CAPI

INTRODUCCIÓN
Nuestra realidad nacional actual y los planes perspectivos de desarrollo científico - técnico del
país, exigen la elaboración de libros de texto adecuados, basados en la experiencia de nuestra
práctica docente. Con este material esperamos contribuir con nuestro aporte a estas exigencias.
Hemos seleccionado problemas y ejercicios de Análisis Matemático, que se refieren a los
contenidos de los programas de Matemática de las carreras de Ciencias Farmacéuticas y
Biológicas que se estudian en nuestros centros de Educación Superior.
Prestamos especial atención a aquellos temas, que por ser más importantes, requieren una mayor
ejercitación, para lograr un ominio profundo de la materia y desarrollar habilidades necesarias para
la creación científico - técnica. En los anexos se expone un resumen de Funciones Elementales y
Secciones Cónicas que esperamos le sea de gran utilidad.
Al inicio de cada tema se realiza una breve introducción teórica con las definiciones y resultados
más importantes de aplicación en la resolución de ejercicios y problemas y se ejemplifica con
algunos problemas de aplicación de esos conocimientos. Después se proponen ejercicios para
desarrollar como trabajo independiente.
Hemos escrito este libro con la intención de que le sirva de apoyo en su estudio. En este libro se
desarrollan los temas de Geometría Analítica, Funciones, Límite y Continuidad de Funciones,
Derivada y Diferencial y sus Aplicaciones y Métodos Numéricos correspondientes al curso de
Matemática I de las especialidades de Ciencias Naturales. Esperamos que sea de utilidad a
profesores y estudiantes de estas especialidades.
Deseamos expresar nuestro especial agradecimiento a la Doctora Virginia Alvarez Suárez del
Departamento Teoría de Funciones de la Facultad de Matemática y Computación de la
Universidad de La Habana por la revisión profunda y detallada del texto.
Así mismo, deseamos agradecer a la Lic. Blanca Alicia Armesto Artiles, por el apoyo brindadao en
la mecanografia del Capítulo VIII de este libro.
Agradecemos también al Licenciado Ernesto Acosta Reyes su colaboración en la resolución de los
ejercicios del tema de Geometría Analítica, y a todos los que de una forma u otra han contribuido a
la feliz culminación de este trabajo.
Las autoras de este libro pensamos que la calidad de futuras ediciones depende también de sus
críticas y recomendaciones. Por esa razón le agradeceríamos que nos haga llegar sus opiniones,
que consideramos de gran valor.
Las autoras
1
2
CAPÍTULO I
NOCIONES ELEMENTALES DE LA
TEORÍA DE CONJUNTOS
1. Notaciones
El concepto de conjunto es fundamental en todas las ramas de la Matemática. No resulta difícil
imaginar un conjunto de gatos, o una orquesta como conjunto de músicos, o los dígitos como
conjunto de números. En la Matemática los intentos de definir conjuntos han conducido a
diferentes paradojas, por lo que este concepto se considera de manera intuitiva.
Intuitivamente, un conjunto es una colección, agrupación o reunión de objetos con características
determinadas. Estos objetos pueden ser números, letras, animales, ríos, etc. y se llaman
elementos del conjunto.
Los conjuntos se denotan por las letras mayúsculas del alfabeto latino: A, B, C,...X, Y, Z ; y sus
elementos por las letras minúsculas del alfabeto latino o griego: a, b, c,...x, y, z, α, β, γ,...,χ, ψ, ϖ.
Si se desea señalar que “x es un elemento del conjunto A” o que “x pertenece a A”, esto se
expresa como x∈A, donde el símbolo “∈” denota la relación de pertenencia. La negación, es
decir, la no pertenencia, se simboliza por “∉” . Así x∉A se lee “x no es elemento de A” o “x no
pertenece a A”.
Los conjuntos pueden ser expresados de forma extensiva o intensiva. Un conjunto está
expresado de forma extensiva, cuando se detallan todos sus elementos, p.ej. A = ⎨1,3,5,7,9,...⎬
representa de forma extensiva a los números impares. Un conjunto se expresa de forma intensiva,
cuando se describen las propiedades que determinan a sus elementos, así el conjunto anterior se
representa de forma intensiva p.ej. como A = ⎨2n+1 tales que n∈IN⎬.
