Matrices y Sistema de Ecuaciones Lineales

Álgebra I
Matrices y Sistema de Ecuaciones Lineales
Material elaborado por
Eduardo Antonio Fernández Escobar
Campus Universitario, Ruta V “Gral. Bernardino Caballero” Km. 2
Concepción, Paraguay
Índice
1. Matrices
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Primeras Definiciones . . . . . . . . . . .
1.3. Tipo de matrices . . . . . . . . . . . . .
1.4. Operaciones entre matrices . . . . . . . .
1.5. Propiedades de la suma matrices . . . . .
1.6. Propiedades de la multiplicación matrices
1.7. Propiedades de la transpuesta . . . . . .
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3
3
3
4
7
9
10
10
2. Matrices y Determinantes
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2. Cálculo de los determinantes mediante operaciones elementales
2.2.3. Cálculo de los determinantes mediante cofactores . . . . . . . .
2.3. Inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. El Método de Gauss‐Jordan para hallar inversa . . . . . . . . . .
2.3.2. Propiedades de la matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Determinantes e inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11
11
11
15
21
26
29
30
33
34
38
3. Sistema de Ecuaciones Lineales
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Notación y definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Criterios de equivalencia de Sistemas de Ecuaciones Lineales
3.3. Método de eliminación gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Sistemas homogéneos de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . .
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41
41
42
44
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Bibliografía
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2
1. Matrices
1.1. Introducción
Generalmente cuando nos referimos por primera vez al concepto de “matriz” lo confundimos
con el de “determinantes”. Esa confusión debemos evitarla desde un principio.
Las matrices y los determinantes corresponden a dos categorías matemáticas ( y lógicas) dis‐
tintas: el determinante es un número, mientras que la matriz es un conjunto ordenado de
números.
Una matriz es simplemente una disposición ordenada de elementos numéricos, esto es, una
tabla de doble entrada que organiza cierta información cuantitativa, o cualitativa. Esto debe
interpretarse en el sentido de que entre los elementos de una matriz dada, no debe efectuarse
ninguna operación algebraica.(Editorial Limusa 1999).
1.2. Primeras Definiciones
Definición 1: Una matriz A de orden n × m es un arreglo rectangular de nm números distri‐
buidos en un orden de n filas y m reglones tal como se muestra a continuación:


a11 a12 . . . a1m
 a21 a22 . . . a2m 


An×m =  ..
.. . .
..  .
 .
.
.
. 
an1 an2 . . . anm
Definición 2: El orden de una matriz está dada por el número de filas y columnas que forman
a la matriz.
Notación: Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, ... y los elementos de las
mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c, ... Un elemento
genérico que ocupe la fila i y la columna j, se escribe aij .
Muchas veces utilizaremos la notación A = (aij )n×m cuando nos referimos a una matriz A de
orden n × m con elementos aij .
Ejemplo 1: La siguiente, es una matriz de orden 3 × 4:
√


3 −4
3 −5
 1
3 √ 

−2
−
2 
B= 3
.
2
√

2 
1 −4 −3
2
Definición 3: Cuando la cantidad de filas coincide con la cantidad de columnas, se denomina
matriz cuadrada. Normalmente para nombrar a las matrices cuadradas, sólo decimos matriz
de orden n .
3



Ejemplo 2: La matriz C = 

3
1
3
−5
3
−
2
−4 −3
√
√
3


2 
es un ejemplo de una matriz cuadrada de orden
√ 
2 
2
3.
Definición 4: Si dos matrices A y B tienen el mismo orden y todos sus elementos correspon‐
dientes son iguales, decimos que A y B son iguales y escribimos A = B. Es decir si A = [aij ]n×m
y B = [bij ]n×m , tal que ∀i, j se tiene que aij = bij si y sólo si A = B.
Ejemplo 3: Dadas las siguientes matrices, no son iguales, a pesar de que tengan los mismos
elementos:
√ 
√ 


0 −1
5
5
0 −1
 π
 π
3 √ 
3 √ 




A =  3 − 3 √3  ; B =  3 − 3 √3  .


7 
7 
−4 −3
−3 −4
2
2
Notemos que solamente en la última fila hay cambios, eso ya es suficiente para decir que no
son iguales.
Definición 5: En una matriz cuadrada de orden n, los elementos aij , donde i = j, forman lo
que se denomina diagonal principal. Mientras que los elementos aij , donde i + j = n + 1,
forman la diagonal secundaria.
√ 

3 −5
3
√
 1
3 √ 
3
2


−
2
, forman la diagonal
Ejemplo 4: En la matriz C =  3
, los números 3, − y
2
√
2
2


2
−4 −3
2
3 √
principal y −4, − y 3 forman la diagonal secundaria.
2
1.3. Tipo de matrices
A parte de las matrices cuadradas, tenemos otros tipos de matrices.
Definición 6: Cuando la matriz A tiene una sola fila, la matriz se denomina matriz fila
o vector
fila. En general, una matriz fila tiene la forma de la matriz A = a11 a12 . . . a1m de orden
1 × m.
√
3
Ejemplo 5: La matriz A =
−5
3 4 es una matriz fila de orden 1 × 4.
2
Definición 7: Cuando la matriz A tiene una sola columna, la matrizse denomina
matriz colum‐

a11
 a21 


na o vector columna. En general, tiene la forma de la matriz A =  ..  de orden n × 1.
 . 
an1
4


−2
√
 − 3 


Ejemplo 6: La matriz A =  1  es una matriz columna de orden 4 × 1.


1
2
Definición 8: Cuando todos los elementos de una matriz son ceros, entonces denominamos a
la matriz, matriz nula, que lo denotaremos 0n×m . En general, tiene la forma


0 0 ... 0
 0 0 ... 0 


0n×m =  .. .. . . ..  .
 . .
. . 
0 0 ... 0
Definición 9: Dada una matriz A, al cambiar de signos todos los elementos de la matriz inicial,
obtenemos la matriz opuesta de A y denotamos −A.
Ejemplo 7: Si


0
2
5
0
 1
1
2 −2 



A =  3 −1 −2 4 
,
 0 −1 −3 5 
−6 −3 1
1
entonces su matriz opuesta es:



−A = 



0 −2 −5 0
−1 −1 −2 2 

−3 1
2 −4 
.
0
1
3 −5 
6
3 −1 −1
Entre las matrices cuadradas, trataremos los siguientes tipos:
Definición 10: Una matriz cuadrada que tiene todos los elementos que están a un lado de la
diagonal principal iguales a cero, se denomina matriz triangular. Podemos identificar dos tipos
de matrices triangulares, cuando todos los elementos por debajo de la diagonal principal son
ceros, se llama matriz triangular superior. En general, una matriz triangular superior tiene la
forma de la matriz


a11 a12 . . . a1n
 0 a22 . . . a2n 


A =  ..
.. . .
..  ,
 .
.
.
. 
0
0 . . . ann
o bien, cuando todos los elementos por encima de la diagonal principal son ceros, se llama
matriz triangular inferior. En general, una matriz triangular inferior tiene la forma de la matriz


a11 0 . . . 0
 a21 a22 . . . 0 


B =  ..
.. . .
..  .
 .
.
.
. 
an1 an2 . . . ann
5


3 √1
0
Ejemplo 8: A =  0
3 −2  es una matriz triangular superior.
0 0
4
Definición 11: Una matriz cuadrada donde todos los elementos que no forman parte de la
diagonal principal son ceros, se llama matriz diagonal.


3 0 0
Ejemplo 9: A =  0 0 0  es una matriz diagonal.
0 0 1
Definición 12: Toda matriz diagonal en la que todos los términos de la diagonal principal son
iguales se llama matriz escalar.


7 0 0
Ejemplo 10: A =  0 7 0  es una matriz diagonal 3 × 3.
0 0 7
Definición 13: La matriz identidad o matriz unidad es la matriz escalar cuyos elementos de la
diagonal principal son 1, se denota por I. En general, una matriz identidad de orden n tiene la
forma


1 0 ... 0
 0 1 ... 0 


In =  .. .. . . .. 
.
 . .
. . 
0 0 . . . 1 n×n
1 0
es la matriz unidad de orden 2.
Ejemplo 11: I2 =
0 1
Definición 14: Dada una matriz A, se llama transpuesta de A , y se representa por At , a la
matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera columna
de At , la segunda fila de A es la segunda columna de At , etc. De la definición se deduce que si
A es de orden n × m, entonces At es de orden m × n.


a11 a12 . . . a1m
 a21 a22 . . . a2m 


Ejemplo 12: Si A =  ..
.. . .
..  su matriz transpuesta será
 .
.
.
. 
an1 an2 . . . anm



At = 

a11
a12
..
.
a21
a22
..
.
a1m a2m

. . . an1
. . . an2
..
...
.
. . . anm




.


−1
−1 −1 0 1

−1
3
5 3  es: At = 
Ejemplo 13: La transpuesta de A =  2
 0
−3 0 −4 4
1
t
Definición 15: Unamatriz cuadrada A
 es simétrica si A = A . 
−1 2 −3 4
−1 2
 2 3 5 0 

t

 2 3
Ejemplo 14: A = 
 −3 5 −7 3  es simétrica ya que A =  −3 5
4 0 3 4
4 0
6

2 −3
3 0 
.
5 −4 
3 4
−3
5
−7
3

4
0 
 = A.
3 
4
Definición 16: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = −At .
La definición misma, nos asegura que los elementos de la diagonal principal de una matriz que
es antisimétrica deben ser ceros.




0
2 −3
0
2 −3
5  es antisimétrica pues −At =  −2 0
5 .
Ejemplo 15: La matriz A =  −2 0
3 −5 0
3 −5 0
1.4. Operaciones entre matrices
Definición 17 (Suma de Matrices): Dadas las matrices A y B del mismo orden, se llama suma
de matrices A y B , que se representa por A + B
B, a la matriz C cuyos elementos se obtienen
sumando los elementos correspondientes de A y B entre sí. Es decir cij = aij + bij .
Ejemplo 16: Tomando




a11 a12 . . . a1m
b11 b12 . . . b1m
 a21 a22 . . . a2m 
 b21 b22 . . . b2m 




A =  ..
y
B
=
 ..
.. . .
.. 
.. . .
..  ,
 .


.
.
.
.
.
.
. 
an1 an2 . . . anm
bn1 bn2 . . . bnm
tendremos que la suma de las matrices, definida por





a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
an1 an2
. . . a1m
. . . a2m
..
..
.
.
. . . anm
 
 
 
+
 
b11
b21
..
.
b12
b22
..
.
. . . b1m
. . . b2m
..
..
.
.
. . . bnm
bn1 bn2


 
 
=
 
a11 + b11
a21 + b21
..
.
a12 + b12
a22 + b22
..
.
. . . a1m + b1m
. . . a2m + b2m
..
..
.
.



.

an1 + bn1 an2 + bn2 . . . anm + bnm
Ejemplo 17: Hallar la suma entre las matrices


1 −2 −4 0
5 −7 
A =  −1 3
2 −3 5
7
y


0
3 −4 3
8 .
B =  2 −4 6
−2 3
5 −8
Solución: Tenemos que

 
 
1 −2 −4 0
0
3 −4 3
 −1 3
5 −7 + 2 −4 6
8 =
2 −3 5
7
−2 3
5 −8

1 1 −8 3
 1 −1 11 1
0 0 10 −1
7

1 + 0 −2 + 3 −4 − 4 0 + 3
−1 + 2 3 − 4
5 + 6 −7 + 8  =
2 − 2 −3 + 3 5 + 5
7−8

.
Definición 18 (Resta de Matrices): La sustracción de matrices se define de la siguiente manera:
A − B = A + (−B). Tomando


a11 a12 . . . a1m
 a21 a22 . . . a2m 


A =  ..
.. . .
.. 
 .
.
.
. 
an1 an2 . . . anm
y



B=

b11 b12
b21 b22
..
..
.
.
bn1 bn2
. . . b1m
. . . b2m
..
...
.
. . . bnm



,

tendremos que la diferencia entre las matrices, está definida por:





a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
an1 an2
. . . a1m
. . . a2m
..
..
.
.
. . . anm
 
 
 
−
 
b11
b21
..
.
b12
b22
..
.
bn1 bn2
. . . b1m
. . . b2m
..
..
.
.
. . . bnm


 
 
=
 
a11 − b11
a21 − b21
..
.
a12 − b12
a22 − b22
..
.
. . . a1m − b1m
. . . a2m − b2m
..
..
.
.



.

an1 − bn1 an2 − bn2 . . . anm − bnm




−1 2
0
7
Ejemplo 18: Hallar la diferencia entre las matrices A =  −2 −3  y B =  6 −4 .
5 −6
−2 −2
Solución: Tenemos
que 

 
 
 

−1 2
0
7
−1 2
0 −7
−1 −5
A − B =  −2 −3  −  6 −4  =  −2 −3  +  −6 4  =  −8 1 .
5 −6
−2 −2
5 −6
2
2
7 −4
Es importante aclarar que solamente se pueden sumar o restar matrices que
tengan el mismo orden.
Definición 19 (Multiplicación de un escalar por una matriz): Dado un número real k y una ma‐
triz A podemos obtener una matriz kA multiplicando k por todos los elementos de A. Tomando


a11 a12 . . . a1m
 a21 a22 . . . a2m 


A =  ..
.. . .
..  ,
 .
.
.
. 
an1 an2 . . . anm
tenemos entonces que



kA = 

ka11 ka12
ka21 ka22
..
..
.
.
kan1 kan2
8
. . . ka1m
. . . ka2m
..
..
.
.
. . . kanm



.


2
 3
Ejemplo 19: Tomando el escalar k = −6 y la matriz A = 
 5
7

−12 0 −12
 −18 −6 12
kA = −6A = 
 −30 −12 6
−42 −18 −6

0 2
1 −2 
; entonces
2 −1 
3 1


.

