ANUALIDAD

……………………………………………………………………………………………
INTRODUCCIÓN A LAS ANUALIDADES
Objetivos
Distinguir los elementos que intervienen en el concepto de anualidad.
Reconocer, definir y clasificar los diferentes tipos de anualidades.
Introducción
Este capítulo comienza con la definición de anualidad y con algunos ejemplos de
anualidades. Continúa con un ejemplo que ilustra dicho concepto, se cuestiona
sobre el valor de las anualidades, se captan los elementos que intervienen y se
da a conocer la simbología que se va a utilizar.
Y concluye con la clasificación y distinción de las anualidades de valores iguales ó
variables vencidas u ordinarias, anticipadas y diferidas.
Concepto
Anualidad. Es una sucesión de pagos generalmente de la misma cantidad y en
períodos iguales. Si los pagos son diferentes o alguno de ellos no es igual a los
demás, la anualidad será variable.
En finanzas se utiliza la palabra anualidad para los pagos periódicos iguales, pero
no necesariamente los que se realizan cada año, sino que su período puede ser:
semestral, trimestral, mensual, quincenal, etc. La expresión anualidad puede
cambiarse por la de renta ó sucesión.
Algunos ejemplos de anualidades son:
▪
▪
▪
▪
▪
▪
Dividendos sobre acciones
Los pagos a plazos.
El cobro del sueldo.
Los pagos de primas de póliza de seguro de vida.
Los pagos de rentas
Cobro de intereses por inversiones a plazo fijo
.
Con un ejemplo analizaremos el concepto de anualidad uniforme ó igual, así
como los elementos que intervienen en ella.
Ejemplo 1
Un deposito de $2,000.00 pagaderos cada final de trimestre durante 1 año a una
tasa efectiva trimestral del 3.25%
Del ejemplo anterior, tenemos lo siguiente
▪
▪
▪
▪
Situación de inversión (pagos)
Pagos iguales de $ 2,000.00
Períodos iguales de tiempo, al final de cada trimestre.
Tasa efectiva del 3.25%
Con un ejemplo analizaremos el concepto de anualidad con pagos variables, así
como los elementos que intervienen en ella.
Ejemplo 2
Depósitos al final de cada trimestre durante 1 año, el primero tiene un valor de
$2,000.00 y de aquí en adelante cada pago se aumentará $1,000.00 al del
trimestre inmediatamente anterior, a una tasa efectiva del 3.25% trimestral.
Del ejemplo anterior, tenemos lo siguiente
▪
▪
▪
▪
▪
Situación de inversión (pagos)
Pagos variables de $ 2,000.00, $3,000.00, $4,000.00 y $5,000.00
Períodos iguales de tiempo, al final de cada trimestre.
Tasa efectiva del 3.25%
Variación de cada pago $1,000.00
Podemos plantearnos las siguientes preguntas, derivadas del análisis de los
ejemplos anteriores.
1.- Cuál será el importe que se tendrá al término del plazo señalado
2.- Cuál es el valor presente equivalente a los pagos trimestrales.
Lo anteriormente señalado nos lleva a integrar los elementos que se involucran
en el concepto de anualidad.
Elementos:
Anualidad ó renta. Es el pago uniforme ó variable y periódico.
Tasa. El tipo de interés fijado y puede ser nominal o efectiva.
Tiempo. El intervalo que transcurre entre el comienzo del primer periodo de pago
y el final del último.
Valor futuro. Es el valor de la anualidad al final del plazo.
Valor presente. Es el valor equivalente a las anualidades al inicio del plazo.
Gradiente. Valor de la variación.
Simbología
A
i
j
n
p
m
F
P
G
= Pago periódico de una anualidad o renta.
= Tasa efectiva por periodo de capitalización.
= Tasa nominal anual.
= Número de períodos de pago.
= Número de pagos periódicos de la anualidad.
= Número de capitalizaciones de la tasa en el año.
= Valor futuro.
= Valor presente.
= Gradiente.
Clasificación de las anualidades
El pago de una anualidad puede hacerse al inicio de cada período al final del
período o puede hacerse después de haber transcurrido varios períodos.
Existen varios tipos de anualidades, en este capitulo se analizarán los siguientes:
Según los pagos
• Anualidades vencidas u ordinarias
• Anualidades anticipadas
Según el pago de la primera renta
