𝑒 −0.19018𝑡 ⟹ 𝑡 =
−0.19018
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 56 de 131
Ejemplo 2.2.2
Según la ley de Enfriamiento de Newton, la velocidad a la que se enfría una sustancia al aire libre es
proporcional a la diferencia de temperaturas de la sustancia y del aire. Si la temperatura del aire es 28° y la
sustancia se enfría de 100° a 80° en 12 minutos, ¿en qué momento estará a una temperatura de 50 grados?
1. La solución de la ecuación diferencial es:
𝑇(𝑡) = 𝑇𝑚 + (𝑇0 − 𝑇𝑚 )𝑒 𝑘𝑡
2. Datos iniciales:
𝑇0 = 100° 𝐶, 𝑇𝑚 = 280 𝐶, 𝑇(12) = 80° 𝐶
𝑇(12) = 28 + (100 − 28)𝑒 𝑘(12) = 80
Despejando 𝑘
𝑘=
𝐿𝑛 (
Por lo tanto:
80 − 28
)
100 − 28 ≅ −0.02711
12
𝑇(𝑡) = 28 + 72𝑒 −0.02711𝑡
3. Encontrar el tiempo 𝑡:
50 = 28 + 72𝑒 −0.02711𝑡 ⟹ 𝑡 = 43.72 𝑚𝑖𝑛
Ejemplo 2.2.3
Un cuerpo a una temperatura desconocida se coloca en una habitación en la cual hay una temperatura
constante de 18°. Si después de 15 minutos la temperatura del cuerpo es de 8° y después de 25 minutos es
de 12°, hallar la temperatura inicial del cuerpo.
1. La solución de la ecuación diferencial es:
𝑇(𝑡) = 𝑇𝑚 + (𝑇0 − 𝑇𝑚 )𝑒 𝑘𝑡
2. Datos iniciales:
𝑇𝑚 = 18° 𝐶, 𝑇(15) = 8° 𝐶, 𝑇(25) = 12° 𝐶
Sustituyendo las condiciones iniciales:
𝑇(15) = 18 + (𝑇0 − 18)𝑒 𝑘(15) = 8
𝑇(25) = 18 + (𝑇0 − 18)𝑒 𝑘(25) = 12
Tenemos dos ecuaciones dos incógnitas, despejamos (𝑇0 − 18) e igualamos ambas ecuaciones:
(𝑇0 − 18) =
Por lo tanto:
3. Por lo tanto 𝑇0 :
10
𝑙𝑛 ( )
8 − 18
𝑒 𝑘(15)
6 ≅ −0.051
−10𝑘
=
=𝑒
,𝑘 =
12 − 18 𝑒 𝑘(25)
−10
𝑇0 =
Cálculo D
8 − 18 12 − 18
= 𝑘(25)
𝑒 𝑘(15)
𝑒
−10
+ 18 ⟹ 𝑇0 = −3.50 𝐶
𝑒 (−0.051)(15)
Capistrán/Gallardo
Página 57 de 131
ACTIVIDAD DE TRABAJO 2.2
Realiza los siguientes ejercicios.
I.- Hallar la solución de cada problema en forma clara y ordenada
1.- Una sustancia se enfría desde 100° hasta 70° en 15 minutos estando al aire libre (temperatura del aire
20°), hallar la temperatura después de 30 minutos.
2.- Un termómetro se cambia de una habitación donde la temperatura es de 70° 𝐹 al exterior, donde la
temperatura del aire es de 10° 𝐹. Después de medio minuto el termómetro indica 50° 𝐹. ¿Cuál es la lectura
del termómetro en 𝑡 = 1 𝑚𝑖𝑛? ¿Cuánto tiempo le tomará al termómetro alcanzar los 15° 𝐹?
3.- Un termómetro se lleva de una habitación hasta el ambiente exterior, donde la temperatura del aire es
5° 𝐹. Después de 1 minuto, el termómetro indica 55° 𝐹 y después de 5 minutos indica 30° 𝐹. ¿Cuál era la
temperatura inicial de la habitación?
4.- Una pequeña barra de metal, cuya temperatura inicial era de 20° 𝐶, se deja caer en un gran tanque de
agua hirviendo. ¿Cuánto tiempo tardará la barra en alcanzar los 90° 𝐶 si se sabe que su temperatura
aumentó 2° en 1 segundo? ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar los 98° 𝐶?
5.- Un termómetro que indica 70° 𝐹 se coloca en un horno precalentado a una temperatura constante. A
través de una ventana de vidrio en la puerta del horno, un observador registra que el termómetro lee 110° 𝐹
después de 1/2 minuto y 145° 𝐹 después de 1 minuto. ¿Cuál es la temperatura del horno?
6.- Un cadáver se encontró dentro de un cuarto cerrado en una casa donde la temperatura era constante
a 70° 𝐹. Al tiempo del descubrimiento la temperatura del corazón del cadáver se determinó de 85° 𝐹. Una
hora después una segunda medición mostró que la temperatura del corazón era de 80° 𝐹. Suponga que el
tiempo de la muerte corresponde a 𝑡 = 0 y que la temperatura del corazón en ese momento era de 98.6° 𝐹.
Determine ¿cuántas horas pasaron antes de que se encontrara el cadáver? [Sugerencia: Sea que 𝑡1 > 0
denote el tiempo en que se encontró el cadáver.]
PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS
Desarrolla e integra la siguiente actividad a tu portafolio de evidencias.
1.- Realiza un resumen de como poder plantear y resolver los problemas de Ley de Calentamiento/
Enfriamiento de Newton.
¿?
Entiendo el cómo plantear el problema?, Soy capaz de entender las condiciones iniciales y utilizarlas?,
Comprendo cuando 𝑘 puede ser positiva o negativa?, Comprendo si los resultados son coherentes? Soy
capaz de buscar en mi procedimiento posibles fallas en el planteamiento?
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 58 de 131
CUERPOS EN MOVIMIENTO
2DA. LEY DE NEWTON
CUERPOS EN CAÍDA Para establecer un modelo matemático del movimiento de un cuerpo que se mueve
en un campo de fuerzas, con frecuencia se comienza con la segunda ley de Newton. Recordemos de la
física elemental, la primera ley del movimiento de Newton establece que un cuerpo permanecerá en
reposo o continuará moviéndose con una velocidad constante, a menos que
sea sometido a una fuerza externa. En los dos casos, esto equivale a decir que
cuando la suma de las fuerzas 𝐹 = ∑ 𝐹𝑘 , esto es, la fuerza neta o fuerza
resultante, que actúa sobre el cuerpo es cero, la aceleración 𝑎 del cuerpo es
cero. La segunda ley del movimiento de Newton indica que cuando la fuerza
neta que actúa sobre un cuerpo no es cero, entonces la fuerza neta es
proporcional a su aceleración 𝑎 o, más exactamente, 𝐹 = 𝑚𝑎, donde 𝑚 es la
masa del cuerpo.
Supongamos ahora que se arroja una piedra hacia arriba desde el techo de
un edificio como se muestra en la figura. ¿Cuál es la posición 𝑠(𝑡) de la piedra
respecto al suelo al tiempo 𝑡? La aceleración de la piedra es la segunda
derivada 𝑑2 𝑠/𝑑𝑡 2 . Si suponemos que la dirección hacia arriba es positiva y que
no hay otra fuerza, además de la fuerza de la gravedad, que actúe sobre la
piedra, entonces utilizando la segunda ley de Newton se tiene que
𝑚
𝑑2𝑠
𝑑𝑡 2
= −𝑚𝑔 .
En otras palabras, la fuerza neta es simplemente el peso 𝐹 = 𝐹1 = −𝑊 de la piedra cerca de la superficie de
la Tierra. Recuerde que la magnitud del peso es 𝑊 = 𝑚𝑔, donde 𝑚 es la masa del cuerpo y 𝑔 es la
aceleración debida a la gravedad. El signo menos en la ecuación se usa porque el peso de la piedra es
una fuerza dirigida hacia abajo, que es opuesta a la dirección positiva. Si la altura del edificio es 𝑠0 y la
velocidad inicial de la roca es 𝑣0 , entonces 𝑠 se determina a partir del problema con valores iniciales de
segundo orden
𝑑2 𝑠
= −𝑔, 𝑠(0) = 𝑠0 , 𝑠 ′ (0) = 𝑣0
𝑑𝑡 2
CUERPOS EN CAÍDA Y RESISTENCIA DEL AIRE Antes del famoso experimento de la torre inclinada de Pisa de
Galileo generalmente se creía que los objetos más pesados en caída libre, como una bala de cañón, caían
con una aceleración mayor que los objetos ligeros como una pluma. Obviamente, una bala de cañón y
una pluma cuando se dejan caer simultáneamente desde la misma altura realmente caen en tiempos
diferentes, pero esto no es porque una bala de cañón sea más pesada. La diferencia
en los tiempos es debida a la resistencia del aire. En el modelo que se presentó en la
ecuación
𝑑2𝑠
𝑑𝑡 2
= −𝑔 se despreció la fuerza de la resistencia del aire. Bajo ciertas
circunstancias, un cuerpo que cae de masa 𝑚, tal como una pluma con densidad
pequeña y forma irregular, encuentra una resistencia del aire que es proporcional a
su velocidad instantánea 𝑣. Si en este caso, tomamos la dirección positiva dirigida
hacia abajo, entonces la fuerza neta que está actuando sobre la masa está dada
por 𝐹 = 𝐹1 + 𝐹2 = 𝑚𝑔 − 𝑘𝑣, donde el peso 𝐹1 = 𝑚𝑔 del cuerpo es una fuerza que
actúa en la dirección positiva y la resistencia del aire 𝐹2 = − 𝑘𝑣 es una fuerza, que se
llama de amortiguamiento viscoso, que actúa en la dirección contraria o hacia
arriba. Ahora puesto que 𝑣 está relacionada con la aceleración a mediante 𝑎 = 𝑑𝑣/𝑑𝑡, la segunda ley de
Newton será 𝐹 = 𝑚𝑎 = 𝑚 𝑑𝑣/𝑑𝑡. Al igualar la fuerza neta con esta forma de la segunda ley, obtenemos una
ecuación diferencial para la velocidad 𝑣(𝑡) del cuerpo al tiempo 𝑡,
𝑑𝑣
𝑚
= 𝑚𝑔 − 𝑘𝑣
𝑑𝑡
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 59 de 131
Aquí 𝑘 es una constante positiva de proporcionalidad. Si 𝑠(𝑡) es la distancia que el cuerpo ha caído al
𝑑𝑣
tiempo 𝑡 desde su punto inicial o de liberación, entonces 𝑣 = 𝑑𝑠/𝑑𝑡 y 𝑎 = = 𝑑2 𝑠/𝑑𝑡 2 . En términos de 𝑠, la
ecuación es una ecuación diferencial de segundo orden.
𝑑2 𝑠
𝑑𝑠
𝑚 2 = 𝑚𝑔 − 𝑘
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Ejemplo 2.3.1
Un objeto que pesa 30 𝑁 se deja caer desde una altura de 40 𝑚, con una velocidad inicial de 3 𝑚/𝑠𝑒𝑔.
Supongamos que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del cuerpo. Se sabe que la velocidad
límite debe ser de 40 𝑚/𝑠𝑒𝑔. Encontrar:
1. La expresión de la velocidad del objeto en un tiempo 𝑡,
2. La expresión para la posición del cuerpo en un tiempo 𝑡
3. La velocidad después de 8 segundos.
1. La expresión de la velocidad del objeto en un tiempo 𝑡:
En este ejemplo tenemos un objeto en caída libre con resistencia del aire
𝑑𝑣
𝑚
= 𝑚𝑔 − 𝑘𝑣
𝑑𝑡
Datos iniciales:
𝑊 = 30 𝑁, 𝑠0 = 40 𝑚, 𝑣0 = 3 𝑚/𝑠, 𝑚 =
3.06
𝑊
𝑔
=
𝑑𝑣
𝑑𝑡
1
9.8
= 3.06 𝑘𝑔, velocidad limite 𝑎 = 0 ∴ 𝑚𝑔 − 𝑘𝑣 = 0 ⟹ 𝑘 =
𝑚𝑔
𝑣
3
= 30 − 𝑣 Ecuación diferencial lineal
Factor integrante: 𝜇(𝑡) = 𝑒 ∫.245𝑑𝑡 = 𝑒 .245𝑡
𝑣=
30
4
𝑑𝑣
+ .245𝑣 = 9.8
𝑑𝑡
1
𝑒 .245𝑡
∫ 9.8𝑒 .245𝑡 𝑑𝑡 = 𝑒 .245𝑡 [40𝑒 .245𝑡 + 𝑐] → 𝑣 = 40 + 𝑐𝑒 −.245𝑡
Condiciones iniciales:
𝑣(0) = 40 + 𝑐𝑒 −.245(0) = 3 ⟹ 𝑐 = −37
Por lo tanto:
𝑣(𝑡) = 40 − 37𝑒 −.245𝑡
2. la expresión para la posición del cuerpo en un tiempo 𝑡:
𝑑𝑠
𝑣 = = 40 − 37𝑒 −.245𝑡 Ecuación diferencial de variables separables
𝑑𝑡
∫ 𝑑𝑠 = ∫(40 − 37𝑒 −.245𝑡 )𝑑𝑡
𝑠(𝑡) = 40𝑡 + 151𝑒 −.245𝑡 + 𝑐
Condiciones iniciales:
𝑠(0) = 40(0) + 151𝑒 −.245(0) + 𝑐 = 0 ∴ 𝑐 = −151
Por lo tanto:
𝑠(𝑡) = 40𝑡 + 151𝑒 −.245𝑡 − 151
3. La velocidad después de 8 segundos
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 60 de 131
=
30
40
=
3
4
𝑣(8) = 40 − 37𝑒 −.245(8) = 34.78 𝑚/𝑠
Ejemplo 2.3.2
Un cuerpo de masa 14.7 𝑘𝑔 se suelta con velocidad inicial de 0.5 𝑚/𝑠𝑒𝑔 y no encuentra una fuerza debida
a la resistencia del aire, hallar la velocidad para el momento 𝑡 = 2 segundos.
Objeto en caída libre sin resistencia del aire
𝑑𝑣
= −𝑔
𝑑𝑡
𝑑𝑣
= −9.8 Ecuación Diferencial de Variables Separables
𝑑𝑡
∫ 𝑑𝑣 = ∫ −9.8𝑑𝑡
𝑣(𝑡) = −9.8𝑡 + 𝑐, 𝑣(0) = −0.5 = 𝑐
𝑣(𝑡) = −9.8𝑡 − 0.5
∴ 𝑣(2) = −9.8(2) − 0.5 = −20.1 𝑚/𝑠
Ejemplo 2.3.3
Un cuerpo con una masa de 9.7 𝑘𝑔 se suelta de una altura de 300 𝑚 sin velocidad inicial. El cuerpo encuentra
una resistencia al aire proporcional a su velocidad. Si la velocidad límite debe ser de 95 𝑚/𝑠, encontrar:
1. La velocidad del cuerpo en un tiempo 𝑡.
2. La posición del cuerpo en un tiempo 𝑡.
3. El tiempo que necesita el cuerpo para alcanzar la velocidad de 50 𝑚/𝑠.
1. La velocidad del cuerpo en un tiempo 𝑡:
Objeto en caída libre con resistencia del aire
𝑚
𝑑𝑣
= 𝑚𝑔 − 𝑘𝑣
𝑑𝑡
Datos iniciales::
𝑊 = 95. 𝑁, 𝑠0 = 300 𝑚, 𝑣0 = 0 𝑚/𝑠, 𝑚 = 9.7 𝑘𝑔, velocidad limite 𝑎 = 0 ∴ 𝑚𝑔 − 𝑘𝑣 = 0 ⟹ 𝑘 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑚𝑔
𝑣
=
95.06
95
=1
+ .1031𝑣 = 9.8 Ecuación diferencial lineal
Factor integrante: 𝜇(𝑡) = 𝑒 ∫.1031𝑑𝑡 = 𝑒 .1031𝑡
𝑣=
1
𝑒 .1031𝑡
1
∫ 9.8𝑒 .1031𝑡 𝑑𝑡 = 𝑒 .1031𝑡 [95𝑒 .1031𝑡 + 𝑐] → 𝑣 = 95 + 𝑐𝑒 −.1031𝑡
Condiciones iniciales:
𝑣(0) = 95 + 𝑐𝑒 −.1031(0) = 0 ⟹ 𝑐 = −95
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 61 de 131
Por lo tanto:
𝑣(𝑡) = 95 − 95𝑒 −.1031𝑡
2. La posición del cuerpo en un tiempo 𝑡:
𝑑𝑠
= 95 − 95𝑒 −.1031𝑡 Ecuación diferencial de variables separables
𝑑𝑡
∫ 𝑑𝑠 = ∫(95 − 95𝑒 −.1031𝑡 )𝑑𝑡
Condiciones iniciales:
𝑠(𝑡) = 95𝑡 + 921.43𝑒 −.1031𝑡 + 𝑐
𝑠(0) = 95(0) − 921.43𝑒 −.1031(0) + 𝑐 = 0 ∴ 𝑐 = −921.43
Por lo tanto:
𝑠(𝑡) = 95𝑡 + 921.43𝑒 −.1031𝑡 − 921.43
3. El tiempo que necesita el cuerpo para alcanzar la velocidad de 50 𝑚/𝑠.
50 = 95 − 95𝑒 −.1031(𝑡) ⟹ 𝑡 = 7.247 𝑠
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 62 de 131
ACTIVIDAD DE TRABAJO 2.3
Realiza los siguientes ejercicios.
I.- Hallar la solución de cada problema en forma clara y ordenada
1.- Un cuerpo de masa 𝑚 = 2 𝑘𝑔 se lanza verticalmente en el aire con una velocidad inicial 𝑣0 = 3 𝑚/𝑠. El
cuerpo encuentra una resistencia al aire proporcional a su velocidad, hallar: a. La ecuación del movimiento.
b. La velocidad en un tiempo 𝑡 = 20 𝑠. c. El tiempo necesario para que el cuerpo llegue a su altura máxima.
2.- Suponga que una pequeña bala de cañón que pesa 16 libras se dispara verticalmente
hacia arriba, como se muestra en la figura, con una velocidad inicial de 𝑣0 = 300 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠. La
respuesta a la pregunta “¿Qué tanto sube la bala de cañón?, depende de si se considera
la resistencia del aire. a) Suponga que se desprecia la resistencia del aire. Si la dirección es
positiva hacia arriba, entonces un modelo para la bala del cañón está dado por
Puesto que
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 𝑣(𝑡) la última ecuación diferencial es la misma que la ecuación
𝑑2𝑠
𝑑𝑡 2
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= −𝑔
= −𝑔,
donde se toma 𝑔 = 32 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠 2 . Encuentre la velocidad 𝑣(𝑡) de la bala de cañón al tiempo
𝑡. b) Utilice el resultado que se obtuvo en el inciso a) para determinar la altura 𝑠(𝑡) de la bala
de cañón medida desde el nivel del suelo. Determine la altura máxima que alcanza la bala.
3.- Repita el problema anterior, pero esta vez suponga que la resistencia del aire es proporcional a la
velocidad instantánea. Esta es la razón por la que la altura máxima que alcanza la bala del cañón debe
ser menor que la del inciso b) del problema anterior. Demuestre esto suponiendo que la constante de
proporcionalidad es 𝑘 = 0.0025.
4.- Un cuerpo de masa 14.7 𝑘𝑔 se suelta con velocidad inicial de 0.5 𝑚/𝑠 y encuentra una fuerza debida a
la resistencia del aire dada por 8𝑣, hallar la velocidad para el momento 𝑡 = 2 segundos.
5.- a) Una caja de masa 𝑚 se desliza hacia abajo por un plano inclinado que forma un ángulo 𝜃 con la
horizontal como se muestra en la figura. Determine una ecuación diferencial para la velocidad 𝑣(𝑡) de la
caja al tiempo 𝑡 para cada uno de los casos siguientes:
i) No hay fricción cinética y no hay resistencia del aire.
ii) Hay fricción cinética y no hay resistencia del aire.
iii) Hay fricción cinética y hay resistencia del aire.
En los casos ii) y iii) utilice el hecho de que la fuerza de fricción que
se opone al movimiento es 𝜇𝑁, donde 𝜇 es el coeficiente de fricción
cinética y 𝑁 es la componente normal del peso de la caja. En el
caso iii) suponga que la resistencia del aire es proporcional a la
velocidad instantánea.
b) En el inciso a), suponga que la caja pesa 96 libras, que el ángulo de inclinación del plano es 𝜃 = 30°, que
el coeficiente de fricción cinética es 𝜇 = √3/4, y que la fuerza de retardo debida a la resistencia del aire es
1
numéricamente igual a 𝑣. Resuelva la ecuación diferencial para cada uno de los tres casos, suponiendo
4
que la caja inicia desde el reposo desde el punto más alto a 50 pies por encima del suelo.
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 63 de 131
PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS
Desarrolla e integra la siguiente actividad a tu portafolio de evidencias.
1.- Realiza un resumen de como poder plantear y resolver los problemas de segunda ley de newton de
cuerpos en movimiento.
¿?
Entiendo el cómo plantear el problema?, Soy capaz de entender las condiciones iniciales y utilizarlas?,
Comprendo cuando hay fricción del aire y cuando no?, Comprendo si los signos son correctos? Soy
capaz de buscar errores en el planteamiento?
Puedo diferenciar entre posición, velocidad, y la
aceleración?
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 64 de 131
CIRCUITOS RL Y RC
Para un circuito en serie que sólo contiene un resistor y un inductor la segunda ley de
Kirchhoff establece que la suma de la caída de voltaje a través del inductor
(𝐿(𝑑𝑖/𝑑𝑡)) más la caída de voltaje a través del resistor (𝑖𝑅) es igual al voltaje aplicado
(𝐸(𝑡)) al circuito.
Por tanto obtenemos la ecuación diferencial lineal para la corriente 𝑖(𝑡),
𝑑𝑖
𝐿 + 𝑅𝑖 = 𝐸(𝑡)
𝑑𝑡
donde 𝐿 y 𝑅 son constantes conocidas como la inductancia y la resistencia, respectivamente. La corriente
𝑖(𝑡) se llama, también respuesta del sistema.
La caída de voltaje a través de un capacitor de capacitancia 𝐶 es 𝑞(𝑡)/𝐶, donde 𝑞 es la carga del
capacitor. Por tanto, la segunda ley de Kirchhoff da
1
𝑅𝑖 + 𝑞 = 𝐸(𝑡)
𝐶
Pero la corriente 𝑖 y la carga 𝑞 están relacionadas por 𝑖 = 𝑑𝑞/𝑑𝑡, así la ecuación se
convierte en la ecuación diferencial lineal
𝑑𝑞 1
𝑅
+ 𝑞 = 𝐸(𝑡)
𝑑𝑡 𝐶
Ejemplo 2.4.1
Una batería de 12 volts se conecta a un circuito en serie en el que el inductor es de 1/2 henry y la resistencia
es de 10 ohms. Determine la corriente 𝑖, si la corriente inicial es cero.
1. Tenemos
𝐿
𝑑𝑖
+ 𝑅𝑖 = 𝐸(𝑡)
𝑑𝑡
Sustituyendo valores
1 𝑑𝑖
Factor integrante: 𝜇(𝑡) =
𝑒 ∫ 20𝑑𝑡
+ 10𝑖 = 12 Ecuación diferencial lineal
2 𝑑𝑡
= 𝑒 20𝑡
𝑖=
1
𝑒 20𝑡
1
6
6
∫ 24𝑒 20𝑡 𝑑𝑡 = 𝑒 20𝑡 [5 𝑒 20𝑡 + 𝑐] → 𝑖 = 5 + 𝑐𝑒 −20𝑡
Condiciones iniciales:
𝑖(0) =
6
6
+ 𝑐𝑒 −20(0) = 0 ⟹ 𝑐 = −
5
5
Por lo tanto:
𝑖(𝑡) =
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
6
(1 − 𝑒 −20𝑡 )
5
Página 65 de 131
Ejemplo 2.4.2
Un circuito 𝑅𝐶 tiene un voltaje de 200 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 (en voltios), una resistencia de 50 ohmios y una capacitancia de
10−2 faradios. En 𝑡 = 0 no hay carga en el condensador. Hallar la corriente en el circuito en un tiempo 𝑡.
La ecuación para un circuito 𝑅𝐶 es:
𝑅
𝑑𝑞
𝑑𝑡
1
+ 𝑞 = 𝐸(𝑡)Sustituyendo valores:
𝐶
50
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
1
10−2
𝑞 = 200 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 Ecuación diferencial lineal
Factor integrante: 𝜇(𝑡) = 𝑒 ∫ 2𝑑𝑡 = 𝑒 2𝑡
𝑞=
1
∫ 4𝑒 2𝑡 cos 2𝑡 𝑑𝑡 = cos 2𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 + 𝑐𝑒 −2𝑡
𝑒 2𝑡
𝑞(0) = cos 2(0) + 𝑠𝑒𝑛 2(0) + 𝑐𝑒 −2(0) = 0,
𝑐 = −1
𝑞(𝑡) = cos 2𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 − 𝑒 −2𝑡
𝑑𝑞
∴ 𝑖(𝑡) =
= −2𝑠𝑒𝑛 2𝑡 + 2 cos 2𝑡 + 2𝑒 −2𝑡
𝑑𝑡
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 66 de 131
ACTIVIDAD DE TRABAJO 2.4
Realiza los siguientes ejercicios.
