INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TIJUANA SUBDIRECCIÓN ACADÉMICA DEPTO. DE CIENCIAS BÁSICAS REPORTE DE LA PRÁCTICA Carrera: Ingeniería Industrial Materia: CÁLCULO INTEGRAL Nombre de la Práctica: Teorema fundamental del Cálculo Profesor: Miguel A, Alegría B. Serie: IN2A No. Práctica: UNIDAD 1 Período:Enero-Junio Salón: 107 Fecha: 14/2/24 Firma del Profesor:_____________ Calificación:_________ Alumno(a)_Edwin Muñoz Lopez No. Control: __23211624______________________________________ Objetivo(s): Representación de sumatoria de los n términos. Evaluar por aproximaciones área de figuras amorfas por definición de límite y suma de Riemann. Integración de integrales indefinidas y comprobación con derivación. Evaluación de integrales definidas. Teorema de valor intermedio. Teorema Fundamental del Cálculo. Material y Equipo USB P´C con software matemático Calculadora científica Apuntes Formulario Introducción Ciertas sumas, en particular aquellas que tienen potencias de números enteros positivos del índice de la suma se pueden encontrar mediante fórmulas por deducción matemática. ∑𝑛𝑖=1 𝑐 = 𝑛𝑐 b) ∑𝑛𝑖=1 𝑖 = 𝑛(𝑛+1) 2 c) ∑𝑛𝑖=1 𝑖2 = 2𝑛3 +3𝑛2 +𝑛 6 a) ∑𝑛𝑖=1 𝑖3 = 𝑛4 +2𝑛3 +𝑛2 4 e) ∑𝑛𝑖=1 𝑖4 = 6𝑛5 +15𝑛4 +10𝑛3 −𝑛 30 d) En la presente práctica se determinará el área bajo la curva de una función mediante sumas finitas, suma de Riemann e integral definida, derivado de esto, resaltamos la importancia de la integral definida en el cálculo de áreas amorfas y través de la aplicación del teorema fundamental del cálculo. Definición.- Sea f(x) una función integrable. INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TIJUANA SUBDIRECCIÓN ACADÉMICA DEPTO. DE CIENCIAS BÁSICAS Supongamos que existe alguna función F(x) continua tal que F ‘(x) = f(x) para todo x ∈ [a, b], entonces: 𝑏 𝑏 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = [𝐹(𝑥)]𝑎 = 𝐹(𝑎) − 𝐹(𝑏) 𝑎 El valor exacto de la integral definida ʃab f(x)dx es la medida de la superficie limitada por la curva y = f(x), el eje de las abscisas y las rectas x = a y x = b . El valor aproximado de tal área se puede obtener sumando rectángulos, según las sumas de Riemann. Actividad 1 15 4. − ∑ 𝑖(𝑖 + 1) 𝑖=1 Paso 1) Aplicar la propiedad distributiva 15 ∑ 𝑖2 + 𝑖 𝑖=1 Paso 2) Aplica la formula para suma finita correspondiente 15 2𝑛3 + 3𝑛2 + 𝑛 𝑛(𝑛 + 1) ∑ + 6 2 𝑖=1 15 ∑ 