Términos semejantes En una expresión algebraica se llaman términos semejantes a todos aquellos términos que tienen igual factor literal; es decir, a aquellos términos que tienen iguales letras (símbolos literales) afectadas por iguales exponentes. Por ejemplo: • 6 a2b3 es término semejante con – 2 a2b3 porque ambos tienen el mismo factor literal (a 2 b 3 ) • 1/3 x5yz es término semejante con x5yz porque ambos tienen el mismo factor literal (x 5 yz) • 0,3 a2c no es término semejante con 4 ac2 porque los exponentes no son iguales, están al revés. Reducción de términos semejantes. Reducir términos semejantes consiste en sumar o restar tomando en cuenta los signos los coeficientes numéricos (sumar algebraicamente) en una expresión algebraica en la que los términos tengan el mismo factor literal. 1) 3a + 9a + 7a + a= 2) 3m + 6n + 10 + 2 + n= 3) 4b + 2c + 6b + 3c – 2= 4) 3d + 2d + 4d -6d + d= 5) 2xy + 4x + 3y – 5xy – 5x – 7y= 6) -4m -5m -2m -6m -9m +20m= Valor numérico de una expresión algebraica Es el número que se obtiene al sustituir las variables por los valores que les correspondes y realizar las operaciones indicadas. Ejemplo: Sabiendo que a=1, b=2, c=3, d=4, e=5 y f=6; determina el valor numérico en cada caso. 1) 4a +5b + 2c + 5= 2) a3 + b2 + 4c + 10= 3) 2a4 + 3b2 + 5c= 4) 20ae- 2b2d– c= 5) a5 +15b – 6c + 2d= 6) -4a + 6b – 7c + 4d= 7) -2a-3b-c-2d-e-3f= 8) 3ab+5bc-4d-ef= 9) 10a2b + 2bc + 2d= 10) 5abc + de + 2e +3f = Las ecuaciones Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones que contiene una o más variables y se satisface para determinados valores de estas. En una ecuación encontramos dos partes: • Primer miembro • Segundo miembro Grado de una ecuación El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los términos que forman sus miembros. Ejemplos: • 5x + 3 = 2x +1 →Ecuación de primer grado. • 5x + 3 = 2x2 + x → Ecuación de segundo grado. • 5x3 + 3 = 2x +x2 → Ecuación de tercer grado. • 5x3 + 3 = 2x4 +1 → Ecuación de cuarto grado. Soluciones de una ecuación. Resolver una ecuación consiste determinar el o los valores de las variables que participan en ella. La solución de la ecuación son los valores numéricos de las letras (variables o incógnitas) para los cuales la igualdad es cierta. Es decir, al sustituir estos valores por las letras en la ecuación y operar obtenemos una igualdad. Según sea el grado de la ecuación esta tendrá un número de soluciones: Primer grado → una solución Segundo grado →dos soluciones Tercer grado → tres soluciones … Ecuaciones de primer grado en una variable con signos de agrupación. Procedimiento: •1°) Se suprimen los signos de agrupación •2°) Se transponen los términos con incógnitas y los términos con valores conocidos. •3°) Se reducen los términos semejantes. •4°) Se simplifica el resultado para encontrar la solución. Ejercicio 1: Resolver en el cuaderno las siguientes ecuaciones. 1) 5x+{-2x+(-x+6)} = 18-{-(7x+6)-(3x-24)} 5x+{-2x-x+6} = 18-{-7x-6-3x+24} 5x-2x-x+6 = 18+7x+6+3x-24 5x-2x-x-7x-3x = 18+6-24-6 -8x = -6 -8x = -6 -8 -8 X = 6/8 X= ¾ X=0.75 2) x-(2x+1) = 8-(3x+3) X-2x-1= 8-3x-3 X-2x+3x=8-3+1 2x = 6 2x = 6 2 2 X=3 3) 15x-10 = 6x-(x+2)+(-x+3) 4) (5-3x)-(-4x+6) = (8x+11)-(3x-6) Inecuación Lineal Inecuaciones lineales o de primer grado: son desigualdades en las que interviene una o más incógnitas, números y uno de los signos de desigualdad (">", "<", "≥", "≤"), las cuales se verifican para determinados valores de las incógnitas. Estas inecuaciones y sistemas de ellas tienen bastante uso en problemas de programas lineal. Resolución Para resolver una inecuación lineal con una incógnita se deben encontrar los valores de ésta para los cuales se cumple la desigualdad. La solución de una inecuación es un intervalo. Para encontrarla, se debe simplificar la expresión polinómica del mismo modo que se realiza en las ecuaciones de primer grado, pero al dividir la inecuación por un número negativo debe cambiarse el signo de la desigualdad. Ejercicio 2: Resuelva en su cuaderno las siguientes ecuaciones. 1) 15x-10 > 6x-(x+2)+(-x+3) 15x-10> 6x-x-2-x+3 15x-6x+x+x > -2+3+10 11x > 11 11x > 11 11 11 X>1 2) 9u – 11 > -10 + 12u 4) 3x + 2 + 3x < 6x - 42 + 12 – x 3) 8z + 8 -12z > 4z - 13 -5z 5) 10 -2y + 3 > -5y + 48 Ecuación cuadrática o de segundo grado con una variable Es aquellas en las que la incógnita aparece al menos una vez elevada al cuadrado (x2 ) Ej: x2 - 7x = -4x + 10 Cualquier ecuación de segundo grado se puede expresar de la forma: ax2 +bx + c = 0 donde a, b y c serán números enteros (positivos o negativos). Existen diversos métodos analíticos y gráficos para resolver una ecuación de segundo grado, siendo uno de los más usados el de la fórmula general Podemos resolver una ecuación de segundo grado utilizando la fórmula general 1) En caso de no estarlo organizar la ecuación de segundo grado de la forma ax2+bx+c=0 2) Se asignan en la fórmula general los valores de a, b y c para resolver las operaciones planteadas 3) Se determinan los dos valores de la variable que satisfacen la ecuación. También es posible en algunos casos resolver una ecuación de segundo grado aplicando factorización: 1) Se extrae la raíz cuadrada del término cuadrático. Esta será el primer término de los dos binomios factores. 2) Se identifican dos números que al ser multiplicados nos dan el término independiente y que al ser sumados algebraicamente nos dan el coeficiente del término lineal 3) Se igualan ambos factores binomios a cero y se despeja la variable en cada uno. Estas serán las soluciones de la ecuación. Ejercicio 3: Obtenga las soluciones de las siguientes ecuaciones cuadráticas. 2) z2-2z-15=0 3) 6x2+7x-3=0 4) 3y2+5y-2=0