I.- Hallar la solución de cada problema en forma clara y ordenada
1.- Se aplica un voltaje de 100 volts a un circuito en serie 𝑅𝐶, en el que la resistencia es de 200 ohms y la
capacitancia es de 𝑙0−4 faradios. Determine la carga 𝑞(𝑡) del capacitor, si 𝑞(0) = 0. Encuentre la corriente
𝑖(𝑡).
2.- Se aplica una fuerza electromotriz 𝐸(𝑡) = 120 volts a un circuito en serie 𝐿𝑅 en el que la inductancia es de
20 henrys y la resistencia es de 2 ohms. Determine la corriente 𝑖(𝑡), si 𝑖(0) = 0.
3.- Se aplica una fuerza electromotriz de 30 V a un circuito en serie 𝐿𝑅 con 0.1 henrys de inductancia y 50
ohm de resistencia. Determine la corriente 𝑖(𝑡), si 𝑖(0) = 0. Determine la corriente conforme 𝑡 → ∞.
4.- Un circuito 𝑅𝐿 tiene una fuente de 8 𝑠𝑒𝑛 2 𝑡 voltios, una resistencia de 10 ohmios, una inductancia de 2
𝜋
henrios y una corriente inicial de 5 amperios, hallar la corriente en el circuito cuando 𝑡 = s.
2
5.- Un circuito 𝑅𝐶 tiene una fuente de 300 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 voltios, una resistencia de 200 ohmios y una capacitancia
de 10−2 faradios. Inicialmente no hay carga en el condensador. Hallar la corriente en el circuito en 𝑡 = 4𝜋 s.
PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS
Desarrolla e integra la siguiente actividad a tu portafolio de evidencias.
1.- Realiza un resumen de como poder plantear y resolver los problemas circuitos 𝑅𝐿 y 𝑅𝐶. Escribe las
ecuaciones diferenciales que los representan.
¿?
Entiendo el cómo plantear los problemas de circuitos?, Soy capaz de entender las condiciones iniciales
y utilizarlas?, Comprendo cuando hay que obtener corriente y cuando carga?, Comprendo la solución?
Soy capaz de encontrar soluciones particulares teniendo condiciones iniciales?
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 67 de 131
CURVAS ORTOGONALES
Definición
Dos curvas son ortogonales en un punto si, y sólo si, sus tangentes son perpendiculares en
el punto de intersección
Las pendientes de estas tangentes son recíprocas y de signo contrario, excepto en el caso en el que las
tangentes sean paralelas a los ejes de coordenadas.
Definición
Trayectorias ortogonales son las curvas que se intersecan formando un ángulo recto. Si una
familia de curvas tiene la ecuación 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′) = 0, la
ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales a ella es otra familia de la forma:
1
𝐹 (𝑥, 𝑦, − ) = 0
𝑦′
Para obtener trayectorias ortogonales de una ecuación diferencial, se toma 𝑚1 =
−
.
1
𝑚1
→ 𝑚2 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=−
1
𝑓(𝑥,𝑦)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥, 𝑦), y como 𝑚2 =
da la trayectoria ortogonal a la primera ecuación.
Ejemplo 2.5.1
Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de rectas 𝑦 = 𝑐𝑥.
Su pendiente es 𝑚1 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑐; es decir,
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦
𝑥
Entonces una familia ortogonal a estas rectas será la que tenga
como pendiente:
𝑑𝑦
1
𝑑𝑦
𝑥
𝑚2 = = − o sea = −
𝑑𝑥
𝑐
𝑑𝑥
Que también se puede expresar como:
𝑦𝑑𝑦 = −𝑥𝑑𝑥
Integrando:
Cálculo D
𝑦2
2
=
𝑥2
2
𝑦
+ 𝑐, o bien
𝑥 2 + 𝑦2 = 𝑐
Capistrán/Gallardo
Página 68 de 131
Ejemplo 2.5.2
Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas 𝑦 = 𝑐𝑥 2 .
Su pendiente es 𝑚1 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑐𝑥; es decir,
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑦
2𝑦
𝑥
𝑥
= 2 ( 2) 𝑥 =
Entonces una familia ortogonal a estas curvas será la que tenga
como pendiente:
𝑑𝑦
𝑥
𝑚2 =
=−
𝑑𝑥
2𝑦
Que también se puede expresar como:
2𝑦𝑑𝑦 = −𝑥𝑑𝑥
Integrando: 𝑦 2 = −
𝑥2
2
+ 𝑐, o bien
𝑥2
+ 𝑦2 = 𝑐
2
Ejemplo 2.5.3
Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas 2𝑥 2 + 𝑦 2 = 4𝑐𝑥.
Su pendiente es 𝑚1 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
4𝑐−4𝑥
2𝑦
; donde 𝑐 =
2𝑥 2 +𝑦 2
4𝑥
Entonces una familia ortogonal a estas curvas será la que tenga como pendiente:
𝑑𝑦
2𝑦
𝑑𝑦
2𝑥𝑦
𝑚2 = = −
o sea = − 2 2
𝑑𝑥
4𝑐−4𝑥
𝑑𝑥
𝑦 −2𝑥
Que también se puede expresar como:
2𝑥𝑦𝑑𝑥 + (𝑦 2 − 2𝑥 2 )𝑑𝑦 = 0 Ecuación diferencial homogénea
Cambio de variable:
Sustituyendo:
Simplificando:
Integrando:
Sustituyendo 𝑣 =
𝑥 = 𝑣𝑦 → 𝑑𝑥 = 𝑣𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑣
2𝑣𝑦 2 (𝑣𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑣) + (𝑦 2 − 2(𝑣𝑦)2 )𝑑𝑦 = 0
2𝑣𝑦 3 𝑑𝑣 + 𝑦 2 𝑑𝑦 = 0 Ecuación de variables separables
1
∫ 2𝑣𝑑𝑣 + ∫ 𝑑𝑦 = 0
𝑦
𝑣 2 + ln 𝑦 = 𝑐
𝑥
𝑦
𝑥2
𝑦2
Cálculo D
+ 𝑙𝑛𝑦 = 𝑐 Familia de curvas ortogonales
Capistrán/Gallardo
Página 69 de 131
ACTIVIDAD DE TRABAJO 2.5
Realiza los siguientes ejercicios.
I.- Encuentre la familia de curvas ortogonales a la curva dada
1.- 𝑦 = 𝑐𝑒 𝑥
3.- 𝑐𝑥 2 + 𝑦 2 = 1
5.- 𝑦 2 + 2𝑥 = 𝑐
7.- 𝑦 = (𝑥 2 + 𝑐)2
2.- 𝑦 2 − 2𝑥 2 = 𝑐
4.- 𝑥 2 + 𝑦 2 = 2𝑐𝑦
4
6.- 𝑦 = 𝑥 + 𝑐
7
8.- 𝑦 2 − 𝑥 2 = 𝑐
PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS
Desarrolla e integra la siguiente actividad a tu portafolio de evidencias.
1.- Realiza un resumen de como poder encontrar la familia de curvas ortogonales a una cuerva.
Escribe la relación entre las pendientes.
¿?
Entiendo el cómo encontrar las trayectorias ortogonales?, Soy capaz de entender las gráficas y verificar
que sean perpendiculares?, Comprendo cual es la relación entre las pendientes?, soy capaz de resolver
la ecuación diferencial de primer orden? Soy capaz de graficar ambas curvas?
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 70 de 131
ECUACIONES DIFERENCIALES DE
SEGUNDO ORDEN REDUCIDAS A PRIMER
ORDEN
Caso 1.- Una ecuación diferencial de segundo orden que tiene la forma 𝑓(𝑥, 𝑦 ′ , 𝑦′′) o bien 𝑓(𝑥, 𝑝, 𝑝′), donde
𝑑𝑦
𝑑𝑝
se ha reemplazado 𝑦 ′ =
por 𝑝 y 𝑦 ′′ = por 𝑝′. Resolver como una ecuación diferencial de primer orden
de forma sucesiva.
𝑑𝑥
𝑑𝑥
Método de solución:
1. Hacer el cambio de variable 𝑦 ′ = 𝑝, 𝑦 ′′ = 𝑝′ y resolver la ecuación diferencial de primer orden en términos
de 𝑝 y 𝑥.
2.- Escribir la solución general encontrada en el paso 1. Ahora en términos de 𝑥 y 𝑦′; resolver la ecuación
diferencial de primer orden.
Caso 2.- Una ecuación diferencial de segundo orden que tiene la forma 𝑓(𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦′′) o bien 𝑓 (𝑦, 𝑝, 𝑝
donde se ha reemplazado
𝑦′
de forma sucesiva.
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
por 𝑝 y
𝑦 ′′
=
𝑑𝑝
𝑑𝑥
por 𝑝
𝑑𝑝
𝑑𝑦
𝑑𝑝
𝑑𝑦
),
. Resolver la ecuación diferencial de primer orden
Método de solución:
1. Hacer el cambio de variable 𝑦 ′ = 𝑝, 𝑦 ′′ = 𝑝
𝑑𝑝
𝑑𝑦
y factorizar la ecuación diferencial en términos de 𝑝 y 𝑦.
2.- Resolver cada ecuación diferencial por separado; obtendremos dos soluciones: a. Una solución trivial
𝑦 = 𝑐, b. Solución general encontrada a partir de resolver la ecuación diferencial primero en términos de 𝑝
y 𝑦, y después resolver la ecuación diferencial resultante en términos de 𝑥 y 𝑦.
Ejemplo 2.6.1
Resolver la ecuación 𝑥𝑦 ′′ − 𝑦 ′ = 3𝑥 2
Caso 1
𝑑𝑦
1. Sustituir en términos de 𝑝 → 𝑦 ′ = = 𝑝:
𝑑𝑥
𝑥𝑝′ − 𝑝 = 3𝑥 2
Re-escribiendo la ecuación
1
𝑝′ − 𝑝 = 3𝑥 Ecuación Diferencial Lineal
𝑥
2.- Resolviendo la ecuación diferencial en términos de 𝑝:
1
Factor integrante: 𝜇(𝑥) = 𝑒 ∫ −𝑥𝑑𝑥 = 𝑒 −𝑙𝑛𝑥 = 𝑒 𝑙𝑛𝑥
𝑝=
Cálculo D
−1
=
1
𝑥
1
1
∫ ( ) (3𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥(3𝑥 + 𝑐1 )
1
𝑥
( )
𝑥
Capistrán/Gallardo
Página 71 de 131
3.- Resolviendo la ecuación diferencial en términos de 𝑦:
𝑝 = 3𝑥 2 + 𝑐1 𝑥 =
Integrando:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
Ecuación diferencial de variables separables
∫ 𝑑𝑦 = ∫(3𝑥 2 + 𝑐1 𝑥)𝑑𝑥
Solución general:
𝑦 = 𝑥3 +
𝑐1 2
𝑥 + 𝑐2
2
Ejemplo 2.6.2
Resolver la ecuación 𝑥 2
𝑑 2𝑦
𝑑𝑥 2
𝑑𝑦 2
+( ) =0
𝑑𝑥
Caso 1
1. Sustituir en términos de 𝑝 → 𝑦 ′ = 𝑝:
𝑥 2 𝑝′ + 𝑝2 = 0 Ecuación Diferencial de variables separables
2.- Resolviendo la ecuación diferencial en términos de 𝑝:
𝑑𝑝
𝑑𝑥
∫ 2 = −∫ 2
𝑝
𝑥
1 1
𝑥
− = + 𝑐1 → 𝑝 = −
𝑝 𝑥
1 + 𝑐1 𝑥
3.- Resolviendo la ecuación diferencial en términos de 𝑦:
𝑝=−
Integrando:
𝑥
1+𝑐1 𝑥
𝑑𝑦
=
𝑑𝑥
Ecuación diferencial de variables separables
𝑥
∫ 𝑑𝑦 = − ∫ 1+𝑐 𝑥 𝑑𝑥
1
Solución general:
𝑦=−
1
1
𝑥 + 2 𝐿𝑛(1 + 𝑐1 𝑥) + 𝑐2
𝑐1
𝑐1
Ejemplo 2.6.3
Resolver la ecuación (1 + 𝑥 2 )𝑦 ′′ + 𝑥𝑦 ′ + 4𝑥 = 0
Caso 1
1. Sustituir en términos de 𝑝 → 𝑦 ′ = 𝑝:
(1 + 𝑥 2 )𝑝′ + 𝑥𝑝 + 4𝑥 = 0
Re-escribiendo la ecuación
𝑝′ +
𝑥
1+𝑥 2
𝑥
𝑝 = −4 (1+𝑥2) Ecuación Diferencial Lineal
2.- Resolviendo la ecuación diferencial en términos de 𝑝:
𝑥
1
Factor integrante: 𝜇(𝑥) = 𝑒 ∫1+𝑥2𝑑𝑥 = 𝑒 2𝑙𝑛(𝑥
Cálculo D
2 +1)
= 𝑒 𝑙𝑛√𝑥
2 +1
Capistrán/Gallardo
= √𝑥 2 + 1
Página 72 de 131
1
𝑥
𝑐1
) 𝑑𝑥 = −4 +
2
2
(1
)
+𝑥
+1
√𝑥 + 1
3.- Resolviendo la ecuación diferencial en términos de 𝑦:
𝑝=
𝑝 = −4 +
Integrando:
∫ (√𝑥 2 + 1) (−4
√𝑥 2
𝑐1
√𝑥 2 +1
𝑑𝑦
=
𝑑𝑥
Ecuación diferencial de variables separables
𝑐
∫ 𝑑𝑦 = ∫ (−4 + √𝑥21+1) 𝑑𝑥
Solución general:
𝑦 = −4𝑥 + 𝑐1 𝐿𝑛 (𝑥 + √𝑥 2 + 1) + 𝑐2
Ejemplo 2.6.4
Resolver la ecuación 𝑦𝑦 ′′ + (𝑦 ′ )2 = 0
Caso 2
1. Sustituir en términos de 𝑝 → 𝑦 ′ = 𝑝 y 𝑦 ′′ = 𝑝
𝑑𝑝
𝑑𝑦
:
𝑦𝑝
Factorizando 𝑝 de la ecuación
𝑑𝑝
+ 𝑝2 = 0
𝑑𝑦
𝑝 [𝑦
𝑑𝑝
𝑑𝑦
+ 𝑝] = 0
2.- Resolviendo cada ecuación diferencial por separado:
𝑑𝑦
𝑝 = = 0 ⟹ 𝑦 = 𝑐1 Solución trivial
𝑑𝑥
y
𝑑𝑝
𝑦 + 𝑝 = 0 ED de variables separables
𝑑𝑦
𝑑𝑝
𝑑𝑦
𝑐2
∫
= −∫
⟹ ln 𝑝 = − ln 𝑦 + 𝑐2 ⟹ 𝑝 =
𝑝
𝑦
𝑦
3. Re-escribiendo en términos de 𝑥:
𝑑𝑦
Integrando:
𝑑𝑥
=
𝑐2
𝑦
ED de variables separables
∫ 𝑦𝑑𝑦 = ∫ 𝑐2 𝑑𝑥 ⟹
Se obtienen las soluciones:
𝑦2
2
= 𝑐2 𝑥 + 𝑐3 ⟹ 𝑦 = √𝑐2 𝑥 + 𝑐3
𝑦 = 𝑐1 y 𝑦 = √𝑐2 𝑥 + 𝑐3
Ejemplo 2.6.5
Resolver la ecuación 𝑦 ′′ + 2𝑦(𝑦 ′ )3 = 0
Caso 2
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 73 de 131
1. Sustituir en términos de 𝑝 → 𝑦 ′ = 𝑝 y 𝑦 ′′ = 𝑝
𝑑𝑝
𝑑𝑦
:
𝑝
Factorizando 𝑝 de la ecuación
𝑑𝑝
+ 2𝑦𝑝3 = 0
𝑑𝑦
𝑝[
𝑑𝑝
𝑑𝑦
+ 2𝑦𝑝2 ] = 0
2.- Resolviendo cada ecuación diferencial:
𝑑𝑦
𝑝 = = 0 ⟹ 𝑦 = 𝑐1 Solución trivial
𝑑𝑥
y
𝑑𝑝
𝑑𝑦
𝑑𝑝
+ 2𝑦𝑝2 = 0 ⟹
𝑝2
= −2𝑦𝑑𝑦 ED de variables separables
Integrando
∫ 𝑝−2 𝑑𝑝 = −2 ∫ 𝑦𝑑𝑦 ⟹ −
1
1
= −𝑦 2 + 𝑐2 ⟹ 𝑝 = 2
𝑝
𝑦 + 𝑐2
3. Re-escribiendo en términos de 𝑥:
𝑑𝑦
Integrando:
𝑑𝑥
=
1
𝑦 2 +𝑐2
ED de variables separables
∫(𝑦 2 + 𝑐2 )𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑥 ⟹
Se obtienen las soluciones:
𝑦 = 𝑐1 y
Cálculo D
𝑦3
3
Capistrán/Gallardo
𝑦3
3
+ 𝑐2 𝑦 + 𝑐3 = 𝑥
+ 𝑐2 𝑦 + 𝑐3 = 𝑥
Página 74 de 131
ACTIVIDAD DE TRABAJO 2.6
Realiza los siguientes ejercicios.
I.- Resuelva la ecuación diferencial
1.- 𝑦 ′′ = 9(1 − 𝑥)
3.- 2𝑦 ′′ = (𝑦′)2 + 1
2.- 𝑥 2 𝑦 ′′ + (𝑦′)2 − 2𝑥𝑦 ′ = 0
4.- 𝑥𝑦 ′′ + 𝑦 ′ = 0
5.- 𝑥 2 𝑦 ′′ = 𝑥 2 + 1
6.- 𝑦 ′′ =
7.- 2𝑦𝑦 ′′ = (𝑦′)2 + 1
8.- (𝑦 − 1)𝑦 ′′ = (𝑦′)2
(𝑦′)2
𝑦
PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS
Desarrolla e integra la siguiente actividad a tu portafolio de evidencias.
1.- Realiza un resumen de cómo reducir una EDO de segundo orden a una de primer orden.
¿?
Entiendo el cómo hacer el cambio de variable?, Soy capaz de resolver la ecuación diferencial en
términos de 𝑝?, Soy capaz de resolver la Ecuación diferencial de primero orden utilizando los métodos
vistos en el capítulo 2? Comprendo cómo plantear la ecuación en términos de 𝑦 y resolver la ecuación
diferencial de primer orden?
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 75 de 131
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y
GRADO SUPERIOR
Una ecuación diferencial de primer orden tiene la forma 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦′) o bien 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑝), donde se ha
𝑑𝑦
reemplazado 𝑦 ′ = por 𝑝. Si la nueva variable 𝑝 tiene un grado mayor que uno, la ecuación es de primer
𝑑𝑥
orden y de grado superior.
La ecuación general de primer orden de grado 𝑛 se puede escribir de la forma:
𝑝𝑛 + 𝑃1 (𝑥, 𝑦)𝑝𝑛−1 + ⋯ +𝑃𝑛−1 (𝑥, 𝑦)𝑝 + 𝑃𝑛 (𝑥, 𝑦) = 0
Ecuaciones que se resuelven respecto de 𝒑.
De la ecuación diferencial
𝑝𝑛 + 𝑃1 (𝑥, 𝑦)𝑝𝑛−1 + ⋯ +𝑃𝑛−1 (𝑥, 𝑦)𝑝 + 𝑃𝑛 (𝑥, 𝑦) = 0
En el miembro izquierdo puede ser considerado como un polinomio en 𝑝, y se puede resolver en 𝑛 factores
reales lineales, es decir:
(𝑝 − 𝐹1 )(𝑝 − 𝐹2 ) … (𝑝 − 𝐹𝑛 ) = 0
donde las funciones 𝐹 contienen variables de 𝑥 y de 𝑦.
Igualándolo a cero cada factor y resolviendo las 𝑛 ecuaciones diferenciales resultantes de primer orden y
de primer grado.
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑦
= 𝐹1 (𝑥, 𝑦),
= 𝐹2 (𝑥, 𝑦), … ,
= 𝐹𝑛 (𝑥, 𝑦)
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
Obteniendo
𝑓1 (𝑥, 𝑦, 𝑐1 ) = 0, 𝑓2 (𝑥, 𝑦, 𝑐2 ) = 0, … , 𝑓𝑛 (𝑥, 𝑦, 𝑐𝑛 ) = 0
La primitiva es el producto
𝑓1 (𝑥, 𝑦, 𝑐1 ) ∙ 𝑓2 (𝑥, 𝑦, 𝑐2 ) ∙∙∙∙∙ 𝑓𝑛 (𝑥, 𝑦, 𝑐𝑛 ) = 0
de las 𝑛 soluciones.
Ejemplo 2.7.1
Resolver (𝑦′)2 − 𝑦 ′ − 6 = 0
1. Hacemos el cambio de variable 𝑦 ′ =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
:
(𝑦 ′ )2 − 𝑦 ′ − 6 = 𝑝2 − 𝑝 − 6 = 0
Factorizando
(𝑝 − 3)(𝑝 + 2) = 0
2.- Resolviendo cada ecuación diferencial:
(𝑝 − 3) = 0 y (𝑝 + 2) = 0
𝑑𝑦
𝑑𝑦
− 3 = 0 y + 2 = 0 Ecuaciones diferenciales de variables separables
𝑑𝑥
Integrando:
3.- Solución general:
𝑑𝑥
𝑑𝑦 = 3𝑑𝑥 y 𝑑𝑦 = −2𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑦 = 3 ∫ 𝑑𝑥 y ∫ 𝑑𝑦 = −2 ∫ 𝑑𝑥
𝑦 = 3𝑥 + 𝑐1 y 𝑦 = −2𝑥 + 𝑐2
(𝑦 − 3𝑥 − 𝑐1 )(𝑦 + 2𝑥 − 𝑐2 ) = 0
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 76 de 131
Ejemplo 2.7.2
Resolver 2(𝑦′)2 − (𝑥 + 2)(𝑦′) + 𝑥 = 0
1. Hacemos el cambio de variable 𝑦 ′ =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
:
𝑝2 − (𝑥 + 2)𝑝 + 𝑥 = 0
Factorizando
(𝑝 − 1)(2𝑝 − 𝑥) = 0
2.- Resolviendo cada ecuación diferencial:
(𝑝 − 1) = 0 y (2𝑝 − 𝑥) = 0
𝑑𝑦
𝑑𝑦
− 1 = 0 y 2 − 𝑥 = 0 Ecuaciones diferenciales de variables separables
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦 = 𝑑𝑥 y 2𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑥
Integrando:
∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑥 y 2 ∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑥𝑑𝑥
𝑦 = 𝑥 + 𝑐1 y 2𝑦 =
3.- Solución general:
(𝑦 − 𝑥 − 𝑐1 ) (2𝑦 −
𝑥2
2
+ 𝑐2
𝑥2
− 𝑐2 ) = 0
2
Ejemplo 2.7.3
𝑑𝑦 4
𝑑𝑦 3
𝑑𝑦 2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
Resolver ( ) − (𝑥 + 2𝑦 + 1) ( ) + (𝑥 + 2𝑦 + 2𝑥𝑦) ( ) − 2𝑥𝑦 ( ) = 0
1. Sustituyendo ecuación en términos de 𝑝 → 𝑦 ′ =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑝:
𝑝4 − (𝑥 + 2𝑦 + 1)𝑝3 + (𝑥 + 2𝑦 + 2𝑥𝑦)𝑝2 − 2𝑥𝑦𝑝 = 0
Factorizando
𝑝(𝑝 − 𝑥)(𝑝 − 1)(𝑝 − 2𝑦) = 0
2.- Resolviendo cada ecuación diferencial para cada término:
𝑝 = 0, (𝑝 − 𝑥) = 0, (𝑝 − 1) = 0 y (𝑝 − 2𝑦) = 0
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑦
= 0,
− 𝑥 = 0, − 1 = 0 y − 2𝑦 = 0 Son ecuaciones diferenciales de variables separables
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦 = 0, 𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑥, 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥 y
Integrando:
𝑑𝑦
𝑦
= 2𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑦 = 0, ∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑥𝑑𝑥, ∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑥 y ∫
𝑦 = 𝑐1 , 𝑦 =
3.- Solución general:
(𝑦 − 𝑐1 ) (𝑦 −
Cálculo D
𝑥2
2
𝑑𝑦
𝑦
= 2 ∫ 𝑑𝑥
+ 𝑐2 , 𝑦 = 𝑥 + 𝑐3 y 𝑦 = 𝑐4 𝑒 2𝑥
𝑥2
− 𝑐2 ) (𝑦 − 𝑥 − 𝑐3 )(𝑦 − 𝑐4 𝑒 2𝑥 ) = 0
2
Capistrán/Gallardo
Página 77 de 131
Ejemplo 2.7.4
Resolver (𝑝 + 𝑦)(𝑝 − 𝑥)[𝑝2 − 4𝑦 2 ] = 0
𝑑𝑦
1. Ya está la ecuación en términos de 𝑝 → 𝑦 ′ = = 𝑝. Factorizando
𝑑𝑥
(𝑝 + 𝑦)(𝑝 − 𝑥)[𝑝2 − 4𝑦 2 ] = (𝑝 + 𝑦)(𝑝 − 𝑥)(𝑝 − 2𝑦)(𝑝 + 2𝑦)0
2.- Resolviendo cada ecuación diferencial para cada término:
𝑝 + 𝑦 = 0, (𝑝 − 𝑥) = 0, (𝑝 − 2𝑦) = 0 y (𝑝 + 2𝑦) = 0
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑦
= −𝑦,
− 𝑥 = 0, − 2𝑦 = 0 y + 2𝑦 = 0 Son ecuaciones diferenciales de variables separables
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦 = −𝑦𝑑𝑥, 𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑥, 𝑑𝑦 = 2𝑦𝑑𝑥 y 𝑑𝑦 = −2𝑦𝑑𝑥
Integrando:
∫
𝑑𝑦
𝑦
= ∫ −𝑥𝑑𝑥, ∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑥𝑑𝑥, ∫
𝑑𝑦
𝑦
= ∫ 2𝑑𝑥 y ∫
𝑑𝑦
𝑦
= ∫ −2𝑑𝑥
1
𝑦 = 𝑐1 𝑒 −𝑥 , 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑐2 , 𝑦 = 𝑐3 𝑒 2𝑥 y 𝑦 = 𝑐4 𝑒 −2𝑥
3.- Solución general:
2
1
(𝑦 − 𝑐1 𝑒 −𝑥 ) (𝑦 − 𝑥 2 − 𝑐2 ) (𝑦 − 𝑐3 𝑒 2𝑥 )(𝑦 − 𝑐4 𝑒 −2𝑥 )
2
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 78 de 131
ACTIVIDAD DE TRABAJO 2.7
Realiza los siguientes ejercicios.