Definición 1:
Si A y B son conjuntos, se dice que “A está incluido en B” o que “A es subconjunto de
B” si cada elemento de A es también un elemento de B. Esto se denota por A ⊆ B. Es
decir
A ⊆ B ⇔ Para todo x∈A se cumple que x∈B.
La negación de A ⊆ B se escribe A ⊄ B, y se lee “A no es subconjunto de B”.
Ejemplo 1: Sean A = ⎨1,2⎬ y B = ⎨1,2, 3, 4⎬. Entonces es A ⊆ B, pero B⊄ A .
Definición 2:
Se dice que dos conjuntos A y B son iguales y se denota por A = B, si se cumple que
A ⊆ B y B ⊆ A.
La desigualdad de conjuntos se denota por A ≠ B.
3
En la práctica matemática resulta conveniente fijar un conjunto que incluya a todos los objetos en
cuestión (esto ayuda a evitar las paradojas que se mencionaban al principio de este epígrafe).
Este conjunto se denomina conjunto universo y se denota por la letra U. Una vez fijado el
conjunto universo, todos los demás conjuntos son subconjuntos de él.
Así mismo, resulta conveniente definir el conjunto que no tiene ningún elemento. Este conjunto se
denomina conjunto vacío y se denota por el símbolo ∅. Es importante señalar que
Dado cualquier conjunto A, siempre se cumple que ∅ ⊂ A.
2. Conjuntos numéricos
En general, en este curso, se considerará como conjunto universo al conjunto de los números
reales, el cual se denota por IR.
Una de las propiedades más importantes de los números reales es el poderlos representar por
puntos de una línea recta. Resulta así de manera natural una correspondencia entre los puntos de
la recta y los números reales, es decir, que cada punto representa un número real, y que cada
número real viene representado por un `punto único. Esta recta se denomina recta real, y en ella
se pueden emplear indistintamente los conceptos de punto y número. (ver figura 1.1)
-5/2
-2 -1/2 - 1
0
1
2
2
e
3 π
4 9/2
Fig. 1.1
Los conjuntos numéricos de IR más conocidos son:
• IN, que representa al conjunto de los números naturales, es decir
naturalmente se utilizan para contar. Así es
los números que
IN = ⎨1, 2, 3, 4,...⎬.
• Z, que representa al conjunto de los números enteros, es decir, los números que se obtienen
al sumar y restar números naturales. Así es
Z= ⎨..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...⎬.
• Q, que representa al conjunto de los números racionales, es decir, los números que se
forman como cocientes de números enteros. Así es
Q = ⎨x ; x = p/q donde p, q∈Z y q≠0⎬.
La relación entre estos conjuntos viene dada por
IN ⊆Z ⊆ Q ⊆ IR.
Obviamente existen números reales que no son racionales, por ejemplo, los números 2 , e y π.
Estos números conforman el conjunto de los números irracionales, el cual se denota por la letra
I. Así es
I= ⎨x ; x ≠ p/q donde p, q∈Z y q≠0⎬.
4
Dado cualquier número real a, siempre existe un número positivo que se denota ⎜a ⎜
y cumple que
⎧ a si a ≥ 0
.
a =⎨
⎩− a si a < 0
Este número se denomina valor absoluto o módulo de a.
Así se tiene por ejemplo que
⎜3 ⎜= 3 , ⎜-3 ⎜= 3 , ⎜π ⎜= π ,
⎜-5/2 ⎜= 5/2.
Propiedades
Para cualquiera números reales a y b se cumple
a = −a
i)
ii) ab = a b
iii) a + b ≤ a + b (Desigualdad Triangular)
iv)
a ≤ b , siendo b>0, sí y sólo si se cumple − b ≤ a ≤ b .
v)
a ≥ b , siendo b>0, sí y sólo si se cumple a ≥ b ó a ≤ −b .
Las propiedades anteriormente mencionadas resultan de gran utilidad en la resolución de
inecuaciones con valor absoluto.
3. Operaciones fundamentales entre conjuntos
Definición 3:
Dados dos conjuntos A y B, entre ellos se definen las operaciones de unión,
intersección, diferencia y complemento de la siguiente manera:
• Unión: A ∪ B = ⎨x ; x∈A o x∈B⎬
• Intersección: A ∩ B = ⎨x ; x∈A y x∈B⎬
• Diferencia: A \ B = ⎨x ; x∈A y x∉B⎬
• Complemento: Ac = U \ A = ⎨x ; x∉A⎬.
