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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
CENTRO UNIVERSITARIO DE OCCIDENTE -CUNOCPROFESORADO EN ENSEÑANZA MEDIA EN MATEMÁTICA Y FÍSICA
TEMARIO PARA OPTAR AL TÍTULO DE:
PROFESORADO EN ENSEÑANZA MEDIA EN MATEMÁTICA Y FÍSICA
FRANCISCO TAMBRIZ BALUX
QUETZALTENANGO, ENERO 2022
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AUTORIDADES
Ing. Murphy Paiz
Rector Magnífico USAC
MSc. María Paz Cabrera
Directora del Centro Universitario de Occidente
MSc. Edgar Bolaños
Coordinador PEM en Matemática y Física
Licda. Eleany Maricely Barrios Ruiz de Flores
Asesora de Temario
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DEDICATORIA
A mis padres que, con su esmero, dedicación han sido y seguirán formando parte
de mis logros, poder acompañarme en un peldaño más.
4
AGRADECIMIENTOS
A Dios por su infinita misericordia, expreso mi gratitud por el don de la vida, mayor
bendición en mi desenvolvimiento personal, por ser el apoyo, fuente de energía,
fortaleza en aquellos momentos de dificultad y debilidad. A mis padres Domingo
Tambriz Más y María Balux Tambriz que con su ejemplo, consejos y acompañamiento
en cada proceso, han sabido forjarme en el trabajo arduo y me han inculcado valores
y principio, esfuerzo y honradez, mis hermanos José Justo, Marta María, Juan Antonio
por sus palabras de motivación, consejos y por brindarme el apoyo incondicional en
todos los momentos necesarios.
Mi agradecimiento profundo a la Universidad de San Carlos de Guatemala, Centro
Universitario de Occidente, mi centro de estudios; a cada docente que me forjaron
valor, responsabilidad, entrega y sobre todo la verdadera vocación de desempeñar mi
carrera en la vida cotidiana, quienes con la enseñanza de sus valiosos conocimientos
hicieron que pueda crecer día a día como profesional.
A mi asesora de práctica, mis sinceros agradecimientos, que, con su experiencia,
profesionalismo, capacidad me dio la dirección y muchos consejos en el desarrollo de
este temario, la motivación que me brindó día con día durante el proceso.
Finalmente quiero expresar mi más sincero agradecimiento a mis compañeros,
amigos y colegas por ser partícipes durante la realización del temario, apoyándome
moralmente
que
me
permitió
luchar,
permanecer
con
el
mayor
de
las
responsabilidades, dedicación y apego al desarrollo del temario, su paciencia, apoyo
incondicional y amistad.
5
Profesorado de Enseñanza Media y Lic. En
Matemática y Física, Plan Sabatino
Sección Departamental Quetzaltenango
Centro Universitario de Occidente
EL INFRASCRITO COORDINADOR DE LA CARRERA DEL
PROFESORADO Y LICENCIATURA
DE ENSEÑANZA MEDIA EN MATEMÁTICA Y FÍSICA,
PLAN SABATINO; SECCIONES DEPARTAMENTALES,
QUETZALTENANGO CENTRO UNIVERSITARIO DE OCCIDENTE
C.U.N.O.C.
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
HACE CONSTAR QUE:
Ha tenido a la vista las cartas de aprobación de cada área específica, por
lo que se autoriza la impresión del Temario para Examen Técnico Profesional
del estudiante: FRANCISCO TAMBRIZ BALUX, Carné: 2129 42999 0705
Registro Académico: 201731775,
Quetzaltenango, 29 de octubre de 2021.
“ID Y ENSEÑAD A TODOS”
MSc. Edgar Rolando Bolaños González
Coordinador P.E.M. y Lic. En Mate. Y Física
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7
8
9
INTRODUCCIÓN GENERAL
El proceso de formación académica conlleva un orden y satisface: reglas,
disciplinas, artes, ciencias y tecnología, en la que abarca un profundo conocimiento de
saberes que en determinados momentos y vivencias de la vida se aplica para la
resolución de problemas, en la que interviene factores muy importantes como la
sociedad, la convivencia en armonía, e desarrollo personal y social, por ende toma un
rumbo significativo a una educación integral, humanística, científica en el desarrollo
sostenible de la humanidad.
Por ello, dentro del proceso de graduación del Profesorado en Enseñanza Media
en Matemática y Física comprende el desarrollo de diez temas que se abordan en
modalidad virtual mediante una sesión en línea. Comprendidas entre las áreas
científicas: Matemática y Física, así como la importancia de dar relevancia dentro de
la misma el fundamento teórico del área psicopedagógica dentro del proceso de
enseñanza. Por eso se ha desarrollado este temario con el fin de brindar una
herramienta base para el examen técnico profesional, la cual está comprendida en tres
capítulos.
En el primer capítulo se desarrolla el área de matemática, en el que se da a conocer
el primer tema sobre teoría de las ecuaciones en las que deseamos encontrar una
solución la variable en ecuaciones e inecuaciones; el segundo tema que se aborda es
sobre números complejos que es una entidad matemática que viene dada por un par
de números reales, el primero x se denomina la parte real y al segundo y la parte
imaginaria. Los números complejos se representa por un par de números entre
paréntesis (x, y), como los puntos del plano, o bien, en la forma usual de x+yi, i se
denomina la unidad imaginaria, la raíz cuadrada de menos uno. Por otra parte, se
explica sobre el tema de funciones trigonométricas que se definen comúnmente como
el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las
funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto
de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia
unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series
infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su
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extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos; por último,
se aborda la distribución normal que es un modelo teórico capaz de aproximar
satisfactoriamente el valor de una variable aleatoria a una situación ideal.
En el segundo capítulo se encuentra el área de física, el cual estudia los diferentes
fenómenos de la naturaleza, para ello se divide en cuatro; el primer tema, son: los
movimientos en dos dimensiones que no son considerados en línea recta, quiere decir
que se mueve simultáneamente a través de las dos direcciones; el segundo tema son
las aplicaciones de las leyes de Newton donde las aplicaciones de las leyes de Newton
se dan con frecuencia en nuestro entorno en donde satisface siempre en la aplicación
de fuerzas que se producen en los movimientos lineales o circulares; el tercer tema
son los vectores que es un segmento de una línea recta, dotado de un sentido, es
decir, orientado dentro de un plano euclidiano bidimensional o tridimensional. O lo que
es lo mismo: un vector es un elemento en un espacio vectorial; por último se desarrolla
el tema de temperatura que por definición es una magnitud referida a las nociones
comunes de calor o frío, por lo general un objeto más "caliente" tendrá una temperatura
mayor.
El tercer capítulo, se encuentra la información del área de psicopedagogía en el
que se define la cientificidad de la pedagogía arraigada desde la concepción de la
educación, las competencias educativas, hacia una visión integral, consecutiva y
perfeccionada en las diferentes áreas de aplicación para el desenvolvimiento de la
sociedad educativa; el primer tema consiste en Significado de lo pedagógico desde
una visión histórica (esto permitirá al estudiante realizar un breve recorrido histórico
conocer su etimología, y plantear su cientificidad dejando claro su objeto de estudio.
El Hecho Pedagógico versus el Hecho Educativo; consecutivamente se desarrolla el
segundo tema de Como redactar competencias de aprendizaje. “Competencias
educativas. ¿Qué son?, Características, Redacción”.
En cada uno de los temas de áreas científicas incluye definiciones, fórmulas, en
algunos; demostraciones, ejemplos y su debido procedimiento que sirven de apoyo
11
para la comprensión de los conceptos en cuanto al área de Matemática y Física, así
como un glosario de apoyo y herramientas que apoyan el desarrollo de cada temática.
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ÍNDICE
INTRODUCCIÓN GENERAL .............................................................................................................. 8
CAPÍTULO I
ÁREA DE MATEMÁTICA
Introducción........................................................................................................................................ 19
1.
TEORÍA DE LAS ECUACIONES ............................................................................................. 21
1.1.
Concepto de Ecuación ..................................................................................................... 21
1.1.1.
1.2.
Historia de las ecuaciones ...................................................................................... 21
Ecuaciones cuya condición es una igualdad. ........................................................... 22
1.2.1.
Ecuaciones lineales .................................................................................................. 22
1.2.2.
Con expresiones enteras ........................................................................................ 22
1.2.3.
Con expresiones fraccionarias .............................................................................. 24
1.2.4.
Con expresiones radicales. .................................................................................... 25
1.2.5.
Ecuación con valor absoluto.................................................................................. 26
1.2.6.
Ecuación con variable negativa ............................................................................ 28
1.3.
Ecuaciones cuya condición es una igualdad de segundo grado. ....................... 29
1.3.1.
Ecuación de segundo grado completa ................................................................ 29
1.3.2.
Ecuación de segundo grado incompleta. ........................................................... 37
1.3.3.
Ecuaciones de segundo grado con radicales ................................................... 40
1.4.
Ecuaciones cuya condición es una desigualdad. .................................................... 42
1.4.1.
Propiedades de las desigualdades....................................................................... 42
1.4.2.
Tabla de desigualdades ........................................................................................... 43
1.4.3.
Desigualdad lineal ..................................................................................................... 44
1.4.4.
Desigualdad cuadrática ........................................................................................... 46
1.4.5.
Desigualdad racional ................................................................................................ 49
1.4.6.
Desigualdad con valor absoluto............................................................................ 50
Resumen analítico ............................................................................................................................ 52
Glosario................................................................................................................................................ 54
Bibliografía ............................................................................................................................................ 57
2.
NÚMEROS COMPLEJOS ......................................................................................................... 58
2.1.
Definición ............................................................................................................................ 58
2.2.
Números complejos como raíces de ecuaciones de segundo grado. ................ 58
13
2.3.
Álgebra de números complejos .................................................................................... 60
2.3.1.
2.4.
Operaciones con números complejos................................................................. 60
Representación geométrica de números complejos. .............................................. 66
Resumen analítico ............................................................................................................................ 67
Glosario................................................................................................................................................ 69
Bibliografía .......................................................................................................................................... 72
3.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ........................................................................................ 73
3.1. Construcción de las funciones trigonométricas, sistema de medición de
ángulos: sexagesimal, centesimal y cíclico. ......................................................................... 73
3.1.1.
Sistema de medida sexagesimal ........................................................................... 73
3.1.2.
Sistema de medida centesimal (sistema francés) ............................................ 74
3.1.3.
Sistema radial (sistema circular) ........................................................................... 75
3.1.4.
Relación de conversión de los tres sistemas .................................................... 76
3.2.
Gráfica de las funciones trigonométricas .................................................................. 77
3.2.1. Gráfica de la función seno para ángulos mayores que uno, multiplicado
por un número............................................................................................................................ 77
3.2.2. Gráfica de la función coseno para ángulos mayores que uno, multiplicado
por un número............................................................................................................................ 79
3.2.3.
Gráfica de la función tangente compuesta ........................................................ 81
3.2.4.
Gráfica de la función cotangente compuesta .................................................... 81
3.2.5.
Gráfica de la función secante compuesta .......................................................... 82
3.2.6.
Gráfica de la función cosecante compuesta...................................................... 82
3.3.
Círculo trigonométrico ..................................................................................................... 82
3.3.1.
Números reales en la circunferencia trigonométrica ...................................... 83
3.3.2. Representación de líneas trigonométricas en la circunferencia
trigonométrica. ........................................................................................................................... 84
3.4.
Aplicaciones de la trigonometría en triángulos rectángulos. ............................... 91
3.4.1.
Con Teorema de Pitágoras ..................................................................................... 91
3.4.2.
Con propiedades de razones trigonométricas. ................................................. 93
3.5.
Identidades trigonométricas .......................................................................................... 95
3.5.1.
Identidades recíprocas. ........................................................................................... 95
3.5.2.
Identidades de cociente........................................................................................... 96
3.5.3.
Identidades pitagóricas ........................................................................................... 96
3.5.4.
Demostración de las identidades trigonométricas. ......................................... 97
14
3.6.
Ecuaciones trigonométricas. ......................................................................................... 98
3.6.1.
Ecuación trigonométrica igualada a una constante ........................................ 98
3.6.2.
Factorización con ecuaciones trigonométricas ................................................ 99
Resumen analítico .......................................................................................................................... 100
Glosario.............................................................................................................................................. 102
Bibliografía .......................................................................................................................................... 105
4.
DISTRIBUCIÓN NORMAL ...................................................................................................... 106
4.1.
Probabilidades bajo la curva normal ......................................................................... 106
4.2.
Esperanza .......................................................................................................................... 107
4.3.
Varianza ............................................................................................................................. 108
Resumen analítico .......................................................................................................................... 111
Glosario.............................................................................................................................................. 113
Bibliografía ........................................................................................................................................ 115
ANEXOS
PLAN DE CLASE 1 .......................................................................................................................... 118
PLAN DE CLASE 2 .......................................................................................................................... 119
PLAN DE CLASE 3 .......................................................................................................................... 120
PLAN DE CLASE 4 .......................................................................................................................... 121
HOJA DE TRABAJO DE FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS ................................. 123
HOJA DE TRABAJO DE OPERACIONES BÁSICAS CON NÚMEROS COMPLEJOS ...... 125
HOJA DE TRABAJO DE GRÁFICA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
COMPUESTAS, APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA EN TRIÁNGULOS
RECTÁNGULOS. .............................................................................................................................. 127
HOJA DE TRABAJO DE PROBABILIDADES BAJO LA CURVA NORMAL. ...................... 130
LISTA DE COTEJO .......................................................................................................................... 133
Hoja de trabajo de ecuaciones lineales y cuadráticas .......................................................... 133
ESCALA DE RANGO ....................................................................................................................... 134
Hoja de trabajo de operaciones básicas con números complejos. ................................... 134
LISTA DE COTEJO .......................................................................................................................... 135
Hoja de trabajo de gráfica de funciones trigonométricas compuestas, aplicaciones de
la trigonometría en triángulos rectángulos. ............................................................................. 135
ESCALA DE RANGO ....................................................................................................................... 136
Hoja de trabajo de probabilidades bajo la curva normal. ..................................................... 136
15
CAPÍTULO II
ÁREA DE FÍSICA
Introducción...................................................................................................................................... 138
1.
MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES ............................................................................... 140
1.1.
Desplazamiento ............................................................................................................... 140
1.2.
Velocidad y aceleración en dos dimensiones ......................................................... 141
1.2.1.
Velocidad promedio ................................................................................................ 141
1.2.2.
Velocidad instantánea ............................................................................................ 143
1.2.3.
Aceleración promedio ............................................................................................ 144
1.2.4.
Aceleración instantánea ........................................................................................ 145
1.3.
Diagramas de movimiento ............................................................................................ 146
1.4.
Lanzamiento de proyectiles o movimiento parabólico ......................................... 147
Resumen analítico .......................................................................................................................... 153
Glosario.............................................................................................................................................. 155
Bibliografía .......................................................................................................................................... 158
2.
APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTON ................................................................ 159
2.1.
Fuerzas causantes de la aceleración centrípeta ..................................................... 159
2.2.
Fuerzas de fricción en el movimiento circular ........................................................ 161
2.3.
Peraltes .............................................................................................................................. 163
2.4.
Ley de Hooke .................................................................................................................... 165
2.4.1.
Elasticidad ................................................................................................................. 165
Resumen analítico .......................................................................................................................... 167
Glosario.............................................................................................................................................. 169
Bibliografía ........................................................................................................................................ 172
3.
VECTORES ................................................................................................................................ 173
3.1.
Vectores y sus propiedades ......................................................................................... 173
3.2.
Vector unitario.................................................................................................................. 173
3.3.
Componentes de un vector .......................................................................................... 174
3.4.
Operaciones con vectores ............................................................................................ 177
3.4.1.
Métodos gráficos ..................................................................................................... 177
3.4.2.
Métodos analíticos .................................................................................................. 183
Resumen analítico .......................................................................................................................... 186
16
Glosario.............................................................................................................................................. 188
Bibliografía ........................................................................................................................................ 190
4.
TEMPERATURA ....................................................................................................................... 191
4.1.
Temperatura y ley cero de la termodinámica .......................................................... 191
4.2.
Termómetros y escalas de temperatura.................................................................... 192
4.3.
Expansión térmica de sólidos y líquidos .................................................................. 194
4.3.1.
Expansión térmica en sólidos.............................................................................. 195
4.3.2.
Expansión térmica de líquidos ............................................................................ 197
4.4.
Gas ideal, número de Avogadro, ley del gas ideal, teoría cinética de los gases.
198
4.4.1.
Gas ideal, número de Avogadro, ley del gas ideal ......................................... 198
4.4.2.
Teoría cinética de los gases. ................................................................................ 200
Resumen analítico .......................................................................................................................... 202
Glosario.............................................................................................................................................. 204
Bibliografía ........................................................................................................................................ 206
ANEXOS
PLAN DE CLASE 1 .......................................................................................................................... 209
PLAN DE CLASE 2 .......................................................................................................................... 210
PLAN DE CLASE 3 .......................................................................................................................... 211
PLAN DE CLASE 4 .......................................................................................................................... 212
HOJA DE TRABAJO DE LANZAMIENTO DE PROYECTILES .................................................................... 214
PERALTES Y FUERZA CENTRÍPETA ......................................................................................... 216
OPERACIONES CON VECTORES ............................................................................................... 218
TEMPERATURA Y LEY CERO DE LA TERMODINÁMICA ..................................................... 219
LISTA DE COTEJO .......................................................................................................................... 222
Hoja de trabajo de ecuaciones lineales y cuadráticas .......................................................... 222
ESCALA DE RANGO ....................................................................................................................... 223
Hoja de trabajo de peraltes y fuerza centrípeta. ..................................................................... 223
LISTA DE COTEJO .......................................................................................................................... 224
Hoja de trabajo de operaciones con vectores. ........................................................................ 224
ESCALA DE RANGO ....................................................................................................................... 225
Hoja de trabajo de temperatura y ley cero de la termodinámica. ....................................... 225
17
CAPÍTULO III
ÁREA DE PSICOPEDAGOGÍA
Introducción...................................................................................................................................... 227
1.
SIGNIFICADO DE LO PEDAGÓGICO DESDE UNA VISIÓN HISTÓRICA.................... 228
1.1.
Origen de la educación .................................................................................................. 228
1.2.
Época Feudal .................................................................................................................... 230
1.3.
Reforma.............................................................................................................................. 231
1.4.
Contrareforma .................................................................................................................. 231
1.5.
La pedagogía tradicional. .............................................................................................. 232
1.6.
La pedagogía moderna. ................................................................................................. 234
1.7.
La pedagogía contemporánea. .................................................................................... 236
1.8.
Cientificidad de la pedagogía....................................................................................... 237
1.9.
El hecho pedagógico versus el hecho educativo ................................................... 238
1.9.1.
Hecho educativo ...................................................................................................... 238
1.9.2.
Acto pedagógico ..................................................................................................... 238
Resumen ............................................................................................................................................ 239
Glosario.............................................................................................................................................. 241
Bibliografía ........................................................................................................................................ 243
2.
COMO REDACTAR COMPETENCIAS DE APRENDIZAJE ............................................. 244
2.1.
¿Qué son las competencias educativas? ................................................................. 244
2.2.
Características de una competencia .......................................................................... 244
2.3.
Cinco ejes en la formación docencia ......................................................................... 246
2.4.
Redacción de competencias educativas .................................................................. 247
Resumen ............................................................................................................................................ 250
Glosario.............................................................................................................................................. 252
Bibliografía ........................................................................................................................................ 254
18
CAPÍTULO I
MATEMÁTICA
19
Introducción
En el desarrollo del contenido se incluyen los temas en las que presentan
importantes demostraciones que en base a los medios naturales se llegarán a
comprender, temas que nos aclaran dudas para sumergirse en el maravilloso mundo
de las matemáticas, se presenta con criterios, ejercicios, ideas concisas, planificación
y prueba objetiva, en las que a través de lo que se investiga se evalúa mediante los
conocimientos y experiencias adquiridas, los contenidos que se desarrollan van acorde
a una estructura bien definida, ideas bien pensadas para la asimilación de los distintos
saberes y aplicación de las diferentes fórmulas, es por ello; el contenido del temario se
basa legítimamente sobre temas de matemáticas, con demostraciones en la mayoría
de temas, en la que aclara el porqué de cada fórmula, como es que está sumergida en
la naturaleza, en los diferentes componentes que se puede palpar, desde un haz de
luz hasta el sonido que se reproduce, desde la economía, hasta nuestros movimientos
diario, todo conlleva una característica matemática.
Los temas a desarrollar en este temario son los siguientes: teoría de ecuaciones;
determina igualdades en las que están conformadas por dos miembros separado por
la igualdad.
Números complejos: en el maravilloso mundo existen magnitudes imposibles de
medir o hallar un dato numérico al respecto, es por ella que, en la aplicación de
operaciones con números complejos, se puede despejar muchas dudas en las que a
mayor profundidad se logra captar las propiedades que poseen los números
complejos, que se entiende por definir como par ordenado en un plano imaginario.
Funciones trigonométricas: se abarcan temas en las que es indispensable en
medidas rotacionales, en identidades que a través de una rotación surge otra figura
más en sus dimensionales en la que se producen las razones trigonométricas; el
triángulo rectángulo, las identidades en la que a través del círculo unitario se relaciona
los diferentes aspectos que la conforman, todo conlleva un patrón, en este tema la
base primordial desde ángulos hasta ecuaciones trigonométricas es el círculo unitario.
Tema que satisface el maravilloso mundo de las matemáticas.
20
Distribución normal: se abarca tema de demostración de datos de porcentaje, área
bajo la curva normal con a apego a una investigación, desviación estándar,
estandarización, media poblacional, en la que satisface el valor del área bajo la curva
normal, pero también desglosa hacia datos bien detallados, donde la curva total tiene
un área de una unidad cuadrática y en cualquier punto horizontal, de acuerdo al límite
del área, se puede obtener el porcentaje del dato de investigación.
Son temas que abarcan ideas importantes para el desarrollo de ejercicios
matemáticos en base a los contenidos, que en su realización se detallan en algunas
partes los pasos a seguir de las resoluciones de los ejercicios y problemas planteados,
un ejemplar en la que se lleva a cabo con gratitud para aportar al entendimiento y
sumergirse en el maravilloso mundo de las matemáticas.
21
1. TEORÍA DE LAS ECUACIONES
1.1. Concepto de Ecuación
Igualdad. Dos cantidades son iguales o equivalentes cuando tienen el mismo valor.
Ecuación. Una ecuación es una igualdad con una o varias incógnitas que se
representan con letras. Las ecuaciones pueden ser fórmulas que se utilizan para
encontrar una magnitud.
Fuente: (Aguilar Márquez A. , Bravo Vázquez, Galegos Ruiz, Cerón Villegas, &
Reyes Figueroa, 2009, pág. 352)
De acuerdo a las definiciones anteriores se puede decir que, una ecuación es una
igualdad y que en ambos lados de la igualdad se encuentran expresiones algebraicas
y constantes denominados miembros de la ecuación. Compuesta por: Términos,
coeficientes, variables o incógnitas. De esta forma se representa las partes.
2𝑥 + 50 = 100
Donde el primer miembro está compuesto por las siguientes términos y partes: 2 es
el coeficiente acompañado de la variable o incógnita x más la constante que es el
número 50 igualado al segundo miembro que es la constante 100.
Fuente: (Autoría Propia)
1.1.1. Historia de las ecuaciones
Según la historia desde Mesopotamia y Babilonia ya sabían resolver ecuaciones
de primero y segundo grado, cabe resaltar el uso del ábaco en distintas generaciones
en el que se evidenciaba la transposición de términos, como en el siglo XVI a. C. los
egipcios usaban un método llamado método de la falsa posición, aplicaban en repartico
de cosechas y de materiales.
Fuente: (Aguilar Márquez A. , Bravo Vázquez, Gallegos Ruiz, Cerón Villegas, &
Reyes Figueroa, 2009, pág. 351)
22
1.2. Ecuaciones cuya condición es una igualdad.
1.2.1. Ecuaciones lineales
Es la ecuación compuesta por términos algebraicos y en la que en cada una de sus
expresiones conlleva números enteros, racionales, radicales en los coeficientes y las
constantes.
Existen diferentes formas en la que se plantea una ecuación y se tiene el mismo
objetivo que es despejar y encontrar el valor de la incógnita en la ecuación. Que son
los siguientes.
Fuente: (Autoría Propia)
1.2.2. Con expresiones enteras
Se resuelven con operaciones elementales (suma, resta, multiplicación o división)
a ambos miembros de la ecuación, hasta obtener el valor de la incógnita.
Dada la ecuación con expresiones en ambos lados de la igualdad, se deduce con
la aplicación de operaciones elementales inversas que satisface el aislamiento de la
incógnita, así al final se despeja y se halla el valor de la misma.
Ejemplo1.
2x+3=7
2x+3-3=7-3
Se resta 3 en ambos miembros
2x=4
Al simplificar
1
2
1
(2x) = (4)
2
2
4
x=
2
2
X=2
1
Se multiplica por 2
23
Se comprueba la solución al sustituir en la ecuación el valor de x, y se verifica la
igualdad.
2(2) + 3 = 7
4+3=7
7=7
Por tanto, la solución es x = 2
Fuente: (Aguilar Marquez, Bravo Vázquez, Gallegos Ruiz, Cerón Villegas, & Reyes
Figueroa, 2009, pág. 353)
Ejemplo 2
4x-24 = -8
4x-24+24=-8+24
Se suma 24 en ambos miembros
4x=16
Al simplificar
1
4
1
(4x) = (16)
4
1
Se multiplica por 4
4
16
x=
4
4
X=4
Fuente: (Autoría Propia)
También se puede resolver mediante el método de operaciones inversas, donde se
aplica transposición de términos semejantes. El centro de atención para despejar la
incógnita es la igualdad donde los términos semejantes se ubican en el lado izquierdo
de la igualdad y otros términos semejantes en el lado derecho de la igualdad.
24
Ejemplo 1.
prueba
4x-5=3
4(2)-5=3
4x=3+5
8-5=3
X=8/4
3=3
X=2
Ejemplo 2
8x-7=6
4(2)-5=3
8x=6+7
8-5=3
X=13/8
3=3
Fuente: (Autoría Propia)
1.2.3. Con expresiones fraccionarias
Tipo de ecuación donde antes de su resolución se halla el Mínimo Común
Denominador del de los denominadores, se elimina el denominador al multiplicar en el
lado de la ecuación por el Mínimo Común Denominador donde se requiere.
Ejemplo 1.
3𝑥 + 2𝑥
=5
6
3𝑥 + 2𝑥 = 5(6)
5𝑥 = 30
25
𝑥 = 30/5
𝑥=6
Ejemplo 2
1
1
5
𝑥− 𝑥+ 𝑥=3
3
2
6
2𝑥 − 3 + 5𝑥
=3
6
7𝑥 − 3
=3
6
7𝑥 − 3 = 6(3)
7𝑥 = 18 + 3
7𝑥 = 21
𝑥 = 21/7
𝑥=3
Fuente: (Autoría Propia)
1.2.4. Con expresiones radicales.
1.2.4.1. Para ecuaciones radicales de índice par.
La resolución de una ecuación radical cuya incógnita se encuentra afectada del
signo de radicación de índice par, es necesario hacer cumplir que el radicando y la raíz
sean no negativos, esto es mayor o igual que cero, pues de este modo se determina
el conjunto de valores admisibles.
Para resolver una ecuación con expresiones irracionales de índice par, se eleva a
un exponente con el mismo índice ambos miembros de la ecuación, se aísla la variable,
así poder llegar a la solución de la misma.
Ejemplo 1.
Prueba
26
√𝑥 + 3 = 7
√46 + 3 = 7
√(𝑥 + 3)2 = 72
√49 = 7
𝑥 + 3 = 49
7=7
𝑥 = 49 − 3
𝑥 = 46
Fuente: (Lizárraga Paredes & Lizárraga Cerna, 2018, pág. 55)
Ejemplo 2
√𝑥 − 6 = 3
√15 − 6 = 3
√(𝑥 − 6)2 = 32
√9 = 3
𝑥−6=9
3=3
𝑥 = 9+6
𝑥 = 15
Fuente: (Autoría Propia)
1.2.5. Ecuación con valor absoluto
Para resolver ecuaciones con valor absoluto; se aplican las siguientes
propiedades:
Una expresión con valor absoluto igualada a un número, si y solo si ese número
tiene que ser mayor o igual a cero, su conjunto solución es la expresión igualada a
ese número positivo o negativo.
27
Ejemplo 1.
|𝑥 − 3| = 5
5 ≥ 0 ˄ (𝑥 − 3 = 5
˅
𝑥 − 3 = −5)
(𝑥 = 5 + 3
˅
(𝑥 = 8
𝑥 = −2)
˅
𝑥 = −5 + 3)
Ejemplo 2
|𝑥 + 4| = 7
7 ≥ 0 ˄ (𝑥 + 4 = 7
˅
𝑥 + 4 = −7)
(𝑥 = 7 − 4
˅
(𝑥 = 3
𝑥 = −11)
˅
𝑥 = −7 − 4)
Fuente: (Autoría Propia)
Una expresión con valor absoluto igualada a otra expresión con valor absoluto, si
y solo sí su conjunto solución es la expresión igualada a la otra expresión en positivo
o negativo,
Ejemplo 1.
|2𝑥 + 1| = |𝑥 − 3|
2x + 1 = 𝑥 − 3
2x − x = −3 − 1
˅
2𝑥 + 1 = −(𝑥 − 3)
˅
2𝑥 + 1 = −𝑥 + 3
x = −4
˅
2𝑥 + 𝑥 = 3 − 1
x = −4
˅
3𝑥 = 2
28
x = −4
˅
𝑥=
2
3
Ejemplo 2
|3𝑥 − 5| = |−2𝑥 + 8|
3x − 5 = −2𝑥 + 8
3x + 2x = 8 + 5
5x = 13
˅
˅
˅
3𝑥 − 5 = −(2𝑥 + 8)
3𝑥 − 5 = −2𝑥 − 8
3𝑥 + 2𝑥 = −8 + 5
x=
13
5
˅
5𝑥 = −3
x=
13
5
˅
𝑥=−
3
5
Fuente: (Autoría Propia)
1.2.6. Ecuación con variable negativa
La ecuación con variable negativa se da en una condición muy especial, sea desde
el principio desde el planteamiento de la ecuación o al final del procedimiento. En el
último procedimiento antes de hallar la respuesta, se multiplica ambos lados de la
ecuación por menos uno, así, en el resultado queda la variable positiva despejada.
Ejemplo 1
−𝑥 + 8 = 6
−𝑥 = 6 − 8
−𝑥 = −2
−𝑥(−1) = −2(−1)
29
𝑥=2
Fuente: (Autoría Propia)
1.3. Ecuaciones cuya condición es una igualdad de segundo grado.
La ecuación de la forma ax2+bx+c=0 donde a, b y c € R y a≠0, es una ecuación de
segundo grado; al término ax2 se le llama cuadrático, a bx lineal, c es el término
independiente.
La ecuación de segundo grado también es una igualdad que conlleva tres términos.
El término cuadrático, un término lineal y una constante, donde en el coeficiente del
término cuadrático y lineal es diferente de cero, la constante puede ser cero o diferente
de cero. X es la incógnita
Hay dos tipos de ecuaciones de segundo grado, se presenta a continuación:
1.3.1. Ecuación de segundo grado completa
De la forma ax2+bx+c=0. Las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones,
también se denominan raíces, existen tres métodos para resolver una ecuación de
segundo grado.
La ecuación de segundo grado completa es la que está compuesta por un término
cuadrático, término lineal y la constante, ambas partes son diferentes de cero.
1.3.1.1. Completando trinomio cuadrado perfecto.
Para completar el trinomio cuadrado perfecto se suman, en ambos miembros de la
𝑏 2
igualdad, el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal de la ecuación (2)
30
Dada la ecuación cuadrática, se transpone el término independiente al miembro
contrario, se saca la mitad del coeficiente del término lineal y el resultado se eleva al
exponente dos, el valor de la potencia se suma en ambos miembros de la ecuación.
Ejemplo 1.
𝑥 2 + 4𝑥 + 3 = 0
𝑥 2 + 4𝑥 = −3
Transposición del término independiente.
𝑥 2 + 4𝑥 + 4 = −3 + 4
Se suma (2) = 4 en ambos miembros.
(𝑥 + 2)2 = 1
Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto.
𝑥 + 2 = ±√1
Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros.
4 2
𝑥 + 2 = ±1
Se despeja a la incógnita, aplicando transposición de
𝑥 = −2 ± 1
Términos.
De la igualdad se obtienen los valores de x.
x1= - 2 + 1
o
x1= - 1 o
x2= - 3
x2= - 2 – 1
Solución o raíces de la ecuación.
Fuente: (Aguilar Márquez A. , Bravo Vázquez, Gallegos Ruiz, Cerón Villegas, &
Reyes Figueroa, 2009, pág. 498)
Ejemplo 2
𝑥 2 − 7𝑥 − 5 = 0
𝑥 2 − 7𝑥 = 5
Transposición del término independiente.
31
𝑥 2 − 7𝑥 +
49
=5+
4
7 2
(𝑥 − 2) =
7 2
49
Se suma (− 2) =
4
69
7
4
en ambos miembros.
Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto.
4
69
Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros.
𝑥 − 2 = ±√ 4
𝑥−
49
7
√69
=±
2
2
7
√69
2
𝑥 =2±
Se despeja a la incógnita, aplicando transposición de
Términos.
De la igualdad se obtienen los valores de x.
7
√69
2
x1= 2 +
x1=
7+√69
o
2
7
o
x2= 2 −
x2=
√69
2
7−√69
2
Fuente: (Autoría Propia)
1.3.1.2. Fórmula general
Deducción de la fórmula general.
Sea la ecuación general de segundo grado.
ax2+bx+c=0
𝑎𝑥 2
𝑎
+
𝑥2 +
𝑏𝑥
𝑎
𝑏𝑥
𝑎
𝑐
La ecuación se divide entre a.
+𝑎 =0
𝑐
Se transpone el término independiente en el segundo
= −𝑎
Miembro
𝑥2 +
𝑏𝑥
𝑎
𝑏2
𝑐
𝑏2
+ 4𝑎2 = − 𝑎 + 4𝑎2
Se completa el trinomio cuadrado perfecto
32
𝑏
2
(𝑥 + 2𝑎) =
𝑏 2 −4𝑎𝑐
4𝑎2
se factoriza el lado izquierdo y se realiza la resta
En el segundo miembro.
𝑏 2 −4𝑎𝑐
𝑏
𝑥 + 2𝑎 = ±√
𝑥+
se realiza el despeje de x.
𝑏
√𝑏 2 − 4𝑎𝑐
=±
2𝑎
2𝑎
𝑥=−
𝑥=
4𝑎2
𝑏
√𝑏 2 − 4𝑎𝑐
±
2𝑎
2𝑎
−𝑏±√𝑏 2 −4𝑎𝑐
2𝑎
Se obtiene la fórmula general.
En la deducción de la ecuación general se sustituyen los valores de los coeficientes
a, b y de la variable independiente c para llegar al resultado de la variable.
Ejemplo 1.
3𝑥 2 − 5𝑥 − 2 = 0
Solución: se identifican los valores de a, b y c de acuerdo con la ecuación dada.
a=3, b= - 5, c= - 2
Se sustituyen en la fórmula general.
𝑥=
−(−5) ± √(−5)2 − 4(3)(−2)
2(3)
𝑥=
5 ± √25 + 24
6
𝑥=
5 ± √49
6
33
𝑥=
𝑥=
𝑥=
5±7
6
5+7
o
6
12
6
𝑥=2
𝑥=
5−7
6
−2
o
𝑥=
o
𝑥 = −3
6
1
Fuente: (Aguilar Márquez A. , Bravo Vázquez, Gallegos Ruiz, Cerón Villegas, &
Reyes Figueroa, 2009, pág. 501)
Ejemplo 2
5𝑥 2 + 8𝑥 + 1 = 0
Solución: se identifican los valores de a, b y c de acuerdo con la ecuación dada.
a=5, b= 8, c= 7
Se sustituyen en la fórmula general.
𝑥=
−8 ± √(8)2 − 4(5)(1)
2(5)
𝑥=
−8 ± √64 − 20
10
𝑥=
−8 ± √44
10
𝑥=
−8 ± 2√11
10
𝑥=
−4 ± √11
5
𝑥=
−4+√11
5
o
𝑥=
−4−√11
5
34
Fuente: (Autoría Propia)
1.3.1.3.
Propiedades de las raíces o soluciones de una ecuación de
segundo grado.
La expresión 𝐼 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 es el discriminante de una ecuación de segundo grado y
permite determinar si las raíces son reales o imaginarios.
