CAMPOS ESCALARES ACTIVIDAD 7: a) El gráfico adjunto muestra un mapa de curvas de nivel para una función f. Utilizarlo para calcular: f(-3;0), f(0;4), f(4;-3) b) ¿A cuál de los campos del ejercicio 5 podría corresponder este mapa de contorno? a) Para establecer la imagen de los pares ordenados (-3;0), (0;4) y (4;-3) ubicamos los puntos con dichas coordenadas mediante el sistema de referencia provisto y observamos si los mismos pertenecen a alguna curva de nivel (Ck). Luego la imagen correspondiente es el valor k (indicado sobre cada curva). Entonces f(-3;0) =4, f(0;4)=3 y f(4;-3)=0. De esta manera podemos determinar la imagen de pares ordenados si los puntos correspondientes pertenecen a las curvas de nivel provistas. Para esta actividad son C0, C3, C4, C√ . b) Observamos que las curvas de nivel son circunferencias concéntricas centradas en el origen, y sus radios disminuyen cuando el valor de k aumenta (para las curvas de nivel que se detallan). De la descripción de las curvas de nivel para los campos escalares de la actividad 5 elegimos el campo 𝑔(𝑥, 𝑦) = 25 − 𝑥 − 𝑦 debido a que del análisis del conjunto de curvas de nivel (𝐶 = (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷𝑜𝑚 : 𝑥 + 𝑦 = 25 − 𝑘 , 𝑘 ∈ [0,5] ) se tiene que las mismas son circunferencias concéntricas de centro en el origen (para k ≠5) y de radio √25 − 𝑘 . De esto último se establece que al aumentar k, k2 aumenta, 25- k2 disminuye y √25 − 𝑘 disminuye. 1 ACTIVIDAD 12: 𝟐𝒙𝒚 𝟑𝒚 Considerar la ley 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙 a) Determinar y graficar el dominio de f. b) Definir el conjunto CK de todas las curvas de nivel de f, donde K es imagen de f. c) Hallar la ecuación de la curva C1, graficarla en el dominio de f y analizar, mediante dos procedimientos diferentes, si alguno de los siguientes puntos pertenece a ella: A(-2;2), B(-3/2;1), Q(-1,1). d) Escribir una parametrización posible de C1, hallar la ecuación de la recta tangente a ella que pasa por el punto A(-2;2) y graficarla sobre la curva. e) Justificar por qué la siguiente afirmación es incorrecta. El punto 0(0,0) satisface la ecuación de cada una de las curvas definidas en CK por lo que las curvas de nivel se intersecan en él. a) Para este campo escalar, el denominador no puede ser cero y éste se anula cuando x = 3y. 𝑥 = 3𝑦 𝑥 1 1 = 3𝑦 3 3 𝑥 1 =𝑦 3 1 𝑦= 𝑥 3 Luego, el denominador se anula para 𝑦 = 𝑥, entonces 𝐷𝑜𝑚 = (𝑥, 𝑦) ∈ ℜ /𝑦 ≠ 𝑥 . Para graficar el dominio sombreamos el plano cartesiano a excepción de la recta 𝑦 = 𝑥 (recta que pasa por el origen y de pendiente 1/3). 