Ejemplo 2:
1) Sea U = IN. Si A = ⎨x ; x es un número primo⎬ y B = ⎨x ; x es un número primo par⎬, entonces
es
A∪B=A,
A ∩ B = ⎨2 ⎬ ,
A \ B = ⎨x ; x es un número primo impar⎬ ,
Ac = ⎨x ; x no es primo⎬.
2) Sea U = IR. Si A = Q y B = I, entonces es
A ∪ B = IR ,
A ∩ B =∅ ,
A\B=A=Q,
5
Ac = I
y
Bc = Q.
Definición 4:
Dados dos conjuntos A y B se llama conjunto producto de A y B y se denota AxB al
conjunto de todos los pares ordenados de la forma (a, b) en los que a es un elemento de
A y b es un elemento de B. Es decir
AxB = ⎨(a, b) ; a∈A y b∈B ⎬.
La notación AxB se lee “A cruz B”.
El producto AxB se llama también producto cartesiano de A y B, debido al matemático francés
René Descartes (1596-1650), quien en el siglo XVII fue el primero en investigar el producto IRxIR.
Esa es también la razón por la que IR2 = IRxIR se llama plano cartesiano.
De manera análoga el espacio tridimensional en que vivimos se representa por IR3, y así
sucesivamente hasta el espacio n-dimensional IRn.
Ejemplo 3: Represente geométricamente los conjuntos siguientes:
1) AxB = ⎨(x, y) ; 1 ≤ x ≤ 3 y 0 ≤ y < 4⎬, si A = ⎨x ; 1 ≤ x ≤ 3⎬ y B = ⎨y ; 0 ≤ y < 4⎬.
Para ello se trazan las rectas verticales x = 1 y x = 3, y las rectas horizontales y = 0 e y = 4
(esta última se representa con línea de puntos para indicar que no está incluida en el conjunto).
El conjunto AxB se representa geométricamente entonces por la región limitada por dichas
rectas (ver figura 1.2).
y
4
3
2
1
x
1
2
3
Fig. 1.2
2) C = ⎨(x, y) ; y ≥ x ⎬.
2
Para dibujar este conjunto se traza la parábola y = x2 , la cual divide al plano cartesiano en dos
regiones. Para determinar cuál de las regiones representa al conjunto, basta evaluar al par
(x, y) en un punto que no se encuentre sobre la curva dibujada, por ejemplo, el punto (0, 1), el
cual cumple con la inecuación que define al conjunto C (ver figura 1.3).
y
y = x2
x
Fig.
Fig. 1.3
3
6
3) D = ⎨(x, y) ; y ≤ x2 ⎬.
El gráfico de ésta región se realiza de manera similar al anterior, pero ahora el punto (0, 1) no
cumple con la inecuación que define al conjunto, por lo que la región sombreada debe ser la
otra región (ver Fig. 1.4).
y
y = x2
x
Fig.
1.44
Fig.
4) E = ⎨(x, y) ; y ≥ x2 , y ≤ x+2 ⎬.
Aquí se puede comprobar que el punto (0, 1) está situado en el área sombreada y satisface las
dos inecuaciones que definen al conjunto.
y
y=
y = x+2
x2
-1
2
x
Fig.
Fig.1.5
5
EJERCICIO 1:
I. Represente los conjuntos siguientes
1) {( x, y ); x ≤ y}
3) {( x, y ); x ≥ 0}
2) {( x, y ); x > 2 y}
5) {( x, y ); x + y > 3}
6) {( x, y ); y > 2,
{
}
7) {( x, y ); x < 2 y }
8) {( x, y ); y ≤ 4, y > 2 x }
9) {( x, y ); x + y
10) {( x, y ); x ≤ y} (Sugerencia: Aplique la definición de valor absoluto)
12) {( x, y ); x + y ≤ 3}
11) {( x, y ); x + y = 3}
4) ( x, y ); x 2 + y 2 ≤ 5
2
x < 0}
2
2
2
7
2
2
}
≤ 5, x 2 + y 2 ≥ 1
4. Nociones topológicas en los conjuntos numéricos
En este epígrafe desarrollaremos algunas nociones topológicas que serán de gran utilidad en el
desarrollo ulterior del curso.