• Anualidades diferidas
Anualidad vencida. Es aquella en que los pagos periódicos iguales se realizan
al final de cada período. Un ejemplo es la amortización de un crédito automotriz,
donde el primer pago mensual se hace al término del primer periodo.
Anualidades uniformes
0
1
2
3
$100
$100
$100
4
$100
5
6
7
8
$100
$100
$100
$100
9
$100
Anualidades variables
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
$100
$200
$300
$400
$500
$600
$700
$800
$900
Anualidad anticipada. Es aquella en que los pagos periódicos se hacen al inicio
de cada período y el interés continúa por un período más después de la última
renta. Un ejemplo es el pago de arrendamientos donde el primer pago se realiza
al comienzo del primer período.
Anualidades uniformes
0
1
$100 $100
2
$100
3
$100
4
$100
5
6
$100
$100
7
$100
8
$100
9
Anualidades variables
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
$100
$200
$300
$400
$500
$600
$700
$800
$900
Anualidad diferida. Es aquella en la que se estipula que el primer pago
periódico debe realizarse después de haber transcurrido cierto número de
períodos. Un ejemplo son las ventas a crédito del tipo “compre ahora y empiece a
pagar después”.
Anualidades uniformes
0
1
2
3
4
$100
$100
5
$100
6
7
8
$100
$100 $100
6
7
9
$100
Anualidades variables
0
1
2
3
$100
4
5
8
9
$200
$300
$400
$500
$600
$700
Las anualidades vencidas ó anticipadas pueden ser simples ó generales
Anualidades simples se definen como aquellas cuyo período de pago coincide
con el período de capitalización de la tasa de interés.
Anualidades generales son aquellas cuyo período de pago no coincide con el
período de capitalización de la tasa de interés.
ANUALIDADES VENCIDAS.
Objetivo
Identificar los factores que intervienen en las anualidades vencidas.
Comprender el desarrollo de las fórmulas, así como utilizar métodos matemáticos
para calcular: Valor Futuro, Valor Presente, Anualidades, Tasas y Número de
periodos.
Introducción
Con un ejemplo y un esquema sencillo, se define la fórmula a utilizar para
anualidades vencidas, tanto para un valor futuro como para un valor presente. Una
vez obtenida ésta, se despeja cada uno de los elementos que la conforman,
ejemplificando como se aplica cada despeje por medio de problemas resueltos. Al
final se presentan una serie de problemas a resolver con el fin de que se
comprenda este tema y ayude al alumno a tomar decisiones futuras más
convenientes acerca de compras, inversiones o préstamos.
Concepto
Una anualidad vencida, es aquella en la que los pagos periódicos o rentas se
llevan a cabo al final de cada periodo de pago.
Valor futuro de una anualidad vencida.
Con el siguiente diagrama de una anualidad vencida, y a través de un ejemplo
se determinará la fórmula para obtener el monto ó valor futuro de una anualidad
vencida.
Ejemplo 1.
¿Cuánto acumulará en un periodo de cuatro años, si deposita $200.00 al final de
cada año con una tasa de interés del 12% capitalizable anual?
0
A = $200.00
i = 12% anual
n = 4 años
1
200
2
3
4
200
200
200
F = P(1 + i) n
Primera anualidad
F = 200(1 + 0.12) 3 = 280.99
Segunda anualidad F = 200(1 + 0.12) 2 = 250.88
Tercera anualidad
F = 200(1 + 0.12)1 = 224.00
F = 200(1 + 0.12) 0 = 200.00
F = $955.87
3
2
F = 200(1 + 0.12) + 200(1 + 0.12) + 200(1 + 0.12)1 + 200
Cuarta anualidad
Ahora considerando el valor futuro como una suma de los valores futuros de cada
anualidad, se plantea la siguiente ecuación.
1
S = ar 3 + ar 2 + ar1 + a
Donde:
S=F
a=A
n=4
r = (1 + i)
•
se multiplica por r toda la sumatoria
Sr = ar 4 + ar 3 + ar 2 + ar
2
•
Se restan 1 y 2
Sr = ar 4 + ar 3 + ar 2 + ar
− ar 3 − ar 2 − ar1 − a
S=
Sr − S = ar 4 − a
S (r − 1) = a(r 4 − 1)
S=
a(r 4 − 1)
(r − 1)
Por lo tanto la fórmula para determinar el valor futuro de una anualidad
es:
vencida
 (1 + i ) n − 1
F = A

i


Sustituyendo en la formula los datos del ejemplo anterior, se obtiene el mismo
resultado.
 (1 + .12) 4 − 1
F = 200 
 = $955 .87
.12


