Mecánica de Fluidos. Una Introducción Física - Alexander J. Smits - 1ra Edición

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MECÁNICA DE FLUIDOS
Una introducción física
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MECÁNICA DE FLUIDOS
Una introducción física
Alexander J. Smits
Departamento de Ingeniería Mecánica
Universidad de Princeton .
A
Alfaomega
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Traducción al español:
M en 1 Esteban Barrios Bonilla
.Maestría en Ingeniería Mecánica, Termofluidos, UNAM
Fundador de la Sociedad Mexicana de Ingenieros Mecánicos, SOMIM
CONTEJ
Revisión técnica:
Dr. Francisco Solorio Ordaz
Doctor en Ingeniería Mecánica, Termoenergía, UNAM
Fundador y Expresidente de la Sociedad Mexicana de Ingenieros Mecánicos, SOl\1lM
Diagramación
Ediámac
electrónica:
Primera edición en español: México, mayo 2003
Primera reimpresión: México, noviembre 2005
Segunda reimpresión: México, julio 2006
PREFACIO
xiii
CAPíTULO
1 111
1.1
1.2
1.3
1
1
]
1
1
1
1
1
1
1
1
lA
Versión en español de la obra titulada en inglés:
A Physical Introduction lo Fluid Mechanics, por Alexander J. Smits, publicada
originalmente por © John Wiley & Sons, Inc.
©2003ALFAOMEGAGRUPOEDITOR,S.A.deC.V.
Pitágoras 1139, Col. Del Valle, 03100 México, D.F.
1.5
1.6
1.7
1.8
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana
Registro No. 2317
Internet: http://www.alfaomega.com.mx
E-mail: [email protected]
Derechos reservados.
Esta obra es propiedad intelectual de su autor y los derechos de publicación en
lengua española han sido legalmente transferidos al editor. Prohibida su reproducción
parcial o total por cualquier medio sin permiso por escrito del propietario de los
derechos del copyright.
ISBN 970-15-0784-3
ISBN 0-471-25349-9,
Impreso
versión original de John Wiley & Sons, Inc.
en México - Printed
in Mexico
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1.9
Probler
CAPíTULO
2 1
2.1
2.2
2.3
CONTENIDO
PREFACIO xiii
CAPíTULO 1 INTRODUCCI6N
1.1
1.2
l.3
Naturaleza de los fluidos 3
:esfuerzos en los fluidos 5
Presión 6
1.3.1 Presión: dirección de la acción 7
1.3.2 Fuerzas debidas a la presión 8
1.3.3 La presión es isotrópica 9
l.3A Esfuerzos globales y presión del fluido 10
l.3.5 Densidad y gravedad específica 12
1.3.6 Ley del gas ideal 13
l.3.7 Compresibilidad en los fluidos 14
1.3.8 Presión: su transmisión a través de un fluido 16
1.3.9 Prensas y elevadores hidráulicos 17
lA
Esfuerzos viscosos 22
1.4.1 Esfuerzos viscosos cortantes 23
104.2 Consideraciones sobre energía y trabajo 24
104.3 Esfuerzos viscosos normales 25
10404 Viscosidad 26
1.5
Mediciones de viscosidad 27
1.6
Capas límite 29
1.7
Flujos laminar y turbulento 32
1.8
**Tensión superficial 33
1.8.1 Gotas y burbujas 34
1.8.2 Formación de meniscos 35
1.8.3 Capilaridad 36
1.9
Unidades y dimensiones 37
Problemas 39
CAPíTULO 2 ESTÁTICA DE FLUIDOS 43
2.1
2.2
2.3
La ecuación de la hidrostática 43
Presión manométrica y presión absoluta 45
Aplicaciones de la ecuación hidrostática 47
2.3.1 Variación de la presión con la altura y la profundidad 47
2.3.2 Manómetros 49
2.3 .3 Barómetros 50
v
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Paredes verticales de anchura constante 53
2.4.1 Solución mediante presiones absolutas 54
2.4.2 Solución mediante presiones manométricas
54
2.4.3 Balance del momento
55
2.4.4 ¿Presión manométrica o presión absoluta?
56
Paredes inclinadas con anchura constante
62
2.5
2.5.1 Fuerza horizontal
63
2.5.2 Fuerza vertical 64
2.5.3 Fuerza resultante
64
2.5.4 Balance de momentos
65
Fuerzas hidrostáticas sobre superficies curvas 68
2.6
2.6.1 Fuerza resultante 68
2.6.2 Línea de acción 71
2.7
Superficies bidimensionales
71
**Centros de presión, momentos de área 76
2.8
2.9
Principio de arquímedes
78
2.10
**Estabilidad de cuerpos flotantes 80
**Fluidos en movimiento de cuerpo rígido 80
2.11
2.11.1 Aceleración vertical 81
2.11.2 Aceleraciones vertical y horizontal 82
2.11.3 Rotación de cuerpo rígido 83
Problemas
85
CAPíTULO
3 INTRODUCCIÓN AL MOVIMIENTO DE LOS FLUIDOS I
Introducción
101
Partículas de fluido y volúmenes de control 101
3.2.1 Sistema lagrangiano
101
3.2.2 Sistema euleriano
102
3.2.3 Elementos de fluido 102
3.2.4 Volúmenes de control grandes 103
3.2.5 Flujo en regímenes permanente y transitorio
105
3.3
Líneas de corriente y tubos de corriente
105
3.3.1 Líneas de corriente
105
3.3.2 Trayectoria
106
3.3.3 Líneas de emisión 106
3.3.4 Tubos de corriente
107
3.3.5 Líneas de tiempo 109
3.4
Dimensión de un campo de flujo 111
3.5
Conservación de la masa 112
3.6
Ecuación de la cantidad de movimiento
114
3.6.1 Fuerzas
114
3.6.2 Flujo unidireccional
115
3.6.3 Flujo bidireccional
117
3.7
Fuerzas viscosas y pérdidas de energía mecánica
119
Problemas
1124
n
CAPíTULO 4
2.4
4.l
1
4.2
]
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
Probler
CAPíTULO
101
5 1
5.1
5.2
5.3
3.1
3.2
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5.4
5.5
Problei
CAPíTULO
6
6.l
6.2
6.3
CONTENIDO
CAPíTULO 4 INTRODUCCIÓN AL MOVIMIENTO DE LOS FLUIDOS 11 130
4.1
4.2
Introducción 130
Ecuación de bemoulli 130
4.2.1 Balance de fuerzas a lo largo de líneas de corriente 131
4.2.2 Balance de fuerzas en dirección normal
a las líneas de corriente 133
4.3
Presión de estancamiento y presión dinámica 134
4.4
Variación de la presión y de la velocidad 135
4.5
Aplicaciones de la ecuación de bemoulli 137
4.5.1 Tubo de Pitot 138
4.5.2 Tubo de Venturi y atomizador 139
4.5.3 Sifón 141
4.6
Ecuación de bemoulli y drenado de tanques 143
4.7
*Ecuación de la energía 149
4.7.1 Primera ley de la termodinámica 149
4.7.2 Flujo unidimensional 151
4.7.3 Relación con la ecuación de Bemoulli 153
Problemas 155
CAPíTULO 5 ECUA CIONES DE MOVIMIENTO EN FORMA INTEGRAL 168
5.1
5.2
5.3
Flujo 168
Ecuación de continuidad 171
Ecuación de la cantidad de movimiento 178
5.3.1 Término transitorio 179
5.3.2 Término de t1ujo 179
5.3.3 Fuerza resultante 180
5.4
Teorema del transporte de reynolds 185
5.5
*Ecuación de la energía 187
Problemas 189
CAPíTULO 6 ECUA CIONES DIFERENCIALES Dr..L MO VIMIENTO 200
6.1
6.2
6.3
Rapidez de cambio siguiendo una partícula de fluido 200
6.1.1 Aceleración en coordenadas cartesianas 203
6.1 .2 Aceleración en coordenadas cilíndricas 203
Ecuación de continuidad 406
6.2.1 Formas particulares 208
Ecuación de la cantidad de movimiento 208
6.3.1 Ecuación de Euler en coordenadas Ci:1tteS'lartas 211il
6.3.2 Ecuación de Euler en coordenadas cih~d[1cas 211
6.3.3 Ecuaciones de Navieir-Stokes 211
6.3.4 Condiciones de frontera 213
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vii
viii
CONTENIDO
6.4
6.5
*Aplicación al movimiento de cuerpo rígido 215
Flujo unidimensional transitorio 215
6.5 .1 Ecuación de continuidad 216
6.5.2 Ecuación de la cantidad de movimiento 217
6.5.3 *Ecuación de la energía 219
Problemas 221
CAPíTULO 7 FLUJOS INCOMPRESIBLES IRROTACIONALES 226
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
V orticidad y rotación 227
El potencial de velocidad <P 229
La función de corriente '!/J 230
Flujos donde existen '!/J y <P en forma simultánea
Resumen de definiciones y restricciones 232
Ejemplos de flujo potencial 234
7.6.1 Flujo uniforme 235
7.6.2 Fuente puntual 236
7.6.3 Vórtice potencial 237
7.7
Ecuación de laplace 239
7.8
Fuente en un flujo uniforme 241
7.9
Flujo potencial sobre un cilindro 242
7.9.1 Distribución de la presión 244
7.9.2 Efectos viscosos 245
7.10 Sustentación 246
7.10.1 Efecto Magnus 247
7.10.2 Cuerpos aerodinámicos y alas 248
7.11 Interacciones de los vórtices 251
Problemas 253
231
CAPíTULO 8 ANALISIS DIMENSIONAL 257
8.1
8.2
Homogeneidad dimensional 258
Aplicación de la homogeneidad dimensional 260
8.2.1 Ejemplo: Salto hidráulico 260
8.2.2 Ejemplo: Arrastre sobre una esfera 262
8.3
El número de grupos adimensionales 267
8.4
Problemas de adimensionalización 270
8.5
Ejemplo de flujo en tubos 271
8.6
Grupos adimensionales comunes 273
8.7
Adimensionalización de las ecuaciones 274
8.8
Modelos a escala 276
8.8.1 Semejanza geométrica 277
8.8.2 Semejanza cinemática 277
8.8.3 Semejanza dinámica 277
Problemas 285
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CONTENIDO
CAPíTULO 9 FLUJOS VISCOSOS INTERNOS 291
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
Introducción 291
Esfuerzos viscosos y número de reynolds 291
Capas límite y flujos completamente desarrolados 292
Transición y turbulencia 294
Flujo de poiseuille 295
9.5.1 Flujo completamente desarrollado en conductos
9.5.2 Flujo completamente desarrollado en tubos 300
9.6
Transición del flujo en tuberías 303
9.7
Flujo turbulento en tuberías 305
9.8
Ecuación de la energía para flujo en tuberías 307
9.8.1 Coeficiente de energía cinética 307
9.8.2 Pérdidas primarias y secundarias 309
9.9
Válvulas y grifos 312
9.10 Diámetro hidráulico 314
Problemas 317
296
CAPíTULO 10 FLUJOS VISCOSOS EXTERNOS 325
10.1
10.2
Introducción 325
Capa límite laminar 325
10.2.1 Análisis de volumen de control 325
10.2.2 Solución por semejanza 327
10.3 Espesores de desplazamiento y de cantidad de movimiento
10.3.1 Espesor de desplazamiento 331
10.3.2 Espesor de cantidad de movimiento 333
10.3.3 Factor de forma 334
10.4 Capas límite turbulentas 334
10.5 Separación, readherencia y estelas 338
10.6 Arrastre en cuerpos romos y aerodinámicos 341
10.7 Pelotas de golf, cricket y beisbol 347
10.8 Campos de flujo en automóviles 349
Problemas 353
CAPíTULO 11 FLUJO EN CANALES ABIERTOS 359
11.1
11 .2
11.3
11.4
11.5
11.6
11.7
11.8
Introducción 359
Ondas gravitatorias de amplitud pequeña
Número de froude 363
Rompimiento de ondas 364
Tsunamis 365
Saltos hidráulicos 367
¿Caídas hidráulicas? 371
Rompientes y oleaje 372
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360
331
ix
X
CONTENIDO
11.9
Flujo a través de un estrechamiento suave 373
11.9.1 Flujo subcrítico en un estrechamiento 377
11.9.2 Flujo supercrítico en un estrechamiento 378
11.9.3 Flujo sobre tope 379
Resumen 379
Problemas 384
CAPíTULO 12 FLUJO COMPRESIBLE 396
12.1
12.2
12.3
12.4
Introducción 396
Propagación de la presión en un fluido en movimiento 398
Regímenes de flujo 400
Termodinámica del flujo compresible 401
12.4.1 Relaciones del gas ideal 402
12.4 .1.1 Calores específicos 402
12.4.1.2 Variaciones de la entropía 402
12.4.1.3 Relaciones del calor específico 403
12.4.2 Velocidad del sonido 404
12.4.3 Propiedades de estancamiento 405
12.5 Flujo compresible a través de una tobera 408
12.5.1 Análisis del flujo isentrópico 409
12.5.2 Razón de áreas 412
12.5.3 Flujo estrangulado 412
12.6 Ondas de choque normales 414
12.6.1 Razón de temperatura 415
12.6.2 Razón de densidades 415
12.6.3 Razón de números de Mach 416
12.6.4 Razón de presiones de estancamiento 416
12.6.5 Cambios de la entropía 417
12.6.6 Resumen: ondas de choque normales 418
12.7 Ondas de choque normales débiles 421
12.8 Ondas oblicuas 421
12.8.1 Relaciones de onda de choque oblicua 423
12.8.2 Desviación del flujo 423
12.8.3 Resumen de ondas de choque oblicuas 424
12.9 Ondas de choque oblicuas débiles y ondas de compresión 426
12.10 Ondas expansivas 429
12.11 Arrastre de onda en vehículos supersónicos 430
Problemas 431
CAPíTULO 13 TURBOMAQUINAS 435
13.1
13.2
13.3
Introducción 435
Ecuación de la cantidad de movimiento angular para una turbina 435
Diagramas de velocidad 439
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CONTEN IDO
13.4
Turbinas hidráulicas 439
13.4.1 Turbinas de impulso 441
13.4.2 Turbina de flujo radial 442
13.4.3 Turbina de flujo axial 443
13.5 Bombas 447
13.5.1 Bombas centrífugas 448
13.5.2 Cavitación 449
13.6 Mediciones del rendimiento relativo 452
13.7 Análisis dimensional 454
13 .8 Hélices y molinos de viento 457
13.9 Generación de energía con el viento 461
Problemas 465
CAPíTULO 14 MECANICA DE FLUIDOS Y MEDIO AMBIENTE 469
14.1 Flujos atmosféricos 469
14.2 Equilibrio de la atmósfera 470
14.3 Patrones circulatorios y efectos de Coriolis 472
14.4 Capa límite planetaria 476
14.5 Intensidad y dirección prevalecientes del viento 477
14.6 Contaminación atmosférica 478
14.7 Dispersión de contaminantes 479
14.8 Difusión y mezclado 480
Problemas 483
Capítulo 15
15.1
15.2
15.3
15.4
15.5
15.6
15.7
15.8
15.9
15.10
15 .11
15.12
15.13
15.14
15.15
15.16
15.17
15.18
NOTAS HISTORlCAS 485
Arquímedes de Siracusa 485
Leonardo da Vinci 487
Evangelista Torricelli 488
Blaise Pascal 489
Sir Isaac Newton 491
Daniel Bemoulli 494
Leonhard Euler 495
Jean le Rond D ' Alembert 497
Joseph-Louis Lagrange 498
Claude Louis Marie Henri Navier 499
Jean L.M. Poiseuille 500
Gustav Heinrich Magnus 501
William Froude 501
George Gabriel Stokes 502
Emst Mach 503
Osbome Reynolds 504
Ludwig Prandtl 505
Lewis Ferry Moody 507
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xi
xii
CONTENIDO
15.19 Theodore Von Kármán 508
15.20 Geoffrey Ingram Taylor 509
Referencias bibliográficas 511
APÉNDICE A HERRAMIENTAS ANALÍTICAS 513
APÉNDICE B FACTORES DE CONVERSIÓN 524
APÉNDICE C PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS Y DE FLUJOS 526
APÉNDICE D RECURSOS WEB 544
RESPUESTAS A PROBLEMAS SELECCIONADOS 546
ÍNDICE 560
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PREFACIO
El propósito de este libro es resumir e ilustrar los conceptos básicos en el estudio de la mecánica de los fluidos . Aunque la mecánica de fluidos es un campo de estudio de retos y
complejidades, se basa en un número pequeño de principios que, por sí mismos, son relativamente sencillos. El reto que aquí se asume es demostrar cómo se pueden emplear estos
principios para llegar a respuestas ingenieriles satisfactorias a problemas prácticos. Sin
duda, el estudio de la mecánica de fluidos es difícil, pero también puede llegar a ser una tarea profunda y satisfactoria para quien tenga alguna inclinación hacia el área técnica, y es
mi deseo que el libro comunique este mensaje con claridad.
Por otra parte, el ámbito de aplicación de este material introductorio es muy amplio, y
se presentan muchas ideas nuevas. Por ello se requieren algunos antecedentes razonables
de matemáticas, y los estudiantes que simultáneamente asisten a algún curso de ecuaciones diferenciales, de inicio enfrentan un reto. Los conceptos físicos se destacan en cada
oportunidad haciendo énfasis en las matemáticas. Por ejemplo, las ecuaciones de movimiento de los fluidos se presentan a través de un tratamiento razonablemente completo del
flujo unidimensional, en régimen permanente, incluyendo la ecuación de Bemoulli, y de
esta manera se desarrolla en forma progresiva hasta llegar a problemas más complejos.
Este tratamiento proporciona a los estudiantes un conjunto de herramientas para resolver
una amplia variedad de problemas desde el inicio del curso. A la vez que aprenden a resolver problemas, los estudiantes adquirirán conocimientos físicos de conceptos básicos, antes de examinar flujos más complicados. En el texto destaca el razonamiento dimensional
y la interpretación de resultados (en especial para casos límite), y se incluyen ejemplos resueltos para demostrar las técnicas de solución de problemas; éstos se presentan al final de
cada sección principal, para interrumpir el texto lo menos púsible. A lo largo del libro se
hacen referencias históricas, y al final se esbozan algunas biografías, que espero se integren al conjunto del libro para estimular lecturas posteriores de la historia de la mecánica
de los fluidos.
Este libro busca proveer a los estudiantes de una introducción amplia a la mecánica de
los fluidos . El material es suficiente para cursos de dos trimestres, pero para cursos de un
semestre se recomienda usar sólo una selección del material. En un curso típico de un semestre se podría trabajar con el material de los capítulos 1 a 10, sin incluir el 7, Y si el tiempo lo permite, se incluiría alguno de los capítulos del 11 al 14. En un curso de dos
trimestres es posible cubrir los capítulos del 1 al 6 y 8 a 10, y elegir tres o cuatro de los
otros capítulos, de acuerdo con el interés de la clase. Las secciones marcadas .:;on asterisco
pueden omitirse, sin perder continuidad. Aunque se supone familiaridad con algunos conceptos de termodinámica, no es un requisito indispensable. Sin considerar las secciones
marcadas con un asterisco y el capítulo 12, se estructura un programa que no requiere conocimientos previos de termodinámica.
xiii
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xiv
PREFACIO
Para ayudar a enriquecer el material escrito se sugiere un número limitado de sitios
Web, en particular, varios programas tipo Java para resolver problemas específicos de mecánica de fluidos , especialmente útiles en áreas donde los métodos tradicionales limitan
el número de casos que se pueden explorar. Por ejemplo, el programa diseñado para resolver problemas de flujo potencial mediante superposición y los programas que manejan
problemas de flujo compresible, rebasan en gran medida el ámbito de los ejemplos
que se pueden resolver en un tiempo limitado, y al mismo tiempo reducen en fonna significativa el esfuerzo involucrado . Dirigida a estudiantes e investigadores, se encuentra una
lista de enlaces a sitios de interés en dinámica de fluidos en http://www.princeton.edu/
-gasdyn/jluids. html. En un esfuerzo por actualizar el texto tanto como sea posible, en
http://wv\lw.princeton.edu/-asmitslfluids_text/intro.html se encuentran problemas adicionales, ilustraciones y recursos Web, así como un manual de soluciones y una fe de erratas.
En la preparación de este libro he contado con una gran asesoría comprometida por
parte de mis compañeros. En especial debo agradecer la persistente influencia del profesor
. Sau-Hai Lam, de la Universidad de Princeton, en el contenido y redacción del texto. Como
estudiante, mi entusiasmo por la mecánica de fluidos fue estimulado por el profesor Tony
Perry de la Universidad de Melbourne, y espero que este libro rebase en algo mi fascinación por el tema.
Muchas personas más me ayudaron a dar forma al producto final. El impulso inicial
para este proyecto fue del profesor David Wood, de la Universidad de Newcastle en Australia. Los profesores George Handelman del Rensselaer Politechnic Institute, Peter
Bradshaw de la Universidad de Stanford y Robert Moser de la Universidad de Illinois
Urbana-Champaign fueron muy solícitos en sU') lecturas cuidadosas del manuscrito y a través de sus muchas sugerencias se logró su mejoramiento. El profesor Víctor Yakhot, de la
Universidad de Boston, revisó una versión inicial del libro y permitió un valioso intercambio de ideas, en especial del capítulo sobre análisis dimensional. Mi esposa, Louise Handelman , me brindó un apoyo generoso y su estímulo, así como consejos para mejorar la
ca lidad y claridad de escritura. Deseo dedicar este trabajo a la memoria de mi hermano ,
Robert Smits (1946-1988) , y a mis hijos, Peter y James , quienes representan el futuro.
Alexander 1. Smits
p,.inceton, Nueva Jersey, EUA .
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Colaboraron en la edición de esta obra:
María de Lourdes Arellano Bolio
María del Carmen Solano del Moral
Martha Elena Figueroa Gutiérrez
Martha Cupa León
Producción:
Guillermo González Dorantes
Juan Carlos Vargas Mendoza
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1
INTRODUCCIÓN
CAPÍTULO
La mecánica de fluidos es el estudio del comportamiento de los fluidos bajo la acción de
fuerzas aplicadas. En general nos interesa encontrar la fuerza requerida para mover un
cuerpo sólido a través de un fluido, o la potencia necesaria para mover un fluido a través de
un sistema. También son de gran interés la velocidad del movimiento resultante, la presión, densidad y variación de temperatura en el fluido. Para conocer estas cantidades aplicamos los principios de dinámica y termodinámica al movimiento de los fluidos y
desarrollamos ecuaciones para describir la conservación de masa, cantidad de movimiento
y energía.
En cualquier punto de nuestro entorno podemos observar que el flujo de fluidos ejerce
una influencia que penetra en todas las facetas de nuestra vida diaria. Para los antiguos
griegos, los cuatro elementos fundamentales eran tierra, viento, fuego yagua y tres de
ellos, viento, fuego yagua, implican fluidos . El aire que nos rodea, el viento que sopla, el
agua que bebemos, los ríos que fluyen y los océanos que nos rodean, nos afectan en el sentido más básico. En las aplicaciones ingenieriles, el conocimiento de la mecánica de fluidos es necesario en el diseño de aeronaves, barcos, automóviles, aparatos de propulsión,
tuberías, sistemas de aire acondicionado, intercambiadores de calor, bombas, corazones y
válvulas artificiales, vertederos, presas y sistemas de riego. También es esencial para la
predicción del clima, corrientes oceánicas, niveles de contaminación y efectos de invernadero. No menos importante, es el mantenimiento de las funciones vitales que involucra el
flujo de fluidos, pues desde el transporte de oxígeno y nutrientes a través del cuerpo están
regidos por el flujo de aire y sangre. Por lo tanto, el flujo de fluidos es crucial para conformar el mundo que nos rodea, y su comprensión integral es uno de los retos más grandes de
la fisica y la ingeniería.
Lo que hace de la mecánica de fluidos un desafio es que con frecuencia es muy dificil
predecir el movimiento de los fluidos. De hecho, hasta observar el movimiento de los fluidos es dificil. La mayoría de los fluidos son transparentes, como el aire y el agua, o de color uniforme, como el petróleo, y su movimiento sólo se hace visible si contienen algún
tipo de partícula. Los copos de nieve que giran en el viento, el polvo que levanta un auto a
lo largo de un camino sucio, el humo que emite algún fuego o las nubes que arrastra una
fuerte brisa, ayudan a marcar el movimiento de los fluidos (figura 1-1). Es claro que este
movimiento puede ser muy complejo. Por ejemplo, al observar un copo de nieve en una
tormenta, se ve que sigue una ruta complicada, y que cada copo sigue una ruta distinta. Al
final, todos los copos caen al suelo, pero es dificil predecir dónde y cuándo caerá un copo
específico. El fluido que arrastra estas partículas experimenta, a su vez, contorsiones similares en su trayectoria y, en general la velocidad y aceleración de una masa de fluido varían con el tiempo y la ubicación. Esto es cierto para todos los fluidos en movimiento; la
posición, velocidad y aceleración de un fluido es, en general, una función del tiempo y el
espacIO.
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2
cAPiTULO
1
INTRODUCCiÓN
lleva tiempo y no si,
ximaciones.
Para desarrolla
forma progresiva ir
principios básicos ..
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1.1 NATURALEZA
FIGURA 1-1.
Erupción del Monte Santa Helena el18 de mayo de 1980. Austin Post/U.S. Department
the Interior, US Geological Survey, David A. Johnston, Cascades Volcano Observatory,
Vancouver,
of
WA
Para describir la dinámica del movimiento de los fluidos, es necesario relacionar su
aceleración con la fuerza resultante que actúa sobre ellos. Para un cuerpo rígido en movimiento, como un satélite en órbita, podemos seguir una masa fija, y sólo se requiere de una
ecuación (la segunda ley de Newton del movimiento, F = ma). Los fluidos también se
pueden mover como los cuerpos rígidos, pero es más común que una parte del fluido
se mueva con respecto a otra (hay movimiento relativo), y así el fluido se comporte más
come una enorme colección de partículas. Cada copo, por ejemplo, indica una pequeña
masa de fluido (una partícula de fluido) y para describir la dinámica del flujo completo se
requiere una ecuación por separado para cada partícula de fluido. La solución de cada
ecuacióh dependerá de cada una de las otras ecuaciones, pues el movimiento de cada partícula de fluido depende del de sus vecinos y es obvio que resolver este sistema de ecuaciones simultáneas es un trabajo muy complejo. Esta tarea es tan dificil que, de hecho, para
casi todos los problemas prácticos no es posible encontrar la solución exacta ni con la ayuda de la computadora más avanzada. Es probable que esta situación continúe por muchos
años a pesar del desarrollo que se proyecta en las capacidades de hardware y software.
Para avanzar en la comprensión de la mecánica de fluidos y en la solución de problemas de ingeniería, con frecuencia es necesario hacer aproximaciones y usar modelos simplificados del flúio. Pero, ¿cómo hac~ esas aproximaciones? A menudo, en la fisica se
requiere de perspicacia para determin r los factores esenciales que gobiernan un flujo e
identificar los factores que con segurit ad pueden despreciarse. Esto hace que en ocasiones
la mecánica de fluidos sea dificil de aprender y entender; desarrollar intuición en la fisica
Casi todos los mati
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1.1
NATURALEZA
DE LOS FLUIDOS
3
lleva tiempo y no siempre son obvias las razones para adoptar ciertas suposiciones o aproximacrones.
Para desarrollar esta clase de intuición, este libro inicia con problemas simples y en
forma progresiva introduce niveles más altos de complejidad, al tiempo que refuerza los
principios básicos. Primero se consideran los fluidos que están en movimiento de cuerpo
rígido, luego los fluidos en los cuales existen movimientos relativos bajo la acción de fuerzas simples y, por último, flujos más complejos, donde la viscosidad y la compresibilidad
son importantes. En cada etapa, se estudian las simplificaciones supuestas aunque, en ocasiones, las justificaciones se posponen hasta que se comprende el último material. Al concluir el libro, el lector será capaz de resolver problemas básicos de mecánica de fluidos,
mientras está consciente de las limitaciones de las herramientas que usó en su solución.
Antes de empezar este trayecto es necesario considerar algunos aspectos fundamentales de los fluidos y del flujo de los fluidos. En este capítulo se analizan las diferencias entre
los sólidos y los fluidos, y se presentan algunas propiedades distintivas de los fluidos,
como densidad, viscosidad y tensión superficial. También se exponen los tipos de fuerzas
que actúan sobre un fluido y su deformación por tensic.i, corte y rotación. Empezamos por
describir cómo difieren los fluidos de los sólidos.
1.1 NATURALEZA DE LOS FLUIDOS
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Casi todos los materiales de nuestro entorno se pueden describir como sólidos, líquidos o
gases. Muchas sustancias, dependiendo de la presiou y la temperatura, pueden existir en
los tres estados. Por ejemplo, el H20 existe como hielo, agua o vapor. Los líquidos y los
gases también se denominan estados fluidos, o simplemente fluidos.
Los fluidos se comportan de manera diferente a los sólidos en dos aspectos. La propiedad más obvia de los fluidos, que no comparten con los sólidos, es que tienen la capacidad
de fluir y cambiar de forma; los fluidos no ¿onservan su forma independientemente
de sus
vecinos y fluyen de manera espontánea en los recipientes que los contienen. En este aspecto los gases y líquidos responden de manera diferente: los gases llenan por completo sus
recipientes, en tanto que los líquidos ocupan un volumen definido. Si existen un gas y un
líquido juntos, entre ellos se forma una interfase que se denomina superficie libre (figura
1-2). En una superficie libre la tensión superficial es muy importante y pueden formarse
olas. Los gases también pueden disolverse en los líquidos y formar burbujas al cambiar la
presión, como cuando una botella de refresco se abre en forma súbita.
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FIGURA 1-2
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Los gases llenan por completo su recipiente (izquiejda),
un volumen definido y pueden formar una superficie libre (derecha).
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mientras que los líquidos ocupan
4
CAPíTULO 1
INTRODUCC iÓN
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FIGURA 1-3 Cuando se aplica un esfuerzo cortante,., a un elemento de fluido, éste se deforma de manera continua mientras se aplique el esfuerzo.
Sin embargo, la propiedad más distintiva de los fluidos es su respuesta a la aplicación
de alguna fuerza o esfuerzo (el esfuerzo es la fuerza por unidad de área). Por ejemplo,
cuando a un fluido se aplica un esfuerzo cortante, éste experimentará una deformación
continua y permanente. Sumerja su mano en un recipiente con agua y verá la distorsión del
fluido (esto es, el flujo que ocurre en respuesta a la fuerza aplicada) por los giros y remolinos que se forman en la superficie libre. Esta distorsión es permanente y el fluido no regresará a su estado original hasta que retire la mano del fluido. Asimismo, cuando se oprime
un fluido en una dirección (es decir, se aplica un esfuerzo normal), éste se moverá en las
otras dos direcciones. Oprima una manguera por la mitad y el agua saldrá por las puntas. Si
este esfuerzo continúa, el fluido seguirá fluyendo . Los fluidos no ofrecen resistencia permanente a este tipo de cargas, pero esto no sucede con un sólido, pues cuando se le aplica
una fuerza, sólo se deformará lo que le lleve adaptarse a la carga, entonces la deformación
termina.
Entonces, un fluido puede definirse sin ambigüedades como un material que se deforma
continua y permanentemente con la aplicación de un esfuerzo cortante, no importa qué
tan pequeño sea. Esta definición no considera la cuestión de qué tan rápido ocurre la
deformación y que, como se verá más adelante, esta rapidez depende de muchos facto res incluyendo las propiedades del mismo fluido. La incapacidad de los fluidos para resistir los esjiterzos cortantes les da su capacidad característica de cambiar de forma o
fluir; su incapacidad para soportar los esfuerzos de tensión es una suposición ingenieril, pero es una suposición bien justificada porque dichos esfuerzos, que dependen de la
cohesión intermolecular, son en general bastante pequeños . ...
Aunque los fluidos no "soportan" esfuerzos cortantes, no significa que dichos esfuerzos no existan en los fluidos. Durante el flujo de fluidos reales, los esfuerzos cortantes tienen una función importante, y su predicción es una parte vital en el trabajo de
los ingenieros. Sin flujo, sin embargo, los esfuerzos cortantes no pueden existir y los esfuerzos de compresión o presión son los únicos esfuerzos que se consideran. 1
De aquí se concluye que la propiedad más obvia de los fluidos, su capacidad de fluir y
cambiar de forma, es el resultado de su incapacidad para resistir esfuerzos cortantes (figura 1-3). El flujo es posible sin esfuerzo cortante, ya que las diferencias de presiones causarán que el fluido experimente una fuerza resultante y una aceleración, pero cuando cambia
de forma, los esfuerzos cortantes deben estar presentes.
'ElementGly Fluid Mechanics, 7a. edición, por R. L. Street, G. Z. Watters, 1. K. Vennard, John Wiley & Sons, 1996.
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1.2 ESFUERZOS EN LOS FLUIDOS
5
Con esta definición de fluido podemos reconocer que algunos materiales que en apariencia son sólidos en realidad son fluidos. La brea, por ejemplo, dentro de un recipiente a
simple vista parece ser la fase sólida del líquido que se forma cuando se calienta. Sin embargo, la brea fría también es un líquido. Si en la parte superior de un barril con brea se coloca un tabique, veremos que se sumerge lentamente, y durante algún tiempo continuará
haciéndolo (la brea continúa su deformación bajo la carga aplicada) hasta que se hunde por
completo y llega al fondo del barril. El vidrio es otra sustancia que parece sólida, pero que
en realidad es un fluido. El vidrio fluye bajo la acción de su propio peso; así, si se mide el
espesor de una hoja de vidrio muy vieja, se encontrará que es más grande en el fondo que
en la parte alta. Esta deformación ocurre en forma muy lenta, por la alta viscosidad del vidrio, lo cual significa que no fluye con toda libertad y los resultados pueden tardar siglos
para ser obvios. Sin embargo, cuando el vidrio experimenta un gran esfuerzo durante poco
tiempo, se comporta como un sólido y se puede romper. La plastilina es otro ejemplo de
material que se comporta como cuerpo elástico cuando se somete a esfuerzos rápidos (rebota como una pelota), pero se comporta como fluido con un esfuerzo que actúa con lentitud (fluye bajo su propio peso).
1.2 ESFUERZOS EN LOS FLUIDOS
En esta sección, se considerarán las distribuciones de esfuerzos dentro del fluido, y para
ello, es útil imaginar una partícula de fluido, como un volumen pequeño de fluido de masa
fij a.
Los esfuerzos que actúan en una partícula de fluido se pueden dividir en esfuerzos
nonnales (que dan lugar a fuerzas que actúan en dirección perpendicular a la superficie de
la partícula) y esfuerzos tangenciales o cortantes (que producen fuerzas que actúan en forma tangencial a su superficie). Los esfuerzos normales tienden a comprimir o expandir la
partícula de fluido sin cambiar su forma. Por ejemplo, una partícula rectangular permanecerá rectangular, aunque cambien sus dimensiones. Los esfuerzos tangenciales cortan la
partícula y deforman su figura; una partícula que de inicio tiene sección transversal rectangular se volverá rómbica.
¿Cuál es la función de las propiedades de los fluidos al determinar el nivel de esfuerzo
requerido para obtener una deformación? Sabemos que en los sólidos, el nivel de esfuerzo necesario para comprimir un rodillo depende del módulo de Y oung del material, y que
el nivel de esfuerzos tangenciales necesarios para cortar un bloque de material depende de
su módulo de cortante. Los módulos de Y oung y de cortante son propiedades de sólidos;
los fluidos tienen propiedades análogas llamadas módulos volumétricos y la viscosidad.
El módulo volumétrico de un fluido involucra el esfuerzo normal en una partícula de fluido y su cambio de volumen. Los líquidos tienen módulos volumétricos con valores mucho
más grandes que los gases, ya que éstos son mucho más fáciles de comprimir (vea la sección 1.3.3). La viscosidad de un fluido mide su capacidad de resistir los esfuerzos cortantes. Asimismo, en general los líquidos poseen viscosidades más grandes que los gases,
pues éstos fluyen con mayor facilidad (vea la sección lA). La viscosidad y otras propiedades de los fluidos, como densidad y tensión superficial, se analizan con todo detalle más
adelante en este capítulo. A continuación se explica la naturalez~ de la presión y sus efectos.
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6
CAPíTULO 1
FIGURA 1-4
INTRODUCCiÓN
El pistón está soportado por la presión del gas dentro del cilindro.
1.3 PRESiÓN
Cuando un gas se mantiene en un depósito, sus moléculas se mueven y chocan contra sus
paredes. Si una molécula golpea la pared, experimenta un choque elástico, lo cual significa
que sus magnitudes de cantidad de movimiento y energía se conservan, pero cambia su dirección del movimiento, de manera que la pared debió ejercer una fuerza sobre la molécula
de gas. Por lo tanto, la partícula de gas ejerció una fuerza opuesta de igual magnitud en la
pared durante el impacto. Si el pistón de la figura 1-4 no se restringe en su movimiento, el
impacto continuo de las moléculas de gas sobre la superficie del pistón tendería a moverlo
hacia afuera del depósito. Para mantener el pistón en su posición, debe aplicarse una fuerza que es, por unidad de área, la que se denomina presión del gas.
Si consideramos un área muy pequeña de la superficie del pistón, de forma que durante un intervalo corto, !1t, muy pocas partículas golpeen la pared, la fuerza que ejercen las
moléculas variará muy rápido con el tiempo conforme se registre cada colisión. Cuando el
área es grande, y el número de colisiones sobre la superficie durante el intervalo !1t también es grande, la fuerza en el pistón, debida al bombardeo de las moléculas, llega a ser
efectivamente constante. En la práctica, el área necesita ser mayor que 10 x
donde la
distancia libre media, tlll es la distancia media que recorre una molécula antes de chocar
con otra. Por lo tanto, la presión es una propiedad continua, que referida a áreas de interés
ingenieril, que casi siempre son mucho mayores que las áreas medidas en términos de la
distancia libre media, no tiene fluctuaciones estadísticamente medible s debido a movimientos moleculares. 2
Es necesario hacer una distinción entre las propiedades microscópicas y las macroscópicas de un fluido, en la que las propiedades microscópicas se relacionan con el comportamiento a escala molecular (escalas comparables con la distancia libre media) y las
propiedades macroscópicas con el comportamiento a escala ingenieril (escalas mucho mayores que la distancia libre media). En mecánica de fluidos sólo nos interesan las propiedades continuas o macroscópicas de los fluidos, aunque en ocasiones nos referiremos a los
procesos moleculares para llegar a un mejor entendimiento.
ti; ,
distancia libre de las moléculas de aire en la atmósfera a nivel del mar es de casi 10-7m, que es alrededor de 1 000 veces
más pequeña que el espesor de un cabello humano.
2 La
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1.3 PRESiÓN
FIGURA 1-5
7
Moléculas que rebotan en una superficie macroscópicamente áspera.
1.3.1 Presión: dirección de la acción
En una superficie sólida plana considere la dirección de la fuerza debida a la presión que
ejerce un gas en reposo. Por supuesto, en la escala molecular una superficie nunca es realmente plana. Sin embargo, en promedio, por cada molécula que rebota con alguna cantidad de movimiento en la dirección tangencial a la superficie, otra rebota con la misma
cantidad de movimiento, pero en dirección opuesta, sin importar qué clase de rugosidad
haya en la superficie (figura 1-5). La fuerza promedio que las moléculas ejercen sobre el
sólido en la dirección tangencial a la superficie será cero. Por lo tanto, se espera que la
fuerza debida a la presión actúe en una dirección que es puramente normal a la superficie.
Además, la cantidad de movimiento de las moléculas está dirigida en forma aleatoria,
y la magnitud de la fuerza debida a la presión deberá ser independiente de la superficie en
la qUe act(I:l. Por ejemplo, una placa delgada en el aire 1'0 experimenta fuerzas resultantes
debidas a la presión del aire, ya que estas fuerzas en sus do: ~ lados presentan la misma magnitud y apuntan en direcciones opuestas. Este resultado ,:s . '1dependiente de la orientación
de la placa. Decimos que la presión es isotrópica (de la pala, ra griega, que significa "igual
en todas las direcciones", o con mayor precisión, "indepenc ;ente de la dirección"). En la
sección 1.3.2 se demuestra que éste es un argumento generall ¡ue se basa en conceptos macroscópicos y del medio continuo.
En resumen, la presión es un esfuerzo, y es un esfuerzo no mal, dado que produce una
fuerza que actúa en la dirección normal a la superficie sobre la ('.ue actúa. Esto es, la dirección de la fuerza está dada por la orientación de la superficie, que se indica con un vector
normal unitario o (figura 1-6). La fuerza tiene una magnitud igual a la presión promedio
multiplicada por el área de contacto. Por convención, una fuerza que actúa comprimiendo
un volumen es positiva, pero para una superficie cerrada, el vectv ' o siempre apunta, por
definición, hacia afuera. Así
La fuerza debida a una presión, p que actúa en un h d0 . ,-.! un elemento pequeño de superficie, dA, definida por un vector normal unitario 11, ,~ stá dada por -podA .
En algunos libros de texto, el elemento de superficie se describe con un vector dA, el cual
tiene una magnitud de dA y define su dirección por o, así que dA = odA. Aquí no se adopte
esa convención, y la magnitud y dirección de un elemento de superficie siempre se indican
por separado.
Para un fluido en reposo, la presión es la CO'1l1l0nente normal de la fuerza por unidad
de área. ¿Qué pasa cuando el fluido está en movimiento? La respuesta es un poco compli-
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8
CAPíTULO 1
FIGURA 1-6
INTRODUCCiÓN
Vector fuerza, F, debido a la presión, p, que actúa sobre un elemento de superficie, dA.
cada. 3 Para los flujos que se tratan en este texto esta descripción de presión es una buena
aproximación, aun para fluidos que se mueven a velocidades muy altas. Esta definición,
además, es consistente con el concepto de presión que se usa en termodinámica.
1.3.2 Fuerzas debidas a la presión
La presión se define como la fuerza normal por unidad de área, de manera que aun cuando
la fuerza misma sea moderada, la presión puede llegar a ser muy grande si el área es suficientemente pequeña. Este efecto hace posible el patinaje; la delgada navaja del patín
combinada con el peso del patinador producen presiones intensas que derriten el hielo y
forman una delgada película de agua que actúa como lubricante y reduce la fricción a valores muy bajos.
También es verdad que se pueden desarrollar fuerzas muy grandes mediante pequeñas
diferencias de presión en fluidos que actúen sobre áreas grandes. Los cambios rápidos en
la presión del aire, como los que se presentan durante tormentas violentas, pueden producir pequeños cambios de presión entre el interior y el exterior de una casa. Puesto que la
mayoría de las casas son más o menos herméticas, para reducir costos del acondicionamiento y calentamiento de aire, las diferencias de presión pueden mantenerse por algún
tiempo. Hasta las pequeñas diferencias de presión pueden producir fuerzas muy grandes
cuando actúan sobre grandes superficies interiores de una casa. Si la presión exterior del
aire es menor que la del interior, como en general sucede cuando sopla el viento, las fuerzas que producen estas pequeñas diferencias de presión pueden ser lo suficientemente
grandes como para levantar la casa; el ejemplo 1.2 ilustra este fenómeno.
El efecto puede demostrarse con un experimento sencillo. En un recipiente de metal
vacío agregue una cantidad pequeña de agua, y caliéntela hasta que hierva. El vapor de
agua que se forma desplaza algo del aire hacia afuera del recipiente. Si éste se sella y se
pone a enfriar, el vapor dentro del recipiente se condensa de nuevo, y así la masa de aire en
el recipiente es menor que al inicio del experimento. De esta forma, la presión en ei recipiente es menor que la atmosférica (ya que menos moléculas de aire golpean las paredes
del recipiente) . Como resultado se desarrollan fuerzas de compresión muy fuertes que
pueden provocar que el recipiente se colapse, dando así una demostración contundente de
las grandes fuerzas que producen pequeños cambios de presión. Otros ejemplos comunes
son una puerta que se azota por alguna corriente de aire y la fuerza que se produce por la diferencia de presiones en un ala para elevar un avión.
3 Vea,
por ejemplo, 1. G. Currie, Fundamental Fluid Mechanics, McGraw-Hill, 1974.
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1.3 PRESiÓN
9
z
p,dydz
~dz
dx
y
~-------------+x
FIGURA 1-7
L---------------~--------------__.x
Presión que actúa sobre un elemento de fluido en forma de cuña.
De forma similar, beber con un popote requiere que en la boca se produzca una presión inferior a la atmosférica, y una ventosa aprovecha la presión del aire para adherirse.
En el interior de cierto tipo de ventosa, se forma una membrana flexible. Para producir la
adherencia, la ventosa se presiona contra la superficie plana y con una palanca externa se
jala el centro de la membrana lejos de la superficie, dejando el borde como sello. Esta acción reduce la presión en la cavidad a un valor por debajo de la atmosférica, y la presión
externa del aire produce una fuerza resultante que sostiene la ventosa contra la superficie.
Cuando las paredes del recipiente son curvas, las diferencias de presión también producen esfuerzos en su interior. En el ejemplo 1.3 calculamos los esfuerzos que se producen
en la pared de un tubo por una presión interna uniforme. La fuerza debida a la presión actúa en forma radial hacia afuera sobre la pared del tubo; esta fuerza la debe balancear la
fuerza circunferencial que actúa dentro del material de la pared del tubo, de manera que
la presión del fluido que actúa normal a la superficie produzca un esfuerzo de tensión en el
sólido.
1.3.3 La presión es isotrópica
En la sección 1.3.1 se expuso un argumento que se basa en la dinámica molecular para demostrar que la presión es isotrópica y que produce una fuerza con dirección normal a la superficie sobre la que actúa. Ahora consideramos una aproximación macroscópica para
demostrar el mismo resultado, pero en forma más rigurosa.
Considere el elemento de fluido en forma de cuña que ilustra la figura 1-7, con un volumen de ~ dxdydz. El elemento de fluido está en equilibrio bajo la acción de las fuerzas
debidas a la presión y a su propio peso. Sean Pl , P2 Y P3 los valores promedio de la presión
en las tres superficies. El elemento no está en aceleración, de manera que la fuerza resultante que' actúa sobre el elemento debe ser cero. Esto es, L F = O. Resolviendo las fuerzas
en la dirección x se obtiene
e
Fx = P2 dydz - Pl dA sen =0
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10
CAPiTULO 1
INTRODUCCiÓN
Es decir
dz
sene
P2 dydz = p¡ dy-- sen
e
y, por consiguiente
(1.1)
P2 = PI
En la dirección z tenemos
Esto es
dx
cose
P3dydx = tpg dxdydz + PI dy-- cos
e
y
Conforme decrece la magnitud del volumen, la contribución del peso del fluido disminuye
con rapidez cuando dz --70, Y se hace despreciable si el volumen se vuelve infinitesimalmente pequeño. Por lo tanto
P3 = PI
Puesto que demostramos que P2 = p¡ (ecuación 1.1),
P3 = P2 = PI
(1.2)
Por lo tanto, la presión en un punto es independiente de la orientación de la superficie que
pasa por el punto; en otras palabras, la presión es isotrópica.
La presión en un punto de un fluido es independiente de la orientación de la superficie
que pasa a través del punto. La presión es un escalar y siempre actúa en ángulos rectos a
una superficie dada.
El resultado se obtuvo porque la fuerza del cuerpo debida al peso se hace despreciable
comparada con las fuerzas debidas a la presión, cuando el elemento de fluido se hace muy
pequeño. Esto se cumple a pesar de que las fuerzas de cuerpo existen aun para valores de
aceleración de varias veces la de la gravedad.
1.3.4 E::,,';,erzos globales y presión del fluido
En el interior del fluido , lejos de las paredes del recipiente, cada partícula siente la presión
debida.1 su contacto con el fluido que la rodea. Esto es muy similar a tener un cuerpo sólido, com "\ un cubo, suspendido y sumergido por completo en un fluido. En este caso, el
cuerpo experi "lenta una deformación y un esfuerzo globales , ya que el fluido ejerce presión en todas las superficies del cuerpo. De manera similar, una partícula de fluido experimenta una compresión global que provoca la presión que ejerce el fluido que lo rodea.
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1.3 PRESiÓN
11
Cuando la presión es uniforme a lo largo del fluido, todas las fuerzas ocasionadas por
la presión que actúa sobre cada superficie de la partícula de fluido, tienen la misma magnitud. La fuerza que se ejerce en cualquier cara de la partícula actúa en dirección nonnal a
esa cara con una magnitud igual a la presión por el área. Por ejemplo, la fuerza que se aplica en la cara superior de una partícula de fluido rectangular se cancela por una fuerza
opuesta, pero igual que se aplica en la superficie inferior. Esto es válido para todos los pares de superficies opuestas. Por consiguiente, la fuerza resultante en esa partícula es cero.
Este resultado también aplica para una partícula de fluido esférica (un elemento de área superficial en un lado, siempre encontrará un elemento afín en el lado opuesto) y, de hecho,
se cumple para cualquier superficie arbitraria. Por lo tanto, no hay fuerza resultante por la
presión que se ejerce sobre un cuerpo, si ésta es uniforme en el espacio, sin importar la forma del cuerpo. Las fuerzas resultantes originadas por la presión aparecerán sólo si hay una
variación de ésta dentro del fluido, es decir, cuando hay un gradiente de presión.
La fuerza debida a la presión comprime la partícula de fluido. Este tipo de defonnación se llama deformación volumétrica, y se mide por el cambio relativo de volumen,
dV / V, donde Ves el volumen de la partícula de fluido. El cambio de presión, dp, que se necesita para producir este cambio de volumen se relaciona linealmente con la deformación
global mediante el módulo de elasticidad volumétrica, K. Esto es,
dV
dp =- K -
(l.3)
V
El signo negativo indica que los incrementos en la presión causan disminuciones de volumen (una presión compresiva se considera positiva). Es posible escribir lo anterior en términos de los cambios diferenciales de densidad, donde la densidad del fluido, p , está dada
por su masa dividida entre su volumen (vea sección 1.3.5). Como la masa, m, de la partícula es fija,
m
p =V
de forma que
y
dV
V
=d(m / p) =pd (~ )=_dp
(m /p )
p
p
La ecuación 1.3 se convierte en
dp= K dp
P
(l.4)
Este efecto compresivo se ilustra en el ejemplo 1.5a. Observe que el valor del módulo de
elasticidad volumétrica depende de cómo se efectúa la compresión; para una compresión
isotérmica donde la temperatura permanece constante el módulo de elasticidad volumétri-
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12
cAPiTULO 1
INTROD UCCiÓN
ca es diferente a su valor adiabático (donde no se permite la transferencia de calor) o su valor isentrópico (donde no hay transferencia de calor ni fricción).
1.3.5 Densidad y gravedad específica
La densidad, que se defme como la masa por unidad de volumen, se mide en kglm3 , o
slugs, y en general se representa por el símbolo p. El agua tiene una densidad de
1 000 kg/m 3 a 4 oC, de manera que a esta temperatura un metro cúbico contiene 1 000 kg de
agua. A 20°C, el agua tiene una densidad de 998 .2 kglm3 . En contraste, el aire tiene una
densidad de 1.204 kg/m 3 a presión atmosférica y 20°C, por lo que su densidad es de alrededor de 830 veces más pequeña que la del agua (vea las tablas 1.1 y A-C7).
En la práctica es común expresar la densidad de otros líquidos en relación con la del
agua; ésta se llama gravedad específica. Formalmente, la gravedad específica (GE) de un
material es la proporción entre su densidad y la del agua, es decir,
GE= densidad de la sustancia
densidad del agua
Puesto que la densidad es la masa por unidad de volumen, una relación equivalente es
GE = masa de la sustancia de un volumen dado
masa de un volumen igual de agua
mientras las temperaturas de la sustancia y del agua sean iguales. Por lo tanto, el aire tiene una gravedad específica de 1.204/998.2 = 0.001206 a20°C. Un tipo de alcohol muy común usado en manómetros (yen bebidas alcohólicas) es el etanol, cuya densidad es de
798 kg/m 3 a 20°C, de forma que su gravedad específica es 798/998.2 = 0.790 y por ello flota en el agua. El acero, por otra parte, tiene una densidad de 7 850 kglm 3 y su gravedad específica es 7.86, por lo que no flota en el agua, excepto quizá a través de la acción de la
tensión superficial (vea la sección 1.8).
TABLA 1-1 Densidad y viscosidad de algunos
fluidos comunes (a 20°C y 1 atm)
Aire
Agua
Agua de mar
Aceite para motor SAE 30
Miel
Mercurio
1.204
998 .2
18.2 x 10- 6
1.002x10- 3
1025
1.07 x 10- 3
917
0.290
",1.4
",1430
13550
1.56 x 10- 3
El hielo flota en el agua, ya que su gravedad específica es de 0.917 (a 20°C). Para un iceberg que flota en agua de mar (cuya gravedad específica es de 1.025), esto significa que
sólo alrededor de un 10% de su cuerpo es visible sobre la superficie (figura 1-8). Este resultado se demuestra en el ejemplo 2.9.
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1.3 PRESiÓN
FIGURA 1-8
13
Iceberg , encima y debajo de la superficie del mar. Corbis/Ralph A. Clevenger.
1.3.6 Ley del gas ideal
Revisemos de nuevo el ejemplo del pistón y el cilindro que ilustra la figura 1-4. Si duplicamos el número de moléculas en el cilindro, la densidad del gas será el doble. Si las moléculas extra tienen la misma velocidad que las otras, (esto es, la misma temperatura) el
número de colisiones se duplica con una buena aproximación. Dado que la presión depende del número de choques, se espera que la presión también se duplique, puesto que a temperatura constante la presión es proporcional a la densidad.
Por otra parte, si incrementamos la temperatura, sin cambiar la densidad, de forma que
aumente la velocidad de las moléculas, el impacto de las moléculas contra el pistón y las
paredes del cilindro se incrementará. Por lo tanto, la presión aumenta con la temperatura, y
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14
CAPíTULO 1
INTRODUCC iÓN
mediante la observación sabemos que la presión está muy cerca de ser proporcional a la
temperatura absoluta.
Estas dos observaciones son quizá familiares desde el punto de vista de la fisica básica, y se resumen en la ley del gas ideal, la cual establece que
p = pRT
(1.5)
donde R es la constante del gas. En la tabla A -e8 se proporcionan las constantes de diferentes gases. Para el aire, R = 287.03 m2/s2 K = 1 716.4 pie2/s2R.
La ecuación 1.5 es ejemplo de una ecuación de estado, en la que se relacionan varias
propiedades termodinámicas, como presión, temperatura y densidad. La mayoría de los
gases obedecen a la ecuación 1.5, con una buena aproximación, excepto en condiciones de
presión y temperatura extremas, donde deben usarse relaciones más complicadas.
1.3.7 Compresibilidad en los fluidos
Todos los fluidos son compresibles; sin embargo, en un intervalo de condiciones, con frecuencia es posible hacer la aproximación de que un fluido es incompresible. Esto es cierto
en particular para los líquidos. Por ejemplo, el agua sólo cambia ligeramente su volumen
con presiones extremas (vea el ejemplo 1.5a). Otros líquidos se comportan en forma similar y en condiciones de presión y temperatura frecuentes, en general suponemos que los líquidos son incompresibles.
Los gases son mucho más compresibles; por ejemplo, la compresibilidad del aire es
parte de nuestra experiencia cotidiana. Si cerramos la bomba de aire de una bicicleta y empujamos el mango hacia abajo, con facilidad disminuye el volumen del aire hasta un 50%
(figura 1-9), de forma que su densidad se incrementa por un factor de dos (la masa del aire
es constante). Si suponemos que la temperatura permanece constante (de algún modo), por
la ecuación de gas ideal (ecuación 1.5) sabemos que la presión también debe crecer por un
factor de dos. Si el aire inicial estaba a presión atmosférica, la presión aumenta una atmósfera (14.696 psi (libra por pulgada cuadrada) o 1.01325 x 105 Pa). Este experimento sugie-
Figura 1-9
Aire comprimido en la bomba de una bicicleta.
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1.3 PRESiÓN
15
re un módulo de elasticidad volumétrica para el aire de casi 2 x 105 Pa, el cual está cerca
del valor exacto. También, si suponemos que el diámetro de la bomba es de 1.25 pulg, entonces se requerirá una fuerza de [14.7 psi x n (1.25 pulg)2/4] lb f = 18.1lb f . Ésta no es una
gran fuerza, así que duplicar la presión del aire ambiente se logra fácilmente.
Aunque se piense que los gases son mucho más compresibles que los líquidos (quizá
por un factor de 104), con diferencias de presión pequeñas, la densidad del gas tiene pequeños cambios. Por ejemplo, un cambio de presión de 1% a temperatura constante cambiará
la densidad en un 1%. En la atmósfera, un cambio de 1% en la presión corresponde a
un cambio de altura de casi 85 m, de forma que con el cambio de altura del orden de los
edificios altos, podemos suponer que el aire tiene una presión y densidad constantes
(ejemplo 1.5b).
Los cambios de velocidad también pueden afectar la presión y la densidad del fluido.
Cuando un fluido se acelera desde una velocidad V¡ a otra V2 con una altura constante, el
cambio de presión, !'1p, está dado por
!'1p = - p(V22 - V¡2)
(1.6)
t
mientras se conserva su energía total (vea la sección 4.2). La presión disminuye conforme
la velocidad aumenta, y viceversa. La cantidad p V 2 , que aumenta en muchos problemas
de fluidos , se llama presión dinámica (vea la sección 4.3 para detalles subsecuentes), y representa el cambio de presión debido a cambios de velocidad del fluido .
Mientras los cambios de velocidad sean pequeños, las variaciones de presión también
lo son, y se puede suponer que la densidad del fluido es constante. Una referencia común
es comparar la velocidad del fluido, V, con la del sonido, a. Esta proporción se denomina
número de Mach, M , de manera que
t
M=~
(1.7)
a
El número de Mach es un parámetro adimensional, pues se define como la razón entre dos
velocidades; es decir, sólo es un número, independiente del sistema de unidades que se use
para medir Vy a (vea la sección 1.9 y el capítulo 8), y se nombró así por Ernst Mach, pionero en los estudios del sonido y la compresibilidad (vea la sección 15.15).
Cuando el número de Mach es menor de alrededor de 0.3 , se puede suponer que el flujo es incompresible. Para comprobarlo, considere que el aire se mantiene en 20°C conforme aumenta su velocidad desde cero hasta 230 mph (114 mis). La velocidad del sonido en
un gas ideal está dada por
a =~yRT
(1.8)
donde T es la temperatura absoluta, R la constante del gas, y y la razón entre los calores
específicos (y = 1.4 para el aire) . A 20°C, la velocidad del sonido en el aire es de 343 mis =
1 126 pie/s = 768 mph. Por lo tanto, a esta temperatura, a 230 mph corresponde al número
de Mach de 0.3. A nivel del mar, de acuerdo con la ecuación 1.6, la presión disminuirá hasta cerca de 7 800 Pa al mismo tiempo, la cual es menos de 8% de la presión ambiente. Si la
temperatura del aire se mantiene constante, la densidad decrecerá la misma cantidad. Así
puede concluirse que para que la densidad tenga un cambio significativo, se requieren velocidades relativamente grandes. Sin embargo, cuando el número de Mach se aproxima a
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16
CAPíTULO 1
INTRODUCC iÓN
FIGURA 1-10 El Boeing 747 vuela a 35 000 pies de altura y a un número de Mach de casi 0.82. Cortesía
de Uníted Aírlínes .
la unidad, los efectos de la compresibilidad son muy importantes. Los medios de transporte, como el Boeing 747 de la figura 1-10, viaja a un número de Mach de casi 0.8, y la compresibilidad del aire es un factor muy importante que afecta su diseño aerodinámico.
1.3.8 Presión: su transmisión a través de un fluido
Una propiedad importante de la presión es que se transmite a través del fluido; por ejemplo, cuando la llanta de una bicicleta se oprime en un punto, la presión se incrementa en todos sus demás puntos. Las mediciones indican que el incremento es (casi) el mismo en
cada punto e igual a la presión aplicada; si de repente se aplica a la llanta una presión extra
de 5 psi, la presión aumentará en cada punto por casi esta cantidad. Se presentarán pequeñas diferencias debidas al peso del aire (vea el capítulo 2), pero en este caso particular la
contribución es muy pequeña. Esta propiedad de la transmisión de presión sin cambiar,
es un hecho bien establecido experimentalmente, y una propiedad que poseen todos los
fluidos .
Sin embargo, la transmisión no ocurre en forma instantánea, pues depende de la velocidad del sonido en el medio y de la forma del recipiente. La velocidad del sonido es importante porque mide la rapidez a la que se propagan las perturbaciones de presión (el
sonido es sólo una perturbación de presión pequeña que viaja a través de un medio). La
forma del recipiente es importante porque las ondas de presión se refractan y reflejan desde las paredes, y este proceso incrementa la distancia y el tiempo que las ondas de presión
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1.3 PRESiÓN
17
P2
F
a
-
FIGURA 1-11
-
l~
A
Prensa hidráulica.
necesitan para viajar. El fenómeno resulta familiar para quien ha experimentado la acústi,ca defectuosa de una sala de conciertos mal diseñada.
1.3.9 Prensas y elevadores hidráulicos
Una prensa hidráulica utiliza la transmisividad de la presión de los fluidos para producir
fuerzas grandes. Una prensa sencilla consta de dos cilindros conectados, de tamaños muy
diferentes, cada uno con un pistón y llenado de aceite o agua (figura 1-11). Las presiones
típicas que se producen en aparatos hidráulicos son de cientos o miles de psi, de forma que
las fuerzas hidrostáticas originadas por las diferencias de altura en general son despreciables. Si entre los dos cilindros hay un pasaje abierto, PI "" P2' Puesto que la presión es =
(magnitud de la fuerza)/área,
F =
A
f,
a
de manera que F = A f
a
La presión amplifica la fuerza que se aplica; una prensa hidráulica es sólo una palanca hidráulica.
Un elevador hidráulico es en sí una prensa hidráulica volteada al revés. En un taller típico con estos elevadores se usa aire comprimido (en lugar de la acción de un pistón) para
forzar el paso de aceite a través del tubo conector hacia el cilindro, bajo un pistón grande
que soporta el automóvil. Por lo general, en el tubo conector se coloca una válvula de cierre, y cuando el elevador está a la altura deseada, la válvula se cierra, para mantener la presión bajo el cilindro y sostener el elevador a una altura constante.
Una aplicación similar de la transmisividad de la presión se tiene en los sistemas de
frenos hidráulicos. Aquí la fuerza se aplica con un pedal, incrementando la presión en un
cilindro "maestro", que en su momento transmite la presión a cada freno o cilindro "esclavo" (figura 1-12). Un cilindro de freno tiene dos pistones opuestos, de modo que cuando
en éste aumenta la presión, los dos pistones se mueven en direcciones opuestas. En un sistema de frenos de tambor, cada balata se pivotea a un extremo, y se pega a uno de los pistones del cilindro del freno en el otro extremo. Conforme el pistón se aleja, fuerza a la balata
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18
CAPíTULO 1
INTRODUCCiÓN
c=====::;'\
Cilindro esclavo
. . A los frenos frontales
FIGURA 1-12
Sistema de frenos hidráulicos de tambor
a hacer contacto con el tambor del freno . En forma similar, en un sistema de freno s de disco hay dos frenos de almohadilla o pastas, uno a cada lado del disco, y los cilindros del freno empujan las dos pastillas poniéndolas en contacto con el disco.
EJEMPLO 1.1 Cálculo de la presión en un fluido
Considere el pistón y el cilindro de la figura 1-4. Si el pistón tiene una masa de 1 kg y un
área A = 0.01 m 2 , ¿cuál es la presión, p, del gas en el cilindro? La presión atmosférica, Pa '
actúa fuera del recipiente.
Solución El pistón no se mueve, por lo que está en equilibrio con la fuerza que produce
su propio peso, la presión del gas dentro del pistón (la cual actúa hacia arriba) y la presión
del aire fuera del pistón (que actúa hacia abajo). El peso del pistón = masax aceleración de
la gravedad. La fuerza debida a la presión = presión x área del pistón. Por lo tanto
pA - PaA = 1 kg x9.8 m 2/s = 9.8 N
Esto es,
P_ P = 9.8
a
~ = 980Pa
0.01m 2
donde Pa = p ascal = N/m2 .
¿Cuánto es el exceso de presión en psi? Una atmósfera estándar tiene una presión de
14.7 Ib f /pulg2 , o 101 325 Pa (tabla 2-1).
De esta forma, 980 Pa son iguales a 14.7 x 9801101325 psi =0.142 psi.
•
EJEMPLO 1.2 Fuerza debida a la presión
En el centro de un huracán la presión puede ser muy baja. Encuentre la fuerza que actúa sobre la pared de una casa que mide 10 pie x 20 pie, cuando la presión dentro de ella es de
30.0 pulg de mercurio, y la presión fuera es de 26.3 pulg de mercurio. Exprese la respuesta
en lb f y en N .
Solución Con un barómetro de mercurio se mide la presión atmosférica local. Una atmósfera estándar tiene una presión de 14.7Ib f /pulg2 0101325 Pa o N/m 2 (vea tabla 2-1).
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1.3 PRESiÓN
19
Cuando un barómetro de mercurio mide una atmósfera estándar, indica una lectura de
760 mm o 29.92 pulg. Para encontrar la fuerza resultante, es necesario establecer la diferencia de presión en ambos lados de la pared y multiplicarla por el área de la pared, A.
Esto es,
Fuerza sobre la pared, por fuera = (p por dentro
=(30.0 - 26.3
29.92
-
P por
fuera) A
X14.7)~x
IOPiex20Piex12P~lgx12P~lg
2
pulg
ple
ple
=5 23541b f
N
=523541b f X 4.448lb f
=232871N
Lo anterior demuestra que la fuerza que actúa sobre la pared es muy grande, y sin los refuerzos adecuados, la pared podría estallar.
•
EJEMPLO 1.3 Esfuerzos en la pared de un tubo
Considere una sección a través de un tubo con radio externo R y radio interno r, como ilustra la figura 1-l3. Si el esfuerzo resultante del material es r y' ¿cuál es la presión máxima
Pmáx que puede contener el tubo?
Solución Para una presión uniforme dentro del tubo, la fuerza dF que actúa radialmente
hacia afuera del tubo en un segmento de longitud dz con un ángulo Oes
dF = presión x área
= prO dz
Dado que el tubo está en equilibrio estático (no tiende a moverse), esta fuerza está contrabalanceada por las fuerzas alojadas en el material del tubo. Si se supone que el esfuerzo es
uniforme a través del espesor de la pared del tubo, entonces
dF = esfuerzo en la pared x área
= r(R - r)sen 1- O dz
Figura 1-13
Esfuerzos en la pared de un tubo, debidos a la presión.
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20
cAPiTULO 1
INTRODUCC iÓN
Por lo tanto,
prO dz = T(R - r)sen ~ Odz
Para ángulos pequeños, sen ~ O "" ~ O, de modo que
p=
(R - r)
2r
T
y
Pmáx =
t
2r T y
donde t es el espesor de la pared. En la práctica, el esfuerzo máximo permitido es mucho
menor debido a los factores de seguridad establecidos, las tolerancias en la forma de manufacturar y el tratamiento térmico del tubo, los posibles efectos de la corrosión, así como
la adición de conexiones y juntas que, en conjunto, tienden a debilitar al tubo.
-
EJEMPLO 1.4 Densidad y gravedad especifica
a) Encuentre la densidad de un bloque rectangular, cuyas dimensiones son 300 mmx 100
mmx 25 mm, y masa de 10 kg.
b) Encuentre la densidad de un bloque rectangular, cuyas dimensiones son 12 pulg x 4 pulg
xl pulg, y de masa 20 lb m .
Solución Para la parte a)
p=
masa =
10
kglm 3 = 13333 kglm 3
volumen 300 x 100 x 25 X 10-9
Para la parte b), la unidad lbm no es parte del sistema ingenieril de unidades (tabla 1-2), por
lo que primero la convertimos a slugs, donde
masa en slugs =
masa en lb
m
32.1739
Por lo tanto
. 3 = 2236
P = 20x12x12x12 S1ug / pIe
. s1ug /.
pIe 3
32.2x12x4xl
A partir de la tabla A-C7, sabemos que este material tiene una densidad entre la del oro y
del plomo. Su gravedad específica es igual a su densidad dividida entre la del agua a 20 c C.
Por lo tanto, para la parte a), la gravedad específica = 13333/998.2 = 13.36.
-
EJEMPLO 1.5 Módulo de elasticidad volumétrica y compresibilidad
a) Calcule el cambio relativo en volumen de una masa fija de agua de mar conforme se
mueve isentrópicamente desde la superficie del océano hasta una profundidad de 5 000
pies.
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1.3
PRESiÓN
21
TABLA 1-2 Unidades y dimensiones
Unidades
Dimensión
es mucho
a de ma,así como
•
SI
Masa
Longitud
Tiempo
Velocidad
Aceleración
Gradiente de velocidad (razón de
deformación)
Densidad
Fuerza
Energía
Potencia
Esfuerzo
Viscosidad
Viscosidad cinemática
BG
M
L
T
LT-1
LT-2
kilogramo
metro
segundo
mIs
m/s2
slug
pie
segundo
pie/s
pie/s2
T-1
s-1
s-1
MC3
MLr2
ML2T-2
ML2T-3
ML-1T-2
kg/m3
newton
joule
watt
pascal (N/m2)
Pa·s (N·s/m2)
m2/s
slug/pie3
Ibf
pie-lb,
pie·lbf/s
Ib/pulg2
slug/pie· s (=Ibf ·s/pie2)
pie2/s
MC1T-1
L2T-1
mmx 100
Igx4pulg
b) Calcule el cambio relativo en la densidad de una masa fija de aire conforme se mueve
isotérmicamente desde la azotea al suelo del edificio Empire State (una altura de 350 m,
equivalente a un cambio de presión alrededor de 4 100 Pa).
Solución
Para la parte a) de la ecuación 1.3
dp=-K-
d'\/
'\/
la 1-2),por
así que el cambio fraccional en volumen está dado por
a del oro y
ua a20°C.
d'\/ =
dp
'\/
K
Para el agua de mar, el módulo de elasticidad volumétrico isentrópico Kv = 2.34 X
109 N/m2 (tabla A-C9). El cambio de presión debido al cambio de profundidad puede encontrarse como sigue. Una atmósfera estándar es igual a 101 325 N/m2, pero también se
puede expresar en términos de una altura equivalente de agua, igual a 33.90 pie (tabla 2-1).
Así, si el fluido se mueve isentrópicamente,
d'\/
•
'\/
d
5000x101325N/m2
K
2.34x109 N/m2
- 3!... = 33.90
= 0.0064 = 0.64%
Así vemos que el agua de mar es altamente incompresible.
Para la parte b), se usa la ley de gas ideal (ecuación 1.5)
nformese
d de 5000
p=pRT
con R
= 287.03
m2/s2K para el aire. Cuando la temperatura es constante se obtiene
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22
CAPiTU LO 1
INTRODUCCiÓN
dp = RTdp
de tal forma que
dp = dp
P
p
Por lo tanto
dp = 4100 = 0.0405 = 4.05%
P 101325
Así vemos que el aire es mucho más compresible que el agua de mar.
•
EJEMPLO 1.6 Presión dinámica y número de Mach
a) Calcule el cambio de presión de agua conforme aumenta su velocidad desde Oa 30 mph
a una altura constante.
b) ¿Qué velocidad del aire, V, corresponde a M = 0.6 cuando la temperatura del aire es de
270 K?
Solución Para la parte a), según la ecuación 1.6, el cambio de presión debido al cambio
de velocidad está dado por
En este caso,
/).p = -
t P V22
donde p = 1 000 kg/m 3 y V2 = 30 mph = (30/2.28) mis (apéndice B). Por lo tanto,
/).p =- txlOOOx - 30
( 2.28
)2Pa = -86565 Pa
Esto es, el cambio de presión es ligeramente menor que una atmósfera.
Para la parte b), de la ecuación 1.8
a
= ~yRT
Para el aire, R = 287.03 m 2/s 2K y y = 1.4. Ya que M = Vla,
V = Ma =0.6x .J1.4x287.03 x270 mis = 197.6 mis
•
1.4 ESFUERZOS VISCOSOS
•
Como se indicó, cuando no hay flujo, la distribución de esfuerzos se describe completa: mente por la djst:ribl.lción de presión, y el módulo de elasticidad volumétrica relaciona la
presión con los cambios relativos en el volumen (la deformación por compresión). Sin embargo, cuando hay flujo , los esfuerzos cortantes se vuelven importantes y entran en juego
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1.4 ESFUERZOS VISCOSOS
23
algunos esfuerzos normales adicionales. La magnitud de estos esfuerzos depende de la
viscosidad del fluido; la viscosidad es una propiedad de los fluidos que se relaciona con su
capacidad de fluir libremente. Por intuición sabemos que la viscosidad del aceite de motor
es mayor que la del agua, y la de ésta es mayor que la del aire (para más detalles vea la sección 1.4.4). Para precisar la naturaleza de la viscosidad, es necesario considerar cómo se
originan los esfuerzos viscosos.
1.4.1 Esfuerzos viscosos cortantes
Cuando a un sólido se aplica un esfuerzo cortante, éste se deforma por una cantidad que se
puede medir por un ángulo llamado ángulo de cortante, ~y (figura 1-14). También es posible aplicar un esfuerzo cortante a una partícula de fluido confinando éste entre dos placas
paralelas y moviendo una de ellas con respecto a la otra (figura 1-20). Así encontramos
que el ángulo de cortante en el fluido crecerá en forma indefinida si el esfuerzo cortante se
mantiene. El esfuerzo cortante, r, no se relaciona con la magnitud del ángulo de corte,
como en los sólidos, sino con la rapidez a la que el ángulo cambia. En muchos fluidos la relación es lineal, así pues
dy
dt
roeEsto es
r = fl
dy
dt
donde el coeficiente de proporcionalidad, fl, se llama viscosidad dinámica del fluido o,
simplemente, viscosidad del fluido.
Imagine una partícula de fluido en principio rectangular, de altura ~y, en cuya cara superior se aplica una fuerza tangencial, y su base está fija (figura 1-15). En un lapso ~t, la
cara superior de la partícula se mueve una distancia ~u~t respecto a la cara inferior, donde
~u es la velocidad de la cara superior en relación con la inferior. Puesto que
~y~y "" ~uM,
tenemos
~y
-
~t
y en el límite de un cubo muy pequeño se tiene
dy
dt
du
dy
---
FIGURA 1-14
~u
""-
Sólido bajo esfuerzo cortante.
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~y
24
CAPíTULO 1
INTRODUCCiÓN
,~l l'.ul'.t
r----------
FIGURA 1-15
r-
Fluido bajo esfuerzo cortante.
de modo que
7: yx
=fl
du
dy
(1.9)
El subíndice yx indica que el esfuerzo cortante en la dirección x está asociado con una tasa
de deformación en la direccióny. Observe que du/dy tiene dimensiones de una rapidez de
deformación (tiempo - 1).
Los fluidos que obedecen una relación lineal entre el esfuerzo y la rapidez de deformación como la de la ecuación 1.9 se llaman fluidos newtonianos. Los fluidos más comunes son newtonianos, incluyendo aire yagua en intervalos muy amplios de presión y
temperatura. En la tabla 1-1 se lista la densidad y viscosidad de algunos fluidos comunes y
el apéndice A incluye una lista más completa.
No todos los fluidos obedecen a la relación esfuerzo-deformación newtoniana. Existe
una gran variedad de fluidos no newtonianos o viscoelásticos que se rigen por relaciones
mucho más complicadas entre esfuerzo y rapidez de deformación. Las relaciones pueden
ser no lineales, similares a las deformaciones plásticas de los sólidos, o mostrar efectos de
memoria, donde se requiere conocer la historia de los esfuerzos, para predecir la deformación. Estos fluidos por lo general se encuentran en las industrias del plástico y químicas.
1.4.2 Consideraciones sobre energía y trabajo
Para el perfil de velocidad que ilustra la figura 1-16, el esfuerzo de corte local a cualquier
distancia desde la superficie está dado por la ecuación 1.9. Para vencer el esfuerzo viscoso,
el fluido debe hacer un trabajo. Si se dejara de suministrar energía al fluido, al final cesaría
todo movimiento debido a la acción del esfuerzo viscoso. Por ejemplo, después de agitar
nuestro café, vemos que el movimiento del fluido comienza a disminuir y al final se detiene. Los esfuerzos viscosos disipan la energía asociada al movimiento del fluido. De hecho,
con frecuencia decimos que la viscosidad origina un tipo de fricción dentro del fluido.
La viscosidad también causa una fuerza de arrastre en la superficie sólida que está en
contacto con el fluido. En particular, este esfuerzo viscoso en la pared, 7: w = (du/ dy)w'
transmite el arrastre del fluido a la superficie del cuerpo, como ilustra la figura 1-17.
El ejemplo 1.8 muestra cómo se puede encontrar la fuerza de arrastre en una superficie
sólida a partir del perfil de velocidad, evaluando el gradiente de velocidad en la pared e integrando el esfuerzo local sobre el área del cuerpo. Si el esfuerzo es constante sobre el
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1.4
ESFUERZOS
VISCOSOS
25
y
-U(y)
I
./
?
-""
Figura 1-16
(1.9)
a tasa
ezde
Perfil de velocidad en la región cercana a una superficie sólida.
área, la fuerza viscosa, Fv, simplemente está dada por el esfuerzo viscoso en la pared multiplicado por el área sobre la que actúa. Si el cuerpo se mueve a velocidad constante, Ub,
debe hacer un trabajo para mantener su velocidad. Sise mueve una distancia Lh en un
tiempo Si, hace un trabajo igual a F; Lh Y requiere una potencia igual a F; Sx] D.t, esto es,
FvUb'
1.4.3 Esfuerzos viscosos normales
qmer
coso,
saría
gitar
etieecho,
do.
tá en
dy)
La viscosidad también es importante cuando en los esfuerzos normales se presentan diferencias. Considere un poco de melcocha. La melcocha se comporta casi como un fluido, y
por ello continúa estirándose bajo una carga constante, y además de tener poca elasticidad,
de modo que no recupera su forma cuando se retira la carga. Imagine que jala en dirección
longitudinal de la melcocha (digamos la dirección x). Su longitud se incrementará en la dirección de la fuerza aplicada, en tanto que su área transversal disminuirá, dado que están
presentes las diferencias en los esfuerzos normales. Por ejemplo, conforme la estiramos, el
punto en el centro permanece en su posición original, pero todos los demás puntos se mueven hacia afuera a velocidades que se incrementan con la distancia desde el punto central.
Si la velocidad en cada punto es u, u varía con x, y existe un gradiente de velocidad o rapidez de deformación du/dx. La residencia a la deformación depende de las propiedades de
la melcocha.
De alguna manera, los fluidos se comportan en forma similar a la melcocha en cuanto
ofrecen una resistencia viscosa a la compresión y al estiramiento. La magnitud del esfuerzo depende de una propiedad del fluido llamada viscosidad elongacional. Para los fluidos
newtonianos la viscosidad es isotrópica, de forma que la viscosidad de corte y la viscosi-
I
u;
lV ,
rficie
emre el
Figura 1-17
Placa larga y delgada que se mueve a velocidad constante en un fluido viscoso. En la dere-
cha se muestran las distribuciones
observador
de velocidad para un observador estacionario,
que se mueve con la placa.
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ya la"izquierda, para un
26
CAPíTULO 1
INTRODU CC iÓN
dad elongacional son la misma. Por lo tanto, para un fluido en compresión o tensión simple, el esfuerzo normal está dado por
ixx
du
dx
=Ji.-
(LlO)
El subíndice xx indica que el esfuerzo en la dirección x está asociado con una deformación
en la dirección x.
1.4.4 Viscosidad
Hemos visto que cuando los fluidos están en movimiento relativo se desarrollan esfuerzos
cortantes que dependen de la viscosidad del fluido. La viscosidad se mide en unidades de
Pa· s, kg/(m· s), lbm/(pie· s), N· s/m2 , o poise (unidad llamada así por el científico francés
Poiseuille; vea la sección 15.11).
Puesto que se desarrolla un esfuerzo viscoso (es decir, una fuerza viscosa por unidad
de área), a partir de la segunda ley de Newton sabemos que el fluido debe experimentar
una rapidez de cambio de cantidad de movimiento. Algunas veces decimos que la cantidad
de movimiento se difunde por el fluido debido a la acción de la viscosidad. Para entender
esta afÍlmación, es necesario examinar los procesos moleculares básicos que dan lugar a la
viscosidad de los fluidos, es decir, adoptaremos un punto de vista microscópico.
Cuando un gas fluye tiene dos velocidades características: la velocidad molecular promedio, V, y la velocidad a la que la masa del fluido se mueve de un lugar a otro, denominada velocidad global, V. Para un gas, ves igual a la velocidad del sonido. Considere un flujo
donde el fluido se conserva a temperatura constante, de forma que v es la misma en todas
partes, pero donde V varía con la distancia como en la figura 1-18. Conforme las moléculas
se mueven de lugar con una velocidad global baja, a lugares donde la velocidad global
es mayor (de B a A en la figura 1-18), las moléculas interactuarán e intercambiarán cantidad de movimiento con sus vecinas más rápidas. El resultado neto es una disminución de
la velocidad global promedio local. Al mismo tiempo, las moléculas de las regiones con
mayores velocidades migrarán a las regiones de bajas velocidades, interactuarán con las
moléculas cercanas e incrementarán la velocidad promedio local (de A a B en la figura
1-18).
Así vemos que el intercambio de cantidad de movimiento en el nivel microscópico
tiende a suavizarse o difundir las diferencias de velocidad en un fluido . En la escala macroscópica, se da un cambio de cantidad de movimiento global, lo que se toma como la acción de un esfuerzo que llamamos esfuerzo viscoso cortante, asociado con un coeficiente
de difusión denominado viscosidad.
Puesto que las interacciones ocurren en una distancia comparable a la distancia libre
media, la viscosidad dependerá de la velocidad media molecular, v, la densidad, p, y la
distancia libre media 1111 , La viscosidad es, por lo tanto, una propiedad del fluido y para un
gas se puede evaluar a partir de su dinámica molecular. En la mayoría de los casos, la viscosidad dinámica es muy pequeña; por ejemplo, el aire a 20°C tiene una viscosidad de Ji. =
18.2 xl 0-6 N . s/m2 (vea la tabla A-C.1). No obstante, el esfuerzo está dado por el producto
de la viscosidad y el gradiente de velocidad; los esfuerzos viscosos pueden ser muy importantes cuando la magnitud del gradiente de velocidad es grande, aun cuando la viscosidad
misma sea muy pequeña.
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1.5 MEDICIONES DE VISCOSIDAD
FIGURA 1-18
27
Intercambio de cantidad de movimiento por mezclado molecular.
La interpretación molecular de la viscosidad también ayuda a saber qué esperar cuando se incrementa la temperatura del gas. Puesto que el número de colisiones se incrementará, mejorando el intercambio de cantidad de movimiento entre moléculas, la viscosidad
deberá aumentar; la figura A-C 1 confirma esta expectativa.
En los líquidos se presenta el comportamiento opuesto, pues la viscosidad disminuye
con la temperatura, dado que los líquidos tienen densidades mucho mayores que los gases
y las fuerzas intermoleculares son más importantes. Conforme se incrementa la temperatura, la importancia relativa de estos enlaces disminuye y, por consiguiente, las moléculas
tienen mayor libertad para moverse. Como consecuencia, la viscosidad de los líquidos disminuye si aumenta su temperatura (figura A-C.1).
Por último, observamos que algunas veces conviene usar un parámetro denominado
viscosidad cinemática, v, que se define como la viscosidad dinámica entre la densidad,
v=~
p
Las dimensiones de la viscosidad cinemática son 10ngitud2/tiempo y m2/s o pie2/s son unidades comunes.
1.5 MEDICIONES DE VISCOSIDAD
Como ya se mencionó, la viscosidad está asociada con la capacidad de un fluido para fluir
con libertad. Por ejemplo, la miel tiene alrededor de 1 000 veces la viscosidad del agua y es
obvio que se requiere una fuerza mucho mayor para hacer fluir miel que agua (al mismo
gasto). El hecho de que la viscosidad y la rapidez de flujo estén relacionadas en forma directa, en ocasiones se usa para medir la viscosidad del fluido . Los aceites para motores, por
ejemplo están normalizados por la Sociedad de Ingenieros Automotrices (SAE: Society of
Automobile Engineers), en cuanto al tiempo que tardan en fluir, por la acción de la gravedad, 60 mI de aceite a través de un agujero calibrado en el fondo de una copa. Un aceite valuado como SAE 30 tardará unos 60 s, y un SAE 120, 240 s y así sucesivamente; el
instrumento se llama viscosímetro Saybolt (figura 1-19).
Como alternativa, para medir la viscosidad es posible usar la relación dada en la ecuación 1.9. Si consideramos dos placas, separadas por una distancia pequeña, h, que se llena
con un fluido de viscosidad fl, la fuerza necesaria para mover una placa con respecto a la
otra es una medida de la viscosidad del fluido. Si la placa superior se mueve a velocidad
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28
CAPíTULO 1
INTRODUCCiÓN
Baño a
temperatura
constante
Aceite
Tubo
FIGURA 1-19 Prueba de viscosidad estándar de la Sociedad de Ingenieros Automotrices de América
(SAE). Con autorización de: Fluid Mechanics, Streeter & Wylie, 8a. ed ., McGraw-Hill, 1985.
constante, U, en relación con la placa inferior, y si la separación entre placas es lo suficientemente pequeña, el perfil de velocidad será lineal, como muestra la figura 1-20. Este flujo
se llama flujo lineal de Couette. Al medirr, la fuerza por unidad de área necesaria para mover la placa superior a velocidad constante, se puede encontrar la viscosidad como describe el ejemplo 1.8.
También es posible usar una geometría circular, donde el fluido llena el espacio anular
entre dos cilindros concéntricos que se mueven a distintas velocidades. Este flujo se llama
flujo circular de Couette. Otro viscosímetro común usa un cono rotatorio dentro de una
copa (figura 8-7).
EJEMPLO 1.7 Viscosidades cinemática y dinámica
¿Cuáles son las viscosidades dinámica y cinemática del aire a 20°C y 60°C? ¿Cuáles son
los valores para agua a estas temperaturas?
Solución De la tablaA-C .1 encontramos que para aire a 20°C, f1. = 18.2x 10-6 N · s/m 2 y
v = 15.1 X 10-6 m 2/s. A 60°C, f1. = 19.7 X 10-6 N· s/m 2 y v = 18.6 X 10-6 m 2/s.
A partir de la tabla A-C.3, para el agua a 20°C, f1. = 1.002 x 10-3 N· s/m2 y v = 1.004 X
6
10- m 2/s. A 60 oC, f1. = 0.467 X 10-3 N· s/m 2 , y v = 0.475 X 10-6 m 2/s.
y
u •
lr
///
1 ~~/====:=::r/¡
/
FIGURA 1-20
1I(y)
x
Flujo lineal de Couette.
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1.6 CAPAS liMITE
29
Observe que: a) la viscosidad del aire aumenta con la temperatura, mientras que la viscosidad del agua disminuye con la temperatura; b) la variación con la temperatura es más
severa en el agua que en el aire, y e) la viscosidad dinámica del aire es mucho menor que la
del agua, pero su viscosidad cinemática es mucho mayor.
•
EJEMPLO 1.8 Fuerzas debidas a los esfuerzos viscosos
Considere el flujo lineal de Couette, como muestra la figura 1-20. Observe que si en la placa superior no se ejerce una fuerza, disminuye su velocidad y después de algún tiempo se
detiene debido al esfuerzo viscoso que el fluido ejerce sobre la placa. Es decir, si la placa
se mantiene en movimiento a velocidad constante, la fuerza viscosa que establece el corte
del fluido debe estar balanceada exactamente por la fuerza aplicada. Encuentre la fuerza
por unidad de área, T, para mantener en movimiento la placa superior a velocidad constante, en función de la viscosidad, fí, la velocidad de la placa en movimiento, U , la distancia
de separación, h, y la potencia requerida.
Solución El esfuerzo, T w' para mantener la placa en movimiento constante es igual al
esfuerzo viscoso que el fluido ejerce en la placa superior. Para un fluido newtoniano tenemos
dul
=¡¡-
T
dy
W
pared
así que
Tw
U
=¡¡-
h
Como se esperaba, conforme la velocidad y la viscosidad aumentan, el esfuerzo se incrementa, y si el tamaño de la separación aumenta, el esfuerzo disminuye. También
hT
¡ ¡ = wU
Con este resultado podemos determinar la viscosidad del fluido midiendo T w' a una velocidad y una separación conocidas.
La potencia requerida para mover la placa superior está dada por la fuerza aplicada
multiplicada por la velocidad de la placa. La fuerza es igual al esfuerzo T w' multiplicada
por el área de la placa A, así
U2
potencia = TwAU = ¡¡A -
h
lo cual demuestra que la potencia es proporcional al cuadrado de la velocidad.
•
1.6 CAPAS LíMITE
Los efectos viscosos son en particular importantes cerca de las superficies sólidas, donde
la fuerte interacción de las moléculas del fluido con las moléculas del sólido reduce a cero
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30
CAPíTULO 1
INTRODUCC iÓN
la velocidad relativa entre el fluido y el sólido. Sin embargo, para una superficie estacionaria la velocidad del fluido en la región cercana a la pared debe reducirse a cero (figura 1-21).
Este efecto se presenta en la naturaleza cuando el viento arrastra una nube de polvo
por el suelo. No todas las partículas de polvo se mueven a la misma velocidad: cerca del
suelo se mueven más lentamente que las que están alejadas. Si observáramos en una región
muy cerca del suelo, veríamos que ahí las partículas de polvo están casi estáticas, sin importar qué tan fuerte sea el viento. En el suelo, las partículas no se mueven, lo cual indica
que en ese punto el aire tiene velocidad cero. Este fenómeno se denomina condición de no
deslizamiento, y en ella no se permite que en su punto de contacto haya una velocidad relativa entre el aire y el suelo. La velocidad del fluido varía con la distancia desde la pared,
desde cero en la pared hasta su valor máximo en alguna distancia lejana. En la mayoría de
los casos, estas regiones con gradientes de velocidad significativos son delgadas (comparadas con alguna dimensión típica del cuerpo), y se llaman capas límite. Dentro de la capa
límite pueden presentarse gradientes de velocidad fuertes y, por lo tanto, los esfuerzos viscosos pueden volverse importantes (como indica la ecuación 1.9). En general, el espesor
de la capa límite crecerá con la distancia a lo largo de la superficie conforme el mezclado
de las moléculas difunde las diferencias de cantidad de movimiento entre las capas adyacentes de fluido.
La figura 1-22 ilustra la condición de no deslizamiento. Aquí el agua fluye por encima
y debajo de una placa plana delgada. El flujo se hace visible al formar en el agua una línea
de burbujas de hidrógeno (la técnica se describe en la sección 3.3). Al principio la línea es
recta, pero conforme el flujo barre las burbujas aguas abajo (de izquierda a derecha en la figura 1-22), la línea cambia su forma pues las burbujas en las regiones de flujo rápido viajarán más lejos en un tiempo dado, que las de regiones de flujo lento. Por lo tanto, las
burbujas de hidrógeno hacen visible la distribución de velocidades. Las burbujas cercanas
a la superficie de la placa son las que se mueven más lento, yen la superficie están estacionarias debido a la condición de no deslizamiento. Los flujos superior e inferior de la figura
1-22 son diferentes (el superior es turbulento y el inferior es laminar; sección 1.7), pero la
condición de no deslizamiento se aplica a los dos.
EJEMPLO 1.9 Esfuerzo viscoso en una capa limite
Un perfil de velocidad particular de una capa límite laminar está dado por
V,
corriente
~I bre _l~__ _V ~ _ _ __ ~ ~
V
,_ ----
<
0 _
/
o _
Capa limite
FIGURA 1-21
Crecimiento de una capa límite a lo largo de una placa estacionaria.
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1.6 CAPAS LiMITE
31
FIGURA 1-22 Condición de no deslizamiento en un flujo de agua a través de una placa plana; el flujo es
de izquierda a derecha. El flujo superior es turbulento y el flujo inferior es laminar. Con autorización de: /IIustrated Experiments in Fluid Mechanics (The NCMF Book of Film Notes, National Committee for Fluid Mechanics Films, Education Development Center, Inc., © 1972).
para y ~ Ode forma que en y = O, u = Ue . Encuentre el esfuerzo de cOlie, " como una función de la distancia desde la pared, y.
Solución Tenemos
du
dy
r=¡,t-
así que
= ¡,tU [~_2Y]=2¡,tUe(1 _ 2::)
e
En la pared, donde y
=
O 02
O
O
0, • = '"" y así
r
2¡,tU e
w
= ---
O
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11
32
CAPíTULO 1
INTRODUCC iÓN
1.7 FLUJOS LAMINAR Y TURBULENTO
El flujo en capa límite ya se describió como el flujo en la región cercana a una superficie
sólida, donde los esfuerzos viscosos son importantes. El flujo se llama laminar cuando las
capas de fluido dentro de la capa límite se deslizan una sobre otra de manera ordenada (el
flujo, inferior en la figura 1-22). Siempre que el objeto sea de magnitud pequeña, baja la
velocidad del flujo o grande la viscosidad del fluido, se observan flujos laminares. Sin embargo, cuando el cuerpo es grande, se mueve a gran velocidad o la viscosidad del fluido es
pequeña, la naturaleza completa del flujo cambia. En vez del flujo laminar plano, bien ordenado, aparece el movimiento irregular con remolinos, que indica la presencia de flujo
turbulento (el flujo superior de la figura 1-22).
Los flujos turbulentos nos rodean; están en el movimiento giratorio de la nieve en el
viento, en el movimiento repentino y violento de un avión al encontrar "turbulencia" en la
atmósfera, en la mezcla de crema con café, y en la apariencia irregular del agua que sale de
una llave completamente abierta. El flujo turbulento en las capas límite se ve cuando se observa el polvo que golpea el viento, o al mirar a lo largo del casco de un barco que se mueve
en aguas quietas, donde los movimientos circulares y los remolinos pueden verse con frecuencia en una capa límite delgada cerca del casco. Dentro de los remolinos y entre ellos,
las capas de fluido están en movimiento relativo y los esfuerzos viscosos causan disipación de energía. Debido al alto grado de actividad asociada con los remolinos y fluctuación
de velocidades, la disipación viscosa de la energía dentro de un flujo turbulento puede ser
mucho mayor que en un flujo laminar.
Suponemos que el flujo laminar es el estado del flujo de fluidos que se encuentra a bajas velocidades, para cuerpos de escala pequeña y fluidos con alta viscosidad cinemática.
En otras palabras, es el estado del flujo que se encuentra a bajos números de Reynolds, proporción adimensional que se define como
Re = pVD = VD
¡,t
v
donde V es la velocidad y D es una dimensión característica (longitud del cuerpo, diámetro
del tubo, etcétera). El flujo turbulento se encuentra cuando la velocidad es alta, en cuerpos
grandes y fluidos con baja viscosidad cinemática. Esto es, el flujo turbulento es el estado
del flujo que se encuentra a un gran número de Reynolds. Puesto que las pérdidas en flujo
turbulento son mucho mayores que en el flujo laminar, la distinción entre estos dos estados
del flujo es de gran importancia práctica.
Es posible dar una interpretación física del número de Reynolds, dado que se puede
escribir como
1
v2
Re = pVD=2~
¡,t
V
¡,t -
D
así puede pensarse como la proporción (el doble) de la presión dinámica y un esfuerzo viscoso típico. Con base en la sección 1.3.6 también podemos observar que la presión dinámica mide la rapidez de cambio en la cantidad de movimiento producido por una diferencia
de presiones, de manera que otra interpretación del número de Reynolds es visualizarlo
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1.8 TENSiÓN SUPERFICIAL
33
como la proporción entre una fuerza de inercia típica (masa multiplicada por la aceleración) y una fuerza viscosa típica.
EJEMPLO 1.10 Número de Reynolds
a) Encuentre el número de Reynolds de un flujo de agua a velocidad promedio de 20 pie/s
a 60°F en un tubo de 6 pulg de diámetro.
b) Si el flujo es laminar en números de Reynolds menores que 2 300, ¿cuál es la velocidad
máxima a la que se espera ver el flujo laminar?
Solución Para la parte a), tenemos al número de Reynolds para flujo en tubos
Re = VD
v
donde D es el diámetro del tubo, y V la velocidad promedio del flujo. Con base en la tabla
A-C.4, encontramos que para el agua a 60°F, v = 1.21 X 10-5 pie 2/s, por lo que
VD = 20pie /sxO.5 pie = 8.26xl0 5
v
1.21 X10- 5 pie 2 /s
Para el inciso b) tenemos
5
2
pie /s = 0056 . /
Vmax. = Remáx x v =2300x1.2IXIO.
'
pie s
D
0.5 pie
de modo que el flujo es laminar para velocidades menores que 0.056 pie/s o 0.67 pulg/s;
éste es un flujo muy lento. En la mayoría de las aplicaciones prácticas, como los sistemas
de abastecimiento de agua de uso doméstico, esperaríamos, por lo tanto, ver flujos turbulentos.
•
1.8 **TENSIÓN SUPERFICIAL
En la superficie libre que forman un líquido y un gas, se presenta la propiedad del fluido
denominada tensión superficial.
Mediante la observación sabemos que la superficie de un líquido tiende a contraerse al
área más pequeña posible, comportándose como si su superficie fuera una membrana elástica estirada. Por ejemplo, las pequeñas gotas de líquido en un aerosol tienden a hacerse esféricas, ya que la esfera tiene el área superficial más pequeña para un volumen dado. Los
balines de plomo (como los perdigones de algunas pistolas) solían fabricarse goteando
plomo derretido desde una torre alta. Las gotas del plomo líquido adoptaban forma esférica debido a la tensión superficial y mantenían esa forma mientras se enfriaban y solidificaban durante su caída. Asimismo, cuando se moja una brocha, las cerdas se adhieren
mutuamente, ya que las películas entre ellas tienden a contraerse. Algunos insectos pueden
caminar sobre el agua y una aguja de acero flota en la superficie del agua, si se coloca con
cuidado.
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34
cAPiTULO 1
INTRODUCCiÓN
Líquido
FIGURA 1-23
Tensión superficial y "esferas de atracción molecular".
Estos fenómenos de tensión superficial se deben a las fuerzas de atracción entre las
mol éculas. Las fuerzas se pierden rápidamente con la distancia y sólo se aprecian a una
distancia muy corta (del orden de 5 x 10-6 m, o sea, 5 ,um). Esta distancia forma el radio de
una esfera alrededor de una molécula dada, y sólo las moléculas que se acercan a la esfera
serán atraídas hacia el centro de la misma (figura 1-23). Para una molécula adentro del
cuerpo del líquido, su "esfera de atracción molecular" cae por completo en el líquido y la
molécula es atraída de igual forma en todas direcciones por las moléculas de los alrededores, de modo que la fuerza resultante que le afecta es cero. Para una molécula cercana a la
superficie, donde su esfera de atracción se encuentra parcialmente afuera del líquido,
la fuerza resultante deja de ser cero; las moléculas adyacentes de líquido jalan el centro de
la molécula hacia el líquido; esta fuerza no se balancea por las fuerzas de atracción que
ejercen las moléculas adyacentes de gas, dado que son menos en número (el gas tiene una
densidad mucho menor que el líquido ). La fuerza resultante sobre las moléculas cercanas a
la superficie es hacia adentro, lo cual tiende a hacer al área superficial lo más pequeña
posible.
El coeficiente de tensión superficial, a, de un líquido es la fuerza de tensión por unidad
de longitud de una línea en la superficie. Las unidades comunes son lb/pie o N/m. Algunos valores típicos a 20°C son
aire-agua:
aire-mercurio:
a = 0.0050 lbf/pie = 0.073 N/m
a = 0.033 lbf /pie = 0.48 N/m
En general, al disolver una sustancia orgánica en agua, como grasa o jabón, disminuirá la
tensión superficial, mientras que las sustancias inorgánicas aumentan ligeramente la tensión superficial del agua. La tensión superficial de la mayoría de los líquidos disminuye
con la temperatura, efecto en especial notorio en el agua.
A continuación se describen algunos fenómenos debidos a la tensión superficial, incluyendo el exceso de presión en una gota o burbuja, la formación de un menisco en un líquido dentro de un tubo de diámetro pequeño y la capilaridad.
1.8.1 Gotas y burbujas
Las superficies de las gotas y burbujas tienden a contraerse por la tensión superficial, la
cual incrementa su presión interna. Cuando la gota o burbuja deja de crecer, está en equilibrio bajo la acción de las fuerzas debidas a la tensión superficial y el exceso de presión, /)"p
(diferencia entre las presiones interna y externa).
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1.8 TENSiÓN SUPERFICIAL
a)
FIGURA 1-24
sión .
35
b)
Equilibrio de a) gotas y b) burbuja, donde la tensión superficial balancea el exceso de pre-
La figura 1-24a) muestra la mitad de una gota esférica de radio r. La fuerza resultante
hacia arriba debida al exceso de presión es nr 2 ¡}.p. Como se supone que la gota está en
equilibrio estático (es decir, no se acelera ni crece), a esta fuerza la debe balancear la fuerza de la tensión superficial, 2nra, actuando alrededor de la orilla del hemisferio (despreciamos su peso). Por lo tanto, para una gota
nr 2 ¡}.p =2nra
Esto es,
2a
¡}.p=-
r
En una burbuja (figura 1-24b) se deben considerar dos superficies, dentro y fuera, así que
· 4a
¡}.p = -
r
1.8.2 Formación de meniscos
La superficie libre de un líquido formará una superficie curva cuando se pone en contacto
con un sólido. La figura 1-25a) ilustra dos tubos de vidrio, uno contiene mercurio y el otro
agua. Las superficies libres son curvas, convexa para el mercurio y cóncava para el agua.
El ángulo entre la superficie sólida, AB, y la tangente a la superficie líquida, Be, en el punto de contacto (figura 1-25b) se llama ángulo de contacto, (J. Para los líquidos que mojan la
superficie (por ejemplo, agua en vidrio), el ángulo es menor que 90° y para los que no mojan la superficie (como el mercurio en el vidrio), el ángulo es mayor que 90°. Para el agua
Agua
Mercurio
a)
A
A
b)
FIGURA 1-25 Ángulo de contacto: a) forma de las superficies libres del agua y el mercurio en tubos de vidrio; b) un líquido que moja y otro que no moja al sólido.
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36
CAP iTULO 1
FIGURA 1-26
INTRODUCCiÓN
Gota de líquido comprimida entre dos placas de vidrio.
pura en vidrio limpio, el ángulo de contacto es aproximadamente cero y para diversas superficies de metales fluctúa entre 3° Y 11 0. Para el mercurio en vidrio, su valor se encuentra
entre 130° y 145°.
El agua "moja" el vidrio porque las fuerzas de atracción entre las moléculas del agua y
las del vidrio exceden las fuerzas entre las moléculas de agua, y sucede lo contrario para el
mercurio. El hecho de que el ángulo de contacto depende de la naturaleza de la superficie
lo demuestra con claridad el comportamiento de las gotas de agua. Sobre una placa de vidrio limpia,
0, una gota de agua se derramará para mojar la superficie; sin embargo, en
una superficie encerada fresca, como la del toldo de un automóvil, las gotas se "perlificarán", mostrando que e> O°.
También considere una gota de agua comprimida entre dos placas separadas una distancia t (figura 1-26). El radio de la forma circular que hace la gota es R; la presión dentro
de la gota es inferior a la de la atmósfera que la rodea por una cantidad que depende de la
tensión en la superficie libre. Para separar las placas se requiere una fuerza F . La fuerza
que produce la tensión superficial está dada por 4nRa cos la cual está balanceada por la
presión reducida que actúa en el área circunferencial 2nRt (sólo se necesita considerar
la componente radial). Esto es
e""
e,
4nRa cos
e = 2nRt /),.p
A su vez, la fuerza necesaria para separar las placas está dada por la presión reducida multiplicada por el área del círculo del agua, que es casi igual a nR 2 . Por lo tanto
2
F=nR 2 /),.p = 2anR
COSe
(1.11)
t
Esta fuerza puede ser grande si el espesor de la película, t, es pequeño. Por ejemplo, cuando una cacerola se coloca en un mueble de cocina mojado, la separación entre los dos objetos se llena de agua, y puede resultar muy difícil poder separarlos. Esta fuerza se debe a la
tensión superficial.
1.8.3 Capilaridad
Otro fenómeno asociado a la tensión superficial es la capilaridad. Cuando un tubo de vidrio limpio con radio r se sumerge en un recipiente con agua, ésta subirá dentro del tubo
una distancia, h, sobre la superficie (figura 1-27), debido a la atracción entre las moléculas
del vidrio y el agua, que es mayor que entre las moléculas del agua, produciendo una fuerza hacia arriba. El líquido sube hasta donde el peso de la columna de líquido se balancea
con la fuerza hacia arriba que produce la tensión superficial. Si ees el ángulo de contacto,
la componente hacia arriba de la tensión superficial es acose (figura 1-25b), y produce
una fuerza hacia arriba de 2nracos een el perímetro interior del tubo. Si despreciamos la
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1.9 UNIDADES Y DIMENSION ES
37
Th
FIGURA 1-27
Agua en un tubo de vid rio: una demostración de la capilaridad.
contribución de la superficie curva a la altura de la columna, entonces el peso de la columna de líquido es igual a su volumen (nr 2 h) por la densidad del fluido, p, y por la aceleración debida a la gravedad, g, esto es, pgnr 2 h. Por lo tanto
pgnr 2 h = 2nracos ()
y
h = 2acos()
pgr
El aumento capilar, h, es, por consiguiente inversamente proporcional al radio del tubo, y
para el agua en vidrio limpio, () "" 0, y
h = 2a
pgr
Para el mercurio en vidrio limpio, () > 90° Y h es negativo, así que hay una depresión capilar.
1.9 UNIDADES Y DIMENSIONES
El tema final de este capítulo es respecto a las unidades y dimensiones. Siempre que se resuelve un problema en ingeniería o fisica es muy importante poner atención estricta a las
unidades que se usan para expresar las fuerzas, aceleraciones y propiedades de la materia,
entre otras. Los dos sistemas de unidades que se usan en este libro son el SI (Systeme Internationale) y el BG (British Gravitational). Para prevenir elTores es esencial convertir colTectamente de un sistema a otro, y mantener la consistencia dentro de un sistema de
unidades dado. Para estas dificultades no hay soluciones fáciles , pero con el sistema SI,
siempre que sea posible, se pueden prevenir muchos elTores innecesarios. En el apéndice
B se da la lista de los factores de conversión más comunes.
En especial es importante hacer una distinción COlTecta entre masa y fuerza. En el sistema SI la masa se mide en kilogramos y la fuerza se mide en newtons. Una masa, m, en kilogramos tiene un peso en newtons igual a mg, donde g es la aceleración debida a la
gravedad (= 9.8 mls2). No existe cantidad tal como "kilogramo-fuerza", aunque en ocasiones, incolTectamente, se usa. Con kilogramo-fuerza lo que se expresa es la fuerza requerida para mover un kilogramo masa con una aceleración de 9.8 mls 2, y es igual a 9.8 N.
En el sistema BG la masa se mide en slugs y la fuerza en libras-fuerza (lb[). Una masa
m en slugs tiene un peso en lb[, igual a mg, donde g es la aceleración de la gravedad (=
32.1739 pie/s 2). Cuando se usa la cantidad "libra-masa" (lb m), primero debe convertirse a
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38
CAPíTU LO 1
INTRODUCCiÓN
slugs dividiendo Ib m entre el factor 32.1739. La fuerza necesaria para mover llb m con una
aceleración de 1 pie/s2 es
Ilb m pie/s 2 =_I_s1ugpie /s2 =_I_lb[
32.2
32.2
Recuerde que 1 Ib f = 1 slug pie/s2.
También es necesario distinguir entre unidades y dimensiones. Las unidades dependen de qué tipo de sistema hayamos escogido, e incluyen cantidades como pies, segundos,
newtons y pascales. En contraste, una dimensión es una noción más abstracta y es el término que describe conceptos como masa, longitud y tiempo. Por ejemplo, un objeto tiene una
calidad de "longitud" independiente del sistema de unidades que se use. En forma similar,
"masa" y "tiempo" son conceptos que tienen un significado independiente de cualquier
sistema de unidades. Todas las cantidades sin significado material, como aceleración,
fuerza, esfuerzo, etcétera, comparten esta cualidad.
Resulta interesante describir las dimensiones de cualquier cantidad en términos de un
reducido grupo de lo que llamamos dimensiones fundamentales. Por ejemplo, la aceleración tiene las dimensiones de longitud/(tiempo)2 (abreviando, LT-2 ); la fuerza tiene las de
masa por aceleración (MLT- 2 ); la densidad tiene las de masa por volumen (Mr 3 ), y el esfuerzo, las dimensiones de fuerza/área (Mr 1T- 2 ) (ver tabla 1-2).
Existen cantidades que de manera inherente son adimensionales, como los números
que se usan para contar. Asimismo, las proporciones entre dos cantidades con las mismas
dimensiones son adimensionales. Por ejemplo, la deformación total dV /V es la proporción entre dos cantidades con la dimensión de volumen y es adimensional; la deformación
de corte, y, es otro ejemplo, dado que se mide en términos de un ángulo y los ángulos, por
lo común, se miden en radianes. Puesto que el radián es la razón entre un arco-longitud
a un radio, es decir, la razón entre dos longitudes, éste es adimensional. La gravedad específica y el número de Mach también son razones entre dos cantidades con las mismas
dimensiones (densidad y velocidad, respectivamente) y, por lo tanto, también son adimensionales. Finalmente, el número de Reynolds, es una combinación de cantidades que
resulta adimensional. Las cantidades adimensionales son independientes del sistema de
unidades mientras éstas sean consistentes, es decir, si siempre se usa el mismo sistema de unidades. Como podremos ver, éstas se usan ampliamente en mecánica de fluidos.
EJEMPLO 1.11
Unidades y conversión entre unidades
Considere un bloque rectangular cuyas dimensiones son 300 mm x 100 mm x 25 mm, su
masa sobre una superficie es de 10 kg, (figura 1-28). La presión que actúa sobre el área de
contacto se puede encontrar como sigue.
Solución Cuando está en la posición a), la fuerza que se ejerce sobre la masa es igual al
peso del bloque (= masa x aceleración gravitacional = 98 N), pero la presión promedio sobre la superficie en contacto con la mesa es
_ _9_8_ _ N / m2 = 39200Pa
100 x 25 X 10-6
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PROBLEMAS
FIGURA 1-28
metros.
39
Presión que ejerce un peso en reposo sobre una superficie; todas las dimensiones en milí-
donde Pa=pascal =N/m 2 . Puesto que la presión es un esfuerzo, tiene dimensiones de fuerza por unidad de área.
En la posición b) la fuerza que se ejerce en la mesa es todavía igual a 98 N, pero la presión promedio sobre la superficie en contacto con la mesa se reduce a 98/ (300 x 25 x 10-6)
N/m 2 , esto es 13 067 Pa.
El ejemplo se puede repetir usando unidades ingenieriles. Considere un bloque rectangular hecho de un material diferente cuyas dimensiones 12 pulg x 4 pulg x 1 pulg, con
masa de 20 lb m (este caso es similar al de la figura 1-28). Encuentre la presión que actúa
sobre el área en el sistema BG .
. Solución La unidad lb m , no es parte del sistema ingenieril de unidades (tabla 1-2), por lo
que primero lo convertimos a slugs, donde
masa en slugs =
masa en lb
m
32.1739
Así, 20 lbm = 0.622 slug.
Para la posición a), la fuerza que se ejerce sobre la mesa es igual al peso del bloque (=
masa x aceleración gravitacional = 20 lb f ), pero la presión promedio sobre la superficie en
contacto con la mesa es 20/ (4 xl) lb f /pulg 2 , o sea, 5 psi. En la posición b), la fuerza sobre
la mesa aún es igual a 20 lb f , pero ahora la presión promedio sobre la superficie en contacto
•
con la mesa es 20/ (12x 1) Ib f /pulg2, es decir, 1.67 psi.
PROBLEMAS
1.1 Un cuerpo requiere una fuerza de 400 N para acelerar a razón de 1.0 m/s 2 . Encuentre la masa
del cuerpo en
a) kilogramos,
b) slugs,
e) lb m .
1.2 ¿Qué volumen de agua fresca a 20°C tendrá el mismo peso que 1 pie 3 de plomo, roble, agua
de mar, aire a presión atmosférica y 100°C, Y helio a presión atmosférica y 20°C?
1.3 ¿Cuál es el peso de 1 pie 3 de oro, pino, agua a 40°F, aire a presión atmosférica y 6(\°F, e hidrógeno a 7 atmósferas de presión y 20°C?
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40
CAPíTULO 1
INTRODUCCiÓN
1.4 ¿Cuál es el peso de 5 000 litros de hidrógeno gaseoso a 20°C y 100 atm en la Tierra y en la
Luna?
1.5 ¿Cuál es la gravedad específica del oro, aluminio, agua de mar, aire a presión atmosférica y
-20°C, Yargón a presión atmosférica y 20°C?
1.19 La viscosida
ra PI-19. El (
de fuerza pO
velocidad en
nos de T,w,
1.6 Cuando la temperatura cambia de 20 a 30°C a presión atmosférica
a) ¿en qué porcentaje cambia la viscosidad, /1, del aire?,
b) ¿y la del agua?,
e) ¿en qué porcentaje cambia la viscosidad cinemática, v, del aire?,
d) ¿y la del agua?
1.7 Un tanque de buceo tiene 0.25 pie ' de aire a 3000 psi. Si un buzo usa el aire a una rapidez de
0.05 kg/min, ¿aproximadamente cuánto durará el aire? Suponga que la temperatura del gas
permanece a 20°C.
1.8 Un cilindro hueco de 30 cm de diámetro y 20 mrn de espesor en su pared tiene una presión de
100 atm que actúan en el interior y l atm que actúa por fuera. Encuentre el esfuerzo en el material del cilindro.
1.9 ¿Cuánto cambia el volumen de 1 kg de agua fresca que se mantiene a 5°C conforme se mueve
de una profundidad de l m a una de 100 m? Considere el módulo de elasticidad volumétrica
del agua como 2 x 104 atm.
1.10 Un criadero submarino cuadrado de 60 cm x 60 cm tiene 3.2 atm de presión que actúan por
fuera y 2.6 atm que actúan por dentro. Encuentre la fuerza resultante que se ejerce sobre el
criadero.
1.11 Un avión Boeing 747 tiene en las alas un área total de 500 m2. Si su peso a nivel crucero es de
500 000 lb., encuentre la diferencia promedio de las presiones entre las superficies superior e
inferior de las alas en psi y en Pa.
1.12
Encuentre la fuerza que se ejerce sobre la pared de una casa en el ojo de un huracán, cuando la
presión dentro de la casa es de l 000 mbary afuera de ella de 910 mbar. La pared mide 3.5 m
por 8 m. Exprese la respuesta en N y en lb.,
1.13 La presión en cualquier punto de la atmósfera es igual al peso total del aire sobre ese punto
por unidad de área. Dado que la presión atmosférica al nivel del mar es casi de 105 Pa y el radio de la Tierra es de 6 370 km, estime la masa de todo el aire que contiene la atmósfera.
1.14 Estime el cambio de presión que se alcanza cuando el aire en reposo a 100°F y presión atmosférica se acelera hasta una velocidad de 100 mph a temperatura constante. Desprecie los efectos de compresibilidad.
~
FIGURAP1-
1.20 El aparatod
manera ind:
Para un exp
tiene fijo al
1Hz. Encu:
neal. Los ci
una longitu
1.21 Un cubo de
·s/m2) se di
velocidad d
bución de 1
1.22 En un cana
Reynolds b
gura PI-22
a) Calcu
b) Encue
en el (
1.15 En el problema anterior estime el error en el cálculo del cambio de presión debido a la compresibilidad; suponga la aceleración isotérmica.
1.16 Calcule el número de Mach para un flujo de aire a una temperatura de - 50°C que se mueve a
500 mph.
1.17 Calcule el número de Mach para una bala que se dispara al aire, en reposo a una temperatura
de 60°F y una velocidad de l 500 pie/s.
1.18 Una tabla para surfeo con l m2 de área se desliza en la playa a una velocidad de 3 mis sobre
una película de agua de 3 mrn de espesor. Si la distribución de velocidad en la película es lineal y la temperatura del agua es de 30°C, encuentre el valor de la fuerza que se aplica a la tabla.
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FIGURA P
1.23 Dado que
la distanci
media a 31
mm. ¿En I
PROBLEMAS
41
1.19 La viscosidad de un líquido newtoniano se puede medir con el instrumento que ilustra la figura PI-19. El cilindro exterior rota a una velocidad angular, w. Si el par necesario (dimensiones
de fuerza por longitud) para mantener estático el cilindro interno es T, y la distribución de la
velocidad en la separación es lineal, encuentre una expresión para la viscosidad, fl-, en términos de T, w, H , <5 y R.
T
(}J
FIGURA P1-19
1.20 El aparato de Taylor-Couette consta de un cilindro interno y uno externo que pueden rotar de
manera independiente. La separación entre los cilindros se llena con un fluido newtoniano.
Para un experimento particular a 20°C, encontramos que cuando el cilindro interno se mantiene fijo al cilindro externo y se aplica una fuerza de 0.985 N, éste rota a una velocidad de
1 Hz. Encuentre la viscosidad del fluido, suponiendo que la velocidad en la separación es lineal. Los cilindros interior y exterior tienen radios de 200 mm y 150 mm, respectivamente, y
una longitud de 300 mm. ¿Podría sugerir qué fluido se está probando?
1.21 Un cubo de 10 cm y 2 kg de masa lubricado con aceite SAE 10 a 20°C (viscosidad de 0.104 N
. s/m 2) se desliza hacia abajo en un plano inclinado 10° a una velocidad constante. Estime la
velocidad del cuerpo si el espesor de la película de aceite tiene un espesor de 1 mm y la distribución de la velocidad es lineal.
1.22 En un canal cuya altura es h, el ancho W y su longitud L, fluye agua a 40 0 P a un número de
Reynolds bajo, con flujo laminar y distribución de velocidad parabólica, como muestra la figura Pl -22. Cuando h = 2 pulg, W = 30 pulg, L = 10 pie y la velocidad máxima es 1 pie/s:
a) Calcule el número de Reynolds con base en la altura del canal y de la velocidad máxima.
b) Encuentre el esfuerzo viscoso en la pared í IV' así como la fuerza viscosa total que actúa
en el canal, suponiendo que í IV es constante.
FIGURA P1 -22
1.23 Dado que la distancia libre media de un gas es inversamente proporcional a su densidad, y que
la distancia libre media del aire al nivel del mar es de 0.089 fl-m, encuentre la distancia libre
media a 30 km Y a 50 km de altitud. Estime la altura donde la distancia libre media sea de 5
mm. ¿En estas condiciones se puede aplicar la aproximación del medio continuo?
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42
CAPíTULO 1
INTRODUCCiÓN
1.24 Calcule el número de Reynolds para lo siguiente:
a) una bola de béisbol que se lanza de manera profesional,
b) un tiburón que nada a toda velocidad,
e) un avión comercial de pasajeros a velocidad de crucero,
d) el flujo de aire que rodea al edificio Empire State,
e) metano (CH4) que fluye en una tubería de 2 m de diámetro a 40 kg/s,
t) un mosquito que vuela en el aire.
Haga estimaciones razonables de las características de velocidad y longitud.
1.25 Encuentre el número de Reynolds característico para un submarino de 120 m de longitud que
se mueve a 10 m/s en el agua. Si se prueba un modelo a escala 12:1 al mismo número de Reynolds, describa las condiciones que prueban si se usara
a) agua,
b) aire en condiciones estándar de presión y temperatura,
e) aire a 200 atm y temperatura ambiente (suponga que la viscosidad no es función de la
presión).
1.26 La vena más grande del cuerpo es la aorta. Si su diámetro máximo es de 2 cm y la velocidad
promedio máxima de la sangre es de 20 cm/s, determine si el flujo en la aorta es laminar o turbulento (suponga que la sangre tiene la misma densidad del agua, pero el triple de viscosidad,
la sangre, después de todo, es más espesa que el agua).
1.27 Encuentre la altura a la que sube el agua a 300 K debido a la acción de la capilaridad en un
tubo de vidrio con 3 mm de diámetro.
1.28 Un líquido a 10°C sube a una altura de 20 mm en un tubo de vidrio de OA mm de diámetro. El
ángulo de contacto es de 45°. Determine la tensión superficial si su densidad es de 1 200
kg/m3 .
1.29 ¿Cuál es la presión dentro de una gota de agua de 0.1 mm de diámetro, si la presión ambiente
es la atmosférica?
1.30 Una burbuja de cerveza tiene un coeficiente de tensión superficial efectivo de 0.073 N/m.
¿Cuál es la sobrepresión en el interior de la burbuja, si su diámetro es de 1.0 mm?
1.31 ¿Cuánto es el diámetro máximo de un anillo delgado de vidrio para que flote en la superficie
del agua a 20°C? La masa del anillo es de 5 g.
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CAPÍTULO
2
ESTÁTICA DE FLUIDOS
En este capítulo se consideran los fluidos en equilibrio estático; para estar en equilibrio estático, el fluido debe estar en reposo o moviéndose de forma que entre partículas de fluido
adyacente no haya movimiento relativo. No pueden haber gradientes de velocidad y, en
consecuencia, no habrán esfuerzos viscosos. Un fluido en equilibrio estático, por lo tanto,
sólo está influido por fuerzas debidas a la presión y a su propio peso, y quizá por fuerzas de
cuerpo adicionales ocasionadas por aceleraciones impuestas en forma externa.
El caso más simple ocurre cuando el fluido está en reposo. Por ejemplo, si un líquido
se envasa en un recipiente y se deja en reposo hasta que desaparecen todos los movimientos relativos, el fluido está en equilibrio estático. En estas condiciones, no hay fuerza resultante que actúe en el fluido.
También es posible tener un fluido en movimiento en equilibrio estático, si ninguna de
sus partes se mueve con respecto a otra. Esto se denomina movimiento de cuerpo rígido.
Cuando el fluido y su recipiente se mueven a velocidad constante, por ejemplo, alcanzan
un equilibrio donde las fuerzas debidas a la presión y a su propio peso se balancean. Sin
embargo, cuando este sistema se acelera, debe considerarse la fuerza de inercia, como se
analizará en la sección 2.11
2.1 LA ECUACiÓN DE LA HIDROSTÁTICA
Empiece por considerar un fluido en reposo y elija un elemento pequeño de fluido, es decir, un volumen pequeño de fluido localizado en algún punto arbitrario del líquido con dimensiones ox, oyy oz en las direcciones x,y y z, respectivamente. El eje z está dirigido en
dirección opuesta al vector gravitatorio (figura 2- 1), de forma que la dirección positiva es
vertical hacia arriba.
Las únicas fuerzas que actúan en el elemento de fluido son las que ocasionan la gravedad y la diferencia de presiones. Puesto que no existe una aceleración resultante del elemento de fluido, estas fuerzas se deben balancear. La fuerza que origina la gravedad sólo
actúa en dirección vertical, y vemos de inmediato que la presión no varía en el plano horizontal. Por ejemplo, en la dirección x, la fuerza debida a la presión que actúa en la cara izquierda del elemento (abef) debe cancelar la fuerza debida a la presión que actúa en la cara
derecha del elemento (cdgh), ya que en el plano horizontal no hay otra fuerza. La presión
en estas dos caras debe ser igual, y así la presión no varía en la direcciónx. De manera similar, no puede variar en la dirección y.
43
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44
CAPíTULO 2
ESTÁTICA DE FLUIDOS
Plapa
b
óx
a
I
I
I
I
I
oz
I
~L
/~
__ __ _
J¡
oy
g
Piando
FIGURA 2-1
del flu ido.
Equilibrio estático de un elemento pequeño de fluido bajo la acción de la gravedad y presión
Para la dirección vertical, se usa una expansión en series de Taylor para expresar la
presión en las caras de la tapa y del fondo del elemento, en términos de la presión en el centro del elemento y sus derivadas en ese punto (sección A-A. 8.4). Esto es,
oz dPI 1 (o z)2 ddz pI
2 o
= Po + 2 dz o + 2! 2
2
Plapa
(2.1)
(el signo positivo en la primera derivada refleja el hecho de que cuando nos movemos desde el centro del cubo hasta la cara de la tapa, nos movemos en la dirección positiva de z).
En forma similar, en la cara del fondo del cubo
oz dPI
1 (oz)2 d pI
Plondo = POdz o + 2! 2
dz 2 0+'"
2
2
(2.2)
Conforme el volumen se hace infinitesimalmente pequeño, la fuerza resultante debida a la
presión está dada por
F presión
= (Piando
- P lapa ) dx dy = dp I dx dy dz
dz O
que actúa en la dirección positiva de z (opuesta a la dirección de g). Los términos de segundo orden se cancelan y los de tercero o mayores son despreciables conforme el volumen
del elemento se hace muy pequeño.
Para conocer el peso del elemento, supondremos que la densidad (como la presión)
sólo es una función de z, ya que se espera una relación directa entre presión y densidad. De
este modo
iando
fiando
F peso = f
p(z)g dx dydz = g dx dy
pez) dz
lapa
tapa
= gdxdY~(Plapa +p londo )dz
Las densidades en la tapa y fondo del cubo están dadas por ecuaciones similares a la 2.1 y
2.2, respectivamente, con la presión, p , reemplazada por la densidad p . El peso del elemento de fluido está dado por
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2.2
PRESiÓN
y PRESiÓN
45
ABSOLUTA
+ ... )gdx dydz
= (Po
Fpeso
MANOMÉTRICA
Para el equilibrio estático, F peso + F presión = 0, y así se obtiene la ecuación de la hidrostática, que describe la variación de la presión en un fluido bajo la acción de la gravedad.
I:
ad y presión
xpresar la
enel cen-
= -pg,
I
(2.3)
Recuerde quez apunta en dirección opuesta a la de g (verticalmente hacia arriba). El subíndice que identifica el centro del elemento se ha retirado porque el resultado final se aplica a
cualquier punto del fluido.
Para un sistema de coordenadas diferente, donde z apunta en la misma dirección del
vector gravitatorio,
I
dp =pg
dz
I
(2A)
También es posible usar notación vectorial para escribir la ecuación de la hidrostática
manera independiente al sistema de coordenadas.
\1p = pg,
(2.1)
de
(2.5)
donde el símbolo \1 es el operador llamado gradiente (sección A-AA).
emos desitiva de z).
2.2 PRESiÓN MANOMÉTRICA y PRESiÓN ABSOLUTA
(2.2)
debida ala
Considere un recipiente lleno a cierta altura, h con un líquido de densidad constante, p. En
su parte superior el recipiente está abierto a la atmósfera, de modo que la presión en la superficie del líquido es igual que la presión atmosférica, P a (figura 2-2). La dirección z es
positiva hacia arriba, por lo que se usa la ecuación 2.3. Ésta es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden y, por 10 tanto, sólo se necesita una condición de frontera
para resolverla. Se tiene que en z = h, p = Po' así
P- Pa =-pg(z-h)=pg(h-z)
de segun1volumen
la presión)
nsidad. De
lo cual demuestra que la presión se incrementa con la profundidad
con una pendiente constante igual a pg. Es decir,
(2.6)
(dada por d = h - z),
oA
Po
¡
Pa
t
a
h
s a la 2.1 y
so del ele-
r
FIGURA 2-2
1
Área A
p •....•.•....•.
-
•..•
Recipiente abierto a la atmósfera.
La gráfica de la derecha es la curva de la presión como
función de la profundidad.
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46
CAPíTU LO 2
ESTÁTICA DE FLU IDOS
Para un fluido de densidad constante, la presión se incrementa linealmente con la profundidad.
Ésta es la observación sencilla más importante al considerar el comportamiento de los fluidos de densidad constante, en equilibrio estático, y es el primer resultado que se debe tener
en cuenta en la solución de problemas de estática de fluidos.
Siempre es útil revisar relaciones examinando sus comportamientos "en el límite".
Cuando se usa, por ejemplo, la ecuación de la hidrostática, es importante revisar que la
profundidad se exprese en forma correcta, pues es fácil tener el signo equivocado. Recuerde que la presión tendrá su valor máximo en la profundidad máxima. Así, la ecuación 2.6
tiene el comportamiento correcto: cuando z = Ola profundidad es h y la presión adquiere su
valor máximo.
La ecuación 2.6 se puede deducir de manera directa, considerando un volumen de fluido que se extiende desde la superficie libre hasta la profundidad d (= h - z) (figura 2-2). Si
el área transversal de la columna es oA, el peso de la columna de fluido es pgdoA. Si Pa es
la presión atmosférica en la superficie libre, y P es la presión en la profundidad, d, el empuje hacia arriba sobre la columna está dado por poA - P aoA. Puesto que la columna está en
equilibrio estático
poA - PaoA
= pgdoA
o
P - Pa = pg(h - z) = pgd
(2.7)
En este caso P es la presión absoluta, dado que se mide en relación con un vacío absoluto.
La presión absoluta es la presión que aparece en la ley del gas ideal (ecuación 1.5). Cuando
la presión se mide con relación a la presión atmosférica, como P - Pa ' se llama presión
manométrica. De la ecuación 2.7, se tiene que la presión manométrica a la profundidad d
está dada por el peso (por unidad de área) de una columna de fluido que se extiende desde
la superficie hasta la profundidad, d.
Con frecuencia, la presión manométrica es útil si la presión por encima (o por debajo)
de la atmosférica es de interés, la mayoría de los instrumentos de presión miden la presión
manométrica. Por ejemplo, un medidor de llantas mide la presión en la llanta por encima
de la presión atmosférica local. En contraste, un vacuómetro mide la presión por debajo de
la atmosférica (en el medio ingenieril, el vacío es cualquier presión por debajo de la presión atmosférica ambiente).
A menudo se puede suponer que la presión del aire es constante. Considere un recipiente sencillo como el que muestra la figura 2-2. La diferencia de presión medida desde la
tapa hasta el fondo está dada por pgh. Fuera del recipiente, actúa la presión atmosférica y
la presión del aire cambia por p a gh en la misma distancia h, donde p a es la densidad del
aire. El cambio de presión del aire respecto al agua, a la misma distancia, está, por lo tanto,
dado por la proporción
Pagh = ~
pgh
P
Si el líquido fuera agua, esta fracción es cerca de 116~o = 0.0012, Y para el alcohol sería de
alrededor de ~o~ = 0.0015. Así, el cambio relativo de presión en aire comparado con un líquido a la misma profundidad siempre es muy pequeño, simplemente porque la densidad
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2.3 APLICACIONES DE LA ECUACiÓN HIDROSTÁTICA
47
de un gas siempre es mucho menor que la densidad de un líquido. Por consiguiente, en muchos problemas que involucran el cambio de presión debido al cambio de profundidad de
un líquido, el cambio de la presión del aire a la misma distancia se puede despreciar, y su
presión se puede suponer constante.
En este caso, algunas veces la presión del aire se puede despreciar por completo, y es
posible resolver el problema considerando la presión manométrica. Más adelante se analizan otros ejemplos, pero por ahora sólo se tiene en cuenta la fuerza resultante que se ejerce
en el fondo del recipiente de la figura 2-2. Supongamos que la presión del aire puede ser
constante en todas partes.
Primero usamos presiones absolutas. La presión absoluta que actúa en el fondo del recipiente desde fuera, donde actúa la presión del aire, es simplemente Pa' y la presión absoluta que desde adentro ejerce el líquido en el fondo del recipiente es Pb' donde
Pb = Pa + pgh
Si el área del fondo es A, entonces la fuerza resultante, F, que actúa en la superficie del fondo es
F = (P a + pgh)A - PaA =pghA
Otra alternativa sería emplear presiones manométricas. La presión manométrica en el fondo del recipiente es Pb - Pa = pgh, Y así
F = pghA
como antes. En este caso, el aire sólo añade una presión constante a la presión desarrollada
en forma hidrostática en el líquido. Las fuerzas que originan la presión del aire se cancelan
y no contribuyen a la fuerza resultante, ya que en el fondo del recipiente actúa la misma
presión desde el exterior en dirección contraria.
2.3 APLICACIONES DE LA ECUACiÓN HIDROSTÁTICA
2.3.1 Variación de la presión con la altura y la profundidad
La ecuación 2-6, para fluidos con densidad constante, se aplica también en forma general a
fluidos con densidad variable. Por ejemplo, podemos pensar que la presión atmosférica es
igual al peso (por unidad de área) de todo el aire sobre nuestro punto de medición. Conforme aumentamos nuestra altura sobre el nivel del mar, este peso disminuye y, por lo tanto,
la presión disminuye con la altura. Sin embargo, la presión no la proporcionará una relación simple como pg x profundidad, puesto que la densidad varía con la altura. Es necesario volver a las ecuaciones 2.3 o 2.4 para encontrar la solución.
Si elegimos la ecuación 2.3, donde la dirección de z es positiva hacia arriba, se tiene
dp = _ pg
dz
Es usual describir las variaciones de temperatura, densidad y presión con la altitud, en términos de la atmósfera estándar (tablas A-C.5 y A-C.6, y figura 14-1). Para los primeros
10 000 m, la variación de temperatura es casi lineal, lo que se puede obtener de manera
aproximada con la ecuación
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48
CAP iTULO 2
ESTÁTI CA DE FLUIDOS
T=To + m(z -
zo)'
A partir de la tablaA-C.5, To = 288.16 K (15.0°C) y Zo =0, m = -0.0065 Klm. De la ecuación de la hidrostática y de la ley del gas ideal (ecuación 1.5),
dp
-
dz
p
=-- g
RT
o sea,
dp
-
dz
=-g -
RT
p
g(
=- R
dz
)
To + m(z-zo)
g (
=- mR
mdz )
T + mz
o
Integrando
ln(L)=-Lln(TO + mz)
Po
mR
To
Es decir, la presión varía con la altitud de acuerdo a
p _ To + mz
Po (
To
-g / IIIR
)
¿Cómo es la variación de la presión con la profundidad en el océano? Ya mencionamos
que el agua es ligeramente compresible, por lo que, al aumentar la profundidad en la densidad se produce un ligero aumento. Con la presión, la densidad varía casi linealmente y el
coeficiente está dado por el módulo de elasticidad volumétrica K. Al medir z desde la superficie hacia abajo, y sustituir a dp según la ecuación 1.4
dp
K dp
dz
P dz
-= - -=pg
Esto es,
de manera que
Si suponemos que K permanece constante,
p = Po
1-
pogz
K
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2.3 APLICACIONES DE LA ECUAC iÓN HIDROSTÁTI CA
~
I
49
p
-+óJ¡
A
Z
I
_ t_ ___
FIGURA 2-3
B
Manómetro simple en U.
donde p o es la densidad en z = O. El agua de mar tiene un módulo de elasticidad volumétrica de K =2.34 x 10 9 Pa a20°C (ver la tabla A-C.9). Si despreciamos la variación deK con
la temperatura, entonces, a una profundidad de 1 000 m la densidad del agua de mar es distinta de su valor en la superficie por casi 0.5%.
2.3.2 Manómetros
Los manómetros se usan para encontrar la diferencia de presión entre dos puntos. Con un
tubo en forma de U con líquido a cierta profundidad, se puede hacer un manómetro simple
(ver figura 2.3). Con agua es fácil, pero muchos manómetros usan alcohol para prevenir el
crecimiento de algas o bacterias. El alcohol también se puede teñir con facilidad para hacerlo más visible. Los tubos se usan para conectar los puertos de presión a las ramas del
manómetro. Por ejemplo, la presión puede venir de la parte superior e inferior de un ala.
En este caso, como el ala soporta el peso del avión, se espera que la presión en algún punto
de la cara inferior del ala, PI' sea mayor que la de un punto en la cara superior, h. Mediante la ecuación de la hidrostática se obtiene
es decir,
PI - P2 = P /Ilg/J.. h
donde P /Il es la densidad del fluido manométrico. Por lo tanto, podemos encontrar la diferencia de presiones, PI - P2' midiendo la deflexión del fluido manométrico, /J.. h.
Para obtener este resultado, se supuso que la presión en los puntos A y B son iguales.
Esta suposición es del todo correcta, ya que en el plano horizontal, la presión en un fluido
bajo la acción de la gravedad no cambia. En otras palabras, cualquier línea horizontal es
una isobara la cual es una línea que conecta puntos de igual presión. Este es un principio
general, mientras que la ruta desde A a B se pueda trazar dentro del mismo líquido. Los
puntos A y B, se conocen como simplemente conectados. Si, por ejemplo, existe una porción de un fluido diferente (quizá una bolsa de aire) a lo largo de la ruta entre A y B, ya no
son simplemente conectados, y las presiones en A y B deberán ser diferentes. Si el manómetro se llena con tres fluidos diferentes, como el que ilustra la figura 2-4, PI = P6 = Pa Y
P3 = P4 pero P'2 =f::. Ps' En el ejemplo 2.1 se analiza con más detalle el problema de un manómetro similar a éste.
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50
CAPíTULO
2
ESTÁTICA
DE FLUIDOS
Pa
tamente lo que e
vación estableci
mercurio igual a
con una muy bu
6
¡
2
p¡
•
------
•
------
P2
4
•
FIGURA 2-4
Manómetro
P3
con tubo en forma de U con varios fluidos manométricos,
abierto a la presión at-
mosférica.
Cuando a un manómetro se transmite presión a través de un tubo, es importante esperar lo suficiente hasta que el manómetro sienta por completo la presión, lo cual tardará más
en tubos de diámetro menor. De nuevo, esto sucede porque las perturbaciones de presión
viajan con lentitud a lo largo de los tubos de diámetro pequeño, pues se reflejan y refractan
en las paredes del tubo. No obstante, si esperamos lo suficiente, el manómetro siempre sentirá la presión completa, debido a la transmisibilidad de la presión en un fluido (sección l.3.7).