La discriminante es la fórmula que determina si la ecuación tiene solución real o
solución imaginaria. Si tiene solución real; el valor de la discriminante es mayor que
cero. Si el valor de la discriminante es cero, las raíces son reales e iguales y su valor
es la variable despejada a la división negativa del coeficiente del término lineal entre
dos veces el coeficiente del término cuadrático. Si la discriminante es menor que cero;
entonces las raíces son complejas.
Ejemplo 1.
Determina el carácter de las raíces de la ecuación 20𝑥 2 − 𝑥 − 1 = 0
Solución
Al sustituir los valores de a=20, b=- 1, c= - 1 en el discriminante, se obtiene:
𝐼 = (−1)2 − 4(20)(−1)
𝐼 = 1 + 80
𝐼 = 81
De acuerdo con el resultado, la discriminante es mayor que 0, se deduce que la
ecuación tiene 2 soluciones reales y diferentes.
Fuente: (Aguilar Márquez A. , Bravo Vázquez, Gallegos Ruiz, Cerón Villegas, &
Reyes Figueroa, 2009, pág. 503)
35
Ejemplo 2
Determina el carácter de las raíces de la ecuación 5𝑥 2 − 3𝑥 + 1 = 0
Solución
Al sustituír los valores de a=20, b=- 1, c= - 1 en el discriminante, se obtiene:
𝐼 = (−3)2 − 4(5)(1)
𝐼 = 9 − 20
𝐼 = −11
De acuerdo con el resultado, la discriminante es menor que 0, por tanto, las raíces son
complejas.
Fuente: (Autoría Propia)
1.3.1.4. Factorización
Otra forma de resolver una ecuación de segundo grado es factorizando e igualando
a cero cada factor, para posteriormente despejar a la incógnita.
El método de factorización se puede hallar los resultados de la incógnita o las
raíces. Se expande a producto de dos binomios donde en cada binomio se deja la raíz
del término cuadrático, con la suma o la resta de dos números que den el valor del
coeficiente del término lineal y esos mismos dos números multiplicados, den el valor
del término independiente. El resultado queda como dos productos multiplicados da el
valor de la misma expresión cuadrática dada.
Ejemplo 1.
𝑥 2 − 7𝑥 + 10 = 0
Solución
Con la forma ax2+bx+c=0 se factoriza el trinomio.
36
𝑥 2 − 7𝑥 + 10 = 0
(𝑥 − 5)(𝑥 − 2) = 0
Cada factor se iguala a cero y se resuelve cada ecuación.
𝑥−5=0
𝑜
𝑥=5
𝑥=2
𝑜
𝑥−2 =0
Por tanto, las raíces de la ecuación son: x1=5
o
x2=2
Fuente: (Aguilar Márquez A. , Bravo Vázquez, Gallegos Ruiz, Cerón Villegas, &
Reyes Figueroa, 2009, pág. 504)
Ejemplo 2.
4𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0
Solución
Con la forma ax2+bx+c=0 se factoriza el trinomio.
4𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0
(2𝑥 − 3)(2𝑥 − 2) = 0
Cada factor se iguala a cero y se resuelve cada ecuación.
2𝑥 − 3 = 0
𝑜
2𝑥 = 3
2𝑥 = 2
𝑜
2𝑥 − 2 = 0
𝑥=
3
2
𝑜
𝑥=
2
2
𝑥=
3
2
𝑜
𝑥=1
3
Por tanto, las raíces de la ecuación son: x1=2
o
x2=1
37
Fuente: (Autoría Propia)
1.3.2. Ecuación de segundo grado incompleta.
Son las ecuaciones que cumplen con la condición del término cuadrático, pero en
algunas no se dan los términos lineales o independientes.
1.3.2.1. Mixtas
Tiene la forma ax2+bx=0; para obtener las raíces de la expresión se aplica el factor
común y una de sus raíces siempre es cero.
La ecuación cuadrática mixta incompleta está compuesta por el término cuadrático
y lineal, dado que en la solución siempre forma parte como procedimiento principal el
factor común de la variable, por tanto, una de sus soluciones siempre es igual a cero
y la otra solución es igual a un valor numérico diferente de cero.
Ejemplo 1.
𝑥 2 − 5𝑥 = 0
Solución
Se factoriza por factor común.
𝑥 2 − 5𝑥 = 0
𝑥(𝑥 − 5) = 0
Cada factor se iguala a cero y se resuelve cada ecuación de primer grado.
x=0
o
x - 5=0
x=5
Finalmente, las soluciones de la ecuación son:
38
x1=0
o
x2=5
Fuente: (Aguilar Márquez A. , Bravo Vázquez, Gallegos Ruiz, Cerón Villegas, &
Reyes Figueroa, 2009, pág. 506)
Ejemplo 2
16𝑥 2 + 8𝑥 = 0
Solución
Se factoriza por factor común.
16𝑥 2 + 8𝑥 = 0
8𝑥(2𝑥 + 1) = 0
Cada factor se iguala a cero y se resuelve cada ecuación de primer grado.
x=0
o
2x +1=0
2x= - 1
1
𝑥 = −2
Finalmente, las soluciones de la ecuación son:
x1=0
o
1
x2=− 2
Fuente: (Autoría propia)
Puras
Son de la forma ax2+c=0, para obtener sus raíces o soluciones se despeja x o se
1.3.2.2.
factoriza la expresión.
39
La ecuación cuadrática incompleta pura es la que está compuesta por el término
cuadrático y la constante. Se puede dar la solución con dos diferentes procedimientos
en base a propiedades. Por diferencia de cuadrados o por despejar directamente la
variable.
Ejemplo 1.
𝑥2 − 9 = 0
Solución
Se realiza el despeje para obtener los siguientes valores de x.
𝑥2 − 9 = 0
𝑥2 = 9
𝑥 = ±√9
𝑥 = ±3
Por tanto
x1=3
o
x2= - 3
Fuente: (Aguilar Márquez A. , Bravo Vázquez, Gallegos Ruiz, Cerón Villegas, &
Reyes Figueroa, 2009, pág. 507)
Ejemplo 2
3𝑥 2 − 10 = 0
Solución
Se realiza el despeje para obtener los siguientes valores de x.
3𝑥 2 − 10 = 0
40
3𝑥 2 = 10
𝑥√3 = ±√10
𝑥=±
𝑥=±
√10
√3
√30
3
Por tanto
√30
3
x1=
o
x2=−
√30
3
Fuente: (Autoría Propia)
1.3.3. Ecuaciones de segundo grado con radicales
En este tipo de ecuaciones se recomienda despejar de la expresión un radical, que
se eleva al cuadrado la igualdad para que se genere una ecuación de primero o
segundo grado; en caso de que existan dos o más radicales, se repite lo anterior.
Las ecuaciones con radicales en sus resoluciones se aísla la expresión o las
expresiones radicales, se aplica la propiedad de potencia en ambos miembros, así se
pueda hallar una ecuación de primero o segundo grado, si es más de una expresión
radical, se aplica la misma propiedad.
Ejemplo 1.
√𝑥 − 5 − 4 = 0
Solución
41
Se despeja el radical y se elevan ambos miembros al cuadrado
√𝑥 − 5 = 4
√(𝑥 − 5)2 = 42
𝑥 − 5 = 16
𝑥 = 16 + 5
𝑥 = 21
Fuente: (Aguilar Márquez A. , Bravo Vázquez, Gallegos Ruiz, Cerón Villegas, &
Reyes Figueroa, 2009, pág. 519)
Ejemplo 2
√𝑥 + 3 + 1 = 𝑥 + 3
Solución
Se despeja el radical y se elevan ambos miembros al cuadrado
√𝑥 + 3 = 𝑥 + 3 − 1
√(𝑥 + 3)2 = (𝑥 + 2)2
𝑥 + 3 = 𝑥 2 + 4𝑥 + 4
0 = 𝑥 2 + 4𝑥 + 4 − 𝑥 − 3
0 = 𝑥 2 + 3𝑥 + 1
𝑥=
−3 ± √(3)2 − 4(1)(1)
2(1)
𝑥=
−3 ± √9 − 4
2
42
𝑥=
−3 ± √5
2
𝑥=
−3 + √5
2
Fuente: (Autoría Propia)
1.4. Ecuaciones cuya condición es una desigualdad.
Es la relación de orden que existe entre dos cantidades y se representa con los
símbolos menor que “<” y mayor que “>”
La desigualdad es lo contrario a una igualdad, llamada también inecuación, cumple
para criterios según lo que se puede hallar mediante procedimiento. Conlleva las
mismas partes que una ecuación a excepción del signo de desigualdad.
3𝑥 − 2 < 8
3𝑥 < 8 + 2
3𝑥 < 10
𝑥<
10
3
𝑥 < 3.3333
El conjunto solución de la inecuación son los
Valores menores que 3.33
Fuente: (Autoría Propia)
1.4.1. Propiedades de las desigualdades
Sean a, b, c € R.
1. Si a > b y b > c, entonces a > c
2. Si a > b, entonces a + c > b + c y a – c > b – c
43
3. Si a > b y c > 0, entonces ac > bc y
𝑎
4. Si a > b y c < 0, entonces ac < bc y
𝑎
𝑐
𝑐
>
<
𝑏
𝑐
𝑏
𝑐
Sean a, b y c pertenecen a los números reales.
1. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se agrega un mismo número a
cada miembro
2. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se suma o resta un mismo
número a cada miembro.
3. Una desigualdad no cambia de sentido cuando multiplicas o divides sus dos
lados por un mismo número positivo.
4. Una desigualdad cambia de sentido cuando multiplicas o divides sus dos
miembros por un mismo número negativo.
1.4.2. Tabla de desigualdades
Desigualdad
Intervalo
x>a
(a, Ꚙ)
Significado
Intervalo abierto desde a
hasta el infinito.
x<a
(-Ꚙ, a)
Intervalo abierto desde a
hasta menos infinito.
x≥a
[a, Ꚙ)
Intervalo cerrado desde a
hasta el infinito abierto.
x≤a
(-Ꚙ, a]
Intervalo cerrado desde a al
infinito negativo
a<x<b
(a, b)
Intervalo abierto desde a a b
Gráfica
44
a≤x≤b
[a, b]
Intervalo cerrado desde a a b
a<x≤b
(a, b]
Intervalo abierto en a hasta b
cerrado.
a≤x<b
[a, b)
Intervalo cerrado en a hasta b
abierto.
-Ꚙ<xꚘ
(-Ꚙ, Ꚙ)
Intervalo
menos
abierto
infinito
desde
hasta
el
infinito.
Fuente: (Aguilar Márquez A. , Bravo Vázquez, Gallegos Ruiz, Cerón Villegas, & Reyes
Figueroa, 2009, pág. 527)
1.4.3. Desigualdad lineal
Para determinar el conjunto solución de una desigualdad, se procede de la misma
manera como en una ecuación
lineal: se despeja la variable y se toman en consideración las propiedades de las
desigualdades.
La desigualdad lineal conlleva el mismo procedimiento de resolución que una
ecuación lineal, la única diferencia es por la desigualdad y el conjunto solución que
tendrá la inecuación.
Ejemplo 1.
6𝑥 − 10 > 3𝑥 + 5
6𝑥 − 3𝑥 > 5 + 10
45
3𝑥 > 15
𝑥>
15
3
𝑥>5
Por la propiedad tres, el sentido de la desigualdad no cambia.
La desigualdad 𝑥 > 5 tiene la forma 𝑥 > 𝑎 de la tabla, por tanto, el intervalo que
representa el conjunto solución es (5, Ꚙ) y su representación gráfica es:
Fuente: (Aguilar Márquez A. , Bravo Vázquez, Gallegos Ruiz, Cerón Villegas, &
Reyes Figueroa, 2009, pág. 528)
Ejemplo 2
9 − 10𝑥 ≤ 6𝑥 + 5
−10𝑥 − 6𝑥 ≤ 5 − 9
−16𝑥 ≤ −4
𝑥≥
−4
−16
𝑥≥
1
≈ 0.25
4
Por la propiedad tres, el sentido de la desigualdad cambia cuando se divide entre un
número negativo.
1
La desigualdad 𝑥 ≥ 4 ≈ 0.25 tiene la forma 𝑥 ≥ 𝑎 de la tabla, por tanto, el intervalo
que representa el conjunto solución es (1/4, Ꚙ) y su representación gráfica es:
1/4
46
Fuente: (Autoría Propia)
1.4.4. Desigualdad cuadrática
Se factoriza la expresión cuadrática, después se buscan valores que hagan cero a
cada factor, entonces los valores se indican en la recta numérica y se forman los
intervalos a analizar.
Para hallar el conjunto solución de una inecuación cuadrática, se factoriza la
expresión, se grafica en la recta numérica en base al resultado del despeje de x en
cada binomio, resultado de la expresión cuadrática. Ubicar los puntos críticos que no
forman parte de la solución de la inecuación, describir en forma de intervalo los valores
que forman parte de la solución de la inecuación.
Ejemplo 1
𝑥 2 − 5𝑥 − 6 > 0
Solución
(𝑥 − 6)(𝑥 + 1) > 0
se factoriza la expresión cuadrática
El conjunto solución son los valores que hacen el producto positivo.
Se buscan los valores que hacen cero a cada factor.
𝑥−6=0
y
𝑥+1=0
𝑥=6
y
𝑥 = −1
Los valores son 6 y – 1, se localizan en la recta numérica y se forman los intervalos.
47
De cada intervalo se toma un valor cualquiera, el cual se sustituye en los factores para
determinar los signos de éstos. Posteriormente, se multiplican los signos para tomar
como solución el intervalo o los intervalos que cumplen con la desigualdad dada.
Para el intervalo (- Ꚙ, - 1)
Se toma el valor de x= - 4 y se sustituye en cada factor.
( - 4 – 6 )(- 4 + 1 )=( - 10 )( -3 ) = 30
El producto es positivo (- ) ( - ) = +
Para el intervalo ( - 1, 6 )
Se toma el valor de x=0 y se sustituye en los factores.
( 0 – 6 )( 0 + 1 )=( - 6 )( 1 ) = - 6
El producto es negativo ( - ) ( + ) = Para el intervalo ( 6, Ꚙ )
Se toma el valor de x = 7 y sustituye en cada factor.
( 7 – 6 )( 7 + 1 )=( 1 )( 8 ) = 8
El producto es positivo ( + ) ( + ) = ( + )
El intervalo solución es la unión de los intervalos donde el producto es positivo, es
decir,
( - Ꚙ, - 1 ) U ( 6, Ꚙ )
Fuente: (Aguilar Márquez A. , Bravo Vázquez, Gallegos Ruiz, Cerón Villegas, &
Reyes Figueroa, 2009, pág. 530)
Ejemplo 2
𝑥 2 + 7𝑥 + 10 > 0
Solución
48
se factoriza la expresión cuadrática
(𝑥 + 5)(𝑥 + 2) > 0
El conjunto solución son los valores que hacen el producto positivo.
Se buscan los valores que hacen cero a cada factor.
𝑥+5=0
y
𝑥+2=0
𝑥 = −5
y
𝑥 = −2
Los valores son – 5 y – 2, se localizan en la recta numérica y se forman los intervalos.
( - Ꚙ, - 5 )
( - 5, - 2 )
( - 2, Ꚙ )
Figura 1: (Gráfica de conjunto de valores en geogebra, Autoría Propia)
De cada intervalo se toma un valor cualquiera, el cual se sustituye en los factores
para determinar los signos de éstos. Posteriormente, se multiplican los signos para
tomar como solución el intervalo o los intervalos que cumplen con la desigualdad dada.
Para el intervalo (- Ꚙ, - 5)
Se toma el valor de x= - 4 y se sustituye en cada factor.
( - 6 + 5 )(- 6 + 2 )=( - 1 )( -2 ) = 2
El producto es positivo ( - ) ( - ) = +
Para el intervalo ( - 5, - 2 )
Se toma el valor de x= -3 y se sustituye en los factores.
( - 3 + 5 )(- 3 + 2 )=( 2 )( -1 ) = - 2
El producto es negativo ( + ) ( - ) = Para el intervalo ( - 2 , Ꚙ )
Se toma el valor de x = 1 y sustituye en cada factor.
( 1 + 5 )( 1 + 2 )=( 6 )( 3 ) = 18
49
El producto es positivo ( + ) ( + ) = ( + )
El intervalo solución es la unión de los intervalos donde el producto es positivo, es
decir,
(- Ꚙ, - 5) U ( - 2 , Ꚙ )
Fuente: (Autoría Propia)
1.4.5. Desigualdad racional
En este tipo de desigualdades se analiza el signo del numerador y del denominador,
para obtener el signo del cociente, según sea la desigualdad dada.
Para la solución de una desigualdad racional, se asume la misma desigualdad para
los numeradores como denominadores, con el criterio que se debe de tomar en cuenta
como conjunto solución del denominador.
Ejemplo 1
2
<0
3𝑥 − 6
Solución
En el primer miembro el numerador es negativo, entonces para que la división sea
negativa, como lo indica la desigualdad, es necesario que el denominador sea
negativo, es decir:
3𝑥 − 6 < 0
Por tanto el intervalo solución es:
𝑥<2
( - Ꚙ, 2 )
Fuente: (Aguilar Márquez A. , Bravo Vázquez, Gallegos Ruiz, Cerón Villegas, &
Reyes Figueroa, 2009, pág. 535)
Ejemplo 2
−6
<0
5𝑥 + 8
50
Solución
En el primer miembro el numerador es negativo, entonces para que la división sea
negativa, como lo indica la desigualdad, es necesario que el denominador sea positivo,
es decir:
5𝑥 + 8 < 0
Por tanto, el intervalo solución es:
8
𝑥 > −5
8
( − 5 ,Ꚙ)
Fuente: (Autoría Propia)
1.4.6. Desigualdad con valor absoluto
El conjunto solución de una desigualdad que involucra valor absoluto, está dado
por las siguientes propiedades.
Sean a, b ∈R y b > 0
1. | a | < b se expresa como:
3. | a | > b se expresa como:
− b < a < b o bien a > − b y a < b
− a > b o a > b o bien a < − b o a > b
2. | a | ≤ b se expresa como:
4. | a | ≥ b se expresa como:
− b ≤ a ≤ b o bien a ≥ − b y a ≤ b
− a ≥ b o a ≥ b o bien a ≤ − b o a ≥ b
Para el valor absoluto, el conjunto solución de las expresiones obtenidas, será una
desigualdad de acuerdo a la propiedad, con la diferencia que el valor que se halla se
representará en positivo como en negativo.
Ejemplo 1
| x + 1| < 7
Solución
La desigualdad | x + 1| < 7, tiene la forma de la propiedad 1, entonces:
−7<x+1<7
51
O bien:
−7<x+1
x+1<7
−7−1<x
x<7−1
−8<x
x<6
Por consiguiente, el conjunto solución es el intervalo ( − 8, 6 )
Fuente: (Aguilar Márquez A. , Bravo Vázquez, Gallegos Ruiz, Cerón Villegas, &
Reyes Figueroa, 2009, pág. 541)
Ejemplo 2
| x - 3| > 5
Solución
La desigualdad| x - 3| > 5, tiene la forma de la propiedad 3, entonces:
− 5 < | x - 3| < 5
-2 < x < 8
O bien:
−5<x-3
x-3<5
−5+3<x
x<7+3
−2<x
x<8
Figura 2: (Gráfica de conjunto de valores en geogebra, Autoría Propia)
Por consiguiente, el conjunto solución es el intervalo ( − 2, 8 )
Fuente: (Autoría Propia)
52
Resumen analítico
La teoría de ecuaciones comprende una gama de operaciones en donde se aplican
diferentes propiedades para la resolución de problemas que se presentan en la vida
cotidiana, tal como lo es en el modelado de ecuaciones aplicadas a las acciones de la
vida real.
Se sumerge en sentido analítico crítico en la que satisface valores reales y visibles
para las operaciones matemáticas y criterio universal.
Las ecuaciones lineales comprenden y satisfacen valores únicos en la que son
insustituibles en la forma como se manejan aspectos de vivencias diarias: en la
economía, en el conteo de datos, la proporcionalidad de datos.
La teoría de ecuaciones representa entonces datos ocultos en un patrón o secuencia
en donde hay una cuestión faltante, he ahí la aplicación de diferentes operaciones, las
operaciones inversas, la transposición de miembros y reducción de términos
semejantes.
Las ecuaciones cuadráticas comprenden un sentido donde se aplican las diferentes
propiedades para su resolución y encontrar el valor de la incógnita: la factorización,
por la fórmula cuadrática, por completación de cuadrado, en donde el criterio de
resolución se basa en el análisis de la discriminante para determinar si la ecuación
cuadrática tiene o no solución real, en todas las cuestiones de modelados,
planteamientos numéricos y variables de la vida cotidiana, en donde la naturaleza
misma conlleva gran parte para tomas como datos de una amplia gama de
condiciones, en ello se realiza un análisis minucioso del por qué de las condiciones de
aplicación numérica y patrones, estudios de casos en la que satisface valores con
expresiones, términos, en la que son representadas en lenguaje matemático.
Las condiciones o propiedades de las desigualdades o inecuaciones: en las que se
evidencias conjuntos de valores basados en la recta numérica, en las distancias o
diferencias y por intervalos de valores obtenidas mediante la aplicación de diferentes
pasos para la obtención de resultados válidos, comprende una gama de
53
especificaciones en la que se determina los valores bien acertados, el conjunto
solución de una inecuación.
Es determinante para tener la seguridad los valores que son parte de la solución, y los
puntos donde se hacen cero la inecuación. En representación o evidencia de las
distancias que se recorre, con una magnitud infinita o finita, en la que es determinada
por los signos de desigualdad, mantiene un equilibrio para satisfacer los valores y
cumplir con la veracidad, en base a la aplicación de reglas e interpretación analítica de
las diferentes relaciones, diferencias, comprende una gama de planteamientos reales.
Las ecuaciones es parte de la naturaleza del mundo, es parte de las acciones, de todo
lo que se puede palpar, percibir, objetos concretos; que lleva o que comprende en todo
ello datos para expresar numéricamente, donde se puede plantea una amplia gama
de problemáticas o el universo mismo la posee desde su existencia.
54
Glosario
ADMISIBLE: Se dice que un entero mayor que 1 es admisible si cada uno de los resultados
de multiplicar dos divisores del número (positivos y distintos) es mayor que 1/5 del número. Se
dice que un entero mayor que 1 es admisible si cada uno de los resultados de multiplicar dos
divisores del número (positivos y distintos) es mayor que 1/5 del número.
BABILONIA: Es el conjunto de conocimientos matemáticos que desarrollaron los
pueblos de Mesopotamia, actual Irak, desde la temprana civilización sumeria hasta la
caída de Babilonia en el 539 a. C. Se llaman matemáticas babilónicas debido al papel
central de Babilonia como lugar de estudio, que dejó de existir durante el periodo
helenístico. Desde este punto, las matemáticas babilónicas se fundieron con las
matemáticas griegas y egipcias para dar lugar a las matemáticas helenísticas. Más
tarde, bajo el Imperio árabe, Mesopotamia, especialmente Bagdad, volvió a ser un
importante centro de estudio para las matemáticas islámicas.
COEFICIENTE: Número o parámetro que se escribe a la izquierda de una variable o
incógnita y que indica el número de veces que este debe multiplicarse. es la cifra que
multiplica a una variable o incógnita en una ecuación o un polinomio. Así, se trata de
elemento constante. Cada parte un polinomio está multiplicado por un coeficiente, el
cual puede o no repetirse.
DEDUCCION: forma de razonamiento que consiste en partir de un principio general
conocido, para llegar a un principio particular desconocido. Desde una perspectiva
moderna, un sistema lógico comienza con unos cuantos términos no definidos a los
que se refieren todas las definiciones subsiguientes. Hay que procurar mantener el
número de términos no definidos lo más bajo posible, pero su existencia es inevitable.
Para los geómetras modernos, por tanto, las nociones de «punto» y «línea recta»
permanecen sin definir. Definiciones como las de Euclides pueden servir para darnos
55
una cierta imagen mental y esto tiene ya mucho mérito, pero como definiciones
precisas y lógica.
INECUACIÓN: Es la desigualdad existente entre dos expresiones algebraicas, conectadas a
través de los signos: mayor que >, menor que <, menor o igual que ≤, así como mayor o igual
que ≥, en la que figuran uno o varios valores desconocidos llamadas incógnitas, además de
ciertos datos conocidos. La desigualdad existente entre las dos expresiones algebraicas sólo
se verifica, o más bien, solo es verdadera para determinados valores de la incógnita. La
solución de una inecuación formulada, significa determinar mediante ciertos procedimientos,
el valor que la satisfaga. Si formulamos la inecuación algebraica siguiente, podremos notar en
ella los elementos señalados anteriormente.
INCÓGNITAS:
una incógnita es
un
elemento
constitutivo
de
una
expresión matemática. La incógnita permite describir una propiedad verificada por
algún valor desconocido, por lo general números.
LINEAL: significa que algo muestra una evolución constante en una determinada
dirección. Esto, en el ámbito de la física y las matemáticas. Es decir, lineal significa
que existe una variación que siempre va a ser de la misma magnitud, y en el mismo
sentido.
MAGNITUD: es una medida asignada para cada uno de los objetos de un conjunto
medible, formados por objetos matemáticos. La noción de magnitud concebida así
puede abstraerse a objetos del mundo físico o propiedades físicas que son
susceptibles de ser medidos. Las medidas de propiedades físicas usualmente son
representables mediante números reales tuplas de números reales, y usualmente para
ser interpretables requieren del uso de una unidad de medida pertinente. Una
propiedad importante de muchas magnitudes es admitan grados de comparación "más
56
que", "igual que" o "menos que" Una magnitud matemática usada para representar un
proceso físico es el resultado de una medición; en cambio las magnitudes matemáticas
admiten definiciones abstractas, mientras que las magnitudes físicas se miden
con instrumentos apropiados.
MESAPOTAMIA: Lograron grandes avances para a humanidad. La escritura
cuneiforme, el sistema de numeración sexagesimal y los códigos de las leyes surgieron
en dicha región.
TRANSPOSICIÓN: La transposición de términos, en ecuaciones de primer grado,
consiste en pasar las x a un lado, y al otro lado los números, cambiando sus signos,
por el contrario: lo que estaba sumando, pasa restando, y lo que estaba multiplicando
pasa dividiendo, y viceversa, manteniendo la igualdad. La transposición didáctica, es
el paso que se da en el proceso de aprendizaje, para acercar el contenido al alumno,
por parte del profesor, de una manera más simple que como se encuentra explicado
en los textos de enseñanza. Consiste en que el saber científico le sea expuesto al
educando de modo más sencillo y entendible.
57
Bibliografía
Aguilar Márquez, A., Bravo Vázquez, F. V., Galegos Ruiz, H. A., Cerón Villegas, M., & Reyes
Figueroa, R. (2009). Matemáticas Simplificadas. México: Pearson Educación.
Aguilar Márquez, A., Bravo Vázquez, F. V., Gallegos Ruiz, H. A., Cerón Villegas, M., & Reyes
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Aguilar Marquez, A., Bravo Vázquez, F. V., Gallegos Ruiz, H. A., Cerón Villegas, M., & Reyes
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Aguilar Márquez, A., Bravo Vázquez, F., Gallegos Ruiz, H. A., Cerón Villegas, M., & Reyes
Figueroa, R. (2009). Matemáticas Simplificadas. México: Pearson Educación.
Autoría propia. (s.f.).
Autoría Propia. (s.f.).
Autoría Propia. (s.f.).
Autoría Propia. (s.f.).
Autoría Propia. (s.f.).
Autoría Propia. (s.f.).
Autoría Propia. (s.f.).
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Autoría Propia. (s.f.).
Autoría Propia. (s.f.).
Autoría Propia. (s.f.).
Autoría Propia. (s.f.).
Autoría Propia. (s.f.).
Gráfica de conjunto de valores en geogebra. (Autoría Propia).
Lizárraga Paredes, M., & Lizárraga Cerna, H. (2018). Teoría de Ecuaciones. Perú: Megabyte.
58
2. NÚMEROS COMPLEJOS
2.1. Definición
Se llama número complejo a la expresión a + bi donde a y b son número reales “i”
es un símbolo que significa imaginario donde i2=-1
i=√−1
Un número complejo es un par ordenado de números reales, en general z= ( a, b),
donde a es con respecto a la abscisa y componente real del complejo, b es con
respecto a la ordenada y componente imaginaria del complejo.
Fuente: (La Fonte, pág. 1)
2.2. Números complejos como raíces de ecuaciones de segundo grado.
Las ecuaciones cuadráticas con discriminante negativo, no tienen soluciones
reales. Si se extiende el sistema de números, de manera que incluya números
complejos, las ecuaciones cuadráticas siempre tendrán solución. Como la solución de
una ecuación cuadrática involucra la raíz cuadrada de la discriminante.
Desde la discriminante se conoce si la ecuación tiene solución real o imaginaria, si
tiene una solución real o imaginaria, se evalúa mediante la fórmula cuadrática.
Ejemplo 1
𝑥 2 − 4𝑥 + 8 = 0
−(−4) ± √(−4)2 − 4(1)(8)
𝑥=
2(1)
𝑥=
4 ± √16 − 32
2
𝑥=
4 ± √−16
2
59
𝑥=
4 ± 4𝑖
2
𝑥 = 2 ± 2𝑖
La ecuación tiene el conjunto de soluciones (2 – 2i) y (2 + 2i)
2: es el componente real del complejo. (eje de la abscisa)
2i positivo y negativo: componente imaginaria del complejo. (eje de la ordenada)
Fuente: (Sullivan, 2006, pág. 109)
Ejemplo 2
2𝑥 2 − 3𝑥 + 5 = 0
−(3) ± √(−3)2 − 4(2)(5)
𝑥=
2(2)
𝑥=
−3 ± √9 − 40
4
𝑥=
−3 ± √−31
4
𝑥=
−3 ± √−31𝑖
4
Advertencia: al escribir √−𝑁 = √𝑁𝑖, asegúrese de colocar i fuera del símbolo √ .
La ecuación tiene el conjunto de soluciones 𝑥 =
−3+√−31𝑖
4
y
𝑥=
−3−√−31𝑖
4
3
− 4: es el componente real del complejo. (eje de la abscisa)
√−31𝑖
4
positivo y negativo: componente imaginaria del complejo. (eje de la ordenada)
60
Fuente: (Autoría Propia)
2.3. Álgebra de números complejos
Son operaciones que se puede dar algebraicamente, suma resta, multiplicación,
división, racionales, radicales y potencias asumiendo en algunos términos número
complejo.
2.3.1. Operaciones con números complejos
Sean z= a + bi y w= c + di dos números complejos, definimos.
Las operaciones con números complejos se cumplen con la definición de par
ordenado en la que en función de operadores básicos asume propiedades en donde
la solución siempre será un número complejo que cumple con la parte real e
imaginaria.
Suma y resta de números complejos
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
2.3.1.1.
(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i
Para encontrar el valor del par ordenado, en la operación de números complejos,
se separan por términos semejantes con su signo correspondiente. Se separan los
componentes reales de los complejos, de los componentes imaginarios de los
complejos; por factor común se separa el signo imaginario.
Ejemplo 1
(3 + 3i) + (-2 + 5i) = (3 – 2) + (5 + 3)i = 1 + 8i
Fuente: (Sullivan, 2006, pág. 110)
61
Ejemplo 2
(8 + 3i) - (7 + 5i) = (8 - 7) + (3 - 5)i = 1 – 2i
Fuente: (Autoría Propia)
2.3.1.2. Multiplicación de números complejos.
zw=(a + bi)(c + di)
Se aplica propiedad distributiva
=ac + adi + bci +bdi2
i2= -1, por lo tanto al reemplazar, en el término queda con
=ac+(ad + bc)i – bd
el signo opuesto
=(ac – bd) + (ad + bc)i
se realizan las operaciones que quedan dentro de cada
paréntesis.
Ejemplo 1
Dados los números complejos
z= 2 + 5i
y
w= 4 + 2i
Halle zw
Solución
(2 + 5i) (4 + 2i)
=8 + 4i + 20i + 10i2
=8 + 4i + 20i – 10
=(8 – 10) + (4i + 20i)
= – 2 + 24i
Fuente: (Sullivan, 2006, pág. 111)
62
Ejemplo 2
Dados los números complejos
z= 8 + 3i
y
w= 7 + 9i
Halle zw
Solución
(8 + 3i) (7 + 9i)
=56 + 72i + 21i + 27i2
=56 + 72i + 21i – 27
= 29 + 93i
Fuente: (Autoría Propia)
2.3.1.3. División de números complejos.
Para dividir dos números complejos en forma práctica, multiplicamos al dividendo y
al divisor por el conjugado del divisor.
𝑧 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑐 − 𝑑𝑖
=
∗
𝑤 𝑐 + 𝑑𝑖 𝑐 − 𝑑𝑖
=
𝑎𝑐 − 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 − 𝑏𝑑𝑖 2
𝑐 2 − (𝑑𝑖)2
=
𝑎𝑐 − 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 + 𝑏𝑑
𝑐 2 + 𝑑2
=
(𝑎𝑐 + 𝑏𝑑) + (𝑏𝑐𝑖 − 𝑎𝑑𝑖)
𝑐 2 + 𝑑2
=
(𝑎𝑐 + 𝑏𝑑) + (𝑏𝑐 − 𝑎𝑑)𝑖
𝑐 2 + 𝑑2
=
(𝑎𝑐+𝑏𝑑) (𝑏𝑐−𝑎𝑑)
𝑐 2 +𝑑2
+
𝑐 2 +𝑑2
𝑖
63
Ejemplo 1
Dados los números complejos
z= 6 + 4i
w= 3 – 5i
𝑧
halle 𝑤
Solución
=
6 + 4𝑖 3 + 5𝑖
∗
3 − 5𝑖 3 + 5𝑖
18 + 30𝑖 + 12𝑖 + 20𝑖 2
=
9 + 14𝑖 − 15𝑖 − 25𝑖 2
=
18 + 42𝑖 − 20
9 − 25𝑖 2
=
18 + 42𝑖 − 20
9 + 25
=
−2 + 42𝑖
34
=−
2 42
+ 𝑖
34 34
=−
1 21
+ 𝑖
17 17
Fuente: (Huertas, pág. 8)
Ejemplo 2
Dados los números complejos
z= 2 - 3i
𝑧
halle 𝑤
w= 7 – 4i
64
Solución
=
2 − 3𝑖 7 + 4𝑖
∗
7 − 4𝑖 7 + 4𝑖
14 + 8𝑖 − 21𝑖 − 12𝑖 2
=
49 − 16𝑖 2
=
14 − 13𝑖 + 12
49 + 16
=
26 − 13𝑖
65
=
26 13
−
𝑖
65 65
Fuente: (Autoría Propia)
Potencia cuadrada de un número complejo
Para resolver potencias cuadradas de números imaginarios, se tomo como
2.3.1.4.
referencia y propiedad de resolución el cuadrado de un binomio, luego se sustituye i al
cuadrado por menos 1, se resuelven términos semejantes y se tiene el resultado.
Ejemplo 1
(8 + 3i)2
Solución
=82 + 2 (8) (3i) + (3i)2
=64 + 48i – 9
=55 + 48i
Fuente: (Autoría Propia)
65
Radicación de número complejo
La raíz enésima de un número complejo es otro número complejo.
2.3.1.5.
𝑛
Así: √𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑥 + 𝑦𝑖
Donde n, a y b serán los elementos conocidos, x e y los que hay que determinar
mediante transformaciones de aislamiento del radical, se llega a una igualdad de
complejos en la que, despejadas, se halla el número complejo resultante.
Ejemplo 1
√−3 − 4𝑖
Solución
√(−3 − 4𝑖)2 = (𝑥 + 𝑦𝑖)2
−3 − 4𝑖 = 𝑥 2 + 2𝑥𝑦𝑖 + (𝑦𝑖)2
−3 − 4𝑖 = 𝑥 2 − 𝑦 2 + 2𝑥𝑦𝑖
𝑥 2 − 𝑦 2 = −3
2𝑥𝑦 = −4
𝑥𝑦 = −2
x = 1, y = -2
Fuente: (La Fonte, pág. 19)
Ejemplo 2
√−7 + 24𝑖
Solución
√(−7 + 24𝑖)2 = (𝑥 + 𝑦𝑖)2
−7 + 24𝑖 = 𝑥 2 + 2𝑥𝑦𝑖 + (𝑦𝑖)2
−7 + 24𝑖 = 𝑥 2 − 𝑦 2 + 2𝑥𝑦𝑖
o
x = -1, y = 2
66
𝑥 2 − 𝑦 2 = −7
2𝑥𝑦 = 24
𝑥𝑦 =
x =3, y =4
o
24
2
𝑥𝑦 = 12
x = - 3, y = - 4
Fuente: (Autoría Propia)
2.4. Representación geométrica de números complejos.
Es el punto P(a;b) en un sistema coordenada rectangular, a todo número complejo
corresponde un punto determinado del plano y viceversa a cada punto del plano
corresponde un número complejo determinado de esta forma se establece una
correspondencia biunívoca entre los puntos del plano.