Ejemplo 2
¿Cuánto acumulará dentro de 6 meses, si ahorra $ 5,000.00 al final de cada
semana a una tasa de interés del 3% efectiva mensual?
Nota: Después de plantear los datos en cada ejercicio de Anualidades se debe
hacer la conversión de la unidad de tiempo tanto en la tasa (i,j) como en el tiempo
(n) a la unidad de tiempo que tenga la Anualidad. Es decir:
Si la Anualidad se encuentra en una unidad de tiempo semanal, entonces se
sustituye en la fórmula de Anualidades una tasa efectiva (i) semanal y el tiempo
(n) en semanas.
Si la Anualidad se encuentra en una unidad de tiempo mensual, entonces se
sustituye en la fórmula de Anualidades una tasa efectiva (i) mensual y el tiempo
(n) en meses.
Nunca se modifica la Anualidad.
Datos
n = 6 meses
A = $ 5,000.00 cada semana
i = 3% efectiva mensual
F=?
im2 = (1 + im1 ) m1 / m2 − 1
im2 = (1.03)12 / 52 − 1
im2 = 0.00684458
efectiva semanal
 (1 + i ) n − 1
F = A

i


 (1.00684458 ) 26 − 1
F = 5,000 
 = $141,756 .18
.
00684458


Anualidad vencida en función de un valor futuro.
Se despeja la variable “A” de la fórmula de valor futuro, para determinar el importe
de cada pago.


i
A = F

n
 (1 + i ) − 1
Ejemplo 3
Con el fin de reunir $ 150,000.00 dentro de 24 meses, a una tasa de
interés efectiva anual del 8%, ¿Cuánto deberá ahorrar al final de cada mes para
lograr su propósito?
Datos
F = $ 150,000.00
n = 24 meses
i = 8% anual capitalizable anual
A =? al final de cada mes
im2 = (1 + im1 ) m1 / m2 − 1
im2 = (1.08)1 / 12 − 1
im2 = 0.00643403 efectiva mensual


i
A = F

n
 (1 + i ) − 1


.00643403
A = 150,000 
 = $5,799 .91
24
(
1
+
.
00643403
)
−
1


Tiempo en función de un valor futuro.
Se despeja la variable “n” de la formula de valor futuro, para determinar el número
de periodos.
 (1 + i ) n − 1
F = A

i


F  (1 + i ) n − 1 

=
A 
i

F (1 + i) n − 1
=
A
i
Fi
= (1 + i ) n − 1
A
Fi
+ 1 = (1 + i) n
A
Aplicando la propiedad de los logaritmos:
 Fi 
Log. + 1 = nLog (1 + i ) → Logx n = nLogx
 A

 Fi 
log  + 1
 A

n=
log(1 + i )
16/04/2012
Ejemplo 4
¿Cuántos depósitos de $5,000.00 al final de cada trimestre se necesitan para
lograr reunir $ 90,000.00? Si el banco paga el 30% anual con capitalización
trimestral.
Datos
F = $ 90,000.00
A = $ 5,000.00 al final de cada trimestre
j = 30% anual capitalizable trimestral
n =?
i = (1 + j / m) m − 1
i = (1 + 0.30 / 4)4 − 1
i = 0.335469141 Anual capitalizable anual
im2 = (1 + im1 ) m1 / m2 − 1
im2 = (1.335469141 )1 / 4 − 1
im2 = 0.075 Efectiva trimestral
 Fi 
log  + 1
 A