Una de las unida
servaciones resp
rómetros para m
Cuando el j
34 pies. Por lo t¡
equivalente de 1
de presión, de r
60 pies de agua,
TABLA 2-1 Ec
para presión a
. 1 atmósfera
=,
2.3.3 Barómetros
=.
Los barómetros son aparatos que miden la presión atmosférica con relación a un vacío
completo. En un vacío completo, la presión absoluta es cero, de modo que los barómetros
miden la presión atmosférica absoluta.
El barómetro de mercurio es un tubo vertical que contiene mercurio. Un extremo está
en contacto con un vacío donde la presión absoluta es cero, y el otro extremo está expuesto
a la presión atmosférica. Una forma sencilla de hacer un barómetro es cerrar un tubo de vidrio de aproximadamente I m de largo, por uno de sus extremos y llenarlo con mercurio.
El tubo se invierte y el extremo abierto se coloca debajo de la superficie de un estanque de
mercurio en un tazón. Así se creará un vacío cerca del pequeño espacio en el extremo cerrado del tubo. En el tubo, el nivel del mercurio se ubicará a una altura aproximada de
760 mm 030 pulg, por encima del nivel del mercurio en el tazón (figura 2-5). Esto es exac-
=7
FIGURA 2-6
FIGURA 2-5
Barómetro
de mercurio como lo concibió Torricelli.
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Bal
por Whitcombe &
2.3 APLICACIONES DE LA ECUACiÓN HIDROSTÁTICA
51
tamente lo que en 1643 hizo el científico italiano Evangelista Torricelli y explicó su observación estableciendo que la atmósfera debe ejercer una presión en la superficie libre del
mercurio igual a la que ejerce la columna de mercurio. Para el barómetro de la figura 2-5,
con una muy buena aproximación de que P2 =0,
Pa = pgt1h = presión absoluta
Una de las unidades de presión es el torr, así nombrada en honor de Torricelli por sus observaciones respecto a la naturaleza de la presión y su contribución en el desarrollo de barómetros para medir la presión atmosférica (sección 15.3).
Cuando el fluido barométrico es mercurio, t1h "" 30 pulg, y cuando es agua, t1h ""
34 pies. Por lo tanto, es posible expresar la presión atmosférica en términos de una altura
equivalente de una columna de fluido. Esto es una práctica común para todos los tipos
de presión, de modo que podemos decir que la carga que desarrolla una bomba es de
60 pies de agua, que es justo una manera de decir que desarrolla una presión igual a la que
TABLA 2-1 Equivalencias comunes
para presión atmosférica
1 atmósfera
= 101 325 N /
rrf (=
Pa)
= 1.01325 bar
= 14.70 psi (= Ibf /pulg 2)
=2116 psf(= Ibf /pie2)
= 29.92 pulg Hg
=760 .0 mm Hg
=760.0 torr
= 10.33 m ~O
= 33.90 pie
~O
FIGURA 2-6 Barómetro Fortin. Con autorización de Martin y Connor, Basic Physics, 8a . ed ., publicado
por Whitcombe & Tombs Pty. Ud. , Melbourne, Australia, 1962.
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52
CAPíTULO 2
ESTÁTI CA DE FLUI DOS
FIGURA 2-7 Barómetro aneroide . Con autorización de Marlin y Connor, Basic Physics, 8a ed., publicado
por Withcombe & Tombs Pty. U d., Melbourne, Australia, 1962.
se encuentra.en el fondo de una columna de agua de 60 pies, es decir, una presión de casi
1.8 atmósferas, o 26 psi. En la tabla 2-1 se dan equivalencias más exactas.
El barómetro de mercurio más común en laboratorios de mecánica de fluidos es el barómetro Fortín (figura 2-6), cuya escala es fija y el nivel del mercurio en el tazón, ajustable. Antes de hacer una lectura, la superficie libre del mercurio se nivela al cero de la
escala girando la perilla e 1 pulg hasta que la superficie libre toque justo la punta del indicador A. Entonces, la escala de vernier, V, se mueve hacia arriba y hacia abajo mediante un
piñón y cremallera, R, hasta qu~ la parte superior de la columna de mercurio y las orillas
inferiores front~l y posterior se alineen (figura 2-6c). La superficie blanca W detrás del
tubo ayuda a hacer este ~juste. La lectura necesita ajustarse a la temperatura ambiente,
pues la longitud de la colunina de mercurio y la de la escala se incrementan con la temperatura. Asimismo, a la misma temperatura y presión, el aire húmedo es menos denso que el
seco, ya que el peso molecular del agua es menor que el del aire (18 comparado con 28.96),
y así la lectura del barómetro disminuye conforme se incrementa la humedad del aire.
Otro tipo de barómetro es el aneroide, el cual consta de una caja metálica evacuada (figura 2-7). La presión del aire que actúa en el exterior hace que la caja se deforme, y esta deformación se amplifica con una serie de palancas y resortes que mueven una manecilla
sobre una escala graduada.
La altura de la columna de mercurio, o la lectura del barómetro aneroide, variará con
la altitud, ya que la presión atmosférica disminuye con la altura. Si se sabe cómo varía la
presión con la altura, puede usarse esta propiedad para encontrar la altura sobre el nivel del
mar. En los avi ones es común usar como altímetro un barómetro aneroide modificado.
EJEMPLO 2.1
Manómetros
Considere el manómetro de la figura 2-4. Sea 2 1, la altura del punto 1 sobre un nivel horizontal de referencia, 2 2 la altura del punto 2 y as í en forma sucesiva. Si p 3/ PI =2 Y 2 6 =12
pulg, 2 1 = 10 pulg, 2 2 '= 8 pulg Y 2 3 = 6 pulg, encuentre la razón P 2 / P 3'
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2.4
PAREDES VERTICALES DE ANCHURA CONSTANTE
53
Solución sabemos que p¡ = P6 = Pa y P3 = P4· Por lo tanto, si igualamos las presiones
a la altura Z3' obtenemos
Esto es,
P2g(Z2 - z3) =2p¡g(z6 -z2)-Plg(zl -z3)
!!..J:... =2(z6 - z2) -(z¡ -z3) = 2
PI
(Z2- Z3)
y P 2 = P 3' Y por lo tanto, los líquidos 2 y 3 tienen la misma densidad.
2;4
•
PAREDES VERTICALES DE ANCHURA CONSTANTE
Con anterioridad, usamos la ecuación de la hidrostática para encontrar las variaciones de
presión debidas al cambio de altura. Ahora se considerarán las fuerzas que ejercen las diferencias de presión en las paredes de un recipiente.
En el capítulo 1 se demostró que la presión es un esfuerzo isotrópico; es decir, que en
un punto dado del fluido , la presión que actúa en una superficie vertical que pasa a través
del punto tiene el mismo valor que tiene en una superficie horizontal que pasa por el mismo punto. En un recipiente lleno de agua, la presión hidrostática que actúa en el fondo del
recipiente es igual a la presión hidrostática ejercida sobre la superficie lateral que está a la
misma profundidad. La presión en la pared lateral se reduce cuando lo hace la profundidad, de acuerdo con la ecuación de la hidrostática, de manera que la pared lateral siente
una distribución de presión que varía en forma lineal.
Considere la pared vertical de un depósito, con profundidad h de agua en un lado (figura 2-8); a la izquierda se muestra una gráfica de la presión como función de la profundidad. En la superficie libre la presión es atmosférica y debajo de la superficie, la presión
aumenta linealmente con la profundidad hasta un valor máximo de Pa + pgh. ¿Cuál es la
fuerza resultante debida a la presión del agua que actúa en la superficie de la pared del recipiente y dónde actúa? Esto es, si la fuerza distribuida que origina la presión se reemplazara
por una fuerza resultante individual, ¿cuál es su magnitud y dirección y dónde se debe
ubicar? Se supone que la presión del aire actúa en todas partes, tanto en la superficie libre
Pa
Pa
Pa
h
P
FIGURA 2-8 Pared vertical con presión de agua que actúa en un lado y presión atmosférica en el otro; la
gráfica de la izquierda es un trazo de la presión como función de la profundidad.
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54
CAPiTULO 2
ESTÁTICA DE FLUIDOS
como en el lado externo de la pared. La pared es de anchura constante, w (en dirección perpendicular), y se decide que la coordenada z sea positiva en la dirección en que se incrementa la altitud (es decir, en la dirección contraria a la fuerza gravitatoria). La fuerza que
actúa en un elemento local de área, dA, depende sólo de la profundidad, o sea, la distancia
debajo de la superficie libre, dada aquí por (h - z). La fuerza total debida a la presión depende del área en la que se ejerce la presión. En el caso que analizamos aquí, w es constante (es decir, independiente de z), así que podemos usar dA = wdz. En otras palabras, el
área elemental considerada es una banda de anchura w y altura dz.
2.4.1 Solución mediante presiones absolutas
Primero se usan presiones absolutas. Según la ecuación de la hidrostática (ecuación 2-3),
la presión a cualquier profundidad está dada por
P - Pa = pg(h- z)
(recuerde que z es positiva cuando apunta hacia arriba). En el lado de la pared donde actúa
el agua, la presión, p, se ejerce en el elemento dA = w dz para producir una fuerza dFx ' que
actúa a la derecha. Así
dFx = presión x área = pdA
=pwdz
= [Pa + pg(h - z) ]wdz
Del otro lado de la pared actúa la presión del aire, la cual supondremos constante (recuerde
que la densidad del agua es casi 800 veces la densidad del aire, de modo que las variaciones relativas entre las presiones del aire y el agua a la misma distancia es diferente por un
factor cercano a 800). La fuerza resultante, dF, aplicada en el área wdz está, por lo tanto,
dada por
dF = dFx - Pa wdz
y actúa a la derecha. Esto es,
dF
= [Pa + pg(h -
z)]wdz - Pa wdz = pg(h - z)wdz
Al integrar la ecuación 2.8 desde z = Ohasta z = h se obtiene la fuerza resultante
f
il
F = opg(h - z)wdz
de manera que
2.4.2 Solución mediante presiones manométricas
Si ahora se usa la presión manométrica (pg ) tenemos
Pg = pg(h- z)
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(2.8)
2.4
PAREDES VERTICALES DE ANC HURA CONSTANTE
55
y
dF = PgdA = pg(h - z)wdz
(2.9)
igual que antes, pero muc;'o más sencillo. La fuerza, F, se obtiene por integración de la
mIsma manera.
2.4.3 Balance del momento
¿Dónde deberá ubicarse la fuerza resultante, F, de manera que ejerza el mismo momento
que la fuerza distribuida debida a la presión? Para esto necesitamos considerar los momentos. Un lugar conveniente para considerar los momentos es el punto donde z = O. Cualquier
otro punto es bueno, pero éste hace más sencillo el problema. El momento de la fuerza resultante, dF, que actúa en el elemento w dz respecto al eje que pasa por el punto z = Ose llama dM o' y está dado por
dM o = zxdF
donde z es el brazo del momento de la fuerza dFx respecto al eje que pasa por el punto
z = O, Y se mide perpendicular a la línea de acción de la fuerza. Este momento es en la dirección de las manecillas del reloj alrededor del origen. Sustituyendo dF de la ecuación
2.8 o 2.9 obtenemos
dM o = zxdF = pg(h - z)wzdz
Integrando desde z =Ohasta z = h se obtiene el momento resultante
Mo = ipgwh
3
Por definición, la fuerza resultante multiplicada por su brazo del momento debe ser igual
al momento total que ejerce la presión aplicada en la pared, de modo que
Mo = zxF
z
donde es el brazo del momento para la fuerza resultante, medido desde el eje a través de
z = O. Por último,
Para resumir:
Cuando la presión atmosférica actúa en todas partes, la fuerza resultante que ejerce un
fluido con profundidad h sobre una pared vertical de anchura constante está dada por
(2.10)
t
y actúa a una distancia de h desde el fondo del recipiente.
Para encontrar la fuerza resultante y el momento en problemas de estática, existen muchas
semejanzas en los métodos usuales de mecánica de sólidos. El problema considerado es
muy similar a encontrar la fuerza resultante en una viga en cantilever bajo una carga distri-
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56
CAPíTULO
2
ES,TÁTICA DE FLUIDOS
T
J¡
1
FIGURA 2-9
Viga en cantilever bajo la acción de una carga distribuida similar a la que produce la presión
hidrostática.
buida, donde la carga por unidad de área de la viga es p, variando desde su valor mínimo
de cero en z = a su valor máximo de pgh en z = (figura 2-9). La fuerza resultante está
dada por la integral de la fuerza distribuida sobre la longitud de la viga. Es decir, está dada
por el área del triángulo que describe la distribución de la carga. El punto en el que se aplica la fuerza estará en el centroide del triángulo, que por supuesto es un tercio de la distancia desde el punto donde la carga es máxima. En la estática de fluidos, el punto a través del
cual actúa la fuerza resultante se llama centro de presión (sección 2.8).
°
°
2.4.4 ¿Presión manométrica o presión absoluta?
En el problema que acabamos de resolver, la presión del aire actúa en la superficie del
agua, de forma que añade una presión constante, p a ' a la presión de cualquier punto dentro
del agua. Puesto que supusimos que la presión atmosférica es constante en cualquier parte
fuera del recipiente, también actúa con el mismo valor de p a en toda posición exterior de
la pared. La presión del aire se cancela dado que en el interior y exterior de la pared actúa
con el mismo valor. La única presión que contribuye a la fuerza resultante es el "exceso"
de presión, es decir, la presión manométrica. Siempre es recomendable analizar el problema antes de iniciar su solución para determinar si la presión ambiental va a influir, por sí
misma, en una fuerza resultante. Si no es así, la solución puede simplificarse de manera
considerable.
Un ejemplo en el que esto no es posible es el recipiente de gas cerrado de la figura
2-10, el cual es similar al tanque de propano que se emplea en las parrillas de gas. Aquí el
tanque tiene una sección transversal cuadrada con dimensiones wX w y una altura H. El
propano líquido llena el tanque hasta cierta profundidad, h, y el resto contiene vapor de
Para encontrar (
dos partes. La f
caránen z =H....
2 '
bución constan!
resultante debic
se toman desde
que entonces pl
EJEMPLO 2.2
Un tanque cúbi
tiene un tubo al
la figura 2-11.
mantiene cerra
a) Encue
b) Encue
térmir
e) Encue
Pv - Pa
T
propano a una pl
densidad de la fa
para cualquier fl
te. En forma sim
nas del tanque. ¿
en una de las pa
Podemos pe
de dos partes: ur
drostática que e
empezando con
fuerza resultann
cia la derecha.
p, =ppg(h-z
bemos que esto
la fuerza resulta
fluidos es
Pv
H
Solución pa
agua que actúa
z
1
I~I
FIGURA 2-10
Recipiente cerrado de propano, donde la fase gaseosa ejerce presión en la fase líquida,
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y así
2.4
PAREDES VERTICALES DE ANCHURA CONSTANTE
57
propano a una presión PI" igual a su presión de vapor a temperatura ambiente. Dado que la
densidad de la fase gaseosa del propano es mucho menor que la fase líquida (esto es válido
para cualquier fluido) , la presión del vapor a través del tanque puede considerarse constante. En fonna similar, la presión del aire actúa con valor constante en todas las partes externas del tanque. ¿Cuál es la fuerza resultante que producen todas las presiones de los fluidos
en una de las paredes laterales del tanque y dónde se aplica?
Podemos pensar que la presión total que se ejerce en el interior del tanque es la suma
de dos partes: una parte constante igual a P v y una parte variante P I debida a la presión hidrostática que ejerce el líquido. Esto también pennite dividir el problema en dos partes,
empezando con las presiones constantes; por dentro se tiene P v yen el exterior, Pa' La
fuerza resultante que originan estas presiones es simplemente (P v - Pa )wH , actuando hacia la derecha. Dentro del líquido, la presión PI varía dé acuerdo con su profundidad
PI = p pg(h - z) (donde Pp es la densidad del propano líquido). De la sección anterior, sabemos que esto da lugar a una fuerza resultante ~ p pgwh 2 , actuando hacia la derecha. Así,
la fuerza resultante total, F, que actúa hacia la derecha debida a todas las presiones de los
fluidos es
Para encontrar dónde actúa esta fuerza resultante, podemos dividir otra vez el problema en
dos partes. La fuerza resultante que producen a las presiones constantes, PI' y Pa' se aplicarán en z = ~ ; por la misma razón que la fuerza resultante en una viga debida a una distribución constante de carga, actúa en el centro de la viga. Antes se encontró que la fuerza
resultante debida al líquido actúa en una distancia de h desde el fondo. Si los momentos
se toman desde el eje a través del punto z = 0, se tiene
t
H 1
2
h
F x z = (p - P )wH x - + - P gwh x v
a
2 2 p
3
que entonces puede resolverse para z.
EJEMPLO 2.2 Fuerzas y momentos sobre paredes verticales
Un tanque cúbico de dimensión h contiene agua con densidad p y en su superficie superior
tiene un tubo abierto a la atmósfera, el cual contiene agua hasta una altura L, como ilustra
la figura 2-11. En la superficie superior también hay un respiradero de tamaño D que se
mantiene cerrado con una tapa de masa M.
a) Encuentre la altura Len ténninos de M, D yp.
b) Encuentre la fuerza F debida al agua que acrua t;n una cara vertical del tanque en
términos de p, g,h Y L.
e) Encuentre dónde se aplica esta fuerzaoen'térrninos de h y L.
Solución para la parte a), el peso de la tapa Mg está justo balanceado con la presión del
agua que actúa en la superficie inferior de la tapá. 'Entonces
pgLD 2 =Mg
y así
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58
cAPiTU LO 2
Pa
Tapa cuadrada
masa M
T
"
ESTÁTICA DE FLUIDOS
-r
\
1--1
D
1
L
1O
[¡g
dF
'dA
...--.h~
FIGURA 2-11
Pa
Tanque con tubo y respiradero.
M
L=--2
pD
Para la parte b) , identificamos un elemento de área, dA, sobre una pared vertical del tanque. La presión atmosférica actúa en todas partes; así, dF, la fuerza debida a la presión del
agua que se ejerce en dA está dada por
dF
= PgdA = pg(profitndidad) dA = pg(L + z) dA
Observe que la profundidad se mide desde la superficie libre en el tubo, no desde la parte
superior del tanque. Dado que la pared es de anchura constante (= h), dA = h dz, y
dF = pg(L + z)h dz
Para encontrar F se integra
F
= Sopg(L
" + z)h dz
[
2j"
=pgh Lz+ z2 o
de modo que
2
F = pgh (
L+~)
Para la parte e) tomamos los momentos respecto a la parte superior de la pared lateral del
tanque (donde z =0). Si dM es el momento debido a dF
dM
= z dF = pg(L + z)zh dA
Integrando se obtiene
il
M = Fxz = Sopg(L+z)zhdz
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2.4
Por lo tanto, la fuerza resultante
donde
PAREDES VERTICALES
actúa a una distancia
z por
DE ANCHURA
CONSTANTE
59
debajo de la tapa del tanque,
•
EJEMPLO 2.3
el tanióndel
a parte
Equilibrio de una compuerta articulada
Algunas veces tenemos un problema donde el equilibrio de un cuerpo sólido depende de la
suma de los momentos. Por ejemplo, si una compuerta articulada se instala en una pared
vertical, la presión del agua tratará de abrir la compuerta, a menos que sobre ella se ejerza
un momento con la suficiente fuerza para mantenerla cerrada. Considere un caso simple en
el que toda la pared sirve como compuerta. La compuerta es vertical y de forma rectangular, de ancho wy altura h (figura 2-12a). La parte superior de la compuerta está a nivel con
la superficie del agua, donde se soporta mediante una articulación sin fricción, H. De la
mitad y hacia abajo de la compuerta, se pega un brazo en forma horizontal del que cuelga
un peso Wa una distancia a desde la compuerta. La parte inferior de la compuerta descansa
contra un tope; la presión atmosférica actúa en todas partes. Ignorando los pesos de la
compuerta y del brazo, ¿cuál es el valor mínimo de W necesario para mantener la compuerta cerrada?
Solución considere el diagrama de cuerpo libre para la compuerta (figura 2-12b), donde
se muestran las fuerzas y momentos que se aplican sobre ella cuando está en el punto de
apertura, de manera que la reacción que el tope ejerce al pie de la compuerta es cero. La
fuerza, F, debida a la presión del agua en la compuerta se aplica desde la izquierda en di-
Pa
:..---
F~
Articulación
H
_a---'¡
ral del
MH
=0
_a_
Pa
h
-r..L
1
FIGURA 2-12
w
h/3
FS =0
A la izquierda: compuerta
simple articulada en el nivel de la superficie
diagrama de cuerpo libre de la compuerta.
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libre; a la derecha:
60
CAPíTU LO 2
ESTÁTICA DE FLU IDOS
rección horizontal, y la hace girar en el sentido contrario de las manecillas del reloj. Ya sabemos que tiene una magnitud F = ~ pgwh 2 Y que actúa a una distancia de h desde la
parte superior de la compuerta. El peso, W, se aplica a una distancia horizontal a desde la compue11a, y la hace girar en la dirección de las manecillas del reloj. También hay
una fuerza que la articulación aplica en la compuerta, pero sin momento, ya que no ofrece
fricción (una aliiculación sin fricción no puede ejercer un momento). Puesto que la articulación no se mueve, está en equilibrio estático bajo la acción de estas fuerzas y momentos.
¿Cómo encontramos el valor crítico de W, donde la compuerta estájusto en el punto de
apertura? Sabemos que LF = 0 y LM = O. Si usamos LF = 0, en el diagrama de cuerpo libre
vemos que hay una fuerza que actúa en la articulación, FH ' la cual necesita encontrarse
por separado, antes de resolver el ba lance de fu erzas para W. Mediante la ecuación de momento LM = Oes posible encontrar F H , pero en su lugar también se puede usar la ecuación
de momento para encontrar W en forma directa. Si elegimos que el eje del momento coincida con la parte superior de la compuerta, entonces la fuerza en la aliiculación, FIf ' no
ejerce momento respecto de este eje y ya no es necesario considerarlo. Sólo se balancean
los momentos respecto de la articulación que ejercen el peso, W, y la fuerza debida a la presión del agua.
1
1
2
2h
Wxa--pgwh x-= O
2
3
y así encontramos
W=pgwh
3a
3
•
EJEMPLO 2.4 Otra compuerta articulada
La fi gura 2-13 muestra una compuerta con una articulac ión sin fricción, H, en la parte superior, al mismo nivel que la superficie del agua. En la pared hay una saliente rectangular
pegada en forma horizontal que sobresale una distancia a desde la compuerta yen el fondo
de la compuerta un tope para resistir la fuerza de la presión del agua desde adentro y prevenir que se abra en la dirección contraria a las manecillas del reloj. Sin embargo, confonne a
se incrementa, habrá un punto donde el peso del agua en la saliente será lo suficientemente
grande para causar que la puerta se aleje del tope en el sentido de las manecillas del reloj .
¿Cuál es el valor crítico de a?
Pa
t
h/3
+
Pa
1z /3
+
h/3
FIGURA 2-13
Compuerta con saliente articulada en el nivel de la superficie libre.
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2.4
PAREDES VERTICALES DE ANCHURA CONSTANTE
61
Solución si dibujáramos el diagrama de cuerpo libre de esta compuerta, veríamos que lo
mejor es considerar momentos respecto a la línea de articulación, ya que la fuerza desconocida que la articulación aplica sobre la compuerta no tiene momento respecto a este eje.
El problema se puede resolver, al considerar por separado cada parte vertical de la
compuerta y encontrar los momentos respecto a la articulación, que ejercen las fuerzas en
cada superficie (todos estos momentos son en la dirección contraria a las manecillas del reloj); de esta manera se encuentra el momento que las fuerzas aplican en las partes horizontales de la saliente (estos momentos están en la dirección de las manecillas del reloj). Para
el equilibrio, la suma de los momentos debe ser cero, y así es posible hallar a.
Sin embargo, existe una manera más simple. La fuerza horizontal total es igual a la
suma de las fuerzas que actúan en todas las partes verticales de la puerta y, por lo tanto, es
igual a la fuerza que se aplica en una pared vertical de la misma altura dada por ~ pgwh 2 .
Al aplicar una distancia de h desde la parte superior de la puerta, se puede encontrar directamente su momento.
Para la saliente hay dos aproximaciones. Primero se trabaja en términos de la presión
que se aplica en las superficies superior e inferior de la saliente. Se puede encontrar la presión aplicada en la superficie inferior y se multiplica por el área de ésta para determinar la
fuerza (dado que la superficie inferior está a profundidad constante, la presión es constante
sobre el área), y después se multiplica por su brazo de momento para encontrar su momento (en el sentido de las manecillas del reloj). El brazo de momento es ~ a, ya que la carga en
la superficie inferior está distribuida de manera uniforme. Si decimos que los momentos
en la dirección de las manecillas del reloj son positivos, entonces, para la superficie inferior de la saliente,
1
1pgh
fuerza en la superficie inferior = 1pghwa
presión en la superficie inferior =
momento debido a la fuerza en la superficie inferior =
1pghwa x ~ a
De manera similar, para la superficie superior de la saliente se determina el momento en el
sentido de las manecillas del reloj.
presión en la superficie superior =
fuerza en la superficie superior =
t pgh
t pghwa
momento debido a la fuerza en la superficie superior = -
t pghwa x ~ a
Por lo tanto, el momento total en el sentido de las manecillas del reloj que ejerce la saliente
es pghwa x a.
Segundo, -observamos que el momento que produce la saliente se debe al peso del
agua que contiene, el cual es el volumen multiplicado por la densidad, esto es, pghwa. El
brazo del momento de este peso se localiza en el centroide del volumen, en un- l1" n to a ~ a
desde la articulación, de modo que el momento total en el sentido de las manc' ,11 1",S del reloj que aplica la saliente es pghwa x ~ a, como antes ,
La suma de todos los momentos está dada por el momento en el sen1::1u de las manecillas del reloj, debido al peso del agua que contiene la saliente, más el rnomento en el sentido contrario de las manecillas del reloj, que produce el agua que actúa en las partes
verticales de la compuerta. Esto es, a se puede encontrar de
t
+
+
t
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62
CAPíTULO 2
ESTÁTICA DE FLUIDOS
t
h/3
+
h/3
Pa
+
h/3
+
FIGURA 2-14
Puerta con inserción.
Es decir
•
EJEMPLO 2.5 Última compuerta articulada
¿Qué sucede si la saliente del ejemplo 2.4 fuera negativa, como ilustra la figura 2-14; es
decir, si en vez de ella existiera una inserción de las mismas dimensiones?
Solución el momento que produce la acción del 'a gua en las partes verticales de la puerta
es el mismo que en el ejemplo 2.4: con respecto a la articulación es en el sentido de las manecillas del reloj y de magnitud ~ pgwh 2 x 1- h. Para la inserción, el momento debido a la
presión que actúa en la superficie interior es 1- pghwa x ~ a en la dirección de las manecillas del reloj y para la superficie superior es 1 pghwa x l a en la dirección contraria a las
manecillas del reloj . El momento resultante qJe produceJ las superficies horizontales de la
inserción es, por lo tanto, pghwa x ~ a en la dirección de las manecillas del reloj, exactamente igual a la que se encontró en el ejemplo 2.4. Así, el equilibrio del momento de la
compuerta mostrada en la figura 2-14 es el mismo que para la compuerta de la figura 2-13,
Y el valor de a también es el mismo.
•
t
'",
2.5 PAREDES INCLINADAS CON ANCHURA CONSTANTE '
¿Qué sucede cuando la pared está inclinada? Es decir, considere una pared plana con anchura constante que se inclina a un ángulo de () respecto de la horizontal (figura 2-15). La
presión se ejerce en dirección normal a la superficie, de forma que la fuerz¡1 resultante debida a la presión del agua tendrá ahora un componente horizontal y uno vertical (Fx y F z '
respectivamente). ¿Cuál es la magnitud de la fuerza resultante, F, y dónde actúa? La presión atmosférica se aplica en todas partes.
Este problema se resolverá de diversas formas . Se empieza por encontrar Fx y F z por
separado y obtener la fuerza resultante mediante F = ~ F} + F}. De esta manera F se
halla directamente.
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2.5 PAREDES INCLI NADAS CON ANC HU RA CONSTANTE
63
h
FIGURA 2-15
Presión que actúa en una pared incl inada con anchu ra co nstante.
2.5.1 Fuerza horizontal
Puesto que la presión atmosférica actúa en todas palies, se puede usar la presión manométrica, Pg' Entonces, a cualquier profundidad por debajo de la superficie
Pg = pg(h - z)
Esta presión se aplica en dirección normal a la pared, de manera que la fuerza dF sobre el
elemento dA está dado por
dF
= Pg dA
Aquí, dA = w ds, donde s es la coordenada a lo largo de la pared, medida desde el origen,
donde s =OY z =O. De la geometría tenemos
dz = dssen
f)
dz = dscos
f)
y
La componente horizontal de la fuerza que actúa sobre dA está dada por
dFx
= Pg dA sen f)
= Pg wdssen
f)
dz
= P w--senf)
g
sen f)
Esto es,
dFx
= Pgwdz = pg(h -
z)wdz
O sea, el mismo resultado que se encontró para una pared vertical (ecuación 2.8); y así determinamos que la componente horizontal de la fuerza aplicada en una pared plana de anchura constante no depende de su pendiente, así que Fx = ~ pgwh 2 , como antes .
La componente horizontal de una fuerza debida a la presión hidrostática sobre una pared inclinada es igual a la de una pared vertical en la misma profundidad, mientras que
la pared tenga una anchura constante.
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64
CAPiTULO 2
ESTÁTI CA DE FLUIDOS
2.5.2 Fuerza vertical
Considere ahora la componente vertical de una fuerza aplicada sobre dA. Ésta está dada
por
dFz = Pg dA cos e
=
Pg wdscos
=
Pgw dx
e
La ecuación de la línea que describe la forma de la pared es
z = x tan
e
de modo que dz = dx tan e (e es una constante) y
Fz =
!,
f
h/ tan IJ
O
pg(h - z)wdx
La integración es con respecto ax, de modo que los límites deben ser los x que corresponde
al punto más bajo de la pared (donde x = O) Y la parte superior del nivel del agua (donde
z == h Y x = h/ tan e) . Además, z aparece en el integrando y requiere expresarse en términos
de x. Entonces
=f
Fz
h/ tan IJ
o
pg(h - x tan e)w dx
pgwh 2
=- ' - = - 2 tan
e
e
que actúa hacia abajo si es positivo.
Si en su lugar consideramos el peso del fluido que "soporta" la pared (el área sombreada en la figura 2-15) obtenemos
peso del fluido =
! (pgwh) x _h_ = F z
2
tan e
como podríamos esperar.
2.5.3 Fuerza resultante
Ahora podemos encontrar la fuerza resultante
F
=~F} +F/
y por lo tanto
pgwh 2
F =- 2sen
e
(2.11 )
Podemos llegar al mismo resultado si de manera directa consideramos la fuerza dF,
en vez de calcular por separado las componentes horizontal y vertical. Aquí usamos el sistema coordenado s en vez del sistema [x, y ]. Entonces
dF = Pg dA
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2.5 PAREDES INCLINADAS CON ANC HURA CONSTANTE
65
Es decir,
dF = pg(h - z)wds
dz
sen e
= pg(h - z)w--
(2.12)
Así
F =
dz
il
fo-pg(z-h)w -sen -e
y, por lo tanto
pgwh 2
F = -2sen
e
como antes. Con frecuencia el problema se puede simplificar eligiendo un sistema de
coordenadas particular.
2.5.4 Balance de momentos
Para encontrar dónde se aplica esta fuerza necesitamos considerar los momentos, y para
ello es necesario especificar el eje con respecto al cual se calcula el momento y determinar
el brazo de palanca o brazo del momento, que es la distancia mínima entre el eje del momento y la línea de acción de la fuerza. Sea M o el momento respecto al eje a través del origen debido a la fuerza que ejerce la presión del agua, de modo que
. Mo = sxF
donde s es el brazo del momento de F respecto al origen, y donde un momento se considera positivo en la dirección de las manecillas del reloj. Es posible encontrar a M o si se considera el momento dM o debido a dF respecto al origen. Esto es
dMo = sx dF = pg(h - z)swds
donde para dF hemos utilizado el resultado de la ecuación 2.12 . La integración produce
f
Mo = pg(h - z)swds
Con z =ssen
e
-
S
Mo
1
==F
F
fil / Sene
o
pgw(h - s sen e)s ds
_ 2 sen e
S2 h _
h2 xpgw [ 2
pgw
S3
sen
3
e h/ sene
]
o
Entonces
_
h
s =- --
3sene
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66
CAPíTULO 2
ESTÁTICA DE FLUIDOS
Podemos verificar la solución examinando el comportamiento "en el límite". Por ejemplo,
si ---¿ :n:12, la pared se vuelve vertical y encontramos que s = como debe ser. En el otro
límite, donde ---¿ 0, la pared se vuelve horizontal y el resultado pierde sentido.
También podemos obtener s evaluando los brazos del momento para las dos componentes de la fuerza resultante, ya que s = ~X2 + Z2 , donde x es el bra~o del momento de
e
1,
e
z
F z ' Y es el brazo del momento de F x ' ambos considerados con respecto al origen. Esto es
z = -l- fzdF
F
x
x
h
1 h
2 hz 2
3
= - f pgw(h - z)zdz = - 2 -z
[
]
Fx o
3h
2
o
Entonces
- h
z =3
como se esperaba. También
x = -l-fxdF
F
Z
Z
=-
1
Fz
f
hl tan IJ
O
pgw(h - x)xdx
h/ tanIJ
= 2 tan () Ix2 _ x3 tan ()
3h 2
2
[
]
o
Por lo tanto
_
h
x = - -3 tan ()
que también es la ubicación del centroide del fluido que sostiene la pared (más adelante se
demuestra que éste es un resultado general).
Por último,
y, como antes
_
h
s= - - 3 sen ()
EJEMPLO 2.6 Peso y fuerzas debidos a la presión
Considere los dos recipientes de la figura 2- 16; ambos tienen una anchura wy contienen
agua a una misma altura, h; suponga que el peso de cada recipiente es despreciable. Por la
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2.5 PAREDES INCLINADAS CON ANCHURA CONSTANTE
Fs
FI
!t
67
T
Fs
h
-¡
'-Área A
RI
Fs
Fs
t
¡
h
'-Ár-:::R2
FIGURA 2-16
Presión que se ejerce en el fondo de recipientes con formas distintas.
ecuación de la hidrostática sabemos que la presión en la profundidad h será la misma en
ambos recipientes. Por lo tanto, si el área del fondo A es la misma, la fuerza que actúa en el
fondo del recipiente será igual, esto es, F¡ = F 2 , en vez de la diferencia obvia del peso del
líquido contenido. ¿Esto es una paradoja?
Solución es necesario ser muy cuidadosos al considerar todas las fuerzas, incluyendo
las que actúan en las paredes laterales, el fondo del recipiente y la reacción de la superficie
en la que reposa. Observe que las fuerzas sobre las paredes laterales (Fs ) se aplican en ángulos rectos a las paredes, y que las componentes horizontales de estas fuerzas se cancelan
dado que se aplican en direcciones opuestas.
Para el recipiente que se ilustra en la parte superior de la figura 2-16, los componentes
verticales de F s actúan hacia abajo, y para el equilibrio estático
RI =2Fs sen a
+ pghA
La fuerza F s está dada en la ecuación 2.11, donde a =
1- (j. Entonces,
2
pgwh
=:......::._-
F
s
2cos a
y
pgwh 2 sen a
2
F sen a = - - - - - - = 1 pgwh tana
s
2
cos a 2
Esto es,
RI = pgwh 2 tan a + pghA
que es exactamente igual al peso del agua en el recipiente, como debía ser.
Para el recipiente que se muestra en la parte inferior de la figura 2-16, las componentes
de la fuerza en dirección vertical actúan hacia arriba y para el equilibrio estático
R 2 = -2Fs sen a + pghA
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68
CAPíTULO 2
ESTÁTICA DE FLUIDOS
y podemos demostrar que R 2 es igual al peso del agua en este recipiente particular. Así,
cuando las paredes se inclinan hacia adentro, la fuerza que en la base produce el líquido es
mayor que el peso del líquido contenido, debido a las fuerzas que las paredes laterales ejercen sobre el líquido. En este caso, la suma de los componentes verticales de estas fuerzas,
más el peso del fluido, igualan la fuerza que se ejerce en la base.
En 1646, el científico francés Blaise Pascal ilustró este principio (ver sección 15.4):
colocó un tubo vertical largo encima de un barril lleno de agua y encontró que al verter el
agua en el tubo, el barril podría reventar, aun cuando se pensara que el peso del agua añadida al tubo era sólo una fracción pequeña de la fuerza requerida para romper el barril (figura2-17).
•
2.6 FUERZAS HIDROSTÁTICAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS
Hasta aquí sólo hemos considerado superficies planas, pero en muchos casos, las superficies son curvas. Por ejemplo, al construir un dique, el fondo de éste debe ser más fuerte que
la parte superior, dado que la presión se incrementa con la profundidad. Para construirlos
con el mínimo material, el grosor del dique debe aumentar con la profundidad, de modo
que su resistencia se ajuste a la fuerza y momento crecientes debidos a la presión.
Para ver cómo se pueden encontrar las fuerzas hidrostáticas aplicadas en una superficie curva, considere la superficie parabólica que ilustra la figura 2-18, donde la presión
atmosférica se ejerce en todos lados. El propósito es encontrar la fuerza hidrostática resultante que se aplica en la pared y su punto de acción a partir de los principios básicos.
2.6.1 Fuerza resultante
Para empezar se define un sistema coordenado de modo que la forma de la pared se pueda
expresar tan simple como sea posible. Para el sistema de referencia, la ecuación que describe la forma de la pared es z = ah2 X 2; la presión manométrica en la altura z es P g' así que
Pg =pg(h-z)
FIGURA 2-17 Barril de Pascal. Con autorización de Martin y Connor, Basic Physics, 8a. ed ., publicado
por Whitcombe & Tombs Pty. Ud., Melbourne, Australia , 1962.
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2.6 FUERZAS HIDROSTÁTICAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS
69
Por lo tanto
dF=pg(h-z)dA
donde dF es la fuerza neta debida a la presión del agua que actúa en el elemento dA y
dA = w ds, donde la coordenada sse mide a lo largo de la superficie de la pared, y wes el ancho de la pared. Para paredes curvas es quizá más simple encontrar por separado las componentes horizontal y vertical de la fuerza resultante, empezando con la componente
horizontal Fx . Ahora,
dFx
= dF sen ()
así
dFx =pg(h-z)wdssen()
Puesto que
dssen () = dz
tenemos
dFx =pg(h-z)wdz
Mediante integración
2]h
Fx = pgS:(h-z)wdz=pgw [hz- z2 o
de modo que
}"'x
= ~ pgwh
2
Éste es el mismo resultado que se encontró para la fuerza horizontal aplicada en una pared
inclinada (sección 2.5). De hecho, es un resultado general: la fuerza horizontal que actúa
sobre una pared de anchura constante es independiente de la pendiente de la pared.
Ahora, para encontrar la componente vertical F z .
dFz = dF cos ()
Así
dFz = pg(h - z)wdscos ()
Ya que
dscos () = dx
Pa
h
--.-------------~ z= -- z
2
a2dFK~F
dFx ; ds
Pa
ds
FIGURA 2-18
dz
dx
Presión aplicada en una pared parabólica de anchura constante .
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70
CAPíTULO 2
ESTÁTICA DE FLUIDOS
tenemos
dFz = pg(h - z)wdx
Mediante integración
~]O
Fz = pgfO (h _ l!:.-x2
}dX = pghW[X _
-a
a2
3a2
-a
así que
Fz = 1pgwah
También podemos demostrar que esta fuerza vertical es igual al peso del fluido que soporta la pared.
La fuerza total se puede hallar por adición vectorial.
I
h 2 4a 2h 2
F=-yF/ + F} =pghw -+ - -
4
9
Por lo tanto
También es posible encontrar esta fuerza resultante de manera directa mediante
dF = pg(h - z)w ds
y
dz
F = pg(h-z)w-sen
f
e
Para una pared curva, eno es constante. De hecho, tan 8 es la pendiente de la pared en cualquier punto, donde
dz 2h
tane=-=-x
dx a 2
e
En la expresión es necesario sustituir sen para dF. Aplicando algunas relaciones trigonométricas, se obtiene
sen
e=
1 + tan 2 e
Es claro que esta integración no es directa y, por lo tanto, no procedemos de esta manera.
Si la fuerza resultante se puede obtener en forma directa, se ahorra esfuerzo, pero en la mayoria de los casos de paredes curvas es más fácil obtener por separado las dos componentes de la fuerza resultante.
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2.7 SUPERFICIES BIDIMENSIONALES
71
2.6.2 Línea de acción
Para encontrar dónde se aplica la fuerza resultante, cada componente se considera por separado. Primero tomamos momentos relativos al eje y, que es la línea perpendicular a la
página que pasa por el origen del sistema coordenado. El brazo del momento para Fx es z,
de modo que
.
Fx xz=pgS>(h - z)dz
y podemos demostrar que
z=lh
3
De nuevo, este resultado se pudo haber anticipado a partir del análisis previo; la componente horizontal de la fuerza resultante sobre una pared plana de anchura constante actúa
en un punto a un tercio desde el fondo de la pared, sin importar la inclinación de la misma.
A continuación se consideran los momentos respecto al eje y. El brazo del momento
para Fz es X, de modo que
FzXX = pgS:(h - Z)XdX = pgS:(h - :: )XdX
y encontramos que
x =2 a
8
Ésta es también la posición del centroide del volumen de agua que sostiene la pared parabólica, lo cual pudiera no ser obvio ya que no es un hecho común. Esta conclusión es similar a la obtenida para una pared plana inclinada. De hecho, éste es un resultado general: la
componente vertical de la fuerza resultante sobre cualquier superficie actúa en el centroide
del volumen de líquido que soporta (en general se denomina volumen desplazado), sin importar la forma de la pared. Esta observación se considera en la sección 2.9.
2.7 SUPERFICIES BIDIMENSIONALES
En problemas de hidrostática el siguiente nivel de complejidad se presenta cuando la superficie es plana, pero con anchura variable, que se conoce como superficie bidimensional. La fuerza en la superficie depende de su profundidad y anchura. Un ejemplo es la
figura 2-19, donde se muestra una placa triangular con una vista lateral y una en planta. La
placa es simétrica, con altura t y base de anchura de 2a. Su vértice superior se localiza a
una profundidad L sen () debajo de la superficie del agua. La superficie del agua y la cara
externa de la placa están abiertas a la atmósfera, de manera que es posible usar la presión
manométrica. ¿Cuál es la fuerza resultante debida a la presión del agua y dónde actúa?
Lo primero es definir un sistema coordenado. Una buena opción es ubicar el origen, 0,
en el vértice superior, de modo que la coordenada y quede a lo largo de la línea central de la
placa, apuntando hacia la base, y la coordenada x hacia fuera del papel en la vista lateral
cerca de la parte superior de la figura 2-19. Después se marca un elemento de área dA en la
superficie de la placa, donde dA = dx dy. La profundidad del elemento dA es (y + L) sen () y,
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72
CAPíTULO 2
ESTÁTICA DE FLUIDOS
Pa
x'
y
a
\..
dA
y"
-x=P'"
'ay~
FIGURA 2-19
en planta .
a '"
Vista en
planta
1
Placa triangular con presión de agua en un lado y presión de aire en el otro; vistas lateral y
por 10 tanto, la presión manométrica que actúa en dA es Pg = pg(y + L) sen 8, y la fuerza
en dA es
dF = Pg dA
= pg(y+ L) sen 8 dA
= pg(y + L) sen 8 dx dy
de modo que .
F =
ff pg(y+ L) sen 8 dx dy
Ésta es una integral doble con una integración en x y otra en y. Podemos elegir cuál se integrará primero, y dado que la presión sólo depende de la profundidad, esto es, sólo de y y
no de x , quizá sea mejor primero hacer la integración en x. Podemos escribirla como
F=fpg(y+L)sen8(f dx)dy
La integración en x se hace manteniendo constante a y, de manera que los límites de integración vayan de un lado a otro de la placa a una y constante. El valor de x en la orilla positiva de la placa es ay/ t y en la orilla negativa, -ay/ t. La integración en x expande al
elemento originalmente cuadrado dA a una banda de anchura dy y longitud 2ay/ t. La siguiente integración en y expande esta banda hasta el área completa de la placa, y así los límites en y son O y t. Esto es
( ay
J
I
F=fopg(y+L)sen8
f~Y dx dy
= f>g(Y+L)Sen8(2;y )dY
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2.7 SUPERFICI ES BID IM ENSIONALES
73
Al completar la integral en y se obtiene
F = pga l (L + 2; )sen ()
(2.13)
Para encontrar el punto de aplicación de F, necesitamos considerar los momentos. El área
es simétrica y, por lo tanto, el punto de aplicación queda en algún lugar a lo largo del eje y.
Para encontrar dónde exactamente, tomaremos momentos respecto al eje x .
El brazo del momento de la fuerza dF respecto del ejex está dado por y, así que dM, el
mometo de dF respecto al eje x, está dado por
dM
= yx dF = pg sen () y(y + L) dA
El momento total, M , puede encontrarse por integración. M también está dado por la fuerza resultante, F, multiplicada por su brazo del momento Ji respecto al eje x, así que
M = FxJi = pgsen() f y(y+L)dA
Entonces
y
(2.14)
Para demostrar las consecuencias de elegir un eje diferente del momento , seleccionemos el eje del momento a través del punto 0', donde O' se localiza en la intersección entre
el eje yy la superficie del agua (figura 2-19). Todavía medimos yy Ji desde el punto O.
Entonces
dM = (y + L) x dF = pg sen ()(y + L)2 dA
F x
(Ji + L) = pg sen () f (y+ L)2dA
- L1
f '(
L)2(2aY )d
y+ - a l (L+ 2 o y+
-1- y
¡)
=
2
f ' (y 3 +2y2L+ yL2 )dy
12 (L + 1f" ) o
=
2
[y4 + 2 y 3L + y2 L2 ] 1
12(L+2j) 4
3
2
o
2
= (L + 1f" )
[ /2 21L L2]
4+3+2
1 I (3 1 2 + 8IL + 6L2 )
6(L + 23 )
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74
CAPíTULO 2
ESTÁTI CA DE FLUIDOS
Entonces
y
(2.15)
Así tenemos la misma respuesta de antes (véase ecuación 2.14), pero los cálculos son más
complicados. Siempre es conveniente pensar un poco antes de elegir el sistema de coordenadas para un problema particular. La selección "correcta" ayudará a reducir la complejidad del álgebra y la posibilidad de cometer errores.
Resumiendo:
A) Para encontrar la fuerza resultante.
Paso 1.
Paso 2.
Paso 3.
Paso 4.
Paso 5.
Escoja un sistema de coordenadas. El mejor sistema es el que permite expresar
la forma de la superficie de la manera más directa posible. Muestre con claridad
el origen y las direcciones del sistema coordenado.
Elija un elemento de área dA sobre la superficie.
Encuentre la profundidad de dA, es decir, la distancia debajo de la superficie,
medida verticalmente hacia abajo.
Determine si es posible utilizar presión manométrica en vez de presión absoluta. La presión manométrica que actúa sobre dA es P$' donde P g = P - P a =
pg X profundidad. Si es posible usar la presión manometrica, la fuerza aplicada
sobre dA es dF = Pg x dA.
Integre para encontrar F. Para una integral doble, primero integre para una profundidad constante. La forma de la superficie determina los límites de integración.
B) Para encontrar los puntos de aplicación tome los momentos.
Paso 1.
Paso 2.
Paso 3.
Busque simetría, ya que ésta siempre lleva a simplificaciones. Así, en el ejemplo
antes planteado, F actuará sobre el eje y, de modo que x = O.
Elija el eje respecto al cual se tomarán los momentos (el eje x en el ejemplo previo). Entonces, dM = yx dF, donde yes el brazo del momento de dF respecto
del ejexy F x Ji = JdM = JyX dF. Cuando se pueda usar la presiónmanométrica, F x Ji = JYPg dA.
Integre para encontrar M. Para una integral doble, primero integre a una profundidad constante. La forma de la superficie determina los límites de integración.
EJEMPLO 2.7 Selección de ejes para los momentos
Considere un tanque rectangular lleno de agua con una compuerta triangular en una de las
paredes laterales (figura 2-20). La orilla superior de la compuerta está al nivel de la superficie del agua. En todas las partes externas del tanque se aplica presión atmosférica. La
compuerta se sostiene con tres pernos. Encuentre la fuerza sobre cada perno.
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2.7 SUPERF ICIES BIDIMENSIONALES
FIGURA 2-20
75
Pared con compuerta triangular.
Solución puesto que la compuerta está en equilibrio estático, la suma de las fuerzas
debe ser cero. Esto es, en la dirección horizontal,
F I + F2 + F3 - F =0
donde F es la fuerza que la presión del agua ejerce sobre el área de la compuerta. Para resolver F I , F 2 YF3 es claro que se requiere información adicional, la cual se obtendrá de la
ecuación del momento; dado que la compuerta está en equilibrio estático, la suma de los
momentos también debe ser cero. Esto es cierto para cualquier eje que se escoja, pero algunos ejes son mejores que otros. Por ejemplo, si seleccionamos el eje z, no es necesario considerar FI y F 2 , ya que no tienen momentos con respecto a ese eje (su brazo del momento
con respecto al eje z es cero). Por lo tanto, el momento que ejerce F3 respecto al eje z debe
balancearse con el momento que F aplica respecto al eje z, y F3 se puede encontrar en forma directa. De manera similar, F 2 puede hallarse considerando los momentos respecto del
•
eje y, y así, junto con LF = 0, tenemos tres ecuaciones para tres incógnitas.
EJEMPLO 2.8 Superficies bidimensionales complejas
¿Cuál es la fuerza hidrostática, que se aplica en la compuerta de la figura 2-21 debida a la
presión?
Solución la forma de la compuerta es bastante compleja y es mejor tratarla en dos partes, de manera que las fuerzas aplicadas a la izquierda y a la derecha de la compuerta se en-
FIGURA 2-21
Compuerta con sección circular de un lado y sección triangular del otro.
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76
cAPiTULO 2
ESTÁTI CA DE FLUI DOS
cuentren por separado, y la fuerza resultante se encuentre por adición simple. Aquí no se
dará la solución completa, sólo una guía para resolver el problema: el resultado básico para
el lado izquierdo es
debido a que p es una función de z (solamente) es mejor primero hacer la integración respecto a y. La integración se puede completar mediante una tabla de integrales estándar.
Para encontrar la fuerza sobre el lado derecho es necesario subdividir el área como sigue: la mitad de arriba (A 2t ) está descrita por la ecuación z = a - y, esto es, y = a - z, y la
mitad inferior (A 2b ), por la ecuación z = y - a, es decir, y = a + z. Para la mitad superior
F 2t =
f pdA = f: a P(Z)(f: -z dY)dZ
F 2b =
f pdA
2t
y para la mitad de abajo
2b
•
= faP(z)(f:+z dY)dZ
2.8 **CENTROS DE PRESiÓN, MOMENTOS DE ÁREA
Existen otras formas de resolver estos tipos de problemas. Una forma tradicional en muchos libros de texto es señalar que la hidrostática tiene mucho en común con la mecánica
de sólidos. En particular, para el problema con la placa triangular (figura 2-19) sabemos
que el centroide del triángulo está situado a una profundidad (L + 2:) sen epor debajo de la
superficie del agua. La presión manométrica en este punto es pg(L + 2:) sen de modo
que a partir de la ecuación 2.13 podemos ver que la fuerza resultante sobre la placa triangular es igual a la presión en el centroide por el área de la placa a t. Este es un resultado general para superficies planas, así que
e,
La fuerza resultante que actúa en una placa plana está dada por la presión en el centroide, Pe' multiplicado por el área de la placa. Es decir,
F=PeA.
(2.16)
Esta observación sólo es útil si sabemos dónde está el centroide.
Otro resultado interesante se puede obtener considerando la suma de los momentos. Si
escogemos un nuevo sistema coordenado [x', y'] situado en el punto O' (figura 2-19) y medimos el brazo del momento y' desde el eje x', entonces, tomando los momentos respecto
del eje x'
dM = yx dF = y'(pg sen e y') dA
Esto es
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2.8 CENTROS DE PRESiÓN, MOMENTOS DE ÁREA
F
X
Ji' = pg sen e
77
f y'2 dA
= pg sen e/x'
f
d?nd,e / x ' = y' 2 dA. Esta integral representa el segundo momento del área con respecto al
eJex.
Podemos continuar añadiendo otro sistema de coordenadas [x", y"] con su origen localizado en el centroide O", a una distancia [x c' yJ desde O'. Entonces, y' = y" + Ye ' Y
f y'2 dA = f (y" +2ye y" + y~) dA
= f y" dA + f 2 Yey" dA + f y~ dA
La integral f 2 Y y" dA = 2 Y f y" dA Yf y" dA es el primer momento de área respecto al
eje que pasa a través del centroide, el cual vale cero por la definición del centroide. Así
I x' = f y" 2 dA + f y~ dA = f y" dA + y;j dA
Ix' =
2
2
e
e
2
o
Este es el teorema de los ejes paralelos, donde I x' es el segundo momento del área con respecto al eje arbitrario x', I xe es el segundo momento del área con respecto al eje x" que pasa
a través del centroide, y Y e es la distancia entre los ejes x' y x ". Por último,
F x
Ji' = pg sen e/x'
de manera que
Por lo tanto, si se conocen la posición del centroide y el momento de área respecto al
centroide, la línea de acción se puede encontrar mediante
1
Y' = ~ + y
Ye A
(2.17)
e
Este resultado también muestra que el punto de acción de la fuerza resultante es siempre
más bajo que la posición del centroide. Para ilustrar este punto físicamente, considere una
placa plana rectangular simple orientada en forma vertical. La presión que actúa sobre el
área se incrementa con la profundidad, de modo que tiene un valor más alto a profundidades mayores y por lo tanto, la fuerza resultante siempre se aplicará por debajo de la mitad
de la placa, es decir, actúa por debajo del centroide del área.
Los métodos basados en centroides y momentos de inercia son una forma de resolver
los problemas de la hidrostática. Éstos requieren conocer la posición del centroide y del
momento de inercia para la forma en cuestión, y aunque muchas formas comunes están tabuladas en manuales, las formas irregulares necesitan evaluarse desde los principios bási-
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78
CAPíTULO 2
FIGURA 2-22
ESTÁTICA DE FLUIDOS
Bote con forma en "V" flota ndo en agua.
coso Asimismo, a menos que se tenga mucho cuidado, existe la posibilidad de una amplia
gama de errores si para encontrar momentos de área, se toman ejes diferentes de los regulares. Por último, estas aproximaciones tienden a oscurecer la fisica básica detrás del problema. Por todas estas razones, no es recomendable usar estos métodos simples; en su
lugar, se sugieren los métodos fundamentales planteados en la sección 2.7.
2.9 PRINCIPIO DE ARQuíMEDES
En las secciones 2.5 y 2.6 se estableció que la fuerza vertical aplicada en una pared inclinada o curva es igual al peso del fluido que sostiene la pared y que su línea de acción pasa por
el centroide. Con este resultado se puede hacer algo más.
Considere un bote con forma de "V" que flota en agua, donde su peso es W (figura
2-22). El punto más bajo del bote está a una distancia hpor debajo de la superficie del agua.
El bote está en equilibrio de modo que la fuerza resultante que se le aplica es cero (el momento resultante también debe ser cero). La componente horizontal de la fuerza, debida a
la presión del agua aplicada en la mitad de la izquierda del casco, actúa hacia la derecha y
en la mitad derecha, hacia la izquierda. Puesto que son de la misma magnitud y se aplican
en la misma profundidad, se cancelan. Respecto a las fuerzas verticales, sabemos que el
peso del bote se balancea por la suma de las dos fuerzas verticales que produce la presión
del agua aplicada en las dos mitades del casco. Las dos componentes verticales actúan hacia arriba y, como son de la misma magnitud, se suman. Mediante el mismo resultado que
se halló en la sección 2.5
(En el límite, se observa que cuando (J ---,) nl2, el peso que puede soportar la presión del
agua tiende a cero, que es el comportamiento íimitante correcto).
Observe que el volumen del fluido desplazado es wh 2 Itan (Jy su peso, W, está dado por
p gwh 2 Itan (J. En otras palabras, el peso del bote se balancea por una fuerza de flotación
igual al peso del agua que desplaza el bote. Dado que no'hay un momento resultante (todos
los momentos se cancelan), la fuerza resultante debe actuar a través del centroide del fluido desplazado, en línea con el peso. Estas observaciones se pueden expresar en forma general en el conocido principio de Arquímedes.
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2.9
PRINCIPIO DE ARQuíMEDES
79
La fuerza de flotación en un sólido es igual al peso del líquido que desplazó y actúa a
través del centroide del volumen desplazado.
a amplia
los regus del proles; en su
d inclinanpasapor
W (figura
del agua.
ro (el mo,debida a
derecha y
se aplican
os que el
la presión
ctúan haltado que
El centroide del fluido desplazado también se conoce como centro de flotación.
Para un ejemplo diferente que involucre fuerzas de flotación considere una lancha de
acero flotando en un estanque pequeño. La lancha contiene una cantidad de barras de acero
y, por tanto, desplaza cierta cantidad de agua (el peso del fluido desplazado debe ser igual
al peso de la lancha más el peso de las barras de acero). La profundidad máxima del agua
es h, (figura 2-23). Un accidente voltea la lancha, de modo que las barras de acero caen al
agua y, dado que tienen una densidad mucho mayor que el agua, se hunden hasta el fondo.
En estas condiciones, la máxima profundidad del agua es h2. ¿Cómo se comparan h¡ y h2 ?
Hay tres respuestas posibles: h, > h2, h, = h2 o h; < h2. ¿Cuál es la correcta?
Al principio, el peso total del agua desplazada es igual al peso de la lancha más el peso
de las barras de acero. Puesto que la densidad del acero es mayor que la del agua (el acero
tiene una densidad de 7 850 kg/rrr', en comparación con la del agua, que es de 998 kg/rrr',
de modo que la gravedad específica del acero es 7.86), el volumen de agua desplazado es
mucho más grande que el del acero. Después de que la lancha se voltea y las barras de acero se hunden hasta el fondo, el agua que desplaza la lancha es tal que el peso de esa agua
iguala al peso de la lancha. Las barras de acero también desplazan el agua, pero como éstas
no flotan, sólo desplazan un volumen de agua igual a su propio volumen. Este volumen es
mucho menor que el que desplazan las barras de acero cuando flotan, de manera que la respuesta correcta es h¡ > h2 .
EJEMPLO 2.9
La punta de un iceberg
Considere un iceberg flotando en agua, para encontrar la fracción del volumen del iceberg
que sobresale de la superficie del mar.
Solución si el volumen del iceberg es \/ y la fracción que se observa sobre la superficie es ~ \/, la fuerza de flotación que actúa hacia arriba en el iceberg está dada por
p swg(\/ - ~ v), donde p sw es la densidad del agua de mar. Para el equilibrio estático, ésta
debe ser igual al peso del iceberg, que está dado por P hielog\/, donde p hielo es la densidad
del hielo. Esto es
.
p swg(\/
- ~ v) = P hielog\/
resión del
, dado por
flotación
T
nte (todos
e del fluiforma ge-
h¡
FIGURA 2-23
T
h2
Lancha flotando con barras de acero (izquierda) y vacía (derecha).
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80
CAPiTULO 2
ESTÁTI CA DE FLUIDOS
así que
~ V = 1 _ P hielo
V
P SlV
El hielo tiene una densidad de 920 kg/m 3, y el agua de mar de 1 025 kg/m 3 (tabla A-C.7).
Entonces
~V = 0.102
V
de modo que sólo aproximadamente 10 % del cuerpo del iceberg es visible por encima de
•
la superficie (figura 1-8).
2.10 **ESTABILlDAD DE CUERPOS FLOTANTES
Los cuerpos flotantes están en equilibrio bajo las fuerzas de cuerpo (el peso de la embarcación) y las fuerzas de flotación (el peso del fluido desplazado). Las líneas de acción de estas fuerzas determinan la estabilidad del cuerpo (figura 2-24). La fuerza de cuerpo, W,
actúa a través del centro de gravedad del cuerpo, CG, y la fuerza de flotación, F B , se aplica
a través del centroide del volumen del fluido desplazado, es decir, el centro de flotación, c.
El cuerpo es neutralmente estable si las líneas de acción son colineales y estable si producen un momento que tiende a enderezar la embarcación (figura 2-24a). Es inestable si el
momento tiende a voltear la embarcación (figura 2-24b).
2.11 **FLUIDOS EN MOVIMIENTO DE CUERPO RíGIDO
Antes establecimos que un fluido en movimiento también puede estar en equilibrio estático, en tanto que todas las partes del fluido se muevan juntas como en un cuerpo rígido. En
el movimiento de cuerpo rígido no puede haber movimiento relativo dentro del líquido;
ninguna parte del líquido se puede mover con respecto a cualquier otra parte. Cuando el
fluido y su recipiente se mueven a velocidad constante, dicho sistema está en una simple
translación y no hay fuerzas adicionales actuando. Sin embargo, cuando este sistema se
acelera debe considerarse la fuerza de inercia y es necesario un nuevo análisis.
FIGURA 2-24
Estabilidad de los cuerpos flotantes: a) estable, b) inestable.
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2. 11 FLUIDOS EN MOVIMIENTO DE CUERPO RiGIDO
81
2.11.1 Aceleración vertical
Considere un recipiente que se mueve en dirección vertical con una aceleración a z . El fluido está en movimiento de cuerpo rígido. La segunda ley de Newton establece que para una
masa fija de fluido que se acelera:
{masa de fluido x aceleración} = {fuerzas debidas a la diferencia de presiones} + {peso del fluido}
Para un elemento pequeño de fluido cuyo volumen es oxoyoz, y en el cual la dirección positiva de z es vertical hacia abajo como en la figura 2-25
(poxoyoz)a z = (p -
dp oz Ihoy _(p + dp oz \XOy + (poxoyoz)g
dz2J
dz2J
donde se usa una expansión en series de Taylor (sección A-A. 8.4) para expresar la presión
en las caras de encima y abajo en términos de la presión en el centro del elemento. Por lo
tanto
dp
paz =- -+pg
dz
Esto es,
(2.18)
¿Qué pasa cuando el recipiente está en caída libre bajo la gravedad? En este caso, a z = g,
ya que z es positiva hacia abajo y las variaciones de la presión hidrostática en el recipiente
tienden a cero. Esto es válido para todos los fluidos en caída libre. Por ejemplo, el chorro
de agua que sale de un tanque estará en caída libre bajo la gravedad y dentro del chorro no
habrá variaciones de presión hidrostática. En el espacio, donde la gravedad es cero, dado
que la nave espacial está esencialmente en caída libre, la presión de cualquier fluido será
constante y lo único que mantiene unido al fluido, en un recipiente abierto, es la tensión superficial.
En contraste, cuando el recipiente se acelera hacia arriba, las variaciones de presión
en el fluido aumentan por encima de sus valores estáticos. Los astronautas acelerándose
hacia el espacio a "niveles g" altos, deben colocarse en ángulo recto al vector aceleración
de modo que se minimicen las variaciones de presión en sus cuerpos, y sus corazones puedan soportar con la carga extra que imponen los incrementos de las diferencias de presión.
oy
I
I
p
I
I
I
p
I
I
Oz
/-----"" ... ""
ÓX
dpoz
dz 2
p + --
FIGURA 2-25
Equilibrio estático de un elemento de fluido bajo la acción de la gravedad y una aceleración
vertical constante.
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82
CAPITU LO 2
ESTÁTICA DE FLUIDOS
2.11.2 Aceleraciones vertical y horizontal
Considere un recipiente con aceleraciones en las direcciones horizontal y vertical, a x y a z '
respectivamente (figura 2-26). La ecuación de movimiento en la dirección z (ecuación
2.19) se expresa como
ap =p(g-a )
az
z
(2.19)
Las derivadas parciales son necesarias porque la presión es ahora una función de x y z. La
ecuación de movimiento en la dirección x da
(poxoyoz )a x = (p - dp ox
dx 2
)OYOZ _(p + dp ox )OYOZ
dx2
Por lo tanto
ap =- pa
ax
x
(2.20)
Las ecuaciones 2.19 y 2.20 son ecuaciones diferenciales parciales de primer orden que se
pueden resolver como sigue. Integrando la ecuación 2.19 con respecto a z se obtiene
p=p(g-a z )z + f(x )+C¡
(2.21)
donde f(x) es una función incógnita de x (solamente), y C¡ es una constante de integración. Integrando la ecuación 2.20 con respecto a x resulta
(2.22)
donde g(z) es una función incógnita de z (solamente), y C 2 es otra constante de integración. De las ecuaciones 2.21 y 2.22 se concluye
p = p(g - a z )z - paxx + C
(2.23)
(Cuando se resuelven ecuaciones diferenciales parciales simultáneas siempre se recomienda verificar que las ecuaciones originales, en este caso las ecuaciones 2.19 y 2.20,
puedan recoblarse derivando las soluciones.)
op OX
p+ - -
OX 2
op 02
p+ - OZ 2
FIGURA 2-26 Equilibrio estático de un elemento de fluido bajo la acción de la gravedad , y aceleraciones
constantes vertical y horizontal.
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2.11
FLUIDOS EN MOVIM IENTO DE CUERPO RíGIDO
83
Para una superficie a presión constante (una superficie isobárica), el lado izquierdo de
la ecuación 2.23 es constante. La pendiente de una superficie isobárica se puede encontrar
derivando esta ecuación, mientras p se conserva constante. Es decir, la pendiente de una
superficie isobárica se puede dar como
dz
ax
dx
g-a z
(2.24)
En la superficie libre, la presión es constante e igual a la presión atmosférica, así que la
ecuación 2.24 proporciona la pendiente de la superficie libre. De hecho, dado que a x ya z
son constantes a través del fluido, todas las superficies isobáricas tienen la misma pendiente, de manera que todas son paralelas a la superficie libre.
2.11.3 Rotación de cuerpo rígido
Un análisis similar se aplica a un volumen de fluido que rota a velocidad angular constante, como muestra la figura 2-27. En ese caso, un elemento de fluido experimenta una aceleración radial V 2 / r, donde V es la componente tangencial de la velocidad y r la distancia
desde el eje de rotación. También hay una aceleración en la dirección vertical debida a la
gravedad, de modo que la presión es una función de r y z. Si la rapidez de rotación es w
rad/s, la ecuación de movimiento en la dirección r queda
Bp
Br
= p~ = prw2
r
(2.25)
Para la dirección z (donde z es positiva hacia abajo) obtenemos la variación hidrostática
usual
Bp = pg
Bz
(2.26)
Al integrar la ecuación 2.25 con respecto a r se obtiene
p=1pr2w 2 + f'(z)+C 3
(2.27)
y la ecuación 2.26 con respecto a z
p = pgz
FIGURA 2-27
+ g/ex) + C 4
Fluido en movimiento de cuerpo rígido bajo rotación.
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(2.28)
84
CAP íTULO 2
ESTÁTICA DE FLUI DOS
De las ecuaciones 2.27 y 2.28
(2.29)
Para encontrar a e', se requiere conocer la presión en un punto dado. En la superficie libre,
la presión es igual a la presión atmosférica, de manera que p = Pa en r = z = OY
(2.30)
Sobre el eje, donde r = O, la aceleración radial es cero y la superficie libre es horizontal.
Lejos del eje de rotación, la superficie está inclinada hacia la horizontal y vemos que la superficie libre forma una parábola de revolución, como lo hacen todas las superficies isobáricas (figura 2-27). Pregunta: ¿Dónde se encuentra la presión máxima dentro de un
recipiente cilíndrico?
EJEMPLO 2.10 Movimiento de cuerpo rígido
Para el caso de la figura 2-28 encuentre la aceleración horizontal que haría que el agua se
derrame fuera del recipiente.
Solución de la ecuación 2.24 sabemos que
dz = ~ = ~
g-a z
g
dx
ya que a z = O. El fluido se derramará fuera del recipiente cuando
dz .!J. 2
_ =.l...= _
dx
9
2
3"
lo cual requiere de una aceleración horizontal
a x = lg
9
T
h
Jl~2=h~/3;===========~==~
•
L
o
¡.I,- - - -
3" - ----1.1
Fluido en movimiento de cuerpo rígido bajo la acción de la gravedad y una aceleración horizontal constante.
FIGURA 2-28
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PROBLEMAS
85
PROBLEMAS
2.1 Exprese las presiones siguientes en psi:
a) 2.5 x 105 Pa
b) 4.3 bar
e) 31 pulg Hg
d) 20pieHp
2.2 Exprese las siguientes presiones en Pa.
a) 3 psia
b) 4.3 bar
e) 31 pulg Hg
d) 8 mHp
2.3 Exprese las siguientes presiones absolutas como presiones manométricas en unidades SI y
BG:
a) 3 psia
b) 2.5 x 105 Pa
e) 31 pulgHg
d) 4.3 bar
e) 20pieHp
2.4 En una prensa hidráulica se aplica una fuerza de 200 N sobre un pistón pequeño (10 cm2 de
área). Determine la fuerza que aplica el pistón grande (100 cm2 de área), si los dos pistones
están a la misma altura.
2.5 ¿Cuál es la fuerza que produce el pistón grande de la prensa hidráulica del problema anterior,
si estuviera a 2 m por encima del pistón pequeño? La densidad del fluido hidráulico es 920
kg/m 3 .
2.6 Un aparato consta de un tubo cilíndrico añadido a un tanque rectangular que se llena con agua
como ilustra la figura P2.6. Ignorando el peso del tanque y del tubo, determine la fuerza total
en el fondo del tanque. Compare el peso total del agua con este resultado y explique las diferencias.
Pa
FIGURA P2.6
2.7 La presión manométrica en la superficie del líquido dentro del tanque cerrado de la figura
P2.7 es 4.0 psi. Encuentre h si el líquido del tanque es
a) agua,
b) keroseno,
e) mercurio.
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86
CAPíTULO 2
ESTÁTICA DE FLUIDOS
Pa
h
1-----1---.1..
FIGURA P2.7
2.8 Encuentre el diámetro máximo posible del agujero circular de modo que el tanque circular de
la figura P2.8 permanezca cerrado; la tapa tiene una masa de 50 kg.
100 kPa (presión manométrica)
/'
1
1
2.0 m
I
1.5m
Agua
_i
i=======:9-----,--i
FIGURA P2.8
2.9 Un cilindro hueco con diámetro de 1 m tiene un fondo cerrado que se empuja en una alberca
hasta una profundidad de 3 m. El cilindro está abierto a la atmósfera en la parte superior y la
alberca está al nivel del mar.
a) Encuentre la fuerza que actúa en el fondo del cilindro cuando la alberca contiene agua
fresca, y la presión del aire es constante en todas partes.
b) ¿Cuál es la respuesta al inciso a), si la alberca tiene agua de mar?
e) ¿Cómo cambia la fuerza del inciso a) si se considera la variación de la presión del aire
dentro del cilindro?
d) ¿Las respuestas de los incisos a), b) y c) cambian cuando la alberca se ubica en la cima
de una montaña a 5 000 m?
2.10 En el manómetro de la figura P2.1Oambas ramas están abiertas a la atmósfera y está lleno con
los líquidos A y B como se indica. Encuentre la proporción entre las densidades de los fluidos.
r
40"
FI~:oZ.
1f~ FI""O~ J
T1
f
22"
1
FIGURA P2.10
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PROBLEMAS
87
2.11 Encuentre la presión a una elevación de 3 000 m si la temperatura de la atmósfera disminuye
c"n una rapidez de 0.006 K por m. La temperatura al nivel del suelo es de 15°C, y la lectura
del barómetro indica 29.8 pulg Hg. (La constante de gas para el aire es 287.03 m 2s2K.)
2.12 En un punto particular del océano Pacífico la densidad del agua de mar se incrementa con la
profundidad de acuerdo con P = Po + mz 2 , donde Po es la densidad en la superficie, z la profundidad debajo de la superficie y muna constante. Desarrolle una ecuación algebraica para la
presión en función de la profundidad.
2.13 Si la gravedad específica del concreto es 2.4, encuentre las reacciones verticales R 1 YR 2 por
unidad de ancho del dique de concreto que ilustra la figura P2.13.
FIGURA P2.13
2.14 La compuerta de la figura P2.14 tiene una anchura w y una altura H y está pivotada con una
articulación sin fricción en un punto z* por debajo de la superficie del agua. La parte alta de la
compuerta está a nivel con la superficie del agua. La densidad del agua es p , y la presión es
uniforme en todas las partes externas del tanque e igual a la presión atmosférica.
a) Encuentre la magnitud de la fuerza resultante, F , sobre la compuerta en términos de p,g,
wyH.
b) Encuentre la posición de la línea de pivotado z* por debajo de la parte alta de la compuerta, de modo que no haya momento resultante respecto a la articulación y la compuerta se abra.
Pa
/
Densidad
del agua
p
Articulación sin fricción
Pa
!g
FIGURA P2.14
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88
CAPíTULO 2
ESTÁTICA DE FLUIDOS
2.15 Una compuerta cuadrada de 3 pie en un dique vertical está expuesta al aire con presión atmosférica de un lado yagua del otro. La fuerza resultante se aplica a 2 pulg del centro de la compuerta. ¿Qué tan lejos debajo de la superficie del agua está la orilla superior de la compuerta?
2.16 Una compuerta de anchura w permanece de manera vertical en un tanque, como muestra en la
figura P2.l6, y se conecta al fondo de éste con una articulación sin fricción. De un lado, el tanque se llena a una profundidad h l' con un fluido de densidad PI; del otro lado se llena con otro
fluido a una profundidad h 2 con densidad P2' Encuentre h 2 / h I en términos de pzI PI si la compuerta está en equilibrio estático.
Pa
Fluido con
densidad
p,
Fluido con
densidad
P2
Articulación
FIGURA P2.16
2.17 El tanque de la figura P2.l7 tiene una compuerta que gira con respecto a una articulación vertical sin fricción. Encuentre la relación entre las profundidades del agua h / h 2 en términos de
las densidades PI y P2 cuando la compuerta está en equilibrio estático.
Articulación
~w~________ _
l~~__~~-+~~
densidad
p,
densidad
P2
FIGURA P2.17
2.18 Una compuerta rectangular se coloca en el muro de un dique como ilustra la figura P2.l8. El
recipiente se llena con un fluido pesado con densidad P2hasta una altura igual a la altura de la
compuerta y se cubre con un fluido más ligero cuya densidad es PI'
a) Describa la variación de la presión para z ::; D y para D ::; z ::; D + L.
b) Encuentre la fuerza resultante que actúa en la compuerta, debida a los dos fluidos.
e) Encuentre el punto donde se aplica esta fuerza resultante.
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PROBLEMAS
osoma?
en la
tanotro
om-
89
4:
T
_-_ ... _.- x
z
Pl
~._--~_._----
D
--.. ...
t
Densidad
L
1
Densidad P2
Compuerta
~
FIGURA P2.18
2.19 La figura P2.19 muestra una válvula de seguridad primitiva en un recipiente a presión para
contener líquidos. El líquido es agua, de densidad p, y una profundidad constante H. La presión manométrica en la superficie del agua es Pw y la presión que actúa fuera del recipiente es
la atmosférica. La compuerta es rectangular, de alturaB y anchura W; un resorte en la articulación ejerce un momento constante en el sentido de las manecillas del reloj Mh' Encuentre Pw
para la cual la compuerta está justo en el punto de apertura.
r,
vers de
FIGURA P2.19
2.20 Una compuerta cuadrada de dimensión b separa dos fluidos de densidades p¡ y P2' como describe la figura P2.20. La compuerta está montada en una articulación sin fricción. Conforme
aumenta la profundidad del fluido de la derecha, la compuerta se abrirá. Encuentre la proporción P2/ p¡justo para que la compuerta se abra en términos de H2, H¡ Y b.
Articulación
\
t
z
1
r
p,
I
. El
ela
\
"
t
.
1
H2
P2
~-_
".-
.........•
Compuerta
.
..J/¡
FIGURA P2.20
2.21 El canal simétrico de la figura P2.21 se usa para contener agua. A lo largo del canal se añaden
alambres de acero para sujetar las paredes laterales a una distancia w. Encuentre la magnitud
de la fuerza resultante que a cada lado aplica el agua y la magnitud de la tensión en el alambre
de acero, ignorando el peso del canal.
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90
cAP iTULO 2
ESTÁTICA DE FLU IDOS
!"'ArticulaCión
FIGURA P2.21
2.22 Una compuerta delgada, unifonne y rígida de peso Mg y anchura constante b está pivotada en
una articulación sin fricción como muestra la figura P2.22. La compuerta forma un ángulo
con el suelo. La profundidad del agua en el lado izquierdo de la compuerta es H y permanece
constante. Del lado derecho de la compuerta el nivel del agua disminuye poco a poco hasta
que la compuerta está a punto de abrirse. Encuentre la profundidad D en la que esto ocurre.
e
Articu lación
Ai re a presión
atmosférica
c----...,----,/
Agua
Agua
H
FIGURA P2.22
2.23 La compuerta rectangular de la figura P2 .23 (w de ancho y Lde longitud) es de un material homogéneo, tiene una masa M y está articulada sin fricción en el punto B . Determine la masa
necesaria para mantener cen'ada la compuerta cuando la profundidad del agua en el punto B
esH.
,+
H
Agua
FIGURA P2.23
2.24
Una compuerta de anchura constante w está articulada sin fr icción con una articulación localizada en el punto O y descansa en el fondo del dique en el punto A, como ilustra la figura
P2.24. Encuentre la magnitud y dirección de la fuerza que se aplica al punto A debido a la presión del agua que actúa en la compuerta.
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,.
PROBLEMAS
Agua
91
Pa
Pa
h
A
FIGURA P2.24
2.25 La figura P2.25 muestra un acto de balance muy delicado. En un lado de la cuña sin peso hay
un fluido con densidad PI' y del otro uno con densidad P2' Si la cuña está balanceada justamente, encuentre la fracción pzI PI en términos de H1, H2 Y8.
ocurre.
J
p,
FIGURA P2.25
2.26 Una ventana rectangular con w de ancho se coloca en la pared inclinada de una alberca, como
muestra la figura P2.26. Encuentre el punto de acción de la fuerza resultante que se aplica en
la ventana.
rial hola masa
untoB
p"
d
Agua,
densidad p
-J.
ÁI-
----1
d
Pa
?------..,
1)
FIGURA P2.26
"
2.27 Un canal triangular contiene dos fluidos, con densidades PI y P2' Yprofundidades h l Yh 2' respectivamente, como ilustra la figura P2.27. Encuentre la fuerza hidrostrática resultante que
actúa en el divisor y dónde se aplica
localifigura
la pre-
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\
92
CAPíTULO 2
ESTÁTICA DE FLU IDOS
División_____..
FIGURA P2.27
2.28 Una compuerta bidimensional rígida sin peso y w de ancho separa dos líquidos con densidades PI y P2' respectivamente, como muestra la figura P2.28. La compuerta pivota en una articulación sin fricc ión y está en equilibrio estático . Encuentre la proporción P2 / PI cuando
h =b.
Po
Po
p,
PI
Articulación
sin fricción
FIGURA P2.28
2.29 Una compuerta rectangular de 1 m por 2 m, se instala en una pared con inclinación de 45 °,
como describe la figura P2.29, y se mantiene cerrada con una fuerzaF. Si la puerta tiene una
masa de 100 kg, encuentre F.
5m
~
\5·
_ _ _../ ___
t_
F
FIGURA P2.29
2.30 Una pelota de playa con peso Mg y diámetro D se arroja a una alberca. Si!a pelota apenas flo ta, ¿cuál es su diámetro?
2.31 Detennine la fracción de volumen visible para un cubo de hielo sobre: a) la superficie de un
vaso con agua fresca y b) la superficie de un vaso con etanol. ¿Estos resultados cambiarían si
estuviéramos en la superficie de la Luna?
2.32 A 1 m3 de aluminio de gravedad específica 2.7 se amarra un pedazo de corcho con gravedad
específica de 0.24, como se ilustra en la figura P2.32. ¿Qué volumen de corcho se requiere
para evitar que el bloque de aluminio se hunda en el agua, si ambas masas están completamente sumergidas por completo?
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PROB LEMAS
93
----_~_~ S uperficie
del agua
FIGURA P2.32
2.33 Un bloque cúbico de concreto de 1 pie por lado descansa en el fondo de un lago. Calcule la
fuerza necesaria para mantener el bloque a-una profundidad fija. La densidad del concreto es
2400 kg/m 3 .
2.34 Un prisma simétrico bidimensional flota en agua como muestra la figura P2.34; su base es paralela a la superficie. Si la gravedad específica del material del prisma es de 0.25, encuentre la
fracción al d.
p"
Agua
FIGURA P2.34
2.35 Una lancha rectangular de longitud L flota en el agua (densidad P,J y cuando está vacía se sumerge a una profundidadD, como en la figura P2 .35. Dentro de la lancha se vacía poco a poco
aceite con densidad Po' hasta que casi se hunde. Encuentre una relación de la profundidad del
aceite en esta situaCIón en términos de H , D, P w y Po'
D
l..':::::::::¡====;~~
Agua
" " Lancha
vacía
FIGURA P2.35
2.36 En el ejemplo de la figura 2.23 , ¿que pasará si los cilindros de acero se reemplazan por bloques de madera?
2.37 Un flotador de corcho con dimensiones A x A x A y densidad relativa de 0.24 se lanza a una
alberca con una superficie de agua con área de 2A x 2A y una profundidad inicial de 2A . Derive una expresión para la presión en el fondo de la alberca.
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94
2.38
CAPiTULO 2
ESTÁTICA DE FLUIDOS
Un cilindro circular de longitud de 3 pie y diámetro de 6 pulg flota de manera vertical en agua,
de forma que sólo 6 pulg de su longitud sobresalen del nivel del agua. Si se voltea para flotar
horizontalmente,
¿qué tan lejos quedará su eje longitudinal debajo del nivel del agua?
2.39
Un globo rígido lleno de helio tiene una masa total M y volumen V y flota en equilibrio estático a una altura dada en la atmósfera. Según el principio de Arquírnedes describa qué pasa
cuando por la borda se arroja un lastre de masa m. ¿Cómo cambia esta pregunta si el globo no
es rígido, sino que puede estirar?
2.40
El cilindro circular de la figura P2.40 tiene una densidad relativa de 0.9.
a) Si el sistema está en equilibrio estático, encuentre la densidad relativa del fluido desconocido.
b) ¿Considera que el sistema es estable?
2.43
Un flota
figura P
Encuenti
términos
densidac
T
11
D
1m
i
FIGURA
Agua
Fluido desconocido
2m
2.44
L
La COIDI
nivel del
peso pOI
FIGURA P2.40
2.41
Un cuerpo rectangular de densidad relativa de 0.8 tiene a de ancho y largo y altura b, como
ilustra la figura P2.41, donde a > b. Encuentre la posición del cuerpo respecto de la interfase
entre los fluidos.
p
I-a-J
agua
T
b
~-,,-~=-;.tJ...
FIGURA
FIGURA P2.41
2.45
2.42
Para abrir una válvula de drenaje, se usa un sistema de flotador y palanca, como describe la figura P2.42. El flotador tiene un volumen V y una densidad P I: La densidad del agua es Pw•
Encuentre la fuerza máxima disponible para abrir la válvula de drenaje, si se desprecia la fricción de la articulación. Sugerencia: primero considere las fuerzas sobre el flotador y después
el diagrama de cuerpo libre de la compuerta.
Articulación
Una con
tanque e
en laca]
figuraP
compue
tanque)
7
Superficil
del agua
FIGURA
FIGURA P2.42
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PROBLEMAS
95
2.43 Un flotador de corcho rectangular se añade rígidamente a una compuerta vertical como en la
figura P2.43. La compuerta se puede balancear mediante una articulación sin fricción.
Encuentre una expresión para la profundidad del aguaD, donde la compuerta justo se abre, en
términos de a, b, L Yh. El flotador de corcho tiene la misma anchura, w, que la compuerta y la
densidad relativa del corcho es de 0.24.
FIGURA P2.43
2.44 La compuerta bidimensional de la figura P2.44 está instalada de forma que se abra cuando el
nivel del agua llegue a una profundidad H. Si la compuerta es de un material uniforme con un
peso por unidad de área de mg, encuentre una expresión para H.
Pa
H
Pa
1r1=======~~-Arti
culación
L-I
sin fricción
FIGURA P2.44
2.45 Una compuerta rectangular de anchura w y altura h se coloca en la pared lateral vertical de un
tanque con agua. La parte alta de la compuerta está al mismo nivel de la superficie del agua;
en la compuerta se anexa un recipiente rectangular de achura w y saliente b, como muestra la
figura P2.45. Encuentre d, la profundidad del agua que se requiere en el recipiente para que la
compuerta esté a punto de abrirse, en términos de h y b. Las caras superiores y laterales del
tanque y del recipiente están abiertas a la presión atmosférica. Ignore el peso del recipiente.
Superficie
del agua
Superficie
del agua
FIGURA P2.45
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96
CAPíTULO 2
ESTÁTI CA DE FLU IDOS
2.46 Una compuerta rígida de anchura w está articulada sin fricción en un punto H sobre la superficie del agua, como en la figura P2.46. Encuentre la proporción b / H en la que la compuerta se
abre. Desprecie el peso de la compuerta.
~
Articulación
H
H
FIGURA P2.46
2.4 7 Si la compuerta sin peso que ilustra la figura P2.4 7 está justo en el punto de abertura, encuentre una expresión para B en términos' de h.
~rticul ación
Po
~
sin fricción
[
--------~----~-Agua
h
Po
z
1 pie
FIGURA P2.47
1-1
2.48 Considere que hay cierto volumen de agua dentro
del recipiente cuadrado de la figura P2.48. Las
orillas selladas de la placa inclinada están en contacto con las paredes del recipiente y la fuerza
reactiva normal y paralela a la pared es cero.
a) Encuentre la magnitud y dirección de la fuerza individual, F, necesaria para sostener la
placa en posición. Puede despreciar el peso
de la placa.
b) ¿Dónde actúa la fuerza F?
e) Si la placa inclinada se reemplaza por una
horizontal, encuentre la posición relativa de
la nueva placa si la fuerza que se usa para
mantener su posición tiene la misma magnitud de antes. El volumen del fluido se mantiene igual que el anterior.
Abierto a la
/ ,atmósfera
3 pie
~
T
2 pie
~
Abiertoalay
atmósfera 1 - 5 p i e - !
FIGURA P2.48
"
",
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PROBLEMAS
97
2.49 La figura P2.49 describe un envase de anchura constante, w, que contiene agua con densidad
p. Por encima de la superficie del agua se introduce aire a una presión P l' En el punto O, que
se localiza a la misma altura de la superficie del agua, hay un respiradero rectangular de seguridad con tapa de anchura w y longitud t, articulada sin fricción. ¿A qué presión se abrirá la
tapa? Exprese la respuesta en términos de w, d, t, Mg, y p.
e
PI
'------...,
ArticU~OÁ
e
d
f>
FIGURA P2.49
2.50 Un recipiente de anchura constante, w, se llena con agua; y su superficie está abierta a la presión atmosférica. De un lado hay una válvula de alivio, como ilustra la figura P2.50. La válvula de alivio tiene el mismo ancho que el recipiente y una longitud D. Está articulada sin
fricción en el punto A. En el punto B se conecta a la compuerta una masa M para mantenerla
cerrada. Encuentre M, en términos de H, D, y p, donde p es la densidad del agua.
e
t
H
~ A~D
-
B/
~
M
FIGURA P2.50
2.51 La escotilla submarina de escape rectangular que muestra la figura P2 .51
(de anchura w y longitud L) se abrirá
cuando la presión constante dentro de
la cámara, Pi' exceda un valor crítico, P ic' La escotilla tiene una masa
despreciable y está articulada sin fricción en el punto A a una profundidad
D debajo de la superficie. Encuentre
P ic' en términos de w, L, D, p, g y e.
Agua
densidad p
Pi
Escotilla de escape
Cámara submarina
FIGURA P2.51
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98
CAPíTULO 2
ESTÁTICA DE FLUIDOS
2.52 La compuerta AB de la Figura P2.52 es rectangular con longitud L y anchura w en dirección
perpendicular a la página. La compuerta tiene una articulación sin fricción en el punto A y se
sostiene contra un tope en el punto B con un peso Mg. Despreciando el peso de la puerta, desarrolle una expresión para la altura del agua, h, en la que la compuerta empezará a alej arse
del tope.
Po
h
Pa
P = densidad
del agua
FIGURA P2.52
2.53 La compuerta de la figura P2.53 tiene una anchura constante, w, en dirección perpendicular a
la página. La compuerta tiene una articulación sin fricción en el punto A y se sostiene contra
un tope en el punto B. Ignorando el peso de la compuerta, encuentre la magnitud de la fuerza
resultante que el agua aplica en la compuerta y la dimensión b para la cual no hay fuerza sobre
la compuerta en el punto B.
TA
h
Presión
atmosférica
Presión
atmosférica
-t-¡.....--..------t- L'====:;-:::::7,
h
h
-t-h
t
Agua
B
FIGURA P2.53
2.54 Un tanque con agua de densidad p tiene una compuerta simétrica triangular de altura H y anchura máxima de 2a, como muestra la figura P2.54. Calcule la fuerza, F, que el agua ejerce en
la compuerta y dónde actúa, en términos de p, g, h, H ya. La presión del aire fuera del tanque
es uniforme en todas partes.
y
FIGURA P2.54
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PROBLEMAS
99
2.55 Una compuerta rígida bidimensional sin peso de anchura w separa dos líquidos de densidad PI
y P2respectivamente. La compuerta tiene una cara parabólica, como describe la figura P2.55,
y está en equilibrio estático. Encuentre la razón P2/ PI cuando h ¡= t .
y
Densidad
del fluido PI
Densidad
del fluido P2
Pivote
Cara
parabólica
FIGURA P2.55
2.56 Una compuerta rígida triangular sumergida está articulada como ilustra la figura P2.56.
a) Encuentre la magnitud y dirección de la fuerza total que el agua aplica sobre la compuerta.
b) A un brazo de palanca rígido de longitudL, se aplica un peso Mg, para mantenerla cerrada. ¿Cuál es el valor de la profundidad del agua D cuando esta compuerta está a punto de
abrirse? Puede despreciar el peso de la compuerta misma y el peso del brazo de palanca.
Superficie del agua
\
L--J
Superficie del agua
/
t
1-2b-1
I-b I
I
Superficie
del agua~
!
Articulación
1---.(1)
Vista lateral
T
T
D
a
Vista posterior
FIGURA P2.56
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HIO
CAPíTULO 2
ESTÁTI CA DE FLUIDOS
2.57 Una compuerta circular de radio R se monta a la mitad de una cara vertical del dique de la figura P2.57. El dique está lleno de agua hasta una profundidad h y la puerta pivota sin fricción
respecto al diámetro horizontal.
a) Detennine la magnitud de la fuerza debida a la presión que actúa sobre la compuerta.
b) Detennine la magnitud y signo de la fuerza, F, necesaria para evitar que la compuerta se
abra.
Pa
I
h
Pa
-+--F
h
2
..... Articulación
Vista lateral
FIGURA P2.57
2.58 Un elevador se acelera en fonna vertical hacia abajo con una aceleración de
peso de una persona de 120 lb!, medido durante la aceleración?
ig. ¿Cuál es el
2.59 Un cohete que acelera de manera vertical hacia arriba con una aceleración a transporta combustible con densidad p en tanques de altura H. La parte superior del tanque está abierto a la
atmósfera. ¿Cuál es la presión en el fondo del tanque?
2.60 Un automóvil acelera de fonna constante desde Omph a 60 mph en lOs. Un manómetro en U
con ramas verticales separadas 2 pie, está parcialmente lleno con agua y se usa como un acelerómetro.
a) ¿Cuál es la diferencia de altura en el nivel de agua en las dos ramas?
b) A partir del reposo, ¿qué tan rápido podría ir el auto si al final de los lOs la diferencia de
niveles fuera de l pulg más grande?
2.61 El carro de la figura 2.28 ahora se mueve hacia arriba con una inclinación de 5° y aceleración
constante a ¡. Encuentre el valor de a i' que hará que el agua se derrame del recipiente.
2.62 Un cilindro de 10 cm de diámetro contiene inicialmente 10 cm de agua. Luego se gira alrededor de su eje a lma velocidad angular de úJ. Encuentre el valor de úJ, para el que el fondo del recipiente está apenas expuesto.
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3
INTRODUCCIÓN A.L
MOVIMIENTO DE
LOS FLUIDOS I
CAPÍTULO
3.1 INTRODUCCiÓN
El objetivo principal de los siguientes dos capítulos es exponer los principios básicos del
movimiento de los fluidos: ecuaciones de conservación de masa, cantidad de movimiento
y energía. Estos principios se ilustran con ejemplos de flujos unidimensionales en régimen
permanente. En este capítulo, se consideran las ecuaciones de conservación de la masa y
de la cantidad de movimiento, pero antes se presentan algunas herramientas para describir
el movimiento de los fluidos, incluyendo los conceptos de trayectoria, líneas de corriente,
partículas de fluido, elementos de fluido y volúmenes de control.
3.2 PARTíCULAS DE FLUIDO Y VOlÚMENES DE CONTROL
En el capítulo 2 se analizaron los fluidos en movimiento de cuerpo rígido, pero un fluido
rara vez se mueve como cuerpo rígido yen general existen movimientos relativos entre las
diferentes partes del fluido. ¿Cómo se describirán los desplazamientos, la velocidad y
aceleración de estas partes? Una posibilidad es hacer una aproximación de partículafluida
o una aproximación del volumen de control. En la aproximación de partícula fluida, se
identifican y siguen partículas pequeñas de masas fijas, como ilustra la figura 3-la; ésta
también se llama aproximación lagrangiana. En la aproximación de volumen de control
se dibuja una caja imaginaria alrededor del campo de flujo, ésta también se denomina
aproximación euleriana. La caja puede ser grande o pequeña y estar estática o en movimiento. Es común que haya fluido que entre y salga a través de la superficie del volumen
de control y el flujo dentro del volumen de control cambie con el tiempo (figura 3-lb).
3.2.1 Sistema lagrangiano
En el sistema lagrangiano se usan partículas de fluido, que son elementos de fluido pequeños de masa fija y, se llaman partículas por analogía con la dinámica de los sólidos. Se sigue una partícula de fluido individual conforme se mueve a través del flujo, la cual se
identifica por su posición en algún instante y el tiempo que transcurre hasta ese instante. Si
tenemos una velocidad descrita por
101
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102
cAPiTULO 3
INTRODU CCiÓN Al MOVIM IENTO DE l OS FLUIDOS I
...
~
--~~
a)
FIGURA 3-1
fijo (Ve).
b)
a) Seguimiento de una partícula de flu ido en el tiempo, b) uso de un volumen de control
v = ui +vj+wk
donde i, j , k son los vectores unitarios en un sistema cartesiano de coordenadas [x, y, zl
entonces, en términos lagrangianos, la velocidad de una partícula de fluido situada en el
punto [x o' Yo ' zo] en el instante t = t o' está dada por V = a(x - x 0)1at y su aceleración por
av l at. Este es el sistema que se usa en la dinámica de cuerpos rígidos, dado que las partículas tienden a ser pocas y se pueden identificar con facilidad. Sin embargo, para describir
el flujo de un fluido donde hay movimiento relativo, es necesario seguir muchas partículas, y para resolver los detalles más pequeños del flujo se requiere seguir un número enorme de partículas. El movimiento de cada partícula se describe por separado con una
ecuación diferencial ordinaria (EDO), como la segunda ley de Newton, y cada ecuación se
acopla a todas las demás (es decir, la solución de una ecuación depende de la solución de
todas las otras). La solución de estas EDO acopladas es en general muy dificil de encontrar, de modo que la aproximación lagrangiana no se emplea con frecuencia en mecánica
de fluidos, aunque es ~uy útil en algunos tipos de problemas particulares.
3.2.2 Sistema euleriano
En el sistema euleriano el propósito es encontrar una descripción que dé los detalles del
campo de flujo completo en cualquier tiempo y posición. En lugar de describir el movimiento del fluido en términos del movimiento de las partículas individuales, lo que se busca es una descripción de "campo". En otras palabras, para la partícula que está en la
posición [x, y, z] en un tiempo t, se busca una descripción que proporcione su velocidad,
aceleración, cantidad de movimiento y energía en cualquier otra posición y tiempo. Por
ejemplo, si se diera el campo de velocidad por V = 2x 2 i - 3tj + 4xyk, en cualquier instante
conoceríamos la velocidad en cualquier punto dentro del flujo.
A primera vista, esta aproximación parece ser muy directa. Sin embargo en un punto
dado del flujo, ya no se están siguiendo de manera explícita las partículas de fluido con
masa fija, pues todo el tiempo están llegando nuevas partículas. Esto hace dificil aplicar la
segunda ley de Newton, la cual sólo se utiliza con partículas de masa fija. Por lo tanto, necesitamos una relación que dé la aceleración de una partícula de fluido en términos del sistema euleriano y con ello, como podremos ver, se complica el análisis.
3.2.3 Elementos de fluido
Al desarrollar la ecuación de movimiento, con frecuencia seleccionamos volúmenes de
control pequeños, fijos, e infinitesimales, similares al elemento de volumen que se usó
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3.2
\::"
PARTíCULAS
DE FLUIDO Y VOlÚMENES
DE CONTROL
103
/ Capa límite
<,
.5
-
1
Co rriente libre
•
h
-
ó
.-7
"
1
Capa limite
01
, z]
n el
por
artíribir
íeunoruna
n se
nde
onniea
del
ovibusn la
dad,
Por
ante
nto
con
aria
FIGURA 3-2
Flujo en un canal, que muestra las capas límite cerca de las paredes.
para demostrar que la presión es un esfuerzo isotrópico (figura 1-7). Estos "elementos de
fluido" son volúmenes de control, lo suficientemente pequeños para que las variaciones en
todas las propiedades del fluido sobre su volumen, como densidad y temperatura, así como
velocidad y niveles de esfuerzo, sean casi lineales. I Los elementos de fluido son distintos
de las partículas de fluido.
Un elemento de fluido tiene un volumen constante y está fijo en el espacio, mientras
que una partícula de fluido tiene una masa constante y se mueve con el flujo.
--'--------'
Existen límites superior e inferior en el tamaño de los elementos de fluido. La dimensión
característica del elemento I (su longitud, ancho o altura), siempre debería ser grande comparada con la trayectoria libre media 1m de modo que se pueda mantener la aproximación
de medio continuo (t s- 1,,.). En el otro extremo de la escala, I debe ser lo suficientemente
pequeña para que los cambios en la velocidad del fluido o la presión del fluido a través del
elemento se puedan expresar en forma lineal. En otras palabras, el elemento de fluido necesita ser pequeño en comparación con la escala característica del campo de flujo. Por
ejemplo, si tenemos un conducto de altura h, debemos aseguramos de que I ~ h. Además,
cerca de las paredes sólidas pueden formarse capas límite. Para ser capaces de decir algo
acerca del flujo dentro de la capa límite, necesitamos que I ~ O, donde es una medida del
espesor de la capa límite (figuras 3-2 y 3-3).
o
3.2.4 Volúmenes de control grandes
En vez de usar elementos de fluido pequeños podemos elegir un volumen de control comparable en tamaño al del dispositivo (por ejemplo, el conducto completo, como el de la fi-
Corriente
libre
/capalímite
, ne-
si s~
FIGURA 3-3
s de
usó
Capa límite
Flujo sobre un ala que muestra las capas límite cercanas a la superficie y la formación
una estela.
1
Es decir, sólo necesitamos considerar los dos primeros términos en una expansión en series de Taylor.
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de
104
CAPíTULO 3
FIGURA 3-4
movimiento.
INTRODUCCiÓN AL MOVIMIENTO DE LOS FLUIDOS I
Volumen de control fijo para desarrollar la forma integral de la ecuación de cantidad de
gura 3-1 b). Sin importar su tamaño, los volúmenes de control permiten pensar en términos
de balances totales de masa, cantidad de movimiento y energía; así, la masa debe conservarse en cualquier flujo de fluido. Es decir, necesitamos considerar toda la masa del fluido
que entra y sale del volumen de control, así como la rapidez de cambio de la cantidad de
masa que contiene el volumen de control. Por ejemplo, un sistema de tuberías tendrá varios lugares por donde entre el fluido y otros tantos por donde salga. Si la cantidad de masa
que entra en determinado tiempo es mayor que la masa que sale al mismo tiempo, sabemos
que la masa se está acumulando en algún lugar del sistema.
Si pensamos en términos de una caja grande que contiene el campo de flujo completo;
ésta es un ejemplo de volumen de control grande. De esta manera se puede aplicar el balance de masa, cantidad de movimiento o energía en términos del flujo que entra y sale, así
como la rapidez de cambio de la masa, cantidad de movimiento o energía que contiene el
volumen. El cuerpo amorfo que ilustra la figura 3-4, es un volumen de control general, con
un elemento de superficie de dA, y un elemento de volumen, N.
En este libro, en general se usan volúmenes de control fijos, grandes y pequeños, aunque en ocasiones es útil seguir alguna partícula de fluido o usar un volumen de control en
movimiento. En sentido amplio, la aproximación del volumen de control es una de las herramientas más valiosas en el estudio del flujo de fluidos. Cuando se usa un volumen de
control grande para considerar el balance de cantidad de movimiento, es útil tomar en
cuenta las fuerzas que aceleran al fluido y las que actúan en el cuerpo sólido, como un ala
de avión. El método del volumen de control ofrece diversos puntos de vista para los problemas de flujo ce fluidos, sin necesidad de resolver con detalle los aspectos del comportamiento del fluido dentro del volumen.
Por otra parte, algunas veces es esencial conocer los detalles del interior del volumen.
Por ejemplo, el desempeño aerodinámico de un ala de avión depende críticamente de su
forma, y usar un volumen de control grande que contenga por completo el ala, no proporciona una guía de su forma correcta. Para diseñar la forma del ala, es necesario usar suficientes volúmenes de control pequeños o elementos de fluido, ya que esta es la única
forma de obtener información detallada de la distribución de presión y el campo de velocidad que genera el ala. Recuerde: todas las leyes fisicas originalmente se establecen en términos de un sistema. Un sistema es una porción de materia que se selecciona. Por ejemplo,
la ley de conservación de la masa establece que la masa de un sistema no cambia. La segunda ley de Newton dice que la fuerza que actúa en un sistema es igual a la rapidez de
cambio con el tiempo de la cantidad de movimiento del sistema. En mecánica de fluidos es
común elegir una masa arbitraria como sistema.
Así, un volumen de control es un volumen fijo en el espacio que usted selecciona
como su volumen de control. Para aplicar las leyes fisicas al volumen de control, es nece-
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3.3 LíNEAS DE CORRIENTE Y TUBOS DE CORRIENTE
105
sario considerar el sistema que lo ocupa en el momento de hacer nuestro análisis. Puesto
que las propiedades del sistema pueden cambiar con el tiempo y el sistema mismo puede
estar en movimiento se requiere relacionar las propiedades del sistema con las del volumen de control. Para volúmenes de control infinitesimales (elementos de fluido) esta relación se llama derivada total (sección 6.1) Y para volúmenes de control grandes, teorema
de transporte de Reynolds (sección 5.4).
3.2.5 Flujo en regímenes permanente y transitorio
Otro concepto importante es la idea del flujo en régimen permanente. Si tenemos un volumen de control fijo grande es posible que las condiciones de entrada y salida del flujo no
cambien con el tiempo. Si las propiedades del fluido dentro del volumen de control, también son independientes del tiempo, decimos que el flujo está en régimen permanente. Sin
embargo, si seguimos una partícula de fluido individual, se ven sus cambios de velocidad
conforme se mueve a través del sistema y, por lo tanto, con referencia a la partícula, el flujo es transitorio. Que el flujo esté en régimen permanente o transitorio, con frecuencia depende de cómo decidamos observar el sistema. En el caso del volumen de control grande
debemos ver un cambio de velocidad, cantidad de movimiento, energía, etcétera, en el espacio, pero sin variación en el tiempo, mientras que cuando nos desplazamos con una partícula sólo veremos variaciones en el tiempo.
Algunas veces es posible cambiar un flujo transitorio por uno en régimen permanente
variando el punto de vista del observador. Por ejemplo, si permanece alIado del camino
mientras se aproxima un automóvil, primero no sentirá flujo de aire, después una fuerte ráfaga conforme el automóvil se aleja y más tarde, nada otra vez. Si permanece alIado del
camino, experimenta un flujo en régimen transitorio, pero si viajara dentro del vehículo y
éste se moviera a velocidad constante, el flujo respecto a su nueva referencia no variará
con el tiempo, pues está en régimen permanente. Los flujos en régimen permanente se analizan más fácil que los de régimen transitorio, y siempre es útil encontrar una transformación de coordenadas con la que el flujo transitorio se convierta en permanente.
3.3 lÍNEAS DE CORRIENTE Y TUBOS DE CORRIENTE
Cuando ya examinamos cómo analizar los flujos de los fluidos todavía no se establece
cómo describir el movimiento de los fluidos o cómo se puede visualizar. Los métodos más
comunes identifican los patrones de las líneas de corriente, las trayectorias de partículas o
las líneas de emisión.
3.3.1 Líneas de corriente
La velocidad es un vector, y, por lo tanto, tiene magnitud y dirección. Una línea de corriente se define como la línea que en todas partes es tangente a la dirección instantánea de
la velocidad. Para visualizar una línea de corriente en un fluj o, podemos imaginar el movimiento de una partícula marcada de fluido pequeña. Por ejemplo, podemos marcar con tinta fluorescente una gota de agua e iluminarla con un láser para que tenga fluorescencia. Si
tomáramos una fotografía de corta exposición, conforme la gota se mueve de acuerdo con
el campo de velocidad local (donde la exposición debe ser corta en comparación con el
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106
CAP íTULO 3
INTRODUCCiÓN Al MOVIMIENTO DE l OS FLUIDOS I
tiempo que se requiere para que la velocidad cambie en forma apreciable) veríamos una línea corta con longitud V I1t y una dirección tangencial a la dirección de la velocidad instantánea. Si de la misma forma marcamos muchas gotas de agua, las líneas de corriente en
el flujo se harían visibles.
En ocasiones podemos encontrar la forma de las líneas de corriente si conocemos el
campo de velocidades. De la definición de línea de corriente se tiene que para un flujo en el
plano [x, y 11a pendiente de una línea de corriente, dy/ dx, debe ser igual av/u, donde u y v
son las componentes de la velocidad instantánea en las direcciones x y y. Para un flujo tridimensional
dyudyvdx
dx v' dz w dz
u
w
El procedimiento se ilustra en los ejemplos 3.1 Y 3.2.
Dado que la velocidad en cualquier punto del flujo tiene un valor único, las líneas de
corriente no se pueden cruzar (el flujo no puede ir en más de una dirección al mismo tiempO).2
Las líneas de corriente superficiales son las líneas de corriente que siguen el flujo
muy cerca de una superficie sólida. Por ejemplo, algunas veces a los cuerpos se adhieren
indicadores pequeños flexibles de estambre que, debido al arrastre del flujo, se alinean en
dirección del mismo (figura 3-5).
3.3.2 Trayectoria
Existen otras maneras de hacer visible el flujo. Por ejemplo, podemos trazar la trayectoria
que sigue nuestra gota fluorescente mediante una fotografía de larga exposición. Esta línea
se llama trayectoria y es similar a 10 que se observa en una fotografía de exposición larga
de las luces de automóviles, en una autopista de noche. Es posible que las trayectorias se
crucen, como se puede imaginar de la analogía de la autopista; conforme un auto cambia
de carril, la trayectoria que trazan sus luces debe cruzar otra trayectoria que trace antes
otro vehículo.
La trayectoria es la que traza una partícula de fluido conforme se mueve a través del
campo de flujo. Puesto que estamos siguiendo partículas de fluido a lo largo de una trayectoria, éste es un concepto lagrangiano. Para una trayectoria en un flujo bidimensional, recurrimos al hecho de que u = dx / dt y v = dy/ dt. Si sabemos cómo u y v dependen del
tiempo y se presenta un número suficiente de condiciones de frontera, podemos integrar u
y v con respecto al tiempo para encontrar las coordenadas x y yde la trayectoria de la partícula como función del tiempo. Si eliminamos de las expresiones de x y yel tiempo, en el
espacio [x, y] se puede encontrar la trayectoria de la partícula (ejemplos 3.1 Y 3.2).
3.3.3 Líneas de emisión
Otra forma de visualizar patrones de flujo es mediante líneas de emisión. Una línea de
emisión es la que trazan las partículas que pasan a través de un punto particular. Por ejemplo, desde un punto fijo emitimos tinta de manera continua, ésta forma una línea de emiPuede haber puntos singulares en el flujo en puntos donde la velocidad tiene magnitud cero . Su naturaleza depende de la
velocidad del observador. En un punto crítico, la dirección de la velocidad es indeterminada y las líneas de corriente pueden
juntarse. Un ejemplo de un punto singular es un punto de estancamiento (vea figura 3-8 y sección 4.3).
2
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3.3 LíNEAS DE CO RRIENTE Y TUBOS DE CORRIENTE
107
FIGURA 3-5 Indicadores de superficie para visualizar el flujo superficial. Con autorización de Race Car
Aerodynamics (originalmente de MIRA), J . Katz, Robert Bentley Publishers, 1995.
sión conforme se mueve aguas abajo. Para usar otra vez la analogía de la autopista, la
línea de emisión es la que trazan las luces de todos los vehículos que pasan por la misma
caseta de peaje. Si todos siguen la misma trayectoria (flujo permanente) resulta una línea
individual, pero si los automóviles subsecuentes siguen trayectorias diferentes (flujo transitorio), es posible que las líneas se crucen unas sobre otras como a sí mismas. Como ejemplo, la figura 3-6b muestra cómo se pueden usar las líneas de emisión para visualizar el
flujo alrededor del cilindro circular.
Las líneas de emisión superficiales son las líneas de emisión que el flujo sigue muy
cerca de una superficie sólida. Por ejemplo, las gotas de lluvia que caen sobre una cortina
de aire tenderán a trazar trayectorias que representan una línea de emisión superficial.
En el flujo transitorio, las líneas de corriente, trayectoria y emisión son diferentes,
pero puede demostrarse que:
En el flujo en régimen permanente, las líneas de corriente, trayectorias y líneas de emisión son idénticas.
3.3.4 Tubos de corriente
Imagine un conjunto de líneas de corriente que inician en puntos sobre un rizo cerrado (figura 3-7). Estas líneas de corriente forman un tubo impermeable, ya que sus paredes se
forman con líneas de corriente y por definición no puede haber flujo normal a una línea de
corriente. Este tubo se llama tubo de corriente. En la sección 3.5, se verá que para un flujo
permanente, unidimensional, el flujo másico pAV es constante a lo largo de un tubo de corriente. Si la densidad es constante y el área disminuye, la velocidad aumenta. El área de la
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108
CAPíTULO 3
INTRODUCCiÓN Al MOVIMIENTO DE lOS FLUIDOS I
FIGURA 3-6 Flujo sobre un cilindro a un número de Reynolds de 170 que se hace visible con líneas de
emisión y líneas de tiempo generadas con la técnica de burbujas de hidrógeno. Tomado de: Visualized
Flow, Japan Society of Mechanical Engineers, Pergamon Press, 1988.
FIGURA 3-7
Líneas de corriente que forman un tubo de corriente.
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3.3 liNEAS DE CORRIENTE Y TUBOS DE CORRIENTE
109
sección transversal del tubo de corriente, entonces, proporciona información respecto a la
velocidad local.
3.3.5 Líneas de tiempo
En la figura 1-22 se hicieron visibles los flujos en capa límite mediante una línea de burbujas de hidrógeno en el agua. Para formar las burbujas, a través del flujo se monta un alambre delgado que se conecta al cátodo de una fuente de voltaje. En algún otro lugar se sitúa
un ánodo del agua. Al pasar corriente entre el ánodo y el cátodo por electrólisis se genera
hidrógeno en el alambre en forma de burbujas pequeñas. Si se usa un pulso corto de corriente, se forma una línea de burbujas que el flujo barre aguas abajo. Si las burbujas de hidrógeno son suficientemente pequeñas, las fuerzas de flotación sobre ellas se pueden
despreciar (es proporcional al volumen de las burbujas) y las burbujas siguen el flujo. La
línea que forman las burbujas es un ejemplo de línea de tiempo. Una línea de tiempo se forma por partículas de fluido que se marcaron al mismo tiempo. En la figura 3-6 se muestran
ejemplos de líneas de tiempo separadas y en combinación con líneas de emisión.
EJEMPLO 3.1 Líneas de corriente y trayectoria en flujo permanente
Considere el campo de flujo dado por
V=xi-yj
Este flujo está en régimen permanente (independiente del tiempo) y bidimensional (depende de dos coordenadas espaciales, x y y).
a) Describa el campo de velocidad.
b) Encuentre la forma de las líneas de corriente.
e) Encuentre la forma de la trayectoria de una partícula.
Solución Para la parte a, el vector de velocidad forma un ángulo () con el eje x, donde
tan() = ~ = -l
u
x
A lo largo del eje x, y = O, Y() = 0° (o 180°), y V tiene el mismo signo y magnitud que x, de
modo que la velocidad apunta directamente a lo largo del eje x y se incrementa en magnitud con la distancia desde el origen. A lo largo del eje y, x = OY () = 90° (o 270°). Aquí V
tiene signo contrario, pero la misma magnitud que y, así que la velocidad apunta a lo largo
del eje negativo de ye incrementa su magnitud con la distancia desde el origen. En y = x,
= - 45°, y así el campo de velocidad completo puede construirse encontrando en forma
sucesiva la dirección y magnitud de la velocidad de todos los puntos en el flujo. El campo
de flujo representa el flujo cerca de un punto de estancamiento, como ilustra la figura 3-8.
Para la parte b, la forma de las líneas de corriente está dada por la solución de
e
v =_ 1
u
x
dy
dx
Las variables pueden separarse e integrarse para dar
fdY=-fdx
y
x
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110
CAPíTU LO 3
INTRODUCCiÓN Al MOVIMIENTO DE l OS FLUIDOS I
y
de estancamiento
FIGURA 3-8
estancamiento
Flujo cerca de un punto de estancamiento.
o
In y = - In x + constante
Esto puede escribirse como
xy = c
donde C es una constante. Esto es, las líneas de corriente son hipérbolas en el plano x- y.
Para la parte c, la trayectoria se puede encontrar mediante
dx
dy
u = - = x y v = - =-y
dt
dt
Es decir
dx
dy
y
=- -
x
Multiplicando la ecuación por xy se obtiene
ydx +x dy= d(xy) = 0
Por lo tanto, la ecuación para la trayectoria es
xy = C
el mismo resultado se obtuvo para la ecuación de la línea de corriente, como se esperaba,
ya que las líneas de corriente y trayectoria coinciden en el flujo en régimen permanente .•
EJEMPLO 3.2 Líneas de corriente y trayectoria en el flujo transitorio
Considere el campo de flujo transitorio dado por
V = xi + ytj
Este flujo es transitorio (depende del tiempo) y bidimensional (depende de las dos coordenadas e5paciales, x y y). Encuentre la forma de
a) La línea de corriente
b) La línea de trayectoria que pasa por el punto [1 , 1] en el tiempo t =O.
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3.4 DIMENSiÓN DE UN CAMPO DE FLUJO
111
Solución Para la parte a, la forma de la línea de corriente está dada por la solución de
dy v yt
-- -
dx
-
-
u
x
Se pueden integrar por separación de variables para obtener
In y = t In x + constante
o
y=C IX
I
Para la línea de corriente que pasa por el punto [1, 1] en t = 0, C I = 1, de modo que para esta
línea de corriente particular
(3.1)
En la parte b, para encontrar la trayectoria (la ubicación de una partícula en función del
tiempo), se aprovecha que u = dx / dt y v = dy/ dt. Para este problema
dx
=x
dt
-
y
dy
-=yt
dt
Integrando
y
Para la partícula del punto [1, 1] en t = 0, C 2
cular
= C 3 = 1, entonces, para esta trayectoria parti-
y
Eliminando el tiempo da
2 In y = (In x) 2
(3.2)
Las ecuaciones 3.1 y 3.2 son diferentes porque en el régimen transitorio, las líneas de corriente y las trayectorias no coinciden.
•
3.4 DIMENSiÓN DE UN CAMPO DE FLUJO
La dimensión de un campo de flujo se determina por el número de coordenadas espaciales
independientes necesarias para definir el campo de flujo. Por ejemplo, los parámetros que
describen un flujo unidimensional varían en una sola dirección. La dirección deberá coincidir con un eje coordenado como x o dirigirse a lo largo de una línea de corriente, como en
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112
cAPiTULO 3
INTRODU CC iÓN Al MOVIMI ENTO DE l OS FLUI DOS I
b)
a)
FIGURA 3-9
a) Flujo unidimensional, b) flujo bidimensional.
la figura 3-9a. Un flujo bidimensional varía a 10 largo del flujo y en una dirección perpendicular (figura 3-9b), y tm flujo tridimensional varía en las tres direcciones espaciales.
Todos los flujos que se consideran en el resto de este capítulo son unidimensionales;
la velocidad del fluido, presión y densidad pueden cambiar conforme el fluido viaja desde
la entrada a la salida de un volumen de control, pero son constantes sobre las áreas de entrada y salida. En el capítulo 5 se analizarán los flujos bi y tridimensionales.
En la naturaleza no existen flujos perfectamente unidimensionales. Por ejemplo, si el
conducto o tubo de corriente es divergente, de modo que su área de sección transversal aumenta con la distancia, el flujo también divergirá (figura 3-9b). El flujo debe desarrollar
una componente transversal de la velocidad que varíe a través del conducto. Además, los
esfuerzos de fricción causarán que el fluido se detenga cerca de las paredes y la condición
de no-deslizamiento garantiza que la velocidad del flujo en la pared sea cero (sección 1.6 y
ejemplo 3.5). No obstante, el concepto de flujo unidimensional, o cuasi unidimensional, es
una aproximación muy útil en muchos casos.
3.5 CONSERVACiÓN DE LA MASA
Ahora ya estamos en condiciones de analizar el primer principio básico del movimiento
de los fluidos: la conservación de la masa, la cual requiere que cuando el fluido está en
movimiento, se mueva de manera que la masa se conserve. Para mostrar cómo la conservación de la masa establece restricciones en el campo de velocidad considere el flujo permanente a través de un conducto o tubo de corriente. Se usará un volumen de control
grande que encierre al conducto (Ve en la figura 3-10). Los flujos de entrada y salida son
unidimensionales, así que las distribuciones de velocidad, V, y densidad, p, son constantes
sobre las áreas de entrada y salida.
La conservación de la masa en un flujo en régimen permanente requiere que cualquier
masa que fluya hacia adentro del volumen de control salga de él con la misma rapidez.
Si la masa de entrada fuera mayor que la de salida, por ejemplo, la masa se acumulará dentro del volumen de control y el flujo no sería permanente. Sin embargo, en un intervalo
corto, I'1t
volumen de flujo que entra en A¡ = Al V¡l'1t
volumen de flujo que sale de A 2 = A 2 V2 1'1t
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3.5 CONSERVACiÓN DE LA MASA
,
113
,
r-------------------------- --- ~
,
- : V, ÓI
,
1......1-
'
,,:
-: V, Ótr-,
: V" p,
,
,
ve
l _________ /___________________ j
FIGURA 3-10
V2 , P2
Flujo permanente unidimensional en un conducto .
Esto es
masa que entra en Al = P l Al VI /).t
masa que sale de A 2 = P 2 A 2V2/).t
De modo que,
o
(3.3)
sin observar las direcciones de los flujos de entrada y salida (el flujo másico es un escalar
independiente de la dirección). Éste es un postulado del principio de conservación de la
masa para un flujo permanente unidimensional con una entrada y una salida. Para un volumen de control con N entradas y salidas
N
LPiAYi =0
(3.4)
i= l
donde los flujos de entrada son negativos y los de salida, positivos. Esta ecuación se llama
ecuación de continuidad para flujo permanente unidimensional a través de un volumen de
control fijo.
Además se supone que las velocidades son normales a las áreas. Cuando la densidad
es constante
N
LAYi=O
i=1
Las dimensiones del producto pA V están dadas por
[pA V] = M L2!:... = M
L3
T
T
=
masa
unidad de tiempo
Esto es, pA Ves un flujo másico que se mide en unidades de kg/s, lbm/s o slugs/s y que en
general se representa por m.
Las dimensiones de A V son
[AV] = L2 L
T
3
=L =
T
volumen
unidad de tiempo
Es decir, AVes un flujo volumétrico que se mide en unidades de m 3/s, pie3/s, l/s, galfl?,
pies cúbicos por minuto (cfm) o m 3/min. El flujo volumétrico se designa por el símbolo Q,
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114
cAPiTULO
3
INTRODUCCiÓN
AL MOVIMIENTO
4d
DE LOS FLUIDOS
d
}velocidad
2d
IVelodd"d
d
FIGURA 3-11
Velocidad
I
= V2
o
',1>
= V,
Cilindro montado en un túnel de viento.
pero este símbolo también se usa para representar la transferencia
confusiones se utilizará el símbolo q para el flujo volumétrico.
EJEMPLO 3.3
Conservación
de calor. Para evitar
de la masa
Un cilindro de diámetro d y longitud t está montado en un soporte "delgado" dentro de un
túnel de viento, como ilustra la figura 3-11. El túnel de viento es de sección transversal rectangular y altura 4d. El flujo que entra está en régimen permanente y es uniforme, con densidad constante y velocidad VI . Aguas abajo del cilindro las líneas de corriente se hacen
paralelas otra vez y la forma del perfil de velocidad es como se muestra. Encuentre la magnitud de la velocidad V2 en términos de VI .
Solución Si dibujamos un volumen de control grande que encierre al cilindro sin cortar
las paredes del conducto (Ve en la figura), observamos que hay flujo hacia dentro del volumen de control sobre la cara izquierda y hacia afuera sobre la cara derecha. El flujo corriente abajo no es unidimensional
en este momento, ya que la velocidad varía a través de
la sección transversal del túnel de viento. No obstante, se puede tratar como unidimensional considerando por separado las dos regiones donde la velocidad es diferente y sumando
los resultados. Si la ecuación de continuidad se aplica de esta manera obtenemos
P VI (4d t) - P V2 (2d t) - p ~ V2 (2d t) = O
así que
•
3.6 ECUACiÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
lugar es maye
gravedad tam
convirtiendo
de temperatu
cia de otra pa
También
una capa ady
mueva más n
viscosidad es
los fluidos re;
efectos de la
la viscosidad
Asimisrr
ro si pensam
en la placa de
pero opuesta
por lo tanto,
Tambiér
cargado, se p
ser importam
tros patrones
rencias de pr
Las fuer
que sonprop
esfuerzo de I
igual arA. E
fluido, m, im
fuerza de cu,
3.6.2 Flujo
En el caso di
espermanen
el fluido, se 1
tangular y SI
A continuación se analiza el segundo principio básico del movimiento de los fluidos: la
ecuación de la cantidad de movimiento. La ecuación para flujo permanente unidimensional se construye aplicando la segunda ley de Newton del movimiento al flujo a través de un
volumen de control grande. Para comenzar se deben considerar los tipos de fuerzas que
pueden actuar para cambiar la cantidad de movimiento de un fluido.
I
I
I
3.6.1 Fuerzas
~-
¿Qué causa el movimiento de un fluido? Los fluidos empiezan a moverse cuando sobre
ellos se aplica una fuerza resultante distinta de cero. Por ejemplo, cuando la presión en un
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X
FIGURA 3·12
conducto aplic
3.6 ECUAC iÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
115
lugar es mayor que en otro, el flujo tenderá a moverse hacia la región de menor presión. La
gravedad también puede causar que un fluido se mueva: los líquidos fluyen cuesta abajo,
convirtiendo su energía potencial en energía cinética. De manera similar, las diferencias
de temperatura causarán que en una parte el fluido tenga una densidad menor a diferencia de otra parte y el fluido más ligero tenderá a subir.
También está presente la fricción. Cuando una capa de fluido se mueve con respecto a
una capa adyacente, se desarrolla un esfuerzo viscoso tangente que hace que el flujo se
mueva más rápido o lento (sección 1.4). Algunas veces consideramos fluidos en los que la
viscosidad es cero. Estos fluidos sin viscosidad no existen en la naturaleza porque todos
los fluidos reales son viscosos, pero con frecuencia es posible usar esta aproximación si los
efectos de la viscosidad son pequeños. Sin embargo, se debe tener cuidado porque ignorar
la viscosidad en ocasiones conduce a respuestas del todo equivocadas (sección 7.9).
Asimismo, debemos incluir las fuerzas que aplican las superficies sólidas. Esto es claro si pensamos en un chorro de agua que golpea una placa plana: hay una fuerza que actúa
en la placa debido al agua y, por la tercera ley de Newton, la placa ejerce una fuerza igual
pero opuesta en el agua (que actúa para cambiar la dirección del movimiento del fluido y,
por lo tanto, modificar su cantidad de movimiento).
También son importantes otras fuerzas. Por ejemplo, si el fluido está eléctricamente
cargado, se puede mover si se aplica un campo magnético, y las fuerzas de Coriolis pueden
ser importantes en un campo que rota (son de importancia crucial en la formación de nuestros patrones del clima; capítulo 14). Aquí sólo se considerarán las fuerzas debidas a diferencias de presión, diferencias en los esfuerzos viscosos y la gravedad.
Las fuerzas debidas a las diferencias de esfuerzos se llaman fuerzas de superficie porque son proporcionales al área total de la superficie sobre la que actúan. Por ejemplo, si un
esfuerzo de corte constante, r, se aplica sobre un área, A, la fuerza de corte resultante es
igual a tA. En contraste, la aceleración debida a la gravedad, g, que actúa en una masa de
fluido, m, introduce una fuerza que es proporcional a la masa del fluido, mg, y se llama
fuerza de cuerpo.
3.6.2 Flujo unidireccional
En el caso de la figura 3-12, los flujos entrante y saliente están en la dirección x, y el flujo
es permanente y unidimensional. Dado que sólo nos interesa la fuerza íntegra que actúa en
el fluido, se usará un volumen de control grande. Para simplificar, escogemos una caja rectangular y supondremos que la fricción no es importante y que las fuerzas de la gravedad
~------------~---------------¡
¡2~..J
ve
:- -¡
A¡p¡
p¡v,
~
¡
:
:
:. V 11t
2
_1
, ¡I
L
:
R:r
A 2 P,
: P2 V2
~------------------------~
FIGURA 3-12 Conducto unidimensional que muestra el volumen de control (VC). Rx es la fuerza que el
conducto aplica sobre el fluido, y es igual a la fuerza necesaria para mantenerlo fijo .
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116
cAPiTULO 3
INTRODUCCiÓN Al MOVIMIENTO DE l OS FLUIDOS I
son despreciables. La presión fuera del conducto es igual a la presión atmosférica, pero soel área de entrada, Al ' la presión manométrica es PI , Ysobre el área de salida, A 2 es P2 .
" Conforme el flujo se mueve a través del volumen de control, su velocidad varía en la
dirección del flujo; en especial, las velocidades de entrada y salida, VI y V2, son diferentes.
Existe movimiento relativo, y las partículas de fluido se aceleran desde la entrada hasta la
salida. Aunque la velocidad es independiente del tiempo, se presenta una aceleración debida al cambio espacial de la velocidad. Por la segunda ley de Newton sabemos que sobre el
fluido actúa una fuerza resultante. ¿De dónde viene esta fuerza?
~re
1. Existe una fuerza que origina las diferencias de presión aplicadas en la superficie
del volumen de control. Los únicos lugares donde las presiones distintas a la presión atmosférica se pueden aplicar son las áreas Al y A 2 . La presión atmosférica
por sí misma no contribuye a la fuerza resultante, ya que actúa de igual forma sobre la superficie completa del volumen de control. Por lo tanto, las fuerzas que
producen las diferencias de presión se deben completamente a las presiones manométricas que actúan en las áreas Al y A 2, ya que las presiones compresivas se
consideran positivas.
Fuerza debida a la presión aplicada en el área A l = PI Al hacia la derecha
Fuerza debida a la presión aplicada en el área A 2 = P2 A 2 hacia la izquierda
2. También habrá una fuerza ejercida por el conducto en el fluido (las fuerzas externas incluidas en la ecuación de cantidad de movimiento son siempre las fuerzas
aplicadas sobre el fluido) . Esto es intuitivo; el conducto experimentará una fuerza
debida a la acción del fluido y, por lo tanto, el conducto ejerce en el fluido una fuerza igual pero opuesta. Supongamos que la fuerza que el conducto ejerce en el fluido, R x ' es positiva si actúa en la dirección positiva de x (si la solución indica queR x
es negativa, simplemente significa que actúa en la dirección negativa de x). Según
la tercera ley de Newton, la fuerza que el fluido aplica en el conducto está dada por
-R x' Para mantener al conducto en su lugar, debe existir una fuerza restrictiva que
actúe sobre él igual a +Rx' Por lo tanto, la fuerza que ejerce un soporte para mantener el conducto en su lugar es igual a la fuerza aplicada en el fluido (despreciando el
peso del conducto).
3. Las fuerzas debidas a la fricción y la gravedad también pueden ser importantes,
pero en el ejemplo que aquí consideramos serán despreciadas.
De esta forma, la fuerza resultante que actúa en el fluido está dada por la suma de la fuerza
que el conducto ejerce sobre el fluido, R x ' y la fuerza que origina las diferencias de presión
aplicadas al fluido , PI Al - P2A2'
Esta fuerza resultante cambia la cantidad de movimiento del fluido. Para encontrar
este cambio de cantidad de movimiento notamos que
la masa que entra durante ¡}.t = p 1 Al VI ¡}.t
Así,
la cantidad de movimiento en x que entra durante ¡}.t = (p 1 Al VI ¡}.t)VI
y
la cantidad de movimiento en x que sale durante ¡}.t = (p 2 A 2V2ó't)V2
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3.6 ECUACiÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIM IENTO
117
Puesto que los flujos que salen se consideran positivos,
el cambio neto de la cantidad de movimiento en x durante f1t = (P2A2V22 - P I Al VI2 )f1t
y
la rapidez de cambio neto de la cantidad de movimiento enx = P2A2Vl- PI Al V/
Esta es la rapidez de incremento de la cantidad de movimiento en x que el fluido experimenta al pasar por el conducto. Observe que el término pA V 2 tiene las dimensiones de
fuerza (MLT- 2) y se mide en unidades de N o lb f .
El flujo es permanente, de modo que la cantidad de movimiento del fluido que entra al
volumen de control no cambia con el tiempo. Por lo tanto, el cambio neto del flujo de cantidad de movimiento es igual a la fuerza resultante aplicada al fluido. Esto es
Rx + PIAI - P2 A 2 =P2A2Vl-PIAIVI2
Esta ecuación es la segunda ley de Newton del movimiento que se aplica a un simple flujo
permanente unidimensional, donde la fuerza resultante que actúa en el fluido (del lado izquierdo) causa un cambio del flujo de cantidad de movimiento (el lado derecho). En este
ejemplo, todas las fuerzas se aplican en la dirección de x, y en la dirección de yno hay fuerza resultante.
También es posible usar la ecuación de continuidad unidimensional (ecuación 3.3 o
3.4), donde PI VI Al =P2V2A2' para eliminar V2 de modo que
2
Rx =PI A IVI (PIAI
P2 A 2
-IJ+
P2 A 2 - PIAI
(3.5)
3.6.3 Flujo bidireccional
Para el caso de la figura 3-13, las direcciones de entrada y salida no están alineadas. Todas
las demás condiciones son las mismas del ejemplo anterior; el flujo es permanente y unidimensional, y despreciamos la fricción y la gravedad. Sin embargo, en este caso, conforme
el fluido pasa a través del conducto, su cantidad de movimiento cambia en magnitud y dirección. Toda la cantidad de movimiento que entra está en la dirección x, mientras que la
cantidad de movimiento que sale tiene componentes en las direcciones x y y. La fuerza debida a las diferencias de presión también tiene dos componentes al igual que la fuerza que
el conducto aplica sobre el fluido.
FIGURA 3-13
r.onducto unidimensional donde la entrada y la salida no están alineadas.
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118
CAPíTULO 3
INTRODUCCiÓN Al MOVIMIENTO DE lOS FLUIDOS I
En la componente x, durante el corto intervalo !1.t, la cantidad de movimiento que entra al volumen de control es (p I V¡ A¡ !1.t)VI y la cantidad de movimiento que sale del volumen de control, (p2V2A2!1.t)V2 cos (). Esto es,
el cambio de la cantidad de movimiento del fluido en x=(P}í2A/1t )V2 cos 8 -
(PlV;A¡~t)V;
y
la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento del fluido en x =(P}í2A2 )V2 cos 8- (plV;A¡)V;
Cada ténnino del lado derecho es de la forma (flujo másico) x (componente de velocidad
en x). Muy importante, sobre cualquier entrada o salida
La cantidad de movimiento en x está dada por el flujo másico multiplicado por la componente en x de la velocidad.
La fuerza debida a las diferencias de presión en la componente x está dada por
p¡ A¡ - P2A2 COS () y así
R x + p¡A¡ - P2A2 cos() = P2A2Vl cos() - p¡A¡VI 2
donde R x es la fuerza ejercida por el conducto en el fluido en la componente x. Ya que
p¡V¡ A¡ = P2V2A2
por la conservación de la masa, esto lo podemos escribir como
R x = P2 A 2 COS
() -
p¡A¡
cos () + p¡A¡V¡ 2(V2 V¡
1)
Podemos seguir el mismo procedimiento para encontrar la fuerza R y' Primero vemos que
la cantidad de movimiento que entra al volumen de control no tiene componente en la dirección y, pero sí la cantidad de movimiento que sale del volumen de control. De modo
que
la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento del fluido en y =(p 2 A 2V2 )V2 sen ()
La fuerza debida a los cambios de presión en la componente y está dada por - P2 A 2 sen ()
(no hay componente yde la fuerza debida a la presión en A¡ , ya que se aplica puramente en
la dirección x). Entonces,
Esto es,
vl sen ()
R y = P2 A 2 sen () + P 2 A 2
donde R y es la fuerza ejercida por el conducto sobre el fluido en la componente y.
Por último, la magnitud de la fuerza resultante está dada por ~R; +
Y forma unángulo arctan (R y / Rx) con la dirección positiva de x.
R;
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3.7 FUERZAS VISCOSAS Y PÉRDIDAS DE ENERGfA MECÁNI CA
119
3.7 FUERZAS VISCOSAS Y PÉRDIDAS DE ENERGíA MECÁNICA
Los flujos de los fluidos son irreversibles (en sentido termodinámico) dado que éstos tienen viscosida": y siempre que en el flujo aparezcan gradientes de velocidad, habrá disipación de energía mecánica debido a los esfuerzos viscosos. El flujo de energía mecánica se
conserva sólo si en ninguna parte hay gradientes de velocidad, o si el fluido es sin viscosidad. Estas son las únicas condiciones en las que no hay disipación de energía mecánica.
Sin embargo, en algunos casos los efectos de la fricción son pequeños en comparación con
otros efectos. Por ejemplo, en el flujo a través de un conducto grande, donde las capas límite son muy delgadas, los efectos viscosos se confinan en una región muy pequeña y en
ocasiones la fricción del fluido se puede ignorar. Este no es el caso de muchos flujos reales. En la mayoría de los flujos dentro de tubos y conductos, por ejemplo, los gradientes de
velocidad se extienden por la sección transversal completa y los esfuerzos por fricción son
importantes en todas partes.
Aun si las capas límite son delgadas como para considerarlas, cuando el flujo desacelera o intenta cambiar de dirección con mucha rapidez, se puede separar. Cuando un flujo
se separa, ya no sigue la fonna de la frontera sólida. Por ejemplo, en el flujo que describe la
figura 3-14, conforme el flujo entra en la sección divergente del conducto ("difusor") es
dificil que siga la forma del conducto, por lo que continúa directo aguas abajo. Sobre las
paredes del difusor se forma una región de flujo separado marcado por remolinos. En estas
regiones, algo del fluido se mueve en sentido contrario a la dirección principal del flujo.
Pueden registrarse grandes pérdidas, dado que la energía mecánica del fluido se emplea
para mover grandes remolinos inestables que al final se disipan como calor. Este tipo dt<
flujo puede ocurrir para ángulos de difusor muy pequeños. Para prevenir grandes pérdidas
asociadas con la separación, el ángulo de divergencia debe ser muy pequeño: el ángulo
necesita ser menor que aproximadamente 7°.
En contraste, cuando el flujo va en la dirección en que el área se reduce, como en las
contracciones, hay muy poco riesgo de producir regiones de separación grandes, aun para
valores muy grandes de (arriba de 45 °), y en general, las pérdidas son muy pequeñas.
e
e
4
.
...
•
•
v
- ~
~
=------ ¡
/ ~ ~~.
Separación
~J
'-..:
Recirculación de fluj o
Reincorporación
FIGURA 3-14 Difusor con separación de flujo (incluido el ángulo (J = 40°). El flujo es de izquierda a derecha. Tomado de: Visualized Flow, Japan Society of Mechanical Engineers, Pergamon Press, 1988.
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120
CAPíTULO 3
INTRODUCCiÓN Al MOVIMIENTO DE lOS FLUIDOS I
FIGURA 3-15 Flujo a través de una contracción súbita (izquierda) y una expansión súbita (derecha); el
flujo es de izquierda a derecha. La S marca las regiones de flujo separado. Tomado de: Visualized Flow, Japan Society of Mechanical Engineers, Pergamon Press, 1988.