I.- Resolver
1.-(𝑝 + 1)(𝑥𝑝 − 𝑦)(𝑝 − 2𝑥) = 0
2.- 𝑝2 − 𝑝 − 2𝑦𝑝 + 2𝑦 = 0
3.-𝑥𝑝3 + (𝑥 − 2𝑥 2 − 𝑦)𝑝2 − (2𝑥 2 + 𝑦 − 2𝑥𝑦)𝑝 + 2𝑥𝑦 = 0
4.-𝑥𝑦𝑝2 + (𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 )𝑝 + 𝑥 2 + 𝑥𝑦 = 0
5.-(𝑥 2 + 𝑥)𝑝2 + (𝑥 2 + 𝑥 − 2𝑥𝑦 − 𝑦)𝑝 − 𝑦 − 2𝑥𝑦 = 0
PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS
Desarrolla e integra la siguiente actividad a tu portafolio de evidencias.
1.- Realiza un resumen de como poder factorizar y resolver las ecuaciones de primer orden.
¿?
Entiendo el cómo factorizar con la regla de Ruffini?, Soy capaz de entender cómo escribir cada
término?, Comprendo y sé cómo resolver cada ecuación diferencial?, Comprendo cómo se debe de
escribir la solución general?
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 79 de 131
ECUACIONES DIFERENCIALES DE
CLAIRAUT Y LAGRANGE
Una ecuación diferencial de primer orden que tiene la forma 𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑝) o bien 𝑥 = 𝑓(𝑦, 𝑝)
𝑦 = 𝑥𝑓(𝑦′) + 𝑔(𝑦′)
𝑦 = 𝑥𝑦 ′ + 𝑔(𝑦 ′ )
Ecuación de Lagrange
Ecuación de Clairaut
Método de solución:
Estas ecuaciones se pueden resolver:
1. Derivando parcialmente respecto a 𝑥.
2. Encontrar primero una solución en términos de 𝑝.
3. Encontrar la solución en términos de 𝑥 y 𝑦 como se resolvió en las secciones anteriores.
Nota: Una solución de la Ecuación de Clairaut es de la forma 𝑦 = 𝑥𝑐 + 𝑔(𝑐)
Ejemplo 2.8.1
Resolver la ecuación 𝑦 = 𝑥(𝑦 ′ + 1) + 𝑦 ′
1. Sustituir en términos de 𝑝 → 𝑦 ′ = 𝑝:
𝑦 = 𝑥(𝑝 + 1) + 𝑝 Ecuación de Lagrange
2.- Derivando en forma implícita respecto a 𝑥:
𝑦 ′ = 𝑥(𝑝′ ) + (𝑝 + 1) + 𝑝′ = 𝑝
Simplificando
𝑥𝑝′ + 1 + 𝑝′ = 0 Ecuación diferencial de variables separables
𝑑𝑝
1
𝑑𝑥
𝑝′ (𝑥 + 1) + 1 = 0 ⟹
=−
⟹ ∫ 𝑑𝑝 = − ∫
⟹ 𝑝 = − ln(𝑥 + 1) + 𝑐1
𝑑𝑥
𝑥+1
𝑥+1
3.- Resolviendo la ecuación diferencial en términos de 𝑥 y 𝑦:
𝑝 = − ln(𝑥 + 1) + 𝑐1 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
⟹ 𝑑𝑦 = [− ln(𝑥 + 1) + 𝑐1 ]𝑑𝑥 Ecuación diferencial de variables separables
∫ 𝑑𝑦 = ∫[− ln(𝑥 + 1) + 𝑐1 ]𝑑𝑥
Solución general:
𝑦 = −𝑥𝑙𝑛 (𝑥 + 1) − 𝑙𝑛(𝑥 + 1) + 𝑥 − 𝑐1 𝑥 + 𝑐2
Ejemplo 2.8.2
Resolver la ecuación 𝑦 = 𝑥𝑦 ′ + 3(𝑦′)2
1. Sustituir en términos de 𝑝 → 𝑦 ′ = 𝑝:
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 80 de 131
𝑦 = 𝑥𝑝 + 3𝑝2 Ecuación de Clairaut
2.- Derivando en forma implícita respecto a 𝑥:
𝑦 ′ = 𝑥𝑝′ + 𝑝 + 6𝑝𝑝′ = 𝑝
Simplificando
𝑥𝑝′ + 6𝑝𝑝′ = 0 = 𝑝′(𝑥 + 6𝑝) se resuelven ambas ecuaciones
Para 𝑝’ = 0
𝑑𝑝
= 0 ⟹ ∫ 𝑑𝑝 = 𝑐1 ⟹ 𝑝 = 𝑐1
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= 𝑐1 Ecuación diferencial de variables separables
𝑝′ = 0 ⟹
𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑐1 𝑑𝑥 ⟹ 𝑦 = 𝑐1 𝑥 + 𝑐2
⟹La ecuación de Clairaut tiene una solución 𝑦 = 𝑐𝑥 + 3(𝑐)2
Para 𝑥 + 6𝑝 = 0
𝑑𝑦
1
1
𝑥 + 6𝑝 = 0 ⟹ 𝑥 + 6
= 0 ⟹ ∫ 𝑑𝑦 = − ∫ 𝑥𝑑𝑥 ⟹ 𝑦 = − 𝑥 2 + 𝑐3
𝑑𝑥
6
12
Ejemplo 2.8.3
Resolver la ecuación 𝑦 = 𝑥(𝑦 ′ ) + √4 + (𝑦 ′ )2
1. Sustituir en términos de 𝑝 → 𝑦 ′ = 𝑝:
𝑦 = 𝑥𝑝 + √4 + 𝑝2 Ecuación de Clairaut
Al ser una ecuación de Clairaut una solución es 𝑦 = 𝑐𝑥 + √4 + 𝑐 2
Lo podemos comprobar realizando el procedimiento de solución.
2.- Derivando en forma implícita respecto a 𝑥:
𝑦 ′ = 𝑥𝑝′ + 𝑝 +
𝑝𝑝′
√4 + 𝑝2
=𝑝
Simplificando
𝑝′ (𝑥 +
𝑝
√4+𝑝2
) = 0 se resuelven ambas ecuaciones
Para 𝑝’ = 0
𝑑𝑝
= 0 ⟹ ∫ 𝑑𝑝 = 𝑐1 ⟹ 𝑝 = 𝑐1
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= 𝑐1 Ecuación diferencial de variables separables
𝑝′ = 0 ⟹
𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑐1 𝑑𝑥 ⟹ 𝑦 = 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 ⟹ 𝑦 = 𝑐𝑥 + √4 + 𝑐 2
Para 𝑥 +
𝑝
√4+𝑝2
=0
𝑥+
𝑝
√4 +
𝑝2
=0 ⟹𝑝=
2𝑥
√1
− 𝑥2
⟹ ∫ 𝑑𝑦 = ∫
2𝑥
√1 − 𝑥 2
𝑑𝑥
𝑦 = −2√1 − 𝑥 2 + 𝑐3
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 81 de 131
ACTIVIDAD DE TRABAJO 2.8
Realiza los siguientes ejercicios.
I.- Resuelva la ecuación diferencial
1.- 𝑦 = 𝑥𝑦 ′ +
5
𝑦′
3.- 𝑦 = 𝑥𝑦 ′ + 1 + 𝑙𝑛𝑦′
5.- 𝑦 = 𝑥𝑦′ + 2(𝑦′)2
7.- 𝑦 = 𝑥(2 + 𝑦′) + (𝑦 ′ )2
2.- 𝑦 = 𝑥𝑦 ′ +
𝑦′
2
4.- 𝑥𝑦 ′ = 𝑦 + 𝑒 𝑦′
6.- 𝑦 = 𝑥(1 + 𝑦′) + (𝑦 ′ )2
8.- 𝑥 =
(𝑦′)2
2𝑦
+
2𝑦
𝑦′
PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS
Desarrolla e integra la siguiente actividad a tu portafolio de evidencias.
1.- Realiza un resumen de cómo encontrar la solución de una ecuación de Clairaut y Lagrange.
¿?
Entiendo el cómo hacer el cambio de variable?, Soy capaz de resolver la ecuación diferencial en
términos de 𝑝?, Soy capaz de resolver la Ecuación diferencial de primero orden utilizando los métodos
vistos en el capítulo 2? Comprendo cómo plantear la ecuación en términos de 𝑦 y resolver la ecuación
diferencial de primer orden?
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 82 de 131
AUTOEVALUACIÓN
Realiza los siguientes ejercicios.
Ley de Crecimiento y Decaimiento
1.- Resolver
a) Se sabe que cierto material se desintegra a una razón proporcional a la cantidad presente. Si después
de una hora se observa que el 20% se ha desintegrado, hallar la vida media del material.
b) Los experimentos demuestran que la rapidez de conversión del azúcar de caña en solución diluida es
proporcional a la concentración de azúcar aún no diluida. Supongamos que en t = 0 la concentración de
azúcar es 1/150 y en t = 5 h es 1/200. Hallar la ecuación que da la concentración de azúcar sin diluir en
función del tiempo.
c) Se ha observado en el laboratorio que el radio se desintegra a una rapidez proporcional a la cantidad
de radio presente. Su vida media es de 1 600 años ¿Qué porcentaje desaparecerá en un año?
d) En un cultivo de levadura la rapidez de cambio es proporcional a la cantidad existente. Si la cantidad
de cultivo se duplica en 4 horas ¿qué cantidad puede esperarse al cabo de 12 horas, con la misma rapidez
de crecimiento?
Biología
2.- Resolver
a) La tasa de crecimiento de una población es proporcional al número de sus habitantes. Si después de 18
años la población se ha duplicado y después de 25 años la población es de 200 000 habitantes, hallar: a. el
número inicial de habitantes y b. cuántos habitantes tendrá al cabo de 100 años.
b) En cierto zoológico se ha observado que la cantidad de animales aumenta proporcionalmente al
número actual de dichos animales. Si después de 5 años su número se ha duplicado y después de 7 años el
número de animales es 576, hallar el número de animales con que se contaba el día de la inauguración del
zoológico.
c) El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden:
𝑑𝑥
= 𝑥(𝑎 + 𝑏𝑦)
𝑑𝑡
𝑑𝑦
= 𝑦(𝑐 + 𝑔𝑥)
𝑑𝑡
fue diseñado por el matemático Volterra (1860-1940), para describir el comportamiento de dos especies
que compiten para sobrevivir en el mismo hábitat. Resolver esta ecuación, usando la regla de la cadena:
𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡
=
𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑥
d) Ciertas enfermedades se propagan mediante picaduras de insectos (la malaria), o por transmisiones
(la tifoidea). Supongamos que 𝑥 representa la cantidad de transmisores en una cierta población, y 𝑦 es
la cantidad de sanos, en el instante 𝑡. Si los transmisores se eliminan de la población con rapidez 𝛽, de
manera que se cumple:
𝑑𝑥
= −𝛽𝑥
𝑑𝑡
Y si la enfermedad se propaga con una rapidez proporcional al producto 𝑥𝑦, tendremos:
𝑑𝑦
= −𝛼𝑥𝑦
𝑑𝑡
a. Para 𝑥(0) = 𝑋0 , hallar 𝑥 en cualquier instante 𝑡.
b. Para 𝑦(0) = 𝑌0 , hallar y en cualquier instante 𝑡 (usar el resultado anterior).
c. Cuando 𝑡 → ∞, ¿cuál es el valor límite de 𝑦 y qué significa?:
Física
3.- Resolver
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 83 de 131
a) Una sustancia se enfría desde 100° hasta 70° en 15 minutos estando al aire libre (temperatura del aire
20°), hallar la temperatura después de 30 minutos.
b) Un cuerpo a una temperatura desconocida se coloca en una habitación en la cual hay una
temperatura constante de 18°. Si después de 15 minutos la temperatura del cuerpo es de 8° y después de
25 minutos es de 12°, hallar la temperatura inicial del cuerpo.
c) Se desea enfriar una sustancia, la cual se introduce en un refrigerador que está a una temperatura
constante de 5°. Al cabo de 30 minutos, la sustancia está a 8° y después de 40 minutos está a 6°. Hallar la
temperatura inicial de la sustancia.
d) Un cuerpo a una temperatura de 30° está inmerso en un baño cuya temperatura se mantiene en 50°.
Después de una hora la temperatura del cuerpo es de 40°, hallar:
a. La temperatura del cuerpo después de dos horas a partir de la inmersión.
b. El tiempo que se necesita para que la temperatura del cuerpo sea de 48°.
e) La temperatura del aire es de 40°. Si un objeto se enfría en el aire pasando de una temperatura de 120°
a otra de 100° en 20 minutos, encontrar:
a. la temperatura del cuerpo después de 50 minutos.
b. El tiempo necesario para que la temperatura del objeto sea de 70 grados.
f) Un cuerpo de masa 𝑚 = 2 𝑘𝑔 se lanza verticalmente en el aire con una velocidad inicial 𝑣0 = 3 𝑚/𝑠𝑒𝑔.
El cuerpo encuentra una resistencia al aire proporcional a su velocidad, hallar:
a. La ecuación del movimiento.
b. La velocidad en un tiempo 𝑡 = 20 𝑠𝑒𝑔.
c. El tiempo necesario para que el cuerpo llegue a su altura máxima altura.
g) Un cuerpo de masa 14.7 𝑘𝑔 se suelta con velocidad inicial de 0.5 𝑚/𝑠𝑒𝑔 y encuentra una fuerza debida
a la resistencia del aire dada por 8𝑣 2 , hallar la velocidad para el momento 𝑡 = √2 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠.
h) Un cuerpo con una masa de 9.7 𝑘𝑔 se suelta de una altura de 300 𝑚 sin velocidad inicial. El cuerpo
encuentra una resistencia al aire proporcional a su velocidad. Si la velocidad límite debe ser de 95 𝑚/𝑠𝑒𝑔,
encontrar:
a. La velocidad del cuerpo en un tiempo 𝑡.
b. La posición del cuerpo en un tiempo 𝑡.
c. El tiempo que necesita el cuerpo para alcanzar la velocidad de 50 𝑚/𝑠𝑒𝑔.
i) Se deja caer un objeto que pesa 98 𝑘𝑔 desde una altura de 50 𝑚 con una velocidad inicial igual a cero.
Suponiendo que la resistencia del aire es despreciable, hallar:
a. La velocidad cuando 𝑡 = 0.25 𝑚𝑖𝑛.
b. La posición del objeto cuando 𝑡 = 3 𝑠𝑒𝑔.
c. El tiempo invertido desde que se soltó el objeto hasta que tocó tierra.
j) Un circuito RL tiene una fem de 9 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑖𝑜𝑠, una resistencia de 30 𝑜ℎ𝑚𝑖𝑜𝑠, una inductancia de 1 ℎ𝑒𝑛𝑟𝑖𝑜 y no
tiene corriente inicial, hallar la corriente en el circuito para un tiempo 𝑡 = 1/5 𝑠𝑒𝑔.
k) Un circuito RL tiene una fem de 8𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑖𝑜𝑠, una resistencia de 10 𝑜ℎ𝑚𝑖𝑜𝑠, una inductancia de 2 ℎ𝑒𝑛𝑟𝑖𝑜𝑠
𝜋
y una corriente inicial de 5 𝑎𝑚𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑠, hallar la corriente en el circuito cuando 𝑡 = 𝑠𝑒𝑔.
2
l) Un circuito RC tiene una fem de 300𝑐𝑜𝑠2𝑡 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑖𝑜𝑠, una resistencia de 200 𝑜ℎ𝑚𝑖𝑜𝑠 y una capacitancia de
10−2 𝑓𝑎𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜𝑠. Inicialmente no hay carga en el condensador. Hallar la corriente en el circuito en 𝑡 = 4𝜋 𝑠𝑒𝑔.
m) Hallar la corriente en un circuito RL que tiene un voltaje constante, 𝑅 = 40 𝑜ℎ𝑚𝑖𝑜𝑠, y 𝐿 = 8 ℎ𝑒𝑛𝑟𝑖𝑜𝑠. Para
𝑡 = 0, los valores de 𝐸 e 𝐼 son 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑖𝑜𝑠 y 10 𝑎𝑚𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑠, respectivamente. Calcular el tiempo necesario
para que 𝐼 = 5 𝑎𝑚𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑠.
n) Un circuito que consta de un condensador y una resistencia se
conecta como en la fi gura. Si lleva una carga 𝑞 = 0.05 𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏𝑖𝑜𝑠 y el
interruptor se cierra cuando 𝑡 = 0, hallar la carga eléctrica después de
9 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 si 𝑐 = 3 × 10 − 3 𝑓𝑎𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜𝑠 y 𝑅 = 103 𝑜ℎ𝑚𝑖𝑜𝑠.
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 84 de 131
Trayectorias Ortogonales
4.- Resolver
a) 𝑦 = 𝑐𝑥 2
b) 𝑦 = (𝑥 2 + 𝑐)2
c) 𝑦 3 − 6𝑥 2 = 𝑐
d) 𝑦 ln 𝑐𝑥 = 3
e) 𝑦 = √𝑥 + 𝑐
Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior
5.- Resolver
a) 𝑥𝑦´´ + 𝑦´ = 0
b) 𝑥 2 𝑦´´ + 𝑥 = 1
c) 𝑥𝑦´´ − 𝑦´ = 𝑥
d)𝑦𝑦´´ + (𝑦´)2 = 0
e)2𝑦𝑦´´ = (𝑦´)2 + 1
f) 4𝑥𝑦´´ + 𝑦´ = 0
g)𝑥𝑦´´ − 3𝑥 2 = 0
a)(𝑝 + 3)(𝑝 − 𝑦)(𝑦𝑝 + 𝑥) = 0
b) 𝑝2 − (1 + 2𝑦)𝑝 + 2𝑦 = 0
c) 𝑦𝑝3 + (3𝑥𝑦 + 3𝑦 − 𝑥)𝑝2 + (9𝑥𝑦 − 3𝑥 2 − 3𝑥)𝑝 − 9𝑥 2 = 0
d) 𝑥 2 𝑝2 + 𝑥𝑦𝑝 − 6𝑦 2 = 0
e) 𝑝2 − 𝑥𝑝 − 𝑦 = 0
e) 𝑝4 𝑥𝑦 + 𝑝3 𝑥 2 − 𝑝3 𝑦 2 − 3𝑝2 𝑥𝑦 − 2𝑝𝑥 2 + 2𝑝𝑦 2 + 2𝑥𝑦 = 0
Ecuaciones de Clairaut y de Lagrange
6.- Resolver
a) 2𝑦 = 𝑥𝑦´ + 𝑦´ ln 𝑦´
b) 𝑦 = 𝑦´ + √1 − (𝑦´)2
c) 𝑦 = 2𝑥𝑦´ + 𝑠𝑒𝑛 𝑦´
3
d)𝑦 = 𝑥𝑦´ + 𝑒 𝑦´
2
e)𝑦 = 𝑥𝑦´ −
Cálculo D
1
𝑦´
Capistrán/Gallardo
Página 85 de 131
Ecuaciones
Diferenciales
Lineales de
orden
superior con
Coeficientes
Constantes
Tercer
Parcial
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 86 de 131
Competencias a alcanzar
COMPETENCIAS
Comprender y entender la
teoría
básica
de
las
ecuaciones
diferenciales
lineales de orden superior.
Ser capaz de resolver las
ecuaciones
diferenciales
lineales homogéneas por
reducción
de
orden
mediante operadores.
Comprender y resolver una
ecuación diferencial lineal
homogénea utilizando la
ecuación auxiliar en todos sus
casos.
Ser capaz de identificar y
resolver
las
ecuaciones
diferenciales
lineales
no
homogéneas obteniendo la
solución completa ya sea por
los métodos de coeficientes
indeterminados
y
por
variación de parámetros,
según convenga dada la
ecuación diferencial.
Ser capaz de identificar una
ecuación diferencial de lineal
de Cauchy-Euler y obtener la
solución
completa
y
adecuada para este tipo
especial
de
ecuación
diferencial lineal.
Cálculo D
ACTIVIDADES DE
APRENDIZAJE
Identificar las características de las
ecuaciones diferenciales lineales de
orden
superior,
realizando
una
investigación de la teoría básica de
estas ecuaciones.
Identificar los diversos métodos de
solución de una ecuación diferencial
lineal homogénea.
Realizar una serie de ejercicios de
ecuaciones
diferenciales
homogéneas que se puede resolver
por: reducción de orden utilizando
operadores y mediante una ecuación
auxiliar algebraica.
Realizar una serie de ejercicios donde
se obtenga la solución completa de
una ecuación diferencial lineal no
homogénea:
solución
complementaria y solución particular,
ya sea por los métodos de
coeficientes indeterminados o por
variación de parámetros, según sea el
caso.
Realizar una serie de ejercicios en
donde se compruebe que se tiene
una ecuación diferencial de lineal de
Cauchy-Euler
y
resolverla
adecuadamente en forma completa,
obteniendo
su
solución
complementaria
y
su
solución
particular adecuada en cada caso.
Capistrán/Gallardo
HABILIDADES Y ACTITUDES
El
alumno
será
capaz
de
comprender la teoría básica de las
ecuaciones diferentes lineales de
orden superior.
El alumno será capaz de analizar los
diferentes métodos de solución de
las ecuaciones diferenciales lineales
homogéneas y utilizarlos según
convenga.
El alumno desarrollará la habilidad
para
resolver
las
ecuaciones
diferenciales lineales homogéneas.
A través de la asimilación de los
conocimientos de los métodos de
solución
las
ecuaciones
diferenciales lineales homogéneas,
el alumno utilizará el método
adecuado de solución de una
ecuación
diferencial
no
homogénea para obtener la
solución particular, ya sea por el
método
de
coeficientes
indeterminados o por el método de
variación de parámetros y con estos
poder obtener la solución completa
de una ecuación diferencial lineal.
El alumno desarrollará la habilidad
para resolver la ecuación diferencial
lineales de Cauchy-Euler, al obtener
la solución completa de este tipo
específico de ecuación diferencial
lineal.
Página 87 de 131
Organizador gráfico
Ecuaciones diferenciales
lineales con coeficientes
constantes
Ecuaciones diferenciales
con coeficientes variables
Homogéneas
Ecuación
diferencial de
Cauchy Euler
No
homogéneas
Coeficientes
Indeterminados
Cálculo D
Variación de
parámetros
Capistrán/Gallardo
Página 88 de 131
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
Una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes tiene la forma general:
𝑎𝑛 𝑦 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑦 𝑛−1 + ⋯ +𝑎2 𝑦 ′′ + 𝑎1 𝑦 ′ + 𝑎0 𝑦 = 0
donde 𝑎𝑖 , 𝑖 , = 0,1, . . . , 𝑛 son constantes.
Su ecuación auxiliar o característica es:
𝑎𝑛 𝑚𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑚𝑛−1 + ⋯ +𝑎2 𝑚2 + 𝑎1 𝑚 + 𝑎0 = 0
que tendrá 𝑛 raíces.
Estas raíces pueden ser, como en el caso de las de segundo orden, reales o complejas, iguales o distintas.