Definición 20 (Multiplicación de Matrices): Dadas las matrices A = [aij ]n×m y B = [bij ]m×p ,
entonces a la matriz C = [cij ]n×p se denomina producto de A por B tal que el elemento cij
es la suma de los productos de los elementos correspondientes de la i‐ ésima fila de A por
los elementos correspondientes de la j‐ ésima columna de B, de la siguiente manera cij =
ai1 b1j + ai2 b2j + . . . + aim bmj .




1 0 2
1 0
 −1 1 −2 

 1 1 . Vamos a hallar el
Ejemplo 20: Sean las matrices A = 
 1 1 −1  y B =
0 2
1 0 1
producto AB.
Solución: Tenemos que

1·1+0·1+2·0
1·0+0·1+2·2
 (−1) · 1 + 1 · 1 + (−2) · 0 (−1) · 0 + 1 · 1 + (−2) · 2
AB = 
 1 · 1 + 1 · 1 + (−1) · 0
1 · 0 + 1 · 1 + (−1) · 2
1·1+0·1+1·0
1·0+0·1+1·2



1 4
  0 −3 
=

  2 −1  .
1 2
Definición 21: Sea A una matriz cuadrada, con elementos números reales. Se dice que la matriz
es ortogonal si se cumple que A · At = At · A = I.
√
√
2/2
2/2
√
Ejemplo 21: Es fácil ver que A = √
es ortogonal, porque
2/2 − 2/2
√
√
2/2
2/2
t
√
A = √
2/2 − 2/2
y además, se cumple que AAt = At A = I.
1.5. Propiedades de la suma matrices
La suma de matrices del mismo orden es cerrada, esto es ∀A, B matrices de orden n×m,
entonces A + B es una matriz de orden n × m.
La suma de matrices del mismo orden es conmutativa, esto es ∀A, B matrices de orden
n × m, entonces A + B = B + A.
La suma de matrices del mismo orden es asociativa, esto es ∀A, B, C matrices de orden
n × m, entonces (A + B) + C = A + (B + C).
9
Para todas las matrices, existe una matriz única 0, denominada matriz nula tal que A +
0 = 0 + A = A. La matriz 0 es la única solución de la ecuación matricial A + X = A
y podemos entonces decir que el conjunto de las matrices de orden n × m satisface la
Existencia de una Identidad Aditiva, esto es existe una única matriz nula o cero, tal que
A + 0 = A para todo matriz A.
Para cada matriz A, existe una única matriz −A, denominada matriz opuesta de A tal
que A+(−A) = (−A)+A = 0. Luego, el conjunto de matrices de orden n×m satisface
que Toda matriz A tiene una inversa aditiva (−A) que es la solución única de la ecuación
A + X = 0.
1.6. Propiedades de la multiplicación matrices
A · (B · C) = (A · B) · C. ← Propiedad Asociativa
A · (B + C) = A · B + A · C. ← Distributividad hacia la derecha
(B + C) · A = B · A + C · A. ← Distributividad hacia la izquierda
La multiplicación de matrices no es una conmutatividad, es decir, en general AB 6= BA.
Si ocurre que AB = BA, se dice que las matrices A y B conmutan.
En la multiplicación de matrices no tiene validez la propiedad del elemento nulo del pro‐
ducto es decir, se puede obtener AB = 0 siendo A 6= 0 y B 6= 0 .
Tampoco tiene validez la propiedad cancelativa, es decir, se puede tener AB = AC, pero
B 6= C.
En particular, si A es una matriz cuadrada de orden n, podemos formar potencias de A:
A0 = I; A1 = A; A2 = A · A; A3 = A · A2 . En general, An = A · An−1 .
1.7. Propiedades de la transpuesta
(A + B)t = At + B t .
t
(At ) = A.
(kA)t = kAt , siendo k un escalar.
(A · B)t = B t · At .
10
2. Matrices y Determinantes
2.1. Introducción
A cada matriz cuadrada podemos asociarle un número, llamado determinante de la matriz,
que nos dice si la matriz es invertible o no. De hecho, los determinantes se pueden usar pa‐
ra obtener una fórmula que nos permita calcular la inversa de una matriz cuadrada. También
surgen al calcular ciertos números (llamados valores propios) asociados a una matriz. Estos va‐
lores propios son esenciales para una técnica llamada diagonalización que se usa en muchas
aplicaciones donde se desea predecir el comportamiento a futuro de un sistema. Por ejemplo,
se usa para predecir si una especie se extinguirá o no (Nicholson, 2013).
2.2. Determinantes
Consideremos una matriz cuadrada A de orden n × n. La función determinante es una función
que asocia un número real (el determinante de A) a la matriz A, es decir:
det : Mn (R) −→
R
.
A
7−→ det(A)
La regla que define esta función será una suma en la que cada sumando se compone de un
producto entre elementos de A. Por supuesto, existe una ley que define cómo componer ca‐
da sumando, así como su signo. Estudiaremos cómo definir esta función y veremos algunos
ejemplos de cálculo de determinantes. Para esto, inicialmente veremos algunas nociones so‐
bre permutaciones y productos elementales.
Definición 22: Una permutación de un conjunto finito es una reorganización de los elementos
de ese conjunto en un cierto orden, sin perder ni repetir ninguno de ellos.
Denotaremos por p = (j1 , j2 , . . . , jn ) cualquier permutación de un conjunto, donde j1 es el
primer elemento en la permutación, j2 es el segundo elemento y así sucesivamente.
Definición 23: Una permutación es par si el número de intercambios que debemos hacer entre
sus elementos para recuperar el orden original de la sucesión es par. La permutación es impar
si este número es impar.
Denotaremos el signo de la permutación usando la función sgn (del inglés signal), dada por:
sgn(p) = +1 si p es par y sgn(p) = −1 si p es impar.
Ejemplo 22: Consideremos el conjunto de los números enteros {1, 2, 3, 4} y una permutación
p = (4, 2, 1, 3). Para recuperar el orden original de los elementos podemos realizar los siguien‐
tes cambios:
(4, 2, 1, 3) −→ (2, 4, 1, 3) −→ (2, 1, 4, 3) −→ (2, 1, 3, 4) −→ (1, 2, 3, 4).
Resultando en total 4 cambios. Por tanto, la permutación p es par, luego, sgn(p) = +1. Además,
para este ejemplo, podemos recuperar el orden original de los elementos realizando también
la siguiente sucesión de cambios:
(4, 2, 1, 3) −→ (3, 2, 1, 4) −→ (1, 2, 3, 4).
11
Resultando en total 2 cambios, que también es par.
Un resultado importante establece que la paridad de una permutación es única, es decir, si el
orden original de los elementos se recupera a través de un número par (impar) de intercam‐
bios, entonces cualquier otra sucesión de intercambios que recupere el orden original de los
elementos también tendrá un número par (impar) de intercambios.
Una forma de obtener la paridad de una permutación p = (j1 , j2 , . . . , jn ) es: encontrar el
número de enteros que son menores que j1 y están después de j1 en la permutación; encontrar
el número de enteros que son menores que j2 y están después de j2 en la permutación; hacer
el mismo proceso para j3 , . . . , jn−1 . La suma de esos números obtenidos será el número total
de cambios en una sucesión que debemos efectuar entre los dígitos de p para recuperar el
orden natural de los números enteros.
Considerando la permutación p = (4, 2, 1, 3) del ejemplo anterior, para j1 = 4 tenemos que 2,
1 y 3 son menores que él y están después en la permutación, es decir, el dígito j1 precede a 3
dígitos menos que él. Para j2 = 2, solo 1 es menor que él y está más adelante en la permutación,
es decir, el dígito j2 precede a 1 dígito menor que él. Finalmente, el dígito j3 = 1 no precede
a ningún dígito menor que este. Sumando los números obtenidos, tenemos: 3 + 1 = 4. Por lo
tanto, la permutación p es par.
Definición 24: Sea A una matriz cuadrada de orden n. Un producto elemental de la matriz A
es un producto entre n elementos de A en el que no aparece más de un elemento de la misma
fila o de la misma columna de A.
Observación 1: Dado que cada producto elemental debe tener n factores y cada factor pro‐
viene de una línea diferente, podemos escribir un producto elemental como:
a1j1 a2j2 . . . anjn
donde cada ji , i = 1, . . . , n representa un índice distinto de las columnas. Esto es, mantenemos
el orden original (1, 2, . . . , n) para las filas y para las columnas seguimos el orden (j1 , j2 , . . . , jn )
que es una de las permutaciones de los n índices de las columnas. De esta forma, una matriz
cuadrada A de orden n posee n! productos elementales distintos.
Cuando asociamos al producto elemental el signo de la permutación utilizada para los índices
de las columnas, tenemos un producto elemental con signo.
Ejemplo 23: Si A es una matriz cuadrada de orden 4, uno de sus productos elementales viene
dado por: a14 a22 a31 a43 . Tenga en cuenta que seguimos el orden original para los índices de
las filas y para las columnas seguimos el orden (4, 2, 1, 3) que es una de las 4! = 24 posibles
permutaciones de los 4 dígitos. Como hemos visto, esta permutación es par y, por lo tanto,
asociamos el signo positivo con este producto elemental.
Definición 25 (Determinante): Sean A una matriz cuadrada de orden n × n y P el conjunto
de todas las permutaciones p = (j1 , j2 , . . . , jn ) de {1, 2, . . . , n}. La función determinante,
denotada por det, asocia a cada matriz A un número real, det(A), obtenida por la suma de
todos los productos elementales de A con signo:
X
det(A) =
sgn(p)a1j1 a2j2 ...anjn .
p∈P
Habitualmente, el determinante de A se suele denotar por |A|.
12
Ejemplo 24: Consideremos una matriz cuadrada 2 × 2:
a11 a12
A=
.
a21 a22
Como cada producto elemental de esta matriz debe tener dos elementos y cada elemento viene
de una linea distinta, podemos escribir un producto elemental de la forma:
a1j1 a2j2
donde (j1 , j2 ) indica una permutación de los índices de las columnas, siempre que no haya dos
elementos provenientes de la misma columna. Entonce, las 2! = 2 permutaciones distintas nos
dan la lista de los posibles productos elementales de A, siendo ellos:
a11 a22 ,
a12 a21 .
La permutación asociada con el producto elemental a11 a22 es (1, 2), que es una permutación
par y, por lo tanto, este producto recibe un signo positivo. La permutación asociada con el
producto elemental a12 a21 es (2, 1), que es impar y, por lo tanto, este producto recibe el signo
negativo. Entonces, por la definición de determinante, tenemos que:
det(A) = a11 a22 − a12 a21 .
Es decir, para calcular el determinante de una matriz 2 × 2, simplemente realice el producto de
los elementos de la diagonal principal y reste a este resultado el producto de los elementos de
la diagonal secundaria.
Ejemplo 25: Consideremos la siguiente matriz:
2 3
A=
.
1 4
Entonces, como hemos visto en el ejemplo anterior tenemos que:
det(A) =
2 3
1 4
= (2)(4) − (3)(1) = 8 − 3 = 5.
Ejemplo 26: Consideremos ahora una matriz cuadrada 3 × 3:


a11 a12 a13
A =  a21 a22 a23  .
a31 a32 a33
Como cada producto elemental de esta matriz debe tener 3 elementos y cada elemento viene
de una linea distinta, podemos escribir un producto elemental de la forma:
a1j1 a2j2 a3j3
donde (j1 , j2 , j3 ) indica una permutación de los índices de las columnas, siempre que no haya
dos elementos provenientes de la misma columna. Entonces, las 3! = 6 permutaciones distin‐
tas de los enteros {1, 2, 3} nos dan la lista de los posibles productos elementales de A, siendo
ellos:
a11 a22 a33 , a11 a23 a32 , a12 a21 a33 , a12 a23 a31 , a13 a21 a32 , a13 a22 a31 .
13
El signo del producto elemental está asociado con el signo de la permutación, de acuerdo la
tabla siguiente:
Producto
Elemental
a11 a22 a33
a11 a23 a32
a12 a21 a33
a12 a23 a31
a13 a21 a32
a13 a22 a31
Permutación
Asociada
(1, 2, 3)
(1, 3, 2)
(2, 1, 3)
(2, 3, 1)
(3, 1, 2)
(3, 2, 1)
Paridad de la
Permutación
par
impar
impar
par
par
impar
signo
+
−
−
+
+
−
.
Entonces, por la definición de determinante se sigue que:
det(A) = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32 .
Para evitar memorizar esta expresión, podemos usar el siguiente esquema: agregamos las co‐
lumnas 1 y 2 de A después de las 3 columnas originales y los productos elementales se ob‐
tendrán multiplicando los elementos de acuerdo con la figura a continuación. El signo de los
productos obtenidos por las diagonales a la derecha será positivo, y el signo de los productos
obtenidos por las diagonales a la izquierda será negativo:
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
Así, tenemos:
det(A) = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 .
Ejemplo 27: Consideremos la siguiente matriz:


