OSCILACIONES En nuestro entorno y en la naturaleza ocurren muchos fenómenos naturales que están relacionados con las oscilaciones, podemos mencionar algunas de ellas como la propagación de la ondas mecánicas y electromagnéticas, vibración las cuerdas de un instrumento musical, vibración de los edificios antes o después de un terremoto. Un tipo especial de movimiento ocurre cuando sobre un cuerpo actúa una fuerza que es directamente proporcional a su desplazamiento desde su posición de equilibrio. Dicha fuerza que actúa sobre el cuerpo siempre está dirigiéndose hacia la posición de equilibrio, por ello produce un movimiento de ida y de vuelta respecto a la posición de equilibrio. OSCILACIONES A estas fuerzas conocemos con el nombre de fuerzas de restitución, porque tratan siempre de restituir o llevar al cuerpo a su posición de equilibrio o posición de estabilidad. Al movimiento que se produce en estas condiciones se denomina como movimiento periódico o simplemente oscilación. MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE Un tipo particular del movimiento oscilatorio es el Movimiento Armónico Simple (MAS). En este tipo de movimiento se supone que el cuerpo oscila indefinidamente con respecto a su posición de equilibrio sin perder energía mecánica. Este tipo de movimiento se lleva a cabo en un sistema imaginario o ideal en la que no existen fuerzas de rozamiento que atenúan su movimiento oscilatorio. Una de las cantidades más importantes en un MAS, es la frecuencia y el periodo FRECUENCIA PERIODO Representa al número de oscilaciones que realiza el objeto durante un determinado tiempo. Es el tiempo que tarda el objeto para realizar un movimiento cíclico u oscilación completa. MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE En un MAS el desplazamiento 𝒙 de la partícula medida desde la posición de equilibrio, es una función del tiempo 𝒕 dado por. 𝒙 𝒕 = 𝑨𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 + 𝜹 𝒙: desplazamiento, durante el proceso de movimiento de oscilación. Donde 𝑨, 𝝎, y 𝜹 son conocidas como las constantes del movimiento. Cada una de estas constantes tienen denominaciones especificas: 𝑨 = 𝒙𝒎𝒂𝒙 : representa a amplitud o también se denomina como el desplazamiento máximo; 𝝎: frecuencia angular, cuya unidad es radianes por segundo o sus similares; 𝜹: ángulo de desfase; MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE La rapidez del cuerpo que tiene MAS, se utiliza la definición dada por 𝒅 𝒗 𝒕 = 𝒙 𝒕 = −𝝎𝑨𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 + 𝜹 𝒅𝒕 Mientras la magnitud de la aceleración, también está dado por definición La representación gráfica del desplazamiento, rapidez y aceleración, expresadas como función. DINAMICA DE UN MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE Para un sistema conservativo constituido por un cuerpo de masa 𝒎, atado en uno de sus extremos a un resorte de coeficiente de elasticidad 𝒌. Esta masa tiene un movimiento oscilatorio con respecto al punto de equilibrio O, debido a la acción de la única fuerza 𝑭 = −𝒌𝒙. De acuerdo a la segunda ley de Newton, la dinámica del cuerpo que tiene un MAS se representa por 𝒅2 𝑭 = 𝒎𝒂 = 𝒎 2 𝒙 = −𝒌𝒙 𝒅𝒕 Reescribiendo, se tiene la ecuación diferencial 𝒅2 2𝒙 = 0 𝒙 + 𝝎 𝒅𝒕2 Donde la constante identificado como la frecuencia angular es 𝝎= 𝒌 𝒎 DINAMICA DE UN MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE La solución de la ecuación diferencial es exactamente representada por la ecuación del desplazamiento para un cuerpo que tiene un MAS. El periodo y frecuencia están dadas por 𝟐𝝅 𝒎 𝑻= = 𝟐𝝅 𝝎 𝒌 𝟏 𝟏 𝒌 𝒇= = 𝑻 𝟐𝝅 𝒎 PENDULOS Péndulo Simple La segunda ley de Newton para traslación de la masa del péndulo simple, la ecuación dinámica del péndulo simple es 𝑭 = 𝒎𝒂 = −𝒎𝒈𝒔𝒆𝒏𝜽 La aceleración de la masa del péndulo, se hace a lo largo de la trayectoria circular, siendo su magnitud es 𝒅𝟐 𝜽 𝒂=𝑳 𝟐 𝒅𝒕 La ecuación dinámica del péndulo simple es representada por 𝒅𝟐 𝜽 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝟎 + 𝝎 𝒅𝒕𝟐 Donde la frecuencia angular es 𝒈 𝝎= 𝑳 No representa a la ecuación dinámica de un MAS. PENDULOS Péndulo Simple Sin embargo, se puede utilizar la aproximación de la función seno representado por la serie dada 𝒔𝒆𝒏𝜽 ≈ 𝜽 Por lo tanto, la corrección de la ecuación dinámica es lo apropiado, dado por 𝒅𝟐 𝜽 𝟐 + 𝝎 𝜽≈𝟎 𝟐 𝒅𝒕 PENDULOS Péndulo Físico La segunda ley de Newton para rotación del péndulo físico en torno a su eje de rotación o pivote, es la siguiente 𝝉 = 𝑰𝜶 = −𝒎𝒈𝒃𝒔𝒆𝒏𝜽 La aceleración de la masa del péndulo, se hace a lo largo de la trayectoria circular, siendo su magnitud es 𝒅𝟐 𝜽 𝜶= 𝟐 𝒅𝒕 Por lo tanto, la ecuación dinámica es 𝒅𝟐 𝜽 𝒅𝒕𝟐 + 𝝎𝟐 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝟎 Donde la frecuencia angular es 𝝎= 𝒎𝒈𝒃 𝑰 Donde 𝑰 es el momento de inercia del péndulo físico con respecto al pivote indicado. PENDULOS Péndulo Físico Sin embargo, el momento de inercia con respecto al centro de masa 𝑰𝒐 es la más conocida. Por lo tanto, se utiliza el teorema de traslación dada por 𝑰 = 𝑰𝒐 + 𝒎𝒃𝟐 Y la frecuencia angular adecuadamente representada es 𝝎= 𝒎𝒈𝒃 𝑰𝒐 + 𝒎𝒃𝟐 El periodo y la frecuencia esta dado por 𝑰𝒐 + 𝒎𝒃𝟐 𝑻 = 𝟐𝝅 𝒎𝒈𝒃 y 𝟏 𝒎𝒈𝒃 𝒇= 𝟐𝝅 𝑰𝒐 + 𝒎𝒃𝟐 EJERCICIO 1 Un resorte colgante tiene una longitud de 10 cm. Se cuelga una masa de 100 g del resorte, estirándola a 12 cm. ¿Cuál será la longitud del resorte si esta masa se reemplaza por una masa de 200 g?. Solución: El diagrama apropiado es 𝒎 = 𝟏𝟎𝟎 𝒈 = 𝟎, 𝟏 𝒌𝒈: masa del sistema ∆𝒚 = 𝑳 − 𝑳𝒐 = 𝟏𝟐 − 𝟏𝟎 𝒄𝒎 = 𝟐 × 𝟏𝟎−𝟐 𝒎: longitud estirada Cuando actúa el peso de la masa 𝒎, la magnitud de esta fuerza que deforma al resorte es 𝑭 = 𝒌∆𝒚 EJERCICIO 1 y cuando actúa el peso de 𝒎′ = 𝟐𝟎𝟎𝒈 = 𝟎, 𝟐 𝒌𝒈. La deformación del resorte es 𝑭′ = 𝒌∆𝒚′ Estableciendo una relación entre estas ecuaciones, se tiene el siguiente arreglo 𝑭′ 𝒌∆𝒚′ = 𝑭 𝒌∆𝒚 La longitud estirada, será ′ ′𝒈 ′ 𝑭 𝒎 𝒎 ∆𝒚′ = ∆𝒚 = ∆𝒚 = ∆𝒚 = 𝟒 × 𝟏𝟎−𝟐 𝒎 𝑭 𝒎𝒈 𝒎 La longitud final del resorte es 𝑳′ = 𝑳𝒐 + ∆𝒚′ = 𝟏𝟒 𝒄𝒎 EJERCICIO 2 Dos bloques idénticos oscilan sobre diferentes resortes horizontales. ¿Qué resorte tiene la constante elástica más grande? Solución: Según la ecuación del periodo. En la figura se muestra que el periodo en azul tiene mayor periodo que el rojo, es decir 𝑻𝒂𝒛 𝒎 𝒎 = 𝟐𝝅 > 𝟐𝝅 = 𝑻𝒓𝒐𝒋 𝒌𝒂𝒛 𝒌𝒓𝒐𝒋 Simplificando 𝒌𝒓𝒐𝒋 > 𝒌𝒂𝒛 El resorte representado con azul tiene mayor constante elástica EJERCICIO 3 Un bloque oscila en un externo de un resorte horizontal muy largo. El grafico muestra la energía cinética del bloque en función de la posición. ¿Cuál es la constante elástica del resorte? Solución: La energía mecánica total esta dado por 1 2 𝑬 = 𝑲 + 𝑼 = 𝒌𝑨 2 Cuando 𝑼 = 𝟎, la energía cinética 𝑲 = 𝑲𝒎𝒂𝒙 = 𝟖𝑱 Además, la gráfica muestra que la amplitud de oscilación es 𝑨 = ±𝟐 𝒎 Por lo tanto, la constante elástica es 𝟐𝑲𝒎𝒂𝒙 𝒌= = 𝟒 𝑵/𝒎 𝟐 𝑨