n=
log(1 + i )
 (90,000 )(.075) 
log
+ 1
5,000

 = 11.81
n=
log(1 + .075)
11.81 Depósitos trimestrales
Tasa en función de un valor futuro.
En la fórmula de valor futuro la variable ‘ i ‘ que corresponde a la tasa de
interés no se puede despejar, así que por medio de tanteo y el método de
interpolación se obtiene la tasa de interés.
Ejemplo 5
Una persona tiene una deuda de $ 180,000.00 que vence dentro de 3 años.
Para poder liquidar la deuda crea un fondo de amortización con depósitos al final
de cada mes de $ 3,505.00 ¿A qué tasa de interés efectiva capitalizable mensual
se debe invertir para poder liquidar la deuda?
Datos
n = 3 años
A = $3,505.00 al final de cada mes
F = $180,000.00
i =? Mensual
Se utiliza la fórmula de futuro de una anualidad ò anualidad de un valor futuro.
 (1 + i ) n − 1
F = A

i


Se sustituyen los datos del problema en este caso en la fórmula de Futuro de una
Anualidad, dejando la incógnita (i) planteada.
 (1 + i ) 36 − 1
180,000 = 3,505 

i


Se despeja la cantidad correspondiente a la Anualidad que se encuentra
multiplicando del lado derecho de la fórmula y pasa al lado izquierdo dividiendo al
valor Futuro.
180,000  (1 + i ) 36 − 1
=

3,505
i


De la división se obtiene un factor y se plantea una igualdad donde se le darán
valores por tanteo a la tasa, de modo que al sustituirlos se llegue a un valor menor
y a uno mayor, lo más cercano posible a ese factor.
 (1 + i ) 36 − 1
51.3552 = 

i


Para 5% = 95.83632272
 (1 + 0.05) 36 − 1
51.3552 = 

0.05


Para 3% = 63.27594427
 (1 + 0.03) 36 − 1
51.3552 = 

0.03


Para 2% = 51.99436719
 (1 + 0.02) 36 − 1
51.3552 = 

0.02


Para 1% = 43.07687836
 (1 + 0.01) 36 − 1
51.3552 = 

0.01


Por lo tanto se observa que para un 2% se tiene un factor mayor al que se busca
de 51.3552 y para un 1% un factor menor al 51.3552 por lo tanto para el
procedimiento de interpolación se tomas estos dos límites con su resultado
correspondiente.
Se plantea de la siguiente forma y se sacan diferencias entre cada extremo de los
corchetes.
1%
X
i
--------------- 43.07687836
--------------- 51.3552
8.278328487
1%
8.917488827
2%
--------------- 51.99436719
Se forma una igualdad que se resuelve por medio de una regla de tres, los
corchetes pequeños es decir X entre 8.278328487 igual a los corchetes grandes el
1% entre 8.917488827. Al resultado de la regla de tres se le suma el porcentaje
menor que es el 1% y se obtiene el resultado de la tasa efectiva.
X
=
8.278328487
1%
8.917488827
= 0.928325075% + 1% =
= 1.928325075% mensual capitalizable mensual
También se pueden acomodar los porcentajes de otra forma, restando ahora el
2% obteniendo el mismo resultado buscado de la tasa efectiva.
X
2%
i
--------------- 51.99436719
--------------- 51.3552
0.63916719
1%
8.91748883
1%
--------------- 43.07687836
X
=
1%
0.63916719
8.917488827
= 0.071675693% - 2% =
= 1.928325075% mensual capitalizable mensual
Valor presente de una anualidad vencida.
Ejemplo 6.
¿Cuánto tendrá que depositar en este momento para poder recibir 4 retiros de
$200.00 al final de cada año si le ofrecen una tasa de interés del 12% capitalizable
anual?
0
1
2
3
4
200
200
200
A = $200.00
i = 12% anual
n = 4 años
P=
200
F
(1 + i) n
200
= 178.57
(1 + .12)1
200
Segunda anualidad P =
= 159.44
(1 + .12) 2
200
P=
Tercer anualidad
= 142.36
(1 + .12)3
200
P=
Cuarta anualidad
= 127.10
(1 + .12) 4
$ 607.47
Primer anualidad
P=
P = 200(1.12)-1 + 200(1 + .12)-2 + 200(1 + .12)-3 + 200(1.12)-4
Ahora considerando el valor presente como una suma de los valores presentes de
cada anualidad, se plantea la siguiente ecuación.
1
S = ar −1 + ar −2 + ar −3 + ar −4
Donde:
S=P
a=A
n=4
r = (1 + i )
•
2
se multiplica por r toda la sumatoria
Sr = a + ar −1 + ar −2 + ar −3
•
Se restan 1 y 2
Sr = a + ar −1 + ar −2 + ar −3 3
S = − ar −1 − ar −2 − ar −3 − ar −4
− ar −4
Sr − S = a
S (r − 1) = a(1 − r −4 )
S=
a(1 − r 4 )
(r − 1)
Por lo tanto la fórmula para determinar el valor presente de una anualidad
vencida es:
1 − (1 + i )− n 
P = A

i


Sustituyendo en la formula los datos del ejemplo anterior, se obtiene el mismo
resultado.
1 − (1 + .12 )−4 
P = 200 
 = $607.47
.12