1 1
2
0 .
A =  −2 3
4 2 −1
Entonces, como hemos visto en el ejemplo anterior, tenemos que:
det(A) =
1 1
2
−2 3
0
4 2 −1
1 1 2
1 1
= −2 3 0 −2 3 =
4 2 −1 4 2
= (1)(3)(−1) + (1)(0)(4) + (2)(−2)(2) − (2)(3)(4) − (1)(0)(2) − (1)(−2)(−1) =
= −3 − 8 − 24 − 2 = −37.
Por lo tanto, det(A) = −37.
14
El método empleado en el ejemplo anterior para calcular el determinante de una matriz cua‐
drada de orden 3 se conoce como el método de Sarrus.
De la definición vemos que el cálculo de los determinantes involucra un gran número de ope‐
raciones, ya que la suma tiene n! = n(n − 1)(n − 2) · · · 1 sumandos. Para n = 4 tendremos
4! = 24 sumandos, para n = 10 tendremos 10! = 3628800 sumandos, para n = 100 tendre‐
mos 100! ≈ 9,332 · 10157 sumandos. Si una computadora procesa 2400000 operaciones por
segundo, tomaría aproximadamente 1,23 · 10144 años calcular el determinante de una matriz
de orden 100.
Por esta razón, estudiaremos un método más eficiente para calcular determinantes, reduciendo
la matriz por líneas. Para esto, demostraremos algunas propiedades y resultados importantes
de la función determinante.
2.2.1. Propiedades de los determinantes
Proposición 1: Sea A una matriz cuadrada de orden n × n, entonces det(A) = det(At ).
Demostración
En la definición habitual de determinantes, generalmente fijamos la sucesión original para los
índices de las filas y seguimos una permutación p para los índices de las columnas en cada uno
de los productos elementales. Sin embargo, también podemos arreglar la sucesión original para
los índices de las columnas y seguir una permutación p para los índices de las filas, y luego cada
producto elemental con signo se escribiría como: sgn(p)aj1 1 aj2 2 . . . ajn n , con p ∈ P.
Note que podemos reordenar los factores aji i de tal modo que los indices de las filas obedezcan
el orden original y los indices de las columnas obedezcan alguna permutación p̄, asociando a to‐
do producto elemental un único producto elemental de la forma usual: sgn(p̄)a1j1 a2j2 . . . anjn .
Luego, el conjunto de todos los productos elementales con signo: sgn(p̄)a1j1 a2j2 . . . anjn es
igual al conjunto de todos los productos elementales con sigmo: sgn(p)aj1 1 aj2 2 . . . ajn n . Co‐
mo el determinante de A es la sumatoria de todos los productos elementales, se sigue que
det(A) = det (At ).
Proposición 2: Si D es una matriz diagonal de orden n × n, entonces det(D) = d11 d22 . . . dnn .
Demostración
Una matriz diagonal es tal que dij = 0 cuando i 6= j. Por lo tanto, como en un producto elemen‐
tal de la matriz, no aparece más de un elemento de la misma fila o columna, el único producto
elemental no nulo de D es d11 d22 . . . dnn y esto recibe un signo positivo. Por lo tanto, a partir de
la definición de determinante, la única parte de la suma que tendrá todos los factores distintos
de cero es la que involucra solo los elementos de la diagonal; los demás siempre contendrán
al menos un elemento dij con i 6= j y por tanto, serán nulos. Así, det(D) = d11 d22 . . . dnn . Ejemplo 28: El determinante da matriz identidad de orden n es igual a 1, esto es, det(In ) = 1.
De hecho, la matriz identidad es una matriz diagonal con los elementos de la diagonal todos
iguales a 1. Entonces, por la Proposición anterior se sigue que det(In ) = 1.
Proposición 3: Si A una matriz cuadrada de orden n × n que tiene una fila o una columna nula,
entonces det(A) = 0.
15
Demostración
Dado que cada producto elemental con signo de A tiene un elemento de cada fila y un elemen‐
to de cada columna, está claro que cada producto elemental tendrá al menos un factor nulo,
proveniente de la fila (o columna) nula. En este caso, cada producto elemental con signo de A
será nulo y, por lo tanto, como el determinante es la suma de los productos elementales con
signo, det(A) = 0.
Proposición 4: Sea A una matriz triangular de orden n × n, entonces det(A) = d11 d22 . . . dnn .
Demostración
Consideremos que A es triangular inferior, es decir, aij = 0 cuando i < j. Un producto ele‐
mental de A se puede escribir como: a1j1 a2j2 · · · anjn . Como a12 = . . . = a1n = 0, necesita‐
mos tener j1 = 1 para obtener un producto elemental distinto de cero. Si j1 = 1 entonces
j2 6= 1, porque dos elementos no pueden provenir de la misma columna, y además, como
a23 = · · · = a2n = 0, debemos tener j2 = 2 para obtener un producto elemental distinto de
cero. Siguiendo el mismo razonamiento obtenemos j3 = 3, j4 = 4, . . . , jn = n para que el
producto elemental sea distinto de cero. Por lo tanto, el único producto elemental no nulo de
A será a11 a22 . . . ann y recibirá un signo positivo. De la definición de determinante se deduce
que det(A) = a11 a22 . . . ann . Si A es triangular superior, el razonamiento es análogo.
Ejemplo 29: Considere la matriz:

1
 0
A=
 0
0

8 −4
2
3
7 −3 
.
0
2
9 
0
0
5
Conforme a la Proposición anterior, tenemos que: det(A) = (1)(3)(2)(5) = 30.
Definición 26 (Matrices elementales): Una matriz cuadrada de orden n × n se llama matriz
elemental si puede obtenerse de la matriz identidad In×n por medio de solo una operación
elemental de fila, o sea:
intercambiando las filas r y s
multiplicando la fila r por una constante α diferente de cero, o
sumando a la fila r la fila s multiplicado por la constante α
Ejemplo 30: Son matrices elementales de intercambio de filas las siguientes:




0 1 0
1 0 0
0 1
E1 =
, E2 =  1 0 0  , E3 =  0 0 1 
1 0
0 0 1
0 1 0
Note que:
E1 corresponde a F1 ↔ F2 sobre I2×2
E2 corresponde a F1 ↔ F2 sobre I3×3 ; y
E3 corresponde a F2 ↔ F3 sobre I3×3
16
Ejemplo 31: Son matrices elementales de multiplicación las siguientes:




1
0 0
1 0
0
5 0
0 
E4 =
, E5 =  0 −7 0  , E6 =  0 1
0 1
0
0 1
0 0 2/5
ya que
E4 corresponde a F1 ← 5F1 sobre I2×2
E5 corresponde a F2 ← −7F2 ; sobre I3×3 y
E6 corresponde a F3 ← 25 F3 sobre I3×3
Ejemplo 32: Son matrices elementales de eliminación las siguientes:




1 0
0
1 0 0
1 1/3
E7 =
, E8 =  0 1 −5  , E9 =  0 1 0 
0
1
0 0
1
0 7 1
pues
E7 corresponde a F1 ← F1 + 31 F2 sobre I2×2
E8 corresponde a F2 ← F2 − 5F3 sobre I3×3 ; y
E9 corresponde a F3 ← F3 + 7F2 sobre I3×3
Del mismo modo, se puede definir los mismos tipos de operaciones elementales con las co‐
lumnas de una matriz, que se denominan operaciones elementales de columnas.
Proposición 5 (Determinante de matrices elementales):
(a) Si E es una matriz elemental de orden n × n que representa la operación elemental:
permutar las filas r y s, entonces det(E) = −1;
(b) Si E es una matriz elemental de orden n × n que representa la operación elemental:
multiplicar la fila r por un escalar α no nulo, entonces det(E) = α;
(c) Si E es una matriz elemental de orden n × n que representa la operación elemental:
sumar a la fila r la fila s multiplicada por un escalar no nulo α, entonces det(E) = 1.
Demostración
(a) Como las filas r y s fueron permutadas, los elementos de E son:
• en la fila r : ers = 1 y erj = 0 para j 6= s
• en la fila s : esr = 1 y esj = 0 para j 6= r
• en las demás filas eii = 1 y eij = 0 para j 6= i
17
Entonces, el único producto elemental de E no nulo está compuesto por los (n − 2)
elementos eii , i 6= r y i 6= s y los factores ers y esr . Suponiendo, sin pérdida de gene‐
ralidad, que el valor del índice r es menor que el del índice s, es decir, el orden original
es 1, 2, . . . , r, . . . , s, . . . , n, tenemos el único producto elemental no nulo así ordenado:
e11 e22 . . . ers . . . esr . . . enn . La permutación asociada con este producto es
(1, 2, . . . , s, . . . , r, . . . , n), de modo que el orden original se puede obtener solo con un
intercambio entre los índices r y s. Por lo tanto, la permutación es impar y el signo del
producto elemental será negativo. Como todos los factores del producto son iguales a 1,
se sigue que det(E) = −1.
(b) Como la fila r fue multiplicada por un escalar α distinto de cero, la matriz E es una matriz
diagonal con elementos de la diagonal en las filas i = 1, . . . , n, i 6= r iguales a 1 y el
elemento err = α. Por la Proposición 2 se sigue que el determinante es igual a α.
(c) Adicionando a la fila r un múltiplo α 6= 0 de la fila s, los elementos de E serán:
• en la fila r : ers = α, err = 1 y erj = 0, j 6= r y j 6= s
• en las demás filas: eii = 1 y eij = 0, j 6= i.
En este caso, si r es menor que s, entonces E es una matriz triangular Superior. Si r >
s, entonces E es una matriz triangular inferior. En todos los casos E será una matriz
triangular y por la Proposición 4 se sigue que el determinante de E es igual a 1 siempre
que los elementos de la diagonal de sean todos iguales a 1.
Los mismos resultados de la Proposición 5 valen para las matrices elementales que re‐
presentan operaciones elementales de columna. La demostración es análoga, o de lo
contrario la afirmación se desprende de la Proposición 1.
Proposición 6: Sea A una matriz cuadrada de orden n × n.
(a) Si B es la matriz que resulta cuando permutamos dos filas de A, entonces det(B) =
− det(A).
(b) Si B es la matriz que resulta cuando una única fila de A es multiplicada por un escalar α
no nulo, entonces det(B) = α det(A).
(c) Si B es la matriz que resulta a partir de A adicionándose a una fila r de A un múltiplo α
no nulo de otra fila s, entonces det(B) = det(A).
Demostración
(a) Considere B obtenida a partir de A permutándose las filas r y s de A. Vamos suponer,
sin perdida de generalidad, que r < s. Así, un producto elemental de A pode ser escrito
de la forma:
a1j1 a2j2 . . . arjr . . . asjs . . . anjn
que es igual al producto elemental de B:
b1j1 b2j2 . . . bsjr . . . brjs . . . bnjn
18
ya que las filas de B son las mismas que las filas de A, excepto por las filas r y s que se
intercambian. Al escribir el producto elemental de B de la manera habitual (siguiendo el
orden original para los índices de fila), tenemos:
b1j1 b2j2 · · · brjs · · · bsjr · · · bnjn .
Por lo tanto, la permutación asociada con el producto elemental de B es
(1, 2, . . . , s, . . . , r, . . . , n), que es la permutación asociada con el producto elemental de
A con un intercambio entre los índices r y s. Es decir, para recuperar el orden original de
la permutación asociada con el producto elemental de B, necesitamos hacer un inter‐
cambio más de que partir de la permutación asociada con el producto elemental de A.
Por lo tanto, si esta permutación es par, aquella será impar y viceversa. Por lo tanto, cada
producto elemental de B tiene un signo opuesto al producto elemental correspondiente
de A. Por lo tanto, det(B) = − det(A).
(b) Considere B obtenida a partir de A cuando la fila r de A es multiplicada por un escalar
α 6= 0. Cada producto elemental de B será de la forma:
b1j1 b2j2 . . . brjr ...bnjn = a1j1 a2j2 . . . αarjr . . . anjn = α (a1j1 a2j2 . . . arjr ... anjn ) .
De esa forma, cada producto elemental de B será un múltiplo α de un producto elemen‐
tal de A, y el signo del producto elemental no se altera. Luego,
!
X
X
sgn(p)b1j1 b2j2 · · · brjr · · · bnjn = α
det(B) =
sgn(p)a1j1 a2j2 · · · arjr · · · anjn .
p∈P
p∈P
Por lo tanto, det(B) = α det(A).
(c) Consideremos que la fila r de B es obtenida adicionándose a la fila r de A un múltiplo
α 6= 0 de la fila s de A. Cada producto elemental de B será de la forma:
b1j1 b2j2 . . . brjr . . . bsjs . . . bnjn = a1j1 a2j2 ... (arjr + αasjr ) . . . asjs . . . anjn =
= (a1j1 a2j2 . . . arjr . . . anjn ) + α (a1j1 a2j2 . . . asjr . . . asjs . . . anjn ) .
El primer término es un producto elemental de A y el segundo es un producto elemental
de una matriz Ā obtenida a partir de A con las filas r y s iguales. Como Ā posee dos filas
iguales, si permutamos estas filas obtenemos una matriz B̄ que es igual a la matriz Ā
y, por tanto, det(B̄) = det(Ā). Pero, por el ítem (a) de la Proposición 6 ya demostrada
tenemos que det(B̄) = − det(Ā). La única forma de que ocurra esto es si det(Ā) = 0.
Así, tenemos:
X
det(B) =
sgn(p)b1j1 b2j2 . . . brjr . . . bsjs . . . bnjn =
p∈P
=
X
sgn(p)a1j1 a2j2 ··· arjr ··· anjn + α
p∈P
X
!
sgn(p)a1j1 a2j2 · · · asjr · · · asjs · · · anjn
.
p∈P
Por tanto, det(B) = det(A) + α det(Ā) ⇒ det(B) = det(A).
Los mismos resultados de la Proposición 6 también valen sustituyendo «filas» por «co‐
lumnas». La demostración es análoga.
19
Proposición 7: Sea A una matriz cuadrada de orden n × n que posee dos filas o columnas
proporcionales, entonces det(A) = 0.
Demostración
Supongamos, por ejemplo, que la fila r de A es proporcional a la fila s con un factor de pro‐
porcionalidad α, esto es, Fr = αFs . Podemos adicionar a la fila r de A el múltiplo −α de la
fila s, obteniendo una matriz B. De esta forma, la fila r de B será nula y, por la Proposición 3,
det(B) = 0. Pero, como B fue obtenida a partir de A apenas adicionándose a la fila r de A un
múltiplo de la fila s, por el ítem (c) de la Proposición 6, tenemos que det(B) = det(A) = 0.
Para las columnas la demostración es análoga.
Ejemplo 33: Consideremos la siguiente matriz:


3 1 2
A =  6 2 4 .
1 1 2
Note que la fila 1 de la matriz es proporcional a la fila 2, de hecho la fila 2 es igual a la fila 1
multiplicada por 2. Así, podemos realizar la operación elemental: F2 ←− F2 − 2F1 sobre A,
obteniendo:


3 1 2
B =  0 0 0 .
1 1 2
Por el ítem (c) de la Proposición 6 tenemos que det(B) = det(A). Pero, como B posee una fila
nula, por la Proposición 3 se sigue que: det(A) = det(B) = 0.
Proposición 8: Sea A una matriz cuadrada de orden n × n, E una matriz elemental de orden
n × n y B = EA. Entonces det(B) = det(EA) = det(E) det(A).
Demostración
(a) Si E representa la operación elemental: intercambiar dos filas de la matriz, entonce por
el ítem (a) de la Proposición 5 tenemos que det(E) = −1. Además, B = EA es obtenida a
partir de A permutándose dos filas de A y, por el ítem (a) de la Proposición 6 tenemos que
det(B) = − det(A). Luego,
det(B) = (−1) det(A) = det(E) det(A)
(b) Si E representa la operación elemental: multiplique una línea por escalar α 6= 0, y luego
por el ítem (b) de la Proposición 5 tenemos det(E) = α. Además, B = EA se obtuvo a
partir de A multiplicando una fila de A por α y por el ítem (b) de la Proposición 6 tenemos que
det(B) = α det(A). Luego,
det(B) = 1 det(A) = det(E) det(A).
Podemos extender este resultado para cualquier número de matrices elementales E1 , E2 , . . . , Em .
Esto es:
det (Em Em−1 · · · E1 A) = det (Em ) det (Em−1 ) · · · det (E1 ) det(A).
20
2.2.2. Cálculo de los determinantes mediante operaciones elementales
Vamos a estudiar un método para calcular determinantes que involucra menos operaciones
que calcular directamente por la definición. La idea es reducir la matriz a la forma triangular
superior (o inferior) a través de operaciones elementales, calcular el determinante de la matriz
triangular y, finalmente, relacionar este determinante con el de la matriz original.
Sea A una matriz cuadrada de orden n. Supongamos que aplicamos operaciones elementales
en las filas (o columnas) de A hasta que la reduzcamos a una matriz triangular superior R
(también podemos considerar R triangular inferior, en cuyo caso la idea es similar). Por lo tanto,
hay matrices elementales, E1 , E2 , . . ., Er , de modo que:
(Er Er−1 · · · E2 E1 )A = R.
Así, según la propriedad de determinantes que dice que si E1 , . . . , Er son matrices elementa‐
les, entonces
det (Em Em−1 · · · E1 A) = det (Em ) det (Em−1 ) · · · det (E1 ) det(A),
tenemos que:
det (Er Er−1 . . . E1 A) = det(R) ⇔
⇔ det (Er ) det (Er−1 ) . . . det (E1 ) det(A) = det(R).
Como los determinantes de las matrices elementales son siempre diferentes de cero, tenemos:
det(A) =
det(R)
det (Er ) det (Er−1 ) . . . det (E1 )
y esto nos da una relación entre el determinante de A y el determinante de R. Dado que R
es una matriz triangular, su determinante es el producto de los elementos de la diagonal, de
acuerdo con la Proposición 4, y por lo tanto es fácil de calcular. Por la Proposición 5 sabemos
cuáles son los determinantes de las matrices elementales, de acuerdo con la operación ele‐
mental que representan. Por lo tanto, a partir de la relación que obtuvimos, podemos calcular
el determinante de A de la siguiente manera:
1°) Reducimos la matriz A hasta una matriz triangular R haciendo operaciones elementales
entre sus filas;
2°) Calculamos el determinante de R, realizando el producto de los elementos de la diago‐
nal;
3°) Analizamos cada una de las operaciones elementales utilizadas en el proceso y seguimos
las siguientes reglas:
(i) Si la operación elemental es: intercambiar dos filas de la matriz, entonces cambiamos el
signo del determinante de R;
(ii) Si la operación elemental es: multiplicar una fila por un escalar α 6= 0, entonces dividimos
el determinante de R por α;
21
(iii) Si la operación elemental es: agregar a una fila un múltiplo distinto de cero de otra fila,
entonces el determinante no cambia.
Al final del proceso, obtendremos el determinante de A.
Para aplicar el ítem (iii) de la regla anterior, vamos a precisar algunas definiciones que damos a
continuación:
Definición 27: El elemento ass 6= 0, usado para eliminar los elementos asr , para r = s + 1, s +
2, . . . , n se define como el elemento pivote y la fila s se define como la fila pivote.
Ejemplo 34: Consideremos la siguiente matriz:


2
3
2
4
 4 10 −4 0 

A=
 −3 −2 −5 −2  .
−2 4
4 −7
El elemento pivote en la primera fila es a11 = 2 y en este caso la fila 1 es la fila pivote para
eliminar los elementos situados por debajo de a11 en la primera columna.
Definición 28: Los números mrs = aars
, por el cual se multiplica la fila pivote para luego restár‐
ss
sela a la fila r (Fr ←− Fr − mrs Fs ) con r = s + 1, s + 2, . . . , n se llaman multiplicadores.
Ejemplo 35: Tomemos de nuevo la misma matriz A del ejemplo anterior:


2
3
2
4
 4 10 −4 0 

A=
 −3 −2 −5 −2  ,
−2 4
4 −7
ya vimos que el elemento pivote en la primera fila es a11 = 2; luego, los multiplicadores son
41
= 42 = 2, m31 = aa31
= − 32 , m41 = aa11
= − 22 = −1, tomando la primera fila para
m21 = aa21
11
11
eliminar los elementos de la primera columna ubicados debajo de la diagonal, debemos aplicar
las siguientes operaciones elementales: F2 ←− F2 − 2F1 , F3 ←− F3 + 23 F1 y F4 ←− F4 + F1 ,
en este orden, para obtener:


2 3 2
4
 0 4 −8 −8 


 0 5 −2 4  .
2
0 7 6 −3
Siguiendo con el objetivo de convertir nuestra matriz a una triangular superior, vemos que
para la segunda fila ahora el elemento pivote es a22 = 4 luego los multiplicadores ahora son
32
m32 = aa22
= 58 , m42 = aa42
= 74 , luego podemos hacer las siguientes operaciones elementales:
22
F3 ←− F3 − 85 F2 y F4 ←− F4 − 47 F2 , en ese orden, para obtener:


2 3 2
4
 0 4 −8 −8 

.
 0 0 3
9 
0 0 20 11
Finalmente, para la tercera fila el elemento pivote es a33 = 3 y el multiplicador es m43 =
a43
= 20
, luego efectuamos la siguiente transformación en la cuarta fila: F4 ←− F4 − 20
F y
a33
3
3 3
22
obtenemos:

2
 0

 0
0

3 2
4
4 −8 −8 
=R
0 3
9 
0 0 −49
Como todas las transformaciones que hemos hecho son del tipo (iii), el valor del determinante
de A no varía, es decir, det A = det R = (2)(4)(3)(−49) = −1176. Note que R es una matriz
triangular superior, luego su determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal
principal.
Ejemplo 36: Consideremos la siguiente matriz:


1
3 8
0 4 .
A= 0
0 −1 2
Si permutamos las filas 2 y 3 de esta matriz obtenemos una matriz triangular superior:




1
3 8
1
3 8
F2 ←→F3
0 4  −−
A= 0
−−−→  0 −1 2  = R.
0 −1 2
0
0 4
La matriz R está en la forma triangular superior y su determinante es dado por:
det(R) = (1)(−1)(4) = −4.
La operación elemental que usamos para reducir A a la forma escalonada es del tipo (i) y, por
lo tanto, para obtener el determinante de A debemos cambiar el signo del determinante de R
una vez, es decir, det(A) = (−1) det(R) = (−1)(−4) ⇒ det(A) = 4.
Ejemplo 37: Calculemos el determinante de la siguiente matriz reduciéndola por filas:


0 3 1
A =  1 1 2 .
3 2 4
Aplicando las operaciones elementales F1 ←→ F2 , F3 ←− F3 − 3F1 y F3 ←− F3 + 13 F2 , en
este orden, obtenemos:








0 3 1
1 1 2
1
1
2
1
1
2
1
l3 ←−l3 + 3 l2
l1 ←→l2
l ←−l −3l1
 1 1 2 −
 0
3
1  −−−−−−−
1  = R.
−−−→  0 3 1  −3−−−3−−→
→ 0 3
3 2 4
3 2 4
0 −1 −2
0 0 − 35
La matriz R está en la forma triangular superior y su determinante es el producto de los ele‐
mentos de la diagonal, es decir,
5
det(R) = (1)(3) −
= −5.
3
La primera operación elemental utilizada en el proceso de reducción de la matriz A es del tipo
(i) y, por lo tanto, para obtener el determinante de A, debemos cambiar una vez el signo del
determinante de R. Las otras operaciones elementales son del tipo (iii) y no será necesario
cambiar el determinante. Por lo tanto, tenemos:
det(A) = (−1) det(R) = (−1)(−5) = 5.
23
Ejemplo 38: Consideremos la siguiente matriz:

2 1
 1 0
A=
 0 2
0 1
3
1
1
2

1
1 
.
0 
3
Utilizando operaciones elementales para reducir A hasta su forma escalonada, tenemos:






2 1 3 1
1 0 1 1
1 0 1
1
 1 0 1 1  F1 ←→F2  2 1 3 1  F2 ←−F2 −2F1  0 1 1 −1  F3 ←−F3 −2F2




 −−−−−−−−→
A=
 0 2 1 0  −−−−−→  0 2 1 0  −−−−−−−−→  0 2 1
0 
0 1 2 3
0 1 2 3
0 1 2
3






1 0
1
1
1 0
1
1
1 0
1
1
 0 1
1 −1 
1 −1 
1 −1 
F4 ←−F4 −F2 
F4 ←−F4 +F3 
−
 0 1
−
 0 1
 = R.
−
−
−
−
−
−
→
−
−
−
−
−
−
→
−→ 
 0 0 −1
 0 0 −1
 0 0 −1
2 
2 
2 
0 0
1
4
0 0
0
6
0 1
2
3
La matriz R está en la forma triangular superior y su determinante está dado por:
det(R) = (1)(1)(−1)(6) = −6.
La primera operación elemental utilizada en el proceso de reducción de la matriz A es del ti‐
po (i) y, por lo tanto, para obtener el determinante de A, debemos cambiar una vez el signo
del determinante de R. Las otras operaciones elementales son del tipo (iii) y no se cambia el
determinante. Por lo tanto, tenemos:
det(A) = (−1) det(R) = (−1)(−6) = 6.
Ejemplo 39: Consideremos la siguiente matriz:


1
2 −2 0
 2
3 −4 1 
.
A=
 −1 −2
0 2 
0
2
5 3
Utilizando operaciones elementales para reducir A hasta su forma escalonada, tenemos:





1
2 −2 0
1
2 −2 0
1
2 −2


 2


0 1  F3 ←−F3 +F1  0 −1
0
3 −4 1  F2 ←−F2 −2F1  0 −1
A=
−−−−−−−−→ 
−−−−−−−→ 
 −1 −2
0 2 
−1 −2
0 2 
0
0 −2
0
2
5 3
0
2
5 3
0
2
5




1
2 −2 0
1
2 −2 0
F4 ←−F4 + 52 F3  0 −1
0 −1
0 1 
0 1 
F ←−F4 +2F2 
−

=R
−−4−−−−
−−→ 
−
−
−
−
−
−
−
→
 0
 0
0 −2 2 
0 −2 2 
0
0
5 5
0
0
0 10

0
1 

2 
3
La matriz R está en la forma triangular superior y su determinante está dado por:
det(R) = (1)(−1)(−2)(10) = 20.
Todas las operaciones elementales utilizadas en el proceso de reducción de la matriz A son del
tipo (iii) y, por tanto, no alteran el determinante, es decir, det(A) = det(R). Luego, det(A) =
20.
24
Ejemplo 40: Consideremos la siguiente matriz:

1
0
 3 −2

4
A=
 5
 1
3
6
3
0
0
2
1
1

0 2
0 6 

0 10 
.
7 2 
5 4
Podríamos calcular el determinante de A usando operaciones elementales sobre filas para re‐
ducir A a la forma escalonada. Sin embargo, observando la matriz, note que podemos colocarla
en la forma triangular inferior apenas adicionando a la columna 4 la columna 1 multiplicada por
−2. Así, tenemos:




1
0 0 0 2
1
0 0 0
0
 3 −2 0 0 6 

0 

 C4 ←−C4 −2C1  3 −2 0 0




4 2 0 10  −−−−−−−−→  5
4 2 0
0 
A= 5
=R
 1


3 1 7 2
1
3 1 7
0 
6
3 1 5 4
6
3 1 5 −8
La matriz R está en la forma triangular superior y su determinante está dado por:
det(R) = (1)(−2)(2)(7)(−8) = 224.
Todas las operaciones elementales utilizadas en el proceso de reducción de la matriz A son del
tipo (iii) y, por lo tanto, no cambian el determinante, es decir, det(A) = det(R). Por tanto,
det(A) = 224.
Ejemplo 41: Consideremos la siguiente matriz:


1
3 1
5 3
 −2 −7 0 −4 2 


0 1
0 1 
A=
 0

 0
0 2
1 1 
0
0 0
1 1
Utilizando operaciones elementales para reducir A hasta su forma escalonada, tenemos:




1
3 1
5 3
1
3 1 5 3
 −2 −7 0 −4 2 



 F2 ←−F2 +2F1  0 −1 2 6 8  F4 ←−F4 −2F3



0 1
0 1  −−−−−−−−→  0
0 1 0 1 
A= 0
 −−−−−−−−→
 0


0 2
1 1
0
0 2 1 1 
0
0 0
1 1
0
0 0 1 1




1
3 1 5
3
1
3 1 5
3
 0 −1 2 6

8 
8 

 F5 ←−F5 −F4  0 −1 2 6




0 1 0
1  −−−−−−−→  0
0 1 0
1 
−→  0
=R
 0


0 0 1 −1
0
0 0 1 −1 
0
0 0 1
1
0
0 0 0
2
La matriz R está en la forma triangular superior y su determinante está dado por:
det(R) = (1)(−1)(1)(1)(2) = −2
Todas las operaciones elementales utilizadas en el proceso de reducción de la matriz A son
del tipo (iii) y, por tanto, no alteran el determinante, es decir, det(A) = det(R). Por lo tanto,
det(A) = −2.
25
Ejemplo 42: Consideremos la siguiente matriz:


1 4 2
A= 2 3 1 
6 9 3
Utilizando operaciones elementales para reducir A hasta su forma escalonada, tenemos:






1 4 2
1
4
2
1
4
2
F ←−F2 −2F1
F ←−F3 −6F1
F ←−F3 −3F2
A =  2 3 1  −−2−−−−
−−→  0 −5 −3  −−3−−−−
−−→  0 −5 −3  −−3−−−−
−−→
6 9 3
6
9
3
0 −15 −9


1
4
2
−→  0 −5 −3  = R
0
0
0
La matriz R está en la forma triangular superior y su determinante está dado por:
det(R) = (1)(−5)(0) = 0
Todas las operaciones elementales utilizadas en el proceso de reducción de la matriz A son del
tipo (iii) y, por tanto, no alteran el determinante, esto es, det(A) = det(R) = 0. Note que la
forma escalonada de A posee una fila nula y esto ocurre pues las filas 2 e 3 son linealmente
dependientes, o sea, una es un múltiplo de la otra. Más específicamente, tenemos que F3 =
3F2 .
2.2.3. Cálculo de los determinantes mediante cofactores
Teniendo en cuenta que ya sabemos calcular el determinante de una matriz cuadrada de or‐
den 2, a continuación veremos un método inductivo para definir el determinante de cualquier
matriz cuadrada en términos de determinantes de matrices de un tamaño menor. La idea es
definir determinantes de matrices de orden 3 × 3 en términos de determinantes de matrices
de orden 2 × 2, luego calculamos determinante de matrices de orden 4 × 4 en términos de ma‐
trices de orden 3 × 3, y así sucesivamente. Para describir esto, necesitamos alguna definiciones
que daremos a continuación.
Definición 29: Supongamos que se han definido los determinantes de de las matrices de orden
(n−1)×(n−1). Dada la matriz A de orden el n×n, sea Aij la matriz de orden (n−1)×(n−1)
obtenida a partir A eliminando la fila i y la columna j.
Entonces, el cofactor de la i−ésima fila y la j−ésima columna denotado por cij (A) es el escalar
definido por
cij (A) = (−1)i+j det (Aij ) .
Acá, (−1)i+j es el signo de la ubicación correspondiente a la i−ésima fila y la j−ésima columna
en la matriz A.
26
El signo de cada posición en la matriz es claramente + o −, y el siguiente diagrama es útil para
recordar el signo de una posición:


+ − + − ···
 − + − + ··· 


 + − + − ··· 

.
 − + − + ··· 


.. .. .. ..
. . . .
Tenga en cuenta que los signos se alternan a lo largo de cada fila y columna con + en la esquina
superior izquierda.
Ejemplo 43: Consideremos la matriz


3 −1 6
2 7 
A= 5
8
9 4
y calculemos los cofactores correspondientes a los elementos a12 , a31 y a23 .
5 7
Solución: Sea A12 la matriz
obtenida al eliminar la primera fila y la segunda columna.
8 4
El signo de la posición a12 es (−1)1+2 = −1, luego el cofactor correspondiente al elemento a12
es
5 7
c12 (A) = (−1)1+2
= (−1)(5 · 4 − 7 · 8) = (−1)(−36) = 36.
8 4
Para la posición a31 , tenemos
c31 (A) = (−1)3+1 det A31 = (−1)3+1
−1 6
2 7
= (+1)(−7 − 12) = −19.
Finalmente, para a23 tenemos
c23 (A) = (−1)2+3 det A23 = (−1)2+3
3 −1
8
9
= (−1)(27 + 8) = −35.
Claramente se pueden encontrar otros cofactores: hay nueve en total, uno para cada posición
en la matriz.
Ahora podemos definir det A para cualquier matriz cuadrada A.
Definición 30: Supongamos que se han definido los determinantes de las matrices de orden
(n − 1) × (n − 1). Si A = [aij ]n×n , definimos
det A = a11 c11 (A) + a12 c12 (A) + · · · + a1n c1n (A).
Esto es la expansión del det A mediante cofactores a lo largo de la fila 1.
La definición anterior afirma que el det A puede calcularse multiplicando los elementos de la
fila 1 por los cofactores correspondientes y sumando los resultados. Lo sorprendente es que
el det A se puede calcular tomando la expansión del cofactor a lo largo de cualquier fila o
columna: simplemente multiplique cada elemento de esa fila o columna por el cofactor corres‐
pondiente y sume los resultados de estas multiplicaciones para obtener el determinante.
27


3 4
5
2 .
Ejemplo 44: Calcule el determinante de A =  1 7
9 8 −6
Solución: Desarrollando el determinante a lo largo de la primera fila tenemos:
det A = 3c11 (A) + 4c12 (A) + 5c13 (A)
7
2
1 2
1 7
−4
+3
8 −6
9 −6
9 8 .
= 3(−58) − 4(−24) + 5(−55)
= −353
=3
Note que los signos se alternan a lo largo de la fila (de hecho, a lo largo de cualquier fila o
columna). Ahora calculamos det A expandiendo a lo largo de la primera columna.
det A = 3c11 (A) + 1c21 (A) + 9c31 (A)
4
5
4 5
7
2
−
+9
8 −6
8 −6
7 2 .
= 3(−58) − (−64) + 9(−27)
= −353
=3
El estudiante puede verificar que det A se pueda calcular expandiéndose a lo largo de cualquier
otra fila o columna.
Ya que el determinante se puede desarrollar sobre cualquier fila o columna sin que varíe, la
elección de una fila o columna en particular puede simplificar el cálculo. Particularmente, elija
aquella fila o columna que tenga el mayor número de elementos iguales a cero.


3 0 0
0
 5 1 2
0 

Ejemplo 45: Calcule el det A para A = 
 2 6 0 −1 .
−6 3 1
0
Solución: Considerando el comentario anterior, la fila 1 es la mejor opción en esta matriz (la
columna 4 también lo sería), y la expansión es
det A = 3c11 (A) + 0c12 (A) + 0c13 (A) + 0c14 (A)
1 2
0
= 3 6 0 −1
3 1
0
.
Esta es la primera etapa del cálculo, y hemos logrado expresar el determinante de la matriz A
de orden 4 × 4 en términos del determinante de una matriz de orden 3 × 3. La siguiente etapa
involucra esta matriz de orden 3 × 3. Nuevamente, podemos usar cualquier fila o columna para
la expansión del cofactor. Se prefiere la tercera columna (con dos ceros), entonces
6 0
1 2
1 2
det A = 3 0
− (−1)
+0
3 1
3 1
6 0
.
= 3[0 + 1(−5) + 0]
= −15
28
Esto completa el cálculo. Esta forma de calcular determinantes mediante la expansión sobre
cofactores comúnmente se conoce como el Método de Laplace.




a b c
a+x b+y c+z
3y
3z .
Ejemplo 46: Si det  p q r  = 6, calcule det A donde A =  3x
x y z
−p
−q
−r
Solución: Primero sacamos los factores comunes de las filas 2 y 3.


a+x b+y c+z
y
z .
det A = 3(−1) det  x
p
q
r
Ahora restamos la segunda fila de la primera e intercambiamos las últimas dos filas.




a b c
a b c
det A = −3 det  x y z  = 3 det  p q r  = 3 · 6 = 18.
p q r
x y z
Ejemplo 47: Calcule el valor o los valores de x ∈ R de modo que el determinante de


1 x x
A= x 1 x 
x x 1
sea igual a cero.
Solución: Para evaluar el det A, primero restamos x veces la fila 1 a las filas 2 y 3.
det A =
1 x x
x 1 x
x x 1
=
1
x
x
2
0 1 − x x − x2
0 x − x2 1 − x2
=
1 − x2 x − x2
.
x − x2 1 − x2
En esta etapa simplemente podríamos evaluar el determinante (el resultado es 2x3 − 3x2 + 1).
Pero entonces tendríamos que factorizar este polinomio para encontrar los valores de x que
lo hacen cero. Sin embargo, esta factorización se puede obtener directamente factorizando
primero cada elemento en el determinante y tomando un factor común (1 − x) de cada fila.
det A =
(1 − x)(1 + x)
x(1 − x)
x(1 − x)
(1 − x)(1 + x)
= (1 − x)2
1+x
x
x
1+x
= (1 − x)2 (2x + 1).
Por lo tanto, det A = 0 ⇔ (1 − x)2 (2x + 1) = 0, esto es, x = 1 o x = − 21 .
2.3. Inversa de una matriz
Definición 31: Si A es una matriz cuadrada, la matriz B se llama inversa de A si y sólo si
AB = I y BA = I,
donde I es la matriz identidad del mismo orden que A y B. Una matriz A que posee inversa se
llama matriz invertible.
29
Ejemplo 48: Mostremos que B =
−1 1
1 0
Solución: Calculemos AB y BA.
0 1
−1 1
1 0
AB =
=
1 1
1 0
0 1
es la inversa de A =
y BA =
−1 1
1 0
0 1
.
1 1
0 1
1 1
=
1 0
0 1
Por lo tanto AB = I = BA, entonces B es de hecho una inversa de A.
0 0
Ejemplo 49: Mostremos que A =
no posee inversa.
1 3
Solución: Sea B =
a b
c d
una matriz arbitraria de orden 2 × 2 . Tenemos
AB =
0 0
1 3
a b
c d
=
0
0
a + 3c b + 3d
entonces AB tiene una fila de ceros. Por lo tanto, AB no puede ser igual a I para ningún B.
Teorema 1: Si B y C son inversas de A, entonces B = C.
Demostración
Como B y C son inversas de A, tenemos que CA = I = AB. Luego, B = IB = (CA)B =
C(AB) = CI = C.
Si A es una matriz invertible, la inversa (única) de A se denota por A−1 . Por lo tanto, A−1
(cuando existe) es una matriz cuadrada del mismo tamaño que A con la propiedad de que
AA−1 = I y A−1 A = I.
Cuando la matriz A no admite inversa, como en el Ejemplo 49, decimos que A es singular. En
caso contrario, diremos que A es no singular.
2.3.1. El Método de Gauss‑Jordan para hallar inversa
Veamos como se puede hallar la inversa de una matriz invertible realizando operaciones ele‐
mentales entre filas:
Método de Gauss‐Jordan
Si A es una matriz invertible, existe una sucesión de operaciones elementales de filas
que llevan la matriz A a la matriz identidad I del mismo tamaño, lo cual denotaremos
por A → I. Esta misma serie de operaciones de fila lleva la matriz identidad I a la matriz
A−1 ; es decir, I → A−1 . El algoritmo se puede resumir de la siguiente manera:
A I → I A−1
donde las operaciones de filas en A e I se llevan a cabo simultáneamente.
Mostremos como se aplica el método de Gauss‐Jordan.
30
Ejemplo 50: Determine la inversa de A =
1 2
.
−1 1
Solución: Consideramos la matriz formada por A y la matriz identidad correspondiente . En
nuestro caso:
1 2 1 0
[A | I2 ] =
−1 1 0 1
Se hace la matriz triangular superior (es decir, hacemos ceros por debajo de la diagonal princi‐
pal) usando transformaciones elementales en filas.
La mejor forma de realizar esto es hacer cero los elementos por debajo de la diagonal en la
primera columna usando la fila 1. Luego, hacer cero los elementos por debajo de la diagonal
en la segunda columna usando la fila 2, y así sucesivamente. En nuestro caso, basta sumar la
fila 2 con la fila 1, es decir, aplicamos F2 ← F2 + F1 y se obtiene:
1 2 1 0
1 2 1 0
[A | I2 ] =
F2 ← F2 + F1
−1 1 0 1 −−
−−−−−−−→ 0 3 1 1
Una vez hecha la matriz triangular superior, se hace la matriz triangular inferior, haciendo ceros
a los elementos por encima de la diagonal. El proceso es parecido al anterior:
Hacemos cero los elementos por encima de la diagonal en la última columna usando la última
fila. Luego, hacemos cero los elementos por encima de la diagonal en la penúltima columna
usando la penúltima fila, y así sucesivamente. En nuestro caso:
2
1 0 13 − 32
1 2 1 0
F1 ← F1 − · F2
0 3 1 1
3−−→ 0 3 1 1
−−−−−−−−−−
Ya tenemos una matriz diagonal. Lo único que falta es dividir a cada fila entre el número ade‐
cuado para obtener unos en la diagonal principal, es decir, para obtener la matriz identidad en
la parte izquierda:
1
1 2 1 0
1 0 13 − 23
F2 ← F2
0 3 1 1
0 1 13 31
−−−−−3−→
Una vez que tenemos la matriz identidad en la parte izquierda, la parte derecha es la matriz
inversa, es decir, llegamos a:
1 −2 1
1 0 13 −2
1
−2
−1
−1
3
=
I2 , A
⇒ A = 31 13
= ·
0 1 13 13
1 1
3
3
3
y esto termina el proceso.


1 1 0
Ejemplo 51: Calcule la inversa de la matriz B =  −1 1 2  por el método de Gauss‐
1 0 1
Jordan.
Solución: Siguiendo los pasos anteriores, tenemos:




1 1 0 1 0 0
1 1 0 1 0 0
[B | I3 ] =  −1 1 2 0 1 0  F2 ← F2 + F1  0 2 2 1 1 0  F3 ← F3 − F1
−−−−−−−−−→
−−−−−−−−−→
1 0 1 0 0 1
1 0 1 0 0 1
31

1 1
 0 2
0 −1

1 1 0


 0 2 0


0 0 2


1 1 0 1
0 1 0 0
1 

2 1 1 0 F3 ← F3 + F2 0 2 2 1
2
1 −1 0 1 −−−−−−−−−−→ 0 0 2 − 12


1 0 0
1 0 0 14



1 
3
1
3

−1  F1 ← F1 − F2 
2
2
 0 2 0 2
2
 −−−−−−−−−−−→ 
1
1
−2 2 1
0 0 2 − 21
 1


1 0 0 14 − 14 12
4






−1
1
 3
 0 1 0 3
− 12 
4
4
 =⇒ B =  4




1
1
1
− 14
0 0 1 −4 4
2

0 0
1 0  F2 ← F2 − F3
−−−−−−−−−→
1
1
2

− 14 21

 F2 ← 1 F2
1
2

−1
2
 F3 ← 1 F3
 −−−−−−2−−→
1
1
2

− 14 12


1
1 
−
4
2 

1
4
1
2
Si al realizar el método de Gauss‐Jordan en algún momento todos los elementos de una fila se
anulan, la matriz no tiene inversa.
1 1
Ejemplo 52: Si calculamos por este método la inversa de A =
resulta:
2 2
1 1 1 0
1 1 1 0
[A | I2 ] =
F2 ← F2 − 2F1
2 2 0 1 −−
−−−−−−−−→ 0 0 −2 1
Como aparece una fila de ceros, la matriz A no posee inversa.
Veamos un último ejemplo de este método:
Ejemplo 53: Use el método de Gauss‐Jordan para encontrar la inversa de la matriz


2 7
1
A =  1 4 −1 
1 3
0
Solución: Vamos a aplicar operaciones elementales simultáneamente a la doble matriz:


2
7
1
1
0
0
A I =  1 4 −1 0 1 0 
1 3
0 0 0 1
Primero vamos a intercambiar las filas 1 y 2, es decir:




2
7
1
1
0
0
1
4
−1
0
1
0
A I =  1 4 −1 0 1 0  F1 ↔ F2  2 7
1 1 0 0 
−−−−−→
1 3
0 0 0 1
1 3
0 0 0 1
Luego restemos 2 veces la fila 1 de la fila 2, y restemos la fila 1 de la fila 3




1 4 −1 0 1 0
1
4 −1 0
1 0
F ← F2 − 2F1 
 2 7
1 1 0 0  2
0 −1
3 1 −2 0 
F3 ← F3 − F1
1 3
0 0 0 1 −−−−−−−−−−−−→ 0 −1
1 0 −1 1
32
Continuando con el proceso tenemos


1 0 11
4 −7 0
 0 1 −3 −1
2 0 
0 0 −2 −1
1 1

Por lo tanto, A−1
1 0 0
−3
2
−3
2
11
2





1
−3 
 0 1 0 1
2
2
2 



1
−1
−1
0 0 1 2
2
2


−3 −3 11
1 −3 , como se verifica fácilmente.
= 12  1
1 −1 −1
2.3.2. Propiedades de la matriz inversa
Proposición 9 (Leyes de cancelación): Sea A una matriz invertible.
(1) Si AB = AC, entonces B = C.
(2) Si BA = CA, entonces B = C.
Demostración
Dada la igualdad AB = AC, podemos multiplicar por la izquierda ambos miembros por A−1
para obtener A−1 AB = A−1 AC. Esto es IB = IC, que es B = C. Esto prueba (1) y la
demostración de (2) es análogo, por ello, se deja al estudiante.
Proposición 10: Si A es una matriz invertible, tenemos que la transposición AT también
es
T
−1
T −1
invertible. Además, la inversa de A es solo la transposición de A ; en símbolos, A
=
−1 T
(A ) .
Demostración
T
A−1 existe (por hipótesis). Su transposición (A−1 ) es el candidato propuesto para el inverso
de AT . Usando propiedades del producto entre matrices, probamos de la siguiente manera:
AT (A−1 ) = (A−1 A) = I T = I
.
T
T
(A−1 ) AT = (AA−1 ) = I T = I
T
T
Por lo tanto, (A−1 ) es de hecho la inversa de AT ; esto es, AT
T
−1
= (A−1 ) .
T
T
La proposición anterior junto con el hecho de que AT = A da el siguiente
Corolario 1: Una matriz cuadrada A es invertible si y sólo si AT es invertible.
Proposición 11: Si A y B son matrices invertibles de orden n × n, entonces su producto AB
también es invertible y además (AB)−1 = B −1 A−1 .
33
Demostración
Se nos da un candidato para el inverso de AB, a saber, B −1 A−1 . Lo probamos de la siguiente
manera:
(B −1 A−1 ) (AB) = B −1 (A−1 A) B = B −1 IB = B −1 B = I
(AB) (B −1 A−1 ) = A (BB −1 ) A−1 = AIA−1 = AA−1 = I.
Por lo tanto, B −1 A−1 es la inversa de AB, EN símbolos, (AB)−1 = B −1 A−1 .
−1
Proposición 12: Si A es invertible, también lo es A−1 y (A−1 ) = A.
Demostración
−1
La igualdad AA−1 = I = A−1 A muestra que A es la inversa de A−1 ; en símbolo, (A−1 ) = A.
Proposición 13: Si A1 , A2 , . . . , Ak son todas invertibles, también lo es su producto
−1 −1
A1 A2 · · · Ak y (A1 A2 · · · Ak )−1 = A−1
k · · · A2 A1 .
Demostración
Usaremos inducción sobre k. Si k = 1, no hay nada que demostrar, y si k = 2, el resul‐
tado es la Proposición 11. Si k > 2, asumamos inductivamente que (A1 A2 · · · Ak−1 )−1 =
−1 −1
A−1
k−1 · · · A2 A1 . Aplicamos este hecho junto con el resultado de la Proposición 11 como sigue:
[A1 A2 · · · Ak−1 Ak ]−1 = [(A1 A2 · · · Ak−1 ) Ak ]−1
−1
= A−1
k (A1 A2 · · · Ak−1 )
−1 −1
= A−1
A−1
.
k
k−1 · · · A2 A1
Esto completa la demostración.
Proposición 14: Si A es invertible, también lo es Ak para cualquier k ≥ 1, y A
Demostración
Esta es la Proposición 13 con A1 = A2 = · · · = Ak = A.
k −1
= (A−1 ) .
k
2.4. Determinantes e inversa de una matriz
En este apartado, veremos que una matriz cuadrada A es invertible si y solo si det A 6= 0.
Además, los determinantes se usan para dar una fórmula para calcular la inversa de una matriz
invertible.
Teorema 2: Si A y B son matrices cuadradas de orden n×n, entonces det(AB) = det A det B.
La complejidad de la multiplicación de matrices hace que la demostración del teorema anterior
sea bastante laborioso; por ello, obviamos su demostración en este material, sin embargo, el
estudiante que quiera ver la prueba de dicho teorema puede consultar el libro Linear Algebra
de Keith Nicholson, 2018, p.175. A continuación damos un ejemplo de aplicación del teorema
anterior donde se revela una identidad numérica importante.
a b
c d
ac − bd
ad + bc
Ejemplo 54: Si A =
yB =
, luego AB =
.
−b a
−d c
−(ad + bc) ac − bd
Por lo tanto det A det B = det(AB) da la identidad
a2 + b2 c2 + d2 = (ac − bd)2 + (ad + bc)2 .
34
El teorema anterior se extiende fácilmente a det(ABC) = det A det B det C. De hecho, la
inducción da
det (A1 A2 · · · Ak−1 Ak ) = det A1 det A2 · · · det Ak−1 det Ak
para cualquier matriz cuadrada A1 , . . . , Ak del mismo tamaño. En particular, si cada Ai = A
obtenemos
det Ak = (det A)k para cualquier k ≥ 1.
Ahora podemos dar la condición para la existencia de la inversa de una matriz.
Teorema 3: Una matriz cuadrada A de orden n es invertible si y sólo si det A 6= 0. En este caso,
det (A−1 ) = det1 A .
Demostración
Si A es invertible, entonces AA−1 = I; entonces el teorema anterior da
1 = det I = det AA−1 = det A det A−1 .
Por lo tanto, det A 6= 0 y también det A−1 =
1
.
det A
Por el contrario, si det A 6= 0, haciendo operaciones elementales entre las filas de A e In
simultáneamente, podemos determinar la inversa de A. Ciertamente, A puede reducirse a la
forma escalonada R = Ek · · · E2 E1 A donde las Ei son matrices elementales. Por lo tanto, por
el Teorema 2 tenemos
det R = det Ek · · · det E2 det E1 det A.
Dado que det E 6= 0 para toda matriz elemental E, tenemos que det R 6= 0. En particular, R
no tiene fila igual a cero, por lo que R = In porque R es una matriz cuadrada y reducida por
fila. Esto completa la demostración.


1 0 −c

1  posee inversa?
Ejemplo 55: ¿Para que valores de c la matriz A = −1 3
0 2c −4
Solución: Calcularemos el det A agregando primero c veces la columna 1 a la columna 3 y luego
desarrollamos a lo largo de la fila 1:




1 0 −c
1 0
0
1  = det  −1 3 1 − c  = 2(c + 2)(c − 3).
det A = det  −1 3
0 2c −4
0 2c
−4
Por lo tanto, det A = 0 si c = −2 o c = 3, y A posee inversa si c 6= −2 y c 6= 3.
Definición 32 (Adjunta de una matriz): La adjunta de A, denotada por adj(A), es la transpuesta
de la matriz de cofactores; en símbolos,
adj(A) = [cij (A)]T .
a b
Ejemplo 56: Consideremos la matriz A =
. Entonces tenemos que
c d
a b
d −b
adj(A) = adj
=
,
c d
−c
a
d −c
pues la matriz de cofactores de A es igual a
.
−b
a
35


1
3 −2
1
5  y calcule A(adj A) y (adj A)A.
Ejemplo 57: Calcule la adjunta de A =  0
−2 −6
7
Solución: Primero encontramos la matriz de cofactores:

0 5
1 5
−

−6
7
−2
7


 

c11 (A) c12 (A) c13 (A)

3 −2
1 −2
 c21 (A) c22 (A) c23 (A)  =  −

−6
7
−2
7

c31 (A) c32 (A) c33 (A)



3 −2
1 −2
−
1
5
0
5


37 −10 2
3 0 
=  −9
17 −5 1
0
1
−2 −6
−
1
3
−2 −6
1 3
0 1












Entonces la adjunta de A es la transpuesta de esta matriz de cofactores.

T 

37 −10 2
37 −9 17
3 0  =  −10
3 −5 
adj A =  −9
17 −5 1
2
0
1
El cálculo de A(adj A) da


 

1
3 −2
37 −9 17
3 0 0
1
5   −10
3 −5  =  0 3 0  = 3I
A(adj A) =  0
−2 −6
7
2
0
1
0 0 3
y el estudiante puede verificar que también (adj A)A = 3I. Además, noten que det A = 3, es
decir, A(adj A) = (det A)I. A continuación, veremos que esta relación siempre es verdadera.
Consideremos cualquier matriz A de orden 3×3. Escribimos cij (A) = cij para ahorrar notación,
entonces tenemos

T 

c11 c12 c13
c11 c21 c31
adj A =  c21 c22 c23  =  c12 c22 c32 
c31 c32 c33
c13 c23 c33
Si A = [aij ] está en la notación habitual, debemos verificar que A(adj A) = (det A)I. Es decir,


 

a11 a12 a13
c11 c21 c31
det A
0
0
det A
0 
A(adj A) =  a21 a22 a23   c12 c22 c32  =  0
a31 a32 a33
c13 c23 c33
0
0
det A
Representemos por P el producto A(adj A) y consideremos el elemento p11 en el producto,
vemos que dicho elemento está dado por a11 c11 + a12 c12 + a13 c13 , y esto es el desarrollo del
determinante de A a lo largo de la primera fila. Del mismo modo, el elemento p22 y el elemento
p33 son el desarrollo del determinante de A a lo largo de las filas 2 y 3, respectivamente.
36
Por lo tanto, queda por ver por qué los elementos fuera de la diagonal en el producto A(adj A)
son todos cero. Consideremos el elemento p12 del producto. Está dado por a11 c21 + a12 c22 +
a13 c23 . Esto se parece al desarrollo del determinante de alguna matriz mediante cofactores.
Para ver cuál, observe que c21 , c22 , y c23 se calculan eliminando la fila 2 de A (y una de las
columnas), de modo que permanecen iguales si la fila 2 de A ha cambiado. En particular, si la
fila 2 de A se reemplaza por la fila 1, obtenemos


a11 a12 a13
a11 c21 + a12 c22 + a13 c23 = det  a11 a12 a13  = 0
a31 a32 a33
donde el desarrollo se hace a lo largo de la fila 2 y el determinante es cero porque dos filas
son idénticas. Un argumento similar muestra que los otros elementos fuera de la diagonal son
cero.
Este razonamiento se puede generalizar y nos da la primera parte del Teorema 4. La segunda
afirmación se sigue de la primera multiplicando por el escalar det1 A .
Teorema 4: Si A es una matriz cuadrada, entonces
A(adj A) = (det A)I = (adj A)A.
En particular, si det A 6= 0, la inversa de A está dada por
A−1 =
1
adj A.
det A


2
1
3
1 .
Ejemplo 58: Encuentre el elemento a23 de A−1 si A =  5 −7
3
0 −6
Solución: Primero calculemos el det A =
2
1
3
5 −7
1
3
0 −6
=
2
1 7
5 −7 11
3
0 0
=3
1 7
−7 11
=
180.
Como A−1 =
−1
[cij (A)]T , el elemento
a23 de A es el elemento a32 de la
2 3
1
1
1
13
[cij (A)]; es decir, es igual a 180
c32 (A) = 180
−
.
matriz 180
= 180
5 1


2
1
3
1 .
Ejemplo 59: Calcule A−1 si A =  5 −7
3
0 −6
1
det A
adj A =
1
180
37
Solución: Primero encontramos la matriz de cofactores:

−7
1
5
1
−

0
−6
3
−6

 


c11 (A) c12 (A) c13 (A)

3
2
3
 c21 (A) c22 (A) c23 (A)  =  − 1

0 −6
3 −6

c31 (A) c32 (A) c33 (A)



1 3
2 3
−
−7 1
5 1


42
33
21
3 
=  6 −21
22
13 −19

5 −7
3
0
−











2 1
3 0
2
1
5 −7
Entonces la adjunta de A es la transpuesta de esta matriz de cofactores.