Observe que el flujo turbulento y la separación son dos fenómenos diferentes. En el
flujo separado hay flujo de retroceso, de modo que algunas partes del fluido se mueven en
dirección opuesta a la dirección principal del flujo, y puede haber inestabilidad significativa y fluctuaciones en el campo de flujo. En el flujo turbulento, todo el fluido se mueve en
la dirección principal del flujo, aunque la velocidad fluctúa alrededor de un valor promedio y las fluctuaciones tienen componentes en las tres direcciones.
De lo anterior se concluye que debe tenerse especial cuidado al considerar los efectos
de la fricción pues algunas veces son despreciables, y otras no. Sin embargo, cuando ocurre la separación, los efectos de la fricción y la pérdida de energía mecánica son siempre
importantes. Es notable que las esquinas agudas casi siempre produzcan flujo separado.
Los flujos en expansión y contracción súbita en la figura 3-15 demuestran en forma gráfica
el problema. La dirección del flujo influye mucho en el patrón de flujo y la energía mecánica perdida resultante. Se espera que el flujo en la expansión súbita cause mayores pérdidas que el flujo en la contracción súbita.
EJEMPLO 3.4 Fuerza de arrastre en un cilindro
Considere el flujo que ilustra la figura 3-11. La presencia del cilindro cambia la presión del
fluido y las distribuciones de cantidad de movimiento, puesto que el cilindro ejerce una
fuerza sobre el fluido, -FD . La fuerza que el fluido ejerce sobre el cilindro es igual a +FD Y
es lafuerza de arrastre. La región de reducción de velocidad aguas abajo del cilindro se
llama estela. Observe que la fuerza necesaria que aplica el soporte para mantener el cilindro en su lugar es igual a - F D . En este ejemplo deseamos encontrar F D •
Solución Supongamos que las fuerzas de arrastre viscoso aplicadas a las superficies del
volumen de control son despreciables. Cuando esta es una aproximación razonable (ejemplo 3.5), sólo es necesario considerar la pérdida de cantidad de movimiento en la estela y la
fuerza para mantener al cilindro en su lugar. Si suponemos que F D actúa en la componente
negativa de x, como muestra la figura, entonces
-FD = la componente x de la fuerza necesaria para mantener el cilindro en su lugar
+F D = la componente x de la fuerza del fluido sobre el cilindro
-FD = la componente x de la fuerza del cilindro sobre el fluido
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3.7 FUERZAS VISCOSAS Y PÉRDIDAS DE ENERGíA MECÁN ICA
121
Es importante entender cómo la fuerza requerida para sostener el cilindro aparece en la
ecuación de cantidad de movimiento del fluido. En nuestra elección del volumen de control, el cilindro está dentro del volumen y la superficie del volumen "corta" a través del soporte. En efecto, el soporte aplica una fuerza al fluido dentro del volumen de control, cuyo
signo y magnitud son iguales a la fuerza necesaria para mantener el cilindro en su lugar.
Aunque la velocidad varía a través del túnel, supongamos que en la región aguas abajo, la presión es constante. 3 Al evaluar el transporte de cantidad de movimiento, el flujo
aguas abajo se considera como dos flujos unidimensionales separados y sumamos el resultado. Entonces,
-FD + p, (4d I ) - p, (4d l ) = pV,' (2d l ) + p(';;
J
(2dl) - pV,'(4dl )
(recuerde que la fuerza resultante -lado izquierdo- es igual a la rapidez de cambio neto de
la cantidad de movimiento -lado derecho). Sustituyendo V2 = VI , como se encontró en el
ejemplo 3.3, resulta
1
FD
2
pVl d!
_
4(PI - P2)
2
pV¡ d!
4
9
(3 .6)
•
EJEMPLO 3.5 ¿Qué tan importante es la fricción en la pared?
Hemos visto que todos los flujos de fluidos reales tienen viscosidad. Las pérdidas ocurren
debido a los esfuerzos viscosos, en las capas límite o en otras capas cortantes y, en algunos
casos, se forman estelas con grandes remolinos que disipan grandes cantidades de energía.
Incluso, en ocasiones, las fuerzas que produce la fricción son pequeñas comparadas con la
rapidez de cambio de la cantidad de movimiento, de modo que la energía que se pierde por
fricción es pequeña en comparación con el cambio en, por ejemplo, la energía cinética.
En la figura 3-11, se observa la estela que se forma aguas abajo del cilindro y es claro
que las pérdidas de energía y cantidad de movimiento ocurren en esta región. Además, las
capas límite están presentes en las paredes del túnel. Al escribir la componente x de la
ecuación de la cantidad de movimiento, se debe considerar la estela (como en el ejemplo
anterior), pero también las capas límite en las paredes del túnel. Así como en la figura 3-11
se dibujó el flujo, no se muestran las capas límite e implícitamente se desprecia la fricción de la pared. Si ésta es una aproximación razonable, sólo necesitamos considerar la
pérdida de la cantidad de movimiento en la estela y F D' la componente x de la fuerza requerida para mantener el cilindro en su lugar.
Para entender la función de las capas límite en las paredes, considere la figura 3-16,
donde las capas límite se muestran de manera explícita. Las capas límite dan origen a un
esfuerzo de fricción en la dirección x y, por lo tanto, en la ecuación de cantidad de movimiento aparece una fuerza de fricción, F v' que representa el esfuerzo cortante en la pared,
r IV' integrado en las paredes del túnel. Si dibujamos el volumen de control completo, de
pared a pared, en la ecuación de la cantidad de movimiento se debe incluir la fuerza F v ' y
3
En la sección 4.2. 1 se demuestra que cuando las líneas de corriente son paralelas las diferencias de presión hidrostática sólo
pueden ex istir a través de ellas.
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122
CAPiTULO 3
INTRODUCCiÓN Al MOVIMIENTO DE lOS FLUIDOS I
I~
vc
FIGURA 3-1 6
Selección de un volumen de control alterno.
los perfiles de velocidad de las capas límite, yaque F v Yel déficit de velocidad en las capas
límite contribuyen al transporte de cantidad de movimiento.
Sin embargo, si el volumen de control se dibuja fuera de las capas límite (VC 1 en la figura), no habrá fricción viscosa que actúe en la superficie del volumen de control. Para
este volumen de control, F v = Oy este resultado se obtendrá mediante la ecuación 3.6. No
obstante, existe una ganancia y habrá un pequeño flujo a través de los límites del volumen
de control (superficies A y B, por ejemplo), así como cierto transporte de cantidad de movimiento en x a través de ellos. Si las capas límite crecen con lentitud (como en general lo
hacen), este transporte de cantidad de movimiento es pequeño, y puede despreciarse para
encontrar F o ' pero no se puede ignorar al intentar hallar F v' como se demuestra en la sec•
ción 10.2.
EJEMPLO 3.6 Selección del volumen de control
Considere el flujo permanente de aire a través de la expansión súbita que describe la figura
3-17. 4 Suponga que en la entrada y salida del volumen de control VC 1 (secciones 1 y 2 respectivamente), el flujo es casi uniforme de modo que es posible suponer el flujo unidimensional. Sin embargo, dentro del volumen de control el flujo es muy complicado (figura
3-15) y hay muchas pérdidas. Suponga que a la entrada del volumen de control yen la salida desde el mismo, las presiones son más o menos uniformes, y en la salida, igual a la
presión atmosférica. Además, en la entrada a la expansión súbita, el flujo es casi paralelo,
de modo que la presión es aproximadamente igual a la del flujo en las zonas de recircula-
Pa
P'g
ivc,---
~-~--~----------------
---------1
I
1
' V
'
V2
I
I
:
A2
¡
A, -++ '
:
- - - : F,
I
~
:
1::-,_~ __
,F" .
VC 2
PIl
!
I
---------------------------------
FIGURA 3-17 Volúmenes de control alternos para el flujo a través de una expansión súbita, Las regiones
de separación del flujo se muestran como remolinos recirculando.
4
Este problema se adaptó de un ejemplo incluido en Engineering Fluid Mechanics de Mironer, publicado por McGraw-Hill,
1979 .
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3.7 FUERZAS'vISCOSAS y PÉRDIDAS DE ENERGíA MECANICA
123
ción (en la sección 4.2.2 se demuestra el porqué de ello) y, por lo tanto, la presión que actúa
en la sección s- s es uniforme a través del flujo.
Para ilustrar cómo la elección del volumen de control determina la información que se
puede obtener, se usan dos volúmenes de control diferentes. Primero, un volumen de control que encierra el conducto, y corta las paredes del mismo en una sección aguas abajo
(VC I en la figura 3-17). Donde el volumen de control corta las paredes y habrá una fuerza
de reacción, F s ' que actúa en el fluido, donde - F s es la fuerza que el fluido ejerce en el
conducto. Si usamos la presión manométrica en la componente x de la ecuación de cantidad de movimiento, obtenemos
Fs
+ Pl g AI
2
2
=- pVI A I +pV2 A 2
dado que la sección 1 es el único lugar donde la presión no es la atmosférica. En este volumen de control, no se aplica ninguna fuerza viscosa. Fuera del conducto no se mueve y es
claro que no actúan esfuerzos viscosos. Sobre la superficie del volumen de control dentro
del conducto no hay gradientes de velocidad y de nuevo no se aplican esfuerzos cortantes.
Para este volumen de control, las fuerzas viscosas no desempeñan una función . Según la
ecuación de continuidad (VI A l = V2 A 2 ) obtenemos
- F, = P"
A,+ pV,' A{1- ~: )
(3.7)
Si se conoce la geometría del conducto es posible determinar F s midiendo la presión manométrica aguas abajo y la velocidad de entrada o de salida.
Segundo, elegimos un volumen de control que coincide con la superficie interna de la
expansión súbita (VC 2 en la figura 3-17). Ahora no hay fuerza de reacción que actúe en el
fluido dentro del volumen de control, pues éste no corta las paredes del conducto. La distribución de presiones (distribución de esfuerzos normales), a lo largo de las superficies
horizontales del volumen de control, se desconoce, pero la fuerza resultante está en dirección vertical, de modo que no entra la componente en x de la ecuación de cantidad de movimiento. Sin embargo, los esfuerzos cortantes viscosos en las superficies horizontales
dan lugar a una fuerza de fricción horizontal en el fluido, - F v ' que se debe incluir (el signo
está de acuerdo con lo que muestra la figura 3-17: se espera que sea una fuerza retardadora
para el fluido, pero su dirección real vendrá después del análisis). La componente x de la
ecuación de cantidad de movimiento se convierte en
Mediante la ecuación de continuidad y usando la presión manométrica
F v =PlgA2 + pVI2 A l ( 1- A l )
(3.8)
2
Así vemos que F v es positiva, ya que A 2 > A l y, por lo tanto, actuará en la dirección que
describe la figura. Si el conducto es relativamente corto o si la razón de expansión A 2 / Al
es grande, F v es en general pequeño en comparación con la fuerza debida a las diferencias
de presión y por eso se puede ignorar. La presión manométrica en la región aguas abajo
puede encontrarse, entonces, midiendo VI o V2 .
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124
CAPíTULO 3
INTRODUCCiÓN
ICPl
r,
t
Al
t
Al MOVIMIENTO
DE lOS FLUIDOS I
11
g
3.12
tronc
A2
ILPl
-F,
FIGURA 3-18
g
bomt
diátm
sicos
1
F,,_
La an
Diagrama de cuerpo libre para la expansión súbita,
Por último, podemos dibujar un diagrama de cuerpo libre para el conducto que muestre las fuerzas aplicadas en dirección horizontal (figura 3-18). Cuando la fuerza cortante,
Fv' es despreciable,
Fs
= Plg (A2
-
Al )
El mismo resultado se puede obtener al combinarlas
ecuaciones 3.7 y 3.8 para F, = O. •
FIGU
PROBLEMAS
3.1
¿Qué se entiende por el concepto "flujo permanente
3.2
Dé las definiciones
3.3
Considere el campo de velocidad dado por V = xi
líneas de corriente y esboce el campo de flujo.
unidimensional?"
de línea de corriente y trayectoria.
+
¿En qué condiciones
Enu
1351
velo:
3;15
3.5
Considere el campo de velocidad dado por V = [1i
nea de corriente que pasa por el punto [1, 2].
3.6
Considere el campo de velocidad dado por V = x2i - xyj para determinar una ecuación de la
línea de corriente que pasa por el punto [2, l ]. ¿Qué tiempo le lleva a una partícula de fluido
moverse desde este punto hasta el punto donde x = 4?
+ x·2j
Haci
radie
dad
para encontrar la ecuación de la lí-
~
Vi
3.7
Describa con palabras el principio
3.8
¿Cuáles son las dimensiones
3.9
A través de un conducto de aire acondicionado que mide 6 pulg por 12 pulg con flujo volumétrico de 5 pie3/s fluye aire a 60°F y presión atmosférica. Encuentre:
de la masa.
del flujo másico y cuáles sus unidades típicas?
FIGI
3.16
Se n
min
el flujo másico,
la velocidad promedio.
man
3.10
¿Cuáles son las dimensiones
cas?
3.11
A través de un tubo de 10 cm con un flujo volumétrico
Encuentre:
a)
b)
e)
3.14
yj para hallar la ecuación general de las
Considere el campo de velocidad dado por V = xi + yj para encontrar la ecuación general de
la trayectoria. Compare los resultados con los del problema anterior.
a)
b)
Un e
1 001
15 pl
son iguales?
3.4
de conservación
3.13
del flujo de cantidad de movimiento
el flujo másico,
la velocidad promedio,
el flujo de la cantidad de movimiento.
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y cuáles sus unidades típi-
de 0.5 m3/s fluye agua a 20°C.
3.17
Un1
neu
inic
3.18
¿El
del
son
PROB LEMAS
125
3.12 La arteria más grande del cuerpo es la que abastece de sangre a las piernas. Conforme baja del
tronco del cuerpo, se separa en una conexión Y, como ilustra la figura P3.12, la sangre se
bombea con gravedad específica de 1.05 hacia la conexión a una velocidad de V¡ = 1.5 mis. El
diámetro en la entrada es d¡ = 20 mm, y en la salidad2 = 15 mmy d 3 = 12 mm. Si los flujos másicos en las estaciones 2 y 3 son iguales, encuentre V2 y V)"
FIGURA P3.12
3.13 Un conducto de aire acondicionado que mide 1 pie por 2 pie con un flujo volumétrico de
1 000 pie 3/min abastece tres salones de clase a través de conductos que miden 8 pulg por
15 pulg. Encuentre la velocidad promedio en cada conducto.
3.14 En un autodeslizador entra aire a través de un ventilador de 1.2 m de diámetro a un flujo de
135 m 3/s y sale por un conducto circular de 2 m de diámetro y 10 cm de altura. Encuentre las
velocidades promedio en la entrada y la salida.
3;15 Hacia un caño del drenaje fluye agua en forma radial, como se ilustra en la figuraP3 .15. En un
radio de 50 mm, la velocidad del agua es uniforme y su valor es de 120 mmJs, y la profundidad es de 15 mm. Determine la velocidad promedio del agua en el caño de 30 mm.
¡,50 mm R.~
1-
~
-¡::::"
. . Cano
Vista de planta
Vista lateral
FIGURA P3.15
3.16 Se necesita llenar una alberca circular con diámetro de 15 m a una profundidad de 3 m. Determine el flujo de entrada en m 3/s y gpm si la alberca se llena en 2 h. Encuentre la cantidad de
mangueras de 2 pulg que se requieren si la velocidad del agua no debe exceder de 10 pie/s.
3.17 Un tanque de 10 pie de diámetro y 6 pie de altura se llena con agua a razón de 0.3 pie 3/s. Si tiene una fuga por la que pierde agua a razón de 30 gpm ¿cuánto se tardará en llenar el tanque si
inicialmente estaba a la mitad?
3.18 ¿El tanque de la figura P3.18 se está llenando o vaciando? ¿A qué razón sube o baja el nivel
del agua? Suponga que la densidad es constante. Todas las velocidades de entrada y salida
son en régimen permanente y constantes en sus respectivas secciones.
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126
CAPíTULO 3
INTRODUCCiÓN
Al MOVIMIENTO
DE lOS FLUIDOS I
Diámetro de 2 m
3.23
Agua
Diámetro de 100 mm
Diámetro de 75 mm
¡
3 m/s-j--+-
~!
Uncil
gular i
todo 1,
chura.
unifor
muest
U2 en
y
-D"~'wd,150m"
1.5 mis
FIGURA P3.18
3.19
Un gas que obedece la ley del gas ideal fluye en régimen permanente a través de un tubo horizontal de diámetro constante entre dos secciones 1 y 2. Si el flujo es isotérmico y la razón de
presiones, P2/ Pl '=~,encuentre la proporción entre velocidades V2/V¡.
3.20
Un gas que obedece la ley del gas ideal a presión atmosférica y 20°C entra en un compresor
con un flujo volumétrico de 1 m3/s. Encuentre el flujo volumétrico que sale del compresor si
la temperatura y presión a la salida son 80°C y 200 bar, respectivamente.
3.21
Para el envase de la figura P3.211os flujos de entrada y salida son permanentes, con densidad
constante y se puede suponer que son unidimensionales sobre los planos de la entrada y la salida. Ignore las fuerzas debidas a la gravedad y suponga que la presión fuera de la caja es atmosférica. Encuentre el flujo másico y el flujo volumétrico en el área A3, así como las
componentesxy yde la fuerza que el fluido ejerce sobre la caja, en términos dep, Al' 8yV¡.
A,
¡----¡
-'--1-+
tL_
~t
~
r -
3.24
~x
~-
~ ~
FIGUI
Uncb
p,aU'
cipio,
mism
casi u
térmi
v3
,
A3 = 2A,
A,=~
2
Apáre
v, =!J.
2
FIGURA P3.21
FIGU
3.22
Encuentre la fuerza, F, que se requiere para evitar que el tubo de la figura P3.22 gire alrededor del eje vertical localizado en el punto O. El diámetro del tubo es D y la densidad del fluido
es p.
tv
3.25
vuelt
presi
zas n
3.26
FIGURA P3.22
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En ur
Atra
a una
deR.
de la
unidi
quiei
PROBLEMAS
127
3.23 Un cilindro circular poroso de diámetro D se coloca en un túnel de viento de sección rectangular uniforme de altura 4D y anchura W, como muestra la figura P3.23. El cilindro abarca
todo lo ancho del túnel y desde él se emite un flujo volumétrico de aire por unidad de anchura. El campo de flujo es permanente y tiene densidad constante. Las presiones P, y P2 son
uniformes a través de las áreas de entrada y salida, y los perfiles de velocidad son como se
muestra. Se requiere una fuerza, F , para sostener fijo el cilindro en la direcciónx. Encuentre
U 2 en términos de
U, y D, Y después encuentre F.
º
º,
y
D
~I+-x
__
__
O
_
u,
___ I=.:t'=:-:L
FIGURA P3.23
3.24 Un chorro de área de sección transversal A, emite de manera constante un fluido de densidad
p, a una velocidad V¡ hacia un conducto de áreaA 2 = 5A como ilustra lafiguraP3.24. Al prin" circundante en el conducto tiene la
cipio, el chorro tiene líneas de cOlTiente paralelas. El flujo
misma densidad p y una velocidad de V2 =V¡ / 2. El flujo se mezcla y en la sección B el flujo es
casi uniforme en toda el área. Encuentre la velocidad promedio del flujo en la sección B en
términos de p y V¡, y la diferencia de presiones entre las secciones A y B.
-V2:~
-----.....,.,..-1,,
,
1
-++
,,
1
B
A
A 2' área del conducto
FIGURA P3.24
3.25 En un tubo de 6 pulg de diámetro entra agua a 60°F con un gasto de 3 000 gpm. El tubo da una
vuelta de 180°. Encuentre la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento del fluido. Si la
presión del tubo permanece constante en 60 psi, ¿cuál es la magnitud y dirección de las fuerzas necesarias para mantener el tubo fijo?
3.26 A través del tubo horizontal, curvo y liso de la figura P3 .26, fluye aire de densidad constante p
a una velocidad constante V que sale a la atmósfera. El tubo es circular y tiene un radio interno
de R. En el plano horizontal se debe aplicar una fuerza F para mantener fijo el tubo. A través
de la junta de expansión de la entrada no se transmiten fuerzas y el flujo se puede considerar
unidimensional. Encuentre la magnitud de la fuerza F en términos de p, R YV; desprecie cualquier cambio de presión.
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128
cAPiTULO
3
INTRODUCCiÓN
Al MOVIMIENTO
DE lOS FLUIDOS I
Presión
atmosférica
y
\
\
x
__
Dia
e
2R
Junta de expansión
FIGURAP:
3.29 ¿A qué án
3.30 Describa1
una expan
FIGURA P3.26
3.31 Describa1
3.27 Un chorro de agua bidimensional, golpea en una cuña como describe la figura P3.27. La cuña
está sujeta de su vértice de modo que la superficie inferior se mantiene horizontal. Si los espesores t2 y t3 son iguales y U2 = U3 = 2U" encuentre el ángulo para el cual la magnitud de las
componentes x y y de la reacción en el vértice son iguales. Ignore los efectos de la gravedad;
la presión es atmosférica en todas partes.
y
t~ ,
t,
FIGURA P3.27
3.28 A través de un conducto de sección transversal cuadrada de altura h, como se muestra en la figura P3.28 fluye aire. En la línea central se coloca una placa con un orificio cuadrado que
mide h/ 2 por h/ 2. La placa experimenta una fuerza de arrastre, FD. La densidad del aire p es
constante. Lejos, aguas arriba, la presión y velocidad son uniformes e iguales a p, y U" respectivamente. Lejos, aguas abajo, la presión es P2 y la distribución de velocidad es como se
muestra. La diferencia de presiones se mide con un manómetro que muestra una desviación
tl. El fluido manométrico tiene densidad p",. El flujo es permanente y la fricción puede despreciarse. Encuentre la velocidad máxima en la salida, U2, en términos de U" y la fuerza de
arrastre, FD en términos de h, p, Pm, tl, g YU,.
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PROB LEMAS
129
p
TI
FIGURA P3.28
3.29 ¿A qué ángulo interior considera que el flujo se separa en un difusor?
3.30 Describa las diferencias entre el flujo a través de una contracción súbita y el flujo a través de
una expansión súbita.
3.31 Describa las diferencias entre flujo turbulento y flujo separado.
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CAPÍTULO
]
4
INTRODUCCIÓN AL
MOVIMIENTO DE
LOS FLUIDOS 11
4.1 INTRODUCCiÓN
Con este capítulo concluye la introducción a los principios básicos en los que se basa el
flujo de los fluidos mediante el desarrollo y la aplicación de las ecuaciones de Bemoulli y
de la energía. Como en el capítulo 3, estos principios se ilustran con ejemplos de flujos
unidimensionales en régimen permanente.
4.2 ECUACiÓN DE BERNOULLI
La ecuación de Bemoulli se obtiene aplicando la segunda ley de Newton a lo largo de una
línea de corriente (el desarrollo completo se presenta más adelante). Establece que
t
t
p¡ + P V¡2 + pgz¡ = P2 + P V22 + pgz2 = constante
(4.1)
donde z¡ y z2 son las alturas o elevaciones de los puntos 1 y 2 sobre algún plano horizontal
de referencia, y
1.
2.
3.
4.
Los puntos 1 y 2 se encuentran sobre la misma línea de corriente. ¡
El fluido tiene densidad constante.
El flujo es permanente.
El flujo es no viscoso.
La suposición de que el "fluido tiene densidad constante" significa que el cambio esperado
en la densidad dentro del campo del flujo es muy pequeño; el postulado de que el "flujo es
permanente" no sólo excluye los flujos transitorios, sino también los flujos turbulentos. La
afirmación de que el "flujo es no viscoso" significa que el número de Reynolds es grande y
la fricción viscosa es despreciable, de ahí que nuestro interés esté fuera de la capa límite y
de otras regiones donde los esfuerzos viscosos son importantes.
Aunque estas restricciones parecen severas, la ecuación de Bemoulli es muy usada, en
parte por su sencillez, pero en especial porque proporciona una gran visión de las fluctuaecuación de Bemoulli se puede usar en dirección transversal a las líneas de corriente si el flujo es irrotacional, es decir,
cuandoQ = V x V = O. El vectorQ se conoce como vorticidad (sección 7.¡).
1 La
130
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4.2 ECUACiÓN DE BERNOULLI
131
ciones de la presión, velocidad y altura de una partícula de fluido. Para una nota histórica
sobre Daniel Bemoulli revise la sección 15 .6.
La ecuación de Bemoulli se desarrollará siguiendo una partícula de fluido, esto es,
mediante una aproximación lagrangiana.
4.2.1 Balance de fuerzas a lo largo de líneas de corriente
Considere una partícula de fluido que se mueve en un flujo en régimen permanente bidimensional en el plano z-y con densidad constante (figura 4-1). La dirección z se mide
verticalmente hacia arriba desde un plano de referencia horizontal, de modo que se incrementa en sentido opuesto al de la gravedad, y la dirección x es perpendicular a la página.
La dirección s es a lo largo de la línea de corriente y la dirección n es normal a ésta. Dado
que el flujo es permanente, la partícula seguirá una línea de corriente y su velocidad, en
cualquier punto de la línea de corriente es V. Si la fricción se ignora, las fuerzas que actúan
en la dirección s incluyen:
1. La componente del peso aplicada en la dirección s. El peso de la partícula de fluido
es pg dndsdx, y su componente en la dirección s es - pg sen f3 dndsdx. Puesto que
sen f3 = az/ as, esta componente de la fuerza es
= - pg -az dndsdx
as
2. La fuerza debida a la presión aplicada en la componente s es
=(p _ ap ds )dndx _(p + ap ds )dndx
as 2
as 2
=_ ap dndsdx
as
Por lo tanto, la fuerza resultante por unidad de volumen es
ap
az
= - - - pg as
as
dn]
\
_ dne _[P+~~]dlldX
as 2
ap - dsdx
[ p+an 2
z
[ P-
ap
dS]
a;2
dndx
Q
ds
\
[ P-~<!!!.]dsdx
an 2
L -_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
FIGURA 4-1
~y
Partícula de fluido que se mueve a lo largo de una línea de corriente.
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(4.2)
132
CAPiTULO 4
INTRODUCCiÓN Al MOVIMIENTO DE lOS FLUIDOS 11
Esta fuerza acelerará la partícula de fluido conforme se mueva a lo largo de la línea de corriente. En una distancia corta, ds, la velocidad de cambio desde V hasta V + av
as ds, de modo
que la rapidez de cambio de cantidad de movimiento de la partícula de fluido, por unidad de volumen, es igual a
p
V + aaV ds - v)
av
s
= pV(
as
dt
ya que V = dsl dt. Mediante la ecuación 4.2 obtenemos
(4.3)
Esta ecuación se denomina ecuación de Euler unidimensional o ecuación de Euler a lo largo de una línea de corriente. Al multiplicarla por ds, resulta
ap
av
az
-ds + pV-ds + pg-ds = O
as
as
as
Así, como s es la coordenada a lo largo de la línea de corriente
ap ds
as
=
dp
=
cambio de presión a lo largo de la línea de corriente
aV ds = dV = cambio de velocidad a lo largo de la línea de corriente
as
az ds
as
dz = cambio de elevación a lo largo de la línea de corriente
por lo tanto
dp +V dV + gdz = O
p
(4.4)
Aún no se aplica ninguna restricción a la densidad de la partícula de fluido, de manera que
esta relación se puede aplicar a fluidos con densidad variable. Sin embargo, cuando la densidad es constante, esta relación se puede integrar a lo largo de la línea de corriente para
obtener
E + ~ v 2 + gz = constante
p
que es la ecuación de Bemoulli para flujos permanentes con densidad constante, sin fric ción, a lo largo de una línea de corriente.
Dado que la ecuación de Bemoulli se obtuvo mediante la segunda ley de Newton a lo
largo de una línea de corriente, ésta es una forma de la ecuación de cantidad de movimiento. Es interesante observar que cada término de la ecuación de Bemoulli tiene las dimensiones de energía, o trabajo, por unidad de masa. La cantidad ~ V 2 es la energía cinética
por unidad de masa, gz es la energía potencial por unidad de masa y pi p, que es la integral
de dpl p, es el trabajo por unidad de masa de fluido incompresibÍe contra la variación de
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4.2 ECUACiÓN DE BERNOU LLI
133
presión en la línea de corriente. Para un flujo permanente de densidad constante, sin fricción, la ecuación de Bemoulli indica que la suma del trabajo de la presión, la energía cinética y la energía potencial permanecen constantes a lo largo de la línea de corriente. Esta
conexión con la ecuación de energía se analiza más adelante en la sección 4.7.
4.2.2 Balance de fuerzas en dirección normal a las líneas de corriente
A partir del balance de fuerzas en dirección normal a las líneas de corriente es posible obtener otro resultado útil para un flujo no viscoso, permanente y densidad constante. Para el
flujo sin fricción de la figura 4-1 , las fuerzas que actúan en la dirección n incluyen:
1. La componente del peso pg dndsdx aplicada en la dirección n, esto es-pgcos(3
dndsdx. Ya que cos (3 = az / an, esta componente es
az
= pg - dndsdx
an
2. La fuerza debida a la presión que actúa en la dirección n es
=( p _ ap dn )dSdX _(p + ap dn )dSdX
an 2
an 2
=_ ap dndsdx
an
La fuerza resultante por unidad de volumen es
ap
az
=--- pgan
an
(4.5)
Esta fuerza acelerará la partícula de fluido en la dirección normal a la línea de corriente. La
aceleración centrípeta está dada por -v 2/ R, donde R es el radio local de curvatura (figura
4-1), de manera que la rapidez de cambio de cantidad de movimiento de la partícula de
fluido en la dirección n, por unidad de volumen, es igual a
V2
-p -
R
Según la ecuación 4.5 se obtiene
.-------------~
ap
az
V2
- +pg-=p an
an
R
(4.6)
Esta es la ecuación de la cantidad de movimiento para flujo permanente de densidad constante, sin fricción, a través de las líneas de corriente, que se conoce como ecuación de Euler para la dirección normal a la línea de corriente.
Así, conforme la línea de corriente se hace recta y su radio de curvatura se vuelve muy
grande, la presión en la normal a las líneas de corriente puede variar sólo por cambios hidrostáticos. Si los efectos de la gravedad no son importantes y R ~ 00, entonces la ecuación 4.6 produce ap/an = 0, esto es, la presión es constante en la normal a las líneas de
corriente. Por lo tanto, para los flujos permanentes, no viscosos, con densidad constante
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134
cAPiTULO 4
INTRODUCCiÓN AL MOVIMIENTO DE LOS FLUIDOS II
La presión en dirección nonnal a las líneas de corriente rectas es constante si los efectos
de la gravedad se pueden despreciar.
Este es un resultado muy importante que se usará posterionnente.
4.3 PRESiÓN DE ESTANCAMIENTO Y PRESiÓN DINÁMICA
La ecuación de Bernoulli conduce a algunas conclusiones interesantes que contemplan los
cambios de presión en cuerpos sólidos. Considere un flujo pennanente de densidad constante, que incide en una placa perpendicular (figura 4-2) y una línea de corriente que lo divide a la mitad. Sobre esta línea de corriente todo el flujo va hacia arriba de la placa, y
debajo de la línea, todo el flujo va hacia abajo de la placa. A lo largo de esta línea de corriente divisoria, el flujo se mueve hacia la placa. Dado que el flujo no puede traspasar la
placa, el fluido debe alcanzar el reposo en el punto donde se encuentra con la placa. En
otras palabras, se "estanca." A lo largo de la línea de corriente divisoria o de estancamiento el fluido va frenando hasta que por último llega a reposo sin desviarse del punto de estancamiento. 2
Si los efectos viscosos se ignoran, la ecuación de Bernoulli a lo largo de la línea de corriente de estancamiento lleva a
2
p~ +1PV; +pgz~ = Po +1 PV0 + pgzo
°
donde el punto es lejano aguas arriba y el es en el punto de estancamiento (figura 4-2).
Puesto que z~ = Zo y Vo = 0,
00
I p~ + 1p v; = Po = presión de estancamiento I
(4.7)
La presión total o de estancamiento, Po' es la presión medida en el punto donde el fluido
entra en reposo. Esta es la presión más alta que se puede encontrar en cualquier parte del
campo de flujo y que ocurre en el punto de estancamiento. Por ello es la suma de la presión
estática (p~ ) y la presión dinámica p V; ) medida lejos aguas arriba. La cantidad p
(1
1 v;
Punto de
estancamiento
Línea de corriente
de estancamiento
FIGURA 4-2
Flujo con punto de estancamiento.
un punto de estancamiento, la magnitud de la velocidad es cero y su dirección está indeterminada. Este es un ejemplo de un
punto singular o crítico, que es el lugar donde las líneas de corriente pueden j untarse.
2 En
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4.4 VARIACiÓN DE LA PRESiÓN Y DE LA VELOC IDAD
135
se llama presión dinámica (ya analizada en la sección 1.3.6) porque proviene del movimiento del fluido.
En palabras, la ecuación 4.7 se puede expresar así
presión estática + presión dinámica = presión de estancamiento
En realidad, la presión dinámica no es del todo una presión, sino sólo un nombre conveniente para la cantidad p
que representa la disminución de la presión debido al incremento de la velocidad del fluido.
La presión en cualquier parte del flujo también se puede expresar en forma de un coeficiente adimensional de presión, e p' donde
t V; ,
e
=
P-
P
P~
lpv2
2
~
En el punto de estancamiento e p = 1, que es su valor máximo. En la corriente libre, lejos de
la placa, e p = O. Asimismo, de la ecuación de Bemoulli
P - P~ = tp(V; _ V 2 )
así que
e p = 1 _(~)2
V~'
o
~=
~
V~
"\J' - '-'p
4.4 VARIACiÓN DE LA PRESiÓN Y DE LA VELOCIDAD
Considere otra vez el flujo de la figura 3-12. Dado que las líneas de corriente son paralelas
a la entrada y salida del conducto, la presión en él es constante, excepto por la diferencia en
la carga hidrostática. Si se ignora la gravedad, las presiones sobre las áreas de entrada y salida son constantes. A lo largo de una línea de corriente en el centro, la ecuación de Bernoulli y la ecuación unidimensional de continuidad dan, respectivamente
p¡ - P2 = tp(Vi _ V¡2)
y
Observe que
1. Con A 2 < Al' V2 > VI
disminución de área ]
[ aumento de velocidad
2. Con V2 > VI' P2 < PI
[ aumento de velocidad]
disminución de presión
En la figura 4-3 se ilustran estas dos observaciones, las cuales proveen una guía intuitiva
para analizar los flujos de fluidos, aun cuando el flujo no sea unidimensional. Por ejemplo,
cuando un fluido pasa sobre un cuerpo sólido, la presión disminuye, la velocidad del flujo
aumenta y las líneas de corriente se acercan una a otra.
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136
CAPíTULO 4
FIGURA 4-3
INTRO DU CC iÓN Al MOVIMIENTO DE l OS FLUIDOS 11
Vari ación presión-velocidad según la ecu ación de Bernoulli.
EJEMPLO 4.1
Experimento de velocidad y presión
Para una demostración sencilla de la fuerza que produce una corriente de aire se requiere
un pedazo de hoja de papel y dos libros más o menos del mismo espesor. Coloque los libros con una separación de 4 a 5 pulgadas, y cubra la separación con el papel. ¿Qué observa cuando sopla a través del pasaje que forman los libros y el papel? ¿Por qué?
•
EJEMPLO 4.2 Segundo experimento de velocidad y presión
Como una variante del ejemplo 4.1 sostenga una hoja de papel con la punta de sus dedos
en las esquinas del extremo corto y sople sobre la cara superior en la dirección del lado largo. ¿Qué observa? ¿Por qué?
•
EJEMPLO 4.3
Tercer experimento de velocidad y presión
Si una esfera ligera se coloca sobre un chorro vertical de aire, ésta se mantiene suspendida
y es muy estable ante perturbaciones pequeñas. Usted puede demostrar lo anterior con una
pelota de tenis de mesa y una secadora de pelo. Deje que de la secadora salga aire en forma
vertical hacia arriba, coloque la pelota en el flujo y suéltela; ésta permanecerá suspendida
sobre el chorro de aire. Presione la pelota hacia abajo y observará que rebota a su posición
de equilibrio; presiónela hacia los lados y rápido regresará a su posición original en el centro del chorro.
¿Por qué sucede lo anterior? En dirección vertical, el peso de la pelota se balancea por
una fuerza debida a la diferencia de presiones; la presión en la mitad posterior de la esfera
es menor que en la mitad del frente por las pérdidas que ocurren en la estela. Para entender
el balance de fuerzas en dirección horizontal, recuerde que si el chorro es casi paralelo, la
pre~ión en él sin la esfera, es la misma que fuera del mismo, de modo que la presión es atmosférica en todas partes. Ahora imagine la pelota en el borde del flujo, de manera que
sólo una mitad se expone al chorro. En el lado expuesto, la velocidad del flujo aumenta
conforme pasa alrededor de la esfera y la presión cae por debajo de la atmosférica. En la
mitad expuesta al exterior del chorro, la presión se conserva como la atmosférica. Las diferencias de presión mueven la pelota hacia el centro y, por lo tanto, es estable.
•
EJEMPLO 4.4 Disco atraído
Cuando se sopla aire a través de un tubo, A (figura 4-4), acoplado a una brida, BC, la placa
plana, D, se empuja contra la brida en vez de ser lanzada como podría esperarse. Esto se
explica por la relación entre presión y velocidad. Al principio, la velocidad entre la placa y
.la brida es alta, pero empieza a disminuir conforme el fluido fluye hacia fuera, pues el área
a través de la cual sale el flujo se incrementa con el radio, al mismo tiempo, aumenta la presión. Sin embargo, a la salida (B y C), la presión debe ser igual a la presión atmosférica, ya
que las líneas de corriente en la salida son paralelas. Por lo tanto, en cualquier punto de la
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4.5 APLI CACION ES DE LA ECUAC iÓN DE BERNOULLI
137
A
B~
t
t
D)i'
t
Pa
FIGURA 4-4 Disco atraído. Con autorización de Martin y Connor, Basic Physics, 8a. ed., publicado por
Whitcombe & Tombs Pty. Ud., Melbourne, Australia (1962).
separación la presión debe ser menor que la atmosférica. Puesto que la presión fuera de la
placa es atmosférica, hay una fuerza resultante que sostiene la placa contra la brida debido
a las diferencias de presión.
•
4.5 APLICACIONES DE LA ECUACiÓN DE BERNOULLI
¿Qué tan útil es la ecuación de Bemoulli? ¿Qué tan restrictivas son las suposiciones en las
que basa su uso? A continuación, y en capítulos posteriores, se presentan algunos ejemplos.
Un uso común de la ecuación de Bemoulli es como una tercera ecuación, además de
las ecuaciones de continuidad y de cantidad de movimiento, para resolver problemas
de flujos. Por ejemplo, si el flujo que ilustra la figura
fuera un flujo de densidad constante, a lo largo del centro del conducto se podría considerar una línea de corriente y aplicar la ecuación de Bemoulli. Así
3-12
I
u2 _
u2
I
PI + 2PYI - P2 +2PY2
dado que
ZI
= z2' Según
la ecuación de continuidad obtenemos
Puesto que para obtener la presión P2' se usó la ecuación de Bemoulli, la fuerzaR x puede
encontrarse si se conocen PI' VI , Al Y A 2·
Se puede ir más allá y dividir ambos lados entre ~ P VI 2 Al ' de modo que
- 2(~
- 1J+ l prr,2A
PI'
A
Rx
lpv,2A 2
l
l
2
2
I
(A - A
I
2
I
)+ (1 - J
A2
A
l
A?
A2
2
Este paso hace que ambos lados de la ecuación sean adimensionales. El parámetro en el
lado izquierdo es un ejemplo de coeficiente adimensional de fuerza. Este proceso de adimensionalización es una práctica común en mecánica de fluidos, ya que como podemos
ver hace más útiles y presentables las respuestas.
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138
CAPiTULO 4
INTRODUCC iÓN AL MOVIMIENTO DE LOS FLUIDOS II
4.5.1 . Tubo de Pitot
Una de las aplicaciones más inmediatas de la ecuación de Bemoulli se tiene al medir la velocidad con el tubo de Pitot. El tubo de Pitot (llamado así en honor del científico e ingeniero francés Henri Pitot, 1695-1771) es quizá el medidor de flujo más sencillo y útil que se
ha desarrollado (figura 4-5). Apuntando el tubo directamente al flujo y midiendo la diferencia entre la presión detectada en el tubo y la presión del flujo de aire circundante, el
tubo de Pitot puede hacer una medición muy precisa de la velocidad. De hecho, es quizá el
método disponible más preciso para medir la velocidad del flujo de forma sencilla y obtener con facilidad precisiones de 1%. Los tubos de Pitot son muy usados en aplicaciones de
medición de flujos. Por ejemplo, son equipo típico en aviones, donde el tubo de Pitot se
combina con un puerto estático localizado en algún lugar del fuselaje para proporcionar al
indicador de velocidad en el tablero de la cabina la presión dinámica.
Para comprender cómo funciona el tubo de Pitot, considere la ecuación de Bemoulli a
lo largo de la línea de corriente que comienza lejos aguas arriba del tubo y alcanza el reposo en su boca (estación O).
2
1
1
V2
P= +zP
aV= +pagz= -- Po + zPa
o +pagzo
donde P a es la densidad del aire. Ya que z=
= zo y Vo =0,
2
Po = P= +lp
2 a V=
(4.8)
Observe que el tubo de Pitot mide la presión de estancamiento del flujo. También podemos
escribir
(4.9)
Por lo tanto, para encontrar la velocidad V=, es necesario conocer la densidad del aire y la
diferencia de presión, Po - P=' La densidad puede obtenerse en tablas comunes si se conocen la temperatura y la presión atmosférica. La diferencia de presiones, Po - P= en general puede encontrarse en forma indirecta mediante un puerto de la presión estática
localizado en alguna pared del túnel (como en la figura 4-5) o en la superficie del modelo.
Si la presión se mide por un puerto de presión estática de pared, Ps' entonces, aplicando
tres veces la ecuación de la hidrostática, encontramos
Pm
-
Ps = P= +p ag(zw +zo)
Pm = Po + P ag(zw + Zo + ~h)
Ps =Pmg~h
p~
z~
FIGURA 4-5
Tubo de Pitot en un túnel de viento.
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(4.10)
4.5 APLICACIONES DE LA ECUACiÓN DE BERNOULLI
139
donde P m es la densidad del fluido manométrico. Por lo tanto,
Po - P= = P mgl:1h - P agl:1h
Según la ecuación 4.9, se obtiene
V": =2g
Pm
Pa
(l - ~)l:1h
P
(4.11)
m
Puesto que P m siempre es mucho mayor que P a , se tiene con una buena aproximación
V":
=2g P m
I:1h
(4.12)
Pa
Por lo tanto, para determinar la velocidad del aire con un tubo de Pitot sólo se requiere un
puerto de presión estática y un manómetro. La velocidad se puede encontrar entonces, midiendo el desnivel del fluido manométrico y conociendo la densidad del aire y del fluido
manométrico.
Cuando se usa el tubo de Pitot, con frecuencia se supone que Ps = P=' De la fórmula
4.10 tenemos
Dado que P= es casi igual a la presión atmosférica, vemos que el error en la aproximación
Ps = p= se vuelve significativa sólo cuando Zw + Zo es lo suficientemente grande para ser
una fracción aplicable de la altura de la atmósfera. Por ejemplo, para Zw + Zo = 10m, el
error es sólo de alrededor de 0.1 %.
En ocasiones, el tubo de Pitot se combina con un tubo estático para hacer una unidad
individual llamada tubo de Pitot estático (figura 4-6). Un tubo estático es un tubo cerrado
alineado con la dirección del flujo . A cierta distancia de la nariz, en la pared del tubo se taladran orificios pequeños para medir la presión estática local. En un tubo de Pitot estático,
los tubos se colocan uno dentro del otro. El tubo interior está abierto en un extremo y mide
la presión total, mientras que el tubo exterior sirve como tubo estático para medir la presión estática. Los dos tubos se pueden conectar a las ramas de un manómetro para que en él
se lea la presión dinámica. La precisión de un tubo de Pitot estático depende de su construcción e instalación. Éste es muy sensible a los desalineamientos con la dirección del flujo y para alcanzar una buena precisión deberá calibrar contra un patrón conocido.
4.5.2 Tubo de Venturi y atomizador
La relación entre la presión y la velocidad que se expresa mediante la ecuación de Bemoulli se emplea en el diseño del tubo de Venturi (figura 4-7). Este aparato está formado por
una sección convergente seguida por una divergente, y su forma se selecciona para que las
pérdidas por fricción o desprendimiento del flujo no sean significativas. Una aplicación
del tubo de Venturi se tiene al medir el flujo en régimen permanente con densidad constante. Conforme el fluido pasa a través del tubo alcanza su velocidad máxima y presión mínima en la garganta. Con las ecuaciones unidimensionales de continuidad y de Bemoulli
tenemos
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140
CAPiTULO 4
INTRODUCCiÓN Al MOVIMIENTO DE lOS FLUIDOS 11
D¡
8 agujeros de 0.1 D de diámetro
con igual espaciado
I
ll=:~~~:=i::lm
11
11
11
----..II~D
11
11
11
11
11
- - Conexión de carga total
'--Conexión estática
FIGURA 4-6 Tubo de Pitot estático del tipo Prandtl. Tomado de: Rae y Pope, Low-Speed Wind Tunnel
Testing, 2a. ed. , Wiley-Interscience, 1984.
VI Al = V2 A 2
.!!J. + lv:
2 = P2 + l v: 2
2 I
2 2
P
P
así que
Midiendo la diferencia de presiones PI - P2 Y conociendo las dimensiones del tubo de
Venturi y la densidad del fluido, es posible hallar la velocidad del flujo . El tubo de Venturi
se usa cuando se requieren mediciones de la velocidad precisas en un sistema de tuberías
sin introducir pérdidas sustanciales. 3
FIGURA 4-7 Tubo de Venturi. Con autorización de Martin y Connor, Basic Physics, 8a. ed., publicado por
Wh itcomb & Tombs Pty. Ud. , Melbourne, Australia (1962).
3 En
el flujo que se desarrolla dentro de un tubo, donde el flujo no es unidimensional, se requiere un factor de corrección de la
energía cinética (sección 9.8.1).
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4.5 APLI CACIONES DE LA ECUACi ÓN DE BERNOULLI
141
C-
FIGURA 4-8 Atomizador. Con autorización de Martin y Connor, Basic Physics, 8a. ed., publicado por
Whitcomb & Tombs Pty. U d., Melboume, Australia (1962).
Los carburadores también hacen uso del principio de Venturi. En ellos la baja presión
en la garganta del tubo de Venturi se usa para conducir combustible al flujo principal. Si la
presión es suficientemente pequeña en la garganta, el combustible se rompe en gotas y se
vaporiza antes de entrar en la cámara de combustión del motor.
Otra aplicación de este principio se presenta en un atomizador (figura 4-8). Una corriente de aire que se sople a través del tubo A pasa en forma directa por encima del extremo abierto del tubo B, el otro extremo está sumergido en el líquido del recipiente e, el cual
. está abierto a la atmósfera. El tubo está diseñado de manera que la corriente de aire diverge después de pasar por el punto B. Lejos de la salida del tubo, en F, la presión debe de ser
atmosférica, por lo que la presión en B debe estar por debajo de la atmosférica (el flujo disminuye su velocidad mientras se mueve de B a F). Por lo tanto, la presión atmosférica actúa en la superficie del líquido en e empujándolo hacia B, donde penetra a la corriente de
aire y es arrastrada hacia afuera como spray. Los atomizadores de pintura, perfumes y las
máquinas que hacen nieve en los centros de ski, funcionan de esta manera.
4.5.3 Sifón
El sifón se usa para drenar el líquido de un tanque abierto, y consta de un tubo sumergido
en el líquido por uno de sus extremos. La otra punta se mantiene afuera del líquido y por
debajo de la superficie libre (figura 4-9). Si no hay pérdidas, y el flujo está en régimen permanente, con la ecuación de Bernoulli se puede encontrar la velocidad del chorro que sale
por el extremo abierto y la presión mínima en el tubo.
Si el tanque es grande, el nivel del agua disminuye con lentitud y, por lo tanto, podemos suponer que la velocidad de la superficie libre es casi cero. A ésta se le llama
suposición cuasipermanente, pues en realidad el flujo no es permanente, pero sí lo suficientemente para aplicar, por ejemplo, la ecuación de Bernoulli. Para dibujar una línea de
corriente, recordemos que es una línea cuya tangente es paralela al vector de velocidad instantánea. Si tomáramos una fotografia con tiempo de exposición corto de algunas partículas de fluido marcadas, se observaría que los vectores de velocidad a través de casi todo el
tanque se dirigen hacia la entrada del tubo. Así podemos empezar la línea de corriente en el
fondo del tanque, a la mitad, o en la superficie del agua. Sin embargo, para hacer útil la línea de corriente, necesita elegirse de modo que conecte un punto del que se tenga información con uno del que se necesite información. Sabemos que en la superficie TI¡ = 0, y que la
presión es la atmosférica. Puesto que se conocen dos parámetros en la superficie, éste es
un buen lugar para que inicie la línea de corriente. Para encontrar las condiciones en la sa-
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142
CAPíTULO 4
INTRODUCC iÓN Al MOVIMIENTO DE l OS FLUIDOS II
--2
z
T
3-
FIGURA 4-9
1
1
El sifón se usa para transferir líquidos de un nivel más alto a uno más bajo.
lida del tubo, dibujamos la línea de corriente para hacer conexión con un punto en el plano
de salida. Entonces
¿Qué pasa con P3 ? Cerca de la salida del chorro, el flujo es paralelo y la presión que rodea
el chorro es la atmosférica. En un flujo permanente, con densidad constante, la presión
sólo puede variar a través de líneas de corriente rectas debido a gradientes de la presión hidrodinámica (sección 4.2.2). No existen diferencias de presión hidrostática a través del
chorro, dado que está en caída libre, así que con VI = y P3 = PI = Pa '
°
V3 = ~2gz3
El área de la sección transversal del tubo no varia y, por lo tanto, la velocidad en todas sus
partes también es igual a V3 • Ya que la velocidad en el tubo es constante, la presión mínima
ocurrirá en la altura máxima del tubo, esto es, en el punto 2. Aquí
II
+ lV, 2 +
P 21
°
= P2
P
+l
V, 2
22
+ gz
2
Con VI = 0, PI = Pa y V2 = V3 = ~2gz3
Pa
P2
- =-+ gz3 +gz2
P
P
Es decir,
P2 = Pa - g(Z3 + Z2)
p
P
De ahí que la presión en el punto 2 está por debajo de la atmosférica. Si la elevación del
punto 2 es lo suficientemente grande, la presión puede ser igual a la presión de vapor dellíquido.
La presión de vapor es la presión a la que el líquido hervirá. Si la presión del líquido es
mayor que la presión de vapor, el único intercambio entre las fases líquidas y de vapor es la
evaporación en una superficie libre. Si la presión del líquido cae por debajo de la presión
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4.6
ECUACiÓN
DE BERNOULLI
y DRENADO DE TANQUES
143
de vapor, en el líquido empiezan a aparecer burbujas de vapor. Para el agua a 68°P la presión de vapor es de 491bf/pie2, que es igual a 0.0232 atm. Dado que 1 atmósfera=33.9 pie
de agua, encontramos que si
Z2
lplano
e rodea
presión
sión hivés del
+ z3 > (1- 0.0232) x 33.9 pie = 33.1 pie
el agua hervirá y se puede formar un tapón de vapor.
Puesto que la presión disminuye con la altura, la presión del aire a elevaciones
mayores se acerca a la presión de vapor del agua, y ésta hervirá a una temperatura menor
conforme aumenta la altura. A una altitud de 10000 pie, por ejemplo, donde la presión atmosférica es 10.1 psi, el agua hierve a 193°P y no a 212°P.
Un líquido también puede hervir si su velocidad es lo suficientemente alta como para
que la presión en el líquido caiga por debajo de la presión del vapor. La formación de burbujas de vapor se llama entonces cavitacion, y puede causar erosión severa a las aspas marinas, donde se encuentran regiones de baja presión cerca de las puntas de las aspas (figura
8-1). Justo debajo de la superficie del agua, la presión es igual a la presión de vapor a una
velocidad de casi 50 pie/s (= 34 mph). Por lo tanto, la cavitación puede ser un problema a
velocidades más o menos modestas, aunque en la práctica, por lo general esto no ocurre
hasta que la presión está por debajo de la presión de vapor. A grandes profundidades, la
presión en el fluido envolvente aumenta, y la preocupación por la cavitación se deja para
velocidades mayores.
4.6 ECUACiÓN DE BERNOULLI y DRENADO DE TANQUES
Considere que se drena agua de un tanque grande (figura 4-10). El tanque es tan grande
que se puede usar la suposición de régimen cuasipermanente. A lo largo de una línea de
corriente que conecta un punto en la superficie a un punto en el plano de salida del chorro,
tenemos
!!J....+O+gH= P2 +lV2
p
p
2
+0
2
Si las líneas de corriente en la salida del chorro son paralelas, P2 = P a . El chorro también
está en caída libre, de modo que las caídas de presión hidrostática a través de él valen cero.
Con V¡ = OYP2 = Pi = P a '
Ésta se conoce como fórmula de Torricelli.
Po
ión del
dellíido es
res la
resión
T
Po
H
1
2
------------
FIGURA 4-10
I
I
I
Agua drenando hacia fuera de un tanque grande.
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144
CAPíTULO 4
INTRODUCCiÓN Al MOVIMIENTO DE lOS FLUIDOS 11
T
1 ___________: :_~.-';;=iti=-~1~
Pa
H
FIGURA 4-11
Salida de un tanque con drenaje que se expande.
¿De cuánto es la descarga? La descarga en volumen qes el volumen que sale por unidad de tiempo, o sea, el flujo volumétrico que sale del tanque. En un tiempo corto D.t, el
volumen de fluido que sale del tanque es A 2 V2 D.t, donde A 2 es el área de la sección transversal del chorro. Así, el volumen del fluido que sale por unidad de tiempo es simplemente
A 2 V2 . De manera similar, la descarga en flujo másico, o flujo másico que sale del tanque,
está dado por pA 2 V2 . Entonces, para el flujo que sale del tanque
q= rapidez de la descarga volumétrica = A 2 V2 = A 2 ~2gH
m= rapidez de la descarga másica = pA 2V2 = pA 2 ~2gH
¿Qué pasa si el orificio se modifica para tener una sección divergente, de manera que el
área aumente desde A 2 hasta A3 (figura 4-11)? Si las líneas de corriente son paralelas en la
salida, la presión en la salida, P3' es la atmosférica. Si no hay pérdidas, la velocidad en la
salida todavía es ~2gH. Sin embargo, la descarga volumétrica ha aumentado a A3 ~2gH,
así que es mayor que la anterior por un factor de A3 / A 2 . Si no hay pérdidas, la velocidad en
la salida es independiente del área de salida, pero la descarga se incrementa conforme el
área de salida aumenta. ¿Qué sucede en el punto A 2 ? Por continuidad, la velocidad en A 2
es mayor que en A3 por una proporción de A3 / A 2 • Ya que la presión en A3 es la atmosférica, la presión en A 2 está por debajo de la atmosférica y la tobera convergente divergente
actúa en forma similar a un tubo de Venturi (sección 4,5,2). Si la presión en la estación 2
cae por debajo de la presión de vapor, puede ocurrir la cavitación.
EJEMPLO 4.5 Flujo en un ehorro
Considere un tanque drenado a través de un orificio pequeño, donde la salida del orificio
apunta hacia arriba en ángulo como en la figura 4-12. La magnitud de la velocidad de salida es aún Ve = ~2gH. Conforme el chorro se mueve, la componente vertical de la velocidad (w) disminuye por la acción de la gravedad. La velocidad vertical llega a cero en la
parte más alta de la trayectoria del chorro y luego se hace negativa. La componente horizontal de la velocidad del fluido (u) permanece constante a lo largo de la trayectoria cuando se desprecia la fricción del aire y la única fuerza que actúa es la de la gravedad.
Encuentre la altura máxima que el chorro puede alcanzar.
e,
Solución Considere una línea de corriente que empieza en la salida y sigue la trayectoria del chorro. La presión dondequiera fuera del chorro es la atmosférica y como no hay
gradientes de presión a través de éste (está en caída libre), la presión dentro del chorro también es la atmosférica. Si no hay pérdidas
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4.6 ECUACiÓN DE BERNOULLI y DRENADO DE TAN QUES
145
T
H
1
Figura 4-12
Tanque d renando con una salida que apunta hacia arri ba en ángulo () .
.12 Ve2 = .12 V 2 + gz = constante
Podemos escribir V 2 = U 2 + w 2, donde u y w son las componentes horizontal y vertical de
V. En forma semejante, para la velocidad de salida, Ve2 =
+
Como la componente
horizontal de la velocidad permanece constante (no hay fuerzas que actúen sobre el fluido
en esta dirección), u e = u = constante. La ecuación de Bernoulli se reduce a
u; w;.
!w; =!w
2
+ gz
(4.13)
En el punto más alto de la trayectoria z = zm y W= O. O sea,
gz m =.l2 W2e
Esta respuesta se puede verificar tomando límites. Para ti = 90°, Zm = H y para ti = 0°,
ZIII = O, como se esperaba. Ahora, we = Ve sen ti = ~2gH sen ti, así que
gZm = ! (2gH sen 2 ti)
y
Zm = Hsen 2 ti
Además con la ecuación 4.13 se puede demostrar que la trayectoria de una partícula de
fluido es parabólica (siguiendo una partícula podemos usar u = dx/ dt y w = dz/ dt).
EJEMPLO 4.6 Fuerzas producidas por un chorro al salir
de un volumen de control
Para medir las fuerzas vertical y horizontal Fz y F x ' sobre una balanza graduada se coloca
un tanque. Éste tiene una tobera cerca del fondo que apunta hacia arriba en ángulo ti desde
la horizontal (figura 4-13). El nivel del agua se mantiene constante, de modo que el problema está en régimen permanente. Supongamos que no hay pérdidas y que la densidad es
constante p.
a) ¿Cuánto vale Fz?
b) ¿Cuánto vale Fx?
e) Encuentre el peso del agua en el chorro.
Solución En la parte a), se usa el volumen de control marcado como ve 1 • La ecuación
de cantidad de movimiento en la dirección z da
- (peso del agua en el tanque) - (peso del tanque) + Fz = P Ve Ae (Ve sen ti)
donde Ve es la velocidad y Ae el área de la sección transversal del chorro en la salida.
Observe que el término de cantidad de movimiento en z está dado por el producto del flujo
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146
CAPiTULO 4
FIGURA 4-13
INTRODUCCiÓN AL MOVIMIENTO DE LOS FLUIDOS 11
Fuerzas de reacción que actúan cuando se vacía un tanque.
másico P Ve Ae y la componente z de la velocidad Ve sen e. De esta manera, F z tiene dos
partes: una parte estática debida a la combinación de los pesos del agua y el tanque y una
parte dinámica que depende de la rapidez con que sale la cantidad de movimiento en z.
En cuanto a b), para encontrar la fuerza horizontal Fx podemos usar el VC! o el VC 2 ,
ya que la componente horizontal de la cantidad de movimiento no cambia en la dirección x
(en esa dirección no actúan fuerzas). Así, para VC 1 o VC 2
Fx = salida neta de cantidad de movimiento en x
así
Fx = P Ve Ae (Ve cos e)
El término de cantidad de movimiento en x está dado por el producto del flujo másico,
P Ve Ae y la componente x de la velocidad Ve cos e.
Para la parte e) se usan los volúmenes de control marcados como VC 2 y VC 3' Para el
volumen VC 2' la ecuación de cantidad de movimiento en la dirección z es
- (peso del agua del tanque) - (peso del tanque) - (peso del agua en el chorro) + F z
=O
Para el volumen de control VC 3' la ecuación de cantidad de movimiento en la dirección z
es entonces
- (peso del agua en el chorro) = salida neta de cantidad de movimiento en z
p(Ve sen e)VeAe
que también se puede deducir de los resultados obtenidos mediante los volúmenes de con= -
~~y~.
•
EJEMPLO 4.7 Fuerzas producidas por un chorro que entra
a un volumen de control
Sólo para complicar más el tema, considere qué sucede si el chorro de los ejemplos anteriores cae en un segundo tanque colocado en otra balanza graduada (figura 4-14).
a) ¿Cuánto vale F;?
b) ¿Cuánto vale F;'?
Solución Para la parte a) se usa el volumen de control marcado con VC 4' La ecuación de
cantidad de movimiento en la dirección z queda
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4.6 ECUACiÓN DE BERNOULLI y DRENADO DE TANQUES
1L
147
~----~~=-~~~~
____________________ _
ve,
FIGURA 4-14
Fuerzas de reacción que se aplican al llenar un tanque.
- (peso del agua en el tanque 2) - (peso del tanque 2) + F; = salida neta de cantidad
de movimiento en z
= pVeAe(w E )
donde wE es la componente vertical de la velocidad del chorro en el punto donde entra el
agua del segundo tanque (el término de cantidad de movimiento en z está dado por el producto del flujo másico p Ve Ae Y la componente z de la velocidad del chorro).
A partir de la ecuación de Bemoulli se puede encontrar WE . Entre la salida del primer
tanque y la entrada al segundo
Pe
P
+.l(u2
+w2)+gz
= PE +.l(u 2 +w2)+gz
2e
e
e
2E
E
E
P
e
e,
Ya que Pe = PE' U e = U E YW e = Ve sen = ~2gH sen sólo necesitamos conocer la distancia z e - Z E para encontrar WE ·
Para la parte b) consideramos la componente z de la cantidad de movimiento para el
volumen de control ve 5
- (peso del sistema completo) + F; = salida neta de cantidad de movimiento en z = O
Yasí F;' es constante. Conforme F z disminuye, F; aumenta, así que F;' se mantiene cons•
tante.
EJEMPLO 4.8 Chorro en un carro
Un tubo con área de sección transversal A está conectado con una brida a un tanque grande
presurizado, que abastece aire con densidad constante p a un chorro con área de sección
transversal'¡ A, como muestra la figura 4-15. El tanque está sobre un carro con ruedas, de
modo que puede rodar con libertad, y el chorro sale a la atmósfera con una velocidad V.
Encuentre:
a) La presión manométrica, Pg' dentro del tubo en la brida.
b) La fuerza que sostiene el tubo al tanque en la brida.
e) La tensión en el resorte que sujeta el carro.
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148
CAPíTULO 4
INTRODUCC iÓN Al MOVIMIENTO DE lOS FLUIDOS 11
r - -, - - - - - - - - - - - - - - - --.- - - - - - -
vc,
1
:
-
Area
p
"
--1
Al
1
presión manométrica Pg :
__ ,
_ __ 1
vc, :
p"
FIGURA 4-15
Po
1
1
Chorro en un ca rro sujeto por un resorte.
Solución Para la parte a), suponga que el flujo es cuasipermanente (es un tanque grande), y que no hay pérdidas aguas debajo de la brida4 , así que podemos aplicar la ecuación
de Bemoulli entre un punto en el tubo en el lugar de la brida, donde la velocidad es V¡ , y un
punto en el plano de la salida del chorro, donde la presión es la atmosférica. Entonces,
2
= lpV
Pg = lpV:2
2
¡
2
Por continuidad resulta
A
V¡A = V4
así que
Pg = lp(V
2
2
-~)
16
Pg =QpV2
32
Para la parte b) usamos el volumen de control VC , y aplicamos la ecuación de la componente x de la cantidad de movimiento. +F¡ es la componente x de la fuerza que sostiene el
tubo contra la brida, de modo que - F , es la componente x de la fuerza del fluido sobre el
tubo, y +F, la componente x de la fuerza que el tubo ejerce sobre el fluido. Por lo tanto,
F, + P A
g
así que
F ¡ --
-
=-
P v: 2 A
,
A
V2
A
+PV 2 - =- p - A +PV 2 4
3 P v 2A -- Pg A + 16
16
'5
32
4'
2
3 PV 2A
P v A + 16
y, por lo tanto
F, =- i2PV2 A
Para la parte e), empleamos el volumen de control VC 2 y otra vez la ecuación de la componente x de la cantidad de movimiento. +F2 es el componente x de la fuerza que sujeta el carro, de forma que -F2 es la componente x de la fuerza del fluido sobre el carro, y +F2 es la
componente x de la fuerza que el carro aplica en el fluido. Por lo tanto,
2 A
F 2 =+pV -
4
, 1
'jij
,
l '
•
'Cuando en una tobera no hay pérdidas, en ocasiones se llama tobera lisa. La palabra "lisa", se usa con frecuencia para indicar
que en el flujo no hay pérdidas. Esto no es verdadero para un tubo o conducto liso, donde las pérdidas nunca se pueden
despreciar.
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4.7 "ECUAC iÓN DE LA ENERGíA
149
4.7 *ECUACIÓN DE LA ENERGíA
Aquí se emplea una formulación de volumen de control para desarrollar la ecuación de
la energía para flujos unidimensionales en régimen permanente y se explora su relación
con la ecuación de Bernoulli. Para ello es necesaria la primera ley de la termodinámica.
Suponemos cierta familiaridad en el estudio de la termodinámica, de modo que la siguiente sección sólo es un resumen de los conceptos básicos, sin un análisis profundo de los
principios fundamentales.
4.7.1 Primera ley de la termodinámica
La primera ley de la termodinámica establece:
Para un sistema cerrado, la suma de las interacciones de trabajo y de calor es igual al
cambio total en la energía del sistema.
En términos de la mecánica de fluidos, un sistema cerrado es una masa de fluido fija, es
decir, sin entrada ni salida de fluido. Esto es
I,Q+ I,W=M =Ó(U +PE + KE)
(4.14)
Por interacciones de "trabajo y de calor" se entiende el trabajo, W, hecho por, o en el sistema, y el calor, Q, transferido a, o del sistema. El trabajo y el calor transferidos desde los alrededores al sistema se toman como positivos. 5 El "cambio total de energía", M, está
formado por !,res componentes : la energía potencial, PE, la energía cinética, KE, Y la energía interna, U. La energía interna es la energía que se almacena en el fluido debid2 a la actividad molecular y de las fuerzas de enlaces moleculares. Usamos el símbolo U para la
energía interna, en vez del símbolo más común U para evitar posibles confusiones
con la componente x de la velocidad. El símbolo V se reserva para la magnitud del vector
de velocidad.
Como ejemplo, considere la primera ley que se aplica a una pelota rodando hacia arriba y hacia abajo dentro de un tazón (figura 4-16); la pelota y el tazón conforman un sistema. Si suponemos que no hay interacciones de trabajo ni de calor (el sistema está aislado),
entonces, conforme la pelota rueda hacia abajo pierde energía potencial y gana energía cinética. Al mismo tiempo, la fricción aumenta la temperatura de la pelota y del tazón, incrementando la energía interna del sistema. La primera ley establece que el cambio de la
energía total es cero, de manera que la suma de las energías potencial, cinética e interna se
FIGURA 4-16
Un sistema termodinámico simple.
5 Aunque
esta convenciór del signo pennite comprenderlo con faci lidad, aun no se adopta universalmente. Cuando se
consulten otros libros de texto es importante revi sar cuál es el signo que se usa para evitar posibles confusiones.
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150
CAPiTULO 4
INTRODUCCiÓN Al MOVIMIENTO DE lOS FLUIDOS 11
mantiene constante. La energía total del sistema sólo puede cambiar si hay transferencia
de trabajo o calor hacia los alrededores. Para ello, el sistema no puede seguir aislado. Si el
sistema se enfría, de modo que se le retire calor, se produce una transferencia de calor negativa. Al elevar la pelota a una altura mayor, se aplica trabajo al sistema, de lo que resulta
un trabajo transferido positivo.
El trabajo también se puede hacer por compresión. Si dentro de un cilindro un pistón
comprime un gas, el trabajo se hace para cambiar el volumen de éste. Cuando el pistón se
mueve de la posición XI a x 2 ' el trabajo hecho es
w=-
r
pA dx
el cual es positivo, ya que el trabajo se hace sobre el sistema. Si la masa del gas dentro del
cilindro es m, con una densidad p y volumen \:;j, entonces
\:;j = m = mv
p
donde v = 11 p es el volumen específico. Dado que d'II = A dx y la masa es constante,
d'II = m dv, y tenemos
w=-
r
pd'll
Por lo tanto, el trabajo es proporcional al área debajo de la curva desde los puntos 1 y 2 en
el diagrama p -v (figura 4-17).
La entrada de calor, Q, está relacionada con los cambios de temperatura. Los cambios
de temperatura para un calor dado dependen de las propiedades del material y sus calores
específicos. Para el Sistema de Unidades Internacional:
El calor específico se define como la cantidad de calor necesaria para subir la temperatura de 1 kg de sustancia en 1 K.
La cantidad de calor oQ, necesaria para producir un cambio pequeño de temperatura, dT,
está dada por
OQ = mC dT
p
Trabajo
1 -; 2
L-_-'--_ _-'--_ v
FIGURA 4-17
Trabajo hecho por compres ión.
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4.7 'ECUACIÓN DE LA ENERGíA
151
donde C es el calor específico. En general se requiere una cantidad diferente de calor si el
proceso ocurre a volumen constante, (oQ) v' o a presión constante, (oQ) p. El calor específico a lolumen constante, C v se define como
C = !(oQ) v o (oQ) =mC dT
v m dT '
v
v
(4.15)
Las unidades deC v son J/(kg K), esto es, N· m / (kg K) o pie ·lbJ (slug R). Para un calor específico constante, C v' se integra la ecuación 4 .15 para obtener
Q = mC v !1T (volumen constante)
(4.16)
De manera similar, para un proceso a presión constante
=!
C
p
m
(oQ)p
dT '
o
(4.17)
(presión constante)
(4.18)
y si C p es constante,
Q = mC p!1T
Observe que si la masa de fluido se aísla térmicamente, de manera que todas las interacciones de calor sean cero (Q = O), el cambio de estado del fluido se llama "adiabático".
Para un fluido en movimiento, es necesario ser más precisos al definir qué parte de la
interacción del calor se asocia con los calores específicos. En particular, definimos
C=(au)
v
aT
v
yc p = (~)
aT
(4.19)
p
u
donde es la energía interna por unidad de masa (= U/p) y h la entalpía por unidad de
masa, definida por
h=u+ P o h~u+ pv
p
(4.20)
4.7.2 Flujo unidimensional
Aquí se aplica la primera ley para un sistema abierto, donde el fluido se mueve hacia adentro y hacia fuera de un volumen de control. El interés está en la rapidez de cambio en la
energía total, el trabajo hecho sobre el fluido y el calor transferido desde los alrededores.
Considere un tubo de corriente en régimen permanente con entrada en el área Al y salida en el área A 2 (figura 4-18). Primero se examina la rapidez de cambio de la energía total. Ésta es la suma de la energía interna y las energías cinética y potencial. En un intervalo
corto, !1t
la energía total que entra durantel:!..t
= (u I + ~ V? + gz¡ )p¡A¡V¡l:!..t
la energía total que sale durantel:!..t =
(u 2 + ~vl + gZ2)P2AY2I:!..t
y
u
donde es la energía interna por unidad de masa, ~ V 2 la energía cinética por unidad de
masa y gz la energía potencial por unidad de masa. Entonces
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152
CAPiTULO 4
INTRODUCCiÓN Al MOVIMIENTO DE lOS FLUIDOS II
Trabajo positivo en la flecha
Adición de
calor positiva
(1)
FIGURA 4-18
Tubo de corriente de un flujo en régimen permanente,
y
la rapidez de cambio de la energía total = M
= m[ (U 2 + ~ Vl + gZ2) -
(U I + ~ v? + gZI)]
donde hemos usado el hecho de que la masa se conserva, por lo tanto
m= p¡ A¡V¡
= P2A2V2
La cantidad l1E es la rapidez de cambio de la energía total que experimenta el fluido al pasar por el conducto. Observe que la energía tiene las dimensiones de fuerza multiplicada
por una distancia (ML 2 r- 2 ) y se mide en términos de joules o pie ·lb f .
El flujo es permanente, de modo que la energía dentro del volumen de control no cambia con el tiempo. Si la primera ley de la termodinámica se escribe en términos de rapidez
de cambio
.
.
.
I1E=Q+W
(4.21)
se obtiene
. (AU + '21 V 2 + gZ2 )
m[
2
2
-
(
A + '21 V¡ 2 + gZI )] -_ Q' + W.
UI
(4.22)
Ahora se examinará la rapidez de cambio del trabajo hecho sobre el fluido. El término trabajo se puede separar en tres partes
..
.
.
W=W,
+WVISCOSO +Wflec ha
preSlOn
donde .WpreSlOn
" es el trabaio
que las fuerzas debidas a la presión realizan sobre las superfi:J
c~es, WYiscoso' el trabajo de corte que los esfuerzos viscosos hacen sobre las superficies y
Wflecha ' el trabajo de una máquina sobre el sistema (la máquina puede ser una bomba, un
ventilador, pistón, etcétera).
El término trabajo de presión se analizará por separado. El trabajo que la presión hace
sobre el fluido durante I'3.t en la sección 1 está dado por
A
PI' A
p¡A¡ds= p¡A¡V¡ut=-mut
PI
En forma similar, el trabajo que la presión hace sobre el fluido durante I'3.t en la sección 2
está dado por
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4.7 *ECUAC IÓN DE LA ENERGíA
153
y así
Por lo tanto
(4.23)
donde
W' = Wviscoso + Wflecha
así que W' es la cantidad neta de trabajo hecho sobre el fluido por la presión. Por ejemplo,
si en el tubo de corriente, W', se pusiera una bomba, sería igual a la rapidez de entrada de la
energía desde la bomba. Cuando existen fuerzas viscosas, W' es igual a la rapidez del trabajo que las fuerzas viscosas hacen sobre el fluido.
Para los flujos adiabáticos, con frecuencia la ecuación de la energía se escribe en la
forma
(4.24)
El cambio en la energía interna se representa por gh lT y hiT se llama pérdida de carga total, ya que representa la conversión irreversible de la energía mecánica a calor (sección
9.8.1). El trabajo por unidad de masa se designa por gH y H se denomina carga. Ésta representa el trabajo que sobre el fluido hace algún aparato como una bomba o turbina (sección 13.2). Las cantidades hiT y H tienen las dimensiones de longitud.
Al introducir la entalpía h (= + pi p), la ecuación de energía también se puede escribir como
u
(4.25)
Las ecuaciones 4.23 y 4.25 se llaman ecuación de la energía para flujo permanente unidimensional.
4.7.3 Relación con la ecuación de Bernoulli
La ecuación para flujo permanente unidimensional de la energía es en espeCial útil cuando
no hay interacciones de calor (flujo adiabático) ni interacciones de trabajo en la flecha o
viscoso. En estas condiciones
(4.26)
La ecuación de la energía para flujo sin fricción y adiabático es, por lo tanto, muy similar a
la ecuación de Bernoulli (ecuación 4.1), excepto que la de la energía considera los cambios
en la densidad y energía interna. Así se concluye que para densidad constante y flujo sin
fricción la energía interna permanece constante y por ello la ecuación de la energía unidi-
u
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154
CAPíTULO 4
INTRODUCCiÓN Al MOVIMIENTO DE lOS FLUIDOS 11
mensional se reduce a la ecuación de Bemoulli, aun cuando se desarrolle con principios
muy diferentes.
Como se señaló, todos los términos en la ecuación de Bemoulli tienen las dimensiones
de energía por unidad de masa y puede interpretarse como una expresión del balance de la
energía mecánica. Sin embargo, la ecuación de la energía es más general. En particular, si
existe fricción, la energía mecánica no se conservará a lo largo de las líneas de corriente y
la ecuación de Bemoulli no se podrá usar (sección 9.8). De igual manera, si una bomba
realiza trabajo sobre el fluido , ejemplo, la ecuación de la energía se debe usar con términos
que representen el trabajo en la flecha.
También observe que para un flujo permanente unidimensional, sin pérdidas de carga,
la ecuación de Bemoulli se puede escribir como
donde B se llama constante de Bemoulli. Si esta ecuación se compara con la 4.23, se concluye que cuando ocurren pérdidas de carga, la constante de Bemoulli disminuirá y la reducción puede identificarse con la cantidad de energía mecánica disipada. Si se añade
calor al fluido o se pasa a través de una bomba, la constante de Bemoulli se incrementará
(ambos procesos añaden energía al flujo).
EJEMPLO 4.9 Potencia necesaria en una bomba
Una bomba da 20 l/s (litros por segundo) de agua a 5 oC aumentando la presión desde 1.5
atrn hasta 4.0 atrn (figura 4-19). El diámetro de la entrada es de 10 cm y el de la salida de
2.5 cm. Si no hay transferencia de calor al fluido, y las fuerzas viscosas no producen trabajo, encuentre la potencia requerida para operar la bomba. La entrada y la salida están a la
misma altura, el cambio de energía interna se puede ignorar ya que se supone que el flujo
es unidimensional.
Solución La ecuación 4.23 se aplica al volumen de control que ilustra la figura. Con
Q= Oy = Wflecha '
w'
Para encontrar Wflecha' la rapidez a la que la bomba entrega potencia al fluido, necesitamos
calcular VI y V2 . Así,
m,
m= pq = 1000 kg / m 3 x 2011 s + 10 3 11 m 3 = 20 kg / s
4.0 atm
1.5atm
2.5 cm dia
20litros/s
10 cm dia
FIGU RA 4-19
Volumen de control para la bomba.
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PROBLEMAS
155
También,
T/
q __ 20 l/s x
- - - , , - - - c - = 2.55 m / s
Al
10 3 11m 3 ~(0.1)2m2
___
y ,
I
y
T/
__ _
y .
2
q __
A2
20 l/s x
- - --:----c- = 40.7 m / s
10311m3 ~ (0.025)2m2
Con PI = 101 325 Pa y P2 = 405 300 Pa, obtenemos
W
flecha
= 20k / s[(101325 - 405300)pa +1.(40.7 2 - 2.55 2)m / s 2]
g
1 000 kg / m 3
2
= 10 420 watt
Esto equivale a 1 ~:~O hp = 14.0 hp.
•
EJEMPLO 4.10 Cambio de entalpía producido por una bomba
En el ejemplo anterior, ¿de cuánto es el cambio de la entalpía?
Solución
Si se tiene
P2 - PI = (405300 - 101325)Pa = 304m 2/ s 2
p
1000 kg / m 3
•
PROBLEMAS
4.1 Escriba la ecuación de Bemoulli. ¿En qué condiciones se cumple esta relación?
4.2 Explique los términos "presión total" y "presión dinámica." ¿Qué mide el tubo de Pitot? ¿Qué
mide un tubo de Pitot estático?
4.3 Dibuje el esquema de un punto de estancamiento simple en un flujo uniforme. ¿Qué es la presión de estancamiento? ¿Por qué algunas veces se le llama presión "total"?
4.4 A partir de los flujos de la figura P4.4, explique por qué la ecuación de Bemoulli puede o no
aplicarse entre los puntos.
a)
b)
e)
d)
e)
f)
1y 2
3 Y4
5y 6
7 Y8
8y 9
9 Y 10
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156
CAPiTULO
4
INTRODUCCiÓN
Al MOVIMIENTO
DE lOS
FLUIDOS
II
U es una función del tiempo
u=uosenwt
3
4
•
•
~
Flujo en tubería
completamente desarrollado
Aplique análisis unidimensional
-~
-+ 7
•
---¡L
9
8
•
•
....J
~10
r----~
•
FIGURA P4.4
4.5 Para el flujo en el conducto de la figura P4.5la presión en la salida (punto 4) es la atmosférica,
la densidad p, constante y el conducto tiene anchura constante, w.
a) Esquematice el patrón de flujo.
b) ¿La ecuación de Bemoulli se puede usar entre los puntos 2 y 4? ¿Por qué?
e) ¿Es igual la presión entre los puntos 2 y 3? ¿Por qué?
d) Encuentre la presión mano métrica en el punto 2 en términos de p y V;.
e) Encuentre la presión manométrica en el punto 1 en términos de p y V;.
4.8 Un aviónse
métrica del
cidad del j
Exprese su
4.9 Con unara¡
zontal con
una longitr
transversal
del flujo, e
4.10 Considere
P4.10. El a
Encue
Encue
ponga
a)
b)
'
i
1
p,
1
FIGURA P
FIGURA P4.5
4.6 Un fluido pasa a través de un ventilador colocado en un conducto de área constante, como
ilustra la figura P4.6; la densidad es constante.
a) ¿El flujo volumétrico en la sección 1 es igual al de la sección 2? ¿Por qué?
b) ¿La ecuación de Bemoulli se puede aplicar entre las estaciones 1 y 2? ¿Por qué?
4.11 Un flujod
la atmósf
pernos a u
fuerza tot
nes. ¿Su a
,
.i,
I
FIGURA P4.6
4.7 Un avión se desplaza a una velocidad de 250 mph a una altura de 12000 pie. Mediante la
ecuación de Bemoulli encuentre la presión en el punto de estancamiento y en un punto de la
superficie superior del ala donde la velocidad local es de 350 mph. Suponga una atmósfera estándar (tabla A-C.6).
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FIGURA I
4.12 lgnorand
agua a 2C
PROBLEMAS
157
4.8 Un avión se desplaza a través de aire quieto a 60 m/s. En algún punto del ala, la presión manométrica del aire es de -1200 N/m2 . Si la densidad del aire es de 0.8 kg/m 3 , encuentre la velocidad del flujo en este punto. Liste con cuidado las suposiciones que haga en su análisis.
Exprese su respuesta en términos del coeficiente de presión Cp '
4.9 Con una rapidez de 0.6 pie 3/s fluye agua en forma permanente a través de una reducción horizontal con fonna cónica. El diámetro de la reducción disminuye desde 4.0 pulg a 3.0 pulg en
una longitud de 1.2 pie. Suponga que las condiciones son uniformes en cualquier sección
transversal, para encontrar la rapidez de cambio de la presión con la distancia en la dirección
del flujo, en la sección a 0.6 pie desde el final de la reducción.
4.10 Considere un flujo permanente y suave de aire a través del conducto circular de la figura
P4.10. El aire tiene densidad constante p, y el conducto sale a la presión atmosférica.
a)
b)
Encuentre PI' la presión manométrica en la sección 1, en términos de p y V;.
Encuentre la dirección de la fuerza F que actúa para sostener el conducto en su lugar; suponga flujo unidimensional.
FIGURA P4.10
4.11 Un flujo de aire incompresible, unidimensional y de densidad p sale en régimen permanente a
la atmósfera, desde la reducción que muestra la figura P4.11 . La reducción se asegura con
pernos a un conducto de área constante en la sección 1 y la fracción de áreas A / A 2 = 4. Si la
fuerza total en los pernos es F" encuentre FJ p Ul2Al' Establezca con claridad las suposiciones. ¿Su análisis es válido si la dirección del flujo es opuesta?
Área
Presión
Área
Al
PI
A,
-hl
Presión
atmosférica
=W'
I
I
-Pernos
Estación 1
Estación 2
FIGURA P4.11
4.12 Ignorando la fricción, encuentre la fuerza axial que se produce en la brida cuando se descarga
agua a 200 gpm hacia la presión atmosférica desde la tobera circular de la figura P4.12.
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158
CAPíTULO
4
INTRODUCCiÓN
Al MOVIMIENTO
DE lOS FLUIDOS
11
1 pulg D
i
Brida
FIGURA P4.12
4.16 A travésd
sidadpen
la fuerzaq
tradaf', y
uniformes
atmosférit
4.13 A través de un tubo circular liso de radio R fluye aire en régimen permanente con una velocidad, V, y densidad constante p como muestra la figura P4.13. Encuentre la fuerza F que se
transmite a través de la brida en términos de p, R y V; ignore la gravedad. En este problema, a
la salida no hay tobera.
9I
I
v2...l
I
Brida
11
I
p"A¡
+
2R
v_
I
I
<:)
CD
Presión
atmosférica
FIGURA F
Tobera en la
salida para el
problema 4.14
4.17 Considen
¿Hayalg¡
de entrad
sobre la t
4.14 A la salida del codo que se describe en el problema anterior se agrega una tobera con radio de
R / 2 en la salida. Encuentre la nueva fuerza, F', transmitida a través de la brida en términos de
p, R YV; ignore las pérdidas.
4.15 A través de la tubería horizontal que ilustra la figura P4.l5 fluye aire en régimen permanente
y densidad constante p. El aire fluye hacia la atmósfera a través de una reducción 4: l. Suponga flujo unidimensional e ignore las pérdidas y el peso de la tubería.
a) Encuentre la presión manométrica que registra el medidor cercano a la sección 1 en términos de p y U;
b) Encuentre la fuerza resultante que actúa en los pernos de la brida de la sección l.
4.18 De untan
cia la atrr
do la frie
4.19 Haeia un
P4.l9. Tí
del tanqu
q¡
t
h
1
Vista de
planta
Área a¡
FIGURA
4.20
Presión
atmosférica
u,
FIGURA P4.15
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Dado el
fón supe
sifón eo
PROBLEMAS
159
4.16 A través de la tobera de la figura P4.16a) fluye con suavidad un fluido incompresible de densidad p en régimen permanente de izquierda a derecha. Determine la magnitud y dirección de
la fuerza que el fluido ejerce sobre la tobera en términos de la densidad p, la velocidad de entrada V;, y el área de entrada Al' dado que las presiones y velocidades en las secciones 1 y 2 son
uniformes sobre las áreas Al y A 2, Yque A / A 2 = 4. La presión fuera de la tobera es igual a la
atmosférica y se puede suponer que el flujo es unidimensional.
~
I
VI
lObera
I
I
I
~®
"'"---t-
I
I
I
I
I
I
I
I
P I' A l
V,
•
A,
<D
a)
FIGURA P4.16
4.17 Considere el problema anterior cuando el flujo sea de derecha a izquierda figura P4 .16b).
¿Hay alguna diferencia? ¿Qué información adicional (más allá de la densidad p, la velocidad
de entrada, V;, y el área de entrada, A l) requeriría para determinar la fuerza que el fluido ejerce
sobre la tobera con la nueva dirección del flujo?
4.18 De un tanque cilíndrico abierto de 10 pie de diámetro y 6 pie de profundidad se drena agua hacia la atmósfera a través de una tobera de 2 pulg de diámetro en el fondo del tanque. Ignorando la fricción y efectos transitorios, encuentre el volumen de agua que se descarga en 20 s.
4.19 Hacia un tanque circular grande fluye agua con una rapidez de q mis, como ilustra la figura
P4.19. También sale agua a través de una tobera circular lisa de diámetro d cercana a la base
del tanque. Determine la altura h para que el flujo sea independiente del tiempo.
h
1
d
FIGURA P4.19
4.20 Dado el arreglo de sifón que muestra la figura P4.20, encuentre la velocidad de salida del sifón suponiendo que no hay pérdidas. ¿Qué límite existe en el valor máximo de L para que el
sifón continúe funcionando?
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160
cAPiTULO
4
INTRODUCCiÓN
Al MOVIMIENTO
DE lOS FLUIDOS II
4.23 De unori
a) Sila
--
b)
lida'
Siel
suel.
Densidad p
¿POI
4.24 Desdeur
plado coi
FIGURA P4.20
4.21 De un recipiente sale agua según ilustra la figura P4.21. Conforme H aumenta, la velocidad
de salida se incrementa hasta alcanzar una elevación crítica y se produce la cavitación.
Encuentre este valor de H. Suponga flujo uniforme, que no hay pérdidas y que la presión de
vapor es 0.25 psia.
tinuaciór
encuentr
a) La,
b) La,
e) La(
P"
1__
~=;
H
0.3"
0.2"
0.3"
~i~
dia
dia
i :::±
FIGURA
FIGURA P4.21
4.22 Un tubo de área constante se usa como sifón Al' para extraer con suavidad un fluido desde un
depósito muy grande, como describe la figura P4.22. El fluido sale con velocidad Ve con un
ángulo e con respecto a la horizontal, a una distancia H¡ por debajo de la superficie del depósito.
a)
b)
e)
d)
It
_1
4.25 Un chor
Exprese
(que se
ejerce e¡
Explique cuáles son las restricciones prácticas en la altura máxima del tubo del sifón, H2.
Exprese la razón del área de la sección transversal del chorro y el área de la sección transversal del tubo en función de H¡ y la altura, y.
Encuentre H3' la altura máxima que alcanza el chorro, en función de H¡ y e.
Encuentre el volumen de agua del chorro entre las estaciones A y B.
TH,
¡
t
L
H,
@
P"
_
I
'
I
p"
y
®
I
Chorro
4.26 Elchon
H
'--_!!_- ---j~--~
FIGURA
¡libre
.
r,
que gra
a) En
sic
b) En
no
e)
FIGURA P4.22
Cc
ne
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PROBLE MAS
161
4.23 De un orificio pequeño del lado vertical de un balde sale agua en chorro continuo.
a) Si la carga de agua sobre el orificio es de 1.25 m, ¿cuál es la velocidad del chorro en la salida?
b) Si el chorro alcanza el suelo en un punto a 2.21 m horizontalmente desde el orificio y el
suelo está a 1 m por debajo del orificio, recalcule la velocidad del chorro en la salida.
¿Por qué el resultado debería ser diferente al que se obtuvo en el inciso a)?
4.24 Desde un recipiente abierto fluye agua y descarga a través de un tubo circular horizontal acoplado con una tobera hacia el aire a presión atmosférica, como muestra la figura P4.24. A continuación toca el piso a una distancia x aguas abajo de la tobera. Sin considerar las pérdidas
encuentre
a) La velocidad en la salida de la tobera.
b) La velocidad y la presión en el tubo cerca de la tobera.
e) La distancia x.
T
10=
--'-t__~l-!.t
8m
' - -_ _
V
T
lL-----~---.t---n6~:-- 5m
t
FIGURA P4.24
4.25 Un chorro sale con suavidad desde un orificio en un tanque, como ilustra la figura P4.25.
Exprese la altura máxima del chorro como función del ángulo ey la profundidad del tanque H
(que se mantiene constante). ¿Cuál es la componente horizontal de la fuerza que el chorro
ejerce en el tanque?; ignore las pérdidas.
H
1
V
FIGURA P4.25
4.26 El chorro de un fluido con densidad constante se eleva, sin pérdida, desde el fondo de un tanque grande, como en la figura P4.26.
a) Encuentre la velocidad de salida en términos de g y H. Establezca con claridad las suposiciones.
b) Encuentre la componente vertical de la fuerza que el chorro ejerce en el tanque en términos de p , V;, e y el área de salida A.
e) Conforme el chorro sube, su velocidad vertical disminuye, pero la horizontal se mantiene constante. Encuentre la altura máxima a la que sube en términos de H y e.
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162
CAPíTULO
4
INTRODUCCiÓN
Al MOVIMIENTO
DE lOS FLUIDOS
11
4.29 Desde un
,1
11
L ~,
según des,
en la brids
métrica er
que el agu
Grifo
<,
FIGURA P4.26
4.27 Un chorro de fluido con densidad constante asciende, sin pérdida, desde un tanque grande en
ángulo constante (), como muestra la figura P4.27. La salida está muy cerca del fondo y el
cambio en la profundidad del agua, H, con respecto al tiempo puede ignorarse. a) ¿Cuál es la
altura máxima, en relación con el fondo del tanque, a la que sube el chorro? b) ¿Cuál es la
fuerza vertical, F, necesaria para sostener el tanque? Ignore el peso mismo del tanque.
,"oo,~
I
FIGURAP
4.30 Para un fl
Área Ar
<,
presión te
dondeUl(
sección tr
corriente
muy lejos
patrón de
ción de la
FIGURA P4.27
4.31 Considen
4.28 De un tanque grande sale con suavidad un chorro de agua por un orificio a una profundidad
H
debajo de la superficie, como ilustra la figura P4.28. El orificio tiene un área de salida A2 y
apunta hacia arriba en ángulo () respecto a la horizontal. Suponiendo que Al :$> A2 Y que no hay
pérdidas, a) encuentre la altura máxima que alcanza el chorro (= H3) en términos de H¡ y ().
b) Encuentre el volumen de agua entre la salida del chorro y el punto donde el chorro alcanza
la máxima altura en términos de A2' H¡ Y ().
conducto
la figura 1
paralelas.
fluido apl
entrada, 1
son unifo
~
11,
FIGURA I
1 _
4.32 Unfluidc
diferenci
líquido d
A/ A2 en
FIGURA P4.28
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PROBLEMAS
163
4.29 Desde un grifo de sección transversal circular fluye agua con densidad P hacia la atmósfera,
según describe la figura P4.29. En la brida, la velocidad es V. El diámetro disminuye desde D
en la brida hasta D I 4 en la salida. Sin considerar las pérdidas, a) encuentre la presión manométrica en la brida en términos de P y V, y b) encuentre la magnitud y dirección de la fuerza
que e! agua aplica en e! grifo en términos de p, D YV (ignore el peso del agua dentro del grifo).
Grifo
Brida
. . . . . s==t=~
I-D-j
FIGURA P4.29
4.30 Para un fluido incompresible que fluye en un conducto demuestre que la disminución en la
presión total (= presión estática + presión dinámica) después de una expansión súbita es
~P
U¡2 (
1-
~~ J
dondeU¡ es la velocidad aguas arriba yU2 la de aguas abajo muy lejos, de! cambio brusco en la
sección transversal. Observe que en el punto donde el flujo entra en la expansión, las líneas de
corriente son casi paralelas. Explique por qué la ve!ocidadU2 debe considerarse aguas abajo
muy lejos respecto de la ampliación brusca y fundamente su explicación con un esquema del
patrón de flujo. Dé explicaciones de cada suposición que haya hecho respecto a la distribución de las presiones.
4.3 1 Considere el flujo en régimen permanente de un fluido de densidad constante dentro de un
conducto de anchura constante w. El fluido fluye con suavidad sobre un bordo, como muestra
la figura P4.31, en el que se separa, de forma que al inicio las líneas de corriente son rectas y
paralelas. Determine la magnitud y dirección de la componente horizontal de la fuerza que el
fluido aplica en el bordo en términos de la densidad, la velocidad de entrada, V;, la altura en la
entrada, H¡, y la anchura, w, suponga que las presiones y velocidades en las secciones 1 y 2
son uniformes a través de las alturas HI y H 2 Y que H ¡f H 2 = 2.
FIGURA P4.31
4.32 Un fluido de densidad PI fluye a través de una tobera circular, como ilustra la figura P4.32. La
diferencia de presión entre las secciones 1 y 2 se mide con un manómetro que se llena con un
líquido de densidad P2. Encuentre la diferencia de presiones PI - P2 Y la proporción de áreas
A¡f A 2 en términos de zl - Z2' D, PI ' P2 YV;.
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164
cAPiTULO
4
INTRODUCCiÓN
Al MOVIMIENTO
DE lOS
FLUIDOS
II
%v
4.35 Dos gases
dispositiv
de densid
a través d
que la vel
aceleraea
locidad I/
Encuentr
2
l.nl
FIGURA P4.32
4.33 A través de un tubo circular de diámetro D fluye aire en régimen permanente y densidad constante P a' que está aguas abajo de una tobera sin fricción de diámetro d como muestra la figura
P4.33. Suponga flujo unidimensional. Si el manómetro mide una deflexión de h, encuentre la
velocidad, V, en la salida de la tobera en términos de h, D, d, P a y la densidad del fluido manométrico P m'
Fin de la tobera
----------L--------~·I
D Pa-V
FIGURA
Presión
atmosférica
FIGURA P4.33
4.36 Desde el
acción d
a) Enc
b)
1''"
4.34 A través del conducto mostrado en la figura P4.34 fluye de izquierda a derecha un fluido en
régimen permanente. Otro fluido de densidad diferente entra desde un segundo conducto con
ángulo recto respecto al primero. Los dos fluidos se mezclan y en la estación 3 el fluido resultante tiene una composición uniforme. El fluido mezclado sale entonces a la atmósfera a través de una reducción lisa sin cambios de densidad. En las secciones 1, 2, 3 y 4 las propiedades
y parámetros del flujo son constantes sobre sus áreas respectivas. Encuentre la presión p¡ en
términos de p¡, A¡ y UI' Ignore los efectos de la gravedad y suponga que U2 = 2U¡, P2 = 3p¡,
P3 = 2p¡, P3 = P4' A2 = A¡l4, A¡ = A3, A4 = A¡l4.
Me(
choi
T
hl
1
t
p,
h,
1
FIGURA
4.37 Un aero
muestra
FIGURA P4.34
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PROBLEMAS
165
4.35 Dos gases con densidades PI y P3 se mezclan en el dispositivo que ilustra la figura P4.35 . El
dispositivo es bidimensional, de altura d y anchura constante. Desde la izquierda entra un gas
de densidad PI y velocidad U I, que se mezcla con gas de densidad P3 y velocidadU3 que entra
a través de dos conductos de tamaño d / 4. La mezcla se completa en la sección 2, de manera
que la velocidad U 3 y la densidad P3 son uniformes en esa sección del conducto. Después se
acelera con suavidad a través de una reducción para salir a la presión atmosférica con una velocidad U 4 y una densidad sin cambio (p 4 = P2)' Así se tiene que P3 = 2PI' YU 3 = 3UI =U 4 ·
Encuentre la razón P2/ PI Y el coeficiente de presión Cp ' donde
e
= P1 - P2
p
l.p U
2
1
2
1
3
P"U 4 d/4
Pa
t
FIGURA P4.35
4.36 Desde el túnel circular liso de la figura P4 .36 se emite agua en régimen permanente, bajo la
acción de la gravedad.
a) Encuentre la proporción de las áreas A/ A 2 en términos de hl y h2.
b) Mediante la ecuación de cantidad de movimiento encuentre el volumen de fluido en el
chorro entre las estaciones 2 y 3 en términos de hl , h2 Y A 2. Suponga que Al ~ A 2 .
T",
t1
",
FIGURA P4.36
4.37 Un aerodeslizador circular, de peso Mg, se encuentra a una distancia h sobre el suelo, como
muestra la figura P4.37. Lejos de la entrada el aire está a presión atmosférica y se puede con-
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166
CAPíTULO 4
INTRODUCCiÓN Al MOVIMIENTO DE lOS FLUIDOS 11
siderar estacionario; la densidad se mantiene constante en todas partes. La expansión aguas
abajo del ventilador ocurre sin pérdida, y las líneas de corriente de salida son paralelas al suelo. Encuentre h en términos de la velocidad de entrada, V¡, el diámetro del ventilador, d, el diámetro del plano de salida, D, la densidad p y el peso Mg. Suponga flujo unidimensional en las
áreas de entrada y salida.
_____
J~
1------
_
Diámetro D --------;
•. 1
FIGURA P4.37
4.38 Un cuerpo simétrico con respecto a su eje, con área de sección transversal a, se mueve hacia
abajo en régimen permanente en un tubo con área de sección transversal, A, que se llena con
un fluido de densidad constante p, como ilustra la figura P4.38. Las líneas de corriente siguen
al cuerpo en su parte principal, pero se separa en la parte posterior del cuerpo de modo que la
presión en la sección x-x inmediatamente aguas abajo de la base es uniforme. Sin considerar
los esfuerzos viscosos en la pared, demuestre que la velocidad del cuerpo está dada por
v= A-a ~2F
a
pA
donde F es la fuerza necesaria para mantener el cuerpo a velocidad constante.
Cuerpo con sección
transversal
Tubo con sección
transversal de área A
,
=------<-;;::-¡------~~
de área a
\
í
le)
.
I
I
x
FIGURA P4.38
4.39 En un conducto entra aire a una velocidad de 100 mis y sale a 200 mis. Si no se añade calor y
el aire no hace trabajo, ¿cuánto es el cambio de temperatura del aire conforme pasa a través
del conducto?
4.40 En una máquina entra aire a 373 K a una velocidad de 200 mis y sale a 293°C. Si el flujo es
adiabático y el trabajo entregado por la máquina es de 105 Nvm/kg, ¿cuál es la velocidad de
salida del aire? ¿Cuál es la velocidad del aire si la máquina no proporciona trabajo?
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4.41 Antesd
jo mási
una vel
del aire
4.42 Unbali
tado,el
a) la
b) el
e) lo:
PROBLEMAS
167
4.41 Antes de entrar en un tanque grande cerrado se mezclan dos chorros de aire con el mismo flujo másico. Uno de los chorros está a 400 K Yuna velocidad de 100 mis y el otro está a 200 K Y
una velocidad de 300 mis. Si no se añade calor al aire y no hay trabajo, ¿cuál es la temperatura
del aire en el tanque?
4.42 Un balón de basquetbo1 se infla isotérrnicamente con aire a 20°C y 1.05 x lOS Pa. Como resultado, el aire se comprime a 20% de su volumen inicial. Si la masa del aire es 0.1 kg, encuentre:
a) la presión final,
b) el, trabajo necesario,
e) los cambios de energía interna y entalpía.
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5
ECUACIONES DE
MOVIMIENTO EN
FORMA INTEGRAL
CAPÍTULO
En los capítulos 3 y 4 se desarrollaron las ecuaciones de continuidad, cantidad de movimiento y energía para flujos unidimensionales en régimen permanente. En éste se ampliará el tema para incluir los flujos bi y tridimensionales en régimen transitorio para
volúmenes de control fijos. Primero se analiza el concepto de flujo, el cual simplifica el
desarrollo en forma considerable.
5.1 FLUJO
Cuando un fluido fluye a través del área superficial de un volumen de control lleva consigo
muchas propiedades. Por ejemplo, si el fluido tiene cierta temperatura y lleva esa temperatura a través de la superficie hacia el volumen de control, al igual que si tiene una densidad
particular también la lleva consigo. El fluido también lleva la cantidad de movimiento y
energía. Este "transporte" de las propiedades del fluido por el flujo a través de la superficie
se engloba en el concepto de flujo.
El flujo de (algo) es la cantidad de ese (algo) que se transporta a través de la superficie
por unidad de tiempo.
Considec elflujo de volumen, esto es, el flujo de todas las partículas de fluido a través de
un área dA en el tiempo i"!.t (figura 5-la). Para un flujo tridimensional y transitorio, la velocidad y la densidad varían en el espacio y el tiempo. Si marcamos una cantidad de partículas de fluido y visualizamos su movimiento en un tiempo corto, i"!.t, podemos identificar
las que pasan a través de dA durante este intervalo (figura 5-lb).
Si el área dA es lo suficientemente pequeña, las distribuciones de p y V pueden ser
aproximadas por su valor promedio en el área. Es posible encontrar así el volumen que
contiene a todas las partículas que pasarán a través de dA en el tiempo i"!.t. En la figura 5.1 b,
este volumen está dado por (V i"!.tcos e) dA = (n . V i"!.t) dA, donde n es un vector normal
unitario que define la orientación de la superficie dA (figura 5-le). Es decir
cantidad de volumen por unidad de} { flujo }
tiempo transportado a través de un = total de = (n . V) dA
{
área dA con dirección n
volumen
168
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5.1
1~/l.IIO+/l./~·
nl-nl .....
FLUJO
169
1
lo +/1.1
lo
e
V/l.1 cose
= n ·V/l.1
dA
a)
dA
b)
e)
FIGURA 5-1 a) Campo de flujo tridimensional en régimen transitorio con V (x, y, Z, t) Y p(X, y, Z, t). b) Vista
de perfil del elemento de superficie de control de área dA. e) Volumen barrido a través dedAen el tiempo!'J.t.
donde o . V dA es el flujo de volumen o flujo volumétrico (dimensiones de L 3 T- 1 = flujo
volumétrico) y n· V representa el flujo de volumen por unidad de área (dimensiones de
LT - 1 ).
Una vez que se anota el flujo volumétrico podemos escribir con facilidad otros flujos,
como
flujo de masa = o· pV dA
flujo de cantidad de movimiento = (o· pV)V dA
flujo de energía cinética = ~ (o· pV)V 2 dA
Las dimensiones del flujo de masa son MT- 1(= flujo másico), las del flujo de cantidad
de movimiento son MLT- 2 (= fuerza) y para el flujo de la energía cinética, ML 2 T- 3
(= fuerza x velocidad = potencia).
EJEMPLO 5.1
Flujo
Un flujo uniforme de aire con velocidad de 10 mis y densidad de 1.2 kg/m 3 pasa en ángulo
de 45 0 a través de un área de 0.1 m 2 (figura 5-2). Encuentre el flujo volumétrico, el flujo
másico, la componente x del flujo de cantidad de movimiento y el flujo de energía cinética
que pasa a través del área.
Solución Se elige un sistema de coordenadas donde la normal al área coincide con la dirección x, así que n = i. El vector de velocidad en coordenadas cmiesianas está dado por
V =ui +vj +wk
donde u, v y w son las componentes respectivas de la velocidad en las direcciones x, y y z.
En este caso particular
V =-
~i+ ~j
mis =7.07 (- i+.i)mls
El flujo es independiente del tiempo (permanente) y bidimensional (sólo depende de dos
coordenadas espaciales).
Por lo tanto
f
flujo volumétrico = n . V dA
= i . (7.07 m/s)( - i + j) A
=-7.07 mlsxO.1 m 2
= - 0.707 m 3/s
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170
cAPiTULO 5
ECUAC ION ES DE MOVIMIENTO EN FORMA INTEGRAL
y
n
~T----X
V=~(- i +j)
.J2
FIGURA 5-2
Notación para el ejemplo 5.1
El flujo volumétrico es negativo porque es un flujo de entrada. También
flujo másico =
f o . p V dA
= P x flujo volumétrico
= -1.2 kg/m 3 x 0.707 m 3/s
= -
flujo de cantidad de movimiento en x =
=
0.850 kg/s
f i . (o . p V) V dA
f (o· pV)(i· V)dA
= flujo másico xi· V
= 0.85 kg/s x 7.07
mis
2
= 6 kg mls = 6 N
El flujo de cantidad de movimiento es positivo porque es una entrada de cantidad de movimiento negativa. Por último,
flujo de energía cinética =
f ~ (o . pV) V
2
dA
= ~ x flujo másico x V 2
= - ~ x 0.850 kg/s x 10 m2/s2
= - 4.25 kg· m2/s3 = - 4.25 watt
•
EJEMPLO 5.2 Flujo de masa y cantidad de movimiento
De un tanque grande se drena agua por una salida cuadrada que mide b x b, como muestra
la figura 5-3. El nivel del agua en el tanque se mantiene constante mediante un tubo de suministro externo de flujo permanente. La velocidad varía a través del área de salida en dirección vertical pero es constante a lo ancho (en dirección perpendicular). Encuentre los
flujos volumétrico, másico y de cantidad de movimiento que salen del tanque.
¡
b
...:L
FIGURA 5-3
Salida cuadrada
I
Po
x ,~ V(X)
Tanque que drena a través de un orificio cuadrado
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5.2 ECUACi ÓN DE CONTINUIDAD
171
Solución Si no hay pérdidas, la ecuación de Bemoulli se puede aplicar entre un punto en
la superficie del agua y un punto en el plano de salida a una distancia H + x por debajo
de la superficie del agua. Dado que en estos puntos las presiones son iguales a la atmosférica y la velocidad en la superficie es cero, con la fórmula de Torricelli se obtiene
V(x) = ~2g(H + x)
Para encontrar el flujo volumétrico total que sale del tanque, se evalúa la integral
flujo volumétrico =
f
De .
donde el subíndice e denota la salida. En este caso,
flujo volumétrico =
V dA e
De =
i y V = V i de manera que
f i . Vi dA
e
= fV dA e
= f:~2g(H + x) bdx
==> flujo volumétrico = ~ .J2i[(H + b)3/2 - H 3/ 2 ]
==> flujo másico = ~ p.J2i[(H + b)3/2 - H 3/ 2 ]
El flujo de cantidad de movimiento está dado por
f
flujo de cantidad de movimiento = (D e . P V)(i . V) dA e
= f (i. pVi)V dA e
= fpV 2 dA e
= f:2pg(H + x)bdx
= 2pg(Hb + ~b2)
•
5.2 ECUACiÓN DE CONTINUIDAD
Considere la conservación de la masa para el volumen de control fijo VC que ilustra la figura 5-4. En cualquier instante, una masa de fluido ocupa el espacio que define VC. Por definición, la masa total de este fluido (el "sistema" en el lenguaje termodinámico; sección
4.7) permanece constante. Para aplicar la conservación de la masa al volumen de control
fijo se debe considerar el flujo másico instantáneo a través de su superficie y la rapidez de
cambio de la masa en el interior. En la sección 3.5, se estableció que cuando el flujo es permanente, los flujos másicos de entrada y salida al volumen de control deben ser iguales, de
forma que la masa dentro del volumen de control permanezca constante. Sin embargo,
cuando el flujo es transitorio, los flujos másicos de entrada y salida son diferentes y la
masa total contenida dentro del volumen de control varía con el tiempo. Esto es
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172
CAPíTULO 5
ve
Volumen =cN
Masa = pcN
FIGURA 5-4
ECUACIONES DE MOVIMIENTO EN FORMA INTEGRAL
n
Área = dA
Flujo volumétrico = n · V dA
Volumen de control fijo para desarrollar la forma integral de la ecuación de continuidad .
1. Un elemento de fluido con volumen d'd tiene una masa p d'd. Por lo tanto, la masa
de fluido dentro del volumen de control en cualquier instante es p d'd. Entonces
f
Rapidez de cambio de la masa en ve =
~
at
fP d'd
(5.1)
La rapidez de cambio de la masa será negativa si la masa que entra al volumen de
control disminuye con el tiempo (es decir, cuando el flujo de salida excede al de entrada). Para destacar lo anterior, se usa la derivada parcial con respecto al tiempo
pues, dado que el volumen es fijo en forma y ubicación, la integral sólo es una función del tiempo.
2. Para un elemento pequeño de área superficial dA, el flujo másico que sale a través
de dA por unidad de tiempo = p V . n dA. Por lo tanto
flujo másico total que sale de ve =
f n· pV dA
(5 .2)
El integrando será positivo cuando la dirección del flujo esté en la misma dirección
que el vector normal unitario n que apunta hacia fuera (flujo de salida) y negativo si
la dirección del flujo es opuesta a la de n (flujo de entrada). De las ecuaciones 5.1 y
5.2 la conservación de la masa requiere que
I f,fp dV+ f npV dA=O I
(5.3)
Esta es la forma integral de la ecuación de continuidad para un volumen de control
fijo, en un flujo tridimensional transitorio. En palabras
rapidez de incremento de masa} + { flujo másico neto en } = {O}
{ dentro del volumen de control
el volumen de control
Cuando la masa dentro del volumen de control es constante
I f n· pV dA =0 I
masa constante
(5.4)
Cuando el flujo está en régimen permanente, sus propiedades no dependen del
tiempo y, dado que el volumen de control es fijo
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5.2 ECUACiÓN DE CONTINUIDAD
I f n· pV dA =0 I
flujo permanente
173
(5.5)
Las ecuaciones 5.4 Y 5.5 son idénticas, aunque una se aplica cuando la masa dentro del volumen de control es constante y la otra si el flujo es permanente. Estas condiciones tienen
distintas implicaciones, dependiendo del flujo. Cuando éste es permanente, por ejemplo,
los flujos másicos de entrada y salida, y la masa dentro del volumen de control no cambian
con el tiempo. Sin embargo, si la única restricción es que la masa dentro del volumen de
control es constante con el tiempo, es posible que los flujos másicos de entrada y salida
sean transitorios, mientras sean iguales.
Por último, para flujo permanente o transitorio con densidad constante
I
fn.VdA=O
flujo de densidad constante
(5.6)
EJEMPLO 5.3 Flujo permanente, unidimensional
La figura 5-5 ilustra un flujo en un conducto divergente. Aplique la ecuación de continuidad para flujo permanente a través del volumen de control.
Solución Para el volumen de control que se muestra, hay flujo de entrada en el área Al y
flujo de salida en A 2 . Si el flujo es permanente, entonces
f n . p V dA = f Al n i· PI V¡ dA¡ + f A, n 2 . P 2 V2 dA 2 = O
Si las velocidades VI y V2 son normales a las áreas de entrada y salida, entonces
p¡V'¡ Y n 2 . P2 V 2 = P2 V2· Porlo tanto
n i . PI V I = -
-f p¡VI dA¡ + f P2 V2 dA 2 = O
Al
A2
Si las densidades y velocidades son uniformes en sus respectivas áreas, tenemos
-p¡VIA I +P2V2A2 =0
y recobramos el resultado para un flujo unidimensional permanente que primero se obtuvo
en la sección 3.5.
•
EJEMPLO 5.4 Flujo en régimen permanente bidimensional
En muchos casos la velocidad no es uniforme en las áreas de entrada y salida, y no se puede suponer el flujo unidimensional. Sin embargo, las líneas de corriente del flujo que en-
i -- - -V-c- - -- - -- - - - - - - - - - -, ./ Brida
Brida
,~I~
1
':
~r
I
t
í
I
~VJ
p,p,:
Al
:
.
t
I
i
i
¡ - Vh
---':~
2 1:P2
~2
y
., I
,---L- ---i,----------;
I
FIGURA 5-5
I
Flujo a través de un conducto divergente.
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174
CAPíTULO 5
ECUACIONES DE MOVIMIENTO EN FORMA INTEGRAL
r--------------------------I
: ve
,
-
v,
vIII1
Y
=1 -
(y)'
-
:
,Y
b
r;~:=--~
2b
O,
•
i---~vm2
v m,
L:,
p, p,: ==---------L-~
A,
• x
,---------------------------
FIGURA 5-6
Conducto bidimensional que muestra el vol umen de co ntrol.
tran y salen del volumen de control con frecuencia son paralelas y de esta forma es posible
suponer que la presión es uniforme en las áreas de entrada y salida. (Recuerde: cuando la
gravedad no es importante o si las diferencias de presión hidrostática son despreciables,
la presión es constante en dirección normal a las líneas de corriente; sección 4.2.2.)
Considere el flujo permanente en el conducto de la figura 5-6. El conducto tiene una
anchura constante, W, y las velocidades de entrada y salida varían en la dirección x y en la
dirección y. El flujo es bidimensional, ya que la distribución de velocidades depende de
dos variables espaciales (x y y). Para este problema, la distribución de velocidad en la entrada es parabólica (este es un resultado exacto para el flujo laminar en conductos largos;
sección 9.5.1), y conforme el área se expande, el perfil se hace lineal en la salida. El flujo
es permanente. La presión fuera del conducto es atmosférica en todas partes y en las áreas
de entrada y salida las presiones manométricas son PI y P2' Y las respectivas densidades
PI YP 2' Las presiones y las densidades son uniformes en Al y A2 . Encuentre la razón de
velocidades Vm2 /VIIII •
Solución Considere la conservación de la masa para flujo permanente.
fn.pVdA = O
La integral es en la superficie completa del volumen de control. Las áreas Al y A 2 son los
únicos lugares donde hay entrada y salida de masa del volumen de control, y así
f n . P V dA = 0 = f ni' P I VI dA I + f n 2 . P 2 V 2 dA 2
De la figura 5-5 tenemos VI = VI i, V 2 = V2 i, ni = - i y n 2 = i. Por lo tanto
f
f n· pV dA = 0 = - i· PIVI i dA I + f i· P2 V2i dA 2
= f (- PIV¡)dA¡ + f (+p2 V2)dA 2
así que
(5.7)
Se usan dos sistemas coordenados por separado. Para el área de entrada el origen del eje y
se localiza en el centro del área Al' que tiene una altura de 2b, y para el área de salida el origen del eje Yestá en el centro del área A 2, la cual tiene una altura de 2B . Para dA¡ tomamos
una banda delgada de altura dyy anchura W, de manera que el flujo másico que entra en el
área Al está dado por
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5.2 ECUAC iÓN DE CONTI NUIDAD
175
ya que la distribución de velocidad es simétrica. De manera similar, el flujo másico que
sale de área A 2 está dado por
f P2 V2 dA 2 =2f;B (P2 V2)W dY
donde hemos usado simetría para evitar que se escriban integrales separadas para los límites de -B a O y de O a +B, lo cual sería necesario porque las dos mitades de la distribución
triangular se describen por ecuaciones diferentes.
y
y
1- - Y 1+ -
B
B
para las respectivas mitades de arriba y abajo de A 2 . Al sustituir estos resultados en la
ecuación 5.7 y considerar que las densidades son uniformes en las áreas de entrada y salida
J
P, J:V+ ~( i }y= p,f:Vm{l ~ ~ )dY
I
p,V+ ~ :;, =p,Vm{Y ~ ~
I
2b
B
P1Vml 3 = P2 Vm2 2
Por último
V,'12
~
3B P2
= 4b
Vml
•
EJEMPLO 5.5 Opresión sobre una película de fluido.
En este problema de flujo transitorio un fluido de densidad P que se encuentra entre dos
placas experimenta una deformación simple conforme las placas se aproximan (figura
5-7).1 La placa de arriba se mueve hacia la de abajo a una velocidad Vp (t), y conforme se
mueve, se oprime y desplaza el aceite hacia afuera de las placas. Las placas son largas y
paralelas de anchura W. Encuentre la velocidad, u, en función de la distancia, x, en cualquier instante; el flujo es unidimensional.
Solución Se usarán dos volúmenes de control fij os diferentes . Primero, un volumen de
control de longitud dx, localizado a una distancia x desde el plano central (Ve! en la figura
5-7). Para aplicar la ecuación de continuidad, primero se considera el término transitorio,
es decir
~ fpN
al
I
Este problema y el siguiente son ejemplos adaptados de ElIgineerillg Fluid Mechanics, por Alan Mironer, publicado por
McGraw-Hill, 1979.
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176
CAPíTULO 5
----
b(l)
ECUACI ONES DE MOVIMIENTO EN FORMA INTEGRAL
----
t
•
FIGURA 5-7
y
1- - x -l dx 1-
Volúm enes de control alternativos para un flujo transitorio.
donde \:j es el volumen de ve l. La integral representa la masa dentro del volumen de control, que es igual a pbW dx. Entonces
ab
i.fpdV = i.(PbWdx) = pW dx
at
at
at
Ahora, ab/ at = db / dt = - Vp ' ya que b sólo es una función del tiempo y el signo negativo
describe el hecho de que la separación disminuye con el tiempo. Así
i.fpdV =- pWV dx
at
p
(5 .8)
Enseguida se considera el término de flujo másico
fn . pVdA
Aquí, V = ui + vj + wk Y A es el área superficial de ve l. En el lado izquierdo del volumen
de control, n = - i Y V = ui. En el lado derecho, n = i Y V = (u + du )i, donde du puede encontrarse con una expansión en series de Taylor (= (au /ax)d.x). Entonces
au dx ) = pbW -au dx
f n· pV dA =- pbWu + pbW ( u +ax
ax
(5.9)
Al añadir en la ecuación de continuidad (ecuaciones 5.8 y 5.9) el término transitorio y el
término de flujo másico, se obtiene
au
ax
V +b -= O
p
La solución más general para esta ecuación diferencial parcial es
Vp
u = -x+ f(t)
b
La función desconocida f (t) se puede encontrar mediante las condiciones de frontera en el
plano central, donde x = OY u = O. Entonces, f (t) = O, Y
u = ~v
b
p
(5.10)
Segundo, usamos un volumen de control de longitud x, con el lado izquierdo en el plano
central, donde x = O(V'e2 en la figura 5-7). Para este volumen de control, tenemos
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5.2 ECUACiÓN DE CONTINUIDAD
~fpá'í/ =pw ab x = at
at
pV
P
177
wx
No hay flujo de masa en el lado izquierdo de este volumen de control, y sólo hay una salida
de flujo por el lado derecho, dada por pubW. La ecuación de continuidad da
-P~
Wx + pubW = 0
Esto es
u = ~V
b
P
como antes (ecuación 5.10), pero de forma mucho más directa. Si el volumen de control se
selecciona con prudencia, el problema siempre se simplifica.
•
EJEMPLO 5.6 Pistón que se mueve en un cilindro
Un pistón sin fugas se mueve con velocidad V en una jeringa que contiene un líquido de
densidad p (figura 5-8). La jeringa tiene un área de sección transversal Ac y la aguja un
área de salida de sección transversal As' Encuentre U, la velocidad en la salida desde la
aguja, en cualquier instante; el flujo es unidimensional.
Solución De nuevo se usarán dos volúmenes de control diferentes. Primero un volumen
de control que contenga al pistón, cilindro y aguja (Vel en la figura 5-8). Se inicia con el
término transitorio en la ecuación de continuidad. La masa en el volumen de control es
igual a (pAcx + ms )' donde ms' es la masa en la aguja. Así
f
a
a
ax am
.- pá'í/ =- (pA x+m )=pA -+ - s
at
at
e
s
e at
at
La aguja siempre contiene la misma cantidad de masa (aun cuando hay flujo a través de
ella), de maneraqueams lat =0. Tambiénaxlat = dxldt = - V, ya que x sólo es una función
de tiempo y el signo negativo describe el hecho de que la longitud del volumen del fluido
en la jeringa disminuye con el tiempo. Así
~
f P á'í/ = at
pA V
e
El término del flujo másico es
fn . pV dA=pUA s
FIGURA 5-8
Volúmenes de control alternativos para el flujo transitorio en una jeringa.
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178
cAPiTULO 5
ECUACIONES DE MOVIMIENTO EN FORMA INTEGRAL
ya que el único lugar donde la masa entra o sale del volumen de control es en el área de salida de la aguja. Al sumar el término transitorio al término de flujo másico en la ecuación
de continuidad, se obtiene
A
U =_ c V
As
(5 .11)
Segundo, seleccionamos un volumen de control que no contenga al pistón ni al cilindro,
sólo a la aguja (VC2 en la figura 5-8). Así, como la aguja siempre está llena de fluido y la
masa de fluido en el volumen de control no cambia con el tiempo, el flujo es permanente
para esta selección de volumen de control, de modo que
i.fp di! =0
al
De esta forma observamos que en el lado izquierdo del volumen de control hay una entrada de flujo másico y en el lado derecho una salida de flujo, así que
fn.pVdA= f-i'PVidA c + fi'PUidA s =-pVA c +pUA s =0
Entonces
U=Ac V
As
•
como antes (ecuación 5.11).
5.3 ECUACiÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Para encontrar la forma integral de la ecuación de cantidad de movimiento tridimensional
dependiente del tiempo, se usa el volumen de control fijo, similar al que se empleó en el
desarrollo de la ecuación de continuidad (figura 5-9). La cantidad de movimiento de la
maS2 de fluido que ocupa al volumen de control en cualquier instante (el "sistema") cambiará bajo la acción de una fuerza resultante de acuerdo con la segunda ley de Newton.
Para expresar la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento de esta masa en términos
de un volumen de control fijo , se debe considerar el flujo instantáneo de cantidad de movimiento a través de su superficie y la rapidez con que cambia la cantidad de movimiento del
fluido que está dentro.
VC
n
Volumen = eN
Masa = peN
Peso = pgeN
FIGURA 5-9
integral.
Área = dA
Fuerza = - n pdA
Volumen de control para desarrollar la ecuación de la ca ntidad de movimiento en forma
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5.3 ECUAC iÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIM IENTO
179
En el capítulo 3 se estableció que la cantidad de movimiento del fluido dentro de un
volumen de control fijo puede cambiar debido a un flujo de cantidad de movimiento distinto de cero a través de la superficie de control. Si el flujo de cantidad de movimiento en la
entrada es más pequeño que el flujo de cantidad de movimiento que sale, hay un flujo de
cantidad de movimiento neto positivo a la salida que tenderá a disminuir la cantidad
de movimiento del fluido en el volumen de control.
La cantidad de movimiento del fluido dentro del volumen de control en cualquier instante también cambiará si su densidad y velocidad cambian con el tiempo.
Estos mecanismos son similares a los que rigen la conservación de la masa, donde un
flujo neto saliente de masa lleva a una variación transitoria de la cantidad de masa dentro
del volumen de control. En otras palabras, la suma de la rapidez de cambio de masa en el
volumen de control y la salida neta de flujo de masa del volumen de control debe ser cero,
ya que la masa se debe conservar. Sin embargo, para la cantidad de movimiento, la suma
de la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento en el volumen de control y el flujo
neto de la cantidad de movimiento no es necesariamente cero: la cantidad de movimiento
no se conserva si hay una fuerza resultante que actúa en el fluido. Esto es
Rapidez de cambio de la
cantidad de movimiento
j dentro del volumen de control
}
+
jflUjO neto de la Cantidad} jFUerZa resultante que se}
de movimiento en el
=
aplica al fluido en el
volumen de control
volumen de control
La fuerza resultante es igual a la suma de un término transitorio y un término de flujo.
Ahora se considerará cada término en este balance de cantidad de movimiento, empezando con el término transitorio (el primero de la izquierda).
5.3.1 Término transitorio
Para la rapidez de cambio de cantidad de movimiento dentro del volumen de control considere un elemento de volumen, N. La masa de este volumen es pN y su cantidad de movimiento, p V N. La cantidad de movimiento total en el volumen de control se encuentra por
integración y su rapidez de cambio con el tiempo se halla por diferenciación con respecto
al tiempo. Es decir
{
Rapidez de cambio de la cantidad de mOVimiento} = ~ fpV N
dentro del volumen de control
at
(5.12)
La cantidad es positiva si la cantidad de movimiento dentro del volumen de control
aumenta con respecto al tiempo. La derivada parcial con respecto al tiempo se usa para
destacar que, puesto que el volumen es fijo en forma y ubicación, la integral (pero no el integrando) depende sólo del tiempo.
5.3.2 Término de flujo
Para un elemento de área superficial dA, se tiene un flujo volumétrico n . V dA (sección
5. 1). El flujo másico se da, entonces, por n . p V dA y el flujo de la cantidad de movimiento
por (n . p V )V dA. El flujo es positivo si la velocidad tiene la dirección de n, o sea, cuando
es un flujo de salida. Así
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180
CAPiTULO 5
ECUACION ES DE MOVIMIENTO EN FORMA INTEGRAL
Flujo neto de la cantidad de
}
{ movimiento del volumen de control =
f (n 'pV)V dA
(5 .13)
5.3.3 Fuerza resultante
Existen fuerzas de superficie, de cuerpo y debidas a superficies externas. Éstas actúan en
la masa del fluido que coincide con el volumen de control en un instante particular.
1. Las fuerzas de superficie incluyen a las fuerzas viscosas que actúan en la superficie
del volumen de control y las fuerzas que se producen por las diferencias de presión
aplicadas en forma normal a la superficie. Por ahora, la fuerza debida a la fricción
viscosa simplemente la representaremos por F v' Respecto a la fuerza que se origina
por la diferencia de presiones, considere un elemento de área superficial dA. La
fuerza que se origina por la presión actúa con una magnitud p dA. La dirección de
la fuerza es normal a la superficie y, por convención, las fuerzas de presión son positivas si son compresivas, de manera que la fuerza vectorial debida a la presión
aplicada en dA es - np dA. Es decir
fuerza resultante debida a las diferencias de presión }
{ aplicadas al fluido dentro del volumen de control
=
f -n p dA
(5.14)
2. Las fuerzas de cuerpo incluyen las fuerzas gravitatoria, magnética y eléctrica que
actúan en todo el fluido dentro del volumen de control. La única fuerza de cuerpo
que aquí se considera es la debida a la gravedad. Un elemento de volumen N tiene
una masa p N y la fuerza vectorial que produce la gravedad aplicada a esta masa es
pg N. Esto es
Fuerza resultante debida a la
gravedad que actúa en el fluido
{
tf
=
f
pg N = g p N = mg
(5.15)
dentro del volumen de control
donde m es la masa total de fluido en el volumen de control.
3. Las fuerzas debidas a superficies externas, F ext' son las fuerzas que aplican al fluido las paredes de un conducto, las superficies de un deflector o las fuerzas que se
aplican en el corte que produce el volumen de control en un sólido. Un ejemplo de
lo último se tiene cuando un volumen de control corta las paredes sólidas de un
conducto; en el balance de fuerzas sobre el fluido, se deben incluir las fuerzas que
ejercen las paredes. (Recuerde: cuando un fluido ejerce una fuerza sobre una superficie sólIda, sobre el fluido se aplica una fuerza igual, pero en sentido contrario.)
Al combinar los términos de las ecuaciones 5.13 a 5.15 e incluir las fuerzas viscosas, F v' Y
las fuerzas debidas a superficies externas, Fext' se obtiene la forma integral de la ecuación
de la cantidad de movimiento para el volumen de control fijo .
(5.16)
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5.3 ECUACi ÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
181
Esta es una ecuación vectorial, por lo que en coordenadas cartesianas tiene componentes
en las direcciones x, y y z.
EJEMPLO 5.7 Flujo permanente unidimensional
En la sección 5.2, se consideró la ecuación de continuidad aplicada a un conducto divergente simple (figura 5-5). Ahora se buscará la componente x de la fuerza que el conducto
aplica en el fluido. Se considera que el flujo es no viscoso, permanente y horizontal.
Solución Considere la componente x de la ecuación de la cantidad de movimiento. Esta
ecuación se encuentra tomando el producto punto de la ecuación 5.16 con el vector unitario en la dirección x, i. O sea
i . Fext
-
i . f op dA + i . f pg d\f = i . f (o . p V) V dA
así que
Fx - f i· opdA + 0 = f (o · pV)i · V dA
donde Fx es la componente x de la fuerza que el conducto ejerce sobre el fluido y se consideró positiva en la dirección x (la dirección actual se obtendrá como parte de la solución: si
encontramos que Fx es negativa, esto significa que apunta en dirección x negativa).
Recuerde: en el lado derecho el producto punto con el vector unitario va con la segunda V, no con la primera: la primera V está en el término del flujo másico y ya forma un producto punto con el vector normal unitario o, de modo que el flujo másico es un escalar.
Ahora evaluamos las integrales sobre A¡ y A 2.
a)
- f i . op dA = - f - p ¡ dA¡ - f +P2 dA 2
= f p ¡ dA¡ - f P2 dA 2
b)
f(o . pV)i .VdA
=
f( - p ¡V¡ )(+V¡ )dA¡ + f(P2V2)(+V2)dA2
=- f pV/ dA¡
+ f pVl dA 2
Por lo tanto
Para un flujo unidimensional, esto se simplifica a
Fx
=
P2A2 - p¡A¡ + P2V22 A 2 - p ¡V¡2A¡
•
EJEMPLO 5;8 Flujo permanente bidimensional
Considere las fuerzas que actúan sobre el fluido en el flujo permanente bidimensional de
anchura W que ilustra la figura 5-6.
Solución Si ignoramos la gravedad y la fricción, las únicas fuerzas que actuarán en el
fluido serán las debidas a las diferencias de presión y la que el conducto aplique en el fluido. Comenzamos con !a componente x de la ecuación de la cantidad de movimiento (ecuación 5.16).
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182
CAPíTULO 5
ECUACIONES DE MOVIM IENTO EN FORMA INTEGRAL
Esto es
Fx + PI Al - P2 A 2 = f (o · pV)¡ · V dA
2
= - f pVI dA I
+ f pV22 dA 2
+B
f+b
= 2W fo pV22 dY - 2W o pV/ dy
que se puede usar para encontrar Fx después de sustituir VI y V2 en términos de sus respectivas variaciones con y y Y, e integrando.
¿Qué pasa con la dirección y? Vemos que la cantidad de movimiento sólo cambia en
dirección x y que las fuerzas que producen las diferencias de presión sólo se aplican en dirección x. Así, la componente y de la fuerza que por el conducto aplica sobre el fluido debe
ser cero.
•
EJEMPLO 5.9 Arrastre y sustentación sobre un ala
Considere un ala en un túnel de viento con área de sección transversal constante (altura h y
anchura W). El flujo es permanente y de densidad constante, y el ala desarrolla una fuerza
de sustentación y una de arrastre (figura 5-10). La fuerza de sustentación, FL , se define
como la fuerza en un cuerpo normal a la dirección del flujo y la fuerza de arrastre,
FD ' como la fuerza en la dirección del flujo. El flujo es uniforme a través del túnel de viento con una velocidad de magnitud VI' pero en una sección aguas abajo la velocidad varía en
la dirección y. La velocidad en la estela del ala es menor que V¡ y, en consecuencia, por
conservación de la masa, la velocidad fuera de la estela debe ser mayor que VI' También
hay una diferencia de presión, de forma que P2 es menor que PI ' pero como las líneas de
corriente en las secciones 1 y 2 son paralelas, las presiones son constantes en estas secciones (ignoremos la gravedad). ¿Cómo podemos encontrar las fuerzas de sustentación y
arrastre?
Solución Empezamos con el balance de la cantidad de movimiento en la dirección x
para el volumen de control que describe la figura 5-10
- FD -Fv -f¡·opdA+O = f(o.pV)¡ .VdA
donde - FD es la fuerza que el ala aplica en el fluido. Se ignorará, F v ' la fuerza viscosa que
las paredes del túnel ejercen en el fluido. Entonces
- FD +(p¡ - P2)hW =- pVI2hW + 2 f oh/2pV22Wdy
Pb(X)
FIGURA 5-10
Sustentación y arrastre sobre un ala en un túnel de viento.
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5.3 ECUACiÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
183
Para la distribución de velocidad que ilustra la figura
FD = (PI - P2)hW + pV¡2hW -tpV2~Wh
Podemos demostrar que V2m = 2V¡ , mediante la ecuación de continuidad. También es posible adimensionar la fuerza de arrastre dividiéndola entre (~pV¡2Wh) (ésta se reconoce
como la presión dinámica aguas arriba multiplicada por el área de la sección transversal
del túnel). Por lo tanto
FD
2
_ (p¡ - P2)
2
lpV,
Wh
lpv,2
3
2
¡
2
¡
Al adimensionar se simplifica la expresión final y se revela la presencia de un coeficiente
de presión en el lado derecho, similar al que se presentó en la sección 4.3, así como un nuevo parámetro adimensionalllamado coeficiente de arrastre,
del lado izquierdo definido por
e;,
e'
=
D
FD
2Wh
lpV,
2
¡
En la forma usual del coeficiente de arrastre, se usa el área en planta del ala en lugar del
área de la sección transversal del túnel. Esto es
eD
=
-
FD
2Wc
lpV,
2
¡
(5.17)
donde c es la longitud de la cuerda del ala (la distancia entre sus bordes de ataque y de
salida).
Para el balance de la cantidad de movimiento en y
-FL -f j·npdA +O=f(n .pV)j.VdA
donde -FL es la fuerza que el ala ejerce sobre el fluido. Como no hay flujo en la dirección y
-FL
+ LPb Wdx - Lp¡Wdx=O
así que
FL =w(LPb dX -ft PtdX )
donde Pb y Pt son las distribuciones de presión en la parte inferior yen la parte superior
del volumen de control. Por lo tanto, la fuerza de sustentación se puede encontrar midiendo la distribución de presiones en las paredes superior e inferior del túnel. Cuando se divide entre (~pV¡2Wh), se obtiene
FL
-
1 PyTT 2Wh-l
2
¡
2
1
PyTT2h
¡
(f bPb dx - ft P¡.dX)
Así se tiene un coeficiente de sustentación adimensional, e~ en el lado izquierdo. En su
forma más usual, se define con el área en planta del ala, así que
F
eL ==
L
(5.18)
lpV, 2Wc
2
¡
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•
184
u
P
CAPíTULO 5
ECUACIONES DE MOVIMIENTO EN FORMA INTEGRAL
~¿)
-'~I
: ve
-=,,
,'
v
)
y
- . . . : _____ ________ 1
FIGURA 5-11
L·
Deflector en movimiento, flujo transitorio.
EJEMPLO 5.10 Flujo transitorio y volúmenes de control en movimiento
Un chorro de agua en régimen permanente con velocidad VJ golpea un deflector que se
mueve hacia la derecha a velocidad constante, J7,¡ (figura 5-11). El deflector gira el chorro
a un ángulo n - (J. Encuentre F, el vector de la fuerza que el fluido aplica al deflector. Suponga que los efectos de la gravedad y la fricción se pueden ignorar.
Solución Lo primero es notar que el problema es transitorio para un observador estacionario, lo cual complica el análisis de manera considerable, ya que sería necesario usar las
formas transitorias de las ecuaciones de continuidad y la cantidad de movimiento y la
ecuación de Bemoulli no se puede emplear. Sin embargo, si el observador se mueve con el
deflector, el problema se vuelve permanente y se evitan estas complicaciones. Una transformación de la velocidad que involucra la superposición de una velocidad de translación
constante (pero no una velocidad angular) no tiene efecto sobre las fuerzas que actúan en
un sistema. Esto es, las fuerzas son las mismas si el movimiento se ve en un sistema de
coordenadas estacionario o se mueve a velocidad constante. El volumen de control para
este flujo permanente se ilustra en la figura 5-12.
A lo largo de la superficie del chorro, la presión es constante e igual a la presión atmosférica. A través del chorro la presión también es constante en las áreas de entrada y salida, dado que las líneas de corriente son paralelas y el chorro está en caída libre. Puesto
que el flujo es, desde este punto de vista, permanente y no hay fricción, la ecuación de Bernoulli que se aplica en cualquier línea de corriente que empieza en la entrada y termina en
la salida indica que la magnitud de las velocidades en la entrada y la salida son iguales. El
deflector cambia la dirección de la velocidad, pero no su magnitud. Entonces, con base en
la ecuación de continuidad, sabemos que el área de la sección transversal del chorro, A,
debe permanecer constante.
/
/
.-- _ /
/
: ve
-=1,
vj
-
Vd :
1
:L
Y
,
,
l _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ 1
FIGURA 5-12
X
Deflector en movimiento con flujo permanente.