La representación geométrica de números complejos se ubica en el plano, tal que
la parte real del complejo; se ubica en el eje de la x, la parte imaginaria del complejo;
se ubica en el eje x, forma en su totalidad un punto en el plano cartesiano.
Fuente: (Huertas, pág. 8)
Ejemplo 1
Figura 1: (Gráfica de representación geométrica del número complejo en
Goegebra, Autoría propia)
67
Resumen analítico
Los números complejos es un par ordenado, donde se identifica por una parte real del
complejo que va en el eje de las abscisas y una parte imaginaria compleja, producto
de una raíz de índice impar, donde no existe radical con signo negativo, es por ello,
que para cualquier operación que se realice o se asume en los números complejos, su
resultado siempre será un par ordenada, su gráfica en el plano cartesiano, comprende
la unión de puntos de los números complejos, cabe resaltar que para las distintas
oraciones que se realizan donde intervienen los números complejos, su resultado;
aparte de que es un punto en el plano, siguiendo las propiedades, también es una
resultante que se llama vector de forma gráfica donde parte del origen del plano
cartesiano hasta el punto de intersección del número complejo evidenciado por el par
ordenado.
Los complejos son un factor importante para la resolución de problemas como en el
electromagnetismo, asume un rol importante porque está inmerso a los números
reales, donde los valores son irreconocibles y a una minuciosidad se puede detectar a
través de su identificación cuantificada en datos reales, desde la solución de una
ecuación cuadrática con radical de índice par con radicando con signo negativo,
conlleva a una amplia aplicación e indeterminación de valores encontrados o hallados
en ello.
Las operaciones básicas con números complejos es determinante para ubicar el punto
mediante el resultado en el plano cartesiano, tal como es la suma y resta con
componente complejos, evidencia o se muestra minuciosamente la determinación ante
el parecer, pero en el punto donde se ubica dicha resultante, no será nada más que
un número complejo donde a detalle y observación, se puede notar que hay una
complejidad en los resultados, debido a ello es que se asume y se organiza con criterio
mediante a las propiedades y procedimiento para llegar a un resultado siempre con un
número complejo.
La igualación del imaginario al cuadrado es igual a uno, es una propiedad fundamental
para trabajar con las multiplicaciones y divisiones, debido a ello a que en cualquier
68
término y expresión donde se ubique el imaginario al cuadrado, se sustituye por uno
por igualdad.
Todo es en base a un seguimiento de patrones que muestra en cada forma de
aplicación y resolución, en el espacio, se puede apreciar medidas complejas, formas
complejas, situaciones complejas, tales como lo que se encuentra plasmado en
diminutas formas de partículas que se encuentran en el espacio, partículas que no está
a la vista del ojo humano, la ubicación de algún punto en el espacio medido de una
forma que resulta compleja, partiendo desde esos aspectos, notamos la importancia
de aplicar las propiedades para resolver las diferentes situaciones complejas.
En la potenciación, se asume las operaciones complejas en base a propiedades de la
operación original y en base a las propiedades de resoluciones complejas.
En la radicación de complejos se iguala a otro número complejo para hallar su valor,
las matemáticas son aplicaciones y cumplimiento de propiedades que la misma
naturaleza asume, como ley universal.
69
Glosario
ABSCISA: Las coordenadas de un punto cualquiera P se representan por (x, y). A la
primera coordenada se la denomina abscisa del punto o coordenada x del punto. La
abscisa es la distancia horizontal al eje vertical o de ordenadas. Este término que nos
ocupa y otros muchos más, como sería el caso de las ecuaciones o los ejes, son
conceptos todos ellos fundamentales y claves en lo que se da en llamar geometría
analítica. Esta es un área científica que se encarga de llevar a cabo lo que es el estudio
de las diversas figuras geométricas mediante el uso de una serie de técnicas, de
álgebra y análisis matemático, en lo que es un sistema de coordenadas.
BIUNÍVOCA: Correspondencia] matemática que asocia cada uno de los elementos de
un conjunto con uno, y solo uno, de los elementos de otro conjunto, y cada elemento
de este último con uno, y solo uno, de los elementos de aquel: en la pizarra hay
representada una correspondencia biunívoca.
CARTESIANO: El plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema cartesiano es
una forma de ubicar puntos en el espacio, habitualmente en los casos bidimensionales.
El plano cartesiano tuvo su origen de la mano de René Descartes (1596-1650). Con la
idea de plasmar su pensamiento filosófico, construyó un plano con dos rectas que se
cruzaban en un punto de forma perpendicular. A la recta vertical la llamó eje de
ordenadas y a la recta horizontal de eje de abscisas. Así, a un punto cualquiera
determinado por un valor en abscisas y otro en ordenadas lo conocemos como
coordenada.
COMPONENTE: Componente de una función: cada una de las funciones matemáticas
que participan en una función compuesta. “La Matemática permite ver tramas casi
invisibles, conocer a qué obedecen y por qué adoptan estructuras concretas y,
finalmente, permite diseñar y actuar hacia el progreso.” es aquello que forma parte de
la composición de un todo. Se trata de elementos que, a través de algún tipo de
asociación o contigüidad, dan lugar a un conjunto uniforme.
COMPLEJOS: son combinaciones de números reales y números imaginarios. En otras
palabras, los números complejos son números que tienen una parte real y una parte
70
imaginaria. Entonces, sabiendo que dentro de los números complejos encontramos los
números reales y los números imaginarios, es más fácil comprender que los números
complejos son combinaciones de números reales y números imaginarios.
CUADRATICA: Es un tipo de función que se caracteriza por ser un polinomio de
segundo grado. En otras palabras, una función cuadrática es una función que en la
que uno de los elementos lleva un 2 pequeño como índice superior. Como se puede
comprobar, ambas expresiones son la misma, lo único que la primera está más
orientada a ser dibujada y, la segunda, se utiliza más en cálculo.
DISTRIBUTIVA: La propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma (o la
resta) es aquella por la que de dos o más números de una suma (o resta), multiplicada
por otro número, es igual a la suma (o resta) de la multiplicación de cada término de la
suma (o la resta) por el número.
ENÉSIMA: refiere a una cantidad que no puede determinarse. El concepto suele
utilizarse para aludir a aquello que ocupa un sitio indefinido o impreciso, aunque
elevado, en una sucesión o serie.
Es muy común usar el término enésima acompañado de vez, para modificar este
sustantivo dando la idea de que ya se ha perdido la cuenta de la cantidad de veces,
razón por la cual no es posible utilizar el número ordinal pertinente.
RADICAL: Se conoce aquel número que no puede ser simplificado para extraer su raíz
cuadrada o cúbica. Por ejemplo, √2, es decir, la raíz cuadrada de 2, vendría a ser 2,
puesto no se puede simplificar más. Mientras que √8, o sea, la raíz cuadrada de 8, sí
puede simplificarse, por lo tanto, no es un radical. Por su parte, radical es también el
signo que se utiliza para indicar las operaciones de extracción de raíces (√).
TRANSPONE: La transposición de términos, en ecuaciones de primer grado, consiste
en pasar las x a un lado, y al otro lado los números, cambiando sus signos, por el
contrario: lo que estaba sumando, pasa restando, y lo que estaba multiplicando pasa
71
dividiendo, y viceversa, manteniendo la igualdad. La transposición didáctica, es el paso
que se da en el proceso de aprendizaje, para acercar el contenido al alumno, por parte
del profesor, de una manera más simple que como se encuentra explicado en los
textos de enseñanza. Consiste en que el saber científico le sea expuesto al educando
de modo más sencillo y entendible.
72
Bibliografía
Autoría Propia. (s.f.).
Gráfica de representación geométrica del número complejo en Goegebra. (Autoría propia).
Huertas, C. (s.f.). Números complejos. Álgebra.
La Fonte. (s.f.). Números Complejos. Guardia Republicana: Cano.
Sullivan, M. (2006). Álgebra y Trigonometría. México: Pearson Educación.
73
3. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
3.1.
Construcción de las funciones trigonométricas, sistema de medición
de ángulos: sexagesimal, centesimal y cíclico.
3.1.1. Sistema de medida sexagesimal
También conocido como sistema de media inglés, es el sistema que divide el ángulo
de una vuelta en 360 partes iguales; cada división es la unidad del sistema llamado
grado sexagesimal (1°), por lo tanto, el ángulo de una vuelta mide 360°.
El sistema sexagesimal es una medida angular en la que una vuelta completa mide
360°, todo ese ángulo divide a la circunferencia en unidades por partes iguales. Si el
giro angular es en sentido antihorario; el ángulo se considera positivo. Si el giro angular
es en sentido horario; el ángulo se considera negativo.
Fuente: (Rodo, 2020, pág. 10)
Ejemplo 1
¿Cuál es el ángulo complementario de 35°? Convierte a minutos y segundos.
Solución
Ángulo complementario de 35°
𝜃 = 35°
𝛽 =?
Complementario= 90°
74
35° + 𝛽=90°
𝛽= 90° - 35°
𝛽= 55°
Fuente: (Autoría Propia)
3.1.2. Sistema de medida centesimal (sistema francés)
Se considera el ángulo de una vuelta dividido en 400 partes iguales y a cada parte
se le denomina un “grado centesimal”, a cada grado se divide en 100 partes iguales y
a cada parte se le denomina “minuto centesimal”, a su vez a cada minuto se divide en
100 partes iguales y a cada parte se le denomina “segundo centesimal”.
El grado centesimal es un sistema que, en su totalidad, o ángulo completo, forma
100 grados centesimales, a diferencia de los grados sexagesimales, donde en su
totalidad son 360 grados sexagesimales. El ángulo recto en el sistema centesimal es
de: 100 grados centesimales, el llano: 200 grados centesimales, el de 270 grados
sexagesimales son: 300 grados centesimales y el ángulo completo: 400 grados
centesimales.
Fuente: (Rodo, 2020, pág. 10)
Ejemplo 1
Ángulo suplementario de 142° C
75
𝐴 = 142° 𝐶
𝐵 =?
Suplementario= 200° C
142°C + 𝐵=200° C
𝐵= 200°C - 142°C
𝐵= 58° C
Fuente: (Autoría Propia)
3.1.3. Sistema radial (sistema circular)
La unidad angular es el radián. Se define como la medida del ángulo central que
subtiende en cualquier circunferencia un arco de longitud igual al radio, en este sistema
el ángulo mide 2π radianes.
El sistema radial es la caracterización de sus componentes en unidad de radianes
y π, donde radianes es la unidad igual a la longitud de arco de la circunferencia, π es
la medida alrededor de la circunferencia originada desde el diámetro de la
circunferencia donde π es el perímetro de la circunferencia que demuestra que son 3
veces y un poco más el diámetro de la circunferencia.
Fuente: (Rodo, 2020, pág. 10)
76
Ejemplo 1
𝜋
Ángulo complementario de 10 𝑟𝑎𝑑
𝐴=
𝜋
𝑟𝑎𝑑
10
𝐵 =?
Suplementario= 𝜋𝑟𝑎𝑑
𝜋
10
𝑟𝑎𝑑 + 𝐵= 𝜋𝑟𝑎𝑑
𝜋
𝐵= 𝜋𝑟𝑎𝑑 - 10 𝑟𝑎𝑑
𝐵=
10𝜋𝑟𝑎𝑑−𝜋𝑟𝑎𝑑
10
9
𝐵= 10 𝜋𝑟𝑎𝑑
Fuente: (Autoría Propia)
3.1.4. Relación de conversión de los tres sistemas
Sean S, C y R los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas:
sexagesimal, centesimal y radial respectivamente.
La relación de conversión entre los tres sistemas se da entre la igualdad angular
completa y simplificada queda la mitad de la medida angular completa.
𝑆
𝐶
𝑅
= 400𝑔 = 2𝜋
360°
Simplificando
𝑆
Ejemplo 1
𝜋
Convertir 5 𝑟𝑎𝑑 a grados sexagesimales.
Solución
𝐶
𝑅
= 200𝑔 = 𝜋
180°
Fórmula o relación de conversión.
77
𝑆
=
180°
𝜋
5
𝑆
𝜋
180°
𝜋
= 5𝜋
𝑆
180°
1
=5
5𝑠 = 180°
𝑠=
180°
5
𝑠 = 36°
Fuente: (Alva Cabrera, 2007, pág. 15)
Ejemplo 2
6
Convertir 7 𝜋𝑟𝑎𝑑 a grados centesimales.
Solución
6
𝐶
𝜋
𝐶
= 7𝜋
200𝑟
7𝐶 = 1200𝑔
𝐶=
200𝑟
6𝜋
𝐶
= 7𝜋
200𝑟
1200𝑔
6
=7
7𝐶 = 6(200𝑔 )
𝐶 = 171.43𝑔
7
Fuente: (Autoría Propia)
3.2. Gráfica de las funciones trigonométricas
3.2.1. Gráfica de la función seno para ángulos mayores que uno,
multiplicado por un número.
Se ubica y se identifica en el plano que llega a un punto límite determinado por el
2𝜋
período que se obtiene desde la fórmula |𝑏|, se ubica en el eje x como límite, puede o
no tomar valores en negativo, depende del coeficiente angular. La amplitud es el
alance máximo o el vértice en el punto evaluado que demuestre que la función sea
igual a la amplitud teniendo en cuenta el signo.
Fuente: (Autoría Propia)
Función
𝑦 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑏𝑥
Ejemplo 1
Fórmula para la amplitud (y)
|𝑎|
Fórmula para el período (x)
2𝜋
|𝑏|
78
y= 3 sen2x
Solución
Amplitud
Período
|𝑎| = |3| = 3
2𝜋
|𝑏|
2𝜋
= |2| = 𝜋
Fuente: (Aucallanchi Velásquez, 2018, pág. 152)
Gráfica
X
Y
π
4
3
3
π
4
-3
Tabla y figura 1: (Tabla de valores y gráfica del coseno compuestos dado en
geogebra, Autoría Propia)
Ejemplo 2
y= - 2 sen5x
Solución
Amplitud
Período
|𝑎| = |−2| = 2
2𝜋
|𝑏|
Gráfica
X
Y
2𝜋
2
= |5| = 5 𝜋
79
𝜋
10
-2
3
𝜋
10
2
π
2
-2
Tabla y figura 2: (Tabla de valores y gráfica del coseno compuestos dado en
geogebra, Autoría Propia)
3.2.2. Gráfica de la función coseno para ángulos mayores que uno,
multiplicado por un número.
Se ubica y se identifica en el plano que llega a un punto límite determinado por
2𝜋
el período que se obtiene desde la fórmula |𝑏|, se ubica en el eje x como límite, puede
o no tomar valores en negativo, depende del coeficiente angular. La amplitud es el
alance máximo o el vértice en el punto evaluado que demuestre que la función sea
igual a la amplitud teniendo en cuenta el signo.
Fuente: (Autoría Propia)
Función
Fórmula para la amplitud (y)
|𝑎|
𝑦 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑏𝑥
Ejemplo 1
y= 3 cos2x
Solución
Amplitud
|𝑎| = |3| = 3
Período
2𝜋
|𝑏|
2𝜋
= |2| = 𝜋
Fórmula para el período (x)
2𝜋
|𝑏|
80
Fuente: (Aucallanchi Velásquez, 2018, pág. 153)
Gráfica
X
Y
0
3
𝜋
2
-3
π
3
Tabla y figura 3: (Tabla de valores y gráfica del coseno compuestos dado en
geogebra, Autoría Propia)
Ejemplo 2
y= - 5 cos - 4x
Solución
Amplitud
Período
|𝑎| = |−5| = 5
2𝜋
|𝑏|
Gráfica
X
Y
𝜋
2
-5
−
𝜋
4
0
5
-5
2𝜋
= |−4| =
𝜋
2
81
𝜋
4
5
𝜋
2
-5
Tabla y figura 4: (Tabla de valores y gráfica del coseno compuestos dado en
geogebra, Autoría Propia)
3.2.3. Gráfica de la función tangente compuesta
Su gráfica es la que muestra y en base al círculo trigonométrico, mediante las
medidas angulares; en los puntos donde el ángulo toma un valor impar, la tangente no
da un valor real o no existe tangente, por lo tanto, se toma como asíntota.
Ejemplo 1
y= - 2tanx
figura 5: (Gráfica de la tagente dada en geogebra, Autoría propia)
3.2.4. Gráfica de la función cotangente compuesta
Es la inversa de la tangente, su gráfica es la que muestra y en base al círculo
trigonométrico, mediante las medidas angulares; se hacen cero en el ángulo impar y
en el ángulo par no existe cotangencia, por la tanto, serán asíntotas.
Ejemplo 1
3
y=2 𝑐𝑜𝑡𝑥
82
figura 6: (Gráfica de la cotangente dada en geogebra, Autoría propia)
3.2.5. Gráfica de la función secante compuesta
Es la inversa del coseno o también su inverso multiplicativo, no existe amplitud
porque en ningún punto la gráfica interviene en el eje x, se toma como asíntota el
número que multiplica a la secante.
Ejemplo 1
1
y=2 𝑠𝑒𝑐𝑥
figura 7: (Gráfica de la secante dada en geogebra, Autoría propia)
3.2.6. Gráfica de la función cosecante compuesta
Es la inversa del seno o también su inverso multiplicativo, no existe amplitud porque
en ningún punto la gráfica interviene en el eje x, se toma como asíntota el número que
multiplica a la cosecante.
Ejemplo 1
4
y=3 𝑐𝑠𝑐𝑥
figura 8: (Gráfica de la cosecante dada en geogebra, Autoría propia)
3.3. Círculo trigonométrico
Es aquella circunferencia inscrita en el plano cartesiano con centro en el origen y
radio igual a la unidad.
83
-
Ecuación
X2+y2=1
-
Elementos
A(1;0): origen de arcos o tangentes.
B(0;1): origen de complementos o cotangentes.
A’(-1;0): origen de suplementos
ℓt: eje de tangentes
ℓc: eje de cotangentes
El círculo trigonométrico tiene su centro en el origen del plano cartesiano, muestra
características fundamentales que satisface las mediciones angulares en cualquier
punto o a cualquier extensión del arco, en base a la unidad que es el valor del radio.
Fuente: (Mori Valverde, 2014, pág. 5)
3.3.1. Números reales en la circunferencia trigonométrica
Es la obtención de un valor representativo en un punto de la circunferencia a partir
𝜋
del origen de arcos o tangentes, en esa condición satisface como puntos clave: 0, ± 2 ,
±𝜋, ±
3𝜋
2
, ±2𝜋. Son útiles para ubicar números reales en la circunferencia
trigonométrica y el uso de los radianes.
Fuente: (Mori Valverde, 2014, pág. 6)
Ejemplo 1
𝐿𝑎 =
2𝜋𝑅𝜃
360°
𝐿𝑎 =
2𝜋(1)(71.57°)
360°
84
𝐿𝑎 =
1349.06
360°
𝐿𝑎 = 3.75 𝑢
figura 9: (Gráfica de número real en la circunferencia "arco - rad" en geogebra,
Autoría propia)
3.3.2. Representación de líneas trigonométricas en la circunferencia
trigonométrica.
3.3.2.1.
Seno
El seno de un arco es la ordenada de su extremo.
Senθ1=y1
Senθ2=y2
En general -1 ≤ senθ ≤ 1
Para encontrar el seno se hace uso de las propiedades de razones trigonométricas
en función de las medidas de las partes, principalmente el del radio que es igual a 1
(hipotenusa) “divisor por propiedad” y del punto de elevación angular hasta el punto de
la recta donde se ubica en la abscisa; es el lado opuesto “dividendo”.
Fuente: (Mori Valverde, 2014, pág. 7)
Ejemplo 1
sen63.75o
Datos
θ = sen63.75o
(hipotenusa) R= 1
Opuesto=0.90
85
Solución
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑂
𝐻
𝑠𝑒𝑛63.75° =
0.9
1
𝑠𝑒𝑛63.75° = 0.9
figura 10: (Gráfica del "sen63.75" en el círculo trigonométrico en geogebra, Autoría
propia)
Coseno
El coseno de un arco es la abscisa de su extremo.
3.3.2.2.
Cosθ1=x1
Cosθ2=x2
En general -1 ≤ cosθ ≤ 1
Para encontrar el coseno se hace uso de las propiedades de razones
trigonométricas en función de las medidas de las partes, principalmente el del radio
que es igual a 1 (hipotenusa) “divisor por propiedad” y del punto de elevación angular
hasta el punto de la recta donde se ubica en la abscisa con relación con el vértice del
ángulo; es el lado adyacente “dividendo”.
Fuente: (Mori Valverde, 2014, pág. 8)
Ejemplo 1
Cos136.2o
Datos
86
θ = cos136.2o
(hipotenusa) R= 1
Adyacente= - 0.72
Solución
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝐴
𝐻
𝑐𝑜𝑠136.2° =
0.72
1
𝑐𝑜𝑠136.2° = 0.72
figura 11: (Gráfica del "cos136.2" en el círculo trigonométrico en geogebra, Autoría
propia)
Tangente
La tangente de un arco es la ordenada del punto de intersección entre el eje de
3.3.2.3.
tangentes (línea de tangente) y la prolongación de radio que contiene el extremo del
arco.
tanθ1=y1
tanθ2=y2
tanθ € R
∀θ € R
𝜋
{(2k + 1) } ; k € Z
2
Para hallar la tangente se usa la propiedad de razones trigonométricas, donde la
línea de elevación angular es igual a una unidad, dicha línea atraviesa en un punto de
87
la línea tangencial, desde ese punto hasta el punto recto hacia la abscisa, su medida
es el valor de la tangente del grado dado.
Fuente: (Mori Valverde, 2014, pág. 9)
Ejemplo 1
Tan66.32o
Datos
θ = tan66.32o
(opuesto) O= 2.28
Adyacente= 1
Solución
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑂
𝐴
𝑡𝑎𝑛66.32° =
2.28
1
𝑡𝑎𝑛66.32° = 2.28
figura 12: (Gráfica del "tan66.32" en el círculo trigonométrico en geogebra, Autoría
propia)
3.3.2.4. Cotangente
La cotangente de un arco es la abscisa del punto de intersección entre el eje de
cotangente (línea de cotangente) y la prolongación del radio que contiene el extremo
del arco.
cotθ1=x1
88
cotθ2=x2
cot θ € R
{𝑘𝜋}; k € Z
∀θ € R
La cotangente es la inversa de la tangente, para hallar la cotangente se usa la
propiedad de razones trigonométricas, donde la línea de elevación angular es igual a
una unidad, dicha línea atraviesa en un punto de la línea de cotangente, desde ese
punto hasta el punto recto hacia la ordenada, su medida es el valor de la cotangente
del grado dado.
Fuente: (Mori Valverde, 2014, pág. 9)
Ejemplo 1
Cot165.42o
Datos
θ = cot165.42o
(adyacente) A= 2.28
Opuesto= 1
Solución
𝑐𝑜𝑡𝜃 =
𝐴
𝑂
𝑐𝑜𝑡165.42° =
−3.85
1
𝑐𝑜𝑡165.42° = −3.85
89
figura 13: (Gráfica del "cottan165.42" en el círculo trigonométrico en geogebra,
Autoría propia)
Secante
La secante de un arco es la abscisa del punto de intersección entre la tangente
3.3.2.5.
geométrica que contiene el extremo de arco y el eje x.
secθ1=x1
secθ2=x2
secθ≤-1 v secθ≥1
𝜋
{(2k + 1) } ; k € Z
2
∀θ € R
Para hallar la secante se resuelve por propiedad de razones trigonométricas por
análisis gráfica y de aplicación de fórmula; la unidad de la hipotenusa entre la abscisa;
medida que sale del origen y al punto de intersección producido por el arco o el ángulo
de elevación angular.
Fuente: (Mori Valverde, 2014, pág. 11)
Ejemplo 1
Sec82.94°
Solución
𝑠𝑒𝑐𝜃 =
𝐻
𝐴
𝑠𝑒𝑐82.94° =
1
0.13
𝑠𝑒𝑐82.94° =8
90
figura 14: (Gráfica del "sec82.94" en el círculo trigonométrico en geogebra, Autoría
propia)
3.3.2.6. Cosecante
La cosecante de un arco es la ordenada del punto de intersección entre el eje de
ordenadas y la recta tangente en el extremo del arco.
cscθ1=y1
cscθ2=y2
cscθ ≤ -1 v csc θ ≥1
{kπ}; k € Z
∀θ € R
Para hallar la cosecante se resuelve por propiedad de razones trigonométricas por
análisis gráfica y de aplicación de fórmula; la unidad de la hipotenusa entre la
ordenada; medida que sale del origen y al punto de intersección producido por el arco
o el ángulo de elevación.
Fuente: (Mori Valverde, 2014, pág. 12)
Ejemplo 1
Csc187.19°
Solución
𝑐𝑠𝑐𝜃 =
𝐻
𝑂
𝑐𝑠𝑐187.19° =
1
0.13
𝑐𝑠𝑐187.19° = −7.73
figura 15: (Gráfica del "csc187.19" en el círculo trigonométrico en geogebra,
Autoría propia)
91
3.4. Aplicaciones de la trigonometría en triángulos rectángulos.
Para los triángulos rectángulos se reconoce el valor de uno de los lados y algún
otro dato, el cual puede ser un ángulo u otro lado, debido a que el tercer dato siempre
está dado ya que, al ser triángulo rectángulo, uno de los ángulos siempre es de 90°.
Los triángulos rectángulos están dados por algunos datos en la cual, para darle
solución se puede aplicar teorema de Pitágoras en relación a datos de medidas de
lados dados en el planteamiento, mientras si en el planteamiento se encuentran
diferentes datos como lados y ángulos, es necesario hacer uso de las propiedades de
razones trigonométricas.
Fuente: (Aguilar Marquez, Bravo Vázquez, Gallegos Ruiz, Cerón Villegas, & Reyes
Figueroa, 2009, pág. 858)
3.4.1. Con Teorema de Pitágoras
Para resolver problemas de triángulos rectángulo se asume el uso de teorema de
Pitágoras cuando se proporcionan los datos de medidas de lados, a excepción si se
pide hallar ángulos, en esa condición es necesario hacer uso de las propiedades de
razones trigonométricas, es decir; teorema de Pitágoras solo se aplica para hallar un
lado desconocido de un triángulo rectángulo.
Fórmula
c2=a2+b2
Ejemplo 1
Calcular la altura que podemos alcanzar con una escalera de 3 metros apoyada sobre
la pared si la parte inferior la situamos a 70 centímetros de ésta.
Datos
a= 70 cm = 0.7m
b= ¿
92
c = 3m
Solución
c2=a2+b2
b2 = 32 m2 – 0.72 m2
b2= 8.51 m2
𝑏 = √8.51𝑚2
b=2.92m
Fuente: (Aguilar Marquez, Bravo Vázquez, Gallegos Ruiz, Cerón Villegas, & Reyes
Figueroa, 2009, pág. 858)
Ejemplo 2
Un clavadista está entrenando en una piscina con una plataforma. Cuando realiza
el salto, cae a una distancia de 1 metro de la plataforma sumergiéndose 2,4 metros
bajo el agua. Para salir a la superficie, bucea hasta el final de la piscina siguiendo una
línea transversal de 8,8 metros de longitud.
Si la longitud desde la parte superior de la plataforma al lugar en donde emerge del
agua es de 11,2 metros, ¿cuál es la altura de la plataforma (desde el nivel del agua)?
Datos
c=8.8 m
a=?
b=2.4m
Solución
primero se resuelve la distancia recorrida dentro de la piscina.
93
c2=a2+b2
a2 = 8.82m2 – 2.42m2
a2 = 71.68m2
𝑎 = √71.68𝑚2
a = 8.47m
luego se resuelve la altura donde saltó el clavadista, teniendo en cuenta que cayó a
una distancia de un metro de la plataforma.
Nuevos datos
a = 9.47 m
b=¿
c = 11.2 m
Solución
c2=a2+b2
b2 = 11.22 m2 – 9.472 m2
b2= 35.76m2
𝑏 = √35.76𝑚2
b= 6m
Fuente: (Autoría Propia)
3.4.2. Con propiedades de razones trigonométricas.
Para resolver datos faltantes en un triángulo rectángulo, dado datos de algunas
medidas de lados y ángulos, se aplican las siguientes fórmulas.
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑏
𝑐
𝑐
𝑐𝑠𝑐𝜃 = 𝑏
94
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑎
𝑐
𝑠𝑒𝑐𝜃 = 𝑎
𝑐
𝑏
𝑎
𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑎
𝑐𝑜𝑡𝜃 = 𝑏
Ejemplo 1
Se sitúa un punto a 20 metros de un edificio. Si el ángulo de elevación al punto más
alto del edificio es de 46° 23’, encuentra la altura del edificio.
Datos
a = 20 m
θ = 46°23’
23’=0.3833 θ = 46.3833°
b=?
b=h
Solución
𝑏
𝑎
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑏
𝑡𝑎𝑛46.3833° = 20𝑚
1.05 =
𝑏
20𝑚
b = 1.05(20m)
b= 21m
Fuente: (Ynfanzon, 1998, pág. 15)
Ejemplo 2
Un niño tiene un papalote, el cual hace volar sosteniendo una cuerda a un metro del
suelo. La cuerda se tensa formando un ángulo de 45° con respecto a la horizontal.
Obtén la altura del papalote con respecto al suelo si el niño suelta 20 metros de cuerda.
Datos
95
b1 = 1m
θ = 45o
c = 20m
b2=?
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑏2
c
𝑠𝑒𝑛45° =
𝑏2
20𝑚
0.71(20𝑚) = 𝑏2
𝑏2 = 14.2𝑚
𝑏𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑏2 + 𝑏1
𝑏𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 14.2m + 1m
𝑏𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 15.2m
Fuente: (Autoría Propia)
3.5. Identidades trigonométricas
Son igualdades en las que intervienen funciones trigonométricas y es válida para
cualquier valor angular.
Las identidades, son igualdades que se dan entre las funciones trigonométricas,
que, con demostraciones de las inversas, se puede llegar a diferentes criterios de
igualdad.
3.5.1. Identidades recíprocas.
Las identidades recíprocas son producto de despejes de las fórmulas de las
razones trigonométricas.
(𝑠𝑒𝑛𝑎)(𝑐𝑠𝑐𝑎) = 1
(𝑐𝑜𝑠𝑎)(𝑠𝑒𝑐𝑎) = 1
(𝑡𝑎𝑛𝑎)(𝑐𝑜𝑡𝑎) = 1
96
Relaciones
1
1
𝑠𝑒𝑛𝑎 = 𝑐𝑠𝑐𝑎
1
𝑡𝑎𝑛𝑎 = 𝑐𝑜𝑡𝑎
1
𝑐𝑠𝑐𝑎 = 𝑠𝑒𝑛𝑎
1
𝑐𝑜𝑠𝑎 = 𝑠𝑒𝑐𝑎
1
𝑐𝑜𝑡𝑎 = 𝑡𝑎𝑛𝑎
𝑠𝑒𝑐𝑎 = 𝑐𝑜𝑠𝑎
3.5.2. Identidades de cociente
El cociente de la función seno y coseno se obtiene la función tangente.
𝑎
𝑠𝑒𝑛𝑎 𝑐 𝑎𝑐 𝑎
= =
= = 𝑡𝑎𝑛𝑎
𝑐𝑜𝑠𝑎 𝑏 𝑏𝑐 𝑏
𝑐
De manera análoga se obtiene la función cotangente.
𝑏
𝑐𝑜𝑠𝑎
𝑐 = 𝑏𝑐 = 𝑏 = 𝑐𝑜𝑡𝑎
=𝑎
𝑠𝑒𝑛𝑎
𝑎𝑐 𝑎
𝑐
Por tanto:
𝑡𝑎𝑛𝑎 =
𝑠𝑒𝑛𝑎
𝑐𝑜𝑠𝑎
𝑐𝑜𝑠𝑎
𝑐𝑜𝑡𝑎 = 𝑠𝑒𝑛𝑎
3.5.3. Identidades pitagóricas
𝑠𝑒𝑛2 𝑎 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑎 = 1
𝑡𝑎𝑛2 𝑎 + 1 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑎
1 + 𝑐𝑜𝑡 2 𝑎1 = 𝑐𝑠𝑐 2 𝑎
Otros despejes
𝑠𝑒𝑛2 𝑎 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑎 = 1
𝑡𝑎𝑛2 𝑎 + 1 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑎
1 + 𝑐𝑜𝑡 2 𝑎1 = 𝑐𝑠𝑐 2 𝑎
𝑠𝑒𝑛𝑎 = ±√(1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑎)
𝑡𝑎𝑛𝑎 = ±√(𝑠𝑒𝑐 2 𝑎 − 1)
𝑐𝑜𝑡𝑎 = ±√(𝑐𝑠𝑐 2 𝑎 − 1)
𝑐𝑜𝑠𝑎 = ±√(1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑎)
𝑠𝑒𝑐𝑎 = ±√(𝑡𝑎𝑛2 𝑎 + 1)
𝑐𝑠𝑐𝑎 = ±√(𝑐𝑜𝑡 2 𝑎 + 1)
Fuente: (Sullivan, Álgebra y trigonometría, 2006, pág. 609)
97
3.5.4. Demostración de las identidades trigonométricas.
Para la demostración de cualquier identidad trigonométrica, se debe reducir a la
misma igualdad en ambos miembros, aplicando las operaciones básicas y las
propiedades de una ecuación, y no olvidar que se efectúa y se aplica las identidades
trigonométricas y que la reducción o simplificación, se demuestre en su totalidad la
igualdad a una simplificación en representación de senos o cosenos.
Ejemplo 1
Demuestra la siguiente identidad: 𝑠𝑒𝑛𝑥 =
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑐𝑜𝑡𝑥
Solución
𝑠𝑒𝑛𝑥 =
𝑐𝑜𝑠𝑥/1
𝑠𝑒𝑛𝑥 =
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
(𝑐𝑜𝑠𝑥)(𝑠𝑒𝑛𝑥)
𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
Fuente: (Earl W., 2009, pág. 502)
Ejemplo 2
Demuestra la siguiente identidad: 𝑐𝑠𝑐𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 = (𝑐𝑜𝑡𝑥)(𝑐𝑜𝑠𝑥)
Solución
1
1
− 𝑠𝑒𝑛𝑥 =
(𝑐𝑜𝑠𝑥)
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑡𝑎𝑛𝑥
1
1/1
− 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 (𝑐𝑜𝑠𝑥)
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
1−𝑠𝑒𝑛2 𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
=
1/1
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
(𝑐𝑜𝑠𝑥)
(𝑐𝑜𝑠 2 𝑥)(𝑠𝑒𝑛𝑥) = (𝑠𝑒𝑛𝑥)(𝑐𝑜𝑠 2 𝑥)
Fuente: (Autoría Propia)
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
−=
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
= (𝑐𝑜𝑠2 𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
1=1
98
3.6. Ecuaciones trigonométricas.
Una ecuación trigonométrica es una igualdad en la que intervienen funciones
trigonométricas y se verifica para determinados valores de la variable
La ecuación trigonométrica es una igualdad, donde sus elementos la conforman
funciones trigonométricas en la que se despeja la variable, en base a la transposición
de términos o aplicación de operación inversa de los términos queda despejada y
hallada el valor de la variable.
3.6.1. Ecuación trigonométrica igualada a una constante
Es el tipo de ecuación en la que se da una función trigonométrica, separado por la
igualdad y en uno de sus miembros se ubica una constante, su solución es mediante
aplicación de propiedades de despeje y operaciones inversas.
Ejemplo 1
2senx = 1
1
Senx=2
1
x=𝑠𝑒𝑛−1 2
x= 30°
Fuente: (Alva Cabrera, 2007, pág. 316)
Ejemplo 2
1
3cosx=8
1
Cosx=24
99
1
x= 𝑐𝑜𝑠 −1 24
x= 87.61°
Fuente: (Autoría Propia)
3.6.2. Factorización con ecuaciones trigonométricas
Se aplican propiedades algebraicas, como propiedades
de
identidades
trigonométricas, se despeja la incógnita en base a la sucesión de procedimiento,
operaciones inversas de los términos.