1.- Si las raíces son reales y distintas, la solución es:
𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑚1𝑥 + 𝑐2 𝑒 𝑚2𝑥 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑒 𝑚𝑛 𝑥
2.- Si las raíces son reales e iguales, la solución es:
𝑦 = 𝑒 𝑚1𝑥 [𝑐1 + 𝑐2 𝑥 + 𝑐3 𝑥 2 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑥 𝑛−1 ]
3.- Si las raíces son complejas (𝛼 + 𝛽𝑖), para cada par conjugado la solución es:
𝑦 = 𝑒 𝛼𝑥 ( 𝑐1 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛𝛽𝑥 )
Ejemplo 3.1.1
Resolver la ecuación diferencial 2𝑦 ′′ − 5𝑦 ′ − 3𝑦 = 0
1. Ecuación auxiliar:
2𝑚2 − 5𝑚 − 3 = 0
Raíces:
𝑚1 , 𝑚1 =
−(−5)±√(−5)2 −4(2)(−3)
2(2)
=
5±7
4
1
⟹ 𝑚1 = − , 𝑚2 = 3 raíces reales diferentes
2
1
𝑦 = 𝑐1 𝑒 −2𝑥 + 𝑐2 𝑒 3𝑥
2. Solución general:
Ejemplo 3.1.2
Resolver la ecuación diferencial 𝑦 ′′ − 10𝑦 ′ + 25𝑦 = 0
1. Ecuación auxiliar:
𝑚2 − 10𝑚 + 25 = 0
Raíces:
𝑚1 , 𝑚1 =
Cálculo D
−(−10)±√(−10)2 −4(1)(25)
2(1)
=
10±0
2
Capistrán/Gallardo
⟹ 𝑚1 = 𝑚2 = 5 raíces reales iguales
Página 89 de 131
2. Solución general:
𝑦 = 𝑐1 𝑒 5𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 5𝑥
Ejemplo 3.1.3
Resolver la ecuación diferencial 𝑦 ′′ + 𝑦 ′ + 𝑦 = 0
1. Ecuación auxiliar:
𝑚2 + 𝑚 + 1 = 0
Raíces:
𝑚1 , 𝑚1 =
−(1)±√(1)2 −4(1)(1)
2(1)
=
−1±√3𝑖
2
⟹ 𝑚1 =
−1+√3𝑖
2
𝑚2 =
1
𝑦 = 𝑒 −2𝑥 ( 𝑐1 𝑐𝑜𝑠
2. Solución general:
√3
𝑥
2
−1−√3𝑖
2
raíces complejas
+ 𝑐2 𝑠𝑒𝑛
√3
𝑥
2
)
Ejemplo 3.1.4
Resolver la ecuación diferencial 𝑦 ′′ − 4𝑦 ′ + 13𝑦 = 0 sujeta a 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 2
1. Ecuación auxiliar:
𝑚2 − 4𝑚 + 13 = 0
Raíces:
𝑚1 , 𝑚1 =
−(−4)±√(−4)2 −4(1)(13)
2(1)
=
4±6𝑖
2
⟹ 𝑚1 = 2 + 3𝑖, 𝑚2 = 2 − 3𝑖 raíces complejas
2. Solución general:
𝑦 = 𝑒 2𝑥 ( 𝑐1 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛3𝑥 )
3. Solución particular:
𝑦(0) = 𝑒 2(0) ( 𝑐1 𝑐𝑜𝑠3(0) + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛3(0) ) = 𝑐1 = 1
(−3𝑐1 𝑠𝑒𝑛3𝑥 + 3𝑐2 𝑐𝑜𝑠3𝑥 )+2𝑒 2𝑥 (𝑐1 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛3𝑥 )
=
2(0)
2(0) (𝑐 𝑐𝑜𝑠3(0) + 𝑐 𝑠𝑒𝑛3(0) ) = 𝑐 = 0
(−3𝑐
= 𝑒
1 𝑠𝑒𝑛3(0) + 3𝑐2 𝑐𝑜𝑠3(0) )+2𝑒
1
2
2
𝑦 = 𝑒 2𝑥 cos 3𝑥
𝑦′
𝑦 ′(0)
𝑒 2𝑥
Ejemplo 3.1.5
Encontrar la ecuación diferencial dadas las raíces, 𝑚1 = 3, 𝑚2 = 4, 𝑚3 = 5:
La solución general es:
𝑦 = 𝑐1 𝑒 3𝑥 + 𝑐2 𝑒 4𝑥 + 𝑐3 𝑒 5𝑥
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 90 de 131
Ejemplo 3.1.6
Encontrar la ecuación diferencial dadas las raíces, 𝑚1 = 𝑚2 = −1, 𝑚3 = 2:
La solución general es:
𝑦 = 𝑐1 𝑒 −𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 −𝑥 + 𝑐3 𝑒 2𝑥
Ejemplo 3.1.7
Encontrar la ecuación diferencial dadas las raíces, 𝑚1 = 1 + 3𝑖, 𝑚2 = 1 − 3𝑖, 𝑚3 = 4:
La solución general es:
𝑦 = 𝑒 𝑥 ( 𝑐1 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛3𝑥 ) + 𝑐3 𝑒 4𝑥
Ejemplo 31.8
Resolver la ecuación diferencial 𝑦 ′′′ + 3𝑦 ′′ − 4𝑦 = 0
1. Ecuación auxiliar:
Raíces (regla de Ruffini):
Posibles raíces ±1, ±2, ±4
𝑚3 + 3𝑚2 − 4 = 0
𝑚1 = 1, 𝑚2 = −2, 𝑚3 = −2
2. Solución general:
𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑥 + 𝑐2 𝑒 −2𝑥 + 𝑐3 𝑥𝑒 −2𝑥
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 91 de 131
ACTIVIDAD DE TRABAJO 3.1
Realiza los siguientes ejercicios.
I.- Hallar la solución general de la ecuación diferencial
1.- 4𝑦 ′′ + 𝑦 ′ = 0
3.- 𝑦 ′′ + 9𝑦 = 0
5.-
𝑑2𝑦
+8
𝑑𝑥 2
3𝑦 ′′
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑦 ′
+ 16𝑦 = 0
7.+𝑦=0
9.- 𝑦 𝐼𝑉 − 𝑦 = 0
11.- 𝑦 𝐼𝑉 + 𝑦 ′′′ + 𝑦′′ = 0
2.- 𝑦 ′′ − 36𝑦 = 0
4.- 𝑦 ′′ − 𝑦 ′ − 6𝑦 = 0
6.- 12𝑦 ′′ − 5𝑦 ′ − 2𝑦 = 0
8.- 𝑦 ′′′ − 5𝑦 ′′ + 3𝑦 ′ + 9𝑦 = 0
10.- 𝑦 ′′′ + 𝑦 ′′ − 2𝑦 = 0
12.- 𝑦 𝑉 + 5𝑦 𝐼𝑉 − 2𝑦 ′′′ − 10𝑦 ′′ + 𝑦′ + 5𝑦 = 0
PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS
Desarrolla e integra la siguiente actividad a tu portafolio de evidencias.
1.- Realiza un resumen de los tipos de soluciones de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes
constantes.
¿?
Entiendo cómo obtener la ecuación auxiliar?, Soy capaz de encontrar las raíces de la ecuación?,
Comprendo cómo plantear la solución general a partir de las raíces?, Entiendo como plantear la
ecuación diferencial a partir de las raíces siendo estas reales, reales iguales e imaginarias, y una
combinación de las anteriores? Soy capaz de encontrar las raíces por la regla de Ruffini y plantear la
solución de una ecuación diferencial de orden superior?
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 92 de 131
COEFICIENTES INDETERMINADOS
La primera de las dos formas que se consideran para obtener una solución particular 𝑦𝑃 de una ED lineal no
homogénea se llama método de coeficientes indeterminados. La idea fundamental detrás de este método
es una conjetura acerca de la forma de 𝑦𝑝 , en realidad una intuición educada, motivada por las clases de
funciones que forman la función de entrada 𝑔(𝑥). El método general se limita a ED lineales donde:
• los coeficientes 𝑎𝑖 , 𝑖 _ 0, 1, . . . , 𝑛 son constantes y
• 𝑔(𝑥) es una constante 𝑘, una función polinomial, una función exponencial 𝑒 𝑎𝑥 , una función seno
o coseno 𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑥 o 𝑐𝑜𝑠 𝑏𝑥 y productos de estas funciones.
El conjunto de funciones que consiste en constantes, polinomios, exponenciales 𝑒 𝑎𝑥 , senos y cosenos tiene
la notable propiedad de que las derivadas de sus sumas y productos son de nuevo sumas y productos de
constantes, polinomios, exponenciales 𝑒 𝑎𝑥 , senos y cosenos. Debido a que la combinación lineal de
derivadas 𝑎𝑛 𝑦𝑝 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑦𝑝 𝑛−1 + ⋯ 𝑎2 𝑦𝑝 ′′ + 𝑎1 𝑦𝑝 ′ + 𝑎0 𝑦𝑝 debe ser idéntica a 𝑔(𝑥), parece razonable suponer
que 𝑦𝑝 tiene la misma forma que 𝑔(𝑥).
Ejemplo 3.2.1
Resuelva 𝑦 ′′ + 4𝑦 ′ − 2𝑦 = 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6.
Paso 1. Se resuelve primero la ecuación homogénea asociada 𝑦 ′′ + 4𝑦 ′ − 2𝑦 = 0. De la fórmula cuadrática
se encuentra que las raíces de la ecuación auxiliar 𝑚2 + 4𝑚 − 2 = 0 son 𝑚1 = − 2 − √6 y 𝑚2 = − 2 + √6 . Por
tanto, la función complementaria es
𝑦𝑐 = 𝑐1 𝑒 (− 2− √6)𝑥 + 𝑐2 𝑒 (− 2+ √6)𝑥
Paso 2. Ahora, debido a que la función 𝑔(𝑥) es un polinomio cuadrático, supongamos una solución
particular que también es de la forma de un polinomio cuadrático:
𝑦𝑝 = 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶
Se busca determinar coeficientes específicos 𝐴, 𝐵 y 𝐶 para los cuales 𝑦𝑝 es una solución de 𝑦 ′′ + 4𝑦 ′ − 2𝑦 =
2𝑥 2 − 3𝑥 + 6.
Sustituyendo 𝑦𝑝 y las derivadas
𝑦𝑝 ′ = 2𝐴𝑥 + 𝐵 y 𝑦𝑝 ′′ = 2𝐴
en la ecuación diferencial, se obtiene
𝑦𝑝 ′′ + 4𝑦𝑝′ − 2𝑦𝑝 = (2𝐴) + 4(2𝐴𝑥 + 𝐵) − 2(𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶) = 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6
Como se supone que la última ecuación es una identidad, los coeficientes de los exponentes semejantes a
𝑥 deben ser iguales:
(−2𝐴)𝑥 2 + (8𝐴 − 2𝐵)𝑥 + (2𝐴 + 4𝐵 − 2𝐶) = 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6
Es decir, −2𝐴 = 2, 8𝐴 − 2𝐵 = − 3, 2𝐴 + 4𝐵 − 2𝐶 = 6.
5
Resolviendo este sistema de ecuaciones se obtienen los valores 𝐴 = −1, 𝐵 = − y 𝐶 = −9. Así, una solución
2
particular es
5
𝑦𝑝 = −𝑥 2 − 𝑥 − 9
2
Paso 3. La solución general de la ecuación dada es
5
𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 = 𝑐1 𝑒 (− 2− √6)𝑥 + 𝑐2 𝑒 (− 2+ √6)𝑥 − 𝑥 2 − 𝑥 − 9
2
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 93 de 131
Ejemplo 3.2.2
Resuelva 𝑦 ′′ − 10𝑦 ′ + 25𝑦 = 5𝑒 4𝑥 .
Paso 1. Resuelver primero la ecuación homogénea asociada 𝑦 ′′ − 10𝑦 ′ + 25𝑦 = 0. De la fórmula cuadrática
se encuentra que las raíces de la ecuación auxiliar 𝑚2 − 10𝑚 + 25 = 0 son 𝑚1 = 𝑚2 = 5 . Por tanto, la función
complementaria es
𝑦𝑐 = 𝑐1 𝑒 5𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 5𝑥
Paso 2. Ahora, debido a que la función 𝑔(𝑥) es una función exponencial, supongamos una solución
particular que también es de la forma de la misma exponencial:
𝑦𝑝 = 𝐴𝑒 4𝑥
Se busca determinar 𝐴, para los cuales 𝑦𝑝 es una solución de 𝑦 ′′ − 10𝑦 ′ + 25𝑦 = 5𝑒 4𝑥 .
Sustituyendo 𝑦𝑝 y las derivadas
𝑦𝑝 ′ = 4𝐴𝑒 4𝑥 y 𝑦𝑝 ′′ = 16𝐴𝑒 4𝑥
en la ecuación diferencial, se obtiene
𝑦𝑝 ′′ − 10𝑦𝑝′ + 25𝑦𝑝 = (16𝐴𝑒 4𝑥 ) − 10(4𝐴𝑒 4𝑥 ) + 25(𝐴𝑒 4𝑥 ) = 5𝑒 4𝑥
Como se supone que la última ecuación es una identidad, los coeficientes de los exponentes semejantes a
𝑥 deben ser iguales:
𝐴𝑒 4𝑥 = 5𝑒 4𝑥
Es decir, 𝐴 = 5,
Así, la solución particular es
𝑦𝑝 = 5𝑒 4𝑥
Paso 3. La solución general de la ecuación dada es
𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 = 𝑐1 𝑒 5𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 5𝑥 + 5𝑒 4𝑥
Ejemplo 3.2.3
Resuelva 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ − 3𝑦 = 4𝑥 − 5 + 6𝑥𝑒 2𝑥 .
Paso 1. Resolvemos la ecuación homogénea asociada 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ − 3𝑦 = 0. Con la fórmula cuadrática se
encuentra que las raíces de la ecuación auxiliar 𝑚2 − 2𝑚 − 3 = 0 son 𝑚1 = −1, 𝑚2 = 3 . Por tanto, la función
complementaria es
𝑦𝑐 = 𝑐1 𝑒 −𝑥 + 𝑐2 𝑒 3𝑥
Paso 2. Ahora, debido a que la función 𝑔(𝑥) es una función compuesta, un polinomio lineal más un polinomio
lineal por una exponencial, la solución particular sería:
𝑦𝑝 = 𝐴𝑥 + 𝐵 + (𝐶𝑥 + 𝐷)𝑒 2𝑥
Se busca determinar 𝐴, para los cuales 𝑦𝑝 es una solución de 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ − 3𝑦 = 4𝑥 − 5 + 6𝑥𝑒 2𝑥 .
Sustituyendo 𝑦𝑝 y las derivadas
𝑦𝑝′ = 𝐴 + 2(𝐶𝑥 + 𝐷)𝑒 2𝑥 + 𝐶𝑒 2𝑥 y 𝑦𝑝 ′′ = 4(𝐶𝑥 + 𝐷)𝑒 2𝑥 + 4𝐶𝑒 2𝑥
en la ecuación diferencial, se obtiene
𝑦𝑝 ′′ − 2𝑦𝑝′ − 3𝑦𝑝 = (4(𝐶𝑥 + 𝐷)𝑒 2𝑥 + 4𝐶𝑒 2𝑥 ) − 2(𝐴 + 2(𝐶𝑥 + 𝐷)𝑒 2𝑥 + 𝐶𝑒 2𝑥 ) − 3(𝐴𝑥 + 𝐵 + (𝐶𝑥 + 𝐷)𝑒 2𝑥 )
= 4𝑥 − 5 + 6𝑥𝑒 2𝑥
Igualando términos:
(−3𝐴)𝑥 + (−2𝐴 − 3𝐵) + (−3𝐶)𝑥𝑒 4𝑥 + (2𝐶 − 3𝐷)𝑒 4𝑥 = 4𝑥 − 5 + 6𝑥𝑒 2𝑥
Tenemos −3𝐴 = 4, −2𝐴 − 3𝐵 = −5, −3𝐶 = 6, y 2𝐶 − 3𝐷 = 0
4
23
4
Es decir, 𝐴 = − , 𝐵 = , 𝐶 = −2, y 𝐷 = − ,
5
9
Así, la solución particular es:
Cálculo D
3
Capistrán/Gallardo
Página 94 de 131
𝑦𝑝 = 𝐴𝑥 + 𝐵 + (𝐶𝑥 + 𝐷)𝑒 2𝑥
Paso 3. La solución general de la ecuación dada es
4
23
4
𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 = 𝑐1 𝑒 −𝑥 + 𝑐2 𝑒 3𝑥 − 𝑥 +
+ (−2𝑥 + − ) 𝑒 2𝑥
5
9
3
Ejemplo 5.2.4
Resuelva 𝑦 ′′ − 𝑦 ′ + 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛 3𝑥.
Paso 1. Resolvemos la ecuación homogénea asociada 𝑦 ′′ − 𝑦 ′ + 𝑦 = 0. Con la fórmula cuadrática se
1
encuentra que las raíces de la ecuación auxiliar 𝑚2 − 𝑚 + 1 = 0 son 𝑚1 , 𝑚2 = ±
2
complementaria es
√3
𝑖
2
. Por tanto, la función
√3
√3
𝑥 + 𝑐2 sen
𝑥)
2
2
Paso 2. Ahora, la función 𝑔(𝑥) es una función seno, la solución particular sería:
𝑦𝑝 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 + 𝐵 cos 3𝑥
Hay que determinar 𝐴 y 𝐵, Por lo tanto:
𝑦𝑝′ = 3𝐴 cos 3𝑥 − 3𝐵 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 y 𝑦𝑝′′ = −9 𝐴 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 − 9𝐵 𝑠𝑒𝑛 3𝑥
se obtiene
𝑦𝑝 ′′ − 𝑦𝑝′ + 𝑦𝑝 = (−9 𝐴 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 − 9𝐵 𝑠𝑒𝑛 3𝑥) − (3𝐴 cos 3𝑥 − 3𝐵 𝑠𝑒𝑛 3𝑥) + (𝐴 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 + 𝐵 cos 3𝑥) = 2𝑠𝑒𝑛 3𝑥
Igualando términos:
1
𝑦𝑐 = 𝑒 2𝑥 (𝑐1 cos
(−8𝐴 + 3𝐵)𝑠𝑒𝑛 3𝑥 + (−8𝐵 − 3𝐴) cos 3𝑥 = 2 𝑠𝑒𝑛 3𝑥
Tenemos −8𝐴 + 3𝐵 = 2, −8𝐵 − 3𝐴 = 0
16
6
Es decir, 𝐴 = − , y 𝐵 =
73
73
La solución particular es:
16
6
𝑠𝑒𝑛 3𝑥 + cos 3𝑥
73
73
Paso 3. La solución general de la ecuación dada es
1
16
6
√3
√3
𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 = 𝑒 2𝑥 (𝑐1 cos
𝑥 + 𝑐2 sen
𝑥) −
𝑠𝑒𝑛 3𝑥 + cos 3𝑥
2
2
73
73
𝑦𝑝 = −
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 95 de 131
ACTIVIDAD DE TRABAJO 3.2
Realiza los siguientes ejercicios.
I.- Hallar la solución general de la ecuación diferencial dada
1
1.- 𝑦 ′′ − 10𝑦 ′ + 25𝑦 = 𝑥 + 5
2.- 𝑦 ′′ + 𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥
3.- 𝑦 ′′ + 4𝑦 = 3 𝑠𝑒𝑛 2𝑥
4.- 𝑦 ′′ − 𝑦 ′ + 𝑦 = 3 + 𝑒 2
5.-
𝑑2𝑦
𝑑𝑥 2
−8
𝑑𝑦
𝑑𝑥
4
1
𝑥
4
+ 20𝑦 = 100𝑥 2 − 26𝑥𝑒 𝑥
7.- 𝑦 ′′ − 5𝑦 ′ + 4𝑦 = 8𝑒 𝑥
9.- 𝑦 ′′ − 6𝑦 ′ + 9𝑦 = 6𝑥 2 + 2 − 12𝑒 3𝑥
6.- 𝑦 ′′ + 𝑦 = 2𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥
8.- 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑒 𝑥
10.- 𝑦 ′′ + 𝑦 = 4𝑥 + 10 𝑠𝑒𝑛 𝑥, 𝑦(𝜋) = 0, 𝑦′(𝜋) = 2
PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS
Desarrolla e integra la siguiente actividad a tu portafolio de evidencias.
1.- Realiza un resumen de cómo obtener la solución general de una ecuación diferencial por
coeficientes indeterminados. Has una lista de posibles funciones 𝑔(𝑥) y sus posibles soluciones
particulares.
¿?
Entiendo el cómo encontrar la solución complementaria?, Soy capaz proponer una solución particular?,
Comprendo cómo encontrar las constantes de la solución particular?, Comprendo si la solución
propuesta es errónea y entiendo cuando se repite con la solución complementaria? Soy capaz de
encontrar la solución general?
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 96 de 131
VARIACIÓN DE PARÁMETROS
Dada una ecuación diferencial de segundo orden
𝑎2 (𝑥)𝑦 ′′ + 𝑎1 (𝑥)𝑦 + 𝑎0 (𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥)
comenzamos por escribir la ecuación en su forma estándar
𝑦 ′′ + 𝑃(𝑥)𝑦 ′ + 𝑄(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥)
dividiendo entre el coeficiente principal 𝑎2 (𝑥). Obtenemos la solución general de la ecuación homogénea
asociada de la ecuación diferencial cuando los coeficientes son constantes 𝑦𝑐 = 𝑐1 𝑦1 (𝑥) + 𝑐2 𝑦2 (𝑥). La
solución particular tiene la forma 𝑦𝑝 = 𝑢1 (𝑥)𝑦1 (𝑥) + 𝑢2 (𝑥)𝑦2 (𝑥), donde 𝑢1 (𝑥) y 𝑢2 (𝑥) los podemos encontrar a
partir de resolver el sistema de ecuaciones:
𝑦1 𝑢1 ′ + 𝑦2 𝑢2 ′ = 0
𝑦1 ′ 𝑢1 ′ + 𝑦2 ′ 𝑢2 ′ = 𝑓(𝑥)
Por la regla de Cramer, la solución del Sistema
𝑊
𝑊
𝑢1 ′ = 1 y 𝑢2 ′ = 2
𝑊
𝑊
𝑦1 𝑦2
0
𝑦2
𝑦1
0
donde 𝑊 = |𝑦 ′ 𝑦 ′| , 𝑊1 = |
| , 𝑊2 = |
|
𝑓(𝑥) 𝑦2 ′
𝑦1 ′ 𝑓(𝑥)
1
2
Las funciones 𝑢1 y 𝑢2 se encuentran integrando los resultados de 𝑢1 ′ y 𝑢2 ′. El determinante 𝑊 se reconoce
como el Wronskiano de 𝑦1 y 𝑦2 .
Una solución particular es 𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑦1 + 𝑢2 𝑦2 . Entonces la solución general de la ecuación es 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 .
Ejemplo 3.3.1
Resuelva 𝑦 ′′ − 4𝑦 ′ + 4𝑦 = (𝑥 + 1)𝑒 2𝑥 .
Paso 1. Resolvemos la ecuación homogénea 𝑦 ′′ − 4𝑦 ′ + 4𝑦 = 0. Se encuentran las raíces de la ecuación
auxiliar 𝑚2 − 4𝑚 + 4 = 0 son 𝑚1 = 𝑚2 = 2 . La función complementaria es
𝑦𝑐 = 𝑐1 𝑒 2𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 2𝑥
Paso 2. Ahora, 𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑦1 + 𝑢2 𝑦2 donde 𝑦1 = 𝑒 2𝑥 y 𝑦2 = 𝑥𝑒 2𝑥 . Podemos encontrar 𝑢1 y 𝑢1 a partir de resolver:
Por lo tanto
𝑢2′
La solución particular es:
𝑊
𝑊
1
1
𝑢1 = ∫ −𝑥(𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = − 𝑥 3 − 𝑥 2
3
2
Y
Por lo tanto
𝑊1
y 𝑢2 ′ = 2
𝑊
0
𝑦2
0
𝑥𝑒 2𝑥
|
| |
|
2𝑥
𝑊
(𝑥
𝑓(𝑥) 𝑦2 ′
+ 1)𝑒
2𝑥𝑒 2𝑥 + 𝑒 2𝑥
1
𝑢1′ =
= 𝑦
=
= −𝑥(𝑥 + 1)
𝑦2
1
𝑒 2𝑥
𝑥𝑒 2𝑥
𝑊
| 2𝑥
|
|𝑦 ′ 𝑦 ′|
2𝑥
2𝑥
2𝑒
2𝑥𝑒 + 𝑒
1
2
𝑢1 ′ =
2𝑥
𝑦
0
| 1
| | 𝑒 2𝑥
𝑊2
𝑦1 ′ 𝑓(𝑥)
2𝑒
=
= 𝑦
𝑦2 = 𝑒 2𝑥
1
𝑊
| 2𝑥
|𝑦 ′ 𝑦 ′|
2𝑒
1
2
𝑥𝑒 2𝑥
|
2𝑥𝑒 2𝑥 + 𝑒 2𝑥 = 𝑥 + 1
𝑥𝑒 2𝑥
|
2𝑥𝑒 2𝑥 + 𝑒 2𝑥
1
𝑢2 = ∫(𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = 𝑥 2 + 𝑥
2
1
1
1
𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑦1 + 𝑢2 𝑦2 = (− 𝑥 3 − 𝑥 2 ) 𝑒 2𝑥 + ( 𝑥 2 + 𝑥) 𝑥𝑒 2𝑥
3
2
2
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 97 de 131
Simplificando:
1
1
𝑦𝑝 = 𝑥 2 𝑒 2𝑥 ( 𝑥 + )
6
2
Paso 3. La solución general de la ecuación dada es
1
1
𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 = 𝑐1 𝑒 2𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 2𝑥 + 𝑥 2 𝑒 2𝑥 ( 𝑥 + )
6
2
Ejemplo 3.3.2
Resuelva 4𝑦 ′′ + 36𝑦 = csc 3𝑥.
