Instituto Tecnológico de Querétaro
Cálculo Vectorial
Tarea funciones de Rn → Rm
1. Haz la gráfica de las curvas de nivel de la siguiente función f : R2 → R
f (x, y) = y − 3x2
2. Calcula el gradiente de la función
f (x, y, z) = cos z log(x + y2 ))
en el punto P = (e, 0, π/4).
3. Calcula las derivadas parciales de orden 2 para las siguientes funciones:
(a) exy
(b) arctan(x2 + 2xy2 )
sin(x + y)
(c)
1 + x2 + y2
4. Sea f : R2 − {(0, 0)} → R definida por
f (x, y) = arctan(y/x),
Demuestra que f satisface la ecuación de Laplace, es decir,
∂2 f ∂2 f
+
= 0.
∂ x2 ∂ y2
5. Sea f una función diferenciable de dos variables y supongamos que existe
un entero m ≥ 1 tal que
f (tx,ty) = t m f (x, y)
para toda t y toda x, y. Prueba la relación de Euler
x
∂f
∂f
+y
= m f (x, y).
∂x
∂y
[Sugerencia: Sea r(t) = (tx,ty). Deriva cada lado de la ecuación dada con
respecto a t, manteniendo x e y constantes. Luego evalúa en t = 1.]
1
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6. Encuentra la ecuación del plano tangente a la superficie
3x2 − 2y + z3 = 9,
en el punto P = (1, 1, 2).
7. Obtenga ecuaciones para los planos tangentes a z = x2 − 6x + y3 que sean
paralelos al plano 4x − 12y + z = 7.
8. Sea f (x, y, z) = z − ex sin y, y P = (log 3, 3π
2 , −3). Encontrar:
(a) La derivada direccional de f en P respecto a v = (1, 2, 2).
(b) Los valores máximo y mı́nimo de la derivada direccional de f en P.
9. Una mosca doméstica, está atrapada en el horno en el punto (0, 0, 1). La
temperatura en los puntos del horno esta dada por la función
2
2
T (x, y, z) = 10(xe−y + ze−x ),
donde las unidades están en grados Celsius.
a) Si la mosca comienza a volar al punto (2, 3, 1) ¿a qué tasa (en grados/cm) encuentra que está cambiando la temperatura?
b) ¿En qué dirección debe avanzar a fin de enfriarse tan rápido como sea
posible?
c) Suponga que la mosca puede volar a 3 cm/seg. Si avanza en la dirección del inciso b), ¿a queé tasa (instantánea, en grados/seg) encontrará que está cambiando la temperatura?
10. Encuentra los puntos máximos y el mı́nimos de la siguiente función en la
región dada.
f (x, y) = xy−(1−x2 −y2 )1/2
en la región
{(x, y) ∈ R2 : x2 +y2 ≤ 1}
11. Encuentra el máximo de la función
f (x, y) = x3 + xy
en la región
[0, 1] × [0, 1].
12. Encuentra la distancia más corta de un punto sobre la elipse x2 + 4y2 = 4
respecto a la lı́nea x + y = 4 [Pista: en un mı́nimo, ∇ f (x, y) es paralelo a
∇g(x, y)]
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13. Encuentre el máximo y mı́nimo absolutos de
f (x, y, z) = x2 + xz − y2 + 2z2 + xy + 5x
sobre el prisma rectangular
{(x, y, z) : −5 ≤ x ≤ 0,
0 ≤ y ≤ 3,
0 ≤ z ≤ 2}.
14. Una placa de metal tiene la forma de la región x2 + y2 ≤ 1. La placa se
calienta de manera que la temperatura en cualquiera de sus puntos (x, y)
está dada por
T (x, y) = 2x2 + y2 − y + 3.
Encuentre al punto más frı́o y el más caliente de la placa, y la temperatura
en cada uno de ellos.
15. Supóngase que el costo para producir un producto A es de $11 por unidad,
y el producto B cuesta $3 por unidad. Ambos se necesitan para producir el
producto C. Cuando x unidades de A y y unidades de B se usan, el número
total de unidades de C producidas por el proceso de producción está modelado por la relación
p(x, y) = −3x2 + 10xy − 3y2
¿Cuántas unidades de A y de B deberán usarse para producir 80 unidades
del producto C y minimizar el costo?
√
16. Demuéstrese que si x, y, y z son no negativos, entonces F(x, y, z) = 3 xyz con
la restricción x + y + z = 3a tiene un valor máximo cuando x = y = z = a.
Demuéstrese que la media geométrica de tres números no negativos es igual
o menor que su media aritmética, es decir,
1
√
3 xyz ≤
(x + y + z).