Ejemplo 2
𝑠𝑒𝑛2 𝑥 =
1
2
1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1
𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 0
2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 −1 0
2𝑥 = 90
𝑥=
90
𝑥 = 45°
2
Fuente: (Autoría Propia)
100
Resumen analítico
Las funciones trigonométricas se basa principalmente para hallar cualquier solución
angular del círculo unitario, hasta las identidades, razones, resolución de triángulos
rectángulos, ecuaciones trigonométricas; se da mediante el uso del círculo unitario,
razón por la cual, se hace un tanteo del valor real de un ángulo, es una de las formas
de resolución manual con demostración a partir de la gráfica, son de gran uso en el
mundo, ya que desde las ondas, se pueden apreciar períodos, frecuencias en la que
se evidencia a partir de lo que produce el aire, las vibraciones de sonidos, todo conlleva
movimientos armónicos que se miden por pi radianes.
Las gráficas trigonométricas, son un factor para determinar amplitudes y períodos,
desde las características que posee, mediante un sistema de valores en la que
muestra una trayectoria en el espacio en movimiento de zig, zag, es determinada por
seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, tienen gráficas distintas en
la que sobresale la amplitud, dependiendo de la cantidad de cada determinación, sea
seno o coseno y lo demás.
Contiene una amplia gama de análisis de dimensiones angulares, desde la relación
con el arco en la que satisfacen los valores de los radianes, saber que 1rad = 57.3°,
medida que es igual al ángulo central y el arco del ángulo de elevación, esta
determinación satisface las medidas o equivalencias que existe entre el pi, que su
relación es con el diámetro de la circunferencia, en la que dicha medida del diámetro,
pasando alrededor de la circunferencia son e veces y un poco más, de ahí ha surgido
el valor del pi=3.1416.
Las identidades trigonométricas surgen a partir de las simplificaciones de las razones
trigonométricas para su demostración y de las identidades a las ecuaciones
trigonométricas, ya que satisfacen condiciones, términos en la que se reduce a una
terminología angular, con apego a las propiedades, más que propiedades; el análisis
gráfico para representar y solucionar mediante el círculo unitario.
Cabe resaltar que diferentes objetos en la naturales asumen movimientos donde se
puede aplicar las propiedades de las funciones trigonométricas, desde la forma como
101
nada un pez en el agua, los recorridos en trayectoria zigzag como en entrenamientos
de futbol, el sonido que causan los instrumentos musicales, las fuentes de vibraciones
en el espacio marítimo producido por diferentes animales marinas,
La trigonometría está en función de todo lo que existe en el universo, la trigonometría
existe porque hay una parte en la que se puede asumir condiciones de demostración
analítica y gráfica del por qué suceden los hechos,
Cabe mencionar que un tema fundamental como magnetismo, electromagnetismo; son
factores y temas fundamentales para la demostración de las funciones trigonométricas.
102
Glosario
ADYACENTE: Un ángulo adyacente es aquel que comparte con otro ángulo un vértice
y un lado en común, es decir, se trata de ángulos consecutivos. A su vez, ambos
ángulos son suplementarios, es decir, forman un ángulo llano de 180º (grados
sexagesimales) o π radianes. En simple, dos ángulos son adyacentes cuando son
consecutivos y suplementarios al mismo tiempo o, visto de otro modo, se trata de una
categoría particular de ángulos consecutivos. Vale observar además que aquellos
lados que los ángulos adyacentes no tienen en común son dos semirrectas que van
en direcciones opuestas. Es decir, viendo la imagen inferior (donde ∝ y β son
adyacentes), ambas semirrectas parten del punto B, pero una pasa por el punto A y la
otra por el punto D.
AMPLITUD: Por otro lado, y a instancias de las matemáticas, la amplitud refiere a la
diferencia que habrá entre el valor máximo y mínimo de la distribución de una variable.
Distancia o valor máximo de una cantidad variable, de su valor medio o valor base, o
la mitad del valor máximo pico a pico de una función periódica, como un movimiento
armónico simple.
ASÍNTOTA: se le llama asíntota de la gráfica de una función a una recta a la que se
aproxima continuamente la gráfica de tal función; es decir que la distancia entre las
dos tiende a ser cero, a medida que se extienden indefinidamente. O que ambos
presentan un comportamiento asintótico Si bien suelen representarse en un mismo
sistema de coordenadas, las asíntotas no forman parte de la expresión analítica de la
función, por lo que -en numerosos ejemplos- no están incluidas explícitamente dentro
de la gráfica, o bien se las indica con una línea punteada. En muchos casos, las
asíntotas coinciden con los ejes de coordenadas, es decir que sus ecuaciones en
coordenadas cartesianas serán: x = 0, y = 0..
COSECANTE: un ángulo es la razón inversa del seno del ángulo. Se expresa por
cosecante. es la función inversa del seno de un arco o de un ángulo. Se trata de un
concepto que se emplea en el ámbito de la trigonometría, una rama de las matemáticas
vinculada a la geometría. Para comprender qué es la cosecante, primero hay que
saber qué es el seno. Esta función, en un triángulo rectángulo, se obtiene dividiendo
103
el cateto opuesto a un ángulo agudo y la hipotenusa. Cabe recordar que la hipotenusa
es el lado más extenso de un triángulo rectángulo, mientras que los otros dos lados
reciben el nombre de catetos. Por lo tanto, si el seno es igual al cateto opuesto dividido
por la hipotenusa, la cosecante se obtiene dividiendo la hipotenusa por el cateto
opuesto ya que se trata de la función inversa. Al mismo resultado se llega obteniendo
el cociente de 1 y el seno.
COTANGENTE: La noción de cotangente alude a la función inversa de la tangente de
un arco o de un ángulo. ... En el contexto de la trigonometría (una especialidad de las
matemáticas), la tangente de un triángulo rectángulo se obtiene dividiendo el cateto
opuesto a un ángulo agudo y el cateto adyacente. un triángulo rectángulo se obtiene
dividiendo el cateto opuesto a un ángulo agudo y el cateto adyacente. Cabe recordar
que el lado mayor de estos triángulos se llama hipotenusa, mientras que los otros dos
reciben la denominación de catetos.
HIPOTENUSA: Es el lado de un triángulo rectángulo que se encuentra al frente del
ángulo recto o de 90º. Así, se trata del lado de mayor longitud de la figura.
La hipotenusa es entonces el lado de un triángulo rectángulo que tiene mayor medida
que los otros dos lados, a los que se le denomina catetos. Debemos recordar que un
triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto y otros dos que son agudos,
pues la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo debe ser igual a 180º.
PITÁGORAS: El nombre Pitágoras en griego antiguo (Pitágoras) se traduce como "el
que convence o persuade con la razón en la plaza o en lugares públicos, donde la
gente se reúne". Nombre compuesto por: El pensamiento de Pitágoras tuvo gran
influencia en Platón y posteriores filósofos, astrónomos y matemáticos. El teorema de
Pitágoras es una norma que se cumple en el caso de un triángulo rectángulo, siendo
la suma de cada uno de los catetos elevados al cuadrado igual a la hipotenusa elevada
al cuadrado. ... Por ende, si uno mide 90º, la suma de los otros dos necesariamente
debe ser 90º.
104
RADIÁN: El radián mide el ángulo presentado como central a una circunferencia y su
medida es igual a la razón entre la longitud del arco que comprende de dicha
circunferencia y la longitud del radio, es decir, mide la cantidad de veces que la longitud
del radio traza ese determinado arco en la circunferencia. Es la amplitud de un ángulo
central de una circunferencia que abarca un arco de la misma longitud que el radio.
SECANTE: Una recta secante (lat. secare "cortar") es una recta que corta a una curva
en dos o más puntos. Conforme estos puntos se acercan y su distancia se reduce a
cero, la recta adquiere el nombre de recta tangente. Una recta es secante respecto a
otra cuando ambas comparten un punto en común. Es decir, dos rectas son secantes
cuando se cruzan o intersecan. ... Otro tipo de rectas secantes son aquellas
denominadas oblicuas, que forman ángulos iguales, dos a dos.
TEOREMA: También puede decirse que un teorema es una fórmula bien formada que
puede ser demostrada dentro de un sistema formal, partiendo de axiomas u otros
teoremas. Demostrar teoremas es un asunto central en la lógica matemática. Los
teoremas también pueden ser expresados en lenguaje natural formalizado. Los
teoremas generalmente poseen un número de premisas que deben ser enumeradas o
aclaradas de antemano. La conclusión del teorema es una afirmación lógica o
matemática que es verdadera bajo las condiciones dadas. El contenido informativo del
teorema es la relación que existe entre las hipótesis y la tesis o la conclusión.
105
Bibliografía
Aguilar Marquez, A., Bravo Vázquez, F. V., Gallegos Ruiz, H. A., Cerón Villegas, M., & Reyes
Figueroa, R. (2009). Matemáticas Simplificadas. México: Pearson Educación.
Alva Cabrera, R. (2007). Trigonometría; teoría y práctica. Perú: San Marcos.
Aucallanchi Velásquez, F. (2018). Trigonometría, fundamentos y aplicaciones. Lima, Perú:
Racso.
Autoría Propia. (s.f.).
Earl W., S. (2009). Álgebra y trigonometría con geometría analítica. México: Cengage
Learning.
Gráfica de la cosecante dada en geogebra. (Autoría propia).
Gráfica de la cotangente dada en geogebra. (Autoría propia).
Gráfica de la secante dada en geogebra. (Autoría propia).
Gráfica de la tagente dada en geogebra. (Autoría propia).
Gráfica de número real en la circunferencia "arco - rad" en geogebra. (Autoría propia).
Gráfica del "cos136.2" en el círculo trigonométrico en geogebra. (Autoría propia).
Gráfica del "cottan165.42" en el círculo trigonométrico en geogebra. (Autoría propia).
Gráfica del "csc187.19" en el círculo trigonométrico en geogebra. (Autoría propia).
Gráfica del "sec82.94" en el círculo trigonométrico en geogebra. (Autoría propia).
Gráfica del "sen63.75" en el círculo trigonométrico en geogebra. (Autoría propia).
Gráfica del "tan66.32" en el círculo trigonométrico en geogebra. (Autoría propia).
Mori Valverde, W. (2014). Circunferencia trigonométrica. Lima, Perú: Rodo.
Rodo. (2020). Trigonometría, teórico y práctico. Rodo.
Sullivan, M. (2006). Álgebra y trigonometría. México: Pearson Educación.
Tabla de valores y gráfica del coseno compuestos dado en geogebra. (Autoría Propia).
Ynfanzon, A. (1998). Trigonometría. Impecus.
106
4. DISTRIBUCIÓN NORMAL
4.1. Probabilidades bajo la curva normal
Son medidas o áreas bajo la gráfica de un estudio estadístico en la que determina
su ubicación estandarizada a través de los aspectos de media poblacional “µ”; se ubica
en medio de la base por encima de la curva normal y la desviación estándar “σ”, son
datos que sirven para encontrar o hallar las probabilidades bajo la curva normal que
es igual a 1, simétrica respecto a la media. Para que halla distribución normal es
necesario que sea estandarizada “Z”.
Ejemplo 1
Los sueldos mensuales en una empresa siguen una distribución normal con media
de 1200 quetzales y desviación estándar de 200 quetzales. ¿Qué porcentaje de
trabajadores ganan entre 1000 y 1550 quetzales?
Datos
µ=1200
σ=200
Z=?
A=?
Solución
Parte 1: P(1000≤x≤1200)
Z1=
1000−1200
200
Z1= - 1
=
−200
200
Z=1
= −1
A1=0.3413
Parte 2: P(1200≤x≤1550)
107
Z2=
1550−1200
200
Z2= 1.75
350
= 200 = 1.75
A2=0.4599
Fuente: (Mendenhall, J. Beaver, & M. Beaver, 2010, pág. 222)
Ejemplo 2
Estudios realizados demuestran que el uso de gasolina para autos compactos
vendidos en Guatemala está normalmente distribuido, con una media de 25.5 millas
por galón (mpg) y una desviación estándar de 4.5 mpg. ¿Qué porcentaje de compactos
recorre 30 mpg o más?
Datos
µ=25.5 millas
σ= 4.5 mpg
x= 30 mpg
Z=?
A=?
Figura 1: (Probabilidad bajo la curva normal, Geogebra, Autoría propia)
Solución
Parte 1: P(1≤x≤30)
Z1=
30−25.5
Z= 1
4.5
4.5
= 4.5 = 1
A1=84.13
el porcentaje que rebasa los 30mpg es:
A2=1 - 0.8413= 0.1587
100(0.1587)=15.87%
Fuente: (Autoría propia)
4.2. Esperanza
La esperanza es la cantidad media de datos que se puede obtener entre la
sumatoria de todos los datos iniciales.
108
𝑘
𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥𝑖 ∗ 𝑃 = (𝑋 = 𝑥𝑖)
𝑖=1
Ejemplo 1
Supongamos que en el juego de los dados si sale 1, 2 o 3 pierdo un Quetzal, si sale
un 4 o un 5 no gano nada y si sale 6 gano 2 Quetzales. ¿Cuánto puedo esperar ganar
si juego 100 veces seguidas?
La probabilidad de cada suceso es igual: p1=1/6, p2=1/6, p3=1/6, p4=1/6, p5=1/6,
p6=1/6.
Los valores de los sucesos son: x1 = x2 = x3 = -1, x4 = x5 = 0, x6 = 2
E(x) = -1· 1/6 + -1 ·1/6 + -1 · 1/6 + 0 · 1/6 + 0 · 1/6 + 2 · 1/6 = -1/6 -1/6 -1/6 +2/6 = -1/6
100 · (-1/6) = -100/6 = -16,7 dólares → si se tira el dado 100 veces puedo esperar
perder unos 16,7 Quetzales de media.
Fuente: (Mendenhall, J. Beaver, & M. Beaver, Introducción a la probabilidad y
estadística, 2010, pág. 378)
Ejemplo 2
sea un juego de mesa en el que al tirar un dado avanzo tantas casillas como salga en
el dado. Se gana al llegar a la casilla 100. ¿Cuántas jugadas se puede esperar
necesitar para llegar a la meta?
La probabilidad de cada suceso es igual: p1=1/6, p2=1/6, p3=1/6, p4=1/6, p5=1/6,
p6=1/6.
Los valores de los sucesos son: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4, x5 = 5, x6 = 6
E(x) = 1· 1/6 + 2 ·1/6 + 3 · 1/6 + 4 · 1/6 + 5 · 1/6 + 6 · 1/6 = 1/6 + 2/6 +3/6 +4/6 + 5/6 +
6/6 = = 21/6 = 3,5 → de media se avanza 3,5 casillas cada vez que se tira el dado
Fuente: (Autoría propia)
4.3. Varianza
Indica el grado de dispersión que tiene la variable con respecto a su valor promedio.
Se utiliza en la toma de decisiones cuando se comparan muestras que arrojan similar
promedio.
109
Ejemplo 1
Calcular la varianza y la desviación estándar de los siguientes datos: 2, 4, 6 y 8 sabiendo que
corresponden a una población.
Solución:
Nos indican que estos datos forman una población, por lo tanto, usaremos las fórmulas de
varianza y desviación estándar para la población, teniendo en cuenta que tenemos 4 datos, es
decir, N = 4.
Empezamos calculando la media poblacional:
Ahora calculamos la varianza poblacional:
Fuente: (Mendenhall, J. Beaver, & M. Beaver, Introducción a la probabilidad y
estadística, 2010, pág. 405)
Ejemplo 2
En la tabla 1 se muestran las rentabilidades de dos bancos A y B entre el año 2006 y
2011. Tendremos para el banco A la variable aleatoria X y para el banco B la variable
aleatoria Y definida X e Y como: “rentabilidad anual”.
110
Queremos decidir dónde invertir entonces utilizaremos primero las Esperanzas de
cada uno. Las esperanzas calculadas para A y B son
𝐸(𝑋) = 0,283
𝐸(𝑌) = 0.282
las ganancias esperadas para los bancos A y B son de 28,3% y 28,2%. Por lo anterior
se muestran dos bancos muy parecidos en rentabilidad. Utilizaremos la varianza y la
desviación estándar para tomar una decisión. Para ello, hay que calcular la
rentabilidad: 𝐸(𝑋2)𝑦 𝐸(𝑌2)
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − (𝐸(𝑋))2= 0,10115 − 0,2832 = 0.021061 𝑠(𝑋) = √0.021061 = 0.145
𝑉𝑎𝑟(𝑌) = 𝐸(𝑌2) − (𝐸(𝑌))2= 0,13368 − 0,2822 = 0.054156 𝑠(𝑌) = √0,54156 = 0,232
La rentabilidad del Banco A es menos dispersa que la del Banco B, por tanto
conviene invertir en el Banco A dado que es menor su variabilidad.
Fuente: (Autoría propia)
111
Resumen analítico
La distribución normal se generaliza en la obtención de datos tales como el área,
porcentaje o cualquier otro dato que se quiera hallar, ya que se adapta a poder calcular
datos desconocidos muy importantes que tenga que ver con análisis estadístico, así
para probabilidad bajo la curva normal, se halla el área mediante los datos de media
población, desviación estándar a partir de un análisis y estandarización, en la que
comprueba si la curva bajo la normal es simétrica, si es así, se puede encontrar el área
o probabilidad bajo la curva normal. Y no solo este dato, sino muchos datos más tales
como porcentajes, grados, en función del punto donde llega el área, a partir de los
datos iniciales, se verifica en qué columna en este caso, frecuencia queda el límite de
la gráfica en base al área, ese punto tomará otras representaciones de datos, tales
como lo mencionado, para esto la teoría estadística generaliza diferentes aspectos
relevantes en el campo económico, las probabilidades en los juegos, incide para
generar ganancia, como por ejemplo depositar en un banco donde el dinero obtiene
cierta cantidad de interés, escoger cual es la mejor opción. Son aspectos que ayudan
a tomar decisiones, aparte de realizar un análisis, razonar.
Evidencia datos importantes de frecuencia y límite en el análisis de datos importantes
sobre diferentes situaciones numéricos en la vida real, tal como en el estudio de
análisis de datos numéricos y situaciones de: personas, animales, plantas, tallas,
pesos, diámetros y perímetros. Consumo de cierto producto, puntuaciones de examen.
Efectos de una dosis de fármaco.
La curva normal adopta diferentes formas determinadas por la media y la desviación
estándar y su intervalo, teniendo así una estandarización en la que; si equivale a uno,
la curva normal sería simétrica, donde al dividir el área total entre dos, tendrán las
mismas magnitudes.
Manejan un criterio de comparación de datos en representación analítica en la que es
puesto en estudios para un determinado beneficio, y que ese beneficio sea trasladado
a las acciones o decisiones correspondientes que se hayan tomado para sus
respectivas aplicaciones en base a una muestra de confiabilidad en los aspectos
evaluados.
112
En las aplicaciones correspondiente evalúa cierto modelado basado en datos reales
cuantitativos, en la que en sus datos se lleva a la forma gráfica, mediante una
representación de barras se logra determinar la simetría según información de los
datos cuantitativos, de esa investigación y su gráfica, se haya una simetría, donde se
puede apreciar la armonía de equilibrio de curvatura de datos, la curva normal, de ahí
el nombre, en la que en base a la curva se pueden evidenciar, a partir de los límites
en la base de la curva ubicada en las abscisas, la oscilación del área, el porcentaje
demostrado en el punto de alcance o que ocupa el área, todo conlleva una
demostración de datos importantes de la investigación y estudio realizado.
113
Glosario
REGRESIÓN LINEAL: la regresión lineal estima los coeficientes de la ecuación lineal,
con una o más variables independientes, que mejor prediga el valor de la variable
dependiente. Por ejemplo, puede intentar predecir el total de ventas anuales de un
vendedor (la variable dependiente) a partir de variables independientes tales como la
edad, la formación y los años de experiencia.
VALIDEZ: relación existente entre el objeto de medición y el resultado de la propia
medición, lo que indica que, para que una prueba sea realmente válida, ha de medir
realmente el rasgo que queremos.
VARIANZA: es el promedio de las distancias al cuadrado desde los valores de la
variable hasta la media (es decir, de las puntaciones diferenciales al cuadrado) en una
muestra de n sujetos.
VARIABLE: cualquier fenómeno que pueda asumir valores numéricos y representa una
cualidad.
VARIABLE CUALITATIVA: se refieren a aspectos, propiedades o atributos de los
organismos objeto de estudio. No son medibles numéricamente sino que se establecen
por medio de distintas categorías.
VARIABLE CUANTITATIVA: son atributos o propiedades que implican el concepto de
magnitud, es decir, que son susceptibles de ser medidas numéricamente.
VARIABLE DEPENDIENTE: es la variable que se pronostica o estima.
114
VARIABLE INDEPENDIENTE: es la variable que proporciona la base para la
estimación. Es la variable predictora.
PUNTUACIONES TÍPICAS: indican el número de desviaciones típicas que separan la
observación (puntuación directa) de la media del grupo de observaciones.
RANGO O RECORRIDO: diferencia entre los valores mayor y menor de una variable
numérica; el máximo menos el mínimo.
115
Bibliografía
Autoría propia. (s.f.).
(Autoría propia).
(Autoría propia).
Mendenhall, W., J. Beaver, R., & M. Beaver, B. (2010). Introducción a la probabilidad y
estadística. México: Cengage Learning.
Mendenhall, W., J. Beaver, R., & M. Beaver, B. (2010). Introducción a la probabilidad y
estadística. México: Cengage Learning.
Mendenhall, W., J. Beaver, R., & M. Beaver, B. (2010). Introducción a la probabilidad y
estadística. México: Cengage Learning.
Probabilidad bajo la curva normal, Geogebra. (Autoría propia).
116
ANEXOS
117
PLANES
DE CLASE
118
PLAN DE CLASE 1
Docente: Francisco Tambriz Balux
Docente Asesora: Licda. Eleany Maricely Barrios Ruíz de Flores
Registro Académico: 201731775
Tiempo y Duración: 1 período de 35 minutos
Área: matemática
Tema: Teoría de ecuaciones
Subtema: Ecuaciones lineales y cuadráticas
Grado: Tercero Básico
Sección:
Fecha:
COMPETENCIA
INDICADOR DE
CONTENIDO
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
EVALUACIÓN
RECURSOS
LOGRO
Aplica teoría de
ecuaciones:
lineales, cuadráticas
en la resolución de
problemas de su
entorno.
Aplica conceptos,
principios y leyes
que explican las
ecuaciones lineales
y cuadráticas en las
diferentes prácticas
de la vida cotidiana.
✓ Ecuaciones de
primer y segundo
grado
✓ Motivación:
Acertijo matemático de ecuación.
✓ Aprendizaje:
Explicación del tema
Ejemplificación
Resolución de dudas
✓ Practica:
Ejercicio en clase con
acompañamiento
✓ Aplicación:
Tarea en casa.
Se desarrollará
de manera
permanente,
constante y
sumativa para
identificar
alcances y
limitaciones
Lista de cotejo
Tarea en casa 5
puntos.
Bibliografía: Aguilar Márquez, A., Bravo Vázquez, F. V., Galegos Ruiz, H. A., Cerón Villegas, M., & Reyes Figueroa, R. (2009).
Matemáticas Simplificadas. México: Pearson Educación.
(f)
(f)
Francisco Tambriz Balux
Docente
Licda. Eleany Maricely Barrios Ruíz de Flores
Supervisora
Hojas
Bond
Lapiceros
Lápiz
Cuadernos
Libros
Internet
Laptop,
celular.
Pizarra
electrónic
a (Open
board)
Power
point
Wordwall
119
PLAN DE CLASE 2
Docente: Francisco Tambriz Balux
Docente Asesora: Licda. Eleany Maricely Barrios Ruíz de Flores
Registro Académico: 201731775
Tiempo y Duración: 1 período de 35 minutos
Área: matemática
Tema: números complejos
Subtema: operaciones básicas con números complejos
Grado: Quinto Bachillerato
Sección:
Fecha:
COMPETENCIA
INDICADOR DE
CONTENIDO
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
EVALUACIÓN
LOGRO
Aplica propiedades
analíticas, gráfica y
demostrativa en la
resolución
de
problemas
de
números complejos
como parte de su
entorno.
Interpreta pares
ordenados
mediante los
números complejos
en las diferentes
prácticas de la vida
cotidiana.
✓ Operaciones
básicas con
números
complejos
✓ Motivación:
Demostración número complejo.
✓ Aprendizaje:
Explicación del tema
Ejemplificación
Resolución de dudas
✓ Practica:
Ejercicio en clase con
acompañamiento
✓ Aplicación:
Tarea en casa.
Se desarrollará
de manera
permanente,
constante y
sumativa para
identificar
alcances y
limitaciones
Lista de cotejo
Tarea en casa 5
puntos.
Bibliografía: La Fonte. (s.f.). Números Complejos. Guardia Republicana: Cano.
(f)
(f)
Francisco Tambriz Balux
Docente
Licda. Eleany Maricely Barrios Ruíz de Flores
Supervisora
RECURSOS
Hojas
Bond
Lapiceros
Lápiz
Cuadernos
Libros
Internet
Laptop,
celular.
Pizarra
electrónic
a (Open
board)
Power
point
Wordwall
120
PLAN DE CLASE 3
Docente: Francisco Tambriz Balux
Docente Asesora: Licda. Eleany Maricely Barrios Ruíz de Flores
Registro Académico: 201731775
Tiempo y Duración: 1 período de 35 minutos
Área: matemática
Tema: Funciones trigonométricas Subtema: Gráfica de funciones trigonométricas
compuestas, aplicaciones de la trigonometría en triángulos rectángulos.
Grado: Quinto Bachillerato
Sección:
Fecha:
COMPETENCIA
INDICADOR DE
CONTENIDO
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
EVALUACIÓN
LOGRO
Aplica propiedades
analíticas, gráfica y
demostrativa
mediante
procedimientos
e
interpretación en la
resolución
de
problemas
de
funciones
trigonométricas.
Interpreta
problemas de
funciones
trigonométricas
mediante los
sucesos,
investigaciones y los
aspectos que le
rodea.
✓ Gráfica de
funciones
trigonométricas
compuestas,
aplicaciones de la
trigonometría en
triángulos
rectángulos.
✓ Motivación:
Movimiento ondulatorio con lazo.
✓ Aprendizaje:
Explicación del tema
Ejemplificación
Resolución de dudas
✓ Practica:
Ejercicio en clase con
acompañamiento
✓ Aplicación:
Tarea en casa.
Se desarrollará
de manera
permanente,
constante y
sumativa para
identificar
alcances y
limitaciones
Lista de cotejo
Tarea en casa 5
puntos.
Bibliografía: Sullivan, M. (2006). Álgebra y trigonometría. México: Pearson Educación.
Alva Cabrera, R. (2007). Trigonometría; teoría y práctica. Perú: San Marcos.
(f)
(f)
Francisco Tambriz Balux
Licda. Eleany Maricely Barrios Ruíz de Flores
RECURSOS
Hojas
Bond
Lapiceros
Lápiz
Power
point
Cuadernos
Libros
Internet
Laptop,
celular.
Pizarra
electrónic
a (Open
board)
Wordwall
121
Docente
PLAN DE CLASE 4
Supervisora
Docente: Francisco Tambriz Balux
Docente Asesora: Licda. Eleany Maricely Barrios Ruíz de Flores
Registro Académico: 201731775
Tiempo y Duración: 1 período de 35 minutos
Área: matemática
Tema: Distribución normal Subtema: Probabilidades bajo la curva normal
Grado: Quinto Bachillerato
Sección:
Fecha:
COMPETENCIA
INDICADOR DE
CONTENIDO
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
EVALUACIÓN
LOGRO
Aplica propiedades
de probabilidades,
esperanza
y
varianza mediante
las aplicaciones en
la
distribución
normal
y
la
resolución
de
problemas.
Interpreta
problemas de
distribución normal
mediante los datos
estadísticos,
investigaciones y los
aspectos que le
rodea.
✓ Probabilidades
bajo la curva
normal
✓ Motivación:
Hojas
Bond
Acertijo estadístico de probabilidad.
Lapiceros
Lápiz
✓ Aprendizaje:
Cuadernos
Explicación del tema
Libros
Ejemplificación
Internet
Resolución de dudas
Laptop,
✓ Practica:
celular.
Ejercicio en clase con
Lista de cotejo
Pizarra
acompañamiento
electrónic
✓ Aplicación:
Tarea en casa 5
a (Open
Tarea en casa.
puntos.
board)
Power
point
Wordwall
Bibliografía: Mendenhall, W., J. Beaver, R., & M. Beaver, B. (2010). Introducción a la probabilidad y estadística. México: Cengage
Learning.
(f)
Se desarrollará
de manera
permanente,
constante y
sumativa para
identificar
alcances y
limitaciones
RECURSOS
(f)
Francisco Tambriz Balux
Docente
Licda. Eleany Maricely Barrios Ruíz de Flores
Supervisora
122
HOJAS DE TRABAJO
123
Instituto Básico por Cooperativa el Pedregal I
Docente: Francisco Tambriz Balux
Área: Matemáticas
Grado: Tercero básico
HOJA DE TRABAJO DE FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS
(Valor 5 puntos)
Nombre:
Fecha:
1. Indicaciones: resuelve las siguientes ecuaciones lineales, dejando
constancia de su procedimiento. Trabaje únicamente con lapicero azul o
negro y resolución en hojas aparte con la debida identificación y numeral de
cada ejercicio. Se califica la estética.
1) −2𝑥 − 3 = 15
2) 𝑥 − 12 = 4 − 2𝑥
3) 2(𝑥 − 3) = 9 − 𝑥
4)
5)
𝑥−1
3
3
𝑥−3
=
3𝑥+1
12
6
= 𝑥−2
2. Indicaciones: resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas, dejando
constancia de su procedimiento. Trabaje únicamente con lapicero azul o
negro y resolución en hojas aparte con la debida identificación y numeral de
cada ejercicio. Se califica la estética.
1) 𝑥 2 + 15𝑋 + 56 = 0
2) 8𝑥 2 + 14𝑋 + 3 = 0
3) 𝑥 2 + 11 𝑥 + 30 = 0
124
4) 6𝑥 2 + 7𝑥 − 5 = 0
5)
9𝑥
2𝑥
= 6𝑥 − 4
125
Instituto Básico por Cooperativa el Pedregal I
Docente: Francisco Tambriz Balux
Área: Matemáticas
Grado: Quinto bachillerato
HOJA DE TRABAJO DE OPERACIONES BÁSICAS CON NÚMEROS
COMPLEJOS
(Valor 5 puntos)
Nombre:
Fecha:
A) Indicaciones: lee cada una de las preguntas, analice e interprete, luego
seleccione la respuesta correcta. Use lapicero negro o azul para subrayar la
respuesta. Se califica la estética.
1) Complete el siguiente cuadro:
3+2i
3+5i
2i
7
Componente real
Componente imaginaria
2) La unidad imaginaria es:
a)
i
b)
π
c) −√1
3) Representación como pareja ordenada de un número complejo.
a) r cos θ ± (r sen θ) i
b)
a ± bi
4) El conjugado del nº complejo z=2-3i es:
c) (a, b)
126
a) 3+2i
b)
c) -2-3i
2+3i
5) Indique que número complejo se ha representado en el plano.
a) 2+3i
b)
3i
c)
3+2i
B) Indicaciones: resuelve las siguientes operaciones con números complejos,
dejando constancia de su procedimiento. Trabaje únicamente con lapicero
azul o negro y resolución en hojas aparte con la debida identificación y
numeral de cada ejercicio. Se califica la estética.
1) −3 + 7𝑖 − 7 + 2𝑖 =
2) 3(4 − 2𝑖) + 2(𝑖 − 3) − 5 =
3) −5(−2 + 3𝑖) − (4𝑖 + 7) =
4) (1 − 4𝑖)(2 + 3𝑖) =
5) (1 − 4𝑖) ÷ (2 + 3𝑖) =
127
Instituto Básico por Cooperativa el Pedregal I
Docente: Francisco Tambriz Balux
Área: Matemáticas
Grado: Quinto bachillerato
HOJA DE TRABAJO DE GRÁFICA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
COMPUESTAS, APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA EN TRIÁNGULOS
RECTÁNGULOS.
(Valor 5 puntos)
Nombre:
Fecha:
A) Indicaciones: lee cada una de las preguntas, analice e interprete, luego
seleccione la respuesta correcta. Use lapicero negro o azul para subrayar la
respuesta. Se califica la estética.
1) La gráfica corresponde a la función trigonométrica:
a) Tanx
b) cosx
c) sen x
2) A la coordenada en el conjunto de las abscisas le corresponde representar
la función:
a) Seno
b)
tangente
c) coseno
3) Considerando los ángulos notables, cuál de las siguientes afirmaciones es
falsa.
a) sen 90º=-sen270º
b)
sen 90º=cos 90º
c) cos 180º=-cos 0º
128
B) Indicaciones:
resuelve
trigonométricas,
los
dejando
siguientes
constancia
planteamientos
de
su
de
procedimiento.
funciones
Trabaje
únicamente con lapicero azul o negro y resolución en hojas aparte con la
debida identificación y numeral de cada ejercicio. Se califica la estética.
1) Observa la figura.
Si d=78 metros y
h=18,5 metros.
¿Cuál es el valor del ángulo?
2) Cuan do los rayos del sol tienen una inclinación de 44o sobre la horizontal, el
árbol de la figura proyecta una sombra de 3,7 m
sobre el piso, desde la
base del mismo ¿cuál es la altura del árbol?
3) Un observador ve un globo aerostático con un ángulo de elevación de 30 o.
Acercándose 800 metros, el globo se ve con un ángulo de 40o, como muestra
la figura. Determina a que altura se encuentra el globo.
129
4) Desde la torre de un fuerte costero, cuya altura es de 580 metros sobre el
nivel del mar, se divisa un barco con un ángulo de depresión de 24o. ¿A qué
distancia del punto D de la base de la torre está el barco?
130
Instituto Básico por Cooperativa el Pedregal I
Docente: Francisco Tambriz Balux
Área: Matemáticas
Grado: Quinto bachillerato
HOJA DE TRABAJO DE PROBABILIDADES BAJO LA CURVA NORMAL.
(Valor 5 puntos)
Nombre:
Fecha:
A) Indicaciones: resuelve cada planteamiento que se le presenta. Use lapicero
negro o azul para realizar su procedimiento. Se califica la estética.
1. Las calificaciones de los 500 aspirantes presentados a un examen para
contratación laboral, se distribuye normalmente con media 6'5 y varianza 4.
a) Calcule la probabilidad de que un aspirante obtenga más de 8 puntos.
b) Determine la proporción de aspirantes con calificaciones inferiores a 5 puntos.
c) ¿Cuántos aspirantes obtuvieron calificaciones comprendidas entre 5 y 7'5
puntos?
2. En un estudio realizado sobre los ingresos familiares en los que los dos
cónyuges trabajan, se ha
observado que el salario mensual, en miles de pesetas, de las mujeres (X) se
distribuye normalmente
con media 100, en tanto que el de los hombres (Y) tiene la siguiente transformación
Y = X + 20.
Sabiendo además que el 15% de los hombres no superan el percentil 75 de las
mujeres, se pide :
a) Representar gráficamente el enunciado del problema.
b) El salario medio de los hombres.
131
c) La desviación típica del salario de los hombres y de las mujeres.
d) Si la media de las mujeres es 100, la de los hombres queda
definida por la relación Y = X+20, luego es 120.
132
INSTRUMENTOS DE
EVALUACIÓN
133
Instituto Básico por Cooperativa el Pedregal I
Docente: Francisco Tambriz Balux
Área: Matemáticas
Grado: Tercero Básico
Valor 5 puntos.
LISTA DE COTEJO
Hoja de trabajo de ecuaciones lineales y cuadráticas
No
Nombre del estudiante
1
2
3
4
5
Observaciones:
1.
0.5
Ecuaciones lineales
0.5
0.5
0.5
0.5
2.
0.5
Ecuaciones cuadráticas
0.5
0.5
0.5
0.5
134
Instituto Básico por Cooperativa el Pedregal I
Docente: Francisco Tambriz Balux
Área: Matemáticas
Grado: Quinto Bachillerato
Valor 5 puntos.
ESCALA DE RANGO
Hoja de trabajo de operaciones básicas con números complejos.
Indicador: Interpreta pares ordenados mediante los números complejos en las
diferentes prácticas de la vida cotidiana.
Escala
Numérica
Literal
Gráfica
2
A
Excelente
1.5
B
Muy bueno
Descriptiva
Respuestas
correctas y
procedimientos
completos
Procedimientos
completos y
correctos pero las
respuestas son
incorrectas
No.
Nombre del estudiante
1
2
3
4
5
Observaciones:
1
C
Bueno
0.5
D
Necesita mejorar
Resolución mínima
con procedimientos
cortos.
Identifica los datos,
pero no resuelve el
planteamiento
A
0.5
0.5
0.5
B
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
135
Instituto Básico por Cooperativa el Pedregal I
Docente: Francisco Tambriz Balux
Área: Matemáticas
Grado: Quinto Bachillerato
Valor 5 puntos.