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5.4 TEOREMA DEL TRANS PORTE DE REYNOLDS
185
La ecuación de la cantidad de movimiento da
- F- f podA = f(o.pV)VdA
°
donde +F es la fuerza que el fluido aplica en el deflector y - F es la fuerza que el deflector
aplica en el fluido . La presión es constante en todas partes, así que po dA = para el volumen de control que se muestra. En la entrada, la velocidad es (Vj - Vd ) i Y o = - i. En la
salida, la magnitud de la velocidad es la misma, pero su dirección es diferente, de modo
que la velocidad de salida es (Vj - Vd )( - cos (Ji + sen 8j) y o = - cos 8i + sen 8j. Entonces
f
-F = - p(Vj - Vd )2 iA + p(Vj - Vd )2 (- cos (Ji + sen 8j)A
= -
pA(Vj - Vd ) 2((1 +cos8)i -sen 8j)
y así
Esta respuesta se puede verificar tomando el límite cuando Vj = Vd. En este caso, F = 0,
como se esperaba.
•
5.4 TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS
Ahora es posible expresar de manera más general los conceptos de conservación que incluyen las formas integrales de las ecuaciones de continuidad y la cantidad de movimiento. Lo primero es observar que las ecuaciones de continuidad y la cantidad de movimiento
para un volumen de control fijo (ecuaciones 5.3 y 5.16) están dadas por
: ) p d V + f o · pV dA =0
(5.19)
y
: ) pV dV + f (o· pV)V dA = Fext + F v
-
f opdA + f pg dV
(5.20)
El lado izquierdo de ambas ecuaciones es muy similar. En la ecuación de continuidad, los
términos del lado izquierdo representan la rapidez total del cambio de la masa de una masa
dada de fluido, originada por la rapidez de cambio de la masa dentro del volumen de control, más el flujo másico neto a través de la superficie de control. En forma similar, en la
ecuación de la cantidad de movimiento, los términos del lado izquierdo representan la rapidez de cambio total de la cantidad de movimiento de una masa dada de fluido, que produce la rapidez del cambio de la cantidad de movimiento del fluido dentro del volumen de
control, más el flujo neto de la cantidad de movimiento a través de la superficie de control.
Por lo tanto, el lado izquierdo de las ecuaciones 5.19 y 5.20 describe la rapidez total de
cambio en una propiedad del fluido (masa, cantidad de movimiento) dentro de un volumen
dado, calculado por los flujos de entrada y salida del volumen de control. En otras palabras, proveen un enlace entre la rapidez de cambio total de una propiedad de una masa
dada de fluido y la rapidez de cambio para esa propiedad en un volumen dado de fluido .
Por ejemplo, para una masa dada de fluido, la rapidez de cambio de la propiedad llamada
masa es obviamente cero. Para un volumen dado de fluido se expresa la misma observa-
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186
cAPITULO 5
ECUACIONES DE MOVIMIENTO EN FORMA INTEGRAL
ción física como balance entre la rapidez de cambio de masa en el volumen de control y la
masa que se transporta hacia dentro y hacia fuera sobre la superficie de control.
En términos más generales, es posible definir una propiedad extensiva del fluido B
que puede ser la masa, cantidad de movimiento, energía, etcétera. También puede definirse una propiedad intensiva b, que es simplemente la propiedad B por unidad de masa, de
manera que
B=mb
donde m es la masa del fluido considerado. El valor de B es directamente proporcional a la
cantidad de masa considerada, mientras que el valor de b es independiente de la cantidad
de masa. Así se tiene
f
B sis = ve pb á\I
donde el subíndice sis indica un sistema, es decir, una masa dada de fluido.
La pregunta es, por lo tanto, ¿cuál es la rapidez de cambio de B sis (siguiendo una masa
dada de fluido) en términos de la rapidez de cambio de B ve ' que es la cantidad de B en el
volumen de control en cualquier tiempo. El teorema de transporte de Reynolds para un volumen de control fijo establece que
DB.
dt
aB
at
~ = ~+
f (n · pV)bdA
y, por tanto
DB .
a
~=dt
at
f pbá\l+ f (n·pV)bdA
(5 .21)
La rapidez de cambio de B (siguiendo una masa de fluido) es igual a la rapidez de cambio
de B dentro del volumen de control más el flujo neto de B a través de la superficie de control. La ecuación 5.21 proporciona un enlace entre el volumen de control y los conceptos
de sistema. La misma función sirve para un volumen de control grande, como la derivada
total sirve para un volumen de control pequeño (sección 6.1). Aquí no se aporta una derivación formal, 2 pero el enlace entre las ecuaciones de continuidad y de la cantidad de movimiento es claro. Por ejemplo, cuando la propiedad B es la masa
B=m,
dB
b=-=1
dm
y
y obtenemos la ecuación de continuidad, ecuación 5.19. Cuando la propiedad B es la cantidad de movimiento lineal
B = mV,
y
dB
b =- =V
dm
y obtenemos el lado izquierdo de la ecuación de la cantidad de movimiento, ecuación 5.20.
2Pueden encontrarse derivaciones formales en: White, FIl/id Mechanics, McGraw-HilI, 1986; Shapiro, Elements of
Gasdynamics, Wiley, 1962; Munson, Young y Okiishi, Fl/ndamentals ofFll/id Mechanics, Wiley, 1998; y Potter y Wiggert,
Mechanics ofFIl/ids, Prentice Hall, 1997.
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5.5 ' ECUACiÓN DE LA ENERGIA
187
La utilidad del teorema del transporte de Reynolds radica en el hecho de que la propiedad B puede ser cualquier cosa que pueda transportar el fluido: masa, cantidad de movimiento lineal, cantidad de movimiento angular, energía cinética, etcétera.
5.5 *ECUACIÓN DE LA ENERGíA
Ahora podemos usar el teorema del transporte de Reynolds para desarrollar la forma tridimensional transitoria de la ecuación de la energía para un volumen de control fijo. En este
caso, la propiedad extensiva es la energía total, E. La primera ley de la termodinámica establece que para una masa dada de fluido
rapidez de cambio) {raPidez neta de adición de ) {raPidez neta de adiCión)
de la ene~gía total = energía por transf~rencia + de energía po~ trabajo
{
de un 'Slstema
de calor al flUldo
en el flUldo
Esto es
DE sis Q'
.
- = sis + W.is
Dt
-
Para un volumen de control fijo conB
de Reynolds da
= E = mey b = dB / dm = e, el teorema del transporte
f
f
a pecN + (o · pV)edA
Q. + W. = at
(5.22)
donde Q y W son la rapidez de transferencia de calor y de trabajo al fluido que está en el volumen de control en el tiempo t.
Como en la sección 4.7.2, el trabajo que se hace sobre el fluido puede separarse de tres
maneras
..
.
W = Wpresión
.
+ W viSCOSO + Wj1echa
donde Wpresión e~ el trabajo sobre la superficie del volumen de control debido a las fuerzas de presjón, W viSCOSO es el trabajo que hacen los esfuerzos viscosos sobre la superficie de
control y Wj1echa es el trabajo en la flecha que realiza una máquina en el fluido dentro del
volumen de control (una bomba, un ventilador, un pistón, entre otras), todos por unidad de
tiempo.
Para un elemento de superficie dA, la rapidez con que se hace el trabajo mediante fuerzas de presión está dada por la fuerza que produce la presión multiplicada por la componente de velocidad normal a la superficie del volumen de control. Es decir
dWpresión
= - p( o . V) dA
y el trabajo total de presión está dado por
Wpresión
= - f p(o . V) dA
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188
CAPíTULO 5
ECUAC IONES DE MOVIMIENTO EN FORMA INTEGRAL
De manera similar, la rapidez con que se hace el trabajo mediante fuerzas cortantes
está dada por la fuerza debida al esfuerzo cortante multiplicada por la componente normal
a la superficie de control. O sea
d~iscoso = -
(T . V) dA
y el trabajo de esfuerzos viscosos total está dado por
~iSCOSO
=-
f (T' V) dA
A partir de una selección agecuada del volumen de control, el trabajo de esfuerzos viscosos a menudo es cero. Por ejemplo, en una superficie sólida la condición de no deslizamiento hace que la velocidad en la pared sea cero, así que la rapidez del trabajo por fuerzas
viscosas también es cero. En una entrada o salida, el flujo por lo general se alinea con el
vector normal unitario, n, y el trabajo de corte es cero. El trabajo de corte rara vez es importante para volúmenes de control grandes, y por ello desde ahora se ignora. Así, el término del trabajo se reduce a
W = Wjlecha -
f p(n . V) dA
Por lo tanto, la forma integral de la ecuación de la energía para un volumen de control fijo
está dada por
..
él}
1 2
J\-I
Q + Wjlecha = - 'p(U+"2 V +gZ)uv
élt
A
+ (n . p V) ( U+ ~ + ~
f
V + gz }A
(5.23) .
2
u
donde la energía específica total e = + ~ V 2 + gz. Es común que el término del trabaj o de
presión se combine con el término de flujo de energía.
EJEMPLO 5.11
Ecuación de la energía aplicada al flujo en un conducto
Un flujo incompresible fluye en régimen permanente por un conducto de anchura W, como
muestra la figura 5-13. La velocidad en la entrada del conducto es uniforme e igual a Va,
mientras que la velocidad en la salida varía en forma lineal hasta su valor máximo, que es
igual a.va. Encuentre el transporte neto de entalpía afuera del conducto ~n términos de
p, Va, Q, W, y 1 , si se supone que la rapidez de transferencia de calor es Q.
°
Solución Puesto que el flujo es permanente yen la flecha no hay trabajo (ignore el trabajo de las fuerzas viscosas), la ecuación de la energía (ecuación 5.23) se éonvierte en
°1
FIGURA 5-13
Volumen de control para el ejemplo 5.11.
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PROBLEMAS
Q= f(n . pv)(ú+~ +1 V2
189
+gZ}A
Sin considerar los cambios de energía potencial, encontramos que
f (n· pV)hdA = - f (n· pV)V 2 dA
+Q
donde la entalpía h = ú + pi p. El lado izquierdo representa el transporte neto de entalpía
en el conducto, lo cual hace necesario evaluar el lado derecho, que representa el transporte
neto de energía cinética más la rapidez de transferencia de calor neta. Para el volumen de
control que se muestra, en el área de entrada
f (n· pV)1 V2 dA = (-pVO )V02WO I
=- 1PV03Wo l
En el área de salida
f (n· pV)tV' dA =f; [-Pv{ ;, )] t v,,(:,
='¡pV';W
JWdy
f;( ;, J
dy
= t pVo3W0 2
Es posible relacionar a 0 1 y O2 con la ecuación de continuidad, donde, para el flujo permanente
fn.pVdA =0
(ecuación 5.5). Esto es,
-p v,Wo, +
f; pv{;' )w dy=O
Así que,
Finalmente,
flujo de entalpía = f (n· pV)hdA =- 1PV03Wo¡ +tp Vc?W0 2 +Q
== -1P V03WO ¡ +-!¡pV03WO I
=- -!¡pV03Wo¡
+Q
+Q
Cuando el flujo de entalpía es negativo, representa entrada de flujo.
•
PROBLEMAS
5.1 Escriba la forma integral de la ecuación de continuidad; para un flujo en régimen transitorio,
explique cada término.
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190
CAPITULO 5
ECUACIONES DE MOVIMIENTO EN FORMA INTEGRAL
5.2 Escriba la forma integral de la ecuación de la cantidad de movimiento, para flujo no viscoso
en régimen transitorio; explique cada término.
5.3 La distribución de velocidad en un flujo bidimensional entre placas paralelas separadas una
distancia 2h está dada por V = Vm (1 - y2 / h 2), donde Vm es la velocidad máxima, como ilustra
la figura P5.3. Encuentre la velocidad promedio y el flujo másico.
FIGURAP5.3
5.4 Dos conductos rectangulares de aire acondicionado, de anchura constante, W (en dirección
perpendicular a la página), se unen en ángulo recto como se muestra en la figura P5.4; el flujo
es permanente y la densidad, constante. En las áreas de salida y entrada, todas las velocidades
son normales y los perfiles de velocidad en las estaciones 1 y 2 son parabólicos. Encuentre el
flujo másico en la sección 3. ¿Entra o sale?
-- -<ID
y
y
y2
U = Q{l-Il)
FIGURA P5.4
5.5 En el conducto rectangular de la figura P5.5 entran por la izquierda dos corrientes paralelas de
un gas con densidad constante y velocidades constantes U I y U 2. Después de mezclarse, el gas
sale por la derecha con un perfil parabólico y un valor máximo de velocidad U 3• Encuentre U 3
en términos de U I y U2 .
!---+j_x
FIGURAP5.5
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PROBLEMAS
191
5.6 La figura P5 .6 muestra el esquema de un carburador. El aire entra por la izquierda con un perfil de velocidad uniforme y fluye por una reducción donde una mezcla rica de aire y combustible de la misma densidad entra con un gasto de qm 3/s. De esta manera, la mezcla sale por la
derecha con un perfil de velocidad triangular como se ilustra. El flujo es permanente y las
áreas de las secciones transversales 1 y 2 son rectangulares con anchura W. Suponga que todas las velocidades son normales a sus áreas respectivas. Encuentre q cuando U z = 2U1.
i¡ m 3/s flujo de combustible
FIGURAP5.6
5.7 En un conducto bidimensional con anchura constante se tiene un flujo permanente de aire con
densidad constante como muestra la figura P5.7. El perfil de velocidad en la entrada es de
magnitud constante, UD' y el perfil de velocidad a la salida es parabólico de acuerdo con
U = Un/l - (2yl h )z). a) EncuentreUm como función deUo , by h. b) Si en el conducto se inserta un calentador como se muestra, U m ¿aumentará o disminuirá?
Calentador
(sólo parte b)
FIGURA P5.7
5.8
Un cilindro de masa M por unidad de longitud cae en un canal de anchura D como se
ilustra en la figura P5.8. El cilindro ya alcanzó su velocidad terminal, ~, y el flujo es permanente cuando lo ve un observador que
viaja con el cilindro. El mismo observador
identifica en la estela una distribución de velocidad tipo sinusoidal con una amplitud de
U o; la presión es uniforme en todas partes.
Encuentre U o en términos de ~ y exprese M
en términos de ~, g, D, y la densidad del fluido,p.
u:r~ l¡..a...I....":~
.......'tt-x
FIGURAP5.8
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u = u o (1 _cos _2 nx )
2
D
192
CAPiTULO 5
ECUACIONES DE MOVIMIENTO EN FORMA INTEGRAL
5.9 A través de un conducto de anchura W fluye en régimen permanente un fluido con densidad
constante, como describe la figuraP5.9. EncuentreUm en términos deUI yU2 . ¿Cuál es el flujo
de cantidad de movimiento a la salida del conducto?
FIGURA P5.9
5.10 En el conducto rectangular de anchura W de la figura P5.1 Oel flujo es permanente y la densidad, constante. Encuentre U m en términos de U I, a y b, así como la componente del flujo de la
cantidad de movimiento que sale del conducto.
u,
FIGURA P5.10
5.11 En el flujo de densidad constante del conducto rectangular de anchura W de la figura P5.11
encuentreUm en términos deU I, a y b, así como el (vector) flujo de la cantidad de movimiento
que sale del conducto.
FIGURA P5.11
5.12 En el conducto rectangular de la figura P5.12 entra un fluido con velocidad constante, U I, y
densidad PI' En el plano de salida la velocidad del fluido es U 2 y la densidad tiene un perfil
descrito con una relación tipo raíz cuadrada y un valor máximo de P2' Encuentre P2 en términos de PI cuando U I =U 2, así como el vector de flujo de la cantidad de movimiento que sale
del conducto.
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PROBLEMAS
193
5.13 A través de un conducto bidimensional de anchura W, fluye un fluido como muestra la figura
P5.l3. En la entrada a la caja (cara 1), el flujo es unidimensional y el fluido tiene densidad p¡ y
velocidad U¡. En la salida (cara 2), el fluido tiene una densidad uniforme P2' pero la velocidad
varía en el conducto según se muestra. Encuentre la rapidez a la que la densidad promedio
dentro de la caja cambia respecto al tiempo.
FIGURA P5.13
5.14 La estela de un cuerpo se asemeja a un perfil lineal como esquematiza la figura P5.14. El flujo
es incompresible, permanente y bidimensional. Fuera de la región de la estela el flujo es no
viscoso y la velocidad, U 2. La velocidad aguas arriba, U¡ es uniforme.
a) Encuentre U/U¡ como función de O! H.
b) Encuentre el coeficiente de presión (P2 - p¡)/ P U¡2) como función de O! H.
e) Encuentre el coeficiente de arrastre adimensional (por unidad de longitud del cuerpo)
D / P U¡2H) como función de O! H.
(1
(1
T
20
r---~ ...... .i.
FIGURA P5.14
5.15 A través del conducto rectangular de la figura P5.15 fluye aire con densidad constante en régimen permanente. El conducto tiene anchura constante W en dirección perpendicular a la pá-
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194
CAPíTULO 5
EC UAC ION ES DE MOVIMIENTO EN FORMA INTEGRAL
gina. En la entrada, la velocidad es constante en el área e igual aUav . La velocidad en la salida
tiene una distribución parabólica con un valor máximo de U,II' y es constante en dirección perpendicular a la página; la presión es constante en todas partes. Mediante la ecuación de continuidad encuentre la proporción b /a de forma que U,II =Uav • De esta forma, encuentre la
fuerza, F, que el flujo ejerce en el conducto, suponiendo que en las paredes la fricción es despreciable.
FIGURA P5.15
5.16 En un conducto bidimensional de anchura constante Wy alturaD se sostiene un cilindro. Así,
la distribución de velocidad aguas abajo es como esquematiza la figura P5.16; la densidad p
es constante y el flujo, permanente. Encuentre U 2 en términos de U¡, así como la fuerza que el
flujo aplica en el cilindro en términos de p , U¡, W y D. Desprecie los efectos de la fricción y
suponga que p¡ = P2.
o
V,
P,
D
2
D
2
FIGURA P5.16
5.17 Un propulsor se coloca en un conducto circular de área constante y diámetro D, como describe la figura P5.17. El flujo es permanente y el fluido tiene una densidad constante p . Las presiones p¡ y P2 son uniformes en las áreas de entrada y salida y los perfiles de velocidad son
como se ilustra. Encuentre el empuje, T, que el propulsor produce en el fluido en términos de
Uj>Um,pyDy p¡y P2·
Conducto circular
Propulsor
FIGURA P5.17
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PROBLEMAS
195
•
5.18
En un conducto rectangular de anchura Wy alturaD entra aire de densidad constante y velocidad uniforme V;. La pared superior diverge (como muestra la figura P5.18) de modo que la
presión permanece uniforme en todas partes. Aguas abajo, en las paredes superior e inferior,
los perfiles de velocidad están dados por la V IV; = (yl <5)V4. Puesto que D2 = 1.ID), encuentre
<5en términos de D) así como la magnitud y dirección de la fuerza, F, que el aire ejerce sobre el
conducto en términos de un coeficiente de fuerza adimensional F I P V;2D)W (ignore los esfuerzos viscosos).
I
Densidad
=
f=(iT
p
)
ti'
VI
I
~=(i)'
FIGURA P5.18
5.19
En un conducto de anchura W y altura h, entra un fluido de densidad constante, p, con un perfil de velocidad parabólico y valor máximo de V;, como ilustra la figura P5.19. En el plano de
salida, el conducto tiene altura h2 y el flujo un perfil de velocidad parabólico con valor máximo de V2. Las respectivas presiones en las secciones de entrada y salida son p) y P2' Yson uniformes a través del conducto.
a) Encuentre V2 en términos de V;, h) Y h2·
b) Encuentre la magnitud y dirección de la fuerza horizontal, F, que el fluido aplica en
el escalón en términos de p, V;, W, p) Y P2' ~ Y h2. Ignore la fricción y observe que en el
punto donde el flujo se separa del escalón se puede suponer que las líneas de corriente
del flujo son paralelas; esta observación proporciona información sobre la presión en la
cara vertical del escalón.
descrias predad son
inosde
-=======:=::;¡: \
V =
v{ ~(2~2JJ
FIGURA P5.19
5.20
Dentro de un conducto horizontal de altura H y de anchura W se colocan dos obstáculos como
muestra la figura P5.20. De izquierda a derecha fluye aire de densidad constante en régimen
permanente y la velocidad aguas arriba de los obstáculos (sección 1) es constante en el área e
igual aUav' La velocidad aguas debajo de los obstáculos (sección 2) tiene una distribución parabólica con un valor máximo U m' Las presiones en las secciones 1 y 2 son Pi y P2' respectivamente, y son constantes en el área del conducto.
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196
CAPiTULO 5
ECUACIONES DE MOVIMIENTO EN FORMA INTEGRAL
y
P,
1
FIGURA P5.20
a)
b)
Encuentre la proporciónUIIIIU"v.
Encuentre la fuerza F que actúa en los obstáculos, suponiendo que la fricción de las paredes es despreciable. Exprese los resultados en ténninos del coeficiente adimensional
de arrastre eD' y el coeficiente adimensional de presión e ,donde e D = F 1(-21 p U~fiW)
_
'2
P
yep -(p,p2)/ (-:;'p U aJ·
5.21 Hacia un conducto rectangular de anchura W, constante fluye aire en régimen permanente
como muestra la figura P5 .21. En el área A,(= 3hW) hay flujo de entrada y en el área AJ
(= 2hW)flujo de salida. El área mínima es A 2 (= hW) y la densidad del aire, p, es constante en
todas partes. En A, y A 2 las velocidades son constantes e iguales a U, y U 2 , respectivamente,
como se ilustra. En AJ la distribución de velocidad es parabólica con un valor máximo de U III .
Las presiones son constantes en cada área: en el área A,la presión manométrica es PI' sobre el
área A 2, P2' Y en AJ la presión es atmosférica; no hay pérdidas.
a) Encuentre las proporciones U 2 I U, y Un/U,.
b) Encuentre la diferencia de presiones p, - P2 en ténninos de p y U,.
e) Encuentre la fuerza, F , que actúa en el fluido (magnitud y signo) entre las secciones 1 y 3
en términos de p,U, y PI.
FIGURA P5.21
5.22 La región de entrada en un conducto rectangular se describe en la figura P5.22. El conducto
tiene una anchura W y una altura D. La densidad del fluido es constante y el flujo es permanente. Se supone que la variación de la velocidad en la capa límite de espesor Oen la sección 2
es lineal y la presión en cualquier sección transversal es uniforme. Ignore el flujo en las paredes laterales del conducto (es decir, W ~ D).
a) Mediante la ecuación de continuidad demuestre que U/U2 = 1- 01 D.
b) Encuentre el coeficiente de presión el' = (p, - Pz)1 (~p U,z).
e) Demuestre que
donde Fv es la fuerza viscosa total que actúa en las paredes del conducto.
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PROBLEMAS
197
Borde de la capa límite
FIGURA P5.22
n delaspaimensional
~pU~jlW)
5.23 En una placa plana de longitud L y anchura W, fluye un fluido de densidad constante. En el
borde de ataque de la placa la velocidad es uniforme e igual a Uo. En la placa se forma una
capa límite de modo que en el borde de salida el perfil de velocidad es parabólico como ilustra
la figura P5.23. Encuentre:
a) El flujo volumétrico q que sale por la superficie superior del volumen de control, donde
permanente
n el área A3
onstanteen
ctivamente,
imodeUm•
p¡, sobreel
y=o.
b)
La componente x del flujo de cantidad de movimiento que sale del volumen de control a
través de la misma superficie.
y
Uo
-----
-----~-r~c
q
o
cionesl Y3
!
I
I
I
I
I
I
I~U
Uo
•
••
"/
(y)
Paréabola
FIGURA P5.23
5.24 Un cilindro de anchura W se coloca cerca de una pared plana como esquematiza la figura
P5.24. El flujo de entrada tiene una velocidad uniforme, U~, y el flujo aguas abajo tiene un
perfil de velocidad lineal U = U~y/ H. Suponiendo flujo permanente con densidad y presión
constantes, ericuentre:
a) La velocidad promedio en la dirección y sobre el plano horizontal localizado en y = H.
b) La fuerza que el fluido ejerce en el cilindro; desprecie los efectos viscosos.
1conducto
espennaa sección2
enlaspare-
FIGURA P5.24
5.25 El modelo bidimensional de una cabaña semicilíndrica se colocó en un túnel de viento y se
encontró que el perfil de velocidad aguas abajo es como se ilustra en la figura P5 .25. Aquí, U
es la velocidad de la corriente libre, p la densidad del aire y D el diámetro de la cabaña. Suponga que los efectos viscosos y las variaciones de presión se pueden despreciar.
co
j
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/1
"
"
198
cAPiTULO
a)
b)
e)
5
ECUACIONES
DE MOVIMIENTO
EN FORMA INTEGRAL
Dibuje el patrón de flujo sobre la cabaña (recuerde que la continuidad debe satisfacerse).
Encuentre la velocidad promedio en la dirección y sobre el plano horizontal localizado
en y=D.
Encuentre el coeficiente adimensional de la fuerza, CD, donde Cj, = F / (~pU;P)y F es
la fuerza que se aplica sobre la cabaña por unidad de profundidad.
y
FIGUR)!
T
D
~;::;;;!;;;;~;;;;;;;;;;;;!;;;;;;;;;~;;;;;;!;;;;r!
u=u
x
L
-D
FIGURA P5.25
5.29 Una ba!
nieve p
dad es e
la diree
desde 1:
la fue"
5.26 Un chorro horizontal de agua, de velocidad constante Uj' golpea un deflector de forma que la
dirección del chorro cambia ligeramente, como muestra la figura P5.26. Encuentre la proporción de las componentes vertical y horizontal de la fuerza necesaria para mantener inmóvil el
deflector en términos del ángulo e. Desprecie los efectos de la gravedad. ¿Cuando el deflector
se mueve hacia la derecha a velocidad U¡ cambia esta proporción de la fuerza?
(en el pl;
Área A
FIGUR
•
5.30
Una b
ilustra
a) S
I¡
b)
S
n
FIGURA P5.26
n
e)
:E
5.27 Un chorro horizontal de aire con anchura W choca contra un cangilón estático como indica la
figura P5.27. La velocidad del chorro es Vy su altura es D. Si la altura del chorro permanece
constante conforme el aire fluye sobre la superficie del cangilón, encuentre:
a) La fuerza F necesaria para mantener estático el cangilón.
b) El cambio en F cuando el cangilón se mueve hacia la derecha con velocidad constante
V/2.
FIGlJ
FIGURA P5.27
5.28 El chorro de agua de una tobera estática choca en un álabe en movimiento con un ángulo de
e = 60°; como ilustra la figura P5.28. El álabe se mueve a una velocidad constante U = 10 mis
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3
Adaptado de
PROBLEMAS
199
y la velocidad de salida del chorro es V = 30 mis. La tobera tiene un área de salida de 0.005
m 2 . Encuentre la fuerza necesaria para mantener constanteU.
e
u
FIGURA P5.28
5.29 Una barredora de nieve se monta en un camión que limpia una ruta de 12 pie de ancho sobre
nieve pesada, como muestra la figura P5.29. La nieve tiene 8 pulg de profundidad y su densidad es de 10 Ib f /pie 3 . El camión viaja a 20 mph y la barredora está en ángulo de 45° respecto a
la dirección del viaje. Por lo tanto, la nieve se descarga de la barredora en un ángulo de 45°
desde la dirección del viaje y 45 ° sobre la horizontal, como indica la figura P5.29. Encuentre
la fuerza necesaria para empujar la barredora. 3
FIGURA P5.29
5.30 Una bomba sumergida en agua dentro de un carro impulsa el líquido a la atmósfera, como
ilustra la figura P5.30. El área del flujo que sale del eyector es de 0.01 m2 .
a) Si la velocidad del flujo del eyector es de 3 mis, el agua se regresa al carro. Encuentre F ,
la fuerza necesaria para frenar el carro.
b) Si la velocidad del flujo en el eyector es de 4 mis, el flujo apenas librará los lados del carro, que están a la misma altura que el eyector. Encuentre F, la fuerza necesaria para frenar el carro.
e) Encuentre L, la distancia entre la salida del eyector y el lado del carro para el flujo del inciso b), donde están a la misma altura la salida del chorro y los lados del carro.
F
a)
b)
FIGURA P5.30
3 Adaptado
de Fox y McDonald, Introduction lo Fluid Mechanics, 4a. ed., publicado por Jobn Wiley & Sons, 1992.
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6
ECUACIONES DIFERENCIALES
DEL MOVIMIENTO
CAPÍTULO
En capítulos anteriores las más de las veces se usaron volúmenes de control grandes para
encontrar los balances totales de masa y cantidad de movimiento, sin describir el comportamiento específico del flujo dentro del volumen de control. Para ciertos propósitos esta
aproximación puede proporcionar información muy útil, como para encontrar la rapidez
de flujo en el sistema o las fuerzas externas que actúan sobre el fluido. Para otros muchos
propósitos es necesario un conocimiento más detallado del comportamiento del flujo. Por
ejemplo, el desempeño de un aeroplano depende en especial de su forma. Para un aeroplano en crucero, la sustentación en principio se genera por las diferencias de presión entre las
superficies inferior y superior del ala. Por otra parte, una gran parte del arrastre, se debe a
la fricción viscosa entre el fluido y la superficie del aeroplano. Ambos, la sustentación y el
arrastre, dependen en gran medida de la forma de las alas y del fuselaje . Un volumen
de control grande no puede dar una visión específica de cómo se pueden diseñar estas formas. Se requiere considerar el comportamiento local del flujo, y esto sólo se puede obtener
mediante volúmenes de control muy pequeños o elementos de fluido . Esta aproximación
conduce a un conjunto de ecuaciones diferenciales que describen con todo detalle el movimiento del fluido.
Estas ecuaciones se pueden obtener directamente de su forma integral. Esto se demuestra en la sección A-A. 1O. Aquí, se derivan usando volúmenes de control pequeños, fi jos, lo que significa que se adopta una descripción euleriana del campo de flujo. Para
empezar este análisis, es necesario expresar la rapidez de cambio de la velocidad, densidad
y presión de una partícula de fluido en el sistema euleriano.
6.1 RAPIDEZ DE CAMBIO SIGUIENDO UNA PARTíCULA DE FLUIDO
¿Cómo describiremos el desplazamiento, la velocidad y la aceleración de un fluido? Como
se indicó en la sección 3.2, hay dos posibilidades: el sistema lagrangiano y el sistema euleriano. En el primer sistema seguimos las partículas de fluido, que son de masa fija, mientras que en el segundo, se busca una descripción de "campo" que proporciona todos los
detalles del campo de fluj o completo en cualquier posición y tiempo, en vez de seguir partículas individuales de fluido.
Para aplicar las leyes de Newton de la mecánica y otros principios como la conservación de la masa, es necesario hacer referencia a cantidades bien definidas de masa, es decir, partículas de fluido. Por lo tanto, un sistema lagrangiano puede ser más adecuado que
un sistema euleriano para desarrollar la ecuación del movimiento de un fluido. Por otra
200
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6.1
RAPIDEZ DE CAMB IO SIGUIENDO UNA PARTíCULA DE FLU IDO
201
parte, una descripción completa del campo de flujo en un sistema lagrangiano requiere seguir una gran cantidad de partículas de fluido por lo que en general es más fácil adoptar un
punto de vista euleriano.
Para hacer útil la representación euleriana es necesario encontrar una forma para expresar la rapidez de cambio de las propiedades de una particula de fluido de masa fija en
coordenadas eulerianas. La derivada total propor-ciona el enlace necesario entre las descripciones lagrangiana y euleriana para volúmenes de control pequeños y fijos , de la misma forma que el teorema del transporte de Reynolds (sección 5.4) proporciona el enlace
entre las dos descripciones para volúmenes de control grandes y fijos.
En el sistema euleriano, la densidad y la velocidad son funciones de cuatro variables
independientes: x, y, z y t. En coordenadas cartesianas
p =p(x, y, z, t)
y
v
= ui +vj+wk
donde u = u(x, y, z, t), v = v(x, y, z, t) y w = w(x, y, z, t) son las componentes de la velocidad en las direcciones x, yy z.
Considere una partícula de fluido conforme se mueve una distancia Llx, ~yy fu en el
espacio durante un tiempo ~t. La velocidad cambia por una cantidad ~V Y por la regla de
la cadena para la diferenciación
~V
Dividiendo entre
av
at
=-
~t
av
av
Llx + ax
ay
+-
~y +
av
fu
az
-
~t
~V
av av Llx av ~y av fu
--=-+--+- - + - ~t
y conforme
~t
at
ax
~t
ay
~t
az
~t
se aproxima a valores pequeños
(~ ls aa~ ~~ ls~: ls
=
+(
+( :
aa: + (
~;
ls
aa:
donde hemos identificado las derivadas que pertenecen a las propiedades de la partícula de
fluido (el "sistema"). El siguiente cambio se usa para representar la rapidez de cambio con
el tiempo de un sistema
así que
DV av
av
av
av
- - = - + u -+v - +wat
ax
ay
az
Dt
(6.1)
puesto que u = dx/ dt, etcétera. El símbolo especial D / DT representa la derivada total, esto
es, la derivada de mia cantidad del sistema que depende de tres variables espaciales, así
como del tiempo. En coordenadas cartesianas
D
a
a
a
a
-= - +u - +v-+wDt at
ax
ay
az
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(6.2)
202
cAPiTULO 6
FIGURA 6-1
ECUACIONES DIFERENCIALES DEL MOVIMIENTO
Flujo permanente en un conducto convergente .
El primer término en la definición de la derivada total representa la variación con el tiempo
en un punto dado. Se llama la parte local de la derivada total y es la única fuente de variación en un campo que es uniforme en el espacio. Cuando el flujo es transitorio, la parte local es distinta de cero. En otras palabras, si la derivada parcial de la velocidad, presión, o
densidad con respecto al tiempo es distinta de cero, el campo de flujo es transitorio.
Los últil'nos tres términos en la definición de la derivada total representan la variación
en el espacio y se le llama la palie convectiva de la derivada total. En un campo de flujo no
uniforme, la velocidad puede variar en las tres direcciones. Conforme una partícula de
fluido pasa a través de un punto dado, su velocidad cambia en respuesta a la variación espacial de la velocidad. La rapidez a la que cambia su velocidad dependerá de los gradientes
espaciales de ésta y la velocidad a la que se desplaza de lID lugar a otro.
Considere un flujo permanente, de densidad constante en un conducto convergente
(figura 6-1). La velocidad en el punto A no varía con el tiempo, pero la velocidad en el
punto B es mayor que en el punto A porque el área de la sección transversal es menor. Por
10 tanto, una partícula de fluido experimenta una aceleración al moverse del punto A al B;
esta palie de la aceleración la describe la aceleración convectiva. Si el flujo másico en el
conducto también fuera transitorio, la velocidad en cada punto cambiaría con el tiempo y
la posición, de modo que habría una contribución adicional de la aceleración local.
Así, la derivada total proporciona información de la rapidez con la que cambian las
propiedades de las partículas de fluido, si el campo de flujo se expresa en un sistema euleriano. De hecho, es la rapidez de cambio siguiendo una partícula de fluido y, por lo tanto,
también se denomina derivada de partícula, derivada sustancial o derivada material.
Puede emplearse para un vector o un escalar y para encontrar la rapidez de cambio de velocidad, densidad, presión o energía.
El símbolo DI Dt denota un "operador" que, cuando se aplica a la velocidad, proporciona la aceleración en un sistema euleriano. En ocasiones se escribe como
D
a
-=-+V·V'
Dt at
Es incorrecto pensar en V . V' como un producto escalar de dos vectores. Es mejor considerarlo como otro operador, de forma que en coordenadas cartesianas,
a
ax
a
ay
a
az
V ·V' =u-+v - +wLos productos escalares son conmutativos, lo cual significa que el orden de la multiplicación no cambia los resultados. En contraste, V . V' YV' . V no son lo mismo: uno es un operador y la otra una operación (sección A-A.9).
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6.1
RAP IDEZ DE CAMB IO SIGUIENDO UNA PARTíCULA DE FLUIDO
203
6.1.1 Aceleración en coordenadas cartesianas ·
La ecuación 6.1 expresa la aceleración total al seguir una partícula de fluido en coordenadas cartesianas. Como se analizó en la sección anterior, el primer término del lado derecho
es la aceleración local, o sea, la rapidez de cambio de la velocidad de una partícula de fluido en un punto dado debido a efectos transitorios. Los últimos tres términos del lado derecho constituyen la aceleración convectiva, que es la rapidez de cambio de la velocidad
debido a los cambios de posición de las partículas de fluido. Por lo tanto, la aceleración en
la ecuación 6.1 contiene derivadas en el tiempo y en el espacio del vector velocidad, V.
En un sistema cartesiano,
v
así que
ui + vj + wk
av = uai + 1. au + V-aj + J. av- + Wak
aw
-. + k -
-
y
=
at
at
at
at
at
at
at
av = uai- + 1
. au- + V -aj + J. av- + wak + kaw
-
-
ax
ax
ax
ax
ax
ax
ax
y así sucesivamente.
Los vectores unitarios i, j y k tienen magnitud y dirección constantes y sus derivadas
son cero. Es decir
av = i au + j av + k aw
at
y
at
at
at
av = I-+J-+
. au . av k -aw
-
ax
ax
ax
ax
y así en forma sucesiva.
Al unir todos los términos se obtiene
DV (au
au
au
au).
Dt = at + u ax + v ay + w az 1
av
av
av
av).J
+ -+u-+v-+w( at
ax
ay
az
aw waw) k
+ -aw + uaw
- +v-+
( at
ax
ay
az
(6.3)
que revela la verdadera complejidad de la aceleración en una descripción euleriana.
6.1.2 Aceleración en coordenadas cilíndricas
La forma del operador D / Dt depende del sistema coordenado. En un sistema de coordenadas cilíndrico
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204
CAPiTULO 6
ECUACION ES DIFERENC IALES DEL MOVIM IENTO
z
p
x
FIGURA 6-2
Sistema en coordenadas ci líndricas.
donde U r ' U e y uz son los componentes de velocidad en las direcciones e r , e e y e z (figura
6.2). Dado que
U
e=
de
-
dt
y
dz
u =z
dt
encontramos que
av + u av + ue av + u av
(6.4)
Dt at
ar r ae
az
Para encontrar la derivada av /ae, necesitamos recordar que e Y e e no son vectores constantes, pues dependen de ey sus derivadas no se anulan con respecto a e.
DV =
r
Z
r
Esto es
Cuando la coordenada ecambia una cantidad muy pequeña, de los vectores unitarios e r Y
ee cambian una cantidad de r y dee . En la figura 6.3, se observa que la dirección de de e es
opuesta a la de e r . Puesto que los triángulos abe y lmn son semejantes, la magnitud de de e
es de, y, por lo tanto
De manera similar,
y así tenemos
de,
¡(
,
........
a
FIGURA 6-3
e,
de
Rapidez de cambio de vectores unitarios en un sistema coordenado cil índrico.
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6.1
RAPIDEZ DE CAMBIO SIGUIENDO UNA PARTlcULA DE FLUIDO
205
y
ae
o -e
-=
ae
r
De esta forma, la aceleración en coordenadas cilíndricas, escrita en su forma completa,
está dada por
DV
Dt
-=
( -aU,. +U,.-+--+U
aU,. Uo aU,.
aU r uJ )e
z- - r
at
ar
r ae
az
r
auo
auo Uo auo
auo u,. Uo )
+ - +U,. - +--+u
z - + - - eo
( al
ar
r ae
az
r
au z
auz U au z
au
- +o- +u - z
+ -+u
,. ar
r ae
z az
( at
)
(6.5)
e
Z
EJEMPLO 6.1 Rapidez de cambio de la temperatura al seguir
una partícula de fluido
Dado el campo de velocidades euleriano y cartesiano V = 3i + 2xj y un campo de temperatura descrito por T = 4 y2 , encuentre la rapidez de cambio de la temperatura al seguir una
partícula de fluido .
Solución Es necesario encontrar la derivada total de la temperatura, es decir
DT aT
aT
aT
aT
- = - +u - +v - + wDt
at
ax
ay
az
Para estos campos particulares de velocidad y temperatura
aT =0
at
u aT =3 a4y2 =0
ax
ax
aT
a4y2
v - =2x-- =16xy
ay
ay
Por lo tanto
DT
-=16xy
Dt
•
EJEMPLO 6.2 Aceleración de una particula de fluido
Dado el campo de velocidades euleriano y cartesiano V = 2ti + xzj - t 2 y k, encuentre la
aceleración al seguir una partícula de fluido.
Solución Se requiere encontrar la derivada total de la velocidad, o sea
DV av
av av av
- = - + u -+v-+ w Dt
at
ax
ay
az
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206
CAPíTULO 6
ECUAC IONES DIFERENCIALES DEL MOVIMIENTO
Para este campo de velocidad en particular
av == a2t i + axz j _ at
at
at
at
2
at
y k == 2i + 0 - 2tyk
k]
2
at y
u -av == 2t [a2t.
- 1 + -axz.J - == 2t [O + zJ. - O] == 2 tZJ•
ax
ax
ax
ax
2
axz. at y ]
2
2
vav
- == XZ [a2t.
- 1 + - J - - - k == xz[O+O- t k] == -xzt k
ay
ay
ay
ay
av ==- t 2{a2t.
axz. at 2y ]
2"0
• O]
w- 1 + - J - - - k == - t .YL + xJ == -xyt 2·J
az
az
az
az
Por último,
DV == 2i _ 2tyk + 2tzj - xzt 2k - xyt 2 j == 2i + (2tz - xyt 2 )j - (2ty + xzt 2 )k
Dt
•
6.2 ECUACiÓN DE CONTINUIDAD
A partir de todo lo anterior ya es posible desarrollar la ecuación de continuidad, en su forma diferencial, para un sistema euleriano en coordenadas cartesianas. Considere un volumen elemental, dx dy dz (figura 6-4). En el punto O, a la mitad de la caja, en el instante t
u == uo,v == vo,w == wo y P == P o
Primero, se encuentra el flujo neto de salida por unidad de tiempo. Mediante una expansión en series de Taylor e ignorando términos de orden superior
En la cara abcd
p
P == P o - ( a ) dx
ax o 2
y
En la cara efgh
y
u == U o _ ( au) dx
ax o 2
dx
u == uo + (au)
ax o 2
p
p == p o + ( a ) dx
ax o 2
El flujo másico a través de la caja ~e puede enéontrar localizando el flujo másico en cada
una de sus seis caras y sumando el resultado. Empezamos con las caras abcd y efgh
flujo másico que entra a través de abcd en el tiempo dt == (pudA dt)abcd
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6.2 ECUACiÓN DE CONTINU IDAD
;,b~
207
_ _----?'lf
a~--i--"'-;'e
I
dy
d
FIGURA 6-4
nu idad.
:0.
---d:
I
//~;J._-d.x
g
/¡
Volumen de control elemental para desarrollar la forma diferencial de la ecuación de conti-
flujo másico que sale a través de efgh en el tiempo dl = (pu dA dl) efgh
+0 +(: ), ~ +(::)0 ~]
][u o
flujo neto a través de ubcd y efgh = [ uo( :
)0 + Po(
::)J
dydz di
dx dy dz di
= [a(Pu)] dx dydz dl
ax o
Para las otras caras es posible desarrollar expresiones similares
flujo neto a través de cdhg y abfe = [a(Pv)] dx dydz dl
ay o
flujo neto a través de cbfg y aehd = [a(PW) ] dx dydz dl
az
o
Al sumar las contribuciones en las seis caras se obtiene
flujo másico neto total en el tiempo dl = [a(pu ) + a(pv).t a(PW)] dx dydzdl
ax
ay
az
(el subíndice se omite porque el resultado no dependería del punto particular que se consideró). Éste debe ser igual a la disminución de la masa dentro de este volumen durante el
mismo intervalo (la masa se debe conservar), así que
a(pu) + a(pv) + a(PW)] dxdydzdl =-dxdydz ap dl
[ ax
ay
az .
.
. ' at ..
Esto es
a{pu)
a(pv) , a(pw)
"'fJp .
--+--+--=-ax
ay
az
al
(6.6)
En términos del operador de la divergencia (sección A.5), se tiene
I VPV =- ~ I
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(6.7)
208
cAPiTULO 6
ECUACIONES DIFERENCIALES DEL MOVIM IENTO
En forma alternativa, la ecuación 6.6 se puede expandir para dar
ap
au
ap
av
ap
aw
ap
u-+p-+v-+p-+w- +p - =- ax
ax
ay
ay
az
az
at
Entonces
au
ax
av
ay
aw
az
1 Dp
-+ -+-=- - o
p Dt
Ivv ~- H71
(6.8)
Las ecuaciones 6.7 Y6.8 son dos versiones de la ecuación de continuidad en forma diferencial. Puesto que están escritas en notación vectorial, son independientes del sistema de
coordenadas.
Por definición, un fluido incompresible es un fluido donde Dp/ Dt = O. En la ecuación
6.8, se observa que esto requiere V' . V = O. Es obvio que un fluido de densidad constante
es incompresible, pero es posible tener un fluido incompresible con densidad variable,
mientras que Dp/ Dt = O(como en un fluido estratificado, por ejemplo).
o
6.2.1 Formas particulares
En coordenadas cartesianas
a(pu)
ax
a(pv)
ay
a(pw)
az
ap
at
--+--+ - -=--
(6.9)
En coordenadas cilíndricas
1 a(rpu,.)
-
r
ar
1 a(pu ) a(pu z )
ap
+- - - e- + - -=- -
r
ae
az
at
(6.10)
EJEMPLO 6.3 Flujo incompresible
Detennine si el campo de velocidad euleriano V = 2xi + t 2 j es incompresible.
Solución Un campo de velocidad es incompresible si V' . V = O. Para el campo de velocidad cartesiano dado aquí
V' . V = au + av + aw = a2x + ~ = 2
ax ay az ax
ay
y, por lo tanto, este campo de flujo es compresible.
•
6.3 ECUACiÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
En esta sección se desarrolla la ecuación de la cantidad de movimiento en su forma diferencial. Cuando el fluido es no viscoso, la ecuación se llama ecuación de Euler o ecuación
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6.3 ECUAC iÓN DE LA CANTI DAD DE MOVIMIENTO
209
FIGURA 6-5 Volumen de control elemental para desarrollar la forma diferencia l de la ecuación de la cantidad de movimiento.
de la cantidad de movimiento para flujo no viscoso. Si el fluido es viscoso, la ecuación se
conoce como ecuación de Navier-Stokes. Empecemos con los fluidos no viscosos.
Considere un volumen de control fijo de tamaño infinitesimal (figura 6.5). A través de
las seis caras del volumen existe flujo y las fuerzas de superficie y cuerpo actúan en la partícula de fluido que ocupa el volumen en un tiempo particular. La única fuerza de superficie que se considera es la que producen las diferencias de presión y la única fuerza de
cuerpo considerada es la que origina la gravedad. El elemento de volumen dx dy dz es similar al que se usó para derivar la ecuación de continuidad, excepto que sólo se muestra
una cara, y ésta tiene una orientación arbitraria con respecto al vector gravitatorio g (esto
es, g puede tener componentes hacia adentro o hacia fuera de la página, así como estar en
ángulo respecto a los ejes x y y). El punto O está en el centro del volumen de control.
La fuerza en la dirección x, Fx ' tiene dos contribuciones: la fuerza debida a las diferencias de presión que actúan en las dos caras de área dy dz, y la componente x de la fuerza que
produce el peso del fluido dentro del volumen dx dy dz. Con una expansión en series de
Taylor alrededor del centro del volumen y despreciando los términos de segundo orden, se
obtiene
Fx =
[PO - ap I
ax o
dx ] dYdZ 2
[PO + ap I
ax o
dX ] dYdZ + Pog· i dxdydz
2
Es decir
donde gx es la componente x del vector gravitatorio, g. De manera similar, para las direcCIOnes yy z
Fy
=_ apl
dxdydz+Pogy dxdydz
ay o
Fz =-
apl
az
dxdydz+Pogz dxdydz
o
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210
CAPiTULO 6
ECUACIONES DIFERENCIALES DEL MOVIMIENTO
así que
F=F)+Fyj+Fzk
=_(i
ap
p
+ja +kap)+pgxi+pg j+pgzk
ax
ay
az
y
donde el subíndice desaparece, puesto que el resultado debe ser independiente de la ubicación particular elegida para el desarrollo. En términos del operador gradiente (sección
A-A.4), tenemos
F=-V'p+pg
Mediante la segunda ley de Newton del movimiento, F es igual a la rapidez de cambio de
la cantidad de movimiento al seguir una partícula de fluido. Para un campo de velocidad en
un sistema euleriano, la aceleración al seguir una partícula de fluido está dada por DV / Dt
y
la rapidez de cambio de la cantidad de }
{
movimiento al seguir una partícula
Por lo tanto
I
P!f5¡~-Vp+pg
d
DV
=p xdydzDt
I
(6.11 )
Esta es la forma diferencial de la ecuación lineal de la cantidad de movimiento lineal para
un flujo no viscoso en notación vectorial. Se llama ecuación de Euler y se cumple para flujos compresibles e incompresibles (ver la sección 15.7 para una nota histórica sobre Leonhard Euler). En palabras, la ecuación de Euler se puede escribir como
DV
pDt
-V'p
+
fuerza de inercia
(masa x aceleración)
fuerza de superficie que producen
las diferencias de presión
+
pg
fuerza de cuerpo debida
a la atracción gravitatoria
Todas las fuerzas son por unidad de volumen.
6.3.1 Ecuación de Euler en coordenadas cartesianas
Para continuar con el siguiente paso, es necesario presentar el concepto de función potencial. Sólo se definirá una función ifJ g de modo que
g=-gV'ifJ g
El vector V'ifJ g es un vector unitario que apunta en la dirección opuesta al vector g. El parámetro escalar ifJ g se llama función potencial y aquí representa altitud o elevación. El término "potencial" está claramente relacionado con la idea de energía potencial, que sólo
depende de la altitud. Si un cuerpo se mueve de un punto a a un punto b, su energía potencial no cambiará mientras que los dos puntos tengan la misma elevación. La gravedad se
llama campo de fuerza "conservativa", ya que la energía potencial de un cuerpo sólo depende de su elevación y no de la ruta que siga del punto a al b. La cantidad que mide el
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6.3 ECUACiÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
211
cambio de energía potencial es la elevación, la cual también es la función potencial asociada con el campo de la fuerza conservativa debido a la gravedad, <jJ g .
La ecuación de Euler puede, entonces, escribirse como
DV = _lvp + g =_ lVp_gv<jJ
p
p
g
m
Por lo tanto, en coordenadas cartesianas, se tiene
-
au
au
au
au
1 ap
a1> g
+ u- + v - + w- =---- g - at
ax
ay
az
p ax
ax
(6.12)
1 ap
a1> g
av
av
av
av
- + u-+ v - + w- =---- g - at
ax
ay
az
p ay
ay
(6.13)
aw
aw
aw
aw
1 ap
a1>g
-+ u- + v -+ w- = - - - - g -al
ax
ay
az
paz
az
(6.14)
6.3.2 Ecuación de Euler en coordenadas cilíndricas
En coordenadas cilíndricas tenemos
auy
auy ue auy
auy u~
1 ap
a1> g
- + u -+--+ u ---=---- g at
y ar
r ao
az
r
p ar
ar
(6.15)
Z
ue aU e
aU e
aU
aU e uyu e
1 ap
1 a1> g
-+
u - e + ---+
u -+
--=---- g- at
y ar
r (JO
az
r
pr ao
r ao
(6.16)
Z
au z + u au z + ue au z + u au z
al
y ar
r ao
z az
=_ l
ap _ g a1> g
p az
az
(6.17)
6.3.3 Ecuaciones de Navier-Stokes
Ahora se consideran los efectos de la viscosidad. En la sección 1.4.1 indicamos que el esfuerzo viscoso para un fluido newtoniano está dado por el coeficiente de viscosidad multiplicado por el gradiente de velocidad. Ahora es necesario agregar que esto es cierto, en
estricto sentido, sólo para flujo incompresible y el desarrollo siguiente también está restringido para flujo incompresible.
Cuando el único gradiente de velocidad que actúa es el gradiente de la componente x
de la velocidad en la dirección y (figura 6-6), el esfuerzo de corte principal es r yx =
¡..t(au/ ay), donde el subíndice yx denota un esfuerzo aplicado en la dirección x, está asociado con un gradiente de velocidad en la dirección y. Cuando la viscosidad es constante, la
fuerza resultante que actúa en el elemento que ilustra la figura 6-6 debida a este esfuerzo
viscoso está dada por
2
(
r yx + ar yx dY)dx dz - r yx dx dz = ar yx dx dydz = ¡..t a u dx dy dz
ay
ay
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ay2
212
CAPiTULO
6
ECUACIONES
DIFERENCIALES
DEL MOVIMIENTO
y
(
H~
D
f-dy
f----'"dx-
:/----U (y)
U
___
--FIGURA 6-6
t
Esta fuerza v
tener
dx dz
Flujo viscoso que muestra un elemento sujeto a esfuerzo cortante. Izquierda: la velocidad
U = U(y), de modo que
T
= T yx; derecha:
notación para el elemento de fluido.
Esto es, cuando (au/ay)es el único gradiente de velocidad y fl es constante, la fuerza resultante debida a la fricción viscosa en la dirección x, por unidad de volumen, está dada por!
ar yx
-=flay
a2u
ay2
De esta forma existirá una fuerza resultante sólo si el esfuerzo viscoso varía en el flujo, es
decir, cuando los gradientes del esfuerzo t yx' estén presentes. Si en el flujo el esfuerzo cortante es uniforme, las partículas de fluido se deformarán, pero no habrá fuerza resultante
por los esfuerzos viscosos. En otras palabras, el esfuerzo viscoso no contribuirá a acelerar
las partículas de fluido.
El esfuerzo normal que origina la rapidez de deformación elongacional también conduce a esfuerzos viscosos (sección 1.4). Un análisis similar al antes expuesto demuestra
que para un flujo donde (au/ax) es el único gradiente de velocidad y fl es constante, la fuerza resultante que produce la fricción viscosa en la dirección x, por unidad de volumen, está
dada por
ar xx
-=flax
a2u
6.3.4 Cond
ax2
En el caso general, donde los gradientes de velocidad se aplican en todas las direcciones, la
componente x de la fuerza viscosa por unidad de volumen en coordenadas cartesianas se
convierte en
Si los esfuerzos se expresan en términos de los gradientes de velocidad,
de la fuerza viscosa se hace
fl
Esta ecuaciói
de movimien
ma independ
nes 15.10 y
constante.'
Las ecus
existen soluc
es el términr
no lineal (01
soluciones a
cionales (cal
ción vale ce
actualidad e
flujo en una
do rápido. S
quieren, ma
completa de
esto es, no r
la componente
x
a2u a2u a2u)_
2
-. 2 +-+- 2 -pV u
( ax
ay2 az
donde V 2es el operador laplaciano (sección A.6). En notación vectorial, por lo tanto, la
fuerza viscosa total por unidad de volumen está dada por fl V 2 V. En coordenadas cartesianas
Las ecuacio
las condicir
que se dan e
Navier-Stol
de no desliz
superficie s
La ecuaciói
diciones de
ción de no
superficie s
puesto que
ecuación d
2
1
Las dimensiones de dT yx / ay son esfuerzo/longitud
= fuerza/área x longitud = fuerza / volumen.
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Un desarrollo
McDonald, pt
6.3 ECUACiÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
213
a v + _a v_ + __
av
V 2 V = __
2
2
2
aX2
ay2
az 2
Esta fuerza viscosa por unidad de volumen se puede sumar a la ecuación de Euler y obtener
I P~ =- Vp + pg + ¡tV'V I
(6.18)
Esta ecuación Sé< conoce como ecuación de Navier-Stokes y es la ecuación de la cantidad
de movimiento para el flujo de un fluido viscoso. Navier y Stokes la desarrollaron en forma independiente a principios del siglo XIX (para algunas notas históricas ver las secciones 15.10 y 5.14). En esta forma, sólo se aplica a flujos incompresibles de viscosidad
constante. 2
Las ecuaciones de Euler y Navier-Stokes son no lineales, en derivadas parciales, y no
existen soluciones generales. La principal dificultad para la solución de estas ecuaciones
es el término de la aceleración, ya que involucra productos de la velocidad. Es decir, es
no lineal (observe, por ejemplo, que uau/ax puede escribirse como ~au 2 f ax). Sólo hay
soluciones analíticas en condiciones particulares, como en flujos incompresibles e irrotacionales (capítulo 7) o flujos completamente desarrollados, donde el término de la aceleración vale cero (capítulo 9). Para otros casos deben usarse técnicas numéricas, y en la
actualidad es casi siempre posible, por ejemplo, al resolver la ecuación de Euler para el
flujo en un avión a números de Mach transónicós, mientras no esté maniobrando demasiado rápido. Sin embargo, cuando se incluyen efectos viscosos, las soluciones numéricas requieren, mayor memoria y velocidad en las computadoras; las soluciones de la ecuación
completa de Navier-Stokes son a menudo posibles sólo a números de Reynolds pequeños,
esto es, no mucho mayores que el valor donde ocurre la transición turbulenta.
6.3.4 Condiciones de frontera
Las ecuaciones diferenciales del movimiento están completas una vez que se especifican
las condiciones de frontera. Sólo se analizarán las condiciones de frontera específicas
que se dan en presencia de una pared, ya que son las que más nos interesan. La ecuación de
Navier-Stokes incluye el esfuerzo viscoso, de modo que se debe satisfacer la condición
de no deslizamiento (sección 1.6). Esta condición significa que el fluido en contacto con la
superficie sólida no tiene velocidad relativa respecto a la superficie. Esto es, en la pared
(6.19)
La ecuación de Euler no incluye al efecto viscoso, por lo que no satisface las mismas condiciones de frontera que la ecuación de Navier-Stokes. En particular, no satisface la condición de no deslizamiento y se acepta el deslizamiento. Sin embargo, con respecto a la
superficie sólida, la velocidad del fluido normal a una superficie sólida debe llegar a cero,
puesto que no hay flujo a través de la superficie. Es decir, la condición de frontera para la
ecuación de Euler en la pared es
n· V = n· V )V
2
(6.20)
Un desarrollo más formal puede encontrarse en, por ejemplo, Introductiol1 lo Fluid Mechanics, 4a. ed. , por R. W. Fox y A. T.
McDonald, publicado por John Wiley & Sons, 1992.
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214
cAPiTULO 6
ECUACIONES DIFERENCIALES DEL MOVIMIENTO
EJEMPLO 6.4 Ecuación de Euler
Encuentre la componente x de la aceleración de un flujo no viscoso bajo la acción de un
gradiente de presión 'Vp = X 2 i + 2zj. La dirección x es horizontal.
Solución El flujo de un fluido no viscoso está descrito por la ecuación de Euler (ecuación 6.11).
DV
p-=-'Vp+pg
Dt
Consideramos la componente x para formar el producto punto con el vector unitario, i.
o sea
Di·V
. n
.
p - - = - l · VP+I·pg
Dt
Du
Dt
=_..!.. ap +0
p
ax
Para nuestro campo de flujo
Du
X2
Dt
p
•
EJEMPLO 6.5 Ecuación de Navier-Stokes
Considere el flujo permanente de un fluido viscoso en un conducto largo horizontal donde
V = ay 2 i. Encuentre el gradiente de presión correspondiente.
Solución El flujo de un fluido viscoso está descrito por la ecuación de Navier-Stokes
(ecuación 6.18).
pDV =-'Vp+pg+J1'V 2V
Dt
La aceleración para este flujo particular está dada por
DV =D(ay2)i =0
Dt
Dt
(los flujos cuya aceleración es cero se llaman completamente desarrollados). Dado que el
conducto es horizontal, la ecuación de Navier-Stokes se reduce a
0=-'Vp+J1'V 2V
El término viscoso se convierte en
y, por lo tanto
'Vp=2aJ1i
El gradiente de presión sólo tiene componente en x, y, por lo tanto, la presión sólo es función de x. Entonces
ap = dp =2aJ1
ax dx
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•
6.5 FLUJO UNIDIMENSIONAL TRANS ITORIO
215
6.4 *APLlCACIÓN AL MOVIMIENTO DE CUERPO RíGIDO
Cuando un fluido está en movimiento de cuerpo rígido, en su interior no hay movimientos
relativos (sección 2.11). Si el fluido se mueve como cuerpo rígido con una aceleración a,
entonces DV / Dt = a y la ecuación de la cantidad de movimiento (ecuación 6.11) queda
1
a =- -"ílp+g"ílz
p
o
"ílp = p(g"ílz - a)
donde z = - h, de manera que la dirección positiva de z va hacia abajo. Para la dirección z
se obtiene
ap = p(g-a )
az
Z
ya que la componente z de "ílz = k . "ílz = 1. Para la dirección x
ap
- =- pa
ay
x
que son las mismas ecuaciones que se obtuvieron en la sección 2.11 para el movimiento de
cuerpo rígido en el plano y-z.
Cuando la aceleración es cero, la ecuación de la cantidad de movimiento se reduce a
1
ü = --"ílp + g
P
o sea
"ílp = pg
de manera que "ílp está alineado con g y apunta en la misma dirección. Por lo tanto, el valor
máximo de la rapidez de cambio de la presión es en dirección del vector de la gravedad. En
el sistema de coordenadas que aquí usamos, donde g está en la dirección negativa de z, obtenemos
dp
- =- pg
dz
que es idéntica a la ecuación de la hidrostática. Así vemos que la ecuación de la hidrostática es sólo un caso especial de la ecuación de la cantidad de movimiento para un fluido con
aceleración cero y sin movimientos relativos.
6.5 FLUJO UNIDIMENSIONAL TRANSITORIO
Como ya se estableció en el capítulo 3, las formas unidimensionales de las ecuaciones de
continuidad y de cantidad de movimiento son muy útiles dado que son más fáciles de resolver que las ecuaciones completas y ayudan a desarrollar una visión fisica. Un flujo es
unidimensional si la velocidad sólo varía a lo largo de la dirección del flujo. Por lo tanto, se
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216
CAPíTULO 6
ECUACIONES DIFERENCIALES DEL MOVIMIENTO
puede decir que para un flujo unidimensional con densidad constante en la dirección x,
u= u(x), y v = w = O. Sin embargo, la ecuación de continuidad (ecuación 6.9) daría entonces au/ax = O. Es decir, la velocidad ues constante. Es obvio que ésta no es nuestra interpretación usual de flujo unidimensional.
Si primero consideramos que w = 0, entonces la ecuación de continuidad indica que
au + av =0
ax ay
y así para cualquier flujo donde el área del tubo de corriente varíe con x, de manera que
au/ax ::j:. 0, la velocidad v debe variar a través del tubo de corriente. Además, aun cuando u
°
es constante sobre el área del tubo de corriente, v no necesita serlo. Por ejemplo, en un flujo
divergente simétrico, v = en la línea central, pero v será positiva sobre la línea central y
negativa por debajo (figura 6-7).
Nuestra definición de flujo unidimensional puede hacerse más precisa como sigue.
Un flujo tiene un campo de velocidad unidimensional cuando la componente de la velocidad en dirección del flujo es constante en cualquier sección perpendicular al flujo.
6.5.1 Ecuación de continuidad
La ecuación diferencial de continuidad para flujos "cuasi" unidimensionales se puede encontrar aplicando la forma integral de la ecuación de continuidad.
;)pdV+fn'PVdA=O
(6.21)
(ecuación 5.3) al volumen elemental que muestra la figura 6-8.
En este caso, el área del conducto varía suavemente con la distancia sobre la línea de
corriente central y todas las propiedades del flujo como velocidad, presión y densidad pueden considerarse constantes en cualquier sección normal al flujo y sólo varían en dirección
del flujo x. Esta información se puede usar para simplificar la ecuación de continuidad. El
término transitorio en la ecuación 6.21 representa la rapidez de cambio de la masa dentro
del volumen de control. Dado que el volumen de control fijo
~fpdV = fap dV
at
at
=ap !(A +(A + aA dx ))dX
at 2
ax
~~=_}v>o
v= o
~~~ } v<ü
FIGURA 6-7
Flujo en un conducto divergente simétrico.
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6.5 FLUJO UNIDIMENSIONAL TRANSITORIO
217
ap
=- Adx
at
donde se usa la aproximación de que d\! es igual al área promedio multiplicada por la longitud del volumen de control y se desprecian los términos de orden mayor.
Para el término del flujo másico en la ecuación 6.21
f n . p V dA = - puA + (p + :
dx )( u +
;~ dx )( A + ~~ dx )
= pu-dx
aA
+ pA-dx
au + uA ~
'. x
ax
ax
ax .
= apuA dx
ax
..
donde u es la componente de la velocidad en dirección al flujo. Observe que v no contribuye al flujo másico en el área del tubo de corriente y, por lo tanto, no aparece en el resultado.
Entonces
ap
a
A~ +- (puA) =0
(6.22)
at ax
donde densidad, velocidad y área pueden variar con x y t. Para flujos permanentes (o con
densidad constante), esto se reduce a decir que el flujo de masa debe permanecer constante
a lo largo del tubo de corriente (sección 3.5).
6.5.2 Ecuación de la cantidad de movimiento
Para la ecuación unidimensional de la cantidad de movimiento se puede efectuar un análisis similar. La forma integral de la ecuación de cantidad de movimiento para el flujo no
viscoso con fuerzas de cuerpo despreciables a través de un volumen de control fijo (ecuación 5.16) está dada por
f
: ) pV d\! + (n· pV)V dA
= - f n pdA
(6.23)
Para el flujo que ilustra la figura 6-8 el término transitorio queda
f
f at
~ pud\! = apu d\!
at
x+dx
FIGURA 6-8 Volumen de control elemental para desarrollar la forma diferencial de las ecuaciones unidimensionales.
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218
cAPiTULO 6
ECUACION ES DIFERENCIALES DEL MOVIMIENTO
= apu !(A +(A + aA dx ))dx
at 2
ax
= A apu dx
at
En forma similar, el término del flujo de cantidad de movimiento en la ecuación 6.23 se
convierte en
f(o· pV)V dA = - f pu~ dA( + f pu; dA 2
2
=- PU A+(P + :dX
)(U + ~;dX J( A + ~~dX)
au
a'P
aA
=2puA - dx + u 2A - dx + pu 2 -dx
ax
ax
ax
= ~(pu2A)dx
ax
después que se ignoran los términos de orden superior.
La fuerza debida a las diferencias de presión es
-f opdA = f pdA( - f pdA2
= pA - ( P +
~~ dx )( A + ~~ dx )
=_ A ap dx
ax
La ecuación 6.23 entonces se reduce a
A apu + ~ (pu 2A) = _ A ap
at
ax
ax
Al expandir los términos
ap
au
a
au
ap
Au - + Ap - + u- (puA) + puA - + A - = o
at
at
ax
ax
ax
Esto es
ap a
) + Apau +puA-+A-=O
au
ap
u A-+-(puA)
( at ax
at
ax
ax
Usando la ecuación de continuidad (ecuación 6.22) para eliminar el término dentro del paréntesis se obtiene la forma unidimensional transitoria de la ecuación de cantidad de movimiento para flujos no viscosos y fuerzas de cuerpo despreciables
au
au 1 ap
-= u - +- ax p ax
at
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(6.24)
6.5 FLUJO UNIDIMENSIONAL TRANSITORIO
219
Este resultado también puede obtenerse de manera directa de la componente x de la ecuación de Eu1er (ecuación 6.12), recordando que para un flujo unidimensiona11a componente de la velocidad en dirección del flujo, u, sólo es una función de x.
6.5.3 *Ecuación de la energía
Por último se desarrolla la forma diferencial de la ecuación unidimensional transitoria de
la energía. La forma integral de la ecuación de la energía para flujo no viscoso a través de
un volumen de control fijo (ecuación 5.23) está dada por
Q+WjleCha
=~at fp(U+~V2 +gz)rN+ f(n'Pv)(u+.E.+~V2
+gZ)dA
p
(6.25)
IVI.
donde V =
El procedimiento para aplicar la ecuación en forma integral al flujo cuasi
unidimensional de la figura 6-8 es muy similar al de las ecuaciones de continuidad y de
cantidad de movimiento. El término transitorio se convierte en
1 2 +gz ) uv
J\-I
J\-I
ape dx
-a f p(u+-V
=a- f peuv
=Aat
2
at
at
A
después de ignorar términos de orden superior. De manera parecida, el término del flujo en
la ecuación 6.25 queda
f (o· PV)( u+: +~V' +gz }lA ~ f (o· pV)(e+ p,)dA
a
= - [puA(e+ pv)]dx
ax
El término de11ado izquierdo de la ecuación 6.25 será cero si no hay trabajo en la flecha y
no se transfiere calor (flujo adiabático). Entonces, la forma unidimensional transitoria de
la ecuación de la energía para flujos no viscosos, en ausencia de transferencia de calor y
trabajo en la flecha, está dada por
ape a
A-+-[puA(e+ pv)] =0
at
ax
(6.26)
(ver también la sección 4.7).
EJEMPLO 6.6 Campo de velocidad euleriano
Un campo de velocidad euleriano cartesiano está dado por V = ax 2 i - 2axyj.
a) ¿Es uni, bi o tridimensional?
b) ¿Es permanente o transitorio?
e) ¿Es incompresible?
d) Encuentre la pendiente de la línea de corriente que pasa por el punto [l, -1].
Solución Para los incisos a) y b), el campo de velocidad está descrito por dos coordenadas espaciales (x y y) y no depende del tiempo, de modo que es bidimensional y permanente.
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220
CAPíTULO
6
ECUACIONES
DIFERENCIALES
DEL MOVIMIENTO
Así
Para el inciso e) se tiene
au av oax2 a2axy
V· V=-+-=-----=2ax-2ax=0
ax ay
ax
ay
"
de manera qw
Por lo que el flujo es incompresible.
Para la parte d), a partir de la definición de línea de corriente, se sabe que su pendiente
en el plano [x, y] está dado por el ángulo a, donde
l'
•
Si se separan
v .-2axy -2y
tana=-=--=--=2
U
ax2
x
Por lo tanto, en el punto [1, -1] la línea de corriente forma un ángulo de 63.40 con el ejex .
Entonces
•
EJEMPLO 6.7
Flujo unidimensional
permanente
El amortiguador neumático del sistema de suspensión de un automóvil, que se llena con
gas, puede modelarse como el pistón en un cilindro con gas de densidad uniforme (figura
6-9).3 Conforme se mueve el pistón, el gas también se mueve y supondremos que la distribución de la velocidad en el gas es casi unidimensional y lineal, de manera que u = Vx/ L,
donde V es la velocidad del pistón, x la distancia medida desde el extremo cerrado del cilindro y L la posición del pistón desde el extremo cerrado. (Observe que esta distribución
de la velocidad satisface la condición de no deslizamiento: la velocidad en el extremo cerrado es cero y en la superficie del pistón es igual a la velocidad del pistón.) Si V == constante y si x = Lo, P = P o en t = O, encuentre la densidad como función del tiempo.
Solución
dada por
La forma unidimensional
de la ecuación de continuidad
(ecuación
6.9) está
a(pu) + ap =0
ax
at
Esto es
au
ap ap
p-+u-+-=O
ax
ax at
Ya que p
*- p(x)
dp
-=-pdt
u=v!..
_L
-ti
P = 18 kg/m3
V
au
ax
-
=12 mis
-L=O.15m-
3
6.1 Estable
ba el si:
6.2 Escriba
vj
+ wl
do cart
6.3 Establt
nes, yl
6.4 Escrib:
no vise
dos su:
6.5
ié'uan
6.6 Anote
a) fl
b) fl
Bscril
e)
d)
fl
f
6.7 ¿Para
incon
6.8 Para 1
dienn
f---x
FIGURA 6-9
PROBLEMAS
Amortiguador neumático lleno con gas.
Este ejemplo es adaptación de uno incluido en Introduction lo Fluid Mechanics, por R.W. Fox y A.T. McDonald, publicado
por John Wiley & Sons, 1992.
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6.9 Dada
v=y
a)
b)
PROB LEMAS
Así
u = V~
L'
221
au v
ax L'
de manera que
dp
V
- =-p--dt
Lo +VI
Si se separan las variables y se integra
Jpo Pdp JIoLo V+ Vt dt
p
= -
Entonces
•
PROBLEMAS
6.1 Establezca la definición de la derivada total. Defina todos los símbolos y notaciones, y describa el significado de todos los términos.
6.2 Escriba la componente x de la aceleración de una partícula de fluido dado que V = ui +
vj + wk, donde V es la velocidad e i, j y k son los vectores unitarios en un sistema coordenado cartesiano.
6.3 Establezca la ecuación de continuidad en forma .diferencial. Defina sus símbolos y notaciones, y explique el significado de todos sus términos.
6.4 Escriba la forma diferencial vectorial de la ecuación de cantidad de movimiento para un flujo
no viscoso incompresible. Defina sus símbolos y notaciones, y explique el significado de todos sus términos.
6.5 ¿éuándo un flujo está en régimen permanente y cuándo es incompresible?
6.6 Anote la forma diferencial de la ecuación de continuidad para:
a) flujo en régimen permanente,
b) flujo con densidad constante.
Escriba la forma integral de la ecuación de la continuidad para:
e) flujo en régimen permanente,
d) flujo con densidad constante.
6.7 ¿Para el campo de velocidad descrito por V
incompresible?
= 2x 2i
- zyk, el flujo es bi o tridimensional? ¿Es
6.8 Para un campo de flujo euleriano descrito por u = 2xyt, v·= ix/3, w
diente de la línea de corriente que pasa por el punto [2, 4 J en t = 2.
= 0, encuentre la pen-
6.9 Dada la descripción euleriana del flujo bidimensional (en coordenadas cartesianas): u = 2xyt,
v = y3x / 3, w = O.
a) Encuentre la rapidez de cambio de la densidad para una partícula en función dex, yy t.
b) Encuentre la componente x del vector de aceleración como función de x, y y t.
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222
CAPíTULO
6
ECUACIONES
DIFERENCIALES
DEL MOVIMIENTO
6.10 Un campo de velocidad está descrito (en coordenadas cartesianas) por u = 2 - x3/3, V=X2yzt, w = O.
a) Escriba la componente y de la aceleración de una partícula de fluido (en el sistema euleriano) para este campo de flujo.
b) ¿Este campo de flujo es incompresible?
= 4x
t '
v = y2
t '
W
=O P=3+
,
x
Encuentre la rapidez de cambio de la densidad para una partícula de fluido de dos maneras diferentes. ¿Es posible este campo de flujo?
+
6z2x)i
+
6.13 Dado el campo de flujo (en coordenadas cartesianas): u = 2x, v = 16(y + x), w = O,p = at2 +
xy, encuentre la rapidez de cambio de la densidad de una partícula de fluido con respecto al
tiempo t de dos formas. ¿Es posible este campo de flujo?
6.14 Considere el campo de velocidad siguiente (en coordenadas cartesianas): u=xt+2y, v=xt2yt, w=o. ¿Este flujo es incompresible?
6.15 El campo de flujo (expresado en coordenadas cartesianas)V=(2x2-xy+z2)i+(x2-4xy+
y2)j + (_2xy _ yz + y2)k es incompresible o compresible?
6.16 Un campo de velocidad cartesiano está definido por V = 2xi + 5 yz2j - t3k. Encuentre la divergencia del campo de velocidad. ¿Por qué esta cantidad es importante en la mecánica de
fluidos?
6.17 Dada la siguiente descripción euleriana del flujo (en coordenadas cartesianas): u =2xt,
v = y2X/2, w = O
a)
b)
e)
t"
¿De qué dimensiones es el campo de flujo?
Encuentre la rapidez de cambio de la densidad (por unidad de masa) para una partícula
de fluido como función de x, y y t.
Encuentre la componente x de la aceleración como función de x, y y t.
6.18 Para el campo de velocidad dado por V = 6xi - 2yzj + 3k determine, dónde es incompresible
el campo de flujo.
6.19 Un campo de velocidad particular en coordenadas cartesianas está definido por V = - 2x2i +
+ 3k.
a) ¿Este flujo es compresible o incompresible?
b) . Encuentre la aceleración del fluido en el punto (1, 3, O).
e) Encuentre el flujo volumétrico a través del área A que muestra la figura P6-l9.
d) ¿Cuáles son las dimensiones del flujo volurnétrico?
4xyj
y
A
(O, 3, O)'.,.J--;f--~(1,
""--..,--'Í(
(0,3,4)
3, O)
1, 3, 4)
x
Encu
b)
Encu
6.21 Un carnp:
¿El e
¿Elc
e) Enct
d) ¿El (
!.-
6.12 Un campo de flujo está descrito (en sistema coordenado cartesiano) por V = (~
(y2 _ 4xy)j - (2z3 + 2yz )k. ¿Este campo de flujo es incompresible?
a)
a)
b)
6.11 Un campo de flujo está descrito (en sistema coordenado cartesiano) por
U
6.20 Para el caí
6.22 Dada la
v=
y\/:
¿El I
¿El
¿Esl
d) Ene
a)
b)
e)
6.23 Un camj
a) ¿El
b) ¿El
e) ¿Es
d) Ene
e) Enc
6.24 Dada la
w=-Z'
1
¿El
¿El
e) ¿El
d) Enl
a)
b)
6.25 Dada la
w=3.
¿E
¿E
e) ¿E
d) Eu
a)
b)
6.26 Unean
a) ¿E
b) ¿E
e) El
d) El
6.27 Un can
a) ¿I
b) ¿l
e) ¿l
d) E
e)
E
d
FIGURA P6-19
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PROBLEMAS
223
6.20 Para el campo de velocidad cartesiano V = 2x 2 yi + 3j + 4 yk
a) Encuentre ~p DD'P.
I
b)
Encuentre la rapidez de cambio de la velocidad para una partícula de fluido .
6.21 Un campo de velocidad cartesiano está definido por V = 3x2i + 4 zxtk.
a) ¿El campo de flujo está en régimen permanente?
b) ¿El campo del flujo es bi o tridimensional?
e) Encuentre la rapidez de cambio de la velocidad para una partícula de fluido.
d) ¿El campo de flujo es incompresible?
6.22 Dada la siguiente descripción euleriana del flujo (en coordenadas cartesianas): u = 2xyt,
v = y3x / 3, w = O.
a) ¿El campo de flujo es uni, bi o tridimensional?
b) ¿El flujo está en régimen permanente?
e) ¿Este flujo es incompresible?
d) Encuentre la componente x del vector de aceleración.
6.23 Un campo de velocidad está descrito (en coordenadas cartesianas) por V = 2xyi - 3y2j.
a) ¿El campo de flujo es incompresible?
b) ¿El flujo está en régimen permanente?
e) ¿Este campo de flujo es uni, bi o tridimensional?
d) Encuentre el ángulo de la línea de corriente que pasa por el punto (3 , - 2).
e) Encuentre la aceleración del campo de flujo.
6.24 Dada la siguiente descripción euleriana del flujo (en coordenadas cartesianas): u=2, v = yz 2t,
w = - z3t / 3.
a)
b)
e)
d)
¿El flujo es uni, bi o tridimensional?
¿El flujo está en régimen permanente?
¿El flujo es incompresible?
Encuentre la componente z del vector de aceleración.
6.25 Dada la siguiente descripción euleriana del flujo (en coordenadas cartesianas): u = xyz, v = t 2 ,
w=3.
a) ¿El flujo es uni, bi o tridimensional?
b) ¿El flujo está en régimen permanente?
e) ¿El flujo es incompresible?
d) Encuentre la componente x del vector de aceleración.
6.26 Un campo de velocidad está descrito por V = 2xyzi - y 2zj .
a) ¿El flujo es uni, bi o tridimensional?
b) ¿El flujo está en régimen permanente?
e) Encuentre la aceleración en el punto [1, - 1, 1]
d) Encuentre la pendiente de la línea de corriente que pasa por el punto [1, -1, 1].
it
6.27 Un campo de flujo euleriano descrito en coordenadas cartesianas por V = 4i + xzj + 5 k .
a) ¿Es compresible?
b) ¿Está en régimen permanente?
e) ¿El flujo es uni, bi o tridimensional?
d) Encuentre la componente y de la aceleración.
e) Encuentre la componente y del gradiente de presión si el flujo es no viscoso y se puede
despreciar la gravedad.
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224
CAP1TULO 6
ECUACIONES DIFERENCIALES DEL MOVIMIENTO
6.28 Un flujo está descrito (en coordenadas cartesianas) por u = 2 - x 3 / 3, v =
a)
b)
e)
X2 y
- zt,
W
= O.
¿El flujo es bi o tridimensional?
Escriba la componente x de la aceleración.
¿Este campo de flujo es incompresible?
6.29 Para un flujo bidimensional incompresible la componente x de la velocidad está dada por
u = xy2. Encuentre la componente y más sencilla de la velocidad que satisfaga la ecuación de
continuidad.
6.30 Encuentre la componente y de la velocidad de un flujo incompresible bidimensional, si la
componente x está dada por u = 15 - 2xy. A lo largo del eje x, v = O.
6.31 El flujo de un fluido incompresible en coordenadas cilíndricas está dado por
ue =( 1 +
~ )sen e - ~
Encuentre u,., si u,. es cero en r = 2 para toda e; el flujo no depende de z.
6.32 La velocidad en un flujo compresible unidimensional está dada por u = IOx 2 . Encuentre la variación más general de la densidad con x.
6.33 Las componentes x, y y z de un campo de velocidad están dadas por u = ax + by + cz,
v = dx + ey + fz , w = gx + hy + jz. Encuentre la relación entre los coeficientes a hasta j, si el
campo de flujo es incompresible.
6.34 Para un flujo en el pl<!nox-y, la componente yde la velocidad está dada por v = y 2 - 2x + 2y.
Encuentre una posible componente x para un flujo incompresible en régimen permanente.
¿También es válida para flujo transitorio incompresible? ¿Por qué?
6.35 La componente x de la velocidad en un campo de flujo en régimen permanente, incompresible
en el plano x- y es u = A / x. Encuentre la componente y más sencilla de la velocidad en este
campo de flujo.
6.36 Un cojinete de aire se construye con un disco circular que emite aire desde muchos agujeros
pequeños en su superficie inferior.
a)
b)
Encuentre una expresión para la velocidad radial bajo el cojinete, suponiendo que el flujo es uniforme, permanente e incompresible.
El cojinete flota 1.5 mm sobre una mesa y el aire fluye a través del cojinete con una velocidad promedio de 2 mis. Si el cojinete tiene 1 m de diámetro, encuentre la magnitud y
ubicación de la aceleración radial máxima que experimenta una partícula de fluido en la
separación.
6.37 Demuestre que la distribución de velocidad en el flujo de Couette lineal que ilustra la figura
1-20 es una solución exacta de la ecuación incompresible de Navier-Stokes (la presión es
constante en todas partes). Encuentre todas las componentes del esfuerzo viscoso para este
flujo .
6.38 Un fluido incompresible fluye en un conducto horizontal, de forma que
V =~
(l- ft )
dondeVo es la velocidad de entrada enx = Oy f la longitud del conducto. Encuentre el cambio
de presión a lo largo del conducto cuandoUo = 5 mis y f = 3.0 m. Suponga que la componente de la velocidad en dirección del flujo es uniforme en todas las secciones transversales.
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PROBLEMAS
225
6.39 Un tubo de 1 pie de diámetro transporta un flujo transitorio de agua. El tubo está conectado a
una tobera de 0.5 pie de diámetro que descarga a la atmósfera. Encuentre la velocidad y la
aceleración de la corriente paralela que sale de la tobera cuando la velocidad y la aceleración
en el tubo son 10 pie/s y 2 pie/s 2 , respectivamente; suponga flujo unidimensional.
6.40 El flujo transitorio en un conducto bidimensional con 1 m de anchura pasa a través de una reducción como ilustra la figura P6-40. En cierto instante, el flujo volumétrico es de 1.5 m 3/s y
aumenta con una rapidez de 1 m 3/s 2 . Para un flujo cuasi unidimensional incompresible encuentre la aceleración del fluido.
a)
b)
En la salida de la reducción.
A la mitad, a 10 largo de la reducción.
_-._--1hb_= 60 cm.
h¡=40cm
h, =20cm
Figura P6-40
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7
FLUJOS INCOMPRESIBLES
IRROTACIONALES
CAPÍTJJLO
Cuando el número de Mach es pequeño o cuando el fluido es un líquido, con frecuencia suponemos que el flujo es incompresible. Entonces, el comportamiento del flujo se describe
por completo con la ecuación de continuidad del flujo incompresible
V·V=O
y la ecuación de Navier-Stokes
DV
In
n2
=- -vp + g+vv V
Dt
p
junto con las condiciones de frontera apropiadas como V = V w (sección 6.3.4) . Aunque
estas ecuaciones son complejas y difíciles de resolver es posible encontrar soluciones en
ciertas condiciones. En especial, es posible resolver las ecuaciones cuando el flujo es irrotacional y en este capítulo se estudian algunas soluciones particulares para flujos irrotacionales incompresibles.
¿Qué significa irrotacional? Si un flujo es irrotacional, no significa que el flujo no
esté rotando: un flujo irrotacional puede estar en movimiento rectilíneo o rotatorio, de
acuerdo con algún marco de referencia. Lo importante es la rotación de las partículas del
fluido y
Un flujo es irrotacional si la velocidad angular promedio de cada partícula de fluido es
cero.
Aquí se demuestra que esto ocurre cuando el rotacional de la velocidad es cero, esto es,
cuando V x V = 0.
Cuando el flujo es irrotacional, el campo de velocidad vectorial se puede expresar en
términos de una función escalar, ep, llamada funciónpotencial de velocidad. Como se verá,
ésta simplifica en gran medida la ecuación de movimiento. Las líneas de potencial de velocidad constante son como las líneas de contorno de un mapa, el flujo se mueve de un potencial mayor a uno menor y la magnitud de la velocidad se incrementa conforme las
líneas equipotenciales se acercan unas a otras. Si el flujo también es incompresible, la función ep puede encontrarse resolviendo una ecuación diferencial parcial lineal (ecuación de
Laplace, V 2ep = O), que permite encontrar soluciones analíticas para diversos casos útiles
de flujos.
En ocasiones, si el flujo es incompresible y bidimensional, la velocidad se puede expresar en términos de otra función escalar, 'ljJ, llamadafunción de corriente. Las líneas de 'ljJ
constante corresponden a líneas de corriente. Si el flujo también es irrotacional, la función
'ljJ puede encontrarse con otra ecuación de Laplace, V 2'ljJ = O.
226
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7.1 VORTI CIDAD y ROTAC iÓN
227
Para saber si un flujo es irrotacional o no, es necesario entender la función de los esfuerzos viscosos. En particular, cuando los esfuerzos viscosos son importantes, el flujo
será rotacional (o sea, no irrotacional). Los flujos de capa límite, los flujos totalmente desarrollados en tubos y conductos, las estelas y capas de cortante libres en interfaces de fluidos son rotacionales. Sin embargo, fuera de estas regiones viscosas, el flujo con frecuencia
es irrotacional. Por ejemplo, el flujo sobre un cuerpo de forma aerodinámica como un ala,
es rotacional dentro de la capa límite y la estela, pero irrotacional en el resto del campo del
flujo.
Para los flujos irrotacionales, a menudo se usan los potenciales de velocidad y las funciones de corriente para encontrar la solución de las ecuaciones de movimiento. No obstante, es claro que sólo podemos encontrar soluciones para los flujos no viscosos. Dado
que la viscosidad es responsable de la pérdida de energía mecánica en el sistema, no es posible encontrar la fuerza de arrastre que actúa en el ala. Sin embargo la fuerza de sustentación se debe en general, a la diferencia de presiones entre las superficies superior e inferior
del ala, la cual no se afecta de manera significativa por la presencia de las capas límite y la
estela (excepto en el sentido de que ayudan a establecer las condiciones de frontera), de
manera que cuando la viscosidad se ignora y se supone irrotacionalidad, con frecuencia la
distribución de presión puede encontrarse con buena precisión. En forma similar, el flujo
tridimensional a través de un conducto se puede calcular con buena aproximación al suponer flujo irrotacional, mientras que las capas límite sean delgadas (el flujo debe estar lejos
de ser un flujo completamente desarrollado) y que el flujo no se separe.
7.1 VORTICIDAD y ROTACiÓN
La rotación de una partícula de fluido está definida por el vector de rotación OJ, que es la
velocidad angular promedio de dos líneas al principio perpendiculares "anexadas" a la
partícula de fluido. Considere una partícula de fluido en un flujo con gradientes de velocidad en todas las direcciones. En un tiempo corto, dt, la partícula al principio cuadrada, se
moverá y distorsionará en el plano x- y como muestra la figura 7-1. Para la partícula que se
ilustra, la componente de la rotación angular promedio respecto al eje z está dada por
1- (da - d(3). Por lo tanto
1
= -(da - d(3)
2dt
y
L - - - - - - -_ x
FIGURA 7.1
Rotación de una partícula de flu ido.
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228
CAPíTULO 7
FLUJOS INCOMPRESIBlES
IRROTACIONAlES
Los fluidos'
Cerca de la super
Para simplificar
vector vorticidac
Para ángulos pequeños
da "" tan da
l' •
=
(v O + ~
I
o
dx) dt - Vo dt
Bv
=-
lo dx )dt
dx - Uo dt + (uo + ~
Bx
I
o
dt
El término (Bu/Bx)o dxdt es de segundo orden y, por lo tanto, se desprecia. De manera similar se puede demostrar que
,
1,1
Puesto que el es]
líneas de corrien
superficie, de m
y así BvlBx *0.,
Es decir, el flujo
cercana a la sup:
lante, el vector e
escalar 0, que p
que se conoce 1
noulli si el flujo
tiene el mismo,
tacional (secció
df3 "" tan df3 = -Bu I dt
By o
¡I'"
Eliminando
el subíndice, dado que la ubicación del origen es arbitraria, resulta
W z = ~ ( ~: - ~~)
De igual forma, para la rotación alrededor de las direcciones y y x
w
y
_!(BU _ BW)
2 Bz Bx
y
7.2 EL POlENC
La condición d
(ecuación 7.3):
Por lo tanto
Iw
= ~ V' x V = vector rotación
I
(7.1)
Cuando w = 0, la velocidad angular promedio de la partícula de fluido es cero y el flujo es
irrotacional. El factor ~ se suprime al definir un vector vorticidad de manera que
IQ
= 2w = V'
esto es, el rotacional del campo de velocidad
V' x V = 0, y el flujo es irrotacional.
En coordenadas cartesianas
,tll
~'I
xV
I
es la vorticidad.
Es posible satis
(7.2)
Cuando
V' x V = (BWBy _ BvBz )i _ (BWBx _ BuBz )i + (BVBx _ BuBy )k
w
= 0, entonces
(7.3)
así que
y así sucesivar
el orden de dif
dad puede ese
Esto suele escribirse de manera compacta mediante el determinante
V'xV=
JL
ax
u
i
k
JL
JL
ay
v
az
W
(ver la sección A.7).
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Se observa qu
gradiente de l
7.2 EL POTE NCIAL DE VELOCIDAD 1>
229
Los fluidos viscosos en contacto con superficies sólidas no pueden ser irrotacionales.
Cerca de la superficie se forma una capa límite y dentro de esta capa el flujo es rotacional.
Para simplificar se considera una capa límite bidimensional como la de la figura 1-16. El
vector vorticidad sólo tiene una componente, dada por
Vx V= (avax _ auay )k
Puesto que el espesor de la capa límite crece con la distancia a lo largo de la superficie, las
líneas de corriente dentro de la capa límite se desplazan de manera gradual alejándose de la
superficie, de modo que, además del gradiente de velocidad principal au/ ay, v varía con x,
y así av /ax ;j:; O. Ahora, av /ax es pequeño comparado con au/ ay de manera que V x V ;j:; O.
Es decir, el flujo en la capa límite es rotacional. Sin embargo, fuera de esta región estrecha
cercana a la superficie, el flujo puede considerarse irrotacional. Como se muestra más adelante, el vector de velocidad en esa región se puede representar en términos de una función
escalar 0, que permite encontrar la distribución de la velocidad en todas partes. Una vez
que se conoce la velocidad, es posible encontrar la presión mediante la ecuación de Bernoulli si el flujo es permanente e incompresible. La constante de Bemoulli (sección 4.7.3)
tiene el mismo valor a lo largo y a lo ancho de las líneas de corriente, ya que el flujo es irrotacional (sección 4.2).
7.2 EL POTENCIAL DE VELOCIDAD fjJ
La condición del flujo irrotacional (V x V = O) significa que, en coordenadas cartesianas
(ecuación 7.3):
au av av aw
ay ax' az ay
y
aw au
ax az
(7.4)
Es posible satisfacer estas ecuaciones definiendo una función potencialep, de manera que
aep
ax
U = -,
así que
v=
aep
ay
au _ a2 ep
ay axay'
y
w=
aep
az
av _ a2 ep
ax ayax
y así sucesivamente. Por lo tanto, la función ep siempre satisfará la ecuación 7.4, dado que
el orden de diferenciación no importa mientras ep sea continua. En términos de ep la velocidad puede escribirse como
V=
. + vJ. + w k =
UI
aA-.. + _aA-..
aA-._. k
'1-'
_ J + _ '1-'
_ '1-'
_ 1
ax
ay
az
Se observa que para flujos irrotacionales siempre es posible escribir la velocidad como el
gradiente de una cantidad escalar, es decir
I V = Vep I
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(7.5)
230
CAPíTU LO 7
FLUJOS INCOMPRESIBLES IRROTACIONAlES
En coordenadas cilíndricas, la condición para flujo irrotacional requiere que
1 Buz
Bu
BU r = Buz
o
- - - = -,
r
az
BO
az
ar
y
Bru o = BUr
ar
ao
Estas ecuaciones se satisfacen cuando
aep
Br'
u =r
U
1 aep
o= -r aO
y
aep
az
u =z
y de nuevo se obtiene
Es posible comparar ep con el potencial gravitatorio definido por
g =- g'Vepg
(sección 6.3.1), donde la función potencial ep g se identificaba con la altitud o elevación.
De forma similar, ep es una función potencial y se llama potencial de velocidad. En ocasiones los flujos irrotacionales se denominan flujos potenciales, porque la velocidad se puede
definir en términos de una función potencial.
El uso de la función ep tiene dos ventajas principales.
1. El flujo se puede describir por completo mediante la función escalar ep, en vez de
tres funciones separadas, u, v y w.
2. La función ep puede determinarse con una ecuación lineal, como se demostrará, de
modo que a partir de la adición lineal de campos de flujo simples se pueden construir campos de flujo complejos.
7.3 LA FUNCiÓN DE CORRIENTE l/J "
Para un flujo bidimensional e incpmpresible (que puede ser transitorio y/o rotacional) la
ecuación de la continuidad en cdflrdenadas cartesianas está dada por
t
au + a¡~o
ax ay
Se puede definir una función 'I/J de modo que
a'I/J
u =-
ay
y
v = _ a'I/J
ox
y, por lo tanto
a:( :~ )+ :y(-:~ )=0
Observe que la función 'I/J se definió de modo que la ecuación de continuidad siempre se
satisface. En términos de 'I/J la velocidad puede escribirse como
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7.4 FLUJOS DON DE EXISTEN 1/J y </> EN FORMA SIMULTÁN EA
231
.
. a·". a·".
V = UI + VJ =_'t'_1 __'t'_ J
ay
ax
Así, para flujos bidimensionales e incompresibles el campo de velocidad vectorial puede
describirse por una función escalar sencilla 1jJ, en vez de tres funciones separadas u, v y w.
Se demostrará que para los flujos irrotacionales 'JI puede encontrarse con una ecuación lineal. De este modo, 1jJ es similar acp. Además, 1jJ tiene una propiedad básica: las líneas de1jJ
constante son líneas de corriente del flujo. La función 1jJ, por lo tanto, se llamafunción de
corriente.
Para ilustrar este aspecto, se puede escribir
a1jJ
d1jJ = a1jJ dx+
dy
ax
ay
=- vdx
+ udy
Cuando 1jJ es constante, dljJ = O. Entonces
dy
u
dx
v
(7.6)
lo cual muestra que las líneas de 1jJ constante tienen una dirección tangente a la dirección
instantánea del flujo. Así, las líneas de 1jJ constante son líneas de corriente.
Una función de corriente también puede definirse para un sistema de coordenadas cilíndricas. En coordenadas cilíndricas, la ecuación de continuidad para un flujo incompresible bidimensional está dada por
n
v
_
aru
au _
·v - - -r + -e - o
ar
ae
Con una función de corriente definida por
1 a1jJ
u =- r
r ae
y
se obtiene
aru r
ar
aUe
ae
=!.-. a1jJ
ar ae
a a1jJ
= ---
ae ar
y otra vez la ecuación de continuidad se satisface en forma automática.
7.4 FLUJOS DONDE EXISTEN 'IjJ Y ifJ EN FORMA SIMULTÁNEA
El potencial de velocidad se puede definir para cualquier campo de flujo irrotacional y la
función de corriente para todo campo de flujo bidimensional, irrotacional e incompresi-
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232
CAPíTULO
7
FLUJOS INCOMPRESIBlES
IRROTACIONAlES
ble.' Por lo tanto, cuando el flujo es bidimensional, irrotacional e incompresible, existen 1p
y </>(no hay restricciones respecto al régimen de flujo; puede ser permanente o transitorio).
En estas condiciones, se puede demostrar que las líneas de </>constante se cruzan con
las líneas de 1pconstante en ángulos rectos. Se puede escribir
+ a</>dy
d</>= a</>dx
ax
1, •
ay
=u dx+v dy
1,1
Cuando </>es constante, d</>= O. Entonces
dy
dx
u
(7.7)
v
Si</>O 1pse puec
Bemoulli.
El potencia
ción de corrient
Esto deja abiert
de modo que U)
y la ecuación de
neral y, por lo t
de texto es neo
ción de signos (
Es obvio q
pero no una fui
irrotacional y t
Entonces, de las ecuaciones 7.6 y 7.7
dyl
dx
</>
xdyl
dx
EJEMPLO 7:
=-1
</>
lo cual demuestra que </>y 1pforman una red ortogonal. Este resultado se pudo anticipar por
el hecho de que, dado que V = '\l</>, la velocidad del flujo se dirige en dirección de la rapidez de cambio máxima de </>,que está en ángulos rectos a las líneas con potenciales de velocidad constantes (ver la sección A.4 para un análisis del operador gradiente).
Demuestre qm
de flujo incom
puntos de esta!
Solución
Pr
irrotacionalida
7.5 RESUMEN DE DEFINICIONES Y RESTRICCIONES
Por lo tanto
Definida la función potencial </>se tiene que
(7.8)
donde </>satisface la condición de irrotacionalidad,
a</>
u=-
(7.9)
v=-
ax
ay
y así </>es un 1
La diverg
o
a</>
u =r
ar
y
(7.10)
También se definió una función de corriente 1pde manera que la ecuación de continuidad
bidimensional se satisface en forma automática, y aSÍ, para un flujo incompresible,
a1p
u=-
i
y así
a</>
y
El rotacional
y
ay
a1p
v=--
y de este mor
De la del
(7.11)
ax
o
1 a1p
u =-r
r ae
y
a1p
u(J=--
(7.12)
Con el result
ar
y
1
La función de corriente ¡P también puede definirse para un flujo bidimensional, permanente y compresible. Ver, por ejemplo,
Milne- Thomson, Theoretical Aerodynamics, 4a. ed., publicada por Macmillan, 1966.
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7.5 RESUMEN DE DEFINICIONES Y RESTRICCIONES
233
Si cp o 1jJ se pueden encontrar, se conoce V y la presión se obtiene mediante la ecuación de
Bemoulli.
El potencial de velocidad se definió de modo que el flujo fuera irrotacional y la función de corriente para satisfacer la ecuación bidimensional incompresible de continuidad.
Esto deja abierta la duda de los signos. Por ejemplo, la función de corriente se pudo definir
de modo que u y ven la ecuación 7.12 tuvieran signos opuestos a los que se adoptaron aquí,
y la ecuación de la continuidad aún sería satisfecha. En esta cuestión no hay un acuerdo general y, por lo tanto, existe una gran posibilidad de confundirse. Al consultar otros libros
de texto es necesario poner mucha atención en cómo se definen cp y 1jJ, aunque la convención de signos que aquí se adopta parece ser la más común en los libros de texto recientes.
Es obvio que pueden existir flujos donde se puede definir un potencial de velocidad,
pero no una función de corriente. A continuación se supone que el flujo es incompresible,
irrotacional y bidimensional, así que existen una función potencial y una de corriente.
EJEMPLO 7.1
Funciones de corriente y potenciales de velocidad
Demuestre que cp = x 3 - 3xy2 es un potencial de velocidad válido que describe un campo
de flujo incompresible. Determine la función de corriente correspondiente y encuentre los
puntos de estancamiento, así como la distribución de presión.
Solución Para ser un potencial de velocidad válido, cp debe satisfacer la condición de
irrotacionalidad. Para este campo de flujo bidimensional cartesiano, se tiene
u = acp
ax
Por lo tanto
acp
v =ay
y
u = 3x 2 _ 3y2
y
v =- 6xy
El rotacional de la velocidad está dado por
av - -au) k = (- 6y + 6y)k = 0
VxV = ( ax ay
y así cp es un potencial de velocidad válido.
La divergencia del campo de velocidad está dada por
au av
V· V =-+ - = 6x - 6x =0
ax ay
y de este modo el flujo es incompresible.
De la definición de función de corriente
a1jJ
u =ay
y
Con el resultado de la ecuación 7.13, por integración se obtiene
1jJ = 3x2y _ y 3 + f(x) + C¡
y
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(7.13)
234
CAPíTULO 7
donde el ye2
pectivamente.
FLUJOS INCOMPRESIBlES
IRROTACIONAlES
son constantes de integración y f y g, funciones desconocidas
Comparando los dos resultados de 'ljJ, se obtiene
·,
'ljJ = 3x 2 y _ y3
7.6.1 Flujo UI
de x y y, res-
Para un flujo u
+e
La constante e es arbitraria (sólo interesan las derivadas de 'ljJ), y es posible hacerla cero
seleccionando 'ljJ = Oen el origen, por lo que.
así que
=3x2y-?
'ljJ
y
Los puntos de estancamiento se encuentran buscando los puntos donde u = v = O. Para el
campo de velocidad dado por la ecuación 7.13, esto sólo sucede en el origen, así que sólo
hay un punto de estancamiento.
La distribución de las presiones está dada por la ecuación de Bemoulli, así que
t
P + (u2 + v2)
Entonces
= Po
donde Po es una constante para el campo de flujo completo, dado que es irrotacional.
lo tanto
Puesto que el
diente de rp (
pueden tener
campo de flu
donde
Por
•
7.6 EJEMPLOS DE FLUJO POTENCIAL
(Esto se puer
recobrar u=
Tambiér
Aquí se considerarán varios flujos sencillos que se pueden usar como bloques elementales
para construir flujos más complicados. Los resultados se resumen en la tabla 7.1.
TABLA 7.1 Resumen de funciones potenciales y funciones de corriente para
flujos sencillos.
Coordenadas cartesianas
Flujo uniforme
Fuente puntual
Sumidero puntual
Vórtice potencial
(en sentido contrario de
las manecillas del reloj)
1jJ
¡p
1jJ
Ux
Uy
Ur cos e
Ur sen e
+ y2
!Lln~x2
2n
+ y2
~ tan-1(~)
Kx
x2 + y2
Doblete
a¡p
a1jJ
ax
ay
U=-=-,
Coordenadas cilíndricas
¡p
!Lln~x2
2n
!Llnr
2n
- ~ tan-1(~)
-!Llnr
2n
+ y2
Kx
- x2 + y2
a¡p
a1jJ
ay
ax
V=-=-~,
~ tan-1(~)
_I-ln~x2
2n
así que
y
Entonces
!Le
2n
Por lo tanto
función ese:
.s
,
2n
~
1
r
I-e
2n
1
1
--Inr
2n
Kcos e
r
1/J--+I1
1
1
0----11-
Ksene
1
---
I
r
a¡p 1a1jJ
1a¡p
a1jJ
u =-=-r
ar
r ee' ue =-¡ ae =-
ar
-2U -
'.
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FIGURA 7-2
7.6
y, res-
EJEMPLOS
DE FLUJO POTENCIAL
235
7.6.1 Flujo uniforme
Para un flujo uniforme hacia la derecha (figura 7-2), u = U Yv = O.Según la ecuación 7.10
u= acp =U
ax
a cero
así que
cp=Ux + g(y) + constante
ara el
e sólo
y
acp
v=-=O
ay
Entonces
cp = Ux + constante
1.Por
•
Puesto
diente
pueden
campo
donde
que en general el punto de interés ha sido la velocidad, y dado que ésta es el grade cp (recuerde que V = Vcp), las constantes de integración en ambas expresiones
tener el valor que se desee. Por conveniencia, ambas se hacen cero. Por lo tanto, un
de flujo uniforme se puede expresar en términos de una función escalar simple cp,
cp=Ux
u = acp/ ax y v
(Esto se puede verificar encontrando
recobrar u = U Y v = O.)
También, de la ecuación 7.12
= acp/ ay y demostrando
que es posible
a'ljJ
u=-=U
ay
así que
'ljJ
as
= Uy
+ f' (x) + constante
y
a'ljJ
v=--=O
ax
()
Entonces
'ljJ
= Uy
+ constante
Por lo tanto, un campo de flujo uniforme también se puede expresar en términos de una
función escalar e donde
y
<P
I
3U
1/J
2U
U
e
o
x
-u
-2U
-3U
-2U
-o
FIGURA 7-2
o
U
2U
Flujo uniforme.
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236
CAPíTULO 7
FLUJOS INCOMPRESIBLES IRROTACIONAlES
'I/J= Uy
Para resumir, en un flujo uniforme
cp =UX,
'I/J = Uy
(7.14)
=
(7.15)
En coordenadas cilíndricas
cp =Urcos cp, 'I/J
Ursen e
7.6.2 Fuente puntual
En un flujo bidimensional, la fuente puntual es el punto donde el fluido entra al campo de
flujo y fluye hacia fuera por igual en todas las direcciones en el plano de la fuente (figura
7-3). Este es un ejemplo de punto critico o singular, donde las líneas de corriente se pueden
juntar. El flujo másico que suministra la fuente es constante, y como nos hemos limitado a
los flujos incompresibles, el flujo volumétrico también es constante. El flujo es bidimensional y q es el flujo volumétrico por unidad de longitud (en dirección perpendicular) de la
fuente. 2 Las coordenadas cilíndricas son las coordenadas naturales para este flujo , así que
q = 2nru r , donde ur es la velocidad en la dirección radial y r, la coordenada radial. Para
una fuente puntual, q es positivo y
u =---.!L Y ve =O
r
2nr
Entonces
q
2nr
acp
ar
1 a'I/J
u =--=-=-r
r ae
Por lo tanto, en coordenadas cilíndricas
(7.16)
En coordenadas cartesianas
cp=!Lln~x2+y2
2n
FIGURA 7-3
2
y'I/J =!L tan-1(1.)
2n
x
Fuente. El sumidero tiene invertida la dirección de todas las flechas.
Las dimensiones de q son volumen/longitud por unidad de tiempo = UT- 1
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(7.17)
7.6 EJE MPLOS DE FLUJO POTE NCIAL
FIGURA 7-4
237
Vórti ce potencial.
Un sumidero puntual es un punto donde el fluido sale del campo de flujo y fluye por igual
desde todas las direcciones. Es una fuente con un flujo volumétrico negativo, de modo que
(7.1 8)
7.6.3 Vórtice potencial
Un vórtice libre o potencial es un flujo con trayectorias circulares alrededor de un eje, donde la distribución de las velocidades es tal que el flujo es irrotacional (figura 7-4). Dado
que V x V = 0, todas las componentes del vector vorticidad deben ser cero, así que
~ au z
r ae
_
aUe = aU r
az
az
_
au z = ~ arue _ ~ aU r =0
ar
r ar
r ae
Un vórtice potencial tiene simetría circular, de modo que en las direcciones z y r no hay
flujo y todas las derivadas con respecto a z y son cero. Entonces
e
arue
ar
°
= dru e =
dr
Por lo tanto, la cantidad rUe es una constante y la distribución de velocidad para un vórtice
potencial está dada por
ue =
constante
r
Por convención, a la constante se asigna el valor r /2TC, donde la nueva constante, r , se llama circulación, y es positiva en la rotación contraria de las manecillas del reloj. En consecuencia
r
ue = - 2TCr
(7.19)
La circulación r representa la intensidad del vórtice. Observe que, conforme r tiende a
cero, ue tiende a infinito. Esto no sucede en un fluido real. En algún punto, la viscosidad
será importante en un fluido real y prevendrá que la velocidad pueda hacerse infinita. De
hecho, la fricción viscosa causará que en el ojo del vórtice se inicie una rotación de cuerpo
sólido y el flujo en esta región ya no será irrotacional.
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238
CAPíTULO 7
FLUJOS INCOMPRESIBLES IRROTACIONALES
Fuera de esta región viscosa, en la parte irrotacional del flujo, se aplica la ecuación de
Bemoulli entre dos puntos cualesquiera. Si la presión lejos del centro del vórtice (r --7 00)
es p= y se puede despreciar la gravedad, la ecuación de Bemoulli da
p+~pV2 = p =
En cualquier posición r, V = uo' así que
pr 2
p=p= - - 8
22
n r
Conforme el radio disminuye, la velocidad aumenta y la presión disminuye. Cerca del ojo
del vórtice libre, es posible encontrar presiones muy pequeñas. Esta presión baja hace que
los vórtices que se forman en las estelas de los aviones, sean visibles al condensarse el vapor de agua que acumulan, lo que lleva a las estelas de vapor.
Un remolino en agua se comporta en forma muy similar. En este caso, la superficie libre es una superficie de presión constante, de modo que la velocidad depende de la altura.
La forma de la superficie libre estará dada por
h=h _
=
pr
2
8gn 2 r 2
(7.20)
Se ve por qué un remolino presenta una depresión aguda en la superficie del agua. Sin embargo, cerca del centro la fricción viscosa se volverá importante y el agua empezará a rotar
como un cuerpo rígido. En la sección 2.11, se estableció que la rotación de cuerpo rígido de un líquido produce una superficie libre parabólica, de modo que al disminuir r, el
perfil de la superficie cambia del que se dio en la ecuación 7.20 a una forma parabólica,
como ilustra la figura 7-5.
En términos de la función potencialrjJ, el vórtice libre tiene un potencial proporcional
a e. Esto es,
r
rjJ=-e
2n
Para verificar este resultado, se encuentra u,. y U o
Rotación de
cuerpo rígido
----+-.:
Vórtíce libre
:...- - -...
I
I
I
I
,,>
h
f.
FIGURA 7-5 Forma superficial de un remolino que muestra la transición del movimiento de vórtice libre
para radios grandes a rotación de cuerpo rígido, para radios pequeños.
II
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239
7.7 ECUACiÓN DE LAPLACE
acp
u =-=0
r
ar
y
1 acp
r
u()=--=r ae 2nr
como antes.
Las líneas equipotenciales son, por lo tanto, líneas radiales con = constante y el flujo
describe círculos concéntricos. Para un vórtice positivo (flujo contrario a la dirección de
las manecillas del reloj), la circulación es positiva.
En términos de la función de corriente, se tiene
e
r
'IjJ= - - lnr
2n
y así
y
a'IjJ
r
u()=--=ar 2nr
como antes.
Resumiendo, para un vórtice potencial en coordenadas cilíndricas
r
cp=-e
2n
r
'IjJ =- - l n r
y
2n
(7.21)
donde r es positiva para la rotación en dirección contraria de las manecillas del reloj
gativa en el sentido de las manecillas del reloj. En coordenadas cartesianas
cp = ~tan-I(l)
x
2Jt
y
'IjJ= - ~ln~x2+y2
2Jt
yne-
(7.22)
7.7 ECUACiÓN DE LAPLACE
Ahora se demostrará que, bajo ciertas condiciones, el potencial de velocidad y la función
de corriente pueden encontrarse resolviendo una ecuación diferencial parcial lineal llamada ecuación de Laplace.
El proceso inicia con el potencial de velocidad. Con la ecuación de continuidad para
flujo incompresible (V . V = O) Y la definición del potencial de velocidad (V = VCP), se puede escribir
donde V 2 es el operador laplaciano (sección A.6). Esto es
(7.23)
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240
cAPiTULO 7
FLUJOS INCOMPRESIBLES IRROTACIONAlES
Ésta se llama ecuación de Laplace. El potencial de velocidad satisface la ecuación de Laplace para flujos incompresibles e irrotacionales. En coordenadas cartesianas
2
a </>
ax2
2
a </>
ay2
-+ -
2
a </>
az
+ -=0
2
(7.24)
y en coordenadas cilíndricas,
2
a </>
1 a</>
1 a2</>
2
a </>
-+
- -+ - - + - = 0
ar 2 r ar r 2 ae 2 az 2
(7.25)
Considere la función de corriente en un flujo irrotacional y bidimensional. Así,
V' x V = (av _ aU)k = _(a
ax
ay
21jJ
ax2
2
+ a 1jJ )k = 0
ay2
así que, en coordenadas cartesianas
Es decir,
(7.26)
La función de corriente satisface la ecuación de Laplace para flujos incompresibles, irrotacionales y bidimensionales.
La ecuación de Laplace se puede usar para encontrar el potencial de velocidad o la
función de corriente (con las condiciones de frontera apropiadas). Una vez que se conoce </>
o 1jJ se puede encontrar V y la presión se calcula con la ecuación de Bernoulli.
La ecuación de Laplace es útil en muchos campos y se han escrito grandes tratados
respecto a sus soluciones (por ejemplo, Hydrodynamics de Lamb, reimpreso por Dover,
1945). Aquí sólo es de interés un aspecto de esta ecuación: su linealidad. Una ecuación es
lineal si, cuando se conocen dos soluciones separadas, la suma de estas dos soluciones
también es una solución de la ecuación.
Por ejemplo, si tenemos dos soluciones de la ecuación de Laplace, 1jJ 1 Y1jJ 2' considere
1jJ = 1jJ 1 + 1jJ 2· En coordenadas cartesianas
a21jJ
a21jJ
a 21jJ 1
a 21jJ 1
a 21jJ 2
a21jJ 2
ax2
ay2
ax2
ay2
ax2
ay2
--+ - - = - - + - - + - - + - = 0+ 0 = 0
Por lo tanto, V' 21jJ = O, lo cual demuestra que la ecuación es lineal.
La linealidad de la ecuación de Laplace significa que es posible construir nuevas soluciones combinando soluciones conocidas, por ejemplo, si se conocen las funciones de corriente para un flujo uniforme (1jJ 1 = Uy) y para una fuente puntual (1jJ 2 = ~ e), y se puede
demostrar que cada función de corriente satisface V' 21jJ = O. De esta forma su suma satisface también la ecuación de Laplace y, por lo tanto, el campo de flujo combinado también es
una solución válida. Este es el ejemplo que se analiza en la sección siguiente.
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7.8 FUENTE EN UN FLUJO UNIFORM E
FIGURA 7-6
241
Fuente en un flujo uniforme.
7.8 FUENTE EN UN FLUJO UNIFORME
Para encontrar el patrón de flujo que resulta cuando se coloca una fuente en un flujo uniforme, se suman las funciones de corriente para una fuente y un flujo uniforme para obtener la función de corriente combinada 1/J.
1/J = 1/J 1 + 1/J 2 = Uy + !L ()
2:n:
=Uy +!Ltan -1 l
2:n:
x
El patrón de líneas de corriente para la combinación se muestra en la figura 7-6. Cuando en
un flujo uniforme se coloca un sumidero, se obtiene el patrón de líneas de corriente de la figura 7-7. (Pregunta, ¿cómo se ven las líneas equipotenciales para este flujo?)
Las líneas de 1/J constante representan las líneas de corriente. Por definición, a través
de las líneas de corriente no puede haber flujo y, por lo tanto, se puede emplear una línea de
\ji constante para representar una pared sólida en un flujo no viscoso. En un flujo no viscoso no se aplica la condición de frontera de no deslizamiento y la condición de frontera en
una superficie sólida se reduce a la condición de impermeabilidad dada por la ecuación
6.20, o sea
n·V=n · Vw
Puesto que a través de una línea de corriente no puede haber flujo, cada línea de corriente
equivale a una superficie sólida. Por lo tanto, las figuras 7.6 y 7.7 representan el flujo sobre
un número infinito de mitades de cuerpos diferentes, una por cada línea de corriente. La línea de corriente que pasa por el punto O describe la forma de un cuerpo en particular interesante. Es más, la línea de corriente recta que actúa como eje de simetría podría
FIGURA 7-7
Sumidero en un flujo uniforme.
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242
CAPíTULO 7
FLUJOS INCOMPRESIBLES IRROTACIONAlES
representar otra superficie sólida, de manera que la mitad superior del campo de flujo se
puede usar para representar el flujo sobre una colina con una forma particular. Al cambiar
la intensidad relativa del flujo de la corriente libre y la fuente o el sumidero, es posible generar muchas formas diferentes. De esta manera, se pueden encontrar los campos de velocidad y presión alrededor de una variedad de cuerpos sólidos en flujos no viscosos. Las
capas límite se pueden ignorar, pero aún constituyen una técnica muy útil.
EJEMPLO 7.2 Soluciones que se obtienen por superposición
Ya se demostró que es posible generar flujos bidimensionales interesantes mediante la superposición de algunos flujos básicos como el flujo uniforme, fuentes, sumideros y vórtices. Por desgracia, el método es tedioso, en especial cuando se usa un gran número de
flujos básicos. Para reducir el esfuerzo que requiere la generación de estos flujos, es posible usar la "Máquina del flujo ideal" disponible en la dirección http://www.engapplets. vt.edu/.
Con este recurso genere los patrones de las líneas de corriente para:
a) Una fuente y un sumidero de intensidades iguales q =Ua, en principio separadas por
una distancia a y luego por una distancia 2a en dirección de un flujo uniforme de intensidadU.
b) Repita este ejemplo con el eje uniendo la fuente y el sumidero colocados en ángulos
rectos respecto al flujo uniforme.
e) Para el caso del inciso a) sume un vórtice de intensidad r = Ua localizado a la mitad
entre la fuente y el sumidero y repítalo mediante un vórtice con intensidad r = 2Ua .
•
7.9 FLUJO POTENCIAL SOBRE UN CILINDRO
Una aplicación muy útil de los métodos del flujo potencial es encontrar el flujo sobre un cilindro. Para generar este flujo se colocan un sumidero y una fuente cercanos entre sí en un
flujo unifor.ne.
Cuando una fuente y un sumidero de intensidades iguales se colocan en un flujo uniforme, aparece una línea de corriente cerrada (O y o en la figuré.. 7-8). Dentro de la línea de
corriente cerrada todo el flujo que origina la fuente lo absorbe el sumidero. La línea de corriente cerrada actúa como cuerpo sólido.
FIGURA 7-8
Fuente y sumidero de intensidad igual en un flujo uniforme .
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7.9 FLUJO POTENCIAL SO BRE UN CILINDRO
243
A partir de la figura 7-8, se deduce que conforme la fuente y el sumidero se acercan
entre sí, la forma de la línea de corriente cerrada se verá más y más como un círculo. Se
puede suponer que la línea de corriente cerrada se hace un círculo cuando la fuente y el sumidero ocupan la misma posición. Esto puede parecer dificil de lograrse, ya que se esperaría que la fuente y el sumidero se cancelen entre sí, dejando un flujo uniforme sin
perturbar. Este no es necesariamente el caso, como se verá a continuación.
Cuando se suman las funciones de corriente de una fuente y un sumidero, separados
por una distancia 2a, para el par combinado fuente-sumidero se tiene
'IjJ =- ..!L(8 1 - 8 2 )
2:n:
(7.27)
donde la fuente se indica con el subíndice 2 y el sumidero con el subíndice 1 (figura 7-9).
Cuando la distancia a es pequeña, el ángulo 8 I - 8 2 también es pequeño, de modo que
r( 8 I - 8 2 ) "" 2a sen 8 y
8 1 - 8 2 -_ 2a sen 8
r
así que
qa sen 8
'IjJ = -"--- :n:r
(7.28)
Conforme a se hace más pequeña comparada con r, se deja que q aumente de manera que
el producto qa permanezca finito y constante. Es decir
,h ___
'Y
K sen 8
r
(7.29)
En estas condiciones, el par fuente-sumidero se llama doblete y K = qa /:n: se conoce como
intensidad del doblete. El potencial de velocidad de un doblete está dado por
A. __
'f/
K cos 8
r
(7.30)
Cuando al doblete se le suma un flujo uniforme, se obtiene la función de corriente combinada
R2) sen 8
'IjJ = Ux - K sen 8 = U.{ 1 - r
r2
p
y
IJ,
Fuente
, \ , / Sumidero x
~r(lJ , -1J 2 )
I- a+a-J
FIGURA 7-9
~2a sen IJ
Notación para un doblete.
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(7.31)
244
CAPíTULO
7
FLUJOS INCOMPRESIBlES
IRROTACIONAlES
3
P, - Po
2
'2P
FIGURA 7-10
2
'\
Doblete en un flujo uniforme.
o
(ya que x = r sen e). El patrón de las líneas de corriente se muestra en la figura 7-10. Es posible demostrar que la línea de corriente cerrada es un círculo de radio R (= ~ K /U ) y, por
lo tanto, la combinación de un doblete con un flujo uniforme modela un flujo no viscoso
sobre un cilindro.
Observe que las líneas de corriente de estancamiento y la línea de corriente cerrada
que describe al cilindro se unen en los puntos de estancamiento frontal y trasero, A y B,
respectivamente. También se sabe que el patrón de flujo verdadero alrededor de un cilindro a números de Reynolds razonables no se ve como el que ilustra la figura 7-10, en especial en la región de la estela. Por ejemplo, el flujo no viscoso es simétrico del frente a la
parte trasera, mientras el flujo viscoso no lo es. Se considerarán estas diferencias después
de encontrar las distribuciones de velocidad y presión para el flujo no viscoso.
De la ecuación 7.31 se tiene
-
1\
1
2
3
o
30
FIGURA 7-11
bución experim
u
=~
r
r
a1jJ
ae
=U(1-~Jcose
r
Wiley & Sons.:
2
y
Ue =_ a1jJ =-U(l+~Jsene
ar
r2
En la superficie del cilindro, r = R y, por 10 tanto, u, =
perficie es una línea de corriente) y ue = ues' donde
ues =-2U
sen
°
(como se esperaba, dado que la su-
e
Observe que existen diferencias importantes entre esta solución de flujo no viscoso y un
flujo viscoso "real": el flujo no viscoso no satisface la condición de no deslizamiento, además no se forman capas límite en la superficie del cilindro.
7.9.1 Distribución de la presión
11'
1.11
11,
Puesto que el flujo es permanente, no viscoso, irrotacional e incompresible, la distribución
de la presión se puede hallar con la ecuación de Bemoulli. Si la presión lejos del cilindro es
p~, entonces, a lo largo de la línea de corriente de estancamiento y alrededor del cilindro
P +lpU2=p
2
oo
2
s +lpu
2
es
donde P, es la presión en la superficie. Así, la distribución
cie del cilindro está dada por
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La figura 7-i
da. La comp
no viscosa p
encontró me
cióncomple
posterior (j3
tancamiento
Primero
el arrastre sr
proporciona
la fuerza del
fuerza que E
no es verda:
función imj
7.9.2 Efecl
teórica de presión en la superfi-
La presenci
lindro a tra
7.9
3
---u
p, - Po
2
I
2P
2
'\
o. Es po-
1\ '
[xperime
-1
--
,AyB,
un cilinenespeente a la
después
-3
<, ~jL
")..
/
/
/
•.... /
-2
o
\J
60
30
245
1/
\'
cerrada
SOBRE UN CILINDRO
d-
o
)y, por
VISCOSO
p(
~
FLUJO POTENCIAL
90
1/
"Teó ica
(no vi cosa)
120
150
180
P (grados)
FIGURA 7-11
Comparación
bución experimental
de la distribución de presión no viscosa en un cilindro circular con una distri-
típica. Tomada de Munson, Young, y Okiishi, Fundamentals
of Fluid Mechanics, John
Wiley & Sons, 1998.
ue la su-
y un
to, ade-
OSo
ibución
lindro es
indro
La figura 7-11 muestra una comparación de las distribuciones de presión teórica y medida. La comparación es buena sobre los primeros 60°, aproximadamente,
pero la solución
no viscosa predice una presión mucho menor en la parte superior (f3 = 90°) que la que se
encontró mediante experimentos. En la estela (f3 > 90°), el análisis predice una recuperación completa de la presión hasta su valor de estancamiento, en el punto de estancamiento
posterior (f3 = 180°), mientras que el experimento indica que la presión en el punto de estancamiento posterior se recupera en sólo una fracción de su valor original.
Primero se observa que los métodos del flujo potencial no se pueden usar para calcular
el arrastre sobre un cuerpo. Para el flujo sobre un cilindro, la solución del flujo no viscoso
proporciona una distribución simétrica de la presión y en la dirección de la corriente libre
la fuerza debida a la presión que actúa en la cara frontal está balanceada exactamente por la
fuerza que se aplica en la cara trasera. El arrastre en el cilindro es cero. Es obvio que esto
no es verdadero para el flujo de un fluido real donde las capas límite y la estela tienen una
función importante.
7.9.2 Efectos viscosos
superfi-
La presencia de la capa límite en la cara frontal afecta la distribución de la presión en el cilindro a través de dos mecanismos principales: a) pérdidas viscosas y b) desplazamiento
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246
cAPiTULO 7
FLUJOS INCOMPRES IBLES IRROTAC IONALES
ligero de las líneas de corriente causado por el retraso del flujo dentro de la capa límite
(sección 10.3). Cerca de la parte superior, donde fJ = 90°, el gradiente de la presión cambia
de negativo (presión decreciente, llamado gradiente de presión favorable) a positivo (presión creciente, gradiente de presión adverso). La fuerza en la dirección del flujo debida a
la diferencia de presiones cambia de signo, de ser una fuerza aceleradora a ser una fuerza
retardadora; en respuesta, el flujo se frena. Sin embargo, el fluido en la capa límite cede
cierta energía (en forma de presión) y cantidad de movimiento (en forma de velocidad) debido a la energía viscosa disipada, y no tiene suficiente cantidad de movimiento para vencer la fuerza retardadora. Conforme aumenta la presión, algo de fluido cercano a la pared
invierte su dirección, y el flujo se separa. Así, en la estela se forman grandes remolinos y
ocurren grandes pérdidas de presión. La estela también ejerce influencia al flujo aguas
arriba sobre la capa límite, y en el caso de la figura 7-11, la separación real tiene lugar
aguas arriba del punto superior del cilindro, en algún lugar cerca de fJ = 75°.
Por lo tanto, el arrastre sobre el cilindro lo forman dos componentes: una parte menor
debida a la fricción viscosa que actúa en la superficie y una parte mayor que origina la diferencia de presiones. Los cuerpos donde las pérdidas de presión dominan la fuerza de arrastre total se llaman cuerpos romos; el cilindro en un buen ejemplo de cuerpo romo. Los
cuerpos donde las pérdidas de presión son pequeñas y los esfuerzos viscosos dominan la
fuerza de arrastre total se denominan cuerpos aerodinámicos; un buen ejemplo de cuerpo
aerodinámico es el ala en ángulos de ataque pequeños.
Así, a pesar del hecho de que las viscosidades de los fluidos comunes son muy pequeñas, en la mayoría de los cuerpos se encuentran fuerzas de arrastre sustanciales. Esto confundió a los científicos del siglo diecinueve, quienes creyeron que, dado que la viscosidad
es muy pequeña, la suposición de flujo no viscoso se cumple con alto grado de precisión.
Esta discrepancia se conoció como "Paradoja de d' Alembert," en honor del científico
francés que estudió el problema (ver la sección 15.8 para una nota histórica de Jean Le
Rond d' Alembert). En 1904 Prandtl resolvió la paradoja cuando por primera vez describió
la naturaleza de las capas límite que se forman cerca de la superficie por la acción de la viscosidad (ver la sección 15.17 para una nota histórica sobre Ludwig Prandt1). Prandtl concluyó que en una capa delgada cerca de la pared se presentan gradientes de velocidad
fuertes y que a pesar de las viscosidades pequeñas de los fluidos, los esfuerzos viscosos,
que son el producto de la viscosidad por el gradiente de la velocidad, podían hacerse muy
significativos; la viscosidad no podría ignorarse. En términos matemáticos es posible afirmar que el flujo no viscoso no satisface las condiciones de frontera de un flujo real, en especiallos flujos no viscosos permiten el deslizamiento en la superficie, mientras los flujos
VISCOSOS no.
7.10 SUSTENTACiÓN
Un flujo muy interesante se genera al sumar un vórtice de intensidad r al flujo uniforme
sobre un cilindro circular. Como ilustra la figura 7-12, el vórtice mueve los puntos de estancamiento lejos del eje de simetría horizontal. Las líneas de corriente sobre la parte superior del cilindro se acercan entre sí, mientras las de la parte inferior se alejan. Al mismo
tiempo, la presión disminuye en la parte superior y aumenta en la parte inferior. Así se genera una sustentación. Conforme la intensidad del vórtice aumenta, los puntos de estanca-
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7.10 SUSTENTACiÓN
247
b)
e)
d)
FIGURA 7.12 La adición de un vórtice de intensidad creciente a un flujo uniforme sobre un cilindro circular. Adaptado de F.M. White, Fluid Mechanics, McGraw-Hill, 1986.
miento se acercan entre sÍ, y al final se alejan de la superficie del cilindro. La sustentación
sigue aumentando al mismo tiempo.
Este campo de flujo hipotético ayuda a entender dos fenómenos importantes: la sustentación que genera un cilindro giratorio (el efecto Magnus) y la sustentación que origina
un ala.
7.10.1 Efecto Magnus
El campo de flujo que describe la figura 7-12 es para flujo no viscoso. Sin embargo, en un
flujo viscoso, mi cilindro giratorio puede generar un campo de flujo que se ve muy similar.
Una capa de aire delgada (capa límite) se fuerza a girar con el cilindro debido a la fricción
viscosa y produce una circulación alrededor del cilindro. En las regiones del flujo donde el
movimiento debido al giro es opuesto al de la corriente de aire, hay una región de baja velocidad en la que la presión es relativamente alta. En las regiones donde la dirección del
movimiento de la capa límite es la misma que la de la corriente externa de aire, las velocidades se suman y la presión en esta región es relativamente baja. El cilindro experimenta
una fuerza de sustentación que actúa en dirección normal a la dirección de la corriente libre. Si el cilindro giratorio se moviera a través del aire, su trayectoria tendería a desviarse.
La aparición de una fuerza lateral sobre un cilindro giratorio o esfera se llama efecto
Magnus y es muy conocido para quienes practican deportes que usan pelotas, en especial
el beisbol, golf, cricket y tenis (vea la sección 15.12 para una nota histórica de Gustav
Magnus). Consulte la sección 10.7 para comentarios adicionales sobre la mecánica de fluidos y los deportes que utilizan pelotas.
El efecto Magnus también se presenta en cilindros y discos giratorios. El efecto de la
rotación en el campo de flujo alrededor de la rueda de un automóvil se muestra en la figura
7-13. La rotación es la que corresponde a un vehículo que viaja de derecha a izquierda, y
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248
CAPíTULO 7
FLUJOS INCOM PRESIBLES IRROTAC IONAlES
FIGURA 7.13 Vista del flujo en una rueda revolucionada (izquierd a) y una rueda fija (derecha). El número
de Reynolds es de 0.53 x 1os. Con autorización de Race Car Aerodynamics, J. Katz, Robert Bentley Publishers, 1995. Copyright AIAA, 1977.
de esta forma el movimiento de la superficie superior de la llanta está en dirección opuesta
a la del flujo de entrada. Como resultado, la velocidad del flujo fuera de la capa límite en
esa región es menor que en el caso de una llanta que no gira y la presión es mayor. Además,
el hecho de que el flujo viscoso en la capa límite experimente una desaceleración más fuerte, mueve el punto de separación superior hacia adelante, incrementando el tamaño de la
estela. Por lo tanto, la rapidez de rotación puede afectar con mucho las fuerzas de sustentación y de arrastre que desarrolla la rueda.
7.10.2 Cuerpos aerodinámicos y alas
Si se resolviera el flujo potencial alrededor de una forma aerodinámica se observaría un
patrón de líneas de corriente similar al de la figura 7-14a. Todos los cuerpos aerodinámicos prácticos tienen bordes de ataque redondeados y de salida agudos. Uno de los puntos
de estancamiento siempre se coloca cerca del borde de ataque y en un flujo potencial, en
general el otro se sitúa en algún lugar de la superficie superior. Al analizar la distribución
de la presión sobre la superficie, se encontraría que un cuerpo aerodinámico en un flujo potencial no genera sustentación ni arrastre, lo que es por completo contrario a nuestra expenenCIa.
De hecho, el flujo de la figura 7 -14a no ocurre en ningún caso real. La viscosidad
siempre tiene una función importante. Por ejemplo, el flujo potencial sobre el borde de salida indica que el flujo en esta región necesita cambiar su dirección instantáneamente por
casi 180 0 para seguir el contorno del cuerpo. La pendiente de la superficie cambia de manera discontinua en este borde, lo cual implica que el fluido debe cambiar su velocidad infinitamente rápido y da origen a una rapidez de cambio del esfuerzo infinita. Para un fluido
viscoso, esto estaría asociado con un esfuerzo cortante infinito.
Por supuesto que esto es irreal, y cuando se observa el flujo real sobre un cuerpo aerodinámico (figura 7-15), cerca del borde de salida no se comporta del todo como el flujo de
la figura 7-14a. El flujo se aleja con suavidad del borde, lo cual significa que esa orilla es
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7.10 SUSTENTAC iÓN
249
a)
FIGURA 7-14 Adición de un vórtice de intensidad creciente a un flujo uniforme sobre un cuerpo aerodinámico. Adaptado de F.M. White, Fluid Mechanics, 2a. ed., McGraw-Hill, 1986
también un punto de estancamiento. En estas condiciones, todos los esfuerzos cortantes
son finitos. La pregunta es, ¿cómo es posible modificar la solución del flujo potencial para
hacer que se parezca al flujo real?
Si al flujo de la figura 7-14a se suma un vórtice, los puntos de estancamiento se move~
rán como en el flujo del cilindro de la figura 7-12. Al incrementar la intensidad del vórtice,
el patrón de flujo de la figura 7 -14a cambia por el de la figura 7 -14b, Y al mismo tiempo, el
cuerpo aerodinámico comienza a generar una fuerza de sustentación. Para una intensidad
de vórtice particular, r K' el punto de estancamiento posterior se colocará en el borde de salida (figura 7-14c). La fuerza de sustentación que produce el cuerpo aerodinámico en esta/
condición (por unidad de profundidad) está dada por
/
F L = pU
=r K
y :32)
Éste se llama teorema de Kutta-Joukowski, en honor de dos ingenieros de la primera parte
del siglo veinte. La condición de frontera impuesta al flujo, es decir, el reqperimiento de
que el punto de estancamiento posterior coincida con el borde de salida seJlama condición
de Kutta.
El teorema de Kutta-Joukowski se aplica a un flujo no viscoso sobre un cuerpo bidimensional en movimiento permanente y comprende cuerpos de forma arbitraria, a la vez
que predice la sustentación que genera un cilindro con cualquier nivel de circulación impuesto, aunque la condición de Kutta correspondiente sólo se aplica a cuerpos con borde
de salida agudo. El teorema de Kutta-Joukowski es la base para la teoría de la sustentación
en alas y el empuje de ventiladores y aspas de hélices. Los experimentos demuestran que
está de acuerdo con las mediciones de la sustentación en cuerpos aerodinámicos bidimensionales.
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/
./'"
250
CAPiTULO 7
FLUJOS INCOMPRESIBLES IRROTACIONAlES
FIGURA 7-15 Líneas de corriente sobre un cuerpo de forma aerodinámica que se hacen visibles usando
humo en aire. Número de Reynolds basado en la longitud de la cuerda Re = 2.1 X 105, ángulo de ataque de
a = 5°. Tomado de Visualized Flow, Japan Society of Mechanical Engineers, Pergamon Press, 1988.
Un parámetro importante es el ángulo de ataque, el cual es el ángulo que hace la línea
de cuerda con la dirección de la corriente libre. 3 Conforme el ángulo de ataque aumenta, la
circulación necesaria para satisfacer la condición de Kutta también aumenta y, por lo tanto, la sustentación también aumenta. Se puede demostrar que para ángulos de ataque a pequeños
_ _F--'L'---_
pU
= 2:n:a
=r KO
(7.33)
donde r KO es la circulación a un ángulo de ataque de cero grados. 4
El vórtice que se sumó al flujo potencial para satisfacer la condición de Kutta es una
creación teórica. En el caso de un cuerpo aerodinámico en movimiento a través de un flujo
viscoso, con frecuencia se piensa en un vórtice virtual "confinado" dentro del cuerpo aerodinámico. Esto es real en el sentido de que, en promedio, el flujo en la superficie superior
del cuerpo aerodinámico es más rápido que en la superficie inferior, y así el sentido de la
circulación es en la dirección de las manecillas del reloj si el cuerpo aerodinámico se mueve de izquierda a derecha.
Con anterioridad sólo se han tratado cuerpos aerodinámicos bidimensionales que tienen, en efecto, una envergadura infinita. Sin embargo, para un cuerpo aerodinámico con
envergadura finita es necesaria una observación importante. Cerca de las puntas del ala se
forman vórtices de borde que pueden hacerse visibles con humo, como en la figura 7-16.
¿De dónde vienen? En una de las interpretaciones, los vórtices de borde o de estela se forman cerca de las puntas de las alas porque ahí el flujo tiende a derramarse en respuesta a la
3
4
La cuerda del cuerpo aerodinámico es la línea recta que se dibuja entre el borde de ataque y el borde de salida.
Vea, por ejemplo, Fo ulldations of Aerodynamics, 4a. ed. , por A.M. Kuethe y c.y. Chow, publicado por John Wiley & Sons,
1986 .