Distancia entre dos puntos en IRn
Resulta muy sencillo calcular la distancia entre dos puntos en IR. Para ello basta determinar el
valor absoluto de la diferencia de los números reales. Así es para la distancia entre x , y reales es
d ( x, y ) = x − y .
También es sencillo calcular la distancia entre dos puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2) de IR2 (Ver figura 1.6)
y
P
y1
y2
Q
R
0
x1
x2
x
Fig.
Fig.1.6
6
La distancia d(P, Q) entre los puntos P y Q es igual a la longitud de la hipotenusa del triángulo
rectángulo PQR. Aplicando el Teorema de Pitágoras se obtiene PQ2 = PR2 + RQ2 , de donde
sustituyendo es
d ( P , Q) = P − Q = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 .
Del mismo modo se puede obtener la fórmula para la distancia entre dos puntos P(x1,y1,z1) y
Q(x2,y2,z2) de IR3 , determinando la longitud de la diagonal de un paralelepípedo rectangular de
lados de longitudes ⏐x1 - x2 ⏐, ⏐y1 - y2⏐ y ⏐z1 - z2⏐, siendo así
d ( P , Q) = P − Q = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 + ( z 2 − z1 ) 2 .
De manera general si P (x1 , x 2 ,..., x n ) y
entre ellos se determina según la fórmula
Q( y1 , y 2 ,..., y n ) son dos puntos de IRn, la distancia
1
⎡n
⎤ 2
d ( P , Q ) = P − Q = ⎢∑ ( x i − y i ) 2 ⎥ .
⎣ i =1
⎦
Ejemplo 4: Determine la distancia entre los puntos P(1,4) y Q(3,2).
d ( P, Q) = ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2 = (1 − 3) 2 + (4 − 2) 2 = 2 2 .
8
Uno de los conceptos más importantes del Análisis Matemático es el concepto de vecindad de un
punto.
Definición 5:
Dado a ∈ IRn y un número real r>0, se define como entorno circular o vecindad de
radio r del punto a ∈ IRn, al conjunto de todos los puntos x ( x1 , x2 ,..., xn ) ∈ IRn tales
que d ( x , a ) = x − a < r y se denota por
Vr (a ) . Es decir
n
⎧
⎫
Vr (a ) = ⎨ x ∈ IR n ; ∑ ( xi − ai ) 2 < r 2 ⎬ .
i =1
⎩
⎭
Veamos la representación de las vecindades en los casos de los conjuntos IR, IR2 y IR3.
{
}
1. Si a es un número real, entonces Vr ( a ) = x ∈ IR; x − a < r = ( a − r , a + r ) .
a-r
a
Fig. 1.7
a+r
2. Si a=(a1,a2) es un elemento de IR2, entonces
{
}
Vr (a ) = ( x, y ) ∈ IR 2 ; ( x − a1 ) 2 + ( y − a2 ) 2 < r 2 .
Es decir, su representación geométrica está dada por la región interior al círculo de centro en
(a1,a2) y radio r. (ver figura 1.8)
y
r
a2
a
a1
x
Fig. 8
Fig. 1.8
3. Si a=(a1,a2,a3) es un elemento de IR3, entonces
{
}
Vr (a ) = ( x, y ) ∈ IR 2 ; ( x − a1 ) 2 + ( y − a2 ) 2 + ( z − a3 ) 2 < r 2 .
Es decir, su representación geométrica está dada por la región interior a la esfera de centro en
(a1,a2,a3) y radio r. (ver figura 1.9)
9
z
r
a3
a
a2
a1
x
y
Fig.1.9
9
Fig.
De gran importancia resulta también el concepto de vecindad reducida de un punto.
Definición 6:
Dado a ∈ IRn y un número real r>0, se define como vecindad reducida de radio r del
punto a ∈ IRn, al conjunto de todos los puntos x ( x1 , x2 ,..., xn ) ∈ IRn tales que
0 < d ( x , a ) = x − a < r , y se denota por V *r (a ) . Es decir
⎧
V *r (a ) = ⎨ x ∈ IR n ; x ≠ a y
⎩
n
∑ (x
i =1
i
⎫
− ai ) 2 < r 2 ⎬ .