LISTA DE COTEJO
Hoja de trabajo de gráfica de funciones trigonométricas compuestas,
aplicaciones de la trigonometría en triángulos rectángulos.
No
Nombre del estudiante
1
2
3
4
5
Observaciones:
A
0.25 0.25
B
0.5
1
1
1
1
136
Instituto Básico por Cooperativa el Pedregal I
Docente: Francisco Tambriz Balux
Área: Matemáticas
Grado: Quinto Bachillerato
Valor 5 puntos.
ESCALA DE RANGO
Hoja de trabajo de probabilidades bajo la curva normal.
Indicador: Interpreta pares ordenados mediante los números complejos en
las diferentes prácticas de la vida cotidiana.
Escala
Numérica
Literal
Gráfica
2
A
Excelente
1.5
B
Muy bueno
Descriptiva
Respuestas
correctas y
procedimientos
completos
Procedimientos
completos y
correctos pero las
respuestas son
incorrectas
No.
Nombre del estudiante
1
2
3
4
5
Observaciones:
1
C
Bueno
Resolución mínima
con procedimientos
cortos.
1
A
0.5
B
0.5
0.5
D
Necesita
Identifica
mejorarlos
datos, pero no
resuelve el
planteamiento
2
c
0.5
A
1
b
1
c
0.5
d
0.5
137
CAPÍTULO II
FÍSICA
138
Introducción
En el desarrollo del contenido se incluyen los temas en las que presentan
importantes demostraciones que en base a los medios naturales se llegarán a
comprender, temas que nos aclaran dudas para sumergirse en el maravilloso
mundo de la existencia real de la física que en base al estudio de los componentes
de la naturaleza se llega a un profundo conocimiento teórico, se presenta con
criterios, ejercicios, ideas concisas, planificación y prueba objetiva, en lo que a
través de lo que se investiga se evalúa mediante los conocimientos y experiencias
adquiridas, los contenidos que se desarrollan van acorde a una estructura bien
definida, ideas bien pensadas para la asimilación de los distintos saberes y
aplicación de las diferentes fórmulas, es por ello; el contenido del temario se basa
legítimamente sobre temas de física, con demostraciones en la mayoría de temas,
en la que aclara el porqué de cada fórmula, como es que está sumergida en la
naturaleza, en los diferentes componentes que se puede palpar, desde los
movimientos que se pueden apreciar a diario, la aplicación de fuerzas en objetos o
condiciones, la dimensión de desplazamiento de todo aquello que satisface
recorrido y las temperaturas aplicadas en la naturaleza misma, característica física.
Los temas a desarrollar en este temario son los siguientes: movimiento en dos
dimensiones; determina la condición de módulo, dirección y sentido.
Aplicaciones de las leyes de Newton: en el maravilloso mundo se aplican y se
evidencian fuerzas que es causado desde una base rotativa, en sostenimiento de
un objeto, en la que, durante el giro desde la base, satisface aceleración centrípeta,
por ende, produce fuerza.
Vectores: se abarcan temas muy importantes como las propiedades que conlleva
módulo, que es un vector que surge desde un punto de origen en la que conlleva
una relación de adquisición de medida y perpendicular a las componentes x e y en
el plano. El vector unitario como fuente principal de sucesiones o seguimiento de
vector a módulo 1.
139
Temperatura: se dan a conocer las diferentes condiciones de transformaciones
en la temperatura que reciben los objetos, desde la ley cero de termodinámica,
termómetro y escalas en la temperatura que son de gran uso en nuestro entorno
para poder medir las diferentes temperaturas del clima o lo más simple, el uso del
termómetro para medir la fiebre, la dilatación térmica de objetos sólidos en la que
recibe una aplicación de temperatura y tiende a ser diferente en condiciones del
cambio que reciben los cuerpos sólidos o el líquido, de último el gas ideal, condición
que no existe, más que se acerca en base a la presión, volumen la masa y que
cumple con teorías en la cinética de los gases.
Son temas que abarcan ideas importantes para el desarrollo de problemas de
física en base a los contenidos, que en su realización se detallan en algunas partes
los pasos a seguir de las resoluciones de los ejercicios y problemas planteados, un
ejemplar en la que se lleva a cabo con gratitud para aportar al entendimiento y
sumergirse a la experimentación u observar, analizar y estudiar cada uno de los
componentes de la física en la naturaleza.
140
1. MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES
El movimiento en dos dimensiones es la que está conformada por una trayectoria
en forma diagonal, toma posiciones diferentes durante el movimiento, tanto
horizontal como vertical de ahí toma valores en posición de vectores por pares
ordenados. El movimiento es una cantidad vectorial y el tiempo una cantidad
escalar.
1.1. Desplazamiento
El desplazamiento de un objeto se define como el cambio en su vector de
posición y su unidad es en metros.
El desplazamiento se basa desde el punto de origen y principalmente desde el
cambio de posición hasta el punto donde llega el movimiento del objeto, teniendo
en cuenta cada vector desde cada par ordenado.
𝑑⃗ = √△ 𝑟 2 𝑥 +△ 𝑟 2 𝑦
△ 𝑟⃗ = 𝑟⃗𝑓 − 𝑟⃗𝑖
Fuente: (Vuille, 2012, pág. 62)
Ejemplo 1
Una persona camina 40 metros al este, luego 30 metros al norte. ¿Cuál es el
desplazamiento?
Solución
Figura 1: (Gráfica de desplazamiento en dos dimensiones (diagonal))
d=?
30 m
40 m
𝑑⃗ = √△ 𝑟 2 𝑥 +△ 𝑟 2 𝑦
𝑑⃗ = √402 + 302
141
𝑑⃗ = √2500
𝑑⃗ = 50𝑚
Ejemplo 2
Una pelota se mueve 10 m al este, 2 metros al norte, 15 m al este y 30 m al sur.
¿Cuál es su desplazamiento?
Solución
Figura 2: (Gráfica de desplazamiento en dos dimensiones (diagonal))
15 m
𝑑⃗ = √△ 𝑟 2 𝑥 +△ 𝑟 2 𝑦
2m
10m
25 m
𝑑⃗ = √252 + 282
𝑑⃗ = √1409
𝑑⃗ = 37.54 𝑚
30 m
d=?
28 m
Fuente: (Autoría propia)
1.2.
Velocidad y aceleración en dos dimensiones
1.2.1. Velocidad promedio
La velocidad promedio de un objeto durante un intervalo de tiempo es su
desplazamiento dividido entre el tiempo, su unidad es en metros sobre segundo.
Consiste en que un objeto se encuentra en movimiento y lleva una trayectoria
con posición vector en par ordenado, mientras avanza en las dos dimensiones
también transcurre el tiempo, cabe resaltar que el tiempo es una cantidad escalar y
el movimiento una cantidad vectorial.
⃗⃗ 𝑝𝑟𝑜𝑚 =
𝑉
△ 𝑟⃗
△𝑡
142
Ejemplo 1
Un objeto en movimiento tiene una posición inicial de desplazamiento r o = 2i+2j,
una posición final rf = 6i, toda la distancia recorrida tardó 5 segundos. ¿Cuál es su
velocidad promedio?
Datos
Desplazamiento
ro = 2i+2j
𝑑⃗ = √(6 − 2)2 + (−2)2
rf = 6i
𝑑⃗ = √16 + 4
t=5s
𝑑⃗ = 4.47 𝑚
Solución
⃗⃗ 𝑝𝑟𝑜𝑚 =
𝑉
△ 𝑟⃗
△𝑡
⃗⃗ 𝑝𝑟𝑜𝑚 = 4𝑖−2𝑗
𝑉
5
⃗⃗ 𝑝𝑟𝑜𝑚 = √0.82 + (−0.4)2
𝑉
⃗⃗ 𝑝𝑟𝑜𝑚 = 4𝑖 − 2𝑖
𝑉
5
5
⃗⃗ 𝑝𝑟𝑜𝑚 = √0.8
𝑉
⃗⃗ 𝑝𝑟𝑜𝑚 = 0.8𝑖 − 0.4𝑗
𝑉
⃗⃗ 𝑝𝑟𝑜𝑚 = 0.89 𝑚/𝑠
𝑉
Fuente: (Vuille, 2012, pág. 62)
Ejemplo 2
Una pelota se mueve 10 m al este, 2 metros al norte, 15 m al este y 30 m al sur.
Toda su trayectoria tarda 25 s ¿Cuál es su velocidad promedio?
Solución
𝑑⃗ = √△ 𝑟 2 𝑥 +△ 𝑟 2 𝑦
⃗⃗ 𝑝𝑟𝑜𝑚 = △𝑟⃗
𝑉
△𝑡
𝑑⃗ = √252 + 282
⃗⃗ 𝑝𝑟𝑜𝑚 = 37.54
𝑉
25
𝑑⃗ = √1409
⃗⃗ 𝑝𝑟𝑜𝑚 = 37.54
𝑉
25
𝑑⃗ = 37.54 𝑚
⃗⃗ 𝑝𝑟𝑜𝑚 = 1.4 𝑚/𝑠
𝑉
Fuente: (Autoría propia)
143
1.2.2. Velocidad instantánea
La velocidad instantánea de un objeto es el límite de su velocidad promedio
cuando el tiempo tiende a cero, su unidad es en metros sobre segundos.
Es el cambio de la posición sobre un determinado durante el recorrido de un
objeto, en este caso, se calcula la pendiente de la recta que une a ambos puntos;
desde la posición inicial hasta el punto de tiempo dado, luego se obtiene la velocidad
instantánea.
△ 𝑟⃗
△𝑡→0 △ 𝑡
𝑣⃗𝑖𝑛𝑠𝑡. = lim
Ejemplo 1
Un objeto en movimiento de dos dimensiones tiene un desplazamiento de 4.47
m ¿Cuál es su velocidad instantánea en 0,25 s?
Solución
Datos
𝑟⃗ = 4.47 𝑚
t= 0.25 s
△ 𝑟⃗
△𝑡
4,47
𝑣⃗𝑖𝑛𝑠𝑡. =
0.25
𝑣⃗𝑖𝑛𝑠𝑡. =
𝑣⃗𝑖𝑛𝑠𝑡. = 17.88 𝑚/𝑠
Fuente: (Vuille, 2012, pág. 62)
Ejemplo 2
Una pelota en movimiento de dos dimensiones con desplazamiento de 37.54 m
¿Cuál es su velocidad instantánea en 6 s?
𝑟⃗ = 37.54 𝑚
t= 6 s
144
△ 𝑟⃗
△𝑡
37.54
𝑣⃗𝑖𝑛𝑠𝑡. =
6
𝑣⃗𝑖𝑛𝑠𝑡. =
𝑣⃗𝑖𝑛𝑠𝑡. = 6.26 𝑚/𝑠
Fuente: (Autoría propia)
1.2.3. Aceleración promedio
La aceleración promedio de un objeto durante un intervalo de tiempo es el
cambio en su velocidad dividido entre el tiempo, su unidad es en metros por
segundo al cuadrado.
Durante el recorrido o la trayectoria de una partícula en 2 dimensiones que
evidencia cambios en distintos puntos de su movimiento puede ser que su velocidad
aumente más si esta recibe un movimiento extra, mientras que; si durante el
movimiento hay momentos en los que se frena, su velocidad disminuye, de ahí, la
aceleración promedio durante el tiempo que recorre la partícula.
𝑎⃗ =
△ 𝑣⃗
△𝑡
Ejemplo 1
Un objeto en movimiento de dos dimensiones evidencia una velocidad de 0.89
m/s durante 5 segundos de movimiento. ¿Hallar la aceleración promedio?
Solución
△ 𝑣⃗
△𝑡
0.89
𝑎⃗ =
5
𝑎⃗ =
𝑎⃗ = 0.18
𝑚
𝑠2
Fuente: (Vuille, 2012, pág. 63)
145
Ejemplo 2
Una pelota en movimiento de dos dimensiones evidencia una velocidad de 1.4
m/s durante un tiempo de 25 segundos. ¿Cuál es su aceleración promedio?
△ 𝑣⃗
△𝑡
1.4
𝑎⃗ =
25
𝑎⃗ =
𝑎⃗ = 0.06 𝑚/𝑠 2
Fuente: (Autoría propia)
1.2.4. Aceleración instantánea
El vector aceleración instantánea de un objeto es el límite de su vector
aceleración promedio conforme el tiempo tiende a cero.
Durante el recorrido o la trayectoria de una partícula en 2 dimensiones que
evidencia cambios en distintos puntos de su movimiento puede ser que su velocidad
aumente más si esta recibe un movimiento extra, mientras que; si durante el
movimiento hay momentos en los que se frena, su velocidad disminuye, de ahí, la
aceleración promedio durante el tiempo que recorre la partícula y se analiza en un
tiempo determinado ubicado en un punto de su movimiento.
△ 𝑣⃗
△𝑡→0 △ 𝑡
𝑎⃗ = lim
Ejemplo 1
Un objeto en movimiento de dos dimensiones evidencia una velocidad de 13 m/s.
¿Hallar la aceleración instantánea en 2.3 segundos?
Solución
△ 𝑣⃗
△𝑡
13
𝑎⃗ =
2.3
𝑎⃗ =
146
𝑎⃗ = 5.65 𝑚/𝑠 2
Fuente: (Vuille, 2012, pág. 63)
Ejemplo 2
Una pelota en movimiento de dos dimensiones evidencia una velocidad de 5.2
m/s. ¿Hallar la aceleración instantánea en 1.52 segundos?
△ 𝑣⃗
△𝑡
15.2
𝑎⃗ =
1.52
𝑎⃗ =
𝑎⃗ = 10 𝑚/𝑠 2
Fuente: (Autoría propia)
1.3.
Diagramas de movimiento
Permite realizar un análisis gráfico desde la forma abstracta, mediante el
diagrama de los componentes que tiene un movimiento, identificando las
magnitudes dadas, la identificación de movimientos que surgen en ello, desde el
desplazamiento, tiempo, velocidad y la aceleración que puede llegar a tener.
Figura 3: (Diagrama de velocidad constante)
x
d
t
El objeto se mueve con velocidad constante (aceleración cero).
147
Figura 4: (Diagrama de velocidad y aceleración constante)
x
d
t
El objeto se somete a aceleración constante en la dirección de su velocidad.
Figura 5: (Diagrama de velocidad y aceleración constante, aceleración en
dirección opuesta.)
x
d
t
El objeto se somete a una aceleración constante en la dirección opuesta de la
velocidad en cada instante.
Fuente: (Autoría propia)
1.4.
Lanzamiento de proyectiles o movimiento parabólico
Es un movimiento compuesto por dos movimientos: un movimiento horizontal
uniforme (M.R.U.) y un movimiento vertical de caída libre. En cada punto de la
148
trayectoria parabólica, el vector que representa a la velocidad es tangente a la curva
y presenta dos componentes.
Una componente horizontal, cuyo módulo permanece constante durante todo el
movimiento.
Una componente vertical, cuyo módulo varía uniformemente, según las leyes de
caída libre.
En el movimiento parabólico se evidencia o se dan condiciones en la que el
objeto en su trayectoria de subida interviene la gravedad, por lo tanto, la gravedad
es en contra del movimiento y es negativa, si el objeto va cayendo, la gravedad va
junto con la trayectoria, por lo tanto, es positiva.
Fórmulas
149
Ejemplo 1
Luis lanza una pelota de béisbol con una velocidad de 20 m/s a un ángulo de
50° con la horizontal. Calcular:
a) Componente horizontal y vertical de la velocidad inicial.
b) Velocidad resultante a los 1.5 segundos
c) Tiempo que tardó en llegar a la altura máxima (tiempo de subida).
Figura 6: (Movimiento del objeto en forma parabólica, geogebra)
Solución: Primero, escribimos los datos que nos están dando en el problema:
Datos:
𝑉𝑜=20 𝑚/𝑠
𝜃=50°
𝑔=−9.8 𝑚/𝑠2
a) Calcular la componente horizontal y vertical de la velocidad inicial. Es decir,
calcular 𝑉𝑜𝑥 y 𝑉𝑜𝑦. Utilizamos la ecuación 2 y 3 de la tabla de ecuaciones:
150
𝑉𝑜𝑥=𝑉𝑜𝐶𝑜𝑠 𝜃
𝑉𝑜𝑦=𝑉𝑜𝑆𝑒𝑛 𝜃
𝑉𝑜𝑥=(20 𝑚/𝑠)(𝐶𝑜𝑠 50°)
𝑉𝑜𝑦=(20 𝑚/𝑠)(𝑆𝑒𝑛 50°)
𝑽𝒐𝒙=𝟏𝟐.𝟖𝟔 𝒎/𝒔
𝑽𝒐𝒚=𝟏𝟓.𝟑𝟐 𝒎/𝒔
b) Calcular velocidad resultante a los 1.5 segundos. Para calcular la Vr,
necesitamos conocer Vx y Vy a los 1.5 segundos. Como Vx será igual a Vox,
Vx es igual a 12.86 m/s, sin embargo, Vy lo tenemos que calcular para los
1.5 segundos:
𝑉𝑦=15.32𝑚/𝑠+(−9.8𝑚/𝑠2)(1.5 𝑠)
𝑉𝑦=15.32𝑚/𝑠+(−14.7𝑚/𝑠)
𝑉𝑦=15.32𝑚/𝑠−14.7𝑚/𝑠
𝑉𝑦=0.62 𝑚/𝑠
𝑉𝑅 = √(12.86)2 + (0.62)2
𝑉𝑅 = √165.76
𝑉𝑅 = 12.87 𝑚/𝑠
c) Tiempo que tardó en llegar a la altura máxima (tiempo de subida).
𝑡𝑠 =
−15.32
−9.8
𝑡𝑠 = 1.56 𝑠
Fuente: (Jiménez, 2013, pág. 8)
151
Ejemplo 2
Se dispara un proyectil con una velocidad de 30 m/s con un ángulo de 40° con
la horizontal. Determinar:
a) El tiempo que tarda el proyectil en alcanzar su altura máxima
b) La altura máxima que alcanza el proyectil
c) El tiempo total de vuelo del proyectil
d) La distancia total recorrida por el proyectil.
Solución: Escribir los datos del problema:
Datos
𝑉𝑜=30 𝑚/𝑠
𝜃=40°
𝑔=−9.8 𝑚/𝑠2
a) El tiempo que tarda el proyectil en alcanzar su altura máxima, es decir, el
tiempo de subida.
𝑉𝑜𝑥=𝑉𝑜𝐶𝑜𝑠 𝜃
𝑉𝑜𝑦=𝑉𝑜𝑆𝑒𝑛 𝜃
𝑉𝑜𝑥=(30 𝑚/𝑠)(𝐶𝑜𝑠 40°)
𝑉𝑜𝑦=(30 𝑚/𝑠)(𝑆𝑒𝑛 40°)
𝑽𝒐𝒙=𝟐𝟐.𝟗𝟖 𝒎/𝒔
𝑽𝒐𝒚=𝟏𝟗.𝟐𝟖 𝒎/𝒔
𝑡𝑠 =
−19.28
−9.8
𝑡𝑠 = 1.97 𝑠
b) La altura máxima que alcanza el proyectil. Utilizaremos la siguiente
ecuación:
(−9.8)(1.97)2
2
(−9.8)(3.88)
𝑦 = (19.28)(1.97) +
2
𝑦 = (19.28)(1.97) +
152
𝑦 = 37.98 − 19.01
𝑦 = 18.97 𝑚
c) El tiempo total de vuelo del proyectil. Como ya sabemos el valor del tiempo
de vuelo, podemos multiplicarlo por 2 para obtener el tiempo de vuelo.
𝑡𝑣 = 2𝑡𝑠
𝑡𝑣 = 2(1.97)
𝑡𝑣 = 3.94 𝑠
d) La distancia total recorrida por el proyectil. Para calcular la distancia (x)
necesitamos conocer el tiempo, ya que se quiere conocer la distancia total,
significa que el tiempo será el tiempo de vuelo:
𝑥 = 𝑣𝑜𝑥 ∗ 𝑡
𝑥 = (22.98)(3.94)
𝑥 = 90.54 𝑚
Fuente: (Autoría propia)
153
Resumen analítico
Los movimientos en dos dimensiones tratan claramente sobre las condiciones
en la que se dirige un objeto, en base a los componentes reales de x e y, donde el
desplazamiento es una trayectoria que tiene un punto inicial que es el punto de
origen, donde se puede demostrar que la velocidad, desplazamiento, aceleración
son cantidades vectoriales porque van con los movimientos, conllevan
características muy fundamentales que evidencian o demuestran una relación
estrecha.
En la vida cotidiana se demuestra todos los días sobre la aplicación de
movimientos en dos dimensiones, tales como: cuando se lanzan objetos en forma
parabólica; en los partidos de futbol, en el lanzamiento de una piedra, en las olas
que se producen en el mar, salto largo en el deporte, que toman movimientos
parabólicos donde demuestra movimiento en dos dimensiones, cabe resaltar que
en el medio tecnológico se puede evidenciar la misma condición en donde mediante
aplicación
interactivas
de
entretenimiento
conllevan
ciertos
patrones
de
movimientos en 2 dimensiones, que satisfacen la demostración de módulo,
dirección y sentido, tales como en los juegos en el Android, en una computadora,
donde los personajes y objetos que intervienen producen ciertos movimientos y en
dos dimensiones.
Todo lo que se demuestra en nuestro entorno en apego a las demostraciones,
todo se encuentra en constante movimiento, no solo en un plano, sino que a través
de su componente se puede distinguir un desplazamiento dado, conceptos muy
fundamentales para asumir y poder entender la naturaleza, base de diferentes
movilidades que se produce, desde el plano bidimensional de la tierra.
Mediante la imaginación y percepción, el ser humano razona mediante lo que
puede palpar, estudia y genera condiciones de resolución de desplazamiento, las
velocidades y aceleraciones que se producen en nuestro entorno, desde la
movilidad de medios de transporte, el constante movimiento de las personas, las
actividades de deporte, el movimiento de otros seres en su hábitat y entorno, tales
como el movimiento de la especie marina, las aves, medios de transporte y todos
154
los seres existentes en la tierra, producimos y hacemos producir movimientos a
diferentes cuestiones para asumir.
La actividad de los seres vivos nos mantiene en constante movimiento, sin dejar,
por un lado, la niñez, que en su etapa se evidencia en ellos por su forma de jugar y
percibir el mundo.
155
Glosario
1 ACELERACION: Es el nombre que le damos a cualquier proceso en donde la
velocidad cambia. Como la velocidad es una rapidez y una dirección, solo hay dos
maneras para que aceleres: cambia tu rapidez o cambia tu dirección (o cambia
ambas). Comparada con el desplazamiento y la velocidad, la aceleración es como
el dragón enojado que escupe fuego de las variables de movimiento. Puede ser
violenta; algunas personas le tienen miedo; y si es grande, te obliga a que la notes.
Ese sentimiento que te da cuando estás sentado en un avión durante el despegue,
al frenar súbitamente en un automóvil o al dar una vuelta a alta velocidad en un
carrito de carreras, son situaciones en las que estás acelerando.
2 DESPLAZAMIENTO: El desplazamiento es el cambio de posición de un cuerpo
entre dos instantes o tiempos bien defines. En electrostática y electrodinámica,
al desplazamiento eléctrico. Si un objeto se mueve en relación a un marco de
referencia (por ejemplo, si una profesora se mueve a la derecha con respecto al
pizarrón, o un pasajero se mueve hacia la parte trasera de un avión), entonces la
posición del objeto cambia. A este cambio en la posición se le conoce
como desplazamiento.
3 DIMENSIÓN: Es el nombre que se le da a las cantidades físicas, así: Longitud,
masa, tiempo, etc. ... Por ejemplo: pie, metro, y milla son unidades de
la dimensión longitud. En teoría, un sistema de magnitudes fundamentales (o a
veces dimensiones fundamentales) podría ser aquel que cumpliera que
cualesquiera otras magnitudes físicas (o dimensión de magnitudes físicas) pudieran
ser generadas a partir de ellas.
4 DIAGONAL: Una diagonal es todo segmento que une dos vértices no consecutivos de un
polígono o de un poliedro. En sentido coloquial, una diagonal es una recta o segmento con
cierta inclinación o un conjunto de elementos alineados de esta manera. La noción
de diagonal, se emplea para aludir a la línea recta que permite unir dos vértices que no son
contiguos de un poliedro o de un polígono. Las diagonales aparecen como segmentos o
rectas que presentan una determinada inclinación. Supongamos que, en un cuadrado, los
vértices A y B se ubican en los extremos del lado superior (A a la izquierda y B a la
derecha), mientras que los vértices C y D se encuentran en los extremos del lado inferior
(C debajo de A y D debajo de B). En el interior de este cuadrado, encontraremos dos
diagonales: AD (que va desde A hasta D) y CB (que se extiende desde C hasta B).
156
5 DIAGRAMA: Un diagrama de cuerpo libre es un boceto de un objeto de interés
despojado de todos los objetos que lo rodean y mostrando todas las fuerzas que
actúan sobre el cuerpo. ... Un diagrama de cuerpo libre o diagrama de cuerpo
aislado, es útil en problemas que impliquen equilibrio de fuerzas. s una
representación gráfica utilizada a menudo por físicos e ingenieros para analizar
las fuerzas que actúan sobre un cuerpo libre. El diagrama de cuerpo libre es un
elemental caso particular de un diagrama de fuerzas. En español, se utiliza muy a
menudo la expresión diagrama de fuerzas como equivalente a diagrama de cuerpo
libre, aunque lo correcto sería hablar de diagrama de fuerzas sobre un cuerpo
libre o diagrama de fuerzas de sistema aislado. Estos diagramas son una
herramienta para descubrir las fuerzas desconocidas que aparecen en
las ecuaciones del movimiento del cuerpo. El diagrama facilita la identificación de
las fuerzas y momentos que deben tenerse en cuenta para la resolución del
problema.
6 INTERVALO: En términos generales, por intervalo se refiere a aquel espacio o
distancia que media entre dos momentos o entre dos puntos, según corresponda la
situación. ... Porque para la matemática un intervalo será todo subconjunto conexo
de la recta real. la distancia o el espacio que hay de un lugar a otro o de un tiempo
a otro. Otra clasificación separa los intervalos en simples (aquellos que no se
extienden por más de una octava) y compuestos es un conjunto de números reales
que se encuentra comprendido entre dos extremos, a y b. También puede llamarse
subconjunto de la recta real. Por ejemplo, los números que satisfagan una condición
1 ≤ x ≤ 5 ó [1;5] implican un intervalo que va desde el 1 hasta el 5, incluyendo a
ambos.
7 PROYECTIL: Se considera un proyectil cualquier objeto que sea lanzado; es
decir, que se le prima cierta velocidad inicial y posteriormente quede sujeto
únicamente a la acción de la gravedad. El lanzamiento de un proyectil se caracteriza
por la velocidad del lanzamiento, v0, y el ángulo del lanzamiento, θ0. es un objeto
destinado a ser lanzado, arrojado, despedido, disparado a un blanco especifico o
con el objetivo de cumplir una trayectoria sin importar donde caiga. La
palabra proyectil tiene usos populares, sin embargo, es en el campo de la Física y
el campo de la Balística donde tiene más uso, ya que es ahí donde se establecen
los parámetros de funcionalidad precisos del uso de un proyectil. Proyectil es un
término que se puede utilizar como un adjetivo, ya que un proyectil puede ser
cualquier objeto, aunque este no haya sido concebido para tal fin.
157
8 VECTORIAL: se llama vector a un segmento de recta en el espacio que parte de
un punto hacia otro, es decir, que tiene dirección y sentido. Los vectores
en física tienen por función expresar las llamadas magnitudes vectoriales,
asimismo, cuando deben ser expresados en una fórmula, se representan con una
letra coronada por una flecha. Vector Cantidad física que tiene magnitud, dirección
y sentido. Son ejemplo de vectores: la velocidad, la aceleración, la fuerza, el peso,
la cantidad de movimiento, el desplazamiento, campo eléctrico y el campo
magnético. se define como un ente matemático, gráficamente se representa
mediante un segmento de recta que posee una orientación definida en el espacio,
un vector en física se utiliza para representar los fenómenos como: el movimiento,
la fuerza, la aceleración, el peso de un cuerpo, la dirección.
158
Bibliografía
Autoría propia. (s.f.).
Diagrama de velocidad constante. (s.f.).
Diagrama de velocidad y aceleración constante. (s.f.).
Diagrama de velocidad y aceleración constante, aceleración en dirección opuesta. (s.f.).
Gráfica de desplazamiento en dos dimensiones (diagonal). (s.f.).
Jiménez, C. (2013). Movimientos bidimensionales: compuesto-circular. Perú: Rodo.
Movimiento del objeto en forma parabólica, geogebra. (s.f.).
Vuille, S. (2012). Fundamentos de física. México: Cengage Learning.
159
2. APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTON
2.1. Fuerzas causantes de la aceleración centrípeta
La “fuerza centrípeta” es una clasificación que involucra fuerzas actuando hacia
un punto central, como la tensión de una cuerda debido a una pelota atada en su
extremo o de la gravedad sobre un satélite. Una fuerza centrípeta debe ser
suministrada por alguna fuerza física real.
Una fuerza neta causa una aceleración centrípeta que actúa hacia el centro de
la trayectoria circular y provoca cambios en la dirección del vector velocidad. Si esta
fuerza desaparece, el objeto abandonaría su trayectoria circular y se movería a lo
largo de una trayectoria recta tangente a la circunferencia en el punto donde la
fuerza desapareció.
En un movimiento circular se mantiene la misma trayectoria circular por la inercia
o la tendencia del objeto donde una cuerda en la que se encuentra atada el objeto;
previene un movimiento en línea recta, ejerciendo una fuerza radial sobre el objeto
“fuerza de tensión” que hace que siga una trayectoria circular. La tensión está
dirigida en la cuerda hacia el centro del círculo.
Ejemplo 1
Una pequeña esfera de 200 g de masa gira en una trayectoria circular de 0,8 m
de radio con una velocidad angular de 5 rad/s. Calcular la magnitud de la fuerza
centrípeta que actúa sobre la esfera.
Datos:
m = 200 g = 0,2 kg
R = 0,8 m
w = 5 rad/s
La ecuación a utilizar es:
Fcp = m acp = m w2 R
160
Fcp = (0,2)(5)2 (0,8)
Fcp = 4 N
Fuente: (Vuille, Fundamentos de física, 2012, pág. 210)
Ejemplo 2
Una masa de 100 g atada a una cuerda de 50 cm de longitud gira en un plano
vertical. Si cuando pasa por el punto más bajo su velocidad es de 3 m/s, ¿qué valor
tiene la tensión de la cuerda en ese instante? Considere: g = 10 m/s2.
Datos:
m = 100 g = 0,1 kg;
R = 50 cm = 0,5 m;
v = 3 m/s
Dibujemos el diagrama de cuerpo libre de la masa:
La fuerza centrípeta es la resultante de las dos fuerzas radiales (fuerzas que se
encuentran en la dirección del radio), entonces:
Fcp = T – mg
Aplicando la segunda ley de Newton:
Fcp = m a cp
161
Luego:
T - mg = m v2/R
Reemplazando datos:
T - (0,1)((10) = (0,1)(32)/0.5
T - 1 = 1,8
T = 2,8 N
Fuente: (Autoría propia)
2.2. Fuerzas de fricción en el movimiento circular
Coeficiente de fricción de rodamiento µr, que es la fuerza horizontal necesaria
para lograr rapidez constante en una superficie plana, dividida entre la fuerza
normal hacia arriba ejercida por la superficie.
µr es la resistencia a la tracción, cuyos valores suelen estar entre 0.002 y 0.003
para ruedas de acero sobre rieles de acero, y de 0.01 a 0.02 para ruedas de caucho
sobre concreto.
La fuerza de fricción en el movimiento circular es un coeficiente de rozamiento
porque interviene en el sistema desde la base del neumático, máquina de rotación
en la que hace que surge en el sistema de base una fuerza ejercida.
162
Ejemplo 1
Un automóvil de 1500 Kg. que se mueve sobre un camino horizontal plano
recorre una curva cuyo radio es 35 metros. Si el coeficiente de fricción estático entre
las llantas y el pavimento seco es 0,5, ¿encuentre la rapidez máxima que el
automóvil puede tener para tomar la curva con éxito?
La fuerza de fricción estática dirigida hacia el centro del arco mantiene el auto
moviéndose en un círculo.
Solución: En este caso, la fuerza central que permite al automóvil permanecer en
su trayectoria circular es la fuerza de fricción estática.
La rapidez máxima que el automóvil puede alcanzar alrededor de la curva
corresponde a la rapidez a la cual está a punto de patinar hacia fuera. En este punto,
la fuerza de fricción tiene su valor máximo.
FR = μ N
∑ FY = 0
N–mg=0
N=mg
FR = μ N = μ m g
FR = μ m g
FR = 0,5 * 1500 * 9,8
FR = 7350 Newton
163
v = 13,1 m/s
Fuente: (J. D., A. J., & B., 2001, pág. 159)
Ejemplo 2
En un día húmedo el auto descrito en este ejemplo empieza a deslizarse en la
curva cuando la velocidad alcanza 8 m/s. ¿Cuál es el coeficiente de fricción
estático?
∑ FY = 0
N–mg=0
N=mg
FR = μ N = μ m g
FR = μ m g
μ = 0,186
Fuente: (Autoría propia)
2.3. Peraltes
Cuando un automóvil toma una curva cerrada en una carretera perfectamente
horizontal, la fricción entre los neumáticos y el pavimento genera una fuerza
centrípeta. Si esta fuerza se vuelve demasiado grande, el auto puede derrapar y
salir de la carretera. El máximo valor de la fuerza de fricción estática determina la
velocidad máxima con la que un automóvil puede tomar una curva de un radio
determinado.
Un automóvil que mantiene un movimiento en curva, evidencia una velocidad
como en todo su movimiento, durante su trayectoria en curva se genera un
rozamiento entre los neumáticos y la carretera, por lo tanto existe fuerza centrípeta,
en la que se avanza a mayor velocidad en la trayectoria en curva, provoca un
accidente por el soporto en los neumáticos.
Ejemplo 1
164
¿Cuál es la máxima velocidad a la que, sin derrapar, un automóvil puede tomar
una curva cuyo radio es de 100 m, si el coeficiente de fricción estática es de 0,7?
Solución: Como las fuerzas verticales están en equilibrio, sabemos que:
n=W=mg
𝑚𝑣 2
𝑅
= µ𝑠 𝑚𝑔
y
fxmáx=µomg
o
𝑣 2 = µ𝑠 𝑔𝑅
𝑣 = √µ𝑠 𝑔𝑅
𝑣 = √(0.7)(9.8)(100)
𝑣 = 26.2 𝑚/𝑠
Fuente: (Paul E, 2011, pág. 202)
Ejemplo 2
El límite de velocidad de cierta carretera es de 80 km/h. Encuentre el ángulo de
peralte óptimo para una curva cuyo radio es de 300 m.
Solución: Sabemos que 1 km = 1 000 m y que 1 h = 3 600 s, así que:
𝑣 = 80
𝑘𝑚 100𝑚
1ℎ
∗
∗
= 22.2 𝑚/𝑠
ℎ
1 𝑘𝑚 3600𝑠
𝑣2
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑔𝑅
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
(22.2)2
(9.8)(300)
𝑡𝑎𝑛𝜃 = 0.168
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 0.168
𝜃 = 9.5°
Fuente: (Autoría propia)
165
2.4.
Ley de Hooke
2.4.1. Elasticidad
Definimos como cuerpo elástico aquel que recobra su tamaño y su forma
originales cuando deja de actuar sobre él una fuerza deformante. Las bandas de
hule, las pelotas de golf, los trampolines, las camas elásticas, las pelotas de fútbol
y los resortes son ejemplos comunes de cuerpos elásticos. La masilla, la pasta y la
arcilla son ejemplos de cuerpos inelásticos. Para todos los cuerpos elásticos,
conviene establecer relaciones de causa y efecto entre la deformación y las fuerzas
deformantes.
La ley de Hooke es en base a un alargamiento que se dan en objetos elásticos
donde actúa la fuerza, el alargamiento es directamente proporcional a la fuerza.
F=ks
k es constante elástica
f es fuerza
s es alargamiento
Ejemplo 1
Un muelle se alarga 30 cm cuando ejercemos sobre él una fuerza de 24 N. a)
Calcula el valor de la constante elástica del muelle. b) Calcula el alargamiento del
muelle al aplicar una fuerza de 60 N.
Datos
s= 30 cm = 0.3 m
F1= 24 N
F2= 60 N
k=?