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7.11
INTERACCIONES DE LOS VÓRTICES
251
FIGURA 7-16 Formación de vórtices de borde o de estela en un ala de envergadura finita . En esta vista,
el flujo es de izquierda a derecha y la superficie superior tiene una presión menor. Tomada de M.R. Head,
en Flow Visualization 11, ed . W. Merzkirch, pp. 399-403, publicado por Hemisphere.
diferencia de presiones entre las superficies superior e inferior del ala. La presión es menor
arriba que abajo del ala y cerca de cada punta de las alas existe una tendencia para que el
flujo se mueva de la parte de abajo hacia arriba del ala. Si se observa desde un punto
aguas abajo del ala desde atrás hacia el ala, se ve la formación de un vórtice en el sentido de
las manecillas del reloj cerca del borde izquierdo, y un vórtice en la dirección contraria
de las manecillas del reloj en el borde derecho (figura 7-16).
En otra interpretación, los vórtices de borde se ven como la continuación física de los
vórtices virtuales "confinados" en el ala (figura 7-14). Dado que de la teoría y el experimento se sabe que un vórtice se genera cuando el cuerpo aerodinámico empieza su movimiento, se tiene una imagen simple del sistema de vórtices en un ala finita que comprende
un vórtice confinado, un vórtice de arranque y dos vórtices de borde (figura 7-17). Se tiene
un lazo cerrado de circulación r K en todos los puntos. Esta visión la desarrollaron Lanchester en Inglaterra y Prandtl en Alemania y es común que se conozca como teoría de la
sustentación de Prandtl. En realidad, la distribución de la vorticidad es más complicad~
lo que muestra la figura 7-17, pero aún así representa un clJncepto adecuado para co~render el comportamiento tridimensional de los cuerpos aerodinámicos.
. /
7.11 INTERACCIONES DE LOS VÓRTICES
/
/
La superposición de dos campos de flujo de vórtices lleva a algunos fenómenos interesantes. Un lugar donde esto ocurre es la estela de los aviones (figura 7-17). Una vez que el
avión despega, el vórtice de arranque queda atrás muy lejos. El flujo de los vórtices de borde se puede idealizar como dos líneas de vórtices infinitamente largas, separadas por una
distancia s, uno con circulación en el sentido de las manecillas del reloj , - r , y otro con circulación en el sentido contrario de las manecillas del reloj,r. El campo de velocidad combinado será la superposición lineal de los dos campos de flujo potenciales de los vórtices.
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///
252
CAPíTULO 7
FIGURA 7-17
FLU JOS INCOMPRESIBLES IRROTAC IONAlES
Vórtices en un ala fin ita.
Cada vórtice "induce" su propio campo de velocidad con una distribución dada en la ecuación 7.19
U
r
e = -2:n:r
Habrá una velocidad inducida por el vórtice en el sentido contrario de las manecillas del
reloj de la derecha sobre el vórtice en el sentido de las manecillas del reloj del lado izquierdo, el cual tiende a empujar el vórtice de la izquierda hacia abajo. A su vez, el vórtice de la
izquierda está asociado a un campo de velocidad inducido que tiende a empujar el vórtice
de la derecha hacia abajo. Se observa que la interacción de un par de líneas de vórtices de
signos opuestos causa que el par se mueva hacia abajo con una velocidad de propagación
u p ' dada por
r
u =p
:n:s
(7.34)
donde s es la distancia entre los vórtices. Como resultado de este movimiento inducido, el
sistema de vórtices de borde en la estela de un ala se mueve hacia abajo conforme se deja
atrás.
Esta propagación auto inducida se puede observar con facilidad al mover una placa
plana a trávés del agua en una tina de baño o en una cubeta grande. Mueva la placa manteniéndola en posición vertical y en ángulos rectos respecto a la dirección del movimiento
por segmentos cortos y retírela del líquido. En las orillas verticales se producen vórtices de
signos opuestos que continuarán moviéndose bajo su propio campo de velocidad inducido
después de que la placa se retira.
Un fenómeno similar sucede en el movimiento de un vórtice de anillo. Un vórtice de
anillo se puede generar y observar con un cilindro de cartón (un tubo de toallas desechables sirve muy bien) sellado en ambas orillas con diafragmas de papel. En un diafragma se
hace un orificio circular de 5 mm de diámetro y el cilindro se llena con humo de cigarro o
de una vara de incienso. Si la orilla sin agujero se golpea con suavidad, desde el agujero del
otro extremo emanará un anillo de humo. Cada parte del anillo de humo induce una veloci-
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PROB LEMAS
253
dad que actúa en todas las otras partes del anillo y a través de esta interacción, el anillo se
propaga a velocidad constante a través del aire. Es atractivo observar el movimiento que
produce el vórtice de anillo de humo.
EJEMPLO 7.3 Sustentación
Considere un ala que viaja a una velocidad V, con una envergadura de 20 e, donde e es la
longitud de la cuerda. Dado un coeficiente de sustentación de 2.0 con un ángulo de ataque
de 0°, encuentre la intensidad del vórtice confinado y la velocidad a la que se mueven hacia
abajo los vórtices de borde bajo su propio campo de velocidades.
Solución Para un ala bidimensional, la ley de la sustentación de Joukowski (ecuación
7.32) da
F L = pu ~rK
Si se supone que el ala tiene una envergadura suficientemente grande para que la estimación de la sustentación bidimensional sea razonable, se tiene (dado que FL es la fuerza por
unidad de envergadura)
Por lo tanto
r
K
=Ve
Si se aproximan los vórtices de borde como un par de líneas de vórtices de extensión infinita, la velocidad de propagación hacia abajo está dada por la ecuación 7.34
r
u =P
ns
Así
Ve
V
u = --=P
nlOe n
de modo que
V
n
•
PROBLEMAS
7.1 Defina la vorticidad en ténninos del campo de velocidad vectorial. ¿Cómo es la "rotación" de
una partícula de fluido en relación con su vorticidad? Escriba en coordenadas cartesianas la
fonna general de la componente z de la vorticidad. ¿Cuál es la condición en el campo de velocidad vectorial para que el flujo sea irrotacional?
7.2 Para cierto flujo incompresible bidimensional se define la función de corriente '1jJ(x, y). ¿Se
satisface la ecuación de continuidad?
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254
CAPíTULO 7
FLUJOS INCOMPRESIBlES
IRROTACIONAlES
7.3 Si u = - Ae-ky cos kx y v = - Ae-kysen kx encuentre la función de corriente. ¿Este flujo es rotacional o irrotacional?
7.14 Un fluidr
locidad 1
u =ky.
7.4 Un flujo no viscoso está confinado por una pared ondulada en y
y = O.La función de corriente es
1/J =
=H
Y una pared plana en
b)
A (e-ky - eky) sen kx
donde A Y k son constantes.
a) ¿El flujo satisface la ecuación de continuidad?
b) ¿El flujo es rotacional o irrotacional?
e) Encuentre la distribución de presión en la pared plana, dado que p = Oen [O,O].
7.5 Un flujo no viscoso está confinado por una pared ondulada en y
y = O.La función de corriente es
1/J
= A (e-ky
Enc
¿Es
a)
7.15 Conside
función
y
= H Y una pared plana en
- eky) sen kx + By2
donde A, B Y k son constantes.
a) ¿"Elflujo satisface la ecuación de la continuidad?
b) ¿El flujo es rotacional o irrotacional?
e) Encuentre la distribución de presión en la pared plana, dado que p
o
FIGURJ
= Oen [O,O].
7.6 Para el flujo que define la función de corriente 1/J = VoY:
a) Dibuje las líneas de corriente.
b) Encuentre las componentes x y y de la velocidad en cualquier punto.
e) Encuentre el flujo volumétrico por unidad de anchura que fluye entre las líneas de corriente y = l y Y = 2
7.7 Encuentre la función de corriente para un flujo paralelo de velocidad uniforme, Vo, que forma
un ángulo a con el eje x.
7.8 Cierto campo de flujo está descrito por la función de corriente 1/J = xy.
a) Esquematice el campo de flujo.
b) Encuentre las componentes de velocidad x, y yen [O,O]; [1, 1]; [00, O]; [4, 1].
e) Encuentre el flujo volumétrico por unidad de anchura que fluye entre las líneas de corriente que pasan entre los puntos [O,O]y [1, 1] y los puntos [1, 2] Y [5, 3].
7.9 Exprese la función de corriente 1/J = 3x2y - y3 en coordenadas cilíndricas (observe que
sen 3e = 3sen ecos 2 e - sen 3 e). Esquematice las líneas de corriente y encuentre la magnitud
de la velocidad en cualquier punto.
7.10 Encuentre el potencial de velocidad en los cuatro problemas anteriores y esquematice las líneas de <p constante.
7.11 El potencial de velocidad para un campo de flujo en régimen permanente está dado por
x2 - y2. Encuentre la ecuación de las líneas de corriente.
7.12 Las componentes de la velocidad de un campo de flujo en régimen permanente son u
v = c(a2 + x2 _ y2).
a) ¿El flujo es incompresible?
b) ¿El flujo es rotacional o irrotacional?
e) Encuentre el potencial de velocidad.
d) Encuentre la función de corriente.
= 2cxyy
7.13 El potencial de velocidad para cierto flujo está dado en coordenadas cilíndricas por Cr'co« 2e,
donde e es una constante. Demuestre que representa el flujo en una esquina en ángulo recto.
Si la velocidad en r = 1m, e = Oes -10 mis, encuentre la velocidad en r = 2m, e =:rr/ 4.
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7.16 Dados
flujo.
7.17 Dado e
de vele
a) Ef
b) El
e) El
7.18 Dado (
de vek
a) D
b) E
[:
E
e)
7.19 Consi
un flu
sepan
sumir
a) 1
b) 1
e) 1
7.20 Unaf
gura
que 1
u~
--l
s;
FIGl
PROBLEMAS
ujo es rotad plana en
255
7.14 Un fluido fluye en dirección tangencial a una superficie plana paralela a la direcciónx. La velocidad u varía en forma lineal con respecto a y, la distancia desde la pared, de modo que
u =ky.
a)
b)
Encuentre la función de corriente para este flujo.
¿Este flujo es irrotacional?
7.15 Considere el flujo bidimensional paralelo de la figura P7-15. ¿Es irrotacional? Encuentre la
función de corriente, dado que u = 1.5 m/s en y = OY u = 4 m/s en y = 1.2 m.
y
.e¡
7
dplana en
/
/
u(y)
/
/
7
o
x
FIGURA P7-15
O].
eas de coquefonna
eas de coserve que
magnitud
tice las lídado por
=2cxyy
7.16 Dados u,
flujo.
= 11 r y
ue
= 11 r, encuentre la función de corriente
y esquematice el campo de
7.17 Dado el campo de velocidad del flujo irrotacional e incompresible que describe el potencial
de velocidad 1/> = A e (A > O).
a) Esquematice las líneas de 1/> constante.
b) Encuentre las componentes de velocidad u, y ue en cualquier punto.
e) Encuentre 1/J y esquematice algunas líneas de corriente
7.18 Dado el campo de velocidad del flujo irrotacional e incompresible que describe el potencial
de velocidad 1/J = ~ ,312 sen ~ e
a) Dibuje la línea de corriente 1/J = o.
b) Encuentre la velocidad en los puntos que definen las coordenadas cilíndricas [2, -'fJ y
[3, -¡¡-J.
e) Encuentre el potencial de velocidad 1/>.
7.19 Considere el flujo bidimensional no viscoso e incompresible que describe la superposición de
un flujo paralelo de velocidad Va' una fuente de intensidad q y un sumidero de intensidad -q,
separados por una distancia b en dirección del flujo paralelo, si la fuente está aguas arriba del
sumidero.
a) Encuentre la función de corriente que resulta y el potencial de velocidad.
b) Esquematice el patrón de las líneas de corriente.
e) Encuentre la posición del punto de estancamiento aguas arriba, con respecto a la fuente.
7.20 Una sonda de presión estática se construye con una nariz semicilíndrica, como muestra la figura P7-20. ¿Dónde debería estar la toma de presión para que mida la misma presión estática
que la que se encuentra lejos de la sonda en un flujo uniforme?
u~
~cos 2e,
lo recto.
/4.
1/J
FIGURA P7-20
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256
cAPITULO 7
FLUJOS INCOMPRESIBLES IRROTACIONALES
7.21 Una fuente bidimensional se coloca en un flujo uniforme con velocidad de 2 mis en la dirección x. El flujo volumétrico que emite la fuente es 4 m 3/s por metro.
a) Encuentre la ubicación del punto de estancamiento.
b) Esquematice la forma del cuerpo que pasa por el punto de estancamiento.
e) Encuentre el ancho del cuerpo.
d) Encuentre las presiones máxima y mínima en el cuerpo cuando la presión en el flujo uniforme es atmosférica. El fluido es aire y su temperatura es de 20 oC.
7.22 Repita el problema anterior usando el programa de computadora disponible en http://
www.engapplets.vt.edu, "La máquina de flujo potencial".
7.23 Coloque dos sumideros y una fuente en la dirección x, mediante el programa de flujo potencial disponible en http://www.engapplets.vt.edu ("La máquina de flujo potencial"), cada uno
con intensidades de 1 m3/s por metro, separados 2 m entre sí. Dibuje las líneas de corriente y
ubique los puntos de estancamiento. Varíe las intensidades de los sumideros y de la fuente
hasta que los puntos de estancamiento estén separados 4 m.
7.24 Coloque dos fuentes y dos sumideros en forma alternada en la dirección x, con el programa de
flujo potencial disponible en http://www.engapplets.vt.edu ("La máquina de flujo potencial"), separados 1 m entre sí y cada uno con intensidades de 4 m3/s por metro. Sume un flujo
uniforme de 2 mis de velocidad en la direcciónx. Dibuje las líneas de corriente. Varíe la intensidad de las fuentes y los sumideros (manteniendo iguales las intensidades relativas) hasta
que la línea de corriente que defina al cuerpo cerrado más grande posible tenga un eje mayor
del doble que el eje menor.
7.25 Coloque un doblete de intensidad - 8 m3/s en el centro del campo. Sume un flujo uniforme de velocidad 2 mis en dirección x. Coloque un vórtice en el sentido de las manecillas del
reloj en el centro del campo. Mediante el programa de flujo potencial disponible en http://
www.engapplets.vt.edu ("La máquina de flujo potencial") encuentre la intensidad del vórtice
que hará coincidir los dos puntos de estancamiento.
7.26 Coloque dos vórtices, uno en el sentido de las manecillas del reloj y otro en dirección contraria a las manecillas del reloj de intensidades de 10m3/s en la dirección x, separados 4 m, entre
sí. Con el programa de flujo potencial disponible en http://www.engapplets.vt.edu ("La máquina de flujo potencial"). a) Encuentre la velocidad uc ' en el punto medio entre ellos y verifique el resultado con la ecuación 7.19. b) Sume una velocidad vertical igual a O.Su c' y
encuentre la ubicación de los puntos de estancamiento.
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8
ANÁLISIS DIMENSIONAL
CAPÍTULO
El análisis dimensional es el proceso mediante el cual se examinan las dimensiones de las
ecuaciones y de los fenómenos fisicos para tener una nueva visión de sus soluciones. Este
análisis puede ser muy poderoso. Además de ser atractivo, permite simplificar en gran medida la solución de problemas y para problemas en los que las ecuaciones de movimiento
no se pueden resolver, establece las reglas para diseñar pruebas en modelos, que ayuden a
reducir en forma significativa el nivel de esfuerzo experimental.
El objetivo principal del análisis dimensional en mecánica de fluidos es identificar los
parámetros adimensionales importantes que describan el flujo. En consecuencia, se tienen
diversos parámetros adimensionales, cada uno con su propia interpretación fisica. Por
ejemplo, en la sección 1.7, el número de Reynolds, Re =UD/v, se describe como el parámetro que indica el inicio del flujo turbulento. Otro parámetro adimensional, el coeficiente
de presión, ep = (p - p ~ )/ ~ P V 2 , se analizó en el capítulo 3, donde se estableció que es la
razón entre la diferencia de presiones estáticas y la presión dinámica. Los coeficientes de
sustentación y arrastre, eL y eD ' se definieron en el capítulo S' y en la sección 1.3 .6, se presentó el número de Mach, M, que se interpretó como la razón entre la velocidad de onda y
la velocidad del flujo.
Los parámetros adimensionales son muy comunes en mecánica de los fluidos y hay
buenas razones para ello.
1. El análisis dimensional conduce a grupos reducidos de variables. Un problema
donde la variable de "salida", como la fuerza de sustentación, que determina un
grupo de (N -1) variables de "entrada" (por ejemplo, longitud, velocidad, frecuencia, humedad, rugosidad, etcétera), en general se expresa en términos de un total de
(N - 3) grupos adimensionales (por ejemplo, coeficiente de sustentación, número
de Reynolds, número de Mach, etcétera).
2. Cuando en un flujo de aire se prueba el modelo de un objeto a escala, como un automóvil o un aeroplano, el análisis dimensional provee la guía para escalar los resultados del modelo de prueba a la escala real. En otras palabras, el análisis
dimensional establece las reglas con las que en modelos de prueba es posible alcanzar la semejanza total. De esta forma, los modelos de prueba, por ejemplo el modelo de un propulsor, se pueden relacionar con el prototipo en escala real (figura 8-1).
3. Los parámetros adimensionales son más convenientes que los parámetros dimensionales, ya que son independientes de los sistemas de unidades. En ingeniería, en
ocasiones se usan ecuaciones dimensionales, las cuales causan confusión, errores y
desperdicio de esfuerzo. Las ecuaciones dimensionales dependen del uso de las
unidades que requiera cada una de las variables o la respuesta será incorrecta. Son
comunes en ciertas áreas de ingeniería, por ejemplo en los cálculos de transferencia
de calor y en la descripción del rendimiento de turbomáquinas.
257
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258
CAPíTULO 8
ANÁLISIS DIMENSIONAL
FIGURA 8.1 Cavitación en un modelo de propulsor. Las burbujas se generan cerca de las puntas de
cada aspa y forman un patrón helicoidal en la estela. Cortesía de la Garfield Thomas Water Tunnel,
Pennsylvania State University.
4. Las ecuaciones y la presentación de datos adimensionales son más atractivas que
sus contrapartes dimensionales. Las soluciones en ingeniería deben ser prácticas,
pero siempre son más atractivas cuando despliegan un sentido de elegancia o estilo.
La aplicación más importante del análisis dimensional se presenta cuando las ecuaciones
de movimiento no se pueden resolver. Este es a menudo el caso en mecánica de los fluidos .
Existen muy pocas soluciones exactas de las ecuaciones de movimiento y para la gran mayoría de los problemas de ingeniería que involucran flujos de fluidos, son necesarios análisis aproximados que simplifiquen en forma considerable las ecuaciones o desarrollar
experimentos para determinar de manera empírica el comportamiento del sistema en un
intervalo de interés. En ambos casos, el análisis dimensional tiene una función fundamental y reduce el esfuerzo que conllevan interpretaciones sin significado de las respuestas obtenidas. En vez de resolver las ecuaciones en forma directa, el propósito es encontrar las
variables importantes (fuerza, velocidad, densidad, viscosidad, tamaño del objeto, etcétera), ordenar estas variables en grupos adimensionales y escribir la forma funcional del
comportamiento del flujo. Este procedimiento establece las condiciones bajo las que sucede la semejanza y siempre reduce el número de variables que se deben considerar.
Para el análisis dimensional es raro proporcionar en realidad la relación analítica que
rige el comportamiento. En general, sólo se puede encontrar la forma funcional y la relación real se determina con experimentos. Éstos también verifican si cualquier parámetro
que se ignore en el análisis se consideró, en forma indebida, como despreciable. Para observar cómo funciona el análisis dimensional, primero es necesario definir qué sistema de
dimensiones se usará y qué se entiende por "ecuación fisica completa".
8.1 HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL
Cuando en ingeniería se escribe una ecuación algebraica, rara vez sólo se usan números.
En general, el interés está en cantidades como longitud, fuerza o aceleración. Estas canti-
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8.1
HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL
259
dades tienen una dimensión (por ejemplo, longitud o distancia) y una unidad (por ejemplo,
pulgada o metro). En mecánica de fluidos, las cuatro dimensiones fundamentales son
masa, M, longitud, L, tiempo, r, y temperatura, e. Un sistema alterno usa fuerza, longitud,
tiempo y temperatura, pero en este libro no se usará.
Las siguientes son algunas variables comunes y sus dimensiones (los corchetes se
usan como abreviatura de "las dimensiones de ... Son").
[Velocidad angular] =
medida angular
1
.
= TtIempo
masa = ML-3
volumen
longitud
[Velocidad] = - . - - = LT- 1
tIempo
[Densidad] =
[Aceleración] =
[Fuerza]
[Presión]
longitud
2
.
2 = LT(tiempo)
= masa x aceleración = MLT-2
= ~erza = ML-1r-2
area
[Trabajo]
[Momento]
= fuerza
= fuerza
= ML2T - 2
x distancia = ML2 T-2
x distancia
[Potencia] = fuerza x velocidad = ML2 T- 3
esfuerzo
[Viscosidad dinámica]
gradiente de velocidad
= ML- 1T- 1
(fuerza / área)
(velocidad/longitud)
.
.
.
..
_ viscosidad _
viscosidad
_ 13 T-1
[VIscosidad cmematlca] - d ·d d - (
/ I
) ensl a
masa vo umen
?
fuerza
[Tensión superficial] = - -.= MT-longitud
Algunas cantidades ya son adimensionales. Éstas incluyen números puros, grados angulares o radianes y deformaciones específicas.
El concepto de dimensión es importante porque sólo es posible sumar o comparar cantidades con dimensiones similares: longitudes a longitudes y fuerzas a fuerzas. En otras
palabras, todas las partes de una ecuación deben tener las mismas dimensiones (esto se denomina principio de homogeneidad dimensional), y si la ecuación satisface este principio
se le llama ecuación fisica completa. Por ejemplo, la ecuación de Bernoulli.
E + 1V 2 + gh=constante l
p 2
(8.1)
Las dimensiones de cada término en la ecuación se pueden examinar escribiendo su equivalente dimensional.
M L
L3
L2
L
- - x - + - + - x L = constante]
2
2
2
L r
M r
r2
(el número ~ es sólo un número de conteo sin dimensiones). O sea,
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260
CAPíTULO 8
ANALlSIS DIMENSIONAL
L2
-
T2
L2
+-
T2
L2
+-
T2
= constante¡
Todas las partes del lado izquierdo tienen las dimensiones de (velocidadf y la ecuación es
homogénea dimensionalmente. La constante del lado derecho debe tener las mismas dimensiones que la de la izquierda, de modo que en este caso [constante¡] = L 2 IT 2 .
Si rescribimos la ecuación 8.1 como
p
V2
- + ~ - + h = constante2
pg
g
o
p + ~ P V 2 + pgh = constante3
entonces, en el primer caso, cada término tiene dimensiones de longitud (incluyendo la
constante2) y en el segundo, cada término tiene dimensiones de presión (incluyendo
la constante3).
Todas las ecuaciones físicas son dimensionalmente homogéneas.
Para expresarlo de otra forma, para medir cualquier cantidad física primero se debe elegir
una unidad de medida, cuya magnitud sólo depende de nuestra preferencia particular. Esta
arbitrariedad en la selección del tamaño de una medida conduce al postulado siguiente:
cualquier ecuación que describa un fenómeno físico real puede formularse de manera que
su validez sea independiente del tamaño de las unidades de las cantidades primarias. Estas
ecuaciones, por lo tanto, se llaman ecuaciones físicas completas. Todas las ecuaciones de
este libro son completas. Cuando una ecuación se escribe de memoria, siempre es conveniente revisar las dimensiones de todas sus partes, sólo para asegurarse de que se recuerda
correctamente. También ayuda en una manipulación algebraica o prueba como una revisión rápida del resultado.
8.2 APLICACiÓN DE LA HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL
En esta sección se demuestra cómo usar el principio de homogeneidad dimensional para
reducir el número de parámetros que describen un problema. Para apreciar cómo se realiza
lo anterior, primero es necesario entender cómo pueden manipularse las relaciones expresadas en forma funcional y qué se entiende por variables independientes. Estos conceptos
se ilustran con los ejemplos siguientes.
8.2.1 Ejemplo: Salto hidráulico
Considere un salto hidráulico. Este es el nombre que se da a las ondas estacionarias en un
flujo de agua. Un ejemplo simple se tiene al dejar caer una corriente de agua sobre una superfície plana, como una placa. El agua se esparce por la placa en una capa delgada y a
cierta distancia del punto de impacto, se presenta un súbito aumento en el nivel del agua.
Este es un salto hidráulico circular. En el fondo de un dique vertedero se observa un salto
plano, como ilustra la fígura 8-2. En ese caso, el cambio súbito en el nivel del agua puede
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8.2 APLICACiÓN DE LA HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL
FIGURA 8-2
mens.
261
Salto hidráulico que se forma cerca del fondo de un vertedero. Con autorización de Sie-
describirse de manera aproximada por una relación simple conocida como relación del salto hidráulico
2
H¡
H
=~(~1+8F¡2
2
-lJ
(ecuación 11.9), donde F¡ = V¡ / ~ gH¡ es una cantidad adimensionalllamada número de
Froude, H es la altura del agua y los subíndices 1 y 2 se refieren a las condiciones aguas
arriba yaguas abajo del salto. La relación del salto hidráulico también puede escribirse
como
H
2
-=fj>
(F¡)
(8.2a)
H¡
donde la notación fj>() indica una dependencia funcional. Esta expresión establece que la
proporción de las profundidades del agua a través de un salto hidráulico sólo depende del
número de Froude, F¡. La misma dependencia funcional se puede escribir en forma dimensional, de modo que
(8.2b)
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262
CAPíTULO 8
ANÁLISIS DIMENSIONAL
Deben considerarse cuatro puntos. Primero, la forma adimensional (ecuación 8.2a) sólo
contiene dos parámetros (adimensionales), mientras que la forma dimensional (ecuación
8.2b) tiene cuatro parámetros (dimensionales). Segundo, es necesario incluir la constante
dimensional g. Es imprescindible incluir todas las "constantes" dimensionales (por ejemplo, g, la velocidad del sonido, la densidad del agua, etcétera) en cualquier análisis dimensional dado que las dimensiones de las constantes son tan importantes como cualesquiera
de las dimensiones de las variables. Las únicas constantes verdaderas son constantes adimensionales.
Tercero, la relación en la ecuación 8.2a puede escribirse en diversas formas alternativas. Por ejemplo, es posible escribirla como
U sando el inverso del número de Froude, en vez del número de Froude en sí, cambia la forma de la función, pero no el hecho de que los saltos hidráulicos dependen sólo del número
de Froude.
Cuarto, considere la relación funcional
H2
¡ ¡ = </J(FI ,p)
(8 .3)
1
Puesto que el lado izquierdo es adimensional, el lado derecho también debe ser adimensional. Cualquier término del lado derecho que incluya sólo el número de Froude es correcto,
pero los términos que incluyan alguna función de la densidad no pueden ser adimensionales. Por lo tanto, la ecuación 8.3 no es correcta; dado que el lado derecho debe ser adimensional, no puede depender de la densidad por sí misma. Esta observación conduce a dos
conclusiones, que se derivan de bases dimensionales: ya sea que la densidad no sea importante y se deba eliminar del problema o haya otras variables en el problema que se han dejado fuera. Si se estuviera convencido de que la densidad es importante, se requiere otro
parámetro que también tenga las dimensiones de la densidad de manera que ésta pueda hacerse adimensional. Un parámetro que se sugiere es la viscosidad, fl. Éste no tiene por sí
mismo las dimensiones de la densidad, pero al combinar la viscosidad con alguna de las
cantidades que existen lo puede hacer. Por ejemplo, la combinación fl!V¡ H¡ tiene las dimensiones de masa por unidad de volumen, de ahí que una posibilidad de tener la relación
de salto hidráulico dimensionalmente correcta que incluya la densidad como una de las variables es
El nuevo grupo adimensional se reconoce como el número de Reynolds que se basa en las
condiciones del flujo aguas arriba.
8.2.2 Ejemplo: Arrastre sobre una esfera
Supongamos que se desea conocer la fuerza de arrastre, F D , sobre una esfera de diámetro
D en un flujo con velocidad V. Las ecuaciones de movimiento para este flujo sólo pueden
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8.2 APLICACiÓN DE LA HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL
263
resolverse en condiciones muy restringidas y las ecuaciones completas son muy complicadas para obtener una solución general. Es necesario recurrir al análisis dimensional y a la
experimentación.
Suponga que la fuerza de arrastre, F D ' sólo depende de la densidad del fluido, p , la velocidad de la corriente, V , el diámetro, D , y la viscosidad del fluido , ¡,t. Es decir
FD
= f(p , V, D , ¡,t)
(8.4)
Dada esta forma dimensional, ¿qué se consideraría en forma experimental para encontrar
la fuerza de arrastre en un intervalo amplio de las variaciones de velocidad, diámetro, densidad y viscosidad? Como ejemplo, suponga que para definir una curva experimental se
requieren casilO puntos. Para encontrar el efecto de la velocidad es necesario correr el experimento para 10 valores diferentes de V, mientras todas las otras variables se conservan
constantes (figura 8-3a) . Para encontrar el efecto del diámetro en cada velocidad, se debe
encontrar F D para 10 valores diferentes de D para cada velocidad, mientras todas las otras
variables se conservan constantes, de modo que el número total de experimentos crece a
100. Para cada V y cada D se necesitan 10 valores de ¡,t (figura 8-3b) y 10 valores de p (figura 8-3c), ¡haciendo un gran total de 10000 experimentos!
En su lugar, es posible reagrupar estas variables en grupos adimensionales, paso a
paso. Lo anterior se puede hacer de diversas maneras, pero el objetivo de cada paso es hacer adimensionales todas las variables de la relación funcional, excepto una, con respecto
a una de las dimensiones fundamentales . La variable dimensional que permanece se puede, entonces, eliminar, como se mostrará. Se emplearán las tres dimensiones fundamentales: longitud, L, masa, M, y tiempo, T. 1
Primero, todas las variables, excepto la densidad, se hacen adimensionales en masa.
No es necesario empezar con la densidad y la masa, pero sí conveniente. Divida ambos lados de la ecuación 8.4 entre p , para cambiar la variable dependiente a F D / p , que tiene dimensiones [MLT - 2 / ML- 3 ] = [L4 r -2 ]. Así
F D = f (p , V, D , ¡,t)
p
(8.5)
p
o
F
- D = f l (p ,V, D , ¡,t )
P
b)
(8.6)
e)
FIGURA 8-3 Experimentos para encontrar la fuerza de arrastre sobre una esfera: a) variación de V para
diferentes D , manteniendo constantes a p y fi; b) para cada punto de a) variar la viscosidad, conservando p
constante; c) para cada punto en b), variar la densidad.
I
El tratamiento siguiente se adaptó de Dimensional Analysisfor Engineers por E.S. Taylor, publicado por Clarendon Press,
Oxford , 1974, y Engineering Applieatiol1s ofFluid Meehanies por Hunsaker y Rightrnire, publicado por McGraw-Hill, 1947.
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264
cAPiTULO
8
ANÁLISIS DIMENSIONAL
El paso para ir de la ecuación 8.5 a la 8.6 es perfectamente legítimo: la ecuación 8.5 establece que FD / p depende de la densidad, la velocidad, el diámetro y la viscosidad; la ecuación 8.6 establece lo mismo, aunque la función f1 es muy diferente a la función f.
En la ecuación 8.6, la viscosidad f.l es la única variable independiente (además de p)
con dimensiones distintas de cero en la masa. Se define una nueva variable independiente
u] p que tiene las dimensiones [ML-1T-1 / ML-3] = [L2T-1]. Así
(8.7)
Este cambio de f.l a f.l/ p es permisible, puesto que las ecuaciones 8.6 y 8.7 aún expresan la
misma dependencia funcional porque p y f.l son independientes. La independencia significa que en la determinación de la fuerza de arrastre, p y f.l se pueden variar por separado
(como en la ecuación 8.6) o variar también por separado p y u] p (como en la ecuación
8.7). En otras palabras, p puede variar sin variar f.l/ p, sólo con cambiar f.l de manera que
sea proporcional al cambio de p. En cualquier caso las dificultades prácticas podrían ser
las mismas: mantener constante a f.l o f.l/ p mientras p varía, en general, requiere un cambio
de fluido o de temperatura.
Ahora, los cambios de variable para ir de la ecuación 8.6 a la 8.7 no tienen efecto en la
integridad de la ecuación. Por lo tanto, la validez de la ecuación 8.7 no se puede afectar por
el cambio en el tamaño de la unidad de masa de slugs a kilogramos, por ejemplo. La razón
FD / p no se afecta por este cambio porque es independiente de las unidades de masa. Asimismo, el valor de f2 (p, V, D, E) debe permanecer sin alteración. Los valores de V, D Y
f.l! p permanecen iguales, pero ef valor de p será diferente. En consecuencia, f2 no depende de p, sólo de V, D Y f.l/ p. Este fue el mismo razonamiento que permitió concluir que la
ecuación 8.3 podría no ser correcta. En ese caso, la densidad se eliminó con bases dimensionales y aquí se aplica el mismo argumento. La densidad, entonces se descarta y
Esta es la matri
que tiene la dir
De esta maner
que es la matr
Para obtei
to la velocidar
mensiones [L
[L2T-1
/
LT-l
(8.8)
Este procedimiento se ilustra con más claridad mediante la matriz de dimensiones. En esta
matriz, las columnas son los parámetros que rigen el flujo y los renglones, las dimensiones
y los elementos de la matriz, los exponentes de las dimensiones de cada parámetro. La matriz de dimensiones que corresponde a la ecuación 8.6 es
FD
M
L
T
1
P
1
1 -3
-2
O
f.l
V
D
O
O
1
1 -1
-1
O
1
-1
Este resultad:
V2, mientras
en realidad si
dientes del ti
cualquier for
dan cambiar
gítimo y no:
(sección 8.4,
De acuei
la ecuación (
no a otra var
Empezando con el renglón de la masa, todas las variables que contienen la masa se hacen
adimensionales en masa, excepto la densidad, dividiendo todas las variables de ese renglón entre la densidad.
La matriz d(
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8.2
APLICACiÓN
FD
P
p
(8.7)
M
O
L
4
-3
T
-2
O
toen la
ctarpor
arazón
a.AsiV,Dy
depenquela
dimen-
265
O
O
O
1
1
2
O
-1
p
Esta es la matriz de dimensiones correspondiente a la ecuación 8.7. La densidad es la única
que tiene la dimensión de masa y, por lo tanto, se puede eliminar. Por consiguiente
M
L
D
O
O
O
4
1
1
p
O
2
-1
O
-2 -1
T
!:':.
V
p
De esta manera, el renglón de la masa está vacío y se puede borrar. Así
VD!:':.
FD
p
L
p
4
1
1
T -2 -1
2
O -1
que es la matriz de dimensiones que corresponde a la ecuación 8.8.
Para obtener todas las demás variables se puede usar un procedimiento similar, excepto la velocidad, con cero dimensiones en el tiempo. Cambie FD/p a FD/pV2, que tiene dimensiones [L4T-21L2T-2]
= [L2], y cambie fi/ p a fi/ p V, que tiene dimensiones
de
[L2T-1ILT-1]
= [L]. Entonces
F
D
(8.8)
Enesta
sienes
Lama-
D
-1
DIMENSIONAL
!:':.
V
1
FD
resan la
signifieparado
uación
era que
ían ser
cambio
DE LA HOMOGENEIDAD
pV
2
=f
3
(V D
'
,
L)
P
V
Este resultado es cuestionable, dado que en apariencia el lado izquierdo se dividió entre
V 2 , mientras que en el lado derecho sólo se cambió un término y se dividió entre V. Lo que
en realidad sucede es que las cantidades del lado derecho e izquierdo se hicieron independientes del tiempo mediante V (que contiene tiempo como dimensión fundamental) de
cualquier forma. Mientras los parámetros permanezcan independientes, es decir, se puedan cambiar de manera diferente a la que cambian otros parámetros, este es un proceso legítimo y no altera la dependencia funcional básica, aunque sí cambia la función misma
(sección 8.4, paso IVc).
De acuerdo con argumentos previos, V se puede eliminar, en virtud de la integridad de
la ecuación (puesto que un cambio en la unidad de medición del tiempo afectará a V, pero
no a otra variable) y se obtiene
hacen
se renLa matriz de dimensiones
se reduce a
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266
CAPiTULO 8
ANÁLISIS DIMENSIONAL
L
2
1
Una tercera aplicación del mismo razonamiento conduce a
Es decir
Por último
(8.9)
En el último paso, en el denominador del lado izquierdo, se incluyeron los números adimensionales ~ y de modo que el denominador es de la forma presión dinámica x área de
la sección transversal. Esto permite escribir la dependencia funcional como
1-,
C D = g(Re)
esto es, el coeficiente de arrastre adimensional C D es una función del número de Reynolds. Para una esfera, el C D se define por
(8.10)
La ecuación 8.4, que incluye cinco variables dimensionales, se simplificó por razonamientos puramente dimensionales a la ecuación 8.9, que sólo incluye dos variables adimensionales. Es claro que los datos experimentales se pueden correlacionar con más facilidad
mediante la ecuación 8.9 que con la 8.4. Con esta metodología sólo se requieren 10 experimentos en vez de 10 000 para determinar el comportamiento completo del arrastre.
Los resultados experimentales se muestran en la figura 8-4. Los datos se obtuvieron
usando esferas de diferentes diámetros, en un intervalo muy amplio de velocidades y para
diferentes fluidos . Se aplica a partículas de polvo dispersas en la atmósfera, burbujas
que suben en un vaso de cerveza, gotas que fonnan un inyector de combustible, balones de
futbol y balas de cañón lentas (lentas porque los efectos de la compresibilidad se vuelven
importantes a altas velocidades y no se consideraron). Mediante una representación adimensional todos los resultados se pueden reunir en una sola curva.
Aunque este análisis redujo el número de variables de cinco dimensionales a dos adimensionales, la respuesta no es única: la ecuación 8.9 no es la única forma que puede obtenerse al empezar con la ecuación 8.4. Al operar con fi en vez de p o multiplicando el lado
izquierdo de la ecuación 8.9 por el número de Reynolds, también se puede obtener
(8.11 )
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,r
8.3
198
60
40
I
"~
~
i'o. •••••
•
.....
I
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1.1
.0
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por
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2
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0.8
0.6
0.4
~
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••••
0.2
10-1
267
r""
19
6
4
ros adiárea de
DE GRUPOS ADIMENSIONALES
~
20
(8.9)
EL NÚMERO
2
4 6 10° 2
4 6 101 2
4 6 102
2
4 6 103
2
4 6 104
2
4 6 105
2
4 6 106
Re=UDlv
FIGURA 8.4
Arrastre en una esfera. Adaptado de Schlichting, Boundary Layer Theory, 7a. ed., McGraw-
Hil!,1979.
e Rey-
(8.10)
ypara
bujas
nes de
elven
ón adios adie obteel lado
(8.11)
Se encuentra que, excepto en números de Reynolds muy pequeños, la ecuación 8.9 es preferible a la ecuación 8.11, porque F / ~ p V 2 (¡D 2) varía menos que F / fl VD en el intervalo
práctico de la variable independiente p VD / u.
De esta forma se ve que es posible obtener más de un resultado y la selección de los
grupos adimensionales a usar es arbitraria por completo. En general se eligen grupos con
algún significado, esto es, grupos que tengan una interpretación fisica como el número de
Reynolds, el de Froude, etcétera. Este tema se analiza en la sección 8.6.
El primer tratamiento formal de la aplicación de la homogeneidad dimensional lo
efectuó Buckingham en 1892 y que más tarde se conoció como "teorema Buckingham TI".
Los parámetros adimensionales en ocasiones se denominan productos TI por esta conexión
con el teorema de Buckingham TI.
Siempre es cierto que el número de parámetros se reduce con la adimensionalización.
Cada vez que una ecuación se hace adimensional con respecto a una de las dimensiones
fundamentales, el número de parámetros se reduce en uno. Así es posible esperar que, para
un total de N variables (incluyendo variables de "entrada" y "salida"), el número de productos TI = N - (número de dimensiones fundamentales). La validez de este teorema se
analiza en la sección siguiente.
8.3 EL NÚMERO DE GRUPOS ADIMENSIONALES
¿Cuál es la validez de la regla "el número de productos TI = N - (número de dimensiones
fundamentales)"? Es más o menos fácil demostrar que en algunos casos falla. Por ejemplo,
suponga que se necesita encontrar la dependencia funcional de la velocidad del sonido a,
que podría ser una función de la presión, p, y la densidad, p. En total se tienen tres paráme-
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268
cAPiTULO
8
ANÁLISIS DIMENSIONAL
tras y si se elige M, L YT como las dimensiones fundamentales, la regla SUge1ía que no se
pueden encontrar grupos adimensionales.
Sin embargo, la combinación al pl p es adimensional, por lo que al menos existe un producto n.
Se puede encontrar una regla mejor al examinar la matriz de dimensiones. Para el
ejemplo del arrastre en la esfera de la sección anterior, se tiene
FD
M
L
T
V
1
O
O
1 -3
1
1 -1
1
D
fJ-
P
O -1
-2
En el problen
ticular en COI
Considei
Entonces
1
O -1
La regla que siempre funciona dice
El número de grupos adimensionales
rango de la matriz de dimensiones.
es igual al número total de parámetros
menos el
El rango de una matriz es el orden del determinante más grande en la matriz con valor diferente de cero (sección A.1). Al tratar con diferentes determinantes de orden 3 en la matriz
para el problema de la esfera, es posible encontrar, por lo menos, un determinante diferente de cero (por ejemplo, trate con las columnas encabezadas con F D ' P y V) Y así el rango
de esa matriz es 3. El número de productos n es, por lo tanto, 5 - 3 = 2, como se encontró
antes.
¿Qué pasa con el ejemplo de la velocidad del sonido? La matriz de dimensiones para
este caso es
a
M
O
L
1
T
Sólo existe un determinante
-1
1
1
-1
-3
-2
O
Ox [(-1 x O) - (-3 x - 2)] -1 x [(1 x O) - (-3 x -1)]
+ 1x [(1 x - 2) - (-1 x -1)]
=O
Por lo tanto, el rango de la matriz no puede ser igual a 3. ¿Es 2? Sí, puesto que es fácil encontrar un determinante de orden 2 diferente de cero. El número de grupos adimensionales
es, por consiguiente, 3 - 2 = 1 Y está dado por
I
=_a_
~p/p
Cuando sólo existe un grupo adimensional, como en este caso, no puede ser función de
ningún otro, ya que eso naturalmente requerirá de otro número adimensional. Por lo tanto:
Cuando sólo existe un grupo adimensional
¿Qué pasa ~
p
p
de orden 3 que se puede ajustar y es igual a
n
El rango de.
metros en la
de parámetr
ese grupo debe ser una constante.
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El rango d~
les es5-3
La densida
masa que s
(esto ya se
Elaná
Establece 1
plo, si se CI
ria otra Va
densidad 2
ción de las
se incluye
número de
El ané
madefluj
tos, y es el
describir:
8.3
ueno se
/pesadi-
EL NÚMERO
DE GRUPOS ADIMENSIONALES
269
En el problema de la velocidad del sonido, el valor de la constante depende del fluido particular en consideración.
Considere otro ejemplo basado en la bomba hidráulica (sección 8.2.1). Suponga que
s. Para el
H2
= "!/J¡(Hi' Vi'
g)
Entonces
H2
H¡
V¡
g
M
O
O
O
O
L
1
1
1
1
T
O
O
-1
-2
El rango de esta matriz no puede ser 3 por los ceros del renglón de arriba; no se tienen parámetros en la dimensión de la masa. El rango que se encuentra es 2, de modo que el número
de parámetros adimensionales es N - 2 = 2. Ya se sabe que esto da
alordifelamatriz
diferen'el rango
encontró
¿Qué pasa si la densidad se incluye en la lista de parámetros?
nes para
fácil ensionales
ción de
o tanto:
H2
HI
V¡
g
P
M
O
O
O
O
L
1
1
1
1 -3
T
O
O
-1
-2
Entonces
1
O
El rango de esta nueva matriz es 3, de manera que el número de parámetros adimensionales es 5 - 3 = 2. Pero ya se tienen 2: la proporción de profundidades y el número de Froude.
La densidad no debe aparecer, dado que no existe otro parámetro con una dimensión de
masa que se pueda usar junto con la densidad para hacer un nuevo parámetro adimensional
(esto ya se mencionó tomando en cuenta los principios básicos en la sección 8.2.1).
El análisis dimensional, por lo tanto, ayuda a encontrar la lista correcta de parámetros.
Establece que cierto parámetro no debe aparecer y también si falta algún otro. Por ejemplo, si se cree que el salto hidráulico depende de la densidad del fluido, entonces es necesaria otra variable con dimensiones de masa distintas de cero, como la presión, para hacer la
densidad adimensional en la masa. Así se termina con 3 grupos adimensionales: la fracción de las profundidades, el número de Froude y un coeficiente de presión. En ocasiones
se incluye la viscosidad, que también tiene a la masa entre sus dimensiones, y aparecería el
número de Reynolds.
El análisis dimensional no puede decir qué productos TI son importantes en un problema de flujo particular. Los resultados del análisis siempre se deben probar con experimentos, y es el experimento el que de hecho demostrará qué productos TI son importantes para
describir al flujo.
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270
CAPíTULO 8
ANÁLI SIS DIMENSIONAL
8.4 PROBLEMAS DE ADIMENSIONALlZACIÓN
En los problemas donde la adimensionalización se supone útil:
Paso 1
Paso 2
Paso 3
Paso 4
Paso 5
Paso 6
Paso 7
Determine el número total de parámetros, incluyendo las cantidades de entrada y salida (en el ejemplo de la esfera hay cinco: F , V, D , Ji Yp). Este es el
paso más importante del proceso, dado que define el problema. También es
el paso más dificil.
Seleccione un grupo de dimensiones fundamentales , en general masa, longitud y tiempo (M, L y T).
Escriba la matriz de dimensiones. En esta matriz, las columnas son los parámetros y los renglones, las dimensiones. Los elementos son los exponentes
de las dimensiones de cada parámetro.
Encuentre el rango r de la matriz de dimensiones (el rango de una matriz
es el orden del determinante más grande en la matriz con un valor distinto
de cero). Siempre serán N - r parámetros adimensionales. En la mayoría de
los casos, pero no siempre, el rango de la matriz será 3, puesto que hay tres
dimensiones fundamentales (sección 8.3).
Establezca estos N - r parámetros:
a) Mediante su intuición. Por ejemplo, en los problemas donde la viscosidad sea importante, el número de Reynolds en general aparece. En forma
similar, si está presente un flujo de alta velocidad se considerará el número de Mach y si hay ondas o una superficie libre con seguridad será útil el
número de Froude. En otros problemas es posible tomar la variable dependiente (el resultado) y seleccionar un grupo de parámetros de entrada que, al combinarlos con la variable dependiente, formen un grupo
adimensional. El proceso puede entonces repetirse para hacer grupos
adimensionales usando sólo parámetros de entrada. La matriz de dimensiones puede ser muy útil en esta consideración. Recuerde, la respuesta
no es única. Esto no significa que cualquier respuesta lo sea, sólo que es
posible más de una respuesta. No obstante, algunas respuestas son "mejores" que otras (las que usan productos rr típicos, por ejemplo). 2
b) Revise el resultado. Verifique que cada producto rr es adimensional.
e) Revise que todos los productos rr sean independientes. Es decir, si uno
de los parámetros adimensionales es sólo la combinación de otros, o sólo
es otro elevado a alguna potencia, no es independiente. Una buena revisión para la independencia es verificar que cada uno de los productos rr
contenga un parámetro que no tenga ninguno de los otros.
Observe si cualquiera de los parámetros adimensionales no es importante, y
entonces ignórelo, lo cual requiere buen juicio.
Pruebe con experimentos sus resultados. Este paso es muy importante, dado
que verificará o rechazará todas sus suposiciones, en especial los pasos 1,
5 Y 6.
2
Para encontrar los productos Tlalgunos textos recomiendan el método de índices. Sin embargo, este método carece de lógica
y puede llevar a errores y, por ello, se previene de manera insistente de su uso.
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8.5
EJEMPLO
DE FLUJO EN TUBOS
271
Por último, recuerde que el análisis dimensional es matemático, no fisico. Por ejemplo,
ninguna manipulación puede compensar el que se ignore un parámetro fisico importante
en el paso 1.
s de ente es el
bién es
os paráonentes
a matriz
distinto
yoríade
hay tres
8.5 EJEMPLO DE FLUJO EN TUBOS
Considere un flujo en un tubo circular, horizontal, de longitud L y diámetro D. La velocidad promedio, integrada a través del área de la sección transversal, es V (= flujo volumétrico/área). Desarrolle una función para la caída de presión, I1p y exprese el resultado en
forma adimensional.
Paso 1
Determine el número total de parámetros. Se prevé que I1p dependerá de L,
D, V, P y u, pero ¿de qué más? Debería depender de la rugosidad de la superficie k, donde k es alguna medida de la altura promedio de la rugosidad.
No debería depender de la gravedad, puesto que el tubo es horizontal. Debería depender de la velocidad del sonido, pero si el número de Mach es pequeño se podría ignorar. Se empieza con el número mínimo de parámetros,
de modo que
I1p =CPl (L, D, V, p,
Paso2
Paso 3
Seleccione un grupo de unidades fundamentales.
Escriba la matriz de dimensiones (N = 7):
F
M
grupo
grupos
dimenspuesta
o que es
on "me2
onal.
,si uno
s, o sólo
na reviuctos rr
L
T
Paso 4
Paso 5
u, k)
1
p
1
1 -3
-2
Aquí se eligen M, L Y T.
¡,t
V
D
k
L
O
O
O
O
1
1
1
1 -1
O
O
O -1
O -1
1
Encuentre el número de parámetros adimensionales. Puesto que el rango de
la matriz es 3, se tiene N - 3 = 7 - 3 = 4 parámetros adimensionales.
a) Agrupe parámetros adimensionales. Empiece con la caída de presión.
Para hacerla adimensional, se requiere una combinación de los otros parámetros que tengan las dimensiones de presión. Una candidata probable es
la presión dinámica, ~ p V 2. El primer grupo adimensional resulta
I1p
~pV2
Este grupo se interpreta como el cociente entre el trabajo hecho para vencer el aumento de la presión y la energía cinética del movimiento. El segundo grupo adimensional posible es
L
D
ede lógica
Esta fracción es útil porque establece si el tubo es corto o largo comparado
con su diámetro. El tercer grupo adimensional es
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272
cAPiTULO 8
ANÁLISIS DIMENSIONAL
k
D
t,
15
que es más significativo que ya que un valor grande de se puede interpretar de inmediato como un efecto de bloqueo severo debido a la rugosidad. ¿Qué queda? La viscosidad no se ha usado, así que es posible usar el
número de Reynolds como el cuarto grupo adimensional.
pVL
fl
Por último
(8.12)
Paso 6
b) Revise que los grupos II sean en realidad adimensionales. Aquí, este paso
es muy directo: el lado izquierdo de la ecuación 8.12 se reconoce como un
coeficiente de presión y el lado derecho contiene cocientes de longitudes
y un número de Reynolds.
e) Revise que los grupos adimensionales sean independientes. Ninguno de
los parámetros adimensionales que se encuentren pueden formarse con la
combinación de otros y ninguno de ellos puede ser otro elevado a cierta
potencia. Además, cada producto II tiene algo que ninguno de los otros
tiene: /j.p está en el primero, fl en el segundo, L en el tercero y k en el cuarto. Por lo tanto, estos productos II son independientes.
Decida si son importantes. Una sugerencia sería que, puesto que los tubos
son largos comparados con sus diámetros, puede existir un estado asintótico
donde las propiedades del fluido no cambian con incrementos de longitud.
De hecho, sabemos que esto pasa. Después de 40 y hasta 100 diámetros, las
propiedades promedio del flujo quedan libres de los efectos de la entrada, y
el perfil de velocidad está completamente desarrollado, lo cual significa
que es independiente de la posición en dirección del flujo. En este caso, el
parámetro dejaría de ser importante y podría despreciarse. Esto también
implicaría que no se usara la caída de presión en la longitud total del tubo
(ya que un flujo completamente desarrollado no depende de la distancia a lo
largo del tubo) y en su lugar, se emplearía la caída de presión por unidad de
longitud, expresada en términos del número de diámetros. Una forma más
adecuada sería
i
(8.13)
El parámetro 1;- se llama rugosidad relativa. El parámetro del lado izquierdo
se denomina tactor de fricción, f, definido por
. _ ('''[)D
j
= I
2P
V-2
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8.6 GRUPOS ADIMENSIONALES COMUNES
273
La correlación más común para la caída de presión en flujos completamente desarrollados en tubos usa la dependencia funcional que expresa la ecuación 8.13. Los datos experimentales en general se dan en forma de carta
(figura 9.7), donde el factor de fricción, j, se grafica como función del número de Reynolds basado en el diámetro y la velocidad promedio para diferentes valores de la rugosidad relativa, Las correlaciones del arrastre que
ilustra la figura 9.7 se usan para todos los flujos newtonianos: agua, aire, leche, alcohol, gas natural, entre otros. Un análisis más completo de esta figura se presenta en la sección 9.6.
i-.
8.6 GRUPOS ADIMENSIONALES COMUNES
Como ya se demostró, en el análisis dimensional es posible tener más de una respuesta correcta. Por ejemplo, en el caso de la esfera de la sección 8.2 se eliminó la dimensión de la
masa mediante la densidad y se encontró que
F
.
~pV2D2
-g
(PVD)
f1
(8.14)
De esta forma fue posible iniciar con la viscosidad en lugar de la densidad. En ese caso, se
hubiera encontrado que
(8.15)
Ambas respuestas son correctas, pero una es preferible o "mejor" que la otra para un problema particular. Entender qué constituye una mejor respuesta en general requiere una visión fisica del problema que puede necesitar el desarrollo de una experiencia considerable.
Sin embargo, en algunos casos es obvio. Por ejemplo, la relación del arrastre sobre la esfera se podría expresar como
(8.16)
Esto no cambia su "validez" (ambos lados son aún adimensionales), pero después de un
poco de práctica con este tipo de problemas se reconoce que el segundo producto TI es
una variante del número de Reynolds, y la ecuación 8.16 se escribe en la forma dada en la
ecuación 8.14. Como se estableció en la sección 8.2, la ecuación 8.14 después se puede
"mejorar" cambiando el lado izquierdo para incluir el área frontal A = -¡ D 2 en vez de D 2 ,
así que
donde se reconoce que el área frontal es la que influye en el arrastre. También, usando A en
vez de D 2 , es posible comparar con mayor facilidad el coeficiente de arrastre que se obtuvo para esferas con los obtenidos para otras formas.
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274
cAPiTULO 8
ANÁLISIS DIMENSIONAL
8.7 ADIMENSIONALlZACIÓN DE LAS ECUACIONES
Existe un gran número de posibles productos TI pero sólo un grupo limitado es de uso común. La razón para la popularidad de este subgrupo es que estos parámetros, como el número de Reynolds y los coeficientes adimensionales de fuerza, vienen por naturaleza por
sí mismos de las ~cuaciones de movimiento.
Por ejemplo, considere la ecuación de Bemoulli. Si en algún punto se conocen la presión estática de referencia, Po' y la velocidad, Vo' se pueden usar para adimensionar la
ecuación de Bemoulli. Para empezar, con la ecuación 8.1
P + 12 V 2 + gh = constante 1
P
cada término tiene las dimensiones de V 2 . Si se divide entre ~ V02 , resulta la forma adimensional
P
V2
lpv,2
v,2
- -- + o
2
o
gh
+ - - = constante4
lv,2
2
o
Ahora cada término es adimensional. El primero es un coeficiente de presión de alguna
forma, el segundo es la proporción entre dos velocidades y el tercero contiene al número
de Froude. Un paso más es sustraer la cantidad constante Po / ~ P V02 de ambos lados de la
ecuación. Así se obtiene:
(p - Po) +
lpv,2
2
o
[~)2
+ ~ = constante
V,
lv,2
5
o
2
o
de modo que el primer término toma la forma del coeficiente de presión, el" como se definió en la sección 4.3.
En otro ejemplo, considere la ecuación de Navier-Stokes para un flujo con densidad
constante
DV
p - =- Vp+pg + ¡¡'V 2 V
Dt
Esta es la ecuación de la cantidad de movimiento para un flujo viscoso en forma diferencial (sección 6.3, ecuación 6.18). El símbolo V 2 representa la derivada de segundo orden
con respecto a variables espaciales (sección A-A.6).
Si en alguna posición de referencia en el flujo, conocemos la velocidad Vo y podemos
identificar una longitud de referencia, L, es posible definir las variables adimensionales
, x
x =L
y'=~
L
z
z -L
,
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8.7 ADIMENSIONALlZACIÓN DE LAS ECUACIONES
275
, Vot
t =L
V'=~
Va
, (p- Po)
P = 1 rr 2
"2 PY o
También se tiene V' = LV, la forma adimensional del operador gradiente, y V' 2 = L 2 V 2, la
forma adimensional del operador laplaciano.
Al reescribir la ecuación de Navier-Stokes en términos de estas nuevas variables adimensionales se tiene
pV¿- DV'
L Dt'
1 1 'O'p , +pg+--y
,u.vo n'2v'
L 2
L2
----=---y
así que
DV'
'0"
vy
n'2V'
-=-y
p + -gL + Dt'
V02
(8.17)
VoL
Aparecieron tres números adimensionales de uso común: el tiempo adimensional, t' =
Vot/ L, que es el inverso del número de Strouhal (sección 10.5), el cuadrado del número de
Froude, Fa = Va / fiL, y el número de Reynolds, Reo = VoL/v. La ecuación 8.17 se puede
escribir como
La relevancia del número de Reynolds es en especial interesante. Conforme el número de
Reynolds se hace muy grande, la magnitud del término viscoso se vuelve muy pequeña
comparada con los otros términos. En particular, el término viscoso se hace pequeño comparado con el término de inercia del lado izquierdo. La magnitud del número de Reynolds
a menudo se interpreta, por lo tanto, como una medida de la importancia de la fuerza de
inercia comparada con la fuerza viscosa. Muy cerca de una superficie sólida, donde se forman las capas límite, el número de Reynolds se debe basar en alguna medida del espesor
de la capa límite, ya que esa es la escala propia del gradiente de la velocidad. En consecuencia, el término viscoso siempre es importante dentro de la capa límite. Fuera de la
capa límite, con frecuencia se ignora.
También se usa el flujo de Couette que muestra la figura 1-20 para ilustrar esta interpretación del número de Reynolds. La fuerza viscosa que actúa sobre el fluido en cualquier
punto del flujo, F v ' está dada por el esfuerzo viscoso multiplicado por el área, así que
F = ¡,tU A
v
h
Para estimar la magnitud de la fuerza de inercia correspondiente, F¡, se encuentra la diferencia de la cantidad de movimiento del fluido en contacto con las placas superior e inferior. Dado que la cantidad de movimiento del flujo en contacto con la placa inferior es
cero, la diferencia de la cantidad de movimiento es pU 2 A, y así
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;'
276
CAPITULO 8
ANÁLISIS DI MENSIONAL
Entonces
De nuevo el número de Reynolds se puede interpretar como el cociente entre una fuerza de
inercia típica y una fuerza viscosa típica.
8.8 MODELOS A ESCALA
En muchos casos es útil probar modelos a escala de vehículos reales. Para diseñar un nuevo avión, por ejemplo, son necesarias muchas horas de pruebas en túneles de viento para
probar modelos a escala de varias formas de alas y fuselaje. Para ayudar en el diseño de botes y barcos, con frecuencia se prueban modelos a escala remolcados en tanques de laboratorio (figura 8-5).
Los modelos a escala se emplean para ahorrar recursos, ya que es mucho más barato
construir una serie de modelos que una serie de aviones a escala real, y las pruebas en modelos pueden servir para desarrollar leyes de escalamiento. Las leyes de escalamiento son
necesarias para predecir los resultados a escala real a partir de pruebas en modelos. Sin
embargo, no siempre es posible probar un modelo a escala de modo que las condiciones
del flujo sean exactamente similares a las que se experimentan en el vehículo a escala real.
En este caso, con frecuencia se usan modelos de diferentes tamaños para obtener información de cómo extrapolar los .resultados a la escala real.
Ya se estableció cómo usar el análisis dimensional para encontrar e interpretar los parámetros adimensionales que rigen los problemas en mecánica de fluidos. También se
puede emplear para determinar las condiciones de semejanza en el modelo a escala. Un
I
,.
" o
FIGURA 8.5 Pruebas a un modelo de barco en un tanque de remolque en el Centro de Investigaciones y
Desarrollo de Barcos Navales, Carderock, Maryland .
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8.8 MODELOS A ESCALA
277
modelo a escala dará resultados correctos sólo si el flujo es "semejante" al prototipo de escala real. ¿Qué significa la palabra semejanza en este contexto? Existen tres niveles de semejanza que se deben satisfacer antes de afirmar que un modelo es completamente
semejante: se~ejanza geométrica, cinemática y dinámica.
8.8.1 Semejanza geométrica
El modelo debe tener la misma forma que el prototipo, es decir, debe ser geométricamente
semejante. Esto requiere que las longitudes homólogas estén correlacionadas por una razón constante. Un modelo de automóvil, por ejemplo, será geométricamente semejante al
modelo a escala real si
(longitud) /ti
-'-----=_
---'--''''(longitud) p
=
(ancho)
n
=
t
(ancho) p
.
(altura)
n
t
= constante
(altura) p
a
donde los subíndices m y p denotan modelo y prototipo, respectivamente.
8.8.2 Semejanza cinemática
Un campo de flujo es cinemáticamente semejante si, en puntos homólogos del flujo las velocidades (en tiempos homólogos) están a razón constante. Por ejemplo, el flujo sobre un
modelo de cuerpo aerodinámico (figura 8-6) será cinemáticamente semejante al cuerpo
aerodinámico a escala real si
v
V
~p
V
~p
~ = ~ = ~ = constante
V¡p
b
etcétera.
8.8.3 Semejanza dinámica
Para la semejanza dinámica, las fuerzas homólogas deben estar a razón constante. Por
ejemplo, las fuerzas que actúan sobre un elemento de fluido son las que producen la presión, esfuerzos viscosos, gravedad e inercia. Así
(fuerza debida a la presión)m
(fuerza de inercia)m
(fuerza debida a la presión) p
(fuerza de inercia) p
- ' - --
- - --
--"--------=- =
etcétera.
FIGURA 8-6
Flujo sobre un cuerpo aerodinámico.
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= constante c
278
CAPiTULO 8
ANÁLISIS DIMENSIONAL
Para hacer el flujo en el modelo semejante al flujo en el prototipo, ciertos parámetros
adimensionales necesitan ser iguales en ambos casos. Para la semejanza geométrica se reqUiere
. (longitud) m
(longitud) p
(ancho) m
-
---"- = constante a
(ancho)p
etcétera.
Se puede escrlbir con cantidades del modelo en un lado y con cantidades del prototipo
en el otro, así que, con 1= longitud y w = ancho,
(8.18)
Para semejanza dinámica
(fuerza de inercia) m
(fuerza debida a la fricción) m
(fuerza de inercia) p
(fuerza debida a la fricción) p
-------....:.:::... =
= constante c
etcétera, así que, por ejemplo
(8.19)
Estas razones se reconocen como grupos adimensionales. Las ecuaciones 8.18 y 8.19 indican que
Para que dos flujos sean dinámicamente semejantes, los grupos adimensionales de "entrada" deben tener el mismo valor en ambos. 3
Esta regla sencilla es la más importante para el modelado de flujos, ya que en general el interés se centra en la semejanza de las fuerzas y la dinámica.
Muchos de estos parámetros adimensionales se conocen por su nombre; por ejemplo,
fuerza de inercia
fuerza viscosa
,
d R eyno Ids = R e
- - -- - - - = numero e
fuerza de inercia
fuerza gravitatoria
- - -- - - - = número de Froude = F
fi·
d
.,
e
fuerza debida a la presión
= coe ICIente e preSlOn = p
fuerza de inercia
..
.,
fuerza de sustentación
- - - - -- - - - = coeficIente de sustentaclOn = eL
fuerza de inercia
- - - -- - - - = - - -
3
Sólo se requiere que los grupos de "entrada" sean los mismos porque la relación funcional siempre se puede expresar como
III = f(II 2 , II 3 , II4 , . • . etcétera) y así si II2 , II 3 , II4 , ... etcétera tienen los mismos valores en el modelo y en el prototipo, en
forma automática, III también
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8.8 MODELOS A ESCALA
279
fuerza de arrastre
.
= coeficIente de arrastre = C D
fuerza de inercia
- - - -- --
,
d e M ach = M
velocidad del flujo = numero
velocidad del sonido
------~-
longitud de- onda
,
d e Strouh a1 = St
--=--- - = numero
diámetro
fuerza de inercia
- - -- - - - - -- -
fuerza de tensión superficial
= número de Weber = We
El significado fisico de estos grupos adimensionales está muy relacionado con las ecuaciones de movimiento, como se señala en la sección 8.6. El concepto de semejanza y las
ecuaciones de movimiento ayudan a entender el significado fisico de los parámetros adimensionales de uso común.
En un problema pueden actuar diversas fuerzas. Por ejemplo, el flujo de un fluido viscoso en un canal estrecho, abierto, se puede afectar por las fuerzas viscosas, fuerzas de
inercia, gravitatorias, de tensión superficial y otras similares. Para modelar con precisión
este flujo, los números de Froude, Reynolds y Weber deben ser los mismos que en el flujo
a escala real. En general esto no es posible, pero en algunos casos se pueden hacer aproximaciones. Algunas fuerzas son más importantes que otras y por lo tanto, se pueden despreciar algunos efectos. De esta manera es posible alcanzar un tipo de semejanza limitado que
puede ser lo suficientemente preciso. Si el canal que se considera en este ejemplo no es demasiado estrecho y la viscosidad del fluido no es significativa, entonces se puede alcanzar
un nivel de precisión suficiente para la semejanza dinámica, si la razón entre la fuerza de
inercia y la fuerza gravitatoria (el número de Froude) es la misma para el modelo y el prototipo.
Un punto importante es que cada grupo adimensional siempre se puede interpretar
como la razón entre dos cantidades dimensional y fisicamente significativas. Por ejemplo,
el número de Weber a menudo se interpreta como la razón entre una fuerza de inercia típica y una fuerza de tensión superficial típica. Cuando el número de Weber es grande, puede
significar que los efectos de la tensión superficial no son considerables. En general, cuando algún número adimensional es muy grande o muy pequeño, quizá no sea un factor importante para alcanzar la semejanza, aunque los experimentos siempre serán necesarios
para confirmar esta hipótesis.
EJEMPLO 8.1
Desprendimiento de vórtices
Cuando el viento sopla sobre una chimenea, se desprenden vórtices a la estela (figuras 8.7
y 10.8). La frecuencia del desprendimiento de los vórtices f depende del diámetro de
la chimenea, D, su longitud, L, la velocidad del viento, V y la viscosidad cinemática del
aire, v.
a) Exprese la frecuencia adimensional del desprendimiento de los vórtices en términos de los otros grupos adimensionales.
b) Si se probara un modelo a escala de en un túnel de viento y se requiriera una semejanza completa:
i) ¿Qué velocidad del aire será necesaria en el túnel de viento, en comparación
con la velocidad del viento que experimenta la chimenea a escala real?
10
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280
CAP íTULO 8
FIGURA 8-7
ANÁLISIS DI MENSIONAL
Desprendimiento de vórtices de una chimenea.
ii) ¿Qué frecuencia de desprendimiento se observará en el túnel de viento, en
comparación con la frecuencia de desprendimiento generada en la chimenea
de escala real?
Solución
Se tiene lo siguiente:
f
= cjJ(D, L, V, v)
Para la parte a), se escribe la matriz de dimensiones
f
D
L
V
v
L
O
1
1
T
-1
O
O -1 -1
1
2
El rango del determinante mayor es 2, por lo que es necesario encontrar tres grupos adimensionales independientes. Los productos TI obvios son el número de Reynolds y la razón entre longitudes. La frecuencia adimensional también se puede formar usando el
diámetro y la velocidad. Entonces
~ = cjJ,(V~, ~ )
La razón ~ se llama número de Strouhal o frecuencia reducida y siempre aparece en los
problemas transitorios con una frecuencia dominante (sección 10.5).
Para la parte b), los productos TI en el modelo y en las chimeneas a escala real deben
ser iguales para alcanzar la semejanza dinámica. Es decir
(Recuerde: el subíndice p denota "prototipo" o valor a escala real). Empezando con el número de Reynolds, la semejanza requiere que
VmDm
Puesto que v m =
VP
VpDp
(el fluido es aire en ambos casos) y D p = lüD m' se tiene
V", = 10Vp
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8.8
MODELOS
A ESCALA
281
La semejanza del número de Strouhal da
fmDm =fpDp
Vm
o
Vp
Dado que Vm = 10Vp y D p = lODm,
se obtiene
J; =IOOfp
iento, en
chimenea
Por lo tanto, para tener un modelo dinámicamente semejante, es necesario correr el túnel a
una velocidad 10 veces mayor que la velocidad natural del viento, y esperar una frecuencia
de desprendimiento 100 veces mayor que la observada en la chimenea.
•
EJEMPLO 8.2
pos adis y larasando el
Viscosímetro
Un viscosímetro de cono y placa consta de un cono con un ángulo muy pequeño, a, el cual
gira sobre una superficie plana, como muestra la figura 8-8. El par necesario para girar el
cono a una velocidad constante es una medida directa de la resistencia viscosa, que es la
forma en que este aparato se puede usar para encontrar la viscosidad del fluido. ASÍ, el par
T (que tiene las mismas dimensiones que el trabajo) es una función del radio, R, del ángulo
del cono, a, la viscosidad del fluido, u, y la velocidad angular to.
a) Considere el análisis dimensional para expresar esta información como una dependencia funcional entre grupos adimensionales.
b) Si a y R se mantienen constantes, ¿cuánto cambiará el par si se duplican la viscosidad y la velocidad?
Solución
La información
dada implica que
T = ifJ(R,
ce en los
a, j.l,
ú))
Las dimensiones del par son fuerza x distancia, o sea, MLT-2 L = ML2T-2 y las dimensiones de la viscosidad son esfuerzo sobre gradiente de velocidad, esto es, MLT-2 L-2
(LT-1 )-1 = ML-1T-1. Para la parte a), se escribe la matriz de dimensiones
a
R
T
al deben
j.l
ú)
M
1
O
O
1
O
L
2
1
O
-1
O
T
-2
O
O
-1
-1
on elnú-
Viscosidad
del fluido, !'
FIGURA 8-8
Viscosímetro de cono y placa.
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282
cAPiTULO 8
ANÁLISIS DIMENSIONAL
El rango del determinante más grande es 3, de manera que se necesitan dos grupos adimensionales independientes. Un número adimensional está dado por el ángulo a. El segundo
será una combinación de los otros parámetros de modo que el par se haga adimensional.
Entonces
_í_=<p'(a)
!lwR 3
Para la parte b), si a es constante, el parámetro r/(!lwR 3) también permanece constante
para mantener la semejanza completa. Así, !l y w cuando se duplican r aumentará por un
factor de 4.
•
EJEMPLO 8.3 Vaciado de un tanque
Un tanque de agua grande se vacía poco a poco a través de un orificio, bajo la acción de la
gravedad. El flujo es permanente y el flujo volumétrico q depende de la velocidad de salida, U, la aceleración de la gravedad, g, la altura del agua, h y el diámetro de la tobera, D.
a) Mediante el análisis dimensional encuentre los grupos adimensionales que rigen el
comportamiento del flujo adimensional.
b) En un modelo a escala de ~ se debe hacer una prueba. Si la prueba se diseña para
asegurar por completo la semejanza dinámica, ¿cuál es la razón entre el flujo volumétrico del modelo y el del prototipo?
e) Si en lugar del flujo volumétrico, su interés está en el flujo másico (entonces en
el análisis dimensional debe incluirse la densidad) ¿cambiará el número de grupos
adimensionales?
d) Si más tarde descubre que el flujo másico, depende de la viscosidad, !l, y la tensión superficial a (dimensiones de fuerza por unidad de longitud), además de p, U,
g, h Y D, encuentre todos los grupos adimensionales relevantes.
m
m,
Solución Para la parte a) comenzamos con
q = <P(U , g, h, D)
Las dimensiones del flujo volumétrico sonL3 T - 1 , así que la matriz de dimensiones se convierte en
q
L
3
T
-1
U
g
h
D
1
-1
-2
O
O
El rango del determinante más grande es 2, de manera que es necesario encontrar tres grupos adimensionales independientes. Un número adimensional está dado por la razón entre
longitudes, D / h. El segundo será el flujo volumétrico adimensional, por ejemplo, q/UD 2 y
De este modo
el tercero será el número de Froude, U /
Jih.
q
UD 2 =
<p,(D
U )
h ' Jih
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8.8
adimensegundo
nsiona!.
MODELOS A ESCALA
Para la parte b), la semejanza dinámica requiere que todos los parámetros
tengan valores constantes. Por lo tanto
Ya que D p ID
m
283
adimensionales
= 4, se tiene
onstante
á por un
•
También es necesario
";
_ Up
~ghm - ~ghp
ión de la
de sali-
Dado que hp I hm
= 4,
a,D.
rigen el
y, por lo tanto, para la semejanza
dinámica
«;
1
«,
32
--Para la parte e), se obtiene
y la tendep,U,
m=q>(U, g, h, D, p)
Las dimensiones
del flujo másico son MT-1,
U
m
g
h
D
O
O
O
O
L
O
1
1
1
1 -3.
T
-1
O
O
-1
-2
es
P
1
M
secon-
de modo que la matriz de dimensiones
1
O
El rango del determinante más grande es 3, así que seguirán siendo tres grupos adimensionales independientes. En este caso,
p UD 2 , DI h y U I
Para la parte d), la dependencia funcional queda
Jih.
mi
.
m = q>(U, g, h, D, p, u, a)
es grunentre
Las dimensiones para la tensión superficial son fuerza por unidad de longitud, MT
que la matriz de dimensiones se convierte en
/UD2y
m
g
U
h
D
a
j.l
P
O
O
O
O
O
L
3
1
1
1
1 -3
-1
O
T
-1
O
O
-1
-2
M
-1
-2
1
O
1
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1
-2 ,
así
284
CAPíTULO 8
ANÁLISIS DIMENSIONAL
El rango del determinante más grande es 3, así que es necesario encontrar cinco grupos
adimensionales independientes. Ya se tienen tres: el flujo másico adimensional, mI pUD2,
la razón entre longitudes, DI h, Yel número de Froude U l.fih. El cuarto producto II será
un número de Reynolds, pUdl fl y el quinto, la tensión superficial adimensionalizada
como al p U 2 D. Entonces
estrictamente
muy buena aj
to a tal grado
como se cone
PROBLEMAS
•
EJEMPLO 8.4
Explosión nuclear
Imagine que observa una película de la explosión de la primera bomba atómica en Nuevo
México. En la película aparecen imágenes de camiones y otros objetos que dan una escala
de la longitud, de modo que es posible graficar el radio de la bola de fuego, r, como una
función del tiempo t. ¿Podría estimar E, la energía que libera la explosión?
Solución La parte más dificil es elegir la lista de parámetros correcta más corta. Si tuviéramos alguna idea y algo de suerte, supondríamos que
r=Jb(E,t,p)
donde p es la densidad ambiente antes de la explosión. La energía tiene dimensiones de
fuerza x longitud, o sea, ML2T-2, Y la matriz de dimensiones es
E
r
t
p
O
1
o
L
1
2
O -3
T
O -2
M
1
1
O
Vemos que N = 4, el rango de la matriz es 3 y, por lo tanto, sólo hay un grupo adimensional. Así
1/5
= _r_
t2/5
(
p
E
8.2 Se supo
l, la ace
por me:
8.3 Seenco
velo cid
dad del
8.4 La pote
volumé
y el diá
8.5 Elemp
p, la vi
Expres
8.6 En las
prome
nosad
8.7 Un bar
tica de
mero (
factibi
8.8 La aln
superf
gravec
a) E
b) S
o, mejor
II b
8.1 Se supo.
fundo d
graveda
dencia (
= constante
)
La constante II b debe encontrarse con experimentos. Por ejemplo, podemos usar la película de otra explosión con una energía desarrollada conocida para saber II b : Este experimento también puede usarse para revisar el análisis: si r varía a razón de t2/5, como se
predijo, entonces el análisis es correcto y la película de la explosión presenta toda la información necesaria para encontrar la energía que libera la bomba.
Este análisis lo realizó por primera vez el científico británico Sir Geoffrey Ingram
Taylor en una época en que la información del poder explosivo de las bombas atómicas era
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h
d
8.9 Unac
pie/s (
dela'
deE
seme
pued:
En es
PROBLEMAS
grupos
pUD2,
IIserá
alizada
285
estrictamente confidencial. Cuando intentó publicar sus resultados, que establecían una
muy buena aproximación de la energía liberada real, su artículo fue censurado de inmediato a tal grado que ni siquiera él tenía permiso de leerlo. Para una nota histórica de G.I.,
como se conocía ampliamente, ver la sección 15.20.
•
PROBLEMAS
•
Nuevo
escala
o una
. Si tu-
8.1 Se supone que la velocidad de propagación e de las ondas superficiales en un canal poco profundo depende de la profundidad del líquido, h, la densidad, p, y la aceleración debida a la
gravedad, g. Mediante el análisis dimensional simplifique el problema y exprese esta dependencia en términos adimensionales.
8.2 Se supone que el periodo T de un péndulo depende sólo de la masa, m, la longitud del péndulo,
t ; la aceleración debida a la gravedad, g, y el ángulo de balanceo, e. Simplifique el problema
por medio del análisis dimensional y exprese la dependencia en términos adimensionales.
8.3 Se encontró que el nivel de presión del sonido, p', que genera un ventilador depende sólo de la
velocidad de rotación del ventilador, t», de su diámetro, D, la densidad del aire, p, y la velocidad del sonido, a. Exprese esta dependencia en términos adimensionales .
8.4 La potencia de entrada a una bomba de agua, P, depende de su eficiencia '1,su descarga (flujo
volumétrico), q, el incremento de presión !':!.p a través de la bomba, la densidad del líquido, p,
y el diámetro del impulsor, D. Exprese esta dependencia en términos adimensionales.
nes de
8.5 El empuje de un impulsor marino, T, depende sólo de su diámetro, D, la densidad del fluido,
p, la viscosidad, 11, las revoluciones por unidad de tiempo, w, y su velocidad de avance, V.
Exprese esta dependencia en términos adimensionales.
8.6 En la sección 1.4.4 se argumentó que la viscosidad debe depender de la velocidad molecular
promedio, V, la densidad, p, y la trayectoria libre media, t. Exprese esta dependencia en términos adimensionales.
ensio-
8.7 Un barco de 100 m de largo se mueve en agua fresca a 15°C. Encuentre la viscosidad cinemática de algún fluido viable para simular el flujo en un modelo de 5 m, si se requiere que el número de Reynolds y el número de Froude sean iguales en modelo y prototipo. Comente la
factibilidad de este requerimiento.
8.8 La altura, h, a la que sube una columna de líquido dentro de un tubo capilar debido a la tensión
superficial es una función de la densidad del líquido, p, el radio del tubo, r, la aceleración de la
gravedad, g, y la tensión superficial del líquido, a.
a) Exprese esta dependencia en términos adimensionales.
b) Si la altura capilar para el líquido A es de 25 mm en un tubo de radio 0.5 rnm, ¿cuál será
la altura para un líquido B que tiene la misma tensión superficial, pero cuatro veces la
densidad del líquido A, si el sistema es dinámicamente semejante?
a pelíxperimo se
inforgram
as era
8.9 Una chimenea de 100 pie de altura se fuerza a vibrar con una frecuencia f en un viento de 20
pie/s con vórtices que se desprenden en su estela. Este fenómeno depende de la densidad, p, y
de la viscosidad, 11, del fluido y del módulo de elasticidad del material de la chimenea, E, donde E == esfuerzo/deformación. Se construye un modelo de 10 pie de altura geométricamente
semejante a la chimenea. La masa por unidad de longitud, m, del modelo de la chimenea se
puede ajustar por masas de contrapeso en el interior sin afectar su comportamiento elástico.
En este problema no se incluye la gravedad.
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286
CAPíTULO
a)
b)
e)
8.10
8
ANÁLISIS
DIMENSIONAL
Usando análisis dimensional, encuentre todos los grupos adimensionales
relevantes.
Trate de usar, donde sea posible, números adimensionales con significado fisico. Asegúrese de que estos grupos sean independientes.
Si la chimenea a escala real está hecha de acero cuyo módulo de elasticidad es
E = 30x 106 lb/pulg2, encuentre el módulo de elasticidad necesario para simular las
condiciones correctas del modelo a escala.
¿A qué frecuencia espera que vibre la chimenea si el modelo vibra a 5 Hz?
8.14
Dos cilindros concéntrico s tienen la misma longitud: el exterior está fijo y el interior puede
rotar. El espacio entre ellos se llena con un fluido viscoso incompresible.
a) Con el análisis dimensional desarrolle una expresión para el par (= fuerza x distancia) a
fin de mantener una velocidad de rotación constante del cilindro interior, si este par sólo
depende de los diámetros y longitudes de los cilindros, la viscosidad y la densidad del
fluido, y la velocidad angular del cilindro interior.
b) Para probar el prototipo a escala real se construye un modelo a escala un medio. En el experimento se usará el mismo fluido que en el prototipo. Si la velocidad angular en el prototipo es wp' y el par del prototipo
1) ¿A qué velocidad angular debe operar el modelo para obtener semejanza dinámica
completa?
ü) ¿Cómo se relaciona el par del modelo con el par del prototipo?
La figura 1
recipiente
rriente de ¡
el nivel de
combustib
a) Supo
. relaci
b) Anali
ea en
Air~
\
=i:
8.11
Se sabe que la potencia P para mover un propulsor depende del diámetro de las aspas, D, la
densidad del fluido, p, la velocidad del sonido, e, la velocidad angular de las aspas, oi, la velocidad de la corriente libre, V, y la viscosidad del fluido, u.
a) ¿Cuántos grupos adimensionales caracterizan este problema?
b) Si se desprecian los efectos de la viscosidad y si la velocidad del sonido no es una variable importante, exprese la relación entre la potencia y las otras variables en forma adimensional.
e) Se construye un modelo a escala un medio de unimpulsor que usa P,II caballos de potencia cuando opera a una velocidad de w m' Si el propulsor a escala real opera en el mismo
fluido awn/2, ¿cuál es su consumo de potencia en términos dePm si se satisface la dependencia funcional que se encontró en la parte b)? ¿Qué velocidad de corriente libre se
debe usar para el modelo experimental?
8.12
El par necesario para hacer rotar un disco de diámetro D a una velocidad angular w en un fluido, es función de la densidad p y de la viscosidad fl del fluido (el par tiene unidades de trabajo).
a) Encuentre la relación adimensional entre estas cantidades.
b) Calcule la velocidad angular y el par requerido para operar un disco de 750 mm de diámetro que rota en aire si se necesita un par de 1.2 Nm para rotar un disco semejante de
250 mm de diámetro en agua a una velocidad de 1 500 rpm.
8.13
Considere animales geométricamente
semejantes de distintos tamaños lineales, L. La distancia que un animal puede brincar, H, es una función de L, de la densidad promedio p, la tensión
muscular promedio, a, (o sea, la fuerza muscular sobre el área de la sección transversal de la
pierna) y la constante gravitacional, g.
a) Encuentre la expresión funcional adimensional para H.
b) En Los viajes de Gulliver, los liliputienses son una raza de gente muy pequeña, diminutos, comparados con Gulliver. Si los liliputienses tienen la misma p y a que Gulliver,
¿qué conclusión puede aportar sobre bases adimensionales? ¿Podrían saltar más que Gulliver? ¿Igual que Gulliver? ¿Menos que Gulliver?
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FIGURA I
8.15
Un fabric
comporta
tro veces
a) ¿Qu
golf
b) ¿Cu:
deg
e) ¿Qu
gum
8.16
Cuando 1
generan
densidad
a) Me<
ciar
b) Seé
trad
jan,
8.17
Un impt
una vele
a) USé
cioi
b)
e)
Eli
fon
mü
d2,
¿Q
PROBLEMAS
287
8.14 La figura P8-14 es el esquema de un carburador simple. El combustible se alimenta desde un
recipiente (que se mantiene a nivel constante) a través de un tubo hasta descargar en la corriente de aire a través de un orificio de área a. En este punto el área de flujo para el aire es A y
el nivel de combustible está a una distancia L. Sean la densidad y el flujo másico del aire y el
combustible Pa, ina Y p! ' in!, respectivamente.
a) Suponga que los flujos son no viscosos, mediante el análisis dimensional determine la
. relación aire/combustible, in¡l ina, como función de otros parámetros adimensionales.
b) Analice el problema desde un punto de vista dinámico y determine una relación específica entre in!/ ina Y las variables relevantes.
Air~
'\
FIGURA P8-14
8.15 Un fabricante de pelotas de golf quiere estudiar los efectos del tamaño de las cavidades en el
comportamiento de la pelota de golf. En un túnel de viento se instala un modelo de pelota cuatro veces mayor a lo normal.
a) ¿Qué parámetros deben controlarse para modelar el comportamiento de la pelota de
golf?
b) ¿Cuál deberá ser la velocidad del túnel de viento para simular la velocidad de una pelota
de golf a 200 pie/s?
e) ¿Qué velocidad de rotación se debe usar si la pelota normal rota a 60 revoluciones por segundo?
8.16 Cuando un río fluye a una velocidad, V, al pasar detrás de un pilote circular de diámetro, D, se
generan vórtices a una frecuencia f. Se ha demostrado que f también es una función de la
densidad del agua, P, de su viscosidad /1, y de la aceleración de la gravedad, g.
a) Mediante el análisis dimensional exprese esta información como una dependencia funcional entre grupos adimensionales.
b) Se efectuará una prueba en un modelo a escala Si con pruebas anteriores se ha demostrado que la viscosidad no es importante, ¿qué velocidad debe usar para obtener la semejanza dinámica y qué frecuencia de generación esperaría encontrar?
±.
8.17 Un impulsor de diámetro d desarrolla un par T cuando opera aN revoluciones por minuto con
una velocidad V del aire de densidad p.
a) Use el análisis dimensional para expresar esta información como una dependencia funcional de grupos adimensionales. Intente seleccionar grupos que parezcan familiares.
b) El impulsor sencillo antes descrito se reemplazará por un par de propulsores de la misma
forma, que operan a la misma velocidad y juntos producen el mismo par en aire con la
misma densidad. Use los conceptos de semejanza dinámica para determinar el diámetro,
d 2 , y la velocidad rotacional N 2 de cada propulsor.
e) ¿Qué cambio de potencia requiere?
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288
CAPíTULO 8
ANÁLI SIS DI MENS IONAL
8.18 La fuerza de sustentación, F, en un vehículo de alta velocidad es una función de su longitud,
L, velocidad, V, diámetro, D, y ángulo de ataque a (el ángulo que hacen la cuerda y la dirección del flujo), así como la densidad, p, y la velocidad del sonido a del aire (la velocidad del
sonido en aire es sólo función de la temperatura).
a) Exprese la fuerza de sustentación adimensional en términos de los otros grupos adimensionales.
b) Si se usara un modelo a escala ~ en un túnel de viento a la misma presión y temperatura
(esto es, a la misma velocidad del sonido), como en el vuelo de un vehículo a escala real
y se requiriera la semejanza dinámica completa.
1) ¿Qué velocidad del aire se necesitaría en el túnel de viento en comparación con la velocidad del vehículo a escala real?
it) ¿Cuál sería la fuerza de sustentación que actúa en el modelo en comparación con la
fuerza de sustentación aplicada a un vehículo en vuelo?
8.19 El arrastre en una pelota de golf, F D' depende de su velocidad, V, su diámetro, D , su rapidez de
giro úJ (en general medida en radianes/seg o revoluciones por minuto), la densidad del aire, p,
su viscosidad, ¡.¡, y la velocidad del sonido, a.
a) Exprese la fuerza de arrastre adimensional en términos de los otros grupos adimensionales.
b) Si considera que la velocidad del sonido no es importante, ¿cómo cambiaría esto al análisis dimensional? En estas condiciones, si un experimento se efectúa en aire estándar a
una velocidad de 2V ¿qué diámetro y velocidad de giro se requeriría para ser dinámicamente semejante con un experimento a una velocidad V?
e) Diseñe un experimento para investigar la influencia de la velocidad del sonido en el
arrastre. Primero considere los requerimientos para la semejanza dinámica y luego explique cómo en un experimento se puede aislar la influencia de la velocidad del sonido sobre el arrastre. Sea tan ~specífico como pueda.
8.20 a)
b)
e)
Efectúe el análisis dimensional de un salto hidráulico con fricción.
Encuentre el número mínimo de parámetros adimensionales que describen este flujo y
escriba la relación funcional que rige la razón,de las profundidades aguas arriba yaguas
abajo.
Si en el laboratorio se probara un modelo de un salto hidráulico:
i) ¿Cuál es la razón de las velocidades del flujo de entrada para el modelo y el prototipo
requerido para la semejanza dinámica?
ii) ¿Cuál es la razón entre las viscosidades cinemáticas requeridas para el modelo y el
prototipo?
±
8.21 Bajo la acción de la gravedad, un tanque de agua se vacía lentamente a través de un orificio
pequeño. El flujo es permanente y el flujo másico In depende de la velocidad de salida, V, la
aceleración de la gravedad, g, la profundidad del agua, h, el diámetro de la tobera, D, la viscosidad, ¡.¡, y la tensión superficial, a, (fuerza/unidad de longitud).
a) Exprese el flujo másico adimensional en términos de los otros grupos adimensionales.
b) Si el experimento se efectúa con el mismo fluido (agua) en un modelo a escala~:
1) ¿Cuál es la razón entre el flujo másico del modelo y el flujo másico del prototipo que
sería necesaria para obtener la semejanza dinámica?
it) ¿Puede anticipar algunas dificultades én alcanzar la semejanza dinámica completa?
8.22 Los siguientes resultados se obtuvieron en pruebas realizadas con un modelo de propulsor en
un túnel de viento a nivel del mar (la densidad del aire es p = 1.2 kg/m3), para el empuje a varios valores de velocidad.
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PROBLEMAS
ongitud,
la direcidad del
adimenperatura
cala real
on la ven con la
pidezde
1aire, p,
ensionaal análitándar a
árnica-
V(mls)
o
10
20
30
Empuje (N)
300
278
211
100
El c.ámetro del propulsor era 0.8 m y se operó a 2 000 rpm.
a) Con el análisis dimensional encuentre los parámetros adimensionales que llevan a este
comportamiento.
b) A partir de los datos experimentales de la tabla encuentre el empuje que genera un propulsor semejante geométricamente con diámetro de 3 m, que gira a 1 500 rpm a una velocidad de 45 mIs, mientas opera a una altitud donde la densidad es la mitad de la que se
tiene a nivel del mar. Puede interpolar de los valores de la tabla.
8.23 Probando las características
aerodinámicas de las pelotas de golf, los oficiales científicos de
la USGA colectaron los datos experimentales dados en la siguiente tabla. El diámetro es D, la
altura de la rugosidad k, la densidad del aire p (= 1.2 kg/nr'), la velocidad de la corriente libre
V, la fuerza de sustentación, L, está en newtons y la rapidez de giro w se mide en revoluciones
por segundo.
a) ¿Cuántos parámetros adimensionales describe este problema?
b) Exprese todos los resultados experimentales
en forma adimensional y grafiquelos en
esta misma forma.
e) Comparando los resultados de las pelotas 1 y 2 ¿qué puede decir del efecto de la rugosidad?
Pelota 1: D = 42.7 mm, k
V = 100 mIs
flujo y
yaguas
= O,
w
W
~
~
~
L
-1.8
+0.9
+7.2
+18
Pelota 2:
D
= 42.7 mm,
k
= 1 mm,
V =50 mIs
w
rototipo
289
L
5
-0.23
15
-0.23
25
+0.68
35
+2.7
elo y el
Pelota 3: D
V =20 mIs
orificio
da, V, la
a viscoonales.
lo
~.
co
L
= 171 mm,
1
-0.87
2
-0.29
k
= 4 mm,
3
+1.7
4
+5.8
8.24 La resistencia de un barco se debe a la formación de olas y al arrastre viscoso y en forma funcional se puede expresar como
po que
FD =j(V,L,B,p,¡.¡.,g)
pleta?
donde FD es la fuerza de arrastre; V, la velocidad del barco; L, su longitud; B, su ancho; p y ¡.¡.
son la densidad y viscosidad del agua de mar, y g, la constante de la gravedad.
a) Encuentre los parámetros adimensionales que describen el problema.
b) ¿Cuáles son los requisitos para la semejanza dinámica si se prueba un modelo de barco?
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290
CAPíTULO 8
e)
ANÁLIS IS DIMENSIONAL
Si al probar un modelo a escala +s de un barco de 100 m de largo, la velocidad máxima del prototipo es de 10 mis, ¿cuál será la velocidad máxima del modelo? ¿Cómo será
la viscosidad cinemática del fluido en el modelo de prueba comparada con la del agua de
mar?
8.25 La fuerza de arrastre, FD , aplicada a un barco depende de su velocidad, V; la densidad, p y viscosidad, fl , del fluido; la gravedad; su longitud, L; su ancho, B; y la altura promedio de la rugosidad, k.
a) Use el análisis dimensional para expresar esta información en términos de grupos adimensionales.
b) Si el barco se mueve de agua fresca a agua salada, donde la viscosidad y la densidad se
incrementan 10% cada una, ¿cómo cambiaría su fuerza de arrastre para una velocidad
constante?
8.26 El arrastre, D, del casco de un barco que se mueve a través del agua depende de su velocidad,
V; su anchura, W; longitud, L; profundidad de inmersión, H; viscosidad, fl , y densidad, p , del
agua, y la aceleración gravitatoria, g.
a) Use el análisis dimensional para expresar la información en términos de grupos adimensionales. Intente elegir grupos que parezcan familiares .
b) El barco a escala real tendrá una velocidad V, y operará en agua de mar con una viscosidad cinemática VI.
i) Si el patrón de olas que produce un modelo a escala fa- es semejante al que se observa en el barco a escala real, ¿cuál deberá ser la velocidad V2 en el modelo de prueba?
ii) ¿Para obtener la semejanza dinámica completa, cuál deberá ser la viscosidad cinemática v2 del fluido de prueba?
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9
FLUJOS VISCOSOS INTERNOS
CAPÍTULO
9.1 INTRODUCCiÓN
En éste y en el capítulo lOse examinan los flujos viscosos. Los flujos viscosos son los flujos donde los esfuerzos viscosos ejercen fuerzas significativas sobre.el fluido y es importante la disipación viscosa de la energía. El tema central de este capítulo son los flujos
internos, o sea, flujos a través de tuberías y conductos y en el capítulo 10 se analizan los
flujos externos, sobre las superficies de aviones, barcos y automóviles.
El flujo de fluidos a través de tubos y conductos de diferentes formas es muy importante en todo tipo de aplicaciones de ingeniería, incluyendo el transporte de agua, petróleo,
gas natural y drenaje, así como el diseño de sistemas de calentamiento y aire acondicionado en edificios y vehículos y en intercambiadores de calor de todo tipo. En sistemas biológicos, el flujo de sangre y aire a través de los sistemas respiratorio y circulatorio también
están dominados por los efectos viscosos.
Para comprender el flujo viscoso son necesarios tres fenómenos básicos.
1. La aparición de esfuerzos viscosos debidos al movimiento relativo de partículas de
fluido.
2. El desarrollo de gradientes de velocidad mediante la condición de no deslizamiento, siempre que el fluido esté en contacto con un sólido.
3. La transición del flujo laminar al turbulento conforme el número de Reynolds aumenta.
En el flujo a través de conductos largos, se presenta un fenómeno adicional donde el perfil
de velocidad lejos de la entrada del conducto se desarrolla por completo, lo cual significa
que desde la entrada se hace independiente de la distancia. Algunos de estos conceptos se
presentaron en el capítulo 1, pero ahora cada fenómeno se estudia en detalle como introducción necesaria para el análisis de los flujos laminar y turbulento en tubos, conductos y
sistemas de tuberías.
9.2 ESFUERZOS VISCOSOS Y NÚMERO DE REYNOLDS
En el capítulo 1 se observó que la propiedad más obvia de los fluidos, su capacidad de fluir
y cambiar de forma, es resultado de su incapacidad para soportar esfuerzos cortantes. Los
esfuerzos cortantes deben estar presentes siempre que un fluido cambia su forma de manera continua. La magnitud del esfuerzo cortante, r, está relacionada con la rapidez de deformación, es decir, la rapidez a la que una parte del fluido se mueve con respecto a otra parte.
En otras palabras, r depende de la magnitud de los gradientes de velocidad, así que, para un
flujo simple bidimensional,
291
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292
CAPiTULO 9
FLUJOS VISCOSOS INTERNOS
í
au
YX
= f.i ay
(sección 1.4.1). Muchos flujos comunes siguen este tipo de relación "newtoniana" donde
el esfuerzo es proporcional a la rapidez de deformación, incluyendo aire y agua en un intervalo amplio de presiones y temperaturas.
Cuando los esfuerzos viscosos se incluyen en la forma diferencial de la ecuación de la
cantidad de movimiento se obtiene la ecuación de Navier-Stokes. Para un flujo incompresible, esta ecuación es
DV
1
=-- V'p + g+vV' 2 V
Dt
p
(9.1)
En la sección 6.3 .3 se señaló que la ecuación de Navier-Stokes es una ecuación no lineal,
en derivadas parciales y que no existe una solución general. No obstante, se puede obtener
información importante adimensionando esta ecuación, como se demostró en la sección
8.6. Con una selección adecuada de escalas de longitud y velocidad, los coeficientes en la
ecuación indican la importancia relativa de cada término. El coeficiente del término viscoso es el recíproco del número de Reynolds, de modo que el número de Reynolds indica una
medida de qué tan importante es la fuerza de inercia comparada con la fuerza viscosa.
Cuando el número de Reynolds es pequeño (digamos, menor que uno), se esperaría
que los términos viscosos fueran importantes en todas partes dentro del campo del flujo .
Los números de Reynolds pequeños significan flujos lentos, longitudes características
muy pequeñas, viscosidades cinemáticas muy grandes o los tres. Por ejemplo, un pez
de 1 mm de longitud que nada a 1 rnmIs en agua, donde v = 10- 6 m 2/s, tiene un número de
Reynolds de uno. Las partículas de polvo al asentarse en la atmósfera pueden tener números de Reynolds del orden de 0.01. El flujo de aceite en un colador donde los claros en general son muy pequeños, también está dominado por esfuerzos viscosos. Éstos se llaman
flujos reptan tes.
El tema central de este capítulo son los flujos de mayor interés en ingeniería, donde los
números de Reynolds son mucho más grandes, del orden de 100 a 1 000 (por lo menos). En
estas condiciones, los efectos viscosos sólo son importantes en regiones más o menos
delgadas, como las capas límite, flujos internos completamente desarrollados, chorros y
estelas.
9.3 CAPAS lÍMITE Y FLUJOS COMPLETAMENTE DESARROLLADOS
Cuando un flujo viscoso fluye sobre una superficie sólida, la condición de no deslizamiento requiere que justo en la superficie no hayan movimientos relativos entre el fluido y la
superficie (sección 1.6). Como resultado, en la región cercana a la superficie aparecen gradientes de velocidad fuertes. A números de Reynolds mucho mayores que uno, esta región
es siempre muy delgada y se le llama la capa límite. Por definición, la capa límite es la región donde los gradientes de velocidad son lo suficientemente grandes para producir esfuerzos viscosos significativos y considerable disipación de energía mecánica. La región
fuera de la capa límite se llama corriente libre. Algunas veces también se llama corriente
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9.3 CAPAS LíMITE Y FLUJOS COMPLETAMENTE DESARROLLADOS
293
FIGURA 9-1 Idealización del flujo laminar completamente desarrollado en un tubo. Con autorización de
Engineering Fluid Mechanics, A. Mironer, McGraw-Hill, 1979.
libre no viscosa, no porque el fluido no sea viscoso sino porque no hay gradientes de velocidad apreciables en esa región y los esfuerzos viscosos son despreciables.
Considere el flujo simple de un fluido viscoso sobre una superficie plana alineada con
la dirección del flujo. En cualquier nivel de la capa límite, los esfuerzos viscosos tienden a
disminuir la velocidad del flujo en la región de alta velocidad y aumentarla en la región de
baja velocidad. Por lo tanto, en la orilla de la capa límite la acción viscosa también tenderá
a retener la corriente libre del fluido y conforme la corriente libre una región cada vez más
ancha y se mueva aguas abajo se afectará por la fricción. De esta manera, el espesor de la
capa límite crecerá con la distancia aguas abajo (figura 1-21).
En un flujo interno, como en un tubo o conducto, las capas límite se encontrarán por
último en el centro, punto en el que ya no pueden crecer más. El perfil de velocidad alcanza
un estado asintótico donde se dice que el flujo está completamente desarrollado. Así, los
efectos de la fricción viscosa son importantes sobre toda la sección transversal del tubo y
todas las capas de fluido adyacentes se deslizan una sobre otra, como ilustra la figura 9-1.
Para un flujo externo, por ejemplo el flujo sobre el casco de un barco, el perfil de velocidad no alcanzará el estado asintótico y la capa límite continúa creciendo. Sin embargo, a
números de Reynolds grandes el espesor de la capa límite (esto es, la región donde ocurre
la desaceleración apreciable del flujo) siempre es muy pequeño comparado con la longitud
de la superficie sobre la que se desarrolla la capa límite.
En el flujo laminar en tubos, el flujo completamente desarrollado se alcanza como a
los 0.03 ReD diámetros de la entrada, donde ReD es el número de Reynolds basado en el
diámetro y la velocidad promedio. Para el flujo turbulento en tubos, se toma entre alrededor de 25 y 40 diámetros del tubo, 1 así que en muchas aplicaciones de flujo en tubos, el flujo está completamente desarrollado casi en toda su longitud. Es interesante observar que
cuando el flujo está completamente desarrollado, la velocidad del flujo a cualquier distancia de la pared no cambia en la dirección de la corriente. Puesto que el flujo no tiene aceleración, la fuerza viscosa en el fluido se debe balancear con exactitud con alguna otra fuerza
(ecuación 9.1). Esta fuerza puede provenir de la gravedad, pero en un tubo o conducto horizontal, la fuerza viscosa sólo se puede balancear con las diferencias de presión. En cualquier caso, es necesario hacer trabajo en el sistema para mantener el fluido en movimiento.
1 Schlichting,
Boundary Layer Theory, 7a. ed., publicado por McGraw-Hill, 1979.
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294
CAPíTULO 9
f lUJOS VISCOSOS INTERNOS
Los esfuerzos viscosos de fricción también causan disipación de energía en el fluido,
la cual aparece como calor. En general esta generación de calor a velocidades sub sónicas
no es importante, ya que los cambios de la temperatura resultante casi siempre son muy pequeños. Sin embargo, un ejemplo de flujo subsónico donde la generación de calor es importante es el flujo alrededor de un circuito cerrado de un túnel de viento, donde el aire se
bombea en forma continua en el circuito. Existe una entrada continua de energía a través
del trabajo que el ventilador hace sobre el aire y aunque parte de esta energía se perderá por
transferencia de calor hacia las paredes del túnel, a altas velocidades esta transferencia de
calor no sería suficiente para mantener la temperatura sin aumentos a niveles inaceptables.
Para controlar la temperatura sería necesario el enfriamiento con serpentines.
A velocidades supersónicas (donde el número de Mach M> 1), dentro de la capa límite ocurren gradientes de velocidad muy fuertes y mediante la disipación viscosa se genera
suficiente calor para cambiar en forma significativa la densidad del fluido . A velocidades
hipersónicas, donde M ~ 1, el calor de la fricción puede ser suficiente para hacer que las
moléculas se ionicen y se disocien.
9.4 TRANSICiÓN Y TURBULENCIA
El flujo se ha descrito cerca de una superficie sólida en términos del deslizamiento de capas adyacentes de fluido, donde la viscosidad entre las capas produce esfuerzos cortantes.
Este tipo de flujo se llama flujo laminar y se observa siempre que el número de Reynolds
es pequeño (aquí "pequeño" significa menor que 1 000 a 10 000, con base en la velocidad
de la corriente libre y la longitud característica del flujo) . A números de Reynolds mayores, el flujo cambia su naturaleza yen vez de un flujo laminar con sus capas lisas y ordenadas, aparecen movimientos de remolinos irregulares que indican 1" presencia del flujo
turbulento. Debido al alto grado de actividad asociado con los remolinos turbulentos y sus
velocidades fluctuantes , la energía de disipación viscosa dentro de un flujo turbulento puede ser mucho mayor que en un flujo laminar.
La transición de flujo laminar a turbulento se puede observar examinando el flujo desde un grifo. Si el grifo se abre muy lentamente, se observa un flujo ordenado y liso; si no
hay perturbaciones, el flujo permanecerá igual. Este es un flujo laminar (figura 9-2a) . Si el
grifo se abre un poco más, en la superficie del chorro aparecerán perturbaciones. En ocasiones el centro del chorro toma una apariencia irregular y después regresa a su estado laminar (figura 9-2b). Si el grifo se abre por completo, el chorro se volverá completamente
turbulento (figura 9-2c) y su apariencia cambiará de manera aleatoria. Aunque su movimiento promedio es en una dirección, dentro del flujo hay irregularidades en todas partes.
¿Ha visto alguna vez el humo de cigarro subiendo con suavidad algunos centímetros y enseguida pasar a un aparente flujo caótico? Este es otro ejemplo de transición y turbulencia.
Una partícula de humo podría, en promedio, moverse en la dirección principal del flujo
pero también podría desviarse, algunas veces moviéndose a un lado, hacia arriba o hacia
abajo. Aunque el flujo turbulento siga una dirección particular, como el flujo laminar, tiene la complejidad extra de las fluctuaciones aleatorias de la velocidad.
La turbulencia, o presencia de remolinos en un flujo, da lugar al doble efecto de un
mezclado acentuado del fluido ya la consiguiente disipación de la energía. Igual que la
fricción sólida, la turbulencia del flujo es, algunas veces, una bendición para la huma-
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9.5 FLUJO DE POISEUILLE
295
FIGURA 9-2 Transición en un flujo de agua que sale de un grifo: a) laminar, b) transición y e) turbu lento.
Con autorización de Engineering Fluid Mechanics, A. Mironer, McGraw-H ill , 1979
nidad y otras una maldición. Sin el mezclado que producen los remolinos, tanto el agua
en los tubos de los calentadores como el aire que rodea la Tierra, serían distribuidores
de calor muy pobres, la operación de las máquinas de vapor sería muy costosa y la atmósfera sería incapaz de mantener la vida. Por otra parte, no ocurrirían las tormentas
de arena y los ríos no transportarían sus tremendas cargas de sedimentos desde el pie
de las montañas al mar. El afán de no producir remolinos en el proceso de propulsión,
sobre todo al nadar o una nave marítima, puede ocasionar poco avance, igual que un
automóvil permanecería estacionado si la fricción no proporcionara una jiterza de
tracción. Paradójicamente, el proceso de crear cuerpos aerodinamicos sería innecesario donde no se produce turbulencia por el movimiento de un cuelpo a través de un
fluid0 2
En las próximas tres secciones, se consideran flujos laminares, en transición y turbulentos
en tubos y conductos, en ese orden.
9.5 FLUJO DE POISEUILLE
Es posible encontrar soluciones exactas para el flujo completamente desarrollado en un
tubo, mientras el flujo sea laminar y no turbulento (éste se llama flujo de Poiseuille). También es posible hallar una solución para flujo completamente desarrollado laminar en un
conducto rectangular (éste se llama flujo de Poiseuille plano). A continuación se desarrolla la solución de estos dos casos a partir de los principios básicos, empezando con el flujo
2 Elemenlaly
Mechanics ofFluids por H. Rouse, publicado por Dover Edition, 1978.
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296
CAPiTULO 9
FLUJOS VISCOSOS INTERNOS
-
p_ <!E
2
FIGURA 9-3
tangular.
dx
p+<!E
2
Volumen de control integral para un flujo completamente desarrollado en un conducto rec-
en el conducto. Los resultados son muy semejantes y sólo difieren en las constantes de las
ecuaciones.
9.5.1 Flujo completamente desarrollado en conductos
Considere el flujo laminar, bidimensional, en régimen permanente y de densidad constante, dentro de un conducto lejos de la entrada, de manera que el flujo está completamente
desarrollado. El conducto es de sección transversal rectangular, de anchura W, altura D y
es horizontal, así que no se incluye la fuerza debi~a a la gravedad. En un conducto, el flujo
laminar requi~e que el número de Reynolds VD! v sea menor que aproximadamente
2 000, donde V es la velocidad promedio. El perfil de velocidad y el factor de fricción se
pueden encontrar como sigue.
Primero, se usa un análisis integral aplicado a un volumen de control grande de longitud dx (figura 9-3). La presión varía en la dirección del flujo, pero no varía en dirección
perpendicular al flujo ya que las líneas de corriente son paralelas. La presión sobre el área
de entrada es p
dp, y sobre el área de salida, p + dp. Si el flujo está completamente
desarrollado, los flujos de cantidad de movimiento de entrada y salida tienen la misma
magnitud, de modo que se cancelan. Dado que en el flujo de cantidad de movimiento no
hay cambios, el flujo debe estar en equilibrio bajo las fuerzas aplicadas: la fuerza que actúa
sobre el flUIdo por la caída de presión se balancea por la fuerza debida al esfuerzo viscoso
que actúa en la superficie interior del conducto. Las presiones se aplican sobre el área de la
sección transversal wD. El esfuerzo viscoso íw no variará en la dirección del flujo ya que
éste es completamente desarrollado y el gradiente de velocidad es independiente de x. Si se
supone queí w es el mismo en cada pared del conducto, actúa sobre el área2(w+ D)dx. La
ecuación de la cantidad de movimiento da
-1-
1-
(p -1- dp)wD - (p + 1-dp)wD =
2íw
(w + D)dx
y así
dp = _ 2 (w + D) í
dx
wD
El conducto se consideró bidimensional, lo cual implica que w
dp
dx
-
2
D
~
W
D. Entonces,
(9.2)
=- - í
W
El gradiente de la presión es negativo porque la presión cae debido a la fricción viscosa.
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9.5 FLUJO DE POISEUILLE
297
Segundo, se usa un análisis diferencial aplicado a un volumen de control pequeño de
tamaño dxdydz (figura 9-4), localizado a una distancia y desde la línea central. Dado que el
flujo es bidimensional, no hay variación de la velocidad en la dirección perpendicular a la
hoja. Puesto que el flujo está completamente desarrollado, no hay variación de la velocidad en la dirección del fluj o. La única variación de velocidad que existe es en la dirección
transversal al flujo, es decir, en la direccióny. Por lo tanto, el único esfuerzo cortante aplicado al volumen elemental actuará en sus caras superior e inferior, las cuales tienen un
área de dxdz. Sea r el esfuerzo cortante a la mitad del volumen de control. Al usar una expansión en series de Taylor y reteniendo sólo los términos de primer orden, la fuerza viscosa neta, F v ' aplicada en la dirección x está dada por
F v = (r + ar dy )dXdZ _ (r _ ar dY)dXdZ
ay 2
ay 2
ar
= -dxdydz
ay
Así se observa que la fuerza viscosa resultante es distinta de cero sólo si el esfuerzo viscoso varía a través del campo de flujo (esto es, si arl ay ;;t: O). El esfuerzo viscoso está dado
como
du
r = f.J. dy
ya que la velocidad sólo varía en la dirección y. Por lo tanto
d 2u
F v = f.J. dxdydz
dy 2
De esta forma se puede ver que la fuerza viscosa depende de la segunda derivada del campo de velocidad.
Ahora se evalúa la fuerza debida a las diferencias de presión. Si la presión en la mitad
del volumen de control es p, la fuerza neta, Fp ' debida a la presión que actúa en la dirección x está dada por
F = (p _ ap dx ) dYdZ - (P + ap dx )dYdZ
p
ax 2
ax 2
. = _ ap dxdydz
ax
_j~\-_ %J_ Lx---..L r\
D
I
í'
f
TdY
.
FIGURA 9-4
tangular.
---,
L..:.....¡"
:"'dx ~
Volumen de control
.
Volumen de contro; diferencial para flujo completamente desarrollado en un conducto rec-
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298
CAPíTULO 9
FLUJOS VISCOSOS
INTERNOS
Dado que la presión no varía en dirección perpendicular (el flujo es bidimensional) y no
puede variar en la dirección y (las líneas de corriente son rectas y las fuerzas debidas a la
gravedad se desprecian)
ap = Bp =0
az ay ,
Bp =dp
Bx dx
Y
Entonces
Es decir
y así
F
=-
P
dp dxdydz
dx
La velocidad prc
Puesto que no hay aceleración,
F; y Fp deben sumar cero, así que
d2u
dy2
1 dp
--=v-P dx
(9.3)
Esta ecuación también puede encontrarse en forma directa con la ecuación de Navier-Stokes (ecuación 9.1). Para fuerzas de cuerpo despreciables y flujo completamente
desarrollado (donde todas las aceleraciones valen cero), esta ecuación se reduce a
· ~,
0=_!Vp+vV2y
de modo que V I
A. Para un cond
De la ecuación
p
I
Las líneas de corriente son paralelas y el flujo es bidimensional, así que v = w = 0, y y = ui.
Además, el gradiente de presión sólo puede variar en la dirección principal del flujo, y así
p = p(x). De aquí sigue que
d2u
1 dp
--=v-P dx
Se encuentra qu
El factor de frie
dy:
que es igual a la ecuación 9.3.
La ecuación 9.3 se aplica a todos los flujos completamente desarrollados en ausencia de fuerzas de cuerpo y se puede resolver observando que el término de presión sólo depende de x, mientras que el término viscoso sólo depende de y. Por consiguiente, la
ecuación se puede satisfacer sólo si ambos términos son iguales a una constante, por ejemplo -K. Entonces
dp =-K
dx
d2u
fi-=-K
(9.4)
(9.5)
dy2
donde K debe ser positiva ya que la presión disminuye con la distancia aguas abajo del
conducto.
La ecuación 9.5 se puede integrar dos veces para obtener el perfil de velocidad. Las
condiciones de frontera son
u=O,
en
y=±-
D
(no deslizamiento)
2
.'1
.
du=O
dy
,
en
y=O
donde el gradie
(simetría)
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.%ITLD
l
FIGURA9-4a
conducto.
x
9.5 FLUJO DE POISEUILLE
299
.Entonces
u= ~'HiJl
Es decir
u= ~:(-:)HiJl
(9.6)
La velocidad promedio, V, se define por
1
V- = A
f udA
de modo que V es igual al flujo volumétrico dividido entre el área de sección transversal
A. Para un conducto, la velocidad promedio está dada por
1
V = WD
f
D /2
-D/2
KD 2 D 2 ( dP )
uW dy = 12,u = 12,u - dx
(9.7)
De la ecuación 9.6 se obtiene
(9.8)
Se encuentra que el perfil de velocidad laminar es parabólico, como ilustra la figura 9-4a).
El factor de fricción está dado por
-
f -
dp
I'1PD
-- D
L
_ dx
__ dp 2D _ 24,u
! pV 2 - ! pV 2 - dx pV 2 - pVD
donde el gradiente de presión se eliminó con la ecuación 9.7. Esto es
If =24Re
D
2
1
(9.9)
L
x -f---f--l"¡'"
D
¡
FIGURA 9-4a
conducto.
Perfil de velocidad parabólico para un flujo laminar completamente desarrollado en un
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300
CAPíTULO 9
FLUJOS VISCOSOS INTERNOS
la cual se aplica para todos los conductos rectangulares donde Re = p VD / ¡.,t es menor que
aproximadamente 1 400 (el valor exacto del número de Reynolds depende de la razón de
forma del conducto).
El esfuerzo en la pared (y = - D /2) se puede encontrar si se diferencia la ecuación 9.6.
Es decir
T
W
D dp
=¡.,tau l
aYw
2 dx
que coincide con el resultado que antes se obtuvo usando un volumen de control finito
(ecuación 9.2).
9.5.2 Flujo completamente desarrollado en tubos
Aquí se considera el flujo laminar completamente desarrollado en un tubo circular, horizontal y liso. En el capítulo 8 este flujo se examinó mediante el análisis dimensional (sección 8.5). Para un tubo liso de longitud L y diámetro D se encontró
/),.~ =1>¡(PVD ,!:...J
~pV2
¡.,t
D
donde la caída de presión en la longitud, L, es /),.p, y V es la velocidad promedio en el área
de la sección transversal del tubo. Puesto que los tubos son en general largos, comparados
con su diámetro, existe un estado asintótico completamente desarrollado donde las propiedades del flujo ya no cambian con incrementos posteriores de longitud. Así, el perfil de velocidad promedio es independiente de la distancia a lo largo del tubo. En ese caso, el
parámetro L/ D ya no es importante y la relación de resistencia para flujo completamente
desarrollado en tubo liso se convierte en
donde f es el factor de fricción. Por lo tanto, el factor de fricción sólo depende del número
de Reynolds con base en la velocidad promedio y diámetro del tubo, ReD'
Como antes, se inicia con un análisis integral mediante un volumen de control de longitud dx, como muestra la figura 9-5. La presión a la entrada es p - ~ dp y a la salida
p + ~ dp. Puesto que el flujo es completamente desarrollado, está en equilibrio bajo las
fuerzas aplicadas. La caída de presión actúa sobre el área de sección transversal :reD 2/4 Y
el esfuerzo viscoso se aplica en el área superficia12:reDdx. Entonces
dx
p-~
2
FIGURA 9-5
p+~
2
Volumen de control integral para un flujo completamente desarrollado en un tubo ci rcular.
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9.5 FLUJO DE POISEUILLE
301
nD 2
nD 2
(p - ldp) - - - (p+ld'P)-- = í nDdx
2
4
2
4
w
de manera que
dp
4
- =- - í
dx
D W
Enseguida se aplica un análisis diferencial usando un volumen de control anular, localizado a una distancia r desde el eje del tubo (figura 9-6). Puesto que el flujo es bidimensional,
no hay variación de velocidad en la dirección circunferencial. Dado que el flujo es completamente desarrollado, no hay variación de velocidad en la dirección principal del flujo. La
única variación de velocidad es en la dirección radial, es decir, en la dirección r. Los esfuerzos cortantes actúan sobre las caras interna y externa del volumen de control. Si el esfuerzo cortante en el centro del volumen de control anular es í , la fuerza viscosa neta, F v ,
aplicada en la dirección x está dada por
Fv
=( í+~:~ }n(r+ ~ )dX - ( í-~:~ }n(r - ~ )dX
éJí
= r2:rrdrdx + - 2:rrrdrdx
éJr
despreciando los términos de segundo orden.
La fuerza neta debida a las diferencias de presión en la dirección x, F p' está dada por
F =(p _ éJp dx )2:rrrdr _ (p + éJp dx )2:rrrdr
p
éJx 2
éJx 2
éJp
=- -
2:rrrdrdx
éJx
donde p es la presión en el centro del volumen de control. Puesto que no hay aceleración,
F p y F v se deben balancear, así que
éJp = ~ + éJí
éJx r éJr
=! éJ(n)
r éJr
El término de la presión depende sólo de x y el término viscoso de r. Por lo tanto
dp
dx
-
r
Volumen
de control
r -- -- -i
1 den)
- - --
r dr
(9.10)
anular
D
~~~~-:~~~-----1-----r---L-T~dx--=-:1
~
FIGURA 9-6
p, '[
Volumen de co ntrol diferencial para fl ujo completamente desarrollado en un tubo circu lar.
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302
cAPiTULO 9
FLUJOS VISCOSOS INTERNOS
La ecuación sólo puede satisfacerse si los lados izquierdo y derecho son iguales a una
constante, digamos -K'. Entonces
dp =-K'
dx
! den) =-K'
r dr
(9.11)
(9.12)
donde K' debe ser positiva ya que la presión disminuye con la distancia x. Al integrar la
ecuación 9.12 se obtiene
r2 ,
rr:=- - K +el
2
o
r , el
r=--K +2
r
Puesto que el único gradiente de velocidad está en la dirección r, el esfuerzo viscoso está
dado por
du
r=¡tdr
y, por lo tanto
du _ r , el
¡t - -- - K + dr
2
r
y
r 2 , el
u=--K +-lnr+e2
4¡t
¡t
Al aplicar las condiciones de frontera
u =O,
en
r = ± D /2
du =0
dr
'
en
r=O
se encuentra e l = OY e 2 = D 2 K I / (16¡t), de modo que
2[
(r )2]
K'D
u_ - - 1- 16¡t
D
Esto es
u=~:(-:)H~)]
(9.13)
y se puede observar que el perfil de velocidad para flujo laminar en tubos es parabólico,
como se encontró para conductos rectangulares. La velocidad promedio se puede encontrar por integración, como antes. Para un tubo se encuentra que .
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9.6 TRANS ICiÓN DEL FLUJ O EN TUBERíAS
303
(9.14)
así que
(9.15)
Entonces, el factor de fricción está dado por
6.P D
_dpD
64
f=~=~=
}!
~pV2
~pV2
pVD
donde se usó la ecuación 9.14 para eliminar al gradiente de presión. Por consiguiente
If= 1
64
Re
(9.16)
que se ajusta a cualquier flujo en tubos y tuberías circulares con Re < 2300.
9.6 TRANSICiÓN DEL FLUJO EN TUBERíAS
En la figura 9-7 se muestran los factores de fricción experimentales para tubos circulares.
Esta figura se llama diagrama de Moody (para una nota histórica acerca de Lewis Ferry
Moody, vea la sección 15.18). Como se esperaba del análisis dimensional expuesto en la
sección 8.5, todos los datos caen en curvas que sólo dependen de tres grupos adimensionales: el factor de fricción, el número de Reynolds y la rugosidad relativa, k / D. Esto es válido para flujos laminares y turbulentos.
El diagrama de Moody despliega una sola curva para Re< 2 300, correspondiente a la
ecuación 9.16; éste es el régimen de flujo laminar donde las capas de fluido se deslizan una
sobre otra y la caída de presión se debe a los esfuerzos viscosos que establece el gradiente
de velocidad. La rugosidad superficial no afecta la resistencia viscosa en el régimen del
flujo laminar. Sin embargo, la transición a la turbulencia puede ocurrir para números de
Reynolds mayores que 2 300. El valor preciso del número de Reynolds donde se presenta
la transición depende de diversos factores, incluyendo la rugosidad superficial, vibraciones, ruido y perturbaciones térmicas.
Para entender pOl qué estos factores son importantes y para apreciar la función del número de Reynolds en la estabilidad del flujo, es útil pensar en términos de un sistema resorte-amortiguador, como el sistema de suspensión de un automóvil. Al manejar por un
camino con baches, el resorte actúa para suavizar el movimiento que experimentan los pasajeros. Sin embargo, si no hubiera absorbedores de impacto no habría amortiguamiento
del movimiento y el auto continuaría oscilando largo rato después de pasar el bache. Así,
los absorbedores de impactos, a través del amortiguamiento viscoso, disipan la energía
de las oscilaciones y reducen su amplitud. Si la acción viscosa es lo suficientemente fuerte,
las oscilaciones desaparecen enseguida. Si los absorbedores de impacto no están en buen
estado, las oscilaciones continúan. En realidad las oscilaciones pueden crecer si la fre-
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304
CAPiTULO
9
FLUJOS VISCOSOS
INTERNOS
--
O.OS
0.07
tico. El punt
posible retra
si se control
muy altos e:
0.05
0.04
0.06
0.03
:
0.05
0.02
perturbacior
0.015
'-,
0.04
~
0.01
O.OOS
......
¿
'0
0.006
.....••.
0.03
9.7 FLUJOl
0.004
Q)
'O
o
0.002
U
tU
LL
0.02
~
Ecuación 9.16
~
8:88ós
0.0006
0.0004
¡-.....
r-.....•..o.OOoo
Ecuación 9.19
IIIII
0.01
103
2
3 4 5
7 ~ 04
2
3 4 5
7 ~ 05
2
I
3 4 5
0.0002
0.0001
0.00005
I~
7 ~ 06
2
3 4 5
7 ~ 07
Número de Reynolds
FIGURA 9-7
Diagrama de Moody para flujo completamente
desarrollado
en tuberías circulares.
El flujo
laminar se describe con la ecuación 9.16. La ley universal de fricción de Prandtl para flujo turbulento en tuberías lisas está dada por la ecuación 9.19. Adaptado con autorización
de Moody, L. F. "Friction Factors for
Pipe Flow", Trans. de la ASME, 66, 671-684,1944.
cuencia de excitación está en el intervalo adecuado y el sistema experimenta la resonancia.
El automóvil se vuelve inestable y por lo tanto incontrolable.
La estabilidad del flujo depende de las fuerzas relativas de aceleración y de los amortiguamientos viscosos. Esto se expresa con el número de Reynolds, que es la proporción de
una fuerza de inercia típica respecto a una fuerza viscosa típica (sección 8.6). Con números de Reynolds bajos, la fuerza viscosa es grande comparada con la fuerza de inercia y el
flujo se comporta de cierta forma como un automóvil con buen sistema de suspensión. Las
perturbaciones pequeñas en el campo de velocidad, quizá creadas por la rugosidad en la
superficie o perturbaciones de presión provenientes de fuentes externas como vibraciones
en la pared de la tubería o incluso la presencia de ruidos intensos, se amortiguarán y no se
les permitirá crecer. Este es el caso del flujo en tuberías con número de Reynolds menor
que el valor crítico de 2300. Sin embargo, conforme el número de Reynolds aumenta, la
acción amortiguadora de la viscosidad se vuelve relativamente pequeña y en algún punto,
es posible que las perturbaciones pequeñas crezcan,justo como en el automóvil con amortiguadores en mal estado. El flujo puede volverse inestable y experimentar la transición al
estado turbulento donde se pueden mantener grandes variaciones en el campo de velocidad.
El punto donde las perturbaciones crecerán en vez de disminuir también dependerá de
la magnitud y frecuencia de las perturbaciones. Si éstas son muy pequeñas, como cuando
las paredes son muy lisas o si la frecuencia de la perturbación no está cercana a la de resonancia, la transición a la turbulencia ocurrirá a un número de Reynolds mayor al valor crí-
En el flujo n
mar y mant
energía ciné
resistencia (
se muestran
para el fluje
Reynolds. I
ra que cuan
mero de Re
número del
tiva. Por ej
constante e
Los rer
con respect
se midiera
variación e
define por
y unaflucn
Los re
dad de mox
ría (y, por
pared e int
des prome
to se suavi:
tiende a su
u
FIGURA
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9-1
9.7 FLUJO TURBULENTO EN TUBERíAS
305
tico. El punto de transición no corresponde a un valor único del número de Reynolds y es
posible retrasar la transición hasta valores del número de Reynolds más o menos grandes
si se controla el entorno de las perturbaciones. Sin embargo, con números de Reynolds
muy altos es imposible mantener el flujo laminar, ya que en estas condiciones hasta las
perturbaciones diminutas se amplifican hacia la turbulencia.
9.7 FLUJO TURBULENTO EN TUBERíAS
En el flujo turbulento, una parte considerable de la energía mecánica del flujo se va en formar y mantener el movimiento aleatorio de los remolinos, los que por último disipan su
energía cinética en calor. Por lo tanto, con un número de Reynolds dado, se espera que la
resistencia de un flujo turbulento sea mayor que la de un flujo laminar; los resultados que
se muestran en el diagrama de Moody confirman la expectativa de que el factor de fricción
para el flujo turbulento es más grande que para el flujo laminar para el mismo número de
Reynolds. El flujo turbulento también se afecta por la rugosidad de la superficie, de manera que cuando la rugosidad aumenta la resistencia se incrementa. Si la rugosidad y el número de Reynolds son suficientemente grandes, la resistencia se hace independiente del
número de Reynolds y el factor de fricción se vuelve sólo una función de la rugosidad relativa. Por ejemplo, cuando k / D = 0.006 y ReD> 3 x 105 , la figura 9-7 muestra que f es
constante e igual a 0.032.
Los remolinos transitorios en el flujo turbulento están en movimiento constante unos
con respecto a los otros, produciendo fluctuaciones en la velocidad y presión del flujo. Si
se midiera la velocidad principal de un flujo turbulento en una tubería, se observaría una
variación en el tiempo como ilustra la figura 9-8. El valor promediado en el tiempo (u) se
define por
1 f t+T
(u) = Tlím
udt
-->= T t
(9.17)
y una·fluctuación de ese valor u'(= u - (u)), así que ( u) no es función del tiempo, pero u' sÍ.
Los remolinos interactúan entre sí conforme se mueven y pueden intercambiar cantidad de movimiento y energía. Por ejemplo, un remolino cerca de la línea central de la tubería (y, por lo tanto, con velocidad promedio relativamente alta), se puede mover hacia la
pared e interactuar con los remolinos cercanos a la pared (que en general tienen velocidades promedio menores). Conforme se mezclan, las diferencias de cantidad de movimiento se suavizan. Este proceso en apariencia es semejante a la acción de la viscosidad, la cual
tiende a suavizar los gradientes de la cantidad de movimiento por la interacción molecular
u
1/ =
(u) + u'
(u)
1
FIGURA 9-8
Velocidad en un punto en un flujo turbulento en función del tiempo.
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306
CAPiTULO 9
FLUJOS VISCOSOS INTERNOS
y por ello se dice que los flujos turbulentos tienen una viscosidad de remolino equivalente. Debido a que el mezclado turbulento es un proceso de transporte efectivo, la viscosidad de remolino es, por lo común, varios órdenes de magnitud mayor que la viscosidad
molecular.
El punto importante es que los flujos turbulentos son muy efectivos en el mezclado:
los remolinos pueden transportar con rapidez masa, cantidad de movimiento y energía de
un lugar a otro. Como resultado, la velocidad, la temperatura y las diferencias de concentraciones se suavizan con mayor eficacia que en un flujo laminar y, por ejemplo, el perfil
de la velocidad promedio temporal del flujo turbulento en una tubería es mucho más unifOllne que en el flujo laminar (figura 9-9). El perfil de velocidad ya no es parabólico y algunas veces se aproxima con una ley de potencias, como
J1=(2
U CL
y )1 /11
D
(9.18)
donde U CL es la velocidad promedio en dirección del flujo y el exponente n varía con el número de Reynolds (para un número de Reynolds, ReD de alrededor de 100000, n = 7).
Como resultado de este mezclado, el gradiente de velocidad en la pared es mayor que
en el flujo laminar para el mismo número de Reynolds, así que el esfuerzo cortante en la
pared es en correspondencia más grande. Esta observación coincide con el hecho de que si
las pérdidas de carga son mayores en el flujo turbulento que en el flujo laminar, la caída de
presión por unidad de longitud será mayor. Del balance de la cantidad de movimiento considerado en la sección 9.5.2, se sabe que en la pared debe haber un esfuerzo de fricción mayor que, a su vez, requiere un gradiente de velocidad mayor en la pared. Observe que con
la ecuación 9.18 no es posible evaluar el esfuerzo en la pared ya que esta aproximación al
perfil de velocidad en realidad da un gradiente de velocidad infinito (y, por lo tanto, un esfuerzo infinito) en la paI ~d (donde y = O). La ecuación 9.18 es incorrecta cerca de la pared.
Sin embargo, para el flujo turbulento no hay soluciones exactas disponibles ni para el perfil de velocidad ni para el coeficiente de fricción en función del número de Reynolds. En
su lugar, siempre se debe recurrir a los datos experimentales y criterios para el modelado
basado ln el análisis dimensional. Para el factor de fricción, a menudo se usa la relación
semi empírica
J¡
(9.19)
=2.010g (Refl) -0.8
que se conoce como ley universal de Prandtl para fricción en tubos lisos (ésta es la línea
correspondiente al flujo turbulento en un tubo liso que describe la figura 9-7).
~--...--
Flujo
turbulento
=
FIGURA 9-9
Velocidad
instantánea
Velocidad
:..--_-r promedio
temporal
Distribución de la velocidad de flujos laminar y turbulento en tuberías.
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9.8 ECUAC iÓN DE LA ENERG iA PARA FLUJO EN TUBERiAS
307
Una forma más precisa está dada por
1
Ir
233
Ir = 1.8731og (Re.,,¡ f) - 0.2631 Ir
.,,¡f
(Re.,,¡.f) O90
(9.20)
que describe al factor de fricción dentro del 1 % para números de Reynolds desde 10 x 103
hasta 35 x 106 . 3
9.8 ECUACiÓN DE LA ENERGíA PARA FLUJO EN TUBERíAS
Hasta aquí sólo se han considerado conductos y tuberías simples, sin tener en cuenta cómo
estos elementos se integran en los sistemas de conductos y tuberías. Cuando un conducto
cambia su tamaño, ya sea mediante un difusor gradual, o con una expansión súbita, o cuando se coloca una válvula en algún lugar de la tubería o entra o sale flujo de un tanque en
cierta forma no ideal, habrán pérdidas adicionales en el sistema, manifestándose como
pérdida de presión o reducción de carga. La rugosidad también puede ser muy importante.
Cuando se desgasta un sistema de tuberías, la corrosión puede producir rugosidad en la superficie de los tubos y crecer las incrustaciones, de modo que las pérdidas debidas a la fricción se incrementan en forma significativa. Como se demuestra en la sección 9.9, para una
carga de presión disponible, el incremento de pérdidas en el sistema disminuirá el flujo.
El diagrama de Moody se puede usar para encontrar el factor de fricción para el flujo laminar o turbulento en tuberías o conductos, pero para diseñar sistemas de tuberías, es necesario conocer los efectos de los arreglos de las tuberías, válvulas, difusores y otros
componentes.
Los sistemas de tuberías y conductos en general se analizan mediante la ecuación unidimensional de la energía. Antes de hacerlo, son necesarias dos modificaciones. Primero,
los flujos viscosos internos son bidimensionales y para emplear la ecuación unidimensional de la energía se presenta el coeficiente de energía cinética, a. Este coeficiente permite
definir una velocidad promedio de modo que un campo bidimensional se pueda representar como un campo unidimensional "equivalente".
Segundo, los factores de fricción y coeficientes de pérdidas se introducen a la ecuación de la energía para representar las pérdidas de energía cinética del sistema. Siempre
que sea posible, estos coeficientes se determinan de la teoría, pero es más común que se
basen en las relaciones empíricas que define la experiencia.
9.8.1 Coeficiente de energía cinética
Considere un flujo permanente e incompresible a través de un tubo. El volumen de control
se dibuja como muestra la figura 9-10 y se aplica la ecuación de la energía en forma integral para régimen permanente. Esto es
. .
Q + Wjlecha =
3 M.
f (n·pV) ( UA+ ¡;P +2 V
V. Zagarola y A. J. Sm its, Physical Review Letters, e nero de 1997.
1
2
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+ gz ) dA
308
CAPíTULO 9
FLUJOS VISCOSOS INTERNOS
CD
M-r---~------ -- ---
FIGURA 9-10 Volumen de control aplicado al fl ujo permanente bidimensional a través de una tubería de
sección transversa l variable.
.
.
donde Q es el calor que se transfiere al fluido, Wjlecha' la rapidez de trabajo que una máquina hace sobre el fluido (por ejemplo, una bomba o turbina) y íi la energía interna del fluido
por unidad de masa (ecuación 5.23). Si las presiones y energías internas en las secciones 1
y 2 son uniformes
.
. ( P2 PI)
.(
)
= m. (AU 2 - UA)
Q.+Wjlecha
I +m -p - -p- +mg Z2 - Z¡
(9.21)
+ f pV2 (~V})dA2 - f pVI (~VI2)dA¡
Cuando la velocidad varía a través de la tubería, la energía cinética también varía. Para tratar el flujo como unidimensional, e~ necesario introducir una energía cinética equivalente,
basada en la velocidad promedio, V, en vez de las v~ocidades que varían espacialmente,
VI y V2. La ventaja de usar una velocidad promedio, V, es que es más o menos fácil de medir (por ejemplo, si el fluido fuera un líqu~o, se puede usar una cubeta y un cronómetro
para encontrar el flujo volumétrico y así, V se encuentra dividiendo el flujo volumétrico
entre el área de la sección transversal interior de la tubería).
¿Cómo se encuentra una energía cinética equivalente? El requerimiento importante es
que el flujo de la energía cinética en la tubería se evalúe con precisión. En especial es deseable definir un flujo promedio de energía cinética basado en la velocidad promedio, que
es igual al flujo de energía cinética real. Para un flujo en tuberías, el flujo de energía cinética real en el área A está dado por
flujo de EC real = f ~pV3 dA
donde V varía con la coordenada radial. El flujo promedio de energía cinética en la tubería
está dado por el flujo volumétrico multiplicado por la energía cinética promedio. A su vez,
la ene~gía cinética promedio puede escribirse como un múltiplo de ~ p V 2, por ejemplo,
a ~ p V 2, donde el valor de a sólo depende de la forma del perfil de la velocidad. Por lo
tanto
flujo promedio de EC = ~ ap V 3 A
Al igualar los flujos de energías cinéticas real y promedio se obtiene
a = ~fV3dA
3
(9.22)
AV
que define al coeficiente de la energía cinética, a. Este coeficiente se puede encontrar si se
conoce la forma del perfil de velocidad. En la sección 9.5 .2 se demostró que el perfil de ve-
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9.8 ECUACiÓN DE LA ENERGíA PARA FLUJO EN TUBERíAS
309
locidad para un flujo laminar en tuberías es parabólico, lo que daa = 2.0. El flujo tmbulento en tuberías tiene un perfil mucho más plano, de modo que la velocidad en la mayor parte
de la sección transversal es cercana al valor promedio, y ~on experimentos se encuentra
que 1.08> a > 1.03.Si el flujo fuera unidimensional, V = V, Y a = l.