T 

42
33
21
42
6
22
3  =  33 −21
13 
adj A =  6 −21
22
13 −19
21
3 −19
Ya vimos en el ejemplo anterior que det A = 180, luego:

A
−1



42
6
22

1 
1
33 −21
13  = 
adj A =
=

det A
180

21
3 −19
7
30
1
30
11
90
11
60
7
− 60
13
180
7
60
1
60
19
− 180






2.5. Rango de una matriz
Existen varias maneras de introducir el concepto de rango de una matriz. En este material abor‐
daremos desde el punto de vista de la independencia
lineal
entre las filas de dicha matriz. Para
1 2 −3
fijar ideas, consideremos la matriz A =
. Si le aplicamos operaciones elemen‐
2 1 0
tales a las filas con el fin de obtener ceros por debajo de los elementos que ocupan el mismo
número de fila que columna, tenemos:
1 2 −3
1 2 −3
F2 ← F2 − 2F1
2 1 0
−−−−−−−−−−→ 0 −3 6
Vemos que en esta matriz es imposible hacer ceros todos los elementos de una fila, mediante
operaciones
elementales. Es decir, no existen escalares no nulos α y β tales que αF1 + βF2 =
0 0 0 .
En este caso, se dice que las filas de esta matriz son linealmente independientes.
2
4
6
Ahora bien, si consideramos la matriz B =
y le aplicamos operaciones ele‐
−1 −2 −3
mentales entre filas, tenemos
1
2 4 6
2
4
6
B=
F2 ← F2 + F1
0 0 0
−1 −2 −3
−−−−−−−−−2−→
38
Vemos que la segunda fila se anula, esto significa que las fila 1 y la fila 2 son linealmente de‐
pendientes, de hecho, F1 = −2F2 .
Definición 33 (Rango): Definimos el rango de una matriz A como el número máximo de filas o
columnas linealmente independientes.
De acuerdo a esta definición, para hallar el rango de una matriz cualesquiera A de orden n×m,
que denotaremos por rang A, basta con hacer nulos los elementos que hay debajo de los aii
donde i ∈ {1, 2, 3, . . . , n − 1} mediante operaciones elementales entre filas y el rango será el
número de filas distintas de cero.
1 2 −3
Vemos entonces que la matriz A =
tiene rango igual a 2; mientras que la matriz
2 1 0
2
4
6
B=
tiene rango igual a 1.
−1 −2 −3


−2 4 0 1
Ejemplo 60: Calcule el rango de A =  1 0 3 2 .
2 1 7 1
Solución: Vamos a aplicar las operaciones elementales entre filas hasta que tengamos todos
los elementos iguales a cero por debajo de aii con i = {1, 2}.






1 0 3
2
−2 4 0 1
1 0 3 2
1
F ← F2 + 2F1 
5 
0 4 6 5  F3 ← F3 − F2  0 4 6
A= 1 0 3 2  2
F3 ← F3 − 2F1
4
1
2 1 7 1 −−−−−−−−−−−−→ 0 1 1 −3 −−−−−−−−−−−→ 0 0 − 2 − 17
4
Vemos que quedan tres filas no nulas, luego rang A = 3.


1 1 0
Ejemplo 61: Determine el rango de B =  2 1 1 .
−1 1 −2
Solución: Procediendo de manera similar que el ejemplo anterior, tenemos:




1 1 0
1
1
0
B =  2 1 1  F2 ← F2 − 2F1  0 −1 1  F3 ← F3 + F1
−−−−−−−−−−→
−−−−−−−−−→
−1 1 −2
−1 1 −2




1 1
0
1 1 0
 0 −1 1  F3 ← F3 + 2F2  0 −1 1 
−−−−−−−−−−→
0 2 −2
0 0 0
∴ rang A = 2.
De la definición de rango se deduce directamente la
Propiedad: Si A es una matriz no nula de orden n × m se cumple que:
1 ≤ rang A ≤ mín{m, n}.
39
Ejemplo 62: Calcule en función de α el rango de la matriz:
1 1 2
.
A=
3 3 α
Solución: Aplicando operaciones elementales entre filas, tenemos:
A=
1 1 2
3 3 α
F2 ← F2 − 3F1
−−−−−−−−−−→
1 1
2
0 0 α−6
Si α = 6, entonces la fila 2 se anula y el rang A = 1. Ahora bien, si α 6= 6, la fila 2 será no nula,
luego, rang A = 2. En resumen:
Si α 6= 6, entonces rang(A) = 2
Si α = 6, entonces rang(A) = 1.
Sabemos por la propiedad de los determinantes que si A una matriz cuadrada de orden n × n
que posee dos filas o columnas proporcionales, entonces det(A) = 0; y la matriz es invertible
si y sólo si det A 6= 0, esto nos da la siguiente
Propiedad: Una matriz cuadrada A de orden n es invertible si y sólo si rang A = n.
40
3. Sistema de Ecuaciones Lineales
3.1. Introducción
Uno de los problemas fundamentales del Álgebra Lineal es la resolución simultánea de ecua‐
ciones lineales, siendo el caso más simple aquel en el que el número de incógnitas coincide con
el numero de ecuaciones.
Desde los textos de secundaria se proponen dos métodos para resolver tales sistemas de ecua‐
ciones lineales: eliminación y determinantes.
El primer método, eliminación, consiste en sustraer múltiplos de la primera ecuación de las
restantes, de tal manera que sea posible eliminar una misma incógnita en el resto de las ecua‐
ciones, con lo que se obtiene un sistema con una ecuación y una incógnita menos. El proceso
se repite una y otra vez hasta que sólo queda una ecuación con una incógnita, que se resuel‐
ve inmediatamente. No es difícil recorrer los pasos seguidos en sentido contrario y calcular el
resto de las incógnitas. El procedimiento permite además detectar aquellos casos en que no
existe solución o, por el contrario, existe infinidad de ellas.
El segundo método, determinantes, más complicado, introduce la idea de los determinantes y
mediante la regla de Cramer se obtienen las soluciones como cocientes de dos determinantes.
Su estudio no será abordado en esta asignatura. El coste de cálculo de dicho método lo hace
viable para tamaño n = 2 o 3, pero cuando se trata de resolver sistemas con un número grande
de incógnitas, se utiliza el método de eliminación, de coste bastante inferior.
3.2. Notación y de iniciones
Definición 34: Se denomina sistema de m‐ecuaciones lineales con n‐incógnitas a un sistema
de ecuaciones de la forma:


a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1


 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2
S≡
..

.


 a x + a x + ··· + a x = b
m1 1
m2 2
mn n
m
siendo x1 , x2 , . . . , xn las incógnitas del sistema y todos los aij y bi representan valores escalares
pertenecientes a R.
Ejemplo 63: El siguiente sistema, representa un sistema de 3 ecuaciones lineales con 4 incóg‐
nitas:

 2x1 + 6x2 − 4x3 + 2x4 = 4
x1 − x3 + x4 = 5
S≡

−3x1 + 2x2 − 2x3 = −2
Definición 35: Una solución del sistema consiste en la asignación de valores de R a cada una
de las incógnitas de tal forma que se verifique cada una de las ecuaciones que componen el
sistema.
41
Ejemplo 64: El sistema de ecuaciones lineales dada por
2x1 + 4x2 + 6x3 = 18
4x1 + 5x2 + 6x3 = 24
3x1 + x2 − 2x3 = 4

 x1 = 4
x2 = −2 . Para comprobarlo, basta sustituir estos valores de las in‐
admite como solución

x3 = 3
cógnitas en cada una de las ecuaciones del sistema y veremos que cada una de las igualdades
son verificadas.
Sea S el conjunto de todas las posibles soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. Se
pueden presentar los siguientes casos:
a) Si S = ∅ =⇒ Sistema Incompatible.
b) Si S 6= ∅ =⇒ Sistema Compatible.
Un sistema compatible, a su vez puede tener una única solución, en cuyo caso se dice que
el sistema es compatible determinado; o bien, puede que el sistema admita una infinidad de
soluciones. En este último caso, decimos que el sistema es compatible indeterminado.
Definición 36: Dos ecuaciones se dicen equivalentes cuando las soluciones de la primera lo son
también de la segunda y viceversa. Por extensión, dos sistemas se dicen equivalentes cuando
sus conjuntos de soluciones son idénticos.
3.2.1. Criterios de equivalencia de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Criterio 1: Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación de un sistema por un
número real distinto de cero, se obtiene otro sistema equivalente al inicial.
Ejemplo 65: Los siguientes sistemas son equivalentes, puesto que para pasar del primero (azul)
al segundo (rojo), multiplicamos la primera ecuación por 3, la segunda ecuación por 2 y la
tercera por −1.
2x + 3y + z = −1
6x + 9y + 3z = −3
3x − 4y + 2z = 3
6x − 8y + 4z = 6
−x + 2y + 3z = 2
x − 2y − 3z = −2
Criterio 2: Si a una ecuación de un sistema se le suma o resta otra ecuación del mismo, se
obtiene otro sistema equivalente al inicial.
Ejemplo 66: Los siguientes sistemas son equivalentes, puesto que para pasar del primero (azul)
al segundo (rojo), a la segunda ecuación le restamos la primera.
3x − 7y + 4z = −1
3x − 4y + 2z = 3
−x + 2y + 3z = 2
3x − 7y + 4z = −1
3y − 2z = 4
−x + 2y + 3z = 2
42
Criterio 3 (fusión de los anteriores): Si a una ecuación de un sistema se le suma o resta otra
ecuación del mismo, multiplicada por un número real distinto de cero, se obtiene otro sistema
equivalente al dado.
Ejemplo 67: Los siguientes sistemas son equivalentes, puesto que para pasar del primero (azul)
al segundo (rojo), a la segunda ecuación le restamos la primera multiplicada por 3 y a la tercera
ecuación le restamos la primera multiplicada por 2.
x − y + 2z = −2
3x − 4y + 2z = 3
2x + 2y + 3z = 2
x − y + 2z = −2
−y − 4z = 9
4y − z = 6
Criterio 4: Si en un sistema de ecuaciones lineales, una ecuación es proporcional a otra o es
combinación lineal de otras, se puede suprimir y el sistema obtenido es equivalente al inicial.
Por lo tanto, antes de discutir o resolver un sistema de ecuaciones lineales, es conveniente
suprimir las ecuaciones superfluas que se puedan identificar fácilmente, como, por ejemplo:
• Las ecuaciones proporcionales
• Las ecuaciones nulas
• Las ecuaciones que sean combinación lineal de otras.
Ejemplo 68: Los siguientes sistemas son equivalentes pues se suprimió la tercera ecuación, que
era proporcional a la primera (la tercera ecuación es igual a la primera ecuación multiplicada
por 3).
2x + y − 3z = −2
2x + y − 3z = −2
2x − 4y + 2z = 3
2x − 4y + 2z = 3
6x + 3y − 9z = −6
4x + 2y − 3z = 2
4x + 2y − 3z = 2
Es obvio, además, que si en un sistema de ecuaciones lineales cambiamos el orden de las ecua‐
ciones, el sistema obtenido es igual al anterior. El sistema tampoco cambia si en todas las ecua‐
ciones del mismo, permutamos el orden de las incógnitas.
Ejemplo 69: Los siguientes sistemas son iguales, pues sólo permutó el orden de la ecuaciones
primera y tercera.
3x − y + 5z = −2
2x − 4y + 2z = 3
x + 2y + 3z = 2
x + 2y + 3z = 2
2x − 4y + 2z = 3
3x − y + 5z = −2
Ejemplo 70: Los siguientes sistemas son iguales, pues sólo permutó, en todas las ecuaciones,
el orden de las incógnitas x e y.
3x + y − 3z = −2
2x − 4y + 2z = 3
4x + 2y − 3z = 2
y + 3x − 3z = −2
−4y + 2x + 2z = 3
2y + 4x − 3z = 2
La aplicación de estos criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones lineales, facilitará la
obtención de otro sistema equivalente al inicial, que sea más sencillo de resolver.
43
Los sistemas lineales admiten una sencilla representación matricial. Así, podemos denotar Ax =
b siendo:






a11 a12 · · · a1n
x1
b1
 a21 a22 · · · a2n 
 x2 
 b2 






A =  ..
x
=
y
b
=



 .. 
..
..
..
...
 .