Solución
a) F=ks
k= F/s
166
k= 24/0.3
k= 80 N/m
b) s= F/k
s= 60/80
s= 0.75 m
Fuente: (Paul E, 2011, pág. 266)
Ejemplo 2
Sobre un dinamómetro de constante elástica k=200N/m se cuelga una masa
m=4kg. Calcular el alargamiento.
Datos
k= 200 N/m
m= 4 kg
s= ¿
Solución
F=ks
F=mg
s= F/k
F=4(9.8)
s= 39.2/200
F= 39.2 N
s= 0.196 m
Fuente: (Autoría propia)
167
Resumen analítico
Las leyes de Newton se usan para analizar las fuerzas que actúan sobre un
objeto y determinar así, su estado de movimiento. Esto tiene infinidad de
aplicaciones prácticas: puentes, edificios, carreteras, barcos, aviones, autos,
atracciones mecánicas y muchas más cosas se diseñan teniendo en cuenta estas
leyes.
Las leyes de Newton funcionan cuando la masa de los objetos es constante y
grande (comparada con un nivel atómico), y su velocidad es pequeña (comparada
con la velocidad de la luz).
Las aplicaciones de las leyes de Newton se dan con frecuencia en nuestro
entorno en donde satisface siempre en la aplicación de fuerzas que se producen en
los movimientos lineales o circulares, en diferentes tipos de espacios planos o
rústicos que presenta la naturaleza, de objetos y en esos mismos objetos.
Lo importante es que a partir de eso se elaboró la idea de la fuerza de gravedad.
Para cualquiera, era sólo una manzana cayendo. Para Newton, era un objeto
moviéndose en línea recta hacia el centro de la Tierra. Por lo anterior, debía existir
una fuerza que estaba actuando, sin contacto físico, sobre la manzana. Esa fuerza
es la gravedad.
En las fuerzas causantes de la aceleración centrípeta, se demuestra
principalmente mediante objetos en rodamiento, donde se logra apreciar que el giro
que produce aceleración desde la base del movimiento y en el mismo espacio esto
demuestra la aceleración centrípeta, tales como en el mismo movimiento circular
también se produce una actividad que se puede apreciar que en su gran magnitud
provoca atascamiento en el giro de algún objeto, se llama fricción en el movimiento
circular.
En los sucesos cotidianos de la vida donde en una autopista, en carreteras de
forma curva que conlleva cierto grado de inclinación; mediante esas condiciones los
transporte en el momento de asumir movimientos se produce un concepto en la cual
se designa como peralte que es donde se diferencia la elevación de la parte exterior
168
e interior de la curva en la carretera o vía, una pendiente transversal donde se
compensa una componente del propio peso la inercia del transporte y logra que la
resultante total de las fuerzas se mantenga aproximadamente perpendicular al
plano de la vía, e objetivo del peralte es contrarrestar la fuerza centrífuga que impele
al vehículo hacia el exterior de la curva, también tiene la función de evacuar aguas.
169
Glosario
1 ALARGAMIENTO: En tecnología de materiales también conocido como elongación es
una magnitud que mide el aumento de longitud que experimenta un material cuando se le
somete a un esfuerzo de tracción antes de producirse su rotura. El alargamiento se expresa
en tanto por ciento (%) con respecto a la longitud inicial. En un material elástico, cuando el
alargamiento no supera su límite elástico, este recupera su longitud inicial en cuanto cesa
el esfuerzo de tracción, pero si se supera el límite elástico, ya no recupera su longitud inicial,
produciéndose lo que se denomina una deformación plástica o remanente.
2 ATADA: También conocidas como leyes del movimiento de Newton, 1 son tres
principios a partir de los cuales se explican una gran parte de los problemas
planteados en mecánica clásica, en particular aquellos relativos al movimiento de
los cuerpos, que revolucionaron los conceptos básicos de la física y el movimiento
de los cuerpos en el universo. Constituyen los cimientos no solo de la dinámica
clásica sino también de la física clásica en general. Aunque incluyen ciertas
definiciones y en cierto sentido pueden verse como axiomas, Newton afirmó que
estaban basadas en observaciones y experimentos cuantitativos; ciertamente no
pueden derivarse a partir de otras relaciones más básicas. La demostración de su
validez radica en sus predicciones... La validez de esas predicciones fue verificada
en todos y cada uno de los casos durante más de dos siglos.
3 CENTRÍPETA: Se conoce como fuerza centrípeta: a la fuerza o al componente
de la fuerza que actúa sobre un objeto en movimiento que pasa por una trayectoria
curvilínea y que está dirigida hacia el centro de curvatura de la trayectoria. E s
una fuerza neta que actúa sobre un objeto para mantenerlo en movimiento a lo largo
de una trayectoria circular. En el artículo sobre aceleración centrípeta, aprendimos
que cualquier objeto que viaja a lo largo de una trayectoria circular de radio rrr con
velocidad vvv experimental.
4 CIRCULAR: El movimiento circular uniforme (también denominado movimiento
uniformemente circular) describe el movimiento de un cuerpo con una rapidez
constante y una trayectoria circular. Aunque la rapidez del objeto y la magnitud de
su velocidad son constantes, en cada instante cambia de dirección. En cinemática,
el movimiento circular (también llamado movimiento rectilíneo circunferencial) es el
que se basa en un eje de giro y giro constante, por lo cual la trayectoria es una
circunferencia.
170
5 DERRAPAR: La desviación lateral de un objeto que se vuelve en un líquido en
línea recta. Se aplica al derrapaje o el patinazo, es decir, la desviación lateral, y en
especial, el deslizamiento de un vehículo desviándose lateralmente. dentro de la
dinámica de vehículos, el movimiento relativo entre un neumático y la superficie de
la carretera sobre la que se está moviendo . Este derrapaje puede ser generado
tanto por la velocidad de giro del neumático: si es más grande o más pequeña que
la velocidad de giro libre (que normalmente se expresa en porcentaje de derrapaje),
como por el ángulo que guarda el plano de rotación del neumático,
6 ESFERA: Es el conjunto de los puntos del espacio tridimensional que tienen la
misma distancia a un punto fijo denominado centro; tanto el segmento que une un
punto con el centro, como la longitud del segmento, se denomina radio. una
superficie esférica es una superficie de revolución formada por el conjunto de todos
los puntos del espacio que equidistan de un punto llamado centro. Para los puntos
cuya distancia es menor que la longitud del radio, se dice que forman el interior de
la superficie esférica. La unión del interior y la superficie esférica se llama bola
cerrada en topología, o esfera, como en geometría elemental del espacio. 1
obviamente, la esfera es un sólido geométrico
7 FRICCIÓN: La fuerza de fricción es la fuerza que existe entre dos superficies ásperas en
contacto, que se opone al deslizamiento (fuerza de fricción estática y cinética). Se genera
debido a las imperfecciones, que en mayor parte son microscópicas, entre las superficies
en contacto. La fuerza de fricción estática, que depende de la magnitud de las fuerzas
tangenciales que se apliquen, es siempre menor o igual al coeficiente de rozamiento entre
los dos objetos (número medido empíricamente y que se encuentra tabulado) multiplicado
por la fuerza normal. La fuerza cinética, en cambio, es igual al coeficiente de rozamiento
dinámico.
No se tiene una idea perfectamente clara de la diferencia entre el rozamiento
dinámico y el estático, pero se tiende a pensar que el estático es algo mayor que el
dinámico, porque al permanecer en reposo ambas superficies pueden aparecer
enlaces iónicos, o incluso micro soldaduras entre las superficies, factores que
desaparecen en estado de movimiento. Este fenómeno es tanto mayor cuanto más
perfectas son las superficies. Un caso más o menos común es el del gripaje de un
motor por estar mucho tiempo parado (no solo se arruina por una temperatura.
8 NEUMATICO: Es la rama de la mecánica que estudia el equilibrio y movimiento
de flujos gaseosos, además es la tecnología que emplea el aire comprimido como
modo de transmisión de la energía necesaria para mover y hacer funcionar
mecanismos. s la forma en que la presión del aire alimenta y mueve algo.
171
Esencialmente,
la neumática pone
en
práctica
el
aire
comprimido
moviendo aplicaciones como herramientas y maquinaria utilizadas en ingeniería,
fabricación y construcción.
172
Bibliografía
Autoría propia. (s.f.).
J. D., W., A. J., B., & B., L. (2001). Física 11. México: Pearson.
Paul E, T. (2011). Física conceptos y aplicaciones. México: McGRAW-HILL.
Vuille, S. (2012). Fundamentos de física. México: Cengage Learning.
173
3. VECTORES
3.1. Vectores y sus propiedades
Tiene dirección y magnitud (tamaño). Un escalar se puede especificar
íntegramente mediante su magnitud con unidades adecuadas; no tiene dirección.
Desplazamiento, velocidad y aceleración son cantidades vectoriales. La
temperatura es un ejemplo de una cantidad escalar.
Comprende desplazamientos (dirección) que se originan desde un punto hasta
otro punto, en la que desde la unión de los dos puntos (módulo) se identifica con
una letra mayúscula y una flecha sobre esa letra indicando la dirección (sentido) en
la que se desplaza el vector y muestra una magnitud física.
Fuente: (Vuille, Fundamentos de física, 2012, pág. 53)
3.2. Vector unitario
Se denomina así a un vector que tiene la misma dirección y sentido que otro
vector, pero su módulo es la unidad.
El vector unitario representa la unidad vectorial de un vector cualquiera y se
caracteriza porque su módulo es igual a la unidad.
⃗⃗𝐴 = 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐴⃗
𝑈
⃗⃗| = 𝑈 = 1
|𝑈
Ejemplo 1
174
⃗⃗𝐵 𝑠𝑖 𝐵
⃗⃗ = (3, 4)
Hallar 𝑈
Solución
⃗⃗𝐵 =
𝑈
⃗⃗
𝐵
⃗⃗ | = √32 + 42
, 𝑝𝑒𝑟𝑜 |𝐵
⃗⃗
|𝐵 |
⃗⃗ | = √25
|𝐵
⃗⃗ | = 5
|𝐵
3 4
⃗⃗𝐵 = ( , )
𝑈
5 5
Fuente: (Silva Céspedes, 2001, pág. 17)
Ejemplo 2
⃗⃗𝐵 𝑠𝑖 𝐵
⃗⃗ = (40, 30 )
Hallar 𝑈
⃗⃗𝐵 =
𝑈
⃗⃗
𝐵
⃗⃗ | = √402 + 302
, 𝑝𝑒𝑟𝑜 |𝐵
⃗⃗
|𝐵 |
⃗⃗ | = √2500
|𝐵
⃗⃗ | = 50
|𝐵
40 30
, )
50 50
4 3
⃗⃗𝐵 = ( , )
𝑈
5 5
⃗⃗𝐵 = (
𝑈
Fuente: (Autoría propia)
3.3. Componentes de un vector
Un método de la adición vectorial hace uso de la proyección de un vector a lo
largo de los ejes de un sistema coordenado rectangular. Estas proyecciones se
conocen como componentes. Cualquier vector puede ser descrito íntegramente
mediante sus componentes. Considere un vector 𝐴⃗ en un sistema coordenado
rectangular, como se muestra en la figura 𝐴⃗ se puede expresar como la suma de
dos vectores;𝐴⃗𝑥 , x, paralelo al eje x, y 𝐴⃗𝑦 paralelo al eje y. Matemáticamente.
175
𝐴⃗ = 𝐴⃗𝑥 + 𝐴⃗𝑦
Las componentes en un vector se dan desde un punto de origen de dos
desplazamientos perpendiculares, en la que se proyectan de forma rectangular y
mediante un ángulo de elevación se puede considerar otro vector que se origina
desde el mismo punto de origen entre los dos componentes vectoriales.
Estos componentes forman dos lados de un triángulo rectángulo que tiene una
hipotenusa con magnitud A. Esto surge de que la magnitud y dirección 𝐴⃗ están
relacionadas a sus componentes a través del teorema de Pitágoras y a definición
de la tangente.
Para hallar el módulo del vector A entre los componentes.
176
𝐴 = √𝐴𝑥 2 + 𝐴𝑦 2
Para hallar su dirección.
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝐴𝑦
𝐴𝑥
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1
𝐴𝑦
𝐴𝑥
Ejemplo 1
Solución
Módulo
Dirección
𝐴 = √𝐴𝑥 2 + 𝐴𝑦 2
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝐴 = √82 + 62
𝑡𝑎𝑛𝜃 = 8
𝐴 = √100
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 4
𝐴 = 10 𝑢
𝜃 = 36.87°
𝐴𝑦
𝐴𝑥
6
3
Fuente: (Vuille, Fundamentos de física, 2012, pág. 59)
Ejemplo 2
177
Solución
Módulo
Dirección
𝐴 = √𝐴𝑥 2 + 𝐴𝑦 2
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝐴 = √122 + 162
𝑡𝑎𝑛𝜃 = 12
𝐴 = √400
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 3
𝐴 = 20 𝑢
𝜃 = 53.13°
𝐴𝑦
𝐴𝑥
16
4
Fuente: (Autoría propia)
3.4. Operaciones con vectores
Están referidas usualmente a la adición de vectores donde la diferencia es
también una adición, en que la suma significa hallar la resultante, la cual puede ser
determinada mediante dos métodos generales, los que a su vez cuentan con otros
métodos auxiliares.
Fuente: (Montalvo Correa, 2012, pág. 68)
3.4.1. Métodos gráficos
Se determina la resultante y se usa instrumentos de dibujo tal como el juego
geométrico, escuadra, compás, escalímetro. Con este método solo se puede
representar gráficamente la resultante.
178
Se traza respectivamente las medidas de los vectores dados o los puntos de
pares ordenados, para luego asumir la estructura del vector resultante.
3.4.1.1.
Método del triángulo
Permite hallar la resultante de dos vectores, consiste en graficar los vectores uno
a continuación del otro, tal que el extremo del primero coincida con el origen del
segundo vector. Su resultante se obtiene al unir el origen del primero con el extremo
del segundo vector.
La base principal es el origen y desde el conocimiento de las medidas de dos
vectores con el trazo y con la ayuda del compás y regla, se procede a asumir
aberturas en el compás, en base a las medidas de dos vectores para estructurar la
forma de triángulo, así se cumple y se llega al vector resultante.
Ejemplo 1
A partir del gráfico que se muestra, halle el vector resultante.
⃗⃗
𝐵
𝐴⃗
Solución:
⃗⃗,
El vector resultante, es decir, el vector que resulta de sumar los vectores 𝐴⃗ y 𝐵
lo vamos a obtener mediante el método del triángulo. Por ello, vamos a trasladar los
⃗⃗, de tal manera que los vectores 𝐴⃗ y 𝐵
⃗⃗ se encuentren uno a
vectores 𝐴⃗ y 𝐵
continuación del otro, unidos mediante cabeza y cola.
179
El vector resultante, lo veremos de color negro, y se obtiene trazando un vector
que parte de la cola del primero y termina en la cabeza del último.
⃗⃗
𝐵
𝑅⃗⃗
𝐴⃗
⃗⃗
𝑅⃗⃗ = 𝐴⃗ + 𝐵
𝑅⃗⃗ = 2 + 2
𝑅⃗⃗ = 4𝑢
Fuente: (Montalvo Correa, 2012, pág. 69)
Ejemplo 2
⃗⃗.
De manera gráfica, trazar el vector resultante de los vectores 𝐴⃗ y 𝐵
Solución:
⃗⃗,
El vector resultante, es decir, el vector que resulta de sumar los vectores 𝐴⃗ y 𝐵
lo vamos a obtener mediante el método del triángulo. Por ello, vamos a trasladar los
⃗⃗, de tal manera que los vectores 𝐴⃗ y 𝐵
⃗⃗ se encuentren uno a
vectores 𝐴⃗ y 𝐵
continuación del otro, unidos mediante cabeza y cola.
El vector resultante, lo veremos de color negro, y se obtiene trazando un vector
que parte de la cola del primero y termina en la cabeza del último.
180
⃗⃗
𝑅⃗⃗ = 𝐴⃗ + 𝐵
𝑅⃗⃗ = 4 + 2
𝑅⃗⃗ = 6 𝑢
Fuente: (Autoría propia)
Método del paralelogramo
Es una variante del método del triángulo, solo que se debe hacer que coincida el
origen de ambos vectores y a partir de los extremos se traza rectas paralelas a los
otros vectores y se forma así un paralelogramo.
3.4.1.2.
Dadas dos vectores que tienen en común el punto de origen, se traza la misma
medida de ambos vectores, se unen mediante las rectas paralelas en base cada
vector dado así se forma un paralelogramo y la diagonal grande que une el punto
de origen de los vectores con el punto de origen que le da forma al paralelogramo;
es la resultante.
Fuente: (Montalvo Correa, 2012, pág. 70)
Ejemplo 1
Dado un sistema de vectores, determinar el vector resultante.
⃗⃗
𝐵
𝐴⃗
𝐸⃗⃗
𝐶⃗
⃗⃗
𝐷
181
Solución
Se agrupa de a dos y usar el método del paralelogramo.
⃗⃗ + 𝐶⃗ + 𝐷
⃗⃗ + 𝐸⃗⃗
𝑅⃗⃗ = 𝐴⃗ + 𝐵
Se suman
⃗⃗
𝐴⃗ 𝑦 𝐵
𝐴⃗
𝑠1
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗
𝐵
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗
𝑆1 = 𝐴⃗ + 𝐵
Vector idéntico al 𝐸⃗⃗
(𝛼)
Se suman
⃗⃗
𝐶⃗ 𝑦 𝐷
⃗⃗⃗⃗
𝑆2
⃗⃗
𝐷
𝐶⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗
𝑆2 = 𝐶⃗ + 𝐷
Es otro vector idéntico al 𝐸⃗⃗
𝑅⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗
𝑆1 + ⃗⃗⃗⃗
𝑆2 + 𝐸⃗⃗
𝑅⃗⃗ = 𝐸⃗⃗ + 𝐸⃗⃗ + 𝐸⃗⃗
𝑅⃗⃗ = 3𝐸⃗⃗
Fuente: (Autoría propia)
(𝛽)
182
Método del polígono
Permite determinar la resultante de n vectores. Consiste en colocar los vectores
uno a continuación del otro, donde el vector resultante se obtiene uniendo el origen
del primer vector con el extremo del último.
3.4.1.3.
Se coloca cada vector uniendo uno tras otra siempre unidos mediante cabeza y
cola.
Fuente: (Montalvo Correa, 2012, pág. 71)
Ejemplo 1
Encontrar el módulo de la resultante de los vectores Ā, B̄ y C̄.
Solución:
Primero vamos a calcular el vector resultante R̄, luego calcularemos su módulo.
Aplicamos el método del polígono, colocando los vectores uno a continuación
del otro, siempre unidos mediante cabeza y cola.
183
El vector resultante R̄, se traza uniendo la cola del primero con la cabeza
del último.
Finalmente, podemos ver que el módulo del vector resultante R̄, es de 7 u.
Fuente: (Autoría propia)
3.4.2. Métodos analíticos
Es donde se hace uso de ecuaciones matemáticas en la que se puede
determinar el módulo y dirección del vector resultante.
Se hace uso de ecuaciones que es base fundamental para hallar el módulo y la
dirección que se obtiene como vector resultante, de distancias, seno y coseno, y
para hallar la dirección; análisis de ángulos.
Fuente: (Montalvo Correa, 2012, pág. 74)
3.4.2.1.
Ejemplo 1
Método del triángulo
En la siguiente suma de vectores encontrar la resultante y el ángulo que forma
con el eje horizontal´.
184
Solución:
Sabiendo que el ángulo ( Φ ) es de 135°, entonces aplicamos la fórmula de la ley
de cosenos.
Luego
Obteniendo la raíz cuadrada:
Obteniendo el ángulo de la resultante:
Ley de senos
Despejando a sen α
Sustituyendo los valores en la fórmula:
Obteniendo el ángulo:
3.4.2.2. Método del paralelogramo
185
3𝑢
Ejemplo 1
𝐴⃗
3𝑢 5𝑢
𝐴⃗
3𝑢
3𝑢
⃗⃗
𝐵
5𝑢
𝐴⃗
⃗⃗
3𝑢
⃗ +𝐵
𝐴
⃗⃗ =
𝑅
𝐴⃗
⃗⃗3𝑢
𝐵
5𝑢
5𝑢 𝐴⃗
⃗⃗
𝑅⃗⃗ = 𝐴⃗ + 𝐵
⃗⃗
𝐵
⃗⃗
𝐵
5𝑢
⃗⃗
𝑅⃗⃗ = 𝐴⃗ + 𝐵
⃗⃗
⃗⃗+ 𝐵
𝑅⃗⃗ = 𝐴⃗𝐵
𝐴⃗
5𝑢
⃗⃗
𝐵
⃗⃗
𝑅⃗⃗ = 𝐴⃗ + 𝐵
⃗⃗
𝑅⃗⃗ = 𝐴⃗ + 𝐵
Módulo
𝑅 = √𝐴2 + 𝐵 2 + 2𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑅 = √32 + 52 + 2(3)(5)𝑐𝑜𝑠52.95°
𝑅 = √52.08
𝑅 = 7.22 𝑢
Fuente: (Autoría propia)
186
Resumen analítico
⃗⃗ y 𝑊
⃗⃗⃗⃗ son paralelos si tienen la misma dirección, es decir si las
Dos vectores 𝑉
rectas sobre la que están situados son rectas paralelas.
Se puede deducir a la simplicidad de dimensiones paralelas, donde una
dimensión se encuentra al costado de otra, que caracteriza a ambas como vector,
con la misma distancia de separación, se evidencia en los distintos espacios que
existe entre los concretos, la separación de dos postes entre otros.
Los vectores iguales que tienen el mismo módulo dirección y sentido, donde el
módulo es su desplazamiento, la dirección para donde apunta, en negativo o
positivo según base del plano y el sentido indica directamente la trayectoria que
lleva el vector, el ángulo de elevación.
Para hallar la resultante es necesario realizar un análisis gráfico o aplicando
fórmulas de distancia en relación al ángulo de elevación de los vectores dados, así
se logra encontrar el desplazamiento resultante de un objeto que se mueve y asume
dos o más vectores. Cabe señalar que las características principales o bases para
demostrar la resultante de un vector, es unir los vectores dados, según su dirección
en primera instancia, luego su módulo, la medida del desplazamiento de cada
vector, solo así se realiza el análisis gráfico y la obtención del vector resultante.
Un caso muy especial es cuando se forma una resultante no existente, cuando
se une cada vector dado, según su dirección indicado, en el momento de unir el
último vector y si es congruente o se une a las demás anteriores y queda totalmente
en la misma dimensión o estructura, no existe vector resultante.
La resultante que se halla mediante fórmula de distancia y aplicación de senos y
cosenos en base a las direcciones dadas, también se juntan todos los vectores en
base a los datos dados por cada uno.
La demostración concreta de vectores se asume en los parámetros de
movimiento que toman direcciones en los distintos objetos que se desplazan, por
ejemplo los vehículos, que se ubican en diferentes rombos y direcciones, la
trayectoria de caminata y direcciones que toman en el momento de caminar, son
187
condiciones que asumen cantidades vectoriales y que evidencia en el diario vivir los
vectores, los seres vivos nos mantenemos en constante movimiento de
desplazamiento que tiene sentido, módulo y dirección, los seres no vivos que se
mueven en base a combustible como lo son los transportes, asumen un rol
importante en la demostración de vectores como muchas otras condiciones.
188
Glosario
1 ADICCION: Se caracteriza por un conjunto de signos y síntomas, en los que se
involucran factores biológicos, genéticos, psicológicos y sociales. Es una
enfermedad progresiva y fatal, caracterizada por episodios continuos de descontrol,
distorsiones del pensamiento.
2 ELEVACION: Elevación, es el acto y el resultado de elevarse o de elevar.
Este verbo (elevar), a su vez, hace referencia a subir, levantar o alzar La noción de
elevación suele emplearse como sinónimo de encumbramiento, sobre todo en lo moral o
espiritual. Una persona elevada, en este sentido, está cerca de los dioses y alejada de los
asuntos mundanos y terrenales. Alcanzar la elevación es un objetivo que puede cobrar
muchas formas, las cuales dependen, a su vez, de varios factores, como ser cuestiones
sociales, económicas y etarias. De hecho, para una misma persona la elevación puede
significar cosas diferentes a lo largo de su vida: mientras que en una etapa superficial puede
basarse en un estado de sabiduría y destreza que le permita destacarse de su entorno, en
una más profunda puede apuntar al equilibrio emocional y la armonía con los que lo rodean.
3 ESCALÍMETRO: Es una regla especial cuya sección transversal tiene forma
triangular (Geometría) con el objetivo de contener diferentes escalas en la misma
regla. Se emplea frecuentemente para medir en dibujos que contienen
diversas escalas. En su borde contiene un rango con escalas calibradas y basta con
girar sobre su eje longitudinal para ver la escala apropiada. Las reglas y
escalímetros se han realizado tradicionalmente en madera (generalmente con
madera de haya) y para poder mantener precisión y longevidad se han empleado
materiales que ofrezcan al mismo tiempo durabilidad y estabilidad. En la actualidad
lo más común es encontrar los escalímetros elaborados con plásticos o aluminio
4 EJES: Es la línea alrededor de la cual gira o se supone que gira un cuerpo dotado
de un movimiento, real o aparente, de rotación (eje de rotación). los ejes nos
permiten ubicar una figura geométrica en el espacio, para luego transformarla de
acuerdo a nuestras necesidades. Por convención, el eje horizontal se referencia con
la letra X, el vertical con la letra Y, y el que representa la profundidad, con la Z. Sin
la existencia de este concepto que sirve de base para infinidad de cálculos, siendo
la rotación el más popularmente asociado con él, no sólo las matemáticas serían
una ciencia mucho menos compleja y abarcativa, sino que el impacto alcanzaría el
ámbito del entretenimiento, ya que no existirían videojuegos, películas de
animación, así como la mayoría de los efectos especiales.
5 ÍNTEGRAMENTE: Es un concepto fundamental del cálculo y del análisis
matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de
189
infinitos sumandos, infinitesimalmente pequeños: una suma continua.
cálculo integral consiste en calcular, en general, superficies curvilíneas, es decir, el
área entre la gráfica de una función y el eje-x. Muchas leyes físicas se descubrieron
durante el mismo período histórico en el que estaba siendo desarrollado el cálculo.
6 PARALELOGRAMO: Es una ciencia que aporta una descripción de la realidad a
través de números, figuras y principios. Una de sus disciplinas es la geometría. Esta
rama de la matemática nació en el antiguo Egipto ante la necesidad de medir las
tierras que cada año el río Nilo inundaba (geometría quiere decir, precisamente,
medición de la tierra ). La geometría estudia las propiedades de las diversas figuras
y un tipo de estas figuras es el paralelogramo. s una figura plana, exactamente un
polígono compuesto por cuatro lados, cuyos lados opuestos son paralelos entre sí,
es decir, que se encuentran a la misma distancia. Está cruzado por dos diagonales
que se encuentran en un punto, que es el punto medio de ambas diagonales. Otra
de sus propiedades está en relación con los ángulos, ya que cualquier par de sus
ángulos consecutivos suman 180 grados.
7 PERPENDICULARES: Es un término utilizado en la geometría para nombrar al
plano o a la línea que, con otro plano o línea, crea un ángulo de noventa grados.
Dos rectas que se encuentran en el mismo plano son perpendiculares cuando
forman cuatro ángulos rectos. Dos rectas que se encuentran en el mismo plano son
perpendiculares cuando forman cuatro ángulos rectos. En el caso de
las semirrectas, la perpendicularidad aparece cuando se desarrollan ángulos
rectos, por lo general con idéntico punto de origen. Los planos y semiplanos, por
último, son perpendiculares en los casos en que se forman cuatro ángulos diedros
de noventa grados.
8 RECTANGULAR: La eficacia de una cantidad vectorial depende de la dirección en la que
actúa. En forma similar, al empujar la caja, se produce el efecto de añadir peso. Esto da la
idea de que una fuerza, y en general, un vector, tiene componentes verticales y
horizontales que podrían reemplazar al vector. Las magnitudes de las componentes se
encuentran relacionadas con la magnitud del vector principal por medio del teorema de
Pitágoras, tomando como catetos las componentes, y como hipotenusa el vector principal.
La dirección del vector principal relaciona también a las magnitudes de las componentes
por medio de las relaciones trigonométricas conocidas para un triángulo rectángulo simple.
Las relaciones más utilizadas son el seno, coseno y tangente.
190
Bibliografía
Autoría propia. (s.f.).
Montalvo Correa, A. (2012). Análisis Dimensional y vectores. Perú: Lumbreras.
Silva Céspedes, D. (2001). Análisis dimensional y vectores. Lima, Perú: Meza Bravo, Elvis.
Vuille, S. (2012). Fundamentos de física. México: Cengage Learning.
191
4. TEMPERATURA
4.1. Temperatura y ley cero de la termodinámica
La temperatura se asocia comúnmente con qué tan caliente o frío se siente un
objeto cuando lo tocamos. Nuestros sentidos nos proveen de información cualitativa
de la temperatura, pero esta información no es confiable y a menudo es engañosa.
A la misma temperatura en que se encuentran dos objetos con diferentes
estructuras de material en la que están compuestos los objetos, la percepción
humana varía en el sentido de como siente lo caliente o frío, es por ello se hace uso
de condiciones de medición de temperatura.
Existen diversas escalas de temperatura: Celsius °C, Kelvin K, Fahrenheit °F y
Rankine R, están relacionadas por las expresiones:
𝑇
𝑡
=
+ 273.15
𝐾 °𝐶
𝑡
9 𝑡
= 32 + ( )
°𝐹
5 °𝐶
𝑇
𝑡
= 460 +
𝑅
°𝐹
Donde se usa T para la temperatura en una escala absoluta y t para la temperatura
en las escalas no absolutas.
Fuente: (Vuille, Fundamentos de física, 2012, pág. 210)
Ejemplo 1
Si observamos un incremento de temperatura en un termómetro de 24 ºC, ¿a
cuántos grados Fahrenheit corresponde dicho incremento? ¿Y si el incremento de
temperatura fuese de 24 K?
Datos
∆tc = 24 ºC
192
Consideraciones previas
Los grados de las escalas Fahrenheit y Celsius tienen un tamaño distinto
Solución
𝑡𝑐 𝑡𝑓 − 32
=
5
9
𝑡𝑓 − 32
𝑡𝑐 = 5 ∗
9
La expresión anterior es válida para convertir temperaturas concretas entre escalas,
pero no para intervalos.
△ 𝑡𝑐 = 𝑡𝑐2 − 𝑡𝑐1
=5∗
𝑡𝑓2 − 32
𝑡𝑓1 − 32
−5∗
9
9
5
(𝑡 −𝑡 )
9 𝑓2 𝑓1
5
△ 𝑡𝑐 = (△ 𝑡𝐹 )
9
9
△ 𝑡𝐹 = (△ 𝑡𝑐 )
5
9
△ 𝑡𝐹 = (24)
5
=
△ 𝑡𝐹 = 43.2 °𝐹
Fuente: (Autoría propia)
4.2. Termómetros y escalas de temperatura
Los termómetros son dispositivos usados para medir la temperatura de un objeto
o de un sistema. Cuando un termómetro está en contacto térmico con un sistema,
se intercambia la energía hasta que el termómetro y el sistema están en equilibrio
térmico uno con el otro. Para lecturas exactas, el termómetro debe ser mucho más
pequeño que el sistema, de modo que la energía que el termómetro gana o pierde
no altere perceptiblemente la energía contenida en el sistema. Todos los
termómetros hacen uso de una cierta propiedad física que cambie con la
temperatura y se pueda calibrar para hacer la temperatura medible.
193
Algunas de las propiedades físicas usadas son: 1) el volumen de un líquido, 2)
la longitud de un sólido, 3) la presión de un gas que conserve un volumen constante,
4) el volumen de un gas mantenido a presión constante, 5) la resistencia eléctrica
de un conductor y 6) el color de un objeto muy caliente.
La calibración del termómetro de uso diario consiste en una masa líquida, se
realiza con mercurio y alcohol, que se expande en un tubo parte interna del
termómetro para que se eleva la temperatura y la propiedad física que se cambia
es el volumen del líquido con el cambio de temperatura es constante en el rango de
temperaturas de interés.
Ejemplo 1
Convertir -90°C a Kelvin
Solución
𝐶° 𝐾 − 273.15
=
5
5
−90° 𝐾 − 273.15
=
5
5
194
−18 =
𝐾 − 273.15
5
5(−18) = 𝐾 − 273.15
𝐾 = −90 + 273.15
𝐾 = 183.15
Fuente: (Vuille, Fundamentos de física, 2012, pág. 333)
Ejemplo 2
Normalmente, el cuerpo humano puede soportar una temperatura de 105°F por
cortos periodos sin sufrir daños permanentes en el cerebro u otros órganos vitales.
¿Cuál es esa temperatura en grados Celsius?
Solución
𝐶° °𝐹 − 32
=
5
9
𝐶° 105° − 32
=
5
9
𝐶° 73
=
5
9
9𝐶° = 5(73)
𝐶° =
365
9
𝐶° = 40.65
Fuente: (Autoría propia)
4.3. Expansión térmica de sólidos y líquidos
La expansión térmica total de un objeto es una consecuencia del cambio del
promedio de separación entre sus átomos y moléculas constituyentes. Para
comprender esta idea, considere la forma en que se comportan los átomos de una
sustancia sólida.
La dilatación térmica es donde se demuestra en sólidos por la temperatura que
reciben ya que causa en ello movimientos atenuantes en los átomos durante
195
proceso de enfriamiento como de calentamiento, por esta razón, se diferencia la
dilatación en un sólido como en el líquido.
4.3.1. Expansión térmica en sólidos
4.3.1.1. Dilatación lineal
Cuando un sólido sufre un aumento de temperatura, su incremento en longitud
es casi proporcional al producto de su longitud inicial por el cambio de temperatura.
La expansión térmica de un sólido se da debido al aumento en su temperatura
mientras que, si la temperatura es disminuida, se da una contracción térmica, los
sólidos sufren un cambio debido a la componente y movimiento de los átomos que
reaccionan ante el aumento de temperatura.
△ 𝐿 = 𝛼𝐿𝑜 △ 𝑇
Ejemplo 1
Si 1.000 000 cm de longitud de latón se convierte en 1.000 019 cm de longitud
cuando la temperatura se eleva 1.0 °C, el coeficiente de dilatación lineal para el
latón es:
Solución
𝛼=
△𝐿
𝐿𝑜 △ 𝑇
196
𝛼=
0.000019 𝑐𝑚
(1 𝑐𝑚)(1°𝐶)
𝛼 = 1.9𝑥10−5 °𝐶 −1
Fuente: (Vuille, Fundamentos de física, 2012, pág. 338)
Ejemplo 2
Los rieles de una vía de tren de acero, tienen 1500 m de longitud. ¿Qué longitud
tendrá cuando la temperatura aumente de 24°C a 45°C?
Solución
Datos
Lo = 1500m
Lf = ?
To=
Tf=
α= 11x10-6 °C-1
Hemos elegido acero, porque el problema nos pide que son vías del ferrocarril de
acero.
𝐿𝑓 = 𝐿𝑜 (1 + 𝛼 △ 𝑇
Antes de sustituir, debemos saber cuál es el valor de la diferencial de
temperatura.
△ 𝑇 = 45° 𝐶 − 24° 𝐶
△ 𝑇 = 21° 𝐶
𝐿𝑓 = 1500(1 + 11𝑥10−6 °𝐶 −1 )
𝐿𝑓 = 1500(1 + 2.31𝑥10−4 )
𝐿𝑓 = 1500(1.000231)
𝐿𝑓 = 1500.3465 𝑚
Fuente: (Autoría propia)
197
4.3.2. Expansión térmica de líquidos
Como la forma de un fluido no está definida, solamente tiene sentido hablar del
cambio del volumen con la temperatura. La respuesta de los gases a los cambios
de temperatura o de presión es muy notable, en tanto que el cambio en el volumen
de un líquido, para cambios en la temperatura o la presión, es muy pequeño. β
representa el coeficiente de dilatación volumétrica de un líquido.
El cambio notable en la expansión o contracción en el cambio de temperatura
que se asume en el líquido es notable en el volumen, si se le aplica temperatura
máxima las moléculas dentro del recipiente donde se encuentra el líquido;
permanecen en constante movimiento y si recibe una temperatura tan baja, tiende
a congelarse y contraerse y sus moléculas se mantienen paralizados.