𝑖=1 2(15)3 + 3(15)2 + 15 15(15 + 1) + 6 2 15 ∑ 𝑖=1 2(3375) + 3(225) + 15 15(16) + 6 2 INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TIJUANA SUBDIRECCIÓN ACADÉMICA DEPTO. DE CIENCIAS BÁSICAS 15 ∑ 𝑖=1 6750 + 675 + 15 240 + 6 2 15 ∑ 𝑖=1 7440 + 120 6 15 ∑ 1240 + 120 𝑖=1 15 ∑ 𝟏𝟑𝟔𝟎 𝑖=1 Con GeoGebra INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TIJUANA SUBDIRECCIÓN ACADÉMICA DEPTO. DE CIENCIAS BÁSICAS Actividad 2 2. −𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 + 2; [0,2]; 𝑛 = 6 Área por método de sumas finitas Paso 1) Obtener el valor de Δx ∆𝑥 = 𝑏−𝑎 2−0 𝟐 = = 𝑛 𝑛 𝒏 𝟐 Paso 2) Obtenemos el valor de 𝑥𝑖∗ = 𝑎 + ∆𝑥 𝑖 = 0 + 𝒏 𝒊 Paso 3) Sustituir 𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑖=1 2 2 2 2 4 4 2 𝐴 = lim ∑( ( 𝑖) − 2 ( 𝑖) + 2) ( ) = lim ∑( 2 𝑖 2 − + 2) ( ) 𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 Paso 4) Aplicar las propiedades y formulas de las sumas finitas correspondientes 𝑛 lim ∑( 𝑛→∞ 𝑖=1 4 2𝑛3 + 3𝑛2 + 𝑛 4 𝑛(𝑛 + 1) 2 ( )− ( ) + 2𝑛) ( ) 2 𝑛 6 𝑛 2 𝑛 𝑛 lim ∑( 𝑛→∞ 𝑖=1 8𝑛3 12𝑛2 4𝑛 4𝑛(𝑛 + 1) 2 + + 2− + 2𝑛) ( ) 2 2 6𝑛 6𝑛 6𝑛 𝑛2 𝑛 𝑛 lim ∑ 𝑛→∞ 𝑖=1 16𝑛3 24𝑛2 8𝑛 4 4𝑛 + + − 4 − + 6𝑛3 6𝑛3 6𝑛3 𝑛 𝑛 Paso 5) Simplificar 𝑛 lim ∑ 𝑛→∞ 𝑖=1 8 4 4 4 + + 2−4− +4 3 𝑛 3𝑛 𝑛 INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TIJUANA SUBDIRECCIÓN ACADÉMICA DEPTO. DE CIENCIAS BÁSICAS Paso 6 aplicar limite n ∞ 𝑛 lim ∑ 𝑛→∞ 𝑛 8 +0+0−4−0+4 3 lim ∑ 𝑛→∞ 𝑖=1 8 4 4 4 + + −4− +4 2 3 ∞ 3∞ ∞ 𝑖=1 = 2 2 8 = = 𝟐. 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟕 3 3 Paso 7 aplicar limite n 15 𝑛 lim ∑ 𝑛→15 𝑛 lim ∑ 𝑛→15 𝑖=1 𝑖=1 8 4 4 4 + + − 4 − +4 3 3 3(3)2 3 8 4 4 4 76 + + −4− +4= = 𝟐. 𝟖𝟏𝟒𝟖𝟏𝟒𝟖𝟏𝟓 3 3 3(9) 3 27 INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TIJUANA SUBDIRECCIÓN ACADÉMICA DEPTO. DE CIENCIAS BÁSICAS Área por método de sumas de Riemann 𝑛 𝐴=∑ 𝑓(𝑥𝑘∗ )∆𝑥𝑘 𝑘=1 Paso 1) Se eligen los puntos para los intervalos (valores arbitrarios) 1 1 1 3 𝑥0 = 3 , 𝑥1 = 2 , 𝑥2 = 1 2 , 𝑥3 = 1 4 , 𝑥4 = 2 Paso 2) Se indican los intervalos: 1 1 1 1 1 1 3 3 (0, ) , ( , ) , ( , 1 ) , (1 , 1 ) , (1 , 2) 3 3 2 2 2 2 4 4 Paso 3) Se indican los puntos muestras dentro de los intervalos del paso 2 𝑥1∗ = 1 2 = 0.1666, 𝑥2∗ = = 0.4, 6 5 4 9 𝑥5∗ = 1 = = 1.8 5 5 𝑥3∗ = 1, 3 8 𝑥4∗ = 1 = = 1.6, 5 5 Paso 4) Se evalúan los puntos muestra 𝑥𝑘∗ en la función 1 1 2 1 1 1 61 𝑓( ) = ( ) − 2( ) + 2 = − +2= = 1.6944 