CÁLCULO DE VOLÚMENES MEDIANTE INTEGRALES DOBLES CONDICIONES NOMBRE: DIEGO COLOMA. VOLUMEN Sea f (x, y) ≥ 0 y continua en una región cerrada R. Sea VQ el volumen del sólido Q que tiene a R como base y una altura de medida f (x, y) en cada (x, y) R, entonces ∈ Si el sólido Q está limitado, sobre la región cerrada R, por dos superficies de ecuaciones z = f (x, y) y z = g (x, y) con f y g continuas y f (x, y)− g (x, y) ≥ 0 sobre R, entonces, Las integrales dobles son una forma de integrarse en una región bidimensional. Entre otras cosas, nos permiten calcular el volumen bajo una superficie. EJEMPLO Podemos reescribir el último plano como f(x,y)=z=1−x−y y pensar que queremos el volumen entre la superficie del plano inclinado y la región del plano xy formada por el siguiente triángulo: Imagina que queremos calcular el volumen de la región limitada por los planos x=0,y=0 y x+y+z=1 A través del gráfico vemos que el dominio es limitado por los ejes cartesianos y por la intersección del plano x+y+z=1 con el plano xy, es decir, por la recta x+y=1. Entonces, f(x,y)=1−x−y representa la “altura” de la región en cada punto y dA representa el área sobre dicha altura. Llamando a esa región plana como D, tenemos que: Es decir, el volumen que queremos es la integral de la función que representa el plano inclinado en la región plana que trazamos anteriormente. COMO MENCIONAMOS, PARA DESCUBRIR LA ECUACIÓN DE LA RECTA INCLINADA HACEMOS LA INTERSECCIÓN DEL PLANO Z=1−X−Y CON Z=0, LO QUE NOS DA: Es decir, el volumen que queremos es la integral de la función que representa el plano inclinado en la región plana que trazamos anteriormente. Escribiendo la región plana como tipo I, tenemos que y está entre las rectas y=0 y y=1−x, mientras que x está entre x=0 y x=1. Por tanto, 0≤y≤1−x,0≤x≤1. Llevándolo a la integral:
