cuadernillo mat 3ero

3.o DE SECUNDARIA
I
A L L Á
A
R E F O R Z
M
V
C U A D E R N O
P A R A
S
D E
A
Á
A
E
A
M
N
R
T
O
O G
P R
I C
A C
A D É M
O
VOLUMEN
M O S
E S T U D I A N T E S
M
Bloque I. El universo
Tema 1
El Big Bang
13
Sesión
Tema 1. El Big Bang
2
Nos conectamos
Sobre el origen y la formación del universo hay muchas teorías diferentes, pero la más
aceptada es la del Big Bang. Esta teoría no se creó de un día para otro; empezó con los
estudios sobre la teoría de la relatividad del físico Albert Einstein en 1905 y se desarrolló
durante la primera década del siglo XX. Terminó de consolidarse con las observaciones del
astrónomo Edwin Hubble en 1948.
Investiga quiénes fueron Einstein y Hubble, en qué época vivieron, qué nacionalidad tenían
y cuáles fueron sus principales aportaciones a la ciencia.
Nuestras pistas
Introducción a las ecuaciones de segundo grado
Antes de empezar a trabajar con ecuaciones de segundo grado es importante recordar lo que
significa elevar un número al cuadrado y lo que significa calcular la raíz cuadrada de un número.
Para elevar un número al cuadrado, lo único que hay que hacer es multiplicarlo por sí mismo.
62 = (6)(6) = 36
y
172 = (17)(17) = 289
(-5)2 = (-5)(-5) = 25
y
(-14)2 = (-14)(-14) = 196
Nota que:
•
•
Si elevas un número positivo al cuadrado, el resultado será positivo, pues (+)(+) = +
Si elevas un número negativo al cuadrado, el resultado será positivo, pues (−)(−) = +
Es decir, el resultado de elevar un número al cuadrado siempre es positivo.
Para calcular la raíz cuadrada de un número hay que encontrar un número que, al elevarse al
cuadrado —o sea, al multiplicarse por sí mismo—, dé como resultado el número original.
_
_
√81 = 9 y √81 = − 9
porque (9)(9) = 81
y
(−9)(−9) = 81
_
Como 9 y − 9 son raíces cuadradas de 81, entonces se escribe así: √81 = ± 9
Otros ejemplos son los siguientes:
_
√121 = ± 11
•
•
_
√289 = ± 17
_
√144 = ± 12
Cualquier número positivo siempre tiene dos raíces cuadradas, una positiva y una negativa.
El 0 sólo tiene una raíz cuadrada, porque el único número que multiplicado por sí mismo
da como resultado 0 es el 0.
_
√0 = 0
19
Vamos Más Allá
•
Los números negativos no tienen raíz cuadrada, porque ningún número elevado al cuadrado da un resultado negativo.
Recuerda las leyes de los signos: (+)(+) = +
y
(−)(−)
=+
Por eso no se puede calcular la raíz cuadrada de un número negativo.
Ahora sí, vamos a ver qué es una ecuación de segundo grado.
Una ecuación de segundo grado es una ecuación de una sola variable cuyo exponente más
grande es 2.
Ejemplo 1
8x 2 − 2x + 4 = 0 es una ecuación de segundo grado porque su exponente más grande es 2.
− 7x 3 + 6x 2 + 2x − 1 = 0 no es una ecuación de segundo grado porque, si bien tiene un exponente 2, su exponente más grande es 3.
Las ecuaciones de segundo grado se escriben así: ax 2 + bx + c = 0
Esta forma de escribirlas se llama forma general de la ecuación de segundo grado.
•
•
•
•
•
•
ax 2 se llama término al cuadrado, término cuadrático o término de segundo grado.
a es el coeficiente del término cuadrático.
bx se llama término lineal o término de primer grado.
b es el coeficiente del término lineal.
c es el término independiente.
x se llama la incógnita de la ecuación y representa el número o los números que hacen
verdadera la igualdad.
Ejemplo 2
En 3x 2 − 5x + 2 = 0,
a = 3,
b = −5
y
c=2
Nota que, para que una ecuación sea de segundo grado, a siempre tiene que ser distinto
de cero.
Para determinar los valores a, b y c en una ecuación de segundo grado, siempre es necesario
pasarla a la forma general, es decir, pasar todos los términos al lado izquierdo e igualar a 0.
Por ejemplo, si tenemos la ecuación 3x 2 − 7x = x − 1:
•
•
•
•
Pasamos todos los términos del lado izquierdo: 3x 2 − 7x − x + 1 = 0
Obtenemos 3x 2 − 8x + 1 = 0
Y, ahora sí, ya podemos determinar los valores de a, b y c.
a = 3, b = − 8 y c = 1
Una ecuación de segundo grado siempre debe escribirse en este orden: primero el término
de segundo grado, después el término de primer grado y al final el término independiente.
20
Bloque I. El universo
Tema 1. El Big Bang
Una vez, otra vez
Completa la siguiente tabla encontrando los coeficientes de cada ecuación. Recuerda
que, para determinar los valores de a, b y c, todos los términos deben estar del lado izquierdo de la ecuación.
1
4x 2 + 7x − 1 = 0
a=
b=
c=
6
5x 2 + 7x = 10
a=
b=
c=
2
− 3x 2 − 8x + 9 = 0
a=
b=
c=
7
− 4x 2 + 2x = 0
a=
b=
c=
3
x 2 − 7 = 9x
a=
b=
c=
8
3x 2 + 28 = 0
a=
b=
c=
4
− 5x 2 − 2x + 1 = 0
a=
b=
c=
9
9x 2 = 18
a=
b=
c=
5
14x 2 − 9x + 16 = 0
a=
b=
c=
10
x2 = 0
a=
b=
c=
Completa la siguiente tabla encontrando los coeficientes de cada ecuación. Recuerda
que, para determinar los valores de a, b y c, todos los términos deben estar del lado izquierdo de la ecuación.
1
− 11x 2 + 6x − 2 = 0
a=
b=
c=
6
− 6x 2 + 7x = 7x − 4
a=
b=
c=
2
− x 2 − 7x + 5 = 0
a=
b=
c=
7
9x 2 + 2 = 7x 2 − 10
a=
b=
c=
3
3x 2 − 18 = 2x + 1
a=
b=
c=
8
27x 2 = 27
a=
b=
c=
4
− 6x 2 + 3x + 7 = 10 − 3x
a=
b=
c=
9
23x 2 = 18x − 2x 2
a=
b=
c=
5
4x 2 + 7x = 0
a=
b=
c=
10
9x 2 = 0
a=
b=
c=
21
Vamos Más Allá
Completa la siguiente tabla encontrando los coeficientes de cada ecuación. Recuerda
que, para determinar los valores de a, b y c, todos los términos deben estar del lado izquierdo de la ecuación.