⎭
Nótese que en la vecindad reducida el punto a ∈ IRn no pertenece al conjunto.
Puntos interiores, exteriores y frontera
En la siguiente figura U representa al conjunto universo, B es un subconjunto de U y P, Q, R y S
son puntos del conjunto universo U que se encuentran en determinada relación con el conjunto B.
Q
B
P
R
S
U
Fig.Fig.
1.10
10
Si analizamos la relación que tienen los puntos P, Q, R y S con el conjunto B, notamos que
• P∈B y se encuentra “adentro” de B,
• Q∉B y se encuentra “fuera” de B,
• R∈B y se encuentra “en el borde o frontera” de B,
• S∉B y se encuentra también “en el borde o frontera” de B.
10
Tratemos de expresar lo anterior en el lenguaje de las vecindades.
En el caso de los puntos P y Q, notamos que se puede encontrar una vecindad de P que está
totalmente incluida en el conjunto B y una vecindad de Q que está totalmente “afuera” del conjunto
B, es decir, cuya intersección con B es vacía. (Ver figura 1.11)
Sin embargo, en el caso de los puntos R y S, notamos que cualquiera sea la vecindad que se
tome de ellos, ésta siempre va a contener puntos de B, pero no va a estar totalmente incluida en el
conjunto, es decir, también contiene puntos de BC. (Ver figura 1.11)
Q
B
P
R
S
U
Fig.Fig.
1.11
11
No resulta difícil imaginar cuál de los punto P, Q, R y S debe ser punto interior, exterior o frontera
del conjunto B. Entonces podemos plantear la siguiente definición.
Definición 7:
Dado un conjunto B ⊆ IRn y un punto P∈ IRn, entonces P sólo puede ser punto interior,
exterior o frontera de B y se define
• P∈IRn es punto interior de B, si P∈B y
∃ r > 0 tal que Vr (P) ⊆ B ,
• Q∈IRn es punto exterior de B, si Q∉B y ∃ r > 0 tal que
V r ( Q) ∩ B = ∅ ,
• R∈IRn es punto frontera de B, si ∀ r > 0 se cumple que
Vr (R) ∩ B ≠ ∅ y
Vr (R) ⊄ B (nótese que en este caso puede suceder que R∈B o que R∉B).
Así mismo se define:
• Conjunto interior de B es el conjunto de los puntos interiores de B y se denota
Int(B),
• Conjunto exterior de B es el conjunto de los puntos exteriores de B y se denota
Ext(B),
• Conjunto frontera de B es el conjunto de los puntos frontera de B y se denota Fr(B).
Ejemplo 5:
1. Sea A = {x ∈ IR; 3 < x ≤ 5}. (Ver figura 1.12). En este caso un punto interior de A es x = 4, un
punto exterior de A es x = 1 y los únicos puntos frontera de A son x = 3 y x = 5. Aquí es
Int(A)=(3,5) , Ext(A)=(- ∞, 3)∪(5,+ ∞) y Fr(A)={3,5}.
11
punto frontera
2
punto interior
1
punto frontera
punto exterior
0
3
4
5
6
7
R
Fig.
1.12
F ig
. 12
{
}
2. Sea B = ( x, y ) ∈ IR 2 ; 0 ≤ x < 2 y 0 ≤ y < 1 . (Ver figura 1.11). En este caso un punto interior
de B es (1, 0.5), un punto exterior de B es (2,2) y ejemplos de puntos frontera de B son (0,0)∈B
y (2, 0.5)∉B (ver figura 1.13). Aquí se tiene
{
Ext ( B ) = {( x, y ) ∈ IR ; x < 0 o
}
Int ( B) = ( x, y ) ∈ IR 2 ; 0 < x < 2 y 0 < y < 1 ,
2
{
}
x>2 y
y < 0 o y >1 ,
}
Fr ( B ) = ( x, y ) ∈ IR ; x = 0 o x = 2 y 0 ≤ y ≤ 1, y = 0 o y = 1 y 0 ≤ x ≤ 2 .
2
(2,2)
y
B
1
(1, 0.5)
(2, 0.5)
(0,0)
0
1
2
x
Fig.
1.13
Fig.