Paso 1. Resolvemos la ecuación homogénea 4𝑦 ′′ + 36𝑦 = 0. Se encuentran las raíces de la ecuación auxiliar
4𝑚2 + 36 = 0 son 𝑚1 , 𝑚2 = ±3𝑖 . La función complementaria es
𝑦𝑐 = 𝑐1 cos 3𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 3𝑥
Paso 2. Ahora, 𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑦1 + 𝑢2 𝑦2 donde 𝑦1 = cos 3𝑥 y 𝑦2 = 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 . Podemos encontrar 𝑢1 y 𝑢1 a partir de
resolver:
𝑊
𝑊
𝑢1 ′ = 1 y 𝑢2 ′ = 2
𝑊
𝑊
0
𝑠𝑒𝑛 3𝑥
0
𝑦2
|csc 3𝑥
|
|
|
3 cos 3𝑥
𝑊1
1
𝑓(𝑥) 𝑦2 ′
4
′
𝑢1 =
= 𝑦
=−
𝑦2 = cos 3𝑥
1
𝑠𝑒𝑛 3𝑥
𝑊
12
|
|
|𝑦 ′ 𝑦 ′|
−3 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 3 cos 3𝑥
1
2
Por lo tanto
𝑢1 = ∫ −
Y
1
1
𝑑𝑥 = − 𝑥
12
12
cos 3𝑥
0
𝑦
0
|
csc 3𝑥|
| 1
|
−3 𝑠𝑒𝑛 3𝑥
𝑊2
cos 3𝑥
𝑦1 ′ 𝑓(𝑥)
4
𝑢2′ =
= 𝑦
=
=
𝑦
1
2
cos
3𝑥
𝑠𝑒𝑛
3𝑥
𝑊
|
| 12 𝑠𝑒𝑛 3𝑥
|𝑦 ′ 𝑦 ′|
−3 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 3 cos 3𝑥
1
2
Por lo tanto
La solución particular es:
cos 3𝑥
1
𝑢2 = ∫ (
) 𝑑𝑥 =
ln(𝑠𝑒𝑛 3𝑥)
3 𝑠𝑒𝑛 3𝑥
36
𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑦1 + 𝑢2 𝑦2 = (−
1
1
𝑥) cos 3𝑥 + ( ln(𝑠𝑒𝑛 3𝑥)) 𝑠𝑒𝑛 3𝑥
12
36
Simplificando:
𝑦𝑝 = −
1
1
𝑥cos 3𝑥 + (𝑠𝑒𝑛 3𝑥)ln(𝑠𝑒𝑛 3𝑥)
12
36
Paso 3. La solución general de la ecuación dada es
𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 = 𝑐1 cos 3𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 −
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
1
1
𝑥cos 3𝑥 + (𝑠𝑒𝑛 3𝑥)ln(𝑠𝑒𝑛 3𝑥)
12
36
Página 98 de 131
Ejemplo 3.3.3
Resuelva 𝑦 ′′ + 𝑦 = cos2 𝑥.
Paso 1. Resolvemos 𝑦 ′′ + 𝑦 = 0. Raíces de la ecuación 𝑚2 + 1 = 0 son 𝑚1 , 𝑚2 = ±𝑖. La función
complementaria es
𝑦𝑐 = 𝑐1 cos 𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 𝑥
Paso 2. Ahora, 𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑦1 + 𝑢2 𝑦2 donde 𝑦1 = cos 𝑥 y 𝑦2 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . Encontramos 𝑢1 y 𝑢1 :
0
𝑠𝑒𝑛 𝑥
| 2
|
𝑥 cos 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos2 𝑥
𝑢1′ = cos
cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
|
|
−𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥
Por lo tanto
Y
1
𝑢1 = ∫ −𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos2 𝑥 𝑑𝑥 = cos3 𝑥
3
𝑢2′
Por lo tanto
La solución particular es:
cos 𝑥
0
|
2 𝑥|
−𝑠𝑒𝑛
𝑥
cos
3
= cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 = cos 𝑥
|
|
−𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥
1
𝑢2 = ∫ cos3 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑠𝑒𝑛3 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥
3
1
1
𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑦1 + 𝑢2 𝑦2 = ( cos3 𝑥) cos 𝑥 + (− 𝑠𝑒𝑛3 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥) 𝑠𝑒𝑛 𝑥
3
3
Simplificando:
1
1
𝑦𝑝 = cos4 𝑥 − (𝑠𝑒𝑛 4 𝑥) + 𝑠𝑒𝑛2 𝑥
3
3
Paso 3. La solución general de la ecuación dada es
1
1
𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 = 𝑐1 cos 𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos4 𝑥 − (𝑠𝑒𝑛 4 𝑥) +𝑠𝑒𝑛2 𝑥
3
3
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 99 de 131
ACTIVIDAD DE TRABAJO 3.3
Realiza los siguientes ejercicios.
I.- Hallar la solución de cada problema en forma clara y ordenada
1.- 𝑦 ′′ − 4𝑦 = 𝑒 2𝑥
3.- 𝑦 ′′ − 10𝑦 ′ + 25𝑦 = 30𝑥 + 3
5.- 𝑦 ′′ + 𝑦 = sec 𝑥𝑡𝑎𝑛 𝑥
7.- 𝑦 ′′ − 9𝑦 = 𝑒 3𝑥
9.- 𝑦 ′′ + 3𝑦 ′ + 2𝑦 =
1
1+𝑒 𝑥
2.- 𝑦 ′′ + 4𝑦 = 3 𝑠𝑒𝑛 2𝑥
4.- 𝑦 ′′ + 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛𝑥
6.- 𝑦 ′′ + 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥
9𝑥
8.- 𝑦 ′′ − 9𝑦 = 3𝑥
𝑒
𝑥
10.- 4𝑦 ′′ − 𝑦 = 𝑥𝑒 2 , 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 0
PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS
Desarrolla e integra la siguiente actividad a tu portafolio de evidencias.
1.- Realiza un resumen de como poder resolver los problemas ecuaciones diferenciales de segundo
orden con coeficientes constantes por variación de parámetros, escribe cuales son los tipos de funciones
𝑔(𝑥) que se pueden resolver con éste método.
¿?
Entiendo el cómo encontrar la solución complementaria?, Soy capaz de plantear quien es 𝑦1 , 𝑦2 , y 𝑓(𝑥)?,
Comprendo cómo encontrar 𝑢1 y 𝑢2 ?, Comprendo cómo encontrar la solución particular? Soy capaz de
encontrar la solución general? Puedo encontrar la solución particular si tengo condiciones iniciales
dadas?
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 100 de 131
ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER
Una ecuación diferencial lineal de la forma:
𝑎𝑛 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 𝑦 𝑛−1 + ⋯ 𝑎2 𝑥 2 𝑦 ′′ + 𝑎1 𝑥 y ′ + 𝑎0 𝑦 = 𝑔(𝑥)
donde los coeficientes 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1 , . . . , 𝑎0 son constantes, se conoce como ecuación de Cauchy-Euler. La
característica observable de este tipo de ecuación es que el grado 𝑘 = 𝑛, 𝑛 − 1, . . . , 1, 0 de los coeficientes
monomiales 𝑥 𝑘 coincide con el orden k de la derivación 𝑦 𝑘 .
MÉTODO DE SOLUCIÓN Se prueba una solución de la forma 𝑦 = 𝑥 𝑚 , donde 𝑚 es un valor que se debe
determinar. Cuando sustituimos 𝑦 = 𝑥 𝑚 , la ecuación de segundo orden 𝑎2 𝑥 2 𝑦 ′′ + 𝑎1 𝑥 y ′ + 𝑎0 𝑦 = 0 se
transforma en:
𝑎𝑥 2 𝑦 ′′ + 𝑏𝑥 y ′ + c 𝑦 = 𝑎𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚 + 𝑏𝑚𝑥 𝑚 + 𝑐𝑥 𝑚
Así 𝑦 = 𝑥 𝑚 es una solución de la ecuación diferencial siempre que 𝑚 sea una solución de la ecuación auxiliar
𝑎𝑚2 + (𝑏 − 𝑎)𝑚 + 𝑐 = 0
Hay tres casos distintos a considerar que dependen de si las raíces de esta ecuación cuadrática son reales
y distintas, reales e iguales o complejas. En el último caso las raíces aparecen como un par conjugado.
CASO I: RAÍCES REALES Y DISTINTAS Sean 𝑚1 y 𝑚2 las raíces reales,
La solución general es
𝑦 = 𝑐1 𝑥 𝑚1 + 𝑐2 𝑥 𝑚2 .
CASO II: RAÍCES REALES REPETIDAS Si las raíces son repetidas (es decir, 𝑚1 = 𝑚2 ), entonces se obtiene sólo
una solución particular, 𝑦 = 𝑥 𝑚1 .
𝑦 = 𝑐1 𝑥 𝑚1 + 𝑐2 𝑥 𝑚1 𝑙𝑛𝑥.
CASO III: RAÍCES COMPLEJAS CONJUGADAS Si las raíces son el par conjugado 𝑚1 , 𝑚1 = 𝛼 ± 𝛽𝑖, donde 𝛼 y 𝛽
son reales, entonces una solución es
𝑦 = 𝑐1 𝑥 𝛼+𝛽𝑖 + 𝑐2 𝑥 𝛼−𝛽𝑖 .
Que podemos escribirla como:
𝑦 = 𝑥 𝛼 [𝑐1 cos(𝛽𝑙𝑛𝑥) + 𝑐2 sen(𝛽𝑙𝑛𝑥)].
También, podemos resolver la ecuación no homogénea 𝑎2 𝑥 2 𝑦 ′′ + 𝑎1 𝑥 y ′ + 𝑎0 𝑦 = 𝑔(𝑥) por variación de
parámetros, una vez que se ha determinado la función complementaria 𝑦𝑐 .
Ejemplo 3.4.1
Resuelva 𝑥 2 𝑦 ′′ − 2𝑥𝑦 ′ − 4𝑦 = 0.
Solución. Tenemos que 𝑦 = 𝑥 𝑚 y 𝑦′ = 𝑚𝑥 𝑚−1 , 𝑦′′ = 𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚−2 sustituyendo en la ecuación diferencial:
𝑥 2 [𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚−2 ] − 2𝑥[𝑚𝑥 𝑚−1 ] − 4[𝑥 𝑚 ] = 0
Se encuentran las raíces de la ecuación auxiliar 𝑚2 − 3𝑚 − 4 = 0 que son 𝑚1 = −1, 𝑚2 = 4.
La solución complementaria es
𝑦𝑐 = 𝑐1 𝑥 −1 + 𝑐2 𝑥 4
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 101 de 131
Ejemplo 3.4.2
Resuelva 4𝑥 2 𝑦 ′′ + 8𝑥𝑦 ′ + 𝑦 = 0.
Solución. Tenemos que 𝑦 = 𝑥 𝑚 y 𝑦′ = 𝑚𝑥 𝑚−1 , 𝑦′′ = 𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚−2 sustituyendo en la ecuación diferencial:
4𝑥 2 [𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚−2 ] + 8𝑥[𝑚𝑥 𝑚−1 ] + [𝑥 𝑚 ] = 0
1
Se encuentran las raíces de la ecuación auxiliar 4𝑚2 + 4𝑚 + 1 = 0 que son 𝑚1 = 𝑚2 = − .
2
La solución complementaria es
1
1
𝑦𝑐 = 𝑐1 𝑥 −2 + 𝑐2 𝑥 −2 ln 𝑥
Ejemplo 3.4.3
Resuelva 4𝑥 2 𝑦 ′′ + 17𝑦 = 0. Sujeta a 𝑦(1) = −1, 𝑦 ′ (1) = −
1
2
Solución. Sustituyendo en la ecuación diferencial 𝑦 = 𝑥 𝑚 y sus derivadas:
4𝑥 2 [𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚−2 ] + 17[𝑥 𝑚 ] = 0
1
Se encuentran las raíces de la ecuación auxiliar 4𝑚2 − 4𝑚 + 17 = 0 donde sus raíces son 𝑚1 , 𝑚2 = ± 2𝑖.
2
La solución complementaria es
1
𝑦𝑐 = 𝑥 2 [𝑐1 cos(2𝑙𝑛𝑥) + 𝑐2 sen(2𝑙𝑛𝑥)].
Aplicando las condiciones iniciales:
1
Derivando:
𝑦𝑐 (1) = (1)2 [𝑐1 cos(2𝑙𝑛(1)) + 𝑐2 sen(2𝑙𝑛(1))] = −1 → 𝑐1 = −1
1 −2𝑐1
2𝑐2
1 1
𝑦𝑐′ = 𝑥 2 [
𝑠𝑒𝑛(2𝑙𝑛𝑥) +
cos(2𝑙𝑛𝑥)] + 𝑥 −2 [𝑐1 cos(2𝑙𝑛𝑥) + 𝑐2 sen(2𝑙𝑛𝑥)].
𝑥
𝑥
2
Aplicando las condiciones iniciales:
1 −2𝑐1
1
2𝑐2
1
1
𝑦𝑐′ (1) = (1)2 [
𝑠𝑒𝑛(2𝑙𝑛(1)) +
cos(2𝑙𝑛(1))] + (1)−2 [𝑐1 cos(2𝑙𝑛(1)) + 𝑐2 sen(2𝑙𝑛(1))] = − → 𝑐2 = 0.
(1)
(1)
2
2
Obtenemos la solución particular:
1
𝑦𝑐 = −𝑥 2 [cos(2𝑙𝑛𝑥)].
Ejemplo 5.3.4
Resuelva 𝑥 3 𝑦 ′′′ + 5𝑥 2 𝑦 ′′ + 7𝑥𝑦 ′ + 8𝑦 = 0.
Solución. Sustituyendo en la ecuación diferencial 𝑦 = 𝑥 𝑚 y sus derivadas 𝑦 = 𝑥 𝑚 , 𝑦′ = 𝑚𝑥 𝑚−1 , 𝑦′′ = 𝑚(𝑚 −
1)𝑥 𝑚−2 y 𝑦′′′ = 𝑚(𝑚 − 1)(𝑚 − 2)𝑥 𝑚−3
𝑥 3 [𝑚(𝑚 − 1)(𝑚 − 2)𝑥 𝑚−3 ] + 5𝑥 2 [𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚−2 ] + 7𝑥[𝑚𝑥 𝑚−1 ] + 8[𝑥 𝑚 ] = 0
Se encuentran las raíces de la ecuación auxiliar 𝑚3 + 2𝑚2 + 4𝑚 + 8 = 0, sus raíces son 𝑚1 = −2 y 𝑚2 , 𝑚3 = ±2𝑖.
La solución complementaria es
𝑦𝑐 = 𝑐1 𝑥 −2 + 𝑐2 cos(2𝑙𝑛𝑥) + 𝑐3 sen(2𝑙𝑛𝑥).
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 102 de 131
Ejemplo 3.4.5
Resuelva 𝑥 2 𝑦 ′′ − 3𝑥𝑦 ′ + 3𝑦 = 2𝑥 4 𝑒 𝑥 .
Solución.
1. Encontrar la solución complementaria
Sustituyendo en la ecuación diferencial 𝑦 = 𝑥 𝑚 y sus derivadas 𝑦 = 𝑥 𝑚 , 𝑦′ = 𝑚𝑥 𝑚−1 , 𝑦′′ = 𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚−2 .
𝑥 2 [𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚−2 ] − 3𝑥[𝑚𝑥 𝑚−1 ] + 3[𝑥 𝑚 ] = 0
Se encuentran las raíces de la ecuación auxiliar 𝑚2 − 4𝑚 + 3 = 0, sus raíces son 𝑚1 = 1 y 𝑚2 = 3.
La solución complementaria es
𝑦𝑐 = 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑥 3 .
2. Encontrar la solución particular
Ahora, 𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑦1 + 𝑢2 𝑦2 donde 𝑦1 = 𝑥 y 𝑦2 = 𝑥 3 . Encontramos 𝑢1 y 𝑢1 :
3
| 02 𝑥 𝑥 2 |
𝑢1′ = 2𝑥 𝑒 33𝑥 = −𝑥 2 𝑒 𝑥
𝑥 𝑥
|
|
1 3𝑥 2
Por lo tanto
𝑢1 = ∫ −𝑥 2 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 2 𝑒 𝑥 + 2𝑥𝑒 𝑥 − 2𝑒 𝑥
Y
𝑢2′
Por lo tanto
𝑥
0
|
2𝑒 𝑥 |
1
2𝑥
=
= 𝑒𝑥
𝑥 𝑥3
|
|
1 3𝑥 2
𝑢2 = ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥
La solución particular es:
𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑦1 + 𝑢2 𝑦2 = (−𝑥 2 𝑒 𝑥 + 2𝑥𝑒 𝑥 − 2𝑒 𝑥 )𝑥 + (𝑒 𝑥 )𝑥 3
Simplificando:
𝑦𝑝 = 2𝑥 2 𝑒 𝑥 − 2𝑥𝑒 𝑥
3.- La solución general es:
𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 = 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑥 3 + 2𝑥 2 𝑒 𝑥 − 2𝑥𝑒 𝑥
Ejemplo 3.4.6
Resuelva 2𝑥 2 𝑦 ′′ + 5𝑥𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑥 2 − 𝑥.
Solución.
1. Encontrar la solución complementaria
Sustituyendo en la ecuación diferencial 𝑦 = 𝑥 𝑚 y sus derivadas 𝑦 = 𝑥 𝑚 , 𝑦′ = 𝑚𝑥 𝑚−1 , 𝑦′′ = 𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚−2 .
2𝑥 2 [𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚−2 ] + 5𝑥[𝑚𝑥 𝑚−1 ] + [𝑥 𝑚 ] = 0
1
Se encuentran las raíces de la ecuación auxiliar 2𝑚2 + 3𝑚 + 1 = 0, sus raíces son 𝑚1 = −1 y 𝑚2 = − .
2
La solución complementaria es
1
2. Encontrar la solución particular
𝑦𝑐 = 𝑐1 𝑥 −1 + 𝑐2 𝑥 −2 .
1
Ahora, 𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑦1 + 𝑢2 𝑦2 donde 𝑦1 = 𝑥 −1 y 𝑦2 = 𝑥 −2 . Encontramos 𝑢1 y 𝑢1 :
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 103 de 131
1
Por lo tanto
0
𝑥 −2
|𝑥 2 − 𝑥
1 3|
− 𝑥 −2
2
2
2𝑥
′
𝑢1 =
= 𝑥 − 𝑥2
1
−1
𝑥2 |
|𝑥
−𝑥 −2 3𝑥 2
𝑢1 = ∫ 𝑥 − 𝑥 2 𝑑𝑥 =
Y
𝑥 −1
|
𝑢2′ =
Por lo tanto
La solución particular es:
−𝑥
−2
−1
|𝑥
−𝑥 −2
𝑥2 𝑥3
−
2
3
0
𝑥 2 − 𝑥|
2𝑥 2 = 𝑥 32 − 𝑥 12
1
𝑥2 |
3𝑥 2
3
1
2 5 2 3
𝑢2 = ∫ (𝑥 2 − 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 = 𝑥 2 − 𝑥 2
5
3
1
𝑥2 𝑥3
2 5 2 3
𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑦1 + 𝑢2 𝑦2 = ( − ) 𝑥 −1 + ( 𝑥 2 − 𝑥 2 ) 𝑥 −2
2
3
5
3
Simplificando:
𝑦𝑝 =
3.- La solución general es:
1 2 1
𝑥 − 𝑥
15
6
1
𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 = 𝑐1 𝑥 −1 + 𝑐2 𝑥 −2 +
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
1 2 1
𝑥 − 𝑥
15
6
Página 104 de 131
ACTIVIDAD DE TRABAJO 3.4
Realiza los siguientes ejercicios.
I.- Hallar la solución general de la ecuación diferencial dada
1.- 𝑥 2 𝑦 ′′ − 2𝑦 = 0
3.- 𝑥𝑦 ′′ + 𝑦′ = 0
5.- 4𝑥 2 𝑦 ′′ + 𝑦 = 0
7.- 𝑥 3 𝑦 ′′′ + 𝑥𝑦 ′ − 𝑦 = 0
9.- 2𝑥 2 𝑦 ′′ + 5𝑥𝑦 ′ + 𝑦 = 2𝑥
11.- 𝑥 2 𝑦 ′′ + 𝑥𝑦 ′ − 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥
2.- 𝑥 2 𝑦 ′′ + 𝑥𝑦 ′ + 4𝑦 = 0
4.- 𝑥 2 𝑦 ′′ + 5𝑥𝑦 ′ + 3𝑦 = 0
6.- 𝑥 2 𝑦 ′′ + 3𝑥𝑦 ′ − 4𝑦 = 0
8.- 𝑥𝑦 ′′ − 4𝑦 ′ = 𝑥 4
10.- 𝑥 2 𝑦 ′′ − 2𝑥𝑦′ + 2𝑦 = 𝑥 4 𝑒 𝑥
1
12.- 𝑥 2 𝑦 ′′ + 𝑥𝑦 ′ − 𝑦 =
𝑥+1
PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS
Desarrolla e integra la siguiente actividad a tu portafolio de evidencias.
1.- Realiza un resumen de los tipos de soluciones y cómo resolver ecuaciones diferenciales de CauchyEuler.
¿?
Entiendo el cómo encontrar la solución complementaria?, Soy capaz de razonar las diferentes tipos de
raíces y plantear la solución?, Comprendo cómo hay que encontrar la solución particular?, Comprendo
el método de variación de parámetros? Soy capaz de encontrar la solución general?
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 105 de 131
AUTOEVALUACIÓN
Realiza los siguientes ejercicios.
Ecuaciones diferenciales Lineales homogéneas
1.- Resolver
5
a) 𝑦´´ − 𝑦´ + 𝑦 = 0
2
1
1
2
16
b) 𝑦´´ − 𝑦´ +
𝑦=0
c) 𝑦´´ + 2𝑦´ − 3𝑦 = 0
d) 𝑦´´ − 2𝑦´ − 3𝑦 = 0
e) 𝑦´´ + 10𝑦´ + 25𝑦 = 0
f) 𝑦´´ − 4𝑦´ + 13𝑦 = 0
g) 𝑦´´ − 𝑦 = 0 para 𝑦(0) = 0 y 𝑦´(0) = −8
h) 𝑦´´ − 16𝑦 = 0 para 𝑦(0) = 2 y 𝑦´(0) = 4
i) 𝑦´´ + 2𝑦´ + 8𝑦 = 0 para 𝑦(0) = −2 y 𝑦´(0) = 1
2.- Hallar la ecuación diferencial a partir de la solución
a) 𝑦 = 𝑐1 𝑒 −𝑥 + 𝑐2 𝑒 𝑥
b) 𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 𝑥
𝑥
𝑥
c) 𝑦 = 𝑒 −𝑥 [𝐴𝑐𝑜𝑠 + 𝐵𝑠𝑒𝑛 ]
2
d) 𝑦 = 𝑐1 𝑒 4𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 4𝑥
2𝑥
e) 𝑦 = 𝑐1 𝑒 ⁄3 + 𝑐2 𝑒 𝑥
2
Ecuaciones diferenciales Lineales homogéneas de orden superior
3.- Resolver
a) 𝑦´´´ − 2𝑦´´ − 𝑦´ + 2𝑦 = 0
b) 𝑦´´´ − 2𝑦´´ − 4𝑦´ + 8𝑦 = 0
c) 𝑦´´´ − 6𝑦´´ + 12𝑦´ − 8𝑦 = 0
d) 𝑦 𝑖𝑣 − 2𝑦´´´ − 3𝑦´´ + 4𝑦´ + 4𝑦 = 0
e) 𝑦 𝑖𝑣 − 4𝑦´´´ + 7𝑦´´ − 6𝑦´ + 2𝑦 = 0
d) 𝑦 𝑖𝑣 − 𝑦 = 0 para 𝑦(0) = 2, 𝑦´(0) = 1, 𝑦´´(0) = 4, 𝑦´´´(0) = −2
4. Hallar la ecuación diferencial a partir de la solución
a) 𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 𝑥 + 𝑐3 𝑒 −𝑥
b) 𝑦 = 𝑐1 𝑒 −𝑥 + 𝑐2 𝑒 −2𝑥 + 𝑐3 𝑒 𝑥
c) 𝑦 = 𝑐1 cos 2𝑥 + 𝑐2 sen 2𝑥 + 𝑐3 cos 5𝑥 + 𝑐4 sen 5𝑥
Coeficientes indeterminados
5.- Resolver
a) 𝑦´´ + 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥
b) 𝑦´´ − 4𝑦´ + 2𝑦 = 5𝑒 𝑥
c) 𝑦´´ + 6𝑦´ − 7𝑦 = 3𝑒 2𝑥 − 𝑒 −𝑥
d) 𝑦´´ − 𝑦´ − 2𝑦 = 3𝑒 2𝑥 − 𝑥 2
e) 𝑦´´ − 𝑦 = 2𝑒 𝑥 + 2𝑒 −𝑥 + 𝑥
d) 𝑦´´ − 9𝑦 = 20𝑠𝑒𝑛𝑥 + 3𝑥 2
e) 𝑦´´ − 4𝑦 = 4𝑠𝑒𝑛2𝑥
f) 𝑦´´ − 4𝑦´ + 4𝑦 = 6𝑒 2𝑥 + 𝑥
g) 𝑦´´ + 8𝑦´ = 48𝑥 2 + 65𝑠𝑒𝑛 𝑥
h) 𝑦´´ − 4𝑦 = −12𝑒 −2𝑥 + 15 cos 𝑥 + 8𝑥
i) 𝑦´´´ − 2𝑦´´ − 𝑦´ + 2𝑦 = −8𝑒 𝑥 + 6𝑒 −𝑥
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 106 de 131
Variación de Parámetros
6.- Resolver
5
𝑥
a) 𝑦´´ − 𝑦´ + 𝑦 = 𝑒 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥
4
b) 𝑦´´ − 4𝑦´ + 3𝑦 = 𝑥𝑒 2𝑥
c) 𝑦´´ + 𝑦´ − 2𝑦 = 3𝑥𝑒 4𝑥
d) 𝑦´´ − 𝑦 = 𝑒 2𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥
e) 𝑦´´ − 𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥
f) 𝑦´´ − 9𝑦´ = 18𝑥 2 𝑒 9𝑥
Cauchy Euler (Homogénea)
7.- Resolver
a) 𝑥 2 𝑦´´ − 12𝑦 = 0
b) 𝑥 2 𝑦´´ + 2𝑥𝑦´ − 12𝑦 = 0
c) 𝑥 2 𝑦´´ + 5𝑥𝑦´ − 5𝑦 = 0
d) 𝑥 2 𝑦´´ − 3𝑥𝑦´ + 5𝑦 = 0
e) 𝑥 2 𝑦´´ + 3𝑥𝑦´ + 𝑦 = 0 para 𝑦(1) = 0, 𝑦´(1) = 4
f) 𝑥 2 𝑦´´ − 𝑥𝑦´ + 10𝑦 = 0 para 𝑦(1) = 1, 𝑦´(1) = 1
8.- Hallar la ecuación diferencial a partir de la solución
a) 𝑦 = 𝑐1 𝑥 −1 + 𝑐2 𝑥 2
b) 𝑦 = 𝑥 3 (𝑐1 + 𝑐2 ln 𝑥)
Cauchy Euler (Variación de Parámetros)
9.- Resolver
a) 𝑥 2 𝑦´´ − 𝑥𝑦´ = 4𝑥 2 𝑒 𝑥
b) 𝑥 2 𝑦´´ − 2𝑥𝑦´ + 2𝑦 = 6𝑥 3 𝑒 2𝑥
c) 𝑥 2 𝑦´´ − 𝑥𝑦´ + 2𝑦 = 𝑥𝑙𝑛 𝑥
d) 𝑥 2 𝑦´´ − 2𝑦 = 9𝑥 3 𝑒 𝑥 para 𝑦(1) = 9𝑒, 𝑦´(1) = 1
e) 𝑥 2 𝑦´´ + 3𝑥𝑦´ + 2𝑦 = 2 para 𝑦(1) = 1, 𝑦´(1) = 5
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 107 de 131
Transformada
de Laplace
Cuarto
Parcial
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 108 de 131
Competencias a alcanzar
COMPETENCIAS
Ser capaz de obtener la
transformada de Laplace de
las funciones más usuales y
aprender
y
aplicar
los
teoremas para el cálculo de
la transformada de otras
funciones.