1
− 15x 2 + 17x − 6 = 0
a=
b=
c=
6
− 2x 2 = 0
a=
b=
c=
2
−x 2 − x − 1 = 0
a=
b=
c=
7
− 7x 2 + 3x = 5x
a=
b=
c=
3
x 2 + 4 = 10x
a=
b=
c=
8
6x 2 + 2 = 34
a=
b=
c=
4
− 3x 2 − 2x = 4 − 6x 2 + 1
a=
b=
c=
9
6x 2 = 12 − 6x − x 2
a=
b=
c=
5
5x 2 − 3x + 1 = − 3x 2 − 2x
a=
b=
c=
10
a=
b=
c=
− 72x 2 = 0
Un paso más
1
En equipos de tres, resuelvan el crucigrama.
Verticales
1.
3.
4.
5.
8.
2
16 y –16 son las raíces cuadradas de:
22 y –22 son las raíces cuadradas de:
14 y –14 son las raíces cuadradas de:
52 y –52 son las raíces cuadradas de:
7 y –7 son las raíces cuadradas de:
4
3
5
Horizontales
6
1.
2.
4.
6.
7.
15 y –15 son las raíces cuadradas de:
8 y –8 son las raíces cuadradas de:
32 y –32 son las raíces cuadradas de:
6 y –6 son las raíces cuadradas de:
12 y –12 son las raíces cuadradas de:
7
8
Compartimos
❶ En grupo, discutan si el siguiente problema está bien resuelto. Argumenten sus respuestas.
Los coeficientes de la ecuación − 14x 2 − 27 = 32x son:
a = − 14, porque es el número que multiplica a x 2.
b = 32, porque es el número que multiplica a x.
c = − 27, porque es el término independiente.
22
Sesión
4
Nos conectamos
La mayoría de los astrónomos están de acuerdo en que el universo se formó hace aproximadamente 13 800 millones de años, en una explosión llamada Big Bang. Durante esta
explosión se formó toda la materia y la energía del universo y, después, poco a poco, se
fueron formando las galaxias, las estrellas, los planetas y todos los cuerpos del universo.
❶ Determina, de las siguientes características, cuáles corresponden al número 13 800
millones:
•
•
•
Ser par
Ser impar
Ser múltiplo de 3
•
•
Ser múltiplo de 4
Ser múltiplo de 5
•
•
Ser múltiplo de 9
Ser múltiplo de 10
Nuestras pistas
Ecuaciones de segundo grado incompletas
Antes de empezar a estudiar los distintos métodos que hay para resolver ecuaciones de
segundo grado, recordemos que una solución de una ecuación es un número que, al sustituirse en el lugar de la incógnita, hace que se cumpla la igualdad.
Por ejemplo, veamos si para la ecuación x 2 + 5x + 6 = 0 los siguientes valores de x son
soluciones.
x = −3
Sustituimos − 3 en el lugar de x y queda:
(−3) 2 + (5)(−3) + 6 = 9 – 15 + 6 = 0
Entonces, x = − 3 sí es solución de la ecuación.
x = −2
Sustituimos − 2 en el lugar de x y queda:
(−2) 2 + (5)(−2) + 6 = 4 – 10 + 6 = 0
Entonces, x = − 2 sí es solución de la ecuación.
x=4
Sustituimos 4 en el lugar de x y queda:
(4) 2 + (5)(4) + 6 = 16 + 20 + 6 = 42 ≠ 0
Entonces, x = 4 no es solución de la ecuación.
28
Bloque I. El universo
Tema 1. El Big Bang
Una ecuación de segundo grado puede tener:
•
•
•
Dos soluciones distintas
Una solución
Ninguna solución
Las ecuaciones de segundo grado se clasifican en:
Completas
•
•
•
Una ecuación de segundo grado se llama completa si tiene los tres términos: el de segundo grado, el de primer grado y el independiente.
Una ecuación de segundo grado completa se ve así: ax 2 + bx + c = 0
Ejemplo de una ecuación de segundo grado completa: 3x 2 − 5x + 8 = 0
Incompletas
•
•
Una ecuación de segundo grado se llama incompleta si le falta el término de primer grado,
el término independiente o ambos.
Una ecuación de segundo grado incompleta se ve así:
ax 2 = 0 si no tiene el término de primer grado ni el término independiente.
ax 2 + c = 0 si no tiene el término de primer grado.
ax 2 + bx = 0 si no tiene el término independiente.
•
Ejemplos de ecuaciones incompletas:
7x 2 = 0
− 4x 2 + 8 = 0
3x 2 + 6x = 0
En esta sesión aprenderemos a resolver ecuaciones incompletas de segundo grado de las
formas ax 2 = 0 y ax 2+ c = 0.
Ecuaciones del tipo ax 2 = 0
Para resolver la ecuación 8x 2 = 0:
8x 2 = 0
x 2 = 0_8
x2 = 0
_
_
√x 2 = √0
(Sacamos la raíz cuadrada de ambos lados para eliminar el cuadrado de la x 2).
_
_
x = 0, pues √x 2 = x y √0 = 0
Entonces, la solución de la ecuación es x = 0.
29
Vamos Más Allá
Ecuaciones del tipo ax 2 + c = 0
Para resolver la ecuación 3x 2 − 27 = 0:
3x 2 − 27 = 0
3x 2 = 27
_
x 2 = 27
3
x2 = 9
_
_
√x 2 = ± √9
(Sacamos la raíz cuadrada de ambos lados para eliminar el cuadrado de la x 2).
_
_
x = 3 y x = − 3, pues √x 2 = x y ± √9 = ± 3
Entonces, las soluciones de la ecuación son x = 3 y x = − 3.
Para resolver la ecuación 2x 2 + 18 = 0:
2x 2 + 18 = 0
2x 2 = − 18
− 18
x2 = _
2
x 2 = −9
_
_
√x 2 = √− 9
(Sacamos la raíz cuadrada de ambos lados para eliminar el cuadrado de la x 2).
_
_
x = √− 9 , pero no se puede calcular √− 9 .
Entonces, la ecuación no tiene solución.
Para resolver la ecuación 5x 2 − 7 = 0:
5x 2 − 7 = 0
5x 2 = 7
x 2 = 7_5
_
_
2
√x = ± 7_5
√
(Sacamos la raíz cuadrada de ambos lados para eliminar el cuadrado de la x 2).
_
7
5
_
Entonces, x =
√
_
7
5
_
y x = −
√
son las soluciones de la ecuación. Podemos dejarlas así
expresadas porque es complicado calcularlas y simplificarlas.
30
Bloque I. El universo
Tema 1. El Big Bang
Una vez, otra vez
❶ Escribe al lado de cada ecuación si es completa o incompleta. En caso de ser incompleta,
especifica qué término le falta.
