INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TIJUANA
SUBDIRECCIÓN ACADÉMICA
DEPTO. DE CIENCIAS BÁSICAS
REPORTE DE LA PRÁCTICA
Carrera: Ingeniería Industrial
Materia: CÁLCULO INTEGRAL
Nombre de la Práctica: Teorema fundamental
del Cálculo
Profesor: Miguel A, Alegría B.
Serie: IN2A
No. Práctica: UNIDAD 1
Período:Enero-Junio
Salón: 107
Fecha: 14/2/24
Firma del Profesor:_____________ Calificación:_________
Alumno(a)_Edwin Muñoz Lopez
No. Control: __23211624______________________________________
Objetivo(s): Representación de sumatoria de los n términos.
Evaluar por aproximaciones área de figuras amorfas por definición de límite y suma
de Riemann.
Integración de integrales indefinidas y comprobación con derivación.
Evaluación de integrales definidas.
Teorema de valor intermedio.
Teorema Fundamental del Cálculo.
Material y Equipo
USB
P´C con software matemático
Calculadora científica
Apuntes
Formulario
Introducción
Ciertas sumas, en particular aquellas que tienen potencias de números enteros positivos del índice
de la suma se pueden encontrar mediante fórmulas por deducción matemática.
∑𝑛𝑖=1 𝑐 = 𝑛𝑐
b)
∑𝑛𝑖=1 𝑖 =
𝑛(𝑛+1)
2
c)
∑𝑛𝑖=1 𝑖2 =
2𝑛3 +3𝑛2 +𝑛
6
a)
∑𝑛𝑖=1 𝑖3 =
𝑛4 +2𝑛3 +𝑛2
4
e) ∑𝑛𝑖=1 𝑖4 =
6𝑛5 +15𝑛4 +10𝑛3 −𝑛
30
d)
En la presente práctica se determinará el área bajo la curva de una función mediante sumas finitas,
suma de Riemann e integral definida, derivado de esto, resaltamos la importancia de la integral
definida en el cálculo de áreas amorfas y través de la aplicación del teorema fundamental del
cálculo.
Definición.- Sea f(x) una función integrable.
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Supongamos que existe alguna función F(x) continua tal que F ‘(x) = f(x) para todo x ∈ [a, b],
entonces:
𝑏
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = [𝐹(𝑥)]𝑎 = 𝐹(𝑎) − 𝐹(𝑏)
𝑎
El valor exacto de la integral definida ʃab f(x)dx es la medida de la superficie limitada por la curva y =
f(x), el eje de las abscisas y las rectas x = a y x = b . El valor aproximado de tal área se puede
obtener sumando rectángulos, según las sumas de Riemann.
Actividad 1
15
4. − ∑ 𝑖(𝑖 + 1)
𝑖=1
Paso 1) Aplicar la propiedad distributiva
15
∑ 𝑖2 + 𝑖
𝑖=1
Paso 2) Aplica la formula para suma finita correspondiente
15
2𝑛3 + 3𝑛2 + 𝑛 𝑛(𝑛 + 1)
∑
+
6
2
𝑖=1
15
∑
𝑖=1
2(15)3 + 3(15)2 + 15 15(15 + 1)
+
6
2
15
∑
𝑖=1
2(3375) + 3(225) + 15 15(16)
+
6
2
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15
∑
𝑖=1
6750 + 675 + 15 240
+
6
2
15
∑
𝑖=1
7440
+ 120
6
15
∑ 1240 + 120
𝑖=1
15
∑ 𝟏𝟑𝟔𝟎
𝑖=1
Con GeoGebra
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Actividad 2
2. −𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 + 2; [0,2]; 𝑛 = 6
Área por método de sumas finitas
Paso 1) Obtener el valor de Δx
∆𝑥 =
𝑏−𝑎 2−0 𝟐
=
=
𝑛
𝑛
𝒏
𝟐
Paso 2) Obtenemos el valor de 𝑥𝑖∗ = 𝑎 + ∆𝑥 𝑖 = 0 + 𝒏 𝒊
Paso 3) Sustituir
𝑛
𝑛
𝑖=1
𝑖=1
2 2
2
2
4
4
2
𝐴 = lim ∑( ( 𝑖) − 2 ( 𝑖) + 2) ( ) = lim ∑( 2 𝑖 2 − + 2) ( )
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
Paso 4) Aplicar las propiedades y formulas de las sumas finitas correspondientes
𝑛
lim ∑(
𝑛→∞
𝑖=1
4 2𝑛3 + 3𝑛2 + 𝑛
4 𝑛(𝑛 + 1)
2
(
)− (
) + 2𝑛) ( )
2
𝑛
6
𝑛
2
𝑛
𝑛
lim ∑(
𝑛→∞
𝑖=1
8𝑛3 12𝑛2 4𝑛 4𝑛(𝑛 + 1)
2
+
+ 2−
+ 2𝑛) ( )
2
2
6𝑛
6𝑛
6𝑛
𝑛2
𝑛
𝑛
lim ∑
𝑛→∞
𝑖=1