Ser capaz de obtener la
transformada
inversa
de
Laplace de las funciones más
usuales y aprender y aplicar
los teoremas para el cálculo
de la transformada inversa de
Laplace de otras funciones.
Comprender los conceptos
de aplicación y uso de la
transformada de Laplace en
la solución de las ecuaciones
diferenciales.
Ser capaz de resolver las
ecuaciones diferenciales por
el método de la transformada
de Laplace.
Ser capaz de plantear y
resolver
aplicaciones
de
sistemas físicos que generan
ecuaciones diferenciales de
segundo
orden,
por
el
método de la transformada
de Laplace.
Cálculo D
ACTIVIDADES DE
APRENDIZAJE
Realizar una serie de ejercicios de la
transformada de Laplace de las
funciones más comunes y ejercicios
donde se aplique los teoremas para el
cálculo de la transformada de
Laplace de funciones diversas.
Realizar una serie de ejercicios de la
transformada inversa de Laplace de
las funciones más comunes y
ejercicios donde se aplique los
teoremas para el cálculo de la
transformada inversa de Laplace de
funciones diversas.
Realizar una serie de ejercicios donde
se aplique el método de solución de
una ecuación diferencial de primer y
segundo
orden
utilizando
la
transformada de Laplace.
Realizar una serie de ejercicios donde
se aplique el método de solución de
una ecuación diferencial de orden
superior utilizando la transformada de
Laplace.
Realizar una serie de problemas de
aplicación de sistemas físicos que al
ser modelados matemáticamente
resulta una ecuación diferencial de
segundo como es el sistema masaresorte y un circuito eléctrico RLC,
utilizando
la
transformada
de
Laplace.
Capistrán/Gallardo
HABILIDADES Y ACTITUDES
El alumno será capaz de aprender y
comprender el significado y uso de
una transformación lineal como lo es
la transformada de Laplace.
El alumno será capaz de aplicar los
teoremas de la transformada de
Laplace en diversos tipos de
funciones.
El alumno será capaz de aplicar los
teoremas de la transformada inversa
de Laplace en diversos tipos de
funciones.
El alumno desarrollará la habilidad
para obtener la transformada de
Laplace y la transformada inversa
de Laplace en forma general. A
través de la asimilación de los
conocimientos de la transformada
de Laplace, aprenderá el método
de
solución
las
ecuaciones
diferenciales de orden superior y el
alumno resolverá dichas ecuaciones
diferenciales
desarrollando
estrategias propias de resolución.
El alumno será capaz de resolver
aplicaciones de sistemas físicos que
al
ser
planteados
originan
ecuaciones
diferenciales
de
segundo orden y donde la solución
se simplifica si se resuelven por el
método de la transformada de
Laplace.
Página 109 de 131
Organizador gráfico
Transformada de Laplace
Definición
Transformada
Inversa
Solución de
Ecuaciones
Diferenciales por
Transformada de
Laplace
Aplicaciones
Sistema masa
resorte
Circuitos RLC
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 110 de 131
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Definición
Sea 𝑓 una función definida para 𝑡 ≥ 0. Entonces se dice que la integral
∞
ℒ{ 𝑓 (𝑡)} = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
0
es la transformada de Laplace de 𝑓, siempre que la integral converja
Cuando la integral de la definición converge, el resultado es una función de 𝑠. En el análisis general se usa
una letra minúscula para denotar la función que se transforma y la letra mayúscula correspondiente para
denotar su transformada de Laplace, por ejemplo,
ℒ{𝑓 (𝑡)} = 𝐹(𝑠),
ℒ{𝑔(𝑡)} = 𝐺(𝑠),
ℒ {𝑦(𝑡)} = 𝑌(𝑠).
Ejemplo 4.1.1
Evalúe ℒ{1}.
De la definición,
∞
𝑏
ℒ{1} = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 (1)𝑑𝑡 = lim ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡
𝑏→∞ 0
0
−𝑒 −𝑠𝑡 𝑏
−𝑒 −𝑠𝑏 − 1 1
= lim
| = lim
=
𝑏→∞
𝑠
0 𝑏→∞
𝑠
𝑠
Transformada de Laplace de algunas funciones básicas:
𝟏
a) 𝓛{𝟏} =
f) 𝓛{𝒔𝒆𝒏𝒉 𝒌𝒕} =
𝒔
b) 𝓛{𝐭 𝒏 } =
𝒏!
𝒔𝒏+𝟏
d) 𝓛{𝒄𝒐𝒔 𝒌𝒕} =
e)
𝓛{𝒆𝒂𝒕 }
=
g) 𝓛{𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒌𝒕} =
, 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 …
c) 𝓛{𝒔𝒆𝒏 𝒌𝒕} =
𝒌
𝒌
h)
𝒔𝟐 +𝒌𝟐
𝒔
𝒔𝟐 +𝒌𝟐
𝟏
𝒔−𝒂
𝓛{𝒆𝒂𝒕 𝒔𝒆𝒏
𝒔𝟐 −𝒌𝟐
𝒔
𝒔𝟐 −𝒌𝟐
𝒌
𝒌𝒕} = (𝒔−𝒂)𝟐
+𝒌𝟐
(𝒔−𝒂)
i)
𝓛{𝒆𝒂𝒕 𝒄𝒐𝒔
𝒌𝒕} = (𝒔−𝒂)𝟐
j)
𝓛{𝒆𝒂𝒕 𝒕𝒏 }
= (𝒔−𝒂)𝒏+𝟏 , 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 …
+𝒌𝟐
𝒏!
Ejemplo 4.1.2
Encuentre la transformada de Laplace de 𝓛{3𝑡 − 5𝑠𝑒𝑛 2𝑡}:
3
2
𝑠
𝑠 2 +4
De acuerdo a la tabla 𝓛{3𝑡 − 5𝑠𝑒𝑛 2𝑡} = 3ℒ{𝑡} − 5𝓛{𝑠𝑒𝑛 2𝑡} = − 5 [
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
3
10
𝑠
𝑠 2 +4
]= −
Página 111 de 131
Ejemplo 4.1.3
Encuentre la transformada de Laplace de 𝓛{2t 4 }:
4!
48
𝑠
𝑠5
De acuerdo a la tabla 𝓛{2t 4 } = 2ℒ{𝑡 4 } = 2 [ 5 ] =
Ejemplo 4.1.4
Encuentre la transformada de Laplace de 𝓛{4𝑡 − 10}:
De acuerdo a la tabla 𝓛{4𝑡 − 10} = 4ℒ{𝑡} − 10𝓛{1} =
4
𝑠2
−
10
𝑠
Ejemplo 4.1.5
Encuentre la transformada de Laplace de 𝓛{𝑡 2 − 6𝑡 − 3}:
De acuerdo a la tabla 𝓛{𝑡 2 − 6𝑡 − 3} = ℒ{𝑡 2 } − 6ℒ{𝑡} − 3ℒ{1} =
2
𝑠3
1
1
2
𝑠
𝑠
𝑠3
− 6 [ 2] − 3 [ ] =
−
6
𝑠2
−
3
𝑠
Ejemplo 4.1.6
Encuentre la transformada de Laplace de 𝓛{4𝑒 5𝑡 }:
De acuerdo a la tabla 𝓛{4𝑒 5𝑡 } = 4 [
1
𝑠−5
]=
4
𝑠−5
Ejemplo 4.1.7
Encuentre la transformada de Laplace de 𝓛{𝑒 2𝑡 cos 3𝑡}:
(𝒔−𝟐)
De acuerdo a la tabla 𝓛{𝑒 2𝑡 cos 3𝑡} = (𝒔−𝟐)𝟐
+𝟗
Ejemplo 4.1.8
Encuentre la transformada de Laplace de 𝓛{𝑡 3 𝑒 𝑡 }:
𝟑!
𝟔
De acuerdo a la tabla 𝓛{𝑡 3 𝑒 𝑡 } = (𝒔−𝟏)𝟒 = (𝒔−𝟏)𝟒
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 112 de 131
ACTIVIDAD DE TRABAJO 4.1
Realiza los siguientes ejercicios.
I.- Hallar la transformada de Laplace de cada función
1.- 𝓛{et+7 }
3.- 𝓛{e−t 𝑠𝑒𝑛𝑡}
5.- 𝓛{(2𝑡 − 1)3 }
7.- 𝓛{4𝑡 3 − 2𝑠𝑒𝑛 6𝑡}
9.- 𝓛{(et − 𝑒 −𝑡 )2 }
2.- 𝓛{te4t }
4.- 𝓛{−4𝑡 2 + 16𝑡 + 9}
6.- 𝓛{1 + e3t }
8.- 𝓛{et 𝑐𝑜𝑠5𝑡}
10.- 𝓛{𝑠𝑒𝑛ℎ2𝑡}
PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS
Desarrolla e integra la siguiente actividad a tu portafolio de evidencias.
1.- Realiza un resumen de las formulas de la Transformada de Laplace.
¿?
Entiendo la definición de Transformada de Laplace?, Soy capaz de entender cuál es su transformada
de acuerdo a las formulas dadas?, Comprendo cómo resolver la Transformada de Laplace?, Entiendo
como simplificar la expresión resultante en términos de la variable 𝑠?
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 113 de 131
TRANSFORMADA INVERSA
Si 𝐹(𝑠) representa la transformada de Laplace de una función 𝑓(𝑡), es decir, ℒ{𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠), se dice entonces
que 𝑓(𝑡) es la transformada de Laplace inversa de 𝐹(𝑠) y se escribe 𝑓(𝑡) = ℒ −1 {𝐹(𝑠)}.
Transformada Inversa de Laplace de algunas funciones básicas:
1
a) ℒ −1 { } = 1
f) ℒ −1 {
𝑠
b)
𝑛!
ℒ −1 { 𝑛+1}
𝑠
𝑘
−1
c) ℒ
d)
{
=
{
𝑠−𝑎
g)
= 1,2,3 …
h)
} = 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑡
𝑠 2 +𝑘 2
𝑠
ℒ −1 { 2 2}
𝑠 +𝑘
1
−1
e) ℒ
t𝑛 , 𝑛
i) ℒ
= 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑡
}=𝑒
j)
𝑎𝑡
𝑘
} = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑘𝑡
𝑠 2 −𝑘 2
𝑠
−1
ℒ { 2 2} = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑘𝑡
𝑠 −𝑘
𝑘
ℒ −1 {(𝑠−𝑎)2 2} = 𝑒 𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑛
+𝑘
(𝑠−𝑎)
−1
𝑎𝑡
{(𝑠−𝑎)2
ℒ −1 {
𝑘𝑡
} = 𝑒 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑡
+𝑘 2
𝑛!
}=
(𝑠−𝑎)𝑛+1
𝑒 𝑎𝑡 𝑡 𝑛 , 𝑛 = 1,2,3 …
Ejemplo 4.2.1
1
Encuentre la transformada inversa de Laplace de 𝓛−𝟏 { 4}:
𝑠
1
1
𝑠
3!
De acuerdo a la tabla ℒ −1 { 4} =
3!
1
𝑡3
𝑠
6
6
ℒ −1 { 4} = [𝑡 3 ] =
Ejemplo 4.2.2
Encuentre la transformada inversa de Laplace de ℒ −𝟏 {
De acuerdo a la tabla ℒ −𝟏 {
1
𝑠 2 +64
}=
1
8
ℒ −𝟏 {
8
1
𝑠 2 +64
}:
1
1
8
8
} = [𝑠𝑒𝑛 8𝑡] = 𝑠𝑒𝑛 8𝑡
𝑠 2 +64
Ejemplo 4.2.3
Encuentre la transformada inversa de Laplace de ℒ −1 {
De acuerdo a la tabla ℒ −1 {
3s+5
𝑠 2 −7
} = 3ℒ −1 {
s
}+
𝑠 2 −7
5
√7
ℒ −1 {
3s+5
𝑠 2 −7
}:
√7
}
𝑠 2 −7
= 3𝑐𝑜𝑠ℎ √7𝑡 +
5
√7
𝑠𝑒𝑛ℎ √7𝑡
Ejemplo 4.2.4
Encuentre la transformada inversa de Laplace de ℒ −1 {
De acuerdo a la tabla ℒ −1 {
Cálculo D
1
𝑠 2 +𝑠−2
1
1
𝑠 2 +𝑠−2
}:
𝐴
B
1
1
} = ℒ −1 {(𝑠−1)(𝑠+2)} = ℒ −1 𝐴 {(𝑠−1) + (𝑠+2)} = Aℒ −1 {(𝑠−1)} + Bℒ −1 {(𝑠+2)}
Capistrán/Gallardo
Página 114 de 131
= 𝐴𝑒 𝑡 + 𝐵𝑒 −2𝑡
Fracciones Parciales:
1
A
B
1
1
=
+
⟹ 𝐴 = ,𝐵 = −
(𝑠 − 1)(𝑠 + 2) (𝑠 − 1) (𝑠 + 2)
3
3
Transformada:
1
1
1
ℒ −1 { 2
} = 𝑒 𝑡 − 𝑒 −2𝑡
𝑠 +𝑠−2
3
3
Ejemplo 4.2.5
Encuentre la transformada inversa de Laplace de ℒ −1 {
De acuerdo a la tabla ℒ −1 {
(s+1)3
𝑠4
} = ℒ −1 {
(s+1)3
𝑠4
s3 +3𝑠 2 +3𝑠+1
}:
1
1
3
2!
1
3!
} = ℒ −1 { } + 3ℒ −1 { 2} + ℒ −1 { 3} + ℒ −1 { 4}
s
𝑠
2!
𝑠
3!
𝑠
3 2 1 2
= 1 + 3𝑡 + 𝑡 + 𝑡
2
6
𝑠4
Ejemplo 4.2.6
1
1
1
𝑠
s
s−2
Encuentre la transformada inversa de Laplace de ℒ −1 { 2 − +
1
1
1
𝑠
s
s−2
De acuerdo a la tabla ℒ −1 { 2 − +
}:
1
1
1
𝑠
𝑠
𝑠−2
} = ℒ −1 { 2} − ℒ −1 { } + ℒ −1 {
} = 𝑡 − 1 + 𝑒 2𝑡
Ejemplo 4.2.7
Encuentre la transformada inversa de Laplace de ℒ −1 {
De acuerdo a la tabla ℒ −1 {
2𝑠+1
𝑠(𝑠+1)(𝑠 2 +4𝑠+6)
𝐴
2s+1
𝑠(𝑠+1)(s2 +4s+6)
𝐵
}:
𝐶𝑠+𝐷
} = ℒ −1 { } + ℒ −1 {(𝑠+1)} + ℒ −1 {(𝑠2
𝑠
+4𝑠+6)
}
Fracciones Parciales:
2𝑠 + 1
𝐴
𝐵
𝐶𝑠 + 𝐷
1
1
1
5
= +
+
⟹ 𝐴 = ,𝐵 = ,𝐶 = − ,𝐷 = −
𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 2 + 4𝑠 + 6) 𝑠 (𝑠 + 1) (𝑠 2 + 4𝑠 + 6)
6
3
2
3
1
2
− (𝑠 + 2) −
2𝑠 + 1
1
1
1
1
3}
∴ ℒ −1 {
} = = ℒ −1 { } + ℒ −1 {
} + ℒ −1 { 2
2
(𝑠 + 1)
((𝑠 + 2)2 + 2)
𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 4𝑠 + 6)
6
𝑠
3
2
(𝑠 + 2)
1
1
1
1
1
√2
3 ℒ −1 {
= ℒ −1 { } + ℒ −1 {
} − ℒ −1 {
}
−
}
(𝑠 + 1)
((𝑠 + 2)2 + 2)
((𝑠
6
𝑠
3
2
+
2)2 + 2)
√2
Transformada:
2𝑠 + 1
1 1
1
2 −2𝑡
ℒ −1 {
} = + 𝑒 −𝑡 − 𝑒 −2𝑡 𝑐𝑜𝑠√2𝑡 −
𝑒 𝑠𝑒𝑛√2𝑡
𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 2 + 4𝑠 + 6)
6 3
2
3√2
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 115 de 131
ACTIVIDAD DE TRABAJO 4.2
Realiza los siguientes ejercicios.
I.- Hallar la transformada de Laplace de cada función
1.- ℒ −1 {
3.5.-
7.- ℒ
9.-
1
}
4𝑠+1
1
ℒ −1 { 2 }
𝑠 +3𝑠
s2 +6𝑠+9
ℒ −1 {(𝑠−1)(𝑠−2)(𝑠+4)}
1
−1
{
ℒ −1 {
}
𝑠 2 +𝑠−20
1
}
(𝑠 2 +1)(𝑠 2 +4)
2.- ℒ −1 {
4.6.-
s+1
}
𝑠 2 +2
s
ℒ −1 { 2
}
𝑠 +2𝑠−3
5
ℒ −1 {(𝑠+9)4 }
−1 s−3
8.- ℒ
10.-
{
}
𝑠 2 −3
6s+3
ℒ −1 { 2
}
𝑠 +2𝑠+3
PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS
Desarrolla e integra la siguiente actividad a tu portafolio de evidencias.
1.- Realiza un resumen de las formulas de la Transformada Inversa de Laplace.
¿?
Entiendo la como obtener la Transformada Inversa de Laplace?, Soy capaz de completar y ajustar la
expresión para poder usar las formulas dadas?, Comprendo cómo re-escribir la expresión y obtener las
fracciones parciales?, Entiendo como completar cuadrados y re-escribir la expresión para poder usar las
tablas de Transformada Inversa?
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 116 de 131
SOLUCIÓN DE ECUACIONES
DIFERENCIALES POR TRANSFORMADA DE
LAPLACE
Definición
Transformada de una derivada
Si 𝑓, 𝑓′, . . . , 𝑓 (𝑛−1) son continuas en [0, ∞) y son de orden exponencial y si 𝑓 (𝑛) (𝑡) es continua
por tramos en [0, ∞), entonces
ℒ{ 𝑓 (𝑛) (𝑡)} = 𝑠 𝑛 𝐹(𝑠) − 𝑠 𝑛−1 𝑓(0) − 𝑠 𝑛−2 𝑓 ′ (0) − ⋯ − 𝑓 (𝑛−1) (0),
donde 𝐹(𝑠) = ℒ { 𝑓(𝑡)}.
SOLUCIÓN DE EDO LINEALES Es evidente del resultado de ℒ{𝑑𝑛 𝑦/𝑑𝑡 𝑛 } depende de 𝑌(𝑠) = ℒ{𝑦(𝑡)} y las 𝑛 − 1
derivadas de 𝑦(𝑡) evaluadas en 𝑡 = 0. Esta propiedad hace que la transformada de Laplace sea adecuada
para resolver problemas lineales con valores iniciales en los que la ecuación diferencial tiene coeficientes
constantes. Este tipo de ecuación diferencial es simplemente una combinación lineal de términos
𝑦, 𝑦′, 𝑦′′, . . . , 𝑦 (𝑛) :
𝑎𝑛 𝑦 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑦 𝑛−1 + ⋯ +𝑎2 𝑦 ′′ + 𝑎1 𝑦 ′ + 𝑎0 𝑦 = 𝑔(𝑡)
𝑦(0) = 𝑦0 , 𝑦 ′(0) = 𝑦1 , . . . , 𝑦 (𝑛−1) (0) = 𝑦𝑛−1
donde las 𝑎𝑖 , 𝑖 = 0, 1, . . . , 𝑛 y 𝑦0 , 𝑦1 , . . . , 𝑦𝑛−1 son constantes. Por la propiedad de linealidad la transformada de
Laplace de esta combinación lineal es una combinación lineal de transformadas de Laplace:
𝑑𝑛 𝑦
𝑑𝑛−1 𝑦
𝑎𝑛 ℒ { 𝑛 } + 𝑎𝑛−1 ℒ { 𝑛−1 } + ⋯ + 𝑎0 ℒ{𝑦} = ℒ{𝑔(𝑡)}
𝑑𝑡
𝑑𝑡
la ecuación se convierte en
𝑎𝑛 [𝑠 𝑛 𝑌(𝑠) − 𝑠 𝑛−1 𝑦(0) − ⋯ − 𝑦 (𝑛−1) (0)] + 𝑎𝑛−1 [𝑠 𝑛−1 𝑌(𝑠) − 𝑠 𝑛−2 𝑦(0) − ⋯ − 𝑦 (𝑛−2) (0)] + ⋯ + 𝑎0 𝑌(𝑠) = 𝐺(𝑠)
donde ℒ{𝑦(𝑡)} = 𝑌(𝑠) y ℒ{𝑔(𝑡)} = 𝐺(𝑠). En otras palabras, la transformada de Laplace de una ecuación
diferencial lineal con coeficientes constantes se convierte en una ecuación algebraica en 𝑌(𝑠). Si se
resuelve la ecuación transformada general para el símbolo 𝑌(𝑠), primero se obtiene 𝑃(𝑠)𝑌(𝑠) = 𝑄(𝑠) + 𝐺(𝑠)
y después se escribe
𝑄(𝑠) 𝐺(𝑠)
𝑌(𝑠) =
+
𝑃(𝑠) 𝑃(𝑠)
donde 𝑃(𝑠) = 𝑎𝑛 𝑠 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ +𝑎0 , 𝑄(𝑠) es un polinomio en 𝑠 de grado menor o igual a 𝑛 − 1 que
consiste en varios productos de los coeficientes 𝑎𝑖 , 𝑖 = 0, 1, . . . , 𝑛 y las condiciones iniciales prescritas
𝑦0 , 𝑦0 , . . . , 𝑦𝑛−1 y 𝐺(𝑠) es la transformada de Laplace de 𝑔(𝑡).* Normalmente se escriben los dos términos de la
ecuación sobre el mínimo común denominador y después se descompone la expresión en dos o más
fracciones parciales. Por último, la solución 𝑦(𝑡) del problema con valores iniciales original es 𝑦(𝑡) =
ℒ −1 {𝑌(𝑠)}, donde la transformada inversa se hace término a término.
El procedimiento se resume en el siguiente diagrama.
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 117 de 131
Ejemplo 4.3.1
Use la transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 3𝑦 = 13 𝑠𝑒𝑛 2𝑡, 𝑦(0) = 6.
Primero se toma la transformada de cada miembro de la ecuación diferencial
𝑑𝑦
ℒ { } + 3ℒ{𝑦} = 13ℒ{𝑠𝑒𝑛 2𝑡}
𝑑𝑡
[𝑠𝑌(𝑠) − 𝑦(0)] + 3[𝑌(𝑠)] = 13 [
2
𝑠 2 +4
] o (𝑠 + 3)𝑌(𝑠) = 6 +
26
𝑠 2 +4
Resolviendo la última ecuación para 𝑌(𝑠), obtenemos
6
26
6𝑠 2 + 50
𝑌(𝑠) =
+
=
(𝑠 + 3) (𝑠 + 3)(𝑠 2 + 4) (𝑠 + 3)(𝑠 2 + 4)
Fracciones parciales:
6𝑠 2 + 50
𝐴
𝐵𝑠 + 𝐶
=
+
⇒ 𝐴 = 8, 𝐵 = −2, 𝐶 = 6
(𝑠 + 3)(𝑠 2 + 4) (𝑠 + 3) (𝑠 2 + 4)
Por lo que,
6𝑠 2 + 50
8
−2𝑠 + 6
8
2𝑠
6
𝑌(𝑠) =
=
+
=
−
+
(𝑠 + 3)(𝑠 2 + 4) (𝑠 + 3) (𝑠 2 + 4) (𝑠 + 3) (𝑠 2 + 4) (𝑠 2 + 4)
Transformada Inversa:
1
𝑠
6
2
ℒ −1 {𝑌(𝑠)} = 8ℒ −1 {
} − 2ℒ −1 { 2
} + ℒ −1 { 2
}
(𝑠 + 3)
(𝑠 + 4)
(𝑠 + 4)
2
Solución:
𝑦(𝑡) = 8𝑒 −3𝑡 − 2 cos 2𝑡 + 3𝑠𝑒𝑛 2𝑡
Ejemplo 4.3.2
Resuelva 𝑦 ′′ − 3𝑦 ′ + 2𝑦 = 𝑒 −4𝑡 , 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 5.