4x 2 − 3x + 2 = 0
− 8x 2 − 6x = 0
− 7x 2 + 8 = 0
3x 2 = 4x + 1
9x 2 − x = x 2
− 6x 2 = 0
❷ Resuelve en tu cuaderno las siguientes ecuaciones incompletas:
25x 2 − 100 = 0
4x 2 = 0
x 2 − 54 = − 5x 2
3x 2 − 24 = − 9x 2
2x 2 − 32 = 0
❶ Escribe al lado de cada ecuación si es completa o incompleta. En caso de ser incompleta,
especifica qué término le falta.
− 3x 2 − 3x = 0
7x 2 − 3x = 2x + 4
16x 2 = 0
− x 2 + 3x + 2 = 5x + 2
4x 2 − 2x + 7 = 3x 2 − 2x + 2
6x 2 − 2x + 11 = 5x 2 − 9x + 3
❷ Resuelve en tu cuaderno las siguientes ecuaciones incompletas:
6x 2 − 36 = 0
3x 2 − 4 = − x 2
10x 2 − 6x − 18 = x 2 − 6x
16x 2 + 22 = 0
− 15x 2 = 0
31
Vamos Más Allá
❶ Escribe al lado de cada ecuación si es completa o incompleta. En caso de ser incompleta,
especifica qué término le falta.
− 5x 2 − x + 7 = 3x 2 − 3x + 4
− 7x 2 − 2x = 3x 2 + 2x
x 2 + 10 = 4x 2 + 3
3x 2 − 10x + 12 = 8x 2 − 3x + 9
− 8x 2 + x + 7 = 9x 2 − 2x + 7
x 2 + 6 = − 12x 2 + 6
❷ Resuelve en tu cuaderno las siguientes ecuaciones incompletas:
8x 2 − 36 = − x 2
10x 2 − 24x − 19 = − 9x 2 − 24x
102x 2 = 0
2x 2 + 8 = 0
x 2 − 7 = − 3x 2
Un paso más
❶ Trabajen en parejas. Verifiquen si los valores x = 1 y x = −1 son soluciones
de la siguiente ecuación:
− 10x 2 − x + 11 = − 3x 2 − x + 4
Comparen con otros equipos la forma en que hicieron las operaciones.
Compartimos
En grupo, inventen tres ecuaciones de segundo grado incompletas: una que no tenga solución,
otra con solución x = 0 y la última con dos soluciones distintas.
32
Bloque I. El universo
Tema 2
Las estrellas
37
Sesión
2
Nos conectamos
Las estrellas tienen diferentes tamaños y es imposible determinarlos, incluso con la ayuda
de telescopios especiales. Para saber cuánto miden las estrellas, los astrónomos toman
como referencia al Sol, que se considera una estrella de tamaño medio. Hay estrellas cuyo
diámetro es 100 veces más grande que el del Sol y otras cuyo diámetro mide sólo una décima parte.
En grupo y con las siguientes claves, comparen los tamaños:
•
•
•
El diámetro del Sol es 10 veces el diámetro de Júpiter. Si Júpiter es 11 veces más
grande que la Tierra, ¿cuántas veces es más grande el Sol que la Tierra?
La estrella Capella es tres veces más grande que la estrella Regulus y ésta es el doble
de grande que la estrella Sirius. ¿Cuántas veces es más grande Capella que Sirius?
1
La estrella Vega es 3_2 del tamaño de la estrella Sirius y ésta es _
12 del tamaño de la
estrella Polaris. ¿Cuántas veces es más grande Polaris que Vega?
Nuestras pistas
Multiplicación de monomios y polinomios
Recuerda que un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones
que aparecen entre las variables son la multiplicación y la potencia. Por ejemplo:
3xy
o
− 5a 3b 2
Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma de monomios.
Por ejemplo:
− 2x 2y + 6xy 2 − 3_7 x 2y 2
Multiplicar un monomio por un polinomio
Ejemplo
(3x)(5x 2 − 6)
Multiplicamos el monomio por cada monomio del polinomio.
(3x)(5x 2) +
(3x)(−6)
Recuerda que, al multiplicar dos potencias de la misma base, se suman los exponentes.
(3x)(5x 2) = 15x 3
(3x)(−6) = −18x
Entonces:
3x(5x 2 − 6) = 15x 3 − 18x
42
Bloque I. El universo
Tema 2. Las estrellas
Multiplicar un polinomio por un polinomio
Ejemplo 1
(3a − 4)(7a + 6)
Para multiplicar dos polinomios, recuerda que hay que multiplicar todos los monomios
del primer polinomio por todos los monomios del segundo polinomio.
(3a)(7a) + (3a)(6) + (−4)(7a) + (−4)(6) =
21a 2
+
18a −
28a
−
24
Simplificamos sumando términos semejantes:
21a 2 + 18a − 28a − 24 = 21a 2 − 10a − 24
Entonces:
(3a − 4)(7a + 6) = 21a 2 − 10a − 24
Ejemplo 2
(4x 2 + 3x + 3)(2x − 2)
Para multiplicar dos polinomios, recuerda que hay que multiplicar todos los monomios
del primer polinomio por todos los monomios del segundo polinomio.
(4x 2)(2x) + (4x 2)(− 2) + (3x)(2x) + (3x)(− 2) + (3)(2x) + (3)(− 2) =
8x 3 −
8x 2
+
6x 2 −
6x
+
6x
−
6
Simplificamos sumando términos semejantes:
8x 3 − 8x 2 + 6x 2 − 6x + 6x − 6 = 8x 3 − 2x 2 − 6
Entonces:
(4x 2 + 3x + 3)(2x − 2) = 8x 3 − 2x 2 − 6
Productos notables
Los productos notables son fórmulas que nos permiten multiplicar polinomios directamente,
es decir, sin tener que hacerlo término a término.
En esta sesión vamos a revisar algunos de los casos más comunes:
Cuadrado de un binomio
Cuadrado de la suma (a + b) 2
Desarrollamos el binomio al cuadrado.
(a + b) 2 = (a + b)(a + b)
43
Vamos Más Allá
Multiplicamos término a término.
(a + b)(a + b) = aa + ab + ba + bb = a 2 + ab + ab + b 2
Simplificamos términos semejantes.
a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2
Entonces:
(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2
Cuadrado de la resta (a − b) 2
Desarrollamos el binomio al cuadrado.
(a − b) 2 = (a − b)(a − b)
Multiplicamos término a término.
