CÁLCULO DE PROBABILIDAD DE UN EVENTO TEOREMAS DE PROBABILIDAD (MULTIPLICACIÓN, SUMA, PROBABILIDAD TOTAL, TEOREMA DE BAYES) Probabilidad en la multiplicación: cuando ocurren dos sucesos independientes al mismo tiempo A y B la probabilidad de que sucedan ambos eventos está determinado por: (PA Y B) = (PA) ∩ (PB) = P(A) P(B) La intersección de las probabilidades se señala con la letra “Y”. Ejemplos: Dados: 1 (6) = 16.666 % 1 1 1 1 1 (6) (6) = 36 1 1 (6) (6) (6) = 216 Baraja Mexicana: 1 (40) .025% 1 1 1 ( )( ) = ( ) 40 40 1600 Baraja inglesa: 1 1 1 (52) (52)= 2704 Con reemplazo y sin reemplazo. CON REEMPLAZO 1 1 1 ( )( ) = ( ) 40 40 1600 Sin reemplazo 1 1 1 ( )( ) = ( ) 40 39 1560 Probabilidad en la suma: dentro de la probabilidad puede ocurrir un evento u otro. Si los eventos son mutuamente exclusivos, esto es, que no tienen nada en común, la probabilidad se determina por: P(A U B) = (PA) ó (PB) = P(A) + P(B) La unión de probabilidades se va a caracterizar por llevar como conectivo la letra “o” 1 1 1 1 1 5 Dados: (6) + (6) + (6) + (6) + (6) = 6 .833 = 83.3% 1 1 2 1 Baraja: (40) + (40) = 40 = 20 = .05 = 5% 1 1 2 (52) + (52) = 52 = 1/26 = .038 = 3.8% La suma de fracciones con denominadores iguales: en este caso se suman los numeradores o se restan según el orden, los denominadores pasa igual. Cuándo los denominadores en la suma y resta son diferentes se busca un número en común, posteriormente el número en común se multiplica con el primer numerador y el resultado se resta con el respectivo denominador la cantidad que se coloca en la parte superior del número en común, se respeta el signo que se antecede a la siguiente fracción, enseguida se repite el primer procedimiento… Probabilidad total: si el espacio muestral está subdividido en subconjuntos disjuntos pero existe un suceso que involucre a todos ellos, para calcular su probabilidad se aplica la siguiente fórmula: 𝑏 𝑏 1 2 Pa = ∑𝑘𝑗=1 𝑃𝑎1 [𝑝 (𝑎 )]+ Pa2[𝑝 (𝑎 )]+… 000 00 000 000 00000 0000 𝑏 Pak [𝑝 (𝑎 )] 𝑘 0000 000 000 Teorema de Bayes: si se tienen sucesos mutuamente excluyentes unidos en el espacio muestra y se quiera calcular la probabilidad de ocurrencia de uno de ellos se aplicará la siguiente fórmula: 𝑎𝑘 P[ 𝑎 ] =∑𝑛 𝑎 𝑝(𝑎𝑘)𝑝(𝑎𝑘 𝑎 𝑘=1 𝑝(𝑎𝑘)𝑝(𝑎𝑘 ) 000 00 000 000 00000 0000 0000 000 000 Actividad en plataforma: Al tirar un dado cual es la probabilidad de obtener: a) El número 5 b) Un número mayor que 3 c) Un número menor que 4 d) Que no salga el 2 Se extraen 3 cartas de una baraja inglesa. Cuál es la probabilidad de: a) Que sean ases (reemplazando la carta) b) Que sean ases (sin reemplazar la carta) En una baraja inglesa cuál es la probabilidad de obtener a) Una reina b) Un rey, un 2 ó un 3 c) Un 4 Se tienen 4 bolsas, en la primera hay 6 bolas azules y 3 verdes, en la segunda hay 5 azules y 5 verdes, en la tercera hay 5 azules y 4 verdes, en la cuarta tiene 8 azules y 2 verdes. a) ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bola azul al escoger una bolsa al azar? b) ¿Cuál la de escoger una verde en la tercera bolsa? Ejercicios de aplicación de los teoremas de la multiplicación, de la suma de probabilidad total y teorema de bayes 1.- En una urna se tienen 6 canicas grandes rojas, 8 azules pequeñas, 10 verdes grandes, 4 rojas pequeñas, 12 azules grandes y 5 verdes pequeñas. a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una canica roja o verde ambas de cualquier tamaño? ¿Cuál es la probabilidad de sacar una canica azul de cualquier tamaño o una canica pequeña de cualquier color. b) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una canica verde de cualquier tamaño o una canica grande. 2.- En una urna se tienen 12 monedas de a peso y 20 monedas de 2 pesos, salen cuando la urna se gira, una en cada vez, si se sacan 3 monedas ¿Cuál es la probabilidad de?: a) que las tres sean de a peso b) que sea una de a peso y dos de a dos pesos 3.- en una urna se tienen 3 bolas verdes, 4 azules, dos amarillas. Hallar la probabilidad de que si se extraen tres bolas aleatoriamente. a) las tres sean verdes (sin reemplazamiento) c) 2 sean azules y una amarilla (sin reemplazamiento) d) Las tres sean azules (con reemplazamiento) e) 1 verde, 1 azul, 1 amarillo (con reemplazamiento) 4.- se tienen 4 cajas en la primera hay 3 canicas negras, 2 rojas y 4 azules, en la 2ª. Hay 2 negras, 3 amarillas y 2 rojas, en la tercera hay 4 rojas 2 azules y 2 verdes, en la cuarta hay 3 azules, 2 negras y una verde. a) ¿Cuál es la probabilidad de extraer una canica roja al escoger una caja al azar? b) ¿Cuál la probabilidad de una roja en la segunda caja? Una variante en el teorema de la suma Si los eventos no son mutuamente excluyentes es decir que los eventos si tienen algo en común, la probabilidad está determinada por: P(A ó B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