Primero se toma la transformada de cada miembro de la ecuación diferencial
ℒ{
𝑑2 𝑦
𝑑𝑦
} − 3ℒ { } + 2ℒ{𝑦} = ℒ{𝑒 −4𝑡 }
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡
[𝑠 2 𝑌(𝑠) − 𝑠𝑦(0) − 𝑦′(0)] − 3[𝑠𝑌(𝑠) − 𝑦(0)] + 2[𝑌(𝑠)] = [
1
] o (𝑠 2 − 3𝑠 + 2)𝑌(𝑠) = 𝑠 + 2 +
𝑠+4
Resolviendo para 𝑌(𝑠), obtenemos
𝑠+2
1
𝑠 2 + 6𝑠 + 9
𝑌(𝑠) = 2
+
=
2
(𝑠 − 3𝑠 + 2) (𝑠 + 4)(𝑠 − 3𝑠 + 2) (𝑠 + 4)(𝑠 − 1)(𝑠 − 2)
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
1
𝑠+4
Página 118 de 131
Fracciones parciales:
Por lo que,
𝑠 2 + 6𝑠 + 9
𝐴
𝐵
𝐶
1
16
25
=
+
+
⇒𝐴=
,𝐵 = − ,𝐶 =
(𝑠 + 4)(𝑠 − 1)(𝑠 − 2) (𝑠 + 4) (𝑠 − 1) (𝑠 − 2)
30
5
6
𝑌(𝑠) =
Transformada Inversa:
16
1
25
−
𝑠 2 + 6𝑠 + 9
5 +
6
= 30 +
(𝑠 + 4)(𝑠 − 1)(𝑠 − 2) (𝑠 + 4) (𝑠 − 1) (𝑠 − 2)
ℒ −1 {𝑌(𝑠)} =
Solución:
1 −1
1
16
1
25
1
ℒ {
} − ℒ −1 {
} + ℒ −1 {
}
(𝑠 + 4)
(𝑠 − 1)
(𝑠 − 2)
30
5
6
𝑦(𝑡) =
1 −4𝑡 16 𝑡 25 2𝑡
𝑒
− 𝑒 +
𝑒
30
5
6
Ejemplo 4.3.3
Resuelva 𝑦 ′′ − 6𝑦 ′ + 9𝑦 = t 2 𝑒 3𝑡 , 𝑦(0) = 2, 𝑦′(0) = 6.
Primero se toma la transformada de cada miembro de la ecuación diferencial
𝑑2 𝑦
𝑑𝑦
ℒ { 2 } − 6ℒ { } + 9ℒ{𝑦} = ℒ{𝑡 2 𝑒 3𝑡 }
𝑑𝑡
𝑑𝑡
2
]
(𝑠−3)3
[𝑠 2 𝑌(𝑠) − 𝑠𝑦(0) − 𝑦′(0)] − 6[𝑠𝑌(𝑠) − 𝑦(0)] + 9[𝑌(𝑠)] = [
2
o (𝑠 2 − 6𝑠 + 9)𝑌(𝑠) = 2𝑠 − 6 + (𝑠−3)3
Resolviendo para 𝑌(𝑠), obtenemos
𝑌(𝑠) =
Transformada Inversa:
ℒ −1 {𝑌(𝑠)} =
Solución:
2
2
+
(𝑠 − 3)5 (𝑠 − 3)
2 −1
4!
1
ℒ {
} + 2ℒ −1 {
}
(𝑠 − 3)5
(𝑠 − 3)
4!
𝑦(𝑡) =
1 4 3𝑡
𝑡 𝑒 + 2𝑒 3𝑡
12
Ejemplo 4.3.4
Resuelva 𝑦 ′′ + 4𝑦 ′ + 6𝑦 = 1 + 𝑒 −𝑡 , 𝑦(0) = 𝑦′(0) = 0.
Primero se toma la transformada de cada miembro de la ecuación diferencial
ℒ{𝑦′′} + 4ℒ{𝑦′} + 6ℒ{𝑦} = ℒ{1 + 𝑒 −𝑡 }
1
1
𝑠
𝑠+1
[𝑠 2 𝑌(𝑠) − 𝑠𝑦(0) − 𝑦′(0)] + 4[𝑠𝑌(𝑠) − 𝑦(0)] + 6[𝑌(𝑠)] = [ +
] o (𝑠 2 + 4𝑠 + 6)𝑌(𝑠) =
Resolviendo para 𝑌(𝑠), obtenemos
2𝑠 + 1
𝐴
𝐵
𝐶𝑠 + 𝐷
𝑌(𝑠) =
⟹ 𝑦(𝑡) = ℒ −1 { +
+
}
𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 2 + 4𝑠 + 6)
𝑠 (𝑠 + 1) (𝑠 2 + 4𝑠 + 6)
De acuerdo al ejemplo 6.2.7:
1 1
1
2 −2𝑡
𝑦(𝑡) = + 𝑒 −𝑡 − 𝑒 −2𝑡 𝑐𝑜𝑠√2𝑡 −
𝑒 𝑠𝑒𝑛√2𝑡
6 3
2
3√2
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
2𝑠+1
𝑠(𝑠+1)
Página 119 de 131
ACTIVIDAD DE TRABAJO 4.3
Realiza los siguientes ejercicios.
I.- Hallar la solución de cada problema en forma clara y ordenada
1.- 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 𝑦 = 0, 𝑦(0) = 1, 𝑦 ′ (0) = 1
3.- 𝑦 ′′ − 6𝑦 ′ + 9𝑦 = 𝑡, 𝑦(0) = 0, 𝑦 ′ (0) = 1
5.- 𝑦 ′′ − 𝑦 ′ = 𝑒 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑦(0) = 0, 𝑦 ′ (0) = 0
7.- 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ − 3𝑦 = 4, 𝑦(0) = 1, 𝑦 ′ (0) = −1
9.- 𝑦 ′′ + 4𝑦 ′ + 5𝑦 = 1, 𝑦(0) = 𝑦 ′ (0) = 0
2.- 𝑦 ′′ − 4𝑦 ′ + 4𝑦 = 𝑡 3 𝑒 2𝑡 , 𝑦(0) = 0, 𝑦 ′ (0) = 0
4.- 𝑦 ′′ − 6𝑦 ′ + 13𝑦 = 0, 𝑦(0) = 0, 𝑦 ′ (0) = −3
3
5
6.- 𝑦 ′′ − 𝑦 ′ − 𝑦 = 0, 𝑦(0) = 0, 𝑦 ′ (0) =
2
2
8.- 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ − 3𝑦 = 𝑒 𝑡 , 𝑦(0) = 2, 𝑦 ′ (0) = 4
10.- 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 2𝑦 = 2 cos 2𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 , 𝑦(0) = 𝑦 ′ (0) = 0
PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS
Desarrolla e integra la siguiente actividad a tu portafolio de evidencias.
1.- Realiza un resumen de como poder resolver los problemas ecuaciones diferenciales de segundo
orden con coeficientes constantes por Transformada de Laplace, escribe cuales son los 3 tipos de
fracciones parciales.
¿?
Entiendo el cómo encontrar la transformada de la ecuación diferencial dada?, Soy capaz de obtener
una expresión para 𝑌(𝑠)?, Comprendo escribir 𝑌(𝑠) en factores y así poderlos transformar en 𝑦(𝑡)?,
Comprendo cómo partir en fracciones parciales si es que es necesario? Soy capaz de encontrar la
Transformada inversa y así encontrar la solución general 𝑦(𝑡)?
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 120 de 131
APLICACIONES
SISTEMAS RESORTE/MASA
En el estudio de la mecánica, las fuerzas de amortiguamiento que actúan sobre un
cuerpo se consideran proporcionales a una potencia de la velocidad instantánea. En
particular, en el análisis posterior se supone que esta fuerza está dada por un múltiplo
constante de 𝑑𝑥/𝑑𝑡. Cuando ninguna otra fuerza actúa en el sistema, se tiene de la
segunda ley de Newton que
𝑑2 𝑥
𝑑𝑥
𝑚
= −𝑘𝑥 − 𝛽
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡
donde 𝛽 es una constante de amortiguamiento positiva y el signo negativo es una
consecuencia del hecho de que la fuerza de amortiguamiento actúa en una dirección
opuesta al movimiento.
Dividiendo la ecuación entre la masa 𝑚, se encuentra que la ecuación diferencial del
movimiento libre amortiguado es:
𝑑2𝑥
Donde 2𝜆 =
𝛽
𝑚
𝑑𝑡 2
𝑘
+
𝛽 𝑑𝑥
𝑚 𝑑𝑡
+
𝑘
𝑚
𝑥=0o
𝑑2𝑥
𝑑𝑡 2
+ 2𝜆
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝜔2 𝑥 = 0
y 𝜔2 = .
𝑚
La ecuación auxiliar es 𝑚2 + 2𝜆𝑚 + 𝜔2 = 0 y las raíces correspondientes son entonces 𝑚1 , 𝑚2 = −𝜆 ± √𝜆2 − 𝜔 2
CASO I: 𝜆2 − 𝜔2 > 0 En esta situación el sistema está sobreamortiguado porque el coeficiente de
amortiguamiento 𝛽 es grande comparado con la constante del resorte 𝑘. La solución correspondiente es:
𝑥(𝑡) = 𝑐1 𝑒 𝑚1𝑡 + 𝑐2 𝑒 𝑚2𝑡
CASO II: 𝜆2 − 𝜔2 = 0 Este sistema está críticamente amortiguado porque cualquier ligera disminución en la
fuerza de amortiguamiento daría como resultado un movimiento oscilatorio. La solución general es:
𝑥(𝑡) = 𝑐1 𝑒 𝑚1𝑡 + 𝑐2 𝑡𝑒 𝑚1𝑡
2
2
CASO III: 𝜆 − 𝜔 < 0 En este caso el sistema está subamortiguado puesto que el coeficiente de
amortiguamiento es pequeño comparado con la constante del resorte. Las raíces 𝑚1 y 𝑚2 ahora son
complejas y la solución general es:
𝑥(𝑡) = 𝑒 −𝜆𝑡 (𝑐1 cos √𝜆2 − 𝜔 2 𝑡 + 𝑐2 sen √𝜆2 − 𝜔 2 𝑡)
CIRCUITOS LRC EN SERIE
Muchos sistemas físicos diferentes se describen mediante una ecuación
diferencial de segundo orden similar a la ecuación diferencial de movimiento
forzado con amortiguamiento:
𝑑2 𝑥
𝑑𝑥
= −𝑘𝑥 − 𝛽
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡
Si 𝑖(𝑡) denota la corriente en el circuito eléctrico en serie 𝐿𝑅𝐶 que se muestra
en la figura. Por la segunda ley de Kirchhoff, la suma de estos voltajes es igual al voltaje 𝐸(𝑡) aplicado al
circuito; es decir,
𝑑𝑖
1
𝐿 + 𝑅𝑖 + 𝑞 = 𝐸(𝑡)
𝑑𝑡
𝐶
Pero la carga 𝑞(𝑡) en el capacitor se relaciona con la corriente 𝑖(𝑡) con 𝑖 = 𝑑𝑞/𝑑𝑡, así la ecuación se
convierte en la ecuación diferencial lineal de segundo orden
𝑑2 𝑞
𝑑𝑞 1
𝐿 2 +𝑅
+ 𝑞 = 𝐸(𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝐶
𝑚
La nomenclatura usada en el análisis de circuitos es similar a la que se emplea para describir sistemas
resorte/masa.
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 121 de 131
Si 𝐸(𝑡) = 0, se dice que las vibraciones eléctricas del circuito están libres. Debido a que la ecuación auxiliar
1
es 𝐿𝑚2 + 𝑅𝑚 + = 0, habrá tres formas de solución con 𝑅 ≠ 0, dependiendo del valor del discriminante 𝑅2 −
𝐶
4𝐿/𝐶. Se dice que el circuito es:
sobreamortiguado si 𝑅2 − 4𝐿/𝐶 > 0.
4𝐿
críticamente amortiguado si 𝑅2 − = 0,
𝐶
subamortiguado si 𝑅2 − 4𝐿/𝐶 < 0.
Ejemplo 4.4.1
Resuelva 𝑥 ′′ + 5𝑥 ′ + 4𝑥 = 0, 𝑥(0) = 1, 𝑥′(0) = 1.
El problema se puede interpretar como representativo del movimiento sobreamortiguado de una masa
sobre un resorte. La masa se libera al inicio de una posición una unidad abajo de la posición de equilibrio
con velocidad descendente de 1 pie/s.
ℒ{
𝑑2 𝑥
𝑑𝑥
} + 5ℒ { } + 4ℒ{𝑥} = ℒ{0}
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡
[𝑠 2 𝑋(𝑠) − 𝑠𝑥(0) − 𝑥′(0)] + 5[𝑠𝑋(𝑠) − 𝑥(0)] + 4[𝑋(𝑠)] = 0 o (𝑠 2 + 5𝑠 + 4)𝑋(𝑠) = 𝑠 + 6
Resolviendo para 𝑋(𝑠), obtenemos
𝑠+6
𝐴
𝐵
2
5
𝑋(𝑠) =
=
+
,⟹ 𝐴 = − ,𝐵 =
(𝑠 + 4)(𝑠 + 1) (𝑠 + 4) (𝑠 + 1)
3
3
Transformada Inversa:
2
1
5
1
ℒ −1 {𝑋(𝑠)} = − ℒ −1 {
} + ℒ −1 {
}
3
𝑠+4
3
𝑠+1
Solución:
2
5
𝑥(𝑡) = − 𝑒 −4𝑡 + 𝑒 −𝑡
3
3
Ejemplo 4.4.2
Una masa que pesa 8 libras alarga 2 pies un resorte. Suponiendo que una fuerza amortiguada que es igual
a dos veces la velocidad instantánea actúa sobre el sistema, determine la ecuación de movimiento si la
masa inicial se libera desde la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 3 pies/s.
Solución.
De la ley de Hooke se ve que 8 = 𝑘(2) da 𝑘 = 4 𝑙𝑏/𝑝𝑖𝑒 y que 𝑊 = 𝑚𝑔 da 𝑚 =
diferencial de movimiento es entonces
𝑥 ′′ + 8𝑥 ′ + 16𝑥 = 0, 𝑥(0) = 0, 𝑥 ′ (0) = −3
Transformada de Laplace:
ℒ{𝑥 ′′ + 8𝑥 ′ + 16𝑥 = 0} ⟹ (𝑠 2 + 8𝑠 + 16)𝑋(𝑠) = −3
3
3
Transformada Inversa:
ℒ −1 {𝑋(𝑠) = − (𝑠2
= − (𝑠+4)2}
8
32
=
1
4
𝑠𝑙𝑢𝑔. La ecuación
+8𝑠+16)
Por tanto el sistema está críticamente amortiguado
𝑥(𝑡) = −3𝑡𝑒 −4𝑡
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 122 de 131
Ejemplo 4.4.3
Una masa que pesa 16 libras se une a un resorte de 5 pies de largo. En equilibrio el resorte mide 8.2 pies. Si
al inicio la masa se libera desde el reposo en un punto 2 pies arriba de la posición de equilibrio, encuentre
los desplazamientos 𝑥(𝑡) si se sabe además que el medio circundante ofrece una resistencia
numéricamente igual a la velocidad instantánea.
Solución.
La elongación del resorte después que se une la masa es 8.2 − 5 = 3.2 pies, así que se deduce de la ley de
16
1
Hooke que 16 = 𝑘(3.2) da 𝑘 = 5 𝑙𝑏/𝑝𝑖𝑒 además 𝑚 = = 𝑠𝑙𝑢𝑔. La ecuación diferencial de movimiento es
32
entonces
2
𝑥 ′′ + 2𝑥 ′ + 10𝑥 = 0, 𝑥(0) = −2, 𝑥 ′ (0) = 0
ℒ{𝑥 ′′ + 2𝑥 ′ + 10𝑥 = 0} ⟹ (𝑠 2 + 2𝑠 + 10)𝑋(𝑠) = −2𝑠 − 4
2𝑠+4
2(𝑠+1)
2
ℒ −1 {𝑋(𝑠) = − (𝑠2
= − ((𝑠+1)2 − ((𝑠+1)2 }
Transformada de Laplace:
Transformada Inversa:
+2𝑠+10)
Por tanto el sistema está subamortiguado
+9)
+9)
2
𝑥(𝑡) = −2𝑒 −𝑡 cos 3𝑡 − 𝑒 −𝑡 sen 3𝑡
3
Ejemplo 4.4.4
Encuentre la carga 𝑞(𝑡) en el capacitor en un circuito 𝐿𝑅𝐶 cuando 𝐿 = 0.25 ℎ𝑒𝑛𝑟𝑦 (ℎ), 𝑅 = 10 𝑜ℎ𝑚𝑠 (Ω), 𝐶 =
0.001 𝑓𝑎𝑟𝑎𝑑 (𝑓), 𝐸(𝑡) = 0, 𝑞(0) = 𝑞0 𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏𝑠 (𝐶) e 𝑖(0) = 0.
Solución.
La ecuación del circuito es:
1 𝑑2𝑞
Transformada de Laplace:
Transformada Inversa:
+ 10
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+ 1000𝑞 = 0
𝑑2𝑞
𝑑𝑞
+ 40 + 4000𝑞 = 0
𝑑𝑡
′′
′
ℒ{𝑞 + 40𝑞 + 4000𝑞 = 0} ⟹ (𝑠 2 + 40𝑠 + 4000)𝑄(𝑠) = 𝑞0 (𝑠 + 40)
(𝑠+20)
𝑠+40
20
ℒ −1 {𝑄(𝑠) = 𝑞0 (𝑠2
= 𝑞0 [[(𝑠+20)2
+ [(𝑠+20)2
]}
4 𝑑𝑡 2
𝑑𝑡 2
+40𝑠+4000)
Por tanto el sistema está subamortiguado
+3600]
+3600]
1
𝑥(𝑡) = 𝑞0 𝑒 −20𝑡 [cos 60𝑡 + sen 60𝑡]
3
Ejemplo 4.4.5
Un circuito consta de una inductancia 𝐿 = 0.25 ℎ𝑒𝑛𝑟𝑖𝑜𝑠, una resistencia 𝑅 = 1 𝑜ℎ𝑚𝑖𝑜, una capacitancia 𝐶 =
0.2 𝑓𝑎𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜𝑠, una fem 𝐸 = 10 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑖𝑜𝑠. Hallar la ecuación diferencial de la carga en cualquier momento
𝑡 si al inicio la carga es nula y la corriente es cero.
Solución.
La ecuación del circuito es:
1 𝑑2𝑞
4
𝑑𝑡 2
Transformada de Laplace:
Transformada Inversa:
+
𝑑𝑞
𝑑𝑡
ℒ{𝑞′′
+ 5𝑞 = 10 𝑠𝑒𝑛 2𝑡
+ 4𝑞′
𝑑𝑡 2
+4
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+ 20𝑞 = 40𝑠𝑒𝑛 2𝑡
+ 20𝑞 = 40𝑠𝑒𝑛 2𝑡} ⟹ (𝑠 2 + 4𝑠 + 20)𝑄(𝑠) =
ℒ −1 {𝑄(𝑠) = (𝑠2
Por tanto el sistema forzado es:
𝑑2𝑞
80
+4)(𝑠 2 +4𝑠+20)
−𝑠+4
= (𝑠2
+4)
𝑠
+ [(𝑠+2)2
+16]
80
𝑠 2 +4
}
1
𝑞(𝑡) = − cos 2𝑡 + 2𝑠𝑒𝑛 2𝑡 + 𝑒 −2𝑡 [cos 4𝑡 − sen 4𝑡]
2
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 123 de 131
ACTIVIDAD DE TRABAJO 4.4
Realiza los siguientes ejercicios.
I.- Hallar la solución de cada problema en forma clara y ordenada
1.- Una masa que pesa 24 libras, unida al extremo de un resorte, lo alarga 4 pulgadas. Al inicio, la masa se
libera desde el reposo en un punto 3 pulgadas arriba de la posición de equilibrio. Encuentre la ecuación de
movimiento.
2.- Una masa que pesa 20 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠 alarga 6 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 un resorte. La masa se libera al inicio desde el reposo en
un punto 6 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 abajo de la posición de equilibrio. Encuentre la posición de la masa en cualquier
instante 𝑡.
3.- Una masa de 1 𝑘𝑖𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜 se fija a un resorte cuya constante es 16 𝑁/𝑚 y luego el sistema completo se
sumerge en un líquido que imparte una fuerza amortiguadora igual a 10 veces la velocidad instantánea.
Determine las ecuaciones de movimiento si:
a) al inicio la masa se libera desde reposo un punto situado 1 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 abajo de la posición de equilibrio, y
luego
b) la masa se libera inicialmente desde un punto 1 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 abajo de la posición de equilibrio con una
velocidad ascendente de 12 𝑚/𝑠.
4.- Un resorte de 4 𝑝𝑖𝑒𝑠 mide 8 𝑝𝑖𝑒𝑠 de largo después de colgarle una masa que pesa 8 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠. El medio por
el que se mueve la masa ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a √2 veces la velocidad instantánea.
Encuentre la ecuación de movimiento si la masa se libera inicialmente desde la posición de equilibrio con
una velocidad descendente de 5 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠.
5.- Encuentre la carga en el capacitor de un circuito en serie 𝐿𝑅𝐶 en 𝑡 = 0.01 𝑠 cuando 𝐿 = 0.05 ℎ, 𝑅 = 2Ω,
𝐶 = 0.01 𝑓, 𝐸(𝑡) = 0 𝑉, 𝑞(0) = 5 𝐶 e 𝑖(0) = 0 𝐴.
6.- Calcule la carga en el capacitor de un circuito en serie 𝐿𝑅𝐶 cuando 𝐿 = 1/4 ℎ, 𝑅 = 20Ω, 𝐶 = 1/300 𝑓,
𝐸(𝑡) = 0 𝑉, 𝑞(0) = 4 𝐶 e 𝑖(0) = 0 𝐴.
7.-Calcule la carga y la corriente en el capacitor de un circuito en serie 𝐿𝑅𝐶 cuando 𝐿 = 5/3 ℎ, 𝑅 = 10Ω, 𝐶 =
1/30 𝑓, 𝐸(𝑡) = 300 𝑉, 𝑞(0) = 0 𝐶 e 𝑖(0) = 0 𝐴.
5
PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS
Desarrolla e integra la siguiente actividad a tu portafolio de evidencias.
1.- Realiza un resumen de los tipos de soluciones para un sistema masa/resorte y para un circuito 𝑅𝐿𝐶.
¿?
Entiendo plantear los problemas de aplicación?, Soy capaz de resolverlos a través de la Transformada
de Laplace?, Comprendo si los resultados son correctos?
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 124 de 131
AUTOEVALUACIÓN
Realiza los siguientes ejercicios.
I.- Resolver las ecuaciones:
a) 𝑦 ′′ + 5𝑦 ′ + 4𝑦 = 0, 𝑦(0) = 1, 𝑦 ′ (0) = 0
b) 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ − 8𝑦 = 0, 𝑦(0) = 3, 𝑦 ′ (0) = 6
c) 𝑦´´´ + 2𝑦 ′′ − 𝑦 ′ − 2𝑦 = 𝑠𝑒𝑛3𝑡, 𝑦(0) = 1, 𝑦 ′ (0) = 0, 𝑦 ′ ´(0) = 3
d) 𝑦 ′′ + 5𝑦 ′ + 4𝑦 = 0, 𝑦(0) = 1, 𝑦 ′ (0) = 0
e) 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 5𝑦 = 1 + 𝑡, 𝑦(0) = 0, 𝑦 ′ (0) = 4
II.- Resolver los problemas:
a) Un peso de 4 𝑙𝑏 estira un resorte 2 𝑝𝑖𝑒𝑠. El peso se libera a partir del reposo 18 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 arriba de la
posición de equilibrio y el movimiento resultante tiene lugar en un medio que ofrece una fuerza de
amortiguamiento numéricamente igual a 7/8 veces la velocidad instantánea. Use la TL para encontrar
la ecuación de movimiento.
b) Encuentre la carga de un capacitor en serie cuando 𝐿 = 1 ℎ, 𝑅 = 20Ω, 𝐶 = 0.005 𝑓, 𝐸(𝑡) = 150 𝑣, 𝑞(0) =
1 𝐶 𝑒 𝑖(0) = 0 𝐴, Cuál es la corriente en el sistema?
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 125 de 131
Apéndices
Soluciones
de
Ejercicios
Bibiografía
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 126 de 131
SOLUCIÓN DE ACTIVIDADES
ACTIVIDAD DE TRABAJO 1.1 (pág. 13)
1.- Ord, 2, no.
2.- Par, 5, si.
3.- Ord, 3, si.
4.- Ord, 2, si.
5.- Par, 2, no.
6.- Ord, 2, si.
7.- Ord, 1, no.
8.- Par, 2, si.
9.- Ord, 2, no.
10.- Ord, 2, no.