(a − b)(a − b) = aa − ab − ba + bb = a 2 − ab − ab + b 2
Simplificamos términos semejantes.
a 2 − ab − ab + b 2 = a 2 − 2ab + b 2
Entonces:
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
Ejemplos
•
•
(x + 5) 2 = x 2 + 10x + 25
(3x − 2) 2 = 9x 2 − 12x + 4
Binomios conjugados (a + b)(a − b)
Desarrollamos el producto de los binomios.
(a + b)(a − b) = a 2 − ab + ba − b 2
Simplificamos términos semejantes.
a 2 − ab + ab − b 2 = a 2 − b 2
Entonces:
(a + b)(a − b) = a 2 − b 2
Ejemplos
•
•
44
(y + 1)(y − 1) = y 2 − 1
(4x + 3)(4x − 3) = 16x 2 − 9
Bloque I. El universo
Tema 2. Las estrellas
Binomios con un término en común (x + a)(x + b)
Desarrollamos el producto de los binomios.
(x
+ a)(x + b) = x 2 + ax + bx + ab
Simplificamos y obtenemos que:
x 2 + (a + b)x + ab
Entonces:
(x
+ a)(x + b) = x 2 + (a + b)x + ab
Ejemplos
•
•
(x + 5)(x + 8) = x 2 + 13x + 40
(y + 3)(y − 15) = y 2 − 12y − 45
Una vez, otra vez
❶ Simplifica la expresión − 6(2x − 3).
❷ Encuentra una expresión simplificada para representar el área de la figura.
❸ Lleva a cabo los siguientes productos con las fórmulas de los productos notables.
(x + 5)(x + 4) =
(x − 5) 2 =
(x − 3)(x − 11) =
(2x + 1)(2x − 1) =
45
Vamos Más Allá
❶ Simplifica la expresión − 5x(6x + 2).
❷ Encuentra una expresión simplificada para representar el área de la figura.
❸ Lleva a cabo los siguientes productos con las fórmulas de los productos notables.
(x + 12)(x − 3) =
(2x − 5) 2 =
(x
− 4)(x − 16) =
(5y + 3)(5y − 3) =
❶ Simplifica la expresión x(x − 4) − 2(x − 3).
❷ Encuentra una expresión simplificada para representar el área de la figura.
p
❸ Lleva a cabo los siguientes productos con las fórmulas de los productos notables.
(x − 10)(x + 9) =
(4x + 3y)(4x − 3y) =
(x
− 11)(x − 10) =
(4x − 11) 2 =
46
Bloque I. El universo
Tema 2. Las estrellas
Un paso más
En parejas, resuelvan los siguientes ejercicios.
❶ Encuentra una expresión simplificada para representar el área de la figura.
❷ Encuentra una expresión simplificada para representar el área de la parte sombreada de
la figura.
Compartimos
En grupo, revisen las respuestas de los ejercicios anteriores y compartan las estrategias
que usaron para resolverlos.
47
Sesión
4
Nos conectamos
A 4.37 años luz de nuestro sistema solar (1 año luz equivale a 9.46 × 1012 km) se encuentra
un sistema de estrellas llamado Alfa Centauri. Está formado por tres estrellas: Alfa Centauri A,
Alfa Centauri B y Alfa Centauri C. Las estrellas A y B giran juntas alrededor de un punto y
la estrella C gira alrededor de las otras dos. La distancia entre Alfa Centauri A y Alfa
Centauri B varía según la posición que ocupan en su órbita; la menor distancia a la que
llegan a estar es 1670 millones de kilómetros y la máxima distancia entre ellas es de 5300
millones de kilómetros.
❶ ¿Te animas a encontrar tres números que sean divisores de ambas cantidades?
Nuestras pistas
Factorizar es el proceso que nos permite descomponer en factores una expresión algebraica
para después expresarla como el producto de éstos. Hay diferentes métodos para factorizar
expresiones algebraicas y los vamos a ir estudiando a lo largo de varias sesiones.
Factorización de expresiones algebraicas
por el método de factor común
Cuando todos los términos de una expresión algebraica tienen un factor común, puedes escribirla como el producto del factor común por otro factor. En los siguientes ejemplos vamos
a encontrar siempre el máximo factor común de los términos de la expresión algebraica.
Ejemplo 1
Factorizar la expresión:
4x + 8y + 12
Solución
•
•
Identificamos el máximo factor común de los términos 4x, 8y y 12, que es 4.
Dividimos cada término de la expresión entre el máximo factor común:
_
4x
4
= x,
8y
_
4
= 2y
y
_
12
4
= 3
Escribimos la factorización:
4(x + 2y + 3)
Entonces:
4x + 8y + 12 = 4(x + 2y + 3)
52
Bloque I. El universo
Tema 2. Las estrellas
Ejemplo 2
Factorizar la expresión:
2x 2y 2 + 6xy
Solución
•
•
Identificamos el máximo factor común de los términos 2x 2y 2 y 6xy, que es 2xy.
Dividimos cada término de la expresión entre el máximo factor común:
2x 2y 2
_
2xy
= xy y
6xy
_
2xy
= 3
Escribimos la factorización:
2xy(xy + 3)
Entonces:
2x 2y 2 + 6xy = 2xy(xy + 3)
Ejemplo 3
Factorizar la expresión:
− 6b 6 + 9b 4 + 3b 2
Solución
•
•
Identificamos el máximo factor común de los términos 6b 6, 9b 4 y 3b 2, que es 3b 2.
Dividimos cada término de la expresión entre el máximo factor común:
6b 6
_
3b 2
= 2b 4 ,
9b 4
_
3b 2
= 3b 2 y
3b 2
_
3b 2
= 1
Escribimos la factorización:
3b 2(− 2b 4 + 3b 2 + 1)
Entonces:
− 6b 6 + 9b 4 + 3b 2 = 3b 2(− 2b 4 + 3b 2 + 1)
Notas importantes
•
Factorizar es el proceso inverso de la multiplicación.
Multiplicar
Factorizar
•
(x + a)(x + b) = (x + b)(x + a), porque el producto es conmutativo.
53
Vamos Más Allá
Una vez, otra vez
❶ Factoriza en tu cuaderno las siguientes expresiones algebraicas encontrando el máximo
factor común.
2x + 6 =
16x 2y + 24xy =
6gh + 12g =
a 3b 2 − a 2b =
15pq − 25p =
❶ Factoriza en tu cuaderno las siguientes expresiones algebraicas encontrando el máximo
factor común.
18r + 45s − 27 =
9x 2 + 3x − 6x 2y =
21b − 15ab 2 =
28x 4 − 7x 2 =
14r 2 + 35r =
❶ Factoriza en tu cuaderno las siguientes expresiones algebraicas encontrando el máximo
factor común.
10m + 60n − 25 =
14u 3t + 21u 2t =
32w − 4w 2 =
8a 4b 4 − 28a 3b 3 + 4a 2b 2 =
10ab 2 − 18ab − 14b =
Un paso más
❶ Relaciona las columnas de tal manera que las expresiones sean iguales.