𝛽=
1 △𝑉
(
)
𝑉 △𝑇
Ejemplo 1
Un tanque de hierro de 300 litros de capacidad a 15°C, se llena totalmente de
petróleo, si se incrementa la temperatura de ambos hasta 40°C, calcular: a) la
dilatación cúbica del tanque, b) la dilatación cúbica del petróleo, c) ¿Cuánto petróleo
se derramó en litros y cm³?
Solución
Vo= 300 l
To= 15°C
198
Tf =40° C
ΒHierro = 35.1x10-6 °C-1
ΒPetróleo = 895x10-6 °C-1
a) Obtener la dilatación cúbica del tanque
𝑉𝑓 = 𝑉𝑜 [1 + 𝛽(𝑇𝑓 − 𝑇𝑜 )]
𝑉𝑓 = 300[1 + 35.1x10−6 °𝐶 −1 (40° − 15°)]
𝑉𝑓 = 300[1 + 35.1x10−6 °𝐶 −1 (25°)]
𝑉𝑓 = 300(1 + 0.0008775)
𝑉𝑓 = 300(1.0008775
𝑉𝑓 = 300.26325 𝑙
Obteniendo la dilatación cúbica del tanque:
△ 𝑉 = 𝑉𝑓 − 𝑉𝑜
△ 𝑉 = 300.26325 𝑙 − 300 l
△ 𝑉 = 0.26325 𝑙
Fuente: (Autoría propia)
4.4.
Gas ideal, número de Avogadro, ley del gas ideal, teoría cinética de
los gases.
4.4.1. Gas ideal, número de Avogadro, ley del gas ideal
Es un conjunto de átomos o moléculas que se mueven al azar, no ejercen fuerzas
de largo alcance entre sí y ocupan una parte insignificante del volumen del
contenedor.
Usualmente, un gas consiste en un gran número de partículas, así que es
conveniente expresar la cantidad de gas de un volumen dado en términos del
número de moles, n. Un mol es un número. El mismo número de partículas se
encuentra en un mol de helio que en uno de hierro o aluminio. Este número se
conoce como número de Avogadro.
199
El gas no tiene volumen; el que hace que lo tenga es el recipiente y la presión
depende del tamaño del mismo recipiente, se da una condición en donde si la
densidad o presión del gas es baja se aproxima al gas ideal, de esta forma puede
ser medible mediante la cantidad de gas que se conoce como número de Avogadro.
La relación de este coeficiente se da con los moles de una sustancia, con su masa.
𝑁𝐴 = 6.02𝑥1023 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠/𝑚𝑜𝑙
𝑛=
𝑚
𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑚𝑜𝑙𝑎𝑟
Supongamos que el cilindro no tiene fugas, por lo que el número de moles
permanece constante. Los experimentos han proporcionado las siguientes
observaciones: primero, cuando el gas se mantiene a temperatura constante, su
presión es inversamente proporcional a su volumen (ley de Boyle). Segundo,
cuando la presión del gas se mantiene constante, su volumen es directamente
proporcional a su temperatura (ley de Charles). Tercero, cuando el volumen se
mantiene constante, la presión es directamente proporcional a la temperatura (ley
de Gay-Lussac). Estas observaciones se pueden resumir con la siguiente ecuación
de estado, conocida como ley de los gases ideales.
PV= nRT
Constante universal de los gases.
R 5 8.31 J/mol * K
Si la presión está dada en atmósferas y el volumen en litros (recuerde que 1 L =
cm3 = 10-3 m3), entonces:
103
R= 0.082 1 L * atm/mol * K
Fuente: (Vuille, Fundamentos de física, 2012, pág. 346)
Ejemplo 1
Una masa de hidrógeno gaseoso ocupa un volumen de 230 litros en un tanque
a una presión de 1.5 atmósferas y a una temperatura de 35°C. Calcular, a) ¿Cuántos
moles de hidrógeno se tienen?, b)¿A qué masa equivale el número de moles
contenidos en el tanque?
Solución
Datos
200
𝑃𝑉
a) 𝑛 = 𝑅𝑇
𝑛=
(1.5 𝑎𝑡𝑚)(230𝑙)
𝑎𝑡𝑚 ∗ 𝑙
(0.0821
) (308𝐾)
𝑚𝑜𝑙 ∗ 𝐾
𝑛=
345 𝑎𝑡𝑚 ∗ 𝑙
𝑎𝑡𝑚 ∗ 𝑙
25.29
𝑚𝑜𝑙
𝑛 = 13.64 𝑚𝑜𝑙
b) 𝑚 = 𝑛(𝑃𝑀)
Al ser hidrógeno gaseoso nos referimos a que su peso atómico o masa molar es una
molécula diatómica, compuesta por dos átomos de hidrógeno
Y que su peso molecular (PM) es igual a 2 g/mol (porque es diatómica), entonces
tenemos:
𝑚 = (13.64 𝑚𝑜𝑙) (2
𝑔
)
𝑚𝑜𝑙
𝑚 = 27.28 𝑘𝑔
Fuente: (Autoría propia)
4.4.2. Teoría cinética de los gases.
Las propiedades macroscópicas de un gas ideal se utilizan cantidades como
presión, volumen, número de moles y temperatura, en este análisis se considera el
gas ideal desde el punto de vista microscópico en la que a través de un análisis se
puede verificar lo que ocurre a escala atómica.
La teoría de los gases se basa principalmente en la presión y temperatura de los
gases que son tomadas como interpretación, debido a las moléculas que se
evidencian comportamientos se puede deducir las siguientes teorías:
201
a) El número de moléculas en el gas es grande y la separación promedio entre
ellas es grande en comparación con sus dimensiones.
b) Las moléculas obedecen las leyes de Newton del movimiento, pero en su
conjunto se mueven al azar.
c) Las moléculas interactúan solo a través de fuerzas de corto alcance durante
colisiones elásticas.
d) Las moléculas chocan elásticamente con las paredes.
e) Todas las moléculas en el gas son idénticas.
Fuente: (Vuille, Fundamentos de física, 2012, pág. 349)
202
Resumen analítico
Las conocidas sensaciones de calor y frío se expresan con adjetivos tales como
fresco, tibio, cálido, caliente, etc. Cuando tocamos un objeto, utilizamos nuestro
sentido de la temperatura para atribuirle una propiedad denominada temperatura,
que determina si se percibe caliente o frío al tacto. Cuanto más caliente se percibe,
más alta es la temperatura. Sin embargo, para definirla cuantitativamente, hemos
de hacerlo mediante métodos independientes de nuestras percepciones sensoriales
de calor o frío y que impliquen cantidades objetivamente mensurables. En los
siguientes párrafos se explicará cómo puede hacerse esto.
Una propiedad mensurable del sistema varía cuando éste se enfría o calienta.
Un ejemplo sencillo es el de un líquido, como el mercurio o el alcohol, contenido en
un bulbo unido a un tubo muy delgado. La cantidad significativa que caracteriza el
estado de este sistema es la longitud L de la columna líquida, medida a partir de un
punto fijado arbitrariamente. A medida que el sistema se calienta, el líquido
asciende por el tubo y L aumenta. Otro sistema sencillo es el de una cantidad de
gas encerrada en un recipiente de volumen constante, ilustrado en la misma Figura.
La presión p, medida por un manómetro, aumenta o disminuye a medida que el gas
se calienta o enfría. Un tercer ejemplo es la resistencia eléctrica R de un alambre
que también varía con el calor o el frío. En cada uno de estos ejemplos, a la cantidad
que describe el estado de variación del sistema, como la longitud L, la presión p o
la resistencia R, se la denomina coordenada de estado del sistema.
Dilatación: se produce cuando el aporte de energía se traduce en un aumento
del movimiento de las partículas del aire, haciendo que se separen. Contracción: se
produce cuando la temperatura de un cuerpo baja, se debe a que disminuye el
movimiento de las partículas.
Dilatación lineal: Al aumentar la temperatura de un cuerpo, el movimiento de las
partículas es mayor y necesita más espacio, en consecuencia, el cuerpo se dilata
aumentando su longitud. Se considera solo una dimensión de variación.
203
Termómetro de vidrio: En su interior, comúnmente contienen mercurio o también
alcohola. Estos se dilatan al aumentar la temperatura. Al estar graduado, el
termómetro indica la temperatura correspondiente.
Termómetro bimetálico: formado por dos metales con distinto coeficiente de
dilatación. Al aumentar la temperatura, la tira metálica varia de longitud, curvándose,
lo que permite medir la temperatura.
Termómetro a gas: Aplican el comportamiento de los gases ideales. Al tener una
presión o volumen constante se puede determinar la variación de la temperatura.
Tiene una gran precisión.
Termómetro digital: en estos termómetros, un circuito eléctrico registra estas
variaciones y mediante un chip se muestra en una pantalla digital, numéricamente,
el valor de la temperatura.
204
Glosario
1 CALIBRACION: Es sólo la acción de comparar la lectura de un instrumento de medición,
con respecto a un patrón con valor o dimensión conocida. Ajuste es aquella acción que
permite mejorar las condiciones de un instrumento de medición (no confundir con
reparación). La confiabilidad de un instrumento de medición se puede garantizar al
calibrarlo de acuerdo con un estándar de medición. Es la comparación documentada entre
el dispositivo de medición que se va a calibrar y un dispositivo o un estándar de referencia
trazable. El estándar de referencia también se puede denominar «calibrador». Como es
lógico, la referencia tiene mejor exactitud que el dispositivo que se va a calibrar. El
dispositivo de referencia se debe calibrar de modo que sea trazable.
Formalmente, la calibración no incluye ni el ajuste ni la compensación o corrección, a pesar
de que frecuentemente se tienda que sí están incluidos.
2 CONSERVE: Es una magnitud física fundamental de tipo vectorial que describe el
movimiento de un cuerpo en cualquier teoría mecánica. En mecánica clásica, la cantidad
de movimiento se define como el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un
instante determinado. movimiento difiere de una formulación mecánica a otra: en mecánica
newtoniana se define para una partícula simplemente como el producto de su masa por la
velocidad, en la mecánica lagrangiana o hamiltoniana se admiten formas más complicadas
en sistemas de coordenadas no cartesianas, en la teoría de la relatividad la definición es
más compleja aun cuando se usan sistemas inerciales, y en mecánica cuántica su definición
requiere el uso de operadores auto adjuntos definidos sobre un espacio vectorial de
dimensión infinita.
3 INCREMENTO: Es importante saber también que el incremento es un término que se
emplea mucho dentro del ámbito de la Física para determinar el aumento de una variable
en concreto, como puede ser, por ejemplo, la velocidad. incremento, un aumento. Cuando
algo registra un incremento, por lo tanto, crece. Crecimiento, desarrollo o ampliación son
algunas de las palabras que funcionan como sinónimo de incremento. Por el contrario, entre
sus antónimos nos topamos con términos tales como descenso, caída, disminución o
reducción.
4 MEDIBLE: Una magnitud física es una cantidad medible de un sistema físico a la que se
le pueden asignar distintos valores como resultado de una medición o una relación de
medidas. es un proceso básico de la ciencia que se basa en comparar una unidad de
medida seleccionada con el objeto o fenómeno cuya magnitud física se desea medir, para
averiguar cuántas veces la unidad está contenida en esa magnitud. Que no son
dimensiones geométricas entrañan algunas dificultades adicionales, relacionadas con la
precisión y el efecto provocado sobre el sistema. Así cuando se mide alguna magnitud física
se requiere en muchas ocasiones que el aparato de medición interfiera de alguna manera
sobre el sistema físico en el que se debe medir algo o entre en contacto con dicho sistema.
En esas situaciones se debe poner mucho cuidado, en evitar alterar seriamente el sistema
observado.
205
5 MENUDO: El alcance de la física es extraordinariamente amplio y puede incluir estudios
tan diversos como la mecánica cuántica, la física teórica o la óptica.
6 PRESIÓN: Magnitud que se define como la derivada de la fuerza con respecto al área.
Cuando la fuerza que se aplica es normal y uniformemente distribuida sobre una superficie,
la magnitud de presión se obtiene dividiendo la fuerza aplicada sobre el área
correspondiente. La presión es una magnitud física escalar representada con el símbolo p,
que designa una proyección de fuerza ejercida de manera perpendicular sobre una
superficie, por unidad de superficie. ... Por ejemplo, un gas dentro de cierto volumen
ejercerá mayor presión si se le aumenta la temperatura.
7 TERMÓMERO: Es un instrumento de medición de la temperatura que usa el principio de
la dilatación, por lo que se prefiere el uso de materiales con un coeficiente de dilatación alto
de modo que, al aumentar la temperatura, la dilatación del material sea fácilmente visible.
Se denomina termómetro a un instrumento cuya utilidad es medir la temperatura, a través
de diversos mecanismos y escalas. Lo registrado por los termómetros se marca en base a
una escala de temperatura determinada: Celsius (°C). En honor al físico sueco Andreas
Celsius, también conocida como grados centígrados.
8 TERMODINÁMICA: Es la rama de la Física que estudia a nivel macroscópico las
transformaciones de la energía, y cómo esta energía puede convertirse en trabajo
(movimiento) El punto de partida de la mayor parte de consideraciones termodinámicas son
las llamadas leyes o principios de la Termodinámica. es la rama de la física que estudia la
relación entre el calor, la fuerza aplicada (también conocida como trabajo) y la transferencia
de energía. ... La segunda ley es usada para conocer las condiciones necesarias para que
la transferencia de la energía ocurra.
206
Bibliografía
Autoría propia. (s.f.).
Vuille, S. (2012). Fundamentos de física. México: Cengage Learning.
207
ANEXOS
208
PLANES
DE CLASE
209
PLAN DE CLASE 1
Docente: Francisco Tambriz Balux
Docente Asesora: Licda. Eleany Maricely Barrios Ruíz de Flores
Registro Académico: 201731775
Tiempo y Duración: 1 período de 35 minutos
Área: física
Tema: movimiento en dos dimensiones
Subtema: lanzamiento de proyectiles
Grado: cuarto bachillerato
Sección:
Fecha:
COMPETENCIA
INDICADOR DE
CONTENIDO
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
EVALUACIÓN
RECURSOS
LOGRO
Aplica
teoría
y
práctica
de
movimientos en dos
dimensiones
de
lanzamientos
de
proyectiles mediante
la resolución de
problemas de su
entorno.
Aplica conceptos,
principios de
condiciones de
características del
movimiento en
parabólico.
✓ Lanzamiento de
proyectiles
✓ Motivación:
Acertijo de física.
✓ Aprendizaje:
Explicación del tema
Ejemplificación
Resolución de dudas
✓ Practica:
Ejercicio en clase con
acompañamiento
✓ Aplicación:
Tarea en casa.
Se desarrollará
de manera
permanente,
constante y
sumativa para
identificar
alcances y
limitaciones
Lista de cotejo
Tarea en casa 5
puntos.
Bibliografía: Vuille, S. (2012). Fundamentos de física. México: Cengage Learning.
(f)
(f)
Francisco Tambriz Balux
Docente
Licda. Eleany Maricely Barrios Ruíz de Flores
Supervisora
Hojas
Bond
Lapiceros
Lápiz
Cuadernos
Libros
Internet
Laptop,
celular.
Pizarra
electrónic
a (Open
board)
Power
point
Thatquiz
Geneally
Simulador
210
PLAN DE CLASE 2
Docente: Francisco Tambriz Balux
Docente Asesora: Licda. Eleany Maricely Barrios Ruíz de Flores
Registro Académico: 201731775
Tiempo y Duración: 1 período de 35 minutos
Área: física
Tema: aplicaciones de Newton Subtema: peraltes y fuerza centrípeta
Grado: Quinto Bachillerato
Sección:
Fecha:
COMPETENCIA
INDICADOR DE
CONTENIDO
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
EVALUACIÓN
LOGRO
Aplica propiedades
analíticas, gráfica y
demostrativa en la
resolución
de
problemas
de
aplicación de leyes
de Newton.
Interpreta las
condiciones de
fricción,
movimiento en una
curva, las fuerzas
que satisfacen en
peraltes y
aceleración
centrípeta.
✓ Peraltes y fuerza
centrípeta
✓ Motivación:
Demostración de peraltes y fuerza
centrípeta con emulador.
✓ Aprendizaje:
Explicación del tema
Ejemplificación
Resolución de dudas
✓ Practica:
Ejercicio en clase con
acompañamiento
✓ Aplicación:
Tarea en casa.
Se desarrollará
de manera
permanente,
constante y
sumativa para
identificar
alcances y
limitaciones
Escala de rango
Tarea en casa 5
puntos.
Bibliografía: Paul E, T. (2011). Física conceptos y aplicaciones. México: McGRAW-HILL.
Vuille, S. (2012). Fundamentos de física. México: Cengage Learning.
(f)
(f)
Francisco Tambriz Balux
Docente
Licda. Eleany Maricely Barrios Ruíz de Flores
Supervisora
RECURSOS
Hojas
Bond
Lapiceros
Lápiz
Cuadernos
Libros
Internet
Laptop,
celular.
Pizarra
electrónic
a (Open
board)
Power
point
Thatquiz
211
PLAN DE CLASE 3
Docente: Francisco Tambriz Balux
Docente Asesora: Licda. Eleany Maricely Barrios Ruíz de Flores
Registro Académico: 201731775
Tiempo y Duración: 1 período de 35 minutos
Área: Física
Tema: Vectores
Subtema: operaciones con vectores
Grado: Quinto Bachillerato
Sección:
Fecha:
COMPETENCIA
INDICADOR DE
CONTENIDO
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
EVALUACIÓN
LOGRO
Aplica propiedades
analíticas, gráfica y
demostrativa
mediante
procedimientos
e
interpretación en la
resolución
de
problemas
de
operaciones
con
vectores.
Interpreta gráficas y
análisis de
operaciones con
vectores mediante
planteamientos de
problemas y los
aspectos concretos.
✓ Operaciones con
vectores.
✓ Motivación:
Conocimientos previos con emulador.
✓ Aprendizaje:
Explicación del tema
Ejemplificación
Resolución de dudas
✓ Practica:
Ejercicio en clase con
acompañamiento
✓ Aplicación:
Tarea en casa.
Se desarrollará
de manera
permanente,
constante y
sumativa para
identificar
alcances y
limitaciones
Lista de cotejo
Tarea en casa 5
puntos.
Bibliografía: Montalvo Correa, A. (2012). Análisis Dimensional y vectores. Perú: Lumbreras.
Silva Céspedes, D. (2001). Análisis dimensional y vectores. Lima, Perú: Meza Bra
(f)
(f)
Francisco Tambriz Balux
Docente
Licda. Eleany Maricely Barrios Ruíz de Flores
Supervisora
RECURSOS
Hojas
Bond
Lapiceros
Lápiz
Power
point
Cuadernos
Biblioteca
online
Internet
Laptop,
celular.
Pizarra
electrónic
a (Open
board)
Wordwall
212
PLAN DE CLASE 4
Docente: Francisco Tambriz Balux
Docente Asesora: Licda. Eleany Maricely Barrios Ruíz de Flores
Registro Académico: 201731775
Tiempo y Duración: 1 período de 35 minutos
Área: física
Tema: temperatura
Subtema: temperatura y ley cero de la termodinámica
Grado: Quinto Bachillerato
Sección:
Fecha:
COMPETENCIA
INDICADOR DE
CONTENIDO
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
EVALUACIÓN
LOGRO
Aplica propiedades
de temperatura y ley
cero
de
la
termodinámica
mediante
demostraciones y la
resolución
de
problemas.
Interpreta
problemas de
temperatura y ley
cero de la
termodinámica en
experimentos y los
aspectos que le
rodea.
✓ Temperatura y
ley cero de la
termodinámica
✓ Motivación:
Demostración
en
experimentación.
emulador
✓ Aprendizaje:
Explicación del tema
Ejemplificación
Resolución de dudas
✓ Practica:
Ejercicio en clase con
acompañamiento
✓ Aplicación:
Tarea en casa.
y
Se desarrollará
de manera
permanente,
constante y
sumativa para
identificar
alcances y
limitaciones
Escala de rango
Tarea en casa 5
puntos.
Bibliografía: Vuille, S. (2012). Fundamentos de física. México: Cengage Learning.
(f)
(f)
Francisco Tambriz Balux
Docente
Licda. Eleany Maricely Barrios Ruíz de Flores
Supervisora
RECURSOS
Hojas
Bond
Lapiceros
Lápiz
Cuadernos
Libros
Internet
Laptop,
celular.
Pizarra
electrónic
a (Open
board)
Power
point
Geneally
Simulador
213
HOJAS DE TRABAJO
214
Instituto Oficial Diversificado con Orientación en Computación “IODOC”.
Docente: Francisco Tambriz Balux
Área: física
Grado: cuarto bachillerato
HOJA DE TRABAJO DE LANZAMIENTO DE PROYECTILES
(Valor 5 puntos)
Nombre:
Fecha:
a) Indicaciones: resuelve los siguientes planteamientos con formulario a la
disposición, dejando constancia de su procedimiento. Trabaje únicamente
con lapicero azul o negro y resolución en hojas aparte con la debida
identificación y numeral de cada ejercicio. Se califica la estética.
1. Un portero saca el balón desde el césped a una velocidad de 26 m/s. Si la
pelota sale del suelo con un ángulo de 40° y cae sobre el campo sin que
antes lo toque ningún jugador, calcular:
a) Altura máxima del balón
b) Distancia desde el portero hasta el punto donde caerá en el campo
c) Tiempo en que la pelota estará en el aire
2. Están jugando en el patio de un colegio, cuando el balón sale al exterior por
encima de la valla del campo. Un hombre le da una patada al balón para
devolverlo al interior. Sabiendo que el muro del patio tiene 3 m de altura, que
el hombre está a 53 m del muro y que patea el balón a 24 m/s con un ángulo
de 55°, averiguar si consigue que la pelota vuelva a entrar al patio o, por el
contrario, pasa sobre el muro.
215
3. En una prueba de atletismo de lanzamiento de peso, el atleta logra una marca
de 22 m. Sabiendo que la bola sale de su mano a 2 m del suelo y con un
ángulo de 45°, averiguar la velocidad inicial del lanzamiento.
216
Instituto Oficial Diversificado con Orientación en Computación “IODOC”.
Docente: Francisco Tambriz Balux
Área: física
Grado: quinto bachillerato
PERALTES Y FUERZA CENTRÍPETA
(Valor 5 puntos)
Nombre:
Fecha:
A) Indicaciones: resuelve los siguientes planteamientos con formulario a la
disposición, dejando constancia de su procedimiento. Trabaje únicamente
con lapicero azul o negro y resolución en hojas aparte con la debida
identificación y numeral de cada ejercicio. Se califica la estética.
1. Un automóvil que viaja inicialmente hacia el este, vira hacia el norte en una
trayectoria circular con rapidez uniforme como se muestra en la figura. La
longitud del arco ABC es 235 metros y el carro completa la vuelta en 36 seg.
a) Cual es la aceleración cuando el carro se encuentra en B localizado a un
ángulo de 350. Exprese su respuesta en función de los vectores unitarios i y
j.
Determine
b) La rapidez promedio del automóvil
c) Su aceleración promedio durante el intervalo de 36 seg.
217
2. Una masa de 100 g atada a una cuerda de 50 cm de longitud gira en un plano
vertical. Si cuando pasa por el punto más bajo su velocidad es de 3 m/s, ¿qué
valor tiene la tensión de la cuerda en ese instante? Considere: g = 10 m/s2.
3. Un vehículo circula sobre una curva peraltada de 60 m de radio. Suponiendo que no
existe fuerza de rozamiento, ¿Cuál debe ser el ángulo de peralte, para que el
vehículo pueda tomar la curva a 60 km/h sin derrapar?
4. Un coche circula por la curva de una carretera de 500 m de radio. Sabiendo
que el coeficiente de rozamiento entre las ruedas del automóvil y el asfalto
seco es de 0.75, calcular la máxima velocidad con el que el automóvil puede
describir la curva con seguridad en los casos siguientes:
•
la curva no tiene peralte
•
la curva tiene un peralte de 15º
218
Instituto Oficial Diversificado con Orientación en Computación “IODOC”.
Docente: Francisco Tambriz Balux
Área: física
Grado: quinto bachillerato
OPERACIONES CON VECTORES
(Valor 5 puntos)
Nombre:
Fecha:
A) Indicaciones: resuelve los siguientes planteamientos con formulario a la
disposición, dejando constancia de su procedimiento. Trabaje únicamente
con lapicero azul o negro y resolución en hojas aparte con la debida
identificación y numeral de cada ejercicio. Se califica la estética.
1. Hallar las coordenadas del punto, sabiendo que
es el punto medio de,
donde. Las fórmulas para las coordenadas del punto medio son:
2. Sabiendo que la resultante se encuentra en el "x", hallar el ángulo.
3. La figura XYZW es un paralelogramo, hallar la resultante de la suma de los
3 vectores:
219
Instituto Oficial Diversificado con Orientación en Computación “IODOC”.
Docente: Francisco Tambriz Balux
Área: física
Grado: quinto bachillerato
TEMPERATURA Y LEY CERO DE LA TERMODINÁMICA
(Valor 5 puntos)
Nombre:
Fecha:
A) Indicaciones: resuelve los siguientes planteamientos con formulario a la
disposición, dejando constancia de su procedimiento. Trabaje únicamente
con lapicero azul o negro y resolución en hojas aparte con la debida
identificación y numeral de cada ejercicio. Se califica la estética.
1. Si observamos un incremento de temperatura en un termómetro de 24 ºC, ¿a
cuántos grados Fahrenheit corresponde dicho incremento? ¿Y si el
incremento de temperatura fuese de 24 K?
2. El gas helio He se licua a la temperatura de 4.15 K cuando la presión es de
23 atm. Calcula su temperatura de licuefacción en la escala centígrada y
Fahrenheit.
3. Una barra de plomo mide 2 m a una temperatura de 30 ºC. Suponiendo el
coeficiente de dilatación lineal constante en el rango de temperaturas
considerada, determina
a) A qué temperatura la barra medirá 1 mm más
b) A qué temperatura la barra medirá 1.99 m
220
4. Determina el volumen inicial que tenía una determinada cantidad de glicerina
si, tras aumentar la temperatura 30 ºC, su volumen ha pasado a ser 2 m3.
Dato: Coeficiente de dilatación de la glicerina en el rango de temperaturas
considerado α = 5.2·10-4 ºC-1
221
INSTRUMENTOS DE
EVALUACIÓN
222
Instituto Oficial Diversificado con Orientación en Computación “IODOC”.
Docente: Francisco Tambriz Balux
Área: física
Grado: cuarto bachillerato
Valor. 5 puntos
LISTA DE COTEJO
Hoja de trabajo de ecuaciones lineales y cuadráticas
Lanzamiento de proyectiles
No
1
2
3
4
5
Observaciones:
Nombre del estudiante
Problema
1
Problema
2
Problema
3
1.66
1.66
1.66
223
Instituto Oficial Diversificado con Orientación en Computación “IODOC”.
Docente: Francisco Tambriz Balux
Área: física
Grado: quinto bachillerato
Valor. 5 puntos
ESCALA DE RANGO
Hoja de trabajo de peraltes y fuerza centrípeta.
Escala
Indicador: Interpreta las condiciones de fricción, movimiento en una curva, las
fuerzas que satisfacen en peraltes y aceleración centrípeta.
Numérica
Literal
Gráfica
2
A
Excelente
1.5
B
Muy bueno
Descriptiva
Respuestas
correctas y
procedimientos
completos
Procedimientos
completos y
correctos pero las
respuestas son
incorrectas
No.
Nombre del estudiante
Observaciones:
Resolución mínima con
procedimientos cortos.
Problema Problema Problema
1
2
3
1.25
1
2
3
4
5
1
C
Bueno
1.25
1.25
0.5
D
Necesita
mejorar
Identifica los datos,
pero no resuelve el
planteamiento
Problema 4
1.25
224
Instituto Oficial Diversificado con Orientación en Computación “IODOC”.
Docente: Francisco Tambriz Balux
Área: física
Grado: quinto bachillerato
Valor. 5 puntos
LISTA DE COTEJO
Hoja de trabajo de operaciones con vectores.
A
No
1
2
3
4
5
Observaciones:
Nombre del estudiante
Problema Problema Problema
1
2
3
1.66
1.66
1.66
225
Instituto Oficial Diversificado con Orientación en Computación “IODOC”.
Docente: Francisco Tambriz Balux
Área: física
Grado: quinto bachillerato
Valor. 5 puntos
ESCALA DE RANGO
Hoja de trabajo de temperatura y ley cero de la termodinámica.
Escala
Indicador: Interpreta problemas de temperatura y ley cero de la termodinámica
en experimentos y los aspectos que le rodea.
Numérica
Literal
Gráfica
2
A
Excelente
1.5
B
Muy bueno
Descriptiva
Respuestas
correctas y
procedimientos
completos
Procedimientos
completos y
correctos pero las
respuestas son
incorrectas
No.
Nombre del estudiante
Observaciones:
Resolución mínima con
procedimientos cortos.
Problema Problema Problema
1
2
3
1.25
1
2
3
4
5
1
C
Bueno
1.25
1.25
0.5
D
Necesita
mejorar
Identifica los datos,
pero no resuelve el
planteamiento
Problema 4
1.25
226
CAPÍTULO III
PSICOPEDAGOGÍA
227
Introducción
En el desarrollo del contenido se incluyen los temas en las que presentan
importantes evidencias y teorías, historias y aplicaciones en el quehacer cotidiano
educativo, que en base a los medios educativo y pedagógico sustentables se
llegarán a comprender, temas que nos aclaran dudas para sumergirse en el
maravilloso mundo de las distintas adquisiciones en cuanto a un modelo educativo
pleno y próspero, se presenta con criterios, ideas concisas en las que a través de lo
que se investiga se evalúa mediante los conocimientos y experiencias adquiridas,
los contenidos que se desarrollan van acorde a una estructura bien definida, ideas
bien pensadas para la asimilación de los distintos saberes y aplicación de las
diferentes bases para el hecho educativo y pedagógico, es por ello; el contenido del
temario se basa legítimamente sobre temas de educación y pedagogía, ideas
concisas y precisas, a raíz de una historia se define la cientificidad de la pedagogía,
en la que aclara el porqué del sumergimiento del mismo en la educación, como es
que está presente visual, analítica y mediante procesos en la enseñanza y
aprendizaje, en los diferentes componentes que se puede visualizar desde la
comunidad educativa.
Los temas a desarrollar en este temario son los siguientes: significado de lo
pedagógico desde una visión histórica en la que permite realizar un breve recorrido
histórico, conocer la etimología y plantear la cientificidad donde se diferencia y se
relaciona estrechamente el hecho pedagógico y educativo.
Como redactar competencias de aprendizaje: en la definición concisa sobre la
competencia, los factores que intervienen en ella, tanto sus características como su
redacción; es indudablemente lo que se evidencia en la práctica educativa, a través
de una reflexión previa, donde se conoce el rendimiento, las formas de aprender de
cada individuo, en la que se destacan sus habilidades y se aplican, donde se
asumen valores imprescindibles en la trayectoria de la vida de cada agente en la
educación o la comunidad educativa.
228
1. SIGNIFICADO DE LO PEDAGÓGICO DESDE UNA VISIÓN
HISTÓRICA
La diferencia entre la historia de la educación y la pedagogía, radica en que la
primera apareció como acción espontánea y natural, surgiendo después el carácter
intencional y sistemático que le da la pedagogía a la educación. Por lo que se
realizará un breve recorrido por las diferentes épocas y etapas por las que
transcurrió la educación, para una mejor comprensión de la diferencia entre ambas
disciplinas. La pedagogía hace su aparición en la escena educativa en el momento
de refinar técnicas y métodos para transmitir un conocimiento, así como teorizar
sobre los hechos educativos que se presentan en cada momento histórico.
1.1. Origen de la educación
La educación tiene su origen en las comunidades primitivas, y el punto de
referencia se encuentra cuando el ser humano pasa del nomadismo al
sedentarismo, ya que la caza y la recolección son las principales fuentes de alimento
y supervivencia, y los elementos principales que influyen para abandonar el carácter
errático del ser humano y que éste se estableciera en lugares estratégicos para
proveer de alimentos a la comunidad. Es en este momento en que comienza la
transmisión de saberes entre los integrantes de una misma comunidad padres a
hijos, y por lo tanto de las primeras ideas pedagógicas al aplicar técnicas y métodos
austeros para hacerse de provisiones. La complejidad de la educación comienza a
aparecer por la comunicación que se establece a través del intercambio de
mercancías entre diferentes grupos de diversos lugares. Por otro lado, también se
originaba la división de clases sociales de forma incipiente y rudimentaria que
marcara en siglos posteriores a la educación.
Los métodos de enseñanza más antiguos se encuentran en el Antiguo Oriente
(India, China, Persia, Egipto), así como en la Grecia Antigua. La similitud educativa
entre estas naciones radica en que la enseñanza se basaba en la religión y en el
mantenimiento de las tradiciones de los pueblos. Egipto fue la sede principal de los
primeros conocimientos científicos escritura, ciencias, matemáticas y arquitectura.
229
La educación en la antigua China se centraba en la filosofía, la poesía y la
religión, de acuerdo con las enseñanzas de Confucio y Lao-tse. El sistema chino de
un examen civil, iniciado en ese país hace más de 2.000 años, se ha mantenido
hasta el presente siglo, pues, en teoría, permite la selección de los mejores
estudiantes para los puestos importantes del gobierno.
Persia se encargó de priorizar el entrenamiento físico que después le secundo
Grecia con la Gimnasia. Grecia es el lugar en el que parte el pensamiento occidental
con Sócrates, Platón, Aristóteles, Aristófanes, Demócrito e Isócrates. El objetivo
griego era alcanzar la perfección con la enseñanza de disciplinas como la Música,
Estética, Poesía, Literatura, Gimnasia y Filosofía.
Fuente: (Visalbergui A., 1992, pág. 10)
Dentro el desarrollo del Mundo Occidental se encuentra también una ciudad
importante la Antigua Roma, lugar en el que se dio origen la lengua latina, la
literatura clásica, la ingeniería, el derecho, la administración, arquitectura y la
organización del gobierno (Política). Los métodos romanos en los que se basaba la
educación eran los conocidos Trivium (retórica, gramática y dialéctica) y
Quadrivium. En esta época es donde se establece el papel de maestro-alumno, con
Marco Fabio Quintiliano como el principal pedagogo romano. Quintiliano asignaba
un alto valor a las aptitudes naturales de los niños. En su opinión, la torpeza y la
incapacidad son fenómenos raros.
En el siglo VIII los árabes conquistaron la península Ibérica y surgieron las
escuelas musulmanas, siendo la de mayor apertura e inclusión al mundo occidental
la primera escuela con carácter de universidad la de Córdoba, España.
Posteriormente con el avance de la división de poderes y clases sociales se
estratifica la educación quedando claramente plasmada durante la época medieval
y en el origen del feudalismo. Los únicos que podían acceder a una educación
formal y sistemática eran los reyes e hijos de nobles, y los que podían transmitir y
230
fungir como maestros los sacerdotes (clérigo). Los esclavos eran sometidos a largas
jornadas laborales y sin acceso al conocimiento.
1.2. Época Feudal
Para los siglos XII y XIII surge la escolástica pensamiento que tenía como función
reconciliar la creencia y la razón, la religión y la ciencia. Es en este momento donde
se deteriora el feudalismo cobrando importancia el comercio y los oficios y dando
paso a la creación de Universidades medievales donde la Iglesia cambio de rumbo
educativo al conferir ciertos privilegios facilitándoles recursos materiales a cambio
de su presencia en las escuelas y la fundación de propias universidades. Las
principales Universidades Medievales se encontraban en Italia, Francia, Inglaterra,
Praga y Polonia.
Las universidades medievales tenían cuatro facultades. En la facultad
preparatoria o artística (facultad de Artes) se enseñaban las “siete artes liberales”.
Esta facultad tenía el carácter de escuela media y en ella la enseñanza tenía una
duración de 6 ó 7 años. Al terminar los estudios, los egresados recibían el título de
«maestro en artes». Después se podía continuar los estudios en una de las otras
tres facultades, que eran las fundamentales: la de Teología, la de Medicina o la de
Jurisprudencia. Estos estudios duraban 5 o 6 años y en ellas se recibía el título de
doctor. El tipo principal de actividad docente en las universidades era la lectura de
conferencias: el profesor leía por un libro de texto y lo comentaba. También se
organizaban debates sobre la base de las tesis de ponencias que se asignaban para
ser examinadas.
Los hijos de campesinos y artesanos quedaban relegados de este tipo de
instrucción, al igual que no estaban de acuerdo con el carácter monopólico de la
Iglesia, por lo que crearon sus propias escuelas, instruyendo a sus hijos en sus
propias casas o talleres, enseñándoles a escribir, cálculo y hablar en su idioma
natal. Durante los siglos XIV al XVI surge el movimiento del renacimiento, etapa en
la cual surgen nuevas formas de concebir el mundo y el lugar del humano en éste,
231
así como es el período en el que hay más avances científicos y tecnológicos
(Invención de la imprenta, Descubrimiento de América, trazo de vías marítimas
hacía la India).