13
Otro concepto de gran importancia en el Análisis Matemático es el concepto de punto de
acumulación de un conjunto.
La propia palabra “acumulación” nos da la idea de que los puntos del conjunto se “agrupan” o
“acumulan” alrededor del punto en cuestión. Así, por ejemplo, un granito de azúcar debe ser un
punto de acumulación de un hormiguero, y lo mismo sucedería con una hormiga muerta. O la
parada de la ruta 2 pudiera ser un punto de acumulación del conjunto de las personas que
pretenden viajar en ese medio de transporte urbano. O cuando nos reunimos un grupo para ir a la
playa y Roberto, que vive cerca de la parada, llega el primero a la cola de la ruta 400 y marca para
todo el grupo, entonces Roberto es un punto de acumulación del grupo.
Viéndolo matemáticamente, un punto de acumulación de un conjunto dado es un punto, alrededor
del cual se agrupan los elementos del conjunto, es decir, tal que en cualquier vecindad de él
existan otros elementos del conjunto dado, como indica la siguiente definición.
12
Definición 8:
Dado un conjunto B⊆IRn y un punto P∈ IRn, entonces P se dice punto de acumulación
de B si ∀ r > 0 se cumple que ∃ x ∈ B tal que x ≠ P y x ∈Vr (P) . Por otra parte, si
P es un elemento de B que no es punto de acumulación, entonces P se dice punto
aislado de B.
Ejemplo 6:
Si tomamos como B al conjunto Q de los números racionales, siendo IR el conjunto universo,
entonces los puntos 1 y
3 son puntos de acumulación de Q.
Nótese que un punto de acumulación puede ser o no elemento del conjunto dado. Así en la figura
1.11 se cumple que P, R y S son puntos de acumulación del conjunto B, mientras que Q no lo es.
Esto pudiera hacernos pensar que todos los puntos interiores y frontera son puntos de
acumulación, pero eso no es cierto, pues los puntos aislados son puntos frontera y no son de
acumulación, como se muestra en la siguiente figura.
y
(2,1.5)
1.5
1
B
1
0
2
x
Fig.
1.14
Fig.
14
{
}
En esta figura se trata del conjunto B = ( x, y ) ∈ IR 2 ; 0 ≤ x < 2 y 0 ≤ y < 1 ∪ ( 2,1.5) . Aquí el
punto (2, 1.5) es un punto frontera de B, pues cualquier vecindad de él lo contiene a sí mismo, que
pertenece a B, pero contiene además otros puntos que no son elementos de B. Sin embargo, el
punto (2, 1.5) no es un punto de acumulación de B, pues la vecindad señalada en el dibujo no
contiene ningún punto de B distinto del (2, 1.5). Es decir, (2, 1.5) es un punto aislado de B.
EJERCICIO 2:
I. Para los conjuntos del ejercicio I, determine sus puntos interiores, exteriores, frontera, aislados y
de acumulación.
Conjuntos abiertos, cerrados, acotados
Los conceptos de punto de acumulación y de punto interior, nos servirán ahora como base para
definir los conceptos de conjunto abierto y conjunto cerrado.
Definición 9:
Dado un conjunto B⊆IRn se dice que
• B es un conjunto abierto si todos sus puntos son interiores
• B es un conjunto cerrado si B contiene todos sus puntos de acumulación.
13
Si recordamos que un conjunto sólo puede contener puntos interiores y puntos frontera, podemos
inferir entonces que un conjunto B es abierto si no contiene ningún punto frontera, es decir
Un conjunto B es abierto si se cumple Fr(B)∩B=∅.
Por otra parte, resulta fácil reconocer que los puntos de acumulación de un conjunto sólo pueden
ser puntos interiores o puntos frontera que no sean aislados, nunca puntos exteriores o puntos
aislados. De ellos, sólo los puntos frontera no aislados pueden no pertenecer al conjunto.
Entonces exigir la pertenencia al conjunto de todos los puntos de acumulación equivale a exigir la
pertenencia al conjunto de todos sus puntos frontera. Así podemos inferir que
Un conjunto B es cerrado si se cumple Fr(B)⊆B.