12x 2y + 8xy
2xy(4x + 3y)
6x 3y + 4x 2y 2
6xy 2(1 + 2x 2)
6xy 2 + 12x 3y 2
2x 2y(3x + 2y)
8x 2y + 6xy 2
4xy(3x + 2)
Revisa tus resultados con otros compañeros.
54
Bloque I. El universo
Tema 2. Las estrellas
Compartimos
❶ En grupo, encuentren posibles parejas de factores de los siguientes monomios. En el
primer renglón de la tabla hay un ejemplo para cada uno.
36x 2y
2xy
18x
40ab 2c
20ab
2abc
55
Sesión
5
Nos conectamos
Carl Sagan fue un gran astrónomo estadounidense que vivió de 1934 a 1996. Trabajó en
muchos proyectos de búsqueda de vida inteligente fuera del sistema solar. Los científicos
que trabajan en esa área de la astronomía buscan maneras de mandar mensajes que otras
formas de vida puedan recibir, pero también se dedican a imaginar qué formas podría tener
un mensaje proveniente de una civilización extraterrestre.
Carl Sagan escribió una novela llamada Contacto, en que una civilización extraterrestre
manda un mensaje a la Tierra y el mensaje es justamente la secuencia de números primos
hasta el 101. En la novela, esta civilización manda primero 2 señales de radio, luego 3, luego 5,
luego 7 y así continúa con la secuencia de números primos, hasta llegar al 101. Es así como los
astrónomos se dan cuenta de que no son señales emitidas por una estrella, sino que necesariamente son señales emitidas por una forma de vida que sabe matemáticas.
Nuestras pistas
Antes de empezar a resolver los juegos de la sesión, repasa los números primos. Recuerda
que los números primos son aquellos que sólo pueden dividirse de manera exacta entre 1 y
ellos mismos; en cambio, los números compuestos siempre pueden descomponerse como
la multiplicación de dos números distintos del 1 y ellos mismos.
Una vez, otra vez
Reúnete con un compañero y resuelvan los juegos. Les recomendamos ir en orden: empiecen
por el uno y terminen en el tres.
Juego 1
Encuentra el camino a través del laberinto —empezando en el inicio y terminando en el
fin— sin tocar ningún número compuesto. Tienes que pasar por los 15 números primos que
hay entre el 1 y el 50 por lo menos una vez.
Inicio
56
Fin
Bloque I. El universo
Tema 2. Las estrellas
Juego 2
En este juego tienes que acomodar los números primos 5, 7, 11, 13, 17, 19 y 23 en el dibujo,
de manera que:
•
•
La suma de los 3 números de las dos líneas horizontales sea 41 (¡que también es un
número primo!).
La suma de los tres números de las dos diagonales sea 41.
También toma en cuenta lo siguiente:
•
•
Tienes que usar todos los números.
No puedes repetir números.
Juego 3
En este juego tienes que encontrar un camino que vaya del inicio al final de acuerdo con lo
siguiente:
•
•
•
•
•
Tienes que empezar en el número 3.
Te puedes mover a cualquier círculo que esté pegado al círculo en el que estás.
Puedes pasar por un círculo varias veces, si necesitas hacerlo.
La suma de los números por los que vayas pasando siempre tiene que ser un número primo.
Por ejemplo, si sigues el camino 3, 4, 2, la suma sería 9, que no es un número primo; por
tanto, este camino no sería válido. En cambio, el camino 3, 2, 8 suma 13, que sí es un
número primo, por lo que sí sería válido.
La suma final de todos los números de tu camino debe ser 79, que es un número primo.
8
Inicio
57
Vamos Más Allá
Compartimos
Para finalizar, entre todos compartan y discutan las estrategias que usaron para resolver los
juegos. Si no pudieron resolver alguno, pidan a otra pareja que lo haya logrado que les explique cómo lo hizo.
Para pensar más allá
Necesitamos construir un país en que la igualdad
de derechos y oportunidades para mujeres y hombres
sea una realidad; la educación es el primer paso.
58
Bloque I. El universo
Tema 3
El Sol y la Luna
59
Sesión
Tema 3. El Sol y la Luna
2
Nos conectamos
❶ Un eclipse lunar ocurre cuando la Tierra se interpone entre el Sol y la Luna y, por unos
minutos, la Luna se oscurece y cambia de color. Al año se pueden observar entre dos y
siete eclipses lunares. ¿Cuántos eclipses lunares, aproximadamente, suceden en la Tierra
en un lapso de tres siglos?
Nuestras pistas
Piensa en dos números cuyo resultado al multiplicarse sea 0.
•
¿Cuáles son?
y
•
¿El 0 es uno de ellos?
•
¿Podrías encontrar dos números distintos de 0 cuyo producto sea igual a 0?
•
No, ¿verdad? Esto sucede porque, cuando multiplicamos dos números y el resultado es
0, al menos uno de los dos tiene que ser 0. Esta propiedad se conoce como la propiedad
del producto cero.
Propiedad del producto cero
Para cualquier par de números a y b, si ab = 0, entonces a = 0 o b = 0.
Ejemplos
•
•
•
Si − 3y = 0, entonces, como − 3 ≠ 0, forzosamente y = 0.
Si m(m − 4) = 0, entonces m = 0 o m − 4 = 0, por lo que m = 0 o m = − 4.
Si (x + 5)(x − 7) = 0, entonces x + 5 = 0 o x − 7 = 0, por lo que x = − 5 o x = 7.
65
Vamos Más Allá
Una vez, otra vez
❶ Para cada inciso, completa los espacios vacíos usando la propiedad del producto cero.
(x − 6)(x − 3) = 0
=0o
Las soluciones son
x =
=0
,x =
(x + 8)(x − 5) = 0
=0o
Las soluciones son
x =
=0
,x =
(x + 5)(x + 12) = 0
=0o
Las soluciones son
x =
=0
,x =
(2x + 4)(x + 9) = 0
=0o
Las soluciones son
x =
=0
,x =
❶ Para cada inciso, completa los espacios vacíos usando la propiedad del producto cero.
(x − 8)(x − 7) = 0
=0o
Las soluciones son
x =
=0
,x =
(3x + 9)(x − 5) = 0
=0o
Las soluciones son
x =
=0
,x =
(4x − 3)(2x − 12) = 0
=0o
Las soluciones son
x =
=0
,x =
2x(x + 10) = 0
=0o
Las soluciones son
66
x =
=0
,x =
Bloque I. El universo
Tema 3. El Sol y la Luna
❶ Para cada inciso, completa los espacios vacíos usando la propiedad del producto cero.
