Subido por Alan Pacheco

P12-Ecuaciones e inecuaciones lineales en una variable

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Términos semejantes
En una expresión algebraica se llaman términos
semejantes a todos aquellos términos que tienen igual factor
literal; es decir, a aquellos términos que tienen iguales
letras (símbolos literales) afectadas por iguales exponentes.
Por ejemplo:
• 6 a2b3 es término semejante con – 2 a2b3 porque ambos
tienen el mismo factor literal (a 2 b 3 )
• 1/3 x5yz es término semejante con x5yz porque ambos
tienen el mismo factor literal (x 5 yz)
• 0,3 a2c no es término semejante con 4 ac2 porque los
exponentes no son iguales, están al revés.
Reducción de términos semejantes.
Reducir términos semejantes consiste en sumar o restar
tomando en cuenta los signos los coeficientes numéricos
(sumar algebraicamente) en una expresión algebraica en la
que los términos tengan el mismo factor literal.
1) 3a + 9a + 7a + a=
2) 3m + 6n + 10 + 2 + n=
3) 4b + 2c + 6b + 3c – 2=
4) 3d + 2d + 4d -6d + d=
5) 2xy + 4x + 3y – 5xy – 5x – 7y=
6) -4m -5m -2m -6m -9m +20m=
Valor numérico de una expresión algebraica
Es el número que se obtiene al sustituir las variables por los valores que les
correspondes y realizar las operaciones indicadas.
Ejemplo: Sabiendo que a=1, b=2, c=3, d=4, e=5 y f=6; determina el valor
numérico en cada caso.
1) 4a +5b + 2c + 5=
2) a3 + b2 + 4c + 10=
3) 2a4 + 3b2 + 5c=
4) 20ae- 2b2d– c=
5) a5 +15b – 6c + 2d=
6) -4a + 6b – 7c + 4d=
7) -2a-3b-c-2d-e-3f=
8) 3ab+5bc-4d-ef=
9) 10a2b + 2bc + 2d=
10) 5abc + de + 2e +3f =
Las ecuaciones
Una ecuación es una igualdad entre dos
expresiones que contiene una o más variables y se
satisface para determinados valores de estas.
En una ecuación encontramos dos partes:
• Primer miembro
• Segundo miembro
Grado de una ecuación
El grado de una ecuación es el mayor de los
grados de los términos que forman sus miembros.
Ejemplos:
• 5x + 3 = 2x +1 →Ecuación de primer grado.
• 5x + 3 = 2x2 + x → Ecuación de segundo grado.
• 5x3 + 3 = 2x +x2 → Ecuación de tercer grado.
• 5x3 + 3 = 2x4 +1 → Ecuación de cuarto grado.
Soluciones de una ecuación.
Resolver una ecuación consiste determinar el o los valores
de las variables que participan en ella.
La solución de la ecuación son los valores numéricos de
las letras (variables o incógnitas) para los cuales la igualdad
es cierta. Es decir, al sustituir estos valores por las letras en la
ecuación y operar obtenemos una igualdad.
Según sea el grado de la ecuación esta tendrá un número
de soluciones:
Primer grado → una solución
Segundo grado →dos soluciones
Tercer grado → tres soluciones
…
Ecuaciones de primer grado en una
variable con signos de agrupación.
Procedimiento:
•1°) Se suprimen los signos de agrupación
•2°) Se transponen los términos con
incógnitas y los términos con valores
conocidos.
•3°) Se reducen los términos semejantes.
•4°) Se simplifica el resultado para encontrar
la solución.
Ejercicio 1: Resolver en el cuaderno las siguientes
ecuaciones.
1) 5x+{-2x+(-x+6)} = 18-{-(7x+6)-(3x-24)}
5x+{-2x-x+6} = 18-{-7x-6-3x+24}
5x-2x-x+6 = 18+7x+6+3x-24
5x-2x-x-7x-3x = 18+6-24-6
-8x = -6
-8x = -6
-8 -8
X = 6/8
X= ¾
X=0.75
2) x-(2x+1) = 8-(3x+3)
X-2x-1= 8-3x-3
X-2x+3x=8-3+1
2x = 6
2x = 6
2 2
X=3
3) 15x-10 = 6x-(x+2)+(-x+3)
4)
(5-3x)-(-4x+6) = (8x+11)-(3x-6)
Inecuación Lineal
Inecuaciones lineales o de primer grado: son desigualdades en las
que interviene una o más incógnitas, números y uno de los signos de
desigualdad (">", "<", "≥", "≤"), las cuales se verifican para
determinados valores de las incógnitas. Estas inecuaciones y sistemas
de ellas tienen bastante uso en problemas de programas lineal.
Resolución
Para resolver una inecuación lineal con una incógnita se deben
encontrar los valores de ésta para los cuales se cumple la desigualdad.
La solución de una inecuación es un intervalo. Para encontrarla, se
debe simplificar la expresión polinómica del mismo modo que se
realiza en las ecuaciones de primer grado, pero al dividir la inecuación
por un número negativo debe cambiarse el signo de la desigualdad.
Ejercicio 2: Resuelva en su cuaderno las siguientes
ecuaciones.
1) 15x-10 > 6x-(x+2)+(-x+3)
15x-10> 6x-x-2-x+3
15x-6x+x+x > -2+3+10
11x > 11
11x > 11
11 11
X>1
2) 9u – 11 > -10 + 12u
4) 3x + 2 + 3x < 6x - 42 + 12 – x
3) 8z + 8 -12z > 4z - 13 -5z
5) 10 -2y + 3 > -5y + 48
Ecuación cuadrática o de
segundo grado con una variable
Es aquellas en las que la incógnita aparece al menos una vez
elevada al cuadrado (x2 )
Ej: x2 - 7x = -4x + 10
Cualquier ecuación de segundo grado se puede expresar de la
forma:
ax2 +bx + c = 0
donde a, b y c serán números enteros (positivos o negativos).
Existen diversos métodos analíticos y gráficos para resolver una
ecuación de segundo grado, siendo uno de los más usados el de la
fórmula general
Podemos resolver una ecuación de segundo grado
utilizando la fórmula general
1) En caso de no estarlo organizar
la ecuación de segundo grado de
la forma ax2+bx+c=0
2) Se asignan en la fórmula
general los valores de a, b y c para
resolver las operaciones
planteadas
3) Se determinan los dos valores
de la variable que satisfacen la
ecuación.
También es posible en algunos casos resolver una
ecuación de segundo grado aplicando factorización:
1) Se extrae la raíz cuadrada del
término cuadrático. Esta será el
primer término de los dos
binomios factores.
2) Se identifican dos números
que al ser multiplicados nos dan
el término independiente y que
al ser sumados algebraicamente
nos dan el coeficiente del
término lineal
3) Se igualan ambos factores
binomios a cero y se despeja la
variable en cada uno. Estas
serán las soluciones de la
ecuación.
Ejercicio 3: Obtenga las soluciones de las siguientes
ecuaciones cuadráticas.
2) z2-2z-15=0
3) 6x2+7x-3=0
4) 3y2+5y-2=0
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