Ejemplo 7
¿Cuánto dinero podrá solicitar hoy como préstamo, si está dispuesto a pagar
36 abonos mensuales vencidos de $ 7,000.00?. La tasa de interés que le
cobrarán es del 40% anual capitalizable mensualmente.
Datos
A = $ 7,000.00 mensuales
n = 36 mensualidades
j = 40% anual capitalizable mensual
P=?
i = (1 + j / m) m − 1
i = (1 + 0.40 / 12)12 − 1
i = 0.48212649 Anual capitalizable anual
im2 = (1 + im1 ) m1 / m2 − 1
im2 = (1.48212649 )1 / 12 − 1
im2 = 0.033333333
Efectiva mensual
Otra forma en este caso es dividiendo entre 12:
i = 0.40/12 = 0.03333333 mensual capitalizable mensual
1 − (1 + i )− n 
P = A

i


1 − (1 + 0.03333333 )−36 
P = 7,000 
 = $145,499.44
0
.
03333333


Anualidad vencida en función de un valor presente.
Se despeja la variable “A” de la fórmula de valor presente, para determinar el
importe de cada pago.


i
A = P

n
−

1 − (1 + i ) 

Ejemplo 8
Encontrar el importe de cada pago quincenal, por un préstamo otorgado de $
250,000.00 a pagar durante 4 años, tomando en consideración que todos los
pagos son por el mismo importe y la tasa de interés es de 25% nominal
capitalizable semestralmente.
P = $ 250,000.00
n = 4 años
j = 25% anual capitalizable semestral
A =? quincenal
i = (1 + j / m) m − 1
i = (1 + 0.25 / 2)2 − 1
i = 0.265625 anual capitalizable anual
im2 = (1 + im1 ) m1 / m2 − 1
im2 = (1.265625 )1 / 24 − 1
im2 = 0.009863581
efectiva quincenal


i
A = P

n
−

1 − (1 + i ) 



0.009863581
A = 250,000 
= $4,040 .76
−
96 
1
−
(
1
+
0
.
00986581
)


Tiempo en función de un valor presente.
Se despeja la variable “n” de la formula de valor presente, para determinar el
número de periodos.
1 − (1 + i )− n 
P = A

i


P  1 − (1 + i ) − n
=
A 
i



Pi
= 1 − (1 + i) −n
A
Pi
− 1 = −(1 + i) −n
A
1−
Pi
= (1 + i) −n
A
Aplicando la ley de logaritmos:
 Pi 
Log 1 −  = −nLog (1 + i ) → Logx n = nLogx
A

 Pi 
log 1 − 
A

n=
− log(1 + i )
Ejemplo 9
Calcular el número de semestres que requiere para pagar un crédito de $
50,000.00 con pagos de $ 6,700.00 al final de cada semestre a una tasa de interés
de 15% anual capitalizable trimestral.
Datos:
A = $6,700.00 al final de cada semestre
P = $ 50,000.00
j = 15% anual capitalizable trimestral
n=?
i = (1 + j / m) m − 1
i = (1 + 0.15 / 4)4 − 1
i = 0.158650415 anual capitalizable anual
im2 = (1 + im1 ) m1 / m2 − 1
im2 = (1.158650415 )1 / 2 − 1
im2 = 0.07640625
semestral capitalizable semestral
 Pi 
log 1 − 
A