(2x + 6)(3x − 3) = 0
=0o
Las soluciones son
x =
=0
,x =
(5x + 8)(2x − 5) = 0
=0o
Las soluciones son
x =
=0
,x =
3x(2x − 14) = 0
=0o
Las soluciones son
x =
=0
,x =
− 4x(7x + 10) = 0
=0o
Las soluciones son
x =
=0
,x =
Un paso más
Trabajen en parejas. En cada equipo, inventen una multiplicación de expresiones algebraicas que dé como resultado 0. Intercambien su pregunta con otra pareja y encuentren
las soluciones.
Compartimos
❶ En la multiplicación ab = 0, ¿puede ser que a y b sean igual a 0? En grupo discutan sus
respuestas.
67
Sesión
4
Nos conectamos
❶ Un eclipse solar sucede cuando la Luna se interpone entre el Sol y la Tierra. En un año
puede haber un máximo de cinco eclipses solares parciales o totales. La última vez que
ocurrieron cinco eclipses en un mismo año fue en 1935 y se calcula que esto volverá a
suceder en 2026. Cada 500 días ocurre un eclipse solar total. Cada año ocurren entre
dos y cuatro eclipses solares parciales. ¿Cuántos eclipses totales de Sol se podrán ver
en cinco años?
Nuestras pistas
Solución de ecuaciones de segundo grado por el método de factor común
Una ecuación de segundo grado incompleta de la forma ax 2 + bx = 0 se puede factorizar
como x(ax + b) = 0. Por tanto, tiene dos soluciones: x = 0 y x = − _ab. Una forma de resolver
este tipo de ecuaciones es factorizar con el método de factor común.
Ejemplo 1
Resolver la ecuación x 2 + 2x = 0
Solución
•
•
•
•
Identificamos el factor común de los términos: x 2 y 2x tienen como factor común a x.
Dividimos cada término de la expresión entre el factor común.
_
x2
x
= x
y
_
2x
x
= 2
La ecuación factorizada es x(x + 2) = 0.
Resolvemos la ecuación igualando los factores a 0.
x = 0
y
x+2 = 0
x = −2
Entonces, las soluciones de la ecuación son x = 0 y x = − 2.
72
Bloque I. El universo
Tema 3. El Sol y la Luna
Para comprobar que las dos soluciones son correctas, sustituimos los valores de x = 0
y x = − 2 en la ecuación.
x 2 + 2x = 0
x = 0
x = −2
0 2 + 2(0) = 0
0 = 0
(−2) 2 + 2(−2) = 0
4−4 = 0
0 = 0
Ejemplo 2
Resolver la ecuación 3x 2 − 3x = 0
Solución
•
•
•
•
Identificamos el factor común de los términos: 3x 2 y 3x tienen como factor común 3x.
Dividimos cada término de la expresión entre el factor común.
3x 2
_
3x
= x y
− 3x
_
3x
= −1
La ecuación factorizada es 3x(x − 1) = 0.
Resolvemos la ecuación igualando los factores a 0.
y
3x = 0
x−1 = 0
x = 1
x = 0
Entonces, las soluciones de la ecuación son x = 0 y x = 1.
Para comprobar que las dos soluciones son correctas, sustituimos los valores de x = 0 y de
x = 1 en la ecuación.
3x 2 − 3x = 0
x = 0
x = 1
3(0) − 3(0) = 0
3(1) − 3(1) = 0
0 = 0
3−3 = 0
2
2
0 = 0
Ejemplo 3
Resolver la ecuación 7x − 21x 2 = 0
Solución
•
Ordenamos la ecuación.
−21x 2 + 7x = 0
•
•
Identificamos el factor común de los términos: 21x 2 y 7x tienen como factor común 7x.
Dividimos cada término de la expresión entre el factor común.
_
− 21x 2
7x
= − 3x y
_
7x
7x
= 1
73
Vamos Más Allá
•
•
La ecuación factorizada es 7x(− 3x + 1) = 0.
Resolvemos la ecuación igualando los factores a 0.
y
7x = 0
− 3x + 1 = 0
x = _13
x = 0
Entonces, las soluciones de la ecuación son x = 0 y x =
_
1
3
.
Para comprobar que las dos soluciones son correctas, sustituimos los valores de x = 0 y de
x = 1_3 en la ecuación.
− 21x 2 + 7x = 0
x = 0
x = _13
− 21(0) 2 + 7(0) = 0
− 21 (1_3) 2 + 7(1_3) = 0
0 = 0
_ + _7 = 0
− 21
9
3
_ + 21
_
− 21
9 = 0
9
0 = 0
Ejemplo 4
Resolver la ecuación −2x 2 = 6x
Solución
Recuerda que, para resolver una ecuación cuadrática, siempre tiene que estar igualada
a cero.
•
Igualamos la ecuación a cero.
−2x 2 = 6x
−2x 2 − 6x = 0
•
•
•
•
Identificamos el factor común de los términos: 2x 2 y 6x tienen como factor común 2x.
Dividimos cada término de la expresión entre el factor común.
_
− 2x 2
2x
= −x y
− 6x
_
2x
= −3
La ecuación factorizada es 2x(− x − 3) = 0.
Resolvemos la ecuación igualando los factores a 0.
2x = 0
x = 0
y
−x − 3 = 0
−x = 3
x = −3
Entonces, las soluciones de la ecuación son x = 0 y x = − 3.
74
Bloque I. El universo
Tema 3. El Sol y la Luna
Para comprobar que las dos soluciones son correctas, sustituimos los valores de x = 0 y de
x = − 3 en la ecuación.
−2x 2 = 6x
x = 0
− 2(0) = 6(0)
2
0 = 0
x = 3
− 2(− 3) 2 = 6(−3)
− 2(9) = 6(−3)
− 18 = − 18
Una vez, otra vez
❶ Resuelve las ecuaciones cuadráticas por el método de factor común. Comprueba tus
resultados.
x 2 + 3x = 0
x 2 − 5x = 0
5x 2 + 10x = 0
❶ Resuelve las ecuaciones cuadráticas por el método de factor común. Comprueba tus
resultados.
x 2 + 10x = 0
4x 2 − 16x = 0
2x 2 = 6x
❶ Resuelve las ecuaciones cuadráticas por el método de factor común. Comprueba tus
resultados.
x 2 + 11x = 0
− 5x 2 − 20x = 0
8x 2 = − 10x
75
Vamos Más Allá
Un paso más
En parejas, encuentren el camino para recorrer el laberinto del inicio al
final. Pueden moverse en horizontal, vertical o diagonal.
•
•
En la casilla de inicio, resuelvan la ecuación y muévanse a la casilla donde estén sus
soluciones.
En la casilla a la que lleguen, resuelvan la ecuación y muévanse a la casilla donde estén
sus soluciones; sigan así hasta llegar al final.