16𝑛3 24𝑛2 8𝑛
4 4𝑛
+
+
−
4
−
+
6𝑛3
6𝑛3
6𝑛3
𝑛 𝑛
Paso 5) Simplificar
𝑛
lim ∑
𝑛→∞
𝑖=1
8 4
4
4
+ + 2−4− +4
3 𝑛 3𝑛
𝑛
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Paso 6 aplicar limite n ∞
𝑛
lim ∑
𝑛→∞
𝑛
8
+0+0−4−0+4
3
lim ∑
𝑛→∞
𝑖=1
8 4
4
4
+ +
−4− +4
2
3 ∞ 3∞
∞
𝑖=1
= 2
2 8
= = 𝟐. 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟕
3 3
Paso 7 aplicar limite n 15
𝑛
lim ∑
𝑛→15
𝑛
lim ∑
𝑛→15
𝑖=1
𝑖=1
8 4
4
4
+ +
−
4
−
+4
3 3 3(3)2
3
8 4
4
4
76
+ +
−4− +4=
= 𝟐. 𝟖𝟏𝟒𝟖𝟏𝟒𝟖𝟏𝟓
3 3 3(9)
3
27
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Área por método de sumas de Riemann
𝑛
𝐴=∑
𝑓(𝑥𝑘∗ )∆𝑥𝑘
𝑘=1
Paso 1) Se eligen los puntos para los intervalos (valores arbitrarios)
1
1
1
3
𝑥0 = 3 , 𝑥1 = 2 , 𝑥2 = 1 2 , 𝑥3 = 1 4 , 𝑥4 = 2
Paso 2) Se indican los intervalos:
1
1 1
1 1
1 3
3
(0, ) , ( , ) , ( , 1 ) , (1 , 1 ) , (1 , 2)
3
3 2
2 2
2 4
4
Paso 3) Se indican los puntos muestras dentro de los intervalos del paso 2
𝑥1∗ =
1
2
= 0.1666, 𝑥2∗ = = 0.4,
6
5
4
9
𝑥5∗ = 1 = = 1.8
5 5
𝑥3∗ = 1,
3 8
𝑥4∗ = 1 = = 1.6,
5 5
Paso 4) Se evalúan los puntos muestra 𝑥𝑘∗ en la función
1
1 2
1
1 1
61
𝑓( ) = ( ) − 2( ) + 2 =
− +2=
= 1.6944
6
6
6
36 3
36
2
2 2
2
4 4
34
𝑓( ) = ( ) − 2( ) + 2 =
− +2=
= 1.36
5
5
5
25 5
25
𝑓(1) = (1)2 − 2(1) + 2 = 1 − 2 + 2 = 1
8
8 2
8
64 16
34
𝑓( ) = ( ) − 2( ) + 2 =
−
+2=
= 1.36
5
5
5
25 5
25
9
9 2
9
81 18
41
𝑓( ) = ( ) − 2( ) + 2 =
−
+2=
= 1.64
5
5
5
25 5
25
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Paso 5) Se determina los subintervalos ∆𝑥𝑘 de paso 2
1
1
−0=
3
3
1 1 1
= 𝑥2 − 𝑥1 = − =
2 3 6
1 1
= 𝑥3 − 𝑥2 = 1 − = 1
2 2
3
1 1
= 𝑥4 − 𝑥3 = 1 − 1 =
4
2 4
3 1
= 𝑥5 − 𝑥4 = 2 − 1 =
4 4
∆𝑥1 = 𝑥1 − 𝑥0 =
∆𝑥2
∆𝑥3
∆𝑥4
∆𝑥5
Paso 6) Aplicamos la suma de Riemann
𝑛
1
1
1
1
𝐴=∑
𝑓(𝑥𝑘∗ )∆𝑥𝑘 = (1.6944) ( ) + (1.36) ( ) + 1(1) + (1.36)( ) + (1.64) ( ) =
3
6
4
4
𝑘=1
𝑛
𝐴=∑
𝑓(𝑥𝑘∗ )∆𝑥𝑘 = 0.5648 + 0.2266 + 1 + 0.34 + 0.41 = 𝟐. 𝟓𝟒𝟏𝟒
𝑘=1
Comprobación con geogebra
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Área por integral definida
Paso 1) Identificar los términos a integrar y escribir cada integral definida
2
2
2
2
∫(𝑥 2 − 2𝑥 + 2)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 − 2 ∫ 𝑥𝑑𝑥 + 2 ∫ 𝑑𝑥
0
0
0
0
Paso 2) Realizar cada integral aplicado la formula correspondiente
2
𝑥3
( − 𝑥 2 + 2𝑥)|
3
0
Paso 3) Evaluar la función con F(x) =F(b)-F(a)
23
03
8
𝟖
2
( − 2 + 2(2)) − ( − 02 + 2(0)) = ( − 4 + 4) − (0 − 0 + 0) = = 𝟐. 𝟔𝟔𝟔𝟔
3
3
3
𝟑
Comprobación y grafica
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Actividad 3
8
4. − ∫ (𝑥 − 3√𝑥 𝑑𝑥
1
Paso 1.-Identificar los términos a integrar y escribir cada integral definida
8
8
∫ 𝑥 − ∫ 𝑥1/3 𝑑𝑥
1
1
Paso 2.- Realizar y evaluar cada integral con los limites indicados
8
∫1 𝑥𝑑𝑥 =
1
3
8
− ∫1 𝑥
𝑑𝑥 =
8
82
𝑥2
=
[
]
|
2 1
2
4
1 1 8 𝑥3
+3
3
𝑥
1
1 3| = 4
+
3
3 3
12
− [2] =
64
2
1
−2=
4
=
3𝑥 3
4
𝟔𝟑
𝟐
3
= − {[
3
3(8) √8
3(1) √1
48
4
4
2
]−[
]} = −
1
8
8 1
∫ 𝑥 − ∫ 𝑥3 𝑑𝑥 =
1
1
Comprobación con geogebra.
63 45 126 − 45 81
−
=
=
= 𝟐𝟎. 𝟐𝟓
2
4
4
4
3
+4=
𝟒𝟓
𝟒
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𝜋
7. − ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥
−𝜋
Paso 1.- Realizar y evaluar la integral con los limites indicados
𝜋
∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥|𝜋−𝜋
−𝜋
Comprobación con geogebra
= − cos(𝜋) − (− cos(𝜋)) = 0