Fuente: (Luzuriaga, 1971, pág. 30)
1.3.
Reforma
Tradicionalmente los movimientos populares heréticos habían promovido la
difusión de la instrucción, a fin de que cada uno pudiera leer e interpretar la Biblia,
sin la mediación del clero. Así en Inglaterra John Wycliffe (1320-1384) había
auspiciado que cada uno pudiera convertirse en teólogo, y en Bohemia Jan Hus
(1374-1415) había dado una aportación concreta a la instrucción, codificando la
ortografía y redactando un silabario.
Surge en este período la corriente humanista, en donde la educación se opone
a la severidad de la disciplina eclesiástica, situándose ya un pensamiento
pedagógico, teniendo varios precursores en distintos puntos de Occidente: en Italia
Vittorino de Feltre (1378-1446) fundo su Casa Gioiosa (Casa de la Alegría); en
Francia con Francisco Rabelais (1494 – l553). En su conocida obra Gargantúa y
Pantagruel; Juan Luís Vives con el tratado de la enseñanza. En Inglaterra Tomás
Moro (1478-1535), quien planteó la idea de la unión del trabajo con la enseñanza
teórica y esto quedó reflejado en su máxima obra Utopía. Los utopianos no le
dedican más de seis horas al trabajo, para poder utilizar el tiempo sobrante del
trabajo material a alguna ocupación preferida según el propio gusto. Muchos las
dedican al estudio de las letras, es interesante la propuesta de colocar la instrucción
junto al trabajo agrícola y artesanal.
Fuente: (Luzuriaga, 1971, pág. 113)
1.4. Contrareforma
En Suiza Ulrich Zwingli (1484 -1531) publicaba un Libreto para la instrucción y la
educación cristiana de los niños, pero en Alemania Martín Lutero tomara su posición
respecto a elaboraciones de sus colaboradores. Samuel Hartlib, propugnador de la
232
educación de los pobres, Dury, petty y Woodward, llevan acaso la reforma y la
modernización de las escuelas, proyectando un Gymnasium mechanicum y
escuelas profesionales donde todos pudieran aprender un oficio y al mismo tiempo
recibieran también una formación cultural similar a la de los grupos privilegiados.
Otro gran pedagogo es el eslavo Juan Amos, Comenius (1592-1670), quién fue
el primero en plantear el termino didáctica, en su libro “Didáctica Magna”. Libro en
que sientan las bases del proceso de enseñanza aprendizaje por el que tienen que
atravesar los infantes para adquirir los conocimientos del momento dentro un
contexto particular.
Fuente: (Luzuriaga, 1971, pág. 127)
1.5. La pedagogía tradicional.
Existen hechos históricos paralelos, respecto a los movimientos educativos, que
en algún momento llegan a ser imperceptibles, por lo que esto logra confundir los
acontecimientos que marcan el final de una época y el principio de otra corriente.
En lo que respecta a la pedagogía tradicional y moderna, la línea que las separa es
muy delgada, ya que él origen de las ideas pedagógicas –modernas- que realizaron
un cambio, se insertan en el momento en que la pedagogía tradicional tiene auge,
pero también estaba en su ocaso. Sin embargo, la vigencia de los métodos
tradicionales, siguen presentándose hoy en día, así como el modelo de Escuela
Tradicional, pero con matices de las nuevas corrientes.
La pedagogía tradicional comienza en Francia en los siglos XVII y XVIII. Esta se
caracteriza por la consolidación de la presencia de los jesuitas en la Institución
escolar, fundada por San Ignacio de Loyola. Los internados que eran los que tenían
más auge por la forma de vida metódica en la que se basaba, presentando dos
rasgos esenciales: separación del mundo y, en el interior de este recinto reservado,
vigilancia constante e ininterrumpida hacía el alumno. El tipo de educación se
establece a partir de la desconfianza al mundo adulto y quiere en principio separar
de él al niño, para hacerle vivir de manera pedagógica y apegada a la religión en un
233
lugar puro y esterilizado. El sistema escolar programado por los jesuitas consistía a
grandes rasgos en poner en entre dicho la historia, la geografía, las ciencias y la
lengua romance, el lenguaje utilizado diariamente era el latín, así como inculcar la
más estricta costumbre de la sumisión, asegurar la presencia ininterrumpida de una
vigilancia y transferir al alumno a un mundo ejemplar y pacífico. En esta época es
la escuela la primera institución social responsabilizada con la educación de todas
las capas sociales.
Durante el siglo de la Ilustración (XVII) florecieron grandes escritores y científicos
que ejercieron poderosa influencia sobre la pedagogía. Galileo Galilei, Rene
Descartes, Isaac Newton y Juan Jacobo Rousseau(1712-1778) con sus principales
obras Emilio y El Contrato Social escritos que influyeron en la Revolución francesa
y siendo el principal precursor de la época del romanticismo, al igual que Diderot y
D´Alembert precursores del Enciclopedismo y estimulando al cambio escolar desde
la indumentaria hasta el método educativo, significando el término de la institución
tradicional para dar paso a un sistema libre sin tantas ataduras por parte de los
adultos y por primera vez se presenta la presencia de la etapa infantil con sus
características particulares que debían ser atendidas diferenciándolas de la
educación adulta. Comienza el ocaso de los métodos “tradicionales”, para dar paso
a la Escuela “tradicional” que tiene como base la ideología de Juan Amos Comenius
y Ratichius quienes proponen como principio esencial no enseñar más de una cosa
a la vez, se tiene que dar cosa tras cosa con orden, hay que dominar bien una antes
de pasar a la siguiente, de aquí se desprende el pensamiento “no hacer más de una
cosa a la vez”. Para estos autores la enseñanza debía ser valorada en términos de
importancia, cada asignatura se aplicaba en un ligar diferente, así como el tiempo
que se le dedicaba tenía que ser el requerido para una evaluación semanal. El papel
del maestro debe presentar la utilidad, el valor y el interés de lo que enseña,
Comenio se indigna contra quienes obligan por la fuerza a estudiar a los alumnos
que no tiene el menor deseo de hacerlo, el maestro debe provocar el deseo de saber
y de aprender, también es innovador el método que presentan para que el niño
aprenda a leer, se tiene que juntar la palabra con una imagen, sin duda relevante y
234
que sigue brindando grandes aportes hoy en día. La influencia de Kant sobre la
escuela se refleja en la medida de buscar en el filósofo del Deber los fundamentos
justificativos de una educación laica. Con John Locke se lleva al extremo el método
tradicionalista quien propone que el castigo con el látigo se de llevar a cabo en caso
de no haber tenido éxito con otros métodos para reparar una mala conducta. La
disciplina para Locke debe presentarse a través del sometimiento desde la más
tierna infancia, para que cuando éste llegue a su edad adulta garantice la semejanza
en todos los aspectos de la vida adulta, sin embargo, también apreciaba el albara a
los niños como una recompensa duradera y reprender con castigos verbales las
malas acciones. La filosofía de la Escuela Tradicional, considera que la mejor forma
de preparar al niño para la vida es formar su inteligencia, su capacidad de resolver
problemas, sus posibilidades de atención y de esfuerzo. Se le da gran importancia
a la transmisión de la cultura y de los conocimientos, en tanto que se les considera
de gran utilidad para ayudar al niño en el progreso de su personalidad. Esta filosofía
perdura en la educación en la actualidad. En su momento la Escuela Tradicional
representó un cambio importante en el estilo y la orientación de la enseñanza, sin
embargo, con el tiempo se convirtió en un sistema rígido, poco dinámico y nada
propicio para la innovación; llevando inclusive a prácticas pedagógicas no
deseadas. Por ello, cuando nuevas corrientes de pensamiento buscaron renovar la
práctica educativa, representaron una importante oxigenación para el sistema;
aunque su desarrollo no siempre haya sido fácil y homogéneo, sin duda abrieron
definitivamente el camino interminable de la renovación pedagógica.
Fuente: (Pestalozzi, 1798, pág. 37)
1.6. La pedagogía moderna.
La pedagogía como movimiento histórico, nace en la segunda mitad del siglo
XIX. Reconoce serios antecedentes hasta el siglo XVIII, pero se afirma y cobra
fuerza en el siglo XX, particularmente después de la primera Guerra Mundial (1.914
– 1.918). Sin embargo, la pedagogía general, combinada con la historia, tiene entre
sus misiones la de intentar un esquema que haga las veces de brújula para orientar
235
a los educadores en el laberinto de los sistemas y técnicas pedagógicas que surcan
nuestra época.
La colaboración amistosa entre maestro y alumno; la escuela al aire libre; la
necesidad de dejar libre el desarrollo de las facultades espontáneas del alumno bajo
el atento, pero no manifiesto control del maestro, son ideales que propuso la
pedagogía moderna. Así como la incursión de la mujer en actividades educativas.
La escuela única, intelectual y manual, tiene también la ventaja de que pone al niño
en contacto al mismo tiempo con la historia humana y con la historia de las “cosas”
bajo el control del maestro.
Con el advenimiento de la Revolución Industrial la pedagogía mantiene su estado
de evolución con autores como Juan Enrique Pestalozzi (1746 -l827) Zurich, Suiza;
Juan Federico Herbart (1776 – 1841), Alemania, Federico Guillermo Adolfo
Diesterweg (1790 – l866) Alemania; Roberto Owen (1771-1858) Inglaterra-Escocia.
Otros pedagogos: Celestin Freinet (1896-1966) francés. Hellen Keller. En el entorno
del fascismo la pedagoga Italiana María Montessori (1870-1952) funda en Roma la
primer Casa de los niños, su método aspira a un desarrollo espontáneo y libre de la
personalidad del niño. Mientras que con el capitalismo surge el filósofo y pedagogo
estadounidense John Dewey (l859 – l952). Ivan Ilich (1926- ) pedagogo
estadounidense. En 1860 Berta Von Marenholtz Bülow inicio una activa obra
mediante la difusión y expansión de los Kindergarden en todos los países, la
norteamericana Emily Bliss Gould, pensaba en una educación del pueblo dirigida a
contrastar la influencia ejercida por las familias populares; Elena Raffalovich
Comparetti es la fundadora de un Jardín Froebeliano en Venecia. La pedagogía
experimental fue representada por el alemán Ernesto Meumann (1862-1915); el
autor de Conferencias para la introducción de la pedagogía experimental. Con el
objetivo de estudiar al niño en todos sus aspectos, acopió datos de pedagogía,
psicología, psicopatología, anatomía y fisiología. Meumann se manifestaba en
contra del experimento pedagógico en el ambiente normal del aula, consideraba
que además de las ciencias señaladas anteriormente, la base de la Pedagogía era
la ética burguesa, la estética y una cierta ciencia de la religión, lo que hacía que sus
236
conclusiones tuvieran un carácter reaccionario. Sin embargo, actualmente
presentan
gran
interés
sus
ideas
sobre
la
educación
intelectual,
sus
consideraciones sobre higiene escolar y sobre la influencia de la vida escolar y
extraescolar en el trabajo del alumno. Analizó aisladamente las funciones del niño:
la memoria, la atención, etc. Así como propuso que los maestros no estudiaran el
proceso de aprendizaje de los niños sino preferentemente por psicólogos.
Fuente: (Luzuriaga, 1971, pág. 143)
1.7. La pedagogía contemporánea.
En el continente americano surgen las primeras ideas el pragmatismo y el
funcionalismo con John Dewey (1859-1952), de la corriente pragmática y el
funcional, afirmando que la validez del pensamiento se verifica en la acción,
considerando la mente en función de las necesidades del organismo para la
sobrevivencia y apelando por ello a la interacción hombre – ambiente. Con estos
fundamentos da paso a la creación de la Escuela Nueva o Activa que persigue, en
sus concepciones teóricas y proyecciones prácticas, garantizar el logro de una
mayor participación con un grado más elevado de compromiso de todo ciudadano
con el sistema económico-social imperante, en base de la consideración, no del
todo correcta, de que la satisfacción de las aspiraciones del ser humano, como
individuo y como ser social, contribuiría de manera sustancial a lograr cierto tipo de
equilibrio en la sociedad, a punto de partida, sobre todo de la suavización o
eliminación de las contradicciones entre las clases y dentro de las clases mismas.
Ovide Decroly, pedagogo y educador belga, fundó en 1907 L’Ecole de L’Ermitage
en Bruselas. El contacto permanente que Decroly sostuvo con niños de escuelas
ordinarias y de instituciones especializadas, lo llevó a obtener logros perdurables en
el campo de la pedagogía, que se manifiestan en el método global de lectura y en
la globalización de la enseñanza.
En 1919, primer año de paz después de la primera guerra mundial, se elaboran
por parte de A. Ferriére a nombre de BIEN los treinta puntos que definen la escuela
nueva. La escuela nueva es un laboratorio de pedagogía activa, un internado
237
situado en el campo, donde la coeducación de los sexos ha dado resultados
intelectuales y morales incomparables. En materia de educación intelectual, la
escuela nueva busca abrir la mente a una cultura general, a la que se une aun
especialización en principio espontánea y dirigida después de un sentido
profesional. En la actualidad Estados Unidos es uno de los países que más genera
e invierte en Investigaciones sobre los métodos de aprendizaje, al igual que absorbe
gente especialista de otros países para trabajar en esta área en su país, como
ejemplos del pasado, están los autores más representes del siglo XIX XX,
comenzando por los conductistas A. Pavlov, J. Watson, E. Thorndike. Y su máximo
representante, así como también de la Tecnología Educativa Skinner. Mientras que
países como Suiza y Rusia, generaron a los grandes percusores del constructivismo
y cognitivismo, Jean Piaget y Vygotsky. Otros autores relevantes son Bruner que
aporta el aprendizaje por descubrimiento y el aprendizaje por recepción verbal
significativa de Ausubel.
Fuente: (Luzuriaga, 1971, pág. 240)
1.8. Cientificidad de la pedagogía
A partir de dos conceptos centrales, educabilidad y enseñabilidad, el autor hace
una reflexión sobre la pedagogía y su cientificidad. La educabilidad es un atributo
de las personas, mientras la enseñabilidad se refiere a la posibilidad que posee una
ciencia o disciplina de ser aprendida. El análisis de la enseñabilidad, objetivo de
esta ponencia, se centra en seis tesis
a) La relación sujeto objeto se convierte en sujeto cuando la disciplina se hace
enseñable.
b) Las disciplinas que se enseñan, son ciencias que tienen por objeto los
universales, en términos de fenómenos, principios y leyes.
c) La enseñabilidad se refiere a la teoría acerca de las ciencias, que se expresa
a través de formas de argumentación especificas en enfoques, corrientes y
paradigmas.
d) El conocimiento se hace enseñable a partir de modelos, es decir, de
representaciones.
e) El método para producir conocimiento inherente a las disciplinas que se
enseñan, encarna valor pedagógico en la lógica de la explicación de los
fenómenos.
238
f) La enseñabilidad permite conectar el desarrollo de las ciencias y disciplinas
al de la naturaleza humana y expresarlos en el currículo como cambio de la
actuación pedagogía.
Fuente: (Luzuriaga, 1971, pág. 194)
1.9.
El hecho pedagógico versus el hecho educativo
1.9.1. Hecho educativo
En el sentido amplio es un proceso global de interacción sociocultural a través
del cual desarrollamos nuestras facultades físicas, intelectuales y morales.
En el sentido estricto es un acto pedagógico porque es un proceso de
enseñanza-aprendizaje; crea y comparte conocimientos y habilidades, comenta
actitudes. Es una acción porque asume opciones sociales, cuestiona o reproduce el
estado que orienta acciones a favor o en contra de lo establecido, justifica
situaciones y comportamientos, organiza y motiva formas de pensar, de actuar y
vivir.
Fuente: (Ruíz Sánchez, 2018, pág. 10)
1.9.2. Acto pedagógico
Conjunto de acciones, comportamientos y relaciones que se manifiestan en la
interacción de un docente o docentes con los estudiantes mediados por unos
componentes del proceso pedagógico.
Es el arte de saber llegar a los alumnos mediante estrategias de aprendizaje.
Consiste en la internalización del alumno respecto a un cúmulo de conocimientos
ofrecidos por un docente cuya mediatización es establecida por estrategias
sencillas.
Es reforzar los valores de los estudiantes, con la única intención de frenar los
antivalores, solo en esta postura formativa puede iniciarse un proceso informativo.
Fuente: (Barajas, 2013, pág. 2)
239
Resumen
La historia de la pedagogía va enmarcada directamente hacia una concepción
educativa, en la que a través de la historia se define con una concesión rigurosa y
relacionada debido a su campo de aplicación en la enseñanza y aprendizaje.
En la actualidad, dada la evolución del sector educativo y la diversidad de ramas
a través de las cuales es posible formarse, la pedagogía ofrece una amplia
diversidad de salidas profesionales, que abarcan desde el ámbito presencial hasta
el entorno e-learning, teniendo en cuenta este último como uno de los más
emergentes dentro del mercado laboral.
El conjunto que engloba cada teoría pedagógica viene determinado por
conocimientos procedentes de áreas como la Filosofía, Historia, Psicología,
Medicina, Antropología, Sociología, Política y Sociología.
Dado que la pedagogía ha evolucionado hasta abordar el estudio de la educación
como una formación compleja y multirreferencial, este campo se extrapola a ámbitos
educativos como la logopedia, el tratamiento (a nivel educativo) de aquella
enfermedad que interfiera en aspectos psicológicos del ser humano, la lingüística,
el lenguaje y la comunicación, entre otros.
La pedagogía, como ciencia, da lugar a la orientación y dirección de procesos
educativos en el alumnado, de manera sistemática.
Aunque esta disciplina se centra en la enseñanza de un niño o niña (o el grupo
de alumnos/as), también es aplicable a la etapa adulta, dada la versatilidad de su
estudio para abordar los distintos tipos de aprendizaje.
En aquellas personas con diagnóstico de alguna patología que afecte a su
aprendizaje, la pedagogía estudia el modo en que se puede adaptar la formación a
sus situaciones concretas.
240
En el campo científico, la pedagogía estudia el objetivo de la educación para
desarrollar teorías sobre la descripción, explicación y predicción de los hechos
educativos.
En lo que respecta al área técnica, esta disciplina se encarga de resolver
problemas derivados del desarrollo de la práctica educativa.
En base al ámbito de la tecnología, la pedagogía es útil como herramienta para
fomentar la comunicación con distintas latitudes, contribuyendo a desempeñar la
actividad educativa de manera eficaz y secuencial.
Desde una revisión teórica y analítica, se propone propiciar una discusión crítica
y reflexiva acerca de la incertidumbre que se ha generado en torno a la pedagogía
como ciencia valorativa y humanista de la persona, fundamentada en una ética que
busca la valoración del ser educando y educador; en tanto que la pedagogía
“científica y humanista” se ha nutrido de otras disciplinas del saber, de sus métodos,
de sus teorías, modelos y paradigmas. Esta notoria participación de la pedagogía
en el ámbito de la interdisciplinariedad, transdisciplinariedad, pluridisciplinariedad y
multidisciplinariedad, requiere de una revisión de los procesos cognitivos de análisis
y síntesis que garanticen una formación integral del formador de formadores, que le
permita salir del oscurantismo de la especificidad y lo lance hacia la búsqueda del
saber pedagógico humanista, para la definitiva realización de una calidad ética de
las instituciones educativas de modo dialéctico y en la construcción de una persona
moralmente humana, autónoma y con responsabilidad social plena. En conclusión,
esta reflexión acerca de la pedagogía como ciencia humanista busca enriquecer la
discusión filosófica de la incertidumbre formativa de la persona humana, dentro de
la complejidad de la educación, como proceso fundamental en el desarrollo de los
pueblos.
241
Glosario
Espontánea: La palabra “sponte”, que puede traducirse como “voluntariamente”.
El sufijo “-aneus”, que se usa para indicar relación.
utiliza para calificar a aquello que surge de la propia voluntad o de un impulso y
que, muchas veces, carece de planificación y organización: “Las personas se
congregaron en la puerta de la empresa en un reclamo espontáneo”, “El aplauso
espontáneo de la gente sorprendió al chofer”, “Fue algo espontáneo, nadie me dijo
que debía hacerlo, pero sentí ganas y lo hice”.
Sistemático: Se califica como sistemático a aquello que respeta o se adapta a
un sistema: un conjunto ordenado o estructurado de principios o elementos que se
relacionan entre sí. El término proviene del latín tardío systematĭcus, a su vez
derivado del griego systēmatikós.
Nomadismo: Forma de vida característica de algunos pueblos, en especial de
los pueblos primitivos, que consiste en ir de un lugar a otro sin establecerse en un
sitio de forma permanente.
"durante el Neolítico el hombre pasa del nomadismo al sedentarismo, gracias al
descubrimiento de la agricultura y la ganadería"
Sedentarismo: El sedentarismo es el estilo de vida de quien realiza escasa o
insuficiente actividad física o deportiva.
El sedentarismo es considerado la enfermedad de siglo debido a los modos de
vida modernos en nuestras sociedades.
Austeros: Austero es el adjetivo que califica a algo sencillo, que no tiene
adornos innecesarios o superfluos. La austeridad es una característica de las
personas que suelen tener un estilo de vida modesto, muchas veces cercano al
ascetismo. La persona austera tiene una filosofía de vida y un comportamiento
prudente, ahorrativo, sin derroches, desperdicios ni extravagancias.
Rudimentaria: simple, elemental, que no se desarrolló o perfeccionó, y que se
encuentra en estado básico, embrionario.
242
La palabra, como tal, deriva del vocablo latín rudimentum, que se descompone en
rudis, que significa ‘tosco’, ‘rudo’ o ‘ignorante’, y mentum, ‘instrumento’ o ‘medio’.
Estratifica: La estratificación es el acto y el resultado de estratificar. Este verbo
(estratificar), a su vez, refiere a ordenar en estratos.
Estratificación Un estrato, en tanto, es un conjunto de piezas o elementos que
integran una entidad mayor y que están agrupados por ciertas características en
común. Puede asociarse los estratos a niveles o capas.
Feudalismo: forma de organización social y política basada en las relaciones de
vasallaje entre los vasallos y los señores feudales. El feudalismo tiene sus orígenes
en la decadencia del Imperio Romano, y predominó en Europa durante la Edad
Media.
El término feudalismo deriva de la palabra feudo (contrato entre los soberanos o
los señores feudales y los vasallos y también territorio o dominio), que proviene del
latín medieval, feodum o feudum.
243
Bibliografía
Barajas, G. (2013). EL ACTO PEDAGÓGICO. EL ACTO PEDAGÓGICO Y EL MODELO PEDAGÓGICO
INSTITUCIONAL, 2.
Luzuriaga, L. (1971). Historia de la educación y la pedagogía. Buenos Aires Argentina: Losada.
Pestalozzi, J. (1798).
Ruíz Sánchez, F. (2018). Educación, Política y Valores. Revista Dilemas Contemporáneos, 10.
Visalbergui A., N. (1992). Historia de la pedagogía. Madrid: Fondo de cultura económica.
244
2. COMO REDACTAR COMPETENCIAS DE APRENDIZAJE
2.1. ¿Qué son las competencias educativas?
Desempeño que resulta de conocimientos, habilidades, actitudes y valores de un
individuo, en un contexto específico, para resolver problemas que se presenten en
diversos ámbitos de su vida.
Enfatiza que las competencias no se enseñan. Se pueden enseñar los distintos
tipos de saberes, se pueden enseñar conceptos, definiciones, fórmulas; se pueden
enseñar valores, acciones, actitudes; se pueden enseñar procesos, maneras de
hacer las cosas; pero hasta ahí, nada más. La competencia emerge cuando todos
estos saberes se aplican ante una situación determinada
La competencia es una determinación de alcance en la formación estudiantil, en
los diferentes niveles en el que se centra estrechamente; desde los conocimientos,
habilidades y destrezas, razonamiento crítico y práctico, formas de interpretar
problemas en el desenvolvimiento en la sociedad, donde se evidencian
transformaciones observables en la resolución de conflictos y cuestiones que se
suscitan en la vida cotidiana.
En el proceso educativo desempeñado en los distintos ámbitos para establecer
al estudiante en el desarrollo de sus actitudes, aptitudes y habilidades es inédito
sumergir en las diferentes prácticas de la vida social, preparar para interpretar, no
solo las diferentes vivencias, sino el mundo interior y exterior de su ser, por ello, la
importancia de una competencia en el que razona, analiza, critica y aplica las
diferentes áreas de conocimiento que son parte de la vida real.
Fuente: (Meza Morales, 2012, pág. 52)
2.2. Características de una competencia
En la educación basada en competencias quien aprende lo hace al identificarse
con lo que produce, al reconocer el proceso que realiza para construir y las
metodologías que dirigen este proceso.
245
La evaluación determina qué algo específico va a desempeñar o construir el
estudiante y se basa en la comprobación de que el alumno es capaz de construirlo
o desempeñarlo.
La educación basada en competencias concierne a una experiencia práctica,
que se vincula a los conocimientos para lograr una intención. La teoría y la
experiencia práctica convergen con las habilidades y los valores, utilizando la teoría
para aplicar el conocimiento a la construcción o desempeño de algo.
Así, es necesario facilitar el desarrollo de las habilidades, la madurez de los
hábitos mentales y de conducta que se relacionen con los valores universales.
Asegurándose de que el fin y centro del aprendizaje sea el alumno, que refuerza el
desarrollo del pensamiento crítico del estudiante, con objeto de que éste cuente con
herramientas que le permitan discernir, deliberar y elegir libremente, de tal forma
que en un futuro próximo pueda comprometerse en la construcción de sus propias
competencias.
Es importante proporcionar al estudiante:
•
Diferentes variables y dejar de centrarlo exclusivamente en los contenidos de
las materias.
•
Utilizar recursos que simulen la vida real.
•
Conducirlo al análisis y resolución de problemas, que los aborde de manera
integral en un trabajo cooperativo o por equipos, apoyado por el trabajo
personal del profesor con cada alumno.
También es importante tener presente que mucho de lo que los estudiantes
ahora aprenden mañana será obsoleto y que las habilidades genéricas, por otro
lado, no envejecen, se desarrollan y aumentan, especialmente si se aprenden en
un clima de libertad.
246
Es la construcción de aprendizajes significativos y útiles es indispensable el
desarrollo de estas habilidades, que, en gran medida pueden desenvolverse
mediante el aprendizaje por experiencia en situaciones concretas de trabajo y son,
por ejemplo:
•
Destrezas ocupacionales
Se relacionan con el desarrollo de la persona; con la capacidad para expresarse
y con la capacidad de manejar la información.
•
Destrezas sociales
Capacidad de colaborar con los otros y mostrar comportamientos orientados a
integrar y fortalecer a un grupo determinado.
Competencia participativa: saber participar, ser capaz de organizar y decidir.
•
Destrezas de acción
Competencias de acción: resultado de la integración de las competencias
anteriormente señaladas, que construyen prácticas específicas y manejan los
cambios.
Fuente: (Tobón, pág. 39)
2.3. Cinco ejes en la formación docencia
Desde una perspectiva amplia y compleja, la formación de competencias no es
responsabilidad solamente de las instituciones educativas, sino también de la
sociedad, del sector laboral-empresarial, de la familia y de la persona humana
Miremos en detalle cada uno de estos cinco ejes necesarios para formar
personas idóneas:
Responsabilidad de las instituciones educativas: consiste en implementar
procesos pedagógicos y didácticos de calidad, con recursos suficientes,
247
autovaloración continúa basada en estándares de calidad y talento humano
capacitado para tal propósito (directivos y docentes).
Responsabilidad social: es la promoción de una cultura de formación del talento
humano con idoneidad, fortaleciendo los valores de solidaridad y cooperación,
incidiendo en los medios de comunicación y aportando los recursos económicos
necesarios en este propósito.
Responsabilidad
del
sector
laboral-empresarial-económico:
consiste
en
participar activamente en la formación de competencias mediante su integración
con el sistema educativo y social.
Responsabilidad de la familia: consiste en formar a sus miembros en valores
de convivencia y respeto, así como en habilidades básicas de pensamiento
Responsabilidad personal: es la formación de las propias competencias desde
la autogestión del proyecto ético de vida.
Fuente: (Tobón, pág. 35)
2.4. Redacción de competencias educativas
La competencia a formar se determina por los aportes históricos de las diversas
disciplinas y movimientos sociales a las competencias, teniendo como base la
transdisciplinariedad con el apoyo de los criterios de desempeño.
Saber ser: asume la construcción del enfoque de las competencias como un
proceso inacabado y en continuo perfeccionamiento.
Saber conocer: identifica la forma como se ha construido, el concepto de
competencias y tiene como base los aportes de la filosofía griega, la filosofía
moderna, la sociología, la lingüística, la psicología y la formación para el trabajo.
248
Saber hacer: construye el concepto de competencias y tiene en cuenta la
complementariedad de los diversos aportes históricos, desde una perspectiva
transdisciplinaria, flexible y abierta.
La competencia puede lograrse a través de distintos procedimientos.
La estructura de una competencia se base previamente hacia una
responsabilidad
del
docente,
quien
antes
de
la
formulación,
se
basa
específicamente en las necesidades del estudiante, lo que es capaz de hacer,
generar y desarrollar en su centro de formación académica, tanto un hecho reflexivo,
donde se contextualiza los saberes para luego estructurar la competencia o
generalizar las que se encuentran en el currículum nacional base; cabe resaltar que
el proceso es flexible, si se puede dar la necesidad de reestructurar la competencia
si sea necesario en la formación de los estudiantes.
a) Consiste en responder las siguientes preguntas guías, con la intención de
definir al estudiante que se pretende formar.
•
¿Qué debe ser capaz de hacer?
•
¿Para qué lo hace?
•
¿Cómo, con qué elementos, en qué nivel de desempeño?
•
¿Qué resultados se obtienen?
Otra posibilidad es elaborarla es el cuadro guía que se propone.
Verbo
Objeto
Intención o
Contexto o
Fundamento
finalidad
restricciones
científico
La competencia siempre se refiere a una acción que recae sobre algún objeto y
que siempre expresa propósitos y condiciones de realización.
249
La estructura gramatical que debe tener la competencia y que permite
caracterizar la acción, definir sobre qué objeto recae esta y en qué condiciones lo
hace.
Verbo
Objeto
Finalidad
Condición (es) de
calidad
Se
utiliza
un Ámbito o ámbitos Propósitos de la Nivel,
verbo de acción
identificables
en acción
contexto,
restricciones,
como
los cuales recae la
parámetros
acción
señalan la calidad de
la
que
ejecución
o
desempeño
En las competencias siempre se inicia con un verbo y este debe referir una
acción que un estudiante debe cumplir, en ciertas condiciones y nivel de calidad.
Fuente: (Vargas Leyva, 2008, pág. 31)
250
Resumen
Un elemento que caracteriza y distingue a las reformas educativas es el de la
"innovación", tema que, si bien significa un reto, su ejecución, la mayoría de las
veces, va acompañada de una compulsividad que impide su consolidación y revisión
conceptual. En este ensayo se parte de un cuestionamiento base: ¿realmente el
enfoque de competencias representa una innovación, o sólo una apariencia de
cambio? La idea es llegar a una articulación conceptual del término que permita
caracterizar los elementos que definen a las competencias en educación y, desde
un sentido más pedagógico, ubicar su posible aplicación en el campo curricular.
Efectivamente, la innovación atiende la necesidad de incorporar elementos
novedosos al funcionamiento del sistema educativo; es el resultado de la evolución
impresionante que han tenido las tecnologías, así como de las propuestas que se
van elaborando en el ámbito de la educación y de la enseñanza, como consecuencia
de los desarrollos de diversos enfoques de investigación en el ámbito de la
pedagogía, la didáctica, la psicología, la comunicación, entre otras disciplinas. Sin
embargo, los planteamientos articulados a la innovación corren dos riesgos.
El tema de las competencias forma parte del ámbito discursivo de nuestros días y,
en estricto sentido, de los discursos educativos actuales. Sin embargo, en la
perspectiva de que sus planteamientos no sólo se queden en el plano del discurso,
sino que realmente se incorporen a la mejora de los procesos educativos, es
necesario resolver algunas cuestiones fundamentales.
La ausencia de una perspectiva genealógica del concepto. Los estudios sobre
historia de los conceptos han sido generalizados por diversos planteamientos. De
estos planteamientos de infiere que resulta conveniente clarificar la genealogía de
conceptos como el de competencia para comprender la manera como reconstruyen
ciertos aspectos de un momento histórico específico, esto es su pregnancia social.
Llama la atención que por el contrario hasta ahora la discusión del término
competencia se ha realizado más cercana a sus significados etimológicos, en donde
se ha clarificado su tránsito del campo de la lingüística, al laboral, para
posteriormente adquirir significado en la atribución de pautas de desempeño en un
251
sujeto, como capacidad para resolver algún problema. Por su parte, en el campo de
la psicología se le asignan tres significados: desde un punto de vista biológico es la
rivalidad para asegurarse de los medios que permitan conservar la vida; desde un
punto de vista neurológico, el control reflejo que conduce a un músculo y en el
ámbito psicológico propiamente dicho, pugna de contenidos de la psique de un
individuo. La reconstrucción del concepto competencias adquiere significados por
las disciplinas o ámbitos en los que ha transitado. No existe ninguna pregunta
específica sobre las connotaciones sociales que ha ido retomando en su devenir;
una lectura del concepto moral.
252
Glosario
Metodología: Se denomina la serie de métodos y técnicas de rigor científico
que se aplican sistemáticamente durante un proceso de investigación para
alcanzar un resultado teóricamente válido. En este sentido, la metodología
funciona como el soporte conceptual que rige la manera en que aplicamos los
procedimientos en una investigación.
La palabra, como tal, proviene del griego μέθοδος (méthodos), que significa
‘método’, y el sufijo -logía, que deriva de λóγος (lógos) y traduce ‘ciencia, estudio,
tratado’. De allí que también sea definida como la ciencia del método.
Concierne: Deriva del verbo concerno, concernis, concernere, concrevi,
concretum con el significado de examinar. Este verbo está formado por el prefijo
con- que indica convergencia, reunión y por el verbo cerno, cernis, cernere, crevi,
cretum cuyo concepto es distinguir con la inteligencia, comprender reconocer y
también cerner y tamizar. Corresponder una cosa a una persona.
Converge: encuentro de dos puntos, cosas, ideas o situaciones que parten de
lugares diferentes.
Converger, o también en su forma correcta pero menos común convergir, viene
del latín convergĕre, que significa 'encuentro entre dos líneas separadas que se
juntan en un mismo punto'.
Deliberar: Se entiende por deliberación la acción de considerar y reflexionar
sobre las ventajas o desventajas que conllevan la toma de una decisión
determinada, bien sea de manera individual o grupal.
La palabra deliberación deriva del latín deliberāre que se refiere a la acción de
deliberar. Entre los sinónimos que se pueden emplear para referirse al término
deliberación están los siguientes: reflexión, consideración, análisis, debate,
discusión, decisión, determinación, fallo, entre otros.
Variable: Variable es un adjetivo que significa que algo o alguien varía o puede
variar. También significa 'inestable', 'mudable' e 'inconstante'.
Obsoleto: todo aquello que esta fuera de uso en la actualidad.
253
También, el término obsoleto es un adjetivo que hace referencia a todos los objetos
anticuados, es decir, que han caído en desuso y resultan pocos efectivos frente a
los posteriores, su uso no se limita únicamente en el ámbito de la tecnología.
Genérica: Que es común a todos los elementos de un mismo conjunto o género.
se dice del nombre que designa una clase de objetos como tal clase,
independientemente de los individuos que la definen con o sin nombres particulares.
que es general, que se refiere a elementos de un mismo tipo o género
Referir: proviene del latín. Deriva de refero, refers, referre, retuli, relatum cuyos
formantes son: el prefijo re- que señala repetición o iteración y el verbo fero, fers,
ferre, tuli, latum con el significado de llevar, producir, soportar.
Su concepto etimológico es por lo tanto, llevar otra vez, llevar nuevamente.
254
Bibliografía
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alumnos. Madrid: Ministerio de Educación y Cultura
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Meza Morales, J. (2012). Diseño y desarrollo curricular. México: Red tercer milenio.
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Tobón, S. (s.f.). Formación basada en competencias. Madrid.
•
Vargas Leyva, M. (2008). Diseño curricular por competencias. México: Anfei.
![Prueba Segundos2[1]](http://s2.studylib.es/store/data/003397536_1-3ac4e8618b6474fb10e9bb3037bc9dd2-300x300.png)