Compartimos
En grupo, resuelvan las ecuaciones del laberinto por las cuales no pasaron. Compartan sus
estrategias de resolución.
76
Bloque I. El universo
Tema 4
Los planetas
81
Sesión
2
Nos conectamos
El planeta del cual vamos a hablar se conoce como el planeta rojo. Su posición en el sistema
solar es cercana a la nuestra y su periodo orbital es de 687 días terrestres.
Si quieres averiguar el nombre del planeta, encuentra la raíz cuadrada de los monomios y
después sustituye el número por la letra correspondiente.
16x 4
49a 2b 2
25b 6
36x 8y 2
81x 2y 10
A
B
C
D
E
F
G
H
I
7ab
4x
7a 2b 2
5b 6
9xy 5
36x 2y
25b 3
6x 2y
81xy 2
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
8x 2
36x 4y
9xy
4x 2
5b
9xy 2
7a 2b
5b 2
5b 3
S
T
U
V
W
X
Y
Z
16x
6x 4y
6xy
x2
7ab 2
81xy 5
49ab
6x 2y 2
Nuestras pistas
Factorización por el método de diferencia de cuadrados
Una diferencia de cuadrados es un binomio formado por una resta de dos monomios que
tienen raíz cuadrada exacta.
Factorizar una diferencia de cuadrados consiste en encontrar los factores de una expresión
algebraica de la forma a 2 − b 2.
En la sesión de productos notables vimos el producto de dos binomios conjugados. Vamos
a multiplicarlos para recordar su resultado:
(a + b)(a − b) = aa − ab + ab − bb = a 2 − b 2
Entonces, a 2 − b 2 se obtiene de multiplicar dos binomios conjugados, es decir:
a 2 − b 2 = (a + b)(a − b)
86
Bloque I. El universo
Tema 4. Los planetas
Factorizar
(a + b)(a - b)
Multiplicar
Nota importante
(a + b)(a − b) =
(a − b)(a + b), porque el producto es conmutativo.
Recuerda que:
•
•
n
_
√a m = a
_
m
n
_
8
_
Por ejemplo: √a 8 = a 2 = a 4
_
_
a
a
_ = _
√_
b
√b
_
_
16
16
_
_
√
Por ejemplo: 81 = _
= 4_9
√81
√
√
Ejemplo 1
Factoriza la expresión x 2 − y 2.
Para encontrar los términos de los binomios conjugados, tenemos que sacar la raíz cuadrada
de x 2 y de y 2:
_
_
√x 2 = x y √y 2 = y
Entonces:
x 2 − y 2 = (x + y)(x − y)
Ejemplo 2
Factoriza la expresión 4x 6 − 9y 2.
La raíz cuadrada de 4x 2 es 2x 3 y la de 9y 2 es 3y.
Entonces:
4x 6 − 9y 2 = (2x 3 + 3y)(2x 3 − 3y)
Ejemplo 3
4 2
Factoriza la expresión 25a 4 − _
25 b .
_
4 2
2
La raíz cuadrada de 25a 4 es 5a 2 y la de _
25 b es 5 b.
Entonces:
_
_
4 2
2
2
2
2
25a 4 − _
25b = (5a + 5b)(5a − 5 b)
87
Vamos Más Allá
Ejemplo 4
Factoriza la expresión 2x 4r − 72y 4r.
Observamos que ninguno de los dos términos de la expresión tiene raíz cuadrada exacta.
Tenemos que reescribir la expresión para poderla factorizar siguiendo los siguientes pasos:
1. Sacar el factor común de la expresión.
•
El factor común de 2x 4r y de 72y 4r es 2r.
2x 4r − 72y 4r = 2r(x 4 − 36y 4)
2. Observar que (x 4 − 36y 4) es una diferencia de cuadrados, ya que ambos términos tienen
raíz cuadrada exacta.
•
La raíz cuadrada de x 4 es x 2 y la de 36y 4 es 6y 2.
Entonces:
x 4 − 36y 4 = (x 2+ 6y 2)(x 2 − 6y 2)
3. Factorizar la expresión: 2x 4r − 72y 4r = 2r(x 2 + 6y 2)(x 2 − 6y 2)
Una vez, otra vez
❶ En tu cuaderno, factoriza las siguientes expresiones algebraicas por diferencia de cuadrados y, en caso de ser necesario, también por factor común.
9a 2 − 4 =
64x 2 − 121y 6 =
25p 2 − a 2 =
2x 2 − 32 =
100n 2 − 81m 4 =
❶ En tu cuaderno, factoriza las siguientes expresiones algebraicas por diferencia de cuadrados y, en caso de ser necesario, también por factor común.
x 2 − 121 =
3x 2 − 3 =
64b 2 − a 6 =
6a 2 − 96b 2 =
1 4
25y 2 − _
100 z =
88
Bloque I. El universo
Tema 4. Los planetas
❶ En tu cuaderno, factoriza las siguientes expresiones algebraicas por diferencia de cuadrados y, en caso de ser necesario, también por factor común.
81x 2 − 121y 8 =
_a 4
4
9
3n 2 − 75 =
1 2
−_
144 b =
125m 4 − 20n 4 =
64x 2 − 121y 6 =
Un paso más
❶ En parejas, completen los términos que faltan en cada factorización usando una sola vez
los números del 0 al 9.
x2 − 6
= (x + 8)(x −
4x 2 − 8
= (2x − 9)(
)
x + 9)
2
1
− 100y = (4 + 1
x2 − 4
y)(4 − 10y)
y 2 = (x − 7y)(x +
2
6x − 25 = (6x −
y)
)(6x + 5)
Compartimos
❶ Observen que:
•
•
55 2 − 45 2 = (55 + 45)(55 − 45) = 1000
60 2 − 40 2 = (60 + 40)(60 − 40) = 2000
En grupo encuentren:
•
•
•
Dos números, a y b, tal que a 2 − b 2 = 3000
Dos números, c y d, tal que c 2 − d 2 = 4000
Dos números, e y f, tal que e 2 − f 2 = 1000000
89
Sesión
Tema 4. Los planetas
4
Nos conectamos
Se llama periodo orbital de un planeta al tiempo que tarda en dar una vuelta completa alrededor
del Sol.
•
•
El periodo orbital de Júpiter es de 4432 días terrestres.
El periodo orbital de Saturno es de 10761 días terrestres.
❶ ¿Cuántos años terrestres dura el periodo orbital de cada uno de estos planetas?
Nuestras pistas
Solución de ecuaciones de segundo grado
por el método de diferencia de cuadrados
La ecuación de la forma a 2x 2 − d 2 = 0 es una diferencia de cuadrados y se resuelve aplicando la fórmula a 2x 2 − d 2 = (ax + d)(ax − d).