Así, la ecuación de la energía para un flujo bidimensional se puede escribir en una forma equivalente unidimensional, usando
3
3
2)
dA = lapV
A = pVA(laV
flujo de Ee = flpV
2
2
.
2
Entonces,
.
~) +m. (P2
Q. + Wjlecha
-_ m. (~u2 -u¡
. ( Z2
-¡; - pP¡) +mg
-
ZI
)
¡
- 2)
+ 'm("2I a 2V- 22 -"2a¡V¡
O sea
y así
(
pP¡ + gz¡ + "2Ia
¡
V:-2) (P2-¡; + gZ2 + "2 a
¡
¡
-
V:-2)_- (~U - U¡
~) - Q + Wjlecha
m
2
2 2
El término
representa la energía mecánica por unidad de masa en cualquier sección transversal. Si
a = 1, H es igual a la constante de Bernoulli para flujos incompresibles (sección 4.7.3).
El cambio en energía interna (u 2
-
u¡ ) representa la conversión (irreversible) de ener-
m
gía mecánica a energía térmica y - Q/ es la pérdida de energía por transferencia de calor
a los alrededores. En ausencia de trabajo en la flecha, el término (u 2 - u¡ - Q/m) representa la diferencia en energía mecánica por unidad de masa entre las secciones 1 y 2, y con frecuencia se representa con el término gh t , donde h, se llama pérdida de carga total y tiene
dimensión de longitud. El trabajo en la flecha es el trabajo hecho sobre el fluido, de modo
que una bomba proveerá trabajo positivo en la flecha. Por último, la ecuación de la energía
toma una fonna muy conveniente para los sistemas de flujos en tuberías.
(9.23)
.
.
En ·general, Q es pequeño par!l una bomba o una turbina. También, Wjlecha es la potencia que consume la bomba y Wjlecha ' la potencia que desarrolla la turbina.
9.8.2 Pérdidas primarias y secundarias
A continuación se describe cómo calcular la pérdida de carga total h, . La pérdida de carga
total en una red de tuberías es la suma de las pérdidas primarias y secundarias. Las pérdi-
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310
CAPíTULO 9
FLUJOS VISCOSOS
INTERNOS
das primarias se deben a la fricción viscosa. Para una tubería de cierta longitud, L, y diámetro constante, D, que conduce un fluido con velocidad promedio, V, estas pérdidas se
pueden escribir como
.
.
per, did
1 as pnmanas
L
= f --
V2
D 2g
donde f es el factor de fricción. El diagrama de Moody proporciona el valor de f en función del número de Reynolds y la rugosidad relativa, k/ D (figura 9-7). A la rugosidad mínima se le llama lisa o hidráulicamente lisa. En la tabla 9.1 se listan alturas de rugosidades
equivalentes de tuberías de distintos materiales.
Las pérdidas secundarias se deben a entradas, conexiones, cambios de área, etcétera.
Siempre que el flujo en una tubería dé vuelta en un codo, cambie su área de sección transversal o se estrangule por una válvula, se presentarán la separación del flujo y un flujo secundario. Cuando un flujo se separa, el fluido ya no fluye con suavidad en la dirección
propuesta. Una cantidad considerable de partes del flujo se arremolinan y recirculan de
manera que absorbe energía mecánica sin hacer trabajo útil. La figura 9-11 ilustra algunos
ejemplos. Además, cuando el flujo pasa por un codo, a menudo la ruta original se tuerce,
de modo que el flujo aguas abajo del codo tiene dos componentes de velocidad: una componente en la dirección del flujo principal y una componente circunferencial o "secundaria". El flujo secundario absorbe energía del flujo principal y, por lo tanto, contribuye a la
pérdida de carga total.
I
l'
lit
w
TABLA 9-1 Altura de la rugosidad k de
materiales comunes en tuberías
Tipo
k(mm)
k(pie)
Vidrio
Lisa
Lisa
Hierro fundido asfaltado
0.12
0.0004
Hierro galvanizado
0.15
0.0005
Hierro fundido
0.26
0.00085
Duela de madera
0.18-D.90
0.0006-D.003
Concreto
0.30-3.0
0.001-D.01
Acero remachado
1.0-10
0.003-D.03
Tubería pintada
0.0015
0.000005
secundarias
por entradas,
grande en el d
siderable el cc
15 % del dián
que 0.04 (tabJ
TABLA 9.2
para entrada
diámetro de
curvatura dE
Tipo de entra'
Tipo de salldt
FUENTE: Datos de (
FUENTE: Inlroduc/ion lo Flui€l Mechanics, John y Haberman, Prentice Hall, 19a8.
Las pérdidas
como
FIGURA 9-11
Tomado de Visu
salidas, expansiones
(pérdidas secundarias);
=K
y reducciones
se escriben
Para cod
criben en térr
completamer
medio, V, las
V2
2g
.,.
donde K es un coeficiente de pérdida, que depende del tipo de accesorio. Algunos valores
típicos de K son 0.6 para una expansión súbita que duplica el diámetro y 0.5 para una entrada de orilla cuadrada desde un recipiente a una tubería (un decaimiento súbito muy
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Los valores t
340 para uns
codo estánda
tubería (tabi:
9.8 ECUAC iÓN DE LA ENERGíA PARA FLUJO EN TUBERíAS
~
311
-
flujo separado
·r
FIGURA 9-11 Flujo a través de codos redondos y cuadrados, que muestra las regiones de separación.
Tomado de Visualized Flow, Japan Society of Mechanical Engineers, Pergamon Press, 1988.
grande en el diámetro). Aun el menor redondeo en la entrada al tubo reduce en forma considerable el coeficiente de pérdida. Por ejemplo, con un radio de curvatura en la entrada de
15 % del diámetro de la tubería (r/D) el coeficiente de pérdida se reduce a un valor menor
que 0.04 (tabla 9.2).
TABLA 9.2 Coeficientes de pérdida típicos
para entradas y salidas de tuberías (D es el
diámetro de la tubería y r, el radio de
curvatura de la entrada redondeada)
K
Reentrante
0.78
Orilla cuadrada
Tipo de entrada
0.28
Redondeada (r /O = 0.06)
0.15
Redondeada (r/O
Tipo de salida
0.5
= 0.02)
Redond eada (r/o
I A brupta
~
0.15)
0. 04
1.0
FUENTE: Datos de Crane Ca. NY., documento técnico núm. 410, 1982.
Para codos, conexiones en T y válvulas, las pérdidas secundarias algunas veces se escriben en términos de una longitud equivalente de un tubo recto, Le. En ese caso, para flujo
comp le~mente desarrollado en una tubería con un factor de fricción, J, y velocidad promedio, V, las pérdidas debidas a los codos, conexiones en T y válvulas están dadas por
(pérdidas secundarias)b =J Le ¡¡2
D 2g
Los valores típicos de Le / D son 3 para una válvula de bola, 8 para una válvula de entrada,
340 para una válvula de globo (todas las válvulas completamente abiertas) y 30 para un
codo estándar de 90 0 , donde el radio de curvatura del codo es diez veces el diámetro de la
tubería (tabla 9.3).
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312
CAPiTULO 9
FLUJOS VISCOSOS
INTERNOS
TABLA 9.3 Coeficientes de pérdida típicos
para conexiones de tuberías
Válvula o conexión
Le
D
Válvula de compuerta (abierta)
8
Válvula de globo (abierta)
Válvula en ángulo (abierta)
340
150
Válvula de bola (abierta)
Codo estándar de 45°
3
16
Codo estándar de 90°
30
0.35
0.75
T estándar (flujo en línea recta)
20
0.45
0.4
T estándar (flujo en rama)
60
1.5
Codo de curvatura grande de 90°
K
0.20
6.4
FUENTE:Datos de Crane CO., NY, documento técnico núm. 410,1982.
Información adicional sobre las pérdidas secundarias con un extenso análisis de los
coeficientes de pérdida de flujo en tuberías se puede consultar, en Munson, Young y
Okiishi, Fundamentals of Fluid Mechanics, John Wiley & Sons, 1998.
Como observación práctica, el factor de fricción, j, se puede escribir en términos del
flujo volumétrico q
D 2fT
=.¡
Es decir
I'3.p=8j p(¡2L
n2
D5
Esta relación para la caída de presión es muy útil para los ingenieros de diseño, si el número de Reynolds esperado es tan grande que el factor de fricción es moderadamente insensible a los cambios en el número de Reynolds. ¿Qué sucede si un cliente quiere duplicar el
flujo volumétrico? Se observa que I'3.pdebe cuadruplicarse. ¿Qué sucede si el cliente desea
reducir a la mitad el diámetro de la tubería para ahorrar dinero? La diferencia de presión
requerida se incrementaría por un factor de 32.
9.9 VÁLVULAS Y GRIFOS
La velocidad de salida desde un tanque es independiente del área de salida, pero la descarga aumenta conforme se incrementa el área de salida, considerando que no hay pérdidas.
Este resultado, obtenido en la sección 4.6, en apariencia contradice la experiencia común
con las válvulas. Al abrir una válvula no cambia el área de salida de la tubería y aun así se
incrementa la rapidez de la descarga. ¿Por qué? Las válvulas funcionan porque introducen
pérdidas al sistema.
Imagine una alimentación a presión constante, como un tanque grande de agua, conectado a una tubería de diámetro constante con una válvula colocada en algún lugar de su
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longitud. SU
de presiones
por la profun
que y en la sa
to, que hay C
del sistema d
convertirse a
dad de salida
ción 4.6), la
pérdidas, COl
vertirse a en
mayores pér
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¿Dedór
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forme el fluj
una región (
causan que
energía mee
pequeñas ct
canismo COl
las tuberías
abierta, el b
el flujo. Sin
flujo pasa a
El efec
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por la sepa!
Otro ej
dentro de ti
presión de :
néticaen m
rán. Por elh
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terior, si el
efecto en \¡
yor estárel
ra. Ésta inc
salida de \¡
yor a la atl
presión de
9.9 VÁLVULASYGRIFOS
313
longitud. Suponga que las pérdidas son pequeñas excepto las de la válvula. La diferencia
de presiones desde la superficie del tanque hasta la salida de la tubería está bien definida
por la profundidad del agua en el tanque porque las presiones en la superficie libre del tanque y en la salida de la tubería son iguales a la presión ahnosférica. Esto significa, en efecto, que hay cierta cantidad de energía potencial disponible para empujar al fluido a través
del sistema de tuberías. Si en ninguna parte hay pérdidas, toda esta energía potencial puede
convertirse a energía cinética del fluido en movimiento. La relación que describe la velocidad de salida en ausencia de pérdidas, Ve = ~2gH viene de la relación ~ p Ve2 = pgH (sección 4.6), la cual hace clara esta conexión entre la energía cinética y la potencial. Si hay
pérdidas, como en una válvula o grifo, habrá menos energía potencial disponible para convertirse a energía cinética; como resultado, la velocidad del flujo de salida se reduce. A
mayores pérdidas, menores velocidades y reducción de la descarga, de esta forma las válvulas controlan el flujo al cambiar las pérdidas del sistema.
¿De dónde vienen las pérdidas en una válvula? Las válvulas son de varias formas y tamaños, pero un diseño común, como una válvula de compuerta, usa una simple compuerta
deslizable con una orilla afilada que se mueve hacia adentro y hacia fuera del flujo. ConfOlIDe el flujo pasa por la compuerta, la orilla de ésta hace que el flujo se separe y se forme
una región de recirculación aguas abajo donde ocurren muchas pérdidas. Estas pérdidas
causan que la presión caiga a través de la válvula, puesto que se ha disipado algo de la
energía mecánica disponible. Otras válvulas se diseñan para tener pérdidas de carga muy
pequeñas cuando están abiertas por completo. En una válvula de bola, por ejemplo, su mecanismo consta de una bola con un barreno donde el barreno tiene el mismo diámetro que
las tuberías conectadas. Al girar la manivela, la bola rota, de manera que cuando está toda
abierta, el barreno está alineado con la dirección del flujo y hay muy poca perturbación en
el flujo. Sin embargo, cuando está parcialmente abierta, las pérdidas aparecen conforme el
flujo pasa a través de las orillas del barreno desalineado y el flujo se puede controlar.
El efecto obturador que producen las pérdidas de energía también se puede observar
con una manguera de jardín. El flujo se controlará doblando la manguera (al menos hasta
que el doblez sea tan severo como para detener todo el flujo). Un doblez produce pérdidas
por la separación del flujo y así actúa como una válvula.
Otro ejemplo son las pérdidas causadas por la fricción de las tuberías. Esta fricción
dentro de tubos rugosos puede ser mucho mayor que en tubos limpios y lisos. Para cierta
presión de operación hay menos energía potencial disponible para conversión a energía cinética en un tubo rugoso que en uno liso. Por lo tanto, la velocidad y la descarga se reducirán. Por ello, cambiar los tubos de cobre viejos y corroídos de las tuberías de los baños que
han desarrollado un alto grado de rugosidad interna, por tuberías de plástico limpias puede
mejorar en forma notoria la descarga de la regadera.
Estas consideraciones también ayudan a explicar por qué al oprimir una manguera
cerca de su salida producirá una velocidad de salida mayor. De acuerdo con el análisis anterior, si en el sistema no hay pérdidas, reducir el área de salida de la manguera no tiene
efecto en la velocidad de salida. Por lo tanto, la explicación de una velocidad de salida mayor está relacionada con las pérdidas en el sistema. Al oprimir la punta, se forma una tobera. Ésta incrementa la velocidad del fluido y reduce su presión, pero como la presión en la
salida de la tobera es la ahnosférica, la presión justo aguas arriba de la tobera debe ser mayor a la atmosférica. Dentro de la manguera completa (excepto para la tobera misma), la
presión de operación ha disminuido (suponiendo que la presión aguas arriba permanece
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314
CAPíTULO 9
FLUJOS VISCOSOS INTE RNOS
constante) y, por lo tanto, la velocidad en esa parte de la manguera en realidad disminuye.
Dado que las pérdidas son ahora menores, hay mayor presión disponible para manejar el
flujo en la tobera, el cual puede entonces alcanzar velocidades de salida muy altas, dependiendo de la proporción de la reducción. Sin embargo, la descarga es en realidad menor
que cuando la manguera no se obstruía, ya que la velocidad en su parte principal ha disminuido. Oprimir la manguera para incrementar la velocidad de salida sólo funcionará si las
pérdidas por la fricción en la manguera son más o menos grandes. Al escribir la ecuación
de energía para este sistema, se puede demostrar que éste sólo funcionará cuando jL/ D > 1,
donde f es el factor de fricción.
9.10 DIÁMETRO HIDRÁULICO
Para encontrar el factor de fricción en conductos sin sección transversal circular hay un
concepto útil llamado diámetro hidráulico, D H ' definido por
D H = 4 x área de la s~cción transversal
penmetro
(9.24)
El diámetro hidráulico se usa para definir n.Émeros de Reynolds equivalentes, VD H / v, factores de pérdida de carga, hL = f (L! D H )V 2 /2g, y factores de rugosidad relativa, k / D H'
de modo que para determinar el factor de fricción puede usarse el diagrama de Moody.
Para mostrar cómo funciona se necesita estimar el factor de fricción para flujo laminar en
un conducto liso rectangular usando el resultado conocido para una tubería circular (ecuación 9.16). Para un conducto, el diámetro hidráulico está dado por
D
=
H
4wD
2(D +w)
Cuando w ~ D, DH = 2D. Sustituyendo DH por el diámetro en la ecuación 9.16, se tiene
la estimación del factor de fricción para el flujo en el conducto.
f
-
64 _ 64v _ 32v
Re VD H
VD
-
- ~
- ~
Este resultado es 33% mayor que el resultado correcto para el conducto bidimensional
dado en la ecuación 9.9. Así, el concepto de un diámetro hidráulico no funciona muy bien
para el flujo laminar en un conducto bidimensional. Éste tiende a trabajar mejor para flujo
con proporciones geométricas cercanas a la unidad, como conductos cuadrados o triangulares, donde los errores para los flujos laminares son quizá menores que 10 o 15%. La
aproximación funciona mejor para flujos turbulentos, donde los errores probablemente
sean menores que 10 o 15% para todas las formas de los conductos.
EJEMPLO 9.1 Flujo en tuberías con fricción
j .•
Considere un tanque grande lleno de agua que se vacía a través de una tubería larga de diámetro D y longitud L = 1OOD, situada cerca del fondo del tanque (figura 9-12). La entrada a
la tubería es de orilla cuadrada y hay una válvula de bola para controlar el flujo. La válvula
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9. 10 DIÁMETRO HIDRÁULI CO
H
315
-L(=IOOD) _ _
¡
FIGURA 9-12
rD
, - Válvula de bol~
t
~V
Tanque que drena con pérdidas a través de una tubería.
está completamente abierta yJa tubería es horizontal. Encuentre una expresión para la velocidad promedio de salida, V. El número de Reynolds del flujo en la tubería es 2 000, de
manera que el flujo es laminar.
Solución Suponga que el problema es cuasipermanente. Para el flujo laminar, a =2. El
coeficiente de pérdida, K , para una entrada con orilla cuadrada es 0.5 y en la salida, el coeficiente de pérdida en este punto es 1.0 (tabla 9.2). La válvula de bola tiene una longitud
equivalente Le / D = 3 (tabla 9.3). Con este número de Reynolds, el factor de fricción
f = 0.032 (figura 9-7 y ecuación 9.16). No hay pérdidas a lo largo de una línea de corriente
que inicia en la superficie libre del agua de! tanque y termina en la entrada a la tubería y
PI + a -y Z + O
-Pa + O+ gH =-
p
p
2
donde PI es la presión en la entrada a la tubería. La ecuación de la energía unidimensional
(ecuación 9.23) que se aplica a lo largo de la tubería da
PI
-
yZ
+a -
p
Pa
=-
2
P
y Z
+a -
2
+ ght
así que
yZ
L VZ
yZ
L VZ
gH = a - + K - + f_e- + f - 2
2
D 2
D 2
= ~ yZ (2 + 0.5 + 1.0 + 0.032 x 3 + 0.032 x 100)
y así
y = 0.542~gH =~0.294gH
Así, la velocidad de salida es mucho menor que e! valor ideal encontrado para un flujo sin
fricción (= ~2gH).
•
EJEMPLO 9.2 Flujo en tuberías con fricción
La figura 9~ 13 muestra una tubería de hierro fundido donde fluye agua a 60°F. La caída de
presión P I - Pz = 3 500 lb f /pie z , la diferencia de alturas Zz - Z I = 30 pie, la longitud
L = 150 pie y el diámetro D = 3 pulg. Encuentre el flujo volumétrico de descarga, q. Ignore
las pérdidas secundarias y suponga que el flujo es turbulento.
Solución Para encontrar q, es necesario conocer la velocidad promedio en la tubería, V.
La ecuación de la energía unidimensional da
~
y Z
~
V2
-p +a 1 -+gz I =-+a
- +gz 2 +ght
P
2 2
2
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316
CAPíTULO 9
FLUJ OS VISCOSOS INTERNOS
(2)
~
~
(')~yL
!
D
z., - z]
"
-
~ -------- ------- -
FIGURA 9-13
Ag ua que fluye hacia arriba en una tube ría lisa.
Por lo tanto, con a 2 = a, = 1.0 (el flujo es turbulento)
f
L
V2
--=
D 2
PI - P2
+ g(z , - z2)
P
Para encontrar V, se requiere conocer el factor de fric~ión. Sin embargo, el factor de fricción depende del número de Reynolds, y sin conocer V, no se puede conocer el número de
Reynolds. No obstante, si el número de Reynolds es suficientemente grande, el factor
de fricción para una tubería rugosa es independiente del número de Reynolds (figura 9-7).
En la tabla 9-1 se observa que las tuberías de hierro fundido tienen, en general k = 0.00085
pie, de modo que k/D = 0.0034. Para números de Reynolds grandes, el diagrama de
Moody da, entonces, f "" 0.027 . Por lo tanto
(1) lb f (2) slug/pie3 (3) pie/s 2 (4) pie
2
V =fL
1 D [PI - P2
2
p
+g(z, - z2)
]
1 - 0.25(
35001b f
. )
=-- 322'
. pie / s 2 x 30 pIe
0.027 150 1.938s1ug/ pie 3
yasí
V = 10.2 pie/s
Entonces
q={D 2V = 0.50 pie3/s
Antes de aceptar esta respuesta, se debe verificar que el número de Reynolds sea lo suficientemente grande como para suponer que el flujo es de rugosidad dominante. Se tiene
Re = VD = 10.2xO.25 = 211 000
v
1.21x 10-5
El diagrama de Moody muestra que con este número de Reynolds el flujo aún no es de rugosidad dominante y el factor de fricción está un poco por encima de lo que se supuso, más
cerca de 0.028 que de 0.027. Para obtener una respuesta más precisa para elflujo volumétrico, se necesita iterar. Cuando se usa f = 0.028, se encuentra que V = 10.0 pie/s,
q=0.49 pie 3/S, y Re = 207 000. El factor de fricción correspondiente es otra vez de 0.028,
así que este segundo valor de qes suficientemente preciso.
•
!"
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PROB LEMAS
317
EJEMPLO 9.3 Flujo en tuberías con trabajo en la flecha
Considere el ejemplo anterior, donde una bomba de 20 hp se coloca a la mitad de la tubería. Se supondrá que la caída de presión permanecerá constante a 3 500 lb¡puli y el factor
de fricción es de 0.028. Encuentre el flujo volumétrico en la tubería.
Solución La ecuación de la energía queda
V2
PI
V2
P2
-+-+gz = -+-+gz +gh, - gH
p
2
I
P
2
2
donde H es la carga total que genera la bomba (es positiva ya que el trabajo lo hace la bomba sobre el fluido). La carga está dada por la división de la potencia mecánica entre mg,
así que
H =
W~echa
mg
(ver también la ecuación 13.8). Es decir
f
L
V2
-- =
D 2
PI - P2
P
+ g(zl - z2) + gH
Y W,II = 20 hp, de modo que
H
g
20 x 550
.
= 1.938xZ!:D2VPIe=
115630.
V
pie
4
donde V está medida en pie/s. La ecuación de la energía se convierte en
8.4 Vi = 1 806 _ 966 + 115 630
V
de modo que
V 3 - 100V - 13765 =0
Esta ecuación tiene sólo una solución con significado fisico, V = 25.4 pie/s. En este caso,
la adición de una bomba de 20 hp da más del doble de velocidad al flujo. Entonces, el flujo
volumétrico está dado por
•
PROBLEMAS
9.1 ¿Qué es el diagrama de Mooc\y?
9.2 Explique brevemente por qué un grifo actúa para controlar el flujo.
9.3 ¿Cuál es el límite superior razonable del número Reynolds para el flujo laminar en tuberías?
9.4 ¿A qué número de Reynolds esperaría que un flujo completamente desarrollado en tuberías se
vuelva turbulento? Escriba la definición del número de Reynolds para el flujo en tuberías y
explique su notacióL
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318
CAPiTULO 9
FLUJOS VISCOSOS
INTERNOS
9.5 Calcule el número de Reynolds para el flujo en una tubería de 12 mrn de diámetro, velocidad
promedio de 50 mm/s y viscosidad cinemática de 10-6 m2/s ¿El flujo será laminar o turbulento?
9.6 ¿Esperaría que el flujo de agua en una tubería de calidad industrial con diámetro de 0.010 m
sea laminar o turbulento, si la velocidad promedio fuera de 1 m/s y la viscosidad cinemática
de 10-6 m2/s?
9.7 ¿Cuál es la probabilidad de que un flujo de agua con velocidad promedio de 0.15 pie/s sea laminar en una tubería de 6 pulg de diámetro?
9.16 Desde unr
y diámetro
cipiente,el
ría es de O.
9.17 La figuraJ
gasto deq
de fricciór
tubería SOl
superficie:
9.8 Si el número de Reynolds crítico para el flujo en un río es 2 000 con base en la velocidad promedio y la profundidad, ¿cuál es la velocidad máxima para el flujo laminar en un río de 10 pie
y 2 pie de profundidad? ¿Pensaría que cualquier río es laminar?
I
l'f
9.9 Compare el perfil de velocidad, el esfuerzo cortante en la pared y la caída de presión por unidad de longitud para el flujo laminar y turbulento en conductos (dibuje un diagrama para ilustrar su respuesta).
9.10 Encuentre el número de Reynolds para agua que fluye a 15°C
a) en un tubo de 6 mm de diámetro con una velocidad promedio de 10 cm/s,
b) en un tubo de 20 cm de diámetro con una velocidad promedio de 1m/s,
e) en un tubo de 2 m de diámetro con una velocidad promedio de 3 mIs.
Indique si los flujos son laminares o turbulentos.
9.11 Una tubería primero transporta agua y después transporta aire a 15°C y presión atmosférica.
¿Cuál es la proporción entre los flujos másicos descargados y los flujos volumétricos descargados, si los factores de fricción son los mismos para los dos flujos?
9.12 Dos tuberías horizontales de la misma longitud y rugosidad relativa transportan aire yagua,
respectivamente, a 60°F. Las velocidades promedio son tales que los números de Reynolds y
las caídas de presión para cada tubería son los mismos. Encuentre la proporción entre la velocidad promedio del aire y la del agua.
9.13 A través de una tubería lisa, horizontal y circular fluye agua en régimen permanente. El flujo
es de 1.5 pie3/s y el diámetro de la tubería es de 6 pulg. Encuentre la diferencia de presión entre dos puntos separados 400 pie, si la temperatura del agua es 60°F.
9.14 Una alberca de 2 000 galones se llena con una manguera de jardín de 0.75 pulg de diámetro.
Si la presión de alimentación es de 60 psig, encuentre el tiempo requerido para llenar la alberca. La manguera es de 100 pie de longitud con un factor de fricción de 0.02.
9.15 La figura P9-15 muestra una tubería a través de la cual fluye agua a un gasto de 0.07 m3/s. Si
el factor de fricción para la tubería es de 0.04 y el coeficiente de pérdida para la entrada a la tubería en el punto A es de 1.0, calcule la presión en el punto B.
FIGURA F
9.18 Una boml
como mm
la velocid
tancia io
100 Dag
sión p¡ en
constante
a
FIGURA
9.19 La figure
ría tiene:
tubería e
profundi
o
3000
3000 m de tubería recta con
diámetro de 150 mm
recta
de 15
FIGURA
FIGURA P9-15
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PROBLEMAS
velocidad
o turbue 0.010 m
inemática
e/s sea la-
319
9.16 Desde un recipiente grande fluye agua hacia abajo en una tubería recta de 2 500 m de longitud
y diámetro de 0.2 m. Al final de la tubería, en un punto a 500m debajo de la superficie del recipiente, el agua sale a la atmósfera con una velocidad Ve' Si el factor de fricción para la tubería es de 0.03 y el coeficiente de pérdida para la entrada a la tubería es de 1.0, calcule Ve'
9.17 La figura P9-l7 ilustra una tubería que conecta dos recipientes entre los que fluye agua a un
gasto de q m3/s. La tubería tiene 700 m de largo, un diámetro de 50 mm y es recta. Si el factor
de fricción para la tubería es de 0.001 y los coeficientes de pérdida para la entrada y salida a la
tubería son 0.5 y 1.0, respectivamente, encuentre q, dado que la diferencia de alturas entre las
superficies de los dos recipientes es de 100 ID.
idad prode JOpie
t
100 m
t
n por unipara ilus-
FIGURA P9-17
osférica.
s deseare yagua,
ynolds y
e la velo-
9.18 Una bomba es capaz de dar una presión manométrica, P» cuando bombea agua de densidad p,
como muestra la figura P9-18. En la salida de la bomba, donde el diámetro de la tubería es D y
la velocidad V, hay una válvula con un coeficiente de pérdida de 0.6. Aguas abajo, a una distancia 100 D, el diámetro de la tubería se reduce poco a poco hastaD 12. Lejos, a una distancia
\00 D aguas abajo, el flujo sale a la atmósfera; las tuberías son horizontales. Calcule la presión P, en términos de la densidad p y V, cuando el factor de fricción, f', se toma con un valor
constante e igual a 0.01 en todas partes.
. El flujo
esión eniámetro.
la alberm3/s. Si
a a la tu-
FIGURA P9-18
9.19 La figura P9-19 describe una tubería en la que fluye agua con un gasto de 0.06 m3/s. La tubería tiene 3000 m de longitud, un diámetro de 120 mm y es recta. Si el factor de fricción para la
tubería es de 0.03 yel coeficiente de pérdida para la entrada a la tubería es 1.0, calcule H, la
profundidad del recipiente, dado que la tubería descarga a la atmósfera.
B
t
600 m
Al
Presión atmosférica
FIGURA P9-19
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320
9.20
CAPíTULO
9
FLUJOS VISCOSOS
INTERNOS
Un tanque de agua con profundidad constante H, abierto a la atmósfera, está conectado al sistema de tuberías que muestra la figura P9-20. Después de una longitud de tuberíaL y diámetro
D, el diámetro disminuye poco a poco hasta un valor deD/2y continúa una distanciaL, antes
de descargar a la atmósfera. El factor de fricción, j, es el mismo para las dos tuberías. eDI y
eD2 son los coeficientes de pérdida para la entrada y la salida. Calcule la profundidad del tanque requerida para producir una velocidad de salida V.
9.25
done
ye"
ríad
rann
9.26
1
H
Por
4x'
zont
flujc
~----L----~"~I'~----L----~'II
~...Ll-==~!========~=====----.!
t diá
=D
9.27
t diá = .e.
Atr
gast
ehw
el ál
2
FIGURA P9-20
9.21
Debí
berí,
Entre una ventana y un marco se deja una holgura pequeña, como muestra la figura P9 .2l. La
holgura es de 0.15 mm por 30 mm y la anchura de la ventana, de 1 m. La diferencia de presión
a través de la ventana es de 60 Pa. Calcule la velocidad promedio y el flujo volumétrico a través de la holgura. La temperatura del aire es de O°C. Ignore las pérdidas secundarias.
J
a
t
tI;'""
FIG
9.28
Pan
una
más
ría,
9.29
Un
el e
bon
ea 1
pul;
9.30
Del
bud
per
del
con
actl
ent
DTo.15mm
130m~1
FIGURA P9-21
9.22
Para un flujo másico y un factor de fricción constantes demuestre que la caída de presión en
una tubería debida a la fricción varía inversamente con el diámetro de la tubería a la quinta
potencia.
9.23
Un ventilador de hp se usa para suministrar aire a un salón de clase a 60°F a través de un
conducto liso que mide 6 pulg por 12 pulg y 50 pie de largo. Encuentre el flujo volumétrico y
la presión justo aguas abajo del ventilador. Justifique todas sus suposiciones.
9.24
Con un sifón se succiona agua a 60°F entre dos tanques como muestra la figura
P9-24. El tubo que los conecta es una manguera lisa de plástico de 2.0 pulg de diámetro y 20 pie de longitud. Encuentre el flujo
volurnétrico y la presión en el punto P, que
está a 8 pie desde la entrada del tubo. Ignore las pérdidas secundarias. (Para empezar
suponga un valor para el factor de fricción
e itere).
1
P
t
4 pie
K¡
t
f=
da
2pieI
a=
de
FIGURA P9·24
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4Adaptado
5 Adaptado
I
I
PROBLEMAS
321
9.25 Debido a la corrosión y a las incrustaciones, la altura de la rugosidad equivalente, k, de una tubería aumenta con sus años ,de servicio, 1, variando según la ecuación
k = ka + El
donde ka es la rugosidad de la tubería nueva. Para una tubería de hiero fundido, ka '" 0.26 mm
y E '" 0.00001 m por año. Calcule la descarga (flujo volumétrico) de agua a través de una tubería de hiero fundido con diámetro de 20 cm, 500 m de longitud como función del tiempo durante 20 años. Suponga que la caída de presión es constante e igual a 150 kPa. 4
9.26 Por un tubo inclinado con 0.5 pulg de diámetro fluye aceite con viscosidad cinemática de v =
4 x 10-4 pie 2/s a temperatura ambiente. Encuentre el ángulo a que forma el tubo con la horizontal si la presión dentro del tubo es constante en dirección al flujo y el gasto es 5 pie 2/h. El
flujo es laminar.
9.27 A través de un canal rectangular abierto que se inclina a un ángulo a fluye agua a 60 °F a un
gasto de 300 pie 3/s, como muestra la figura P9-27. La profundidad del agua es de 5 pie y la anchura del canal de 8 pie. El canal es de un concreto con factor de fTicción f = 0.02. Encuentre
el ángu lo a.
~
a
-
FIGURA P9-27
9.28 Para transportar 2 000 galones por minuto de agua a una planta de potencia debe elegir entre
una tubería de hierro fundido de 4 pie o de 3 pie. La tubería de diámetro más grande cuesta
más, pero las pérdidas son menores. ¿Cuál es la pérdida de carga relativa si selecciona la tubería del diámetro más grande? La viscosidad cinemática es Ixl 0- 5 pie 2/s.
9.29 Un granjero debe bombear por lo menos 100 galones de agua por minuto desde un dique hasta
el campo, localizado a 25 pie por encima del dique y a una distancia de 2 000 pie. Tiene una
bomba de 10 hp que es eficiente a un 80 %. Encuentre el tamaño mínimo de tubería de plástico liso que necesita comprar, tomando en cuenta que los diámetros varían entre sí en media
pulgada. Use v = 10- 5 pie2/s. 5 Ignore las pérdidas secundarias.
9.30 Debido a la acción de la gravedad, a través de un embudo circular fluye agua con densidad p en régimen
permanente hacia una tubería vertical de diámetro d;
de la tubería cae libremente por acción de la gravedad,
como muestra la figura P9-30. La presión atmosférica
actúa en todas partes fuera del embudo y la tubería. La
entrada a la tubería tiene un coeficiente de pérdida de
KI = 0.5, la tubería tiene un factor de fricción de
f = O.Oly la salida de la tubería tiene factor de pérdida de K 2 = 1.0. El coeficiente de la energía cinética
a = l. Encuentre la velocidad en la salida en términos
de g y d. Se supone que D ~ d.
I-D~I
T
40d
~
r K/
lOOd
b
FIGURA P9-30
4 Adaptado
5 Adaptado
de John & Haberman. Inlroduction lO Fluid Mechanics, publicado por Prentice Hall , 1988.
de Potter y Foss, Fluid Mechanics, publicado por Great Lakes Press, lne. , 1982.
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322
CAPíTULO 9
FLUJOS VISCOSOS INTERNOS
9.31 Determine los caballos de potencia necesarios para bombear agua en forma vertical a través
de 300 Fie en una tubería lisa de plástico de 1.25 pulg de diámetro a un flujo volumétrico de
0.1 pie /s.
9.32 Desde un recipiente grande fluye agua con un flujo volumétrico de 100 l/s a través de una tubería de 100 m de longitud y 10 cm de diámetro que cerca de la salida tiene una turbomáquina.
La salida está a 10 m debajo del nivel del recipiente y está a presión atmosférica. Si el factor
de fricción de la tubería es de 0.025, encuentre la potencia añadida a, o que proporciona la turbomáquina. ¿Es una bomba o una turbina? Ignore las pérdidas secundarias.
9.33 Repita el problema anterior para un flujo volumétrico de 10 l/s.
9.34 Desde un recipiente se bombea agua a 10°C a través de una tubería plástico de 500 m de longitud y 50 mm de diámetro hasta un punto a 100 m por encima del nivel del recipiente con un
gasto de 0.015 m3/s. Si la presión en la salida debe exceder 106 Pa, encuentre la potencia mínima requerida. Ignore las pérdidas secundarias.
9.35 El flujo laminar del agua en una tubería pequeña está dado por
U: =1-(¡ J
áX
donde R = 0.5 cm es el radio de la tubería y U máx = 20 cm/s.
a) Encuentre el esfuerzo cortante en la pared.
b) Encuentre la caída de presión en una longitud de 10 cm.
e) Verifique que el flujo sea en efecto laminar.
9.36 La distribución de velocidad en un flujo laminar completamente desarrollado en una tubería
está dada por
_U_ _
U CL
2
!.-
1_
(
R
)
donde UCL es la velocidad en el centro y R es el radio de la tubería. La densidad del fluido es p
y su viscosidad es /1.
a) Encuentre la velocidad promedio V.
b) Escriba el número de Reynolds Re con base en la velocidad promedio y el diámetro de la
tubería. ¿A qué valor aproximado de este número de Reynolds esperaría que el flujo se
vuelva turbulento? ¿Por qué este valor es sólo aproximado?
e) Suponga que la relación de esfuerzo/rapidez de deformación del fluido es newtoniana.
Encuentre el esfuerzo cortante en la pared t" 1V en términos de /1, R yUCL . Exprese el coeficiente local de fricción, C r , en términos del número de Reynolds, Re.
9.37 El flujo completamente desarrollado bidimensional en un
conducto de anchura W y altura D tiene un perfil de velocidad parabólico como muestra la figura P9-37.
a) Si W $> D muestra que el esfuerzo cortante en la pared t",v está relacionado con el gradiente de presión
dp/ dx de acuerdo con dp / dx = - 2 t"j D.
b) Exprese el gradiente de presión en términos de la velocidad en la línea central, la viscosidad del fluido,
/1, y la altura del conducto, D.
e) ¿Cómo la componente z de la vorticidad varía con
y?
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y
--~--~---------. x
Y
~
= 1- (2 )'
U
D
o
FIGURA P9-37
PROBLEMAS
323
9.38 Considere un flujo pennanente completamente desarrollado, newtoniano y con densidad
constante en una tubería circular de diámetro D.
a) Demuestre que el gradiente de presión dp / dx = - 4¡- ,) D, donde ¡- IV es el esfuerzo viscoso cortante en la pared.
b) Si la distribución de vel~cidad es triangular como se ilustra la figura P9-38, encuentre
la velocidad promedio, V , en cualquier sección transversal y exprese el coeficiente de
fricción
c =~
f
~pV2
en témlinos del número de Reynolds con base en V.
FIGURA P9-38
9.39 En un tubo circular de diámetro D fluye agua con densidad p y viscosidad ¡.,L , en régimen permanente verticalmente hacia abajo como describe la figura P9-39. El flujo es completamente
desarrollado y tiene un perfil de velocidad parabólico dado por
~e =l -(~J
donde la velocidad máxima esUe , y la demás notación se presenta en la figura.
a) Encuentre el esfuerzo cortante que actúa sobre la pared en términos de la densidad, p, la
constante gravitatoria, g , y el diámetro, D.
b) Exprese la viscosidad cinemática en términos de D, U e y g .
FIGURA P9-39
9.40 Una capa delgada de agua con profundidad h, fluye hacia abajo en un plano inclinado en un
ángulo respecto a la horizontal, como describe la figura P9-40. El flujo es completamente
desarrollado (la velocidad no cambia en la dirección x).
a) Encuentre una expresión teórica para el perfil de la velocidad y el flujo volumétrico por
unidad de anchura. Suponga que el flujo es laminar. Use la condición de frontera que en
la superficie libre de la capa el esfuerzo cortante es cero.
e
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324
CAPíTULO 9
b)
FLUJOS VISCOSOS INTE RNOS
Si el flujo es turbulento y la pared es completamente rugosa, encuentre el flujo volumétrico en términos de h, g Y f.
FIGURA P9-40
9.41 Considere un flujo de agua permanente, laminar, completamente desarrollado con una profundidad h hacia abajo en un plano inclinado en un ángulo respecto a la horizontal. El perfil
de velocidad es cuadrático, como muestra la figura P9-41 y la velocidad en la superficie libre
es U e . Demuestre que U e = gh 2 sen e/ 2v, donde ves la viscosidad cinemática del agua.
e
~ = 1 _ (1_1')2
u,
h
FIGURA P9-41
9.42 Considere un flujo de agua bidimensional, laminar y completamente desarrollado con profundidad Ohacia abajo en un plano inclinado en un ángulo respecto a la horizontal. Suponga
que el perfil de velocidad es lineal, como ilustra la figura P9-42 y la velocidad en la superficie
.
libre es Vs .
a) Encuentre el esfuerzo cortante en la pared
i) Usando un análisis de volumen de control.
ii ) Usando el perfil de velocidad dado.
b) Exprese el coeficiente de fricción, ef' en términos de:
i) El ángulo y el número de Froude con base en Oy Vs .
ii) El número de Reynolds basado en Oy Vs .
e
e
FIGURA P9-42
9.43 En la sección 9.9 se establece que presionar una manguera en su salida incrementará la velocidad de salida por fLl D > 1. Mediante la ecuación de la energía demuestre la exactitud de
esta aseveración.
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10
FLUJOS VISCOSOS EXTERNOS
CAPÍTULO
10.1 INTRODUCCiÓN
En el capítulo 9 se examinaron los flujos viscosos internos, en los que el flujo está completamente desarrollado. Para este flujo, el fluido no se acelera y el término no lineal de la
ecuación de Navier-Stokes es igual a cero. Para los flujos viscosos externos no existe el
flujo completamente desarrollado. Se forman capas límite que continúan desarrollándose
en la dirección del flujo principal y la aceleración del fluido no puede ignorarse. Cuando
un cuerpo se mueve a través de un fluido, las capas límite producen una resistencia viscosa
en su movimiento. Cerca de la parte posterior del cuerpo, las capas límite se pueden separar y formar una estela que incrementa la resistencia global. En este capítulo se consideran
los flujos externos en los que las capas límite y estelas son importantes.
10.2 CAPA LíMITE LAMINAR
Cuando un fluido fluye sobre una superficie sólida a números de Reynolds razonables, la
condición de no deslizamiento causa gradientes de velocidad bruscos en la región cercana
a la superficie. Conforme el flujo continúa aguas abajo, el espesor de esta capa límite crece
debido a que las capas más lentas ejercen fricción en las capas más rápidas y cada vez más
y más flujo se desacelera por los esfuerzos viscosos. En un flujo interno, se juntan las capas y el crecimiento posterior se detiene.
Sin embargo, en un flujo externo, como el flujo sobre el casco de un barco, el fuselaje
de un avión o una placa plana en el centro de un túnel de viento, la capa límite continúa creciendo y no hay un estado completamente desarrollado. Por consiguiente, el análisis es
más difícil porque el término no lineal en la ecuación de Navier-Stokes esta vez no es nulo.
No obstante, para un flujo simple, como el de una placa plana con ángulo de ataque cero,
es posible determinar con buena aproximación la rapidez con que crece la capa y el arrastre que el flujo ejerce sobre la placa mediante las formas integrales de la ecuación de continuidad y de cantidad de movimiento.
10.2.1 Análisis de volumen de control
Primero se analiza una capa límite laminar, que es el flujo que ocurre sobre una placa
cuando el número de Reynolds Rex = p Uex/ fl es menor que aproximadamente 100000,
donde x es la distancia desde el borde de ataque y U e es la velocidad del flujo fuera de la
capa límite. La velocidad U e se toma como constante, de modo que Bp/ Bx = O. También se
supondrá que la placa es plana y que la capa límite es delgada, así que las líneas de corriente son casi paralelas y, por lo tanto, Bp/ By"'" O. El flujo es permanente y el fluido tiene densidad constante.
325
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326
CAPíTULO 10
FIGURA 10-1
FLUJOS VISCOSOS EXTERN OS
Volumen de control para el análisis de una capa límite laminar.
Considere un volumen de control rectangular que se extiende una distancia L desde el
borde de ataque, con una altura igual a la extensión de la capa límite en x =L (figura lO- l).
La velocidad de entrada es uniforme y el perfil a la salida se desacelera cerca de la pared
debido a la fricción, así que para una distancia la velocidad en la dirección principal
u< U e. En realidad, u se aproxima de manera asintótica al valor de la corriente libre, de
modo que el espesor de la capa límite, está definido como la distancia donde la u es casi
igual a U e . La definición más común del espesor de la capa límite es
o
o
u = 0.99Ue
en
y=o
o
Dado que el espesor de la capa límite crece con la distancia aguas abajo, = o(x).
Primero se analiza la conservación de la masa. Puesto que u(y)< U e' hay un mayor
flujo másico hacia el volumen de control en la cara ab que hacia afuera del volumen de
control en la cara cd y debe haber un flujo másico a través de la cara be. En esta cara la velocidad en la dirección x es una constante igual a U e (recordar que ap/ ax =O), pero la componente y de la velocidad v es una incógnita. Las velocidades en la cara ab son V = U e i,
cara cd: V = ui y cara be: V = Uei + vj.
De la ecuación de continuidad se obtiene
donde W es la anchura de la placa y o l' o 2 y o 3 son los vectores unitarios normales a las
caras ab, ed y be, respectivamente. Dado que o 1 = - i, o 2 = i, 0 3 = j,
- U eh +
f: f:
u dy +
v dx = O
(l0.1)
donde u = u(y) y v = v(x).
Lo siguiente es usar la componente x de la ecuación de la cantidad de movimiento. Se
entiende que F v es la fuerza que la placa aplica sobre el fluido, así que
-Fv =i·
fh
0(0 1
+i .
f:
·pUei)U eiWdy+i·
fh0(0
2
·pui)uiWdy
(O 3 . P (U e i + Vj)] (U e i + vj) W dx
Es decir
y así
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10.2 CAPA LíMITE LAM INAR
327
F _=_ U 2 h + fh u 2 dy + fL vU dx
- _v
pW
e
O
O
e
Ahora se puede usar la ecuación de continuidad para eliminar la velocidad desconocida,
v(x). Al multiplicar la ecuación 10.1 por U e y restar el resultado de la ecuación de la cantidad de movimiento se tiene
Entonces
Por último
(10.2)
o.
ya que u = U e' para y;::: Para continuar con el análisis es necesario conocer (o intuir)
cómo varía u con y, y cómo varía con x, lo cual requiere infonnación adicional.
o
10.2.2 Solución por semejanza
En 1904 1 Ludwig Prandd demostró que para una capa límite la ecuación completa de Navier-Stokes se puede aproximar mediante una más simple. Las aproximaciones se b;~san
en la observación de que una capa límite crece con lentitud y, por lo tanto, las líneas de corriente dentro de la capa son casi paralelas. En particular, la presión en dirección perpendicular al flujo en la capa es constante, como se supuso en el análisis de volumen de control
que se hizo en la sección 10.2.1. Estas aproximaciones producen una ecuación llamada
ecuación de capa límite y Paul Richard Heinrich Blasius (1883-1970), uno de los estudiantes de Prandtl, demostró que esta ecuación tiene una solución por "semejanza".
Blasius supuso que la distribución de la velocidad en la capa límite laminar en una placa plana sólo era una función de la velocidad de la corriente libre, U e ' la densidad, p, la
viscosidad, 11, la distancia desde la pared, y, y la distancia a lo largo de la placa, x. El análisis dimensional da
Con una ingeniosa transfonnación de coordenadas de la ecuación de la capa límite, Blasius demostró que, en vez de depender de dos variables adimensionales, la distribución de
1
Ver la sección 15. 17 para una nota histórica de Prandtl.
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328
CAPíTULO
10
FLUJOS VISCOSOS
EXTERNOS
TABLA 10-1 Valores tabulados del perfil
de velocidad adimensional para una
capa límite laminar
y(Ue/VX)1/2
u/Ue
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
0.0
0.06641
0.13277
0.19894
0.26471
0.32979
0.39378
0.45627
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
0.51676
0.57477
0.62977
0.68132
0.72899
0.77246
2.6
y( U el
VX )1/2
2.8
3.0
3.2
3.4
3.6
3.8
4.0
4.2
4.4
4.6
4.8
5.0
y
U/Ue
0.81152
0.84605
0.87609
0.90177
0.92333
0.94112
0.95552
0.96696
0.97587
0.98269
0.98779
0.99155
1.00000
que satisface]
retiene los eS
ción 10.2 se (
Para eliminar
es la integral
Al derivar y
1
FUENTE:adaptada de F. M. White, Fluid Mechanics,
McGraw-Hill,1986.
velocidad adimensional
que
sólo es una función de la variable adimensional
compuesta, r¡, así
Para la aprox
1.2
donder¡ = y~U e /(vx). Las variables ult.I , yr¡ se conocen como variables de semejanza, lo
que significa que si la distribución de velocidad se grafica con estas variables adimensionales (en vez de variables dimensionales como u y y) está definida por una sola curva universal para cualquier número de Reynolds y cualquier posición a lo largo de la placa.
Estas variables de semejanza particulares transforman la ecuación de la capa límite
(una EDP = ecuación en derivadas parciales) a una EDT = ecuación en derivadas totales,
la cual se puede resolver en forma numérica. La so ución se llama perfil de velocidad de
Blasius y los resultados por lo común se dan en forma de tabla (tabla lO-l). El perfil de velocidades de Blasius coincide del todo con los atos experimentales, como los que ilustra
la figura 10-2; por consiguiente, se justifican las suposiciones que se hicieron.?
La solución de Blasius no es una solución analítica y los valores tabulados no revelan
muy bien la física. Conviene tener une Iorma analítica para el perfil de velocidad y es razonable que la parábola sea una curva de ajuste (figura 10-6). Esto es, se puede usar la aproximación de que
, Un análisis excelente de este tópico y una guía más general para problemas de capa límite se pueden encontrar en Schlichting,
Boundary Layer Theory, 7a. ed., publicado por McGraw-Hill, 1979, y White, VisCOL/s Fluid Flow. 2a. ed., publicado por
McGraw-Hill,1991.
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1.0
0.8
BI
DA
FIGURA 10-2
mentas de l.ie]
1991.
10.2
CAPA LíMITE LAMINAR
329
(10.3)
y
y>o
para
o
que satisface las condiciones de frontera u = Oen y = OY u = U e en y = y más importante,
retiene los escalamiento s correctos, como se verá. Para este perfil particular, de la ecuación 10.2 se obtiene que
(lOA)
o,
Para eliminar la incógnita
se usa el hecho de que la fuerza total debida a la fricción, Fv'
es la integral del esfuerzo cortante r w sobre el área de la placa
F;
f:íwWdx
=
Al derivar y usar la relación newtoniana
entre esfuerzo y deformación
~ d:;
ta, r¡, así
Para la aproximación
se tiene
= t w = fI ~~ I w
del perfil de velocidad parabólico
que aquí se emplea
2fIUe
í
w
(10.5)
(10.6)
=---
o
1.2
[anza,lo
ensiorva unilaca,
a límite
totales,
cidad de
11 de vee ilustra
1.0
0.8
BlasiusII
V,
0.6
Símbolo
+
O
o
"
•
x
~
Iti
o
D
"
2
3
4
5
'1JX
Re,
X jfl-
0.85
0.86
0.93
0.82
0.93
1.06
1.11
1.24
O
~D
revelan
es razola apro-
chlichting,
r"
~D
11'*
0.4
0.2
blicado por
~Vo
¡t'
6
7
- i---
8
r¡=yfu:
V-;;
FIGURA 10-2
Perfil de velocidad adimensional
para una capa límite laminar: comparación
con experi-
mentos de Liepmann, NACA Rept. 890, 1943. Adaptación de F. M. White, Viscous Fluid Flow, McGraw-Hill,
1991.
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330
CAPiTULO 10
FLUJOS VISCOSOS EXTERNOS
Combinando este resultado con la ecuación 10.4 para eliminar el espesor de la capa límite
O, se obtiene
dF y =_¡,tp
4
F __
U 3 W2
y
dx
15
e
y por integración
Adimensionando F y resulta
e
= 1.46
~ReL
F
para el perfil de velocidad parabólico. El coeficiente de fricción, e F ' Y el número de Reynolds ReL se definen por
(10.7)
y
eF
se denomina coeficiente total de fricción o de arrastre, ya que mide el arrastre viscoso
total sobre la placa.
Se puede encontrar la variación del espesor de la capa límite en la dirección principal
del flujo usando el resultado para e F en la ecuación 10.4 y así eliminar F v . Para la aproximación del perfil parabólico que aquí se emplea
o
5.48
L
~ReL
Por lo tanto, para cualquier posición a lo largo de la placa
o
5.48
(10.8)
~ - ~Rex
de modo que el espesor de la capa límite crece como ~.
El coeficiente total de fricción, e F' expresa la magnitud de lafuerza viscosa sobre una
placa de anchura W y longitud L. La variación del esfuerzo cortante local se puede encontrar con las ecuaciones 10.6 y 10.8. Para el perfil parabólico de velocidad se obtiene
e r-_ 0.73
o
(10.9)
~Re"
donde el coeficiente local de fricción de película, e/, se define como
e/
=~
- l.pU 2
2
(10.10)
e
e{Ose llama coeficiente local de fricción, ya que mide el esfuerzo viscoso local en la placa.
E esfuerzo en la pared disminuye con la distancia aguas abajo porque el gradiente de velocidad en la pared disminuye debido al crecimiento de la capa límite.
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10.3 ESPESO RES DE DESPLAZAMI ENTO Y DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
331
Estos resultados aproximados se pueden comparar con los resultados "exactos" que
obtuvo Blasius, quien encontró que
e
= 1.328
F
rr;:-'
..,¡ReL
o 5.0
:; - ~Rex'
y
e f -_ 0.664
~Rex
(10.11)
Como se observa, la aproximación del perfil de velocidad parabólico proporciona la dependencia correcta con el número de Reynolds (o sea, da el escalamiento correcto), pero
los coeficientes de fricción y el espesor de la capa límite son casi 10% mayores.
10.3 ESPESORES DE DESPLAZAMIENTO Y DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Como ya se estableció, la velocidad, u, cerca del borde de la capa límite se aproxima de
forma asintótica al valor U e de la corriente libre, de modo que el espesor de la capa límite
se define como la distancia, a la que u se "asemej a lo suficiente" a U e . La definición más
común del espesor de la capa límite es
o
u = 0.99U e
en
y =o
Se pueden definir otros dos espesores: el espesor de desplazamiento, 0*, y el espesor de
cantidad de movimiento, (J.
10.3.i Espesor de desplazamiento
Por definición, el espesor de desplazamiento está dado por
(10.12)
¿Cuál es el propósito de definir el espesor de desplazamiento? Para contestar esta pregunta, la ecuación 10 .12 se rescribe como
Así, el flujo másico que pasa por la distancia 0* en ausencia de una capa límite es el mismo
que el déficit en flujo másico por la presencia de la capa límite. Para hacer más claro este
punto, considere un perfil de velocidad donde u = Opara y::; ~ y u = U e para y> ~ (figura
10-3). Para este perfil
f:(
o' =
1- ; .
Jdy=f: dy = t;.
Por lo tanto, desde el punto de vista del flujo fuera de la capa límite, 0* se puede interpretar
como la distancia que parece "desplazar" el flujo hacia afuera por la presencia de la capa
límite (de ahí el nombre). Para el flujo externo, este desplazamiento de las líneas de corriente también se ve como un ligero engrosamiento de la forma del cuerpo.
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332
CAPíTULO 10
.y
FLUJOS VISCOSOS EXTERNOS
V,
10.3.2 E
r
A!Y~
<5
! -:::;;;7
a)
FIGURA 10-3
Por defin
b)
Espesor de desplazamiento:
a) perfil de velocidad, b) interpretación.
Para inte
rescribe
"
",
Para ilustrar una aplicación del espesor de desplazamiento, considere la región de entrada de un flujo bidimensional a un conducto de anchura Wy alturaD. El flujo es permanente e incompresible. En las superficies superior e inferior crecen capas límite, como
muestra la figura 10-4. Por continuidad, si el flujo se frena cerca de la pared, el fluido fuera
de las capas límite (en la región "central") debe acelerarse. Si la velocidad de entrada tiene
un valor U co a ¿cuál es la velocidad "central", U e' en un punto donde el espesor de la capa límite es
Considere un volumen de control que se extiende desde el plano de entrada hasta ellugar de interés. De la ecuación de continuidad.
o?
Así, el fh
una capa
presencn
Para
dirnensic
DI2
-U
oo
WD
+f
-D12
uW dy=O
Así
U oo D=
DI2
f -DI2'
fDI2
U e dy -
DI2
e f (DI2)
=U D-2U
e
(eU -u ) dy
-D12
-o
(
u)
1--
Ue
Si se hac
cantidad
d
y
dernane
Es decir
U -U
e
(
cc
D
D -20*
)
donde se ha hecho la aproximación que, hasta donde lo permita la contribución del espesor
de desplazamiento, o"" oo. Esta es una suposición común dado que en y = o la velocidad se
acerca a su valor asintótico de corriente libre y la contribución a la integral se desprecia
para y> O. Se observa que el incremento de velocidad en la corriente libre está dado por la
disminución efectiva en el área de la sección transversal debida al crecimiento de las capas
límite, disminución del área que se mide por el espesor de desplazamiento.
Por lo ta
sal W8el
de ancln
Esta
o sea
y
donde e
esfuerzc
de carne
llama ec
FIGURA 10-4
Flujo en la región de entrada de un conducto bidimensional
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te de pn
rnite lan
10.3 ESPESORES DE DESPLAZAM IENTO Y DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
333
10.3.2 Espesor de cantidad de movimiento
Por definición, el espesor de cantidad de movimiento está dado por
(10.l3)
Para interpretar en forma fisica al espesor de cantidad de movimiento, la ecuación 10.13 se
rescribe como
e,
Así, el flujo de cantidad de movimiento que pasa a través de la distancia, en ausencia de
una capa límite es el mismo que el déficit en flujo de la cantidad de movimiento debido a la
presencia de la capa límite.
Para ilustrar este concepto, se debe recordar el análisis de una capa límite laminar bidimensional. Primero se escribe la ecuación 10.2 como
p:';¡ =f:;,[1-;, }Y
Si se hace la aproximación de que, hasta donde lo permita la contribución del espesor de
cantidad de movimiento, <5 "" 00, entonces
de manera que
Por lo tanto, el flujo de cantidad de movimiento que pasa por el área de la sección transversal
en x =:: L en ausencia de una capa límite es una medición del arrastre sobre una placa
de anchura W y longitud L debida a la presencia de la capa límite.
Esta relación también se puede derivar y usar la ecuación 10.5 para obtener
we
de - -r w-
-
o sea
Id0dx 5 2
1
(10.14)
donde el coeficiente local de fricción de película, e J' se definió en la ecuación 10.10. El
esfuerzo de fricción local adimensional en la pared es, por consiguiente, igual a la rapidez
de cambio del espesor de la cantidad de movimiento con la distancia. La ecuación 10.14 se
llama ecuación integral de la cantidad de movimiento para una capa límite con un gradiente de presión igual a cero. Aunque aquí no se demostró, esta ecuación se aplica a capas límite laminares y turbulentas.
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334
CAPíTULO 10
FLUJOS VISCOSOS EXTERNOS
10.3.3 Factor de forma
Otro término que a menudo se encuentra en el análisis del comportamiento de las capas límite es el factor de forma, H, donde H se define como la razón entre los espesores de desplazamiento y de cantidad de movimiento.
0*
H=-
Dentro de 1
miento en form:
en un flujo lami
tribución de vel
perimentación.
semejante a la (
e
e,
Dado que 0* > H > 1. Para una capa límite laminar la solución
para la capa límite turbulenta se muestra de forma experimental
H disminuye con el número de Reynolds. Valores pequeños de
locidad "más lleno" (es decir, el que está "más lleno" cerca de
de Blasius da H = 2.59, Y
que 1.4 > H> 1.15, donde
H indican un perfil de vela pared).
10.4 CAPAS LíMITE TURBULENTAS
Igual que en el flujo en tuberías (sección 9.7), los flujos en las capas límite se vuelven turbulentos para números de Reynolds grandes. La transición a la turbulencia en las capas límite se pueden dar para Re, mayores que aproximadamente
105, donde Re, es el número
de Reynolds basado en la velocidad de la corriente libre, U e y la distancia desde el borde
de ataque, x.
La diferencia mayor entre un flujo turbulento completamente desarrollado y el flujo
en capa límite turbulenta es que la capa límite está ligada por un lado a una corriente libre
externa. Ahí existe un borde bien definido entre el flujo turbulento en la capa y el flujo no
turbulento en la corriente libre. En una sección transversal instantánea se revela que este
borde es muy curveado (figura 10-5) y que el espesor instantáneo de la capa límite varía
con el tiempo. En general se prefiere usar un espesor de capa límite promedio temporal
definido de acuerdo con:
(u)=0.99Ue
en
donde U e es la'
nolds (para un 1
Esta ley de
parte externa, e
la pared. Según
esfuerzo infinit
para encontrar'
A pesar de
Por ejemplo, se
varía con el nÚJ
1.0,----
o
0.8I----?'-r-
o
0.6
y=o
donde ( u) es la velocidad promedio temporal definida por la ecuación 9.17, de modo que
tiene el mismo significado en flujos laminares y turbulentos.
u
U
0.4
f¡
0.2
FIGURA 10-5
Sección del flujo en una capa límite turbulenta que se hace visible con gotas de aceite pe-
queñas. El flujo es de izquierda a derecha. El número de Reynolds es de aproximadamente
en el espesor de la cantidad de movimiento.
R. E. Falco, Physics of Fluids, 20, 1977.
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4 000 Y se basa
FIGURA 10·6
e
tos sobre placas I
10.4 CAPAS LI MITE TURBULENTAS
335
Dentro de la capa límite, las fluctuaciones turbulentas mezclan la cantidad de movimiento en forma muy eficiente y como resultado, el perfil de velocidades es más plano que
en un flujo laminar (figura 10-6). No existen soluciones analíticas ni numéricas para la distribución de velocidad en una capa límite turbulenta y, por lo tanto, se debe recurrir a la experimentación. El perfil de flujo real en ocasiones se aproxima por una ley de potencias
semejante a la que se usa para describir el flujo turbulento en tuberías. Es decir
(10.15)
donde U e es la velocidad de la corriente libre y el exponente n varía con el número de Reynolds (para un número de Reynolds Rex de aproximadamente 500 000, n = 7).
Esta ley de potencias es razonablemente precisa para la distribución de velocidad de la
parte externa, como ilustra la figura 10-6, pero es una aproximación muy pobre cerca de
la pared. Según esto, el gradiente de velocidad en la pared es infinito, lo que implicaría un
esfuerzo infinito en ella, T w . Por lo tanto, no se puede usar un perfil de ley de potencias
para encontrar la fricción de película en un flujo turbulento.
A pesar de esta seria limitación, los perfiles de leyes de potencias pueden ser útiles.
Por ejemplo, se puede tener una buena aproximación de cómo el espesor de la capa límite
varía con el número de Reynolds. A partir de experimentos se encuentra
0.8 I---~""'Ii""----+----T-+--"-<-p-o-;ten-;
ci""'
a f-1 -- - - - - j
7
perfil baj
(ecuació 10.15)
0.6 IUiI- - - t - - ---Q+ - - - - + - - - - - - t - - - - . . . . ,
11
U
0.4 1-- - -H '------"'<l------+----+----1
- - Pe 11 exacto de B asius para
tod ' s los Re, lam nares
(ta la 10.1)
0.2 1---; -- + - - " ' < : : - - - - + - - - - + - - - - - + - - - - -1
- Aproxim ción
parabólic (ecuación 1 .3)
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
FIGURA 10-6 Comparación de los perfiles de velocidad adimensionales para flujos laminares y turbulentos sobre placas planas. Adaptada de F. M. White, Fluid Mechanics, McGraw-Hill, 1986.
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336
CAP íTULO 10
FLUJOS VISCOSOS EXTERNOS
o
0.37
(10.16)
x
También, para un perfil de ley de potencia 1/ n, se tiene que
0*
n +2
o
(n + 1)(n+2)
(10.17)
y
()
n
o
(n+1)(n+2)
(10.18)
y el factor de forma
H = 0* = n+2
()
n
Para n = 7
0*
()
9
7
y
ó - n' o n
9
H =7
(10.19)
Las capas límite turbulentas crecen más rápido que las capas límite laminares. Por ejemplo, la ecuación 10.16 puede escribirse como
02
()0.2
0 = 0.37x = 0.37xv· =0.37xo. 8 ~
ReO. 2
UO. 2 XO. 2
x
U
e
e
ASÍ , una capa límite turbulenta crece conxO. 8, lo que es más rápido que una capa límite la-
o
minar, donde crece con X 0.5 (ecuación 10.11). Este incremento en la rapidez de crecimiento es consecuencia de que la turbulencia difunde la cantidad de movimiento de
manera más eficiente que la viscosidad. Por la misma razón, el gradiente de velocidad en
la pared es mayor que el de un flujo laminar al mismo número de Reynolds, de modo que el
esfuerzo cortante en la pared también es mayor. Se debe recordar que el gradiente de velocidad en la pared no se puede determinar con la ecuación 10 .15; la aproximación por leyes
de potencias no es válida cerca de la pared. En su lugar, el esfuerzo en la pared se calcula
en forma aproximada con la relación empírica
e
= 0.0576
J
ReO.2
x
(10.20)
donde el coeficiente local de fricción de película se definió en la ecuación 10.10. Para encontrar el coeficiente total de fricción se necesita el arrastre total viscoso sobre la placa F v '
donde
donde Wes la anchura de la placa y L su longitud. Entonces
e
=
F
Fv
_ o._
_o7_2
2 LW
l.pU
2
e
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10.4 CAPAS LíMITE. TURBULENTAS
337
Si la constante se cambia por 0.074, este resultado se compara bien con los resultados experimentales para placas con flujo turbulento en toda su 10ngitud. 3 Por lo tanto, en form~
experimental se llega a
CF
EJEMPLO 10.1
-_
0.074
5 x 105 < R eL < 10 7
para
2 '
ReO.
L
(10.21)
Flujo en capa límite
Una placa plana de 10 pie de largo está sumergida en agua a 60°F, que fluye en forma paralela a la placa a 20 pie/s.
a) Encuentre el espesor aproximado de la capa límite ax = 5 pie y x = 10 pie, donde
x se mide desde el borde de ataque.
b) Encuentre el coeficiente de arrastre, C F .
e) Encuentre el arrastre total por unidad de anchura de la placa si el agua cubre ambos lados.
Solución Primero.es necesario saber alrededor de dónde se presenta la transición. Si se
supone que la capa límite será turbulenta para Rex > 105, la capa límite será laminar para
5
x< vx10 = -1.21.
ple = O.7 3 pu1g
Ue
20
de modo que la región del flujo laminar es despreciable y la capa límite es en esencia turbulenta desde el borde de ataque.
Para la parte a) se pueden usar las aproximaciones de leyes de potencias para capas límite turbulentas dadas en las ecuaciones 10.16 a 10.21. Para x = 5 pie
Re =xU e =
x
v
5x20 =8.26x106
1.21 X 10-5
y
~ = 0.37 =0.0153
x
2
ReO.
x
así que
0 = 0.0765 pie = 0.92 pulg
Para x = 10 pie, Rex = 16.5 x 106 YO,.~ 0.133 pie = 1.60 pulg.
Para la parte b) el coeficiente de arrastre está dado por
C
= 0.074
F
Re O. 2
L
(ecuación 10.21). Con ReL = 16.5 x 106 se encuentra C F = 0.00266.
Para la parte e), se tiene una fuerza viscosa total que actúa sobre la placa igual a 2Fv '
donde F v es la fuerza aplicada sobre una superficie. De la definición del coeficiente de
arrastre
3
H. Schlichting, Boundary Layer Theory, 7a. ed., publicado por McGraw-Hill, 1979.
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338
CAPíTULO 10
FLUJOS VISCOSOS EXTERNOS
arrastre total por unidad de anchura = 2Fv = p U; Le F
w
= 1.938 slug/pie 3 x 400 pie 2/s2 x 10 pie x 0.00266
= 20.6 lb/ pie
•
10.5 SEPARACiÓN, READHERENCIA y ESTELAS
Ahora se consideran los flujos externos que se separan y forman estelas. En el estudio de
los flujos internos se observó que las esquinas agudas casi siempre producen separación
del flujo . Los flujos en expansiones y reducciones bruscas como en la figura 3-15 demuestran en forma gráfica la formación de grandes regiones de separación, dondequiera que el
conducto cambie bruscamente su área.
Las esquinas agudas no son la única causa de la separación. Por ejemplo, donde el flujo cambie en forma brusca de dirección, se pueden esperar regiones de flujo separado. Este
fenómeno es muy común y se ilustra en la figura 10-7 para el flujo externo sobre el frente
de un automóvil. Observe que el flujo se muestra relativo a un observador que viaja en el
vehículo, de modo que parece que se aproxima al automóvil de izquierda a derecha. El flujo inicial es uniforme y permanente, pero conforme se pone en contacto con la superficie
del automóvil se forma una capa límite que se separa conforme el flujo da la vuelta sobre la
parte frontal de la cubierta del motor. El flujo se adhiere de nuevo en algún punto aguas
abajo, de modo que la capa límite se regenera, crece un poco más y se vuelve a separar confonne el flujo pasa al parabrisas y se le fuerza a dar la vuelta otra vez.
El flujo alrededor de un cilindro también produce una región de separación del flujo
llamada estela (figura 10-8). Los patrones de flujo en la figura 10-8 se hacen visibles con la
iluminación de partículas reflectoras suspendidas en el fluido. Para crear líneas de emisión
cortas que se aproximen al vector de velocidad instantáneo (es decir, se vean líneas de corriente instantáneas) se usa una fotografia de exposición corta. Los flujos sobre las partes
frontal y posterior del cilindro son muy diferentes. En el frente, el flujo pasa con suavidad
Capa límite
turbulenta
estancamiento
separación
Punto de
readherencia
FIGURA 10-7 Esquema del flujo en el frente de un automóvi l, que muestra los puntos de separación y
readherencia . Con autorización de Race Car Aerodynamics, J. Katz, Robert Bentley Publishers, 1995.
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10.5 SEPARACiÓN, READHERENCIA y ESTELAS
FIGURA 10-8
339
Flujo sobre un cilindro a un número de Reynolds de 2 000, visualizado mediante pequeñas
burbujas en agua . Fotografía ONERA, Werlé & Gallon , 1972, Aéronaut. Astronaut., 34, 31 -33.
sobre el cilindro, pero en la parte posterior la estela es altamente inestable y se emiten remolinos y vórtices aguas abajo. Los remolinos se forman con frecuencia definida y producen perturbaciones de presión al flujo, que a veces se pueden escuchar como ondas
sonoras. Cuando se habla del silbido del viento entre los árboles se trata del sonido de los
remolinos que el flujo emite alrededor de las ramas pequeñas. Un instrumento primitivo
griego, el arpa eólica, hacía uso de esta emisión regular de vórtices para producir música.
En 1911 Theodore von Kármán analizó este patrón de flujo de vórtices alternados, que
ahora se conoce como estela de vórtices de von Kármán (ver la sección 15.19 para una
nota histórica de von Kármán). La frecuencia de emisión de vórtices se determina por el
número adimensional de Strouhal, que para un cilindro de diámetro D se define como
St = fD
V
(10.22)
donde f es la frecuencia de la emisión de vórtices de un lado del cilindro (en Hz) y V es la
velocidad de la corriente libre. En general, el número de Strouhal es una función del número de Reynolds (figura 10-9). Sin embargo, para números de Reynolds entre 100 y 105 el
número de Strouhal tiene un valor casi constante de 0.21 .
La estela de un cuerpo siempre se caracteriza por una región de baja velocidad, que
marca una región de pérdida de cantidad de movimiento asociada con una fuerza de arrastre extra sobre el cuerpo debida a las pérdidas en la estela (figura 10-10). Además, la emisión alternada de vórtices produce fuerzas de sustentación y arrastre fluctuantes en el
cilindro. Si la frecuencia de la emisión coincide con la frecuencia natural del cilindro o de
sus soportes, se pueden producir grandes oscilaciones transversales en el cilindro. Este
tipo de inestabilidad aerodinámica fue el origen de la de.strucción del puente suspendido
de Tacoma Narrows, en el estado de Washington, en 1940, 4Yprodujo fallas considerables
en torres de enfriamiento de Inglaterra.
4
Hay un video disponible en http://www.civeng.carleton.ca:80/Exhibits/Tacoma_Narrows.
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340
CAPíTULO
10
FLUJOS VISCOSOS
EXTERNOS
0.40
e,1~
Dispersión
de datos
I
t;)
Cii
s:
0.30
......
~
FIGURA 1
:::J
e
zación de
Uí
ID
U
e
ID
E
.:::J
z
0.20
~
V
t
./"
10'
Re= pVD
11-
FIGURA 10-9
Frecuencia
adimensional
de emisión de vórtices desde un cilindro circular (número de
A partir
a 0.21.:E
Strouhal) como función del número de Reynolds. Adaptado de A. Roshko, Turbulent Wakes from Vortex
Streets, NACA, Rept. 1191, 1954.
así que
Casi siempre las estelas contienen remolinos grandes que se emiten aguas abajo. Para
algunas estelas, como las que se producen en los cilindros, placas bordeadas, autos, camiones y otros cuerpos romos, aparecen frecuencias muy regulares (figuras 10-10 y 10-11).
En otros casos se emiten en forma más irregular. Por ejemplo, la estela de un bote a menudo contiene grandes remolinos, pero aparecen bajo patrones aleatorios. Patrones de flujo
semejantes se observan aguas debajo de los pilotes que soportan un puente y en las estelas
de los cuerpos aerodinámicos.
el cual e
EJEMPLO 10.2
Emisión de vórtices
En el exterior, los cables telefónicos "cantan" cuando el viento sopla a través de ellos.
Encuentre la frecuencia de la nota cuando la velocidad del viento es de 30 mph y el diámetro del alambre es de 0.25 pulg. Para el aire, se supone que v == 15 X 10-6 m2/s.
Solución
Primero es necesario conocer el número de Reynolds, Re,donde
VD
Re=v
z
FIGURA 10-10
Estela detrás de un vehículo (con separación
con autorización
de Race Car Aerodynamics,
de flujo y emisión de vórtices). Adaptada
J. Katz, Robert Bentley Publishers,
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1995.
10.6 ARF
La fuerz
ral se ditre viso
límite y
viene de
es mene
pos de a
habría a
tos fenó
que no 1
de presi
transve:
341
10.6 ARRASTRE EN CUERPOS ROMOS Y AERODI NÁM ICOS
/ v ó r tices
-V
~
~
~
Camión
Motocicleta
FIGURA 10-11 Formación periódica de vórtices en la estel a de un cam ión grande. Adaptada con autorización de Race Car Aerodynamics, J. Katz, Robert Bentley Publishers, 1995.
(30
mi
h
x5280
pie
mi
x 12
pulg
pie
xO.0254---..!)Lx -I- ~)(0.25pulgxO.0254---..!)L)
pulg
3600 s
pulg
=2774
A partir de la figura 10-9, se observa que el número de Strouhal es aproximadamente igual
a 0.21. Esto es
St = fD = 0.21
V
así que
f
= 0.21V Hz
D
(0.21 x 30J!!i x 5280
h
pie X
mi
12
pulg
pie
x 0.0254 ---..!)L X
pulg
_ 1_ ~)
3600 s
Hz
0.25 pulg X 0.0254 ---..!)L
1
pu g
=444 Hz
el cual está muy cerca de la nota musical Mi (= 440 Hz).
•
10.6 ARRASTRE EN CUERPOS ROMOS Y AERODINÁMICOS
La fuerza de arrastre que experimenta un cuerpo al moverse a través de un fluido en general se divide en dos componentes llamadas arrastre viscoso y arrastre de presión. El arrastre viscoso se asocia con los esfuerzos viscosos que se desarrollan dentro de las capas
límite y se escala con el número de Reynolds como ya se analizó. El arrastre de presión
viene de los remolinos que se establecen en la estela aguas abajo del cuerpo y por lo común
es menos sensible al número de Reynolds que al arrastre viscoso. Formalmente, ambos tipos de arrastre se deben a la viscosidad (si el cuerpo se moviera en un flujo no viscoso, no
habría arrastre), pero la distinción es útil porque los dos tipos de arrastre se deben a distintos fenómenos del flujo . El esfuerzo viscoso es importante para los flujos adheridos (o sea
que no hay separación) y se relaciona con el área superficial expuesta al flujo. El arrastre
de presión es importante en los flujos separados y se relaciona con el área de la sección
transversal y la forma del cuerpo.
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342
cAPITULO
10
FLUJOS VISCOSOS
EXTERNOS
La función del arrastre viscoso (a veces llamado arrastre de fricción) y del arrastre de
presión (en ocasiones denominado arrastre de la forma) se pueden ilustrar considerando un
cuerpo aerodinámico a diferentes ángulos de ataque. Para ángulos de ataque pequeños, las
capas límite en las superficies de las partes superior e inferior sólo experimentan gradientes pequeños de presión y permanecen adheridos a lo largo de la cuerda. La estela es muy
pequeña y el arrastre está dominado por los esfuerzos viscosos dentro de las capas límite.
A un número de Reynolds dado, el arrastre será mayor para el flujo turbulento que para el
laminar. Sin embargo, conforme aumenta el ángulo de ataque, el arrastre de presión se
vuelve más importante. Con el incremento del ángulo de ataque, los gradientes de presión
en el cuerpo aerodinámico aumentan en magnitud. En particuiar, la presión aumenta en la
parte posterior de la superficie superior, de manera que el gradiente de presión en esa región es positivo. Este gradiente de presión "adverso" se puede volver lo suficientemente
fuerte para producir la separación del flujo (ver la sección 7.9). La separación aumentará el
tamaño de la estela e incrementará la magnitud de las pérdidas de presión en la estela debido a la formación de remolinos. Por lo tanto, el arrastre de presión aumenta. A un ángulo
de ataque mayor, una fracción grande del flujo sobre la superficie superior del cuerpo aerodinámico se separa y se dice que el cuerpo aerodinámico entra enpérdida. En esta etapa,
el arrastre de presión es mucho mayor que el arrastre viscoso.
:
Cuando las pérdidas de presión son pequeñas y el arrastre total se debe principalmente
al arrastre viscoso, se dice que el cuerpo es aerodinámico. Cuando el arrastre viscoso es
pequeño y el arrastre total está dominado por las pérdidas de presión, el cuerpo se describe
como romo. Que el flujo esté dominado por el arrastre viscoso o por el arrastre de presión
depende por completo de la forma del cuerpo. Un pez o un ala con ángulos de ataque pequeños se comportan como cuerpos aerodinámico s, mientras que un tabique, un cilindro o
un ala con ángulo de ataque grande se comportan como cuerpos romos. Para determinada
área frontal y velocidad, un cuerpo aerodinámico siempre tendrá una resistencia menor
que un cuerpo romo. Por ejemplo, el arrastre en un cilindro de diámetro D puede ser diez
veces mayor que en un cuerpo aerodinámico del mismo espesor.
Los cilindros y las esferas se consideran cuerpos romos porque el arrastre está dominado por las pérdidas de presión en la estela a números de Reynolds mucho mayores que
uno. La variación de sus coeficientes de arrastre se muestra con el número de Reynolds en
la figura 10-12 y los patrones de flujo correspondientes en la figura 10-13. Así, conforme
aumenta el número de Reynolds, la variación en el coeficiente de arrastre (basado en el
área de la sección transversal) disminuye y tiende a una constante para altos números de
Reynolds.
Con un número de Reynolds entre 105 Y 106, el coeficiente de arrastre tiene una caída
brusca. Esta caída indica que las pérdidas de presión en la estela se hacen pequeñas en forma repentina y en los experimentos se observa que las estelas tienen menor tamaño y que
la separación de la capa límite sobre el cilindro o esfera a lo largo de la superficie sucede
más adelante que antes ¿Qué sucedió?
La disminución repentina del arrastre está relacionada con las diferencias entre las capas límite laminar y turbulenta. En la sección 7.9 se estableció que la capa límite y su interacción con el gradiente de presión local tiene una función importante al afectar el flujo
sobre un cilindro. En particular, cerca de la parte superior el gradiente de presión cambia
de negativo (presión decreciente, un gradiente de presiónfavorable) a positivo (incremento de la presión, un gradiente de presión adverso). La fuerza debida a las diferencias de
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400
200
100
60
40
,
a '.
20
10
CD
6
4
2
e
1
0.6
0.4
0.2
0.1
0.05
10-1
FIGURA 10-1:
sos y esferas I
Sons,1998.
presión cam
puesta, el flr
movimiento
dad de mov
donde la cal
Una cal
una capa lír
muy eficaz.
efectivo par:
mite turbule
distancia m¡
vimiento ce
continua (y
La capa
Reynolds b:
de arrastre s
es laminar (
vuelveadve
Cuandoest
de la parte s
mero de Re
llamanúme
Por lo a
de Reynold
tiempo. Est
alambre col
10.6
de
400
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200
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100
ARRASTRE
EN CUERPOS
343
ROMOS Y AERODINÁMICOS
-,,
'.
60
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20
10
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......•........
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0.2
Esfera lisa
,
\
'1100.'1
\ e
~
0.1
.'
X"
•..•........•.
..----
0.05
10-1
101
103
107
Re= pUD
FIGURA 10-12
"
Coeficiente de arrastre como función del número de Reynolds para cilindros circulares li-
sos y esferas lisas. Tomada de Munson, Young y Okiishi, Fundamenfals
of Fluid Mechanics,
John Wiley &
Sons,1998.
'da
orue
de
presión cambia de signo: de fuerza aceleradora pasa a ser una fuerza retardadora. En respuesta, el flujo se frena. Sin embargo, el fluido en la capa límite pierde algo de cantidad de
movimiento debido a la disipación viscosa de la energía y no tiene suficiente cantidad de movimiento para vencer la fuerza retardadora. Algo de fluido cerca de la pared,
donde la cantidad de movimiento es pequeña, revierte su dirección y el flujo se separa.
Una capa límite turbulenta tiene más cantidad de movimiento cerca de la pared que
una capa límite laminar (figura 10-6) porque la turbulencia es un proceso de mezclado
muy eficaz. Pero sobre todo, el transporte turbulento de la cantidad de movimiento es muy
efectivo para recuperar la cantidad de movimiento cercana a la pared. Cuando una capa límite turbulenta entra en una región con gradiente de presión adverso, puede persistir una
distancia mayor sin separarse (comparado con un flujo laminar) porque su cantidad de movimiento cerca de la pared es mayor y la cantidad de movimiento se recupera en forma
continua (y con rapidez) por el mezclado turbulento.
La capa límite sobre la cara frontal de una esfera o cilindro es laminar a números de
Reynolds bajos y turbulenta a números de Reynolds mayores. La caída en el coeficiente
de arrastre sucede en el punto donde la capa límite cambia de laminar a turbulenta. Cuando
es laminar (Re< 105), la separación inicia casi tan pronto como el gradiente de presión se
vuelve adverso (muy cerca de la parte superior, figura 10-13d) y se forma una estela ancha.
Cuando es turbulenta (Re> 106), la separación se retrasa en un punto cerca de 20° después
de la parte superior, figura 10-13e) y la estela es, en correspondencia, más estrecha. El número de Reynolds donde el flujo cambia y el arrastre disminuye de manera repentina, se
llama número de Reynolds crítico.
Por lo anterior, si la capa límite de una esfera 'se pudiera hacer turbulenta a un número
de Reynolds menor que el valor crítico, también el arrastre debería disminuir al mismo
tiempo. Esto se puede demostrar con un tope de alambre. Un tope de alambre es sólo un
alambre colocado en forma axisimétrica en la cara frontal de la esfera. Conforme el flujo
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344
CAPíTULO 10
FLUJOS VISCOSOS EXTERNOS
Sin separación
Burbuja de separación en régimen permanente
~
~
Estela de vórti ces de Ka rm an
e)
Estela ancha y turbulenta
después de una capa limite laminar
d)
Estela estrecha y turbulenta
después de una capa límite turbulenta
e)
FIGURA 10-13 Patrones de f lujo sobre un cilindro. a) Número de Reynolds = 0.2 ; b ) 12; e) 120; d) 30 000 ;
Y e) 500 000 . Los patrones corresponde n a los puntos señalados en la figura 10-12.Tomado de Munson,
Young y Okii shi , Fundamenta/s of Fluid Meehanie, John Wiley & Sons, 1998.
pasa por el alambre, se introduce una perturbación grande a la capa límite, lo que causa una
transición prematura a la turbulencia. Su efecto en el tamaño de la estela es muy significativo, como muestra la figura 10-14. Se puede obtener un resultado semejante usando la rugosidad superficial para "perturbar" la capa límite; la figura 10-15 muestra el efecto de
incrementar la rugosidad superficial en el coeficiente de arrastre de una esfera.
Las formas elípticas y de alas muestran una caída semejante en la curva del arrastre
con un número de Reynolds crítico (figura 10-16). Pero en general no es así con los cuerpos con bordes agudos, al menos para números de Reynolds mayores que aproximadamente 3 000, como en una placa plana puesta en ángulos rectos respecto a la dirección del
flujo . Aquí, los puntos de separación están fijos a los bordes y no cambian de posición con
el número de Reynolds. La tabla 10-2 proporciona los coeficientes de arrastre para cuerpos
con bordes agudos. La tab la 10.-3 proporciona los coeficientes de arrastre para una amplia
variedad de otras formas interesantes.
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10.6 ARRASTRE EN CUERPOS ROMOS Y AERODINÁMICOS
345
a)
b)
FIGURA 10-14 Flujo sobre una esfera : a) número de Reynolds =15000 (separación laminar), b) número
de Reynolds =30 000, con alambre (separación turbulenta). Tomado de Van Dyke, Album of Fluid Motian ,
Parabolic Press, 1982. Fotografías originales por Werlé, ONERA, 1980.
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346
CAPíTULO 10
FLUJOS VISCOSOS EXTERNOS
0 . 6 r-----,----,---r_-.----
--,-------,---~r__.--r_------._----~
k; rugosi ad r lativ3
0.5
f)
~\
••• """'"
\
\
\
\
\
\
0.4 I----p-e-Io-ta+-""'\--+--t-\. +--h-----t\---t,-~. _-.-_-+.+-:--:-_,=__±'.=._.+::..
-.+
_¡.---=.___= :-::::\¡__:::"::.:-:::'':::-::_=-1_
I
de gol
\
\\
:
. . . . ·r ",,,,..-..-' / / ~ ~ O.3r-------t-~\-+~~--nrv
---~~~----+7~--_r--+__+--------+_----~
j~
- IN
...
/~I
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--0-- --f -r--~r-- JI
\
.:
0 . 2 t------~+_--_+--~~~~
lr;.--t--~
/~-;4-----¡---;--+--------+------~
~;
1.25 x l
D
0.1
- 2 --
\
I
~I
~
\
\
k
-L = O
/
i
(liso~
= 5 X 0- 3
\
1------~t__-frl
~ ~_+~t-----~7L----~I----+
~
~~
= 1
x 10- 3
---'
~
.-----
V-----~~------~
'--
OL-______L -_ _- L_ _- L_ _L -_ _ _ _ _ _L -_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
4 x 105
4 x 10"
105
~
~~
__
~
______
~
_ _ _ _ _ ___"
Re= VD
Figura 10-15 Coeficiente de arrastre como función del número de Reynolds para esferas con diferentes
grados de rugosidad ; k es la altura equivalente de la rugosidad y O, el diámetro de la esfera. Tomado de
Munson , Young y Okiishi, Fundamentals of Fluid Mechanics, John Wiley & Sons, 1998.
t-_p_la_c_a_p_la_n_a-+_ _ _ _ _-t-_ _ _ _--i
~
1
D
Círculo
Elipse
r:D--d....-
C::::>~.5D
0.1
I-------+---------+----~._--t~~----~--------~
0. 18 D
~D-:li
-------~ =====
f-D-I
107
Re = VD
v
Figu ra 10-16 Coeficientes de arrastre para cuerpos romos y aerodinámicos. Tomado de Munson, Young
y Okii shi , Fundamentals of Fluid Mechanics, John Wiley & Sons, 1998.
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10.7
PELOTAS
DE GOLF, CRICKET
y BEISBOL
347
TABLA 10-2 Datos de coeficientes de arrastre para
cuerpos con bordes aqudos"
Objeto
b/h==
Barra cuadrada
b/h = 1
/
Disco
Anillo
iferentes
ado de
~
/
/
O
1.17
@
1.20b
O
1.42
/
Hemisferio (cara abierta
hacia aguas abajo)
/0
Perfil en e (cara abierta
hacia aguas abajo)
r-;
"
/~
2.05
1.05
h
Hemisferio (cara abierta
hacia el flujo)
Perfil en e (cara abierta
hacia el flujo)
e, (Re~10-1)
Diagrama
"
"
0.38
2.30
1.20
De Fox y McDonald, Introduction to Fluid Mechanics, 4a. ed., John Wiley & Sons, 1992.
"Datos originales de Hoerner, Fluid-Dynamic Drag, 2a. ed., Midland Park, NJ, edición del autor.
bBasado en el área del anillo.
10.7 PELOTAS DE GOLF, CRICKET y BEISBOL
n,Young
En deportes es muy común perturbar la capa límite en esferas para reducir el arrastre;
ejemplo de ello son las perforaciones en las pelotas de golf. Los orificios actúan como topes de alambre muy efectivos y el consecuente retardo en la separación del flujo reduce el
arrastre en la pelota y le permite viajar más lejos con el mismo esfuerzo. Un buen golfista
puede hacer que una pelota viaje con facilidad hasta 250 yardas, pero con una pelota lisa el
mismo golfista la lanzaría sólo 100 yardas. La figura 10-15 muestra cómo los diferentes
grados de rugosidad reducen el arrastre en la esfera y qué tan efectivos son los orificios.
El mismo principio se aplica en el cricket. La pelota de cricket tiene una costura única
circunferencial que con mucha claridad se muestra como un tope de alambre y si se golpea
sin giros, de forma que la costura se incline hacia delante en la parte superior, entonces la
capa límite sobre la superficie superior se hace turbulenta, mientras la capa límite en
la parte inferior se mantiene laminar. La estela se vuelve asimétrica y se produce una fuerza hacia abajo de modo que la pelota cae con brusquedad. Un efecto semejante se puede
obtener con una pelota de beisbol o de tenis si la costura se orienta correctamente. En la pelota de beisbolla costura es más curva que en la de cricket, pero su efecto perturbador es
semejante.
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348
CAPiTULO
10
FLUJOS VISCOSOS
EXTERNOS
TABLA 10-3 Datos de coeficientes de arrastre para algunos cuerpos
Forma
Área
de referencia
Coeficiente
Área frontal
Paracaídas
~
A=
T~
1.4
::0
4
2
O
0.2
0.5
1.42
1.20
0.82
0.95
0.90
0.80
Porosidad
Antena
Área frontal
parabólica
porosa
A=
::0
4
2
de arrastre
+--7
Porosidad
= área abierta/área
()
,)
Persona
promedio
~1
IJ__~..i..
Bandera
ondeante
Parada
GoA= 9 pie
GoA= 6 Pie
Cuclillas
2
GoA= 2.5 pie
2
A=LO
1
Edificio
Empire State
total
2
Sentada
LO
Gn
1
2
3
0.07
0.12
0.15
Área frontal
1.4
Área frontal
1.8
§7571AAAffiAA
Tren de pasajeros
con seis vagones
Bicicletas
&
Conductor
~
enderezado
A= 5.5 pie2
1.1
Carrera
A= 3.9 pie2
0.88
Persecución
A= 3.9 pie2
0.50
Aerodinámico
A= 5.0 pie2
0.12
Estándar
Área frontal
0.96
Con rompe vientos
Área frontal
0.76
Con rompevientos
y unión sellada
Área frontal
0.70
cIf¿I6
~
Camiones
~
con remolques
Rompevientos
"
~
Unión sellada
~
"
Árbol
!!...... __
~
L,..
•••"
c::::;!7
~
FUENTE:
0.43
U=10m/s
U = 20 mis
Área frontal
0.26
U = 30 mis
Delfín
Aves grandes
Esto se co
demostró que
Magnus. El ef
bola de nudillc
nus. En su lug:
te. Aun un peq
es extraño que
0.20
Área mojada
0.0036 a Re = 6 x106
(la placa plana tiene GOl = 0.0031)
Área frontal
0.40
10.8 CAMPOS
En este últinu
Comoyasevi
parar en puntr
sión adversos.
de automóvil.
pendiente neg
gradiente de I
automóvil, do
se localiza en
Las regio
nan el arrastre
capa límite vi
frecuencia lo:
A bajas v
rodadura, del
llantas. Sin el
menta con raj
constante con
10-18, la res
80 km/h, este
casi dos terci
La tabla
para cuerpos
ciente de arn
del vehículo,
valor más baj
cercanos a O
cientes de an
quiere fuerzr
curvas y la pi
bién, la fuer:
nen un fuern
respectivo er
Munson, Young y Okiishi, Fundamenlals of Fluid Mechanics, John Wiley & Sons, 1998.
s Para ampliar es
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Review ofFluid
10.8 CAMPOS DE FLUJO EN AUTOMÓVILES
349
Esto se complica aun más si se añade el giro. En la sección 4.5 yen la figura 7-12 se
demostró que el giro puede producir una fuerza lateral sobre una pelota debido al efecto
Magnus. El efecto depende de la orientación de la costura. Los lanzadores de beisbol con
bola de nudillos, es típico que lancen la pelota con muy poco giro y no usen el efecto Mag. nus. En su lugar, en gran medida dependen del desprendimiento asimétrico de la capa límite. Aun un pequeño giro hará que la dirección de la fuerza lateral cambie drásticamente, no
es extraño que el comportamiento de una bola de nudillos sea impredecible.5
10.8 CAMPOS DE FLUJO EN AUTOMÓVILES
En este último tema del capítulo se examinan aspectos de los flujos sobre automóviles.
Como ya se vio en las figuras 7-13, 10-7 Y 10-10, se forman capas límite que se pueden separar en puntos donde el flujo hace un giro repentino y donde ocurren gradientes de presión adversos. La figura 10-17 muestra una distribución de presión típica sobre un modelo
de automóvil. La región del gradiente de presión adverso sobre la cubierta se indica con la
pendiente negativa en la distribución de presión superior (donde ap/ ax > O) . Otra región de
gradiente de presión adverso (o desfavorable) se encuentra cerca de la parte posterior del
automóvil, donde la capa límite es otra vez susceptible de separarse. Una región semejante
se localiza en la parte posterior inferior del vehículo.
Las regiones de flujo separado en el cuerpo del auto y la presencia de una estela, dom;nan el arrastre aerodinámico sobre el vehículo (en la mayoría de los autos, el arrastr{' de la
capa límite viscosa sólo hace una contribución pequeña al arrastre total y, por lo tanto, con
frecuencia los autos se consideran cuerpos romos).
A bajas velocidades, la fuente de resistencia máxima sobre un auto es su resistencia de
rodadura, debido a la fricción entre las partes móviles de la tracción y en la pisada de las
llantas. Sin embargo, conforme aumenta la velocidad, el arrastre aerodinámico se incrementa con rapidez casi al cuadrado de la velocidad si el coeficiente de arrastre se m~ntiene
constante con el número de Reynolds (figura 10-18). Para el automóvil que ilustra la figura
10-18, la resistencia aerodinámica se vuelve la mayor fuente de arrastre alrededor de
80 km/h, esto es, 50 mph. A 120 kmJh (75 mph), la resistencia aerodinámica representa
casi dos tercios del arrastre total.
La tabla 10-4 proporciona valores típicos de los coeficientes de arrastre y sustenta~ión
para cuerpos con formas automotrices. La forma más aerodinámica es la que tiene el c!.Jeficiente de arrastre más bajo, 0.04, pero cuando esta forma se modifica para verse COntO la
del vehículo cercano al suelo, se incrementa alrededor de 0.15, que deberá consideral'''~ el
valor más bajo de los cercanos a la realidad. Los automóviles más modernos tienen va.i ores
cercanos a 0.4. Es sorprendente que los automóviles de carreras en general tengan coeficientes de aiTastre mayores, primero porque tienen otras funciones en su forma, lo cml requiere fuerzas fuertes de sustentación negativas para apoyar su comportamiento en las
curvas y ia presencia de entradas de aire para enfriar los motores, el agua y el aceite. También, la fuerza hacia abajo que generan los alerones y otras superficies sustentadoras tienen un fuerte efecto sobre el coeficiente de arrastre de un auto de carreras, con el efecto
respectivo en su velocidad máxima. Los resultados que muestra la figura 10- J 9 se obtuvie5
Para ampliar este tema, ver el artículo del doctor Rabi Mehta, de NASA-Ames: "Aerodynamics of sportballs", Annual
Review ofFluid Mechanics, 17:151 -189, 1985.
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350
cAPiTULO
10
FLUJOS VISCOSOS
EXTERNOS
-2.0
TABLA
r:
-1.5
Gradienle
de presión
favorable
-1.0
1:.
\..J
"
-0.5
··.,•"•
o.
••
•••
0.5
:
:
:
/
:
•
1
,
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\
superior
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I
.•.•.••••
2
Cili
L/[
3
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4
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5
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6
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7
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I
I
\
\
\
••.••••••• f-.
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I
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__ ...• _ ....•. J..,........
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\
\ Superficie
"
\
,
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I
inferior
\
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\
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I
\
'
Pla
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Superficie
,
,
••\.
I
f
\
\
I
\
~
[~
C':J~~
O
o
Figura 10-17
~..•_ ••.• "
I
• "
1.0
-~
\
\ •• '",~I
"\
O
de presión
desfavorable
,\- ....
-,
t..
\"
/
/
\
Gradienle
",
¡I.'í " /
.
'0
~
:
x
L
0.25
0.50
x/L
0.75
1.00
Distribución de coeficientes de presión medidos sobre el modelo bidimensional
móvil. Con autorización
de Race Car Aerodynamics,
J. Katz, Robert Bentley Publishers,
de un auto-
1995.
FUENTE:
ron usar
suelo el
Otr
"alinear
do sigui
Elcam¡:
10-21 ir
seguido
el coefi
riendo (
que por
1000
/
800
~l.
z
ni
!
Arra Ire
+
~
erodi námi O
.""
600
,/
'(3
,rl""
/'
/
e
'"
..AV
Cñ
.¡¡¡
o::
'"
400
-
~
400
.....••..
,,/
Re ísten ia d
rod dur
del
e
s IIa las
EJEMF
O
O
20
40
60
Velocidad,
Figura 10-18
Resistencias
aerodinámica
ción de Race Car Aerodynamics,
80
100
120
140
km/h
y de rodadura de un automóvil
sedán promedio. Con autoriza-
J. Katz, Robert Bentley Publishers, 1995.
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Un subi
manten
agua es
arrastre
10.8
CAMPOS
DE FLUJO EN AUTOMÓVILES
351
TABLA 10-14 Coeficientes típicos de arrastre y sustentación
1
Placa circular
2
Cilindro circular
LID < 1
3
Cilindro circular
LID >2
-
--~--
O}
lY1
-1------+1
D
Co
O
1.17
O
1.15
O
0.82
I--L-I
4
Cuerpo de revolución
de bajo arrastre
-~
O
0.04
5
Vehículo de bajo
arrastre cerca del suelo
~
0.18
0.15
0.32
0.43
-3.00
0.75
~
un auto-
CL
6
Automóvil típico
7
Prototipo de auto
de carreras
~I
-,
I~
/'
LC+l
J( J
---
Q
----~
FUENTE:Con autorización de Race Car Aerodynamics, J. Katz, Robert Bentley Publishers, 1995.
ron usando las máximas rpm que desarrolló el motor para cada ajuste de fuerza de agarre al
suelo en condiciones de aceleración máxima para calcular la fuerza de arrastre.
Otro aspecto interesante del flujo sobre automóviles es el fenómeno de persecución o
"alineamiento". Es bien sabido que la resistencia del aire de un automóvil se reduce cuando sigue de cerca a otro, pues el automóvil de adelante actúa como escudo para el de atrás.
El campo de fluj o resultante se describe en la figura 10-20. Los datos que muestra la figura
10-21 indican una disminución significativa en el coeficiente de arrastre para el automóvil
seguidor, cuando la separación es menor que la longitud del automóvil. Es interesante que
el coeficiente de arrastre del automóvil delantero disminuya en forma considerable, sugiriendo que en condiciones de carrera, ambos automóviles viajarán más rápido alineados
que por separado.
EJEMPLO 10.3
utoríza-
Arrastre sobre un cuerpo aerodinámico
Un submarino tiene forma elíptica de proporción 8: l. Encuentre la potencia necesaria para
mantener una velocidad de 20 pie/s sumergido por completo en el mar; la temperatura del
agua es de 68°F. El submarino tiene una superficie frontal de 50 pie2 y un coeficiente de
arrastre de eD = 0.15.
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352
CAPíTULO
10
FLUJOS VISCOSOS
EXTERNOS
El e
Solución:
1.0
'\
1\.
0.9
'\
-,
~
0.8
CD
0.7
(ecuaciones 5.17
fuerza de arrastre
<,
ar 19 6 (de carre as)
Indy
A = 1 36 m
0.6
HP-
50
0.5
300
r-, <,
La densidad del ¡
lo tanto
<,
400
350
V máx [kmIh]
Figura 10-19
Efecto del coeficiente
caro Con autorización
de arrastre sobre la velocidad máxima de un auto de carreras Indy
de Race Cer Aerodynamics,
J. Katz, Robert Bentley Publishers,
La potencia nece
de tiempo, es del
1995.
potenc
lIL,
lIL¡
~~~
mlL__
l'
ml
L
Figura 10-20
{fL¡
J
I
=
ml
lIL,
ml--.J
I"fue-!
Esquema del flujo sobre dos automóviles
ción de Race Cer Aerodynemics,
separados
J. Katz, Robert Bentley Publishers,
pcr una distancia Sx. Con autoriza-
1995.
PROBLEMAS
10.1 Describa qt
10.2 ¿Cómosed
tor de fonn
Automóvil
1
Automóvil
0.5
0.2
0.1
1
0.5
OA
0.3
10.3 Explique y
a) e199°1
b) el espe
e) el espe
,¡I'
--
O
-
CD
-..;CLF
-0.2
OO(~
0.3
~,/ v-:
0.1
----
-0.1
LR
-0.2
2
O
3
CD
0.2
O
"-
-0.1
10.4 En un túnel
está alinear
OA
___
•..•.•..... •....
O
r
2
/';,x
Coeficientes
10.5 Dibuje el fl
pas límite L
tices y el fl
3
10.6 Describa la
a) elperJ
b) elarra
e) el corr
se).
--
fue
L
L
Figura 10-21
--- ......
CLF
de arrastre y sustentación
para dos automóviles
separados una distancia tsx
(para la notación vea la figura 10-20). Con autorización de Race Cer Aerodynamics,
Publishers,
1995.
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J. Katz, Robert Bentley
10.7 Considere
sión igual;
PROBLEMAS
353
Solución: El coeficiente de arrastre está dado por
C
=
D -
FD
!pV 2 A
(ecuaciones 5.17 Y 8.10), donde A es el área de la sección transversal del cuerpo y F D , la
fuerza de arrastre que actúa en el cuerpo. Entonces
FD =!pV 2 ACD
La densidad del agua de mar a 68°F es 1 025 kg/m3 , o sea, 1.989 slug/pie3 (tabla 1-1). Por
lo tanto
F D =! x 1.989 slug/pie3 x 400 pie 2/s 2 x 50 pie 2 x 0.15
=29831b f
La potencia necesaria para vencer la fuerza de arrastre es el trabajo que se hace por unidad
de tiempo, es decir, la fuerza de arrastre por la velocidad del movimiento. Por lo tanto
potencia requerida = F D
X
V = 2 983 x 20 pie lbf/s
= 59 700 pie lbf/s = 59 700 pie lbf/s
1.341 hp
737.5 pie·lbf /s
= 108 hp
•
PROBLEMAS
10.1 Describa qué se entiende por "capa límite". Ilustre su respuesta con un esquema.
10.2 ¿Cómo se defme el espesor de desplazamiento, el espesor de cantidad de movimiento y el factor de forma? Indique las interpretaciones físicas de estos parámetros
10.3 Explique y mencione las interpretaciones físicas de los términos siguientes:
a) el 99% del espesor de la capa límite,
b) el espesor de desplazamiento de la capa límite, 0*,
e) el espesor de cantidad de movimiento de la capa límite e.
10.4 En un túnel de viento se estudia el flujo sobre una hoja. ¿Si el viento sopla a 8 mph, y la hoja
está alineada con el flujo , la capa límite es laminar o turbulenta?
10.5 Dibuje el flujo alrededor de una chimenea típica de una planta de potencia. Identifique las capas límite laminar y turbulenta, los puntos de separación, el flujo separado, la emisión de vórtices y el flujo de la corriente libre.
10.6 Describa las diferencias entre las capas límite laminar y turbulenta en términos de:
a) el perfil de velocidad,
b) el arrastre por fricción,
e) el comportamiento en los gradientes adversos de presión (esto es, la tendencia a separarse).
10.7 Considere las diferencias entre las capas límite laminar y turbulenta en un gradiente de presión igual a cero. Si el e~pesor de las capas límite es el mismo:
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354
CAPiTULO 10
a)
b)
e)
FLUJOS VISCOSOS EXTERNOS
Esquematice los perfiles de velocidad para cada flujo .
¿Cuál flujo tiene el mayor esfuerzo cortante en la pared? ¿Por qué?
¿Cómo explican estas observaciones que una pelota de golf perforada pueda viajar más
lejos que una lisa?
10.8 Considere una capa límite laminar y una turbulenta al mismo número de Reynolds.
a) ¿Cómo se comparan los perfiles de velocidad?
b) ¿Cuál de las capas límite crece más rápido?
e) ¿Cuál de las capas límite tiene la mayor razón de espesores de desplazamiento a espesores de cantidad de movimiento (0* / 8)?
d) ¿Cuando las capas límite se someten al mismo gradiente de presión adverso cuál se separa más rápido?
10.9 Para el perfil de velocidad de la capa límite dado por
u
U
y
-Ó'
e
(yS; o)
encuentre el esfuerzo cortante en la pared, el coeficiente de fricción, el espesor de desplazamiento y el espesor de cantidad de movimiento.
10.10 Demuestre que para un flujo laminar en capa límite con densidad y presión constantes que
crece en una placa plana, de anchura W en una corriente de velocidad, U e , la fuerza de arrastre
total, F , que actúa en la placa está dada por F / pU;oW = (4 - n)lm (figuraPlO-IO) cuando
el perfil de velocidad está dado por
~ =sen(:n:y ),
Ue
-Ue
20
~ S; 1
o
Ue
Borde de la capa
límite
\
para
t
ó
~
FIGURA P10-10
10.11 Para el perfil de la capa límite del problema anterior demuestre que el espesor de desplazamiento 0* = 0(1- 2/ n).
10.12 Para el perfil de velocidad de la capa límite turbulenta dado por u /U e = ( y / 0)119, donde U e es
la velocidad de la corriente libre y el espesor de la capa límite, calcule el espesor de desplazamiento, el espesor de cantidad de movimiento y el factor de forma.
o
10.13 Una placa plana de 1m de largo y 0.5 m de ancho es paralela a un flujo de aire a una temperatura de 25°C. La velocidad del aire lejos de la placa es de 20 mis.
a) ¿El flujo es laminar o turbulento?
b) Encuentre el espesor máximo de la capa límite.
e) Encuentre el coeficiente de arrastre total, e F' suponiendo que la transición sucede desde
el borde de ataque.
d) Encuentre el arrastre total sobre la placa si el aire cubre las dos caras.
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PROBLEMAS
355
10.14 Repita el problema 10.13 si el flujo es agua a 15°C, suponiendo que elnÚlnero de Reynolds se
mantiene constante al cambiar la velocidad de la corriente libre.
10.15 Sobre una placa plana de 6 pie de largo y 3 pie de ancho fluye aire a 80°F con una velocidad de
60 pie/s. Suponga que el número de Reynolds de transición es de 5 x 105.
a) ¿A qué distancia desde el borde de ataque se presenta la transición?
b) Grafique el coeficiente local de fricción eJ = r: ,) (~p V 2 ) como función de Rex =Uex / v.
e) Encuentre el arrastre total de la placa si el aire cubre ambos lados.
10.16 Encuentre la razón de los arrastres de fricción entre las mitades frontal y posterior de una placa plana de longitud total t, si la capa límite es turbulenta desde el borde de ataque y sigue una
distribución de velocidad dada por una ley de potencia a la un séptimo.
10.17 El perfil de velocidad para una capa límite turbulenta sobre una placa plana está dado por
u /U e = (y / oyn, donde u es la componente principal de la velocidad, U e es la velocidad de la
corriente libre y es el espesor de la capa límite. Dado que el espesor de la capa límite crece
como en la ecuación 10.16, con la ecuación de la continuidad
a) Encuentre la distribución de la componente vertical de la velocidad, v(y).
b) Calcule el ángulo que forma el vector del flujo con la placa plana en y / = 0.05, 0.2 y
0.8, para Rex = 106 .
o
o
10.18 Un barco de 200 pie de largo con un área mojada de 5 000 pie 2 se mueve a 25 pie/s. Encuentre
el arrastre por fricción suponiendo que la superficie del barco se puede modelar como una
placa plana y p = 1.94 slugs/pie 3 yv = 1.2x 10- 5 pie 2/s. ¿Cuál es la potencia mínima para mover al barco a esta velocidad?
10.19 En un conducto bidimensional de altura constante, h, entra aire como muestra la figura
P10-19. En las superficies superior e inferior se desarrollan capas límite idénticas. En la región central, fuera de las capas límite, el flujo es no viscoso y no hay pérdidas; el flujo es permanente y la densidad, constante.
a) Demuestre que
b)
U2
h
U¡
h - 2o*
donde 0* es el espesor de desplazamiento en la sección 2.
Con la información del inciso a) encuentre la caída de presión entre las secciones 1 y 2 a
lo largo de la línea de corriente central.
/
-
Borde de la capa
límite
Perfii de la capa límite en
' Ia sección 2
FIGURA P10-19
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356
CAPíTULO 10
FLUJOS VISCOSOS EXTERNOS
10.20 Si en el problema anterior la velocidad u en la sección 3 variara con y de acuerdo con
~=I_(2y)2
Um
a)
b)
h
¿Cuál es la distribución del esfuerzo viscoso y su valor en la pared?
¿Cuál es la distribución de la componente z de la vorticidad y su valor en la pared?
10.21 El perfil de velocidad en una capa límite laminar se puede describir por u/Ue = sen (ny/20).
Encuentre el esfuerzo cortante en la pared T w' y exprese el coeficiente local de fricción
Cf = T w / (~pU;) en términos del número de Reynolds basado enUe y o.
10.22 Considere la sección de entrada en una tubería circular de diámetro D. La velocidad de entrada es constante sobre el área e igual aU1, como muestra la figura PIO-22 . Sin embargo, aguas
abajo crece una capa límite que acelera el flujo en la zona central. El fluido tiene una densidad
constante p. Encuentre UZ /U1 dado que 0* = DI16 en la sección 2. (Observe que O <= D).
Sección 1
Sección 2
Capa limite
FIGURA P10-22
10.23 Suponga que el perfil de velocidad en una capa límite laminar de espesor Oestá dado por
si u es la velocidad a la distancia y desde la superficie y U e , la velocidad de la corriente libre
(como ilustra la figura PIO-23), demuestre que
e _ 31
~:- 420'
e
y
=
Tw
_
f - .lpU 2
2
e
4v
-u e o
e
donde es el espesor de cantidad de movimiento; T w' el esfuerzo viscoso en la pared; Cl' el
coeficiente local de fricción a una distancia x desde el borde de ataque de la placa; p, es la densidad, y v, la viscosidad cinemática.
FIGURA P10-23
10.24 Para un flujo laminar bidimensional de densidad y presión constantes sobre una placa plana,
el perfil de velocidad de la capa límite está descrito por la relación siguiente:
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PROBLEMAS
u _ y
U -Ó'
357
para
e
donde u es la velocidad paralela a la superficie; Ue' la velocidad (constante) de la corriente libre; y, la distancia normal a la superficie y el espesor de la capa límite.
a) Evalúe, de I dx donde ees el espesor de cantidad de movimiento y x, la distancia a lo largo
de la superficie, medida desde el borde de ataque de la placa, en términos de la rapidez
del crecimiento del espesor de la capa límite.
b) Evalúe el coeficiente de fricción, ef"
e) Con los resultados de los incisos a) y b) demuestre que crece como Fx.
o,
e
10.25 El crecimiento de una capa límite laminar sobre una placa plana es de tal manera que la presión es constante en todas partes. Si el perfil de velocidad en la capa límite está dado por
;. = ~(~)-H~J
pamy<ó
donde u es la velocidad a una distancia y desde la superficie; o, el espesor de la capa límite y
Ue' la velocidad de la corriente libre.
a) Demuestre que elo = 0.139, donde e es el espesor de cantidad de movimiento.
b) Encuentre el esfuerzo viscoso sobre la placa en términos de la viscosidad, el espesor de
la capa límite y la velocidad de la corriente libre.
10.26 ¿Con respecto al flujo sobre un cuerpo completamente sumergido en un fluido qué significan
los términos "arrastre de presión" y "arrastre viscoso"? A partir de ellos, explique la diferencia entre cuerpo "romo" y cuerpo "aerodinámico".
10.27 Explique por qué las perforaciones de una pelota de golf ayudan a reducir el arrastre.
10.28 ¿Por qué los pilotes que soportan un puente sobre un río que fluye rápido suelen tener címientos (la parte del pilote por debajo y justo sobre el nivel del agua) en forma de cuña, tanto aguas
arriba como aguas abajo?
10.29 Un disco de 15 cm de diámetro se coloca en un túnel de viento a ángulo recto respecto al flujo
de entrada. El arrastre de la placa es de 3.2 N cuando la velocidad del aire es de 20 mis y su
temperatura de 25 oc. Con esta información calcule el arrastre de un disco de 40 cm de diámetro en un flujo de agua a una velocidad de 5 mis y una temperatura de 15°C.
10.30 En un desfile que se desplaza a 2 mph los participantes portan un estandarte rectangular de
2 pie de alto por 10 pie de longitud y el viento sopla de 30 mph. Si la densidad del aire es de
2.4x 10- 3 slug/pie3 , encuentre la máxima fuerza que el viento ejerce sobre el estand ::: tP. y calcule cuántos participantes deberían sostener er estandarte con seguridad.
10.31 Alrededor de una chimenea circular de 60 pie de altura fluye aire a una velocidad un; :·11¡·me G"t:
30 mph. Encuentre la fuerza total aplicada sobre la chimenea si su diámetro es dt, 6 pie y la
temperatura del aire de 70°F.
10.32 Un cable de 0.5 pulg de diámetro se estira entre postes separados por 120 pie. El , ' ~ nt0 sopla
a 60 mph en ángulo recto al cable. Encuentre la fuerza que el viento aplica sobre el,:able; la
temperatura del aire es de 40°F.
10.33 Una pelota de playa de 20 cm de diámetro viaja a una velocidad de 50 mis en aire quieto a una
temperatura de 30°C con una fuerza de arrastre de 8 N.
a) Con los datos anteriores encuentre la velocidad de arrastre de una esfera de 60 cm sumergida en agua a 15°C.
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358
CAPiTULO 10
b)
FLUJOS VISCOSOS EXTERNOS
¿Cuál es el arrastre de la esfera más grande a esta velocidad?
10.34 Encuentre
a) La fuerza aerodinámica de arrastre de un automóvil que viaja a 75 mph si el coeficiente
de arrastre es de OA y el área frontal de 24 pie 2 .
b) La máxima velocidad posible de una camioneta cuando se desplaza sin viento, si tiene un
área frontal de 30 pie 2 , un coeficiente de arrastre de 0.6 y un motor de 120 caballos de potencia con una eficiencia de 80% ¿Cómo cambia esta velocidad si la velocidad del viento
es de 30 mph?
10.35 Un deslizador aéreo de 75 kg cae libremente, mientras experimenta una fuerza de arrastre debida a la resistencia del aire. Si su coeficiente de arrastre es de 1.2 su área frontal 1 m 2, y pes
la densidad del aire (suponga condiciones atmosféricas estándar), encuentre la velocidad terminal a 10°C.
10.36 Encuentre la velocidad terminal de un paracaidista, suponiendo que el paracaídas se puede
modelar como una copa semicircular con diámetro de 6 m. Use las propiedades atmosféricas
estándar del aire correspondientes a una altitud de 3 000 m. El peso total de la persona y el paracaídas es de 90 kg.
10.37 Encuentre la velocidad terminal de una esfera de acero de densidad de 7850 kg/m 3 y diámetro
de 0.5 mm que cae en forma libre en un aceite SAE 30 de motor, cuya densidad es de 919
kg/m 3 y una viscosidad de 0.04 N· s/m2 .
j .
10.38 El cable que se usa en un biplano para reforzar el arreglo de las alas vibra a 5000 Hz. Calcule
la velocidad del avión, si el cable tiene un diámetro de 1.2 mm. Si la frecuencia natural del cable es 500 Hz, ¿a qué velocidad del avión entrará en resonancia?
10.39 La antena de un automóvil es de tres secciones con diámetros de 1/8 pulg, 3/16 pulg y
1/4 pulg. Encuentre las frecuencias de emisión de los vórtices cuando el auto viaja a 35 mph
y 65 mph.
10.40 Encuentre la frecuencia de emisión de los vórtices para los problemas 10.31 y 10.32. Calcule
la longitud de onda entre dos vórtices consecutivos.
"
¡,
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11
FLUJO EN CANALES ABIERTOS
CAPÍTULO
11.1 INTRODUCCiÓN
En este capítulo se examinan los flujos donde hay una superficie libre. Una superficie libre
es la interfase entre un líquido y un gas, un lugar donde la presión en la interfase es en efecto constante. Cuando en un canal abierto a la atmósfera, fluye agua, se supone que la presión en la superficie libre es constante e igual a la presión atmosférica. Si no existen
perturbaciones fuertes, como el rompimiento de olas y el flujo es permanente, en la superficie se puede usar la ecuación de Bemoulli. Debajo de la superficie libre la presión variará
con la profundidad, aun cuando el flujo tenga líneas de corriente paralelas, puesto que la
presión hidrostática todavía se aplica y en la ecuación de cantidad de movimiento deben
considerarse las fuerzas debidas a las diferencias de presión hidrostática.
La condición de frontera de presión constante que impone la superficie libre significa
que la gravedad afecta en forma directa al campo de velocidad, lo cual no es válido para los
flujos considerados antes. Por ejemplo, en el flujo a través de un sifón (sección 4.5 .3), la
conservación de la masa requiere que la velocidad promedio en el tubo permanezca constante dado que el área de la sección transversal no cambia. Si no hay pérdidas y el flujo es
permanente, entonces la ecuación de Bemoulli muestra que p + pgz = constante, o sea, la
suma de la presión del fluido y la carga hidrostática se mantiene constante en una línea de
corriente. Conforme la altura de la columna de agua aumenta, la presión disminuye; la presión varía, pero la velocidad no.
Una situación semejante sucede cuando se considera el flujo de un líquido alrededor
de un cuerpo sumergido completamente, bastante lejos de la superficie libre. A medida
que el líquido fluye alrededor del cuerpo, las partículas del fluido experimentan cambios
de altura. De esta forma se establecen las diferencias de la presión hidrostática en la dirección vertical, además de las que se producen por la aceleración del flujo. Las variaciones
de la carga hidrostática ejercen una fuerza vertical extra en el cuerpo, pero ésta es sólo una
fuerza de flotación dada por el principio de Arquímedes. El campo de velocidad no está influido por esta fuerza de flotación. La velocidad es independiente de la gravedad, pero la
presión no.
Los flujos en canales abiertos son diferentes. Puesto que la presión en la superficie libre es fija, sin importar su forma, la suma de la presión dinámica y la carga hidrostática es
constante: conforme aumenta la altura de la superficie, el fluido se rrena. La gravedad influye de manera directa en el campo de velocidad en los flujos de canal abierto.
Uno de los aspectos más interesantes de los flujos con superficie libre es la formación
de ondas superficiales. Así, la propagación de las ondas está determinada por el número de
Froude, que es la razón entre la velocidad del flujo y la velocidad de propagación de ondas
de amplitud pequeña. Según cambia el número de Froude de sus valores subcríticos (donde F < 1) a valores supercríticos (donde F > 1), la propagación de las ondas se hace radical-
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359
360
CAPíTULO 11
FLUJO EN CANALES ABIERTOS
mente diferente. Este fenómeno tiene una influencia profunda en la naturaleza del flujo y
es muy similar al comportamiento de las ondas sonoras en un gas, donde los flujos subsónicos (M < 1) se comportan muy diferente a los flujos supersónicos (M > 1). En el capítulo
siguiente se examina el flujo compresible, así como la semejanza entre la propagación de
las ondas en flujos de canales abiertos y las ondas sonoras en gases. Aquí se analizan los
flujos en canales abiertos.
11.2 ONDAS GRAVITATORIAS DE AMPLITUD PEQUEÑA
Para iniciar el estudio de los flujos en canales abiertos se considera el comportamiento de
las ondas gravitatorias de amplitud pequeña que se mueven en unflujo de canal abierto
poco profondo. Las ondas gravitatorias de amplitud pequeña son ondas de altura menor en
comparación con su longitud de onda. Las pérdidas de energía son muy pequeñas y las
ecuaciones de movimiento se pueden hacer lineales (ver el análisis siguiente). El concepto
poco profundas significa que la profundidad del agua es pequeña comparada con la longitud de las ondas, de manera que se puede usar la forma unidimensional de la ecuación de
movimiento. Flujo en canal abierto significa que el flujo está abierto a la atmósfera (tiene
una superficie libre donde la presión es la atmosférica).
Considere un canal abierto largo y poco profundo que contiene un líquido estacionario. En un extremo del canal se inicia una perturbación pequeña, mediante un remo para levantar un poco el nivel del agua y luego dejarlo. La perturbación se moverá con una
velocidad c, como muestra la figura 11-1. A esta pequeña amplitud de la perturbación se le
llama onda, aunque no es periódica. En estricto sentido es una ola, de un solo lado que se
encuentra en flujos dentro de canales poco profundos (para más detalles ver la sección
11.6). Para el caso que aquí se analiza, la "onda" es una onda plana porque es recta y no varía a lo largo del canal.
Cuando el volumen de control es estacionario (figura 11-1), antes de que llegue la
onda, el volumen de control tiene un volumen de agua sin movimiento de profundidad y.
La onda llega desde la izquierda y conforme entra al volumen de control, la profundidad
del agua después de la onda se incrementa a y + oy. Para mi volumen de control estacionario, el flujo es transitorio. Asimismo, después de la onda el flujo ya no está en reposo, sino
que se mueve hacia la derecha con velocidad OV. Para comprender por qué el flujo se mueve, observe que la masa de agua en el volumen de control se incrementa durante el paso de
la onda a través del mismo. Para.traer esa masa extra, debe haber un flujo másico desde la
cara izquierda del volumen de control. Es decir, el fluido detrás de la onda se debe mover
con una velocidad pequeña en la dirección del movimiento de la onda. La velocidad OV se
ve
I--------------~
I
! t
o~
y+oy
¡
~c
I
1 Jr.:=o
:
~:
FIGURA 11-1 Volumen de control para una onda de amplitud pequeña en un canal abierto: flujo en régimen transitorio.
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11.2 ONDAS GRAVITATORIAS DE AMPLITUD PEQUEÑA
361
ve
r-- ----- - -----~
I
I
e
1 ., ~o
- aV:
. . . - Y + uy
: ¡
I
II
I
I
¡-:y
V =e
FIGURA 11-2 Volumen de control para una onda de amplitud pequeña en un canal abierto: flujo en régimen permanente.
o
llama velocidad inducida y la aproximación a un canal poco prof·undo implica que V es
constante sobre la profundidad y + oy. La velocidad inducida es una fracción pequeña de
la velocidad de la onda.
El análisis de este flujo se hace más simple en un marco de referencia móvil. Imagine
que se mueve con la onda y que ésta es estacionaria con respecto a usted, pero el agua frente a la onda se mueve hacia usted a una velocidad c. Por lo tanto, si se usa un volwnen de
control que se mueve a una velocidad c hacia la derecha, la onda estará siempre en la misma posición en el volumen de control y el flujo será permanente (figura 11-2). Se puede
aplicar, entonces, la forma unidimensional en régimen permanente de la ecuación de la
continuidad y la ecuación de Bemoulli. Con ecuación de la continuidad se tiene
(c- oV)(y+ oy) = cy
Al desarrollar y mantener sólo los ténninos de primer orden
(oy~
o
y, y V ~ c) resulta
(1l.l)
coy = yoV
Al aplicar la ecuación de Bernoulli en la superficie (la superficie es una línea de corriente
donde la presión es constante)
~(C-OV) 2 +g( y +oY)= ~ C 2 +gy
Si se desarrollan y mantienen sólo los términos de primer orden, resulta
(1l.2)
g oy= coV
Las ecuaciones 11.1 y 11.2 llevan a
I c=JiY I
Por lo tanto, la velocidad de una onda gravitatoria de amplitud pequeña que se mueve en
la superficie de agua poco profunda es
¿Qué sucede si en lugar de estar estática con respecto a un observador fijo, el agua delante de la onda se mueve a una velocidad V hacia la derecha? Para lograr que el flujo esté
en régimen permanente es necesario que el observador se mueva a una velocidad V + c. En
este nuevo marco de referencia se hace un análisis semejante al que se hizo antes y el resultado deberá ser que la velocidad de la onda es V +
en relación a un observador estacionario. De manera similar, si el agua que está delante de la onda fluyera a una velocidad V
hacia la izqui erda, se encontraría que la onda se mueve a la velocidad V Esto es,
la onda se mueve a una velocidad
en relación al líquido en movimiento.
JiY.
JiY
JiY
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JiY.
362
CAPiTULO 11
FLUJO EN CANALES ABIERTOS
F <1
F =1
F >1
-v
b)
a)
e)
FIGURA 11-3 Patrones de onda que produce una perturbación puntual en la superficie libre de un líquido
en movimiento: a) V
(subcrítica); b) V =
(crítica); c) V
(supercrítica).
<.¡gy
.¡gy
>.¡gy
Considere una perturbación puntual en la superficie del agua. Por ejemplo, llene un
fregadero o una tina a una altura de aproximadamente 1/2 pulg. Tome una esponja empapada con agua y, mientras la sostiene con firmeza, exprímala suavemente para que escurra
a la superficie del agua. Se prevé que el oleaje que las gotas de agua producen en patrones
de círculos concéntricos se propague hacia afuera a una velocidad
14 pulg/s).1
Esto se puede verificar con un cronómetro. A continuación mueva poco a poco la esponja
mientras la exprime. Cada vez que una gota golpea el agua, una perturbación circular viaja
hacia afuera, como antes, pero las partes de los círculos que van en la misma dirección del
movimiento de la esponja están más cercanas entre sí que las partes en la dirección contraria. Esto produce el mismo efecto que dejar la esponja estacionaria sobre agua en movimiento. Si permaneciera estacionario y el agua se moviera, parecería que las ondas se
mueven más despacio aguas arriba que aguas abajo (figura 11-3a). La velocidad de la onda
es constante, pero el fluido en movimiento acarrea el tren de ondas aguas abajo. Con respecto a un observador estacionario, parece que, conforme el frente de onda se mueve hacia
el flujo, éste lo rebota. ASÍ, el frente de onda se mueve más despacio que las partes de la
onda que se mueven aguas abajo, donde las velocidades de la onda y del fluido están en la
misma dirección. El patrón que ilustra la figura 11- 3a) se observa siempre que la velocidad
del fluido sea menor que la velocidad del oleaje.
La razón entre las velocidades del fluido y de la onda
se llama número de Froude.
de.¡gy (""
V/.¡gy
Número de Fraude = F
==-ji
(11.3)
Se denomina número de Froude en honor de William Froude, quien realizó diversos experimentos para estudiar las ondas que producen los barcos (sección 15.13). El patrón que
muestra la figura 11-3a) se observa cuando F < 1. Este fenómeno es parecido al conocido
efecto Doppler de las ondas sonoras. El efecto Doppler explica por qué el sonido del silbato de una locomotora que se acerca tiene un tono más alto (mayor frecuencia, menor longitud de onda) que cuando se aleja, cuando tiene un tono más bajo (menor frecuencia, mayor
longitud de onda).
De vuelta al experimento. Conforme la esponja se mueve más rápido, hay un punto
donde lo hará con la misma velocidad que el oleaje, esto es, F = 1. Si la esponja estuviera
estacionaria y el agua en movimiento, las partes de la onda que se mueven aguas arriba a
1 Se
puede demostrar que un oleaje circular se esparce a la misma velocidad que un oleaje plano, es decir, a una velocidad..JiY
mientras la extensión radial del frente de onda sea pequeño comparado con la distancia desde el centro de la perturbación.
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11.3 NÚMERO DE FROUDE
363
una velocidad fiY se arrastran aguas abajo exactamente a la misma velocidad y de esta
manera todos los frentes de ondas se colectan en una línea (figura 11-3b).
Cuando el agua se mueve aún más rápido, de manera que F > 1, se obtiene el patrón de
la figura 11-3c). Aquí la corriente lanza los frentes de onda aguas abajo más rápido de lo
que se pueden mover aguas arriba originando un patrón con forma aguda con un ángulo
característico a (sección 11.3).
Se pueden hacer algunas observaciones interesantes; por ejemplo, considere un pescador en su lancha, anclado en un río a cierta distancia aguas arriba del punto donde una
perturbación produce ondas. Cuando F < 1 (flujo subcrítico), las ondas se esparcen a diferentes velocidades respecto al pescador dependiendo de la dirección, pero al final todas lo
alcanzarán. Aun si el pescador no viera hacia las ondas, sentiría su presencia por el vaivén .
de la lancha. Todo esto cambia cuando F = 1 (flujo crítico). En este punto, las ondas se
acumulan en línea aguas abajo del pescador y nunca alcanzan la lancha. El pescador nunca
recibe la información de que se están generando las ondas. La línea divide el flujo en dos
regiones: una zona aguas abajo que está influida por la presencia de ondas y una zona
aguas abajo que no lo está. Cuando F > 1(flujo supercrítico), la zona influida por las ondas
cae en la región con forma de cuña que muestra la figura 11 -3c).
11.3 NÚMERO DE FROUDE
El número de Froude siempre aparece cuando se consideran flujos donde las fronteras no
están prescritas en forma geométrica. En la ecuación 11.3 se definió como la razón entre la
velocidad del flujo y la velocidad de una perturbación de amplitud pequeña. El número de
Froude será pequeño comparado con la unidad cuando la velocidad es pequeña y/o cuando
la profundidad del agua es grande. Los ríos grandes suelen tener números de Froude pequeños. El número de Froude será grande en comparación con la unidad cuando la velocidad es grande y/o la profundidad es pequeña. Como se indicó, éste se llama flujo
supercrítico, pero en ocasiones también se denomina flujo de disparo por su apariencia.
Al elevar al cuadrado el número de Froude y multiplicar el numerador y el denominador por· la densidad se tiene
(llA)
y así el número de Froude está relacionado con la razón entre la energía cinética del fluido
y su energía potencial. Los flujos lentos en canales someros tienen números de Froude
grandes y su energía cinética es grande comparada con su energía potencial. A veces, la
ecuación 11A muestra que el número de Froude está relacionado con la razón entre la presión dinámica y una presión hidrostática típica.
En la sección anterior se vio que cuando el número de Froude es supercrítico (F > 1),
se forma un patrón de ondas con forma de cuña con un ángulo característico a (figura
11-4). En un tiempo dado, !1t, el centro de la perturbación se mueve con la corriente una
distancia V !1t, mientras que el frente de la onda lo hace a una distancia fiY !1t. Entonces,
sen a =
fiY!1t fiY 1
==V!1t
V
F
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(11.5)
364
cAPiTULO 11
FLUJ O EN CANALES ABIERTOS
a
FIGURA 11-4
Patrones de ondas para números de Froude supercríticos.
Por lo tanto, el número de Froude se calcula midiendo el ángulo que los frentes de onda
forman con la dirección del flujo, mientras las ondas tengan amplitudes pequeñas. Algunas veces al ángulo a se llama ángulo de Froude.
11.4 ROMPIMIENTO DE ONDAS
Si se tiene un canal de agua largo, es posible crear una perturbación plana grande que viaje
por el canal mediante un generador de ondas (un perfil aerodinámico oscilante) o una tabla
grande articulada en el fondo del canal. Conforme la onda viaja aguas abajo en el canal se
puede ver cómo se hace más grande y profunda y quizá se rompa igual que una ola en la
playa.
¿Por qué se hace el escalón y se rompe? Para un observador estacionario, al principio
el frente de la onda se mueve a una velocidad cercana a ~ gh2 , o sea, la velocidad local de
una perturbación de amplitud PJ9ueña (figura 11-5). La parte posterior de la onda se mueve a una velocidad casi igual a gh¡ + V , es decir, la velocidad local de una perturbación
de amplitud pequeña más la velocidad inducida, V. Dado que ~ gh¡ + V> ~ g~ , la parte posterior de la onda atrapa al frente de onda y se forma el escalón. Por último, se romperá yen ese caso a veces se llama rompimiento positivo.
En la playa sucede un fenómeno similar. Ahí, la pendiente del fondo ayuda al escalonamiento de la ola: la profundidad del agua disminuye en la dirección del movimiento de
la ola, acentuando las diferencias entre las velocidades del frente y la parte posterior de la
ola (figuras 11-6 y 11-7). Además, hay una resaca considerable; que es resultado de la conservación de la masa: conforme la ola lleva agua a la playa, cerca del fondo debe haber una
corriente para devolverla. La resaca acentúa los efectos de la pendiente de la playa y precipita la formación del rompimiento de la ola. La explicación más común para la formación
del rompimiento de las olas en una playa se atribuye a la "fricción con el fondo". Aunque
siempre hay efectos debidos a la fricción, esta explicación no considera algunos de los mecanismos más importantes.
o
o
oV
-----.. h
Velocidad I
inducida
:
oV +,¡g¡;;
FIGURA 11-5
1
.¡g¡;;
Notación para una onda de escalón (observador estacionario).
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o
11.5 TSUNAMIS
FIGURA 11-6
365
Formación de ondas en una playa inclinada.
11.5 TSUNAMIS2
ESASHI, Japón, julio 14. Pueden viajar tan rápido como aviones de propulsión
a chorro. Pueden arrancar casas enteras. Pueden inundar con violencia comunidades costeras. Algunos narradores ingleses les llaman marea de ondas,
pero nada tienen que ver con las mareas; la mayoría en el mundo las conoce
por su nombre en japonés, tsunami.
El norte de Japón fue inundado por tsunamis gigantes un lunes por la noche, minutos después de que un terremoto potente sacudió el mar de Japón al
oeste de la isla norteña de Hokkaido. Un tsunami contribuyó con fuerza a la
destrucción de la costa y a la demolición del distrito Aonae en Okushiri, una
isla pequeña conocida por la pesca y sus hoteles.
Las olas marinas arrastraron a la gente que pereció ahogada. Los automóviles fueron arrojados al mar y los barcos lanzados a tierra donde chocaron
contra los edificios. Cientos de casas fueron destruidas por el torrente de agua.
Una de las imágenes de televisión más impactan tes del terremoto fue una casa
completa flotando hacia el mar, cuya azotea sobresalía del agua.
Muchos factores contribuyeron a la destrucción durante el terremoto, el
cual tuvo una intensidad de 7.8 grados en la escala Richter. Fue la sacudida y
el deslizamiento de tierra lo que arruinó las carreteras, enterró un hotel y provocó incendios, quizá ocasionados por la explosión de las líneas subterráneas
de gas. Sin embargo, el fenómeno más espectacular fue el tsunami.
Las ondas superan las advertencias
Mientras que Japón, quizá el país más castigado por los terremotos, ha aprendido cómo construir estructuras resistentes a los terremotos, en apariencia no
ha sido capaz de lidiar por completo con los tsunamis.
"Hasta las casas de madera se construyen lo suficientemente fuertes para
resistir la sacudida de un terremoto ", dice Nobuo Shuto, profesor de ingeniería
de tsunami de la Universidad de Tohoku en Sendai.
Japón tiene un sistema de alerta de tsunamis, pero el lunes por la noche
las ondas llegaron a Okushiri casi al mismo tiempo que la alerta, cinco minutos después del terremoto. "En este tipo de situaciones, es poco lo que puedes
hacer", expresa el profesor Shuto. "La única forma de salvar vidas humanas
es evacuar de inmediato, aun sin una alerta ".
2
Del artículo "A Wall ofWater Travelling atthe Speed of a Jet Plane", de Andrew Pollack, New York Times,julio 14 de 1994.
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366
cAPiTULO 11
FLUJO EN CANALES ABIERTOS
Olas de más de 35 pies de alto
El profesor Shuto calcula que la ola que azotó Okushiri fluctuó entre 10 Y 16
pie de alto, pero asegura que no concluyó sus cálculos. Un investigador de la
Agencia Meteorológica calculó, con base en la topografia del lugar, que las
olas alcanzaron hasta 35 pie de altura.
Los tsunamis son la versión gigantesca del oleaje que se produce al arrojar una piedra en un estanque tranquilo. Pero en los tsunamis, al agua no la
desplaza una piedra, sino un terremoto, una erupción volcánica u otros movimientos submarinos violentos (figura 11- 7), de modo que se desplaza una cantidad gigante de agua.
La velocidad del tsunami depende de la profundidad del agua por encima
del lecho marino desplazado. En el caso del tsunami del lunes, donde la profundidad del agua era de alrededor de 6 000 pie, la ola se desplazó a casi 300
millas por hora.
Conforme la ola se acerca a tierra y el océano se vuelve poco profundo,
el agua en la parte posterior de la ola atrapa al agua del frente y la altura de
la ola se acumula.
Reporte de que se vieron 10 ondas
Según la estructura de la línea costera, un tsunami debe golpear una vez y retroceder o reverberar, golpeando la playa varias veces. El profesor Shuto dice
que algunos testigos en Okushiri reportan haber visto hasta lOandas.
El profesor menciona que aunque Japón es más conocido por sus tsunamis, también ocurren en otras partes y pueden golpear con fuerza mortal a miles de millas desde su origen. Ello. de abril de 1946, en las islas Aleutianas en
Alaska se produjo un tsunami gigante que viajó hasta Hawai. Los hawaianos,
creyendo que las alertas por las perturbaciones del mar eran una broma, las
ignoraron; murieron 159 personas.
FIGURA 11-7
Formación de tsunamis. De Scientific American, mayo de 1999.