24
1.- 𝑦 = −
𝑦−2
𝑦
√2
𝑥
ln 𝑥+𝑐
2.- 𝑥 = 𝑦(𝑙𝑛𝑦 + 𝑐)
𝑥+𝑦
3.- (𝑥−𝑦)2 = 𝑐
1 𝑦 3
4.- ( ) + 𝑙𝑛𝑥 =
3 𝑥
ACTIVIDAD DE TRABAJO 1.3 (pág. 20)
1.- 𝑦 ′′ − 10𝑦 ′ + 25𝑦 = 0
2.- 𝑦 ′ + 𝑒 −3𝑥 = 0
3.- 𝑥𝑦 ′ − 8 = 0
4.- 𝑦 ′′ − 𝑦 ′ − 2𝑦 = 0
5.- 𝑦 ′′′ − 5𝑦 ′′ + 3𝑦 ′ + 9𝑦 = 0
6.- 𝑦 ′ = y 2 − 4
𝑦+√𝑥 2 +𝑦 2
5.- 𝑙𝑛 (
𝑥2
8
3
)=𝑐
ACTIVIDAD DE TRABAJO 1.6 (pág. 32)
1
1
2
𝑙𝑛𝑥+𝑐
2
1.- 𝑦 = 𝑥 2 − + 𝑐𝑒 −𝑥
2.- 𝑦 =
𝑥
1
4
4
𝑐
5
√𝑦
4.- 𝑥 = − 𝑦 2 +
5.- 𝑦 = −𝑥 − 1 + 𝑐𝑒 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑐
6.- 𝑦 = − cos 𝑥 +
+
𝑥
𝑥
𝑐
1
𝑥+1
−5x−4y
8.- 𝑦 =
4𝑥−8𝑦 3
(x3 +𝑦 3 )
9.- 𝑦 =
3𝑥𝑦 2
2
3.- 𝑦 = − [2𝑥 2 + 2𝑥 + 11] + 𝑐𝑒 2𝑥
7.- 𝑦 = − (𝑥 2 + 1) +
x+6
9.- 𝑦 ′ = −
=𝑐
ACTIVIDAD DE TRABAJO 1.5 (pág. 28)
1, 2, 3, 4, 5,7, 9, 10. Si son solución. 6 y 8 no.
8.- 𝑦 ′ =
2+y2
4+𝑥 2
10.- 𝑥 = √
− 𝑡𝑎𝑛−1 ( ) + 𝑐
𝑦+2
12
√2
ACTIVIDAD DE TRABAJO 1.2 (pág. 17)
7.- 𝑦 ′ =
9.- 𝑙𝑛√
3
𝑐
√𝑥 2 +1
1+𝑒 𝑥
𝑐
1−𝑥 3
10.- 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐 cos 𝑥
10.- 𝑥𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑥 2 𝑦 2
ACTIVIDAD DE TRABAJO 1.4 (pág. 24)
ACTIVIDAD DE TRABAJO 1.7 (pág. 35)
5
1.- 𝑥 2 + 4𝑥𝑦 − 2𝑦 4 = 𝑐
2
1
1.- 𝑦 = − cos 5𝑥 + 𝑐
2.- 𝑥 2 𝑦 2 − 3𝑥 + 4𝑦 = 𝑐
𝑦
3.- − + 𝑥 4 + 3𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑦 2 = 𝑐
5
2.- 𝑦 = 𝑥 + 5𝑙𝑛(𝑥 + 1) + 𝑐
𝑥
1
3.- 𝑦 = 𝑒 −3𝑥 + 𝑐
4.- 𝑥𝑙𝑛 𝑥 + 𝑦𝑙𝑛 𝑥 + 𝑦 = c
4.- 𝑦 = 𝑐𝑥 4
5.- 𝑥𝑦 3 + 𝑦 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥 2 = c
3
5.- 𝑦 =
1
2
√𝑙𝑛𝑥 2
1
6.- 𝑥 4 + 𝑥𝑦 3 = 𝑐
2
− +𝑐
4
𝑥
7.- 3𝑥 2 𝑦 − 2𝑥𝑦 2 = 𝑐
8.- 𝑥 = 𝑐𝑒 −𝑦
9.- 2𝑥𝑦 − 𝑥 2 𝑦 3 + 2𝑥 2 + 6𝑥 − 𝑦 = 𝑐
10.- 𝑥 2 + 2𝑥 3 𝑦 − 𝑦 2 = 𝑐
x
6.- 𝑦 = √
2(1−𝑐𝑥)
7.- 𝑦 =
(x+1)3
3
+𝑐
8.- 𝑦 = 𝑐𝑥 − 1
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 127 de 131
4.- 𝑃0 = 200 𝑏𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑠.
ACTIVIDAD DE TRABAJO 1.8 (pág. 38)
1.- 𝑦 =
2.- 𝑦 =
3.- 𝑦 =
𝑥𝑒 −𝑥
𝑥𝑒 −𝑥 +𝑒 −𝑥 +𝑐
𝑒𝑥
ACTIVIDAD DE TRABAJO 2.2 (pág. 58)
𝑥𝑒 𝑥 −𝑒 𝑥 +𝑐
1+𝑥 2
1.- 𝑇(30) = 51.250 𝐶 .
2.- 𝑎. 𝑇(1) = 36.60 𝐹, 𝑏. 𝑡 = 3.06 𝑚𝑖𝑛 .
3.- 𝑇0 = 64.460 𝐹 .
4.- 𝑎. 𝑡 = 82.13 𝑠𝑒𝑔, 𝑏. 𝑡 = 145.8 𝑠𝑒𝑔 .
5.- 𝑇𝑚 = 3900 𝐹 .
6.- 𝑡 = 1.59 ℎ𝑟.
3
√𝑐−(1+𝑥 2 )3
5𝑥 6
3
4.- 𝑦 = √
5.- 𝑦 =
−9𝑥 5 +𝑐
1
𝑥 2 [ln 𝑥 2 +𝑐]
3
𝑒
6.- 𝑦 = √(
3 2
4𝑥 +𝑐
3 2
4𝑥
2
)
𝑒
ACTIVIDAD DE TRABAJO 2.3 (pág. 63)
ACTIVIDAD DE TRABAJO 1.9 (pág. 42)
1.- 𝑦 = (
𝑥+𝑐 2
2
1
4
5
25
4.- (3𝑥 + 2𝑦) +
1.- 𝑎.
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑘
+
𝑚
𝑣 = −𝑔, 𝑏. 𝑣(𝑡) = −
2𝑔
𝑘
+ (3 +
2𝑔
𝑘
) 𝑒 −10𝑘
2
3𝑘 + 2𝑔
ln (
)
𝑘
2𝑔
2.- 𝑎. 𝑣(𝑡) = 300 − 32𝑡, 𝑏. 𝑠 = 1406.25 𝑝𝑖𝑒𝑠.
3.- 𝑎. 𝑣(𝑡) = −6400 + 6700𝑒 −0.005𝑡 ,
𝑏. 𝑠 = 1363.8 𝑝𝑖𝑒𝑠.
4.- 𝑣(2) = 10.8 𝑠𝑒𝑔
𝑐. 𝑡 =
) + 2𝑥 − 3
2.- −𝑠𝑒𝑐(𝑥 + 𝑦) + 𝑡𝑎𝑛(𝑥 + 𝑦) = 𝑥 + 𝑐
3.- 𝑒 −(𝑦−𝑥+1) + 𝑐 = −𝑥
(15𝑥 + 10𝑦 + 6) + 𝑐 = 𝑥
5.- csc(𝑥 + 𝑦) − cot(𝑥 + 𝑦) + 𝑐 = 𝑥
𝑑𝑣
𝑑𝑣
1
1
5.- 𝑎. 𝑖)
2
4
𝑑𝑣
𝑘
𝑖𝑖𝑖)
= −𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑔𝜇𝑘 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑣
𝑑𝑡
𝑚
𝑏. 𝑖) 𝑣(𝑡) = −16𝑡 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠𝑒𝑔, 𝑖𝑖) 𝑣(𝑡) = −4𝑡 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠𝑒𝑔,
6.- (𝑥 + 𝑦) + 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 + 2𝑦) + 𝑐 = 𝑥
1
7.- − (𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑦 − 8) + 𝑐 = 𝑥
8
8.-
−3
5.- 𝑎. 𝑀(𝑡) = 9.95𝑒 −2.5𝑥10 𝑡 , 𝑏. 𝑀(5) = 9.826 𝑔.
6.- 𝑀(2) = 28.125 𝑔, 14%.
1
14
(𝑦 − 𝑥)(𝑦 − 𝑥 − 12) + 𝑐 = 𝑥
= −𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑖𝑖)
𝑑𝑡
𝑑𝑡
= −𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑔𝜇𝑘 𝑐𝑜𝑠𝜃,
𝑡
𝑖𝑖𝑖) 𝑣(𝑡) = 96 (𝑒 12 − 1)
ACTIVIDAD DE TRABAJO 1.10 (pág. 46)
ACTIVIDAD DE TRABAJO 2.4 (pág. 67)
1.- 𝑦 = 𝑥(𝑥 − ln 𝑥 + 𝑐)
1.- 𝑞(𝑡) =
1
2.- 𝑥 3 𝑦 + 𝑥 2 𝑦 3 = 𝑐
2
3.- 𝑥 2 𝑦 2 + 𝑥𝑦 6 = 𝑐
4.- 𝑦 = 𝑐(1 − 𝑥) − (1 − 𝑥) ln(1 − 𝑥) − 1
5.- 𝑦 =
𝑐−3𝑥
1
100
2.- 𝑖(𝑡) = 60 − 60𝑒
1
𝑒 −50𝑡 , 𝑖(𝑡) = 𝑒 −50𝑡
2
𝑡
10
−
3
3
5
5
3.- 𝑖(𝑡) = (1 + 𝑒 −500𝑡 ), 𝑖(∞) = 𝐴𝑚𝑝𝑒𝑟𝑠.
4.- 𝑖 ( ) = 0.2779 𝐴𝑚𝑝𝑒𝑟𝑠
4
2
5.- 𝑖(4𝜋) = 1.41 𝐴𝑚𝑝𝑒𝑟𝑠
8.- 𝑦 = √2[𝑥𝑠𝑒𝑐 𝑥 − ln(sec 𝑥 + tan 𝑥) + 𝑐]
9.- 𝑦 = √2[𝑐 + 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥]
𝑐−𝑥𝑒 𝑥 −𝑒 𝑥
𝑒𝑥
ACTIVIDAD DE TRABAJO 2.1 (pág. 55)
1.- 𝑡 = 7.9 𝑎ñ𝑜𝑠, 𝑡 = 10 𝑎ñ𝑜𝑠.
2.- 𝑃0 = 6597 ℎ𝑎𝑏, 𝑃(10) = 26,388 ℎ𝑎𝑏,
𝑑𝑃(10)
ℎ𝑎𝑏
= 3635
.
𝑑𝑡
𝑎ñ𝑜
𝑃(30)
ℎ𝑎𝑏
3.- 𝑃(30) = 760 ℎ𝑎𝑏,
= 10
.
𝑑𝑡
Cálculo D
−
𝜋
6.- 𝑦 = 𝑐𝑥 4
7.- 𝑦 = 𝑐 − 𝑥 3
10.- 𝑦 =
1
100
𝑎ñ𝑜
Capistrán/Gallardo
ACTIVIDAD DE TRABAJO 2.5 (pág. 70)
1.- 2𝑥 + 𝑦 2 = c
2.- √𝑥𝑦 = 𝑐
3.- 𝑥 2 + 𝑦 2 − ln 𝑦 2 = 𝑐
4.- ln(𝑥 2 + 𝑦 2 ) − ln 𝑥 2 − ln 𝑥 = 𝑐
5.- 𝑦 = 𝑐𝑥
7
6.- 𝑦 = − 𝑥 + 𝑐
4
7.- ln 𝑥 3 + 8√𝑦 3 = 𝑐
8.- 𝑥𝑦 = 𝑐
Página 128 de 131
ACTIVIDAD DE TRABAJO 2.6 (pág. 75)
10.-
𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 [𝑐2 cos 𝑥 + 𝑐3 𝑠𝑒𝑛 𝑥]
1
√3
√3
𝑥 + 𝑐4 𝑠𝑒𝑛 𝑥]
2
2
𝑐1 𝑒 −𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 −𝑥 + 𝑐3 𝑒 𝑥 + 𝑐4 𝑥𝑒 𝑥 + 𝑐5 𝑒 −5𝑥
11.- 𝑦 = 𝑐1 + 𝑐2 𝑥 + 𝑒 2𝑥 [𝑐3 cos
3
9
1.- 𝑦 = − 𝑥 3 + 𝑥 2 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2
2
1 2
𝑥
2
2.- 𝑦 =
12.- 𝑦 =
2
− 𝑐1 𝑥 + (𝑐1
3.- 𝑦 = ln (𝑠𝑒𝑐 2 (
𝑥+𝑐1
2
)2 ln(𝑥
+ 𝑐1 ) + 𝑐2
ACTIVIDAD DE TRABAJO 3.2 (pág. 96)
)) + 𝑐2
4.- 𝑦 = 𝑦 = 𝑐1 ln(𝑥) + 𝑐2
1.- 𝑦 = 𝑐1 𝑒 5𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 5𝑥 +
1
5.- 𝑦 = 𝑥 2 + ln 𝑥 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2
6.- 𝑦 = 𝑐2 𝑒 𝑐1𝑥
1
8.- 𝑦 = 𝑐2
2
4.- 𝑦 = 𝑐1 𝑒
+1
5.- 𝑦 =
ACTIVIDAD DE TRABAJO 2.7 (pág. 79)
1.- (𝑥 + 𝑦 + 𝑐1 )(𝑦 + 𝑐2 𝑥 )(𝑦 − 𝑥 2 + 𝑐3 ) = 0 .
2.- (𝑦 − 𝑥 + 𝑐1 )(𝑦 − 𝑐2 𝑒 2𝑥 ) = 0 .
3.- (𝑦 − 𝑐1 𝑥 )(𝑦 − 𝑥 2 + 𝑐2 )(𝑦 + 𝑥 + 𝑐3 ) = 0 .
4.-
(𝑥 2
+
𝑦2
1
𝑐2
2
𝑥
+ 𝑐1 )(𝑦 + 𝑥 + )(𝑥 + 𝑦 + 𝑐3 )(𝑦 +
1.- 𝑦 = 𝑥𝑐1 + 𝑐2 , 𝑦 = 2√5𝑥 + 𝑐3
2.- 𝑦 = 𝑥𝑐1 + 𝑐2 , 𝑦 = 0 𝑦 𝑥 = −1/2
3.- 𝑦 = 𝑥𝑐1 + 𝑐2 , 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑐3
4.- 𝑦 = 𝑥𝑐1 + 𝑐2 , 𝑦 = 𝑥𝑙𝑛 𝑥 − 𝑥 + 𝑐3
(−2𝑥 +
12
13
+ 12 +
+ 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 2𝑥] + 5𝑥 2 + 4𝑥 +
1
6.- 𝑦 = 𝑐1 cos 𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑥 2 𝑐𝑜𝑠𝑥
8
7.- 𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑥 + 𝑐2 𝑒 4𝑥 − 𝑥𝑒 𝑥
3
1
8.- 𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 𝑥 + 𝑥 2 𝑒 𝑥
2
2
8
2
3
9
3
9.- 𝑦 = 𝑐1 𝑒 3𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 3𝑥 + 𝑥 2 + 𝑥 + − 6𝑥 2 𝑒 3𝑥
1.- 𝑦 = 𝑐1 𝑒 −2𝑥 + 𝑐2 𝑒 2𝑥 −
1
16
1
𝑒 2𝑥 + 𝑥𝑒 2𝑥
4
3
16
(4𝑥 −
6
3
5
5
4.- 𝑦 = 𝑐1 cos 𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − cos 𝑥 𝑙𝑛(sec 𝑥 + tan 𝑥)
5.- 𝑦 = 𝑐1 cos 𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + (−𝑥 + tan 𝑥) cos 𝑥 +
𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑙𝑛(sec 𝑥)
6.- 𝑦 = 𝑐1 cos 𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑙𝑛(sec 𝑥 +
tan 𝑥)
7.- 𝑦 = 𝑐1 𝑒 −3𝑥 + 𝑐2 𝑒 3𝑥 +
− 𝑐)2
1
36
1
𝑒 3𝑥 (6𝑥 − 1)
1
3
6
4
8.- 𝑦 = 𝑐1 𝑒 3𝑥 + 𝑐2 𝑒 −3𝑥 − 𝑥 − − 𝑥 2 𝑒 −3𝑥
ACTIVIDAD DE TRABAJO 3.1 (pág. 92)
2
1
9.- 𝑦 = 𝑐1 𝑒 −𝑥 + 𝑐2 𝑒 −2𝑥 + 𝑙𝑛(1 + 𝑒 𝑥 )(𝑒 −𝑥 +
3
1
𝑒 −2𝑥 ) − 𝑒 −𝑥
1
1.- 𝑦 = 𝑐1 + 𝑐2 𝑒 −4𝑥
2.- 𝑦 = 𝑐1 𝑒 −6𝑥 + 𝑐2 𝑒 6𝑥
3.- 𝑦 = 𝑐1 cos 3𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 3𝑥
4.- 𝑦 = 𝑐1 𝑒 −2𝑥 + 𝑐2 𝑒 3𝑥
5.- 𝑦 = 𝑐1 𝑒 −4𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 −4𝑥
10.- 𝑦
7.- 𝑦 = 𝑒 −3𝑥 [𝑐1 cos
Cálculo D
1
1
1
1
+ 𝑒 2𝑥 + 𝑒 2𝑥 (𝑥 2 − 2𝑥 + 2)
2
8
1.- 𝑦 = 𝑐1 𝑥 −1 + 𝑐2 𝑥 2
2.- 𝑦 = 𝑐1 cos(2𝑙𝑛𝑥) + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 (2𝑙𝑛𝑥)
3.- 𝑦 = 𝑐1 + 𝑐2 ln 𝑥
4.- 𝑦 = 𝑐1 𝑥 −1 + 𝑐2 𝑥 −3
2
6.- 𝑦 = 𝑐1 𝑒 −4𝑥 + 𝑐2 𝑒 3𝑥
8.- 𝑦 = 𝑐1 𝑒 −𝑥 +
9.- 𝑦 = 𝑐1 𝑒 −𝑥 +
3
1
1
= 𝑒 −2𝑥
4
ACTIVIDAD DE TRABAJO 3.4 (pág. 105)
√2
√2
𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 𝑥]
3
3
𝑐2 𝑒 3𝑥 + 𝑐3 𝑥𝑒 3𝑥
𝑐2 𝑒 𝑥 + 𝑐3 cos 𝑥 + 𝑐4 𝑠𝑒𝑛
+
8
7.- 𝑥 = 𝑐𝑒 −2𝑝 − 2𝑝 + 4 , 𝑦 = (𝑐𝑒 −2𝑝 − 2𝑝 + 4) (2 +
1
10
) 𝑒𝑥
3.- 𝑦 = 𝑐1 𝑒 5𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 5𝑥 + 𝑥 +
8
1
11
3
6.- 𝑥 = 𝑐𝑒 −𝑝 − 2𝑝 + 2 , 𝑦 = (𝑐𝑒 −𝑝 − 2𝑝 + 2)(1 +
𝑝) + 𝑝2
(2𝑥
𝑒 4𝑥 [𝑐1 cos 2𝑥
4
1 2 1𝑥
𝑥 𝑒2
2
𝑠𝑒𝑛 4𝑥) cos 2𝑥 + 𝑥𝑠𝑒𝑛3 2𝑥
1
16
+ 𝑐2 𝑥𝑒
1
𝑥
2
2.- 𝑦 = 𝑐1 cos 2𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 −
5.- 𝑦 = 𝑥𝑐1 + 𝑐2 , 𝑦 = − 𝑥 2 + 𝑐3
1
1
𝑥
2
ACTIVIDAD DE TRABAJO 3.3 (pág. 100)
ACTIVIDAD DE TRABAJO 2.8 (pág. 82)
𝑐
2
10.- 𝑦 = 9𝜋 cos 𝑥 + 7𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 4𝑥 − 5𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑐4 (𝑥 2 + 𝑥)) = 0 .
5.- (𝑥 + 𝑦 − 𝑐1 )(𝑦 − 𝑐2 (𝑥 2 + 𝑥)) = 0
𝑝) + 𝑝2
8.- 𝑦 =
7
3
𝑐
2
𝑒 𝑐1𝑥
27
125
3.- 𝑦 = 𝑐1 cos 2𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 − 𝑥𝑐𝑜𝑠 2𝑥
{[ 1 (𝑥 + 𝑐2 )] + 1}
𝑐1
𝑥+
2.- 𝑦 = 𝑐1 𝑒 −2𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 −2𝑥 + 𝑥 2 − 4𝑥 +
2
7.- 𝑦 =
1
25
1
𝑥
Capistrán/Gallardo
1
5.- 𝑦 = 𝑐1 𝑥 2 + 𝑐2 (𝑙𝑛𝑥)𝑥 2
Página 129 de 131
2
5
𝑏. 𝑥(𝑡) = − 𝑒 −2𝑡 + 𝑒 −8𝑡
3
3
4.- 𝑥(𝑡) = 5𝑡𝑒 −2√2𝑡
5.- 𝑞(0.01) = 4.5675 𝐶
6.- 𝑞(𝑡) = 4e−40𝑡 (cosh 20𝑡 + 2𝑠𝑒𝑛ℎ 20𝑡)
7.- 𝑞(𝑡) = 10 − 10e−3𝑡 (cos 3𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 3𝑡)
𝑖(𝑡) = 60𝑒 −3𝑡 𝑠𝑒𝑛3𝑡
6.-𝑦 = 𝑐1 𝑥 (−1−√5) + 𝑐2 𝑥 (−1+√5)
7.- 𝑦 = 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑙𝑛𝑥 + 𝑐3 𝑥(𝑙𝑛𝑥)2
8.- 𝑦 = 𝑐1 + 𝑐2 𝑥 5 −
1
25
𝑥 5 (1 − 𝑙𝑛𝑥)
1
1
9.- 𝑦 = 𝑐1 𝑥 −2 + 𝑐2 𝑥 −1 + 𝑥
3
10.- 𝑦 = 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑥 2 + 𝑥𝑒 𝑥 (𝑥 − 2)
11.- 𝑦 = 𝑐1 𝑥 −1 + 𝑐2 𝑥 − 𝑙𝑛𝑥
12.-𝑦 = 𝑐1 𝑥 −1 + 𝑐2 𝑥 +
𝑙𝑛(𝑥+1)
2𝑥
1 −6𝑥 2 +3𝑥−2
+ (
𝑥2
6
)−
𝑥𝑙𝑛𝑥 + 𝑥𝑙𝑛(𝑥 + 1)
ACTIVIDAD DE TRABAJO 4.1 (pág. 113)
1.-
𝑒7
1
2.- (𝑠−4)2
𝑠−1
1
3.- (𝑠+1)2
5.7.9.-
4.-
+1
−𝑠 3 +6𝑠 2 −24𝑠+48
6.-
𝑠4
−12𝑠 4 +24𝑠 2 +864
8.-
𝑠 4 (𝑠 2 +36)
8
9𝑠 2 +16𝑠−8
𝑠3
2𝑠−3
𝑠(𝑠−3)
𝑠−1
(𝑠−1)2 +25
2
10.-
𝑠(𝑠 2 −4)
𝑠 2 −4
ACTIVIDAD DE TRABAJO 4.2 (pág. 116)
1
1
1.- 𝑒 −4𝑡
2.- cos √2𝑡 +
4
1
1
√2
1 𝑡
𝑒
4
sen √2𝑡
1
3
3.- − 𝑒 −3𝑡
4.- 𝑒 −3𝑡 +
3
3
4
16
25
1
5.- − 𝑒 𝑡 + 𝑒 2𝑡 + 𝑒 −4𝑡
5
6
30
5
1
1
6.- 𝑡 3 𝑒 −9𝑡
7.- − 𝑒 −5𝑡 + 𝑒 4𝑡
6
9
9
1
1
√3−3 √3𝑡
√3+3 −√3𝑡
8.𝑒
+
𝑒
9.- sen 𝑡 − sen 2𝑡
2√3
2√3
3
6
3
10.- 6𝑒 −𝑡 cos √2𝑡 − 𝑒 −𝑡 sen √2𝑡
√2
ACTIVIDAD DE TRABAJO 4.3 (pág. 120)
1.- 𝑦 = 𝑒 −𝑡 + 2𝑡𝑒 −𝑡
3.- 𝑦 =
5.- 𝑦 =
6.- 𝑦 =
2.- 𝑦 =
1
1
4
− 𝑒 3𝑡 − 𝑡𝑒 3𝑡 4.- 𝑦 =
9
9
3
1
1
1
− 𝑒 𝑡 cos 𝑡 + 𝑒 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡
2
2
2
1
𝑒 2𝑡 − 𝑒 −2𝑡
7.- 𝑦 =
1
5
8.- 𝑦 = − 𝑒 𝑡 + 𝑒 −𝑡 +
4
1
8
1
20
𝑡 5 𝑒 2𝑡
3
− 𝑒 3𝑡
2
4
1
3
3
sen 2𝑡
− + 𝑒 3𝑡 + 2𝑒 −𝑡
13 3𝑡
𝑒
8
1
9.- 𝑦 = − e−2𝑡 [cos 𝑡 + 2𝑠𝑒𝑛 𝑡]
5
5
1
10.- 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛2𝑡 − 𝑒 −𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡
2
ACTIVIDAD DE TRABAJO 4.4 (pág. 124)
1
1.- 𝑥(𝑡) = − cos 4√6𝑡
3.- 𝑎. 𝑥(𝑡) =
Cálculo D
4
4 −2𝑡
𝑒
3
1
2.- 𝑥(𝑡) = cos 8𝑡
2
1
− 𝑒 −8𝑡
3
Capistrán/Gallardo
Página 130 de 131
Bibliografía
Ecuaciones Diferenciales 5ta ed. Isabel Carmona Jover/ Ernesto Filio López Pearson.
Ecuaciones Diferenciales (con aplicaciones al modelado) 11ed. Dennis G. Zill Cengage.
Asesorias y Clases Particulares
Si eres alumno de mis grupos o conoces de alguien que quiera,
personalizada, puedes ponerte en contacto conmigo:
requiera o necesite asesoría
[email protected]
Podemos hacer un plan de estudio y hacer clases virtuales vía Teams para ajustarnos a los horarios de la
escuela.
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 131 de 130
Glosario
Ecuaciones Diferenciales: es una ecuación matemática que relaciona una función con sus derivadas.
Derivadas e integrales
Cálculo D
Capistrán/Gallardo
Página 1 de 130