Ejemplo 1
Resolver la ecuación x 2 − 100 = 0.
La ecuación es una diferencia de cuadrados; entonces, la factorizamos así:
(x + 10)(x − 10)
Resolvemos la ecuación.
(x + 10)(x − 10) = 0; entonces, igualando cada factor a 0, tenemos que:
x + 10 = 0
x = − 10
x − 10 = 0
x = 10
Entonces, las soluciones de la ecuación son:
x = −10
y
x = 10
Ejemplo 2
Resolver la ecuación 81 − 4x 2 = 0.
La ecuación es una diferencia de cuadrados; entonces, la factorizamos así:
(9 + 2x)(9 − 2x)
93
Vamos Más Allá
Resolvemos la ecuación.
(9 + 2x)(9 − 2x) = 0; entonces, igualando cada factor a 0, tenemos que:
9 + 2x = 0
9 − 2x = 0
2x = − 9
− 2x = − 9
x = − 9_2
x =
9
_
2
Entonces, las soluciones de la ecuación son:
x = − 9_2
y
x = _92
Ejemplo 3
Resolver la ecuación 36x 2 − 1_4 = 0.
La ecuación es una diferencia de cuadrados; entonces, la factorizamos así:
_
1
_
1
(6x + 2)(6x − 2)
Resolvemos la ecuación.
_
_
1
1
(6x + 2)(6x − 2) = 0; entonces, igualando cada factor a 0, tenemos que:
6x + 1_2 = 0
6x − 1_2 = 0
6x = − 1_2
6x =
1
x = −_
12
x =
1
_
2
1
_
12
Entonces, las soluciones de la ecuación son:
1
x = −_
12
y
x =
1
_
12
Ejemplo 4
Resolver la ecuación 2x 2 = 32.
Recuerda que, para resolver la ecuación de segundo grado, hay que igualarla a 0.
2x 2 − 32 = 0
La ecuación no es una diferencia de cuadrados, por lo que, primero, hay que sacar el
factor común. Así, obtenemos:
2(x 2 − 16) = 0
x 2 − 16 es una diferencia de cuadrados; entonces, la factorizamos así:
(x + 4)(x − 4)
94
Bloque I. El universo
Tema 4. Los planetas
Resolvemos la ecuación.
2(x + 4)(x − 4) = 0; entonces, igualando cada factor a 0, tenemos que:
x+4 = 0
x−4 = 0
x = −4
x = 4
Entonces, las soluciones de la ecuación son:
x = −4
y
x = 4
Una vez, otra vez
❶ Resuelve en tu cuaderno las siguientes ecuaciones por el método de diferencia de cuadrados y, cuando sea necesario, usa el método de factor común.
x 2 − 81 = 0
49 − 16x 2 = 0
4x 2 − 1 = 0
2x 2 − 8 = 0
9x 2 − 4 = 0
❶ Resuelve en tu cuaderno las siguientes ecuaciones por el método de diferencia de cuadrados y, cuando sea necesario, usa el método de factor común.
81x 2 − 36 = 0
6x 2 − 54 = 0
169 − 49x 2 = 0
x 2 − 20 = 5
3x 2 − 48 = 0
❶ Resuelve en tu cuaderno las siguientes ecuaciones por el método de diferencia de cuadrados y, cuando sea necesario, usa el método de factor común.
100 − 9x 2 = 0
5x 2 − 45 = 0
9x 2 − 80 = 1
63 − 7x 2 = 0
9
4x 2 − _
49 = 0
95
Vamos Más Allá
Un paso más
•
•
•
•
En los lados de cada triángulo encontrarás una ecuación o las soluciones de una ecuación.
Los lados que coinciden en dos triángulos tienen una ecuación y una solución.
Algunas soluciones son correctas y otras no.
En parejas, encuentren los errores que hay.
Compartimos
En grupo, revisen la actividad anterior para ver si todos encontraron los mismos errores;
luego, determinen las respuestas correctas.
96
Sesión
Tema 4. Los planetas
5
Nos conectamos
Aunque no es tan evidente, las matemáticas tratan también sobre encontrar patrones y
regularidades. Por ejemplo, la naturaleza está llena de patrones: la luna aparece en el cielo
en la misma posición cada 28 días, el día y la noche ocurren siempre en un lapso de 24
horas y el sol siempre aparece por el este y se oculta por el oeste. En esta sesión te invitamos a encontrar patrones en tablas de números.
Patrones aritméticos
Reúnete con un compañero o compañera y resuelvan las tablas. Les recomendamos ir en
orden, empezando por la uno y terminando en la tres.
Ejemplo
El juego se trata de encontrar el valor de x, es decir, el número que falta en la tabla y donde
r1, r2, r3 y r4 se refieren al número del renglón.
r1
8
15
17
36
r2
2
9
11
25
r3
7
20
8
43
r4
3
4
20
x
Si observas con cuidado el patrón que siguen los números en cada columna, puedes ver
que, en todas ellas, se cumple que la suma del número que está en el primer renglón (r1)
más el número que está en el segundo renglón (r2) da el mismo resultado que la suma del número que está en el tercer renglón (r3) más el número que está en el cuarto renglón (r4).
Es decir, se cumple la relación r1 + r2 = r3 + r4.
También podrías expresar el patrón como r1 + r2 – r3 = r4 o como r4 + r3 – r2 = r1.
Hay muchas maneras de escribir el patrón que cumplen los números de la tabla, pero, con
cualquiera de ellas, se puede ver que el valor de x es 18. Todas las formas de escribirlo son
equivalentes.
Dado que las cuatro columnas tienen exactamente el mismo patrón, en todas ellas puedes
verificar si el patrón que encontraste es el correcto.
Ahora te toca encontrar —en cada tabla— el patrón y el número que falta, es decir, cuánto
vale x.
97
Vamos Más Allá
Una vez, otra vez
Tabla 1
Tabla 2
r1
25
63
19
36
r1
10
45
33
4
r2
5
8
9
x
r2
4
8
9
x
r3
24
75
34
55
r3
-2
6
-3
18
r4
4
20
24
25
r4
5
20
-5
-11
r5
3
11
32
-7
Tabla 3
r1
20
10
5
18
r2
6
7
50
4
r3
52
35
62
47
r4
6
8
2
x
Un paso más
Ahora que ya saben cómo se hace una tabla de patrones, en parejas diseñen una y compártanla
con sus compañeros. No se les olvide solucionarla antes, para asegurarse de que sea correcta.
Compartimos
Para finalizar, entre todos compartan y discutan las estrategias que usaron para resolver las
tablas.
Para pensar más allá
La solidaridad y las redes de apoyo nos ayudan a vivir
en sociedad con bienestar. Una forma de construir
estas redes consiste en aprender a dar y recibir ayuda.
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