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11.6 SALTOS HIDRÁULICOS
367
Los japoneses empezaron a construir defensas contra los tsunamis después de ser golpeados por lo que el profesor Shuto califica como las olas marinas más grandes que registra la historia, las cuales alcanzaron más de 40 pie
de alto. El tsunami de 1960 empezó desde la costa de Chile y tardó 23 horas en
cruzar el Pacífico antes de llegar a la costa japonesa del Pacífico. 3
En la página de Internet http://walrus.wr.usgs.gov/docs/tsunami/PNGhome.html se presenta una animación del tsunami del 17 de julio de 1998 en Papua, Nueva Guinea (producida por la US Geological Survey). Observe la generación de múltiples ondas por un
terremoto sencillo.
11.6 SALTOS HIDRÁULICOS
Para entender con más detalle el rompimiento de ondas y los tsunamis, hay que considerar
un salto hidráulico estacionario. En casa se tienen saltos hidráulicos al abrir un grifo y dejar que la corriente de agua caiga sobre una superficie plana, por ejemplo, una placa. Desde
el punto de impacto el agua se esparce en una capa delgada y de repente, en un punto dado,
ocurre un crecimiento súbito del nivel del agua. Este es un salto hidráulico circular. El
rompimiento de ondas en la playa es un salto hidráulico plano y los saltos hidráulicos con
frecuencia se presentan en los lechos de los ríos de baja profundidad donde ocurren cambios bruscos en el fondo del río justo aguas abajo de donde hay rocas grandes (los entusiastas de las aguas blancas conocen y aman los saltos hidráulicos). En un túnel de agua de
canal abierto (cañada), es posible formar un salto hidráulico al dejar fluir el agua sobre un
bordo (más adelante se explica que este mecanismo permite que el flujo sea supercrítico) y
después colocar un obstáculo aguas abajo. El salto hidráulico se formará aguas arriba del
obstáculo y será estacionario con respecto al bordo. En el laboratorio se puede producir un
salto hidráulico móvil quitando de súbito una barrera entre dos cuerpos de agua de profundidades distintas. El movimiento tiene dos partes: un salto hidráulico en movimiento hacia
la región de menor profundidad y una onda de expansión que se mueve en dirección
opuesta hacia la región de mayor profundidad.
Los saltos hidráulicos en movimiento se llaman oleaje o rompientes. El oleaje de marea se origina cuando la marea alta entra a una bahía de baja profundidad o a un río (figura
11-8). Conforme el agua se dirige a la corriente, el oleaje se forma por el mismo mecanismo que provoca el rompimiento de las ondas. Por ejemplo, los rompientes se forman cuando se rompe el dique de un río. El oleaje y los rompientes pueden ser muy peligrosos, pero
también muy útiles. Por ejemplo, se usan para frenar una corriente de fluido y así reducir el
dragado en un río o lecho de un canal; la figura 8-2 muestra un salto hidráulico formado
para este propósito cerca del fondo de un vertedero.
Para analizar las características de un salto hidráulico, considere un salto hidráulico
estacionario plano que se forma en el flujo de canal bidimensional horizontal de anchura W
(figura 11-9). Se usará un volumen de control que empieza lejos aguas arriba del salto,
3
Con una profundidad promedio de 15 000 pie en el océano Pacífico, la velocidad de las ondas fgY es de aproximadamente 700
pie/s o 470 mph. Por lo tanto, la distancia que se recorre en 23 horas es de 11 000 millas, que es casi igual a la distancia entre
Chile y Japón. Las ondas marinas viajan como las perturbaciones de amplitud de onda pequeña para distancias largas (la
altura de la onda sólo sería de varios pies con una longitud de onda grande) y sólo son destructivas cerca de la playa donde se
pueden fonnar rompimientos de ondas gigantes.
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368
CAPíTULO 11
FLUJO EN CANALES ABIERTOS
FIGURA 11-8 Movimiento de un salto hidráulico (llamado oleaje) que viaja aguas arriba en el rio Severn
en Inglaterra. El oleaje se produce por el movimiento de la marea hacia la boca del río. Fotografía con autorización de D. H. Peregrine.
donde la profundidad del agua es H¡ , Y termina lejos aguas abajo del salto, donde la profundidad es H 2. Las perturbaciones grandes, como los saltos hidráulicos, disipan mucha
energía, de manera que la energía mecánica no se conserva y no es posible usar la ecuación
de Bemoulli. Sin embargo, se pueden usar las ecuaciones de continuidad y de cantidad de
movimiento.
Primero se considera la ecuación de continuidad. Se supone que las velocidades a través de las áreas WH I y WH 2 son constantes, de modo que
pUIWHI =pU 2 WH 2
Es decir
(1l.6)
A continuación se usa la ecuación de cantidad de movimiento. En la parte no perturbada
del flujo en el canallas líneas de corriente son paralelas, de manera que la presión varía
con la profundidad de acuerdo con el gradiente de la presión hidrostática. En los probler------- ------------- --1
1
:
ve
1
y
1
1
y l
FIGURA 11-9
Volumen de control para el análisis de un salto hidráulico.
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11.6 SALTOS HIDRAuLlCOS
369
mas que involucran aire u otros gases, la presión hidrostática se puede ignorar, ya que es
muy pequeña. Sin embargo, con líquidos sí debe tenerse presente la presión hidrostática.
Puesto que la profundidad aumenta a lo largo del salto, la fuerza debida a la presión hidrostática que actúa en la cara derecha del volumen de control es mayor a la que produce la presión hidrostática que se aplica en la cara izquierda. Esto origina una fuerza resultante
debida a la diferencia de presiones en la ecuación de la cantidad de movimiento. Si se desprecia cualquier fuerza viscosa que se aplique en el lecho del canal, no habrá fuerzas externas que actúen en el volumen de control y la fuerza debida a las diferencias de presión
hidrostática debe ser igual al flujo neto de cantidad de movimiento. La ecuación de la componente x de la cantidad de movimiento es
f
- i· pn dA
= i · f(n· pV)V dA
Con la presión manométrica se obtiene
Las presiones son hidrostáticas, así que
H,
f o pg(H¡ -
y)dy -
fHo 2pg(H
2 -
2
2
y)dy =- pU¡ H ¡ + pU 2 H 2
Esto es
2
2 - U 2H
¡ H2
¡ H ¡2 -:¡g
:¡g
- 2 2 - U¡ H ¡
(11.7)
Al combinar las ecuaciones de continuidad y de cantidad de movimiento (e~uaciones 11.6
y 11 .7) resulta
(11.8)
donde F¡ es el número de Froude aguas ~rriba, es decir, F¡ = U : / ~ gH¡ . Esta ecuación se
puede resolver para obtener la razón H 2 / H¡
.
H2 =
H¡
-1 ± ~1+8F¡2
2
La solución negativa se puede rechazar porque H 2 siempre es positiva. Entonces
(11.9)
A ésta se le llama relación del salto hidráulico y se aplica a saltos hidráulicos planos en canales con fricción en el fondo despreciable en un marco de referencia estacionario.
La relación del salto hidráulico establece las condiciones para que un salto se presente
en un flujo dado: si el número de Froude es F¡ , la altura del salto está dada por la ecuación
11.9. De manera recíproca, si la altura del salto es H 2/ H ¡ , el número de Froude aguas arriba es como en la ecuación 11.9.
.
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370
cAPiTULO 11
FLUJO EN CANALES ABIERTOS
La relación del salto hidráulico muestra que cuando F¡ > 1, entonces H 2 > H¡ yel salto
está "arriba". Cuando F¡ = 1, entonces H 2 = H¡ Y no hay salto alguno. Cuando F¡ < 1, entonces H 2 < H¡ y el salto está "abajo". Sin embargo, en la sección 11.7 se demuestra que
los saltos hacia abajo son imposibles por los principios de la termodinámica. Por lo tanto,
Un salto hidráulico sólo se da cuando F¡ > 1. Como resultado H 2 > H¡ .
¿Cómo se forma un salto hidráulico? En el flujo aguas arriba, F¡ > 1y, por lo tanto, el cambio pequeño en la elevación que ocurre en algún punto del flujo aguas arriba no puede viajar aguas arriba. Si en el fondo del canal se coloca un bordo grande o una barrera, el flujo
no se ajusta con suavidad porque aguas arriba'no se registra la "información" sobre la presencia del obstáculo y, por lo tanto, el flujo cambiará en forma brusca cerca del obstáculo.
Si el nivel del agua que se incrementa debido al obstáculo es tal que satisface la relación
del salto hidráulico, justo aguas arriba del obstáculo ocurrirá un salto hidráulico.
¿Qué pasa con el número de Froude aguas abajo del salto hidráulico? Primero se escribe adimensionalla ecuación de la continuidad. La ecuación 11 .6 da
Dividiéndola entre ~ gH¡ resulta
U¡
~gH¡
H _ U2
¡ -
H
~gH¡
2
= ~~gH2H
~gH¡ ~gH2
2
Esto es
y
3/ 2
F =
2
(
H¡
H
2
F
)
¡
(11.10)
La ecuación 11.10 es sólo otra forma de escribir la ecuación de continuidad para el flujo en
un canal de anchura constante y es en especial útil porque se escribe en términos de parámetros adimensionales, como el número de Froude. Escribir las ecuaciones en términos de
parámetros adimensionales puede ser muy efectivo para solucionar problemas, en particular en problemas que involucran flujos en canales abiertos.
El número de Froude aguas abajo se calcula con la combinación de las ecuaciones de
continuidad en la forma dada en la ecuación 11.10 con la relación del salto hidráulico de la
ecuación 11.9.
Primero
z: JF,'
F,' =(
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11.7 ¿CAíDAS HIDRÁULI CAS?
371
y así
Es decir
Para F, > 1, H, / H 2 < 1 (el salto debe ser ascendente) y, por lo tanto, F 2 siempre es menor
que l . O sea
Un salto hidráulico ocurre sólo si F, > l. Como resultado, F 2 < 1.
11.7 ¿CAíDAS HIDRÁULICAS?
La relación del salto hidráulico (ecuación 11.9) implica que es posible tener saltos hidráulicos que caen (H 2 < H , ) cuando F , < l. Para demostrar que las "caídas" hidráulicas no son
posibles, considere qué pasa con la constante B de Bemoulli a través de este flujo. En la superficie del líquido aguas arriba yaguas abajo del salto
B I = 1U12 + gH I
y
(11.11)
O sea
B, = 1U,2 +gH,
= gH, (1F/ +1)
y
B 2 = gH2(1Fl +1)
Se sabe que en el salto hidráulico hay pérdidas por la disipación de energía debido a que
existen turbulencia y flujos secundarios, así que B 2 < BI (sección 4 .7.3). Cuando FI > 1,
entonces B 2 < B" como se requiere, así que los saltos hidráulicos ascendentes se permiten. Sin embargo, cuando FI < 1, entonces B 2 > B l' lo que no se permite y, por lo tanto, los
saltos que caen no son posibles.
Para demostrar este resultado, primero se forma la razón entre las constantes de Bernoulli.
B 2 = H2 (1+q.)
H, (l + F;')
BI
Con la ecuación de la continuidad (ecuación 11.10) se obtiene
B2
Bl
= H2[1+(~)3 41
H,
l+F/
2
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(11.12)
372
CAPíTULO 11
FLUJO EN CANALES ABIERTOS
1.0020
1.0015
~
1.0010
\
1.0005
o:l
cqN
1.0000
0.9995
Salte asee dente
alto d seen ente
\
-r-, <,
""-
FIGURA 11,
0.9990
0.9985
0.8
0.85
0.9
1.05
0.95
1.1 1.15
1.2
H2/H,
FIGURA 11-10
La razón entre las constantes de Bernoulli aguas abajo yaguas arriba de un salto hidráu-
lico como función de la razón entre las profundidades
aguas arriba yaguas
abajo.
Se puede encontrar una expresión para F¡ mediante la relación para el salto hidráulico
(ecuación 11.9)
y este resultado se usa para sustituir F¡ en la ecuación 11.12 y obtener
B2
--¡¡;=
H 2 [1+1(~)2(~+I)l
4 H,
H,
H¡ 1+1(H
(~+1)
H,
donde F,
nario. Dac
mero de F
11.9 FLUJI
(11.13)
2)
4
cuerpo est
dadU B' C
Así, la rel:
estática y
H,
Esta relación se grafica en la figura ll-lO para un intervalo pequeño de H 2/ H¡. Para
H 2 > H¡ se ve que B 2 < B ¡, lo cual indica que la energía se disipa por el salto hidráulico
como se indicó. Cuando H 2 < H¡ , B 2 > B ¡, implicando que la energía se crea por una caída hidráulica, lo cual no es posible. Sólo se admiten saltos hidráulicos.
Considere
estrecham
como mur
pérdidas,
siones se
Conf<
¿El nivel
mensiona
perficial.
I
I
11.8 ROMPIENTES Y OLEAJE
Un rompiente y un oleaje son saltos hidráulicos en movimiento, que se crean por el flujo
de la marea que entra en un estuario de baja profundidad (la boca de un río), como ilustra la
figura 11-8, o por el incremento repentino del nivel del agua, como cuando se dragan una
presa o un río. Son similares a los tsunamis, pero éstos son hechos costero s donde el rompimiento de las olas en general se forma sobre una playa inclinada.
Considere un rompiente que se mueve con una velocidad constante, U B ' hacia una región donde la velocidad es cero y el fondo está nivelado (figura 11-11). Este es un flujo
transitorio, pero si se adopta un marco de referencia que se mueva a la misma velocidad
que la ola, se vuelve un problema en régimen permanente (figura 11-12). El análisis es
idéntico al que se siguió para el salto hidráulico estacionario de la sección 11.6, donde U B
reemplaza a U l' Y U B - U 2 reemplaza a U 2' Para comprender lo anterior, imagine que
monta una ola como lo haría una persona sobre un deslizador. Lo que se aproxima no es un
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•
donde el ~
B,YyVs
locidadpr
1
1
1
1
1
1
~
FIGURA l'
11.9 FLUJO A TRAVÉS DE UN ESTRECHAMIENTO SUAVE
373
¡------------- vc ~
I
I
Vs
:
I
I
'
U
Y,
FIGURA 11-11
2
Y2
Rompiente donde, de acuerdo al marco de referencia, el flujo es transitorio.
cuerpo estancado de agua, sino el agua en movimiento que parece acercarse a una velocidad U B . Cuando la persona voltea para atrás, ve al agua alejarse a una velocidad U B - U 2'
Así, la relación para una rompiente o un oleaje que se mueven hacia una alberca con agua
estática y fondo nivelado es simplemente
2
H
= ~(~1+8F¡
H¡ 2
-IJ
donde F B = U B / ~ gH I ' YU B es la velocidad del oleaje respecto a un observador estacionario, Dado que el número apropiado de Froude se basa en la velocidad del oleaje, este número de Froude debe ser 5upercrítico (FB > 1) si se produce un salto hidráulico.
11.9 FLUJO A TRAVÉS DE UN ESTRECHAMIENTO SUAVE
Considere un flujo permanente de agua a través de un canal abierto, cuyos lados forman un
estrechamiento simétrico de manera que las anchuras de la entrada y la salida son iguales,
como muestra la figura 11 -13. Se supondrá que el flujo es unidimensional y que no hay
pérdidas, de manera que no hay saltos hidráulicos. Un flujo donde no hay pérdidas en ocasiones se llama "suave", de modo que éste es un estrechamiento suave,
Conforme el flujo pasa a través de la reducción, ¿qué pasa en la superficie del agua?
¿El nivel del agua baja o sube? Para contestar esta pregunta, se usará la ecuación unidimensional de continuidad y se aplicará la ecuación de Bemoulli en la línea de corriente superficiaL Con la ecuación de la continuidad se tiene
(11.14)
donde el subíndice 1 denota las condiciones de entrada aguas arriba del estrechamiento, y
B , Y YV son, respectivamente, la anchura del canal, la profundidad de la corriente y la velocidad promedio en la sección transversal en el flujo en alguna posición x dentro del estre-
¡------------- vc ~
I
I
I
I
I
I
,
Y,
FIGURA 11-12
Rompiente donde el marco de referencia permite que el flujo sea permanente.
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374
CAPiTULO 11
FLUJO EN CANALES ABIERTOS
I
~x.
!
FIGURA 11-13 Flujo permanente a través de un estrechamiento suave: a) vista en perspectiva, b) vista
en planta, e) elevación.
chamiento. Al adimensionalizar la ecuación 11.14 de la misma forma que se hizo antes
(ver la ecuación 11.10), se obtiene
F' =(~ J(i JF"
(11.15)
que es sólo la ecuación de la continuidad en su forma adimensional.
La ecuación de Bemoul1i para un flujo permanente, incompresible y sin fricción en la
línea de corriente superficial, donde PI = P2' da
Adimensionalizando esta ecuación al dividirla entre gYI resulta
lP2
2
I
+1=lp2~+~
2
Y
I
Y
(11.16)
I
Al combinar las ecuaciones 11.15 y 11.16 se tiene un polinomio de tercer grado para Y/YI
(11.17)
Dado que éste es cúbico, en general hay tres soluciones. Es común que una de las soluciones no tenga significado fisico (por ejemplo, si fuera negativa) de manera que cuando mucho, hay dos soluciones no triviales con significado real. Así es posible responder la
pregunta sobre el comportamiento de la superficie del agua: Y/ Y¡ puede ser mayor que 1 o
menor que 1 (es decir, el nivel del agua puede subir o bajar), según los valores de PI y
E/El·
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11.9 FLUJO A TRAVÉS DE UN ESTRECHAMIENTO SUAVE
375
En vez de resolver esta ecuación para un intervalo amplio de datos de entrada, se puede aprender mucho acerca del comportamiento del nivel del agua examinando la pendiente de la superfic;e del agua. Para encontrar la pendiente, se diferencia la ecuación
11.17. Antes de hacerlo es útil escribir la ecuación en términos del flujo volumétrico
q = B ¡ Y¡ V¡ = B Y V, que es una constante. Después de algo de álgebra, se obtiene
(¡2
dY
dB
gBiY2
(l -~)
dx
2
dx
gB
y3
Ésta también se puede escribir como
fF2
dY
dB
(11.18)
-----
dx
1- F
2
dx
donde F = V / fiY es el número de Froude local.
Es claro que éste es un resultado interesante. En particular, la pendiente de la superficie cambia de signo cuando el número de Froude cambia de menor que uno a mayor que
uno. También se pueden anticipar algunos problemas cuando F = 1. Antes de proceder, es
necesario un resultado más.
Al derivar la ecuación de la continuidad para este flujo (ecuación 11.14), se tiene
By dV + BV dY + YVdB =O
dx
dx
dx
y así
dY
dx
Y dB
Bdx
Y dV
Vdx
La ecuación 11.18 se convierte en
y dV
Y dB
Y dB
1
1- F 2 Bdx
F2
Bdx
1- F
Y dB
---=-----+--=-----
Vdx
2
Bdx
Por último
L
dV = _ _ B_dB
dx
l - F 2 dx
(11.19)
que proporciona información de cómo el flujo se acelera o desacelera conforme pasa a través del estrechamiento suave.
Por el momento se despreciará el caso donde F = 1 y se considerarán los dos casos
donde F < 1 en todas partes o F > 1 en todas partes.
1. Cuando F < 1 en todas partes, entonces con
dB
dY
dV
a) - < 0, se encuentra - < y - >
dx
dx
dx
dY
dV
dB
b) - > 0, se encuentra - > y - < O.
dx
dx
dx
°
°
°
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376
cAPiTULO 11
FLUJO EN CANALES ABIERTOS
~<l _ _ _ _ _
----- --------- ----V1'YJ.
-
-
~>l
vJ. y1'
VJ.y1'
_____
_
v1'yJ.
Flujo convergente
Flujo divergente
FIGURA 11-14
Resumen de la variación del flujo en canales subcriticos y supercriticos.
2. Cuando F > 1 en todas partes, entonces con
dB
dY
dV
a) - < 0, se encuentra - > y - <
dx
dx
dx
dY
dV
dB
b) - > 0, se encuentra - < y - > O.
dx
dx
dx
°
°
°
Estos resultados se resumen en la figura 11-14.
Cuando el número de Froude es subcrítico en todas partes, el nivel del agua cae conforme el flujo se acelera en la parte convergente de la reducción y aumenta según el flujo
se frena en la parte divergente de la reducción. Cuando el número de Froude es supercrítico en todas partes, el nivel del agua aumenta conforme el flujo se frena en la parte convergente de la reducción y cae según el flujo se acelera en la parte divergente del
estrechamiento (figura 11-15). Por lo tanto, al observar el comportamiento del flujo conforme pasa por una reducción es posible saber si es subcrítico o supercrítico.
¿Qué pasa cuando el número de Froude se hace crítico (F = 1) en alguna parte? La
conclusión inicial de la ecuación 11.18 es que la pendiente de la superficie del agua se hace
infinita pero esto no es posible en la vida real y tampoco es la única conclusión a la que se
puede llegar. La pendiente de la superficie del agua depende del valor de dB / dx así como
del número de Froude y es posible que el número de Froude sea crítico, mientras que
dB / dx = en el mismo lugar. En este caso, el numerador y el denominador de la ecuación
11.18 son cero y aunque ahora la pendiente está indeterminada, es finita y pueden existir
soluciones sin significado físico. Esto significa que
°
:btcJ
,
.! . ,
'
:t-:::±:j
I
I
Garganta
Garganta
I
FO;,ptd
F
a)
b)
FIGURA 11-15 Flujo permanente a través de un estrechamiento suave: a) flujo subcritico en todas partes, b) flujo supercritico en todas partes.
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11.9 FLUJO A TRAVÉS DE UN ESTRECHAM IENTO SUAVE
377
1. El único lugar donde F = 1 debe ser donde dE / dx = 0, o sea, en el punto del estrechamiento donde el área es mínima. A ésta se le llama garganta. El número de
Froude no puede ser uno en ninguna otra parte.
2. Cuando F = 1en la garganta, la pendiente de la superficie del agua en la garganta no
se puede encontrar con la ecuación 11.18. Se requiere información adicional para
observar las condiciones del flujo aguas abajo antes de determinar la solución,
como se analiza en las secciones siguientes.
11.9.1 Flujo subcrítico en un estrechamiento
Considere una corriente que al principio es subcrítica en todas partes (F < 1). Conforme el
agua pasa a través del estrechamiento, su nivel cae y su velocidad aumenta. En consecuencia, el número de Froude local, F, aumenta y su valor máximo ocurrirá en la garganta, donde el área es mínima. Aguas abajo de la garganta, el flujo se recupera de manera que el
nivel del agua aumenta y el número de Froude disminuye. Si las anchuras aguas arriba y
aguas abajo del estrechamiento son iguales, el flujo regresa a su estado de aguas arriba
(despreciando las pérdidas).
Cuando el número de Froude aumenta en la entrada, F¡, llega un punto donde el número de Froude se hace crítico en la garganta: este será el primer lugar donde F se vuelva crítico y, como se vio antes, es el único lugar donde puede ocurrir. Puesto que dE / dx = en la
garganta, la pendiente en la superficie del agua dY / dx se hace indeterminada (de la ecuación 11.18, dY / dx = O/O). El flujo aguas arriba de la garganta es subcrítico, pero el comportamiento del flujo aguas abajo de la garganta se rige por las condiciones de aguas abajo.
¿ Qué sucede si F¡ se trata de incrementar más allá de las condiciones donde el número
de Froude de la garganta es 1? La primera sugerencia sería que F se haga la unidad en algún lugar aguas arriba, donde dE / dx -F O. Pero la ecuación 11.18 indica que cuando F = 1Y
dE / dx -F 0, dY / dx se hace infinito; sin embargo, esto no es posible, pues el único lugar
donde el flujo se puede volver crítico es en la garganta. Si F = 1 en la garganta y la velocidad del flujo aguas arriba, V¡ , se incrementa de alguna manera, entonces Y¡ aumentará de
modo que F¡ permanezca como antes y F en la garganta siga siendo igual a uno.
Si ahora se regresa a la ecuación original para el flujo a través del estrechamiento
(ecuación 11.1 7), se encuentra que existen dos soluciones posibles que cumplen con F = 1
en la garganta. Esto es, existen dos posibilidades para un perfil de superficie continuo en
un flujo permanente sin pérdidas y deben satisfacer una de dos condiciones de frontera
particulares en la salida desde el estrechamiento. En otras palabras, en las condiciones
donde no hay pérdidas, sólo dos flujos son posibles con F = 1 en la garganta y sólo pueden
existir si el nivel del agua aguas abajo, Y 3 ' es uno de dos valores, Y{ o Y{' en la figura 11-16.
°
1. Cuando Y3 = Y{, el flujo regresa a valores subcríticos del número de Froude y el nivel del agua aumenta en la parte divergente del estrechamiento.
2. Cuando Y3 = Y{', el flujo se hace supercrítico en la parte divergente del estrechamiento y cae el nivel del agua.
Si F = 1en la garganta y el nivel del agua, Y 3 ' aguas abajo toma un valor distinto de Y{ o Y{',
no se puede encontrar un perfil de superficie continuo sin pérdidas. Por ejemplo, si Y3 fuera tal que Y{'< Y3 < Y{ (en la figura 11-16, el valordeY3 se muestra como Y;"), el flujo será
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378
cAPiTULO 11
y
FLUJ O EN CANALES ABIERTOS
Y3
Y'3
Y.'"
3
Y
F =1
Y."
3
Garganta
Ga rga nta
FIGURA 11-16 Flujo perm anente a través de un estrechamiento su ave con flujo subcrítico aguas arri ba y
flujo crítico (F = 1) en la garganta.
supercrítico para alguna distancia aguas abajo de la garganta. Sin embargo, cuando el número de Froude es tal que, es posible un salto para la Y3 dada (según la ecuación 11.9), ocurre un salto hidráulico y el flujo se hace subcrítico. Aguas abajo del salto hidráulico el flujo
será sub crítico y la superficie del agua empieza a elevarse conforme avanza sobre el resto
del estrechamiento hasta que Y 3 = Y{" en la salida. La posición real del salto hidráulico depende del nivel del agua aguas abajo.
El valor mínimo que puede tomar
sucederá cuando el salto hidráulico se ubique al
final de la sección divergente. Este salto es el más fuerte que puede haber en el estrechamiento, ya que en este punto el número de Froude tiene su valor más alto y el cambio en el
nivel del agua es el más grand y posible.
¿Qué pasa si no es posible ningún salto hidráulico? Es decir ¿qué sucede cuando la relación del salto hidráulico no se puede satisfacer en ninguna posición de la sección divergente del estrechamiento? En este caso no existe solución. Sin embargo, el análisis se ha
restringido a flujo unidimensional. En la práctica, aparecerán saltos hidráulicos oblicuos
aguas abajo del estrechamiento, pero el análisis de los saltos oblicuos está más allá de los
propósitos de este texto.
¿Qué pasa cuando Y 3 > y;? Aquí no hay una solución en régimen permanente: el canal se inundará. Esto es, el agua regresará aguas arriba y establecerá un flujo subcrítico en
todas partes.
¿Qué pasa si Y 3 < Y;'? En este caso, no hay una solución unidimensional yaguas abajo
del estrechamiento aparecerán ondas de expansión oblicuas.
y;"
11.9.2 Flujo supercrítico en un estrechamiento
Cuando existen condiciones para que el número de Froude del flujo sea supercrítico en todas partes de la sección convergente del estrechamiento, el nivel del agua subirá y el número de Froude local disminuirá (figura 11-17). Si disminuye lo suficiente para que el
número de Froude se haga crítico (F = 1) en la garganta, el flujo aguas abajo de la garganta
tiene las mismas dos soluciones dadas en la sección anterior.
U n aspecto importante es que, una vez que el número de Froude en la garganta es igual
a uno, las secciones aguas arriba yaguas abajo del flujo se hacen independientes. Entre
ellas no hay comunicación, incluso si ambas son subcríticas. El lugar donde F = 1 actúa
como una barrera para la comunicación: las perturbaciones en el nivel del agua, por ejemplo, las ondas y remolinos no pueden pasar más allá de esta posición.
Si no hay pérdidas y se aplica la ecuación 11.17, la sección del flujo aguas abajo tiene
las mismas dos soluciones posibles como antes, donde Y 3 = o Y 3 = (figura 11-17),
y;
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y;'
RESUMEN
y
Y
Y3
y'
3
y'"
3
379
F=!
y"
3
Garganta
as arriba y
FIGURA 11-17
critico (F
o el nú.9),ocuo el flujo
el resto
lico de-
=
Flujo permanente
Garganta
en un estrechamiento
suave con flujo supercrítico
aguas arriba y flujo
1) en la garganta.
no importa cuál sea el número de Froude aguas arriba de la garganta. Si Y{' < Y3 < Y{, entonces el flujo será supercrítico por alguna distancia aguas abajo de la garganta y cuando el
número de Froude es tal que, para la Y3 dada, es posible un salto (de acuerdo con la relación de salto hidráulico, ecuación 11.9), y se presenta el salto hidráulico y el flujo se hace
subcrítico.
11.9.3 Flujo sobre tope
do la re';¡ diversis se ha
oblicuos
lá de los
te: el carítico en
as abajo
co en toy el núa que el
garganta
es igual
s. Entre
= lactúa
or ejemajo tiene
11-17),
Como ya se explicó, cuando un flujo en canal abierto pasa a través de un estrechamiento, el
número de Froude puede volverse crítico en la garganta y supercrítico en la sección divergente. Un tope o reborde en el suelo de un canal de anchura constante también puede hacer
que el flujo se haga supercrítico. Por ejemplo, si la profundidad del agua disminuye al
acercarse al tope y continúa disminuyendo aguas abajo de él, es posible demostrar que el
flujo se hace supercrítico conforme pasa sobre el tope. Una garganta se forma cerca de la
cresta del tope. Este tipo de flujos con frecuencia se observa en los rápidos de los ríos, donde la profundidad del agua disminuye conforme pasa sobre una roca sumergida. Es común
que a una distancia corta aguas abajo de la roca, se forme un salto hidráulico, lo cual indica
que el flujo se hace supercrítico al pasar sobre ella. Para el flujo que se aproxima a un tope,
si la profundidad del agua comienza a aumentar, sabemos que en principio es supercrítico.
Si la profundidad aguas abajo del tope continúa aumentando, se sabe que el flujo se hace
subcrítico al pasar sobre él.
RESUMEN
Cuando no hay pérdidas en el estrechamiento
1. Cuando F < 1en todas partes, en la parte convergente cae el nivel del agua y sube en
la sección divergente (primero F aumenta y después disminuye).
2. Cuando F > 1en todas partes, en la parte convergente sube el nivel del agua y cae en
la sección divergente (primero F decrece y luego se incrementa).
3. F = 1 sólo en la garganta.
4. Cuando F = 1en la garganta, la solución aguas abajo es indeterminada. Sin embargo, cuando no hay pérdidas, sólo existen dos posibilidades: una solución supercrítiea y una subcrítica. Estas soluciones son independientes de las condiciones aguas
arriba y sólo dependen de las condiciones aguas abajo. En particular corresponden
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., ,
380
CAPíTULO 11
FLUJO EN CANALES ABIERTOS
a dos valores especiales para la profundidad aguas abajo. Si las condiciones aguas
abajo requieren que la profundidad aguas abajo sea diferente de estos valores particulares, aparecerán saltos hidráulicos y existirán pérdidas.
Recuerde: los saltos hidráulicos sólo pueden darse donde se cumplen las condiciones de la
relación de saltos hidráulicos. Esto es, los saltos ocurren donde el número de Froude es tal
que el cambio de altura debido al salto es del valor correcto. Aguas abajo del salto F < 1 Y
la superficie del agua continuará subiendo conforme el canal se expanda.
EJEMPLO 11.1
Flujo bajo una compuerta deslizante
Bajo una compuerta parcialmente abierta de anchura W fluye agua en régimen permanente, como muestra la figura 11-18. Cerca de la compuerta el flujo es complicado, pero a una
distancia aguas arriba, las líneas de corriente son rectas y la profundidad del agua es Y¡ . A
cierta distancia aguas abajo de la compuerta, las líneas de corriente son rectas otra vez y la
profundidad del agua es Y2 = Y¡ /2. Si la fricción no produce efectos en el flujo, esto es, el
agua fluye con suavidad a través de la compuerta y no hay pérdidas:
a) ¿Cuál es el número de Froude, F¡, del flujo aguas arriba?
b) Demuestre que el flujo aguas abajo de la compuerta es supercrítico
Solución A partir de la conservación de la masa
V¡Y¡W = V2Y2W
Siempre es conveniente adimensionar las ecuaciones. Al multiplicar y dividir el lado izquierdo de ecuación de la continuidad por ~gY¡ y el lado derecho por ~gY2 se obtiene
V¡
CV
V2
CV
cv
YI..¡gY¡ = cv Y2..¡gY2
..¡gY¡
..¡gY2
Esto es
F,' = F,,( ~:
J
(11.20)
Para encontrar FI , es necesario conocer algo de F 2 . Puesto que no hay pérdidas, la ecuación de Bernoulli se puede usar en la superficie. Esto puede parecer algo forzado, pues una
línea de corriente en la superficie toma dos esquinas agudas y está en contacto con la superficie sólida. Estas fuentes de errores potenciales se pueden minimizar si la línea de corriente se toma a una distancia pequeña bajo de la superficie para casi coincidir con la línea
¡'---R
Densidad p
-
FIGURA 11-18
x
Compuerta parcialmente abierta.
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RESUMEN
381
de corriente de superficie. Se procederá suponiendo que se puede usar la ecuación de Bernoulli a lo largo de la línea de corriente. Entonces
~V¡ 2 + gY¡ = ~V} + gY2
Al dividir entre g Y¡ para adimensionalizar, se tiene
.1 V/ + 1 = .1 V} Y 2 + Y 2
Y¡
2 gY¡
2 gY Y¡
2
Esto es
Si para eliminar F 2 se usa la ecuación de continuidad (ecuación 11.20)
y al reordenar términos se obtiene
Puesto que Y 2 = Y¡ /2
F =-
1
¡ .J3
Además de la ecuación 11.20 se tiene
F2 ;;'F2(~J3
= ~83
Y
2
¡
2
de manera que el número de Froude aguas arriba es subcrítico y el de aguas abajo, super•
crítico.
EJEMPLO 11.2 Fuerza sobre una compuerta
Para la compuerta de la figura 11-18 calcule la fuerza necesaria para mantener la compuerta fija. Exprese el resultado en forma adimensional.
Solución En la figura se muestra la fuerza necesaria que actúa en la dirección negativa
de x para mantener fija la compuerta. Por lo tanto, la fuerza que el fluido ejerce sobre la
compuerta es R, y la fuerza que se aplica sobre el fluido, - R. También se tiene la fuerza debida a las diferencias de presión hidrostática, semejante a la que considera en el análisis del
salto hidráulico (sección 11.6). La componente x de la ecuación de cantidad de movimiento da
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"
382
CAPíTULO 11
FLUJO EN CANALES ABIERTOS
-R +pgY/W
2
donde se ignora la fricción. Dividiendo entre p V¡2 Y¡ W y sustituyendo por V2 de la ecuación de la continuidad
Reagrupando términos se tiene
R
1 (
Yl) (
Y¡)
pV/Y¡W = 2F¡2 1- y¡2 + 1- Y
2
•
EJEMPLO 11.3 Flujo sobre un bordo
En un canal abierto de anchura constante fluye agua de izquierda a derecha, como ilustra la
figura 11 -19. El flujo se vuelve supercrítico conforme pasa sobre un bordo de altura H y
así se mantiene cierta distancia aguas abajo, alcanzando un número de Froude máximo de
1.83 en la sección 3. Entonces se vuelve subcrítico mediante un salto hidráulico.
a) Encuentre la profundidad adimensional del agua en la garganta (Y2IY¡).
b) Encuentre la altura adimensional del bordo (= H I Y¡).
e) Encuentre la profundidad adimensional del agua antes del salto hidráulico
(= Y 3 IY¡).
d) Encuentre la profundidad adimensional del agua después del salto hidráulico
(= Y4 IY¡).
Solución Para el inciso a) se usa la conservación de la masa
V; Y¡
V2Y 2
Al adimensionalizar, como se ha hecho varias veces, se obtiene
=
F,' = F,,(~: J
Ahora F¡
(11.21)
= 0.5 Y F 2 = 1, así
Y 2 =0.63
Y¡
Para el inciso b) se puede usar la ecuación de Bemoulli a lo largo de una línea de corriente
superficial en la región donde no hay pérdidas. Entre las secciones 1 y 2
F , = 0.5
FIGURA 11-19
F, = 1.0
FJ = 1.83
Flujo sobre un bordo.
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RESUMEN
383
Dividiendo la ecuación entre g Y¡ , para adimensionalizar.
y
y
H
lF 2 +1 =l F 2 -.2+-.2 + _
2¡
22y
¡
Y¡
Y¡
Por lo tanto
3 Y2
H
1.125 = - +2 Y¡
Y¡
y
H
- = 0.180
Y¡
Para el inciso e) de nuevo se puede usar la ecuación de continuidad, esta vez entre las secciones 1 y 3.
F,' =F,,( ~: J
Dado que F¡ =:= 0.5 y F3 = 1.83,
Y3 = 0.421
Y¡
Para el inciso d) se usa la relación para salto hidráulico, ecuación 11 .9.
4
Y
Y3
= ~(~1+8Fl-1)=
2.136
2
Así
•
EJEMPLO 11.4 Salto hidráulico en movimiento
En un canal rectangular con profundidad de 1 pie fluye agua a una velocidad de 10 pie/s.
Cuando de repente se cierra una compuerta en el extremo final del canal, un oleaje viaja
aguas arriba a una velocidad Vb , como indica la figura 11 -20. Encuentre Vb cuando la profundidad del agua detrás del oleaje es de 3 pie.
Solución Para usar la relación del salto hidráulico (ecuación 11.9), es necesario moverse en un marco de referencia donde el flujo sea permanente, 10 cual se logra moviéndose
con el oleaje. En relación con el oleaje, la velocidad de entrada del agua es Vb + 10 pie/s, y
el número de Froude de entrada, F ¡ , está dado por
Vb +10
F¡=--¡:::::.==
~32.2x1
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384
cAPiTULO 11
FLUJO EN CANALES ABIERTOS
1 pie
10 pie/s -..--.,....-----~_:_4-_.::
. f'-,"'l
FIGURA 11-20
Oleaje que viaja aguas arriba en un río.
donde Vb está en pie/s. A partir de la relación del salto hidráulico
2=!(~1+8F¡2 - 1)
Y
Y¡ 2
se tiene
Entonces
8 (Vb + 10) = 48
-J32.2
y
Vb = 3.90 pie/s
•
PROBLEMAS
11.1 ¿Cuál es la velocidad de propagación de una perturbación pequeña en un estanque de baja
profundidad?
11.2 Considere una onda gravitatoria de amplitud pequeña que se mueve a una velocidad cm de izquierda a derecha en un estanque poco profundo, y, como muestra la figura P 11-2. El agua del
estanque se desplaza de derecha a izquierda a una velocidad U. Encuentre la velocidad de la
onda cm en términos de y y U, estableciendo con claridad todas las aproximaciones ¿Qué pasa
cuando el número de Froude basado en y y U es igual a uno?
u
y-
FIGURA P11-2
11.3 Escriba la ecuación para la velocidad de una onda gravitatoria de amplitud pequeña en agua
poco profunda. Úsela para describir cualitativamente la formación del rompimiento de una
ola en la playa. ¿Cómo afecta a la formación de una ola la pendiente de la playa?
ov,
11.4 Para encontrar la velocidad inducida,
para una onda gravitatoria de longitud pequeña no
es suficiente el análisis lineal. Si se repite el análisis de la sección 11.2, sin linealización, demuestre que
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PROBLEMAS
385
11.5 Señale un mecanismo por el cual un flujo en canal abierto se puede hacer supercrítico y un
mecanis::1O por el que se haga subcrítico.
11.6 Escriba la definición del número de Froude. Proporcione dos interpretaciones fisicas de su
significado .
11.7 Cuando un flujo en canal abierto entra en un estrechamiento suave, el nivel del agua cae.
¿Qué se puede decir del número de Froude aguas arriba?
11.8 Determine la profundidad mínima en un canal rectangular de 3 m de anchura si el flujo es subcrítico para un gasto de 30 m 3/s.
11.9 Considere el flujo unidimensional en canal abierto de la figura P 11-9.
a) Usando el principio de la continuidad y la ecuación de Bemoulli demuestre que
dy
dx
b)
1 dh
F2-idx
donde F es el número de Froude local.
Discuta las implicaciones de este resultado para un flujo subcrítico en todas partes, un
flujo supercrítico en todas partes y para F = 1en la sección 2.
--.¡-----
Sección 1
Sección 2
FIGURA P11-9
11.10 Un canal rectangular tiene un estrechamiento que cambia su anchura con suavidad hasta un
mínimo de 1.5 pie (la garganta). Si el flujo en la garganta es crítico, encuentre el flujo volumétrico cuando la profundidad en la garganta es de 1.5 pie.
11.11 En un canal abierto de anchura constante fluye agua sobre un bordo de l pie de altura, como
ilustra la figura P11 -ll . ¿Cuál es la profundidad del agua Y2? Suponga flujo uniforme sin pérdidas.
VI = lO piels
--
t
10 pie
t 1 pie
FIGURA P11-11
11.12 En un canal de anchura constante fluye agua suavemente sobre un bordo pequeño, como
muestra la figura PIl -12. La velocidad puede considerarse constante en cualquier sección
transversal sobre el área completa. Si V; es la velocidad en la entrada, donde la profundidad es
Y¡ y V2 es la velocidad donde el bordo tiene su altura máxima, donde la profundidad es Y2 , encuentre el número de Froude para el flujo en la entrada y para el fluj.o en la cresta del bordo, .
cuando Y/ Y2 = 1.8.
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386
CAPíTULO 11
FLUJ O EN CANALES ABIERTOS
Superficie del agua
f:~,t: -_. . .
FIGURA P11-12
11.13 Sobre un objeto sumergido de altura H fluye agua con suavidad en un canal como ilustra la figura Pll -13. La profundidad del agua en la cresta del objeto es Y2 , donde Y2 = Y/3.
a) Encuentre el número de Froude a la entrada, F" cuando el número de Froude es la unidad
en el punto donde la profundidad es Y2•
b) Encuentre la altura adimensional del obstáculo, H / Y,.
FIGURA P11-13
11.14 Sobre un bordo fluye agua suavemente en un canal, como describe la figura Pl1-14. Si
H 2 / HI = 1/4, encuentre los números de Froude de entrada y salida, F, y F 2•
V,
V2
FIGURA P11-14
11.15 Para el flujo de la figura Pll -15:
a) Encuentre el número de Froude en la sección 1, donde el agua sale del tanque.
b) Encuentre la profundidad del agua en la sección 2 en términos de h, y ~, cuando el número de Froude en la sección 2 es uno.
FIGURA P11-15
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PROBLEMAS
387
11.16 Una transición suave conecta dos canales de la misma anchura, como muestra la figura
P 11-16. La profundidad del agua disminuye de modo que la proporción entre las profundidades aguas abajo yaguas arriba es Y/Y, = 0.5. Si el número de Froude aguas arriba es F, =
0.35, determine el número de Froude aguas abajo, F2, y la razón h/ h
y¡t
VI _
F
ty,
t~~====+h'
f
FIGURA P11-16
___
stra la fi-
~----¡-
¡ __
la unidad
11.17 Una salida de anchura H permite que fluya agua desde un tanque grande hasta un canal de la
misma anchura, como describe la figura P 11-17. La profundidad del agua H en el tanque se
mantiene constante y es grande comparada con h" donde h, es la profundidad del agua en la
salida. Conforme el agua fluye con suavidad sobre un bordo de altura b, la profundidad aumenta de manera que la razón h) h¡ = 4. No hay pérdidas. Demuestre que el número de Froude F, es supercrítico. Use las ecuaciones de Bemoulli y de continuidad para calcular los
valores numéricos de F, y la razón b/ h;
1
H
1
~
h,
11-14. Si
V¡ _
t
./
<,
p,
lb
s,
¡;
I
FIGURA P11-17
11.18 Una transición suave conecta dos canales rectangulares, como muestra la figura P 11-18. La
anchura del canal aumenta de B, a B2 y la elevación de la superficie del agua es la misma en
cada canal. Si la profundidad del flujo aguas arriba es H, determine h, la cantidad que el lecho
del canal necesita ser elevado a través de la sección de transición para mantener la misma elevación de la superficie.
Vista
de planta
el núrneVista
lateral
FIGURA P11-18
11.19 Considere el flujo permanente de agua en un canal en el estrechamiento suave que muestra la
vista en planta de la figura PI1-19. En la posición 11a profundidad es Y" y la anchura, B,. Se
puede suponer que B, es mucho mayor que B2 y B3, la anchura del canal en las posiciones 2 y
3, respectivamente. Se observa un salto hidráulico entre las posiciones 3 y 4, donde la profundidad aguas arriba Y3 = Y/3. Suponga flujo unidimensional y que F, < l.
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388
CAPiTULO 11
FLUJO EN CANALES ABIERTOS
Encuentre Y2, la profundidad en la posición 2, en términos de Y¡.
Encuentre F 3, el número de Froude en la posición 3.
Encuentre Y4, la profundidad justo aguas abajo del salto hidráulico, en términos de Y¡.
Encuentre F4 , el número de Froude justo aguas abajo el salto hidráulico.
Encuentre F s' el número de Froude en la salida, dado que Ys = 1.1 Y4 .
a)
b)
e)
d)
e)
2
3
I
I
4
5
I
I
I
I
,
-,-------------~---
iI
I
'
-......,.. .
I
I
'Salida
Posición del salto
hidráhulico
Vista en planta
FIGURA P11-19
11.20 Considere el flujo permanente de agua en canal en el estrechamiento suave que ilustra la vista
en planta de la figura P 11-20. En la posición 1 la profundidad es Y¡, la anchura B¡, y el número
de Froude F¡ = 4. Se usa una nomenclatura similar en las posiciones 2, 3 Y 4. Se observa un
salto hidráulico justo aguas abajo de la posición 2, donde el número de Froude F2 = 2. Se puede suponer flujo unidimensional.
a) Encuentre Y2 , la profundidad en la posición 2, en términos de Y¡.
b) Encuentre Y3, la profundidad justo aguas abajo del salto hidráulico, en términos de Y¡.
e) Encuentre F 3, el número de Froude justo aguas abajo del salto hidráulico.
d) Encuentre F4 , el número de Froude en la salida, dado que Y3 / Y4 = 1.2.
e) Encuentre B4 1B¡.
CD
B,
2
3
F, =4
Vista en planta
FIGURA P11-20
11.21 Obtenga la ecuación 11.8 con las ecuaciones de continuidad y de cantidad de movimiento
para un salto hidráulico indiVijUal (ecuaciones 11.6 y 11.7), donde F¡ es el número de Froude
aguas arnba, esto es, F¡ =U/ gH¡ .
11.22 Obtenga la ecuación 11.13 para el flujo bidimensional en un canal mediante la definición de
la constante de Bernoulli (ecuación 11 .11), la ecuación de la continuidad (ecuación 11.10) Y
la relación del salto hidráulico (ecuación 11.9).
11.23 La profundidad del agua aguas arriba de un salto hidráulico estacionario es de 1 m, mientras
que después del salto es de 2 m. Encuentre las velocidades aguas arriba yaguas abajo y los números de Froude.
11.24 La profundidad del agua en un canal rectangular es de 1.5 pie. El canal tiene 6 pie de ancho y
lleva un flujo volumétrico de 200 pie 3/s. Encuentre la profundidad del agua después del salto
hidráulico.
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PROBLEMAS
389
11.25 Dibuje y rotule un salto hidráulico (en un canal de anchura constante).
a) Indique las regiones de flujo sub crítico y supercrítico.
b) ¿Qué pasa con la constante de Bernoulli a través del salto?
e) Escriba la relación entre las profundidades aguas arriba yaguas abajo del agua y el número de Froude aguas arriba.
d) Desarrolle una relación entre las profundidades aguas arriba yaguas abajo del agua y el
número de Froude aguas abajo.
e) Un rompiente se mueve a 5 mis hacia un estuario con profundidad de 1 m, donde el agua
sale al mar a 1 mis. Encuentre la profundidad del agua detrás del rompiente.
11.26 Un rompiente se mueve a 10 pie/s hacia una zona de profundidad 2 pie donde la velocidad es
cero. Encuentre la profundidad del agua detrás del rompiente.
11.27 Un oleaje se mueve con una velocidadUb hacia un canal de profundidad Y1, como muestra la
figuraPll-27. CuandoUb =~3gYI> encuentreU2 l U b •
-u,
FIGURA P11-27
11.28 Un oleaje se mueve a 10 mis aguas arriba hacia un río, el cual se mueve aguas abajo a2 mis. El
río tiene una anchura constante y una profundidad de 2 m. Encuentre la velocidad del flujo del
río aguas abajo del oleaje.
11.29 Un oleaje marino se mueve a 5 mis hacia un estanque de 1 m de profundidad. ¿Cuál es la profundidad del agua detrás del oleaje?
11.30 Considere un oleaje que viaja a 6 mis hacia un estanque con profundidad de 1.5 m. Calcule la
profundidad del agua detrás del oleaje.
11.31 Un rompiente se mueve a 9 pie/s hacia un estanque con profundidad de lA pie donde la velocidad es cero. Calcule la profundidad del agua detrás del rompiente y la velocidad inducida
detrás del rompiente (esto es, la velocidad aguas abajo del rompiente en un marco de referencia estacionario).
11.32 Demuestre que la pérdida de carga en un salto hidráulico se puede expresar como
'd·d d
(Y2 - y¡) 3
per
1 a e carga = - - ' = - - - - ' 4Y¡Y2
donde Y1y Y2 son las respectivas profundidades aguas arriba yaguas abajo del salto. La pérdida de carga es la diferencia entre los valores aguas arriba yaguas abajo de la constante de Bernoulli y tiene las dimensiones de longitud.
11.33 Un chorro de agua circular incide sobre una placa plana como indica la figura Pll-33 . El agua
se esparce de igual forma en todas las direcciones y en la sección 1, el flujo es en esencia uniforme sobre la profundidad Y1• La velocidad de salida del chorro, V , es de 10 mis y el diámetro
de la salida, D, es de 10 mm. Si R = 8D Y Y1 = D I 4,
a) Encuentre el número de Froude del flujo en la sección l.
b) Si en la sección lse forma un salto hidráulico circular, calcule la profundidad del agua
después del salto mediante la relación unidimensional del salto hidráulico ¿En qué condiciones se puede mejorar la aproximación de este cálculo?
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390
CAPíTULO 11
FLUJO EN CANAL ES ABIERTOS
Salto
hidráhulico
Sección 1 circular
profundidad
=Y¡\
FIGURA P11-33
11.34 Un flujo bidimensional en un canal fluye con suavidad sobre un bordo pequeño, como muestra la figura PII-34.
a) Si el número de Froude en la sección 2 es igual a uno (F2 = 1), calcule Y2 / Y¡ en términos
deF¡ y H / Y¡b) Si Y)/ Y¡ = 0.5 , encuentre F ) en términos de F¡.
e) Si F ) = '.J3, calcule Y4 / Y¡ de manera que frente a la barrera se forme un salto hidráulico.
FIGURA P11-34
11.35 Considere el flujo permanente de agua bajo la compuerta de la figura PII-35. Las velocidades del flujo en las secciones 1,2 y 3 son independientes de la profundidad y las líneas de corriente son paralelas.
a) Demuestre que para h2 < h¡, el flujo en la sección 2 siempre es supercrítico. Suponga que
el flujo entre las secciones 1 y 2 se da sin pérdidas.
b) Entre las secciones 2 y 3 se forma un salto hidráulico estacionario. Si h2 / h¡ = 0.5, calcule
h)/ h2.
Sección
1
FIGURA P11-35
11.36 En un canal de anchura constante fluye agua como ilustra la figura P 11 -36. El número de
Fronde aguas arriba es F¡ = 0.5. En el punto donde el agua pasa sobre un bordo de altura H , el
número de Froude vale uno (H = Y/ 4).
a) Encuentre la razón de profundidades Y2 / Y¡.
b) Dado que el salto hidráulico sucede aguas abajo del bordo de modo que Y4 / y) = 8, calculeY) Y¡.
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PROBLE MAS
391
H
FIGURA P11-36
11.37 Una transición suave conecta dos canales rectangulares. En la dirección del flujo la anchura
del canal aumenta de B¡ a B 2 y la elevación de la superficie del agua disminuye de manera que
la razón entre las profundidades aguas abajo yaguas arriba es Y2 / Y¡ = 0.5.
a)
b)
Si el número de Froude aguas arriba es F¡ = l.5, encuentre el número de Froude aguas
abajo F 2, y la razón B 2 / B¡.
Si en el canal aguas abajo de la expansión ocurre un salto hidráulico estacionario, determine Y3 , la profundidad aguas abajo del salto en términos de Y¡.
11.38 Considere el flujo permanente en el estrechamiento suave que describe la vista en planta de la
figura PII-38. En la posición 1 la profundidad es Y¡, la anchura B¡ y el número de Froude es
F ¡ = 1I.J2. Una notación semejante se usa para las posiciones 2, 3 y 4. Justo aguas abajo de la
posición 3 se observa un salto hidráulico, donde la profundidad Y3 = Y¡l4. Se puede suponer
flujo unidimensional.
a)
b)
e)
Calcule F 3, el número de Froude en la posición 3 (valor numérico).
Calcule B 3 , la anchura del canal en la posición 3 en términos de BI'
Encuentre Y4 , la profundidad del agua en la posición 4, aguas abajo del salto hidráulico,
en términos de Y¡.
3
4
FIGURA P11-38
11.39 Considere el flujo de agua permanente sin fricción a través del estrechamiento de la figura
PI1 -39. En la posición 1 la profundidad es Y¡ , la velocidad V¡ y el número de Froude
F¡ = V¡/
Una nomenclatura similar se usa para las posiciones 2 (la garganta), 3 y 4. Se
puede suponer flujo unidimensional.
.jiY";.
a)
b)
e)
d)
Si Y¡ > Y2 > Y3, ¿es F I supercrítico o subcrítico? ¿F3 es supercrítico o subcrítico?
Si Y¡ < Y2 Y Y3 < Y2, ¿F¡ es supercrítico o subcrítico? También, ¿F3 es supercrítico o subcrítico?
Dado que Y2 / Y¡ = 0.75 Yque Y3 < Y2, calculeF¡ y B 2 / BI (estas respuestas son numéricas).
¿Cuál es el valor más pequeño para Y2 / Y¡ que se puede admitir para F2 = 1?
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392
CAPíTULO 11
FLUJO EN CANALES ABI ERTOS
FIGURA P11-39
11.40 Desde un recipiente grande se emite agua en forma de chorro con anchura W y profundidad Y¡,
como muestra la figura Pll-40. El área de la sección transversal A del tanque es mucho más
grande que la del chorro, WY¡, Y su profundidad H mucho mayor que Y¡.
a) Calcule el número de Froude, F¡, a la salida y demuestre que F¡ > 1
b) Demuestre que Y2, la profundidad en la cresta del bordo de altura h, está dada por la solución de
Anote con cuidado todas sus suposiciones.
/ÁreaA
Pa .(.n
Il------"-.....¡j
T
H
1
Y,
-
!
¡
\... h = Altura del
bordo
FIGURA P11-40
11.41 A través del estrechamiento fluye agua sin fricción. El canal y el perfil de la superficie se ilustran en la figura Pll -41.
a) ¿En la sección 1 el número de Froude es subcrítico o supercrítico?
b) Dado que Y2 / Y¡ = 2y B 2 / B¡ = 0.6, calcule el
número de Froude en la sección 2 (valor numérico).
e) Si hubiera un salto hidráulico aguas abajo de
la sección 2, ¿cuál sería la altura del salto en
términos de Y¡?
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~Ianta
ft~'v,
v;1
V, 8 ,
Superficie del agua
Vista lateral
Y,
FIGURA P11-41
PROBLEMAS
3S3
11.42 Para el flujo que describe el problema anterior calcule la fuerza FH que el agua ejerce sobre el
canal. Use las ecuaciones de continuidad y de cantidad de movimiento para encontrar el coeficiente adimensional de la fuerza, FH/ (pgBl/), en términos del número de Froude a la entrada y las razones de longitud Y2 / Y, Y B 2 / B,.
11.43 El flujo en un canal abierto de anchura constante W fluye sobre una obstrucción pequeña,
como indica la figura PI1.43. Demuestre que
-R
p U tWh¡
_ h¡
h2
1 2F/1 (1
hi J
h¡2
donde R es la fuerza que el fluido ejerce sobre la obstrucción, p es la densidad y F, el número
de Froude del flujo a la entrada. Ignore las fuerzas viscosas en el piso del canal.
u,
R
FIGURA P11-43
11.44 Para el flujo en el estrechamiento suave que muestra la vista en planta de la figura PII -44, la
profundidad del flujo de entrada es Y" y la profundidad del flujo de salida, Y2. El flujo alcanza
el número de FroUde crítico en la garganta. Si el número de Froude aguas arriba es mucho menor que la unidad, demuestre que:
a) Y2 / Y, "" 2/3
b)
Fv
~pgY,2B,
=l_i B 2
3 B,
donde Fv es la fuerza que actúa en las paredes del estrechamiento, y Bl YB 2 son la anchura del
canal aguas arriba yaguas abajo, respectivamente. Ignore las fuerzas viscosas.
Vista en planta del estrechamiento
Vista lateral del estrechamiento
FIGURA P11-44
11.45 Sobre un bordo de altura h en el fondo de un canal de anchura constante W fluye agua con suavidad, como muestra la figura Pll-45. Si la profundidad aguas arriba es Y" el número de
Froude aguas arriba, F" es 0.7 y Y/Y2 = 2, calcule:
a) ¿El número de Froude aguas abajo, F2 , es supercrítico?
b) La magnitud y dirección de la fuerza que el fluido aplica sobre el bordo en términos de g,
W,hyY,.
e) Si el flujo es subcrítico en todas partes, calcule otra vez la fuerza que actúa sobre el bordo.
d) Si un salto hidráulico se localiza aguas abajo del bordo (y F, es 0.7 otra vez), calcule el
número de Froude del flujo aguas abajo del salto.
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394
CAPiTULO 11
FLUJO EN CANALES ABIERTOS
Pa
FIGURA P11-45
11.46 En un canal abierto de anchura W fluye agua en régimen pennanente, como indica la figura
PII -46, y pasa con suavidad sobre un bordo de altura h. Al principio, el número de Froude es
F, = 0.5 Yla profundidad del agua, Y,. La profundidad del agua disminuye hasta una profundidad Y2 sobre el bordo y luego continúa disminuyendo aguas abajo del bordo hasta una profundidad Y3.
a) ¿Cuánto vale el número de Froude F 2?
b) Use las ecuaciones de Bemoulli y de continuidad para calcular el valor numérico de
Y2 IY, y de hIY,.
e) Si Y3 IY, = 0.422, encuentre el valor numérico · del coeficiente de arrastre C D =
D I(pgWY,21 donde D es la fuerza horizontal que el fluido ejerce sobre el bordo, p la
densidad del agua y g la aceleración de la gravedad; ignore la fricción.
D
FIGURA P11-46
11.47 Considere el flujo de agua pennanente en un canal abierto de anchura constante, W, como
ilustra la figura PII-47. Una placa deflectora se encarga de acelerar el agua hasta una velocidad supercrítica. En la posición 1 la profundidad es Y" y el número de Froude F, = 0.2. En la
posición 2la profundidad es Y 2 y el número de Froude F 2 = 3.38. Suponga flujo unidimensional.
a) Encuentre la razón Y2IY, en dos fonnas diferentes (valor numérico).
b) Encuentre la razón adimensional2RI pg Y,2W, donde R es la fuerza que la placa deflectora aplica sobre el fluido, en ténninos de Y2IY" F, YF2.
---.F 2
FIGURA P11-47
11.48 En un canal abierto de anchura constante fluye agua en régimen pennanente sobre un vertedero, como muestra la figura PII-48. La velocidad del agua, aguas arriba del vertedero, es V, el
número de Froude es F y la profundidad es h. Lejos del vertedero aguas abajo la profundidad
es h l 4.
a) Encuentre la fuerza horizontal por unidad de anchura que actúa sobre el vertedero en términos de V, h, g y la densidad p. Ignore la fricción.
b) Existe un salto hidráulico aún más lejos aguas abajo . Encuentre la profundidad del agua
aguas abajo del salto en ténninos de F y h.
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PROBLEMAS
395
FIGURA P11-48
11.49 En un canal abierto bidimensional fluye agua con suavidad en régimen permanente sobre un
obstáculo sumergido de altura H y anchura W, como indica la figura P11-49. El flujo sobre el
pico del obstáculo se hace crítico en el punto donde la profundidad es Y2, donde Y2 = Y/3.
a) Calcule F" el número de Froude del flujo de entrada.
b) Encuentre H I Y" la altura adimensional del obstáculo.
e) Calcule la fuerza resultante que actúa en el obstáculo en términos de p, g, W Y Y" dado
que Y3 /Y, = 0.165.
FIGURA P11-49
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12
FLUJO COMPRESIBLE
CAPÍTULO
12.1 INTRODUCCiÓN
Para demostrar por qué la compresibilidad de los fluidos es importante, considere un pistón en un tubo largo, recto, lleno de gas (figura 12-1). Al principio el pistón y el gas están
en reposo. Si de repente el pistón empieza a moverse a una velocidad constante, ¿qué le
pasa al fluido? El fluido en contacto con el pistón se empieza a mover cuando éste lo hace,
pero ¿qué pasa con el fluido más alejado en el tubo? Si el fluido fuera incompresible, el gas
se comportaría como un cuerpo sólido y la masa completa del fluido se movería con el pistón. Tan pronto se mueve el pistón, todo el fluido en el tubo deberá moverse a la misma velocidad, incluso el fluido alejado del pistón. En otras palabras, el efecto del movimiento
del pistón deberá viajar a través del gas a una velocidad infinita.
Los fluidos reales no se comportan así, dado que son compresibles. Cuando el pistón
empieza a moverse, el gas cercano a éste se empieza a comprimir (el gas que está lejos aún
no empieza a moverse, de modo que el gas cercano empieza a comprimirse hasta un volumen más pequeño), luego el que está un poco más alejado y así en forma sucesiva. El movimiento del pistón se propaga a través del tubo como una onda de presión a una velocidad
finita.
Es posible identificar el "frente" entre el gas comprimido y el gas sin perturbar, así
como medir la velocidad a la que viaja. Si la perturbación de presión que causa el movimiento del pistón es pequeña comparada con la presión atmosférica, este frente de compresión viaja a la velocidad local del sonido (las ondas sonoras no son más que ondas
de presión débiles). De hecho, la evidencia más común de la compresibilidad de los fluidos es la propagación de las ondas sonoras si un fluido fuera en verdad incompresible, las
ondas sonoras no podrían viajar a través de ellos. En contraste, si las perturbaciones de
presión que causa el movimiento del pistón no son pequeñas, aparecerán las ondas de choque. Una onda de choque es una región muy delgada donde la velocidad, presión, temperatura y densidad cambian en forma significativa. La onda de choque que se forma en un
tubo es plana y viaja en el gas a una velocidad cuyo valor está entre la velocidad del sonido
en el gas sin perturbar y la velocidad del sonido en el gas comprimido.
Todos hemos escuchado algo acerca de las ondas de choque: los truenos que acompañan los relámpagos, el estruendo que produce una explosión y el chasquido de un látigo,
son ejemplos de ondas de choque. Por experiencia se sabe que las ondas de choque producen cambios rápidos de presión. De hecho, con frecuencia estas ondas producen cambios
tan rápidos, que se dice que suceden "discontinuamente". Por ejemplo, una explosión genera aumentos muy intensos de presión y temperatura y la perturbación de la presión viaja
como una onda de choque. En este caso, la onda de choque es esférica y pierde fuerza conforme avanza, de modo que el salto de presión a través de la onda disminuye con la distancia. Cuando una bala sale del cañón, por la boca se expele un gas caliente a alta presión,
que también genera una onda de choque esférica. En general, la bala por sí misma viaja a
396
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12.1 INTRODUCCiÓN
397
p=p,
1= O
Eu=u " p>p,
f
p=p, .
1>0
FIGURA 12-1 El movimiento de un pistón en un tubo con gas produce una perturbación de presión , la
cual viaja a una velocidad finita .
velocidades supersónicas (o sea, a una velocidad mayor que la velocidad del sonido en el
gas sin perturbar), y su movimiento genera ondas de choque. De hecho, siempre que un
cuerpo de tamaño finito viaje a través de un gas a velocidades supersónicas, aparecerán las
ondas de choque. Por ejemplo, el chasquido de un látigo es una evidencia audible de
la onda de choque que produce el movimiento supersónico de su punta, como muestra la
figura 12-2.
El tema central de este capítulo es el flujo de gases a alta velocidad donde los efectos
de la compresibilidad son importantes así como el análisis del comportamiento de las ondas de choque y otros fenómenos de las ondas que ocurren cuando los cuerpos viajan a velocidades supersónicas .
FIGURA 12-2 Esta secuencia fotográfíca demuestra que el movimiento de la punta de un látigo produce
ondas de choque que en cada fotografía se visualizan como líneas delgadas cerca de la letra S. La velocidad de la punta es de 1400 pie/s , en comparación con la ve locidad del sonido que es de 1100 pie/s. Cortesía del Naval Research Laboratory.
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398
cAPiTULO 12
M <I
-~
V
~
FLUJO COMPRESIBLE
M=I
M >I
@
~
~
FIGURA 12-3 Patron es de onda que produce una perturbación puntual: a) U < a (subsónico), b) U = a
(sónico), e) U >a (supersónico).
12.2 PROPAGACiÓN DE LA PRESiÓN EN UN FLUIDO EN MOVIMIENTO
La propagación de las ondas sonoras en flujos a alta veloc idad presenta diversas semejanzas con respecto a las características de la propagación de las ondas gravitatorias de amplitud pequeña que se examinaron en el capítulo 11. Por ejemplo, imagine que de repente un
sólido se coloca en un flujo subsónico de aire (figura 12-3a). La presencia del sólido crea
perturbaciones de presión que se alejan del cuerpo a la velocidad del sonido (mientras que
las ondas de presión sean pequeñas). Debido a la transmisión de las ondas de presión, el
resto del flujo detecta la presencia del cuerpo, de la misma manera que el pescador en la
sección 11 .2 detecta la presencia de una fuente de ondas por el oleaje que viaja sobre la superficie del agua.
Un parámetro importante es el número de Mach, M, que se define como la razón entre
la veloc idad promedio del fluj o, V, respecto a la velocidad del sonido, a. Es decir
V
M=a
En un flujo subsónico (M < 1), las ondas de presión influyen en el campo de flujo completo, lo cual expli ca por qué el flujo a cierta distancia aguas aniba del cuerpo se ajusta a la
presencia del cuerpo: "sabe" que el cuerpo está ahí porque las ondas de presión transmiten
la información que anuncia su presencia. En un cilindro, esta distancia es del orden de 10
diámetros. En términos matemáticos, el campo de flujo es "elíptico", lo cual significa que
todas las partes del fluido se afectan por todas las otras partes, ya que la información se
transmite libremente a través del campo de flujo.
Si el cuerpo se ubicara en un campo de flujo sónico (M = 1), las ondas de presión viajarían a la velocidad del sonido, pero también el flujo las balTería aguas abajo a la misma
velocidad (figura 12-3b). Todas las ondas se juntan a lo largo de una línea normal a la dirección del flujo y el flujo coniente aniba del cuerpo nunca siente la presencia del cuerpo.
El flujo ya no se ajusta a la presencia del cuerpo de manera gradual, sino repentina.
Cuando el fl ujo es supersónico (M> 1), las ondas de presión todavía viajan a la velocidad del sonido, pero son banidas coniente abajo a una velocidad aún mayor, de manera
que se aglomeran en una región de forma angulada (figura 12-3c). Sólo el flujo dentro de
esa región siente la presencia del cuerpo. El ángulo que forma la envolvente de las ondas
es a M' donde
sena M
1
M
=-
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(12.1)
12.2 PROPAGAC iÓN DE LA PRESiÓN EN UN FLUIDO EN MOVIMIENTO
allt
sena= a
F:1GURA 12-4
Vllt
399
1
=M
Patrón de ondas para números de Mach supersónicos.
(figura 12-4). El ángulo a M se llama ángulo de Mach y es el ángulo que una onda de presión débil forma con la dirección del flujo en un flujo supersónico. La onda de presión débil suele denominarse onda de Mach.
Si el cuerpo es de tamaño finito, las perturbaciones que generará ya no serán pequeñas. A velocidades supersónicas, el flujo no se puede ajustar a su presencia en forma gradual y es necesario un ajuste repentino de presión (una onda de choque) para que el flujo
pase sobre el cuerpo. La figura 12-5 ilustra los patrones de onda de choque que produce
una esfera que se mueve con un número de Mach de 4.01. Un fenómeno semejante ocurre
en los flujos en canales abiertos para un número de Froude crítico (F = 1), cuando una obstrucción de tamaño finito forma un cambio repentino en el nivel del agua, llamado salto hidráulico.
FIGURA 12-5 Patrones de ondas de choque que forma una esfera de 0.5 pulg en vuelo libre en aire atmosférico a un Mach de 4.01. Corriente arriba de la esfera se forma una onda de choq ue fuerte. La separa-
ción de la capa límite justo después del ecuador se acompaña de una onda de choque débil y se forma una
segunda onda de choque cerca del punto donde se juntan las capas corta ntes. Cortesía de A. C. Charters.
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400
CAPíTULO 12
FLUJO COM PRESIBLE
Para un cuerpo en un flujo sónico, la onda de choque que se forma frente al cuerpo está
en ángulos rectos respecto a la dirección del flujo y se llama onda normal. Para un flujo supersónico, la onda se inclina respecto a la dirección del flujo y se llama onda oblicua. 1 En
ocasiones es posible escuchar ondas de choque cuando un avión vuela justo encima a velocidades sónicas o supersónicas. Si se tuvieran los ojos cerrados, el primer indicio de la presencia del avión es el paso de su onda de choque. Las ondas que genera el avión llegan
hasta después de que el avión pasa por encima, pues la fuente del sonido viaja a una velocidad mayor que la del sonido. Si se ha tenido esta experiencia, también se sabe que la onda
de choque es una perturbación de presión grande, e incluso a distancias considerables del
avión, el estruendo sónico suele ser muy molesto. De hecho, el salto de presión puede ser
tan grande que el aumento de presión, que actúa en el área de un ventanal puede causar que
se rompa. Más adelante, en la sección 12.11 , se consideran los campos de onda que generan los vehículos supersónicos.
12.3 REGíMENES DE FLUJO
Se supone que un flujo es incompresible si el número de Mach es muy pequeño, mientras
no interesen los mecanismos de propagación del sonido. A medida que el número de Mach
aumenta, en un momento dado los efectos compresibles se hacen importantes. ¿A qué número de Mach sucede esto? En la sección 1.3.6 se sugirió que los cambios de densidad debidos a las variaciones de velocidad del flujo se pueden despreciar, mientras que la presión
dinámica sea pequeña en comparación con la presión estática. Así
[.1
2
V2
pV )
M2=-=2
_2__
a2
yp
de modo que el número de Mach depende de la razón entre la presión dinámica y la absoluta. Si en la densidad se considera tolerable un cambio de 1% y la temperatura permanece
constante, el cambio correspondiente de presión es de 1%.2 Esto requiere que ~ p V 2 <
0.01 , así que a nivel del mar, donde la densidad del aire es casi de 1.2 kg/m 3 , las velocidades deben ser menores que 40 mis (132 pie/s o 90 mph), que corresponde a números de
Mach menores de aproximadamente 0.12.
El límite para suponer flujo incompresible con frecuencia está dad como M < 0.3.
Esto corresponde a un cambio de densidad máximo de casi 5% para un proceso isentrópico. Esto parece ser algo generoso, pero hay buenas razones para considerar que los cambios en densidad son menos importantes que los cambios de presión. Por ejemplo, cuando
se consideran las fuerzas que actúan sobre un ala, las diferencias de presión en las superficies superior e inferior dan lugar a una fuerza de sustentación. Las diferencias de presión
también generan diferencias de densidad que dan lugar a una fuerza de flotación. Esta
fuerza de flotación casi siempre es despreciable en comparación con la de sustentación y
las diferencias de densidad se pueden ignorar.
ondas muy débiles, el ángulo f3 que forma la onda oblicua es igual al ángulo de Macha M" Esto no es válido para ondas de
intensidad finita.
2 El proceso es más bien isentrópico, pero esto no cambia el resultado de manera apreciable.
1 Para
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12.4 TERMODINÁMICA DEL FLUJO COMPRESIBLE
401
A números de Mach más altos, los cambios de densidad se hacen más y más importantes, en especial en los flujos supersónicos y transónicos, donde se forman ondas de choque.
En ciertas condiciones, los efectos de la compresibilidad pueden ser importantes aun a números de Mach bajos. Por ejemplo, justo después de despegar, las alas de un avión desarrollan una sustentación muy alta. Las velocidades del flujo cerca del borde de ataque del
ala pueden ser muy altas, de modo que aun cuando el avión viaje a un número de Mach de
0.3, el número de Mach local puede ser supersónico y formar ondas de choque.
Con estas consideraciones se pueden identificar tres regímenes de flujo.
• Acústicos, donde las velocidades del flujo son muy pequeñas en comparación con
la velocidad del sonido, pero los cambios fraccionales de presión, densidad y temperatura son importantes.
• Flujo incompresible, donde las velocidades del fluido son pequeñas en relación con
la velocidad del sonido y los cambios fraccionales de densidad no son importantes;
sin embargo, los cambios fraccionales de presión y temperatura pueden ser muy
importantes.
• Flujo compresible (dinámica de gases), donde las velocidades del Huido son comparables a la velocidad del sonido y los cambios fraccionales de presión, temperatura y densidad son importantes.
En este capítulo se considerarán los flujos en el régimen compresible. Antes de iniciar el
análisis, es nece:;ario revisar los principios termodinámicos básicos y sus relaciones.
12.4 TERMODINÁMICA DEL FLUJO COMPRESIBLE
Con frecuencia en termodinámica se habla de "sistemas" y en mecánica de fluidos, de "volúmenes de control". Estos son conceptos idénticos; los sistemas y los volúmenes de control describen una región tridimensional específica limitada por una superficie. 3 La masa,
la cantidad de movimiento y la energía pueden fluir a través de la superficie del volumen
de control y el concepto de flujo se emplea para describir este transporte (sección 5.1).
En las consideraciones anteriores de la ecuación de la energía, siempre se supuso que
el sistema estaba en "equilibrio". Es decir, que las interacciones de calor y trabajo son lo
suficientemente lentas para el estado termodinámico del sistema que se describen con la
primera ley de la termodinámica. ¿Qué hay respecto a los sistemas que no están en equilibrio? En los flujos compresibles, donde las altas velocidades son comunes y existen gradientes de velocidad y presión grandes, los sistemas pueden no estar en equilibrio. Sin
embargo, mediante experimentos se ha encontrado que el flujo aún alcanza un equilibrio
local instantáneo, mientras que las temperaturas y las presiones no sean demasiado extremas. Esto también se mantiene en las ondas de choque. Por lo tanto, para muchos flujos no
es necesario considerar un fenómeno que no esté en equilibrio. Para los flujos que aquí se
examinan, se supondrá que los sistemas están en equilibrio.
la sección 4.7.1 se analizan los conceptos termodinámicos básicos y se presentan las "variables de estado", como la
energía interna y la entalpía. Una introducción excelente a los principios termodinámicos generales se encuentra en An
lnlroduction lo Thermal-Fluid Engineering por Z. Warhaft, publicado por CUP, 1997.
3 En
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402
CAPíTULO 12
FLUJO COMPRESIBLE
12.4.1 Relaciones del gas ideal
El comportamiento del flujo compresible depende críticamente de las propiedades del gas
considerado. Muchos gases, incluyendo el aire a temperaturas y presiones razonables, se
comportan como un gas "ideal". Esto es, obedecen la ley del gas ideal (ecuación 1.5)
I p = pRT
o
pv=RT
I
(12.2)
donde v = 11 P es el volumen específico. Se supone que todos los fluidos considerados siguen la ley del gas ideal.
Es importante recordar que en todas las relaciones termodinámicas y de compresibilidad de gas se usan valores absolutos, de manera que para la temperatura se emplean las escalas Kelvin o Rankine y para la presión siempre se usa el valor absoluto, nunca el
manométrico. Así, en la ecuación 12.2
A
R=MW
(12.3)
donde A = 8 314 m 2/s 2 K ( 08314 J/kgK) es la constante universal del gas y MW, el peso
molecular del gas. Para el aire, MW = 28.98 Y R = 287.03 m 2/s 2 K = 1 716.4 pie 2/s 2R.
12.4.1.1 Calores específicos En la ecuación 4.19 se definieron los calores específicos de un fluido . Para un gas ideal, la energía interna por unidad de masa es sólo una función de la temperatura y el calor específico de un gas ideal a volumen constante, C v ' está
dado por
u
C
v
du
=(au)
aT
dT
v
o sea
(12.4)
Para un calor específico constante (una aproximación razonable para cambios moderados
de temperatura)
u -u¡=C
1
2
v
(T2 -TI )
1
(12.5)
u
Para un gas ideal, y pi P sólo dependen de la temperatura. De ahí que la entalpía
(h = + pv) es sólo una función de la temperatura y el calor específico de un gas ideal a
presión constante, C p ' está dado por
u
C = dh
p
dT
es decir
dh = C p dT
(12.6)
Para un calor específico constante
h----h¡-=-C--(-T----T-,)--'1
r-I
2
p
2
(12.7)
12.4.1.2 Variaciones de la entropía Para los flujos compresibles, los cambios de la
entropía son importantes. El tema de la segunda ley de la tetlliodinámica es la entropía. La
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12.4
es del gas
nables, se
'n 1.5)
(12.2)
erados sipresibiliean las es, nunca el
TERMODINÁMICA
DEL FLUJO COMPRESIBLE
403
segunda ley se puede establecer de varias maneras pero ninguna de ellas es fácil de entender. Aquí sólo se usará la segunda ley de manera indirecta, y es suficiente para considerar
la entropía como otra variable de estado que se define por
Tds=dú+ pdv
(12.8)
También se debe entender que el cambio de la entropía durante un proceso está muy relacionado con el concepto de reversibilidad. Cuando un proceso es reversible, significa que
no importa qué interacciones entre calor y trabajo sucedan durante el proceso, el estado
inicial del sistema se puede recuperar con sólo revertir la dirección de todas las interacciones. Para un proceso adiabático reversible, la entropía permanece constante y el proceso se
llama isentrópico. Para un proceso adiabático irreversible, la segunda ley indica que la entropía se debe incrementar.
Según la definición de la entalpía, la ecuación 12.8 se puede escribir como
Tds=dh-vdp
(12.3)
(12.9)
Para un gas perfecto (esto es, un gas que obedece la ley del gas ideal y tiene calores específicos constantes), la ecuación 12.8 queda
dT R
ds=C -+-dv
T
v
s específiounafune, Cv' está
(12.10)
v
y la ecuación 12.9
ds=C
dT -R dp
T
p
Estos dos resultados
p
(12.11)
se pueden integrar para obtener
(12.12)
(12.4)
oderados
y
(12.13)
(12.5)
a entalpía
as ideal a
12.4.1.3 Relaciones del calor específico Entre C p y C y también se pueden desarrollar relaciones útiles. De la definición de la entalpía y de la ley del gas ideal
h=ú+RT
Derivando
(12.6)
(12.7)
bios de la
tropía. La
se obtiene
dh=dú +R dT
o
dh
dT
=
dú +R
dT
Entonces
I
Cp-Cy=R
I
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(12.14)
404
CAPiTU LO 12
FLUJO COMPRESIBLE
Esta relación se aplica a todos los gases ideales, aun si los calores específicos varían con la
temperatura. La razón de calores específicos, y , está definida por
.
C
y = --..!!..
(12.15)
Cv
Para un gas perfecto, y es una constante. El aire se comporta como un gas perfecto en un
intervalo más o menos amplio de temperaturas y presiones y en este intervalo la razón de
calores específicos se comporta como una constante e igual a 1.4 (tablas C-1 y C-2).
Las ecuaciones 12.14 y 12.15 llevan a
R
y-1
(12.16)
C =v
Y
C = yR
P
(12.17)
y- 1
Cuando un flujo es isentrópico y obedece la ley del gas ideal, se tiene que
L
=(!.- Jl/(Y -1)
Pr
Tr
y
L
=(!.- J
Pr
Tr
Y
l
/ (Y-l
(12.18)
El desarrollo de estas relaciones se puede consultar en cualquier libro de texto de termodinámica. 4 Los parámetros Tr , P r y Pr son los valores de la temperatura, la densidad y la
presión en algún punto de referencia. Es práctica común usar las "condiciones de estancamiento" como condiciones de referencia (sección 12.4.3).
12.4.2 Velocidad del sonido
Las ondas sonoras son perturbaciones de presión pequeñas en comparación con la presión
atmosférica. Por ejemplo, el sonido a 100 dE , un nivel alto del sonido,5 corresponde a un
nivel de perturbación en la presión de sólo 1 Pa (10- 5 atmósferas).
La transmisión de las ondas sonoras es un fenómeno isentrópico compresible y viajan
a una velocidad dada por
(12.19)
Esto es, la velocidad del sonido está determinada por la rapidez de cambio de la presión
con respecto a la densidad, a entropía constante, s. En un gas ideal, la presión y la densidad
en un flujo isentrópico se relacionan por
L
pY
= constante
por ejemplo, An In lroduction lo Thermal Fluid Engineerillg, por Z. Warhaft, publicado por CUP, 1997.
sLa Occupational Safety and Health Administration (OSHA) requiere la protección de los oídos de las personas expuestas a los
niveles de ruido que excedan los 90 dB.
4Ver,
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12.4 TERMODINÁM ICA DEL FLUJO COM PRESIBLE
405
(ver la ecuación 12.18). Derivando esta relación, se encuentra que
dp _ y dp = 0
p
p
Por lo tanto
Por lo tanto, para un gas ideal la velocidad del sonido está dada por
(12.20)
Para el aire a 20 0 e la velocidad del sonido es 343 mis = 1 126 pie/s = 768 mph.6
Dado que el módulo de elasticidad volumétrico de un fluido , K, también se puede escribir en términos de la rapidez de cambio de la presión con respecto a la densidad, es decir, de la ecuación 1.4
K = ~ = pdp
dp/p
dp
(12. 2 1)
y así
a = ~K/p
Por 10 tanto, para los fluidos la velocidad del sonido y el módulo de elasticidad volumétrica del fluido están relacionados de manera directa. Se puede demostrar que K = yp para el
flujo isentrópico de un gas (sección 12.5), y así
a = ~yp/p
(12.22)
Para un gas ideal, a = ~yRT, como antes.
12.4.3 propiedades de estancamiento
Para el flujo permanente y adiabático en un tubo de corriente, la ecuación unidimensional
de la energía (ecuación 4.26) se reduce a
h
"]
2 =h +l V 2
+ lV
2 1
2
2 2
mientras que el flujo esté en equilibrio en las secciones 1 y 2. Esta relación se escribe como
ho = h + ~ V 2
(1 2.23)
donde la constante ho es la entalpía del fluido en un punto donde V =O. La cantidad ho se
llama entalpía de estancamiento o entalpía total. Para un flujo permanente, adiabático, la
entalpía de estancamiento es constante a lo largo de una línea de corriente. Para un gas
ideal con calores específicos constantes (un gas perfecto), h = e pT y
sonido tarda 4.7 s en viajar una milla. Dado que el sonido que produce un rayo viaja a casi la velocidad isentrópica del
sonido, el tiempo de retraso entre el trueno y el resplandor se puede usar como guía aproximada para determinar qué tan lejos
se presenta el resplandor: considérense 5 segundos por cada milla.
6 El
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406
cAPiTULO 12
FLUJO COMPRESIBLE
(12.24)
donde To es la temperatura de estancamiento o temperatura total. Mediante
=:
e
P
yR
y -l
y
se obtiene
(12.25)
que es una forma particular de la ecuación de energía unidimensional para el flujo permanente adiabático de un gas perfecto. Asimismo
To es constante a lo largo de la línea de corriente para el flujo permanente adiabático de
un gas perfecto.
De acuerdo con la ecuación 12.25, es posible calcular una temperatura de estancamiento
en cualquier punto, incluso si el flujo no obedece todas estas restricciones, de modo que
esta ecuación se puede usar como una definición de la temperatura de estancamiento o
temperatura total. Para un flujo adiabático permanente de un gas perfecto, se sabe que To
es constante a lo largo de una línea de corriente, pero si estas condiciones no se satisfacen
no es posible sacar conclusiones respecto al comportamiento de To'
También se pueden definir condiciones de estancamiento o de recipiente para la densidad y la presión. Es necesario especificar cómo el fluido se lleva al reposo y así P o y Po
se definen como la densidad y la presión del gas si se llevó al reposo de forma isentrópica.
La presión y la densidad de estancamiento son constantes a lo largo de una línea de corriente sólo si el flujo es isentrópico por sí mismo.
Las relaciones isentrópicas por lo común se refieren como las condiciones de estancamiento, así que
~ =: (~ )l!(Y-ll
Po
To
y
L =: (~ JY
/(Y- Il
Po
(12.26)
To
donde p o y Po son la densidad y la presión del gas si es llevado isentrópicamente al reposo. La densidad y presión se denominan totales o de estancamiento. Con la ecuación 12.25
se encuentra que para un flujo isentrópico
~ =: l + y (
p
2
1
M
2
Jl!(Y-ll
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(12.27)
12.4 TERMODINÁMICA DEL FLUJO COMPRESIBLE
407
y
-1
Po = 1+ -Y -M2
P (
2
) Y/ (Y-I)
(12.28)
Estas funciones se tabulan en la tabla A-C. 10 para y = 1.4. Las soluciones para el flujo
isentrópico también se encuentran con la calculadora de flujo compresible disponible en la
web en http://www. engapplets.vt. edu!
EJEMPLO 12.1
Propiedades termodinámicas
Cuando una masa fija de aire se calienta de 20°C a 100°C.
a) ¿Cuánto vale el cambio de entalpía?
b) Para un proceso a volumen constante, ¿cuál es el cambio en la entropía?
e) ¿Cuál es el cambio de entropía para un proceso a presión constante?
d) En un proceso isentrópico encuentre los cambios de densidad y presión.
e) Compare la velocidad isentrópica del sonido en aire a su valor isotérmico.
Suponga que el aire se comporta como un gas perfecto.
Solución Para el inciso a), C p = 1 004 J/kgK (tabla C-1). De la ecuación 12.7
h2
-
hl = C p (T2
-
TI) = 1 004(100 - 20) J/kg = 80320 J/kg
Para el inciso b) se usa la ecuación 12.12. Puesto que el proceso es a volumen constante,
P 2 =PI Y
Por lo tanto
s -s = 1004 ln(100+273.15)J/ k ·K =173J/ k ·K
2
I
1.4
20+273.15
g
g
Para el inciso e) se usa la ecuación 12.13. Dado que el proceso es a presión constante,
P2 = PI Y
s - s =C ln
2
I
P
T2 =10041n(100+273 .15)J/ k ·K=242.3J/ k ·K
TI
20 + 273.15
g
g
Para la parte d) se usa 20°C como temperatura de referencia en las relaciones isentrópicas
(ecuación 12.18). Con y = 1.4 se obtiene
PIOO
P20
=(T
IOO
T20
J2.5 =(100 +273.15 )2.5 = l.828
20 +273 .15
y
PIOO
P20
=(T
IOO
T20
J3.5 =(100+273 .15 )3.5=2.327
20 + 273.15
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408
CAPíTULO 12
FLUJO COMPRESIBLE
Para la parte e) la velocidad del sonido isentrópica está dada por la ecuación 12.20
as
= ~yRT = ~1.4x 287.03 x (20 + 273 .15) mis = 343.2 mis
La velocidad isotérmica está dada por
a=
{a;l1
~aplT
Para un gas ideal a temperatura constante
!!.. = RT = constante
p
Al derivar esta ecuación se encuentra que
dp _ dp = 0
p
p
Por lo tanto
Esto es
aT
= -JRT = ~287.03 x (20 + 273.15) mis = 290.07 mis
Cuando Newton intentó medir la velocidad del sonido, erróneamente supuso que la transmisión del sonido era isotérmica, en vez de un fenómeno isentrópico. De esta manera, para
•
el aire este error lleva a una estimación de 18% por debajo del valor isentrópico.
12.5 FLUJO COMPRESIBLE A TRAVÉS DE UNA TOBERA
Ya se demostró cómo el flujo de agua que pasa a través de un estrechamiento y una expansión en un canal abierto se puede hacer supercrítico (capítulo 11). De manera similar,
cuando un gas pasa a través de un conducto convergente y divergente se puede producir un
flujo supersónico. El conducto convergente y divergente se llama tobera, pero los principios de su funcionamiento son muy semejantes a los que se estudiaron para el flujo en canal abierto. Por ejemplo, en un túnel de viento supersónico, se acelera un flujo subsónico
conforme avanza a través de la sección convergente de la tobera y si la presión corriente
abajo es lo suficientemente baja, el flujo se hace sónico en la garganta y se expande a números de Mach supersónicos en la sección divergente (figura 12-6). Así la tobera se puede
añadir a alguna sección de prueba donde se desarrollen experimentos de flujo supersónico.
Cuando la presión corriente abajo no es lo suficientemente baja, en la sección de expansión aparecen ondas de choque, de la misma manera que los saltos hidráulicos se presentan
en las secciones de expansión de los flujos en canales abiertos. Si la presión corriente abajo
es demasiado alta, el flujo completo se vuelve subsónico y se dice que el túnel se estrangula (sección 12.5.3).
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12.5 FLUJO COMPRESIBLE A TRAVÉS DE UNA TOBERA
409
A,
FIGURA 12-6
Flujo compresi ble isentrópico a través de un conducto convergente y divergente.
Ahora se considerarán las variaciones en la presión, temperatura, densidad y velocidad que experimenta un gas que fluye de manera isentrópica en una tobera similar a la de la
figura 12-6 (a menudo se denomina tobera de Laval, en honor del ingeniero sueco Carl
Gustar Patrick de Laval, 1854-1912, quien en 1888 inventó la tobera convergente-divergente para aplicación en las turbinas de vapor).
12.5.1 Análisis del flujo isentrópico
Para el flujo isentrópico no hay transferencia de calor, todos los procesos son reversibles y
no se permiten las ondas de choque. El flujo es permanente, cuasi-unidimensional y se supone un gas perfecto. Al derivar la ecuación 12.18 se obtiene
dp =_1_ dT
P Y- 1 T
y
dp =_y_dT
P Y -1 T
(12.29)
La ecuación de la continuidad da
dp + dA + dV = 0
P
A
V
(12.30)
(sección 6.5). Además se tiene la ecuación unidimensional de Euler (ecuación 6.24)
dp+pV dV = O
(12.31)
que se aplica a los flujos con densidad variable. Los efectos de la gravedad se desprecian.
Para un flujo isentrópico (no viscoso, sin transferencia de calor), la ecuación 12.31 se escribe como
V dV = _ dp = _ dp dp = _ a 2 dp
P
dp P
P
(12.32)
ya que la velocidad del sonido (al cuadrado) es igual a la rapidez de cambio de la presión
respecto ala densidad a entropía constante (ecuación 12.19). Al introducir el número de
Mach (ecuación 1.7) y usar la ecuación de la continuidad (ecuación 12.30), se obtiene
dV
-
dx
=-
~ dA
1- M 2 dx
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410
CAPíTULO 12
FLUJO COMPRESIBLE
Asimismo, mediante las relaciones isentrópicas se encuentra que
1
M2
dp =
dA
2
dx l-M dx
dp
dx
-7 yM2
dA
l-M dx
2
y
2
dT _ 1(y - 1)M dA
dx
l- M
2
dx
Si se elimina el caso donde M = 1Y se consideran los casos en que M < 1en todas partes o
M> 1 en todas partes:
1. Cuando M < 1 en todas partes, entonces con
a)
b)
dA<O, dp <0, dp <0, dT <Oy dV >0
dx
dx
dx
dx
dx
dA
dp
dp
dT
dV
->O,->O,->O,->Oy-<O
dx
dx
dx
dx
dx
2. Cuando M> 1 en todas partes, entonces con
dA
dp
dp
dT
dV
a)
-<O,->O,->O,->Oy-<O
dx
dx
dx
dx
dx
dA
dp
dp
dT
dV
b)
->0 -<O -<O -<Oy->O
dx
' dx 'dx
'dx
dx
Estos resultados se resumen en la figura 12-7. La semejanza con respecto al flujo sin fricción de un líquido en un canal abierto es clara si la figura 11-14 se compara con la figura 12-7.
De esta forma, cuando el número de Mach es sub sónico en todas partes, la presión,
densidad y temperatura bajan conforme el flujo se acelera en la sección convergente de la
tobera y aumentan conforme el flujo se frena en la sección divergente de la misma. Cuando
el n(~mero de Mach es supersónico en todas partes, la presión, densidad y temperatura aumentan conforme el flujo se frena en la sección convergente de la tobera y disminuyen
conforme la velocidad aumenta en la sección divergente.
---- --------- ------
~ < I---VJ-pl plTI
VlpJ- pJ- TJ--
~ >l
vJ- pi pITI-
Flujo convergente
FIGURA 12-7
-
____
VI pJ- pJ- TJ-
Flujo divergente
Resumen de las variaciones del flujo en conductos subsónicos y supersónicos.
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12.5 FLUJO COMPRESIBLE A TRAVÉS DE UNA TOBERA
I
I
I
I
~
0.528
------t----------- _--
d'----:
~
411
d!lg >;:lE
f
I
oL--------------~E. l~'~
1
M
\~~-.
}
c:=::::::-
d
___..--___ --"::::::====:::1
e
FIGURA 12-8 Distribuciones de presión y número de Mach a través de una tobera convergente-divergente. De Liepmann y Roshko, Elements of Gasdynamics, John Wiley & Sons Inc., 1957.
En particular, para el flujo supersónico corriente abajo de la garganta (caso 2b anterior), la velocidad aumenta y la temperatura disminuye conforme se expande el área. Por
lo tanto, el número de Mach se rige por los incrementos de área corriente abajo de la garganta. Es decir, el número de Mach depende de la razón de áreas Al A*, donde A* es el
área de la sección transversal de la garganta de la tobera. Por ejemplo, para obtener un número de Mach de 8, se requiere una razón de áreas de casi 200 (sección 12.5.2). Observe
que el flujo en un difusor sub sónico (un difusor es un conducto de área transversal creciente) tiene una velocidad decreciente y una presión que aumenta, pero el flujo en un difusor
supersónico tiene una velocidad creciente y una presión decadente.
El nivel de la presión corriente abajo define una serie de regímenes de flujo, tanto
como lo hizo el nivel del agua abajo en el flujo en canal abierto a través de un angostamiento suave.
1. En la garganta sólo existen dos soluciones posibles para M = 1, si no hay pérdidas
(figura 12-8, e y j).
2. En la tobera se encuentran ondas de choque normales para presiones de salida en el
intervalo que indican los puntos e y f
3. Fuera de la tobera se forman ondas oblicuas para el intervalo entrefy j.
4. Fuera de la tobera se forman ondas oblicuas de expansión para presiones de salida
por debajo del punto j.
Las ondas de choque y de expansión se consideran más adelante en las secciones 12.6 a
12.10.
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412
CAPiTULO 12
FLUJO COM PRESIBLE
12.5.2 Razón de áreas
Ya se indicó que el número de Mach corriente abaj o de la garganta depende de la razón del
área de la sección transversal de la tobera y el área de la sección transversal de la garganta.
Para encontrar esta relación se escribe la ecuación de continuidad entre la garganta yen algún otro lugar en la tobera.
pUA = p*U*A*
donde el asterisco denota el lugar de la garganta. Sólo se considerarán flujos donde existe
flujo supersónico en la sección de prueba. Por lo tanto, en la garganta M = 1 YU* = a* .
Esto es
~ ,= p* ~ = p* f!..Q. a*
p U
A*
Po P U
Según las relaciones isentrópicas se demuestra que
[2 (
A )2 _ 1
y - l 2)~ (Y +l) / (Y- l)
- - - 1+--M
2
( A*
M Y +1
2
(12.33)
Esta es la relación de áreas para un flujo isentrópico supersónico en una tobera.
12.5.3 Flujo estrangulado
¿Cuánto vale el flujo másico a través de una tobera? Para flujo permanente unidimensional en una tobera, el flujo másico,
está dado por
m,
m= pUA = constante
La ecuación de la energía da
o sea
Para el flujo isentrópico
~U2
1
l(Y-l)/Y
[(
= CpTo 1-
~
Entonces
m=pUA =p{:,
1A U:,T 1-(:' J
l/y
[
(
o
De modo que
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~
(Y - l)/y]W /
2
12.5 FLUJO COMPRESIBLE A TRAVÉS DE UNA TOBERA
Garganta
Plano de
salida
P
Po
413
Real
~;;::::-I-::::=:j:::=
b
d
¡-.---41-7"........
In
/
e
/
/
/
d
/ Teórica
I
L-_ _-'--_---.JL-_ x
0.528
FIGURA 12-9 Variación del flujo másico como función de la razón de las presiones para un flujo permanente, isentrópico y cuasi-un idimensional en un conducto convergente-divergente. La curva "teórica" corresponde a la ecuación 12.34 y la curva "real" al flujo estrangulado .
. _ [2 - PoPo [( - P )2/ -(p- )(Y+l)/Y]~1/2
m- A - Y
Y
y -1
Po
(12.34)
Po
Esta ecuación se grafica en la figura 12-9 para un flujo de salida a una presión h, llamada
presión posterior. Así se observa que la curva del flujo másico tiene un máximo. Para encontrar la razón de presiones en la que se presenta el flujo másico máximo, se deriva la
ecuación 12.34 con respecto a la razón de presiones p i Po .
am. I
a(pl Po)
A
[(
A 2 2y ·
2 P
= 2m y -1 PoP o
Po
y
J2/Y-1
Y + 1(P)(Y+l)/(Y- l)]
- -y- Po
Esta derivada es cero cuando
~.L
Y [ Po )
(2 - Y) / Y
()l/Y
=y+1L
Y
Po
Esto es, cuando
y +1
y
o
L
=
Po
(
y+
1 JY
/{l- Y)
= 0.528 para el aire
(12.35)
2
Ahora se puede calcular en qué lugar de la tobera se presenta esta razón de presiones. Para
el flujo isentrópico se tiene que
1
JY/(Y-l)
Po = 1+ y P
(
M2
2
Al sustituir en la ecuación 12.35, la razón de presiones a la que ocurre el flujo másico máximo en la tobera, se encuentra que esta situación crítica se da cuando M = 1, o sea, esto
ocurre en la garganta.
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414
CAPíTU LO 12
FLUJO COMPRESIBLE
Puesto que el flujo másico máximo en la tobera se presenta cuando el flujo en la garganta es sónico, no se puede afectar por la distribución de las presiones corriente abajo de
la garganta: los cambios de presión no se propagan corriente arriba del punto donde el flujo es sónico. Como resultado, el flujo másico no se incrementa al disminuir la presión de
salida. Una vez que el flujo en la garganta es sónico, se dice que la tobera está "estrangulada". En este punto, el flujo másico alcanza su valor máximo y se mantiene fijo en ese valor
aun cuando disminuye la presión de salida. Por lo tanto, la ecuación 12.34 no se aplica a razones de presión por debajo del valor crítico dado por la ecuación 12.35. Este hecho se indica con la curva "real" (flujo estrangulado) de la figura 12-9 comparado con la curva
"teórica" (ecuación 12.35).
12.6 ONDAS DE CHOQUE NORMALES
Ya se analizó en forma cualitativa la formación de las ondas de choque en flujos compresibles. Para entender cuantitativamente este fenómeno , ahora se analizará un flujo unidimensional que contiene una onda normal estacionaria. Desde este punto de vista, el flujo
es permanente. El gas se supone "perfecto", de modo que obedece la ley del gas ideal y sus
calores específicos son constantes.
Considere el volumen de control que describe la figura 12-10. Las secciones 1 y 2 están muy lejos de la onda de choque de modo que todos los gradientes son cero. Esto es, la
velocidad, presión y temperatura son constantes en estos lugares y la ecuación unidimensional del movimiento se aplica entre las secciones 1 y 2. Sin gradientes de temperatura en
las fronteras del volumen de control, el flujo se puede tomar como adiabático y así la temperatura de estancamiento es constante (sección 12.4.3).
Para el flujo permanente adiabático de un gas perfecto, To es constante a través de la
onda de choque.
Sin embargo, el flujo es irreversible, porque se espera que la entropía cambie. Las ecuaciones que describen este flujo son
Continuidad:
pp¡
Cantidad de movimiento:
Energía:
Segunda ley:
p¡ +p¡U?
CpT¡ +~U¡2
S2 - SI
Ecuación de estado:
P
P2 U 2
P2 + P 2u i
C pT2 +~ui =CpTo = constante
C p In (T2 IT¡ ) - R In (P2 I p¡ )
pRT
Así se tienen cinco ecuaciones y cinco incógnitas (p, u, p, s, T), lo cual implica que para
cualquier estado dado corriente arriba, existe un estado único corriente abajo.
.¡=
CDfI
r
FIGURA 12-10
*====:"1
I
I
-t®
I
___ 1
Onda de choque normal en un flujo unid imensional.
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12.6 ONDAS DE CHOQU E NORMALES
415
Si estas ecuaciones se usan de diferentes maneras, se pueden obtener varios resultados, como se muestra a continuación. Conviene destacar que todos estos resultados se obtienen de la ecuación unidimensional de la cantidad de movimiento y no se introducen
nuevos fenómenos. Simplemente se manipulan las ecuaciones para obtener resultados útiles llamados relaciones de ondas de choque.
12.6.1 Razón de temperatura
La razón de temperaturas a través de la onda de choque se puede expresar en términos del
número de Mach corriente arriba y corriente abajo y la fracción de los calores específicos,
como sIgue.
T
T2 T02 TOI
- 2 =_
._ .T02 TOI
TI
TI
Dado que TOI = T02 a través de una onda se usa la definición de la temperatura de estancamiento para obtener
(12.36)
Razón de Velocidad A partir de la definición del número de Mach
U
M 2a 2 =M2~yRT2
_2= ___
_---'-c==
MI al
UI
MI ~yRT¡
Si se usa además la ecuación 12.36
(12.37)
12.6.2 Razón de densidades
De la ecuación de la continuidad
~=~= MI
U2
PI
[1+7r;1
M 2 1+
M i] 1I 2
M2
(12.38)
I
Razón de Presiones Con la ecuación de la cantidad de movimiento y la ley del gas
ideal
PI
(1 + ~
)= P2(1 + RT
Ui )
RT
2
I
y dado que
-R-T = -R-T-
=
2
M yRT - M 2
RT Y
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416
CAPíTULO 12
FLUJO COM PRESIBLE
entonces
2
P2 = l + yM l
p¡ l + yM
(12.39)
i
12.6.3 Razón de números de Mach
Con base en la ecuación de estado
PI
PITI
Esta relación puede expresarse con las ecuaciones 12.36, 12.38 Y 12.39, en términos de
MI y M 2' Hay dos soluciones
(12.40)
o
M
2 _
2 -
M2 + _2_
y-¡
¡
(12.41)
~M2 - 1
y- l
I
La primera solución corresponde a una onda de intensidad cero, ya que según la ecuación
12.39la presión no cambia a través de la onda de choque. La segunda solución indica que,
para MI> 1, es posible tener una onda de choque de intensidad finita en un flujo permanente unidimensional. También se puede mostrar que el número de Mach corriente abajo, M 2'
siempre será subsónico. Por lo tanto
Una onda de choque normal sólo puede darse si M¡ > 1. Como resultado, M 2 < l.
Sustituyendo M 2 en las ecuaciones 12.38 y 12.39 se obtiene
2
E2=~= (y+1)M I
PI
U2
(y -1)M¡2 +2
(12.38a)
y
(12.39a)
12.6.4 Razón de presiones de estancamiento
La razón de presiones de estancamiento a través de la onda de choque puede calcularse
como sigue. Al usar las definiciones de la temperatura y presión totales (ecuaciones 12.25
y 12.28) se tiene
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12.6
1.08
.39)
1.06
1.04
~
~
1.02
\
\
\
--;.. 1.00
0.98
0.96 --O
0.94
0.92
0.60
os de
FIGURA 12-11
r-,
<,
---- <,
-
-GAGa-G
1fla-d_
e pansión
compre
1.00
0.80
ión
NORMALES
417
\.
1.40
1.20
ONDAS DE CHOQUE
"
1.60
Razón de presiones de estancamiento
como función del número de Mach, de acuerdo
con la ecuación 12.43.
2.40)
Dado que T02 = TOI a través de la onda de choque
2.41)
P02
P2
=
PI
ación
que,
anen,M2'
PI
(!i
JY/(Y-Il
(12.42)
T2
En forma alternativa
P02
=
P02 . P2 . .!!..L
P2
PQI
PI
POI
así que
P
~=
POI
(
JY/(Y-Il(I+YM2)(
-1
1+-Y-M2
2
2
I
2
l+yM2
-1
1+-Y-M2
2
)-Y/(Y-Il
I
Al usar la ecuación 12.41 para eliminar M2
.
[~M2
P02_
2
I
1+r.2M2
P 01
2
.38a)
.39a)
ularse
12.25
jY/(Y-ll [
I
~M2_y-l
Y +1
]-I/(Y-l)
I
(12.43)
Y +1
La figura 12-11 es la gráfica de la ecuación 12.43. Esta figura es muy similar a la que se da
para la razón de alturas a través del salto hidráulico plano de la figura 11-10. La interpretación de estos resultados requiere considerar los cambios que ocurren en la entropía.
12.6.5 Cambios de la entropía
La figura 12-11 indica que para ondas de choque con MI> 1(una onda de "compresión"),
PQ2 < POI' Ypara una onda con MI < 1(una onda de "expansión"),
P02 > POI' Ahora se usa
la segunda ley de la termodinámica para demostrar que sólo pueden ocurrir ondas de compresión.'
7
Esto es válido para todos los gases que obedecen la ley del gas ideal.
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418
CAPíTULO 12
FLUJO COM PRESIBLE
El cambio de la entropía a través de la onda está dado por la ecuación 12.13:
s - s = C In T2
2
I
T
P
-
R In
P2
PI
I
Puesto queR =Cp(Y -l)/ y,
s - s - C 1n
2
1-
P
T2 / TI
[ (P2/PI )(Y- I) /Y
=C p In (
02
01
1
);Y _I ) /Y
.!l P 02 .!'Ql
P02
POI
PI ·
Esta relación se puede simplificar con las definiciones de la temperatura de estancamiento
(ecuación 12.25) y de presión de estancamiento (ecuación 12.28) para dar un resultado
muy elegante
S2 - SI
= C P In
~(
(Y - I) / Y
PO I
P02
1
= R In
J
P OI
(12.44)
P02
Por lo tanto, el cambio de entropía se relaciona con el cambio en la presión de estancamiento. Puesto que la entropía sólo puede aumentar a través de la onda, se observa que
P 02 < POI Y la figura 12-11 indica que MI debe ser supersónico. Si P02 fuera mayor que
P OI ' la entropía disminuiría a través de la onda, lo cual es imposible.
12.6.6 Resumen: ondas de choque normales
Las relaciones de las ondas de choque se desarrollaron en forma directa a partir de las
ecuaciones de movimiento para flujo unidimensional. No obstante, algunas de las relacionesson complicadas y, por conveniencia, con frecuencia se presentan en forma tabular (tabla C.11). Dado que el flujo de aire es, en general, de mayor interés, las tablas sólo se dan
para y = 1.4. Asimismo se puede emplear la calculadora de flujo compresible disponible
en la página web http://www.engapplets.vt.edu/.
En muchos problemas se conocen las condiciones iniciales, pero es necesario saber
las condiciones corriente abajo. En este caso, la ecuación 12.41 representa el punto de partida de la solución. Una vez que se conoce el valor de M 2 con la ecuación 12.41, se determInan todas las variables corriente abajo mediante las relaciones de las ondas de choque
normales. Para expresar las relaciones de onda normal en términos de MI , en ocasiones se
puede usar la ecuación 12.41
. ,
.
.
'
'!!.2 =~ =
PI
Uz
(y
2
+ 1)M1
(y -1)M I2 +2
(12.45)
y
(12.46)
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12.6 ON DAS DE CHOQUE NORMALES
419
El aumento de temperatura se puede hallar en forma más conveniente si se usa
T
P2 PI
- 2 - -TI
PI P2
(12.47)
y la razón de presiones de estancamiento se expresa como
(12.48)
El aumento de la entropía está dado por
~
= ln(fu)
R
P02
(12.49)
EJEMPLO 12.2 Relaciones de onda de choque normal
Una onda de choque normal se observa en un flujo de aire a un Mach 3 ya 100 K. La densidad del aire es de 0.8 kg/m 3 . Encuentre
a) La temperatura de estancamiento.
b) La densidad, presión, temperatura y número de Mach corriente abaj o de la onda.
c) El aumento de la entropía a través de la onda.
En la solución, se usan las relaciones de onda de choque normal aquí estudiadas. El resultado se debe revisar con la calculadora de flujo compresible disponible en la página web .
Solución Para el inciso a) ecuación 12.25 (con y = 1.4)
To = 100x (1 + 0.2x3 2 ) = 100 x 2.8 K = 280K
Para el inciso b) se usan las ecuaciones 12.41 y 12.45 para la 12.47. Entonces
2
M
2
= 3 +5 = 0.226
7x3 2 - 1
2
= 0.8x.2.4X3 k 1m3 = 3.086 kg/m 3
P2
0.4x3 2 +2 g
y
P2
={1+~:! (32;' ~1)]PI = 10.33 PI
A partir de la ley del gas ideal, PI: =:= P I RTI = 0.8 x 287.03 x 100pa = 22 962Pa, y así
P2 = 237202 Pa
Por último
T2 = P2 ~=10.33x~x100K =
PI P2
3.086
267.8 K
Para el inciso e) se usan las ecuaciones 12.48 y 12.49. En consecuencia
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420
CAPíTULO 12
FLUJO COMPRESIBlE
(~)3.5
P02 = 10.33 x
POI
267.8
Con base en
miento, el flu
= 0.329
y
S2 -SI
=287.03Xln(_1_)J/kg.K=319.4J/kg.K
0.329
•
12.7 ONDAS I
EJEMPLO 12.3
Movimiento transitorio de las ondas de choque
Considere un conducto de área constante con una onda de choque normal que se mueve a
través de él (figura 12-12). Esta situación se presenta en un tubo de choque donde dos gases a presiones diferentes al principio están separados por un diafragma. Cuando el diafragma se rompe, el gas a alta presión se propaga hacia el gas de baja presión y esta "onda"
de presión con rapidez se vuelve una onda de choque en movimiento. Este proceso es muy
similar al que genera el salto hidráulico en movimiento (sección 11.8).
La presión, temperatura y velocidad corriente arriba de la onda son PI = 75 kPa,
TI = 20°C Y VI = O mis. Corriente abajo de la onda la presión, temperatura y velocidad son
P2 = 180 kPa, T2 = 97°C Y V2 = 280 mis.
Encuentre la velocidad de la onda y el número de Mach del flujo corriente arriba en relación con el observador que se mueve con la onda.
La razón de¡:
puede escribi
La razón flp/
bil, se puede
la entropía. L
tro m, definid
sión en serie
12.46, 12.47
Solución Para un observador estacionario, el flujo no es permanente: primero no sucede
nada y después se forma una onda, seguida de un flujo permanente de gas. Sin embargo, si
el observador se mueve con la onda, el flujo se hace permanente. Para un volumen de control que se mueve con la onda, le ecuación de continuidad permanente y unidimensional da
-PIVsA+(Vs
-V2)P2A=0
donde Vs es la velocidad relativa de la onda respecto al observador estacionario.
del gas ideal (ecuación 1.5)
PI T
---V 1',2
P2 I
s
+V s -V
2
Según ley
Para el cambi
entropía es, p
de estado. En
una onda de.
=0
12.8 ONDAS,
y así
-~
380V +V -280=0
180293 s
s
¿Qué pasa el
cuando un fh
para un cuer¡:
El flujo ¡
cidad que mi
abajo de la o
través de la (
La veloe
onda, VIII' y I
rriente abajo
onda de choc
donde Vs está en metros por segundo. Entonces
Vs = 661 mis
~
f::
~
r,
TI
VI
¡..
Vs
P2
Vs
T2
V2
\
FIGURA 12-12
Onda de choque normal en movimiento
un marco de referencia estacionario,
dentro de un conducto de área constante.
b) en un marco de referencia que se mueve con la onda.
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a) en
Para más detalle!
8
12.8 ONDAS OBLICUAS
421
Con base en la sección 12.4.2, a = ~yRT, de modo que, con respecto a la onda en movimiento, el flujo corriente arriba tiene un número de Mach de
M=~=
~yRTI
661
~1.4 x 287 .03293
= 1.93
•
12.7 ONDAS DE CHOQUE NORMALES DÉBILES
La razón de presiones a través de la onda de choque está dada por la ecuación 12.46. Esto
puede escribirse en términos del salto de presión D..p, donde D..p = P2 - PI y, por 10 tanto
D..p =
PI
~ (M 12 -
1)
(12.50)
Y+1
La razón D..p/ PI con frecuencia se denomina intensidad de la onda. Cuando la onda es débil, se puede obtener una relación interesante entre la intensidad de la onda y el cambio de
la entropía. Las ondas débiles se forman cuando MI está cercano a la unidad y el parámetro m, definido por m =
- 1, es pequeño comparado con uno. Esto permite una expansión en series de la ecuación 12.49 en la cantidad pequeña m (mediante las ecuaciones
12.46, 12.47 Y 12.48). El resultado fmal es 8
M?
S2 - SI "" Y + 1(
R
12 y 2
D..p
)2
(12.51)
PI
Para el cambio pequeño de presión que acompaña a la onda normal débil, el aumento de la
entropía es, por 10 tanto, muy pequeño. Una onda débil produce casi un cambio isentrópico
de estado. En el límite, una onda muy débil se vuelve una onda acústica isentrópica, o sea,
una onda de Mach (sección 12.2).
12.8 ONDAS OBLICUAS
¿Qué pasa en un flujo supersónico que no es unidimensional? Por ejemplo, ¿qué pasa
cuando un flujo supersónico se desvía un ángulo a? Con base en experimentos se sabe que
para un cuerpo cilíndrico cónico, una onda oblicua se forma como ilustra la figura 12-13.
El flujo a través de una onda oblicua plana se puede analizar con el diagrama de velocidad que muestra la figura 12-14. Se supone que los flujos corriente arriba y corriente
abajo de la onda son uniformes y que todos los cambios suceden en forma discontinua a
través de la onda.
La velocidad de entrada, VI' se puede descomponer en una componente normal a la
onda, Vln , y una componente paralela a la onda, V1p . De manera similar la velocidad corriente abajo, V2 , se descompone en sus componentes V2n y V2p . El ángulo entre VI y la
onda de choque es f3 y la desviación del flujo es a.
8 Para
más detalles, ver Liepmann y Roshko, Elemenls ofGasdynamics, publicado por John Wiley & Sons, 1957.
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422
CAPíTULO 12
FLUJO COMPRESIBLE
FIGURA 12-13 Un cuerpo cilíndrico cónico se dispara a un Mach de 1.84 a través de aire quieto. Conforme el flujo se desvía al pasar sobre el cuerpo se forman ondas oblicuas y en la punta y comienzo de la estela se forman abanicos de expansión. Una capa límite turbulenta se hace visible en la parte principal del
cuerpo. Cortesía de A. C. Charters.
La conservación de la masa a través de la onda es
(12.52)
La conservación de cantidad de movimiento en las direcciones normal y paralela a la onda
de choque dan
(12.53)
y
PIVlnV'¡ p =P 2V2n V2p
(12.54)
Con las ecuaciones 12.52 y 12.54 se tiene que
(12.55)
Vlp =V2p
a)
FIGURA 12-14
velocidad.
b)
a) Flujo a través de una onda oblicua,
b) descomposición de las componentes de
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12.8 ONDAS OBLICUAS
423
Este es un resultado muy útil pues indica que
Cualquier cambio de velocidad que produce una onda oblicua sólo depende de la componente normal a ésta y la componente paralela a la onda no se altera.
12.8.1 Relaciones de onda de choque oblicua
Ahora es posible conocer las condiciones antes y después de la onda oblicua mediante las
relaciones de onda normal con el número de Mach normal MI sen 13 que reemplaza a MI'
Así se obtienen las siguientes relaciones de onda oblicua
P2
-
Vln
=-= -
PI
(y+l)M¡2 sen 2f3
-'-----:--'-----:----'--
(y -1)M¡2 sen 2
V2n
13 + 2
(12.56)
y
(12.57)
La variación en el número de Mach se puede conocer si M 2 se reemplaza en la relación de
onda normal 12.41 con la componente normal M 2 sen (13 - a). Esto es
M
i sen 2 (13 - a) =
M
2
I
sen 2
13 + _2_
Y- ¡
~
M2¡ sen 2
y -I
13-1
(12.58)
Las relaciones entre las variables corriente arriba y corriente abajo sólo depeltden de las
componentes normales de los números de Mach. La componente de entrada qebe ser supersónica, de modo que M¡ sen 13 ;: : 1. Esta condición establece el ángulo de onda mínimo
para la onda oblicua. El ángulo máximo corresponde a una onda normal, donde 13 = n/2,
así que
sen- I -1$ ;
M
13 $;n
2
(12.59)
Asimismo, la componente de salida M 2 sen (13 - a) será subsónica, ya que está corriente
abajo de una onda normal, aunque 1\.1 2 puede permanecer supersónico.
12.8.2 Desviación del flujo
A partir de la figura 12-14 se observa que
V,
tanf3=~
V¡p
y
tan
(13 -
V,
a) = ~
V2p
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424
CAPiTULO 12
FLUJO COMPRESIBLE
Dado que V1p = V2p (ecuación 12.55) se puede usarla ecuación 12.56 para demostrar que
tan f3
tan (f3-a)
= !!..2. = V1n =
PI
V;p
(y + 1) M? sen 2 f3
(y - 1)M I2 sen 2 f3 +2
(12.60)
o, después de una cantidad considerable de álgebra
tan a = 2 cot f3
M
2
sen 2 f3 - 1
_-:c-'I'---_--'---_ _
M} (y +cos2f3) +2
(12.61)
La ecuación 12.61 en ellimitante es correcta, ya que a = Opara f3 = n/2 y f3 = sen - 1 (1/ MI ),
como se requiere para los límites de la ecuación 12.59. Entre estos dos extremos, donde
a =0, el ángulo de desviación a debe ser positivo y, por lo tanto, tiene un valor máximo en
alguna parte, como describe la figura 12-15. Para cada valor de M I' hay una a máx correspondiente, que es el ángulo máximo de desviación para el cual se puede encontrar una solución de onda oblicua.
Sin embargo, cuando a > a máx no hay solución. El análisis aquí expuesto no se puede
aplicar. A partir de experimentos se sabe que ocurre un nuevo fenómeno: la onda se separa
del cuerpo, de modo que se mueve corriente arriba lejos del cuerpo y se curva, de manera
que algunas partes de la onda se hacen normales a la dirección del flujo. Un ejemplo es la
onda curvilínea de la figura 12-5. Corriente abajo de la onda separada se presentan regiones de flujo subsónico y supersónico y el análisis se hace muy complicado. En lo sucesivo,
no se consideran las ondas separadas del cuerpo.
Además, cuando a < a máx hay dos soluciones para el ángulo de onda f3 por cada valor
de a y MI' uno a la izquierda de la línea discontinua de la figura 12-15, denominada solución débil y una a la derecha, llamada solución fuerte. En las soluciones con la onda más
fuerte (a la derecha), el flujo se hace subsónico conforme pasa a través de la onda. En las
soluciones con la onda más débil (a la izquierda), el flujo permanece supersónico, excepto
para un intervalo pequeño de valores de a. En la práctica, la solución que adopta un flujo
particdar depende de las condiciones del flujo corriente abajo. La solución débil es la que
se observa con más frecuencia. A menos que se indique otra cosa, se supone que la solución débil es aplicable.
12.8.3 Resumen de ondas de choque oblicuas
La ecuación 12.61es la clave para resolver muchos problemas de ondas de choque oblicuas: cuando el ángulo de la onda se puede encontrar para un ángulo de desviación, las
otras variables se hallan con las relaciones de onda normales (ecuaciones 12.45 a 12.49), o
mediante las tablas de onda de choque normales (tabla C-11). También es posible escribir un programa corto de computadora para resolver estas relaciones, incluso con una calculadora manual. La calculadora de flujo compresible que proporciona la página web
h;tp://www.engapplets.vt.edu/ ofrece soluciones para las relaciones de flujo isentrópico,
ondas normales y ondas oblicuas.
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12.8 ONDAS OBLICUAS
~
30 ° r---+----r---+--~~
~~
425
--~~~~_+~~
"
'0
.¡¡
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'"
25° r ---+-------b.___-I.f-i'+f~'--+__--+t_+___t_--_\!__TfI¡_j
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B
20°r---+---__t_~~V_~----~~~~__t_~_+~~
5\, .
.~
oo~J_LLL_L_~1_~d_~~~~_ _i_~~~
0°
10°
20°·
30°
40°
50°
Ángulo de onda
60°
70°
80°
90°
fJ
FIGURA 12-15 Variación del ángulo de onda, f3, con el ángulo de desviación, a, como función del número
de Mach. Adaptado de Liepmann y Roshko, Elements ofGasdynamics, John Wiley & Sons Inc., 1957.
EJEMPLO 12.4 Flujo sobre una cuña
Un ala supersónica con sección transversal simétrica en forma de diamante se mueve a
Mach 3 en aire a 100 K (ver la figura 12-16). Las ondas forman desde el borde de ataque
conforme el flujo pasa por la parte frontal del ala, así como en el borde posterior donde el
flujo regresa a dirección de la corriente libre. En la punta se forma un abanico de expansión, tema que se analiza en la sección 12.10. Aquí sólo se considera el flujo sobre el borde
de ataque, el cual tiene un ángulo a de 10 0 • La densidad del aire es de 0.8 kg/m3 . Encuentre
a) La temperatura de estancamiento.
b) El ángulo que la onda de choque forma en el borde de ataque con la corriente libre
(suponiendo la solución débil).
e) La densidad, temperatura, presión y el número de Mach corriente abajo de la
onda.
d) El incremento de la entropía en dirección perpendicular a la onda.
Solución Para el inciso a) se usa la definición de la temperatura total de estancamiento
(ecuación 12.25)
T
y- 1
T
2
~=1+--M2
y se encuentra que con y = 1.4, M = 3 Y T = 100 K, la temperatura de estancamiento
To = 380 K.
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426
CAPiTULO 12
FLUJO COM PRESIBLE
Onda en el borde
sección
transversal, Ac
FIGURA 12-16
Ala en forma de diamante en un flujo supersónico.
Para el inciso b) a partir de la figura 12-15 se tiene que el ángulo de la onda para la solución débil es f3 "" 2T Un valor más preciso se obtiene iterando la ecuación 12.61, pero
27° es lo suficientemente preciso para nuestro propósito.
Para el inciso e) se usan las ecuaciones 12.56 a 12.58 y la ley del gas ideal. Con MI = 3 Y
f3 = 27°,
sen 2 f3 = 1.855, así que
M?
1. Densidad: P2 / PI = 1.624, así que P2 = 1.299 kg/m 3 .
2. Presión: P2 / PI = 1.997. Según la ley del gas ideal, PI =PIRTI =0.8 x287.03x
100 Pa = 22 962 Pa. Entonces, P2 = 45 866 Pa.
3. Temperatura: de la ley del gas ideal, T2 = P2 /(p 2R) = 45 866/(287.03 x 1.299) K
= 123 K.
4. Número de Mach: según la ecuación 12.58, se tiene que
sen 2 (f3 - a) = 0.572,
demaneraqueM 2 =2.587.
Para el inciso d) se usan las ecuaciones 12.48 y 12.49. Entonces, P02 / POI = 0.9676 Y
& = 9.444 J/kg· K = 9.444 m2/s2K.
•
Mi.
12.9 ONDAS DE CHOQUE OBLICUAS DÉBILES Y ONDAS DE COMPRESiÓN
¿Qué pasa cuando el ángulo de desviación para una onda oblicua se hace muy pequeño? Es
obvio que la intensidad de la onda se hace débil y los cambios en la temperatura, densidad
y entropía se hacen pequeños. En particular es interesante comparar el cambio en la entropía con respecto a las otras variables. Suponga que el número de Mach corriente abajo se
mantiene supersónico.
Si la ecuación 12.60 se reordena, se obtiene9
_ _ _ _ = y +1 tan(f3 -a) _ y -1
M l2 sen 2 f3
2
tanf3
2
Algunos arreglos posteriores dan
2
2R
M I sen fJ
9 Ver
_
1 _ Y + 1 M 2 sen f3 sen a
I
2
cos (f3 -a)
Liepmann y Roshko, Elements ofGasdynamics, publicado por John Wiley & Sons, 1957.
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(12.62)
12.9 ONDAS DE CHOQU E OBLICUAS DÉBILES Y ONDAS DE COMPRESiÓN
427
Cuando el ángulo de desviación es pequeño, sen a "" a y cos ({3 - a) "" cos {3, así que
M? sen 2 {3 -1 ""
(y;
1 M¡2 tan {3
)a
(12.63)
Asimismo, de la ecuación 12.61 y la figura 12-15, se tiene que para los casos donde M 2 > 1
tan {3 "" tan a M
Esto es, el ángulo de la onda se aproxima al ángulo de la onda de Mach. Puesto que
1
tana M ""---¡:::.===
~M¡2 -1
se tiene
(12.64)
La ecuación 12.64 proporciona las bases para desarrollar otras relaciones que se aplican
para ondas oblicuas débiles. Por ejemplo, mediante las ecuaciones 12.64 y 12.57 se obtiene
(12.65)
Así, la intensidad de la onda es proporcional al ángulo de desviación. Los cambios en las
otras propiedades del flujo, excepto la entropía, también son proporcionales a a. Sin embargo, la entropía es proporcional a la tercera potencia de la intensidad de la onda (ecuación 12.51). Por lo tanto, una onda oblicua débil causa un cambio finito en la presión,
temperatura y ángulo del flujo, pero estos cambios suceden casi de manera isentrópica. En
el límite de una onda muy débil, todos los cambios son isentrópicos y de esta forma se puede comprimir un flujo isentrópicamente mediante una sucesión de ondas oblicuas de
Mach. Por ejemplo, un flujo supersónico se puede desviar a cierto ángulo por una sola
onda (figura 12-17a) y la presión de estancamiento disminuirá. No obstante, si la vuelta
sencilla se reemplaza por una serie de vueltas más pequeñas (figura 12-17b) y cada una de
ellas genera una onda oblicua débil u onda de compresión, casi no habrá cambio en la entropía o presión de estancamiento. En el límite de una vuelta suave, el flujo es exactamente
isentrópico (figura 12-17c).
En el ejemplo 12.4, un flujo se desvió con Mach 3 mediante una onda sencilla a un ángulo de 10° y se encontró que el aumento de la entropía es igual a 0.0334R m2/s2K. Si en su
lugar se consigue la misma vuelta en diez pasos de 1° cada uno, se encontraría que el aumento de la entropía sería igual a 0.00033R m 2/s2K, o sea, 100 veces menor.
Así, la compresión por ondas de Mach es un proceso isentrópico. Por lo tanto, si en
cualquier punto se conoce el número de Mach todas las otras variables del flujo se pueden
conocer con las relaciones del flujo isentrópico que se desarrollaron en la sección 12.4.3.
Por consiguiente, la relación más importante que se debe conocer es la relación entre el número de Mach y el ángulo de desvío. Es decir, se necesita saber la función
a =v(M)
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(12.66)
428
CAP íTULO 12
FLUJO COMPRESIBLE
a)
!vi,
_!vi....:....'--!--¡-r
/';.a
o
a
~
Figura 12-17 Compresión de un flujo supersónico por el giro de un ángulo a . a) onda oblicua sencilla , b)
series de ondas débi les de compresión, e) giro continuo suave. Liepmann y Roshko, Elements of Gasdynamies, publicado por John Wiley & Sons Inc., 1957.
Ésta se denomina función de Prandtl-Meyer y se puede evaluar en fonna explícita encontrando cómo una desviación infinitesimal se relaciona con el cambio de velocidad del flujo
e integrando el resultado pa ra una desviación finita. Los detalles se explican en libros de
texto sobre dinámica de gases y flujo compresible. 10 Aquí sólo se presenta el resultado
final.
v(M) =
~Y + 1 tan - I
y- 1
( 12.67)
Por conveniencia, esta función se tabula en la tabla C-] 2.
Cualquier flujo supersónico con un número de Mach M tiene un valor particular de v.
Para encontrar el número de Mach M 2 después de una compresión isentrópica, mediante
una desviación de a , primero se calcula el valor de V I correspondiente al número de Mach
1., = ." -1a - a'¡ I
11'= v, +la-a,lt
Compresión
Expansión
FIGURA 12-18 Desviaciones isentrópicas sencillas: a) compresión , b) expansión . Liepmann y Roshko,
E/ements of Gasdynamies, publicado por John Wiley & Sons Inc., 1957.
IO Por
ejemplo, ver Liepmarul y Roshko, Elemen/s ofGosdYllolllics, publicado por Joho Wiley & Soos Tnc., 1957.
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12.10 ONDAS EXPANS IVAS
429
inicial M] . Luego se encuentra v2 sustrayendo el ángulo de desviación a la función de
Prandtl-Meyer (figura 12-18 a). Esto es
I v 2 = VI -
(a - a] ) I
compresión isentrópica
(12.68)
que da M 2 , ya sea de la ecuación 12.67 o de la tabla C.12. De esta manera se pueden encontrar todas las demás variables mediante las relaciones isentrópicas (o la calculadora del
flujo compresible disponible en http://www.engapplets.vt.edu/). Observe que v2 < vi' así
queM 2 < MI'
12.10 ONDAS EXPANSIVAS
Ahora se puede obtener un resultado más importante. Puesto que la compresión por ondas
oblicuas débiles (ondas de Mach) es isentrópica, ésta es reversible. En otras palabras, la dirección del flujo se puede alterar sin violar ninguna de las leyes de la termodinámica.
Por lo tanto es posible describir las expansiones isentrópicas con la misma función de
Prandtl-Meyer que se desarrolló para la compresión isentrópica.
Para una expansión isentrópica, la única diferencia es la convención del signo en a. Para
determinar el número de Mach, después de la expansión isentrópica, M 2' que origina la
desviación de un flujo de a (figura 12- 18b), v2 se calcula sumando el ángulo de desviación
a la función de Prandtl-Meyer corriente arriba (figura 12- 18b). Es decir,
I v 2 =v I -
(a - a]) 1
(expansión isentrópica)
(12.69)
Obseve que v 2 > VI' así que M 2 > M I'
EJEMPLO 12.5 Compresión y expansión isentrópicas
En el ejemplo 12.4 se consideró un ala en forma de diamante que viaja en un flujo de aire a
un Mach 3 (figura 12-16). El ángulo de desviación en las superficies superior e inferior de
la cuña es de 10°.
a) Si en vez de que la compresión se lograra por una serie de ondas de Mach, la compresión fuera isentrópica, encuentre el número de Mach coniente abajo y la presión.
b) Si en lugar de una compresión, el flujo experimentara una expansión isentrópica
de 10°, encuentre el número de Mach corriente abajo y la presión.
Solución Para el inciso a) se encuentra
i) Por interpolación en la tabla C.12 VI = 49.75°. Para una compresión isentrópica de
10°, v2 = 49.75° - 10° = 39.75°. A partir de la tabla, M 2 = 2.527 (en comparación con
2.587 para la misma desviación por una onda oblicua sencilla).
ii) Dado que el flujo es isentrópico, PO I = P02 Y la ecuación 12.28 da
y- ]
2]Y/(Y- I)
.!?l. = 1+ -2- MI
P2
[
1 + ~M2
2
2
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(12.70)
430
CAPíTULO 12
FLUJO COMPRESIBlE
así que P2 / PI = 2.062 (en comparación con 1.997 para la misma desviación por una onda
oblicua sencilla).
Para el inciso b) se tiene
i) Para una expansión isentrópica de 100, "z = 49.75° + 10° = 59.75°. Con base en la tabla C-12, M2 = 3.578.
ii) Para una expansión isentrópica se aplica la ecuación 12.70, de manera que P2 / PI =
0.786.
La presión aumenta a través de una compresión y disminuye por una expansión y el
número de Mach disminuye a través de una compresión y aumenta con una expansión. •
Además de
blema de estnn
tiene que el pat
que seguida de
(que desvía el
una letra N (fi,
causa el estruei
que el transpot
PROBLEMAS
12.11 ARRASTRE DE ONDA EN VEHíCULOS SUPERSÓNICOS
12.1
La formación de ondas en vehículos que viajan a velocidades supersónicas producen un
arrastre sobre el vehículo llamado arrastre de onda, cuya demostración se facilita al considerar el flujo sobre un ala en forma de diamante, como la que muestra la figura 12-16. La
onda oblicua que se anexa al borde de ataque causa que la presión aumente sobre su valor
ambiente. Esta presión actúa sobre la parte frontal del ala y tiene una componente resultante en dirección corriente abajo igual a la presión corriente abajo de la onda por el área de la
sección transversal del ala, Ac. El flujo entonces se expande en forma isentrópica a través
de una serie de ondas de expansión centradas en el ápice del diamante (éste se llama abanico de expansión), de manera que la presión cae por debajo del valor ambiente y en consecuencia aumenta la fuerza de arrastre sobre el ala. El arrastre de onda es igual a la fuerza
total debida a la diferencia de presiones que actúan sobre el ala en la dirección de la corriente principal.
El aumento de la presión y su disminución subsecuente se puede calcular si se usa la
relación de onda oblicua y la función de Prandtl-Meyer; así, para el ala en forma de diamante el arrastre por onda total se puede calcular con facilidad. Para las formas tridimensionales, el cálculo del arrastre de ondas puede ser muy dificil, pero es muy importante
hacerlo con precisión, ya que para los vehículos supersónicos ésta es la fuente principal de
arrastre.
¿Cuál es 1
misma ter
aguda (ne
12.2 Encuentn
10000 pi
12.3 A través (
no, R = 5
12.4 Encuentn
peratura I
12.5 Eneuentr
presión y
mente.
12.6 Encuentr
mósfera I
12.7 Un avión
20°C. El
a una vel
12.8 Se sabe e
una altur
12.9 El Natioi
Machyl
nieas COI
la 1:20 d
28° en UI
mero de
que1avi
diciones
en la atn
Onda
reflejada
12.10 Demues
casi exa
Nivel del suelo
FIGURA 12-19
Prentice-Hall,
Patrón de ondas que genera un transporte supersónico.
1985.
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Compressible
Flow, M. A. Saad,
PROBLEMAS
431
Además del arrastre, el patrón de onda que se forma sobre el vehículo genera un problema de estruendo sónico en el suelo. Para el flujo sobre el ala en forma de diamante se
tiene que el patrón de ondas que inciden sobre el suelo puede consistir de una onda de choque seguida de una expansión y entonces añadir otra onda de choque al borde posterior
(que desvía el flujo hacia su dirección original). La señal de la presión se observa como
una letra N (figura' 12-19) y en ocasiones se llama "onda N". El impacto ambiental que
causa el estruendo sónico es uno de los principales problemas que se requiere resolver para
que el transporte supersónico de pasajeros sea de práctica común.
PROBLEMAS
12.1 ¿Cuál es la velocidad de una onda sonora en aire a 300 K? ¿Cuál es la velocidad en helio a la
misma temperatura? Podría explicar ¿por qué una persona que inhala helio habla con una voz
aguda (no lo intente)?
12.2 Encuentre el número de Mach de un avión que viaja a 2 000 pie/s a alturas de 5 000 pie,
10000 pie, 20 000 pie y 30 000 pie. Suponga una atmósfera estándar (tabla C-6).
12.3 A través de una tubería fluye metano (CH4) a 20°C a una velocidad de 400 mis. Para el metano, R = 518.3 J/(kg · K), y Y = 1.32 ¿El flujo es subsónico, sónico o supersónico?
12.4 Encuentre la presión de estancamiento y la temperatura de aire que fluye a 100 pie/s si la temperatura en la corriente libre es de 60°F y la presión es la atmosférica?
12.5 Encuentre la presión de estancamiento y la temperatura de aire que fluye a 200 mis si la
presión y temperatura del campo de flujo no perturbado son 0.96 x 10 5 Pa y 10°C, respectivamente.
12.6 Encuentre la presión de estancamiento y la temperatura de aire que fluye a 200 mis en una atmósfera estándar a nivel del mar y a alturas de 2 000 m y 10 000 m.
12.7 Un avión vuela a una velocidad de 150 mis a una altura de 500 m, donde la temperatura es de
20°C. El avión sube a una altura de 12000 m, donde la temperatura es - 56.5°C y se establece
a una velocidad de 600 mis. Calcule el número de Mach en ambos casos.
12.8 Se sabe que el avión de reconoc:imiento Lockheed SR-71 vuela a un número de Mach de 3.5 y
una altura de 90 000 pie. Calcule la velocidad de vuelo en estas condiciones.
