DERIVADAS

Pregrado
DERIVADAS PARCIALES
Ingeniería
Civil
Pregrado
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Ingeniería Civil
En esta sesión de clase aprenderás
• Calcular la derivada parcial de primer y segundo orden, mostrando
orden y claridad en el manejo de la información.
• Resolver problemas relacionados con la especialidad, haciendo uso
de la derivada parcial, mostrando una actitud analítica y
colaborativa.
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Contenidos:
 Caso aplicativo.
 Introducción.
 Derivadas parciales de una función en dos variables.
 Interpretación geométrica .
 Derivadas parciales de orden superior.
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Caso aplicativo
Una lata de bebida gaseosa tiene la forma de un cilindro de altura 𝐻
con un radio de 𝑅 centím
etros. Su volumen está dado por la fórmula 𝑉 = 𝜋𝑅2 𝐻. Una lata en
particular mide 12 𝑐𝑚 de alto con radio de 3 𝑐𝑚 .
a) Calcula la razón de cambio del volumen con respecto al radio.
b)Calcula el cambio de volumen que resulta si el radio aumenta en 1
cm mientras que la altura permanece en 12 cm.
c) Calcula el cambio exacto del volumen.
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Saberes previos:
La derivada de la función 𝑦 = 𝑓 𝑥 en 𝑥, se define,
f ( x  h)  f ( x )
f ( x)  lim
h 0
h
'
Siempre y cuando este limite exista.
Geométricamente, la derivada de 𝑓 en 𝑥 es la pendiente de la recta
tangente a 𝑓 en 𝑥, es decir:
𝑓 ′ 𝑥 = 𝑚𝑇
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Derivadas parciales para una función en
dos variables
Caso 1
Si 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 es una función en dos variables, entonces la
derivada parcial de 𝑓 𝑥, 𝑦 con respecto a 𝑥 en el punto 𝑥0 , 𝑦0 ,
se denota:
f ( x0  h, y0 )  f ( x0 , y0 )
f
( x0 , y0 )  lim
h 0
x
h
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Interpretación geométrica
Representa la pendiente de la recta tangente a la curva
𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑦0 ) en el punto 𝑃 perteneciente a la
gráfica, es decir, la inclinación de la superficie en la
dirección del eje 𝑥.
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Caso 2
Si 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 es una función en dos variables, entonces la derivada
parcial de 𝑓 𝑥, 𝑦 con respecto a 𝑦 en el punto 𝑥0 , 𝑦0 , se denota:
f ( x0 , y0  h)  f ( x0 , y0 )
f
( x0 , y0 )  lim
h 0
y
h
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Interpretación geométrica
Representa la pendiente de la recta tangente a la curva 𝑔 𝑦 = 𝑓(𝑥0 , 𝑦)
en el punto 𝑃 perteneciente a la gráfica, es decir, la inclinación de la
superficie en la dirección del eje 𝑦.
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Notación: Si 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 , se tiene las siguientes notaciones:
𝜕𝑓
𝑥0 , 𝑦0 = 𝑓𝑥 𝑥0 , 𝑦0
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝑥0 , 𝑦0 = 𝑓𝑦 𝑥0 , 𝑦0
𝜕𝑦
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Ejemplo 1
Si 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 2 + 5𝑦 2 , halle 𝑓𝑥 3,2 y 𝒇𝒚 𝟐, 𝟑 .
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Ejemplo 2
Si 𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥 2 𝑦 − 5𝑥𝑐𝑜𝑠𝜋𝑦, halle 𝑓𝑦 y 𝑓𝑥 .
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Ejemplo 3
Si 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥𝑦, halle
𝜕𝑓
𝜕𝑥
y
𝜕𝑓
.
𝜕𝑦
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Ejemplo 4
Si 𝑢 𝑥, 𝑡 = 𝑒 𝑥𝑦 + ln 𝑥 2 + 𝑦 , halle 𝑢𝑥 y 𝑢𝑡 .