2 b) Para definir el conjunto de curvas de nivel 𝐶 = (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷𝑜𝑚 /𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘, 𝑘 ∈ 𝐼𝑚 consideramos la siguiente igualdad: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘 2𝑥𝑦 =𝑘 𝑥 − 3𝑦 2𝑥𝑦 𝑥−3𝑦 (x – 3y ≠ 0) (1) . (𝑥 − 3𝑦) = 𝑘. (𝑥 − 3𝑦) 2𝑥𝑦 = 𝑘𝑥 − 𝑘3𝑦 2𝑥𝑦 + 𝑘3𝑦 = 𝑘𝑥 − 𝑘3𝑦 + 𝑘3𝑦 2𝑥𝑦 + 𝑘3𝑦 = 𝑘𝑥 𝑦(2𝑥 + 𝑘3) = 𝑘𝑥 𝑦(2𝑥 + 𝑘3). ( ) = 𝑘𝑥. ( 𝑦=( (2x + k3 ≠ 0) (2) ) ) (1) Esta condición la verifican todos los pares ordenados del dominio (2) Esta condición nos lleva a considerar 𝑥 = − 𝑘 como posible ecuación adicional de curva de nivel. Se puede demostrar que solo para k = 0, queda 𝑥 = 0 como ecuación de curva de nivel. El conjunto de curvas de nivel puede ser expresado de la siguiente manera: 𝐶 = (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷𝑜𝑚 / 2𝑥𝑦 = 𝑘, 𝑥 − 3𝑦 𝑘 ∈ 𝐼𝑚 Considerando k=0: 3 3 𝑥 = − 𝑘 = − .0 = 0 2 2 = 𝑦=( ) ( . . ) =0 Teniendo en cuenta lo graficado en el ítem a. Para k=0 se tiene los ejes coordenados sin incluir el origen. Considerando k≠0: 𝑦= 𝑘𝑥 (2𝑥 + 3𝑘) Análogamente a lo considerado para k=0, se obtienen gráficas de funciones homográficas sin incluir el origen debido a que el siguiente sistema: 𝑘𝑥 (2𝑥 + 3𝑘) 1 𝑦= 𝑥 3 ⎧𝑦 = ⎨ ⎩ tiene como solución al par ordenado (0;0) (Verificar). 3 c) Para hallar la curva C1 (k=1), se considera la siguiente ecuación: 𝑦=( ) = . . = (3) Para determinar si los puntos A, B y Q pertenecen a C1 (k=1) se puede optar por (i) verificar si sus coordenadas verifican la ecuación (3) o (ii) determinar su imagen por el campo escalar constatando la obtención del valor 1 como imagen. i) A(-2;2) −2 2. (−2) + 3 −2 2= −4 + 3 −2 2= −1 2=2 2= B(-3/2;1) no se puede aplicar este procedimiento debido a que no se puede dividir por cero Q(-1;1) −1 2. (−1) + 3 −1 1= −2 + 3 −1 1= 1 1 = −1 1= Se concluye que de los tres puntos considerados solo A pertenece a C1. 4 ii) A(-2;2) 𝑓(−2; 2) = 2. (−2). 2 −2 − 3.2 𝑓(−2; 2) = 1 B(-3/2;1) 𝑓(−3/2; 1) = 2. (−3/2). 1 −3/2 − 3.1 𝑓(−3/2; 1) = 2/3 Q(-1,1) 𝑓(−1; 1) = 2. (−1). 1 −1 − 3.1 𝑓(−1; 1) = 1 2 Se concluye que de los tres puntos considerados solo A pertenece a C1 debido a poseer imagen 1 y ser k = 1. d) Según lo indicado en la actividad 6 de función vectorial, una posible parametrización para C1 podría ser: 𝑥=𝑡 𝑦 = 𝑓(𝑡) 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏] donde [a,b] es el intervalo que contiene los valores de x (al ser x=t). 5 Luego, 𝑥=𝑡 𝑥 𝑦= 2𝑥 + 3 3 𝑡 ∈ ℜ − − ;0 2 Para hallar la ecuación de la recta tangente a C1 en el punto A utilizamos la ecuación: 𝑦 = 𝑓(𝑥 ) + 𝑓 (𝑥 ). (𝑥 − 𝑥 ) Siendo 𝑓(𝑥) = , x0 = –2 y f(x0)= 2. Calculamos f’(x0): 𝑓 (𝑥) = (2𝑥 + 3) − 2𝑥 3 = = (2𝑥 + 3) (2𝑥 + 3) 𝑓 (−2) = 3 =3 (2. (−2) + 3) Nos queda: 𝑦 = 2 + 3. 𝑥 − (−2) = 3𝑥 + 8 e) Las coordenadas del punto O(0,0) no verifican la expresión que determina las curvas de nivel al no poder dividir por cero. 2𝑥𝑦 =𝑘 𝑥 − 3𝑦 Otra forma de considerar la situación es notando que el punto O(0,0) no pertenece al dominio (como se indicó en el ítem a). Entonces no pertenecen al conjunto 𝐶 = (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷𝑜𝑚 /𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘, 𝑘 ∈ 𝐼𝑚 6