12.9 El National Ti-ansonic Facility (NTF) es un túnel de viento diseñado para operar a números de
Mach y Reynolds comparables a condiciones de ·vuelo. Usa nitrógeno a temperaturas criogénicas como fluido de trabajo. Una fotografiashclieren tomada en el NTF de un modelo a escala 1:20 del avión Concorde (envergadura a escala real de 30 m) muestra lUl ángulo de'Mach de
28° en lUl punto dondé la temperatura es de 100 K y la presión es de 9 000 Pa. Encuentre el número de Mach local y el número de Reynolds c911 base eri la envergadüra del model~ dado .
que1a viscosidad del nitrógeno en·estas condiciones es 7x 10- 6 N·s/m 2 . Compare con las condiciones que experimenta el avión a escala real que vuela a 600 mis a una altura de 20 000 m
en la atmósfera estándar.
12.10 Demuestre que el aumento de temperatura en K en lUl plUlto de estancamiento en una ala es
casi exactamente
Velocidad en mph )2
(
100
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432
CAPíTULO 12
FLUJO COMPRESIBLE
12.11 La sección de trabajo de un túnel de viento transónico tiene un área transversal de 0.5 m 2 . Co¡Tiente arriba, donde el área de la sección transversal es de 2 m 2 , la presión y la temperatura
son 4 x 105 Pa y 5°C, respectivamente. Encuentre la presión, densidad y temperatura en la sección de trabajo en el punto donde el número de Mach es 0.8. Suponga flujo isentrópico unidimensional.
12.12 El aire se aproxima a una onda de choque a 290 K Y 105 Pa. La temperatura corriente abajo de
la onda de choque es de 540 K. Encuentre:
a) la velocidad corriente abajo de la onda de choque,
b) la presión corriente abajo de la onda de choque y compárela con la calculada para un flujo isentrópico con la misma desaceleración.
12.13 Un tubo de Pitot se coloca en un flujo supersónico donde la temperatura de la corriente libre
es de 90 K Yel número de Mach es de 2.5. Frente a la sonda se forma una onda de choque normal. La sonda indica una presión de estancamiento de 52 x 103 Pa. Encuentre la presión, densidad, presión de estancamiento y velocidad del flujo corriente arriba de la onda.
12.14 Con una onda de choque normal se comprime aire a una temperatura de estancamiento de
700 K. Si el número de Mach corriente arriba es 3.0, encuentre la velocidad y la temperatura
corriente debajo de la onda y el cambio de entropía a través de la onda.
12.15 Encuentre el aumento máximo de la densidad a través de la onda de choque para un gas con
y = 1.4.
12.16 Un túnel de viento se abastece por un recipiente de aire donde la presión de 1.014 x 105 Pa y la
temperatura de 15°C son constantes. El aire pasa por una sección de trabajo de área 0.04 m 2 y
sale a un recipiente grande de vacío. Encuentre la presión, densidad, velocidad y flujo másico
en la sección de trabajo si el número de Mach es de 4.0. .
12.17 Un motor de cohete se diseña para proporcionar 10 000 N de empuje a 10 000 m de altura. La
presión y temperatura en la cámara de combustión son de 2 x 106 Pa y 2 800 K respectivamente. Los gases salen de la cámara de combustión a través de una tobera de Laval. Encuentre el
número de Mach a la salida y las áreas de la sección transversal de la salida y la garganta de la
tobera. Suponga que el flujo en la tobera es isentrópico y unidimensional y que la razón de calores específicos y para los gases de combustión vale 1.32.
12.18 Un túnel de viento descarga a la presión atmosférica. En la sección de trabajo donde el área
transversal es de 0.04 m 2 el flujo tiene un número de Mach de 3 y una presión de 0.3 x 105 Pa.
a) ¿Cuál es la presión de estancamiento mínima requerida?
b) ¿Cuál es la temperatura de estancamiento mínima requerida para prevenir la condensación del aire en la sección de trabajo (la temperatura de condensación en estas condiciones es casi de 70 K)?
e) ¿Cuál es la densidad de estancamiento correspondiente en estas condiciones?
d) ¿Cuál es el flujo másico en estas condiciones?
12.19 A través de una tobera convergente divergente con una razón de área (salida a garganta) de
3.5 fluye aire. Las condiciones de estancamiento corriente arriba son atmosféricas y la presión posterior se mantiene mediante un sistema de vacío. Encuentre:
a) el flujo másico si el área en la garganta es de 500 mm2 ,
b) el intervalo de presiones de salida en el que ocurrirá una onda de choque dentro de la tobera.
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PROBLEMAS
433
12.20 Un recipiente grande contiene aire a 6.8 x 105 Pa y15°C. El aire fluye de fonna isentrópica a través de una tobera convergente divergente hacia otro recipiente grande donde se puede
variar la presión. El área de la garganta es de 25 cm2 y el área de la salida de la tobera de
100 cm2 . Encuentre:
a) el flujo másico máximo a través de la tobera,
b) los dos valores del número de Mach en la salida de la tobera correspondientes a este flujo
másico,
c) las presiones de salida necesarias para producir estos números de Mach.
12.21 Un flujo de aire con número de Mach de 2.0 pasa a través de una onda de choque oblicua inclinada un ángulo de 45°. Encuentre el ángulo de desviación del flujo a.
12.22 Un flujo de aire con número de Mach de 8 se desvía por una cuña con un ángulo a. ¿Cuál es el
valor máximo de a para la onda oblicua?
12.23 Un flujo de aire supersónico pasa sobre una cuña simétrica con semiángulo de a
borde de ataque se observa una onda con un ángulo f3 = 30°. Encuentre:
a) el número de Mach corriente arriba,
b) el número de Mach corriente abajo,
c) la razón de las presiones de estancamiento a través de la onda.
= 10°. En el
12.24 Con una cuña de ángulo de 10° se desvía aire con un número inicial de Mach 2.4 y una presión
de estancamiento en la corriente libre de 10 5 Pa, y una temperatura estática de 270 K. Encuentre:
a) el número de Mach, la presión y temperatura corriente abajo de la onda,
b) el cambio de la entropía a través de la onda.
12.25 La onda del problema anterior se "refleja" en la pared opuesta, como muestra la figura
P12-25. La condición en la segunda onda es que el flujo se toma paralelo a la pared, de manera que la desviación del flujo a través de la segunda onda debe ser de 10°. Encuentre:
a) el número de Mach, la presión y temperatura corriente abajo de la segunda onda,
b) el cambio de entropía S3 - SI'
c) el ángulo de cuña máximo para la onda reflejada para que se mantenga adherida.
3
a =
10'
FIGURA P12-25
12.26 Un flujo de aire con un número inicial de Mach de 1.5 y presión PI se expande en fonna isentrópica al pasar a través de un deflector de 5°. Encuentre el número de Mach y razón de presiones después de la deflección.
12.27 Un flujo de aire a Mach 3.0 se desvía 20° por una onda oblicua. ¿Qué vuelta de expansión
isentrópica se necesita para regresar al flujo a
a) el número de Mach original,
b) la presión original.
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434
CAPíTULO 12
FLUJO COMPRESIBLE
12.28 Se requiere un ala de placa plana con una longitud de cuerda de 1 m y una anchura de 6 m para
generar una sustentación de 400000 N cuando vuela en aire a un número de Mach de 2.0, una
temperatura de -20°C y una presión de 105 Pa. ¿Cuál es el ángulo de ataque requerido? ¿Cuál
es el arrastre de onda a este ángulo de ataque?
12.29 Un ala simétrica en forma de diamante se coloca a un ángulo de ataque de 2° en un flujo a
Mach 2 y presión estática de 2 x 103 Pa. El medio ángulo en los bordes de ataque y posterior es
3°. Si su área superficial total (superior e inferior) es de 4 m2 , encuentre las fuerzas debidas a
la sustentación y arrastre de onda que se aplican sobre el ala.
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13
TURBOMÁQUINAS
CAPÍTULO
13.1 INTRODUCCiÓN
En este capítulo se examinan la operación y diseño de las turbomáquinas, las cuales son de
amplio uso en aplicaciones de la ingeniería y existe una gran variedad de ellas. Se clasifican de acuerdo con si suministran (+ Wjlec/¡a ) o extraen (- Wjlec/¡a ) energía mecánica de la
corriente de fluido (figura 13-1). Ejemplos de turbomáquinas que añaden energía al fluido
son las bombas, ventiladores, sopladores, compresores y hélices; los molinos de viento y
las turbinas de agua son ejemplos de turbomáquinas que extraen energía a los fluidos.
Las turbo máquinas se presentan de muchas formas y tamaños, pero su característica
común es que tienen un rotor o impulsor, o sea, una rueda equipada con aspas. En una turbina de agua, la corriente del fluido actúa sobre los álabes del rotor para producir una fuerza con una componente considerable en la dirección circunferencial y en una bomba los
álabes actúan en el fluido con un par considerable para aumentar la presión de la corriente.
Las turbomáquinas se subdividen de acuerdo con la dirección del flujo de salida comparada con la dirección del flujo de entrada. Por ejemplo, una turbina de hélice es una máquina de flujo axial, pues las direcciones del flujo de salida y entrada están alineadas a lo
largo de un eje común (figura 13-2a). El ventilador que muestra la figura 13-2b es una máquina de flujo radial o centrifuga, ya que las direcciones del flujo de entrada y salida son
ortogonales. También hay aparatos deflujo mixto que se incluyen en las categorías de las
máquinas de flujo axial y radial (figura 13-3). El diseño de cada máquina se adapta a alguna aplicación particular. Algunas veces se requiere un flujo alto o una presión alta y en
otras ocasiones un flujo alto con una presión alta.
A continuación se analizan algunos ejemplos comunes de turbomáquinas, como bombas, turbinas, hélices y molinos de viento. Antes de analizar estos aparatos es necesario
destacar los principios de cantidad de movimiento y la energía que se aplican a todas las
turbomáquinas.
13.2 ECUACiÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR
PARA UNA TURBINA
Puesto que se trata con máquinas en las que los álabes o rotores giran sobre un eje, la cantidad de movimiento angular es una variable importante. En el capítulo 5 se aplicó la segunda ley de Newton al flujo de fluido a través de un volumen de control fijo para desarrollar
una ecuación de cantidad de movimiento lineal en forma integral. Aquí se desarrolla una
ecuación simila. para la cantidad de movimiento angular. El principio básico de la cantidad de movimiento angular para un sistema con masa fija es
435
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436
CAPiTULO
13
TURBOMÁQUINAS
I TURBOMÁQUINAS I
I Extraen
energía
del flujo
Añaden energía
al flujo
Turbinas de
impulso
Turbinas de
reacción
Turbinas de
flujo radial o
centrífugas
I
(Rueda Pelton)
Turbinas de
flujo axial
Turbinas de
flujo mixto
Turbinas de
flujo radial o
centrífugas
I
I
Tipo Francis
Molino
de viento
BO~bas
I
Turbinas de
flujo mixto
I
Sopladores
Clasificación
de las turbomáquinas
I
Hélices
Bombas
Compresores
I
Figura 13-3
B
1988.
Tur~in as
a chorr o
Compresores
Turbina de aspas
(tipo Kaplan)
FIGURA 13-1
I
Turbinas de
flujo axial
con ejemplos.
dondeTes el
dad de movir
masa del siste
(Ves la velo:
ción). Ahora:
control fijo rr
Por lo tanto, .
a) Ventilador
,---+--
de flujo axial
El primer tér
men de conn
miento angul
neto de la Ca
par total apli
En todas
externo lo ap
Rotor -""7":...-----,
Entrada
L-
-.J
L Cubierta
b) Ventilador
FIGURA 13-2
de flujo radial
a) Turbina (o hélice) de flujo axial, b) ventilador de flujo radial (o centrífugo).
Munson, Young y Okishii, Fundamentals
of Fluid Mechanics,
John Wiley & Sons, 1998.
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Adaptado de
Se seleccion
coincide con
una velocida
13.2 ECUAC iÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANG ULAR PARA UNA TU RB INA
437
Flujo
Figura 13-3
1988.
Bomba de flujo mixto. De John y Haberman, Introduction to Fluid Mechanics, Prentice Hall,
T=dH
l
dt
(13.1)
sistema
donde Tes el par total o momento que se aplica al sistema por sus alrededores y H la cantidad de movimiento angular del sistema dado por la integral del momento sobre toda la
masa del sistema. O sea
H= f
masa
r x V dm = f
volumen
r x V p dV
(13.2)
(Ves la velocidad de cualquier punto y r, la distancia del punto desde el centro de rotación). Ahora se pueden relacionar las formulaciones del sistema con las de un volumen de
control f~o mediante el teorema de transporte de Reynolds (ecuación 5.21), así que
dHl
dt
= ~frxvpdV + f(n . pV)rXVdA
(13.3)
at
sistema
Por lo tanto, para un volumen de control fijo
T=
:t f
f
r x V p dV + (n . p V)r x V dA
(13.4)
El primer término del lado derecho representa, en el instante en que el sistema y el volumen de control ocupan el mismo espacio, la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento angular del fluido en el volumen de control; el segundo término representa el flujo
neto de la cantidad de movimiento angular en el volumen de control. La suma es igual al
par total aplicado a la masa de fluido en el volumen de control en el instante t.
En todas las aplicaciones que aquí se consideran el flujo es permanente y el único par
externo lo aplica una flecha. En ese caso
T flecha =
f (n· pV)rx V dA
(13.5)
Se selecciona un sistema coordenado fijo de manera que el eje de rotación de la máquina
coincide con el eje z (figura 13-4). El rotor gira dentro de un volumen de control anular a
una velocidad angular fija, ú) (rad/s). Se supone flujo unidimensional, de modo que el flui-
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438
cAPiTU LO 13
TURBOMÁQUINAS
U, = 'i O)
FIGURA 13-4 Volumen de control anular fijo y las componentes de velocidad absoluta para el análisis de
la cantidad de movimiento angular. De Fox y Macdonald, Introduction to Fluid Mechanics, John Wiley &
Sons, 4a. ed., 1992.
do entra al rotor en la posición radial r¡ con una velocidad absoluta uniforme, V; , y sale del
rotor en la posición radial r2 con una velocidad absoluta uniforme, V2 . La ecuación 13.5 se
reduce a
Tj/echa
k=
=
f (n· pV)r x V dA¡ + f (n· pV)r x V dA
pi¡ (r2 V ¡ 2
-
2
r¡ VII )k
donde i¡ es el flujo volumétrico y VII YV t2 son las componentes tangenciales de las velocidades absolutas del fluido que cruza la superficie del volumen de control. En forma escalar
(13.6)
Las velocidades tangenciales son positivas cuando apuntan en la misma dirección de la velocidad de los álabes. Esta convención en los signos proporciona pares positivos para las
máquinas que trabajan sobre el fluido (por ejemplo, bombas, ventiladores, sopladores y
compresores) y pares negativos para las máquinas que extraen trabajo al flujo (por ejemplo, turbinas hidráulicas y molinos de viento).
La ecuación 13.6 es la relación básica entre par y cantidad de movimiento angular
para todas las turbomáquinas. Algunas veces se llama ecuación de Euler de la cantidad de
movimiento.
La rapi~ez del trabajo hecho sobre el rotor de una turbomáquina, es decir, la potencia
mecánica, Wj/echa' está dada por w T j/echa ' así que
I Wj/echa = W T j/echa =pi¡w(r2 V 2 t
r¡ VII
)
I
(13.7)
m
Así la potencia mecánica aumenta en forma lineal con el flujo másico = pi¡, la velocidad
de rotación, w (rad/s) y el cambio de la cantidad de movimiento angular.
Al dividir la potencia mecánica entre mg, se obtiene una cantidad con las dimensiones
de longitud llamada carga
(13.8)
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13.4 TURBINAS HIDRÁULICAS
a)
b)
439
e)
FIGURA 13-5 Diagramas de velocidad para tres tipos de ventiladores centrífugos: a) aspas curvadas hacia delante, b) aspas planas, e) aspas curvadas hacia atrás. V es la velocidad absoluta del aire que sale del
aspa (igual en los tres tipos de aspas); Vrb es la velocidad del aire que sale del aspa en relación con los álabes y U es la velocidad de la punta del aspa.
La carga, H, representa el trabajo mecánico en la flecha por unidad de peso del fluido (positiva para una bomba, negativa para una turbina). Vtl y V t2 son las velocidades absolutas
tangenciales a la entrada y a la salida, respectivamente.
13.3 DIAGRAMAS DE VELOCIDAD
De esta manera, para encontrar la potencia que produce o suministra una turbomáquina es
necesario conocer las componentes de la velocidad en las secciones de entrada y salida.
Con este propósito se usan los diagramas de velocidad yen la figura l3-5 se presentan algunos ejemplos de distintos tipos de ventiladores centrífugos. El diagrama de velocidades
es sólo un diagrama de vectores que muestra la relación entre las velocidades absoluta y
relativa. El símbolo V se usa para las velocidades absolutas, Vrb denota una velocidad relativa al aspa y U es la velocidad de la punta del aspa.
Se supone que el flujo relativo al rotor siempre entra y sale tangente al perfil del aspa.
Los ángulos de los álabes, {3, se miden con respecto a la dirección circunferencial, como
ilustra la figura 13-6a. La velocidad absoluta del fluido es la suma vectorial de la velocidad
del propulsor y la velocidad del flujo relativa al aspa; esta suma puede encontrarse en forma gráfica, como describe la figura l3-6b y c. Así, U ¡ = wR¡ y U 2 = wR 2 . La velocidad
absoluta del fluido hace un ángulo a I respecto a la dirección normal en la entrada y un ángulo a 2 respecto a la dirección normal en la salida. En cada sección, la componente normal de la velocidad absoluta, Vil' es igual a la componente normal de la velocidad relativa
al aspa, V'b'
'"
13.4 TURBINAS HIDRÁULICAS
La turbina hidráulica convierte la energía potencial gravitatoria del agua a trabajo en la flecha. Conforme el agua pasa a través de la rueda de la turbina, que se guía con veletas o álabes, cambia su cantidad de movimiento. Las fuerzas que resultan de este cambio de la
cantidad de movimiento giran la rueda contra alguna carga externa, causando que haga trabajo. La diferencia entre los niveles del agua inicial y final se llama carga disponible, H, y
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440
CAPiTULO 13
TURBOMÁQU INAS
v,
'---<--'"----. U ,
b) Polígono de velocidades
en la entrada
a) Velocidad absoluta como la
suma de la velocidad relativa al
aspa y la velocidad del rotor
e) Polígono de velocidades
en la salida
FIGURA 13-6 Diagrama de velocidad para una máquina de flujo radial. De Fox y Macdonald, Introduction
to Fluid Mechanics, John Wiley & Sons, 4a. ed ., 1992.
mide el cambio de la energía potencial. 1 Se usan diferentes tipos de turbinas, según el tamaño de la carga disponible. Cuando la carga es alta (mayor o igual de alrededor de 300 m,
ó 1 000 pie), casi en exclusiva se usan turbinas de impulso. En este diseño, uno o más chorros de agua a presión atmosférica se dirigen contra los álabes en el borde de la meda (figura 13-7). La mayoría de la energía cinética del agua se convierte en trabajo y la descarga
tiene suficiente velocidad para vaciar los álabes y caer a los recipientes de bajo nivelo
(3)
Recipiente
~,',
, , ,' , ,
'(~)
H
I
L____________~ __ ~ _______ ~
a)
Agua
rezagada
b)
FIGURA 13-7 Rueda Pelton (turbina de impulso): a) vista en planta, b) sección a través del álabe. De
Hunsaker y Rightmire, Engineering Applications of Fluid Mechanics, McGraw-Hill, 1947.
I
La carga disponible siempre debe ser mayor que la carga que produce la turbina porque la eficiencia de ésta será siempre
.
menor que uno (sección 13.6).
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13.4 TU RBINAS HI DRÁULI CAS
441
agua rezagada. El agua pierde energía cinética conforme pasa a través de la rueda de impulso, pero entra y sale a la misma presión.
Para cargas menores se usan las turbinas de reacción. En ellas, el flujo a través de la
rueda o rotor, está encerrado por completo en una cubierta y la presión y velocidad de la
salida tienen distintos valores a los de la entrada. Hay dos tipos básicos de turbinas de reacción: turbinas de flujo radial y turbinas de flujo axial, lo cual se refiere a la dirección del
movimiento del agua en el rotor.
A continuación se examina con más detalle la operación de las turbinas de impulso, de
flujo radial y de flujo axial.
13.4.1 Turbinas de impulso
La rueda Pelton de la figura 13-7 se desarrolló en California alrededor de 1880. Se denomina así en honor de Lester A. Pelton (1829-1908), quien desarrolló el primer diseño eficiente. El concepto se remonta a las ruedas de agua simples que usaban los sumerios. En la
rueda Pelton, los álabes o cangilones se golpean con chorros de agua a altas velocidades
que tienen forma de cuchara con un vértice central. El vértice divide el chorro incidente a
. la mitad y cada mitad rebota en un ángulo de aproximadamente 165 0 • El par ejercido sobre
el rodete está dado por el cambio de la cantidad de movimiento del agua.
La turbina de impulso se puede analizar con las herramientas que se presentan en la
s~cción 13.2. A partir de la ecuación 13.6, el par está dado por
T jlecha
= pqr(V2 - Vt3 )
(13.9)
donde V2 y Vt3 son las velocidades tangenciales absolutas, que se supone tienen el mismo
brazo de momento, r. Cuando no hay pérdidas aguas arriba de la tobera, V2 = ~2gH, pero
en la práctica V2 puede ser mucho menor que este valor.
En este flujo también se puede usar la ecuación de Bernoulli, pero es necesario seguir
una línea de corriente y moverse junto con los álabes de manera que se tenga un marco de
referencia estacionario. Dado que la presión es atmosférica en todas partes y se desprecian
los cambios de altura
así que
donde V y Vrb¡ son las magnitudes de las velocidades relativas a los álabes (figura 13 -7).
rbz
Es decir,
y
VI3 = wr - Vrb cos (n - f3)
3
Por lo tanto
T jlecha
= pqr(Vrbz - Vrb¡
= pqr(V2
-
COs
wr)(1 -
f3)
COs
f3)
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(13.10)
442
CAPíTULO 13
TURBOMÁQUINAS
a
Debido las pérdidas en el sistema, el máximo par real disponible en la práctica tiene un
valor máximo de 0.91 Tj/echa .
La potencia mecánica que genera la turbina está dada por
W j/echa
= pqrw(V2 - wr)(1 - CoS {3)
(13.11)
En términos adimensionales,
e p = Wj/~cha =2;(1- ;)(1 - cos f3)
~pqVl
(13.12)
donde e p es un coeficiente de potencia y el parámetro; representa la razón de la velocidad
del álabe respecto a la velocidad absoluta del chorro de agua incidente. Esto es
; = wr
V2
Para un valor dado de {3, el coeficiente de potencia es máximo cuando la velocidad del álabe es la mitad de la velocidad absoluta del chorro del agua, de manera que; = 0.5 (lo cual
se demuestra al derivar la ecuación 13.12 con respecto a ;). En las turbinas reales el valor
óptimo de; es un poco menor, casi 0.45, por las pérdidas en el sistema. También se puede
observar que el coeficiente de potencia máximo se alcanza cuando {3 es lo más cercano posible a 180°. En la práctica, el ángulo debe ser de menos que 180°, ya que el flujo debe dejar paso al álabe siguiente. Como ya se explicó, un máximo práctico es quizá cercano a
165°. Con; = 0.45 Y{3 = 165°, e p = 0.973.
13.4.2 Turbina de flujo radial
La figura 13-8 ilustra un ejemplo de turbina hidráulica de flujo radial, donde el flujo se
confina por completo en una cubierta, de manera que la presión en la máquina puede ser
distinta de la atmosférica. El agua entra en forma directa a los álabes guías estacionarios
del conducto de entrada. Los álabes imparten cantidad de movimiento angular al agua antes de que entre al rodete rotatorio, donde la cantidad de movimiento angular disminuye
conforme el flujo produce trabajo. Este tipo de turbina también se conoce como turbina
Francis en honor de James B. Francis, quien la desarrolló en 1849. El tipo puramente radial
Álabes guias
estacionarias
Álabes
del rotor
FIGURA 13-8 Turbina hidráulica de flujo radial tipo Francis. De Fox y Macdonald , Introduction to Fluid
Mechanics, John Wiley & Sons, 4a. ed. , 1992.
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13.4 TURBINAS HIDRÁULICAS
443
Nivel inicial del agua (O)
(1) (2)
H
Nivel de remanso (5)
------------------------(4) ---
FIGURA 13-9 Esquema de una turbina hidráulica de flujo mixto. De Hunsaker y Rightmire, Engineering
Applications of Fluid Mechanics, McGraw-Hill, 1947.
que muestra la figura 13-8 se puede adaptar a flujos volumétricos más o menos pequeños y
cargas grandes, mientras que el tipo de flujo mixto de la figura 13-9 trabaja con eficiencia
en flujos volumétricos mayores y cargas menores. En conjunto, pueden alcanzar cargas
desde 5 m hasta 250 m. Las eficiencias pueden ser hasta de 94%.
Para analizar el desempeño de una turbina de flujo radial es necesario calcular el cambio de la cantidad de movimiento angular. Consider~ el diagrama de velocidades del rodete que ilustra la figura 13-10. Para un flujo permanente unidimensional se obtiene de la
ecuación 13.6:
(13.13)
donde V¡2 y Vt2 , son las velocidades tangenciales absolutas, que se supone tienen los respectivos radios de giro r2 y r2 ,.
13.4.3 Turbina de flujo axial
En la figura 13-11 se presenta un ejemplo de turbina de flujo axial. Las turbinas de flujo
axial (o hélices) en general se adaptan con aspas que se ajustan para lograr las condiciones,
de operación, propiedad que desarrolló el ingeniero checo Víctor Kaplan. Ésta es más
compacta que una turbina Francis, gira más rápido y mantiene una eficiencia alta en un intervalo amplio de condiciones debido a la flexibilidad que permiten los álabes ajustables.
Por su complejidad, es más cara que la tipo Francis, pero es posible una eficiencia de más
del 92% en unidades de más de 60 000 hp de capacidad.
Los álabes guía se acomodan de la misma forma que en la turbina Francis, como describe la figura 13-11 y tienen el mismo propósito, que es girar el flujo. Sin embargo, antes
de entrar al rodete, la corriente se gira en ángulo recto y se supone que no tiene componente de velocidad radial al pasar por el rodete, que la componente axial es uniforme a través
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444
CAPITULO 13
TURBOMÁaUINAS
FIGURA 13-10 Notación para una turbina de flujo radial. De Hunsaker y Rightmire, Engineering Applications of Fluid Mechanics, McGraw-Hill, 1947.
de la salida y que el flujo es permanente. En este caso, de la ecuación 13.6 se obtiene entre
las secciones 2' y 3
(13.14)
donde V12 , y VI3 son las velocidades tangenciales absolutas que se supone tienen los radios
de giro promedio r2, Y r3 , respectivamente. Para un análisis más detallado de las desviaciones del flujo unidimensional se requiere calcular el par por integración sobre las áreas de
entrada y salida.
EJ EM PLO 13.1
Ventilador de flujo axia/2
Un ventilador de flujo axial opera al 200 rpm. El diámetro en la punta de los álabes, DI es
de 1.1 m y el diámetro central, D h' de 0.8 m. Los ángulos de entrada y salida de los álabes
son de 30° y 60°, respectivamente. Los álabes guía de entrada dan un ángulo de 30° al flujo
que entra. El fluido es aire a presión atmosférica y 15°C, Ypuede suponerse incompresible.
La velocidad axial del flujo no cambia a través del rotor. Suponga que el flujo (relativo)
entra y sale del rotor con los ángulos del aspa y para los cálculos use las propiedades en el
radio medio de los álabes .
a) Esquematice las formas de los álabes del rotor.
b) Dibuje el diagrama de velocidad de entrada.
e) Calcule el flujo volumétrico.
d) Dibuje el diagrama de velocidad de salida.
e) Calcule los valores mínimos del par y potencia necesarios para operar el ventilador.
2
Este ejemplo se adaptó de Fox y Mcdonald, Introduction fo Fluid Mechanics, publicado por John Wiley & Sons, 4a. ed. ,
1992.
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13.4 TU RB INAS HIDRÁULICAS
445
-
Álabes guía
FIGURA 13-11 Notación para turbina de flujo axial tipo Kaplan . De Hunsaker y Rightmire, Engineering
Applications of Fluid Mechanics, McGraw-Hill, 1947.
Solución Las formas de los álabes son como ilustra la figura 13-12a y el diagrama correspondiente de velocidad de entrada lo muestra la figura 13-12b. La ecuación de la continuidad da
o
q= VII! Al
=
V Il2 A 2
Puesto que Al = A 2 , entonces VIII = V n2 , y el diagrama de la velocidad de salida es como
describe la figura 13-13.
Para completar los diagramas de velocidad y para encontrar el flujo volumétrico, es
necesario calcular U, V;,l' VI' VII' V rb " V 2 , V I2 y a 2 . Se empieza con U. En el radio medio
de los álabes
El radio medio de los álabes
r,n
= (DI +D,Y 4. Asimismo
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446
CAPiTULO 13
TURBOMÁQUINAS
a)
b)
FIGURA 13-12
Formas de los álabes y diagrama de las velocidades de entrada.
rev
rad
min
x - - ==126rad /s
rev 60 seg
w ==1200- x2n min
Por 10 tanto
u == (1.1 +0.8) m x 126 rad == 59.7 mis
4
seg
Del diagrama de la velocidad de entrada
U == VIlI (tan al +cot fJ 1)
Donde a l == fJ I == 30°, así que
VIII
== V II2 ==25.9 mis
Entonces'
VI == ~ == 29.9 mis
cosa l
V;I == VI sen al == 15.0 mis
U =wR",
\
\
\
\
\
\
\
V
2
I
\
\
\
'
________ J.~~2 __ _
V"
FIGURA 13-13
Diagrama de la velocidad de salida.
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13.5 BOM BAS
447
y
V
Vr = _n_l_ = 51.8 mis
b¡
sen f3 1
Ahora se puede calcular el flujo volumétrico
q = Vnl Al
= V"I {(D¡2 - Dl) = 11.6 m 3/s
Según el diagrama de velocidad de salida
V I2
=U -
V"2
tan(90° - f3 2) = (59.7 - 25.9 tan 30°) mis = 44.7 mis
También
V
tan a 2 = ---ªVn2
de modo que
y
V
V2 = _ _,,2_ = 51.6 mis
cosa 2
Para encontrar el par se usa la ecuación 13.6, con rl = r2 = rm , así que
T flecha =
pqrm (VI 2
- VII)
Entonces, al usar unidades del SI
T flecha
= 1.2x l1.6x 0.~5 x (44.7 - 15.0) N· m = 196 N . m
y la potencia requerida está dada por la ecuación 13.7
Wflecha = (J) T flecha = 24.7 k W
•
13.5 BOMBAS
Las bombas rotativas, igual que las turbinas, se dan en tres tipos: bombas de flujo radial o
centrífugas, de flujo mixto o de tomillo y de flujo axial o de hélice (figura 13-14). Para las
bombas centrífugas, por lo común la entrada está a un lado del impulsor, en línea con el eje
de rotación, pero el flujo puede entrar de ambos lados para balancear el empuje. Se puede
suponer que el flujo en la entrada no gira, de manera que la velocidad tangencial es cero.
Las bombas centrífugas se usan en aplicaciones para cargas altas (2: 6 m) y flujos volumétricos bajos. Las bombas de tomillo tienen cierto número de álabes con forma de tomillo
que se usan para cargas entre 3 y 5 m . Las bombas de hélice se usan en aplicaciones para
cargas bajas « 6 m) y flujos volumétricos altos. También tienen la ventaja de manejar sólidos en suspensión y se emplean para bombear comestibles, lácteos y drenajes. En general
todas las bombas rotativas necesitan cebarse, lo cual significa que si se llenan con aire no
pueden succionar el líquido que esté debajo de la entrada.
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448
a)
cAPiTULO 13
b)
TURBOMÁQUINAS
e)
d)
Flujo mixto
centrifugo
Bombas centrifugas
en espiral
®---~
Flujo mixto o de tornillo
guia
Impulsor de
flujo axial
FIGURA 13-14 Tipos de impulsores de bombas comunes. Adaptado de Duncan, Thom, y Young, Mechanics of Fluids, Edward Amold, 2a. ed. , 1970.
Estos tres tipos de bombas son muy comunes en la industria. No obstante, las bombas
centrífugas son, sin duda, las más comunes de las tres y es el único tipo que aquí se trata. 3
13.5.1 Bombas centrífugas
Como muestra la figura 13-14, una bomba centrífuga tiene un impulsor que gira dentro de
una cubierta. El fluido entra a lo largo del eje de rotación, se mueve en forma radial hacia
fuera a través del impulsor para ganar velocidad y presión y así descarga hacia la espiral o
difusor, donde pierde velocidad y gana presión. El flujo deja al impulsor con una velocidad que tiene una componente hacia fuera y una retrógrada relativas al impulsor. La componente absoluta tangencial, ~2 ' está dada por la velocidad de la punta del impulsor, U2 =
ror2 , menos la componente tangencial de la velocidad relativa, Vr~ cos fJ 2' La figura 1315 muestra un diagrama de velocidad típico.
Si el flujo entra en el impulsor sólo con velocidad absoluta axial, el fluido que entra no
tiene cantidad de movimiento angular y VII = O. Así, el par está dado por la ecuación 13.6
Tj7eeha = pqr2 Vt2
(13.15)
La potencia mecánica que entra a la bomba está dada por
W¡zecha = wTj7eeha = pqwr2 Vt2
(13.16)
La figura 13-16 ilustra las características de una bomba centrífuga en función de la descarga. Es común graficar curvas de características para una velocidad de rotación constante
en la flecha, como muestra la figura 13-17. La variable independiente es la descarga o el
flujo volumétrico, q, y las variables dependientes son la carga de salida, H, la potencia de
3
Para un análisis del rendimiento de las bombas de flujos mixto y axial ver F. M. White, Fluid Meehanics, publicado por
McGraw-Hill, 1986.
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13.5
FIGURA 13-15
Diagrama de velocidades
BOMBAS
449
en la salida del impulsor de una bomba centrífuga.
Young, Mecha-
entrada, Wjlecha y la eficiencia, 1] (ver a continuación).
san en forma dimensional.
Las variables casi siempre se expre-
e, las bombas
uí se trata. 3
13.5.2 Cavitación
ira dentro de
a radial hacia
ia la espiral o
n una velocilsor. La cornpulsor, U2 =
La figura 13queentrano
ación 13.6
En las turbomáquinas la cavitación se presenta cuando la presión local cae por debajo de la
presión del vapor del líquido. Se formarán burbujas de vapor pequeñas que pueden tener
un efecto devastador en el impulsor. Al chocar sobre la superficie del impulsor se desarrollan presiones intensas que pueden causar al impulsor daños profundos y quizá fallas eventuales en la superficie del material.
En las bombas hay dos fuentes de cavitación: las velocidades en las puntas de los álabes producen regiones de presiones muy bajas donde se forman burbujas y las presiones de
entrada pueden ser tan bajas que en el lado de la entrada se forman burbujas. La primera
fuente de cavitación se presenta en las turbinas hidráulicas, pero la segunda fuente se res-
14
o
120
--= f--::.
(13.15)
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(13.16)
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de la desearón constante
escarga o el
potencia de
'cs, publicado por
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V
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V
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400
800
FIGURA 13-16
D
7'ála~
N,=1885
-!--
o
U
:7..!.pulg
1200
1600
2000
Gapacidad,gpm
,
-, ~
1\\
1"- :,\
Velocidad
constante
1450rpm
~
I I 1
2400
2800
Curvas de características
more, Fluid Mechanics
with Engineering
1
I
D
...i
.,
~
3200
para una bomba centrífuga.
Applications,
De Daugherty,
8a. ed., publicado por McGraw-Hill,
www.elsolucionario.org
Franzini y Finne1985.
450
cAPiTULO
13
TURBOMÁQUINAS
1 .
1
700
36
14
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FIGURA 13-18
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b)
FIGURA 13-17
Curvas de características
para dos modelos de bombas centrífugas de agua: a) cubierta
básica con tres tamaños de impulsor, b) cubierta 20% mayor con tres hélices más grandes a una velocidad
menor. De la corporación
Ingersoll-Rand,
División Cameron Pump.
tringe a las bombas. El lado de entrada de la bomba es la región de baja presión donde primero ocurre la cavitación y así las burbujas entran en el impulsor, donde pueden colapsar y
causar erosión.
EJEMPLO 1:
En el impulse
a través de un
es axial y unif
sor a 10 pie/s 1
mine
a) La al
b) El pa
e) La pl
4
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Este ejemplo se a
13.5 BOMBAS
451
VCfijo
1- - - - - 1 - T
~~~,.OJR ,
,
\
r.. L
,
\
I
I
---_...
FIGURA 13-18
I
I
"
:
:
---+- 1
I
r
\
,
,
Z-. I
V
R 2 = 2 pu lg
I
I_ ---Í-
-+ ,'
OJ = 3 450 rpm
/
:
,
'
1_ _____1
-11b,
Bomba ce ntrífuga.
En la figura 13-17 se grafica la carga neta de succión positiva (NPSH, net positive-suction head) cerca de las partes superiores de las gráficas para bombas centrífugas de
agua, la cual es la carga que se requiere a la entrada de la bomba para evitar que el líquido
cause cavitación. La NPSH se define como
NPSH = Pi - p" + V/
pg
2g
(13.17)
donde Pi YVi son la presión y la velocidad en el lado de la entrada y Pv es la presión de vapor del líquido. Si la entrada de la bomba se localiza a una distancia hi encima del nivel del
líquido y no hay pérdidas significativas en la tubería de la entrada, entonces, según la ecuación de Bemoulli para flujo permanente
V
..!!..L + /
pg 2g
+h-~
pg
I
donde P r es la presión en la superficie libre del líquido. Esto es
NPSH = P r
-
Pv
pg
-
h
1
Mientras la máquina se opera por encima de la línea de NPSH, no se presentan problemas
de cavitación en la entrada de la bomba.
EJEMPLO 13.2 Bomba centrífuga. 4
En el impulsor de una bomba centrífuga entra un gasto de agua de 150 gpm axialmente
a través de una entrada de 1.25 pulg de diámetro (figura 13-18). La velocidad de entrada
es axial y uniforme. El diámetro de salida del impulsor es de 4 pulg. El flujo sale del impulsor a 10 pie/s respecto a los álabes radiales. La velocidad del impulsor es 3 450 rpm. Determme
a) La anchura de la salida del impulsor, b2 .
b) El par mínimo para operar el impulsor.
e) La potencia mínima requerida.
4
Este ejemplo se adaptó de Fox y Macdonald, l nfroducfion fo Fluid Mechanics, John Wiley & Sons, 4a. ed. , 1992.
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452
cAPITULO 13
TURBOMÁaUINAS
Solución La ecuación de continuidad da
o
así que
3
b = - -'q'-------= - 1- x150 gal x_1_ x _ s_x pie
xmin x 12pulg
2
2JtR2Vr~
2Jt
mm 2 pulg 10 pie 7.48 gal 60 s
pIe
= 0.0319 pie o 0.383 pulg
El par está dado por la ecuación l3 .6
Tj/echa
= pqR 2 Vl 2
ya que el flujo axial de entrada no tiene componente z de cantidad de movimiento angular.
. O sea
Se tiene
rev
rad min
w =3450- x 2 J t - x - = 361 rad/s
min
rev 60 s
Entonces, al usar unidades del sistema BG
T j/echa
=2Jt x 1.94
s~ug
ple 3
x 361 rad x ~ pie 3 x 0.0319 pie x 10 pie = 6.50 pie · lb f
s
12 3
s
y la potencia requerida está dada por la ecuación 13.7
W
j/echa
=W
T
j/echa
=361 rad x 6.50 hp = 4.27 hp
S
550
La potencia y el par de entrada reales pueden ser mayores que los valores calculados por
las pérdidas de energía en el sistema que no se consideran en este análisis.
•
13.6 MEDICIONES DEL RENDIMIENTO RELATIVO
Un parámetro importante es la eficiencia de la turbina, que mide cuánto trabajo útil se hace
en comparación con el máximo teórico. Para una turbina hidráulica con una diferencia de
carga, H (la diferencia entre los niveles del agua máximo y. mínimo), hay cierta cantidad
de potencia ideal disponible llamada potencia hidráulica, Wh , dada por
Wh = pqgH
.
(13.18)
.
y la eficiencia se define como rJ I = Wj/echa /W¡" así que
Wj/echa
W T j/echa
Wh
pqgH
rJl = --.-=_.::...--
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(l3.19)
13.6 MEDICIONES DEL REN DI MIENTO RELATIVO
.
453
.
Para las bombas, Wh mide la potencia que produce la bo~ba y Wjlec/¡a' la potencia que se le
aplica, de modo que la eficiencia se define como r¡ p = w;. / Wjlecha y
= ~= pqgH
r¡
P
Wjlecha
wTjlecha
(13 .20)
La figura 13-19 muestra la eficiencia óptima de las turbinas como función de la velocidad
específica. Aquí, la velocidad específica N;d se define como
N' _
N (rpm)~WjleCha (hp)
[H(pie)]5/4
sd -
(13 .21)
y se calcula en las unidades acostumbradas en Estados Unidos de rpm, bhp y pie, de modo
que no es adimensional. La figura ilustra que los tres diferentes tipos de turbinas hidráulicas son adecuados para distintos intervalos de operación, con base en el valor de la velocidad específica.
La velocidad específica es el factor principal que determina la selección de las turbinas.
Estas curvas se pueden comparar con las eficiencias óptimas de distintos tipos de bombas,
que en la figura 13-20 se muestran como una función de la velocidad específica. Aquí, la
.
velocidad específica N s se define como
N = N(rpm)~q (gpm)
s
[H(pie)]3/4
(13 .22)
y también se calcula en las unidades acostumbradas de Estados Unidos de rpm, gpm y pie,
de manera que tampoco es adimensional. Se observa un comportamiento muy similar basado en el valor de la velocidad específica: las máquinas de flujo radial se adaptan a valo-
100
-------L.------t-.-------t----...í----h----k-----
·-··-··..-······· .. -too.. o....
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80
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I
I
i
i
I
70L-------~:--------~:--------~--~--~-L!--~
20
40
60 80 100
10
FIGURA 13-19 Eficiencia óptima de turbinas hidráulicas como función de la velocidad especifica. La velocidad especifica N ~d (ecuación 13.21) se calcula en las unidades acostumbradas en Estados Unidos de
rpm , bhp y pie, de modo que no es adimensional. Tomado de Munson, You ng y Okishii, Fundamenta/s of
Fluid Mechanics, John Wiley & Sons, 1998.
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454
CAPíTULO 13
1.0
TURBOMÁQUINAS
I
!I
I
0.9
'1máx
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-------T----·-----
1
:
:
j
Fl ujo
!
0.8 ----.--- -------I---------·---·-·-·-i-·-··------------:-----, .------.-----.--+.--------1
Bo~ba
I
¡
mixto
.
I
'.
I
I
! Flujo
!
cent(lfuga
I
I
¡ axial
,
J I .
0.7
--------------f·---------r--------i-r--------¡--------
0.6'--_ _---'_ _ _---'-_ _ _---'_-'--_ _ _'--_-'
500
1000
2000
40005000
10000 15000
=N(rpm)~
N
,
(H (pie)) 3/4
FIGURA 13-20 Eficiencia óptima de tipos de bombas como función de la velocidad específica. La velocidad específica N s se calcula en las unidades acostumbradas en Estados Unidos de rpm, bhp y pie, de
modo que no es adimensional. Tomada de F. M. White, Fluid Mechanics, McGraw-Hill, Nueva York, 1986.
res bajos, los aparatos de flujo mixto, a valores intermedios y las máquinas de flujo axial, a
valores altos.
En la figura 13-17 se mostró el comportamiento de la eficiencia de dos modelos de
bombas de agua comercial para un intervalo de tamaños y valores de la descarga. El comportamiento es muy complicado y el reto para el diseñador es crear o especificar la bomba
de manera que opere lo más cerca posible del valor óptimo para el ciclo de función dado.
13.7 ANÁLISIS DIMENSIONAL
Como ya se estableció, para describir el rendimiento de turbomáquinas es posible desarrollar ecuaciones más o menos simples. Sin embargo, las ecuaciones se obtuvieron al suponer flujo permanente unidimensional y en la mayoría de los casos, el flujo real en una
turbomáquina es muy complejo. El desempeño real se distinguirá del desempeño ideal por
los efectos de la distribución no uniforme de la velocidad, las pérdidas por viscosidad y separación, así como de la fricción mecánica. Para calcular las pérdidas en una máquina es
necesario resolver las ecuaciones de movimiento completas. Sin embargo, en general no
es posible un tratamiento analítico. Aun las soluciones de las ecuaciones básicas que se generan por computadora pueden proporcionar sólo una guía para propósitos del diseño y,
por lo tanto, los nuevos diseños siempre necesitan probarse mediante experimentos; por lo
común se construyen modelos. Así, para hacer predicciones que se apeguen al comportamiento del prototipo se requiere usar el análisis dimensional. Los modelos a escala, el análisis dimensional y los experimentos a menudo son las únicas aproximaciones prácticas,
aunque es esencial una comprensión básica del fenómeno fisico principal.
El rendimiento de una turbomáquina se describe en términos de la diferencia de presión a través de la máquina, !!.p, el flujo , q, su tamaño (que se indica, por ejemplo, por el
diámetro del rotor, D), la velocidad de rotación, N (por lo común medida en rev/s o rps) y
las propiedades del fluido , p y /l. Es decir
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13.7 ANÁLISIS DIMENSIONAL
I'1p = f"(D, N,
q, p, fi)
455
(13.23)
Con el análisis dimensional se obtiene
(13 .24)
La diferencia de presión suele expresarse en términos de la diferencia de carga (gH), así
que
(q
2
gH
ND )
N 2 D 2 =f1 ND 3 '-v-
(13.25)
En ocasiones el lado izquierdo de la ecuación 13.24 se puede escribir en términos de la potencia de la máquina P, donde P oc I'1pA V, donde A y V son un área y una velocidad representativas, respectivamente. En términos de las variables primarias D y N , se puede
escribir P oc I'1pD 3 N, de modo que
.
P
pN 3 D 5 = f
2
(q
ND
2
3 '
ND )
-v-
(13.26)
En forma similar, el lado izquierdo de la ecuación 13.24 se puede escribir en términos del
par de la máquina, T, donde T oc I'1pAD, de manera que en términos de las variables primarias T oc I'1pD 3 , Y
(13.27)
Como se explicó en la sección 13.2, la definición de la eficiencia r¡ depende de si el trabajo
en la flecha se hace sobre el fluido o si éste hace el trabajo sobre la flecha. En una turbina
hidráulica, la potencia mecánica de salida es menor que la potencia hidráulica, por lo tanto
(13.28)
Para una bomba, la potencia de entrada es mayor que la potencia hidráulica producida, así
que
(13.29)
Los parámetros adimensionales desarrollados aquÍ tienen los nombres siguientes :
gH
N 2D 2 '
P
coeficiente de carga, eH
coeficiente de potencia, e p
coeficiente de par
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456
CAPíTULO 13
TURBOMÁQUINAS
q
ND 3 '
g(NPSH)
N 2D
2
coeficiente de flujo,
eQ
coeficiente de carga de succión, e HS
'
ND 2
v
número de Reynolds
En general N se mide en rev/s no en rad/s. Observe que el coeficiente de potencia definido
es diferente al que se proporcionó en la ecuación 13.12 por la exclusión de algunas constantes adimensionales como ~ y lí .
Un parámetro adimensional adicional llamado velocidad especifica N; puede formarse dividiendo el coeficiente de flujo entre el coeficiente de carga y tomando la raíz cuadrada.
velocidad específica
(13.30)
A partir de la ecuación 13.25 se tiene
N" = Njq
s
(gH)3 /4
= (~ND2)
3
14 ND '
(13.31)
V
El parámetro N; es adimensional, pero las cantidades N;d y N s ' que se definieron en las
ecuaciones 13.21 y 13 .22, no lo son.
El número de Reynolds para la mayoría de las turbomáquinas es grande, incluso para
los modelos a escala, de modo que en el modelo y en el prototipo es usual el flujo turbulento. En ese caso, se ha encontrado que con frecuencia los efectos de la viscosidad se pueden
despreciar. Por lo tanto, en general se supone que
N~~2 = g{ N~3 )
(13.32)
PN~D5 = g{ N~3 )
(13 .33)
PN~D5 = g{ N~3 )
(13.34)
y
(13.35)
Estas relaciones funcionales proporcionan las bases para las pruebas con modelos y también se usan en la presentación de datos experimentales, aunque, como se señaló en la sección 13.6, en la industria por lo común se usan los parámetros dimensionales.
Para demostrar las leyes del escalamiento en el rendimiento de bombas, los datos dimensionales de la figura 13-17 se grafican adimensionados en la figura 13-21 . La corre la-
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13.8
,----,-----,--,------r-----,
HÉLICES Y MOLINOS
DE VIENTO
457
1.0
0.9
0.8 r¡
7
0.7
0.6
adefmido
as consuede fora raíz cua0.8
0.7
(13.30)
0.5
0.4
o
o
FIGURA 13-21
(13.31)
Cp
0.6
0.1
0.15
0.3
0.25
0.2
Gráfica adimensional
Estos datos no son representativos
CflS
de los datos del rendimiento
de bombas dados en la figura 13-17.
de otros diseños de bombeo. Los coeficientes
revs/s. Tomada de F. M. White, Fluid Mechanics,
McGraw-Hill,
se evaluaron con N en
Nueva York, 1986.
ron en las
luso para
turbulenepueden
(13.32)
(13.33)
(13.34)
(13.35)
os y tamen la secdatos dicorrela-
ción de datos es razonablemente convincente, en especial para los coeficientes de potencia
y de succión. Así, las curvas adimensionales pueden usarse para escalar una amplia variedad de bombas de la misma familia, mientras que el desempeño no se aparte mucho del intervalo que cubren los datos experimentales originales.
13.8 HÉLICES Y MOLINOS DE VIENTO
Otro tema interesante es la operación de hélices y molinos de viento. Se consideran por separado de las bombas y las turbinas porque en general operan en un flujo libre, es decir,
suelen estar descubiertos.
Las hélices y los molinos de viento son aparatos que usan perfiles aerodinámicos para
cambiar la presión del fluido con objeto de producir una fuerza y el cambio de presión sucede por los cambios en la cantidad de movimiento del fluido. Los álabes de las hélices de
un avión, por ejemplo, tienen forma de perfil aerodinámico en cada posición radial. La velocidad de rotación es proporcional al radio y, por lo tanto, la dirección de la velocidad resultante también cambia con la distancia radial. Los álabes de las hélices están torcidos de
manera que el ángulo de ataque permanece dentro de los límites de diseño del perfil y se
produce con eficiencia la sustentación en cada sección. Las aspas que maneja un simple
ventilador enfriador forman también un tipo de hélice, pero por lo común son una hoja torcida de metal o plástico para reducir costos. Por otra parte, las hélices de los barcos se deben diseñar para el máximo empuje mientras se limita la velocidad de la punta para evitar
la cavitación (figura 8-1).
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458
CAPíTULO 13
TURBOMÁQUINAS
Las hélices aumentan la cantidad de movimiento del fluido y un molino de viento la
disminuye, pero el análisis de su operación es muy semejante y sólo es diferente la dirección de la fuerza resultante. Para iniciar se supondrá que la fuerza debida a las diferencias
de presión acelera el flujo en la dirección axial sin giros y la fricción del fluido que se puede despreciar. Con estas suposiciones, se puede calcular el empuje y la velocidad relativa,
V, en la hélice. F es la fuerza que la hélice ejerce sobre el fluido (figura 13-22). La velocidad del flujo lejos corriente arriba, en relación con la hélice es V¡ . Se selecciona un marco
de referencia que se mueva con la hélice (necesita moverse a una velocidad VI)' de manera
que el flujo sea permanente con respecto al observador. Se supone que el flujo es incompresible y la hélice barre un área A.
La hélice jala al fluido desde un área mayor que A y lo expele sobre un área menor que
A. Si se dibujan las líneas de corriente que encierran al flujo, se define una frontera de líneas de corriente llamada tubo de corriente. El volumen contenido entre estas líneas de
corriente y las áreas 1 y 4, donde la velocidad del flujo es paralela y en la dirección principal, en general se usa como un volumen de control para analizar hélices o molinos de viento (VCl). Es necesario un segundo volumen de control que encierre la hélice misma (VC2).
Este volumen se toma de forma rectangular. Suponiendo flujo unidimensional, las ecuaciones de la continuidad y de la componente x de la cantidad de movimiento para VC2 son
y
F + P2 A - P3 A =
-
P V} A + p Vl A
respectivamente. La ecuación de continuidad da V2 = V3 : no hay salto de velocidad a través
de la hélice, sólo un salto en la presión. Entonces
F = (P3 - P2)A
En el VC2 no puede aplicarse la ecuación de Bemoulli porque la hélice incrementa la energía del flujo (el aumento en la presión hace trabajo en el flujo). Sin embargo, para el VCl, la
ecuación de Bemoulli se aplica entre las secciones 1 y 2 Y 3 y 4. Así
2
PI +1PV/ +pghl = P2 +1 PV2 +pgh2
2
P3 +1PV3 +pgh3 = P4 +1P Vl +pgh4
Suponga que la presión en las líneas de corriente de frontera es igual a la presión atmosférica, de modo que PI = P4 = Pa. Asimismo, de la ecuación de la continuidad, V2 = V3
(= V), Y si se ignoran las diferencias de carga hidrostática en las líneas de corriente (esto es
razonable si son pequeñas comparadas con P3 - P2)' entonces
VC I
I
/
V" A,:
V,A
VC2
I
I
I
I
I
:4
I
FIGURA 13-22
Vol umen de control para una hélice.
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13.8 HÉLICES Y MOLINOS DE VI ENTO
459
2
lpv,
2 = p 2 + lpV
2
I
2
y
Por lo tanto
y
(13.36)
Si luego se aplican las ecuaciones de la continuidad y la componente x de la cantidad de
movimiento entre las secciones 1 y 4 del Ve1, se obtienen, respectivamente
p V¡ Al = P V4 A4 = m
F
= (- m)VI + (+m)V4 = m(V4
-
V¡)
(13 .37)
Al eliminar F de las ecuaciones 13.36 y 13.37 se obtiene
V = ~(VI +V4 )
(13.38)
de modo que la velocidad en la hélice es sólo el promedio de las velocidades en las estaciones lejanas corriente abajo y corriente arriba de la hélice. En otras palabras, delante de la
hélice y detrás de ella hay el mismo aumento de velocidad.
Por último, considere la potencia necesaria para mover la hélice. El trabajo que realiza
la hélice es igual al empuje, F, multiplicado por la distancia. En un tiempo !1t, la hélice
se mueve una distancia V¡!1t y así, el trabajo por unidad de tiempo (= la potencia P) , está
dado por
P = FV¡ = m(V4 - VI )V¡
La rapidez de cambio de la energía cinética en el tubo de corriente entre las secciones 1 y 4,
PKE' está dada por el flujo másico multiplicado por la mitad de la diferencia de las velocidades al cuadrado, así que
PKE = ~ m(V42 - V¡2)
(sección 5.1). La eficiencia ideal de la hélice está dada, entonces, por
P
VI
r¡ he/¡ = PKE = V
y dado que V > VI ' la eficiencia de la hélice ideal es siempre menor que 100% (las hélices
reales de aviones y barcos se aproximan a 80 y 85%).
La magnitud del empuje que produce un molino de viento es la misma que se calcula
para la hélice, pero se aplica en dirección contraria. La velocidad promedio en el molino de
viento es la que se da en la ecuación 13.38, pero ya que el molino de viento reduce la energía cinética del flujo , la rapidez de cambio de la energía cinética está ahora dada por
PKE = ~ m(V¡2 - V42 )
Para un molino de viento, VI es la velocidad del viento sin alterar. La eficiencia para un
molino de viento se define al comparar la rapidez de cambio de la energía cinética que produce el molino, P KE' Yel flujo de energía cinética a través de un tubo de corriente de un flu-
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460
CAPíTULO 13
TURBOMÁaUINAS
jo sin perturbar de un área igual a la del molino de viento mismo. Este flujo de energía,
P KEF , está dado por
La eficiencia ideal de un molino de viento está dada, entonces, por
PKE
=P=
n;
(VI
+ V;¡)(V]2 - Vn
2v,3
KEF
I
La eficiencia máxima se encuentra al derivar r¡ w con respecto a V4 IV] e igualar el resultado
a cero. Esto da una eficiencia máxima de 59.3%.5 En la práctica esta eficiencia no se alcanza debido a la fricción y otras pérdidas; la eficiencia máxima para un molino de viento real
es de casi 50% (figura 13-23), pero el ejemplo 13.3 demuestra que el molino de viento tradicional alemán opera a una eficiencia de alrededor de 15%.
En este análisis se han hecho varias suposiciones. En particular, se supuso que la presión en la frontera del tubo de corriente es atmosférica. Al mismo tiempo, se supuso que
las presiones en las secciones 2 y 3 eran distintas de la atmosférica, lo cual hace que las
presiones en las puntas de las hélices no se ajusten. En la realidad, la presión no puede ser
uniforme sobre el disco de la hélice.
En ocasiones se usa un volumen de control alterno para evitar estas dificultades. Aquí
se emplea un volumen de control cilíndrico con un diámetro muy grande (figura 13-24) y
se aplican las condiciones de frontera siguientes: (1) la presión es la atmosférica en la su-
Turbi a de alta
veloci ad con dos
Ya se estabh
0.5
OA
C>.
0.3
_IN
11
.,.•
0.2
0.1
o
o
2
Razón de velocidades
FIGURA 13-23
punta x(
Handbaak
5
perficie de co
control y (3) ~
es despreciab
caen como la
área Ac de la:
ser todavía in
ra del tubo de
ción cancela
análisis origii
tes a la que SI
13.9 GENER.t
0.6
~
«. ';.-~
FIGURA 13-24
=
wRIV1)·
3
4
5
6
7
en las puntas de la turbina X = wR/V¡
Tendencias de la eficiencia paraturbinas
de viento (1]w) contra la razón de velocidades
Tomado de Baumeister, T., Avallone, E. A. Y Baumeister,
tor Mechanical
Engineers, 8a. ed., McGraw-Hill,
en
T. 111, eds., Mark's Standard
Nueva York, 1986.
Glauert, H., Airplane Propellers, Aerodynamic Theory, vol. IV, ed. W. F. Durand. Publicado por Dover Publications, Nueva
York,1963.
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modo que en
se convierte I
limita a casi:
potencia en 1
rar su eficier
La turbii
ta para aline.
tor Savonius
de la direcci.
pasaje en for
didos a una j
tribución de
de un rotor
rrieus tiene l
La efici
dad en lapu
punta de la;
13.9 GENERACiÓN DE ENERGíA CON EL VIENTO
FIGURA 13-24
461
Volumen de control alterno para una hélice.
perficie de control, (2) hay un flujo despreciable en la parte cilíndrica de la superficie de
control y (3) el cambio de la cantidad de movimiento del fluido fuera del tubo de corriente
es despreciable. La primera suposición parece razonable, ya que los efectos de la presión
caen como la velocidad al cuadrado. Sin embargo, aun si las velocidades del flujo, ve' en el
área Ac de la sección cilíndrica de la superficie son muy pequeñas, el producto ve Ac puede
ser todavía importante. Asimismo, el cambio en la cantidad de movimiento del fluido fuera del tubo de corriente podría no ser despreciable. Entonces, el error en la segunda suposición cancela el error en la tercera suposición y se obtiene la misma respuesta que en el
análisis original. De hecho, se puede demostrar que estas dos suposiciones son equivalentes a la que se hizo para las condiciones de frontera en el volumen de control Vel.
13.9 GENERACiÓN DE ENERGíA CON EL VIENTO
Ya se estableció que el límite superior teórico de eficiencia en una hélice es 100%, de
modo que en ausencia de pérdidas en un flujo ideal, toda la energía que suministra la hélice
se convierte en energía del flujo. En contraste, la eficiencia ideal de un molino de viento se
limita a casi 59% y en la práctica esto es mucho menos. Lo anterior limita la generación de
potencia en las turbinas de viento, aun cuando se han hecho grandes esfuerzos para mejorar su eficiencia y rendimiento.
La turbina de viento convencional se monta en forma horizontal y se emplea una veleta para alinear las hélices en dirección al viento. Las máquinas de eje vertical, como el rotor Savonius y la turbina Darrieus, tienen la ventaja de que su operación es independiente
de la dirección del viento. El rotor Savonius consta de dos aspas curvadas que forman un
pasaje en forma de S para el flujo del aire; la turbina Darrieus tiene dos o tres alerones añadidos a una flecha vertical (figura 13-25). Su forma común permite que bajo carga, la distribución de esfuerzos sea constante en toda la longitud del alerón. La eficiencia máxima
de un rotor de Savonius es sólo de aproximadamente 15%, mientras que la turbina Darrieus tiene una eficiencia máxima superior de casi 32%, aunque no arranca por sí misma.
La eficiencia de una turbina de viento r¡ w es una función fuerte de la razón de velocidad en la punta X, la cual es la razón entre la máxima velocidad con respecto al aspa (en la
punta de la aspa de la hélice) y la velocidad de la corriente de aire entrante. Es decir
x=-wR
V1
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(13.39)
462
CAPITULO 13
TURBOMÁQUINAS
--
Viento
FIGURA 13-25 Rotor Darrieus. Tomado de Baumeister, T., Avallone, E. A. Y Baumeister, T. III , eds.,
Mark 's Standard Handbook for Mechanical Engineers, 8a. ed. , McGraw-Hill , Nueva York, 1986.
donde w es la rapidez de rotación en rad/s, R es el radio de la hélice y V¡ la velocidad del
viento. La figura 13-23 ilustra que cada tipo de sistema movido por el viento tiene una razón de velocidades en la punta para una máxima eficiencia.
Son tres las principales dificultades para diseñar un sistema de generador movido por
el viento. Primero, la intensidad y dirección del viento cambian de manera continua. La
variación en la dirección del viento no es un problema severo, ya que se puede diseñar una
máquina que se alinee en forma automática, pero la variación en la intensidad del viento sÍ.
En la figura 13-26 se ilustra la variación en la intensidad promedio del viento en Estados
Unidos y es obvio que lugares con poca o nula intensidad del viento prevaleciente no son
adecuados para producir energía con el viento. Por otra parte, se pueden "desbocar" cuando las tormentas producen vientos fuertes inusuales. Es posible que el rotor empiece a gi-
2
FIGURA 13-26 Promedio anual de la potencia del viento disponible en Estados Unidos en W/m . Tomado de Baumeister, T ., Avallone, E. A. Y Baumeister, T. 111, eds., Mark's Standard Handbook for Mechanical
Engineers, 8a . ed. , McGraw-H ill , Nueva York, 1986.
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13.9
.111, eds.,
cidad del
e una ravido por
tinua. La
eñaruna
iento sí.
Estados
eno son
r" cuanece a gi-
2. Tomachanical
j
GENERACiÓN
DE ENERGíA
CON EL VIENTO
463
rar a velocidades tan altas que se excedan los límites de deformación de los materiales y
fallen los elementos de los álabes. Se necesita un gobernador para limitar la velocidad de
rotación o diseñar aspas resistentes, de manera que a cargas de viento altas, correspondientes a altas velocidades del viento, los álabe s produzcan menos sustentación y se prevenga
que se desboquen.
Quizá la limitante más seria por la variación en la intensidad del viento sean las variaciones a largo plazo que repercuten en la potencia de salida. Ésta no es una limitante particular para bombear agua de un pozo, donde se puede usar un recipiente grande para
promediar las fluctuaciones del flujo de agua. Sin embargo, cuando para generar electricidad se usa el molino de viento, se requiere un sistema de baterías para almacenada o combinar el molino de viento con otra fuente de electricidad (como un sistema movido por
combustibles fósiles) para producir una salida de potencia constante. En los sistemas comerciales, el sistema movido por viento por lo general se conecta a una "red", es decir, un
sistema de distribución común que recibe energía de varias fuentes que regulan y distribuyen el suministro de potencia a los consumidores. En ocasiones la salida irregular de la potencia del molino de viento se usa para bombear agua a un recipiente ubicado en la cima de
una colina cercana y, mediante una turbina movida por el agua, generar electricidad según
sea la demanda.
La segunda dificultad para diseñar un sistema generador movido por el viento es que
la energía del flujo en el viento sea más bien baja. Por ejemplo, si se considera una velocidad del viento de 15 mis (casi 33 mph, más bien una brisa) y un diámetro de rotor de 3 m
(alrededor de 10 pie), se encuentra que la máxima potencia disponible (con una eficiencia
teórica máxima de 59.3%) está dada por
Potencia máxima teórica = ~r¡ wp
V; 3 nR 2
= 8.49 kW
lo que es suficiente para suministrar una casa típica. Sin embargo, la potencia promedio
que genera el sistema será mucho menor por la variación en la velocidad del viento y las
eficiencias mucho menores que en los sistemas actuales. Existe una gran variedad de beneficios al aumentar el tamaño del rotor; así, al duplicar el diámetro del rotor se incrementará
la potencia por un factor de cuatro. No obstante, los esfuerzos estáticos en los álabes debidos a la carga de viento se duplicarán y aumentará su deflexión por un factor de ocho. Con
rotación, la carga estática aumentará por la fuerza de inercia debida a la aceleración centrípeta. Esta fuerza es proporcional a (wR) 2 / R = W 2 R en cualquier posición a lo largo del
aspa, de manera que aumenta linealmente con el tamaño y de manera cuadrática con la velocidad de rotación. El tamaño y la rapidez de rotación de una turbina movida por el viento
están limitados por la posibilidad de falla en el material y para generar cantidades de electricidad considerables, se requerirá una gran cantidad de máquinas. Estas "granjas de viento" ya existen y un ejemplo a gran escala es la del este de San Francisco (figura 13-27).
El tercer inconveniente es que la velocidad de rotación que generan las turbinas de
viento comunes no se ajusta a las velocidades de los generadores. En Estados Unidos los
generadores están por lo común diseñados para correr a 3 600 rpm, para producir corriente
eléctrica alterna a 60 Hz. Si se elige un diseño de doble aspa de alta velocidad que opere a
la eficiencia pico, en la figura 13-25 se observa que la razón de velocidades en la punta X
deberá ser igual a casi 5.5. Para el ejemplo anterior, se necesitará una velocidad de rotación
w = V¡x / R = 55 rad/s = 525 rpm. Así, aunque la velocidad del viento fuera constante a
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FIGURA 13-27 Granja de viento localizada en Altamont Pass, cerca de Livermore, California. La potencia de salida
máxima es de 5 MW a una velocidad del viento de 15 mph. Cortesía del Departamento de Energía de Estados Unidos.
~
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Z
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O
ro
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e
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w
O
r
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e
»
"U
()
~
PROBLEMAS
465
15 mis, se requerirá una caja de velocidades para aumentar la velocidad. La variabilidad de
la velocidad del viento significará que la caja de velocidades deberá funcionar sobre un intervalo grande de velocidades y que la frecuencia de la corriente alterna variará con la velocidad del viento. En consecuencia, es necesaria una considerable cantidad de circuitos
de control y regulación para que la salida sea útil en la aplicación de aparatos estándar o
aceptable para una red de distribución.
EJEMPLO 13.3 Rendimiento de un molino de viento 6
Calcule la eficiencia ideal, la eficiencia real y el empuje para un molino de viento alemán
con D = 26 m, W = 20 rpm, V; = 36 km/h Y potencia de salida de 41 kW. Suponga que
V4 /V¡ = 0.5.
Solución Se tiene
W
rev
rad min
=20--x2:n-x-- = 2.09 rad/s
min
rev 60 s
La razón de velocidades en la punta está dada por la ecuación 13.39
= wR = 2.09x13x3600 = 2.72
X
V¡
36000
La figura 13-25 indica que la eficiencia ideal para este valor de X es de casi 0.53. La ef ciencia real está dada por
Con p = 1.2 kg/m 3,
r¡ real = 0.129
que es sólo 24 % de la eficiencia ideal en esta razón de velocidades de puntúo
El empuje está dado por la ecuación 13.36. Con V4 /V¡ = 0.5 se tiene
F = 1 P v: 2
2
1
(Vlv: -1)
Ji
4
1. 2 X 10 2
X
2
1
D2 = _
3,,;
32
P v: 2 D 2
J
o sea
F =-
3,,;
32 X
26 2 N = 23 . 9 kN
El empuje es negativo en el sentido de que es opuesto a la dirección del empuje que desarrolla una hélice.
•
PROBLEMAS
13.1 Una turbina hidráulica genera 50 000 hp a 75 rpm con una carga de 100 pie. Encuentre la velocidad específica y con la figura 13-19 determine qué tipo de turbina se usa.
6
Este ejemplo se adaptó de Fox y Mcdonald, Introduction lo Fluid Mechanics, John Wiley and Sons, 4a. ed. , 1992.
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466
CAPíTULO 13
TU RBOMÁQUI NAS
13.2 Una turbina hidráulica opera a una velocidad específica de 100 (unidades acostumbradas en
Estados Unidos) y entrega 500 kW con una carga de 10 m. ¿Qué tipo de turbina es la que se
usa y cuál es la velocidad de rotación necesaria para obtener una eficiencia óptima?
13.3 Una turbina entrega 25 000 hp cuando opera a eficiencia pico a una velocidad de 450 rpm y
con una carga de 4 500 pie ¿De qué tipo es la turbina que se usa? Calcule el flujo y el tamaño
de la máquina si no hay pérdidas en el flujo aguas arriba de la turbina.
13.4 Una rueda Pelton de 4 m de diámetro opera con una carga de 1 000 m. Calcule el flujo y la potencia de salida de la máquina, suponiendo que opera a eficiencia pico y que no hay pérdidas
en el flujo aguas arriba de la turbina.
13.5 Una rueda Pelton opera con una carga de 400 m a 350 rpm y la impulsa un chorro de 12 cm de
diámetro . Encuentre la velocidad específica (unidades acostumbradas en Estados Unidos) y
el diámetro de la rueda, si no hay pérdidas en el flujo aguas arriba de la turbina y opera a eficiencia pico.
13.6 Una turbina tipo Francis funciona con una carga de 200 m y flujo de 3 m 3/s. La eficiencia pico
sucede cuando el coeficiente de cargaCH vale 9, el coeficiente de flujoC Q es de 0.3 y el coeficiente de potenciaCp es de 2.5 (como se definió en la sección13 .7). Calcule el tamaño de la
máquina, la máxima potencia producida y la velocidad.
13.7 Una bomba entrega 0.7 pie 3/s de agua contra una carga de 50 pie a una velocidad de 1 750
rpm. Encuentre la velocidad específica.
13.8 Una bomba de agua entrega 0.25 m 3 /s contra una carga de 20 m a una velocidad de 2 400 rpm.
Encuentre la velocidad específica en unidades acostumbradas en Estados Unidos.
13.9 Determine el tipo de bomba que proporcionaría la eficiencia más alta usando la figura 13-20
para los dos problemas anteriores.
13.10 Se requiere una bomba de flujo radial para entregar 1 000 gpm contra una carga total de 350
pie. Encuentre la velocidad práctica mínima con base en la figura 13-20.
13.11 Una bomba de flujo axial opera a 1 800 rpm contra una carga de 1 200 pie. Encuentre el flujo
máximo que entrega la bomba más eficiente a partir de la figura 13-20.
13.1k Para elevar agua a una altura de 150 pie a un gasto de 30 pie 3/s se usarán varias bombas de flu-
jo axial. Cada bomba está diseñada para operar a 1 800 rpm. Encuentre el número de bombas
necesarias, mediante la figura 13-20, si todas operan a su máxima eficiencia. Ignore las pérdidas en la tubería.
13.13 Con las curvas de la figura 13-17 para una bomba de agua centrífuga con un impulsor de 32
pulg de diámetro que opera a 2 000 hp encuentre:
a) el flujo volumétrico, la carga total y la eficiencia,
b) la velocidad específica.
13.14 En la bomba descrita en el problema anterior la entrada está a una distancia h¡ sobre la superficie libre del líquido y no hay pérdidas en la tubería de la succión. La temperatura del agua es
de 50°F. Encuentre el valor máximo de h¡ para la que no habrá problemas de cavitación.
13.15 A partir de la figura 13-21 encuentre el efecto de un aumento de 50% en el diánietro del impulsor sobre la rapidez de rotación y el flujo volumétrico de la bomba de agua centrífuga descrita en el problema 13.16, si la carga total y la potencia de entrada permanecen iguales y la
bomba continúa operando a su mejor eficiencia.
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PROBLEMAS
467
13.16 Con la figura 13-21 calcule el diámetro del impulsor, la potencia de entrada y la carga para
una bomba de la misma familia, si opera a 900 rpm con un flujo volumétrico de 5 000 gpm a
una eficiencia pico.
13.17 La bomba de un sótano proporciona una descarga de 12 gpm contra una carga de 15 pie.
¿Cuántos caballos de potencia mínimos requiere para operar, dado que la eficiencia es de sólo
60%?
13.18 Las presiones manométricas de entrada y salida para una bomba son - 30x 103 Pa y
200 x 103 Pa, respectivamente. Si el flujo es de 0.1 m /s y la potencia necesaria es de 25 kW,
encuentre la eficiencia. La entrada y la descarga están a la misma altura.
13.19 El impulsor de una turbina de flujo radial tiene un radio de entrada de 4 pie, que gira a
200 rpm. El flujo volumétrico es de 1 000 pie 3/s y descarga en dirección axial. Ignore todas
las pérdidas. Si la componente tangencial de la velocidad en la entrada es de 5 pie/s, encuentre:
a) el par aplicado en el impulsor,
b) la potencia que desarrolla la máquina.
13.20 El diámetro del impulsor de una turbina de flujo axial es 2.8 m y el flujo de entrada forma un
ángulo de 10° con la dirección circunferencial. El flujo volumétrico es de 24 m 3/s sobre un
área de 8 m 2 con una carga de 100 m y descarga en dirección axial sin giros. Encuentre la velocidad del rodete; ignore las pérdidas.
13.21 Una bomba de agua centrífuga con un impulsor de diámetro de 200 mm rota al 750 rpm. Su
anchura es de 20 mm y los álabes están curvadas hacia atrás de manera que /3 2 = 60°. Si el flujo entra a la bomba en dirección axial y el flujo volumétrico es de 100 Lis, calcule la potencia
de entrada si la bomba es 100% eficiente.
13.22 Una bomba centrífuga está diseñada para tener una descarga de 600 gpm contra una carga de
200 pie. El diámetro de salida del impulsor es de 12 pulg y su anchura es de 0.5 pulg. El ángulo de salida del aspa es de 65°. ¿Cuál es la velocidad de diseño y la potencia mínima necesarias para mover la bomba?
13.23 Una bomba centrifuga tiene diámetros de entrada y salida en el impulsor de 0.5 m y 1 m respectivamente y una anchura de 0.15 m. El ángulo de salida de los álabes es de 65 °; a 350 rpm
el flujo volumétrico es de 4 m3/s. Encuentre:
a) El ángulo de las aspas en la salida de manera que el agua entre a la bomba en dirección
radial.
b) La máxima potencia requerida.
13.24 Una hélice de 1 pie de diámetro rota en agua a 1 200 rpm y absorbe 20 hp. Calcule el coeficiente de potencia y la potencia requerida para aumentar la velocidad a 1 500 rpm si el coeficiente de potencia permanece constante.
13.25 Una turbina de viento de alta velocidad y aspas dobles de 35 m de diámetro opera a su eficiencia pico en vientos de 30 km/hr. Calcule la potencia generada, la velocidad del rotor y la velocidad del viento en la estela.
13.26 Una hélice de 2 pie de diámetro se mueve en agua a 20 pie/s y produce un empuje de 1 000 lbf.
Encuentre la razón entre las velocidades aguas arriba yaguas abajo, así como la eficiencia.
13.27 Un avión vuela a 140 mph al nivel del mar y temperatura de 60°F. El diámetro de la hélice es
de 8 pie y en la frontera del tubo de corriente se tiene una velocidad de 200 mph respecto al
avión. Encuentre:
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468
cAPiTULO 13
a)
b)
e)
d)
e)
TURBOMÁQUINAS
la eficiencia de la hélice,
la velocidad del flujo en él plano de la hélice,
la potencia de entrada,
el empuje de la hélice,
la diferencia de presión a través del disco de la hélice.
13.28 Un avión vuela a 300 km/h al nivel del mar y temperatura de 20°C. El diámetro de la hélice es
de 1.8 m y la velocidad del aire a través de la hélice es de 360 km/h. Calcule:
a) la velocidad en la frontera del tubo de corriente respecto al avión,
b) el empuje,
e) la potencia de entrada,
d) la potencia de salida,
e) la eficiencia,
f) la diferencia de presión a través del disco de la hélice.
13.29 En un submarino de alta velocidad las hélices tienen un diámetro límite de 15 pie y su velocidad de rotación límite es de 200 rpm para evitar la cavitación. Si cada hélice tiene una eficiencia de 86% y está limitada a 10 000 hp, encuentre el número mínimo de hélices necesario para
moverse a una velocidad de 35 mph así como el par en cada flecha.
13.30 Un diseño de molino de viento moderno con aspas múltiples se adapta para trabajar en el flujo
de la marea. Calcule la máxima potencia que se genera cuando el agua fluye a 5 mis con un
diámetro de 4 m. Calcule la velocidad en la punta y determine si puede haber cavitación.
13.31 En una granja americana de molinos de viento se bombea agua desde un pozo profundo de
100 pie a través de una tubería limpia de plástico de 2 pulg de diámetro. Si el diámetro del rotor es de 6 pie, calcule .el flujo volumétrico cuando los vientos soplan a 20 mph. Suponga que
los molinos de viento trabajan a su eficiencia pico y la bomba es 90% eficiente; ignore las pérdidas menores. ¿Cuál es el flujo esperado cuando el viento cae a 15 mph?
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14
MECÁNICA DE FLUIDOS Y
MEDIO AMBIENTE
CAPÍTULO
14.1 FLUJOS ATMOSFÉRICOS
El entendimiento de los flujos del viento y los procesos de transporte atmosféricos es crucial para, por ejemplo, predecir y cuantificar la dispersión de los contaminantes en la atmósfera, calcular el efecto invernadero y predecir el clima.
La atmósfera se conforma de dos capas básicas: la troposfera y la estratosfera. En la
troposfera, la temperatura disminuye en forma lineal con la altura (la pendiente de la curva
se llama rapidez de descenso), mientras que en la estratosfera, la temperatura permanece
más o menos constante con la altura. La rapidez de descenso y la altura de la troposfera varían con el tiempo y la posición, pero el Servicio del Clima de Estados Unidos ha reunido
una serie de condiciones promedio en ese país a los 40° de latitud norte que se denomina
Atmósfera Estándar de Estados Unidos.
De acuerdo con esta atmósfera estándar, que no necesariamente proporciona una descripción exacta de la atmósfera en cualquier posición o instante, la troposfera se extiende
desde el nivel del mar hasta una altura de 11 km (36 000 pie), con una rapidez de descenso
de 6.5 KIkm (llamada rapidez de descenso estándar). La estratosfera empieza en la cima
de la troposfera y se extiende hasta una altura de 32.2 km (106 000 pie) y su temperatura es
constante en 216.7 K (- 56.5°C) a 20.1 km (66 000 pie) de altura. l La troposfera contiene
entre 80 y 85% de la masa total de la atmósfera y de hecho toda el agua, por lo que tiene la
función más importante en la determinación del clima y el estado del tiempo. Por encima
de los 20.1 km, la temperatura aumenta en forma gradual con la altura, debido a que el ozono absorbe la radiación infrarroja solar, el cual se forma con la intensa radiación ultravioleta del Sol. Esta absorción del ozono también protege la vida sobre la Tierra de los efectos
destructivos de los rayos ultravioleta. En la figura 14-1 se muestra el perfil de temperatura
para la atmósfera estándar de Estados Unidos.
Para poner en perspectiva estas alturas, el monte Everest tiene una altura de 29 000 pie
(8 840 m), los aviones de largo alcance vuelan cerca de la cima de la troposfera a casi
35 000 pie (10 670 m) y el Concorde vuela en la estratosfera a alrededor de 56 000 pie
(17070 m). La mayoría de las nubes aparecen a alturas menores de unos lOa 12 km de manera que en general se confinan en la troposfera, aunque en ocasiones la cima de algunas
nubes en especial grandes se puede encontrar hasta los 18 km o más alto.
La atmósfera se extiende por completo más allá de la estratosfera, pero las densidades
del aire se hacen muy pequeñas. Por ejemplo, en la cima de la estratosfera la densidad es
sólo de 1% de su valor al nivel del mar. Los vehículos que viajan en las capas superiores de
1
Algunos autores consideran que la estratosfera se extiende sólo arriba de 20 .1 km, de manera que se confina a la región de la
temperatura constante.
469
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470
CAPíTULO
14
MECÁNICA
DE FLUIDOS Y MEDIO AMBIENTE
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FIGURA 14-1
...•...•...•...
.••.........•.•
-20
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'"
20
(C)
Variación de la temperatura
con la altura en la atmósfera estándar de Estados Unidos. Da-
tos tomados de The US. Standard Atmosphere,
U.S. Government
Printing Office, Washington,
De, 1976.
la atmósfera (llamada ionosfera) experimentan condiciones de muy baja densidad donde
ya no es posible aplicar las aproximaciones del medio continuo.
14.2 EQUILIBRIO DE LA ATMÓSFERA
La parte más baja de la atmósfera, esto es, la troposfera, se mezcla de manera continua por
la convecciórr'. El vapor de agua se eleva y luego se precipita y existen grandes movimientos de vientos polar y tropical hacia las regiones templadas. En los trópicos, debido al intenso calentamiento del suelo, el aire se eleva. Esto produce una circulación a gran escala
desde las regiones templadas hacia los trópicos y una tendencia cerca de la cima de la troposfera desde los trópicos hacia los polos. El aire frío de los niveles altos baja hacia el suelo para mantener la continuidad. Esta mezcla convectiva de la atmósfera se debe al
calentamiento desigual de la Tierra, causado por las variaciones de la intensidad del Sol
con la latitud y las características diferentes de absorción de calor de las áreas de agua y
2 El
material de esta sección se adaptó de Engineering Applications of Fluid Mechanics, por J. C. Hunsaker y B. G. Rightmire,
publicado por Mc-Graw Hil!, 1947.
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que es igual;
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agua forma
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14.2 EQUILIB RIO DE LA ATMÓSFE RA
471
tierra. Como resultado, la troposfera se mantiene en un equilibrio térmico y mecánico
constante más o rrenos estable que determina el clima. Las desviaciones de este equilibrio
es lo que se conoce como clima. El clima varía de un día a otro y hasta de una hora a otra de
manera irregular.
El clima está determinado por el estado del tiempo promedio en un lugar dado en cierta época del año, sobre muchas estaciones y, por ejemplo, la climatología con base en registros anteriores predice la fecha segura para plantar cultivos. La meteorología predice el
clima del día siguiente a partir de las condiciones presentes de la atmósfera cerca de una
localidad dada.
La naturaleza fundamental de la convección sugiere que la atmósfera más baja debería
tener un gradiente de temperatura más o menos adiabático. El aire cercano al suelo que se
calienta más en un lado que en otro subirá como el aire tibio en una chimenea. El aire más
frío y más denso fluirá para tomar su lugar. El aire ascendente se enfriará casi en forma
adiabática, pues es mal conductor. Para encontrar la rapidez de enfriamiento se inicia con
la ecuación de la hidrostática (dp / dz = - pg) y se usan las relaciones termodinámicas para
el flujo adiabático no viscoso (es decir, flujo isentrópico) dado por la ecuación 12.18. Para
obtener la rapidez de descenso adiabática:
rapidez de descenso adiabático = ( _
dT)
dz
=
ad
y - 1g
(14.1)
yR
que es igual a 0.0098 oC/m para el aire seco.
Es interesante observar que la rapidez de descenso natural de la temperatura contribuye a estabilizar la atmósfera más baja; es decir, una masa de aire que se desplaza en forma
vertical por alguna razón tiende a volver a su nivel original. Considere una masa de aire
que se eleva por convección porque se hace un poco inestable al nivel del suelo debido al
calentamiento local. Este aire se enfriará casi a la rapidez de descenso adiabática de
0.98°C por 100 m. Sin embargo, a cualquier nivel, estará sometido a la misma presión que
la atmósfera circundante. Así, ya que la rapidez de descenso atmosférico usual es menor
que la rapidez adiabática (ésta es de sólo 0.65°C por 100 m), la masa de aire desplazada
será más densa que sus alrededores y tenderá a caer otra vez.
En general, el aire es estable y la convección no sucede a gran escala. Sin embargo,
cuando la rapidez de descenso atmosférico excede la rapidez adiabática, el aire es inestable. Los truenos de las tormentas se dan en atmósferas inestables, donde la rapidez de descenso es excesiva temporalmente por los calentamientos anormales del suelo y de los
niveles más bajos del aire. Esta condición suele suceder en verano. En invierno, cuando el
suelo puede cubrirse de nieve, los niveles más bajos están fríos, la rapidez de descenso es
pequeña y el aire tiende a ser estable. En una noche clara de verano, el suelo se enfría rápido por radiación y el nivel más bajo del aire puede hacerse más frío que el de encima. Aquí
la rapidez de descenso puede ser cero o aun revertirse. A esto se le llama inversión térmica
y aporta una gran estabilidad.
La formación de cúmulos de nubes y las tormentas eléctricas son resultado de la inestabilidad. El aire tibio, húmedo cerca del suelo se vuelve inestable y se eleva, enfriándose
de forma adiabática hasta alcanzar el punto de rocío, cuando la condensación del vapor de
agua forma una nube (figura 14-2). Si el despegue inicial es violento, el aire ascendente
puede sobrepasar su altura de equilibrio. Si a esta altura hay una inversión o una capa de
aire estable con ella se detienen las subsecuentes corrientes ascendentes. Sin embargo, si
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472
CAPíTULO 14
MECÁNICA DE FLU IDOS Y MEDIO AMB IENTE
Nube
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~~~
----------I---t--------~------------)
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.3
1
«
Punto de rocío_1
1
1
1
1
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Corrientes convectivas
Rapidez de disminución en una
columna de aire ascendente
Temperatura _
FIGURA 14-2 Formación de una nube por condensación del vapor de agua arrastrado hacia arriba por
una corriente ascendente de aire. Hunsaker y B. G. Rightmire, Engineering Applications of Fluid Mechanics, publicado por Mc-Graw Hill, 1947.
el aire superior es neutro o ligeramente inestable, el calor latente que se libera por la condensación puede ser suficiente para arrastrar la corriente convectiva hasta alturas mayores.
Como ya se indicó, se ha encontrado que las nubes de las tormentas se extienden hasta los
50 000 pie, aunque el aire es limpio por encima de los 20 000 pie.
El movimiento del aire es siempre turbulento al igual que las nubes. El número de
Reynolds se basa en una dimensión característica aproximada de la nube, como la altura o
la anyhura (en general ambas son del mismo orden). Con una nube de alrededor de 500 m y
un movimiento interno característico de 5 mis, con v = 10- 5 m2/s (ésta es más o menos la
misma para vapor de agua que para aire), el número de Reynolds = (500 x 5)/1 0-5 =
2.5 X 10 8 . No es sorpresa que las nubes siempre tengan una apariencia turbulenta.
l
14.3 PATRONES CIRCULATORIOS Y EFECTOS DE CORIOLlS
El Sol, la Tierra y la atmósfera terrestre forman un sistema dinámico muy grande. El calentamiento diferencial del aire da lugar a gradientes de presión horizontales que, a su vez,
producen movimientos horizontales en la atmósfera. 3 La diferencia de temperatura entre
la atmósfera de los polos y del ecuador y entre la atmósfera de los continentes y los océanos causan movimientos de gran escala de la atmósfera. Los vientos locales, como las brisas de los lagos, también se originan por las diferencias de temperaturas. Una superficie de
tierra se calienta y enfría más rápido por radiación que un cuerpo grande de agua, por lo
que durante el día el aire tiende a subir desde la tierra, causando que el aire se mueva desde
el agua hacia la tierra. Por la noche, la tierra se enfría más rápido de modo que el aire sobre
ella poco a poco se hace más frío y denso que en el agua y el movimiento del aire es de la
tierra al agua.
3
Air PoUution: Its Origin alld Control, K. Wark, C. F. Wamer y W. T. Davis, publicado por Addison-Wesley, 1998.
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14.3
PATRONES
CIRCULATORIOS
Y EFECTOS
DE CORIOLlS
473
Si la Tierra no rotara, el aire tendería a fluir de manera natural en dirección del gradiente de presión, o sea, desde las regiones de presión mayor hacia las de presión más baja.
El flujo sería perpendicular a las isóbaras (contornos de presión constante). Sin embargo,
la rotación de la Tierra impide que esto suceda, al menos en la escala de los grandes patrones del clima. Para un observador colocado en un punto de referencia rotatorio, como
la Tierra, existen fuerzas aparentes que pueden actuar, además de los efectos de los gradientes de presión, la gravedad y las fuerzas viscosas; la más importante es la fuerza de
Coriolis.
arriba por
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su vez,
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El sistema de referencia inercial "más apropiado" es el de las estrellas distantes. En la
superficie terrestre, en realidad se acelera por el movimiento alrededor del Sol, el giro de la
Tierra alrededor de su eje de rotación y por otros movimientos que no se logran detectar.
El más importante de éstos es el giro alrededor de su eje, que es 365 veces mayor que el de
la velocidad angular alrededor del Sol. Así, el centro de la Tierra es una buena elección
para un marco de referencia inercial ([X, Y, Z] en la figura 14-3).
Las posiciones, velocidades y aceleraciones que se observan (fijas sobre la superficie
terrestre) no son las que ve un observador fijo respecto al centro de la Tierra. Para muchas
aplicaciones, la diferencia entre los dos sistemas de referencia es despreciable. Las diferencias son evidentes sólo en una escala grande, como los movimientos atmosféricos y
oceánicos.
Se pueden desarrollar expresiones para las ecuaciones de movimiento con respecto a
la superficie terrestre y como se verá, es posible sumar un término a la ecuación de Euler
que representa una aceleración "aparente" y tratarla matemática y conceptualmente como
una fuerza.
La Tierra gira sobre su eje de oeste a este, de manera que si se observa sobre el polo
norte habrá una dirección en el sentido contrario de las manecillas del reloj (figura 14-3).
Si el vector de velocidad angular de la rotación de la Tierra es Q, que es igual a la rotación
angular de una partícula de fluido en cualquier latitud, p, se sabe que Q =2:n: rad/día. La
cantidad de movimiento angular de la partícula por unidad de masa relativa al sistema de
referencia inercial (el centro de la Tierra) será r x V, donde r es el radio de rotación y V su
velocidad, donde V = Q x r. Dado que r se mide desde el eje de rotación, r = R cos p, donde R es el radio de la Tierra (= 6380 km).
z
N
wt
y
E
Q
y
Centro de la tierra
x
FIGURA 14-3
Sistema de coordenadas
ma coordenada
inercial con origen en el centro terrestre y xyz es el sistema de coordenadas
para la rotación de la Tierra alrededor de su eje, XYZ es el siste-
tud f3 (en el ecuador, la latitud es cero). R es el radio de la Tierra.
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local en la lati-
474
cAPiTULO 14
MECÁNICA DE FLUIDOS Y MEDIO AMB IENTE
Una partícula en el hemisferio norte, que se mueva en dirección al norte, lo hará hacia
el eje de rotación. En ausencia de fricción, la cantidad de movimiento angular se conserva
y el fluido adquiere mayor velocidad angular ya que su radio disminuye (aumenta (3). Este
es el efecto familiar que se observa cuando al girar, un patinador levanta los brazos para incrementar su rapidez de rotación. Así, un~ partícula del norte se desviará hacia la derecha
(el este) en el hemisferio norte. Una partícula del sur requiere de una velocidad angular
menor para conservar la cantidad de movimiento angular y se desvía hacia el oeste.
También se pueden considerar movimientos en dirección este-oeste a una latitud
constante. Una partícula en el hemisferio norte, que se mueve en dirección al este, aumentará su velocidad angular. Para conservar su cantidad de movimiento angular, experimentará una tendencia a moverse hacia un radio mayor de rotación y se desviará a la derecha
(hacia el sur). De manera semejante, una partícula del oeste tendrá una velocidad angular
menor y experimentará una tendencia a desviarse al norte para conservar la cantidad de
movimiento angular.
Los resultados globales de estos efectos de Coriolis son crear patrones de movimiento
circulatorio en el sentido de las manecillas del reloj en el hemisferio norte y patrones de
movimiento circulatorio en dirección contraria de las manecillas del reloj en el hemisferio
sur. Esto es cierto en la atmósfera y para los océanos. Los efectos de Coriolis son los mecanismos dominantes que controlan estos patrones circulatorios y, por lo tanto, efectivamente controlan los patrones del clima.
Para ver cómo los efectos de Coriolis se incluyen en las ecuaciones de movimiento, la
aceleración de una partícula (fluido u otra) cerca de la superficie terrestre en el marco de
referencia inercial de la Tierra se escribe como la suma de un número de aceleraciones que
un observador ve sobre la superficie terrestre en el sistema coordenado [x, y, :z] (donde la
dirección positiva de z es en la dirección en que aU'penta la altura). Las aceleraciones incluyen la rectilínea, la centrípeta y la de Coriolis, 2Q x V. La aceleración centrípeta es por
lo común muy pequeña para movimientos de la atmósfera y, por lo tanto, la aceleración de
una partícula de fluido en el marco de referencia inercial (que se basa en el centro de la Tierra) está dado por la suma de su aceleración en el marco de referencia local más la aceleración de Coriolis. Es decir,
DV
-+2QxV
Dt
Si los efectos viscosos se ignoran, se obtiene
DV
1
-+2Q xV =- -Vp-g
Dt
p
o
DV
1
= - 2QxV - -Vp -g
Dt
p
(14.2)
La fuerza de Coriolis, una fuerza aparente, se presenta en las ecuaciones de movimiento
debido a la rotación de la Tierra. Dado que las velocidades verticales son en general mucho
más pequeñas que las velocidades en el plano horizontal, se tiene
2QxV= - fvi + fuj
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14.3 PATRON ES CIRCULATORIOS Y EFECTOS DE CORIOLl S
475
donde f es el parámetro de Coriolis definido por
f
= 2Q sen f3
(14.3)
Sobre la Tierra, O::; f ::; 1.44 X 10-4 s -1.
Si se adimensionaliza la ecuación 14.2 (como se hizo con la ecuación de Navier-Stokes en la sección 8.7), se encuentra que el término de Coriolis se convierte en
donde V' es la velocidad adimensionada por la velocidad característica de la escala Vo y
V.
Ro = _o
QL
Este es el número de Rossby, que mide la importancia de la fuerza de inercia respecto a la
fuerza de Coriolis. Para un viento típico de 40 kmlh Yun número de Rossby de orden uno,
la fuerza de Coriolis debe actuar sobre una distancia característica L de casi 150 km. Conforme se aplica en distancias más y más grandes, el efecto Coriolis se hace más y más importante.
Por ejemplo, en la atmósfera el espesor de la capa límite varía entre 200 m y 1 km (sección 14.4). Fuera de esta región, en la capa libre, en condiciones "normales" la fricción se
puede despreciar. En la capa libre, sin los efectos de Coriolis, el término de la aceleración
en la ecuación de cantidad de movimiento se balancea por la fuerza debida a la diferencia
de presiones y el flujo tiende a estar en dirección del gradiente de presión (dé la presión
alta a la baja). Sin embargo, en el sistema de viento más simple posible, el del flujo uniforme recto, no hay aceleración y la fuerza debida a la diferencia de presiones se balancea con
la fuerza de Coriolis. De esta forma el vector de velocidad se encuentra en ángulos rectos
con respecto a la dirección del gradiente de presión. Por lo tanto, las líneas de corriente son
casi paralelas a las isóbaras; esto se llama balance geotrópico. De ahí que en la atmósfera
la presión en un flujo uniforme siempre es mayor hacia la derecha (mirando aguas abajo).
El balance geotrópico se aproxima a las condiciones que se encuentran a unos cientos
de metros o más sobre la superficie terrestre. Excepto en los casos de vientos ligeros, la
magnitud y dirección de los vientos reales a estas alturas en general no varían por más de
10° Y20%, respectivamente, de sus valores geotrópicos. Por esta razón, los mapas isobáricos pueden usarse para determinar la velocidad y dirección del viento. Las isóbaras conllevan dirección y la magnitud del gradiente (la distancia entre las isóbaras, que también son
líneas de corriente) determina la velocidad.
Cuando el viento sigue una trayectoria curva, la aceleración centrípeta se debe considerar. Este efecto sólo es importante cerca del centro de las regiones de baja o alta presión
donde las isóbaras tienen curvatura considerable. Así el viento se desvía de su valor geotrópico y se llama viento de gradiente.
Dentro de la capa límite terrestre, esto es, a alturas menores de unos cientos de metros,
los efectos viscosos se vuelven importantes. En particular, la variación de la velocidad horizontal con la altura también produce efectos de Coriolis que varían con la altura y la dirección del viento cerca de la superficie terrestre se desviará de su dirección geotrópica o
de gradiente.
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476
cAPiTU LO 14
MECÁN ICA DE FLUIDOS Y MEDI O AMB IENTE
14.4 CAPA LíMITE PLANETARIA
La naturaleza del terreno, la ubicación y densidad de los árboles, la ubicación y el tamaño
de los lagos, ríos, colinas y edificios afectan en gran medida la distribución de la velocidad
en la capa límite planetaria. 4 El espesor de la capa límite puede variar de unos cuantos
cientos de metros hasta varios kilómetros y es más grande en condiciones inestables que
en condiciones estables.
La figura 14-4 muestra el efecto general de la rugosidad del terreno en el perfil de la
velocidad. En este ejemplo particular, el cambio en el espesor completo de la capa límite
va de unos 500 m hasta 280 m, para rugosidad decreciente. Debido a los cambios de velocidad con la altura, cualquier valor de velocidad del viento debe citarse en relación con la
altura a la que se mide. La altura estándar internacional para mediciones de la velocidad
del viento superficial es de 10m. A menudo el perfi 1 se modela como una ley de potencias
semejante a la que se dio en la sección lOA para un flujo en capa límite turbulenta sobre
una placa plana. Cuando el descenso es casi adiabático y el terreno está nivelado y con una
pequeña rugosidad, el exponente p es de más o menos 0.15, que es cercano al valor de
que se usó en la sección lOA , pero puede variar con amplitud dependiendo de la rugosidad
del terreno y la estabilidad de la atmósfera.
Las variaciones en el perfil del viento son importantes por varias razones, pero se observan de manera más directa cuando un avión se aproxima a la pista de aterrizaje. La velocidad del avión con respecto a la velocidad del viento determina su desempeño en la
t
600
Subur ios
Área u bana
Nivel c ampo
iento de Iqradient
500
- 94
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Velocidad del viento , metros por segundo
FIGURA 14-4 Efecto de la rugosidad del terreno sobre el perfil de velocidad de la capa límite planetaria.
Tomada de Air Pol/ution: Its Origin and Control, K. Wark, C. F. Warner y W. T. Davis, publicado por Addison-Wesley, 1998.
4
Air Pol/utiol/: lIS Origin and Control, K . Wark, C. F. Wamer y W. T. Davis, publicado por Addi son-Wesley, 1998.
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14.5
el tamaño
velocidad
s cuantos
tables que
INTENSIDAD
Y DIRECCiÓN
PREVALECIENTES
DEL VIENTO
477
sustentación y el arrastre, pero la velocidad en relación con el suelo determina su patrón de
aterrizaje. La velocidad del viento, como es natural, disminuye con la altura debido a la
presencia de la capa límite planetaria y el piloto deberá tenerlo en cuenta. La variación rápida en el perfil del viento cerca del suelo se suma a la dificultad en la aproximación.
14.5 INTENSIDAD Y DIRECCiÓN PREVALECIENTES DEL VIENTO
erfil de la
apa límite
s de veloión con la
velocidad
potencias
nta sobre
y con una
alor de
gosidad
t
ero se ob[e. La veeño en la
Los patrones circulatorios a gran escala de la atmósfera se modifican por las condiciones
locales que, a su vez, pueden variar con el tiempo. Por ejemplo, en las latitudes medias, en
la capa libre de la atmósfera, las corrientes de aire se curvan y forman las corrientes zonales que son un tipo de movimiento ondulatorio. No obstante, hay patrones recurrentes que
ayudan a establecer las condiciones estándar en cualquier posición. Para cualquier tiempo
y estación existen expectativas de las condiciones promedio, incluyendo temperatura, lluvia e intensidad y dirección prevalecientes del viento. Hay cartas disponibles para la mayoría de las localidades que indican la intensidad y dirección del viento prevalecientes,
promediadas en varios años, como ilustra el ejemplo de la figura 14-5. También, hay datos
disponibles para las condiciones de viento máximo, intensidad de la lluvia y depósitos de
nieve, que son importantes para diseñar edificios y suministrar servicios como el drenaje
pluvial. Con frecuencia estos datos se incorporan en códigos de construcción o estándares
nacionales para sistemas de drenaje u otros servicios.
Tierra
N
mpo
N
20%
S
S
........... Día
Mar
-5
%
calma
~
6-1516-30
>30
NOCHE
Millas por hora
a) Representación
10
-15
20
Noche
25
% calma ~~!iiiiii-~~iiiiiiiiiii~~
Frecuencia porcentual
DíA
~
FIGURA 14-5
5
~
típica de la rosa de vientos de datos de la velocidad del viento, b) Rosa
de vientos de día y noche para la ciudad de Nueva York que muestra el efecto diurno de la brisa del mar.
Tomada de Air Pollution: Its Origin and Control, K. Wark, C. F. Warner y W. T. Davis, publicado por Addi998.
son-Wesley,
1998.
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478
CAP íTULO 14
MECÁNICA DE FLUIDOS Y MEDIO AMBIENTE
Las condiciones prevalecientes del viento también proporcionan información vital
para otros propósitos. Para predecir la probable distribución de una emisión tóxica que
emita una industria es necesario usar cartas como las que muestra la figura 14-5. Seleccionar la ubicación de una turbina de viento, así como predecir su probable potencia de salida
requiere datos similares, al igual que los veleros de largo alcance y los globos meteorológicos.
14.6 CONTAMINACiÓN ATMOSFÉRICA
Contaminación atmosférica es un término muy amplio que describe la dispersión de partículas suspendidas y agentes reactivos, así como su interacción química en presencia de luz
solar. Nuestro interés se centra en la dispersión de las partículas suspendidas y otros materiales, de los cuales hay una gran variedad.
Las partículas suspendidas se producen por dos mecanismos muy diferentes. 5 Las partículas grandes son fragmentos de otras todavía más grandes que, mediante el desgaste atmosférico, rompimiento mecánico, solución, u otros procesos de desgaste, por último se
vuelven lo suficientemente pequeños para flotar en la atmósfera cuando el viento los levanta. Algunas veces estas partículas pueden reducir su tamaño hasta 1 {lm o más pequeñas, pero cuando se encuentran en el aire en general son de 5 {lm o más grandes y las más
pequeñas se pueden unir a las más grandes por adhesión, fuerzas eléctricas o tensión superficial. Muchas de estas partículas grandes son de origen natural, aunque algunas son de
origen humano, las cuales resultan de procesos como la producción del cemento, canteras
y explotación minera.
El otro mecanismo por el que se forman partículas pequeñas se inicia en la fase de vapor y prospera por condensación, cristalización o mecanismos relacionados. El enfriamiento del vapor saturado o sobrecalentado, la combinación de productos químicos,
reacciones foto líticas y otros procesos de condensación producen, por lo común, este
tipo de partículas. Sus tamaños están en el intervalo desde aglomerados de moléculas de
0.001 {lm hasta 0.003 {lm hasta casi de 1 {lm. En presencia de temperaturas altas y una
fuente rica de material condensable, como un volcán o los gases de combustión de una
planta de potencia a carbón, algunas partículas pueden crecer hasta más de 1 {lm.
Las partículas suspendidas más grandes pueden estar en el aire por minutos u horas.
Las partículas de tamaño intermedio también pueden estar suspendidas por horas o días y
las más pequeñas pueden residir en la atmósfera por semanas, meses e incluso años. Todas
las partículas en la atmósfera tienden a caer al suelo por su propio peso. En ausencia de la
resistencia del aire, una partícula experimenta una aceleración constante de g y su velocidad se incrementará en forma lineal con el tiempo. Sin embargo, conforme su velocidad
aumenta, su arrastre aerodinámico se incrementa. Si la flotación se ignora, en algún punto
la fuerza de arrastre se balanceará con el peso de la partícula y ésta alcanza una velocidad
constante llamada velocidad terminal. La velocidad terminal, Vp ' de una partícula ésférica
de radio R se puede encontrar a partir de un balance de fuerzas en equilibrio, donde
(14.4)
5y
. J. Schaefer y J. A. Day, A Field Guide lo Ihe Atmosphere. The Peterson Field Guide Series, publicado por Houghton
Mifflin, 1981.
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14.7 DI SPERSi ÓN DE CO NTAM INANTES
479
donde p p es la densidad del material de la partícula, p a la densidad del aire y e D el coeficiente de arrastre de la partícula. Las partículas pequeñas se asientan muy lentamente y,
por lo tanto, sus números de Reynolds son mucho menos que uno. Stokes demostró de manera analítica que el coeficiente de arrastre para esferas con números de Reynolds menores
que uno está dado por6
fuerza de arrastre = 6nR¡.1 Vp
o
e
D
= 24
Re
(14.5)
donde el número de Reynolds se basa en el diámetro. Los flujos a estos números de Reynolds están dominados por efectos viscosos y suelen llamarse flujos reptantes (figura
10-12). La ecuación 14.4 queda
V
2p pgR 2
=--'-----
p
9ft
Por ejemplo, una partícula de polvo con R = 1 ftm y una densidad similar a la del carbón
puro (p = 1 600 kg/m3) tiene una velocidad terminal en el aire a nivel del mar de
0.2 mmls, que es igual a 17 m/día. Así, las partículas pequeñas se asientan en el suelo con
mucha lentitud una vez que se encuentran en suspensión. Su velocidad terminal aumenta
con el tamaño. Las partículas más grandes pueden tener números de Reynolds mucho mayores que uno y la ley del arrastre de Stokes (ecuación 14.5) no se aplicará. En este caso, la
velocidad terminal se calcula con la ecuación 14.4, combinada con los resultados que indica la figura 10-12.
14.7 DISPERSiÓN DE CONTAMINANTES
La dispersión de contaminantes en la atmósfera baja es posible en gran medida por la convección térmica y el mezclado turbulento. Los efectos de la flotación determinan la
profundidad de la capa de mezclado convectivo, denominada espesor de mezclado máximo (MMD, maximum mixing depth). La MMD es la altura donde la partícula de fluido caliente dejará de subir y está dada aproximadamente por la intersección del perfil de
temperatura del aire con la línea de descenso adiabático. Cuando la atmósfera es muy estable, de manera que la temperatura aumenta con la altura, la MMD puede ser muy pequeña.
Estas inversiones térmicas pueden producir niveles de contaminación muy altos en zonas
urbanas.
La turbulencia en la atmósfera en general se define como las fluctuaciones de velocidad con frecuencias mayores que dos ciclos por hora (0.6 x l 0-3 Hz), con las fluctuaciones
más enérgicas en el intervalo de 0.01 a 1 Hz. Existen fluctuaciones debidas a la turbulencia
"mecánica" que producen los gradientes de velocidad, así como la turbulencia que originan los remolinos térmicos asociados con los gradientes de temperatura (estos remolinos
son mucho más pequeños que los movimientos convectivos que transportan contaminantes por encima de la MMD). Los remolinos térmicos prevalecen en los días soleados cuan6Stokes, G., Transactions of/ he Cambridge Philosophical Society, 8, 1845; 9,1 851.
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480
CAPíTU LO 14
MECÁNICA DE FLUIDOS Y MEDIO AMBIENTE
do se dan los vientos ligeros y el gradiente de la temperatura es inestable. Por lo común
tienen periodos que en general se miden en minutos. Los remolinos mecánicos predominan en noches de vientos con estabilidad neutra y tienen periodos del orden de segundos.
El viento, la estabilidad de la atmósfera y los niveles que resultan de la turbulencia atmosférica afectan la forma de la pluma que se forma en una chimenea de humo alta, como
ilustra la figura 14-6, con un amplio intervalo de posibilidades y la fuerte influencia de la
estabilidad de la temperatura.
Otra influencia considerable es el terreno que rodea la chimenea. La proximidad de
edificios puede tener un efecto muy fuerte, como en la figura 14-7. Si la chimenea se coloca en forma inadecuada, o si es demasiado baja, la recirculación en la estela del edificio
puede causar altas concentraciones de contaminantes en sus alrededores.
14.8 DIFUSiÓN Y MEZCLADO
Es de gran interés saber cómo las propiedades de un fluido en un punto afectan las de otro
punto. Por ejemplo, se sabe que cuando en un fluido se introduce tinta, ésta se difunde con
lentitud. ¿Cómo y con qué rapidez se da este proceso? Imagine cómo un aroma se esparce
en una habitación. Si la botella de perfume se abre en una esquina del cuarto, cerca de la
botella habrá una alta concentración de moléculas de perfume y baja concentración en todos los demás puntos. Las moléculas se moverán y mezclarán con el aire circundante por
difusión, incluso en ausencia total de corrientes de aire, de manera que después de un tiempo suficientemente largo, se distribuirán de manera uniforme en la habitación. La rapidez
a la que se da esto depende del coeficiente de difusión (una propiedad del perfume) y del
gradiente de concentraciones. Así la difusión pasará rápido y luego disminuirá conforme
la concentración se hace más uniforme y los gradientes disminuyen (figura 14-8). Este tipo
de difusión, donde no hay un flujo principal, está descrito por la primera ley de la difusión
de Fick,
J=-D dC
In
dx
(14.6)
donde J es la masa de perfume que cruza un área unitaria por unidad de tiempo (el flujo
másico del perfume), Dm es el coeficiente de difusión másica para el perfume en el aire con
dimensiones = L 2 T - 1 , YC es la concentración local del perfume (masa por unidad de volumen). El signo menos indica que la difusión del perfume se da desde regiones de concentración alta hacia las de concentración baja. Observe que esta ecuación es similar a la
ecuación 1.9, que describe la difusión de la cantidad de movimiento por viscosidad debida
a las diferencias de velocidad, así como a la ecuación de difusión de calor de Fourier.
dT
q =- k dx
(14.7)
La cual describe la difusión de calor que producen las diferencias de temperatura.
Dado que la difusión es un proceso de transporte molecular, la cantidad de difusión en
una interfase es proporcional al área superficial. Al aumentar el área superficial, la rapidez
de mezclado se incrementará en forma proporcional. Es por ello que para mezclar un fluido es necesario agitarlo. Cuando se agrega azúcar al café, se podría esperar a que el azúcar
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14.8 DIFUSiÓN Y MEZCLADO
481
se difunda. Sería necesario esperar un tiempo muy largo para que se diera la mezcla por difusión (los procesos de difusión molecular son, por lo regular, muy lentos) y el café sin
duda estaría frío. La solución es agitar el café. La turbulencia resultante distribuye y distorsiona las partículas de fluido que contienen altas concentraciones de moléculas de azú-
a)
b)
e)
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e)
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__ x
f)
FIGURA 14-6 Perfil de velocidad típico, perfil de temperatura y forma de la pluma en varias condiciones
atmosféricas ( - - rapidez de descenso ambiental, ----, rapidez de descenso adiabático se·.''.)). a)
Inestabilidad fuerte, b) cerca de la estabilidad neutra, e) inversión en la superficie, d) inversión por encima
de la chimenea, e) inversión por debajo de la chimenea , f) inversión por debajo y encima de la chimenea.
Tomada de Air Pollution: Its Origin and Control, K. Wark, C. F. Warner y W . T. Davis, publicado por Addison-Wesley, 1998.
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CAPíTULO
14
MECÁNICA
DE FLUIDOS
Y MEDIO AMBIENTE
distorsionan h
se presenta la
Asimismr
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•
b)
FIGURA 14-7
Efecto de los patrones de flujo locales en la dispersión
de efluentes gaseosos desde una
PROBLEMAS
chimenea. Tomada de Air Pollution: Its Origin and Control, K. Wark, C. F. Warner y W. T. Davis, publicado
por Addison-Wesley,
1998.
14.1 ¿Qué inf
14.2 Explique
car, lo que incrementa su área superficial y permite que el proceso del mezclado de las
moléculas ocurra en un tiempo muy corto, antes de que el café se enfríe.
El mezclado también mejora la difusión del calor y, por lo tanto, los flujos turbulentos
son muy eficientes para enfriar superficies. Los remolinos turbulentos mezclan el flujo
con suficiente minuciosidad como para transportar el fluido con mucha rapidez a regiones
donde el fluido de los alrededores está frío y viceversa. Los remolinos también estiran y
rh
--~I----~~L--------- _-----illL----_.
B
1=0
Difusión
de flujo
X
e
./1x'o ..
A
Difusión
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-'----''''---'-
e
,1
FIGURA 14-8
Propagación
unidimensional
de Potter y Wiggert, Mechanics
I
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para c1as
14.4 Clasifiqu
para las (
a) La t
b) La t
e) La t
para las I
a) La t
b) La t
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14.6 En un dí:
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14.7 La veloe
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t >1,
14.8 En una}
• x
de perfume en el aire en función del tiempo. Con autorización
of Fluids, 2a. ed., Prentice Hall.
14.3 ¿Cómo s
14.5 Clasifiqt
e
x
adiabátic
temperal
temperai
84°F?
PROBLEMAS
483
distorsionan las partículas de fluido por lo que se incrementa el área superficial en la cual
se presenta la difusión de calor.
Asimismo, el mezclado mejora la difusión de la cantidad de movimiento. Por ejemplo, siempre que hay gradientes de velocidad, también se tienen gradientes de la cantidad
de movimiento. Como se vio en la sección 1.4.4, la viscosidad difunde la cantidad de movimiento mediante intercambio molecular, lo cual provoca que el fluido lento se acelere y
el más rápido se frene. Este es un proceso lento; sin embargo, en el flujo turbulento se presenta un mezclado fuerte a gran escala y la cantidad de movimiento se redistribuye con
mucha mayor rapidez. Debido a este proceso de agitación, la distribución de la cantidad de
movimiento se hace más uniforme y la intensidad de los gradientes de velocidad tiende a
reducirse. Como se indicó en la sección 9.7, este proceso es semejante a la difusión viscosa, excepto que es mucho más efectivo. La "difusión" turbulenta a menudo se modela con
una viscosidad de "remolino" equivalente, que en general es mayor en órdenes de magnitud que la viscosidad molecular. Dado que la difusión turbulenta de calor, masa y cantidad
de movimiento dependen de manera directa del campo de velocidad fluctuante, las viscosidades de remolino para cada fenómeno de transporte son de la misma magnitud.
PROBLEMAS
14.1 ¿Qué infomlación en general está disponible en una rosa de vientos para un lugar dado?
14.2 Explique la diferencia entre la rapidez del descenso atmosférico y la rapidez del descenso
adiabático.
14.3 ¿Cómo son las rapideces de descenso ambiental (atmosférico) y adiabático que se emplean
para clasificar el grado de estabilidad en la atmósfera?
14.4 Clasifique la estabilidad de la atmósfera con base en el gradiente de temperatura promedio
para las condiciones siguientes:
a) La temperatura al nivel del suelo es de 70°F, y al 500 pie de 80°F.
b) La temperatura al nivel del suelo es de 70°F, y a 2500 pie de 60°F.
e) La temperatura al nivel del suelo es de 60°F, y a 1 900 pie de 48°F.
14.5 Clasifique la estabilidad de la atmósfera con base en el gradiente de temperatura promedio
para las condiciones siguientes:
a) La temperatura al nivel del suelo es de 24.6°C, y a 2 000 m de 5°C.
b) La temperatura al nivel del suelo es de 30°C, y a 500 m de 20°e.
e) La temperatura al nivel del suelo es de 25°C, y a 700 m de 28°C.
14.6 En un día particular la velocidad del viento es de 2 mis a una altura de 10m. a) Calcule la velocidad del viento a 100 m y 300 m si el exponente de la ley de potencias del perfil de velocidades es de 0.15 (nivel del suelo, poca rugosidad). b) Repita los cálculos para una potencia de
0.4 (área urbana).
14.7 La velocidad del viento sobre un área urbana es de 10 mis a una altura de 10m. Calcule la velocidad del viento a una altura de 30 m.
14.8 En una población la temperatura al nivel del suelo es de 70°F. A una altura de 2000 pie y la
temperatura del aire de 65 °F. a) ¿Cuál es la máxima altura de mezclado en pie, cuando la
temperatura máxima en la superficie para ese tiempo es de 90°F? b) ¿de cuánto si fuera de
84°F?
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484
CAPiTULO 14
MECÁN ICA DE FLUIDOS Y MEDIO AMB IENTE
14.9 En una población la temperatura al nivel del suelo es de 18°C, mientras que la temperatura
máxima en la superficie para un mes dado es de 30°C. A una altura de 700 m, la temperatura
del aire es de 15°C. a) ¿Cuál es la altura de la capa de mezcla máxima en metros? b) ¿cuánto
vale si la temperatura a 700 m es de 20°C?
14.10 La rapidez del descenso atmosférico en un día es constante en la parte más baja de la atmósfera. A nivel del suelo, la presión es de 1 020 mbar y la temperatura de 15°e. A una altura z¡la
presión y temperatura son de 975 mbar y 11.5°C. Determine el gradiente de temperatura atmosférica, así como la altura ZI.
14.11 Calcule la velocidad terminal de partículas esféricas que caen a través de aire atmosférico a
20°C. Las densidades de las partículas son:
a) l.0 x 10- 3 g/mm3
b) 2.0x 10-3 g/mm3
cada una con diámetros de partícula de 10, 100 Y 1 000 11m. Considere los resultados de la figura 10-12.
14.12 Calcule la velocidad terminal de partículas esféricas que caen a través de agua a 20° e. Las
densidades de las partículas son:
a) 1 000 kg/m 3
b) 2 000 kg/m3
cada una con diámetro de partícula de 10, 100 Y1 000 11m. Considere los resultados de la figura 10-12.
14.13 A través de una cámara colectora de 3 m de altura y 5 m de longitud fluye aire en forma horizontal a 20°C y presión atmosférica. El aire arrastra partículas de 70 11m de diámetro con una
gravedad específica de 1.5. ¿Cuál es la velocidad máxima del aire que puede usarse para asegurar que todas las partículas se asentarán en la cámara?
14.14 A través de una cámara colectora con 12 pie de alto fluye aire de manera horizontal a 60°F y
presión atmosférica a una velocidad de 1 pie/s. El aire arrastra partículas de 0.002 pulg, con
una gravedad específica de 2.0. ¿Cuál será la longitud mínima de la cámara para asegurar que
se colectan todas las partículas?
14.15 A través de una cámara colectora de 4 m de altura y 20 m de longitud fluye aire horizontalmente a O°C y presión atmosférica a una velocidad de 0.5 mis. El aire arrastra partículas con
una densidad de 1 600 kg/m3 ¿De cuánto es el diámetro mínimo de las partículas que se pueden colectar en la cámara?
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15
NOTAS HISTÓRICAS
CAPÍTULO
Este capítulo presenta breves notas biográficas de científicos e ingenieros que han hecho
contribuciones importantes a la mecánica de fluidos. Las exposiciones están en orden cronológico, con base en las fechas de nacimiento y el material se seleccionó de artículos y libros que se dan en la lista de referencias.
15.1 ARQuíMEDES DE SIRACUSA
Nació en el año 287 a.C. en Siracusa, Sicilia; murió en 212 a.C. en Siracusa, Sicilia.
"Denme un punto de apoyo y moveré la Tierra."
Arquímedes estaba fascinado por la geometría. En M edición del Círculo dio una aproximación de lí que era precisa por menos de una milésima. También probó, entre otros muchos resultados, que el volumen de una esfera es dos tercios del volumen del cilindro que
la encierra. Siempre consideró que éste era su logro más importante, por lo que pidió que
en su tumba se inscribiera una representación de este resultado. Plutarco anotó:
A menudo, los sirvientes de Arquímedes lo forzaban a ir a los baños contra sus
deseos y una vez allí, lo bañaban y perfumaban. Arquímedes aún en los baños
seguía dibujando figuras geométricas, incluso en las cenizas de la chimenea. Y
mientras lo untaban con aceites y olores dulces, con sus dedos dibujaba líneas
sobre su cuerpo desnudo, tan ensimismado estaba, en éxtasis o en trance, con
el gozo que le proporcionaba el estudio de la geometría.
Arquímedes descubrió teoremas fundamentales relacionados con el centro de gravedad de
figuras planas y cuerpos. Su teorema más famoso en mecánica de fluidos, que proporciona
el peso de un cuerpo sumergido en un líquido, se denomina principio de Arquímedes.
También postuló que, por su naturaleza propia, los fluidos no tienen "espacios vacíos"
internos o sea que deben ser medios continuos. Y "si las partes de los fluidos son continuas
y están distribuidas de manera uniforme, entonces el que está más comprimido maneja al
menos comprimido". Así se tienen dos importantes conceptos de la mecánica de fluidos
clásica: la presión que se aplica en cualquier parte del fluido se transmite a cualquier otra
parte del fluido y se produce un flujo que se mantiene por fuerzas debidas a la presión.
Los siguientes son los teoremas o proposiciones famosos de Arquímedes. 1
1. Si un cuerpo más ligero que un fluido se coloca en éste, una parte del cuerpo se
mantendrá por encima de la superficie del líquido (proposición IV).
¡Tornado de A History and Philosophy of Fluid Mechanics, por G. A. Tokaty, publicado por G. T. Foulis & Ca.,
Henley-on-Tharnes, 1971 , edición Dover, 1994.
485
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486
cAPiTULO 15
FIGURA 15-1
NOTAS HISTÓRICAS
Arq uímedes de Siracusa .
2_ Si un cuerpo más ligero que un fluido se coloca en éste, se sumergirá tanto que un
volumen de fluido, igual al volumen del cuerpo sumergido, tiene el mismo peso
que el cuerpo completo (proposición V).
3. Si a un cuerpo más ligero que un líquido se le fuerza a sumergirse completamente
en él, el cuerpo tendrá un empuje hacia arriba igual a la diferencia entre su peso y el
peso de un volumen igual de fluido (proposición VI).
4. Si un cuerpo se coloca en un fluido más ligero que sí mismo, por qué será más ligero por una cantidad igual al peso del fluido que tiene el mismo volumen que el cuerpo mismo (proposición VII).
Una de las anécdotas más celebradas respecto a las proposiciones de Arquímedes es la siguiente. Hiero, el rey de Siracusa, había dado cierta cantidad de
oro a un orfebre de la ciudad para que hiciera una corona. El orfebre la entregó con la manufactura y el peso correcto, pero existía la sospecha de que se
había quedado con parte del oro, reemplazándolo con un peso igual en plata.
Entonces se consultó a Arquímedes. Poco tiempo después, al estar en los baños
públicos notó que su cuerpo era presionado hacia arriba por una fuerza que
aumentaba conforme se sumergía por completo. Al valorar esta observación,
corrió a su casa gritando: ¡Eureka! ¡Eureka! ¡Lo encontré!, ¡lo encontré! En
efecto, lo había encontrado. Sus experimentos demostraron que el agua permite calcular con exactitud los cuerpos sólidos, dado que el volumen del agua
desplazada tiene precisamente el mismo peso perdido por el cuerpo sumergido
en el agua.
La habilidad en mecánica de Arquímedes, así como su conocimiento teórico lo capacitaron para construir diversas máquinas ingeniosas. El aparato que se conoce como tomillo
de Arquímedes es un tipo de bomba que aún se usa en muchas partes del mundo.
Arquímedes fue asesinado durante la toma de Siracusa por los romanos en la Segunda
Guerra Púnica y según Plutarco:
Por gajes del destino, Arquímedes había intentado trabajar en un problema
mediante un diagrama. Con la mirada y la mente jijas en el objeto de su especulación no se percató de la entrada de los romanos ni de que la ciudad había
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15.2 LEONARDO DA VINel
487
sido tomada. Inesperadamente, un soldado se acercó a él y le ordenó que lo
acompañara. Cuando se negó a hacerlo antes de resolver su problema, el soldado enfurecido sacó su espada y se la hundió.
15.2 LEONARDO DA VINel
Nació el 15 de abril de 1452 en Vinci (cerca de Empolia), Italia; murió el 2 de mayo de
1519 en Amboise, Francia.
"Ningún conocimiento puede ser cierto si no está fundamentado en las matemáticas o en
algún otro conocimiento que se base a sí mismo en las ciencias matemáticas."
"Instrumental o ciencia mecánica es la más noble y está por encima de las otras, la más
útil. "
Leonardo da Vinci tenía muchos talentos además del de la pintura. Estudió biología,
fisiología, botánica y realizó un extenso trabajo en mecánica, inventando varios aparatos y
máquinas. Trabajó para el duque de Milán y César Borgia como arquitecto militar e ingeniero. También lo fascinó la geometría, en la que se interesó cuando ilustró la Divina Proportian e de Pacioli. Continuó trabajando con Pacioli y en apariencia desechó la pintura
para satisfacer su interés por la geometría.
El interés de Leonardo en el flujo de fluidos fue muy amplio en relación con el flujo en
ríos, formación de ondas, aerodinámica, helicópteros, veleros, el vuelo de las aves, paracaídas, molinos de agua, flujo sanguíneo, sistemas de riego, natación y diseño de barcos.
También se le acredita la "ley de velocidad-área", que se conoce como la ecuación de la
continuidad para flujo unidimensional, permanente e incompresible. Da Vinci escribió
" ... donde el flujo acarrea una gran cantidad de agua, la velocidad del flujo es mayor y viceversa."
" ... donde el río se hace menos profundo, el agua fluye más rápido."
FIGURA 15-2
Leonardo da Vinci.
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cAPiTULO 15
NOTAS HISTÓRICAS
Otra observación importante es su principio de la velocidad relativa.
" ... un cuerpo que se mueve en aire estático experimenta tanta resistencia del aire como la
que experimenta el mismo cuerpo en estado estático, pero expuesto al aire en movimiento
con la misma velocidad."
15.3 EVANGELISTA TORRICELLI
Nació el15 de octubre de 1608 en Faenza, Romana (ahora Italia); murió el25 de octubre
de 1647 en Florencia, Toscana (ahora Italia).
Torricelli fue secretario y compañía durante los últimos tres meses de vida de Galileo
(1641 a 1642) y lo sustituyó como matemático de la corte del gran duque Fernando II de
Toscana. En 1643 Torricelli propuso un experimento, que más tarde realizó su alumno y
colega Vincenso Viviani (1622-1703), con el que demostró que la presión atmosférica determina la altura a la que sube un líquido en un tubo invertido sobre el mismo líquido, concepto que llevó al desarrollo del barómetro. Torricelli también estudió las trayectorias de
los proyectiles y aplicó su conocimiento al estudio de los chorros que se emiten desde recipientes llenos de agua a una profundidad H . En particular se preguntó a qué altura, h, debería subir el chorro. Experimentó con corrientes hacia arriba y encontró que h< H. De este
modo estableció que la pérdida se debe a la fricción en el orificio y fuera de éste a la resistencia del aire. Ignorando estos efectos, se basó en el hecho de que la distancia en la caída
libre está dada por gt 2 /2 y que la velocidad en la caída libre es de v = gt. Al igualar h con la
distancia en la caída libre, Torriceli dedujo que v = ~2gh, un resultado nuevo, el cual representó un hito mayor en el desarrollo de la mecánica de fluidos.
FIGURA 15-3
Evangelista Torricelli.
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15.4 BLAISE PASCAL
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15.4 BLAISE PASCAL
N ació el 19 de junio de 1623 en Clermont-F errand, Francia; murió el 19 de agosto de 1662
en París, Francia.
"La última cosa que uno sabe al construir un trabajo es qué se pone primero."
"Cuando vemos un estilo natural nos sorprendemos y nos deleitamos porque esperábamos
ver un autor y encontramos un hombre."
"Todos los infortunios del hombre provienen de un hecho sencillo: su incapacidad para estar en paz en un cuarto [en el hogar]."
"El hombre es sólo un carrizo, la cosa más débil de la naturaleza; pero es un carrizo pensante."
"He hecho esta carta más larga de lo acostumbrado, sólo porque no he tenido el tiempo de
hacerla más corta."
De acuerdo con el Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas, el padre de Pascal, Étienne Pascal, tenía puntos de vista poco ortodoxos de la educación y decidió enseñar
a su hijo él mismo. Decidió que Pascal no estudiara matemáticas hasta después de los 15
años y que todos los libros de matemáticas se retiraran de su casa. Sin embargo, Pascal empezó a trabajar en geometría por su propia cuenta cuando tenía 12 años. Descubrió que la
suma de los ángulos de un triángulo son dos ángulos rectos y, cuando su padre se enteró,
cedió y le proporcionó una copia de Euclides. A los 14 años de edad Pascal empezó a asistir a las reuniones de Mersenne, quien pertenecía a la orden religiosa de los minims y cuya
celda en París era lugar frecuente de reuniones para Fermat, Pascal, Gassendi y otros. A los
16 años, en una de esas reuniones, Pascal presentó en un simple pedazo de papel, varios
teoremas de geometría descriptiva, incluyendo el hexágono místico de Pascal.
Pascal inventó la primera calculadora digital (1642) para ayudar a su padre en su trabajo como recaudador de impuestos. El aparato, llamado Pascalin, era semejante a una cal-
FIGURA 15-4
Blaise Pascal.
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CAPíTULO 15
NOTAS HI STÓRICAS
culadora mecánica de los años cuarenta del siglo XX. Sus estudios posteriores en
geometría, hidrodinámica e hidrostática y de la presión atmosférica lo llevaron a inventar
lajeringa y la prensa hidráulica, así como establecer la ley de la presión. En uno de sus experimentos convenció a su cuñado para escalar la montaña Pay-de-D6me en Francia.
Encontró que la altura del mercurio baja con la altura, lo cual indica que la presión atmosférica disminuye con la altura.
En The Equilibrium ofLiquids and the Weight ofthe Mass ofAir (1663) estudió cómo
debido a la profundidad varía el peso de un líquido, el equilibrio de los líquidos, el equilibrio entre un líquido y un sólido, los cuerpos sumergidos completamente en agua, los cuerpos compresibles sumergidos, los animales en agua y otros tópicos. La unidad para medir
la presión en el sistema SI lleva su nombre .
... Pascalformuló casi todas las leyes de la aerostática, por ejemplo, que (1)
puesto que cada parte del aire tiene peso (masa), en consecuencia, el cuerpo
también tiene p eso (masa); (2) dado que la masa del aire cubre toda lafaz de
la Tierra, su peso presiona sobre ella en todas partes; (3) debido a la ley de la
hidrostática, las partes más altas de la Tierra, como las cumbres de las montañas, experimentan presiones de aire menores que las tierras bajas; (4) los
cuerpos en el aire son presionados por todos lados.
El aire atrae, entonces, la atención en cada experiencia cotidiana: cuando
todas las aperturas de un fuelle se cierran, ¿por qué es dificil abrirlas? si dos
superficies pulidas se enciman una sobre otra, ¿por qué es tan dificil separarlas dado que parecen estar pegadas?; cuando una jeringa se sumerge en agua
y se saca el pistón, ¿por qué el agua lo sigue como si estuviera adherida?, etcétera.
"La razón básica de todos estos fenómenos es el peso del aire, escribió
Pascal, aunque hasta aquí se ha atribuido al horror de un vacío. (nota: el horror pueril de Aristóteles y otros). " Es decir, él sabía que una clase de vacío en
verdad era posible. Pero también sabía que la potencia invisible de la atmósfera podía hacer "maravillas de la presión ".
.. .Incluso antes de Stevinus y Pascal se sabía que la presión de un fluido es
normal a la superficie sobre la que actúa. Segundo, Stevinus, y en especial
Pascal, demostraron'que la presión que se aplica en la superficie de un fluido
se transmite casi de inmediato a todas las otras partes del fluido. Tercero,
Stevinus supuso y Pascal lo demostró, que la presión en cualquier punto dentro
del fluido es la misma en todas las direcciones y sólo depende de la profundidad.2
Su trabajo más famoso es en realidad en la filosofia. De 1656 a 1658 escribió Pensées, una
colección de pensamientos personales sobre los sufrimientos humanos y la fe en Dios (las
primeras referencias al inicio de esta sección se seleccionaron de esta colección). "La
apuesta de Pascal" pretende probar que la creencia en Dios es racional con base en el argumento siguiente: "Si Dios no existe, no se pierde nada con creer en Él, mientras que si existe, se pierde todo por no creer."
2Tomado de A History and Philosophy of Fluid Mechanics, por G. A. Tokaty, publicado por G. T. Foulis & Co. ,
Henley-on-Thames, 1971, ediciones Dover, 1974.
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15.5 SIR ISAAC NEWTON
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Su último trabajo fue sobre la cicloide, la curva que traza un punto en una circunferencia que rueda sin deslizar. Murió a los 39 años de edad.
15.5 SIR ISAAC NEWTON
Nació e14 de enero de 1643 en Woolsthorpe, Lincolnshire, Inglaterra; murió e131 de marzo de 1727 en Londres, Inglaterra.
"Si he visto más lejos es porque estoy parado sobre los hombros de gigantes." (carta a Robert Hooke, 5 de febrero de 1675).
"No sé cómo puedo parecerle al mundo, pero para mí mismo parezco haber sido como un
niño jugando en la orilla del mar, que se divierte y luego encuentra una piedra más lisa o
una concha más bonita que de ordinario, mientras el gran océano de la verdad posa ante mí
sin ser descubierto."
De acuerdo con el Archivo MacTutor de la Historia de las Matemáticas, la vida de
Newton se divide en tres periodos distintos. El primero es sus días de juventud desde 1643
hasta su graduación en 1669. El segundo, de 1669 a 1687, periodo muy productivo en el
que fue profesor Lucasiano en Cambridge. El tercero, (casi tan largo como los otros dos
juntos) contempla a N ewton como gobernante oficial bien pagado en Londres con un interés muy lejano por las matemáticas.
Isaac Newton nació en la casa feudal de Woolsthorpe, cerca de Grantham en Lincolnshire. Aunque nació en el día de Navidad en 1642, la fecha que aquí se da (4 de enero de
1643) es la fecha del calendario gregoriano. (El calendario gregoriano se adoptó en Inglaterra hasta 1752.) Newton proviene de una familia de granjeros, pero nunca conoció a su
padre, quien murió antes que él naciera. Su madre se volvió a casar, se mudó a una villa
cercana y lo dejó al cuidado de su abuela. Al morir su padrastro en 1656, su madre lo sacó
de la escuela de gramática en Grantham, donde su rendimiento académico había sido poco
prometedor. Los reportes escolares lo describen como "ocioso" y "distraído". Un tío decidió que debía prepararse para la universidad por lo que ingresó en el viejo colegio de su
tío, Trinity College, Cambridge, en junio de 1661, donde estudió leyes.
La instrucción en Cambridge estaba dominada por la filosofia de Aristóteles, pero se
permitía algo de libertad en los estudios del tercer año. Newton estudió la filosofia de Descartes, Gassendi y Boyle. Lo atrajeron la nueva álgebra y geometría analítica de Viete,
Descartes y Wallis, así como la mecánica de la astronomía copernicana de Galileo.
Su genio científico surgió de repente cuando por una plaga cerró la universidad en el
verano de 1665 y tuvo que regresar a Lincolnshire. Ahí, en un periodo menor de dos años,
cuando Newton tenía menos de 25 años de edad, inició sus avances revolucionarios en matemáticas, óptica, fisica y astronomía.
Mientras Newton permaneció en casa, propuso los fundamentos del cálculo diferencial e integral, varios años antes del descubrimiento independiente de Leibniz. El "método
de las fluxiones", como lo llamó (hoy se llama cálculo), se basaba en su visión crucial de
que la integración de una función era meramente el procedimiento inverso de la diferenciación de ésta. Tomando la diferenciación como la operación básica, Newton produjo
métodos analíticos simples que unificaron varias técnicas separadas desarrolladas antes
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CAPíTU LO 15
FIGURA 15-5
NOTAS HISTÓRICAS
Sir Isaac Newton a la edad de 24 años.
para resolver problemas que en apariencia no se relacionaban, como encontrar áreas, tangentes, longitudes de curvas y los máximos y mínimos de las funciones.
Barrow renunció a la presidencia Lucasiana en 1669 recomendando a Newton (aún de
29 años de edad) como el apropiado para el puesto. El primer trabajo de Newton como profesor Lucasiano fue sobre óptica. Todos los científicos, desde Aristóteles, habían creído
que la luz blanca era una entidad básica simple, pero la aberración cromática de los lentes
de los telescopios convencieron a Newton de lo contrario. Cuando un rayo delgado de luz
solar pasó a través de un prisma de vidrio Newton observó el espectro de colores que se
formó. Para resolver el problema de la aberración cromática en los telescopios refractantes, propuso y construyó un telescopio reflejante. Newton era un excelente experimentalista, así como teórico.
Newton fue elegido miembro de la Royal Society en 1672 después de donar un telescopio reflejante y el mismo año publicó su primer artículo científico sobre la luz y el color
en las Philosophical Transactions of the Royal Society. El artículo fue bien recibido, pero
Hooke y Huyghens objetaron su intento por demostrar sólo experimentalmente, que la luz
es el movimiento de partículas pequeñas en vez de ondas. Quizá por la ya alta reputación
de Newton, su teoría corpuscular dominó hasta que la teoría de ondas se revivió en el siglo
XIX.
Las relaciones de Newton con Hooke se deterioraron y de manera voluntaria se retiró
de la Royal Society. Retrasó la publicación de sus investigaciones sobre óptica hasta después de que Hooke murió en 1703, de modo que la Óptica de Newton no apareció sino hasta 1704.
Es posible que los mejores logros de Newton sean sus trabajos de física y mecánica
celeste. Hacia-1666, tenía las primeras versiones d