.
.
.
. 
am1 am2 · · · amn
xn
bm
gracias a la definición dada para el producto entre matrices y la de igualdad entre matrices.
Es importante observar que en esta notación matricial se establece un orden para las variables
del sistema ya que los coeficientes asociados a una variable se corresponden con una columna
de la matriz A, llamada por ello matriz de los coeficientes; x es la matriz de las variables y b es
la matriz de los términos independientes del sistema.
Para hacer más operativa la notación a la hora de resolver sistemas lineales, podemos pres‐
cindir de la matriz columna de las variables del sistema y en su lugar representar el sistema
mediante una única matriz ampliada, (A|b), que consiste en añadir a la matriz A una última
columna correspondiente a la matriz b. De esta forma, una vez ordenadas las variables del sis‐
tema podemos identificar visualmente cada fila de la nueva matriz con una de las ecuaciones
del sistema. Las propiedades enunciadas anteriormente pueden expresarse ahora en términos
de las transformaciones elementales fila.
Observe que, en cada paso, se puede realizar una cierta operación en el sistema (y por tanto,
claro está, también sobre la matriz ampliada) para obtener otro sistema equivalente. Se pueden
aplicar las siguientes operaciones, denominadas operaciones elementales por filas, de manera
rutinaria sobre sistemas de ecuaciones lineales para conseguir sistemas equivalentes.
I) Intercambiar dos filas (Fi ←→ Fj ).
II) Multiplicar una fila por un número distinto de cero (Fi ←− mFi ).
III) Sumar un múltiplo de una fila a otra fila diferente (Fj ←− Fj − mFi con i 6= j).
Estamos en condiciones de abordar el primer método para la resolución de sistemas de ecua‐
ciones lineales.
3.3. Método de eliminación gaussiana
Este método de resolución de sistemas de ecuaciones admite una fácil programación, lo que
permite resolver un sistema con la ayuda del ordenador.
La idea del método consiste en aplicar a la matriz ampliada del sistema transformaciones ele‐
mentales sobre las filas (no pueden realizarse transformaciones columna) obteniendo, de esta
forma, sistemas equivalentes al dado pero cada vez más manejables. Mediante transformacio‐
nes, se consigue obtener un sistema equivalente al dado que tiene por matriz de los coeficien‐
tes una matriz escalonada. La notación quedará simplificada empleando matrices ampliadas
44
para representar en todo momento a los sistemas lineales equivalentes que resultan tras las
transformaciones.
Vamos a iniciar el método con un ejemplo de orden tres.
Ejemplo 71: Sea el sistema:

2x + y + z =
1

4x + y = −2
S≡

−2x + 2y + z =
7
(1)
Determine los valores de x, y, z que satisfagan simultáneamente las tres ecuaciones.
Solución: En primer lugar, tomaremos la matriz ampliada del sistema, siguiendo el orden na‐
tural para las variables de mismo:


2 1 1
1
(A | b) =  4 1 0 −2 
−2 2 1
7
Este método, también conocido como de eliminaciones sucesivas o método de escalonamiento
comienza restando múltiplos de la primera ecuación (fila) a las restantes, con el fin de eliminar
una incógnita, la x de las últimas ecuaciones. Para ello:
• Sumamos a la segunda ecuación la primera multiplicada por −2.
• Sumamos a la tercera ecuación la primera multiplicada por 1.




2
1
1
2
1
1
1
1
(A | b)F2 ← F2 − 2F1  0 −1 −2 −4  F3 ← F3 + F1  0 −1 −2 −4 
−−−−−−−−−→
−−−−−−−−−−→
−2
2
1
7
0
3
2
8
El resultado es un sistema equivalente al dado:

1
 2x + y + z =
′
−y − 2z = −4
S ≡

3y + 2z =
8
El coeficiente de x en la primera ecuación se denomina pivote.
En el segundo paso, ignoramos la primera ecuación y aplicamos el proceso a las dos ecuaciones
restantes, donde las incógnitas son y y z. En este caso, el pivote es −1 (coeficiente de y en la
segunda ecuación).
• Sumamos a la tercera ecuación la segunda multiplicada por 3.




2
1
1
1
2
1
1
1
 0 −1 −2 −4  F3 ← F3 + 3F2  0 −1 −2 −4 
−−−−−−−−−−→
0
3
2
8
0
0 −4 −4
y llegamos al sistema equivalente:

1
 2x + y + z =
′′
−y
−
2z
=
−4
S ≡

−4z = −4
45
Ahora, el proceso de eliminación está completo.
Hay un orden evidente para resolver este sistema: de la última ecuación obtenemos
−4z = −4 =⇒ z = 1
Sustituyendo este resultado en la segunda ecuación obtenemos
−y − 2 = −4 =⇒ y = 2
Por último, sustituyendo ambos resultados en la primera ecuación, se obtiene
2x + 2 + 1 = 1 =⇒ x = −1
Este proceso para obtener los valores de las incógnitas, se conoce con el nombre de sustitución
regresiva.
Es fácil entender cómo podemos extender la idea de la eliminación gaussiana a un sistema de
n− ecuaciones con n−incógnitas:
a) En un primer paso, utilizamos múltiplos de la primera ecuación para anular todos los
coeficientes bajo el primer pivote.
b) A continuación, se anula la segunda columna bajo el segundo pivote, etc.
c) La última columna contiene sólo a la última de las incógnitas.
d) La sustitución regresiva conduce a la solución en sentido contrario, es decir, comenzando
por la última incógnita hasta llegar a la primera.
Ejemplo 72: Para resolver el sistema


x+y+z = 1
2x + 2y + z = 2
S≡

x+y = 1
Procedemos a escalonar la matriz ampliada del sistema:



1 1 1
1 1 1 1
 2 2 1 2  F2 ← F2 − 2F1  0 0 −1
−−−−−−−−−−→
1 1 0 1
1 1 0



1 1 1 1
1



F3 ← F3 − F1 0 0 −1 0 F3 ← F3 − F2 0
−−−−−−−−−→
−−−−−−−−−→
0 0 −1 0
0
(2)

1
0 
1

1 1 1
0 −1 0 
0 0 0
La presencia de la última fila de ceros indica que existían dos ecuaciones proporcionales en el
último paso (la segunda y tercera ecuaciones son idénticas) por lo que puede ser eliminada del
sistema equivalente:
(
x+y+z =1
−z = 0
46
La sustitución regresiva, proporciona los valores z = 0 y x = 1 − y.
Obsérvese que en este ejemplo existe una relación de dependencia entre las variables x e y. Si
tomamos un valor cualquiera para y, éste determina otro para la x.
Existen infinitas soluciones en este caso, que podemos expresar de forma paramétrica como

 x=1−λ
y=λ

z=0
Se dice que y actúa como variable independiente y x, z son variables dependientes.
Estamos ante un sistema compatible indeterminado.
Ejemplo 73: Para resolver el sistema


 x − 2y + 2z = 3
x − 5y + 4z = 1
S≡

2x − 3y + 2z = 1
(3)
Una vez más procedemos a escalonar la matriz ampliada del sistema:




1−2 2 3
1 −2
2
3
 3 − 5 4 1  F2 ← F2 − 3F1  0
1 −2 −8  F3 ← F3 − 2F1
−−−−−−−−−−→
−−−−−−−−−−→
1
2−3 2 1
2 −3
2




1 −2
2
1 −2
2
3
3
 0
1 −2 −8  F3 ← F3 − F2  0
1 −2 −8 
−−−−−−−−−→
0
1 −2 −5
0
0
0
3
La última fila representa la ecuación 0x + 0y + 0z = 3 lo que produce un sistema incompatible
ya que 0 6= 3.
Por tanto, no hay soluciones para nuestro sistema original.
Se trata de un sistema incompatible.
Tras estos tres ejemplos, podemos analizar el comportamiento del método de eliminación gaus‐
siana en relación con los pivotes del método de escalonamiento de Gauss‐Jordan.
• El caso de sistema incompatible (Ejemplo 73) se identifica fácilmente por el hecho de que se
anulan todos los elementos de una fila excepto el que está en la última columna de la matriz
ampliada.
• En caso contrario, resulta un sistema compatible
a) Determinado si el número de pivotes coincide con el de variables.
b) Indeterminado si el número de pivotes es menor que el de variables.
47
Con lo expuesto, estamos en condiciones de relacionar el concepto de rango con el tipo de
soluciones de un sistema de ecuaciones lineales mediante el siguiente
Teorema 5 (Teorema de Rouché‐Frobenius): Sea A · X = b la representación matricial de un
sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Entonces,
• El sistema es incompatible si el rango de la matriz de coeficientes A es distinto del rango de
la matriz ampliada (A | b).
• El sistema es compatible si los rangos coinciden. En este caso, si el rango es igual al número
de incógnitas (es decir, n ), el sistema es determinado. Si es menor que n, es indeterminado.
3.4. Sistemas homogéneos de ecuaciones lineales
Se dice que un sistema de ecuaciones en las variables x1 , x2 , . . . , xn es homogéneo si todos
sus términos constantes son cero; es decir, si cada ecuación del sistema tiene la forma:
a1 x 1 + a2 x 2 + . . . + an x n = 0
Evidentemente, x1 = 0, x2 = 0, . . . , xn = 0 es una solución de tal sistema; a dicha solución
se la conoce como solución trivial. Cualquier solución en la que al menos una variable tiene
un valor distinto de cero se denomina solución no trivial. El objetivo de esta sección es dar
una condición útil para que un sistema homogéneo tenga soluciones no triviales. El siguiente
ejemplo resulta bastante instructivo.
Ejemplo 74: Demostrar que el siguiente sistema homogéneo tiene soluciones no triviales.
x1 − x2 + 2x3 + x4 = 0
2x1 + 2x2 − x4 = 0
3x1 + x2 + 2x3 + x4 = 0
Solución: Se lleva a cabo la reducción de la matriz ampliada a la forma escalonada reducida por
filas de la siguiente manera:




1 −1 2
1 0
1 −1
2
1 0
 2
2 0 −1 0  →  0
4 −4 −3 0  →
3
1 2
1 0
0
4 −4 −2 0


1 0
1 0 0
→  0 1 −1 0 0 
0 0
0 1 0
Las variables principales son x1 , x2 y x4 , por lo que a x3 se le asigna un parámetro. Sea x3 = t.
Entonces la solución general es x1 = −t, x2 = t, x3 = t, x4 = 0. De aquí se deduce que,
tomando t = 1 se obtiene una solución no trivial.
La existencia de una solución no trivial en el Ejemplo anterior, queda asegurada por la presencia
de un parámetro en la solución. Esto se debe al hecho de que existe una variable libre x3 en este
caso). Pero también, al hecho de que, en este caso, hay cuatro variables y sólo tres ecuaciones
(y por tanto sólo pueden existir, como mucho, tres variables principales).
48
De la sección anterior se deduce que si aplicamos el método de eliminación gaussiana, puesto
que la matriz ampliada tiene su última columna nula, por más transformaciones elementales
fila que hagamos, siempre resultará otra columna nula.
En conclusión: nunca habrá un elemento no nulo en esa columna y por tanto el sistema siempre
es compatible. Si el número de pivotes es igual al número de variables, el sistema es compa‐
tible determinado con solución única trivial (todas las variables toman el valor nulo) mientras
que si el número de pivotes es menor, habrá infinitas soluciones y el sistema es compatible
indeterminado.
Estas observaciones podemos generalizar en el siguiente
Teorema 6 (Sistemas homogéneos: condición para tener un número infinito de soluciones): El
sistema homogéneo
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0
.. ..
. .
am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = 0
tiene un número infinito de soluciones si n > m.
Ejemplo 75 (Sistema homogéneo que tiene únicamente la solución trivial): Resuelva el sistema
homogéneo de ecuaciones
2x1 + 4x2 + 6x3 = 0
4x1 + 5x2 + 6x3 = 0
3x1 + x2 − 2x3 = 0
Solución: Aplicando eliminación gaussiana, tenemos:




1 2
3 0
1
2
3 0
F ← F2 − 4F1 
 4 5
6 0  2
0 −3 −6 0 
F3 ← F3 − 3F1
3 1 −2 0 −−−−−−−−−−−−→ 0 −5 −11 0




1
2
3 0
1 0 −1 0
1
F ← F1 − 2F2 
1
2 0  1
0 1
2 0 
F2 ← − F2  0
F3 ← F3 + 5F2
3
−−−−−−−−→ 0 −5 −11 0 −−−−−−−−−−−−→ 0 0 −1 0




1 0 −1 0
1 0 0 0
F ← F1 + F3 
2 0  1
0 1 0 0 
F3 ← −F3  0 1
F2 ← F2 − 2F3
−−−−−−−→
0 0
1 0 −−−−−−−−−−−−→ 0 0 1 0

 x=0
y = 0 . Esto es, la única solución al sistema es la
Así, el sistema tiene una solución única

z=0
trivial.
Ejemplo 76 (Un sistema homogéneo con un número infinito de soluciones): Resuelva el siste‐
ma homogéneo
x1 + 2x2 − x3 = 0
3x1 − 3x2 + 2x3 = 0
−x1 − 11x2 + 6x3 = 0
49
Solución: Al aplicar el algoritmo de Gauss tenemos, sucesivamente,




1
2 −1 0
1
2 −1 0
F ← F2 − 3F1 
 3 −3
2 0  2
0 −9
5 0 
F3 ← F3 + F1
−1 −11
6 0 −−−−−−−−−−−−→ 0 −9
5 0


1
2 −1 1
5 0 
F3 ← F3 − F2  0 −9
−−−−−−−−−→
0
0
0 0
Ahora la matriz aumentada está en la forma escalonada reducida por filas, y, como tenemos
una fila de ceros, esto nos indica que existe un número infinito de
Si elegimos a x3
soluciones.
 x1 = 19 x3
como parámetro, encontramos que toda solución es de la forma
Si, por ejemplo,

x2 
= 59 x3
x1 = 19





x2 = 59 . Si x3 = 9π,
x3 = 0, se obtiene la solución trivial. Si x3 = 1 se obtiene la solución





x3 = 1

x
=
π
 1
x2 = 5π .
se obtiene la solución

x3 = 9π
Ejemplo 77 (Un sistema homogéneo con más incógnitas que ecuaciones tiene un número infi‐
nito de soluciones): Resuelva el siguiente sistema
x1 + x2 − x3 = 0
4x1 − 2x2 + 7x3 = 0
Solución: Al reducir por filas, utilizando el método de Gauss se obtiene
1
1 −1 0
1
1 −1 0
F2 ← F2 − 4F1
4 −2
7 0 −−
−−−−−−−−→ 0 −6 11 0
En esta ocasión tenemos más incógnitas que ecuaciones, por lo que hay un número infinito de
soluciones.
Si elegimos a x3 como parámetro, encontramos que toda solución es de la forma

 x1 = − 65 x3

x2 =
11
x
6 3
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Bibliografía
D LAY, (1999):. Algebra lineal y sus aplicaciones. México: Pearson; segunda edición.
GROSSMAN STANLEY, (1996):. Algebra lineal. México: McGRAW‐HILL; quinta edición.
LARSON R, (2013):. College Algebra. Cegaje Learning; novena edición.
VANCE E, (1986):. Álgebra y trigonometría. Buenos Aires: Addison Wesley; segunda edición.
W. KEITH NICHOLSON, (2013):. Linear algebra with applications. Estados Unidos de América:
McGRAW‐HILL.583 p.; séptima edición.
WILLIAMS CA GARETH, (2002):. Álgebra Lineal con aplicaciones. México: McGRAW‐HILL; cuarta
edición.
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