6 6 6 36 3 36 2 2 2 2 4 4 34 𝑓( ) = ( ) − 2( ) + 2 = − +2= = 1.36 5 5 5 25 5 25 𝑓(1) = (1)2 − 2(1) + 2 = 1 − 2 + 2 = 1 8 8 2 8 64 16 34 𝑓( ) = ( ) − 2( ) + 2 = − +2= = 1.36 5 5 5 25 5 25 9 9 2 9 81 18 41 𝑓( ) = ( ) − 2( ) + 2 = − +2= = 1.64 5 5 5 25 5 25 INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TIJUANA SUBDIRECCIÓN ACADÉMICA DEPTO. DE CIENCIAS BÁSICAS Paso 5) Se determina los subintervalos ∆𝑥𝑘 de paso 2 1 1 −0= 3 3 1 1 1 = 𝑥2 − 𝑥1 = − = 2 3 6 1 1 = 𝑥3 − 𝑥2 = 1 − = 1 2 2 3 1 1 = 𝑥4 − 𝑥3 = 1 − 1 = 4 2 4 3 1 = 𝑥5 − 𝑥4 = 2 − 1 = 4 4 ∆𝑥1 = 𝑥1 − 𝑥0 = ∆𝑥2 ∆𝑥3 ∆𝑥4 ∆𝑥5 Paso 6) Aplicamos la suma de Riemann 𝑛 1 1 1 1 𝐴=∑ 𝑓(𝑥𝑘∗ )∆𝑥𝑘 = (1.6944) ( ) + (1.36) ( ) + 1(1) + (1.36)( ) + (1.64) ( ) = 3 6 4 4 𝑘=1 𝑛 𝐴=∑ 𝑓(𝑥𝑘∗ )∆𝑥𝑘 = 0.5648 + 0.2266 + 1 + 0.34 + 0.41 = 𝟐. 𝟓𝟒𝟏𝟒 𝑘=1 Comprobación con geogebra INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TIJUANA SUBDIRECCIÓN ACADÉMICA DEPTO. DE CIENCIAS BÁSICAS Área por integral definida Paso 1) Identificar los términos a integrar y escribir cada integral definida 2 2 2 2 ∫(𝑥 2 − 2𝑥 + 2)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 − 2 ∫ 𝑥𝑑𝑥 + 2 ∫ 𝑑𝑥 0 0 0 0 Paso 2) Realizar cada integral aplicado la formula correspondiente 2 𝑥3 ( − 𝑥 2 + 2𝑥)| 3 0 Paso 3) Evaluar la función con F(x) =F(b)-F(a) 23 03 8 𝟖 2 ( − 2 + 2(2)) − ( − 02 + 2(0)) = ( − 4 + 4) − (0 − 0 + 0) = = 𝟐. 𝟔𝟔𝟔𝟔 3 3 3 𝟑 Comprobación y grafica INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TIJUANA SUBDIRECCIÓN ACADÉMICA DEPTO. DE CIENCIAS BÁSICAS Actividad 3 8 4. − ∫ (𝑥 − 3√𝑥 𝑑𝑥 1 Paso 1.-Identificar los términos a integrar y escribir cada integral definida 8 8 ∫ 𝑥 − ∫ 𝑥1/3 𝑑𝑥 1 1 Paso 2.- Realizar y evaluar cada integral con los limites indicados 8 ∫1 𝑥𝑑𝑥 = 1 3 8 − ∫1 𝑥 𝑑𝑥 = 8 82 𝑥2 = [ ] | 2 1 2 4 1 1 8 𝑥3 +3 3 𝑥 1 1 3| = 4 + 3 3 3 12 − [2] = 64 2 1 −2= 4 = 3𝑥 3 4 𝟔𝟑 𝟐 3 = − {[ 3 3(8) √8 3(1) √1 48 4 4 2 ]−[ ]} = − 1 8 8 1 ∫ 𝑥 − ∫ 𝑥3 𝑑𝑥 = 1 1 Comprobación con geogebra. 63 45 126 − 45 81 − = = = 𝟐𝟎. 𝟐𝟓 2 4 4 4 3 +4= 𝟒𝟓 𝟒 INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TIJUANA SUBDIRECCIÓN ACADÉMICA DEPTO. DE CIENCIAS BÁSICAS 𝜋 7. − ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 −𝜋 Paso 1.- Realizar y evaluar la integral con los limites indicados 𝜋 ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥|𝜋−𝜋 −𝜋 Comprobación con geogebra = − cos(𝜋) − (− cos(𝜋)) = 0