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Ejercicios de reforzamiento
Si 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑦 2 𝑧 3 , halle 𝑓𝑥 , 𝑓𝑦 y 𝒇𝒛 .
Si 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 3 𝑦 2 𝑧 + 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦, halle 𝑓𝑥 , 𝑓𝑦 y 𝒇𝒛 .
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Derivadas parciales de orden superior
Sea 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 una función de dos variables, las derivadas de primer
orden son:
 f
 fx
x
 f
 fy
y
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La derivadas parciales de segundo orden son:
2f
 f xx
2
x
2 f
 f xy
yx
 f
 f yy
2
y
2 f
 f yx
xy
2
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Recuerda
Sea 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ2 ⟶ ℝ una función definida en el abierto 𝐷. Si las
derivadas parciales 𝑓𝑥𝑦 : 𝐷 ⊂ ℝ2 ⟶ ℝ y 𝑓𝑦𝑥 : 𝐷 ⊂ ℝ2 ⟶ ℝ existen
y son funciones continuas en 𝐷, entonces
2 f
2 f

yx xy
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Ejemplo 5
Si 𝑧 = 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 , halle:
a)
𝜕2 𝑧 𝜕3 𝑧
,
𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 3
b)
𝜕2 𝑧 𝜕3 𝑧
,
𝜕𝑦 2 𝜕𝑦 3
c)
𝜕2 𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑦
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Ejemplo 6
Si 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑒 𝑦 , halle:
a)
𝜕2 𝑓 𝜕2 𝑓
,
𝜕𝑥 2 𝜕𝑦𝜕𝑥
b)
𝜕2 𝑓 𝜕2 𝑓
,
𝜕𝑦 2 𝜕𝑥𝜕𝑦
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Ejemplo 7
Si 𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑥
,
𝑥 2 +𝑦 2
halle:
𝜕2 𝑓 𝜕2 𝑓
,
2
𝜕𝑥 𝜕𝑦𝜕𝑥
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Ejemplo 8
Si w 𝑥, 𝑦, 𝑧 =
2
−𝑧
𝑒 𝑐𝑜𝑠
𝑥 2 + 𝑦 4 , halle 𝑤𝑦𝑥𝑧 .
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Ejemplo 9
Si 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑧𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑦 , halle 𝑓𝑦𝑧𝑧 .
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Ejercicios de reforzamiento
2𝑓
2𝑓
𝜕
𝜕
1. 𝑆𝑖 𝑓 𝑥, 𝑦 = ln 𝑥 2 + 𝑦 2 , ℎ𝑎𝑙𝑙𝑒
𝑦
.
2
2
𝜕𝑥
𝜕𝑦
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2. Verifique que la función 𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧 =
1
𝑥 2 +𝑦 2 +𝑧 2
ecuación de Laplace en tres dimensiones
𝜕2 𝑢
𝜕𝑥 2
𝜕2 𝑢
+ 2
𝜕𝑦
𝜕2 𝑢
+ 2
𝜕𝑧
=0
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satisface la
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3. Halle una función 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 talque
𝜕𝑧
𝜕𝑥
=
2𝑥𝑦 3
+ 2𝑦 +
1
𝑥
y
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 3𝑥 2 𝑦 2 + 2𝑥 + 1.
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4. La presión 𝑃 ejercida por un gas ideal encerrado está dada por
𝑇
𝑉
𝑃=𝑘
, donde 𝑘 es una constante, 𝑇 es la temperatura y 𝑉
es el volumen. Determine:
a) La tasa de cambio de 𝑃 con respecto a 𝑉.
b) La tasa de cambio de 𝑉 con respecto a 𝑇.
c) La tasa de cambio de 𝑇 con respecto a 𝑃.
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¡Ojo! Recuerda que debes
resolver los ejercicios de la
hoja de trabajo de la sesión
2 que esta en blackboard en
la carpeta de nombre
actividades de evaluación;
esto te ayudará a enriquecer
los temas vistos en clase.
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