3
17. Demuéstrese que si todos los xi (i = 1, . . . , n) son no negativos, entonces
1/n
(x1 · x2 · · · xn )
3
1 n
≤ ∑ xi .
n i=1
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Figure 1: Silo para almacenar granos.
18. Un granjero diseña un silo para guardar sus 900π pies3 de grano. El silo va
tener forma cilı́ndrica con techo hemiesférico. Véase la figura 1. Suponga
que hacer el techo cuesta, por pie cuadrado de lámina, cinco veces lo que
cuesta hacer el piso circular, y hacer el piso cuesta lo doble que hacer las
paredes. Si usted es el ingeniero encargado del proyecto de construcción,
¿qué dimensiones recomendarı́a para minimizar el costo total? Se asume
que todo el silo puede llenarse con grano. encontrar los números (x, y) que
deben comprarse para maximizar la utilidad.
19. Método de los mı́nimos cuadrados. Dados n números distintos x1 , . . . , xn y
otros n números y1 , . . . yn (no necesariamente distintos), es en general imposible encontrar una recta f (x) = ax + b que pase por todos los puntos
(xi , yi ), estos es, tal que yi = f (xi ) para cada i = 1, . . . , n. No obstante se
puede encontrar una función lineal con la que el error cuadrático total
n
E(a, b) = ∑ [ f (xi ) − yi ]2
i=1
sea mı́nimo. Determinar los valores de a y b para que esto ocurra.
20. Encontrar los puntos crı́ticos de las funciones
(a) f (x, y) = ye−(x
2 +y2 )
(b) f (x, y) = xe−(x
2 +y2 )/2
21. Sea f (x, y) = x2 + y3 + 3xy2 − 2x. Sea P = (1, 0). Prueba que P es un punto
crı́tico de f . Además,
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(a) Encuentra la forma cuadrática asociada a f en el punto P.
(b) Determina si P es un máximo local, mı́nimo local o punto silla. Justifica tu respuesta.
22. Calcula la expansión en serie de Taylor hasta orden 2 de las siguientes funciones
(a) f (x, y) = sin(xy)
en
P = (0, 0)
(x−1)2
en
P = (1, 0)
(b) f (x, y) = e
cos(y)
23. Calcula la derivada de la función f : R3 → R3 definida por
f(x, y, z) = (x2 y, zex , x + z)
en el punto P = (−1, 1, −2).
24. Supongamos que g(u, v, w) = (uv2 , v+3w2 ), f (x, y) = x2 −y2 y z = f (g(u, v, w)).
Encuéntrese ∂∂ uz , ∂∂ vz y ∂∂wz , por cálculo directo y también aplicando la regla
de la cadena.
25. Si g(u, v, w) = (u sin v, w2 , u2 w), f (x, y, z) = xyz, y t = f (g(u, v, w), encuéntrese
∂t ∂t
∂t
∂ u , ∂ v y ∂ w por cálculo directo y también por aplicación de la regla de la
cadena.
26. Demuestra
(a) Sea y(x) definida implı́citamente por G(x, y(x)) = 0, donde G es una
función de dos variables, dada. Probar que si y(x) y G son diferenciables, entonces
∂G
dy
= − ∂∂Gx
dx
siempre que
∂y
(b) Sea y definida implı́citamente por
x2 + y3 + ey = 0
Calcular
dy
dx
en términos de x e y.
5
∂G
̸= 0.
∂y
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27. Supongamos que f tiene derivadas parciales continuas de segundo orden.
Si u = f (x, y), entonces
∂ 2u ∂ 2u
+
=0
∂ x2 ∂ y2
se llama ecuación de Laplace en dos dimensiones. Demuéstrese que si cambiamos a coordenadas polares de modo que u = f (r cos θ , r sin θ ) entonces
la ecuación de Laplace toma la forma
∂ 2u 1 ∂ u 1 ∂ 2u
+
+
=0
∂ r2 r ∂ r r2 ∂ θ 2
28. Supongamos que f tiene derivadas parciales continuas de segundo orden y
u = f (x,t). Demuéstrese que la ecuación de onda
2
∂ 2u
2∂ u
−
a
=0
∂t 2
∂ x2
toma la forma
∂ 2u
=0
∂ r∂ s
bajo el cambio de variables: r = x + at, s = x − at. Demuéstrese que u =
F(x − at) + G(x + at), donde F y G son funciones arbitrarias con derivadas
parciales segundas continuas, satisfacen la ecuación de onda.
29. Calcula la divergencia del campo vectorial
F = (x + y)i + (y + z)j + (x + z)k.
30. Encuentra el rotacional del campo vectorial
F = (x + yz)i + (y + xy)j + (z + xy)k.
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