TAREA1

CÁLCULO
Tarea #1
Tema:
- Propiedades de los números reales
- El método de la inducción matemática
Nombre: José Luis Garcı́a
Grupo:
1CV2
Fecha:
17 de agosto del 2018.
1.
Propiedades de los números reales
El sistema de los números reales es uno de los pilares fundamentales en el desarrollo de las
matemáticas a cualquier nivel, existen muchos resultados que muestran su importancia histórica.
No obstante, la presente obra no realiza un estudio más profundo de este conjunto numérico
y simplemente se establece el conjunto de axiomas a partir de los cuales se derivan todas las
propiedades utilizadas en un curso básico de cálculo.
1.1.
Axiomas de los números reales
Dados dos números reales cualesquiera x y y se define la suma x + y ∈ R y el producto xy ∈ R
que satisfacen los siguientes axiomas:
Axioma 1 Propiedad conmutativa de la suma
x+y =y+x
Axioma 2 Propiedad asociativa de la suma
x + (y + z) = (x + y) + z
Axioma 3 Existencia del neutro aditivo
∃ 0 ∈ R | x + 0 = x.
Axioma 4 Existencia de inversos aditivos
∀ x ∃ −x∈R |
x + (−x) = 0
Axioma 5 Propiedad conmutativa del producto
xy = yx
Axioma 6 Propiedad asociativa del producto
x(yz) = (xy)z
Axioma 7 Existencia del neutro multiplicativo
∃1∈R |
x·1=x
Axioma 8 Existencia de inversos aditivos
∀ x ∃ x−1 ∈ R |
x · x−1 = 1
Axioma 9 Propiedad distributiva
x(y + z) = xy + xz
2.
Método de la inducción matemática
Supóngase que se tiene una proposición relativa a los números naturales y se ha encontrado
que ésta se cumple en algunos casos particulares. ¿Cómo puede determinarse si la proposición se
cumple en general?; o bien, para ser más especı́ficos, ¿cómo puede determinarse si la proposición
es verdadera para todos los números naturales n = 1, 2, 3, ...?.
En ocasiones, se contesta a esta pregunta, usando un método especial de razonamiento llamado
método de la inducción matemática y basado en el principio siguiente:
Una proposición se cumple para todo número natural n si se satisfacen las condiciones siguientes:
Condición 1. La proposición se cumple para n = 1.
Condicion 2. La veracidad de la propocicion para cualquier número natural n = k implica su
veracidad para el número natural siguiente n = k + 1.
EJEMPLO 1: Escribamos la suceción de lo números impares en orden de magnitud: 1, 2, 5, 7, ...
Si nombramos al primer número como u1 , el segundo por u2 , el tercero por u3 , etc; se tiene lo
siguiente:
u1 = 1,
u2 = 3,
u3 = 5,
u4 = 7, ....
(1)
Ahora lo que queremos es hallar una fórmula que exprese el número impar un en términos de
su ı́ndice n.
Vemos que el primer número u1 en (1) puede escribirse en la forma
u1 = 2 · 1 − 1
(2)
el segundo número impar u2 se puede escribir como
u2 = 2 · 2 − 1
(3)
u3 = 2 · 3 − 1
(4)
u3 de la forma
El análisis de (2), (3) y (4) no lleva a plantear la hipótesis de que cualquier número impar
puede obtenerse multiplicando su ı́ndice por 2 y restando 1; osea, cualquier número un , se escribe
como
un = 2n − 1
(5)
Vámos a probar que la fórmula (5) es válida generalmente.
Condición 1. La fórmula (5) se cumple para n = 1.
Condición 2. Ahora suponemos que (5) se cumple para n = k; es decir, que el k-ésimo número
impar está dado por
uk = 2k − 1
Ahora verifiquemos que con esta suposición, la formula (5) también se cumple para el (k + 1)ésimo número impar que debe estar dado por
uk+1 = 2(k + 1) − 1 = 2k + 1
Sabemos que para obtener el (k + 1)-ésimo número impar debemos sumar 2 al k-ésimo número
impar;
uk+1 = uk + 2
pero uk = 2k − 1, por lo tanto
uk+1 = (2k − 1) + 2 = 2k + 1
Y ası́ verificamos que
un = 2n − 1
EJEMPLO 2: Probar que la suma Sn de los n primeros números naturales es
n(n + 1)
(6)
2
En este problema ya tenemos una hipótesis, ahora nos corresponde probarla, sabemos que la
suma que se busca es,
Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n
Condición 1. La fórmula (6) se cumple para n = 1.
Condición 2. Ahora suponemos que
Sk = 1 + 2 + ... + k =
k(k + 1)
2
demostremos que
Sk+1 =
(k + 1)(k + 2)
2
Sabemos que
Sk+1 = Sk + (k + 1)
donde: Sk =
k(k + 1)
2
Por lo tanto
k(k + 1)
(k + 1)(k + 2)
+ (k + 1) =
2
2
Demostrando que la fórmula (6) es correcta.
Sk+1 =
Referencias
[1] Dennis G. Zill, Dennis G. Zill. Matemáticas 1: Cálculo diferencial. McGraw Hill. 1ED.
[2] I. S. Sominskii. El método de la inducción matemática. LIMUSA. 7ED