n=
− log(1 + i )
 (50,000 )(0.07640625 ) 
Log 1 −

6
,
700

 = 11.47
n=
− Log (1 + 0.07640625 )
n = 11.47 pagos semestrales
Tasa en función de un valor presente.
En la fórmula de valor presente la variable ‘ i ‘ que corresponde a la tasa de
interés no se puede despejar, así que por medio de tanteo y el método de
interpolación se obtiene la tasa de interés.
Ejemplo 10
Si un crédito por $35,000.00 se paga en 3 años con pagos quincenales de $
750.00, ¿A qué tasa nominal capitalizable semestralmente está otorgado el
crédito?
Datos
A = $ 750.00 quincenales
P = $ 35,000.00
n = 3 años
j = ? Capitalizable semestral
Para determinar tasa de interés se utiliza la fórmula de presente de una anualidad
o anualidad de un valor presente, llevando acabo el mismo procedimiento que se
utilizó en valor futuro.
1 − (1 + i )− n 
P = A

i


−n

P
1 − (1 + i ) 
=

A 
i

−72
35,000 1 − (1 + .01) 
=

750
.01


1 − (1 + .02 )−72 
46.66666667 = 

.
02


51.150391
37.9840 - 46,6666 = 13.6826
X
1%
i
--------------- 51.15039148 4.483724812
------------- 46.66666667
1%
13.1663284
2%
X
4.483724812
--------------- 8.682603527
=
1%
13.1663284
+
= 0.340544812% + 1% = 1.340544812%
quincenal capitalizable quincenal
im2 = (1 + im1 ) m1 / m2 − 1
im2 = (1.0134054481 2) 24 / 2 − 1
im2 = 0.173272297 efectiva semestral X 2
j = 0.346544594 anual capitalizable semestral
Problemas resueltos de Anualidades Vencidas.
Ejemplo 11
Si se depositan $3,500.00 a fines de cada semestre, con una tasa del 15%
anual capitalizable mensual. ¿Cuál será el monto de la inversión al final de 7
años?
Al plantear los datos se observa que las anualidades son por semestre, por lo
tanto el tiempo y la tasa deberá convertirse a semestres.
Datos
n = 7 años = 14 semestres
A = $ 3,500.00 semestral
j = 15% anual capitalizable mensual
F=?
i = (1 + j / m) m − 1
i = (1 + 0.15 / 12)12 − 1
i = 0.160754517 anual capitalizable anual
im2 = (1 + im1 ) m1 / m2 − 1
im2 = (1.160754517 )1 / 2 − 1
im2 = 0.07738318
semestral capitalizable semestral
Una vez convertidos los datos a la unidad de tiempo de la Anualidad, sustituimos
en la fórmula de valor futuro vencida.
 (1 + i ) n − 1
F = A

i


 (1.07738318 )14 − 1
F = 3,500 
 = $83,182 .10
.07738318


Ejemplo 12
¿Qué cantidad se debe depositar a fines de cada mes durante 5 años
para lograr un fondo de $300,000.00, si el interés es del 18% anual
capitalizable
semestral?
Datos
F = $ 300,000.00
n = 5 años
j = 18% anual capitalizable semestral
A =? al final de cada mes
i = (1 + j / m) m − 1
i = (1 + 0.18 / 2) 2 − 1
i = 0.1881 anual capitalizable anual
im2 = (1 + im1 ) m1 / m2 − 1
im2 = (1.1881)1 / 12 − 1
im2 = 0.014466592 mensual capitalizable mensual


i
A = F

n
(
1
+
i
)
−
1




.014466592
A = 300,000 
 = $3,173 .97
60
(
1
+
.
014466592
)
−
1


Ejemplo 13
¿Qué cantidad es necesario depositar en un banco para poder recibir
3,000.00 a fines de cada quincena durante 3 años si la tasa de interés es del 12%
anual capitalizable anual?
Datos
A = $ 3,000.00 a fines de cada quincena
n = 3 años
i = 12% anual capitalizable anual
P=?
im2 = (1 + im1 ) m1 / m2 − 1
im2 = (1.12)1 / 24 − 1
im2 = 0.004733195 efectiva quincenal
1 − (1 + i )− n 
P = A

i


1 − (1 + 0.004733195 )−72 
P = 3,000 
 = $182,679.83
0
.
004733195


Ejemplo 14
De una inversión de $50,000.00, se realizan retiros trimestrales con una tasa
de interés del 16% anual capitalizable trimestral durante 10 años. ¿De cuánto es
cada retiro?
P = $ 50,000.00
n = 10 años
j = 16% anual capitalizable trimestral
A =? Trimestral
i = (1 + j / m) m − 1
i = (1 + 0.16 / 4) 4 − 1
i = 0.16985856 Anual capitalizable anual
im2 = (1 + im1 ) m1 / m2 − 1
im2 = (1.16985856 )1 / 4 − 1
im2 = 0.04 Efectiva trimestral
Otra forma en este caso es dividiendo entre 4:
i = 0.16/4 = 0.04 trimestral capitalizable trimestral

i
A = P
−n

1 − (1 + i )