Nota: Los conceptos de conjunto abierto y conjunto cerrado no son excluyentes. Es decir, existen
conjuntos abiertos y no cerrados, conjuntos cerrados y no abiertos, conjuntos que no son ni
abiertos ni cerrados y hasta conjuntos que son a la vez abiertos y cerrados, como veremos
en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 7:
1. El conjunto IR de los números reales es un ejemplo clásico de conjunto que es a la vez abierto
y cerrado. Del mismo modo lo es IRn en general. Veamos el caso de IR. En este conjunto todos
los puntos son interiores, pues si x es un número real, entonces el intervalo abierto (x-1, x+1)
es una vecindad de x que está totalmente contenida en IR. Por esa razón IR es un conjunto
abierto. Por otra parte, R no tiene puntos frontera, es decir, Fr(IR)=∅, pues dado un número
real x cualquiera cualquier vecindad suya está totalmente contenida en IR. Entonces IR es
también un conjunto cerrado, pues es conocido que ∅⊂ IR.
Como ejercicio le recomendamos que analice el caso de IRn.
2. Continuemos en el conjunto de los números reales. Aquí vemos que tiene sentido hablar de
intervalos abiertos y cerrados. En el caso de un intervalo de cualquier tipo su frontera es
precisamente el conjunto de los extremos del intervalo. Luego los intervalos abiertos son
conjuntos abiertos (no contienen a su frontera) y los intervalos cerrados conjuntos cerrados
(contienen a su frontera). Por otra parte, los intervalos de la forma (a,b] o [a,b) son conjuntos
que no son ni abiertos ni cerrados, pues no contienen a toda su frontera, pero sí contienen
parte de ella.
3. Veamos ahora diferentes casos en IR2. Sean los conjuntos
{
}
B = {( x, y ) ∈ IR ; x + y ≤ 1},
C = {( x, y ) ∈ IR ; 0 ≤ x ≤ 2 y 0 ≤ y < 1}.
A = ( x, y ) ∈ IR 2 ; x 2 + y 2 < 1 ,
2
2
2
2
El conjunto A es abierto (Ver figura 1.15), pues Fr(A) = {( x, y ) ∈ IR 2 ; x 2 + y 2 = 1} y Fr(A)∩A=∅.
14
y
1
A
0
-1
1
-1
x
Fig.
1.15
Fig.
15
{
}
El conjunto B es cerrado (Ver figura 1.16), pues Fr(B) = ( x, y ) ∈ IR 2 ; x 2 + y 2 = 1 y Fr(B)⊆B.
y
1
B
-1
0
1
x
Fig. 1.16
Fig. 16
-1
El conjunto C no es ni abierto ni cerrado (Ver figura 1.17), pues
{
}
Fr(C)= ( x, y ) ∈ IR 2 ; x = 0 o x = 2 y 0 ≤ y ≤ 1, y = 0 o y = 1 y 0 ≤ x ≤ 2 , por lo que Fr(C)⊄C
y Fr(C)∩C≠∅.
y
1
x
2
Fig.
Fig.1.17
17
Por último resulta también de gran utilidad la definición de conjunto acotado (no confundir con
conjunto cerrado).
Definición 10:
Dado un conjunto B ⊆ IRn se dice que B es un conjunto acotado si
∃ r > 0 tal que
B ⊆ Vr ( 0) . Es decir, un conjunto acotado es aquel que puede ser “encerrado” en un
círculo centrado en el origen.
15
Ejemplo 8:
{
}
{
}
1. Los conjuntos A = ( x, y ) ∈ IR ; x + y < 1 y B = ( x, y ) ∈ IR ; x + y ≤ 1 son conjuntos
acotados (Ver figuras 1.15 y 1.16), pues son subconjuntos de cualquier círculo con centro en el
origen y radio mayor que 1. El conjunto también es acotado (Ver Fig. 1.17), pues puede ser
“encerrado” por ejemplo en un círculo de centro en el origen y radio 4.
2
2
2
{
2
2
2
}
2. Sin embargo, el conjunto D = ( x, y ) ∈ IR 2 ; y > x no es acotado (Ver figura 1.18), pues ningún
círculo centrado en el origen lo contiene.
y
D
1
0
1
x
Fig.
1.18
Fig.
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EJERCICIO 3:
I. Diga si los conjuntos del ejercicio I son abiertos, cerrados, ni abiertos ni cerrados, o abiertos y
cerrados. Diga además si son acotados o no.
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