0.04
A = 50,000 
= $2,526 .17
−
40 
1 − (1 + 0.04)

Nota: Los ejercicios 15 y 16 presentan un procedimiento, pero pueden resolverse
de varias formas, solo que el resultado debe ser el mismo por el procedimiento
que seleccione.
Ejemplo 15
Una persona solicitó un préstamo de $500,000.00 para amortizarlo con 6
pagos trimestrales vencidos de $87,785.06. El banco cobra el 6% anual
capitalizable mensual. Al vencimiento del tercer pago realiza un abono adicional
de $100,000.00. Calcular el importe de los tres pagos restantes.
P = $500,000.00
n = 6 trimestres
A = $87,785.06 trimestrales.
j = 6% anual capitalizable mensual
Pago = $100.000.00
A = ? tres pagos restantes
i = (1 + j / m)m − 1
i = (1 + 0.06 / 12)12 − 1
i = 0.061677812 anual capitalizable anual
im2 = (1 + im1 ) m1 / m2 − 1
im2 = (1.061677812 )1 / 4 − 1
im2 = 0.015075125 efectiva trimestral
 (1 + i ) n − 1
F = A

i


 (1 + .015075125 )3 − 1
F = 87,785 .06 
 = $ 267,345.24
.015075125


F = $ 267,345.24
+ $ 100,000.00
$ 367,345.24
F = P(1 + i) n
F = 500,000.00(1.015075125 ) 3 = $522,955.29
-
F = $522,955.29
F = $ 367,345.24
F = $ 155,610.05 ---- P


i
A = P

−n

1 − (1 + i ) 



0.015075125
 = $53,441 .71
A = 155,610 .05 
−3


1
−
(
1
.
015075125
)


Ejemplo 16
Si un equipo electrónico se puede adquirir pagando $14,000.00 de anticipo, 7
pagos mensuales vencidos iguales por $1,600.00 y un último pago al final del
octavo mes por $2,300.00, considerando una tasa de interés del 27% anual
capitalizable cuatrimestral. ¿Cuál habrá sido su valor de contado?
Datos
Pago = $14,000.00
A = $ 1,600.00 mensuales
Pago = $2,300.00
n = 7 mensualidades
j = 27% anual capitalizable cuatrimestral
P=?
i = (1 + j / m) m − 1
i = (1 + 0.27 / 3)3 − 1
i = 0.295029 anual capitalizable anual
im2 = (1 + im1 ) m1 / m2 − 1
im2 = (1.295029 )1 / 12 − 1
im2 = 0.021778181 efectiva mensual
1 − (1 + i )− n 
P = A

i


1 − (1.021778181 )−7 
P = 1,600.00 
 = $10,284.77
0
.
021778181


P=
P=
F
(1 + i) n
2,300 .00
= $1,935 .86
(1.021778181 ) 8
Valor de contado:
P = $14,000.00
P = $10,284.77
P = $ 1,935.86
P = $26,220.63
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.- Para un crédito de $ 80,000.00 a pagar en 18 mensualidades iguales a una
tasa de interés nominal capitalizable mensualmente de 35%. Calcular el importe
de cada pago.
2.- Con el fin de reunir $ 250,000.00 en 2 años, a una tasa de interés efectiva del
8% efectiva anual, ¿cuánto debe ahorrar trimestralmente?
3.- Con una inversión inicial de $ 50,000.00 y 12 depósitos mensuales iguales
posteriores, se logra tener un monto de $ 100,000 calcular cuánto ahorra cada
mes. La tasa es de 9% efectiva trimestral.
4.- Si una persona tiene disponibles $ 6,000.00 mensuales para poder pagar un
crédito con la tasa del 32% capitalizable anual y el crédito debe pagarse en 36
mensualidades iguales. ¿Cuánto dinero puede pedir prestado?.